Metodologia Predarii Invatarii Notiunii de Problema Si de Rezolvare Si Compunere a Problemelor In Invatamantul Primar
PLANUL LUCRĂRII
Argument
ROLUL MATEMATICII ÎN DEZVOLTAREA GÂNDIRII
1. Dezvoltarea psihică a copiilor de vârstă școlară mică
2. Gândirea ca activitate specifică de rezolvare a problemelor
I.2.1. Caracterizarea gândirii
I.2.2. Operații generale ale gândirii
I.2.3. Operațiile specifice gândirii
I.2.4. Formele gândirii din punct de vedere psiholgic
II. REZOLVAREA DE PROBLEME
II.1. Noțiunea de problemă
II.1.1. Etape de rezolvare a problemelor
II.2. Rezolvarea de probleme
II.2.1. Metodele de învățământ din perspectiva cultivării gândirii elevilor
II.3. Clasificarea problemelor
II.4. Metode aritmetice folosite în rezolvarea problemelor
II.4.1. Metode generale
Metoda analitică
Metoda sintetică
II.4.2. Metode tipice sau particulare
Metoda figurativă sau grafică
Metoda falsei ipoteze
Metoda comparației
Metoda reducerii la unitate
Metoda mersului invers
II.5. Căi și mijloace de sporire a eficienței în rezolvarea problemelor în învățământul primar
III. COORDONATELE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE
III.1. Obiectivele și ipoteza cercetării
III.2. Eșantionul experimental
III.3. Etapele cercetării
III.4. Metodele de cercetare, tehnicile și instrumentele utilizate
III.5. Descrierea probelor
III.6. Analiza comparativă a rezultatelor cercetării
concluzii
bibliografie
ARGUMENT
„Lumea nu e a cui o străbate cu piciorul,
ci a cui o înțelege cu gândul.”
NICOLAE IORGA
În epoca contemporană, epoca dezvoltării rapide a vieții în toate domeniile, în care știința devine forță de producție, epoca utilizării tehnicii celei mai avansate, afirmația că este nevoie de matematică este insuficientă.
Astăzi matematica se aplică în domenii foarte variate de fenomene, nu numai în fizică sau în tehnică, unde a fost și este instrumentul esențial, ci în mai multe științe sociale.
Matematica devine una din componentele oricărei activități umane care se vrea precisă și în care se vrea să se obțină rezultate clare, solide, perfect inteligibile.
Despre valoarea aplicațiilor matematice în practică vorbește viața însăși, mai ales astăzi când cuceririle matematicii sunt utilizate în forme variate în cele mai diverse domenii.
Matematica, prin problematica diversă și complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor formelor intelectuale, psihice și fizice ale elevilor, contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii, precum și la diversificarea căilor de acțiune a omului în natură și societate.
Este obiectul de învățământ care acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne: practică, globală, probabilistică, modelatoare, operatoare, pluridisciplinară, perspectivă etc. De aceea, matematica are un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a omului.
Munca cu problemele constituie terenul cel mai favorabil pentru dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii elevului, dacă ei dispun de o anumită independență în rezolvări și mai ales dacă reușesc să compună probleme după propria lor mentalitate, după propria lor experiență.
Școala trebuie să procure elevului un climat favorabil creativității gândirii.
Învățătorul trebuie să creeze situații care fac să se nască la copil probleme, care pun în joc capacitatea creatoare a gândirii copilului, legate de lumea sa afectivă, de sistemul său propriu de interese și reprezentări.
Nu există copil dezvoltat normal intelectual care să nu fie înzestrat cu capacități creative într-o măsură mai mare sau mai mică și ca aceste capacități să nu poată fi restructurate funcțional s-au optimizate pe calea unei influențe educaționale corespunzătoare.
Mi-am ales tema: „METODOLOGIA PREDĂRII- ÎNVĂȚĂRII NOȚIUNII DE PROBLEMĂ ȘI DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR” deoarece:
este absolut necesar să formăm capacitatea elevilor de a transfera logic, de la o
disciplină la alta, de la o arie curriculară la alta, conținuturile în funcție de necesitățile, trebuințele și de contextele situaționale;
se impune trecerea de la stocarea informației la o prelucrare logică, astfel încât aceasta să-și găsească aplicabilitatea în practică;
este necesară stimularea creativității, a imaginației și a gândirii flexibile pentru o
structurare temeinică, sistematică a informației, a aptitudinilor, a capacităților.
Lucrarea este structurată pe 4 capitole. În redactarea ei am utilizat programa școlară, manualele de Matematică pentru clasele I-IV, precum și materialele de specialitate prezentate în bibliografie.
Primul capitol „Rolul matematicii în dezvoltarea gândirii”, tratează cunoașterea elevului – condiție fundamentală în vederea folosirii corecte și eficiente a metodelor didactice și importanța problemelor matematice și locul lor în procesul de învățământ.
Al doilea capitol, „Rezolvarea de probleme”, prezintă metodele de învățământ precum și grupările de operații specifice implicate în reguli prin care se rezolvă categorii mari de probleme, cuprind strategii de gândire compuse din pași organizați într-un anumit mod. Aceste reguli constituie algoritmii gândirii. Prin algoritmi se realizează o esențializare și o generalizare a operațiilor de gândire. Ei se însușesc și se consolidează prin învățare și utilizare în practica școlară.
În capitolul al treilea „Coordonatele metodologice ale cercetării aplicative” sunt prezentate obiectivele și ipoteza cercetării, eșantionul experimental, etapele cercetării.
În ultimul capitol al lucrării ,,Organizarea, prelucrarea și interpretarea rezultatelor cercetării” sunt prezentate date comparative ale rezultatelor cercetării.
Tema lucrării a fost aleasă pornind de la premisa că munca desfășurată pentru rezolvarea problemelor are și un important rol educativ, prin contribuția valoroasă pe care o aduce la dezvoltarea în general a facultăților mentale, cu deosebire a gândirii, antrenând în cea mai mare măsură operații logice de analiză și de sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.
În general, munca de rezolvare a problemelor dezvoltă gândirea, îmbogățește volumul de cunoștințe al elevilor și contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbajul matematic.
Mi-am ales această lucrare pentru că îmi place mult matematica și am acordat o atenție deosebită predării-învățării integrate cu diferite arii curriculare al acestui obiect.
Avantajele acestui nivel de integrare curriculară îi sprijină pe elevi, învățarea fiind una de durată, ea căpătând un sens real.
Un bun învățământ al matematicii este acela care găsește calea prin care „să transmită elevilor nu ca o știință gata făcută.” (Andre Revuz – „Matematica modernă, matematica vie”), ci să formeze la elevi un mod de gândire, care să-i conducă să descopere ei înșiși matematica.
CAPITOLUL I
ROLUL MATEMATICII ÎN DEZVOLTAREA GÂNDIRII ȘI CREATIVITĂȚII
„Dați copilului dorința de a învăța,
restul vine de la sine.” J. J. Rousseau
I.1. Dezvoltarea psihică a copiilor de vârstă școlară mică
„Trebuie să iubești copiii cu o dragoste reală, profundă și înțelegătoare.
E necesar să simți plăcerea de a fi împreună cu ei,
de a-i cunoaște, în școală și în afara școlii.”
William Platt
Dezvoltarea psihică din perspectiva pedagogică este un proces complex de trecere de la inferior la superior, de la simplu la complex. Mica școlaritate este perioada când se modifică substanțial regimul de munca și de viață al copilului. Dar școala oferă o educație organizată, gradată, programele educative având o mare coerență în a pregăti copilul pentru integrarea culturală și socială.
ADAPTAREA ȘCOLARĂ
Perioada școlară mică este axată pe cerința adaptării la viața școlară. Adaptarea școlară și educația primită în mediul familial joacă un rol important în formarea și dezvoltarea aptitudinii de școlaritate. Aptitudinea de școlaritate presupune existența unui ansamblu de calități, însușiri în plan: senzorio-motor, cognitiv, afectiv-motivațional și volițional, care permit copilului să facă față cerințelor formulate de școală, asigurând desfășurarea cu succes a activității școlarului. Cunoașterea profilului psihologic al școlarului mic joacă un rol important în abordarea strategiilor didactico-educative, în stilul de muncă al cadrului didactic, în relațiile cu elevii, în cadrul activităților școlare. Capacitățile necesare copilului pentru a se integra cu succes în clasa I depind de următorii factori:
1. Dezvoltarea fizică:
dezvoltarea motorie complexă;
pregătirea mâinii pentru scris.
2. Dezvoltarea intelectuală:
formarea capacității de a observa sistematic și de a înțelege fenomene
simple;
dezvoltarea capacităților perceptive, de vorbire cursivă, de gândire logică, de memorare, atenție și imaginație;
orientarea în spațiu și timp;
formarea unor deprinderi de muncă intelectuală;
formarea deprinderilor de comportare civilizată și adaptare socială.
3. Dezvoltarea socio-afectivă:
-rezolvarea unor sarcini care necesită efort de voință și atenție, perseverență și cooperare cu alții;
– capacitate de relaționare la mediul școlar;
– trezirea interesului pentru activitatea școlară.
Școala, grădinița și familia sunt părți ale mediului cultural educativ al unei societați. Toate trei exercită funcții de tutelă asupra copiilor și au în vedere pregătirea lui pentru viața social profesională. În același timp,fiecare dintre cele trei structuri culturale acționează în timp și, ca atare, cu măsuri educative multiple, gradate și latent adaptate la particularitățile de vârstă ale copilului.
Odată cu intrarea copilului în școală învățarea devine tipul fundamental de activitate.Când copilul a frecventat grădinița, acesta se va adapta mai ușor la programele școlare, la orarul zilei la care se mai adaugă și necesitatea de a-și concentra atenția la spațiul de comunicare din lecție, precum și descărcări de tensiune(trăirea competiției din timpul activitatilor didactice și joaca din timpul pauzelor).
Școala introduce în fluxul activității copilului un orar pe care elevul este obligat să-l respecte. El trebuie să ajungă la școală la o anumită oră, care nu mai este flexibilă, așa cum era în grădiniță. Cu tact pedagogic, cadrul didactic trebuie să-l facă pe copil să conștientizeze necesitatea sosirii la școală la o anumită oră. De aceea este indicat ca, la începutul programului, în cadrul primei ore de curs, să se desfășoare activități cât mai interesante, care să-i atragă pe copii și să-i determine să ajungă la timp pentru a nu le pierde. De exemplu, se poate începe cu un joc distractiv la care, dacă un elev întârzie, nu mai poate să participe. Pentru rezolvarea acestei situații, învățătorul trebuie să discute și cu părinții celui în cauză, care pot avea partea lor de vină. Părinții trebuie să asigure acasă astfel de condiții de viață și de muncă, încât să-i permită copilului să facă față programului școlar. Este foarte importantă colaborarea învățătorului cu familia pentru o bună integrare și adaptare a copilului în sistemul școlar.
Sistemul de cunoștințe noi, de exigențe și îndatoriri, pe care școala îl pune în fața școlarului mic, poate provoca un șoc al școlarității. Copilul este nerăbdător să-și pună ghiozdanul în spate și să meargă la școală, să învețe să scrie și să citească, să-și cunoască colegii și învățătorul. De aceea, el nu trebuie dezamăgit. Nu este indicat ca din primele zile elevii să fie puși în fața unor exigențe prea mari. Totul trebuie să evolueze de la simplu la complex pentru a nu provoca reacții de respingere față de școală. Deosebit de importante sunt temele pentru acasă, care constituie un element cu adevărat nou pentru micii școlari. Acestea nu trebuie să ocupe foarte mult din timpul copilului. Este recomandabil ca ele să conțină elemente atractive.
Învățătorul este cel care-i va ajuta pe copii să se adapteze la tot ceea ce presupune școala, printr-o relație sinceră și deschisă, care-i va face pe copii să-și învingă teama și chiar insuficienta lor pregătire pentru viața de școlar. Nu toți copiii se confruntă cu aceleași probleme. De aceea, noi, învățătorii, cu răbdare, pricepere și dăruire, trebuie să ne apropiem de mintea și sufletul fiecăruia și să-1 ,,înaripăm” pentru a merge mai departe în viață.
Adaptarea la școală, la ocupațiile și relațiile școlare presupune o oarecare maturitate din partea copilului, precum și tact pedagogic, experiență din partea învățătorului, care să-i insufle capacitatea de a se lipsi de afectivitatea îngustă din mediul familial și de interesele imediate ale jocului, pentru a pătrunde într-un univers de legături sociale și a-și asuma îndatoriri.
Copiii prezintă niveluri diferite de achiziție, deci vor dovedi niveluri diferite de adaptare școlară. Problema adaptării este intens dezbătută de specialiști, deoarece de ea depinde reușita sau eșecul școlar. Cu cât un elev este mai bine adaptat cu atât rezultatele la învățătură vor fi mai bune. Analiza mediului școlar arată ca principalele dificultăți întâmpinate la intrarea în școală pot fi clasificate astfel :
-dificultăți afective-acestea sunt datorate unui grad mai mare de formalism, lipsit de relațiile calde și apropiate care caracterizau viața din familie sau din grădiniță;
-dificultăți cognitive –acestea sunt datorate nivelelor diferite de dezvoltare cognitivă la care se află copiii la intrarea în școală, la care se adaugă strategiile didactice folosite de cadrul didactic la clasă;
-dificultăți de organizare spațio-temporare –acestea sunt datorate limitelor intrinseci acestor noțiuni la copilul de 6/7 ani când copilul nu-și poate reprezenta singur drumul spre casă, uneori cerințele fiind mai multe si mai mari de atât. Și organizarea școlară pe clase/discipline/lecții/semestre necesită înțelegere din partea copilului;
-dificultăți de organizare a motivelor pentru atingerea unei acțiuni cu coordonare în spațiu și timp-acestea sunt datorate, de exemplu, prin temele pentru acasă ce trebuie să fie rezultatul unei acțiuni coordonate în timp;
-dificultăți de relaționare cu adulții și grupul de copii de aceeași vârstă și de vârste mai mari, deoarece la 6/7 ani copilul abia a trecut de perioada decentrării.
Erikson a considerat perioada ca fiind determinantă pentru consolidarea procesului de achiziție a sinelui și a înțeles tendința de a construi a copilului ca fiind crucială, pentru că îi asigură importante aptitudini ce fundamentează tendința vocațională de mai târziu. Interacțiunea cu școala este cea care care pune bazele atitudinii copilului și credințelor sale cu privire la propriul succes sau insucces, ca o componentă a imaginii de sine. Studiile arată că atitudinile pozitive față de succes sunt de multe ori responsabile de reușita copiilor. Succesul aduce cu sine un sentiment de încredere, iar eșecul trage după sine construirea unei imagini negative de sine, un sentiment de inadecvare, de incapacitate, care determină comportamentul negative față de învățare. Intrarea in școlaritate este un pas enorm pentru cei mai mulți copii.
Observarea comportamentelor concrete ale copiilor, convorbirile cu părinții, cu educatorii și cu copiii, sugerează existența unei simptomatologii a trecerii și, implicit, a adaptării de la copilăria preșcolară, dominată de structurile și motivele activității ludice, la copilăria școlară ce tinde a se așeza sub influența dominantă a structurilor și motivelor activității de învățare.
Această trecere și adaptare se face sub impactul maturizării unor premise psihice interne, între care pot fi menționate:
– dezvoltarea motivelor și a intereselor de cunoaștere ale copiilor și posibilitatea convertirii lor în suport al efortului intelectual dirijat;
– capacitatea de a efectua acțiuni variate nu numai în plan material, ci și mental;
– creșterea ponderii momentelor verbale în analiza reprezentărilor sub impactul descrierii și al povestirilor celor din jur- premisă a dezvoltării memoriei logice și a gândirii abstracte;
– creșterea indiciului independenței proceselor intelectuale, care iau forma unor acțiuni teoretice speciale (raționamente), ce vor juca un rol deosebit în medierea demersurilor cognitive solicitate de învățare.
SISTEMUL NERVOS
Creșterea este lentă la începutul stadiului și se accentuează ulterior.Creșterea în greutate se va face in medie cu 3,5 kg/an iar în înălțime cu aproximativ 6 cm/an. Apar unele diferențe între creșterea ponderală și în înălțime la fete și băieți (115-130cm la băieți ,iar la fete între 110-130 cm). Creșterea perimetrului cranian este foarte lentă în cursul acestei perioade. Între 6 și12 ani perimetrul cranian crește de la 51 la 53-54 cm. La sfârșitul acestei perioade, creierul atinge dimensiunile unui adult ( E. Ciofu, C. Ciofu, 1997). Continuă procesul de osificare care produce modificări ale înfățișării,mai ales la nivelul feței (arcadele, maxilarele). Tot la nivelul feței are loc are loc fenomenul schimbării dentiției provizorii (de lapte) în dentiție permanentă, proces ce se realizează prin asociere cu unele stări de disconfort.
În planul evoluției psihologice se produc achiziții spectaculoase:
-din punct de vedere senzorial, achiziția citit – scrisului solicită intens toată gama de senzații, percepții și reprezentări. Se dezvoltă sensibilitatea tactilă a mâinii, dar și cea vizuală și auditivă. Crește capacitatea de apreciere vizuală a mărimii, crește și posibilitatea de a învăța mișcări complexe prin imitare. Progresează foarte mult și auzul fonematic care are un rol important în scris –citit;
– din punct de vedere olfactiv și gustativ crește abilitatea copilului de a clasifica gusturile și mirosurile.
– motricitatea fină a mâinii și evoluția sensibilității tactile permit copilului să obțină performanțe mai bune la abilități practice și desen;
– percepția progresează foarte mult devenind acum deliberată, sistematică, analitică. Copilul de 6/7-10/11 ani dobândește posibilitatea de a percepe mai realist mărimea, greutatea, spațiul și timpul. Acum apreciază mai realist durata de desfășurare a fenomenelor;
– reprezentările sporesc în volum, apar reprezentări noi, care explică de ce școlarul mic se ancorează tot mai bine în realitate.
Perioada școlară mică poate fi considerată de tranziție între copilăria mică și pubertate, tranziție în care cresc momentele de criză ale dezvoltării ce apar ca urmare a schimbărilor și tensiunilor frecvente la nivelul organismului. Aceasta creează și o serie de inabilități și instabilități motorii cu dificultățile ce le generează în însușirea unor deprinderi (cum sunt și cele ale scrisului) și în desfășurarea unor acte practice. Treptat, aceste dificultăți se reduc și ca efect al dezvoltării organismului în ansamblu, dar mai ales ca urmare a exercițiului, a antrenamentului și a creșterii capacității de control voluntar al conduitelor proiectate și exercitate.
În acest context se dezvoltă organele de simț și implicit modalitățile senzoriale, posibilitățile de a reflecta în mod complex obiectele și fenomenele cu care vine în contact. Gustul și olfacția, dar mai cu seamă văzul, auzul și tactul fac posibilă o mai bună orientare și adaptare la mediu, extinderea câmpului de acțiune și dezvoltarea unor noi abilități.
Perioada de la șapte la doisprezece ani, afirma H. Wallon, este aceea în care obiectivitatea înlocuiește sincretismul. Această trăsătură însoțește dinamica evoluției copilului, de la procesele senzorial-perceptive până la trăsăturile de personalitate. Este perioada în care continuă să se dezvolte toate formele de sensibilitate (vizuală, auditivă, tactilă, kinestezică, etc), precum și toate formele complexe ale percepției: spațiului, timpului, mișcării. Sub influența sistemului de solicitări determinat de activitatea școlară, percepția își diminuează caracterul sincretic, sporind în precizie, volum, inteligibilitate. Crește acuitatea discriminativă față de componentele obiectului perceput; se formează schemele logice de interpretare ce intervin în analiza spațiului și timpului perceput.
Acum trebuie realizate obiective importante ale învățării perceptive, precum: dezvoltarea sensibilității și a activității discriminative a analizatorilor; însușirea unor criterii și procedee de explorare, investigare a câmpului perceptiv (vizuală, tactilă, auditivă); ordinea de relevare a însușirilor obiectelor și fenomenelor realității; formarea unor structuri perceptive, cum sunt cele corespunzătoare cifrelor, semnelor convenționale.
Reprezentările suportă modificări importante atât sub raportul sferei și conținutului, cât și în ceea ce privește modul lor de producere și funcționare. Astfel, are loc o creștere și diversificare a fondului de reprezentări individuale și generale. De la caracterul difuz, contopit, nediferențiat, nesistematizat, reprezentările devin mai precise, mai clare, coerente. Sub acțiunea învățării și prin intermediul funcției reglatorii a limbajului, devin posibile: evocarea cu mai multă ușurință a fondului de reprezentări existent; generarea de noi reprezentări, combinarea și înlănțuirea lor.
Dezvoltarea intelectuală
După opinia psihologilor, dezvoltarea intelectuală constituie principalul salt calitativ al școlarității mici; gândirea intuitivă cedând locul gândirii operatorii. „Gândirea este reflectarea lumii în creierul omului, o reflectare generalizată, mijlocită, orientată spre un scop și care se realizează cu ajutorul limbajului” (Sima, I p.83). Psihologia genetică, (Piaget) a demonstrat că la această vârstă copilul este capbil să surprindă fenomene inaccesibile simțurilor. Cu ajutorul operațiilor mintale reversibile, copilul poate descoperi ceea ce este identic, constant, permanent. Se formează astfel ideea de invarianță: la 7-8 ani copiii admit conservarea substanței, către 9 ani recunosc conservarea greutății, iar la 12 ani, conservarea volumului.
Memoria – rămâne predominant memoria mecanică (apogeul memoriei mecanice este în jurul vârstei de 8 ani), memoria involuntară și cea de scurtă durată.
