Miscarea Unui Fluid Vascos Sub Actiunea Gravitatiei Si a Unui Gradient de Tensiune

Politehnica

Miscarea Unui Fluid Vascos Sub Actiunea Gravitatiei Si a Unui Gradient de Tensiune

Byadmin ianuarie 1, 2024

MIȘCAREA UNUI FLUID VÂSCOS SUB ACȚIUNEA GRAVITAȚIEI ȘI A UNUI GRADIENT DE TENSIUNE

Cuprins

Introducere

Capitolul I. Mecanica fluidelor

I.1.Medii continue

I.2.Ecuația de continuitate

I.3.Mediu incompresibil

I.4.Fluide vâscoase

I.5.Ecuațiile Navier-Stokes

I.6.Condiții la limită

Capitolul II. Mișcarea unui fluid vâscos sub acțiunea gravitației și a unui gradient de tensiune

II.1. Aproximația de tip strat subțire

II.2. Aproximația de tip strat limită

II.3. Comparație între aproximația de tip strat subțire și aproximația de tip strat limită

II.4. Curgerea fluidului pe un plan orizontal

II.4.1.Mișcarea în absența gradienților de tensiune superficială

II.4.2.Mișcarea sub acțiunea simultană a gravitației și a unor gradienți de tensiune superficială

Concluzii

Bibliografie

Mișcarea unui fluid vâscos sub acțiunea gravitației și a unui gradient de tensiune

Introducere

Mecanica fluidelor studiază repausul relativ și absolut al fluidelor, mișcarea fluidelor ideale și reale, compresibile și incompresibile, precum și interacțiunea dintre fluidele în mișcare sau repaus și corpurile solide cu care vin în contact. Inițial această disciplină care se ocupă cu studiul fluidelor s-a numit Hidraulica. Etimologic acest cuvânt provine din alăturarea a doi termeni grecești ,,Hudor’’, care înseamnă apă și ,,aulos’’, care înseamnă conductă. La începutul secolului XX, legile de care se ocupa Hidraulica s-au extins și asupra gazelor, astfel că denumirea acestei discipline s-a modificat în Mecanica fluidelor.

Lucrarea de față studiază mișcarea unui fluid vâscos sub acțiunea gravitației și a unui gradient de tensiune și este structurată în două capitole.

Primul capitol, numit Mecanica fluidelor cuprinde noțiuni teoretice legate de fluide. În special sunt prezentate noțiuni teoretice legate de fluidele reale, numite și fluide vâscoase. Acest capitol este structurat în șase subcapitole care prezintă noțiuni de teorie legate de medii continue, ecuația de continuitate, medii incompresibile, fluide vâscoase, ecuațiile Navier-Stokes și condițiile la limită.

Al doilea capitol este intitulat Mișcarea unui fluid vâscos sub acțiunea gravitației și a unui gradient de tensiune și cuprinde patru subcapitole: Aproximația de tip strat subțire, Aproximația de tip strat limită, Comparație între aproximația de tip strat subțire și aproximația de tip strat limită și Curgerea fluidului pe un plan orizontal. Acest capitol este mai vast și expune o aplicație practică legată de mișcarea unui fluid. Astfel în subcapitolul Curgerea fluidului pe un plan orizontal, care este împărțit în două secțiuni, sunt studiate două tipuri de mișcare ale unui strat subțire de fluid vâscos incompresibil pe plan orizontal: prima, a unui fluid vâscos incompresibil pe un plan orizontal sub acțiunea gravitației, adică în lipsa gradienților de tensiune superficială și mișcarea unui strat subțire de fluid vâscos incompresibili pe un plan orizontal sub acțiunea simultană a gravitației și a unui gradient de tensiune superficială.

În prima secțiune, Mișcarea în absența gradienților de tensiune superficială sunt expuse ecuațiile de mișcare ale unui fluid pe un plan orizontal, iar pe baza condițiilor la limită se determină ecuația pe care o verifică înalțimea a suprafeței libere.

În a doua secțiune, numită Mișcarea sub acțiunea simultană a gravitației și a unor gradienți de tensiune superficială ecuațiile de mișcare nu se modifică comparativ cu cele din secțiunea anterioară. Tot în această secțiune sunt puși în evidență doi parametri adimensionali, mai precis numărul lui Bond și numărul de capilaritate, pe baza cărora sunt reprezentate portretele de fază.

I.Mecanica Fluidelor

Mecanica fluidelor se ocupă cu studiul fluidelor, adică a acelor substanțe care curg. În această categorie intră atât lichidele cât și gazele. Având în vedere faptul că la gaze se produc de obicei transformări termice, studiul gazelor se face pe larg la termodinamică, astfel se face referire în mod preponderent la lichide.

Mecanica fluidelor se mai numește și mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple complet spatiul în care este pus. Fluidele pot fi de mai multe feluri: fluide ușoare, fluide grele, fluide ideale, care nu au proprietatea de vâscozitate, fluide reale, numite și fluide vâscoase, sau fluide incompresibile. De asemenea un fluid poate fi omogen, dacă densitatea sa are aceeași valoare în orice punct din volumul ocupat de fluid, sau izotrop dacă își păstreză aceleași proprietati și după orice direcție care străbate mediul fluid.

I.1.Medii continue

Un sistem material M care la un moment dat umple complet o regiune D a spațiului Euclidian cu trei dimensiuni formează un mediu (corp) continuu.

Mișcarea mediului continuu va fi definită de mișcarea particulelor sale. Mișcarea unei particule P a corpului M este definită de ecuația

Aplicația se numește configurația corpului la momentul t; iar mișcarea mediului continuu este o succesiune de configurații [21].

Principiul continuității mediului se bazează pe două axiome fundamentale:

1). Masa corpului (fluidului) se conservă.

2). Mișcarea este continuă (nu apar spații goale între particulele mediului continuu care sunt în contact).

Ipoteza continuității face ca diferite mărimi care interacționează cu proprietățile mediului sau curgerea să fie funcții continue de coordonatele materiale ale particulelor cu excepția unor puncte, suprafețe sau linii de discontinuitate.

Prin fluid înțelegem un mediu material continuu (corp în stare lichidă sau gazoasă), deformabil, compresibil sau incompresibil, care are proprietatea fundamentală de a –și schimba forma sub acțiunea unei forțe foarte mici. Fluidul poate curge și ia forma vasului care îl conține (forța de coeziune între diferitele particule constitutive fiind foarte mică) [4].

Um mediu continuu este omogen dacă la temperaturi și presiuni constante are o distribuție uniformă a pozițiilor sale.

Mediul continuu este și izotrop, dacă proprietățile sale sunt invariante în raport cu direcțiile spațiului din jurul unui punct oarecare al domeniului D.

Dintre corpurile materiale continue, mecanica fluidelor studiază fluidele. Gazele sunt compresibile, iar lichidele sunt fluide practic incompresibile și care sub acțiunea forțelor gravitaționale iau forma unde sunt continue menținând nivelul liber și suprafața de separație orizontală, deci fluidul este un mediu continuu, omogen și izotop, lipsit de formă proprie, în care, în stare de repaus, pe suprafețele de contact ale diferitelor particule se exercită numai eforturi unitare.

