Modelare Geometrica

Modelare geometrica

Metode algoritmice in geometrie

SEBASTIAN ANASTASE

Grupa 302

2016

1 Functiile sistemelor de prelucrare grafica

Proiectarea, indiferent de domeniu, opereaza cu componente dinamice reflectate in transformari continue ale unui proces, pana la atingerea unei stari finale acceptata ca optima pentru situatia concreta considerata.

Orice domeniu in care se utilizeaza proiectarea asistata de calculator (eng.:

CAD – Computer Aided Design) are de-a face cu urmatoarele categorii de entitati: mecanisme de proiectare, baze de date, mecanisme ale interdisciplinaritatii, echipamente hardware si solutii software, echipamente si tehnologii digitale de comunicare. '

Mecanismul general de proiectare se refera la intreg ciclul de viata al unui produs: de la conceptia initiala, prin proiectare detaliata, rafinare, optimizare, testare, fabricatie pana la exploatare/functionare.

Progresele obtinute in domeniul modelarii geometrice si in dezvoltarea de

echipamente hardware orientate spre prelucrari grafice au condus la aparitia unor sisteme software performante pentru proiectare/fabricatie/inginerie asistate de calculator. Actualele sisteme CAD deservesc o inginerie orientata spre proces, dar exista si abordari CAD care deservesc majoritar modelarea elementelor ce se proiecteaza punctual. Solutiile recente indeplinesc functii putenice ce se adreseaza aspectelor de reprezentare geometrica, dar mai ales asupra studierii solicitarilor si analizei comportamentului cinematic, precum si asupra generarii comenzilor numerice pentru utilaje automate care participa la fabricatia produsului fabricat (eng.: CAM – Computer Aided Manufacture). De asemenea, sunt gestionate baze de date pentru administrarea optima a exploatarii reperului proiectat. Sistemele de inginerie asistata de calculator (eng.: CAE – Computer Aided Engineering) furnizeaza mijloace care faciliteaza evaluarea rapida a diverselor alternative de proiectare, rezolvand diverse probleme de optimizare (a utilizarii spatiului, a distributiei incarcarilor, a maselor si inertiilor), simuland comportamentul modelului proiectat s.a.

Cele trei tipuri de sistem: CAD, CAM si CAE nu sunt disjuncte, intersectia lor contine procedurile de modelare geometrica. De fapt, integrarea celor trei componente sub forma unui sistem interactiv, cu vizualizare grafica, este solutia eficienta din punct de vedere al informaticii industriale.

Sistemele CAD/CAM/CAE profesionale au caracteristici functionale deosebite. .Ele permit dezvoltarea aplicatiilor prin intermediul unor unelte software pentru programare, depanare, optimizare, interfatare. Orice program care cunoaste schema canonica a bazei de date grafice, geometrice si care are drepturi de acces

la baza de date respectiva, poate accesa informatiile grafice si geometrice pentru a fi utilizate in alte aplicatii. De exemplu, pentru industria mecanica, consultarea bazei de date a unui proiect, poate fi prelucrata in vederea fabricatiei, asamblarii, controlului de calitate, ordonantarii productiei, realizarii documentatiei etc. Modelele geometrice stocate in baza de date vor fi aplicate pentru taiere, uzinare, sudare etc. De exemplu, o metoda de generare automata a programelor pentru masinile unelte cu comanda numerica o constituie introducerea traseului sculei de prelucrare prin punctare pe ecran, sistemul verificand tangentialitatea traseului la suprafata. Folosind simularea modelului din baza geometrico-grafica se poate vizualiza miscarea sculei, corectandu-se interactiv traseul.

Proiectarea structurilor 2D si 3D, bazata si pe tehnice de grafica interactiva in

3D, face ca aceste sisteme sa fie utile in proiectarea si realizarea efectiva a cladirilor si a superstructurilor (tunele, cladiri inalte, statii spatiale etc). Amintim reprezentarile "wireframe" pentru solide si proiectarea variational-parametrica.

Gestionarea informatiilor de produs, existenta bibliotecilor de formate ( eng.:

templates) asigura un management calitativ al datelor proiectelor.

