Modelarea economic ă reprezint ă un proces de cunoaștere mijlocit ă a realității cu ajutorul unui instrument cu caracteristici speciale: modelul…. [620968]

7

CAPITOLUL I
MODELE ECONOMETRICE

1.1. Generalit ăți

Modelarea economic ă reprezint ă un proces de
cunoaștere mijlocit ă a realității cu ajutorul unui instrument cu
caracteristici speciale: modelul. Sistemul real supus studiului este înlocuit prin modelul s ău, care este o reprezentare
simplificat ă a obiectului cercetat.
Modelul econometric este, de regul ă, o mulțime de
relații numerice care permite reprezentarea simplificat ă a
procesului economic supus studiului (uneori chiar a întregii
economii). Modelele actuale comport ă adesea mai mult de
zece relații (ecuații). Validitatea unui model este testat ă prin
confruntarea rezultatelor ob ținute cu observa țiile statistice.
Pentru a studia un fenomen economic se încearc ă
reprezentarea lui prin comportamentul unei variabile. Aceast ă
variabilă economic ă depinde, la rîndul s ău de alte variabile
de care este legat ă prin relații matematice.
De exemplu, dac ă se studiaz ă cererea ( C) și oferta ( O)
dintr-un anumit bun pe o pia ță, se știe că cererea și oferta
depind de pre
țul (p) bunului respectiv. Putem scrie c ă

8variabilele C și O sunt funcții de variabila p și că la echilibrul
pieței, trebuie ca cererea s ă fie egal ă cu oferta. Se
construiește astfel un model elementar de forma:

[1] ⎪⎩⎪⎨⎧
===
OCpgOpf C
)()(

Oferta și cererea dintr-un anumit bun depind și
de alte variabile decât pre țul. Astfel, cererea dintr-un bun
alimentar depinde și de venitul disponibil, de pre țul unor
produse analoage etc. La fel, dac ă este vorba despre un bun
agricol (grâu,…) oferta depinde de pre țul anului precedent.
Relația stabilit ă între variabile în modelul econometric este
dată, de regul ă, la un anumit moment de timp t, caz în care
variabilele apar indiciate:
[2] ⎪⎩⎪⎨⎧
===
−
t trt t t t tnt t t t t
O Cx xxpg Ox xxpf C
) ,…,,, () ,…,,,(
2 1 12 1

În modelul [2] s-au introdus mai multe variabile
care explic ă cererea și oferta dintr-un bun și s-a considerat
realizarea acestor variabile la momentul t sau t-1. Se observ ă
că modelul comport ă mai multe rela ții. Se zice c ă avem un
model cu ecua ții multiple. Evident, se va începe studiul cu un
model mai simplu, cu o unic ă ecuație.

1.2. Model aleator

Să presupunem c ă se studiaz ă consumul ( Ci) dintr-un
anumit bun de c ătre o familie (i). Între alte variabile,
consumul depinde de venitul disponibil al familiei ( Vi).
Modelul econometric elementar const ă în a exprima Ci în
funcție de Vi. Desigur, al ți factori – dintre care unii sunt
necunoscu ți – determin ă de asemenea consumul familiei.

9Condensăm efectele acestor al ți factori într-unul singur,
aleator, notat εi. Se obține astfel un model aleator:
[3] i i i Vf C ε+= )(
Factorul aleator εi este o variabil ă aleatoare care
urmează o anumit ă l e g e de pr o ba bil i tate , ce v a tr e b ui s ă fie
specificat ă prin ipotezele f ăcute asupra modelului. Cel mai
frecvent, ipotezele se refer ă doar la momentele de ordinul I și
II ale variabilei aleatoare εi. Urmeaz ă să ne asigur ăm că
funcția f (sau clasa de func ții) aleasă nu contrazice rezultatele
experienței. De exemplu, dac ă s-a ales f ca o func ție liniară
(adică f(Vi) = aV i+b), modelul econometric este:
[4] i i i b aV C ε++=
și variind pe i pentru diferitele familii studiate, ne vom
asigura c ă relația [4] este bine satisf ăcută. Se spune c ă
„testăm” modelul. Dac ă rezultatul ob ținut este convenabil, se
va trece la „estimarea” parametrilor a și b. Apoi, definind o
„regulă de previziune” se va putea determina consumul Ci
dacă se cunoaște venitul Vi.

