Mic Memorator Matematic

CUPRINS

ALGEBRÃ 5

I. Elemente de logicã matematicã 5

I.1. No iunea de propozi ie 5

I.2. Operatori logici 5

I.3. Expresii în calculul propozi iilor 7

I.4. No iunea de predicat 7

I.5. Cuantificatori 7

I.6. Metoda de demonstra ie prin reducere la absurd 7

I.7. Proprietã i fundamentale ale operatorilor logici 8

II. Mul imi 8

II.1. Egalitatea mul imlor A i B: 8

II.2. Incluziunea mul imii A în mul imea B: 8

II.3. Reuniunea mul imilor A i B: 9

II.4. Intersec ia mul imilor A i B: 9

II.5. Diferen a mul imilor A i B: 9

II.6. Diferen a simetricã a mul imilor A i B: 9

II.7. Complementara unei mul imi A în raport cu mul imea E: 10

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) 10

II.9. Produsul cartezian a douã mul imile A i B: 10

III. Rela ii binare 11

IV. Func ii 12

IV.1. No iunea de func ie 12

IV.2. Func ii injective, surjective, bijective 12

IV.3. Compunerea func iilor 12

IV.4. Func ia inversã 13

V. Opera ii cu numere reale 13

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 13

V.2. Identitã i fundamentale 14

V.3. Radicali. Proprietã i 14

VI. Ecua ii i inecua ii de gradul întâi 15

VI.1. Ecua ii de gradul întâi sau ecua ii afine 15

VI.2. Inecua ii de gradul întâi sau ecua ii fine 15

VI.3. Modului unui numãr real 16

VII. Numere complexe 17

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe 17

VII.2. Modulul unui numãr complex 18

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe 18

VII.4. Formula lui Moivre 18

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex 18

VII.6. Ecua ia binomã 19

VIII. Ecua ii i inecua ii de gradul al II-lea 19

VIII.1. Ecua ii de gradul al doilea 19

VIII.2. Inecua ii fundamentale de gradul al II-lea 22

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecua ii cu coeficien i reali 22

1

Mic memorator matematic

IX. Ecua ii algebrice de gradul III, IV i V 24

X. Logaritmi 24

X.1. Ecua ii i inecua ii logaritmice fundamentale 25

X.2. Ecua ii i inecua ii exponen iale fundamentale 26

XI. Metoda induc iei matematice 26

XI.1. Axioma de recuren ã a lui Peano 26

XI.2. Metoda induc iei matematice 26

XI.2. Variantã a metodei induc iei matematice 26

XII. Analizã combinatorie 27

XII.1. Permutãri 27

XII.2. Aranjamente 27

XII.3. Combinãri 27

XII.4. Binomul lui Newton 27

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale 28

XIII. Progresii 28

XIII.1. Progresii aritmetice 28

XIII.2. Progresii geometrice 29

XIV. Polinoame 29

XIV.1. Forma algebricã a unui polinom 29

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor 30

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor 30

XIV.4. Ecua ii algebrice 30

XIV.5. Polinoame cu coeficien i din R, Q, Z 31

XV. Permutãri, matrici, determinan i 31

XV.1. Permutãri 31

XV.2. Matrici 32

XV.3. Determinan i 33

XV.4. Inversa unei matrici 34

XVI. Sisteme lineare 34

XVI.1. Nota ii: 34

XVI.2. Compatibilitatea 35

XVI.3. Sisteme omogene 35

XVII. Structuri algebrice 35

XVII.1. Monoid 35

XVII.2. Grup 35

XVII.3. Inel 36

XVII.4. Corp 37

GEOMETRIE ẞI TRIGONOMETRIE 37

Nota ii: 37

I. Triunghiul 38

II. Poligoane convexe 38

III. Rela ii metrice în triunghi 38

III.1. Triunghiul dreptunghic 38

III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c) 39

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC) 39

2

Mic memorator matematic

III.4. Rela ii exprimate prin func ii trigonometrice 39

IV. Patrulatere 40

IV.1. Paralelogramul 40

IV.2. Dreptunghiul D C 40

IV.3. Rombul 40

IV.4. Pãtratul 41

IV.5. Trapezul D C 41

V. Poligoane înscrise în cerc 41

V.1. Patrulaterul înscris în cerc A 41

V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R 41

VI. Cercul 41

VII. Complemente de geometrie planã 42

VIII. Poliedre 43

VIII.1. Prisma 43

VIII.2. Piramida 44

VIII.3. Trunchiul de piramidã 45

VIII.4. Poliedrul regulat 46

IX. Corpuri rotunde 46

IX.2. Conul circular drept 47

IX.3. Trunchiul de con 47

IX.4. Sfera 47

X. Func ii trigonometrice 47

X.2. Proprietã ile func iilor trigonometrice 48

XI. Formule trigonometrice 48

XI.1. Rela ii între func iile trigonometrice ale unui argument: 48

XI.2. Formule de adunare: 49

XI.3. Formule pentru multiplii de argument 49

XI.4. Formule pentru jumãtã i de argument: 50

XI.5. Sume, diferen e i produse: 50

XII. Inversarea func iilor trigonometrice 50

XIII. Solu iile ecua iilor trigonometrice simple 51

XIII.1. Ecua ii fundamentale 51

XIII.2. Tabele de valori: 51

XIV. Elemente de geometrie analiticã 52

XIV.1. Segmente 52

XIV.2. Ecua ia dreptei 52

XIV.3. Cercul 53

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 53

ANALIZÃ MATEMATICÃ 54

I. ẞiruri 54

I.1. ẞiruri i limite 54

I.2. Criterii suficiente de convergen ã sau de existen ã a limitei unui ir 55

I.2. Opera ii cu iruri convergente 55

I.3. Opera ii cu iruri care au limitã 55

I.4. ẞiruri tip 56

3

Mic memorator matematic

II. Limite de func ii 56

II.1. Defini ii ale limitei 57

II.2. Opera ii cu limite de func ii 57

II.3. Limite tip 57

II.4. Continuitatea func iilor 58

III. Func ii derivabile 59

III.1. Defini ia derivatei într-un punct 59

III.2. Reguli de derivare 59

III.3. Derivatele func iilor elementare 59

III.4. Derivata func iilor compuse 60

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor func ii elementare 61

III.6. Proprietã i ale func iilor derivabile 61

IV. Asimptote 62

IV.1. Asimptote orizontale 62

IV.2. Asimptote oblice 62

IV.3. Asimptote verticale 62

V. Primitive 62

Integrarea prin păr i 63

V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei 63

V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei 63

V.3. Tabel de primitive 63

V.4. Primitivele func iilor ra ionale 64

VI. Integrale definite 64

IV.1. Defini ia integrabilitã ii (integrale Riemann) 64

4

Mic memorator matematic

ALGEBRÃ

I. Elemente de logicã matematicã

I.1. No iunea de propozi ie

Defini ia I.1.1. Se nume te propozi ie un enun despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu i adevãrat i fals simultan.

Se noteazã cu p,q, P, Q

Ex: 1) π∉Q : acesta este un enun care exprimã un adevãr, deci o propozi ie adevãratã.

2) x + 5 = 3, x∈N este o propozi ie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3

3) x ≤ y, x,y∈N este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propozi ie.

Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propozi ii. Dacã o propozi ie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a i scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propozi ie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f i scriem v(q) = 0 sau

v(q) = f.

I.2. Operatori logici

Nega ia

Defini ia I.1.2. Nega ia unei propozi ii p este propozi ia care este falsã când p este adevãratã i este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p .

Conjunc ia

Defini ia I.2.2. Conjunc ia a douã propozi ii p i q este propozi ia care este adevãratã dacã i numai dacã fiecare propozi ie p i q este adevãratã.

Se noteazã: p ∧ q

Tabela de adevãr a propozi iei p ∧ q este:

5

Mic memorator matematic

Disjunc ia

Defini ia I.2.3. Disjunc ia a douã propozi ii p i q este propozi ia care este adevãratã dacã i numai dacã cel pu in una din propozi iile p, qeste adevãratã.

Se noteazã: p ∨ q

Tabela de adevãr a propozi iei p ∨ q este:

Implica ia

Defini ia I.2.4. Implica ia propozi iilor p i q este propozi ia care este falsã dacã i numai dacã p este adevãratã i q este falsã.

