Metodologia Rezolvării Problemelor De Matematică (pregătire Licență) [603159]
156 Metodologia rezolvării de probleme
1. Introducere
Activitatea de rezolvare și compunere a problemlelor are cele mai bogate valențe
formative, deoarece în cadrul acestei activități se fructifică cunoștințele matematice
ale elevilor/copi ilor, se de zvoltă gândirea lor logică, creativitatea gândirii lor , se
formea ză deprinder i de muncă intelectuală, deprinderi de rezolva re de probleme
practice, pe care le vor întâlni mai târ ziu în viaț ă, elevii capăt ând astfel un mai mare
interes pentru această disciplină .
Compunerea problemelor de către elevi /copii conduce în cel mai ridicat grad la
cultivarea creativității acestora , prin de zvoltarea calităților gândirii : fluiditatea,
flexibilitatea, originalitatea și perspicacitatea .
Referindu -se la activitatea de rezolvare de probleme, C. Petrovici afirm ă: “în
ideea pregătirii elevilor pentru a întâmpina cerințele unei lumi în perpetuă schimbare,
este necesar ca aceștia să raționeze clar și să comunice eficient. Deprinderile de bază
și înțelegerea aplicațiilor matematice au menirea să -i ajute pe cei în cauză la
utilizarea cunoștințelor în situații noi. Deprinderile corecte în rezolvarea problemelor
vor deveni din ce în ce mai importante. Prin munca proriu -zisă în acest domeniu,
elevii vor descoperi noi căi de gândire și raționare, cea ce le vor putea ridica nivelul
matematic și le va putea cl ădi încrederea în sine.” ( Petrovici, C., 2014, p. 272)
Această unitate de învățare are ca scop familiarizarea cu metodologia
rezolvării și compunerii de probleme, două activități matematice care se întrepătrund
și se completează reciproc și care reprezintă activități de bază în cadrul lecției de
matematică a școlarului mic, dar care se regăsesc și în activitățile cu conținut
matematic ale preșcolarilor.
2. Competențele unității de învățare
După parcurgerea materialului student: [anonimizat]:
– să definească noțiunea de problemă matematică ;
-să prezinte valențele formative ale activităților de rezolvare și compunere de
probleme de matematică;
– să descrie etapele rezolvării problemelor de matematică ;
– să exemplifice etapele rezolvării problemelor de matematică ;
– să preci zeze metodele pentru rezolvare a problemelor de aritmetică;
– să rezolv e principalel e categorii de probleme aritmetice;
– să rezolve probleme prin mai multe căi ;
– să compun ă probleme utilizând toate tipurile de compuneri învățate .
Durata medie de parcurgere a acestei unități de învățare este de 3 ore.
3. Noțiunea de problemă matematică
Cuvântul problemă își are originea în limba latină (problema ) și a intrat în vocabularul limbii
române prin limba franceză (probl ème).
După Dicționarul Explicativ al Limbii Române , (DEX , 1998, p.853 ), cuvântul problemă are
următoarele definiții:
Problemă : “Chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva, obiect principal al
preocupărilor cuiva; temă, materie”;
157 Problemă : “Chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) și care cere
o soluționare (imediată)”;
Problemă : “Dificultate care trebuie rezolvată pentru a obține un anumit rezultat; greutate,
impas”;
Problemă : “Lucru greu de înțeles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigmă” .
După M.Roșu : “Noțiunea de problemă , în sens larg, se referă la orice dificultate de natură
practică sau teoretică ce necesită o soluționare. În sens restrâns, problem a din matematică vizează o
situație problematică a cărei re zolvare se obține prin procese de gândire și calcul. Ea presupune o
anumită situație, ce se cere lămurită în condițiile ipote zei (valori numerice date și relații între ele)
enunțată în text, în vederea conclu zionării, prin raționament și printr -un șir de operații, a căror
efectuare conduce la re zolvarea problemei. Problema implic ă în re zolvarea ei o activitate de
descoperire, deoarece exclude preexistența, la nivelul re zolvitorului, a unui algoritm de re zolvare ,
care ar transforma -o într -un exercițiu. Un exercițiu oferă elevului datele (numerele cu care se
operea ză și preci zarea operațiilor respective ), sarcina lu i constând în efectuarea calculelor după
tehnici și metode cunoscute. ” (Roșu, M., 2006, p.65 )
O altă definiție a noțiunii de problemă este dată în cartea lui H. Banea și anume : „noțiunea de
problemă în general este nedefinită, însă putem înțelege ceva ce necesită îndeplinire, re zolvare…
Problema matematică este de asemenea, o noțiune nedefinită care poate fi legată cu noțiunea de
problemă didactică. Prin probleme matematice în înțelesul larg al cuvântului subînțelegem nu
numai probleme – text ci și exerc iții, întrebări la re zolarea cărora se cere o activitate intelectuală
productivă legată de aplicarea cunoștințelor.” (Achiri , I., Cibotarencu, E., Gaidargi, G., Solomon,
N., Turlacov, Z., 1992 , apud Banea, H., 1998, p.93).
Distincția între exercițiu și problemă trebuie făcută nu după forma exterioară a acestora, ci
după natura rezolvării ei.Trebuie însă făcută observația că un enunț poate fi o problemă pentru un
elev din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V -a și cev a banal pentru un matematic ian.
(Neacșu, I., coord., 1988, p.196 )
Prezintă o definiție a noțiunii de problemă matematică , diferită de ce le prezentat e
mai sus în paragraful 8.3.
R: “Prin problem ă înțelegem de zvăluirea implicațiilor logice ascunse. ” (Vălcan, D.,
T., 2012, p.41 )
Să ne reamintim…
Se consideră drept problemă (din punct de vedere didactic) orice dificultate
teoretică sau practică, în care elevul pentru a -i găsi soluția, trebuie să depună o
activitate proprie de cercetare, în care să s e conducă după anumite reguli și în urma
căreia să dobândească noi cunoștințe și experiență.
4. Valențele formative ale activităților rezolutive
Activitatea de bază în cadrul orelor de matematică este r ezolvarea și compunere a problemelor –
una dintre activitățile școlare cu cele mai multe valențe formative.
Astfel, activitatea de rezolvare a problemlelor :
-contribuie la clasificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor teoretice
matematice ale elevilor/copiilor ;
-dezvoltă gândirea logică, inteligenț a acestora;
-formea ză deprinderi de rezolvare de probleme practice, pe care elevii/copiii le vor întâlni
mai târ ziu în viață ;
-dezvoltă imaginați a, atenți a și spiritul de observație al elevilor /copiilor;
-contribuie la dezvoltarea interesului elevi lor/copiilor pentru această disciplină ;
-dezvoltă voința, ambiția, perseverența elevilor ;
-contribuie la educarea spiritului de inițiativă al elevi lor/copiilor , la dezvoltarea
încrederii în propriile lor forțe ;
158 -contribuie la cultivarea unor noi atitudini față de muncă ;
-ajută la formarea autodisciplinei, la dezvoltarea spiritului de competiție cu sine însuși
și cu alții, la dezvoltarea prieteniei .
C. Petrovici , referindu -se la importanța activităților re zolutive, afirmă : “Prin rezolvarea
problemelor de matematic ă, elevii își formeaz ă deprinderi eficiente de munc ă intelectual ă. În acela și
timp, activit ățile ma tematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbog ățirea
orizontului de cultur ă general ă a elevilor prin utilizarea în con ținutul problemelor a unor cuno ștințe
pe care nu le studiaz ă la alte discipline de învățământ. Este cazul informa țiilor legate de distan ță,
vitez ă, timp, pre ț de cost, plan de produc ție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui
fenomen etc.” (Petrovici , C., 2014, p.256 )
Compunerea problemelor de către elevi/copii conduce în cel mai ridicat grad la cultivarea
creativității acestora, prin de zvoltarea calităților gândirii : fluiditatea, flexibilitatea, originalitatea și
perspicacitatea .
Prin enumerarea valențelor formative în personalitatea elevilor, pe care le generează
activitatea de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, se justifică de ce
programele școlare acordă o atât de mare importanță acestei activități școlare și de ce și
profesorul trebuie să -i acorde importanța cuvenită.
1.Enumeră valențe formative comune activităților rezolutive și utilizării jocului
didactic matematic .
R: Atât activitatea de re zolvare a problemelor, cât și folosirea jocului didactic în
cadrul orelor de matematică ajută la: dezvoltarea gândirii, a imaginației, a atenției , a
spiritului de observație al elevilor , le solicită acestora în special inteligența , le
dezvoltă întreaga personalitate, le formează elevilor deprinderea de a rezolva
problemele practice izvorâte din viață . Prin aceste activități de învățare elevii își
formează priceperi și deprinderi de a analiza situația dat e de problem e sau de
regulile jocului , de a descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere a fi
realizat, ele contribui nd astfel la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare
ale gândirii, la sporirea flexibilității , fluidității, originalității și perspicacității ei, la
dezvoltarea încrederii în propriile forțe. De asemenea, ambele activități contribui e
la aprofundarea și fixarea cunoștințelor teoretice învățate , la formarea
deprinderi lor de muncă intelectuală . Ele contribuie și la sporirea culturii generale
a elevilor prin folosirea în textul problemelor sau în conținutul matematic al
jocurilor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ ,
la disciplinarea lor , la dezvoltarea spiritului lor de competiție cu sine însuși și cu
alții, la dezvoltarea prieteniei , a fair -play-ului.
2.Consideri că rezolvarea a cât mai multor probleme de matematică într -o lecție este
eficientă și c onduce la formarea priceperilor ? Dacă da, de ce? Dacă nu, de ce? Cum
crezi că este mai bine? I ndică soluții, argumente.
R: Rezolvarea a cât mai multor probleme de matematică într -o lecție este eficientă și
conduce la formarea priceperilor și a deprinderilor, îl ajută pe elev în consolidarea
cunoștințelor însușite anterior . Cu cât elevul exerseaz ă mai mult, cu atât v a stăpâni
mai bine cunoștințele predate , exersând fiecare tip de exercițiu/p roblemă indiferent de
gradul de dificultate nu v a mai avea probleme de înțelegere și nici de rez olvare .
Creativitatea gândirii, însă, nu se poate dezvolta în grad mare prin re zolvarea a cât
mai mult or probleme de același tip, sau cu metodă algoritmică de re zolvare, ci prin
rezolvarea a cât mai mult or probleme nonstandrad, sau a cât mai multor probleme de
tipuri diferite. Rezolvarea a cât mai multor probleme de matematic ă într-o lecție,
îndeosebi printr -o multitudine de metode și procedee, reprezintă “mediul” propice
pentru dezvoltarea intelectuală a elevului, fapt care conduce la obținerea rezultatelor
deosebite la diverse concursuri de matematică.
159
Să ne reamintim…
Rezolvarea problemelor de matematică este una din cele mai sigure căi ce duce
la dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției și spiritului de observație al elevilor.
Această activitate solicitză în special inteligența elevilor /copiilor , contribuie la
cultivarea și educarea unor noi atitudini față de muncă, la formarea
autodisciplinei , la dezvoltarea spiritului de competiție cu sine însuși și cu alții,
la dezvoltarea prieten iei, contribuie la îmbogățirea cultur ii general e a elevilor,
formează deprinderi eficiente de muncă intelectual ă, care vor ajuta și studiul ui
altor discipline de învățământ, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
Activitatea rezolutivă contribui e de asemenea la cultivarea și dezvoltarea
capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității , a flex ibilității, a
originalității și a perspicacității acesteia.
5. Etapele rezolvării problemelor de matematică
În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematică se parcurg următoar ele etape:
1. Cunoașterea și înțelegerea enunțului problemei .
2. Discutarea problemei și întocmirea planului logic, cu efectuarea operațiilor corespunză –
toare.
3. Organizarea și redactarea întregii rezolvări a problemei.
4. Activități suplimentare:
– verificarea rezultatului;
– scrierea rezolvării sub form a unui exerciț iu (scrierea formulei numerice) ;
– găsirea altei metode de rezolvare, sau a altei căi de rezolvare total sau parțial diferită ;
– generalizare a problemei ;
– compunere a de probleme după formula numerică de re zolvare a acesteia . (Neacșu, I., –
coordonator, 1988, pp.198 -203)
1. Cunoașterea și înțelegerea enunțului problemei
În această primă etapă, elevul face cunoșt ință cu datele problemei, cu legăturile existente între
ele și cu necunoscuta sau necunoscutele problemei. După citirea textului problemei de către
profesor , se va repeta problema de mai multe ori de către elevi , până la învățarea ei de către toți
elevii, insistându -se pe ce se dă și pe ce se cere . Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei .
Textul problemei poate conține termeni pe care elevul să nu-i înțeleagă , de aceea , atunci când
este ca zul se indică explicarea termenilor necunoscuți .
2. Discutarea problemei și întocmirea planului logic
În această etapă se stabilește categoria de probleme din care face parte problema, metoda ei de
rezolvare și se construiește raționamentul prin care se rezolvă problema. Prin transpunerea
problemei într -un desen, într -o schemă, prin scrierea relațiilor dintre ele, se pune în e videnț ă
reprezentarea m atematică a conținutului problemei .
În această etapă punând elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii re zolvării problemei, se poate
ajunge la re zolvarea orală a acesteia .
3. Organizarea și redactarea întregii rezolvări a problemei
Cunoscând metod a de rezolvare și eventual și calcul efectuat oral , se trece în această etapă la
redactarea clară a întregii rezolvări a problemei. Importanța acestei etape reiese în special în cadrul
concursurilor școlare, când din cauza unor redactări incomplete mulți el evi primesc punctaje cu
mult sub posibilitățile și așteptările lor.
4. Activități suplimentare după rezolvarea problemei
Această etapă a re o mare importanță în cultivarea creativității elevilor/copiilor, în antrenarea
permanentă a gândirii lor logice, deoa rece ea cuprinde : verificarea soluției problemei, găsirea și a
altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegant e, caz în care se poate renunța la verificarea
soluției , scrierea formulei /formulelor numerice sau cum se mai numește a rezolv area problemei
160 printr-un exercițiu /prin mai multe exerci ții, compunerea de probleme similare cu aceleași date, cu
date schimbate, sau/și cu mărimi schimbate, prin complicarea problemei sau generalizări ale
acesteia : scrierea expresiei literale, sau uneori c hiar o generalizare a metodei de rezolvare .
Exempl ul 1
Cerință: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme:
Matei citește de luni până vineri, după orele de la școală câte 4 pagini zilnic, dintr-o
carte indicată în lista de lecturi suplimentare, iar sâmbăta și duminica , având mai mult
timp, e l citește câte 1 0 pagini pe zi. Câte pagini citește Matei în trei săptămâni?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru e tape de rezolvare ale
problemei sunt preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru
învățători și părinți, Autori: Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M., Ed. Sigma,
București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I : “Citesc și î nțeleg”
– Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
– Se explică termenii necunoscuți din textul problemei, dacă este cazul .