Memoria copilului dispune si de experiența concretă, intuitivă, cuprinsă în scheme, în simboluri și o manipulează. Rezervele mnemice (ale memoriei) cresc foarte mult în perioada școlară mică datorită capacităților mnemice involuntare. Acestea au nu numai funcții legate de posibilitatea de a folosite la nevoie, ci și de a înlesni înțelegerea. „Memoria nu poate fi disociată de operațiile de gândire, de dezvoltare a inteligenței. Pe măsură ce operațiile logice se cristalizează, codul mnezic se apropie de exigențele gândirii”, afirma I. T. Radu. Date fiind acestea, prezintă un rol important în memorare (fixarea, recunoașterea și reproducerea) materialelor didactice plăcute,amuzante,ilustrațiile frumoase, filmulețe pe bază de povești. Memoria este implicată în procesul însușirii de cunoștințe dar și în fixarea, păstrarea, recunoașterea și reproducerea și trăirile excepționale, trăirile artistice, conduite și acțiuni, fiind implicată în relațiile activităților școlare și extrașcolare. Datorită ei, copilul evită conduitele și situațiile de eșec, de tensiune și în mod complementar “reproduce situațiile în care s-a simțit bine ori a reușit să rezolve o încurcătură, să simtă încrederea, simpatia etc. În această formă de memorare există elemente importante de învățare social. ” (P. Mureșan)
Limbajul are o dezvoltare accelerată de-a lungul etapei. Potențialul lingvistic al copilului la debutul școlarității diferă foarte mult în funcție de educația primită în familie.
În această etapă, vocabularul se dublează. Psiholingviștii estimează că la sfârșitul etapei, copilul are un vocabular de 4000-4500 cuvinte, din care 1500- 1600 formează vocabularul activ. La 10-11 ani, copilul stăpânește fondul principal de cuvinte a limbii materne. Debitul verbal atât oral cât și scris progresează constant de-a lungul întregii etape.
Contactul și antrenamentul intensiv în cadrul limbii literare produce importante schimbări în exprimarea verbală a copilului:
– exprimarea se rafinează odată cu pătrunderea în vocabular a termenilor specifici diverselor discipline școlare;
– se ameliorează pronunția în urma progresului înregistrat de auzul fonematic;
– se amelioreză corectitudinea gramaticală a exprimării.
Principala caracteristică a dezvoltării limbajului în învățământul primar rezidă în faptul că limba devine un obiect de învățământ, fiind însușită în mod conștient. Se dezvoltă atât limbajul oral, cât și cel scris.
Imaginația
În această etapă se dezvoltă atât imaginația reproductivă cât și cea creatoare. Copiii sunt, în general, imaginativi în mod spontan. Imaginația reproductivă îl ajută să înțeleagă timpul istoric, raportul dintre contexte și evenimente sociale. Imaginația creatoare îl ajută să-și recupereze energia cheltuită în învățarea de tip școlar. În școală, copilul este adeseori pus în situația de a evoca evenimente la care nu a participat și despre care aude prima dată. Pentru a le înțelege, el este nevoit să facă apel la imaginație, să combine și să recombine o serie de imagini etc. Imaginația reproductivă este solicitată mereu în procesul înțelegerii și învățării, care înlesnește copilului accesul la evenimente necunoscute, la posibilitatea de a crea imagini ce nu își găsesc corespondent în realitatea imediată. Desenele copiilor, colajele creează un teren foarte vast de expresie a personalității și creativității. Cu timpul, se dezvoltă și imaginația creatoare ce reprezintă un nou stadiu în creșterea capacităților copilului de a transforma și modifica unele date, de a elabora altele pe baza celor cunoscute, de a crea o lume voit fantastică sau dimpotrivă, reală – fundamentată logic.
„ Creativitatea artistică a copilului se definește prin capacitatea de a se exprima, prin creații artistice, viziunea și atitudinea sa față de realitatea înconjurătoare” ( Sima, I p. 69)
Atenția
Activitățile școlare bine organizate întrețin caracterul activ al atenției spontane. Deși procesul educativ se bazează mult pe atenție, mobilizarea voluntară a atenției este încă dificilă. Fluctuațiile atenției sunt frecvente. Psihologii disting între neatenția activă și neatenția pasivă. Momentele de destindere din timpul activității școlare constitue o măsură de stimulare, de energizare a atenției. Recreațiile devin pentru copii momente de maximă destindere dacă se întreprinde un joc de mișcare. Aceta are funcții nu numai de relaxare musculară, ci și de oxigenare a plămânilor, de intensificare a bătăilor inimii și mai ales de intrare în acțiune a altor grupuri de neuroni decât celor care au fost solicitați în ore. Sistemul neurohormonal, în ansamblu, trece în timpul jocului în recreații printr-o probă de ritm crescut care amplifică functiile vitale, fapt ce are efecte excelente de odihnă activă. Însușirea cea mai utilă a atenției dobândită prin activitățile școlare este aceea a mobilizării rapide de mare volum, concentrării și adâncimii capacităților psihice.
Voința
Odată cu intrarea în școală se exersează mult caracterul conștient și voluntar al conduitei și se pun bazele unor deprinderi ce vor fi activate prin voință. Odată cu această etapă începe procesul de impregnare volitivă tuturor proceselor psihice: percepția, reprezentarea, memoria, atenția, gândirea. De o mare importanță în activitățile școlare este încrederea de sine , pe care o are școlarul mic în mod diferit și de la caz la caz.Motivațiile implică dorințele de securitate, dorințele de experiențe noi, dorințele de răspuns și de recunoaștere, care acționează ca trebuințe.
Afectivitatea
Intrarea copilului în școală schimbă radical universul afectiv al copilului. La finalul etapei, viața emoțională a școlarului mic devine mai echilibrată. Exigențele adaptării școlare îmbogățesc registrul afectiv: apare sentimentul datoriei, de rivalitate în competiția pentru atenția educatorului, se amplifică sentimentul de teamă.
Apar sentimente morale, estetice și intelectuale. În paralel cu aceste sentimente, pot apărea și afecte negative manifestate în conduite precum: părerea celorlalți colegi, denigrarea, agresivitatea, sfidarea autorității adultului etc. Imitația adultului reprezintă principala cale de socializare afectivă. Frecvent școlarul mic recurge la acte de curaj, bravează pentru a proba trăirile adultului. Către sfârșitul etapei se modifică și exprimarea reacțiilor emoționale. Devine mai cenzurat, mai discret.
Manifestările afective se diversifică și se extind, desprinzându-se două tendințe convergente: „una de expansiune, de detașare față de alte persoane și alta de preocupare față de sine” (I. Nicola, 1994, p. 91). Se dezvoltă emoțiile și sentimentele intelectuale, morale, estetice: viața în grup, raporturile de cooperare, contribuind hotărâtor la dezvoltarea judecății morale la copil. Curiozitatea, trebuința de a afla, de a cunoaște, de explorare și documentare constituie premise ale stimulării, formării și dezvoltării motivației școlare.
„ Cercetările lui Epstein au reliefat faptul că familiile ai căror copii obțin rezultate bune la școală îndeplinesc următoarele caracteristici:
practică o rutină familială zilnică;
monitorizează activitățile extrașcolare ale copiilor;
modelează atitudinile legate de învățătură, autodisciplină și muncă susținută;
exprimă așteptările înalte dar realiste;
încurajează dezvoltarea și progresul școlar;
încurajează cititul, scrisul și discuțiile între membrii familiei” (Negovan, p.164)
Referitor la dimensiunea afectivă, I. Nicola, în „Tratat de pedagogie școlară” (2003), p. 125, menționa că în centrul trăirilor afective se plasează rezonanța socială a activității școlare. Copilul de această vârstă reacționează printr-o gamă variată de stări afective, de plăcere, de bucurie, de durere, de tristețe, de insatisfacție etc. la reușitele sau nereușitele școlare. Tonusul emoțional accentuează sensibilitatea și receptivitatea copilului la schimbările ce intervin în ambianța din care face parte. Reacțiile emoționale nu se învață, se trăiesc. Prin finalitatea lor, emoțiile sunt contradictorii, unele având efecte pozitive, altele negative. Școala stimulează dezvoltarea unor sentimente superioare, de natură intelectuală, morală și estetică. O sursă a motivației o constituie afectivitatea. Trăirile afective, chiar atunci când nu se constituie în motive precizate, se ridică la o mare tensiune psihică: „bucuria, speranța, mulțumirea, îngrijorarea, neliniștea își pun amprenta pe întreaga conduită de învățare a elevului. Elevul nemotivat și lipsit de emoții și sentimente este un elev inactiv, inert, pasiv” (Turcu, p. 11).
Personalitatea
Datorită solicitărilor complexe ale adaptării școlare se consolidează trăsăturile de caracter. În această etapă se pun bazele convingerilor morale fundamentale. Dacă educatorii nu oferă susținerea psihologică necesară copilului la confruntarea cu eșecul, rezultatul în timp va fi profilarea unor trăsături negative de caracter: lene, superficialitate, minciună, dezordine, eschivarea de la efort etc.
Aptitudinile – alături de cele generale (inteligență, spirit de observație etc) se diferențiază și aptitudini speciale (tehnice, muzicale, creație).
Activitatea fundamentală devine învățarea. Prin activitatea de învățare copilul dobândește instrumente care-i facilitează adaptarea în plan social, cultural, economic și de asemenea asimilează noțiuni fundamentale ce-i permit să-și organizeze cunoașterea într-un mod mai eficient.
I.2 GÂNDIREA CA ACTIVITATE SPECIFICĂ DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
I.2.1. Caracterizarea gândirii
Gândirea este un proces de mare complexitate. Gândirea poate fi considerată o activitate, deoarece ea constă într-o succesiune de operații mentale, care duc la evidențierea unor aspecte importante ale realității și la rezolvarea anumitor probleme. Când ne referim la probleme, gândim la situații ce nu pot fi soluționate imediat pe baza experienței anterioare. Una din primele probleme la aritmetică ce le întâlnesc copiii în școlile primare este de tipul următor: Ana și Vlad au împreună 10 banane. Ana are cu două banane mai multe decât Vlad. Câte banane are fiecare copil? Aceasta este o problemă deoarece elevul poate să știe semnificațiile celor patru operații și modul lor de efectuare. Prin gândire se descifrează aspecte esențiale, plecând de la elementele cunoscute din problemă, ceea ce e specific uman. „Deși unii filozofi, cum a fost Rene Descartes, considerau gândirea o calitate specifică spiritului, nevoia de precizie ne obligă să discernem în activitatea psihică numai momentele în relație cu dificultăți de ordin cognitiv și nu orice act de comunicare simplă, automatizat (Bun ziua!)” (Andrei Cosmovici – „Psihologie școlară” , pag. 163).
Operațiile constitutive actelor de gândire pot fi împărțite în două grupe: operații generale – prezente în orice act de gândire și operații specifice în relații doar cu o categorie restrânsă de probleme.
I.2.2. Operații generale ale gândirii
Alături de scheme, simboluri, concepte ca produse și materie primă a gândirii, se află operațiile. Operațiile generale sunt: comparația, analiza, sinteza, abstractizarea și generalizarea.
COMPARAȚIA constă într-o apropiere pe plan mintal a unor obiecte sau fenomene cu scopul stabilirii de asemănări și deosebiri între ele. Se spune că ea ar consta în stabilirea similitudinilor și diferențelor dintre concepte. Dar aceasta presupune analiză și sinteză, comparația fiind doar momentul inițial al reflecției, care necesită alăturarea mintală pentru a putea discerne potriviri ori nepotriviri.
Am propus elevilor clasei a-II-a următorul set de probleme:
Pe un gard sunt 20 de vrăbii. Vânătorul împușcă 10 dintre ele. Câte vrăbii au rămas?
În aer sunt 20 de vrăbii. Vânătorul împușcă 10 dintre ele. Câte vrăbii au rămas?
Pe pământ sunt 20 de vrăbii. Vânătorul împușcă 10 dintre ele.
Câte vrăbii au rămas?
Într-o colivie sunt 20 de vrăbii, vânătorul împușcă 10 dintre ele.
Câte vrăbii au rămas?
Elevii au constatat o serie de detalii comune celor patru
situații-problemă, ceea ce implică o SINTEZĂ (legătura stabilită între obiecte, fenomene sau diferitele lor părți, elemente sau însușiri). Apoi ei au făcut analiza fiecărei situații, ANALIZA fiind separarea mintală a unor obiecte, fenomene sau însușiri, părți, elemente ale lor.
Analizând cele patru situații, au sesizat că răspunsul corect este indicat de locul unde sunt situate vrăbiile.
Rezolvare:
0 vrăbii (10 cad ucise, 10 zboară);
10 vrăbii (celelalte 10 cad ucise);
10 vrăbii (celelalte 10 zboară);
20 vrăbii (toate rămân în colivie).
ABSTRACTIZAREA este o analiză a esențialului, izolarea pe plan mintal a unor aspecte sau relații esențiale dintre obiecte și fenomene.
În abstractizare există conștiința că un anume aspect aparține unei clase întregi de obiecte asemănătoare. Dacă analiza se poate produce foarte repede, abstractizarea poate dura ani de zile. Un exemplu de abstractizare la clasele I-IV constituie proprietățile operațiilor ( comutativitatea, asociativitatea, elementul neutru).
Strâns legată de abstractizare este generalizarea. GENERALIZAREA este operația prin care extindem o relație stabilită între două obiecte sau fenomene asupra unei întregi categorii.
Exemplu:
1: 0= imposibil
2: 0= imposibil
.
2000: 0= imposibil
.
ș.a.m.d. (NU există nici un număr care înmulțit cu 0 să dea rezultatul 1, 2,…2000,…)
generalizăm: Împărțirea la 0 este imposibilă.
I.2.3. Operațiile specifice gândirii
Psihologul Jean Piaget a demonstrat că acțiunile mintale, operațiile specifice gândirii provin din interiorizarea treptată a unor acțiuni pe care copilul le face mai întâi în mod real, în practica de fiecare zi.
Dacă până la 1 an și 6 luni gândirea copilului are loc numai în planul acțiunii concrete, odată cu însușirea limbajului, care permite comunicarea experienței, copilul înțelege simbolul și o serie de acțiuni se interiorizează. Întâmpinând de-a lungul anilor multe dificultăți, ele se atenuează odată cu gruparea acțiunilor, formându-se operații mintale specifice, caracterizate prin reversibilitatea lor: elevul e conștient că dacă 4+5=9, și 9-5=4 sau dacă 4×3=12 atunci 12:3=4. Reversibilitatea asigură plasticitatea gândirii, posibilitatea soluționării unor probleme exclusiv printr-o activitate mentală, în plan abstract. Acest stadiu este atins abia după 11-12 ani.
Psihologul rus P. Galperin, căutând să ilustreze modul de formare a operațiilor mintale specifice, s-a servit de exemplul felului în care copiii în clasa I învață operația de adunare.
La început, învățătorul prezintă elevilor două mulțimi: una cu 5 bile, cea de-a doua cu 3 bile. Reunește mulțimile și obține 8 bile.
În a doua fază, copiii acționează singuri numărând 5 bețișoare, adăugând încă 3 și numărând 8 bețișoare. Ei repetă acțiunea cu diferite materiale și în felul acesta se fixează structura viitoarei operații mintale.
În a treia etapă, acțiunea trece pe plan verbal. Copiii spun: 5 cireșe și cu 3 cireșe fac 8 cireșe.
În faza ulterioară începe interiorizarea operației, elevii rostind în minte adunările, dar tot așa de rar cum le-ar spune cu glas tare.
Interiorizarea se desăvârșește atunci când calculul se automatizează și adunarea se face rapid, schematic, detaliile exprimării nemaifiind conștiente.Prin exerciții repetate acțiunea devine deprindere iar deprinderea devine automatism.
Pe măsură ce copilul ajunge la un bagaj important de operații mintale, interiorizarea unei acțiuni noi se poate realiza mai ușor, începând cu faza efectuării ei pe plan verbal. Atunci când elevii întâmpină dificultăți în înțelegerea unor fenomene explicate pe plan verbal se impune să trecem pe planul acțiunilor reale, folosind material concret ori desene, scheme.
I.2.4. Formele gândirii privite din punct de vedere psihologic
După Ed. Goblot, NOȚIUNEA este o posibilitate de a formula numeroase judecăți cu privire la o clasă de obiecte sau fenomene. Putem considera că un elev și-a însușit pe deplin o noțiune numai dacă el poate face numeroase afirmații întemeiate în legătură cu termenul respectiv.
Noțiunea este caracterizată prin această conștiință a ceea ce este esențial și ce este secundar. NOȚIUNILE CONCRETE pot fi exemplificate printr-o imagine. NOȚIUNILOR ABSTRACTE nu le poate corespunde o imagine concretă (ex.: infinit). Formarea noțiunilor constituie progresul principal pe calea orientării spre o cunoaștere aprofundată, științifică a realității. Ele constituie cel mai important instrument al comunicării dintre oameni, al transmiterii de noi cunoștințe.
JUDECATA este o aserțiune (Ed. Goblot), adică afirmarea sau negarea unui raport.
Există mai multe feluri de judecăți. Logica modernă tinde să nu deosebească temenii „judecată” și „propoziția” – judecățile ar fi „propoziții logice”. Din punct de vedere psihologic, există o deosebire tranșantă între aceste noțiuni, deoarece când elevul memorează mecanic o propoziție, aceasta constituie un automatism verbal, lipsit de o adeziune personală de convingere, având o slabă influență asupra conduitei sale. Judecata adevărată se deosebește de unele propoziții învățate prin existența adeziunii, a convingerii. Convingerea este esențială pentru a considera o propoziție ca fiind o judecată, un act de gândire. Convingerile pot fi influențate de motivație, afectivitate: judecățile devin subiective. Judecata adevărată, temelia cunoașterii este cea fundamentată rațional, care se întemeiază pe argumente faptice ori pe raționamente deductive. Cultivarea obiectivității este un alt scop educațional. Cultivarea duce la asigurarea progresului și la evitarea conflictelor.
Ne dăm seama de justețea unei judecăți când o susținem pe baza altor judecăți, adică a unui raționament.
RAȚIONAMENTUL este acea formă de gândire în care pornim de la una sau mai multe judecăți și obținem o altă judecată. Există mai multe feluri de raționamente: RAȚIONAMENTE DEDUCTIVE – desfășurate pe planul verbal abstract și RAȚIONAMENTE INDUCTIVE – pornim de la fapte pentru a formula judecăți generale și raționamente analogice întemeiate pe o asemănare considerată importantă.
ÎNȚELEGEREA- constă în stabilirea unei relații importante între ceva necunoscut și ceva dinainte cunoscut. Ducând la stabilirea continuă de relații între obiecte și între fapte, ea stabilește treptat un vast sistem organizat de legături, constituind memoria semantică, contribuie la formarea de rețele semantice care înlesnesc înțelegerea de noi situații și soluționarea unor probleme. Cunoștințele învățate mecanic sunt lipsite de plasticitate și nu pot fi utilizate în mod real nici în teorie, nici în practică. Poate de aceea obiectivul principal trasat de pedagogia contemporană este să învățăm elevii să învețe.
Capitolul II
REZOLVAREA DE PROBLEME
„Matematica e ca urcușul pe munte.
Efortul e răsplătit de priveliăti mărețe.
Ca și pe munte, ascensiunile în matematică
sunt frumoase dacă nu ești obsedat
doar de locul unde vrei să ajungi
și dacă ești în stare să savurezi
tot ceea ce întâlnești pe parcurs.”
Solomon Marcus
II.1. Noțiunea de problemă
Noțiunea de problemă este întâlnită nu numai la matematică, ci și în diferite domenii de activitate. Paul Fraisse arată că orice situație în care răspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problemă. Subiectul trebuie să exploreze în mod activ o soluție.
În sens psihologic, o problemă este o situație, o dificultate, un obstacol întâmpinat în gândire, în activitate practică sau teoretică, pentru care nu există răspuns gata formulat.
La Matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține prin procesul de gândire și calcul.
Rezolvarea problemelor de matematică în învățământul primar reprezintă, în esență, rezolvarea unor situații problematice, reale, pe care le putem întâlni în practică, în viața de zi cu zi. Esențialul în rezolvarea unor probleme constă în dezvăluirea implicațiilor ascunse ale unor date cunoscute. La matematică elevii percep o problemă ca o situație în care trebuie să intervină cu raționament matematic. Cu cât problema este mai complexă, cu atât acest raționament se cere a fi mai dezvoltat și necesită o ordonare atentă a întrebărilor și răspunsurilor cuprinse în enunț, pentru a se putea ajunge la soluționarea ei.
Orice problemă matematică cuprinde cel puțin o necunoscută. Dacă totul ar fi cunoscut, nu am mai avea nimic de aflat și atunci nu ar fi o situație-problemă.
De asemenea, în orice problemă trebuie să existe date cunoscute și
o condiție care arată în ce fel necunoscută este legată de date. Condiția este o parte esențială a problemei.
Când se urmărește rezolvarea unei probleme este foarte important să se delimiteze ceea ce se cunoaște prin citirea atentă a textului și să se desfășoare gândirea pentru a ajunge să se răspundă la întrebarea problemei.
Trecerea cu ușurință peste aceste etape creează obișnuința de a privi cu superficialitate problema și duce la formarea unor deprinderi defectuoase, care în final vor determina rezolvarea greșită a problemei, deci insuccese în această activitate.
Există și cazuri în care textul problemei ajută mai puțin orientarea și organizarea raționamentului în direcția necesară, probleme cu relații mai puțin evidente, ba chiar cu relații „ascunse” care obligă la o selectare a datelor după „funcția” lor în problemă. Aceasta necesită o analiză mai profundă solicitând participarea mai activă a gândirii. Datele problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor care se pot face treptat pe măsura soluționării.
