Modelarea Matematica a Variatiei Fractiei de Solid In Timpul Solidificarii

CUPRINS

Stadiul actual privind modelarea și simularea

Obiectivele modelarii proceselor tehnologice

Importanța modelării matematice și a simulării solidificării pieselor turnate

Stadiul actual al modelării și simulării solidificării pieselor turnate pe plan internațional și in România

Modelarea matematică a variației fracției de solid în timpul solidificării

Determinarea fracției de solid în cazul aliajelor care se solidifică în interval de temperatură

Determinarea fracției de solid în cazul aliajelor care se solidifică în interval de temperatură

Realizarea modelului matematic 3D pentru solidificarea pieselor turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură

Introducere

Principiul modelului matematic

Ipotezele modelului matematic

Notații

Ecuațiile modelului matematic

Schema de rezolvare a modelului matematic 3D

Structura softului pentru simularea 3D a solidificării pieselor turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură

Introducere

Notații utilizate în cadrul programului de simulare

Structura softului

Rezultate privind solidificarea pieselor turnate, posibil de obținut prin utilizarea softului realizat

Utilizarea programului destinat simulării solidificării pieselor turnate

Concluzii

Bibliografie

STADIUL ACTUAL PRIVIND MODELAREA ȘI SIMULAREA

SOLIDIFICĂRII PIESELOR TURNATE

Obiectivele modelării proceselor tehnologice

Modelarea proceselor tehnologice poate fi de două feluri: modelare fizică și modelare matematică.[1,2,3,4,31]

Modelarea fizică constă în reproducerea proceselor studiate prin procese fizice similare.

Modelarea matematică a unui proces tehnologic constă în transpunerea unei ecuații matematice a relațiilor de dependență dintre factorii care intervin în proces.[1,5,6,68]

Modelarea matematică este formată din 3 etape. Prima etapă constă în analiza procesului pentru determinarea factorilor de influențăși a factorilor influențați, a doua etapă este reprezentată de stabilirea unor ipoteze de lucru. Aceste ipoteze simplificatoare sunt necesare, deoarece în procesele tehnologice apar deseori mulți factori a căror variație este greu de determinat cu precizie, deci sunt greu de modelat cu exactitate. Cea de-a treia etapă o reprezintă elaborarea modelului, care constă în transpunerea legăturilor în relații matematice pe baza legilor care acționeazași rezolvarea acestora.

Simularea unui proces tehnologic rezidă în reproducerea desfașurării acestuia pe baza modelelor fizice sau matematice, pentru a scoate în evidența evoluția factorilor care definesc procesul și produsele finale[1].

Simularea proceselor este și ea de mai multe feluri:

simularea reală, care reproduce procesul tehnologic printr-un proces similar, dar la altă scară geometrică;

simularea fizică, care constă în reproducerea unui proces prin procese fizice de altă natură, dar cu legături asemanatoare între factori;

simularea analitică, care reproduce derularea procesului prin formule matematice și exprimă evoluția factorilor care definesc procesul prin valori numerice;

simularea virtuală, care reda vizual desfășurarea procesului, prin transpunerea în succesiuni de imagini a acestuia. Acest tip de simulare se bazeaza pe transpunerea modelelor matematice în softuri de simulare.

Simularea virtuală a cunoscut o dezvoltare mare în ultimul timp. Aceasta se datorează și avantajelor pe care le presupune, cum ar fi: cheltuieli reduse de material, nu sunt necesare instrumente, dispositive, instalații, consumul de energie și manopera sunt foarte reduse, nu este necesară aparatura de măsură, și cel mai important, mediul inconjurător este protejat și face posibilă optimizarea avansată a tehnologiilor de fabricație, în condiții avantajoase.

Optimizarea proceselor tehnologice constă în determinarea celei mai favorabile variantă de elaborare a procesului, din mai multe variante analizate[7].

Optimizarea proceselor tehnologice de fabricație are în vedere unul sau mai multe obiective:

Îmbunatățirea calității produselor;

reducerea consumurilor de materii prime;

micșorarea consumurilor de energie electrică;

reducerea costurilor de manoperă la fabricație;

creșterea productivității și micșorarea duratei de fabricație;

îmbunatățirea condițiilor de lucru;

îmbunatățirea aspectelor de mediu.

Imporțanta modelării matematice și a simulării solidificării pieselor turnate

Solidificarea aliajelor metalice turnate țn piese implică o mulțime de procese simple simultane: transfer de caldură, transformări de faza, procese de difuzie, variații de volum, procese de curgere, de alimentare locală, procese de capilaritate, tensiuni interne, etc[6,8,9,10,12]. Solidificarea influențeaza calitatea pieselor turnate. Procesul de solidificare influențează micro și macrostructura pieselor, compactitatea acestora, rezistența mecanică, pierderile prin rebut și prin recondiționarea pieselor defecte, dar mai ales consumul de material, de manoperă și de energie, prin urmare costurile de fabricație.

Solidicficarea pieselor turnate este influențată de factorii constructivi ai piesei turnate (natura aliajului, dimensiuni, geometrie) și de factori tehnologici (temperatura de topire, natura formei, sistemele de alimentare, de maselotare, etc.) [14,15,16,17,68]. Cercetarea sistematizata a solidificării pieselor turnate prin metode experimentale este greu de realizat datorită dificultății de dirijare și de măsurare a factorilor care intervin în proces. Singura metodă care permite o cercetare structurată și detaliată a solidificării pieselor turnate o constituie simularea pe calculator a acestui proces. Utilizarea softurilor pentru simularea solidificării la nivel industrial a devenit realizabilă odată cu dezvoltarea tehnicii de calcul.

Utilizarea softurilor pentru simularea solidificării pieselor turnate a facut posibilă realizarea de studii concrete destinate optimizării tehnologiilor de turnare [7,14,18,19,20,44,45]. Optimizarea tehnologiilor de turnare urmarește:

obținerea unor piese turnate calitative, fără defecte cauzate de solidificarea aliajului;

reducerea consumurilor specifice de materiale, manoperă și energie;

precizarea microstructurii și a proprietaților pieselor turnate prin simularea microsolidificării aliajelor;

reducerea timpului de lansare în fabricație a pieselor turnate;

eliminarea greșelilor de proiectare cauzate de lipsa de experiență a unor proiectanți.

Simularea solidificării pieselor turnate pe calculator permite efectuarea de cercetări aplicative privind:

determinarea timpului de solidificare;

determinarea câmpului de temperatură din piesa turnată;

determinarea poziției nodurilor termice;

evolutța temperaturii în piesă și în formă;

analiza cineticii solidificării;

determinarea gradientului de temperatură din piesa turnată;

determinarea pozițieiși a volumului de retasură;

stabilirea eficienței maselotelor și a altor măsuri tehnologice;

determinarea timpului optim de dezbatere a piesei turnate;

determinarea temperaturii optime de preâncalzire a formelor (în cazul formelor metalice);

determinarea tensiunilor din piesele turnate, după răcire;

evaluarea segregațiilor chimice din piesele turnate;

analiza concreta a influenței unor factori tehnologici legați de proiectare

[15,17,20,46,47,48,49,50,51,68].

Stadiul actual al modelării și simulării solidificării pieselor turnate

În țările dezvoltate industrial, au fost puse la punct modele matematice și softuri destinate simulării solidificării pieselor turnate, care au fost perfecționate continuu [20,48,52,53,54,55,56,57, 58]. Softurile care iau în considerare pe langă curgerea aliajului lichid la umplerea formei și procesele de alimentare din timpul solidificării, reproduce cel mai exact procesul de turnare și solidificare și permit să se studieze inclusiv influența acestor procese asupra calității pieselor turnate [8,59]. Softurile de ultimă generație permit inclusiv vizualizarea structurii și proprietăților mecanice ale pieselor[4,49,60,61,62,63]. Pentru proiectarea și optimizarea sistemelor de maselotare este suficient de obicei, simularea câmpului de temperatură din ansamblul formelor de turnare[6,46,47, 50,51,64]. Realizarea unor softuri performante pentru simularea solidificării, care să reproducă, cât mai fidel solidificarea aliajelor turnate în piesă, a necesitat în același timp dezvoltarea unor programe de cercetare pentru determinarea cât mai exacta a proprietăților termofizice ale aliajelor, dar și ale formelor de turnare[9,21,22,23,24,25,26,27,28,65,68].

Pe plan mondial sunt cunoscute și comercializate mai multe softuri destinate simulării solidificării pieselor turnate, realizate de instituții de cercetare și de universități la cererea și cu finanțarea unor beneficiari din industria metalurgica, din țări dezvoltate economic[29,68].

Principalele avantaje ale acestor softuri constau în discretizarea automată a ansamblului piesă turnată – formă, bazele de date care permit alegerea automată a valorilor proprieățtilor termofizice în funcție de compoziția chimică a aliajelor și includerea de module CAO (Concepție Asistată de Calculator) care ușurează desenarea și proiectarea[20,30,31].

Aceste softuri prezintă și inconveniențe, cum ar fi faptul că sunt scumpe, necesită calculatoare de mare capacitate, nu furnizează detalii privind modelele matematice pe baza cărora au fost elaborate, nu precizează ipotezele care au stat la baza modelării matematice și pentru care sunt valabile rezultatele, din aceste motive, softurile sunt mai greu de utilizat pentru cercetări de finețe, ele fiind destinate în general utilizărilor în scopuri tehnologice în industrie[31,49].

În acest domeniu au fost abordate cercetări și în România. Astfel de cercetări au fost dezvoltate în special la Universitatea Transilvania din Brașov, la Universitatea Politehnică din București și la Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca. Începând din anul 1986, la Universitatea Tehnică din Cluj au fost efectuate cercetări avansate privind modelarea matematică a solidificării aliajelor[2,3,31,55]. Aceste cercetari au fost diseminate printr-un numar mare de lucrări publicate și prezentate la conferinte științifice de specialitate. În anul 1993, în cadrul unei teze de doctorat, a fost realizat printr-un soft pentru simularea solidificării pieselor turnate[3]. Acest soft a utilizat un model matematic bazat pe metoda elementelor finite. Ulterior, cercetări avansate care au fost continuate până în prezent, s-au efectuat la Universitatea Transilvania din Brașov, unde la fel, în cadrul mai multor teze de doctorat s-au realizat modelele matematice și softuri pentru simulare solidificarii pieselor turnate static din aliaje eutectice[32,33,34,35,36,45] și pentru șimularea solidificării semifabricatelor turnate continuu din aliaje de aluminiu cu solidificare în interval de temperatură[37, 38]. Aceste softuri au avut la baza metoda diferențelor finite[39]. Cele mai multe simuleaza solidificarea pieselor turnate, în ipoteza solidificării aliajelor eutectice și a metalelor pure în condiții de echilibru, fără a reproduce fenomenul de subracire și de recalescența care însoțesc solidificarea. Cu ajutorul acestor softuri s-au realizat numeroase cercetări privind influența unor factori constructivi și tehnologici privind solidificarea pieselor turnate[6,10,12,14,40 ,41,42,43,64, 66].

Turnatoriile mici și mijlocii din România și în general pe plan mondial, întampină dificultați în achiziționarea de astfel de softuri datorită costului lor ridicat. În acest context, realizarea unor softuri performante cu costuri reduse, destinate simularii solidificării pieselor turnate de catre instituțiile de invătământ superior sau de către centrele de cercetare din România este necesară. De asemenea, prin utilizarea unor astfel de softuri, instituțiile de învătământ superior pot realiza lucrări de cercetare aplicative pentru întreprinderi mici și mijlocii, în vederea optimizării tehnologiilor de turnare. În același timp universitațile și instituțiile de cercetaicatelor turnate continuu din aliaje de aluminiu cu solidificare în interval de temperatură[37, 38]. Aceste softuri au avut la baza metoda diferențelor finite[39]. Cele mai multe simuleaza solidificarea pieselor turnate, în ipoteza solidificării aliajelor eutectice și a metalelor pure în condiții de echilibru, fără a reproduce fenomenul de subracire și de recalescența care însoțesc solidificarea. Cu ajutorul acestor softuri s-au realizat numeroase cercetări privind influența unor factori constructivi și tehnologici privind solidificarea pieselor turnate[6,10,12,14,40 ,41,42,43,64, 66].

Turnatoriile mici și mijlocii din România și în general pe plan mondial, întampină dificultați în achiziționarea de astfel de softuri datorită costului lor ridicat. În acest context, realizarea unor softuri performante cu costuri reduse, destinate simularii solidificării pieselor turnate de catre instituțiile de invătământ superior sau de către centrele de cercetare din România este necesară. De asemenea, prin utilizarea unor astfel de softuri, instituțiile de învătământ superior pot realiza lucrări de cercetare aplicative pentru întreprinderi mici și mijlocii, în vederea optimizării tehnologiilor de turnare. În același timp universitațile și instituțiile de cercetare vor putea aborda cercetari fundamentale referitoare la solidificarea aliajelor. Aceste softuri sunt necesare și în procesul de instruire al studenților. Prin utilizarea unor astfel de softuri la realizarea proiectelor de an, a lucrărilor de diplomă, de disertație sau de doctorat, studenții care se specializează în ingineria materialelor sau informatică aplicată, pot dobândi competențe privind utilizarea lor sau chiar realizarea unor noi softuri mai performante.