Se noteazã: (non p) sau q, p→q i se cite te: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propozi ia p este ipoteza, iar propozi ia q este concluzia.

Tabela de adevãr a propozi iei p→q este:

Echivalen a logicã

Defini ia I.2.4. Propozi iile p i q sunt echivalente logic, dacã i numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan.

Se noteazã (non p)∨q i (non q)∨p; (p→q) i (q→p); p↔q; se cite te: “p echivalent cu q” sau “p dacã i numai dacã q”, “p este condi ie necesarã i suficientã pentru q”.

Tabela de adevãr a propozi iei compuse p↔q este:

6

Mic memorator matematic

I.3. Expresii în calculul propozi iilor

Propozi iile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propozi ii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…).

Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propozi ii ob inem o altã propozi ie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se nume te valoarea expresiei α, ob inutã pentru propozi iile p,q,r,… respective.

Defini ia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propozi ie adevãratã, oricare ar fi propozi iile p,q,r,… se nume te tautologie.

Defini ia I.3.2. Douã expresii logice α i β se numesc echivalente dacã i numai dacã pentru orice propozi ii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propozi ii care au aceea i valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.

I.4. No iunea de predicat

Defini ia I.4.1. Se nume te predicat sau propozi ie cu variabile un enun care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile i are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se ob ine o propozi ie adevãratã sau o propozi ie falsã.

Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) i pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mul imi date.

Defini ia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul i acela i domeniu, propozi iile corespunzãtoare au acelea i valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

I.5. Cuantificatori

Defini ia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel pu in) un element x’∈M, astfel încât propozi ia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x), (∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se nume te cuantificator existen ial i se cite te “existã”.

Defini ia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propozi ie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x). Simbolul ∀ se nume te cuantificator universal i se cite te “oricare ar fi”.

Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:

(∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y);

(∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);

Reguli de negare:

((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x) (p(x));

((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x) (p(x));

((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y) p(x,y));

((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y) p(x,y));

I.6. Metoda de demonstra ie prin reducere la absurd

Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.

7

Mic memorator matematic

I.7. Proprietã i fundamentale ale operatorilor logici

Oricare ar fi propozi iile p,q,r,… avem:

non(non p) ≡ p;

(p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjunc iei);

((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjunc iei);

(p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjunc iei);

((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjunc iei);

((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implica iei);

non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan; non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)

(p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjunc ia este distributivã în raport cu disjunc ia i (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjunc ia este distributivã în raport cu conjunc ia

II. Mul imi

Moduri de definire a mul imilor. Mul imile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietã i caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈R x2 – 3x + 2 = 0}).

Mul imile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…

Apartenen a unui element la o mul ime. Dacã un element a apar ine unei mul imi A, acesta se noteazã a∈A i se cite te “a apar ine lui A”.

Defini ie. Mul imea vidã este mul imea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mul imlor A i B:

(A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) i (∀y∈B ⇒ y∈A)

Proprietã ile egalitã ii:

∀ A, A = A (reflexivitatea);

(A = B) ⇒ (B = A) (simetria);

(A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mul imii A în mul imea B:

(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B)

Mul imeae adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f i scriem v(q) = 0 sau

v(q) = f.

I.2. Operatori logici

Nega ia

Defini ia I.1.2. Nega ia unei propozi ii p este propozi ia care este falsã când p este adevãratã i este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p .

Conjunc ia

Defini ia I.2.2. Conjunc ia a douã propozi ii p i q este propozi ia care este adevãratã dacã i numai dacã fiecare propozi ie p i q este adevãratã.

Se noteazã: p ∧ q

Tabela de adevãr a propozi iei p ∧ q este:

5

Mic memorator matematic

Disjunc ia

Defini ia I.2.3. Disjunc ia a douã propozi ii p i q este propozi ia care este adevãratã dacã i numai dacã cel pu in una din propozi iile p, qeste adevãratã.

Se noteazã: p ∨ q

Tabela de adevãr a propozi iei p ∨ q este:

Implica ia

Defini ia I.2.4. Implica ia propozi iilor p i q este propozi ia care este falsã dacã i numai dacã p este adevãratã i q este falsã.

Se noteazã: (non p) sau q, p→q i se cite te: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propozi ia p este ipoteza, iar propozi ia q este concluzia.

Tabela de adevãr a propozi iei p→q este:

Echivalen a logicã

Defini ia I.2.4. Propozi iile p i q sunt echivalente logic, dacã i numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan.

Se noteazã (non p)∨q i (non q)∨p; (p→q) i (q→p); p↔q; se cite te: “p echivalent cu q” sau “p dacã i numai dacã q”, “p este condi ie necesarã i suficientã pentru q”.

Tabela de adevãr a propozi iei compuse p↔q este:

6

Mic memorator matematic

I.3. Expresii în calculul propozi iilor

Propozi iile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propozi ii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…).

Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propozi ii ob inem o altã propozi ie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se nume te valoarea expresiei α, ob inutã pentru propozi iile p,q,r,… respective.

Defini ia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propozi ie adevãratã, oricare ar fi propozi iile p,q,r,… se nume te tautologie.

Defini ia I.3.2. Douã expresii logice α i β se numesc echivalente dacã i numai dacã pentru orice propozi ii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propozi ii care au aceea i valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.

I.4. No iunea de predicat

Defini ia I.4.1. Se nume te predicat sau propozi ie cu variabile un enun care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile i are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se ob ine o propozi ie adevãratã sau o propozi ie falsã.

Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) i pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mul imi date.

Defini ia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul i acela i domeniu, propozi iile corespunzãtoare au acelea i valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

I.5. Cuantificatori

Defini ia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel pu in) un element x’∈M, astfel încât propozi ia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x), (∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se nume te cuantificator existen ial i se cite te “existã”.

Defini ia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propozi ie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x). Simbolul ∀ se nume te cuantificator universal i se cite te “oricare ar fi”.

Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:

(∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y);

(∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);

Reguli de negare:

((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x) (p(x));

((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x) (p(x));

((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y) p(x,y));

((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y) p(x,y));

I.6. Metoda de demonstra ie prin reducere la absurd

Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.

7

Mic memorator matematic

I.7. Proprietã i fundamentale ale operatorilor logici

Oricare ar fi propozi iile p,q,r,… avem:

non(non p) ≡ p;

(p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjunc iei);

((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjunc iei);

(p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjunc iei);

((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjunc iei);

((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implica iei);

non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan; non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)

(p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjunc ia este distributivã în raport cu disjunc ia i (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjunc ia este distributivã în raport cu conjunc ia

II. Mul imi

Moduri de definire a mul imilor. Mul imile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietã i caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈R x2 – 3x + 2 = 0}).

Mul imile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…

Apartenen a unui element la o mul ime. Dacã un element a apar ine unei mul imi A, acesta se noteazã a∈A i se cite te “a apar ine lui A”.

Defini ie. Mul imea vidã este mul imea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mul imlor A i B:

(A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) i (∀y∈B ⇒ y∈A)

Proprietã ile egalitã ii:

∀ A, A = A (reflexivitatea);

(A = B) ⇒ (B = A) (simetria);

(A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mul imii A în mul imea B:

(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B)

Mul imea A se nume te o parte sau o submul ime a lui B.

Proprietã ile incluziunii:

∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea);

(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria);

(A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea);

∀ A, ∅ ⊂ A

8

Mic memorator matematic

Rela ia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mul imilor A i B:

A ∪ B = {x x∈A ∨ x∈B}

Proprietã ile reuniunii:

∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea);

∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea);

∀ A: A ∪ A = A (idempoten a);

∀ A: A ∪ ∅ = A;

∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

II.4. Intersec ia mul imilor A i B:

A ∩ B = {x x∈A ∧ x∈B}

Proprietã ile intersec iei:

∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea);

∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea);

∀ A: A ∩ A = A (idempoten a);

∀ A: A ∩ ∅ = ∅

∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B

∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersec iei fa ã de reuniune);

∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii fa ã de intersec ie);

∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorb ia).