1.3. Natura variabilelor care apar în model

Într-un model econometric se disting dou ă tipuri de
variabile: -exogene . Sunt variabilele explicative ale variabilei studiate
și se consider ă ca fiind date autonom. În modelul [4] V
i este
variabila exogen ă (sau explicativ ă, independent ă). Venitul
familiei Vi explică în acest model consumul familiei Ci.
Valoarea variabilei exogene –pentru un i dat și pentru εi
precizat- permite determinarea consumului Ci.
-endogene . Sunt variabilele de explicat (sau dependente). Ci
este variabila endogen ă în modelul precedent. Se poate
remarca faptul c ă Ci este acum o variabil ă aleatoare datorit ă
lui εi.

10Distincția între natura variabilelor este foarte
important ă și va trebui precizat ă întotdeauna înainte de a
studia modelul. Când modelul econometric a c ăpătat
formularea matematic ă definitivă se spune c ă modelul a fost
„specificat”. Modelul [4] de mai sus este specificat. Se
cunoaște forma func ției f din expresia Ci = f(V i) + εi , adică
f(Vi) = aV i+b. Adăugarea variabilei exogene εi dă modelului
formularea definitiv ă [4].
Mulțimea parametrilor care definesc complet modelul
econometric constituie „structura” acestuia. De exemplu,
dacă a = 0,7 și b = 23 iar ε urmează o lege de probabilitate
normală de medie (speran ță matematic ă) egală cu zero și
dispersie (varian ță) egală cu 5, atunci mul țimea
⎨ a = 0,7; b= 23; σ = 5 ⎬
constituie structura modelului [4]. Scopul va fi acela ca,
plecând de la cuplurile ( Ci,Vi) asociate diferitelor familii i, s ă
se determine structura adev ărată a modelului. Cu alte cuvinte,
plecând de la un spa țiu eșantion definit de mul țimea
cuplurilor ( Ci,Vi) să se determine structura adev ărată a
modelului în spa țiul cu trei dimensiuni al structurilor
⎨ a , b, σ ⎬ . Aici intervine „induc ția”statistic ă.

1.4. Inducția statistic ă

Obiectul induc ției statistice este de a determina o
procedură care, pornind doar de la observa țiile statistice de
care dispunem, s ă permită trecerea de la spa țiul eșantion la
spațiul structurilor. Odat ă ce modelul a fost ales, se admite c ă
există un triplet ( a, b, σ ) care permite reprezentarea exact ă a
procesului prin care valorile variabilelor observate au fost
determinate. În cursul induc ției statistice modelul nu se mai
modifică. Procedura aleas ă – așa cum se va vedea în
continuare – va consta în ob ținerea de estimatori pentru
parametrii a și b care să permită determinarea celor mai bune

11valori reale ale acestor parametri. Aceste valori se vor
aprecia, în general, cu ajutorul unor „intervale de încredere”
construite la un prag de semnifica ție (α) dat. De exemplu, în
modelul [4] se va g ăsi că a∈[0,64;0,78] și b∈[20;27] cu o
probabilitate de 95% (s-a considerat α=5%). Se poate estima
și abaterea medie p ătratică (σ) a variabilei aleatoare εi. Se va
vedea rolul important jucat de aceast ă variabilă aleatoare în
modelul econometric.

