Modelarea Numerica a Unui Lagar Hidrostatic cu Magnet Permanent Si Lichid Magnetic

3.1 Lagăre cu lichid magnetic. Levitația magnetică

Una dintre aplicațiile cu lichide magnetice o reprezintă lagărele cu lichide magnetice, [Lu1], [Ro1], a căror principal avantaj față de lagărele obișnuite, îl constituie eliminarea frecării de contact dintre piesele lagărului. Funcționarea unui lagăr cu lichid magnetic are la bază principiul levitației magnetice. Levitația magnetică poate fi de două feluri: de ordinul 1 și respectiv de ordinul 2.

Levitația magnetică de ordinul 1 se produce în cazul imersării unui corp alcătuit din material de natură magnetică într-un lichid magnetic în care este stabilit (din exterior) un câmp magentic. Deși densitatea corpului este mai mare decât cea a lichidului magnetic, efectul ce se manifestă asupra acestuia este deplasarea sa până la atingerea unei stări de echilibru, echilibru ce se realizează de către un câmp tridimensional de forțe. Greutatea (aparentă) a corpului este echilibrată de rezultanta unor forțe de tip magnetic.

O justificare intuitivă, privind existența și modul de acționare a forțelor de natură magnetică, poate fi sugerat prin următorul experiment: [Lu1] considerăm o incintă complet umplută cu lichid magnetic, plasată într-un domeniu imponderabil (fără gravitație). Acceptăm că, inițial, câmpul magnetic este absent, astfel că presiunea este uniformă, având o valoare constantă în întreaga incintă complet ocupată cu lichid magnetic. Două surse de egală „putere” crează un câmp magnetic în sensuri opuse și sunt plasate simetric în proximitatea incintei, așa cum arată fig3.1. Aceste două surse crează o distribuție de câmp ce are valoare nulă în centrul dispozitivului, câmp ce crește în orice direcție ne-am îndepărta față de acest punct.

Pentru că lichidul magnetic este atras spre regiunile cu câmp magnetic mai intens, el va fi supus unei tendințe de a fi îndepărtat din centrul dispozitivului. Deoarece lichidul magnetic este practic incompresibil și pentru că ocupă complet incinta, efectul pe care îl crează este creșterea presiunii pe măsură ce ne îndepărtăm de centrul dispozitivului.

Să presupunem acum un corp sferic, nemagnetic imersat în această incintă. Dacă este plasat în centrul dispozitivului, în absența unor alte forțe, corpul va rămâne acolo pentru că rezultanta forțelor ce acționează la suprafața sa (datorate presiunii și forțelor superficiale) va fi nulă ca urmare a distribuției lor simetrice. Altfel spus, distribuția presiunii și a forțelor superficiale integrate pe suprafața corpului nu poate conduce la apariția vreunei forțe, deoarece sistemul este simetric.

Dacă acest obiect este mutat din punctul de echilibru, asupra sa va acționa o forță de readucere în poziția centrală, datorită distribuției nesimetrice (cel puțin pe direcția deplasării) a presiunii și a forțelor superficiale. Acesta este un fenomen de levitație pasivă a unui corp nemagnetic.

Dacă experimentul are loc în prezența unui câmp gravitațional vertical, corpul se va fixa într-un punct pe axa verticală de simetrie, pentru care se realizează echilibrul tuturor forțelor. Rezultanta forțelor de natură magnetică va fi orientată vertical și împreună cu forța arhimedică vor echilibra greutatea corpului.

Levitația magnetică de ordinul 2 se referă la „autolevitația” unui magnet permanent imersat (în anumite condiții) în lichide magnetice. Denumirea de autolevitație este sugestivă și potrivită, căci sursa de câmp este în același timp și elementul asupra căruia se manifestă și fenomenul de levitație magnetică.