Desenarea si adnotarea, generarea vederilor/sectiunilor, generarea detaliilor,

dimensionarea automata si specificarea tolerantelor se realizeaza plecand de la modelele geometrice ale subansamblelor.

. .

Unele sisteme CAD/CAM/CAE permit proiectarea sistemelor electrice prin

proiectarea retelelor si instalatiilor precum si generarea elementelor auxiliare ale acestora. Este evidenta componenta de interdisciplinaritate.

Foarte multe sisteme CAD/CAM/CAE includ module pentru analize

ingineresti in vederea studierii solicitarilor (de tip mecanic, termic, electromagnetic etc.) utilizand metoda retelelor (eng.: mesh generation) cu aproximarea modelului printr-o retea de microelemente descompunand solicitarile externe intr-o multitudine de forte interne modelabile prin ecuatii liniare sau neliniare, diferentiale sau cu derivate partiale, ecuatii integrale etc.) si rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii ce modeleaza comportarea modelului, precum si postprocesarea datelor in vederea vizualizarii grafice si interpretarii rezultatelor. Un exemplu de analiza este cea bazata pe elemente finite. Este vorba de o tehnica computationala pentru rezolvarea unei multitudini de probleme din diverse modele precum proiectarea aparatelor de zbor sau maritime, analiza la stres a cladirilor si miscarea placilor tectonice etc. Metodele de modelare utilizeaza functii cu comportament local (exemplu: functii spline) numite elemente finite.

Vizualizarea proiectului transforma descrierile simbolice in reprezentari

geometrice astfel ca proiectantul sau cercetatorul poate observa rezultatele simularilor

si calculelor efectuate. Practic, vizualizarea unifica clomenii independente, dar convergente precum: grafica pe calculator, prelucrarea imaginilor, vederea computerizata, CAD, prelucrarea semnalelor si studiul interfetelor.

Alte activitati implementate se refera la proiectarea hidraulica 3D pentru

conducte si tubulaturi. De asemenea, automatizarea proceselor tehnologice specifice fotogrametriei si teledetectiei implica realizarea aerotriangulatiei analitice si numerice, obtinerea planurilor cadastrale prin metode fotogrametrice analitice,

realizarea modelelor digitale ale reliefului terenurilor precum si prelucrarea si vizualizarea datelor de teledetectie. Metodele geometrice implicate in procesul de aerotriangulatie includ studiul coplanaritatii si coliniaritatii. Pornind de la doua fotograme, conditia de coplanaritate cere ca cele doua centre ale proiectiei perspective si imaginile oricarui punct al obiectului pe cele doua fotograme sa fie situate intr-un plan comun. Coliniaritatea cere ca orice punct obiect, imaginea sa pe fotograma si centru de perspectiva sa fie situate pe aceeasi drepta. –

2 Grafica pe calculator si aplicațiile ei

Grafica pe calculator (eng.: computer graphics) se refera la mecanismele de introducere, stocare, extragere si prelucrare a informatiei grafice. Multimea sistemelor grafice include trei clase importante: sisteme de sinteza a imaginilor, sisteme de prelucrare si analiza a imaginilor, sisteme de prelucrare a datelor v olumetrice.

Modelul imaginii generate de sistemele de sinteza a imaginilor este rezultatul interactiunii operatorului uman cu sistemul grafic pentru specificarea primitivelor grafice si a transformarilor necesare pentru obtinerea modelului.

Imaginile ce pot fi generate sunt din domenii variate precum: modelare moleculara, imagini medicale, cercetarea neuro-fiziologica, explorare spatiala, astrofizica, etc. Pentru vizualizare este utila atat generarea primitivelor de baza (puncte, linii, conice, patrulatere, texte, curbe) cat si suprafete geometrice sau chiar volume.

Desi modelarea volumelor (solidelor) este de abia la inceput, au fost realizate progrese in obtinerea unor retele spatiale si au fost elaborate modalitati de utilizare a elementelor finite adecvate domeniului multidimensional. Vizualizarea volumelor necesita utilizarea sectiunilor si a proiectiilor.

In stiintele socio-economice, forma comuna de reprezentare grafica o reprezinta diagramele (cu bare dreptunghiulare sau paralelipipedice, circulare sau cilindrice etc.) si graficele (de curbe si suprafete).

