Modelarea Sistemelor Fizice Utilizand Grafuri de Legatura

Diverse2

Modelarea Sistemelor Fizice Utilizand Grafuri de Legatura

Byadmin ianuarie 1, 2024

Capitolul I

Modelarea sistemelor fizice utilizând grafuri de legătură

I.1.Generalități

Prin intermediul grafurilor de legătură (în engleză bond-graph-uri) putem modela orice sistem fizic, pluridisciplinar, utilizând elementele specifice grafurilor de legătură. Cu ajutorul grafurilor de legătură se asigură modelarea fenomenelor fizice și a transferului de energie între diferite domenii. Astfel, orice sistem fizic complex poate fi analizat ca un sistem unic, putându-se determina orice mărime fizică care intervine în oricare parte a sistemului. Sistemul fizic poate conține părți electrice, magnetice, mecanice, hidraulice, termice, etc., iar prin intermediul grafurilor de legătură se poate avea o imagine de ansamblu asupra întregului sistem fizic care se dorește a fi analizat. Prin urmare, grafurile de legătură fac interconexiunea între diferite domenii fizice.

Scopul acestui capitol este de a prezenta elementele grafurilor de legătură care sunt necesare pentru modelarea circuitelor pe care le-am propus pentru analizare, pentru a ilustra utilizarea grafurilor de legătură în electrotehnică.

I.2. Simbolul „jumătate de săgeată”

Se consideră două sisteme (A și B) între care există o legătură fără pierderi. Într-un sistem închis compus din sistemele A și B există atât conservare de energie cât și conservare de putere [23, 35, 47, 48].

Energia ce se transferă între sistemele A și B este reprezentată printr-o

“legătură de putere“ caracterizată prin simbolul (”jumătate de săgeată”):

Puterea instantanee schimbată între sistemul A și sistemul B se calculează în mecanică cu relația:

unde: P- puterea mecanică;

F – forța;

v – viteza;

iar în electricitate cu relația:

unde: P – puterea electrică;

u – tensiunea electrică;

i – intensitatea curentului electric.

“Legătura de putere“ conține variabilele de lucru pentru calculul puterii, iar sensul jumătății de săgeată este cel corespunzător sensului pozitiv al puterii:

În figura de mai sus s-a reprezentat o “legătură de putere“ în care se reprezintă transferul de putere de la sistemul A la sistemul B, variabila de efort fiind tensiunea electrică (u), iar variabila de flux fiind intensitatea curentului electric (i).

I.3. Variabile de lucru

I.3.1. Variabile de putere

S-a văzut în cazul precedent că puterea electrică schimbată între 2 sisteme A și B se notează cu P și se exprimă ca produsul dintre 2 variabile: tensiunea și curentul – pentru cazul circuitelor electrice [23, 35, 47, 48].

În general, pentru acoperirea tuturor domeniilor fizice se vorbește de variabile generalizate în limbajul grafurilor de legătură (indiferent de domeniul considerat). Acestea sunt variabilele de efort și variabilele de flux.

În funcție de cele două variabile generalizate, puterea se definește ca:

(1.3)

unde:

P – puterea;

e – variabila de efort;

f – variabila de flux.

Prin convenție, se reprezintă “legăturile de putere“ sub forma următoare:

ceea ce în domeniul electric și mecanic se reprezintă ca în figurile de mai jos:

I.3.2. Variabile de energie

Energia este calculată prin integrarea puterii în raport cu timpul [23, 35, 47, 48]:

(1.4)

unde: E(0) se presupune nul.

Variabilele de energie sunt momentul generalizat (p) și deplasarea generalizată (q), care se definesc cu relațiile integrale următoare:

momentul generalizat: (1.5)

unde: p(0) se presupune nul;

deplasare generalizată: (1.6)

unde: q(0) se presupune nul;

În tabelul 1.1. sunt prezentate variabilele de putere și variabilele de energie pentru domeniul mecanic și electric.

I.3.3. Elementele grafurilor de legătură

Printr-o analogie pur întâmplătoare elementele grafurilor de legătură se aseamănă cu unele elemente din ingineria electrică și ele se pot clasifica în:

elemente pasive = elemente ce înmagazinează sau disipă energie:

elementul rezistiv numit și elementul R;

elementul capacitiv numit și elementul C;

elementul inductiv numit și elementul I;

elemente active = elemente ce furnizează energie: surse Se, Sf ;

elemente de joncțiune: 0, 1, TF (transformatorul), GY (giratorul).

Observație: Elementele grafurilor de legătură se notează și se denumesc în mod analog celor specifice domeniului electric. Din acest motiv trebuie avut în vedere a se evita confuzia de termeni, atunci când elementele grafurilor de legătură modelează sau caracterizează elemente care nu aparțin domeniului electric (domeniul mecanic, magnetic etc).

I.3.3.1. Elemente pasive

Aceste elemente se numesc pasive deoarece ele fie înmagazinează puterea care le-a fost furnizată, fie transformă această energie în energie disipată. Jumătatea de săgeată este reprezentată întotdeauna intrând în aceste elemente.

A. Elementul R

Elementul R este utilizat pentru modelarea tuturor fenomenelor fizice ce leagă efortul și fluxul în regim staționar. Ca exemplu, în domeniul electric poate fi amintit rezistorul.

Legea generală care caracterizează elementul R este [23, 35, 47, 48]:

(1.7)

Această lege poate fi liniară sau neliniară și pentru un caz liniar se scrie astfel:

pentru domeniul electric:

(1.8)

pentru domeniul mecanic:

(1.9)

Reprezentarea generală este:

Reprezentarea pentru domeniul electric și mecanic va fi :

Prin elementul R s-a reprezentat tipul fenomenului, iar cu R1 sau b definim valoarea parametrului ce intervine în descrierea legii liniare (în cazul de față, pentru cele două domenii: electric și mecanic). Astfel s-au reprezentat în limbajul specific grafurilor de legătură (1.8) și (1.9).

În cazul neliniar este, în general, dificil de specificat legea de variație pe reprezentarea specifică grafurilor de legătură, dar este posibil să se indice cum variază parametrul, fără a specifica pe reprezentarea cu grafuri de legătură întreaga lege de variație între parametri.

Elementul R este un element ce disipă energie.

B. Elementul C

Elementul C este utilizat pentru modelarea tuturor fenomenelor fizice ce leagă variabila de putere “efort“ (în domeniul electric: tensiune) de variabila de energie “deplasare generalizată“ (în domeniul electric: sarcina electrică q).

Exemple:

în domeniul electric: acumulatorul, condensatorul;

în domeniul mecanic: resorturile, respectiv toate fenomenele de elasticitate sau de compresibilitate.

Legea ce caracterizează elementul C este:

(1.10)

În cazul liniar, legea de variație a elementului C se poate scrie:

pentru domeniul electric :

sau (1.11)

pentru domeniul mecanic

sau F = k·x (1.12)

Reprezentarea generală a unui element C este:

ceea ce în domeniul electric și mecanic, se reprezintă:

C este un element ce înmagazinează energie, care se calculează plecând de la putere, sub forma următoare [23, 35, 47, 48]:

(1.13)

Considerând e = e(q) și f()d = dq, ecuația (1.13) devine:

(1.14)

În cazul liniar, energia electrică înmagazinată în condensator este dată de relația:

(1.15)

Energia electrică înmagazinată într-un condensator, se poate exprima și cu relația:

(1.16)

obținută prin înlocuirea sarcinii q cu relația: q = Cu, în relația (1.15).

C. Elementul I

Elementul I este utilizat pentru modelarea tuturor fenomenelor fizice ce leagă variabila de putere “fluxul“ (curentul, dacă e vorba de domeniul electric) de variabila de energie “moment generalizat“ (flux magnetic, dacă e vorba de domeniul electric). Exemplu: inductanțele, în domeniul electric, iar în domeniul mecanic masele în mișcare și inerțiile în rotație.

Legea generală care caracterizează elementul I este:

(1.17)

Pentru cazul liniar, în domeniul electric, avem:

, știind că = LI (1.18)

unde L este inductanța bobinei, iar Φ este fluxul magnetic.

În domeniul mecanic putem scrie:

, știind că p = Mv

Reprezentarea generală a unui element I este:

În domeniul electric și mecanic, avem:

I este un element ce înmagazinează energie, care se calculează plecând de la putere, în forma următoare:

(1.19)

Dacă notăm: f = f(τ) și e(τ)dτ = dp, ecuația (1.19) devine:

(1.20)

Pentru cazul liniar, în domeniul electric energia magnetică înmagazinată de o bobină este:

(1.21)

Energia magnetică se mai poate exprima înlocuind fluxul magnetic cu relația =Li și se obține tot energia magnetică înmagazinată de o bobină:

(1.22)

I.3.3.2. Elemente active

Aceste elemente se numesc active deoarece ele furnizează puterea în sistem.