Există două moduri de a caracteriza mișcarea mediului într-o anumită regiune D în spațiu și anume: descrierea materială sau Lagrangiană, în care identificăm particulele într-o configurație de referință cu pozițiile lor în configurația respectivă, și descrierea spațială care se folosește în cazul fluidelor și care presupune determinarea în orice moment a vitezelor particulelor care ocupă un anumit număr din regiunea de observații, la acest caz se introduc următoarele mărimi: masa specifică, viteza, presiunea, toate fiind funcții [6].

Derivata materială a câmpului este

Principiile generale (principiul conservării masei, principiul variației impulsului, principiul variației momentului cinetic, primul și al doilea principiu al termodinamicii) sunt valabile între toate mediile continue, dar ele nu sunt suficiente pentru determinarea mișcării. De aceea se introduc noi ecuații ce depind de structura mediilor numite legi constitutive. O lege constitutivă dă expresia tensorului tensiune T (ea stabilește legătura dintre mărimile care caracterizează deformația și tensiunile care au răspuns la deformări).

Un mediu se numește omogen dacă funcționala F cuprinde explicit un punct.

Un mediu se numește izotrop, dacă F este invariant la direcțiile de reper.

Un mediu fluid real poate fi definit prin următoarele: T este funcție continuă în D, el nu depinde de alți parametri matematici. T depinde de starea termodinamică a mediului. Mediul este omogen, astfel că T nu depinde de .

În general fluidele reale se numesc fluide vâscoase. Prin vâscozitate întelegem proprietatea fluidelor de a opune rezistență la alunecarea straturilor unul peste altul.

I.2.Ecuația de continuitate

Având în vedere faptul că pentru orice parte D a mediului continuu urmărit în mișcarea sa, masa M(D) rămâne constantă, adică fiind densitatea mediului în M la momentul t

Această ecuație cunoscută sub numele de ecuația continuității, stabilește o legătură între câmpul vitezelor și densitatea . Ea se poate transcrie sub mai multe forme echivalente ca de exemplu:

sau

.

I.3.Mediu incompresibil

Prin definiție, un mediu continuu este numit incompresibil dacă coeficientul de dilatare cubică este identic nul, adică, după interpretarea dată în paragraful anterior, dacă este identic nul.

Din relația sau va rezulta că și derivata totală a lui este nulă, adică că densitatea într-un punct rămâne constantă dacă se urmărește acest punct în mișcarea sa.

Ar fi posibil ca să nu fie constant în întregul mediu dar, dacă la un moment dat ia aceeași valoare , în întregul mediu, atunci vom avea în orice punct și în orice moment.

Vom presupune întotdeauna, fără o eventuală mențiune contrară, că pentru orice M și pentru orice t atunci când se vorbește de un mediu incompresibil.

În aceste condiții ecuațiile: și, definesc atât incompresibilitatea cât și ecuația de continuitate pentru mediul respectiv.

I.4.Fluide vâscoase

Definiția.I.1.1: Fluidele reale, numite și fluide vâscoase, sunt medii omogene și continue în care pe lângă forțele de presiune se manifestă și forțe de rezistență la deformare datorită forțelor de frecare interne care apar la curgerea fluidului.

Ținând cont de legea constructivă, de comportament, valabilă în cazul fluidelor vâscoase adică

putem scrie imediat

,

având în vedere condiția de incompresibilitate avem adică .

Înlocuind atunci în legea fundamentală a dinamicii, în transcriere pentru medii continue deformabile, adică în

, avem

sau sub forma vectorială

cunoscută sub numele de ecuația lui Navier-Stokes.

Considerând și ecuația de continuitate dispunem deci de patru ecuații scalare pentru determinarea celor patru funcții necunoscute

Dar pentru un fluid vâscos, condițiile necesare pe frontieră nu sunt și suficiente astfel că lor va trebui să li se adauge o condiție suplimentară. Concret, în cazul unui fluid vâscos în contact cu un perete, va trebui scris că viteza relativă a fluidului în raport cu peretele este nulă, așadar nu numai componenta normală a acestei viteze, ceeea ce pretindea condiția necesară.

În cazul unei suprafețe de contact pe lângă faptul că vectorul tensiune este continuu la traversarea lui , va trebui să se scrie și vitezele relative, a fiecăruia din mediile în contact, în raport cu , în mod necesar tangențiale, sunt de asemenea continui la traversarea lui .

Toate aceste modificări se exprimă concis prin aceea că, în cazul fluidului vâscos, trebuiesc înlocuite condițiile necesare de aluneacare, care sunt suficiente doar pentru un fluid ideal, prin condiții de aderență ce vor fi și suficiente.

În general, alegerea condițiilor la limită trebuie justificată atât prin rațiuni de ordin matematic, cât și pentru rațiuni de ordin fizic. Din punct de vedere matematic, trebuie ca alegerea să asigure coerența matematică a teoriei, adică faptul că condițiile la limită asociate ecuațiilor problemei să permită determinarea unei soluții unice, depinzând continuu de datele problemei. Din punct de vedere fizic, este necesar ca condițiile impuse să fie rezonabil verificate de experientă. În cazul fluidelor ideale condițiile necesare de alunecare se relevă, în general, suficiente din punct de vedere matematic de altfel, în acest caz, deoarece o particulă fluidă nu exercită nicio acțiune tangențială asupra particulelor vecine, nu poate fi vorba de a scrie condiții pentru componentele tangenni de ordin matematic, cât și pentru rațiuni de ordin fizic. Din punct de vedere matematic, trebuie ca alegerea să asigure coerența matematică a teoriei, adică faptul că condițiile la limită asociate ecuațiilor problemei să permită determinarea unei soluții unice, depinzând continuu de datele problemei. Din punct de vedere fizic, este necesar ca condițiile impuse să fie rezonabil verificate de experientă. În cazul fluidelor ideale condițiile necesare de alunecare se relevă, în general, suficiente din punct de vedere matematic de altfel, în acest caz, deoarece o particulă fluidă nu exercită nicio acțiune tangențială asupra particulelor vecine, nu poate fi vorba de a scrie condiții pentru componentele tangențiale ale vitezelor relative [17], [20].

În cazul fluidelor vâscoase, trebuie înlocuite ecuațiile cu derivate parțiale de ordinul întâi, prin ecuații cu derivate parțiale de ordinul doi, adică ecuațiile lui Navier-Stokes. Așadar trebuie să ne așteptăm, pentru rațiuni matematice, la faptul că condiții la limită suplimentare vor fi cerute pentru rezolvarea problemelor fluidelor vâscoase. Pe de alta parte efectele vâscozității fac să apară eforturi interioare tangențiale care tind, după cum am văzut deja, să acelereze particulele mai puțin rapide și să frâneze pe cele mai rapide. Astfel putem spune că este normal, din punct de vedere fizic, ca această condiție suplimentară să se refere la componentele tangențiale ale vitezelor relative.

Aceste mari deosebiri analitice între ecuațiile fluidelor ideale și cele ale fluidelor vâscoase explică și faptul că, în general, limita unei soluții a ecuațiilor lui Navier-Stokes pentru nu coincide cu soluția aceleași probleme pentru fluidul ideal.

