Modele Dinamice Neliniare ale Sistemelor Macroeconomice

Cap 1: Dinamica neliniara și rolul ei in economie

1.1 Geneza:

Noțiunea de liniaritate, in colaborare cu calculul probabilităților erau deosebit de puternice, ceea ce a îngreunat modul în care au fost înțelese fenomenele științifice din natură și societate de-a lungul ultimelor două secole.

Încă de la sfârșitul anilor 1930 și începutul anilor 1940, teoria economică neoclasică a început să includă în mod explicit modele stochastice de evoluție. Aici îl putem aminti pe Slutsky care a fost printre primii care au arătat că un comportament al unui model dinamic liniar al ciclului de afaceri cu termeni aditivi aleatorii, indiferent daca are sau nu o semnificație economică, este foarte asemănător cu un comportament observat în realitate. O alta personalitate, Lorenz susținea că neputința de a destinde între un model liniar, cu un termen stochastic și un model neliniar, determină erori de raționament în aprecierea cauzelor reale ale dinamicii fenomenelor economice.

Este interesant sa urmărim și progresele în alte științe și sa observam ca au exercitat o influență substanțială asupra concepțiilor privind stochasticitatea în teoria economică. De exemplu, instituționalismul, care a fost în curs de dezvoltare la începutul secolului, ca o sinteză între economie, psihologie și biologie, s-a opus noțiunii clasice de determinism în procesele economice. În schimb, instituționaliștii au propus considerarea progresului ca un proces aleatoriu dinamic de evoluție, în care instituțiile influențează și sunt influențate de sistem într-o secvență continuă de variație, selecție și transmitere, în care o variație mică poate avea în mod neașteptat consecințe semnificative. În acest fel, instituționalismul reflectă înțelegerea dinamicii neliniare determinată de stochasticitate ca un feedback care a devenit dominant în știință.

Întru-un alt domeniu și anume in statistica matematică, conceptele de Lanțuri Markov și Mișcare Browniană, au contribuit la introducerea ipotezei de mișcare aleatoare în economie și au solicitat o cantitate semnificativa de cercetare teoretică și empirică care au culminat cu schimbarea concepției clasice privind eficiența piețelor.

La mijlocul secolului 20, un număr mare de macroeconomiști keynesieni au introdus modelele macroeconomice neliniare, care s-au dovedit a produce o ciclicitate plauzibilă iar neoclasicii au susținut că introducerea neliniarității a generat evoluții în teoria contemporană a ciclului de afaceri, în care comportamentul variabilelor economice poate prezenta caracteristicile complexe observate empiric, care sunt generate doar de forțele interne ale sistemelor economice.

Modelele de creștere economică ale lui N. Kaldor și R. Goodwin sunt cele mai proeminente și cele mai întâlnite exemple în literatura referitoare la dinamica economică neliniară. Cele două modele produc dinamici ale ciclului de afaceri de tip multiplicator-accelerator, în care funcția de investiții este neliniară.

Cele mai recente aplicații ale modelelor dinamice neliniare din economie sunt cele ale lui T. Puu și C. Chiarella. Primul dintre aceștia arată că analiza efectuată de economista britanică J. Robinson a unui monopolist care se confruntă cu o curbă a veniturile marginale ce are două puncte de intersecție ale curbei profitului cu curba costului marginal, poate fi, de asemenea, prezentat de către un model de dinamic neliniar cu o funcție marginală neliniară a veniturilor. Cel de-al doilea pune dinamica pânzei de păianjen în context neliniar. O serie de publicații pe tema "Limitelor creșterii", mișcare care provine din preocupările Clubului de la Roma de la începutul anilor '70 poate fi, de asemenea, văzuta ca o introducere a conceptelor dinamice neliniare de creștere în economie. Mișcarea folosește modele computerizate de simulare ale sistemelor dinamice exponențiale complexe, pentru a sprijini "scenariile apocaliptice".

1.2 Neliniaritate

Știința neliniarității a rezultat sub forma sa prezentă în urma dezvoltării decisive a domeniilor analitice, numerice și experimentale. Scopul acesteia este de a oferi concepte și metode necesare descrierii unificate a unor clase aparte (însă numeroase) de fenomene prin care sistemele simple, deterministe dau naștere unui comportament complex asociat cu apariția unor structuri spațiale sau evenimente evolutive. Astfel de sisteme se întâlnesc într-un număr mare de domenii cum ar fi mecanica clasică, fizica statistică, dinamica fluidelor, chimia, optica, fizica atomica și moleculară, fizica plasmei, științele mediului, științele economice și sociale, ingineria sau biologia, atât în contextul fundamental cât și în cel al investigațiilor aplicate.

Un sistem natural suspus unor anumite condiții externe bine definite, va urma o anumita cale de evoluție, o mica schimbare a acestor condiții reflectându-se într-o mică schimbare a modului de răspuns al sistemului. Această părere, împreună cu consecințele sale, reproductibilitatea și predictibilitatea nelimitată, a condus treptat la ideea unui mediu „liniar”: un mediu în care efectele observate sunt strict legate de fenomenele de care sunt cauzate printr-un set de legi care, în final, se reduc la o simplă proporționalitate. Această abordare însă, nu poate descrie decât parțial comportamentul lumii înconjurătoare. În realitate, în marea majoritate a fenomenelor naturale, observăm devieri calitative majore de la legea proporționalității. Iar un comportament similar cu cel descris anterior este considerat ca fiind neliniar.

O diferență majoră între „liniar” și „neliniar” rezultă imediat din aplicabilitatea principiului superpoziției: într-un sistem liniar efectul rezultant a două cauze diferite reprezintă de fapt suprapunerea efectelor celor două cauze, luate individual. Într-un sistem neliniar, adunarea a două acțiuni elementare poate induce efecte dramatice noi, care reflectă manifestarea unor interacțiuni între elementele constituente. Acest lucru poate conduce la apariția unor structuri și evenimente neașteptate, cum ar fi tranziții bruște, multitudini de stări, formarea de „pattern”-uri sau evoluții neregulate și impredictibile în spațiu și timp, cunoscute și sub denumirea de haos determinist. Neliniaritatea reprezintă deci știința evoluției și a complexității

Un sistem neliniar este definit ca fiind acela care nu îndeplinește principiul suprapunerii. Cea mai simplă formă de sistem neliniar este neliniaritatea statica în care ieșirea depinde doar de valoarea curentă de intrare, dar într-o manieră neliniară. Această descriere a neliniarității este dat de o expresie matematică simplă. Neliniaritățile practice care apar în ingineria de control de multe ori nu pot fi atât de ușor de descris, pentru ca aproximarea lor poate solicita modele matematice mai complexe.

Toate sistemele practice sunt neliniare și în această secțiune o scurtă prezentare este data de unele efecte neliniare care apar adesea. In modele inițiale ar putea fi posibil sa aproximezi efectele neliniare cu modele liniare dar invariabile și va fi necesar să se verifice în cele din urmă efectele acestora asupra performanței sistemului, fie în simulare sau / și hardware-ul adevărat.

Sistemele neliniare sunt sisteme dinamice descrise prin mulțimea perechilor intrare-ieșire, denumita descriere intrare-ieșire sau externa. Ele au cel puțin un element neliniar esențial in structura lor dinamica. Sistemele neliniare in ansamblu dar și elementele lor neliniare pot fi staționare, invariabile in timp, sau nestaționare, variabile in timp.

Elementele liniare și neliniare staționare se mai pot evidenția și prin caracteristici statice și dinamice proprii, care depind de structura lor, principii de funcționare, destinație, funcțiuni. Printr-o generalizare conceptuala, caracteristicile statice pot fi atribuite, in anumite condiții și limite, și elementelor nestaționare, preferând denumirea de caracteristici nestaționare in locul celei de caracteristici statice.

Se poate observa ca multe dintre aceste sisteme deterministe neliniare au fost folosite pentru a arăta comportamente atât de neregulate și de asemenea ca a fost imposibil de a distinge între ele și zgomotul alb pur produs de un termen stochastic. Astfel de modele dinamice neliniare sunt, de regulă, caracterizate prin: stochasticitate generată intrinseca și prin sensibilitate ridicată la condițiile inițiale și valorile parametrilor și sunt obiectul de studiu al teoriei haosului.

Caracteristici statice:

Elementele liniare sau neliniare, la care informația se transmite instantaneu de la intrare spre ieșire se numesc elemente statice, fără memorie, iar caracteristicile lor caracteristici statice, variabile in timp sau nestaționare și invariabile in timp, constante sau staționare.

