Modelare Economica. Decizii Finanaciar Bancare [628885]

Georgiana Popescu

Modelare economică.
Decizii financiar-bancare

IAȘI, 2016

3

CUVÂNT ÎNAINTE

Cursul Modelare economică. Decizii financiar-bancare
se adresează – în primul rând – studenților de la
specializările economice, dar și tuturor celor care vor să
cunoască și să înțeleagă mai bine anumite elemente ce
țin de produsele bancare și analiza corectă a acest ora, în
vederea obținerii unor decizii optime, raportate la
diverse situații. Sunt prezentate produsele bancare cel
mai des utilizate, acestea fiind însoțite de prezen tări cât
mai detaliate ale tuturor costurilor (explicite și implicite)
care pot să apară și care pot genera pierderi sau c âștiguri
mai mult sau mai puțin substanțiale.
Cititorul va avea ocazia să înțeleagă mecanismele
de bază ale funcționării produselor bancare și va a junge
să poată lua în cunoștință de cauză acele decizii c are sunt
cele mai potrivite într-o situație dată. Indiferent că este
vorba de alegerea produselor de economisire sau de
creditare, lucrarea de față oferă modalități de ana liză prin
care băncile și produsele oferite de acestea să nu mai
sperie, ci să reprezinte un ajutor real în desfășur area
activităților. Având în vedere că fiecare dintre pe rsoanele
sau societățile care folosesc sau doresc să folosea scă
produse bancare se poate găsi în situații specifice diferite
de ale prietenilor – de exemplu, putem spune că în ceea

4
ce privește astfel de decizii există și aspecte sub iective.
Acestea vor fi luate și ele în considerare deoarece , de cele
mai multe ori, un produs lăudat de mulți poate să n u
reprezinte a priori o alegere bună pentru orice cli ent sau
orice situație.
Acest suport de curs este un instrument prețios de
formare, dar și o cale spre reflexie, soluția execi țiilor fiind
presupusă a păstra student: [anonimizat], și nu a
constrânge libertatea de reflexie și de interpretar e a
acestuia. Lucrarea oferă publicului un conținut mod ern și
util, care face apel la un set minimal de cunoștinț e, dar
conduce la progrese substanțiale prin parcurgerea
exercițiilor propuse.
Lucrarea de fata nu se adreseaza celor care, fie că
au înțeles deja, parcurgând o parte din lucrările i ndicate
la bibliografie, fie alte lucrări sau cursuri refer itoare la
conținutul prezentat aici. Lucrarea nu aduce noutăț i în
ceea ce privește produsele bancare ci ajută, pe cei care au
nevoie sau doresc, să se pună la curent cu elemente le de
bază din acest domeniu.

________________________________________Georgiana P opescu

5

I. DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE

Indiferent de denumirea exactă pe care o îmbracă,
foarte adesea, chiar zilnic, ajungem să ne întâlnim cu
noțiunea de dobândă. Dobândă, penalizare sau comisi on,
deși considerăm că știm în mare ce înseamnăacestea, fie
și în mod vag, complexitatea acestor noțiuni depășe ște cu
destul ceea ce omul obișnuit crede că a înțeles făr ă prea
mult efort. Superficialitatea sau siguranț de sine pot
cauza chiar mari probleme financiare oricui ajunge în
situația de a plăti dobândă.

În primul rând, ce înseamnă dobândă în realitate?
Dacă încercăm să reflectăm, putem afirma că dobândă
înseamnă cât plătește cineva (fie o persoană sau o
instituție) pentru a putea utiliza bani care nu sun t ai săi.
Adică prețul pentru dreptul de folosință.

în mod obișnuit ne intersectăm cu dobânda în
două situații: atunci când suntem nevoiți să o plăt im sau
atunci când o avem de primit.
Când ne trebuie bani și nu îi avem, putem recurge
la un împrumut. Instituția sau persoana care se ofe ră să
ne dea banii respectivi nu vor putea utiliza suma p e care
ne-au împrumutat-o până când noi vom putea să îi
înapoiem. Așa încât, pentru ca situația să fie echi tabilă

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

6
pentru ambele părți, nu numai că vom restitui suma
împrumutată, dar vom compensa si faptul că cel care ne-
a dat banii nu a putut să se foloseasca de ei pe pe rioada
împrumutului. Vom compensa acest neajuns prin plata
unei sume de bani suplimentară, pe lângă suma iniți al
primită de noi. Aceasta sumă suplimentară se numeșt e
dobândă.

În acest fel, împrumutul devine ceva avantajos
pentru fiecare din părți: cel căruia îi trebuie bani va putea
să se foloseasca de ei, cel ce are si poate oferi s uma de
bani, va câștiga si el ceva, respectiv o sumă supli mentară.

În numele clarității și simplității, în continuare
cădem de acord să numim pe cel care dă banii împrum ut
– creditor, iar pe acela care primește acești bani ca
împrumut îl vom denumi împrumutat/debitor.

Pentru a reveni la ceea ce am expus anterior, să n e
gândim: oare, pentru creditor, este aceeași situați e dacă
nu se mai poate servi de o sumă de bani timp de o l ună
sau timp de un an de zile? în mod evident, răspunsu l nu
este afirmativ. Să blochezi o sumă de bani timp mai
îndelungat, presupune că "disconfortul" este mai mar e
pentru creditor decât dacă perioada de timp este ma i
scurtă. Astfel, se poate spune că, odata cu creșter ea
duratei creditării și cuantumul sumei pe care
împrumutatul o va plțăti, sub titlu de dobândă, va crește.

________________________________________Georgiana P opescu

7 Dobânda calculată este în relație de directă
proporționalitate cu durata temporală a creditului.
în virtutea aceluiași tip de judecată, putem
sublinia faptul că și în situația când suma împrumu tată
crește ( este mai mare), cuantumul dobânzii va fi m ai
mre. Deci, dobânda depinde de asemenea și de valoar ea
sumei împrumutate, tot în mod direct proporțional.
Valoarea dobânzii este influențată de asemenea și
de un alt factor: procentul care se ia în calcul pe ntru
dobândă. De obicei, în plan financiar se indică pro centul
dobânzii pentru un an și, din această cauză, vom de fini
noțiunea de procent anual al dobânzii , care se numește și
rata dobânzii. În continuare, se va prefera în acea stă
lucrare prima denumire, adica "procent anual al
dobânzii", pentru că arată, fără echivoc, că este v orba de
procent anual.

Numim procent anual al dobânzii suma calculată
ca dobândă pentru suma de 100 unități monetare pe o
perioadă de 1 an.

Observații
1. Suma la care calculțm dobânda este în această
definiție 100u.m. (unități monetare), fiindcă
noțiunea în sine de PRO-CENT presupune
raportarea la 100 de unități;
2. Cum am evindețiat mai sus, ne bazăm pe o
perioada de un an, fiindcă procentul este procent
anual (vezi mai sus).

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

8
Câteodată, în practica financiar-bancară se poate
întâlni, în loc de procent, și noțiunea de punct
procentual.

Având în vedere precizările făcute anterior, se
poate oferi o definiție a noțiunii de dobândă:

Numim dobândă suma calculată pentru suma de
bani S, împrumutată cu procentul anual al dobânzii p pe
o perioadă de t ani.

1.1. Dobândă simplă

În continuare, vom discuta despre așa-zisă
dobândă simplă, iar într-unul din capitolele ulterioare se
va introduce și dobânda compusă . Dobânda simplă și
dobânda compusă nu sunt ca atare două variante dife rite
de dobândă. Dobânda compusă de fapt este o metodă d e
a calcula mai simplu și mai rapid, în unele cazuri când,
folosind formula dobânzii simple, s-ar pierde mult mai
mult timp cu calculele. În capitolul care se apleac ă asupra
dobânzii compuse, se va explica, prin exemple, și
rațiunea care a condus la necesitatea de a introduc e
această noțiune și cazurile când este mai bine să o
folosim. Pentru moment, vom afirma doar că dobânda
simplă se folosește când suma la care calculăm dob ânda
rămâne constantă pentru toată perioada luată în
considerare, în timp ce dobânda compusă se folosște
când suma se modifică periodic.

________________________________________Georgiana P opescu

9
Pe ntru claritate si simplitate, în continuare vom
face referință la dobânda simplă prin termenul de
dobândă .

Formula de calcul a dobânzii (simple) este
următoarea:
tpSD ⋅⋅=100
unde:
– S – suma de bani la care se calculează dobânda;
– p – procentul anual al dobânzii (ori rata
dobânzii);
– t – perioada de timp pentru care se calculează
dobânda, exprimată în ani.

În continuare, luăm câteva exemple simple, cu
scopul de a ne obișnui cu această formulă de calcul .

Exemplul 1.
Să se calculeze dobânda care trebuie plătită pentr u
suma de 1000 lei, împrumutată pe 2 ani de zile cu u n
procent anual al dobânzii de 24%.

Soluție
Formula de calcul este tpSD ⋅⋅=100, unde 1000=S ,
2=t, 24=p , deci vom avea lei D 4802100241000 =⋅⋅= .

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

10

Exemplul 2
Ce sumă ar trebui plasată pe o perioadă de 1 an de
zile cu un procent anual de 20% pentru a obține dob ânda
de 300lei?

Soluție
Vom folosi tot formula de calcul a dobânzii. De
această data avem leiD300= , 20=p , ant1= . Înlocuind în
relația tpSD ⋅⋅=100 obținem 110020300 ⋅⋅=S , de unde
rezultă leiS1500= .

Exemplul 3
Să se determine pe ce perioadă de timp ar trebui
plasată suma de 2000lei, cu un procent anual de 15% ,
pentru a obține o dobândă de 900lei.

Soluție
Înlocuind în relația tpSD ⋅⋅=100, vom avea
t⋅⋅=100152000 900 , de unde 3=t. Așa cum am precizat
anterior, timpul este exprimat în ani, deci răspuns ul la
întrebare va fi 3 ani.

Exemplul 4
Care este dobânda corespunzătoare sumei 6000lei
împrumutată pe 6 luni cu un procent anual al dobânz ii
de 6%.

________________________________________Georgiana P opescu

11 Soluție
F ormula de calcul este aceeași:
tpSD ⋅⋅=100.
De această dată avem timpul exprimat în luni. În
cadrul „teoriei” ni s-a indicat faptul că timpul tr ebuie să
fie exprimat în ani. Ce vom face în acest caz?
Ceea ce trebuie făcut este să transformăm dintr-o
unitate de măsură în alta. Mai exact, cele 6 luni t rebuie să
le transformăm în ani. Ce parte dintr-un an îl repr ezintă 6
luni? Răspunsul este „jumătate”. Vom scrie și noi a ceastă
jumătate sub forma: 21=t .
Acum putem folosi relația de calcul, și vom avea:
21
10066000⋅⋅=D , adică leiD180= .

La exemplul precedent, am "transformat" timpul
din luni în ani, operațiune foarte frecventăîn real itate,
pentru că, în majoritatea situațiilor, se depune la bancă o
anumită sumă de bani pe perioade de timp felurite, care
nu sunt neapărat de ordinul anilor "întregi", de ex emplu:
două luni, un an și 4 luni, 4 luni, etc. Acesta est e motivul
pentru care oferim o variantă generală de a calcula
dobânda, pe o perioadă care se exprimă în număr de
luni. Vom folosi, astfel fracțiile, mai exact ideea de bază a
introducerii fracțiilor.
O fracție reprezintă una sau mai multe părți dintr –
un întreg, împărțit în părți egale.

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

12
E ste exact situația de acum: anul este împărțit în
părți egale (avem 12 luni), din care luăm în consid erare
un anumit număr de luni.
Prin urmare:
12 100npSD ⋅⋅=
unde:
– S – suma de bani la care se calculăm dobânda;
– p – procentul anual al dobânzii (rata dobânzii);
– n – numărul de luni pentru care se calculăm
dobânda.

Exemplul 5
Care este valoare dobânzii care corespunde sumei
de 2000lei împrumutata pe 9 luni cu o rată a dobânzi i de
8%?

Soluție
Folosim noua formulă, pentru timp exprimat în
ani, și vom avea:
129
10082000⋅⋅=D ⇒ 120=D lei

Se întâlnesc suficiente situații în care dobânda e ste
calculată și la un număr specific de zile. Și pentr u acest
caz, se poate înlocui în formula dobânzii timpul t
raportat la numărul de zile vizat,
anuluialeziledenumarulnt= .

________________________________________Georgiana P opescu

13 De fapt, anul are 365 zile (sau 366 zile pentru anii
bisecăi). Drept pentru care am avea 365nt= (respectiv
366nt= pentru anii bisecți). Totuși nu mereu instituțiile
financiare folosesc aceast mod de a calcula.
În funcție de bancă, se întâlnește și anul financi ar-
bancar de 360 zile. Această valoare are ca logică f aptul că
se ia în considerare luna financiar-bancară de 30 z ile
(pentru omogenizare), și, implicit, cele 12 luni al e anului
totalizează 360 zile. În această caz, formula de ca lcul a
dobânzii va deveni 360nt= (fie că anul este bisect sau fie
că nu).
În plus, chiar și aceeași bancă poate să foloseasc ă
la anumite produse financiar-bancare anul de 365/36 6
zile, iar, pentru altele, anul de 360 zile.
Putem doar să sugerem celor care analizează sau
folosesc diverse produse bancare să se informeze în
această privință, pentru a afla dacă anul este cons iderat a
fi de 360 de zile sau de 365/366 de zile, întrucât există
felurite diferențe.

Totuși ca observație statistica, la produsele de
creditare este mai întâlnit anul de 360 de zile, ia r la
produsele de economisire, anul de 365/366 de zile.

Pentru analizele pe care le propunem în
continuare în lucrare, considerăm anul ca având 360 de

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

14
zile, în afara cazurilor în care se va preciza clar și specific
acest lucru.

Astfel, tragem concluzia că dobânda se poate
calcula prin relația:
tpSD ⋅⋅=100
unde:
– S – suma de bani pentru care se calculează
dobânda;
– p – procentul anual al dobânzii (sau rata
dobânzii);
– t – perioada de timp pentru care se calculează
dobânda, exprimată în ani;
o dacă timpul se exprimă în luni, atunci
avem 12nt=, unde n este numărul de
luni pentru care se face calculul;
o dacă timpul este exprimat în zile, atunci
vom avea 360nt= (sau 365nt= , respectiv
366nt= ), în funcție de politica instituției
respective; n reprezintă, în această
situație, numărul de zile pentru care se
face calculul.

În matematica financiară, alături de noțiunile
expuse anterior, folosim și noțiunea de dobândă uni tară
anuală.

________________________________________Georgiana P opescu

15 Dobânda unitară anuală reprezintă suma
calculată ca dobândă pentru suma de 1 unitate monet ară
pe o perioadă de 1 an. Notăm această dobândă unitar ă cu
i.

Din definiție rezultă că i este dobânda calculată
pentru fiecare unitate monetară depusă pe o perioad ă de
1 an. Procentul anual al dobânzii reprezintă dobând a
calculată pe aceeași perioadă de 1 an, dar pentru 1 00 u.m.
Din acestea, reiese că procentul anual va fi de 100 de ori
mai mare decât dobânda unitară, adică avem relația
următoare:
ip100= ,
de unde
100pi= .
Întrucât formula de calcul a dobânzii era
tpSD ⋅⋅=100, înseamnă că obținem
tiSD⋅⋅=
unde
– S – suma de bani pentru care se calculează
dobânda;
– i – dobânda unitară anuală;
– t – pentru ce perioada de timp se calculează
dobânda, exprimată în ani;

Observație
A nu se confunda dobânda și dobânda unitară
anuală.

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

16
Exemplul 6
Suma de 36.000lei a fost depusă pe o perioadă de
40 de zile. Dobânda obținută a fost de 270lei. Ce d obândă
unitară anuală a fost aplicată? Care este rata echi valentă a
dobânzii ?

Soluție
Știm că leiD270= , leiS 000.36= , 36040=t
Folosim relația tiSD⋅⋅= , și vom obtține:
3604036000 270 ⋅⋅=i ⇒ 0675, 0=i
Rata anuală a dobânzii se va determina prin
înmulțirea valorii obținute pentru i cu 100m adică:
75, 6=p %

O altă noțiune importantă, care poate fi întâlnită ,
este cea de procent mediu de plasament . Ea survine dacă o
anume sumă de bani este plasată în mai multe contur i, în
condiții diferite, pe o anumită perioadă de timp.
Presupunem că suma S a fost împărțită în n părți
1S, 2S,…,nS și fiecare parte a fost plasată cu procentul 1p,
2p,…np, toate pe aceeași durată de timp, t. După ce a
trecut perioada de timp t, dobânda totală acumulată este
D, adică suma celor n dobânzi. Procentul mediu de
plasament reprezintă procentul p, cu care ar fi trebuit să
fie depusă întreaga sumă S, astfel încât dobânda
obțiunută în această situație să fie aceeași cu dob ânda D,
obținută în urma plasării în mai multe conturi.

________________________________________Georgiana P opescu

17 P utem calcula pe marginea acestui caz general și
putem găsi o formulă pentru a determina procentul
mediu de plasament.
Știm că fiecare dintre părțile 1S, 2S,…,nS a fost
plasată pe aceeași perioadă de timp t, cu procentul
corespunzător, 1p, 2p,…np, deci vom obține dobânzile
tpSD1001
1 1= , tpSD1002
2 2= ,…, tpSDn
nn100= .
Dobânda totală este
nDDDD +++= …2 1 ,
prin urmare, avem
tpStpStpSDn
n100…100 1002
21
1 +++=
deci
( )nnpSpSpStD +++ = …10022 11
Pentru a afla procentul mediu de plasament,
determinăm procentul p necesar ca suma totală S să
conducă la obținerea aceleiași dobânzi D, calculată mai
sus.
Deci, am avea tpSD100= , unde
( )nnpSpSpStD +++ = …10022 11 ⇒
( ) tpSpSpSpSt
nn100…10022 11 =+++ ⇒
SppSpSpSnn=+++ …22 11 ⇒
( )nnpSpSpSSp +++= …1
22 11

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

18
C u toate că am obținut o formulă pentru calculul
procentului mediu de plasament, este de preferat, c a în
studierea unor situații care presupun determinarea
valorii medii pentru p, să se folosească mai degrabă
raționamentul care a fost utilizat mai sus, mai deg rabă
decât formula ca atare, fiindcă raționamentul este mai
lesne de urmărit și înțeles.

Exemplul 7
Un capital în valoare de 4000lei afost investit cu un
randament de 2,5%, un capital de de 2000lei cu 9% și un
capital de 6000lei cu 2%. Toate investițiile au fos t făcute
pe aceeași perioadă de 9 luni. Care este randamentu l
mediu suma totală de 12000lei? (randamentul este, î n
acest caz, același lucru cu procentul anual. Ceea c e
trebuie astfel, determinat, este procentul mediu de
plasament al celor trei capitaluri)

Soluție
Pentru primul capital avem:
75129
1005 , 240001 =⋅⋅=D lei

Pentru al doilea capital obținem:
135129
100920002 =⋅⋅=D lei
În ceea ce privește al treilea capital, acesta a
generat un profit (o dobândă) de:
90129
100260003 =⋅⋅=D lei.

________________________________________Georgiana P opescu

19 Decudem de aici că profitul total generat de cele
trei investiții a fost:
90 135 75++=D ⇒ leiD300= .
Pentru a determina randamentul mediu, ceea ce
trebuie să facem este să calculăm procentul/randame ntul
care ar fi generat un profit/o dobândă egală cu 300 lei,
dacă întregul capital de 12.000lei ar fi fost inves tit într-un
singur loc, pe aceeași perioadă de 9 luni.
Avem tpSD100= , adică
129
10012000 300 ⋅⋅=p ⇒ p90 300= ⇒
3 , 3=p .
Randamentul mediu sau procentul mediu de
plasament este deci 3,33%.

Observație
Am fi putut utiliza, spre soluționarea exemplului
de mai sus, formula procentului mediu de plasament.
Adică
( )33 22 111pSpSpSSp ++=
deci
( ) 4 30005 , 4 40005 200090001⋅+⋅+⋅ =p ⇒ 900040000=p ⇒
44, 4=p .

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

20
1.2. Probleme rezolvate

1. O persoană plasează într-un cont suma de 800 lei cu
un procent anual al dobânzii de 12% în regim de
dobândă simplă. Care va fi suma totală pe care o va
avea persoana după 4 luni? Dar dacă ar lăsa banii î n
cont timp de 1 an?

Soluție
După 4 luni, suma pe care o va avea persoana
considerată va fi reprezentată de suma pe care a dep us-o
în cont, de 800 lei, la care se va adăuga dobânda
acumulată. Vom avea deci DSSinitialafinala += , adică
D Sfinala+=800 , unde D va fi calculată cu formula
12 100npSD ⋅⋅= (deoarece avem de calculat pentru 4 luni,
am ales varianta formulei în funcție de numărul n de
luni). Avem 124
10012800⋅⋅=D , de unde leiD32= . Ob ținem
astfel DSSinitialafinala += , deci lei Sfinala 832 32 800=+= .
Pentru a calcula suma pe care persoana o va avea
dacă ar lăsa banii in cont timp de 1 an de zile pro cedeul
este identic. Singura diferență va fi dată de timp. Vom
folosi varianta tpSD ⋅⋅=100, unde t reprezintă numărul
de ani. Astfel, în cazul nostru t va fi ant1= deci
110012800⋅⋅=D adică leiD96= , de unde DSSinitialafinala += ,
lei Sfinala 896 96 800=+= .

________________________________________Georgiana P opescu

21
2. O persoană are suma de 3000lei pe care dorește să o
depună în părți egale în două conturi diferite. Pen tru
primul cont procentul anual al dobânzii este de 10%
iar pentru al doilea cont se cunoaște dobânda unita ră
anuală de 0,08. Care va fi dobânda totală pe care o va
putea încasa persoana după 300 de zile?

Soluție
Cele două părți vor fi egale, deci în fiecare cont va
fi depusă suma de lei 150023000= . Pentru primul cont vom
avea: 360 1001npSD ⋅⋅= , adică lei D 125360300
1001015001 =⋅⋅= .
Pentru al doilea cont, având în vedere faptul că se
cunoaște dobânda unitară, vom putea folosi formula
tiSD⋅⋅=2 , unde timpul este de forma 360n, deci
lei D 10036030008, 0 15002 =⋅⋅= . Dobânda totală va fi suma
dobânzilor celor două conturi,
lei DDDtotala 225 100 1252 1 =+=+= .

3. Suma de 4000lei a fost plasată în regim de dobândă
simplă cu un procent anual al dobânzii de 12%. După
câte zile dobânda va avea valoarea de 200lei? După
câte zile dobânda ar depăși suma de 75lei?

Soluție

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

22
Avem 360 100npSD ⋅⋅= și, înlocuind cu datele
problemei, obținem 360 100124000 200n⋅⋅= ⇒ zilen150= (am
folosit pentru timp varianta 360n deoarece suntem
interesați să determinăm timpul exprimat în zile). Vom
proceda la fel pentru a doua întrebare din problemă . De
data aceasta dobânda trebuie sa fie de cel puțin 75 lei.
Vom avea 360 100124000 75n⋅⋅= ⇒ zilen 25,56= . Dobânda nu
se calculează însă pentru fracțiuni de zile, deci p entru a
obține o dobândă de 75lei va trebui ca suma conside rată
să fie plasată cel puțin 57 zile.

4. Doi prieteni au împreună 10.000lei. Primul și-a pla sat
banii 3 luni cu o dobândă unitară anuală de 0,05 ia r
cel de-al doilea timp de 4 luni cu un procent anual de
4%. Dobânda totală obținută de cei doi în urma
acestor plasamente a fost de 130lei. Ce sumă a inve stit
fiecare?

