Modalitati Si Procedee de Rezolvare a Problemelor In Scopul Cultivarii Creativitatii Elevilor

CUPRINS

– ARGUMENT

– CAPITOLUL I. Dezvoltarea creativității in activitatea didactica

– CAPITOLUL II. Valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor in vederea dezvoltării creativității

a). Rezolvarea problemelor sistematizate pe categorii in raport cu dificultățile, pe care Ie ridica

b). Analiza minuțioasa a problemei pentru o mai lunga cunoaștere a datelor, a condiției si a întrebării problemei

c). Stabilirea legaturilor logice intre perechile de date si redarea acestora printr-o schema grafica

d). Modalități si procedee de rezolvare a problemelor in scopul cultivării creativității elevilor

e). Compunerea problemelor

f). Aportul jocului didactic in invatarea matematicii

– CAPITOLUL III. Desfășurarea cercetării si interpretarea rezultatelor

– PROIECT DIDACTIC

– CAPITOLUL IV. Concluzii

– Bibliografie

ARGUMENT

Scoală româneasca a zilelor noastre acorda o cat mai mare importanta invatarii ca activitate complexa de însușire activa a cunoștințelor, priceperilor si deprinderilor, de asimilare a experienței, care sa duca la dezvoltarea personalității prin dobândire de noi capacități de a acționa si la modificarea adaptiva progresiva a comportamentului individual la noile cerințe ale vieții si activității pe care o desfășoară.

In acest sens , Alvin Tofler considera ca " analfabetul de mâine nu va fi cel care nu știe sa citească, ci va fi cel care nu a invata cum sa invete…."

Astăzi invatarea se bazează tot mai puțin pe memorizarea mecanica sau pe însușirea de cantități mari de cunoștințe, pentru ca anul viitorului nu va fi un depozit de cunoștințe, ci el se va orienta tot mai mult spre a invata cum sa invete, eficient, inteligent si creativ nu mecanic, ineficient si neproductiv. De altfel, programele si manualele școlare pun accentul nu atât pe însușirea de cunoștințe , cat mai ales , pe invatarea de metode si tehnici de munca intelectuala, de identificare, de regăsire si de utilizare a informațiilor, pe invatarea de metode si tehnici care sa stimuleze creativitatea elevilor.

In acest context studiul matematicii la clasele I-IV capata o importanta deosebita , caracterizata prin însușirea unor tehnici de calcul, care stau la baza descoperirii, unor noi adevăruri matematice. In același timp deschide calea , prin rezolvarea si compunerea unor probleme, dezvoltării creativității elevilor, inca de la aceasta vârsta.

In lucrarea de fata am plecat de la realitatea ca, in contextul eforturilor de modernizarea predării invatarii matematicii la clasele I-IV, invatatorul dispune de condițiile necesare sporirii valențelor formative , ale activității de rezolvare si compunere a problemelor destinate cultivării creativității elevilor din acest nivel de invatamant.

Consider necesar sa subliniez, ca pe baza ideilor desprinse din lucrările de specialitate si a unei experiențe didactice personale, activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica destinate cultivării creativității elevilor de vârsta școlara mica are un caracter procesual treptat, cu aceasta activitate, bine înregistrata in predarea si invatarea matematicii, ii ajuta pe elevi sa retina mai bine, mai durabil, cunoștințele invatate, sa le integreze mai profund in experiența lor de viata, sa stabilească corelații si asociații multiple si variate cu alte cunoștințe pe care le-au dobândit.

M-am oprit la aceasta tema din dorința de a pune in evidenta ca aceasta activitate, de rezolvare si compunere a problemelor de matematica desfășurata la invatamantul primar sporește eficienta procesului instructiv-educativ, le dezvolta elevilor, chiar de vârsta nivelului de invatamant in discuție, puncte de vedere proprii, gândirea si fantezia, ca aceasta activitate exclude înregistrarea mecanica, naiva, obositoare, adesea neselectiva, necritica si nesistematizata, a cunoștințelor studiate in scoală.

Dezvoltarea creativității este cerința de prim ordin a educației formative. Se realizează atât prin activități practice, desfășurate in producție, in munca de cercetare sau in scoală, cat si prin activități teoretice.

Lucrarea de fata se refera numai la posibilitățile de a dezvolta creativitatea elevilor din clasele I-IV prin studiul matematicii si in special prin rezolvarea si compunerea de probleme -care fac apel la o gândire investigatoare, maleabila si constructiva.

Pentru clarificarea si dezvoltarea temei am consultat lucrările insirate in bibliografie si am valorificat propria experiența didactica.

Eficienta procedeelor folosite este tradusa prin randamentul școlar al elevilor.

CAPITOLUL I.

DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII IN

ACTIVITATEA DIDACTICA

In procesul de invatamant nu ne propunem sa formam neapărat mari creatori ale căror produse sa fie absolut originale si sa contribuie la progresul vieții sociale prin schimbarea unor semnificații existente:

Un număr mare de psihologi precizează ca, in procesul de invatamant nu interesează produsul elevilor ca valoare sociala, ci – in plan psihologic – interesează suplețea soluției găsite pentru rezolvarea problemelor școlare solicitate de către invatator sau profesor; interesează măsura in care soluțiile găsite in rezolvarea problemelor școlare – prin caracterul lor relevator -produce elevilor o stare de surpriza si in același timp o trăire intensiva in plan afectiv; aceasta reanima dorința si curiozitatea de a descoperi si alte cai si soluții mai relevante , sau cum se exprima P. Olerom ca " ori de cate ori un copil , pus in fata unei probleme, restructurează datele problemei sau imaginează procedeul ce conduce la soluție, independent de faptul daca aceasta este o sarcina școlara, a vieții curente, sau un test, el înfăptuiește o invenție".

1. Conceptul de creativitate

Termenul de creativitate este utilizat in lucrările de specialitate abia in a doua jumătate a secolului nostru, cu toate ca, inca din 1877, Littre a introdus adjectivul "creativ" in suplimentul de la "Dicționarul limbii franceze", cu sensul de "cine are calitatea de a crea".

Conceptul de creativitate nu este clar definit pana in prezent , el fiind luat in diferite accepțiuni, unele mai largi, altele cu totul unilateral; inteligenta fluida (R.B. Cottel), gândire divergenta( I.P.Guilford), rezolvarea specifica de probleme ( A. Newell J.C. Shorw si MA Simon). rezolvare de probleme slab structurate (Jeroma Brumer), imaginație creatoare (Teodule RiboL Jean Piaget), imaginație constructiva (A. Osborn), gândire aventuroasa (F.Bartlatt).

Sintetizând diferitele încercări de definire a conceptului de creativitate, Alexandru Rosca ajunge la concluzia ca el este luat de obicei, intr-una din următoarele trei accepțiuni:

a). – In mod obișnuit, acest concept se refera la procesul creator, adică la activitatea psihica care are drept rezultat un produs caracterizat prin noutate (originalitate) si valoare.

b). – Conceptul este folosit si in sensul de facultate sau capacitate a persoanei de a inventa sau descoperi ceva.

c). – In sens mai larg, creativitatea se refera si la găsirea de soluții sau metode , care nu sunt noi pentru societate, dar la care un individ a ajuns pe cale independenta.

In lucrare mă voi referi mai ales la acest din urma sens, deoarece el are analogii cu activitatea creatoare individuala a elevului in cadrul procesului de invatamant. Elevul nu descoperă adevăruri matematice originale, care sa imbogateasca știința matematicii, așa cum au făcut marii matematicieni, începând cu Euclid, Pithagora si continuând cu Descartes, Laibniz, Poincare, Boole, Rioman., etc, ci afla prin propriile forte, reguli, soluții si procedee de rezolvare noi pentru el. Este totuși un act asemănător cu cel de creație, chiar daca-i lipsește o finalitate cu caracter util si original.

2. Factorii creativității

Factorii care influențează creativitatea sunt numeroși, variați si se pot combina in structuri foarte diferite "creativitatea ca formație sintetica de personalitate dispune de o structura complexa ce unifica in ordinea importantei, motivația si orientarea specifica, imaginația constructiva si inteligenta". A dispune acești factori in ordinea importantei lor este un lucru foarte dificil.

Opiniile pedagogilor care s-au ocupat de acest aspect al problemei – J.P. Guilford, JA. Chambers, J E. Anderson, E.P. Torrance. A.Rosca, Paul Popescu – Noveanu – sunt diferite, unii socotind ca elementele determinante ale actului de creație sunt de natura intelectuala, alții ca aptitudinile speciale sau comportamentale motivaționale sunt principalii parametri. Realizând o sinteza a diferitelor opinii, A.Rosca, in lucrarea sa "Creativitatea" face si o clasificare a factorilor creativității, fara pretenția de a-i ierarhiza după importanta lor :

A – Factori subiectivi, adică însușiri ale persoanei creatoare:

1. Factori intelectuali:

a) gândirea creatoare, cu calitățile ei: fluenta, flexibilitatea si originalitatea;

b) imaginația creatoare;

c) memoria, in special a structurilor logice.

Aptitudinile speciale, in cazul nostru aptitudinile pentru matematica;

Factorii motivaționali si de personalitate;

a) motivația care dezlănțuie, susține si orientează activitatea;

b) unele trasaturi de temperament si de caracter ca: sensibilitatea fata de mediu, inițiativa, tenacitatea, încrederea in forțele proprii.

B. Factori obiectivi

Condițiile social -istorice, care pot favoriza sau nu activitatea de creație intr-un anumit domeniu;

Educația.

Mă voi referi in continuare , la cativa din acești factori, care par a fi determinați in actul de creație si in special, in domeniul matematicii:

1. Mai intai precizam ca, după numeroase cercetări prin teste , majoritatea
psihologilor au ajuns la concluzia ca activitatea creatoare presupune o inteligenta normala sau peste cea medie, dar nu întotdeauna individual cu un coeficient de inteligenta ridicat este si creator.

Constatări asemănătoare am si personal in activitatea cu elevii. Puși in fata unor situații problematice la matematica, unii elevi cotați ca mediocri au găsit mai repede cai inedite de rezolvare. In schimb asemenea surprize nu s-au ivit la elevii cu un nivel coborât al inteligentei.. Se poate conchide ca inteligenta este o cerința sine qua non a creativității, dar nu factorul caracteristic.

2. Hotărârea in creație pare sa fie o anumita specificitate a gândirii. După Guilford, gândirea creatoare este divergenta, spre deosebire de gândirea obișnuita, care este convergenta. Gândirea convergenta folosește mai ales documentația, silogismul, metodele standard respectând o logica stricta si căutând sa meargă pe drumul cei mai scurt la ținta, care de altfel este, de cele noi multe ori si singurul drum corect.

Procesele algoritmice sunt de natura convergenta , deoarece asociațiile se realizează după reguli precise , neluând in considerație decât acele elemente care au strânsa legătura cu telul urmărit. Cu alte cuvinte se merge pe un drum bine marcat, chiar daca uneori anevoios.

Iată un exemplu de problema care face apel, la gândirea convergenta: "Cu a treia parte din banii pe care ii avea la el, un muncitor a cumpărat o pereche de bocanci de 875000 lei, iar cu restul de bani a cumpărat 5 m de stofa pentru rochii. Cat a costat metrul de stofa?"

Judecata problemei se poate realiza analitic, pornind de la rezultatul pe care elevii trebuie sa-1 afle. Ca sa afle cat a costat metrul de stofa, trebuie sa știe cați metri de stofa a cumpărat muncitorul (ceea ce se da in problema) si cat a dat pe toata stofa. Deci s-a făcut unica asociație de idei raționala in acest caz: costul unui metru de stofa a fost asociat cu costul întregii stofe cumpărate si numărul de metri, prin operația de impartire. Petru a afla costul stofei, elevii trebuie sa știe cați bani a avut muncitorul si cați a cheltuit pe bocanci (ceea ce ni se da in problema). Cați bani a avut muncitorul se poate deduce din faptul ca 875000 lei reprezintă o treime. Rezolvarea se face parcurgând calea inversa:.

Gândirea divergenta este orientata spre diversitatea de soluții pei a cumpărat 5 m de stofa pentru rochii. Cat a costat metrul de stofa?"

Judecata problemei se poate realiza analitic, pornind de la rezultatul pe care elevii trebuie sa-1 afle. Ca sa afle cat a costat metrul de stofa, trebuie sa știe cați metri de stofa a cumpărat muncitorul (ceea ce se da in problema) si cat a dat pe toata stofa. Deci s-a făcut unica asociație de idei raționala in acest caz: costul unui metru de stofa a fost asociat cu costul întregii stofe cumpărate si numărul de metri, prin operația de impartire. Petru a afla costul stofei, elevii trebuie sa știe cați bani a avut muncitorul si cați a cheltuit pe bocanci (ceea ce ni se da in problema). Cați bani a avut muncitorul se poate deduce din faptul ca 875000 lei reprezintă o treime. Rezolvarea se face parcurgând calea inversa:.

Gândirea divergenta este orientata spre diversitatea de soluții pentru care căile de rezolvare nu sunt date. Ea folosește " traiectorii complicate de ordin reflexiv, mai apropiate sau mai depărtate de situația trăita nemijlocit si de regula trebuie sa folosească traiectorii reflexive aparent desprinse de situațional, prin caracterul incert al problemelor ce le pune viata."

Rezolvatorul trebuie sa tatoneze, sa-si creeze singur strategii, sa facă uneori asociații neașteptate, neprevăzute, cu elemente ce aparent nu au legătura cu problema.

Iată un exemplu de problema care poate fi oferita elevilor din clasele I-IV, ce face apel la gândirea divergenta:

Completați spațiul liber cu un număr in așa fel incat sa se respecte aceeași regula la toate cercurile:

Regula după care sunt dispuse numerele nu este data si nici nu se cunoaște o cale sigura pentru a o găsi. Elevii sunt puși in situația sa încerce posibilități ,dar acestea sunt practic nelimitate. A încerca la întâmplare sau numai pe cai întâlnite cu alte ocazii nu asigura succesul. Mulți sunt tentați, de exemplu, sa obtina al treilea număr printr-o operație intre primele doua, dar constata curând ca nu ajung la nici un rezultat. Aici intervine gândirea digestiva, care se orientează in mulțimea de cai, le selectează pe cele cu posibilitate mai mare de reușita si, eventual, după câteva insuccese, găsește regula, care in cazul nostru este:

(x +y) : 3=z

Gândirea creatoare sau divergenta, cum o numește Guilford, are o serie de caracteristici: fluenta, flexibilitatea, originalitatea, restructurarea, redefinirea.

a). – Fluenta este capacitatea de a realiza cat mai multe asociații de idei si cu o ușurința cat mai mare. Fluenta presupune o dezghețare a informațiilor înmagazinate in mintea individului, astfel incat sa se poată realiza asociații inedite inlaturand convențional si cenzura rigida a propriului aparat logico-critic. Ne putem convinge ușor de fluenta gândirii elevilor noștri, cerându-le sa creeze diferite probleme cu trei numere date. Elevii care nu poseda gândire fluenta găsesc puține probleme si le formulează cu aceeași termeni si in același mod ca modelul dat de invatator sau colegii lor.

Dimpotrivă, elevii cu gândire fluenta găsesc un număr mare de variante, diferite intre ele, uneori neașteptate.

De exemplu dându-li-se numerele 5; 9; 13, un elev poate construi o problema in felul următor:

"Așezați doua mere unul langa altul, astfel incat numărul obținut sa se imparta exact la al treilea."