Caracteristici dinamice:

Elementele neliniare sau liniare, la care transferul de informație de la intrare spre ieșire nu este instantaneu, ci are o evoluție in timp, care depinde de variația in timp a mărimilor de intrare și de dinamica lor proprie se numesc elemente dinamice, cu memorie, iar caracteristicile lor caracteristici dinamice, care de asemenea pot fi nestaționare sau staționare. Elementele dinamice se descriu prin ecuații diferențiale, integro-diferențiale, integrale (cazul continuu) sau prin modele discrete similare acestora (cazul discret).

Dinamica interna mai contribuie și la obținerea operatorilor matematici care modelează aceste procese. Obținerea unor ecuații ce reprezintă operatorul matematic care modelează sistemul studiat se poate face in doua moduri: structural prin evidențierea subsistemelor cu ecuațiile lor constitutive și a conexiunilor acestora, sau funcțional prin determinare intrare-ieșire a unui model de tip cutie neagra.

S-a mai precizat de asemenea ca modele sistemelor dinamice pot fi in timp continuu modelate de ecuații diferențiale sau in timp discret modelate cu ecuații cu diferențe. Sistemele neliniare pot dezvolta o dinamica mult mai complexa decât cele liniare iar nivelul de abstractizare al modelului poate fi împărțit in următoarele categorii: modele analitice, geometrice și algebrice. S-a observat in timp ca un model cu cat este mai abstract cu atât oferă o caracterizare mai globala și de asemenea implica un număr mic de calcule analitice pentru evidențierea proprietăților sistemului. Modelele geometrice permit studiul dinamicii interne a sistemului studiat și se va pleca de la o intriga mulțime de condiții inițiale, nu de la o condiție unica, aceasta fiind structurata geometric sub forma unei varietăți diferențiale.’

Putem afirma ca domeniul de studiu al dinamicii neliniare este mai recent decât cel al sistemelor liniare și mai maturizat decât acesta. Abordarea in acest caz va fi una mai analitica plina de sugestii de algebrizare.

1.3 Circuite neliniare

1.3.1 Circuitul intrare-ieșire

Caracterizare sistemelor prin abordarea intrare-ieșire este cea mai simplă varianta, oferind informații necesare și suficiente privitoare la comportarea sistemelor liniare cu memorie sau neliniare algebrice. Aici vom lua in considerare semnalele ce caracterizează influenta mediului asupra sistemului adică intrările și influenta sistemului asupra mediului adică ieșirile.

In cazul sistemelor liniare, aceasta abordare este eficienta datorita metodelor frecvențiale de tip Laplace, Z sau Fourier care caracterizează funcția de transfer, iar in cazul sistemelor neliniare aceasta metoda își pierde din eficacitate și reduce astfel și eficienta caracterizărilor intrare-ieșire.

Sistemele care nu sunt autonome sunt caracterizate prin faptul ca sunt descrise prin ecuații diferențiale de ordin egal cu ordinul sistemului N, iar in cadrul acestuia intrările și ieșirile împreuna cu derivatele lor sunt legate printr-o funcție algebrica neliniara. In cele mai multe dintre cazuri sistemul poate fi multi-intrare, multi-ieșire, intrarea e(t) și ieșirea y(t).

1.3.2 Caracterizarea intrare-stare-ieșire

Analizarea cazurilor bazate pe ecuațiile de stare pune in evidenta și structura internă a sistemului analizat. Astfel, se va înlocui ecuația, fie ea diferențiala, fie ea cu diferențe, de ordinul N, cu N ecuații de ordinul I, iar la acestea se va adaugă o ecuație algebrica de ieșire.

Pentru un sistem analogic, neliniar și neautonom, ecuațiile de stare au forma vectoriala următoare:

X’(t)=f(x(t),e(t))

Y(t)=g(x(t),e(t))

In acest caz: ● prima ecuație va reprezenta sistemul de ecuații de stare;

● a doua ecuație va reprezenta ecuația de ieșire;

● e(t), y(t) reprezintă semnalele de intrare și de ieșire;

● f și g reprezintă funcții algebrice neliniare unde: f este funcția vectoriala de argument vectorial de tranzacție al stărilor iar g este funcția de ieșire.

Sistemele liniare sunt descrise de ecuații in care funcțiile algebrice neliniare sunt înlocuite de combinații liniare cu coeficienți constanți iar ecuațiile de stare au coeficienți definiți in forma de matrici și vectori după cum urmează:

x’(t)=A*x(t)+b*e(t)

y(t)=cT*x(t)+d*e(t)

1.3.3 Scrierea ecuațiilor de stare

Pentru sistemele neliniare aceasta urmează principiile pe care le întâlnim la orice trecere de la un model fizic la unul matematic și va fi urmat și de un set de ecuații:

◘ in primul rând se identifica structura sistemului ( subsisteme și modul lor de interacționare )

◘ apoi se adopta modele matematice pentru toate subsistemele

◘ se va alege cea mai avantajoasa modelare matematica a modului de interconectare a subsistemelor

◘ și nu in ultimul rând se vor prelucra rezultatele pentru a le aduce la forma dorita.

Se mai poate spune și ca scrierea ecuațiilor de stare pentru aceste circuite este similară cu cea pentru sistemele liniare însă cu o singura excepție și anume in câteva cazuri este necesara inversabilitatea unor funcții algebrice neliniare.

In imaginea de mai sus ilustram oscilatorul Colpitts fiind primul circuit neliniar, analogic și autonom. Acesta este un amplificator cu baza la masa, cu sarcina inductiva și reacție din colector in emitor prin difuzor capacitiv.

1.4 Clasificarea neliniarităților

Folosind proprietatea de decompoziție sau separație liniar-neliniara și faptul ca neliniaritățile tipice și uzuale sunt fără memorie(partea de memorie este preluata de elementele dinamice liniare), vom caracteriza și clasifica neclaritățile tipice după câteva criterii. Fenomenele neliniare sunt proprii multor sisteme, procese și legi din diverse domenii ale lumii reale, din fizica, chimie, tehnica, economie. Pe de alta parte, asemenea fenomene se introduc in mod funcțional in sisteme, procese, instalații tehnologice.

1.Neliniaritati intrinseci, proprii proceselor dinamice, care au o influenta nedorita asupra proceselor, se numesc neliniarității perturbatoare. Așa sunt de exemplu jocurile in transmisiile mecanice, cuplajele de tot felul. În același timp, jocul mecanic dimensionat și controlat in mod corespunzător, sta la baza principiului clasic de funcționare a ceasornicelor. In mod similar pot fi caracterizate fenomenele gravitaționale, in particular pendulul ca oscilator neliniar, sistemele giroscopice cu corecție gravitaționala. In acest caz, neliniaritățile se numesc funcționale.

2.Dupa efectul neliniarităților asupra tabloului calitativ de mișcare al sistemelor neliniare, in comparație cu modele liniare apropiate, fie și numai in domenii limitate, distingem neliniarități esențiale și neesențiale. Neliniaritățile esențiale introduc elemente noi, multiple, in tabloul de mișcare, al sistemelor neliniare, ca domenii de stabilitate și instabilitate in aceleași spatii(de mișcare sau parametrice) oscilații și diverse combinații de frecvente, proprii și forțate, puncte de echilibru, curbe de nivel, extreme libere sau condiționate.

3.Neliniaritatile continue și derivabile de un număr necesar de ori se numesc analitice, iar neliniaritățile care nu îndeplinesc aceste condiții se numesc neanalitice.

4.Neliniaritatile pot fi simetrice sau asimetrice. De regula, caracteristicile simetrice sunt funcții impare y=g(u), g(u)=-g(-u). Simetria caracteristicilor neliniare se regăsește in multe procese dinamice din sistemele neliniare, îndeosebi la mișcările periodice, cea ce ușurează mult studiul acestor procese.

5.Neliniaritati liniare pe porțiuni. Caracteristicile de tip releu, sunt cele mai reprezentative caracteristici liniare pe porțiuni. Cea mai simplă caracteristica de tip releu o are releul ideal . In realitate însă, releele nu comuta instantaneu și caracteristicile lor prezinta zone de insensibilitate, bucle histerezis și alte deformări posibile. In general, neliniaritățile de tip releu sunt funcționale, au rolul de a introduce in sistem energia totala de care acesta dispune, ca amplificatoare polarizate de tip releu. Mai mult, asemenea neliniarități sunt impuse și de condițiile de optimizare a proceselor tranzitorii din sistemele dinamice liniare și neliniare. De aceea vom acorda o atenție deosebita neliniarităților de tip releu, care permit un studiu aproximativ și exact al sistemelor neliniare cu relee fără mari dificultăți.