Soluție
Să notăm cu 1S și 2S sumele pe care le au cei doi.
Cum împreună au 10.000 lei, înseamnă că avem relați a
100002 1=+SS . Dobânda totală va fi suma dobânzilor,
adică 2 1DDDt+= , deci 1302 1=+DD . 1D este dobânda
obținută de primul, adică vom avea
405. 0
12405. 01
1 1SSD⋅=⋅⋅= , iar 2D va fi

________________________________________Georgiana P opescu

23 75 124
10042
2 2SSD =⋅⋅= . Putem înlocui aceste expresii în
relația 1302 1=+DD , și vom obține 13075 405. 02 1=+⋅SS.
Aducem la același numitor, 300 754=⋅ :
475 130 4 05. 0 752 1 ⋅⋅=⋅+⋅⋅ SS ⇒
39000 4 75, 32 1=⋅+⋅SS
Știm însă că 100002 1=+SS , adică putem scrie
2 110000SS −= . Vom înlocui 1S în relația de mai sus:
() 39000 4 1000075, 32 2=⋅+−⋅ SS ⇒
39000 4 75, 3 1000075, 32 2=⋅+⋅−⋅ SS ⇒
37500 39000 25, 02−=⋅S ⇒ 1500 25, 02=⋅S ⇒
lei S 600025, 01500
2==
Cum aveam 2 110000SS −= , putem acum
determina și suma avută inițial de primul dintre ce i doi
prieteni, lei S 4000 6000 100001 =−=

5. Suma de 5000lei a fost depusă în regim de dobândă
simplă pe 3 luni cu un procent anual p. După cele 3
luni, din cont au fost retrași 2000lei, iar dobânda
acumulată până în acest moment a fost depusă în
cont. Suma rămasă a beneficiat de o m’rire cu 2
puncte procentuale a dobânzii. După încă 3 luni,
suma totală (adică suma la care a fost adăugată și
noua dobândă) ajungea la 3177.5lei. Care au fost cel e
două procente cu care s-a operat?

Soluție

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

24
D upă primele 3 luni observăm că se întâmplă
două lucruri: pe de o parte se retrag 2000lei din c ont iar
pe de altă parte dobânda acumulată până în acest
moment se adaugă în cont.
Pentru calculul dobânzii folosim relația
12 100npSD ⋅⋅= , adică 123
1005000⋅⋅=pD de unde , făcând
simplificările, obținem 225pD= . Se observă că am
calculat dobânda pentru întreaga sumă de 5000lei,
deoarece pe parcursul celor 3 luni în cont au fost toți
banii. Retragerea de 2000lei se face după ce se cal culează
dobâbda. Să vedem acum câți bani vor rămâne în cont
pentru următoarele 3 luni. Din suma inițială vom sc ădea
cei 2000lei care se retrag și la rezultat vom adăug a
dobânda calculată mai sus. Vom avea astfel suma
2252000 50001pS +−= , adică 22530001pS+= . După încă 3
luni știm că suma va fi de 3177,5lei. Această sumă va
reprezenta suma 1S la care se va adăuga și dobânda 1D
acumulată în aceste 3 luni. Vom avea deci 5 , 31771 1=+DS .
Dobânda va fi 123
1002
1 1 ⋅+⋅=pSD (procentul este acum
2+p , deoarece a fost mărit cu 2 puncte procentuale).
Avem
123
1002
1 1 ⋅+⋅=pSD ⇒ 41
1002
22530001 ⋅+⋅

+=ppD ⇒
4002
225 6000
1+⋅+=ppD ⇒ ()
16252
224025
1⋅+⋅+⋅=ppD ⇒

________________________________________Georgiana P opescu

25 162
2240
1+⋅+=ppD ⇒ ()()
322 240
1+⋅+=ppD ⇒
32480 2422
1++=ppD .
Ș tim că 5 , 31771 1=+DS , unde 22530001pS+= și
32480 2422
1++=ppD , adică
5 , 317732480 242
225 60002
=++++ ppp.
Aducem la același numitor (32):
() 325 , 3177 480 242 25 6000162⋅=++++⋅ ppp ⇒
101680 480 242 400 960002=++++ ppp ⇒
0 5200 6422=−+pp .
Aceasta este o ecuație de gradul doi. Vom avea
2 2658 432964 52004 642 ==⋅+=∆ , deci cele două soluții vor
fi de forma 2658 6422±−, deci vom avea



−=−−=−
6502642 65882642 658
.
Valoarea -650 nu poate reprezenta un procent
anual al dobânzii, deoarece este un număr negativ.
Rezultă că singura soluție posibilă pentru procentu l p
este %8=p , acesta fiind procentul cu care s-a operat în
primele 3 luni. Pentru următoarele 3 luni procentul a fost
2+p , adică %1028=+ .

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

26
6. O persoană împrumută suma de 10.000lei pe care se
angajează să o ramburseze în interval de 1 an,
împreună cu dobânda aferentă. Pentru primele 4 luni
procentul anual este de 3%, pentru următoarele 3
luni, 5%, iar pentru ultimele 5 luni, 6%. Dobânda s e
calculează la sfârșitul fiecăreia dintre perioadele
precizate și se adaugă apoi la suma rămasă. Noul
procent se va aplica la întreaga sumă rămasă
nerambursată la începutul perioadei corespunzătoare .
După primele 4 luni se rambursează 4100lei, iar dup ă
următoarele 3 luni încă 2075lei. Ce sumă va mai
trebui rambursată la sfârșitul anului? Care este pr ețul
pe care l-a plătit persoana în cauză pentru a putea
folosi cei 10.000lei?

Soluție
Pentru a putea urmări cu ușurință situația
descrisă, vom lua evenimentele în ordinea în care s -au
succedat, analizând ce se întâmplă pentru fiecare d intre
perioadele indicate.
Pornim cu suma împrumutată de 10.000lei. După
primele 4 luni, se calculează dobânda de plată și a ceasta
se va adăuga la suma de rambursat. Dobânda pentru
această perioadă va fi 12 100npSD ⋅⋅= , adică
lei100124
100310000 =⋅⋅ . Putem astfel determina suma pe
care ar trebui să o ramburseze persoana după 4 luni .
Aceasta va fi suma împrumutată plus dobânda, adică
lei100.10 100 000.10 =+ . În acest moment, rambursează, așa

________________________________________Georgiana P opescu

27 cum ni se precizează în enunț, 4.100lei. Datoria pe care o
va mai avea de achitat din acest moment va fi astfe l
lei 6000 100. 4 100.10 =− . Cu această datorie va începe
următoarea perioadă care constă în 3 luni cu un pro cent
anual al dobânzii de 5%. Pentru această a două peri oadă,
dobânda se va calcula pentru suma de 6000lei (restu l
sumei a fost deja rambursat), timp de 3 luni, cu 5% .
Obținem astfel valoarea dobânzii: lei75123
10056000 =⋅⋅ .
Adăugând această valoare la suma de rambursat, vom
obține noua valoare a datoriei, lei 6075 75 000. 6=+ . În acest
moment se rambursează încă lei 2075 , deci datoria rămasă
va fi de lei 4000 2075 6075 =− .
Suma pe care o va avea de rambursat la sfârșitul
anului va fi 4000lei la care se va adăuga dobânda
calculată pentru această sumă, cu noul procent de 6% ,
timp de 5 luni (numărul de luni rămase până la
încheierea anului). Vom avea astfel dobânda
lei100125
10064000 =⋅⋅ . Suma de plată la sfârșitul anului va
fi lei 4100 100 4000 =+ .
Avem acum de calculat pretul platit pentru acest
împrumut. Să calculăm cât a plătit în total: prima dată a
plătit 4100lei, a doua oară 2075lei și la sfârșitul anului
încă 4100lei, deci în total lei 10275 4100 2075 4100 =++ . Din
acești 10.275lei, 10.000lei reprezintă datoria, dec i ceea ce a
plătit în plus este lei275 10000 10275 =− . Această sumă
reprezintă dobânda totală, adică prețul pe care l-a plătit
pentru a putea folosi cei 10.000 lei.

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

28
7. O persoană are o sumă de bani pe care o depune la
trei bănci în următoarele condiții: suma de 3000lei cu
procentul anual de 3% timp de 4 luni, suma de 3500l ei
cu 6% pentru 120 de zile și suma rămasă cu un
procent anual de 5% pentru 180 de zile. Dobânda
totală acumulată în urma celor trei plasamente este de
300lei. Care a fost suma totală inițială?

Soluție
Suma totală pe care a avut-o persoana este suma
celor trei părți. Știm că la prima bancă a depus
leiS 30001= , la a doua leiS 35002= și la a treia bancă suma
3S Rezultă astfel că suma inițială poate fi scrisă su b
forma 3 2 1SSSS ++= , adică 3 3500 3000 S S ++= ⇒
3 6500SS+= .
Să calculăm acum dobânzile produse de fiecare
sumă în parte.
Pentru prima sumă, de 3000lei, avem procentul de
3% și timpul de 4 luni. Vom obține dobânda
124
100330001 ⋅⋅=D ⇒ leiD 301= .
Pentru a doua sumă vom avea
360120
100635002 ⋅⋅=D ⇒ leiD 702= .
Pentru a treia sum, pe care nu o cunoaștem,
dobânda va fi
360180
1005
3 3 ⋅⋅=SD ⇒ 403
3SD= .

________________________________________Georgiana P opescu

29 Ș tim însă că dobânda totală este de 300lei, deci
3003 2 1 =++DDD . Înlocuim în această relație valorile
obținute pentru cele trei dobânzi și obținem
3004070 303=++S ⇒ 200403=S ⇒ 200403⋅=S ⇒
leiS 80003=
Suma inițială era 3 6500SS+= , adică
8000 6500+=S ⇒ leiS 500.14=

8. Trei sume de bani au fost plasate pe 6 luni: prima cu
6%, a doua cu 7% și cea de-a treia cu 8%. Suma a do ua
este dublă față de prima iar a treia este egală cu suma
primelor două. Dobânda totală acumulată la sfârșitu l
celor 6 luni este de 4400lei. Să se afle cele trei sume
inițiale și dobânda adusă de fiecare în parte. Care este
procentul mediu de plasament al operațiunii?

Soluție
Să notăm cele trei sume cu 1S, 2S și 3S. Dobânzile
calculate pentru aceste sume vor fi:
126
1006
1 1 ⋅⋅=SD ⇒10031
1SD=
126
1007
2 2 ⋅⋅=SD ⇒20072
2SD=
126
1008
3 3 ⋅⋅=SD ⇒10043
3SD=
Știm că dobânda totală este de 4400lei, deci
44003 2 1 =++DDD
Înlocuind în această relație dobânzile, așa cum le –
am calculat mai sus, obținem:

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

30
44001004
2007
10033 2 1=++SSS
Ș tim însă că suma a doua este dublă față de prima,
adică putem scrie 1 22SS= , iar suma a treia este cât
celelalte două adunate, adică 2 1 3SSS+= . Cum 1 22SS= ,
rezultă că 1 33SS= .
În relația de mai sus , 44001004
2007
10033 2 1=++SSS, vom
înlocui 1 22SS= și 1 33SS= :
440010034
20027
10031 1 1=⋅+⋅+SSS ⇒
440010012
1007
10031 1 1=++SSS ⇒
100 4400 12 7 31 1 1 ⋅=++SSS ⇒
440000 221=S ⇒
leiS 000.201= .
Am aflat astfel prima sumă. Cum 1 22SS= , rezultă
că leiS 000.402= și din 1 33SS= deducem leiS 000.603= .
Dobânzile produse de fiecare sumă le-am calculat
mai sus, în funcție de 1S, 2S și 3S, care sunt acum
cunoscute. Vom avea astfel:
lei D 600100200003
1 =⋅=
lei D 1400200400007
2 =⋅=
lei D 2400100600004
3 =⋅=
Mai avem de calculat procentul mediu de
plasament. Pentru aceasta trebuie să calculăm suma
totala plasată, 3 2 1SSSS ++= , care va fi leiS 000.120= .

________________________________________Georgiana P opescu

31 Pentru a afla procentul mediu de plasament ne punem
întrebarea: cu ce procent ar fi trebuit plasată sum a totală
de 120.000lei astfel încât, după cele 6 luni, să pr oducă
aceeași dobândă totală de 4400lei?
Înlocuim aceste valori în formula dobânzii și vom
avea:
126
100000.120 4400 ⋅⋅=p ⇒ p600 4400= ⇒ 33. 76004400==p .
Procentul mediu de plasament va fi astfel 7,33%.

9. Suma de 135.000lei a fost împărțită în trei părți c are
au fost plasate pentru 1 an astfel: prima parte cu un
procent anual de 5%, a doua cu 4% și a treia cu 6%.
Dobânda totală este de 6900lei iar a doua parte est e o
treime din suma inițială. Să se determine cele trei
părți, dobânzile aduse de fiecare precum și procent ul
mediu de plasament al sumei de 135.000lei.

Soluție
Fie cele trei părți 1S, 2S, 3S. Știm că a doua parte
este o treime din suma totală de 135.000lei, deci v om avea
3000.135
2=S ⇒ leiS 000.452= . Mai știm că împreună cele
trei sume sunt 135.000lei, deci putem scrie relația
000.1353 2 1 =++SSS și, cum leiS 000.452= , deducem că
000.903 1=+SS .
Să calculăm acum dobânzile aduse de fiecare
parte:

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

32
11005
1 1 ⋅⋅=SD ⇒201
1SD=
11004000.452 ⋅⋅=D ⇒leiD 18002=
11006
3 3 ⋅⋅=SD ⇒5033
3SD= .
D obânda totală este 6900lei, deci
69003 2 1 =++DDD , adică
69005031800203 1=++SS⇒ 5100503
203 1=+SS⇒
51001006
10053 1=+SS⇒ 510000 6 53 1=+SS .
Știm însă că 000.903 1=+SS , adică 1 3 000.90SS −= .
Înlocuind 3S în relația de mai sus obținem:
510000 6 53 1=+SS ⇒ ()510000 000.906 51 1 =− +S S de unde
leiS 000.301= . Ultima sumă va fi 1 3 000.90SS −= , adică
leiS 000.603= .
Să calculăm acum dobânzile aduse de fiecare
sumă. Am aflat deja leiD 18002= . Pentru 201
1SD= ,
cunoaștem acum leiS 000.301= , deci 20000.30
1=D ⇒
leiD 15001= . Avem 5033
3SD= , cu leiS 000.603= , deci
50000.603
3⋅=D ⇒ leiD 36003= .
Pentru procentul mediu de plasament considerăm
suma întreagă, de 135.000lei, depusă timp de 1 an, care a
adus o dobândă de 6900lei. Pentru a afla procentul
folosim formula dobânzii simple:

________________________________________Georgiana P opescu

33 1100000.135 6900 ⋅⋅=p ⇒ p 1350 6900= ⇒ 11, 513506900==p .
Procentul mediu de plasament va fi astfel 5,11%.

1.3. Probleme propuse

1. La data de 3 iunie 2016, se depune pe o perioadă ca re
se întinde până la jumătatea lunii decembrie 2016
suma de 75.000 um, în condițiile unei rate anuale d e
5%. Care va fi cuantumul depunerii la expirarea
acestui plasament?

2. Stabiliăi suma ce în 77 de zile generează o dobândă
egală cu suma dobânzilor de la:
200um în 63 zile;
500um în 110 zile;
2200um în 165 zile;
650um în 33 de zile.

3. Pornim cu trei sume; raportul dintre prima sumă și a
doua este 31. A treia sumă este egală cu suma
primelor două plus 5000um. Se plasează primul
capital timp de 5 luni cu 6%, al doilea timp de 66 zile
cu 7%. Al treilea capital este depus 116 zile cu 6% .
Dacă știm că dobânda simplă totală este de 153,6um,
stabiliți cele trei sume.

4. Patru sume în progresie aritmetică au fost depuse
timp de 5 luni cu dobândă simplă la procent anual d e

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

34
7%. D obânda totală se ridică la 960um, diferența
dintre al treilea capital și al doilea ajunge la 20 00um.
Calculați cele patru sume.

5. Trei sume în progresie aritmetică au fost depuse du pă
cum urmează: prima, la 3%, pe 5 luni, a doua, cu 4% ,
timp de 36 zile, a treia la 5%, pe o perioadă de 4 luni.
Știm că dobânda totală ajunge la 194,16 um și rapor tul
dintre a treia sumă și prima este de 47. Stabiliți cele
trei sume.

6. Să luăm trei sume în progresie aritmetică, S1, S2, S 3,
depuse pe 1 an cu dobânzile unitare anuale i1, i2, i3,
aflate în progresie geometrică. Am aflat sumele
532. 03 2 1== ==++ ++++ ++iii și umSSS 000.753 2 1 == ==++ ++++ ++ . Dobânzile
anuale pentru prima sumă și cea de a treia au rapor tul
de 161. Calculați cele trei sume și dobânzile unitare
anuale respective.

7. Pentru a colecta 50.000 um peste 9 ani de zile, ce
cuantum ar trebui să aibă suma depusă azi, la o
dobândă anuală de 3%?
8. Calculați la cât se va ridica suma de 60.000 um,
depusă cu un procent anual de 2%, timp de 7 ani și 4
luni.

9. Un salariat care trebuie sa ramburseze următoarele
datorii: 4.400 um peste 2 ani, 2.600um peste 1 an ș i 2

________________________________________Georgiana P opescu

35 luni, 9.000um peste 4 ani și 3 luni, 5.000 um peste 6
ani, 7808um peste 8 ani si 1 lună, vrea să achite t oate
datoriile acestea într-o singură plată, și aceasta peste 1
an (în acest caz, luați în considerare dob ânda din
momentul când trebuia s ă fie achitat ă suma și până la
momentul efectiv al pl ății). Calculați cuantumul
acestei rambursări, știind că procentul anual este de
5%.

10. Dacă depunem 7.000um timp de 3 ani cu 5%, apoi,
vreme de 3 ani, rata devine 6% și, pe următorii 4 an i,
rata va fi de 5,5%, câte um vom avea la finalul
perioadei de 10 ani? Care este procentul mediu de
plasament?
Indicație: procentul mediu de plasament este
procentul constant timp de 10 ani care ar conduce l a
aceeași valoare finală.

11. Cineva a împrumutat o sumă de 90.000 um, cu 5 ani
în urmă, la procentul anual de 5%, sumă pe care nu a
mai reușit să o returneze la timp. Creditorul său
acceptă să împingă cu 2 ani și jumătate rambursarea
datoriei, dar decide ca procentul anual să crească cu 1
unitate la fiecare an amânat. Se solicită să aflați :
– ce sumă trebuia achitată după cei cinci ani;
– ce sumă va trebui să fie plătită în urma amânării
de 2 ani și jumătate.

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

36
12. O sumă în cuantum de 7830 lei este depusă într-un
cont, la dobânda anuală de 4,5%. Care va fi
cuantumul sumei disponibile după 23 zile? Dar după
11 luni ? Ce dobândă se va aloca acelui cont, după 2
ani de zile?

13. Peste cât timp devine 31474 lei suma de 21100 lei, în
condițiile unui procent anual de 5,5 %?

14. În condițiile unui procent anual de 12%, ce dobândă
trebuie să fie aferentă sumei de 44200 lei care a f ost
împrumutată timp de 13 luni? Aflați și dobânda în
cazul când suma este împrumutată pentru 28 luni?

15. Pe ce perioadă (exprimată în zile) ar trebui plasat ă o
sumă de 155000 lei, la un procent anual de 4% pentr u
a putea obține dobânda de 1923, 55 lei?

16. Ce dobândă unitară va trebui obținută pentru a
depune suma de 2222 lei, timp de 6 luni de zile, și a se
câștiga 115 lei dobândă?

17. Ce sumă totală va putea fi disponibilă pentru
retragere după 333 zile dacă se depun astăzi 5520 l ei,
și procentul anual al dobânzii este de 7,3%?

18. Timp de câte luni trebuie să fie plasată suma de 930 0
lei, cu o dobândă per unitate de 0,78, presupunând că

________________________________________Georgiana P opescu

37 dobânda acumulată la sfârșitul perioadei t este de 456
lei?

19. La 28 Ianuarie 2016 se depune o sumă de 6264 lei, p e
o perioadă care se întinde până la sfârșitul lunii
Septembrie, în condițiile unui procent de 17 %. Ce
valoare finală are cuantumul sumei la data de 30
septembrie 2016?

20. Cu ce procent trebuie să plasăm suma de 43000 lei
pentru ca peste 390 zile să se poată colecta suma d e
54500 lei?

21. Stabiliți procentul mediu pentru depunerea
următoarelor sume:
– o sumă de 6220 lei, depusă cu procentul de 2,5%
timp de 63 zile;
– suma de 23120 lei cu procentul de 6% timp de 9 lu ni;
– suma de 1115 lei cu 9 %, timp de 2 ani.

22. Aflați suma care în 312 zile generează aceeași
dobândă ca și suma dobânzilor produse de :
– suma de 6000 lei timp de 45 zile;
– suma de 4000 lei depusă timp de 90 zile;
– suma de 3000 lei depusă timp de 65 zile;
– suma de 17000 lei timp de 19 zile.

23. Cineva a strâns o sumă de 142000 lei după cum
urmează: 50000 lei la un procent anual de 27 % , o

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

38
sumă de 38000 lei în condițiile unui procent de 20 % și
un capital de 54000 lei la procentul de 18,5 %, toa te
acestea timp de 10 luni. Stabiliți procentul mediu
pentru suma totală.

24. Un angajat plasează o sumă de 16600 lei în două
conturi, precum urmează: suma de 2600 lei într-un
cont, cu un procent anual al dobânzii de 5,5% , iar la a
doua sumă, în cuantum de 14400 lei, cunoaștem
dobânda unitară care este de 3,05. Care va fi dobân da
totală pentru capitalul de 16600 lei, după ce au
trecut101 zile?

25. Stabiliți dobânda totală și procentul mediu de
plasament aferent sumei de 2212 lei, strânsă după
cum urmează:
– suma de 100 lei a fost depusă cu procentul anual de
5,5 %, pe timp de 9 luni;
– o sumă de 750 lei a fost depusă cu un procent anu al
de 8% pentru doi ani de zile;
– capitalul de 50 lei a fost plasat la procentul de 13 %
timp de 600 zile;
– suma de 1312 lei primește dobânda unitară de 2,15 ,
pe o perioadă de 4 luni.

26. Calculați ce sumă trebuie depusă, în condițiile unu i
procent anual de 5 %, timp de 10 luni, pentru a gen era
aceeași dobândă ca și :

________________________________________Georgiana P opescu

39 – suma de 2300 lei depusă pe 5 luni cu un procent
anual de 15,2 % ;
– suma de 1200 lei depusă pe 13 luni cu un procent
anual de 14,2 %;
– suma de 6100 lei depusă pe 1 an cu procentul anua l
de 4%.

27. Determinați cu ce procent trebuie plasată o sumă de
12568 lei, pe o perioadă de 21 luni, pentru a gener a o
dobândă egală cu dobânda generată de :
– o sumă de 226594 lei, depusă cu un procent anual de
12 %, pe 6 luni;
– o sumă de 17659 lei, depusă cu procentul anual de
14 %, pentru 177 zile;
– o sumă de 3000 lei, plasată cu un procent anual d e 20
%, pentru 1 an și o lună;
– o sumă de 15555 lei, depusă cu procentul anual de
11%, pe perioada de 599 zile.

28. Două sume au fost depuse timp de 16 luni;
împreunătotalizează150000 lei. Una din sume
primește o dobândă anuală de 20%, cealaltă de 16 %.
Calculați cele 2 sume, pentru ca cuantumurile lor
finale să fie egale.

29. Un salariat decide să formeze un depozit bancar în
valoare de 41500 lei, pe o perioadă de 6 luni si 13 zile,
cu o dobândă fixă de 5 % pe an. Calculaăi suma fina lă
de la sfârșitul perioadei.

DOBÂNDA – NOȚIUNI INTRODUCTIVE_____________________ ___

40

30. Ce sumă trebuie plasată, la dobândă simplă de 11 %,
pentru ca peste 3 ani să se poată colecta suma de
14200 lei?

31. Patru sume in progresie aritmetică au fost depuse
timp de 8 luni cu dobândă simplă, la procentul anua l
de 20 %. Dobânda totală se ridică la 9350 lei,
diferența dintre a patra și a treia sumă este 5000 lei.
Stabiliți cele patru sume.

32. Se depun următoarele capitaluri precum urmează mai
jos:
– 2659 lei cu un procent anual p;
– 6972 lei cu un procent anual p+2;
– 1678 lei cu un procent anual p-1;
– 3333 lei cu un procent anual p+3.
Stabiliți procentele de plasament, astfel încât, du pă 5
luni, să obținem dobânda totală de 70 lei .

