Metode Si Tehnici Specifice Folosite In Predarea Invatarea Problemelor de Matematica

ARGUMENT

Importanța temei

Importanța acestei temei pentru cercetare Metode și tehnici specifice folosite în predarea – învățarea problemelor de matematică, este de a identifica cât mai multe aspecte referitoare la cunoașterea și stimularea capacității creative a școlarului mic. Rolul cadrului didactic este acela de a întări ideea că matematica prin efort disciplinar, prin logica relațiilor inteligent propuse sau descoperite, poate fi înțeleasă inteligent.

Această temă este importantă pentru că activitatea de rezolvare de probleme are bogate valențe formative, astfel încât se pot valorifica atât cunoștințele pe care elevul le stăpânește, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia.

Strategiile didactice ocupă o poziție privilegiată în cadrul factorilor care sunt responsabili pentru succesul școlar al elevilor. Ele scot în evidență capacitatea cadrului didactic cu care își alege și combină metodele, procedeele și mijloacele de instruire într-o anumită ordine, faptul cum își grupează elevii, cum își selectează și structurează conținutul științific în funcție de obiectivele pe care și le propune.

În plan didactic, strategia didactică face parte din arta învățătorului de a conduce, de a rezolva situații de instruire. Matematica operează cu cel mai mare număr de algoritmi pe care elevii îi învață sub forma noțiunilor, regulilor, definițiilor de aceea prin prezenta lucrare metodico–științifică doresc să scot în evidență importanța pe care am acordat-o strategiilor algoritmice folosite în cadrul orelor de matematică în vederea optimizării procesului instructiv-educativ. Aceasta înseamnă o permanentă preocupare a cadrului didactic pentru a găsi noi modalități de lucru, cât mai eficiente.

Obiectivele lucrării

Obiectivele lucrării sunt de natură științifică privind creșterea și dezvoltarea școlarului mic, noțiunea de strategie didactică; metodică privind formarea conceptului de număr natural plecând de la elementele de logică matematică, mulțimi până la formarea bazelor psihopedagogice ale rezolvării problemelor de matematică folosind metode și procedee algoritmice; cercetarea pedagogică efectuată pe două clase de elevi, una experimentală și una de control desfășurată în trei etape: inițială, formativ-ameliorativă, finală.

Lucrarea are o structură axată pe organizarea unei cercetări pedagogice. Scopul cercetării pedagogice în această lucrare este dobândirea cunoștințelor de către elevi privind operațiile matematice prin modul în care cadrul didactic își alege strategiile didactice în procesul instructiv-educativ. În acest fel i se dă elevului posibilitatea de a transforma cunoștințele pasive în cunoștințe active și îl favorizează în descoperirea de noi noțiuni și folosirea acestora în activitatea practică.

Elementele de noutate și originalitate

Elementele de noutate și originalitate folosite în lucrare sunt exemplele de exerciții și probleme date pentru fiecare tip de problemă și metodă de rezolvare a lor, iar partea de cercetare are și ea originalitatea ei fiind aplicată pe o clasă de elevi, clasă experimentală, clasa mea de elevi, și o clasă de control.

Structura lucrării

Capitolul I Noțiuni de pshihopedagogie a vârstei preșcolare. Particularități în învățarea matematicii,capitol care cuprinde la rândul lui 2 subcapitole:

1. Psihologia copilului școlar în care va fi analizată dezvoltarea fizică, intelectuală și motrică a acestuia;

2. Strategii diactice în care vor fi detaliate aspecte privind rolul, importanța și locul metodelor, mijloacelor, formelor de organizare și a tehnicilor de formare a noțiunilor matematice în învățământul preșcolar.

Capitolul 2. Noțiuni elementare de matematică necesare formării capacității de înțelegere a conceptele din mulțimea numerelor naturale cuprinzând o fundamentare științifică privind formarea conceptului de număr cardinal și ordinal, a operațiilor cu numere naturale și a metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică.

Capitolul 3. Metodologia cercetării constatativ ameliorative, care   urmărește cercetarea constatativ ameliorativă de tip experimental realizată prin metoda testelor și a jocului didactic. Experimentul va fi implementat pe două eșantioane: unul experimental și unul de control sau martor. Cele două eșantioane sunt comparabil asemănătoare ca nivel de învățare, dezvoltare intelectuală. Concluziile desprinse vor fi utilizate în optimizarea strategiilor de instruire și educare a școlarilor privind metodele și tehnicile specifice folosite în predarea – învățarea problemelor de matematică.

Capitolul 4. Vom analiza, prelucra și interpreta, rezultatele obținute în urma experimentului. Fiecare activitate instructiv educativă care se desfășoară în învățământul primar are menirea de a construi și reconstrui logic și progresiv în structurile mentale ale școlarului un sistem de cunoștințe științifice care să se apropie de logica științei respective.

Practica pedagogică oferă nenumărate posibilități de cercetare, deoarece ea presupune confruntarea cu o gamă largă de probleme la care trebuie găsite sugestii, soluții,pentru a fi rezolvate. Este imperios necesară cunoașterea școlarului mic, deoarece ea reprezintă activitatea sistemică și continuă prin care se culeg date referitoare la particularitățile de vârstă și individuale ale copiilor. Pe baza argumentării teoretice desprinse din literatura de specialitate și valorificând propria experiență didactică desfășurată cu școlarii, mi-am propus realizarea unei cercetări, centrată pe formarea înțelegerii conceptului de număr cardinal și ordinal precum și importanța și locul metodelor, mijloacelor, formelor de organizare și a tehnicilor de rezolvare aproblemelor de matematică din învățământul primar.

Voi pleca astfel de la premisa că, dacă voi utiliza metode, mijloace, forme de organizare în activitatea instructiv – educativă din școală, în special în rezolvarea problemelor de matematică, rezultatele obținute sub forma conceptelor și noțiunilor matematice vor fi însușite corect și va fi influențată pozitiv dezvoltarea unor subsisteme ale vieții psihice a școlarului, gândirea, memoria, imaginația , atenția. Voi ține seama de particularitățile de vârstă și voi desfășura activități diferențiate pentru a valorifica integral potențialul fiecărui elev.

Cercetarea de tip experimental va fi realizată la clasele a III-a, un grup martor și unul experimental, prin metoda testelor și va cuprinde :

1. testul inițial aplicat ambelor clase și care va cuprinde: sarcinile de lucru, obiectivele de evaluare, itemi, punctajul obținut ;

2. testele formative realizate doar pe lotul experimental și care vor urmări ameliorarea rezultatelor nesatisfăcătoare în cadrul testului inițial. De asemenea vor fi precizate măsurile ameliorative care se impun.

3. testul final care va fi aplicat la ambele eșantioane.

Rezultatele fiecărui test vor fi trecute într-un tabel analitic prin procente și interpretat statistic prin diagrame, histograme, poligoane de frecvență. Cunoașterea și interpretarea rezultatelor obținute de elevi, îmi va da posibilitatea să-mi reglez și ameliorez activitatea didactică, oferindu-mi date referitoare la punctele tari și lacunele școlarilor, în perspectiva obiectivelor, diagnosticarea dificultăților întâmpinate de elevi în rezolvarea problemelor de matematică, identificarea problemelor care mai necesită explicații suplimentare, îmi va sugera modificări care se vor impune în activitatea imediat următoare.

Metodele de lucru au menirea de a fi un instrument important care să permită trecerea din planul design-ului instrucțional într-un complex, al acțiunii de rezolvare a problemelor de matematică.

Acestea ridică gradul de interes din partea copiilor, în ceea ce privește participarea activă la lecții, stimulându-i în realizarea conținuturilor și aplicarea lor în viața reală.

La sfârșitul lucrării vor fi anexate testele inițiale, formative și finale aplicate celor 2 eșantioane, unul din proiectele de activitate, pe care l-am susținut în cadrul inspecțiilor curente.

CAPITOLUL I

PROFILUL PSIHOLOGIC AL COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ

I.1. Caracterizarea generală a proceselor cognitive

Profilul psihologic este o expresie cantitativ – calitativă a totalității componentelor, proceselor și însușirilor psihice, precum și a relațiilor inter-funcționale dintre acestea, caracteristice unei anumite etape din dezvoltarea ontogenetică a copiilor și diferențiate de la un individ la altul (Nicola, I.,1994, p. 89).

În caracterizarea acestei vârste, trebuie să ținem seama că în jurul vârstei de 6-7 ani, în viața copilului are loc un eveniment deosebit și anume intrarea la școală. Vârsta școlară se constituie ca un stadiu nou, calitativ superior, bazat pe achizițiile anterioare, pe experiența cognitivă a copilului pe care o valorifică și o restructurează, în funcție de noile dominante psihofizice și noile solicitări ale mediului (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p.23 ).

P. Osterrieth realizează următoarea caracterizare a acestui stadiu:

-6 ani – vârsta extremismului, a tensiunii și agitației;

-7 ani – vârsta calmului, a preocupărilor interioare, a meditației, în care apare pentru prima dată interioritatea, una din trăsăturile dominante ale stadiului următor;

-8 ani – vârsta cosmopolită, a expansiunii, a extravaganței, a interesului universal;

-9 ani – vârsta autocriticii, a autodeterminării ibidem, p. 24);

– vârsta de 10 ani, cu echilibru, cu buna sa adaptare, cu calm, dar însuflețită cu siguranță, cu ținută lipsită de încordare, constituie pe drept cuvânt, apogeul copilăriei, momentul de deplină înflorire și deplină integrare, a caracteristicilor copilului mare (Crețu, T., 2005, p. 108).

La rândul său, M. Debesse caracterizează vârsta școlară ca vârsta rațiunii, vârsta cunoașterii, vârsta socială (apud, Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 24).

Profilul psihologic este un punct de plecare în activitatea educativă cât și rezultatul acțiunii educaționale. Vârsta școlară este o etapă cu posibilități de adaptare mai ușor de realizat. Profilul vârstei școlare mici începe la 6-7 ani, când este începutul vârstei școlare și aceasta durează până la 10-11 ani, când copilul a terminat clasa a IV- a. Această perioadă este numită a treia copilărie. În acest proces domină acumularea de cunoștințe, organizarea procesului de învățare reciprocă și sistematică. Relațiile dintre copii, dintre copii și învățător, dar și cele dintre copii și părinți sunt influențate și mijlocite de performanțele școlare.

La intrarea copilului în școală, învățarea este pe primul loc, relațiile dintre copii sunt cele de competiție și de colaborare. Odată cu intrarea copilului la școală, școala îi atrage pe părinți, îi supune unui fel de reînvățare. Procesul acesta îi creează copilului condiții mai accesibile la greutățile vieții școlare.

Școala își exercită calitatea de formatoare asupra evoluției psihice a copiilor. Au loc transformări importante în sfera motivațională, cognitivă, volitivă și caracterială. La această vârstă se evidențiază dezvoltarea fizică, prin creșterea în greutate și în înălțime, se dezvoltă sistemul muscular.

Personalitatea – copilului de vârstă școlară mică devine mai importantă, are un rol mai bine definit. În jurul vârstei de 6-7 ani, în caracterizarea copiilor de vârstă școlară mică are loc un moment deosebit și anume intrarea la școală. Toată dezvoltarea psihică și fizică este coordonată de acest fapt, un prag important în viața copiilor.

Personalitatea școlarului mic progresează în sensul consolidării și formării de noi însușiri caracteriale și a cristalizării mai clare a imaginii de sine (Crețu, T., 2005, p.125).

Vârsta școlară este o treaptă importantă bazată pe cunoștințele anterioare, pe experiența copilului, această experiență cognitivă este valorificată în funcție de ceea ce îi solicită mediul înconjurător. Se intensifică mecanismul socializării, se contureazează până la 10-11 ani, când copilul a terminat clasa a IV- a. Această perioadă este numită a treia copilărie. În acest proces domină acumularea de cunoștințe, organizarea procesului de învățare reciprocă și sistematică. Relațiile dintre copii, dintre copii și învățător, dar și cele dintre copii și părinți sunt influențate și mijlocite de performanțele școlare.

La intrarea copilului în școală, învățarea este pe primul loc, relațiile dintre copii sunt cele de competiție și de colaborare. Odată cu intrarea copilului la școală, școala îi atrage pe părinți, îi supune unui fel de reînvățare. Procesul acesta îi creează copilului condiții mai accesibile la greutățile vieții școlare.

Școala își exercită calitatea de formatoare asupra evoluției psihice a copiilor. Au loc transformări importante în sfera motivațională, cognitivă, volitivă și caracterială. La această vârstă se evidențiază dezvoltarea fizică, prin creșterea în greutate și în înălțime, se dezvoltă sistemul muscular.

Personalitatea – copilului de vârstă școlară mică devine mai importantă, are un rol mai bine definit. În jurul vârstei de 6-7 ani, în caracterizarea copiilor de vârstă școlară mică are loc un moment deosebit și anume intrarea la școală. Toată dezvoltarea psihică și fizică este coordonată de acest fapt, un prag important în viața copiilor.

Personalitatea școlarului mic progresează în sensul consolidării și formării de noi însușiri caracteriale și a cristalizării mai clare a imaginii de sine (Crețu, T., 2005, p.125).

Vârsta școlară este o treaptă importantă bazată pe cunoștințele anterioare, pe experiența copilului, această experiență cognitivă este valorificată în funcție de ceea ce îi solicită mediul înconjurător. Se intensifică mecanismul socializării, se conturează sentimentele sociomorale, școlarul mic manifestându-și deplin trebuința de apartenență la grup, de prietenie și cooperare.

Dezvoltarea proceselor cognitive inferioare-senzații, percepții, reprezentări. Această perioadă se caracterizează prin auditivă, vizuală, se dezvoltă percepția, se formează noi scheme de gândire logică, de analiză a timpului și spațiului. Au loc transformări cum ar fi: dezvoltarea sensibilității, însușirea unor moduri de orientare, a unor procedee de explorare, se formează unele structuri perceptive. În acest mod se face trecerea de la forme ușoare, la cele mai complexe. Copii de vârstă școlară mică au o receptivitate mult mai ridicată față de mediul înconjurător. Atunci când intră la școală copilul are o serie de reprezentări despre anumite obiecte, despre fructe, legume, animale.

Dezvoltarea proceselor superioare cognitive. Gândire, memorie, imaginație, limbaj. Dezvoltarea intelectuală este următorul salt al școlarilor mici.

Memoria – procesul psihic complex de întipărire, stocare și reactualizare activă, selectivă și inteligibilă a informației achiziționate (Dumitriu, Gh., 2004, p.120), prezintă între 6 și 10 ani următoarele caracteristici:

– crește caracterul activ al memoriei prin faptul că, mai ales elevii de clasa a II-a și a IV-a tind să extragă din materialul de învățat ceea ce este important și reușesc să scoată ideile principale, să alcătuiască planul unei lecturi, planul de rezolvare a unei probleme etc..

( Gh. Dumitriu, C. Dumitriu, Psihologia procesului de învățământ, E.D.P., București, 2004)

– se accentuează caracterul voluntar și conștient al proceselor memoriei, dezvoltându-se astfel formele mediate, logice ale memoriei, precum și volumul, trăinicia memorării;

– realizarea unei mai bune legături cu gândirea și creșterea rolului memoriei logice;

– încep să apară particularități individuale în realizarea memoriei, referitoare la ușurința memorării la trăinicia păstrării și reactualizarea promptă.

. Preșcolarul mic reține cu mai multă ușurință culorile, formele decât definițiile și explicațiile. Câteodată aceștia au tendința de a memora mecanic anumite cerințe. Învățătorul trebuie să aibă în vedere calitatea memoriei, volumul, trăinicia, rapiditatea, aceste calități pot fi perfecționate, știind că la această vârstă are loc creșterea volumului de memorie

Imaginația se află într-o legătură puternică cu limbajul și gândirea . Pe măsură ce copilul este mai evoluat în plan mintal, are un vocabular bogat de noțiuni, cunoștințe, imaginația lui va fi mai bogată în elemente. Este valorificată imaginația reproductivă. Imaginația creatoare se află într-o legătură puternică cu imaginația reproductivă. Imaginația este o cauză a gândirii și un rezultat al acesteia. Începutul școlarității se caracterizează printr-o imaginație cu un conținut mai redus, dar pe parcursul înaintării în vârstă aceasta este mai bogată.

Limbajul este activitatea psihică individuală de comunicare a mesajului prin intermediul unor ansambluri de coduri, semne și simboluri. Cu ajutorul limbajului, oamenii schimbă idei, informații, emoții, sentimente și imagini, își reglează comportamentele, interacționează în situații sociale și rezolvă diferite probleme (Dumitriu, Gh., 2004, p. 94).

Principala caracteristică este aceea că limba devine un obiect de învățare. Dezvoltarea limbajului este procesul interacțiunii psihosociale, verbale, care se desfășoară sistematic, continuu, între adulți și copii.

De altfel, nu poate avea loc o achiziție a competențelor lingvistice, matematice, științifice, a procedeelor de gândire în afara procesului de comunicare interpersonală, a schimbului de mesaje cu părinții și educatorii (Dumitriu, Gh., 2004, p. 132).

Studiul matematicii, începând cu clasa I, oferă elevilor posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural dar și a operațiilor cu numere naturale. Pe parcursul ciclului primar, limbajul matematic se îmbogățește. Se organizează activități cu obiecte, cu simboluri neconvenționale, iar apoi cu simboluri convenționale.

Prin dezvoltarea limbajului, copilul își mărește posibilitățile generale de a învăța, de a acumula cât mai multă experiență socială și culturală, își formează personalitatea, conștiința de sine și de altul, se împlinește ca ființă umană (Dumitriu, Gh., 2004, p. 119).

1.2. Gândirea, proces intelectual de prelucrare a informațiilor

1.2.1. Definirea gândirii

Procesul gândirii, exprimat prin noțiuni, judecăți și raționamente, se dezvoltă la elevi cu precădere prin intermediul învățării școlare, prin solicitarea permanentă la lecții, prin activitatea sistematică de cunoaștere riguroasă a realității (Dumitriu, Gh., 2004, p.91).

Gândirea bazată pe intuiție cedează în fața gândirii operatorii, procedeele de intuiție ale copiilor de vârstă școlară mică sunt înlocuite cu gândirea abstractă, logică. Operațiile care substituie intuiția se desfășoară în plan mintal dar mai sunt încă legate de acțiunea cu obiectele.

În procesul de învățare cognitiv elevul pleacă de la un bagaj de cunoștințe bazat pe fapte, dar datorită operațiilor de generalizare și abstractizare ale unor clase de obiecte, concepte, fenomene, relații. La clasele I-IV în procesul de predare-învățare a disciplinei, matematica se ține cont de efectuarea în primă fază a unor acțiuni concrete, acestea devin ulterior operații abstracte, logice. Trebuie respectate de către învățător mai multe cerințe ce privesc intuiția, folosirea rațională a materialului didactic necesar, să-l solicite pe elev în organizarea unor variate activități. De aceea, procesul de predare – învățare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, adică operații cu obiectele, care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv, operații logice, abstracte.

Gândirea se delimitează de alte procese psihice. Ea presupune o mulțime de operații: – interpretarea situațiilor; – procurarea informațiilor;

P.P. Neveanu, Ursula Șchiopu, Rodica Demetrescu, M. Zlate, . Cosmovici, au acordat spații extinse problematicii gândirii Există un acord puternic între autor în ce privește recunoașterea locului central ocupat de gândire în procesul cunoașterii, a rolului enorm pe care gândirea îl joacă în plan general al activității umane). Gândirea antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice în rezolvarea procesului cunoașterii. Ea orientează, conduce, valorifică maximal toate celelalte procese și funcții psihice. Gândirea este un proces complex care prin intermediul abstractizărilor și generalizărilor coordonate în acțiuni mintale extrage și prelucrează informații despre însușirile esențiale și necesare ale obiectelor și fenomenelor și despre relațiile lor determinative.

Argumente referitoare la centralitatea gândirii:

este definitorie pentru om ca, subiect al cunoașterii logice, raționale;

valorifică resursele celorlalte funcții și procese psihice pe care le orientează și coordonează;

au un caracter procesual și exprimă caracterul infinit al cunoașterii umane;

1.2.2. Caracterizarea gândirii

Gândirea este un proces psihic prin care se realizează o reflectare generalizată și mijlocită, indirectă a realității, o serie de operații care duc la dezvăluirea unor importante aspecte ale realității. Între subiect și realitatea obiectivă se interpune conceptul, experiența anterioară cristalizată prin cuvânt. Rezultatul acestui proces este ideea.

Ideea nu se referă numai la raportarea unor imagini psihice, dar și la explicitarea lor,. Ceea ce în plan psihic reprezintă ideea, în plan logic apare ca judecată, raționament, în plan lingvistic ca propoziție.

Gândirea este un sistem ordonat de operații, de prelucrare, interpretare și valorificare a informațiilor, bazat pe principiile abstractizării, și anticipării, și subordonat sarcinii alegerii alternative, optime din mulțimea celor inițial posibile.

Se pendulează în psihologia gândirii actuale două tipuri de definiții Richard. E. Mayer se referă la trei ipostaze ale gândirii :

gândirea este cognitivă, apare intern în minte și în sistem cognitiv;

gândirea este un proces care implică o mulțime de operații asupra cunoștințelor din sistemul cognitiv;

gândirea este direcționată, ea rezultă și în comportament;

1.2.3. Operațiile fundamentale ale gândirii

Psihologia studiază operațiile gândirii ca instrumente psihice dobândite și perfecționate prin învățare, dezvoltare individuală, exerciții. Operațiile gândirii analizate de multe ori în cupluri operatorii, se completează reciproc, analiza și sinteza, abstractizarea și generalizarea, concretizarea logică, comparația, și particularizarea.

Analiza – este operația fundamentală a gândirii prin care se separă mintal însușiri ale fenomenelor, obiectelor, elementelor și cercetarea lor separată. Această operație permite delimitarea esențialului de neesențial, a necesarului de întâmplător. Analiza selectează însușirile interne, proprii obiectului și elimină însușirile neesențiale, accidentale, ce le acoperă.

Sinteza – operația fundamentală a gândirii prin care se reunește și regrupează părțile componente ale întregului. Este o operație ce presupune relaționarea logică a însușirilor obiectului, include obiectul gândit într-o clasă de obiecte.

Abstractizarea – operația fundamentală a gândirii, constă în reținerea pe plan mintal a ceea ce este important, definitoriu. Gândirea trece de la concret la abstract și de la variabil la invariabil. În psihologia cognitivă abstractizarea este asimilată atenției selective. Este prezentată într-o mulțime de sarcini, simple, complexe, cum ar fi criterii, sarcinile de modificare a clasificărilor, – urmăresc regruparea elementelor clasificate, după un alt criteriu decât cel anterior, sarcinile de rezolvare a problemelor- importantă este capacitatea de a face abstracție de informațiile nepertinente, irelevante.

Generalizarea – operația fundamentală a gândirii de extindere, pe pln mintal a unei însușiri de la un grup la toate grupurile de același fel. Generalizarea mentală, constituie permisa cunoașterii teoretice, soluționarea unei probleme teoretice, raportarea nu doar la cazul particular, ci și la raportarea ei la cazurile asemănătoare. O condiție importantă și necesară pentru stimularea și declanșarea generalizării o reprezintă flexibilitatea gândirii. Un important rol îl au transferul, înțeles ca o extensie în plan mintal a informațiilor concentrate asupra întregii clase, fenomene și obiecte. O mare importanță o are generalizarea conceptuală, care se referă la posibilitatea aplicării la o multitudine de obiecte și la o întreagă clasă de elemente.

Comparația – operația prin care se stabilesc în plan mintal asemănările și deosebirile dintre fenomene și obiecte.

Concretizarea – operația opusă abstractizării, aspectele generale se realizează prin luarea în considerare a însușirilor particulare, este un efort al gândirii de a pătrunde în concretența obiectelor și fenomenelor.

Particularizarea – operație opusă generalizării, constă în individualizarea unui obiect, fenomen,. Sistematizarea reprezintă operația gândirii, cu ajutorul ei cunoștințele asupra obiectelor,al fenomenelor se orientează și se leagă într-un sistem.

1.3. Metode didactice pentru o învățare eficientă folosite în predarea – învățarea matematicii.

1.3.1. Definiții. Funcții pedagogice ale metodelor

Metodele de învățământ (“odos” = cale, drum; “metha” = către, spre) sunt căile ce se folosesc în școală de profesor, pentru a-i ajuta pe elevi să descopere viața, lumea, natura, știința, lucrurile. Sunt mijloace prin care se dezvoltă deprinderile, priceperile și capacitățiile elevilor.

Metoda de învățământ este o modalitate comună de acțiune a cadrului didactic și a elevilor pentru realizarea obiectivelor pedagogice. Deci metoda este un mod de a proceda care tinde să plaseze elevul într-o situație de învățare, mai mult sau mai puțin dirijată.În unele situații, metoda poate deveni un procedeu în cadrul altei metode. Metodele de învățământ sunt baza strategiilor didactice, ele se găsesc într-o strânsă relație cu mijloacele de învățare. Metodele de învățare fac parte din condițiile învățării, și determină eficiența acestora. Alegerea metodelor corespunzătoare în fiecare activitate didactică este foarte necesară.

Sistemul metodelor de învățământ conține:

– Metode clasice cu un larg istoric, în școală, ele pot fi păstrate cu condiția adaptării la schimbările învățământului modern.

– Metode moderne – acestea î-l pun pe elev în situații de a dobândi cunoștințe prin efortul propriu, iar altele valorifică tehnica modernă. Eficiența acestor metode reprezintă valențele formative, impactul asupra dezvoltării personalității la elevi.

Funcțiile metodei se structurează astfel:

1.Funcția cognitivă- este o funcție de organizare și dirijare a învățării. Ea traduce în act de cunoaștere o acțiune a unui învățător în plan mental, după un anumit scenariu, transformă în experiențe de învățare obiective de ordin cognitiv.

2.. Funcția formativ- educativă contribuie la realizarea obiectivelor din latura atitudinală și operatorie. Metodele elaborează și exersează funcții fizice și psihice, conduc la formarea unor noi aptitudini, comportamente și capacități.

3. Funcția operațională favorizează realizarea obiectivelor

4.Funcția normativă, ne arată modul în care trebuie să se predea, cum se procedează și permite învățătorului corectarea, dirijarea și reglarea acțiunii instructive.

Funcția normativă și cea operațională constituie funcții de organizare, ele acționează asupra actului instructiv. Așadar, demonstrația, conversația, exercițiul prin utilizarea lor în exersarea unor deprinderi și formarea unor capacități intelectuale, evidențiază funcția formativă și cognitivă.

1.3.2. Metode de activizare a elevilor folosite în cadrul lecțiilor de matematică

Metodele se compun din procedee ce sunt folosite în funcție de interesele și nivelul elevilor. Alegerea lor trebuie să se subordoneze conținutului, particularităților de vârstă și psihice ale elevilor, procesului instructiv. Reușita aplicării unei metode de învățare modernă sau clasică depinde în mare măsură de mijloacele de învățământ, de experiența didactică, de competența învățătorului. Metodele didactice permit accesul la cunoaștere, îndeplinesc funcții formativ – educative, cognitive, normative, instrumentale. Aceste metode duc la formarea deprinderilor cognitive și intelectuale, reușesc atingerea obiectivelor educaționale și clarifică acțiunile care duc la aceste rezultate.

Activizarea predării – învățării presupune utilizarea unor metode, procedee și tehnici, care-i antrenează pe elevi în procesul de învățare și urmărește stimularea creativității, dezvoltarea gândirii, interesului pentru învățare. Metodele moderne specifice învățării active pot fi utilizate cu succes și în cadrul orelor de matematică, precum: brainstorming-ul, ciorchinele, cubul, problematizarea, diagrama Wenn, cvintetul, metoda cadranelor

Conversația

Conversația este metoda care vehiculează cunoștințele prin intermediul dialogului discuțiilor sau dezbaterilor( Ioan Bontaș, 1994 , p.152). Această metodă se bazează pe întrebări și răspunsuri pe verticală între învățător și elevi, și pe orizontală între elevi. Întrebările se află la granița dintre cunoaștere și necunoaștere, dintre certitudine și incertitudine. Ea funcționează activ în orice situație de învățare având multe forme: conversația introductivă, îi pregătește pe elevi pentru începerea unor activități didactice, conversația ca mijloc de aprofundare a cunoștințelor, conversația pentru sistematizare și fixare a cunoștințelor, cea de verificare a cunoștințelor.

Întrebările și răspunsurile nu se mai constituie în serii sau lanțuri, fiecare întrebare și răspuns constituie un întreg, ce poate avea sau nu legătură cu întrebarea următoare. Întrebări specifice acestei conversații se găsesc în:

– reactualizarea conținuturilor: (Cum se numesc numerele care se înmulțesc?); (Dar rezultatul înmulțirii?)

– etapa discuțiilor pregătitoare (Ce este un triunghi? Ce triunghiuri cunoașteți?)

– pe parcursul transmiterii noilor cunoștințe (Care este numărul de 3 ori mai mare decât 5 ?)

– intensificarea retenției și a transferului (Ce înseamnă faptul că adunarea este comutativă ?)

– în fixarea, consolidarea și aplicarea cunoștințelor (Care sunt proprietățile adunării?)

Conversația euristică constă într-o serie de întrebări și răspunsuri în care elevii sunt dirijați să valorifice experiența cognitivă, să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de noi aspecte. Elevii sunt orientați către formularea unor concluzii, elaborarea unor definiții și desprinderea unor reguli. Această metodă este folosită în analiza sau explicarea metodei de lucru, în rezolvarea unor probleme matematice. La tema Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30 analiza problemei: Într-un tramvai erau 28 de călători. La prima stație au coborât 6. La a doua stație au urcat 13. Câți călători sunt acum în tramvai ?

Se realizează astfel:

Î1: Câți călători erau la început în tramvai ?

R1… 28 călători

Î2: Ce s-a întâmplat la prima stație?

R2: … au coborât 6 călători

Î3: Asta înseamnă că în tramvai vor rămâne mai mulți sau mai puțini călători?

R3: … mai puțini.

Î4: Prin ce operație vom afla câți călători vor rămâne în tramvai după ce au coborât 6?

R4: … prin scădere.

Î5: Cum?

R5: Din numărul călătorilor care erau la început scădem numărul călătorilor care au coborât: 28-6= 22 ;

Î6: Ce s-a întâmplat la a doua stație?

R6: … au urcat 13călători.

Î7: Asta înseamnă că în tramvai vor fi mai mulți sau mai puțini călători?

R7: … mai mulți.

Î8: Prin ce operație vom afla câți călători sunt după ce au urcat 13

R8: … prin adunare: numărul călătorilor care erau în autobuz îl adunăm cu numărul călătorilor care s-au urcat, 22+13= 35

Instrumentul de lucru al metodei – întrebarea – trebuie stăpânit și perfecționat continuu de fiecare cadru didactic. Întrebările trebuie să fie precise, în contextul conținutului, să fie exprimate concis, simplu și clar. Ele trebuie să vizeze un răspuns unic. De exemplu la întrebarea Cum sunt cele două mulțimi? , pusă cu intenția de a răspunde au tot atâtea elemente, elevii au dat următoarele răspunsuri: Sunt egale, Sunt albastre, necunoscând diferența mulțimilor egale sau referindu-se la culoarea pieselor din interiorul celor două mulțimi. Era corect dacă după utilizarea corespondenței se întreabă: Ce putem observa din corespondența celor două mulțimi?