1.5 Metode de analiza a comportamentului dinamic al unui sistem

Analiza de dinamică neliniară are un rol foarte important în furnizarea de informații noi cu privire la comportamentul dinamic al sistemelor complexe, câteva din aceste metode fiind: analiza spectrală Fourier, trasarea histogramelor, reconstrucția spațiului stărilor, construcția mapelor Poincaré, calculul coeficienților Lyapunov, construcția mapelor de recurență și a mapelor wavelet. Dintre acestea, reconstrucția atractorilor dinamicii sistemului în spațiul stărilor este una dintre cele mai interesante și utilizate

1.5.1 Atractorii

Sistemele complexe par uneori prea haotice pentru a mai putea recunoaște in ele un tipar. Dar prin folosirea unor anumite tehnici, o gama larga de parametri pot fi concentrați într-un singur punct de pe un grafic. Primii teoreticieni ai haosului au descoperit faptul ca sistemele complexe par a parcurge anumite cicluri de evenimente, chiar daca acele evenimente sunt rareori repetate și replicate exact. Reprezentarea sistemului sub forma unui grafic indica faptul ca exista o anumita stare la care sistemul încearcă sa ajungă, un fel de echilibru. Descoperirea atractorilor explica multe, dar cel mai interesant fenomen descoperit de Teoria Haosului este Auto-Similaritatea.

Atractorul reprezintă acel ceva spre care este atras sistemul în evoluția sa. Se pot clasifica in atractori clasici și stranii. În cazul unui atractor clasic sistemul tinde spre o stare de echilibru stabil, iar in cazul unui atractor straniu starea spre care tinde sistemul este tot de echilibru dar acesta este într-o continuă schimbare.

De asemenea, intuitiv, atractorul reprezintă o regiune din spațiul stărilor corespunzător unui sistem dinamic, în care sistemul poate intra, dar pe care nu o mai poate părăsi și care nu mai conține alte asemenea regiuni în interior. El este definit de următoarele trăsături:

● invariația: un atractor este un set invariabil al traiectoriei fizice a sistemului;

● atractivitatea: exista o vecinătate a unui atractor astfel încât evoluțiile inițiale rămân intacte;

● recurenta: traiectoriile întâile se apropie in mod repetat de aceasta stare inițiala dar exclude soluțiile instabile și soluțiile tranzitorii de la a fi atractor;

● ireductibilitatea: un atractor nu poate fi descompus in doua parți netriviale adică in atractori mai mici și distincți.

Studiul atractorilor se referă exclusiv la sistemele disipative și reprezintă o simplificare substanțială deoarece neglijăm efectele tranzitorii pentru a ne concentra asupra regimului asimptotic.

El va consta in doua etape:

◘ definirea diferitelor tipuri de atractori: Atractor de tip „punct fix”(1), Atractor de tip „ciclu limită”(2), Atractor de tip „tor limită”(3).

◘ catalogarea modurilor de tranziție intrate atractori.

(1) (2) (3)

1.5.1.1 Atractorul Lorentz

Simulând vremea pe calculator în 1961, Edward Lorentz a văzut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuații diferențiale care reprezentau schimbări în temperatura, presiune, intensitatea vântului, etc. Într-o zi, vrând sa repete o secvența interesantă din model, din dorința de a salva timp, a reînceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzător: deși au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierzând orice asemănare cu primul în câteva "luni".

Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie când a introdus numerele, fie în derularea calculelor de către calculator. După ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spațiu, imprimanta includea numai patru zecimale după virgula, în timp ce datele în memoria calculatorului era exacte până la a șasea zecimala. Lorentz a introdus o diferența între prima și a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa.

El a ajuns la concluzia ca perturbații extraordinar de mici ale datelor se îmbina cu rapiditate, ducând la o schimbare uriașa a vremii. Așadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna "compromisa". Daca modelul lui Lorentz s-ar asemăna întru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bătaia de aripi a unui fluture în Amazon ar putea modifica radical vremea în Massachusettes. "Efectul fluturelui", cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de condițiile inițiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale și sociale complexe.

În concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise în meteorologie datorita cunoașterii aproximative a legilor naturii și a situației Universului la momentul inițial.

Lorentz a observat în reprezentarea grafica a sistemului sau de ecuații ca rezultatul se menținea mereu pe o curba, o spirala dubla. Erau cunoscute numai doua stări de ordine: o stare stabila, în care variabilele nu se schimbau niciodată, și comportament periodic, în care sistemul intra într-o bucla, repetându-se nedefinit. Ecuațiile lui Lorentz erau clar ordonate: urmăreau mereu o spirala. Nu se opreau niciodată într-un punct stabil, dar din moment ce nu repetau mereu același lucru, nu erau nici periodice. El a numit imaginea pe care a obținut-o Atractorul Lorentz.

1.5.1.2 Atractorii stranii

Noțiunea de atractor straniu a fost folosită pentru prima oara in 1971 într-un articol intitulat On the nature of turbulence iar, in scurt timp, articolul care a fost semnat de belgianul David Ruelle și olandezul Floris Takens a câștigat celebritate.

Acești doi matematicieni au avut in deschidere observatiile lui Edward Lorenz cu privire la acumulările de date meteorologice legate de unele variabile informaționale ca de exemplu presiunea și depresiunea aerului, viteza vintului, temperatura medie și de saturație, umiditatea relativa. Acesta din urma era convins ca acumulările de date nu sporesc precizia unei prognoze meteo pe termen lung. El afirma ca : "un sistem dinamic de tipul celui meteorologic e alcătuit dintr-un număr uriaș de elemente interacționare, hipersensibile la acțiunea celui mai mic factor".

Cu alte cuvinte, un element minuscul apărut in interiorul sistemului dinamic ar duce la o perturbare haotica majora, anulând exactitatea oricăror previziuni. Orice element minuscul poate transforma ordinea in haos, certitudinea in incertitudine.

Daca sistemele regulare clasice cum ar fi orbita Pământului sau traiectoria unui corp astral, pot fi configurate matematic in forme la rândul lor regulate – datorita faptului ca mișcarea lor e atrasa de aceste forme care au aspect regulat, repetabil și cert – nu același lucru ce se întâmpla cu sistemele haotice, dinamice, ca de exemplu fluctuațiile bursiere, stările climatice, jocul de biliard, fumul de țigara, felul in care se formează dunele de nisip, activitatea cardiaca și chiar intuiția. Acestea par a fi atrase de forme stranii, necunoscute, aparent incerte și cu o comportare neregulata.

De asemenea se observa ca atractorii stranii descriu un sistem cu comportament irepetabil și haotic dar care, in același timp, este similar și ușor de recunoscut si de aceea toți atractorii stranii sunt de fapt fractali.

Ar mai fi de remarcat faptul ca atractorii stranii sunt forme care apar in spațiul matematic mai mult decât in cel natural și ca ei nu pot fi la fel de ușor observați ca atractorii predictibili. Partea lor cea mai interesanta rămâne aceea, remarcata de diferiți cercetători, a posibilității ca toate fenomenele haotice, aparent lipsite de semnificație, sa fie „atrase“ către un atractor straniu. Din acest punct de vedere, fluctuațiile nepredictibile ale bursei, de pilda, ar putea sa nu se datoreze, așa cum se crede, deciziilor individuale luate de brokeri separați, ci „semnăturii“ unui atractor straniu, a cărui utopica descoperire prin metoda analitica ar permite prezicerea activității bursiere a viitorului.

Se poate spune ca fizicianul rus L. D. Landau, încercând să răspundă la întrebarea „ce tip de atractor poate fi asociat unei dinamici a cărei spectru Fourier este unul de bandă largă”, a studiat modul în care are loc tranziția unui fluid de la regimul de curgere laminară la cel de curgere turbulentă în condițiile creșterii valorii numărului lui Reynolds.

De aici putem spune că numai sistemele cu un număr de grade de libertate suficient de mare pot manifesta comportament haotic, de vreme ce dimensiunea fazei trebuie să fie mai mare decât cea a atractorului. În urma unor simulări numerice s-a constatat că trei grade de libertate sunt suficiente pentru a da naștere unui regim haoticiar atunci când neliniaritatea sistemului devine din ce în ce mai pronunțată, pot apărea atractori mai complicați.

