Metodica Predararii Elementelor DE Geometrie In Invatamantul Primar

METODICA PREDĂRĂRII ELEMENTELOR DE GEOMETRIE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

Motto:

„Să nu-i educăm pe copii pentru lumea de azi. Această lume nu va mai exista când ei vor fi mari. Și nimic nu ne permite să știm cum va fi lumea lor. Atunci să-i învățăm să se adapteze.”

Maria Montessori

ARGUMENT

Astăzi, ca și în trecut, geometria se bucură de o deosebită apreciere, atât prin caracterul practic al acesteia, cât și prin contribuția pe care o aduce la formarea personalității în general, dar și a raționamentului în special.

Din punct de vedere instructiv, stilul sistematic al geometriei urmărește „înarmarea” elevilor cu un bagaj de cunoștințe clare și precise despre formele obiectivelor lumii reale, mărimile și proprietățile acestora; formarea și dezvoltarea la elevi a reprezentărilor spațiale, a deprinderilor de a aplica în mod practic cunoștințele de geometrie în efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor mărimi sau distanțe, calcularea ariilor și volumelor.

Lucrarea de față își propune o sinteză a unei viziuni pedagogice ce are ca principal scop atingerea obiectivelor prevăzute în programa în vigoare pentru predarea și învățarea elementelor de geometrie în ciclul primar.

Caracteristic învățământului primar este faptul că prin predarea geometriei se urmărește îndeosebi ca elevii să-și formeze imagini clare și bine conturate asupra figurilor geometrice și completarea acestor imagini cu noțiuni elementare, care să constituie un raport pentru predarea în clasele următoare a cursului sistematic de geometrie și, de asemenea o bază solidă pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spațiale ale materiei, să înlesnească formarea deprinderilor practice de măsurare a ariilor și volumelor.

Prin caracterul și prin natura lor, aceste cunoștințe de geometrie impun ca bază a metodelor de predare intuiția. Aceasta nu înseamnă însă că elevii să ramână numai la nivelul unor imagini vizuale, ci treptat ei trebuie conduși ca să se ridice și la unele abstractizări privind figurile și corpurile geometrice, cât în realizarea operațiilor de generalizare necesare înțelegerii proprietăților și relațiilor existente și specifice figurilor studiate.

CAPITOLUL I

Rolul și efectele studierii geometriei în învățământul primar

I.1. Precizări preliminare

Reușita didactică a procesului predării și învățării elementelor de geometrie este influențată, chiar determinată în multele ei aspecte de respectarea unor cerințe metodice, de felul cum învățătorul reușește să conducă procesul predării-învățării și evoluției, la fel cum sunt orientați elevii să poată conștientiza, descoperi și aplica prin transfer aceste cunoștințe, priceperi și deprinderi.

În geometrie sunt considerate astfel punctul, dreapta și planul.

Corp fizic și corp geometric. Este necesar ca învățătorul să precizeze deosebirea dintre ceea ce elevii vor învăța despre corpuri fizice (orice ocupă un loc în spațiu este un corp fizic) și corpurile din geometrie. Dintre toate însușirile corpurilor, geometria se ocupă în primul rând de forma lor. De aceea în această știință sunt considerate corpuri numai acelea care au o formă bine precizată, adică numai corpurile care în fizică se numesc solide. Dintre corpurile acelea care au o formă mai simplă se numesc corpuri geometrice.

Predarea noțiunilor de bază urmărește ca, pe baza observării obiectelor concrete, elevii să își formeze imagini cât mai abstractizate. Pentru aceasta:

Se observă corpurile înconjurătoare, se deosebesc suprafețele care șe mărginesc, liniile care sunt intersecții ale suprafețelor sau margini ale suprafețelor și punctelor, intersecții a două linii sau capetele unui segment.

Pentru a permite desprinderea treptată a acestor elemente de corpul material, se dă imaginea suprafeței ca o foaie, ca o pânză subțire care înfășoară corpul; linia este de asemenea arătată ca un fir subțire care mărginește suprafațe ( o înconjoară), iar punctul ca un grăunte foarte fin de nisip, de făină, etc. Se cere apoi elevilor ca suprafețele, liniile observate să fie prelungite în imaginație, ceea ce constituie cel mai potrivit mod de a forma imagini abstractizate.

Se desenează linii, suprafețe, corpuri, elevii fiind determinați să-și imagineze cele desenate, mereu cu scopul de a forma imagini desprinse de suport material.

Se atată elevilor că prin mișcarea unui punct ia naștere o linie, prin mișcarea unei linii o suprafață, prin mișcarea unei suprafețe un corp. Se urmărește astfel ca elevii să-și imagineze pe o linie o infinitate de puncte, pe suprafață o infinitate de linii sau puncte.

Planul, linia dreaptă. Printre suprafețe se deosebește una care este mai simplă, planul. De asemenea, printre linii se remarcă linia dreaptă. Se vor da exemple subliniind proprietățile caracteristice. Se va insista asupra construcției liniei drepte cu rigla, cu mâna liberă și asupra trăsării ei pe teren. Elevii cunosc proprietatea liniei drepte de a putea fi prelungită oricât, însă foarte important este ca învățătorul să nu se limiteze la repetarea enunțului sau la prelungirea liniei din desenul de pe tablă, ci să le ceară elevilor să-și imagieze prelungirea unei muchii dincolo de limitele ei de pe corp.

Elevii voi învăța pentru prima dată proprietatea dreptei de a aluneca pe ea însăși. Trebuie să se insiste că este vorba de alunecarea întegii drepte, și nu de mișcarea unui punct de pe dreaptă. Alături de mișcarea riglei de-a lungul dreptei e bine să se prezinte, de exemplu, o sârmă, care să ia forma unei părți dintr-o linie curbă desenată pe tablă și cu ajutoru căreia să se arăte calr că proprietatea nu e satisfăcută de o curbă oarecare.

Poziția punctelor și a dreptelor. Este bine să se fixeze și să se formuleze prin exerciții relațiile de apartenență și cele de poziție relativă a punctelor și dreptelor, pentru că sunt foarte clare din punct de vedere intuitiv:

– Prin două puncte trece o linie dreaptă și numai una (trasarea liniei drepte pe teren cu sfoara întisă între doi țăruși, sfoara întinsă pe marginea zidului, care arată zidarului să așeze cărămizileîn linie dreaptă etc.); două drepte au un singur punct comun; dacă au două ele coincid; dacă două puncte ale unei drepte sunt într-un plan, atunci dreapta este cuprinsă în acel plan.

-Pe o dreaptă un punct se află între alte două, două puncte se află de o parte și de alta a unui alt punct sau de aceeași parte, sau de o parte și de alta a unei drepte; între două puncte ale unei drepte se află întotdeauna încă un punct; pe dreaptă sunt o infinitate de puncte.

-În plan două drepte pot fi concurente, paralele sau confundate. Elevii, în baza celor învățate sunt înclinați să considere că două drepte pot fi paralele, concurente sau perpendiculare. Este necesar sp se insiste că dreptele perpendiculare reprezintă un caz particular important al dreptelor concurente.

Figura geometrică. Formele întâlnite în realitate se numesc în studiul geometriei figuri. Ele sunt alcătuite din puncte și linii, suprafețe. Sunt finuri care se pot așeza într-un plan cu toate punctele lor și unt figuri care nu îndeplinesc această condiție. Sunt indicate câteva exerciții de așezare a unei figuri pe un plan, pentru ca elevii să poată deosebi bine o figură plană de una în spațiu.

Obiectul geometriei plane se delimitează astfel de la început clar; se studiază figurile plane.

Relații fundamentale

Relațiile referitoare la poziție și relația de egalitate sunt relații de bază. Este bine să se arăte elevilor atât la predarea fiecărei proprietăți căt și la repetiție, că geometria se ocupă cu studiul proprietăților care privesc așezarea figurilor sau părților lor și cu studiul proprietăților care se referă la egalitatea lor.

Elevii întâmpină o oarecare dificultate în conceperea egalității figurilor ca o relație fundamentală, independentă de măsură. De aceea, despărțirea relației de egalitate de noțiunea de măsurp nu se poate realiza dintr-o dată, ea trebuie urmărită treptat. Se accentuează pentru aceasta mereu că egalitatea sau neegalitatea se pot constata direct prin compararea figurilor și că obiectul geometriei, în prima parte, este tocmai studiul egalității stabilite astfel, prin comparare directă. Se folosește în mare măsură suprapunerea efectivă a figurilor deupate, dar, după cum se observă de mai sus, se urmărește ca treptat suprapunerea să fie transformată în metoda suprapunerii.

În însușirea definiției egalității figurilor – sunt egale figuile care prin suprapunere coincid – elevii nu deslușesc totdeauna sensul separat al fiecărui cuvânt. Mai ales ei întâmpină dificultăți în legătură cu deosebirea dintre suprapunere și coincidență. Învățătorul încearcă să prezinte figuri care suprapuse coincid cu figuri care suprapuse nu coincid și va insista asupra exprimării; cele două figuri sunt suprapuse, așezate una peste alta (prin potrivirea elementelor egale, dacă ele există), dar nu coincid (nu se vede o singură figură, ci apar ambele).

Operații cu segmente

Cunoscând câteva informații despre semidrepte, segmente, măsurarea acestora cu rigla și efectuarea operațiilor cu lungimile lor începe treptat. Aceste cunoștințe se reamintesc și se completează după necesitate, nu se predau ca lucruri noi.