Defini ie. Mul imile A i B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferen a mul imilor A i B:

A \ B = {x x∈A ∧ x∉B}

Proprietã ile diferen ei:

∀ A: A \ A = ∅;

∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C);

∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B);

∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B);

∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;

∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);

∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);

∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferen a simetricã a mul imilor A i B:

B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Proprietã ile diferen ei simetrice:

1. ∀ A: A A = ∅;

9

II.7. Complementara unei mul imi A în raport cu mul imea E:

(A fiind o parte a lui E, adicã A⊂E) CEA = {x x∈E ∧ x∉A}

Proprietã i: (∀A, B⊂E)

CE(CEA) = A (principiul reciprocitã ii);

CEA = E \ A;

CE∅ = E;

CEE = ∅;

A ∪ CEA = A (principiul exluderii ter iului);

A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradic iei);

A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA;

A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E)

CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB.

II.9. Produsul cartezian a douã mul imile A i B:

A x B = {(a,b) a∈A ∧ b∈B}

Proprietã ile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem):

A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B;

(A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C);

(A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C);

(A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C);

(A \ B) x C = A x C \ B x C;

(A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)

Defini ia II.9.1. Mul imile A i B se numesc echipotente dacã existã o bijec ie de la A la B.

Defini ia II.9.2. Fie E o mul ime. Aceasta se nume te finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈N, astfel încât E este echipotentã cu mul imea {1,2,…,n}.

Defini ia II.9.3. O mul ime E se nume te infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mul imi infinite sunt: N, Z, Q, R.

Defini ia II.9.4. Fie E o mul ime. Aceasta se nume te numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mul imea numerelor ra ionale.

Defini ia II.9.5. O mul ime se nume te cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.

Defini ia II.9.6. Fie E o mul ime. Se nume te cardinalul acestei mul imi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã i numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mul imii vide se noteazã cu 0, cardinalul mul imii

10

Mic memorator matematic

{1,2,…,n} cu n∈N, senoteazã cu n, iar cardinalul mul imii N se noteazã cu x0 (alef zero).

Teorema II.9.1. Fie A i B douã mul imi finite. Atunci:

A ∪ B = A + B – A ∩ B

Teorema II.9.2. Fie A, B i C trei mul imi finite. Atunci:

A ∪ B ∪ C = A + B + C – A ∩ B – A ∩ C – B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Rela ii binare

Rela ia binarã pe o mul ime

Defini ia III.1. Fie M o mul ime nevidã. Se nume te rela ia binarã R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈M este rela ia R cu y∈M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈R. Deci o rela ie binarã se referã la perechile de elemente din

M.

Proprietã i ale rela iilor binare pe o mul ime:

Rela ia binarã R pe mul imea M se nume te reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa.

Rela ia binarã R pe mul imea M se nume te simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb implicã bRa.

Rela ia binarã R pe mul imea M se nume te antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb i bRa implicã a=b.

Rela ia binarã R pe mul imea M se nume te tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb implicã bRc implicã aRc.

Defini ia III.2. Se nume te greficul rela iei R definitã pe M mul imea

G = {(x,y) xRy}.

Defini ia III.3. O rela ie binarã R definitã pe o mul ime nevidã M se nume te rela ie de echivalen ã dacã ea este reflexicã, tranzitivã i simetricã.

Exemplu: Fie N mul imea numerelor naturale i numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea rela ie R: a i b din N sunt în rela ie cu R, dacã a i b împãr ite la 3 dau acela i rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o rela ie de echivalen ã.

Defini ia III.4. Fie M o mul ime. R o rela ie de echivalen ã pe M i a un element fixat din M. Se nume te clasã de echivalen ã corespunzãtoare elementului a mul imea Ca = {x ∈M xRa}. Douã clase de echivalen ã Ca i Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte.

Defini ia III.5. Fie M o mul ime i R o rela ie de echivalen ã pe M. Se nume te mul imea cât a lui M în raport cu rela ia R i se noteazã M/R mul imea claselor de echivalen ã.

Defini ia III.6. Fie M o mul ime nevidã. Se nume te rela ie de ordin pe M o rela ie binarã care este reflexivã, tranzitivã i antisimetricã.

Se noteazã: “<” sau “≤”

De exemplu: rela ia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q i R este o rela ie de ordine.

11

Mic memorator matematic

Defini ia III.7. Fie M o mul ime nevidã i “≤” o rela ie de ordin pe M. Aceastã rela ie de ordin se nume te rela ie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈M avem sau a<b sau b<a. Mul imea înzestratã cu o rela ie de ordine totalã se nume te mul ime total ordonatã.

Defini ia III.8. Fie M o mul ime nevidã. O rela ie de ordine pe M se nume te rela ie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai mic element. Mul imea M, cu aceastã rela ie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã.

O rela ie de bunã ordonare pe M este o rela ie de ordie totalã pe M.

IV. Func ii

IV.1. No iunea de func ie

Defini ia IV.1.1. Fie A i B douã mul imi. Prin func ie definitã pe mul imea A, cu valori în mul imea B se în elege orice lege (procedeu sau conven ie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈A i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Mul imea A se nume te domeniu de defini ie, iar mul imea B se nume te codomeniu de defini ie sau domeniul valorilor func iei.

Defini ia IV.1.2. Fie f:A→B o func ie. Prin graficul acestei func ii în elegem submul imea Gf a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), a∈A. deci Gf = {(a, f(a) a∈A}

Defini ia IV.1.3. Se nume te func ie numericã o func ie f:A→B, pentru care atât domeniul de defini ie A cât i domeniul valorilor B sunt submul imi ale mul imilor numerelor reale (deci A, B⊂R).

IV.2. Func ii injective, surjective, bijective

Defini ia IV.2.1. Fie f:A→B o func ie. Spunem cã f este o func ie injectivã, dacã pentru oricare douã elemente x i y ale lui A, x≠y, avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã i altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y

De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:Z→N, g(x) = x2 nu este o func ie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4.

Defini ia IV.2.2. O func ie f:A→B este o func ie surjectivã, dacã pentru orice b∈B existã cel pu in un element a∈A, astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→B nu este surjectivã dacã ∃ b∈B avem f(a) ≠ b(∀)a∈A.

De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã.

Defini ia IV.2.3. O func ie f:A→B care este simultan injectivã i surjectivã se nume te func ie bijectivã.

De exemplu: Fie A = {x∈R x ≥ 0} i f:R→R, f(x) = x2. Func ia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea func iilor

Defini ia IV.3.1. Fie func iile f:A→B i f:B→C (domeniul de defini ie al func iei g coincide cu codomeniul func iei f). Fie a∈A, atunci f(a)∈B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o func ie h:A→C unde

12

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈A. Func ia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) i se nume te compunerea func iei g cu func ia f.

Observa ii:

Dacã f:A→B i g:C→D sunt douã func ii, are sens sã vorbim de compunerea func iei g cu func ia f numai dacã B = C.

Dacã f:A→B i g:B→A sunt douã func ii, are sens g◦f:A→A i f◦g:B→B. în general f◦g ≠ g◦f.

Teoremã. Fie f:A→B i g:B→C i h:C→D trei func ii. Atunci fiecare din func iile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens i existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Func ia inversã

Defini ia IV.4.1. Fie A o mul ime oarecare. Notãm cu 1A:A→A func ia definitã astfel: 1A(a) = a pentru ∀a∈A. 1A se nume te func ia identicã a mul imii A.

Propozi ie. Fie A o mul ime i 1A func ia sa identicã. Atunci:

Pentru orice mul ime B i pentru orice func ie f:A→B avem f◦1A= f

Pentru orice mul ime C i pentru orice func ie g:C→A avem 1A◦g = g

Defini ia IV.4.2. O func ie f:A→B se nume te inversabilã dacã existã o

func ie g:B→A astfel încât g◦f = 1A i f◦g = 1B.

Teoremã. O func ie este inversabilã dacã i numai dacã este bijectivã.

V. Opera ii cu numere reale

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale

1. (+a)n = +an

2. (-a)2n = +a2n

3. (-a)2n+1 = -a2n+1

4. am⋅an = am+n

5. am:an = am-n, a ≠ 0 6. am⋅bm=(a⋅b)m

9.(am)n = amn = (an)m;

a0 = 1, a ≠ 0;

0n = 0, n ≠ 0, n∈N.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponen i ra ionali pozitivi sau negativi, cât i pentru exponen i reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul irurilor de puteri ra ionale. Aceste puteri au proprietã i identice cu exponen i numere naturale.