Datele 3D se reprezinta ca suprafete sau volume. Imaginile medicale se bazeaza pe elemente de volum (eng.: voxel). Aceste mode le (suprafete, solide,

retele de voxeli) sunt stocate ca programe sau clase (date si metode de prelucrare)

si nu ca imagini 2D formate din puncte ( eng.: pixel).

Capitolele urmatoare se refera numai la modalitatile de modelare geometrica

discreta si continua atat pentru domeniul CAD/CAM/CAE cat si pentru sinteza primitivelor grafice in grafica pe calculator.

Este evident ca toate sistemele actuale din domeniul CAD/CAM/CAE

apeleaza la domeniul graficii pentru partea de vizualizare. De asemenea, programele de grafica, pe Ianga functiile de introducere si vizualizare grafica, indeplinesc si functii de modelare geometrica prin modulele de editare a imaginii

(ele permit definirea unei curbe, respectiv a suprafetelor umbrite sau a unor imagini spatiale prin introducerea notiunii de adancime ).Alte aplicatii ale graficii pe calculator se refera la proiectarea intefetelor cu utilizatorul (eng.: GUI – Graphical User Interface) si instruire asistata de calculator, dar partea de modelare geometrica se reduce la generarea unor zone dreptunghiulare si teste de punct interior simple. Realizarea tipografica . a documentelor impune integrarea de informatie grafica (in special descrisa prin pixeli) si nu necesita elemente de modelare geometrica avansata. Modele geometrice apar totusi in programele aplicative pentru design industrial in domeniul textilelor, maselor plastice etc. Evident sistemele CAD/CAM/CAE si simulatoarele pentru diverse domenii au nevoie nu numai de principiile graficii interactive, dar si de tehnici de modelare geometrica puternice.

3 Primitive geometrice in standardele grafice

Recent, in cadrul sistemelor de operare Windows – Microsoft, a fost dezvoltata o interfata pentru dispozitive grafice (eng.: GDI – Graphics Device Interface) ce are ca sarcina afisarea elementelor grafice (inclusiv a textului) pe ecran si la imprimanta. Functiile GDI relevante pentru subiectul acestei lucrari sunt cele care deseneaza ceva. Primitivele GDI sunt: liniile si curbele, suprafetele pline, imaginile bitmap si textul. Sunt permise linii drepte (simple sau poligonale), dreptunghiuri, elipse (inclusiv cercuri), arce si curbe Bezier. Orice curba mai complexa este desenata ca o · linie poligonala, din linii foarte scurte, important fiind modelul geometric al curbei. Suprafetele marginite de

primitive inchise pot fi "umplute" sau hasurate pe baza unui model. In cazul

imaginilor bitmap se lucreaza cu matrice dreptunghiulare de biti ce corespund

pixelilor unui dispozitiv de afisare. Pentru obiectele grafice este definit un dreptunghi de incadrare util pentru a studia probleme de intersectii s.a. Biblioteca Windows este un sistem 2D si nu permite descrierea 3D a obiectelor geometrice. Este necesar ca un program de aplicatie sa implementeze toate functiile de definire

si manipulare 3D pentru a se realiza modelare geometria 3D. Aceasta deficienta

este rezolvata prin intermediul unor standarde grafice, in afara sistemelor de operare, prezentate sub forma unor biblioteci specifice programatorului de aplicatii (eng.: API – Application Programming Interface). Pentru exemplificare ilustram cazul standardelor GKS, PHIGS + si OpenGL.

GKS – Graphical Kernel System – a fost primul standard adoptat de ISO (International Standard Organization) in 1985 pentru grafica 2D. In anul 1988 a fost introdus GKS-3D pentru a permie grafica 3D. Standardul PHIGS (Programmers Hierarchical Interface Graphics System), adoptat in 1989, furnizeaza servicii de grafica 3D §i interactivitate. Versiunea PHIGS+ introduce metode suplimentare de producere a imaginilor. Biblioteca OpenGL a fost proiectata de firma Silicon Graphics si oferita ca licenta pentru numerosi producatori de hardware/software, devenind in prezent, un standard in domeniul graficii computerizate.