Folosirea compasului pentru măsurarea unui segment și pentru construirea unui segment de lungime dată apare însă pentru prima dată. Elevul trebuie să înțeleagă faptul că prin folosirea compasului măsurarea este mai precisă, exercițiile repatate fiind necesare pentru formarea deprinderii de a-l mânui corect și rapid.

Compararea și efectuarea operațiilo cu segmente independente de măsură. Se urmărește ca elevii să-și însușască faptul că între două segmante există una și numai una din relațiile „a<b; a=b; a>b.” , să înțeleagă și să învețe definiția și construcția segmentelor egale, să înțeleagă semnificația concretă a operațiilor cu segmente și să-și formeze deprinderi de construcție atât cu compasul, cât și cu mâna liberă.

Pentru compararea segmentelor este indicată folosirea materialului didactic. În afară de vergele (care să se așeze cap la cap pentru adunare și una peste alta la scădere), este util să se folosească două benzi de carton alăturate și glisante, cu care operațiile să se efectueze ca la rigla de calcul. Se pot face în timp scurt exerciții, formându-se deprinderi potrivite pentru folosirea de mai târziu a riglei de calcul. Abia după ce relațiile dintre două segmente au fost astfel ilustrate, se trece la exprimarea lor prin cuvinte și apoi la scrierea lor cu ajutorul semnelor egalității și inegalității.

Este prima dată când elevii se întâlnesc cu definiția figurilor egale, de aceea trebuie acordată atenție deosebită segmentelor egale. Dacă, suprapunând segmentele AB și CD unul pente altul astfel ca A și C să se așeze exact unul pente altul, D se așază și el exact peste B, atunci se spune că A coincide cu C, B coincide cu D, segmentul AB coincide cu segmentul CD. Așadar, „când două segmente sunt egale?” – „cînd, suprapunându-le (adică așezându-le unul peste altul) le coincid (adică se potrivesc exact).

Înainte de a trece la operații se fac exerciții de scostruire a unui segment egal cu un segment dat: mai întâi cu compasul și apoi cu mâna liberă, pentru ca elevii să se obișnuiască cu trasarea liniei drepte și cu aprecierea din ochi a segmentului.

Elevii au înțeles operațiile cu segmente dacă știu să le așeze convenabil pentru fiecare operație (cap la cap la adunare și înmulțire cu un număr natural, unul peste altul la scădere) și știu citi rezultatul operației dintre segmentele de pe o figură dată.

În timp ce se urmărește ca elevii să pătrundă înțelesul operațiilor, segmentele se pot construi cu mâna liberă, pntru ca atenția elevilor să se concentreze numai asupra înțelesului.

Se trece apoi la construcție. Elevii își fixează sensul operațiilor și se concentrază asupra mânuirii corecte a riglei și compasului, iar profesorul poate observa activitatea elevilor și interveni acolo unde este necesar.

La aplicații se vor da exerciții în care efectuarea operațiilor se cere atât prin construcție, cât și prin măsurare, și se vor confrunta rezultatele.

I.2. Locul și importanța elementelor de geometrie în procesul de instruire și educare al școlarului mic

În Cronica anului 2000, profesorul Minea Malița, numind matematica- a doua limbă modernă, subliniază că aceasta apare nu ca „o știință departamentală, ci ca un tezaur de noutăți, procedee logice și investigație de uz general”. Matematica se impune ca p știință generală a noțiunilor de ordine și structură, de stăpânire a mulțimilor complexe organizate sau neorganizate. Ea este știința concepteor cele mai abstracte, de o maximă generalitate. Astăzi se afirmă cu tot mai multă convingere că fundamentul culturii moderne îl constituie matematica; indiferent de domeniul în care activează, omul trebuie să dispună de o bună pregătire matematică pentru a putea soluționa multiplele și variatele probleme ale vieții. Se știe că matematia dezvoltă gândirea și că gândirea a stat întotdeauna la baza progresului.

Prin predarea geometriei în învățământul primar se urmărește ca elevii să-și însușască un număr de cunoștinșe de geometrie (cele din programă) și în același timp să se dezvolte facultățile psihice ale acestra.

În mod deosebit, geometria este chemată să dezvolte gândirea elevilor, mai ales gândirea vie, activă și complexă, gândirea directă; capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage esențialul, de a schematiza realitatea păstrând numai aspectele matematice, deprinderea de a căuta și a desprinde legăturile raționale dintre fapte, inițiativa personală în gândire. În procesul demonstrațiilor și al rezolvării problemelor de geometrie, prin deosebirea implicațiilor și prin parcurgerea raționamentelor care le devedesc, se urmărește dezvoltarea gândirii sub aspectul logic formal: înțelegerea și folosirea definițiilor logice, a raționamntelor, astfel ca ele să devină pentru elev mijloace proprii de convingere în învățarea matematicii.

În însușirea de cunoștințe se urmărește ca toate cunoștințele dobândite să devină pentru elev bunuri proprii, instrumente de lucru, nu numai să fie reținute pur și simplu. De aceea, scopul instructiv se împletește strâns cu cel educativ și cu activitatea concretă, practică.

Elevii trebuie să își formeze noțiunile geometrice în strânsă legătură cu observarea formelor, obiectelor concrete înconjurătoare. Ei trebuie să recunoască figurile geometrice, să știe să le definească, să le cunoască proprietățile și deducerea lor unele din altele, să deosebească proprietățile de bază, ideile mari ale geometriei, de proprietățile de amănunt, să capete o privire de ansamblu asupra geometriei. Prin studiul figurilor geometrice, elevii trbuie să câștige capacitatea de a aplica proprietățile învățate atât în probleme de calcul, cât și în probleme de demonstrație.

Însușirea de cunoștințe și dezvoltarea psihică a elevilor trebuie să asigure orizontul de cultură generală și pregătirea pentru munca productivă absolventului în activitatea socială.

Pe de altă parte, spiritul în care se predă geometria trebuie să pregătească pentru elevi conturarea studiilor. Nu trebuie urmărită numai însușirea, pe orice cale, a cunoștințelor din programa școlii, ci însușirea prin care să asigure elevilor pregătirea necesară, pentru ca mai tarziu să poate face un studiu sistematic al geometriei.

Dezvolatrea continuă a raționamentului elevilor trebuie să se facă pe o linie mereu ascendentă, dar accesibilă. Îmbinarea între intuiție și logică trebuie să se facă organic; să nu se pretindă elevilor să înțeleagă raționamete avansate, fără a-i pregăti, nici să cerem raționamente riguroase, iar după aceea să recurgem în mod elementar la intuiție. Predarea trebuie să aibă o anumită consecvență, o anumită linie. După ce, în predarea geometriei plane, elevii ajung la un anumit nivel în această privință este contraindicat să se predea, de exemplu, geometria în spațiu numai ca o colecție de formule ce trebuie aplicate, fără a fi justificate. Într-un asemenea caz, elevii pierd deprinderile câștigate anterior, de a raționa geometric, iar cunoștințele prezentate prea simplist, intuitiv, nu mai reprezintă interes pentru ei.

Unii metodicieni socotesc că în învățământul primar elevii trebuie să dobândească o sună de cunoștințe, locul acestora în șirul de cunoștințe fiind indiferent, ca și locul termenilor într-o sumă. Este desigur prematur să se evidențieze sistemul deductiv din geometrie. În măsura în care ordinea deductivă nu are însă niciun inconvenient intuitiv, e preferabil să fie păstrată. Chiar dacă nu se insistă asupra ordinii, prin repetiție, prin citirea manulalului – mulți elevi au memoria vizuală foarte dezvoltată- elevii rețin, într-o oarecare măsură, și ordinea învățării cunoștințelor. Pe de altă parte, insistenșa asupra ordinii – fără a fi exagerată- poate fi explicată elevilor chiar și prin motivul ei logic; am învaaățat mai întâi teorema fundamentală a asemănării și apoi în cazul de asemănare, pentru că prima teoremă servește la demonstrarea celeilalte.

Preocuparea pentru a se asigura posibilitatea continuării studiilor următoare în condiții cât mai bune nu contrazice deloc grija de a pregăti pentru munca productivă pe elevii care nu vor mai continua studiile, pentru că dezvoltarea unei gândiri științifice este utilă oricărui absolvent.

I.3. Predarea geometriei prin jocuri didactice

Alăturând jocului termenul „didactic” se dovedește faptul că se poate ajunge în acest fel la un rezultat al unor finalități ce au o natură informativă și formativă caracterizantă procesului de învățământ, ajutând nu numai la transmiterea cunoștințelor, ci și la dezvoltarea gândirii și a spiritului de observație, la cultivarea sentimentelor superioare dar și la întreținerea interesului pentru studiu, la formarea calităților de voință și caracter.

Jocul didactic este una dintre cele mai accesibile forme de activitate datorată originalității sale specifice, împletirea stransă a jocului cu activitatea, îmbinarea elementelor de joc cu sarcina didactică. Jocul didactic este un important mijloc de educație care pune în valoare și antrenează capacitățile creatoare ale școlarului. Rolul și importanța jocului constă în fapul că el facilitează procesul de asimilare, fixare și consolidare a cunoștințelor. Datorită caracterului său formativ jocul influențează dezvoltarea personalității copilului. Eduard Claparide spunea că principala trebuință a copilului este jocul, deoarece acesta este singura activitatea ce-i permite copilului să se manifeste conform naturii sale, să treacă pe nesimtite la munca serioasă. În urma mai multor cercetări jocul poate fi considerat una dintre activitățile umane fundamentale. Jocul este practic recreere, divertisment, dar în același timp este nevoia vitală de reconstrucție imaginară a realității.