În final, atunci când mișcarea fluidului nu este staționară trebuie precizate pentru determinarea soluției evident și condiții inițiale.

I.5.Ecuațiile Navier-Stokes

Ecuațiile care guvernează mișcarea unui fluid vâscos incompresibil având densitatea și coeficientul de vâscozitate dinamică constante sunt ecuațiile Navier-Stokes. Acțiunile de contact dintre fluid și perete, sau dintre două fluide se modelează prin forțe de suprafață, adică tensiuni notate cu , unde n este versorul normalei la suprafața considerată. Vectorul tensiune depinde liniar de n și i se asociază un tensor, notat cu , numit și tensorul tensiunilor al lui Cauchy, care caracterizează starea de tensiune în punctul . Acest tensor este un tensor obiectiv și simetric. Fie componentele sale. Atunci are loc relația

Ecuațiile Navier-Stokes ale fluidelor vâscoase se deduc din ecuațiile de bilanț ale impulsului în care ținem cont de legea constitutivă de dependența afină a lui T de D, unde

și unde

,

este viteza fluidului, D este tensorul viteza de deformație de coordonate este partea disipativă a tensorului tensiunilor T, I este tensorul unitar, p este presiunea, iar și sunt coeficienții, presupuși constanți de vâscozitate de volum și respectiv dinamică.

Modelul Navier-Stokes constă în următoarele ecuații:

Ecuația de continuitate (de conservare a masei)

;

Ecuațiile Navier-Stokes, în forma vectorială se scriu ca

unde iar este forța exterioară, care acționează pe unitatea de masă.

De obicei se aceeaptă ipoteza lui Stokes , care este echivalentă cu .

Dacă fluidul este și incompresibil atunci . În acest caz densitatea este constantă și astfel că tensorul tensiunilor devine

Prin urmare ecuațiile care descriu mișcarea unui fluid Newtonian, vâscos, incompresibil sunt

în care funcțiile necunoscute sunt

În forma adimensională în ecuațiile Navier-Stokes apar mai mulți coeficienți adimensionali, care au o importanță deosebită în teoria genrală a fluidelor vâscoase, realizarea modelelor în laborator.

Pentru fluidele vâscoase incompresibile a căror temperatură nu variază semnificativ, fundamental este numărul lui Reynolds

unde se numește coeficient de vâscozitate cinematică, este o lungime caracteristică, este o viteză caracteristică, care se exprimă cu ajutorul mărimilor fundamentale din mecanică. Mărimile caracteristice sunt date și ele diferă de la mișcare la mișcare. Numărul lui Reynolds caracterizează raportul forțelor de vâscozitate față de cele de inerție. Astfel, dacă Re este foarte mic, la un fixat mișcarea caracteristică a fluidului are o viteză mică și/sau fluidul este foarte vâscos.

Adimensionalizând prin ecuațiile de mișcare devin

unde primul termen din membrul stâng nu apare în cazul mișcării staționare. Aici mărimile adimensionale au fost notate cu prim.

I.6.Condiții la limită

Lichidele sunt separate de atmosferă, de un gaz sau de alte lichide imiscibile, adică care nu se amestecă, de o suprafață numită suprafață liberă. Pe aceste suprafețe, apare o forță suplimentară, de tensiune superficială. Gradientul de tensiune superficială poate fi generat fizic de substanțe tensio-active și influențează mișcarea fluidelor. Un studiu mai aprofundat ia în considerare și efectele tensiunii superficiale.

În interiorul fluidelor și la contactul acestora cu suprafețele solide, în afara de tensiunile normale apar și tensiuni de forfecare tangențiale.

Contactul fluidelor cu mediul înconjurator impune anumite restricții mișcarii fluidului, restricții care nu sunt incluse în ecuațiile de mișcare. Astfel apar condițiile pe frontieră care delimitează fluidul, pe suprafața de separație a două fluide imiscibile, pe pereții rigizi, care pot fi mobili sau nu în prezența cărora se deplasează fluidul.

Pentru ca o suprafață de ecuație să fie suprafață materială trebuie să avem , unde

dacă folosim descrierea spațială, care ia drept variabile spațiale punctele fixe ale spațiului euclidian. În acestă descriere este echivalentă cu

În cazul contactului unui fluid vâscos cu o suprafață rigidă, care poate fi fixată sau mobilă notată cu, se postulează că fluidul vâscos aderă la perete. Condiția de aderență revine la condiția ca vitezele particulelor de fluid în contact cu peretele să fie egale cu vitezele pozițiilor lor luate ca puncte aparținând peretelui.

În cazul peretelui mobil, care se mișcă cu viteza v, condiția de aderență este

iar în cazul peretelui fix ea se scrie ca

Fie două medii continue vom studia fenomenul care apare pe suprafața de separație a celor două medii. Când suprafața este puțin curbată, atunci presiunea din cele două medii este diferită. Diferența de presiune care apare se numește presiunea de pe suprafață și se determină din condiția de echilibru, după formula lui Laplace

unde si sunt presiunile din cele două medii, este tensiunea superficială, iar și sunt razele principale de curbură ale suprafeței. Când și sunt pozitive, presiunea suprafeței este pozitivă, ceea ce înseamnă că presiunea este mai mare în mediul cu care suprafața este convexă.

Dacă în cele două medii nu acționează forțe externe, atunci

.

Când această condiție se aplică la echilibrul straturilor subțiri pe o suprafață solidă [15], [18], atunci constanta este zero și

.

Să presupunem că suprafața de separație se află într-un câmp gravitațional și, pentru simplitate, că al doilea mediu este atmosfera, a cărui presiune este constanta , iar celalalt mediu este un fluid incompresibil. Atunci condiția de echilibru devine

Fie ecuația suprafeței de separație, unde este mic. În acest caz forma suprafeței se abate foarte puțin de la forma plană, iar

În acest caz condiția de echilibru devine

Pe suprafața de separație a două medii, numită interfață, se impun următoarele condiții:

i) condiția cinematică, arată continuitatea vitezei

sau

ii) Condiția dinamică, care se referă la continuitatea tensiunii tangențiale la traversarea suprafeței și care se deduce din ecuațiile generale de salt și se scrie

unde este versorul tangentei, versorul normalei, T este tensiunea , [ ] desemnează saltul la traversarea interfeței. Ultima condiție se mai poate scrie ca

iii) Echilibrul tensiunilor normale, care se referă la continuitatea tensiunilor interioare dintr-un mediu continuu la traversarea unei suprafețe de contact.

Tensiunile normale generate de gradientul de tensiune superficială, sunt echilibrate de tensiunile normale din fluid. Condiția de echilibru a tensiunilor normale se scrie sub forma

unde este curbura medie a suprafeței, care se referă la faptul că componenta normală a tensiunii fluidului este discontinuă în curbura suprafeței. Această condiție se mai poate scrie

iv) condiția cinematică a suprafeței libere, care se referă la condiția necesară și suficientă pentru ca interfața să fie suprafața materială. Fie ecuația acestei suprafețe . Atunci condiția cinematică se scrie

sau, echivalent

În cazul în care ecuația suprafeței este dată explicit,, atunci condiția cinematică se scrie

.

