Modelul Markowitz de Evaluare a Performantei Unui Portofoliu de Titluri Financiare de la Bvb

CUPRINS:

CAP.1. INTRODUCERE……………………………………………………………………………………..2

CAP.2. SELECȚIA PORTOFOLIULUI……………………………………………………………….4

2.1. Evaluarea activelor financiare…………………………………………………………………..4

2.2. Riscul și rentabilitatea activelor financiare………………………………………………..6

2.3. Selecția unui portofoliu format din 10 titluri cotate la BVB………………………..8

CAP.3. MODELUL DE PIAȚĂ ………………………………………………………………………….10

3.1. Ecuația dreptei de regresie; Interpretarea coeficienților…………………………..10

3.2. Aplicarea modelului de piață titlurilor Biofarm București și SIF Moldova..11

CAP.4. ANALIZA FUNDAMENTALĂ A PORTOFOLIULUI……………………………14

4.1. Modelul Markowitz; Frontiera Markowitz………………………………………………14

4.1.1. Riscul și rentabilitatea portofoliului de active financiare……………….14

4.1.2. Ipotezele modelului Markowitz…………………………………………………….16

4.1.3. Portofolii eficiente. Frontiera Markowitz……………………………………..16

4.2. Frontiera Sharpe – Capital Market Line (CML)……………………………. 22

4.3. Modelul CAPM (Capital Asset Pricing Model); Dreapta titlurilor SML…..25

4.3.1. Ipotezele modelului CAPM………………………………………………………….25

4.3.2. Ecuația modelului CAPM; Security Market Line (SML)……………26

4.3.3. Limitele modelului CAPM…………………………………………………………..31

CAP.5. VALOAREA la RISC a TITLURILOR și a PORTOFOLIULUI……………..32

5.1. Definirea VaR…………………………………………………………………………………………32

5.2. Metode de determinare a VaR…………………………………………………………………33

5.2.1. Metoda simulării istorice…………………………………………………………….33

5.2.2. Metoda variance-covariance………………………………………………………..35

CAP.6. CONCLUZII………………………………………………………………………………………….39

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………………..40

ANEXE……………………………………………………………………………………………………………..43

CAP. 1. INTRODUCERE

Piețele de capital îndeplinesc un rol economic esențial, și anume acela de a colecta fonduri și de a le distribui diverselor entități cu nevoi de capital suplimentar. Prin intermediul sistemului financiar sunt canalizate sume considerabile de bani de la cei cu surplus de capital către instituțiile cu oportunități de investire productive. Existența și funcționarea unor piețe de capital eficiente este strâns legată de progresul economic. Investirea pe piața de capital constituie o alternativă a plasării capitalului în sistemul bancar. Beneficiile potențiale oferite de plasamentele pe piața de capital pot fi mult mai mari decât cele oferite de sectorul bancar, însă situația este similară și în ceea ce privește pierderile.

În mediul economic actual, caracterizat printr-o volatilitate fără precedent, interesul pentru măsurarea și diversificarea riscului a sporit considerabil. Oportunitățile de investire descriu o arie vastă de instrumente financiare și de aceea se impune analiza raportului risc-rentabilitate asociat instrumentelor financiare, în urma căreia un investitor poate lua o decizie de investire rațională.

Aspecte precum studierea deciziei financiar-monetare, determinarea criteriilor de selecție a unui portofoliu, determinarea factorilor care influențează decizia alocării activelor, precum și evaluarea activelor financiare au fost întotdeauna o preocupare pentru investitori și au fost vast dezbătute în literatura de specialitate.

În contextul unui mediu economic incert, în care investitorii nu pot prezice cu certitudine rezultatele acțiunilor sale pe piața de capital, s-a simțit nevoia determinării unor modele care să explice și să soluționeze problemele semnalate mai sus. Se pornește însă de la premise de strictă raționalitate și optimizare a deciziilor financiar-monetare. Nu trebuie pierdută din vedere influența factorilor psihologici în decizia financiar-monetară și nici faptul că investitorii au comportamente diferite în ceea ce privește acceptarea și asumarea riscului, precum și așteptări distincte în ceea ce privește rezultatele viitoare.

Toate acestea constituie o motivație foarte bună pentru a ne determina să ne punem întrebarea: Care sunt elementele care ar trebui să stea la baza deciziei de investire într-un anume portofoliu și cum pot fi cuantificate acestea?

Primul care a dat un răspuns la această întrebare a fost economistul Harry Markowitz în lucrarea sa Portfolio Selection (1952). Acesta a pus bazele teoriei moderne a portofoliului. El susține că principalul criteriu care trebuie avut în vedere în momentul realizării unei investiții este relația rentabilitate-risc. Orice investitor rațional dorește fie maximizarea rentabilității pentru un risc acceptat, fie minimizarea riscului pentru o rentabilitate sperată. Numai în urma analizei acestui raport poate un investitor să ia o decizie de investire rațională. De asemenea, pentru minimizarea riscurilor corelația titlurilor este foarte importantă. Astfel se dorește formarea unui portofoliu cât mai diversificat.

Pornind de la studiile lui Markowitz, William Sharpe a fundamentat modelul Capital Asset Pricing Model în lucrarea sa Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions Of Risk (1964), acesta reprezentând un pas esențial în evaluarea instrumentelor financiare.

În această lucrare am analizat fundamentarea deciziei de investire pe piața de capital a României pe baza analizei performanțelor și riscurilor activelor financiare și a portofoliului de titluri financiare, având ca punct de pornire teoria dezvoltată de Harry Markowitz. Într-un mediu economic tot mai dinamic, caracterizat de o volatilitate foarte mare a piețelor, managementul riscurilor capătă o importanță din ce în ce mai mare. Vom arăta că, prin diversificare, putem diminua semnificativ riscul de piață, chiar dacă acesta nu va putea fi eliminat în totalitate.

Pentru aplicarea modelului Markowitz pe piața bursieră din România am urmărit formarea unui portofoliu de 10 titluri cotate la Bursa de Valori București (BVB), titluri selecționate în capitolul 2 al acestei lucrări. Deoarece evoluția bursei de valori este strâns legată de conjunctura economică, am avut în vedere perioada 2006-2007, perioadă care precede prabușirea bursei din anul 2008. Pentru Bursa de Valori București aceasta a fost o perioadă cu randamente ridicate.

CAP.2. SELECȚIA PORTOFOLIULUI

În acest capitol vom prezenta factorii care influențează decizia de investire și selecția portofoliului presupunând că toți investitorii au aversiune la risc. Mediul economic este caracterizat de incertitudine și de aceea se impune analiza raportului risc-rentabilitate asociat instrumentelor financiare. Investitorii nu pot prezice cu certitudine rezultatele acțiunilor sale pe piața de capital, așteptările acestora cu privire la viitor fiind diferite de la individ la individ în funcție de informațiile deținute de fiecare. Având în vedere acestea, vom analiza mai departe criteriile de evaluare a activelor financiare, riscul și rentabilitatea acestora, urmând ca în final să selectăm un portofoliu de titluri format din 10 acțiuni cotate la Bursa de Valori București.

Evaluarea activelor financiare

Criteriile cele mai importante pe baza cărora se realizează evaluarea activelor financiare sunt următoarele :

Criteriul „speranță matematică”. Estimarea speranței matematice este greu de făcut și se face prin calculul mediei aritmetice a diferitelor rezultate care se pot obține, ponderate cu probabilitățile respective.

Criteriul „sperantă-dispersie”. Conform acestui criteriu, performanța investiției în activele financiare este determinată de doi factori: rentabilitate și risc. Astfel un investitor va dori fie obținerea unei rentabilități pe unitatea de risc maxime, fie obținerea unui risc pe unitatea de rentabilitate minim.

Criteriul „safety-first”. În acest caz investitorul devine preocupat de siguranță doar în momentul în care probabilitatea unei pierderi depășește un anumit punct critic. Investitorul dorește maximizarea rentabilității sale, fiind constrâns de probabilitatea unei pierderi. Acesta este un caz particular al criteriului „speranță-dispersie” . Rentabilitatea obținută de către un investitor într-un mediu incert va fi cu siguranță mai mică decât cea care ar fi putut fi obținută în condiții de certitudine. Astfel, într-un mediu incert, schimbări minore pot însemna modificarea radicală a comportamentelor investitorilor.