– Se pot purta discuții pe subiectul sugerat de textul problemei, dacă este cazul.
– Se scriu datele problemei pe tablă :
De luni până vineri -câte 4 pagini/zi……… sâmbăta și duminica – câte 1 0 pagini/zi……….?
pagini citește în trei săptămâni
– Dacă se fac prescurtări în scrierea datelor trebuie explicate elevilor prescurtările
făcute.
– Se insistă p e ce se dă și pe ce se cere.
– Se identifică expresii care sugerea ză operații aritmetice studiate.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
– Se face anali za problemei :
– Se stabilește tipul de probleme din care face parte problema: este o problemă
care se rezolvă prin operații aritmetice cunoscute .
– Se stabilesc legăturile dintre date și dintre date și întrebare, punând oral întrebări
elevilor, în general altele decât cele din planul logic de rezolvare al problemei,
care să -i ajute la rezolvarea problemei :
1.Câte zile are o săptămână?
2.Câte zile sunt de luni până vineri?
3.Câte zile din săptămână citește Matei câte 10 pagini pe zi?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez” ( Rezolvarea problemei cu plan)
1. Câte pagini cit ește Matei de luni până vineri, după orele de la școală ?
4×5=20 (pagini )
2. Câte pagini cit ește Matei sâmbăta și duminica ?
2×10=20 (pagini )
3. Câte pagini cit ește Matei într -o săptămână ?
20+20=40 (pagini )
4. Câte pagini citește Mat ei în trei săptămâni?
3×40=120 (pagini )
Etapa a IV -a: “Verific și dezvolt” ( Activități matematice suplimentare)
1.Se verifică rezultat ul obținut pe toate datele problemei și nu numai pentru o parte
dintre ele : 120:3=40 (pagini într -o săptămână )
161 40-4-4-4-4-4-10-10=0
2.Răspuns: 120 pagini
3.Compunerea unei probleme dup ă modelul problemei date:
Maria exersează la pian de luni până vineri, după orele de la școală câte două ore zilnic,
iar sâmbăta și duminica , având mai mult timp, e a exersează câte 6 ore pe zi. Câte ore
exersează Maria în trei săptămâni?
4.Scrierea formule i numerice de rezolvare a problemei / Rezolv area problemei printr -un
exercițiu:
(5×4+2×10)x3 = (20+20)x3 =40×3=120
5.Scrierea formule i literale corespunzatoare formule i numerice găsite (generalizarea
problemei ):
(a×b+cxd)xe =
6.Rezolvarea problemei pe o altă cale total sau parțial diferită sau printr -o altă metodă:
1.Câte pagini citește Matei de luni până vineri, după orele de la școală?
4×5=20 (pagini )
2’. Câte pagini citește Matei de luni până vineri, după orele de la școală în 3 săptămâni ?
20×3=60 (pagini )
3.Câte pagini citește Matei sâmbăta și duminica?
2×10=20 (pagini )
4’.Câte pagini citește Matei în 3sâmb ete și 3 duminic i?
3×20=60 (pagini )
5’.Câte pagini citește Matei în trei săptămâni?
60+60=120 (pagini )
Observație: A doua rezolvare este mai lungă cu o operație decât prima rezolvare .
Exemplu l 2
Cerinț ă: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea
următoarei probleme :
Bunica a cules din grădină 30 mere, pe care le -a așezat în 12 boluri. Știind că
în fiecare bol a pus câte 4 sau câte două mere, c âte bolur i cu două și câte
cu 4 mere sunt ?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale
problemei sunt preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru
învățători și părinți, Autori: Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București,
2000.
Etapele rezolvării probleme i:
Etapa I : “Citesc și înțeleg”
– Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
– Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul, și/sau se poartă discuții pe
subiectul sugerat de textul problemei, dacă este cazul.
– Se scriu datele problemei pe tablă :
12 boluri ………două sau 4 mere……….30 de mere……….? boluri cu mere de fiecare
fel
– Dacă se fac prescurtări în scrierea datelor trebuie explicate elevilor prescurtările
făcute.
– Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
– Se stabilește categoria de probleme din care face parte problema și metoda ei de
162 rezolvare: este o problemă de aritmetică, c are se rezolvă printr -o metodă
aritmetică particulară : metoda falsei ipoteze.
– Se reamintește pe scurt conți nutul metodei: se presupune că toate boluri le au câte
4 mere, de aici se ajunge la o contradicție cu celălalt număr dat în problemă, și pe
baza acestei contradicții se rezolvă problema.
– Se pun oral întrebări elevilor, în general altele decât cele din planu l logic de
rezolvare al problemei, care să -i ajute la înțelegerea rezolv ării problemei :
1. Ce presupunere falsă putem face?
2. Ce informații putem afla din presupunerea făcută?
3. Cum putem afla acest lucru?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez” ( Rezolvarea problemei cu plan)
– Presupunem că toate boluri le au câte 4 mere.
1. Câte mere ar fi în 12 boluri , dacă presupunem că fiecar e ar avea câte 4 mere?
12×4=48 (mere)
2. Care este eroarea presupunerii false făcute?
48-30=18 (mere)
3. Câte mere s -au adăugat la transformarea un ui bol cu două mere într -un bol cu
4 mere?
4-2=2 (mere)
4. Câte boluri cu câte două mere sunt?
18:2=9 ( boluri )
5. Câte boluri cu câte 4 mere sunt?
12-9=3 ( boluri )
Etapa a IV -a: “Verific și dezvolt” ( Activități matematice suplimentare)
1.Se verifică rezultatele obținute pe toate datele problemei și nu numai pentru o parte
dintre ele : 9+3=12 (boluri )
9×2+3×4=30 (mere )
2.Răspuns: 9 boluri cu câte două mere
3 boluri cu câte 4 mere
3.Compunerea unei probleme dup ă modelul problemei date:
La o aniversare s -au adus 12 farfurii cu fruct e. În fiecare farfurie se află câte
două sau 4 portocale, în total sunt 30 de portocale.Câte farfurii cu două și câte cu
4 portocale sunt aduse la acea aniversare?
4.Scrierea formulelor numerice de rezolvare a problemei / Rezolvările problemei printr –
un exercițiu:
4.1. (12×4 -30):(4 -2)= 18:2=9
4.2. 12 -(12×4 -30):(4 -2)=12 – 18:2= 12 -9=3
5.Scrierea formulelor literale corespunzatoare formulelor numerice găsite (generalizarea
problemei ):
5.1. (b×c -a):(c-d)=
5.2. b-(b×c-a):(c-d)=
6.Rezolvarea problemei pe o altă cale total sau parțial diferită sau printr -o altă metodă:
– Se poate rezolva problema plecând de la presupunerea că toate bolurile au câte
două mere:
1’.Câte mere ar fi în 12 boluri, dacă p resupunem că fiecare bol ar avea câte două
mere ?
12×2=24 (mere )
2’.Care este eroarea presupunerii false făcute?
163 30-24=6 (mere )
3’.Câte mere s -au pierdut la transformarea un ui bol cu 4 mere într -un bol cu două
mere?
4-2=2 (mere )
4’.Câte boluri cu câte patru mere sunt?
6:2=3 (boluri )
5’.Câte boluri cu câte două mere sunt?
12-3=9 ( boluri )
Observație: Se explică elevilor că această metodă se aplică la fel pentru o clasă întreagă
de probleme având sau nu aceleași date numerice, cum ar fi:
1.Într-un restaurant sunt 12 de vaze cu flori având în fiecare vază câte două sau 4
garoafe , în total 30 de garoafe . Câte vaze sunt cu câte două și câte cu 4 garoafe ?
2.Într-un clasor sunt 12 file cu câte două sau 4 timbre pe fiecare filă, în total 30 de
timbre. Câte file sunt cu două și câte cu 4 timbre?
3.Pentru o școală s -au cumpărat de la o librărie 12 de suporturi de creioane. În fiecare
suport s-au pus câte două sau 4 creioane, în total 30 de creioane. Câte suporturi cu câte
două și câte cu 4 creioane sunt?
4.În curtea bunicilor se află purcei și puișori de găină, în total 1 2 capete și 3 0 de
picioare. Câți purcei și câți puișori de găină sunt în curte?
5.La un magazin de jucării s -au adus 12 mingi. Pe unele mingi erau câte 4 bulin e și pe
altele câte două buline, în total erau 30 de buline. Câte mingi cu 4 buline și câte mingi cu
două buline sunt în magazin?
Exemplu l 3
Cerinț ă: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
probleme :
Bunica Anei dorește să așeze borcanele cu zacuscă în cămară. D acă ar așeza câte
3 borcane pe un raft, atunci ar rămân e 3 borcan e fără loc, iar d acă ar pune câte 5
borcane pe fiecare raft, atunci ar rămân e 5 rafturi goa le. Câte rafturi și câte borcane
sunt?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți și/ sau se poartă discu ții cu elevii pe tema problemei, dacă este
cazul.
-Se scriu datele problemei pe tablă, fie în linie cu „….”, fie unele sub altele cu „Se dă” și „Se cere” :
3 borcane /raft…………….3 borcane fără loc
5 borcane /raft…………….5 rafturi goale …………..? rafturi …………? borcane
-Se precizează notațiile făcute în scrierea datelor (dacă este cazul).
-Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
164 -Se stabilește categoria de probleme din care face parte problema și metoda ei de rezolvare:
problemă de aritmetică , ce se rezolvă printr -o metodă particulară: metoda figurativă sau / metoda
falsei ipotez e -categoria a II -a.
-Se repetă pe scu rt metoda figurativ ă.
-Se explică elevilor că având două modalități de aranjar e a borcanelor de za cuscă pe rafturile din
cămară se dorește fie formarea în cadrul primei situa ții a situa ției a doua, sau invers, sau mai
concret să se aranj eze borcane le din prima situație din problemă, ca în situația a doua, sau invers .
-Se realizează desenul problemei:
………….
………….
-Se adresează elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei.
Exemple:
1. La care dintre cele două situații ale problemei doriți să facem egali zarea?
2. Ce trebuie să facem în linia întâi a desenului ca să arate ca linia a doua?
3. Cu câte borcane ar trebui completat fiecare raft din situația întâi a problemei pentru ca să
arate ca în situația a doua ?
4. De unde luăm borcanele cu care completăm ?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez” ( Rezolvarea problemei cu plan)
1.Care este diferența de borcane de za cuscă aranjate pe fiecare raft în cele două situații ale
problemei ?
5-3=2 ( borcane )
2.Câte borcane sunt pe 5 rafturi în situația întâi a problemei?
5×3=15( borcane )
3.Câte borcane vor fi redistribuite?
15+3= 18 ( borcane )
4.Câte rafturi cu 5 borcane sunt în situația a doua a problemei?
18:2= 9 ( rafturi )
5. Câte rafturi sunt?
9+5=14 ( rafturi )
6.Câte borcane sunt în total?
9×5=45 ( borcane )
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt” (Activități matematice suplimentare)
1.Se verific ă rezultatel e obținute pe toate datele problemei:
Dacă se pleacă de la numărul de rafturi:
Situația 1: 3×14+3=45 ( borcane ) (A)
Situația 2: (14-5)×5=45 ( borcane ) (A)
2.Se scriu rezultat ele obținute :
Răspuns: 45 borcane
14 rafturi
3.Se compune o nouă problem ă după modelul celei rezolvate.
165 Într-o cantină, dacă se așază câte 3 boluri pe o tavă, atunci 3 b oluri nu au loc. Dacă se așază câte 5
boluri pe o tavă, rămân 5 tăvi libere. Câte boluri și câte tăvi sunt?
4.Scrierea formulelor numerice de rezolvare a problemei. (Rezolvarea fiecărei cerințe a problemei
printr -un singur exercițiu.)
În formula numerică trebuie să se regăsească doar numerele date în problemă, nu și rezultatele
intermediare obținute în timpul rezolvări i acesteia .
4.1 (5×3+3) :(5-3)×5= 45 (borcane)
4.2 (5×3+3):(5 -3)+5= 14 (rafturi )
5.Scrierea formulelor literale corespunzătoare formulelor numerice găsite (generalizarea
problemei) :
5.1 (axb+b):(a -b)xa =?
5.2 (axb+b):(a -b)+a =?
6.Rezolvarea problemei printr -o cale parțial diferită:
Întrebările : 1., 2., 3., 4., 5., rămân nemodificate. Se schimbă întrebarea 6.
6'. Câte borcane sunt pe cele 14 rafturi în situația întâi a problemei?
14×3=42 (borcane)
7'. Câte borcane sunt în total?
42+3=45 (borcane)
Observație: Se explică elevilor că această metodă se aplică la fel pentru o clasă întreagă de
probleme, cu aceleași date numerice sau nu.
Exemple:
1.La ziua fiului său, mama aduce farfuri i și un platou cu prăjituri. Dacă pun e câte 3 prăjituri pe
fiecare farfurie , rămâ n 3 prăjituri pe platou , iar d acă pune câte 5 prăjituri pe fiecare farfurie , rămân
5 farfurii golale . Câte prăjituri și câte farfuri i a adus mama ?
2.Ioana își aranjează cărțile pe rafturile din bibliotecă. Mai întâi pune câte 3 cărți pe un raft , da r 3
nu îi mai încap, atunci pune câte 5 cărți pe raft și îî ramân 5 rafturi goale.Câte cărți și câte rafturi
sunt ?
3.Într-un parc se află un număr de persoane și de bănci . Dacă se așază câte 3 persoane pe o bancă,
atunci rămân 3 persoane fără loc , iar d acă se așază câte 5 persoane pe o bancă, rămân 5 bănci
libere . Câte persoane și câte bănci sunt în ace l parc?
Exemplu l 3
Cerinț ă: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
probleme :
La serbarea de Crăciun, Mădălina a adus un platou cu prăjituri. Dacă fiecare student
ar servi câte 4 bucăți, ar mai rămâne o bucată, iar dacă ar servi câte 3 bucăți, ar mai
rămâne 31 de prăjituri pe platou. Câte prăjituri erau pe platou și câți studenți au
participat la serbare?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necu noscuți, dacă e ste cazul.
-Se poartă discuții sugerate de textul problemei , dacă e ste cazul.
-Se scriu datele problemei pe tablă :
4 bucăți/persoană . .. …..o bucată rămasă
166 3 bucăți/persoană ……. 31 b ucăți rămase…… ? b ucăți ….? studenți
-Dacă s -au făcut prescurtări se explică elevilor presc urtările făcute.
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se stabilește categoria de prob leme din care face parte : problemă de aritmetică și metoda de
rezolvare a problemei: metoda figurativă sau / metoda falsei ipotez e -categoria a II -a.