33. Un om de afaceri adună suma de 168942 lei, după
cum urmează:
– o parte 18695 lei cu un procent de 4.9 %;
– 11526 lei cu un procent de 3.4 %;
– 1300 lei cu procentul de 1.8%;
– o parte 137421 lei cu un procent de 5 %, toate pe ntru
18 luni.
Stabiliți procentul mediu de plasament pentru suma
totală de 168942 lei.

________________________________________Georgiana P opescu

41
34. Totalul a trei capitaluri este de 330000 lei. Prima sumă
a fost depusă pentru 7 luni, cu un procent anual al
dobânzii de 2 %, a doua timp de 179 zile cu un
procent anual de 5 % , iar a treia sumă, timp de 30 0
zile, la procentul de 8 %. Se dă raportul dintre
dobânda primului capital și dobânda celui de-al
treilea capital, adică , și fracția dintre dobânda celui
de-al doilea capital și primul este . Aflați cele trei
sume inițale depuse.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

42

II. RAMBURSĂRI DE CREDITE

2.1. Noțiuni introductive

Noțiunea de credit, ca și cea de dobândă este, în
sine, o noțiune care nu mai are nevoie de definiție.
Am putea spune că un credit bancar este un
împrumut acordat de către o o instituție financiară .
Rambursarea acestui împrumut se va face prin
intermediul unor plăți periodice, de cele mai mult e ori
lunare, plăți care poartă numele de rate. În funcți e de
perioada dintre două rate putem vorbi despre rate
lunare, rate trimestriale, semestriale, etc.
Rata pe care o plătim la un moment dat este
alcătuită din mai multe componente. Astfel, în cadr ul
ratei, vom regăsi:
– o parte din datoria pe care trebuie să o
rambursăm; aceasta se numește amortisment sau
principal ;
– o parte care reprezintă dobânda datorată pentru
suma folosită;
– o parte care reprezintă eventuale costuri
suplimentare, costuri care provin din diverse
comisioane .

________________________________________Georgiana P opescu

43 Am putea astfel spune că rata este suma dintre
cele trei părți enunțate mai sus, adică
comisioanedobandatamortismenrata + + = .
Pentru început nu vom lua în considerare
comisioanele bancare, astfel că vom calcula rata ca fiind
dobandatamortismenrata + =

În practica bancară se folosesc două variante de
calcul al ratelor:
– rambursarea cu amortismente egale (se întâlnește
de obicei sub denumirea de rambursare de rate
descrescătoare);
– rambursarea cu rate egale.

De obicei, informațiile privitoare la rambursarea
unui credit le regăsim în așa-numitul scadențar sau plan
de rambursare . Acesta reprezintă un tabel în care se
regăsesc informații privitoare la toate ratele de p lată
precum și la componentele ratelor, dar si date priv ind
suma care a mai rămas de rambursat din datoria iniț ială
sau suma totală de plată. În general un scadențar v a arăta
sub forma:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

44
Nr.
Crt.
(sau
data
plății) Suma de
ramburs
at
(înainte
de plata
ratei) Dobânda
(calculată
pentru
suma
datorată la
momentul
plății) Amortis
ment Rata
(amortisme
nt +
dobanda) Suma
ramasa
de
ramburs
at (dupa
plata
ratei)
1. 1S 1D 1A 111DAR+=
1fS
2. 2S 2D 2A 222DAR+=
2fS
… … … … … …
n. nS nD nA nnnDAR+=
0
Total ∑iD ∑A ∑R

Pentru a înțelege modul de completare al
tabelului, vom face mai întâi niște precizări cu ca racter
general, care se întâlnesc indiferent de modalitate a de
rambursare aleasă de bancă.
Așa cum am precizat deja, partea din datorie pe
care o plătim este dată de amortisment. Dacă avem d e
plătit n rate periodice, deci și cele n amortismente
corespunzătoare, înseamnă că suma acestor
amortismente trebuie să coincidă cu duma totală
împrumutată. Adică vom avea relația:
∑
==n
iiAaimprumutatsuma
1

Partea suplimentară pe care o plătim băncii este
dată de dobândă, deci în total, pe lângă datorie, v om

________________________________________Georgiana P opescu

45 achita băncii în plus suma dobânzilor, ∑
=n
iiD
1. În ceea ce
privește totalul pentru ratele plătite din tabel, a cesta va
reprezenta suma totală plătită în urma achitării cr editului
și, cum deocamdată nu luăm în considerare alte
comisioane, vom putea scrie relația
∑∑∑
= = =+=n
iin
iin
iiDAR
111.

Să considerăm acum următoarea situație: suma S
se împrumută cu un procent anual al dobânzii p și se
rambursează în n rate care se plătesc la intervalul de timp
t. Vom încerca să vedem cum ar arăta scadențarul pe
acest caz general. Vom avea un tabel de forma de ma i sus
pe care vom încerca să îl completăm pas cu pas. Ace sta
va avea următorul cap de tabel:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisme
nt Rata
(amortisme
nt +
dobanda) Suma
ramasa
de
ramburs
at

o Numărul curent se referă la numărul ratei la care
ne referim. În general, vom vedea în scadențare
reale, data la care trebuie plătită rata în cauză.
Pentru a simplifica lucrurile, în această lucrare

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

46
vom folosi numărul curent. Pentru prima rată vom
trece în acest câmp valoarea 1.
o Suma de rambursat 1S va fi, inițial, suma
împrumutată (deoarece înainte de a plăti prima
rată nu a fost rambursată nici o parte din datorie) ;
vom trece deci, suma S împrumutată
o dobânda va fi dobânda calculată pentru suma
datorată în acest moment bancii; în situația primei
rate, cum suma datorată coincide cu suma
împrumutată, înseamnă că vom avea dobânda
calculată pentru toată suma inițială; avem
procentul p și perioada de timp t, deci vom avea
tpSD1001= ;
o amortismentul reprezintă partea din datorie care
se va rambursa; deoarece valoarea
amortismentului depinde de modalitatea de calcul
a ratelor, vom lăsa momentan valoarea 1A;
o rata reprezintă suma totală de plată în acest
moment, adică va fi suma dintre dobândă și
amortisment, adică 111DAR+= ;
o mai avem de completat, pentru această primă rată,
ultimul câmp, anume suma rămasă de rambursat.
Aceasta va indica valoarea actualizată a datoriei
după ce rata în cauză a fost achitată. Deși au fost
plătită suma totală 111DAR+= , dobânda reprezintă
câștigul băncii. Astfel, din suma inițială vom
scădea numai bucata din datorie pe care am
ramburst-o, adică vom scădea amortismentul.

________________________________________Georgiana P opescu

47 Vom obține astfel suma rămasă ca fiind:
tamortismenrateiplatadeinaintedatoratasuma − , adică
1AS− .

În acest moment tabelul va arăta în felul următor:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisme
nt Rata
(amortisme
nt +
dobanda) Suma
rămasă
de
ramburs
at
1. S tpSD1001= 1A 111DAR+= 1AS−

Să completăm acum și datele pentru cea de-a doua
rată:

o Suma de rambursat va fi suma datorată băncii în
acest moment (adică după ce rata anterioară a fost
plătită). Această sumă va coincide cu suma rămasă
de pe linia anterioară a tabelului, adică 1AS−;
o dobânda va fi dobânda calculată pentru suma
datorată în acest moment bancii; am văzut mai sus
că aceasta este 1AS−, procentul este tot p iar
intervalul de timp este tot t deci vom avea
( )tpASD1001 2−= ;
o amortismentul va fi 2A (valoarea lui nu o putem
calcula cu ceea ce cunoaștem în acest moment)

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

48
o rata reprezintă suma totală de plată în acest
moment, adică va fi suma dintre dobândă și
amortisment, adică 222DAR+= ;
o suma rămasă de rambursat va fi suma de
dinaintea plății ratei, adică 1AS−, din care s-a mai
rambursat valoarea 2A, adică 21AAS−− .

Nr
Cr
t. Suma de
rambursat Dobânda Amortis-
ment Rata
(amortismen
t + dobanda) Suma
rămasă de
rambursat
1. S tpSD1001=
1A 111DAR+= 1AS−
2. 1AS− ( )tpASD1001 2−=
2A 222DAR+=
21AAS−−

… … … … … …

Procedeul se repetă pentru toate cele n rate și în
final se calculează totalurile plătite pentru dobân dă și
pentru rată. Nu vom continua acest calcul pe cazul
general, deoarece preferăm să îl finalizăm cu ajuto rul
unor exemple astfel încât datele să poate fi mai uș or de
urmărit.

2.2. Rambursarea cu amortismente egale (rambursarea
cu rate descrescătoare)

Așa cum însăși denumirea acestei variante ne
indică, rambursarea va fi făcută în acest caz cu
amortismente egale . Ce înseamnă acest lucru? Înseamnă că
în cadrul ratelor lunare de plată, amortismentul (p artea

________________________________________Georgiana P opescu

49 din datorie care este rambursată), va fi aceeași de la
prima până la ultima rată.

Am văzut mai sus că suma tuturor
amortismentelor trebuie să coincidă cu suma
împrumutată S. Dacă rambursarea se face prin
intermediul a n rate, înseamnă că avem
nAAAS +++=…21 . Dar toate cele n amortismente au
aceeași valoare A. Atunci avem
44 344 21
orindeAAAS +++=… ⇒ AnS⋅= ⇒ nSA=.
Am obținut astfel valoarea amortismentului
pentru această variantă de rambursare. Putem spune că:
În cazul în care rambursarea se face cu amortisment e
egale, valoarea amortismentului este dată de relați a
ratedenumarulaimprimutatsumatamortismen = .

Exemplul 1 .
Suma de 10.000lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 9% și se rambursează cu amortismen te
egale prin intermediul a 10 rate lunare. Să se alcă tuiască
planul de rambursare pentru acest împrumut.

Soluție
Avem 10 rate lunare, deci tabelul va arăta sub
forma:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

50
Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
Total

Amortismentele sunt egale, deci vom aplica relația
ratedenumarulaimprumutatsumatamortismen = , adică vom avea: 10000.10=A
⇒ 1000=A . În cadrul fiecărei rate vom avea aceeași
valoare pentru amortisment, deci putem completa
coloana corespunzătoare din cadrul tabelului:

________________________________________Georgiana P opescu

51 Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 1.000
2. 1.000
3. 1.000
4. 1.000
5. 1.000
6. 1.000
7. 1.000
8 1.000
9. 1.000
10. 1.000
Total

Să trecem acum la completarea celorlalte câmpuri
ale tabelului, începând cu prima rata.
Inițial suma de rambursat este cea împrumutată,
adică 10.000lei.
Să calculăm acum dobânda de plată. Suma pentru
care calculăm este cea datorată, de 10.000lei. Proc entul
este de 9% iar timpul este de 1 lună (ratele fiind lunare, în
momentul în care plătim prima rată se calculează
dobânda doar pentru perioada în care banii au fost deja
folosiți, ea nu se calculează în avans pentru între aga
perioadă). Obținem astfel:
121
1009000.101 ⋅⋅=D ⇒ leiD751= .

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

52
Rata corespunzătoare va fi suma dintre
amortisment și dobândă, adică lei R 10757510001 =+= .
Suma rămasă de rambursat va fi suma inițială de
10.000lei din care s-au rambursat 1000lei (corespun zători
amortismentului), deci vom mai avea
lei000. 9000. 1000.10 =− datorie. Completăm aceste date în
tabel și vom obține:

Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 10.000 75 1.000 1.075 9.000
2. 1.000
3. 1.000
4. 1.000
5. 1.000
6. 1.000
7. 1.000
8 1.000
9. 1.000
10. 1.000
Total

Pentru a doua rată, vom porni cu suma datorată
de 9000lei, cea rămasă după plata precedentă. Dobân da o
vom calcula pentru această sumă, cu procentul de 9% , tot
pe o perioadă de 1 lună. De ce pe o perioadă de 1 l uni și
nu pe o perioadă de 2 luni? Deoarece pentru prima l ună

________________________________________Georgiana P opescu

53 ne-am achitat deja obligațiile față de bancă prin r ata
precedentă. Acum vom plăti pentru folosirea sumei d e
bani în perioadă scursă de atunci, respectiv pentru a
doua lună. Vom avea
121
1009000. 92 ⋅⋅=D ⇒ leiD5 ,672= .
Rata va fi lei5 ,10675 ,67000. 1 =+ , iar suma rămasă ca
datorie după plata acestei rate va fi lei000. 8000. 1000. 9 =− .
Tabelul va arăta astfel:

Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 10.000 75 1.000 1.075 9.000
2. 9.000 67,5 1.000 1067,5 8.000
3. 1.000
4. 1.000
5. 1.000
6. 1.000
7. 1.000
8 1.000
9. 1.000
10. 1.000
Total
Procedând în același fel pentru următoarele rate, ș i
calculând totalul plătit ca dobândă precum și total ul
plătit vom putea completa tabelul:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

54
Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 10.000 75 1.000 1.075 9.000
2. 9.000 67,5 1.000 1067,5 8.000
3. 8.000 60 1.000 1060 7.000
4. 7.000 52,5 1.000 1052,5 6.000
5. 6.000 45 1.000 1045 5.000
6. 5.000 37,5 1.000 1037,5 4.000
7. 4.000 30 1.000 1030 3.000
8 3.000 22,5 1.000 1022,5 2.000
9. 2.000 15 1.000 1015 1.000
10. 1.000 7,5 1.000 1007,5 0
Total 412,5 10.000 10.415,5

Exemplul 2 .
Suma de 12.000lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 15% și se rambursează cu amortisme nte
egale prin intermediul a 6 rate trimestriale. Să se
alcătuiască planul de rambursare pentru acest împru mut.

Soluție
Avem 6 rate iar amortismentele sunt egale deci
valoarea amortismentului va fi lei000. 26000.12= . Se
procedează exact ca la exemplul precedent, singura
deosebire fiind aceea că, de această dată, ratele s unt
trimestriale. Un trimestru are 3 luni, deci ratele se plătesc

________________________________________Georgiana P opescu

55 o dată la 3 luni. Aceasta va implica o diferență în modul
de calcul al dobânzii, mai exact timpul t din formulă va fi
de 3 luni.
De exemplu, pentru prima dobândă, avem
procentul de 15%, suma de 12.000lei și perioada de 1
trimestru (adică de 3 luni). Obținem astfel
123
10015000.121 ⋅⋅=D ⇒ leiD4501= . Pentru dobânda a doua
vom folosi tot timpul de 3 luni, și vom obține:
123
10015000.102 ⋅⋅=D ⇒ leiD3752= .
Scadențarul va avea astfel următoarea formă:

Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 12.000 450 2.000 2.450 10.000
2. 10.000 375 2.000 2.375 8.000
3. 8.000 300 2.000 2.300 6.000
4. 6.000 225 2.000 2.225 4.000
5. 4.000 150 2.000 2.150 2.000
6. 2.000 75 2.000 2.075 0
Total 1.575 12.000 13.575

Exemplul 3 .
Suma de 5.000lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 10% și se rambursează în 6 rate lu nare.
Să se alcătuiască planul de rambursare pentru acest

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

56
împrumut știind că rambursarea se face cu amortisme nte
egale.

Soluție
Rambursarea sumei de 5.000lei se face în 6 rate ia r
amortismentele sunt egale, înseamnă că valoarea
amortismentului va fi de lei33.8336000. 5= . De această dată
am fost obligați să facem rotunjirea sumei consider ate
amortisment. Facând calculele exact ca la exemplele
precedente, vom obține tabelul:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisment Rata Suma
rămasă
de
ramburs
at
1. 5.000 41,67 833,33 875 4166,67
2. 4166,67 34,72 833,33 868,05 3333,34
3. 3333,34 27,78 833,33 861,11 2500,01
4. 2500,01 20,83 833,33 854,16 1666,68
5. 1666,68 13,89 833,33 847,22 833,35
6. 833,35 6,94 833,33 840,27 0,02
Total 145,83 4999.98 5145,81

Dacă ne uităm însă la datele obținute, vedem că
datoria nu a fost rambursată în întregime, rămânând o
datorie restantă de 0,02 lei. Aceasta „neconcordanț ă”
apare datorită faptului că a fost nevoie ca la calc ulul
amortismentului să facem rotunjiri. Se vede, de alt fel că,

________________________________________Georgiana P opescu

57 pentru că am considerat amortismentul de 833,33lei,
plătind această valoare pentru 6 rate, am rambursat
lei98,499933.833*6= în loc de 5.000lei. Aceste situații apar
frecvent în cazul creditelor. Există și situații câ nd,
datorită rotunjirilor, ajungem să plătim un pic mai mult
băncii (vom vedea într-un exemplu ulterior).
Pentru ca în final, suma rambursată băncii să
coincidă cu suma împrumutată, ultimul amortisment v a
avea o valoare ușor diferită, mai exact valoarea da toriei
existente înaintea acestei ultimei plăți. În cazul
exemplului nostru, la ultima rată, în loc să consid erăm
amortismentul de 833,33lei, vom considera valoarea
acestuia ca fiind 833,35lei (suma de rambursat). Făc ând
această regularizare, scadențarul corect va arăta a stfel:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisment Rata Suma
rămasă
de
ramburs
at
1. 5.000 41,67 833,33 875 4166,67
2. 4166,67 34,72 833,33 868,05 3333,34
3. 3333,34 27,78 833,33 861,11 2500,01
4. 2500,01 20,83 833,33 854,16 1666,68
5. 1666,68 13,89 833,33 847,22 833,35
6. 833,35 6,94 833,35 840,27 0
Total 145,83 5000 5145,81

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

58
Exemplul 4 .
Suma de 10.000lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 12% și se rambursează în 6 rate lu nare.
Să se alcătuiască planul de rambursare pentru acest
împrumut știind că rambursarea se face cu amortisme nte
egale.

Soluție
Amortismentul va fi lei67,16666000.10= . Ratele sunt
lunare, deci pentru calculul dobânzii vom folosi ti mpul
de 1 lună. Tabelul va arăta astfel:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisment Rata Suma
rămasă
de
ramburs
at
1. 10.000 100 1666,67 1766,67 8333,33
2. 8333,33 83, 33 1666,67 1750 6666,66
3. 6666,66 66,67 1666,67 1733,34 4999,99
4. 4999,99 50 1666,67 1716,67 3333,32
5. 3333,32 33,33 1666,67 1700 1666,65
6. 1666,65 16,67 1666,65 1683,32 0
Total 350 10.000 10.350

Și în acest caz am folosit rotunjirea valorii
amortismentului și a fost nevoie să facem regulariz area la
ultima rată. Dacă nu am fi făcut astfel, și am fi f olosit

________________________________________Georgiana P opescu

59 valoarea de 1666,67 lei și la ultimul amortisment, am fi
plătit băncii 10.000,02lei în loc de 10.000lei.

Așa cum am precizat, acest tip de rambursare este
denumit și rambursare cu rate descrescătoare . Această
denumire apare din faptul că rata scade pe parcursu l
derulării creditului: prima rată este cea mai mare, ultima
rată este cea mai mică. Această scădere a valorii r atei este
evidentă, și o vom explica în continuare:
– amortismentul este constant pe întreaga perioadă
de rambursare;
– dobânda calculată scade treptat, deoarece suma
pentru care se calculează scade, datorită faptului
că se rambursează câte o parte din datorie;
– amortismentul – constant, dobânda scade ⇒
dobandatamortismenrata + = scade.

2.3. Rambursarea cu rate egale

De această dată amortismentele nu le cunoaștem
momentan. Informația pe care o avem este aceea că r atele
vor avea aceeași valoare de la prima până la ultima
(eventual, la ultima rată va fi necesară o mică
regularizare, așa cum am văzut și la varianta preced entă).
Fără a cunoaște valoarea amortismentelor nu
putem întocmi scadențarul. Primul pas va fi astfel acela
de a vedea care sunt valorile amortismentelor. Pent ru
aceasta vom considera următoarea situație:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

60
S uma S a fost împrumutată cu o dobândă anuală
unitară i și se rambursează prin n rate egale care se
plătesc periodic, la intervalul de timp t. Care sunt valorile
amortismentelor?

Să notăm amortismentele cu 1A, 2A, …,nA,
dobânzile calculate pentru fiecare rată cu 1D, 2D,….,nD
și ratele cu 1R, 2R,…,nR.
Știm că dobandatamortismenrata + = , deci vom putea
scrie:



+=+=+=
nnnDARDARDAR
…222111

Să încercăm să calculăm dobânzile 1D, 2D,….,nD.
Pentru 1D, vom avea suma inițială împrumutată S,
dobânda unitară i și perioada de timp t, deci SitD=1 .
Să trecem acum la calculul lui 2D. Dobânda
unitară i și timpul t sunt aceleați. Să vedem care va fi
suma pentru care vom calcula. Cum rata precedentă a
inclus și o rambursare de datorie, mai exact s-a
rambursat din datorie valoarea 1A, înseamnă că noua
datorie este suma datorată din care scădem acest 1A,
adică 2D va fi calculată pentru suma 1AS− ⇒
()itASD1 2−= .
Pentru 3D va trebui să calculăm mai întâi suma la
care ne raportăm. Inițial am avut sum S, din care, prin
plata celor două rate anterioare s-au rambursat val orile

________________________________________Georgiana P opescu

61 1A (prima rată) și 2A (a doua rată). Suma datorat’ înainte
de plata celei de-a treia rate va fi atsfel 21AAS−− , deci
obținem ()itAASD21 3 −−= .
Procedând ca mai sus, putem spune că pentru rata
k, vom avea dobânda de forma:
( )itAAASDk k 1 21…−−−−−= .
Să revenim acum la ratele de forma



+=+=+=+=
nnnDARDARDARDAR
…333222111
.
Înlocuind dobânzile calculate, vom obține:
( )
( )
( ) 


−−−−+=−−+=−+=+=
−itAAASARitAASARitASARSitAR
n nn 1 2121 331 2211
…….

Având în vedere faptul că rambursarea se face cu
rate egale înseamnă că avem nRRRR ====…321 .
Să considerăm una din aceste egalitătți, și anume
21RR=. Din calculul de mai sus avem ( ) 
−+=+=
itASARSitAR
1 2211,
deci:
()itASASitA1 2 1 −+=+ ⇒
itASitASitA1 2 1 −+=+ ⇒
itAAA121−= ⇒ 211AitAA=+ ⇒

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

62
()itAA+=112

Am obținut astfel o relație între amortismentele 1A
și 2A.
Să considerăm acum o altă egalitate din relația
nRRRR ====…321 , mai exact 32RR=. Cum
()itASAR1 22 −+= și ()itAASAR21 33 −−+= obținem:
()()itAASAitASA21 31 2 −−+=−+ ⇒
itAitASitAitASitA21 31 2 −−+=−+ ⇒
itAAA232−= ⇒ 322AitAA=+ ⇒
()itAA+=123
Știm de mai sus că ()itAA+=112 ⇒
()()ititAA ++=1113 ⇒ ()2
131itAA+= .
Procedând în același fel, vom obține
amortismentul oarecare kA de forma ()1
11−+=k
kitAA .
Vom avea astfel ( )
( )
( )


+=+=+==
+1
12
131211
1…11
n
nitAAitAAitAAAA
.
Din aceste relații putem deduce faptul că
amortismentele sunt în progresie geometrică, primul
termen al progresiei fiind 1A iar rația progresiei
geometrice fiind it+1 .
Pentru o progresie geometrică cu termenii
,…,…,,21 naaa , cu rația q, puteam calcula suma primilor n
termeni cu formula 11
1−−⋅=qqaSn
n .

________________________________________Georgiana P opescu

63 Revenind la progresia obținută, primul termen
este 1A iar rația este it+1 . Suma celor n amortismente va
fi – folosind formula de la progresia geometrică:
()
( )1111
1−+−+⋅=ititASn
n , adică ()
ititASn
n11
1−+⋅= . Știm însă că
suma celor n amortismente coincide cu valoarea sumei
împrumutate, S, deci putem scrie: ()
ititASn11
1−+⋅= , de
unde obținem valoarea primului amortisment:
( )111−+=nitSitA

Am obținut astfel valorile amortismentelor în
cazul în care suma S se rambursează în n rate egale, cu o
dobândă anuală unitară i și cu un interval între rate t:
( )111−+=nitSitA
( )
( )
( )
( )



+=+=+=−+=
+1
12
13121
1…1111
n
nn
itAAitAAitAAitSitA
.

