. Metode Si Tehnici DE Combatere A Riscului Investitional

CUPRINS

Accepțiuni generale……………………………………………………………………………………………1

CAPITOLUL 1. Elemente Fundamentale În Alegerea Portofoliului

1.1. Noțiuni de bază……………………………………………………………………………………………. 2

1.2. Modelul Markowitz……………………………………………………………………………………….. 3

1.2.1. Portofoliile dintr-o singură acțiune……………………………………………………… 4

1.2.2. Portofolii de două titluri……………………………………………………………………. 4

1.2.3. Portofoliile de 7 acțiuni…………………………………………………………………………….. 5

1.2.4. Cazul general…………………………………………………………………………………. 5

1.3. Puzzle-ul alocării activelor………………………………………………………………………………6

1.3.1. Model de optim 1……………………………………………………………………………..8

1.3.2. Riscul pur ……………………………………………………………………………………… 9

1.3.3. Diversificarea naivă…………………………………………………………………………..9

1.3.4. Modelul portofoliului comportamental………………………………………………. 10

1.3.4. Pierderile de eficiență……………………………………………………………………. 16

1.3.5. Concluzii …………………………………………………………………………………….. 16

CAPITOLUL 2. Diversificarea – Definiție și moduri de realizare a acesteia

2.1. Tipuri de diversificare……………………………………………………………………………………19

2.2. Cum funcționează diversificarea?…………………………………………………………………..20

2.3. Câteva modalități de diversificare…………………………………………………………………. 21

2.3.1. Diversificarea cu obligațiuni: beneficii și riscuri……………………………………26

2.3.1.1. Beneficii și riscuri ale obligațiunilor…………………………………………………26

2.3.1.2 Patru tipuri fundamentale de obligațiuni……………………………………………28

2.3.1.2.1. Obligațiunile corporative…………………………………………………………….28

2.3.1.2.2. Obligațiuni guvernamentale………………………………………………………..28

2.3.1.2.3. Obligațiuni ale agențiilor guvernamentale…………………………………… 28

2.3.1.2.4. Obligațiuni municipale……………………………………………………………….29

2.3.2. Investiția la nivel internațional…………………………………………………………..29

2.3.2.1. Indicii internaționali ai capitalului………………………………………………….29

2.3.2.2. Risc și rentabilitate din investiția la nivel internațional……………………. 29

2.3.2.3. Rentabilitate la nivel internațional și național………………………………… 30

2.3.2.4. Riscul intern și cel străin……………………………………………………………. 32

2.3.2.5. Firmele multinaționale………………………………………………………………..33

2.3.2.6. Listările internaționale……………………………………………………………….. 33

2.3.2.7. Corelații între piețele de capital………………………………………………….. 33

2.3.3. Activele fixe…………………………………………………………………………………..34

2.3.4. Activele de “colecție”……………………………………………………………………….34

2.4.Riscul sistematic și riscul nesistematic. Rolul lor în diversificare…………………………34

2.4.1. Riscul nesistematic…………………………………………………………………………35

2.4.2. Riscul sistematic…………………………………………………………………………….36

2.5. Aspecte matematice ale diversificării…………………………………………………………….36

2.5.1. Reprezentarea diferitelor tipuri de coeficienți de corelație…………………….37

2.5.2. Calculul coeficienților de corelație……………………………………………………..39

CAPITOLUL 3. Derivative – Diversificare la nivel superior

3.1. Contractele forward……………………………………………………………………………………..41

3.2. Contractele futures………………………………………………………………………………………43

3.2.1.Caracteristici ale contractelor futures……………………………………………………. 44

3.2.2. Convergența prețului futures cu prețul spot………………………………………….. 44

3.2.3. Acoperirea riscului folosind contractele futures………………………………………45

3.2.3.1. Alegerea contractului………………………………………………………………… 47

3.2.3.2. Raportul optim de hedging…………………………………………………………. 48

3.3. Opțiuni……………………………………………………………………………………………………….49

3.3.1. Pozițiile unei opțiuni………………………………………………………………………….. 51

3.3.2. Veniturile unei opțiuni………………………………………………………………………… 51

3.3.3. Proprietățile opțiunilor pe acțiuni…………………………………………………………. 52

3.3.4. Limitele prețurilor opțiunilor……………………………………………………………….. 55

3.3.4.1. Limitele superioare…………………………………………………………………… 55

3.3.4.2. Limitele inferioare………………………………………………………………………55

3.4. Alte tipuri de derivative…………………………………………………………………………………57

3.5. Pierderi mari aduse de folosirea derivativelor…………………………………………………..59

CAPITOLUL 4. Teoria dominanței stochastice (SD)

