Microsoft Word – 2003 valente_format_mihai_banciu.doc [306438]

Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010

ISBN 978-606-8129-95-2

Lucrare publicată în Sala de Lectură a

[anonimizat]://lectura.bibliotecadigitala.ro

Coordonator științific:

Prof. univ. dr. Stan Panțuru

„Creativitatea este o [anonimizat] o [anonimizat], în timp ce descurajarea o [anonimizat].”

Thomas Carlyle

CUPRINS

ANEXE

CAPITOLUL I

[anonimizat] a României a [anonimizat]-atlantice. [anonimizat]. [anonimizat] a [anonimizat]- ferind noi prerogative de manifestare a [anonimizat]. [anonimizat] a [anonimizat]: [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat]. [anonimizat]. În fabricile tradiționale produsele sunt obținute pe o [anonimizat]- ficabile, care sunt realizate cu materiale și metode prescrise. [anonimizat] a oferit un model școlilor de pretutindeni. Structura de zi cu zi a clasei este programată pe unități de timp pentru materii diferite. [anonimizat]-o unitate de timp proiectată astfel încât să acopere materia și nu ca răspuns la dorința de cunoaștere a copilului. [anonimizat]- tele; acestea sunt definite de factori ce sunt ușor de controlat. [anonimizat]- ile cu privire la conținut și rezultat sunt luate de indivizi care dețin autoritatea de a evalua munca. Copiii și dascălii sunt în partea inferioară a [anonimizat]. [anonimizat].

[anonimizat]. Școlile se concentrează asupra memorării. Pro- dusele sunt faptele pe care elevii le memorează. (Caine & Caine, 1991, p.13 apud Walh K. B. pag. 14)

Acest model dă greș în a [anonimizat]. Întâi, meseriile viitorului vor fi acelea pe care roboții industriali nu le vor putea efectua. Se presupune

că 75 % dintre meseriile viitorului nici măcar nu au fost inventate încă. [anonimizat] o inteligență extrem de complexă și de creatoare. După cum spuneau Caine & Caine (1991) „Cuvintele ce-ți vin în minte nu sunt stabile și predictibile ca in- dicativele unui loc de muncă în fabrică, delimitat și controlat, ci mai degrabă fluide și dinamice. O educație neunitară și pe bandă rulantă inhibă de fapt înțelegerea legăturii între materii care este esențială în învățarea complexă”. Acesta este al doilea punct unde se greșește: conținutul și me- todele educaționale nu iau în considerare informațiile noi cu privire la activitatea mentală și căile de învățare.

Astfel se conturează urgența numărul unu: crearea unui model educațional care îl face pe copil să fie conștient, chiar din clasa I, că tot ce se întâmplă în viață este interdependent. Acest model este susținut de specialiști de renume din domeniul psihologiei cognitive și cercetători în dezvoltarea cerebrală, științe sociale și educație. Scopul este de a fuziona ceea ce este mai bun din ce am asimilat din filozofiile educaționale europene și americane pentru a dezvolta practici educaționale care să aducă individul la statutul de gânditor creator într-o lume interdependentă.

A învăța este cheia succesului în viitor. Carl Sagan (1977) afirma următoarele:

Ca o consecință a enormelor schimbări sociale și tehnologice ale ultimelor secole lu- mea nu mai funcționează cum trebuie. Nu mai trăim în societăți tradiționale și statice. Dar gu- vernele, rezistând schimbării, acționează de parcă ar fi așa. Exceptând cazul în care ne vom autodistruge total, viitorul aparține acelor societăți care, neignorând relicvele de reptilă și de mamifer din ființa noastră, vor da posibilitatea ca numai caracteristicile omenești ale naturii noastre sa înflorească, numai acelor societăți care încurajează diversitatea mai degrabă decât conformitatea și acelor societăți dispuse să investească într-o serie de experimente sociale, poli- tice, economice și culturale, pregătite să sacrifice avantaje pe termen scurt în beneficiul unora pe termin lung; acelor societăți care tratează ideile noi ca pe niște căi delicate, fragile și inesti- mabile spre viitor. (Sagan C., 1977, pp. 203-204 apud Walh K. B. pag. 14)

Necesitatea formării unor elevi creativi, independenți, capabili de a lua decizii decurge și din finalitățile învățământului primar formulate în Legea învățământului. Întrucât activitatea la clasă ar trebui orientată către atingerea scopurilor și obiectivelor ciclurilor curriculare, le reamin- tesc în cele ce urmează.

Ciclul curricular al achizițiilor fundamentale (grupa pregătitoare a grădiniței urmată de clasele I și a II-a) are ca obiective majore acomodarea la cerințele sistemului școlar și alfabetiza- rea inițială. Acest ciclu curricular vizează:

asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul

aritmetic);

stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat;

stimularea potențialului creativ al copilului, a intuiției și a imaginației acestuia;

formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca activitate socială.

Ciclul curricular de dezvoltare (clasele a III-a și a IV-a) are ca obiectiv major formarea capacitaților de bază necesare continuării studiilor. Ciclul de dezvoltare vizează:

dezvoltarea achizițiilor lingvistice și încurajarea folosirii limbii române, a limbii materne și a limbilor străine pentru exprimarea în situații variate de comunicare;

dezvoltarea unei gândiri structurate și a competenței de a aplica în practică rezolvarea de

probleme;

familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoașterii;

constituirea unui set de valori consonante cu o societate democratică și pluralistă;

încurajarea talentului, a experienței și e expresiei în diferite forme de artă;

formarea responsabilității pentru propria dezvoltare și sănătate;

formarea unei atitudini responsabile față de mediu.

Elevul nu este, ci devine, el se află într-un permanent proces de devenire, de construire a statusului și rolurilor sale, de asimilare a competențelor necesare acestei "profesii". Se vorbește din ce în ce mai mult de "profesia" sau "meseria" de elev, mai degrabă o exprimare metaforică referitoare la construirea statusului de elev.

A deveni elev, într-o accepțiune care conferă perspectiva viitorului, presupune un proces complex de inițiere și afiliere prin care copilul descoperă progresiv caracteristicile vizibile și invizibile ale universului școlar. Integrarea și afilierea la mediul școlar presupune din partea co- pilului asimilarea a două tipuri de competențe:

academice – capacități intelectuale pe care elevul le activează în procesul de asimi-

lare a cunoașterii;

sociale – capacități de a descoperi și valoriza normele și regulile vieții școlare im- plicite sau explicite.

Conceptul de creativitate cunoaște o multitudine de definiții. Dar întrebarea care se ridi- că este: Se poate vorbi de creativitate la școlarii mici? Dacă luăm în considerare definiția creati- vității ca o capacitate de a realiza ceva nou, dacă privim creativitatea exclusiv ca produs, atunci răspunsul întrebării de mai sus va fi categoric: NU! Dar dacă privim acest concept complex care este creativitatea și ca proces care se desfășoară în timp înscriindu-se în sfera educației, atunci răspunsul devine afirmativ. Potențialitățile copilului care vizează flexibilitatea, fluența și senzitivitatea, cultivarea originalității și ingeniozității pot și trebuie sa fie dezvoltate prin inter- mediul școlii încă din primii ani ai școlarității. Fenomene psihice dinamizatoare cum ar fi: curio- zitatea, pasiunea, nevoia de activitate, succesul și satisfacția, ce pot fi declanșate sau accelerate de școală, asigură școlarilor mici fondul psihic necesar acțiunilor creative.

O altă întrebare la fel de importantă este: Cum se poate forma creativitatea școlarilor din

ciclul primar prin intermediul lecțiilor de matematică? Deși este o știință exactă, matematica

participă în egală măsură cu celelalte discipline de învățământ la dezvoltarea creativității la șco- larul mic. Fără a minimaliza alte obiective majore ale învățării matematicii (formarea priceperi- lor și deprinderilor de calcul, rezolvarea problemelor simple, tipice, cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii, formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic, dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate), subliniem rolul deosebit al activităților de rezolvare și de compunere a exer- cițiilor și problemelor. Dintre acestea, rezolvarea problemelor este mai puțin analizată în literatu- ra de specialitate, accentul fiind pus pe rolul activităților suplimentare în formarea și dezvoltarea creativității.

Învățătorul este primul care trebuie să contribuie, în școală, la formarea și dezvoltarea creativității la elevii de ciclu primar, prin corelarea solicitărilor adresate copiilor cu factorii moti- vaționali, aptitudinali și caracteriali implicați. Lui îi revine sarcina cheie de a urmării înlăturarea principalelor obstacole din calea creativității. Când ne referim la aceste bariere, vizăm în princi- pal problemele legate de timiditate, teama de greșeală, descurajarea și lipsa perseverenței. Așa cum spunea academicianul Solomon Marcus, „greșeala este plata creativității”. Încercarea și eroarea fac parte din procesul creativității. Și nu în ultimul rând, ci poate chiar în primul, pentru a forma personalități creatoare, se cere imperios ca el însuși să fie un autentic creator.

CAPITOLUL II

CREATIVITATEA ȘCOLARĂ

CE ESTE CREATIVITATEA?

IMPORTANȚA ȘI SCOPUL DEZVOLTĂRII CREATIVITĂȚII

CREATIVITATEA ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT

DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATOARE LA ȘCOLARUL MIC

MOTIVAREA ALEGERII TEMEI ȘI OBIECTIVELE URMĂRITE

CE ESTE CREATIVITATEA?

Creativitatea este un fenomen deosebit de complex și poate fi abordat din diferite pozi- ții, în funcție de ideologia și modalitățile de cercetare proprii subiectului investigator. Acesta a determinat o analiză continuă a creativității, exprimarea unor puncte de vedere depărtate, atât temporal – aspect important deoarece îi denotă, dacă nu infinitul, cel puțin marile dimensiuni de profunzime și amplitudine – cât și atitudinal. Referitor la primul aspect, menționez că preocupări în acest sens au existat încă din 1927 – „Teoria interpersonală sau culturală a creativității” (Adler) – și continuând în timp cu studiile diferitelor școli psihologice până în zilele noastre. În ceea ce privește al doilea aspect se cuvin menționate pe scurt opiniile unor cercetători concreti- zate în diferite teorii ce vizează creativitatea.

Teoria interpersonală sau culturală a creativității, cu adepți ca Adler (1927), Fromm (1959), Matussek (1967) și alții, consideră personalitatea creatoare ca fiind dependentă de mediu și cultură, spontaneitatea reprezentând factorul accelerator al creativității.

Teoria configuraționist – gestalistă, conform căreia creativitatea trebuie înțeleasă ca pro- dus exclusiv al imaginației, excluzând rațiunea, capabilă să sesizeze noul în raporturi intime, interne, existente între formă și volum. (Arnhein 1947, Mooney 1963).

Teoria asociaționist-psihologică (Mednick, Malzman) potrivit căreia creativitatea este produsul unor asociații creative bazate pe diferite contiguități (întâmplător, de cuvinte, ritmuri, structuri, obiecte) sau mediate prin simboluri (în știință).

Teoria transferului creativității (Quillford-1967), care înțelege creativitatea ca un mo- ment al învățării, putându-se manifesta în orice domeniu.

Teoria existențialistă (Rolo, May, Schachtel) care concepe creativitatea ca o experiență proprie personalității creatoare, ca urmare a unei trăsături autentice, comunicând însă cu mediul înconjurător. Se face însă distincție între creativitatea autentică și pseudocreativitate.

Această succintă prezentare a celor cinci școli psihologice argumentează complexitatea fenomenului creativității și diversitatea punctelor de vedere în legătură cu aceasta. O argumenta- re, dar nu o reflectare în totalitate deoarece chiar ansamblul acestor teorii, deși vorbesc despre creativitate din atâtea puncte de vedere, nu rezolvă definitiv problema fenomenului. Aceasta deoarece ne propun o imagine segmentată, trunchiată a fenomenului, o abordare cu multe limite a acestuia. Limitele lor derivă, în special, din metodologia adoptată de acestea în interpretarea creativității, în faptul că fiecare teorie susține o anumită esență fenomenologică-cauzistică, susți- nere ce derivă la rându-i dintr-o anumită poziție generală a școlii respective.

Ori pentru o încercare de rezolvare cât mai rapidă a problematicii în discuție se impune

o metodologie capabilă să vizeze globalitatea fenomenului. Este ceea ce preocupă pe cercetătorii contemporani, preocupare dovedită de multitudinea de studii, poziții pe această temă.

Firul roșu al acestor investigații îl constituie, în esență, definirea și aprofundarea con- ceptului creativității ca formă de expresie și, în același timp, ca și conținut psihologic al persona- lității umane.

Ca „formă de expresie” se au în vedere valențele simultane ale creativității de produs – proces – dimensiune a personalității, iar accepțiunea de conținut i se dă în ideea implicării sale în ansamblul vieții psihice umane, chiar dacă unele elemente de subsistem – gândirea, inteligența, imaginația, motivația – prezintă un substrat cu o funcționalitate creativă aparte.

Este intenția de a vizualiza global creativitatea – această opțiune neînlăturând valoarea abordărilor limitate – de a o prezenta ca sistem, deci ca un fenomen cu o anumită structură și o anumită funcționalitate psiho-socială specifică, originală și relevantă. Această modalitate de abordare permite, implică luarea în considerare a relației biunivoce structură-funcționalitate și, prin aceasta, înțelegerea mai justă a fenomenului creativității ca sistem.

Acceptând definirea ca sistem a creativității, înțelegem constituirea sa din laturi și ele- mente ce au între ele legături vitale pentru funcționalitatea ansamblului, dar care ca subsisteme au legități proprii, specifice, de compoziție, funcționare.

Studiile existente pe această problemă converg spre acceptarea structurii creativității ca purtătoare a trei dimensiuni complementare: produsul creator, procesul creator, personalitatea creatoare.

Produsul creator reprezintă, în esență, „ceva nou” în raport cu experiența socială ante- rioară sau cu experiența de viață a unui individ. Însușirile definitorii pentru produsul creator sunt originalitatea și utilitatea socială care se manifestă pe diferite grade de generalitate acoperind cinci niveluri ierarhice: expresiv (tipic pentru creativitatea timpurie a copilului), productiv (con- cretizat prin însușirea unor îndemânări), al invențiilor (capacitatea de a crea noi relații între ele- mentele învățate anterior), al inovațiilor (demonstrat prin anumite produse creatoare sub formă de inovații), al emergenței (al elaborării ideilor noi).

Procesul creator se desfășoară pe parcursul a patru etape: pregătirea, incubația, înțelege- rea și verificarea. Pentru a perfecționa permanent activitatea de predare-învățare este important să vedem ce sarcini ne revin în fiecare etapă. Primele două, pregătirea și incubația, impun un control pedagogic exercitat de cadrul didactic asupra stării psihice tensionale a elevului, pentru orientarea acestuia într-o direcție favorabilă calităților produsului creator (originalitatea, utilita- tea). Se pregătește astfel înțelegerea, „iluminarea” (condensată afectiv într-un moment de elibe- rare, la care nu se poate ajunge dacă-i lipsesc premisele obținute în faza de incubație) și verifica- rea, adică încheierea procesului creator, exprimat printr-un produs simbolic, scris sau verbal, original și relevant pentru elev și profesor, pentru mediul școlar sau extrașcolar.

IMPORTANȚA ȘI SCOPUL DEZVOLTĂRII CREATIVITĂȚII

În procesul de modernizare a învățământului, determinat de acumularea rapidă a cunoș- tințelor, pe de o parte, dar și de învechirea lor rapidă, pe de altă parte, suntem chemați să le for- măm elevilor o atitudine activă, creatoare în procesul învățării, așa încât să nu se mulțumească numai să preia concluziile științei ca atare, ci să analizeze fenomenele, cauzele lor, interdepen- dența dintre ele.

În fața noastră stă sarcina dezvoltării capacităților intelectuale ale elevilor, ale dezvoltă- rii gândirii, a forțelor creatoare care să le permită a înainta singuri pe drumul cunoașterii. „Nu poate fi ignorat faptul că învățarea contemporană inadecvată contribuie la deteriorarea condiției umane și la adâncirea decalajului uman [ … ] Pentru o supraviețuire pe termen lung, mai ales în vremuri de frământări, de schimbări sau de discontinuitate este mai important un alt tip de învă- țare. Și anume acel tip de învățare care poate aduce schimbare, reînnoire, restructurare și refor- mulare de probleme – învățarea inovatoare.” (Botkin W. J., Elmandjara M., Malița M., 1981, pp. 25-27)

Pentru stimularea creativității elevilor trebuie să urmărim ca fiecare lecție să se desfă- șoare în așa fel încât să-l pună pe elev cât mai devreme în posesia unor mijloace proprii de în- scriere a cunoștințelor, de prelucrare și integrare permanentă a acestora în noi sisteme și structuri.

Am pornit de la adevărul stabilit că succesul procesului de învățământ este deplin numai atunci când elevii sunt în așa fel conduși încât devin participanți activi la desfășurarea lui. Privită prin această prismă, predarea matematicii în școală dobândește funcții și semnificații noi. Este necesar și posibil să se urmărească unul din obiectivele esențiale care trebuie atinse prin predarea matematicii: dezvoltarea permanentă a calităților gândirii elevilor.

Ce calități specifice ale gândirii trebuie dezvoltate însă prin predarea matematicii în școală pentru a face față debitului sporit de informații pe care le cuprinde un program modern, fără ca să silim elevii la solicitări ce depășesc posibilitățile lor intelectuale?

S-a demonstrat că evitarea suprasolicitărilor și prevenirea supraîncărcării elevilor pot fi rezolvate prin dezvoltarea independenței și creativității gândirii matematice a acestora, sarcina ce se ridică destul de pregnant astăzi în fața școlii noastre.

Prin organizarea și selecționarea cunoștințelor matematice ce se transmit elevilor, pro- ductivitatea gândirii și creativității ei poate fi deliberat, în mod permanent, dezvoltată. Creativita- tea în gândire are drept caracteristică esențială capacitatea elevilor de a găsi soluții originale, atât în rezolvarea problemelor mari, cât și în modul de prezentare a ideilor matematice, a problemelor deja cunoscute dar la care elevii ajung independent și pe căi originale.

Cercetările psihologice privesc creativitatea ca performanță calitativă a gândirii,

cunoscându-se faptul că ea presupune anumite însușiri psihice motivaționale și voliționale care

se dezvoltă într-un anumit cadru al organizării procesului de comunicare a cunoștințelor. Astfel în cadrul lecțiilor este necesar să se îmbine armonios expunerea învățământului cu căutările in- dependente ale elevilor.

Expunerea informațională, deși asigură însușirea cunoștințelor în mod conștient, nu ac- tivează în suficientă măsură gândirea elevilor și stimulează mai ales gândirea reproductivă. De aceea, în procesul predării, expunerea trebuie îmbinată continuu cu crearea de situații – probleme care dezvoltă spiritul de investigație al elevului și îl orientează spre cercetarea științifică.

CREATIVITATEA ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT

O primă dimensiune structurală a creativității o reprezintă deci produsul creator, validat ca atare prin criteriile de originalitate și utilitate socială, criterii care manifestă la rândul lor dife- rite grade de generalitate. Specific procesului de învățământ este că unul dintre aceste criterii – originalitatea – se manifestă cu mai puțină imperativitate, completându-se mai pregnant cu crite- riul utilității sociale. Se cuvine detaliată cea de-a treia treaptă, nivelul invențiilor, care are un rol deosebit în procesul instructiv-educativ organizat de cadrele didactice. Importanța acestei trepte se evidențiază și prin aceea că la acest nivel se poate vorbi de două efecte: cel propriu elevului și cel propriu cadrului didactic, subiecți ce-și schimbă continuu statutul profesional, fiind în același timp transformatori și transformați, emițători și receptori. În fapt, inventivitatea pedagogică – deci capacitatea de a stabili relații între elementele învățate anterior – reprezintă o premisă a creativității, atât a elevului cât și a cadrului didactic, în măsura în care se manifestă capacitatea acestora de a elabora, de a stabili relații intrastructurale noi față de cele anterioare, capacitate și voință ce duc la perfecționarea continuă a muncii, a efectelor benefice pentru ambele categorii de participanți la proces.

Produsul creator în sfera învățământului este mai complex decât în alte sfere deoarece chiar procesul care-i dă naștere este mai amplu, evoluția relației subiect-obiect și obiectivele (ge- nerale, intermediare, concrete) demersului educațional fiind mai dinamice decât în alte domenii.

De asemenea, în școală se manifestă simultan cele trei dimensiuni ale creativității și nivelurile ei de organizare (individual – stimulat de psihologia cadrului didactic și a fiecărui elev; colectiv – condiționat de colectivul didactic și de colectivul clasei); social – determinat de realita- tea instituției școlare respective, de reacțiile de macrosistem).

În ceea ce privește actul creator este de precizat că, în procesul de învățământ, se desfă- șoară după algoritmul arătat mai înainte. Astfel, primele două faze (pregătirea și incubația) im- pun din partea educatorului un control mai accentuat asupra elevului, o mai evidentă direcționare a acestuia în sensul favorabil afirmării trăsăturilor de originalitate și utilitate socială a produsului

creației sale. Această direcționare este absolut necesară pentru ca elevul să acceadă la treptele de înțelegere și de verificare. La elev înțelegerea se manifestă ca un moment de eliberare, de ilumi- nare, când obscurul ce înconjoară acumulările cantitative din primele două etape începe să se destrame, noțiunile încep să se limpezească, iar în sinea sa, acesta capătă convingerea că a găsit

„cheia” problemei. Verificarea, adică încheierea procesului creator, se materializează într-un produs simbol.