Când mișcarea este staționară, unidimensională și are loc în direcția axei , atunci iar condiția cinematică este identic satisfacută [3], [5].

II. Mișcarea unui fluid vâscos sub acțiunea gravitației și a unui gradient de tensiune

Având în vedere faptul că ecuațiile Navier-Stokes sunt neliniare, în cazul general nu se cunoaște soluția lor explicită și se caută soluții aproximative. Printre acestea se află și soluțiile de aproximație asimptotică, care sunt serii asimptotice după șiruri asimptotice de parametri. Coeficienții termenilor acestor șiruri satisfac modelele de aproximație asimptotică, deduse din ecuațiile Navier-Stokes prin neglijarea anumitor termeni care au un ordin de mărime mai mic, dar ținându-se cont de condițiile specifice ale problemei studiate. O să considerăm doar modelul de primă aproximație asimptotică [2].

Așadar, în cazul unor mișcări lente Re este mic în ecuațiile de mișcare , iar ceilalți factori din termenii inerțiali în care el este coeficient nu sunt mari. Există cazuri în care numărul lui Reynolds depășește valorile care permit o astfel de aproximație. Neglijarea totală a forțelor de inerție duce la soluții valabile numai pentru un domeniu foarte restrâns al numărului lui Reynolds și anume, , motiv pentru care este necesar să se găsească alte ipoteze fizice, astfel încât soluțiile de aproximație asimptotică să fie valabile și pentru valori mai mari ale numărului Reynolds.

Una dintre acestea care stă la baza teoriei stratului limită, este ideea lui L. Prandtl conform căreia , deci relația de ordin (mult mai mic) este inlocuită cu relația de ordin (egalitate asimptotică) [10], [11].

II.1. Aproximația de tip strat subțire

Forțele de inerție sunt mici când numărul lui Reynold (Re) este mic. Acest lucru se întampla în mișcările lente ale fluidelor, dar și dacă mișcarea se efectuează în straturi subțiri. În acest caz definiția numărului lui Reynold Re va fi făcută față de grosimea a stratului subțire de fluid, în acest caz avem

Pentru a formula ecuațiile de mișcare ale fluidelor în straturi subțiri, considerăm două suprafețe solide aproape paralele și foarte apropiate una de alta în mișcare relativă; spațiul dintre ele umplut cu un fluid vâscos este caracterizat printr-o grosime , mult mai mică decât celelalte dimensiuni caracteristice ale suprafețelor. În cazul lubrificației, notând cu L o dimensiune caracteristică a suprafețelor sau chiar mai mic.

Astfel se pot opera simplificări importante. În primul rând se poate neglija cubura suprafețelor. Astfel putem alege una din axe (de exemplu Oy), nomala la una din suprafețe și celelalte două axe ca fiind în întregime cuprinse pe aceeași suprafață (se poate considera de exemplu y=0). În aceste condiții este de așteptat ca componenta după direcția normală la suprafețe a vitezei fluidului să difere foarte puțin de eventuala viteză normală a suprafețelor. Notând cu componentele vitezei și cu o viteză caracteristică, atunci

Pentru a evalua ordinul de mărime al diferiților termeni, care intervin în ecuațiile mișcării fluidului, să considerăm pentru simplitate un fluid newtonian (incompresibil) și o mișcare staționară. Să introducem variabilele adimensionale

Observația II.1.1: În definirea mărimilor adimensionale se subînțelege că aceste mărimi sunt de ordinul unității sau, echivalent, mărimile fizice, dimensionale sunt de ordinul mărimilor caracteristice. De aceea, în relațiile de mai sus mărimea adimensională pentru este și nu .

Să considerăm că , ipoteza ce nu afectează ordinul de mărime al termenilor ecuațiilor Navier-Stokes. În variabilele adimensionale aceste ecuații sunt

(II.1.1)

(II.1.2)

(II.1.3)

unde numărul lui Reynolds este definit față de grosimea h, caracterizată în direcția axei Oz, prin

În forma adimensională ecuația de continuitate este

unde toți cei trei termeni au același ordin de mărime.

În schimb, în ecuațiile (II.1.1), (II.1.2) si (II.1.3), ultimii termeni din (II.1.1) si (II.1.3) ca și toți termenii în afară de presiune din ecuația (II.1.2) pot fi neglijați. Dacă fluidul este foarte vâscos sau mișcarea este relativ lentă, atunci este mic. De exemplu, să presupunem că . În aceste condiții

(II.1.4)

astfel încât și forțele de inerție din (II.1.3) pot fi neglijate față de termenul , sau de , care sunt presupuși de ordinul unității. Deci, în prima aproximație asimptotică, mișcarea este guvernată de următoarele ecuații (în forma dimensională) simplificate

Presiunea este constantă pe grosimea a stratului, iar neglijarea forțelor de inerție arată că echilibrul local are loc direct între forțele datorate frecării vâscoase și celor datorate presiunii lor.

Din ecuațiile (II.1.1), (II.1.2) si (II.1.3) rezultă că o parte din termenii reprezentând contribuția tensiunilor vâcoase, forțele de inerție au ordinul de mărime

.

Condiția (II.1.4) de neglijare a forțelor de inerție este destul de restrictivă, fiind îndeplinită în aplicațiile în care dimensiunile suprafețelor sunt relativ mici, vitezele sunt mici și moderate iar fluidul are o vâscozitate cinematică mare [13], [19].

II.2. Aproximația de tip strat limită

Conform conceptului de strat limită, propus de L.Prandtl, modelul fluidului perfect poate fi considerat drept corect la distanțe mari de corp. Astfel în imediata apropiere a corpului, mai precis într-un strat subțire de grosime , distribuția de viteze se modifică rapid ca urmare a efectelor de frecare, tinzând la zero pe corp cand corpul e imobil.

Conceptul este unul convențional, frontier stratului limită neavând proprietăți fizice particulare. Această frontieră se poate defini de exemplu, ca distanța de suprafață, unde viteza fluidului este, practic, egală ca valoare cu valoarea corespunzând vitezei în modelul fluidului perfect. Stratul limită se continuă în mod necesar cu o dâră în avalul corpului. Departe de corp, curgerea este practic potențială, în timp ce în imediata apropiere a corpului mișcarea se efectuează sub influența simultană a forțelor de inerție și a tensiunilor de frecare.

Grosimea stratului limită, notată cu ,este cea a regiunii în care forțele de inerție și cele de vâscozitate au același ordin de mărime.

Examinarea ecuațiilor Navier-Stokes, arată că forțele de inerție, de exemplu , au ordinul de mărime , unde și sunt valori caracteristice pentru viteză și lungime. Tensiunile de frecare, de exemplu , au ordinul de mărime . Astfel, impunând forțelor de inerție și de vâscozitate să aibă același ordin, avem , , unde este numărul lui Reynolds definit în funcție de viteza caracteristică și de lungimea caracteristică . Vom avea sau mai mic.

Deci influența vâscozității se va manifesta într-un strat limită de grosime redusă din imediata apropiere a suprafeței corpului.