Majoritatea softurilor realizate ulterior la Universitatea Transilvania din Brașov (softuri 2D și 3D) au fost destinate în principal pentru simularea solidificării aliajelor eutectice și a metalelor pure cu solidificare la temperatură constantă[1,39,67]. Aceste softuri acoperă numai o gama restrânsă de aliaje turnate în piese în construcția de mașini[7,10]. Aceste softuri acoperă doar o gamă restransă de aliaje utilizate în turnătorii, este necesar să se realizeze softuri pentru a simula solidificarea aliajelor care se solidifică în interval de temperatură. În categoria acestor aliaje intră majoritatea aliajelor utilizate în industria constructoare de mașini. Această cerință a impus o continuare a cercetărilor cu scopul realizării unor module de soft pentru simularea solidificării care să acopere și aceastp categorie de aliaje.

MODELAREA MATEMATICĂ A VARIAȚIEI FRACȚIEI DE

SOLID ÎN TIMPUL SOLIDIFICĂRII

2.1. Introducere

Fracția de solid dintr-un volum de aliaj, în curs de solidificare, reprezintă raportul dintre masa fazei solide și masa totală a aliajului, la un moment dat. Fracția de solid are valori subunitare și se calculează prin relația[9,10,68]:

(2.1.)

unde reprezintă masa fazei solide în volum considerat și reprezintă masa totală a aliajului.

Prin analogie se definește fracția de lichid dintr-un volum de aliaj. Acesta este raportul dintre masa lichidului și masa totală a aliajului la momentul respectiv. Fracția de lichid se calculează prin relația:

(2.2.)

Între fractia de lichid și fractia de solid există relația:

(2.3.)

Modelele matematice și softurile destinate simulării solidificării pieselor turnate depind de modul în care fracția de solid evaluează în timpul solidificării, în funcție de temperatură[12,31,68,69,70]. Variația fracției de solid cu temperatura este determinată de tipul transformărilor de fază, care au loc în aliaj în timpul solidificării.

În cazul aliajelor care se solidifică în interval de temperatură, fracția de solid depinde de temperatura momentană. În cazul solidificărilor în condiții de echilibru a aliajelor cu compoziție eutectică, temperatura ramâne constantă, iar fracția de solid nu depinde de temperatură. În realitate la solidificarea acestor aliaje apare un proces de subracire și de recalescență, care implică mici variații ale temperaturii în timpul solidificării. De obicei softurile pentru simularea macrosolidificării pieselor turnate nu iau în considerare acest proces, considerând ipoteza constantei temperaturii în timpul solidificării. De aceea, modelele matematice ale solidificării pieselor turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură sunt diferite de modelele matematice care descriu solidificarea pieselor turnate din aliaje eutectice.

2.2. Determinarea fracției de solid în cazul aliajelor care se solidifică în interval de temperatură

a) Variația temperaturii în timpul solidificării aliajelor

Din punct de vedere al dependenței fracției de solid de temperatura, la aliajele utilizate în practica turnării, se întalnesc patru tipuri de solidificare[1,69,70]:

solidificare la temperatură constantă;

solidificare în interval de temperatură cu variație continuă a temperaturii pe parcursul solidificării;

solidificare în interval de temperatură, la care solidificarea are loc parțial cu variația temperaturii în timpul solidificării și partial la temperatură constantă;

solidificare în interval de temperatură cu două intervale de variație a temperaturii pe parcursul solidificării, separate de o solidificare parțiala la temperatură constantă.

Solidificarea de tip „1” este specifică metalelor pure sau aliajelor cu compoziție eutectica (Fe pur, fonta eutectică cu 4,25% C, aluminiu pur, etc).

Solidificarea de tip „2” este specifică aliajelor care formează la solidificare numai soluție solida (oțeluri cu conținut de carbon între 0 – 0,086% și 0,533 – 2,14%, aliaje Al – Si cu 0 – 1,65% siliciu, aliaje Cu – Sn cu 0 – 13,5 conținut de staniu, etc).

Solidificare de tip „3” este specifică aliajelor care prezintă la solidificare transformare de tp hipoeutectic sau hipereutectic și aliajelor care au la solidificare transformare peritectică totală. De exemplu, în cazul aliajelor Fe – C se întâlnește la fonte hipo sau hipereutectice cu conținut de carbon în intervalele 2,14 – 4,25% C și 4,25 – 6,68% C sau la oțelul peritectic cu 0,16% C. La aliajele Al – Si se întâlnește la silumin hipoeutectic cu siliciu între 1,65 – 11,7%.

Solidificarea de tip „4” este specifică aliajelor care prezintă la solidificare transformare peritectică partială, ca de exemplu în cazul aliajelor Fe – C la oțelurile cu 0,086 – 0,16% C sau 0,16 – 0,533% C.

Variația căldurii în funcție de căldură degajată pe parcursul solidificării sau în funcție de timp în cazul celor 4 tipuri de solidificare este arătată schematic în figura 2.1. În figura 2.2 este reprezentată schematic, variatia fracției de solid în fucție de temperatură pentru cele 4 tipuri de solidificare.

Figura 2.1. Variația temperaturii în timpul solidificării în funcție de căldura degajată: a – aliaje cu compoziție eutectică sau metale pure; b – aliaje cu intervale de solidificare care se solidifică sub forma de soluție solidă; c – aliaje hipo sau hipereutectice; d – aliaje cu transformare peritectică [1].

Figura 2.2. Variația fracției de solid în funcție de temperatură la solidificarea aliajelor: a – aliaje eutectice sau metale pure; b – aliaje cu interval de solidificare care formeaza soluție solidă; c – aliaje hipo sau hipereutectice; d – aliaje cu transformare peritectică[1].

Pentru a reproduce cât mai fidel desfasurarea procesului de solidificare din punct de vedere al cineticii solidificării este necesar ca modelele matematice sa țina cont de tipul transformărilor care însotesc solidificarea. Acestea trebuie să ia în considerare cât mai exact dependența fracției de solid în funcție de temperatură. De aceea modelele matematice și softurile care reproduc exact cinetica solidificării, sunt diferite pentru fiecare din cele patru tipuri de aliaje menționate anterior. Așadar, pentru modelarea și simularea exactă a cineticii solidificării pentru întreaga gamă de aliaje utilizate în turnătorii, trebuie realizate softuri complexe care să reunească patru module de soft. În cazul aliajelor Fe – C și a aliajelor Al – Si, aliajele cel mai mult utilizate în turnătorii, se întalnesc toate cele patru tipuri de solidificare, în funcție de compoziția chimică a acestora.

Softurile comerciale, destinate simularii solidificării în scopuri tehnologice, consideră de obicei o variație liniară a fracției de solid între temperaturile lichidus și solidus și extind această ipoteză la toate tipurile de aliaje. Această aproximare are în vedere faptul că tipul de transformare de fază la solidificare nu are influență mare asupra câmpului termic din piesa și asupra poziției retasurilor. Atunci când se urmarește ca modelele matematice respectiv softurile care simulează solidificarea să fie extinse și pentru modelarea și simularea formării structurii sau pentru analiza formarii microretasurilor, este absolut necesar ca modelele matematice să țina cont de tipul transformărilor de fază și să reproducă cât mai exact cinetica solidificării.

b) Determinarea dependenței fracției de solid de temperatură pe baza diagramei de echilibru.

Dependența fracției de solid de temperatura la solidificarea unui aliaj, se determină pe baza diagramei de echilibru. Pentru aceasta se aplică legea pârghiei (legea segmentelor inverse) la diverse temperaturi „T”, din intervalul de solidificare (, temperatura lichidus, temperatura solidus). Modul de lucru este simplificat în diagrama din figura 3.3.

Figura 2.3. Diagrama de echilibru

Aplicând legea pârghiilor pentru aliajul cu compoziția din această figură, se scrie relația [1,10]:

(2.4.)

Înlocuind se obține relația:

(2.5.)

Segmentele , și se măsoară pe diagrama de echilibru. Aplicând acest mod de lucru pentru mai multe temperaturi din intervalul de solidificare și efectuând calcule numerice, se poate trasa diagrama de variație a fracției de solid în funcție de temperatura pentru aliajul respectiv. Se obțin reprezentări grafice de genul celor din figurile 2.4 sau 2.5. După cum se observa din aceste figuri, aceste curbe pot să aibe curburi diferite (convexe sau concave) în funcție de compoziția aliajului.

Figura 2.4. Variația fracției de solid cu temperatura în cazul aliajului [1]

Pentru aliajul cu compoziția curba este convexă (figura 2.4.). Aceasta se pune în evidența prin calculul fracției de solid la temperatura medie „”, a intervalului de solidificare, pe baza relației 2.5. Temperatura medie a intervalului de solidificare este dată de relația:

(2.6)

Pentru aliajul cu compoziția , la temperatura , segmentul este mai mic decât . Ca urmare, pentru acest aliaj fracția de solid la temperatura , este:

(2.7)

Aceasta înseamna că în prima jumătate a intervalului de solidificare, între și , ritmul de solidificare este scăzut. Ca urmare curba de variație a fracției de solid în cazul aliajului cu compoziția arată ca în figura 2.4.

Analog pentru aliajul cu compoziția , fracția de solid la o temperatură oarecare T este data de relația:

(2.8)

În cazul aliajului , se observă că la temperatura medie a intervalului de solidificare, segmentul . Ca urmare, la temperatura medie a intervalului de solidificare, fracția de solidificare se verifică astfel:

(2.9)

Aceasta relație arată că aliajul se solidifică într-un ritm rapid în prima jumătate a intervalului de solidificare, iar spre sfarșitul solidificării ritmul este mai lent, deci rezultă că pentru acest aliaj, curba de variație a fracției de solid în funcție de temperatură este concavă (figura 2.5).

Figura 2.5. Variația fracției de solid cu temperatura în cazul aliajului [1].

C) Determinarea expresiei analitice a variației fracției de solid cu temperatura.

Pentru modelarea matematică a solidificării pieselor turnate, este necesară exprimarea analitică a dependenței fracției de solid fața de temperatură. În acest sens, prin regresie matematică, se pot obține relații analitice pentru fiecare tip de aliaj (pe baza diagramelor de echilibru). Aceste dependențe se exprimă în general prin funcții de grad superior specifice fiecarei compoziții de aliaj. Utilizarea unor astfel de funcții pentru fiecare tip de aliaj în cadrul softurilor pentru simularea solidificării în scopuri tehnologice sau chiar pentru cercetare, nu este convenabilă, deoarece aceasta presupune ca pentru fiecare tip de aliaj să se realizeze un soft de simulare a solidificării, și în plus să se creeze o bază de date cu astfel de relații pentru o infinitate de compoziții de aliaje. Din acest punct de vedere, este necesar ca modelarea matematică a solidificării pieselor turnate, în vederea realizării unui soft destinat simulării solidificării, să ia în considerare o relație de dependență a fracției de solid – temperatură valabilă pentru toata gama de aliaje de același tip.

Figura 2.6. Variația liniară cu temperatura a fracției de solid la solidificarea unui aliaj de tip soluție solidă.[68]

În cazul aliajelor care se solidifică în interval de temperatură, cea mai simplă aproximație a dependenței fracției de solid de temperatură, este aproximarea prin funcție liniară, ca în figura 3.6. Relația care exprimă această funcție are forma:

(2.10)

Coeficienții și se determină din condiția ca punctele M () și N () să aparțină graficului. Prin înlocuire se obține sistemul:

(2.11)

De aici se determină valorile coeficienților „” și „”:

și (2.12; 2.13)

În final, înlocuind în relația 2.10 valorile „” și „” se obține expresia analitică a funcției de variație a fracției de solid cu temperatura, în aproximație liniară:

(2.14)

Această funcție este generală, fiind dependentă numai de temperaturile solidus și lichidus, valori ce se gasesc de obicei în bazele de date ale softurilor pentru simularea solidificării. În cazul în care funcțiile reprezentate în figurile 2.4 și 2.5 au o curbură mare, este posibilă o aproximare mai exactă, printr-o funcție analitică de gradul 1, explicată pe două intervale de temperatură [1,31]. Se utilizează două expresii liniare pentru intervalele de temperatură și respectiv .