1.5. Identificarea modelului

Considerăm din nou modelul Ci=aV i+b+εi. Să
presupunem c ă procedura utilizat ă, pornind de la informa ția
deținută, adică de la cuplurile ( Ci,Vi), i=1,2,… nu c onduce la
o soluție unică, ci la dou ă structuri distincte: s0=⎨a0,b0,σ0⎬ ,
s1 =⎨a1,b1,σ1⎬. Deorece legea de probabilitate pentru ε
precizează și legea de probabilitate pentru C, fiecare structur ă
(ținând cont de valorile exogenelor și de legea lui ε) conduce
la o lege de probabilitate pentru C. Presupunem c ă structurile
s0 și s1 conduc la aceea și lege de probabilitate pentru
consumul C. Sunt posibile dou ă cazuri:
– s0 și s1 sunt distincte și nu putem alege între ele.
Se spune c ă structurile considerate nu sunt
„identificabile” și, ca urmare, modelul nu este
identificabil. Din aceast ă cauză nu vom putea
determina valorile parametrilor care figureaz ă în
model;
– s0 și s1 nu sunt distincte, intersec ția lor nu este
vidă. Acestea vor permite identificarea unei
părți a parametrilor modelului (cei care apar țin
intersecției). Se spune c ă cele două structuri sunt
echivalente, dar nu permit o identificare completă a modelului.

12 Problema identific ării este important ă mai ales în cazul
modelelor cu ecua ții multiple.

1.6. Previziunea variabilei endogene

Interesul unui model a c ărui structur ă a fost determinat ă
constă în a-l utiliza pentru previzionarea variabilelor
endogene – într-o etap ă viitoare sau într-o circumstan ță dată,
dacă este vorba despre observa ții luate la acela și moment -,
atunci când cele exogene au fost fixate. De exemplu, dac ă
dorim să studiem evolu ția importurilor (Y) în func ție de
produsul intern brut (X
1) și de nivelul stocurilor (X 2),
modelul econometric este:
yt=a1x1t+a2x2t+b+εt, t=1,2,…,T
unde t este timpul. Datele istorice (pe perioada 1990-2005)
despre Y, X 1 și X 2 (observațiile fiind anuale) permit determinarea
parametrilor modelului. S ă presupunem c ă am găsit estima țiile
punctuale:
⎪⎩⎪⎨⎧
===
6ˆ6,0ˆ14,0ˆ
21
baa

Modelul „estimat” este: 6 6,0 14,0ˆ2 1 ++=t t t x x y . Dacă dorim să
facem o previziune a importurilor pentru anul 2007, trebuie s ă știm
care va fi PIB-ul și nivelul stocurilor în anul 2007. Presupunînd c ă
aceste variabile exogene sunt x 1=1030 și x 2=12,7 vom avea ca
previziune pentru y:
y 2007=(0,14).1030+(0,6).(12,7)+6
sau, în general, b xa xa yp ˆ ˆ ˆ22 11 ++=θ θ θ , unde θ este perioada de
previziune.
Observație. Asupra valorii previzionate trebuie s ă remarcăm:

13- valorile exogenelor x 1θ, x2θ au fost alese arbitrar,
eventual ținînd cont de evolu ția lor trecut ă;
– specificarea modelului nu poate fi perfect ă,
forma func ției alese pentru a explica evolu ția lui
y neputînd fi suficient de precis ă;
– este posibil ca variabilele explicative (exogene)
ale variabilei endogene (explicate), s ă nu mai
intervină în același mod ca în perioada 1990-
2005, cînd s-a studiat legatura dintre ele. Este posibil să aibă loc un șoc, o ruptur ă care să
perturbe echilibrul dintre variabilele care explic ă
fenomenul, la momentul previziunii.
Este evident c ă toate aceste cauze pot constitui surse de
eroare a previziunii. Vom vedea care sunt metodele de a
minimiza eroarea de previziune.
***

Rezumatul capitolului I
Pentru construc ția și utilizarea unui model econometric,
se parcurg urm ătoarele etape:
– specificarea modelului (g ăsirea formul ării
matematice definitive a leg ăturii dintre
variabilele care descriu fenomenul sau procesul
economic studiat);
– estimarea parametrilor și testarea modelului cu
ajutorul statisticilor (seriilor de date observate)
deja cunoscute;
– previziunea variabilei endogene.