În comparație cu un adult ce poate percepe lumea jocului ce fiind una neserioasă, copilul își construiește propria lume, o apropie și caută să o înțeleagă doar jocându-se. Se poate evidenția de aici și o idee de bază: în joc copilul învață, antrenează creativitatea și depune efortul unei activități similare cu munca.

Jocul matematic este forma de activitate ce trebuie folosită oră de oră, mai ales la clasele I și a II –a,deoarece acesta are capacitatea de a antrena toți elevii clasei,acționând favorabil și asupra elevilor care întâmpină greutăți în însușirea cunoștințelor.

Jocuri: individuale și de grup, de competiție, pe baza de reprezentări (desene, scheme, diagrame), pe baza de scenarii imaginate de învățător, create de copii, simulări ale unor situații practice, jocuri matematice pe calculator.

Maria Montessori consideră jocul ca fiind munca copilului ce atrage în acest fel atenția asupra efortului depus de copil pe tot parcursul jocului, cu alte cuvinte în joc.

Erik Erikson socotea jocul ca fiind instrumentul cu ajutorul căruia copiii acționează și scot la lumină sentimentele și ideile interiorizate.

Peter Gray, psiholog și autor al cărții „Libertatea de a învăța” (2013), descrie în cartea sa cateva caracteristici ale jocului:

Jocul este liberă alere și auto regizare;

Jocul este activitatea în care metodele sunt mult mai importante decât sfârșiturile;

Jocul are structură și reguli care nu sunt dictate de necesitatea fizică dar sunt emanate din mintea jucătorului;

Jocul este imaginativ, non-literal, un mod îndepărtat al mentalității de la seriozitatea vieții reale;

Jocul implică un cadru nestresat al minții, ci unul activ, alert.

Exemple de jocuri didactice și exerciții distractive

1. CAUTĂ-ȚI CĂSUȚA

Scop: verificarea însușitii cunoștințelor privind denumirile formelor și culorilor predate; formarea priceperii de a compara după criteriul formei și al culorii.

Material: pentru fiecare copil câte o cheie confecționată din carton, care are pe partea de sus lipită o figură geoetrică de o anumită culoare, lacăte mari din carton pe care sunt desenate figuri geometrice de culori diferite.

Desfășurarea jocului

Fiecare bancă reprezintă o căsuță. Pe fiecare „căsuță” se așază un lacăt mare pe care este desenată o figură geometrică colorată. Se împart elevilor cheile de carton. La un semnal dat de învățător, fie verbal fie cu ajutorul unui clopoțel, elevii își caută căsuța care trebuie să aibă desenat pe lacăt aceeași figură, de aceeași culoare, cu cea pe care o are cheia lui. După ce și-au găsit locul, copiii se așază în banca respectivă și pun cheia alături de lacăt, cu figura geometrică în sus. Învățătorul trece printre bănci și verifică dacă împerecherea cheie-lacăt s-a făcut corect. Apoi cere fiecărui elev să denumească forma și culoarea pe care o au figurile lipite pe cheia și lacătul său.

Câștigătorii jocului voi fi cei care își găsesc în mod corect căsuța și care indică exact forma și culoarea figurii respective.

La confecționarea cheilor, învățătorul va avea grijă ca aceeași fosrmă și culoare să nu aibă mai mult de doi elevi.

În timpul desfăsurării jocului, cheile se pot schimba de mai multe ori astfel încât fiecare elev să lucreze cu culori și figuri diferite.

Observație: Pentru a se evita dezordinea, învățătorul va aranja materialul în așa fel încât elevii să-și caute căsuța pe rândul de bănci în care stă fiecare elev.

2.CE FORMĂ AI PRIMIT?

Scop: fixarea reprezentărilor despre formele geometrice (cerc, pătrat, dreptunghi, triunghi), verificarea cunoștințelor despre culori, dezvoltarea atenției și formarea unei atitudini disciplinate în joc.

Material: figuri geometrice decupate din carton sau material plastic colorat. Câte un exemplar mai mare din fiecare figură pantru învățător. În sala de clasă vor fi așezate la loc vizibil imagini ale unor obiecte asemănătoare cu figurile geometrice:

Desfășurarea jocului

Învățătorul împarte elevilor figuri geometrice în așa fel ca fiecare să primească câte o figură. Apoi va indica numele unui din obiectele afișate în clasă, de exemplu, batista. Elevii care au figura geometrică asemănătoare (pătratul) trebuie s-o ridice sus. Fiecare dintre aceștia va spune ce culoare are figura sa.

VARIANTĂ

Obiectul poate fi arătat cu un bețișor. La o bătaie din palme a învățătorului, elevii care au figura asemănătoare cu obiectul indicat se vor așeza în dreptul lui.

În timpul jocului (ambele variante) figurile se pot schimba. Astfel, învățătorul va lua figura de la primul elev și o va da vecinului. Acesta o primește dar o dă mai departe pe a lui (vecinului său). După ce figurile au fost schimbate între toți elevii, ultimul elev va da figura primului elev, care rămăsese fără figură. Jocul se poate desfășura în continuare.

La schimbarea semnelor între copii, învățătorul va acorda atenție bunei organizări, astfel încât schimbul să se facă frumos și rapid, fără dezordine.

Pot fi folosite ambele variante.

3. MICUL INVENTATOR

Scop: recunoșterea unor figuri geometrice; dezvoltarea imaginației ceatoare a elevilor și formarea deprinderii de a desena obiecte ale căror forme seamănă cu diferite figuri geometrice.

Material: figuri geometrice diferite pentru învățător, hârtie și creioane pentru elevi.

Desfășurarea jocului

Învățătorul va arăta elevilor două figuri geometrice și le va cere să desemneze obiecte cunoscute de ei, a căror formă seamănă cu aceste figuri geometrice, în mod felurit.

CAPITOLUL II

Aspecte metodice ale predării-învățării-evaluării elementelor de geometrie

II.1. Învățarea noțiunilor de geometrie prin procese intuitive și formarea lor inițială pe cale inductivă

În învățământul primar predarea elementelor de geometrie are caracter intuitiv și este strâns legată de calcul, de aritmetică. Aceasta se dezvoltă treptat, după anumite praguri:

Elevii își formează noțiunile și cunoștințele prin observarea obiectelor din realitatea cunoscută și accesibilă lor. Prin activitatea de construcție, desen, pliere, măsurare se asigură partiiparea tuturor organelor de simț la perceperea figurilor și aprofunzimea cunoașterii lor. Abstractizarea formelor observate urmărește mai ales, desprinderea lor de obiect, astfel încât formele să poată fi reprezentate prin desen, independent de obiectul pe care au fost observate;

Temele alese în programă sunt dintre cele care au o mai mare importanță directă: figuri uzuale, proprietăți în legătură cu perimetrul și calculul ariei. Se pune accent astfel pe proprietățile metrice ale figurilor.

Tratarea acestor proprietăți se face în strânsă legăturăcu aritmetica. Cunoștințele de geometrie sunt prilej pentru problemele interesante, în care se aplică regulile de efectuare a operațiilor cu numere. Pe de altă parte, prin măsurarea lungimilor și ariilor, prin rezolvarea problemelor cu acest conținut, elevii fac cunoștință cu unitățile de măsură și le fixează. Cunoașterea temeinică a unităților de măsură este, la rândul ei, bază pentru înțelegerea numerației, pentru formarea deprinderilor de sciere și citire a numerelor întregi și mai ales a numerelor zecimale.

În clasele I-IV se formează primele noțiuni geometrice în contact direct și strans cu realitatea obiectivă; se rezolvă probleme practice izolate (arii, perimetre).

În procesele de instruire școlară , formarea conceptelor fundamentale ocupă unul dintre locurile prioritare. Învățarea conceptelor pune în valoare capacitatea elevului de a face clasificări și de a înțelege ce caracteristici comune stau la baza unor clasificări.

În funcție de natura lor, conceptele pot fi de tip:

Conjunctiv: au priorități legate, ușor de distins la altele, sunt ușor de predat/învățat și au proprietata de a fi aditive;

Disjunctiv: au proprietăți particulare pentru care sunt greu de stabilit echivalențele arbitrare și se regăsesc sub formă de reguli care se aplică în situații asemănătoare;

Relațional: au atribute care descriu relații specifice (distanța, direcția, timpul, masa, greutatea ș.a.). Aceste concepte sunt dificil de învățat și se formează într-un interval de timp mai mare decât celelalte două categorii.

Atributele esențiale care definesc un concept în procesul învățării sunt:

-semnificația ștințifică și psihologică- de exemplu cenceptele de număr și operație din perspectiva semnificației lor psihologice și științifice;

-structura formată din proprietăți (atribute), reguli pentru unirea atributelor și modele de ierarhizare a componentelor. De exemplu, în cazul conceptului de masă este vorba de multiplii și submultiplii unităților de măsură;

-transferabilitatea, înțeleasă ca proprietate de aplicare în câteva situații variate, diferite de cele în care s-a produs învățarea, manifestată prin capacitatea de recunoaștere a elementelor asemănătoare și de stabilire a relațiilor de coordonare, subordonare sau supraordonare între diferitele elemente structurale ale conceptului.