Capacitatea de a rezolva probleme este determinată, în mare măsură, de nivelul de pregătire a individului, de experiența de care dispune. Activitatea de rezolvare a problemelor determină existența unui material informativ temeinic însușit, cu ajutorul căruia se pleacă spre găsirea soluțiilor. Cu cât acest material este mai profund, cu atât soluția problemei este găsită mai repede și în mod corect.
Pentru ca acest material și aceste informații să fie eficiente, ele trebuie însușite și repetate ori de câte ori se face activitatea matematică, deci este nevoie de mult antrenament prin care elevul să simtă dragostea și atractivitatea pentru această activitate.
„Dacă el simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată în mod sistematic să facă un efort gradat și simte că ființa lui adaugă ceva în urma fiecărui „antrenament” , dacă el trăiește bucuria fiecărui succes, mare sau mic, toate aceste trăiri cultivă interesul și dragostea pentru studiul acestei frumoase discipline” (Nicolae Oprescu – „Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar”, pag. 50).
Înainte de a porni pe drumul rezolvării problemelor, elevul trebuie
să-și însușească în mod temeinic operațiile aritmetice, precum și proprietățile acestora. Operațiile aritmetice reprezintă suportul în formarea și consolidarea noțiunii de problemă. Cunoscându-le, elevii pot opera cu acestea.
În vederea însușirii temeinice a operațiilor aritmetice, am utilizat în fiecare oră calculul mintal, absolut indispensabil orei de matematică. I-am acordat 5 minute și l-am introdus în orice moment al lecției, atunci când am considerat că ar avea o eficiență sporită.
Prin efectuarea unor sarcini rapide și exacte ca:
a) La suma numerelor 10 și 30 adăugați 7.
b) Din produsul numerelor 8 și 9 luați 7.
a) La produsul numerelor 9 și 5 adăugați suma lor.
b) Din suma numerelor 35 și 5 scădeți câtul lor.
Adăugați la jumătatea numărului 20 sfertul său.
am urmărit dezvoltarea și disciplinarea gândirii matematice, concentrarea atenției, atât de necesare în rezolvarea problemelor.
Efectuând calculele mintale corecte, elevii și-au format deprinderi și obișnuințe solide, determinând ușurința în rezolvarea sarcinilor cu caracter problematic. Atenția elevului nu a mai fost îndreptată asupra efectuării operațiilor, care acum se realizează aproape automat, ci asupra raționamentului, asupra găsirii căii de rezolvare a problemei.
II.1.1. Etape de rezolvare
Foarte important în rezolvarea oricărei probleme este cunoașterea etapelor prin care se trece pentru găsirea soluției. Aceste etape sunt:
Cunoașterea enunțului problemei
În această etapă elevul trebuie să afle care sunt datele problemei, legătura dintre ele, necunoscuta problemei. Problema este citită de atâtea ori cât e nevoie, de învățător și de elevi, până este însușit conținutul ei. Se citește expresiv, scoțându-se în evidență datele problemei care interesează mai mult, legătura dintre ele, precum și întrebarea problemei. Este etapa în care datele problemei se scriu pe tablă și în caiete.
Înțelegerea enunțului problemei
În activitatea cu elevii am constatat tendința unora de a citi superficial textul problemei și a trece rapid la rezolvarea ei, nedând atenție indicațiilor mele de a trata cu mai mult discernământ conținutul problemei. Pentru a crea deprinderile cele mai eficiente de muncă intelectuală, am insistat ca textul problemei să fie citit și analizat cu cea mai mare atenție, pentru a se stabili exact sensul termenilor folosiți, al relațiilor care intervin, al cerințelor prezentate.
Am îndrumat elevii să reflecteze asupra delimitării dintre ceea ce se dă și ceea ce se cere în rezolvarea problemei.
Dacă enunțul conține un minimum necesar de informații, datele și condiția problemei reprezintă termeni de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat, pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei ne indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor.
În funcție de puterea de înțelegere a elevilor, acest minim de informații poate fi recepționat optim prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar prin acțiuni (dramatizări) când este cazul.
Analiza problemei și întocmirea planului logic
În această etapă se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează prezentarea matematică a conținutului problemei. Se construiește raționamentul prin care se rezolvă problema, calea de legătură dintre ceea ce se cunoaște și necunoscuta ei. Acum se ajunge la esența problemei și se stabilește calea de găsire a soluției, stabilindu-se relațiile matematice dintre date.
Este important ca în această etapă să lăsăm independență în activitatea investigativă a rezolvatorului, să nu încercăm să-i impunem un „regulament de gândire”, fiindcă ar duce, fără îndoială, la efectul invers celui dorit: atenția va fi abătută de la obiectivul principal – rezolvarea problemei – și orientată spre lista de reguli. Există și situații în care trebuie să intervenim cu astfel de reguli (momentele de derută, de dezorientare). Trebuie să reluăm faptele dintr-o nouă perspectivă, să cântărim argumentele, să evaluăm erorile. Dar și intervenind fără să fie necesar, impunând reguli, nu facem altceva decât să-l blocăm pe elev.
Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic
În această etapă se aleg i se efectuează calculele din planul de rezolvare, sunt conștientizate semnificațiile rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective, bineînțeles și semnificația rezultatului final.
Activități de suplimentare după rezolvarea problemei
Acest moment din rezolvarea unei probleme are o importanță majoră în formarea abilităților, priceperilor și deprinderilor de a rezolva problema.
Se poate realiza verificarea soluției, se pot găsi alte metode de rezolvare, justificând calea cea mai eficientă. Procesul rezolvării depinde nu numai de enunțul în sine ci și de ansamblul de cunoștințe și experiențe pe care le evocă. În funcție de acest ansamblu pot fi găsite soluții diferite, dar și atunci când soluția finală este aceeași, căile prin care a fost găsită pot fi diferite. Foarte importantă este așadar crearea situațiilor de rezolvare a unei probleme prin mai multe modalități, descoperite de elevii înșiși, reflectând asupra propriei lor gândiri. Pentru a scoate în evidență categoria din care face parte problema este bine să se fixeze algoritmul ei de rezolvare, scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau fragment de exercițiu. După aceste exerciții pot fi create noi probleme, cu aceleași date ori cu date diferite, dar rezolvabile după același exercițiu; aceasta duce la aflarea schemei generale de rezolvare a unei categorii de probleme. Contribuim astfel la educarea creativității.
Studierea matematicii urmărește formarea deprinderilor matematice de rezolvare a problemelor și acestea nu se pot realiza decât prin exercițiu. George Polya sublinia: ”a ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul, schiatul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu… dacă vreți să învățați înotul trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să rezolvați probleme trebuie să rezolvați probleme.” („Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării problemelor", pag. 5)
Problemă și exercițiu
În general, între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.
Exercițiul oferă elevului date (numerele cu care se operează și semnele operațiilor respective), sarcina lui constând în efectuarea problemei, care se referă la valoarea necunoscută. Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției. Așadar, matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil de clasa I, un exercițiu pentru cel de clasa a V-a și doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician. Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții.
În acest sens, ținând cont de faptul că unele exerciții sau jocuri matematice pot satisface cerințele unei probleme, la clasa I am folosit des aceste forme de activități, fiind mult mai atractive și făcând mai ușor legătura dintre grădiniță și școală.
Exemple:
1. Completează semnele care lipsesc, astfel încât relația să fie adevărată:
1 2 = 1
2 2 2 2 2= 2
Fig.nr.1
2. Pătratul, cercul, triunghiul și dreptunghiul de mai jos conțin numerele pe care trebuie să le găsiți astfel încât relațiile să fie îndeplinite simultan:
(1) + = 8
(2) 7 – =
(3) + =
(4) – = 2
(5) – = 5.
Fig. nr. 2
Este un joc care solicită mult gândirea logică și gândirea euristică, pe fondul unei concentrări sporite a atenției.
Elevii au o necunoscută pe care trebuie să o folosească corect mai departe pentru a obține rezultatul final.
Rezolvare:
Din relația (1) rezultă = 4 (deoarece 8 este format din suma a două numere identice).
Înlocuim = 4 în relația (2) și rezultă 7 – = 4.
(Se aplică proba scăderii: S = D – R) = 7 – 4
= 3.
Înlocuim = 3 și = 4 în relația (3) și rezultă 3 + 4 =
= 7.
Înlocuim =7 în relația (4) și rezultă – 7 = 2.
(Se aplică proba scăderii: D = S + R) = 7 + 2
= 9.
Verificăm relația (5): 9 – 4 = 5 (adevărată).
Acest exercițiu a determinat o atmosferă de joc foarte relaxantă, dar cu sarcini precise și cerințe judicios stabilite. Poate fi considerat o problemă de perspicacitate.
Următorul joc, foarte antrenant, l-am folosit cu succes la clasa a II-a.
„Cine calculează mai repede?”
1 + 2 + 3 + … + 19.
Rezolvare:
Modul I Notăm: E = 1 + 2 + 3 + … + 17 + 18 + 19.
E = (1+19) + (2+18) + (3+17) + … + (7+13) + (8+12) + (9+11+10) =
= ( 20 + 20 + … + 20 ) +10 = 20 x 9 + 10 = 180 + 10 = 190.
9 termeni
Elevii au observat că aplicând comutativitatea adunării pot asocia câte două numere obținând perechi de numere a căror sumă este 20 și că rămâne un singur număr care nu are pereche, respectiv 10.
Modul al II-lea Scriem expresia: E = 1 + 2 + 3 + … + 17 + 18 + 19.
Scriem încă o dată expresia, dar așezăm numerele în ordine descrescătoare: E = 19 + 18 + 17 + … + 3 + 2 + 1.
Adunăm cele două expresii:
2E = ( 1+19 ) + ( 2+18 ) + ( 3+17 ) + … + ( 17+3 ) + ( 18+2 ) + ( 19+1 )
de 19 ori
2E = 20 x 19 = 380
E = 380 : 2 = 190.
La clasele a III-a și a IV-a se poate da și formula sumei lui Gauss: n x (n+1)
2
19 x (19 + 1) 19 x 20
Astfel: 1+2+3+…+19 = = = 380 : 2 = 190.
2 2
Mult întâlnit în manualele de matematică de clasa a III-a și a IV-a și mai ales în culegerile de probleme este jocul:
„Ghicirea unui număr la care m-am gândit.”
Exemplu: Gândește-te la un număr. Înmulțește-l cu 7. Adună la produs numărul 8. Împarte rezultatul la 2 și vei obține 25. Care este numărul la care te-ai gândit?
Rezolvare: Enunțul poate fi transformat cu ușurință într-un exercițiu: [(a x 7) + 8]: 2 = 25.
Se aplică metoda mersului invers.
Astfel: [ ]: 2 = 25
[ ]= 25 x 2
[ ]= 50.
Înlocuim paranteza pătrată cu conținutul ei:
( ) +8= 50
( )= 50 – 8
( )= 42.
Înlocuim paranteza rotundă cu conținutul ei:
a x 7 = 42
a = 42 : 7
a= 6.
Ceea ce am urmărit la clasă a fost nu neapărat găsirea soluției, ci calea de a ajunge la ea. În cazul în care se cunoaște calea de rezolvare, nu mai este vorba de o problemă reală.
II.2. Rezolvarea de probleme
În fața unei probleme ne întâlnim cu două categorii de date precise: ce ni se dă, contextul problemei și ceea ce ni se cere. „Între ele există un gol pe care trebuie să-l umplem.”(Ausubel D., Robinson F. – „Învățarea în școală”, pag. 593).
Uneori, puntea dintre ele se realizează prin intermediul unei construcții (Ed. Goblot) care creează o situație nouă, ducând imediat la soluția căutată.
Grupările de operații specifice implicate în reguli prin care se rezolvă categorii mari de probleme, cuprind strategii de gândire compuse din pași organizați într-un anumit mod. Aceste reguli constituie algoritmii gândirii. Prin algoritmi se realizează o esențializare și o generalizare a operațiilor de gândire. Ei se însușesc și se consolidează prin învățare și utilizare în practica școlară.
Algoritmii sunt de trei feluri: algoritmi de lucru, algoritmi de recunoaștere – identificare, algoritmi de control.
Algoritmii de lucru permit rezolvarea problemelor și constituie „tehnologia” de bază a gândirii. Operațiile aritmetice fac parte din această categorie de algoritmi.
Algoritmii de identificare sau recunoaștere operează ca strategii de gândire compuse din pași, prin intermediul cărora se identifică aspectele componentei esențiale ale unei situații. Astfel, prin citirea problemei se stabilesc operațiile care trebuie efectuate pe baza a ceea ce se cere de rezolvat în problemă.
Algoritmii de control se aplică în cazuri de verificare a corectitudinii rezultatelor. Prin aceștia se cenzurează greșelile de în aplicarea algoritmilor de lucru sau de identificare. Faptul că aceștia cenzurează răspunsurile eronate indică rolul lor de conștientizare a relațiilor dintre datele problemei și algoritmii prin care acestea se pot obține. Algoritmii de control lărgesc ideea de echivalență a căilor de rezolvare, pregătind printre altele, ideea posibilității de rezolvare a uneia și aceleiași probleme prin mijloace aritmetice sau algoritmice.
Deseori e vorba de aplicarea unor cunoștințe dobândite anterior, în alte condiții, la situația actuală – operație numită transfer. Pornind de la datele problemei, elevii caută în bagajul de informații anterioare, una având o relație cu datele ce le posedă. Evocând o anume cunoștință (act de sinteză), caută să vadă în ce măsură poate fi utilizată în situația dată. Dacă nu e cea necesară, încearcă o alta, până când una îi face să descopere aspectul comun, utilizabil în noua situație (intervine analiza).
Sunt cazuri când datele existente sunt insuficiente și atunci ele trebuie completate cu alte informații, obținute prin noi informații. Alteori, când problema e complexă, se cere împărțirea ei în subprobleme ce trebuie soluționate în prealabil.
Există probleme foarte grele, care impun o transformare substanțială a operatorilor cunoscuți, ori chiar imaginarea unor procedee cu totul noi. În asemenea cazuri intervine din plin imaginația. Ea este necesară în mai toate problemele, fiind nevoie cel puțin de o aplicare a cunoștințelor în alte condiții. Atunci când se cer modificări neobișnuite, originale, intră în funcție inventivitatea. Ca urmare, aici se vor folosi procedee caracteristice actului imaginativ, printre care analogia are loc de frunte.
Elevii întâmpină serioase greutăți în soluționarea de probleme. De aceea trebuie să acordăm mare atenție însușirii temeinice de către copii a „ideilor – ancoră”, care au o importanță centrală și dau posibilitatea de a fi utilizate într-o varietate de situații – problemă. Trebuie să prezentăm operatorii folosiți frecvent în rezolvarea problemelor.
Atunci când ne dăm seama că majoritatea școlarilor se află în impas față de o problemă grea, se recomandă să intervenim cu câte o sugestie, fie în relație cu datele la care ar trebuie să recurgă, fie privind operatorii ce ar putea fi utili. Folosirea unor scheme logico-grafice prezentate pe tablă poate fi și ea de mare ajutor. E important ca elevul să reușească până la urmă, să soluționeze unele probleme pentru a nu se descuraja. De aceea, să avem mare grijă în ce privește gradarea dificultăților propuse spre rezolvare.
Cel mai important lucru este asigurarea variației tipurilor de problemă. Greșesc cei ce aglomerează copiii cu multe probleme de același fel. Acestea pot duce la creșterea rigidității algoritmilor respectivi – ceea ce constituie un mare dezavantaj. Nu e bine să solicităm un singur elev să rezolve o problemă dificilă. Este o supraîncărcare emoțională defavorabilă efortului de gândire. Problemele pot fi soluționate în clasă individual, fie lucrând în grupe mici, în condiții favorizând libertatea gândirii, procesul imaginativ.
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.
Participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalități de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.
Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, motiv pentru care în ciclul primar Curriculum Național la matematică acordă problemelor o foarte mare atenție.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional afective.
Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea prin operațiile sale de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă (valori numerice, relații cunoscute), de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ – imaginative, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii, la formarea limbajului matematic.
Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o problemă este încununat de succes. Se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu ajungă să poată răspunde la întrebarea problemei. Trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung s-o rezolve. Reluarea muncii și ducerea ei până la capăt constituie un bun exercițiu pentru educarea voinței, a dârzeniei, a perseverenței.
Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu.
În același timp explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, o definiție sau regulă ce urmează a fi învățată.
Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ, își cultivă și educă calitățile moral – volitive. În același timp activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, durata unui fenomen.
Problemele de matematică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însăși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.
Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și consolidarea unei noi atitudini față de muncă, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții.
În procesul de rezolvare a problemelor se cultivă curiozitatea științifică, frământarea, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului. Activitatea de compunere și rezolvare de probleme duce la formarea unor atitudini; a gândi personal și activ, a folosi analogii, a analiza o problemă, a o descompune în probleme mai simple.
Ordinea în rezolvarea unei probleme, a unui exercițiu, disciplinează gândirea și aceasta poate deveni o trăsătură a formației omului.
În procesul rezolvării problemelor se formează și o serie de aptitudini pentru matematică:
capacitatea de a percepe selectiv, în funcție de ideea conducătoare;
capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers;
plurivalența gândirii: a gândi fiecare lucru prin esența lui și în mod condensat pentru a putea gândi concomitent mai multe lucruri și deci a surprinde legăturile dintre ele;
capacitatea de a depune un efort concentrat, nu numai prin izolarea față de solicitările exterioare și concentrarea atenției la problemă, ci mai ales prin a gândi în tensiune maximă problema în întregul ei.
În rezolvarea unei probleme sunt mobilizate nu numai procesele de cunoaștere, ci întreaga personalitate în coordonatele ei raționale, afective, volitive. „Nu se lucrează în matematică numai cu mintea” – spune Eugen Rusu în articolul său „Atracție pentru problematic în activitatea matematică”. Pasiunea matematică este motorul activității. Un rol important al învățătorului este să călăuzească activitatea celui care învață, în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția, specificul acestei activități. Nu numai să-l ajute să înțeleagă, ci să-l ajute să simtă. Pentru înțelegere, profesorul poate fi înlocuit cu un text bun. Profesorul adevărat, neidentificabil cu un text, are și rolul călăuzirii sentimentelor intrinseci, proprii, în mod natural activității matematice.
Apariția ideii în rezolvarea problemei este în esență un act de descoperire cu toate implicațiile lui psihice. George Pôlya în lucrarea „Cum rezolvăm o problemă?” spune că „o mare descoperire rezolvă o problemă mare; dar există un grăunte de descoperire în rezolvarea oricărei probleme. Problema ta poate fi modestă, dar dacă ea îți stârnește curiozitatea și-ți pune în joc facultățile inventive și dacă o rezolvi prin mijloacele tale proprii, atunci poți încerca tensiunea și bucuria triumfului descoperirii. Asemenea încercare la o vârstă potrivită poate crea gust pentru munca intelectuală și poate să-și pună pecetea în minte, caracter pentru o viață întreagă.”
Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematică cea mai bogată în valențe formative, în ea concentrându-se întreaga experiență dobândită de elev atât în studierea și cunoașterea numerelor cât și a calculului, acestea devenind elemente auxiliare în rezolvarea problemelor. Bogatele valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan. Lăsată pe seama spontaneității, eficiența formativă a rezolvării problemelor este limitată și se poate dirija în direcții negative, dacă se pot forma unele priceperi și deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii și a atitudinii independente a elevilor. De aceea este necesară o preocupare permanentă din partea învățătorilor pentru valorificarea valențelor formative ale activității de rezolvare a problemelor și de sporire a eficienței formative a acestei activități.
II.2.1. Metodele de învățământ din perspectiva cultivării gândirii elevilor
Formarea gândirii se realizează în procesul utilizării unor metode și procedee didactice. În tradiția școlii noastre, principala metodă o constituie expunerea care ocupă de obicei cea mai mare parte din ora de clasă. Dar învățământul centrat pe această metodă a fost aspru criticat de pedagogi încă de la începutul secolului trecut.
Preocuparea elevului, în acest caz, este de a putea reține și reda conținutul lecției. Însă această orientare intelectuală nu-i concordă cu cea necesară în realitate vieții, care e uimitor de variată și pune mereu probleme mai simple ori mai complexe. În afară de acest lucru, în lecție, expunerea începe cu considerații generale și apoi coboară spre particular, pe când în practică situația e inversă.
Există și lecții în care progresul cunoașterii se realizează prin convorbirea purtată de profesor cu întreaga clasă. Se pot adresa elevilor întrebări bine gândite și cu ajutorul lor se lămuresc anumite fenomene. În acest caz, singur, copiii sunt mai activi, fac eforturi de gândire.Formarea gândirii se realizează în procesul participării active, cu efort și pricepere, la soluționarea de noi și noi probleme.
Învățarea în clasă e posibilă în trei forme de învățământ:
formarea frontală – învățătorul lucrează cu întreaga clasă simultan;
forma activităților pe grupe – colectivul e împărțit în grupe de 4-5 școlari, colaborând la realizarea aceleiași teme;
forma individuală – solicită fiecărui copil în parte să rezolve o sarcină.
Școlile din Occident au pus pe primul plan activitățile pe grupe și cele realizate individual în clase. Ca metodă principală de predare-învățare a fost instaurată problematizarea sau învățarea prin descoperire.
În acest caz preocuparea dominantă este ca noile cunoștințe să nu fie prezentate copiilor în forma finală, deplin explicită, ci în situații care să ridice probleme. Școlarii trebuie să fie obișnuiți să găsească și probleme pe care apoi să le rezolve.
Metoda descoperirii este o descoperire dirijată.