Standardele grafice trebuie sa respecte un model de referinta, de exemplu, modelul CGRM (eng.: Computer Graphics Reference Model). Modelul CGRM are

constructie, mediul virtual, vediul vizual, mediul logic si mediul de realizare. Mediul de constructie, de partea aplicatiei, trebuie sa defineasca termenii si unitatile de masura ce vor fi utilizate in aplicatie si asigura editarea modelului. Mediul virtual asigura independenta totala a aplicatiei fata de context si asigura transformarile necesare intrarilor si iesirilor la/de la aplicatie (de aceea o imagine

3D poate fi construita cu ajutorul unui monitor 2D). Mediul vizual transmite mediului virtual parametrii logici ai sistemului de vizualizare (punctul de observare

si directia de proiectie) in vederea aplicarii transformarii paralele sau a

perspectivei. Mediul logic face legatura intre datele reale si cele logice (prin transformarile matematice adecvate). Mediul de realizare (complet dependent de sistemul pe care ruleaza aplicatia), situat de partea operatorului, asigura afisarea efectiva a imaginii pe ecran si citirea datelor de la operator.

In GKS partile sistemului grafic dependente de context sunt reunite sub termenul de statie de lucru (concept logic) care poate face parte din una dintre urmatoarele sase categorii: OUTPUT – o singura iesire, INPUT – una sau mai multe intrari, OUTIN – atat intrare cat si iesire, MO (Metafile Output) – iesirile din mediul virtual sunt trimise la un fisier metafile. Ml (Metafile Imput) – citirile in mediul virtual se fac dintr-un fisier metafile, WISS (Workstation Independent Segment Storage) – stocheaza numai parti ale imaginii. Primitivele geometrice

suportate de GKS 2D sunt:

• polilinii – o serie de puncte unite prin linii (functia POLYLINE);

• polimarcatoare – o serie de puncte, fiecare reprezentand un marcaj

(steluta, +, etc.);

• suprafete hasurate – caracterizata de atribute specifice pentru a descrie tipul de umplere si modelul ales;

• tabel de celule – o retea dreptunghiulara de pixeli, fiecare avand o anumita culoare;

• text – o secventa de caractere dintr-un anumit set;

• primitive generalizate – reprezentate de cercuri, elipse, curbe etc.

Alaturi de atributele de selectare (vizibil, selectabil etc.) si cele de aspect (culoare, model de hasurare etc.), atributele geometrice afecteaza dimensiunile unei primitive si joaca un rol important in cazul transformarilor geometrice si de

vizualizare.

Standardul PHIGS are primitive 3D, structuri de date ierarhice, un mecanism de stocare centralizata a structurii etc. Pentru a lucra in 2D, PHIGS inlocuieste z-ul coordonalelor cu valoarea zero. Textul relativ la coordonate va apare scris drept, indiferent de punctul observatorului si directia de observare. PHIGS permite hasurare multipla la un singur apel. PHIGS + (PLUS – Plus Lumiere Und Surfaces) aduce noi primitive precum:

• polilinia 3D – pennite ca o polilinie sa fie formata din mai multe polilinii, deci sa existe puncte de intrerupere, fiecare dintre componente putand avea atribute de aspect specifice;cinci nivele teoretice'

fiecare din acestea fiind numit si mediu: mediul de• zona hasurata 3D – permite ca 0 zona (cu varfuri coplanare) hasurata Sa posede si umbra, iar varfurile sa posede culori diferite, nuantele zonei hasurate fiind obtinute prin interpolare.

• zona hasurata cu date – o reuniune de zone hasurate simple. Un caz particular al acestei zone este setul triunghi, toate zonele hasurate fiind triunghiuri, cu influenta asupra vitezei de afisare. Pentru statiile de lucru ce pot afisa triunghiuri s-a introdus si setul triunghi cu date, care utilizeaza un numar N de puncte pentru a desena N-2 triunghiuri.

• plasa cvadrilatera – utila pentru modelarea suprafetelor neplanare

(terenuri geografice etc.)