Metoda conversației are o mare valoare formativă datorită introducerii și exersării limbajului specializat al matematicii , contribuind astfel la dezvoltarea personalității elevilor.

Pentru ca această metodă să contribuie la îndeplinirea sarcinilor instructiv-educative este necesar ca răspunsurile elevilor să fie clare, corecte, complete și precise.

Exercițiul

Exercițiul este modalitatea de efectuare repetată a acțiunilor de învățare teoretică și practică în vederea fixării și consolidării cunoștințelor dobândite și a formării și dezvoltării priceperilor și deprinderilor (Ioan Bontaș, 1994, p.182) Această metodă se bazează pe acțiuni intelectuale și motrice efectuate repetat și conștient, și are ca scop formarea priceperii și deprinderii. În cadrul orelor de matematică prin exerciții, ansamblul priceperilor și deprinderilor dobândite conduc la interiorizarea și automatizarea acestora, transformându-le în abilități. Abilitățile se dobândesc prin organizarea, conceperea, proiectarea, rezolvarea unor exerciții.

Abilitățile odată însușite asigură caracterul reversibil. În orele de matematică se rezolvă diferite tipuri de exerciții :

– după funcția îndeplinită : de bază, introductive și operatorii ;

– modul de rezolvare : calcul mintal, de calcul oral, calcul scris și scrise ;

– după gradul de intervenție a dascălului : semidirijată, dirijată și liberă ;

– după subiecții ce le rezolvă : frontale, individuale și în echipă ;

– după obiectivele urmărite : de completare, de ordonare, de calcul, comunicare,

compare, de autocontrol, formare a deprinderilor intelectuale, creativitate și de

rezolvare a problemelor.

Metoda – exercițiul este o metodă algoritmică, ce impune respectarea unor prescripții și duce spre o finalitate dinainte stabilită. Exercițiile sunt un instrument util în reținerea și fixarea cunoștințelor, metoda exercițiul se combină cu metode moderne de predare. Atunci când se introduc noțiuni noi, procedee noi, întâietate au exercițiile descrise de dascăl, descoperite de elevi, cu ajutorul dascălului. Atunci când dorim să efectuăm proba împărțirii cu rest, explicăm regula a=bxc+r, În literatura de specialitate se fac diferite clasificări ale exercițiilor în funcție de anumite criterii :

Exercițiile după forma lor, pot fi:

a) orale: – Numărați din 2 în 2, începând cu 0; – Care sunt succesorii numerelor de mai sus?

b) scrise.

După funcția îndeplinită, exercițiile se pot clasifică în:

-exerciții introductive:

– exercițiile de calcul mintal folosite la începutul orei de matematică;

– exercițiile de adunare repetată care pregătesc înțelegerea operației de înmulțire.

-exerciții de bază

– Scăderea cu trecere peste ordin: Rezolvați prin calcul în scris: 567 – 232= ; 768 – 543 =

– Împărțirea cu rest: Efectuați câtul și restul: 26 : 5 = ; 48 : 5 =.

– Ordinea efectuării operațiilor: Efectuați: 3 x 5 x 3 – 4 : 2 – 10 = .

– exerciții paralele, delegarea deprinderilor și cunoștințelor mai vechi cu cele noi:

– Împărțirea numerelor naturale de 2 cifre la un număr scris cu o cifră: Calculați, apoi faceți proba: 22 : 2 = .

– exerciții de creație:

– Compuneți exerciții de adunare și scădere cu trecere peste ordin, folosind numere mai mici decât 60.

După conținut, pot fi două categorii:

-exerciții motrice care duc spre formarea de deprinderi și priceperi în care predomină componenta motrică: – Scrieți 2 rânduri cu cifra 6.

– exercițiile operaționale, contribuie la formarea operațiilor intelectuale,

– Perimetrul pătratului: Calculează perimetrul unui pătrat cu latura de 6 cm După numărul de participanți pot fi: – exerciții individuale; – exerciții de echipă; – exerciții colective; – exerciții mixte.

După gradul de complexitate se diferențiază:

– exerciții simple: 4 + 6=;

– exerciții complexe: z : 13 = 7 rest 4;

– exerciții (tip olimpiadă): 257 : x = 8 rest 1.

3. Demonstrația

Demonstrația este o metodă de predare-învățare în cadrul căreia mesajul de transmis elevului se cuprinde într-un obiect concret, o acțiune concretă sau substitutele lor (Costică Lupu, 2006, p.90). Desenele pe tablă, trebuie să evidențieze elementul principal. La învățământul preșcolar se utilizează pe lângă obiectele concrete și obiecte semiconcrete, în învățământul primar, desenul are prioritate în predarea cunoștințelor geometrice.

Elevii trebuie să facă desene concrete, trebuie obișnuiți cu acest aspect. Când se desenează figuri spațiale, explicația dascălului trebuie să fie foarte utilă. Se pot folosi și alte materiale intuitive ca filmulețe didactice, planșe, machete. Ele pot fi folosite în diferite etape ale lecției. Pentru geometrie s-au construit materiale didactice. Tipuri de demonstrații :

Demonstrația cu obiecte în stare naturală are un caracter convingător, când se predau unitățile de măsură pentru lungimi, folosim centimetrul de croitorie, metrul de tâmplărie, ruleta.

Demonstrația cu acțiuni se face atunci când dascălul demonstrează elevului, iar scopul este transformarea acțiunii în deprindere. La geometrie pentru trasarea unui cerc dascălul demonstrează modul de folosire a instrumentelor geometrice la tablă, iar elevii în caiete.

Demonstrația se împletește într-un scurt timp cu exercițiul (Costică Lupu, 2006, p.91)

Demonstrația cu substitute – se folosesc scheme, liste, planșe, ca elevii să compună și să rezolve diferite probleme. Proprietățile adunării – asociativitatea și comutativitatea, și înmulțirea numerelor naturale, distributivitatea înmulțirii față de adunare se demonstrează folosind tabele.

Demonstrația de tip combinat – pentru a sugera operația de scădere, vin în fața clasei 6 copii( demonstrația cu obiecte ) 3 îi trimitem în bancă ( demonstrația prin acțiune ) în față rămân 3 copii. Deci 6-3=3. Demonstrația, are efect asupra reținerii cunoștințelor, înțelegerii și dezvoltării capacității de a observa sistematic, ordonat, de a exprima datele observației.

Valoarea unei demonstrații se răsfrânge asupra modului de gândire și de acțiune a elevilor, ea, trebuie făcută cu multă atenție.

În cadrul activităților matematice, explicația și demonstrarea se folosesc cu rezultate din cele mai bune ca metode de prezentare, explicare și demonstrare logică. În utilizarea metodei demonstrației combinată cu explicația învățătorul trebuie să folosească materiale didactice variate..

Exemplu: În formarea șirului crescător de la clasa I în Constituirea unor grupe de obiecte după anumite criterii se explică și se demonstrează în același timp ca suport procedeul de lucru pe bază de material intuitiv stabilindu-se că în formarea șirului crescător se pornește de la obiectul cel mai mic la cel mai mare, iar în formarea șirului descrescător se începe de la obiectul cel mai mare la cel mai mic ținându-se cont de formarea exercițiului de lucru de la stânga la dreapta.

Șir crescător Șir descrescător

4. Problematizarea

Problematizarea este modalitatea de a crea în mintea elevului o stare conflictuală intelectuală pozitivă, determinată de necesitatea cunoașterii unui obiect, fenomen, proces, sau rezolvării unei probleme teoretice sau practice pe cale logico- matematică și experimentală (Costică Lupu,2006,p.164).

Este una dintre cele mai utile metode, se vizează problema și rezolvarea ei, verificarea regulilor învățate ulterior, a unor algoritmi ce sunt utilizați în rezolvare. O situație – problemă desemnează o situație conflictuală, contradictorie ce rezultă din experiența anterioară cognitiv – emoțională și necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Conflictul acesta duce la crearea unor noi soluții, între cunoscut și necunoscut.

Etape posibile în abordarea unei situații problemă:

definirea scopului și a punctului de plecare

cunoașterea și selectarea informației

organizarea acesteia

transformarea acesteia – pe calea raționamentului, a inducției, deducției, utilizarea unor procedee paralogice

luarea deciziei

verificarea soluției și a rezultatelor.

Problematizarea are o valoare formativă:

– se consolidează structuri cognitive;

– se stimulează spiritul de explorare;

– se formează un stil activ de muncă;

– se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii

O situație problemă putem întâlni în predarea ordinii operațiilor. Anterior elevii și-au însușit cunoștințe în rezolvarea exercițiilor în care apar doar operații de ordinul I adică adunări și scăderi. Putem crea astfel o situație problemă:

Care este rezultatul corect? 2 + 5 x 5 -7 = 18 sau 20

Elevii vor rezolva operațiile în mod incorect în ordinea în care apar adică:

2 + 5 x 5 – 7 =7 x 5 – 7 = 35 – 7 = 28

Pentru a ieși din această dilemă se propune elevilor o problemă :

Andrei are 2 bomboane. El primește de la fiecare cei 5 prieteni câte 5 bomboane, și.îi dă sorei sale 7. Câte bomboane are acum Andrei? Se scrie rezolvarea acestei probleme sub formă de exercițiu, astfel încât vom obține rezultatul corect. Se poate observa că operația de înmulțire se rezolvă înaintea adunării..

Se poate observa că operația de înmulțire se rezolvă înaintea adunării. Se amintește și se extrage regula ordinii efectuării operațiilor. Problematizarea are o marea valoare formativă, se stimulează spiritul de explorare. Utilizarea metodei presupune o antrenare a personalității elevilor, a componentelor, afective, intelectuale și voliționale.

Studiul matematicii oferă multe posibilități pentru o instruire problematizată. Sunt date elevilor pentru rezolvare probleme care necesită independența și flexibilitatea gândirii.

Exemplu: Pe bancă sunt 4 creioane roșii și 8 creioane verzi. Din toate acestea Ionel a luat 7 creioane. Câte creioane roșii și câte verzi a putut lua Ionel?

Acest tip de problemă solicită gândirea și duc la dezvoltarea mobilității și supleții acesteia.

Exemplu: Colorați atâtea triunghiuri câte arată cifra. Scrieți în pătrat atâtea triunghiuri câte obiecte are mulțimea.

Elevii au multe ipoteze, dar numai unele sunt adevărate. Cadrul didactic trebuie să-i obișnuiască treptat pe copii să facă propuneri inteligente.

5. Brainstorming

Este o metodă de stimulare a creativității, brainstorming provine din engleză, brain (creier) și știm (furtună), ceea ce înseamnă furtună în creier, aflux de idei. Conform principiului cantitatea generează calitatea, pentru a ajunge la idei inedite este utilă o productivitate creativă mare. Atunci când în fața elevului așezăm două numere, și îi spunem să compună o problemă, în care să le integreze, apar în mintea elevului o mulțime de idei. Trebuie apreciat efortul fiecărui elev, să nu se înlăture nici o variantă spusă de ei.

Etapele metodei :

se alege o temă, se anunță sarcina de lucru ( grup de minim 10 elevi )

exprimarea trebuie făcută rapid, în faze concrete și scurte

se face o pauză de 15 minute pentru așezarea ideilor

se reiau ideile spuse

se afișează ideile de la fiecare, în forme cât mai originale

Învățătorul trebuie să-i încurajeze pe elevi, să stimuleze explozia de idei.

Exemplu :

Compuneți o problemă, folosiți numerele 22 și 4. Prin utilizarea acestei metode se urmărește participarea activă a tuturor elevilor, se analizează diferite situații, se iau decizii,în alegerea solușiilor optime.

6. Metoda instruirii programate

Această metodă organizează acțiunea didactică, aplică Instruirea programată numită și învățământ prin stimulare reprezintă o tehnică modernă de instruire, care propune o soluție nouă la problema învățării (Costică Lupu, 2006, p. 105).

principiul ciberneticii în activitatea de predare – învățare- evaluare. Procesul de învățământ valorifică unele principii cibernetice.

Principiul prelucrării și stocării informației, prin mecanisme de organizare a informației transmise.

Principiul autoreglării raporturilor dintre cauzele și efectele materialului prin mecanisme specifice.

Principiul asigurării concordanței dintre programarea externă și cea internă. Instruirea programată dezvoltă următoarele principii :

Principiul pașilor mici care asigură elevilor reușita și continuarea activității de predare- învățare- evaluare.

Principiul comportamentului activ urmărește efortul elevului în direcția înțelegerii, selecționării, și aplicării informației pentru elaborarea unui răspuns corect.

Principiul evaluării imediate, urmărește întărirea pozitivă sau negativă a elevilor în funcție de reușita, nereușita în îndeplinirea sarcinii de învățare. După parcurgerea fiecărei unități, elevul trebuie informat dacă a răspuns corect sau nu.

Principiul ritmului individual de învățare urmărește valorificarea și respectarea particularităților elevului. Învățarea asistată de calculator, ca metodă, recurge la mijloace care-i permit formarea competențelor și atingerea obiectivelor.

Mijloacele didactice sunt soft-urile didactice și programele de învățare. După funcția pedagogică clasificarea soft-urilor educaționale poate fi următoarea :

Soft-uri de exersare, ele intervin ca un supliment al lecției, îl ajută pe învățător să realizeze activități de exersare și permit elevilor să lucreze în ritm propriu.

Soft-urile interactive pentru predarea noilor cunoștințe, ele creează un dialog între elev și programul respectiv. Interacțiunea este controlată de computer sau de elevi. Un tutor preia una dintre funcțiile învățătorului, conduce elevul în asimilarea unor noi cunoștințe, în formarea anumitor deprinderi după o strategie bine stabilită de proiectantul soft- ului.

Soft-urle de simulare permit reprezentarea controlată a unui sistem real sau fenomen prin intermediul unui model analog de comportament.

Soft-urile pentru testarea cunoștințelor este gama cea mai variată.

Instruirea programată este o tehnică modernă de instruire, și propune o soluție nouă la problema învățării, instruirea se dirijează printr-un program pregătit iar elevul îl urmează independent. Programul este creat astfel încât elevul să-și autoregleze procesul de asimilare. Instruirea programată, din punct de vedere metodologic, ridică probleme legate de mijloacele instruirii programate și de organizare a lecției. Instruirea programată se realizează cu ajutorul calculatorului, îmbinarea ei cu alte metode, forme de organizare și mijloace didactice este o modalitate de consolidare și însușire a cunoștințelor (Costică Lupu, 2006, p.103)

Exemplu de soft educațional pentru matematică : ( Nuafragiați pe Insula Calculelor ) a fost elaborat de o echipă de metodiști, psihologi, programatori cu experiență. Programul accelerează consolidarea operațiilor de adunare și scădere la clasele I- a II- a.

7. Ciochinele

Este o metodă de predare – învățare care-i încurajează pe elevi să gândească deschis și liber. Ciorchinele este o metodă de căutare a accesului spre cunoștințe proprii, evidențiind modul de a înțelege un anumit conținut, o anumită temă Această metodă are rezultate deosebite și atunci când elevii lucrează în echipă. Aprobând și observând variantele colegului, elevii, își dezvoltă creativitatea și imaginația.. Prin întrebări învățătorul dirijează gândirea elevilor, schematizează cunoștințele, teoretice și matematice. Această tehnică fixează bine ideile și structurează informațiile, tehnica ciorchinelui se poate aplica individual dar și la nivelul întregii clase pentru consolidarea și sistematizarea cunoștințelor.

Exemplu:

8.Cubul

Este o metodă prin care se stimulează operațiile gândirii.Sarcinile de pe fețele cubului sunt : descrie,compară, explică, argumentează, analizează, aplică.

Etapele metodei: – se realizează un cub pe fețele căruia se notează – descrie, compară, analizează, asociază; – se anunță tema; – se împarte grupul în șase subgrupuri, fiecare examinează tema aleasă, scrisă pe una din fețele cubului.

1. Descrie – formele, mărimile, culorile ( sunt descrise corpuri și figuri geometrice) ;

2. Compară – ce este asemănător și ce este diferit;

3. Asociază – elevii fac legătura cu obiectele din mediul înconjurător;

4. Analizează – din ce e făcut, din ce se compune;

5. Aplică – la ce se poate folosi, ce se poate face cu el ?

6. Argumentează – enumeră o mulțime de motive care să sprijine afirmațiile;

forma finală se împărtășește elevilor;

lucrarea poate fi desfășurată pe pereții clasei sau pe tablă;

Exemplu (clasa a II-a):

1. Descrie importanța cifrei 3 în fiecare din numerele:378,534, 803, 333,

2. Compară numerele:654 și 321; 467 și 768; 675 și 987

3. Explică proprietatea adunării , comutativitate prin două exemple date .

4. Argumentează valoarea de adevăr a următorului calcul matematic, efectuează proba în

două moduri 963 – 425 =438

5. Analizează propozițiile de mai jos și anuleaz-o pe cea falsă: Termenul necunoscut al unei adunări se află prin adunare. Primul termen al scăderii, descăzutul se află prin adunare. Al doilea termen al scăderii, scăzătorul se află prin scădere.

6. Aplică proprietățile adunării pentru a rezolva exercițiul ..

9. Metoda cadranelor

Prin aplicarea acestei metode se urmărește implicarea elevilor în realizarea unei înțelegeri, a unui conținut informațional. Ea se poate folosi individual, frontal, în rezolvarea problemelor folosind metoda grafică. Fișa de lucru se împarte în patru cadrane :

textul problemei

reprezentarea grafică a problemei

rezolvarea ei

răspunsul problemei.

Exemplu:

10. Știu / vreau să știu / am învățat :

Se trece în revistă ce știu elevii, apoi se pun întrebări, găsirea răspunsurilor se găsește în lecția abordată. Etapele metodei :

– elevii formează perechi și fac o listă despre tot ce știu, despre tema dată. În acest timp, învățătorul desenează la tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu – ceea ce știu/ credeam că știu; Vreau să știu – ceea ce vrem să știm; Am învățat – ceea ce am învățat.

se solicită perechilor să prezinte ce au scris, se notează în coloana din stânga informațiile cu care sunt de acord

elevii elaborează o listă de întrebări

elevii identifică întrebările pe care le au, iar învățătorul le va pune în a doua coloană

elevii citesc textul

după citirea textului, se revine la întrebările puse în prima coloană

elevii fac comparații între ce cunoșteau și ceea ce au învățat prin lecturarea textelor

elevii compară ce cunoșteau

informațiile din prima coloană cu ceea ce au învățat – informațiile din a treia coloană.

Unele dintre întrebări ar putea rămâne fără răspunsuri și-ar putea apărea întrebări noi. Întrebările pot fi folosite pentru investigații individuale. Metoda aceasta poate fi utilizată în lecțiile de matematică referitoare la metode de rezolvare a problemelor.

11. Mozaicul

Este o metodă de învățare prin cooperare, se bazează pe împărțirea grupului de elevi în mai multe grupe, dirijate de învățător.

Descrierea metodei

Etapa I – Clasa se împarte în grupe de patru elevi, fiecare membru are un număr de la unu la patru. Fiecare membru al grupei primește o fișă care cuprinde o problemă și patru cerințe. Se discută conținutul problemei, se explică. Problema se dă la sfârșitul orei colegilor, cei care au numărul 1, primesc o parte, numărul 2 a doua parte ș.a.m.d.

Etapa II- Elevii sunt grupați în grupuri de 4 membrii și grupuri de experți- sarcina este să rezolve corect cerința.

Etapa III- După ce experții și-au încheiat lucrul, fiecare elev se întoarce la grupul său și predă conținutul pregătit. Elevii își notează nelămuririle și întrebările pe care le au în legătură cu rezolvarea problemei. La final, învățătorul, solicită elevii să prezinte oral fiecare cerință. Pentru atingerea feedbachului învățătorul aplică un test. Metoda prezintă avantaje, având un caracter formativ, dezvoltă gândirea logică, dezvoltă răspunderea de grup și individuală.

I.4. Specificul rezolvării problemelor de matematică în ciclul primar

I.4.1. Rezolvarea și compunerea de probleme ca instrumente în dezvoltarea creativității școlarului mic

George Polya în “Descoperirea în matematică” spune la un moment dat: “a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, a atinge o performanță specifică inteligenței… care este apanajul distinctiv al speciei umane”.

Facultățile creatoare se educă încă din clasa I. Predarea matematicii dispune de multiple posibilități privind educarea creativității și integrarea în problemele vieții. Lecțiile având un caracter practic aplicativ, aduc o contribuție însemnată în pregătirea elevilor în acord cu cerințele unui învățământ modern.

Rezolvarea problemelor are o contribuție valoroasă la dezvoltarea facultăților mintale, cu deosebire a gândirii, antrenând în cea mai mare măsură operațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.

În prima etapă învățătorul trebuie să urmărească asimilarea operațiilor, a unor reguli matematice, a algoritmilor care sunt de mai multe feluri:

de recunoaștere;

de lucru;

de control.

Cunoașterea și stăpânirea algoritmilor facilitează munca elevului și contribuie la dezvoltarea posibilității de a înțelege relații aritmetice, condiționează ordinea acestor reguli.

I.4.2.Noțiunea de problemă

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. În sens psihologic “o problemă” este orice situație, o dificultate, un obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat.

Polya George, “Descoperirea în matematică”, Editura Științifică, București, 1971, pag. 5.

În dicționarul limbii române cuvântul are mai multe definiții:

– problemă – obiect principal al preocupărilor cuiva: tema;

– problemă – sarcină, preocuparea majoră care cere o soluție mare, majoră;

– problemă enunț – conținând mai multe ipoteze, necesită de regulă una sau mai multe soluții care se pot obține pe baza unor calcule sau raționamente.

În matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și de calcul.

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice mai cunoscute, se cere determinarea acestor valori.

Problema se conturează într-o situație problematică atunci când intervine o discordanță între mijloace și scopuri, între posibilități și cerințe, iar rezolvarea nu poate fi obținută prin simpla asociere a datelor. Situația problemă presupune depășirea cunoștințelor, operațiilor rezolvării obișnuite. Ea implică o nouă restructurare și reformulare a condițiilor inițiale. Rămân încă condiții ascunse pe care elevul nu le poate sesiza decât printr-un efort de gândire și de reprezentare pe plan mintal.

Situațiile problemă apar atunci când elevii observă un dezacord între vechile cunoștințe și ceea ce li se cere să rezolve (știe să calculeze aria dreptunghiului, dar i se cere să calculeze aria paralelogramului); apar atunci când elevul este pus să aleagă dintre cunoștințele sale numai pe cele care îl ajută să rezolve o situație dată, atunci când există condiții între modul de rezolvare teoretică și cel de rezolvare practică (Câte pătrate de parchet cu baza de 20 de cm încap într-o cameră cu dimensiunile de 7 m și de 6 m?); atunci când elevii trebuie să construiască răspunsuri plauzibile pe baza cunoștințelor însușite anterior și a operării cu ele (Pe bancă sunt 3 creioane albastre și 7 creioane galbene. Ionel ia 6 creioane. Câte creioane galbene a putut lua Ionel?) (descompunerea cifrei 6).

6

0 6

1 5

2 4

3 3

4 2

5 1

6 0

În clasele I-IV copii trebuie să vină în contact cu numeroase situații problematice care să-i stimuleze la o gândire matematică. Un lucru foarte important nu îl constituie rezolvarea în sine, ci conexiunea strâns legată de lucrurile apropiate copiilor.

Dezvoltarea potențialului de gândire și creativitate se realizează prin activități care solicită independență, investigație, originalitate, care accelerează curiozitatea și conflictul rațional ca un proces de căutare și descoperire.

Orele de matematică oferă numeroase ocazii pentru organizarea unor situații matematice. După învățarea până la 10 în clasa I, li se poate cere elevilor să gândească mai multe variante pentru scrierea unui număr.

Se pot folosi, de asemenea, probleme care-i obligă pe elevi să construiască ipoteze și să încerce diferite soluții pe baza ipotezelor.

Exemplu: Pentru pomul de iarnă s-au confecționat : 9 steluțe roșii, 6 steluțe galbene și 5 steluțe albe. Din toate acestea s-au folosit 15 steluțe. Câte steluțe roșii și galbene se pot folosi?

Elevii au găsit mai multe variante.

Într-o situație mai dificilă este pusă gândirea elevilor folosind exerciții de tipul:

Rezolvarea problemelor aritmetice poate deveni activitate de tip creativ, în măsura în care elevii reușesc să vadă că diversitatea infinită a problemelor are la bază o degenerare că orice problemă, simplă sau complexă, ca produsul unei dezvoltări și că la rândul ei poate fi dezvoltată.

Având în vedere analiza criterială, clasificate problemele de matematică în ciclul primar s-ar putea grupa astfel:

După conținut:

– practice (referitoare la mărimi);

– teoretice (referitoare la numere, la operații și proprietățile operațiilor);

2. După complexitate:

– simple (cu o singură operație);

– complexe (cu două sau mai multe operații în dependență logică);

3. După gradul de rezolvare:

– probleme de aplicare directă a operațiilor;

– probleme reductibile la o metodă.

O categorie aparte de probleme, de multe ori neglijabile în învățământul primar, dar cu multiple valențe formative constituie problemele recreative, rebusistice, de perspicacitate, ingeniozitate (numite și non-standard).

În școală se folosește clasificarea problemelor după complexitatea lor, în :

Probleme simple;

Probleme complexe.

Problemele simple constituie unul dintre cele mai importante momente și, de felul cum sunt rezolvate de către elev și însușite, se asigură reușita pe mai departe.

I.4.3.Rezolvarea de probleme

Diferența dintre a învăța “rezolvarea unei probleme și a ști să rezolve o problemă nouă, înseamnă, în esențial creativitatea, dar de niveluri diferite”. Rezolvarea unei probleme învățate oferă mai puțin teren pentru creativitate de rezolvare a unei probleme noi, care la rândul ei, este deosebită de alcătuirea unor probleme noi.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și activată este gândirea prin operațiile logice. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi de a rezolva situația dată de problemă, de a intui și descoperirea prin care se obține ceea ce se cere în problemă.

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate, prin conținutul lor, de viață, de practică, generează la elevi simțul realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor.

În scopul cultivării flexibilității gândirii, a imaginației și inteligenței elevilor, în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc variate procedee ca :

complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;

alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;

determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie de probleme;

transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea operațiilor;

transformarea și compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse; ș.a.m.d.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de formulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvatului pe drumul și în direcția soluției problemei. Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic;

Activități suplimentare după rezolvarea problemei.

Datorită faptului că elevii din clasele mici întâmpină greutăți, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (de perspectivă) a problemei și conștientizării întregului, raționament de rezolvare a acesteia, cadrul didactic trebuie să apeleze la material didactic cum ar fi: jetoane, figurine decupate, mașină cu bile, tablouri cu imaginea obiectelor, diferite jocuri, etc. Școlarii mici au gândirea concretă, bogată în imagini. Ei înțeleg bine ceea ce este demonstrativ, concret. Pot memora judecăți abstracte, dar dacă nu sunt întărite prin demonstrații pentru el rămân fraze goale, fără conținut.

În “Aritmetica pentru învățători”, E.D.P., București, 1977, autorii Iran Aron și Gheorghe I. Herescu, la pag. 190 se fac următoarele clasificări a metodelor de rezolvare a problemelor de matematică:

I. Metode algebrice;

II. Metode aritmetice.

a) Metode generale sau fundamentale:

1. metoda analitică;

2. metoda sintetică.

b) Metode specifice sau particulare:

1. metoda grafică sau figurativă;

2. metoda comparației (aduceri la același termen de comparație);

3. metoda ipotezelor (falsei ipoteze);

4. metoda mersului invers (retrageri).

De multe ori problemele se pot rezolva prin diferite metode rămânând ca învățătorul să aleagă pe cea care este mai accesibilă copiilor sin clasa sa. Dăm spre exemplificare problema 32 pag 88 din manualul de clasa a III-a.

Pentru 6 carnețele și 6 creioane s-au plătit 132 lei. Cât costă un carnețel, costă 7 lei?

Examinarea problemei se poate face prin cele două metode generale: analitică și sintetică.

Metoda analitică: (se pornește de la întrebarea problemei).

1. Pentru a afla cât costă un carnețel? (Nu).

2. Ce trebuie să cunoaștem pentru aceasta? (Costul tuturor carnețelelor și numărul carnețelelor cumpărate).

3. Din cele două mărimi pe care o cunoaștem? (Numai numărul carnețelelor).

4. Cum putem afla costul lor? (Scăzând din costul total costul creioanelor).

5. Cunoaștem aceste mărimi? (Numai costul total).

6. Pentru a afla costul creioanelor? (Da, înmulțind numărul creioanelor cu prețul unui creion).

Metoda sintetică: (se pornește de la datele problemei cunoscute). Se procedează la alcătuirea unei probleme simple:

1.S-au cumpărat 6 creioane fiecare costând 7 lei. Ce întrebare putem pune? (Cât costă cele 6 creioane?)

2. Am 132 lei și plătesc pentru creioane 42 de lei. Ce întrebare punem? (Câți lei îmi rămân?)

3. Cu 90 de lei cumpăr 6 carnețele. Ce întrebare punem? )Cât costă un carnețel?)

În cazul de față problema se poate rezolva și prin metoda reducerii la unitate. Dacă 6 carnețele și 6 creioane costă 132 de lei, atunci un carnețel și un creion costă de 6 ori mai puțin: 132 lei : 6 = 22 lei. Știind că un creion costă 7 lei pentru a afla costul unui carnețel: 22 lei – 7 lei = 15 lei.

Primele probleme (oral) se rezolvă cu copiii clasei I sub formă de jocuri, la compunerea și descompunerea numerelor. Astfel, după învățarea numărului și cifrei 3 am făcut următoarele exerciții joc:

1. A triunghiurile roșii și galbene în total 3. Câte pot fi roșii și câte galbene? Manipulând materialul didactic elevii obțin următoarele posibilități:

2. Dacă într-o mână am 2 garoafe, câte trebuie să iau în cealaltă mână ca să am în total 3? Prin numărare elevii găsesc că mai trebuie o garoafă.

Noțiunea de problemă simplă, fiind fundamentată temelor trebuie predată cu multă răbdare, cu mult tact pedagogic, știindu-se că orice lacună se va resimți puternic mai târziu.

Părțile unei probleme sunt:

– o parte a problemei care arată ce se cunoaște sau ce se știe în problemă și se cunoaște textul problemei: conține datele și valorile numerice și relațiile dintre ele;

– o altă parte care arată ce nu se cunoaște, ce trebuie să se afle și constituie întrebarea problemei. După stabilirea părților problemei se trece la rezolvarea ei:

Cum gândim?

Cum verificăm?

Când predă problema, învățătorul face analiza și sinteza ei pentru ca elevul să aibă un model. Manualele ar trebui să conțină și ele un model de analiză și sinteză a unei probleme, asemeni metodicilor, știut impactul manualului asupra manualului.

În compunerea de probleme trebuie să se respecte mai multe cerințe pe care elevii trebuie să le cunoască:

– utilizarea unui limbaj matematic care să evite sugerarea operațiilor ca: “are și mai primește”; “erau și au plecat”; “erau și au mai venit”; etc.