13

Mic memorator matematic

V.2. Identitã i fundamentale

Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R i n∈N, avem:

a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2;

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2;

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx + + dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz);

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x);

a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);

a4 + b4 = (a2 + b2 – ab

10. a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11. a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12. (1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5;

13. a6 + b6 = (a 3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1);

15. a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 16. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a 2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n); 17. (1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprietã i

m a

m a m a, a ≥ 0 ;

m a ⋅ m b m ab , a, b ≥ 0 ;

10. na nm a m , a ≥ 0 ;

14

1

17. 2n1 − a −a 2n1 −2n1 a , a ≥ 0 ;

2n1 − a 2n1 −a, a ≥ 0 ;

a b a b 2 ab , a, b ≥ 0 ;

VI. Ecua ii i inecua ii de gradul întâi

VI.1. Ecua ii de gradul întâi sau ecua ii afine

ax + b = 0, a,b,x∈R

Fie S mul imea de solu ii a acestei ecua ii. Dacã

a = 0 i b ≠ 0, ecua ia nu are solu ii: S = ∅;

a = 0 i b = 0, orice numãr real x este solu ie a ecua iei afine date; S = R.

Graficul func iei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y

A(0,b)

x

B( − b ,0) a

VI.2. Inecua ii de gradul întâi sau ecua ii fine

Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mul imea solu iilor. Dacã:

1. a > 0, S =( − b , + ∞); a

15

Mic memorator matematic

2. a < 0, S = (-∞, − b ); a

a = 0, b > 0, S = R;

a = 0, b = 0, S = ∅.

Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã:

1. a > 0, S = (+∞, − b ] a

2. a < 0, S = [ − b ,+∞) a

a = 0, b = 0, S = R;

a = 0, b > 0, S = ∅.

Inecua iile ax + b < 0 i ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmul irea inecua iei respective cu –1 i schimbarea sensului inegalitã ilor).

VI.3. Modului unui numãr real

− x, daca x 0 x 0, daca x 0

x, daca x 0 Proprietã i:∀ x,y∈R, avem:

x 0 ⇔ x 0 ;

− x x ;

x y ⇔ x y sau x − y ;

x a ⇔ − a x a, a ∈R;

− x ≤ x ≤ x ;

x y ≤ x y ;

x − y ≤ x y

x − y ≤ x − y ;

9. x − y ≤ x y ≤ x y ;

xy x ⋅ y ;

x x , y ≠ 0 . y y

16

VII. Numere complexe

Defini ia VII.1. Se nume te numãr complex orice element z=(a,b) al mul imii RxR = {(a,b) a,b∈R}, înzestrate cu douã opera ii algebrice, adunarea: ∀z=(a,b),

∀z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) i înmul irea: ∀z=(a,b), ∀z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mul imea numerelor complexe se noteazã cu C i este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe

z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) i i = (0,1), respectiv i2 = -1.

Egalitatea a douã numere complexe z i z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ i b = b’

Adunarea numerelor complexe are proprietã ile:

este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 i orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib.

Înmul irea numerelor complexe are proprietã ile:

este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 i orice numãr complex

de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.

Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.

Defini ia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se nume te conjugatul lui z i se noteazã a – ib = a ib z .

Au loc urmãtoarele proprietã i, ∀z,z’,z”∈C.

z + z = 2a;

z – z = 2bi;

z z' z z';

zz' z ⋅ z' ;

zz' a 2 b 2 (a bi)(a − bi) ;

17

z n z n ;

z' z' . zz

VII.2. Modulul unui numãr complex

∀ z∈C

z z z sau z a 2 b 2

Avem apoi:

z z

z z' ≤ z z' ;

z − z' ≤ z z' ≤ z z' ;

zz' z z' ;

z

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe

z = r(cos u + isin u)

unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este solu ia ecua iilor trigonometrice rcos u = a i rsin u = b.

VII.4. Formula lui Moivre

∀u∈R i ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)

Consecin ele formulei lui Moivre

cos nu = cosn u + C2ncos n-2u sin2u + C4ncos n-4u sin4u + …; sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + …;

C1tgu − C 2tg 3u C 5tg 5u − …

tg nu = n n n .

1 − Cn2tg 2u Cn4tg 4u − …

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex

18

Mic memorator matematic

Pentru simplificare folosim urmãtoarea nota ie:

n 1k ε k i n − 1k ω k

VII.6. Ecua ia binomã

xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ) xk = A 1/nωk, k = 0, n − 1, A∈R, A < 0; xk = A1/nεk, k = 0, n − 1, A∈R, A > 0;

VIII. Ecua ii i inecua ii de gradul al II-lea

VIII.1. Ecua ii de gradul al doilea

ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0

1. Formule de rezolvare: > 0

P = x1x2, S = x1 + x2.

19

5. Graficul func iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã. Aceastã

7. Intervale de monotonie pentru func ia de gradul al doilea

Teoremã. Fie func ia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0

20

rãdãcinile trinomului.

> 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2);

= 0, f(x) = a(X – x1)2;

< 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c

Construirea unei ecua ii de gradul al doilea când se cunosc suma i produsul rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 i P = x1x2.

Teoremã: Ecua iile ax2 + bx + c = 0 i a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R, a,a’≠0, au cel pu in o rãdãcinã comunã dacã i numai dacã:

Condi ii necesare i suficiente pentru ca numerele reale date α i β sã fie în anumite rela ii cu rãdãcinile x1 i x2 ale ecua iei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R.

21

Observa ie: Rezolvarea ecua iei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin substitu ia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecua ii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 i la rezolvarea a douã ecua ii binome de forma xn = y1, xn = y2.

VIII.2. Inecua ii fundamentale de gradul al II-lea

Inecua iile ax2 + bx + c < 0 i ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmul irea cu –1 i schimbarea sensului acestor inegalitã i).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecua ii cu coeficien i reali

1. Sisteme formate dintr-o ecua ie de gradul al doilea i una de gradul întâi

Aceste sisteme sunt de forma:

22

Se rezolvã prin metoda substitu iei. În prima ecua ie putem presupune cã sau a≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecua ie dispare). Presupunând cã b≠0,

atunci ecua ia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecua ia y − c − ax − a x − c . b b b

Dacã substituim în y în cea de a doua ecua ie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:

Rezolvând ecua ia a doua a sistemului (S’) ob inem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecua ie din sistemul (S’) ob inem valorile lui y.

Discu ie. 1. Dacã ecua ia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o solu ie realã.

2. Dacã ecua ia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecua ie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã solu ii reale.

3. Dacã ecua ia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are solu ii reale.

2. Sisteme de ecua ii omogene

Un astfel de sistem este de forma:

( ) a1 x2 b1 xy c1 y 2 d1

S 2 2

a2 x b2 xy c2 y d2

Sistemul (S) se nume te omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y2 i a2X2 + b2XY + c2Y 2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea lor au acela i grad.

Presupunem mai întâi cã d1≠0 i d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α i β diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmul e te prima ecua ie cu α i cea de a doua cu β i apoi se adunã. Se ob ine sistemul echivalent:

Notãm coeficientul ecua iei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:

( ') a1 x2 b1 xy c1 y 2 d1 S a x 2 b xy c y 2 0

3 33

Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are solu ia x = 0 i y = 0. Putem presupune cã x≠0. Împãr im ecua ia a doua din (S’) cu x2 i ob inem ecua ia de gradul al doilea în

23

Când d1 = 0 i d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) i rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’).

3. Sisteme de ecua ii simetrice

Defini ia VIII.3.3. O ecua ie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y i y cu x, ecua ia nu se schimbã.

Rezolvarea sistemelor de ecua ii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s i p date de rela iile: x + y = s i xy = p.

Prin introducerea acestor noi necunoscute s i p, în foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecua ii format dintr-o ecua ie de gradul întâi i o ecua ie de gradul al doilea în necunoscutele s i p.