1.7. Vocabular uzual

14Dacă sunteți familiariza ți cu statistica matematic ă, puteți
trece la capitolul II. În caz contrar, v ă reamintim aici cîteva no țiuni
de bază. Lectura acestui paragraf credem c ă vă va incita s ă
revedeți cursul de Statistic ă matematic ă

Nor de puncte – Fiind dat ă o serie de date statistice în
care valorile (xi,yj) apar efectiv de nij ori putem reprezenta
într-un plan toate aceste valori prin puncte de coordonate
(xi,yj) afectate de coeficien ții nij , obținându-se astfel un nor
de puncte.
Ajustare – Reprezentarea grafic ă a seriilor de date
economice conduce frecvent la figuri pu țin lizibile și greu de
interpretat din cauza varia țiilor pe termen scurt, numeroase și
sensibile, dar f ără o semnifica ție important ă. Metodele
matematice numite „de ajustare” permit ob ținerea unei curbe
simple, cât mai apropiat ă posibil de mul țimea de puncte
furnizate de observa țiile empirice disponibile.
Ajustare liniar ă – Atunci când reprezentarea grafic ă a
unei serii statistice duble d ă un nor de puncte de form ă
alungită, se încearc ă obținerea unei aproxim ări bune a acestei
serii cu ajutorul unei drepte, realizându-se astfel o ajustare
liniară. Există mai multe metode pentru g ăsirea acestei
drepte:
– metoda grafic ă (se determin ă punctul mediu M ale
cărui coordonate sunt ()yx, și se traseaz ă dreapta care pare a
fi cea mai reprezentativ ă a seriei, determinând ecua ția
Y=aX+b . Această metodă este ambigu ă pentru c ă nu ține
cont de ponderea fiec ărui punct în norul de puncte);
– metoda lui Mayer (se regrupeaz ă punctele norului în
două submulțimi cărora li se determin ă punctele medii M 1 și
M2. Dreapta de ajustare este atunci dreapta care trece prin M 1
și M 2);
– metoda celor mai mici p ătrate (const ă în a face
minimă suma pătratelor distan țelor de la punctele norului la o
dreaptă de ecuație Y=aX+b numită dreaptă de regresie a lui Y

15în X. Se arată că panta (coeficientul director) acestei drepte
este a=cov(X,Y)/Var(X). Coeficientul b se obține scriind c ă
dreapta de regresie trece prin punctul mediu: XaYb−= .
Procedând la fel se g ăsește dreapta de regresie de ecua ție
X=a′Y+b′ , cu a′=cov(X,Y)/Var(Y) și YaX b ′−=′ . Cele dou ă
drepte de regresie sunt, în general, distincte. Compararea lor
permite m ăsurarea nivelului de corela ție al caracteristicilor X
și Y. Corelația se măsoară cu coeficientul de corela ție
ρ=cov(X,Y)/ σ(X)σ(Y). Se constat ă că ρ2=aa′ și că ρ variază
între –1 și 1. ρ2 măsoară unghiul dintre cele dou ă drepte de
regresie, care coincid dac ă ρ2=1, adică 1=ρ. Caracteristicile
X și Y sunt corelate maximal când ρ este apropiat de 1).
În afara faptului de a da o reprezentare mai mult sau
mai puțin satisfăcătoare legăturii dintre X și Y, importan ța
ajustării liniare este de a permite previziuni statistice,
asociind lui X o valoare probabil ă a lui Y prin relația
Y=aX+b .
Probabilitate – Fiind dat ă o mulțime finită Ω, numim
probabilitate pe Ω orice aplica ție p a lui P(Ω) – mulțimea
părților lui Ω – în intervalul [0,1 ] care verific ă trei condi ții:
– p(A)≥0, pentru ∀ A∈ P(Ω)
– p(Ω)=1
– p(A∪B)= p(A)+ p(B) , dacă A,B∈ P(Ω), A∩B=Φ
Ω se nume ște univers (sau univers de probabilit ăți). Ω
înzestrat cu probabilitatea p se numește spațiu probabilizat. Orice
parte a lui Ω este un eveniment. Un singleton (mul țime ce con ține
un singur element) al lui Ω se numește eveniment elementar sau
eventualitate. Ω este evenimentul cert. Φ este evenimentul
imposibil. A este evenimentul complementar lui A în Ω (se
numește eveniment contrar lui A). Dacă A∩B=Φ, evenimentele A
și B sunt incompatibile.
Variabilă aleatoare – Dacă Ω este un univers finit, numim
„variabilă aleatoare” orice aplica ție X: Ω →R ( a lui Ω în mulțimea