Observație
Deși am obținut formulele de calcul pentru toate
amortismentele, în cazul întocmirii unui scadențar

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

64
sugerăm să se folosească formula pentru calculul lui 1A,
pentru celelalte amortismente existând o variantă m ai
rapidă. Vom arăta cum putem face acest lucru în
exemplul următor.

Exemplul 6
Suma S a fost împrumutată cu o dobândă anuală
unitară i și se rambursează prin n rate egale care se
plătesc periodic, la intervalul de timp t. Să se întocmească
scadențarul aferent împrumutului.

Soluție
Am văzut că un scadențar, în general, este de
forma:

Nr
Cr
t Suma
de
rambur
sat Dobânda Amo
rtism
ent Rata
(amortisment
+ dobanda) Suma
rămasă de
rambursat
1. S SitD=1 1A 111DAR+= 1AS−
2. 1AS− ()itASD1 2−= 2A 222DAR+= 21AAS−−
… … … … … …

Pentru prima rată avem dobânda SitD=1 și
amortismentul ( )111−+=nitSitA . Rata va fi 11DAR+= . Cum
ratele sunt egale, atunci și a doua rată este cunos cută, ea
având tot valoarea R. Dobânda pentru a doua rată putem

________________________________________Georgiana P opescu

65 să o calculăm: ()itASD1 2−= . Avem 22DAR+= , deci vom
putea scrie 2 2DRA−= . Tabelul va arăta astfel sub forma:

Nr
.
Cr
t Suma
de
rambur
sat Dobânda Amortisme
nt Rata
(amortis
ment +
dobanda) Suma
rămasă de
rambursat
1. S SitD=1 1A 11DAR+=
1AS−
2. 1AS− ()itASD1 2−= 2 2DRA−=
R 21AAS−−

… … … … … …
Pentru a înțelege mai bine , vom lua un exemplu
cu date concrete.

Exemplul 7
Suma de 6000lei a fost împrumutată cu o dobândă
anuală unitară 0,10 și se rambursează prin 4 rate egale
care se plătesc lunar. Să se întocmească scadențaru l
aferent împrumutului.

Soluție
Avem 4 rate deci tabelul va arăta sub forma:
Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1.
2.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

66
3.
4.
Total
Suma inițială datorată este cea împrumutată, de
6.000lei. Prima dobândă va fi 1211 . 060001 ⋅⋅=D (ratele se
plătesc lunar, deci vom avea de calculat dobânda pe ntru
o lună) ⇒ leiD501= . Primul amortisment îl vom calcula
cu formula ( )111−+=nitSitA , unde 4=n , deoarece
rambursarea se face în 4 rate:
11211 , 011211 , 06000
4 1
−

⋅+⋅⋅
=A ⇒
100833333, 150
4 1−=A ⇒ 3375, 050
1=A
⇒ leiA38,14811= . Rata va fi: 11DAR+= ⇒ 38,148150+=R
⇒ leiR38,1531= . Aceasta este valoarea primei rate, dar ea
va coincide și cu următoarele, deoarece ratele sunt egale.
Singura excepție va fi ultima rată unde este posibi l să
avem nevoie de o regularizare datorată rotunjirilor , apa
cum am văzut și la rambursarea cu amortismente egal e.
Suma rămasă de rambursat după plata primei rate
va fi 1AS− adică leilei62,451838,14816000 = − .

Să vedem cum va arăta tabelul în acest moment:

________________________________________Georgiana P opescu

67 Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisme
nt Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 6.000 50 1481,38 1531,38 4518,62
2. 4518,6
2 1531,38
3. 1531,38
4.
Total

Vom calcula acum dobânda aferentă datoriei
rămase, de 4518,62lei: lei D 66,371211 . 04518,621 =⋅⋅= . Cum
rata a doua va fi tot de 1531,38lei, valoarea
amortismentului putem să o aflăm cu relația 2 2DRA−= ,
adică 66,3762,45182 −=A ⇒ leiA72,14932= , iar suma
rămasă ca datorie după această rată va fi
lei9 ,302472,149362,4518 =− .
Continuând calculele vom obține următorul
scadențar:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

68
Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisme
nt Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 6.000 50 1481,38 1531,38 4518,62
2. 4518,6
2 37.66 1493.72 1531,38 3024.90
3. 3024.9
0 25.21 1506.17 1531,38 1518.72
4. 1518.7
2 12.66 1518.72 1531,38 0
Total 125.52 6000.00 6125.52

Observăm că nu a fost nevoie de o regularizare la
ultima rată, rotunjirile făcute neafectând valoarea
datoriei rambursate.

Observație
În general am folosit la calcule 2 zecimale,
rotunjind valorile obținute. Pentru calculul primul ui
amortisment însa, la rambursarea cu rate egale, cân d am
avut de calculat
11211 , 011211 , 06000
4 1
−

⋅+⋅⋅
=A , am consierat
100833333, 150
4 1−=A , adică am folosit la numitor un număr
mult mai mare de zecimale. Pentru a obține calcule cât
mai realiste, sugerăm ca în toate cazurile de rambu rsări

________________________________________Georgiana P opescu

69 cu rate egale, pentru calculul lui 1A să se folosească 8-10
zecimale. Altfel, erorile care se generează vor fi foarte
mari.

Exemplul 8
Suma de 10000lei a fost împrumutată cu o
dobândă anuală unitară de 0,12 și se rambursează pr in 6
rate egale care se plătesc trimestrial. Să se întoc mească
scadențarul aferent împrumutului.

Soluție
Avem 6 rate deci tabelul va arăta sub forma:

Nr.
Crt. Suma
de
ramburs
at Dobânda Amortisment Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Total

Suma împrumutată este de 10.000lei. Prima
dobândă va fi 12312. 0100001 ⋅⋅=D (ratele se plătesc
trimestrial, deci vom avea de calculat dobânda pent ru 3

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

70
luni) ⇒ leiD3001= . Primul amortisment îl vom calcula cu
formula ( )111−+=nitSitA , unde 6=n (numărul de rate):
112312, 0112312, 010000
4 1
−

⋅+⋅⋅
=A ⇒ leiA98,15451= .
Rata va fi: 11DAR+= ⇒ 98,1545300+=R ⇒ leiR1845,98= .
Suma rămasă de rambursat după plata primei rate
va fi 1AS− adică ei02,845498,154510000 =− .
Pentru dobânda a doua, ne vom raporta la această
sumă rămasă, și vom obține
lei D 62,25312312, 002,84541 =⋅⋅= . Cum rata este cunoscută,
valoarea amortismentului va fi 2 2DRA−= adică
lei A 35,159262,25398,18452 =−= .
Procedând în același mod, obținem următorul
scadențar:
Nr.
Crt. Suma de
rambursat Dobânda Amortisme
nt Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1. 12.000 300.00 1545.98 1845.98 8454.02
2. 8454.02 253.62 1592.35 1845.98 6861.67
3. 6861.67 205.85 1640.12 1845.98 5221.55
4. 5221.55 156.65 1689.33 1845.98 3532.22
5. 3532.22 105.97 1740.01 1845.98 1792.21
6. 1792.21 53.77 1792.21 1845.98 0.00
Total 1075.85 10000.00 11075.85

________________________________________Georgiana P opescu

71 2.4. Grad maxim de îndatorare

În ceea ce privește acordarea unui credit, un aspec t
deosebit de important îl reprezintă decizia băncii de a
acorda împrumutul sau nu.
În acest sens, se realizează o analiză care cuprin de
diverse planuri. Planul pe care îl vom discuta în c ele ce
urmează constă în analiza financiară a clientului.
De exemplu, banca nu va acorda un credit cu o
rată de 1000lei unei persoane care are un venit lun ar net
de 1000lei. Este evident că un astfel de client nu va putea
să susțină plata ratelor.
În ceea ce privește suma maximă pe care o putem
aloca ratelor lunare, un aspect important îl reprez intă
gradul maxim de îndatorare.

„Gradul de indatorare reprezinta procentul din
veniturile dvs lunare pe care institutia financiara
considera ca il puteti aloca platii unei rate pentr u credit”.1

Pe lângă valoarea acestui procent, un alt aspect
care poate conta (deși nu toate băncile îl iau în
considerareț, îl reprezintă cheltuielile de subzist ență.
Acestea se referă la o anumită sumă minimă pe care
banca îl consideră ca fiind mai mult decât necesar pentru
ca o persoană să subziste. Valoarea lunară a acesto r
cheltuieli este stabilita de fiecare bancă și se cal culează

1 www.finzoom.ro/dictionar

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

72
pentru fiecare persoana implicată în contract precu m și
pentru persoanele aflate în întreținerea acestora.

Pentru a determina suma maximă pe care clientul
o poate susține în ceea ce privește rata lunară pen tru un
nou credit, se parcurg următorii pași:
– se determină venitul lunar net al persoanei;
– se scad din acest venit cheltuielile de subzistență ,
calculate atât pentru client cât și pentru toate
persoanele aflate în întreținerea sa. Așa cum am
precizat, unele bănci nu iau în considerare aceste
cheltuieli, deci se trece direct la pasul următor;
– la suma anterior stabilită de aplică procentul
indicat de gradul maxm de îndatorare;
– suma astfel obținută reprezintă valoarea maximă
pe care o persoană o poate avea în rate lunare din
punctul de vedere al unei bănci;
– din această rată se scad eventualele alte rate pe
care clientul le are deja în derulare.
Valoarea care reiese în urma parcurgerii acestor
pași reprezintă rata maximă totală pe care o poate avea
clientul la un nou credit.
Dacă suma calculată mai sus este una negativă,
înseamnă că persoana nu este eligibilă pentru acord area
oricărui credit.
Fiecare bancă își stabilește – în limitele
prevederilor normelor BNR- propriile valori, atât p entru
procentul gradului maxim de îndatorare cât și pentr u
cheltuielile de subzistență. Astfel, un client decl areat

________________________________________Georgiana P opescu

73 neeligibil de către o bancă, poate primi credit de la o altă
instituție financiară, care are condiții de acordar e mai
relaxate.

Exemplul 9
Sa se determine rata maxima lunara pe care o
poate sustine o persoana cu un venit lunar net de 15 00lei
stiind ca institutia financiara care acorda creditu l (banca)
accepta un grad maxim de indatorare de 40% si nu ia in
calcul cheltuielile de subzistenta.

Solutie
Avand in vedere ca banca nu ia in considerare
cheltuielile de subzistenta, inseamna ca procentul de 40%
se aplica la venitul net al persoanei respective, o btinand
600%401500 =× lei
aceasta fiind valoarea ratei lunare pe care o poate sustine
clientul.

Exemplul 10
Sa se determine rata maxima lunara pe care o
poate sustine o familie alcatuita din trei persoane , cu un
venit net lunar de 2000 ron, stiind ca institutia f inanciara
(banca) care acorda creditul apreciaza cheltuielile de
subzistenta la 250 ron / persoana, si accepta un gr ad
maxim de indatorare de 50%?

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

74
Solutie
Cum cheltuielile de subzistenta sunt de
250ron/persoana si familia este alcatuita din 3 per soane,
rezulta ca se ajunge la
ron7503250=× – cheltuieli de subzistenta
Se scad aceste cheltuieli din venitul net al famili ei,
si se obtine suma de ron12507502000 =− , aceasta
reprezentand suma pe care o ia in considerare banca in
vederea aplicarii procentului de 50%. Rezulta astfe l ca
rata lunara pe care o poate sustine familia, din pu nctul de
vedere al bancii in cauza, este de ron625%501250 =× .
(se scad mai intai cheltuielile de subzistenta si l a suma
astfel obtinuta se aplica procentul acceptat de ban ca
drept grad maxim de indatorare).

În contractul de creditare, pe lângă clientul
solicitant, mai pot apărea și alte persoane, care a u diferite
roluri în desfășurarea creditului.

Codebitori – sunt persoanele al caror venit vine in
completarea celui al solicitantului creditului. În cazul
existenței codebitorilor, pentru calculul gradului maxim
de indatorare se ia în considerare ca punct de porn ire
venitul cumulat al clientul și al codebitorilor.
Giranți – sunt persoanele care garantează băncii
că, în cazul în care clientul nu își va mai onora p lata
ratelor lunare, atunci aceștia – giranții – vor pre luar plata
ratelor.

________________________________________Georgiana P opescu

75 În cazul giranților, pentru calculul ratei maxime d e
îndatorare, nu se mai pornește de la valori cumulat e.
Girantul trebuie, însă, să îndeplinească aceleași c ondiții –
inclusiv din acest punct de vedere – ca și clientul .

Exemplul 11
O persoana are un venit lunar net de 1300ron.
Banca de la care solicita imprumutul accepta si un
codebitor. Solicitantul are un codebitor cu un veni t lunar
net de 1200ron. Care este rata lunara maxima pe car e ar
putea sa o plateasca, daca banca ia in considerare un grad
maxim de indatorare de 50%, nici unul dintre cei do i,
solicitant sau codebitor, nu are alte credite in de rulare si:
a) Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta;
b) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
250ron/persoana, nici solicitantul nici codebitoru l
nu au alte persoane in ingrijire;
c) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
250ron/persoana iar codebitorul are in ingrijire un
copil;

Solutie
a) Impreuna, cei doi au un venit de
ron250012001300 =+ si aplicand procentul de 50%
obtinem: ron1250%502500 =× , aceasta fiind rata
maxima lunara pe care cei doi o pot suporta;
b) Avand in vedere ca banca ia in considerare
cheltuielile de subzistenta, inseamna ca veniturile

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

76
considerate ale celor doi vor fi diminuate. Nici
unul nu are alte persoane in ingrijire, deci la
fiecare se vor calcula aceste cheltuieli pentru cat e o
singura persoana. Astfel:
– Pentru solicitant: ron10502501300 =− , venit
considerat;
– Pentru codebitor: ron9502501200 =− , venit
considerat.
Cumulate, veniturile considerate ale celor doi vor
fi de ron20009501050 =+ si, aplicand procentul de
50%, obtinem rata maxima lunara de
ron1000%502000 =× ;
c) Solicitantul nu are in ingrijire pe nimeni, deci va
suporta cheltuieli de subzistenta doar pentru el,
rezultand astfel ca suma luata in considerare de
banca va fi de ron10502501300 =− .
Codebitorul are in ingrijire un copil, deci va
suporta cheltuieli de subzistenta pentru doua
persoane ( ron5002250=× ), ajungand astfel la
venitul considerat de ron7005001200 =− .
Rezulta ca impreuna, cei doi au un venit lunar net
de ron17507001050 =+ . Aplicam la aceasta suma
procentul de 50% si obtinem rata maxima de
ron875%501750 =× .

________________________________________Georgiana P opescu

77 2.5. Comisioane atașate creditelor

Pe lângă dobânzi, un element extrem de important
în ceea ce privește costul creditelor îl reprezintă
comisioanele atașate.
În practica bancară există o multitudine de
comisioane. Noi ne vom opri doar asupra celor care pot
genera diferențe semnificative, deci și dificultăți în ceea
ce privește susținerea constantă a ratelor, pe un t ermen
mai scurt sau mai lung.
Aceste comisioane sunt cele procentuale care intră
în plata lunară a ratelor. Ele se numesc, de obicei ,
comision lunar de administrare sau comision anual d e
administrare. Pot fi întâlnite și alte denumiri, da r modul
de calcul va fi același.
Pentru a calcula valoarea unui comision
procentual vom folosi aceeași formulă ca și în cazu l
dobânzii simple :
tpSC ⋅⋅=100
unde
– S este suma pentru care se calculează
comisionul;
– p este procentul comisionului;
– t este perioada pentru care se calculează
comisionul.
În ceea ce privește creditele, suma la care se
raportează comisioanele poate fi :

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

78
– fie valoarea creditului – aceasta reprezintă
valoarea inițială împrumutată și rămâne
constantă pe întreaga perioadă a creditului ;
– fie soldul creditului (suma rămasă de
rambursat).

Și în ceea ce privește timpul t putem avea
diferențe. Îm cazul dobânzii, procentul era anual, deci și
timpul era exprimat în ani.
Pentru comisioane, în funcție de timpul de
comision, lucrurile pot diferi. Astfel:
– pentru un comision anual , procentul este
anual, deci și timpul va fi exprimat în ani;
– pentru un comision lunar , procentul este
lunar, deci și timpul va fi exprimat în luni.

Exemplul 12
Să se determine valoarea unui comision de
administrare de 1%, calculat pentru suma de 5000lei , pe o
perioadă de 1 an, dacă:
a. comisionul este anual;
b. comisionul este lunar

Soluție
În ambele cazuri vom folosi aceeași formulă, dar
ne vom raporta în mod diferit la aceasta.

________________________________________Georgiana P opescu

79 a. Pentru comisionul anual, în formula
tpSCa⋅⋅=100, timpul va fi exprimat în ani, adică
1=t . Vom obține astfel :
110015000⋅⋅=aC ,
deci valoarea comisionului va fi:
50=aC lei.
b. Pentru comisionul lunar, în formula tpSCl⋅⋅=100,
timpul va fi exprimat în luni. Perioada de timp
pentru care calculăm comisionul este de 1 an,
adică 12 luni, deci vom avea 12=t . Vom obține
astfel :
1210015000⋅⋅=aC ,
deci valoarea comisionului va fi:
600=aC lei.

Se observă că, pentru aceeași sumă, aceeași
perioadă de timp precum și același procent al
comisionului, am obținut două valor diferite. Comis ionul
lunar a generat o sumă de plată mult mai mare decât
comisionul anual. Mai exact, suma este de 12 ori ma i
mare. Acest raport este general valabil deoarece or ice an
are 12 luni, deci atunci când trecem de la unitatea de
timp „an” la unitatea de timp „lună”, trebuie săț
înmulțim cu 12.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

80
2.6. Dobânda anuală efectivă

Î n contextul actual mai ales, mulț dintre noi, mai
devreme sau mai târziu apelăm, sau luăm în consider are
ideea de a apela, la un credit de la o instituție f inanciar-
bancară. Dorim, în paginile acestea, să ne străduim să
furnizăm informații cititorilor pentru ca aceștia s ă
înțeleagă mai ușor pe ce se bazează feluritele trăs ături
caracteristice ale creditelor, ca și factori diverș i de care se
ține seama când selectăm cea mai convenabilă varian tă,
financiar vorbind.
O analiză precum cele care vor fi expuse, nu are
cum să poată fi generalizată și ridicată la rang de
principiu. Doar pentru că, la un moment dat, un cre dit
specific este soluția optima pentru un individ, nu este
neapărat obligatoriu să răspundă nevoilor altui ind ivid,
în alt context, în alt moment. Logic, o situație fi nanciară
are o componentă subiectivă foarte importantă. Vârs ta
poate conta, gusturile, chiar și comoditatea, de ce nu?
Este imposibil să oferim o soluție general valabilă , deci
ne vom concentra pe factorii de ordin financiar,
limitându-ne la a lumina, unde este posibil, unele
caracteristici subiective care ar putea să justific e sau să
explice alegerea unui credit.
Cel mai grăitor indice pentru un credit este
Dobanda anuala efectiva (DAE) .

Dobânda anuala efectiva (D.A.E.) se calculează pe
baza trăsăturilor unui credit. Ea cuprinde orice co st al

________________________________________Georgiana P opescu

81 împrumutului în chestiune, adica: dobânda anuala,
comision analiza dosar, comision de administrare, ș amd.
D.A.E. trebuie neapărat să fie clar afișată în oric e
propunere de credit de consum, fiindca prin D.A.E. se
evaluează costurilor care revin împrumutatului în c azul
contractarii împrumutului.

De multe ori, un anume credit pare mai
neavantajos (scump) față de un altul, când se ia în
considerare doar dobânda anuală. Pentru o analiză
realistă, trebuie aflat D.A.E. al oricărei oferte, pentru că
D.A.E. cuprinde orice suma care trebuie achitată, î n plus
față de dobânda pentru împrumut. Astfel, putem afla cât
ne costă de fapt un credit.

D.A.E. este un instrument indispensabil în scopul
ierarhizării feluritelor propuneri de credit, dar n u este
uzitat la calculul ratelor pentru rambursarea sumei
împrumutate.
Orice client sau potențial client pentru un credit ar
trebui să fie conștient că produsele bancare vin cu
anumite costuri și un anumit grad de risc. Drept pe ntru
care, contractul care se încheie este presupus a fi parcurs
cu grijă, iar clauzele analizate în detaliu. Nu est e rar ca
un font mic sa disimuleze ceva esențial, precum
penalizări pentru neplata la timp a unei rate, clau zele
referitoare la rambursarea anticipată sau alte date pe care
uneori personalul instituțiilor bancare le pomeneșt e

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

82
pasager sau deloc. Prin D.A.E. transparent expus, a ceste
"detalii" sunt mult mai des observate.
Legea creditelor de consum a adus
reglementări esențiale, incepând cu intrarea sa în v igoare,
în 2005, precum faptul că băncile și comercianții t rebuie
să afișeze D.A.E., ea reprezentând costul total al
creditului suportat de client. În articolul 5 al le gii, se
stipulează că în toate ofertele de contract de cred it, ori
anunțuri de tip publicitar, destinată unui client p otențial,
care se face publică în locuri publice și prin care cineva
afirmă că ofera credite sau operează intermedieri p entru
a încheia contracte de credit, și prin care se dau referințe
la dobânda sau se oferă cifre care trimit la costul
creditului, este obligatoriu se se precizeze D.A.E. , clar si
pe înțeles.
D.A.E. trebuie precizat doar în privința creditelor
de consum, fie ele credite de nevoi personale, cred ite
pentru bunuri de folosinta îndelungata, carduri de credit.
În privința creditelelor imobiliare sau a celor pen tru
persoanele fizice autorizate sau pentru persoanele
juridice, această obligativitate a afișării D.A.E. nu există.
Prin definiție, Dobânda anuală efectivă exprimă,
procentual, costul total al unui credit. Să luăm un
exemplu: în situația în care costul integral al cre ditului
este format numai din dobândă, atunci DAE ar fi egală
cu rata dobânzii.
De fapt, băncile taxează printr-o mulțime de
comisioane, ceea ce îngreuneaza compararea creditel or.
Dacă, să spunem, o anumită bancă oferă un credit cu rata

________________________________________Georgiana P opescu

83 dobânzii de 10% și comision inițial de 3%, iar o al tă bancă
solicită dobândă de 11%, dar cu comision lunar de 0 .1%,
care se aplică la sold, ne punem întrebarea care di ntre
cele doua credite este de preferat. Răspunul nu est e ușor
de dat, fiindcă informațiile nu pot fi puse în bala nță așa
cum sunt oferite.
Scopul D.A.E. este exact acesta: să facă
comparabile costurile creditelor; să reușeasca să
transforme chiar și comisioanele variate solicitate pentru
un împrumut sub forme de dobândă. Așa, creditele po t fi
comparate, fără să conteze ce comisioane se solicit ă și
cum sunt acestea disimulate. Diferențele dintre D.A .E. si
rata dobânzii sunt imputabile costurile suplimentar e de
acest tip: comisioane initiale, anuale, prime de as igurare
de viata, șamd.

Ca idee deci, dacă D.A.E. este mai mică, creditul
este mai avantajos, însă nu trebuie uitat că D.A.E. se
folosește corect dacă termenele de rambursare și su ma
împrumutaă sunt aceleași la toate creditele analizat e;
aceasta nivelare este obligatorie, fiindca D.A.E. s e
schimbă mult de la exemplu la exemplu.
D.A.E. este în special afectat de durata
rambursării; raportul lor este de invers proporțion alitate,
iar acest aspect este și mai evident pentru creditel e care
au comisioane ridicate la acordare. Dacă avem rata
dobânzii de 10% la un credit de 10.000 lei, cu comi sion de
50% la acordare, pentru o perioadă de rambursare de 3
ani D.A.E. este de 14,6%; la o perioadă de rambursare de

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

84
5 ani D.A.E. se micșorează la 13,1%. Pe măsură ce durata
se mărește, D.A.E. scade și tinde să se apropie de
valoarea ratei dobânzii (adică 10% în situația
considerată).
Prin urmare, când D.A.E. nu este estimat pe baza
aceleiași durate de rambursare, chiar și D.A.E. poate
furniza informații eronate. Evident, băncile doresc să
ofere credite pe durate cât mai extinse, iar în anu nțurile
publicitare afișează D.A.E. aferentă termenului de
rambursare cel mai îndelungat.