II.2. Predarea-învățarea cunoștințelor geometrice în spiritul rigurozității geometriei

Cât de important este ca școlarul să dobândească cunoștințe exacte de geometrie găsim foarte sugestiv în lucrarea „Aurul cenușiu” a lui Mircea Malita: „Dacă elevul nu-și însușeste organic o dată cu și prin însăși cultura lui generală, conceptual de linie dreaptă și de exactitate, tot ce va produce ulterior: artizanal, industrie, fabrică, viața casnică, gospodărire, totul va ieși strâmb.”

Desi suportul de baza al predării-învățării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, este limpede că sistemul cunoștințelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozității geometriei.

Întâi, pentru că ele trebuie să reprezinte elemente concrete ale cunoașterii matematicii, servind elevului în orientarea și rezolvarea problemelor de adaptare în spațiul înconjurător.

În al doilea rând pentru că toate aceste cunoștințe geometrice vor sta la baza continuității studiului geometriei în orele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei în sistematica conduitei matematice a elevilor.

În ciclul primar, procesul de învățare a conceptelor legate de măsură valorifică aceste atribute în practica educațională din perspectiva:

– nivelurilor și operațiilor parcurse în procesul de formare;

– obiectivelor ce stau la baza acțiunilor de formare a conceptelor de masă, volum, lungime, timp și valoare;

– condițiilor specifice care influențează procesul formării acestor concepte;

– strategiilor didactice specifice pentru învățarea unităților de măsură.

Particularizat pentru procesul de formare a reprezentărilor specifice conceptului de masă, elementele procesului de formare a conceptelor de tip relațional amintit anterior conturează posibile trasee metodice.

Nivelurile la care se produce contactul copilului cu forme materializate ale conceptului de masă se descriu și se caracterizează astfel:

– nivelul concret întâlnește recunoașterea de către copii a conceptului reflectat în variate forme de materializare. Copiii se joacă cu obiecte „grele” sau „ușoare”, le asociază o anumită grutate și valorifică aceste observații în situații cotidiene;

– nivelul identității se manifestă prin capacitatea copilului de a realiza discriminarea unor atribute semnificative ale conceptului;

– nivelul clasificator al însușirii conceptului este determinat de calitatea operațiilor de ordonare, ierarhizare și clasificare – în acest studiu are loc generalizarea a două sau mai multe proprietăți (formarea aceleiași realitați);

– nivelul formal se dobândește atunci când au loc procese de definire în termenii atributelor semnificative, de aprofundări, evaluări, aplicații și transferări relevante. Acest nivel nu este atins de toți elevii datorită impactului diferit al educației asupra copiilor. Capacitatea de a discrimina și generaliza caracterizează din perspectivă operatorie acest nivel, întrucât prin discriminare sunt identificate elementele și caracteristicile definitorii ale conceptului, manifestate și recunoscute în situații complexe.

Obiectivele învățării sunt diferite în funcție de nivelul la care se produce învățarea și acestea sunt precizate diferit în curriculum pentru fiecare clasă.

Realizarea obiectivelor necesită, la nivelul proiectării didactice, crearea premiselor și a condițiilor pentru familiarizarea copiilor cu forme relevante de manifestare a conceptului și au atributele sale definitorii, să micșoreze progresiv reprezentările eronate ce pot apărea.

Condițiile în care se produce procesul de asimilare conștientă sau de formare a conceptului de masă sunt legate de:

– identificarea contextelor de învățare favorabile;

– calitatea sarcinilor de lucru- este dată de măsura în care aceasta solicită identificare, recunoaștere, comparare, măsurare în situații de învățare motivante;

– precizarea modalităților de validare a corectitudinii învățării conceptului;

– adecvarea metodologiei instruirii la natura restricțiilor impuse de vârsta și experiența copiilor.

Relația dintre nivelurile diferite de formare la elevi a unui concept, obiectivele instruirii și condițiile specifice de realizare a demersului didactic presupune identificarea unei strategii de abordare a învățării în care fiecare dintre cei doi parteneri, cadru didactic-elev, acționează coroborat pentru realizarea scopului educațional:

Tabel 1. Formarea reprezentărilor despre masă

Prin adoptarea unei strategii inductive, învățătorul elaborează și alege exemple adecvate care permit observarea de asemănări și deosebiri și clasificări ulterioare ale proprietăților caracteristice unui concept. Aceste exemple trebuie să aibă o succesiune optimă și să ofere elevului șansa de a formula ori modifica o ipoteză generalizatoare în contactul cu un exemplu relevant sau de a descoperi el însuși o succesiune de exemple sau contraexemple. Focalizarea are în vedere construirea de către copil a unui număr minim de situații pozitive și negative și utilizarea unei strategii de alegere pe bază a unor reguli de selecție a situațiilor de învățare care conduc la identificarea atributelor caracteristice. Strategia de explorare adoptată în proiectarea demersului didactic permite formarea capacităților explorativ-investigative cerute prin programa școlară.

Strategia didactică pentru formarea reprezentărilor despre măsură (masă, lungime, capacitate, timp, valoare) valorifică tipurile de strategii amintite anterior prin ansamblul activităților de învățare, care oferă posibilități de intervenție și de modificare a situațiilor problematice, prin deplasări subtile în planul motivelor, scopurilor și mijloacelor de efectuare a acțiunii de învățare.

O cerință de bază a activității didactice în predarea-învatarea elementelor de geometrie o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunoștințe și abilități geometrice care sunt funcționale, adică spre acele cunoștințe ce pot fi aplicate și transferate efficient în orice situație (teoretică sau practică).

În acest sens, funcționalitatea cunoștințelor, deprinderilor, priceperilor (abilităților) geometrice trebuie să determine la școlarul din ciclul primar comportamente corespunzătoare, generate de necesitatea cunoașterii spațialității proxime sub raportul formei și mărimii, orientarea în spațiu și reprezentarea acestuia, alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea reală, rezolvarea corectă a problemelor de geometrie etc.

În această ordine de idei, învățătorul trebuie să rețină că:

a) abilitatea practică de a ști să rezolvi probleme se capată prin exercițiu, prin studiul de modele reale sau create, printr-o activitate îndrăzneață, printr-o activitate de grup, și în mod obligatoriu individuală;

b) activitatea de rezolvare a problermelor asigură și validarea cunoștințelor de geometrie, realizând deschideri în planul motivațiilor favorabile continuării studiului, dezvoltării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

II.3. Conținutul studiului geometriei la clasele I-IV

Din punct de vedere instructiv, studiul geometriei în clasele I-IV urmărește formarea unui ansamblu coerent și bine structurat de deprinderi de explorare a figurilor și corpurilor geometrice care să permită desprinderea, prin învățare inductivă, a proprietăților acestora, utilizarea măsurarii pentru stabilirea unor mărimi și distanțe, formarea și dezvoltarea reprezentărilor spațiale, calcularea unor lungimi și perimetre.

În ciclul primar, prin predarea geometriei se urmărește ca elevii să-și formeze deprinderi de observație și descriere a corpurilor și figurlor geometrice. Activitatea de observare și de cercetare experimentală a realității determină la elevi formarea unor reprezentări spațiale, foarte necesare în însușirea ulterioară a cunoștințelor de geometrie și în aplicarea acestora. În plus, prin însuși specificul lor, lecțiile de geometrie angajază elevii într-o activitate intensă, prin care li se cere să observe, să descrie, să construiască, să facă măsuratori, să calculeze, să rezolve probleme. Studiul geometriei tebuie să înceapă cu acțiuni intuitive, cu observarea directă, manipularea de obiecte din realitatea înconjurătoare în vederea descoperirii caracteristicilor comune care conturează imaginea geometrică. Aceste imagini se concretizează apoi prin modele geometrice și prin desen.

Noțiunile primare de geometrie cu care operează elevii în ciclul primar nu pot fi însușite de elevi ca abstracții depline. Ei vor ajunge treptat la stadiul înțelegerii noțiunilor geometrice, după ce vor măsura, vor decupa și compara anumite figuri geomtrice, identificând astfel proprietăți semnificative ale acestora.

Încă din clasa I elevii învață să recunoască câteva figuri și corpuri geometrice, mai ales acelea pe care le întalnesc și le utilizează ca material didactic în numerație și calcul: dreptunghiul, pătratul, triunghiul, cercul, cubul sau sfera. Referitor la corpuri geometrice (cub, sfera) în afara recunoașterii, se vor face exerciții de observare a obiectivelor ce au aceste forme.

În clasa a II-a se amplifică cunoștințele de geometrie prin introducerea unor noțiuni noi: forme plane (triunghi, dreptunghi, pătrat, cerc), punct, segment, linie dreaptă, linie frântă, linie curbă, interiorul și exteriorul unei figuri, observarea corpurilor (cub, sferă, paralelipiped dreptunghic).

În clasa a III-a noțiunile de geometrie se conturează și se precizează mai bine, pătrunzându-se în esența lor prin stabilirea unor caracteristici și diferențieri, precum și a unor definiții. Astfel elevii dobândesc cunoștințe suplimentare despre figurile și corpurile geometrice cunoscute, adăugându-se noțiunile (cu reprezentările respective) de poligon, cilindru, con.