Putem afirma că în practica educațională, în procesul creator se implică nu numai ele- vul, care devine treptat din obiect subiect al creativității, ci și cadrul didactic în măsura în care educând ne autoeducăm.

Pentru organizarea activității de predare-învățare, cunoașterea fazelor procesului creator este foarte importantă și datorită faptului că cele patru momente ale sale corespund momentelor rezolvării unor situații – problemă, situații tipice unui autentic învățământ problematizat, cu ac- cent formativ. Pentru activitatea pedagogică această paralelă (problematizare-creativitate) consti- tuie un reper metodologic fertil, cu o dublă finalitate: stimularea gândirii creative și stimularea capacității de rezolvare a unor situații problemă din ce în ce mai complexe, specifice procesului instructiv-educativ.

DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATOARE LA ȘCOLARUL MIC

Obiectivul fundamental al întregului proces de învățământ (atât prin intermediul școlii sub conducerea cadrelor didactice, cât și în afara școlii prin muncă independentă) îl constituie însușirea activă a cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor, asimilarea experienței sociale ce duce la dezvoltarea personalității prin dobândirea de noi capacități de a acționa și de modificare adaptiv-progresivă a comportamentului copilului la noile cerințe de viață și de activi- tate. „Am putea spune că educația trebuie să traseze hărțile unei lumi în permanentă mișcare, dar în același timp să pună la dispoziția oamenilor instrumentele de orientare cu ajutorul cărora aceș- tia să-și găsească drumul. Dacă privim astfel viitorul, soluțiile tradiționale la nevoia de educație, care au, în cea mai mare parte, un caracter cantitativ și sunt fundamentate pe cunoaștere, nu mai sunt adecvate situației actuale. Nu este suficient ca un copil să acumuleze, la o vârstă fragedă, un volum de cunoștințe pe care să le folosească apoi de-a lungul întregii vieți. Fiecare individ trebu- ie să fie pregătit să profite de ocaziile de a învăța care i se oferă de-a lungul vieții, atât pentru a-și lărgi orizontul cunoașterii, cât și pentru a se adapta la o lume în schimbare, complexă, interde- pendentă.” (Delors J., 2000, p.69) Îndeplinirea acestor obiective, prin învățare, reprezintă un

domeniu special de activitate a copilului în ansamblul celorlalte preocupări ale sale, având trăsă- turi ce-l individualizează și-i dau un contur foarte clar. Aceasta (și) deoarece învățarea nu poate fi îndeplinită fără aportul unui proces psihic specific ființei umane: gândirea.

Conceptual, gândirea este definită ca proces cognitiv însemnat în reflectarea realității ce prin abstractizări și generalizări (coordonate în acțiuni mentale) extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în forma conceptelor, judecăților și raționamentelor.

Procesul școlarizării presupune în mod obligatoriu gândirea, trecerea de la simpla cu- noaștere a lumii (prin senzații, percepții, reprezentări) la înțelegerea sintetică – analitică a realită- ții. Iar aceasta printr-un sistem de simboluri și de operații permit, ilustrează derularea, ascendența calitativă a psihicului copilului.

Din sistemul de simboluri cel mai important este limbajul, iar în cadrul sistemului ope- rațional specific învățământului se includ analiza și sinteza, comparația, generalizarea, abstracti- zarea, concretizarea. Ca forme ale reflectării gândirii se pot enumera: noțiunea, judecata, rațio- namentul.

Prin sistemul de simboluri și operații, gândirea-indiferent de vârstă și de pregătire, tinde să reflecte singularul prin prisma generalului, fenomenalul prin esențial, forma prin conținut, accidentalul prin necesar. În același timp, gândirea duce, indiferent de subiectul gânditor, la anumite produse: idei, concluzii, sisteme cognitive încheiate. Aceste produse se diferențiază, ca valoare, după criterii de pregătire, vârstă, experiență, condiții de „gândire” etc.

Pentru înțelegerea gândirii creatoare la școlarul mic se cuvine a se menționa stadiile gândirii care, după J. Piaget, sunt: senzoriomotor, preoperațional, al operațiilor concrete, al ope- rațiilor formale. Ca nivele calitative, același cercetător indică: gândirea empirică, gândirea rațio- nală reglementată logic și gândirea teoretică.

Am evidențiat câteva aspecte referitoare la procesul gândirii pentru a putea percepe mai facil ce este caracteristic pentru gândirea școlarului mic și, în spiritul subiectului abordat, a gân- dirii sale creatoare. Un adevăr incontestabil îl reprezintă faptul că în școală – în perioada școlară mică – are loc o intensă solicitare a gândirii, un accentuat proces de cunoaștere sistematică a rea- lității înconjurătoare, a adevărurilor validate – acceptate de societate. Are loc trecerea de la gân- direa intuitivă, perceptivă, la cea operatorie, care constă în organizarea unor structuri mentale concrete care operează cu criterii, clasificări, reciprocități, simetrii, forme de reversibilități și negație. În această etapă copiii surprind ceea ce este constant și identic în lucruri, fapt ce se ba- zează pe dezvoltarea capacității de a controla și coordona între ele operațiile gândirii, de a le grupa în sisteme unitare, de a conceptualiza, de a face coordonări de concepte și reversibilități.

Gândirea operează cu cunoștințe (scheme, imagini, concepte, simboluri), dar și cu ope- rații și reguli de operații, care au o evoluție spectaculoasă între 6 și 10 ani. Crește volumul sim- bolurilor și apoi al conceptelor. Cele mai numeroase simboluri sunt literele, cuvintele și nume-

rele. Dar simbolurile nu se reduc la acestea. În planul instrumental al gândirii la această vârstă se conturează conținutul conceptelor. Între concepte și simboluri există deosebiri. Sub acțiunea in- struirii, a învățării, elevii înțeleg din ce în ce mai bine aceste deosebiri. Simbolul se referă la eve- nimente specifice, singulare, pe când conceptul reprezintă ceea ce este comun în mai multe situa- ții, evenimente.

Sub influența învățării atât noțiunile (conceptele), judecățile, raționamentele cât și ope- rațiile gândirii suferă modificări calitative. În această etapă se asimilează concepte descriptive care reflectă aspecte esențiale ale realității operative, care se referă la aspectele codificatoare și ordonatoare ale diferitelor domenii de cunoștințe, cele care privesc realitatea și structura socială și se formează în procesul învățării sociale și concepte foarte generale și abstracte. Noțiunile de cauzalitate, transformare, dezvoltare, de timp, spațiu etc. se îmbogățesc mult pe parcursul școla- rității mici, devin proprii gândirii copilului.

Gândirea elevilor se dezvoltă odată cu progresul operațiilor mentale, care nu pot fi sepa- rate unele de altele. În activitatea de gândire ele se întrepătrund și se subordonează unele altora, în funcție de sarcina dată. Operațiile provin din interiorizarea acțiunilor practice, elevul trece treptat de la acțiunea obiectuală la cea mintală. Operațiile mentale devin instrumente de bază ale raționării efectuate de gândire și inteligență cu conceptele sau cu informațiile. Curiozitatea epis- temică crește și e orientată spre cunoașterea lumii și vieții, dar se constată diferențe mari în ceea ce privește modul de înțelegere și de abordare a diferitelor aspecte ale realității.

Gândirea capătă calități deosebite în această perioadă: independența în jurul vârstei de 8 ani, la 9-10 ani suplețea, iar la 10 ani înțelegerea contextuală evidentă. De asemenea, dobândește noi dimensiuni la această vârstă înțelegerea ca activitate a gândirii. Ea devine tot mai implicată în descoperirea relațiilor cauzale, a principiilor, a legilor. Ea se realizează prin relaționarea informa- țiilor noi cu cele vechi și închegarea noilor date în sistemul de referință (structurile mentale) an- terior elaborate. Înțelegerea este implicată în mod deosebit în procesul de rezolvare a probleme- lor. Rezolvarea de probleme constituie un factor de dezvoltare, dar și un criteriu de evaluare a nivelului dezvoltării gândirii. Modul în care un elev rezolvă o problemă ne ajută să apreciem capacitatea lui mentală de gândire, flexibilitatea sau rigiditatea, originalitatea, independența și caracterul critic al gândirii.

Copiii care ajung mai repede la soluții, idei noi în rezolvarea de probleme, care își struc- turează cu ușurință vechile legături mentale pentru a le lega de cerințele noii situații, care sunt productivi și independenți în acțiune, spunem că au o gândire creatoare.

Urmărind evoluția gândirii școlarului mic se constată că în primele clase aceasta este dominată de rigorile regulilor și cerințelor de operare cu concepte în moduri specifice, aspectele fanteziei și imaginației interiorizându-se treptat. Potențialul creativ al copilului în această perioa- dă este mai redus, el manifestând un spirit critic destul de ridicat față de propriile produse.

Acest fapt nu înseamnă că un copil din clasele I – II nu dispune de capacitatea de a compune, de a povesti și de a repovesti, de a folosi elemente descriptive. În etapa a doua a micii școlarități apar și se manifestă stiluri și chiar aptitudini creatoare în domeniile: matematică, citit-scris, de- sen, modelaj etc.

Pornind de la aceste caracteristici ale gândirii în general și ale gândirii creatoare în spe- cial, se pun fireștile întrebări: cum reușim să depistăm potențialul creativ al copilului? Cum reu- șim să-l stimulăm? La asemenea întrebări voi încerca să formulez răspunsuri. Subliniez însă ur- mătoarele lucruri:

în procesul de învățământ învățătorii nu trebuie neapărat să formeze mari creatori ale căror produse să se concretizeze prin originalitate și valoare socială, ci trebuie să fie preocupați de formarea unor capacități cognitive ca fundament al procesului creativ real de mai târziu;

în procesul de învățământ interesează în mod deosebit suplețea soluției găsite pentru rezolvarea problemelor școlare solicitate de învățători, soluții ce produc o stare de surpriză, o trăire afectivă intensă capabilă să revitalizeze dorința și curiozitatea de a descoperi și alte căi;

nu există copil dezvoltat normal din punct de vedere intelectual care să nu fie înzestrat cu anumite capacități creative, într-o măsură mai mare sau mai mică;

să se facă distincție între potențialul creativ și creativitate.

Existența unui potențial creativ la școlarul mic este explicată de fantezia, imaginația necontrolată a acestuia, absența cenzurii exercitată de factorul rațional, manifestarea spontaneită- ții ca factor al creativității. Treptat spontaneitatea ne supune stereotipurilor sociale și culturale care caracterizează mediul uman.

Dezvoltarea gândirii, a operațiilor și formelor acesteia permite copilului înțelegerea rea- lității obiective și prin urmare imaginația, fantezia înregistrează o scădere bruscă, dar asimilarea unui volum mare de informații la care se adaugă o anumită experiență de viață, permit un nou reviriment al potențialului creativ.

Cum se manifestă un copil creativ? Un copil creativ se manifestă astfel: curiozitate, ori- ginalitate, independență, imaginativ, nonconformist, plin de idei, experimentator, flexibil în gân- dire, persistent, permanent preocupat, preferă complexitatea.

Copilul creativ are următoarele manifestări de conduită:

capacitatea de înțelegere a materialului de prelucrare și restructurare a acestuia;

deplina încredere în forțele proprii;

efort fluctuant;

nivel superior de aspirații, interese variate, curios, activ;

lipsa de sociabilitate în raporturile cu egalii.

Care sunt criteriile de apreciere a creativității?

Concepută ca aptitudine generală care contribuie la formarea capacităților și la adaptarea cognitivă a individului la situații noi, inteligența are anumite caracteristici manifestate și în crea- tivitate – capacitatea de restructurare, de reorganizare a cunoștințelor, caracterul euristic al stra- tegiilor de rezolvare, caracterul flexibil al restructurării. Inteligența nu se confundă cu creativita- tea, aceasta din urmă având o sferă mult mai largă, înglobând, pe lângă componenta intelectuală și anumite aptitudini speciale, trăsături de personalitate.

Rezultatele obținute la învățătură reflectă nivelul creativității, dar numai într-o oarecare măsură întrucât acestea se sprijină pe receptare, memorare, repetiție, structuri algoritmice și mai puțin pe imaginație, ingeniozitate, nonconformism. Rezultate bune la învățătură realizează și elevii inteligenți și cei creativi, deosebite fiind strategiile.

Analiza realizărilor poate constitui un criteriu de selecție a elevilor creativi amintind în

această direcție concursurile pe obiecte sau diferite alte competiții.

Utilizarea testelor în aprecierea potențialului creativ este utilă și necesară acestea permi- țând evaluarea fluenței, flexibilității adaptative, originalității și perspicacității ca aspecte ale gân- dirii creatoare – factor important al creativității. Testele de creativitate pot oferi informații impor- tante numai dacă sunt aplicate la un număr mare de elevi pentru a putea permite compararea re- zultatelor.

Pentru stimularea gândirii creatoare am utilizat mijloace didactice variate, a unor metode active din rândul cărora să nu lipsească jocul – metoda cu multiple valențe atât în plan informa- tiv, cât și formativ. Învățarea formativă este o cerință impusă de evoluția societății care are nevo- ie de oameni bine pregătiți în toate domeniile.

Încurajarea tendinței de creativitate a școlarului mic trebuie să constituie o obligație mo- rală a fiecărui învățător pentru procesul de învățământ care oferă diverse și bogate prilejuri de cultivare a creativității.

MOTIVAREA ALEGERII TEMEI ȘI OBIECTIVELE URMĂRITE

Matematica contribuie la formarea deprinderii„ de a învăța cum să înveți, în așa fel încât să-ți poți însuși cunoștințe noi de-a lungul întregii vieți, a învăța să gândești liber și critic, a învă- ța să te desăvârșești în și prin munca creatoare”. (Edgar Faure – „A învăța să fii”).

Lucian Blaga spunea: „Eu nu strivesc corola de minuni a lumii/ Și nu ucid cu mintea tainele ce le-ntâlnesc în cale.” Parafrazându-l aș spune că frumusețea lumii înconjurătoare nu se distruge atunci când găsești explicația anumitor fenomene ce se petrec în jurul tău ci, dimpotrivă, te ajută să-i sporești farmecul, stimulându-te să cauți și alte „taine” pe care să ți le elucidezi.

Pornind de la această idee am fost întotdeauna atras de studiul matematicii, cu precădere

de rezolvarea problemelor matematice. Această pasiune a mea o să încerc să le-o insuflu și colec- tivelor de elevi pe care o să le îndrum, căutând să-i fac să privească matematica precum un des- chizător de drumuri, precum un ghid care aduce satisfacția înțelegerii lumii înconjurătoare cu labirinturile ei, precum un demolator de ziduri ce închid în ele tainele cunoașterii.

Lucrarea de față doresc să reflecte preocuparea mea de a studia literatura de specialitate în această problemă, aplicarea în practică a unor cercetări făcute în această direcție și evidenție- rea unor strategii personale care să dea rezultate bune și care să-mi aducă satisfacții profesionale.

Matematica contribuie la pregătirea pentru viață a elevilor de astăzi, ceea ce reprezintă de fapt finalitatea vieții școlare. Ea dezvoltă gândirea și gândirea a stat întotdeauna la baza pro- gresului, constituind un factor hotărâtor în dezvoltarea dinamicii sociale. Nu este de mirare că printre multiplele exigențe pe care personalitatea umană le revendică, un rol important îl are gândirea. Individul de azi are însă nevoie de o gândire critică și inovatoare, de o gândire origina- lă și creatoare pe care o formează matematica modernă.

Educarea creativității la elevi a constituit pentru mine o preocupare prioritară. Am încer- cat să depistez acei elevi care aveau posibilități intelectuale peste nivelul comun. Apoi studiind cercetările cu privire la creativitate făcute de Roșca, Nicola m-am axat pe principiul general care evidențiază faptul că formarea și dezvoltarea creativității necesită parcurgerea drumului de la simplu la complex, metode active (problematizarea, descoperirea), buna cunoaștere a posibilități- lor intelectuale volitive și morale ale elevului, a supleței sistemului său nervos, precum și înlătu- rarea obstacolelor care „frânează” creativitatea: timiditatea, teama de greșeală, descurajarea, lip- sa perseverenței.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil în dome- niul activităților matematicii pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. La vâr- sta școlară mică elevii învață unele tehnici elementare ale activității intelectuale. Interesul pentru studiu se găsește într-o fază incipientă. Pentru a-i determina pe micii școlari să se angajeze la o activitate atât de complexă și de dificilă cum este activitatea de învățare a matematicii, trebuie stimulate o serie de mobiluri interne și externe care să declanșeze dorința și interesul pentru învă- țare, însoțite de satisfacția efortului tensionar, de bucuria succesului.

Interesul pentru matematică se cultivă prin conținutul învățământului matematic, prin activitatea problematică. Copiii de vârstă școlară mică dau o nuanță afectivă întregii activități. Pe măsură ce li se pun în față dificultăți noi, fiind orientați și ajutați să le depășească, ei trăiesc bu- curia succesului, dobândesc încredere în puterile lor, începe să-i intereseze activitatea matemati- că.

CAPITOLUL III

VALENȚE FORMATIV – CREATIVE ALE

ACTIVITĂȚII DE ÎNVĂȚARE

ACTUL ÎNVĂȚĂRII – ACT CREATOR

RELAȚIA INFORMATIV-FORMATIV ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚARE A MATEMATICII LA CICLUL PRIMAR

METODE ȘI CĂI DE DEZVOLTARE A CREATIVITĂȚII MATEMATICE

ACTUL ÎNVĂȚARII – ACT CREATOR

Conceptul de învățare a primit numeroase definiții. Majoritatea lor converg însă către dobândirea unor comportamente noi, relativ stabile, pe bază de exersare, deci către un plus de experiență, indiferent dacă acest plus se înscrie în domeniul cognitiv (un spor de cunoștințe, de structuri cognitive), în cel afectiv (trăiri mai puternice, sentimente mai structurate) sau în cel senzorio-motor (algoritmi consolidați, deprinderi). „Învățarea creativă este o învățare prin desco- perire, care duce la constituirea unei personalități cu comportament creativ. Învățarea creativă este o formă specială a învățării și ea este cerută de complexitatea epocii contemporane [ … ] Omul modern este omul faptelor pentru că ele conving, deci omul creator, deși este constructor de idei, nu rămâne suspendat în sistemul său ideativ ci îl folosește pentru a formula decizii și a rezolva problemele vieții prin acțiune, conform sistemului decizional elaborat mintal.” (Matei N. C., 1982, p. 13)

Învățarea, cu precădere cea școlară, se desfășoară în etape care se succed într-o anumită ordine, la diferite niveluri (cicluri). Astfel, primul moment îl reprezintă pătrunderea informațiilor în intelectul elevului și recepționarea lor. Eficiența recepționării cunoștințelor depinde de bogă- ția, varietatea și relevanța acestora, precum și de gradul de participare a elevilor la elaborarea lor (dialog, observații directe). Este necesar ca învățătorul să manifeste preocupări permanente pen- tru formarea și dezvoltarea capacităților de recepționare a elevilor prin exerciții privind concen- trarea atenției, actualizarea experienței precedente, rezistența la efortul intelectual.

Recepționarea informațiilor este doar primul pas al activității de învățare. Funcțiile me- moriei fiind: recepționarea, păstrarea, recunoașterea și reproducerea, informațiile trebuie să fie nu numai recepționate ci și păstrate, ele constituind materialul primar al activității de învățare. În acest scop are loc stocarea informațiilor, fixarea lor, mai întâi în memoria de scurtă durată și apoi în cea de lungă durată. Cu cât materialul faptic este mai bogat și mai bine fixat în memorie, cu atât se asigură o învățare mai eficientă. Acest nivel presupune nivelul de învățare receptiv – re- productivă, unde funcționează nu numai memoria, care are o prezență dominantă, ci și gândirea, utilizându-se unele modalități de memorare logică.

Informațiile recepționate nu se depozitează cumulativ, ci ele intră într-un proces complex de prelucrare (disecare, structuralizare și restructurare) în care gândirea apare în prim plan. Prin operațiile de analiză, sinteză, comparație, discriminare etc., elevii sunt ajutați să pătrundă în esența obiectelor și fenomenelor, să sesizeze notele definitorii ale acestora, să se ridice la ab- stractizări și generalizări conștientizate. Înțelegerea sensului, a semnificației denumirilor, a defi- nițiilor nu se preia de la alții, ci se elaborează printr-un efort intelectual personal. Acesta este

nivelul la care se realizează învățarea inteligibilă, care se exprimă în noțiuni, reguli, definiții, caracterizări susținute de argumente, motivări.

Activitatea intelectuală de prelucrare continuă la nivel superior cu prelucrarea externă în care noțiunile elaborate pe baza înțelegerii ies unele în întâmpinarea altora. Se efectuează astfel operații de clasificare, integrare în sistem, transfer ca operații superioare ale activității gândirii. Acum are loc și utilizarea cunoștințelor prin aplicarea lor în condiții variate, neînvățate. De ace- ea, autorii ciclicității învățării au denumit această etapă aplicarea sau testarea informațiilor. Ope- rațiile superioare ale gândirii și imaginației, cu elemente de creativitate, învățarea de tip operativ presupun operații de categoriile menționate mai sus care și acestea se „învață” prin exersare. De exemplu la matematică, algoritmii simpli se integrează în algoritmi complecși, se utilizează în tehnici de calcul mai complexe și în rezolvarea problemelor. Aceasta presupune o angajare totală a elevilor la un efort intelectual creativ, la o exersare sistematică în efectuarea unor operații de clasificare.