Există două tipuri de elemente active și anume:

surse de efort Se (generatoare de tensiune, în domeniul electric);

surse de flux Sf (generatoare de curent, în domeniul electric).

Orientarea jumătății de săgeată este fixă și trebuie întotdeauna să iasă din elementul activ:

În fiecare caz, una din cele două variabile de putere, efort sau flux, este presupusă cunoscută și independentă de variabila complementară indusă, variabilă ce depinde de sistem.

I.3.3.3. Joncțiuni

Aceste elemente sunt notate cu 0, 1, TF, GY. Ele servesc la cuplarea elementelor R, C și I și compun structura modelului, corespunzătoare sistemului studiat.

Elementele de joncțiune conservă puterea.

Joncțiunea 0

Joncțiunea 0 servește la asocierea elementelor supuse aceluiași efort.

Pentru sistemele simple, această notație a efortului corespunde în domeniul mecanic – elementelor legate în serie (caracterizate de aceeași forță), iar în domeniul electric sau în domeniul hidraulic – elementelor legate în paralel (caracterizate de aceeași tensiune electrică, în domeniul electric, iar pentru domeniul hidraulic, elementelor caracterizate de aceeași presiune). Considerăm exemplul din figura 1.1 [23, 35, 47, 48].

Figura 1.1. Joncțiunea 0

Relațiile caracteristice joncțiunii 0 sunt următoarele:

e1 = e2 = e3 (1.23)

e1 f1 – e2 f2 – e3 f3 = 0 (1.24)

Ecuația (1.23) este ecuația de bază ce caracterizează joncțiunea 0, iar ecuația (1.24) reprezintă bilanțul de putere.

Din ecuațiile (1.23) și (1.24) rezultă:

f1 – f2 – f3 = 0 (1.25)

Echilibrarea asupra fluxurilor se face cu semnul (+) sau (-) în funcție de sensul jumătăților de săgeți, dacă acestea intră sau ies în joncțiunea 0.

Relațiile care caracterizează o joncțiune 0 sunt :

Egalitatea eforturilor pentru toate legăturile ce au o extremitate pe joncțiune;

Suma fluxurilor este nulă.

Joncțiunea 1

Joncțiunea 1 servește la asocierea elementelor supuse aceluiași flux. Pentru sistemele simple, această notație a fluxului corespunde în domeniul mecanic elementelor legate în paralel (caracterizate de aceeași viteză), iar în domeniul electric și hidraulic corespunde elementelor legate în serie (caracterizate de aceeași intensitate a curentului electric în inginerie electrică sau același debit în hidraulică) [23, 35, 47, 48]. Aplicarea acestei legi este redată prin exemplul din figura 1.2:

Figura 1.2. Joncțiunea 1.

Relațiile caracteristice joncțiunii 1 sunt următoarele:

f1 = f2 = f3 (1.26)

e1 f1 – e2 f2- e3 f3 = 0 (1.27)

Ecuația (1.26) este ecuația de bază ce caracterizează joncțiunea 1, iar ecuația (1.27) reprezintă bilanțul de putere.

Din ecuațiile (1.26) și (1.27) rezultă:

e1 – e2 – e3 = 0 (1.28)

Echilibrarea eforturilor (tensiunilor în domeniul electric) se face cu semnul (+) sau (-), în funcție de sensul jumătăților de săgeată, dacă acestea intră sau ies în joncțiunea 1.

Relațiile care caracterizează o joncțiune 1 sunt:

Egalitatea fluxurilor pentru toate legăturile ce au o extremitate pe joncțiune;

Suma eforturilor este nulă.

Observație asupra joncțiunilor 0 și 1:

Joncțiunea 0 servește la asocierea elementelor supuse aceluiași efort, ceea ce corespunde:

în electricitate, la elemente paralel (tensiuni egale).

în mecanica 1D, la elemente serie (forțe egale);

Joncțiunea 1 servește la asocierea elementelor supuse aceluiași flux, ceea ce corespunde:

în electricitate, la elemente în serie (intensitățile curenților electrici egale).

în mecanica 1D, la elemente paralel (viteze egale) ;

Transformatorul TF sau joncțiunea TF

Transformatorul este un element de joncțiune ce are rolul de a transforma și conserva puterea. Acest element este reprezentat în figura 1.3:

Figura 1.3. Joncțiune TF.

unde pe figură s-a notat cu m-modulul transformatorului.

Transformatorul mai poate fi asociat cu un cuadripol [23, 35, 47, 48].

Relațiile care caracterizează acest element de joncțiune când se cunosc e2 și f1 sunt:

e1= m e2 (1.29)

f2 = m f1 (1.30)

Ca și exemplu pentru acest element de joncțiune (TF), pentru domeniul electric putem considera cazul transformatorului.

Această modelare este însoțită de o ipoteză simplificatoare care presupune neglijarea fenomenelor de inerție, de frecare și de încălzire, fenomene care antrenează pierderi de putere.

Dacă m nu este o constantă, atunci transformatorul este un transformator variabil notat MTF. Acest element este utilizat, de exemplu în mecanică (cazul unui reductor variabil, în cinematica mecanismelor).

Giratorul GY sau joncțiunea GY

Acest element de joncțiune GY asigură, ca și elementul de joncțiune TF, transferul de putere între domenii.

Transformarea puterii electrice în putere mecanică într-un motor de curent continuu este modelată printr-un element de joncțiune de tip GY având modulul egal cu coeficientul cuplului motorului.

Acest element este reprezentat ca în figura 1.4:

Figura 1.4. Joncțiunea GY.

Joncțiunea GY, (când se cunosc f1 și f2), este caracterizată de relațiile:

e1 = r f2 (1.31)

e2 = r f1 (1.32)

unde: r este modulul giratorului.

Componentele fizice ce pot fi modelate printr-un girator sunt mai puțin frecvente decât cele ce pot fi modelate cu ajutorul elementelor de joncțiune TF.

Dacă r este variabil, elementul de joncțiune este un girator variabil, notat MGY.

Observație: trebuie remarcat că elementele TF și GY sunt foarte importante pentru reprezentarea transformărilor de putere între domenii.

I.4 Procedura de construire și modelare a

grafurilor de legătură ale unor sisteme electrice

Există trei proceduri de construire a unui graf de legătură și anume:

Procedura de construire a unui graf de legătură pe baza fenomenelor fizice ce stau la baza sistemului modelat.

Procedura directă urmând definițiile pentru elemente, joncțiuni ținând cont și în acest caz de fenomenele fizice ce stau la baza sistemului.

Procedura de inserare a nodurilor, joncțiunilor și elementelor active și pasive după principii și legi bine stabilite.

Procedura de construire a unui graf de legătură pe baza fenomenelor fizice ce stau la baza sistemului modelat.

Cunoscând fenomenele fizice ce stau la baza sistemului modelat se descompune sistemul fizic complex pe domenii și anume:

Dacă sistemul considerat conține domenii mecanice, hidraulice, magnetice, electrice, sistemul se descompune în domenii distincte și conexiunea dintre domenii se realizează cu elemente de joncțiune de tip girator care asigură conservarea și transformarea puterii dintr-un domeniu în alt domeniu al fizicii.

Apoi pentru fiecare domeniu al fizicii, conform elementelor active, pasive și de joncțiune respectând fenomenele care se petrec în interiorul fiecărui domeniu se plasează elementele bond-grafului conectate între ele cu ajutorul joncțiunilor 0, 1, TF și GY.

2. Procedura directă urmând definițiile pentru elemente, joncțiuni ținând cont și în acest caz de fenomenele fizice ce stau la baza sistemului.

Pentru fiecare domeniu în parte se poate realiza o schemă echivalentă conținând elementele pasive și active conectate între ele prin joncțiunile 0, 1, TF și GY. Aceste elemente se determină conform definițiilor elementelor active și pasive pentru fiecare tip de energie corespunzător elementelor de tip rezistiv, inductiv și capacitiv, elementele pasive și active fiind conectate între ele prin joncțiuni de tip 0, 1, TF și GY, în funcție de egalitatea eforturilor sau fluxurilor, adică de tipul de conexiune serie sau paralel. Conexiunea între domeniile fizice diferite se face prin intermediul joncțiunilor de tip GY (girator), ținând cont de ecuațiile de conexiune dintre domeniile ce interacționează.

3. Procedura de construire a unui graf de legătură urmează întotdeauna următoarele etape:

Se fixează sensul de circulație al curentului.