Trebuie să propunem probleme accesibile, având în vedere adecvarea dificultăților la nivelul de pregătire al clasei. Apoi, înaintea activității pe grupe, ori celei individuale, vom face o scurtă expunere în care actualizăm acele „concepte-ancoră” esențiale pentru abordarea temei.
Psihologia contemporană a întreprins numeroase cercetări, scoțând în evidență avantajele lucrului în grup. S-a constatat că lucrând în grup, se găsesc mai multe idei decât dacă membrii grupului ar lucra separat. Cooperarea între școli, schimbul de păreri duce la dezvoltarea capacității de discuție imaginată, esențială în rezolvarea problemelor, arată Jean Piaget. Diferențele de opinii, contrazicerile pe planul ideilor facilitează progresul cunoașterii, dezvoltă capacitatea de raționament.
Nu toate lecțiile pot utiliza învățarea prin descoperire, deoarece asemenea activități cer foarte mult timp.
Întrucât expunerea se folosește în continuare, în cazul unor probleme complexe, dificile, aceasta poate da mai bune rezultate decât munca pe grupe.
Psihologul Eduard Claparide susținea că și o lecție bazată pe expunere poată fi activă dacă ea se vrea un răspuns la o problemă schițată la începutul orei. Asemenea lecții pot fi un model de gândire foarte important pentru elev.
Chiar dacă folosim din plin problematizarea și munca pe grupe, rezultatele nu vor fi importante dacă apreciem numai simpla memorare a spuselor noastre. Avem obligația să verificăm gradul de aprofundare a cunoașterii, punând variate probleme elevilor. Numai posibilitatea de a utiliza cunoștințele pe plan teoretic și practic generează seriozitatea asimilării, valoarea muncii de predare-învățare desfășurate în școală.
II.3. CLASIFICAREA PROBLEMELOR
Există mai multe criterii de clasificare a problemelor.
Un criteriu, cel mai des întâlnit, împarte problemele în două mari categorii, în funcție de numărul de operații care sunt solicitate în rezolvarea lor:
Probleme simple, a căror rezolvare comportă o singură operație;
Probleme compuse, a căror rezolvare necesită două sau mai multe operații.
Un alt criteriu de clasificare a problemelor este după conținut. Astfel problemele pot fi:
Probleme geometrice
Probleme de mișcare
Probleme de aflare a densității uni amestec sau aliaj etc.
PROBLEME GEOMETRICE
În rezolvarea problemelor geometrice, pot fi abordate mai multe metode de rezolvare.
Voi exemplifica în continuare cu o problemă ce face apel la metoda grafică.
Perimetrul unui dreptunghi este de 200 de metri. Știind că lungimea este cu 60 de metri mai mare decât lățimea, aflați lungimea și lățimea dreptunghiului.
O cerință obligatorie este realizarea desenului.
D C
A B
Fig. nr. 3
Se realizează graficul: Modul I
l
L 60
200. Fig. nr. 4
l
L 60
Se egalează părțile: 200 – 120= 80.
Câți metri are lățimea? 80 : 4= 20 (metri).
Câți metri are lungimea? 20 + 60= 80 (metri).
Elevii trebuie să țină cont de formula perimetrului: P = 2 × l + 2 × L.
Modul al II-lea:
Se poate da noțiunea de semiperimetru:
( 2 x l + 2 x L ) 2 x( l + L )
p = P:2 = = = l + L.
2 2
l
60 200 : 2 = 100.
L
Fig. nr. 5
Se egalează părțile: 100 – 60 = 40.
Câți metri are lățimea? 40 : 2 =20 (metri).
Dar lungimea? 20 + 60 = 80.
PROBLEME DE MIȘCARE
Problemele de mișcare sunt acelea în care se cere să se afle una dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când sunt date diferite relații dintre acestea.
În clasa a lll-a și a lV-a, problemele se referă la mișcări uniforme. Mișcarea unui mobil este uniformă dacă în intervale de timp egale parcurge distanțe egale (viteza este constantă).
Spațiul (d sau s) este lungimea drumului parcurs de un mobil. El se exprimă în metri, în multiplii sau în submultiplii metrului.
Timpul (t) este numărul de unități de timp (secundă, minut, oră, zi, etc.) în care se parcurge un anumit spațiu.
Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o singură unitate de timp. De aceea viteza se exprimă prin unități de lungime raportate la unitatea de timp (m/s, km/h etc,).
Din cauză că viteza este o mărime derivată, în practică se observă că elevii întâmpină serioase dificultăți în descoperirea ei. Aceasta se întâmplă și datorită faptului că folosesc formulele (ecuațiile): d= v x t; v = d/ t; t = d/ v, realizându-se generalizări și abstractizări pe baza a prea puține exemple, a unui număr mic de rezolvări de probleme. În gimnaziu, problemele de mișcare sunt reluate sistematic abia în clasa a VI-a, doar la fizică, unde manualul, în capitolul „Fenomene mecanice”, prezintă multe noțiuni care presupun o bază informațională deja însușită de elevi.
În rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice (figurativă, a comparației, a falsei ipoteze) cât și cele algebrice.
Dată fiind specificitatea conținutului acestor probleme, în practică ele sunt clasificate astfel:
Probleme simple care cer aflarea:
vitezei;
distanței;
timpului;
probleme combinate.
Probleme de mișcare în sensuri contrare (de întâlnire a mobilelor);
Probleme de mișcare în același sens (de urmărire a mobilelor);
Probleme de compunere a vitezelor.
Probleme simple
Exemplu: Ce distanță a parcurs un biciclist care, timp de 4 ore, s-a deplasat cu viteza de 12 km/h ?
Rezolvare: Folosesc întrebările ajutătoare.
„Ce reprezintă 4?” (Timpul în care biciclistul parcurge toată distanța.)
„Ce reprezintă 12 ?” (Distanța parcursă într-o singură oră, adică 12 km/h, deci viteza.)
Dacă într-o oră bicicleta parcurge 12 km, atunci în 4 ore parcurge de 4 ori câte 12, adică 4 × 12 = 48 (km). Deci: d = t × v = 4 × 12 = 48 (km).
Probleme de mișcare în sensuri contrare
Exemplu: Din două localități, situate la 110 km una de alta, pleacă în același timp unul spre celălalt doi bicicliști. Primul are o viteză medie de 12 km/h iar al doilea 10km h . După câte ore se întâlnesc cei doi bicicliști?
Rezolvarea 1: Folosesc reprezentarea grafică:
v1=12 km/ h v2 = 10 km/ h
► ◄
Fig. nr. 6
Ce distanță parcurg într-o oră cei doi bicicliști?
10 +12 = 22 (km).
Deci distanța dintre ei se micșorează la fiecare oră cu 22 km.
După câte ore se întâlnesc?
110 : 22 = 5 (ore).
Rezolvarea 2: (Generalizare)
Dacă notăm cu d – distanța dintre punctele de plecare și cu v1 și v2 cele două viteze, atunci timpul t după care se întâlnesc este: t=d/ (v1 + v2).
În cazul nostru: t = 110/ (12 + 10) = 5 (ore).
Probleme de mișcare în același sens
Exemplu: Un motociclist placă din orașul A cu o viteză medie de 30km/ h. După 4 ore pleacă din același oraș și în același sens în un autoturism care are o viteză de 60 km/h. După cât timp autoturismul va ajunge motociclistul?
Rezolvare 1: Folosesc reprezentarea grafică:
30 km/ h
m ► 4h
m ►
A ►C
B
a ►
60 km/ h
Fig. nr. 7
Câți km parcurge motociclistul cu cele 4 ore?
4 × 30 = 120 (km).
Deci când autoturismul s-a pus în mișcare, motociclistul avea un avans de 120 km (se afla în punctul B).
Pentru ca autoturismul să ajungă motociclistul, el trebuie să recupereze distanța de 120 km, în același timp motociclistul continuându-și deplasarea spre punctul C.
Este posibil ca autoturismul să ajungă motociclistul deoarece viteza primului este mai mare.
Cât recuperează autoturismul într-o oră?
60 -30 = 30 (km/ h).
În cât timp autoturismul recuperează 120 km ?
Dacă într-o oră autoturismul recuperează 30 km, pentru a recupera 120 km are nevoie de un număr de ore de câte ori se cuprinde 30 în 20.
Așadar: 120 :3 = 4 (ore).
Rezolvarea 2: (Generalizare)
Notăm: d – distanța pe care trebuie s-o recupereze autoturismul;
v1 – viteza motociclistului; v2 – viteza autoturismului.
Deoarece v2 > v1 rezultă t = d: (v2 – v1),
rezultă t = (4×30):(60-30)= 4 (ore).
Probleme de compunere a vitezelor
Exemplu: Un vapor parcurge 20 km în 2 ore, mergând în sensul apei, iar la înapoiere, în contra apei, parcurge 4 ore. Aflați viteza de curgere a apei.
Rezolvare:
Notez: v1 – viteza vaporului în apă stătătoare; v2 – viteza de curgere a apei.
Cum gândim?
Când merge în sensul de curgere a apei, viteza v a vaporului este compusă din v1 + v2 .
Când merge împotriva apei, viteza de deplasare a vaporului este v1 –v2 ( i se împotrivește cursul apei).
Deci:
a) 20 = (v1 + v2) x 2, rezultă v1 + v2 = 10 (când se deplasează în sensul de curgere a apei);
b) 20 = (v1 – v2) x 4, rezultă v1 – v2 = 5 (când se deplasează contra apei).
Așadar, avem de rezolvat o problemă de sumă și diferență (metoda grafică).
Realizez graficul:
v2
10
v1 5
Fig. nr. 8
Egalăm părțile: 10 – 5 = 5.
Ce valoare are v2 ? v2 = 5 : 2 = 2 ½ (km/h).
Voi prezenta o problemă care a fost unul din subiectele olimpiadelor de matematică:
„Un ogar urmărește o vulpe care are 15 sărituri înaintea lui. Câte sărituri va face până să ajungă vulpea, dacă el face 2 sărituri în timp ce vulpea face 3, iar în 3 sărituri ogarul parcurge aceeași distanță pe care vulpea o străbate în 5 sărituri?”
Rezolvare:
Cum gândim problema?
Ogarul face 2 sărituri în timp ce vulpea face 3.
Distanța parcursă de ogar în 3 sărituri este parcursă de vulpe
în 5 sărituri.
Aducem la același termen de comparație, adică același număr de sărituri ale ogarului. Astfel înmulțim fiecare termen din prima relație cu 3 și fiecare termen din a doua relație cu 2.
Astfel: ogarul vulpea
6 sărituri în timpul a 9 sărituri
6 sărituri fac cât 10 sărituri.
Reprezentăm grafic:
distanta parcursă de
ogar în 6 sărituri
Fig. nr. 9
distanța parcursă de
vulpe în 10 sărituri
Fig. nr. 10
Câte sărituri de ale vulpii recuperează ogarul la un grup de 6 sărituri? 10 – 9 = 1 (săritură).
Câte grupe de 6 sărituri trebuie să efectueze ogarul pentru a ajunge vulpea?
Dacă la o grupă de 6 sărituri Al recuperează o singură săritură de-a vulpii, pentru a recupera 15 sărituri, el va efectua atâtea grupe de sărituri de câte ori se cuprinde 1 în 15, adică 15 : 1 = 15 (grupe)
Câte sărituri efectuează ogarul pentru ajunge vulpea?
6 x 15 = 90 (sărituri).
După gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, problemele pot fi:
Probleme generale, în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda sintetică, fie metoda analitică;
Probleme tipice (particulare), rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparației, a mersului invers.
După felul mărimilor din problemă, ele s-ar putea clasifica astfel:
Probleme cu date concrete (practice, artificiale, concrete);
Probleme cu date abstracte (de demonstrație, exerciții numerice).
Problemele pot fi clasificate și după capitolele Curriculum-ului Național.
O altă categorie de probleme o constituie problemele nonstandard, de aici făcând parte:
Probleme recreative;
Probleme rebusistice;
Probleme de perspicacitate;
Probleme de ingeniozitate;
Probleme de paleoaritmetică (studiul străvechii aritmetici).
Analizând această clasificare a problemelor de matematică, putem spune cu certitudine că matematica poate fi un subiect nu numai interesant ci și deosebit de captivant, iar problema în sine poate fi considerată o adevărată „aventură matematică”. Numai rezolvând probleme, aflăm că „dificila, arida matematică poate fi nu numai o gimnastică a minții”, ci și o plăcută, captivantă ocupație pentru orele libere.
II.4. METODE ARITMETICE FOLOSITE ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR
Activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, prin parcurgerea mai multor etape, care solicită un efort complex, cuprinzând inducții și deducții logice, analogii, analize, generalizări începe prin a căuta soluția. Pentru că nu o putem găsi dintr-o dată, se caută să se descifreze treptat calea spre aceasta – raționamentul care trebuie să fie orientat spre întrebarea problemei. Odată descoperită calea, problema devine un exercițiu.
Apariția ideii conducătoare constituie momentul de încheiere a fazei de tensiune a căutării, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii.
Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii:
Metode algebrice – utilizează în rezolvarea problemelor tehnica specifică calculului algebric, adică tehnica bazată pe ecuații și sisteme de ecuații.
Metode aritmetice – se clasifică în două categorii:
Metode fundamentale sau generale;
Metode tipice sau particulare.
II.4.1 Metode generale
Metodele generale se aplică într-o măsură mai mare sau mai mică în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor probleme se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică.
Metoda analitică
A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea problemei, a o descompune în probleme simple apoi a orândui problemele simple într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formarea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.
Exemplu: Pentru 6 cești și 6 farfurioare s-au plătit 132000 lei. Cât costă o ceașcă, dacă o farfurie costă 7000 lei ?
Cum gândim?
Putem afla dintr-o dată cât costă o ceașcă? (Nu)
Ce trebuie să cunoaștem pentru aceasta? (Prețul tuturor ceștilor și numărul de cești cumpărate)
Cunoaștem aceste mărimi? (Numai numărul de cești)
Cum putem afla prețul ceștilor ? (Scăzând din prețul total prețul farfurioarelor)
Cunoaștem aceste mărimi? (Numai prețul total)
Putem afla și prețul farfurioarelor? (Da, înmulțind numărul de farfurioare cu prețul uneia)
Schematic, examinarea problemei prin metoda analitică se realizează astfel:
? lei 7000 lei
6 cești 6 farfurii
132000 lei
Fig. nr.11
Detaliile stabilite analitic se sintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema dată și indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor:
Cât costă cele 6 farfurioare? 6 x 7000 = 42000 (lei)
Cât costă cele 6 cești? 132000 – 42000 = 90000 (lei)
Cât costă o ceașcă? 90000 :6 = 15000 (lei).
Metoda sintetică
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu toate problemele simple posibile și a le așeza într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.
Rezolvarea problemei anterioare prin metoda sintetică:
Pornim de la datele problemei spre cerința acesteia. Alcătuim probleme simple:
S-au cumpărat 6 farfurioare, fiecare costând 7000 lei. Ce întrebare putem pune? (Cât costă cele 6 farfurioare ?)
Am 132000 lei și plătesc pentru farfurioare 42000 lei. Ce întrebare putem pune? (Câți lei îmi rămân?)
Cu 90000 lei cumpăr 6 cești. Ce întrebare putem pune? (Cât costă 1 ceașcă?)
Rezolvarea succesivă a problemelor simple conduce la aflarea răspunsului la problema dată. Pe baza datelor numerice scrise pe tablă, realizăm schema problemei prim metoda sintetică.
6 cești a ? lei ………. 6 farfurii a 7000 lei ………. 132000 lei ………. ? lei
6 cești…? lei/ bucată 6 farfurii….7000 lei/ bucată
? lei 42000 lei
132000 lei
Fig. nr. 12
Procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizare în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații una din ele devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unică: metoda analitică-sintetică.
De altfel, legătura strânsă dintre analitic și sintetic este pusă în evidență chiar de felul de desfășurare și stabilire a concluziilor în examinarea problemei cu ajutorul căreia s-au exemplificat cele două metode.
Astfel, planul de rezolvare stabilit în urma examinării problemei respective prin metoda analitică este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiind aceeași. Doar în cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o formă mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.
II.4.2. Metode tipice sau particulare
Metoda figurativă sau grafică
Constă în reprezentarea (figurarea), mărimilor din probleme și a relațiilor dintre ele prin diferite elemente grafice: desene, figuri geometrice plane, segmente de dreaptă, puncte, ovale, litere sau combinații de litere, alte simboluri și semne convenționale.Această metodă este aplicabilă în orice problemă în care se poate apela la figurare și, prin caracterul intuitiv, este indispensabilă în rezolvarea de către elevii claselor primare a multora dintre problemele de aritmetică.
Elementele grafice la care se poate face apel în aplicarea acestei metode pot fi clasificate astfel:
– desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;
– figuri geometrice diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, dreptunghiul, pătratul, cercul;
– figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;
– felurite semne convenționale, unele obișnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii si de la caz la caz;
– litere și combinații de litere;
– elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculețe, etc.
Avantajele pe care le prezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei. Metoda figurativă sau grafică are caracter general, aplicându-se la orice categorii de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității, are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal. Un alt avantaj este că prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative, dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență secvențe esențiale.
De la clasa I până la clasa a IV-a utilizez metoda grafică folosind segmentele de dreaptă. La clasa pregătitoare am rezolvat la început probleme în care mărimile se pot reprezenta unidimensional, fără alte convenții, pentru că în mintea copilului un număr de pagini, o sumă de bani, o cantitate, un număr abstract nu pot fi reprezentate printr-un segment de dreaptă. La unele probleme cu cantități, am reprezentat prin grămezi, dreptunghiuri, pătrate linii curbe închise sau pe baza diagramelor mulțimilor.
Exemplu: Două bucăți de sârmă au lungimea de 10 m. Prima bucată este mai lungă cu 2 m decât cealaltă. Care este lungimea fiecărei bucăți de sârmă?
Rezolvare:
Cum gândim? Considerăm că cele două bucăți de sârmă au aceeași lungime. De ce? (Pentru că dacă suma ar fi formată din două părți la fel de mari, am afla jumătatea și am putea determina lungimea fiecăruia.)
Trebuie deci să dăm deoparte cei 2 m, cu cât este mai lungă prima bucată de sârmă. Atunci în lungimea totală, care se va micșora cu 2 m, vor fi două părți egale.
Vom reprezenta grafic astfel:
I 2
10 – 2
II
Fig. nr. 13
Care este suma a două părți egale? 10 – 2 = 8
Câți metri are a doua bucată de sârmă? 8 : 2 = 4 (m)
Câți metri are prima bucată de sârmă? 4 + 2 = 6 (m).
Pentru a putea rezolva mai multe probleme de acest gen cu elevii mei, am stabilit convenții.Astfel:
– Încercăm să numărăm elementele (banii) și pentru fiecare unitate, punem câte un punct; neștiind câte unități sunt pentru fiecare mărime, unim punctele printr-un segment de dreaptă; mărimea mare va fi reprezentată printr-un segment tot atât de lung cât este și celălalt și încă un segment ce va reprezenta diferența.
– Am convenit de asemenea cu elevii mei încă din clasa I că în redarea pe scurt a unei probleme să folosim simboluri, iar în reprezentarea grafică suma să o redăm printr-o acoladă (}).
– Există mai multe tipuri de probleme ce se pot rezolva cu ajutorul metodei grafice.
A. Aflarea a două numere când se cunosc suma și diferența lor
(Probleme de sumă și diferență)
Exemplu: Doi copii au împreună 32 de bile. Primul spune celuilalt: „Dacă eu îți dau o bilă și tu îmi dai două bile, atunci vom avea același număr de bile.”Câte bile avea fiecare copil?
Rezolvare:
Este o problemă de transfer dublu și egalitate. Înainte de a aborda acest tip de probleme, am convenit cu elevii ca numărul de elemente care se adaugă să fie reprezentat prin segment punctat.
Cum gândim?
Dacă primul copil dă celui de-al doilea o bilă, primul număr se micșorează cu 1, iar al doilea număr se mărește cu 1. Dacă după a doua acțiune se obține egalitatea, înseamnă că al doilea copil are mai multe bile. Diferența de bile reiese din schema grafică.
Astfel:
I – 1 1
2 32
II 1 1 +1
Fig. nr. 14
– 2
Câte bile avea în plus al doilea copil? 1 + 1 = 2
Egalăm părțile: 32 – 2 = 30
Câte bile avea primul copil ? 30 : 2 = 15
Dar al doilea? 15 + 1+ 1 = 17.
Aflarea a două sau mai multe numere când se cunosc suma și raportul lor (Probleme de sumă și raport)
Problemele de sumă și raport cer determinarea părților, cunoscându-li-se suma (întregul), dar e necesară transformarea părții (părților) mai mari în unități la fel de mari (echivalente) cu partea mică. Se obține astfel o problemă în care întregul (suma) este constituit dintr-un număr de părți echivalente. Esențială este determinarea numărului de părți și a valorii unei unități. Celelalte părți sunt determinate prin operația de multiplicare a părții mai mici.
Exemplu: Aflați câte pagini a citit fiecare dintre cei doi copii, știind că Mitruț a citit de 3 ori mai mult decât George iar împreună au citit 36 de pagini.
Rezolvare 1 – metoda grafică
Reprezint grafic numărul de pagini citite de fiecare copil.
George a citit
36 pagini
Mitruț a citit
Fig. nr. 15
Câte părți egale sunt în cele 36 de pagini? (4 părți)
Câte pagini a citit George? 36 : 4 = 9 (pag.)
Câte pagini a citi Mitruț? 9 x 3 = 27 (pag.)
Rezolvarea 2 – metoda falsei ipoteze
Presupunem că George a citit o singură pagină.