Ultima etapă din cadrul fiecărui ciclu al activității de învățare constă în exploatarea in- formațiilor sau generarea de informații noi. Aceasta valorifică tipul învățării creative, prin care elevul folosește la maximum experiența dobândită. După parcurgerea etapelor primului ciclu al învățării, acestea se reiau la niveluri progresive în cicluri tot mai înalte. De aceea se spune că învățarea se regenerează. Conștientizând relațiile intime ale procesului învățării am încercat să găsesc mijloace și modalități practice de realizare a acestei activități cu precădere în domeniul studiului matematicii la ciclul primar.

* adaptare după Grigore Nicola, 1981

RELAȚIA INFORMATIV-FORMATIV ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚARE A MATEMATICII LA CICLUL PRIMAR

Înțeleasă în semnificația ei profundă, relația informativ – formativ poate servi la conști-

entizarea și dirijarea eficientă a învățării. După natura sa, activitatea instructiv-educativă sau in- formativ-formativă reprezintă un proces unitar, cele două aspecte neputând fi considerate separat ca aspecte independente. Instrucția și educația se realizează într-o activitate comună, sau mai precis, educația se realizează prin instrucție. Predarea nu constituie un scop în sine. Informațiile achiziționate în procesul instruirii sunt supuse unor operațiuni de prelucrare (structurări, restruc- turări, aprofundări) în urma cărora, treptat, ele se metamorfozează în convingeri. Convingerile (intelectuale, morale, estetice) sunt informații acceptate la care individul aderă, făcând din ele principii de activitate pentru el și pentru cei din jurul său. Pe baza convingerilor se restructurează un anumit mod de a gândi, înțelege și interpreta o anumită concepție care dirijează întreaga acti- vitate a omului. În limbajul popular se spune că omul se poartă așa cum gândește și cum înțelege lucrurile. Cu alte cuvinte, concepția se imprimă în comportament, în atitudini.

Activitatea matematică necesită o tensiune, o încordare, o mobilizare a tuturor compor- tamentelor psihicului uman, dar cu precădere a gândirii, a inteligenței. Enunțurile matematice nu se învață pur și simplu, ci se receptează, se înțeleg, se integrează și se îmbogățesc numai în mă- sura în care elevul operează cu ele. Efortul intelectual depus în activitatea matematică este, în esență, un continuu antrenament care are drept efecte dezvoltarea intelectuală reală a elevilor, în primul rând, dar și dezvoltarea generală a acestora.

Toate acestea vin să întărească ideea conform căreia matematica dispune de bogate va- lențe formative. Mai pregnant decât la oricare disciplină școlară, la matematică se pune problema caracterului activ al învățământului pentru că, așa cum spunea Eugen Rusu, (1962, p.34) „enun- țurile matematice trăiesc, se maturizează în timp și pentru că ele sunt mereu mijloace de a face ceva. Forma în care ele se păstrează în memorie nu este aceea a unei expresii verbale; memorăm nu cuvinte, ci direct imagini, moduri de lucru, moduri de a gândi. O cunoștință ne devine familia- ră numai în măsura în care lucrăm cu ea, iar lucrând nu facem o simplă fixare, ci îi aprofundăm înțelesul, legăturile, eventual sensurile noi, prin aplicarea în cazuri variate”.

Învățământul matematic cultivă curiozitatea științifică, frământarea, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului. El are ca rezultat formarea unor deprinderi și capacități necesare în activitatea practică a omului. Astfel se formează o serie de atitudini: a gândi personal și activ, a folosi analogii, a analiza o problemă, a o descompune în probleme mai simple. Ordinea de rezol- vare a unui exercițiu, a unei probleme disciplinează gândirea și aceasta poate deveni o trăsătură a formației omului. În procesul învățământului matematic se formează și o serie de aptitudini pen- tru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral și invers, pluralitatea gândirii, capacitatea de a depune efort concentrat.

Învățământul matematic dispune de valențe formative nu numai în direcția formării inte- lectuale a elevilor, ci contribuie la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, voli- tiv având o importantă contribuție la formarea unor trăsături pozitive de voință și de caracter:

exactitatea, punctualitatea, dârzenia. Învățământul matematic se adresează și laturii afective. Câte emoții, câte bucurii, câte nemulțumiri întovărășite uneori cu lacrimi, nu trăiesc copiii în procesul activității matematice!

În lucrarea „Metodica predării matematicii în ciclul primar”, autoarele Mihaela Neagu și Mioara Mocanu vorbesc de educarea înțelegerii trăirii și creării frumosului prin predarea mate- maticii, arătând că raționamentele riguroase cu care operează matematica educă simțul proporți- ei, acuratețea, armonia și unele trăsături ale imaginației. Cea mai riguroasă gândire matematică este totdeauna mai mult decât numai rațiune, ea presupune o vie activitate a imaginației creatoare la nivelul cel mai înalt, căci depășește imaginația pur senzorială. „Cum pot face asta? și De ce să fac așa? sunt întrebări pe care activitățile de învățare propuse de învățător trebuie să le genereze, iar răspunsul trebuie găsit de elevi prin efort propriu de observare, analiză, comparare și căutare a unor noi modalități de rezolvare.” (Neagu M., Mocanu M, 2007, p. 31).

În afara complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, tehnici de calcul), precum și deprinderea de aplicare a acestora. Valoa- rea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.

Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o problemă este încununat de succes. Se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu poată răspunde la în- trebarea problemei. Elevii trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung să rezolve pro- blema. Reluarea muncii și ducerea ei până la capăt constituie un bun exercițiu de educare a voin- ței, a dârzeniei a perseverenței.

Bogatele valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan. Lăsată în seama întâmplării, eficiența formativă a rezolvării problemelor este limitată și se poate dirija în direcții negative, dacă se pot forma unele priceperi și deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii și a atitudinii independente a elevilor. De aceea este necesară o preocupare permanentă din partea învățătorului pentru valorificarea valențelor formative ale ac- tivității de rezolvare a problemelor și de sporire a eficienței formative a acestei activități.

METODE ȘI CĂI DE DEZVOLTARE A CREATIVITĂȚII MATEMATICE Adevărata metodologie activă trebuie să favorizeze concomitent atât elaborarea noilor cunoștințe prin efort propriu, cât și construcția operațiilor mentale corespunzătoare pe care vrem să le formăm. Cunoștințele nu trebuie să fie transmise și primite de-a gata, pregătite dinainte de profesor, demonstrate sau luate din manuale, cu un minim efort de memorizare, de reproducere pur și simplu a exemplelor și modelelor propuse. „Mai important este un alt tip de învățare. Și anume acel tip de învățare care poate aduce schimbare, reînnoire, restructurare și reformulare de probleme – pe care îl numim învățare inovatoare.” (Botkin J. V., Elemandjra M., Malița M., 1981, p. 27). Aceste idei alături de alte cercetări contemporane de ordin psihopedagogic, relevă faptul că dezvoltarea intelectuală, inclusiv gândirea creativă, este profund influențată de sistemul de educație. Unii autori au recunoscut faptul că unele metode clasice folosite în sistemul educați- onal nu încurajează, ci de multe ori descurajează gândirea creatoare, că atitudinile mentale din timpul muncii intelectuale sunt în multe privințe diametral opuse atitudinii mentale care stimu-

lează creativitatea.

Educarea creativității la școlarul mic este posibilă cu condiția să se facă în sistem, înce- pând chiar din primul an de școală. În scopul formării unei gândiri creatoare se folosesc atât me- tode clasice, dar reactualizate, cât și metode noi active.

Metoda conversației am folosit-o în scopul însușirii și repetării cunoștințelor, a consoli- dării, sistematizării și verificării cunoștințelor. Întrebările am căutat să fie simple, accesibile, clar formulate, să stimuleze gândirea. De asemenea am insistat ca răspunsurile elevilor să fie formu- late corect, să fie clare și precise, să scoată în evidență înțelegerea de către elevi a noțiunilor și capacitatea lor de a le aplica în situații noi.

După felul de utilizare, după scopul urmărit, conversația este de trei feluri: de comunica- re, euristică și de reproducere. Conversația de comunicare am folosit-o în procesul de transmitere a cunoștințelor noi, folosind experiența și cunoștințele anterioare ale elevilor. Conversația euris- tică am utilizat-o în formularea unor noi adevăruri, prin compararea faptelor, stabilirea părților esențiale și a elementelor comune, prin raționament logic. Conversația de reproducere am folosit- o cu scopul de a readuce în memorie și de a împrospăta cunoștințele anterioare pentru consolida- rea și sistematizarea lor.

Problematizarea este o modalitate sistemică și specifică de lucru în învățământ, prin care se urmărește, în principal, educația intelectuală a celor ce învață. Esența acestei modalități de lucru în învățământ o formează problema didactică și rezolvarea acesteia. Elementul principal și dinamic într-o problemă este întrebarea cu funcție euristică, de investigație. Întrebările-problemă contribuie în mare măsură la angajarea gândirii elevilor în procesul dezvoltării gândirii lor inte- lectuale și al științei. Totodată, a pune elevului probleme de gândire în procesul învățământu-

lui, dar mai ales a-l pregăti pentru a-l învăța să-și caute singur soluția problemelor prin efort și prin muncă independentă, a-i îndruma căutările în găsirea soluțiilor sunt căile cele mai potrivite pentru a face educație intelectuală elevilor.

Prin caracteristicile sale generale și specifice, învățământul problematizat corespunde cerințelor societății moderne a cărei complexitate și dinamism pun la fiecare pas problema omu- lui contemporan, iar din punct de vedere subiectiv satisface una din cele mai esențiale nevoi umane: creativitatea. Problematizarea conținutului instrucției școlare impune adoptarea unei noi metodologii didactice și o pregătire deosebită a cadrului didactic pentru a marca trecerea la o învățare calitativ superioară.

Cel mai important moment în învățământul problematizat îl constituie rezolvarea pro- blemelor. În această etapă a activității intelectuale, elevul trebuie situat în poziția de a realiza o cunoaștere profundă și o învățare multilaterală, iar educatorul să se folosească de modalități de lucru cât mai variate pentru a menține interesul și pentru a spori efortul celui ce activează.

Iată câteva exemple ce pot fi probleme pentru copii:

„Două numere formează împreună 80. Care sunt aceste numere?”

„Numărul 70 este format din 20 și alt număr. Care este cel de-al doilea număr?”

„Cum se pot scrie sub formă de exerciții aceste probleme?”

( ? + ? = 80; 20 + ? = 70; 70 – 20 = ?)

„Formulați probleme care să-și găsească soluțiile prin exercițiile: 8 + 10 = ? sau ?

+ 10 = 20”

Deosebit de importantă este și folosirea imaginilor pentru compunerea problemelor și mai ales pentru formularea întrebării. Exemple:

b)

Formulează o problemă după imaginile prezentate. Rezolvă problema și stabilește apoi schema.

3 mere + 4 pere = 7 fructe

3 mere ……………….. 4 pere Formulează întrebarea problemei.

Un rol important îl au formulările de probleme după scheme simple date sau probleme simple de comparație. Exemple:

a)

sau

1 pix și un stilou = 50 lei

2 pixuri și un stilou = ? lei

Din analiza problemei elevii își dau seama că suma va fi mai mare în al doilea caz. De ce?

Pentru că s-a cumpărat un pix în plus.

pix și un stilou = 50 lei

pixuri și un stilou = 60 lei

Învățarea prin descoperire pune în stare activă toate instrumentele intelectuale de la cele mai simple la cele mai complexe, de la operațiile gândirii cele mai simple cum ar fi cea de com- punere, până la formele sale cele mai subtile, cum ar fi: flexibilitatea, fluiditatea, gândirea simbo- lică. Învățarea prin descoperire „ se referă la o situație în care materialul de învățat nu este pre- zentat într-o formă finală celui ce învață, ci reclamă o activitate mentală (rearanjare, reorganizare sau transformare a materialului dat) anterioară încorporării rezultatului final în structura cogniti- vă” (Ausubel D. P., Robinson Fl., 1981, p. 63 ). O învățare cu asemenea mișcare succesivă și chiar sincronică pe plan mintal a forțelor intelectuale nu poate fi decât o învățare conștientă.

Învățarea prin descoperire este în esență rezolvarea unei probleme, pornind de la anumi- te criterii sau direcții de cercetare și cum creativitatea și rezolvarea problemelor sunt noțiuni congruente, învățarea prin descoperire este calea mijlocită care duce la formarea comportamentu- lui creator care la rândul său „este conceput ca o formă extremă a rezolvării de probleme, în ca- drul căreia cel ce învață folosește cunoștințe care nu i-au fost transmise ca relevanță pentru pro- blema de rezolvat și care presupun strategii care nu i-au fost enunțate formal.” (Ausubel D. P., Robinson Fl., 1981, p. 72 ).

Iată de ce se consideră că învățarea creativă este o învățare prin descoperire și aceasta duce la constituirea unei personalități cu comportament creativ. La clasele mici, când elevul nu are formată deprinderea unui raționament deductiv, am folosit în special descoperirea dirijată ca în exemplul următor:

„În două coșuri sunt 50 de mere. Unul din ele are cu 10 mere mai multe decât celă- lalt. Câte mere sunt în fiecare coș?”

Prima reacție a copiilor a fost aceea de a aplica ceva familiar și familiară pentru ei este operația de împărțire la 2. Dar prin dirijarea elevilor cu întrebări adecvate, au descoperit calea prin care să ajungă la rezolvarea problemei, folosind operația de împărțire la 2 numai după ce în prealabil au scos din total cele 10 mere care erau în plus în unul din coșuri.

Este necesar ca antrenarea treptată și sistematică a elevilor în munca de descoperire a

cunoștințelor să aibă rezervată cel puțin o parte a lecției.

Metoda exercițiilor este considerată „calea cea mai directă pentru dezvoltarea creativită- ții”. Am folosit această metodă în două forme: individual și în grup. Rezolvarea individuală a

exercițiilor determină dezvoltarea gândirii prin abordarea mai multor moduri de rezolvare a exer- cițiilor și problemelor. Rezolvarea în grup, procedeu care dezvoltă puterea creatoare, capătă o pondere crescândă, grupul constituind pentru membrii săi o atmosferă ideală de rezolvare a pro- blemelor. Grupul pus în fața sarcinii comune poate fi clasa în ansamblu sau grupuri constituite ad-hoc în cadrul clasei.

Metoda exercițiilor am aplicat-o în mod deosebit în clasa I pentru formarea priceperilor și deprinderilor de calcul oral și trebuie să rămână dominantă în clasele următoare, extinzându-se și asupra calculului în scris. Succesiunea și varietatea exercițiilor va respecta principiul general al didacticii „de la ușor la greu, de la simplu la compus”, să respecte particularitățile individuale ale elevilor, să îmbine exercițiul cu munca creatoare, să asigure sistematizarea exercițiilor și o puter- nică fundamentare psihologică.

Căi de dezvoltare a creativității

Procesul formării creativității trebuie început încă din clasa I, de aceea se vor evita pro- cedeele stereotipe, dezaprobarea ideilor personale și a încercărilor de a ieși din cadrele fixe, care se imprimă adânc în spiritul școlarului, având drept urmare gândirea șablonată, lipsită de pasiu- nea cunoașterii. În afară de consecințele intelectuale, climatul generează o imagine deformată despre valorile proprii, neîncredere în sine, inhibarea tendințelor spre originalitate, spre investi- gație. De aceea am creat și întreținut un cadru propice atitudinii și acțiunii intelectuale indepen- dente care să favorizeze dezvoltarea încrederii în sine, a curiozității și interesului, a atitudinii investigatoare.

În vederea stimulării încrederii în forțele proprii, am subliniat posibilitatea fiecărui elev în parte și a colectivului în întregime; am apreciat fiecare încercare personală de a judeca și lu- cra; am scos în evidență participarea activă la lecții; am subliniat realizările, succesul și progresul lor. Spre exemplu, în rezolvarea problemelor am solicitat elevii să găsească cât mai variate pro- cedee de rezolvare, evidențiind procedeul cel mai bun. Elevilor mai puțin pregătiți, lenți sau ti- mizi le-am oferit prilejuri de trăiri afective, pozitive, atunci când s-au străduit să participe activ, să rezolve un exercițiu sau o problemă. Am solicitat mereu elevii să întrebe, am lăsat intenționat nelămurite unele aspecte ale lecțiilor, pentru a suscita curiozitatea. De multe ori i-am solicitat să transforme o problemă din una simplă în compusă, să completeze problema pentru a afla ce se cere în problemă. Multe activități le-am desfășurat sub formă de joc, de competiție.

Exemplu: Jocul „Numără și vezi să nu te încurci”.

Învățătorul cere elevilor: „Numărați repede fără să vă încurcați până la 30, sărind peste toate numerele care se împart la 3”. În cazul în care un elev greșește, acesta este scos din joc și, la un semn al învățătorului, un altul începe. Jocul poate fi continuat numărând până la 40 și să- rind peste numerele care se împart la 4.

Prin toate aceste procedee am încercat să-i activez pe elevi în permanență, să le dezvolt capacitatea operațională, să le educ atitudinea și comportamentul adecvat muncii de învățare.

Abilitățile creative pot fi influențate, antrenate, deoarece creativitatea „se învață”, iar elevul trebuie „să învețe” modul în care se învață creator. De aceea, omul de la catedră, coboară în zilele noastre printre elevi, poartă un dialog viu cu ei, îi consultă, le solicită comparații, creea- ză momente de îndoială care se cer a fi depășite prin efort colectiv, subliniază inițiativele îndrăz- nețe, imprimând lecției o tensiune creatoare.

CAPITOLUL IV

DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ELEVILOR DIN CI- CLUL PRIMAR PRIN CREAREA ȘI REZOLVAREA EXERCIȚIILOR ȘI PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

REZOLVAREA EXERCIȚIILOR ȘI PROBLEMELOR ARITMETICE – MODALITATE DE STIMULARE A POTENȚIALULUI CREATIV AL ȘCOLARULUI MIC

TEHNICI, FORME ȘI METODE UTILIZATE ÎN SCOPUL EDUCĂRII ȘI DEZVOLTĂRII CREATIVITĂȚII LA ELEVI, PRIN CREAREA DE PROBLEME

REZOLVAREA EXERCIȚIILOR ȘI PROBLEMELOR ARITMETICE – MODALITATE DE STIMULARE A POTENȚIALULUI CREATIV AL ȘCOLARULUI MIC

EXERCIȚIILE

Operația aritmetică cea mai simplă poate constitui excelente ocazii de a gândi, de a rați- ona, de a declanșa capacități formative de creativitate. Nu se poate însuși în mod conștient un procedeu de calcul dacă mai întâi nu este înțeles, dacă gândirea nu operează prin analiză, sinteză, abstractizare și generalizare. Acel „De ce?” pe care îl folosim în cadrul lecțiilor îl pune pe elev în situația de a reflecta din nou asupra drumului pe care l-a parcurs și contribuie la formarea gândi- rii cauzale și a limbajului matematic. De aceea introducerea elevului în studiul științific al calcu- lului se face încă din clasa I, știind că însușirea calcului înseamnă formarea unei anumite modali- tăți de gândire în spiritul matematicii clasice sau în cel al matematicii moderne.

constatat că operațiile aritmetice nu pot fi înțelese în mod științific decât pe baza operațiilor cu mulțimi și nu pot fi asimilate decât de la recunoașterea acestor operații în realitățile înconjurătoare. Așa cum mulțimea stă la baza conceptului de număr, tot așa și operațiile cu mul- țimi de obiecte constituie baza concretă pentru înțelegerea operațiilor și proprietăților operațiilor cu numere. Astfel elevii ajung să înțeleagă operațiile aritmetice și relațiile dintre ele. Se știe că încă din momentul în care elevii încep să calculeze trebuie să efectueze un calcul conștient. Nu este suficient ca elevul să știe cum să folosească procedeul respectiv până la automatizare, ci să înțeleagă esența calculului, relațiile logice care stau la baza lui. De exemplu în cazul adunării 6 + 4, elevul învață să descompună cel de-al doilea termen și să-l adune succesiv 6 + (2 + 2), dar este conștient că aici este vorba de o anumită proprietate a adunării.

Încă din clasa I elevul trebuie îndrumat să parcurgă drumul de la calculul concret cu mulțimi de obiecte, apoi cu obiecte reprezentate prin ilustrații la calculul cu figuri numerice și de aici la calculul cu simboluri numerice 3 + 5 = 8 și la calculul cu simboluri literale a + b = c. par- curgerea acestor etape constituie un prilej de a face trecerea de la exercițiu la problemă.

Vorbind despre adunare am făcut următoarele demersuri didactice:

Ce înseamnă a aduna două numere? Cum se numesc numerele care se adună? Cum se numește rezultatul adunării? Care este semnul adunării? Ce putem aduna?

Am efectuat câteva adunări: 3 păsări + 4 păsări = ? păsări

3 mere + 4 mere = ? mere

3 caiete + 4 caiete = ? caiete

Astfel am stabilit că orice ar fi: păsări, mere, caiete 3 + 4 = 7. Tot ce există în jurul nos-

tru se poate aduna și fiecare om trebuie să știe acest lucru.

am scris pe tablă exercițiul 2 + 6 = ? fiecare termen l-am înlocuit cu o literă

(2 – a, 6 – b), iar rezultatul adunării, suma, totalul, l-am notat cu „c” și fiindcă nu-l cunoaș- tem am pus semnul întrebării lângă el. Am obținut relația: a + b = c (?). Rezolvând adunarea obținem: 2 + 6 = 8 și a + b = c unde a=2, b=6, c=8.

am rezolvat în acest mod mai multe exerciții și împreună cu elevii am ajuns la con- cluzia că notând cu litere termenii adunării și rezultatul ei, rezolvarea în litere este la fel mereu, adică a + b = c, indiferent de numerele care se adună.