Criteriul „speranță de utilitate” a averii finale. Acest model ia în considerare atitudinea față de risc, conform căreia există trei tipuri de investitori:

-investitori cu aversiune la risc (riscofobi), în cazul cărora coeficientul de sensibilitate <1. Aceștia vor prefera să investească în activele cu riscul cel mai mic, obținând astfel și o rentabilitate mai mică;

-investitori care preferă riscul (riscofili), unde >1. Aceștia vor investi în activele cele mai riscante de pe piață, asumându-și un risc mai mare, dar sperând și la câștiguri mai mari;

-investitori neutri la risc, pentru care =1. Aceștia sunt indiferenți față de risc și vor prefera să investească în portofoliul pieței.

Atitudinea investitorului față de valoarea finală a averii sale poate fi modelată printr-o funcție matematică a utilității, specifică fiecărui individ. Valoarea averii finale este speranța matematică a utilităților averii finale. Orice creștere a averii conduce la o sporire a utilității care va fi invers proporțională cu cantitatea bunurilor deținute anterior. În schimbul asumării unui risc, investitorii vor dori o compensație, o primă de risc.

Prima de risc de tip Markowitz este diferența dintre speranța matematică a averii finale și prețul de vânzare cerut (echivalentul cert al averii finale). Aceasta este pozitivă pentru investitorii cu aversiune la risc și negativă pentru cei cu preferință pentru risc. Pentru investitorii neutri la risc, prima de tip Markowitz este nulă. Prima de risc Arrow & Pratt are următoarele două componente:

-obiectivă, aceasta fiind cantitatea de risc, măsurată prin dispersie;

-subiectivă, gradul de aversiune absolută față de risc, fiind specific fiecărui investitor în raport cu atitudinea față de risc.

Principalul dezavantaj al acestei prime de risc este faptul că este aplicabilă numai funcțiilor de utilitate cu distribuție normală, continue și de două ori derivabile, în timp ce prima de risc de tip Markowitz poate fi aplicată și restul tipurilor de funcții. Prima de risc Arrow-Pratt este întotdeauna mai mare pentru investitorii cu aversiune la risc, deoarece aceștia sunt dispuși să plătească mai mult pentru a se asigura împotriva riscului.

Riscul și rentabilitatea activelor financiare

Decizia de investire este direct influențată de rentabilitatea instrumentelor financiare. Această rentabilitate poate fi judecată pe baza performenței trecute (istorice) a titlurilor sau a performanței previzionate (anticipate).

Randamentul istoric se determină după următoarea relație:

unde termenul reprezintă randamentul câștigului din capital, iar termenul reprezintă randamentul dividendului.

Dacă investitorul dorește să cunoască performanța medie a unui titlu pe o perioadă de timp din trecut, acesta poate folosi:

-media aritmetică a randmentelor istorice:

– sensibilitate <1. Aceștia vor prefera să investească în activele cu riscul cel mai mic, obținând astfel și o rentabilitate mai mică;

-investitori care preferă riscul (riscofili), unde >1. Aceștia vor investi în activele cele mai riscante de pe piață, asumându-și un risc mai mare, dar sperând și la câștiguri mai mari;

-investitori neutri la risc, pentru care =1. Aceștia sunt indiferenți față de risc și vor prefera să investească în portofoliul pieței.

Atitudinea investitorului față de valoarea finală a averii sale poate fi modelată printr-o funcție matematică a utilității, specifică fiecărui individ. Valoarea averii finale este speranța matematică a utilităților averii finale. Orice creștere a averii conduce la o sporire a utilității care va fi invers proporțională cu cantitatea bunurilor deținute anterior. În schimbul asumării unui risc, investitorii vor dori o compensație, o primă de risc.

Prima de risc de tip Markowitz este diferența dintre speranța matematică a averii finale și prețul de vânzare cerut (echivalentul cert al averii finale). Aceasta este pozitivă pentru investitorii cu aversiune la risc și negativă pentru cei cu preferință pentru risc. Pentru investitorii neutri la risc, prima de tip Markowitz este nulă. Prima de risc Arrow & Pratt are următoarele două componente:

-obiectivă, aceasta fiind cantitatea de risc, măsurată prin dispersie;

-subiectivă, gradul de aversiune absolută față de risc, fiind specific fiecărui investitor în raport cu atitudinea față de risc.

Principalul dezavantaj al acestei prime de risc este faptul că este aplicabilă numai funcțiilor de utilitate cu distribuție normală, continue și de două ori derivabile, în timp ce prima de risc de tip Markowitz poate fi aplicată și restul tipurilor de funcții. Prima de risc Arrow-Pratt este întotdeauna mai mare pentru investitorii cu aversiune la risc, deoarece aceștia sunt dispuși să plătească mai mult pentru a se asigura împotriva riscului.

Riscul și rentabilitatea activelor financiare

Decizia de investire este direct influențată de rentabilitatea instrumentelor financiare. Această rentabilitate poate fi judecată pe baza performenței trecute (istorice) a titlurilor sau a performanței previzionate (anticipate).

Randamentul istoric se determină după următoarea relație:

unde termenul reprezintă randamentul câștigului din capital, iar termenul reprezintă randamentul dividendului.

Dacă investitorul dorește să cunoască performanța medie a unui titlu pe o perioadă de timp din trecut, acesta poate folosi:

-media aritmetică a randmentelor istorice:

-media geometrică a randmentelor istorice:

Valoarea rentabilității medii calculată pe baza mediei aritmetice va fi întotdeauna mai mare sau cel mult egală cu cea obținută pe baza mediei geometrice.

În vederea selecțonării unui portofoliu format din zece titluri listate la Bursa de Valori București, am utilizat media aritmetică a randamentelor istorice pentru a calcula rentabilitățile medii ale titlurilor. Rezulatele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Fig. 2.2.1

Sursa: calcule proprii

Randamentul anticipat este un indicator subiectiv ce diferă de la un investitor la altul în funcție de așteptările fiecăruia cu privire la evoluția viitoare a valorii (prețului) instrumentului financiar.

Speranța de obținere a unui anumit câstig este intotdeauna alăturată unui risc, unei anumite probabilități ca rezultatul real să fie diferit de cel previzionat.

Riscul unui instrument financiar se referă la volatilitatea randamentelor acestuia și la incertitudinea asupra rezultatelor viitoare creată de această volatilitate.

Cei mai utilizați indicatori statistici pentru cuantificarea riscului sunt:

Varianța (σ2)

Deviația standard (σ)

Varianța măsoară abaterea pătratică medie față de medie. Cu cât varianța (deviația standard) este mai mare, cu atât intervalul de variație al randamentelor viitoare este mai mare. În general se lucrează cu deviația standard, aceasta fiind mai ușor de interpretat datorită faptului că este exprimată în procente.

În figura următoare am introdus datele cu privire la varianța și deviația standard ale titlurilor avute în vedere pentru selecția portofoliului.

Fig. 2.2.2

Sursa: calcule proprii

Selecția unui portofoliu format din 10 titluri cotate la BVB

În continuare vom selecta un portofoliu format din 10 titluri cotate la BVB.

În vederea acestei selecții am urmărit următoarele aspecte:

Rentabilitățile cele mai mari ;

Lichiditatea titlurilor ;

Capitalizarea bursieră cea mai mare ;

Diversificarea pe sectoare semnificative ale pieței de capital din România.

Acestea au fost sintetizate în tabelul de mai jos (Fig. 2.3.1):

Fig. 2.3.1

Sursa:www. ktd.ro, www.bvb.ro

Astfel, dintr-un număr de 15 titluri, am selecționat 10, care urmează a fi folosite pe parcursul lucrării:

BRD Societe Generale (BRD);

SIF Banat Crișana (SIF1);

SIF Moldova (SIF2);

SIF Oltenia (SIF5) ;

Rompetrol Well Services (PTR);

Oil Terminal Constanța (OIL);

Prodplast București (PPL);

Antibiotice Iași (ATB);

Biofarm București (BIO);

Compa S.A. Sibiu (CMP).

Portofoliul selecționat este format din active financiare lichide (tranzacționate frecvent pe piața de capital, numărul zilelor de tranzacționare fiind cel puțin egal cu 466, în cazul BIO), evitând astfel riscul de contraparte.

Rentabilitățile medii zilnice sunt pozitive și iau valori cuprinse între 0,075% (CMP) și 0,485% (PTR).

Portofoliul este diversificat pe anumite sectoare ale pieței: bănci (BRD), societăți de investiții financiare (SIF1, SIF2, SIF5), echipamente (CMP), farmaceutice (BIO, ATB), chimie (OIL) și servicii și echipamente energetice (OIL și PTR).