Traiectoria finală la care se stabilește sistemul poate avea o formă foarte neregulată, fără a prezenta periodicitate. Cu toate acestea, traiectoria poate fi încă numită atractor, deoarece traiectoriile învecinate sunt atrase în ea, fără posibilitatea de a mai ieși. Un atractor cu dimensiuni fractale, poartă denumirea de atractor straniu . Acest termen a fost introdus de către Ruelle și Takens , după cum am menționat anterior, cu scopul de a descrie atractorul rezultat în urma seriei de bifurcații suferite de un sistem ce descria curgerea unui fluid . Atractorii stranii reprezintă baza conceptului de autoorganizare și, deși la prima vedere s-ar putea spune că sunt haotici, totuși ei manifestă ordine la un nivel subtil, ordine ce se evidențiază în timp, dacă privim din perspectiva corectă. Atractorii stranii sunt unici prin faptul că prezintă o sensibilitate pronunțată la condițiile inițiale, două traiectorii foarte apropiate la un moment de timp putându-se depărta în mod arbitrar în momentul imediat următor, divergența lor crescând exponențial în timp.

1.5.1.3 Atractorul lui Hénon

Este numit astfel după descoperitorul său, Michel Hénon, este compus din linii, orbitele de pe acesta curgând discontinuu, sărind de pe o locație pe alta .Fiecare valoare generatoare care converge spre atractor o face în propria sa manieră. Puncte distincte care inițial au o diferențiere minusculă între ele, pot diverge și evolua separat. Atractorul lui Hénon are caracter haotic și prezintă, de asemenea, o structură fină. Măririle succesive prezintă un număr tot mai mare de detalii. Orice secțiune transversală printr-un braț al atractorului lui Hénon este echivalentă cu un set cantorian. Ceea ce par a fi linii, se dovedesc a fi, la o mai atentă vizualizare, seturi de linii. La rândul lor, mărind aceste linii, descoperim că și ele sunt de fapt, seturi de linii, și așa mai departe,

Un alt exemplu de atractor straniu este cel al lui Ikeda:

Atractorul lui Hénon provine din studiul perturbațiilor din orbitele asteroizilor, iar cel al lui Ikeda, din studiul sistemelor optice neliniare. Sistemele studiate de Hénon și Ikeda erau bidimensionale, dar nu există nici un motiv pentru a presupune că sistemele fizice și atractorii corespunzători trebuie să se limiteze doar la două dimensiuni.

O altă caracteristică a sistemelor puternic neliniare este aceea că, în general, ele prezintă mai mulți atractori. Un sistem termodinamic simplu, pe de altă parte, are un singur atractor reprezentat de starea de entropie maximă. În cazul existenței mai multor atractori, principala problemă care apare este în care din aceștia va sfârși sistemul. Bazinele de atracție apar ținând diferiților atractori sunt separate de o limită îngustă, ce poate avea o formă foarte neregulată. Pentru condiții inițiale aflate în vecinătatea graniței este foarte dificil de prevăzut spre care atractor vor conduce acestea. Mici fluctuații pot împinge sistemul într-un bazin sau altul și, de aici, într-un atractor sau altul. În figura de mai jos sunt reprezentați trei atractori ale căror bazine de atracție sunt separate prin linii punctate. Apariția unei astfel de limite de separație între doi atractori poartă numele de bifurcație. În vecinătatea graniței, sistemul se comportă haotic, dar, odată intrat în bazin, mișcarea sa începe să se orienteze spre atractor. Când un sistem dinamic este supus unei constrângeri, de exemplu prin creșterea energiei furnizate, numărul atractorilor tinde să crească. Cu alte cuvinte, mai multă energie conduce la amplificarea micilor diferențe și, deci, la o varietate de tipuri comportamentale. De exemplu, pornind de la un singur atractor și crescând amplitudinea constrângerii, acesta suferă o bifurcație, rupându-se în două. Acum sistemul poate urma două căi spre stabilitate. Mărind în continuare constrângerea aplicată sistemului, au loc mai multe bifurcații și atractorii se divid la rândul lor. Astfel, sistemul prezintă inițial 4 regimuri posibile, apoi 8, apoi 16, 32și așa mai departe. Ajuns în punctul critic, numărul atractorilor devine infinit, iar sistemul sare în permanentă, neregulat, de la unul la altul. Aceasta echivalează cu o stare haotică, comportamentul sistemului devenind total impredictibil.

1.5.2 MAPELE POINCARÉ

Secțiunea Poincaré este de fapt o hipersuprafață din spațiul stărilor care este perpendiculară pe traiectoria descrisă de un sistem dat de ecuații. Ea înlocuiește evoluția temporală continuă cu mapa temporală discretă.

Utilizarea metodei secțiunii Poincaré prezintă trei principale avantaje:

– în primul rând, se trece de la o traiectorie în spațiul tridimensional la o mapă în plan, reducând numărul de coordonate cu o unitate;

– în al doilea rând, timpul este discretizat, iar ecuațiile diferențiale sunt înlocuite de ecuații algebrice, mult mai ușor de rezolvat, ce definesc mapa Poincaré

– în al treilea rând, cantitatea de informație ce trebuie manipulată este mult redusă, deoarece aproape toate punctele de pe traiectorie pot fi ignorate.

Mapele Poincaré pot fi utilizate în determinarea stabilității orbitei periodice corespunzătoare unui sistem ce evoluează continuu în timp, prin analiza stabilității punctului fix al mapei asociate. Secțiuni Poincaré pot fi construite în diferite locații pe traiectorie și, deci, putem obține diferite mape Poincaré pentru orbita considerată. În cele mai multe cazuri însă, poate fi găsită o transformare diferențială de coordonate de la o mapă Poincaré la alta, iar mapele diferitelor secțiuni prezintă, din punct de vedere calitativ, aceeași dinamică, adică același număr de puncte fixe, stabilități similare ale punctelor fixe și așa mai departe.

1.5.3 BIFURCAȚII

Termenul de bifurcație a fost introdus în dinamica neliniar ă de către Poincaré pentru a indica o schimbare calitativă sau cantitativă în proprietățile unui sistem, cum ar fi tipul soluțiilor respectiv numărul lor, în condițiile variației unuia sau mai multor parametri de care depinde sistemul considerat. Înțelegem prin bifurcație locală o schimbare calitativă ce apare în vecinătatea unui punct fix, sau a unei soluții periodice a sistemului.

Orice altă schimbare calitativă va fi considerată bifurcație globală. În studiul bifurcațiilor este util să ne folosim de variabilele de stare și de parametrii de control, al căror ansamblu formează spațiul stări-control. Dacă variem lent unul sau mai mulți parametri de control, un punct fix poate deveni nehiperbolic într-un anumit punct al spațiului stări-control. Dacă portretele din spațiul stărilor înainte și după acest punct sunt calitativ diferite, acesta se va numi punct de bifurcație.

O bifurcație ce necesită variația am parametri de control independenți este numită bifurcație m-codimensională. Considerăm ca variația parametrilor de control are loc atât de lent, încât valorile lor instantanee pot fi considerate constante. Bifurcațiile pot fi clasificate în continue și discontinue (sau catastrofice), în funcție de modul în care se modifică stările sistemului la variația gradată a parametrului de control și la trecerea sa prin valoarea critică. La rândul lor, bifurcațiile discontinue pot fi împărțite în periculoase și explozive, depinzând de modul în care r răspunsul sistemului constă în saltul la un atractor predefinit („remote attractor”) sau în explozia într-un atractor mai mare, cu noul atractor incluzându-l pe cel vechi (fantomă) ca subset.

Rezultatul unei bifurcații explozive este independent de viteza de variație a parametrului de control și insensibil la prezența zgomotului. În consecință, la inversarea sensului de variație a parametrului de control într-o manieră cvasistaționară, noul atractor de dimensiune mai mare implodează în vechiul atractor la exact aceea și valoare a bifurcației, fără a manifesta histerezis. Noul atractor poate fi sau nu haotic. Tranziția spre haos prin intermitențe de tip on-off este un rezultat al bifurcațiilor explozive.