Pe de altă parte, există împrumuturi cu timp de
rambursare foarte limitat. La situația mai sus expu să, cu
timp de rambursare 6 luni, D.A.E. devine 32.2%!
Prin urmare, logic, dacă cineva dorește un credit
pe perioadă mică de timp, D.A.E. va fi mai ridicată decât
pentru o perioadă mai lungă de timp.
Spuneam că și cunatumul sumei solicitate spre a fi
împrumutată afectează nivelul D.A.E. , totuși influența
este mai scăzută. D.A.E. se schimbă când băncile solicită
comisioane cu valoare fixă, fără să țină seama de v aloarea
creditului. Un cost foarte întâlnit de acest tip es te taxa de
analiză a dosarului de credit. De obicei, față de c ostul
total al creditului, valoarea este mai nesemnificat ivă și
deci nu există efecte spectaculoase ca la perioada de
rambursare.
Spre exemplificare, pentru un credit pe 3 ani, cu
rata dobânzii de 10%, taxă de analiză a dosarului d e 50
lei, dacă se solicită 5000 lei, D.A.E. este 11.4%, iar la un

________________________________________Georgiana P opescu

85 credit de 10.000 lei D.A.E. ajunge la 11%. Cuantumul
creditului este de două ori mai mare, iar D.A.E. a scăzut
foarte puțin.
Ceea ce includ băncile în D.A.E. de obicei sunt
comisioanele plătite la acordare, de asemenea și pe cele
lunare sau anuale. Din punct de vedere legal, bănci lor au
voie să nu cuprindă în D.A.E. unele costuri și aceasta este
o ocazie ca băncile să se laude în fața clienților potențiali
cu costuri mai mici. Din fericire, costurile de gen nu sunt
esențiale pentru costul total final al creditului ș i, în mod
uzual, pe la aproape orice bancă cuantumul lor este
relativ similar.
Exemple de acest tip:
– banca nu obișnuiește să cuprindă în D.A.E.
cheltuiala referitoare la deschiderea ori administr area
contului curent; pentru orice împrumut, la toate bă ncile
este nevoie să se deschidă un cont. Modalitatea tip ică a
băncilor de a taxa acest produs constă în comision lunar,
care merge de la 0.5 lei pe lună ajungând până la 8 lei sau
și mai bine.
– comisionul pentru retragerea de numerar; daca
se impune și clientul dorește să retragă banii
împrumutați în cash , va plăti probabil 0.5% din
cuantumul sumei.
– pentru creditele auto, nu intră în D.A.E. primele
de asigurare CASCO sau costul înregistrării garanți ei
(care de altfel nu intră în D.A.E. la nici un credit cu
garanții cu bunuri mobile).

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

86
– la creditele de nevoi personale, D.A.E. cuprinde
asigurarea de viață, dacă aceasta trebuie contractat ă
obligatoriu în scopul obținerii creditului; ca să n u
cuprindă asigurarea în D.A.E. , există bănci care solicită
un girant care se substituie asigurării.
D.A.E. este de o mare însemnătate pentru studiul
contrastiv al creditelor sau studiul eficienței cre ditului,
ceea ce conduce la alegerea cea mai bună sau logică în
condițiile date, dar este totuși esențial să se cun oasca în
profunzime creditele respective.

2.7. Probleme rezolvate

1. Suma de 20.000lei a fost împrumutată pentru un an
de zile cu o rată a dobânzii (procent anual al
dobanzii) de 15%. Rambursarea se face cu
amortismente egale.
a. să se alcătuiască planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc lunar;
b. să se alcătuiasca planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc trimestrial;
c. să se alcătuiască planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc semestrial;
d. să se compare cele trei situații
Soluție
a) Ratele se plătesc lunar, deci vom avea 12 rate
lunare. Amortismentele sunt egale, deci

________________________________________Georgiana P opescu

87 ratedenumaraimprumutatsumatamortismen = , adică vom avea:
..10001212000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu formula:
121
100⋅⋅=pSD . Vom avea astfel: ..240121
10024120001 mu D =⋅⋅= .
Pentru a doua rată, dobânda se va calcula pentru su ma
rămasă de rambursat, adică pentru 11000u.m., deci
..220121
10024110002 mu D =⋅⋅= . Procedând la fel pentru
următoarele rate și calculând ratele ca fiind suma dintre
amortisment plus dobândă, obținem următorul plan de
rambursare:

Nr.
Crt. Suma de
rambursat Amortism
ent Dobânda Rata Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000 1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000 240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20 1240
1220
1200
1180
1160
1140
1120
1100
1080
1060
1040
1020 11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Total de plata 12000 1560 13560

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

88
b) Ratele se plătesc trimestrial (o rată la fiecare 3
luni), deci vom avea 4 rate pentru creditul
considerat. Amortismentele sunt egale, deci
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adică vom avea:
..3000412000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu
formula: 123
100⋅⋅=pSD (având în vedere că prima rată
se plătește după 3 luni, înseamnă că și dobânda va
trebui calculată tot pentru 3 luni). Vom avea astfe l:
..720123
10024120001 mu D =⋅⋅= . Pentru a doua rată, dobânda
se va calcula pentru suma rămasă de rambursat, adic ă
pentru 9000u.m., deci ..540123
1002490002 mu D =⋅⋅= .
Procedând la fel pentru următoarele rate și calculân d
ratele ca fiind suma dintre amortisment plus
dobândă, obținem următorul plan de rambursare:

Nr.
Crt
. Suma de
ramburs
at Amortis
ment Dobânda Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1.
2.
3.
4. 12000
9000
6000
3000 3000
3000
3000
3000 720
540
360
180 3720
3540
3360
3180 9000
6000
3000
0
Total de plata 12000 1800 13800

________________________________________Georgiana P opescu

89 c) Ratele se platesc semestrial (o rată la fiecare 6
luni), deci vom avea 2 rate pentru creditul
considerat. Amortismentele sunt egale, deci
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adică vom avea:
..6000212000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu
formula: 126
100⋅⋅=pSD (având în vedere că prima
rată se platește dupa 6 luni, înseamnă că și
dobânda va trebui calculateă tot pentru 6 luni).
Vom avea astfel: ..1440126
10024120001 mu D =⋅⋅= . Pentru
a doua rată, dobânda se va calcula pentru suma
raămasă de rambursat, adică pentru 9000u.m., deci
..720126
1002460002 mu D =⋅⋅= . Calculând ratele ca fiind
suma dintre amortisment plus dobândă, obținem
următorul plan de rambursare:

Nr.
Crt
. Suma
de
rambur
sat Amortis
ment Dobânda Rata Suma
ramasa
de
rambursa
t
1.
2. 12000
6000 6000
6000 1440
720 7440
6720 6000
0
Total de
plata 12000 2160 14160

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

90
d) Dacă ne uităm la suma totală de plată în fiecare
dintre cele trei cazuri, observăm că pentru rate lu nare,
avem de plătit 13569u.m, pentru rate trimestriale –
13800um iar pentru rate semestriale – 14.160um. Cu
alte cuvinte, deși suma împrumutată, rata dobânzii și
perioada de rambursare a creditului sunt aceleași,
suma totală de plată se poate modifica în funcție d e
intervalul dintre rate. Dacă intervalul dintre rate
crește, atunci va crește și suma totală de plată pen tru
rambursarea împrumutului. Acest lucru se întâmplă
întotdeauna, observațiile făcute pe acest exemplu
putând fi generalizate.

2. Suma de 36000u.m. a fost împrumutată cu un
procent anual al dobânzii de 20%. Ratele se platesc
lunar și amortismentele sunt egale.
a) să se alcătuiască scadențarul dacă împrumutul
se ramburseaza în 12 luni;
b) să se alcătuiască scadențarul dacă împrumutul
se rambursează în 24 luni;
c) să se compare cele două variante

Soluție
a) Avem 12 rate lunare, amortismente egale,
obținem amortismentul um30001236000= .
Scadențarul va arăta astfel:

________________________________________Georgiana P opescu

91 Nr.
Crt. Suma de
ramburs
at Amortism
ent Dobânda Rata Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 36000
33000
30000
27000
24000
21000
18000
15000
12000
9000
6000 3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000 600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100 3600
3550
3500
3450
3400
3350
3300
3250
3200
3150
3100 33000
30000
27000
24000
21000
18000
15000
12000
9000
6000
3000
Total de plata 3900 39900

b) Avem 24 rate lunare, amortismente egale,
obținem amortismentul um15002436000= .
Scadențarul va arăta astfel:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

92
Nr.
Crt. Suma de
ramburs
at Amortis
ment Dobând
a Rata Suma
rămasă de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24. 36000
34500
33000
31500
30000
28500
27000
25500
24000
22500
21000
19500
18000
16500
15000
13500
12000
10500
9000
7500
6000
4500
3000 1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500 600
575
550
525
500
475
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50 2100
2075
2050
2025
2000
1975
1950
1925
1900
1875
1850
1825
1800
1775
1750
1725
1700
1675
1650
1625
1600
1575
1550 34500
33000
31500
30000
28500
27000
25500
24000
22500
21000
19500
18000
16500
15000
13500
12000
10500
9000
7500
6000
4500
3000
1500
Total de plată 7500 43500

________________________________________Georgiana P opescu

93 c) Comparând totalul de plată în cele doua situații se
observă că pentru aceeași sumă împrumutată, cu
aceeași rată a dobânzii, perioada de timp
influențeaza suma totală de plată: cu cât crește
perioada de timp în care se rambursează creditul,
cu atat crește suma totală de plată. Putem spune
astfel că este mai avantajos să facem un împrumut
pe o durată de timp cât mai mică posibil.

Trebuie totuși să mai facem o precizare: în cazul
creditului pe 1 an, rata lunară este semnificativ m ai
mare decât în cazul creditului pe 2 ani. Deci, deși
suma totală de plătit este mai mare în cazul punctu lui
b), este posibil ca, în diverse situații, să prefer ăm o
perioadă de timp mai mare pentru rambursare,
tocmai datorită faptului că aceasta ne asigură o rat ă
lunară mai mică, pe care o putem susține mai ușor.

3. Suma de 20.000lei a fost împrumutată pentru un
an de zile cu o rată a dobânzii (procent anual al
dobanzii) de 15%. Rambursarea se face cu
amortismente egale.
a. să se alcătuiască planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc lunar;
b. să se alcătuiasca planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc trimestrial;
c. să se alcătuiască planul de rambursare
(scadențarul) dacă ratele se plătesc semestrial;
d. să se compare cele trei situații

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

94
Soluție

a) Ratele se plătesc lunar, deci vom avea 12 rate
lunare. Amortismentele sunt egale, deci
ratedenumaraimprumutatsumatamortismen = , adică vom avea:
..10001212000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu
formula: 121
100⋅⋅=pSD . Vom avea astfel:
..240121
10024120001 mu D =⋅⋅= . Pentru a doua rată,
dobânda se va calcula pentru suma rămasă de
rambursat, adică pentru 11000u.m., deci
..220121
10024110002 mu D =⋅⋅= . Procedând la fel pentru
următoarele rate și calculând ratele ca fiind suma
dintre amortisment plus dobândă, obținem
următorul plan de rambursare:

________________________________________Georgiana P opescu

95 Nr.
Crt. Suma de
rambursat Amortism
ent Dobânda Rata Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000 1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000 240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20 1240
1220
1200
1180
1160
1140
1120
1100
1080
1060
1040
1020 11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Total de plata 12000 1560 13560

b) Ratele se plătesc trimestrial (o rată la fiecare 3
luni), deci vom avea 4 rate pentru creditul
considerat. Amortismentele sunt egale, deci
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adică vom avea:
..3000412000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu
formula: 123
100⋅⋅=pSD (având în vedere că prima
rată se plătește după 3 luni, înseamnă că și
dobânda va trebui calculată tot pentru 3 luni).
Vom avea astfel: ..720123
10024120001 mu D =⋅⋅= . Pentru a

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

96
doua rată, dobânda se va calcula pentru suma
rămasă de rambursat, adică pentru 9000u.m., deci
..540123
1002490002 mu D =⋅⋅= . Procedând la fel pentru
următoarele rate și calculând ratele ca fiind suma
dintre amortisment plus dobândă, obținem
următorul plan de rambursare:

Nr.
Crt
. Suma de
ramburs
at Amortis
ment Dobânda Rata Suma
ramasa
de
ramburs
at
1.
2.
3.
4. 12000
9000
6000
3000 3000
3000
3000
3000 720
540
360
180 3720
3540
3360
3180 9000
6000
3000
0
Total de
plata 12000 1800 13800

c) Ratele se platesc semestrial (o rată la fiecare 6
luni), deci vom avea 2 rate pentru creditul
considerat. Amortismentele sunt egale, deci
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adică vom avea:
..6000212000mu tamortismen ==
Pentru prima rată, vom calcula dobânda cu
formula: 126
100⋅⋅=pSD (având în vedere că prima
rată se platește dupa 6 luni, înseamnă că și

________________________________________Georgiana P opescu

97 dobânda va trebui calculateă tot pentru 6 luni).
Vom avea astfel: ..1440126
10024120001 mu D =⋅⋅= . Pentru
a doua rată, dobânda se va calcula pentru suma
raămasă de rambursat, adică pentru 9000u.m., deci
..720126
1002460002 mu D =⋅⋅= . Calculând ratele ca fiind
suma dintre amortisment plus dobândă, obținem
următorul plan de rambursare:

Nr.
Crt
. Suma
de
rambur
sat Amortis
ment Dobânda Rata Suma
ramasa
de
rambursa
t
1.
2. 12000
6000 6000
6000 1440
720 7440
6720 6000
0
Total de
plata 12000 2160 14160

d) Dacă ne uitaăm la suma totală de plată în fiecar e
dintre cele trei cazuri, observăm că pentru rate lu nare,
avem de plătit 13569u.m, pentru rate trimestriale –
13800um iar pentru rate semestriale – 14.160um. Cu
alte cuvinte, deși suma împrumutată, rata dobânzii și
perioada de rambursare a creditului sunt aceleași,
suma totală de plată se poate modifica în funcție d e
intervalul dintre rate. Dacă intervalul dintre rate
crește, atunci va crește și suma totală de plată pen tru
rambursarea împrumutului. Acest lucru se întâmplă

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

98
întotdeauna, observațiile făcute pe acest exemplu
putând fi generalizate.

4. Suma de 36000u.m. a fost împrumutată cu un
procent anual al dobânzii de 20%. Ratele se platesc
lunar și amortismentele sunt egale.
d) să se alcătuiască scadențarul dacă împrumutul
se ramburseaza în 12 luni;
e) să se alcătuiască scadențarul dacă împrumutul
se rambursează în 24 luni;
f) să se compare cele două variante

Soluție
a) Avem 12 rate lunare, amortismente egale,
obținem amortismentul um30001236000= .
Scadențarul va arăta astfel:

Nr.
Crt. Suma de
ramburs
at Amortism
ent Dobânda Rata Suma
ramasa de
rambursat

________________________________________Georgiana P opescu

99 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 36000
33000
30000
27000
24000
21000
18000
15000
12000
9000
6000 3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000 600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100 3600
3550
3500
3450
3400
3350
3300
3250
3200
3150
3100 33000
30000
27000
24000
21000
18000
15000
12000
9000
6000
3000
Total de plata 3900 39900

b) Avem 24 rate lunare, amortismente egale,
obținem amortismentul um15002436000= .
Scadențarul va arăta astfel:

Nr.
Crt. Suma de
ramburs
at Amortis
ment Dobând
a Rata Suma
rămasă de
rambursat

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

100
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24. 36000
34500
33000
31500
30000
28500
27000
25500
24000
22500
21000
19500
18000
16500
15000
13500
12000
10500
9000
7500
6000
4500
3000
1500 1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500 600
575
550
525
500
475
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50 2100
2075
2050
2025
2000
1975
1950
1925
1900
1875
1850
1825
1800
1775
1750
1725
1700
1675
1650
1625
1600
1575
1550 34500
33000
31500
30000
28500
27000
25500
24000
22500
21000
19500
18000
16500
15000
13500
12000
10500
9000
7500
6000
4500
3000
1500
Total de plată 7500 43500

d) Comparând totalul de plată în cele doua situații se
observă că pentru aceeași sumă împrumutată, cu
aceeași rată a dobânzii, perioada de timp

________________________________________Georgiana P opescu

101 influențeaza suma totală de plată: cu cât crește
perioada de timp în care se rambursează creditul,
cu atat crește suma totală de plată. Putem spune
astfel că este mai avantajos să facem un împrumut
pe o durată de timp cât mai mică posibil.

Trebuie totuși să mai facem o precizare: în cazul
creditului pe 1 an, rata lunară este semnificativ m ai mare
decât în cazul creditului pe 2 ani. Deci, deși suma totală
de plătit este mai mare în cazul punctului b), este posibil
ca, în diverse situații, să preferăm o perioadă de timp mai
mare pentru rambursare, tocmai datorită faptului că
aceasta ne asigură o rată lunară mai mică, pe care o
putem susține mai ușor.

5. Sa se determine rata maxima lunara pe care o
poate sustine o persoana cu un venit lunar net de
1200ron, stiind ca aceasta mai are si alte credite
care cumulate au rate in valoare de 350ron. Banca
accepta un grad maxim de indatorare de 50% si nu
ia in considerare cheltuielile de subzistenta.

Solutie
Cum banca accepta 50% grad de indatorare,
rezulta ca ii permite clientului, la venitul de 120 0ron, sa
aiba rate lunare de maxim:
ron600%501200 =× .

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

102
Cum insa clientul are deja credite pentru care
plateste lunar 350 ron, inseamna ca pentru un nou
credit acesta va putea plati maxim
ron250350600=−

In cazul in care clientul are si alte credite in de rulare,
atunci banca va aplica intai procentul considerat, si din
suma obtinuta se vor scadea ratele deja existente, obtinand
astfel suma maxima pe care persoana respectiva o po ate
aloca unui nou credit; avand in vedere ca fiecare b anca are
propriile modalitati de calcul al gradului de indat orare
permis – cu/fara cheltuieli de subzistenta, procent e diferite
– exista posibilitatea ca, desi la o banca nu ne “i ncadram”
in suma calculata, la alta sa ne putem incadra .

6. Sa se determine rata maxima lunara pe care o
poate sustine o familie alcatuita din doua
persoane, cu un venit net lunar de 1600 ron, care
mai plateste pentru un alt credit o rata lunara de
300ron stiind ca institutia financiara (banca) care
acorda creditul apreciaza cheltuielile de
subzistenta la 250 ron / persoana, si accepta un
grad maxim de indatorare de 60%?

Solutie
Din venitul net lunar de 1600ron scadem mai intai
cheltuielile de subzistenta, adica ron5002250=× , si
obtinem suma de ron11005001600 =− . La aceasta suma
aplicam procentul de 60%:

________________________________________Georgiana P opescu

103 ron660%601100 =× .
Aceasta suma de 660ron este suma pe care clientul
o poate folosi pentru ratele lunare. Cum familia in
cauza mai are o rata la un alt credit de 300ron, rez ulta
ca pentru noul credit poate ajunge la o rata maxima
de
ron330300660=− .

7. O persoana are nevoie de un imprumut iar rata pe
care ar trebui sa o plateasca este de 420ron. Care
este venitul lunar minim pe care ar trebui sa il ai ba
aceasta pentru a i se putea acorda creditul, daca
banca ia in considerare un grad maxim de
indatorare de 60% si:
a) Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta;
b) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
300ron/persoana iar solicitantul nu are alte
persoane in ingrijire;
c) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
300ron/persoana iar solicitantul are in ingrijire u n
copil;
(precizam ca persoana in cauza nu mai are alte
credite in desfasurare, deci nu mai plateste si alt e
rate lunare)

Solutie
a) Cum persoana in cauza nu mai are si alte rate
lunare, inseamna ca cei 60% considerati de banca

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

104
pot fi reprezentati in totalitate de rata de 420ron .
Putem spune astfel ca 420ron reprezinta 60% din
venitul luat in considerare de banca. Scriem
relatia:
42010060=venit ron venit 70060100420=×=⇒ .
Cum banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta, inseamna ca solicitantul are nevoie de
un venit lunar net de minim 700ron pentru a putea
contracta creditul de care este interesat.
b) Procedand ca la punctul a) obtinem venitul luat in
considerare de banca de 700ron. De aceasta data,
insa, banca ia in considerare si cheltuielile de
subzistenta, de 300ron/persoana. Solicitantul nu
are in intretinere pe nimeni, deci cheltuielile de
subzistenta sunt pentru o singura persoana, adica
300ron. Aceste cheltuieli trebuie sa fie “peste”
venitul luat in considerare de catre banca, deci
clientul va avea nevoie de un venit minim lunar de
ron1000300700=+ pentru a putea primi creditul pe
care il doreste.
c) Procedam ca la punctul a) si ajungem la venitul
considerat de banca de 700ron. Cum solicitantul
are in intretinere un copil, inseamna ca el va treb ui
sa suporte cheltuieli de subzistenta pentru doua
persoane (el+copil), deci aceste cheltuieli ajung l a
suma de ron6002300=× . Venitul minim de care va
avea nevoie in aceasta situatie va fi deci de
ron1300600700=+ .

________________________________________Georgiana P opescu

105
8. O persoana are un venit lunar net de 1500ron.
Banca de la care solicita imprumutul accepta si un
codebitor. Solicitantul are un codebitor cu un veni t
lunar net de 1100ron. Care este rata lunara
maxima pe care ar putea sa o plateasca, daca
banca ia in considerare un grad maxim de
indatorare de 40%, nu ia in considerare cheltuielil e
de subzistenta iar nici unul dintre cei doi,
solicitant sau codebitor, nu are alte credite in
derulare?

Solutie
Veniturile codebitorului vin in completarea
veniturilor solicitantului deci, impreuna, cei doi au un
venit net de ron260011001500 =+ . Cum banca nu ia in
considerare cheltuieli de subzistenta, rezulta ca s uma
luata in considerare este de ron1040%402600 =× . Cum nici
unul dintre cei doi nu au alte credite in desfasurar e,
inseamna ca rata lunara maxima pe care o pot suport a
impreuna este cea de 1040ron.

9. O persoana cu un venit lunar net de 1400ron este
solicitata sa fie girant pentru un credit cu o rata
lunara de 750ron. Stiind ca banca ia in considerare
un grad maxim de indatorare de 50% si nu ia in
calcul cheltuiel de subzistenta, sa se stabileasca

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

106
daca persoana in cauza este eligibila ca girant sau
nu.

Solutie
Girantul este o persoana care se angajeaza sa
plateasca datoriile scadente ale unei alte persoane , in
cazul in care aceasta din urma este incapabila sa l e
achite. Rezulta ca girantul trebuie, ca si solicita ntul
unui credit, sa aiba posibilitatea financiara de a plati
ratele, in caz ca este nevoie. Din acest motiv, pen tru a
fi eligibila, persoana trebuie sa indeplineasca ace leasi
conditii ca si solicitantul creditului.
Va trebui astfel sa verificam daca venitul pe care
persoana analizata il are este suficient pentru a
suporta rata de 750ron.
Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta, deci vom aplica procentul de 50% la
venitul net de 1400ron, obtinand astfel suma de
ron700%501400 =× . Aceasta este valoarea maxima a
ratei pe care ar putea sa o plateasca persoana
analizata. Cum suma este mai mica decat cea de
750ron necesara pentru plata ratei, rezulta ca
persoana in cauza nu este eligibila ca girant pentr u
acest imprumut.

10. Fie un imprumut in valoare de 1000u.m. Acesta se
ramburseaza in 10 luni, iar rata dobanzii
(procentul anual al dobanzii) este de 12%.

________________________________________Georgiana P opescu

107 Rambursarea se face cu amortismente egale iar
ratele se platesc lunar.
a) sa se alcatuiasca planul de rambursare
(scadentarul) aferent imprumutului;
b) sa se adauge la planul de rambursare o coloana
corespunzatoare unui comision anual de
administrare de 2.4% calculat la sold; sa se
calculeze in acest caz ratele lunare ca fiind
amortisment+dobanda+comision;
c) sa se adauge la planul de rambursare de la
punctul a) o coloana corespunzatoare unui
comision anual de administrare de 2,4% calculat la
valoarea creditului; sa se calculeze in acest caz
ratele lunare ca fiind
amortisment+dobanda+comision;
d) sa se compare variantele de la punctele b) si c) si
sa se aleaga cel mai avantajos pentru client.