Cât a citit Mitruț? (de 3 ori mai mult) 3 x 1 = 3
Cât ar fi citi împreună? 1 + 3 = 4
De câte ori au citit mai mult cei doi băieți? 36 : 4 = 9 (de 9 ori)
Câte pagini a citit George? 9 x 1 = 9 (pagini)
Câte pagini a citit Mitruț? 9 x 3 = 27 (pagini).
C. Aflarea a două sau mai multe numere când se cunosc diferența și raportul lor (Probleme de diferență și raport)
În problemele de diferență și raport, hotărâtoare este definirea diferenței ca un întreg constituit dintr-un număr de părți echivalente, fiecare parte având aceeași valoare ca și numărul mai mic. Pentru determinarea întregului mai mare este necesară luarea în considerare a numărului de părți de aceeași valoare, folosind relația de multiplicitate. Problemele cu un grad de dificultate ridicat sunt cele în care este dublu raport. În acest caz metoda grafică poate avea mai multe variante.
Am abordat acest tip de problemă cu elevii claselor a III-a și a IV-a.
Exemplu: Cristi este de 5 ori mai mic decât tatăl său, dar peste 21 de ani tatăl va fi mai mare numai de 2 ori față de băiat. Ce vârstă are fiecare?
Rezolvare:
+ 21 ani
Cristi
+ 21 ani
Tatăl
Fig. nr. 16
Esențial în acest tip de problemă este că trebuie să reprezentăm prin segmente de aceeași lungime numărul anilor cu care înaintează fiecare în vârstă.
Din desen reiese că 21 reprezintă 3 părți egale.
Care este vârsta lui Cristi? (Cât valorează o parte?) 21:3=7(ani)
Care este vârsta tatălui? 7 x 5 = 35 (ani)
Verificare: (7 + 21) x 2 = 35 + 21.
D. Aflarea a două sau mai multe numere când sunt combinate relațiile de sumă, diferență și raport
(Probleme în care sunt combinate relațiile de sumă, diferență și raport)
Exemplu: Suma a două numere este 15. dacă primul număr se mărește de 3 ori, iar al doilea de 5 ori, atunci suma lor va fi 61. Care sunt numerele?
Rezolvarea 1 – metoda figurativă
Pentru că nu avem nici o informație despre mărimea segmentelor, le vom reprezenta într-un mod arbitrar astfel:
I nr.
aI doilea nr. 15
Fig. nr. 17
Realizăm o altă reprezentare grafică:
3x I nr.
61
5xal II-lea nr.
15 15 15
Fig. nr. 18
Trebuie să ținem cont de faptul că în al doilea desen putem grupa cele două segmente inițiale (a căror sumă este 15).
De câte ori apare suma numerelor inițiale în al doilea desen?
(De 3 ori)
Cât valorează cele două părți rămase?
61 – 15 x 3 = 61 – 45 = 16
Care este al doilea număr? (Cât valorează o parte?)
16 : 2 = 8
Care este primul număr?
15 – 8 = 7.
Rezolvarea 2 – metoda comparației prin scădere
Notăm: a – primul număr ; b – al doilea număr
a….b….15/ x 3 3xa….3xb….3×15
echivalent cu
3xa….5xb….61 3xa….5xb….61
Scădem cele două relații membru cu membru și obținem:
2 x b = 16
b = 16 : 2
b = 8 rezultă a + 8 = 15
a = 15 – 8
a = 7.
Metoda falsei ipoteze
Metoda falsei ipoteze sau metoda ipotezelor are la bază o presupunere (ipoteză). Ea solicită introducerea unor date ipotetice și confruntarea situației obținute astfel cu situația reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările. De aceea, se mai numește metoda falsei ipoteze. Metoda poate fi utilizată și în soluționarea problemelor care se rezolvă în mod obișnuit prin metoda comparației, în problemele de sumă și raport etc.
Exemplu: Un țăran are în curte păsări și oi. Aceste animale au la un loc 46 de capete și 114 picioare. Câte păsări și câte oi are țăranul?
Rezolvarea 1 – metoda falsei ipoteze
Presupunem că ar fi fost numai oi.
Câte picioare ar fi fost? 46 x 4 = 184 (picioare)
Cu câte picioare ar fi fost mai multe față de numărul de picioare dat în problemă ? 184 – 114 = 70 (picioare).
Deci presupunerea este falsă.
Trebuie să înlocuim un număr de oi cu un număr de păsări, pentru a face să dispară acest număr de picioare care este în plus.
La o singură înlocuire numărul 70 se micșorează cu diferența dintre numărul de picioare de la o oaie și numărul de picioare de la o pasăre.
Care este această diferență? 4 – 2 = 2
Câte înlocuiri trebuie să facem? (Până dispare diferența de 70, adică atâtea înlocuiri de câte ori se cuprinde în 70.)
Numărul de înlocuiri este tocmai numărul de păsări, iar restul până la 46 este reprezentat de numărul de oi.
Câte păsări sunt? 70 : 2 = 35 (păsări)
Câte oi are țăranul? 46 – 35 = 11 (oi).
Verificare: 11 x 4 + 35 x 2 = 114.
Rezolvarea 2 – metoda grafică
Figurez oile și păsările prin cercuri:
……………
46 vietăți
Fig. nr. 19
Întrucât fiecare vietate are cel puțin două picioare, figurez la fiecare cerc 2 linii, reprezentând astfel cele două picioare:
…………….
Fig. nr. 20
Câte picioare vor avea toate vietățile?
46 x 2 = 92 (picioare)
Care este diferența dintre numărul de picioare real și cel reprezentat prin linii? 114 – 92 = 22 (picioare)
…………… ……………
11vietăți
Fig. nr. 21
3.La câte ovale pot desena încă 2 picioare?
22: 2 = 11 (vietăți)
4.Câte dintre vietăți sunt oi?
(11, pentru că au 4 picioare)
5. Câte dintre vietăți sunt păsări?
46 – 11=35.
Metoda comparației
Specificul metodei comparației constă în faptul că se folosește mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relații clar precizate, determinarea fiecăreia implicând eliminarea celeilalte mărimi prin înlocuirea sau prin reducere (scădere).
În problemele care se rezolvă prin eliminarea unei mărimi, înlocuind-o, poate fi dat raportul dintre valorile unitare sau poate fi dată diferența dintre valorile unitare.
Comparația de reducere se folosește în problemele în care enunțul cuprinde relațiile referitoare la mărimile date în două situații distincte.
După scrierea datelor, unele sub altele, conform situațiilor din enunț, trebuie să comparăm datele privitoare la o mărime în cele două situații. Dacă ele sunt aceleași, le obținem prin diferite procedee (multiplicitate sau divizibilitate). De aceea metoda se mai numește aducerea la același termen de comparație sau egalarea datelor.
Exemplu: Două grupuri de muncitori au de efectuat un șanț. Dacă prima echipă lucrează 18de zile, iar a doua 16 zile sau dacă prima echipă lucrează 21 de zile sau a doua 12, șanțul este terminat. În câte zile ar termina șanțul fiecare echipă, dacă ar lucra singură?
Rezolvare – metoda comparației
Scriem problema pe scurt:
Prima echipă a doua echipă
18 zile ……………………………… 16 zile …………..lucrarea / x 7
(Aducem la același numitor.)
21 zile ……………………………… 12 zile …………. lucrarea / x6
18×7=126 zile…………………16×7=112 zile…………7 lucrări
21×6=126 zile…………………12×6 = 72 zile ………..6 lucrări
(2) – (1) rezultă………………………112 – 72 =40zile………lucrarea
Deci a doua echipă termină singură lucrarea în 40 de zile.
18 zile…………………………16 zile…………………lucrarea/ x 3
rezultă că:
21 zile…………………………12 zile…………………lucrarea/ x 3
54 zile………………………….48 zile…………………3 lucrări
84 zile………………………….48 zile…………………4 lucrări
(2) – (1) rezultă 30 zile…………………………………………lucrarea
Deci prima echipă termină singură lucrarea în 30 de zile.
Metoda reducerii la unitate
Metoda reducerii la unitate se poate sintetiza prin regula: pentru a ști valoarea mai multor unități, trebuie să determinăm valoarea unei singure unități (părți) și invers. Fie că sunt mărimi direct proporționale, fie că sunt mărimi invers proporționale, enunțul cuprinde trei elemente cunoscute și unul necunoscut, două câte două de același fel. Cu ajutorul celor trei elemente cunoscute se află cel de-al patrulea. De aceea regula se mai numește regula de trei (simplă sau compusă).
Exemplul nr.1: Din 45 de litri de lapte se obțin 5 litri de smântână. Din câți litri de lapte se obțin 12 litri de smântână?
Rezolvare – metoda reducerii la unitate, mărimi direct proporționale
Pentru 5 l smântână……………….trebuie……………….45 l lapte
Pentru 1 l smântână ……………cât trebuie………………45 :5= 9 (l lapte)
Pentru 12 l smântână………….. cât trebuie……………..12×9=108 (l lapte).
Elevii observă că dacă micșorăm valoarea unei mărimi de un număr de ori și valoarea celeilalte mărimi cu care este în relație, se micșorează de același număr de ori.
Asemenea mărimi se numesc mărimi direct proporționale.
Exemplu nr.2: 10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor termina lucrarea 12 muncitori?
Rezolvare – metoda reducerii la unitate, mărimi invers proporționale
Precizez că mărimile invers proporționale se pot defini astfel: dacă mărimea unei valori de un număr de ori determină micșorarea celeilalte valori de același număr de ori și invers, cele două mărimi sunt invers proporționale.
Pentru a determina timpul necesar efectuării lucrării pentru 12 muncitori, trebuie să
determinăm timpul necesar pentru un singur muncitor.
10 muncitori…………lucrarea………………6 zile
1 muncitor …………..lucrarea………………într-un timp de 10 ori mai mare:
6 x 10 = 60 (zile)
12 muncitori…………lucrarea……………….într-un timp de 12 ori mai mic
decât 60; 60:12= 5 (zile).
sau
În cât timp termină lucrarea un muncitor? (Un singur muncitor termină lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare decât 6, pentru că 1 este mai mic decât 10 de zece ori.) 6 x 10 = 60 (zile)
În cât timp termină lucrarea 12 muncitori? (Dacă unui muncitor îi trebuie 60 de zile pentru 12 muncitori e necesar un timp de 12 ori mai mic, pentru că 12 este mai mare decât 1 de doisprezece ori.)
60 :12 = 5 (zile).
Observație: Mărimile invers proporționale în cazul nostru sunt numărul de muncitori și timpul necesar pentru terminarea aceleași lucrări.
Metoda mersului invers
Metoda mersului invers se folosește în numite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul șirului de relații dat în enunț.
Urmărind enunțul de la sfârșit la început („mergând” în sens invers enunțului), trebuie să se determine penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, până când se ajunge la numărul inițial.
Exemplu: Un țăran vinde pepeni la trei cumpărători. Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui de-al doilea o treime din ce-i rămăsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest. Câți pepeni a avut inițial producătorul, dacă i-au mai rămas 16 pepeni?
Notăm: S – suma inițială de pepeni; V1 , V2 , V3 – numărul de pepeni vânduți fiecărui cumpărător în parte;
R1 , R2 , R3 – resturile corespunzătoare.
Rezolvarea 1 – metoda mersului invers cu reprezentare grafică
Realizez graficul astfel:
30 30
S
30
V1
R1 10 20
V2 10
R2
R3
Fig. nr. 22 16 pepeni
Cât valorează o parte din al treilea rest?
16 :4 = 4
Cât valorează al doilea rest?
4 x 5 = 20
Cât valorează o parte din primul rest?
20 : 2 = 10
Care este jumătatea numărului inițial de pepeni?
10 + 20 = 30
Câți pepeni a avut țăranul?
30 x 2 = 60 (pepeni).
Rezolvarea 2 – metoda falsei ipoteze
Presupunem că țăranul ar fi avut un număr de pepeni divizibil cu 2, cu 3 și cu 5.
Fie numărul 30 (cel mai mic multiplu comun al acestor numere).
Vânzările succesive și resturile ar fi:
30:2=15 Câți pepeni i-au rămas? 30 – 15 =15
15:3= 5 Câți pepeni i-au rămas? 15 – 5 = 10
10:5 =2 Câți pepeni i-au rămas? 10 – 2 = 8
De câte ori i-au rămas mai mulți pepeni decât am propus?
16 : 8 = 2
Așadar, mărim numărul din ipoteza noastră de 2 ori.
2 x 30 = 60 (pepeni).
Exercițiile care se pot obține din rezolvarea unora dintre aceste probleme sunt denumite exerciții „cu x” , care sunt de fapt ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care, pentru elevii din învățământul primar se rezolvă nu prin calcul algebric, ci prin raționament aritmetic.
Exemplu:
10 + 10 : { [ 10 + 10 x ( a x 10 ) ]:10 – 10} = 11 a=?, a – nr. natural
Rezolvare:
Scriem exercițiul într-o formă mai simplă:
10 + 10 : { } = 11
10 : { } = 11 + 10
10 : { } = 1
{ } = 10 : 1
{ }= 10.
Înlocuim acolada cu conținutul ei:
[ ] : 10 – 10 = 10
[ ] :10 = 10 +10
[ ]:10 = 20
[ ] = 20 x 10
[ ]= 200.
Înlocuim paranteza pătrată cu conținutul ei:
10 + 10 x ( ) = 200
10 x ( ) = 200 – 10
10 x ( ) = 190
( ) = 190 :10
( ) = 19
a – 10 = 19
a = 10 + 19
a = 29.
II.5. Căi și mijloace de sporire a eficienței în rezolvarea problemelor ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR
Pentru rezolvarea cu ușurință a oricărei probleme, elevul trebuie să posede o serie de cunoștințe de matematică dobândite anterior, unele scheme operaționale, întâlnite anterior, elemente care treptat se automatizează. Dacă învățătorul nu dirijează gândirea elevilor spre generalizarea elementelor esențiale, elevii ajung să generalizeze elementele neesențiale și aplică acțiuni mentale automatizate la situații pentru care nu sunt adecvate. De altfel, rezolvând problemele nesistematizate după un criteriu logic, fără a solicita o linie ascendentă a efortului gândirii, neurmărind generalizarea trăsăturilor esențiale ale problemei și nici formarea treptată a unor operații intelectuale necesare în rezolvarea unor probleme tot mai complexe – toate aceste sarcini realizându-se la voia întâmplării, duce la efecte negative în ceea ce privește dezvoltarea gândirii elevilor. Mulți elevi ajung să rezolve probleme asemănătoare dar nu fac față atunci când se modifică chiar și numai unele elemente neesențiale. Aceasta se datorează faptului că nu au formate deprinderile elementare de a analiza și a înțelege problema în totalitatea ei.
Gândirea elevilor trebuie lăsată liberă, să iscodească, să încerce chiar dacă pornesc pe cărări fără șansă de reușită. Acțiunea căutării are o eficiență mult mai bogată decât dirijarea elevului către soluția problemei care-l scutește de efort și de trăirea emoțiilor căutării și a bucuriei descoperirii. Dirijarea elevului, de teamă că nu va putea depăși anumite dificultăți puse de problemă, fie prin sugerarea soluției, fie prin trimiterea la un model similar, nu dă posibilitatea de a gândi problema în ansamblul ei.
Dirijând prea strâns, din aproape, gândirea elevilor în activitatea de învățare a problemelor, conducându-i în formarea succesivă a unor perechi de date pe care le leagă printr-o întrebare, desprinzând astfel problemele simple în cadrul problemei compuse, nu face altceva decât să rezolve pe secvențe problema. Această rezolvare este binevenită numai atunci când se rezolvă cu copiii o problemă ce reprezintă o categorie sau un tip de probleme.
O altă categorie de situații care frânează gândirea independentă în activitatea de rezolvare a problemelor se prezintă sub forma contradicției dintre caracterul spontan și liber al gândirii creatoare și corsetul unui limbaj „ales” pe care-l pretinde învățătorul. Când gândirea elevului s-a declanșat într-o direcție (găsește calea de rezolvare o problemei sau ideea ce ar duce spre ea) și el încearcă să prezinte și să urmărească această direcție, învățătorul atunci îl oprește din „desfășurarea” gândirii cerându-i să exprime ideea într-un limbaj corect. Pentru început nu forma în care-și prezintă ideea trebuie avută în vedere, ci dacă soluția descoperită sau măcar întrevăzută și abia după aceea, când momentul de tensiune a trecut, i se poate cere să se exprime cât mai corect și cât mai complet, se pot formula exigențe care privesc limbajul intern al elevului.
În activitatea de rezolvare a problemelor copiii întâmpină greutăți din cauza lipsei de experiență. Ei trebuie ajutați să înțeleagă conținutul problemei, termenii sau expresiile neînțelese, să fie explicate pentru că altfel îngreuiază procesul rezolvării sau poate duce la rezolvarea ei greșită.
Procesul rezolvării problemelor este îngreunat la unii elevi din cauza slabelor deprinderi de calcul, efortul lor concentrându-se nu asupra liniei raționamentului ci asupra efectuării calculului. Capacitatea redusă de a efectua analiza riguroasă a datelor problemei îi duce pe unii elevi la încercări exclusive în sfera calculului fără nici o motivare pe baza raționamentului. Elevii sesizează într-o problemă în primul rând valorile numerice concrete și nu relațiile dintre cantități așa cum cere problema și încep să efectueze operații cu numerele date, fără ca aceste operații să se încadreze într-o schemă generală de acțiune izvorâtă din reflectarea relațiilor cantitative de conținut. Pentru înlăturarea acestei dificultăți am insistat asupra scoaterii în evidență a relațiilor dintre date, de multe ori discutând cu elevii numai calea de rezolvare a problemei (judecata problemei) sau am folosit numere mici care să nu necesite timp mult de calcul. Rezolvarea corectă a unei probleme de aritmetică nu este posibil decât în urma unei analize profunde a datelor, analiză ce poate să-i permită elevului o serie de reformulări ale problemei apropriindu-l din etapă în etapă de soluția problemei.
Copiii de vârstă școlară mică încep rezolvarea problemei pornind să analizeze pas cu pas enunțul și pe măsură ce desprind o pereche de date și relația dintre ele trec imediat la calcul. Dacă ordinea oferită de datele problemei coincid cu ordinea de rezolvare a ei, dacă enunțul comandă judecățile și apoi rezolvarea, elevul ajunge ușor la soluții. În situația în care ordinea datelor din enunț nu coincide cu ordinea rezolvării, elevii nu ajung la soluție fiindcă nu privesc problema în ansamblu ei, nu sunt conștienți de întregul raționament de rezolvare al problemei respective, ci aplică mecanic schema învățată. Am întâlnit elevi care în locul unui efort mintal pentru rezolvarea problemei (capacitatea de a analiza datele problemei, condiția ei) aplică o schemă mintală instalată pe baza rezolvării unor probleme asemănătoare (care dobândește funcție de algoritm) la probleme pentru care ea nu este adecvată. Modalitățile de rezolvare pe care le învață se formează stereotip și perseverează, opun rezistență acțiunii atunci când apar situații noi pentru care ele nu mai sunt adecvate și când se impune restructurarea lor. Aceste situații se întâlnesc cu precădere la clasa I datorită lipsei posibilităților de a „traduce” relațiile exprimate în textul problemei prin prezentarea unor situații concrete în relațiile matematice. Deci, din cauza slabelor posibilități de a analiza datele și condiția problemei, întâlnim elevi care fac operații aritmetice ce contravin sensului întrebării. Exemplu: „O gospodină cumpără 17 kg de prune pentru compot și gem. Câte kg de prune au rămas pentru gem dacă din 7 kg de prune face compot?”
La această întrebare ei fac adunare sau în alte cazuri la întrebarea: „Câte kg s-au adus în total?” fac scădere.
Copiii întâmpină greutăți și atunci când se trece de la o categorie de probleme la alta. Ei și-au fixat schema de rezolvare a problemei cu un algoritm și nu se poate adapta la situații variate. Acest lucru se observă mai ales atunci când se trece de la rezolvarea problemelor simple (cu o singură operație) la rezolvarea problemelor complexe (cu două sau mai multe operații). De aceea unii elevi întreabă frecvent: „O facem tot cu o operație?”.
Rezolvând problemele simple, capacitățile legate de această activitate se structurează la dimensiunile și pe specificul problemei simple. Copiii ajung să analizeze datele și condiția problemei având de-a face cu o singură pereche de date, orientează rezolvarea în direcția întrebării, fiind vorba de o singură întrebare, anume întrebarea generală a problemei. Asemenea capacități formate la nivelul rezolvării problemelor simple îi pun pe unii copii în situația de a se menține la acest nivel și atunci când se trece la rezolvarea problemelor complexe.
Deși fac corect raționamentul unii elevi nu rețin decât mental întrebările intermediare și scriu (drept plan de rezolvare) numai întrebarea generală a problemei.
Exemplu: Într-o ladă sunt 12 kg de roșii, în alta cu 5 kg mai mult. Câte kg de roșii sunt în cele două lăzi? și rezolvă prin două operații:
12 + 5 = 17 (kg)
17 + 12 = 29 (kg).
Alții, deși gândesc rezolvarea prin două operații, scriu numai pe cea de a doua operație prin care se dă răspuns la întrebarea problemei.
17 kg + 12 kg = 29 kg.
Un număr mare de copii rezolvă numai prima problemă simplă din cadrul problemei complexe efectuând prima operație aritmetică și cu aceasta consideră problema izolată:
12 + 5 = 17 (kg).