Fiecărui nod de circuit de potențial diferit, i se asociază o joncțiune 0.

Se inserează joncțiuni 1 între joncțiunile 0, pentru a indica diferența de potențial și de a plasa elementele corespunzătoare circuitului.

Se trasează sensurile jumătăților de săgeți care corespund sensului intensității curentului electric prin element.

Se alege un punct particular ca și tensiune de referință (punct de nul) și se simplifică graful de legătură (dacă este posibil); nodurile tensiunilor de referință sunt eliminate și împreună cu ele toate legăturile care le sunt atașate.

Două legături atașate unei joncțiuni fără elemente pot fi unite într-una singură în cazul următor: dacă o legătură intră și alta iese din acea joncțiune.

Exemplu:

Considerăm schema electrică din figura 1.5:

Figura 1.5. Schema electrică.

Etapa 1: se fixează sensul curentului prin circuit.

Etapa 2: se vor poziționa joncțiunile 0 corespunzătoare punctelor de potențial diferit.

Etapa 3 și 4: se vor insera joncțiuni 1 între joncțiunile 0, ținând cont de sensul curentului prin circuit și se vor plasa elementele de circuit existente în schema electrică.

Etapa 5 : Joncțiunile 0 și 1 care nu au atașate elemente de tip R, C și I se vor uni. Apoi se va lua un nod de referință care se pune la potențial nul și toate legăturile atașate acelui nod se vor anula din graful de legătură.

Graful de legătură final, corespunzător schemei electrice din figura 1.5, este prezentat în figura 1.6:

Figura 1.6. Graful de legătură final.

I.5. Cauzalitatea

Graful de legătură constă în reprezentarea schematică a unui sistem în care apar schimburi de putere între elemente. Grafurile de legătură permit definirea structurii de calcul a sistemului, punând în evidență relațiile de cauzalitate în interiorul sistemului, ceea ce este un avantaj pentru reprezentările grafice [23, 35, 47, 48].

Pe baza acestor reprezentări cu grafuri de legătură, există programe specializate cum ar fi 20-SIM sau MS-1, care simulează și analizează mărimile de care avem nevoie, pentru analiza oricărui sistem fizic complex.

În cazul în care două sisteme A și B sunt cuplate și între ele se realizează un schimb de putere, P = e·f, există două situații ce trebuiesc luate în considerare:

Sistemul A transmite sistemului B un “efort” e, iar sistemul B reacționează prin transmiterea către sistemul A a unui “flux” f. Acest caz este reprezentat în figura 1.7.a;

Sistemul A transmite sistemului B un “flux” f, iar sistemul B reacționează prin transmiterea către sistemul A a unui “efort” e. Acest caz este reprezentat în figura 1.7.b;

(a) (b)

Figura 1.7. Sisteme cuplate.

Pentru a lua în calcul relațiile de cauzalitate a efectelor, pe reprezentările cu grafuri de legătură s-au introdus liniile cauzale.

Liniile cauzale sunt plasate, prin convenție, perpendicular pe legătură. Liniile cauzale indică, prin convenție, sensul efortului (întotdeauna efortul este îndreptat spre linia cauzală și fluxul iese din linia cauzală).

În figura 1.8.a și 1.8.b s-au reprezentat liniile cauzale corespunzătoare figurilor 1.7.a și 1.7.b.

(a) (b)

Figura 1.8. Reprezentarea liniilor cauzale.

Poziția liniei cauzale este în întregime independentă de sensul jumătății de săgeată.

Astfel, dacă reluăm exemplul precedent, transferul de putere de la sistemul A spre sistemul B, conduce la orientarea jumătății de săgeată de la A spre B cu două posibilități pentru linia cauzală, redate în figurile 1.9.a și 1.9.b.

(a ) (b)

Figura 1.9. Orientări posibile ale liniilor cauzale.

În figura 1.9 s-a reprezentat orientarea liniilor cauzale, respectiv a puterii pentru cazul din figura 1.7.a și b.

În figura 1.10 este reprezentată o schemă electrică simplă și relațiile de cauzalitate a efectelor, prezentate sub formă de schemă bloc și de graf de legătură cauzal.

(b)

(c)

Figura 1.10. (a) Schema electrică; (b) Schema bloc;

(c) Graful de legătură cauzal.

Atribuirea cauzalității nu este arbitrară, ci este supusă unor reguli ce vor fi prezentate în cele ce urmează.

I.5.1. Cauzalitatea impusă

Cauzalitatea impusă (obligatorie) se referă la surse [23, 35, 47, 48].

Efortul este întotdeauna impus de o sursă de efort și fluxul este întotdeauna impus de o sursă de flux. Acestea sunt date cunoscute pentru sistem, ceea ce impune poziția liniilor cauzale, ca în figura 1.11 a și b.

(a) (b)

Figura 1.11 (a) Atribuirea cauzalității pentru sursa de efort;

(b) Atribuirea cauzalității pentru sursa de flux.

I.5.2 Cauzalitatea elementelor pasive

Elementul R

În cazul liniar, avem 2 situații echivalente și anume:

Efortul se determină cu relația:

e = R·f (1.33)

dacă f (fluxul) este cunoscut pentru elementul R.

Fluxul este dat de relația:

(1.34)

dacă e (efortul) este cunoscut pentru elementul R.

Conform ecuațiilor (1.33) și (1.34) obținem două poziții pentru liniile cauzale și anume: pentru ecuația (1.33) se obține figura 1.12.a, iar pentru ecuația (1.34) se obține figura 1.12.b.

(a) (b)

Figura 1.12. Cauzalitatea pentru un element R.

Pentru un element R liniar, nu există cauzalitate preferențială, el adaptându-se potrivit situației ce rezultă din context.

Atunci când elementul R este neliniar, cauzalitatea nu mai este arbitrară și poate apare ca și o constrângere obligatorie, ca pentru surse.

În cazul unei diode, caracteristica curent-tensiune se exprimă prin relațiile:

Dacă: udiodă < uprag , atunci idiodă = 0; (1.35)

Dacă: udiodă uprag , atunci idiodă=(1/Rdiodă) udiodă (1.36)

Cauzalitatea se aplică asupra elementului R corespunzător, deci aici este obligatoriu a se reprezenta ca și în figura 1.13.

Figura 1.13. Cauzalitatea aplicată unei diode.

Elementele C și I

Considerând elementele C și I, putem scrie ecuațiile care caracterizează aceste două elemente sub două forme. Utilizând o primă modalitate de definire a elementelor C și I obținem ecuațiile [23, 35, 47, 48]:

sau (1.37)

Presupunem pentru elementele C și I că f (fluxul) este cunoscut și că e (efortul) este o consecință (un rezultat). Poziționarea liniilor cauzale pentru elementele C și I se reprezintă conform ecuațiilor (1.37), ca în figura 1.14 a și b:

(b)

Figura 1.14. Cauzalitate cu flux cunoscut.

Scriind relațiile care caracterizează elementele C și I sub forma de mai jos:

și (1.38)

vom obține o altă atribuire a cauzalității pentru elementele C și I, prezentată în figura 1.15 a și b.

Presupunând că e (efortul) este cunoscut pentru elementele C și I și că f (fluxul) este o consecință (un rezultat), poziționarea liniilor cauzale se face sub forma următoare:

(b)

Figura 1.15. Cauzalitate cu efort cunoscut.

Din considerente de ordin numeric și adesea fizic (este mult mai ușor de integrat decât de derivat), se va încerca să se atribuie elementelor C și I o cauzalitate numită “integrală” (deoarece este asociată unei legi de tip integral).

Observație: În multe cazuri este imposibil a se atribui tuturor elementelor I și C o cauzalitate integrală, de aceea se atribuie elementelor prioritare o cauzalitate integrală celelalte putând rămâne cu o cauzalitate derivată.

I.5.3 Cauzalitatea aplicată joncțiunilor

Joncțiunea 0

Reluăm exemplul prezentat în figura 1.1. Relațiile ce caracterizează acest element de joncțiune, sunt:

e1 = e2 = e3 (ecuația caracteristică joncțiunii 0) (1.39)

f1 + f2 – f3 = 0 (bilanț de putere) (1.40)

În legătură cu aceste ecuații trebuie pe de-o parte să specificăm care este efortul cunoscut din care rezultă celelalte eforturi (eforturile fiind egale), iar pe de altă parte trebuie definit care este fluxul care se calculează și care sunt fluxurile de valoare cunoscută (conform ecuației (1.40)) .