În cazul aproximării liniare clare, funcția analitică se determină astfel:

(2.15)

Figura 2.7. Aproximarea funcției de variație a fracției de solid prin funcție de gradul 1 explicată pe 2 intervale: a – aliaj cu început lent de solidificare; b – aliaj cu început rapid de solidificare.[68]

Coeficienții și se determină din condiția ca punctele să aparțina graficului, conform schemei din figura 2.7. Prin înlocuire se obține sistemul:

(2.16)

Se obțin urmatoarele valori pentru coeficienți:

(2.17)

Expresia analitică a funcției obținute, care modelează matematic fracția solidă în acest caz este:

(2.18)

Este posibil ca funcțiile 3.4 și 3.5 să se aproximeze analitic printr-o funcție de gradul 2 sub forma[1]:

(2.19)

Coeficienții , și se determină de asemenea din condiția ca punctele M, N și P să apartină graficul funcției de grad 2. Se obține sistemul:

(2.20)

Soluția acestui sistem cu necunoscutele și se pot obține rapid prin metoda Cramer:

(2.21)

Pentru ca modelele matematice ale macrosolidificării pieselor turnate să conducă la rezolvări mai ușor accesibile este preferată modelarea variației fracției de solid cu temperatura prin funcție de grad 1, conform relației 2.14. În acest caz, softurile pentru simularea solidificării au structuri mai simple, iar durata simularilor este mai mică. Relațiile 2.14 și 2.15, care modelează dependența fracției de solid – temperatură, se pot extinde și pentru aliaje de tip hipoeutectic, hipereutectic sau transformare peritectică. În acest caz însă, softurile nu reproduc exact cinetica solidificării și microsolidificarea, însă pot fi utilizate în scopuri tehnologice pentru studiul macrosolidificării pieselor turnate, prin repartizarea câmpurilor de temperatură, a poziției nodurilor termice și a funcționării maselotelor.

3. REALIZAREA MODELULUI MATEMATIC 3D PENTRU SOLIDIFICAREA PIESELOR TURNATE DIN ALIAJE CU SOLIDIFICARE ÎN INTERVAL DE TEMPERATURĂ

3.1. Introducere

Anterior, la Universitatea Transilvania din Brașov, s-a realizat un soft pentru simularea solidificării pieselor turnate din aliaje cu compoziție eutectică. Modelul matematic care a stat la baza acestui soft a luat în considerare ipoteza că în timpul solidificării aliajului, temperatura este constantă [40,45,38]. Acest soft realizează șimularea solidificării pieselor turnate dintr-o gamă restransă de aliaje utilizate în turnătorii, și anume aliaje cu compoziție eutectică, metale pure sau aliaje cu compoziții foarte apropiate de aceste situații, în condiții de solidificare la echilibru. Acest soft a permis să se efectueze numeroase cercetari aplicative referitoare la solidificarea și la simularea solidificării pieselor turnate din astfel de aliaje [14,15,16,22,23,41,42,43,64, 66,71,72]. De asemenea s-au realizat numeroase cercetări pentru verificarea valabilității rezultatelor furnizate de soft [37,45, 66,67,73].

Realizarea acestui soft a necesitat pentru început realizarea unui model matematic care să reproducă acest tip de solidificare. Noutatea adusă de acest model matematic constă în includerea relațiilor care modeleaza variația fracției de solid cu temperatura, aspect ce nu a intervenit în modelarea solidificării aliajelor cu solidificare la temperatură constantă.

Modelarea matematică a solidificării pieselor turnate cu solidificare în interval de temperatură este mai complexa, deoarece în timpul solidficării piesei turnate apar doua variabile: fracția de solid și temperatura. De aceea în programul de cercetare s-a parcurs o etapa preliminară care a constat în realizarea și analizarea unor modele matematice și softuri 3D, destinate simulării solidificării pieselor turnate din astfel de aliaje. Aceasta etapa a avut rolul de a stabili o variantă adecvată pentru modelarea matematică și pentru schema de rezolvare a modelului, care să conducă la o structură de soft convenabilă. În aceasta etapa s-au realizat trei variante de model matematic și softuri pentru simularea 3D a solidificării aliajelor cu solidificare în interval de temperatura. S-a constatat că în cazul acestui tip de aliaje, unele modele matematice conduc la ecuații de gradul 2 sau chiar gradul 3 care, la rezolvare, acestea au mai multe rădăcini. Selectarea soluției compatibile dintre aceste rădăcini este uneori dificilă, necesitând calcule suplimentare, care conduc la softuri cu structuri complicate și, în același timp, creste foarte mult și durata efectivă a simulărilor. S-a stabilit că cele mai indicate modele matematice și rezolvări sunt cele ce conduc la ecuatii de gradul 1. În acest caz verificarea compatibilității soluțiilor este simplă, iar softurile sunt mai accesibile. Etapa preliminară de realizare și analiză a unor variante de modele și softuri 3D a fost necesară deoarece modelele 3D implică ecuații mai simple, iar durata efectivă de realizare a softurilor este considerabil mai mică. Așadar, analiza funcționarii softurilor, punerea în evidență a inconvenientelor și corectarea schemelor de rezolvare în cazul 3D este mai ușoară. Pe baza rezultatelor și a concluziilor desprinse în etapa preliminară, în partea a doua a cercetărilor s-a elaborat modelul 3D, cât și schema de rezolvare a acestuia, în varianta cea mai adecvată.[68]

3.2. Principiul modelului matematic

Modelele matematice 3D pentru simularea solidificării pieselor turnate sunt aplicabile pentru studiul solidificării pieselor turnate cu orice geometrie. La detalierea explicită a modelului matematic, pentru solidificarea pieselor turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură, se întâlnesc noua cazuri pentru particularizarea și rezolvarea ecuațiilor. Deosebirea față de modelarea solidificării la temperatură constantă, constă în faptul ca relațiile matematice care modeleaza solidificarea sunt diferite. Aceasta se explica prin faptul că în timpul solidificării temperatura este variabilă. Ca urmare, în relația care exprimă variația căldurii masice a aliajului în timpul solidificării, intervine și temperatura.

Modelul matematic este realizat în ipoteza că în intervalul de solidificare, fracția de solid variază liniar cu temperatura. În acest scop s-a utilizat relatța 3.14. Modelarea matematică liniară a acestei dependente are avantajul că este posibil să se abordeze scheme de rezolvare, prin ecuații de gradul 1.

În figura 4.1. este aratată grafic variația fracției de solid (ξ) cu temperatura (T), în intervalul de solidificare, în cazul dependenței liniare a fracției solidificate în raport cu temperatura.

Figura 3.1. Schema pentru calculul fracției de solid în funcție de temperatură (cazul variației liniare a fracției de solid cu temperatura)[68]

Relația de dependență se poate determina pe baza acestei scheme porind de la asemanarea triunghiurilor și . Scriind proportionalitatea laturilor se obține:

(3.1.)

Înlocuind lungimea segmentelor în funcție de coordonatele punctelor (din figura 4.1) se obține la final relația 3.14 obtinuta anterior prin alt raționament. Aceasta relație se poate scrie și sub forma exprimării temperaturii momentane în funcție de fracția de solid:

(3.2.)

Unde: T este temperatura momentană, ξ este fracția de solid la temperatura T, este temperatura de solidificare a aliajului și este temperatura lichidus a aliajului.

Modelul matematic folosește metoda diferențelor finite și se bazeaza pe rezolvarea ecuației de transfer termic în interiorul ansamblului de forma – piesă turnată.

Figura 3.2. Divizarea ansamblului formei în elemente de volum cubice (în cazul modelului 3D) [1]

În acest scop, ansamblul formă – piesă turnată, este divizat în elemente cubice cu latura Δ, dispuse în linii, coloane și straturi paralele cu axele unui sistem cartezian Oxyz, așa cum este arătat în figura 3.2. Această divizare este utilizată și în cazul modelării solidificării aliajelor la temperatură constantă[1,34]. Este necesar ca elementele de volum în care este divizata forma, sa fie omogene din punct de vedere al materialului. Poziția elementelor în ansamblul formei de turnare este notată prin trei coordonate numerice (i,j,k). Acestea semnifică numarul liniei, al coloanei și al stratului din care face parte fiecare element. Numărul total de linii este notat cu „”, numărul total de coloane este notat cu „” și numărul de straturi este notat cu „”. Timpul este divizat în intervale finite notate „τ”. Coordonata numerică a intervalelor de timp este „”. Un moment oarecare în derularea procesului este notat „”. Numărul total de intervale de timp pentru care se studiază procesul de transfer termic în ansamblul formă – piesă turnată este notat cu „”. Precizia calculului este cu atât mai mare cu cât discretizarea spațiului și a timpului este mai fină.

La un moment oarecare este timpul având coordonata numerică „”) starea fiecarui element în care este divizată forma este caracterizată prin temperatura și fracția de solid (temperatura și fracția de solid la momentul „”). De asemenea, la fiecare moment , caracteristicile termofizice ale elementelor sunt notate prin – căldura specifică și – coeficientul de conductibilitate termică, valori care sunt dependente de temperatură și de fracția de solid momentană.

3.3. Ipotezele modelului matematic

La elaborarea modelului matematic 3D, pentru solidificarea pieselor turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură s-au luat în considerare ipotezele similare cu cele folosite la elaborarea softului pentru modelarea solidificării pieselor turnate din aliaje eutectice[40]. Acestea au fost completate cu ipoteze specifice solidificării în interval de temperatură. Ipotezele care stau la baza modelului matematic prezentat în această lucrare sunt următoarele:

procesele de evaporare, de recondensare, de ardere și de circulație a gazelor prin porii formei, se iau în considerare printr-un coeficient echivalent de transmitere a căldurii;

transmisia de caldură în interiorul formei se realizează pe direcțiile Ox, Oy și Oz, perpendiculare pe suprafețele elementelor;

contactul între elementele discretizate este perfect pe toata durata procesului;

schimbul de caldură între formă și mediul ambiant se ia în considerare printr-un coeficient de transfer termic, echivalent;

se neglijează variația volumului și deci a densității cu temperatura;

se ia în considerare variația căldurii specifice și a conductibilității termice cu temperatura și starea de agregare;

aliajul se solidifică în intervalul de temperatură –

în intervalul de solidificare, fracția de solid variaza liniar cu temperatura;

la momentul inițial (=0), forma este plinaăcu aliaj lichid;

temperatura în pereții formei, la momentul inițial, este cunoscută;

ansamblul formei poate fi constituit din patru tipuri de materiale, forma propriu-zisă, aliaj lichid, răcitor, materiale termoizolante.

Modelarea cu diferențe finite impune menținerea constantă a pasului rețelei în care este divizată forma de turnare. Din aceasta cauză nu poate fi luată în considerare variația densității cu temperatura, deoarece aceasta ar conduce la modificarea masei elementelor și deci, la o abatere de la principiul conservării masei.

3.4. Notații

Mărimile fizice utilizate în cadrul acestui model matematic 3D au fost notate cu simboluri similare cu cele utilizate pentru modelul 3D al solidificării pieselor turnate din aliaje cu solidificare la temperatură constantă [40]. Intervin în plus simbolurile mărimilor care caracterizează intervalul de solidificare. În vederea evidențierii diferențelor dintre ecuații și dintre schemele de rezolvare ale acestora. Fiecare mărime care caracterizează starea și proprietățiile fizice ale elementelor în care este divizată forma, este notată prin patru indici numerici, „” – pentru coordonatele numerice de pozitie și „” – pentru coordonata numerică a timpului. Simbolurile mărimilor fizice utilizate în cadrul modelului matematic sunt următoarele:

Δ – latura elementelor de volum în care este divizată forma pe direcția axelor Ox, Oy și Oz (figura 4.2);

τ – intervalul de timp elementar în care este divizată dutrata pentru care este situat procesul de transfer termic în ansamblul formă – piesă turnată;

– coordonatele numerice de poziție ale elementelor de volum, pe axele Ox, Oy și Oz

– coordonata numerică de timp;

– numarul total de linii, coloane și straturi, în care este divizată forma (figura 4.2.);

– valoarea maximă a parametrului ;

– durata totală pentru care este simulat procesul de transfer termic, respectiv solidificarea și răcirea piesei turnate;

– temperatura momentană a elementului cu coordonate numerice „” la momentul ;

– fracția de solid a elementului cu coordonate numerice „” la momentul ;

– temperatura solidus a elementului cu coordonate numerice „”;

– temperatura lichidus a elementului cu coordonate numerice „”;

– densitatea elementului cu coordonate numerice ” la momentul ;

– căldura latentă specifică de solidificare a elementului „”;

– căldura specifică în stare solidă a elementului „” la momentul ;

– căldura specifică în stare lichidă a elementului „” la momentul ;

– coeficientul de conductibilitate termică în stare solidă a elementului „” la momentul ;

– coeficientul de conductibilitate termică în stare lichidă a elementului „” la momentul ;

– coeficientul de conductibilitate termică a elementului „” la momentul ;

– coeficientul de transfer termic la momentul , în directia axei Ox, între elementul „” și elementul situat în stânga lui (elementul cu coordonatele „-1,”);

– coeficientul de transfer termic la un moment , în direcția axei Ox, între elementul „” și elementul situat în dreapta lui (elementul cu coordonatele „+1,”);

– coeficientul de transfer termic la momentul , în direcția Oy, între elementul „” și elementul situat deasupra lui (elementul cu coordonatele „-1,,”);

– coeficientul de transfer termic la momentul , în direcția Oy, între elementul „i,j,k” și elementu situat în partea de jos al lui (elementul cu coordonatele „i+1,j,k”);

– coeficientul de transfer termic la momentul , în direcția Oz, între elementul „” și elementul din fața acestuia (elementul cu coordonatele „-1”);

– coeficientul de transfer termic în momentul , în direcția Oz, între elementul „i,j,k” și elementul situat în spatele acestuia (elementul de coordonate „+1”);

– căldura schimbată de elementu „” cu cele șapte elemente vecine, în intervalul de timp elementar τ , la momentul ;

– variația căldurii masice a elementului „”, la momentul ca urmare a variației temperaturii sau a fracției de solid în intervalul de timp elementar „τ”.