În rezolvarea unei probleme se formează unele capacități adecvate categoriei generale din care face parte problema și sunt utile atunci când se referă la principiul general de rezolvare a oricărei probleme ce aparține categoriei respective. Când se trece la o nouă categorie de probleme, aceste capacități, de multe ori îngreunează rezolvarea noilor probleme care au la bază alt principiu de rezolvare. De exemplu, când se trece la rezolvarea problemelor cu trei operații, deprinderile formate de a rezolva probleme cu două operații opun rezistență deprinderilor noi adecvate rezolvării problemei cu trei operații, care începeau să se instaleze. Aceasta nu înseamnă că deprinderile anterior formate se anulează pentru a lăsa loc unor noi deprinderi. Sunt elemente comune (la deprinderile deja formate și cele pe care trebuie să le formăm) care servesc oricărei probleme și sunt elemente specifice unei anumite categorii de probleme. Cu prilejul trecerii de la o categorie de probleme la alta trebuie întărite, reactualizate elementele comune, astfel încât ele să constituie modalități de explorare a noilor date și nu frână, să constituie sprijin pentru găsirea unor noi modalități de rezolvare, proprii noii categorii de probleme.
Căutând să accentuez latura formativă în activitatea de rezolvare a problemelor, dar să și respect principiile didactice, am introdus sarcini încă din clasa I odată cu predarea operațiilor.
În această perioadă de început am deprins elevii cu rezolvarea și compunerea de probleme pe bază intuitivă, în care enunțul să indice și calea de rezolvare, așa numitele probleme cu rezolvare succesivă – deoarece datele se iau în rezolvare în ordinea din enunț.
Exemplu: Radu are 3 timbre. Mama îi mai dă 4 timbre, iar sora sa 2. Câte timbre are Radu?
3 t………………..4 t……………………..2 t…………………..? t
+
+
Fig. nr. 23
Apoi am rezolvat probleme care adaugă o dificultate în plus și anume ordinea de rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunț, elevul fiind solicitat să aleagă perechi de date între care se stabilește o relație matematică certă.
Exemplu: Într-un garaj sunt 10 camioane. Dimineața au plecat 4 camioane, iar mai târziu încă 3. Câte camioane au rămas în garaj?
Schema de rezolvare urmează formula a – ( b + c ), dar poate fi și a – b – c .
O lată categorie de probleme sunt acelea care cuprind un enunț numai două date, obligând ca una din date să fie luate în considerație de două ori.
Exemplu: Elevii clasei a III-a au plantat în fața școlii panseluțe. Pe o parte a aleii au plantat 42 iar pe cealaltă parte cu 14 fire mai puțin (sau cu 14 fire mai mult). Câte fire de pansele au plantat în total?
Principiul (schema) de rezolvare a problemelor din această categorie poate fi: a + (a + b) sau a + (a – b).
Toate problemele care se rezolvă cu elevii clasei I și a II-a (primul semestru al clasei a II-a) se încadrează în aceste trei categorii. De altfel, problemele care se rezolvă în celelalte clase până la clasa a IV-a nu reprezintă decât o complicare a acestora prin transformarea uneia din datele cunoscute în necunoscută.
Pe lângă modalitățile de lucru folosite în clasa I și alcătuirea planului în forma clasică (întrebările în ordinea rezolvărilor) am introdus și planul de rezolvare într-o formă tot mai condensată, fiecare întrebare cuprinzând răspunsul mai multor întrebări în detaliu. Astfel, n-am formulat câte o întrebare pentru fiecare problemă din cadrul problemei complexe, și întrebările intermediare aveau funcția de întrebări ale unor probleme complexe incluse în problema de rezolvat.
Exemplu: O șosea lungă de 96 dam a fost construită în 3 zile. În prima zi s-au construit 220 m, a doua zi cu 130 m mai mult decât în prima zi, iar restul șoselei a fost construită de trei echipe în mod egal. Câți metri de șosea a construit fiecare echipă?
96 dam………….220m………….130m……………3 e………….?
Câți metri are toată șoseaua?
96 dam = 960 m
Câți metri s-au lucrat în cele două zile?
220 m + 130 m + 220 m = 570 m
Câți metri a lucrat fiecare echipă?
(960 m – 570 m) : 3 = 130 m.
sau:
Câți metri are șoseaua?
96 dam = 960 m
Câți metri au lucrat echipele?
960 m – [220 m + (220 m + 130 m)] = 390 m
Câți metri a lucrat fiecare echipă?
390 m : 3 = 130 m.
În final se cere elevilor să prezinte rezolvarea sub forma unei expresii numerice (punerea problemei în exercițiu):
[960 – (220 + 130 + 220)] : 3 = 130
În clasa a II-a întâlnim unele probleme a căror rezolvare este evidentă.
Exemplu: „Un bloc are 4 scări cu câte 10 apartamente pe fiecare scară. Alt bloc are 5 scări cu câte 9 apartamente pe fiecare scară. Câte apartamente sunt în cele două blocuri?”
4 x 10 + 5 x 9.
Întâlnim și probleme în care relațiile dintre date nu sunt atât de evidente.
Exemplu: Din cele 100 de tractoare pe care le are o fermă agricolă, 28 sunt trimise la arat pe terenurile oamenilor, iar restul repartizate în mod egal la 8 brigăzi ale firmei. Câte tractoare revin într-o brigadă ?
Încă de la începutul rezolvării acestor probleme am căutat să-i determinăm pe elevi să înțeleagă conținutul problemei printr-o mai insistentă analiză a datelor și chiar prin așezarea datelor într-o ordine care să facă mai evidentă rezolvarea problemei.
100 tractoare………… 28 tractoare…………. 8 brigăzi………….? tractoare
72
:
9 (a – c) : b
Fig. nr. 24
Tot în clasa a II-a am introdus și problemele de genul T = I + II +III.
De exemplu: Un balot de stofă de 87 m a fost vândut în trei zile. În prima zi s-au vândut 23 m, a doua zi 36 m. Câți m s-au vândut în a treia zi?
Pornind de la relația T (total) = I + II + III am desprins că III = I –(I +II).
Înlocuind cu datele problemei avem: III = 87 – (23 + 36) = 28 m.
Am reformulat apoi problema considerând necunoscută cantitatea de stofă vândută a doua zi (87 = 23 + X + 28), X = 87 – (23 + 28), apoi cantitatea de stofă vândută în prima zi (87 = X + 36 + 28).
Elevii au putut rezolva pe baza acelorași date o familie de probleme care au întrebări diferite și au putut înțelege relațiile:
T = I + II+ III
I = T – (II + III)
II = T – (I + III)
III = T – (I – II)
La clasa a IV-a am întâlnit astfel de probleme care se bazează pe asemenea relații dar sunt mai complicate.
Am rezolvat de asemenea și așa-zisele „probleme inverse” sau probleme cu rezolvare inversă în care valoarea necunoscută este cea de la care trebuie să se pornească.
Exemplu: Într-o consignație erau mai multe jucării. Dimineața s-au vândut 6 jucării, iar după-amiaza 4 jucării. La ora închiderii în magazin se mai găseau 10 jucării. Câte jucării au fost la ora deschiderii?
Sau
Am plecat în oraș la cumpărături. Am luat un pix de 2500 lei și o ciocolată de 4200 lei. Când am ajuns acasă mai aveam 3000 de lei. Cu câți lei am plecat în oraș?
Unii elevi au rezolvat problema în mod retrospectiv din momentul sosirii acasă (acasă 3000 lei, la cofetărie 3000 lei+ 4200 lei= 7200 lei, la librărie 7200 lei + 2500 lei = 9700 lei). Alții au rezolvat-o folosindu-se de rezolvarea sintetică a problemei prin punerea ei în formula numerică:
X – (2500 + 4200) = 3000 – formulă pe care ei o știau s-o rezolve de la calculele exercițiilor cu mai mulți termeni între care unul necunoscut. Asemenea probleme dezvoltă nu numai gândirea elevilor ci și perspicacitatea și ingeniozitatea.
Eugen Rusu atrage în lucrarea sa „Psihologia activității matematice” atenția asupra faptului că nu trebuie să limităm noțiunea de problemă inversă și operație inversă. Noțiunea de ecuație reprezintă în fond o problemă inversă, generalizând operațiile inverse. Se dau anumite numere, se fac operațiile date cu ele și se cere rezultatul: aceasta este problema directă și este lipsită de mister. Dacă, însă, dăm rezultatul și operațiile pe care le-am făcut și cerem unul sau mai multe din numerele cu care am lucrat, aceasta este problemă inversă – cu mult mai grea și care generează cercetări de mare amploare, punem probleme noi.
Din clasa a II-a am scris formula numerică a problemelor, apoi am introdus simbolurile literale. Acest lucru se realizează cu ușurință după ce elevii au folosit simbolurile literale în calcul, la probleme fiind vorba doar de o extindere a acestora de la calcul la probleme. Considerarea unui exercițiu de calcul (rezolvat și bine înțeles de copii) ca a – (b + c) drept algoritm de rezolvare a unei probleme, compunerea și rezolvarea pe baza lui a unor variate probleme concrete, i-a ajutat pe copii să generalizeze principiul de rezolvare a problemei și să depisteze sau să creeze problemele care se încadrează în el.
Cu cât elevii înaintează în vârstă, deprinderile lor de a rezolva și compune probleme sunt formate, se poate cere transpunerea directă a problemei în formulă numerică sau literală. Sunt numeroase probleme începând cu clasa a III-a în care li se cere elevilor să rezolve probleme ca un singur exercițiu cu mai multe operații.
Exemplu: Un creion costă 2000 lei. De la un centru de difuzare o educatoare a cumpărat 75 creioane și alta 27 de creioane de același fel. Cât s-a plătit pe toate creioanele?
Rezolvați în două moduri. (Scrieți de fiecare dată rezolvarea ca un singur exercițiu cu mai multe operații pe care apoi îl efectuați.)
Un asemenea mod de rezolvare obligă elevul să gândească asupra întregului raționament. El nu poate să încerce a rezolva numai o parte din problemă, tentat de valorile numerice pe care le-ar pune într-o anumită relație, întrucât i se cere să stabilească mai întâi formula de rezolvare integrală a problemei. Aceasta duce la formarea unei gândiri concentrate, cu posibilități tot mai mari de sinteză și dezvoltă în același timp imaginația. Elevii ajung să-și imagineze relațiile posibile din cadrul problemei.
Urmărind evoluția modalităților de rezolvare a problemelor, se constată că aceeași problemă care se rezolvă prin același raționament poate fi exprimată într-o formulă din ce în ce mai concentrată (cu plan de rezolvare) numai cu operații aritmetice cu formula numerică, cu formula literală. Aceste modalități de lucru pot evolua astfel:
Se dă problema: La un centru de legume și fructe s-au vândut într-o zi 205 kg roșii, cu 97 kg mai puțin fasole verde, iar castraveți cu 92 kg mai mult decât fasole verde.
Ce cantitate de legume s-a vândut în total?
l. 205 kg roșii………….- 97 kg…………….+ 92kg………? Kg
Planul de rezolvare
Câte kg de fasole verde s-au vândut?
205 kg – 97 kg = 108 kg
Câte kg de castraveți s-au vândut?
108 kg + 92 kg = 200 kg
Ce cantitate de legume s-a vândut?
255 kg + 108 kg + 200 kg = 512 kg
R: 513 kg.
ll. 205 kg……….- 97 kg……………+92 kg…………….? Kg
205 kg – 97 kg = 108 kg
108 kg + 92 kg = 200 kg
205 kg + 108 kg + 200 kg = 513 kg
R: 513 kg.
lll. 205 kg ………- 97 kg …………..+ 92 kg ……………? Kg
T = A + B +C
a + (a – b) + (a – b + c)
205 + (205 – 97) + ( 205 – 97 + 92) = 513
205 + 108 + 200 = 513
R: 513 kg.
Dobândind deprinderi de a gândi și rezolva problemele în acest mod, elevii au ajuns să rezolve cu rapiditate și ușurință probleme tot mai complexe, mergând fie de la formula literală care exprimă raționamentul de rezolvare a problemei către rezolvarea ei concretă fie invers.
Exemplu: La un magazin s-au adus trei baloturi de stofă. Primul avea 256 m, cel de-al doilea cu 84 m mai mult decât primul, iar cel de-al treilea cu 152 m mai puțin decât al doilea. Câți m de stofă sunt în total în cele trei baloturi?
I II III
3 baloturi……..256 m………..+84 m…………- 152 m…………? m
256 256+84 256+84-152
A B C
A a + b a + b – c
Fig. nr. 25
de unde formula
T = A + B + C
T = a + (a + b) + ( a + b – c).
În clasa a lll-a am folosit mult procedeul reformulării problemei, considerând ca necunoscuta una din datele care în problema inițială era cunoscută, și trecând astfel pe rând, toate datele problemei prin postura de necunoscută.
După ce am rezolvat problema anterioară în forma inițială am modificat condiția problemei astfel: Trei baloturi de stofă au: 256 m primul balot, al doilea cu 84 m mai mult decât primul, iar al treilea balot conținea cu 408 m mai puțin decât primul și al doilea balot la un loc. Câți m de stofă sunt în cele trei baloturi?
256 m………….+ 84 m………….- 408 m…………..? m
T = A + B + C
T = a + (a + b) +(a + a +b – c)
Am considerat apoi totalul cunoscut și am dat, pe rând, ca necunoscută lungimea stofei din fiecare balot. Astfel: În trei baloturi sunt 784 m de stofă. Știind că în primul balot sunt 256 m, iar în al doilea cu 84 m mai mult decât în primul, să se afle câți m de stofă sunt în cel de-al treilea balot.
La fel se procedează pentru situația când nu se cunoaște cantitatea de material din primul sau al doilea balot. Iată formulările prin care ar putea trece problema de mai sus păstrând condițiile inițiale în ceea ce privește relațiile dintre date.
Fig. nr. 26
De asemenea, în clasa a lll-a se cntinuă cu problemele în care cea de-a doua valoare numerică se raportează la prima iar cea de-a treia fie la a doua, fie la primele două luate la un loc sau la diferența lor, dar mai complicate decât la clasa a ll-a. De exemplu: Un pomicultor a cules într-o zi 103 kg de mure, a doua zi de trei ori mai multe, iar a treia zi cât în primele două zile la un loc. Câte kilograme de mere i-au rămas dacă a vândut 360 kg ?
103 kg……….x 3………103 + 103 x 3…………360 kg……….? Kg
a+ ( a x b) + (a +a x b) – c
[103 +(103 x 3) +(103 + 103 x 3)] – 360 = 464 kg
(103 + 309+ 412) – 360 = 464 kg.
sau problema: Elevii unei școli au făcut o excursie mergând 214 km cu trenul, cu 104 km mai puțin cu autobuzul, iar pe jos au mers cu 273 km mai puțin decât cu trenul și autobuzul la un loc. Câți km au mers în total?
l = 214 km ………..ll = 104 km………….lll = 273 km…………..? km
A B C
Fig. nr. 27
T = A + B + C
T = a + (a – b ) + [(a + a – b ) – c ]
214 + (214 – 104) + [(214+214 – 104 ) – 237] = 375 (km)
214 + 110 + 51 = 375 (km)
R: 375 km.
Elevii clasei a II-a au ajuns astfel să rezolve și probleme mai diverse în care cunosc totalul, una din mărimi și că valoarea numerică a celei de a treia se raportează la necunoscută.
Exemplul: Trei echipe de muncitori au tăiat împreună 597 copaci. Prima a tăiat 214 copaci. Cea de a treia echipă a tăiat cu 163 copaci mai mult decât a doua echipă. Să se afle câți copaci a tăiat echipa a doua și câți copaci a tăiat a treia echipă.
T I II III
597 c………………214 c…………………x……………….+ 163 c
Pornind de la faptul că T = I + II + III , am înlocuit cu datele cunoscute 597= 214 + x + x + 163 și aflăm valoarea lui x din x + x = 597-(214 + 163)= 597 – 337 = 220; deci x = 220 : 2 = 110 copaci a tăiat cea de a doua echipă iar cea de a treia 110 + 163 = 273 copaci.
Pe caietele elevilor problema rezolvată arată astfel:
3 echipe…….597 c……..214 c………x………+ 163………? B….?C
T = A + B+ C
B = (T – A – 163) : 2 B =(597- 214-163):2= 220:2=110
C = [(T – A – 163) : 2] + 163 C =[(597-214-163):2]+163=
= (220:2)+ 163=
=110 + 163 = 273.
Atunci când am studiat operațiile aritmetice, elevii au fost puși deseori în situația de a stabili, scriind cu litere, relațiile dintre termeni și sumă ( S = T1 + T2 ; T1 = S – T2 ; T2 = S – T1 ), dintre descăzut, scăzător și rest ( D – S =R ; D = S + R ; S = D – R ) etc. Au fost puși și în situația de a compune probleme pe baza acestor formule.
În momentul în care au apărut probleme în care se calcula prețul, valoarea sau cantitatea am stabilit cu elevii care sunt relațiile dintre acestea ( Pr = V : C ; V = Pr x C ; C = V : Pr). La problemele tipice de mișcare au fost conduși să raporteze distanța la viteză și timp ( D = V x T ; V = D : T ; T = D : V).
Pe baza unor asemenea formule am rezolvat și compus multiple și variate probleme.
În clasa a IV-a se consolidează întregul sistem de lucru: extragerea formulei numerice, elaborarea formulei literale, rezolvarea problemelor prin mai multe procedee, compunerea problemelor ș.a.m.d. Se pune accent pe rezolvarea problemelor prin metoda grafică abordând toate tipurile de probleme la care se pretează, dar am dat curs mai ales problemelor a căror rezolvare apelează la perspicacitate și profunzimea gândirii. Cu cât problema oferă mai multe posibilități de rezolvare cu atât ea solicită mai mult capacitatea elevilor de a sesiza variantele de rezolvare.
Exemplu: La o crescătorie de păsări, într-o hală sunt 116 găini și de 7 ori mai mulți pui; ¼ din numărul puilor se vând la piață. Câte păsări au rămas în hală?
Elevii au rezolvat problema în patru moduri:
116 x 7 = 812 (pui)
812 : 4 = 203 (pui)
812 – 203 = 609 (pui rămași)
609 + 116 = 725 (păsări).
116 x 7 = 812 (pui)
812 : 4 = 203 (pui)
203 x 3 = 609 (pui)
609 + 116 = 725 (păsări).
116 x 7 = 812 (pui)
812 : 4 = 203 (pui)
812 + 116 = 928 (păsări)
928 – 203 = 725 (păsări).
116 x 7 = 812 (pui)
812 : 4 = 203 (pui)
203 + 609 +116 -203 = 725 (păsări).
Ultima formă a exercițiului demonstrează capacitatea de sinteză a gândirii.
Un capitol important îl constituie problemele tipice.
Se ține seama că primele probleme pentru prezentarea unui anumit tip trebuie să cuprindă valori numerice mici și să aibă un conținut cât mai simplu. În vederea participării cât mai active a elevilor la rezolvarea acestor probleme am folosit material didactic care să-i ajute să-și reprezinte în mod intuitiv conținutul problemei.
Studiind noi probleme tipice se revine periodic la tipurile învățate comparând și confruntând problemele de tip diferit care conțin în enunț unele elemente asemănătoare.
Rezolvarea unui grup de probleme de tipul respectiv am încheiat-o prin concluzii și generalizări accesibile copiilor prin care s-a subliniat elementul comun al problemelor rezolvate; prin ce s-au deosebit aceste probleme una de alta și care a fost metoda sau procedeul rezolvării acestor probleme. O preocupare deosebită a constituit-o compunerea problemelor de către elevi. Activitatea de exersare a elevilor în munca de creare a problemelor am început-o după ce elevii au înțeles ce este o problemă, aceasta pentru a realiza o mobilitate a gândirii lor încă din clasa l. Enunțând o problemă, elevii au creat fie menținând neschimbate valorile numerice, fie obiectele care compun mulțimile.
Până la sfârșitul clasei l am reușit să folosesc toate probele de creații, de exemplu:
– creații de probleme pornind de la exerciții ( Alcătuiți o problemă care să se rezolve după exercițiul 5 – 2 = ?)
– creații de probleme pornind de la numere izolate (elevii au creat o problemă de adunare folosind numerele 4 și 3 sau Creați o problemă folosind numerele 25, 13, 6 astfel încât să se rezolve printr-o operație de adunare și una de scădere. );
– creații de 4 probleme după indicarea operației de rezolvare. Elevii au compus o problemă simplă de adunare și o problemă simplă de scădere;
– creații de probleme după scheme simbolice (am dat elevilor să creeze o problemă pe care să o și rezolve după formula literală a + b; a – b; a + b – c; a – b + c).
Lucrând prin complicarea operațiilor în mod treptat, în clasa a ll-a unii elevi au început să formuleze probleme ingenioase, operaționale.
Exemplu: Într-o livadă sunt 12 peri și pruni de 4 ori mai mulți decât peri. Ce întrebare poate avea problema?
Răspunsurile au fost:
Câți pomi sunt?
Câți pruni sunt în livadă?
De câte ori sunt mai puțini peri decât pruni?
Cu câți sunt mai puțini peri decât pruni
După ce s-au epuizat toate posibilitățile am cerut să complice problema, exprimând-o sub forma sumei și diferenței.
Exemplu: Într-o livadă sunt 60 de peri și pruni. Diferența dintre numărul prunilor și cel al perilor este 36. Ce întrebare se poate formula?
Câți peri sunt în livadă?
Câți pruni sunt în livadă?
Cu câți pruni sunt mai mulți decât peri?
De câte ori sunt mai mulți pruni decât peri?
Și în primul și în al doilea caz rezolvarea problemei s-a făcut concomitent cu formularea întrebării. Înmulțirile și împărțirile le-am făcut prin adunare repetată respectiv scădere repetată. Densitatea muncii intelectuale, în aceste cazuri, este mai mare și valoarea formativă incontestabilă.
Am introdus în enunțul problemelor modificări care să-i facă pe elevi să simtă necesitatea de a deosebi noțiuni apropiate (de exemplu: aflarea unui număr de atâtea ori mai mare, aflarea unui număr de atâtea ori mai mic) și să aleagă pentru ele operația aritmetică corespunzătoare.