Solutie
a) Ratele sunt lunare, imprumutul se
ramburseaza in 10 luni, deci vor fi 10 rate
corespunzatoare. Amortismentele sunt egale,
deci le vom calcula cu relatia
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adica vom avea:
..100101000mu tamortismen ==

Planul de rambursare va arata astfel:
Nr. Suma de Amortis Dobanda Rata Suma

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

108
crt. rambursa
t ment (amortis
ment +
dobanda) ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 110
109
108
107
106
105
104
103
102
101 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Total de plata 55 1055

b). Trebuie acum sa introducem in tabel coloana
corespunzatoare comisionului anual de 2.4% calculat la
sold. Scadentarul va arata astfel:
Nu
mar
cure
nt Suma de
rambursa
t Amorti
sment Doba
nda Comi
sion Rata (A +
D+ C) Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Total de plata 55

________________________________________Georgiana P opescu

109 De aceasta data ratele le vom calcula ca fiind suma
dintre amortisment, dobanda si comision, asa cum a fost
indicat.
Pentru a calcula un comision, folosim tot formula
pe care o folosim pentru calculul dobanzii. Comisio nul
avut in vedere este de 2.4% si este calculat la sol d, adica
la suma de rambursat din momentul platii.
Pentru prima rata, avem comisionul de calculat la
suma initiala, adica la 1000 u.m. Vom obtine astfel :
2121
1004 . 210001 =⋅⋅=c
Pentru a doua rata, vom calcula comisionul
raportat la suma de rambursat din momentul respecti v,
adica pentru 900u.m.:
8 . 1121
1004 . 29002 =⋅⋅=c
Procedand analog pentru urmatoarele comisioane
si calculand fiecare rata obtinem planul de ramburs are
dat de tabelul:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

110
Nr.c
rt. Suma de
rambursa
t Amorti
sment Doba
nda Comi
sion Rata (A +
D+ C) Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2 112
110.8
109.6
108.4
107.2
106
104.8
103.6
102.4
101.2 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Total de plata 55 11 1066

b) Revenim din nou la tabelul de la punctul
a).Trebuie din nou sa introducem in tabel
coloana corespunzatoare comisionului anual
de 2.4%. De data aceasta, insa, comisionul va fi
calculat la valoarea creditului. Scadentarul va
arata astfel (ca cel de la punctul b):

Nr.c Suma de Amorti Doba Comi Rata (A + Suma

________________________________________Georgiana P opescu

111 rt. rambursa
t sment nda sion D+ C) ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Total de plata 55

Sa vedem acum cum calculam comisionul, avand in
vedere modalitatea de calcul. Si de aceasta data vo m
folosi tot formula de la dobanda, numai ca vom apli ca
formula, de fiecare data, la valoarea creditului, a dica la
suma imprumutata initial, de 1000u.m.
Pentru prima rata comisionul va fi identic cu cel d e la
tabelul precedent:
2121
1004 . 210001 =⋅⋅=c
Pentru a doua rata, vom calcula comisionul tot
pentru suma imprumutata initial, adica tot pentru
1000u.m., asa cum am precizat mai sus (chiar daca, de
fapt, datoria pe care o mai avem de platit s-a mics orat
intre timp, ea fiind in acest moment de doar 900u.m .).
Vom avea deci
2121
1004 . 210002 =⋅⋅=c

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

112
adica aceeasi valoare pentru comision ca si in cazu l
primei rate. Si pentru urmatoarele rate vom obtine
aceeasi situatie, astfel incat comisionul va avea in
permanenta valoarea de 2u.m.
Astfel, scadentarul va fi:

Nr.c
rt. Suma de
rambursa
t Amorti
sment Doba
nda Comi
sion Rata (A +
D+ C) Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 112
111
110
109
108
107
106
105
104
103 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Total de plata 55 20 1075

d) Se observa ca in cazul punctului b, cand
comisionul a fost aplicat la sold, clientul ajunge sa
plateasca in total 1066u.m., iar in cazul punctului
c, cand comisionul a fost aplicat la valoarea initi ala
a creditului, clientul ajunge sa plateasca 1075u.m.
Rezulta de aici ca varianta de la punctul b este ma i
avantajoasa pentru client, deoarece suma totala de
plata este mai mica.
Desi diferenta ca valoare intre cele doua
variante pare a fi destul de mica, dorim sa preciza m

________________________________________Georgiana P opescu

113 ca, in cazul unui credit real, pe o perioada mai ma re
de timp, diferenta este chiar semnificativa.
Vedem prin intermediul acestui exemplu ca nu
conteaza numai valorile procentelor aplicate de ban ci
in cazul diferitelor comisioane, ci si modalitatea de
calcul a acestora.

11. Fie un imprumut in valoare de 30000u.m. Acesta
se ramburseaza in 12 luni, iar rata dobanzii
(procentul anual al dobanzii) este de 24%.
Rambursarea se face cu amortismente egale iar
ratele se platesc lunar.
a) sa se alcatuiasca planul de rambursare
(scadentarul) aferent imprumutului;
b) sa se adauge la planul de rambursare o coloana
corespunzatoare unui comision anual de
administrare de 1.2% calculat la sold; sa se
calculeze in acest caz ratele lunare ca fiind
amortisment+dobanda+comision;
c) sa se adauge la planul de rambursare de la
punctul a) o coloana corespunzatoare unui
comision lunar de administrare de 1,2% calculat la
sold; sa se calculeze in acest caz ratele lunare ca
fiind amortisment+dobanda+comision;
d) sa se compare variantele de la punctele b) si c) si
sa se aleaga cel mai avantajos pentru client.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

114
Solutie
a). Ratele sunt lunare, imprumutul se ramburseaza i n 12
luni, deci vor fi 12 rate corespunzatoare. Amortism entele
sunt egale, deci le vom calcula cu relatia
ratedenumarcreditvaloaretamortismen = , adica vom avea:
..25001230000mu tamortismen ==
Planul de rambursare va arata astfel:

Nr.
crt. Suma de
rambursa
t Amortis
ment Dobanda Rata
(amortis
ment +
dobanda) Suma
ramasa de
rambursat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 30000
27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500 2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500 600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50 3100
3050
3000
2950
2900
2850
2800
2750
2700
2650
2600
2550 27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500
0
Total de plata 55 33900

b). Trebuie acum sa introducem in tabel coloana
corespunzatoare comisionului anual de 1.2% calculat la
sold. Scadentarul va arata astfel:

________________________________________Georgiana P opescu

115 Pentru a calcula comisionul, folosim tot formula
pe care o folosim pentru calculul dobanzii. Comisio nul
avut in vedere este de 1.2% si este calculat la sol d, adica
la suma de rambursat din momentul platii.

Pentru prima rata, avem comisionul de calculat la
suma initiala, adica la 30000 u.m. Vom obtine astfe l:
30121
1002 . 1300001 =⋅⋅=c

Pentru a doua rata, vom calcula comisionul
raportat la suma de rambursat din momentul respecti v,
adica pentru 27500u.m.:
5 .27121
1002 . 1275002 =⋅⋅=c

Procedand analog pentru urmatoarele comisioane
si calculand fiecare rata obtinem planul de ramburs are
dat de tabelul:

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

116
Nr.
crt. Suma de
rambursa
t Amorti
sment Doban
da Comisi
on
anual Rata (A +
D+ C) Suma
ramasa
de
rambur
sat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 30000
27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500 2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500 600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50 30
27.5
25
22.5
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5 3130
3077.5
3025
2972.5
2920
2867.5
2815
2762.5
2710
2657.5
2605
2552.5 27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500
0
Total de plata 3900 195 34095

c) Revenim din nou la tabelul de la punctul
a).Trebuie din nou sa introducem in tabel coloana
corespunzatoare comisionului de 1.2%. De data
aceasta, insa, comisionul este LUNAR. Aceasta
inseamna ca in formula de calcul pe care o
folosim, cea de la dobanzi, timpul nu va mai fi
exprimat in ani, ci in luni, astfel incat, pentru
comisionul de plata in cadrul primei rate vom
avea:
36011002 . 1300001 =⋅⋅=c
adica in loc de timp de forma 121=t avem 1=t
(numarul de luni)

________________________________________Georgiana P opescu

117 Procedam la fel pentru calculul comisionului de la
rata a doua:
33011002 . 1275002 =⋅⋅=c
Procedand la fel pentru toate ratele, obtinem
urmatorul scadentar:

Nr.
crt. Suma de
rambursa
t Amorti
sment Doban
da Comisi
on
lunar Rata (A +
D+ C) Suma
ramasa
de
rambur
sat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 30000
27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500 2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500 600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50 360 30
330 27.5
300 25
270 22.5
240 20
210 17.5
180 15
150 12.5
120 10
90 7.5
60 5
30 2.5 3460
3380
3300
3220
3140
3060
2980
2900
2820
2740
2660
2580 27500
25000
22500
20000
17500
15000
12500
10000
7500
5000
2500
0
Total de plata 3900 2340 36240

d) Cu ocazia acestui exemplu putem observa care
este diferenta dintre comisionul lunar si
comisionul anual. Desi procentul comisionului
este acelasi, in ambele situatii, faptul ca la punc tul
b) comisionul este anual iar la punctul c)
comisionul este lunar a implicat o diferenta

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

118
semnificativa intre valorile comisioanelor din cele
doua situatii.
Este astfel indicat sa fim atenti intotdeauna,
atunci cand sunt prezentate comisioanele atasate
unui credit, nu numai la valoarea acestora, ci si l a
faptul ca ele se calculeaza lunar sau anual.
De fapt, comisionul lunar de 1.2% din cazul
exercitiului nostru corespunde unui comision
anual de 14,4%!!! Mai exact, pentru a “transforma”
un comision lunar intr-unul anual, il vom inmulti
cu 12.

12. O persoana fizica doreste sa contracteze un credit.
Are de ales intre doua credite oferite de instituti ile
A si B, creditele avand aceleasi caracteristici
aproape in totalitate. Singura diferenta este ca
institutia A are un comision lunar de administrare
de 0.5% aplicat la sold, iar institutia B are un
comision lunar de administrare in valoare de 0.5%,
aplicat la valoarea creditului. Care dintre cele
doua credite este mai avantajos pentru client?

Solutie
Daca toate caracteristicile creditului coincid inse amna
ca toate cheltuielile legate de credit coincid. Dif erenta
dintre suma platita pentru creditul oferit de A si creditul
oferit de B apare strict datorita comisionului luna r de
administrare. Vedem ca in ambele situatii acest com ision
este de 0.5%. Institutia A calculeaza acest procent de 0.5

________________________________________Georgiana P opescu

119 % la soldul creditului , iar B calculeaza acest procent la
valoarea S a creditului . In cazul in care procentul de
0.5% se aplica la sold, inseamna ca el se aplica la suma
ramasa de rambursat la momentul platii , suma care se
diminueaza constant, ea fiind clar mai mica decat s uma S
imprumutata initial. Din acest motiv, inseamna ca i n
cazul calculului comisionului raportat la sold, cli entul va
avea de platit o suma mai mica decat daca acelasi p rocent
ar fi calculat, de fiecare data, la valoarea initia la a a
imprumutului. Rezulta astfel ca institutia A ofera un
credit mai avantajos pentru client.
(Soldul reprezinta banii datorati de catre client l a
momentul t – acesta scade treptat pe masura ce rate le
sunt platite; valoarea creditului reprezinta suma c are a
fost imprumutata initial de catre client – este con stanta
pe toata durata rambursarii creditului)

13. O institutie financiara A ofera un credit cu o rata a
dobanzii de 12% si DAE de 19%. O alta institutie
financiara, B, ofera un credit cu o rata a dobanzii
de 17% si DAE de 18,5%. Care dintre cele doua
oferte este mai avantajoasa pentru client?

Solutie
Desi rata dobanzii (procentul anual al dobanzii)
este cu mult mai mica in cazul bancii A, observam c a
DAE (dobanda anuala efectiva) este mai mica pentru
oferta institutiei B. Aceasta inseamna ca, per total , toate
cheltuielile clientului pentru rambursarea creditul ui

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

120
considerat sunt mai mici in cazul institutiei B.
Raportandu-ne astfel la singurele informatii pe car e le
avem despre cele doua credite, putem concluziona ca
imprumutul oferit de B este mai convenabil decat
imprumutul oferit de A.

2.8. Probleme propuse

1. Suma de 6800 lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 17,5 % pentru un an de zile.
Rambursarea se realizează prin amortismente
egale, iar ratele se plătesc lunar. Să se alcătuias că
planul de rambursare al sumei împrumutate.

2. Suma de 17500 lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 20 % pe o perioadă de 18 luni. Să
se întocmească scadențarul știind că rambursarea
se face cu amortismente egale si ratele se plătesc
lunar.

3. Se obține un împrumut in valoare de 8700 lei
pentru o perioadă de 3 ani, cu un procent anual de
22%. Rambursarea se realizează prin plata ratelor
trimestrial, iar amortismentele sunt egale. Să se
alcătuiască planul de rambursare al
împrumutului.

4. Suma de 13500 lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 26 % si se rambursează in 9 rate

________________________________________Georgiana P opescu

121 semestriale. Să se alcătuiască planul de
rambursare pentru acest împrumut știind că
rambursarea se face cu amortismente egale.

5. Să se alcătuiască planul de rambursare pentru un
împrumut in valoare de 42000 lei, sumă care a fost
împrumutată cu o dobândă fixa de 19 %, iar
rambursarea se realizează cu amortismente egale,
la un interval de 4 luni, in 25 de rate.
Notă: Prin contractul de împrumut se stabilește o
dată anume pentru plata ratei, procedându-se mai
departe, la aceasta, progresiv.

6. Suma de 16000 lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 25 % si se rambursează cu
amortismente egale, prin 5 rate anuale. Să se
alcătuiască planul de rambursare pentru acest
împrumut.

7. Să se determine costul efectiv al unui credit in
sumă de 180000 lei obținut cu un procent fix de 14
% pe an, care se rambursează prin 9 vărsăminte
anuale, cu amortismente egale.

8. Suma de 85000 lei a fost împrumutată cu un
procent anual de 8% și se rambursează cu
amortismente egale prin rate plătibile in 17 tranșe
la interval de 40 zile. Să se alcătuiască planul de
rambursare al împrumutului.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

122

9. Se obține un împrumut in sumă de 125000 lei, cu
un procent anual de 17,5% pentru 36 luni.
Amortismentele sunt egale, iar ratele se plătesc
trimestrial. După 15 luni procentul de dobândă se
modifică acesta devenind 21 % . La rambursarea
ultimei rate dobânda se modifică din nou, in 24 %.
Să se întocmească planul de rambursare al
împrumutului.

10. Suma de 180000 lei a fost împrumutată pentru 4
ani cu o rată a dobânzii de 16 % . Rambursarea se
face cu amortismente egale, iar ratele se plătesc
semestrial. După 30 de luni se modifică rata
dobânzii si frecvența plăților, acestea devenind 19
%, respectiv trimestriale. Să se întocmească planul
de rambursare al sumei împrumutate.

11. Suma de 9000 lei a fost împrumutată cu o dobândă
unitară de 0,14 și se rambursează prin 5 rate egale
care se plătesc lunar. Să se întocmească planul de
rambursare pentru acest împrumut.

12. Se împrumută suma de 32500 lei cu o dobândă
unitară de 0,30 și se rambursează prin 8 rate egale
care se plătesc semestrial. Să se întocmească planu l
de rambursare al împrumutului.

________________________________________Georgiana P opescu

123 13. Se obține un împrumut in sumă de 15900 lei
pentru 18 luni cu o rată a dobânzii de 27 %.
Rambursarea se face cu rate egale.
a. Să se alcătuiască planul de rambursare al
împrumutului dacă ratele se plătesc lunar;
b. Să se alcătuiască planul de rambursare al
împrumutului dacă ratele se plătesc trimestrial;
c. Să se alcătuiască planul de rambursare al
împrumutului dacă ratele se plătesc semestrial.
d. Să se compare cele trei situații.

14. Se obține un credit în sumă de 50000 lei cu un
procent fix de 14 % pe an care se rambursează prin
10 vărsăminte anuale. Să se întocmească
scadențarul dacă:
a. amortismentele sunt egale;
b. ratele sunt egale.

15. Se împrumută suma de 7000 lei cu o dobândă
unitară de 0, 35 pentru o perioadă de 16 luni.
Rambursarea se face prin rate egale. Să se
alcătuiască scadențarul dacă:
a. Ratele se plătesc lunar;
b. Ratele se plătesc lunar, iar după primele 7 luni
rata dobânzii se modifică noua valoare fiind de
0,37;
c. Ratele se plătesc la interval de 2 luni, cu o
dobândă unitară de 0,35.
d. Să se compare situațiile prezentate.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

124

16. Suma de 5500 lei a fost împrumutată pentru 42 de
luni cu o rată a dobânzii de 22 % . Rambursarea se
face cu amortismente egale. Să se alcătuiască
planul de rambursare al împrumutului dacă :
a. Ratele se plătesc lunar;
b. Ratele se plătesc trimestrial;
c. Ratele se plătesc semestrial;
d. Să se compare cele trei situații.

17. Se obține un împrumut în sumă de 107000 lei
pentru 2 ani de zile cu o rată a dobânzii de 25 %
.Rambursarea se face cu amortismente egale. Să se
întocmească scadențarul împrumutului dacă:
a. Ratele se plătesc la interval de 2 luni;
b. Ratele se plătesc la interval de 4 luni;
c. Ratele se plătesc la interval de 8 luni;
d. Ratele se plătesc anual.
e. Să se aleagă varianta avantajoasă pentru client.

18. Sa se determine rata maxima lunara pe care o
poate sustine o persoana cu un venit lunar net de
1000ron, stiind ca aceasta mai are de platit pentru
un alt credit o rata in valoare de 400ron. Banca
accepta un grad maxim de indatorare de 30% si nu
ia in considerare cheltuielile de subzistenta.

19. O persoana are nevoie de un imprumut iar rata pe
care ar trebui sa o plateasca este de 420ron. Care

________________________________________Georgiana P opescu

125 este venitul lunar minim pe care ar trebui sa il ai ba
aceasta pentru a i se putea acorda creditul, daca
banca ia in considerare un grad maxim de
indatorare de 60% si:
a. Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta;
b. Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta
la 300ron/persoana iar solicitantul nu are
alte persoane in ingrijire;
c. Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta
la 300ron/persoana iar solicitantul are in
ingrijire un copil;
(precizam ca persoana in cauza nu mai are alte cred ite in
desfasurare, deci nu mai plateste si alte rate luna re)

20. O persoana are un venit lunar net de 1500ron.
Care este rata lunara maxima pe care ar putea sa o
plateasca, daca banca ia in considerare un grad
maxim de indatorare de 60% si:
a) Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta;
b) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
300ron/persoana iar solicitantul nu are alte
persoane in ingrijire;
c) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
300ron/persoana iar solicitantul are in ingrijire u n
copil;

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

126
(precizam ca persoana in cauza nu mai are alte
credite in desfasurare, deci nu mai plateste si alt e
rate lunare)

21. O persoana are un venit lunar net de 1300ron.
Banca de la care solicita imprumutul accepta si un
codebitor. Solicitantul are un codebitor cu un veni t
lunar net de 1200ron. Care este rata lunara
maxima pe care ar putea sa o plateasca, daca
banca ia in considerare un grad maxim de
indatorare de 50%, nici unul dintre cei doi,
solicitant sau codebitor, nu are alte credite in
derulare si:
a) Banca nu ia in considerare cheltuielile de
subzistenta;
b) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
250ron/persoana, nici solicitantul nici codebitoru l
nu au alte persoane in ingrijire;
c) Banca apreciaza cheltuielile de subzistenta la
250ron/persoana iar codebitorul are in ingrijire un
copil;

22. O persoana are un venit lunar net de 1400ron.
Banca de la care solicita imprumutul accepta si un
codebitor. Solicitantul are un codebitor cu un veni t
lunar net de 1100ron si mai are un credit in
derulare pentru care plateste o rata lunara de
280ron. Care este rata lunara maxima pe care ar
putea sa o plateasca impreuna cei doi, daca banca

________________________________________Georgiana P opescu

127 ia in considerare un grad maxim de indatorare de
45% si nu ia in calcul cheltuielile de subzistenta?

23. Fie un imprumut in valoare de 25000u.m. Acesta
se ramburseaza in 24 luni, iar rata dobanzii
(procentul anual al dobanzii) este de 12%.
Rambursarea se face cu amortismente egale iar
ratele se platesc lunar.
a) sa se alcatuiasca planul de rambursare
(scadentarul) aferent imprumutului;
b) sa se adauge la planul de rambursare o coloana
corespunzatoare unui comision anual de
administrare de 1% calculat la sold; sa se calculez e
in acest caz ratele lunare ca fiind
amortisment+dobanda+comision;
c) sa se adauge la planul de rambursare de la
punctul a) o coloana corespunzatoare unui
comision lunar de administrare de 1calculat la
sold; sa se calculeze in acest caz ratele lunare ca
fiind amortisment+dobanda+comision;
d) sa se compare variantele de la punctele b) si c) si
sa se aleaga cel mai avantajos pentru client.

24. Fie un imprumut in valoare de 50.000euro. Acesta
se ramburseaza in 36 luni, iar rata dobanzii
(procentul anual al dobanzii) este de 6%.
Rambursarea se face cu amortismente egale iar
ratele se platesc lunar.

RAMBURSARI DE CREDITE ____________________ _______________

128
a) sa se alcatuiasca planul de rambursare
(scadentarul) aferent imprumutului;
b) sa se adauge la planul de rambursare o coloana
corespunzatoare unui comision anual de
administrare de 2% calculat la sold; sa se calculez e
in acest caz ratele lunare ca fiind
amortisment+dobanda+comision;
c) sa se adauge la planul de rambursare de la
punctul a) o coloana corespunzatoare unui
comision lunar de administrare de 0,5%, calculat la
sold; sa se calculeze in acest caz ratele lunare ca
fiind amortisment +dobanda+comision;
d) sa se compare variantele de la punctele b) si c) si
sa se aleaga cel mai avantajos pentru client.

________________________________________Georgiana P opescu

129

III. PRODUSE DE ECONOMISIRE

3.1. Depozite bancare. Capitalizare

Cu scopul de a înțelege mai bine ce înseamnă
dobânda compusă, ne propunem să începem prin a ne
familiariza cu alte noțiuni preliminare, precum
bonificarea și capitalizarea dobânzii.
Întâlnim noțiunile acestea când vorbim de
produsele de economisire, precum depozitele și cont urile
de economii (nu însă și în cazul creditelor).

Printre instrumentele de economisire folosite de
bănci amintim:
– depozitele bancare;
– conturile de economii;
– conturile curente cu dobândă atașată;
– certificatele de depozit;
– produse de economisire cu componentă
investițională.

Nu dorim însă, în prezenta lucrare, să ne
canalizăm atenția asupra variatelor tipuri de produ se de
economisire, asupra asemănărilor sau diferențelor d intre
acestea, ori asupra caracteristicilor lor.

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

130
Conturile de economii și conturile curente cu
dobândă atașată operează, din prisma calculelor
matematice, ca și un depozit la vedere. De aceea, d orim
să arătăm succint ce se înțelege prin depozitul ban car.
Această descriere este utilă pentru a gestiona mai facil
raționamentele sau noțiunile ce vor fi expuse în ac est
capitol.
Pentru a oferi o definiție corectă depozitului
bancar, putem spune că acesta este o sumă de bani c are
se depune la o banca, ea urmând a fi rambursată cân d
persoana care face depozitul solicită acest lucru,
împreună cu dobânda generată între timp.
Exista două tipuri de depozite:
– depozitul la vedere : adica un depozit bancar ce
se constituie pe o durată inițială de cel puțin o
zi lucrătoare; în acest caz, cel/cea care a
constituit depozitul poate să aibă acces oricând
vrea la suma pe care a depus-o, pentru a
retrage bani ori pentru a mai depune; tipul
acesta de depozit are dezavantajul că oferă o
dobândă logic mai mică decât celălalt depozit,
adică depozitul la termen;
– depozitul la termen : adică depozitul de care
persoana deponentă nu se poate atinge, adică
din care nu poate retrage suma existentă, decât
abia după ce a expirat perioada de maturitate a
contului (adică la scadență). Cele mai multe
bănci oferă într-adevăr clientului și varianta de
a retrage banii înainte de termenul scadenței,

________________________________________Georgiana P opescu

131 dar în acest caz, persoana deponentă nu mai
primește dobânda. Acest tip de depozit are
dezavantajul că deponentul nu poate avea
acces la banii pe care i-a depus fără a pierde
dobânda. Exista un avantaj, acela că depozitul
la termen oferă o dobândă superioară celei
oferite de produse de economisire.