3.5. Ecuațiile modelului matematic

La momentul oarecare (dupa intervale de timp, elementare),starea fiecarui element de volum cu coordonate numerice de poziție „” este caracterizată prin temperatura momentană și prin fracția de solid . La momentul inițial (=0) aceste maăimi sunt notate cu și respectiv . Pentru elementele care corespund formei propriuzise la momentul inițial, fracția de solid este . Pentru elementele care corespund aliajului lichid turnat în piesă, fracția de solid la momentul inițial este . Pentru elementele piesei solidificate, care la un moment dat sunt în curs de solidificare, are valori între 0 și 1.

Modelul matematic are la baza ecuația de bilanț termic pentru un element oarecare „” din ansamblul formei [74,75]. Bilanțul termic se explică pentru un interval de timp elementar „τ”. Ecuația de bilant termic are în vedere schema din figura 4.3.

Figura 3.3. Schema transmisiei căldurii între elementele de volum discretizate [40].

Ecuația bilanțului termic pentru un element exprimă egalitatea dintre variația căldurii masice a unui element și căldura schimbată de acesta cu cele șase elemente vecine:

(3.3)

Căldura transmisă de elementul „” elementelor vecine se calculează pe baza schemei din figura 3.3 și este dată de relația [40]:

(3.4)

Variația căldurii masice a unui element cu coordonatele spațiale „” într-un interval de timp „τ” depinde de starea inițială a elementului și de starea finală. În cazul modelului 3D, al solidificării aliajelor cu solidificare în interval de temperatură, la exprimarea variației conținutului de căldură a elementelor, se întalnesc nouă situații ce sunt prezentate în tabelui 3.1, unde sunt prezentate ecuațiile pentru fiecare caz în parte:

Tabelul 3.1. Cazuri posibile pentru particularizarea relației de calcul a variației căldurii masice, la solidificarea unui aliaj cu interval de solidificare, în functie de poziționarea temperaturilor și în raport cu temperaturile solidus și lichidus.[68]

3.6. Schema de rezolvare a modelului 3D

Rezolvarea modelului matematic 3D pentru simularea solidificării pieselor turnate din aliaje care se solidifică în interval de temperatură, constă în rezolvarea ecuației de bilanț termic al celulelor în care este divizat ansamblul formei de turnare pentru toate situațiile care se pot întalni. În ecuația generală a bilanțului termic a unui element (3.3) se înlocuiește relația căldurii transmise de la un element la toate elementele vecine (3.4) și relația variației căldurii masice determinate mai sus (tabelul 3.1). Sunt cunoscute mărimile inițiale de stare la momentul „” ale fiecărui element și se determină mărimile de stare pentru momentul „+1”. Schema de rezolvare utilizează relații de condiționare privind temperatura fracției de solid inițială și finală a elementelor. Se pornește de la cazul când, după intervalul de timp „τ”, temperatura unui element de coordonate „” ajunge în intervalul de solidificare . Se calculează fracția de solid la momentul . Dacă valoarea calculată verifică condiția de compatibilitate și anume atunci aceasta este o soluție compatibilă și se calculează temperatura finală . În cazul în care fracția calculată nu are convergență în intervalul [0;1], atunci se revine asupra calculului. Dacă valoarea obținută pentru din ecuația de bilanț termic este , atunci se trage concluzia ca celula respectivă este solidificată complet în momentul , iar fracția finală de solid are valoarea . Ca urmare se revine la ecuația de bilant termic corespunzatoare și se calculează temperatura finală . Dacă valoarea obținută pentru din ecuația de bilanț termic este <0, atunci la momentul celula respectivă este în stare lichidă iar fracția de solid finala are valoarea . Se revine la ecuația de bilant termic corespunzatoare și se calculează temperatura finală corectă.

La rezolvarea modelului 3D se parcurg succesiv cele 9 cazuri în funcție de poziționarea temperaturilor și în raport cu , pana se obține o soluție compatibilă.

STRUCTURA SOFTULUI PENTRU SIMULAREA 2D A SOLIDIFICARII PIESELOR TURNATE DIN ALIAJ AL-SI

4.1. Introducere

Pe baza modelului matematic și a schemei de rezolvare prezentate în capitolul anterior, am realizat un soft pentru simularea 2D a solidificării unei piese turnate din aliaj de aluminiu – siliciu. Softul poate simula solidificarea piesei turnate în cazul când ansamblul formei este format din patru tipuri de material: forma propriu zisî, aliajul turnat, răcitori și miezuri sau vopsele termoizolante.

Acest modul de soft a fost conceput astfel încât să poată fi integrat impreunî cu modulul de soft realizat anterior la Universitatea Transilvania, într-un soft unic, complex care să permită simulării solidificării pieselor turnate din toata gama de aliaje utilizate în turnătorii. De aceea, pentru realizarea acestui soft s-a utilizat programul MATLAB, același program care a fost utilizat la simuarea solidificării pieselor turnate din aliaje cu compoziție eutectică [10]. Sistemul de programare MATLAB are urmatoarele avantaje în realizarea programelor destinate simulării proceselor fizice [76,32,33]:

Simplitate și rapiditate în realizarea calculelor, care utilizeaza simboluri și funcții matematice;

Posibilitatea de lucru cu matrici spațiale de orice dimensiuni;

Posibilitatea de prelucrarea matematică a rezultatelor;

Reprezentarea grafică a rezultatelor;

Posibilitatea de reprezentare grafică automată a rezultatelor sub orice formă (curbe, histograme, câmpuri de vectori, etc.).

4.2. Notații utilizate în cadrul programului de simulare

Pentru redactarea softului, marimile geometrice și fizice, care intervin în modelul matematic le-am notat cu simboluri specific sintaxei MATLAB, simboluri ce sunt date în tabelul 5.1 [40].

Tabelul 4.1. Simbolurile utilizate în sintaxa modulului de soft pentru simularea 2D a solidificării unei piese turnate din aliaj Al – Si.

4.3. Structura softului

Modulul de soft pentru simularea 2D a solidificării piesei turnate din aliaj Al-Si lucrează cu 4 tipuri de fișiere, acestea având extensiile „.m”, „.in”, „.out” și „.jpg”. Fișierele cu extensia „.m” sunt fișiere de lucru ale programului MATLAB, cele de tip „.in” sunt fișiere auxiliare, prin care am introdus datele referitoare la rezultatele care trebuie selectate de program pe parcursul rulării sau date necesare pentru realizarea reprezentărilor grafece. Fișierele de tip „.out” sunt create automat de program în timpul rulării acestuia iar fișierele de tip „.jpg” sunt fișiere în care sunt salvate reprezentările grafice ale rezultatelor, ce pot fi reprezentate grafic sub forme diferite cum ar fi curbe de dependență, harta de culori cu linii de nivel, câmp de vectori, etc.

În tabelul 4.2 este dată lista fișierelor de lucru din structura programului. Lista fișierelor generate de program, care afișeaza rezultatele, este data în tabelul 4.3. Relațiile matematice și calculele realizate de acestea au fost adaptate la modelul matematic al solidificării aliajului de aluminiu-siliciu.

Fișierele de lucru cu extensia „.m” sunt de patru tipuri:

Fișiere pentru initializarea programului, în care se introduc datele privind divizarea formei, caracteristici fizice ale materialelor respective, valorile marimilor de stare inițiale ale elementelor, construcția matricei tridimensionale privind materialul din care este construit fiecare element;

Fișiere care genereaza matricele ce conțin valorile momentane ale mărimilor fizice ale elementelor în care este divizată forma;

Fișierele care Calculează evoluția mărimilor de stare în funcție de coordonatele de spațiu și timp, la sfarșitul unui interval de timp elementar și care generează matricele cu valori ale acestor mărimi. În același timp, aceste fișiere Selectează datele care interesează utilizatorul programului și care sunt stocate pe parcursul rulării programului;

Fișiere care realizează reprezentările grafice ale rezultatelor, cum ar fi variația temperaturii, fracția de solid, viteza de răcire/încălzire, etc.

Fișierul principal prin care se inițializează programul pentru realizarea simulării, este fișierul „form.m”. la fiecare utilizare a programului, în acest fișier se introduc datele initiale privind caracteristicile fizice ale materialului din care este realizat ansamblul formei de turnare. De asemenea se introduc și datele privind divizarea timpului și datele privind divizarea ansamblului formei în celule cubice. În fucnție de geometria și dimensiunile ansamblului piesa turnată – formă, se atribuie elementelor apartenența la piesa turnată, la răcitor, la miezul izolator la forma propriuzisă. Aceasta matrice permite atribuirea la momentul inițial și pe parcursul rulaării, pentru fiecare element, a valorilor caracteristicilor fizice și a mărimilor de stare. De asemenea permite calculul matricelor coeficientilor de conductibilitate termică momentană, a coeficienților de schimb termic între elemente, a temperaturii elementelor din vecinătate, a căldurilor schimbate de un element „”, cu elementele vecine la un moment dat și a matricelor temperaturilor și fracției de solid momentane, calculate la fiecare moment. Fracțiile care intervin în program și variabilele de care acestea depind sunt date în tabelul 4.4.

Reprezentarea grafică a rezultatelor se realizează cu ajutorul fișierelor „graf.m”, „izoterme.m”, „harta_timpi_sol.m” și „harta_k_sol”. Pentru obținerea reprezentațiilor grafice aceste fișiere trebuie rulate prin comanda „run”. Prin rularea acestor fișiere, programul genereaza automat reprezentarea grafică a rezultatelor solicitate de utilizator în fișierele cu extensia „.jpg”.

Fișierele cu extensia „.in” sunt fișiere în care utilizatorul introduce la inițializare, date privind rezultatele care trebuie stocate în fișierele „.out”, iar pe baza lor se realizează reprezentarea grafică a rezultatelor.

În baza modelului matematic, programul utilizează ca date initiale mărimile de stare și mărimile termofizice ale fiecărui element la momentul inițial. La lansarea în lucru, programul Calculează mărimile de stare și la momentul . Ciclul se reia pentru intervalul de timp următor, până la efectuarea numărului maxim de pași impuși de utilizatorul programului. Numărul maxim de pași se stabilește în funcție de durata pentru care se studiază procesul de solidificare și răcire a piesei turnate.

Tabelul 4.2. Lista fișierelor de lucru și de initializare a programului pentru șimularea solidificarii piesei turnate din aliaj de aluminiu-siliciu.

Tabelul 4.3. Fișierele cu extensia „.out” în care sunt stocate rezultatele simularii solidificarii [40].

Tabelul 4.4. Functiile cu care opereaza programul de calcul pentru aliajul Al – Si

La inițializarea programului, tot în fișierul „form.m” am introdus datele privind numarul de linii „n” și numărul de coloane „m” în care este divizată forma și se generează o matrice spațială în concordanță cu aceste valori prin instrucțiunea a=zeros(n,m). Programul generează o mantrice cu n – linii si m – coloane, in care toate elementele au valoarea „0” (relația 5.1).

(4.1)

Prin intermediul acestei matrice și în funcție de geometria piesei, a răcitorului și a izolatorului, am inițializat matricea a(i,j) care definește apartenența elementelor în care este divizată forma la aceste componente ale ansamblului, așa cum este arătat in figura 4.1. Elementelor acestei matrice li se atribuie valori convenționale (0, 1, 2, 3) în funcție de natura materialului din care este construit elementul de volum corespunzător astfel:

a(i,j) = 0 dacă elementul aparține peretelui formei;

a(i,j) = 1 dacă elementul face parte din forma turnata si format inițial din aliaj lichid;

a(i,j) = 2 dacă elementul aparține răcitorului;

a(i,j) = 3 dacă elementul aparține izolatorului.