Capitalizarea bursieră reprezintă valoarea de piață a capitalului social al unei companii și se calculează înmulțind cursul curent al acțiunilor sale cu numărul de acțiuni emise. În cazul celor zece titluri alese, capitalizarea bursieră este ridicată, ajungând până la valoarea de 6.585.719.345 în cazul BRD, aceasta asigurând posibilitatea investirii unor sume cât mai mari.

Activele TLV și TBM nu au fost introduse în portofoliul selectat, deoarece rentabilitățile lor medii sunt negative.

CAP.3. MODELUL DE PIAȚĂ

Modelul de piață a fost fundamentat de William Sharpe și reflectă relația liniară existenă între rentabilitatea individuală a unui titlu și rentabilitatea generală a pieței de capital, determinată cu ajutorul unui indice bursier. Se va folosi un indice bursier datorită dificultății de a estima prețul unui asemenea portofoliu format din foarte multe instrumente financiare.

. Ecuația dreptei de regresie; Interpretarea coeficienților

Acest model pornește de la premisa că rentabilitatea unui activ financiar este influențată în mod semnificativ numai de către rentabilitatea pieței, fiind un model unifactorial. Ecuația dreptei sale de regresie este următoarea:

, unde:

este o constantă care reprezintă intersecția dreptei cu axa OY;

este un indicator de sensibilitate, componentă a riscului de piață, indicând volatilitatea rentabilității activului respectiv la rentabilitatea pieței;

este componenta riscului specific.

măsoară volatilitatea titlurilor în raport cu piața. Acestea pot fi:

titluri volatile, când >1, ceea ce înseamnă că rentabilitatea acestora reacționează mai puternic decât rentabilitatea pieței;

titluri puțin volatile, când <1, ceea ce înseamnă că rentabilitatea acestora reacționează mai slab decât cea a pieței .

este panta dreptei și se determină prin metoda celor mai mici pătrate a lui Gauss, în final ajungându-se la relația:

unde i,M este covarianța dintre titlul respectiv și piață și se determină:

,

iar M este riscul pieței.

Riscul se împarte în cele două componente ale sale, specifică și sistematică, după următoarea relație:

i2= iM +

Riscul specific este cel aferent factorilor interni firmei emitente și acesta poate fi eliminat prin diversificare. Acesta se împarte și el în :

-risc specific fiecărui titlu (risc economic, operațional, financiar, de faliment, riscul apariției unor procese juridice, unor greve, etc)

-risc specific ramurii industriale de care aparține emitentul

Riscul sistematic sau de piață este cel aferent factorilor externi la nivel macroeconomic (PIB, rata inflației, rata medie a dobânzii, cursul valutar etc) și acesta nu poate fi niciodată eliminat complet.

Aplicarea modelului de piață titlurilor Biofarm București (BIO) și SIF Moldova (SIF2)

Pentru aplicarea modelului de piața pe piața de capital din România am folosit două titluri din cele selectate în capitolul 2 al lucrării: Biofarm București (BIO) și SIF Moldova (SIF2). Pentru calculul rentabilității pieței am avut în vedere cursul indicelui BET („Bucharest Exchange Trading”). Acesta este un indice ponderat cu capitalizarea bursieră și este creat pentru a reflecta tendința de ansamblu a celor mai lichide zece acțiuni tranzacționate pe Bursa de Valori București. Rolul principal al său este de a reflecta evoluția de ansamblu a pieței de capital din România.

În cadrul acestei analize vom avea în vedere următoarele aspecte:

Sensibilitatea titlurilor în raport cu rentabilitatea pieței;

Rentabilitatea titlurilor;

Riscul ( riscul de piață și cel specific).

Rezultatele sunt prezentate în fig. 3.2.1.

Fig. 3.2.1

Sursa: www.ktd.ro

În cazul titlului BIO, coeficientul este < 1, rentabilitatea acestuia reactionând mai slab decât portofoliul pieței, reprezentat prin indicele bursier BET. La o variație a rentabilității pieței cu 1%, rentabilitatea titlului se modifică cu 0,673%.

Putem vedea în figura de mai jos relația liniară dintre rentabilitatea titlului și rentabilitatea pieței. Panta acestei drepte este beta.

Fig. 3.2.2

Sursa: calcule proprii

În cazul SIF 2, coeficientul este > 1, acest lucru sugerând o volatilitate ridicată a titlului, acesta fiind mai riscant decât portofoliul pieței. La o modificare a rentabilității pieței cu 1%, rentabilitatea titlului se modifică cu 1,027 %.

Mai jos am reprezentat relația liniară dintre rentabilitatea titlului și rentabilitatea pieței. Panta acestei drepte este beta.

Fig. 3.2.3

Sursa: calcule proprii

Pentru portofoliul pieței, coeficientul =1.

Valorile rentabilităților titlurilor atunci când rentabilitatea pieței este nulă sunt redate de coeficientul și sunt de 0,00135 pentru BIO, respectiv 0,00019 pentru SIF2.

Decizia de investire este direct influențată de rentabilitatea titlurilor. Rentabilitățile medii zilnice ale titlurilor obținute conform modelului de piață sunt de 0,191% în cazul BIO și de 0,105% în cazul SIF2, ceea ce conduce la un caștig anual de 47,85% pentru investițiile în BIO și de 26,17% pentru investițiile în SIF2.

Riscul total al titlurilor se împarte în riscul sistematic și riscul specific. Observăm că în cazul ambelor titluri riscul specific este mai mare decât cel de piață, activele financiare fiind mai sensibile la factorii interni decât la cei externi firmei emitente.

Covarianța dintre titlurile selectate și BET este <1, deci ambele titluri acționează în sens contrar pieței. Dacă rentabilitatea pieței va crește, atunci rentabilitățile titlurilor vor avea tendința de a scădea și invers.

CAP.4. ANALIZA FUNDAMENTALĂ A PORTOFOLIULUI

În această parte a lucrării am studiat decizia de investire într-un portofoliu de titluri financiare, utilizând modelul Markowitz. Am considerat atât cazul în care pe piață există numai active riscante, dar și cazul în care, pe lânga acestea, pe piață există și un activ fără risc, iar în final am determinat supra sau subevaluarea titlurilor, utilizând modelul Capital Asset Pricing Model.

Modelul Markowitz; Frontiera Markowitz

În acest capitol vom analiza riscul și rentabilitatea unui activ financiar, decizia de alocare a activelor, cât și relația optimă risc-rentabilitate a unui portofoliu de instrumente financiare riscante pornind de la teoria dezvoltată de Harry Markowitz. Economistul american Harry Markowitz, laureat al Premiului Nobel pentru economie în anul 1990, a pus bazele teoriei moderne a portofoliului în anul 1952 în lucrarea sa Portfolio Selection.

Riscul și rentabilitatea portofoliului de active financiare

Rentabilitatea unui portofoliu este media ponderată a rentabilităților medii ale titlurilor care îl compun. Aceasta se încadrează în mod necesar între limitele celei mai mici și celei mai mari valori ale rentabilității.

unde este vectorul rentabilitate

este vectorul ponderi

Rentabilitatea portofoliului depinde astfel de rentabilitățile individuale ale activelor financiare și de ponderile acestora în respectivul portofoliu și nu de covariațiile rentabilităților titlurilor.

În portofoliile pe care dorim să le formăm vom căuta rentabilități egale cu rentabilitățile fiecărui titlu.

Teoria modernă a portofoliului pornește de la premisa că toți investitorii au aversiune față de risc, ceea ce înseamnă că pentru aceeași rată de rentabilitate așteptată, vor prefera să investească în activul cu un risc mai mic. Riscul a fost definit ca o incertitudine a veniturilor viitoare, sau ca o probabilitate de obținere a unui rezultat nefavorabil. Riscul este specific procesului de luare a unei decizii, moment în care unei succesiuni de evenimente i se asociază o probabilitate matematică.

Deducem că riscul unui portofoliu depinde de următorii factori:

riscul individual al titlurilor;

numărul titlurilor;

covariațiie dintre rentabilitățile titlurilor

Diversificarea înseamnă constituirea unui portofoliu din multe active astfel încât expunerea la un anumit activ să fie limitată. Astfel riscul se reduce, însă prin diversificare se elimină doar o anumită componentă a riscului, și anume riscul specific. Riscul sistematic (de piață) nu va putea fi eliminat complet niciodată.