Mai târziu când elevii au însușit bine tehnica de efectuare a probei adunării și procedeul de calcul cu simboluri literale, ajung să generalizeze că orice adunare poate fi simbolizată sub forma a + b = c. Acest demers a fost deosebit de util când am trecut la exercițiile în care lipsește un termen înlocuindu-l cu o literă și aflându-l prin efectuarea diferenței dintre suma și termenul cunoscut. În acest mod am ajuns la rezolvarea unei ecuații de gradul I cu o necunoscută. a + b = c ; a = 7, c = 9

7 + b = 9 ; b= 9 – 7 ; b = 2

Înlocuire: 7 + 2 = 9

Simbolurile literale le-am folosit și în compararea sumelor și diferențelor, cerând elevi- lor să dea necunoscutei o anumită valoare și apoi să pună semnul corespunzător, dându-le elevi- lor posibilitatea de a elabora atât inegalități cât și egalități.

Exemple: a + 3 < 14 – 2 ; a + 3 > 14 – 2 ; a + 3 = 14 – 2 . În gradarea acestui gen de exerciții am renunțat treptat la numere ajungând să comparăm relațiile numai prin simboluri literale: 15 + a = 17 + 2 ; 20 – b > 12 – 2 ; a + b = 12 + 2 ; a + b < c + d.

Elevii au ajuns să sesizeze că a + b > a – b deoarece o dată se adună „b”, iar apoi se sca- de „b” și au dedus că o inecuație are o mulțime de soluții.

Sistemul operator l-am complicat și mai mult atunci când am prezentat elevilor suma și diferența a două numere: a + b = 8; a – b = 2. De data aceasta gândirea copilului (care operează în plan reprezentativ mai mult decât pur simbolic) merge pe două planuri, dintre care a+b=8 se rezolvă prin toate micromodelele algoritmice însușite la descoperirea numărului 8, în timp ce diferența a – b = 2 are numai o singură soluție dacă o raportăm la a + b = 8. Totuși, pe baza pro- cesului de „încercare – eroare” găsește soluția mult mai repede dacă acțiunile mintale de compu- nere și descompunere sunt bine fixate în conștiința elevilor. Dacă copilul de clasa I ajunge să gândească că „a” nu poate fi mai mic decât „b” începe raționamentul de la faptul că „a” trebuie să fie mai mare sau cel puțin egal cu „b”. Efortul intelectual este mare dar și satisfacția reușitei pe măsură, de multe ori manifestată exploziv, fapt care nu duce la apariția fenomenului de obo- seală.

Simbolurile literale se folosesc și în exercițiile efectuate în clasa a II-a la înmulțire și

împărțire și la calculele efectuate în cadrul numerelor până la 100 cu trecere peste ordin, iar în

clasa a III-a cu numere până la 1000.

Încă din clasa I în locul căsuțelor se poate introduce notarea cu litere și aflarea necunos- cutei în mod logic prin stabilirea relațiilor dintre termenii sau factorii operațiilor respective pre- cum și cu corelația operației inversă, înlocuind „ghicirea” numărului, practicat frecvent în astfel de situații. Notarea cu litere nu constituie o greutate, folosind formulări ca: „Așa cum fiecare lucru are un nume, vom da și noi numerelor necunoscute un nume scurt, ca să putem lucra mai ușor. Eu propun să le numim cu literele învățate.”

3 + □ = 8 8 = 3 + □ 8 = □ + 3

3 + a = 8 8 = 3 + a 8 = a + 3

Dacă învățătorul conduce procesele gândirii prin întrebări: „Ce reprezintă 8?” (suma);

„Ce cunoaștem în această adunare?” (unul din termeni); „Ce trebuie să aflăm?” (celălalt termen);

„Cum este suma față de termen?” (mai mare); „Cum putem afla un termen necunoscut?” (prin

scădere), se va ajunge la concluzia: a = 8 – 3.

Corelația dintre operațiile aritmetice se consolidează și se diversifică pe măsură ce sunt implicate operații aritmetice din ce în ce mai complexe. Astfel, trecând la predarea capitolului înmulțirii și împărțirii numerelor de la 1 la 100 (clasa a III-a) exercițiile de tipul celor de mai sus sunt intuite ușor prin raționament analogic: 4 x a = 36 → a = 36 : 4.

Antrenarea elevilor mici în astfel de activități intelectuale se sprijină prin gradarea rit- mică a sarcinilor și dificultăților. Pentru exercițiile mai ușoare vor fi angajați elevii care gândesc și lucrează mai lent. La acei copii la care procesele gândirii sunt rapide, legăturile se stabilesc cu repeziciune, „văd și intuiesc” imediat sarcina de rezolvat și realizează cu ușurință transferul de cunoștințe, priceperi și deprinderi în situații noi, se angajează fără ezitare la rezolvarea exerciții- lor cu un grad mai mare de dificultate. Cu cât obstacolul este mai greu de trecut, cu atât ei sunt mai satisfăcuți în momentul în care „cheia” rezolvării a fost găsită.

PROBLEMELE SIMPLE

Baza valențelor formative în direcția dezvoltării creativității elevilor cu ajutorul proble- melor începe să se realizeze încă din primele săptămâni de școală, în clasa I, chiar dacă nu știu să scrie și să citească, deoarece rezolvarea problemelor pe bază intuitivă facilitează procesul de ab- stractizare.

În rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații, moment în care elevii trebuie conduși cu mult tact și răbdare. Inițierea elevilor în stabilirea operației corespunzătoare rezolvării unei probleme simple are loc prin precizarea cazurilor care determină o anumită operație. Aceas- tă precizare se face sub forma unei concluzii stabilită pe baza analizei unui număr cât mai ma-

re de cazuri particulare. Spre exemplu, în cazul stabilirii concluziei: „pentru a strânge într-un singur număr toate unitățile pe care le conțin două sau mai multe numere date se face operația de adunare”, am rezolvat mai multe probleme de adunare de același gen, fiecare am analizat-o prin utilizarea acestor aspecte care converg spre concluzia respectivă.

Astfel, în problema:„Sever are într-o mână două garoafe, iar în cealaltă mână o garoa- fă. Câte garoafe vor fi în total în buchetul pe care vrea să-l facă?” se vor adresa întrebările: „Ce trebuie să facem cu garoafele pa care le are Sever ca să formăm un buchet?” (să le punem laolal- tă, adică 2 garoafe + 1 garoafă); „Câte unități are primul număr?” (… 2 unități); „Dar al doilea?” ( … 1 unitate). „Ce trebuie să facem cu unitățile celor două numere?” (să le strângem laolaltă);

„Ce operație facem pentru a strânge laolaltă unitățile acestor numere?” (operație de adunare).

Ținând seama de faptul că gândirea elevului este concretă, că el poate urmări procesele de ordine numai dacă lucrează efectiv cu obiectele specificate în problemă sau cu reprezentările acestora, primele probleme rezolvate vor fi formulate pe baza acțiunilor ce se petrec în mod real în fața elevilor, a căror autenticitate mintea elevilor nu o pune la îndoială, trecându-se treptat la acțiuni bazate pe reprezentări, adică la acțiuni veridice, dar pe care elevii doar și le imaginează pe baza unor procese anterioare de percepție.

Imensa majoritate a problemelor simple se bazează pe schema elementară „a □ b =” (un- de simbolul „□” poate fi: + , – , x sau 🙂 ceea ce acoperă doar patru din cele douăzeci și patru de variante posibile. Dacă privim lucrurile prin prisma copilului pus pentru prima dată în fața unor asemenea sarcini, constatăm că pe plan psiho-afectiv dominantele sunt altele, demersul gândirii școlarului mic fiind substanțial schimbat în variantele propuse. La adunare, în afara tipului cla- sic a + b = ?, am propus și rezolvat încă alte trei tipuri, ilustrate de schemele

? = a + b (reflectând proprietatea de simetrie a relației de egalitate), ? – a = b (exemplificând aflarea descăzutului când se cunoaște scăzătorul și restul) și b = ? – a (simetria relației preceden- te).

La operația de scădere, alături de tipul clasic „a – b = ?” există încă șapte tipuri de pro- bleme simple, ilustrate de schemele „? = a – b ; a – ? = b; b = a – ? ; b + ? = a ; a = b + ? ;

? + b = a ; a =? + b.”

La operația de înmulțire alături de tipul clasic „a x b = ?”, se pot formula încă trei tipuri de probleme simple, după schemele: „? = a x b ; ? : a = b ; b = ? : a.”

La împărțire, alături de tipul clasic „a : b = ?”, se pot construi alte 7 tipuri de probleme simple, după schemele: „? = a : b ; a : ? = b ; b = a : ?; b x ? = a ; a = b x ?; ? x b = a ;

a = ? x b.”

Antrenarea elevilor mici în rezolvarea unei game cât mai largi de probleme simple con- tribuie la înarmarea acestora cu strategii rezolutive suple, cu evidente deschideri spre zona crea- tivității. În etapa de familiarizare a elevilor cu rezolvarea problemelor simple, se formează

algoritmii de „traducere din limbaj problemă” în „limbaj operații”, permițând elevilor să realize- ze corespondențe utile între cuvinte sau expresii întâlnite în enunțurile problemelor și operațiile aritmetice. Astfel, verbe sau expresii de tipul: „sunt în total; au fost în total; au fost împreună; punem lângă” sugerează operația de adunare. „Au plecat; au zburat; s-au spart” – operația de scă- dere, „de … ori mai mare; de … ori mai mult; de … ori mai în vârstă” – înmulțire, iar „de … ori mai puțin; de … ori mai mic; împărțit în mod egal” – sugerează operația de împărțire. Uneori însă, această „traducere” automatizată, în lipsa unei analize atente a enunțului problemei, poate conduce la erori. De exemplu:

false probleme de adunare

La colțul jucăriilor se află 2 mingi. Câte mașinuțe sunt, dacă în total sunt 9 jucării?

Într-o zi, 2 din cei 6 colegi de clasă care stau pe aceeași stradă, au lipsit de la școală. Câți

colegi au fost împreună la școală în acea zi?

false probleme de scădere

De pe o sârmă au zburat 5 rândunele. Câte rândunele erau pe sârmă dacă au rămas 3?

Câte mașinuțe au plecat din parcarea aflată în fața blocului, dacă dimineața au plecat 6 ma-

șini, iar la prânz 4 mașini?

false probleme de înmulțire

Un râu are într-un loc lățimea de 6 m, aceasta fiind de 3 ori mai mare decât adâncimea. Ce adâncime are râul?

Daniela are de 2 ori mai multe cuburi roșii decât albe. Dacă ea are 18 cuburi roșii, câte cu- buri albe are?

false probleme de împărțire

Fiul are 6 ani. Câți ani are tatăl dacă vârsta fiului este de 5 ori mai mică decât a tatălui?

Mama a împărțit în mod egal celor 3 copii ai săi câte 2 mere. Câte mere a avut mama?

PROBLEME COMPUSE

„Întreaga activitate matematică a omului, la orice nivel s-ar desfășura (didactic, de cerce- tare, etc.), se reduce la descifrări de implicații. Stabilirea unei implicații logice reprezintă un act de creație uneori ușurat de cunoștințe și de experiență, alteori îngreunat de obsesia unei experi- ențe din trecut care nu se mai potrivește într-o nouă situație, dar totdeauna cu o doză de nesigur, de problematic. Motorul principal al activității cercetării științifice (în special matematic) este tocmai atracția de problematic care reprezintă o trăsătură psihică profund umană și naturală.” (Banea H., 1998, p. 48)

În rezolvarea problemelor trebuie să se păstreze o strictă succesiune în trecerea de la

problemele mai ușoare la cele mai grele, de la problemele mai simple la cele complexe. Ne

revine sarcina, pe de o parte, să alegem și să gradăm problemele pe care le rezolvăm cu clasa în așa fel încât să ne adaptăm condițiilor impuse de nivelul clasei, iar pe de altă parte, să asigurăm o analiză cât mai profundă a acestor probleme, pentru a-i feri pe elevi de însușirea mecanică a unor scheme de rezolvare. Rezolvarea problemelor compuse reprezintă un fenomen psihic mai com- plex. În învățarea modului de rezolvare a problemelor compuse este esențială o atitudine activă de căutare, de abordare în mod creator.

Punând pe elev în postura de creator în prezența problemei și nu a soluției, determi- nându-l să gândească și să descopere el însuși, numai aparent introduc un caracter problematic, în fond, îl ajut să-și formeze un stil de muncă, o atitudine care asigură în învățarea matematicii un randament maxim cu dificultăți minime, reduc necazurile la zero și le înlocuiesc cu satisfacția de cea mai bună calitate și de mare importanță educativă, căci omul e plasat într-o acțiune speci- fic umană, prin care crește el însuși în putere și posibilități.

Pentru a realiza trecerea de la problemele simple la cele compuse, există două posibili-

tăți:

– regizarea unei acțiuni care să cuprindă două faze distincte, formularea problemei

astfel încât să cuprindă cele două faze ale acțiunii și apoi rezolvarea ei;

– rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul

primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

Paradigma rezolvării unei probleme (Neagu M. , Mocanu M., 2007, p.126)

Pentru a-i ajuta pe elevi să ajungă la rezolvarea în mod conștient a problemelor compu- se, se vor parcurge următoarele etape metodice:

însușirea enunțului problemei;

examinarea (judecarea problemei);

alcătuirea planului de rezolvare a problemei;

rezolvarea propriu-zisă;

proba (verificarea).

Între aceste etape există o strânsă legătură, ele alcătuind un tot unitar, drumul pe care îl parcurge elevul de la primul contact cu problema până la rezolvarea ei completă. Însușirea con- ținutului problemei nu înseamnă cunoașterea și reproducerea textului ei, ci pătrunderea treptată în conținutul problemei. Aceasta se realizează prin:

expunerea sau citirea problemei;

discuții în legătură cu conținutul problemei;

concretizarea ei prin diferite mijloace intuitive;

explicarea cuvintelor și a expresiilor necunoscute din textul problemei;

schematizarea problemei;

scrierea enunțului problemei;

repetarea problemei de către elevi.

Examinarea sau judecarea problemei constituie activitatea cea mai importantă în re- zolvarea problemelor deoarece, în această etapă, prin efortul gândirii se ajunge la descoperirea căii de rezolvare. Elevii vor fi obișnuiți să gândească degajat de efectuarea calculelor, de rezolva- rea propriu-zisă, să raționeze cu valori numerice nedeterminate, necalculate. Examinarea pro- blemei se face fie pe cale analitică, fie pe cale sintetică. A rezolva problema prin metoda analiti- că înseamnă a porni de la întrebarea problemei, stabilind datele, în general necunoscute, cu ajuto- rul cărora se poate formula problema simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple, ale căror rezultate să constituie elementele problemei simple precedente și așa mai departe până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie să fie cunoscute. Pornind de la această problemă simplă, se arată în mod succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizând datele problemei precedente până se ajunge la problema simplă a cărei rezultat este chiar rezultatul problemei date. Drumul urmat în rezolvarea prin metoda analitică este de la necunoscut la cunoscut.

A examina problema prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenția elevilor asupra a două din datele problemei compuse și a formula cu acestea o problemă simplă, a cărei rezultat să constituie un element al unei noi probleme simple și așa mai departe, până se ajunge la ultima problemă simplă și a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei compuse date. Deci, prin metoda sintetică pornim de la rezolvarea problemei de la cunoscut la necunoscut.

Prin structura lor, unele probleme se pretează la o examinare prin metoda sintetică și anume acelea în care problemele simple sunt evidente și în care textul problemei indică succesi- unea acestora. Exemplu:

„Tata și-a cumpărat un palton, un costum de haine și trei cămăși, în valoare totală de 258 lei. Paltonul a costat 104 lei, costumul de haine cu 10 lei mai puțin decât paltonul, restul fiind plătit pentru cele trei cămăși. Câți lei a costat o cămașă dacă toate au același preț?”

În alte probleme nu este evidentă determinarea problemelor simple, nu este indicată succesiunea lor și pentru a le stabili este necesar un proces subtil de gândire analitică. Exemplu:

„Într-o livadă s-au plantat 12.600 puieți de pomi. Din întregul număr 4/9 au fost peri,

2/5 din rest peri, iar restul caiși. Câți caiși s-au plantat?”

În legătură cu cele două metode generale de rezolvare a problemelor, trebuie menționat că procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic, întrucât cele două metode formează o unitate în cadrul proceselor de gândire.

Stabilirea planului de rezolvare. Concluziile care rezultă din examinarea unei proble- me se concretizează în planul de rezolvare. Acesta arată etapele succesive ale procesului de gân- dire care a avut loc în examinarea problemei, fiecare punct al planului reprezentând întrebarea uneia din problemele simple în care s-a descompus problema dată. În general, planul de rezolva- re trebuie să cuprindă întrebările problemelor simple, scrise în ordinea în care se rezolvă. Exem- plu:

„Elevii unei școli au plantat în grădina școlii 112 pomi fructiferi. Ei au plantat 22 cireși, de 3 ori mai mulți caiși, 15 vișini și restul nuci. Care este numărul nucilor plantați?”

Plan de rezolvare în propoziții interogative:

Câți caiși s-au plantat?

Câți cireși, caiși și vișini s-au plantat?

Câți nuci s-au plantat?

Plan de rezolvare în propoziții afirmative:

Numărul caișilor plantați;

Numărul cireșilor, caișilor și vișinilor plantați;

Numărul nucilor plantați.

Formularea planului de rezolvare în propoziții afirmative constituie o etapă superioară în dezvoltarea gândirii elevilor și a formării priceperilor și deprinderilor de rezolvare a probleme- lor. De aceea, întrebuințând în clasa I cu precădere forma interogativă am trecut în clasele urmă- toare treptat la formularea afirmativă.

Stabilirea operațiilor, scrierea lor și efectuarea calculelor. Prin formularea planului de rezolvare și eșalonarea pe puncte a problemei date, aceasta se descompune în tot atâtea pro- bleme simple care urmează să fie rezolvate în ordinea stabilită. Dar pentru rezolvarea unei pro- bleme simple este necesar să se stabilească, pe baza unui proces de gândire, operația corespunză- toare, să se scrie această operație și apoi să se rezolve mintal sau în scris. Pentru efectuarea cal-

culului în scris se aplică proprietățile generale ale operațiilor aritmetice, cum ar fi: schimbarea

termenilor unei sume, sau a factorilor unui produs.

PROBLEME CU DATE INSUFICIENTE / CU DATE ÎN PLUS

Din necunoaștere, neatenție sau intenționat, o problemă poate fi compusă greșit. Atunci când informațiile sunt insuficiente sau sunt în exces, o problemă poate fi compusă greșit. „Când sunt mai multe informații decât cele necesare, datele în plus împiedică înțelegerea problemei. Toate aceste situații solicită elevul în a lua o decizie și a acționa pentru a produce o acțiune corectivă. Problemele cu date insuficiente și problemele cu date în plus dezvoltă capacitatea de orientare adecvată în sarcină și de percepere corectă a structurii formale a problemei, capacitatea de a intui, de a înțelege, de a sesiza imediat sau după o scurtă perioadă de tatonare, sensul exact și structura de ansamblu a problemei.” (Neagu M. , Mocanu M., 2007, p.141).

Problemele cu date în minus pot stimula creativitatea copiilor prin organizarea unor ac- tivități de compunere a problemelor cu date necesare rezolvării, date care pot fi luate dintr-o „re- zervă” dată sau elevul este stimulat să completeze enunțul cu datele lipsă (probleme lacunare). O altă activitate este formularea cerințelor posibile pentru o problemă dată ( probleme cu date în plus).

Problemele care oferă date în plus stimulează elevii să aprecieze coerența datelor, să le separe pe cele utile de cele inutile, să folosească deprinderea de gândire logică și să-și folosească potențialul creativ făcând conexiuni între datele problemei, interpretând datele, făcând estimări legate de redundanța unor informații.

Elevul aflat în situația de a rezolva o astfel de problemă, va trebui să urmeze o succesiu- ne de pași logici, reprezentați în schema următoare:

Succesiunea pașilor logici în rezolvarea unei probleme cu date lipsă / în plus (Neagu M. , Mocanu M., 2007, p.142)

PROBLEME TIPICE

Rezolvarea problemelor de mișcare. În problemele de mișcare, metoda figurativă își dovedește eficiența deoarece în procesul examinării și rezolvării problemei gândirea elevului se mișcă în cadrul asociațiilor indicate de figură sau schemă, ceea ce determină o alternanță conti- nuă între percepții și gândire, o variație a raționamentului în funcție de câmpul perceptiv repre- zentat sugestiv în acea figură.

Aflarea timpului

„Un tren a pornit din Brașov spre București cu o viteză medie de 52 km pe oră. În același timp a pornit din București spre Brașov un alt tren cu o viteză medie de 48 km pe oră. Distanța dintre București și Brașov este de 300 km. După cât timp s-au întâlnit cele 2 trenuri?”