IX. Ecua ii algebrice de gradul III, IV i V

IX.1. Ecua ia reciprocã de gradul al treilea

ax3 + bx2 bx a = 0, a,b∈R, a≠0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecua iei (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

IX.2. Ecua ia reciprocã de gradul al patrulea

ax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecua ii de gradul al doilea, prin substitu ia y = x + 1x : a(x2 + x12 ) b(x + 1x ) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.

IX.2. Ecua ia bipãtratã

ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0

X. Logaritmi

+, a ≠ 1 i b∈R*+ douã numere reale. Se nume te

logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a ob ine numãrul b.

Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab

24

Mic memorator matematic

Evident b  a loga b . Pentru a = 10 ob inem logaritmi zecimali, iar pentru a = e ob inem logaritmi naturali.

x>0 i y>0 ⇒ logaxy = logax + logay;

x>0 i y>0 ⇒ loga xy = logax – logay; cologax = – logay

10. a>1 i x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 i x>1 ⇒ logax > 0;

11. 0<a<1 i x∈(0,1) ⇒ logax > 0; 0<a<1 i x>1⇒ logax < 0; 12. a>1 i 0<x<y ⇒ logax < logay;

14. x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn; 15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna.

Opera ii cu logaritmi zecimali

Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive i caracteristici negative) i separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric.

Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului.

Înmul irea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmul irea se face în mod obi nuit; când caracteristica este negativã se înmul e te separat mantisa i separat caracteristica i se adunã algebric rezultatele.

Împãr irea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãr irea se face obi nuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa i separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitã i negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãr itorul respectiv i, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã i mantisei tot atâtea unitã i, dar pozitive.

X.1. Ecua ii i inecua ii logaritmice fundamentale

logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Solu ia: x = ab.

logax > b, b∈R. Fie S mul imea solu iilor. Avem:

25

X.2. Ecua ii i inecua ii exponen iale fundamentale

ax = b, a>0, a≠1, b>0. Solu ia x = logab, b∈R

ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o solu ie realã

ax > b. Fie S mul imea solu iilor. Avem:

XI. Metoda induc iei matematice

XI.1. Axioma de recuren ã a lui Peano

Fie A o parte a lui N astfel cã:

0∈A

(∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda induc iei matematice

Fie P(n) o propozi ie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem:

P(0) adevãratã;

∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru

orice numãr natural n.

În demonstra ie prin metoda induc iei matematice (recuren ã) poate apãrea în loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propozi ia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat n≠n0.

XI.2. Variantã a metodei induc iei matematice

Fie P(n) o propozi ie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã;

26

Mic memorator matematic

(∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n≥n0.

XII. Analizã combinatorie

XII.1. Permutãri

Defini ia XII.1.1. O mul ime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mul ime ordonatã i se notazã (a1,a2,…,an).

Defini ia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mul imi A cu n elemente toate mul imile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈N*, este Pn=1⋅2⋅3⋅…⋅n = n!; 0! = 1 (prin defini ie).

XII.2. Aranjamente

Defini ia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤n) ale unei mul imi A cu n elemente, toate submul imile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mul imii A. Se noteazã Amn.

Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:

XII.3. Combinãri

Defini ia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤n) ale unei mul imi A cu n elemente toate submul imile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mul imii A. Se noteazã Cnm .

Proprietã i:

Cn1 n;Cnn Cn0 C00 1;

Cnn Cnn −m ;Cnm Cnm−1 Cnm−−11 ;

Numãrul submul imilor unei mul imi cu n elemente este 2n;

Cnm  Cnm−−11  Cnm−−11  …  Cmm−11  Cmm−1  Cmm−−11 ;

XII.4. Binomul lui Newton

(x + a)n = Cn0 x n Cn1 x n−1 a … Cnk xn −k a k … Cnn a n

(x – a)n = Cn0 x n − Cn1 xn −1 a … (−1)k Cnk x n−k a k … (−1)n Cnn a n unde n∈N

Proprietã i:

1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k Cnk xn-kak;

27

Numãrul termenilor dezvoltãrii (x a)n este n+1;

Coeficien ii termenilor egal depãrta i de extremi sunt egali.

Rela ii importante:

n0 Cn1 … Cnn 2n ;Cn0 − Cn1 … (−1)n Cnn 0;

n0 Cn2 Cn4 … 2n −1 ;Cn1 Cn3 Cn5 … 2n−1 ;

2nn (Cn0 )2 (Cn1 )2 … (Cnn )2

Dezvoltãri particulare uzuale:

(a b)2 = a2 2ab + b2;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

O rela ie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ C1p 1S p CP21S p −1 … C pp1S1 n

XIII. Progresii

XIII.1. Progresii aritmetice

Defini ia XIII.1.1. Se nume te progresie aritmeticã un ir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se ob ine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit ra ia progresiei. Se noteazã

a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r ra ia, n numãrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = an-1 + r, n≥2 (prin defini ie)

an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin defini ie)

28

Termenii echidistan i de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor

echidistan i de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.

Observa ie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un

termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.

Condi ia necesarã i suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometrice

Defini ia XIII.2.1. Se nume te progresie geometricã un ir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se ob ine din cel precedent prin înmul irea acestuia cu un acela i numãr q (q≠0) numit ra ie. Se noteazã

a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, a n cel de-al n-lea termen (termenul general), q ra ia, n numãrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = qan-1, n≥2 (prin defini ie)

an = a1qn-1, n≥2 (an în func ie de a1, q i n)

qn − 1 Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = a1 q − 1

Sn = a1 − a n q , q ≠ 1 1 − q

Termeni echidistan i de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistan i de extremi este egal cu produsul termenilor extremi:

apan-p+1 = a1an.

Observa ie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1, astfel încât am21 a1a2 m1 .

Condi ia necesarã i suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.

XIV. Polinoame

XIV.1. Forma algebricã a unui polinom

f∈C[x] este f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber.

~ ~

Func ia polinomialã asociatã lui f∈C[x] este f :C→C f (α) = f(α) ∀α∈C; f(α) fiind valoarea polinomului f în α.

Teorema împãr irii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g.

Împãr irea unui polinom cu X-a: Restul împãr irii polinomului f∈C[x], f≠0 la X-a este f(a).

29

Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1 al împãr irii polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an la binomul X-a; precum i restul acestei împãr iri r = f(a);

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor

Defini ia XIV.2.1. Fie f,g∈C[x], spunem cã g divide pe f i notãm g f dacã ∃q∈C[x] astfel încât f=gq.

Proprietã i:

a f, ∀a∈C*, ∀f∈C[x];

g f i f≠0 ⇔ r = 0;

g f i f≠0 ⇒ grad f ≥ grad g;

a∈C* ⇒ af f;

f f (refelexivitate);

f g i g h ⇒ f h (tranzitivitate);

f g i g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).

Defini ia XIV.3.2. Numãrul α se nume te rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f≠0 dacã i numai dacã (X-a) f iar (X-a)p+1 nu-l divide pe f.

m1 + m2 + … + mn = grad f.

XIV.4. Ecua ii algebrice

Defini ia XIV.4.1. O ecua ie de forma f(x) = 0 unde f≠0 este un polinom, se nume te ecua ie algebricã.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecua iile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali.

Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecua ie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel pu in o rãdãcinã (complexã).

30

Formulele lui Viete: Dacã numerele x1,x2,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f∈C[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:

(−1) k ak a0

XIV.5. Polinoame cu coeficien i din R, Q, Z

Teoremã: Dacã f∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã i pe α = a – ib, iar α i α au acela i ordin, de mutiplicitate.

Teoremã: Dacã un polinom f∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0,

d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite i pe α = a – b d , iar α i α au acela i ordin, de mutiplicitate.

Teoremã: Dacã un polinom f∈Z[x], grad f≥1, admite o rãdãcinã α = p2 ∈Q,

(p,q) = 1 atunci p an i q a0.

În particular dacã f∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.

XV. Permutãri, matrici, determinan i

XV.1. Permutãri

Defini ie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕ se nume te permutare de gradul n

Sn – mul imea permutãrilor de grad n; card Sn = n!