Dacă un investitor dorește maximizarea câștigului așteptat, nu este suficient să aibă în vedere doar probabilitatea acestuia. În momentul în care acesta decide să investească în mai multe titluri, riscul asumat nu se mărește, ci dimpotrivă se diminuează, scăzând probabilitatea unei pierderi posibile și mărind certitudinea unui caștig. Nu este deci vorba despre adăugarea unor noi riscuri, ci despre subdivizarea acestora în mai multe titluri. Prin urmare, nu trebuie mărită investiția, ci pur si simplu diversificată în mai multe active financiare. Mărind investiția se lărgește și aria câștigurilor și pierderilor posibile, pierderea individuală maximă rămânând neschimbată, doar probabilitatea acesteia reducându-se.

Riscul relevant pentru un investitor este cel al portofoliului și nu cel individual al activelor financiare.

Ipotezele modelului Markowitz

Ipotezele care stau la baza modelelui Markowitz sunt:

1. Investitorii consideră fiecare alternativă de investire ca fiind reprezentată prin distribuția probabilităților de obținere a unei rentabilități într-o perioadă de timp;

2. Investitorii au aversiune la risc și doresc maximizarea utilității ;

3. Investitorii estimează riscul pe baza dispersiei rentabilității așteptate;

4. Investitorii iau decizii financiare numai pe baza riscului și a rentabilității așteptate

5. Pentru un nivel dat al riscului, investitorii preferă o rentabilitate mai mare; pentru

un nivel dat al rentabilității așteptate, investitorii preferă riscul mai mic.

Pornind de la aceste cinci ipoteze, criteriile care stau la baza formării unui portofoliu s-au modificat, iar analiza performanței unei investiții se face numai pe baza criteriului rentabilitate-risc. Prin urmare, fiecare investitor își va forma un portofoliu diversificat, în conformitate cu preferința sau aversiunea sa față de risc.

Portofolii eficiente. Frontiera Markowitz

În lucrarea sa, Portfolio Selection (1952), Harry Markowitz spune că procesul de selecție al unui portofoliu de active financiare se desfasoară în două etape:

observarea și analiza titlurilor financiare existente pe piața de capital și realizarea unor previziuni cu privire la performanțele lor viitoare;

pornind de la previziunile realizate anterior se selectează portofoliul de titluri.

El susține că maximizarea rentabilității nu este un criteriu suficient în selecția portofoliului, deoarece aceasta nu ține cont de risc și de atitudinea investitorilor față de acesta. De aceea a propus un nou criteriu de selecție, și anume criteriul speranță de rentabilitate pe unitatea de risc maximă sau, invers, minimizarea riscului pe unitatea de rentabilitate.

Din punct de vedere matematic, frontiera portofoliilor optime se poate determina în două moduri:

minimizarea riscului pentru o rentabilitate dată;

maximizarea rentabilității pentru un risc dat.

Pentru aplicarea modelului Markowitz pe piața bursieră din România s-au urmărit cele 10 titluri selecționate în capitolul 2 al acestei lucrări.

Vom considera cazul în care pe piață există numai active cu risc. Investitorii vor dori obținerea unor rentabilități certe cu minimul de risc.

Pentru determinarea structurii portofoliilor am rezolvat următoarea problemă de minim:

min=min

=Ep*

Această problemă de minim se scrie sub forma unei funcții Lagrange :

L=+

Matriceal, se poate scrie în felul următor:

x=

W X K

Astfel obținem structura portofoliilor situate pe frontiera Markowitz:

X = W-1* K

Utilizăm aceste date pentru a determina riscurile portofoliilor după următoarea relație:

unde matricea varianță-covarianță

Calculele realizate sunt prezentate în Anexa 1.

Rezolvând această problemă de optimizare pentru n valori ale lui p* vom obține n portofolii optime de risc minim, P. Acestea vor fi situate pe o hiperbolă, reprezentată grafic în sistemul de axe de coordonate (E(RP) , P). Mulțimea portofoliilor eficiente formează frontiera Markowitz. Un portofoliu este eficient dacă nu există un alt portofoliu cu aceeași rentabilitate și un risc mai mic, sau nu există alt portofoliu cu același risc și cu o rentabilitate mai mare.

Pentru a determina structura portofoliului cu varianță minimă absolută (PVMA) vom rezolva următorul sistem de ecuații:

Funcția Lagrange obținută este:

Sub forma matriceală, relația anterioară se poate exprima în felul următor:

x=

H X K

Structura PVMA este soluția ecuației: X = H-1*K

Rentabilitatea medie a acestuia se determină astfel:

EPVMA = T*X, unde T=vectorul de rentabilitate transpus al titlurilor

Riscul este:

PVMA2 = XTX

Determinarea portofoliului cu varianță minimă este prezentată în Anexa 2.

Structura portofoliilor, rentabilitățile și riscurile au fost sintetizate în tabelul de mai jos:

Fig. 4.1.3.1

Sursa: calcule proprii

Toate portofoliile obținute sunt nelegitime, ele conținând și active cu ponderi negative. Acest lucru sugerează necesitatea operațiunilor de short selling, lucru imposibil de realizat pe piața de capital românească.

Pe baza datelor din figura 4.1.3.1 am obținut frontiera de eficientă Markowitz, frontieră pe care sunt situate portofoliile prezentate în tabelul de mai sus, reprezentată grafic în figura 4.1.3.2.

Fig. 4.1.3.2

Sursa: calcule proprii

Prin aplicarea modelului Markowitz de diversificare a portofoliilor obținem un număr de portofolii eficiente de titluri riscante, care oferă maximum de rentabilitate pentru o cantitate de risc asumată în funcție de comportamentul investitorilor față de risc.

În graficul de mai sus frontiera Markowitz este reprezentată prin culoarea roșie. Pe curba albastră se află portofoliile ineficiente care sunt dominate de cele aflate pe frontiera de eficiență Markowitz. La limita inferioară a frontierei Markowitz, se află portofoliul cu varianță minimă absolută (PVMA). PVMA este acea combinație de titluri capabile să ofere cel mai scăzut nivel al riscului și, de asemenea, a frontierei de eficiență pe care se situează portofoliile optime deținute de investitori. Acest portofoliu este limita dintre portofoliile eficiente și cele ineficiente și este preferat de investitorii cu aversiune la risc. Portofoliile 1, 2, 3, 4, 5 și 6 aflate pe această curbă și situate sub PVMA sunt considerate ineficiente, deoarece se pot crea portofolii cu același risc, dar cu o rentabilitate mai mare, adică portofoliile situate deasupra PVMA. Acestea din urmă domină portofoliile situate în partea inferioară a curbei, fiind considerate eficiente (optime). Este cazul portofoliilor 7, 8, 9 și 10.

Portofoliul cu varianța minimă este format 18,3% din titluri BRD, 15,63% din titluri SIF1, -12,26% din titluri SIF2, 3,36% din titluri SIF5, 2,69% din titluri PTR, 7,36% din titluri OIL, 7,47% din titluri PPL, 32,31 % din titluri ATB, 19,12% din titluri BIO și 6,04% din titluri CMP. Rentabilitatea medie așteptată este de 44,57% pe an, la un risc anual de 22,98%. Ponderea SIF2 din acesta este negativă, ceea ce conduce din nou la afirmația că portofoliul este nelegitim, deci investitorii vor trebui să realizeze operațiuni de short-selling. Acest lucru nu este posibil, deoarece operațiunile de short selling nu sunt reglementate pe piața de capital din România.

În funcție de aversiunea sa față de risc, investitorul va opta fie pentru un portofoliu situat în apropierea lui PVMA, obținând astfel o rentabilitate medie, dar asumându-și și un risc moderat (este cazul portofoliilor 7 și 8), fie pentru un portofoliu situat cât mai departe de PVMA, alegând să obțină o rentabilitate ridicată, riscul fiind și el unul ridicat (este cazul portofoliilor 9 și 10).

Prin diversificarea portofoliilor, riscul asumat de investitori se reduce considerabil, acesta scazând chiar cu 32,34%, în cazul obținerii unei rentabilități medii anuale de 47,43%. Astfel, dacă un investitor dorește să obțină o rentabilitate anuală de 121,15%, va prefera să investească în mai multe active de pe piață, formând portofoliul 10 și minimizându-și riscul la 46,56%, decât să investească doar în titlul PTR, cu un risc mai mare de 58,24%.

După cum ne arată și graficul prezentat anterior (fig. 4.1.3.2), relația dintre rentabilitatea și riscul portofoliului este una direct proporțională și neliniară. De asemenea se poate vedea că, pe masură ce rentabilitatea crește, riscul scade până la un anumit punct după care crește.