Soluția: 135 : 9

b). Flexibilitatea este calitatea "sine qua non" a gândirii creatoare. Prin flexibilitate se înțelege capacitatea gândirii de a se adapta la situații noi de a restructura asociațiile vechi in conformitate cu problematica existenta. Ea este opusa rigidității si inerției gândirii.

Majoritatea elevilor isi însușesc cu ușurința algoritmii de rezolvare ai problemelor tipice si ii aplica in mod corect, dar greutățile apar atunci când sunt puși in fata unor probleme atipice, când trebuie sa găsească sau sa creeze singuri căile de rezolvare. In asemenea situații intra in acțiune flexibilitatea gândirii, gândire care nu e incorsetata in reguli rigide, ei caută, revine, se îndoiește, formulează ipoteze, le verifica, invata din greșeli, se modelează după împrejurări.

Problema următoare, face apel la flexibilitatea gândirii matematice:

"Se cumpăra bilete de teatru de 96000 lei. Exista bilete de 16000 lei si de 12000 lei. Cate bilete s-au cumpărat? Exista 3 posibilități!"

Elevii sunt puși in fata unei probleme ce nu seamănă cu cele cunoscute de ei, deoarece problema nu este unic determinata. Ei nu dispun de o strategie invatata anterior pentru rezolvarea unei asemenea probleme, deci trebuie sa o creeze, eventual sa creeze mai multe strategii si sa încerce cu fiecare. lata una dintre posibilitățile de a gândi ale elevilor .

Mai intai trebuie sa sesizeze condiția implicita ca nu se poate decât un număr întreg de bilete. Apoi sa încerce daca e posibil ca toate bilete sa fie de 12000 lei (aceasta idee este un rezultat al flexibilității gândirii ).

Constata ca e posibil , deoarece 96000 se împarte exact la 12000 si in acest caz s-au cumpărat 96000 : 12000 = 8 bilete a 12000 lei. Reușita ii face sa încerce si toate bilete sunt de 16000 lei – Constata ca si aceasta soluție este posibila, in care caz s-au vândut 96000 : 16000 = 6 bilete a 16000 lei.

Activitatea intelectuala a elevilor in cursul rezolvării acestei probleme este evident creatoare. Ea nu este suficienta fara acel atribut al gândirii, care a fost numit flexibilitate.

c). Originalitatea este un atribut al gândirii creatoare la care mă voi referi mai puțin deoarece isi face simțită mei puțin prezenta in activitatea elevilor din ciclul primar. "Indiciul originalității îl constituie caracterul neobișnuit al soluțiilor, raritatea lor statistica, ingeniozitatea si caracterul surprinzător al apropierii intre cunoștințele utilizate."

d). Si alte forme sau calități ale gândirii contribuie la eficienta actului intelectual creator. Așa sunt: capacitatea de restructurare a schemelor operaționale, capacitatea de redefinire, gândirea euristica, cunoscuta inca din activitate, gândirea probabilistica si analogica, folosirea mai ales in știința moderna.

Voi da in continuare, un exemplu de problema care deprinde pe copii cu folosirea gândirii probabilistice:

"Sa se înlocuiască figurile cu nr. 1, 2, 3, 4, 5, astfel incat adunarea sa fie corecta".

Sigur ca elevii ar putea face încercări de substituire a figurilor cu număr la întâmplare, dar le-ar trebui foarte mult pana ar găsi soluția problemei.

Gândirea probabilistica selectează din mulțimea de posibilități pe acelea care au o probabilitate mai mare sa satisfacă condițiile puse de problema. După ce elevii arunca o privire de ansamblu asupra adunării isi concentrează atenția asupra coloanei a II-a ( numerotând coloanele de la dreapta la stânga), deoarece aici au numărul cel mai mic de posibilități (2) si deci de încercări, pentru ca au numărul cel mai mare de condiționări (3).

numărul trebuie sa fie luate din cele date : 1, 2, 3, 4, 5;

numerele trebuie sa fie diferite, pentru ca figurile sunt diferite

suma lor trebuie să fie 9.

Aceste condiții nu sunt îndeplinite decât de doua numere : 4 si 5; deci exista doua

posibilități

Elevii urmează sa încerce cu fiecare din cele doua posibilități, care dau naștere la diferite variante posibile, ce trebuiesc verificate. Daca se ia varianta

se observa ca e mai ușor să continuie încercările pe coloana a III a, unde sunt numai două

deoarece figurile sunt diferite. Verificarea dovedește ca numai a

+

Unii elevi cu gândire convergenta, care nu-si pun singuri întrebări si probleme,care nu au îndoieli,nu poseda spirit investigator ar putea sa se oprească aici, deoarece au găsit soluția problemei.

Cei cu gândire divergenta, investigatoare ,mereu in alerta,isi pot pune problema daca nu cumva exista si alte soluții. Si intr-adevăr, continuând cercetarea mai găsesc o posibilitate

3. Fara îndoiala este ca imaginația creatoare joaca de asemenea un rol important in diferite activități de creație, in special in relația artistica dar si in cea tehnico-științifica.

CAPITOLUL II

VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A

PROBLEMELOR, IN VEDEREA DEZVOLTĂRII CREATIVITĂȚII

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite.

In sens psihologic „o problemă este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică, sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata format".

In general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial printr-un proces de gândire și calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau unui complex de relații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

In cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicarea cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide ( noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul ), precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.

Rezolvarea de probleme pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale de ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar programa acordă problemelor o foarte mare atenție.

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și, firesc, motivaționl – afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și a descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere in problemă. în acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților anticipativ – imaginative, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. în același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multe probleme, în cadrul cărora se subliniază o proprietate, definiție și regulă ce, urmează a fi învățate.

Prin rezolvarea problemelor de matematică, elevii își formează deprinderi eficiente de muncă, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ, își cultivă și educă calitățile moral – volitive. în același timp activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală a elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță,viteză, timp, preț de cost, normă, cantitate, dimensiune, greutate, arie, etc.

Problemele de aritmetică fiind strâns legate cel mai adesea prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea elevilor, la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului colectivist, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor auto-educative, al conduitei rezolutive.

Am enumerat câteva din valențele formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, pentru a justifica importanța acordată de programele școlare și pentru a arăta atenția mare acordată acestei activități școlare.

„Rezolvarea exercițiilor și problemelor – principala activitate prin care se însușesc științele matematice, solicită un efort de gândire independentă și creatoare. As putea spune, pe aceasta bază, că prima calitate formativă a matematicii ar fi aceea de a cultiva de la cea mai fragilă vârstă aptitudini de cercetare științifică".

Activitatea de rezolvare a problemelor are un efect formativ mai evident la clasele mici, unde se pun bazele formării trăsăturilor morale exercitând o influență formativă asupra elevilor pe toată perioada studiului matematicii.

Rezolvarea problemelor sistematizate pe categorii

în raport cu dificultățile pe care le ridică

Deprinderile matematice de a rezolva probleme se pot realiza numai prin exercițiu.

Referindu-se la necesitatea antrenamentului în munca de rezolvare și compunere a problemelor George Polya spune că: „a ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul, șahul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu … dacă vreți să învățați înotul trebuie să înotați în apă, iar dacă vreți să învățați probleme, trebuie să rezolvați probleme".

Pentru formarea noțiunii de problemă se parcurg câteva etape :

1.- rezolvări de probleme simple, cu date din mediul înconjurător, numai oral;

2.- rezolvări de probleme după date desenate ( schițate );

3.- completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr-o problemă, astfel să se poate rezolva, apoi rezolvarea ei;

Exemple:

I. „S-au sădit 40 fire de flori. Lalelele , panseluțe , iar restul garoafe. Câte

garoafe s-au sădit ?

II. „într-un dulap de la bibliotecă sunt cărți. Pe primul raft sunt 16 cărți, pe al II-

lea 21, iar pe al trei-lea restul. Câte cărți sunt pe cele trei rafturi ale dulapului?"

• 4.- completarea de către elevi a întrebării la problemă,apoi rezolvarea ei; Exemplu: „12 elevi din școala noastră au fost în tabără la mare, iar 10 în tabără la munte.

Restul până 89 au mers intr-o excursie."

• 5.- compuneri de probleme de către elevi după un „dicționar" de întrebări, de produse sau de alte elemente de orientare.

In etapele a 2-a, a 3-a,a 4-a și a 5-a elevii sunt puși în situația de a gândi creator.

In etapa a 2-a, imaginația elevului și analiza situațiilor posibile îi ajută în corespondența dintre datele schițate și realitate.

Prin completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr-o problemă, astfel ca să se poată rezolva, elevii au căutat situații posibile și eventual optime, realizându-se astfel educarea flexibilității gândirii în acest proces conținu de autocontrol.

Completarea de către elevi a întrebării la problemă, îi pune în situația de a lua unele decizii legate de practica vieții, precum și în situația realizării unei concordanțe între cele două componente ale problemei ( enunț și întrebare ).

In etapa a cincea elevii sunt puși în situația gândirii unei probleme în complexul și unitatea ei, creativitatea având un câmp deschis, actul compoziției fiind direcționat doar de niște termeni, care lămuresc sfera și conținutul noțiunii de problemă.

Procesul de formare a noțiunii de problemă este însoțit de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare.

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvarea a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice ( de adunare și scădere ) am început rezolvarea, pe cale orală și pe bază de intuiție, primelor probleme simple. Treptat elevii au ajuns să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.

Varietatea și complexitatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor.

Prezentarea de enunțuri, la care elevii să completeze întrebarea și invers, a întrebării pe baza cărora elevii să formuleze enunțul, întăresc convingerea acestor despre unitatea celor două componente ale problemei, dar le dezvoltă și gândirea creatoare, căutând răspunsul la întrebare sau reflectând asupra a ce întrebare sau enunț să formuleze în legătură cu cerința problemei.

Încă din primele săptămâni de scoală elevul trebuie să aplice corect următoarele noțiuni: numără, numără mai departe, numără înapoi, stă înainte, stă între, stă după, între care, compară cu, cu cât, este mai mare, cu cât este mai mic, etc.

Întâi un exemplu de problemă ce se poate rezolva în primele săptămâni de școală.

„Gigei are 5 mere". Puneți atâtea buline pe masă.

Acesta primă sarcină de muncă care să formeze mulțimi și să le compare între ele. Copii pot rezolva sarcina numai dacă au înțeles problema dată și-o pot reprezenta (imagina ). Cu cât reprezentările a ceea ce trebuie făcut sânt mai clare, cu atât rezultatele vor fi mai bune. Repetarea de câtre copii a problemei constituie un ajutor eficient. Dacă vom folosi acest procedeu încă din primele săptămâni de școală, elevii se vor obișnui să descopere mai întâi relațiile din problemă și apoi să execute operația corect.

După ce elevii au îndeplinit sarcina de muncă le-am cerut să formuleze verbal, ce au făcut. Elevii au răspuns: „Am așezat mai întâi 4 buline, apoi am pus sub ele 5 buline" , și : „In rândul de jos este o bulină mai puțin". Ce putem spune ? „Gigei are cu un măr mai mult" sau „Ionel are cu un măr mai puțin". Dacă elevii sunt îndrumați cu consecvență să raporteze despre „pașii de lucru" și să formuleze răspunsul, sunt obișnuiți să se exprime în propoziții cu sens. Astfel elevii învață încă din clasa I să se exprime precis.

Bineînțeles, la început vom rezolva probleme al căror conținut nu depășesc vocabularul și puterea de înțelegere a școlarului mic. Conținutul problemei trebuie să fie scurt și clar. Totdeauna trebuie să ne convingem dacă copilul a înțeles problema, cerându-i s-o redea cu cuvinte proprii.

Dacă observăm că elevii întâmpină greutăți în înțelegerea conținutului problemei și a relațiilor matematice din problemă, nu este corect să-i prezentăm procedeul de rezolvare de-a gata, pe care el îi imită apoi, fără sa-1 înțeleagă.

Dacă elevii nu sânt în stare să analizeze textul, trebuie să-i ajutăm pentru a le înlesni găsirea operației matematice.

De exemplu:

„Pe masă sunt 3 farfurii. Dănuț mai pune 2". Unii copii nu-și pot reprezenta relațiile dintre datele problemei. învățătorul recurge la demonstrarea problemei pe tabla magnetică. Tabla va fi masa, iar bulinele reprezintă farfuriile. învățătorul : „Câte farfurii sânt pe masă ?" Elevul :

„Pe masa sânt trei farfurii". Un elev pune trei figuri pe tablă magnetică iar ceilalți așează trei buline pe banc lor .

Invățătorul: „Ce urmează în problema noastră ? "

Un elev : „Dănuț mai așează două farfurii pe masă".

Un elev mai pune două figuri pe tabla magnetică iar ceilalți două buline pe bancă. Acum elevii au înțeles problema fiindcă analiza textului a sprijinit gândirea, și toți copiii „văd" operația aritmetică care trebuie făcuta; ei pot să formuleze răspunsul exact: Pe masă sunt cinci farfurii, învățătorul: „De ce ?" Elevul: „Pentru că 3 farfurii + 2 farfurii = 5 farfurii"

Pentru înlesnirea înțelegerii și priceperii câte odată ajunge simplă repetare sau o altă formulare a problemei. Dacă elevul este în stare să redea problema cu cuvinte proprii, dovedește că a judecat-o în memoria sa,și găsirea răspunsului nu va constitui o greutate prea mare pentru el.

De exemplu:

„Intr-un camion au fost 9 lăzi cu sticle. Magazinul a primit 4 lăzi. în caz că elevii n-au înțeles conținutul problemei am cerut altor elevi s-o redea cu cuvinte proprii:

„Din totalul de 9 lăzi cu sticle, 4 au fost duse la magazin" sau :

„9 lăzi au fost în camion, 4 au fost descărcate".

După ce am lucrat în felul acesta mai multe probleme, am dat ( oral ) următoarea lucrare de control :

„Un elev strânge sticle. Mama îi dă 3 sticle. O vecină îi mai dă 2 sticle". Din cei 18 copii, 11 au rezolvat problema astfel:

3 + 2 = 5

7 copii au așezat-o în felul următor :

3 +2 = a

3+2 = 5

Am folosit litera pentru a exprima suma deoarece ea reprezintă un număr fix și pentru a-i obișnui pe elevi cu expresii algebrice.

Spre sfârșitul semestrului I am dat din nou o lucrare de control compusă din două probleme simple.

1) „Sa desenam 2 mere. Un alt copil a desenat 5 mere”.

Elevii au comparat cele două mulțimi.

2) „Intr-un erau 7 mere! Moni a luat 2 mere" sau erau „Ana are 8 bomboane (desen). Ina îi dă 2 bomboane" sau „Desenați 10 buline! Măria, eu văd numai 7 buline !

Aceste probleme au fost înțelese de toți copiii. Din punct de vedere matematic s-au prezentat operațiile: scăderea, adunarea, și completarea (adăugirea).

Textele scrise pe tablă nu au conținut întrebări, deoarece copiii deduc ușor calea rezolvării problemei. întrebarea în aceste cazuri ar scuti pe elev de orice activitate mintală și ar anihila o pătrundere mai adâncă a conținutului problemei.

Am educat din timp elevii ca în viață să găsească probleme la rezolvarea cărora să contribui, fără să aștepte o comandă de la cineva.

Intrebarea din problemă, în clasa I nu ajută la dezvoltarea gândirii creative. Dacă elevii nu pot pătrunde imediat problema, trebuie să direcționăm gândirea lor spre găsirea căilor de rezolvare. Dacă se rezolvă probleme care pot avea mai multe răspunsuri este bine să punem întrebarea.