Cunoștințele de geometrie capată însă character sistematic abia în clasa a IV-a, cand ele sunt prezentate într-o înlănțuire logică, stabilindu-se definiții și proprietății, introducându-se noțiuni de „perimetru” și „arie”, urmate de măsurători și calcule corespunzatoare. De asemenea se stabilesc și se clasifică noțiunile de „drepte paralele”, „drepte perpendiculare”, „paralelogram”, „trapez”, „prismă” și operații de desfășurare a corpurilor (cub, paralelipiped) și asamblare a unor desfășurări date.

Procesul de formare a noțiunilor geometrice parcurge mai multe faze:

1.Intuirea obiectelor din mediul înconjurător care evidențiază materializat noțiunea geometrică, cu dirijarea atenției elevilor spre ceea ce interesează a fi observat din punct de vedere geometric (formă, poziție spațială);

2.Analizare prin comparare a proprietăților intuite anterior, pe material didactic;

3.Reprezentarea prin desen (nivel iconic) a noțiunii intuite, indicând elementele componente observate, notând, evidențiind, proprietăți caracteristice;

4.Descrierea prin proprietăți caracteristice a unor figuri și corpuri geometrice;

5.Identificarea noțiunii (figuri geometrice și corpuri) și în alte obiecte din mediul înconjurător;

6.Construirea materializată a noțiunii (figuri din pliere, suprapunere, decupare) folosind instrumente geometrice;

7.Efectuarea unor operații de clasificare după formă și/sau proprietăți, utilizând metode variate pentru a argumenta clasificarea efectuată;

8.Rezolvarea unor exerciții și probleme cu conținut geometric în combinație cu alte metode (figurativă, reducere la unitate), cu probleme de măsurare și utilizare a unităților de măsură pentru lungime; aceasta este o modalitate de realizare a transferului de strategie rezolutivă în situații geometrice noi.

În ciclul primar se realizează primele faze ale procesului și se formează deprinderi de observare, identificare, descriere, desenare și clasificare. Aceste deprinderi se formează prin învățare exploratorie de tip inductiv și sunt puse în valoare prin utilizarea unui material didactic adecvat.

Studiul primelor figuri geometrice

Patrulaterele

Fiind obișnuiți deja cu figurlie geometrice, încă de la grădiniță, elevii recunosc patrulaterele, însă urmează să descopere mult mai multe despre acestea odată cu intrarea lor în școală, cunoscând mai apoi descrierea acestora, unele elemente, chiar și proprietăți.

În ceea ce privește dezvoltarea progresivă a raționamentului matematic, se urmărește formarea priceperilor necesare pentru folosirea metodei triunghiurilor egale și însușirea tehnicii unei demonstrații: orice afirmație să fie motivată, oridinea lor în expunere să fie astfel încât fiecare afirmație să rezulte din precedenta. Insistențele asupra unei scrieri cât mai concise, asupra formei de redactare a demonstrațiilor pot fi în general rezervate capitolului următor. Prin accentul pus pe construcția figurilor în predare și prin exercițiile de construcții indicate spre rezolvare se urmărește de asemenea consolidarea deprinderilor necesare elevilor în efecturea construcțiilor și dezvoltarea capacității de a interpreta, de a observa consecințele ceonstrucțiilor făcute.

Adiacent acestor scopuri principale și având rolul de a ajuta la atingerea lor, se urmărește adâncirea înțelesului unei definiții, înțelegerea de către elevi a faptului că definiția trebuie să cuprindă tot ce e necesar, dar nimic mai mult pentru a preciza sensul noțiunii, pentru a ne face să știm ce se înțelege prin denumirea respectivă. Tot cu același rol adiacent se urmărește ca elevii să se învețe să perticularizeze o noțiune: deprunghiul este tot un paralelogram , dar un paralelogram special cu unghiuri drepte. Fiind paralelogram are toate proprietățile paralelogramelor, dar, având în plus un unghi drept, are și proprietăți pe care nu le au paralelogramele fără unghiuri drepte; la fel pentru romb și pătrat.

Pe această bază se urmărește ca elevii să înțeleagă raportul dintre sferele noțiunilor. Definițiile adoptate rezultă tocmai pe această cale: dreptunghiul este paralelogramul (adică dreptunghiul face parte dintre paralelograme) cu un unghi drept (se deosebește prin această însușire de restul paralelogramelor). În general, definițiile patrulaterelor au tendința să fie supra-abundente. Accentul în predare trebuie să cadă asupra precizării acelor condiții care determină patrulaterul respectiv și asupra separării însușirilor care reprezintă proprietăți ale patrulaterului rezultând din celelelte.

Despre mijloacele care pot fi folosite pentru convingerea elevilor de necesitatea demonstrațiilor și deprinderilor de a căuta o demonstrație pentru orice proprietate intuită.

Paralelogramul. Pentru a sublinia că definiția cuprinde numai indicația că laturile sunt două câte două paralele și nimic mai mult, este bine să se accentueze asupra construcției paralelogramului: laturile se construiesc paralele. Din această construcție ele rezultă egale, nu se măsoară egale în timpul construcției. Construcția paralelogramului este indicat să se facă cu instrumente. Se subliniază astfel în mod mai pregnant că laturile se construiescparalele fără să știm în timpul construcției dacă sunt și egale. Nicio parte a definiței nu poate fi neglijată. La paralelogram, mențiunea „laturile egale” se poate omite, ea nu este daci necesară în definiție.

Dreptunghiul. În Elemente, Euclid dă definiția dreptunghiului ca partulater cu unghiurile drepte, definiție din care rezultă că laturile sunt paralele, adică dreptunghiul este paralelogram. În manuale se găsește cel mai des definiția: dreptunghiul este paralelogramul cu unghiuri drepte. Corect este: paralelogramul cu un unghi drept, pentru că celelalte rezultă. Această definiție prezintă avantajul de a arăta că genul proxim este paralelogramul, și nu partulaterul, ceea ce demonstrează că dreptunghiul are toate proprietățile paralelogramului, în afară de care are proprietățile rezultate din diferența specifică, unghiul drept. Prin construcție apare foarte clar că dacă un unghi este construit drept, iar laturile sunt paralele, celelelte unghiuri rezultă de asemenea drepte. Pe marginea definiției trebuie să se enunțe proprietățile comune cu ale paralelogramului. Se atrage atenția că proprietățile asupra unghiurilor într-un paralelogram au drept consecință faptul că toate unghiurile dreptunghiului sunt drepte. Se propune apoi să se caute dacă unghiul drept determină pentru greptunghi și alte proprietăți deosebite de ale paralelogramului.

Rombul. Este necesar ca toate partulaterele să fie prezentate elevilor, ca orice figură de altfel, și în alte poziții decât cea uzuală. Acest lucru este deosebit de important la romb, deoarece aici se vădește cel mai mult tendința elevilor de a socoti poziția ca o însușire caracteristică: deseori elevii nu recunosc că un partulater este romb dacă este așezat pe o latură. Prezentarea unei figuri în diverse poziții duce la o formare corectă a noțiunii. Variind poziția, elevii constată că aceasta nu este o însușire esențială a ei. Pe de altă parte, se urmărește prezentarea unei figuri în diverse poziții creându-se în acest sens o oarecare deprindere, foarte utilă în aplicații. Astfel, paralelogramul, ca și rombul, se va prezenta atât aplecat spre stanga, cât și spre dreapta. Cu o latură orizontală, dar și astfel ca nicio latură sa nu fie orizontală, sau una din laturi să fie verticală. Se urmărește astfel formarea noțiunii în genelaitatea ei. În ceea ce privește definiția sunt de făcut observații asemănătoare cu cele de la dreptunghi. Euclid îl definește partulater cu toate laturile egale. Pentru aceleași motive ca la dreptunghi se găsește în manuale definiția: paralelogramul cu toate laturile egle, care este iarăși o definiție supraabundentă, dar foarte încetățenită. Corect este paralelogrmaul cu două laturi alăturate egale. Urmărind construcția, se constată iarăși că, dacă se duc laturile paralele (adică se construiește parelelogram), e necesar să se măsoare numai două laturi consecutive. Pe baza proprietăților perelelogramului rezultă că toate patru laturile sunt egale între ele. Ca și la dreptunghi se vor enunța mai întâi proprietățile care rezultă din calitatea rombului de a fi paralelogram și apoi proprietățile care rezultă din însușirea pe care o are în plus față de paralelogram.

Pătratul. Se cere elevilor să pună deodată paralelogramului cele două condiții pe care le-au pus separat la dreptunghi și romb. Elevii trebuie să „descopere” pe baza experienței lecțiilor anterioare că patratul este caz particular de dreptunghi și deci are toate proprietățile acestora.

Trapezul. Definiția trapezului este dată în unele manuale sub forma: partulaterul cu două laturi paralele, în altele se adaugă și celelalte două neparalele. După prima definiție ar rezulta că și paralelogramul este trapez, având două laturi paralele, ceea ce ar provoca confuzii mai ales la definirea trapezului isoscel. A doua definiție este corectă, dar poate fi exprimată mai concis și subliniind deosebirea față de paralelogram, sub forma: trapezul este patrulaterul cu numai două laturi paralele. Clasificarea trapezelor nu întâmpină dificultăți. Este doar necesar să se sublinieze că „după laturi” trapezul este isoscel sau nu, iar „după unghiuri” acesta este dreptunghi sau nu. Ca și la triunghiuri, trapezul oarecare nu este nici dreptunghi și nici isoscel.