Frontiera Sharpe – Capital Market Line (CML)

În acest model vom presupune că pe piață există și un activ fără risc, al cărui randament este cert și riscul nul. Astfel decizia de investire a investitorilor se va schimba în funcție de aversiunea lor față de risc. Cei cu o aversiune mare față de risc (riscofobi) vor prefera să investească o pondere cât mai mare în activul fără risc și una cât mai mică în activele riscante. În schimb iubitorii de risc (riscofilii) vor proceda invers. Aceștia vor investi cât mai mult în activele riscante, sperând să obțină câștiguri cât mai mari.

În acest caz, relația risc-rentabilitate devine liniară. Aceasta se numește dreapta fundamentală a pieței de capital (CML-Capital Market Line). Portofoliile eficiente se vor afla pe această dreaptă. Dreapta CML intersectează axa OY în punctul de coordonate (0, Rf). Portofoliile situate pe frontiera Markowitz sunt dominate de cele situate pe frontiera Sharpe. CML intersectează frontiera Markowitz în punctul de tangență M, reprezentat de portofoliul pieței. Portofoliul pieței se regăsește în toate combinațiile de pe CML, doar că în proporții diferite în raport cu activul fără risc.

Presupunând că toți investitorii au aversiune fața de risc, atunci aceștia își vor asuma riscul doar dacă rezultatul va fi pe măsură. Dacă investitorii au opțiunea de a investi atât în activele riscante, cât și în activul fără risc, atunci ei vor opta pentru portofoliile situate pe CML.

Ecuația dreptei CML este:

,

unde E(RP) este rentabilitatea așteptată a portofoliului

Rf este rata dobânzii fără risc de pe piață

E(RM) este rentabilitatea așteptată a portofoliului pieței

M este riscul portofoliului pieței

P este riscul portofoliului

Ponderea activului fără risc în portofoliu este de:

X = 1 – P/M

Am exemplificat acestea considerând cele 10 titluri selectate în capitolul 2 al lucrării.Vom presupune că pe piață există și un activ fără risc, al cărui randament este cert și riscul nul. Rata activului fără risc (Rf) este de 12 %. Presupunem că investitorii au un comportament de tip Markowitz, care să asigure o rentabilitate dată cu un risc minim.

În figura de mai jos (fig. 4.2.1) avem portofoliile obținute:

Fig. 4.2.1

Sursa: calcule proprii

Decizia de selecție a portofoliilor este modificată. Aceeași rentabilitate este obținută cu asumarea unui risc mai mic decât în cazul aplicării modelului Markowitz. Astfel portofoliile situate pe frontiera Markowitz sunt dominate de cele situate pe frontiera Sharpe. Excepție face portofoliul pieței, care aparține atât frontierei Markowitz, cât și frontierei Sharpe. Cu cât rentabilitatea medie crește, cu atât riscul asumat de către investitori este mai mare, ajungând de la 2,96% , cu o rentabilitate medie anuală de 18,77% , la 47,80% cu rentabilitatea medie anuală de 121,15%. Este vizibil faptul că ponderea activului fără risc din portofoliu este invers proporțională cu riscul, ea scazând pe masură ce riscul crește, ajungând de la 89,86% în cazul primului portofoliu, la valoarea negativă de -63,52% în cazul portofoliului cu riscul și rentabilitatea cele mai mari. Astfel, pentru ca investitorul să obțină o rentabilitate anuala medie mare, de 121,15%, acesta trebuie să se împrumute, iar suma obținută să o investească în portofoliul pieței. Odată cu introducerea activului fără risc în portofoliu, riscul investirii în noile portofolii se reduce.

La echilibru, toți investitorii vor investi numai în portofoliul pieței, ponderea investită în activul riscant fiind nulă, fapt evidențiat și în fig. 4.2.1.

În continuare portofoliile obținute sunt nelegitime, în fiecare din ele existând și active cu ponderi negative.

Conform rezultatelor, pentru a obține o rentabilitate medie anuală de 47, 85 %, investitorul va trebui să formeze un portofoliu cu următoarea structură: 46, 39% activul fără risc, iar restul de 53,61 % active riscante ( 10 % BRD, 7,10 % SIF1, -7,58% SIF2, 2,65% SIF5, 2,76% PTR, 4,46% OIL, 4,13% PPL, 17% ATB, 10,75% BIO și 2,43% CMP) , asumându-și un risc de 15,70%.

Frontiera Sharpe este prezentată în fig. 4.2.2.

Fig. 4.2.2

Sursa: calcule proprii

În cazul introducerii unui activ fără risc, relația risc-rentabilitate pentru portofolii de active financiare este una liniară (CML). Punctul în care frontiera Sharpe intersectează curba Markowitz este portofoliul pieței (Dreapta CML este tangentă la frontiera Markowitz în punctul de coordonate (0,7875;0,29235)). Dreapta CML intersectează axa OY în punctul de coordonate (0;0,12).

Cu cât portofoliul se situează pe grafic mai aproape de Rf, cu atât crește ponderea investită în activul fără risc. În cazul alegerii unui portofoliu situat deasupra portofoliului pieței, ponderea investită în activul fără risc este negativă, investitorul împrumutându-se la rata dobânzii fără risc și investind suma în portofoliul pieței (cazul portofoliului 10). În caz contrar, ponderea investiției în activul fără risc este pozitivă.

În fig. 4.2.2.2 se observă din nou relația de proporționalitate directă între rentabilitatea și riscul portofoliilor. Pe masură ce rentabilitatea portofoliului crește, se mărește și riscul asumat de investitori și invers.

Modelul CAPM (Capital Asset Pricing Model); Dreapta titlurilor SML

Modelul CAPM a fost dezvoltat în mod independent de către Jack Treynor (1961), William Sharpe (1963, 1964), John Lintner (1965) și Jan Mossin (1966), pornind de la teoria modernă a portofoliului a lui Harry Markowitz. Sharpe, Markowitz și Merton Miller au fost laureați ai premiului Nobel pentru economie în anul 1990 pentru contribuțiile lor în finanțe.

4.3.1. Ipotezele modelului CAPM:

1. Toți investitorii au un comportament rațional de tip Markowitz și își construiesc portofolii situate pe frontiera de eficiență;

2. Există o concurență perfectă între investitori, aceștia neputând influența prețurile activelor financiare;

3. Investitorii își construiesc portofoliile din active financiare, precum acțiuni, obligațiuni și se pot împrumuta și acorda credite la o rată de dobândă fără risc;

4. Toți investitorii au așteptări omogene, de aceea ei estimează distribuții identice pentru rentabilitățile viitoare;

5. Orizontul de timp al investițiilor este identic pentru toți investitorii;

6. Nu există costuri de tranzacționare;

7. Piețele de capital sunt în echilibru. Activele financiare sunt corect evaluate;

8. Rata inflației este considerată nulă sau perfect anticipată;

9. Instrumentele financiare sunt divizibile.

Având în vedere ipotezele prezentate mai sus, observăm că toți investitorii vor deține portofolii eficiente identice, respectiv portofoliul pieței (M). Conform ipotezei 1, toți investitorii vor deține portofolii situate pe frontiera de eficiență. Datorită ipotezei 3, conform căreia investitorii se pot împrumuta și pot acorda credite la rata dobânzii fără risc, deducem faptul că portofoliul format din active riscante se va afla atât pe frontiera Markowitz cât și pe CML. Acești investitori își vor forma cel mai bun portofoliu, indiferent de atitudinea lor față de risc, iar apoi vor stabili riscul total al portofoliului, hotărând suma pe care sunt dispuși să o investească în activele riscante.. Mai mult, investitorii au așteptări omogene (ipoteza 4), același orizont de timp (ipoteza 5), iar pe piață nu există costuri de tranzacționare (ipoteza 6), deci aceștia estimează aceeași frontieră a portofoliilor eficiente și deci aceeași structură a portofoliului pieței.

Portofoliul pieței va include toate activele financiare riscante, fiind un portofoliu complet diversificat, prin care riscul specific asociat activelor individuale este înlăturat.

4.3.2. Ecuația modelului CAPM; Security Market Line (SML)

Ecuația modelului CAPM prin care se urmărește estimarea rentabilităților titlurilor (rentabilitățile cerute de investitori) este următoarea:

E(R)=Rf+i(E(RM)-Rf)

Modelul CAPM ne arată legătura între rentabilitatea unui activ financiar riscant și rentabilitatea unui portofoliu complet diversificat. Rentabilitatea unui activ financiar riscant este egală cu rentabilitatea unui activ fără risc la care se adaugă o primă de risc a pieței (E(RM)-Rf), ajustată cu indicatorul de risc beta. Prima de risc este o compensare a investitorului pentru asumarea riscului.