A B

52 km/oră 48 km/oră

Kilometri parcurși de trenuri într-o oră: 52 + 48 = 100 (km/oră)

Timpul de întâlnire al trenurilor: 300 : 100 = 3 (ore)

R: 3 ore

Formula numerică a rezolvării: 300 : (52 + 48) = 3

Aflarea vitezei

„Un tren accelerat are plecare din București la ora 7 și ajunge la Oradea la ora 17. Știind că distanța dintre București și Oradea este de 650 km, să se afle viteza medie cu care se deplasează acest tren accelerat.”

A 650 km B Ora 7 Ora 17

Timpul parcurs de accelerat: 17 – 7 = 10 (ore)

Viteza medie a acceleratului:

650 : 10 = 65 (km pe oră)

R: 65 km pe oră

Formula numerică a rezolvării: 650 : (17 – 7 ) = 65

Aflarea spațiului

„Două vapoare au plecat în același moment din două porturi unul spre celălalt. Știind că dis- tanța dintre porturi este de 375 km și că primul vas parcurge într-o oră 29 km, iar celălalt 18 km, să se afle distanța dintre cele două vapoare după 6 ore de mers.”

A 375 km _ B

29 km/oră 18 km/oră

Kilometri parcurși într-o oră: 29 + 18 = 47 (km/oră)

Kilometri parcurși în 6 ore:

47 x 6 = 282 (km)

Kilometri rămași între cele două vapoare după 6 ore:

375 km – 282 km = 95 km

R: 95 km

Rezolvarea problemelor de împărțire în părți proporționale.

„O echipă de strungari prelucrează 4 piese, 6 piese și respectiv 5 piese de același fel.

Pentru toate piesele primesc 5580 lei. Câți lei primește fiecare?”

Se înțelege că suma cuvenită fiecăruia va fi proporțională cu numărul de piese prelucrate. Metoda prin care se stabilește relația corespunzătoare pentru o singură piesă este reducerea la unitate. Această metodă cuprinde două părți distincte:

aflarea sumei pentru o singură piesă (reducerea la unitate);

aflarea sumei pentru 4, 5, 6 piese. Plan de rezolvare

Suma ce se plătește pentru o piesă;

5.580 : 15 = 372 lei

Suma plătită pentru 4 piese;

372 x 4 = 1.448 lei

Suma plătită pentru 6 piese;

372 x 6 = 2.232 lei

Suma plătită pentru 5 piese;

372 x 5 = 1.850 lei

R: 1.448 lei, 2.232 lei, 1.850 lei.

Acest procedeu poate fi formulat astfel: Pentru a împărți un număr în părți direct propor- ționale cu anumite numere date, se împarte acel număr prin suma numerelor date, iar câtul obți- nut se înmulțește cu fiecare din aceste numere.

Rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă. Metoda de bază care se aplică este metoda reducerii la unitate, regula de trei simplă constituind doar o formă de așezare adatelor, o schemă de utilizare a acestor date în procesul de gândire care intervine în examinarea și rezolva- rea problemelor respective. Sunt două metode de rezolvare a acestor probleme: metoda reducerii la unitate și metoda proporțiilor.

Metoda reducerii le unitate: constă în a găsi mai întâi valoarea mărimii de același fel cu necunoscuta, care corespunde unei valori a celeilalte mărimi egală cu unitatea. Exemplu:

„Un muncitor execută la un strung 450 piese în 15 ore. Câte piese va executa în 26 ore?”

15 ore 450 piese 26 ore …………………………….. x piese

Metoda proporțiilor: Mărimile pot fi direct proporționale deoarece dacă numărul ore- lor crește și numărul pieselor crește.

15 ore 450 piese

1 oră 450 : 15 piese

26 ore (450 : 15) x 26 piese

Mărimile pot fi și invers proporționale. Exemplu:

„O echipă de muncitori termină o lucrare în 24 zile. După ce echipa a lucrat 6 zile, câți munci- tori mai trebuie angajați pentru ca lucrarea să se termine în 8 zile?”

18 zile muncitori

8 zile x muncitori _

18 zile muncitori

1 zi x 16 muncitori

8 zile (18 x 16) : 8 = 288 : 8 = 36 muncitori.

R: Trebuie angajați 20 muncitori

Metoda figurativă. Aceasta metodă de rezolvare a problemelor de matematică poate fi prezentată astfel: Printre problemele de aritmetică se găsesc multe probleme care au un caracter algebric, cum ar fi aflarea a două numere când se cunosc suma și diferența lor sau suma și rapor- tul lor. De același gen sunt și problemele unde este vorba de eliminarea unei mărimi prin scădere, adunare etc. multe dintre problemele tipice, dacă ar fi să apelăm la algebră, s-ar rezolva printr-o singură ecuație sau printr-un sistem de două sau mai multe ecuații. Atâta timp cât ele sunt date în aritmetică ele trebuie rezolvate numai prin mijloace aritmetice și nu prin ecuații algebrice. De multe ori rezolvarea problemelor de aritmetică este îngreunată și de faptul că unele date sunt asemenea sau dependența mărimilor nu este așa de evidentă. În acest caz ne vine în ajutor meto- da figurativă, folosită de multă vreme în rezolvarea problemelor de aritmetică. Metoda figurativă constă în faptul de a reprezenta datele sau mărimile din problemă prin diferite desene, schițe sau figuri geometrice convențional alese, cărora li se fac anumite modificări impuse de conținutul problemei. În felul acesta se poate mări intuitiv dependența mărimilor și odată cu aceasta se figu- rează mai clar raționamentul care conduce la rezultatul cerut.

Figurile care servesc la reprezentarea mărimilor din problemă nu se cer să fie executate exact la scară. Cele mai întâlnite figuri sunt cele făcute din segmente de dreaptă, dreptunghiuri și cilindrii. Exemplu:

„Un elev a cumpărat cu suma de 95 lei un caiet, o carte și un pix. Știind că un caiet este mai scump decât un pix cu 11 lei și mai ieftin decât cartea cu 34 lei, să se afle cât s-a plătit pentru fiecare.”

Am reprezentat costul pixului printr-un dreptunghi. Faptul că pentru un caiet se plătesc cu 11 lei mai mult se va reprezenta printr-un dreptunghi la fel de mare plus încă 11 lei. Caietul fiind mai ieftin decât cartea cu 34 lei, costul cărții se va reprezenta cu un desen la fel cu cel care reprezenta caietul la care se mai adaugă 34 lei.

Pixul

Caietul + 11 lei

Cartea + 11 lei + 34 lei

3 x costul creionului + 56 = 95 lei

3 x costul creionului = 95 – 56 = 39 lei Costul pixului → 39 : 3 = 13 lei

Costul caietului → 13 lei + 11 lei = 24 lei

Costul cărții → 24 lei + 34 lei = 58 lei

Verificarea: 13 lei + 24 lei + 58 lei = 95 lei.

Metoda comparației. Adeseori întâlnim probleme de aritmetică în care ni se dau 2, 3 sau mai multe mărimi între care se pot stabili 2, 3 sau mai multe relații și ni se cere să aflăm va- lorile numerice ale acestor mărimi, care respectă condițiile date în problemă. O asemenea pro-

blemă se rezolvă prin metoda comparației. Această metodă constă în a elimina o mărime necu- noscută. În aplicarea acestei metode toată greutatea constă în a alege întrebarea în așa fel încât să se scoată în evidență ce operație să se facă pentru ca să ducă la eliminarea necunoscutei. Exem- plu:

„Un magazin a primit de la un depozit 45 de costume bărbătești și 20 de rochii de stofă în va- loare totală de 33.100 lei. Altă dată a primit 25 de costume și 20 de rochii de același fel în valoa- re totală de 20.300 lei. Cât costă un costum bărbătesc și cât costă o rochie?”

Datele problemei se pot așeza astfel:

45 costume ………………… 20 rochii ……………………… 33.100 lei

25 costume …………..….…. 20 rochii ………………………… 20.300 lei

Se observă că valoarea totală este mai mare prima dată cu:

33.100 lei – 20.300 lei = 12.800 lei. Această diferență provine din faptul că prima dată s-au primit mai multe costume cu: 45 – 25 = 20 costume.

Un costum va costa: 12.800 : 20 = 640 lei

Formula numerică: (33.100 lei – 20.300 lei) : (45 – 25) = 640 lei

Cele 25 costume costă: 640 lei x 25 = 10.600 lei

Cele 20 rochii costă: 20.300 lei – 16.000 lei = 4.300 lei

O rochie costă: 4.300 lei : 20 = 215 lei

Formula numerică: (20.300 – 640 : 25) : 20 = 215

Metoda ipotezelor. Această metodă constă în faptul că se face o ipoteză asupra mărimi- lor necunoscute în problemă, atribuindu-se valori arbitrare. Presupunând că aceste valori consti- tuie rezultatul căutat, se face verificarea problemei așa cum arată enunțul ei. În acest fel se ajun- ge la un rezultat care nu este cel căutat. Se examinează diferența existentă între rezultatul căutat și cel presupus. În baza nepotrivirilor ivite se trag diferite concluzii care pot duce la aflarea rezul- tatului corect. Această metodă se aplică cu succes în cazul când există proporționalitate între valorile mărimii necunoscute care s-au înlocuit cu o valoare arbitrară și erorile ce se fac în urma ipotezelor făcute. Exemplu:

„Un fermier are găini și iepuri. Aceste animale au la un loc 50 de capete și 140 picioare. Câte găini și câți iepuri are fermierul?”

Tatonare. Sunt în total 50 de animale. Ele nu pot fi toate găini deoarece n-ar avea atunci decât 100 de picioare. Nu pot fi nici numai iepuri, fiindcă atunci ar avea 200 de picioare. Trebuie să existe fix 140 de picioare. Dacă exact jumătate din animale ar fi găini și jumătate iepuri, ele ar avea în total 150 de picioare. Să trecem toate aceste cazuri într-un tabel.

2.

Dacă luăm un număr mai mic de găini, trebuie să luăm un număr mai mare de iepuri și acesta duce la un număr mai mare de picioare. Dacă luăm un număr mai mare de găini, atunci

…….. Da! Trebuie să fie mai mult de 25 găini – să încercăm cu 30:

Aceasta este soluția, dar aceasta numai pentru că numerele date sunt relativ mici și sim- ple. Dacă problema enunțată în aceiași termeni ar fi fost cu numere mai mari sau mai complexe, am fi avut nevoie de mai multe încercări și mult noroc.

„O idee strălucită.” Problema poate fi rezolvată mai puțin „empiric” și ceva mai „de- ductiv”, cu mai puține încercări și cu mai mult raționament. Să ne închipuim că surprindem ani- malele într-o poziție insolită: fiecare găină stă într-un picior și fiecare iepure pe picioarele din spate. În această situație neobișnuită animalele își folosesc doar jumătate din picioare lor, adică

În acest număr 70 fiecare cap de găină este socotit o dată, iar fiecare cap de iepure de două ori. Să scoatem din 70 numărul total de capete, adică 50. Ceea ce rămâne este tocmai numărul de capete „urecheate” – sunt deci 70 – 50 = 20 iepuri, deci 30 de găini.

Această metodă de rezolvare funcționează la fel de bine și dacă numerele din problemă ar fi înlocuite cu altele mai puțin simple. (G. Polya-„Descoperirea în matematică”).

Metoda retrogradă. Sunt cazuri când, la unele probleme de aritmetică, aplicând mersul natural al calculelor e nevoie să facem apel la raționamente mai grele și cu operații obositoare, cu fracții ordinare, care adeseori întârzie aflarea rezultatului. Pentru înlăturarea acestor greutăți fo- losim metoda retrogradă sau inversă. Această metodă constă în faptul că rezolvarea se face folo- sind datele problemei în ordine inversă. În aplicarea acestei metode singura greutate constă în a găsi operațiile inverse care trebuie aplicate. Exemplu:

„Aflați un număr la care adunați 6. Suma o înmulțiți cu 2 și rezultatul împărțit la 3 va da 8.” (a + 6) x 2 : 3 = 8 → 8 x 3 = 24; 24 : 2 = 12; 12 – 6 = 6.

R: 6

METODE ȘI TEHNICI UTILIZATE ÎN SCOPUL EDUCĂRII ȘI DEZ –

VOLTĂRII CREATIVITĂȚII LA ELEVI, PRIN CREAREA DE PROBLEME

COMPUNEREA DE PROBLEME

Compunerea de probleme prezintă importanță deosebită pentru dezvoltarea sensibilității spontane și adaptive, a fluenței ideative și asociative, a originalității, a capacității de redefinire și a creșterii interesului pentru problemele reale ale vieții, la dezvoltarea gândirii predictive de tip divergent și probabilistic, precum și la dezvoltarea formelor variate sub care se prezintă imagina- ția creatoare. Enunțând o problemă cu reuniunea a două mulțimi de creioane (1 creion + 3 cre- ioane) copiii vor crea probleme fie menținând neschimbate valorile numerice (cardinalul mulți- milor), fie obiectele reunite, ca urmare a caracterului gândirii intuitiv-concrete. Este necesar a influența posibilitatea comutării gândiri pe alte direcții decât cele ale primei impresii obiectuale impuse de modelul dat de învățător, atrăgându-le copiilor atenția asupra faptului că se pot reuni și alte obiecte ori lucruri ale școlarului sau alte mulțimi de obiecte. Această indicație facilitează comutarea gândirii de la obiectele percepute nemijlocit (creioanele și cardinalele 1, 3) la repre- zentarea altor obiecte și combinarea lor, cum ar fi: 1 + 3;

2 + 2; 3 + 1; 4 + 0. Operarea cu reprezentări ale obiectelor și combinații posibile de mulțimi înlătură treptat caracterul inertic al gândirii elevilor și este primul pas către apariția flexibilității adaptative și a fluenței asociative.

Prin complicarea treptată a operațiilor, elevii de clasa a II-a ajung să formuleze probleme care mai de care mai ingenioase, mai subtile, mai operaționale. De exemplu un elev formulează problema: „Într-o ladă sunt 54 kg mere. Într-un coș sunt de 9 ori mai puține. Ce întrebări putem formula?” Ca un adevărat brainstorming, răspunsurile au venit cu ușurință:

Câte kg de mere sunt în coș?

De câte ori sunt mai multe kg mere în ladă decât în coș?

Câte kg sunt la un loc?

Cu câte kg de mere sunt mai mult în ladă decât în coș?

Cu câte kg de mere sunt mai puțin în coș decât în ladă?

Apoi se cere elevilor să complice problema sub forma sumei și diferenței. Exemplu:

„Într-o ladă și un coș sunt 60 kg de mere. Diferența dintre ele este de 48 kg ?”

Răspunsuri date:

Câte kg de mere sunt în ladă?

Câte kg de mere sunt în coș?

De câte ori sunt mai multe kg în ladă decât în coș?

De câte ori sunt mai puține în coș decât în ladă?

În clasa a IV-a problemele de perspicacitate solicită o mare mobilitate de gândire.

„Într-o pășune sunt multe animale mici. Un elev de clasa a IV-a trecând pe acolo întrebă:

Sunt 100 de animale mici?

Nu, răspunse paznicul. Ca să fie 100 ar mai trebui un animal mic. Ele sunt o parte mânji, de patru ori mai mulți viței decât mânji și de 6 ori mai mulți miei decât mânji. Socotește tu: câți mânji sunt, câți viței și câți miei?”

Mersul gândirii elevilor trebuie să fie sistemic, pornind de la ideea că sunt 100 de ani- male mai puțin 1, adică 99 și 99 este compus din 1 + 4 + 6 = 11 părți. Pe baza acestei probleme de perspicacitate elevii vor fi solicitați să compună alte probleme care să se rezolve asemănător, complicând datele problemei.

Activitatea de creare a problemelor am realizat-o în următoarele forme și succesiuni

graduale:

probleme de acțiune sau cu punere în scenă;

crearea de probleme după tablouri sau imagini;

după modelul unei probleme rezolvată anterior;

cu indicarea operațiilor matematice;

cu indicarea numărului de operații matematice;

transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze;

crearea de probleme după un plan de rezolvare dat;

probleme fără întrebare, care va fi definită în sistem brainstorming;

compunere de probleme cu întrebare probabilistică;

compunere de probleme cu început dat;

compunere de probleme după un exercițiu simplu și complex;

compunere după un model simbolic;

modificarea conținutului problemei cu trei variabile: același conținut și date noi; conținut schimbat și aceleași date, conținut și date schimbate;

crearea liberă de probleme.

ACTIVITATEA DE MUNCĂ INDEPENDENTĂ

Activitatea independentă este o metodă de învățământ cu tradiție în practica școlară. Această activitate, împreună cu alte procedee didactice din lecție, propune să integreze pe elevi în logica matematicii, să le dezvolte gândirea și unele tehnici de muncă individuală. Activitatea independentă stimulează interesul pentru studiu, îi antrenează pe elevi în munca creatoare, asigu- ră individualizarea învățării prin crearea unui ritm propriu de lucru, dezvoltă spiritul de creativi- tate. Activitatea independentă îmbracă două forme: munca din clasă și munca de acasă.

Munca independentă a elevilor este una din condițiile principale ca ei să-și asigure cu- noștințe temeinice, durabile și să-și formeze deprinderea de a aplica în practică aceste cunoș-

tințe. În învățarea matematicii un rol esențial îl are gândirea personală. Nicăieri mai mult ca în matematică nu este mai lipsită de sens „învățarea pe de rost”. De aici urmează însușirea conștien- tă de către elevi a cunoștințelor și deprinderilor în școală.

Pentru diferențierea activității elevilor sunt necesare instrumente de lucru adecvate. În acest sens fișele și caietele de muncă independentă prezintă o deosebită valoare, constituie un sprijin eficient în vederea realizării obiectivelor urmărite. Deosebit de interesante și atractive s- au dovedit a fi plicurile cu probleme – surpriză pentru elevii care reușeau să termine mai rapid temele date pentru întreaga clasă. Enunțul sau rezolvarea acestora sunt inedite. Exemple:

Nelu are un frate și 3 surori. Câți frați și câte surori are Nela, sora sa?

Mama are 6 mere. Ea dă fiecăruia dintre cei 3 copii ai săi același număr de mere. Câte mere

primește cel mai mic copil?

O carte este deschisă la întâmplare. Ce număr are pagina din dreapta dacă suma numerelor celor două pagini pe care le privim este 85?

Numai prin antrenarea elevilor în munca independentă pot fi dezvoltate și perfecționate posibilitățile de care dispune elevul. „Nici un om nu se întărește citind un tratat de gimnastică ci făcând exerciții, nici un om nu se învață a judeca citind judecățile scrise de alții, ci judecând sin- gur și dându-și seama de natura lucrurilor.” (Raport din 24 mai1876 – Mihai Eminescu când era revizor școlar).

JOCUL DIDACTIC

Una din metodele care s-au afirmat în ultimul timp ca metodă activă, atractivă, eficientă, modernă, cu bune rezultate în procesul de învățământ la clasele I-IV este jocul didactic. Pentru a aplica cu succes la clasă această metodă, pe lângă jocurile didactice publicate, se pot crea sau adapta anumite cunoștințe la situația de joc. Se pornește de la premisa că învățământul contem- poran este activ și creativ. Aceasta înseamnă că elevul trebuie să contribuie la soluționarea unor taine, deci să lucreze efectiv și în același timp să gândească în mod original, creator. Jocul în sine, constituind o motivație pentru sarcinile ce le au de rezolvat, a asigurat menținerea curiozită- ții și a dorinței de a ști a elevilor.

De exemplu pentru consolidarea numărului 7 , pentru dezvoltarea spiritului de observa- ție, a imaginației creatoare se poate folosi jocul „Cine formează mai multe cerculețe?” Din piese de două culori de la jocul mozaic, elevii trebuie să formeze cerculețe diferite, cu câte 7 piese fiecare. Piesele trebuie așezate în număr (referindu-ne la cele două culori pentru a-l forma pe 7) și poziții diferite pentru ca cerculețele să nu semene între ele. Câștigă elevul care formează cele mai multe cerculețe diferite. După ce copiii au format cerculețele, le-am cerut să privească cu atenție, să compară cerculețele între ele pentru a descoperi dacă s-a respectat sarcina. Descope- rind eventualele greșeli, elevilor li se va dezvolta capacitatea de a sesiza diferențele, de a ana-

liza și a sintetiza. Jocul scoate în evidență și componența numărului 7. În acest scop se cere ele- vilor să scrie din ce l-au format pe 7.

• 7 → 6, 1 • 7 → 4, 2, 1 • 7 → 3, 2, 1, 1 • 7 → 2, 1, 1, 1, 1, 1

• 7 → 5, 2 • 7 → 4, 1, 1, 1 • 7 → 3, 1, 1, 1, 1 • 7 → 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

• 7 → 5, 1, 1 • 7 → 3, 3, 1 • 7 → 2, 2, 2, 1

• 7 → 4, 3 • 7 → 3, 2, 2 • 7 → 2, 2, 1, 1, 1

Am folosit apoi o planșă în realizarea altui joc, pentru realizarea diferențelor. Din cele 18 cerculețe am aranjat ca 2 să fie identice, elevii având sarcina să le găsească, în timpul stabilit în prealabil. Prin acest joc elevilor li se dezvoltă spiritul de observație, atenția memoria și perspi- cacitatea.