– utilizarea unui limbaj neutru;

– în același timp limbajul să nu fie derutant;

– întrebarea să nu sugereze operația: “Ana are 3 lalele albe și 2 lalele roșii. Câte lalele are în total?”

Cuvântul “total” din întrebare sugerează operația de adunare. În astfel de situații gândirea școlarului își va manifesta cu prisosință inerția, nereușind să depășească situațiile tipice pe care le-a cunoscut, să-și formeze o gândire creativă. Important în rezolvarea problemelor simple este cunoașterea și respectarea limbajului matematic deoarece:

1. Limbajul sugerează operațiile: “mai mult cu”, “mai puțin cu”, înseamnă scădere, etc.

2. Limbajul indică ordinea operațiilor: adună pe 2 la diferența dintre 7 și 3; ; adună pe 2 cu 7 și apoi scade pe 3; ; adună pe 2 cu 7 și înmulțește cu 3; ; adună pe 2 cu 7 înmulțit cu 3; .

3. În cazul exercițiilor de tip ecuație, inecuație, sistem de ecuații sau inecuații, soluția precizează apartenența la o mulțime de numere.

Exemplu: . Notații pe care nu le putem folosi la clasă.

Învățând limbajul corect se evită monotonia în alcătuirea problemelor. În general problemele simple sunt ușor înțelese de copii.

În manual, sarcinile care stau în fața școlarului mic sunt numeroase, existând posibilități nelimitate de a rezolva și compune probleme care să se deosebească între ele și care să-I ofere copilului îndeplinirea unor sarcini noi.

În etapa următoare problema compusă aduce elevilor o dificultate în plus și anume aceea de a compune cel puțin două probleme simple.

În urma rezolvării unui număr suficient de probleme și după stabilirea modelului logico-matematic printr-un exercițiu continuu, i-au antrenat pe elevi să compună probleme, parcurgând drumul invers, de la exercițiu la problemă.

Este necesar să atragem atenția elevilor că enunțul trebuie să înglobeze, ca date, toate numerele oferite de exercițiu și chiar să sugerăm, la nevoie, domeniul tematic de referință.

Pentru educarea mobilității și creativității gândirii am propus aproape de la începutul activității de rezolvare a problemelor compuse, problema care se rezolvă prin mai multe căi de rezolvare discutându-se toate metodele ce se admit, alegându-se, calea cea mai economicoasă, mai simplă, mai elegantă.

Din clasa a II-a se pot rezolva probleme în care ordinea rezolvării problemei nu corespunde cu așezarea datelor în enunțul ei.

Exemplu: Dana a cumpărat un caiet și un creion pe care a plătit 87de lei. Ce rest a primit dacă a dat la casă 5 monede de 20 de lei?

Rezolvare:

1.Câți lei a dat Dana?

2.Ce rest a primit?

Exercițiul problemei:

Elevii au observat că la problemele compuse mărimea căutată în una din problemele simple se află în cea de-a doua problemă simplă.

Schimbarea tipului de problemă face ca din experimentul anterior să se ia doar atât cât este necesar pentru a merge mai departe. Elevii vor vedea și mai bine treptele algoritmului dacă li se prezintă situații constante în vederea stimulării capacității de colecție.

Orice problemă, la început, trebuie văzută în ținuta ei cea mai concretă ca o suită de acțiuni, de fapte de viață.

Exemplu:

“La cantina școlii s-au adus lăzi cu mere: una cu 40 de kg, iar alta cu 30 de kg. Ce cantitate a rămas, dacă într-o zi s-au consumat 10 kg, iar în a doua zi 20 de kg?”

Sugerăm elevilor să-și imagineze cum va proceda administratorul când va împărți cantitatea de mere, câte posibilități are:

1. ;

2. A. ;

B. ;

3. A. ;

B. ;

4. A. ;

B. ; .

Rezolvând astfel de probleme cu fapte de viață și căi multiple de matematică de aflare a soluției, copilul conștientizează idee că problemele de matematică nu au scopul să-l încurce, să-i îngreuneze munca de învățătură, ci să-l ajute să se descurce în situații concrete pe care viața i le va pune în față, întărind motivația învățăturii.

Propunem în continuare câteva modele de exerciții pentru clasele I și a II-a, care contribuie la cultivarea gândirii școlarului mic spre creativitate.

În perioada predării șirului numerelor naturale, primele exerciții creative sunt cele de descompunere-compunere a numerelor, apoi de stabilire a valorilor unui număr într-un concentrul dat:

Exemplu: Ce valori poate lua dacă:

1. sau a=0; a=1; a=2; a=3; a=4;

2. sau a=2; a=3; a=4; a=5; a=6; a=7;

3. sau a=0; a=1; a=2; a=3; a=4.

Odată cu predarea operațiilor de adunare și de scădere, varietatea exercițiilor este foarte mare.

Exemplu: Găsiți valorile pentru a și b, mai mici decât 7 și mai mari ca 0; pentru care egalitatea este adevărată?

Rezolvarea acestui exercițiu se poate realiza pe trei căi.

I. Încercare – eroare – acțiuni mintale de compunere a numerelor.

Observație : Sumele “a + 3” și “b + 5” sunt cel puțin egale cu 5.

…

a b a b

a b

Condiție – pentru că numerele naturale căutate se află într-un interval deschis S ≠ 5; S ≠ 10 => a ≠ 2; a ≠ 7; b ≠ 0; b ≠ 5.

II. prin calcul: aflarea unui termen când se cunoaște suma și celălalt termen.

Observație : Suma “a + 3” este egală cu “b + 5”, b ≠ 0;

deci .

Deci:

III. Acest tip de exercițiu ajută și la consolidarea unei proprietăți a adunării: dacă un termen al adunării se mărește cu un număr și celălalt termen se micșorează cu același număr atunci suma rămâne neschimbată.

a + 3 = b + 5

În suma “a+3”, este mai mic decât din suma “b+5” cu 2, pentru că , 5-3=2, deci a>b cu 2.

Dacă:

Un tip de exerciții cu grad sporit de dificultate pentru clasa I este cel privind raportul dintre părți și întreg.

sau

Exemplu: + + = 8

7 5

1.Din primele două relații:

Elevii observă că pot afla termenul al treilea astfel:

2.Din prima și a treia relație:

Elevii observă că pot afla primul termen:

a

a

3. Din a doua relație , dacă a=3,

4. Din relația , dacă c=1,

b

b

Prin combinații foarte diferite acest exercițiu se poate rezolva prin mai multe căi, deci, are valențe formative în educarea creativității.

Alt exemplu:

Și prin pondere:

2c =18

Elevii observă asemănarea cu exercițiul anterior și remarcă lipsa sumei celor trei numere. Un elev a observat că adunând cele trei numere obținem o sumă în care fiecare termen apare de două ori:

, aplicând comutativitatea obținem:

, deci:

este jumătatea lui 38

Din acest moment exercițiul devine de tipul celui anterior:

Performanțele la care ajung elevii ne întăresc convingerea că noțiunile abstracte pot fi ușor asimilate, fără efort deosebit dacă din clasele mici formăm copiilor gândirea matematică.

După modelul exercițiilor prezentate se pot crea probleme cu posibilități formative deosebite:

1.

“Mihai și George au împreună tot atâția bani cât Oana și Mihaela la un loc. Câți lei poate avea Mihai și câți lei poate avea Oana, dacă George are 3 lei și Mihaela 4 lei.

Precizați câte posibilități sunt dacă suma este mai mică decât 10.”

2.

În trei pungi cu mere sunt 8 kg. În primele două sunt 7 kg de mere, iar în ultimele două sunt 5 kg de mere. Câte kg de mere sunt în fiecare pungă?

Între strategiile de antrenare creativă a elevilor se numără rezolvarea problemelor care permit schimbarea întrebării sau prezentarea unui text de problemă lacunară (fără întrebare), școlarii fiind solicitați să formuleze întrebarea potrivită.

În clasa a II-a, la înmulțire s-a prezentat problema simplă:

Ileana a rezolvat trei probleme, iar fratele ei mai mare a rezolvat de trei ori mai mult.

Ce întrebare putem pune?

1.Câte probleme a rezolvat fratele Ilenei?

2. De câte ori a rezolvat mai puțin Ileana?

3. Câte probleme au rezolvat împreună?

4. Cu câte probleme a rezolvat mai mult fratele?

5. Cu câte probleme a rezolvat mai puțin Ileana?

Probleme care solicită într-o mai mare măsură gândirea elevilor și efortul lor intelectual sunt cele de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor.

Exemplu: Doi frați au împreună 53 lei. Băiatul are cu 35 lei mai mult decât sora lui. Câți lei are fiecare?

Din clasa I elevii au învățat să reprezinte grafic datele problemei. Astfel, pe tablă și în caiete va apărea următorul desen:

Prin discuții am condus elevii să observe:

– dacă luăm din mâna băiatului 35 lei, cei doi vor avea aceeași sumă de bani fiecare. Luând din suma băiatului, trebuie, să-I dăm deoparte și din suma totală. Deci, prima judecată:

1.Câți ler ar avea împreună, dacă băiatul ar avea cât fata?

La ce situație am ajuns?

În suma de 18 lei sunt două părți egale cu suma fetei, deci:

2.Ce sumă de bani are fata?

3.Ce sumă de bani are băiatul?

sau

Solicit apoi copiii să caute al doilea mod de rezolvare, pe care-l găsesc cu ușurință, adunând la suma de bani a fetei atât cât trebuie (adică 35 de lei) pentru a avea cât băiatul.

Pornind de la problema de sumă și diferență am trecut apoi cu ușurință datorită asemănării dintre ele precum și folosirii schemei grafice.

Exemplu: ”În clasă sunt 21 de copii. Numărul fetelor este de două ori mai mare decât al băieților. Câte fete și câți băieți sunt?”

Reprezentăm printr-un segment numărul băieților, apoi printr-un alt segment de două ori mai mare numărul fetelor.

În suma de 21 sunt cuprinse trei părți egale cu numărul băieților.

1.Câte părți de mărimi egale se cuprind în sumă?

2.Câți băieți sunt?

3.Câte fete sunt?

În clasa a III-a problemele de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența se complică când sunt mai multe numere și între ele apare și relația de raport.

Exemplu: “În livada școlii sunt 1295 pomi. Meri sunt cu 275 mai mulți decât peri, iar aceștia de trei ori mai puțin decât nuci. Câți pomi sunt din fiecare fel? ”

Observație: În suma de 1295 sunt 5 părți de mărimi egale cu numărul perilor și diferența de 275 dintre numărul perilor și numărul merilor.

Plan de rezolvare:

1.Câți pomi ar fi în livadă dacă numărul merilor ar fi cât numărul perilor?

2.Câte părți egale sunt?

3.Câți peri sunt?

4.Câți meri sunt?

5.Câți nuci sunt?

.

Rezolvarea problemelor tipice necesită metode specifice care diferă de la un tip de problemă la altul.

Important este ca elevul să știe să depărteze problematicul din problemă, să pună și să formuleze probleme, apoi să știe să caute drumul către soluție, să construiască ipoteze și să le verifice.

Pentru a ajunge la această performanță, pentru a educa mobilitatea mintală a elevilor, pentru ca metode de rezolvare a problemelor învățate să nu se transforme în șabloane ci să poată fi mânuite cu suplețe am folosit o mare varietate de procedee:

1. Rezolvarea unei cât mai bogate varietăți de probleme dintr-o anumită categorie, respectând cerințele sugerate;

2. Rezolvarea unei probleme prin cât mai multe procedee;

3. Transformarea și recompunerea unei probleme în toate modalitățile în care pot fi combinate datele;

4. Complicarea problemei prin introducerea de date noi, de întrebări noi;

5. Redarea soluției printr-o formulă numerică;

6. Transcrierea formulei numerice în formulă literară;

7. Compunerea de probleme noi, de noi variante pe baza formulei literare și matematice;

8. Elaborarea schemei problemei și compunerea altora, după aceeași schemă.

Preocuparea noastră esențială este de a-i pune pe elevi în fața unor sarcini accesibile structurând elemente de dificultate a căror depășire să asigure progresul. Prin implicațiile ascunse ale problemelor elevii sunt provocați la selecționarea elementelor din experiența lor, utile în situația dată. Pus în situația de a ordona, combina, emite ipoteze, verifică și evaluează ipotezele capului își dezvoltă capacitățile creatoare.

I.4.4. Compunerea de probleme

Compunerea de probleme este o activitate complexă în care elevul îmbină cuvinte și numere exprimând relații între cantitate, el fiind obligat să respecte cerința propusă și în raport cu aceasta să elaboreze textul – text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită.

I. Neacșu,coordonatorul “Metodicii predării matematicii la clasele I-IV”, E.D.P. București, 1988 la pag 270 propune următoarele forme de compunere a problemelor,după cum urmează: – probleme acțiune sau cu punere în scenă; – compuneri de probleme după tablouri și imagini; – compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior; – probleme cu implicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate; – compuneri de probleme după un plan stabilit; – compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile; – compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date, precum și relațiile între date ale conținutului; – compuneri de probleme cu întrebare probabilistică; – compuneri de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj; – compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date; – compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus; – compuneri de probleme după un model simbolic; – compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor cu cele trei variante: a) același conținut și date noi;

b) conținut schimbat cu menținerea datelor; c) conținut schimbat și date schimbate.

– crearea liberă de probleme; – probleme de perspicacitate, rebusistice,etc.

În perioada de început elevii compun probleme asemănătoare cu cele ale învățătorului.

În continuare voi prezenta câteva modalități folosite la clasă privind compunerea de probleme de către elevi pentru educarea gândirii creatoare:

1. Compuneri de probleme prin analogie.

Exemplu:”Alcătuiți o problemă de adunare cu numerele 5 și 3, apoi rezolvați-o.”

“Alcătuiți o problemă de scădere cu numerele 9 și 4, apoi rezolvați-o.”

Am observat că se întâmpină greutăți între gândirea matematică și forma lingvistică de exprimare și că mai ușor creează o problemă decât să o rezolve.

În alte ore am cerut elevilor să creeze probleme pornind de la exerciții.

Exemplu: Alcătuiți o problemă după exercițiul: sau

3. Ca să nu plictisesc elevii cu același mod de creare a problemelor, i-am pus să compună și probleme după indicații verbale.

Exemplu: “Creați o problemă de adunare și să o rezolvați prin desen. Această formă de activitate li se pare mai ușoară și mai rapidă.”

Iată o problemă rezolvată prin desen:

“Radu are 5 pere. Bunica îi mai dă 4mere. Câte fructe are Radu?”

– Se repetă problema.

– Se scriu datele problemei pe tablă:

5 pere……..4 mere…….?fructe

Sub datele problemei se pun figurine decupate sau desenează:

– Se stabilește operația.

– Se scrie operația:

4. În unele ore am dat posibilitatea elevilor să compună probleme după creație liberă.

Exemplu: “Compuneți o problemă cum vreți voi.”

Am observat că aproape toți elevii au compus probleme corect, fie de tipul sau , unii având tendința de a crea probleme compuse de tipul sau .

5. Am căutat să dezvolt creativitatea elevilor cerându-le să compună problema pornind de la formulele simbolice.

Exemplu: Alcătuiți o problemă după schema sau sau .

6. În clasa a IV-a pe lângă formulele numerice sau literare am folosit deseori și formule cu relații dintre viteză, distanță, timp precum și formulele relației dintre cantitate, valoare, preț.

7. Un alt mod de a pune pe elevi să gândească, i-am solicitat să creeze probleme pe baza celor observate în clasă.

Exemplu: Câte ghivece cu flori sunt pe suporturi?

8. Elevii pot crea probleme pornind de la o poveste cunoscută de ei: ”Albă ca Zăpada”, “Scufița Roșie”, “Fata babei și fata moșneagului”, etc.

Unul dintre principalele mijloace pentru însușirea temeinică a materiei este intuiția, folosirea materialului intuitiv.

Cu cât clasa este mai mică se impune folosirea materialului intuitiv mai mult. Un tablou colorat interesează mai mult, leagă mai bine reprezentarea numărului de grupul de obiecte concrete.

În concluzie, reținem, că activitatea de compunere și rezolvare a problemelor are cele mai bogate valențe formative de ceea ce trebuie să constituie o preocupare permanent, independentă.

I.4.5. Procedee specifice de cultivare a creativității la disciplina matematică

Învățământul modern trebuie să îmbine armonios tradiționalul, eliminându-se învățătura mecanică cu grad redus de înțelegere.

Învățătorul trebuie să știe că elevul nu-și va putea dezvolta creativitatea fără numeroase cunoștințe din domeniul rezolvării problemelor, fără o muncă asiduă pentru dobândirea acestor cunoștințe.

Astfel, în cadrul orelor de matematică prin modelul în acre am conceput lecțiile, elevii au fost atrași către studiul acestui obiect fiind antrenați în compunerea de exerciții asemănătoare celor rezolvate în timpul predării, în alcătuiri originale de probleme după material didactic existent în clasă, precum și găsirea soluțiilor de rezolvare a problemelor sau a unor jocuri matematice interesante.

Vom prezenta în continuare câteva exemple practice folosite la clasă prin care considerăm că s-a realizat o cultivare reală a creativității.

O problemă rezolvată prin două sau mai multe procedee contribuie la înțelegerea mai adâncă a metodei de rezolvare.

Orice problemă care oferă mai multe variante de rezolvare solicită capacitatea elevilor de a sesiza aceste variante, apelând din plin la perspicacitatea și profunzimea gândirii.

Exemplu:”Un lot dreptunghiular cu lungimea de 175 metri și lățimea de 94 metri, trebuie împrejmuit cu 4 rânduri de sârmă. Lotul are o poartă lungă de 3 metri. Un metru de sârmă cântărește 105 grame. Cât cântărește toată sârma?”

Rezolvare:

I.(o lungime fără poartă); (sârmă necesară pentru o lungime fără poartă); (sârmă necesară pentru o lungime); ( sârmă necesară pentru o lățime); ( sârmă necesară pentru cealaltă lățime); ( sârmă necesară pentru tot gardul fără poartă);(greutatea sârmei)

II.(cele două lungimi); (cele două lungimi fără poartă); (cele două lățimi); (perimetrul fără poartă); (sârmă necesară); (greutatea sârmei).

III. (cele două lungimi); (cele două lungimi fără poartă); (sârmă necesară pentru lungime); (cele două lățimi); (sârmă necesară pentru lățime); (sârmă necesară); (greutatea sârmei)

Apreciem mai mult calea cea mai scurtă și mai ușoară.

O altă metodă prin care punem pe elevi să gândească creator este modificarea enunțului problemei, fie păstrând conținutul dar cu alte date, cu conținut nou dar cu aceleași date, fie cu conținut și date noi.

Exemplu:

Varianta I: „Ionel are 4 mere. Mama în mai dă 5 mere. Câte mere are Ionel?”

Varianta II: „Fratele lui are cu 5 mere mai mult. Câte mere are fratele lui?”

Varianta III: „Ionel are 4 mere. Fratele lui are 5 mere. Câte mere au împreună?”

Varianta IV: „Ionel are cu 4 mere mai mult decât fratele lui. Câte mere are Ionel dacă fratele său are 5 mere?”

Enunțurile celor 4 variante se deosebesc prin modificarea aparenței cantităților, însă relația matematică și exprimarea numerică a cantităților au rămas aceleași. Cu altă ocazie se rezolvă probleme în care se modifică întrebarea fără a se schimba enunțul.

Exemplu: „Mioara are la C.E.C. suma de 550 lei. De ziua ei a cheltuit 1/5 din această sumă. Câți lei a cheltuit?” (a cheltuit).

Se cere elevilor să modifice întrebarea. Este propusă întrebarea: „Câți lei mai are la C.E.C Mioara?”, (a cheltuit); (mai are la C.E.C).

Am rezolvat și probleme în care s-au introdus în enunț date noi, care au implicat modificarea întrebării în funcție de aceasta. Prin introducerea de date noi se mărește numărul operațiilor și elevii trebuie să observe unde intervine schimbarea în planul de rezolvare.

Exemplu:

a) „Într-o fermă sunt 4760 animale mari(vaci și cai). Numărul cailor este de 9 ori mai mic decât numărul vacilor. Câte animale sunt de fiecare fel?”

b) „Într-o fermă sunt 4769 animale. Vaci și viței sunt de 9 ori mai mult decât cai și mânji la un loc. Numărul vacilor este cu 3292 mai mare decât al vițeilor, iar numărul cailor este de 3 ori mai mare decât al mânjilor. Câte vaci, câți viței, câți cai și câți mânji sunt?”

c) „La varianta „b” se adaugă „Cât încasează firma dacă vinde ¼ din numărul vacilor și ½ din numărul vițeilor, dacă o vacă costă 10.000 lei, iar un vițel ¼ din prețul unei vaci?””

d) Folosind rezultatele problemelor anterioare, să se afle valoarea cailor și mânjilor dacă valoarea tuturor animalelor este de 100.000.000 de lei.

4. Pentru a stimuli gândirea creatoare a elevilor, pentru a le forma raționamentul matematic, cu vădite rezultate pozitive s-a dovedit a fi important rezolvarea problemelor cu alte incomplete care necesită multă atenție, un spirit de observație ascuțit și o muncă individual creatoare.

Exemplu: “În două lăzi sunt mere. Într-o ladă sunt 20 kg de mere. Câte kg sunt în cele două lăzi?” Se poate rezolva această problemă?

Elevii sesizează cu ușurință lipsa unei date fără de care nu se poate rezolva problema. Cer elevilor să completeze problema cu data care lipsește și apoi să o rezolve. Urmăresc modul de lucru și aprecierea soluțiilor de rezolvare propuse de elevi.

În clasa a IV-a se pot face salturi calitative de exprimare într-o singură expresie numerică a tuturor operațiilor ce se impun în rezolvarea unei probleme, bazându-se pe cunoașterea ordinii operațiilor și folosirea parantezelor.

Exemplu: “La biblioteca școlii s-au primit 3 colete cu cărți. În primul colet erau 109 cărți, în al doilea cu 79 mai multe, iar în al treilea cu 85 mai puține decât în primele două la un loc. Câte cărți a primit biblioteca școlii?”

I.; II.; III., deci: .

Din acest mod de rezolvare a problemelor, elevii s-au convins că judecata are un rol foarte important, iar calculele doar soluția, demonstrează justețea ei.

Redarea sintetică a problemei în formulă numerică este o treaptă necesară către formularea literară. Iată cum am procedat:

Am notat întâi datele problemei cu cifre romane, apoi cu litere mari și în final cu litere mici.

Exemplu: „O echipă de muncitori a săpat într-o zi 150 de metri de șanț, a doua zi cu 103 m mai mult, iar a treia zi cu 58 m mai puțin decât a doua zi. Câți metri de șanț a săpat echipa în cele trei zile?”

150m…………….109m…………….58m………..?

I II III ?

A + B + C = ?

a + (a+b) + (a+b-c) = T

Deci: a+(a+b)+(a+b-c)=T; 150+(150+109)+(150+109-58)=660m.

Înlocuirea datelor problemei cu litere reprezintă ridicarea la gradul cel mai înalt de abstractizare și generalizare.

Pentru a asigura o mare varietate de activități care să-i atragă pe elevi spre studiul și aprofundarea matematicii, care să scoată în evidență frumusețea ei, am organizat activități în care s-au rezolvat și dezbătut probleme ce au solicitat atenția, perspicacitatea, inventivitatea.

Exemplu: Pentru clasa I

a) ”Alin are 8 baloane roșii și 7 albastre. Sparge din neatenție 10 baloane. Câte baloane roșii și câte albastre i-au mai rămas?”

1. Există posibilitatea să se spargă pe toate cele roșii, deci îi rămân 5 albastre, pentru că s-au spart și 2 albastre.

2. Dacă se sparg toate baloanele albastre și 3 roșii, atunci rămân 5 roșii.

3. Există atâtea soluții câte posibilități de descoperire a diferenței sunt.

b) Se dau numerele 7 și 3. Găsiți 2 numere egale a căror sumă să fie egală cu diferența numerelor date.

Pentru clasa a II-a

”Diferența dintre numărul merilor și al perilor din grădina bunicului este de 70, iar suma lor este de 24. Câți meri și câți peri sunt?”

elevii sesizează că se confundă suma cu diferența și că trebuie reformulată problema.

b) Observați regula șirului apoi completați-l:

1. 61, 52, 63, __, __, __, 58

R: 61, 52, 63, 54, 65, 56, 67, 58.

Pentru clasa a III-a

a)”Într-un laborator sunt două vase: unul de 3 l și altul de 7 l. Laboratorul are nevoie de 8 l apă. Cum se va proceda, folosind cele două vase?”

R: 7 l – 3 l = 4 l; 4 l + 4 l = 8 l

– rezolvarea unor astfel de probleme poate fi în întregime un act de creație;

– în activitatea de rezolvare și compunere de exerciții și probleme succesul este asigurat de învățător. El trebuie să dea dovadă de mult tact pedagogic, răbdare, inteligență, creativitate, să intervină rar în rezolvarea problemei, pentru a lăsa pe elevi sa-și manifeste din plin modul lor de a gândi, de a crea o problemă, de a descoperi soluția de rezolvare.

Învățătorului i se cere să fie capabil de a anticipa și sesiza momentele dificile ale problemei pentru a interveni și dirija discuțiile elevilor despre aflarea soluției.

CAPITOLUL II

FUNDAMENTE MATEMATICE ALE CONCEPTELOR

MATEMATICE DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

II.1. Elemente de logică matematică

Propoziții

Un text matematic este alcătuit din propoziții redactate în cuvinte sau cu ajutorul semnelor și simbolurilor matematice.

Se numește propoziție un enunț despre care putem spune că este adevărat (1) sau fals (0), însă nu amândouă simultan.

Propozițiile simple se notează, de obicei, cu p, q, r, … sau eventual indexate p, p, p, …, p.

Din propoziții simple se pot obține propoziții compuse, folosind conectori logici „non”, „și”, „sau”, „implică”, „echivalent”.

Negația unei propoziții p este o altă propoziție „non p” (notată ┐p) care este adevărată când p este falsă și falsă când p este adevărată. Valoarea de adevăr a propoziției p este dată de tabela următoare:

Conjuncția propozițiilor p, q, este o nouă propoziție „p și q” (notată p Λ q) care este adevărată atunci și numai atunci când fiecare din propozițiile p, q este adevărată.

Valoarea de adevăr a propoziției p Λ q este dată de tabela următoare:

Disjuncția propozițiilor p, q este propoziția „p sau q” (notată p v q) care este falsă atunci și numai atunci când p, q sunt false.

Valoarea de adevăr a propoziției p v q este dată de tabela următoare:

Implicația propozițiilor p,q este propoziția „p implică q” (notată p → q) care este falsă atunci și numai atunci când p este adevărată, iar q este falsă.

Valoarea de adevăr a propoziției p → q este dată de tabela următoare:

Echivalența propozițiilor p, q este propoziția „p echivalent cu q” (notată p ↔ q) care

este adevărată atunci și numai atunci când p și q au aceeași valoare de adevăr.

Valoarea de adevăr a propoziției p ↔ q este dată de tabela următoare:

Propoziția p q se mai poate citi și „p dacă și numai dacă q”

Cu ajutorul conectorilor logici se pot obține propoziții compuse, numite și expresii sau formule. O formulă care este adevărată indiferent de valorile propozițiilor ce o compun se numește tautologie.

Două propoziții compuse sunt echivalente logic dacă și numai dacă pentru orice valori ale propozițiilor care le compun obținem aceeași valoare de adevăr. Se notează α ≡ β.

Proprietățile fundamentale ale operațiilor logice sunt:

┐ (┐p) ≡ p (negarea negației);

p Λ q ≡ q Λ p (comutativitatea conjuncției);

p v q ≡ q v p (comutativitatea disjuncției);

(p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r) (asociativitatea conjuncției);

(p v q) v r ≡ p v (q v r) (asociativitatea disjuncției);

(p → q) Λ (q → r) (p → r) (tranzitivitatea implicației sau legea trilogismului);

┐(p v q) ≡ ┐p Λ ┐q și ┐(p Λ q) ≡ ┐p v ┐q (Legile lui Morgan);

p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r) (distributivitatea conjuncției față de disjuncție);

p v (q v r) ≡ (p v q) (p v r) (distributivitatea disjuncției față de conjuncție);

┐( p → q) ≡ p Λ ┐ p.

Predicate

Numim predicat un enunț care depinde de una sau mai multe variabile și care are proprietatea că pentru orice valori ale variabilelor devine o propoziție.

Dacă avem două predicate P = p (x, y, …) și Q = q (x, y, …) care conțin aceleași variabile, putem forma cu ajutorul conectorilor logici noi predicate.

Fie p (x) un predicat de variabilă x. dacă “există cel puțin o valoare x a variabilei x astfel ca p(x) este adevărată”, atunci propoziția p(x) se numește propoziție existențială și se notează (Э x)p(x). Dacă nu există nici o valoare, scriem (Э x)p(x) și citim “nu există nici o valoare x astfel ca p(x) să fie adevărată.

Simbolul Э se numește cuantificator existențial și se citește “există”.

Dacă “pentru orice valoare x a variabilei x propoziția p(x) este adevărată”, atunci propoziția p(x) se numește propoziție universală asociată predicatului p(x) și se notează (x) p(x). Simbolul se numește cuantificator universal și se citește “oricare ar fi”.

Predicatul q(x) se numește consecință logică a predicatului p(x) și scriem p(x) → q(x) dacă pentru orice valoare a variabilei x propoziția p(x) → q(x) este adevărată.

Predicatele p(x) și q(x) se zic echivalente logic și scriem p(x) ↔ q(x) dacă pentru orice valoare a variabilei x, propoziția p(x) ↔ q(x) este adevărată.

Teoreme

Prin teoremă se înțelege un enunț construit cu ajutorul cuvintelor „dacă … atunci …”. O teoremă se poate formula spunând că un anumit predicat este consecință logică a altui predicat și scriem p(x) → q(x).

Predicatul p(x) se numește ipoteză, iar q(x) se numește concluzia teoremei.

Prin demonstrație se înțelege un șir de propoziții adevărate p(x) → p(x) ce pot fi teoreme deja demonstrate sau axiome,ce conduc raționamentul de la ipoteză către concluzie.

Fiind dată o teoremă p(x) → q(x), numită teoremă directă, dacă implicația q(x) → p(x) este o teoremă, atunci ea se numește reciproca teoremei date. Așadar, reciproca unei teoreme se obține luând concluzia drept ipoteză și ipoteza drept concluzie (dacă ipoteza teoremei directe este formată dintr-un predicat simplu).

In cazul p(x) → q(x) se spune că p(x) este o condiție necesară și suficientă pentru q(x).

Fiind dată o teoremă p(x) → q(x) putem formula teorema contrară: ┐p(x) → ┐q(x) sau teorema contrară reciprocei ┐p(x) → ┐p(x).

Această metodă de a nega concluzia și a obține adevărată negația ipotezei s numește metoda reducerii la absurd.

Se numesc corolarii rezultatele deduse imediat dintr-o teoremă, iar leme acele rezultate necesare pregătirii demonstrației unei teoreme.