31

Signatura (semnul) unei permutãri

Defini ia XV.1.3. Fie (i,j)∈AxA, i<j, (i,j) se nume te inversiune a lui ϕ dacã

Observa ii: 1. Permutarea ϕ se nume te parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacã ε(ϕ) = – 1;

Orice transpozi ie este imparã;

ε (ϕ ) ∏ ϕ (i) − ϕ ( j) ;

− j1≤ij≤ni

4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).

XV.2. Matrici

Defini ia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} i N = {1,2,…n}. O aplica ie A:MxN→C A(i,j)=aij se nume te matrice de tipul (m,n): cu m linii i n coloane:

elemente numere complexe.

Defini ia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se nume te pãtraticã de ordinul n, iar mul imea lor se noteazã Mn(C).

Defini ia XV.2.3. Douã matrici A,B∈Mm,n(C) sunt egale dacã i numai dacã

aij = bij ∀(i,j)∈MxN.

Opera ii cu matrici:

1. Adunarea

Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxN este suma lor.

Proprietã i ∀A,B,C∈Mm,n(C):

A+B = B+A (comutativitate);

(A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);

32

A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);

A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A).

2. Înmul irea cu scalari

Fie A∈Mm,n(C) i λ∈C atunci B=λA∈Mm,n(C) unde bij=λij ∀(i,j)∈MxN este produsul matricei A cu scalarul λ.

Proprietã i ∀A,B∈Mm,n(C) i C.

1⋅A = A;

λ⋅A = A⋅λ;

λ(A+B) = λA + λB;

(λ+)A = λA + A;

λ(A) = ()A = (λA).

3. Transpusa unei matrici

Fie A∈Mm,n(C) atunci tA∈Mm,n(C) unde taij = aji, ∀(i,j)∈MxN

4. Înmul irea matricelor

n

Fie A∈Mm,n(C) i B∈Mn,p(C) atunci C=A⋅B∈Mm,p(C) unde cij ∑aik bkj ,

k 1

∀(i,j)∈MxN este produsul lor

Proprietã i:

1. (A⋅B) ⋅C = A⋅(B⋅C) (asociativitate);

(A+B)⋅C = A⋅C + B⋅C;

A⋅(B+C) = A⋅B + A⋅C.

XV.3. Determinan i

Fie Mn(C) – mul imea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:

amn

Defini ia XV.3.1. Se nume te determinantul matricii A, numãrul

det A = ∑ε (σ )a1σ (1) a2σ ( 2) …anσ (n )

33

Mic memorator matematic

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C))

Determinantul de ordinul 2:

XV.4. Inversa unei matrici

Fie A∈Mn(C), dacã det A≠0 existã A-1∈Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In∈Mn(C), In – matricea unitate:

XVI. Sisteme lineare

XVI.1. Nota ii:

aij – coeficien i, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;

34

r – rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. Compatibilitatea

Sistemul (S) este compatibil determinat dacã:

1. r = m = n (sistem de tip Cramer) i det A = ≠ 0, atunci xI = i , unde

2. r = n < m i rang A = r.

Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) i rang A = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)

Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n;

Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebrice

XVII.1. Monoid

Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã.

Axiomele monoidului:

M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea);

M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ.

Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi;

2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mul imea func iilor f:E→E, E – nevidã, o – compunerea func iilor).

XVII.2. Grup

Fie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã.

Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea);

G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru);

G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;

35

Mic memorator matematic

(Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ;

(Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;

(K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor fa ã de sistemul de coordonate), comutativ;

(σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ;

Defini ia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈H ⇒ x*y∈H i ∀ x∈H ⇒ x’∈H (x’ este simetricul lui x în raport cu opera ia *);

Fie grupurile (G1,⊥), (G2, ):

Defini ia XVII.2.2. f:G1→G2 se nume te morfism de grupuri dacã f(x⊥y)=f(x) f(y), ∀x,y∈G1.

Defini ia XVII.2.3. f:G1→G2 se nume te izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã i f(x⊥y)=f(x) f(y), ∀x,y∈G1.

Defini ia XVII.2.4. f:G1→G2 se nume te automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. Inel

Fie (A,+,), AxA→A, (x,y)→x+y i AxA→A, (x,y)→xy, A nevidã; Defini ia XVII.3.1. (A,+,) este inel dacã:

G. (A,+) este grup abelian; M. (A,) este monoid i

D. este distributivã fa ã de +: x(y+z) = xy + yz

(y+z)x = yx + yz, ∀x,y,z∈A

dacã C. xy = yx ∀x,y∈A, inelul este comutativ. Exemple de inele:

(Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi;

(Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bi a,b∈Z}

(Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n;

(Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A);

(Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,⊥,*) i (A’, ,o):

Defini ia XVII.3.1. f:A→A’ se nume te izomorfism de inele dacã f este bijectivã i f(x⊥y) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A.

Defini ia XVII.3.2. (A,+,) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0

implicã xy≠0.

Defini ia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel pu in douã elemente i fãrã divizori ai lui zero se nume te domeniu integritate.

Defini ia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficien i în A.

f∈A[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de nedeterminatã X cu coeficien i în A:

– dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant);

36

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

– dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞. Proprietã i: 1. grad (f+g) ≤ max{grad f, grad g};

2. grad f⋅g ≤ grad f + grad g.

Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate i grad f⋅g = grad f + grad g, ∀f,g∈A[X].

XVII.4. Corp

Fie (K,+,), KxK→K, (x,y)→x+y i KxK→k, (x,y)→xy, K – nevidã.

Defini ia XVII.4.1. (K,+,) este corp dacã (K,+,) este inel, 0≠1 i ∀x∈K, x≠0 ⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât xx-1 = x-1 x = 1.

Dacã xy = yx ∀x,y∈K, corpul este comutativ. Exemple de corpuri:

(Q,+,⋅) – corpul numerelor ra ionale;

(R,+, ⋅) – corpul numerelor reale;

(C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe;

(Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate);

(Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p (p∈N*, p >1, p – numãr prim). Defini ia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥,*) i (K’, ,o), f:K→K’ este izomorfism

de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥y) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀x,y∈R. Teorema împãr irii cu rest în mul imea K[X], K corp comutativ i g∈K[X],

g≠0: ∀f∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r, grad r < grad g.

GEOMETRIE ẞI TRIGONOMETRIE

Nota ii:

– lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; – lungimile segmentelor importante în triunghi:

AABC – aria triunghiului ABC, notatã i S;

R – raza cercului circumscris unui poligon;

r – raza cercului înscris într-un poligon;

ln – latura poligonului regulat cu n laturi;

an – apotema poligonului regulat cu n laturi;

P – perimetrul poligonului;

Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã);

Atot – aria totalã, notatã i A;

V – volumul.

37

Mic memorator matematic

I. Triunghiul

Inegalitã i gemetrice:

m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior;

a+b > c, b+c > a, a+c > b

Observa ii:

Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersec ie al mediatoarelor;

Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersec ie al bisectoarelor;

Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersec ie al medianelor.

Ortocentrul triunghiului este punctul de intersec ie al înãl imilor.

Poligoane convexe

Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi:

Sn = (n – 2)⋅180

Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc i poate fi circumscris unui alt

cerc.

III. Rela ii metrice în triunghi

III.1. Triunghiul dreptunghic

ABC (m(∠A) = 90, AD⊥BC)

Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2;

Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD;

Teorema înãl imii: h a2 =BD⋅DC;

ha  b2⋅c , hb  b, hc  c ;

⋅ c

AABC 2 ;

38

R a 3 3

r a 3 6

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC)

Teorema lui Pitagora generalizatã:

b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90 ;

b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90 ;

Rela iile lui Steward O∈(BC):

b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO;

III.4. Rela ii exprimate prin func ii trigonometrice

39

p 4R cos A2 cos B2 cos C2 ;

ha 2R sin B sin C ;

ma2  R2 (sin2 A  4cos Asin B sin C) ;

11. tg A2 ( p − b)( p − c) .

IV. Patrulatere

IV.1. Paralelogramul

40

Mic memorator matematic

IV.4. Pãtratul

V. Poligoane înscrise în cerc

unde p n ⋅ ln . 2

VI. Cercul

Lungimi i arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2;

41

VII. Complemente de geometrie planã

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãl imilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru.

Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi i un punct al laturii opuse.

Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt

concurente dacã i numai dacã MB ⋅ NC ⋅ PA 1.