Când am învățat mai multe litere putem reda problema pe tablă cu ajutorul textului, fără desen. M-am convins că este posibil să se compună probleme care impulsionează și activează gândirea întregii clase. Elevii clasei I sunt mândri că știu să citească. Această încredere în forțele proprii ne ajută mult și la aritmetică.

Indiferent de natura problemei am ținut cont de pașii ce trebuie respectați pentru ca școlarul să se obișnuiască cu tehnica rezolvării problemelor.

După ce am rezolvat problema și am formulat răspunsul i-am întrebat cum au socotit. Un exemplu:

„Pe un aeroport erau 17 avioane. 4 avioane au plecat, Câte avioane au mai rămas?" Copiii au explicat colegilor cum au socotit: „Eu am numărat 4 înapoi"; Eu am scăzut din 7 pe 4 și am adunat 10"; eu am socoti așa:

17-4 = 3

Antrenând întreaga clasă la această activitate, elevii află mai multe căi de rezolvare. Am evidențiat cu ajutorul clasei, calea cea mai favorabilă. în general, am recomandat calea care corespunde capacității lor matematice. Este greșit să pretindem o rezolvare uniformă – pe o singură cale – a problemei de la întreaga clasă, dacă există mai multe căi de rezolvare.

Întrebarea : „De ce ai socotit așa ?" nu trebuie să lipsească. în cazul nostru am primit următoarele răspunsuri:

„Pentru ca au plecat câteva avioane, trebuie să fac o operație de scădere" sau:

„Dacă pleacă avioane rămân mai puține pe aeroport"

„Dacă pleacă 4 avioane , trebuie să socotim așa: 17-4 = "

Aici am avut posibilitatea să constat cum au înțeles diferiți elevi conținutul și relațiile matematice ale problemei și am putut urmări pașii de gândire ai fiecărui elev în parte.

Rezolvarea primelor probleme trebuie realizată la un nivel concret, ca acțiuni de viață ( au mai venit fetițe, s-au spart baloane, i-a dat…….creioane colorate, au mâncat bomboane ) ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii ( elevul vine la magazin, cumpără, plătește sau elevul este la școală și primește cărți, creioane.) în această fază dificultatea principală constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice.

Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de „problemă", „întrebarea problemei", „rezolvarea problemei", „rezultatul problemei".

Este bine ca la început să rezolvăm probleme simple în care datele se iau în rezolvare în ordinea din enunț.

De exemplu:

„Ionuț a împrumutat de la biblioteca școlii ieri 2 cărți și astăzi 1. Câte cărți a împrumutat Ionuț de la biblioteca școlii ?"

a + b= □

Această problemă mai poate fi formulată creativ în 3 variante:

I „Câte cărți a împrumutat Ionuț de la biblioteca școlii, dacă ieri a împrumutat 2 și astăzi 1?"

□ = a + b

II.„Câte cărți a avut Ionuț de la biblioteca școlii, dacă după ce a înapoiat 2 cărți i-au rămas de restituit 1 ?

□ – a = b

III.„Ionuț mai are 1 carte de la biblioteca școlii. Câte cărți împrumutase el, dacă a înapoiat 2 cărți ?"

b = □ – a

La operația de scădere, alături de tipul clasic a – b = □ , există încă două tipuri de probleme simple, ilustrate de schemele:

□ = a- b b = a – □

a – □ = b b-a = a

a = b + □ □ + b = a

a = □ + b

Voi exemplifica aceste posibile variante :

Clasic: „ Alin a avut 3 creioane colorate. El i-a dat Mioarei 3. Câte creioane colorate i-au mai rămas ?"

9……………3…………….?

Din aceeași categorie fac parte și problemele care cuprind în enunț numai 2 date, obligând ca una din date să fie luată în considerație de două ori.

Astfel, ajungem la problemele compuse.

Va trebui să determinăm elevii că problema compusă este formată din două probleme ( simple ) iar mai târziu din trei sau mai multe.

Dacă în clasa I elevii au reușit să-și formeze deprinderea de a rezolva aceste probleme mai târziu în clasele II – IV nu vor întâmpina dificultăți pentru că în aceste clase problemele reprezintă o complicare a acestor categorii prin transformarea uneia din datele cunoscute în data necunoscută.

In clasa I am folosit și probleme cu rezolvarea inversă în care valoarea necunoscutei este cea de la care ar trebui să pornim. Aceste probleme dezvoltă nu numai gândirea elevilor ci și perspicacitatea.

De exemplu:

" Pe o sârmă sunt atârnate mai multe păsărele. Au zburat 4 și apoi încă 2. Pe sârmă au mai rămas 3 păsărele. Câte păsărele au fost ?"

a – 4 – 2 = 3

4 păsărele 2 păsărele 3 păsărele ?

Spre sfârșitul anului școlar, elevii au avut de rezolvat următoarea problemă :

„O familie are 30 iepuri. 14 sunt gri, 6 negri, iar restul albi. Câți iepuri albi are acea familie ?"

Prin rezolvarea acestei probleme am vrut să văd la ce nivel se găsește clasa. De aceea n-am dat explicații, nici măcar textul nu l-am citit eu. I-am lăsat să se descurce singuri. Rezultatul după 10 minute de muncă independentă a fost următorul:

• 10 elevi au ajuns la rezultatul exact pe diferite căi:

a). 30- 14-6 = 10

b). 30- 14= 16 16-6 = 10

c). 14 + 6 = 20

30-20= 10 (un elev)

6 elevi n-au rezolvat problema corect

3 elevi au socotit totuși ceva și anume:

a). 30 – 14 = 26 ( un elev )

b). 30- 14 = 26 (un elev)

c). 30- 6 =24 (un elev)

• 2 elevi au scris doar 30 ( probabil au întâmpinat dificultăți în descifrarea textului ) M-am declarat totuși mulțumită de aceste rezultate.

Făcând abstracție de cei doi care n-au reușit să descifreze textul, toți ceilalți au pornit bine. Dar un elev nu a efectuat scăderea corect.

Din cele arătate am tras următoarele concluzii:

majoritatea elevilor sunt în stare să rezolve o problemă în mod independent;

unii elevi nu pot pătrunde în legăturile matematice ale problemei;

doi fără ajutoare nu lucrează deloc.

în clasa I am complicat aceste probleme cu rezolvare deductivă rezolvând probleme asemănătoare cu cea care urmează:

"Clasa a II-a și-a alcătuit o bibliotecă. într-o zi s-au împrumutat din aceste cărți 31 și sau înapoiat 24 cărți. La sfârșit erau în bibliotecă 80 cărți. Câte cărți sunt în biblioteca clasei ?"

31 cărți 24 cărți 80 cărți ? Cărți

a-31 +24 = 80

Rezolvarea deductivă a problemei constituie un exercițiu de gândire matematică și pregătește terenul pentru transcrierea formulei numerice în formulă literală. De aceea specific rezolvării problemelor în clasa a II-a a fost deducerea schemei de rezolvare a problemei din datele ei pe baza analizei.

De exemplu:

"3 muncitori au săpat un șanț. Primul a săpat 26 m, al doilea cu 15 m mai puțin, iar al treilea cu 2 m mai mult decât al 11-lea. Ce lungime are șanțul săpat de cei trei muncitori ?"

26 m cu 15 m mai puțin cu 2 m mai mult ? M

26 26- 15 26- 15 + 2

26 + 11 + 13

Formula numerică :

26 + ( 26-15 ) + ( 26 – 15 +2 ) – poate fi transcrisă în formula literală:

a+(a-b)+(a-b+c)

In manualul clasei a II-a întâlnim probleme care solicită mult gândirea elevilor, nouă învățătorilor revenindu-ne sarcina de a le complica, solicitând astfel gândirea spre a o face elastică și flexibilă, spre rezolvarea rapidă și compunerea de probleme în perioada următoare:

De exemplu:

"Pentru a executa instalația electrică a unei clădiri s-au cumpărat prima dată 60 m cablu, iar a doua oară 24 m cablu. Câți metri de cablu mai trebuiesc pentru acea instalație dacă sunt necesari 98 m cablu ?"

Pentru a nu menține gândirea elevilor într-o stare latentă le-am cerut să rezolve problema prin mai multe procedee:

I. Rezolvați folosind planul sub formă clasică :
1). Câți metri cablu s-au cumpărat?

60 m + 24 m = 84 m

2). Câți metri cablu mai trebuiesc cumpărați?

98m-84m= 14 m

II. Rezolvarea într-o formă mai condensată:
1). Câți metri cablu trebuiesc cumpărați ?

98 m – ( 60 m + 24 m ) = 14 m
98 m – 84 m sau

III. 98 m – 60 m – 24 m = 14 m

R: 14 m

Procedând astfel elevii au ajuns ca în loc să rezolve o problemă prin 2-3 întrebări, să prezinte rezolvarea sub forma unei expresii numerice. Această problemă am rezolvat-o și grafic:

La operația de înmulțire, se pot formula încă 3 tipuri de probleme simple, alături de tipul clasic:

a * b = □ după schemele:

= a * b

: a = b

b = □ : a

Iată cum se pot formula : Clasic:

" Alexandra are două caiete și cărți de 3 ori mai multe. Câte cărți are Alexandra ?" Creativ:

"Câte cărți are Alexandra dacă are 2 caiete și cărți de 3 ori mai multe ?"

"Câte cărți are Alexandra dacă are de 3 ori mai puține caiete, iar caiete are 2 ?"

"Alexandra are 2 caiete. Câte cărți are, dacă caietele sunt de 3 ori mai puține decât cărțile ?"

La operația de împărțirea alături de formularea clasică:

a : b = □ se pot construi încă 7 tipuri de probleme simple.

Clasic problema este :

"Andrei are 8 bețișoare. El dă fiecăruia din cei 4 colegi același număr de bețișoare. Câte bețișoare primește fiecare copil?"

Creativ problema poate fi formulată:

1. "Câte bețișoare primește fiecare copil dacă Andrei dă 8 bețișoare în mod egal celor 4 colegi ai săi ?"

□ = a : b

2. "Andrei are 8 bețișoare pe care le dă în mod egal colegilor săi. Câți colegi are dacă fiecare a primit 2 bețișoare ?"

a : □ =b

3. "Fiecare coleg primește câte 2 bețișoare când Andrei le dă în mod egal cele 8 bețișoare pe care le are ? Câți colegi are Andrei ?"

b = a : □

4. "Andrei are 4 colegi și fiecare primește bețișoare în mod egal. Câte bețișoare a primit un coleg dacă Andrei a avut 8 bețișoare?

b * □ = a

5. „Andrei are 8 bețișoare. Fiecare din cei 4 colegi ai săi primește același număr de
bețișoare. Câte bețișoare primește fiecare ?"

a = b * □

6. "Câți colegi are Andrei, dacă fiecare primește câte 2 bețișoare când Andrei le dă cele 8 bețișoare ?"

□ * b = a

7. "Andrei are pentru colegii săi 8 bețișoare. Câți colegi are Andrei, dacă fiecare a primit câte 2 bețișoare ?"

a= □ * b

Antrenarea școlarului mic în rezolvarea unei game cât mai lungi de probleme simple contribuie la înarmarea acestora cu strategii rezolutive simple, cu evidente deschideri spre zona creativității.

In etapa de familiarizare a elevilor cu rezolvarea problemelor simple, se formează între altele, algoritmi de "traducere" din "limbaj – problemă" în "limbaj operații", permițând elevilor să realizeze corespondențe utile între cuvinte sau expresii întâlnite în enunțurile problemelor și operațiilor matematice. Astfel, verbele sau expresiile de tipul: "sunt în total", "au fost împreună", „punem lângă", „cu… mai mult", sugerează operația de adunare; "au zburat", "au plecat", "s-au spart", "cu mai puțin" – pe cea de scădere; "de… .ori mai mare", "de ori mai mult", "de ….ori mai în vârstă" – sugerează operația de înmulțire; "de … ori mai puțin", "de ori mai mic","a împărți în mod egal" – operația de împărțire.

Uneori însă această "traducere" automatizată, în lipsa unei analize atente a enunțului duce la erori flagrante.

De exemplu:

I. False probleme de adunare :

"Intr-o cutie cu jucării se află 2 mingi. Câte mașinuțe sunt, dacă în total sunt 9 jucării ( mașinuțe și mingi);

"Intr-o zi 2 din cei 6 colegi de clasă care stau pe aceiași stradă, au lipsit de la școală. Câți copii au mers împreună la școală în acea zi?"

II. False probleme de scădere:

"De pe o sârmă de telegraf au zburat 3 rândunele. Câte rândunele erau pe sârmă dacă acum, au rămas 3 ?"

"Câte mașini au plecat din parcarea din fața blocului, dacă dimineață au plecat 6 mașini iar la prânz 4 mașini ?"

III. False probleme de înmulțire :

„Un râu are într-un loc lățimea de 6 m, aceasta fiind de trei ori mai mare decât adâncimea. Ce adâncime are râul?"

„Daniel are de 2 ori mai multe cuburi roșii decât albastre, Dacă el are 18 cuburi roșii, câte cuburi albastre are?"

III. False probleme de împărțire:

1. „Fiul are 6 ani. Câți are tatăl dacă vârsta fiului este de 5 ori mai mică decât a tatălui?"

2.„Mama a împărțit în mod egal . fiecăruia dintre cei 3 copii ai săi, câte 2 mere. Câte mere a avut mama?"

Dificultatea rezolvării problemei sporește dacă în enunțul său se află asemenea verbe sau expresii operaționale, ca în problema :

„Dintr-un sac se pun într-o sacoșă 10 kg cartofi. Câte kg de cartofi au mai rămas în sac, dacă cei din sacoșă sunt de 5 ori mai ușori decât cei rămași în sac ?"

Apariția în acest enunț a verbelor: „se pun" ( sugerând adunarea ), „ au rămas" ( sugerând scăderea ) a expresiei „ de 5 ori mai ușori" ( sugerând împărțirea ), ca și valorile 10 și 5 (tentând mai degrabă la o nejustificată împărțire ) produc derută în rândul elevilor care încearcă să rezolve problema numai cu ajutorul automatismelor.

De aceea, pe linia cultivării creativității, elevii ar trebui să întâlnească și să rezolve și astfel de probleme cu o aparent contradictorie folosire a terminologiei matematice.

Viața, realitatea ne demonstrează că nu toate situațiile problemă pe care le întâlnim au o soluție unică, sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe soluții ( conducând la altă problemă; cea a alegerii variantei optime de rezolvare în funcție de condițiile date ) , iar altele nu admit soluții. Deoarece matematica trebuie să modeleze realitatea, este necesar să introducem și pentru elevi astfel de probleme cu soluții multiple ( sau nici o soluție ). Oferim astfel mai multor elevi posibilitatea să-și prezinte propria rezolvare ( corectă ) îi obișnuim cu existența unor astfel de probleme, le conturăm probleme de decizie ( alegerea soluției celei mai convenabile dintr-un anumit punct de vedere ). După rezolvarea unei astfel de probleme am avut o intervenție centralizatoare, enumerând soluțiile găsite ( eventual ordonându-le după un anumit criteriu ) sistematizându-le ( pentru a oferi certitudinea că nu au fost omise soluții, propunând alegerea celei mai bune soluții ), în anumite condiții și dintr-un anumit punct de vedere, construind variante ale problemei propuse. Voi prezenta în continuare câteva astfel de probleme:

1. „Elena are 10 baloane roșii și 4 verzi. I se sparg 7 baloane. Câte baloane roșii și câte verzi au rămas întregi ?"