Poligoane

Prin predarea noțiunilor generale despre poligoane și triunghiuri (definiție, elemente, așezarea unor elemente față de altele- alăturate, opuse etc.), clasificarea, linii importante se urmărește aprofundarea și sistematizarea noțiunilor pe care elevii le au încă din această perioadă despre poligoane, precum și precizarea lor prin atenția acordată denumirilor.

Predarea acestor cunoștințe este un prilej foarte potrivit pentru ca elevii să treacă din faza de pregătire a definițiilor, care caracterizează predarea unghiurilor, în etapa de clasificare, de înțelegere a definiției: de la „ce se numește?” se poate trece la „care este definiția” și la „ce este o definiție?”. Prin poligon se înțelege în unele manuale linia frântă închisă, în altele porțiunea din plan mărginită de o linie frântă închisă. Definiția corectă este: „Poligonul de numește linia frântă închisă”. Acesta separă planul în două regiuni, una interioară și alta exterioară. În legătură cu regiunea interioară a unui poligon se formează noțiunea de arie a lui.

Clasificarea triunghiurilor

La clasificarea triunghiurilor după laturi trebuie remarcată interpretarea care se acordă triunghiului isoscel. De obicei, clasificarea după laturi se face astfel: triunghi scalen,triunghi echilateral și triunghi isoscel. În acest caz, cuvântului isoscel trebuie să i se acorde înțelesul de triunghi cu numai două laturi egale, pentru ca să fie corectă clasificarea (un triunghi să aparțină unei singure clase). În aplicații se afirmă faptul că triunghiul echilateral este și el isoscel, pentru că în fiecare vârf se întâlnesc două laturi egale (este de trei ori isoscel). Acasta înseamnă că triunghiurile echilaterale sunt considerate cazuri particulare ale triunghiurilor isoscele. Având în vedere cele două relatate, isoscel înseamnă triunghi cu cel puțin două laturi egale.

La predarea mediatoarei este necesar să se arăte că orice segment are mediatoare, indiferent că este sau nu latura unui triunghi. Este bine să se predea mai întâi mediatoarea unui segment și să se definească mediatoarea triunghiului ca mediatoarea unei laturi a lui.

Predarea noțiunilor va începe cu exemple, pentru a ajunge la definiție în cazul clasificării poligoanelor în convexe și concave. Elevii nu ar putea da exemple de ploigoane concave în baza definiției decât cu foarte mare greutate. În cazul celorlalte noțiuni se poate alterna: exemplele să pregătească definiția sau, dimpotrivă, exemplele să urmeze definiția. În primul caz, efortul elevilor va fi să observe și să desprindă din exemple trăsăturile ce alcătuiesc definiția; în cel de-al doilea caz, ei trebuie să dea conținut concret cuvintelor cuprinse în definiții. Astfel, de exemplu, înălțimea se poate preda începând cu definiția, după care urmează exemple, iar la predarea medianei se poate ca exemplele să precedă definiția. Predarea ar avea loc (în acest caz) în următorul mod:

Înălțimea este prpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura opusă;

Învățătorul va enunța că va construi o altă linie importantă, mediana: elevii sunt îndemnați să urmărească atenți construcțiile.

Apeciind din ochi, învățătorul ia mijlocul unei laturi (prin atitudine subliniază că punctul nu e luat la întâmplare, dar nu spune cum îl ia), unește acel punct cu vârful opul: se repetă construcția până când elevii pot exprima ce este mediana.

Fixarea noțiunilor

Aplicațiile vor cuprinde exeriții variate. Mai jos se găsește o clasificare a acestor exerciții, însă ordinea acestora nu indică succesiunea lor.

Se cere definiția (de exemplu, care este definiția diagonalei unui poligon).

Se cere construcția (de exemplu, construiește un triunghi optuzunghic) sau indicarea unui element denumit (de exemplu, arată latura opusă acestui unghi).

Se prezintă o fingură și se cere denumirea poligonului triunghiului, liniei importante [de exemplu, ce fel de triunghi este acesta (după laturi, după unghiuri)? Cum este așezat acest triunghi față de această latură? Ce linie este aceasta? De ce?]

Cu alte cuvinte, se cere elevilor efortul de a memora definițiile, de a produce un exemplu, de a recunoște un exemplu prezentat.

Noțiunea de egalitate a figurilor

Tot în lecțiile consacrate poligoanelor se clarifică noțiunea de egalitate a figurilor. Se reamintește de asemena definiția segmentelor, unghiurilor, cercurilor egale. Se subliniază fatpul că egalitatea s-a constatat prin comparare directă fără măurare. Se generalizează procedeul și se dă definiția figurlior egale: acelea care prin suprarunere coincid. Se insistă asupra înțelesului separat al fiecărui cuvânt: ce înseamnă se suprapun figurile? Ce înseamnă coincid (fiecare punct al unei figuri s-a suprapus peste un punct al celelilalte figuri)? După modul în care se suprapun figurile (prin alunecare sau răsturnare), se deosebesc cele direct de cele invers egale. Pentru ca elevii să înțeleagă mai bine acestă deosebire, se poate folosi o planșe pe care să fie construite figuri direct și invers egale (de exemplu triunghiuri cu laturi evident neegale între ele), și o figură decupată cu fețele direct colorate. În cazul figurilor egale, figura decupată poate fi deplasată de la o figură și adusă să coincidă cu alta fără a o răsturna, lucru care nu este posibil pentru figurile invers egale.

Cercul

Lecțiile consecrate cercului, la începutul geometriei plane, urmăresc ca elevii să-și însușască definiția cercului, să cunoască elementele sale, proprietățile (cercul alunecă peste el însuși, cercul împarte planul în două regiuni), operațiile cu arce, și să formeze deprinderea de a construe cercul.

Definiția cercului se introduce prin construcție, dar este mai indicat să se facă, în acest scop, construcția cu ajutorul unei sfori: la un capăt este fixată într-un cui, iar la celalalt capăt este legată creta (este mult mai bine ca cercul să fie trasat în mod analog pe pământ). Dacă sfoara nu se ține bine întinsă, linia nu mai este cerc. Definiția se pregătește arătând că lungimea sforii reprezintă distanța de la cretă, de la un punct de pe linie, la centru.

La predarea proprietății cercului de a aluneca peste el însuși, se va sublinia, ca și la dreaptă, că este vorba de alunecarea cercului întreg, și nu e mișcarea unui punct de pe cerc. Este bine ca proprietatea să fie ilustrată cu ajutorul unui material didactic adecvat (de exemplu, un cerc de hârtie de calc care alunecă peste un altul desenat pe carton). Se va sublinia că cercul este singura linie care are aceată proprietate în afară de linia dreaptă.

Arcul de cerc trebuie desenat fără a duce și coarda care îl subîntinde, pentru că astfel elevii confundă arcul cu coarda. Este necesar ca afirmația că se pot compara numai arce din același cerc, sau din cercuri egale să fie ilustrată cu ajutorul materialului didactic (arce din cercuri de rază diferită nu pot fi suprapuse sau adunate). La predarea operațiilor cu arce este de asemenea necesară folosirea materialului didactic, pentru ca elevii să pătrundă bine înțelesul operației.

Lungimea cercului

În clasa a IV-a elevii cunosc formula lungimii cercului obținută prin măsurare. Se va arăta apoi, cum aflarea lungimii cercului prin calcul înseamnă de fapt aproximarea ei prin perimetru lungimii cercului prin calcul înseamnă de fapt aproximarea ei prin perimetrul poligoanelor regulate înscrie.

Planșele cu poligoane regulate înscrise, al căror număr de laturi crește mereu, permit să se observe intuitiv că, dacă se aproximează lungimea cerucului prin perimetrul poligonului, greșala devine cu atât mai mică cu cât numărul laturilor este mai mare. Este indicat ca figurile să fie însoțite de tabele cu calculul perimetrelor pentru poligoane regulate care au din ce în ce mai multe laturi.

Astfel se arată că primele zecimale devin pe rând aceleași, diferența dintre un perimetru și celălalt apărând la zecimale de ordin din ce în ce mai multe mare. Foarte puțini elevi știu că π=3,14 este corespunzător aproximării lungimii cercului prin perimetrul unui poligon cu 64 de laturi. Se obține astfel o bună înțelegere a lungimii cercului și se contribuie de asemenea la crearea unei baze intuitive pentru noțiunea de limită. Este și mai bine dacă se prezintă nu numai un șir de aproximări, ci două astfel de șiruri (de exemplu, șirul perimetrelor poligoanelor cu număr dublu de laturi care pleacă de la pătratul și de la hexagonul înscris în cercul de rază 1). Se vede astfel că cele două șiruri de perimetre se apropie de un același număr cu o infinitate de zecimale.

De la cele două șiruri se va trece mai târziu ușor la „orice” șir necesar definiției limitei.

II.4. Repere metodice ale figurilor și corpurilor geometrice

În predarea și învățarea elementelor de geometrie din cilclul primar, metodele care contribuie la dezvoltarea spiritului de investigare, a imaginației și creativității elevilor sunt: problematizarea și învățarea prin descoperire, metode prin care elevii sunt conduși, prin efort propriu, să ajungă la descoperirea unor caracteristici geometrice ale figurilor și corpurilor geometrice cu care operează.