II.2. Mulțimi

Noțiunea de mulțime

Noțiunea de mulțime și de element al unei mulțimi fac parte din categoria acelor noțiuni care nu pot fi definite, numite și „noțiuni primare”.

Noțiunea de mulțime poate fi înțeleasă ca fiind analoagă noțiunii de colecție sau grupare. În mod practic, pentru a forma o mulțime trebuie să ni se dea un anumit criteriu după care să putem determina obiectele care formează mulțimea.

Obiectele care formează o anumită mulțime se numesc elementele mulțimii.

Mulțimea se notează, de obicei, cu litere mari, iar elementele cu litere mici. Dacă A este o mulțime și a un element al său, vom scrie a є A (a aparține mulțimii A), iar dacă a nu este în mulțime, scriem a є A (a nu aparține mulțimii A).

Există două moduri de definire a unei mulțimi:

sintetic (numind individual elementele sale). În acest caz mulțimea se specifică scriind, între acolade sau în interiorul unei linii curbe închise, elementele sale:{1, 2, 3}

analitic (specificând o proprietate pe care o au elementele sale și nu o au alte elemente). Mulțimile definite în acest mod se vor nota prin A = {x/P(x)}, adică mulțimea acelor obiecte x, pentru care are loc P(x).

Mulțimea fără nici un element se numește mulțimea vidă și se notează cu Ø.

Mulțimi egale.

Spunem că mulțimea A este egală cu mulțimea B dacă cele două mulțimi au aceleași elemente, deci, dacă orice element a lui A aparține și lui B și reciproc. Scriem A=B.

Relația de incluziune.

Se spune că mulțimea A este inclusă în mulțimea B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Se notează A B sau B A.

Când A B se mai spune că A este o submulțime a mulțimii B.

Relația de incluziune are proprietățile:

1) A A (este reflexivă);

2) A B și B A A=B (antisimetrică);

3) A B și B C A C (tranzitivă).

Proprietatea 2) este utilizată adesea în a demonstra că două mulțimi sunt egale.

Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi se numește mulțimea părților acelei mulțimi și se notează ci P(A)={X/X A}.

Operații cu mulțimi

1. Reuniunea mulțimilor

Se numește reuniunea a două mulțimi A și B mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel puțin uneia din mulțimile A sau B.

Notăm reuniunea mulțimilor A și B prin A U B și citim „A reunit cu B”. Deci A U B ={x/x Є A sau x Є B}.

Proprietățile reuniunii:

1) A A U B, B A U B, A U Ø = A;

2) A U A = A (indempotență);

3) A U B = B U A (comutativitatea);

4) A U (B U C) = (A U B) U C.

2. Intersecția mulțimilor

Se numește intersecție a două mulțimi A și B mulțimea construită din elementele comune lui A și lui B.

Intersecția mulțimilor A și B se notează A ∩ B și se citește „A intersectat cu B”. Deci A ∩ B =.

Mulțimile A și B se numesc disjuncte dacă A ∩ B = Ø, adică dacă nu au nici un element comun.

Proprietățile intersecției:

1) A ∩ A = A (idempotența);

2) A ∩ B A și A ∩ B B;

3) A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea);

4) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociativitatea);

5) A ∩ Ø = Ø;

6) Dacă A = B, atunci A ∩ B = A.

3. Diferența mulțimilor

Diferența dintre mulțimile A și B este mulțimea elementelor lui A care nu aparțin lui B.

Se notează A / B sau A – B. Deci A / B =.

Proprietățile diferenței:

1) Dacă A B, atunci A ă B = Ø;

2) Dacă A B, atunci B ă A = C A;

3) Diferența mulțimilor nu este asociativă;

4) Dacă A C= , atunci (AăB)ăC=Aă(BăC);

5) C A = Ø și C Ø = E;

Numim diferența simetrică a două mulțimi A și B reuniunea mulțimilor disjuncte AB și BA.

Se notează A ∆ B = (A B) U (B A).

4. Produs cartezian

Se numește produs cartezian mulțimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate și se notează A x B.

Deci A x B = .

În afara proprietăților enumerate anterior, mai putem aminti și alte proprietăți ce leagă două sau mai multe operații și anume:

1) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributivitatea reuniunii față de intersecție);

2) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) (distributivitatea intersecției față de reuniune);

3) A ∩ (B U C) = (A ∩B) U (A ∩ C);

4) A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C);

5) (A U B) C = (A C) U (B C);

6) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩C) = (A ∩ C) ∩ B;

7) A x (B U C) = (A x B) U (A x C);

8) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C);

9) A x (B ă C) = A x B ă A x C;

10)C (A U B) = C A ∩ C B;

11)C (A ∩ B) = C A U C B.

II.3. Relații. Funcții

1. Relația dintre două sau mai multe mulțimi

Semnificația matematică a cuvântului relație se poate pune în legătură cu semnificația care se dă cuvintelor „raport, legătură, corespondență, asociere” în limbajul curent.

Într-o mulțime de obiecte avem relații ca: „este mai greu decât”, „este mai scump decât”.

În matematică termenul „relație” se folosește pentru a ilustra egalitățile și inegalitățile între numere )adică relațiile =, <, >).

În mulțimea numerelor naturale este bine cunoscută relația „este divizibil prin” în care sunt asociate perechi ca (6, 2), (9, 3), (12, 4) …

Ideea de relație este fundamentală nu numai în matematică, ea este în mod direct unul din principalele moduri în care gândirea noastră ordonează concepte. A da o relație între două mulțimi înseamnă a le lega între ele, în sensul că unui element oarecare al uneia din ele îi sunt asociate unul sau mai multe elemente sau nici un element din cealaltă mulțime.

Pentru denumirea termenului de „relație” se va recurge la conceptul de mulțime; fiind date două mulțimi A, B care pot să coincidă (A = B) și luând câte un element din fiecare din acestea (a Є A și b Є B), perechea (a, b) va putea fi formată din elemente asociate prin relație sau nu. Prin urmare, în produsul A x B vor exista perechi de un tip și perechi de celălalt tip. Deci se poate spune:

Se numește relație binară (sau relație de corespondență) între două mulțimi A, B distincte sau care coincid, o submulțime R a produsului A x B.

„Elementele asociate” prin relație sunt atunci acele elemente a, b pentru care (a, b) Є A x B. Dacă A = B, perechea (a, b) este o pereche ordonată de elemente ale lui A, se vorbește, în acest caz, de relație în A.

În acest caz se poate da următoarea definiție:

O relație binară între A și B este un triplet ordonat R = (A, B, R), unde R este o submulțime a lui A x B, se mai numește li graficul lui R.

Cuvântul “binară” arată că relația leagă perechi de elemente.

Dacă simbolul relației este R, se scrie bRa pentru a arăta că a și b sunt asociate prin relația R (se mai poate scrie aRb). Aceste scrieri cuprind în sine o întreagă frază, de exemplu, dacă R este relația “este fratele lui”, bRa se citește “b este fratele lui a”.

Atunci când mulțimile A și B conțin un număr finit de elemente, există un mod foarte simplu de a reprezenta o relație R între A și B, făcând corespondența elementelor celor două mulțimi desenate prin diagrame, iar relația prin săgeți.

Se poate spune că am trasat graficul lui R. relația dată se mai putea scrie ca o submulțime a produsului cartezian (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b) sau (aRb, aRb, aRb, aRb, aRb).

Când se vorbește de o relație trebuie să avem în vedere, chiar dacă nu precizăm aceasta în mod explicit, mulțimile “legate” de R. în felul acesta vor fi considerate distincte relația R în mulțimea numerelor pare în mulțimea numerelor naturale.

Faptul că se vorbește de relații binare sugerează și considerarea de relații ternare sau – mai general – n-are (se citește enare). Se poate spune:

Se numește relație n-ară între mulțimi A, A, … A distincte sau care coincide parțial sau total, o submulțime a produsului A x A x A.

În mod analog celor spuse în cazul relațiilor binare, se poate formula următoarea definiție:

Se numește relație n-ară între A, A, … A un (n+1)-uplu ordonat (A, A, … A, X), unde X A x A x … A.

2. Proprietățile relațiilor

Se spune că o relație R într-o mulțime A este reflexivă atunci când, pentru orice a Є A, avem aRa; ea este antireflexivă atunci nu avem aRa, oricare ar fi a Є A.

Se spune că o relație în A este simetrică atunci când, pentru fiecare bRa avem aRb. În simboluri se scrie (a)(b)bRa aRb.

O relație se numește asimetrică atunci când dacă avem în același timp aRb și bRa, avem a=b. În simboluri se scrie aRb Λ bRa → a=b.

O relație într-o mulțime A se spune că este tranzitivă atunci când luate trei elemente a, b, c, astfel încât bRa, cRb avem cRa. Simbolic se scrie ()a, ()b, ()c, bRa Λ cRb → cRa.

Se spune că o relație este o trihotomie dacă fiind luate două elemente a și b ale mulțimii, este valabilă una și numai una singură din următoarele afirmații: a=b, aRb, bRa.

Relații de echivalență

Se numește relație de echivalență orice relație reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Fiind dată o relație de echivalență, două elemente asociate prin aceasta se numesc echivalente.

Fiind dată o mulțime I, se numește partiție a lui I o clasă K de submulțimi nevide ale lui I, astfel ca:

submulțimile lui K sunt disjuncte două câte două;

reuniunea submulțimilor lui K este I.

Atunci, fiind dată o partiție a lui I, orice element a lui I aparține unei singure (sau la una și numai una dintre) submulțimi a lui K.

Dacă un element al lui I ar aparține la două submulțimi acestea nu ar fi disjuncte și dacă nu ar aparține nici unei mulțimi, reuniunea submulțimilor lui K nu ar fi I. Dacă avem în același timp aRb și bRa, avem și a=b. în simboluri: aRb Λ bRa —> a=b.

Exemple: Mulțimea numerelor pare și cea a numerelor impare formează câte o partiție a mulțimii numerelor naturale. Speciile de animale constituie partiții ale mulțimii animalelor.

Fiind dată o relație de echivalență R în I și un x Є I, se numește clasă de echivalență a lui x, notată C , mulțimea elementelor y din I astfel ca yRx (adică C = { y/ yRx} ).

Fiind dată o relație de echivalență R, în I, mulțimea claselor de echivalență (deci mulțimea ale căror elemente sunt, fiecare în parte, clase de echivalență) se numește mulțime cât a lui I în raport cu R și se scrie I/R.

Relații de ordine

Faptul fundamental care stă ascuns în cuvintele: ordonare, ordine este posibilitatea de a compara două elemente, precizând care vine „primul" și care vine „după". De obicei, în limbajul curent se are în vedere o posibilitate de comparare a tuturor elementelor unei mulțimi în cauză, dar chiar în exemple destul de familiare lipsește o asemenea posibilitate de comparare.

Un alt fapt care trebuie observat este următorul: în anumite cazuri, elementele sunt dispuse astfel încât se poate vorbi de elemente consecutive (aceasta se întâmplă pentru ordonarea obișnuită a numerelor naturale), în timp ce în alte cazuri „între" două elemente sunt întotdeauna altele (în cazul punctelor unei axe), în orice caz este vorba de probleme care nu privesc mulțimea în sine ci ordinea cu care o dotăm. Aceeași mulțime poate fi dotată cu ordonări diferite.

Se numește relație de ordine sau ordonare, o relație, indicată de obicei prin unul din simbolurile ≤, ≥ , ,care se bucură de proprietățile: reflexivitate, tranzitivitate și antisimetrie, astfel încât:

O1) pentru orice a, a < a;

O2) dacă b ≤ a și c ≤ b atunci c ≤ a;

O3) dacă b ≤ a și a ≤ b, atunci a=b

Dacă b < a cu b ≠ a, se spune că în ordonare b precede pe a sau că a urmează după b.

O mulțime dotată cu o relație de ordine se numește mulțime ordonată. Se vorbește și de ordine parțială atunci când nu s-a precizat că, fiind date două elemente oarecare a și b, avem a ≤ b sau b ≤ a.

Un eventual element al lui I, care precede pe toate celelalte se numește minim, iar un element al lui I care urmează după toate celelalte se numește maxim. Un astfel de element (minim și maxim) pot să existe sau să nu existe. Un element care nu este precedat de nici un element se numește minimal; în mod analog se definesc eventualele elemente maximale.

În mulțimea N a numerelor naturale se consideră relația „este divizibil prin", adică nRm (dacă n este divizibil prin m). Aceasta este o relație de ordine. Totuși, în mulțimea n există perechi de numere care nu se pot compara (de exemplu, considerând numerele 4 și 5, 4 nu este divizibil cu 5, iar 5 nu este divizibil cu 4).

O ordonare în care două elemente pot fi întotdeauna comparate se numește totală.

În alți termeni, o relație de ordine totală trebuie să satisfacă următoarele proprietăți:

O1) a ≤ a pentru oricare a ( reflexivitatea);

O2) dacă b ≤ a și c ≤ b atunci c ≤ a (tranzitivitatea);

O3) fiind date două elemente distincte a și b, trebuie să avem a ≤ b sau b ≤ a, dar nu ambele.

Într-o mulțime de numere reale, relația este o relație de ordine totală. Se numește relație de ordine în sens strict și se notează cu < o relație care este antirefiexivă și tranzitivă, astfel încât:

OS1) nu avem niciodată a < a;

OS2) dacă b < a și c < b atunci c < a.

O relație trihotomică și tranzitivă se numește relație de ordine totală în sens strict.

OTS1) fiind date două elemente a și b este întotdeauna adevărată una și numai una din următoarele expresii: a=b, a < b, b < a;

OTS2) dacă b < a și c < b atunci c < a.

Iată câteva feluri de ordonări:

incluziunea pentru relații de ordine;

relația „≤" între numere pentru relația de ordine totală;

incluziunea în sens strict pentru ordine strictă;

relația „<"între numere pentru relația de ordine totală în sens strict.

Dacă se dau două mulțimi E și F și un procedeu notat f care asociază (face să corespundă) oricărui element x din E un element y din F și numai unul, spunem că am definit o funcție f pe E cu valori în F sau o aplicație a lui E în F.

O funcție se definește prin:

mulțimea E = domeniul de definiție;

mulțimea F = codomeniul sau mulțimea în care funcția ia valori;

procedeul (legea) de corespondență notat f prin care se face ca oricărui x G E să-i corespundă un singur y C F, astfel încât y = f(x).

Moduri de definire a unei funcții:

funcție definită printr-o diagramă;

funcție definită printr-un tablou,

funcție definită printr-o formulă.

Tipuri de funcții:

injective;

surjective;

bijective.

Cu ajutorul noțiunii de funcție se realizează predarea – învățarea la clasele I – IV a operațiilor cu numere naturale.

II.4. Noțiunea de număr natural. Operații cu numere naturale

Noțiunea fundamentală cu care operează elevii încă din primele zile ale școlarității o constituie noțiunea de număr natural. Introducerea acestei noțiuni se bazează pe conceptul de mulțimi echivalente.

Două mulțimi care pot fi puse în corespondentă biunivocă se numesc mulțimi echivalente. Relația de echivalentă grupează mulțimile în clase de echivalenta, fiecare clasă cuprinzând mulțimile formate din același număr de elemente, indiferent de natura lor. Prin urmare, o clasă de echivalentă este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor mulțimilor ce-i aparțin , anume proprietatea de a conține același număr de elemente. Această proprietate se numește puterea clasei de echivalență și este reprezentată printr-un număr numit număr natural . În concluzie, numărul natural constituie simbolul care caracterizează sub un înalt grad de generalitate mulțimile echivalente.

Astfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul zero, de unde rezultă că zero este un număr natural întrucât caracterizează clasa de echivalență a mulțimilor care nu conțin nici un element. Proprietatea caracteristică mulțimilor cu un singur element este reprezentată prin numărul 2; cea a mulțimilor cu 2 elemente și încă 1 sau cu 1+1+1 elemente, este reprezentată prin numărul 3. Deci numerele 0,1,2,3, ..n, .. caracterizează mulțimile echivalente formate respectiv din 0,1,2,3, ..n, … elemente și se numesc numere naturale.

Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul mulțimii A, notat card(A), rezultă că numărul natural este cardinalul mulțimilor finite de aceeași putere.

Pentru mulțimile finite identificăm clasa mulțimilor de câte n elemente, deci cardinalul finit n, cu numărul natural n. Spre exemplu, pentru mulțimea elevilor unei clase, pentru mulțimea literelor din alfabetul latin corespunde câte un cardinal pe care îl identificăm cu numărul elementelor mulțimii respective, deci cu un număr natural.

Dacă ne referim la mulțimile infinite , o clasă de mulțimi infinite echivalente, se numește cardinal transfinit.

În concluzie, noțiunea de cardinal generalizează noțiunea de număr natural pe care o conține ca un caz particular , cazul mulțimilor finite de aceeași putere.

Referindu-se la construcția axiomatică a aritmeticii, amintim matematicianul italian Giseppe Peano ( 1858-1932) a așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de cinci axiome,dintre care primele patru se enunță astfel:

Zero este un număr natural( 0 aparține N)

Orice număr natural are un succesor

Orice număr natural are un predecesor

Două numere naturale care au același succesor sunt egale.

Din adevărurile exprimate prin aceste axiome deducem următoarele:

Cel dintâi număr natural este zero, el nu are predecesor.

Numărul zero are ca succesor pe 1 pentru că 0+1=1; numărul 1 are ca succesor pe 2 pentru că 1+1=2 si așa mai departe. Se desprinde de aici principiul de formare al numerelor naturale:fiecare număr natural se formează prin adăugarea unei unități la predecesorul său, fapt care permite așezarea numerelor naturale în ordinea mărimii lor în sens ascendent sau descendent, astfel încât fiecare să obțină din precedentul său plus o unitate sau din succesorul său minus o unitate.

Șirul numerelor naturale formează o mulțime de numere, și anume mulțimea numerelor naturale, care se notează cu N.

Dacă din această mulțime lipsește numărul zero, avem șirul restrâns al numerelor naturale, mulțimea respectivă notându-se cu N*.

Oricare ar fi numerele naturale a, b, c,…. ele au următoarele proprietăți: 1)Reflexivitatea: Orice număr natural este egal cu el însuși, adică a = a.

) Simetria: Dacă un număr natural a este egal cu un număr natural b, atunci și b este egal cu a.

) Tranzitivitatea: Dacă un număr natural a este egal cu numărul natural b și dacă la rândul său numărul natural b este egal cu numărul naturale, atunci și a este egal cu b.

Se poate demonstra prin inducție completă că între două numere naturale a și b poate avea loc una și numai una din relațiile: a < b; a = b; a > b.

Ținând seama de relația de ordine care se definește prin semnele ≤ sau ≥, se spune că șirul numerelor naturale este un șir ordonat. Acest adevăr constituie temeiul numărării ascendente până la un număr oarecare, sau al numărării descendente de la un număr oarecare până la 0.

Sub o formă accesibilă elevilor din clasele mici, inegalitățile a < b sau a > b pot avea următorul înțeles: dacă în șirul natural al numerelor se întâlnește întâi numărul a și apoi numărul b, atunci a < b, iar dacă în acest șir se întâlnește întâi numărul b și apoi numărul a, atunci a > b.

Relațiile de inegalitate au aplicații nu numai în stabilirea succesiunii numerelor din șirul natural, ci cu deosebire în stabilirea relației de mărime dintre două numere oarecare, pentru a arăta care din cele două numere este mai mare (și eventual cu cât) sau care din ele este mai mic.

De asemenea, pe baza relației de ordine se poate înțelege proprietatea șirului numerelor naturale de a fi infinit, lucru care se exprimă sub o formă elementară prin aceea că, oricât de mare ar fi un număr natural n, i se poate adăuga încă o unitate, obținându-se un număr și mai mare: n +1.

Relația de ordine în mulțimea numerelor naturale se introduce în legătură cu noțiunile „mai mult", „mai puțin", și anume prin punerea în corespondență a mulțimilor aparținând unor clase de echivalență diferite. Astfel se pun în corespondență, termen cu termen, două mulțimi cu un număr inegal de elemente. Rezultatul comparării se notează cu ajutorul semnelor < sau > plasate între numerele care caracterizează cantitativ mulțimile respective.

De asemenea, ordonarea numerelor naturale și stabilirea succesiunii lor ascendente
sau descendente se realizează prin comparare și punerea în corespondență biunivocă a
mulțimilor cu 0, 1, 2, 3, …. elemente, stabilind din aproape în aproape următoarele șiruri de
inegalități: 0<1< 2<3<4 sau 4 > 3 > 2 > 1> 0

încă din cele mai vechi timpuri omul a trebuit să compare diferite mulțimi de obiecte (pietre, săgeți animale etc.) pentru a vedea care mulțime conține mai multe elemente, Astăzi acest lucru se face prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultate ale numărării. Aceasta presupune că se cunosc deja numerele și că se știe a se număra. Astfel se formează noțiunea de număr cardinal.

Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi a condus la aspectul ordinal al numărului natural. După un anumit criteriu, de exemplu rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul la învățătura.

Numărul de ordine atașat într-o asemenea succesiune se numește număr cardinal.

Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanentă unele cu altele și formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

Copii de vârstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață îndeosebi prin intuiție și manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă. De aceea , cunoașterea și respectarea lor prezintă pentru învățarea matematicii un interes esențial.

Cercetările de psihologie genetică și a învățării au arătat că în jurul vârstei de 3 – 4 ani copiii devin capabili să localizeze un set de obiecte într-un sistem de relații spațiale.

Mai apoi, la vârsta de 4 – 5 ani, copilul este capabil să copieze un pătrat și să-l reproducă sub forma unei figuri oarecare închise. Se formează astfel, treptat, intuitiv noțiunile figurative de interior și exterior, de închis și deschis. După vârsta de 5 ani copiii devin capabili să reproducă o anumită ordine spațială simplă.

La începutul școlarității, posibilitățile copiilor de a înțelege spațiul geometric se lărgesc în mod considerabil. începând cu vârsta de 6 – 7 ani copiii pot să organizeze în mod concret spațiul fizic. Ei înțeleg și pot să explice anumite proprietăți ale figurilor geometrice, să noteze grafic deplasările unui corp, să construiască mulțimi de obiecte după anumite proprietăți ale elementelor sale. Apar primele semne ale unităților de măsură.

Deci, la această vârstă, prin activități atent dirijate, elevii pot fi conduși la sesizarea poziției unui obiect față de alt obiect și la aprecierea distanței dintre ele, folosind cuvintele “mai aproape”, “mai departe”, “cel mai apropiat”, “cel mai îndepărtat”. Perceperea relațiilor spațiale va fi completată cu activități de observare a obiectelor din clasă, a poziției unui obiect față de altul, pentru a desprinde noțiunile de : înapoi, la dreapta, la stânga, jos, sus, la mijloc, și să reprezinte grafic distanța dintre două obiecte.

Copiii vor fi conduși, tot prin activități concrete, la cunoașterea și denumirea figurilor geometrice, triunghi, dreptunghi, cerc; prin manipulare, observare și recunoaștere copiii ajung să denumească corpuri geometrice cu ajutorul cărora apoi vor desprinde noțiunile de cerc ( de la sferă),de pătrat (de la cub),de dreptunghi ( de la prismă).

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația.

Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă și dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație sau – corespunzător disjuncției ( pătrat sau triunghi), și – corespunzător conjuncției a două proprietăți (pătrat si roșu) si nu – pentru negația unei proprietăți ( nu este pătrat). In același timp, tot prin activități practice si folosind disjuncția, conjuncția si negația, se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția si diferența a două mulțimi.

Pentru înțelegerea și însușirea operațiilor cu mulțimi este necesar să se reia unele jocuri logico-matematice din învățământul preșcolar: jocul disjuncției , al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare a unei mulțimi, de ordonare a elementelor unei mulțimi etc.

In activitățile cu mulțimi de obiecte se va folosi un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire ai copiilor. Când afirmațiile elevilor conțin idei corecte, dar formulate într-un limbaj nesigur, aprecierea va fi pozitivă subliniindu-se partea corectă a răspunsului dat de elevi și ajutându-i să-și corecteze modul de a se exprima matematic.

Una din premisele psio-pedagogice esențiale ale formării conceptului de număr natural la copii este apariția la această vârstă ( 6 – 7 ani ), a primelor reprezentări asupra invarianței și cantității. Copiii sunt capabili să stabilească corespondenta între elementele a două mulțimi și să exprime rezultatul acestei activități prin cuvintele : “mai mult”, “mai puțin” sau “tot atât”.

Plecând de la activitățile logice de comparare a mulțimilor elevii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența ( element cu element ) a două mulțimi, suportul constituindu-l numeroase situații de viața.

Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea elevilor cu noțiunea de relație echivalentă a mulțimilor, de clasă de echivalentă, de funcție bijectivă, folosindu-se de expresiile de “tot atât”, “mai puțin”.

La început se vor folosi o serie de jocuri sau scurte istorioare, care să-l plaseze pe copil în universul lui pentru a-i utiliza propria sa experiență de viață.

Activitățile de punere în corespondentă a elementelor a două mulțimi se pot desfășura în două direcții principale:

stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea corespondentei element cu element;

construirea unei mulțimi echivalente cu mulțimea dată.

O atenție deosebită se va acorda mijloacelor materiale și de comunicare utilizate, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile, folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de expresia “funcție bijectivă” se poate folosi “mulțimi cu tot atâtea elemente”.

Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element din prima mulțime cu un element din a doua sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din a doua mulțime.

Folosirea rigletelor oferă învățătorului posibilitatea să efectueze cu elevii corespondente între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din “riglete unități” dispuse în linie, dă posibilitatea micilor școlari să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi ( prin punerea în funcție bijectivă).

Familiarizarea elevilor cu riglete se realizează, la început, sub supravegherea învățătorului. Elevii vor fi încurajați “să se joace” efectuând exerciții de folosire a culorilor și egalizare a lungimilor. Comparând două riglete copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă cu o lungime mai mare. Pentru egalizarea lungimii unei riglete vor forma mai multe modele, vor compara lungimile, utilizând termenii “mai mare”, “mai mic”, “tot atât de mare”, vor forma riglete “scări” crescătoare, sau descrescătoare etc.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor, pentru scrierea lor.

La conceptul de număr elevul ajunge progresiv și după o anumită perioadă pregătitoare. în această perioadă este inițiat în activități de compunere și punere în corespondentă a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi care au același număr de elemente, de construire, după anumite criterii, de submulțimi date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri a unei mulțimi.

înregistrarea în scris a numărului, introducerea simbolului sau a semnului grafic al numărului, reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare. Copilul dobândește astfel o noțiune care are un grad mai mare de generalizare și devine astfel capabil să cunoască mai profund relațiile dintre obiectele și fenomenele lumii înconjurătoare.

Activitățile de stabilire a corespondentei element cu element a mulțimilor urmăresc să dezvolte la copil înțelegerea conținutului esențial al noțiunii de număr, ca o clasă de echivalentă a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată.

Elevii construiesc mulțimi echivalențe cu o mulțime dată și, în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu “tot atâtea elemente” se detașează progresiv, noțiunea de număr ca o clasă de echivalența.

Procesul construcției șirului numerelor până la 10 se face progresiv din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2- 3 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Esențial este ca elevii să înțeleagă faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model, precum și distincția dintre număr și semnul grafic.

A reproduce denumirea unui număr, a ști din perioada preșcolarității să numere mecanic, nu înseamnă că elevul și-a însușit conceptul de număr natural. însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se fundamentează pe:

înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor ( aspectul ordinal al numărului);

înțelegerea semnificației reale de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirii corespunzătoare( mai mare, mai mic);

cunoașterea cifrelor corespunzătoare numerelor;

citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Elevii trebuie să înțeleagă ca relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile “mai mic”, sau “mai mare” care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor : “ mai puțin “ sau “ mai mult” între mulțimile ce reprezintă numerele date.

Coroborând ideea caracterului stadial al dezvoltării intelectuale ( după Jean Piaget) cu modalitățile principale de reprezentare a realității în învățare – acțional, iconic și simbolic (după Jerome Bruner) putem, încă din clasa I , pe baza teoriei mulțimilor, a compunerii și descompunerii numerelor, să trecem într-un mod rațional și eficient de la imaginația reproductivă la cea probabilistică, de la forme operatorii mentale concrete la cele abstracte chiar dacă la această vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective.

Pentru a contribui încă din această perioadă la conturarea premiselor necesare abstractizării structurilor operaționale, se impune efectuarea a numeroase exerciții vizând: completarea șirului numerelor naturale de la 0 la 10 cu numerele care lipsesc; cunoașterea locului fiecărui număr natural în acest șir prin precizarea numărului dinaintea fiecăruia sau după el, deci a numerelor între care se află un număr dat; stabilirea relației de ordine între două numere date, chiar dacă ele nu sunt consecutive; ordonarea mai multor numere date într-un șir crescător sau descrescător; așezarea “în scară” ( crescătoare, descrescătoare) a rigletelor cu de la una până la 10 unități etc.

Se consideră o mulțime M nevidă. Orice aplicație definită pe produsul cartezian M x M și cu valori în M se numește lege de compoziție ( compunere) internă sau operație internă pe mulțimea M.

Deci, o operație internă pe mulțimea M este un procedeu ( o lege) care asociază la perechi ordonate de formă ( a,b), a si b elemente din M, un element c , si numai unul, din M

astfel ca c=f(a,b). Elementul c corespunzător perechii (a,b), prin legea dată , se numește compusul lui a cu b și se notează în diferite moduri: a+b, axb, aAb, a-]-b etc.

O operație internă pe mulțimea M notată cu seninul + se numește adunare, iar compusul f(a,b) se numește suma elementelor a și b. în acest caz se spune că legea a fost notată aditiv și că este lege aditivă.

O lege de compoziție pe mulțimea M notată cu seninul „x" se numește înmulțire, iar compusul axb se numește produsul elementelor a și b. In acest caz se spune că legea a fost notată multiplicativ și că este o lege multiplicativă.

Pentru precizarea unei operații interne pe m există mai multe moduri:

legea de asociere (compunere) a operației poate fi reprezentată grafic printr-o diagramă. De exemplu, dacă M = {a, b}, M x M = {(a, a), (a, b), b,a),(b, b)}.

legea de asociere (compunere) este dată cu ajutorul tabelei de operație (tabele de corespondență).

legea de asociere (compunere) poate fi dată cu ajutorul unei reguli de operație (de corespondență). De exemplu, operația de la punctele a și b este precizată dacă se

folosește următoarea regulă de operație: oricare ar fi perechea de elemente din M xM, compusul lor prin operația * este al doilea element al perechii.

Figurarea unei operații într-o mulțime folosind diagrama sau tabele de operații se complică atunci când mulțimea are un număr mare de elemente sau este imposibilă atunci când mulțimea are un număr infinit de elemente. în acest caz, operația este dată cu ajutorul unei reguli de operație, întrucât regula de operație este independentă de numărul elementelor mulțimii.

II.5. Operații în mulțimea numerelor naturale

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale are la bază operațiile cu mulțimi de obiecte. Aceasta constituie baza intuitiv – concretă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale, cât și pentru sesizarea principiilor de bază după care se efectuează calculul și a proprietăților operațiilor.