Presupunem că e2 este cunoscut, deci se poate scrie:

e1 = e2, e3 = e2, (1.41)

ceea ce conduce la poziționarea liniilor cauzale ca în figura 1.16. Acest lucru dă direct informații asupra fluxului, ceea ce permite să se scrie ecuația:

f2= -f1 + f3 . (1.42)

La o joncțiune 0, dacă se cunoaște un efort, celelalte eforturi rezultă din relația (1.39), ceea ce conduce la regula următoare: “în apropiere de joncțiunea 0 există o singură linie cauzală”.[ 23, 35, 47, 48]

Figura 1.16. Joncțiunea 0 cu cauzalitate.

Joncțiunea 1

Reluăm exemplul prezentat în cazul din figura 1.2. Relațiile ce caracterizează joncțiunea 1 sunt:

f1 = f2 = f3 (ecuația caracteristică pentru joncțiunea 1) (1.43)

e1 + e2 – e3 = 0 (bilanț de putere) (1.44)

Raționamentul este același ca și pentru joncțiunea 0. Un singur flux dă valoarea sa celorlalte (fluxurile sunt egale). Presupunem că acesta este f3, deci se poate scrie:

f1 = f3, f2 = f3, (1.45)

e3 = e1 + e2 (1.46)

Relațiile (1.45) și (1.46) ne dau graful de legătură cauzal reprezentat în figura 1.17:

Figura 1.17. Joncțiunea 1 cu cauzalitate.

Regula de atribuire a cauzalității se poate enunța astfel “în apropiere de joncțiunea 1 există o singură legătură fără linie cauzală”.

Joncțiunea TF

Există 2 posibilități de atribuire a cauzalității pentru joncțiunea TF. Relațiile caracteristice a unei joncțiuni TF se scriu, (dacă e2 și f1 sunt cunoscute), sub forma [23, 35, 47, 48]:

e1 = me2 (1.47)

f2 = mf1 (1.48)

sau (dacă e1 și f2 sunt cunoscute):

(1.49)

(1.50)

ceea ce conduce la un graf de legătură cauzal.

Regula de afectare a cauzalității se enunță astfel: “în apropierea joncțiunii TF (a transformatorului) există o singură linie cauzală”.[21]

Pentru ecuațiile (1.47) și (1.48) graful de legătură cauzal este cel din figura 1.18.a, iar pentru ecuațiile (1.49) și (1.50) graful de legătură cauzal este cel din figura 1.18.b.

(b)

Figura 1.18. Graful de legătură cauzal pentru o joncțiune TF.

Prin urmare, în figura 1.18 a și b sunt prezentate două situații distincte de cauzalitate pentru o joncțiune TF.

Joncțiunea GY

Ca și pentru cazul joncțiunii TF, pentru o joncțiune GY avem 2 posibilități de atribuire a cauzalității, în funcție de variabilele cunoscute.

Dacă fluxurile sunt cunoscute, atunci relațiile caracteristice joncțiunii GY se scriu:

e1 = r ·f2 (1.51)

e2 = r ·f1 (1.52)

iar pentru cazul în care eforturile sunt cunoscute, relațiile devin:

(1.53)

(1.54)

Ecuațiile (1.51) și (1.52) conduc la graful de legătură cauzal prezentat în figura 1.19.a, iar ecuațiile (1.53) și (1.54) conduc la graful de legătură cauzal prezentat în figura 1.19.b.

(a) (b)

Figura 1.19. Două situații de cauzalitate pentru joncțiunea GY

Capitolul II

Reprezentarea cauzală a grafurilor de legătură

Modelul cu grafuri de legătură al unui sistem fizic dinamic este o reprezentare intermediară între schema fizică și modelele matematice asociate sistemului (ecuații de stare, funcții sau matrici de transfer). Grafurile de legătură indică nu numai arhitectura sistemului ci și organizarea ecuațiilor, cu punerea în evidență a cauzelor și efectelor care intervin între elemente. Acest lucru se realizează prin liniile cauzale. Această proprietate este fundamentală deoarece ea permite o aproximare sistematică și organizată pentru scrierea relațiilor ce caracterizează sistemul, ceea ce conduce la o combinare a ecuațiilor diferențiale și algebrice, date de reprezentarea cu grafuri de legătură cauzale.

La dispoziția utilizatorului stau adesea și alte posibilități, foarte interesante ce reies din natura grafică a unui graf de legătură și din structura sa cauzală. Ele sunt obținute plecând de la parcurgerea grafului de legătură, urmărind căile privilegiate, numite căi cauzale, independente de orientarea puterii între legături .

II.1. Căi și bucle cauzale

II.1.1. Definiții

O cale cauzală într-o structură de joncțiune a unui graf de legătură este o alternanță de legături și elemente de bază numite aici ”noduri”, astfel încât toate nodurile să aibă o cauzalitate completă și corectă, iar două legături ale căii cauzale să aibă în același nod, orientări opuse [23, 35, 47, 48].

O cale cauzală este simplă dacă ea este parcursă urmărind întotdeauna aceeași variabilă. Există deci în aceeași secvență de linii și noduri două căi, una urmărind efortul, iar alta urmărind fluxul, ca în figura 2.1.

Figura 2.1. Exemplu de cale cauzală.

O cale cauzală este mixtă dacă trebuie făcută o schimbare de variabilă pe parcurs. Atunci când pe calea cauzală avem un element girator GY, calea cauzală se numește cale cauzală mixtă directă și este reprezentată în figura 2.2.(a).

În cazul în care de-a lungul căii cauzale trebuie să traversăm un element de tip R, C sau I, atunci calea cauzală se numește cale cauzală mixtă indirectă, reprezentată în figura 2.2 (b).

Figura 2.2 (a). Cale cauzală mixtă directă.

Figura 2.2 (b). Cale cauzală mixtă indirectă.

O linie de acțiune reprezintă o cale cauzală între o sursă și o ieșire. Linia de acțiune poate fi reprezentată în modelul cu grafuri de legătură printr-un detector.

O buclă cauzală reprezintă o cale cauzală închisă între două elemente de tip R, C sau I, cu parcurgerea acelorași legături în aceleași direcții, numai o singură dată. Ea este reprezentată în figura 2.3.

O buclă de cauzalitate este o succesiune de joncțiuni și de legături formând o cale cauzală închisă.

Figura 2.3. Exemplu de buclă cauzală.

Un ochi este o cale cauzală închisă, parcursă plecând de la un element și revenind la același element, parcurgând câteva legături după o singură variabilă.

II.1.2. Transmitanța elementelor pasive

În cazul liniar, relația între variabila de intrare și variabila de ieșire a unui element I-port (I, C sau R) se poate scrie sub formă simbolică utilizând operatorii simbolici Laplace ”s” asociați cu derivarea în raport cu timpul, sau invers, ”” asociați cu integrala în raport cu timpul.

Se numește transmitanță (sau câștig) al unui element, raportul între variabila de ieșire și variabila de intrare exprimat sub formă simbolică, astfel:

Figura 2.4. Modelul cu grafuri de legătură al unui element de tip C.

Elementul C în cauzalitate integrală, are legea elementară:

(2.1)

sau:

(2.2)

Transmitanța unui element C în cauzalitate integrală este: .

Elementul C în cauzalitate derivată are legea elementară:

(2.3)

sau: F(s) = C·s·E(s).

Reprezentarea sa cu grafuri de legătură este:

Figura 2.5. Reprezentarea cu grafuri de legătură a unui element C în cauzalitate derivată.

Transmitanța unui element C în cauzalitate derivată este: C·s.

Transmitanțele elementare pentru elementele I și R, sunt :

(cauzalitate integrală) și I·s (cauzalitate derivată);

R și .

Transmitanțele elementelor pasive se pot sintetiza în tabelul 2.1. astfel:

Tabelul 2.1. Transmitantele elementelor R, I și C aflate în cauzalitate integrală sau derivată:

II.1.3. Transmitanța căii cauzale directe sau mixte

Transmitanța sau câștigul unei căi cauzale directe sau mixte, având indicele i, se calculează cu relația [23, 35, 47, 48] :

(2.4)

unde:

n0 reprezintă numărul total de schimbări de orientare ale legăturilor pe joncțiunea 0, când urmărim variabila flux.

n1 reprezintă numărul total de schimbări de orientare ale legăturilor pe joncțiunile 1, când urmărim variabila efort.

mj, și rk , sunt modulele elementelor de tip transformator TF și de tip girator GY care intervin în căile cauzale. Ele depind de cauzalitatea care este afectată elementelor TF, respectiv GY.

Atunci când căile cauzale sunt indirecte și trec prin elementele R, C și I, trebuie multiplicată expresia precedentă a câștigului prin transmitanțele elementelor traversate.