16numerelor reale). Mul țimea valorilor lui X, adică X(Ω) se numește
universul imagine. Aten ție!- o variabil ă aleatoare nu este o
variabilă, ci o aplica ție! Se observ ă că nu este necesar s ă
cunoaștem o probabilitate pe Ω pentru a defini o variabil ă aleatoare
pe Ω.
Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare – Dacă
universul finit Ω este înzestrat cu o probabilitate p, iar X este o
variabilă aleatoare definit ă pe Ω, numim lege de probabilitate a
variabilei aleatoare X, aplicația px: X(Ω)→[0,1] care asociaz ă
oricărui x∈X(Ω) probabilitatea evenimentului „mul țimea
antecedentelor lui x prin X”. Aceast ă mulțime X-1(x) este notat ă
(X=x). Legea de probabilitate a lui X, notată px este definit ă prin
px: X(Ω)→[0,1], x →p(X=x). A studia o variabil ă aleatoare
înseamnă a-i descoperi legea sa de probabilitate.
Funcție de reparti ție – Dacă universul finit Ω este înzestrat
cu o probabilitate p, iar X este o variabil ă aleatoare definit ă pe Ω,
se asociaz ă acestei variabile aleatoare func ția F:R→[0,1] definită
prin F(x)=p(X<x) numită funcție de reparti ție a variabilei aleatoare
X. Evenimentul (X<x) este imaginea intervalului ()x,∞− prin func ția
X. Funcția de reparti ție este o func ție în scară.
Speranța matematic ă – Dacă X este o variabil ă aleatoare
definită pe universul finit Ω, înzestrat cu probabilitatea p, universul
imagine este o mul țime finită și ia valorile xi, i=1,2,…,n . Legea de
probabilitate a lui X asociază fiecărui xi probalbilitatea pi=p(X=x i).
Se numește speranță matematic ă a variabilei aleatoare X, num ărul
real ∑
==n
iiixp XE
1)( . E(X) este media în probabilitate a valorilor
luate de variabila aleatoare X. E(.) este un operator liniar.
Varianța – Dacă X este o variabil ă aleatoare definit ă pe
universul finit Ω, înzestrat cu probabilitatea p, universul imagine
este o mul țime finit ă și ia valorile xi, i=1,2,…,n . Legea de
probabilitate a lui X asociază fiecărui xi probabilitatea pi=p(X=x i).
Se numește varianță a variabilei aleatoare X, numărul real pozitiv