-Se repetă pe sc urt metoda figurativă : se urmărește o egalizare a celor două situaț ii ale problemei .
-Se pun oral întrebări elevilor, în general altele decât cele din planul logic , care să îi ajute în
înțelegerea rezolv ării problemei :
La care dintre cele două situații facem egalizarea?
Cum se face acest lucru?
De unde se vor lua prăjiturile folosite pentru egalizare?
Pe toate cele din linia a doua le luăm? De ce nu?
-Se realizează desenul:
I. …… +
II. . … +
Etapa a III -a: „Organizez și redactez” (Rezolvarea problemei cu plan)
1. Care este diferența dintre numărul de prăjituri servite de fiecare student în cele două
situații I și a II-a?
4-3=1 (prăjitură)
2. Câte prăjituri vor fi redistribuite din situația a doua a problemei, pentru a obține
prima situație?
31-1= 30 (prăjituri)
3. Câți studenți au participat la serbare?
30:1=30 (studenți)
4. Câte prăjituri a mâncat fiecare student în prima situație din problemă?
30×4=120 (prăjituri)
5. Câte prăjituri sunt pe platou?
120+1=121
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt” (Activități matematice suplimentare)
1. Se verifică rezultatele obținute pe toate datele problemei:
Plecăm de la prăjituri:
(121-1):4=30 (A)
(121-31):3=30 (A)
2. Se scrie rezultatul:
Răspuns: 121 de prăjituri
30 de studenți
3. Compunere de probleme după modelul problemei rezolvate:
167 La gustarea de la ora 10 a fost adusă într -o clasă de elevi o lădiță de prune. Dacă fiecare copil ar
mânca câte 4 prune, ar râmâne în lădiță o prună. Dacă ar mânca câte 3 prune, ar rămâne 31 de
prune. Câte prune sunt în lădiță și câți elevi sunt în clasă?
4. Scrierea formulelor numerice de rezolvare a problemei (rezolvarea problemei printr -un
singur exercițiu).
Observație: În formula numerică trebuie să se regăsească doar numerele date în problemă, nu și
rezultatele intermediare obținute în timpul rezolvării acesteia .
(31-1) : (4 -3) = 30
(31-1) : (4 -3) x 4+1=121
5. Scrierea formulelor literale corespunzătoare formulelor numerice găsite (generali zarea
problemei ):
(a-b) : (c -d) =
(a-b) : (c -d) x c + b=
6. Rezolvarea problemei pe o altă cale, total sau parțial diferită, sau printr -o altă metodă.
1+2+3+4’+5’
4’. Câte prăjituri au mâncat studenții în a doua situație a problemei ?
30×3=90 (prăjituri)
5’.Câte prăjituri au fost pe platou?
90+31=121 (prăjituri) .
8.6. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
Metodele aritmetice sau de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două
categorii: metode aritmetice generale și metode aritmetice particulare .
I.) Metode aritmetice generale
Metodele aritmetice generale se aplică într -o măsură ma i mare sau mai mică în rezolvarea
tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazează în principal pe operațiile de analiză și
sinteză ale gândirii, și din acest motiv se numesc metoda analitică și metoda sintetică . (Neacșu, I.,
coord., 1988, p.262 ); (Banea, H., 1998, p.116 ).
I1.) Metoda analitică
A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu,
apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e ste alcătuită și a
organiza aceste probleme simple într -o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să conducă la
aflarea răspunsului problemei date.
Pe scurt , metoda analiti că reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la cerințe spre
date.
I2.) Metoda sintetică
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra
datelor problemei, astfel încât folosind relațiile dintre ele, să se formuleze cu aceste date toate
problemele simple posibile așez ate într -o succesiune logică în care înt rebarea ultimei probleme
simple să coincid ă cu întrebarea problemei date.
Pe scurt, metoda sintetică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la date spre
cerințe.
Exemplu, Clasa a III -a
Se consideră următoarea problemă de aritmetică :
Într-un laborator de cofetărie de mare căutare, în care patronul – cofetarul șef folosește
ingrediente bio și în care până la terminarea programului toate prăjiturile sunt vândute, lucrează în
168 schimburi două echipe de cofeta ri: prima cu 7 cofeta ri, în care fiecare pregătește câte 54 prăjituri pe
zi, a doua echipă cu 9 cofeta ri în care fiecare pregătește câte 72 prăjituri pe zi . Să s e stabilească
suma încasată de patron în decursul unei zile lucrătoare , știind că o p răjitură costă 12 lei.
Examinarea problemei prin metoda analitică :
Examinarea problemei prin metoda analitică se înfățișează printr -o schem ă astfel:
Pentru a afla suma încasată de laborator în decursul unei zile lucrătoare , cunoscând prețul unei
prăjituri , ar trebui să se știe numărul total al prăjituri lor pregăti te de cele două echipe de cofetari
într-o zi. În acest scop este necesar să se afle întâi numărul prăjit urilor pregăti te de prima echipă
într-o zi, apoi numărul de prăjituri pregăti te de a doua echipă într-o zi. Numărul prăjituri lor
pregăti te de o echipă într-o zi se poate afla utilizând datele problemei, și anume înmulțind
numărul prăjituri lor pregăti te de un cofetar într-o zi cu numărul cofeta rilor din echipă. (fig.8.1.)
Fig. 8.1.
După examinarea problemei prin metoda analitică se redactează planul de rezolvare care
cuprinde enunțarea problemelor simple în care s -a descompus problema dată :
1) Care este numărul păjiturilor pregăti te de echipa I într-o zi?
54 prăjituri x 7 = 378 prăjituri
2) Care este numărul păjiturilor pregăti te de echipa a II -a într-o zi?
72 prăjituri x 9 = 648 prăjituri
3) Care este numărul total de prăjituri pregătite de cele două echipe într-o zi?
378 prăjituri + 648 prăjituri = 1026 prăjituri
4) Care este suma încasată de patron în decursul unei zile lucrătoare ?
12 lei 1026 = 12312 lei.
Examinarea problemei prin metoda sintetică :
Problema enunțată și studiată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:
1) Cunoscând numărul cofetarilor din prima echipă și numărul păjiturilor pregăti te de fiecare
într-o zi, se află numărul păjiturilor pregăti te de întreaga echipă într-o zi.
2) Analog pentru echipa a II -a.
3) Dacă se află câte p răjituri au fost pregăti te într-o zi de prima echipă și câte de a doua,
atunci se poate afla numărul total de păjituri pregăti te de cele două echipe într-o zi.
4) Cunoscând numărul total de păjituri și prețul unei p răjituri , se poate afla suma încasată de
patron în decursul unei zile lucrătoare .(fig.8.2.)
Schema examinării problemei prin metoda sintetică este următoarea:
Prețul unei
prăjituri (12) Suma totală
încasată pe zi
Numărul total de
prăjituri pe zi
Numărul păjiturilor
pregăti te de echipa I Numărul păjiturilor
pregăti te de echipa II
Numărul cofetarilor
din echipa I Numărul cofetarilor
din echipa II Numărul păjiturilor
pregăti te de un
cofetar î ntr-o zi
ar Numărul păjiturilor
pregăti te de un
cofetar î ntr-o zi
Numărul
cofetarilor din
echipa I Numărul
cofetarilor din
echipa II Numărul prăjiturilor
pregătite de un
cofetar într -o zi Numărul prăjiturilor
pregătite de un
cofetar într -o zi
muncitor
Numărul prăjiturilor
pregătite de echipa
I într -o zi Numărul prăjiturilor
pregătite de echipa II
într-o zi
169
Fig.8.2.
Cele două metode generale de examinare a unei probleme de matematică se găsesc într -o
strânsă legătur ă, ele condiționându -se reciproc, însă în anumite momente sau situații una din ele
devine dominantă. Astfel, în discutarea problemei și întocmirea planului logic, cu efectuarea
operațiilor corespunzătoare acestuia se folosește metoda analitică, iar în organizarea și redactarea
întregii rezolvări a problemei, cea sintetică.
Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unică: metoda analitic o-
sintetică .
În practică s -a demonstrat că metoda sintetică este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult
gândirea elevilor. Se întâmplă ca unii elevi să piardă din vedere întrebarea problemei și să calculeze
valori care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. Metoda analitică pare mai dificilă, dar
solicită mai mult gândirea elevilor și folosind -o, îi ajută pe copii să privească problema „de sus” , să
aibă mereu în atenție întrebarea problemei.
II.) Metode aritmetice particular e
Metodele aritmetice particular e sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la alta,
adoptându -se specificului acestora. Cele mai importante și mai des întâlnite sunt următoarele:
metoda figurativă sau grafică, metoda comparației, metoda falsei ipoteze și metoda mersului invers.
De asemenea, în afară de metodele menționate mai sus, există și alte metode speciale
aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei
simplă sau compusă, în rezolvarea cărora se utilizează reducerea la unitate și metoda proporțiilor,
apoi problemele de împărțire în părți proporționale, problemele cu procente, problemele de amestec
și aliaj , problemele de mișcare, problemele nonstandard, etc. (Neacșu, I., coord., 1988, p.209 )
Exemplifică re zolvarea unei probleme de aritmetică utilizând metoda analitică .
R: Reve zi paragraful 8.6. – I1.
170 Să ne reamintim…
Metodele aritmetice se clasifică în două categorii: metode aritmetice generale și
metode aritmetice particulare .
Metodele aritmetice general e sunt: metoda analitică și metoda sintetică .
Metoda analiti că reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la cerințe
spre date.
Metoda sintetică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la date
spre cerințe.
7. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice
Din punct de vedere al numărului de operații , problemel e de matematică se clasifică în :
probleme simple (care se rezolv ă printr -o singură operație) și probleme compuse (care se rezolv ă
prin cel puțin două operații).
7.1. Rezolvarea problemelor simple
Acest tip de probleme este s pecific grădiniței, clasei pregătit oare și clasei I , dar și clasei a II-a, odată
cu introducerea operațiilor de înmulțire și de împărțire . Rezolvarea acestora se rezumă la o adunare,
scădere , înmulțire, sau împărțire în concentrele numerice învățate și vin să rezolve situații întâlnite
de copii /elevi în viața l or. M.Roșu referindu -se la modul de abordare a problemelor remarcă:
„Predarea oricărui nou conținut matematic trebuie să se facă, de regulă, pornind de la o situație –
problemă ce îl presupune. Și din acest motiv, abordarea problemelor în clasa I trebuie să înceapă
suficient de devreme și să fie suficient de frecventă pentru a sublin ia (implicit, dar uneori și
explicit) ideea că matematica este impusă de realitatea înconjurătoare, pe care o reflectă și pe care o
poate soluționa cantitativ .” (Roșu, M., 2006, p .66)
Problema trebuie să c onțin ă datele problemei, adică valori numerice și relații existente între
ele preci zate în problemă și întrebarea problemei , adică ceea ce se cere a fi aflat.
Utilizând metoda anali tică, adică pornind de la întreb area problemei se ajunge la date și
utilizând metoda sintetică, adică pornind de la date se ajunge la întrebarea problemei utilizând
operația corespunzătoare, cerut ă de rezolvarea problemei.
Dificultățile întâmpin ate de copii în rezolvarea problemelor simple constau în ne înțeleger ea
relațiilor dintre date, text și întrebare , în necunoaște rea limbajului matematic.
Deoarece la această vârstă gândirea copiilor este intuitiv -concret ă, în scopul re zolvării de
probleme se va utiliz a un material didactic adecvat . Astfel,se va trece de la re zolvarea de probleme
după imagini , la re zolvarea de probl eme cu imagini și text și abia după ce elevii cunosc literele, la
probleme cu text.
Profesorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă
printr -o singură operație aritmetică , de asemenea el trebuie să atențione ze copiii /elevii asupra a cât
mai multor moduri de a exprima, de a sugera necesitatea efectuării operației de adunare sau de
scădere .
171 Exemple de expresii
Adunare : adună pe …la … , mai mult cu … , adaugă … , suma numerelor … , totalul
numerelor … , împreună …. , la un loc … , însumează …. , mai cumpără… , mai vin … ,
aduce … , cu … mai mare , mărește cu … , are cu … în plus , cu … mai înalt , a acumulat
…, crește cu … , mai primește … , au adunat … , crește cu … , mai cumpără … , se mărește
cu … , au adunat …se întorc … , au acumulat … , etc.
Scădere : micșorează cu… , scade din …pe … , ia din … , diferența numerelor … , restul
numerelor … , mai mic cu … , mai puțin cu . .., mai pleacă … , cu … mai scund , îi dă … ,
are cu … în minus , pierde … , cumpără cu … mai puține , se culeg …, cad … , e usucă … ,
lipsesc … , mai dă … , scade cu … , se strică … , dăruiesc … , ofer … , lipsesc cu … , se duc
…, diferența dintre … , s-a spart… , au rămas libere… , cu cât sunt mai mulți/puțini în … ,
a golit … , s-au rănit … , au părăsit …. , etc.
Înmulțire : înmulțește … , produsul numerelor … , de… ori mai mare … , crește de … ori
mai mult , dublul n umărului … , înmulțit cu … , mărește de.. ori , triplul numărului … ,
întreitul … , împătritul … , încincitul … , înșesitul … , înzecitul … , de… ori mai multe … ,
… buchete a câte … , …rânduri cu câte … ,
cutii a câte … , etc.
Împărțire : împarte pe … la…, de …ori mai puțin , câtul numerelor … , raportul
numerelor … , de… ori mai mic , jumătatea unui număr … , sfertul unui număr … ,
micșorează pe… de … ori , de câte ori se cuprinde … în…, se divide la … , se împarte în
părți egale la …, s-au grupat câte … , se aranjează/ aliniază câte … a distribuit în mod
egal pentru fiecare câte … , sunt repartizate în… părți egale, împărțite în mod egal , etc.
Exemple
1) Probleme care se rezolvă prin adunare :
suma obiectelor de același fel (3 creioane + 4 creioane = 7 creioane );
reuniunea unor obiecte care trebuie să fie regrupate într -o categorie
generală (3 mere + 4 pere = 7 fructe, 3 găini + 4 rațe = 7 păsări );
suma valorilor negative ( s-au spart 3 baloane și încă 4 baloane , am pierdut 3
nasturi și încă 2 nasturi );
2) Probleme care se rezolvă prin scădere :
se cere aflarea diferenței (Am avut 5 prăjituri : din ele am mâncat 3. Câte au mai
rămas? );
se cere aflarea scăzătorului (Am 5caiete în ghiozdan. Câte caiete trebuie să scot
pentru ca să rămân cu 3 ?);
– se compară două mărimi ( Raluca are 6 păpuși și Alexandra 8 păpuși . Cu câte
păpuși are mai mult Alexandr a decât Raluca ?).