În situația în care magnetul (în formă cilindrică, spre exemplu) este imersatsat într-un lichid magnetic ce ocupă o incintă cilindrică de extensie foarte mare, câmpul magnetic pe care-l creează este dispus simetric față de el și magnetul se află în echilibru, din punct de vedere al forțelor magnetice. Dacă însă magnetul este deplasat din punctul ce asigură simetria câmpului și spectrul câmpului devine nesimetric, intensitatea câmpului magnetic devine mai mare în zonele mai îndepărtate de fostul centru de simetrie. În baza aceleiași concluzii, menționată la levitația de ordinul 1 (conform căreia presiunea de natură magnetică pe care lichidul o exercită este cu atât mai mare cu cât câmpul este mai intens), vom constata existența unor forțe ce tind să readucă magnetul în punctul inițial.

Descrierea lagărului cilindric cu magnet permanent și lichid magnetic

Una din aplicațiile levitației magnetice de ordinul doi, [Lu1], [Ro1], o constituie lagărul cilindric cu lichid magnetic al cărui arbore este realizat dintr-un magnet permanent.

Lagărul cilindric cu lichid magnetic este schițat în fig. 3.2

Arborele cilindric al lagărului este magnetizat permanent cu magnetizație uniformă având o direcție ortogonală pe un plan ce conține axa arborelui. Spațiul dintre cuzinet, considerat magnetic, și arbore este umplut cu lichid magnetic.

Având în vedere levitația de ordinul 2 și neluând în considerare greutatea arborelui, poziția de echilibru a arborelui este când axa arborelui coincide cu axa cuzinetului. Pentru orice altă poziție a arborelui diferită de poziția de echilibru, asupra lui se va exercita o forță magnetică ce tinde să readucă arborele în echilibru.

O secțiune transversală printr-un astfel de lagăr este prezentată în fig.3.3 în care arborele are raza r1 și este magnetizat permanent cu magnetizația Mp uniformă, ortogonală pe un plan ce conține axa arborelui, iar cuzinetul este amagnetic și are raza r2. Arborele este presupus dezaxat cu dezaxarea O1O2=l orientată în sensul magnetizației permanente Mp. Între arbore și cuzinet se află lichid magnetic de permeabilitate l. Arborele limitat de suprafața 1 și cuzinetul limitat de suprafața 2 au permeabilitatea 0.

Problema care se pune în cazul acestui lagăr constă în determinarea forței de readucere ce se exercită asupra arborelui când acesta este dezaxat, funcție de dimensiunile geometrice ale lagărului și de proprietățile magnetice ale lichidului magnetic și ale arborelui.

În literatura de specialitate există articole legate de calculul analitic sau cel aproximativ al forței de levitație, precum și o tratare numerică a lagărului.

În continuare se determină câmpul magnetic din lagărul cilindric pe baza integrării numerice a ecuațiilor câmpului iar apoi se determină numeric forța de levitație ce se exercită asupra arborelui.

3.2 Stabilirea ecuațiilor câmpului magnetic în lagăr

Câmpul magnetic generat de magnetizația permanentă se va considera plan-paralel întrucât lungimea lagărului este mult mai mare ca și r2.

Domeniul câmpului magnetic este considerat din trei subdomenii: primul reprezintă cilindrul limitat de 1, al doilea este subdomeniul cuprins între suprafețele cilindrice 1 și 2 umplut cu lichid magnetic, iar al treilea este subdomeniul din exteriorul lui 2.

Ecuațiile câmpului magnetic

Câmpul magnetic generat de magnetizația permanentă se va considera plan paralel întrucât lungimea lagărului este mult mai mare ca și r2 .

Domeniul câmpului magnetic este constituit din trei subdomenii : primul reprezintă cilindrul limitat de , al doilea subdomeniu este cuprins între suprafețele și umplut cu lichid magnetic , iar al treilea este subdomeniul din exterior .

Ecuațiile pe care le satisface câmpul magnetic în cele trei subdomenii se obțin din : -teorema lui Ampere :

și (3.1)

-legea legăturii între vectorii , H șiM:

(3.2)

care împreună cu legea magnetizației temporare:

(3.3)

conduce la :

(3.4)

și forma locală a legii fluxului magnetic:

(3.5)

Din faptul că H este irotațional rezultă că el derivă dintr-un potențial scalar

(3.6)

unde VH se numește potențial scalar al câmpului magnetic .