Există două categorii de risc, prezentate și în fig. 4.3.2.1:

Risc de piață, sistematic, nediversificabil. Riscul determinat de principalii factori de influență la nivel macroeconomic (ciclurile economice și creșterea PIB-ului, rata dobânzii, cursul de schimb, rata inflației).

Riscul specific activității firmei care poate fi redus prin diversificare (risc nesistematic, diversificabil).

Fig. 4.3.2.1

Observăm în figura de mai sus că, pe măsură ce numărul de active din portofoliu, n, crește, riscul portofoliului se reduce. Această parte a riscului care poate fi redusă prin diversificare se numește risc specific.

Coeficientul BETA măsoară riscul sistematic, nediversificabil, determinând volatilitatea titlurilor. Astfel indicatorul poate lua următoarele valori :

->1, ceea ce sugerează faptul că titlul respectiv este mai riscant decât portofoliul pieței

-0<<1, ceea ce sugerează faptul că titlul respectiv este mai puțin riscant decât portofoliul pieței

-<0, ceea ce sugerează o relație inversă între rentabilitatea titlului și cea a portofoliului pieței (situație rar întâlnită)

Există câte un beta corespunzător fiecărui activ financiar.

Toate investițiile realizate pe piața de capital sunt expuse riscului sistematic, însă gradul de expunere diferă de la un activ financiar la altul. Investitorii doresc o primă de risc în schimbul asumării acestuia. Această primă diferă în funcție de gradul de risc.

Pentru aplicarea modelului CAPM, vom avea nevoie de matricea de varianță-covarianță a celor 10 titluri.

Fig. 4.3.2.2

Sursa: calcule proprii

Astfel vom putea calcula covariațiile rentabilităților titlurilor cu rentabilitatea pieței (iM), conform relației: iM=xj*ij .

Pe baza acestor rezultate, putem determina coeficienții i ai titlurilor respective, urmând ca apoi să estimăm rentabilitățile titlurilor (rentabilitățile cerute de investitori), conform modelului CAPM. Totodată, putem determina și rentabilitatea medie istorică a acțiunii.

Rezultatele au fost sintetizate în fig. 4.3.2.3:

Fig. 4.3.2.3

Sursa: calcule proprii

Pe baza previziunilor realizate conform modelului CAPM, ne dăm seama că următoarele active sunt supraevaluate: BRD, SIF1, SIF2, SIF5, OIL, PPL ATB, BIO și CMP, având valoarea estimată mai mare decât cea actuală (Ei(CAPM)>(RIR)), în timp ce activul PTR este subevaluat, valoarea estimată fiind mai mică decât cea actuală (Ei(CAPM)<RIR)). Acțiunea PTR va fi cumparată de speculatori, în timp ce toate celelalte vor fi vândute. De asemenea observăm faptul că titlul PTR este mai riscant decât portofoliul pieței (>1), restul fiind mai puțin riscante (<1).

După aplicarea modelului CAPM, identificăm dreapta fundamentală a titlurilor financiare (Security Market Line), reprezentată grafic în fig. 4.3.2.3, în sistemul de axe de coordonate (, E(R)). Relația dintre indicatorul beta și rentabilitatea așteptată a unui activ financiar este redată grafic de dreapta Security Market Line (SML). După cum putem vedea și în fig de mai jos, cu cât beta este mai mare, cu atât rentabilitatea așteptată crește.

Fig. 4.3.2.4

Sursa: calcule proprii

Dreapta SML intersectează axa OY în punctul de coordonate (0, Rf), ceea ce înseamnă că dacă nu ar exista risc de piață, rentabilitatea așteptată a activului financiar ar fi egală cu rata fără risc. Activele corect evaluate vor fi situate pe dreapta SML. Presupunând că piețele de capital nu sunt întotdeauna complet eficiente, prin comparația rentabilității estimate cu rentabilitatea cerută putem determina dacă titlurile respective sunt sub sau supraevaluate. Astfel activele care au rentabilitatea estimată prin modelul CAPM mai mare decât cea actuală, sunt situate pe grafic deasupra SML, acestea fiind subevaluate. Invers, cele cu rentabilitatea estimată mai mică decât cea actuală sunt supraevaluate și situate sub SML. O deplasare a activelor de-a lungul SML sugerează o modificare a caracteristicilor riscului unei anumite investiții. O modificare a pantei dreptei reflectă o modificare a atitudinii investitorilor față de risc, în timp ce o modificare a condițiilor pieței sau a ratei inflației așteptate va conduce la o deplasare paralelă a dreptei SML.

După cum vedem și în fig. 4.3.2.4, titlurile BRD, SIF1, SIF2, SIF5, OIL, PPL ATB, BIO și CMP se află sub SML, sugerând o supraevaluare a acestora, în timp ce titlul PTR se află deasupra dreptei, acesta fiind subevaluat.

În fig 4.3.2.5 am calculat cash-flow-urile anuale conferite de deținerea respectivelor titluri, precum și valorile investițiilor în estimarea individuală și prin CAPM, unde:

CFi = i*1000

V0i(CAPM) CFi/Ei(CAPM)

I0i(RIR)=1000

Fig 4.3.2.5

Sursa: calcule proprii

La aceste estimări ale parametrilor pieței și titlurilor, investițiile în titlurile BRD, SIF1, SIF2, SIF5, OIL, PPL ATB, BIO și CMP sunt nerentabile, valorile obținute prin modelul CAPM fiind mai mici decât rata internă de rentabilitate. Investiția în titlul PTR este singura rentabilă. Dacă speranțele de rentabilitate prevăzute sunt mai mici decât cele rezultate prin CAPM, atunci proiectele sunt refuzate, deoarece produc o pierdere din capitalul inițial investit. Astfel proiectul de investiție în PTR este singurul aprobat, restul fiind respinse.

4.3.3. Limitele modelului CAPM

În aplicarea modelului CAPM s-au descoperit o serie de neajunsuri, precum:

1. Indicatorul BETA este unul estimat. Estimarea acestuia depinde de metoda și perioada realizării acesteia. În timp ce estimarea acestui coeficient de volatilitate în cazul acțiunilor se face relativ ușor pe baza randamentelor istorice, pentru alte active financiare, estimarea acestuia este greu de făcut.

2. Anumite ipoteze nu corespund realității (ex. Modelul presupune că investitorii se pot împrumuta și pot acorda împrumuturi la aceeași rată fără risc; se presupune că nu există costuri de tranzacționare)

3. Acest model nu poate fi testat, portofoliul pieței fiind pur teoretic. Acest argument este susținut de Roll (1977). El susține că activele care pot fi excluse din portofoliul pieței (ex. capitalul uman) nu sunt clar definite, iar insuficiența datelor limitează substanțial activele incluse în acesta. Astfel modelul CAPM nu folosește un portofoliu al pieței real și din această cauză rezultatele nu sunt concludente.

4. Modelul CAPM nu explică diferențele rentabilităților pentru activele financiare ce diferă în timp sau diferă pe baza ratei dividendului.

Deși modelul CAPM este greu de aplicat și pornește de la anumite ipoteze, unele mai puțin realiste, acesta subliniază rolul diversificării portofoliului și pentru diminuarea riscului, precum și riscul care trebuie avut în vedere în luarea unei decizii de investire.

CAP.5. VALOAREA la RISC a TITLURILOR și a PORTOFOLIULUI

Volatilitatea ridicată a piețelor financiare a determinat necesitatea apariției unor noi metode de evaluare a riscului. Astfel după prăbusirea pieței din 1987, președintele Băncii de Investiții J.P. Morgan, Dennis Weatherstone, în intenția de a evalua riscul total la care era expusă firma sa, le-a cerut angajaților ca, în fiecare zi, la ora 16,30, să îi prezinte un raport despre riscul firmei, împreună cu o măsură de risc corespunzătoare. În urma cercetărilor Departamentului RiskMetrics, condus de Till Guldiman, a rezultat o măsură pentru risc care s-a popularizat prin denumirea de Value at Risk (VaR).

Definirea VaR

Prin măsurarea riscului de piață se încearcă cuantificarea riscului apariției unor pierderi în urma modificării variabilelor pieței. Teoretic, investitorii ar trebui să-și calculeze întreaga distribuție de caștiguri și pierderi pe orizontul de timp, însă practic, această distribuție este sintetizată de un singur indicator, VaR. Aceasta este o încercare de a reprezenta printr-un singur număr riscul total dintr-un portofoliu de active financiare. Valoarea la Risc măsoară pierderea maximă probabilă a se obține într-o anumită perioadă de timp și pentru un anumit nivel de încredere selectat.