Pentru fixarea deprinderilor de calcul, dezvoltarea gândirii logice, a spiritului de obser- vație, a atenției, am folosit jocul „Găsește perechea asemănătoare” la clasele I-II. Se desenează pe tablă figurile următoare:

În jurul cercurilor au fost așezate mai multe numere. Câte două numere au fost unite cu o linie, formând perechi: 2 – 6 și 8 – 24 (6 : 3 și 24 : 3) ; 2 – 7 și 13 – 18 (7 – 2 și 18 – 13). Pri- viți cu atenție aceste perechi de numere și aflați ce legătură este între ele. Scrieți apoi pe caiete alte perechi de numere aflate pe figură care să aibă aceeași legătură. Pentru a da posibilitatea

să termine cât mai mulți elevi se cere, celor care au terminat, să găsească și alte perechi de nume- re care să respecte aceeași regulă. Pentru complicarea jocului se pot strecura și numere care nu formează perechi. Acest joc se poate desfășura în toate concentrele, iar perechile de numere se pot descoperi prin adunare, scădere, înmulțire sau împărțire.

Prin jocul „Înainte și la dreapta” se urmărește dezvoltarea spiritului de observație, a atenției și memoriei vizuale, dezvoltarea imaginației creatoare, a spiritului practic și de orientare al copiilor. Se execută următorul desen pe tablă și în caiete:

Să presupunem că ne aflăm la intrarea într-un cartier cu 16 blocuri. Acest cartier este împrejmuit, având o intrare și o ieșire. Se cere elevilor să deseneze (cu culori diferite, cu linii drepte, întrerupte și șerpuite) cât mai multe drumuri până la ieșirea din cartier, cu condiția ca deplasarea să se facă numai înainte și la dreapta. După scurgerea unui anumit timp (5-7 minute) se numără drumurile. Cei care reușesc să deseneze cel mai mare număr de drumuri, respectând condiția, vor fi câștigători (există 70 de drumuri).

Jocul „Aranjează corect” formează priceperi și deprinderi de a sesiza trecerea de la sim- plu la complex, de la elementar la multidimensional, dezvoltă spiritul de observație, atenția. Fi- gurile prezentate mai jos vor fi desenate pe fișe pentru fiecare elev.

Pe foaia din fața voastră aveți mai multe desene formate din figuri geometrice. Va trebui să le așezați în ordinea complexității lor, de la cele care sunt formate din mai puține elemente la cele complexe. Se va da startul. Jocul durează 12-15 minute, după care se adună fișele. Acest joc se poate desfășura și sub formă de test (contra cronometru) pentru determinarea inteligenței ele- vului.

Pentru desfășurarea acestor jocuri elevul trebuie să aibă anumite cunoștințe și deprinderi

legate de sarcina didactică a jocului respectiv. Învățătorul trebuie să cunoască și să respecte cu precizie sarcina jocului respectiv pentru ca elevii să se comporte disciplinat, altfel se pot crea certuri privind interpretarea regulilor sau a sarcinii, deoarece jocurile se desfășoară în grup.

ACTIVITATEA ÎN AFARA CLASEI

„A ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul, schiul sau cântatul la pian care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu; dacă vreți să învă- țați înotul trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să rezolvați probleme trebuie să … rezolvați probleme.” Acesta este îndemnul pe care Polya îl adresează celor ce doresc să pătrundă în tainele labirintice ale matematicii. Pornind de la această afirmație, precum și de la considerentul afirmat de același autor cum că: „Soluția unei probleme poate surveni cât se poate de brusc. După ce ai rumegat îndelung o problemă și fără să faci nici un progres aparent îți fulgeră dintr-o dată o idee strălucită în minte, o sclipire de inspirație și parcă ți se face lumină în fața ochilor” (Polya G., 1971, p. 56), se va acorda o deosebită importanță activității din afara clasei. În cadrul acestor activități se pot organiza în cadrul școlii a unor cercuri de matematică, organizarea la nivel de școală sau oraș a unor concursuri matematice tip „Cangurul”sau „SMART”, concursuri de cultu- ră generală care să aibă probe matematice.

Aceste activități desfășurate în afara clasei au rolul de a stimula elevii să efectueze acti- vități de rezolvare a exercițiilor și problemelor matematice altele decât cele din cadrul lecțiilor, din proprie inițiativă. Acestea contribuie cu succes la dezvoltarea priceperilor și deprinderilor însușite în activitățile obligatorii desfășurate în clasă, stimulează capacitățile creatoare, determină elevul să lupte prin eforturi proprii sau colective pentru a descoperii rezolvarea corectă a unui exercițiu sau problemă. Crearea unei atmosfere propice competiției corecte, fiecare având șanse egale, stimulează elevul să-și folosească absolut toate cunoștințele, îl va antrena să devină un învingător. Numai prin atragerea elevilor în astfel de activități pot fi dezvoltate și perfecționate posibilitățile intelectuale și creative de care dispune elevul.

CAPITOLUL V

CERCETAREA PROBLEMATICII DEZVOLTĂRII CREATIVITĂȚII MATEMATICE A ELEVILOR DIN CI- CLUL PRIMAR

METODOLOGIA CERCETĂRII

ANALIZA ȘI INTERPRETAREA DATELOR

CONCLUZII FINALE

METODOLOGIA CERCETĂRII

OBIECTIVELE CERCETĂRII

Creativitatea este un proces amplu, foarte complex care se desfășoară în timp. Lumea în care trăim este într-o permanentă schimbare și restructurare, iar noi, dascălii, suntem datori să creăm noi oportunități pentru dezvoltarea unor personalități creatoare. Copilul de ciclu primar este creativ la nivelul său. Trebuie să-l încurajăm să creeze ceva nou, să înțelegem și să acceptăm acest „nou”. În prezenta lucrare am cercetat problematica dezvoltării creativității matematice a școlarului mic, vizând în demersul meu mai multe obiective:

Stabilirea indicelui concordanței dintre interese și aptitudini pentru fiecare elev în parte, ca

punct de plecare în cercetarea de față;

Testarea potențialului creativ al elevilor prin aplicarea unor teste care vizează fluiditatea, flexi- bilitatea adaptativă, originalitatea și perspicacitatea;

Utilizarea unor metode și tehnici cu scopul de a stimula potențialul creativ al elevilor;

Demonstrarea eficacității utilizării demersurilor educative centrate pe elev care contribuie la

dezvoltarea unor personalități creatore.

Am încercat să arăt că un copil va crea cu siguranță dacă este lăsat să facă acest lucru. Că el este deschis spre nou dacă este îndrumat și ajutat. Acest lucru mi-a fost demonstrat de fap- tul că la sfârșitul perioadei de cercetare au apărut rezultatele preconizate.

IPOTEZA DE LUCRU

În cercetarea temei alese am pornit de la premisa că randamentul școlar este o funcție cu două variabile: prima reprezentată de factorii interni (obiectivi) – elevul cu structura sa complexă și în devenire, iar a doua reprezentată de factori externi – în primul rând școala care „reprezintă un spațiu axiologic prin excelență, un câmp de negociere și validare valorică. Actorii implicați în procesul paideutic își etalează diverse atitudini, preferințe, interese, propun modele comporta- mentale dezirabile, dezbat și deslușesc valorile.” (Cucoș C.,2000, p.51) Acțiunea conjugată a acestora mijlocește însușirea deplină a cunoștințelor prevăzute de programa școlară. Este mai valoros un copil care creează fără să vrea, sau un copil care vrea să creeze? Poate un copil să creeze? Sigur că poate, dar aproape sigur că nu poate crea ceva nou. Copilul este creativ la nive- lul său, reușind să descopere adevăruri verificate de mult timp, dar care pentru el constituie nou- tăți absolute. Dar trebuie să acceptăm și ideea că un copil poate crea și ceva nou. Important este să înțelegem acest nou și să-l acceptăm. Uneori mari creatori s-au inspirat din creativitatea copii- lor ( de exemplu cubismul). Creativitatea trebuie privită ca proces ce se desfășoară în timp înscriindu-se în sfera educației.

Școala poate contribui la dezvoltarea potențialităților copilului, vizând flexibilitatea, fluența și senzitivitatea, cultivarea originalității, ingeniozității și perspicacității. Intervin aici atât componentele intelectuale, cât și aptitudinale și caracteriale. Fenomenele psihice dinamizatoare cum sunt: curiozitatea, pasiunea, nevoia de activitate, succesul și satisfacția ce pot fi declanșate sau accelerate de școală, asigură elevilor mici fondul psihic necesar acțiunilor creative.

COLECTIVUL DE CERCETARE

Colectivul de elevi cu care am lucrat este format din 18 elevi din clasa a III-a B de la Colegiul Național „Mihai Viteazul” din Sfântu Gheorghe. Este vorba despre întreg colectivul clasei, deci acest grup este eterogen. Subiecții nu au fost selecționați după nici un criteriu valoric și este format din 9 băieți și 9 fetițe, cu vârste cuprinse între 9 și 11 ani, cu personalități diferite.

METODELE ȘI TEHNICILE UTILIZATE ÎN CERCETARE

În investigația realizată, metoda de bază a fost cea experimentală. Fiind vorba de un experiment natural integrat în procesul de învățământ, a fost transformat treptat într-o activitate care avea atributele naturaleței și a obișnuitului. Desfășurându-se într-o ambianță naturală de viață și activitate, rezultatele obținute nu au putut fi afectate de ceea ce se pune pe seama factori- lor „noutate” și „entuziasm”. Privit diacronic sau în desfășurarea lui, experimentul pedagogic, ca metodă de cercetare, trece prin trei faze: faza prealabilă intervenției factorului experimental, faza aplicării factorului experimental și fază înregistrării rezultatelor după intervenția factorului expe- rimental.

O altă metodă pe care am utilizat-o în cercetare a fost metoda observației. Am folosit această metodă în toate etapele cercetării și a constat în consemnarea datelor și constatărilor edu- caționale așa cum s-au desfășurat ele în condiții obișnuite.

Metoda anchetei am folosit-o pe baza unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate pentru calcularea indicilor concordanței dintre interese și aptitudini. A constat într-un dialog des- chis în vederea acumulării unor date (opinii, interese, dorințe, aspirații). Această metodă mi-a oferit indirect date referitoare la acțiunea educațională, mai ales asupra rezultatelor ei. Aceste date oferă prilejul unor reflecții retroactive, a unor comparații și a unor previziuni în legătură cu dezvoltarea personalității elevilor de ciclu primar cu scopul de a stabili cauzele unor manifestări comportamentale.

În cercetarea problematicii dezvoltării creativității matematice a elevilor din ciclul pri- mar am mai folosit metoda testelor. Am aplicat această metodă ca un instrument alcătuit din mai multe probe elaborate în vederea înregistrării prezenței sau absenței acestui fenomen psihic. Pen- tru eliminarea subiectivismului în măsurarea și interpretarea rezultatelor individuale, am încercat ca toate cele opt teste să prezinte un înalt grad de standardizare și etalonare.

ETAPELE CERCETĂRII

Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare pe baza căreia cunoaș- tem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional. Practica educativă constituie, pentru cercetă- tor, o sursă de cunoaștere, un mijloc de experimentare, de verificare a ipotezelor și de generaliza- re a experienței pozitive. În același timp, cercetarea pedagogică, prin concluziile ei, contribuie la inovarea și perfecționarea procesului de învățământ și de educație. În cercetarea problematicii dezvoltării creativității matematice a elevilor din ciclul primar am urmărit parcurgerea a trei eta- pe:

– etapa constatativă – Documentarea și elaborarea instrumentelor de cercetare, aplicarea testelor inițiale pentru a constata nivelul de la care începe cercetarea;

etapa experimentală – Utilizarea metodelor și tehnicilor în scopul educării și

dezvoltării creativității la elevi.

etapa evaluativă – Este momentul în care am aplicat teste finale, am analizat,

interpretat, sintetizat și comparat rezultatele obținute prin experimentare.

ANALIZA ȘI INTERPRETAREA DATELOR

Din cuprinsul lucrării s-a putut constata că în procesul de învățământ și – mai ales la clasele I-IV – nu este vorba de creatori de bunuri materiale sau cultural-spirituale originale, cu efect favorabil în dezvoltarea unor capacități cognitiv aptitudinale, care, la rândul lor, se constitu- ie în fundamente ale procesului de formare a unei personalități creatoare. În etapa constatativă, pentru evaluarea capacităților cognitiv-aptitudinale, am avut în vedere elaborarea unor teste care să pună în evidență doi parametri ai modelului uman creativ și anume:

setul orientativ sau direcțional (S. d.) alcătuit din concordanța funcțională a intereselor cu

aptitudinile;

setul operațional (S. o.) alcătuit din capacitățile intelectuale acordate setului direcțional și

specifice matematicii.

Folosirea primului test presupune cunoașterea reală a psihologiei elevilor de către învă- țător, deoarece trebuie să se răspundă prin „DA” sau „NU” la un set de întrebări care se referă la concordanța itemilor „interese – aptitudini” specifice fiecărui elev în parte și în funcție de rapor- tul dintre răspunsuri se calculează setul direcțional.

TESTUL DE EVALUARE A CONCORDANȚEI DINTRE INTERESE ȘI APTITUDINI

Aptitudinile la învățătură, la matematică:

Este permanent activ la lecții?

Este capabil de concentrare a atenției în timpul lecțiilor?

Face față optimă la lecții prin muncă independentă?

Se angrenează ușor în munca de învățare prin descoperire?

Menține un permanent interes pentru lecție?

Asimilarea cunoștințelor:

Percepe ușor și bine materialul didactic?

Înțelege conținutul lecției?

Memorează conștient, bine și de durată?

Face corelații și asociații între cunoștințele noi și cele asimilate anterior la matematică?

Prezintă note de originalitate în gândire?

Prezintă flexibilitate în gândire?

Prezintă imaginație creatoare?

Are și cunoștințe care depășesc conținutul programei?

Prezintă interes pentru noutate?

Este atras de activitățile care stimulează creativitatea?

Activitatea practică aplicativă și atitudinea afectivă față de munca școlară:

Fixează ușor și bine deprinderile cerute la matematică?

Aplică cu succes cunoștințele asimilate în practica școlară?

Participă activ la lecții și la activitățile practice?

Trăiește vizibil bucuria succesului?

Se atașează afectiv de membrii grupului în care lucrează?

Testul cuprinde 20 întrebări. După ce învățătorul răspunde conștient și sincer prin DA

sau NU calculează setul direcțional după formula statistico-matematică.

În această formulă:

Σx este suma răspunsurilor DA;

Σy este suma răspunsurilor NU;

N este numărul total al răspunsurilor DA și NU;

„0, 5” este o variabilă a calculului.

După aplicarea testului și calcularea indicilor, se va face interpretarea pe baza următoru- lui tabel:

Acest test l-am aplicat la începutul clasei a III- a cu seria de elevi care a început școala în anul 2005. Din totalul de 18 elevi ai clasei respective un elev a obținut indice mai mic decât 0,35; trei elevi au avut indice cuprins între 0,40 și 0,60; șase elevi au obținut între 0,65 și 0,80; opt elevi au avut între 0,85 și 1.00. În cazul clasei pe care am testat-o am constatat că elevii au interese și aptitudini semnificative și semnificativ ridicate, ceea ce îmi permite să abordez mai departe matematica în modul creativ prezentat în lucrare.

Tabel nominal cu indicii setului direcțional obținuți de elevi

Tot în etapa constatativă a cercetării, pentru calcularea setului operațional sau indicele dezvoltării capacităților intelectuale am aplicat mai multe teste în semestrului I al clasei a III-a. Am elaborat un set de patru teste prin care vizez măsurarea unor parametri ai creativității mate- matice: fluiditatea, flexibilitatea adaptativă, originalitatea și perspicacitatea. Astfel, fiecare test vizează unul din cei patru parametri. Fluiditatea se referă la ușurința, rapiditatea de a produce soluții multiple în funcție de anumite cerințe. Indicele de fluiditate este dat de numărul total de răspunsuri. Flexibilitatea adaptativă „exprimă capacitatea de a modifica și restructura eficient mersul gândirii în situații noi, de a găsi soluții cât mai variate de rezolvare, de a opera transferuri, de a renunța la ipotezele vechi și de a adopta cu ușurință altele noi […] Originalitatea este capa- citatea de a emite idei noi, soluții ingenioase, neconvenționale, neobișnuite. Se consideră a fi originale acele soluții care frapează, care sunt ieșite din comun, care ocolesc căile bătătorite de rezolvare. Indicele de originalitate semnifică raritatea statistică a răspunsului.” (Sălăvăstru D., 2004, p. 105). Perspicacitatea se referă la capacitatea de a surprinde și de a înțelege ceea ce „sca- pă” de cele mai multe ori majorității.

TESTUL A1

(vizează fluiditatea)

În locul literelor din căsuțe puneți numere, astfel încât a + c = b + d = 3. Câte soluții ați găsit?

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R soluții

Descompuneți numărul 40 în sumă de 3 termeni diferiți formați din zeci și unități. Găsiți cât mai multe variante de descompunere. Câte soluții ați găsit?

Ex: 40 = 10 + 11 + 19

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R soluții

Patru prieteni – Anda, Bogdan, Claudiu și Dan – se pot așeza câte doi în bancă așa cum doresc. În câte moduri se pot așeza?

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R moduri

Punctaj: 1. 8 situații x 0,25 p = 2,00 p

8 situații x 0,25 p = 2,00 p

6 situații x 0,50 p = 5,00 p

Din oficiu = 1,00 p

TOTAL =10,00 p

Testul A1 (rezolvare)

Vizează fluiditatea

Conține trei itemi: a) Primul exercițiu are 8 soluții posibile:

a = 0, b = 1, c = 3, d = 2; a = 0, b = 2, c = 3, d = 1;

a = 1, b = 0, c = 2, d = 3; a = 1, b = 3, c = 2, d = 0

a = 2, b = 0, c = 1, d = 3; a = 2, b = 3, c = 1, d = 0

a = 3, b = 1, c = 0, d = 2; a = 3, b = 2, c = 0, d = 1

Al doilea exercițiu are 8 soluții posibile:

10 + 11 + 19 = 40; 10 + 12 + 18 = 40; 10 + 13 + 17 = 40; 10 + 14 + 16 = 40

11 + 12 + 17 = 40; 11 + 13 + 16 = 40; 11 + 14 + 15 = 40; 12 + 13 + 15 = 40

Al treilea exercițiu are 6 soluții posibile:

AB ; AC; AD; BC; BD; CD.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul A1”

La această probă de evaluare șapte elevi au obținut punctajul maxim, patru elevi au ob-

ținut între 8,01 și 9,00 puncte, trei elevi între 7,01 și 8,00 puncte, un elev un punctaj între 6,01 și

7,00, doi elevi între 5,01 și 6,00, iar un elev a obținut între 4,01 și 5,00 puncte. Un procent de 61

% din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Prin aplicarea acestui test am urmărit măsurarea în termeni concreți a fluidității gândirii matematice la elevii de clasa a III-a. Am ales ca moment al zilei prima parte a acesteia pentru a preveni influența negativă a oboselii. Timpul efectiv de lucru a fost de 20 de minute, dar majori- tatea elevilor au terminat în mai puțin de 15 minute.

Am constatat că elevii au avut dificultăți în rezolvarea acestui test datorită faptului că nu au luat în seamă faptul că trebuie avută în vedere o proprietate a adunării și anume comutativita- tea. Acest fapt a generat soluții duble sau chiar triple.

De exemplu la itemul 2: 40 = 10 + 11 + 19 datorită faptului că nu au avut în vedere co- mutativitatea adunării, unii elevi au ales ca și soluții, în plus față de cea anterioară:

40 = 11 + 10 + 19 sau 40 = 19 + 10 + 11. De asemenea la itemul 3 dacă s-a ales ca un mod de

așezare în bancă Bogdan cu Dan, au considerat că un alt mod posibil ar fi Dan cu Bogdan.

Acest aspect observat relevă o anumită rigiditate a gândirii. În semestrul care va urma, consider că este necesar să aplic metodele diverse prezentate în lucrare cu scopul de a stimula potențialul creativ al elevilor în rezolvarea exercițiilor și problemelor de matematică.

TESTUL A2

(vizează flexibilitatea adaptativă)

Câte dreptunghiuri sunt în următorul desen?

R dreptunghiuri

Pe același desen trasați încă două segmente astfel încât să obțineți în plus patru pă- trate și patru triunghiuri.

Colorează numărul maxim de pătrate mici care pot forma un pătrat mare. Câte pă- trate au rămas necolorate?

R pătrate

Punctaj: 1. 16 situații x 0,25 p = 4,00 p

4 situații x 0,50 p = 1,00 p

2 situații x 1,00 p = 2,00p

Din oficiu = 1,00 p TOTAL =10,00 p

Testul A2 (rezolvare)

Vizează flexibilitatea adaptativă

Conține trei itemi: a) Răspuns: 16 dreptunghiuri

b)

c) Răspuns: 9 pătrate

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul A2”

La acest test șase elevi au obținut punctajul maxim, patru elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, tot patru elevi între 7,01 și 8,00 puncte, un elev un punctaj între 6,01 și 7,00, doi elevi între 5,01 și 6,00, iar un elev a obținut între 4,01 și 5,00 puncte. Un procent de 55 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Aplicând acest test mi-am propus măsurarea flexibilității adaptative ca aptitudine creati- vă și ca indicator calitativ al acesteia. Timpul de rezolvare acordat pentru rezolvarea celor trei itemi a fost de 20 de minute. Am observat că foarte mulți elevi au omis numărarea la prima pro- bă a formelor geometrice mari care le încadrează pe cele mai mici sau pe cele intermediare (for- mate prin alipirea a altor două mai mici). Din acest motiv doar 6 elevi au reușit să găsească nu- mărul corect al figurilor geometrice întâlnite în desenul prezentat. Cu toate acestea, am constatat că după ce testul a fost rezolvat la tablă, majoritatea copiilor au afirmat că exercițiul nu a fost greu și că numărul corect este evident. Acest aspect este îmbucurător și am convingerea că lu- crând consecvent cu metodele prezentate rezultatele vor fi îmbunătățite.