Exemplu
Un client constituie un depozit la vedere, cu rata
anuală a dobânzii de 5%. În momentul constituirii m ai
depune 1000 lei. După alte cinci zilem mai depune i ar 500
lei. Peste alte 10 zile retrage 700 de lei. Care es te dobânda
pe care o va primi după 30 de zile de când a consti tuit
depozitul?
Soluție
Depozitul este la vedere, deci acest fapt presupun e
că titularul va putea retrage ori depune bani în or icare
moment; dobânda se calculează pentru fiecare perioa dă
de timp, în funcție de suma aflată în cont. Dobânda se
calculează „la zi”, dar aceasta se virează în mod n ormal
la sfârșitul lunii.
La început au fost 1000 lei în cont. Această sumă s-
a schimbat după 5 zile. În concluzie, în primele 5 zile
suma a fost constantă. Se calculează dobânda pentru
aceste 5 zile, și se aplică procentul de 5% la suma de 1000
de lei pe perioada de 5 zile.
Deci lei D 69. 03605
100510001 =⋅⋅= .

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

132
După cele 5 zile, în cont se mai depun iar 500lei.
Suma va deveni așadar: lei15005001000 =+ . Precum am
afirmat mai sus, dobânda calculată la primele 5 zil e nu se
adaugă la contul de depozit înainte de sfârșitul lu nii.
După 10 zile are loc următoarea modificare a
sumei din depozit. Calculăm dobânda pentru aceste 1 0
zile; în acest rțstimp, suma din depozit a fost con stantă,
adicăde 1500lei:
lei D 08. 236010
100515002 =⋅⋅= .
Suma se va modifica din nou, valoarea depozitului
va fi micșorată cu 700, deci avem: lei8007001500 =− . Din
acest moment, titularul nu mai intervine la depozit până
când se împlinește termenul de 30 de zile luat în
considerare. Prin urmare, cât timp mai rămân încă a cești
bani depuși? De când a fost depozitul constituit s- au
scurs deja 15 zile (5 zile până la prima modificare , și încă
10 până la a doua). Rezultă că suma de 800 lei va m ai
rămâne depusă timp de încă zile151530=− . Se calculează
dobânda aferentă:
ei D 67. 136015
10058003 =⋅⋅=
Dobânda pentru acele 30 de zile este dată de suma
celor 3 dobânzi calculate, prin urmare:
lei DDDD 44. 467. 108. 269. 0321 =++=++=

Exemplu
Un client a constituit un depozit la o lună, cu un
procent anual al dobânzii de 7%. Valoarea depozitul ui

________________________________________Georgiana P opescu

133 este de 1000 lei. Ce sumă va ridica acesta după 15 zile de
la constituirea depozitului?

Soluție
Cum depozitul este la o lună, înseamnă că, dacă îș i
retrage banii înainte de îndeplinirea acestui terme n,
clientul nu va primi dobândă pentru banii depuși.
Rezultă astfel că după 15 zile clientul va ridica e xact
suma depusă, de 1000lei, fără vreun câștig.
Într-o situație reală, clientul din problema de ma i
sus ar retrage chiar o sumă mai mică decât cea depu să,
deoarece ar avea de plătit băncii diverse comisioan e
pentru lichidarea depozitului înainte de termen.

Vom defini în continuare câțiva termeni care apar
în cazul produselor de economisire.

Bonificarea dobânzii se referă la momentul și
modalitatea în care o persoană primește dobânda
acumulată în urma plasării unei sume de bani într-u n
depozit/cont de economii.
În cazul produselor de economisire, scadența
reprezintă perioada de constituire a unui depozit. De
exemplu, un depozit care are scadența la 3 luni va
produce dobândă numai dacă banii nu sunt retrași
înaintea exprirării termenului de 3 luni.

Prin maturitatea unui depozit înțelegem data la
care dobânda calculată pentru un depozit devine

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

134
plătibilă. Cu alte cuvinte, dacă un depozit are sca dență la
3 luni, maturitatea va fi data la care se vor împli ni cele 3
luni.

La constituirea depozitului clientul are, de obice i,
posibilitatea de a alege anumite caracteristici. De
exemplu acesta poate alege dacă dorește prelungire
automată a depozitului sau nu.
În cazul în care un depozit este constituit fără
prelungire automată , atunci, la împlinirea scadenței
banca va lichida depozitul, virând în contul curent al
clientului atât suma depusă de acesta cât și dobând a
acumulată. Clientul va putea ulterior să constituie un
nou depozit cu banii respectivi, prin încheierea un ui nou
contract de depozit.
În cazul depozitelor cu prelungire automată , fără a
mai fi nevoie de reîncheierea contractului, banca v a
prelungi automat depozitul (adică îl va constitui d in
nou). Condițiile vor fi aceleași cu cele semnate de client
inițial, dar rata dobânzii se poate modifica, deoar ece
pentru noul depozit se va aplica dobânda practicată de
către bancă la data la care se face prelungirea
depozitului.
În situația în care depozitul se prelungește
automat ne putem întreba ce se întâmplă cu dobânda
calculată pentru depozitul inițial. Există și aici două
variante :
– dobânda se poate adăuga la contul de depozit ;
astfel suma depozitului nou constituit va fi

________________________________________Georgiana P opescu

135 suma depusă inițial de client adunată cu
dobânda obținută ; în această situație spunem
că prelungirea automată a depozitului se face
cu capitalizare ; în limbajul uzual întâlnim
pentru capitalizarea dobânzii varianta
„populară” – dobândă la dobândă.
– dobânda se poate vira în contul curent al
clientului iar noul depozit va fi constituit
pentru exact aceeași sumă pentru care a fost
constituit și cel inițial. Numim această variantă
prelungire automată fără capitalizare .

Exemplu
Care este suma pe care o primește un client în
urma constituirii unui depozit cu scadența la o lun ă, fără
prelungire automată, în valoare de 1500lei, cu un p rocent
anual al dobânzii de 7%?

Soluție
Suma pe care o va primi la maturitatea
depozitului va fi suma depusă, la care se va adăuga și
dobânda acumulată. Dobânda va fi:
lei D 75. 8121
10071500 =⋅⋅= .
Suma pe care o va primi va fi, astfel, de
lei75.150875. 81500 =+ .

Exemplu

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

136
Un client constituie un depozit la termen cu
scadența la 3 luni în valoare de 2000lei. Care va f i
dobânda pe care o va primi după 3 luni, știind că r ata
anuală a dobânzii este de 7.5%?

Soluție
Dobânda va fi calculată pe 3 luni, cu procentul
6.5%, pentru suma de 2000lei. Obținem:
lei D 5 .32123
1005 . 62000 =⋅⋅=
Exemplu
Un depozit cu scadența la o lună în valoare de
1200lei este constituit cu prelungire fără capitali zare, cu o
rată a dobânzii de 7.5%.. Bonificarea dobânzii se f ace
lunar într-un cont curent care nu aduce dobândă. Șt iind
că titularul depozitului nu umblă nici la banii din depozit
nici la banii din contul curent și că rata dobânzii rămâne
constantă pe întreaga perioadă, să se afle care va fi
dobânda acumulată de acesta:
a) după o lună;
b) după 3 luni;
c) după 1 an.

Soluție
Bonificarea dobânzii se face lunar, ceea ce
înseamnă că la împlinirea fiecărei luni dobânda se va
calcula și se va vărsa în contul curent. Cum dobând a nu
se capitalizează (adică nu se adaugă la suma din
depozit), depozitul va avea aceeași valoare de 1200 lei
pentru fiecare lună în care este prelungit. Suma di n

________________________________________Georgiana P opescu

137 contul curent se va modifica lunar prin adunarea no ii
dobânzi produse de depozit la suma deja existentă î n
cont. Dobânda acumulată pe perioadele de analizat v a fi
reprezentată de suma existentă în contul curent la
momentul corespunzător.
a) Dobânda acumulată după o lună va fi:
lei D 5 . 7121
1005 . 712001 =⋅⋅=
b) Pentru a vedea care va fi dobânda după cele 3 luni
vom parcurge pas cu pas fiecare lună. Dobânda
pentru prima lună va fi cea calculată la punctul a) .
Suma din contul curent va fi, astfel, după o lună,
de lei5 . 7.
Pentru a doua lună depozitul are tot valoarea de
1200 lei și cum nici procentul dobânzii nu s-a
modificat, înseamnă că vom obține o nouă
dobândă de
lei D 5 . 7121
1005 . 712002 =⋅⋅=
Adăugând această sumă la cea existentă în
contul curent vom obține dobânda totală după
cele 2 luni în valoare de lei155 . 75 . 7=+ . Procedăm
la fel și pentru a treia luna și vom obține:
lei D 5 . 7121
1005 . 712003 =⋅⋅=
În contul curent aveam deja 15 lei la care
mai adăugăm acești 7.5 lei și vom obține
lei5 .225 . 715=+ , sumă care reprezintă valoarea
dobânzii acumulate după cele trei luni.

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

138
După cum se poate observa din calculele
precedente, cum suma depozitului nu s-a
modificat, dobânda calculată pentru fiecare lună a
avut exact aceeași valoare. Pentru această situație
am fi putut, de fapt, aplica formula dobânzii
simple pe o perioadă de 3 luni, fără să fie nevoie să
calculăm separat pentru fiecare lună. Am fi avut:
lei D 5 .22123
1005 . 71200 =⋅⋅=
c) Luând în considerare comentariul de mai sus
putem aplica direct formula dobânzii pentru
perioada de 1 an. Vom obține dobânda acumulată
în această perioadă:
lei D 9011005 . 71200 =⋅⋅=

Exemplu
Un depozit cu scadența la o lună în valoare de
1800lei este constituit cu prelungire cu capitaliza re, cu o
rată a dobânzii de 7%. Bonificarea dobânzii se face lunar
și se adaugă la suma depozitului. Știind că titular ul
depozitului nu umblă la banii din depozit și că rat a
dobânzii rămâne constantă pe întreaga perioadă, să se
afle care va fi suma pe care va putea să o retragă:
a) după o lună;
b) după 3 luni; care este procentul mediu de
plasament al sumei de 1800 în această situație?
c) după 1 an; care este procentul mediu de plasament
al sumei de 1800 în această situație?

________________________________________Georgiana P opescu

139 Soluție
a) După o lună dobânda va fi:
lei D 5 .10121
100718001 =⋅⋅=
Suma totală pe care ar putea să o retragă ar fi
suma depusă la care se adaugă dobânda, adică:
lei5 .18105 .101800 =+
b). Să calculăm suma totală după 3 luni. Am văzut l a
punctul precedent că pentru prima lună dobânda a fo st
de 10.5 lei. Aceasta se adaugă la suma depozitului deci,
pentru a doua lună, valoarea acestuia va fi:
lei5 .18105 .101800 =+ . Vom calcula acum dobânda produsă
de această nouă sumă pentru a doua lună:
lei D 56.10121
10075 .18102 =⋅⋅=
Capitalizând dobânda, valoarea depozitului, după
a doua lună, va fi determinată adunând suma precede ntă
a depozitului, de 1810.5lei cu noua dobândă, 10.56 lei
lei06.182156.105 .1810 =+
Pentru a treia lună, dobânda se va calcula pentru
această sumă: lei D 62.10121
100706.18213 =⋅⋅= . Suma totală
disponibilă după 3 luni va fi : lei68.183162.1006.1821 =+ .
Să calculăm acum procentul mediu de plasament.
Pentru depozitele cu capitalizare ne punem întrebar ea
care ar fi fost procentul care ar fi dus la aceeasș i dobândă
în cazul în care depozitul ar fi fost prelungit făr ă
capitalizare. Acesta va fi procentul mediu de plasa ment.
În urma celor 3 luni dobânda acumulată este dată
de diferența dintre suma depusă și suma primită:

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

140
lei68.31180068.1831 =−
Am fi putut calcula dobânda acumulată și
adunând cele 3 dobânzi calculate pentru fiecare din cele 3
luni, dar diferența celor două sume este mai practi că.
Suma depusă a fost de 1800 lei, dobânda obținută a
fost de 31.68 lei, perioada a fost de 3 luni. Care ar fi fost
procentul care să ducă la această dobândă dacă nu a r fi
avut loc capitalizarea?
Înlocuim în formula dobânzii simple valorile
cunoscute și obținem relația
123
100180068.31 ⋅⋅=p
de unde obținem %04. 7=p .
b) Trebuie, la acest punct al problemei, să vedem
care va fi suma totală acumulată dupa 1 an de
zile. Procedeul ar fi complet identic cu cel de la
punctul a. De această dată, însă, vom avea
destul de multe calcule de făcut pentru a
răspunde la o întrebare relativ simplă. Dacă
depozitul ar fi fost prelungit până la doi ani,
calculele ar fi devenit și mai neplăcute. Pentru
a calcula mai rapid ce se întâmplă în astfel de
situații a fost introdusă noțiunea de dobândă
compus/. Vom opri aici rezolvarea problemei și
o vom relua ulterior.

________________________________________Georgiana P opescu

141 3.2.Dobânda compusă

Definiție
Dacă valoarea luată în calcul a sumei plasate S 0 se
modifică periodic pe durata de timp t după o anumită
regulă, vom spune că avem un proces de dobândă
compusă sau că plasarea sumei S 0 s-a efectuat în regim de
dobândă compusă .

Să considerăm următoarea situație pe caz general:

Suma S0 a fost constituită într-un depozit cu
scadența la timpul t, cu o dobândă unitară anuală i.
Depozitul se prelungește automat de 1−n ori, cu
capitalizarea dobânzii. Care va fi suma finală gene rată în
urma acestui plasament?

Mai întâi dorim să precizăm faptul că dacă
depozitul se prelungește de 1−n, înseamnă că depozitul
se constituie de fapt de n ori. De exemplu, dacă am
prelungit o dată un depozit, pe lângă depozitul ini țial,
acesta a mai fost constituit încă o dată. În total – de 2 ori.
Putem astfel spune că depozitul din situația prezen tată a
fost constituit de n ori.

Pentru perioada inițială de constituire dobânda va
fi:
itSD01=

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

142
Suma disponibilă la sfârșitul acestei prime
constituiri va fi suma inițială la care se adaugă d obânda:
101DSS+= ⇒ ()itSitSSS +=+= 10001 .
Pentru a doua constituire a depozitului (adică
prima prelungire), suma va fi 1S. Vom avea astfel:
()ititSitSD +==1012
Suma finală va fi acum:
()()ititSitSDSS +++=+= 110 0212 .
Făcând calculele obținem:
()2
021itSS+= .
Repetând procedeul, pentru a treia constituire a
depozitului vom obține suma
()3
031itSS+= .
Se observă că pentru a n-a constituire succesivă a
depozitului, suma obținută va fi ()n
nitSS+=10 . Acest
rezultat se poate verifica folosind principiul indu cției
matematice. Nu vom da însă această demonstrație.

Vom reține de aici formula de calcul a dobânzii
compuse:
()n
nitSS+=10 ,
unde
– 0S reprezintă suma de constituire a depozitului
inițial;
– i reprezintă dobânda unitară anuală atașată
depozitului (aceasta se consideră constantă pe
perioada de prelungire a depozitului);
– t reprezintă scadența depozitului;

________________________________________Georgiana P opescu

143 – n reprezintă numărul de constituiri succesive
ale depozitului (spunem că depozitul s-a
prelungit de 1−n ori).

Se poate demonstra – procedând ca mai sus – că,
în cazul în care rata unitară a dobânzii se modific ă pe
parcursul prelungirii depozitului, relația de calcu l a
sumei obținute va fi:
()()()t it it iSSn n +⋅⋅++= 1…11210
unde ki reprezintă dobânda unitară anuală
corespunzătoare fiecărei constituiri a depozitului. Este
evident că, în cazul în care pe unele perioade proc entul
dobânzii rămâne constant, relația se poate scrie
simplificat sub forma:
()()()mn
mn n
n tit it iSS +⋅⋅++= 1…112 1
210
unde kn reprezintă numărul de constituiri ale
depozitului pentru care dobânda unitară a fost ki.
Pentru a calcula strict dobânda acumulată în
perioada considerată cea mai simplă variantă este c a
aceasta să se determine ca diferență între suma fin ală și
cea depusă inițial.

Să revenim acum la punctul rămas nerezolvat de
la exemplul precedent. Rescriem enunțul:

Exemplu
Un depozit cu scadența la o lună în valoare de
1800lei este constituit cu prelungire cu capitaliza re, cu o
rată a dobânzii de 7%. Bonificarea dobânzii se face lunar

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

144
și se adaugă la suma depozitului. Știind că titular ul
depozitului nu umblă la banii din depozit și că rat a
dobânzii rămâne constantă pe întreaga perioadă, să se
afle care va fi suma pe care va putea să o retragă:
a) după o lună;
b) după 3 luni; care este procentul mediu de
plasament al sumei de 1800 în această situație?
c) după 1 an; care este procentul mediu de plasament
al sumei de 1800 în această situație?

Soluție
Punctele a) și b) au fost deja rezolvate. Trecem
direct la punctul c) și vom aplica formula dobânzii
compuse.
Cum rata dobânzii rămâne constantă pentru cele
12 luni, vom aplica formula:
()n
nitSS+=10
Depozitul va fi constituit de 12 ori (deoarece
scadența este lunară, iar timpul total este de 1 an ). Vom
avea astfel 12=n . Suma inițială este de 1800 lei, iar
dobânda unitară i va fi 07, 01007
100===pi . Timpul t
reprezintă scadența depozitului, deci va fi de o lu nă.
Obținem:
lei S 12.193012107. 01180012
12 =

⋅+=
Pentru a calcula procentul mediu de plasament
vom determina mai întâi dobânda. Aceasta reprezintă

________________________________________Georgiana P opescu

145 partea din suma finală calculată mai sus care nu a fost
depusă inițial. Avem
lei D 12.130180012.1930 =−= .
Dobânda este știută, perioada de timp este de 12
luni (1 an), suma depusă este 1800 lei. Procentul mediu de
plasament va fi determinat cu relația:
1100180012.130 ⋅⋅=p ⇒ %228. 7=p
Comparând cu procentul mediu obținut la punctul
b) putem observa că, dacă numărul de prelungiri ale
unui depozit crește, va crește și procentul mediu d e
plasament al depozitului.

3.3.Probleme rezolvate

1. Un client constituie un depozit la termen cu scaden ța
la 3 luni în valoare de 1400lei. Care va fi dobânda pe
care o va primi după 3 luni, știind că rata anuală a
dobânzii este de 5.5%? Dar dupa 1 lună și 10 zile? Dar
dupa 3 luni și 15 zile? Dar după 15 luni (dobânda n u
se capitalizează)?
Soluție
Depozitul este pe 3 luni, deci după împlinirea
acestui termen dobânda va fi
lei D 25.19123
1005 . 51400 =⋅⋅= .
După 1 lună și 10 zile, clientul nu va primi deloc
dobândă, deoarece depozitul nu a ajuns la maturitat e.
După 3 luni și 15 zile clientul va primi strict
dobânda pentu primele 3 luni, în valoare de 19.25 lei (a

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

146
fost deja calculată). Pentru următoarele 15 zile nu se
va calcula dobândă deoarece prelungirea depozitului
se face pe o perioadă egală cu cea inițială, deci b anii ar
trebui să fie plasați încă 3 luni pentru a genera
dobânda.
Perioada de 15 luni reprezintă 5 intervale de câte 3
luni. Aceasta înseamnă că, după cele 15 luni,
depozitul este la maturitate, deci dobânda va fi
calculată pentru întreaga perioadă de 15 luni. Cum
depozitul se prelungește fără capitalizare, vom apl ica
dobând simplă:
lei D 25.961215
1005 . 51400 =⋅⋅= .
Dacă, de exemplu, am fi fost întrebați care este
dobânda după 17 luni, lucrurile ar fi stat un pic
diferit. Cele 17 luni reprezintă 5 perioade de câte 3
luni, pe lângă acestea rămânând 2 luni care nu
îndeplinesc scadența unei prelungiri a depozitului.
Astfel, pentru 17 luni, dobânda calculată ar fi fos t cea
corespunzătoare pentru 15 luni.

2. Suma de 2400lei se constituie într-un depozit cu
scadența la 6 luni cu o rată anuală a dobânzii de 8 %.
Bonificarea se face la maturitatea depozitului, în
contul de depozit. Se consideră că depozitul se
prelungește automat iar procentul anual rămâne
constant pe întreaga perioadă analizată. Care va fi
suma finală:
a) după 1 an;
b) după 2 ani;

________________________________________Georgiana P opescu

147 c) după 15 luni.

Soluție
Bonificarea dobânzii se face în contul de depozit
deci putem spune că aceasta se capitalizează. Vom a vea
de folosit formula de la dobânda compusă: ()n
nitSS+=10 .
a) Ne interesează suma după un an de zile. Cum
această perioadă reprezintă 12 luni, înseamnă că
depozitul, care are scadența la 6 luni, se va
constitui de 2 ori în acest interval, adică vom ave a
2=n . Dobânda unitară va fi 08. 0100==pi . Timpul
din formulă reprezintă scadența depozitului, deci
21
126==t . Obținem astfel:
lei S 84.25952108. 0124002
2 =

⋅+=
b) Să vedem care va fi suma după 2 ani. Avem o
perioadă de 24 de luni care înseamnă că depozitul
a fost constituit de 4 ori, deci 4=n . Dobânda
unitară și timpul t sunt ca la punctul a). Vom avea:
lei S 66.28072108. 0124004
4 =

⋅+=
c) Perioada de 15 luni implică 2 constituiri are
depozitului. Pentru cele 3 luni rămase nu se va
acumula dobânda, deoarece nu s-a ajuns la
maturitate, scadența fiind de 6 luni. Înseamnă că
în acest caz dobânda va fi identică cu cea de la
punctul a).

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

148

3. Suma de 2500 lei s-a constituit într-un depozit cu
dobândă progresivă cu scadența la 1 an. Dobânda se
calculează lunar, dar se bonifică la maturitatea
depozitului. Procentul anual al dobânzii este difer it
pentu fiecare lună. Aceste procente sunt, în ordine :
4%, 4.15%, 4.30%, 4.45%, 5.20%, 5.95%, 6.70%, 7.45% ,
8.65%, 9.85% 11.05%, 12.25%. Să se determine suma
totală care va fi retrasă la sfârșitul anului precu m și
procentul mediu de plasament pentru suma de
2500 lei.

Soluție
Bonificarea dobânzii se va face la sfârșitul anulu i,
deci nu suntem în situația „dobândă la dobândă”. Vo m
folosi astfel formula de la dobânda simpla . În fie care
lună dobânda se va calcula pentru aceeași sumă, 250 0lei,
dar procentul va fi, în fiecare lună, altul. Pentru o mai
clară urmărire a calculelor vom folosi un tabel
(asemănător cu cele de la rambursări de credite).

Luna Suma Procent Dobânda
1 2500 4 33. 8121
10042500 =⋅⋅
2 2500 4.15 65. 8121
10015. 42500 =⋅⋅
3 2500 4.30 96. 8121
10030. 42500 =⋅⋅
4 2500 4.45 27. 9121
10045. 42500 =⋅⋅

________________________________________Georgiana P opescu

149 5 2500 5.20 83.10121
10020. 52500 =⋅⋅
6 2500 5.95 40.12121
10095. 52500 =⋅⋅
7 2500 6.70 96.13121
10070. 62500 =⋅⋅
8 2500 7.45 52.15121
10045. 72500 =⋅⋅
9 2500 8.65 02.18121
10065. 82500 =⋅⋅
10 2500 9.85 52.20121
10085. 92500 =⋅⋅
11 2500 11.05 02.20121
10005.112500 =⋅⋅
12 2500 12.25 52.25121
10025.122500 =⋅⋅
Total 175

Dobânda acumulată va fi astfel 175 lei. Suma finală
va fi lei26751752500 =+ .
Trebuie să calculăm și procentul mediu de
plasament al sumei de 2500 lei. Acesta ne va indica
procentul real al dobânzii pe care o plătește banca pentru
un astfel de depozit.
Dobânda este 175, timpul este an, suma dpeusă
este de 2500 lei. Înlocuind aceste valori în formula de
calcul pentru dobânda simplă obținem:
11002500175 ⋅⋅=p ⇒ %7=p .