Această atribuire se realizează prin funcția dată de relația (4.2) și este identică cu aceea folosită

Și de softul pentru simularea solidificării aliajului de Al – Si[40].

(4.2)

Se obține o matrice spațială în care elementele au valorile 0, 1, 2, 3, care descrie geometria ansamblului formă – piesă – răcitor – izolator.

În tabelul 4.5 este arătat modul de introducere a datelor inițiale în fișierul „form.m” pentru cazul piesei turnate din aliaj de aluminiu. Inițializarea constă în introducerea valorilor mărimilor fizice ale materialelor și a datelor necesare construcției matricei care definește geometria ansamblului formei (matricea „a(i,j)”). În partea finală a fișierului „form.m” din tabelul 4.5 este exemplificată secvența de program care descrie geometria ansamblului formei și definirea materialelor din care sunt constituite elementele.

Tabelul 4.5. Inițializarea fișierului „form.m”, cu date privind caracteristicile materialelor și geometria ansamblului formă – piesă turnată pentru simularea solidificării piesei (piesă turnată din Al – Si (ATSI12) cu 11,6% siliciu).

Fișierul „form.m” se inițializeaza la fiecare utilizare (simulare) în funcție de dimensiunile și de geometria ansamblului formă – piesă turnată, de caracteristicile termofizice ale materialelor din ansamblul formei sau de condițiile de turnare.

Fișierele cu extensia „.in” se inițializează de asemenea la fiecare utilizare în functie de cerințele utilizatorului și de geometria ansamblului.

Pe baza matricei a(i,j) care definește geometria ansamblului formă – piesă turnată – răcitor – izolator, la lansarea în lucru, programul construiește funcțiile matriciale de atribuire a valorilor mărimilor de stare și ale caracteristicilor termofizice pentru toate celulele în care este divizat ansamblul formei.

Relațiile 4.3 – 4.10 exemplifică câteva din funcțiile explicite prin care programul atribuie aceste valori[40]. În tabelele 4.6 – 4.9 sunt arătate fișierele prin care se creează funcțiile matriceale TK0 (matricea care cuprinde valorile – temperatura inițială a elementelor), CSIK0 (valorile – fracția de solid inițială a elementelor), RO (valorile – densitatea celolelor), TL (valorile – temperatura lichidus a elementelor), TS (valorile – temperatura solidus a elementelor), LA_S ( – coeficientul de conductibilitate termică în stare solidă), LA_L ( – coeficientul de conductibilitate termică in stare lichidă), L ( – căldura latentă specifică a elementelor respective).

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Pe baza unor funcții asemănătoare, create prin fișierele cu extensia „.m”, sunt constituite fișierele care atribuie celulelor în care este divizată forma, valorile celorlalte mărimi termofizice necesare calculelor, la rularea programului.

Având în vedere că în timpul solidificarii, elementele piesei sunt constituite parțial din lichid și parțial din solid, programul cuprinde un fișier pentru calculul coeficientului de conductibilitate termică momentană a fiecărui element. Acesta este calculat in funcție de temperatura si de fracția de solid momentană a celulelor. Funcția explicită prin care se calculează aceste valori este dată de relația (4.11).

(4.11)

O altă categorie de fișiere de lucru ajutătoare, sunt fișierele care generează matricele cu temperaturile elementelor situate in vecinătatea fiecărui element (de exemplu temperatura elementelor situate la stânga, la dreapta, în partea de sus sau de jos a fiecărei celule). Aceste temperaturi intervin în calculul căldurii schimbate de un element cu elementele vecine. Relația (4.12) arată funcția pe baza căreia se generează matricea temperaturilor elementelor situate în partea superioară a elementelor. În mod similar programul conține fișiere care generează matricele temperaturilor elementelor plasate la stânga, la dreapta si la partea inferioara a fiecărui element[40].

(4.12)

O ultimă categorie de fișiere de lucru (cu extensia „.m”) sunt cele care calculează și construiesc matricea cu valorile momentane ale coeficientului de transfer termic între elementele (coeficienții, αst, αdr, αjo, αsu) pe cele patru fețe a elementelor de volum în care este divizată forma. Relațiile (4.13 și 4.14) exemplifică funcțiile pe baza cărora se calculează valoarea coeficienților de transfer termic pe suprafața din stânga și din dreapta a elementelor în care este divizată forma. Prin funcții similare se calculează coeficienții de transfer termic pe celalalte fețe ale elementelor (fața superioară și inferioară)[40].

(4.13)

(4.14)

Fișierele de lucru cele mai importante ale programului, sunt cele care calculează evoluția în timp a temperaturii și a fracției de solid. Acestea sunt fișierele „compute.m” și „run.m” și se bazează pe ecuațiile de bilanț termic ale modelului matematic (prezentate în capitolul anterior). Ele calculează temperatura și fracția de solid la momentul „q+1”, (după un interval de timp „τ”) iterând coordonatele de spațiu „i,j”. Programul stochează aceste valori și le consideră valori cunoscute pentru pasul de timp următor. Programul rulează, iterând valoarea coordonatei de timp „q”, până la valoarea maximă „”, impusă de utilizator la inițializarea simulării, în fișierul „form.m”

Tabelul 4.6. Secvența de program (fișierul) pentru generarea matricei TK0(i,j)

(repartizarea temperaturilor inițiale în secțiunea formei)

Tabelul 4.7. Secvența de program pentru generarea matricei CSIK0(i,j)

(repartizarea fracțiilor de solid inițiale în secțiunea formei)

Tabelul 4.8. Secvența de program pentru generarea matricei RO (i,j)

(repartizarea densității în secțiunea formei)

Tabelul 4.9. Secvența de program pentru generarea matricei TS(i,j)

(reprezentarea temperaturilor solidus în secțiunea formei)

Tabelul 4.10. Secvența de program pentru generarea matricei CS(i,j)

(valoarea căldurii specifice în stare solidă a elementelor)

Tabelul 4.11. Secvența de program pentru generarea matricei LAS(i,j)

(valoarea coeficientului de conducție termică în stare solida a elementelor)

În tabelele 4.10 și 4.11 sunt date secvențele de program prin care se calculează căldura specifică în stare solidă a elementelor în care este divizat ansamblul formei și coeficientul de conductibilitate termică în stare solidă a acestora în cazul în care mărimile sunt variabile cu temperatura. Prin secvențe de program asemănătoare cu cele din tabelele 4.10 și 4.11, se generează matricele care conțin valorile celorlalte caracteristici termofizice, CL(i,j), LAL(i,j) ale tuturor elementelor de volum în care este divizatpă forma. Aceste mărimi termofizice sunt luate în considerare ca fiind variabile cu temperatura. Funcțiile de dependență depind de temperatura materialelor din componența formei (aliaj turnat, forma de turnare, materialul răcitorului, natura miezului termoizolant) și trebuie modificate la fiecare utilizare în funcție de natura acestor materiale. Prin secvențe de program, asemănătoare cu cele de mai sus (din tabelele 4.6 – 4.9) se calculează și se generează matricea valorilor celorlalte mărimi termofizice care intervin în modelul matematic. În tabelul 4.12 este arătată secvența de program prin care se generează matricea valorilor coeficientului de conductivitate termică momentană LAK0(i,j) a elementelor. Acestea se calculează în funcție de temperatură și de fracția de solid momentană a elementelor (din matricele TK0(i,j) și CSIK0(i,j)) pe baza relației 4.11.

Tabelul 4.12. Secvența de program pentru generarea matricei LAK0(ij)

(valoarea conductivității termice momentane a elementelor în funcție de fracția de solid)

În tabelele 4.13 și 4.14 sunt prezentate secvențele de program destinate generării matricelor, coeficienților de schimb termic între elementele ASTK0(i,j) – matricea valorilor coeficientului de schimb termic pe suprafața din stânga a elementelor și ADRK0(i,j) – matricea valorilor coeficientului de schimb pe suprafața din dreapta a elementelor. Prin secvențe de program asemănătoare se generează matricele ASUK0(i,j) și AJOK0(i,j).

Tabelul 4.13. Secvența de program pentru generarea matricei ASTK0(i,j)

(coeficientul de schimb termic prin suprafața din stânga a fiecărui element)

Tabelul 4.14. Secvența de program pentru generarea matricei ADRK0(i,j)

(coeficientul de schimb termic la dreapta elementelor)

În tabelele 4.15 și 4.16 sunt redate secvențele de program pentru generarea matricelor ajutătoare TK_st(i,j) și TK_dr(i,j), iar în tabelele 4.17 și 4.18 sunt redate secvențe pentru generarea matricelor TSTK(i,j) și TDRK(i,j). Prin secvențe asemănătoare se generează matricele TK_ss(i,j) și TK_js(i,j) și respectiv matricele TSUK(i,j) și TJOK(i,j).

Tabelul 4.15. Secvența de program pentru generarea matricei TK_st(i,j)

(temperatura elementelor situate la stânga unui element)

Tabelul 4.16. Secvența de program pentru generarea matricei TK_dr(i,j)

(temperatura elementelor situate la dreapta unui element)

Tabelul 4.17. Secvența de program pentru generarea matricei TSTK(i,j)

(temperatura la stânga a fiecărui element)

Tabelul 4.18. Secvența de program pentru generarea matricei TDRK(i,j)

(temperatura la dreapta fiecărui element)

În afară de fișierele pentru generarea matricelor care atribuie datele inițiale privind mărimile de stare și valorile caracteristicilor termofizice fiecărui element din ansamblul formei și a celor care calculează coeficienții de schimb termic între elemente, programul include fișiere de lucru care calculează valorile mărimilor de stare noi (temperatura și fracția solidificată , la momentul „q+1”) la finele unui interval de timp elementar „τ”, pe baza modelului matematic și a schemei de rezolvare. Acestea sunt fișierele „run.m” și „compute.m”. Fișierul „run.m” calculează funcțiile QK0(i,j) ( – căldura schimbată de un element cu elementele vecine) pe baza relației 4.15.

(4.15)

În această relație – reprezintă temperaturile la stânga, la dreapta, în partea de sus și în partea de jos a unui element la momentul „q”. Fișierul „run.m” dat în tabelul 5.19 calculează valoarea căldurii schimbate de un element cu cele patru elemente vecine (pe baza relației 4.15). Fișierul „compute.m”, dat în tabelul 4.20 calculează la fiecare pas de timp „q”, valorile mărimilor de stare și construiește matricele TKN (adică temperatura – temperatura nouă a elementelor după intervalul de timp τ, adică la momentul ), și CSIKN ( – fracția solidă a fiecărui element după intervalul de timp τ). Pentru calcul, se aplică schema de rezolvare prezentată în capitolul 4, care include cele 9 cazuri discutate.

Fișierul din tabelul 4.20 mai cuprinde de asemenea instrucțiuni destinate lansării în execuție a programului, instrucțiuni pentru oprirea rulării programului în caz de eroare și de asemenea instrucțiuni pentru selectarea și stocarea tabelară a rezultatelor în fișierele cu extensia „.out”. Rularea programului este oprită când valoarea lui „q” este ciclată până la valoarea maximă „”, impusă de utilizatorul softului la inițializarea acestuia (în fișierul „form.m”) sau dacă în rulare apar erori.

Tabelul 4.19. Secvența de program pentru generarea și calculul elementelor matrice QK0(i,j)

(căldura schimbată de un element cu elementele vecine)

Tabelul 4.20. Secvența de program pentru generarea matricelor TKN(i,j) și CSIKN(i,j)

(temperaturile noi și fracțiile de solid noi, la momentul „q+1”)

Rezultate privind solidificarea pieselor turnate, posibil de obținut prin utilizarea

softului.

Modulul de soft prezentat mai sus furnizează automat următoarele informații despre

solidificarea pieselor turnate:

poziția punctului în care se termină solidificarea aliajului lichid turnat în formă (coordonatele

i,j ale nodului termic) – este afișată în fișierul „ultim.out”;

coordonata de timp a începutului de solidificare a aliajului lichid (q_start_solidus) și

coordonata de timp a sfarșitului de solidificare a nodului termic (q_solidus) – acestea sunt afișate în fișierul „TKN.out”;

matricea temperaturilor din ansamblul formei la momentul final al rulării programului (la momentul ) – în fișierul „TKN.out”;

matricea temperaturilor elementelor formei la momentul solidificării ultimei celule de aliaj lichid – în fișierul „TKN_SOL.out”;

matricea timpului de solidificare a tuturor celulelor – în fișierul „Mat_T_solidus.out”;

matricea coordonatelor de timp „q” la care se determină solidificarea fiecărei celule în fișierul „Mat_K_solidus.out”;

matricea valorilor de timp „tsol” la care se termină solidificarea fiecărei celule, în fișierul „Mat_K_solidus.out”;

cantitatea de metal lichid (în ) din formă, la fiecare moment, în fișierul „metal lichid.out”;

cantitatea de metal lichid util din maselotă (volumul de lichid situat în maselotă la un nivel plasat deasupra canalului maselotă – piesă, în ) la fiecare moment (în fișierul „metal lichid.out”).