7.2. Rezolvarea problemelor compuse
Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă doar rezolvarea succesivă a unor probleme simple.
Într-o problemă compusă elevii vor întâmpina dificultăți în rezolvare în momentul în care vor
construi raționamentul – stabilind legătura între problemele simple care alcătuiesc problema
compusă. Se va porni astfel de la rezolvarea unor probleme compuse , alcătuite din două operații . În
acest timp elevii învață să rezolv e prin redactarea planului de rezolvare a problemei, respectând
toate etapele de rezolvare a unei probleme de matematică.
La sfârșitul rezolvării se va scrie răspunsul la întrebarea sau întrebările problemei , după ce în
prealabil se va face verificarea rezultatului sau a rezultatelor găsite . Pe lângă parcurgerea
activităților suplimentare (acolo unde este posibil), în cazul încheierii rezolvării unei probleme noi
sau mai dificile pentru majoritatea elevilor clasei, este bine ca profesorul să repete cu clasa „ firul
172 roșu” al rezolvării acestei a.
Deoarece re zolvarea problemelor prin mai multe căi este o modalitate sigură de stimulare a
creativității gândirii elevilor , profesorul trebuie să insiste pe acest tip de activitate suplimentară, ori
de câte ori acest lucru este posibil.
Exempl u
Transformarea problemelor simple în probleme compuse
Se dă problema:
Ana are 8 lei. Mama îi mai dă 5 lei. Câți lei are Ana în total?
Elevii pot transforma problema astfel:
1. "Ana are 8 lei. Mama îi mai dă 5 lei. Ea își cumpără o ciocolată cu 3 lei. Câți
lei îi rămân?"
2. "Cu câți lei mai rămâne Ana dacă are 8 lei, mama îi dă 5 lei și ea cheltuiește
3 lei din ei ?"
După ce rezolvă problemele, elevii vor scrie formulele numerice și literale:
8 + 5 – 3 =
a + b – c = ?
? = a + b – c
Se va insista pe scrierea formulei numerice și imediat a celei literale pentru a le
ușura munca în compunerea de probleme.
Exemplifică o problemă simpl ă bazat ă pe împărțire și transform -o într -o problemă
compusă . R: Reve zi paragraf ele 8.7.1. și 8.7.2.
Să ne reamintim…
O clasificare a problemelor: probleme simple (cele rezolvabile printr -o singură
operație) și probleme compuse (cele rezolvabile prin două sau mai multe
operații).
7.3. Metode particular e de rezolvare a problemelor de matematică
8.7.3.1. Metoda figurativă sau grafică
Metodă figurativă este m etoda artitmetică, în care pentru reprezentarea mărimilor din
problemă și a relațiilor dintre ele se folosesc desene sau scheme .
I.Neacșu, referindu -se la problemele care se re zolvă prin metoda figurativă, le împarte în două
categorii : “1.Cu date sau mărimi “discrete”, înțelegâ nd prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte
una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii. În acest ca z mărimile le “figurăm ” prin
simboluri. 2. Cu date sau mărimi “continui”, caz în care le figurăm prin segmente. ”(Neacșu, I.,
coord., 1988, p.210 )
Exemplu l 1
Cerință: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
probleme:
Elevii clasei a IV -a au împodobi t un brad. Dacă pe fiecare ramură a bradului ei ar
așeza câte 3 globuri atunci ar rămân e 5 ramuri fără globuri, iar dacă ar așeza pe
fiecare ramură câte două globuri, atunci ar rămân e 5 globuri neașezate.Câte globuri au
avut de așezat și câte ramuri are bradul ?
173 Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I : “Citesc și înțeleg”
– Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
– Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul, și/sau se poartă discuții pe subiectul sugerat
de textul problemei, dacă este cazul.
– Se scriu datele problemei pe tablă :
3globuri /ramură……..5 ramuri fără globuri
2globuri /ramură……..5 globuri neașezate……..?ramuri…….?globuri.
– Dacă se fac prescurtări în scrierea datelor trebuie explicate elevilor prescurtările făcute.
– Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se stabilește categoria de probleme din care face parte problema și metoda ei de rezolvare: este o
problemă de aritmetică, c are se rezolvă printr -o metodă aritmetică particulară : metoda figurativ ă.
-Se repetă pe scurt conținutul metodei (se încearcă o egalizare a celor două situații : fie se form ează
pe linia întâi situația a II -a , fie se form ează pe linia a II-a, situația I).
-Se realizează repre zentarea grafic ă:
Ramuri
Globuri
………….
……………
-Se pun elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei.
1.La care dintre cele două situații doriți să facem egalizarea? (la situația a II -a)
2.Cum se poate face acest lucru?
3. De unde se vor lua globurile folosite la egalizar e?
4.Câte ramuri trebuie eliberate în situația a II -a a problemei ca să arate ca în situația I?
Etapa a I II-a: „ Organizez și redactez ” (Rezolvarea problemei cu plan)
1.Câte globuri trebuie adăugate pe fiecare ramură a situației a II -a a problemei ca să arate ca în
situația I?
3-2=1 (globuri)
2.Câte globuri vor fi redistribuite de pe 5 ramuri din situația a II -a a problemei?
2×5=10 (globuri)
3.Câte globuri vor fi redistribuite în total?
10+5=1 5 ( globuri)
4.Câte ramuri cu câte 3 globuri există în situația I a problemei?
15:1=15 (ramuri)
5.Câte ramuri sunt în brad?
15+5=20 (ramuri)
6.Câte globuri au avut copiii de așezat?
15×3=45 (globuri)
Etapa a IV -a: “Verific și dezvolt” ( Activități matematice suplimentare)
1.Verificare :
174 -se verifică rezultatele pe toate datele problemei.
Dacă se p leacă de la numărul de globuri :
I) 45 :5=15 II) 45 -5=40
20-15=5 (A) 40:2=20 (A)
SAU
Iar dacă se p leacă de la numărul de ramuri (se obțin e numărul de globuri)
(20-5)x3=15×3=45 (A)
20×2+5=40+5=45 (A)
2.Răspuns:
20 ram uri
45 globuri
3.Compunerea unei probleme dup ă modelul problemei rezolvate anterior :
Alexandru își așază timbrele într -un clasor.Dacă pe fiecare filă el așază câte 3 timbre, atunci rămân
5 file goale, iar dacă așază pe fiecare filă câte două timbre, r ămân 5 timbre neașezate.Câte timbre a
avut de așezat și câte file au fost?
4.Rezolvarea problemei pe o altă cale , parțial diferită :
1. Câte globuri trebuie adăugate pe fiecare ramură a situației a II -a a problemei ca să arate ca în
situația I?
3-2=1 (globuri)
2.Câte globuri vor fi redistribuite de pe 5 ramuri din situația a II -a a problemei?
2×5=10 (globuri)
3.Câte globuri vor fi redistribuite în total?
10+5=10 ( globuri)
4.Câte ramuri cu c âte 3 globuri există în situația I a problemei?
15:1=15 (ramuri)
5.Câte ramuri sunt în total?
15+5=20 (ramuri)
6’. Câte globuri sunt în brad în situația a II -a a problemei?
20×2=40 (globuri)
7’. Câte globuri sunt în bradl?
40+5=45 (globuri)
Observație: Se compară cele două rezolvări și se constată că a doua este mai lungă cu o operație.
5.Scrierea formulelor numerice :
(2×5+5 ):(3-2)+5 –ramuri
(2×5+5 ):(3-2)x3 –globuri
6.Scrierea formulelor l iterale :
(axb+b): (c-a)+b
(axb+b ):(c-a)xc
Exemplu l 2
Cerinț ă: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
probleme , folosind metod a cadranelor.
Un grup de sportivi cumpără de 5 ori mai multe mingi de ping -pong albe decât
portocalii. Fiecare sportiv primește la început câte două mingi portocalii și 3 albe, dar
mai rămâne o minge portocalie și 75 albe. Câți sportivi au primit mingi? Câte mingi
de fiecare fel au fost la început?
Observa ții: 1.La matematică, în scopul rezolvării unei probleme, metoda cadranelor delimitează
clar în mintea elevilor cele patru etape necesare pentru rez olvarea acestora.
175 2.Această metodă poate fi folosită în special în lecțiile de for mare de priceperi și deprinderi, dar și
în lecțiile de evaluare. Poate fi folosită și în lecțiile de dobândire de noi cunoștințe, în oricare dintre
evenimentele: feedback, sau obținerea performanței.
Etape:
1.Profesolul împarte elevii în 4 echipe eterogene.
2.Oferă fiecărei echipe câte o foaie A4, având ca antet scris textul unei probleme.
3.Pe restul foii se trasează două drepte perpendiculare care vor împărți foaia în 4 cadrane.
4.Profesorul indică elevilor să noteze cadranele î n sensul acelor de ceasornic, pornind din colțul din
stânga sus, precizând că în fiecare cadran se vor scrie activitățiile de învățate, corespunzătoare câte
unei etape de rezolvare a problemei.
5.După expirarea a 15 -20 de minute, se citesc activitățile tre cute în fiecare cadran și se corectează
eventualele greșeli întâlnite.
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogo ș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
I. „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă
de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul
-Se poartă discuții cu elevii asupra temei sugerate
de textul problemei.
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
-Se scriu datele problemei pe tablă:
Se dă: două MP
3 MA
MA=3MP
Au rămas: o MP și 75 MA
Se cere: ? Mi ngi a primit fiecare sportiv
MA=?
MP=?
-Se explică notațile făcute în scrierea problemei:
MP- mingi portocalii
MA- mingi albe
II. „Planific și calculez”
-Se precizează metoda folosită sau categoria din
care face parte pr oblema: metodă figurativă.
-Se repetă pe scurt metoda.
-Se realizează desenul:
Sportivul 1
Sportivul 2
…………………………….
Sportivul n
Au rămas:
o MP
75 MA
Observații (necesare înțelegerii re zolvării
problemei):
1.Deoarece mingile albe sunt de 5 ori mai multe
decât cele portocalii și deoarece a mai rămas o
singură minge portocalie în urma primei împărțiri,
rezultă că în urma celei de a doua împărțiri a celor
75 de mingi albe rămase după prima împărțire, vor
rămâne ca rest de 5 ori mai multe mingi albe decât
cea potocalie rămasă inițial, adică 5 x 1 =5 (MA) .
2. Deoarece mingile albe sunt de 5 ori mai multe
decât cele portocalii și deoarece fiecare sportiv a
avut în final două mingi portocalii, re zultă că
fiecare sp ortiv a avut în final și de 5 ori mai multe
mingi albe, adică :
2×5= 10 (MA) .
IV . „Verific și dezvolt”
1. Se verifică rezultatele obținute pe toate datele
problemei :
105:21=5 (A) III. „Organizez și redactez”
Planul logic de rezolvare
1. Câte mingi albe vor rămâne neîmpărțite în
final?
176 2×10+1=21 (MP) (A)
3×10+75=105 (MA) (A)
2. Răspuns:
10 sportivi, 105 mingi albe și 21 mingi portocalii
3. Compunerea unei probleme după modelul
problemei rezolvate:
Un grup de oameni plantează într -un parc de 5 ori
mai multe lalele galbene decât roșii. Fiecare om
plantează la început câte 2 lalele roșii și 3 galbene,
dar mai rămâne o lalea roșie și 75 de lalele
galbene. Câți oameni au plantat lalelele? Câte
lalele de fiecare culoare au fost la început?
4. Rezolvarea problemei pe o cale parțial diferită :
1)+2)+3)+4)+5)+6 ')+6'') +7)+8)+9)
6') Câte mingi albe s -au împărțit la început?
10×3=30 (MA)
6'') Câte mingi albe au în total cei 10 sportivi?
30+70=100 (MA)
5. Scrierea formulelor numerice:
(75-1×5):(2×5 -3)=
[(75-1×5):(2×5 -3)]x(2×5)+1×5=
[(75-1×5):(2×5 -3)]x2+1 =
6. Scrierea formulelor literale (generalizarea
problemei ):
(a-bxc):(dxc-e)=
[(a-bxc):(dxc-e)]x(dxc)+bxc=
[(a-bxc):(dxc-e)]xd+b=
Observație: Această rezolvare este valabilă pentru
o întreagă clasă de probleme cum ar fi de
exemplu:
1. Pentru un grup de zugravi se cumpără de 5 ori
mai multe cutii cu vopsea albă decât vopsea
colorată. Fiecare zugrav primește la început câte
două cutii cu vopsea colorată și 3 albă, dar mai
rămâne o cutie cu vopsea colorată și 75 cu vopsea
albă. Câți zugravi are grupul și câte cutii de
vopsea colorată și albă au fost cumpărate?
2.Un grup de elevi a cumpărat de 5 ori mai multe
caiete de matematică decât de limba română.
Fiecare elev primește la început câte două caiete
de limba română și 3 caiete de matematică, dar
mai rămâne un caiet de limba română și 75 caiete 1×5=5 (MA)
2. Câte mingi albe va avea fiecare sportiv în final?
2×5=10 (MA)
3. Câte mingi albe va mai primi fiecare sportiv la
a doua îm părțire?
10-3=7 (MA)
4. Câte mingi albe se vor împărți sportivilor a
doua oară?
75-5=70 (MA)
5. Câți sportivi au primit mingi?
70:7=10 (sportivi)
6. Câte mingi albe au toți cei 10 sportivi în final?
10×10=100 (MA)
7. Câte mingi albe au fost la început?
100+5=105 (MA)
8. Câte mingi portocalii au în total cei 10 sportivi?
2×10=20 (MP)
9. Câte mingi portocalii au fost la început?
20+1=21 (MP)
177 de matematică. Câți elevi are grupul și câte caiete
de matematică și de limba română au fost
cumpărate?
3.Un grup de muncitori plantează într -un parc de 5
ori mai multe lalele roșii decât lalele mov. Fiecare
muncitor plantează la început câte două lalele mov
și 3 roșii, dar mai rămâne o lalea mov și 75 de
lalele roșii. Câț i muncitori au participat la
plantarea florilor? Câte lalele roșii și câte mov s –
au plantat?
4.Un grup de elevi cumpără de 5 ori mai multe
cutii de bomboane cu lapte decât cu căpșuni.
Fiecare elev primește la început câte două cutii de
bomboane cu căpșun i și câte 3 cutii cu bomboane
cu lapte, dar mai rămâne o cutie de bomboane cu
căpșuni și 75 de cutii cu bomboane cu lapte. Câți
elevi sunt în grup? Câte cutii de bomboane de
fiecare fel au fost la început?
5.Bunica a cumpărat de 5 ori mai multe caise
decât portocale. Ea împarte nepoților aceste
fructe, la început fiecare nepot primește câte două
portocale și 3 caise, dar mai rămâne o portocală și
75 de caise. La câți nepoți a împărțit bunica
fructele? Câte portocale și câte caise a avut
bunica?