II.1.4. Transmitanța buclei cauzale

Când două porți sunt conectate cauzal, iar graful său de legătură este compus dintr-o buclă cauzală notată cu i, câștigul de buclă Bi este obținut cu relația următoare [23, 35, 47, 48]:

(2.5)

unde: n0 și n1 sunt definiți ca și în cazul precedent și reprezintă produsul câștigurilor elementelor buclei.

Considerăm ca și exemplu schema din figura 2.7 și graful său de legătură reprezentat în figura 2.8:

Figura 2.6. Schema electricǎ analizatǎ.

Figura 2.7. Graful de legătură asociat schemei din figura 2.6.

Pe graful de legătură vom observa patru bucle cauzale:

între C1 și L1 , conform figurii 2.8:

Figura 2.8. Bucla cauzalǎ 1.

Transmitanța buclei este: .

Între L1 și R1 , conform figurii 2.9:

Figura 2.9. Bucla cauzalǎ 2.

Această buclă cauzală are transmitanța:

(2.6)

Între R1 și C2, conform figurii 2.10:

Figura 2.10. Bucla cauzalǎ 3.

Transmitanța acestei bucle cauzale este dată de relația:

(2.7)

între C2 și L2 , conform figurii 2.11:

Figura 2.11. Bucla cauzalǎ 4.

Această buclă cauzală are transmitanța:

(2.8)

Transmitanța căii cauzale intrare-ieșire este:

Capitolul III

Proprietăți bicauzale ale unui

graf de legătură

În acest capitol este prezentat conceptul de bicauzalitate și problemele ce le implică prezentarea noțiunilor de bicauzalitate (directă și inversă) și analizarea formei generale a modelului algebro-diferențial care îi este asociat.

III.1. Noțiuni de graf de legătură bicauzal

III.1.1. Bicauzalitatea în reprezentarea cu grafuri de legătură

Între două subsisteme, A și B, conectate printr-o linie de putere, avem egalitatea variabilelor de efort și egalitatea variabilelor de flux [22,23,57]:

(3.1)

Plecând de la aceste două egalități, putem defini 4 relații de atribuire a cauzalității, deci 4 scheme de calcul:

(3.2)

Figura 3.1 (a) Cauzalitate convențională.

(3.3)

Figura 3.1 (b) Cauzalitate convențională

Relațiile (3.2) și (3.3) de atribuire a cauzalității și cele 2 grafuri de legătură ale figurii 3.1 (a) și (b) corespund cauzalității convenționale.

Pentru a lua în considerare existența celorlalte 2 scheme, P. Gawthrop a introdus conceptul de linie bicauzală care constă în împărțirea liniei cauzale convenționale în două jumătăți de linii cauzale, una precizând relația de atribuire a eforturilor și cealaltă referitoare la flux, cu convenția obișnuită a poziționării liniei cauzale.

Relațiile (3.4) și (3.5) de atribuire a cauzalității și cele 2 grafuri de legătură ale figurii 3.2 (a) și (b) corespund următoarelor grafuri de legătură bicauzale:

(3.4)

(3.5)

(a)

(b)

Figura 3.2. Grafuri de legătură bicauzale.

Introducerea noțiunii de linie bicauzală conduce la introducerea de elemente suplimentare, pentru a lua în considerare posibilitățile de impunere în mod simultan din punct de vedere al calcului, atât a efortului cât și a fluxului. Aceste elemente suplimentare sunt elementele sursă dublă (SS) și elementele detector dublu (DD). În cazul în care graful de legătură nu are elemente multiport de înmagazinare sau de disipare, propagarea bicauzalității nu se poate efectua decât pe lungimea liniilor și a elementelor ce compun structura joncțiunii, adică de-a lungul grafului de legătură ce conține elementele TF, GY și joncțiunile 0 și 1.

Este convenabil deci, de a determina în prealabil diferite grafuri de legătură bicauzale care pot fi asociate acestor elemente.

Printre altele, legătura de putere asociată la un port, unui element I, C sau R, nu poate deveni o linie bicauzală decât în cazul în care avem un obiectiv clar de calcul, cum ar fi atribuirea bicauzalității, pentru determinarea valorii parametrului ce caracterizează acea componentă.

Ținând cont de definițiile date mai sus, partea bicauzală a unui graf de legătură nu conține decât elemente de înmagazinare și de disipare de energie la un port. Trebuie obligatoriu să începem printr-o sursă dublă (deci variabila impusă poate fi nulă sau nu) și trebuie să terminăm printr-un detector dublu sau printr-un element I, C sau R precedat de o linie de putere bicauzală. Ansamblul grafurilor de legătură bicauzale asociate elementelor de bază în limbaj grafic cu grafuri de legătură este prezentat în tabelul 3.1.

III.1.2. Procedura de propagare a bicauzalității

O parte a unui graf de legătură poate rămâne bicauzală dacă sunt satisfăcute un anumit număr de condiții care vor fi studiate în cele ce urmează.

Sursei reale și sursei fictive i se impune o valoare la originea părții bicauzale, iar sursa fictivă asociată detectorului se presupune ca fiind dată. Propagarea cauzalității se efectuează urmând calea cauzală cea mai scurtă pe graful de legătură, cu cauzalitatea integrală urmărind variabilele impuse, de la sursă la variabilele detectate, conform procedurii următoare [24,25, 26, 57]: :

Înlocuirea sursei reale sau sursei fictive de valoare nulă, impusă, printr-o sursă dublă;

Înlocuirea (dacă este necesar) a sursei fictive asociată detectorului printr-un detector dublu;

Tabelul 3.1. Ansamblul grafurilor de legătură bicauzale asociate elementelor de bază în limbaj grafic cu grafuri de legătură.

Propagarea independentă, din aproape în aproape, a cauzalității în efort sau în flux, respectând implicațiile obișnuite de cauzalitate și urmând liniile structurii de joncțiune, aparținând unei căi cauzale, definite pe graful de legătură în cauzalitate integrală.

III.1.3. Probleme care implică utilizarea conceptului de

bicauzalitate

Prima aplicație privind propagarea în mod separat a cauzalității în efort și în flux pe un graf de legătură, a fost dată de Cornet și Lorenz. Uneori, această aplicație a fost limitată la considerații de manipulare a ecuațiilor, într-un context de programare, fără a pretinde o anumită metodologie.

Astfel, interesul propagării independente a cauzalității în efort și în flux nu a fost foarte clar, până la definirea bicauzalității dată de Gawthrop care, după cum se va vedea, extinde conceptul de cauzalitate prin aceeași posibilitate de exploatare analitică a grafului de legătură.

Introducerea pe un graf de legătură acauzal a elementelor de bicauzalitate (sursa dublă și detectorul dublu), asociate cu propagarea bicauzalității, furnizează o metodă grafică de studiu a problemelor practice, ca de exemplu inversarea sistemului, estimarea stării inițiale, estimarea parametrilor, etc.

Vom ilustra aceste considerente utilizând un exemplu al unui sistem mono-intrare și mono-ieșire ce cuprinde o sarcină acționată de un motor de curent continuu. Schema fizică idealizată a acestui sistem și graful său de legătură acauzal sunt date în figura 3.3 (a) și respectiv 3.3 (b).

Figura 3.3 (a). Schemă fizică idealizată.

Figura 3.3 (b) Graf de legătură acauzal.

Grafurile de legătură bicauzale sunt obținute utilizând procedura următoare:

Pe graful de legătură acauzal se introduce un element sursă / detector și o joncțiune asociată la variabila impusă (adesea variabila de ieșire sau de măsură);

Pe graful de legătură în cauzalitate integrală se găsesc căile cauzale intrare/ieșire și se determină calea cauzală cea mai scurtă;

Înlocuirea elementului sursă/detector printr-o sursă dublă (SS) și a sursei printr-un element dublu detector (DD);

Propagarea bicauzalității în sens opus căii cauzale intrare/ieșire (a sursei duble sau a detectorului dublu), urmând calea cauzală cea mai scurtă și trecând doar prin linii care aparțin structurii de joncțiune;

Afectarea cauzalității (de preferință integrală) pentru restul grafului de legătură fără cauzalitate.

Inversarea sistemului: în acest caz ieșirea sistemului y(t) este dată și dorim să determinăm comanda corespunzătoare, u(t), a sistemului.

Dubla sursă (SS) înlocuiește elementul sursă/detector referitor la variabila y(t), iar dublul detector înlocuiește sursa, cum este prezentat în figura 3.3 (c).

Figura 3.3 (c). Graf de legătură bicauzal asociat sistemului invers.