2. „Folosind o sticla de 1 l, un borcan de 3 l și un bidon de 5 l să se umple o canistră de 20 l"

3. „De la piață tata a cumpărat 4 kg zahăr, 2 kg făină, 3 kg orez și 1 kg cuie. Ce
cumpărături poate pune într-o sacoșă care ține 6 kg?"

4. „Măricel are monede de 3 lei, 5 lei, 10 lei. Câte are de fiecare, dacă în total are 6 0 lei?

5. „Pentru împodobirea pomului de „Crăciun", Georgeta are: 5 clopoței, 10 lumânări, 15 steluțe și 20 globuri. Pomul poate ține 30 dintre aceste obiecte. Câte obiecte din fiecare fel pot fi folosite, daca în pom:

a), sunt cel puțin 15 globuri;

b). sunt cel mult 10 steluțe;

c). sunt 30 obiecte dintre care 5 lumânărele;

d). sunt cel puțin 10 globuri și cel mult 5 steluțe;

e). nu se folosește nici o steluță;

f). nu se folosesc toate globurile;

g). Se folosesc toate globurile și toate steluțele".

Problemele acestea prezintă și alte aspecte ce pot fi comentate. Astfel trebuie să subliniem varietatea terminologiei matematice ( „cel puțin", „cel mult", „nici o", „toate" ). Ultima problemă prezentată, la punctul g nu admite soluție.

Așa cum o problemă poate avea mai multe soluții la o aceiași întrebare, este posibil ca o problemă să aibă mai multe întrebări. Această categorie de probleme modelează bine realitatea, care, în legătură cu un număr de condiții inițiale date, cere mai multe răspunsuri. Abordarea de la clasele mici a unei probleme cu întrebări multiple are avantajul că, pornind de la date puțin numeroase, ajunge la o varietate de solicitări, ce se constituie în tot atâtea prilejuri de consolidarea a unor cunoștințe, priceperi sau deprinderi matematice. Copiii manifestă interes și participă activ la rezolvarea unor astfel de probleme, cum sunt cele ce urmează:

1). „Gigei are 4 jucării, Măria 5 jucării și Monica 6 jucării.

a). Cu câte jucării are mai multe Monica decât Gigei ?

b). Cu câte jucării are mai puține Măria decât Monica ?

c). Câte jucării au împreună Gigei și Monica ?

d). Dacă Gigei și Măria își pun jucăriile împreună vor avea mai multe sau mai puține decât Monica ?

e). Ce putem face pentru ca fiecare copil să aibă tot atâtea jucării ?

f). Dacă Monica va da cate o jucărie celorlalți (Măriei și lui Gigei), cine va avea mai multe jucării și cine va avea cele mai puține ?"

2). „Tata are 41 ani, mama 38 ani, fiul 14 ani, iar fica 10 ani.

a). Cu câți ani este mai în vârstă tatăl decât mama ?

b). Care este diferența dintre vârsta mamei și vârsta ficei ?

c). Cu câți ani este mai tânără fica decât tatăl ?

d). Care este diferența de vârstă între cei doi copii?

e). Peste câți ani fiul va avea vârsta de acum a mamei ?

f). Cu câți ani în urmă a avut tatăl vârsta de acum a mamei ?"

De un real sprijin pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor sunt figurile grafice care pot ilustra rezolvarea unor probleme sau pot constitui baza pentru construirea altora, în care să se ceară alte elemente.

De exemplu: ( a * b + c)

„La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s-au livrat 3 camioane a 10 tone fiecare și un camion cu 16 tone de cartofi. Câte tone de cartofi s-au livrat în total ?"

Reprezentând astfel se ajunge la problema practică a calculării sumei numerelor din pătrățele sau :

x= 10 * 3 + 16 = 46(t)

x= 10 * 3 + 16 = 46 (t)

Pe baza schemei obținute se poate alcătui și rezolva și o problemă de tipul:

1). a-b*c

„La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s-au adus 46 tone cartofi. In prima zi s-au adus 3 camioane a câte 10 tone fiecare. Câte tone de cartofi s-au adus a II-a zi ?"

„In două zile s-au livrat 46 tone de cartofi unui centru de desfacere a legumelor și fructelor. In prima zi au sosit mai multe camioane a câte 10 tone fiecare. In a doua s-au adus 16 tone. Câte camioane s-au adus în prima zi ?"

Reprezentarea grafică concretizează relațiile dintre mărimile problemei, dar sugerează și procedeul de soluționare.

De exemplu:

„Elevii clasei a II-a au plantat în fiecare din cele 4 rânduri ale unei livezi câte 6 pomi, iar elevii clasei a IlI-a, în fiecare din cele 3 rânduri repartizate au plantat câte 7 pomi. Câți pomi s-au plantat în total ?"

Analiza datelor problemei am însoțit-o de reprezentarea grafică.

Calculul numărului de pomi se poate face numărând ordinea celor două întrebări sau numărând.

Desenele, schemele care ilustrează conținutul problemei și care fac accesibilă clasificând logica relației dintre date și dirijând elevul într-un raționament matematic, sistemic și complex au un rol deosebit în rezolvarea problemelor.

Exemple:

1). „Dacă Vlad îi dă lui Bogdan 13 timbre, fiecare va avea câte 50 timbre. Câte timbre are fiecare ?"

Verificare:

63 – 15 = 50

sau 63 – ( 13 + 13 ) = 63 – 26 = 27

37+ 13 = 50

2). „Intr-o clasă sunt 35 elevi. Dacă ar mai veni 3 băieți, atunci numărul băieților ar fi egal cu a fetelor. Câți băieți și câte fete sunt în acea clasă ?"

Rezolvați în două moduri !

Pentru a egala numărul băieților cu a fetelor ori adăugând 3 băieți la totalul elevilor pe clasă, ori scădem 3 fete din total

35 + 3 = 38 35 – 3 = 32

38 : 2 = 19 ( fete ) 32 : 2 =16 ( fete )

19 – 3 = 16 (băieți) 16 + 3 = 19 (băieți)

Verificare: Verificare:

19 + 6 = 35 19 + 16 = 35

3). „La plecarea în tabără un școlar a primit o sumă de bani pentru diverse cheltuieli. In prima săptămână a cheltuit o jumătate din sumă plus 15 lei, iar în a doua săptămână restul de 98 lei. Ce sumă a primit ?"

98 + 15 = 113 (jumătate)

98 + 15 =113 (jumătate)

113 * 2 = 226 ( suma primită )

Verificare: 113 + 15 + 98 = 226

4). „Un carnețel și o carte costă 180 lei. Cu prețul cărții se pot cumpăra 5 carnețele. Cât costă fiecare?”

30 * 5 = 150 (lei costă cartea ) Verificare : 150 + 30= 180

„La ferma unei asociații sunt 722 găini, rațe și curci. Știind că numărul găinilor și rațelor e 605, iar a rațelor și a curcilor este 404, să se afle câte păsări sunt de fiecare fel.

Problema se poate rezolva în mai multe moduri din care vom prezenta numai 2 :

I.

722-402 = 318 (găini)

722-605 = 117 (curci)

318 + 117 = 435 (găini și curci)

722 – 435 = 287 ( rațe )

sau

II.

605 +404 = 1009

1009-722 = 287 (rațe)

404-287= 117 ( curci)

605 -287 = 318 (găini)

Verificare : 318 + 287 + 117 = 722

Cu cât problema oferă mai multe posibilități de rezolvare, cu atât ea solicită mai mult capacitatea creatoare a elevilor.

Un exemplu:

„ La 3 școli sunt 4350 elevi. La prima și a doua școală la un loc sunt 2510 elevi, iar la a doua școală și a treia la un loc sunt 3190 elevi. Câți elevi sunt la fiecare școală?"

In rezolvarea acestei probleme am pornit de la ordonarea relațiilor prin simboluri literare și am găsit cu elevii mai multe variante :

1). a + b + c = 4350

a + b= 2510

b + c= 3190

a + b + c= 4350

5700-4350= 1350 (b)

2500- 1350= 1160(a)

3190- 1350= 1840 (c)

2). a + b + c = 4350

a + b= 2510

4350-2510= 1840(c)

3190- 1840= 1350 (b)

2510- 1350= 1160 (a)

Astfel de probleme dezvoltă mobilitatea si perspicacitatea gândirii elevilor. Din activitatea la catedra am constatat ca elevii întâmpina greutăți serioase in aplicarea metodei ipotezelor la problemele de categoria a-2-a .Aceasta se datorează faptului că însăși metoda este mai greu de asimilat.

Exemplific cu problema:

„Dacă pe fiecare bancă dintr-o sală se așează câte 4 persoane, atunci 18 nu au loc. Dacă se așează câte 5 persoane pe fiecare bancă, atunci rămân 4 bănci libere. Câte bănci și câte persoane sunt în sală ?"

Elevul din clasele primare, care poate rezolva problema prin metoda ipotezelor, și care înțelege mecanismul problemei, este, fără îndoială dotat.

Ușurăm găsirea soluției problemei folosind metoda figurativă:

Luăm cele 18 persoane care nu au loc și le așezăm lângă cele 4 pentru a avea 5 pe o bancă. Procedăm la fel cu persoanele din cele 4 bănci care trebuie să rămână libere.

Înseamnă că am folosit 4×4 + 18 = 34 persoane pentru a completa la fiecare bancă câte una. Persoane avem în 34 de bănci câte 5 = 170 persoane.

Punând la baza înțelegerii imaginile vizuale, elevul trebuie sa constate cu ușurință, că vor fi atâtea bănci ocupate cu câte 5 persoane, câte persoane au fost distribuite ( în cazul în cazul nostru 34 ). Adăugând numărul de bănci libere, se obține numărul de bănci căutat. Aflarea numărului de persoane se poate face în două moduri:

In predarea acestui gen de probleme în clasa a IV-a am urmărit să imprim metodei grafice un caracter intuitiv mai pronunțat utilizând, pentru început, figurarea prin desen :

1). „Câte mere și câte coșuri sunt, știind că, dacă se așează câte 3 mere în coș, rămân 16 mere nedistribuite, iar dacă se așează câte 4 mere în coș, vor rămâne 4 coșuri goale?

Merele care completează numărul de 4 în coș sunt cele 16, rămase nedistribuite la început, plus încă 12 mere din cele 4 coșuri care au rămas goale în a doua situație.

Deci: 16 ( mere ) + 4 x 3 ( mere) = 28 ( mere )

28 mere distribuite, deci 28 coșuri cu cate 4 mere

28 coșuri cu câte 4 mere + 4 coșuri goale = 32 coșuri

Câte 4 mere în 28 coșuri 112 mere.

R: 32 coșuri

112 mere

Acțiunile mentale ale elevilor, implicate în rezolvarea acestei probleme, au suficientă mobilitate pentru a se restructura în raport cu cerințele unor situații noi și pot intra sub control conștient.

2). „Dacă niște iepurași se adăpostesc în căsuțele unor pitici, câte 2 în căsuță, atunci le mai trebuie o căsuță. Dacă se adăpostesc câte 3, o căsuță rămâne liberă. Câți iepurași și câte căsuțe sunt ?"

Figurativ problema poate fi transpusă așa :

Printr-o atentă selecționare a informațiilor date de textul problemei, elevul va fi condus să sesizeze, de la început că în locul „căsuței lipsă", prezența „a doi iepurași fără adăpost", relația dintre gruparea iepurașilor și repartiția căsuțelor fiind esențială. Stabilirea acestei relații duce la rezolvarea problemei, deoarece, precum se poate observa, soluționarea ei este asemănătoare cu prima, problemele fiind identice ca tip.

3). „ La construirea unui dig s-au transportat saci cu nisip. Să se calculeze câți saci cu nisip s-au transportat și câte camioane au fost utilizate, știind că, dacă fiecare camion ar fi transportat câte 45 saci, unul din camioane ar fi transportat numai 36 de saci, iar 7 camioane ar fi rămas fără încărcătură, iar dacă fiecare camion ar fi încărcat câte 40 de saci, ar fi rămas 486 de saci netransportați.

Aici simpla ordonare a informațiilor prezentate de textul problemei, ca și sesizarea celor 4 saci completați la camionul cu încărcătură mai mică ( 36 saci ), constituie cheia reușitei în rezolvarea problemei.

486 ( saci nedistribuiți ) + 7 x 40 ( saci din camioanele rămase goale ) + ( 4 saci completați la cei 36 dintr-un camion ) = 770 ( saci pentru a completa la fiecare camion numărul de 45 ).

770 saci distribuiți câte 5, deci 770 : 5 = 154 camioane cu câte 45 saci.

154 ( camioane cu câte 45 saci ) + 1 ( camion cu 36 saci ) + 7 ( camioane goale ) = 162 camioane.

154 x 45 ( saci ) + 1 x 36 ( saci ) = 6930 ( saci)

6930 ( saci ) + 36 ( saci ) = 6996 ( saci )

R: 162 camioane; 6996 saci

Eliminarea fenomenelor de rigiditate, întâlnite în soluționarea problemelor, la copilul de vârstă școlară mică, se realizează printr-un raționament matematic bine condus.

Practica rațională favorizată de metoda figurativă la vârsta școlară mică, duce obligatoriu a transferul cunoștințelor în situații diferite prin extinderea generalizării.

Am rezolvat cu elevii și probleme care solicită atenția, perspicacitatea, inventivitatea, creativitatea.

Dau exemplu de o astfel de problemă:

„Corectați greșelile din textul de mai jos și apoi rezolvați problema: Georege are niște mere. Diana, sora lui are mai multe cu 17. împreună au 57 de mere. Câte mere a mâncat fiecare?"

Analizând textul reiese că exprimarea nu este corectă. După o analiză a conținutului se alege varianta optimă de problemă. In cazul nostru:

„ Georege are niște mere. Diana, sora lui are mai multe cu 17. împreună au 57 de mere. Câte mere a mâncat fiecare?" sau

„Doi frați au împreună 57 de mere. Unul are cu 17 mere mai mult decât celălalt. Câte mere are fiecare?"

In rezolvare am folosit metoda figurativă.

Un al model : Găsiți și corectați greșeala:

„Diferența dintre banii celor doi frați este 68 lei, iar suma banilor lor este de 24 lei. Câți lei are fiecare?"

Elevii au sesizat că se confundă suma cu diferența și trebuie să reformulăm problema, apoi am rezolvat-o grafic ( după modelul celei de mai sus ).

Voi prezenta în continuare câteva probleme ce se pot rezolva cu elevii mai dotați din clasele I – IV, probleme dificile dar frumoase.

1). „Pe o masă sunt 6 pahare: 3 sunt pline cu apă și 3 sunt goale. încercați să aranjați paharele într-o ordine alternativă, adică unul plin, altul gol, unul plin, altul gol, etc. dar cu o condiție: să nu mișcați decât un singur pahar"

Soluție: Se ia al doilea pahar ( plin ) și se toarnă apa din el în al cincilea pahar ( gol). 2). „Un coleg se adresează colegiului :

6 + 6 + 6 = 30?

5 + 5 + 5 = 30?

3 + 3+ 3 + 3 = 30?

6*6-6 = 30

5*5 + 5 = 30

3*3*3 + 3= 30

3). Se dau următoarele 7 rânduri de numere în ordine crescătoare :

1 2 3 =1

1 2 3 4=1

1 2 3 4 5 = 1

1 2 3 4 5 6 =1

1 2 3 4 5 6 7 = 1

1 2 3 45678=1

1 2 3 456789=1

Fără să schimbați ordinea cifrelor, puneți între ele acele semne aritmetice, încât în urma operațiilor respective, să rezulte în fiecare rând totalul indicat. Se pot folosi parantezele. La nevoie putem considera două cifre alăturate drept un singur număr".