Când are loc o bifurcație periculoasă, atractorul curent dispare brusc din spațiul stărilor corespunzător sistemului respectiv, acest eveniment fiind cunoscut și sub denumirea de „catastrofa cerului albastru”. Răspunsul post-bifurcație constă în saltul la un atractor predefinit, ce poate fi mărginit (cazul atractorilor de tip punct fix, periodici, cvasiperiodici și haotici) sau nemărginit, caz în care consecințele pot fi dezastruoase (de exemplu căderi de tensiune în generatoarele de putere).

La inversarea sensului de variație a parametrului de control, un răspuns mărginit va urma în continuare calea noului atractor, ceea ce se traduce prin existenta 33 histerezisului. Rezultatul unei bifurcații periculoase poate fi sau nu determinant, în funcție de numărul de atractori pe care sistemul îl prezintă după trecerea parametrului de control prin valoarea critică. În cazul în care sistemul are mai mulți atractori, răspunsul său după bifurcație va depinde de viteza de variație a parametrului de control și de prezenta zgomotului.

1.6 Tipuri de comportări dinamice

Sistemele neliniare prezinta comportări dinamice variate, cum ar fi o dinamica haotica. De aceea putem clasifica din punct de vedere al complexității dinamice comportamentele sistemelor neliniare după cum urmează:

● comportament de tip constant;

● comportament de tip periodic;

● comportament de tip cuasiperiodic;

● comportament de tip haotic.

Comportamentul de tip constant este cel mai întâlnit in aplicațiile practice însă și comportările cu o complexitate mai ridicata au și ele aplicații dintre cele mai variate.

Sistemele care au o dinamica de tip periodic sunt utilizate ca oscilatoare. Ele se regăsesc in schemele generatoarelor de semnal, ale echipamentelor de telecomunicații și măsura, precum și in circuitele electronice de putere.

Atunci când, in spectrul semnalelor de ieșire sau al variabilelor de stare, ale unui sistem neliniar, apar comportamente spectrale necorelate armonic, in domeniul timp semnalele corespunzătoare sunt neperiodice. Acest tip de dinamica poarta numele de cuasiperiodic și este întâlnit in echipamentele de comunicații și măsura generând semnale modulare fără sincronizarea semnalului purtător cu cel modulator.

Cel mai exotic tip de comportare dinamica întâlnit in sistemele neliniare este cel haotic. Aceste sisteme generează semnale neperiodice dar ale căror spectre sunt continui și au alura unor perturbații aleatorii. Sistemele haotice sunt senzitive la condiții inițiale, la micile variații ale parametrilor și la perturbații externe nefiind predictibile pe termen lung. Aceste sisteme sunt întâlnite in mai multe aplicații din viată de zi cu zi cum ar fi: modele pentru fenomene meteorologice, chimice, mecanice sau electrice precum și biologice.

Cap 2 Modele ale dinamicii neliniare aplicate in economie (Dinamica de tip haotic)

2.1 Noțiunea de haos

În matematică, haosul reprezintă o stare a sistemelor dinamice neliniare, caracterizată prin sensibilitate la condițiile inițiale. Un sistem determinist haotic este, de regula, perfect previzibil, însă sensibilitatea la condițiile inițiale implică faptul că, în realitate, orice eroare de la condițiile inițiale va conduce la o previziune incorectă.

Conform teoriei haosului, sistemele haotice sunt:

– deterministe – aceasta înseamnă că există anumite ecuații de terministice care le

guvernează comportarea;

– senzitive la condițiile inițiale, chiar și o schimbare foarte mică în condițiile inițiale poate conduce la rezultate foarte diferite;

– sistemele haotice nu au o evoluție aliatoare și nici dezordonată.

Un sistem determinist reprezintă sistemul în care nu există evenimente aleatorii pentru dezvoltarea stărilor ulterioare ale sistemului; astfel, modelul determinist este acel model care produce aceleași rezultate pentru anumite condiții inițiale date.

Cuvântul uzual „haos” se referă la dezordine și confuzie extremă iar un sistem haotic este în principiu perfect determinist – dar dependența sensibilă de condițiile inițiale duce la erori enorme în predicție, care devine echivalentă cu predicția statistică, probabilistică. Important este însă de a separa inadecvarea modelului (erori structurale sau parametrice) de efectele incertitudinii observaționale. Printr-un sistem haotic înțelegem un sistem dinamic determinist, neliniar, pentru care predicțiile evoluției sistemului nu pot fi mai precise decât pentru cazul unei manifestări ne-deterministe, stohastice.

Teoria haosului este un domeniu de studiu in matematica, fizica, economie și filozofie și se ocupa cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile fata de condițiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și “efectul fluturelui”. Mici modificări ale condițiilor inițiale au ca efect rezultate haotice, făcând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibila. Acest lucru se întâmpla chiar daca sistemele sunt deterministice, ceea ce înseamnă ca comportamentul lor viitor este determinat in întregime de condițiile inițiale, fără intervenția altor elemente aleatorii.

Cu alte cuvinte, natura deterministică a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de “haos deterministic”. Comportamentul haotic a fost observat in laborator pe o varietate de sisteme care include circuite electrice, lasere, reacții chimice oscilante, dinamica fluidelor și aparate magneto-mecanice și mecanice, dar și in simulări virtuale ale proceselor haotice.

Una dintre aplicațiile cele mai de succes a teoriei haosului este in ecologie, unde sistemele dinamice de genul modelului lui Ricker au fost folosite pentru a arata cum creșterea populației in raport cu suprafața ocupata duce la o dinamica haotica.

Comportările generale pe care trebuie să le aibă un sistem pentru a-l numi haotic sunt:

– dependența de micile perturbații – micile perturbații duc la modificări majore ale traiectoriei deterministe, previziunile pe termen lung fiind de natură cvasi-probabilistică;

– complexitate comportamentală inerentă– sistemele deterministe simple pot manifesta comportări complexe, haotice;

– ordine inerentă– comportamentul pe termen scurt este predictibil, datorită determinismului sistemului;

– instabilitate inerentă– într-un sistem haotic o nouă stare de echilibru apare doar dacă instabilitatea a fost parcursă în întregime;

– stări departe de echilibru – un sistem haotic ajunge într-o stare departe de echilibru prin instabilitate;

– alegere întâmplătoare – trecerea de la haos la ordine în punctele de criticalitate se face impredictibil;

– auto-organizare – elementele sistemului haotic cooperează în punctele de criticalitate, organizându-se într-o noua structură;

– disipație – o stare de ordine atinsă de un sistem haotic nu este decât începutul unei noi tranziții către haos.

Toate sistemele haotice au două trăsături în comun. Ele sunt neliniare și implica anumite reguli iterative. Analiza numerică este de obicei singura posibilitate de analiză a unor astfel de sisteme. În funcție de valoarea inițială a parametrului de control, sistemul poate evolua spre orbite stabile, constante sau periodice, sau spre orbite ne-periodice, de tip haotic. Daca se reprezint toate valorile pe care le poate lua un astfel de sistem funcție de valoarea parametrului de control se obține așa numitul ”arbore cu bifurcații” care reprezintă de fapt o reprezentare a spațiului fazelor pentru sistemul parametrizat.

Ce este remarcabil în aceste reprezentări ale evoluțiilor haotice este faptul ca sub-regiunile acestor suprafețe, cu bifurcațiile pe care le ia sistemul, sunt similare unele cu altele și cu întreaga structură. Auto-similitudinea, care se repeta la cele mai mici rezoluții, este caracteristică și figurilor geometrice numite „fractali”

2.2 Modelul Lorentz

Teoria haosului nu pune accent pe dezordine(caracterul imprevizibil moștenit al unui sistem), ci pe ordinea moștenită a sistemului(caracterul universal al sistemelor similare). Primul adevărat experimentator legat de această teorie a fost meteorologul Edward Lorenz. În 1960, el lucra la o problemă de prezicere a vremii.

Lorenz construise un calculator cu un set de 12 ecuații după modelul vremii. Nu prezicea vremea, teoretic, acest computer prezicea cum ar putea să fie vremea. Într-o zi din anul 1961, el a vrut sa revadă o anumită secvență. Pentru a salva timp, a pornit de la mijlocul secvenței și nu de la început. Colegii și studenții au rămas uimiți in fata modelului, deoarece acesta nu părea sa repete nici o secvența, era cat se poate de asemănător cu vremea reala. Unii oameni chiar au sperat ca daca vor fi introduse niște date meteorologice , care sa fie in concordanta cu vremea de afara, modelul s-ar transforma intr-un adevărat profet.