Estimarea de stare: în acest caz variabila măsurată este dată și noi dorim să determinăm starea inițială a elementului de înmagazinare de energie. Dubla sursă (SS) este introdusă pe linia asociată variabilei măsurate, iar linia de putere a elementului de stocaj devine bicauzală, deci rămâne să se estimeze starea inițială, cum este ilustrat în figura 3.3 (d).

Figura 3.3. (d). Graf de legătură bicauzal asociat estimării de stare.

Variabila efort a unui element C în cauzalitate integrală are expresia:

(3.6)

În acest caz variabilele ec(t), fc(t) și parametrul C sunt cunoscuți, putându-se obține starea inițială q0.

Estimarea parametrilor: în acest caz, similar estimării de stare, variabila de măsură este dată și dorim să determinăm un parametru care implică introducerea dublei surse (SS) în locul detectorului și de a propaga bicauzalitatea dublei surse a elementului, deci dorim să estimăm parametrul R, cum este prezentat în figura 3.3 (e).

Figura 3.3. (e). Graf de legătură bicauzal pentru estimarea parametrilor.

Capitolul IV

Modelarea dispozitivelor și circuitelor

magnetice cu ajutorul grafurilor de legătură

Circuitele magnetice intră în componența majorității dispozitivelor electrice sau electromagnetice utilizate în practică. Până în prezent au fost realizate modele multiport ale acestor dispozitive, dar pentru o analiză mai detaliată este necesară modelarea în detaliu a fluxului magnetic.

Deci, pentru a realiza proiectarea, de exemplu a unui motor, a unui solenoid sau a unui transformator, este necesară realizarea unui model detaliat, cu toate că în multe aplicații este suficientă utilizarea unui model multiport general, care descrie numai comportamentul extern al portului.

IV.1. Variabila de efort și de flux în cazul

circuitelor magnetice

Bobina toroidală reprezentată în figura 4.1 poate servi ca model ideal pentru definirea variabilelor magnetice și pentru realizarea reprezentărilor cu grafuri de legătură ale circuitelor magnetice. Dacă torul este realizat din oțel moale, este de presupus că dispozitivul are comportamentul unei inductanțe, care prezintă o relație liniară între curentul i și fluxul λ, cel puțin pentru valori relativ mici ale lui i.

Acest model nu redă efectele fizice din interiorul bobinei.

În interiorul miezului de oțel este indus un flux magnetic, atunci când prin bobină trece un curent.

Se va nota fluxul total cu φ, care se măsoară în Weber (Wb). Pentru variabilele magnetice se mai folosesc și alte unități de măsură dar, pentru simplitate, sunt preferate cele din Sistemul Internațional (SI).

Câmpul magnetic poate fi descris de vectorul inducție magnetică (B), care se mai numește și vectorul de densitate a fluxului magnetic și care se măsoară în Tesla (1 T = 1 Wb/m2). Mărimea lui B corespunde fluxului ce trece prin elementul de suprafață așezat perpendicular pe liniile de flux, iar direcția lui B este de-a lungul liniilor de flux [33,34,35,39,44,54,58].

Figura 4.1. Bobină toroidală.

În figura 4.1 putem presupune că fiecare dintre cele N spire de pe miez sunt înlănțuite de întreg fluxul φ, deci fluxul total Φ va fi:

Φ = N·φ (4.1)

În practică, atunci când sunt plasate pe miez mai multe straturi de spire, unele nu sunt înlănțuite de întreg fluxul. În acest caz, numit uneori ca fiind cazul în care avem “scăpări” de flux, ecuația (4.1) poate rămâne valabilă, cu excepția faptului că N (care este un număr adimensional) va reprezenta numărul efectiv de spire, în loc de numărul total de spire. În cele ce urmează, se va face referire la N ca fiind numărul de spire, fără a se face precizarea că reprezintă numărul efectiv de spire.

Prin diferențierea ecuației (4.1) în raport cu timpul, se obține relația între tensiunea de intrare e și variabila magnetică care este: (4.2)

care reprezintă legea lui Faraday, aplicată bobinei (unde cu se va nota derivata în raport cu timpul, a variabilei x).

Forța care determină fluxul prin bobină, se numește forță magnetomotoare M și este proporțională atât cu numărul de spire, cât și cu curentul care parcurge bobina:

M = N·i (4.3)

Forța magnetomotoare M, care este analoagă forței electromotoare, are aceeași unitatea de măsură ca și curentul, adică amperul (A), deși este definită în mod convențional ca amper-spiră (A∙s), în ciuda faptului că N este adimensional. La modul ideal, în cazul fără pierderi, M și sunt legate printr-o relație liniară sau neliniară. Această relație este ilustrată în figura 4.2.

(a) (b) (c)

Figura 4.2. Caracteristici de material.

În figura 4.2.a este ilustrată o relație tipică pentru un miez din material feromagnetic. Un material feromagnetic „moale” este ușor magnetizabil și demagnetizabil, prin intermediul unei bobine parcurse de curent, adică un material pentru care relația dintre M și φ este redată printr-o singură curbă, astfel încât dacă M = 0 φ = 0. Materialele feromagnetice “tari”, utilizate ca magneți permanenți, prezintă o buclă de histerezis atunci când M este ciclică, iar φ poate rămâne mare (ca valoare) chiar dacă M = 0.

O atenție deosebită este acordată materialelor feromagnetice moi care prezintă un efect de saturație. Creșterea lui φ duce la încetinirea creșterii lui M și practic există o valoare limită a fluxului, pe care miezul o poate atinge atunci când M este foarte mare (cea mai mare parte a oțelurilor se saturează la valori ale lui B mai mici de 2 T) [33,34,35,39,44,54,58].

Pentru a caracteriza materialul din care este realizat un miez, este convenabil să se reprezinte o curbă independentă de configurația miezului. Pentru aceasta este utilizată frecvent așa-numita “curbă B-H”. În figura 4.2.b este reprezentată variația amplitudinii vectorului B în funcție de raportul dintre fluxul și suprafața S parcursă de acest flux (B=f(φ/S)).

Această cale de a calcula pe B ar fi exactă dacă fluxul ar fi uniform distribuit în interiorul miezului. Forța de magnetizare sau intensitatea câmpului magnetic (H), reprezintă forța magnetomotoare pe unitatea de lungime și se măsoară în amper-spiră pe metru (A ∙ Sp / m). Pentru o bobină toroidală, H este dat de raportul între M și lungimea liniei ce trece prin centrul miezului, l.

Când se dă o singură curbă B-H, avem un material izotrop, adică relația dintre B și H este aceeași indiferent cum este orientat câmpul în material. Pentru anumite structuri cristaline această relație nu este valabilă, putându-se determina diferite curbe B-H, pentru diferite orientări a lui B.

În figura 4.2.c sunt prezentate caracteristicile de intrare ale inductorului, obținute prin modificarea curbelor M – sau B – H, prin intermediul lui N. Se observă că efectul de saturație corespunde unei porțiuni neliniare a elementului I. Calcularea inductanței bobinei (L) prezintă interes și va fi tratată în continuare. Presupunând că curbele din figura 4.2 pot fi aproximate printr-o dreaptă ce trece prin origine, L poate fi determinată cu relația (4.4) :

(4.4)

Panta inițială a curbei B – H este cunoscută sub denumirea de permeabilitate (μ) și se măsoară în H / m sau T ∙ m / A :

(4.5)

astfel încât: . Vidul are permeabilitatea μ0, iar μ se exprimă ca o permeabilitate relativă, adică valoarea lui B / H este dată de μ · μ0 și nu numai de μ.

Pentru întreaga bobină, panta curbei M – în regiunea liniară, se poate exprima în două moduri.

Permeanța P, este dată de relația:

(4.6)

Reluctanța R este dată de relația:

(4.7)

Tabelul 4.1 cuprinde variabilele magnetice și parametrii discutați anterior, cu unitățile lor din SI și unele remarci privind valorile lor tipice.

Tabelul 4.1

Parametrii L, R și μ sunt reprezentați în figura 4.2, prin pantele curbelor prezentate.

Pentru a putea trece la analiza circuitelor și dispozitivelor magnetice, este util să se facă o clasificare a variabilelor (cum ar fi M și φ) și a parametrilor (cum ar fi P și R). Reluctanța a fost considerată uneori ca fiind analoagă cu rezistența electrică, fluxul analog cu intensitatea curentul, iar forța magnetomotoare analoagă cu forța electromotoare. Deși această analogie poate fi utilizată, nu este satisfăcătoare pentru un graf de legătură, deoarece un rezistor electric disipă energia, în timp ce o bobină (având o anumită reluctanță) înmagazinează energia. De fapt, permeanța și reluctanța sunt parametrii liniari ai elementelor C sau I, din grafurile de legătură.