Valoarea la Risc reprezintă modificările posibile ale valorii viitoare a unui portofoliu. Definirea acestor modificări depinde de:

orizontul de timp avut în vedere;

nivelul de încredere ales.

Cu cât gradul de încredere este mai mare, cu atît valoarea la risc este și ea mai mare. Alegerea nivelului de încredere depinde de aria de aplicare a VaR. Este recomandabil ca acesta să nu fie foarte ridicat, ci să ia o valoare din intervalul 95%-99%. De asemenea relația între orizontul de timp și VaR este una proporțională. Din nou alegerea orizontului de timp depinde de aria de aplicare a VaR. Dacă un investitor este interesat doar de volatilitatea randamentelor aflate sub medie („downside risk”), perioada de timp avută în vedere pentru calculul indicatorului ar trebui să fie relativ scurtă. În caz contrar, dacă este folosit pentru a decide mărimea rezervelor necesare pentru evitarea falimentului este recomandat un orizont de timp mai larg.

Conform Acordului de la Basel privind Adecvarea Capitalului, orizontul de timp este de două săptămâni (zece zile), iar nivelul de relevanță este de 1%, în timp ce departamentul RiskMetrics propune un orizont de timp de o zi și un nivel de relevanță de 5%.

5.2. Metode de determinare a VaR

În practică sunt utilizate mai multe metode de calcul al VaR, cele mai cunoscute fiind următoarele:

Metoda Simulării istorice

Metoda Varianță – Covarianță

Metoda Simulării Monte Carlo.

În această lucrare le vom detalia numai pe primele două.

5.2.1. Metoda simulării istorice

Una din cele mai utilizate metode pentru estimarea VaR este simularea istorică. Această abordare este una relativ simplă, deoarece nu face nici o presupunere privind distribuția rentabilității, în acest caz folosindu-se distribuția empirică obținută din analiza datelor din trecut analizate. De asemenea, simularea istorică are avantajul că este o metodă relativ simplă la nivel conceptual și că nu necesită calculul matricii de varianță-covarianță, datele fiind ușor de prelucrat. Un alt avantaj este permiterea simulării evenimentelor istorice extreme.

Dezavantajul metodei constă în faptul că prezice evoluția din viitor pe baza trecutului, contrazicând astfel modelele teoretice, care consideră că prețurile activelor sunt procese de tip Markow (valorile viitoare ale prețurilor depind numai de prețul de azi, nu și de cele din trecut). Dacă în perioada folosită pentru calcul VaR piețele au fost neobișnuit de calme (sau de volatile) și condițiile s-au schimbat între timp, simularea istorică va produce estimări ale valorii la risc care sunt prea mici (mari) pentru riscurile actuale. Un alt dezavantaj consta în dificultățile prezentate în luarea în considerare a modificărilor în evoluția piețelor intervenite în perioada considerată. De asemenea măsurile VaR obținute prin simularea istorică nu captează riscul asociat producerii unor evenimente plauzibile în viitor dar care nu s-au întâmplat în trecut.

În tabelul de mai jos avem valorile la risc individuale calculate prin metoda simulării istorice ale celor zece titluri.

Fig. 5.2.1.1

Sursa: calcule proprii

Randamentele titlurilor oscilează de la valori negative la valori pozitive.

Pentru fiecare randament putem calcula probabilitatea de a obține un randament mai mic. Alegem un nivel de încredere de 95%. Există o probabilitate de 5 % ca pierderea maximă zilnică pe acțiune cauzată de scăderea cursului să fie de -1,55 RON în cazul titlului BRD, de -0,207 RON, în cazul SIF1, de -0,205 RON în cazul SIF2, de -0,282 RON în cazul SIF5, de -0,139 RON în cazul PTR, de -0,072 RON în cazul OIL, de -0,302 RON în cazul PPL, de -0,093 RON în cazul ATB, de -0,063 RON în cazul BIO și de -0,225 RON în cazul CMP.

5.2.2. Metoda variance-covariance

Un alt mod de a estima valoarea la risc este prin utilizarea metodei variance-covariance. Aceasta presupune asumarea unei distribuții normale pentru factorii de risc. Metoda variance-covariance este folosită de către departamentul RiskMetrics, care în calculul acestui indicator are în vedere:

Valoarea de piață a activului financiar;

Nivelul de încredere;

Volatilitatea zilnică;

Perioada de deținere.

Pentru un nivel de încredere de 95% am determinat valoarea la risc a fiecărui titlu utilizând formula:

VaRi=Si*i*1,65 ,

unde Si = valoarea ultimului curs bursier

i = riscul titlului

1,65 = pragul corespunzător unei probabilități de 95%

Rezultatele sunt prezentate în fig. 5.2.2.1.

Fig. 5.2.2.1

Sursa: calcule proprii

Există o probabilitate de 5 % ca pierderea maximă zilnică pe acțiune cauzată de scăderea cursului să fie de -0,995 RON în cazul titlului BRD, de -0,129 RON în cazul SIF1, de -0,135 RON în cazul SIF2, de -0,166 RON în cazul SIF5, de -0,103 RON în cazul PTR, de -0,054 RON în cazul OIL, de -0,26 RON în cazul PPL, de -0,064 RON în cazul ATB, de -0,042 RON în cazul BIO și de -0,115 RON în cazul CMP.

Observăm că valorile pierderilor maxime sunt mai mici în cazul în care sunt calculate prin metoda varianță-covarianță decât în cazul în care sunt determinate prin metoda simulării istorice.

În figura de mai jos avem valoarea la risc a fiecărui titlu, presupunând că investim un capital de 10000 RON în toate cele 10 titluri.

Fig. 5.2.2.2

Sursa: calcule proprii

La investirea unui capital de 10000 RON în cele 10 titluri, există o probabilitate de 5 % ca pierderea maximă zilnică cauzată de scăderea cursurilor fiecărui titlu să fie de

-463,29 RON. Astfel în fiecare titlu se va investi câte 1000 RON. Valoarea de -463,29 RON se obține atunci când nu există corelație între titluri.

Nivelul VaR pentru un portofoliu de active financiare (Net VaR) va fi mai mic decât suma valorilor VaR (suma de Gross VaR) calculate pe fiecare activ financiar individual. Ca urmare a corelației existente între cursurile diferitelor titluri de pe piată, suma VaR-urilor invividuale (suma Gross VaR) se va reduce substanțial.

Net VaR < Gross VaRi

Diversificarea portofoliilor asigură diminuarea riscului asumat, prin compensarea pierderilor înregistrate la unele poziții cu profiturile înregistrate la alte poziții. Un dezavantaj al corelației titlurilor ar fi însă limitarea profitului. Așa cum pierderile probabile scad, la fel și câștigurile posibile.

În fig 5.2.2.3 este prezentată valoarea la risc a portofoliului format din cele 10 titluri.

Fig. 5.2.2.3

Sursa: calcule proprii

Am determinat cu o probabilitate de 95% care va fi pierderea maximă a valorii portofoliului, datorată unei eventuale scăderi a cursului. La investirea unui capital de 10000 RON în portofoliul format din cele 10 titluri, există o probabilitate de 5 % ca pierderea maximă zilnică să fie de -263,85 RON.

Din rezultatele obținute (Fig. 5.2.2.2 și fig. 5.2.2.3) se observă că nivelul VaR pentru un portofoliul format din cele 10 titluri (Net VaR) este mai mic decât suma valorilor VaR (suma de Gross VaR) calculate pe fiecare titlu, individual, datorită corelațiilor existente între evoluțiile cursurilor diferitelor titluri. Odată cu diversificarea riscului, pierderea maximă zilnică pe care investitorul o va suporta cu o probabilitate de 5% scade cu 172,44 RON în cazul formării portofoliului, deci în cazul corelării titlurilor.

Există o relație directă între valoarea la risc și riscul asumat de investitor.

Un studiu realizat de Jeremy Berkowitz și James O’Brien asupra a șase bănci mari din Statele Unite dovedește neperformanța acestui indicator. S-a dovedit că în multe cazuri valoarea efectivă a pierderilor excede valoarea la risc previzionată, aceasta conducând la un management al riscurilor defectuos.