În plus la cererea utilizatorului programul poate să furnizeze următoarele date privind solidificarea ansamblului formă – piesă:

evoluția temperaturii, a fracției de solid și a vitezei de răcire, în orice punct (celulă) din ansamblul formei. Se poate programa reținerea acestor date pentru maxim 30 de puncte. Coordonatele (i,j) ale punctelor pentru care utilizatorul impune stocarea acestei evoluții se introduc la inițializarea programului, în fișierul „puncte.in”. Valorile temperaturii, ale fracției de solid și ale vitezei de variație a temperaturii sunt reținute tabelar, în fișiere de tip „A.out”, „B.out”, „C.out” etc. Punctele în care aceste date sunt reținute sunt notate în ordine alfabetică în ordinea introducerii în fișierul „puncte.in”;

repartizarea temperaturilor pe diverse linii din ansamblul formei, la diverse momente. Numărul liniilor („i”) și coordonatele de timp („q”) pentru care se rețin aceste date, se introduc la inițializarea programului, în fișierul „linii.in”. Fișierele care rețin aceste date, sunt notate cu L_i_q – unde i este numărul liniei, iar q este coordonata de timp;

repartizarea temperaturilor pe diverse coloane ale formei, la diverse momente. Numărul coloanelor („j”) și coordonatele de timp („q”) pentru care se rețin aceste date, se introduc la inițializarea programului în fișierul „coloane.in”. Fișierele care rețin aceste date, sunt notate cu C_j_q – unde j este numărul coloanei iar q este coordonata de timp;

matricea repartizării temperaturilor în toate punctele ansamblului la diverse momente impuse. Coordonatele de timp „q” – pentru care se rețin aceste valori se introduc la inițializarea programului în fișierul „timpi impuși.in”. Fișierele cu aceste date sunt notate cu TKN_q unde q este coordonata de timp la care se face reținerea datelor.

Pe baza fișierelor cu date numerice tabelare reținute în urma rulării programului în fișierele de tip „.out”, programul trasează automat următoarele reprezentări grafice:

repartizarea izotermelor în ansamblul formei la momentul solidificării;

curbele de variație a temperaturii, a fracției de solid și a vitezei de răcire (variație a temperaturii) în funcție de timp, în toate punctele (celulele) stabilite în fișierul „puncte.in”;

curbele de repartizare a temperaturii pe liniile și la momentele stabilite în fișierul „linii.in”;

curbele de repartizare a temperaturii pe coloanele și la momentele stabilite în fișierul „coloane.in”;

poziția (deplasarea) frontului de solidificare la diverse momente, în orice secțiune verticală (logitudinală sau transversală) prin formă;

poziția frontului solidus și lichidus la un moment dat;

curbe care arată deplasarea frontului de solidificare în funcție de timp în orice secțiune a piesei;

curbe care să arate poziția fronturilor solidus și lichidus, și respectiv a zonei bifazice la un moment dat;

curbe care să arate repartizarea izotermelor în orice secțiune verticală prin formă, la un moment dat.

De asemenea, prin prelucrarea datelor reținute în fișierele „.out”, este posibil să se obțină informații privind câmpul vectorilor „gradient de temperatură” în orice secțiune a formei, și repartizarea grafică a izotermelor la orice moment în ansamblul formei.

Figura 4.2. Repartizarea izotermelor în formă, în secțiunea verticală mediană la momentul sfârșitului solidificării aliajului din sistem (q_start_solidus = 140, q_solidus = 168786)

În figurile 5.2 – 5.9 este arătat modul de reprezentare grafică a unora din aceste rezultate în cazul simulării solidificării piesei din figură. Simularea este realizată cu datele de inițializare din tabelul 5.5, pentru cazul turnării piesei din aliaj ATSI 12 cu 11,6% siliciu. În tabelul 5.21 este arătată matricea care reține valorile coordonatelor numerice de timp ale sfârșitului solidificării elementelor de volum în care este divizată forma (în fișierul „Mat_K_solidus.out”). Valorile 0 corespund elementelor de volum ale formei propriuzise, ale răcitorului și ale miezului izolator care sunt solide la momentul inițial. Valorile diferite de 0 corespund solidificării celulelor pline cu metal lichid (piesă turnată, maselota, canal de alimentare).

Figura 4.3. Deplasarea frontului de solidificare în secțiunea verticală mediană în formă.

Figura 4.4. Repartizarea fronturilor izosolidus și izolichidus în formă în secțiune verticală mediană (unde zona galbenă – zonă lichidă și zona verde – zonă bifazică)

Figura 4.5. Variația temperaturii în celula cu coordonatele (i,j) = (35,62)

Figura 4.6. Variația fracției de solid în celula (i,j) = (35,62)

Figura 4.7. Viteza de răcire în celula (i,j) = (35,62)

Figura 4.8. Repartizarea temperaturii pe coloana j = 34, stratul k = 300

Figura 4.9. Repartizarea temperaturii pe linia i = 47, stratul k = 300

Utilizarea programului destinat simulării solidificării pieselor turnate

Programul destinat simulării solidificării pieselor turnate se poate utiliza în următoarele scopuri:

pentru efectuarea de cercetări aplicative referitoare la solidificarea pieselor din producția atelierelor de turnare în vederea optimizării tehnologiilor te turnare și în special pentru proiectarea sistemelor de maselotare, a răcitorilor și a sistemelor de alimentare;

pentru efectuarea de cercetări fundamentale privind influența factorilor tehnologici și constructivi asupra solidificării pieselor turnate, în vederea stabilirii unor reguli generale de proiectare și optimizare a tehnologiilor de turnare.

În primul caz se stabilește de obicei poziția cea mai favorabilă și dimensiunile optime ale maselotelor, astfel încât să se asigure eliminarea nodurilor termice din piesele turnate. Aceasta implică asigurarea cantității de metal lichid util din maselotă, necesară pentru compensarea contracției piesei la solidificare, asigurarea gradientului de temperatură în sistemul piesă – maselotă necesar pentru buna funcționare a maselotei, în condițiile unui consum cât mai redus de aliaj lichid.

În al doilea caz se urmărește efectuarea de studii privind influența geometriei pieselor, a maselotelor și a rețelelor de turnare asupra solidificării pieselor turnate, în condițiile modificării progresive a unor parametrii. Se urmărește în final stabilirea de corelații cauză – efect în procesul solidificării pieselor turnate și implicațiile acestor corelații asupra calității pieselor turnate, asupra consumului de materiale și asupra costurilor de fabricație în vederea stabilirii unor reguli generale, simplificate de proiectare rapidă și eficientă a tehnologiilor de turnare.

CONCLUZII

Concluziile cele mai importante desprinse în urma carcetărilor efectuate în acest proiect sunt:

particularitatea principală întâlnită la modelarea și realizarea efectivă a softurilor pentru simularea solidificării pieselor turnate din aliaje de aluminiu – siliciu este legată de faptul că în timpul solidificării se modifică simultan ambii parametrii de stare ai celulelor adică temperatura și fracția de solid;

se pot realiza modele matematice și softuri de complexități și precizii diferite în funcție de modul în care se consideră dependența fracției de solid de temperatură;

modelele matematice care conduc la rezolvări simple și rapide sunt cele care iau în considerare dependența fracției de solid de temperatură printr-o funcție de gradul I;

modelele matematice care consideră care consideră această dependență prin funcți de grad superior întâmpină dificultăți de rezolvare, deoarece conduc la ecuații de grad mai mare, care au mai multe rădăcini și din această cauză implică dificultăți în alegerea soluției compatibile;

durata simulării solidificării unei piese turnate din aliaje cu solidificare în interval de temperatură este similară cu durata simulării solidificării aceleiași piese turnată din aliaje eutectice (aliaj de aluminiu – siliciu, în aceleași condiții de supraîncălzire față de temperatura solidus și în același tip de formă de turnare). Aceasta se explică prin faptul că numărul de cazuri care trebuie analizate la schimbul căldurii între celule (în modelul matematic) este aproximativ același, iar numărul de ecuații care trebuie rezolvate este comparabil;

poziția nodurilor termice la solidificarea pieselor turnate din aliaje cu interval de solidificare este practic același ca în cazul pieselor turnate din aliaje eutectice (aluminiu – siliciu) sau metale pure, dacă proprietățile termofizice au valori apropiate;

la aceeași supraîncălzire față de temperatura solidus, timpul de început și de sfârșit de solidificare este mai mic la aliajele care au temperatura lichidus mai mare;

la aceeași supraîncălzire față de temperatura lichidus, durata efectivă de solidificare a piesei, este mai mare la aliajele cu interval de solidificare;

cu cât intervalul de solidificare este mai mare, durata efectivă de solidificare a piesei este mai mare;

intervalul de solidificare nu are influență sesizabilă asupra hărții de deplasare a frontului de solidificare, în comparație cu piese turnate din aliaje eutectice;

intervalul de solidificare și valoarea temperaturilor solidus și lichidus nu influențează în mare măsură poziția frontului lichidus la același moment, dar influențează poziția frontului solidus, așadar și extinderea zonei bifazice (solid + lichid).

BIBLIOGRAFIE

[1] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V., Bedo T. – Modelarea, simularea și optimizarea solidificării pieselor turnate, Editura Universității Transilvania din Brașov, Brașov, 2012

[2] Soporan V., Constantinescu V. – Modelarea la nivel macrostructural a solidificării, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1995

[3] Soporan V. – Modelarea la nivel macrostructural a solidificării aliajelor, Teză de doctorat, Universitatea Tehnică Cluj – Napoca, 1993

[4] Ștefănescu D. M. – Modeling for casting and solidification processing, K.O. Yu ed., Marcel Dekker Inc., New York, 2001

[5] Soporan V., Vamos C., Pavai C. – Numerical modeling for the technological interpretation of solidification process castings, Metalurgia – Metalurgia International, vol III, 1998, no. 4, pag. 56 – 60

[6] Stefanescu D. M. – Science and engineering of casting solidification, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, Boston, 2001

[7] Bodenburg M., Diordue V. – Optimizarea numerică a proceselor de turnare, Revista de turnătorie, no. 3 – 4, 2008, pag. 7 – 9

[8] Barone M., D. Caulk – Analysis of mold filling in lost foam of aluminium – Method, International journal of Metal casting, Schaumburg, Illinois, Vol. II, Issue 3, 2008, pag. 29 – 43

[9] Bratu C., Sofroni L., Nica G. – Termofizica solidificării pieselor turnate, Editura Performantica, Iași, 1997

[10] Ciobanu I. – Bazele teoretice ale turnării, Universitatea Transilvania din Brașov, 1984

[11] Sofroni L., Barbie V., Bratu C. – Bazele teoretice ale turnării, Editura didactică și pedagogică, București, 1990

[12] Soporan V., Constantinescu V., Crișan M. – Solidificarea aliajelor, preliminarii teoretice, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1995

[14] Ciobanu I., Monescu V., Munteanu S.I, Crișan A., Feraru D., Szabo C. – Verification of the Dimensioning relationship for externar cooler wall thickness used in the casting of parts from metal alloys, Metalurgia International, Special Issue no. 10, 2009, pag. 75 – 83

[15] Ciobanu I., Monescu V., Masnita M. – Studiu privind influența temperaturii de turnare asupra solidificării unei piese turnate din fontă cenușie eutectică,Metalurgia, nr. 9, pag. 15 – 29, 2006

[16] Ciobanu I., Munteanu S.I., Crișan A – Influența unor parametrii geometrici asupra repartizării izotermelor în ansamblul formă de turnare – piesă la solidificarea profilelor turnate cu secțiune U, Recent, nr. 12, decembrie 2004, pag. 16 – 20

[17] Soporan V., Vamos, Pavai C. – Optimizarea tehnologică și constructivă a pieselor turnate tip batiu prin intermediul metodelor numerice, Metalurgia, vol. 50, nr. 2, pag. 43 – 51, 1998

[18] Dietrich P., Lesoult G. – Simulation of heat and capillary feeding during solidification of sand mould S.G. iron castings, E-MRS-Strasbourg, June 1986, pag. 225 – 234

[19] Gopinath V., Balanarasinman N. – Effect of solidification parameters on the feeding efficiency of Lm6 Aluminium alloy casting IOSR Journal of Mechanical and civil engineering (IOSR – JMCE), vol. 4, Issue 2 (Nov. – Dec. 2012), pag. 32 – 38

[20] Holly A. – Modele matematice de analiză – singura cale de emancipare a proiectării tehnologiilor de turnare în turnătorii (partea II), Revista de turnătorie nr. 9-10, 2008, pag. 11 – 13