Exemplifică metoda figurativă pentru rezolvarea problem ei:
Pentru un grup de zugravi se cumpără de 5 ori mai multe cutii cu vopsea albă decât
vopsea colorată. Fiecare zugrav primește la început câte două cutii cu vopsea colorată
și 3 albă, dar mai rămâne o cutie cu vopsea colorată și 75 cu vopsea albă. Câți zugravi
are grupul și câte cutii de vopsea colorată și albă au fost cumpărate?
R: Reve zi paragraful 8.7.3.1. – Exemplul 2 .
Să ne reamintim…
Metodă figurativă este metoda artitmetică, în care pentru reprezentarea
mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele se folosesc desene sau scheme .
7.3.2. Metoda comparației
Metoda comparației este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei probleme constă în a
face o egalare a datelor privitoare la una dintre mărimile care apare în problemă (dacă acest lucru nu
este deja reali zat prin ipote ză) și astfel a simplific a problema, ea devenind cu o singură
necunoscută.
Redactarea rezolvării î ntr-o astfel de problemă, se face prin așezarea datelor aceleiași mărimi
unele sub altele . Dacă din enunțul problemei valorile unei mărimi sunt egale , atunci eliminarea
acestei mărimi se face prin metoda reducer ii, adică prin adunare sau scădere . Dacă din enunțul
problemei nu rezultă valori egale pentru niciuna dintre mărimi , atunci trebuie mai întâi să se
realizeze aducer ea la același termen de comparație și mai apoi să se continu e cu eliminarea
178 respecti vei mărimi , procedând după cum s –a precizat mai sus. Aducer ea la același termen de
comparație se face înmulțind datele de pe cele două șiruri, astfel încât să se obțină aceleași valori
pentru mărimea aleasă.
Exemplu – Metoda comparației: Aducerea la același termen de comparație
Realiz ați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme:
Pentru 5 costume de damă și 6 costume bărbătești, se folosesc 50 de metri de stofă,
iar pentru 7 costume de d amă și 3 costume bărbătești se folosesc 43 de metri. Câți
metri de stofă se folosesc pentru un costum de damă și câți la un costum bărbătesc?
(Lung, Ana, 777 de probleme de aritmetică, pentru clasele I – IV, Vol. I, Ed.
PROMEDIA Plus, Cluj -Napoca, 1999, V ol.I-Enunțuri, p. 55).
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogo ș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării acestei probleme:
I. „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă
de către 1 -2 elevi.
-Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul.
-Se discută cu elevii pe tema sugerată de t extul
problemei.
-Se scriu datele problemei pe tablă cu „…” sau
unele sub altele cu “se dă” și „se cere”:
5 c.d ……6c.b……50 m / x1
7 c.d …….3 c.b ……..43 / x2 …. ? m/cd… ? m/c.b
-Se precizează notațiile făcute în scrierea datelor:
c.d- costume de damă, c.b – costume bărbătești,
m-.metru.
Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere.
II. „Planific și calculez”
-Se precizează metoda de rezolvare a
problemei: metoda comparației.
-Se repetă pe scurt metoda.
-Se adresează copiilor întrebări ajutătoare
înțelegerii rezolvării problemei.
Ce trebuie să facem în scopul rezolvării
problemei?
Cum se poate aduce la același termen de
comparație?
În care din cele două mulțimi de numere este
mai ușor de adus la același termen de
comparație?
IV. „Verif ic și dezvolt”
1. Verificare:
4×5 + 5×6= 20+30=50 (m) (a)
4×7 + 5×3= 28+15=43 (m) (a)
2. Răspuns: 4 m pentru un costum de damă
5 m pentru un costum bărbătesc
3. Compunerea unei probleme după modelul
celei rezolvate:
De la o cofetărie, Maria a cumpărat 5 înghețate
și 6 prăjituri, plătind 50 de lei. În altă zi, la
aceleași prețuri, a cumpărat 7 înghețate și 3
prăjituri de același fel cu primele, plătind 43 de
lei. Câți lei costă o înghețată? Dar o prăjitură?
4. Rezovlarea problemei pe o altă cale pa rțial
diferită:
5 c.d ……6c.b……50 m / x 7
7 c.d ……3 c.b ….43 m / x 5
35 c.d ……42 c.b ……..350 (m)
35 c.d ….. 15 c.b ………215 (m) ( -)
/……… ……27 c.b……… 135 m
1 c.b………. X m (metoda reducerii la III. „Org anizez și redactez”
5 c.d ……6c.b……50 m / x1
7 c.d ……3 c.b …..43 m / x2
14 c.d ……6 c.b ……..86 m
5 c.d ……. 6 c.b ………50 m rezultă prin
scădere
9c.d ……… /. c.b……… 36 m
9 c.d …………………….. 36 m
Plan logic de rezolvare
1. Câți metri de stofă se folosesc la un
costum de damă?
36 : 9 = 4(m)
2. Câți metri de stofă se folosesc pentru 5
costume de damă?
5 x 4=20 (m)
3. Câți metri de stofă se folosesc pentru 6
costume de bărbați?
50-20=30 (m)
4. Câți metri de stofă se folosesc pentru un
179 unitate)
1`. Câți metri de stofă se folosesc la un costum
bărbătesc?
135:27=5 (m)
2`. Câți metri de stofă se folosesc pentru 6 costume
bărbătești?
6×5=30 (m)
3`. Câți metri de stofă se folosesc pentru 5 costume
de damă?
50-30=20 (m)
4`. Câți metri de stofă se folosesc pentru un costum
de damă?
20:5=4 (m)
5. Scrierea formulelor numerice:
(43×2 -50×1):(7×2 -5×1)=
{50-5x[(43×2 -50×1):(7×2 -5×1)]}:6=
6. Scrierea formulelor literale (generalizarea
problemei):
(axb-cxd):(exb -fxd)=
{c-fx[(axb -cxd):(exb -fxd)]}:g=
7.Observație : Această metodă de rezolvare este
valabilă pentru o întreagă clasă de probleme cum ar
fi:
1.Dacă 12 băieți și 8 fete au sortat 416 lădițe cu
struguri, iar 14 băieți și 6 fete au sortat 432 lădițe,
aflați câte lădițe a sortat un băiat și câte o fată.
2.17 saci cu făină și 26 saci cu cartofi cântăresc
2764 kg, iar 35 de saci cu cartofi și 17 saci cu făină
cântăresc 3250 kg. Cât cântărește un sac cu cartofi
și cât cântărește un sac cu făi nă?
3.Două robinete au același debit. Dacă primul
curge 4 ore și al doilea 6 ore se vor strânge 10628
litri apă, iar dacă lăsăm primul 7 ore iar al doilea 6
ore vom avea 13883 litri apă. Câți litri curg prin
fiecare robinet într -o oră? costum bărbătesc?
30 : 6=5 (m)
Exemplifică metoda comparației pentru problema 1 de la observația de la punctul 7
din exemplul anterior .
R: Reve zi paragraful 8.7.3.2. – Exemplu
Să ne reamintim…
Metoda comparației este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei
probleme constă în a face o egalare a datelor privitoare la una dintre mărimile care
apare în problemă (dacă acest lucru nu este deja reali zat prin ipote ză) și astfel a
simplific a problema, ea devenind cu o singură necunoscută.
7.3.3. Metoda falsei ipoteze
Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetică particulară, prin care rezolvarea unei probleme
se face pe baza unei false presupuneri, urmând apoi să se refacă problema cu presupunerea arbitrar ă
făcut ă, să se determine eroarea și pe ba za ei să se re zolve problema .
180 I.Neacșu, referindu -se la această metodă, afirmă că :”orice problemă ale cărei date sunt mărimi
proporționale poate fi rezolvată prin metoda falsei ipote ze. ”(Neacșu, I., coord., 1988, p.228 )
Exempl ul 1
Metoda falsei ipoteze
Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme:
Un bloc cu 50 de apartamente cu două sau 5 camere are 190 de camere. Aflați câte
apartamente sunt cu 5 camere și câte sunt cu două camere?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării acest ei probleme:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți, se poartă discuții cu elevii pe tema problemei, dacă este cazul.
-Se scriu datele problemei pe tablă, fie în linie cu „….”, fie unele sub altele cu „Se dă” și „Se cere”.
50 apartamente ……cu două sau 5 camere ….. 190 camere ….. ? apartamente de 5 camere și
câte de două camere
-Dacă s -au făcut prescurtări se explică elevilor presc urtările făcute.
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se stabilește categoria de probleme din care face parte problema și metoda ei de rezolvare:
problemă de aritmetică ce se rezolvă printr -o metodă particulară: metoda falsei ipoteze.
-Se repetă pe scur t metoda. Se face o falsă presupune re. De aici se ajunge la o contradicție cu o altă
informație din problemă, și pe baza acestei contradicții se va porni rezolvarea problemei.
-Se realizează desenul (dacă e cazul) .
-Se pun oral întrebări elevilor, în general altele decât cele din planul logic de rezolvare al
problemei, care să îi ajute pe elevi în înțelegerea rezolvării acesteia.
Exemple :
1. Ce presupunere falsă putem face?
2. Ce informație putem afla din presupunerea fă cută?
3. Cum putem afla acest lucru?
4. Ce observați în urma obținerii acestui rezultat?
5. De unde provine eroarea găsită?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
Presupunem că toate apartamentele sunt de două camere.
1. Câte camere ar avea cele 50 de apartamente, dacă fiecare ar avea câte două camere?
50×2=100 (camere)
2. Care este eroarea re zultată în urma falsei presupuneri făcute?
190-100=90 (camere)
3. Câte camere s -au pierdut în transformarea unui apartament cu 5 camere, în unul cu două
camere?
5-2=3 (camere)
4. Câte a partamente cu câte 5 camere sunt?
90:3=30 (apartamente )
5. Câte apartamente cu câte două camere sunt?
50-30=20 (apartamente)
181
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
1.Se verifică rezultatele obținute pe toate datele problemei:
20+30=50 (A)
30×5=150
20×2=40
2.Se scrie rezultatul:
Răspuns: 30 apartamente cu 5 camere
20 partamente cu 2 camere
3.Se compune o problemă după modelul problemei rezolvate anterior:
Într-o galerie de artă sunt 50 de tablouri, fiecare având câte două sau 5 peronaje desena te. În total
sunt 190 de personaje desenate. Aflați câte tablouri sunt cu 5 personaje, respectiv câte sunt cu două
personaje?
4.Se scriu formulele numerice de rezolvare a problemei. (Rezolvarea fiecărei cerințe a problemei
printr -un singur exercițiu.)
În formula numerică trebuie să se regăsească doar numerele date în problemă, nu și rezultatele
intermediare obținute în timpul rezolvării.
4.1 (190 -50×2) : (5 -2)= 30 (apartamente)
4.2 50-(190 -50×2) : (5 -2)= 20 (apartamente)
5.Se scriu formulele literale corespunzătoare formulelor numerice găsite (generalizarea problemei):
5.1 (a -bxc) : (d -c)=?
5.2 b-(a-bxc) : (d -c)=?
6.Se rezolvă problema pe o altă cale, total sau parțial diferită, sau printr -o altă metodă.
Exemplu: Se poate rezolva problema din nou presupu nând că toate apartamentele au câte 5 încăperi,
fără plan logic, scriind în paranteză ceea ce s -a aflat.
50×5=250 (camere, dacă toate apartamentele ar avea câte 5 camere)
250-190=60 (camere eroare)
5-2=3 (diferența dintre numerele de camere ale apartamente lor cu 5, respectiv două camere)
60:3=20 (apartamente cu două camere)
50-20=30 (apartamente cu 5 camere)
Observație: Se poate explica elevilor că această metodă se aplică la fel pentru o clasă întreagă de
probleme, cum ar fi:
1.Într-o cămară sunt 50 de rafturi. Pe fiecare raft se află câte 5 sau câte două borcane de compot. În
total sunt 190 de borcane de compot. Câte rafturi cu două borcane sunt, și câte cu 5 borcane?
2.Într-o grădină sunt 50 de rânduri de flori, a câte două sau 5 lalele fiecare. În t otal, în grădină se
află 190 de lalele. Câte rânduri cu câte două lalele sunt, și câte cu 5?
3.La un restaurant se află 50 de mese. Acestea au câte două sau câte 5 scaune. Numărul total de
scaune este 190. Aflați câte mese cu două scaune sunt, și câte cu 5 scaune?
4.La un magazin se vând 50 de dulapuri. Dulapurile au câte două uși, sau câte 5 uși fiecare. În total
sunt 190 de uși. Aflați câte dulapuri cu câte două uși și câte cu 5 uși sunt?
5.Elevii din clasa a III -a au 50 de penare. Aceștia au în penare câ te două pixuri colorate, iar alții
câte 5 pixuri colorate. Numărul tuturor pixurilor colorate este de 190. Aflați câte penare cu două
pixuri sunt, și câte penare cu 5 pixuri sunt? etc.
Exemplul 2. Metoda falsei ipoteze
Realizați un demers didactic comp let pentru rezolvarea următoarei probleme: 150+40=190 (A)
182 În curtea vecinilor sunt iepuri și găini, în total 11 capete și 34 de picioare. C âți iepuri și câte găini
sunt ? (Lung, Ana, 777 de probleme de aritmetică, pentru clasele I – IV, Vol. I, Ed. PROMEDIA
Plus, Cluj -Napoca, 1999, Vol.I -Enunțuri, p. 58).
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogo ș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți, se poartă discuții cu elevii pe tema problemei, dacă este cazul.
-Se scriu datele problemei pe tablă, fie în linie cu „….”, fie unele sub altele cu „Se dă” și „Se cere”.
11 capete…….34 de picioare……..iepuri?…….g ăini?
-Dacă s -au făcut prescurtări se explică elevilor prescurtările făcute.
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se stabilește categoria de probleme din care face parte problema și metoda ei de rezolvare:
problemă de aritmetică ce se rezolvă printr -o metodă particulară: metoda falsei ipote ze.
-Se repetă pe scurt metoda : se face o fals ă presupune re și anume se presupune că toate capetele
sunt de un singur fel, de aici se ajunge la o contracție cu celălalt număr dat în problemă și pe baza
contradicției se va rezolva problema.
-Se pun elevilo r întrebări ajutătoare rezolvării problemei (Câte picioare are iepurele? Câte picioare
are găina? Care poate fi falsa ipoteză în această problemă? Dacă toate capetele sunt găini, ce putem
afla? Ce observați în urma obținerii acestui rezultat? De unde provin e eroarea găsită? ).
-Se realizează desenul (dacă e cazul) .
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
-Presupunem c ă toate picioarele din curtea vecinilor aparțin găinilor .
1.Câte picioare ar avea g ăinile, dacă în curtea vecinilor ar fi doar găini ?