În interiorul stratului limită viteza scade relativ repede de la valoarea a vitezei potențiale la zero (asta în cazul în care frontiera este mobilă).

Faptul că grosimea stratului limită este redusă față de celelalte dimensiuni ale frontierei solide ne permite să neglijăm unii termini ai ecuațiilor Navier-Stokes. De exemplu, vom putea neglija curbura suprafeței, ca în problemele în straturi subțiri mărginite de suprafețe solide.

Mărimile componentelor vitezei și ale variațiilor acestora după direcțiile axelor vor fi diferite. Variațiile în direcția normalei vor fi mai mari decât cele în direcția mișcării.

În cazul tridimesional, ecuațiile stratului limită depind de caracteristicile geometrice ale suprafeței corpului și de sistemul de coordonate ales. De exemplu, cazul axial-simetric, cel puțin una din ecuații (cea de continuitate) depind de raza de curbură transversală, notate cu .

În variabilele adimensionale cu noile mărimi caracteristice, în stratul limită ecuațiile Navier-Stokes iau o formă similară cu (II.1.1), (II.1.2) si (II.1.3), doar că în locul lui Re avem .

Admitând pentru și pentru raportul ordinele de mărime indicate, în ecuația (II.1.1) se poate neglija doar ultimul termen, care este în raportul fața de cel precedent. În schimb, în ecuația (II.1.2) se pot neglija toți termenii care conțin derivatele componentelor vitezei. Astfel ecuațiile de mișcare în stratul limită au o formă aproximativă similară cu ecuațiile mișcării vâsco-inerțiale în straturi subțiri.

Alegând axele și astfel încât axa să fie în lungul suprafeței, axa normală la suprafață, atunci, evident, axa este de asemenea în întregime cuprinsă în suprafață.

După înlăturarea termenilor de ordin mai mic ecuația de contiuitate rămâne neschimbată

iar ecuațiile de mișcare devin

Condițiile la limită se scriu

,

unde sunt funcții cunoscute, caracterizând curgeri exterioare potențiale.

II.3. Comparație între aproximația de tip strat subțire și aproximația de tip strat limită

Având în vedere cele prezentate anterior, putem observa că rezultă următoarele diferențe între aproximația de tip strat subțire și aproximația de tip strat limită.

1) În cazul stratului limită numărul lui Reynolds este foarte mare , pe când la stratul subțire numărul lui Reynolds este mai mic .

2) Grosimea a stratului limită este variabilă și putem vorbi de ea, doar în imediata apropiere a corpului, pe când la stratul subțire grosimea stratului de fluid este aceeași peste tot, în mișcarea studiată.

3) Condițiile la limită sunt diferite în cele două tipuri de aproximații. La aproximarea de tip strat subțire nu punem condiții la mari distanțe, iar la stratul limită această condiție se impune prin intermediul caracteristicilor din curgerea exterioară. Astfel, în cazul stratului limită se impune condiția de aderență la frontiera solidă. Această condiție apare și la stratul subțire, dar în studiul mișcării straturilor subțiri se impun și condițiile de echillibru al tensiunilor normale (de exemplu condiția cinematică) și tangențială (de exemplu de forfecare).

4) În cazul stratului limită fluidul poate fi nemărginit, pe când la stratul subțire mișcarea se consideră că are loc pe o porțiune relativ redusă. Astfel, în cazul stratului subțire grosimea fluidului trebuie să fie suficient de mică pentru a putea folosi aproximația de acest tip.

5) În aproximația de tip strat subțire influența vâscozității se manifestă la fel în tot fluidul, pe când în cazul stratului limită influența vâscozității se manifestă numai într-un strat subțire de fluid din imediata apropiere a suprafeței corpului.

6) În contrast cu simplificările făcute în cazul mișcarilor straturilor subțiri de fluide (unde se consideră Re mai mic) unde sistemul Navier-Stokes se liniarizează, la stratul limită caracterul neliniar al acestor ecuații se păstrează. Astfel, în cazul stratului subțire sistemul ecuațiilor de mișcare este liniar spre deosebire de stratul limită unde el este neliniar [12].

În următorul paragraf determinăm ecuația verificată de înălțimea suprafeței libere a unui strat subțire de fluid vâscos incompresibil, în cazul mișcării unui strat subțire de fluid vâscos incompresibil pe un plan orizontal sub acțiunea gravitației sau a mișcării unui strat subțire de fluid vâscos incompresibil pe un plan orizontal sub acțiunea simultană a gravitației și a unui gradient de tensiune supeficială.

În acest paragraf vom folosi următoarele notații: pentru subspațiul generat de vectorii proprii ai sistemului liniarizat corespunzător valorilor proprii având partea reală negativă, pentru subspațiul generat de vectorii proprii ai sistemului liniarizat corespunzător valorilor proprii având partea reală pozitivă și subspațiul generat de vectorii proprii ai sistemului liniarizat corespunzător valorilor proprii având partea reală nulă.

II.4. Curgerea fluidului pe un plan orizontal

În această secțiune studiem două tipuri de mișcare ale unui strat subțire de fluid vâscos incompresibil pe plan orizontal: prima, a unui fluid vâscos incompresibil pe un plan orizontal sub acțiunea gravitației, adică în lipsa gradienților de tensiune superficială (secțiunea II.4.1) și mișcarea unui strat subțire de fluid vâscos incompresibili pe un plan orizontal sub acțiunea simultană a gravitației și a unui gradient de tensiune superficială [9].

II.4.1 Mișcarea în absența gradienților de tensiune superficială

Se consideră mișcarea nestaționară a unui strat subțire de fluid vâscos Newtonian, având densitatea constantă și vâscozitatea. Fluidul curge pe un plan orizontal, sub forma unei pelicule, suficient de fină pentru a putea folosi modelul aproximației de tip strat subțire. Fluidul se mișca sub acțiunea gravitației și a unui gradient de presiune. Pentru a forma ecuațiile de mișcare precum și condițiile la limită corespunzătoare raportăm mișcarea la un sistem de coordonate cartezian . Astfel , axa este pe direcția mișcării, iar axa este transversală mișcării. De aceea, viteza fluidului este . Componentele vitezei sunt si .

Fig.II.1. Mișcarea fluidului sub acțiunea gravitației și a unui gradient de presiune

Având în vedere că mișcarea se face pe un plan orizontal și numai sub acțiunea gravitației în aproximația de tip strat subțire (lubrificație) ecuațiile de mișcare [1] sunt

(II.4.1.1 )

(II.4.1.2 )

unde .

Să considerăm suprafața liberă de înălțime necunoscută .

Să atașăm sistemului (II.4.1.1 ), (II.4.1.2 ) următoarele condiții la limită (pe perete și pe suprafața liberă)

, pe , (II.4.1.3 )

pe , (II.4.1.4 )

, pe , (II.4.1.5 )

unde este presiunea atmosferică.

Condiția (II.4.1.3 ) semnifică aderența fluidului vâscos la plan, condiția (II.4.1.4 ) este condiția de echilibru a tensiunilor normale pe suprafata libera și condiția (II.4.1.5 ) este condiția de echilibru a tensiunilor tangențiale pe suprafața liberă.