Intr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lăsat programul sa ruleze anumiți parametri in baza cărora sa genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea sa observe mai bine finalitatea procesului. Dar in loc sa lase programul sa ruleze cu setările inițiale și sa calculeze rezultatul, Lorentz a decis sa oprească și apoi sa pornească programul de la jumătatea secvenței de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme și l-e tipărise. Dar imprimanta putea sa tipărească doar ultimele 3 zecimale.

Deci in loc sa introducă exact aceleași numere cu 6 zecimale calculate de mașina (care țineau loc de vânt, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Aceasta inexactitate aparent minora a fost amplificata și a dat peste cap întreg sistemul. Aceasta exactitate este foarte importanta. Vremea reprezintă comportamentul tuturor moleculelor care formează atmosfera. Principiul Incertitudinii ne împiedică să localizam cu exactitate o particula, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, și totodată acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximări ale situației din acel moment.

Prin prisma ideilor convenționale ale acelei vremi, Lorenz nu făcuse nimic greșit. El ar fi trebuit sa obțină un rezultat destul de asemănător cu cel precedent. Un cercetător se poate considera norocos daca măsurătorile sale au o acuratețe de 3 zecimale. Și e evident ca cea de a 5-a și cea de 6-a zecimala sunt imposibil de măsurat prin metode rezonabile și totodată ca aceste valori atât de mici nu au cum sa influențeze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat ca aceasta idee e greșita.

Conform tuturor ideilor convenționale de timp, rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puțin de secvența originală. Lorenz a demonstrat că această idee este greșită. Acest efect a ajuns să fie cunoscut ca și “The butterfly effect”. Diferența inițială între două curbe este atât de mică încât se poate compara cu un fluture care dă din aripi.

Acest fenomen, comun teoriei haosului, este de asemenea cunoscut ca o dependență senzitivă de condițiile inițiale: ”O mică schimbare în condițiile inițiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lung”. Pornind de la această idee, Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate. Totuși, descoperirea l-a condus pe Lorenz la alte aspecte care în cele din urmă au ajuns sa fie cunoscute drept teoria haosului.

Lorenz a dorit să creeze un șistem mai șimplu decât cel cu 12 ecuații care să depindă la fel de mult de factorii inițiali. Astfel, a reușit să creeze un șistem cu numai 3 ecuații dependente de factorii inițiali.Când a reprodus grafic rezultatele, Lorenz a observat că acesta se încadra mereu într-o spirală dublă. Astfel, ecuațiile lui Lorenz nu se întâlneau în același punct niciodată, dar pentru că nici nu se repetau, nu erau nici periodice.A numit această imagine “Atractorul Lorenz”.În 1963, Lorenz a publicat ceea ce a descoperit, dar pentru că nu era nici matematician, nici fizician, descoperirile sale nu au fost luate în conșiderare decât după ce au fost redescoperite de altii.

-Atractorul Lorenz-

2.3 Fractalii

Pentru a putea depăși aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvântul fractal provine din cuvântul facțional. Un fractal este “o figura geometrica fragmentata sau frânta care poate fi divizata in parți, astfel încât fiecare dintre acestea sa fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturala a întregului”. Termenul de fractal a ajuns sa descrie orice imagine care prezinta atributul de auto-similaritate.

Cuvântul “fractal” a fost introdus de matematicianul Benoit Mandelbrot in 1975 și provine din latinescul “fractus”, care înseamnă spart sau fracturat. Fractalul, ca obiect geometric, are in general următoarele caracteristici:

● este auto-similar (măcar aproximativ sau stochastic): daca se mărește orice porțiune dintr-un fractal, se vor obține (cel puțin aproximativ) aceleași detalii cu cele ale fractalului întreg.

● are o definiție simplă și recursiva – pentru a va imagina fractalul corespunzător unei funcții f(x), considerați elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.

● are detaliere și complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic și are o structura fina la scări infinit de mici.

Termenii cheie din geometria fractală sunt:

●inițiator: segmentul, curba sau forma inițiala.

●generator: regula folosită pentru a construi o noua curba sau forma din cea obținuta anterior.

●iterație: procesul de repetare a aceluiași pas iar și iar.

Fractalii nu oferă în mod neapărat speranța ca putem controla aceste fenomene înșelătoare. Din contra, începem sa înțelegem ca haosul și imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse în natura decât ne-am imaginat vreodată. Oricum, fractalii ne oferă instrumente puternice pentru modelarea și vizualizarea sistemelor neliniare. În majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul și structura lumii reale mult mai ușor și mai succint decât cu formele liniare.

2.3.1 Primii fractali faimoși

2.3.1.1 Triunghiul lui Șierpinski

Probabil cel mai cunoscut fractal al tuturor timpurilor este așa-numitul triunghi al lui Șierpinski. Modul de realizare al acestui fractal este foarte simplu si anume: la început se desenează un triunghi pe care îl divizam în patru părți egale, iar cele trei din exterior vor fi și ele divizate folosind același procedeu si procesul va continua la infinit pentru toate triunghiurile formate. In figura de mai jos am relatat modalitatea de construcție descrisă mai sus. Pentru a putea realiza forma matematică imaginată de Șierpinski ar trebui să trasam linii de divizare infinit de mici.

2.3.1.2 Covorul lui Șierpinski

Acesta reprezintă o alta forma de fractali faimosi. In acest caz inițiatorul constituit dintr-un pătrat plin este divizat în 9 parți egale din care se îndepărtează partea centrala si facand un calcul ne au mai ramas 8 pătrate negre in urma eliminarii celui din mijloc.

Trebuie sa mentionam ca exista doua categorii esențiale ce asigura o apropiere de realitate a obiectelor generate și apoi utilizate în a descoperi proprietăți noi ce decurg din înlocuirea conceptului de mediu omogen și izotrop din modelele clasice de comportare a materiei în diferite câmpuri fizice și chimice cu un mediu anizotrop structurat fractal, mai aproape de realitate.
Exista așa numiții: fractali neuniformi și fractali aleatori. Fractalii neuniformi iau naștere prin aplicarea simultana a 2 factori de scara.

Aceasta structura este mai complicata și intra în categoria multifractalilor. Fractalii aleatorii sunt fractalii a căror lege de construcție nu asculta de legi deterministe. Astfel, numărul de obiecte ce se generează la fiecare iterație, precum și poziția lor este aleatoare.

Dimensiunea fractala devine o proprietate a ansamblului statistic de obiecte.
Una dintre primele funcții fractale aleatoare studiate a fost traiectoria mișcării browniene. Dimensiunea fractala a graficului deplasării unei particule browniene în timp este 1,5. Aceste structuri prezintă un interes deosebit în modelarea și investigarea structurilor reale.

2.3.1.3 Curba lui Koch

Matematicianul suedez Helge Von Koch, a construit "curba liniei de coasta". El a pornit de la o dreapta pe care a desenat un triunghi exterior si pe fiecare segment de dreapta al aceleiași forme a desenat câte un triunghi, s.a.m.d. Asemănător, se poate crea Curba liniei de coasta Koch și pornind de la un pătrat, sau de la un triunghi echilateral pe laturile căruia desenam triunghiuri echilaterale.

Fulgul de zăpadă a lui Koch

Curba lui Koch da naștere la un paradox interesant. De fiecare data când un nou triunghi este adăugat lungimea liniei evident creste. Cu toate acestea, aria interioara a curbei lui Koch rămâne mai mica decât aria cercului care trece prin vârfurile triunghiului inițial. O linie de lungime infinita care înconjoară o arie finita.

Lungimea curbelor este diferita, pornind de la tipul de generare. La primul nivel, lungimea curbei din figura de mai sus va fi de patru treimi din segmentul de dreapta, iar lungimea curbei similare generate cu un pătrat va fi de cinci treimi, adică 133, respectiv 166, daca lungimea segmentului inițial este de 100. Pentru a rezolva aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunea fractala, prezentata în cele ce urmează.

La începutul secolului al XX-lea, cercetarea în domeniul acestor curbe complexe s-a lovit de o mare piedica: calculul laborios. Matematicienii trudeau zile și chiar luni, calculând și desenând pentru a produce niște aproximații foarte inexacte și sărace în detalii ale curbelor neliniare infinit detaliate. Din 1925 până în 1960, limitele calculului manual au împiedicat orice proces serios în geometria complexității și infinitului.