[22] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Jiman V., Monescu V. – Determinarea coeficientului mediu de conductivitate termică a formelor de turnare întarite chimic cu liant, rașina furanică, Revista de turnătorie, nr. 11 – 12, 2008, pag. 21 – 26

[23] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V., Jiman V., Chișamera M., Mărginean I. – Coefficient of thermal conductivity of green modules with bentonite and clay, Metalurgia, nr. 9, 2009, pag. 29 – 37

[24] Pehleke R. D., Jeyarajan A., Wada H. – Summary of thermal properties of castings alloys and mould materials, NSF and Applied research division USA, 1982, pag. 143 – 160

[25] Rafique M. M. A., Iqbal I. – Modeling and simulation of heat transfer phenomenon during investment casting, International journal oh heat and mass transfer, nr. 52 (2009), pag. 2132 – 2139

[26] Sahm P., Hansen P. – Numerical simulation and modeling of casting and solidification processes for foundry and cast-house, Zurich, CIATF, 1984

[27] Speideh S. – Heat transfer during melting and solidification in heterogeneous materials, Polytechnic Institute of Virginia, Blacksburg, Virginia, Dec. 2000

[28] Varga B., Dani P. – Properties of AlZn10Si7 secondary alloy, Metalurgia, vol. XVIII, nr. 8 (2013), pag. 12 – 17

[29] E. Flender, J. Sturm – technical development report thirty years of casting process simulation, International Journal of Metalcasting, Schaumburg, Illinois, vol. 4, Issue 2, 2010, pag. 7 – 24

[30] Holly A. – Modele matematice de analiză, singura cale emancipare a proiectării tehnologiilor de turnare în turnătorii (partea I), Revista de turnătorie, nr. 5-6, 2008, pag. 3 – 5

[31] Soporan V., Vamos C., Pavai C. – Modelarea numerică a solidificării, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 2003

[32] Mașniță M., Ciobanu I., Monescu V. – Cercetări privind realizarea unui program pentru simularea solidificării pieselor turnate utilizând softul MATLAB, Recent, nr. 2 (17), iunie 2006, pag. 61 – 67

[33] Mașniță M., Ciobanu I., Monescu V. – Simularea macrosolidificării pieselor turnate cu ajutorul unui program care utilizează softul MATLAB, Partea I-a: Structura programului, Metalurgia, nr. 7, 2006, pag. 19 – 29

[34] Monescu V. – Realizarea unui program 3D pentru simularea solidificării pieselor turnate, Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Brașov, 2010

[35] Monescu V., Ciobanu I., Mașniță M. – Cercetări privind realizarea unui program pentru simularea solidificării pieselor turnate utilizând softul MATLAB. Partea II-a: Verificarea funcționării programului, Metalurgia, nr. 8, 2006, pag. 11 – 17

[36] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A., Mașniță M. – 3D – mathematical model to simulate the macro-solidification of castings from eutectic alloys, Metalurgia International, nr. 5, 2005, pag. 3 – 11

[37] Munteanu S. I. – Teză de doctorat, Cercetări privind tehnologiile și utilajele pentru turnarea continuă în câmp electromagnetic a aliajelor de aluminiu, Universitatea Transilvania din Brașov, 2000

[38] Munteanu S. I. – Turnarea continuă în câmp electromagnetic a aliajelor de aluminiu – Modelarea procesului și simularea pe calculator, Ed. Universității Transilvania din Brașov, 2001

[39] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A – Model matematic și soft 3D bazat pe metoda diferențelor finite pentru simularea solidificării pieselor turnate din aliaje eutectice, Metalurgia, nr. 12, 2004, pag. 17 – 24

[40] Ciobanu I., Monescu V., Munteanu S. I., Crișan A. – Simularea 3D a solidificării pieselor turnate, Editura Universității Transilvania din Brașov, Brașov, 2010

[41] Ciobanu I., Monescu V., Mașniță M. – Research by computer simulation of the solidification regarding the influence of the modules thermophysical characteristics over the casting solidification, Metalurgia International, nr. 6, 2006, pag. 16 – 26

[42] Ciobanu I., Lichioiu Iuliana, Szabo C., Feraru D. – Cercetări privind solidificarea pieselor din Al-Si turnate în forme metalice, Revista de turnătorie, nr. 3-4, 2010, pag. 5 – 10

[43] Monescu V., Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A. – The influence of mold dividing on the hotspots positions at casting solidification simulation, Metalurgia, nr. 12, 2009, pag. 15 – 22

[44] Korosfoy L., Soporan V., Pavai C. – Influența poziției de alimentare asupra zonei de ultimă solidificare, Revista de turnătorie, nr. 9-10, 2010, pag. 7 – 9

[45] Mașniță M – Cercetări privind influența unor factori tehnologici și constructivi asupra solidificării pieselor turnate, Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Brașov, 2007

[46] Carlson K., Beckermann C. – Prediction of shrinkage pore volume fraction using a dimensionless niyama criterion, Metallurgical and materials Transactions A, nr. 40A, pag. 163 – 175, 2009

[47] Imafuku I., Chijiiwa K. – Mathematical model for shrinkage cavity prediction in steel casting, AFS Transactions, 1983, vol. 1983, pag. 527 – 537

[48] Lewis R., Liou S., Shin Y. – Literature review of solidification simulation in the design of sand castings, Steel founders′ research journal, 1987, vol. 17, pag. 1 – 12 (USA)

[49] Năstac L., Ștefănescu D. – Modelarea procesului de micro-macrosegregare în timpul solidificării pieselor turnate, Revista de turnătorie, nr. 1, 1997, pag. 3 – 8

[50] Ravi B., Joshi D. – Feedability analysis and optimization dreeven by casting simulation, The indian foundry journal, vol. 53, No.6, pag. 71 – 78, 2007

[51] Soporan V., Vamos., Pavai C. – Simularea numerică a procesului de contracție și de formare a retasurilor în timpul procesului de solidificare, Turnarea și solidificarea metalelor și aliajelor, tomel, nr. 1, 1998, Editura U.T. Pres, pag. 163 – 166

[52] Hansen P. – Modelling of solidification processes in casting using FDM – techniques, E-MRS, Strasbourg, June 1986, pag. 27 – 37

[53] Nicoleta Ivan, Ciobanu I., Chisamera M., Monescu V., Crișan A. – Research by computer simulation on the influence of painted molds on the thermal regime of iron casting solidification (part 1), Metalurgia, nr 5, 2011, pag. 25-33

[54] Louvo A., Renkonen A. – Solidification simulation of casting using finite element method, COST 504 – Project SF 1b, Finland, 1986, pag. 1 – 11

[55] Soporan V. – Sistem de clasificare și apreciere a modelelor și metodelor de rezolvare specifice analizei procesului de solidificare, Metalurgia, nr. 9, 1994, pag. 42 – 48

[56] Soporan V. – Stadiul actual și perspective în domeniul modelării numerice a procesului de solidificare a aliajelor, Modelarea și simularea pe calculator a procesării materialelor, Editura Press, 1999, pag. 85 – 110

[57] Ștefănescu D. M., Kanetkar C. S. – State of the art of computer simulation of casting and solidification processes, H. Fredriksson ed., Les Edition de Physique, Les Ulis, France, 1986

[58] Zhizkina N., Gutko Y., Taranenko N. – Utilizarea metodelor virtuale pentru stabilirea tehnologiilor de turnare a cilindrilor folosiți în industria metalurgică, Revista de turnătorie, nr. 5 – 6, 2012, pag. 36 – 31

[59] D. Caulk – Analysis of mold filling in lost casting of Aluminium: Part II – Example application, International journal of metalcasting, Schaumburg, Illinois, USA, vol. 3, issue 1, 2009, pag. 7 – 26

[60] Gherman B., Matache G., Purcaru C. – Simularea numerică a procesului de solidificare unidirecțională a pieselor turnate de precizie, Revista de turnătorie nr. 1-2, 2013, pag. 2-8

[61] Dioszegi A., Diaconu V. I. – Simularea microstructurii și a proprietăților de tracțiune ale pieselor din fontă cu grafit lamellar, Revista de turnătorie, nr. 9 – 10, 2009, pag. 14 – 22

[62] Sillen R. – Finding the true eutectic point – an essential task for efficient process control ductile iron, Revista de turnătorie, nr. 7/8, 2007, pag. 10 – 11

[63] Sillen R. – Production of ductile iron castings without feeders, Revista de turnătorie, nr. 5/6, 2007, pag. 3 – 8

[64] Monescu V., Ciobanu I., Bedo T., Munteanu S. I., Crișan A., Roman Maria – The influence of insulating cores on shrinkhead solidification, Metalurgia international, Special issue nr. 2, 2009, pag. 99 – 102

[65] Bratu C., Popa I. – Determinarea proprietăților termofizice ale amestecurilor de formare prin simulare numerică a procesului de solidificare, Turnarea și solidificarea metalelor și aliajelor, Tome 1, nr. 1, 1998, Editura U.T. Pres, pag. 19 – 24

[66] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A., Mașniță M., Avram Nengis, Stroe F. – Experimental and computer simulation about the hot spots position during the solidification of bars with „U” section, Metalurgia international, nr. 7, 2007, pag. 35 – 40

[67] Ciobanu I., Lupinca I. C., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V. – Functionality verification of the „3D-SIM” software for casting solidification simulation of cast parts from eutectic alloys, Metalurgia, nr. 3, 2010, pag. 10 – 21

[68] Ciobanu I, Daniela I, Monescu V, Varga B, Munteanu S, Bedo T, Crisan A, Pop A – Teza de doctorat, Simularea solidificarii pieselor turnate din aliaje care se solidifica in interval de temperature 20

[69] Ciobanu I., Feraru D., Szabo C., Lichioiu Iuliana – Determination of the Solid fraction variation function in the solidification alloys with solid state solubility of components – Metalurgia nr. 2, 2010, pag. 17 – 20

[70] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A. – Mathematical model for solid fraction variation with temperature in steel and cast iron solidification, Metalurgia international, nr. 6, 2008, pag. 37 – 44

[71] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Jiman V., Chisamera M., Mărginean I., Fierescu Lucia, Roman Maria – Rechearches about solidification simulation of cast part in moulds cold hardened with furan resin, Metalurgia international, nr. 1, 2009, pag. 55 – 61

[72] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A. – The mcaro – solidification simulation for a bar with „U” section cast cast in eutectic cast iron, Metalurgia international, nr. 6, 2005, pag. 38 – 50

[73] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Mașniță M., Avram Nengis, Stroe F. – Verificarea experimentală a unui soft destinat simulării solidifiării pieselor turnate, Revista de turnătorie, nr. 1-2, 2008, pag. 14 – 17

[74] Iordache O., Smigelschi O. – Ecuațiile fenomenelor de transfer de masa și căldură, Editura Tehnică, București, 1982

[75] B. Popa, C. Vintilă – Transfer de căldură în procese industrial, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1975

[76] Ghinea M., Fireteanu V. – MATLAB – calcul numeric. Grafică. Aplicații. Editura Teora, București, 2004

BIBLIOGRAFIE

[1] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V., Bedo T. – Modelarea, simularea și optimizarea solidificării pieselor turnate, Editura Universității Transilvania din Brașov, Brașov, 2012

[2] Soporan V., Constantinescu V. – Modelarea la nivel macrostructural a solidificării, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1995

[3] Soporan V. – Modelarea la nivel macrostructural a solidificării aliajelor, Teză de doctorat, Universitatea Tehnică Cluj – Napoca, 1993

[4] Ștefănescu D. M. – Modeling for casting and solidification processing, K.O. Yu ed., Marcel Dekker Inc., New York, 2001

[5] Soporan V., Vamos C., Pavai C. – Numerical modeling for the technological interpretation of solidification process castings, Metalurgia – Metalurgia International, vol III, 1998, no. 4, pag. 56 – 60

[6] Stefanescu D. M. – Science and engineering of casting solidification, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, Boston, 2001

[7] Bodenburg M., Diordue V. – Optimizarea numerică a proceselor de turnare, Revista de turnătorie, no. 3 – 4, 2008, pag. 7 – 9

[8] Barone M., D. Caulk – Analysis of mold filling in lost foam of aluminium – Method, International journal of Metal casting, Schaumburg, Illinois, Vol. II, Issue 3, 2008, pag. 29 – 43

[9] Bratu C., Sofroni L., Nica G. – Termofizica solidificării pieselor turnate, Editura Performantica, Iași, 1997

[10] Ciobanu I. – Bazele teoretice ale turnării, Universitatea Transilvania din Brașov, 1984

[11] Sofroni L., Barbie V., Bratu C. – Bazele teoretice ale turnării, Editura didactică și pedagogică, București, 1990

[12] Soporan V., Constantinescu V., Crișan M. – Solidificarea aliajelor, preliminarii teoretice, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1995