Introducerea operațiilor cu numere naturale nu se face izolat, ci cu ajutorul legăturii dintre operații și cunoștințele însușite anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a acestora. Astfel, scăderea se introduce ca o operație de aflare a unui termen al unei adunări atunci când se cunoaște suma și unul dintre termenii adunării, înmulțirea ca o adunare repetată, împărțirea ca o scădere repetată sau ca o operație de aflare a unui factor al unei înmulțiri când se cunosc produsul și unul dintre factorii înmulțirii.

Adunarea numerelor naturale este operația internă prin care se asociază la numerele naturale a și b un număr natural notat cu a+b, care se numește suma numerelor naturale a și b. Numerele a și b se numesc termenii adunării.

Legea de asociere, de obținere a sumei a+b, este dată cu ajutorul regulii de operație, folosind mulțimi. Dacă A și B sunt două mulțimi disjuncte cu a elemente și, respectiv, cu b elemente, atunci numărul elementelor mulțimii ce se obține prin reuniunea celor două mulțimi este a+b (suma numerelor a și b).

Adunarea numerelor naturale este o operație totdeauna posibilă pe N, deci o lege de compoziție internă pe N peste tot definită.

Dintre proprietățile ce se pot stabili pentru o operație internă de tip aditiv, adunarea numerelor naturale are următoarele proprietăți:

– asociativitatea – oricare sunt numerele naturale a, b, c avem: (a+b)+c= a+(b+c);

– comutativitatea – oricare ar fi numerele naturale a și b avem: a+b=b+a;

– existența elementului neutru – există numărul natural O, astfel încât a+0=,0+a =a, oricare ar fi a Є N.

Scăderea numerelor naturale este operația prin care cunoscând suma a două numere și unul din termeni se află cel de-al doilea termen. Deci, a scădea dintr-un număr a, numit descăzut, un număr b, numit scăzător, cu a≥b, înseamnă a găsi un alt număr naturale, numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să dea descăzutul: a-b= c, dacă a = b+c.

Scăderea numerelor naturale se poate introduce cu ajutorul mulțimilor astfel: se ia o mulțime A cu a elemente și o submulțime a sa B cu b elemente. Mulțimea diferență dintre A și B sau complementara lui B față de A are a – b elemente.

Înmulțirea numerelor naturale. A înmulți a cu b înseamnă a aduna numărul natural a cu el însuși de b ori. Deci: a + a + + a = b x a

de b ori

Numerele care se înmulțesc se numesc factori. înmulțirea numerelor naturale este o operație totdeauna posibilă în N. Regula de operație este dată de adunarea repetată a aceluiași număr natural.

Înmulțirea poate fi introdusă și prin produsul cartezian. In acest caz, înmulțirea numerelor a și b se introduce astfel: se iau două mulțimi A și B, cu a și, respectiv, b elemente, se formează mulțimea A x B, iar numărul elementelor acestei mulțimi este tocmai a x b.

Dintre proprietățile ce se stabilesc pentru o lege de tip multiplicativ, înmulțirea

numerelor naturale are următoarele proprietăți:

asociativitatea – oricare ar fi numerele naturale a, b și c, avem (a x b) x c =a x (b x c);

comutativitatea – oricare ar fi numerele naturale a și b, avem a x b = b x a;

existența elementului neutru pentru înmulțire – există numărul natural 1 astfel încât a x 1 =1 x a = a, pentru oricare ar fi a Є N.

Cele două operații interne definite pe N x N cu valori în N (adunarea și înmulțirea numerelor naturale) se leagă între ele și printr-o proprietate comună: distributivitatea înmulțirii față de adunare. Oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem: ax(b + c) = axb + a xc.

Împărțirea numerelor naturale se introduce ca operația de determinare a unui număr natural atunci când se cunosc produsul a două numere naturale și unul din factorii produsului, acest factor fiind diferit de zero.

În general, prin împărțirea numărului natural a la numărul natural b se înțelege găsirea unui număr natural c astfel încât a = b x c. Numărul natural b trebuie să fie diferit de zero și se numește împărțitor, iar numărul natural a se numește deîmpărțit, iar rezultatul împărțirii se numește cât. în plus, pentru ca împărțirea în N să fie posibilă trebuie ca deîmpărțitul să fie divizibil cu împărțitorul.

Dacă deîmpărțitul nu este divizibil cu împărțitorul se spune că împărțirea nu se face exact, că restul ei nu este zero și o numim împărțire cu rest, pe care o definim astfel: oricare ar fi numerele naturale a și b cu b ≠ 0, există două numere naturale c și r, cu r < b, astfel ca a = b x c + r (teorema împărțirii cu rest).

Comparând cele două cazuri, se constată că primul caz constituie un caz particular al celui de al doilea, și anume atunci când restul este nul. în ambele situații, regula de operație a împărțirii este dată cu ajutorul înmulțirii.

Numărul zero și operația de împărțire

dacă a = b = 0, împărțirea 0 : 0 nu are sens;

dacă a ≠ 0 și b = 0, împărțirea a : 0 na are sens întrucât egalitatea a = c x 0 nu este satisfăcută pentru că nu există nuci un număr natural c astfel încât înmulțit cu 0 să dea numărul natural a.

Cu ajutorul mulțimilor, împărțirea cu rest a numerelor naturale se bazează pe separarea mulțimii A cu a elemente în submulțimi disjuncte două câte două, fiecare având câte b elemente. Numărul submulțimilor de câte b elemente ce pot fi formate este catul împărțirii, iar numărul elementelor rămase nedistribuite în submulțimi este restul împărțirii. Acest mod sugerează posibilitatea efectuării împărțirii prin scăderi repetate ale aceluiași număr, deci determinarea catului și restului prin calcul. Regula de operație a împărțirii poate fi dată și cu ajutorul scăderii repetate.

Dacă numerele naturale au fost construite pe axiomatica lui Peano, se introduc în mulțimea N două legi de compoziție interne notate „+" și respectiv „.", prin următoarele axiome:

a +1 = a’ oricare ar fi a Є N;

a + b + 1 = (a +b)’, oricare ar fi a, b Є N;

a x l = a, oricare ar fi a Є N;

a x b = a x b + a, oricare ar fi a, b Є N.

Aceste axiome nu spun precis ce este suma și produsul a două numere naturale, ele dau posibilitatea de a găsi pentru oricare două numere naturale suma și produsul lor, unic determinate.

II.6. Noțiunea de problemă. Metode de rezolvare a problemelor

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide ( noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul, algoritmi, metode) precum și deprinderi de aplicare a acestora. Rezolvarea de probleme trebuie să decurgă ca o necesitate firească solicitată de situații concrete de viața.

Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice.

Activitatea de rezolvare a problemelor favorizează dezvoltarea gândirii logice, principalul proces psihic datorită căruia omul poate realiza cunoașterea realității.

Valoarea ei nu constă în numărul de probleme rezolvate, cât în efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu și sistematic.

Cuvântul își are originea în limba și a intrat în vocabularul românesc din limba franceză.

Cuvântul folosit de matematicieni și psihologi “pro-ballein” are semnificația: “ceea ce ti se aruncă în față ca obstacol” sau provocare.

După“Dicționarul limbii române”* cuvântul are următoarele definiții:

Problemă – “obiect principal al preocupărilor cuiva, temă, materie”.

Problemă – “sarcină, preocupare majoră care cere o soluționare majoră”.

Problemă– “enunț care, conținând anumite date, ipoteze, necesită de regulă una sau mai multe soluții care se pot obține pe baza unor calcule sau raționamente”.

Referindu-se la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul.

“Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute”.**

De-a lungul vremii s-au făcut în psiho-pedagogie încercări de clasificare și încadrare a problemelor într-o anumită tipologie.

Din punctul de vedere al educării creativității, W.Rutman clasifică problemele în cinci categorii:

Reproductiv – creative – ce cuprind probleme de aplicare a algoritmilor de lucruri, de consolidare și înțelegere a operațiilor matematice, care necesită doar o gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice.

Exemplu: Andreea are 7 baloane albe și 2 baloane roșii. Câte baloane are în total?

Demonstrativ – aplicative – probleme ce includ aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența, suma și raportul , probleme de mișcare, de amestec, aliaje. În astfel de probleme rezolvarea finală este bine specificată, drumul spre rezolvare găsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.

Exemplu: Suma a două numere este 35, iar diferența lor este 9. Care sunt cele două numere?

Etalon de rezolvare: a + b = 35

a – b = 9

Problema se poate rezolva însă la clasa I fie prin adunarea numerelor și aflarea jumătății lor, fie prin scăderea și aflarea jumătății, folosindu-se reprezentarea grafică.

Euristic – creative – probleme ce presupun specificarea cerinței și a condițiilor ce trebuie satisfăcute.

Exemplu: Aflați numerele a și b știind:

sunt pare și nenule;

sunt mai mici decât 10.

Câte soluții are problema?

Etalon de rezolvare: a,b E Ș 2,4,6,8 }. Întrucât b=2a → a=2; b =4 sau a=4; b= 8.

Problema are două soluții:

Inventiv – creative – sunt problemele în care ipoteza este bine specificată, menționând elementele prin care se presupune atingerea stării finale. Aici se încadrează problemele de compunere ale elevilor dupăi schemă dată sau probleme variabile compuse de elevi.

Probleme de optimizare – reprezintă problemele care solicită procesul de transfer al cunoștințelor fie de la alte discipline fie din realitate. Sunt specifice elevilor mai mari, având un grad de dificultate sporit.

Problemele se mai pot clasifica și după alte criterii:

După finalitate și după sfera de aplicabilitate:

Probleme teoretice;

Probleme practice.

După conținut:

Probleme de geometrie;

Probleme de fizică;

Probleme tipice (de mișcare, de aliaj);

Probleme de tip algebric;

După numărul operațiilor:

Probleme simple;

Probleme compuse.

După gradul de generalitate al metodei folosite:

Probleme generale care se rezolvă folosind metoda sintetică (pornind de la datele problemei către întrebare) sau metoda analitică (pornind de la întrebare către datele problemei);

Probleme tipice rezolvabile după o anumită metodă: grafică, a falsei ipoteze, comparație, a reducerii la unitate);

După rolul lor:

Cu rol informativ: a) utile în practică;

b) de cultură generală.

Cu rol informativ: a) de exersare a gândirii;

b) de educare a creativității.

Probleme nonstard: recreative, rebusistice, de perspicacitate, de ingeniozitate.

Aceasta nu înseamnă o clasificare rigidă, o problemă de multe ori putând fi încadrată în mai multe categorii, ținând cont de punctul de vedere al obiectivului urmărit.

Paralel cu însușirea algoritmilor, un rol important trebuie să ocupe formarea unor procese de natură nealgoritmică. Elevii trebuie să fie capabili să rezolve și probleme pentru care nu există algoritmi.

Fiecare problemă pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale copiilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența.

Uneori sunt puși în situații noi, pentru care nu găsesc soluții în experiența dobândită anterior sau între mijloacele deja învățate.

Când problema nu poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor formate, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În acest caz al situațiilor – problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei să dispună de o serie de competențe în domeniul: informativ, instrumental, formativ. O condiție de baza a unei activități mintale cu adevărat productive este existența unei informații bogate și foarte clar organizate.

Actul recunoașterii și încadrării problemei în categoria respectivă este totuși un act creativ. “A ști” să rezolvi o problemă presupune a avea capacitățile necesare pentru rezolvarea oricărei probleme întâlnită pentru prima dată.

Aceste capacități se referă la înțelegerea datelor și a ordinii lor, înțelegerea condițiilor problemei, precum și la posibilitățile de elaborare a șirului de judecăți pentru a construi raționamente de rezolvare a problemei. În situația rezolvării unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creație.

Prin rezolvarea unor probleme similare se ajunge la elaborarea algoritmului de rezolvare a tipului de problemă care, cu cât este mai labil, mai flexibil, cu atât dă posibilitatea “mișcării” mai rapide a gândirii. Aceasta se realizează prin varietatea problemelor aparținând aceleiași categorii.

În cazul problemelor tipice, această schemă mintală se fixează ca algoritm de calcul care se învață și se aplică la fel ca regulile de calcul. Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare a problemelor, treptat enunțurile care constituiau pentru el o problemă, devin simple exerciții.

În activitatea de rezolvare a problemelor există faze de tensiuni, neliniște, cu cât aceste informații ( cunoscute) sunt mai ample, mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în minte să ducă la două soluții. De preferat se alege soluția cea mai simplă, cea mai “elegantă”.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee, de moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt deprinderi cu caracter general ca:

orientarea activității mintale asupra datelor problemei;

punerea in legătură a datelor, stabilirea dependentei lor;

posibilitatea de a izola ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut;

atragerea (găsirea, folosirea) acelor cunoștințe care servesc rezolvării problemei.

Este necesar de asemenea să stăpânească unele modalități executorii care se referă la detaliile acțiunilor ( operații aritmetice), care se automatizează, se fixează și devin deprinderi.

Aceste deprinderi se formează prin exercițiile care se efectuează în timpul rezolvării problemelor. Cu toată varietatea lor, problemele nu sunt “ independente”, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei

Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din

planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altor căi și metode de rezolvare;

generalizare;

compunerea de probleme după cerințe date.

După rezolvarea unei probleme se recomandă, pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte fixarea algoritmilor de rezolvare, scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu.

Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate dar rezolvabile după același exercițiu se descoperă schema generală de rezolvare, căutare, se fac o serie de încercări, de verificare a unor cazuri particulare, de intuire a soluției posibile, atenția concentrându-se nu numai asupra fiecărei verigi în parte ci și asupra țelului, asupra modului cum se vor alege aceste verigi. În cadrul acestor căutări, o importantă deosebită revine intuiției, intuiției logice, intuiției matematice.

După descifrarea drumului către soluția problemei, urmează partea de executare a construcției, de calculare , de aflare, de demonstrare.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul “film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Sarcina învățătorului este de a conduce de la început raționamentul copiilor în rezolvarea primelor probleme, dezvoltând capacitățile de analiză și sinteză ( de înțelegere a datelor problemei, de sesizare a condiției problemei, de a orienta logic șirul de judecăți către, sau de la, întrebarea problemei ).

De asemenea, în activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape, în fiecare etapă având loc un proces de reorganizare a datelor și de reformularea algoritmului de rezolvare a unei categorii de probleme, ținând cont de ordinea pașilor făcuți în rezolvare. Această cerință nu trebuie să ducă la schematizare, la fixitatea sau rigiditatea gândirii ci dimpotrivă, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectualului copiilor.

Învățătorul are rolul de călăuză a activității copilului, de îndrumător , de ghid și de evaluator confirmând sau infirmând rezolvarea corectă a unei probleme astfel încât copilul să resimtă farmecul, atracția și înclinația pentru rezolvarea problemelor, pentru matematică.

Metode de rezolvare a problemelor

Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii:

Metode algebrice;

Metode aritmetice.

Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor tehnica specifică calculului algebric adică bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva algebric o problemă se parcurg următoarele etape:

stabilirea necunoscutelor și notarea lor literală;

punerea problemei în ecuație, adică traducerea în limbaj algebric a relațiilor dintre

valorile cunoscute și necunoscute, prin utilizarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații;

rezolvarea ecuației sau a sistemului de ecuații respectiv;

interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problemă pentru a stabili în ce măsură acestea corespund naturii și condițiilor problemei, aprecierea faptului dacă problema admite una sau mai multe soluții, ori dacă aceste soluții impun anumite limite și în general dacă soluțiile sunt sau nu posibile din punct de vedere logic și plauzibile din punct de vedere practic.

Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune,

astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora din metodele aritmetice în a căror alegere nu se pot stabili criterii precise. De aceea, cu deosebire în situațiile în care rezolvarea prin metode aritmetice întâmpină dificultăți, este indicat să se utilizeze întâi metoda algebrică, aceasta punând la îndemână rezolvitorului instrumentul matematic adecvat și orientându-l just în alegerea și aplicarea metodelor aritmetice. Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode creează avantajul evitării eforturilor inutile. Sunt însă împrejurări în care metodele algebrice se împletesc atât de strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin raționamente specifice aritmeticii se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute, adică la ecuații și sisteme de ecuații. În astfel de situații, calculul se poate face cu motivare aritmetică, pe baza relațiilor dintre termenii unei operații și rezultatul ei, sau cu motivare algebrică, pe baza proprietăților ecuațiilor. Așa se întâmplă în unele probleme tipice, cu deosebire în cele care se rezolvă prin metoda mersului invers, precum și în cele de amestec, concentrații și aliaj. Procedee de natură algebrică se întâlnesc apoi în probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, sau în cele care se rezolvă prin metoda comparației.

Exemplu: Dacă lungimea unei grădini dreptunghiulare se mărește cu 6m și lățimea cu 3m, aria ei crește cu 180m, iar dacă lungimea grădinii se micșorează cu 4m si lățimea se mărește cu 3m, aria ei se micșorează cu 20m. Să se afle dimensiunile inițiale ale grădinii.

Rezolvare: Notăm lungimea grădinii cu x, lățimea cu y si ținând seama de faptul că aria dreptunghiului este egală cu produsul dimensiunilor lui, putem scrie sistemul:

( x + 6 ) ( y + 3 ) = xy + 180

( x – 4 ) ( y + 2 ) = xy – 20

care, după desfacerea parantezelor si reducerea termenilor asemenea, devine :

3x + 6y = 162 x + 2y = 54 x = 24 ( m )

2x – 4y = -12 x – 2y = -6 y = 15 ( m )

Metodele aritmetice se clasifică în două categorii: – metode fundamentale sau generale; – metode speciale sau particulare.

Metodele aritmetice generale se aplică într-o măsura mai mare sau mai mică in rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică.

Metoda analitică

A exprima o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple din care e alcătuită într-o succesiune logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.

Exemplu: La un magazin s-au adus 10 lădițe cu mere a câte 30 kg fiecare și 12 lădițe cu prune a câte 25 kg fiecare. Câte kg cântăresc în total lădițele cu mere si cu prune?

Schemă :

Planul de rezolvare :

Care este cantitatea de mere ?

10 x 30 = 300 kg

Care este cantitatea de prune?

12 x 25 = 300 kg

Care este cantitatea totală?

300 + 300 = 600 kg

Verificare si punere în exercițiu:

10 x 30 + 12 x 25 = 300 + 300 = 600 kg.

Metoda sintetică

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a se așeza aceste probleme într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

Exemplu: Problema enunțată și studiată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:

Schema :

Planul de rezolvare:

Câte kilograme de mere s-au adus? 10 x 30 = 300 kg

Câte kilograme de prune s-au adus? 12 x 25 = 300 kg

Ce cantitate de fructe s-a adus? 300 + 300 = 600 kg

Verificare si punere în exercițiu: 10 x 30 + 12 x 25 = 300 + 300 = 600 kg

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependentă. Ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă .De aceea, nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele operații cu laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații una dintre ele devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar deseori sub o denumire unică: metoda analitico-sintetică.

De astfel, legătura strânsă dintre analitic și sintetic este pusă în evidență chiar de felul de desfășurare și stabilire a concluziilor în examinarea problemei cu ajutorul căreia s-au exemplificat cele două metode. Astfel, planul de rezolvare stabilit în urma examinării problemei respective prin metoda analitică este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiind aceeași. Doar în cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o forma mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.

Metodele aritmetice speciale sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la alta, adaptându-se specificului acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt următoarele:

Metoda grafică

aflarea numerelor când se dau suma și diferența lor;

aflarea a două numere când se dau suma și raportul lor;

aflarea a două numere când se dau diferența si raportul lor;

probleme combinate.

Metoda comparației

aducerea la același termen de comparație;

eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei.

Metoda ipotezelor

Metoda mersului invers

Probleme de mișcare

distanta –spațiul, viteza, timpul;

mobile care merg în același sens;

mobile care merg în sens contrar;

probleme combinate.

Probleme de medii, amestec, concentrații, echilibru caloric, aliaj.

Probleme cu conținut geometric

Probleme cu conținut de fizică

Probleme nonstard( recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc)

Metoda figurativă sau grafică

Metoda care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele utilizează elemente grafice sau desene și scheme se numește metoda figurativă. În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora:

desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;

figuri geometrice diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, dreptunghiul, pătratul, cercul;

figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;

felurite semne convenționale, unele obișnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;

litere și combinații de litere;

elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculețe etc.

Avantajele pe care le reprezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei:

are caracter general, aplicându-se la orice categorii de problemă în care se pretează figurarea și pe diferitele trepte ale școlarității;

are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal;

prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.

Exemplu: În două vaze se găsesc 16 flori. Câte flori se găsesc în fiecare vază, dacă în prima sunt cu 6 flori mai mult decât în a doua?

Rezolvare:

+ 6 flori

I ––––––––––––

II ––––––––- 16 flori

a. 16 – 6 =10 ( două părți egale cu numărul florilor din a doua vază)

b. 10 : 2 =5 ( flori care se găsesc în a doua vază)

c. 5 + 6 =11 ( flori care se găsesc în prima vază)

Verificare:

a. 11 + 5 =16 ( flori care se găsesc în cele două vaze)

b. 11 – 5 =6

Metoda comparației

Comparația ca operație a gândirii logice intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași. Algebric, aceste relații se traduc sub forma unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere, fiind analog cu cel algebric. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Problemele care se rezolvă prin reducere se pot clasifica și după numărul mărimilor sau necunoscutelor care apar în text și anume cu două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relațiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective.

Exemplu: 16 saci cu făină si 15 saci cu cartofi cântăresc 2030 kg, iar 22 de saci cu făină si 15 saci cu cartofi cântăresc 2510 kg. Cât cântărește un sac cu făină si cât cântărește un sac cu cartofi?

Rezolvare: Scriem datele problemei astfel:

16 s. f. 15 s. c. 2030 kg

22 s. f. 15 s. C 2510 kg

6 s.f. 480 kg

Am scăzut valorile de sus din valorile de jos:

Metoda ipotezelor

Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ipoteze sau a mai multora, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Întrucât ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se mai numește a falsei ipoteze.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe această metodă, se pot clasifica în două categorii, după numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor, astfel:

probleme de categoria întâi, pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

probleme de categoria a II a, pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemple: Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și gâște, în total 3 444 capete și 11 520 picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare ca al vacilor, iar al gâștelor de 3 ori mai mic decât al găinilor, să se afle separat câte vaci, oi, găini și gâște are ferma.

Rezolvare:

Ținând seama că vacile și oile au câte 4 picioare, iar găinile și gâștele câte două, se va afla întâi câte animale au 4 picioare și câte au 2 picioare, și apoi câte din cele cu 4 picioare sunt vaci sau oi, și câte din cele cu 2 picioare sunt găini sau gâște.

În acest scop se presupune că toate animalele sunt cu câte 4 picioare.

Verificare:

II. Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe bancă, rămân 18 persoane în picioare. Iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe bancă, rămân 4 bănci libere. Câte bănci sunt în sală și câți spectatori?

Rezolvare:

Ipoteza I: Se presupune că ar fi 30 de bănci

30 x 4 =120 ( spectatori) 30 – 4 = 26 ( bănci ocupate)

120 + 18 = 138 (spectatori) 26 x 5 = 130 (spectatori)

138 – 130 = 8 ( diferența dintre spectatori)

Ipoteza a II a: Se presupune că ar fi 31 bănci

31 x 4 = 124 (spectatori) 31 – 4 =27 ( bănci ocupate )

124 + 18 = 142 (spectatori) 27 x 5 = 135 (spectatori)

142 -135 = 7 ( diferența dintre spectatori)

Dacă numărul băncilor s-a mărit cu 1, diferența s-a micșorat cu o unitate, de unde rezultă că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 pentru ca diferența de spectatori să se acumuleze.

Deci: 38 x 4 = 152 (spectatori) 38 – 4 = 34 (bănci ocupate)

152 + 18 = 170 ( spectatori) 34 x 5 = 170 (spectatori)

Această problemă mai poate fi rezolvată și algebric cu ajutorul unui sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Metoda mersului invers

A rezolva un exercițiu sau o problemă prin metoda mersului invers înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la un element de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Se numește a mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în timpul respectiv.

Exemple:

Exercițiu rezolvat prin metoda mersului invers: Se consideră un număr notat cu a, la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește cu 6, din produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5, obținându-se 25.Cât este a?

[( a + 7 ) x 6 – 10] : 4 + 5 = 25

Rezolvare:

[(a+7 ) x 6 – 10] : 4 = 25 – 5

[( a+7 ) x 6 – 10] :4 = 20

( a + 7 ) x 6 – 10 = 20 x 4

( a + 7 ) x 6 – 10 = 80

(a + 7 ) x 6 = 80 + 10

(a + 7) x6 = 90

a + 7 = 90 : 6

a + 7 = 15

a = 15 – 7

a = 8

Problemă: O librărie a distribuit manuale de matematică la 4 scoli astfel: Scolii Nr. 1, ¼ din numărul total de manuale și încă 33 de manuale. Scolii Nr. 2, cu 14 manuale mai puțin decât 1/3 din cele care rămăseseră. Scolii Nr. 3, cu 30 manuale mai mult decât 2/3 din rest, iar Scolii Nr.4 cu 20 manuale mai puțin decât 2/3 din noul rest. Câte manuale de matematică au fost în total si câte s-au distribuit fiecărei scoli știind că în librărie au mai rămas 157 manuale, pentru cursurile serale?

Relații:

Școala Nr.1 1/433 R1

Școala Nr.2 1/3 R1 – 14 R2

Școala Nr.3 2/3 – 39 R3

Școala Nr,4 2/3 R3 – 20 R4 = 157

Rezolvare:

Dacă Școala Nr.4 n-ar fi primit cu 20 manuale mai puțin decât 2/3 R2, atunci pentru seral ar fi rămas 157 – 20 = 137 (manuale). Relația ar fi fost 2/3 R3 (manuale primite);

rest 137 manuale, adică 1/3 R3 = 137 manuale, atunci R3 = 411 manuale.

Școala Nr.3 a primit 2/3 R2 – 39 și au rămas R3 = 411 manuale. Dacă n-ar fi primit în plus 39 manuale, ar fi rămas și acestea: R3 = 411 + 39 = 450 manuale. Relația s-ar scrie: 2/3 R2 ( manuale primite) si 450 manuale rămase, de unde 1/3 R2 = 450 manuale, deci R3 = 3 x 450 = 1350 manuale.

Școala Nr.2 a primit 1/3 R1 – 14 manuale și au rămas 1350 manuale. Dacă n-ar fi primit cu 14 manuale mai puțin, ar fi rămas numai 1350 – 14 = 1 336 manuale, deci 1/3 R1 (manuale primite) si 1 336 manuale rămase. Atunci 2/3 R1 = 1336 manuale si R1 = 1 336 x 3 : 2 = 2004 manuale.

Școala Nr.1 a primit 1/4T + 33 manuale, rămânând pentru celelalte școli 2004 manuale. Dacă n-ar fi primit în plus 33 manuale, ar fi rămas pentru celelalte școli 2004 + 33 = 2037 manuale și relația se scrie 1/4T (manuale primite), 2037 manuale rămase, deci 2/3T = 2 037 manuale, T = 2037 x 4 : 3 = 2 716 manuale.

Probleme de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: spațiul (distanta), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul (s ) este lungimea drumului parcurs de un mobil ( tren, autoturism, om) exprimat în unități de lungime ( metrul, multiplii sau submultiplii lui ).

Viteza ( v ) este numărul de unități de lungime parcurs de un mobil într-o unitate de timp, exprimată în unități de lungime pe unități de timp( m/s, km/h).

Timpul ( t ) este numărul de unități de timp ( secunde, minute, ore, zile ) în care se parcurge spațiul.

În general, în problemele de mișcare se vorbește despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică, în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz, cele trei mărimi s, v, t sunt legate prin relația:

s = v x t; v = s/t; t = s/v

La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice.

Exemplu:

Doi turiști parcurg distanța de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist este de 4 km/h, iar celui de-al doilea de 6 km/h. Să se determine distanța de la A la B.

Rezolvare:

I. (aritmetică):

V1 = 4 km/h, V2 = 6 km/h, V2-V1 = 2 km/h

Deci primul a rămas în urmă cu spațiul, S = 4km/h x 2 h = 8 km; 8: 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4 ore și a parcurs 4 x 6 = 24 km, AB = 24 km.

II. (algebrică):

T1 = s/4 ( timpul necesar parcurgerii spațiului AB de primul turist).

T2 = s/6 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al doilea turist)

s/6 – s/4 = 2 ; 3s – 2s = 24 ; s= 24; AB = 24 km.

Probleme de medii, amestec, concentrații, echilibru caloric, aliaj

În unele situații, pentru anumite fenomene, din punct de vedere matematic, se pot înlătura particularitățile individuale, analizând noțiunea de medie. Apar următoarele noțiuni specifice: termenii mediei, frecventă – repetarea anumitor termeni, ponderi – numerele care arată frecvența.

1. Media aritmetică simplă

A = ( a1 + a2 +….. + an) / n

Exemplu: Un tractorist a arat în 6 zile respectiv 8 ha, 7,8 ha, 7,6 ha, 8,6 ha, 8,4 ha si 8,2 ha. Care este media zilnică ?

A = ( 8 + 7,8 + 7,6 + 8,6 + 8,4 + 8,2 ) : 6 = 8,1 ha

2. Media aritmetică ponderată

În cazurile în care anumiți termeni ai mediei aritmetice se repetă cu o frecventă dată, media se numește ponderată, întrucât în calcului ei intervin ponderile. Media aritmetică ponderată este egala cu suma produselor termenilor prin ponderile lor împărțită la suma ponderilor.

3. Media armonică

Pentru două numere reale pozitive, a1, a2, media armonică simplă este egală cu dublul produs al acestor valori împărțit prin suma lor.

Media armonică se utilizează cu deosebire în următoarele cazuri: când valorile sunt invers proporționale sau când nu se cunosc ponderile, apoi pentru calcularea prețului mediu al unor produse ale căror preturi individuale sunt deosebite pentru același produs sau pentru calcularea productivității muncii în situațiile în care îndeplinirea prevederilor planului de producție variază pe secții sau sectoare.

Probleme de amestec, concentrații și echilibru caloric

Unirea mai multor calități sau sorturi dintr-un produs în scopul obținerii unei noi calități din acel produs se numește amestec. Orice amestec se caracterizează matematic prin cantitate și calitate. Cantitatea se exprimă în unități din sistemul metric, iar calitatea prin preț unitar în cazul amestecului de mărfuri, în grade pentru temperatură și băuturi alcoolice, în procente pentru soluții . Prin preț unitar se înțelege valoarea monetară a unei unități cantitative dintr-un produs și se obține împărțind valoarea totală a produsului sau a amestecului la cantitatea considerată.

CAPITOLUL III

CERCETAREA PEDAGOGICĂ PRIVIND IMPORTANȚA METODELOR ȘI TEHNICILOR SPECIFICE FOLOSITE ÎN PREDAREA-ÎNVĂȚAREA PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

III. 1. Conceptul de cercetare pedagogică. Tipuri de cercetare pedagogică

Cercetarea științifică este o sursă extrem de importantă de dezvoltare a gândirii și practicii creatoare, de soluționare a multor probleme ale practicii sociale și de progres. Ea este o investiție pe termen lung, pentru dezvoltarea durabilă fiind realizată numai în scopul progresului umanității, al binelui. Dezvoltarea științei pedagogiei și a învățământului este strâns legată de cercetarea pedagogică. Ea este efectuată de cercetători profesioniști, dar poate fi realizată și de cadre didactice care sunt preocupate de asigurarea organizării și desfășurării eficiente a activității instructiv-educative și de investigarea fenomenelor pedagogice în vederea optimizării lor.