Fiind materială, suprafata liberă satisface următoarea condiție cinematică [7], [8]

, pe . (II.4.1.6)

Să determinăm ecuația pe care o verifică înalțimea a suprafeței libere. Vom avea de rezolvat sistemul

(II.4.1.1)

(II.4.1.2)

Cu condițiile la limită (II.4.1.3), (II.4.1.4), (II.4.1.5) si (II.4.1.6). Eliminăm întâi presiunea. Dacă integrăm ecuația (II.4.1.2) în raport cu z, folosind condiția la limită (II.4.1.4) obținem. Dar, pentru , atunci

și deci

(II.4.1.7)

Derivând relația (II.4.1.7) în raport cu obținem Înlocuim în (II.4.1.1) de unde rezultă ecuația [14]

(II.4.1.7)

Pe care o integrăm în raport cu z, folosind condiția la limită (II.4.1.6), și rezultă Dar , pe și, deci, Atunci avem

Să integrăm, din nou, în raport cu z și să folosim condiția la limită (II.4.1.3). Deci Dar, din condiția (II.4.1.3), rezultă că și atunci găsim , sau

(II.4.1.8 ),

atunci avem,

(II.4.1.8 ) ,

Din condiția de incompresibilitate avem

(II.4.1.9 ),

Derivând relația (II.4.1.8) în raport cu x găsim relația

care înlocuită în (II.4.1.9), conduce la

Integrând această relație și folosind condiția (II.4.1.3), obținem

Dar, din condiția de aderență (II.4.1.3), obținem și atunci

. (II.4.1.9a)

Deci, avem

(II.4.1.9)

Înlocuind în relația (II.4.1.6) expresiile lui w și u în z=h (II.4.1.8) respectiv (II.4.1.9) obținem ecuația pentru h,

(II.4.1.10)

care se mai poate scrie ca

Pentru a adimensionaliza relația (II.4.1.10) să introducem următoarele variabile adimensionale unde este dat de măsuratori experimentale. Pentru simplificarea scrierii nu vom mai pune indicele superior . Se obține, atunci, următoarea ecuație în formă adimensională

(II.4.1.10)

Fie acum . Cele mai elementare observații experimentale sugerează, , iar poartă numele numele de raport de aspect a curgerii. Înlocuind în (II.4.1.10) obținem

Să introducem și numărul lui Bond

care este raportul dintre forțele de gravitație și cele de vâscozitate. Cu ajutorul acestui număr ecuația precedentă se scrie sub forma ecuației neliniare de tip parabolic

(II.4.1.11)

Avem

Atunci ecuația (II.4.1.11) se mai scrie

(II.4.1.11)

Căutând pentru ecuația (II.4.1.11) soluții de forma undă de evoluție

unde (II.4.1.12)

obținem pentru Y următoarea ecuație diferențială neliniară

(II.4.1.13)

Cu notația ecuația (II.4.1.13) se transformă în sistemul

(II.4.1.14)

Observația.II.4.1.1: Ideea de a căuta soluții ,,de tip undă’’ pentru (II.4.1.11)se datorează, în esență, lui L.Landau. Ea se bazează pe faptul că acest tip de soluții este singurul cu ,,suport’’ (sens) fizic. Acest support le lipsește soluțiilor care devin nemărginite (într-un anumit sens) într-un interval finit de timp .

Observația.II.4.1.2: Ținând cont de relația (II.4.1.12) , unde , înlocuind în ecuația obținem

Atunci avem

, (II.4.1.15)

unde este funcție de și se poate determina din condițiile astfel încât De fapt, obținem

unde este o constantă ce depinde de , determinată din Deci trebuie să studiem ecuația

Observația.II.4.1.3: Ecuația (II.4.1.15) este echivalentă cu iar de aici obținem

și de aici avem că

Să determinăm acum valorile și vectorii proprii corespunzători problemei liniarizate și să construim subspațiile generate de acești vectori proprii. Soluțiile ,, de tip undă’’ pentru ecuația parabolică ne conduce la o ecuație afină. Să determinăm soluția generală a acestei ecuații, după care vom da o interpretare a fenomenului asociat.

Sistemul (II.4.1.14) devine

unde reprezintă grosimea stratului de fluid, iar X este derivata lui . Deoarece și înseamnă că lucrăm în ipoteza, care corespunde situației în care stratul de fluid nu se rupe.

Observația.II.4.1.4: Analiza sistemului autonom se face pentru cazul în care divergența lui este mai mică decât zero, unde

iar

În cazul nostru această condiție se scrie ca

Numai în acest caz sistemul este disipativ și pot apărea atractori.

Sistemul are ca soluții staționare și arbitrar, fie cu Pentru aceasta matricea jacobiană este

iar valorile ei proprii sunt: și deci echilibrele corespunzătoare nu sunt hiperbolice. Deoarece avem , iar vectorii proprii corespunzători sunt:

-pentru avem

deci și subspațiul central este generat de vectorul propriu . De fapt, este chiar varietatea central;

-pentru avem

de unde

Când avem și subspațiul stabil este generat de vectorul propriu .

Observația.II.4.1.5: Din sistemul , ținând cont că , obținem ecuația

Aceasta este o ecuație afină în ca funcție de . În continuare determinăm soluția ei generală. Soluția ecuației omogene este , iar soluțiile ,,de tip undă’’ vor fi în acest caz date de

(II.4.1.16)

De fapt, după cum se observă, este vorba de o familie de soluții depinzând de parametrul .

Observația.II.4.1.6: Relația (II.4.1.16) este o integrală primă a sistemului , echivalentă cu o ecuație integrală pentru , unde . Avem

de unde obținem

II.4.2.Mișcarea sub acțiunea simultană a gravitației și a unor gradienți de tensiune superficială

Un model mai apropiat de realitate este cel în care se introduce o tensiune de forfecare mișcarea peliculei subțiri de fluid are loc pe un plan orizontal, sub acțiunea simultană a gravitației și a unor gradienți de tensiune superficială. În acest caz ecuațiile de mișcare nu se modifică comparativ cu cele din secțiunea anterioară, dar se modifică condiția de echilibru a tensiunilor tangențiale . Această condiție devine una de tip Levich-Aris [16], și anume

. (II.4.1.5)

Din ecuația de mișcare (II.4.1.7) , cu , folosind condițiile la limită (II.4.1.3), (II.4.1.4), (II.4.1.5) și (II.4.1.6), obținem

(II.4.2.1)

Din condiția de incompresibilitate (I.4.1.9), în acest caz găsim

Folosind condiția la limită (I.4.1.3) obținem

(II.4.2.2)

în timp ce componenta a vitezei pe suprafața liberă va fi

(II.4.2.3)

Să deducem ecuația pe care o verifică. Folosind relațiile de mai sus, din relația (II.4.1.6) avem

care în formă mai simplă, se scrie ca

(II.4.2.4)

Să adimensionalizăm această ecuație folosind variabilele adimensionale introduse în paragraful precedent, precum și respectiv În plus considerăm că . În urma adimensionalizării ecuației (II.4.2.4) , omitem indicele superior , avem

Să punem în evidență următorii doi parametri adimensionali, mai precis:

1). Numărul lui Bond, definit prin , care este raportul dintre forțele de gravitație și cele de vâscozitate;

2). Numărul de capilaritate , care este raportul dintre forțele de suprafață (datorate gradientului de tensiune superficială) și cele de vâscozitate.