• curba B-spline non-uniforma – permite specificarea unei curbe arbitrare cu ajutorul unei secvente de puncte de control;

• curbe B-spline cu date – atat puncte de control cat si culoarea fiecarui punct de control, pentru a obtine o curba colorata;

• suprafete geometrice B – spline;

• suprafete B – spline cu date (similar curbelor B-spline cu date). Standardele 3D trebuie sa furnizeze si modele de colorare in functie de prezenta uneia sau mai multor surse de lumina, PHIGS permite definirea luminii ambientale, a luminii directionate, a luminii pozitionale si a luminii de reflector. Aceste aspecte, precum si cele de umbrire, nu sunt abordate in aceasta lucrare. Cititorul este directionat catre lucrarile de grafica pe calculator din lista bibliografica.

Evident exista multe alte standarde precum si modele grafice nestandard (de

exemplu: X Window System dezvoltat de MIT in colaborare cu DR ca parte a

proiectului Athena, implementabil fara drepturi de autor si independent de

dispozitiv).

Deoarece biblioteca OpenGL este portabila, rezulta ca aplicatiile de modelare

realizate sub un sistem de operare sunt compilabile imediat sub alt sistem de

operare. Numai interfata cu utilizatorul este dependenta de sistemul de operare.

Operatiile necesare redarii unei imagini pe ecran, folosind OpenGL, sunt:

• construirea scenei folosind primitive geometrice;

• aranjarea obiectelor in spatiul 3D si selectarea punctului de observare (eng.: camera location), a tipului de proiectie (ortogonala sau de perspectiva) si zona de vizibilitate a scenei;

• determinarea culorii obiectelor (asignare explicita, texturare etc.);

• conversia descrierii matematice a obiectelor si a informatiei de culoare in

puncte pe ecran (procesul de rasterizare).

• Primitivele grafice de modelare OpenGL sunt:

• puncte individuale (GL_POINTS);

• perechi de varfuri, interpretate ca segmente individuale, daca numarul punctelor este impar, ultimul punct este ignorat (GL_LINES);

• conturul unui poligon simplu, convex (GL_POLYGON), daca poligonul nu e convex, rezultatul este impredictibil;

• triplete de varfuri, interpretate ca triunghiuri, daca numarul punctelor nu este multiplu de trei, atunci ultimele 1 sau 2 puncte sunt ignorate (GL_TRIANGLES);

• cvadripleti de varfuri, interpretate ca patrulatere, daca numarul punctelor nu este multiplu de patru atunci ultimele 1, 2 sau 3 puncte sunt ignorate (GL_QUADS);

• serii de segmente de linii conectate (GL_LINE_STRIP);

• serii de segmente de linii conectate, cu un segment adaugat intre primul si ultimul punct (GL_LINE_LOOP);

• serie de triunghiuri interconectate, astfel incat triunghiurile sa aiba aceeasi orientare (GL_TRIANGLE_STRIP);

• triunghiuri interconectate in evantai (GL_TRIANGLE_FAN);

• fasie de patrulatere interconectate, daca numarul punctelor este mai mic decat patru nu se deseneaza nimic, iar daca exista un numar impar de puncte, atunci ultimul punct este ignorat (GL_QUAD_STRIP);

Pentru redarea curbelor si suprafetelor Bezier (coordonate in virgula rnobila) se utilizeaza functiile glEvalCoord1f si glEvalCoord2f dupa ce punctele definitorii au fost supuse transformarii glMap1f respectiv glMap2f. Suprafata curba este aproximata cu o retea de poligoane planare si redata folosind functia glEval1Mesh2.

0 curba sau o suprafata NURBS este un obiect de tipul GLnurbsObj, definita intre gluBeginCurve 5si gluEndCurve. Functia care efectiv genereaza curba este gluNurbsCurve.

Din cele de mai sus rezulta ca procesul de modelare geometrica este esential

pentru realizarea de aplicatii practice in domeniul CAD/CAM/CAE, pentru

vizualizarea datelor stiintifice si a desenelor grafice, chiar daca utilizatorul vede doar imaginea scenei pe un ecran sau pe hartie. Cu cat aproximarea unui obiect este mai fidela realitatii cu atat rezultatele practice (din mediul industrial, medical, spatial etc.) vor fi mai bune.

Capitolul al doilea descrie acele aspecte ale matematicii (fara a epuiza subiectul) necesare intelegerii metodelor de modelare geometrica pentru grafica pe calculator si CAD/CAM/CAE.