Cercetarea pedagogică este o strategie proiectată și realizată în scopul de a surprinde relații și fapte noi între componentele acțiunii educaționale și de a elabora soluții optime pentru problemele procesului de învățământ. Este un demers rațional și este organizat logic având un caracter multidisciplinar. Poate fi centrată pe diferite aspecte:

personalitatea elevului, condițiile de învățare, climatul psihosocial, stil didactic,

strategiile de predare-învățare-evaluare, parteneriatul școală-familie;

diferitele componente sau laturi ale educației: morală, intelectuală, profesională, estetică,

fizică.

Iată o prezentare a tipurilor de cercetare pedagogică:

după tipul de norme și rigori metodologice:

cercetări cantitative:

– se bazează pe măsurarea numerică a unor aspecte ale fenomenelor studiate;

– au ca scop testarea ipotezelor cauzale sau obținerea de descrieri generale;

– măsurătorile și analizele realizate pot fi reluate și refăcute cu ușurință de către alți cercetători;

– se utilizează ca metode: experimentul, analiza cantitativă a documentelor, ancheta cu chestionar standardizat, observația sistematică din exterior;

– datele pe care le obținem sunt caracterizate prin fidelitate și validitate.

cercetări calitative: – sunt centrate asupra unui număr mic de cazuri; – se bazează pe studii de caz, interviuri intensive, analiza calitativă a documentelor;

– utilizându-se un limbaj natural, metaforic, cu puține date statistice și reprezentări grafice se obțin date complexe, de adâncime, bogate;

– facilitează obținerea unui volum bogat de informații.

după esența și obiectivele cercetării:

cercetarea fundamentală:

– are un scop general de cunoaștere care deschide noi orizonturi asupra fenomenului educațional;

– conduce la formularea unor legi și axiome verificabile;

– permite explorarea unor domenii puțin cunoscute.

cercetarea aplicativă:

– legată direct de practică, de aplicații imediate; răspunde necesităților practice ale școlii, elevilor;

– are ca scop perfecționarea strategiilor de predare-învățare, dezvoltarea parteneriatului școală-familie.

cercetarea de dezvoltare sa operațională:

– vizează implementarea rezultatelor cercetării fundamentale și aplicative.

după funcția îndeplinită:

cercetări constatative:

– uneori se prelungesc și devin cercetări ameliorative;

– urmăresc descrierea și cunoașterea riguroasă a unui proces, a unei anumite situații, a factorilor implicați;

– cercetătorul-profesorul constată starea de fapt, introduce un factor de progres, de optimizare a demersului instruirii-învățării.

cercetări ameliorative: – vor verifica eficiența unor inovații, intervenții în creșterea randamentului școlar, în stimularea procesului de socializare a copilului.

după metodologia adoptată:

cercetări observaționale:

– sunt efectuate de către observatori urmărindu-se diferite aspecte ale activității de predare-învățare-evaluare în vederea desprinderii unor concluzii;

– acesta își elaborează indicatorii observaționali;

– au o arie de aplicabilitate mai restrânsă;

– sunt întâlnite în dezvoltarea tehnicilor de muncă intelectuală, în frecvența greșelilor tipice întâlnite în învățarea unei limbi străine.

cercetări experimentale:

– constau în declanșarea unor acțiuni educaționale pentru a putea descoperi relațiile cauzale după care se desfășoară procesul educațional;

– rezultatele sunt prelucrate și înregistrate statistic.

Între aceste tipuri de cercetare există o interferență și se completează reciproc.

III.2. Etapele cercetării pedagogice.

Cercetarea pedagogică concepută ca un demers sistematic parcurge în desfășurarea ei mai multe etape, și anume:

Delimitarea problemei de cercetat

Această etapă constă în:

sesizarea apariției unei probleme de investigat pentru care nu s-a găsit o explicație adecvată;

formularea clară a problemei;

documentarea în domeniu.

Unul din faptele pedagogice care poate constitui obiectul unei cercetări pedagogice poate fi: Metode și tehnici specifice folosite în predarea-învățarea problemelor de matematică. Succesul în dobândirea cunoștințelor de către elevi privind operațiile matematice depind în mare măsură de către învățător, de felul în care acesta reușește să conducă procesul instructiv -educativ, prin modul cum își alege strategiile didactice. Respectând toate acestea i se dă elevului posibilitatea de a transforma cunoștințele pasive în cunoștințe active și îl favorizează în descoperirea de noi noțiuni și folosirea acestora în activitatea practică.

Formularea obiectivelor și a ipotezei de lucru

Odată cu alegerea temei se procedează la definirea obiectivelor. Obiectivele se formulează într-o formă mai generală luând în considerare toate variabilele ce trebuiesc analizate. Obiectivele propuse în realizarea acestei lucrări sunt:

Cunoașterea nivelului însușirii noțiunilor matematice cu numerele naturale până în momentul evaluării inițiale;

Proiectarea și realizarea intervenției ameliorative axată pe folosirea strategiilor algoritmice în rezolvarea problemelor de matematică;

Formularea concluziilor cu rol optimizator în activitatea didactică.

Ipoteza este definită ca fiind o idee provizorie, o supoziție, o presupunere aflată în strânsă legătură cu problema pedagogică luată în rezolvare. Ea implică aceea întrebare de la care se caută răspuns cu ajutorul cercetării având de cele mai multe ori între două sau mai multe posibilități de răspuns la acea întrebare. Valoarea de adevăr sau fals potențială, probabilă, iar cercetarea are rolul de a verifica acest lucru. Cerințele care trebuiesc respectate în formularea ipotezei sunt:

ipoteza să fie nouă, originală, exprimată clar, fără echivoc;

să fie testabilă și specifică;

să aibă coerență internă și externă;

să permită validarea sau infirmarea ei, evitând riscurile, eșecurile;

să fie raportată direct la metodele de cercetare, la faptele empirice;

să cuprindă o sferă mai largă de fenomene în afara celor studiate, pentru a putea face comparații și delimitări corespunzătoare.

Având în vedere cele menționate mai sus, am formulat următoarea ipoteză: utilizarea strategiilor algoritmice de rezolvare a problemelor de matematică duce la înțelegerea conștientă și rapidă a noțiunilor, astfel permițând creșterea randamentului școlar. Din această ipoteză se desprind două variabile:

variabila independentă: strategii algoritmice de rezolvare a problemelor de matematică;

variabila dependentă: creșterea eficienței în însușirea noțiunilor matematice și progresul școlar al elevilor.

Organizarea cercetării

Această etapă presupune:

– stabilirea perioadei în care are loc cercetarea;

– precizarea locului;

– delimitarea eșantionului de elevi care sunt cuprinși în cercetare făcând o scurtă prezentare

în funcție de vârstă, sex, proveniență social-profesională, mediu;

– disciplina de învățământ vizată în cercetare.

Eșantionul trebuie să răspundă unor cerințe statistice privind omogenitatea, reprezentativitatea și mărimea eșantionului. În cercetarea mea, voi folosi două eșantioane: unul experimental (asupra căruia se intervine cu factorul de progres, experimental în vederea producerii modificărilor); și altul de control, martor (în care nu se intervine). Activitatea de cercetare s-a desfășurat în anul școlar 2013-2014 utilizând două clase una experimentală constituită din 15 de elevi ai clasei a IV-a B (10-fete,-băieți) din cadrul Școlii Gimnaziale ……………….. și cea de-a două clasă de control din 20 elevi ai clasei a IV-a A ( 15-fete, 5-băieți)din cadrul Școlii Gimnaziale………………., cu vârste cuprinse între 11-12 ani.

Ambele colective sunt relativ omogene, majoritatea copiilor fiind normal dezvoltați, atât intelectual, cât și fizic. Elevii sunt disciplinați, comunicativi și sociabili, cu un grad de dezvoltare intelectuală normal.

Cercetarea a cuprins trei etape:

1. Etapa inițială cuprinde perioada 17.09.2013-1.10.2014. A constat în utilizarea mai multor metode și procedee în recapitularea noțiunilor matematice (numere naturale de la 0 la 1000, operații de adunare și scădere cu aceste numere cu aplicații în exerciții și probleme). La disciplina matematică, s-au aplicat teste de cunoștințe:

Testul nr. 1- numere naturale de la 0 la 1000: formarea, ordonarea și compararea;

Testul nr. 2- operații de adunare și scădere cu numere naturale 0-1000.

Faptul că știu nivelul de pregătire al elevilor de la care am plecat și gradul în care elevii își stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice. Prelucrarea și analiza rezultatelor, mi-au oferit posibilitatea formulării concluziilor cu privire la colectivul de elevi, pentru fiecare elev în parte.

2. Etapa formativ-ameliorativă s-a desfășurat în perioada 1.10.2013-31.05.2014. Atât în

clasa experimentală, cât și în cea de control, s-a proiectat , organizat și desfășurat procesul didactic, centrat pe strategii algoritmice în vederea creșterii performanțelor elevilor. S-a introdus factorul de progres (folosirea metodelor și procedeelor algoritmice în rezolvarea problemelor de matematică) urmărindu-se antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei formări. Cu ajutorul factorului de progres s-a acționat doar în cazul eșantionului experimental în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, pe când cel de 94

control este folosit ca martor. La sfârșitul cercetării voi compara rezultatele obținute pe ambele eșantioane și voi face pe această bază diferențele care se datorează factorului de progres. Pe baza rezultatelor pe care le-am obținut, am lucrat diferențiat atât cu elevii care au un randament crescut la învățătură,cât și cu cei care au lipsuri în cunoștințe.

3. Etapa finală s-a desfășurat în perioada 1.06.2014- 20.06.2014, în cadrul căreia am

aplicat probe de evaluare pentru a stabili nivelul de pregătire și modul în care au evoluat de la testele inițiale.

III.3. Metodologia de cercetare

Plecând de la ideea că metoda de investigare este un instrument dar și un rezultat al cercetării, am folosit atât metode relativ – obiective care să constate, să înregistreze și să măsoare reacțiile subiecților în diverse situații (simple sau problematice), precum și un sistem complementar de metode care să permită evaluarea unor schimbări în plan comportamental.

Stabilirea metodologiei de cercetare presupune alegerea unui complex de metode care să ne ajute în strângerea unei cantități de informații suficiente , concrete, complete și obiective, a căror analiză și interpretare să ne conducă la răspunsuri și concluzii viabile. Acestea sunt metode de înregistrare, măsurare sau colectare a datelor: observația directă, experimentul, ancheta pe bază de interviu sau chestionar, teste și probe, studiul de caz, statistico-matematică și metode de prelucrare a datelor.

Metode de colectare a datelor cercetării

Metoda observației este o metodă de investigație directă, principală, deoarece constă în urmărirea organizată, sistematică, a fenomenelor pedagogice aflate in condiții de desfășurare normale. Ea are un caracter de diagnoză educațională, constatativ. Datele obținute cu ajutorul observației se notează, fără interpretări, într-un jurnal de observații. Ca metodă științifică, observația trebuie să îndeplinească anumite cerințe:

– să fie subordonată față de anumite obiective precizate de la începutul observației;

– planificarea trebuie să se facă continuu și sistematic, pe o perioadă destul de întinsă ca să

se poată surprinde diferite ipostaze de manifestare a fenomenului pedagogic;

– să se acorde seriozitate acestei metode;

– efectuarea observației să se realizeze într-un cadru de referință făcându-se compararea cu

alte situații similare din alte colective sau școli, din diferiți ani, diferite perioade ale anului școlar;

– formularea datelor strânse să se facă oral sau în scris fiind necesară în conturarea precisă

a celor văzute sau auzite.

Ca metodă de cercetare, observația constă în urmărirea intenționată și înregistrarea exactă, sistematică a diferitelor manifestări comportamentale ale elevilor așa cum se prezintă ele în mod normal.

Calitatea observației depinde de o serie de factori dintre care enumerăm:

• particularitățile psiho – individuale ale observatorului (concentrarea atenției, sesizarea esențialului);

• ecuația personală a observatorului (tip descriptiv, tip evaluativ, tip erudit, tip imaginativ);

• factori sociali ce pot deforma calitatea percepției, selectivitatea ei.

În orice tip de observație, cercetătorul trebuie să-și pună o serie de întrebări:

– Ce trebuie observat?

– Cu ajutorul căror tehnici/ instrumente pot fi înregistrate faptele?

– Unde și când se va realiza observația?

Ruth C. Kohn și Piere Negre propun un model al observării cu următoarele dimensiuni:

Cine? Pentru cine?

Pentru ce?

Cum? Ce?

Când? Unde?

Conversația este o formă de anchetă ce constă într-un dialog dintre cercetători și subiecți supuși investigației în vederea colectării unor date în legătură cu fenomenele ce se urmăresc. Ea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate.

Conversația furnizează informații pentru înțelegerea motivelor interne ale conduitei, a trăirilor afective, a intereselor, a conflictelor, a prejudecăților, valorilor, aspirațiilor, ea dezvăluie demersul gândirii subiectului, atitudinea față de ceilalți, influența familiei și a mediului social imediat.

După specificul întrebărilor care declanșează răspunsul se pot distinge următoarele tipuri de conversații care se bazează pe:

• întrebări închise

• întrebări deschise (cu mai multe răspunsuri corecte)

• întrebări simulatorii și exploratorii (mai ales în cadrul metodelor descoperirii, problematizării, cercetării.

Experimentul este cea mai importantă în cercetare având un caracter inovator, fiind

denumită și observație provocată. El constă în schimbarea deliberată și producerea unor evenimente sau procese educaționale cu rolul de a putea observa, evalua și măsura prin control sistematic toți factorii care le determină, le influențează sau interacționează cu modul lor de manifestare. În experiment intervin două categorii de variabile:

variabile independente (schimbările sau modificările introduse de către

cercetător în vederea studierii efectelor produse de acestea);

variabile dependente (rezultatele constante obținute în urma utilizării variabilelor independente fiind supuse interpretărilor și măsurătorilor). În aplicarea experimentului pedagogic, trebuiesc parcurse anumite etape:

– stabilirea problemei de cercetare, cât și formularea ipotezei de lucru;

– valorificarea ipotezei prin introducerea modificării produsă de aceasta;

– prelucrarea materialului faptic care confirmă sau infirmă ipoteza.

Formele experimentului pedagogic sunt:

de laborator (act de testare psihologică, pedagogică și docimologică; condiții de

desfășurare în laborator, în unele cazuri sunt relativ artificiale);

natural (elevii și profesorii consider că așa trebuie să se desfășoare procesul instructiv – educativ).

Verificarea valorii, eficiența și veridicitatea datelor pedagogice strânse prin experiment necesită comparare. În acest caz, cercetarea se efectuează pe două grupe paralele de subiecți: o clasă în care se provoacă fenomenul,numită si clasă experimentală, ca și în cazul cercetării mele, și o clasă martor în care fenomenul nu este provocat, ci se fac doar observații de constatare obișnuite. Prin compararea rezultatelor de la cele două clase cercetat se pot confirma ipotezele dacă experimentul a produs ceva nou, dacă a adus ameliorări. Numai dacă se confirmă ipotezele, abia atunci se poate trece la generalizarea rezultatelor obținute

Experimentul este apreciat ca cea mai importantă metodă de cercetare ce presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale – o persoană intenționată a manifestării fenomenului

Metoda experimentului are ca principală caracteristică provocarea intenționată a manifestării fenomenului. Datele au fost obținute atât prin simpla observare provocată cât și cea bazată pe raționamentul experimental.

Variabilele independente (sau factorul experimental) utilizate la clasă au constat în folosirea sistematică a unor modalități rezolutive a diferitelor situații problematice.

Forma principală de desfășurare a fost cea normală în cadrul colectivului de elevi ai clasei; înregistrarea datelor a presupus utilizarea fișelor, iar pentru prezentarea lor, am utilizat histograme care aduc un plus de claritate asupra evoluției fenomenului.

S-au avut în vedere, pe tot timpul experimentului, verificarea corespondenței dintre ipoteza cercetării, obiectivele cercetării și experimentul desfășurat.

Tratarea diferențiată, munca independentă cu caracter de investigare, descoperirea, elaborarea de noi cunoștințe, crearea unor situații problematice au conținut câteva puncte de reper în desfășurarea instruirii la clasa experimentală.

Convorbirea este o metodă de cercetare directă care constă intr-un dialog între cercetător și subiecții supuși acestei investigații în vederea strângerii unor date în legătură cu fenomenele care se urmăresc. Ea se desfășoară după un plan și întrebări elaborate dinainte. Se recomandă ca întrebările să nu aibă un caracter prea oficial, rigid, ci să fie cât mai firești, normale, naturale. Răspunsurile trebuiesc consemnate cu fidelitate pentru a putea fi supuse prelucrării.

Testul sau chestionarul este o metodă de cercetare directă care constă dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea înregistrării unei însușiri, calități sau manifestări comportamentale la un stimul sau mai mulți stimuli administrați din exterior. Este o probă care cuprinde răspunsurile date de către subiecți la o serie de întrebări denumite itemi, scrise pe un formular special având o temă educațională. După conținutul lor, testele pot fi clasificate în: – teste psihologice; – teste de personalitate; – teste docimologice.

Condițiile pe care trebuie să le îndeplinească testele sunt:

să nu fie prea complexe;

să nu aibă întrebări echivoce, vagi; să nu aibă itemi numeroși;

să nu-l sugestioneze pe cel care răspunde;

să nu ceară răspunsuri codificate, scurte.

Testele pot fi însoțite de baremuri de corectare pentru fiecare item, astfel încât evaluarea să poată fi relativ constantă, corectă și egală, obiectivă pentru fiecare subiect în parte. Calitățile pe care trebuie să le aibă sunt: fidelitate (măsoară aceleași capacități sau aptitudini ori de câte ori voi fi repetate), validitate (mențin aceeași valoare a capacității sau aptitudinii, când se repetă în aceleași condiții sau asemănătoare).

Testul este un instrument standardizat care constă dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea înregistrării unei calități, însușiri sau manifestări comportamentale la un stimul sau un set de stimuli administrați din exterior.

După conținutul lor, testele pot fi clasificate în următoarele categorii: • teste psihologice (teste de inteligență și dezvoltare intelectuală) ; • teste de personalitate; • teste docimologice.

În cercetările pedagogice , testele psihologice de personalitate sunt folosite ca instrumente auxiliare pentru explicarea unor răspunsuri și manifestări comportamentale ale elevilor.

Testul docimologic cuprinde un set de întrebări prin care se urmărește înregistrarea și evaluarea randamentului școlar.

Ca metodă de cercetare, testul reușește să reliefeze diferențele individuale dintre subiecți, să ofere informații privind cantitatea și calitatea cunoștințelor însușite, formarea priceperilor și deprinderilor. Testele trebuie să fie variate ca structură, formă de prezentare și presupune două operații prealabile: – standardizarea (precizarea unor reguli, cerințe referitoare la administrarea testului, – stabilirea modalităților de răspuns și a modului cum se face evaluarea; – etalonarea (elaborarea unei scări de valori, etalon la care vor fi raportate rezultatele individuale, măsurarea și evaluarea acestora).

Pentru a avea o valoare satisfăcătoare sub aspectul fidelității, validității, am conceput proba de evaluare – investigare care, prin conținut și mod de aplicare să vizeze o diversitate de exerciții, algoritmi necesari în asimilarea cunoștințelor în vederea rezolvării și compunerii de probleme.

Metode de prelucrare a datelor

Metodele statistice – matematice reprezintă un ansamblu de instrumente și procedee destinate să înregistreze și să măsoare configurația și intensitatea relațiilor interpersonale din interiorul clasei de elevi. Aceste instrumente sunt folosite pentru cunoașterea climatului psiho – social, constituit din corelațiile interpersonale dintre membrii grupului – clasei de elevi, de nivelul de asimilare a cunoștințelor și însușire a unor tehnici de lucru în acțiunile didactice.

Întocmirea tabelului de rezultate se face imediat după efectuarea observației și consemnarea datelor în foile de observație, după administrarea unor probe (orale, scrise, practice) și înregistrarea performanțelor, respectiv după efectuarea operației de măsurare.

Tabele analitice consemnează rezultatele individuale ale subiecților investigați, ei sunt trecuți în ordine, iar în dreptul lor rezultatul măsurat exprimat în cifre.

Tabele sintetice realizează o grupare a datelor măsurate, făcându-se abstracție, după caz, de sumele subiecților.

Gruparea datelor se face, în funcție de doi indicatori:

• amplitudinea sau extinderea scării de repartizare a măsurilor;

• frecvența măsurilor efectuate.

Reprezentările grafice cele mai cunoscute sunt histograme și diagrame (histograma procentuală)

Aceste metode sunt indirecte și au posibilitatea de a măsura, modele și a cuantifica datele pedagogice. Ele evidențiază variația, frecvența repetării, nivelul înregistrat în cadrul procesului instructiv-educativ. Din această categorie de metode fac parte cele bazate pe calcularea unor indici statistici. Dintre aceștia îi reamintim pe cei mai cunoscuți:

indici care exprimă tendința centrală într-un colectiv (media, modul, mediana);

indici care exprimă variația (amplitudinea, abaterea standard, abaterea medie);

coeficienți de corelație (exprimă legătura dintre variabile).

În prelucrarea datelor mai sunt folosite și graficele. Dintre acestea amintim:

diagramele (forme de reprezentare a situațiilor numerice; ele pot fi: diagrame poligonale,

diagrame liniare, diagrame circulare);

reprezentări grafice (indică distribuția normală a frecvențelor).

Cerințele unei cercetări eficiente și obiective sunt:

înregistrarea datelor să fie cât mai fidelă, folosind o aparatură corespunzătoare;

investigarea unui număr suficient de cazuri pentru a se putea justifica statistic;

culegerea datelor să se facă intr-un cadru natural al situațiilor pedagogice;

folosirea îmbinată a datelor din izvoarele directe și indirecte și a metodelor cu caracter calitativ și cantitativ;

reluarea acțiunii de prelucrare și interpretare a datelor înainte de stabilirea concluziilor finale;

folosirea mijloacelor tehnice moderne, în mod special cele informatice;

valorificarea rezultatelor cercetării în lucrări scrise cum ar fi: tratate, reviste, cărți etc.

III.3. Ipoteza cercetării și obiectivele cercetării

În realizarea cercetării temei am pornit de la următoarea ipoteză de cercetare: Folosirea eficientă a strategiilor de predare – învățare – evaluare a noțiunilor matematice prin integrarea și valorificarea superioară a metodologiei de rezolvare aritmetică a problemelor, va determina creșterea performanțelor școlare și efecte educative în planul relațiilor interpersonale.

Obiectivele generale pe care mi le-am propus prin această lucrare au fost următoarele

• identificarea nivelului de cunoștințe al elevilor la începutul anului școlar 2013-2014;

• realizarea unei activități sistematice în predarea-învățarea rezolvării problemelor de matematică;

• cuantificarea nivelului de cunoștințe al elevilor la sfârșitului anului școlar;

• formularea unor concluzii și propuneri de îmbunătățire a metodologiei de rezolvare a problemelor.

III.4. Operaționalizarea conceptelor. Eșantionul de cercetare

Conceptele utilizate în această cercetare sunt următoarele:

a. Performanța școlară a elevilor care a fost apreciată cu ajutorul calificativelor obținute de aceștia la finele anului școlar 2013-2014 (clasa a IV-a).

Am avut însă în vedere și rezultatele școlare ale seriei anterioare de elevi, condițiile și modalitățile de desfășurare a acțiunilor didactice (activitatea la lecții, concursuri școlare, discuții cu elevii și părinții privind studiul-efort, timp, rezultatele școlare).

b. Stilul de predare – evaluare personal. Menționez că pentru studiul de față am fost interesată de două stiluri ( de predare – evaluare a conținuturilor prevăzute și de comunicare cu elevii atât în clasă cât și în afara clasei – vizite, excursii, activități cultural-artistice) ale învățătorului.

Pe lângă ancheta desfășurată pe bază de chestionar s-au mai utilizat observația sistematică a comportamentelor elevilor, interviul cu aceștia, metode ce au adus informații deosebit de utile în desfășurarea activităților cu elevii (atât didactice cât și în afara școlii)

c. Comunicarea didactică – Succesul sau insuccesul școlar se datorează în mare măsură învățătorului. Începând cu prima întâlnire, lucru ce va fi reținut de elev, și până la momentul despărțirii tactul pedagogic al învățătorului ușurează sau îngreunează actul educativ

Personalitatea învățătorului constituie factorul subiectiv principal care imprimă un anumit caracter și o anumită intensitate interacțiunilor sale cu elevii. În toate acțiunile (organizarea și îndrumare activității instructiv-educative, transmiterea de cunoștințe cuprinse în curriculum și manuale școlare, desfășurarea activităților extrașcolare, învățătorul trebuie să aibă în vedere modalitatea de comunicare (verbală, nonverbală, paraverbală).

Comunicare didactică mijlocește realizarea fenomenului educațional, realizându-se prin aceasta schimbul continuu de informații. Din acest punct de vedere comunicarea matematică trebuie realizată cu multă atenție și pricepere deoarece ea însăși este un sistem de cunoștințe codificate, de simboluri ascendent complexe, lecțiile fiind caracterizate printr-un grad sporit de abstractizare și generalizare. Pe măsură ce elevii se familiarizează cu conținutul metodelor și spiritul matematicii, modalitățile verbale devin tot mai necesare, evitându-se astfel pericolul unei disocieri nedorite între expresia verbală și sensul exact al faptului matematic exprimat.

Empatia învățător-elev constituie un prim pas foarte important în activitatea desfășurată privind însușirea metodologiei de rezolvare a problemelor date. Rezolvarea va fi făcută cu mai multă plăcere, mai mult interes, cu cât datele problemelor sunt mai apropiate de realitatea înconjurătoare și specificul vârstei lor.

Important este ca eforturile sale de a îmbogăți comunicarea didactică, învățătorul trebuie să nu uite că, nu tot ce se spune se aude, nu tot ce se aude se înțelege și ceea ce se înțelege nu depinde numai de noi.

În realizarea unei comunicări eficiente trebuie avute în vedere două componente ale personalității învățătorului:

• competența morală – element ce conferă o bună funcționalitate conduitei învățătorului (cunoașterea valorilor și normelor morale ale societății, capacitatea de autocontrol asupra atitudinilor și modului său de comportare, deprinderi și obișnințe conforme cu exigențele, afirmarea ca nivel de aspirație;

• competența psihosocială – capacitatea învățătorului de a exercita rolul conform statusului social, posibilitatea de a influența cu ușurință grupul de elevi, de a utilza corect puterea și autoritatea

„ Comunicarea didactică – acest dialog permanent între învățător și elev depinde de mai mulți factori ca:

• temperamentul elevilor (introvertit, nesociabil, timid, pasiv )

• gradul de solicitare în realizarea sarcinilor școlare

• capacitatea stimulativă a învățătorului și a clasei ”

În cadrul acestei relații se dezvoltă sentimente de atracție—respingere, simpatie—antipatie, acceptare—neacceptare, încredere—neîncredere.

d. Variabilele studiului

Variabile independente:

Strategii didactice utilizate în rezolvarea de probleme

Stilul de predare al învățătorului

Variabile dependente :

Performanțele școlare

Relațiile interpersonale

Perceperea de către elevi a stilului de predare

Cercetarea a fost organizată pe un eșantion de copii de vârstă de 9-11 ani, din clasa II-IV de la Școala Gimnazială, comuna Glăvănești, jud. Bacău. Numărul copiilor cărora li s-au aplicat probe propuse în vederea urmăririi capacităților lor de a-și însuși noțiunile matematice și a metodologiei în vederea rezolvării de probleme a fost de 18, 11 băieți și 7 fete.

Toți elevii provin din mediul rural, din familii normale cu venituri materiale modeste (7 părinți salariați, 2 părinți plecați în străinătate, restul crescuți de bunici).

Numărul de copii: unici – 0; cu un singur frate (soră) – 7; cu mai mulți frați – 8.

III.5. Greutăți întâmpinate de elevi în procesul de rezolvare a problemelor și modalități de prevenire a acestora

Atât în rezolvarea problemelor simple cât și a celor compuse, elevii întâmpină o serie de dificultăți:

– când repetă problema anunțată în clasă, omit să repete întrebarea, spunând direct rezultatul problemei: În vază sunt 3 lalele. Ioana mai pune 4 lalele și acum sunt 7 lalele.

– compun probleme fără întrebări: Eu cumpăr de la librărie 4 caiete, iar fratele mei cumpără 5 caiete.

– includ în problemă și răspunsul ei și apoi pun întrebarea: Într-o farfurie erau 10 ouă. Din ele au căzut 3 și s-au spart rămânând 7. Câte ouă au rămas?

– neglijează una din datele problemei: Ioana avea 1000lei. Ea a cumpărat un caiet. Câți lei i-au rămas?

Ca să îndepărtăm aceste greutăți, se pot folosi următoarele procedee:

– prezentarea unor probleme cu date desenate, prin așezarea lor la flanelograf sau la tabla magnetică;

– prezentarea unor probleme cu date incomplete, pe care elevii le completează apoi le rezolvă.

Exemplu:

La sfârșitul anului școlar, la clasa a II a au fost premiați 15 copii: 9 premiu pentru rezultate foarte bune, 4 premiu pentru rezultate bune, iar ceilalți pentru rezultate bune la o disciplină. Câți copii au primit premiu pentru rezultate bune la o disciplină?

– completarea întrebării problemei de către elevi, apoi rezolvarea ei:

Pe un ram erau 16 păsărele și au mai venit încă18.

– formularea de probleme după numere sau scheme date:

Formulați o problemă care să aibă ca date numerele 85 și 15.

Formulați o problemă după schema:

Aceste procedee trebuie folosite în mod gradat, pe măsură ce elevii capătă o anumită experiență în rezolvarea problemelor. Le putem introduce ca o activitate colectivă, ce se desfășoară cu întrega clasă, sau treptat, în mod individual diferențiat prin fișețe individuale ce le folosim în cadrul lecțiilor.

În felul acesta se consolidează cunoștințele elevilor în legătură cu elementele de bază ale unei probleme, îi ajutăm pe elevi să-și însușească conștient rezolvarea și compunerea problemelor. Aceste procedee care se folosesc cu scopul de a preîntâmpina greutăți în rezolvarea problemelor simple, ajută la diferențierea imaginației elevului, la educarea flexibilității gândirii, creativitatea având un câmp deschis.

Procesul de formare a noțiunii de problemă la elevi, este deci, dublat de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare. Treptat, pe măsură ce elevii capătă experiență, îndemânare, problemele simple se complică, trecându-se la rezolvarea problemelor compuse.