TESTUL A3

(vizează originalitatea)

Formulați cât mai multe întrebări posibile pe baza următoarei imagini.

Ex: Câte autoturisme sunt în total?

Câte roți are autocamionul?

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin două operații folosind numerele 8 și 72.

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Executați un desen folosind doar următoarele figuri geometrice: pătrat, triunghi,

dreptunghi și cerc.

Punctaj: 1. 4 situații x 1,00 p = 4,00 p

2 situații x 1,00 p = 2,00 p

4 situații x 0,75 p = 3,00 p Din oficiu = 1,00 p TOTAL = 10, 00 p

Testul A3

Vizează originalitatea

Conține trei itemi

La itemul 1, elevii care au descoperit mai mult de 6 întrebări posibile au obținut punctajul maxim, adică 4 puncte. Cei care au notat 4 – 6 întrebări au primit 3 puncte, copiii cu 3 – 4 posibile întrebări au obținut 2 puncte, iar cei cu 1 – 2 întrebări un punct.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul A3”

La această probă de evaluare cinci elevi au obținut peste 9 puncte, patru elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, cinci elevi între 7,01 și 8,00 puncte, un elev un punctaj între 6,01 și 7,00, doi elevi între 5,01 și 6,00, iar un elev a obținut între 4,01 și 5,00 puncte. Un procent de 50

% din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Se avansează ipoteza, demonstrabilă, conform căreia noutatea și originalitatea unui pro- dus de creație sunt variabile independente; un produs cu un anumit grad de noutate poate încor- pora diferite grade de originalitate. □inând cont de acest aspect, am încercat să aleg o imagine sugestivă la itemul 1. Am constatat un grad mai redus de originalitate care denotă utilizarea mo- dalităților logic – determinate de rezolvare a problemei. Copiii, în marea lor majoritate, au formu- lat întrebări doar despre ceea ce „se vede” concret în desen. Și-au manifestat uimirea și încânta- rea când, după rezolvarea la tablă a testului, au constatat că ar fi putut formula și alte întrebări de genul: Câte volane au în total automobilele? Câte persoane sunt necesare pentru a conduce toate automobilele?

Pentru obținerea unui grad mai ridicat de originalitate voi utiliza modalități imaginative de rezolvare a problemelor, fără a face abstracție de structurile afective care sunt implicate în măsură semnificativă, relația dintre afectiv și cognitiv fiind de interdependență reciprocă.

TESTUL A4

(vizează perspicacitatea)

Completați „pătratul magic” cu numere de la 1 la 9, folosite o singura dată fiecare,

astfel încât suma pe fiecare orizontală și verticală să fie 15.

Încercuiți răspunsul corect:

Victor este cu 3 cm mai scund decât Dan, dar cu 5 cm mai înalt decât Iulia. Ce diferență de înălțime este între Dan și Iulia?

A) 2 B) 8 C) 5 D) 3 E) 1

Care dintre șirurile de semne de mai jos nu conduc la rezultatul înscris?

5 5 5 5 = 10

B) C)

D) E)

Punctaj: 1. 6 situații x 1,00 p = 6,00 p

1 situație x 1,50 p = 1,50 p

1 situație x 1,50 p = 1,50 p Din oficiu = 1,00 p TOTAL =10,00 p

Testul A4 (rezolvare)

Vizează perspicacitatea

Conține doi itemi: 1) are mai multe soluții, una dintre acestea fiind cea prezentată aici:

a) Răspuns: B

b) Răspuns: E.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul A4”

La această probă de evaluare cinci elevi au obținut peste 9 puncte, trei elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, doi elevi între 7,01 și 8,00 puncte, patru elevi un punctaj între 6,01 și 7,00, 2 elevi între 5,01 și 6,00, iar doi elevi au obținut între 4,01 și 5,00 puncte. Un procent de 45 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

„Pătratul magic” s-a bucurat de atenția cea mai mare din partea copiilor, ceea ce eviden- țiază nevoia de joc. Au fost atrași de faptul că numerele pot fi combinate astfel încât rezultatul să fie surprinzător. Majoritatea au rezolvat acest exercițiu, fiind itemul cu cele mai multe soluții corecte dintre cei 12 ale celor patru teste. Cu toate acestea, rezultatele acestui ultim test care vi- zează perspicacitatea, nu sunt pe măsura așteptărilor. Posibilele cauze care i-a indus în eroare și care au generat rezultatele neașteptate ar fi neatenția și faptul că elevii nu au fost obișnuiți cu astfel de exerciții, cu variante multiple.

Îmi propun ca în perioada imediat următoare să utilizez cât mai multe astfel de exerciții și probleme.

În evaluarea tuturor celor 4 teste am luat în considerare trei niveluri ale creativității ma- tematice, având în vedere cei patru parametrii vizați:

Nivelul inferior – cu punctaj sub 5 puncte;

Nivelul mediu – cu punctaj între 5 și 7,99 puncte;

Nivelul superior – cu punctaj mai mare de 7,99 puncte.

Ca urmare a acestui barem de evaluare s-au consemnat următoarele rezultate finale, sis- tematizate în următorul tabel:

Având toate aceste date concrete, în etapa experimentală a cercetării problematicii dez- voltării creativității matematice a elevilor din ciclul primar, am încercat diferite metode care să aibă ca scop principal stimularea și dezvoltarea creativității matematice. În rezolvarea probleme- lor am insistat pe reformularea enunțului problemelor în mod creativ. În cele ce urmează voi pre- zenta o astfel de metodă, prin care elevul este pus în situația de a gândi creativ. Imensa majorita- te a problemelor simple se bazează pe schema elementară „a * b =” (unde simbolul „ * ” poate fi:

+ , – , x sau 🙂 ceea ce acoperă doar patru din cele douăzeci și patru de variante posibile. Dacă privim lucrurile prin prisma copilului pus pentru prima dată în fața unor asemenea sarcini, con- statăm că pe plan psiho-afectiv dominantele sunt altele, demersul gândirii școlarului mic fiind substanțial schimbat în variantele propuse.

La adunare, în afara tipului clasic a + b = ?, am propus și rezolvat încă alte trei tipuri, ilustrate de schemele ? = a + b (reflectând proprietatea de simetrie a relației de egalitate), ? – a = b (exemplificând aflarea descăzutului când se cunoaște scăzătorul și restul) și b = ? – a (simetria relației precedente).

Iată cum s-au materializat aceste scheme în probleme:

Clasic (prima schemă) → Alin a împrumutat ieri două cărți de la un coleg și astăzi una. Câte cărți a împrumutat Alin de la colegul său?

Creativ (celelalte trei scheme)→ 1. Câte cărți a împrumutat Alin de la un coleg dacă ieri a luat una și astăzi două?

Câte cărți a avut Alin de la un coleg dacă după ce a înapo- iat două cărți i-a mai rămas de înapoiat o carte?

Alin are o carte de la un coleg. Câte cărți împrumutase el

dacă a înapoiat două cărți?

La operația de scădere, alături de tipul clasic „a – b = ?” există încă șapte tipuri de pro- bleme simple, ilustrate de schemele „? = a – b ; a – ? = b; b = a – ? ; b + ? = a ; a = b + ? ;

? + b = a ; a =? + b.” Aceste scheme le-am exemplificat astfel:

Clasic: Bogdan avea în penar 6 creioane. El pierde 2 creioane. Câte creioane îi rămân?

Creativ: 1. Câte creioane are acum Bogdan dacă din cele 6 pe care le avea în penar a pierdut 2?

Bogdan avea în penar 6 creioane. Câte creioane a pierdut dacă acum mai are 4?

ne?

Dacă Bogdan are acum 4 creioane din cele 6 pe care le-a avut, câte a pierdut?

Dacă Bogdan are acum 4 creioane, câte a pierdut știind că în total a avut 6 creioa-

Bogdan a avut 6 creioane. 4 sunt în penar și celelalte le-a pierdut. Câte a pierdut?

Câte creioane mai are Bogdan, dacă acestea împreună cu celelalte 2 pierdute au fost

6 creioane?

Bogdan a avut 6 creioane. Câte creioane i-au rămas dacă la acestea se adaugă 2

creioane pierdute?

La operația de înmulțire alături de tipul clasic „a x b = ?”, se pot formula încă trei tipuri de pro- bleme simple, după schemele: „? = a x b ; ? : a = b ; b = ? : a.” Exemplificări:

Clasic: Ana are 2 mingi, iar păpuși de 3 ori mai multe. Câte păpuși are Ana?

Creativ: 1. Câte păpuși are Ana, dacă are 2 mingi, iar păpuși de 3 ori mai multe?

Câte păpuși are Ana, dacă are de 3 ori mai puține mingi, iar mingi are 2?

Ana are 2 mingi. Câte păpuși are dacă mingile sunt de 3 ori mai puține?

La împărțire, alături de tipul clasic „a : b = ?”, se pot construi alte 7 tipuri de probleme

simple, după schemele: „? = a : b ; a : ? = b ; b = a : ?; b x ? = a ; a = b x ?; ? x b = a ;

a = ? x b.” Acestea sunt exemplificările schemelor realizate cu elevii:

Clasic: Mama are 6 mere. Ea dă fiecăruia dintre cei 6 fii ai săi același număr de mere. Câte

mere primește fiecare copil?

Creativ: 1. Câte mere primește fiecare copil dacă mama dă 6 mere, în mod egal, celor 3 fii?

Mama are 6 mere pe care le împarte în mod egal fiilor săi. Câți copii are dacă fieca- re dintre ei a primit 2 mere?

Fiecare copil primește câte 2 mere atunci când mama le împarte, în mod egal, cele 6

mere pe care le are. Câți copii are mama?

Mama are 3 fii și fiecare primește mere, în mod egal. Câte mere primește fiecare co- pil dacă mama a avut 6 mere?

Mama are 6 mere. Fiecare dintre cei 3 copii ai săi primește același număr de mere. Câte mere primește fiecare?

Câți copii are mama, dacă fiecare fiu primește câte două mere, atunci când mama lor

le împarte, în mod egal , 6 mere?

Mama are pentru copiii săi 6 mere. Câți copii are mama, dacă fiecare a primit câte 2

mere?

În cazul problemelor compuse, rezolvarea acestora în mod creativ comportă două faze:

– Regizarea unei acțiuni care să cuprindă două faze distincte, formularea problemei

astfel încât să cuprindă cele două faze ale acțiunii și apoi rezolvarea ei;

– Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul

primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

În cazul primei posibilități acțiunile trebuie să fie veridice, să facă parte integrantă din viața și activitatea zilnică a clasei. Exemplu:

Florin a pus pe catedră 12 iepurași (figurine). Ionel mai pune încă 6 iepurași. Ana ia

din total 8 iepurași. Câți iepurași au rămas pe catedră?

Repet acțiunea prin câteva întrebări pe care le consemnează elevii și în caiete și pe tablă: Florica a așezat – 12 iepurași

Ionel a așezat – 6 iepurași

Ana a luat – 8 iepurași

? Câți iepurași au mai rămas?

Apoi se trece la întocmirea planului de rezolvare: Plan de rezolvare

Câți iepurași s-au așezat pe catedră?

12 iepurași + 6 iepurași = 18 iepurași

Câți iepurași au mai rămas?

18 iepurași – 8 iepurași = 10 iepurași

R: 10 iepurași

După o consolidare a acestor cunoștințe, se va trece la probleme mai dificile. Exemplu:

„O elevă a împrumutat unui coleg 6 creioane. Ea a avut 10 creioane. Câte creioane i-au mai rămas?” (această problemă se rezolvă prin punere în scenă). Se va formula apoi o altă pro- blemă compusă, alcătuită prin modificarea celei simple:

„O elevă a dat unui coleg 6 creioane colorate și 2 creioane grafice. A avut în total 10 creioane. (Ce putem afla?) Câte creioane i-au mai rămas?” Se va insista în cadrul analizei pro- blemei asupra celor două lucrări ce reprezintă cele două probleme simple:

Câte creioane a dat colegului?

Câte creioane i-au mai rămas?

Compunerea de probleme este o altă metodă esențială pentru stimularea și dezvoltarea creativității matematice a elevilor de ciclu primar. Cel mai ușor percepută de elevi în procesul de compunere a problemelor este schema. Acest „tip” de compunere atrage mai ales pe elevii cu gândire mai lentă și o imaginație mai scăzută, deoarece îi ajută să aleagă acele mărimi între care au putut stabili o relație logică în funcție de întrebarea problemei și să găsească relația matemati- că între ele. Exemple:

Variante posibile: 1. a + b 3. a + (a – b) 2. a – b 4. a – (a + b)

?

21 lei …………………… cu 7 lei mai mult/puțin ?

?

? Ce sumă are?

cantitate ………. preț ………….…. cantitate preț

? ?

?

Variante pentru schema „c”: 1. a x b + c x d

a x b – c x d

(a x b) : (c x d)

Cum matematica trebuie să modeleze realitatea, se vor introduce în cadrul procesului de creare a problemelor și probleme cu soluții multiple (sau nici o soluție). După rezolvarea unor astfel de probleme, împreună cu elevii, se vor enumera soluțiile găsite, se vor sistematiza și se vor construi variante ale problemei propuse. Exemple:

Elena are 10 baloane verzi și 4 albe. I se sparg 7 baloane. Câte baloane verzi și câte albe au rămas întregi?

Cum poate fi umplută cu apă o canistră de 20 l, având o sticlă de 1 litru, un borcan de 3 litri și un bidon de 5 litri?

Mama a cumpărat 4 kg de zahăr, 3 kg de orez, 2 kg de făină și 1 kg de mălai. Ce cumpără-

turi pot fi puse într-o plasă care ține 6 kg?

În etapa evaluativă, pentru calcularea setului operațional sau indicele dezvoltării capaci- tăților intelectuale am aplicat al doilea set de teste la mijlocul semestrului al II-lea al clasei a III-

Am elaborat un alt set de patru teste, cu sarcini similare celor din primul set, prin care vizez măsurarea acelorași parametri ai creativității matematice: fluiditatea, flexibilitatea adaptativă, originalitatea și perspicacitatea. Astfel, fiecare test vizează unul din cei patru parametri.

TESTUL B1

(vizează fluiditatea)

În locul literelor din căsuțe puneți numere diferite, astfel încât a + a + b = 10. Câte

soluții ați găsit?

=10

=10

=10

= 10 = 10 =10

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R soluții

Compuneți numărul 40 din trei termeni diferiți formați din zeci și unități. Câte solu- ții ați găsit?

Ex: 10 + 11 + 19 = 40

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R soluții

Șase prieteni – Andrei, Bogdan, Clara, Dana, Eugen și Flavia – se pot așeza câte doi în bancă așa cum doresc. Dar vor respecta o condiție: în fiecare bancă trebuie să fie un băiat și o fată! În câte moduri se pot așeza?

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

R moduri

Punctaj: 1. 8 situații x 0,35 p = 2,10 p

8 situații x 0,30 p = 2,40 p

9 situații x 0,50 p = 4,50 p

Din oficiu = 1,00 p

TOTAL =10,00 p

Testul B1

Vizează fluiditatea

Conține trei itemi: a) Primul exercițiu are 6 soluții posibile:

a = 0, b = 10; a = 1, b = 8; a = 2, b = 6

a = 3, b = 4; a = 4, b = 2; a = 5, b = 0

Al doilea exercițiu are 8 soluții posibile:

10 + 11 + 19 = 40; 10 + 12 + 18 = 40; 10 + 13 + 17 = 40; 10 + 14 + 16 = 40

11 + 12 + 17 = 40; 11 + 13 + 16 = 40; 11 + 14 + 15 = 40; 12 + 13 + 15 = 40

Al treilea exercițiu are 6 soluții posibile:

AC; AD; AF; BC; BD; BF; EC; ED; EF.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul B1”

La acest test șapte elevi au obținut punctajul maxim, câte cinci elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte respectiv între 7,01 și 8,00 puncte și un elev un punctaj între 6,01 și 7,00 puncte. Un procent de 72 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Prin aplicarea acestui test am urmărit măsurarea în termeni concreți a fluidității gândirii matematice la elevii de clasa a III-a. Am ales ca moment al zilei prima parte a acesteia pentru a preveni influența negativă a oboselii. Timpul efectiv de lucru a fost de 20 de minute, dar majori- tatea elevilor au terminat în mai puțin de 15 minute.

Odată cu aplicarea testului A1 din setul anterior s-a constatat o anumită rigiditate a gân- dirii elevilor. Prin omiterea aplicării proprietății adunării – comutativitatea – în testul anterior apăruseră soluții duble sau triple la itemul 1 și 3. Prin aplicarea acestui de al doilea test care vi- zează fluiditatea se constată că acest „blocaj” a fost depășit, fapt demonstrat de rezultatele sus prezentate. Metodele diverse tratate în lucrare și aplicate la clasă îmi demonstrează că potențialul creativ al elevilor poate fi stimulat, iar rigiditatea gândirii este „diminuată în favoarea” fluidității. Pentru ilustrarea celor expuse, am realizat o analiză comparativă a rezultatelor de la testul A1 și de la B1 (ambele vizează fluiditatea) în următoarea diagramă.

Analiza comparativă a rezultatelor la testul A1 și B1

TESTUL B2

(vizează flexibilitatea adaptativă)

Câte pătrate sunt în următorul desen?

R pătrate

Trasați pe următorul desen trei segmente de dreaptă astfel încât noua figură să con- țină un pătrat, două dreptunghiuri și două triunghiuri.

Colorează doar figurile geometrice din chenar care pot forma căsuța din dreapta.

Testul B2

Punctaj: 1. 10 situații x 0,45 p = 4,50 p

3 situații x 0,50 p = 1,50 p

6 situații x 0,50 p = 3,00 p

Din oficiu = 1,00 p

TOTAL =10,00 p

Vizează flexibilitatea adaptativă

Conține trei itemi: a) Răspuns: 9 pătrate

b)

c) Răspuns: 4 pătrate mari și 2 triunghiuri mari

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul B2”

La acest test nouă elevi au obținut punctajul maxim, patru elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, patru elevi între 7,01 și 8,00 puncte și un elev un punctaj între 6,01 și 7,00. Un pro- cent de 78 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Prin aplicarea acestui test, al doilea din setul B, mi-am propus măsurarea flexibilității adaptative ca aptitudine creativă și ca indicator calitativ al acesteia. Timpul efectiv de lucru pen- tru rezolvarea celor trei itemi a fost de 20 de minute. Aplicarea primului test care viza tot flexibi- litatea adaptativă aducea în prim plan un „neajuns”: faptul că foarte mulți elevi au omis număra- rea la prima probă a formelor geometrice mari care le încadrează pe cele mai mici sau pe cele intermediare (formate prin alipirea a altor două mai mici). De această dată, acest tip de exercițiu nu a mai creat dificultăți, 15 din cei 18 elevi descoperind numărul corect de figuri geometrice.

Multitudinea de exerciții și probleme care au fost aplicate între cele două teste

și-au atins scopul vizat: dezvoltarea flexibilității adaptative.

Analiza comparativă a rezultatelor la testul A2 și B2

TESTUL B3

(vizează originalitatea)

Formulați cât mai multe întrebări posibile pe baza următoarei imagini.

Ex: Câte bile sunt pe colierul mic?

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Alcătuiți o problemă despre primăvară care să se rezolve prin două operații folosind

numerele 56 și 7.

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Realizați un desen folosind doar următoarele figuri geometrice: două pătrate, patru triunghiuri, un dreptunghi și trei cercuri.

Punctaj: 1. 4 situații x 1,00 p = 4,00 p

2 situații x 1,00 p = 2,00 p

10 situații x 0,30 p = 3,00 p

Din oficiu = 1,00 p TOTAL =10, 00 p

Testul A3

Vizează originalitatea

Conține trei itemi

La itemul 1, elevii care au descoperit mai mult de 6 întrebări posibile au obținut punctajul maxim, adică 4 puncte. Cei care au notat 4-6 întrebări au primit 3 puncte, copiii cu 3 – 4 posibile întrebări au obținut 2 puncte, iar cei cu 1 – 2 întrebări un punct.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul B3”

La această probă de evaluare șapte elevi au obținut peste 9 puncte, tot șapte elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, doi elevi între 7,01 și 8,00 puncte, un elev un punctaj între 6,01 și 7,00, iar un altul un punctaj mai mic decât 5. Un procent de 78 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

Noutatea și originalitatea unui produs de creație sunt variabile independente – un produs cu un anumit grad de noutate poate încorpora diferite grade de originalitate. Ținând cont de acest aspect, am încercat să aleg o imagine sugestivă la itemul 1. Dacă la testul A1 am constatat un grad mai redus de originalitate, copiii, în marea lor majoritate, formulând întrebări doar despre ceea ce se „vede” concret în desen, în cazul acestui de-al doilea test care a vizat originalitatea am constatat ca a fost depășită bariera concretului. Am întâlnit întrebări foarte variate cu un grad mult mai înalt de originalitate. Acest fapt a fost posibil datorită faptului că am utilizat modalități imaginative de rezolvare a problemelor, fără a face abstracție de structurile afective care sunt implicate în măsură semnificativă, relația dintre afectiv și cognitiv fiind în interdependență reci- procă.