4). Stabiliți un algoritm de lucru pentru a obține următoarele numere:

9 1 82 7 2 8 4

8 2 43 6 3 0 5"

Soluție: se scrie prima și ultima cifră, între ele se scrie produsul lor

5). „O gospodină venea de la piață ducând în coșuri 3 rațe, 2 iepuri și 4 găini. Puteți preciza ducând în coșuri 3 rațe, 2 iepuri și 4 găini. Puteți preciza câte picioare veneau de la piață?"

6). „Ce numere lipsesc din șirurile următoare :

a). 61, 52, 52, 63, 18;

b). 45, 39, 27, 9;"

Soluție : a) 45, 39, 27, 19, 18, 9

b)61, 52, 63, 54, 25, 16, 27, 18

7). „La masă de la cantină în fiecare zi stau mereu 5 prietene. Intr-o zi una din ele s-a adresat celorlalte.

Ce-ar fi dacă am schimba în fiecare zi locurile între noi, astfel încât fiecare dintre noi să ajungă să ocupe pe rând , locul celorlalte ?

De câte zile credeți că au avut nevoie?

Soluție: Am avut nevoie de 4 zile. In a 5-a zi fiecare ajunge să stea pe locul ei.

b). Analiza minuțioasă a problemei pentru o mai bună cunoaștere a datelor, a condițiilor și a întrebării

In activitatea de rezolvare a problemelor se parcurg mai multe etape. Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza și întocmirea planului logic ;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare ;

Activități suplimentare;

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exerciții ;

găsirea altei căi sau metode de rezolvare ;

generalizare;

compunerea de probleme după schema asemănătoare ;

Pentru ca elevii să poată rezolva probleme e necesar să le înțeleagă bine. Ei trebuie să știe care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este necunoscuta problemei.

Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citirea de către învățător sau de

elevi sau prin enunțarea orală.

Problema trebuie repetată de mai multe ori pană când si-au însușit-o toți elevii. Pentru o mai bună înțelegere citirea si enunțarea textului trebuie, să fie expresivă și se repeta până la însușirea de către toți elevii, scoțându-se in evidență datele și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Numai după aceea se va trece la scrierea datelor pe tablă si caiete.

Din cauza slabelor posibilități de analiză a datelor și a condiției problemei am întâlnit mai ales la clasa I elevi care fac operații aritmetice care contravin sensului întrebării, ori inversării de relații, sau omit unele date ale problemei, alții le iau in calcul și pe cele necunoscute drept cunoscute.

O categorie de probleme căreia i-am acordat o atenție deosebită este acea în care datele sunt în relații de „cu atât mai mare (mai mică)" sau „de atâtea ori mai mare (mai mică)". Pentru elevi aceste noțiuni au un caracter abstract și dacă nu se face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori și dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le va neglija, deci nu le va mai lua în calcul a doua oară sau, după caz, a n-a oară, sau, unii elevi în aceste situații nu știu cum să procedeze.

In aceste cazuri am descompus problema compusă în probleme simple și apoi am recompus problema din acestea în problema inițială. De exemplu problema:

„Intr-o livadă sunt 835 meri și pruni cu 123 mai puțini. Câți pomi sunt în livadă?"

Dacă elevii vor recepționa corect enunțul pot întâmpina dificultăți în rezolvare cum ar fi: schimbarea sensului unor date (în loc de „mai puțin cu 123 pruni", unii elevi pot reține 123 pruni).

Pentru a înlătura aceste dificultăți am formulat cele două probleme simple după repetarea problemei și apoi am reformulat problema compusă. Am procedat astfel la problemele care se rezolvă după următoarele formule literale: a+(a+b), a+b*b, a+a:b, a+(a+b)+(a+c), a-(a-b), a-a*b, a-a:b.

Datele si condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, analizei si sintezei,precum si a generalizărilor ce se fac, pe măsura ce se înaintează spre soluție. întrebarea problemei ne arata direcția in care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor.

De exemplu probleme:

„Un școlar cumpăra 6 caiete a cate 32 lei bucata si 4 cârti a 123 bucata. El are1000 lei.

Daca ii ajung banii ce rest primește?

Daca nu-i ajung cați îi mai trebuie?

Enunțarea ei se face verbal sau textul este scris pe tabla. Elevii citesc si recitesc probleme apoi scriu datele pe tabla si caiete.

6 caiete….321ei 4carti 123lei 1000 1ei ?

Se repeta anunțul fără a face apel la textul scris. lata cum am analizat aceasta problema pe baza întrebărilor adresate elevilor:

a)-Primul grup de întrebări:

-Ce a cumpărat școlarul?

-Cate caiete a luat?

-Cate cârti a cumpărat?

-Cum este numărul caietelor fata de al cărților?

-Cat costa un caiet?

-Cat costa o carte?

-Cum sunt preturile intre ele?

-Ce înseamnă preț?Dar cost ?Cum se afla costul?

-Care este întrebarea problemei?

b)-Al doilea grup de întrebări:

-Ce reprezintă 6?

-Ce simbolizează 32 lei?

-Ce semnifica 4 ?

-Ce reprezintă 123?

-Ce ne cere problema?

-In ce va fi reprezentat rezultatul problemei?

-Putem afla dintr-o data (printr-o singura judecata si printr-o singura operație aritmetica) răspunsul problemei?

-La ce nu se poate opera astfel?(problema este compusa deci comporta mai multe judecați si calcule).

– După ce v-ați dat seama?

Creativitatea gândirii, mișcarea ei libera, nu se poate produce decât pe baza unor desprinderi corect formate, stabilizate si eficient transferate. In rezolvarea problemelor, deprinderilor si abilitățile se refera in special la analiza datelor, a condiției, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei si a orienta întreaga desfășurare a raționamentului in direcția descoperirii soluției problemei.

Am urmărit in permanenta nivelul copiilor de a înțelege problema folosind fise. In urma corectării acestor fise am stabilit masuri care sa duca la înlăturarea greutăților întâmpinate de unii copii.

c). Stabilirea legăturilor logice intre perechile de date si redarea acestora

printr-o schema grafica.

In rezolvarea problemelor mecanismele intelectuale sunt solicitate diferit.

Când elevul are de rezolvat o problema asemănătoare cu cele rezolvate, trebuie ca el sa recunoască tipul de problema si sa aplice schema mintala de rezolvare.

Daca elevul intalneste o problema necunoscuta, in rezolvarea căreia nu se poate folosi de o schema, gândirea sa este solicitata in găsirea noii cai de rezolvare. El trebuie ca pe baza datelor si a condiției problemei sa descopere drumul de aflare a necunoscutei.

Printr-un proces de analiza si sinteza elevul separa si reconstituie, desprindere si construiește raționamentul care duce la soluția problemei.

Înțelegerea problemei si a structurii ei logice este de o deosebita importanta.

De aceea am căutat ca elevii sa rezolve probleme cu aspecte practice de viata, pentru ca ei sa-si poată reprezenta ceea ce se petrece in problema. In acest scop la clasa I am folosit dramatizarea unor probleme, redarea lor prin folosirea unor materiale intuitive, a unor povestiri. Mijloacele intuitive se pot menține si la clasa a.II.a pentru ca la clasa a.III.a si a.IV.a elevii sa-si imagineze problema si sa o exprime prin cuvinte cum o înțeleg.

Capacitatea redusa de a efectua analiza riguroasa a problemei ii aduce pe unii elevi la încercări exclusiv in sfera calculului, fara nici o motivație pe baza de raționament.

Pentru înlăturarea acestei dificultăți trebuie sa insistam asupra scoaterii in evidenta a relației dintre date, uneori discutând cu elevii numai calea de rezolvare (judecata) problemei, raționamentul, renunțând la efectuarea calculelor.

Parcurgând drumul "rezolvării unei probleme, elevii parcurg drumul schematizării ei, al deprinderii esențialului, care este de fapt structura logica a problemei.

Orice problema, oricât de simpla ar fi ea, este intr-un fel problema tip si presupune o activitate de stabilire a regulilor, de recunoaștere si de lucru.

Structura logica a problemelor se poate face din mai multe unghiuri de vedere.

De exemplu la clasa I sistematizarea problemelor cu trei date numerice, după categorii logice pot fi generalizate prin următoarele calcule: a+b + c;a + b-c;a-b + c sau a – ( b – c ) ; a – b – c sau a – (b + c ) sau prin scheme:

Aceste generalizări se pot extinde la clasa a.II.a când intervin operațiile de înmulțire si impartire. Acestea pot fi întâlnite separat; sau împreuna cu adunarea si scăderea :axbxc;axb : c; a : b x c; a x b : c; (a+ b ) : c sau a + b:c;(a-b):c;a-b:c;a + bxc;(a-b)xc;a-bxc; (a + b ) : c; a + b : c; ( a – b ): c; a – b :c.

Schemele sunt din ce in ce mai complexe in clasele a.II.a , a.III.a si a.IV.a când intervin mai multe date numerice si cele patru operații.

Putem structura probleme si după o operație. De exemplu:

– probleme care se rezolva prin adunare;

– probleme care se rezolva prin scădere;

– probleme care se rezolva prin înmulțire;

– probleme care se rezolva prin impartire;

Un alt model de structurare logica a problemelor de aritmetica constituie problemele tipice. lata o posibila clasificare a problemelor de aritmetica:

a). Probleme cu operații relativ evidente, cele mai des întâlnite la clasele I – IV.;

probleme simple;

probleme compuse;

b). Probleme care se rezolva prin metoda figurativa. In aceasta categorie sunt incluse si problemele de aflare a doua numere când cunoaștem suma si diferența lor si problemele de aflare a doua numere cunoscând suma (diferența) si raportul lor;

c).Probleme de egalare a datelor ( metoda aducerii la același termen de comparație);

d). Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze);

e). Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers);

f). Probleme de amestec si aliaje cu doua variante:

de categoria I;

de categoria a.II. a;

g). Probleme de mișcare (bazate pe relația s = v x t) cu cele doua variante:

in același sens;

in sensuri contrare;

h). Probleme cu mărimi proporționale cu variantele:

impartirea unui număr in parți direct proporționale;

impartirea unui număr in parți invers proporționale;

i). Probleme care pot fi rezolvate si încadrate in categoriile de mai sus dar cu conținut specific;

probleme cu conținut geometric;

probleme cu conținut de fizica;

probleme asupra acțiunii si muncii in comun;

j). Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme joc, etc).

Dezvoltarea creativității gândirii elevilor se dezvolta in primul rând prin munca de "descoperire" a tipurilor si subtipurilor de probleme , după structura lor logica , precum si prin efortul de generalizare ( structurarea etapelor de lucru, stabilirea unor formule numerice sau literale pentru rezolvarea aceluiași tip sau subtip de probleme).

După ce elevul recunoaște tipul de problema in procesul rezolvării ei, cu atât mai mult poate interveni imaginația lui, spiritul de inventivitate si investigațiile pentru a "descoperi" ceva nou ( o noua metoda de rezolvare, o condiție impusa pentru datele problemei in cazul generalizării etc.)

In plus, procesul recunosterii inițiale a asemănării si apartenenței problemei la un anumit tip, nu implica obligatoriu si identificarea sistemului de operații.

d). Modalități si procedee de rezolvare a problemelor in scopul

cultivării creativității elevilor

In scopul cultivării cretivitatii elevilor, adică a gândirii, inteligentei si imaginației in activitatea de rezolvare a problemelor am folosit variate procedee. Printre acestea voi enumera:

– complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

– rezolvarea problemei prin doua sau mai multe procedee;

– scrierea rezolvării intr-o singura expresie;

– alegerea celei mai scurte si mai economicoase cai de rezolvare;

– determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o

anumita categorie si încadrare sau nu a unei probleme intr-o anumita categorie de probleme;

– transformarea problemelor compuse in exerciții astfel incat ordinea operațiilor sa fie in succesiunea judecaților si a relațiilor corespunzătoare conținutului problemei.

– transformarea problemelor compuse in exerciții cu paranteze care sa indice ordinea operațiilor;

– transformarea si compunerea din 2 – 3 probleme simple a uneia compuse si invers , s.a.m.d.

Pentru a-i orienta pe copii in rezolvarea unor situații variate pe baza achizițiilor anterioare este necesar sa se găsească si sa se aplice procedeele cele mai eficace.

Pentru valorificarea cunoștințelor a dat spre rezolvare si probleme cu conținut practic, al căror enunț poate fi completat de copii.

Exemplu:

" In gradina de legume a scolii s-au sădit 200 fire de roșii. % din aceste fire au fost plantate de elevii clasei a. IV. a . Cate fire de roșii au sădit ei?"

Ca material auxiliar de sprijin elevii au primit un disc de carton cu ajutorul căruia ei puteau sa-si reprezinte singuri 3/4 . Pe acesta baza ei au descoperit necesitatea calculării in primul rând a unei unități fracționare (Vi) pentru a ajunge la aflarea celor 3/4, adică a unei fracții dintr-un număr.

Apoi copii au așezat problema in formula numerica: 200:4×3 = 150;

200/4×3 = 150;

Aplicând conținutul formulei numerice ei au ajuns la concluzia ca pentru a calcula 3/4 dintr-un întreg se împarte întregul la numitor si catul obținut se inmulteste cu numărătorul.

Scopul problemei a doua fost de a verifica gradul de înțelegere a procedeului respectiv si posibilitatea aplicării lui in situații diferite.

Problema:

" Elevii claselor a.IIl.a ; a.IV.a si a.V.a au plivit de buruieni 24 de straturi cu flori si zarzavat: clasa a .III.a a plivit 1/8 m cei din clasa a.V.a 4/8 , iar clasa a.IV.a restul. Cate straturi au plivit elevii clasei a.IV.a?"

Pentru concretizare am sugerat elevilor sa folosesc aceasi fata a aceluiași cerc, pe care au reprezentat datele problemei folosind creioane colorate.

30% din elevi au procedat in felul următor dovedind o intuiție clara a problemei, o înțelegere temeinica a sistemului de numere raționale:

1/8 + 4/8 = 5/8

8/8 – 5/8 = 3/8

3/8 din 24 = 24 : 8 x 3 = 9

50% din numărul elevilor au urmat o cale mai puțin directa:

24 : 8 = 3 straturi clasa a..III.a

24 : 8 x 4 = 12 straturi clasa a.V.a

3 + 12 = 15 straturi clasele a.III.a si a.V.a

24 – 15 = 9 straturi clasa a.IV.a

20% din elevi n-au reușit sa termine problema . Cu elevii mai dotați ai clasei a.IV.a au rezolvat probleme prin metode figurative mai

dificile.

e). Compunerea problemelor

Elevii claselor I – IV isi însușesc noțiuni matematice elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. In clasele primare se pune temelia invatamantului matematic. De felul cum este organizat si orientat procesul de invatamant depinde dezvoltarea gândirii independente si creatoare.

Compunerea de probleme este o activitate complexa – elevul fiind obligat sa respecte structura exercițiului sau a figurii date si in raport cu aceasta sa elaboreze textul problemei- text al cărui raționament sa reclame rezolvarea oferita. Complexitatea acestui gen de activitate intelectuala consta in faptul ca ea presupune, pe langa stăpânirea tehnicilor de calcul si a deprinderii de a stabili raționamente logice, un vocabular bogat, apel la toate cunoștințele dobândite.