În activitatea de rezolvare a problemelor, copiii întâmpină, în mod firesc, o serie de dificultăți și din cauza lipsei de experiență. Învățătorul trebuie să prevadă apariția unor asemenea dificultăți și să-i ajute să le depășească. Astfel, când în textul problemei apar termeni sau expresii neînțelese de elevi, acest lucru îngreunează procesul rezolvării problemei, de multe ori ducând la rezolvarea greșită a acesteia.

Procesul rezolvării problemelor este îngreunat la unii elevi din cauza slabelor deprinderi de calcul, efortul lor concentrându-se nu asupra raționamentului problemei, ci asupra efectuării calculelor. De astfel există o tendință generală a elevilor de a fi absorbiți de calcul. Capacitatea redusă de a efectua analiza riguroasă a datelor problemei, îi duce pe unii elevi la încercări exclusive în sfera calculului, fără nici o motivare, pe bază de raționament.

Asemenea încercări duc în mod firesc la soluții greșite. Elevii sesizează într-o problemă în primul rând valorile numerice concrete și nu relațiile dintre cantități, așa cum cere problema și încep să efectueze operații cu numerele date, fără ca aceste operații să se încadreze într-o schemă generală de acțiune, izvorâtă din efectuarea relațiilor cantitative de conținut. De multe ori elevii uită chiar și ce anume reprezintă numerele respective.

Pentru înlăturarea acestor dificultăți, învățătorul trebuie să insiste asupra scoaterii în evidență a relațiilor dintre date, de multe ori discutând cu elevii numai calea de rezolvare a problemei, raționamentul propriu – zis și renunțând la efectuarea calculelor.

Rezolvarea corectă a unei probleme nu este posibilă decât în urma unei analize profunde a datelor, analiză care să permită elevului o serie de reformulări ale problemei, apropiindu-se astfel, din etapă în etapă, de soluție.

Din lipsă de experiență, copilul de vârstă școlară mică întâmpină dificultăți în analiza riguroasă a datelor problemei. El începe rezolvarea problemei pornind să analizeze pas cu pas enunțul și pe măsură ce desprinde o pereche de date și descoperă relația dintre ele, trece imediat la rezolvare, la calcul. În felul acesta se efectuează rezolvarea unei suite de probleme simple.

Dacă ordinea oferită de datele problemei coincide cu ordinea de rezolvare a ei, dacă enunțul comandă judecățile și apoi rezolvarea, elevul ajunge ușor la soluție. El nu are însă vederea de ansamblu a problemei, nu este conștient de întregul raționament de rezolvare al problemei respective. Dar în situația în care ordinea datelor din enunț nu coincide cu ordinea rezolvării, ei aplică mecanic schema învățată. Aceasta se fixează foarte puternic încât unii elevi renunță la tot ceea ce învață, renunță la logica elementară pentru a respecta ordinea din enunț.

De exemplu la clasa a III-a am rezolvat mai multe probleme cu aceeași structură logică și după un timp am cerut să rezolve aceeași problemă în care am modificat ordinea datelor.

Maria a rezolvat în 9 zile câte 12 probleme pe zi. Ioana a rezolvat în 6 zile câte 14 probleme pe zi. Câte probleme au rezolvat împreună?

I. 9 zile ………12 probleme II. 6 zile …………14 probleme …… ? probleme

12 x 9 14 x 6

108 + 84 = 192 probleme

Problema modificată:

Maria rezolvat probleme 9 zile la rând, iar Ioana 6 zile. Știind că maria a rezolvat 12 probleme pe zi, iar Ioana câte 14 probleme pe zi, să se afle câte probleme au rezolvat împreună.

Aproape 50% din elevi au aplicat schema învățată, legând datele în ordinea din enunț, rezolvând greșit problema ( 9 x 6 = 12 x 14 = ).

Întâlnim frecvent elevi care neputând să exprime într-o formă generalizată relațiile de conținut dintre elementele problemei, aplică o schemă mintală instalată pe baza rezolvării unei probleme asemănătoare la problema pentru care ea nu este adecvată. Aceasta se întâmplă mai ales în perioada de început, când elevii dispunde o experiență săracă și de posibilități limitate de analiză. Modalitățile de rezolvare pe care le învață se fixează stereotip și perseverează, opun rezistență atunci când apar situații noi pentru care ele nu mai sunt adecvate și se impune restructurarea lor.

Astfel, din cauza slabelor posibilități de analiză a datelor și a condiției problemei, întâlnim elevi care fac operații aritmetice ce contravin sensului întrebării. Astfel, la întrebarea Câte kilograme au rămas? ei fac adunare, s-au la întrebarea Câte kilograme s-au adus în total? ei fac scădere.

În alte cazuri elevii adună valoarea cu cantitatea, sau inversează relațiilefăcute de ei în rezolvarea problemelor.

Întâlnim elevi care introduc în problemă date străine de conținutul ei, sau neglijează una din datele problemei. Alții aplică schema de rezolvare învățată la altă categorie de probleme.

Exemplu:

2 saci …………….47 kg ……………….32 kg …………12 kg ………………? kg

Câte kilograme sunt în cei doi saci?

2 + 47 =

2. Câte kilograme sunt în total?

49 + 32 + 12 =

Copii întâmpină dificultăți atunci când se trece de la o categorie de probleme la alta, atunci când schema de rezolvare a problemei s-a fixat fără posibilități de adaptare la situații variate, ca un algoritm. Aceasta se observă mai ales atunci când se trece de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea celor compuse.

Elevii, fiind obișnuiți să orienteze rezolvarea problemei în direcția întrebării, procedează la fel și la alte probleme compuse.

Exemplu:

Dimineața, au venit la săniuș 16 băieți și 26 de fete. După amaiză au venit de 2 ori mai puțini copii decât dimineața. Câți copii au venit după amaiză la săniuș?

Unii copii scriu drept plan de rezolvare:

Câți copii au venit după amiază la săniuș? (dar rezolvă prin două operații)

16 + 26 = 42 copii

42 : 2 = 21 copii

Pentru crearea posibilităților de rezolvare corectă a oricărei probleme la nivelul clasei respective, trebuie să se insiste asupra dezvoltării priceperii de analiză a unui număr de probleme variate, din ce în ce mai complexe, nu numai în vederea algoritmizării soluțiilor pentru diferite tipuri de probleme, ci mai ales în vederea formării deprinderilor intelectuale necesare în rezolvarea problemelor.

Trebuie să-i punem pe elevi în luptă cu dificultățile, să-i învățăm să nu abandoneze, să persevereze, să le cerem să învețe gândind pentru a nu rămâne o cantitate mare de energie nevalorificată, să știe de fiecare dată că trebuie reținut esențialul.

Pentru înlăturarea neajunsurilor ce apar la elevi în rezolvarea problemelor, învățătorul trebuie să insiste asupra însușirii corecte a enunțului problemei. După ce se comunică enunțul problemei trebuie să lăsăm timp de gândire și nu învățătorul va fi acela care să expună cum trebuie să gândească elevul, ci el, pus să determine în ce constă noutatea și cu ce mijloace se poate rezolva.

Când se trece la rezolvarea problemelor compuse se pot folosi cu mare succes diferite tipuri de scheme. De asemenea, se folosește modul logico – matematic în rezolvarea problemelor ajutând pe elevi să înțeleagă mai ușor enunțul problemei cât și judecata ei sau elaborarea modelului în maniere dintre cele mai variate: cu pătrate, dreptunghiuri, litere, cerculețe, cuvinte, prescurtări, este un instrument ajutător în rezolvarea problemelor.

CAPITOLUL IV

PREZENTAREA, ANALIZA SI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Principala metodă de investigație a fost experimentul, apreciat ca cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective. Experimentul utilizat de mine este cel psihopedagogic formativ. Acesta furnizează date de ordin cantitativ și calitativ cu grad sporit de precizie și rigurozitate, datele obținute fiind concludente și ușor de prelucrat cu ajutorul tehnicilor statistico – matematice.

În realizarea acestui experiment am parcurs trei etape:

Etapa constatativă – s-a desfășurat la începutul anului școlar 2013/2014 în perioada 1-30 octombrie. În această perioadă, pe baza rezultatelor probelor aplicate, am măsurat și apreciat randamentul școlarilor de clasa a IV-a. Concluziile la care am ajuns au fost premisa necesară proiectării curriculum-ului prin integrarea și valorificarea valențelor formative ale următoarelor metode activ – participative: observația, exercițiul și jocul didactic. Etapa inițială – testarea inițială a eșantionului experimental și a celui de control prin aplicarea aceleiași probe în vederea evaluării nivelului cunoștințelor asimilate.

În etapa inițială am verificat nivelul de pregătire al elevilor, comportamentul lor în cadrul lecțiilor de matematică, am recapitulat cunoștințele însușite în clasele I – III. În această etapă am căutat să controlez și să previn acțiunea factorilor perturbatori ce puteau interveni pe parcursul experimentului inducând erori și subiectivism în aprecierea și verificarea ipotezei.

Etapa ameliorativă – s-a desfășurat începând cu 1 noiembrie 2013 până la 15 februarie 2014. În această etapă, pe baza centralizării informațiilor obținute în etapa constatativă, a prelucrării și analizei lor, am proiectat și implementat un curriculum subordonat formării / exersării unor competențe specifice pentru matematică, prin accentuarea valențelor activ – participative ale jocului didactic.

După evaluarea inițială am aplicat o mai mare varietate de probe (probe ce au cuprins și jocuri didactice raportate la nivelul clasei). Recurgând la evaluarea continuă, la sfârșitul fiecărui capitol am aplicat același set de probe, probe ce au cuprins ca itemi și jocuri didactice. Rezultatele probelor de evaluare, prin analiza lor mi-au oferit posibilitatea de a adopta măsuri pedagogice diferențiate, ameliorative. Pentru cei care și-au însușit într-un nivel mai scăzut noțiunile preconizate le-am propus o serie de exerciții – joc corective. Cei care au dovedit capacități de operare în condiții noi și au dovedit nivel ridicat de însușire a cunoștințelor, le-am propus anumite exerciții – joc, exerciții cu grad de dificultate sporit.

Etapa experimentală – introducerea factorului de progres în eșantionul experimental, în eșantionul martor nu s-a făcut nici o intervenție;

c) Etapa finală – s-a desfășurat în perioada 16 februarie – 28 martie. Rezultatele obținute la testele aplicate, atât în etapa inițială cât și în cea finală, sunt înregistrate în tabele centralizatoare analitice și sintetice, care au permis pentru începutul investigației depistarea unor lacune, diferențierea și personalizarea curriculum-ului, inițierea unor programe de compensare sau dezvoltare specifice, prin valorificarea valențelor activ – participative ale metodei didactice ce a fost aleasă ca factor de progres.

Etapa finală – testarea finală a celor două eșantioane prin aplicarea probelor de evaluare sumativă și compararea performanțelor pentru evidențierea rolului factorilor de progres în stimularea randamentului școlar și îmbunătățirea rezultatelor.

Astfel condițiile didactice au fost apropiate, de multe ori chiar identice: numărul de ore destinat fiecărei lecții, orarul claselor, materialele didactice folosite, mărimea și structura colectivelor de elevi. Tot în această perioadă am aplicat și testul de evaluare inițială prin care am urmărit nivelul de pregătire al elevilor la începutul clasei a IV – a.

IV.1. Prezentarea, analiza și interpretarea rezultatelor la testul de evaluare inițială

1 punct din oficiu

Total 10 puncte

Acordarea calificativelor:

Foarte bine : de la 9 la 10 puncte

Bine : de la 7 la 8,99 puncte

Suficient : de la 5 la 6,99 puncte

Insuficient : de la 1 la 4,99 puncte

Eșantion experimental Eșantion de control

Tabel sintetic Tabel sintetic

Punctaj: 116,5 Punctaj: 117,9

Media: 7,76 Media: 7,86

Poligonul de frecvență
Histograma

Diagrama circulară

Eșantionul experimental Eșantionul de control

În urma aplicării acestui test am constatat următoarele:

cele două eșantioane sunt de nivel aproximativ egal, majoritatea elevilor stăpânesc noțiunile matematice elementare, eșantionul martor având totuși rezultate ușor mai bune decât eșantionul experimental;

cele două eșantioane sunt aproximativ echivalente ca nivel intelectual, volum de cunoștințe, condiții educative în familie, condiții în cadrul școlii.

În etapa experimentală, etapă care a început imediat după aplicarea testului numărul 1, pentru elevii din eșantionul experimental care nu au rezolvat un item sau altul am elaborat fișe de lucru pe care a fost reluată sarcina din itemul corespunzător al testului și în partea a doua cu un număr mai mare de exemple, ținând cont de gradul de dificultate.

Pentru elevii care au obținut rezultate bune și foarte bune am elaborat fișe de dezvoltare care duceau la aprofundarea cunoștințelor matematice.

În această perioadă am aplicat periodic, eșantionului experimental, teste de evaluare formativă care mi-au permis cunoașterea imediată a greșelilor, a dificultaților de învățare a elevilor.

În vederea eliminării greșelilor, am recurs la diferențierea activității. În urma analizei rezultatelor testelor am selectat obiectivele operaționale nerealizate de elevi pentru a putea fi urmărite și am propus în continuare fișe de recuperare si fișe de dezvoltare.

Pe lângă activitățile destinate acestui scop în orele de pregătire suplimentară, în cadrul fiecărei secvențe de activitate independentă, elevii au primit sarcini de activități individuale sau pe grupe mici. În urma acestor activități elevii din eșantionul experimental au înregistrat progrese. Acestea au fost evidențiate de rezultatele obținute la testele de evaluare formativă propuse și analizate după cum urmează:

IV.2. Prezentarea, analiza și interpretarea rezultatelor la testele de evaluare formative

Test de evaluare formativă nr 1

1 punct din oficiu

Total 10 puncte

Acordarea calificativelor:

Foarte bine : de la 9 la 10 puncte;

Bine : de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient : de la 5 la 6,99 puncte;

Insuficient : de la 1 la 4,99 puncte

Interpretarea rezultatelor

Eșantion experimental Eșantion de control

Tabel sintetic Tabel sintetic

Punctaj: 121,4 Punctaj: 119,5

Media: 8,09 Media: 7,96

Poligonul de frecvență

Histograma

Diagrama circulară

Eșantionul experimental Eșantionul de control

În urma aplicării acestui test am constatat următoarele:

a scăzut numărul elevilor din eșantionul experimental care au obținut rezultate satisfăcătoare cu 2 și a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune cu 2 în timp ce la eșantionul de control a scăzut numărul elevilor cu rezultate bune cu 1 iar cel al elevilor cu rezultate foarte bune a stagnat, crescând numărul elevilor cu rezultate satisfăcătoare;

media eșantionului experimental a crescut la 8,09 față de 7,76 iar numărul de puncte realizate a fost 121,4 față de 116,5 obținute la testul inițial;

la eșantionul de control s-au obținut 119,5 puncte cu o medie de 7,96.

Test de evaluare formativă nr. 2

1 punct din oficiu. Total 10 puncte

Acordarea calificativelor:

Foarte bine : de la 9 la 10 puncte;

Bine : de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient : de la 5 la 6,99 puncte;

Insuficient : de la 1 la 4,99 puncte.

Interpretarea rezultatelor

Eșantion experimental Eșantion de control

Tabel sintetic Tabel sintetic

Punctaj: 123,5 Punctaj: 117,5

Media: 8,23 Media: 7,83

Poligonul de frecvență

Histograma

Diagrama circulară

Eșantionul experimental Eșantionul de control

scade numărul elevilor din eșantionul experimental care au obținut rezultate satisfăcătoare, cu 1, crește numărul celor cu rezultate foarte bune, cu 1;

la eșantionul de control scade numărul elevilor cu rezultate foarte bune , cu 1, și crește numărul celor cu rezultate de insuficient, cu 1;

media eșantionului experimental crește de la 8,09 la 8,23 în timp ce media la eșantionul de control scade de la 7,96 la 7,83 .

Test de evaluare formativă nr. 3

1 punct din oficiu. Total 10 puncte

Acordarea calificativelor:

Foarte bine : de la 9 la 10 puncte;

Bine : de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient : de la 5 la 6,99 puncte;

Insuficient : de la 1 la 4,99 puncte

Interpretarea rezultatelor

Eșantion experimental Eșantion de control

Tabel sintetic Tabel sintetic

Punctaj: 128,3 Punctaj: 120,5

Media: 8,55 Media: 8,02

Poligon de frecvență

Histograma

Diagrama circulară

Eșantionul experimental Eșantionul de control

În etapa finală a experimentului am aplicat testul de evaluare sumativă. Prin acest test s-a urmărit constatarea nivelului de pregătire al elevilor din cele două eșantioane în următoarele direcții: – volumul și calitatea cunoștințelor; – capacitatea de analiză, sinteză și de aplicare a cunoștințelor asimilate, a priceperilor și deprinderilor formate în situații noi.

IV.3. Prezentarea, analiza și interpretarea rezultatelor la testul de evaluare sumativă

1 punct din oficiu

Total 10 puncte

Acordarea calificativelor:

Foarte bine : de la 9 la 10 puncte;

Bine : de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient : de la 5 la 6,99 puncte;

Insuficient : de la 1 la 4,99 puncte.

Interpretarea rezultatelor

Eșantion experimental Eșantion de control

Tabel sintetic Tabel sintetic

Punctaj: 137,5 Punctaj: 127

Media: 9,16 Media: 8,46

Poligon de frecvență

Histograma

Diagrama circulară

Eșantionul experimental Eșantionul de control

În urma aplicării acestui test am constatat următoarele:

– eșantionul experimental a obținut 137,5 puncte din 150 posibile, iar media este de 9,16 ;

– eșantionul de control a obținut 127 puncte din 150 posibile iar media acestuia este de 8,46, cu 0,70 mai mică decât media eșantionului experimental;

Pentru a evidenția diferențele dintre rezultatele obținute la testul inițial și la cel sumativ am realizat grafice și tabele comparative din care se observă progresul înregistrat de cele două eșantioane, doar că eșantionul experimental a înregistrat un progres vizibil mai mare. Consider că aceste diferențe se datorează aplicării fișelor de recuperare și dezvoltare.

IV.4. Compararea rezultatelor obținute la evaluarea inițială și cea finală

Tabel sintetic – evoluția eșantionului experimental de la testarea inițială la cea sumativă.

Tabel sintetic – evoluția eșantionului de control de la testarea inițială la cea sumativă.

Eșantionul experimental

Poligon de frecvență

Eșantionul de control

Histograma

Eșantionul experimental

Eșantionul de control

Diagrama circulară

Testul inițial

Eșantionul experimental Eșantionul de control

Test sumativ

În urma analizei comparative a rezultatelor obținute la testul inițial la cel sumativ se observă următoarele:

La eșantionul experimental: – media a crescut de la 7,76 la 9,16 înregistrându-se un progres de 1,40; – numărul elevilor cu rezultate foarte bune a crescut de 6 la 10;

La eșantionul de control: – media a crescut de la 7,86 la 8,46, înregistrându-se un progres de 0,60; – numărul elevilor cu rezultate foarte bune a crescut cu 1;

IV.5. Progresul înregistrat de cele două eșantioane.

Se observă că prin folosirea eficientă a tipurilor și strategiilor de evaluare în toate activitățile matematice crește randamentul școlar și rezultatele sunt mult îmbunătățite.

Analizând rezultatele evaluărilor inițiale și finale am constatat că ipoteza de lucru propusă inițial se verifică dacă voi folosi cele mai eficiente metode și tehnici de predare-învățare, atunci rezultatele obținute în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică vor fi mult mai bune, evidențiind faptul că progresele școlare ale elevilor pot fi influențate prin utilizarea în corelație a metodelor tradiționale cu cele moderne și prin utilizarea cât mai multor mijloace moderne, tehnici și strategii activizante (audio-video, calculator, etc.), toate acestea fiind corelate la rândul lor cu obiective, conținuturi și strategii de evaluare.

E adevărat că menținerea atenției elevilor mi-a solicitat întreaga măiestrie dar pot spune că am reușit astfel să realizez obiectivele activităților. Am apelat la tehnici de condiționare a comportamentului, la procedeul sarcinilor întrerupte, la implicarea în sarcină, la simulări didactice, prezentări Power Point, jocuri pe calculator, toate converg către eficientizarea procesului instructiv-educativ și către realizarea obiectivelor scontate.

Pentru că educația este prin definiție un proces conștient și cunoscând faptul că o conștientizare a rezultatelor scontate ale învățării de către elev constituie și un factor de motivare puternică a acestuia, am încercat să determin la copii această conștientizare enunțând obiectivele lecțiilor într-un limbaj cât mai adecvat lor.

Am abordat evaluarea formativă ca pe un prilej acordat elevului să-și fixeze temeinic cunoștințele și să-și identifice în timp oportun lacunele și dificultățile în pregătire.

Astfel am pus un accent deosebit pe derulări de imagini explicate, activități practice de rezolvare și compunere de probleme, apelând la noțiuni dobândite pe parcursul orelor.

Problemele pe care le rezolv cu elevii, necesită un efort de gândire, trezesc interesul, provoacă o anumită încordare intelectuală și declanșează o trebuință de cunoaștere care mobilizează la efort. Problemele trebuie să provoace curiozitate, nedumerire, incertitudine, neliniște și dorința de a învinge obstacolele. Elevul va găsi soluții proprii, apelând la cunoștințe și tehnici dobândite anterior. Cunoștințele și experiențele anterioare, care au legătură cu problema dată, reprezintă premisele de bază ale rezolvării, ale unei idei noi .

În cadrul orelor de matematică elevii și-au exprimat dorința de a cunoaște cât mai multe lucruri noi și de a reuși să străbată prin necunoscut. În același timp își dezvoltă creativitatea, doresc să participe la ore prin compuneri de probleme, multe dintre ele legate de realitate. Ei au demonstrat că sunt încrezători în forțele proprii, curajoși, perseverenți și capabili să continue singuri în căutarea situațiilor – problemă și, implicit, în rezolvarea lor .

Rezultatele obținute la testul inițial dar și rezultatele înregistrate la testul final, ambelor eșantioane – experimental și martor – au fost înregistrate în tabele analitice și sintetice. Pe baza acestor rezultate s-a întocmit centralizatorul, histogramele comparative și graficul comparativ al celor două teste .

Observând graficele ce reprezintă comparativ cele două eșantioane, după testul final, se constată că rezultatele obținute de eșantionul experimental sunt deasupra celor obținute de eșantionul de control. Calculul matematic și transpunerea limbajului matematic din exerciții și probleme au fost bine însușite acolo unde au fost folosite strategii didactice adecvate .

Elevii grupului experimental au înregistrat la testul final un progres, fapt demonstrat de calificativele obținute. Acest lucru evidențiază faptul că elevii au reușit conștientizeze și să rezolve probleme cu una sau cu două operații, cu grade diferite de dificultate .

Comparând rezultatele obținute în etapa inițială și finală am constatat că, la nivel teoretic și aplicativ, majoritatea elevilor clasei a IV-a A , au înregistrat progrese, de remarcat este faptul că la evaluările finale la matematică nici un elev nu a mai obținut calificativul insuficient .

Eșantionul de control și-a îmbunătățit cu puțin rezultatele, fără salturi majore la un anume calificativ. Din elevii care la testul inițial, la matematică, au luat calificativul bine, doi elevi au migrat spre foarte bine.

Cu toate acestea există elevi care au rămas la nivelul inițial, nereușind să înregistreze progrese prea mari. Ținând însă seama că dificultatea sarcinilor propuse spre rezolvare a fost din ce în ce mai mare, cerințele din ce în ce mai complexe și gradul de abstractizare a noțiunilor mai ridicat, faptul că acești elevi nu au obținut rezultate mai mici demonstrează că la nivelul achizițiilor s-a înregistrat totuși un progres .

Interesant a fost de urmărit modul în care toți elevii și-au manifestat personalitatea fiind puși să lucreze, să găsească soluții optime la problemele propuse, să compună probleme cât mai frumoase și mai interesante . Am descoperit laturi ascunse până acum ale personalității lor, care se pun în valoare atunci când sunt în situații inedite. Elevi care până a avea loc acest experiment erau foarte puțin angrenați în activitatea la oră, și-au schimbat evident atitudinea vis-a-vis de cerințele date în cadrul orei, implicându-se foarte mult în realizarea sarcinilor .

Făcând o evaluare a rezultatelor obținute, comparativ cu grupa martor se poate spune că dacă se folosesc cele mai eficiente strategii în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică atunci se va stimula și creativitatea elevilor . Această activitate i-a determinat să se implice tot mai mult în activitatea de învățare, au devenit autodidacți, s-au ajutat reciproc, s-a redus intervenția cadrului didactic, acesta având mai mult rol de dirijare, supraveghere, mediere și coordonare.

Prin activitatea de rezolvare a problemelor s-a asigurat formarea unor deprinderi de muncă individuală și în grup, spiritul de ordine și cooperare, valorificarea la maxim a timpului, stimularea potențialului creativ al fiecărui elev și creșterea încrederii în forțele proprii la majoritatea elevilor .

CONCLUZII

În educație trebuie să se țină mereu seama de tot ce are și de tot ce-i trebuie copilului ca să se manifeste și să se dezvolte cât mai armonios cu putință. Această idee trebuie să se constituie într-un adevărat principiu de educație pe care orice cadru didactic trebuie să și-l însușească și să-l respecte. Învățământul primar este "piatră de temelie" în formarea instructiv-educativă a fiecărui om. De aici responsabilitatea mare pe care o are fiecare învățător și importanța deosebită pe care trebuie să o dea fiecărei ore, fiecărui obiect. Am considerat că intercorelarea metodelor de predare-învățare-evaluare tradiționale cu cele moderne constituie un mijloc valoros de instruire și educare a copiilor de vârstă școlară mică deoarece astfel se rezolvă într-o formă cu totul accesibilă vârstei, sarcinile instructive complexe.

Nici un instrument de măsură nu poate fi considerat universal-valabil pentru toate obiectivele și conținuturile și nu poate furniza un tablou cuprinzător al schimbărilor și rezultatelor elevilor, totuși, rezultatele investigațiilor sunt de natură să confirme și ideea utilizării și valorificării metodelor și mijloacelor moderne în toate momentele lecției: verificarea cunoștințelor, predarea noilor cunoștințe, fixare, consolidare, dar și evaluare.

Ca efect al îmbinării eficiente între metodele activ-participative și mijloacele moderne, elevii au devenit mai deschiși la ceea ce este inedit, sunt mai încrezători în forțele proprii, mai motivați, manifestând o atitudine creativă. După cum se observă, aceste progrese nu sunt spectaculoase, dar dovedesc posibilitatea elevilor de a depune un efort susținut cât și existența unor resurse didactice, metodologice ce pot fi explorate. Activitatea de bază a vârstei școlare, învățarea, este repusă în drepturi, predarea fiind pusă în slujba învățării și nu scop în sine. Rezolvarea de probleme este axată pe activitatea elevului, acesta devenind din ce in ce mai mult subiect al procesului educațional. Cunoașterea este realizată de elev prin efort propriu, grație activității practice folosite în demersul cercetării. La rezolvarea de probleme elevii participă prin efort propriu de gândire și de acțiune la descoperirea adevărului, își însușesc creativ noi cunoștințe si metode de investigare, își dezvoltă capacitatea de a prelua și combina în forme noi cunoștințe. Activitatea de rezolvare de probleme, sporește caracterul formativ al învățării, dezvoltă spiritul de observație, formează și exersează conduitele active și participative, dezvoltă capacitatea de analiză și sinteză, interesul cognitiv și motivația intrinsecă, mobilizând energiile creatoare în rezolvarea de probleme și a situațiilor problematice. Climatul școlar, în cazul utilizării acestor metode, este unul destins, elevii participând cu interes la activitatea didactică. Elevii au devenit mai curajoși, dornici să-și expună părerile, au fost activi, participanți la propria formare.

Abordarea integrată a învățării și utilizarea metodelor alternative de predare-învățare stimulează crearea unei relații de colaborare între învățător și elevi pe de o parte și între elevi pe de altă parte. Metodele de rezolvare a problemelor prezentate în lucrare, aplicate și analizate conform criteriului eficienței rezultatelor obținute în raport cu obiectivele și sarcinile propuse, consider că pot oferi un instrument util cadrelor didactice interesate de aspectele deosebit de importante ale activităților de rezolvare și compunere de probleme în vederea dezvoltării intelectuale a școlarilor mici.

Se poate concluziona că pentru formarea unor capacități de lucru nu există limită. Există doar strategii pentru dezvoltarea mai intensă sau de relativă stagnare .

În legătură cu această concluzie, se impun câteva precizări și anume cele legate de o atentă selectare a celor mai potrivite probleme și strategii de lucru, care să aibă o influență asupra indicilor urmăriți .

Adaptarea procesului instructiv-educativ la particularitățile individuale ale elevilor, realizarea unei activități didactice nuanțate s-a impus datorită deosebirilor existente între elevii de aceeași vârstă, supuși unui proces comun de instruire .

Pentru a ajunge la o cât mai bună cunoaștere a elevilor învățătorul trebuie să folosească metode cât mai variate, să știe să aleagă pe cele mai potrivite scopului propus și să le adapteze la condițiile oferite de colectivul de elevi pe care îl îndrumă.

Dacă se dorește creșterea randamentului școlar este necesar ca procesul instructiv-educativ să se desfășoare la un înalt nivel calitativ. Tocmai de aceea, demersul educațional nu poate ocoli următoarele elemente :

instaurarea în clasă a unui climat model în care elevii își pun întrebări unii altora și învățătorului, în care problemele se examinează din punct de vedere critic și se admit alternative;

prezentarea cu claritate a rezultatelor pe care trebuie să le atingă elevii, alegerea celor mai adecvate materiale didactice și metode pentru realizarea obiectivelor cognitive și afective ale lecției. Învățătorul trebuie să măsoare în final schimbarea pe care a determinat-o la elevi în ceea ce privește cunoștințele, deprinderile și atitudinea acestora față de actul învățării ;

oferirea unui plan de acțiune pozitiv. Elevii trebuie să aibă încredere în puterea lor de influență asupra problemelor pe care le studiază. Nu trebuie ocolite exemplele negative, dar accentul trebuie pus pe depistarea cauzelor și identificarea soluțiilor de îndreptare a disfuncționalităților întâlnite;

realismul și răbdarea. Învățătorul nu trebuie să se aștepte că nu va întâmpina diferite probleme în încercarea de aplicare a metodelor activ-participative .

Valoarea lecțiilor desfășurate la toate disciplinele de învățământ în acest mod contribuie la însușirea de către elevi a unor concepte, principii și legi fundamentale pe care se pot clădi cunoștințele ulterioare .

Putem concluziona că atunci când munca, pasiunea și dăruirea pentru profesie se îmbină armonios se pot obține rezultatele mult dorite. Pentru a obține rezultate bune în munca de instruire și educare este necesară o pregătire psihopedagogică continuă, perseverentă, mult discernământ și tact pedagogic în tot ceea ce facem, pentru a constitui adevărate "modele" de urmat pentru elevii noștri.

Dacă ne iubim meseria și dacă efortul pe care-1 facem știm să-1 dăruim de la suflet pentru suflet, putem realiza mult în formarea elevilor noștri. Nici un învățător nu va putea vorbi despre succesele muncii sale profesionale făcând abstracție de rezultatele muncii elevilor săi, după cum nimeni nu va putea remarca succesele sau insuccesele unor elevi, fără să meargă cu gândul la principalul autor moral al acestora – educatorul.