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

150
Putem astfel spune că, din punct de vedere strict
numeric, acest depozit progresiv este echivalent cu un
depozit cu scadența la 1 an care oferă o dobândă de 7%.
Practic nu este chiar așa, depozitul progresiv
având anumite caracteristici care îl fac să fie mai
convenabil sau mai puțin convenabil, în funcție de
situație.
De obicei în cazul unui astfel de depozit progresi v,
clientul poate retrage banii și înaintea împlinirii
perioadei de 1 an, calculându-i-se dobânda pentru l unile
împlinite. Cu alte cuvinte, dacă depozitul este lic hidat, să
spunem, după 3 luni, clientul va primi dobânda calc ulată
pentru aceste 3 luni (din tabel însumând primele 3
dobânzi calculate, vedem că ar însemna 50.61 lei). Deși
într-o astfel de situație rata dobânzii este mică ( aceasta
crește progresiv, cu cât banii sunt lăsați mai mult e luni cu
atât procentul se mărește considerabil), este totuș i de
preferat decât cazul unui depozit pe 1 an clasic un de,
dacă retragem banii după 3 luni nu ni se calculează
dobândă.

4. Suma de 2500 lei s-a constituit într-un depozit cu
dobândă progresivă cu scadența la 1 an. Dobânda se
calculează și se bonifică lunar în contul de depozi t.
Procentul anual al dobânzii este diferit pentu fiec are
lună. Aceste procente sunt, în ordine: 4%, 4.15%,
4.30%, 4.45%, 5.20%, 5.95%, 6.70%, 7.45%, 8.65%,
9.85% 11.05%, 12.25%. Să se determine suma totală
care va fi retrasă la sfârșitul anului precum și

________________________________________Georgiana P opescu

151 procentul mediu de plasament pentru suma de
2500 lei.

Soluție
Depozitul este același cu cel de la problema
precedentă. Diferența constă în faptul că de data a ceasta
dobânda se capitalizează lunar, adică se va calcula
pentru fiecare lună și se va adăuga la suma existen tă în
depozit. Rezultă că putem folosi formula dobânzii
compuse. Cum procentul se modifică în fiecare lună ar
trebui să aplicăm formula:
()()()t it it iSSn n +⋅⋅++= 1…11210 ,
fiecăreia dintre cele 12 luni corespunzându-i o par anteză.
Am avea:
…1210430. 011210415. 0112104. 012500 

⋅+

⋅+

⋅+=S

Deși formula poate fi aplicată, calculele nu sunt
neapărat plăcute. În plus, dacă dorim să vedem cât s-ar
retrage după 6 luni, ar trebui să refacem calculele . Din
acest motiv, pentru depozitul progresiv sugerăm să se
folosească tot un tabel ca la exemplul precedent. V om
mai adăuga acestuia încă o coloană, pentu a putea v edea
care este suma obținută la sfârșitul fiecărei luni prin
bonifcarea dobânzii. Acest lucru este necesar pentr u a ști
pentru ce sumă vom face calculele în luna care urme ază.
Calculele se vor face ca la credite, numai că acum
dobânda se va aduna la suma inițială.

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

152

Luna Suma
inițială Procent Dobânda Suma
finală
1 2500 4 33. 8121
10042500 =⋅⋅ 2508.33
2 2508.33 4.15 67. 8121
10015. 433.2508 =⋅⋅ 2517.01
3 2517.01 4.30 9.02 2526.03
4 2526.03 4.45 9.37 2535.39
5 2535.39 5.20 10.99 2546.38
6 2546.38 5.95 12.63 2559.01
7 2559.01 6.70 14.29 2573.29
8 2573.29 7.45 15.98 2589.27
9 2589.27 8.65 18.66 2607.94
10 2607.94 9.85 21.41 2629.34
11 2629.34 11.05 24.21 2653.55
12 2653.55 12.25 27.09 2680.64
Total 180.65

Tabelul ne indică astfel atât dobânda acumulata,
cât și suma finală la sfârșitul anului. În plus, o dată
realizat tabelul, putem vedea suma pe care am încas a-o
dacă am retrage banii mai devreme de 1 an.
Procentul mediu de plasament se va calcula ca la
problema precedentă:
1100250065.180 ⋅⋅=p ⇒ %226. 7=p .

5. O persoană reușește să economisească în fiecare lun ă
suma de 500 lei . Se decide să constituie un depozit în

________________________________________Georgiana P opescu

153 care lunar să adauge suma de 500 lei . Dobânda de
10% se calculează lunar dar se bonifică într-un con t
curent (fără dobândă), nu în cel de depozit. Care v a fi
suma pe care o va avea în total în cele 2 conturi d upă
1 an, știind că pe parcursul anului nu a retras ban i nici
din contul de depozit nici din contul curent.
(depunerea lunară de 500 lei se face, de fiecare dată, la
începutul fiecărei luni). Dar după 5 ani?

Soluție
Am putea să calculăm cronologic. La începutul
primei luni persoana a depus 500 lei. La sfârșitul lunii,
dobânda va fi lei D 17. 4121
100105001 =⋅⋅= . După o lună
putem spune că în contul de depozit sunt 500 lei iar în
contul curent 4,17 lei.
La începutul celei de-a doua luni, se mai depun
500lei, deci depozitul va avea valoarea de 1000 lei, ceea ce
va implica dobânda lei D 33. 8121
1001010002 =⋅⋅= . Suma din
contul curent va deveni lei50.1233. 817. 4=+ .
Continuând cu acest procedeu pentru toate cele 12
luni am ajunge să răspundem la întrebarea din enunț .
Din nou suntem de părere că o astfel de variantă
este neplăcută. În plus, pentru a vedea câți bani a
economisit după 5 ani devine chiar foarte obositor.
Să încercăm să analizăm situația, în dorința de a
găsi o modalitate mai rapidă de calcul.
În prima lună vom calcula dobânda pentru suma
de 500 lei. În fiecare din lunile următoare suma se va mări

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

154
cu câte 500 lei. Astfel, în a doua lună am calcula pentru
1000 lei, adică am avea suma lei5002⋅ . În a treia lună am
ajunge să calculăm pentru leilei50031500 ⋅= . Pentru
fiecare din lunile următoare putem să scriem suma d in
contul de depozit ca fiind leik500⋅ , k reprezentând
numărul lunii (a câta lună consecutivă în care se d epun
cei 500 lei).
Dacă am scrie pe un caz general, în care, la
intervalul de timp t se depune suma S , cu procentul p,
am avea dobânzile, pentru primele luni, sub forma:
tpSD ⋅⋅=1001
tpSD ⋅⋅⋅=10022
tpSD ⋅⋅⋅=10033
………………………..
tpSkDk ⋅⋅⋅=100
Dobânda, după k perioade de timp, va fi suma
tuturor acestor dobânzi. Dacă adunăm aceste relații
obținem dobânda căutată D. Când facem suma putem da
factor comun tpS⋅⋅100.
Obținem:
( ) k tpSDDi ++++⋅⋅==∑ …321100
Din liceu se știe faptul că suma primelor n numere
naturale este ()
21…321+=++++nnn . Cu ajutorul acestei
relații, dobânda va deveni:

________________________________________Georgiana P opescu

155 ()
21
100+⋅⋅⋅=kktpSD
Suma din contul de depozit am văzut mai sus că
va fi Sk⋅. Vom putea astfel să determinăm atât valoarea
din contul de depozit cât și cea din contul curent în care
se varsă dobânda mai rapid.
Nu sugerăm să se rețină relația de mai sus ca
formulă. Am făcut calculul pe cazul general pentru a se
putea vedea că raționamentul se poate aplica în toa te
cazurile în care se depune periodic aceeași sumă în tr-un
cont.
Să revenim acum la problema considerată.
Suma depusă lunar este de 500 lei, procentul este
de 10%, iar timpul este de 1 lună.
Scriem relația pentru dobânda din prima lună,
fără a face calculele. Vom face același lucru și pe ntru
următoarele luni:
121
100105001 ⋅⋅=D
1 2 2121
100105002 D D ⋅=⋅⋅⋅=
1 3 3121
100105003 D D ⋅=⋅⋅⋅=
………………………..
1 12 12121
1001050012 D D ⋅=⋅⋅⋅=
Adunăm aceste relații și dăm factor comun 1D.
Vom obține valoarea dobânzii acumulate după 12 luni (1
an) în contul curent:
( )()
1 1 1 7221121212…321 D D DD =+=++++=

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

156
adică
lei D 300121
1001050072 =⋅⋅⋅= .
Suma din contul de depozit va fi lei600050012=⋅ .
În total, persoana va avea, după 1 an, suma de 6300 lei.
Pentru a vedea ce se întâmplă pentru 5 ani vom
proceda exact în același mod. 5 ani reprezintă 60 d e luni.
Vom avea deci 60 de depuneri a câte 500 lei. Suma din
contul de depozit va fi lei3000050060=⋅ . Să calculăm
suma din contul curent, adică dobânda acumulată pe
parcursul celor 60 de luni.
Avem:
121
100105001 ⋅⋅=D
1 2 2121
100105002 D D ⋅=⋅⋅⋅=
1 3 3121
100105003 D D ⋅=⋅⋅⋅=
………………………..
1 60 60121
1001050060 D D ⋅=⋅⋅⋅=
Adunăm aceste relații și dăm factor comun 1D.
Vom obține valoarea dobânzii acumulate după 12 luni (1
an) în contul curent:
Obținem:
lei D 7625121
100105001830 =⋅⋅⋅=
Suma totală va fi:
lei37625762530000 =+ ( )()
1 1 1 183021606060…321 D D DD =+=++++=

________________________________________Georgiana P opescu

157 2.5. Probleme propuse

1. Un client a constituit un depozit la vedere cu o ra tă
anuală a dobânzii de 3,8%. La constituire a depus
1800 lei. După zece zile a mai depus încă 200 lei. După
alte 7 zile a scos 450 de lei. Ce dobândă va primi după
30 de zile de la constituirea depozitului?

2. Suma de 870 lei este plasată intr-un depozit la ved ere
cu o rată anuală a dobânzii de 6 %. După 15 zile se
face o depunere de 375 lei, rata dobânzii fiind ace easi,
iar după alte 8 zile pe același depozit se mai depu n
120 lei. Care este suma finală a depozitului dupa 3 0
zile de la constituire?

3. O persoană constituie un depozit la vedere cu o rat ă
anuală a dobânzii de 4%. Suma depusă este 2000 lei.
După 3 zile persoana a mai depus 500 lei, iar după
alte 20 zile a retras 1000 lei. Ce dobândă va primi
dupa 60 zile de la constituirea depozitului?

4. Un client a constituit un depozit la o lună, cu un
procent anual al dobânzii de 7,8%. Valoarea
depozitului este de 6350 lei. Ce sumă va ridica ace sta
după 25 zile de la constituirea depozitului?

5. Un client a constituit un depozit la 2 luni cu un
procent anual al dobânzii de 9,5%, in valoare de 250 0

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

158
lei. Ce sumă va ridica acesta după 18 de zile? Dar
după 3 luni?

6. O persoană plasează doua sume de bani astfel: 2000
de lei intr-un depozit la o lună de zile cu capital izarea
dobânzii pentru care primește o dobândă anuala de
9% si 700 de lei intr-un depozit la vedere cu o rat ă a
dobânzii de 4 %. Din depozitul la vedere după 10 zi le
efectuează o extragere de 100 lei, iar după alte 7 zile
mai retrage 150 lei. Ce dobândă va primi persoana
după 30 zile de la constituirea depozitelor?

7. Care este suma pe care o primește un client în urma
constituirii unui depozit cu scadența la 6 luni, fă ră
prelungire automată, în valoare de 3000lei, cu un
procent anual al dobânzii de 15%?

8. Se constituie un depozit cu scadența la o lună in
valoare de 1450 lei cu un procent anual al dobânzii de
7,8 %. După 28 de zile de la constituirea depozitul ui
se solicită retragerea a 300 lei. Care va fi suma c u care
se va forma un nou depozit?

9. Un client constituie un depozit la termen cu scaden ța
la 4 luni în valoare de 5000lei. Care va fi dobânda pe
care o va primi după 4 luni, știind că rata anuală a
dobânzii este de 18%?

________________________________________Georgiana P opescu

159 10. 10.O persoană plasează suma de 8000 lei intr-un
depozit cu scadența la 6 luni si o rată anuală a
dobânzii de 10 %. Ce sumă va primi persoana la
maturitatea depozitului?

11. Un depozit cu scadența la o lună în valoare de 3000 lei
este constituit cu prelungire fără capitalizare, cu o rată
a dobânzii de 9%. Bonificarea dobânzii se face luna r
într-un cont curent care nu aduce dobândă. Știind c ă
titularul depozitului nu umblă nici la banii din
depozit, nici la banii din contul curent și că rata
dobânzii rămâne constantă pe întreaga perioadă, să se
afle care va fi dobânda acumulată de acesta:
– după o lună;
– după 5 luni;
– după 12 luni.

12. O persoană constituie un depozit în sumă de 125000
lei pe o perioadă de 1 an incepând cu prima zi
lucrătoare din an. Dobânda atribuită de bancă este
9,25% pe an. Persoana poate ridica dobânda lunar. Î n
cazul in care nu ridică această dobândă lunar, ea es te
capitalizată într-un cont auxiliar cu un procent de 4%.
Să se determine suma finală in cazul in care persoa na
nu ridică dobânda lunar. Să se precizeze procentul
mediu de capitalizare.

13. O persoană constituie un depozit bancar la termen c u
scadența la 3 luni in valoare de 700 lei si rata an uală a

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

160
dobânzii de 11%.Prelungirea depozitului de face
automat fară capitalizarea dobânzii. Ce dobândă va
primi persoana la maturitatea depozitului in
condițiile in care suma din contul curent nu
beneficiază de dobândă si persoana nu a mai efectua t
alte operațiuni bancare pe contul respectiv? Ce sum ă
va ridica persoana după 7 luni si 10 zile?

14. Un depozit cu scadența la o lună în valoare de 4700 lei
este constituit cu prelungire cu capitalizare, cu o rată
a dobânzii de 6,8%. Bonificarea dobânzii se face lu nar
și se adaugă la suma depozitului. Știind că titular ul
depozitului nu umblă la banii din depozit și că rat a
dobânzii rămâne constantă pe întreaga perioadă, să se
afle care va fi suma pe care va putea să o retragă:
– după o lună;
– după 6 luni;
– după 10 luni;
– după 1 an; care este procentul mediu de plasament
al sumei depuse in această situație?

15. Suma de 3300 lei se constituie într-un depozit cu
scadența la 5 luni si o rată a dobânzii de 9,5%.
Bonificarea dobânzii de face la maturitatea
depozitului, in contul de depozit. Se consideră că
acesta se prelungește automat in aceleași condiții,
procentul anual de dobândă rămânând constant pe
întreaga perioadă analizată, si nu mai au loc depun eri
sau retrageri din cont. Care va fi suma finală după ?

________________________________________Georgiana P opescu

161 – după 10 luni;
– după 25 luni;
– după 28 luni.
Notă: Considerăm că la contul curent banca nu acord ă
dobândă.

16. Se constituie un depozit in valoare de 1900 lei pe
termen de 7 luni cu prelungire automată a
depozitului la maturitate si bonificarea dobânzii. Rata
anuală a dobânzii este 10 %. Știind că titularul nu
efectuează alte operațiuni pe contul respectiv si r ata
dobânzii rămâne constantă pe perioadele analizate s ă
se afle care va fi suma finală după:
– după 7 luni;
– după 14 luni;
– după 28 luni.

17. Un client constituie un depozit la termen cu scaden ța
la 2 luni în valoare de 800lei. Care va fi dobânda pe
care o va primi după 2 luni, știind că rata anuală a
dobânzii este de 6.5%? Dar după 2 luni și 20 zile? Dar
după 13 luni? (dobânda nu se capitalizează)

18. Un client constituie un depozit la termen cu scaden ța
la 1 an în valoare de 10000lei. Care va fi dobânda pe
care o va primi după 6 luni, știind că rata anuală a
dobânzii este de 20%? Dar după 1 an?

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

162
19. Suma de 15000lei se constituie într-un depozit cu
scadența la 3 luni cu o rată anuală a dobânzii de
8,75%. Bonificarea se face la maturitatea depozitul ui,
în contul de depozit. Se consideră că depozitul se
prelungește automat iar procentul anual rămâne
constant pe întreaga perioadă analizată. Care va fi
suma finală:
– după 3 luni;
– după 1 an;
– după 14 luni.

20. O persoană plasează doua sume astfel: prima de 6000
lei într-un depozit cu scadența la o lună si cu rat a
dobânzii de 17% , dobânda fiind bonificată lunar la
depozit, iar cealaltă de 4000 lei într-un depozit l a
termen cu rata dobânzii de 15%, fără capitalizarea
acesteia. Știind ca timp de 10 luni de zile datele
problemei rămân neschimbate și nu se efectuează alt e
depuneri sau restituiri de sumă, iar instituția
financiară nu acordă dobândă pentru sumele din
contul curent (auxiliar), să se precizeze:
– suma finală din cont după 5 luni;
– suma finală din cont după 10 luni;
– să se compare sumele finale din cele 2 depozite și
să se explice, pentru fiecare in parte, alegerea fă cută.

21. Suma de 4600 lei s-a constituit într-un depozit cu
dobândă progresivă cu scadența la 1 an. Dobânda se
calculează lunar, dar se bonifică la maturitatea

________________________________________Georgiana P opescu

163 depozitului. Procentul anual al dobânzii este difer it
pentru fiecare lună. Aceste procente sunt, în ordin e:
5,25%, 5.50%, 5,75%, 6%, 6,25%, 6,75%, 7,25%,7,75%,
8,50%, 9%, 9,50%, 10%. Să se determine suma totală
care va fi retrasă la sfârșitul anului precum și
procentul mediu de plasament pentru suma de
4600 lei.

22. Suma de 5830 lei s-a constituit într-un depozit cu
dobândă progresivă cu scadența la 1 an. Dobânda se
calculează și se bonifică lunar în contul de depozi t.
Procentul anual al dobânzii este diferit pentru fie care
lună. Aceste procente sunt, în ordine: 6,1%, 6,85%,
7,35%, 7,80%,8 %, 8,35%, 8,60%, 8,95%, 9,25%, 10%
,10,60%, 11.30%. Să se determine suma totală care v a
fi retrasă la sfârșitul anului precum și procentul
mediu de plasament pentru suma de 5830 l ei.

23. O persoană formează la data de 3 ianuarie 2011 un
depozit în valoare de 28804 lei. Instituția financi ară
acordă o dobândă de 10%, aceasta putând fi ridicată
lunar. Dacă dobânda nu se ridică, ea se păstrează î ntr-
un cont auxiliar, cu o dobândă de 3%. La 1 aprilie
2011, instituția financiară modifică dobânzile, ace stea
devenind 11,5%, respectiv 4%. La 1 august dobânzile
devin 9%, respectiv 3,5%. La 4 octombrie se modific ă
rata dobânzii în 8%, respectiv 2%.Se cere:
a. Să se determine suma finală si procentul
efectiv de capitalizare în cazul in care

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

164
dobânda este menținută tot anul in contul
auxiliar;
b. Să se determine suma finală si procentul
efectiv de capitalizare in cazul in care la
fiecare modificare de dobândă suma
acumulată până la acea dată in contul
auxiliar este introdusă in capitalul inițial.

24. O persoană reușește să economisească în fiecare lun ă
suma de 350 lei . Se decide să constituie un depozit în
care lunar să adauge suma de 350 lei . Dobânda de 7%
se calculează lunar dar se bonifică într-un cont cu rent
(fără dobândă), nu în cel de depozit. Care va fi su ma
pe care o va avea în total în cele 2 conturi după 1 an,
știind că pe parcursul anului nu a retras bani nici din
contul de depozit, nici din contul curent. (depuner ea
lunară de 350 lei se face, de fiecare dată, la începutul
fiecărei luni). Dar după 3 ani?

25. Suma de 500 lei este depusă cu un procent de 8% în
regim de dobândă compusă. Să se calculeze valoarea
finală a sumei peste 6 ani si 6 luni. R : 8245,64 l ei.

26. Suma de 10000 lei este plasată în regim de dobândă
compusă cu un procent de 10,25%. Care este valoarea
finală a sumei depuse peste 16 ani? Dar peste 16 an i si
7 luni? R: 47649,41 lei; 50498,45 lei.

________________________________________Georgiana P opescu

165 27. Suma a două capitaluri este 6500 lei. Primul capit al
este plasat cu un procent de 12%, iar al doilea cap ital
este plasat cu un procent de 14 %. Știind că sumele
finale devin egale după o perioadă de 8 ani, să se
determine valoarea fiecăruia dintre cele doua
capitaluri. R: 3479,70 lei; 3020,30 lei.

28. Suma de 3000 lei se plasează in regim de dobândă
compusă pe 3 ani, cu un procent anual al dobânzii d e
8 %. În următorii 4 ani procentul este 10 %, iar pe ntru
alți 4 ani procentul devine 12,5%. Care va fi capit alul
obținut la sfârșitul celor 11 ani si procentul medi u de
plasament? R: 8862,849 lei; p = 17,77%.

PRODUSE DE ECONOMISIRE _________________________________

166

1 67

BIBLIOGRAFIE

1. Chiriță S., Probleme de matematici superioare , Ed.
Didactică și Pedagogică, București, 1989;
2. Ciucu G., Craiu V., Sacuiu I., Culegere de probleme
de teoria probabilitatilor , ed Tehnica, Bucuresti 1974;
3. Dedu S., Serban F., Matematici aplicate in economie ,
ed Teocora, 2007;
4. Filip A., Spataru S., Mircea I., Teoria probabilitatilor.
Statistica matematica. Matematici financiare , ed. ASE,
Bucuresti 2002;
5. Iarca I., Popescu G., Vilcu G., Matematici aplicate in
economie , Ed. UPG, Ploiești 2002;
6. Isbasoiu D., Teoria probabilitatilor. Statistica
matematica , supor de curs ID, UPG 2012;
7. Oprescu Gh., Ghic G., Manole S., Chirciu E.,
Matematici aplicate in economie , Ed. Independența
Economică, Brăila, 1999;

168
8. Popescu G., Introducere in teoria probabilitatilor ,
Ed.Perfomantica, Iasi 2014
9. Popescu G., Dumitru I., Elemente de matematici
superioare. Algebra liniara si analiza matematica , Ed.
PIM, Iasi 2009
10. Popescu G., Mocanu D., Elemente de matematici
superioare. Matematici economice , Ed. Performantica,
Iasi 2011
11. Popescu G., Petcu Al., Matematică elementară pentru
invățămantul superior , Ed. Premier, Ploiești 2007;
12. Popescu G., Matematici aplicate in economie , Ed.
Tehnopress, Iasi 2013
Resurse internet:

1. www.finzoom.ro/dictionar
2. www.conso.ro

169

CUPRINS

CUVÂNT ÎNAINTE 3

I. DOBÂNDA. NOȚIUNI DE BAZĂ 5
1.1. Dobânda simplă 8
1.2. Probleme rezolvate 20
1.3. Probleme propuse 33

II. RAMBURSĂRI DE CREDITE 42
2.1. Noțiuni introductive 42
2.2. Rambursarea cu amortismente egale (rambursarea
cu rate descrescătoare) 48
2.3. Rambursarea cu rate egale 59
2.4. Grad maxim de indatorare 71
2.5. Comisioane atasate creditelor 77
2.6. Dobanda anuala efectiva 80
2.7. Probleme rezolvate 86
2.8.. Probleme propuse 120

III. PRODUSE DE ECONOMISIRE 129
3.1.Depozite bancare. Capitalizare 129
3.2.Dobânda compusă 141
3.3. Probleme rezolvate 145
3.4. Probleme propuse 157

167

170