Exemplu:
1. Într-un parc sunt 8 brăduți și de 3 ori mai mulți pini. Câți copaci sunt în parc?
2. Într-un parc sunt 8 brăduți și cu 3 mai mulți pini. Câți copaci sunt în parc?
Rezolvând ambele probleme am analizat prin ce operații s-a rezolvat fiecare problemă, am analizat prin ce operații s-a rezolvat fiecare problemă, prin ce se deosebește rezolvarea problemei a doua de cea dintâi, ce anume condiționează aceste deosebiri?
3 x 8 = 24 (pini) 2) 3 + 8 = 11 (pini)
8 + 24 = 32 (copaci) 8 + 11 = 19 (copaci).
La această problemă s-a modificat enunțul, întrebarea rămânând aceeași. Se poate explica și complica problema și schimba și întrebarea problemei ca elevii să observe cum se schimbă rezolvarea acesteia în raport cu schimbarea întrebării.
Exemplu: Într-un parc erau 8 brăduți și de trei ori mai mulți pini. Un sfert din copaci s-au tăiat. Câți copaci s-au tăiat ?
Asemenea rezolvări de probleme îi deprind pe elevi să fie atenți față de textul problemei și de întrebarea ei, le arată că fiecare cuvânt în problemă are o însemnătate bine definită, că fiecare mărime dată care se introduce în problemă aduce cerințele ei de care trebuie să se țină seamă. Ele subliniază marea însemnătate a problemei și-i face pe ei să înțeleagă că înainte de a rezolva o problemă, ei trebuie să știe sensul întrebării ei.
În această idee am cerut elevilor să compună problemele după un model matematic și să rezolve cât mai multe variante.
Exemplu: Creați o problemă care să se rezolve după formula:(3 x 10) + (3 x 9).
Au alcătuit problema: Într-o seră sunt 3 parcele cu flori: garoafe și lalele. Pe fiecare parcelă sunt căte 10 garoafe și 9 lalele. Câte flori sunt în seră?
Rezolvare:
3 x 10 = 30 (garoafe)
3 x 9 = 27 (lalele)
30 + 27 = 57 (flori).
Rezolvare:
Câte flori sunt pe o parcelă?
10+ 9 = 19 (flori)
Câte flori sunt în seră?
19 x 3 = 57 (flori).
Rezolvare: 3 x 10 + 3 x 9 = 57.
Rezolvare: 3 x (10 + 9) = 57.
Am rezolvat cu elevii și probleme de perspicacitate care solicită o mare mobilitate a gândirii.
Exemplu. Avem trei vase de apă. Unul are 3 litri, altul de 5 litri și unul de 7 litri. Cum procedați folosind cele 3 vase pentru a măsura 4 litri de apă?
Asemenea probleme de perspicacitate pot fi repetate cu alte valori numerice, cu alte obiecte, lucruri, ființe și în alte împrejurări pentru a crea structuri cognitive, bine consolidate, ca sisteme de judecăți de relații cu o succesiune bine determinată, care pot fi obiective și în alte împrejurări matematice.
În activitatea de rezolvare și compunere a problemelor am căutat să antrenez mai mulți elevi. Expunerea unor soluții corecte sau greșite le permite o înțelegere mai ușoară a soluției corecte.
Pe marginea problemelor rezolvate am purtat cu elevii un dialog prin care am scos în evidență aspectele esențiale în rezolvarea și compunerea problemelor. În felul acesta conținutul devine mai interesant, contribuind la înțelegerea și însușirea lui, la creșterea interesului pentru activități matematice, care au un conținut bogat în valențe formative.
CAPITOLUL III
COORDONATELE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE
„Cu intuiția descoperi,
cu logica stabilești”
J. Hadamard
III.1. Obiectivele și ipoteza cercetării
Cercetarea pedagogică este „o strategie desfășurată în vederea surprinderii unor relații noi între componentele acțiunii educaționale și a elaborării pe această bază a unor soluții optime ale problemelor pe care le ridică procesul educațional, în conformitate cu exigențele sociale și cu logica internă a desfășurării lui.”
„Caracterul multidisciplinar al cercetării psihopedagogice solicită din partea educatorului-cercetător cunoștințe de psihologie, pedagogie, sociologie, statistică, de logică, etică etc. Nu este vorba de o socializare în toate aceste domenii, ci de stăpânirea conceptelor-cheie necesare în proiectarea, organizarea, desfășurarea și finalizarea cercetării.”
O trăsătură care caracterizează în mod vădit matematica este legătura ei cu practica. Matematica s-a născut din nevoile practice ale omului, s-a cristalizat ca știință trecând și revenind în același timp cu teoriile pentru a sprijini în continuare dezvoltarea vieții, a practicii.
Eficiența formativă a învățământului matematic în clasele I-IV poate fi sporită atât prin calitatea sistemului cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor, atitudinilor, cât și prin modul de îndrumare a asimilării acestora. Utilizarea și mai apoi transferul noțiunilor matematice se realizează nu prin simpla transmitere a acestora de la învățători către elevi, ci prin procese de căutare și descoperire a lor de către elevi, procese materializate prin participarea activă la activitățile matematice.
Obiectul unei cercetări psihopedagogice îl constituie o problemă, un fapt pe care cercetătorul îl identifică și delimitează din ansamblul structural din care face parte, cu intenția de a-i da o explicație plauzibilă și de a obține date certe privind funcționalitatea sa.
Unul dintre faptele pedagogice ce pot constitui obiectul unei cercetări pedagogice poate fi: „Metodologia predării- învățării noțiunii de problemă și de rezolvare și compunere a problemelor în învățământul primar”.
Succesul în însușirea noțiunii de problemă depinde în mod semnificativ de învățător, de felul în care acesta reușește să conducă procesul predării – învățării și evaluării, după modul cum sunt orientați copiii să poată conștientiza, descoperi și aplica prin transfer cunoștințele, priceperile și deprinderile.
În procesul de învățare în învățământul primar trebuie să se folosească metode care creează posibilitatea elevului de a transforma cunoștințele pasive în cunoștințe active, motiv pentru care am proiectat această cercetare cu următoarele obiective:
O1- identificarea nivelului inițial al cunoștințelor elevilor, privind reguli de calcul și algoritmi de calcul;
O2- identificarea unor greșeli tipice evidențiate în evaluarea inițială a elevilor;
O3- reliefarea unor aspecte ale nivelului de dezvoltare a capacității de reprezentare spațială la elevii din ciclul primar;
O4- formarea capacității elevilor de a transfera logic, de la o disciplină la alta, de la o arie curriculară la alta, conținuturile în funcție de necesitățile, trebuințele și de contextele situaționale;
O5- aplicarea unei game variate de activități didactice, menite să dezvolte la elevi caracterul acțional și intuitiv al procesului de rezolvare si compunere de probleme prin utilizarea de metode și tehnici adecvate;
O6- identificarea nivelului final de cunoștințe;
O7- formularea unor concluzii și sugestii de aplicare și transfer de cunoștințe, de compunere și rezolvare de probleme în alte arii curriculare;
Ipoteza cercetării
Dacă în cadrul lecțiilor integrate de matematică și explorarea mediului vom aplica în mod creativ metodele de predare -învățare, atunci elevii își vor reprezenta în mod corect conceptele matematice și vor ști să opereze cu acestea în situații practice.
Aceasta înseamnă că folosirea metodelor și tehnicilor de lucru adecvate în cadrul orelor de matematică și explorarea mediului la clasa a II-a contribuie la dezvoltarea capacității de rezolvare corectă a diferitelor tipuri de probleme, acestea ducând la formarea unor capacități intelectuale operaționale și funcționale, cu aplicabilitate în practică, la constituirea unei motivații adecvate a învățării, prin responsabilizarea elevului în actul de învățare.
III.2 Eșantionul cercetării
În cercetările din domeniul psihologiei și științelor educației nu poate fi inclusă întreaga populație în raport de cercetare. Astfel, de cele mai multe ori, „cercetările psihopedagogice se efectuează asupra unor grupuri naturale- de exemplu, grupa de copii- care pot satisface această cerință (reprezentativitatea), cu condiția ca actuala lor compoziție să nu fie rezultatul unor selecții anterioare.”
Metodologia cercetării am adaptat-o particularităților de vârstă ale elevilor și specificului muncii formativ-educaționale cu elevii de vârstă școlară mică.
Pentru verificarea ipotezei cercetării, mi-am fixat atenția asupra elevilor clasei a II-a. Baza experimentală a constituit-o Școala Gimnazială ,,Ștefan cel Mare”, Vaslui. În cercetarea psihopedagogică realizată am folosit un eșantion experimental. Eșantionul experimental a fost alcătuit dintr-un număr de 26 de elevi din clasa a II-a D de la Școala Gimnazială ,,Ștefan cel Mare” Vaslui, înv. Ciubotariu Gabriela. Clasa este formată din elevi cu vârste cuprinse între 7 și 8 ani. Unii elevi au părinți cu studii superioare, însă majoritatea elevilor au părinți cu studii medii și provin din familii cu o situație materiala bună.
În ceea ce privește gândirea începe să se manifeste independența în acțiuni, spiritul critic devenind mai evident. Atenția elevilor devine voluntară și stabilă. Școlarii posedă o imaginație bogată, atât creativă cât și productivă, redând cu ușurință elemente ale mediului natural, dar și elemente fantastice. Sunt motivați mai mult de recompense materiale și morale, dar mai ales de calificative. Sunt dornici să asimileze noi cunoștințe, iubesc frumosul, sunt ușor de impresionat, bucurându-se sau întristându-se în funcție de manifestările la care participă.
III.3. Etapele cercetării
Cercetarea a cuprins trei etape distincte:
Etapa constatativă (pretest) – au fost recoltate datele de start, pe bază de observație, probe de control, teste, conturându-se nivelul de cunoștințe și deprinderi, existent în momentul inițierii experimentului.
Etapa experimentală – etapa fundamentală, cu caracter instructiv/formativ, în care a fost introdusă variabila independentă/modalitatea nouă de lucru (conținut, metode, tehnici, forme de organizare).
Etapa finală – o etapă de control, în care au fost evaluate rezultatele: datele finale au fost raportate la datele de start, pentru a testa relevanța diferențelor obținute, urmărindu-se evoluția elevilor, pentru a se constata dacă rezultatele obținute sunt semnificativ superioare sau inferioare.
Cercetarea a fost făcută pe parcursul anului școlar 2014-2015 și a avut loc în trei etape:
Etapa I – etapa evaluării inițiale (octombrie 2014) având ca obiective:
– cunoașterea elevilor;
– identificarea nivelului inițial de cunoaștere a reprezentărilor și noțiunilor de matematică;
– realizarea unei evidențe a greșelilor tipice făcute de către elevi.
În acest scop am folosit observațiile și concluziile, datele culese în cursul anului trecut școlar. Am realizat o cunoaștere psihopedagogică veridică prin utilizarea observației pedagogice, a analizei produselor activității, convorbirii, a unor probe psihologice, fișe de evaluare.
Am oferit spre rezolvare elevilor din clasa la care lucrez fișe de testare inițială a noțiunilor de matematică dobândite pe parcursul clasei I și pregătitoare. Datele obținute le-am înregistrat, realizând o evidență a greșelilor tipice, precum și stabilirea nivelului la care se află colectivul cu care lucrez.
Etapa a II-a – etapa introducerii factorului de progres (noiembrie 2014- iunie 2015). Pentru a atinge obiectivele propuse, voi introduce ca factor de progres o suită de 5 (cinci) lecții interdisciplinare la disciplina «Matematica și educația mediului». În aceste lecții vor fi integrate noțiuni de matematică și se vor crea contexte pentru aplicarea cunoștințelor de matematică în situații practice.
III.4. Metodele de cercetare, tehnicile și instrumentele utilizate
Cercetare presupune adoptarea unui complex de metode care să permită strângerea unei cantități suficiente de date sau informații concrete, obiective și complete, a căror analiză și interpretare ulterioară să poată conduce la răspunsuri sau soluții științifice, la concluzii viabile.
În realizarea cercetării psihopedagogice se pot utiliza mai multe metode pentru a strânge informații complementare, limitele unei metode fiind completate de către altă metodă. Petru a face o distincție între metoda de cercetare științifică și metoda de muncă, Dumitriu Constanța, definește metoda de cercetare ca „un ansamblu de operații intelectuale prin care o disciplină sau o ramură a cunoașterii caută să ajungă la adevăruri pe care să le demonstreze, să le verifice. Ele sunt ghidate de concepția generală a cercetătorului, de principiile teoretico-științifice de la care acesta pornește, respectiv, de metodologia cercetării.”
Dintre metodele de cercetare și înregistrare a datelor care sunt folosite în această lucrare amintesc pe următoarele:
metoda observației psihopedagogice;
metoda probelor și a testelor;
metoda analizei de conținut a produselor activității;
experimentul pedagogic (psihopedagogic);
Acestea sunt completate cu metode de măsurare și prelucrare a rezultatelor: numărare, clasificare, comparare și reprezentare.
Metoda observației – constă în urmărirea intenționată și înregistrarea exactă, sistematică a diferitelor manifestări comportamentale ale copilului așa cum se prezintă ele în mod natural. Putem vorbi de observație spontană, la nivel cotidian, fără o intenție specifică și observația științifică, sistematică realizată cu scopul expres de a culege date cu caracter științific, utilizând mijloace specifice, ea este efectuată de către persoane cu pregătire specială.
În cadrul observației științifice (sistematice) se disting două mari tipuri: observația structurată (cantitativă) și observația nestructurată (calitativă), care de obicei este cea participativă.
Observația este metoda cel mai des utilizată în cunoașterea manifestărilor comportamentale ale copiilor, furnizând informații bogate și variate. Trebuie subliniat faptul că în activitatea curentă la grupă, educatorul interesat în primul rând de realizarea obiectivelor pedagogice, concomitent el realizează observarea spontană a conduitelor de comunicare, de învățare, socio-afective ale copiilor. Colectate de-a lungul unor intervale mai mari de timp și prelucrate corect, aceste observații pot deveni ipoteze ce sunt apoi verificate prin observații sistematice.
Metoda observației este larg folosită pentru cercetarea directă a fenomenelor. Viabilitatea rezultatelor ei depinde de experiența observatorului, claritatea scopului gradul de organizare, sistematizare și fixare a datelor, analiza și interpretarea lor pe baza unor ipoteze, confruntarea mai multor observații. Ca limite se impun a fi menționate: subiectivismul observatorului, realismul aprecierii, centrarea pe aparență.
Metoda probelor și testelor
Testul este utilizat în determinarea dezvoltării intelectuale a copiilor, marcând o importantă etapă spre un diagnostic obiectiv și științific al aptitudinilor. Testul este un instrument integrat metodei experimentale folosite cu precădere în investigațiile cu caracter aplicativ. A. Cosmovici definește testul ca fiind ”o probă standardizată, vizând determinarea cât mai exactă a gradului de dezvoltare a unei însușiri psihice și fizice.”
Testul trebuie să îndeplinească anumite condiții:
-standardizarea-crearea acelorași condiții pentru toți subiecții supuși testării, fără a-i
favoriza pe unii și defavoriza pe alții. Se standardizează conținutul probei, instructajul dat subiecților în legătură cu sarcina ce trebuie executată, timpul de aplicare a probei, modul de cotare a reacțiilor;
– validitatea-testul să măsoare exact ceea ce își propune;
– etalonarea-unitate de măsură, stabilirea unui etalon la care se raportează rezultatele
obținute;
-fidelitatea-se referă la însușirea testelor de a permite obținerea unor performanțe relativ
asemănătoare la o nouă aplicare.
Rezultatele obținute prin aplicarea testelor trebuie corelate cu rezultatele obținute prin aplicarea celorlalte metode, precum și cu rezultatele obținute în activitatea practică.
Datele colectate prin observație, experiment, metoda analizei de conținut al produselor activității trebuie să facă posibilă compararea rezultatelor observate cu cele așteptate prin ipoteze.
Metoda analizei de conținut al produselor activității copiilor – furnizează informații despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale copiilor prin prisma obiectivării lor în produsele activității: desene, lucrări de creație, piese etc.
Rezultatele copiilor se oglindesc în diferite documente cum ar fi: catalogul grupei, portofolii, rapoarte. Această metodă permite depistarea copiilor cu potențial creativ remarcabil, fapt cu consecințe pozitive în planul strategiilor educaționale și al tratării lor diferențiate. Alte informații obținute prin intermediul acestei metode variază: stilul realizării, nivelul și calitatea cunoștințelor, deprinderilor, caracteristicile observației, capacitatea de concentrare a atenției, profunzimea înțelegerii diferitelor materiale cercetate, spiritul de independență și de inițiativă, capacitatea de reprezentare, capacitatea de aplicare în practică a cunoștințelor teoretice, bogăția vocabularului, unele trăsături temperamentale și caracteriale. Prin această metodă s-au verificat și apreciat rezultatele activității de cercetare pe care am întreprins-o, randamentul pe care l-am obținut. Ea ne ajută să evaluăm eficiența muncii noastre.
Experimentul – este apreciat ca cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective. Există două aspecte esențiale pentru experiment: capacitatea acestuia de a verifica ipotezele cauzale și posibilitatea pe care o oferă pentru a controla situațiile experimentale. Principala caracteristică a experimentului constă în provocarea intenționată a manifestării fenomenului, pe de o parte și în varierea condițiilor de manifestare a acestora pe de altă parte.
Factorul cu care operează și pe care-l variază experimentatorul constituie variabila independentă iar modificările ce s-au produs și care urmează să fie măsurate și explicate constituie variabila dependentă.
Cele mai multe lucrări se opresc la următoarele tipuri de experiment: experiment de laborator, experiment natural și experiment psihopedagogic, o variantă a celui natural.
Experimentul natural a fost introdus în psihologie de A.F. Lazurski. Subiecții sunt supuși studiului în condițiile familiare, obișnuite de viață și de activitate (în școală, grădiniță). Experimentul natural oferă posibilități pentru studierea fenomenelor psihopedagogice în condiții naturale de viață, îmbinând avantajele experimentului cu acelea ale metodei observației. Și acest experiment presupune schimbarea condițiilor de manifestare a diferitelor fenomene, dar el poate fi organizat în așa fel încât subiecții să nu-și dea seama că reprezintă obiect al cercetării experimentale. Totuși, acest experiment este mai puțin precis, subiectul putând fi influențat de numeroși factori care ar putea denatura rezultatele.
O formă particulară a experimentului natural, utilizată în condițiile procesului instructiv-educativ, este experimentul psihopedagogic. El poate fi de două feluri: constatativ și formativ. Cel constatativ vizează măsurarea și consemnarea unei situații, fenomene, existente la un anumit moment dat.
Experimentul formativ presupune intervenția în grupul școlar în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor factori de progres. Astfel, dacă vrem să verificăm superioritatea unei strategii didactice trebuie parcurse câteva etape:
testarea inițială a grupului experimental;
introducerea factorului de progres, respectiv a noii strategii de predare-învățare în lotul experimental;
retestarea (testarea finală) grupului experimental prin compararea performanțelor.
Experimentul de laborator presupune scoaterea subiectului din ambianța lui obișnuită de activitate și introducerea într-o ambianță anume creată, fiind folosite diferite aparate, materiale etc. Este considerată cea mai precisă și mai sigură metodă de cercetare. Experimentul de laborator oferă posibilitatea de a desprinde, cu mai mare precizie și siguranță, relațiile cauzale dintre fenomenele studiate; oferă date de ordin cantitativ și calitativ, dispune de un grad mai mare de rigurozitate. El are și anumite limite dintre care enumerăm: modificarea reacțiilor subiectului ca urmare a introducerii acestuia într-o ambianță artificială, subiecții au tendința de a prezenta într-o lumină favorabilă, uneori cercetătorul poate sugera involuntar ce așteaptă de la subiecți, “situațiile experimentale de laborator (variabilele) sunt adesea mult diferite de cele naturale, din viața reală”.
Metode de măsurare și prelucrare a rezultatelor
În urma aplicării diferitelor metode și tehnici de investigare, cercetătorul culege o multitudine de informații care, pentru a căpăta un sens, pentru a se transforma în concluzii, trebuie analizate și interpretate. Organizarea și analiza datelor brute depind de modul în care a fost proiectată cercetarea, de obiectivele și ipotezele formulate.
În cercetarea psihopedagogică sunt folosite diferite tipuri de analiză a datelor:
analize cantitative-realizate cu ajutorul metodelor statistico-matematice în vederea
surprinderii relațiilor cantitative, numerice dintre variabilele studiate;
analize calitative-interesate de aspectele psihopedagogice calitative, de substanță a
fenomenelor.
Cuantificarea datelor rezultate dintr-o cercetare au la bază un proces de măsurare. Măsurarea reprezintă operația prin care se atribuie caracteristicilor studiate valori numerice sau calități, în raport cu ipoteza, cu metodele de culegere a informațiilor și tipul de variabilă cercetată.
Cele mai utilizate forme de măsurare a fenomenelor psihopedagogice sunt: numărarea, clasificarea sau ordonarea și compararea:
numărarea (înregistrarea) constă în consemnarea prezenței sau absenței unei particularități obiectivate în comportament (numărul copiilor care au obținut performanță maximă);
clasificarea sau ordonarea (procedeul rangului) constă în așezarea datelor cercetării sau a subiecților investigați într-o anumită ordine, crescătoare sau descrescătoare; locul pe care subiectul îl ocupă în acest șir constituie rangul său în cadrul eșantionului, căruia îi corespunde un număr de ordine;
compararea (raportarea) constă în raportarea mărimii ce urmează a fi măsurată la mărimea teoretică sau la mărimea totală; acest raport îmbracă și forma procentului; în prealabil, se stabilește un etalon (barem), adică un sistem de referință cu un coeficient mare de obiectivitate.