Vom avea următoarea ecuație adimensională

(II.4.2.5)

În cele ce urmează studiem două cazuri particulare: unul în care , iar cel de-al doilea în care .

Cazul 1. Dacă, forțele de suprafață și cele de vâscozitate au aceeași pondere, avem , iar pentru numărul lui Bond este

,

deci numărul lui Bond depinde de alegerea lui .

Cazul 2. Dacă, gravitația si forțele de vâscozitate au aceeași pondere, avem , iar numărul de capilaritate este

.

Prin urmare cele două numere și nu sunt independente. Mai precis când am presupus că forțele de suprafață și cele de vâscozitate au aceiași însemnătate pentru mișcarea studiată am obținut o anumită valoare pentru și pentru numărul lui Bond, iar când am presupus că forțele de vâscozitate și gravitația au aceeași importanță pentru mișcarea considerată am obținut o altă valoare pentru numărul de capilaritate.

Pentru ecuația (II.4.2.5) de evoluție să căutăm soluții sub forma undei Astfel, obținem sau

Cu , obținem ecuația de ordinul întâi care se transformă, ca în cazul precedent, în sistemul următor

(II.4.2.6)

Observația.II.4.2.1: Ca și în cazul precedent, analiza sistemului se va face pentru divergență negativă, căci numai în acest caz sistemul este disipativ și pot apărea atractori. Această condiție este

Să determinăm acum valorile proprii și vectorii proprii ai problemei liniarizate.

Deoarece , lucrăm în ipoteza . Sistemul (II.4.2.6) are ca soluții staționare și , arbitrar, cu . În acest caz matricea Jacobiană este

iar valorile proprii sunt și Ne interesează semnul valorii proprii . Distingem două subcazuri:

1. și au același semn;

2. și au semne contrare.

1.În acest caz și deci

i) pentru avem ;

ii) pentru avem ;

iii) pentru avem , și deci 0 este o valoare proprie dublă

Vom discuta pe rând cele trei cazuri.

i) Vectorii proprii atașați sunt:

-pentru , și subspațiul central este generat de vectorul propriu . De fapt , este chiar varietatea centrală;

-pentru , vectorii proprii verifică relația . Când avem și subspațiul instabil este generat de vectorul propriu ;

ii) –pentru vectorii proprii atașați sunt , astfel că subspațiul central este generat de vectorul propriu . De fapt, este chiar varietatea centrală;

-pentru relația dintre componentele vectorilor proprii este . Când avem și subspațiul stabil este generat de vectorul propriu .

iii) Vectorii proprii atașați sunt și subspațiul central este generat de vectorul propriu și de un vector propriu generalizat. Vectorul propriu generalizat se obține din

de unde și deci vectorul propriu generalizat este . În acest caz, subspațiul central este .

Să determinăm acum varietatea centrală care trece prin punctul ,

Observația.II.4.2.2: Din sistemul (II.4.2.6), ținând cont că , rezultă că

Aceasta este o ecuație afină de ca funcție de . Soluția ei generală este

(II.4.2.7)

Să dezvoltăm această funcție în serie de puteri în jurul lui , reținând doar primul termen nenul al dezvoltării. Cum primii doi termeni ai dezvoltării sunt nuli, avem

(II.4.2.8)

Ecuația (II.4.2.8) reprezintă o aproximație destul de bună a varietății în jurul lui . Suprafața de ecuație (II.4.2.8) se comportă ca și (II.4.2.7). Deci, în acest caz , se poate obține soluția analitică. Am determinat soluția ecuației diferențiale și în continuare o vom interpreta din punct de vedere fizic. În acest caz portretul de fază este reprezentat în figura (II.4.2.1).

Observația.II.4.2.3: Linia comtinuă (respectiv intreruptă) este formată din echilibre atractive (respectiv repulsive), numite, uneori, stabile (respectiv instabile). Punctul plin (respectiv gol) reprezintă un echilibru atractiv (respectiv repulsiv). Curbele date de ecuația (II.4.2.8) sunt notate cu . Se observă că subspațiile și sunt tangente respectiv varietăților și .

Observația.II.4.2.4: Portretul de fază din figura (II.2.) arată că mișcările straturilor de fluide cu grosimea strict mai mică decât sunt stabile. În rest, pentru grosimi mai mari sau egale cu curgerile sunt instabile. Punctul se comportă ca un punct șa.

Figura.II.2. Portretul de fază cândși au același semn

2. și au semne contrare. În acest caz avem și ar însemna că , dar din ipoteză este pozitiv. Deci, în acest caz nu avem soluție care să aibă semnificație fizică. Singura variantă posibilă ar fi ca: și , oricare ar fi . Portretul de fază pentru și au semne diferite este reprezentat în figura (II.3.), care arată că dacă gradientul de tensiune superficială este negativ, mișcarea ar putea fi stabilă, dar nu are sens din punct de vedere fizic, căci nu poate fi negativ ( reprezintă grosimea stratului de fluid). Chiar și pentru valorile pozitive ale lui , de la o anumită viteză, mișcarea este instabilă. Deci există viteze începând de la care problema ar avea sens fizic, dar soluțiile sunt instabile. Pe axa verticală, mai precis pe partea negativă a axei verticale, există stări staționare, dar ele nu au sens fizic.

Figura.II.3. Portretul de fază cândși au semne contrare

În continuare o să particularizăm cazul general, reprezentat mai sus, în două situații:

a) și b) .

Cazul a) ; atunci sistemul (II.4.2.6) devine

.

Valorile proprii ale problemei liniarizate sunt și

1. Ca și în cazul general, când și au semne diferite problema nu are semnificație fizică. În schimb pentru și de același semn avem și deci:

i) pentru avem ;

ii) pentru avem ;

iii) pentru avem , și deci 0 este valoare proprie nulă dublă

Discuția este similară cu cea din cazul general. Ecuația afină va fi

iar soluția ei generală este

(II.4.2.9)

Să dezvoltăm această funcție în serie de puteri în jurul lui , reținând doar primul termen nenul al dezvoltării. Cum primii doi termeni ai dezvoltării sunt nuli, avem

(II.4.2.10)

Ecuația (II.4.2.10) reprezintă o aproximație destul de bună a varietății în jurul lui .Suprafața dată de ecuația (II.4.2.10) se comportă ca și (II.4.2.9).

Observația.II.4.2.5: După cum am arătat mai sus, când numărul lui Bond este .

Observația.II.4.2.6: Portretul de fază este reprezentat în figura (II.4.), care

Figura.II.4. Portretul de fază

arată că mișcările în straturi de grosime strict mai mică decât sunt stabile iar cele de grosime mai mare sau egală cu sunt instabile.

Cazul b) , sistemul (II.4.2.6) devine

.

Valorile proprii ale problemei liniarizate sunt și

Ca și în cazul general pentru și de semne contrare, problema nu are semnificație fizică. În schimb , pentru și de același semn avem și deci:

i) pentru avem;

ii) pentru avem;

iii) pentru avem, și deci 0 este valoare proprie dublă .