11×2=22 (picioare)
2.Care este eroarea rezultată în urma falsei presupuneri făcute ?
34-22=12 (picioare)
3.Care este diferen ța dintre n umărul de picioare ale unui iepure și ale unei g ăini?
4-2=2 (picioare)
4.Câți iepuri sunt?
12:2=6 (iepuri)
5.Câte găini sunt?
11-6=5 (g ăini)
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
1.Se verifică rezultatele obținute pe toate datele problemei:
5+6= 11 (capete) (A)
5×2+6×4=34 (picioare ) (A)
2.Se scrie rezultatul:
Răspuns: 5 găini
6 iepuri .
3.Se compune o problemă după modelul problemei rezolvate anterior:
Într-o parcare sunt 11 vehicule : biciclete și mașini. În total 34 de ro ți. Câte biciclete și câte ma șini
sunt?
183 4.Se scriu formulele numerice de rezolvare a problemei. (Rezolvarea fiecărei cerințe a problemei
printr -un singur exercițiu.)
În formula numerică trebuie să se regăsească doar numerele date în problemă, nu și rezultatele
intermediare obținute în timpul rezolvării.
4.1 (34 -11×2) : (4 -2)= 6 ( iepuri )
4.2.11 -(34-11×2) : (4 -2)= 5 (găini)
5.Se scriu formulele literale corespunzătoare formulelor numerice găsite (generaliz area problem ei):
5.1 (a -bxc) : (d -c)=?
5.2 b-(a-bxc) : (d -c)=?
6.Se rezolvă problema pe o altă cale, total sau parțial diferită, sau printr -o altă metodă.
Exemplu: se presupun e că toate viețuito arele din curtea vecinilor sunt iepuri .
1.Câte picioare ar avea iepurii în caz ul presupunerii false făcute anterior ?
11×4=44 (picioare)
2.Care este eroarea presupunerii false făcut e?
44-34= 10 ( picioare)
3.Care este diferen ța dintre n umărul de picioare ale unui iepure și ale unei g ăini?
4-2=2 (picioare)
4.Câte găini sunt?
10:2=5 (găini)
5.Câți iepuri sunt?
11-5= 6 (iepuri)
Observație: Se poate explica elevilor că această metodă se aplică la fel pentru o clasă întreagă de
probleme, păstrând s au nu datele numerice :
Exemple :
1.Într-un țarc sunt cățeluși și puișori. Știind că în total sunt 11 capete și 34 de picioare, aflați câți
puișori și câți cățeluși sunt.
2.Într-un garaj sunt vehicule pe care trebuie să le repare mecanicul. Știind că în total sunt 11
vehicule și 34 de roți, câte vehicule cu 4 roți și câte cu 2 roți există în garaj, știind că printre
numărul total de roți, 2 sunt nefolosibile?
3.La un spectacol cu animale sunt elefanți și papagali. Știind că în total sunt 11 capete și 34 de
picioare, aflați câți elefanți și câți papagali sunt.
4.În clasă sunt bănci cu câte 2 elevi și cu câte 4 elevi. Știind că în total sunt 11 bănci și 34 de elevi,
aflați câte bănci cu 3 elevi și câte cu 4 sunt.
Exemplul 3 . Metoda falsei ipoteze
Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme , utiliz ând metoda :”
Cadranelor. ”
La un concurs de matematică se acordă 5 puncte pentru o problemă bine rezolvată și se scad 3
puncte pentru o problemă greșită sau neabordată . Un elev a rezolvat 10 probleme și a primit 26 de
puncte. Câte probleme a rezolvat bine și câte a greșit sau nu le -a abordat ? (Neacșu, I., coord., 1988,
p.230 ).
-Metoda cerut ă presupune trasarea a două drepte perpendiculare pe mijlocul foii sau al tablei car e o
vor împărți pe aceasta în patru cadrane.
-Activitatea se desfășoară pe grupe, în orice tip de lecție dar în special în cele de formare de
priceperi și deprinderi și de evaluare.
-Valențe formative ale metodei: stimuleză gândirea logic ă, creativitatea , atenția, puterea de
concentrare și de sintetizare.
Etape:
184 1.Profesorul împarte colectivul în trei echipe.
2.Fiecare echipă primește câte o fișă de lucru pe care este scris textul problem ei sub al cărei text
sunt trasate cele două drepte perpendiculare care form ează cadranele.
3.Se anunță cerințele pentru completarea celor 4 cadrane:
Cadranul I va corespunde activităților de învățare din etapa I de rezolvare a
respectivei probleme.
Cadranul al II-lea va corespunde activităților de învățare din etapa a II -a de
rezolvare a respectivei probleme.
Cadranul al III -lea va corespunde activităților de învățare din etapa a III -a de
rezolvare a respectivei probleme.
Cadranul al IV -lea va corespunde act ivităților de învățare din etapa a IV -a de
rezolvare a respectivei probleme.
4.După scurgerea a 10-15 minute se verifică oral, modul de rezolvare al probleme i prin citirea a
ceea ce s -a scris în fiecare cadran și prin corectarea eventualelor greșeli.
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogo ș, M., Ed. Sigma, București, 200 0.
Etapele rezolvării probleme i:
I. „Citesc și înțeleg” II . „Planific și organizez”
IV „Verific și dezvolt” II I „Organizez și redactez”
IV. „Verific și dez volt” III. „Organizez și redacte z”
– Se stabilește metoda de rezolvare: metoda falsei
ipoteze
– Se reactualizează pe scurt metoda: se presupune
că toate problemele au fost rezolvate corect și
de aici se ajunge la o contradicție cu numărul 26
obținut , din care contradicție se rezolvă
problema.
– Se pun câteva întrebări ajutătoare înțelegerii
rezolvă rii problemei:
Ce presupunere putem face ? Ce putem afla din
această presupunere? Cum putem afla ? Ce se
observă ? -Se citește textul de către profesor și se
repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți , se
pot purta discuții pe tema sugerată de
textul problemei .
-Se scriu datele problemei:
+ 5 puncte……….. -3 puncte…….26
puncte
…….10 probleme…..?probleme
corecte……
?…….probleme greșite.
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
-Presupunem ca toate problemele au fost
rezolvate corect:
1. Câte puncte ar fi obținut elevul dacă ar fi
rezolvat toate problemele corect?
5×10=50 (puncte)
2. Care este eroarea presupunerii făcute?
50-26=24 (puncte)
3. Câte puncte în plus a câștigat elevul la
transformarea unei problem e greșite în
una corectă ?
3+5=8 (puncte)
4. Câte probleme a greșit ?
24:8= 3 (probleme)
5. Câte probleme a rezolvat corect ?
10-3= 7 (probleme) 1.Verificare :3+7=10 (A); 7×5-
3×3=26(A) 2.Răspuns : 3 probleme a greșit, 7
probleme a rezolvat corect . 3.Compunerea unei
probleme după modelul problemei date: La un
concurs de educa ție fizică se acordă 5 puncte pentru
un exercițiu efectuat corect și se scad 3 puncte
pentru un exercițiu efectuat greșit. Un concurent a
făcut 10 exerciții și a primit 26 de punc te. Câte
exerciții a făcut corect și câte a greșit?
4.Scrierea formulelor numerice de rezolvare a
problemei : (5×10 -26):(5+3) = ; 10-(5×10 –
26):(5+3)= 5.Scrierea formulelor literare
corespunzătoare 🙁 axb-c):(a+d) ; b-(axb-c):(a+d)
(generalizarea problemei ).
6.Rezolvarea problemei pe o altă cale total sau
parțial diferită sau printr -o altă metodă : Se
presupune ca toate problemele au fost rezolvate
greșit.Observație: Se poate explica elevilor că
185
Exemplul 4. Metoda falsei ipoteze
Cerința: Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme:
Într-un sediu de firmă sunt 40 de birouri cu câte 3 sau 4 încăperi fiecare. În total sunt 130 de
încăperi. Câte birouri cu câte 3 încăperi și câte cu 4 încăperi sunt în acel sediu de firmă?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă de către unul sau doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul.
-Se sc riu datele problemei pe tablă:
40 birouri……3 sau 4 încăperi………..130 încăperi………..? birouri de fiecare fel
-Dacă se fac prescurtări se explică elevilor notați ile făcute .
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se stabilește metoda de rezolvare și categoria din care face parte (problemă de aritmetică ce se
rezolvă prin metoda falsei ipoteze).
-Se reamintește pe scurt conținutul metodei (se presupune că toate birourile au același număr de
încăperi, de aici se ajunge la o contracție cu ce lălalt număr dat în problemă și pe baza contradicției
se va rezolva problema).
186 -Se pun elevilor întrebări ajutătoare rezolvării problemei (Care poate fi falsa ipoteză în această
problemă? Ce informații putem afla din presupunerea făcută? Cum putem afla ace st lucru? Ce
observați? De unde provine eroarea obținu tă?)
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
-Presupunem că toate birourile au câte 3 încăperi.
1) Câte încăperi ar avea cele 40 de birouri dacă fiecare ar avea fiecare câte 3 încăperi?
40×3=120(încăperi)
2) Care este eroarea presupunerii false făcute?
130-120=10(încăperi)
3) Câte încăperi s -au pierdut la transformarea unui birou cu 4 încăperi în unul cu 3 încăperi?
4-3=1(încăpere)
4) Câte birouri cu câte 4 încăperi sunt?
10:1=10(birouri)
5) Câte birouri cu câte 3 încăperi sunt?
40-10=30( birou ri)
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
-Verificare : 10+30=40 (A)
10×4+30×3=130 (A)
-Răspuns: 10 birouri cu câte 4 încăperi
30 birouri cu câte 3 încăperi
-Compunerea unei probleme după modelul problemei r ezolvate
La o cofetărie s -au adus 40 de tăvi țe de prăjituri, având fiecare câte 3 sau 4 prăjituri. În total sunt
130 de prăjituri. Câte tăvi țe de fiecare fel s -au adus?
-Scrierea formulelor numerice:
(130-40×3): (4 -3)
40-(130-40×3): (4 -3)
-Scrierea formulelor literale corespunzătoare formulelor numerice (generalizarea problemei) :
(a-bxc) : (d -c)
b-(a-bxc) : (d -c)
-Rezolvarea problemei pe o altă cale, total sau parțial diferită sau printr -o altă metodă:
Se poate rezolva problema presupunând că toate birourile au câte 4 încăperi, scriind în paranteză ce
am aflat.
40×4=160 (încăperi, dacă toate birourile ar avea câte 4 încăperi)
160-130=30 (eroarea presupunerii false făcute)
4-3=1 (diferența de încăperi)
30:1=30 (birouri cu câte 3 încăperi)
40-30=10 (birouri cu câte 4 încăperi)
-Observa ție:
Se poate exp lica elevilor că această metodă se aplică la fel pentru o clasă întreagă de probleme, cum
ar fi:
1.În cămara bunicii sunt 40 de rafturi cu câte 3 sau 4 borcane fiecare. În total sunt 130 de borcane.
Câte rafturi cu câte 4 borcane și câte cu 3 borcane sunt în cămara bunicii?
2.La un spectacol sunt 40 de rânduri cu câte 3 sau 4 spectatori fiecare rând. În total sunt 130 de
spectatori. Câte rânduri sunt cu 3 spectatori și câte sunt cu 4 spectatori?
Exemplul 5. Metoda falsei ipoteze
Cerința: La serbarea de ziua copiilor profesorul unei clase a IV -a a organizat un concurs de cultură
generală cu participare individuală, pentru care a realizat bilețele având culori diferite : roșu și verde.
Dacă un elev extrage un bilețel roșu, el primește 7 buli ne, iar dacă el extrage un bilețel verde el
187 primește 3 buline. Știind că pentru cele 18 bilețele roșii și verzi extrase , un elev a obținut 82 de
bulin e, câte bilețele verzi și câte roșii a extras acesta ?
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-se citește te xtul problemei de către profesor ș i se repetă de către unul sau doi elevi
-se explică termenii necunoscuți
-se scriu datele problemei pe tablă, fie cu puncte puncte, fie cu se dă, se cere
Se dă : 18 bile țele R+V extrase … 82 buline
un bilețel V extras…….3 buline
un bilețel R extras……..7 buline
Se cere : ? bilețele R și ? bilețele V
-se precize ază dacă s -au făcut prescurtări : R – roșu, V – verde
-se pot purta discuții pe tema textului problemei
-se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-se precizează metoda de rez olvare : metoda falsei ipoteze
-se repetă pe scurt conținutul metodei: se presupune că toate bilețelele extrase au fost de o anumită
culoare
-se pun elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei :
1.Ce presupunere falsă se poate face?
2.Ce se poate afla din presupunerea falsă făcută?
3.Cum se poate afla acest lucru?
4.Ce se observă ?
5. De unde provine această eroare?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
Presupune m că toate bilețelele extrase ar fi fost roșii.
1.Câte buline ar fi primit elevul pentru cele 18 bilețele roșii extrase?
18×7 =126 (buline)
2.Care este eroarea presupunerii false făcute?
126-82=44 (buline)
3. Câte buline ar primi în pl us un elev la transformarea unui bile țel verde într-unul roșu?
7-3=4 (buline)
4.Câte bilețele verzi au fost extrase?
44:4=11 (bilețele)
5.Câte bilețele roșii au fost extrase?
18-11=7 (bilețele)
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
1.Verificare:
11+7 =18 (A)
3×11+7×7 =33+49=82 (A)
2.Răspuns :
11 bile țele verzi
7 bilețele roșii
3.Compunerea unei probleme după modelul problemei rezolvate anterior
La o grădiniță erau cutii care conțineau câte 3 sau 7 jucării, în total 82 de jucării. Câte cutii cu câte
3 jucării și câte cutii cu câte 7 jucării au fost la grădiniță?
4.Scrierea formulelor numerice
(18×7 -82) : (7-3) –pentru bilețelele verzi
18-(18×7 -82) : (7-3) –pentru bilețelele roșii
188 5.Scrierea formulelor literale
(axb-c) : (b-d)
a-(axb-c) : (b-d)
6.Rezolvarea problemei pe altă cale
Se presupune că toate bilețelele extrase au fost verzi .
Planul logic de rezolvare
1.Câte buline s -ar fi primit pentru cele 18 bilețele verzi extrase?
18×3 =54 (buline)
2.Care este eroarea presupunerii false făcute?
82-54=28(buline)
3.Câte buline ar primi în minus un elev la transform area unui bilet roșu într -unul verde ?
7-3=4 (buline)
4.Câte bilețele roșii au fost extrase?
28:4=7 (bile țele)
5.Câte bilețele verzi au fost extrase ?
18-7=11 (bilețele)
Exemplifică metoda falsei ipote ze pentru problema 1 de la observația 7 din
exemplul 1, dat mai sus .
R: Reve zi paragraful 8.7.3.3.