Prin compunerea de probleme, școlarii observa corelația dintre exerciții si probleme. In lipsa acestei corelații, ei ar ramane cu ideea ca exercițiile si problemele sunt activități fara legătura.

Etapa premergătoare muncii de compunere a problemelor o constituie aceea in care am urmărit formarea la elevi a noțiunii de problema.

Activitatea de compunere a problemelor poate fi gradata astfel:

a). Compuneri de probleme după date numerice indicate, iar tema la alegere;

Exemplu: Sa se compună o problema cu numerele 4, 6 si 36;

b). Compuneri de probleme după tema indicata, iar datele numerice la libera alegere.

Exemplu: Sa se compună o problema in legătura cu activitatea dintr-o uzina.

c). Compuneri de probleme după un exercițiu numeric dat.

Exemplu: sa se compună o problema a cărei rezolvare sa se poată transpune sub forma exercițiului:

213 +25 = 156

d). Compuneri de probleme după un exercițiu literal dat.

Exemplu: sa se compună o problema după exercițiul:

(a+b)x(c-d)

Munca de compunere a problemelor, indiferent in care etapa se efectueaza ii obliga pe elevi la o activitate independenta de creație, de analiza si sinteza, de confruntare a cunoștințelor teoretice cu practica vieții.

In activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea libera la cea îngrădita de anumite cerințe din ce in ce mai restrictive.

Se pot crea probleme in următoarele forme si următoarea succesiune gradala:

– probleme acțiune sau cu punere in scena;

– crearea de probleme după tablouri si imagini;

– crearea unei probleme după modelul alteia rezolvata anterior;

probleme cu indicarea operațiilor ce trebuie efectuate;

cu indicarea numărului de operații;

transformarea problemelor compuse in exerciții cu ordinea operațiilor in succesiunea judecaților de relație corespunzătoare conținutului problemei;

– compuneri de probleme după un plan stabilit;

– transformarea problemelor compuse in exerciții cu paranteze care indica ordinea operațiilor;

– compunerea de probleme fara întrebare;

– compuneri de probleme cu întrebare probabilistica;

– compuneri de probleme cu început dat;

compunere de probleme după un exercițiu simplu si complex;

compunere de probleme după modelul simbolic;

probleme cu codificarea conținutului si a datelor problemei cu variantele:

același conținut si date noi;

conținut schimbat cu menținerea datelor problemei;

conținut si date schimbate;

– crearea libera de probleme;

– probleme de perspicacitate rebusistice.

Învățătorul are sarcina sa conducă activitatea de creare a problemelor prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, sa canalizeze gândirea si imaginația copiilor spre asociații din ce in ce mai puțin intamplatoare.

In același timp , sa-i facă pe elevi sa aibă încredere in ei, sa le stimuleze eforturile intelectuale, sa le formeze si sa le educe calitățile moral-volitive, sa le dezvolte interesul si sensibilitatea la probleme noi, sa fie receptivi la situații problematice cu conținut matematic.

Am exersat cu elevii in munca de creare a problemelor imediat după ce am inteles ce este o problema pentru a realiza un început de mobilitate in gândirea copiilor de 6 ani. La începutul acestei activități, elevii au folosit modelul de probleme dat, ei schimbând valorice numerice sau obiectele. De exemplu: am cerut elevilor sa creeze o problema asemănătoare cu aceasta:

"Ionel are 2 creioane colorate. Sora sa are 3 creioane colorate. Cate creioane colorate au împreuna?"

Un elev a alcătuit problema:

"Gigei are 4 creioane colorate si Ionel 2. Cate creioane colorate au cei doi copii?"

Sau altul:

"Pe o sarma erau 2 vrăbiuțe. Au mai venit 3. Cate vrăbiuțe sunt pe sarma?"

Aceste fenomene se datoresc caracterului inert al gândirii intuitiv – concrete.

In aceasta prima etapa, este necesar a influenta posibilitatea comutării gândirii pe alte direcții, atrăgându-le atenția ca se pot aduna si alte obiecte. Aceasta lămurire facilitează comutarea la reprezentarea altor obiecte si la combinarea lor posibila in cercul 0-6 cum ar fi:

6 + 0; 5 + 1; 4 + 2; 3 + 3; 2 + 4; 1 + 5; 0 + 6;

1. Probleme acțiune sau cu punere in scena
Exemplu:

"Cate fructe are Ionela, daca in mana stânga are 3 pere si in mana dreapta 5 mere?"

2. Probleme după tablouri si imagini

Exemplu:

Problema se poate complica. Cunoscând cat costa in total si trebuind sa aflam prețul uni obiect.

3. Completarea datelor care lipsesc.

"S-au cumpărat de la librarii cutii de creioane colorate cu 9.000 lei cutia si 6 caiete cu lei bucata. Ce rest s-a primit de la 4 bacnote de 50.000 lei?"

Așezați rezolvarea problemei si sub forma de exercițiu.

4. Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior.
Se da problema următoare, spre rezolvare:

"Doua batiste de același fel costa 4.600 lei. Cate batiste de același fel se pot cumpăra cu 9.200 lei?"

Pe baza acestui model elevii trebuie sa compună alte probleme.

5. Completarea de către elevi a întrebării problemei.

"Elevii clasei a IV-a au recoltat 78 kg mere. Elevii clasei a IV-a B , au recoltat cu 13 kg mai puțin."

Ce întrebare vom formula pentru ca problema sa se rezolve:

cu o singura operație aritmetica;

cu doua operații aritmetice;

6. Compuneri de probleme prin indicarea operațiilor matematice. Exemplu:

Compuneți o problema care sa se rezolve printr-o operație de adunare si una de scădere,

Procedee de compunere a problemelor :

crearea după cuvinte si expresii cu sens matematic. De exemplu cuvintele "muncitor", "zile lucrate", "norme", "cheltuit", etc.

crearea de probleme care sa furnizeze informații despre suprafața tarii, număr de locuitori, număr de județe, suprafața agricola a unei familii, venitul de pe un hectar cultivat cu legume, etc.

f). Aportul jocului didactic in invatarea matematicii

Copilăria se caracterizează prin joc. Copilul se joaca pentru ca e copil. Ceea ce pentru adult este munca, activitatea utila pentru copil este jocul. Jucându-se copilul descoperă si cunoaște lumea înconjurătoare, reflecta viata si activitatea adulților pe care o imita intr-un mod specific.

Daca la vârsta preșcolara, jocul reprezintă activitatea principala a copilului, la vârsta școlara mica, jocul didactic este o forma accesibila si plăcuta de invatare activa, participativa, stimulând in același timp inițiativa si creativitatea elevilor.

Corespunzător particularităților vârstei școlare mici, jocul didactic are valențe formative din cele mai bogate. Astfel, in joc se formează deprinderile de munca independente, perseverenta si dârzenia pentru învingerea dificultăților, atitudinea disciplinata. In jocurile didactice se dezvolta mobilitatea proceselor cognitive, inițiativa, inventivitatea. Cooperarea in realizarea sarcinilor jocului conduce la formarea spiritului colectiv, iar competitivitatea angajează la efort toate capacitățile elevului, fara a produce oboseala.

Datorita acestui larg registru de valențe formative pe care le au jocurile didactice, ele fac parte integranta din procesul invatarii, cu precădere la limba romana si matematica.

Reușita jocului este condiționata de proiectarea, organizarea si desfășurarea lui metodica, de modul cum invatatorul știe sa asigure o concordanta intre toate elementele ce-1 definesc!

Pentru aceasta, am avut in vedere următoarele cerințe:

– pregătirea jocului; organizarea judicioasa;

– respectarea momentelor jocului;

– ritmul si strategia conducerii lui;

– stimularea elevilor in vederea participării active;

– asigurarea unei atmosfere prielnice;

– varietatea elementelor de joc (complicarea jocului, introducerea altor variante).

Pregătirea jocului didactic presupune:

– studierea atenta a conținutului acestuia;

– pregătirea materialului;

– elaborarea proiectului jocului didactic.

In organizarea jocului trebuie sa asiguram o impartire corespunzătoare a elevilor clasei. Distribuirea materialului didactic se face de regula la începutul activității, elevii intuind materialele vor înțelege mai ușor explicațiile la desfășurarea jocului.

Desfășurarea jocului cuprinde, de regula următoarele momente:

introducerea in joc (discuții pregătitoare);

anunțarea titlului jocului si a scopului acestuia;

– anunțarea titlului jocului si a scopului acestuia;

– prezentarea materialului;

– explicarea si demonstrarea regulilor jocului;

– fixarea regulilor;

– executarea jocului de către elevi;

– complicarea jocului, introducerea unor noi variante;

Un exercițiu sau o problema de matematica poate deveni joc didactic daca îndeplinește următoarele condiții:

realizează un scop si o sarcina didactica din punct de vedere matematic;

folosește elemente de joc in vederea realizării sarcinii propuse;

folosește un conținut matematic accesibil, atractiv si recreativ;

pentru realizarea sarcinii propuse si pentru stabilirea rezultatelor competitive se folosesc reguli de joc, cunoscute anticipat de către elevi, invatatorul fiind "arbitrul principal al întreceri.

Iată cum se poate transforma o problema in joc didactic.

Problema:

"Un copil are baloane roșii si albastre, cate 5 de fiecare. Se sparg 5 baloane. Cate baloane roșii si cate albastre pot fi printre cele cinci sparte?"

Scopul:

consolidarea cunoștințelor privind adunarea 0-10;

dezvoltarea gândirii probabilistice, creatoare a elevilor;

Sarcina didactica:

– verificarea cunoștințelor despre descompunerea unui număr intr-o suma de doi termeni (simetria relației de egalitate).

Elemente de joc:

– întrecerea si recompensa individual sau pe echipe; Material didactic:

– o planșa cu 5 baloane albastre si 5 baloane roșii.

Regula jocului:

elevii scriu soluțiile posibile ale problemei pe o foaie de hârtie, propunătorul strânge foile, după un timp stabilit (5-10 min).

Vor apărea următoarele soluții:

baloane roșii 5 4 3 2 1 0

baloane albastre 0 1 2 3 4 5

Problema are 6 soluții. Pentru fiecare soluție buna se acorda un punct. Elevii care nu au găsit nici o soluție sunt "penalizați" . Se rezolva adunările:

0+5= ; 1+4= ; 2+3= ; 3+2= ; 4+1= ; 5+0= ;

Jocul se poate organiza : individual si atunci pe locul I vor fi cei cu 6 puncte; pe locul II cei cu 5 puncte; sau pe echipe si atunci câștiga echipa care totalizează mai multe puncte.

Se pot organiza insa si jocuri in care întrecerea, recompensa sau "penalizarea" sa nu fie directe sau evidente. Este cazul jocurilor de genul "Va ghicesc numărul la care v-ați gândit".

Exemplu:

– gândiți-va la un număr (x );

– inmultiti acest număr cu 3 ( x x 3 );

– adunați la produsul obținut pe 12 ( x x 3 + 12) si comunicați-mi rezultatul, iar eu va ghicesc – numărul la care v-ați gândit.

Elevii s-au întrecut in a le ghici numărul. Cei care au primit răspunsul așteptat au fost satisfăcuți si curioși sa afle cum poate fi "ghicit".

Prin folosirea jocurilor didactice in predarea matematicii la clasele mici se realizează si sarcini formative ale procesului de invatamant. Astfel, jocurile didactice matematice:

antrenează operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea;

dezvolta spiritul de inițiativa si independenta in munca, precum si spiritul de echipa, spiritul creator si de observație; atenția, disciplina si ordinea in desfășurarea unei activități;

– formează deprinderi de a lucra corect si rapid;

– asigura însușirea mai rapida , mai temeinica, mai accesibila si mai plăcuta a unor cunoștințe relativ avide pentru aceasta vârsta (numerația, operațiile aritmetice, etc);

CAPITOLUL III

DESFĂȘURAREA CERCETĂRII SI INTERPRETAREA REZULTATELOR

In activitatea personala cu elevii, am constatat ca atunci când invatatorul exercita o influenta stimulatoare prin îndemnuri, cerințe, apel la perseverenta, performantele creative ale copiilor, in crearea si rezolvarea problemelor cresc.

Etapele actului creator

După ce am analizat factorii psihologici care determina activitatea creatoare,voi arata câteva aspecte ale activității ca proces. După Beveridge in procesul de creație se trece prin sase etape:

l.Este identificata problema;

2.Se colectează datele semnificative;

3.Gândirea logica merge cat poate mai departe, încercând sa rezolve prolema,dar problema nu este inca soluționata;

4.Urmează o perioada de frustrare,când cercetătorul suporta chinul speranțelor amăgitoare si s-ar părea ca nu se întâmpla nimic;

Aceasta etapa e urmata de așa numita scânteie a inspirației;

In cele din urma procesul se verifica.

Majoritatea autorilor prefera o descriere mai scurta a procesului de creație, in patru etape sau fraze:

1.Pregătirea 2.Incubația

Iluminarea

verificarea

1- Pregătirea cuprinde sesizarea problemei,delimitarea si definirea ei,colectarea sau reducerea in câmpul conștiinței a informațiilor presupune a fi necesare pentru rezolvare, analiza logica si sugerarea soluțiilor posibile, urmate e anticiparea consecințelor unor soluții alternativ.

2 – Incubația este o perioada pasiva, de așteptare,in caz de nereușita, creatorul lasa problema la o parte, nu se mai ocupa de ea, se relaxează sau trece la alte preocupări. In realitate nu este vorba de o stagnare_ sau întrerupere a procesului creator,ci de deplasarea lui de pe planul conștientului (a energiilor controlate de rațiune), pe cel al inconștientului (a energiilor libere, prelogice).

Ce se petrece in inconștient,in aceasta etapa de relativa relaxare este greu de știut,dar rezultatul apare brusc in scurta durata ,dar hotărâtoare e faza ce urmează.

– Iluminarea consta in apariția neașteptata pe planul conștiinței a ideii, a soluției,ca o intuiție instantanee sau ca o înțelegere de ansamblu a structurii dinamice a cazului. Inspirația poate fi provocata de o întâmplare fenomenul fiind cunoscut sub numele de serndipitate. Urmărind cu totul altceva, sau neurmărind nimic in momentul respectiv, întâmplarea ne pune in fata marea descoperire „Hazardul,insa ne avertizează Pasteur, favorizează numai o minte pregătita. Trebuie sa fi studiat îndelung problema respectiva si trebuie sa fii deja in căutarea unui răspuns ca sa observi atunci când el apare".

– Verificarea este necesara nu numai pentru a convinge ca rodul inspirației corespunde realității,dar si pentru a da ideii o forma definitiva o finalitate. Aceasta etapa solicita mijloace adecvate,perseverenta, miticulositate si ingeniozitate.

Parcurgerea de către procesul creator a acestor etape este relevata chiar de către marii cercetători,inventatori sau oameni de știința. „Charless Drawin a lucrat ani si ani, adunând un imens material informativ privitor la problema evoluției si străduindu-se sa-1 organizeze in cadrul unei teorii unificatoare. Nu cunoșteam un alt caz care sa fi implicat o pregătire atât de lunga, dar intr-o buna zi, pe când se relaxa departe de locul unde isi efectua cercetările, soluția cheie se cristalizează: era vorba de schimbările treptate, de lupta pentru existenta si de supraviețuirea celui mai puternic".