Deși este una dintre cele mai apreciate metode de evaluare a riscului, datorită limitelor sale, se recomandă ca această metodă să nu fie utilizată exclusiv, ci împreună cu alte măsuri pentru o evaluare cât mai corectă a riscului. Limitările metodei VaR sunt prezentate mai jos:

utilizează distribuția normală, deci nu încorporează caracteristicile unei piețe aflate într-un moment critic extrem;

nu ia în calcul riscul operațional.

nu ia în calcul riscul de lichiditate care poate duce la imposibilități de plată;

nu indică maximul pe care o companie îl poate pierde, ci indică doar maximul pe care îl poate pierde în condiții normale ale pieței;

nu este o măsură suficientă pentru a măsura performanța unor tranzacții, ci numai în cazul în care anumite toleranțe de risc au fost stabilite;

nu oferă indicii asupra profitabilității și randamentului unei investiții.

În ciuda limitelor sale, VaR este larg acceptată de mediul academic, de practicieni si autoritățile de reglementare ca o componentă cheie a unui management de risc performant. În România, datorită complexitătii și costurilor destul de ridicate, produsele VaR disponibile pe piață sunt utilizate doar de către instituții financiar-bancare și organizații mari.

CAP.6. CONCLUZII

Decizia de investire presupune o analiză riguroasă a instrumentelor financiare. Orice investitor rațional dorește fie maximizarea rentabilității pentru un risc acceptat, fie minimizarea riscului pentru o rentabilitate sperată. Numai în urma analizei acestui raport poate acesta să ia o decizie de investire rațională. Pentru minimizarea riscurilor corelația titlurilor este foarte importantă, dorindu-se formarea unui portofoliu cât mai diversificat. Acțiunile investitorilor pe piața de capital sunt infulențate și de atitudinea lor în ceea ce privește acceptarea și asumarea riscului.

Portofoliile obținute în urma aplicării modelului Markowitz asupra celor zece titluei selectate sunt nelegitime, fiind nevoie de efectuarea unor operațiuni de short selling pentru a atinge rentabilitatea dorită. Investitorii cu aversiune la risc vor alege portofolii situate pe frontieră cât mai aproape de portofoliul cu varianță minimă absolută. Pentru aceasta va trebui ca ei să efectueze operațiuni de short selling cu titlurile care au o rentabilitate mare și, implicit și un risc mare, și să cumpere titluri cu rentabilități mai mici. Acest lucru nu este însă posibil pe piața bursieră din România, operațiunile de short selling nefiind reglementate.

Relația risc-rentabilitate este neliniară și proporțională, astfel pe măsură ce crește rentabilitatea obținută, va crește și riscul asumat de investitor. Investitorii sunt dispuși să accepte un anumit risc doar dacă prima de risc este corespunzătoare.

Prin aplicarea modelului Markowitz, riscul asumat de investitor se reduce, însă niciodată nu poate fi eliminat în totalitate. Orice portofoliu, indiferent cât de diversificat, va fi expus riscului sistematic (de piață). Numai componenta specifică a riscului va putea fi eliminată.

La introducerea pe piață a unui activ fără risc, investitorii cu aversiune la risc vor prefera să investeasca o pondere cât mai mare în acesta și una cât mai mică în portofoliul riscant al pieței. Ponderea investiției în activul fără risc este invers proporțională cu riscul asumat. Relația risc rentabilitate devine una liniară. Portofoliile situate pe frontiera Sharpe sunt și ele nelegitime. Din nou sunt cerute operațiuni de short selling, ceea ce nu este posibil pe piața bursieră din România.

Portofoliile situate pe frontiera Sharpe le domină pe cele de pe frontiera Markowitz.

Pe baza previziunilor realizate conform modelului CAPM, titlurile BRD, SIF1, SIF2, SIF5, OIL, PPL, ATB, BIO și CMP sunt supraevaluate, având valoarea estimată mai mare decât cea actuală, în timp ce titlul PTR este subevaluat, valoarea estimată fiind mai mică decât cea actuală. Acțiunea PTR va fi cumparată de speculatori, iar toate celelalte vor fi vândute. Deci investițiile în titlurile BRD, SIF1, SIF2, SIF5, OIL, PPL ATB, BIO și CMP sunt nerentabile, singura investiție rentabilă fiind cea în titlul PTR.

Valorile pierderilor maxime sunt mai mici în cazul în care sunt calculate prin metoda varianță-covarianță decât în cazul în care sunt determinate prin metoda simulării istorice.

Odată cu diversificarea riscului se reduce și pierderea maximă zilnică pe care investitorul o poate suporta. Aceasta se realizează prin compensarea pierderilor înregistrate la unele poziții cu profiturile înregistrate la alte poziții. Există o relație de proporționalitate directă între valoarea la risc și riscul asumat de investitor.

Ca urmare a corelației existente între cursurile diferitelor titluri de pe piață, nivelul VaR pentru un portofoliu de active financiare va fi mai mic decât suma valorilor VaR calculate pe fiecare activ financiar individual. Un dezavantaj al acesteia este însă limitarea profitului. Așa cum pierderile probabile scad, la fel și caștigurile posibile.

Deși metoda Value at Risk este una dintre cele mai apreciate metode de evaluare a riscului, datorită limitelor sale, se recomandă ca această metodă să nu fie utilizată exclusiv, ci împreună cu alte măsuri pentru o evaluare cât mai corectă a riscului

Bibliografie:

1. Altăr, M. (2002), Teoria portofoliului, www.dofin.ase.ro

2. Anghelache, G. (2004), Piața de capital Caracteristici. Evoluții. Tranzacții, ed. Economică

3. Arzac, E. R. (1976), “Profits and safety in the theory of the firm under price uncertainty”, International Economic Review, Vol. 17, No 1, p.163-171

4. Arzac, E. R. & Bawa, V. (1977),“Portfolio choice and equilibrium in capital markets with safety-first investors”, Journal of Financial Economics,Vol. 4, p.277-288

5. Berkowitz, J., Brien, J. (2001), How Accurate are Value-at-Risk Models at Commercial Banks?, Graduate School of Management Division of Research and Statistics University of California, Irvine Federal Reserve Board

6. Bernoulli, D. (1954), “Exposition of a new theory on the measurement of risk”, Econometrica, Vol. 22, No. 1, p.3-36

7. Bodie,Z & Kane, A. & Marcus, A.J. (2003), Essentials of investment, 5th edition, The McGraw−Hill Companies

8. Brealey, R. A. & Myers, S. C. (2003), Principles of corporate finance, 7th edition, The McGraw-Hill Companies

9. Fabozzi, F. J. (2002), Investment performance measurement, John Wiley& Sons

10. Fabozzi, F.J & Peterson, P.P. (2003), Financial management & anayisis, 2nd edition, John Wiley& Sons

11. Fama, E. F. & French, K. R. (2004), “The capital asset pricing model: theory and evidence”, Journal of Economic Perspectives, Vol. 18, No.3, p.25-46

12. Jorion, P. (2003), Financial risk management handbook, 2nd edition , John Wiley & Sons

13. Manganelli, S. & Engle, R. F. (2001) „Value at Risk models in finance”, European Central Bank, Working Paper Series, Working Paper No.75

14. Markowitz, H. M. (1952),“Portfolio selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, p.77-91

15. Markowitz, H. M. (1959), Portfolio selection. Efficient diversification of investments, John Wiley & Sons

16. Pratt, J. W. (1964),“Risk aversion in the small and in the large” Econometrica, Vol. 32, No. ½, p.122-136.

17. Reilly, F. & Brown, K. (2003), Investment analysis & portfolio management , 4th edition, Thomson, Mason

18. Samuelson, P. A. (1963), “Risk and uncertainty: a fallacy of large numbers”, Scientia, 98, p.108-113

19. Sharpe, W. (1964), “Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk”, Journal of Finance, Vol. 19, Issue 3, p.425-442

20. Stancu, I. , Finanțe (2007), ediția a patra, ed. Economică

21. Stancu, I. & Bălu, F. (2006), “Utilizarea metodologiei VaR pentru măsurarea și prevenirea riscului valutar”, Economie teoretică și aplicată, nr.3, p.51-56

22. www.ktd.ro

23. www.bvb.ro

24. www.investopedia.com

Anexa 1

MODELUL MARKOWITZ (de 10 titluri de la BvB)

Matricea W:

Inversa matricei W:

Rentabilitățile și structura portofoliilor:

Matricea ponderilor transpusă:

Matricea varianță-covarianță înmulțită cu matricea ponderilor:

Riscul portofoliilor, determinat prin înmulțirea celor 2 matrice precedente:

Anexa 2

Determinarea PVMA

Matricea H:

Inversa matricei H:

0,178% pe zi 0,0002 pe zi