Discuția este similară cu cea din cazul general. Ecuația afină va fi

iar soluția ei generală este

(II. 4.2.11)

Dezvoltând această funcție în serie de puteri în jurul lui , reținând doar primul termen nenul al dezvoltării și ținând seama că primii doi termeni ai dezvoltării sunt nuli avem

(II. 4.2.12)

Ecuația (II.4.2.12) reprezintă o aproximație destul de bună a varietății în jurul lui . Această curbă se comportă ca și (II. 4.2.11) .

Observația.II.4.2.7: După cum am arătat mai sus, dacă avem , iar numărul de capilaritate este În acest caz, portretul de fază este reprezentat în figura (II.2.), pentru și de același semn și în figura (II.3.), pentru și de semne contrare.

Concluzii

În primul capitol am abordat subiecte ce cuprind noțiuni teoretice care mi-au fost de folos la compararea mișcării unui fluid sub acțiunea unui gradient de tensiune superficială și mișcarea datorată gravitației, în al doilea capitol. Această lucrare cuprinde modelul aproximației de tip strat subțire, care liniarizează sistemul Navier-stokes, pentru a studia mișcarea straturilor subțiri de fluide vâscoase Newtoniene pe un plan orizontal.

Astfel în cel de-al doilea capitol am studiat curgerile unor straturi subțiri de fluide vâscoase incompresibile. Ecuațiile care le guvernează sunt ecuații de aproximație de tip strat subțire. În cazurile studiate am determinat ecuația verificată de înălțimea suprafeței libere. Am obținut o ecuație neliniară de tip parabolic și pentru această ecuție de evoluție am căutat soluții de tip undă ceea ce ne-a condus la un sistem de ecuații diferențiale ordinare. Pentru a studia dinamica generată de acest sistem am determinat varietățile invariante ,și , precum și subspațiile invariante , și corespunzătoare problemelor liniarizate.

În primul caz când am analizat mișcarea unui strat vâscos incompresibil pe un plan orizontal sub acțiunea gravitației, adică în lipsa gradienților de tensiune superficială am determinat ecuațiile de mișcare, am pus condițiile la limită și am determinat ecuația pe care o verifică înălțimea suprafeței libere. Apoi am scris ecuația de tip parabolic cu ajutorul căreia am obținut soluții de tip undă.

În cazul mișcării unui strat subțire de fluid vâscos incompresibili pe un plan orizontal sub acțiunea simultană a gravitației și a unui gradient de tensiune superficială, ecuațiile de mișcare nu s-au schimbat comparativ cu cazul precedent. În această secțiune am pus în evidență două subcazuri discutate pe baza a doi parametri adimensionali și anume numărul lui Bond și numărul de capilaritate. Primul caz este atunci când , iar cel de-al doilea când . În urma studiului s-a constatat că cei doi sunt independenți

Tot în cazul mișcarii unui strat subțire de fluid vâscos incompresibili pe un plan orizontal sub acțiunea simultană a gravitației și a unui gradient de tensiune superficială distingem două cazuri: unul dacă și au același semn și celălalt dacăși dacă au semne contrare.

Dacă și au același semn se găsesc soluții staționare cu . Aceasta înseamnă că există unde care se propagă în sensul în care acționează gradientul de tensiune superficială . Acest fapt este în perfectă concordanță cu hidrodinamica fenomenului. De asemenea am realizat, în acest caz, portretul de fază care arată că mișcările straturilor de fluide cu grosimea strict mai mică decât sunt stabile. În rest, pentru grosimi mai mari sau egale cu curgerile sunt instabile. Punctul se comportă ca un punct șa.

Dacă și au semne contrare portretul de fază arată că, dacă gradientul de tensiune superficială este negativ, mișcarea ar putea fi stabilă, dar nu are sens din punct de vedere fizic, căci nu poate fi negativ ( reprezintă grosimea stratului de fluid). Chiar și pentru pentru valorile pozitive ale lui , de la o anumită viteză, mișcarea este instabilă. Deci există viteze începând de la care problema ar avea sens fizic, dar soluțiile sunt instabile. Pe axa verticală, mai precis pe partea negativă a axei verticale, există stări staționare, dar ele nu au sens fizic. Astfel în urma studiului făcut în acest capitol din diagramele de fază se poate observa că pentru un gradient de tensiune superficială pozitiv există curgeri stabile.

Bibliografie

1. ACHENSON, D.J., Elementary fluid dynamics, Oxford University Press, 1990.

2. BORȘA, E.R., Mișcări de fluide vâscoase generate de gradientul de tensiune superficială, Ed. The Flower Power, Pitești, 2004.

3. CARAFOLI, E., CONSTANTINESCU, V.N., Dinamica fluidelor incompresibile, Ed.Academiei, București, 1981.

4. CARAFOLI, E., OROVEANU, T., Mecanica fluidelor, Ed. Academiei, București, I, 1952; II, 1985.

5. CONSTANTINESCU, V.N., Dinamica fluidelor vâscoase în regim laminar, Ed. Academiei Române, București, 1982.

6. DRAGOȘ, L., Principiile mecanicii mediilor continue, Ed. Tehnică, București, 1982.

7. FRIEDMAN, A. ,VELAZQUAS, J.J.L, The analysis of coating flows in a strip, J.Diff. Eqs., 1995.

8. FRIEDMAN, A. ,VELAZQUAS, J.J.L, The analysis of coating flows near the contact line, J.Diff Eqs, 1995.

9. FRIEDMAN, A., Free boundary problems in science and tehnology, Notice of AMS, 2000.

10. GEORGESCU, A., Asymtotic treatment of differential equations, ed.rom. Ed.Tehn., București, 1989.

11. GEORGESCU, A., Teoria stratului limită. Turbulență, Ed. ,,Gh. Asachi’’, Iași, 1997.

12. GHEORGHIȚĂ, ȘT. I., Teoria stratului limită și turbulență, Centrul de Multiplicare al Univ. din București, 1973.

13. GHEORGHIU, C.I., On the behavior of a thin liquid layer flowing due to gravity and surface tension gradient, Mathematica, 1996.

14. KALIK, C., Ecuații de derivate parțiale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1980.

15. LANDAU, L.D LIFCHITZ, E.M. Fluid Mechanics, Ed. Pergamon, London, 1989.

16. LEVICH, V.G., Physico-chemical hydrodynamic stability, Englewood Cliffs, New Jersey, 1967.

17. MARCOV, N., Metoda elementelor finite, în matematici clasice și modern, vol 4, red, Caius Iacob, Ed. Tehnică, Bucuresti 1984.

18. OCKENDON, H., OCKENDON, J.R, Viscious flow, Cambridge University Press, 1995.

19. OROVEANU, T., Mecanica fluidelor vâscoase, Ed. Academiei R.S.R, București 1967.

20. SERRIN, J., Mathematical principles classical fluid mechanics, Handbuch der Phys. VIII/I,Springer, Berlin, 1959.

21. VÂLCOVICI, V., Curs de mecanică, vol. 2, Mecanica mediilor continue deformabile, Lit. și Tip.Învățământului, București 1949.