Din relațiile (3.5) și (3.2) rezultă ecuația pe care o satisface VH de forma

(3.7)

Având în vedere că este un câmp uniform în primul domeniu , iar in celelalte două Mp= 0 , rezultă că VH satisface o ecuație de tip Laplace în toate cele trei domenii , lichidul magnetic fiind presupus liniar :

(3.8)

Condițiile de interfață pe suprafețele și se obțin din (continuitatea componentelor normale ale lui B) și legea legăturii (3.4) . Cu aceasta pe avem :

, (3.9)

iar pe :

și (3.10)

Câmpul magnetic mai poate fi calculat în modul cel mai general și pe baza integrării ecuațiilor pe care le satisface potențialul magnetic vector definit prin :

și (condiția de etalonare a lui Coulomb ) .

Aplicând rotorul ecuației (3.4) și cum în cazul studiat rezultă :

(3.11)

Cum în arborele lagărului (domeniul 1), este un câmp uniform, iar în celelalte domenii , iar permeabilitățile magnetice respectiv sunt constante, rezultă că în toate cele trei domenii potențialul magnetic vector satisface o ecuație de tip Laplace:

(3.12)

În câmpuri plan-paralele, și deci:

(3.13)

iar ecuația vectorială (3.12) se transformă în ecuația scalară:

(3.14)

Condițiile de interfață pe se obțin calculând rotorul superficial al egalității (3.4) în care și , și continuitatea potențialului magnetic vector. Se obțin, pe , condițiile:

(3.15)

Pe suprafața , din egalitatea , și ținând seama de (3.13) și de continuitatea potențialului magnetic vector, avem:

(3.16)

3.3 Modelarea numerică a lagărului magnetic și prelucrarea rezultatelor

În vederea limitării domeniului câmpului, s-a considerat configurația din fig.3.4, în care cilindrul de rază , uniform magnetizat cu magnetizația permanentă , este situat într-un mediu liniar, izotrop și omogen, de permeabilitate .

Fig.3.4

Din faptul că H este irotațional ( și ), rezultă că derivă dintr-un potențial magnetic scalar :

(3.17)

Din (3.4) și (3.5) rezultă ecuația pe care o satisface potențialul magnetic scalar :

(3.18)

Având în vedere că MP este un câmp uniform în primul domeniu, iar în domeniul al doilea MP =0, rezultă că satisface o ecuație de tip Laplace în ambele domenii:

(3.19)

Condițiile de interfață pe se obțin din și din legea legăturii (3.4), în forma:

(3.20)

În condițiile de frontieră (3.20) pe , și având în vedere că în punctele de pe sarcina magnetică de pe cilindru se comportă ca un dipol, [2], se obțin:

(3.21)

pentru primul domeniu, și:

(3.22)

pentru domeniul al doilea.

În cel de-al doilea domeniu rezultă pentru componentele câmpului H, expresiile:

(3.23)

(3.24)

iar modulul intensității câmpului magnetic va fi dat de:

(3.25)

Intensitatea de câmp maximă în domeniul doi, are loc la :

(3.26)

și deci rezultă raportul:

(3.27)

Dacă se limitează câmpul la domeniul în care este fracțiunea din , se admite cilindrul de rază:

(3.28)

în exteriorul căruia câmpul poate fi considerat nul.

S-a studiat modelul din fig.3.3 în care , , pentru diferite magnetizații permanente și tipuri de lichide magnetice la diferite dezaxări ale arborelui .

Limitarea domeniului de studiu s-a făcut, conform cu (3.28), admițând , ceea ce a dus la .

Calculul numeric al câmpului s-a făcut utilizând MEF [7], avându-se în vedere ecuația (3.12) pe care o satisface potențialul magnetic vector în cele trei subdomenii (fig.3.3), cu condițiile de interfață date de relațiile (3.15) și (3.16), și cu limitarea menționată a domeniului de studiu. Ca elemente finite au fost folosite triunghiuri de ordinul unu. Programul utilizat având posibilitatea impunerii laturilor elementelor finite în anumite puncte, s-a folosit o discretizare mai fină în zona lichidului magnetic și imediata vecinătate a acestuia (zonă ce prezintă interes pentru problema studiată). În modelul analizat s-a realizat o discretizare cu un număr de noduri cuprins între 450 și (fig.3.5).