[14] Ciobanu I., Monescu V., Munteanu S.I, Crișan A., Feraru D., Szabo C. – Verification of the Dimensioning relationship for externar cooler wall thickness used in the casting of parts from metal alloys, Metalurgia International, Special Issue no. 10, 2009, pag. 75 – 83

[15] Ciobanu I., Monescu V., Masnita M. – Studiu privind influența temperaturii de turnare asupra solidificării unei piese turnate din fontă cenușie eutectică,Metalurgia, nr. 9, pag. 15 – 29, 2006

[16] Ciobanu I., Munteanu S.I., Crișan A – Influența unor parametrii geometrici asupra repartizării izotermelor în ansamblul formă de turnare – piesă la solidificarea profilelor turnate cu secțiune U, Recent, nr. 12, decembrie 2004, pag. 16 – 20

[17] Soporan V., Vamos, Pavai C. – Optimizarea tehnologică și constructivă a pieselor turnate tip batiu prin intermediul metodelor numerice, Metalurgia, vol. 50, nr. 2, pag. 43 – 51, 1998

[18] Dietrich P., Lesoult G. – Simulation of heat and capillary feeding during solidification of sand mould S.G. iron castings, E-MRS-Strasbourg, June 1986, pag. 225 – 234

[19] Gopinath V., Balanarasinman N. – Effect of solidification parameters on the feeding efficiency of Lm6 Aluminium alloy casting IOSR Journal of Mechanical and civil engineering (IOSR – JMCE), vol. 4, Issue 2 (Nov. – Dec. 2012), pag. 32 – 38

[20] Holly A. – Modele matematice de analiză – singura cale de emancipare a proiectării tehnologiilor de turnare în turnătorii (partea II), Revista de turnătorie nr. 9-10, 2008, pag. 11 – 13

[22] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Jiman V., Monescu V. – Determinarea coeficientului mediu de conductivitate termică a formelor de turnare întarite chimic cu liant, rașina furanică, Revista de turnătorie, nr. 11 – 12, 2008, pag. 21 – 26

[23] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V., Jiman V., Chișamera M., Mărginean I. – Coefficient of thermal conductivity of green modules with bentonite and clay, Metalurgia, nr. 9, 2009, pag. 29 – 37

[24] Pehleke R. D., Jeyarajan A., Wada H. – Summary of thermal properties of castings alloys and mould materials, NSF and Applied research division USA, 1982, pag. 143 – 160

[25] Rafique M. M. A., Iqbal I. – Modeling and simulation of heat transfer phenomenon during investment casting, International journal oh heat and mass transfer, nr. 52 (2009), pag. 2132 – 2139

[26] Sahm P., Hansen P. – Numerical simulation and modeling of casting and solidification processes for foundry and cast-house, Zurich, CIATF, 1984

[27] Speideh S. – Heat transfer during melting and solidification in heterogeneous materials, Polytechnic Institute of Virginia, Blacksburg, Virginia, Dec. 2000

[28] Varga B., Dani P. – Properties of AlZn10Si7 secondary alloy, Metalurgia, vol. XVIII, nr. 8 (2013), pag. 12 – 17

[29] E. Flender, J. Sturm – technical development report thirty years of casting process simulation, International Journal of Metalcasting, Schaumburg, Illinois, vol. 4, Issue 2, 2010, pag. 7 – 24

[30] Holly A. – Modele matematice de analiză, singura cale emancipare a proiectării tehnologiilor de turnare în turnătorii (partea I), Revista de turnătorie, nr. 5-6, 2008, pag. 3 – 5

[31] Soporan V., Vamos C., Pavai C. – Modelarea numerică a solidificării, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 2003

[32] Mașniță M., Ciobanu I., Monescu V. – Cercetări privind realizarea unui program pentru simularea solidificării pieselor turnate utilizând softul MATLAB, Recent, nr. 2 (17), iunie 2006, pag. 61 – 67

[33] Mașniță M., Ciobanu I., Monescu V. – Simularea macrosolidificării pieselor turnate cu ajutorul unui program care utilizează softul MATLAB, Partea I-a: Structura programului, Metalurgia, nr. 7, 2006, pag. 19 – 29

[34] Monescu V. – Realizarea unui program 3D pentru simularea solidificării pieselor turnate, Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Brașov, 2010

[35] Monescu V., Ciobanu I., Mașniță M. – Cercetări privind realizarea unui program pentru simularea solidificării pieselor turnate utilizând softul MATLAB. Partea II-a: Verificarea funcționării programului, Metalurgia, nr. 8, 2006, pag. 11 – 17

[36] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A., Mașniță M. – 3D – mathematical model to simulate the macro-solidification of castings from eutectic alloys, Metalurgia International, nr. 5, 2005, pag. 3 – 11

[37] Munteanu S. I. – Teză de doctorat, Cercetări privind tehnologiile și utilajele pentru turnarea continuă în câmp electromagnetic a aliajelor de aluminiu, Universitatea Transilvania din Brașov, 2000

[38] Munteanu S. I. – Turnarea continuă în câmp electromagnetic a aliajelor de aluminiu – Modelarea procesului și simularea pe calculator, Ed. Universității Transilvania din Brașov, 2001

[39] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A – Model matematic și soft 3D bazat pe metoda diferențelor finite pentru simularea solidificării pieselor turnate din aliaje eutectice, Metalurgia, nr. 12, 2004, pag. 17 – 24

[40] Ciobanu I., Monescu V., Munteanu S. I., Crișan A. – Simularea 3D a solidificării pieselor turnate, Editura Universității Transilvania din Brașov, Brașov, 2010

[41] Ciobanu I., Monescu V., Mașniță M. – Research by computer simulation of the solidification regarding the influence of the modules thermophysical characteristics over the casting solidification, Metalurgia International, nr. 6, 2006, pag. 16 – 26

[42] Ciobanu I., Lichioiu Iuliana, Szabo C., Feraru D. – Cercetări privind solidificarea pieselor din Al-Si turnate în forme metalice, Revista de turnătorie, nr. 3-4, 2010, pag. 5 – 10

[43] Monescu V., Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A. – The influence of mold dividing on the hotspots positions at casting solidification simulation, Metalurgia, nr. 12, 2009, pag. 15 – 22

[44] Korosfoy L., Soporan V., Pavai C. – Influența poziției de alimentare asupra zonei de ultimă solidificare, Revista de turnătorie, nr. 9-10, 2010, pag. 7 – 9

[45] Mașniță M – Cercetări privind influența unor factori tehnologici și constructivi asupra solidificării pieselor turnate, Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Brașov, 2007

[46] Carlson K., Beckermann C. – Prediction of shrinkage pore volume fraction using a dimensionless niyama criterion, Metallurgical and materials Transactions A, nr. 40A, pag. 163 – 175, 2009

[47] Imafuku I., Chijiiwa K. – Mathematical model for shrinkage cavity prediction in steel casting, AFS Transactions, 1983, vol. 1983, pag. 527 – 537

[48] Lewis R., Liou S., Shin Y. – Literature review of solidification simulation in the design of sand castings, Steel founders′ research journal, 1987, vol. 17, pag. 1 – 12 (USA)

[49] Năstac L., Ștefănescu D. – Modelarea procesului de micro-macrosegregare în timpul solidificării pieselor turnate, Revista de turnătorie, nr. 1, 1997, pag. 3 – 8

[50] Ravi B., Joshi D. – Feedability analysis and optimization dreeven by casting simulation, The indian foundry journal, vol. 53, No.6, pag. 71 – 78, 2007

[51] Soporan V., Vamos., Pavai C. – Simularea numerică a procesului de contracție și de formare a retasurilor în timpul procesului de solidificare, Turnarea și solidificarea metalelor și aliajelor, tomel, nr. 1, 1998, Editura U.T. Pres, pag. 163 – 166

[52] Hansen P. – Modelling of solidification processes in casting using FDM – techniques, E-MRS, Strasbourg, June 1986, pag. 27 – 37

[53] Nicoleta Ivan, Ciobanu I., Chisamera M., Monescu V., Crișan A. – Research by computer simulation on the influence of painted molds on the thermal regime of iron casting solidification (part 1), Metalurgia, nr 5, 2011, pag. 25-33

[54] Louvo A., Renkonen A. – Solidification simulation of casting using finite element method, COST 504 – Project SF 1b, Finland, 1986, pag. 1 – 11

[55] Soporan V. – Sistem de clasificare și apreciere a modelelor și metodelor de rezolvare specifice analizei procesului de solidificare, Metalurgia, nr. 9, 1994, pag. 42 – 48

[56] Soporan V. – Stadiul actual și perspective în domeniul modelării numerice a procesului de solidificare a aliajelor, Modelarea și simularea pe calculator a procesării materialelor, Editura Press, 1999, pag. 85 – 110

[57] Ștefănescu D. M., Kanetkar C. S. – State of the art of computer simulation of casting and solidification processes, H. Fredriksson ed., Les Edition de Physique, Les Ulis, France, 1986

[58] Zhizkina N., Gutko Y., Taranenko N. – Utilizarea metodelor virtuale pentru stabilirea tehnologiilor de turnare a cilindrilor folosiți în industria metalurgică, Revista de turnătorie, nr. 5 – 6, 2012, pag. 36 – 31

[59] D. Caulk – Analysis of mold filling in lost casting of Aluminium: Part II – Example application, International journal of metalcasting, Schaumburg, Illinois, USA, vol. 3, issue 1, 2009, pag. 7 – 26

[60] Gherman B., Matache G., Purcaru C. – Simularea numerică a procesului de solidificare unidirecțională a pieselor turnate de precizie, Revista de turnătorie nr. 1-2, 2013, pag. 2-8

[61] Dioszegi A., Diaconu V. I. – Simularea microstructurii și a proprietăților de tracțiune ale pieselor din fontă cu grafit lamellar, Revista de turnătorie, nr. 9 – 10, 2009, pag. 14 – 22

[62] Sillen R. – Finding the true eutectic point – an essential task for efficient process control ductile iron, Revista de turnătorie, nr. 7/8, 2007, pag. 10 – 11

[63] Sillen R. – Production of ductile iron castings without feeders, Revista de turnătorie, nr. 5/6, 2007, pag. 3 – 8

[64] Monescu V., Ciobanu I., Bedo T., Munteanu S. I., Crișan A., Roman Maria – The influence of insulating cores on shrinkhead solidification, Metalurgia international, Special issue nr. 2, 2009, pag. 99 – 102

[65] Bratu C., Popa I. – Determinarea proprietăților termofizice ale amestecurilor de formare prin simulare numerică a procesului de solidificare, Turnarea și solidificarea metalelor și aliajelor, Tome 1, nr. 1, 1998, Editura U.T. Pres, pag. 19 – 24

[66] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A., Mașniță M., Avram Nengis, Stroe F. – Experimental and computer simulation about the hot spots position during the solidification of bars with „U” section, Metalurgia international, nr. 7, 2007, pag. 35 – 40

[67] Ciobanu I., Lupinca I. C., Munteanu S. I., Crișan A., Monescu V. – Functionality verification of the „3D-SIM” software for casting solidification simulation of cast parts from eutectic alloys, Metalurgia, nr. 3, 2010, pag. 10 – 21

[68] Ciobanu I, Daniela I, Monescu V, Varga B, Munteanu S, Bedo T, Crisan A, Pop A – Teza de doctorat, Simularea solidificarii pieselor turnate din aliaje care se solidifica in interval de temperature 20

[69] Ciobanu I., Feraru D., Szabo C., Lichioiu Iuliana – Determination of the Solid fraction variation function in the solidification alloys with solid state solubility of components – Metalurgia nr. 2, 2010, pag. 17 – 20

[70] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A. – Mathematical model for solid fraction variation with temperature in steel and cast iron solidification, Metalurgia international, nr. 6, 2008, pag. 37 – 44

[71] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Jiman V., Chisamera M., Mărginean I., Fierescu Lucia, Roman Maria – Rechearches about solidification simulation of cast part in moulds cold hardened with furan resin, Metalurgia international, nr. 1, 2009, pag. 55 – 61

[72] Munteanu S. I., Ciobanu I., Crișan A. – The mcaro – solidification simulation for a bar with „U” section cast cast in eutectic cast iron, Metalurgia international, nr. 6, 2005, pag. 38 – 50

[73] Ciobanu I., Munteanu S. I., Crișan A., Mașniță M., Avram Nengis, Stroe F. – Verificarea experimentală a unui soft destinat simulării solidifiării pieselor turnate, Revista de turnătorie, nr. 1-2, 2008, pag. 14 – 17

[74] Iordache O., Smigelschi O. – Ecuațiile fenomenelor de transfer de masa și căldură, Editura Tehnică, București, 1982

[75] B. Popa, C. Vintilă – Transfer de căldură în procese industrial, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1975

[76] Ghinea M., Fireteanu V. – MATLAB – calcul numeric. Grafică. Aplicații. Editura Teora, București, 2004