Lucrarea este o modestă contribuție la îmbogățirea experienței didactice din învățământul primar și se constituie într-un util schimb de opinii, rămânând deschisă unor noi interpretări si concluzii.

Ca dascăl am mereu în minte cuvintele lui Vasile Pârvan: Să arzi cu tot sufletul tău … pentru cei pe care-i crești, chiar de-ar fi s-o faci cu tot sângele vieții tale pe care numai o dat’o ai, și mă străduiesc să aduc o modestă contribuție la bunul mers al educației.

BIBLIOGRAFIE

1. Aron, Ioan, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică si Pedagogică București 1972;

2. Ausubel, D.P. ; Robinson , F.G. – Învățarea școlară, o introducere în psihologia pedagogică, Editura Didactica si Pedagogica București 1981;

3. Cerghit Ioan – Metode de învățământ, Editura Didactică si Pedagogică București 1980, ediția a II-a, revăzută si adăugită;

5. Cerghit Ioan Perfecționarea lecției în școala modernă Editura Didactică si Pedagogică București 1983;

6. Cojocariu Venera, Teoria si metodologia instruirii, Editura Didactica si Pedagogica București 2004;

7. Cosmovici Andrei, Psihologia generala, Editura Polirom Iași 1996;

8. Crețu Carmen , Curriculum diferențiat si personalizat, Metode didactice, Editura Polirom Iași;

9. Cristea Sorin, Dicționar de pedagogie, Editura Litera Educațional , Chișinău 2002;

10.Cristea Sorin, Pedagogie pentru pregătirea examenelor de definitivare, grade didactice, reciclare, Editura Hardiscom 1997;

11. Cucoș Constantin (coord), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare si grade didactice, Editura Polirom ,Iași, 1998;

12. Debesse M. „ Etapele educației”, traducerea Magdalena Chelsoi, Editura Didactică și Pedagogică București 1981;

13. Dottrens R, Miliaret G., Rast E., Rai M., A educa și a instrui, Editura Didactica 1970;

14. Dragan I., Nicola I., Cercetare psihopedagogică, Editura Tipomur, Târgu Mureș 1993;

15. Dumitriu Constanta, Introducere în cercetarea psihopedagogică. Editura Didactică si Pedagogica București 2004;

16. Golu Pantelimon , Zlate Mielu, Verza Emil , Psihologia Copilului, Manual pentru clasa XI-a , scoli normale, Editura Didactica si Pedagogică București ,1993;

17. Gugiuman A. si colaboratorii – Introducere în cercetarea pedagogica, Editura Tehnică , Chișinău 1993;

18. Herescu Gh., Dumitru A., Aron I., Matematica pentru învățători, Editura Didactică si Pedagogica București 1996;

19. Joița Elena, Didactica aplicata. Învățământul primar, partea I, Editura Gheorghe Alexandrescu , Craiova 1994;

20. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru, Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a IX-a licee pedagogice, Editura Paralela 45 , Pitești 1998;

21. Lupu Costică, Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a licee pedagogice”Editura Paralela 45 , Pitești 1998;

22. Lupu Costică, Didactica matematicii, Editura Caba , București 2006;

23. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru, Lupu Ioan, Aritmetica: teorie, probleme, metode de rezolvare, Editura Egal, Bacău 2002;

24. Neacșu Ion, Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura militară, București 1990;

25. Neacșu Ion și colaboratorii, Metodica predării matematicii la clasele I-IV. Manual pentru liceele pedagogice clasele XI-XII, Editura Didactica si Pedagogica București ,1998;

26. Neveanu P.P., (coord), Zlate Mielu, Crețu Tinca, Psihologie. Manual pentru clasa a XI-a, scoli normale si licee, Editura Didactica si Pedagogica București ,1997;

27. Neveanu P.P., Dicționar de psihologie, Editura Albatros București 1978;

28. Nicola I., Tratat de Pedagogie școlara, Editura Didactica si Pedagogica București ,1996;

29. Radu I.T.,Teorie si practica în evaluarea eficienței învățământului, Editura Didactica si Pedagogica București ,1981

30. Radu Nicolae, Singer Mihaela, Matematica, clasa I. Ghid pentru învățători si părinți”, Editura Sigma București 2004;

31. Singer Mihaela, Matematica , manual pentru clasa I, Editura Sigma București 2004;

32. Singer Mihaela, Învățarea matematicii în școala primara-perspectiva noilor programe, Revista de pedagogie , nr.4 1998;

33. Șchiopu Ursula, Psihologia Generala a Copilului ,Editura Didactica si Pedagogică

34. Eugen Rusu, Psihologia activităților matematice, Editura Științifică București 1969;

35.www.didactic.ro

ANEXE

ANEXA 1

PROIECT DIDACTIC

Data: 11.04.2013

Clasa :a II-a

Disciplina:Matematică

Unitatea de învățare: Probleme care se rezolvă prin cel mult două operații

Conținut:Probleme de adunare și scădere cu numere de la 0 la 100, care se rezolvă prin cel mult două operații

Tipul lecției: consolidare

Obiective cadru /de referință:1.3,1.4,2.5,2.6,3.1,4.2,4.1

OBIECTIVE OPERATIONALE:

COGNITIVE:

Pe parcursul și la sfârșitul orei, elevii vor capabili:

OC1- să utilizeze corect terminologia matematică, specifică adunării și scăderii:

Nivel minimal: recunoșterea situațiilor concrete /expresiilor matematice din problemele date, corelate cu operația de adunarte și scădere;

Nivel mediu: alegerea operațiilor corespunzătoare relației matematice date

Nivel maximal: aplicarea în calcul a expresiilor matematice, conștientizând semnificația acestora.

OC2 – să construiască raționamentul care conduce la soluția problemelor date;

Nivel minimal : alegerea și efectuarea operațiilor aritmetice corespunzătoare raționamentului construit;

Nivel mediu : formularea judecăților din planul logic;

Nivel maximal: transpunerea rezolvării problemelor exprimate în cuvinte, în expresii numerice/scheme simple.

OC3 – să rezolve probleme ;

Nivel minimal: rezolvarea problemelor cu o singură operație;

Nivel mediu: rezolvarea problemelor cu două operații;

Nivel maximal: rezolvarea problemelor cu două operații printr-un exercițiu.

OC4 – să compună probleme ;

Nivel minimal: compunerea unei probleme după un exercițiu cu o singură operație;

Nivel mediu: compunerea unei probleme după un exercițiu cu două operații, cu mici ezitări;

Nivel maximal: compunerea unei probleme după un exercițiu cu două operații, fără ajutor.

MOTRICE:

OM1-să execute mișcări ale aparatului verbomotor în conformitate cu cerințele disciplinei;

OM2-să scrie corect și estetic pe caiete și pe fișe în timp util.

AFECTIVE:

Elevii:

OA1-vor manifasta interes pentru rezolvarea și compunerea problemelor;

OA2-vor participa activ la lecție.

RESURSE:

a) bibliografice

1. oficiale:

Curriculum Național. Programe școlare pentru învățământul primar, E.D.P. București, 2004;

Evaluare, Descriptori de performanță pentru învățământul primar,Ed. ProGnosis 2001;

Rodica Chiran, Matematică,manual pentru clasa a II-a, Ed. Aramis, 2006

pedagogice:

Elena Joița, Didactica aplicată în învățământul primar, Ed. Gh. Alexandru, Craiova, 1994;

Sorin Cristea, Pedagogie generală. Managementul educației, E.D.P., București, 1999;

Constantin Cucoș – coordonator, Psihopedagogie pentru examenul de definitivat și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 1998;

metodico-didactice:

Costică Lupu, Metodica predării matematicii,Manual pentru clasa a XII-a,licee pedagogice,Ed. Paralela 45;

Dumitru Săvulescu – coordonator, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura, Gheorghe Alexandru, Craiova 2006;

Mihaela Neagu, Constantin Petrovici, Aritmetică prin exerciții și probleme, ciclul primar, Editura Gama, Iași, 2000;

b) metodologice

1.strategia didactică: algoritmică, inductiv-deductivă

2.metode și procedee: conversația, exercițiul, explicația, munca independentă, problematizarea, analiza, sinteza

3.forme de organizare: frontală, individuală, pe grupe

4.mijloace didactice: planșe, manual, fișe de evaluare;

c) temporale:45 minute

ANEXA 2.

FIȘĂ DE LUCRU

ANEXA 3.

ACTIVITĂȚI PE GRUPE

FRUNZULIȚELE

Elevii împărțiți pe grupe vor rezolva fiecare exercițiu și vor afla cuvintele care se formează din literele date.

Câștigătoare va fi grupa care va obține prima cuvântul corect .

ANEXA 4.

CUVÂNTUL CORECT !

Elevii împărțiți pe grupe vor rezolva fiecare exercițiu și vor afla

cuvintele care se formează din literele date .

Câștigătoare va fi grupa care va obține prima cuvântul corect .

ANEXA 5.

FIȘĂ DE MUNCĂ DIFERENȚIATĂ

CLASA a II- a

DISCIPLINA : matematică

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100

ELEMENTE DE CONȚINUT : Aflarea numărului necunoscut

NIVEL MINIM

NIVEL MEDIU

NIVEL MAXIMAL

ANEXA 6

Proiect de lecție

DATA: 25.11.2013

CLASA A IV-A

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe

DISCIPLINA: Matematică

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Înmulțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000.

SUBIECTUL LECȚIEI: Înmulțirea unui număr de trei cifre cu un număr de o cifră.

TIPUL LECȚIEI: Consolidare

OBIECTIV FUNDAMENTAL: Consolidarea cunoștințelor referitoare la înmulțirea numerelor naturale de trei cifre cu un număr de o cifră.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1. să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmulor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale;

2. să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

OC1- să efectueze operații de înmulțire a numerelor naturale 0-1000, utilizând algoritmii de calcul corespunzător;

OC2- să utilizeze terminologia specifică operației de înmulțire, în rezolvarea unor exerciții;

OC3- să compare perechile de numere date, scriind semnul de relație corespunzător;

OC4- să respecte ordinea efectuării operațiilor în rezolvarea exercițiilor;

OC5- să rezolve probleme, urmărind etapele de lucru corespunzătoare.

AFECTIVE:

OA1- vor manifesta interes pentru efectuarea corespunzătoare a sarcinilor;

OA2- vor participa cu plăcere la activitățile desfășurate.

PSIHO-MOTRICE:

OM1- să scrie lizibil și îngrijit pe caiete și la tablă;

OM2- să-și coordoneze mișcările pentru a manevra corect instrumentele de lucru;

STRATEGII DIDACTICE:

Elemente de strategie didactică:

Resurse procedurale: explicația, exercițiul, conversația, observația, algoritmizarea, munca independentă, jocul didactic, metoda ciorchinelui, „Știu/ Vreau să știu/ Am învățat”, metoda cadranelor, turul galeriei.

Resurse materiale: planșe didactice, fișe de lucru, fișe de evaluare, markere, planșe.

Forme de organizare: frontal, individual, în echipă, pe grupe.

EVALUARE: observarea sistematică, probă scrisă, probă orală, autoevaluarea, evaluare de către colegi.

RESURSE METODICE:

„Matematică”- manual pentru clasa a IV-a, A.Maior, A. Călugărița, E. Maior;Editura Aramis, 2006;

„Culegere de exerciții și probleme matematice”, Angelica Călugărița;

Curriculum Național, programa școlară pentru învățământul primar, clasa a IV- a, 2005;

RESURSE TEMPORALE: 45’

ANEXA 7

Ciorchinele

Sarcină:

Completați ciorchinele cu, cuvinte legate de tema dată.

ANEXA 8

Metoda cadranelor

ANEXA 9

Fișă de lucru (exerciții)

Aflați numerele de 2 ori mai mari decât fiecare din numerele: 513, 241, 316, 275.

Calculați respectând ordinea operațiilor:

24 + 2 × 412 =

134 × 2 + 17 =

Fișă de lucru (Activitate pe grupe)

ANEXA 10

Fișă de evaluare

Obiective:

Să calculeze operațiile de înmulțire cu numere natural de la 0 la 1000;

Să scrie semnul de relație potrivit între perechile de numere;

Să reZolve problema cu două operații.

I1. Calculați:

5 × 6 =

12 × 3 =

312 × 1 =

416 × 3 =

I2. Scrieți semnul de relație potrivit între perechile de produse:

241 × 2 315 × 4

420 × 6 126 × 3

I3. La o librărie s-au adus 230 de caiete, iar pixuri de 3 ori mai mult.

Câte rechizite s-au adus în total?

ANEXA 11

Joc didactic -“CUVÂNTUL MAGIC”

Dau fiecărei echipe câte o fișă și explic ce au de făcut.

Verific dacă au obținut cuvântul corect.

Calculați și scrieți cifra corespunzătoare fiecărui rezultat. Citiți cuvântul obținut.

Itemii de rezolvare

ANEXA 12

PROIECT DIDACTIC

Propunător: învățător POPA CRISTINA

Data: 13.01.2014

Clasa: a IV-a

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Împărțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000

Subiect: Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor

Tipul lecției: mixtă

Obiective de referință:

1.5 – să efectueze operații de adunare și scădere a numerelor naturale cu utilizarea algoritmilor de calcul și a proprietăților operațiilor

1.6 – să efectueze operații de înmulțire și împărțire cu rest a numerelor naturale, utilizând proprietățile operațiilor și algoritmii de calcul

2.6 – să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă

3.1 – să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme

Obiective operaționale: pe parcursul și la sfârșitul activității elevii vor fi capabili:

O1 – să efectueze exerciții cu operații matematice de ordinul I, II și paranteze,respectând

ordinea efectuării lor;

O2 – să precizeze semnele de operație și parantezele într-un exercițiu rezolvat;

O3 – să rezolve probleme compuse cu plan de rezolvare / printr-un singur exercițiu;

O4 – să creeze probleme după un exercițiu;

RESURSE:

1.Bibliografice: Curriculum Național. Programe școlare pentru învățământul primar, București, 1998;

Ghid metodologic pentru aplicarea programelor Matematică învățământ primar și gimnazial – Consiliul Național pentru Curriculum, 2002, București

2.Metodologice:

a) strategia didactică: activ – participativă

b)metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea, demonstrația

c) mijloace didactice: – fișe de lucru, culegeri, manuale

d) forme de organizare: frontală, individuală, colectivă – pe echipe, pe grupe.

3. Temporale: durata lecției: 45 minute;

4.Umane: – colectiv 19 elevi, cadrul didactic.

ANEXA 13

ANEXA 14

Clasa: a IV-a

Obiectul: Matematică

Fișă de evaluare

(Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000 000, fără trecere peste ordin)

Efectuați:

742 810 + 426 312 + 957 384 – 804 598 –

350 187 503 274 425 060 302 215

Calculați și comparați folosind unul din semnele >, < , sau = :

212 435 + 126 324 124 127 + 246 321

856 298 – 345 106 739 462 – 426 353

Completați căsuțele libere cu numerele potrivite:

3 4 6 1 2 4 + 3 2 6 7+

2 3 7 5 2 5 62

5 2 5 5 7 5 9

9 4 7 8 3 2 – 8 7 6 7 –

1 2 2 7 3 2

4 5 3 1 6 0 1 7 6

Aflați numărul necunoscut:

a + 423 504 = 676 963 m – 125 374 = 423 305

948 027 – b = 326 011 789 654 – n = 204 622

Descăzutul este 988 567, scăzătorul este suma numerelor 124 032 și 232 234. Aflați scăzătorul și apoi diferența.

Într-un depozit se află 23 112 tone de grâu, porumb cu 200 tone mai mult, iar ovăz o cantitate egală cu cea de grâu.

Câte tone de cereale se află în depozit?

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

privind elaborarea lucrării metodico-științifice pentru gradul didactic I

Subsemnatul/subsemnata………………………………………………………………..

declar pe propria răspundere că:

lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;

nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie;

nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale mele;

lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Data, Semnătura,

F 394.10/Ed. 01

BIBLIOGRAFIE

1. Aron, Ioan, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică si Pedagogică București 1972;

2. Ausubel, D.P. ; Robinson , F.G. – Învățarea școlară, o introducere în psihologia pedagogică, Editura Didactica si Pedagogica București 1981;

3. Cerghit Ioan – Metode de învățământ, Editura Didactică si Pedagogică București 1980, ediția a II-a, revăzută si adăugită;

5. Cerghit Ioan Perfecționarea lecției în școala modernă Editura Didactică si Pedagogică București 1983;

6. Cojocariu Venera, Teoria si metodologia instruirii, Editura Didactica si Pedagogica București 2004;

7. Cosmovici Andrei, Psihologia generala, Editura Polirom Iași 1996;

8. Crețu Carmen , Curriculum diferențiat si personalizat, Metode didactice, Editura Polirom Iași;

9. Cristea Sorin, Dicționar de pedagogie, Editura Litera Educațional , Chișinău 2002;

10.Cristea Sorin, Pedagogie pentru pregătirea examenelor de definitivare, grade didactice, reciclare, Editura Hardiscom 1997;

11. Cucoș Constantin (coord), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare si grade didactice, Editura Polirom ,Iași, 1998;

12. Debesse M. „ Etapele educației”, traducerea Magdalena Chelsoi, Editura Didactică și Pedagogică București 1981;

13. Dottrens R, Miliaret G., Rast E., Rai M., A educa și a instrui, Editura Didactica 1970;

14. Dragan I., Nicola I., Cercetare psihopedagogică, Editura Tipomur, Târgu Mureș 1993;

15. Dumitriu Constanta, Introducere în cercetarea psihopedagogică. Editura Didactică si Pedagogica București 2004;

16. Golu Pantelimon , Zlate Mielu, Verza Emil , Psihologia Copilului, Manual pentru clasa XI-a , scoli normale, Editura Didactica si Pedagogică București ,1993;

17. Gugiuman A. si colaboratorii – Introducere în cercetarea pedagogica, Editura Tehnică , Chișinău 1993;

18. Herescu Gh., Dumitru A., Aron I., Matematica pentru învățători, Editura Didactică si Pedagogica București 1996;

19. Joița Elena, Didactica aplicata. Învățământul primar, partea I, Editura Gheorghe Alexandrescu , Craiova 1994;

20. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru, Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a IX-a licee pedagogice, Editura Paralela 45 , Pitești 1998;

21. Lupu Costică, Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a licee pedagogice”Editura Paralela 45 , Pitești 1998;

22. Lupu Costică, Didactica matematicii, Editura Caba , București 2006;

23. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru, Lupu Ioan, Aritmetica: teorie, probleme, metode de rezolvare, Editura Egal, Bacău 2002;

24. Neacșu Ion, Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura militară, București 1990;

25. Neacșu Ion și colaboratorii, Metodica predării matematicii la clasele I-IV. Manual pentru liceele pedagogice clasele XI-XII, Editura Didactica si Pedagogica București ,1998;

26. Neveanu P.P., (coord), Zlate Mielu, Crețu Tinca, Psihologie. Manual pentru clasa a XI-a, scoli normale si licee, Editura Didactica si Pedagogica București ,1997;

27. Neveanu P.P., Dicționar de psihologie, Editura Albatros București 1978;

28. Nicola I., Tratat de Pedagogie școlara, Editura Didactica si Pedagogica București ,1996;

29. Radu I.T.,Teorie si practica în evaluarea eficienței învățământului, Editura Didactica si Pedagogica București ,1981

30. Radu Nicolae, Singer Mihaela, Matematica, clasa I. Ghid pentru învățători si părinți”, Editura Sigma București 2004;

31. Singer Mihaela, Matematica , manual pentru clasa I, Editura Sigma București 2004;

32. Singer Mihaela, Învățarea matematicii în școala primara-perspectiva noilor programe, Revista de pedagogie , nr.4 1998;

33. Șchiopu Ursula, Psihologia Generala a Copilului ,Editura Didactica si Pedagogică

34. Eugen Rusu, Psihologia activităților matematice, Editura Științifică București 1969;

35.www.didactic.ro

ANEXE

ANEXA 1

PROIECT DIDACTIC

Data: 11.04.2013

Clasa :a II-a

Disciplina:Matematică

Unitatea de învățare: Probleme care se rezolvă prin cel mult două operații

Conținut:Probleme de adunare și scădere cu numere de la 0 la 100, care se rezolvă prin cel mult două operații

Tipul lecției: consolidare

Obiective cadru /de referință:1.3,1.4,2.5,2.6,3.1,4.2,4.1

OBIECTIVE OPERATIONALE:

COGNITIVE:

Pe parcursul și la sfârșitul orei, elevii vor capabili:

OC1- să utilizeze corect terminologia matematică, specifică adunării și scăderii:

Nivel minimal: recunoșterea situațiilor concrete /expresiilor matematice din problemele date, corelate cu operația de adunarte și scădere;

Nivel mediu: alegerea operațiilor corespunzătoare relației matematice date

Nivel maximal: aplicarea în calcul a expresiilor matematice, conștientizând semnificația acestora.

OC2 – să construiască raționamentul care conduce la soluția problemelor date;

Nivel minimal : alegerea și efectuarea operațiilor aritmetice corespunzătoare raționamentului construit;

Nivel mediu : formularea judecăților din planul logic;

Nivel maximal: transpunerea rezolvării problemelor exprimate în cuvinte, în expresii numerice/scheme simple.

OC3 – să rezolve probleme ;

Nivel minimal: rezolvarea problemelor cu o singură operație;

Nivel mediu: rezolvarea problemelor cu două operații;

Nivel maximal: rezolvarea problemelor cu două operații printr-un exercițiu.

OC4 – să compună probleme ;

Nivel minimal: compunerea unei probleme după un exercițiu cu o singură operație;

Nivel mediu: compunerea unei probleme după un exercițiu cu două operații, cu mici ezitări;

Nivel maximal: compunerea unei probleme după un exercițiu cu două operații, fără ajutor.

MOTRICE:

OM1-să execute mișcări ale aparatului verbomotor în conformitate cu cerințele disciplinei;

OM2-să scrie corect și estetic pe caiete și pe fișe în timp util.

AFECTIVE:

Elevii:

OA1-vor manifasta interes pentru rezolvarea și compunerea problemelor;

OA2-vor participa activ la lecție.

RESURSE:

a) bibliografice

1. oficiale:

Curriculum Național. Programe școlare pentru învățământul primar, E.D.P. București, 2004;

Evaluare, Descriptori de performanță pentru învățământul primar,Ed. ProGnosis 2001;

Rodica Chiran, Matematică,manual pentru clasa a II-a, Ed. Aramis, 2006

pedagogice:

Elena Joița, Didactica aplicată în învățământul primar, Ed. Gh. Alexandru, Craiova, 1994;

Sorin Cristea, Pedagogie generală. Managementul educației, E.D.P., București, 1999;

Constantin Cucoș – coordonator, Psihopedagogie pentru examenul de definitivat și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 1998;

metodico-didactice:

Costică Lupu, Metodica predării matematicii,Manual pentru clasa a XII-a,licee pedagogice,Ed. Paralela 45;

Dumitru Săvulescu – coordonator, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura, Gheorghe Alexandru, Craiova 2006;

Mihaela Neagu, Constantin Petrovici, Aritmetică prin exerciții și probleme, ciclul primar, Editura Gama, Iași, 2000;

b) metodologice

1.strategia didactică: algoritmică, inductiv-deductivă

2.metode și procedee: conversația, exercițiul, explicația, munca independentă, problematizarea, analiza, sinteza

3.forme de organizare: frontală, individuală, pe grupe

4.mijloace didactice: planșe, manual, fișe de evaluare;

c) temporale:45 minute

ANEXA 2.

FIȘĂ DE LUCRU

ANEXA 3.

ACTIVITĂȚI PE GRUPE

FRUNZULIȚELE

Elevii împărțiți pe grupe vor rezolva fiecare exercițiu și vor afla cuvintele care se formează din literele date.

Câștigătoare va fi grupa care va obține prima cuvântul corect .

ANEXA 4.

CUVÂNTUL CORECT !

Elevii împărțiți pe grupe vor rezolva fiecare exercițiu și vor afla

cuvintele care se formează din literele date .

Câștigătoare va fi grupa care va obține prima cuvântul corect .

ANEXA 5.

FIȘĂ DE MUNCĂ DIFERENȚIATĂ

CLASA a II- a

DISCIPLINA : matematică

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100

ELEMENTE DE CONȚINUT : Aflarea numărului necunoscut

NIVEL MINIM

NIVEL MEDIU

NIVEL MAXIMAL

ANEXA 6

Proiect de lecție

DATA: 25.11.2013

CLASA A IV-A

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe

DISCIPLINA: Matematică

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Înmulțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000.

SUBIECTUL LECȚIEI: Înmulțirea unui număr de trei cifre cu un număr de o cifră.

TIPUL LECȚIEI: Consolidare

OBIECTIV FUNDAMENTAL: Consolidarea cunoștințelor referitoare la înmulțirea numerelor naturale de trei cifre cu un număr de o cifră.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1. să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmulor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale;

2. să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

OC1- să efectueze operații de înmulțire a numerelor naturale 0-1000, utilizând algoritmii de calcul corespunzător;

OC2- să utilizeze terminologia specifică operației de înmulțire, în rezolvarea unor exerciții;

OC3- să compare perechile de numere date, scriind semnul de relație corespunzător;

OC4- să respecte ordinea efectuării operațiilor în rezolvarea exercițiilor;

OC5- să rezolve probleme, urmărind etapele de lucru corespunzătoare.

AFECTIVE:

OA1- vor manifesta interes pentru efectuarea corespunzătoare a sarcinilor;

OA2- vor participa cu plăcere la activitățile desfășurate.

PSIHO-MOTRICE:

OM1- să scrie lizibil și îngrijit pe caiete și la tablă;

OM2- să-și coordoneze mișcările pentru a manevra corect instrumentele de lucru;

STRATEGII DIDACTICE:

Elemente de strategie didactică:

Resurse procedurale: explicația, exercițiul, conversația, observația, algoritmizarea, munca independentă, jocul didactic, metoda ciorchinelui, „Știu/ Vreau să știu/ Am învățat”, metoda cadranelor, turul galeriei.

Resurse materiale: planșe didactice, fișe de lucru, fișe de evaluare, markere, planșe.

Forme de organizare: frontal, individual, în echipă, pe grupe.

EVALUARE: observarea sistematică, probă scrisă, probă orală, autoevaluarea, evaluare de către colegi.

RESURSE METODICE:

„Matematică”- manual pentru clasa a IV-a, A.Maior, A. Călugărița, E. Maior;Editura Aramis, 2006;

„Culegere de exerciții și probleme matematice”, Angelica Călugărița;

Curriculum Național, programa școlară pentru învățământul primar, clasa a IV- a, 2005;

RESURSE TEMPORALE: 45’

ANEXA 7

Ciorchinele

Sarcină:

Completați ciorchinele cu, cuvinte legate de tema dată.

ANEXA 8

Metoda cadranelor

ANEXA 9

Fișă de lucru (exerciții)

Aflați numerele de 2 ori mai mari decât fiecare din numerele: 513, 241, 316, 275.

Calculați respectând ordinea operațiilor:

24 + 2 × 412 =

134 × 2 + 17 =

Fișă de lucru (Activitate pe grupe)

ANEXA 10

Fișă de evaluare

Obiective:

Să calculeze operațiile de înmulțire cu numere natural de la 0 la 1000;

Să scrie semnul de relație potrivit între perechile de numere;

Să reZolve problema cu două operații.

I1. Calculați:

5 × 6 =

12 × 3 =

312 × 1 =

416 × 3 =

I2. Scrieți semnul de relație potrivit între perechile de produse:

241 × 2 315 × 4

420 × 6 126 × 3

I3. La o librărie s-au adus 230 de caiete, iar pixuri de 3 ori mai mult.

Câte rechizite s-au adus în total?

ANEXA 11

Joc didactic -“CUVÂNTUL MAGIC”

Dau fiecărei echipe câte o fișă și explic ce au de făcut.

Verific dacă au obținut cuvântul corect.

Calculați și scrieți cifra corespunzătoare fiecărui rezultat. Citiți cuvântul obținut.

Itemii de rezolvare

ANEXA 12

PROIECT DIDACTIC

Propunător: învățător POPA CRISTINA

Data: 13.01.2014

Clasa: a IV-a

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Împărțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000

Subiect: Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor

Tipul lecției: mixtă

Obiective de referință:

1.5 – să efectueze operații de adunare și scădere a numerelor naturale cu utilizarea algoritmilor de calcul și a proprietăților operațiilor

1.6 – să efectueze operații de înmulțire și împărțire cu rest a numerelor naturale, utilizând proprietățile operațiilor și algoritmii de calcul

2.6 – să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă

3.1 – să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme

Obiective operaționale: pe parcursul și la sfârșitul activității elevii vor fi capabili:

O1 – să efectueze exerciții cu operații matematice de ordinul I, II și paranteze,respectând

ordinea efectuării lor;

O2 – să precizeze semnele de operație și parantezele într-un exercițiu rezolvat;

O3 – să rezolve probleme compuse cu plan de rezolvare / printr-un singur exercițiu;

O4 – să creeze probleme după un exercițiu;

RESURSE:

1.Bibliografice: Curriculum Național. Programe școlare pentru învățământul primar, București, 1998;

Ghid metodologic pentru aplicarea programelor Matematică învățământ primar și gimnazial – Consiliul Național pentru Curriculum, 2002, București

2.Metodologice:

a) strategia didactică: activ – participativă

b)metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea, demonstrația

c) mijloace didactice: – fișe de lucru, culegeri, manuale

d) forme de organizare: frontală, individuală, colectivă – pe echipe, pe grupe.

3. Temporale: durata lecției: 45 minute;

4.Umane: – colectiv 19 elevi, cadrul didactic.

ANEXA 13

ANEXA 14

Clasa: a IV-a

Obiectul: Matematică

Fișă de evaluare

(Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000 000, fără trecere peste ordin)

Efectuați:

742 810 + 426 312 + 957 384 – 804 598 –

350 187 503 274 425 060 302 215

Calculați și comparați folosind unul din semnele >, < , sau = :

212 435 + 126 324 124 127 + 246 321

856 298 – 345 106 739 462 – 426 353

Completați căsuțele libere cu numerele potrivite:

3 4 6 1 2 4 + 3 2 6 7+

2 3 7 5 2 5 62

5 2 5 5 7 5 9

9 4 7 8 3 2 – 8 7 6 7 –

1 2 2 7 3 2

4 5 3 1 6 0 1 7 6

Aflați numărul necunoscut:

a + 423 504 = 676 963 m – 125 374 = 423 305

948 027 – b = 326 011 789 654 – n = 204 622

Descăzutul este 988 567, scăzătorul este suma numerelor 124 032 și 232 234. Aflați scăzătorul și apoi diferența.

Într-un depozit se află 23 112 tone de grâu, porumb cu 200 tone mai mult, iar ovăz o cantitate egală cu cea de grâu.

Câte tone de cereale se află în depozit?

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

privind elaborarea lucrării metodico-științifice pentru gradul didactic I

Subsemnatul/subsemnata………………………………………………………………..

declar pe propria răspundere că:

lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;

nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie;

nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale mele;

lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Data, Semnătura,

F 394.10/Ed. 01