De asemenea, celebrul matematician H.Poincare evoca un moment al descoperirilor sale matematic. Lucrase in mod intens cu conștiinciozitate, dar după toate aparentele, fara succes Obosit a părăsit studiul problemei respective După mai multe zile in care nu se gândise la ea ,in momentul când se cobora dintr-un mijloc de transport in comun,i-a apărut cu claritate,ca intr-o străfulgerare,soluția. A alergat acasă si a verificat-o imediat prin calcule,găsind-o spre satisfacția sa corecta.

Lucrurile se întâmpla asemănător si in activitatea de creare sau rezolvare a problemelor de către elevi. Ei caută sa inteleaga bine datele si cerințele problemei, le ataca cu aparatura logico-matematica de care dispune,uneori datorita insuccesului,o lasa in suspensie, iar in momentul când le vine ideea o verifica si dau forma definitiva soluției.

Bine inteles, aceste etape nu sunt Întotdeauna obligatorii (in activitatea de rezolvare a problemelor lipsește uneori incubația)si nu se desfășoară liniar exact in aceasta ordine,ci se împletesc intr-un proces mult mai complex cu insistări si reveniri, cu multiple momente de inspirație, cu finisări si refinisari, mai ales când e vorba de marile opere de creație.

Educabilitatea creativității

Este destul de dificil a aprecia daca creativitatea este educabila sau nu, trebuie totuși, sa încercam a o face deoarece ea depinde daca tema pe care o tratam are o baza de susținere.

La prima vedere prin insasi trăsătura ei definitorie, ca ceva nou si imprevizibil, care sparge șabloanele, creativitatea pare a fi incompatibila cu ideea de educare deliberata. Skinner afirma ca „a invata adevăratul comportament creator este o contradicție in termeni".

Totuși in problema educabilității omului, cercetările științifice din ultimile decenii au dovedit ca predeterminismul genetic nu sta in picioare „ca nici o trăsătura sau calitate nu este exclusiv ereditara si nici una nu este inclusiv ambientala a origine".

Aceasta aparenta contradicție se explica prin complexitatea procesului de creație, despre care am vorbit mai înainte .In adevăr, la o prima vedere,inspirația si perioada de latenta sau de activitate subconstiienta, ce o parcurge uneori,s-ar părea ca scapă posibilităților educației. Dar sa nu uitam ca atât incubația cat si iluminarea nu se realizează de la sine, ci sunt pregătite printr-o activitate conștienta, minuțioasa si perseverenta, care nu este posibila fara o educație corespunzătoare.

Fleming, descoperitorul penicilinei era de părere ca „trebuie sa lucram din greu si sa ne cunoaștem bine domeniul …,căci o minte nepregătita nu vede mana pe care i-o întinde întâmplarea".

Cu atât mai mult formați creatorului ,ca rezultat al educației, isi va spune cuvântul in etapa de verificare si finisare a operei sau rezultatelor obținute.

In stilul sau clar si concret,A.D. Loor e explica astfel rolul si limitele educației in acest domeniu. „Este absolut sigur ca nu va exista vreodată un ghid al creativității astfel alcătuit si indexat, incat sa-1 putem deschide la un anumit capitol pentru a ști ce avem de făcut sau de gândit in etapa următore. Exista totuși anumite metode si principii călăuzitoare cu caracter general ce se poate aplica in mi uite sau poate chiar in majoritatea problemelor legate de creativitate".

Privitor la problema educabilitatii creativității putem menționa:

-Toti oamenii cu o dezvoltare normala psihica au dispoziții creatoare, dar nivelul acestora variază de la individ la individ.

-Educarea creativității este posibila,dar limitata.

-Incubația si inspirația nu pot fi de obicei,influențate direct prin educație.

-Dimpotrivă zestrea intelectula obținută prin educație are un cuvânt hotărâtor de spus in perioada premergătoare si cea de finalizare.

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și, firesc, motivaționl – afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și a descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere in problemă. în acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților anticipativ – imaginative, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. în același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multe probleme, în cadrul cărora se subliniază o proprietate, definiție și regulă ce, urmează a fi învățate.

Prin rezolvarea problemelor de matematică, elevii își formează deprinderi eficiente de muncă, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ, își cultivă și educă calitățile moral – volitive. In același timp activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală a elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță,viteză, timp, preț de cost, normă, cantitate, dimensiune, greutate, arie, etc.

Problemele de aritmetică fiind strâns legate cel mai adesea prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formrea și educarea elevilor, la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului colectivist, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor auto-educative, al conduitei rezolutive.

Am enumerat câteva din valențele formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, pentru a justifica importanța acordată de programele școlare și pentru a arăta atenția mare acordată acestei activități școlare.

„Rezolvarea exercițiilor și problemelor – principala activitate prin care se însușesc științele matematice, solicită un efort de gândire independentă șl creatoare. As putea spune, pe aceasta bază, că prima calitate formativă a matematicii ar fi aceea de a cultiva de la cea mai fragilă vârstă aptitudini de cercetare științifică".

Activitatea de rezolvare a problemelor are un efect formativ mai evident la clasele mici, unde se pun bazele formării trăsăturilor morale exercitând o influență formtivă asupra elevilor pe toată perioada studiului matematicii.

Pentru a valorifica capacitățile creatoare ale elevilor in cadrul studiului matematicii la clasa I am procedat la o comparație a rezultatelor obținute la clasa experimentala cu cele obținute la clasele de control.

Cercetarea s-a desfășurat de pe data de 15.09.2008 pana pe data de 20.05.2009.

In desfășurarea cercetării am parcurs trei etape:

1 etape inițiala;

2

etapa experimentala;

3

etapa finala;

In etapa inițiala am stabilit clasele de control de la alte scoli din comuna, cu elevi având la matematica aproximativ același nivel de pregătire cu cel al elevilor din clasa experimentala si nici intr-un caz mai coborât.

Deoarece calificativele din catalog reprezintă adesea o doza de subiectivitate, comparația dintre clasa experimentala si cele de control s-a efectuat pe baza rezultatelor unui test dat tuturor elevilor la începutul perioadei ( 25.09.2001 ) verificând cunoștințele matematice însușite la grădinița.

TEST INIȚIAL

Desenează in diagrama libera atâtea linii cate elemente sunt in diagrama alăturata :

4. Scrie pe fiecare balon numărul potrivit:

5. Numerotează brăduleții:

Testul inițial a fost aplicat la patru clase de clasa I obținând următoarele rezultate, consemnate in centralizatorul următor :

Deoarece rezultatele obținute la testul inițial arata ca nivelul clasei CI este superior clasei experimentale, clasa C. 1 nu a mai fost luata in considerare, renunțând la aplicarea testului final.

Am păstrat ca unități martor clasele C.2 care au același nivel cu clasa experimentala (E) si C.3 care este apropiata ca nivel clasei experimentale.

In etapa experimentala, la clasele de control lecțiile de matematica s-au desfășurat in mod obișnuit, pe când la clasa experimentala s-a pus accent deosebit pe probleme creative < create sau selectate din culegeri, reviste, modificate si adaptate scopului propus ).

Elevii au primit in aceasta perioada probe de evaluare : nr. 1, nr. 2a, nr. 2 b, nr. 3, nr. 4a, nr. 4b, nr. 4c.

Matematică

Proba de evaluare numărul 1

Capacitatea: cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii Conținutul probei

I1 Numără, în scris, în ordine crescătoare și descrescătoare:

a) de la 0 la 10; b) din 10 în 10, de la 10 la 100.

I2. Completează șirul, cu numerele care lipsesc!

0, __, 3, 4, __, 6, __, __,__, 10

11,__, 13 , __, __, __, __,18, 19, __.

I3 Numără:

a) de la 64 la 72; b) de la 93 la 87.

I4 Ordonează crescător numerele:
24, 11, 16, 35, 60, 82, 5, 19.

I5 Compară perechile de numere și pune semnul corespunzător (>, <, =)

36 □ 17 62 □ 90

18 □ 81 22 □ 22

I6 Descompune numerele următoare în zeci și unități:

63, 18, 11,79, 97, 32.

Din ce perechi de zeci și unități putem forma numerele (indică printr-o săgeată

perechea corespunzătoare)

44 60 și 8

58 20 și 3

33 5 și 80

68 3 și 30

23 40 și 4

I7 Calculează și verifică rezultatul, făcând proba!

6+2= 20-6=

9-5= 84-80=

14+20= 83-3=

22+36= 78-23=

20-11=

I8 Pe un raft erau 27 de cărți, Au fost luate 11 cărți.
Câte cărți au rămas?

I9 Compune o problemă după unul din exercițiile:

a) 30+12= b) 79-50=

Modul de evaluare

Suficient Rezolvă corect itemii1, 2, 3, 4, 5; rezolvă parțial itemul 6 (minimum 1 situație) efectuează corect operații de adunare și scădere neverificând rezultatul rezolvă problema.

Proba de evaluare numărul 2.a

In cadrul acestei probe, itemii 5, 6, 7, 8 și 9 pot fi înlocuiți după cum urmează :

I1Trasează săgeți de la numerele mai mici la cele mai mari!

I2 Alege rezultatul corect! Taie celelalte rezultate !

I3 a) Completează pătrățelele libere așa fel încât efectuând adunarea numerelor de pe fiecare coloană, să obții rezultatul indicat.

b) Efectuează operațiile:

I4 Analizează desenul următor și spune:

Care creion este mai lung;

Care sunt creioanele care au aceiași mărime;

Scrie semnul de relație potrivit.

a □ b

b □ b

Proba de evaluare numărul 2.b.

Capacitatea: înțelegerea numărului și a notației acestuia

Subcapacitatea > înțelegerea, cunoașterea, citirea și scrierea șirului numerelor naturale de la 0 la 100

înțelegerea sistemului pozițional de formare a numerelor naturale

descompunerea numerelor naturale mai mici ca 20 în sumă sau diferență

compunerea și descompunerea numerelor naturale formate din zeci și unități

Obiective operaționale

Elevul va fi capabil:

să identifice cardinalul unor mulțimi (folosind grupările câte 10);

să reprezinte mulțimi după cardinale date;

să compună și să descompună numerele mai mici ca 20, în sumă sau diferență;

să compună și să descompună numere naturale formate din zeci și unități;

■ să recunoască valoarea cifrelor după poziția lor în număr.

Descriptori de performanță

Proba de evaluare numărul 3

Conținutul probei

I1 Numără și completează casetele:

I2 Completează mulțimile, cu elemente:

I3 Numără șl completează:

I4 Completează căsuțele:

Proba de evaluare numărul 4.a

Înțelegerea numărului și a notației acestuia

înțelegerea, cunoașterea, citirea și scrierea numerelor naturale de la 0 la 100

numărarea în concentrai 0-100

ordonarea și compararea numerelor naturale mai mici decât 100

Obiective operaționale

Elevul va fi capabil:

să precizeze locul unui număr natural pe axă (predecesorul și succesorul);

să numere din 1 în 1, din 2 în 2, din 3 în 3, din 5 în 5, în ordine crescătoare și descrescătoare;

să ordoneze numere naturale în șiruri crescătoare și descrescătoare;

să compare numere naturale în concentrai 0-100.

Descriptori de performanța

Conținutul probei

11 Completează numerele care lipsesc:

_20_ _45_

_13_ __80

_59_………….39_37
_ 68 _ __99

12 Descoperă pasul de numărare și completează șirul numerelor:

26 27_ _ _31 _

98 97_ _ _ _92

60 62 64_ _ _ _74

50 48 46_ _ _38 _

9 12 15_ _ _27

43 40 37_ _ _25

10 1520_ _35_

100 95 90_ _ _70

13 Ordonează numerele:

începând cu cel mai mic și terminând cu cel mai mare: 91; 10; 43; 19; 7; 28;

începând cu cel mai mare și terminând cu cel mai mic: 14; 99; 0; 63; 50; 81.

14 Încercuiește numerele:

mai mici decât 40: 76; 93; 24; 16; 85; 4.

mai mari sau egale cu 55:

18; 19; 55; 43; 66; 80.

Proba de evaluare numărul 4.b

Capacitatea: înțelegerea și efectuarea operațiilor cu numere naturale

Subcapacitatea: > adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrai 0-30, fără trecere peste ordin

> descompunerea numerelor naturale

Obiective operaționale Elevul va fi capabil:

să efectueze adunări și scăderi folosind descompunerea numerelor în zeci și unități;

să calculeze direct rezultatul unor exerciții bazate pe o singură operație;

• să afle termenul necunoscut, prin descompunerea numerelor naturale mai mici decât 20 în sumă sau diferență;

• să determine numere pe baza relațiilor „cu … mai mare" și „cu … mai mic".

Descriptori de performanță

Proba de evaluare numărul 4c.

Competențe / conținuturi evaluate

Înțelegerea sistemului pozițional de formare a numerelor; poziționarea pe axă; compararea și ordonarea numerelor;

Rezolvarea de probleme;

Folosirea corectă a terminologiei matematice învățate;

Continuarea unor modele repetitive;

Recunoașterea formelor spațiale întâlnite;

Utilizarea unităților de măsură.

Conținutul probei

I1 Rezolvă următoarele exerciții:

a) Desenează câte o săgeată care arată ce număr este reprezentat în fiecare tablou.

b) Scrie in ordine crescatoare numerele.

c) Descoperă cifre care trebuie scrise în casete, pentru ca fiecare relație să fie adevărată:

45>□8

78 <7□

□5 = 8□

I2 Rezolvă:

a) Află diferența dintre 40 și 30.

b) Află diferența dintre 25 și 12.

c) Ce aduni la 12 pentru a obține 18?

d) Ce scazi din 27 pentru a obține 14?

I3 Desenează ce urmează în șirul următor.

I4 Enumera obiecte care au formă de:

cub —►

sferă —►

I5 Ce părți ale corpului puteți folosi pentru a măsura:

lungimea gumei de șters —►

lungimea băncii —►

lungimea clasei —►

I6 Scrie numele unor animale domestice, în ordine, de la cel „mai ușor", la cel „mai greu".

I7 *Irina s-a culcat la ora 21 și s-a sculat la ora 7. Câte ore a dormit?

I8 Ce monede cunoscute poți folosi pentru a obține suma de 8000 lei?

Modul de evaluare

Suficient Rezolvă cel puțin sarcina a) de la itemul 1, sarcinile a) și b) de la itemul 2, parțial itemul 4.

Bine Rezolvă corect sarcinile a) și b) de la itemul 1, sarcinile a), b) și c) de la ifemul 2, itemul 4 (a, b), 5 (a, b, c),6,7doar 1-2 exemple.

F. bine Rezolvă corect toți itemii, având cel mult 3 greșeli nesemnificative.

Se poate introduce și calificativul excelent pentru cei care au rezolvat fără greșeală toți itemii.

Comparând rezultatele la probele de creativitate, constat ca performantele elevilor clasei experimentale sunt net superioare celor ale elevilor clasei de control C2, care la începutul perioadei aveau același nivel de pregătire la matematica.

Performantele sunt ceva mai bune chiar si fata de clasa de control C3, care avea la începutul perioadei, un nivel de pregătire mai ridicat.

Faptul că la proba 4a si 4b, clasa C3 are un mica avans ne dovedește a fi firesc, deoarece aceasta clasa are mai mulți elevi buni, iar cele doua probe nu sunt prea dificile, ele făcând doar trecerea la probele foarte dificile 4 d si 4 e, la care nu au făcut fata decât cativa elevi de la clasa experimentala.

Comparația rezultatelor elevilor de la cele trei clase, mai ales la ultimile două probe de evaluare, care solicita gândirea divergenta, dovedește posibilitatea dezvoltării capacității de creație a elevilor din clasa I printr-un antrenament susținut, constând din compunerea si rezolvarea exercițiilor si problemelor de matematica cu un conținut adecvat si folosind o metodologie corespunzătoare am ajuns ca elevii pe care ii conduc sa răspundă unor sarcini de creație destul de dificile.