Din punct de vedere al unui graf de legătură pare acceptabil că forța magnetomotoare M trebuie să fie un efort, dar curgerea nu ar trebui să fie un flux ca în analogia tradițională, ci mai degrabă o derivată de timp a modificării fluxului, . Cu o astfel de analogie se pot studia sisteme dinamice care conțin elemente electrice și mecanice, dar și elemente de circuit magnetice.

Presupunem că în ecuațiile de bază 4.2 și 4.3, identificăm ca fiind variabila de flux, iar M ca fiind variabila de efort. În acest caz, N este evident un parametru de tip girator. În plus, când φ este variabila de deplasare, ecuația 4.6 arată că P (permeanța) este un parametru de tip C și R (reluctanța) este inversul parametrului de tip C. Toate aceste relații sunt înglobate în graful de legătură din figura 4.3. Giratorul este necesar dacă dorim să considerăm atât forța electromotoare cât și forța magnetomotoare, ca fiind variabile de efort.

Figura 4.3. Graful de legătură al unui circuit magnetic simplu.

Clasificarea variabilelor care vor fi utilizate, este prezentată în tabelul 4.2. De notat că în cazurile liniare este aplicat doar parametrul de tip C.

Prin urmare, circuitele magnetice implică doar elemente C neliniare, cu caracteristicile prezentate în figura 4.2.

Tabelul 4.2. Variabilele și parametrii mecanici, electrici și magnetici ai grafurilor de legătură.

Capitolul V

Exemple electromecanice

V.1. Senzor magnetic cu un magnet permanent

În figura 5.1 este prezentat un senzor de seism care poate fi folosit pentru a măsura viteza de deplasare sau accelerarea unui corp. Figura prezintă un magnet permanent de masă M care este susținut de un arc și există o anumită amortizare vâscoasa între magnet și capac. Bobina electrică este fixată pe capacul exterior. Bobina se presupune că are o lungime L, o rezistență R a bobinei și inductanța bobinei L, respectiv magnetul permanent exercită un câmp de inducție magnetică B. Sistemul este activat prin mișcarea de bază, ceea ce duce la deplasarea bobinei în câmp magnetic, destinat să reducă liniile de forță. Aceasta induce o tensiune în bobină iar tensiunea măsurată pe R din (ieșirea rezistenței) lucrează ca ieșire din senzor. Reprezentarea bond graph a sistemului este reprezentată în figura 5.2

Schema senzorului

Figura 5.1

Modelul bond graph al senzorului

Figura 5.2

Elementul gyrator GY în model reprezintă transformarea din domeniul mecanic în domeniul electric (prin magnetism). În acest caz particular există un magnet permanent de rezistență R și lungimea bobinei în câmpul magnetic este l. Rata de schimbare, deplasare (viteza) de pe partea mecanică este direct responsabilă pentru tensiunea indusă pe partea electrică în bobină.

Eforturile pe această joncțiune 0 sunt egale iar relația se poate scrie :

și forțat pe partea mecanică datorită mișcării bobinei; care este un efort mecanic dat de relația :

e=Bl

astfel raportul giratorului r =Bl.

Simulare folosind metoda bond graph-program de simulare 20 SIM.

Sistemul de mai sus este simulat folosind reprezentarea grafică din figura 5.2.

Valorile parametrilor sunt prezentate în figura 5.3.

Rezultatele de ieșire se poate observa din figura de simulare prezentată în figura 5.4

Pentru a simula cu o sensibilitate mai mare un senzor seismic, intrarea este modificată prin adăugarea unor zgomote aleatore și simularea se face din nou. Graficul simulate sunt cele prezentate în figura 5.4 sunt generale.

Figura 5.3- valorile parametrilor de simulare

Figura 5.3

Tensiunea indusă simulată în funcție de timp este reprezentată în figura 5.4

Figura 5.4

V.2. Senzorul piezo-electric

Comportamentul piezo-electric care poate fi observant în unele materiale naturale și unele materiale artificiale, este un comportament în care un potențialul electric poate fi indus în material prin aplicarea unei forțe și invers. Exemple de materiale care prezintă acest tip de comportament care apar în mod natural sunt de cristal, cuarț și sare Rochelle. Există multe materiale pizo electrice artificiale cum ar fi titanat de bariu (BaTiO3), sulfat de litiu (LS), și titanat de zirconiu plumb (PZT).

Conversia de impulsuri electrice în mișcare mecanică și transformarea mișcării mecanice în energie electrică este principiul de bază pentru senzorul piezo electric de cristal. Elementul activ este inima traductorului deoarece transformă energia electrică în energie mecanică și invers. Elementul activ este de fapt o bucată de material polarizat (de exemplu, unele părți ale moleculei sunt încărcate pozitiv, în timp ce alte părți ale moleculei sunt încărcate negativ) cu electrozi atasați la două dintre fețele sale opuse. Când un câmp electric este aplicat pe material, moleculele polarizate se vor alinia ca și câmpul electric, rezultând dipoli induși în structura moleculară sau de cristal a materialului. În plus, un material polarizat permanent cum ar fi cuarțul (SiO2) sau titanat de bariu (BaTiO3), va produce o forță electrică. Acest fenomen este cunoscut ca efectul piezoelectric. prafață Pentru a măsura cu un sensor de masură forța, va trebui să măsurăm sarcina de pe suprafață a acestui cristal. Un sensor care utilizeaza un cristal piezo electric este realizat utilizând două plăci de metal realizând astfel un condensator. O forță externă provoacă o deformare a cristalului și determină o energie consumată în plus. În regiunea de operare va rezulta o forța mai mare pe suprafața de încarcare. Această sarcină are ca rezultat o tensiune:

unde: Qf este sarcina care rezultă dintr-o forță F, iar C este capacitatea dispozitivului. În modul descris mai sus, piezoelectricul acționează cristalul care transformă forța mecanică în sarcină electrică. Alternativ, dacă s-ar aplica o tensiune la plăcile sistemului descris mai sus, câmpul electric rezultant ar provoca o deformare a materialului.

Un exemplu de traductor piezoelectric se poate utiliza atât în calitate de emițător la cele și de receptor. Figura 5.12 ne arată două configurații de tip posibil, în care senzorul piezo electric poate fi acționat.

Figura 5.5

În primul caz, axa de forță și diferența de tensiune care este măsurată, sunt atât longitudinale cât și transversale.

Pentru a modela senzorul piezo-electric se poate lua în considerare următoarele seturi de relații.

Sarcina indusă în cristal este direct proporțională cu deformarea în cristal și tensiunea indusă este direct proporțională cu forța aplicată. Relațiile pot fi scrise:

F = ntrU

unde ntr este modulul transformatorului (sau factorul de proporționalitate). Referitor la efort și la deplasare ecuația poate fi modificată astfel:

unde d33 este constanta piezoelectricului de încărcare, cunoscută sub numele de coeficient piezo electric, de-a lungul direcției 3-3 sau direcția longitudinală. Dacă forța ar fi perpendicular pe direcția de măsurare a tensiunii, constantă ar fi diferită și este reprezentă de d31.

Pe partea electrică de tensiune și încărcătură sunt legate prin capacitate în cristalul piezoelectric în mod similar. Dacă există mai multe straturi de sensore factorul transformator devine:

unde n este numărul de straturi.

Luăm în considerare o situație în care senzorul piezo electric urmează să fie utilizat pentru a măsura presiunea în interiorul unei camera. Schema de sistem este prezentat în figura 5.13. Acest exemplu este preluat din lucrarea de Cui et al, (2005).

Figura 5.13 arătat o mulțime de "n" de cristal pizo care au o masa de M, iar rigiditatea de montare și coeficientul de amortizare este indicat în figură. Pe partea electrică, tensiunea generată de cristalul piezoelectric este prezentată ca o sursă de tensiune, care este conectată la capacitatea de cristal și R reprezintă rezistența de scurgere în întreaga capacitate piezo. Tensiunea este măsurată în întreaga capacitate.

Figura 5.6

Modelul bond graph al sistemului este prezentat în figura 5.7

Figura 5.7

Datele utilizate în simularea acest sistem sunt următoarele (Cui et al, 2005):

Figura 5.8

Factorul de transformare al transformatorului se calculează astfel:

Rezistența de scurgere în circuit joacă un rol important. Odată ce se încarcată peste senzorul piezo, rezistența de scurgere și rezistența în dispozitivul de măsurare începe descărcarea condensatorulul, circuitului RC eficient (de exemplu, este dependentă de valoarea RC). Astfel, în realitate circuitele de condiționare a semnalului sunt necesare pentru a modifica tensiunea de ieșire a acestui senzor, astfel încât tensiunea să poată fi măsurată direct. Acest lucru poate fi realizat printr-un circuit de amplificare sau încărcare.