Apoi au apărut calculatoarele. La început, nimeni nu s-a gândit sa folosească aceste mașini scumpe, construite pentru calcule contabile sau pentru utilizări militare, în cercetarea matematica. Apoi, calculatoarele au început sa atragă atenția matematicienilor, prin furnizarea sutelor de zecimale ale numerelor п, e, sau ale rădăcinii pătrate din 2. Dar matematicienii erau încă neliniștiți de bazarea calculelor pe "aproximări". Primul care a îndrăznit sa folosească simularea pe calculator a fost un biolog: Aristid Lindenmayer, care a introdus ideea "automatelor celulare" pentru a modela dezvoltarea organismelor vii. El era în special interesat de dezvoltarea celulei și de modele ramificate ale plantelor.

2.3.1.4 Curba de umplere a spațiului a lui Peano

Chiar daca lui Șierpinski i s-a impus acceptarea faptului ca aria unei forme alcătuite doar din linii este zero, matematicienii au încercat sa demonstreze contrariul. O alta forma imaginata de același matematician este covorul lui Șierpinski. Forma geometrica de la care se pornește este un segment de dreapta care este apoi înlocuit cu alte opt segmente de dreapta (așa cum se poate vedea in figura 5). Fiecare segment este înlocuit cu forma întreaga și procesul continua la infinit. Asemănându-se foarte tare cu triunghiul lui Șierpinski și putând fi obținut prin metoda prezentata mai sus, dar și prin decuparea de găuri intr-un pătrat plin, s-ar putea ivi și aici aceeași controversa legata de aria formei.

Plecând de la covorul lui Șierpinski, matematicianul Giusseppe Peano a descris forma numita curba de umplere a spațiului a lui Peano. Realizarea ei diferă doar prin adăugarea unui al nouălea segment de dreapta, așa cum se poate vedea in figura menționata mai sus.

Folosind aceasta curba pe care a prezentat-o in anul 1890 (când avea titlul de profesor extraordinar de calcul infinitezimal la Universitatea din Torino), Peano a demonstrat ca se poate umple o porțiune din spațiu, folosind o curba continua care nu are lățime (deci nu are arie). In consecința, aria curbei de umplere a spațiului este egala cu aria in care este înscrisa. Așa s-a ajuns ca o forma alcătuita din segmente de dreapta se umple suprafața unui plan bidimensional.

2.3.1.5 Seria Mandelbrot

Mulțimea lui Mandelbrot își are locul în studiul sistemelor dinamice în planul complex, un câmp investigat pentru prima dată de către matematicienii francezi Pierre Fatou și Gaston Julia la începutul secolului 20. Primele imagini au fost desenate în 1978 de către Brooks și Matelski ca parte a studiului grupurilor Kleinian.

Mandelbrot a studiat parametrul spațiu al polinoamelor pătratice într-un articol care a apărut în 1980. Studiul matematic al mulțimii lui Mandelbrot a început abia cu munca matematicienilor Adrien Douady și John H. Hubbard, care au stabilit multe proprietăți fundamentale ale lui și au numit mulțimea în onoarea lui Mandelbrot.

Munca lui Douady și a lui Hubbard a coincis cu un interes crescut față de dinamica complexă, iar studiul mulțimii lui Mandelbrot a fost în centrul acestui domeniu încă de atunci. Este de prisos să alcătuim o listă cu matematicienii care au contribuit la o mai bună înțelegere a mulțimii de atunci, dar o astfel de listă i-ar include cu siguranță pe Mikhail Lyubich, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura și Jean-Christophe Yoccoz.

Mulțimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut în afara matematicii atât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor lui Benoît Mandelbrot și ale altora de a populariza acest domeniu al matematicii. Mulțimea lui Mandelbrot se definește ca fiind mulțimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplicând în mod repetat polinomul complex z2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul rămâne în interiorul unui disc de rază finită.

Mulțimea lui Mandelbrot este definită de o familie de polinoame pătratice complexe

date de

unde este un parametru complex. Pentru fiecare , se consideră șirul obținut prin iterarea funcției începând cu , care ori tinde către infinit, ori rămâne în interiorul unui disc de rază finită. Mulțimea lui Mandelbrot este definită ca mulțimea punctelor astfel încât șirul anterior nu tinde către infinit.

O imagine a mulțimii lui Mandelbrot M. Un punct c este colorat în negru dacă aparține mulțimii și alb dacă nu.

Mai formal, dacă denotă a n-a iterație a funcției ( compusă cu ea de n ori) mulțimea lui Mandelbrot este submulțimea planului complex dată de

Matematic, mulțimea lui Mandelbrot este doar o mulțime de numere complexe. Un număr complex dat aparține sau nu lui . O imagine a mulțimii lui Mandelbrot poate fi creată prin colorarea punctelor care aparțin lui cu negru și a celorlalte cu alb. Imaginile colorate văzute de obicei sunt generate prin colorarea punctelor care nu aparțin mulțimii în concordanță cu cât de repede șirul diverge spre infinit. Vezi secțiunea despre imagini generate de computer de mai jos pentru detalii.

Mulțimea Mandelbrot poate fi de asemenea definită ca locul de conectivitate al familiei de polinoame . Așadar, este submulțimea planului complex formată din acei parametri pentru care mulțimea Julia a funcției este conexă.

Relația cu mulțimile Julia

O mulțime Julia "încorporată"

Ca o consecință a definiției mulțimii lui Mandelbrot, există o legătură strânsă între geometria mulțimii lui Mandelbrot la un moment dat și structura mulțimii Julia corespunzătoare.

Acest principiu este exploatat în aproape toate rezultatele obținute asupra mulțimii lui Mandelbrot. De exemplu, Shishikura dovedește că, pentru o mulțime densă de parametri din granița mulțimii lui Mandelbrot, mulțimea Julia are dimensiunea Haussdorff doi, și apoi transferă această informație parametrului plan. În mod similar, Yoccoz dovedește întâi conectivitatea locală pentru mulțimile Julia, iar apoi o stabilește pentru mulțimea lui Mandelbrot cu parametrii corespunzători. Adrien Douady formulează acest principiu în felul următor:

Ară în planul dinamic și culege în spațiul parametrilor.

Economie

Benoit Mandelbrot și-a întemeiat geometria fractala bazându-se în principal pe simularea sa încununata de succes a tendinței preturilor bunurilor de consum, iar analiza pieței rămâne una dintre cele mai atrăgătoare aplicații ale geometriei fractali.

În economie, probabil cel mai important lucru este prezicerea într-un mod cât mai sigur a ceea ce se va întâmpla pe piața după o perioada de timp. Până recent, teoria dominanta folosită în acest scop era Teoria Portofoliului. Conform acesteia, probabilitatea schimbărilor de pe piața puteau fi modelate prin clopotul lui Gauss:

Probabilitatea schimbărilor de pe piața

Presupunând ca aceasta teorie este corecta, putem conchide ca schimbările foarte mici sunt și cele mai frecvente, iar schimbări foarte mari au loc extrem de rar. Acest lucru nu este însă adevărat în practica. Pe aceasta curba, putem observa probabilitatea schimbărilor rapide apropiindu-se de 0, schimbări care pot fi văzute lunar pe piața. Recent, la 20 de ani de la descoperirea fractalilor, Benoit Mandelbrot introduce o noua teorie fractala care poate fi folosită mai eficient decât Teoria Portofoliului în analiza pieței.

Considerăm un an de activitate de piața și reprezentarea grafica a prețului în fiecare luna. Vom obține o linie frânta cu suișuri și coborâșuri. Daca luam una din aceste luni și realizam un grafic mai detaliat pe fiecare săptămâna, vom obține o linie foarte similară, cu suișuri și coborâșuri. Daca detaliem curba din ce în ce mai mult, pe fiecare zi, ora, chiar minut sau secunda, vom obține aceleași, numai ca mai mici, suișuri și coborâșuri. Aceasta este auto-similaritatea Browniana.

Mandelbrot a definit o metoda de a crea fractali pe baza descrierii de mai sus. El a bazat-o pe o iterație cu generator și a creat fractali care pot modela piața. În Februarie 1999 el a publicat în Scientific American câțiva dintre acești fractali, alături de grafice ale pieței, arătând cât de asemănători sunt.