MC NA PB

42

Mic memorator matematic

Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe laturile triunghiului i unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri

de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã i numai dacã: MB ⋅ NC ⋅ PA 1.

MC NA PB

Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O i G (ortocentrul, centrul cercului circumscris i centrul de greutate) sunt colineare.

Dreapta lui Simson: Proiec iile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare.

Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului i la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersec ia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare.

Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãl imilor unui triunghi, mijloacele laturilor i mijloacele segmentelor determinate de ortocentru i vârfurile triunghiului sunt conciclice.

VIII. Poliedre

VIII.1. Prisma

1. Paralelipipedul dreptunghic

Alat = 2(a + b)c;

Atot = 2(ab + ac + bc); V = abc

d

c

d2 = a2 + b2 + c2

2. Cubul

(de laturã a = b = c) A = 6a2

a

b

c

V = a3

a = a 3

3. Paralelipipedul

B’O⊥(ABC) B’O = h

V = AABCD⋅h

4. Prisma

(dreaptã sau oblicã, de înãl ime h)

V = Abazei⋅h

d

b

D’ C’

A’ B’

D O C

A B

C’

A’ B’

h

C

Atot = 3a⋅h + a 2 3 2

V = a 2 3 ⋅h 4

VIII.2. Piramida

1. Tetraedrul regulat

(toate muchiile sunt congruente, AO⊥(BCD), AM⊥DC)

B

2. Tetraedul dreptunghic

(OA⊥OB⊥OC⊥OA,

OA = OB = OC = a, CM⊥AB)

3. Piramida triunghiularã regulatã

(AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM ⊥ BC, VM – apotemã)

VM h2 a 2

12

Mic memorator matematic

O

A B

A

C

C

44

Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥BC)

V a2 ⋅ h

3

4. Piramida hexagonalã regulatã

(ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC, VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)

VM h2 3a42

Alat 3a ⋅VM

M

A B

5. Piramida regulatã

(piciorul înãl imii coincide cu centrul circumscris bazei):

6. Piramida (de înãl ime h):

VIII.3. Trunchiul de piramidã

(B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãl imea)

45

Mic memorator matematic

Trunchiul de piramidã oarecare:

V h3 (B b B ⋅ b

Trunchiul de piramidã regulat

P – perimetrul bazei mari,

p – perimetrul bazei mici, ap – apotema

V h3 (B b B ⋅ b )

VIII.4. Poliedrul regulat

Rela ia lui Euler: v-m+f = 2

(v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul fe elor) Tipurile de poliedre regulate:

tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;

cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;

octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;

dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;

icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;

IX. Corpuri rotunde

Nota ii: R – razã, G – generatoare, h – înãl ime

IX.1. Cilindrul circular drept h G

Alat 2πRG

Atot 2πR(R G) V πR2 h

46

Mic memorator matematic

IX.2. Conul circular drept

G 2 h2 R 2

Alat πRG

Atot πR(R G)

V πR2 h

3

IX.3. Trunchiul de con

(r – raza bazei mici)

G 2 h2 (R − r)2

Alat πG(R r)

Atot πG(R r) π (R2 r 2 ) V π3h (R2 r 2 Rr)

IX.4. Sfera

A 4πR2

V 4πR3

3

Acalotei sferice 2πRh1

Azonei 2πRh2

X. Func ii trigonometrice

X.1. Defini ii în triunghiul dreptunghic

B

47

X.2. Proprietã ile func iilor trigonometrice

1. sin:R→[-1,1]

sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z) 2. cos:R→[-1,1

cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z)

tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg x

tg(x+kπ) = tg x, (k∈Z) ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)

XI. Formule trigonometrice

XI.1. Rela ii între func iile trigonometrice ale unui argument:

1. sin 2 α cos2 α 1;

sinα 1 − cos2 α ;cosα 1 − sin 2 α

2. tgα sinα cosα

48

sin(π − α ) sinα

cos(π − α ) − cosα ; tg (π − α ) −tgα

sin π α cosα

2

sin(π α ) − sinα

cos(π α ) − cosα ; tg (π α ) tgα

sin(2π − α ) −sinα

sin(2π − α ) cosα ; tg (2π − α ) −tgα

XI.2. Formule de adunare:

sin(α β ) sinα ⋅ cos β sin β ⋅ cosα

XI.3. Formule pentru multiplii de argument:

sin 2α 2sinα ⋅ cosα

49

Mic memorator matematic

XI.4. Formule pentru jumãtã i de argument:

XI.5. Sume, diferen e i produse:

sinα ⋅ sin β 12[cos(α − β ) − cos(α β )] cosα ⋅ cos β 12 [cos(α β ) cos(α − β )]

sinα ⋅ cos β 12 [sin(α β ) sin(α − β )]

tgα tgβ

ctgα ctgβ

XII. Inversarea func iilor trigonometrice

arcsin (-x) = – arcsin x

XII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π – arcos x

50

XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π – arctg x

XIII. Solu iile ecua iilor trigonometrice simple

XIII.1. Ecua ii fundamentale

1.sin x a, a ∈[−1,1] ⇒ x ∈{(−1)k arcsin a kπ k ∈ Z} 2.cos x a, a ∈[−1,1] ⇒ x ∈{ arccos a 2kπ k ∈ Z}

3.tgx a, a ∈ R ⇒ x ∈{arctga kπ k ∈ Z

4.ctgx a, a ∈ R ⇒ x ∈{accctga kπ k ∈ Z}

XIII.2. Tabele de valori:

51

XIV. Elemente de geometrie analiticã

XIV.1. Segmente

XIV.2. Ecua ia dreptei

Drepte paralele cu axele de coordonate: (d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)

Dreapta determinatã de punctul Mo(xo,yo) i vectorul nul a(u,v) : (d ) : r ro t a ,

t∈R, ro -vectorul de pozi ie a lui Mo; r-vectorul de pozi ie a unui punct M al dreptei d.

b

Ecua ia dreptei de pantã m, prin punctul Mo(xo,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0);

Ecua ia dreptei determinatã de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):

y − y1 y2 − y1 (x − x1 ), x2 − x1

y 1

x1 y1 1 0 x2 y2 1

52

11. Unghiul α determinat de dreptele:

(d1 ) : y m1 x n1 i (d2 ) : y m2 x n2

tgα m2 − m1 , (m1m2 ≠ −1) 1 m1m2

d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. Cercul

Cercul C de centru M(a,b) i razã r:

1. Ecua ia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2; 2. Ecua ia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde a − m2 , b = − n2 i

r2 = 14 (m2 + n2) – p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie

1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E

53

Mic memorator matematic

2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’ = 2a, M∈H.

Ecua ia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈H.

Ecua ia parabolei P: y2 = 2px

Ecua ia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈P: yyo = p(x + xo)

ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. ẞiruri

I.1. ẞiruri i limite

Defini ia I.1.1. Se nume te ir de numere reale o func ie f:N→R, f(n) = an. Defini ia I.1.2. ẞirul (an)n≥0 se nume te crescãtor (respectiv descrescãtor)

dacã an ≤ an+1, ∀n∈N (respectiv an ≥ an+1, ∀n∈N). ẞirurile crescãtoare i irurile descrescãtoare se numesc iruri monotone.

Defini ia I.1.3. ẞirul (an)n≥0 este mãrginit dacã i numai dacã ∃M>0 astfel

încât an ≤ M, ∀n∈N.

Nota ie: (an)n≥0, an∈R, R = R ∪ {-∞, +∞}.

Defini ia I.1.4. ẞirul (an)n≥0, an∈R are limita a i scriem liman a , a∈ R

n→∞

dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã to i termenii irului începând de la un anumit rang.

Defini ia I.1.5. ẞirul este convergent, liman a , a∈R, dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N

n→∞

astfel încât ∀ n> Nε, an – a <ε.