Să ne reamintim…
Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei probleme
are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situația reală cu
cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justifică prin
faptul că ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul
problemei.
7.3.4. Metoda mersului invers
Metoda mersului invers este metoda aritmetic ă particulară , în care re zolvarea problemei de
rest din rest se face pornind de la ultima etapă descrisă în problemă (ultimul rest ), apoi se trece la
penultima etapă , ș.a.m.d. până se ajunge la începutul problemei, adi că re zolvarea se face pornind în
sens invers textului .
Pe lângă problemele de rest din rest, m etoda mersului invers se aplică și în rezolvarea
exercițiilor numerice care conțin necunoscuta, în care în fiecare etapă în scopul re zolvării acestora
se face operația inversă celei apărute în exercițiu . Verificare a se face aplicând asupra rezultat ului
găsit operațiile indicate în textul problemei.
Exempl u
Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme:
Un turist cheltuiește dintr -o sumă de bani, economisită de el pentru cumpărarea unui
nou echipament sportiv astfel : o treime din sumă pentru o jachetă, trei optimi din rest
pentru un hanorac de fleece, iar un sfert din noul rest pentru o căciulă. După
cumpărături i -au rămas 195 lei. Câți lei a avut? Câți lei a costat jacheta ? Câți lei a
costat hanorac ul de fleece ? Câți lei a costat căciula ?
Soluție :
Etapa I : “Citesc și înțeleg ”
– Se citește problema de către profesor și se repetă de către unu l sau doi elevi.
– Se explică eventual ii termeni necunoscuți . Se pot purta discuții pe tema
textului problemei.
189 – Se scriu datele pro blemei pe tablă:
1
3 (din sumă pentru o jachetă ) …3
8 (din rest pentru un hanorac de fleece ) …
1
4 (din noul rest pentru o căciulă) …195lei…Câți lei a avut? … Câți lei a cheltuit
pe fiecare obiect cumpărat?
– Se insistă pe ce se dă și ce se cere.
Etapa a II –a: “Planific și calculez ”
– Se precizează metoda prin care se rezolv ă problem a: Metoda mersului invers .
– Se repetă pe scurt conținutul metodei: se pleacă de la ultima informație dată de
problemă și prin probleme simple alcătuite din operații inverse celor care apar
în textul problemei, se ajunge la aflarea cerinț ei problemei.
– Se realizează desenul corespun zător textului problemei.
– Se precizează notațiile făcute : S-suma ini țială, R1, R2 – cele două resturi.
S –––-–––-–––- (jachetă )
R1–––––––– (hanorac de fleece )
R2 –––– (căciulă )
–––– (195 lei)
– Se pun elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei:
1.De unde se pornește rezolvarea problemei?
2.Câte părți egale/câte pătrimi din R2 reprezintă 195?
3.Cum ați aflat?
4.Ce se poate afla în continua re?, etc.
Etapa a III –a: “Organizez și redactez ” (Planul logic de rezolvare a problemei )
1.Câte pătrimi sau: (părți egale) din R2 reprezintă 195?
4
4−1
4=3
4 sau: (4-1=3)
2. Ce sumă reprezintă 1
4 din R2? sau: Câți lei a costat căciula ?
195 : 3 = 65 (lei)
3. Ce sumă reprezintă R2?
65 x 4 = 260 (lei)
4.Câte optimi sau: (părți egale) din R1 reprezintă R2?
8
8−3
8=5
8 sau: (8-3=5)
5. Ce sumă reprezintă o optime din R1?
260 : 5 = 52 (lei)
190 6. Câți lei a costat hanoracul de fleece ?
52 x 3 = 15 6 (lei)
7. Ce sumă reprezintă R1?
52 x 8 = 416 (lei)
8.Câte treimi sau: (părți egale) reprezintă R1din suma totală?
3
3−1
3=2
3 sau: (3-1=2)
9. Ce sumă reprezintă o treime din suma totală? sau: Câți lei a costat jachet a?
416 : 2 = 208 (lei)
10. Ce sumă a avut turist ul?
208 x 3 = 624 (lei) .
Etapa a IV –a: “Verific și dezvolt ” (Activități suplimentare rezolv ării problemei)
1. Verificare :
1
3 x 624 = 208
624 – 208 = 416
3
8 x 416 = 52 x 3 = 156
416 – 156 = 260
1
4 x 260 = 65
260 – 65 = 195
2. Scrierea răspunsului :
Răspuns : 624 lei a avut inițial, 208 lei a costat jachet a, 156 lei a costat hanoracul de
fleece , 65 lei a costat căciula.
3.Compunerea unei probleme după modelul problemei re zolvate anterior:
Din totalul de prăjituri aduse la o cofetărie înainte de ora deschiderii , s-a vândut
dimineață o treime, trei optimi din rest, la prânz, iar după amiază o pătrime din noul
rest. Știind că la sfârșitul zilei au rămas 195 de prăjituri. Aflați câte prăjituri fost au
aduse dimineață la cofetărie și câte prăjituri s -au vândut în cele tre i perioade ale zilei?
4. Rezolvarea problemei, pe o cale parțial diferită:
1 + 2 + 3 ’ + 4 + 5 + 6+ 7 ’ + 8 + 9 +10’, unde căile diferite de calcul sunt preci zate
mai jos :
3’. Ce sumă reprezintă R2?
195 + 65 = 260 (lei)
191 7’. Ce sumă reprezintă R1?
260 + 156 = 416 (lei)
10’. Ce sumă a avut turist ul?
416 + 208 = 624 (lei)
5. Scrierea f ormul elor numeric e:
195:(4-1) (căciula )
195:(4-1)x 4:(8-3)x3 (hanoracul de fleece )
195:(4-1)x4:(8-3)x8:(3-1) (jachet a)
195:(4-1)x4:(8-3)x8:(3-1)x3 (suma inițială )
6. Scrierea f ormul elor literal e (generali zarea problemei ):
a:(b-c)
a:(b-c)xb:(d-e)xe
a:(b-c)xb:(d-e)xd:(e-c)
a:(b-c)xb:(d-e)xd:(e-c)xe.
Exemplifică metoda mersului invers , rezolvând problema compusă la etapa a IV -a,
punctul 3, din exemplul de mai sus.
R: Reve zi paragraful 8.7.3.4.
Să ne reamintim…
Metoda mersului invers este metoda aritmetică particulară, în care
rezolvarea problemei de rest din rest se face pornind de la ultima etapă
descrisă în problemă ( ultimul rest ), apoi se trece la penultima etapă,
ș.a.m.d. până se ajunge la începutul problemei.
7.3.5. Regula de trei simplă
Regula de trei simplă reprezintă o schemă de așezare a datelor care se folosește la rezolvarea
problemelor care conțin două mărimi direct sau invers proporționale și în care se cunosc 3 valori ale
acestor mărimi și trebuie aflată a patra valoare a uneia dintre cele două mărimi.
Există două metode pentru a re zolva o problemă cu ajutorul regul ii de trei simpl ă: Metoda
reducerii la unitate și Metoda proporțiilor.
Pentru a rezolva corect o problemă prin această metodă trebuie stabilit mai întâi dacă
mărimile sunt direct sau invers proporționale.
Definiții:
1.Între două mulțimi de numere s -a stabilit o proporționalitate directă, dacă atunci când elementele
unei mulțimi cresc sau descresc, și elementele celeilalte mulțimi să facă la fel.
2.Între două mulțimi de numere s -a stabilit o proporționalitate inversă dacă atunci când eleme ntele
unei mulțimi cresc sau descresc, elementele celeilalte mulțimi să facă invers.
Se consideră mărimile X, Y, cu perechile de valori x 1, x2, respectiv y 1, y2, corespunzătoare ,
una din tre cele patru valori fiind necunoscută.
Dacă mărimile X, Y sunt direct proporționale, se poate scrie:
21
21
yy
xx
sau
22
11
yx
yx ,
Dacă mărimile X, Y sunt invers proporționale, se poate scrie:
192
12
21
yy
xx sau
12
21
yx
yx sau x 1 y1 = x 2 y2.
Exemplu -Problemă care se rezolvă prin regula de trei simplă, mărimi invers
proporționale
Un călăreț parcurge un traseu în 5 ore , mergând cu viteza de 12 km/oră. În cât
timp va parcurge același traseu un biciclist care merge cu viteza de 40 km/oră?
Metoda reducerii la unitate
Stabilirea mărimilor și așezarea datelor problemei:
– mărimile X (viteza) Y (timpul)
– valorile x1 = 12 km/oră ……… y1= 5 ore
x2 = 40 km/oră ……… y 2
Viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.
x1 = 12 km/oră ……… y 1= 5 ore
x3 = 1 km/oră ……… .. y3 = 5 12 ore
x2 = 40 km/oră ……… y 2 =
40125 =
211 ore.
Metoda proporțiilor
Viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.
12 km /oră …… 5 ore
40 km /oră …… y2 ore
5 4012y2
21140512y2 (ore).
Exemplifică o problemă care să se re zolve prin regula de trei simplă.
R: Reve zi paragraful 8.7.3.5.
Să ne reamintim…
Regula de trei simplă reprezintă o schemă de așezare a datelor care se
folosește la rezolvarea problemelor care conțin două mărimi direct sau invers
proporționale și în care se cunosc 3 valori ale acestor mărimi și trebuie aflată a patra
valoare a uneia dintre cele două mărimi. Există două metode pentru a re zolva o
problemă cu ajutorul regul ii de trei simpl ă: Metoda reducerii la unitate sau
Metoda proporțiilor.
7.3.6. Regula de trei compusă
Regula de trei compusă poartă acest nume, deoarece este alcătuită din cel puțin două reguli
de trei simple . Această regulă se aplică pentru calcularea valorii mărimii care conține necunoscuta
și care depinde de cel puțin două mărimi, cu care considerată pe rând, separat, este sau direct sau
invers proporțională
Există două modalități de a re zolva o pro blemă cu ajutorul regul ii de trei compusă : Metoda
reducerii la unitate sau Metoda proporțiilor.
În cazul când în problemă intervin trei mărimi, schema așezării datelor este următoarea:
– mărimile: X Y Z
– valorile: x1 … y 1 … z 1
x2 … y 2 … z 2
Dacă mărimea Z, care conține necunoscuta z 2, este direct proporțională cu mărimile X, Y,
atunci în prima problemă cu regula de trei simplă care se formulează, întâi se consideră mărimea Y
193 constantă , având valoarea y 1, astfel că Z va depinde numai de X, judecata făcându -se după cum
urmează: x 1 … y 1 … z 1
1 … y 1 …
11
xz
x2 … y 1 …
11
xz x2 = z1
12
xx.
Notând cu z’ valoarea z 1
12
xx a mărimii Z, corespunzătoare valorii x 2 a mărimii X, când
valoarea y 1 a mărimii Y rămâne neschimbată, se obține:
z’ = z 1
12
xx.
Se formulează a doua problemă cu regula de trei simplă, considerând mărimea X constantă,
valoarea corespunzătoare pentru x 2 fiind z’. În această si tuație Z depinde numai de Y și se obține:
x2 …… y 1 …… z’
x2 …… 1 ……
1y'z
x2 …… y 2 ……
1yz' y2 = z’
12
yy, unde z’ = z 1
12
xx
deci: z2 = z1
1 12 2
y xy x
sau
12
12
12
yy
xx
zz .
În general , considerând mai multe mărimi direct proporționale:
X Y Z ..… Q P
x1 …… y 1 …… z 1 …… q 1 …… p 1
cu valorile lor: x2 …… y 2 …… z 2 …… q 2 …… p 2
unde p 2 reprezintă valoarea necunoscută a mărimii P, dependența acestei mărimi față de celelalte se
exprimă astfel:
1 1 1 12 2 2 2
1 2q…zyxq…z y xp p
sau
12
12
12
12
12
qq…zz
yy
xx
pp .
Dacă mărimea Z este direct proporțională cu X și invers proporțională cu Y, se obține
relația:
2 11 2
1 2yxy xz z
sau
21
12
12
yy
xx
zz ,
iar dacă mărimea Z este invers proporțională atât cu X, cât și cu Y, se obține relația:
2 21 1
1 2y xyxz z
sau
21
21
12
yy
xx
zz . (Neacșu, I., coord., 1988, p p.243-248)
Exempl e
Regula de trei compusă (cu ajutorul Metodei r educer ii la unitate )
1.Sarcina dată: Realiz ați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
194 probleme:
Un autobuz po ate transporta 1600 de călători în 5 zile, făcând câte 10 curse pe zi.
Câte zile sunt necesare pentru ca același autobuz să transporte 2400 de călători,
făcând câte 12 curse pe zi?
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale
problemei sunt preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru
învățători și părinți, Autori: Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M., Ed. Sigma,
București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește p roblema de către profesor și se repetă de către unul -doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți , dacă este cazul .
-Se po t purta discuții cu elevii pe subiecte inspirate de textul problemei.
-Se scriu datele problemei pe tablă :
1600 călători ……… ………..10 curse /zi…………………. …………5 zile
2400 călători ………………..12 curse /zi…………………………….x zile
-Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere.
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
-Se precizează metoda de rezolvar e a problemei: Regula de trei compusă. Se repetă pe
scurt metoda reducerii la unitate și/sau metoda proporțiilor.
-Se adresează elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei:
1. Prin ce metode poate fi rezolvată această problemă? (Metoda reducerii la unitate
sau metoda proporțiilor)
2. Număr ul zilelor va crește dacă vor fi mai mul ți călători de tranportat?
3. Ce observați, numărul curse lor este la fel în ambele situații?
4.Ce s e înțelege prin regula de trei simplă?
5.În ce constă metoda reducerii la unitate?
6.Ce mulțimi de numere apar în problemă? Călători : {1600, 2400}, Transporturi pe
zi: {10, 12}, Zile: {5, x}
7. Ce proporționalitate există între mulțimile de numere care apar în problemă și
mulțimea zilelor ?
Călători : {1600, 2400}, Zile: {5, x} – proporționalitate direct ă (d.p.) .
Curse pe zi: {10, 12}, Zile: {5, x} – proporționalitate invers ă (p.i).
8.După transcrierea primului rând, cum se aplică metoda reducerii la unitate?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
1600 călători …………..10 curse /zi……………… ……………..5 zile
1 călător ………………….10 curse /zi……………… …………..5
1600 zile
1 călător …………. ………..1 cursă /zi…………………………….5×10
1600 zile
2400 călători ……… ……..1 cursă /zi…………………………..5×10×2400
1600 zile
2400 călători ……………12 curse /zi………………….. ……..5×10×2400
12×1600 = 6 zile, 6 ore
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
a) Răspuns: 6 zile și 6 ore.
b) Rezolvarea problemei printr -o altă metodă : Metoda proporțiilor
Se scriu datele problemei :
195 1600călători………………10curse/zi…………………………….5zile
2400 călători………………..12curse/zi…………………………….x zile
x- numărul de curse, y – numărul de călători, z – timpul
-mărimile : x y z
p.i. p.d.