Pentru ilustrarea celor expuse, am realizat o analiză comparativă a rezultatelor de la tes- tul A1 și de la B1 (ambele vizează fluiditatea) în următoarea diagramă:

Analiza comparativă a rezultatelor la testul A3 și B3

TESTUL B4

(vizează perspicacitatea)

Completați „pătratul magic” cu numere de la 1 la 9, folosite o singură dată fiecare, astfel încât suma pe fiecare orizontală, verticală și diagonală să fie 15.

Încercuiți răspunsul corect:

Un bilet de intrare la cinema costă 6 lei, iar pentru copil jumătate din acesta sumă. Cât plătește un tată care intră la cinema cu cei doi copii ai săi?

9 lei B) 12 lei C) 6 lei D) 15 lei E) 16 lei

Care este rezultatul corect al exercițiului:

Punctaj: 1. 7 situații x 1,00 p = 7,00 p

1 situație x 1,00 p = 1,00 p

1 situație x 1,00 p = 1,00 p Din oficiu = 1,00 p TOTAL =10,00 p

Testul B4

Vizează perspicacitatea

Conține doi itemi: Itemul 1 are mai multe soluții în funcție de modul de aranjare a nu-

merelor, una din soluții fiind următoarea:

Itemul 2 a) Răspuns: B

Răspuns: D.

Tabel nominal cu punctele obținute de elevi la „Testul B4”

La această probă de evaluare nouă elevi au obținut peste 9 puncte, patru elevi au obținut între 8,01 și 9,00 puncte, trei elevi între 7,01 și 8,00 puncte și doi elevi un punctaj între 6,01 și 7,00. Un procent de 72 % din totalul elevilor clasei au obținut mai mult de 8 puncte.

„Pătratul magic” s-a bucurat din nou de atenția cea mai mare din partea copiilor, ceea ce evidențiază nevoia de joc. De această dată nivelul de dificultate a fost mai ridicat deoarece în testul A4 sarcina le solicita elevilor să completeze pătratul astfel încât suma să fie 15 doar pe orizontală și pe verticală. În testul pus acum în discuție, itemul 1 cerea ca aceeași sumă să fie și pe diagonală. Cu toate acestea majoritatea elevilor au rezolvat corect acest exercițiu. Faptul că am lucrat foarte multe exerciții și probleme cu soluții multiple, a condus la rezultatele bune și foarte bune la itemul 2 al acestui test în comparație cu testul A4 când punctajele elevilor fuseseră cu mult sub așteptări.

Pentru ilustrarea celor expuse, am realizat o analiză comparativă a rezultatelor de la tes- tul A1 și de la B1 (ambele vizează fluiditatea) în următoarea diagramă.

Analiza comparativă a rezultatelor la testul A4 și B4

Și în evaluarea acestor patru teste ale setului B am luat în considerare trei niveluri ale

creativității matematice, având în vedere cei patru parametri vizați:

Nivelul inferior – cu punctaj sub 5 puncte;

Nivelul mediu – cu punctaj între 5 și 7,99 puncte;

Nivelul superior – cu punctaj mai mare de 7,99 puncte.

Ca urmare a acestui barem de evaluare s-au consemnat următoarele rezultate finale pentru setul B, sistematizate în următorul tabel:

CONCLUZII FINALE

În clasele primare elevul dobândește noțiunile și deprinderile de bază, în ritmuri și nive- luri diferite, determinate atât de particularitățile psihice, de vârstă și individuale, cât și de factorii educativi. Rolul principal în asigurarea reușitei revine învățătorului, care are pregătirea și capaci- tatea de a sprijini munca elevilor cu mijloace adecvate. Ideal este ca în predarea – învățarea – eva- luarea matematicii, și nu numai a ei, fiecare cadru didactic să devină el însuși un bun cercetător al fenomenelor școlare dovedind multă receptivitate pentru cunoașterea a ceea ce influențează pozitiv activitatea de învățare.

În urma efectuării experimentului am constatat că o condiție necesară pentru cel care învață matematica este antrenarea la efort a forțelor proprii. În special în învățarea rezolvării exercițiilor și problemelor de creativitate gândirea trebuie lăsată liberă să iscodească, să cercete- ze, chiar dacă pornește pe cărări fără șansă de reușită. Acțiunea înfrigurată a căutării are o efici- ență formativă mult mai bogată decât dirijarea elevului către soluția corectă. Această dirijare l-ar scuti de efort, dar și de trăirea emoțiilor căutării și a bucuriei descoperirii.

Însușirea cunoștințelor în mod conștient și temeinic trebuie să se realizeze pe căi multi- ple și variate, ținându-se cont de particularitățile copiilor. În cadrul lecțiilor de matematică am conceput în așa fel munca încât să obțin un randament maxim prin efortul individual al fiecărui elev. Pentru aceasta am încercat să le trezesc interesul și dragostea pentru a rezolva exerciții și probleme, să le motivez această activitate ca o necesitate a vieții.

O modalitate a activității mele a constituit-o și aprecierea, stimularea efortului depus, în special pentru copiii cu un ritm de muncă mai lent sau care întâmpină unele greutăți în munca de învățare, precum și înlăturarea principalelor obstacole din calea creativității: timiditatea, teama de greșeală, descurajarea și lipsa perseverenței. Acest procedeu a avut cel mai mare efect în „câș- tigarea” copiilor și în antrenarea lor în activitatea de învățare susținută.

Zestrea genetică favorabilă este un bun pe care societatea, familia, dar mai ales școala o pot stimula până la limita superioară a potențialității ei, cu condiția să o identifice la timp, s-o stimuleze adecvat pe tot parcursul evoluției individului de excepție. „Relațiile umane trebuie incluse printre elementele învățării, deoarece obstacolul principal al învățării inovatoare indivi- duale și societale, care sterilizează semnificațiile lipsindu-ne de contexte îmbogățite, e legat de relațiile umane.” (Botkin W. J., Elmandjara M., Malița M., 1981, p. 67)

Am convingerea că nu se poate concepe un învățământ modern fără cultivarea unor ati- tudini de acceptare a manifestărilor creatoare ale elevilor și fără schimbarea relației învățător- elev, care să-i permită acestuia din urmă o anumită libertate de gândire și acțiune, facilitându-i inventivitatea.

Găsirea soluțiilor pentru sporirea caracterului activ și practic aplicativ al matematicii trebuie să constituie o preocupare a tuturor învățătorilor, aceasta pentru a asigura efectul instruc- tiv-educativ ale acestui obiect de învățământ.

Încrederea în posibilitatea formării de capacități intelectuale tot mai adecvate cerințelor sociale mereu crescânde reprezintă optimismul pedagogic care ne animă activitatea de dascăl. Dacă dorim cu toată sinceritatea să fim folositori elevilor, luminând în permanență ființa lor pe drumul spre împlinire, atunci trebuie să ne dăruim profesiei. Să nu ne înspăimânte nici lipsa de experiență, nici greutățile ce se ivesc pe parcurs pentru că nimeni nu se naște cu tact pedagogic și nici înzestrat cu măiestrie, ci acestea se formează prin exercițiu (practica pedagogică) luminat de teoria care stă la baza lor: psihologia, pedagogia, metodica.

Rezolvarea exercițiilor și problemelor în mod creativ mi-a dat posibilitatea unui contact permanent cu elevii și a unui control permanent al gradului de funcționalitate a gândirii precum și a ritmului de activitate matematică. Am constatat că o problemă de matematică este cu atât mai dificilă cu cât diferă mai mult de cele pe care le-am rezolvat anterior cu colectivul de elevi și deci cu cât situația nouă cere o restructurare mai profundă a experienței trecute.

Experiența anterioară este actualizată și mobilizată în procesul unei activități analitico- sintetice complexe, de către acele aspecte ale problemei de rezolvat care au unele elemente co- mune cu datele experienței trecute. Este necesar să deschidem mereu perspective și drum liber pentru rezolvarea problemelor complexe care stimulează creativitatea elevilor. Ei trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung să descopere calea spre soluția problemei. În acest mod se educă voința, dârzenia, perseverența.

Am constatat că importantă în activitatea de rezolvare a problemelor de matematică este înțelegerea lor, înțelegere care devine incompletă dacă nu luăm în considerare datele esențiale. De fapt în aceasta constă marea dificultate în primele clase – desprinderea datelor și relațiilor esențiale indispensabile găsirii soluției. Analiza profundă a relațiilor din enunț solicită participa- rea activă a gândirii creatoare. Neînțelegerea conținutului ca și greșita orientare a atenției hotă- răsc de la început insuccesul în rezolvarea unei probleme. Pentru a forma și a dezvolta la elevi capacitățile necesare și utile de rezolvare a problemelor de matematică să gradăm efortul la care supunem gândirea elevilor. Trebuie să avem grijă să nu predomine problemele cu rol de exerci- țiu, care nu solicită elevul decât la un efort de calcul.

În concluzie, se poate afirma cu certitudine că îmbinând cu tact și pricepere metodele și procedeele clasice cu cele moderne, punând suflet și pasiune în munca efectivă cu elevii, se va obține randamentul scontat, pregătind elevii pentru integrarea lor în activitatea socială.

BIBLIOGRAFIE

Albulescu, I., Albulescu, M., 2006, Pedagogia comunicării – Procedee discur- sive didactice, Editura Napoca Star, Cluj – Napoca

Ausubel, D. P., Robinson, F., 1981, Învățarea în școală, Editura Didactică și

Pedagogică, București

Banea, H., 1981, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești

Botkin, W. J., Elmendjra, M., Malița, M., 1981, Orizontul fără limite al învățării, Editura Politică, București

Cucoș, C., Educația – Dimensiuni culturale și interculturale, 2000, Editura Polirom, Iași

Cucoș, C., Pedagogie, 2000, Editura Polirom, Iași

Delors, J., 2000, Comoara lăuntrică – Raportul către UNESCO al Comisiei In-

ternaționale pentru Educație în sec XXI, Editura Polirom, Iași

Gârboveanu, M., Negoescu, V., Nicola, G., Onofrei, A., Roco, M., Surdu, A., 1981, Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, Editura Di- dactică și Pedagogică, București

Matei, N., C., 1982, Educarea capacităților creatoare în procesul de învăță-

mânt, Editura Didactică și Pedagogică, București

Neagu, M., Mocanu, M., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași

Nicola, I., 2000, Tratat de pedagogie, Editura Aramis, București

Panțuru, S. (coord.), 2008, Teoria și metodologia instruirii. Teoria și metodolo- gia evaluării, Editura Universității „Transilvania”, Brașov

Planchard, E., 1972, Cercetarea în pedagogie, Editura Didactică și Pedago- gică, București

Polya, G., 1971, Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării problemelor – Editura

Științifică, București

Rafailă, E., 2000, Educarea creativității la vârsta preșcolară, Editura Aramis, București

Roșca, A., 1981, Creativitatea generală și specifică, Editura Academiei, Bucu-

rești

Rusu, E., 1969, Psihologia activității matematice – Editura Științifică, București

Sălăvăstru, D., 2004, Psihologia educației, Editura Polirom, Iași

Simionică E., Caraiman F., Matematica … prin joc, Editura Polirom, Iași, 1998

Sternberg, J. R., 2000, Manual de creativitate, Editura Polirom, Iași

Tanciu, S., 1969, Cercetarea pedagogică, Editura Didactică și Pedagogică,

București

Walsh, K. B., 2000, Crearea claselor orientate după necesitățile copiilor de 8, 9, 10 ani, Editura Tehnică, Științifică și Didactică, Iași

Walsh, K. B., 1999, Predarea orientată după necesitățile copilului, Editura

Tehnică, Științifică și Didactică, Iași

***, 2004, Creativitate în învățământ, Editura Terra, Focșani

***, 2003, Ghidul programului de informare/formare a institutori- lor/învățătorilor, CNFP

26)***, Revista Învățământul primar numerele 1-2/1995, 4/1996, 4/2006, 1-2/2007 27)***, 2006, – Strategii educaționale centrate pe elev, Editura Alpha MDN, Bu-

curești

ANEXE

Numele ………………………………………………..

TESTUL A1

În locul literelor din căsuțe puneți numere, astfel încât a + c = b

+ d = 3. Câte soluții ați găsit?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R soluții

Descompuneți numărul 40 în sumă de 3 termeni formați din zeci și unități. Găsiți cât mai multe variante de descompunere. Câte soluții ați găsit?

Ex: 40 = 10 + 11 + 19

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R soluții

Patru prieteni – Anda, Bogdan, Claudiu și Dan – se pot așeza câte doi în bancă așa cum doresc. În câte moduri se pot așe- za?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R moduri

Numele ………………………………………………..

TESTUL A2

Câte dreptunghiuri sunt în următorul desen?

R dreptunghiuri

Pe același desen trasați încă două segmente astfel încât să ob- țineți în plus patru pătrate și patru triunghiuri.

Colorează numărul maxim de pătrate mici care pot forma un pătrat mare. Câte pătrate au rămas necolorate?

R pătrate

Numele ………………………………………………..

TESTUL A3

Formulați cât mai multe întrebări posibile pe baza următoarei

imagini.

Ex: Câte autoturisme sunt în total?

Câte roți are autocamionul?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin două operații folo- sind numerele 8 și 72.

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

Executați un desen folosind doar următoarele figuri geometri- ce: pătrat,

triunghi, dreptunghi și cerc.

Numele ………………………………………………..

TESTUL A4

Completați „pătratul magic” cu numere de la 1 la 9, folosite o singura dată fiecare, astfel încât suma pe fiecare orizontală și ver- ticală să fie 15.

Încercuiți răspunsul corect:

Victor este cu 3 cm mai scund decât Dan, dar cu 5 cm mai înalt decât Iulia. Ce diferență de înălțime este între Dan și Iulia?

C) 2 B) 8 C) 5 D) 3 E) 1

Care dintre șirurile de semne de mai jos nu conduc la re- zultatul înscris?

5 5 5 5 = 10

B) ) E)

Numele ………………………………………………..

TESTUL B1

În locul literelor din căsuțe puneți numere diferite, astfel încât

a + a + b = 10. Câte soluții ați găsit?

= 10

= 10

= 10

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R soluții

Compuneți numărul 40 din trei termeni diferiți formați din zeci și unități. Câte soluții ați găsit?

Ex: 10 + 11 + 19 = 40

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R soluții

Șase prieteni – Andrei, Bogdan, Clara, Dana, Eugen și Flavia – se pot așeza câte doi în bancă așa cum doresc. Dar vor respecta o condiție: în fiecare bancă trebuie să fie un băiat și o fată! În câ- te moduri se pot așeza?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

R moduri

Numele ………………………………………………..

TESTUL B2

Câte pătrate sunt în următorul desen?

R pătrate

Trasați pe următorul desen trei segmente de dreaptă astfel încât noua figură să conțină un pătrat, două dreptunghiuri și două tri- unghiuri.

Colorează doar figurile geometrice din chenar care pot forma căsuța din dreapta.

Numele ………………………………………………..

TESTUL B3

Formulați cât mai multe întrebări posibile pe baza următoarei

imagini.

Ex: Câte bile sunt pe colierul mic?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

Alcătuiți o problemă despre primăvară care să se rezolve prin două operații folosind numerele 56 și 7.

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

Realizați un desen folosind doar următoarele figuri geometrice: două pătrate, patru triunghiuri, un dreptunghi și trei cercuri.

Numele ………………………………………………..

TESTUL B4

Completați „pătratul magic” cu numere de la 1 la 9, folosite o singură dată fiecare, astfel încât suma pe fiecare orizontală, verti- cală și diagonală să fie 15.

Încercuiți răspunsul corect:

Un bilet de intrare la cinema costă 6 lei, iar pentru copil jumătate din acesta sumă. Cât plătește un tată care intră la cinema cu cei doi copii ai săi?

9 lei B) 12 lei C) 6 lei D) 15 lei

16 lei

Care este rezultatul corect al exercițiului:

A) 6 B) 25 C) 2 D) 0 E) 5

Planșă pentru joc didactic1

(pentru dezvoltarea spiritului de observație, atenției, memoriei și perspicacității)

1 Pentru descompunerea numărului 7 și demonstrarea existenței a 18 soluții. Elevii au sarcina de a descoperi care forme se repetă se câte două ori.

Planșă pentru joc didactic2

„Găsește perechea asemănătoare”

2 Pentru fixarea deprinderilor de calcul, dezvoltarea gândirii logice, a spiritului de observație, a atenției

Planșă pentru joc didactic3

„Înainte și la dreapta”

3 Pentru dezvoltarea spiritului de observație, a atenției și memoriei vizuale, dezvoltarea imagina- ției creatoare, a spiritului practic și de orientare

Planșă pentru joc didactic4

„Aranjează corect”

(pentru formarea de priceperi și deprinderi de a sesiza trecerea de la simplu la complex, de la elementar la multidimensional; dezvoltă spiritul de observație, atenția)

4 Elevii au sarcina de a așeza formele în ordinea complexității lor

DIAGRAMA EULER-VENN

EXERCIȚII ȘI PROBLEME DESTINATE DEZVOLTĂRII GÂNDIRII

CREATOARE A ELEVILOR

Folosind operațiile învățate, faceți ca aceste egalități să fie adevărate. Se pot folosi și

paranteze.

Pe o hârtie este scris numărul 86. procedați în așa fel încât să apară, fără a scrie ni- mic, un număr cu 12 mai mare.

În interiorul cerculețelor treceți semnul operațiilor folosite astfel încât să aibă loc

egalitatea.

425 ○ 150 ○ 133 = 422

425 ○ 150 ○ 133 = 408

(72 x 5) ○ (27 : 3) = 351

(643 – 521) ○ (72 : 9) = 976

O femeie s-a dus la piață cu un număr de ouă și s-a întors acasă cu un ou nevândut.. Întrebată de fiul ei cu câte ouă a plecat la oraș, ea i-a răspuns:

Am avut doi clienți. Unul a cumpărat o jumătate din numărul total de ouă plus o jumătate de ou. Al doilea a cumpărat o jumătate din ceea ce a rămas și încă o jumătate de ou

Și cum ai făcut să împarți oul crud exact în două?

Iată că s-a putut, dat fiind numărul total de ouă pe care le-am avut la vânzare. Poți să-mi spui cu câte ouă m-am dus la oraș?

Aurel, Emil și Paul au jucat în total trei partide de șah. Câte partide a jucat fiecare?

Bunica și-a așteptat nepoții cu prăjituri. Câte prăjituri a făcut bunica și câți nepoți are dacă a numărat și a zis: „Dacă fiecare nepot ar mânca 5 prăjituri, atunci mi-ar mai trebui 3 prăjituri. Dacă fiecare nepot ar mânca 4 prăjituri mi-ar mai rămâne 3 prăjituri”?

La repararea unui drum lucrează 10 zile 12 muncitori. De câți muncitori va fi nevoie

pentru a termina lucrarea în 3 zile?

„O adunare englezească” Fără a fi nevoie să cunoașteți limba engleză, sunteți invi- tați să rezolvați următoare adunare:

FORTY + TEN + TEN = SIXTY

După cum vedeți propoziția este corectă. Vouă vă revine sarcina să înlocuiți literele cu cifre, astfel încât adunarea să fie corectă și din punct de vedere matematic.

De ziua lui fiului, tata i-a cumpărat un cadou și i-a spus: „Cadoul tău se află într-un sertar cu numărul 1, care se află dedesubtul unui sertar cu numărul 2, acesta este la dreapta unui sertar cu numărul 3, care are dedesubt un sertar cu numărul 2, iar serta- rul cu numărul 2 este la stânga sertarului cu numărul 1”. Unde se află cadoul?

„Câte ouă ai cumpărat?” o întreabă Cristina pe Diana. „Două treimi din ouă repre- zintă cu 5 mai mult decât jumătatea.” Câte ouă a cumpărat Diana?

Într-o împărțire cu rest suma dintre cât și împărțitor este 17, suma dintre împărțitor și rest este 15, iar suma dintre împărțitor, cât și rest este 18. Aflați deîmpărțitul, îm- părțitorul și restul.

Completați „pătratele magice” cu numere de la 1 la 9, folosite o singură dată fiecare cifră, astfel încât suma pe fiecare orizontală și verticală să fie 15.

Câte dreptunghiuri sunt în următorul desen?

Șase prieteni – Andrei, Bogdan, Clara, Dana, Eugen și Flavia – se pot așeza câte doi în bancă așa cum doresc. Dar vor respecta o condiție: în fiecare bancă trebuie să fie un băiat și o fată! În câte moduri se pot așeza?

Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin două operații folosind numerele 48 și 8.

Cum se aduc de la râu 13 l de apă având numai un vas de 8 l și unul de 9 l?

Dacă 100 de găini mănâncă 100 kg de boabe în 100 de zile, câte kg de boabe mă- nâncă 10 găini în 10 zile?

Un pescar a fost întrebat câți pești a prins. El a răspuns: „20 speram să prind, dar da- că prindeam de 3 ori câți am prins și atunci erau de 2 ori mai puțini decât speram!” Câți pești a prins pescarul?

Cu ajutorul cifrelor 3, 4, 5 scrieți toate numerele formate din sute, zeci, unități.

Dacă se micșorează cu 7 cm lungimea unui dreptunghi, se obține un pătrat al cărui perimetru este de 32 cm. Care este lățimea dreptunghiului inițial?

Locurile dintr-un carusel sunt numerotate în ordine: 1, 2, 3 etc. Sorin stă pe locul cu numărul 11, chiar pe partea opusă Mariei, care stă pe locul cu numărul 4. Câte locuri sunt în carusel?

Acum doi ani, Ann era de 8 ori mai mare decât Bill. Acum Ann are 10 ani. Peste

câți ani va avea Bill 10 ani?