În aceasta metoda, se pornește de la o forma, numita generator. Generatorul trebuie sa fie compus din 3 segmente de dreapta, pentru a obține și creșterea și scăderea prețului. De exemplu, luam o linie frânta, și înlocuim fiecare segment cu linia frânta inițiala, obținând după un număr de pași următorul grafic:

Fig. a

Fig. b

Fig.c – Grafic fractal de modelare a pieței

comparativ cu un model al teoriei de portofoliu:

Fig. Grafic de modelare a pieței (Teoria de Portofoliu)

Una din revelațiile majore ale analizei fractale a pieței este memoria sau persistenta pe piața. Modele economice tradiționale iau în considerare un consumator care trăiește totdeauna în prezent, care ia decizii pe baza preturilor curente ale pieței și pe dorință perfect raționala de a obține profit în orice moment. Însă piața are atât memorie pe termen lung, cât și pe termen scurt și este persistenta la fiecare scara posibila, de la ore la secole. Adevăratul participant la economie își aduce aminte și când a obținut profit maxim, și când și-a pierdut bunicul ferma.

În domeniul pieței, ca și în alte domenii în care fractalii și haosul dau rezultate, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare. Simularea fractala poate modela și prezice natura general statistica a unui sistem, fără a îi prezice comportarea într-un anumit moment.

Prețul bumbacului era subiectul preferat al lui Mandelbrot, deoarece existau date disponibile de-a lungul a sute de ani de comerț. El prezenta însă o constanta ciudata: aceeași variație într-o perioada de secole, ca și într-o perioada de zeci de ani sau de câțiva ani. El a numit acest lucru invarianta de scara. Deși valoarea variantei din scara rămâne constanta, aceasta este imposibil de prezis în orice moment și la orice mărime a scării. Simulările lui asupra prețului bumbacului in 1953 continua sa prezică cu exactitate cantitatea de variație din prețul bumbacului, atât lunar cât și anual, dar nu pot pretinde ca indica prețul bumbacului din iulie 2012.

Aplicații ale Teoriei Haosului

Piața de capital

S-a arătat mult interes fata de rolul haosului in finanțe, datorita abundentei de informații și interesului evident de a detecta modele previzibile. Testele au indicat prezenta structurilor neliniare in preturile acțiunilor pe piața combustibililor, pe piețele valutare. Asta nu înseamnă ca teoria haosului poate prezice exact când prețul acțiunilor va creste sau va scădea. Însă s-a demonstrat ca preturile lor de piața, deși imprevizibile, au un anumit trend.

Piața de capital este acceptata ca fiind un sistem self-similar, in sensul ca pârțile componente sunt asemănătoare sau chiar identice cu întregul. Un alt tip de sistem self-similar in matematica, este fractalul. Poate oare piața de capital sa fie asociata cu un fractal? De ce nu? Daca privim graficele ce reprezintă prețul acțiunilor intr-un interval de un an, o luna, o săptămâna sau chiar o zi, vom observa ca ele au o structura asemănătoare. Totuși, ca și fractalul, piața de capital are o dependenta sensibila la condițiile inițiale. Acest factor este cel care face sistemele de piața dinamice atât de greu de previzionat. Pentru ca nu putem descrie exact situația actuala cu toate detaliile necesare, nu putem prezice exact starea sistemului intr-un moment viitor.

Însă succesul pieței de capital poate fi previzionat de către experții in haos. Ei afirma ca investițiile pe termen scurt sunt o pierdere de timp și ca acest tip de investitori vor dispărea in timp din cauza costurilor mari ale tranzacțiilor. Însă, preturile acțiunilor, pe termen lung, nu sunt întâmplătoare. Investitorii vor câștiga daca vor urmări trendul pe termen lung. Un sistem poate fi imprevizibil pe termen scurt, însă determinist pe termen lung.

Managementul întreprinderii

Sistemele neliniare (cum este și cel organizațional) sunt caracterizate prin faptul ca au “puncte de bifurcație”, regiuni unde sistemul sta pe muchie de cuțit, și poate in orice moment sa-și schimbe comportamentul. Un sistem care a fost stabil pentru o lunga perioada poate brusc sa se comporte imprevizibil. De exemplu, o companie care este in continua creștere de câțiva ani, poate intr-un mod neașteptat sa intre într-o perioada de oscilări necontrolabile. Alte sisteme, in schimb, pot deveni auto-organizate și se pot așeza într-o stare de stabilitate relativa, de comportament economic bine definit. Încercările de a modifica acest comportament spre noi direcții, in timpul acestei perioade, va fi foarte dificil.

Teoria haosului este o paradigma teoretica care are rolul atât de a critica, cat și de a completa modelele de management bazate pe liniaritate, coerenta, uniformitate, previzibilitate și control ierarhic. Teoria haosului subminează nevoia controlului riguros și stabilitatea creata de rutinele existente, pe care managementul tradițional le prefera.

Teoria Haosului oferă științei manageriale noi posibilități cu privire la când și unde controlul managerial este necesar sau posibil și la ce scara a organizației sunt aceste eforturi cel mai bine folosite. Pe scurt, raportul dintre libertate și necesitate variază in funcție de mai mulți parametri. Stabilitatea parțiala poate fi păstrata in anumite condiții, astfel încât sa nu fie distruse conexiunile care mențin sistemul laolaltă. Aceasta teorie susține astfel logica multor noi idei manageriale. Ideile actuale care au ca scop democratizarea deciziilor luate in cadrul întreprinderilor își găsesc sprijin in teoria haosului; nici un plan și nici o politica nu este adecvata pentru a acoperi toate exigentele in același timp. Managementul modern trebuie sa facă loc ideilor spontane, venite din partea angajaților la momentul oportun..

In organizarea tradiționala a întreprinderilor se caută formarea de structuri cat mai stabile, aparent predictibile și puțin supuse riscurilor, structuri ce sunt supuse unui control strict din partea managementului. Acest gen de structuri creează mai degrabă impresia de control, ce pornește dintr-o nevoie psihologică, ce însă are ca rezultat limitarea creativității, a inițiativei, diminuarea motivației angajaților in întreprinderi..

In modelele tradiționale de luare a deciziilor, se considera ca managerului ii este accesibila informația completa și perfecta. In realitate, informații complete exista numai despre evenimente trecute, iar alegerile pentru viitor trebuie sa se bazeze pe informații limitate deoarece viitorul presupune mereu atât risc cat și incertitudine.

O analiza a raționalității și incertitudinii in luarea deciziilor duce la ideea de a lua in seama și teoria haosului. Deși recunoaște ca viitorul nu poate fi prevăzut cu exactitate, teoria haosului oferă posibilitatea cunoașterii unui număr de posibilități pentru desfășurarea evenimentelor viitoare. De asemenea, susține ca informația completa și exacta, atât de necesara in luarea deciziilor, nu poate fi obținuta, iar trecutul nu este un ghid exact al viitorului.

De aceea, ideile de referința ale managementului strategic trebuie schimbate:

trebuie sa fie create condiții unde se poate mereu învață ceva nou, de unde pot sau nu sa

apară noi strategii, in funcție de situație. Managerii nu trebuie sa încerce sa iasă din starea

de haos, ci sa vina cu soluții noi care sa integreze toate informațiile. Informația activează

astfel un proces prin care pot apărea soluții și strategii la toate nivelele organizației, ce

vor oferi noi modalități de gândire și de funcționare a întregului sistem.

Politici economice

Exista, de asemenea multe motive importante pentru a continua sa înțelegem impactul neliniarității și haosului in sistemele sociale. Controlul sistemelor liniare poate fi chiar mai ușor de realizat decât al celor liniare, deoarece ar putea fi nevoie doar de o schimbare mica pentru a crea o schimbare radicala in sistem. Cu alte cuvinte, schimbări mici in politicile economice, având costuri reduse, ar putea avea un impact mare asupra bunăstării sociale. Pe de alta parte, poate fi foarte greu sa se determine exact când și unde sa se aplice aceste politici și cum sa se evalueze impactul lor.

In aplicare unor politici (economice sau sociale), este foarte important sa se construiască un model de analiza potrivit. De fapt, pentru a influenta rezultatele și procesele economice, trebuie sa ne putem baza pe un model care sa fie o descriere cat mai reala a sistemelor economice.

In privința controlului sistemelor, critica principala s-a îndreptat către modelele liniare, care conduc către o înțelegere greșita a realității și care pot introduce erori și politici economice neadecvate. O politica economica bazata pe o teorie greșita, produce efecte care vor fi

fundamental diferite de cele previzionate de teorie. O alternativa pentru a formula politici

adecvate, cu consecințe diferite de cele asociate cu teoriile tradiționale poate fi folosirea

modelelor haotice.