-valorile x1 =10……………y1=1600……………….z1=5 zile
x2=12…….……..y2=2400………………z2=?
de unde z2=z1×x1
x2×y2
y1, adic ă z2=5×10
12×2400
1600= 61
4 zile
c) Formula literală (generalizarea problemei)
z2=z1 × x1
x2 × y2
y1
d) Formula numerică
z2= 5× 10
12 × 2400
1600
Observație:
Se explică elevilor că acest raționament se aplică la fel unei întregi clase de probleme,
cu aceleași date numerice sau nu.
Exemple:
1.Un număr de avione pot transporta 1600 de călători în 5 zile, făcând câte 10 zboruri
pe zi. Câte zile sunt necesare pentru ca aceași număr de avioane și de aceiași tip să
transporte 2400 de călători în 12 zboruri?
2.Un număr de căruțe pot transporta 1600 de tone de grâu în 5 zile, făcând câte 10
drumuri pe zi. Câte zile sunt necesare pentru ca aceași număr de căruțe și de același
tip să transporte 2400 de tone de grâu în 12 drumuri?
3.Un număr de muncitori pot planta 1600 de puieți în 5 zile, făcând 10 rânduri pe zi .
Câte zile sunt necesare pentru ca aceași număr de muncitori să planteze 2400 de
puieți făcând 12 rânduri /zi?
2.Sarcina dată: Realiz ați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei
probleme:
Trei studenț i rezolvă în două zile 50 de probleme. Câți studenț i vor rezolva în 5 zile
250 de probleme de același grad de dificultate, colectivul grupei fiind omogen.
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale
problemei sunt prelu ate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru
învățători și părinți, Autori: Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M., Ed. Sigma,
București, 2000.
Etapele rezolvării problemei:
Etapa I: „Citesc și înțeleg”
-Se citește problema de către profeso r și se repetă de către unul -doi elevi.
-Se explică termenii necunoscuți , dacă este cazul .
-Se po t purta discuții cu elevii pe subiecte inspirate de textul problemei.
-Se scriu datele problemei pe tablă :
2 zile…………………….50 probleme……………………. …3 studenț i
5 zile …………………….250 probleme……………………. x studenț i
-Se insistă pe ce se dă și pe ce se cere .
Etapa a II -a: „Planific și calculez”
196 -Se precizează metoda de rezolvare a problemei: Regula de trei compusă. Se repetă pe
scurt metoda reducerii la unitate și/sau metoda proporțiilor.
-Se adresează elevilor întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării problemei:
1. Prin ce metode poate fi rezolva tă această problemă? (Metoda reducerii la unitate
sau metoda proporțiilor)
2. Număr ul zilelor va crește dacă vor fi mai mul ți studenți ?
3.Ce se înțelege prin regula de trei simplă?
4.În ce constă metoda reducerii la unitate?
6.Ce mulțimi de numere apar î n problemă? Zile: {2, 5}, Probleme : {50, 250},
Studenți : {3, x}
7. Ce proporționalitate există între mulțimile de numere care apar în problemă și
mulțimea studenților ?
Zile: {2, 5}, Studenți : {3, x} – proporționalitate invers ă (i.p.).
Probleme : {50, 250}, Studenți : {3, x} – proporționalitate direct ă (d.p.).
8.După transcrierea primului rând, cum se aplică metoda reducerii la unitate?
Etapa a III -a: „Organizez și redactez”
Planul logic de rezolvare:
2 zile………………….. …..50 probleme…………………….3 studenți
5 zile …………………….250 probleme……………………. x studenți
În desfășurarea raționamentului , se copiază linia I , inițial se consideră constant
numărul de probleme , și se obține:
2 zile…………………….50 probleme…………………….3 studenți
1. Câți studenți vor rezolva într -o singură zi 50 de probleme?
1 zi…………………… …50 probleme…………………….3×2 studenți
2. Câți studenți vor rezolva într -o zi o problemă?
1 zi……………………. 1 problemă……………………. 3𝑥2
50 studenți
3. Câți studenți vor rezolva o singură problemă în 5 zile?
5 zile……………………. 1 problemă……………………. 3𝑥2
50𝑥5 studenți
4. Câți studenți vor rezolva în 5 zile 250 de probleme?
5 zile…………………….250 probleme……………………. 3𝑥2𝑥250
50𝑥5 studenț i = 6 studenți
Etapa a IV -a: „Verific și dezvolt”
– a) Răspuns: 6 studenți vor rezolva în 5 zile 250 de probleme .
– b) Compunerea unei probleme după modelul celei rezolvate anterior:
3 cofetari fac în două zile 50 de eclere. Câți cofetari vor face în 5 zile 250 de eclere?
Exemplifică rezolvarea problemei :
Un număr de avione pot transporta 1600 de călători în 5 zile, făcând câte 10 zboruri
pe zi. Câte zile sunt necesare pentru ca aceași număr de avioane și de aceiași tip să
transporte 2400 de călători în 12 zboruri? cu ajutorul R egulii de trei compusă.
R: Reve zi paragraful 8.7.3.6. – Exemplu
197 Să ne reamintim…
Regula de trei compusă poartă acest nume, deoarece este alcătuită din cel puțin
două reguli de trei simple . Această regulă se aplică pentru calcularea valorii mărimii
care conține necunoscuta și care depinde de cel puțin două mărimi, cu care
considerată pe rând, separat, este sau direct sau invers proporțională
Există două modalități de a re zolva o problemă c u ajutorul Regulii de trei
compusă : Metoda reducerii la unitate sau Metoda proporțiilor.
7.3.7. Probleme de mișcare
Problemele de mișcare sunt acele probleme de matematică în care se află una dintre
mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații
între acestea.
Spațiul (s) sau ( d) distanța este lungimea drumului parcurs de un mobil ( bicicletă, avion, tren,
autocar, autoturism, om, etc.) expri mat în unități de lungime.
Timpul (t) este numărul de unități de timp în care se parcurge un spațiu.
Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într -o unitate de timp,
exprimată prin unități de lungime pe unități de timp.
În problemele de mișcare se va utiliza legea mișcării uniform e. În acest caz se folosesc
formulele:
s = v t, v =
ts , t =
vs .
În scopul clasificării problemelor de mișcare, I. Neacșu afirmă : “Din motive metodologice, la
nivelul claselor I -IV, problemele de mișcare le clasificăm în două categorii, și anume : 1. probleme
de mi șcare în același sens – (numite de noi și probleme de urmărire); 2. probleme de mi șcare în
sensuri contrare .”(Neacșu, I., coord., 1988, p. 248)
Exemplu
Problemă de mișcare – de întâlnire :
Realizați un demers didactic complet pentru rezolvarea următoarei probleme :
Un motociclist a pornit din Iași spre București cu 40 km/h. Altul a pornit din Bucu rești spre Iași cu
38 km/h. Se întâlnesc după 4 ore. Ce distanță este între cele două orașe? (Lung, Ana, 777 de
probleme de aritmetică, pentru clasele I – IV, Vol. I, Ed. PROMEDIA Plus, Cluj -Napoca, 1999,
Vol.I -Enunțuri, p. 79)
Observație: Sintagmele care denumesc sugestiv cele patru etape de rezolvare ale problemei sunt
preluate din Manual de matematică pentru clasa a IV –a. Ghid pentru învățători și părinți, Autori:
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M.,Ed. Sigma, București, 2000.
I. „Citesc și înțel eg”
-Se citește problema de către profesor și se repetă
de către 1 -2 elevi .
-Se explică termenii necunoscuți dacă este cazul .
-Se poartă discuții legate de textul problemei .
-Se insistă pe ce se dă și ce se cere .
-Se scriu datele problemei pe tablă:
Se dă: v1=40km/h
v2=38km/h
t1=t2=4h
Se cere: II. „Planific și calculez”
-Se precizează metoda folosită sau categoria de
probleme din care face parte : problemă de
mișcare, deoarece pe prcursul rezolvării ei se
folosește cel p uțin o dată una dintre formulele :
D=vxt, t=D/v, v=D/t .
-Se realizează desenul :
I C B
40km/h 38km/ h
198 DI-B=? km.
-Se explică notațiile făcute în scrierea problemei :
v1-viteza primului motociclist
v2-viteza celui de al doilea motociclist
t1= t2-timpul după care se întâlnesc
km/h – kilometri pe oră
DI-B-distanța de la Iași la București
I- Iași
B- București .
-Se pun întrebări ajutătoare înțelegerii rezolvării
problemei :
1. Ce formulă folosim pentru afla distanța în
general?
2. Unde se vor întâlni după 4 ore, mai aproape de
Iași sau de București? De ce? Fie C punctul de
întâlnire.
3. Ce putem afla prima dată, folosind datele
ipotezei?
IV . „Verific și dezvolt”
1.Se verifică rezultatele obținute pe toate datele
problemei .
Verificarea :
t1=D1:v1
t1=160:40=4 (h) (A)
t2=D2:v2
t2=152:38=4 (h) (A)
2. Răspuns :
DI-B=312 (km)
3. Compunerea unei probleme dupa modelul
problemei rezolvate :
Un șofer de camion pornește din localitatea A
spre localitatea B și circulă cu o viteză de 40km/h,
un alt șofer pornește tot cu un camion din
localitatea B spre localitatea A și circulă cu o
viteză de 38 km/h. Care este distanța dintre cele
două localități , știind că ei se întâlnesc după 4 ore.
4. Scrierea formulei numeric e:
40x 4+3 8×4
5. Scrierea formulei literal e Generalizarea
problemei : axb+cxb
Observație : această metodă de rezolvare este
valabilă pentru o întreagă clasă de probleme.
Exemple :
1. De pe două pârtii pornesc spre vale doi schiori.
Un schior a pornit cu viteza de 40 km/ h. Altul a
pornit cu 38 km/h. Cei doi se întâlnesc după 4 ore.
Ce distanță au parcurs împreună ?
2. Andrei pleacă cu mașina din orașul B spre
orașul C cu viteza de 40 km/h. George pleacă cu
mașina din orașul C spre orașul B cu viteza de 38
km/h. Cei doi băieți se întâlnesc după 4 ore. Care
este distanța dintre cele două orașe?
3.Pe Dunăre pleacă simultan unul spre altul două
vase, din dreptul localităților B și C, unul cu
viteza de 40 km/h, iar celălalt cu viteza de 38
km/h și se întâlnesc după 4 o re. Care este distanța
dintre cele două localități?
4.Doi călăreți pleacă în același timp din sate
diferite A și B. Primul călăreț are viteza de III. „Organizez ș i redactez”
Planul logic de rezolvare :
1. Câți km a parcurs primul motociclist până la
punctul de întâlnire?
D1=v1xt1
D1=40×4=160 (km)
2. Câți km a parcurs al doilea motociclist până la
punctul de întâlnire?
D2= v2xt2
D2=38×4=152 (km)
3.Care este distanța între cele două orașe?
D=D1+D2
D=160+152=312 (km)
199 40km/h, iar cel de -al doilea pleacă cu viteza de 38
km/h și se întâlnesc după 4 ore. Care este distanța
dintre cele două sate?
5.Doi bicicliști pornesc unul spre altul din orașele
B și C. Care este distanța dintre cele două orașe
dacă primul biciclist are viteza de 40 km/h și al
doilea biciclist are viteza de 38 km/h și se
întâlnesc după 4 ore?
Exemplifică rezolvarea unei problem e de urmăr ire.
R: Reve zi paragraful 8.7.3.7. -Exemplu.
Să ne reamintim…
Problemele de mișcare sunt acele probleme de matematică în care se află una
dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele
sau diferite relații între acestea.
7.3.8. Probleme nonstandard
Problemele nonstandard , după cum afirmă I.Neacșu reprezintă : “o categorie aparte de
probleme care nu se supune exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care nu
permite aplicarea unei metode (învățate). ”(Neacșu, I., coord., 1988, p. 257)
Această categorie cuprinde : probleme recreative, rebusistice, de perspicacitate, etc.
Prin acest tip de probleme , elevul își dezvoltă gândirea și imaginația , își cultivă creativ itatea,
deoarece nici o problemă nu seamănă cu alta, el fiind obligat să găsească o cale personală de
rezol vare.
Exemplifică o problemă nonstandard.
R: Reve zi paragraful 8.7.3.8.
Să ne reamintim…
Problemele nonstandard , după cum afirmă I.Neacșu reprezintă: “o categorie aparte
de probleme care nu se supune exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat
până acum și care nu permite aplicarea unei metode (învățate).”
99.. Rezumat
Activitatea de rezolvare și compunere a problemlelor are cele mai bogate valențe
formative, în cadrul ei valorificându -se atât cunoștințele matematice pe care le are
elevul/copilul, cât și niv elul lui de dezvoltare intelectuală.
După Dicționarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), problemă de
Exemplifică și re zolvă o problemă nonstandard.
Soluție :
Anali zând succesiunile de câte 3 numere de mai jos, completați în a patra succesiune
numerele y și z care lipsesc:
a) 12, 134, 8.
b) 0, 1905, 15.
c) 16, 2811, 12.
d) y, 451, z .
Rezolvare : Se observ ă că: 12=1x3x4, iar 8=1+3+4. 0=1x9x0x5, iar 15=1+9+0+5.
16=2x8x1x1, iar 12=2+8+1+1. Deci y=4x5x1=20, iar z=4+5+1=10 .
200 matematică înseamnă : “chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere
rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, asupra unor date.”
Problemele de matematică se clasifică din punct de vedere al numărului de
operații în: probleme simple (cele care se rezolvă printr -o singură operație) și
probleme compuse (cele care se rezolvă prin cel puțin două operații).
Metodele aritmetice se clasifică în două categorii: metode aritmetice generale
și metode aritmetice particulare.
Metodele aritmetice generale sunt : metoda analitică și metoda sinteti că.
Metoda analitică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la
cerințe spre date.
Metoda sintetică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la date spre
cerințe.
Metodele aritmetice particulare sunt mai variate și diferă de la o categorie de
probleme la alta, adoptându -se specificului acestora. Cele mai importante și mai des
întâlnite sunt următoarele: metoda figurativă sau grafică, metoda comparației,
metoda falsei ipoteze și metoda mersului invers.
De asemenea, în afar ă de metodele menționate mai sus, există și alte metode
speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt
problemele de: regula de trei simplă sau compusă, în rezolvarea cărora se utilizează
reducerea la unitate și metoda propo rțiilor, problemele de mișcare, problemele
nonstandard, etc.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metodologia Rezolvării Problemelor De Matematică (pregătire Licență) [603159] (ID: 603159)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.