În învățarea prin descoperire sunt create condițiile pentru ca elevii să descopere proprietăți ale formelor geometrice pornind de la relația care se stabilește între cunoștințele anterioare și cele noi prin:

– descoperirea inductivă: pe baza unor date și cunoștințe particulare sunt dobândite cunoștințe noi și se efectuează operații cu un grad mai înalt de generalitate;

– descoperirea deductivă: pe baza unor date și cunoștințe generale sunt dobândite cunoștințe noi care conduc la concluzii periculare;

– descoperirea transductivă: prin stabilirea unor relații analogice între diverse serii de date.

La clasele I-IV, în predarea elementelor de geometrie este mai accesibilă elevilor descoperirea inductivă. Cea mai eficientă modalitate de înțelegere a unui fapt geometric, a unei proprietăți este prin descoperirea acestuia/acesteia. Dacă elevul descoperă prin observarea figurilor o proprietate pe care apoi o verifică prin măsurare, o va înțelege și reține mai ușor. Proprietățile diagonalelor pătratului de a avea lungimi egale și de a se înjumătăți între ele sunt înțelese, dacă elevii observă mai întâi concret pe o figură din hârtie- un pătrat cu diagonalele trasate, diferit colorate. Elevii pliază hârtia după axele de simetrie formate de diagonale și vor observa că jumătățile fiecărei diagonale coincid prin suprapunere. Măsurarea va confirma corectitudinea observațiilor formulate de elevi.

Materialul didactic este esențial pentru ca elevii să poată observa proprietăți geometrice și măsurarea îi ajută în justificarea observațiilor făcute. În utilizarea materialului didactic trebuie respectate câteva condiții legate atât de materialul confecționat, cât și de modul în care este folosit de învățător și de elevi.

Materialul didactic confecționat trebuie:

– să aibă dimensiunile suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate, din orice punct al clasei;

– să aibă o formă estetică;

– să fie expresia fidelă a ceea ce vrea să repreinte;

– să fie adecvat transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale și a relațiilor ce există între ele;

– să respecte particularitățile de vârstă ale elevilor.

O valorificare insuficientă a materialului influențează negativ procesul formării reprezentărilor spațiale. De un real folos sunt figurile geometrice confecționate din carton, plastic, metal , pe care le poate mânui fiecare elev în parte și instrumentele necesare- rigla, echerul și corpurile geometrice confecionate. Obectivele din realitatea înconjurătoare care au fețe sub formă de pătrat, triunghi sunt observate cu mult interes de elevi și reprezintă un material didactic specific momentului în care sunt folosite.

Materialul didactic va fi explorat utilizând problematizarea pentru a dezvolta la elev gândirea independentă productivă, scheme operatorii și a asigura motivația intrinsecă a învățării. Situația-problemă reprezintă o sarcină cu caracter de noutate, prin a cărei rezolvare își însușește noi cunoștințe.

Metoda învățării prin descoperire poate fi folosită cu succes în rezolvarea problemelor de geometrie.

Printre metodele intuitive, bazate pe observarea directă, concret-senzorială, a obiectivelor și fenomenelor realității sau a substitutelor acestora se regăsesc observația și demonstrația.

Observația, ca metodă utilizată fregvent la geometrie, asigură baza intuitivă a cunoașterii, permite formarea de reprezentări clare despre figuri și corpuri geometrice și însușirile caracteristice ale acestora. Această metodă este însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus. În cadrul lecțiilor cu conținut geometric, elevii trebuie ghidați ca prin observare să identifice proprietăți ale unor corpuri, să observe și să descrie proprietățile simple ale unor figuri geometrice.

În programele școlare sunt prevăzute conținuturi care, în ani de studiu diferiți, sunt formulate asemănător sau identic; de exemplu „exerciții de observare a obiectelor cu formă de cub sau sferă”. În aceste situații, diferența nivelului de dificultate și complexitate pe fiecare clasă trebuie să facă prin compararea obiectivelor de referință și a exeplelor de activități de învățare specificate în programă. Obiectivele de referință exprimă cerințe comportamentale diferite, iar activitățile de învățare solicită abordări variate. Evoluția de la o clasă la alta a conceptelor referitoare la figurile geometrice nu va însemna deci o adăugare de conținuturi, ci o adâncire a nivelului de analiză a proprietăților figurilor și corpurilor respective, realizată de către elev prin lucrul direct cu materialul didactic.

Devin astfel evidente utilizarea și necesitatea consultării orientative a programei clasei anterioare și a programei clasei următoare, pentru a proiecta avtivități de învățare adecvate.

Exemplificarea unei proiectări a unității de învățare a unei teme cu conținut geometric.

La nivelul proiectiv, în cadrul proiectării pe unități de învățare, unul dintre cele mai importante momente este cel al formulării activităților de învățare după ce au fost identificate obiectivele de referință.

Toate aceste exemple au o dominantă explorativ-investigativă și impun organiarea unor activități practice, în care elevul învață prin descoperire și prin efort propriu dirijat.

În funcție de personalitatea sa didactică și de structura clasei, învățătorul poate alege acele activități de învățare care răspund exigențelor de ordin formativ pe care le are în vedere.

CAPITOLUL III

Studiul de caz: predarea elementelor de geometrie la o clasă experimantală

„Profesorul este cel care, într-o anumită disciplină, știe în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce știe el azi, îl pregătesc pentru ce va afla mâine și care poate să fundeze ceea ce știe într-o anumită disciplină pe ceea ce știe din celelale discipline pe care aceasta se rezumă”.

-Grigore Moisil-

Matematica s-a cristalizat ca știință deschisă, capabilă de un progres permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și creare a unor teorii noi. Dezvoltarea rapidă a științei, a acumulării în ritm tot mai intens a informațiilor, impun dezvoltarea culturii matematice, care trebuie să-și facă loc tot mai mult în cultura generală a unui om. Ca atare, încă din clasele mici se impune stimularea intelectului, a gândirii logice, a judecății matematice la elevi, încât să devină o disciplină plăcută, atractivă, convergentă spre dezvoltarea raționamentului, creativității și muncii independente.

Încă din primii ani de școală, copiii trebuie să învețe (ca atitudine generală) și învățați cum să învețe (ca deprindere, de timpuriu, cu munca independentă, cu diferite tehnici de muncă intelectuală). Activitatea învățătorului își face simțită prezența întotdeauna, fie chiar și indirect, legată de îndrumarea activității elevilor. Predarea nu are sens decât în măsura în care determină un efort corespunzător de învățare din partea elevilor. Cheia învățării este deplina angajare a elevului în actul învățării.

Învățarea este un act personal care cere participare personală. Problema esențială de care depinde producerea învățării eficiente este cea a implicării, a angajării celui care învață în actul învățării. Definitorie pentru metodele activ-participative este capacitatea acestora de stimulare a participării active și depline, fizic și psihic, individuale și colective a elevilor în procesul învățării.

Scopul învățământului matematic nu se reduce la latura pur informativă , ci vizează cultivarea raționamentului , spiritul de receptivitate , formarea gândirii logice , definirea clară și precisă a noțiunilor , adaptarea creatoare la cerințele vieții sociale . Toate cunoștințele dobândite trebuie să aibă legătură directă cu viața , pentru că au o utilitate practică . Nouă , învățătorilor , ne revine rolul de a organiza activitatea de învățare prin acțiuni care leagă cunoștințele de practică.

Modalitățile de realizare a caracterului practic-aplicativ în predarea la clasele I-IV sunt multiple:

-învățarea centrată pe elev;

-abordarea stilurilor de predare (vizual, auditiv, practic/kinetic);

-abordarea conținuturilor din perspectiva metodelor activ-participative;

-aplicarea pe scară tot mai largă a jocului didactic;

-predarea integrată (interdisciplinară, pluridisciplinară, transdisciplinară);

-învățarea în cooperare;

-desfășurarea unor lecții cu ajutorul computerului.

Mulți copii întâmpină dificultăți în învățarea matematicii pentru că nu-și însușesc la timp aceste noțiuni. Important este ca învățătorul să respecte latura practică a matematicii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general.

Prin modelare, joc didactic , problematizare, învățarea prin descoperire elevul este pus în situația de a căuta , a descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior. Acestea privesc atât activitatea elevului cât și pe cea a învățătorului.

Activitățile practice se impun datorită reperelor psihologice ale vârstei școlarului mic: gândire dominată de concret; surprinde permanența, invarianța; gândire tot mai flexibilă; peceperea globală a lucrurilor; descompunerea și recompunerea reprezentărilor care sporesc puterea imaginativă; memorie logică și voluntară; volumul atenției încă redus.

Pentru ca activitățile practice să fie eficiente trebuie îndeplinite următoarele condiții:

mediu stimulativ și diversificat;

interactivitatea ;

solidaritate cu grupul;

utilizarea de „modele” concrete care să fie nu neapărat reale, cât credibile și atractive;

obiecte care trebuie manipulate și explorate;

punct de acces la o noțiune matematică / mod de exersare sau de expunere a propriei înțelegeri.

Abilitățile necesare desfășurării activităților practice sunt: atenția, manipularea, observarea, comunicarea, mobilitatea.