Colecția de date obținută în urma unui experiment, a unei anchete sau observații sistematice trebuie supusă unor operații de clasificare, ordonare și condensare a datelor brute în vederea evidențierii unor legități sau dependențe.
Reprezentarea grafică a unei distribuții; cele mai cunoscute forme de reprezentare sunt: histograma, poligonul frecvențelor și diagrama circulară în sectoare.
Rezultatele brute colectate prin prima categorie de metode sunt supuse măsurării și prelucrării, astfel încât interpretarea lor să poată deveni relevantă pentru scopul și obiectivele cercetării.
III.5. Descrierea probelor
1. Testarea inițială
Obiectiv: stabilirea nivelului de cunoștințe cu privire la elementele de geometrie.
Materiale folosite: teste de evaluare, carioci, creioane colorate, rigle, stilou.
Metode utilizate: explicația, conversația, exercițiul, problematizarea.
Desfășurare: testul de evaluare inițială a fost aplicat individual; înaintea administrării testului, elevilor li s-au oferit explicații preliminare.
Organizarea, prelucrarea și interpretarea datelor obținute la evaluarea inițială
Un prim pas în realizarea efectivă a cercetării îl constituie testarea nivelului cunoștințelor dobândite de către elevi la disciplina ,, Matematică și explrarea mediuluiˮ în clasa I . Corespunzător ipotezei și obiectivelor cercetării, pentru a stabili nivelul inițial al însușirii noțiunilor de matematică, am aplicat un test de evaluare inițială cu scopul de a constata volumul și calitatea cunoștințelor. Astfel, am stabilit punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental, evaluarea inițială având caracter constatativ.
EVALUARE INIȚIALĂ
1. Scrie numerele:
de la 38 la 45 …………………………………………………………
cuprinse între 57 și 42 ………………………………………………
au cifra zecilor 6 ………………………………………………………
au cifra unităților 3 …………………………………………………..
2. a) Descompune în zeci și unități:
37 69 90 58
Fig. nr. 28
b) Scrie vecinii numerelor:
59 ; 81 ; 98 ; 60 .
Fig. nr. 29
c) Se dă șirul:
23 74 66 34 82 29 5 0 45
Încercuiește numerele mai mari decât 50.
Subliniază numerele mai mici decât 40.
3.a) Calculează:
23+34= …….. 83-52= …….. 41+29 = ……… 73 – 15 = …….
46+36= …….. 90 – 21 = …… 68 – 39 = …….. 59 + 29 = …….
b) Află numărul necunoscut:
22 – a = 17 19 + b = 47 c – 26 = 36
a = …………………… b = ………………… c = …………………
a = ……… b = ……… c = …….
c) Rezolvă sarcinile:
Micșorează cu 39 numărul 73. ……………………………………
Mărește cu 47 numărul 29. ……………………………………
Adună vecinii numărului 46. ……………………………………
La suma numerelor 14 și 36 adaugă răsturnatul numărului 71.
……………………………………………
4. a) Compară următoarele numere (>, <, = ) :
45 54 18 36 39 59 97 97.
Fig. nr. 30
b) Colorează cu verde cifra zecilor și cu galben cifra unităților:
3 5 8 0 9 7 5 4
c) Completează cu cuvinte potrivite:
Numerele care se adună se numesc …………………………….. . Rezultatul adunării se numește …………………. . Numărul din care scădem se numește ……… , iar numărul pe care îl scădem se numește ……. Rezultatul scăderii se numește…………… .
5. a) Lucia are în coș 65 de mere.Dă fratelui său 17 mere. Câte mere mai are Lucia în coș?
………………………………
b) O cloșcă are 29 de pui cafenii și 7 pui albi.
Câți pui are cloșca?
……………………………
c) Într-o livadă sunt 73 de pruni, iar cireși cu 18 mai puțini.Câți pomi sunt în livadă?
Compune o problemă după următorul exercițiu,iar apoi rezolv-o!
25 + 39 =
……………………………………………………………………
6.a) Numără figurile geometrice, completează tabelul, iar apoi colorează după indicații:
-galben -albastru -maro -negru
Fig. nr. 32
b) Compară lungimea fularelor:
Fig. nr. 33
Fularul b este cel mai ……………………. . Fularele c și d sunt
……………. .Fularul a este mai …………………. decât b . Fularul
d este mai ……………. decât fularul b .
c) Unește ceasurile care indică aceeași oră:
Fig. nr. 34
Compară capacitățile următoare:
Fig. nr. 35
Colorează conform instrucțiunilor:
Verde lunile de primăvară
Portocaliu lunile de toamnă
Galben lunile de vară
Albastru lunile de iarnă
OBIECTIVE OPERAȚIONALE
SUBIECTUL I
O1-să scrie corect numere naturale de la 0 la 100 conform unor cerințe date
SUBIECTUL II
O2-să descompună numere în concentrul 0-100 în Z și U
O3-să scrie vecinii unor numere în concentrul 0-100
O4-să determine numerele mai mari sau mai mici dintr-un șir dat
SUBIECTUL III
O5-să efectueze operații cu numerele naturale în concentrul 0-100
O6-să afle numărul necunoscut
O7-să aplice cunoștințele de terminologie matematică în aflarea unor numere
SUBIECTUL IV
O8-să compare două numere în concentrul 0-100
O9-să determine cifra corespunzătoare Z sau U dintr-un șir de numere
O10-să cunoască terminologia matematică specifică adunării și scăderii
SUBIECTUL V
O11-să rezolve probleme
O12-să compună probleme după o expresie matematică dată
SUBIECTUL VI
O13-să cunoască figurile geometrice
O14-să compare diferite lungimi
O15-să cunoască ora pe ceasuri
O16-să compare capacități
O17-să cunoască lunile anotimpurilor
MATRICEA DE SPECIFICAȚII
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial
Graficul 1 Rezultatele testului inițial
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial, pe itemi.
Deoarece urmăresc evoluția copiilor în aplicarea metodelor aplicate în rezolvarea de probleme și compunere și rezolvarea lor voi interpreta rezultatele itemilor I11 și I12 în următoarele grafice.
Graficul 2 -Rezultatele testului inițial I11
Graficul 3 -Rezultatele testului inițial I12
Din reprezentarea grafică se observă că o parte dintre elevi rezolvă corect problemele, compune corect probleme după formulă numerică dată rezolvându-le, dar sunt și elevi care deși știu să rezolve probleme nu sunt capabili să compună probleme după formulă numerică dată.
Organizarea, prelucrarea și interpretarea datelor obținute la evaluarea sumativă
Evaluarea sumativă am dat-o copiilor la sfârșitul semestrului I pentru a observa evoluția acestora dar și pentru reglarea procesului de predare–învățare în cadrul activităților șcloare integrate în cadrul disciplinei matematică și explorarea mediului, pe parcursul anului școlar.
Test sumativ
Matematică și explorarea mediului
Semestrul I – Clasa a II-a
1.Calculează:
7 x 5 = 3 x 4 = 3 x 3 x 3 =
3 x 6 = 4 x 6 = 7 x 2 =
9 x 9 = 5 x 2 = 21 : 3=
x 4 = 20: 2 = 2 x 4 x 5=
2. Scrie factorul care lipsește din fiecare căsuță:
7 x = 0 8 x = 64 x = 18
6 x = 30 x 5 = 20 x = 24
x 4 = 12 x 7 = 7 x = 81
3. Compară numerele:
2 x 3 6 x 1 6 3 7 x 2
5 x 10 5 x 0 5 x 4 9 x 4
11 x 2 12 x 1 43 x 3 60 x 2
4.Află termenul necunoscut:
a + 309 = 709 b – 362 = 248 1000 – c = 574 98 – d = 56
a = b = c = d =
a = b = c = d =
Scrie numerele:
din 2 în 2 de la 346 la 368: ……………………………………………………………………………………………………………………….
din 10 în 10 de la 850 la 920: …………………………………………………………………………………………………………………….
din 7 în 7 de la 14 la 70: …………………………………………………………………………………………………………………………
din 5 în 5 de la 560 la 600: ……………………………………………………………………………………………………………………….
6. Calculează:
– Adună numărul 34 la dublul numărului 3………………………………………………
– Din numărul 435 scade triplul numărului 7……………………………………
– La produsul numerelor 4 si 5 adună numărul 180……………………………..
– Din cel mai mare număr natural scris cu trei cifre scade suma numerelor 453 și 545. ……………………………………………………………………………………
– La diferența numerelor 43 si 21 adună cel mai mic număr par scris cu trei cifre. -………………………………………………………………………………………….
7. Efectuează calculele:
2 x ( 4 + 2) =
3 x ( 2 + 8) =
0 x ( 2 + 12) =
8. Rezolvă: a. Într-o clasă sunt 6 fete, iar băieți de 2 ori mai mulți . Câți elevi sunt în clasă?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b. Într-o livadă sunt 101 meri, peri sunt cu 50 mai puțini, iar pruni cât meri și peri la un loc. Câți pomi sunt în livadă? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. Compuneți o problemă și apoi rezolvați-o după următorul exercițiu:
3x 10 + 4x 9 =
10. Denumește câte două animale care se pot hrăni cu ceea ce reprezintă imaginile următoare:
Fig. nr. 37
…………………… …………………….. ……………… ………………………. ……………………. …………………
11. Unește imaginile cu mediul de viață corespunzător.
Delta Dunării pădure Marea Neagră
12. Notează cu A sau F valoarea de adevărat/ fals a enunțurilor următoare:
Lacul este mai adânc decât balta. …..
Rața sălbatică trăiește în pădure. …..
Balta este mediu de viață natural pentru multe specii de pești, păsări, mamifere, plante iubitoare de apă. …..
Ursul Polar, vulpea polară și morsa trăiesc la Polul Nord. _______
Pinguinii sunt viețuitoare ale Polului Nord. ______
Ursul Polar, vulpea polară și morsa trăiesc la Polul Nord. _______
Algele trăiesc la țărmul mării, unde apa are adâncime mică. ….
Cămila, scorpionul și reptilele sunt viețuitoare ale deșertului. _____
13. Colorează doar animalele care trăiesc în pădure.
Fig. nr. 38
Competențe specifice:
1.5.- Efectuarea de înmulțiri (și împărțiri) în concentrul 0- 100 prin adunări și scăderi repetate;
1.6. – Utilizarea unor denumiri și simboluri matematice (sumă, total, termenii unei sume, diferență, produs, factorii unui produs) în rezolvarea și/ sau compunerea de probleme;
3.1. – Rezolvarea de probleme în cadrul unor investigații, prin observarea și generalizarea unor modele sau regularități din mediul apropiat;
3.2. – Manifestarea grijii pentru comportarea corectă în relație cu mediul natural și social;
4.2. – Formularea unor consecințe rezultate în urma observării unor relații, fenomene, procese simple.
Itemi:
Item 1- să rezolve operații de înmulțire.
Item 2 – să asocieze operațiile de înmulțire cu rezultatele corecte.
Item 3- să facă calcule corespunzătoare terminologiei utilizate.
Item 4- să afle termenii necunoscuți printr-un exercițiu conform terminologiei date.
Item 5- să redea corect șirurl numerelor naturale,respectând anumite reguli.
Item 6,7- să rezolve exerciții cu mai multe operații cu respectarea ordinii operațiilor.
Item 8 – să rezolve o problemă cu plan de rezolvare.
Item 9-să compună și să rezolve corect probleme după o formulă numerică dată.
Item 10 –să asocieze imaginile date cu denumirea mediului de viață corespunzător.
Item 11 – să stabilească valoarea de adevărat/ fals a unor enunțuri date.
Item 12 – să coloreze imaginile după cerința dată.
Tabel analitic cu rezultatele testului sumativ
Graficul 4 -Rezultatele testului sumativ
Tabel analitic cu rezultatele testului sumativ, pe itemi.
Voi realiza graficele pentru evoluția copiilor la itemii I8 și I9 cu privire la rezolvare de probleme și compunere de probleme cu rezolvarea lor.
Graficul 5-Rezultatele testului sumativ I8
Graficul 6- Rezultatele testului sumativ I9
Se observă o creștere a procentajului elevilor cu calificativele de FB și B.
Organizarea, prelucrarea și interpretarea datelor obținute la evaluarea finală
Testarea finală a avut ca obiectiv stabilirea nivelului de cunoștințe cu privire la elementele de geometrie la sfârșitul anului școlar.Testul de evaluare finală a cuprins relativ același gen de itemi, ca și testul inițial, dar cugrad sporit de dificultate.
PROBĂ DE EVALUARE FINALĂ
MATEMATICĂ
Clasa a II-a
1.Scrie:
2. Scrie numerele naturale :
a) de la 236 până la 244
………………………………………………………………………………………………………………………………b) cuprinse între 827 și 817
……………………………………………………………………………………………………………………………
3. Stabilește dacă sunt adevărate (A) sau false (F) următoarele propoziții:
a) Numărul 740 este mai mic decât 699.
b) Numărul 82 este mai aproape de 80 decât de 90.
c) Cel mai mare număr de trei cifre este 998.
d) Cel mai mic număr scris cu trei cifre identice este 111.
4.Compară (folosind semnele <, > sau = ):
26 62 871+ 109 817
204 196 123 – 54 66
396 396 844 – 111 111
5.Calculează:
17+ 12= ______ 38 – 26 = ________
149+ 437= ______ 593 – 168 = ________
195 +414 – 222 =______________________ 587 – 362+ 123 =__________________
6. Află termenul necunoscut:
a+ 31= 267 b- 133= 409 681- c = 391
a=_____________ b=_____________ c=______________
a=_____________ b=_____________ c=______________
7.Recunoaște:
– formele plane:
………………….. ………………………….. ……………………….. …………………………………….
Fig. nr.39
-formele spațiale:
…………………………. ………………………….. ……………………….. ………………………..
Fig. nr.40
8. Completează spațiile libere:
Unitatea de măsură principală pentru lungime este …………………………………………………………
Luna septembrie are …………… zile.
Litrul este unitatea de măsură principală pentru ………………………………………………..…………
Anul are …………..luni.
Dacă acul cel mic al ceasului este în dreptul lui 5 și cel mare în dreptul lui 6 este ora ………………….
Fig. nr. 41
9. Rezolvă următoarea problemă:
La un aprozar s-au adus 653 kg morcovi și cartofi cu 29 kg mai mult. Câte kilograme de legume s-au adus la aprozar ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Obiective operaționale:
O1 –să scrie cu cifre/litere numere date;
O2 – să scrie numerele naturale dintr-un anumit interval, crescător/ descrescător;
O3 – să stabilească valoarea de adevăr a unor afirmații matematice;
O4 – să compare perechi de numere/sume/diferențe date;
O5 – să calculeze sume, diferențe cu numere naturale în conc. 0-1000, cu și fără trecere peste ordin;
O6 – să afle termenul necunoscut într-o operație de adunare / scădere;
O7 – să recunoască figurile/corpurile geometrice date;
O8– să precizeze unitatea de măsură / instrumentul de măsurat în diverse situații;
O9 – să rezolve o problemă cu două operații ;
MATRICEA DE SPECIFICAȚIE
Tabel analitic cu rezultatele testului final
Graficul 7 -Rezultatele testului final
Tabel analitic cu rezultatele testului final, pe itemi.
Deoarece urmăresc evoluția copiilor în aplicarea metodelor aplicate în rezolvarea de probleme și compunerea și rezolvarea lor voi interpreta rezultatul itemului I 9 țn următorul grafic.
Graficul 8- Rezultatele testului final I9
Analizând rezultatele înregistrate în grafice s-a constatat că la toți cei nouă itemi lipsesc calificativele Insuficient. De asemenea s-a diminuat și numărul elevilor care au obținut calificativul Suficient la o parte din itemi.
III.6. Analiza comparativă a rezultatelor cercetării
Graficul 9- Rezultatele testelor (inițial și final)
Diagrama
privind rezultatele la testele de evaluare (inițial și final)
Graficul 10- Rezultatele testelor (inițial și final) I9
CONCLUZII
Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor trebuie să trezească interesul micilor școlari, dragostea de a învăța bine și temeinic, dragostea pentru muncă, curiozitatea și pasiunea pentru matematică.
Rezolvarea și compunerea problemelor în ciclul primar se realizează în etape, potrivit particularităților de vârstă ale elevilor.
Acest proces presupune din partea învățătorului:
– adoptarea metodelor și mijloacelor de lucru la specificul clasei și al fiecărui elev, pentru a asigura o eficiență maximă;
– disciplină și ordine în desfășurarea orelor de matematică;
– urmărirea prin fișe de evaluare a nivelului de formare a priceperilor și deprinderilor;
– organizarea unor activități suplimentare cu elevii care înțeleg mai greu anumite probleme;
– existența unor relații de colaborare învățător – elev astfel încât elevul să solicite singur rezolvarea unor probleme, fie la tablă, fie pe caiet în vederea consolidării tehnicilor de calcul.
Consider că prin lucrarea de față, fără a aduce lucruri inedite, am știut să demonstrez, prin exemplele practice pe care le-am prezentat din experiența mea la catedră că activitatea învățătorului în direcția cultivării la elevi a dragostei și interesului pentru matematică se impune a fi inventivă și creativă.
După părerea mea latura formativă ocupă un loc important în rezolvarea și compunerea de probleme, astfel că raportul dintre formativ și informativ este supraunitar.
Sugestiile și argumentele prezentate vizează crearea unui cadru de formare a elevilor dotați din învățământul primar, din perspectiva gândirii creative logico-matematice.
Caracterul practic al lucrării este accentuat și de anexele prezentate:
– prin realizarea unei evaluări inițiale oneste, a unei evaluări finale și a metodelor didactice aplicate pe parcursul activităților, contribuie la dezvoltarea gândirii și creativității elevilor;
– prin selectarea, din bibliografia parcursă, a unui „profil al învățătorului contemporan”, prin ale cărui noi competențe se pot realiza obiectivele și sugestiile propuse de noi.
Tema nu o consider epuizată, ea putând fi abordată și concepută și de alți colegi în altă manieră.
Aceste câteva considerente lasă problema meditației și acțiunii fiecărui dascăl cu atât mai mult cu cât fiecare copil merită o atenție deosebită, deoarece fiecare are dreptul la o șansă în viață.
BIBLIOGRAFIE
1. ARON, Ioan – „Metodica predării aritmeticii la cls. I-IV”, manual pentru liceele
pedagogice , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972.
ARON, Ioan – „Aritmetica pentru învățători”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977
BĂLĂUCĂ, Artur; ȚICALO, Ioan – „Matematica – clasele I-IV”, auxiliar pentru manualele alternative, Editura Axa, Botoșani, 1997.
CÂRJĂ, Gheorghe; ONIȚĂ, Viorel – „Matematică –culegere de probleme pentru învățământul primar”, Vaslui, 1990.
CHERATA, Victoria; VOICILA, Jeana; MÂNDRULESCU, Liviu – „Metode și tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică”, clasele I-IV, Editura Sibila, Craiova, 1994.
CONSTANTINESCU, Dragoș; DUMITRESCU, Paul – „Olimpiada de matematică”, Editura Teora, București, 2000.
COSMOVICI, Andrei; IACOB, Luminița – „Psihologie școlară”, Editura Polirom, Iași, 1998.
CREȚU, Elvira – „Psihologie școlară pentru învățământul primar”, Editura Aramis, 1999.
CUCOȘ, Constantin – „Pedagogie”, Editura Polirom, Iași, 1998.
DINCĂ, Constantin – „Probleme năzdrăvane – probleme de logică și perspicacitate pentru clasele I-IV”, Editura Coresi, București, 1996.
DUMITRU, V. George; ROȘU, Mihail – „Matematica distractivă pentru disciplina opțională a claselor I-II”, Editura All Educațional, București, 2000.
ENESCU, Gheorghe – „Fundamente logice ale gândirii”, Editura Științifică, București, 1980.
LĂZĂRESCU, Dan – „Paleoaritmetică și alte probleme de logică”, Editura Albatros, București, 1981.
MOISE, Constantin – „Elemente de didactică”, Editura Ankarom, 1997.
NEACȘU, Ioan – „Metodica predării matematice la clasele I-IV”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988.
NEAGU, Mihaela; PETROVICI, Constantin – „Aritmetica prin exerciții și probleme – ciclul primar”, Editura Gama, Iași, 1995.
NICOLA, Ioan – „Tratat de pedagogie școlară”, Editura Aramis, 2000.
OPRESCU, Nicolae – „Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1978.
PÂRÂIALĂ, Viorica; PÂRÂIALĂ, Dumitru – „Teste de aritmetică pentru pregătirea de performanță la clasa a IV-a”, Editura Polirom, Iași, 1998.
POLYA, George – „Cum rezolvăm o problemă?”, Editura Științifică, București, 1965.
POLYA, George – „Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării problemelor”, Editura Științifică, București, 1971.
RUSU, Eugen – „Aritmetica pentru învățători”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1976.
TEODORESCU, Nicolae – „Psihopedagogie pentru examenul de definitivat și gradul didactic II”, Editura Spiru Haret, Iași, 1994.
TEODORESCU, Nicolae – „Învățământul primar”,vol. I, II, III, IV, V, VI. Culegere metodică editată de „Revista de pedagogie”, București, 1991, 1992, 1993.
ZAHARIA, Dan; PELIGRAD, Sorin; SIMION, Sorin; ZAHARIA, Maria – „Învățământul primar” – revistă dedicată cadrelor didactice, nr. 2 -3, Editura Discipol, București, 1998.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metodologia Predarii Invatarii Notiunii de Problema Si de Rezolvare Si Compunere a Problemelor In Invatamantul Primar (ID: 159978)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.