PROIECT DIDACTIC

Clasa : 1

Disciplina : Matematică

Unitatea de învățare : Probleme care se rezolva prin cel mult doua operații

Conținut: probleme de adunare și de scădere cu numerele de la 0 la 100 care se rezolvă

prin cel mult două operații

Tipul lecției: mixtă

Obiective-cadru. Obiective de referință : 1.3; 2 3; 2.4; 3.1; 4.1. Obiective operaționale

A. Cognitive

Pe parcursul și la sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

OC1 – să utilizeze limbajul matematic adecvat situațiilor date:

OBIECTIV DE ACTUALIZARE

Nivel minimal – recunoașterea situațiilor concrete/expresiilor matematice din problemele date, corelate cu operația de adunare /scădere;

Nivel mediu – alegerea operației corespunzătoare relației matematice „ cu atât mai puțin / mult;

Nivel maximal – aplicarea în calcul a expresiilor matematice, conștientizând semnificația acestora.

OC2 – să construiască raționamentul care conduce la soluția problemelor date:

OBIECTIV DE EXERSARE

Nivel minimal – sesizarea, In enunțul problemei a relațiilor dintre mărimile date și

necunoscuta exprimată prin întrebare;

Nivel mediu – sesizarea absenței datelor necesare pentru rezolvarea problemei;

Nivel maximal – orientarea logică a șirului de judecăți către întrebarea problemei.

OC3- să rezolve probleme cu soluții unice/care oferă posibilitatea unor răspunsuri diverse:

OBIECTIV DE PERFORMANȚĂ

Nivel minimal – alegerea și efectuarea operațiilor aritmetice corespunzătoare raționamentului construit;

Nivel mediu – formularea judecaților din pianul logic;

Nivel maximal – transpunerea rezolvării problemei exprimată în cuvinte, în expresii numerice / scheme simple.

OC4 – să creeze probleme pe baza unor cerințe formulate de învățător:

OBIECTIV DE TRANSFER

Nivel minimal – formularea enunțului problemei simple cu aceleași date;

Nivel mediu – formularea enunțului problemei, compusă după exerciții/schemă, cu

aceleași date din problema analizată;

Nivel maxima! – crearea de probleme prin transformarea relațiilor dintre datele probleme analizate.

B. Motrice

La sfârșitul activității, elevii vor deveni capabili:

OM1 – să execute mișcări ale aparatului verbomotor în conformitate cu cerințele disciplinei;

OM2 – să scrie corect și estetic pe caiete, în ritm rapid;

OM – 3 să-și reprime tendința de a practica mișcări inutile, în timpul lecției

C. Afective

Elevii:

OA1 – vor manifesta interes pentru rezolvarea de probleme;

OA2 – își vor argumenta unele idei cu privire la rezolvarea problemelor;

OA3 – vor colabora cu invatatorul pentru realizarea obiectivelor propuse.

Resurse

A. Bibliografice:
1. oficiale

* Curriculum Național Programe școlare pentru învățământul primar, București 1998., pp. 96-100;

* Mihaela Singer, Victoria Pădureanu, Rodica Chirău, Matematică, manual pentru clasa a II-a, Editura Sigma, 1998, p.32;

* Adrian Stoica (coordonator), Evaluarea în învățământul primar, Descriptori de performanță, București, 1998, pp.31-34;

2. pedagogice

* Robert M Gagne, Leslie J. Briggs, Principii de design al instruirii (trad), București Editura Didactică și Pedagogică, 1977, pp. 135-198;

3. metodico-didactice

Ioan Neacșu (coordonator), Metodica predării matematicii la clasele /-/V, manual pentru licee pedagogice, clasele XI-XII, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1998, pp. 196-208;

Gheorghe Dumitriu (coordonator), Proiectarea și modelarea activității didactice, Editura „Grigore Tăbăcaru", 1997, pp. 16-20, 115-119;

Mihaela Neagu, Constantin Petrovici, Aritmetica prin exerciții și probleme, ciclul primar, Iași, Editura „Gama", 1993, p. 72.

B. Metodologice:

a. strategie didactică: inductiv-deductivă, algoritmică:

b. metode și procedee: conversația euristică, exercițiul, analiza și sinteza, problematizarea;

c. forme de organizare: frontala, individuala;

d. mijloace didactice: planșă cu etichete mobile (confecționată).

C. Temporale: 45-50 minute

SCENARIUL DIDACTIC

CAPITOLUL IV

CONCLUZII

Pornind de la importanta pe care invatamantul o acorda dezvoltării capacității creatoare ale elevilor, am încercat sa abordez problema posibilității si modalităților formarii acestor însușiri psihice ale elevilor de vârsta școlara mica, prin rezolvarea si compunerea de probleme in cadrul lecțiilor de matematica.

învățarea are drept scop orientarea tot mai mult a elevului spre a invata cum sa invete inteligent, eficient, creativ, nu mecanic, ineficient, neproductiv.

In efortul de modernizare a predării invatarii matematicii la clasele I – IV sunt condiții necesare sporirii valențelor formative ale activității de rezolvare si compunere a problemelor destinate cultivării elevilor din acest nivel de invatamant.

Prin experimentul efectuat s-a dovedit ca educarea s-a dovedit ca educarea valențelor creative in cadrul matematicii la scoală primara este posibila, daca se folosesc probleme de mare dificultate care solicita găsirea unor reguli, deci o gândire flexibila , specifica muncii de creație.

Deși accentul pus pe probleme creative a avut urmări pozitive asupra tuturor elevilor (creșterea simțului critic, evitarea șablonismului, in gândire, deprinderea de a folosi strategii operaționale specifice, activități creatoare ) numai anumiți elevi au obținut performante superioare, deoarece iluminarea – acel moment când subiectul intuiește instantaneu o cale posibila – mai greu poate fi influenta prin educație.

In activitatea didactica desfășurata cu elevii de vârsta școlara mica, s-au cristalizat o serie de reguli privind metodologia dezvoltării valențelor creative in cadrul lecțiilor de matematica.

Este necesar sa cream in clasa un climat relaxat, mai ales in relațiile invatator – elevi, incat elevii sa nu-si inhibe manifestările libere ale gândirii si sa nu fie preocupați numai de respectarea unor reguli sau tipare impuse de cadrul didactic. Dimpotrivă sa fie

obișnuiți sa întrebe sa aibă inițiativa , sa li se admită rezultatele parțiale , răspunsuri mai puțin riguroase si mai ales sa creeze, sa modifice sau sa complice problemele.

Accentul trebuie pus pe munca independenta,. Intervențiile repetate ale invatatorului pentru a-i ajuta pe elevi pentru a le sugera calea corecta cu un efort inhibator asupra efortului intelectual propriu. Trebuiesc exceptați de la acest principiu elevii ramași in urma la invatatura si cei care au un nivel de dezvoltare intelectual coborât, care trebuie ajutați direct de către invatator.

De o mare importanta este reglarea solicitării fiecărui elev in funcție de nivelul la care a ajuns . De aceea , învățătorul va prezenta exercițiile si problemele creative in serii, gradate ca dificultate si nu va pregeta sa se întoarcă la altele, mai ușoare când constata ca majoritatea elevilor nu fac fata, ceea ce e mult mai folositor decât a da indicații privind calea de rezolvare.

Stimularea elevilor trebuie sa se realizeze prin cerințe, aprobare si sa se evite, pe cat posibil atitudinea reprobatoare, de nemulțumire a învățătorului.

Este bine ca elevii sa fie instruiți de la început, in mod sistematic cu privire la metodele si instrumentele de lucru proprii obiectului matematica: caiet de notițe, caiet de munca independenta, caiet de probe de evaluate, caiet de teme.

Jumătate din timpul orei sa fie alocat pentru invatarea si rezolvarea independenta a unor sarcini de clasa. Munca invatatorului este de a-l ajuta unde este nevoie. Predarea trebuie sa aibă rolul de a orienta elevii in studierea si rezolvarea exercițiilor si problemelor in mod independent. Verificarea orala sa fie înlocuita cu verificarea muncii independente si pe grupe mici. Exercițiile si problemele rezolvate independent sa fie cat mai variate, sa constituie veriga principala a lectiei si sa ocupe cea mai mare parte a timpului școlar.

Temele pentru aceasta trebuiesc încercate in clasa de către toți elevii pentru, ca cei mai slabi sa aibă jaloanele necesare muncii independente acasă.

Depistarea copiilor dotați cu posibilități intelectuale – inventive deosebite, care au perspectiva, de a se dedica in viitor unei activități de creație, constituie o îndatorire de prim ordin a invatatorului. El ii va solicita pe aceștia mai intens decât pe colegii lor, prin exercitii si probleme creative suplimentare.

In lucrarea de fata am încercat sa valorific si experiența didactica desfășurata cu elevii de vârsta școlara mica, in vederea cultivării unei calități atât de solicitate in prezent: creativitatea.

BIBLIOGRAFIE

Aron I., Herescu Gh. – „Aritmetică pentru învățători”, EDP, București, 1977;

Blaga Lucian – „Poezii”, Editura pentru literatură, București,1966;

Bobancu V. – „Caleidoscop matematic”, Editura Albatros, București,1979;

Bruner. J. – Prefață la lucrarea lui Z.P.Dienes: ,,Un studiu experimental asupra învățării matematicii”, EDP, București,1970;

Bruner. J. – „Procesul educației intelectuale”, Editura Științifică, București,1970;

Cărburaru. C. – „Probleme de matematică pentru clasele II-IV”, EDP, București,1988;

Cîmpeanu. F. – „Cum au apărut numerele”, Editura I. Creangă, București,1974;

Cîmpeanu F. – „Triunghiuri, triunghiuri și iar triunghiuri”, Editura I. Creangă, 1974;

Chatean J. – „Psihologia copilului de la naștere la adolescență”, EDP, București, 1970;

Claparede E. – „Psihologia copilului și pedagogia experimentală”, EDP, București, 1975;

Dienes Z. P. – „Un studiu experimental asupra învățării” (traduceri), EDP, București, 1973;

Enache M., Tutulan Gh. – „99 de exerciții și probleme clasele I – IV”, Editura Porto-Francă, Galați,1990;

Florea B. – „Probleme și jocuri recreative”, Editura tineretului, 1952;

Frîncu A. – „Jocuri didactice și exerciții distrative”, EDP, București, 1972;

Neacșu I. – „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, „Manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1988;

Parelman I. – „Artimetică distratică”, Editura tineretului, 1959;

Piaget J., Inhelder B. – „Psihologia copilului”, EDP, București;

Piaget J. – Structurile matematice și structurile operatorii ale inteligenței în „Caiete de pedagogie modernă”, nr. 3, 1971;

Popovici C., Chetic O., Gheba L., Popovici E. – „Culegere de jocuri didactice pentru clasele I-IV”, București, 1971;

Popescu – Neveanu E. – „Psihologia, manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1990;

Radu I. T. – Sinteze pe teme de didactică modernă, culegere editată de revista Tribuna școlii, București, 1986;

Rădulescu V. – „Sclipirea minții”, Editura militară, 1976;

Rădulescu V. – „Duelul minții”, Editura militară, 1972;

Rădulescu V. – „Revanșa minții”, Editura militară, 1973;

Schiopu Ursula, Pisoi Viorica – „Psihologia generală a copilului”, manual pentru clasele IX-X, Licee pedagogice, EDP, București, 1982;

Schiopu Ursula Verza E. – „Psihologia vârstelor”, EDP, București, 1981;

Schiopu Ursula – „Probleme psihologice ale jocurile și distracțiilor”, EDP, București, 1970;

Teodorescu N. și alții – „Culegere de probleme în sprijunul claselor I-VIII”, Editura Societatea de Științe Matematice, București, 1985;

Teigg Charles – „Ingeniozitate și surpriză în matematică”, EDP, București, 1977;

Udrea Dumitru – „Ochi de floare”, Editura Iter Contempres, București, 1990;

Vodă C., Predescu N. – „Amuzament științific”, Editura Ceres, București, 1975;

Zapletal Milos – „Mica enciclopedie a jocurilor”, Editura sport-turism, București, 1980.

BIBLIOGRAFIE

Aron I., Herescu Gh. – „Aritmetică pentru învățători”, EDP, București, 1977;

Blaga Lucian – „Poezii”, Editura pentru literatură, București,1966;

Bobancu V. – „Caleidoscop matematic”, Editura Albatros, București,1979;

Bruner. J. – Prefață la lucrarea lui Z.P.Dienes: ,,Un studiu experimental asupra învățării matematicii”, EDP, București,1970;

Bruner. J. – „Procesul educației intelectuale”, Editura Științifică, București,1970;

Cărburaru. C. – „Probleme de matematică pentru clasele II-IV”, EDP, București,1988;

Cîmpeanu. F. – „Cum au apărut numerele”, Editura I. Creangă, București,1974;

Cîmpeanu F. – „Triunghiuri, triunghiuri și iar triunghiuri”, Editura I. Creangă, 1974;

Chatean J. – „Psihologia copilului de la naștere la adolescență”, EDP, București, 1970;

Claparede E. – „Psihologia copilului și pedagogia experimentală”, EDP, București, 1975;

Dienes Z. P. – „Un studiu experimental asupra învățării” (traduceri), EDP, București, 1973;

Enache M., Tutulan Gh. – „99 de exerciții și probleme clasele I – IV”, Editura Porto-Francă, Galați,1990;

Florea B. – „Probleme și jocuri recreative”, Editura tineretului, 1952;

Frîncu A. – „Jocuri didactice și exerciții distrative”, EDP, București, 1972;

Neacșu I. – „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, „Manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1988;

Parelman I. – „Artimetică distratică”, Editura tineretului, 1959;

Piaget J., Inhelder B. – „Psihologia copilului”, EDP, București;

Piaget J. – Structurile matematice și structurile operatorii ale inteligenței în „Caiete de pedagogie modernă”, nr. 3, 1971;

Popovici C., Chetic O., Gheba L., Popovici E. – „Culegere de jocuri didactice pentru clasele I-IV”, București, 1971;

Popescu – Neveanu E. – „Psihologia, manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1990;

Radu I. T. – Sinteze pe teme de didactică modernă, culegere editată de revista Tribuna școlii, București, 1986;

Rădulescu V. – „Sclipirea minții”, Editura militară, 1976;

Rădulescu V. – „Duelul minții”, Editura militară, 1972;

Rădulescu V. – „Revanșa minții”, Editura militară, 1973;

Schiopu Ursula, Pisoi Viorica – „Psihologia generală a copilului”, manual pentru clasele IX-X, Licee pedagogice, EDP, București, 1982;

Schiopu Ursula Verza E. – „Psihologia vârstelor”, EDP, București, 1981;

Schiopu Ursula – „Probleme psihologice ale jocurile și distracțiilor”, EDP, București, 1970;

Teodorescu N. și alții – „Culegere de probleme în sprijunul claselor I-VIII”, Editura Societatea de Științe Matematice, București, 1985;

Teigg Charles – „Ingeniozitate și surpriză în matematică”, EDP, București, 1977;

Udrea Dumitru – „Ochi de floare”, Editura Iter Contempres, București, 1990;

Vodă C., Predescu N. – „Amuzament științific”, Editura Ceres, București, 1975;

Zapletal Milos – „Mica enciclopedie a jocurilor”, Editura sport-turism, București, 1980.