Elevii pot fi conduși, prin activități atent dirijate,activități practice la sesizarea

poziției unui obiect față de alt obiect și la aprecierea distanței dintre ele, folosind cuvintele: „mai aproape”, „mai departe”, „sus/jos”, „la dreapta/la stânga” etc.

Percepția relațiilor spațiale va fi completată cu activități de observare a obiectelor din clasă, a poziției unui obiect față de celălalt pentru însușirea noțiunilor și reprezentarea grafică a distanței, poziției dintre obiecte.Astfel se fac aranjări într-o anumită ordine , exerciții de comparări și diferențieri ale diferitelor materiale concrete sau ilustrații, exerciții practice cu material didactic, de sortare, de grupare.

Referitor la corpuri geometrice în afara recunoașterii, se vor face exerciții de observare a obiectelor ce au aceste forme și activități practice de construire a acestor forme.

Alături de procesele intuitive, predarea-învățarea presupune acțiuni de măsurare efectivă a figurilor și corpurilor geometrice, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii sau desfășurări și apoi asamblări ale corpului geometric.

În clasele I-IV, studiul mărimilor și al unităților de măsură reprezintă o interfață între matematică și viața de zi cu zi. Înțelegerea măsurării și a unităților de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediată a unităților standard. Învățătorul trebuie să utilizeze unitățile nestandard (de exemplu: palma, creion, pasul etc.).

III.1.Etapa inițială

A constat în utilizarea mai multor metode și procedee de cunoștere a particularităților psihice ale elevilor clasei.

Culegerea datelor de start s-a realizat prin:

discuții cu cadrul didactic ce predă la clasa implicată în cercetare;

colectarea și verificarea datelor funizate de observația curentă a activității și comportamentului elevilor, cum ar fi: nevoile educaționale ale elevilor; aptitudinile/interesele;motivația elevilor pentru studiu; stilurile de învățare; ritmul propriu de lucru al fiecărui elev.

Utilizarea calificativelor obținute la disciplina matematică pe tot parcursul anului școlar;

Cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, a nivelului de pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesareasimilării conținutului etapei care urmează, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice.

III.2. Etapa formativă

La eșantionul experimental, respectiv clasa I B, se va introduce variabila independentă, utilizându-se fișe de muncă diferențiate diferite, conform capacităților de asimilare a cunoștiințelor proprii fiecărui elev.

III.3. Tratarea unor teme de geometrie în etapa formativă a experimentării

Metodele active transformă elevul din obiect în subiect al învățării; elevul fiind coparticipant la propria formare angajază intens forțele psihice de cunoaștere; asigură elevului condiții optime de a se afirma individual și în echipă; dezvoltă gândirea critică; dezvoltă motivația pentru învățare; permite evaluarea propriei activități.

Metodă folosită: Jocul didacic matematic

Consider că este necesar să acordăm jocului didactic matematic un spațiu larg în ansamblul metodelor activ-participative destinate învățării școlare din următoarele considerente:

Jocul didactic este calea spreapariția motivației intrinseci în învățare pentru că:

Angajază afectiv și atitudinal elevii;

Stimulează interesul cognitiv al școlarului mic;

Mobilizează resursele psihice ale copiilor;

Asigură participarea creatoare a elevilor în rezolvarea sarcinii didactice.

Jocul didactic este un mijloc eficient de activizare a întregii clase prin conținutul său și modul de desfășurare pentru că:

Dezvoltă spiritul de echipă;

Formează, consolidează și dezvoltădeprinderi de muncă organizată;

Stimulează puterea de cointeresare și investigație continuă (prin elemente de joc);

Sunt valorizate elementele pozitive ale fiecărui elev.

Valorificarea jocurilor didactice matematice la maximum, în formă individuală sau de grup trebuie să se realizeze în funcție de particularitățile de vârstă și individuale ale școlarilor mici.

Titlul jocului: Ghicește unde s-a ascuns iepurașul

Scopul:

recunoașterea figurilor geometrice;

folosirea corectă a denumirii acestora;

recunoașterea culorilor.

Material: figuri geometrice diferit colorate (pătrat, cerc, oval, triunghi); un iepuraș decupat.

Desfățurarea jocului:

Figurile geometrice vor fi așezate pe flanelograf în coloană, una sub alta, în linie orizontală sau împrăștiate (având spațiu suficient între ele) la mijlocul flanelografului.

În partea dreaptă a coloanei stă un iepuraș.

Figurile pot fi așezate și într-un rând orizontal, iar iepurașul într-un colț al flanelografului.

Elevii sunt numiți vânători. Iepurașul mânuit de conducător se ferește de vânători, fuge și se ascunde în stânga după una din figuri.

Conducătorul jocului întreabă:

Unde s-a ascuns iepurașul?

Elevul trebuie să răspundă:

Iepurașul s-a ascuns după: pătrat, dreptunghi, triunghi, cerc, oval. Această figură geometrică are culoarea …

III.4. Etapa finală

Constă în:

relevarea modului de evoluție a eșantionului de studiu în diferite faze ale experimentului;

compararea datelor finale despre nivelul de pregătire al elevilor cu cele de start la ambele categorii de eșantioane

stabilirea eficienței noii modalități de evaluare diferențiate.

Titlul jocului: Jocul figurilor gemetrice

Scopul jocului: formarea deprinderii de a desena figuri geometrice cu creta pe tablă

Desfășurarea jocului:

1. Se împarte elevii pe două grupe. Se împarte de asemenea și tabla în două părți.

2. La comanda învățătorului, câte un elev din fiecare grupă trece la tablă și desenează câte un cerc.

3. Grupa care are cele mai reușite cercuri este câștigătoare.

Rezultatele investigației clasei:

Din analiza structurală a eșantionului investigat am observat următoarele caracteristici ale grupei.

Tabelul 1. Reprezentarea numărului de subiecți pe sexe

CLASA I B

Tabelul 2. Reprezentare tabelară a rezultatelor obținute de către elevi la disciplina matemaică

Figura 1.

CONCLUZII

Închei prin a-mi exprima punctul de vedere în ceea ce privește atât importanța studierii geometriei, cât și a matematicii încă din clasele primare.

Adaptarea procesului instructiv-educativ la particularitățile de vârstă și individuale ale copiilor este conceptul cheie la care s-a ajuns, ponind de la ideea lui J.Amos Comenius, conform căreia „din instrucția pentru oameni nu trebuie exclus nimeni, decât neoamenii”. Același autor afirma în opera „Didactica Magna” că „este imposibil de a găsi o minte atât de redusă, căreia educația să nu-i poată fi de ajutor”.

În zilele noastre societatea are nevoie de un om cu gândire creatoare, inventiv, explorator, îndrăzneț, de aceea este necesară modernizarea matematicii, perfecționarea învățământului în vederea sporirii eficienței sale formative. Dar nu orice perfecționare, orice introducere a noului înseamnă modernizare, ci căutarea de noi mijloace, folosirea celor existente cu scopul de a mări eficiența, de a asigura calitatea însușirii, de a forma oamenii capabili să stăpânească cunoștințele și deprinderile necesare și să le poată aplica în viață, în producție.

Prin activități practice se va contura un circuit continuu, din care, elevul va ieși, sperăm, biruitor.

BIBLIOGRAFIE

Cosminovici Andrei, Iacob Luminița,Psihologie școlară, Ed. Polirom, Iași

Elena Simionică, Veronica Anton- Caietul învățătorului

Dascălu Gheorghe, Horia Radu, Tagirta Virgil, – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Manual pentru liceele pedagogice, Ed. Didactică și Pedagogică, 1988;

Dumitru Alexandrina, Herescu Gheorghe- Matematica- manual clasa I, Ed. ARI-PRESS, București, 1996;

George Viorel Dumitru, Mihail Roșu, Matematică distractivă, Ed. ALL, 2000;

Miron Ion, Ion Radu, Didactică modernă, Ed. Dacia

Mihail Roșu, Metodica predării matematicii în ciclul primar

Neacșu Ioan, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Ed. Didactică și pedagogică, 1988;

Pacerca Ștefan, Mariana Mogoș, Matematică- manual pentru clasa a IV-a, Ed. ARAMIS, 2006;

Târcovnicu Victor, Popeangă Vasile- Pedagogie generală- Manual pentru Liceele Pedagogice, E.D.P., București, 1975;

BIBLIOGRAFIE

Cosminovici Andrei, Iacob Luminița,Psihologie școlară, Ed. Polirom, Iași

Elena Simionică, Veronica Anton- Caietul învățătorului

Dascălu Gheorghe, Horia Radu, Tagirta Virgil, – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Manual pentru liceele pedagogice, Ed. Didactică și Pedagogică, 1988;

Dumitru Alexandrina, Herescu Gheorghe- Matematica- manual clasa I, Ed. ARI-PRESS, București, 1996;

George Viorel Dumitru, Mihail Roșu, Matematică distractivă, Ed. ALL, 2000;

Miron Ion, Ion Radu, Didactică modernă, Ed. Dacia

Mihail Roșu, Metodica predării matematicii în ciclul primar

Neacșu Ioan, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Ed. Didactică și pedagogică, 1988;

Pacerca Ștefan, Mariana Mogoș, Matematică- manual pentru clasa a IV-a, Ed. ARAMIS, 2006;

Târcovnicu Victor, Popeangă Vasile- Pedagogie generală- Manual pentru Liceele Pedagogice, E.D.P., București, 1975;