Cu valorile potențialului magnetic vector A determinate în domeniul considerat, se poate determina inducția câmpului magnetic A cu componentele sale și :

(3.29)

și respectiv H din legea legăturii.

Fig.3.5 Rețeaua de discretizare a domeniului studiat

Pentru M p = 174 KA/m , =1.5 și =0.5 mm s-au prezentat variațiile lui H ,Hx și Hy pe prin lichidul magnetic , variația fiind în sensul trigonometric a lui (vezi fig. 3.6)

Fig.3.6. Variația lui H, Hx, Hy pe suprafața arborelui

Calculul numeric al forței de levitație

Cu valorile câmpului determinate, forța care se exercită asupra arborelui pe unitatea de lungime, se calculează efectuând integrala [4]:

(3.30)

unde reprezintă suprafața cilindrului de rază și înălțime unitară, trasată prin lichidul magnetic. Se presupune că se va lucra pe porțiunea liniară a curbei de magnetizare a lichidului magnetic ( ceea ce presupune magnetizații permanente ale arborelui mai mici ) pentru care .

Egalitatea (3.30) devine

(3.31)

Fig.3.7

Utilizând coordonatele carteziene din fig.3.4, pentru care , , și ținând seama că , , componentele și rezultă din (3.31) în formele:

(3.32)

(3.33)

Cum , integralele din respectiv se execută pe întregul cerc de rază , respectiv pe curba :

(3.34)

(3.35)

Determinarea forțelor și s-a făcut utilizându-se metodele numerice de rezolvare a integralelor. A fost folosit programul MathCad , cele două integrale fiind calculate prin metoda Simphson .[5]

Conturul de integrat , dat de lungimea cercului de rază r 1 a fost împărțit în 100 de segmente egale .

Schema bloc și liniile de program MATHCAD sunt prezentate în Anexa 1.

S-a calculat forța portantă a arborelui pentru diferite magnetizații permanente ale arborelui la diferite dezaxări . Cum era de așteptat în toate cazurile , datorită simetriei dopă axa Ox , din calcule a rezultat componenta forței după direcția Oy ca fiind nulă .

În tabelul 1 sunt prezentate valorile forței după direcția dezaxării , exprimate în , pentru diferite valori ale permeabilității relative a lichidului și pentru diferite dezaxări exprimate în , la M p = 174 KA/m.

Tabelul 1

Graficul din fig.3.5 prezintă variația forței funcție de dezaxarea , pentru trei valori ale permeabilității relative a lichidului magnetic . Din curbele trasate se observă influența deosebită pe care o are calitatea lichidului asupra valorii forței de readucere a arborelui. De asemenea se observă că forța este cu atâta mai mare cu cât dezaxarea este mai pronunțată.

Fig. 3.8. Variația forței portante cu dezaxarea

În tabelul 2 sunt prezentate valorile forței după direcția Ox , Fx* , exprimate în [N/m] , pentru 4 dezaxări ale arborelui și diferite valori ale magnetizației permanente M p a acestuia . În toate cazurile s-a utilizat același lichid magnetic cu .

Tabelul 2

Fig.3.9. Variația forței funcție demagnetizația permanentă

Aceste valori ale forței sunt reprezentate funcție de magnetizația permanentă Mp în fig. 3.9 , pentru cele 4 valori ale dezaxării . Se constată că forța depinde pătratic cu Mp , iar pentru un Mp ales se observă că forța este cu atât mai mare cu cât dezaxarea este mai mare

În concluzie , determinarea numerică a forței portante pentru diferite lichide magnetice și magnetizații permanente la diferite dezaxări este importantă într-un prim calcul de proiectare a acestor lagăre . Pentru un astfel de lagăr se observă că forța portantă depinde liniar de dezaxare și crește pătratic cu magnetizația permanentă . Un astfel de lagăr poate fi folosit pentru echipajul mobil al aparatelor de măsură . În general parametrii lagărului trebuie astfel aleși încât arborele să leviteze , adică forța magnetică de readucere pe unitatea de lungime trebuie să fie mai mare decât greutatea pe unitatea de lungime a arborelui .