În rezultatele prezentate, acest efect este demonstrat prin varierea valorii rezistenței de șuntare. Inițial rezistența de șuntare este alesă ca o valoare doar de calcul de 1000 Ω; rezultatele simulării sunt prezentate în figura 5.9.

Figura 5.9

Apoi valoarea rezistenței de șuntare este crescută la 109 Ω ( în mod arbitrar) și iar rezultatul este prezentat în figura 5.10.

Figura 5.10

V.3. Senzorul gyroscopic

Acest senzor este folosit pentru a măsura inclinarea sau rotația unghiulară în rolă, girație, ori gradul de direție. Acesta este o componentă foarte importanta în sistemul de stabilizare al vehiculelor. Giroscoapele tradiționale sunt de obicei mari și voluminoase.

Dar tehnologia MEMS a permis proiectanților să proiecteze și să fabrice senzor giroscopic la dimensiuni micro. Schema prezentată în figura 5.11 prezintă vederi de proiectare folosite pentru aceste tipuri de giroscoape. Proiectarea constă dintr-o masă care este montată în interiorul unei carcase și este liberă să vibreze în două direcții reciproc perpendiculare, așa cum se arată în figură, după axele x și y. Carcasa la rândul său este montată pe un corp care se poate înclina spre axa Z (axa perpendiculară pe direcția X și Y) și prin urmare carcasa se înclină odata cu corpul. Această rotație unghiulară a carcasei interacționează cu vitezele în direcțiile X și Y. Aceste forțe se numesc forțe Coriolis.

Schema senzorului giroscop este prezentată în figura 5.11.

Figura 5.11

În figura 5.12 este prezentat bond graful sistemului girator. Modelul bond graph reprezintă legătura sistemul de amortizor de masă și arc cu un grad de libertate în ambele direcții X și Y. Rotația în jurul axei Z este modelată prin sursa generatoare de flux, care la rândul său generează forțele Coriolis pentru mișcarea direcției X și Z. Simularea a fost realizată utilizând valorile parametrilor prezentate în figura 5.13

Figura 5.12

Parametrii folosiți pentru simularea senzorului giroscop sunt prezentați în figura de mai jos:

Figura 5.13

Valorile obținute în urma simulării, variabila de efort – forța în funcție de timp este prezentată în figura 5.14.

Figura 5.14

V.4. Traductoare mecanice

Vom lua în considerare senzorul care utilizează mișcareaa unui dispozitiv mecanic, de exemplu un dipozitiv cu arc, masă și amortizor pentru a sesiza semnalul care trebuie urmărit (figura 5.22). Unele exemple foarte frecvente de senzori care se încadrează în această categorie sunt accelerometrele, seismometrele și altele. Acestea și alți senzori pot folosi mișcarea pentru a măsura mărimi cum ar fi: forța, viteza, deplasarea, debitul, presiunea, temperatura și așa mai departe. Construcția de bază a acestor senzori este simplă și constă într-un sistem cu arc-amortizor și masă așa cum se arată în figură. Bond graphul este prezentat în figura 5.22.

Figura 5.15

Pentru a explora modul în care funcționează acest concept putem lua în considerare bond graphul din figura 5.23. Se adaugă o casetă derivată pentru a calcula accelerația. Elementele I, C și R reprezintă masa, coeficientul de rigiditate și coeficientul de amortizare. Intrarea la sursa de flux MSf este o funcție cosinus. Parametrii utilizați pentru analiză sunt prezentați în figura 5.24.

Bond graphul modificat este prezentat în figura 5.23.

:

Figura 5.15

Pentru acest set de parametrii activitatea de seism este prezentată în figura 5.17, ca și o variație de flux pe senzorul de mișcare în funcție de timp.

Parametrii utilizați în această simulare sunt:

Figura 5.16

Figura 5.17 reprezintă variația de flux pe senzorul de mișcare în funcție de timp.

Figura 5.17

Concluzii

Modelarea Bond Graph a proceselor biotehnologice este mai rapidă decât modelarea

clasică, permițând cu ajutorul mediului de modelare și simulare 20sim (produs al Controllab

Products B.V. Enschede, Netherlands) obținerea evoluției în timp a variabilelor de stare. De

asemenea, plecând de la modelul Bond Graph pot fi stabilite proprietățile structurale în mod

natural, lucru dificil de realizat utilizând metode clasice.

Prezenta lucrare răspunde tendințelor actuale în domeniul modelării prin Bond Graph

aducând o contribuție necesară în modelarea proceselor termochimice și biotehnologice prin

dezvoltarea metodologiei de bază.

Studiul elaborat în cadrul acestei lucrări a evidențiat importanța modelării utilizând

metodologia Bond Graph a proceselor tehnologice, în special datorită coexistenței fenomenelor

mecanice, electrice, termice și chimice. În plus față de modelarea clasică, în funcție de gradul

de complexitate al sistemului modelat și de modificările aduse acestuia, prin prezentul studiu

s-a evidențiat posibilitatea de a adăuga sau elimina elemente din structura Bond Graph

corespunzătoare modificării sistemului fizic fără a fi necesară reluarea întregului algoritm de

modelare.

. Elementele, conceptele și structurile dezvoltate și verificate în cadrul acestei lucrări

stau la baza versatilității și extinderii aplicabilității Bond Graph în modelarea sistemelor

tehnologice, oferind un instrument utilizabil atât la nivel didactic și de cercetare cât și la nivel

industrial.

Bibliografie

Adriana Grava. – Grafuri de legătură în electrotehnică – Oradea : Editura Universității din Oradea, 2013. – Ed. a 3-a

Belot A. – “Calcul des fuites et inductances de fuite”, Technique de l’Ingénieur, pp. 440-1D-440-16;

Belot A. – “Calcul des machines tournantes électriques”, Ecole Supérieure d’Electricité, 1976;

Boldea I. – “Parametrii mașinilor electrice”, Editura Academiei București 1991;

Bonal I. – “Entraînements électriques a vitesse variable. Vol. 2: rappels d'électronique de puissance et d'automatique; les variateurs electroniques de vitesse”, Paris: Lavoisier Tec & Doc, 1998;

Bornard M. – “Electrotehnique, réseaux triphases, machines à courant alternatif ”, Paris, Eyrolles, 1986;

Bouchard R.P., Guy O. – “Conception de moteurs asynchrones triphasés”, Montréal Editions de l'Ecole polytechnique de Montreal, 1997;

Bouchard R.P, Guy O. – “Electrotechnique”, Editions de l'Ecole Polytechnique de Montreal, 1996;

Bouchard R. P. – “Circuits et machines électriques”, Montréal, Ecole Polytechnique de Montreal, 1995;

Brun Maurice – “Machines asynchrones” – Génie mécanique de construction, Lyon INSA, 1981;

Brun M. – “Machines synchrones”, INSA de Lyon, Département Génie électrique, 1983;

Brun M. – “Les alternateurs: Les machines synchrones”, Département Génie électrique, Lyon: INSA, 1981;

Buhler H. – “Réglage de systèmes d'électronique de puissance. Volume 3: Réseaux électriques”, Lausanne: Presses polytechniques et universitaires Romandes, 1999;

Câmpeanu A. – “Mașini electrice. Probleme fundamentale speciale și de funcționare optimală”, Editura Scrisului Românesc Craiova 1998;

Cogniel D., Bourgeois R. – “Memotech electrotechnique”, Paris, Editions Casteilla, 1992, Educalivre, Collection A. Capliez;

Cornet A., Lorenz F. – “Equation ordering using bond graph causality analysis”, IMACS Trans. on Scientific Computation. 1989, Vol. 3, pp. 55-58;

David A. – “Désensibilisation aux creux de tension des convertisseurs de fréquence pour machines asynchrones”, Electricité de France ed. 1 Clamart: EDF-DER, 1994 – Collection de notes internes de la DER-EDF. Matériel électrique, transport, 1994;

Fetiveau Y. – “Transformateurs et machines à courant alternatif”, INSA de Lyon,1995;

Fetiveau Y. – “Machines à courant continu”, INSA de Lyon, 1993;

Fotsu-Ngwompo R., Scavarda S., Thomasset D. – “Bond-graph methodology for the Design of an Actuating System: Application to a Two-Link Manipulator”, IEEE International Conference on System, Man, and Cybernetics.Vol 3, 1997, pp. 2478-2483;

Gawthrop P.J – “Bicausal bond graphs”, Proceedings of the 1995 International Conference on Bond Graph Modeling and Simulation: ICBGM’95, pp. 83-88;