17∑
=− =n
ii i XExp X Var
12))( ( )( . Varianța este media în probabilitate a
pătratului distan țelor de la xi la media lor. R ădăcina pătrată
(radicalul) lui Var(X) este ecartul-tip al variabilei aleatoare X, notat
σx.
Momente condi ționate – Se consider ă vectorul aleator
()2:, R YX→Ω , cu reparti ția ij j i p yYx XP === ) , ( , ,0>ijp ∑∑=
ijijp 1 și
variabila aleatoare condi ționată (X/Y=y j) cu reparti țía
∑= ===
iij j
jij
j i p pppyYx XP.
., ) / ( . Momentul de ordinul k al variabilei
aleatoare X condiționat de Y=y j este momentul ini țial de ordinul k
al variabilei aleatoare condi ționate (X/Y=y j):
∑∑ ∑ = === ==
ii ik
iij
j jij k
i j ik
i jkxpp ppx yYx XPx yYXM
.1
.) / ( ) / (
Similar se define ște momentul de ordinul k al variabilei
aleatoare Y condiționat de X=x i.
Pentru k=1 se obțin mediile condi ționate:
∑ ∑ == ==
jijj
ii
ijii
jj pypx XYMpxpyYXM.1) /(,.1) /(
Se pot defini variabilele aleatoare „medii condi ționate” astfel:
– variabila aleatoare „media lui X condiționată de Y”, cu
repartiția:
∑= ≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ =
jj j
jjp ppyYXM
YXM 1. ,0.,.) /(
:)/(
-variabila aleatoare „media lui Y condiționată de X” , cu
repartiția:
∑= ≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ =
ii i
iip ppx XYMXYM 1. ,0.,.) /(:)/(
Regresie – Se nume ște regresia variabilei aleatoare X în
raport cu Y, variabila aleatoare M(X/Y) cu mulțimea valorilor
posibile: M(X/Y=y), .Rx∈
Similar, regresia variabilei aleatoare Y în raport cu X este:
M(Y/X=x), .Ry∈

18Dacă M(X/Y)=aX+b sau M(Y/X)=cY+d se spune c ă regresia
este liniar ă
Repartițía normal ă – Variabila aleatoare X urmeaz ă o
repartiție normal ă de parametri m și σ (se mai scrie și ),(σmNX∈ )
dacă densitatea ei de probabilitate (derivata func ției de reparti ție)
este:
),2) (exp(
21)(22
σ πσmxxf−− = ,Rx∈ ,Rm∈ σ>0
Pentru m=0 și σ =1 se obține reparti ția normal ă „normată” N(0,1),
cu densitatea de probabilitate:

),2exp(
21)(2xxf − =
π ,Rx∈
Se arată că parametri m și σ2 sunt media, respectiv dispersia
variabilei aleatoare ),(σmNX∈ .
Repartiția χ2 (hi-pătrat) cu n grade de libertate –
Variabila aleatoare X urmeaz ă legea de reparti ție hi-pătrat cu n
grade de libertate (se mai scrie și )(nHX∈ ) dacă densitatea ei de
repartiție este:

),2exp(
2)2(1)(12
2xx
nxfn
n−
Γ=− x>0, *Nn∈
Dacă variabilele aleatoare ),1,0(N Xi∈ i=1,2,…,n sunt
independente, atunci variabila aleatoare ∑
==n
iiX Y
12urmează legea
de reparti ție H(n).
Repartiția Student cu n grade de libertate S(n) – Variabila
aleatoare X urmează legea de reparti ție Student cu n grade de
libertate dac ă densitatea ei de reparti ție este:
, 1
21,21)(21
2+−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Β=n
nx
nnxf ,Rx∈ *Nn∈

19Dacă variabilele aleatoare ),1,0(NX∈ )(nHY∈ sunt
independente, atunci variabila aleatoare )(nS
nYXZ∈= .
Repartiția Fisher-Snedecor F(n 1,n2) – Variabila aleatoare X
urmează legea de reparti ție Fisher-Snedecor cu n1 și n2 grade de
libertate dac ă densitatea ei de reparti ție este:

, 1
2,2)(2
21
2 11
22
212 111
nnnn
xnn
nnxnn
xf+−−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Β⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
= x>0, *
2 1, N nn∈
Dacă variabilele aleatoare )(1 1 nH X∈ și )(2 2 nH X∈ sunt
independente, atunci variabila aleatoare ),(2 1
2211
nnF
nXnX
X∈= .