Defini ia I.1.6. liman a dacã ∃ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an > ε, ∀ n > Nε.

n→∞

Defini ia I.1.7. liman −∞ dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an < -ε, ∀ n > Nε.

n→∞

54

Mic memorator matematic

Dacã lim an , atunci irul este divergent.

n→∞

I.2. Criterii suficiente de convergen ã sau de existen ã a limitei unui ir

I.2. Opera ii cu iruri convergente

lim an a , lim bn b , a,b∈R

n→∞ n→∞

I.3. Opera ii cu iruri care au limitã

55

Mic memorator matematic

II. Limite de func ii

Nota ii: f:D→R, D⊂R, α – punct de acumulare a lui D;

56

Mic memorator matematic

II.1. Defini ii ale limitei

xα

ld lim f (x) .

x→α xα

II.2. Opera ii cu limite de func ii

f:D→R, g:D→R, α – punct de acumulare a lui D, lim f (x) l1 , lim g (x) l2 , l1,l2∈R;

x→α x→α

1. lim ( f (x) g (x)) l1 l2 ;

x→α

2.lim f (x) ⋅ g (x) l1 ⋅ l2 ;

x→α

3.lim af (x) a ⋅ l1;

x→α

4.daca l2 ≠ 0, lim f (x) l1 . x→α g(x) l2

II.3. Limite tip

1. lim (a0 x n a1 xn−1 … an ) a0α n a1α n−1 … an

x→α

57

lim a x 0 , lim a x ∞ , dacã 0 < a < 1;

x→∞ x→−∞

4. lim loga x log a α ,α 0 finita, α ∈ R* \ {1}

x→α

lim loga x −∞ i lim loga x ∞ dacã a > 1;

x→0 x→∞

x0

lim arcsin x  arcsinα ,α ∈[−1,1] , lim arccos x  arccosα ,α ∈[−1,1]

II.4. Continuitatea func iilor

Defini ia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D, f este continuã în xo, dacã lim f (x) f (x0 ) , xo se nume te punct de continuitate.

x→ x0

58

Mic memorator matematic

Defini ia II.4.2. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de prima spe ã dacã existã i sunt finite limitele laterale în α, dar func ia nu este continuã în α.

Defini ia II.4.3. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de spe a a doua dacã nu este de prima spe ã.

Teoremã. Dacã f:I→R, I – interval i f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o func ie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Func ii derivabile

III.1. Defini ia derivatei într-un punct

f:E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:

f’(x0) = fs’(x0) = fd’(x0)

Interpretarea geometricã:

dacã f’(x0)∈R, y – f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecua ia tangentei la graficul func iei f în punctul A(x0,f(x0));

dacã f este continuã în x0, fd’(x0) = +∞, fs’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de întoarcere al graficului;

dacã f este continuã în x0 i existã derivatele laterale în x0, cel pu in una fiind finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare

f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E:

(f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);

(cf)’(x) = cf’(x), c∈R;

(f⋅g)’(x) = f’(x)⋅g(x) + f(x)⋅g’(x)

dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I i g derivabilã în y0 = f(x0), atunci

(gof)’(x0) = g’(y0)f’(x0);

dacã f:I→J continuã, bijectivã i derivabilã în x0 cu f’(x0)≠0, atunci f-1:J→I este

III.3. Derivatele func iilor elementare

Func ia (condi ii) Derivata (condi ii)

C 0

59

xn, n∈N*

xr, r∈R, x>0 x, x ≥ 0

logax, a≠1, a>0, x>0

ln x, x>0

ax, a≠1, a>0, x>0 ex

sin x cos x

tg x, x ≠ (2k 1) π2 , k ∈ Z ctg x, x ≠ kπ , k ∈ Z

arcsin x, x∈[0,1]

arcos x, x∈[0,1]

arctg x

arcctg x

Mic memorator matematic

x

ax ln a ex

cos x -sin x 1

cos2 x

− 1 sin 2 x

2 , x ∈ (0,1)−

1

1 x2

− 1 1 x2

III.4. Derivata func iilor compuse

60

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor func ii elementare

Func ia (condi ii) xm, m∈N, m≥n

, m ∈ N

x m

ex ax ln x

Func ia (condi ii) sin x

cos x

Derivata de ordinul n(f(n)) m(m-1)…(m-n+1)xm-n

Formula lui Leibniz:

III.6. Proprietã i ale func iilor derivabile

Teorema lui Fermat:

Fie f:I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este

nulã.

Teorema lui Rolle:

Dacã func ia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) i f(a) = f(b) atunci existã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0.

61

Mic memorator matematic

Teorema lui Lagrange:

Dacã func ia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b)

astfel încât f (b) − f (a) f '(c) . b − a

Teoremã. Dacã func ia f este continuã i derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci:

între douã rãdãcini consecutive ale func iei existã cel pu in o rãdãcinã a derivatei;

între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a func iei.

Teorema lui Cauchy:

Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) i g’(x)≠0, ∀x∈(a,b)

IV. Asimptote

IV.1. Asimptote orizontale (f:D→R)

Defini ia IV.1.1. Dacã lim f (x) l1 sau lim f (x) l2 , l1,l2∈R, dreptele y=l1

x x→−∞

i y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞, respectiv -∞

IV.2. Asimptote oblice (f:D→R)

dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞.

IV.3. Asimptote verticale (f:D→R)

Defini ia IV.3.1. Dacã lim f (x) , α – punct de acumulare a lui D,

x→α xα

dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f.

Defini ia IV.3.2. Dacã lim f (x) , α – punct de acumulare a lui D,

x→α xα

dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f.

V. Primitive (integrale nedefinite)

62

Mic memorator matematic

Defini ia V.1. Fie func ia f:J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f, dacã F este derivabilã pe J i F’(x) = f(x), ∀x∈J.

Se noteazã: ∫ f (x)dx F (x) c Proprietã i ale primitivelor:

∫ f1 (x) f2 (x)dx ∫ f1 (x)dx ∫ f 2 (x)dx ;

∫ af (x)dx a∫ f (x)dx ;

Integrarea prin păr i ∫ f (x)g '(x)dx f (x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx .

V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei

Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci

∫ f (ϕ (t)) ⋅ ϕ '(t)dt F ϕ (t) c

V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei

Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,

h ( f ϕ ) ⋅ ϕ ' admite primitive (H) atunci ∫ f (x)dx H ϕ −1 (x) c .

V.3. Tabel de primitive: (I – interval, I⊂R)

n1

∫ xn dx  n  1  c, x ∈ R, n ∈ N ;

∫sin xdx − cos x c, x ∈ R ;

∫ cos xdx  sin x  c, x ∈ R ;

6

Substitu iile lui Euler:

ax2 bx c t x a , daca a 0 ;

ax2 bx c tx c, daca c 0 ;

ax2 bx c t(x − x1 ), daca b 2 − 4ac 0 si x1 este o rãdãcinã a ecua iei ax2 + bx + c = 0.

VI. Integrale definite

IV.1. Defini ia integrabilitã ii (integrale Riemann)

Nota ii: f:[a,b]→R, = (a = x0, x1, x2, …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξi ≤ xi , ξi – puncte

Defini ia VI.1.1. f se nume te integrabilã dacã existã numãrul real If cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃ηε >0 astfel încâtr pentru orice divizune a lui [a,b] cu

64

Mic memorator matematic

Proprietã i ale integralei definite:

Formula lui Leibniz-Newton:

b

∫ f (x)dx F (b) − F (a) (F – primitivã a lui f)

a

Teorema de medie:

b

Dacã f continuã pe [a,b], atunci ∃ξ∈[a,b] astfel încât: ∫ f (x)dx (b − a) f (ξ )

a

Formula de integrare prin pãr i:

Formula de schimbare de variabilã:

Dacã ϕ :[a,b]→J, f:J→R, f continuã pe J, ϕ derivabilã cu derivata continuã pe

VI.2. Aplica ii ale integralei definite

1. Aria subgraficului f, f:[a,b]→R+, f continuã:

b

aria f ∫ f (x)dx

a

Aria subgraficului f,g, f,g:[a,b]→R i f(x) ≤ g(x) ∀ x∈[a,b]

b

aria f ,g ∫[ f (x) − g(x)]dx

a

2. Volumul corpurilor de rota ie, f:[a,b]→R+, f continuã:

vol(C f ) π b∫ f 2 (x)dx

a

65

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

3. Lungimea graficului f:[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã:

a

4. Aria suprafe elor de rota ie:

b

A f 2π ∫ f (x)1 ( f ' (x))2 dx

a

66