4.1. Dominanța stochastică de ordinul 2………………………………………………………………..61

4.2. Programare lineară pentru problema dominanței stochastice…………………………….64

4.3. Formularea dualei………………………………………………………………………………………..67

4.4. Dominanța stochastică de ordinul 3………………………………………………………………..68

CAPITOLUL 5. STUDIU DE CAZ – Selecția portofoliului optim pe piața de

capital din România………………………………………………………………….. 72

Concluzii………………………………………………………………………………………..81

Anexa……………………………………………………………………………………………83

=== Anexa ===

ANEXĂ

Demonstrație teorema 1: Mulțimea funcțiilor de utilitate și mulțimea sunt convexe. Tocmai de aceea, teorema de minimax a lui Sion (1958) consideră că se poate schimba ordinea a doi indici optimi fără a modifica rezultatul:

(16)

Astfel, dacă este SSD ineficient, adică:

, ,

atunci există un portofoliu care îl domină pe , adică pentru care În mod similar, dacă este eficient SSD, adică:

atunci pentru orice , și nu există nici un portofoliu care să îl domine pe .

Demonstrație teorema 2: Condiția necesară rezultă din condițiile de optimalitate pentru problemele de convexitate și din proprietățile mulțimii soluțiilor. Astfel, este un portofoliu optim adică pentru dacă și numai dacă toate portofoliile fac parte din planul definit de vectorul de proiecție , adică:

(17) .

Dacă este optim pentru o funcție , atunci el este de asemenea optim pentru o funcție standardizată de utilitate . Prin definiție, este o soluție a problemei primare, adică . Inegalitatea (17) arată că această soluție este asociată cu o valoare nulă. Astfel, se descoperă condiția căutată: este eficient dacă și numai dacă .

Pentru a stabili integral condiția, se folosesc pentru soluția optima a problemei. Dacă , atunci:

(18) .

Funcția lineară definită pe mai multe intervale face legătura între punctele , , dacă alegem un astfel încât pentru orice . Aceasta se poate realiza alegând, de exemplu , și . Avem astfel:

Prin definiție, avem pentru orice , și . Rezultă astfel că este optimul pentru , adică:

(19) . Prin construcție, este strict crescătoare și concavă, și deci aparține lui . Astfel, condiția găsită este suficientă; portofoliul este eficient SSD dacă .

Demonstrație teorema 3: Demonstrația se poate exprima cel mai bine în termenii dualei astfel:

Variabilele primarei care corespund fiecărei restricții ale dualei sunt cele din paranteze, pentru a facilita interpretarea și relația dintre primară și duală. Primele restricții duc la următoarea formulare a soluției optime:

pentru . Înlocuind această expresie în problema primară și împărțind fiecare cu se obține formula (10). Din moment ce primara are întotdeauna soluție, . Astfel, teorema 2 arată că portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă

Demonstrație teorema 4: Prin analogie cu demonstrația teoremei 2, condițiile necesare rezultă din condițiile de optimalitate pentru optimizarea funcției concave printr-o mulțime concavă. Deoarece este continuu diferențiabilă, se pot folosi restricțiile Kuhn-Tucker. Astfel, este portofoliul optim dacă pentru dacă și numai dacă orice portofoliu face parte din planul tangent, adică:

(20) .

Dacă este optim pentru orice funcție , atunci el este optim pentru orice funcție de utilitate . Prin definiție, , cu pentru orice subvector al lui , este soluție adică . Inegalitatea (20) arată că această soluție este asociată cu valoarea nulă. Astfel, condiția necesară este ca .

Pentru a stabili condiția suficientă, folosim pentru soluția optimă. Pornind de la această soluție optimă, se poate construi funcția liniară a utilității marginale.

(21)

cu , , pentru nodurile reultate din intersecția segmentelor. Prin definiție, este strict pozitivă, descrescătoare și convexă. Înlocuind , rezultă , unde este termenul liber. Rezultă astfel:

(22)

cu , și ,

pentru a garanta continuitatea, astfel încât . Prin definiție, este strict crescătoare, concavă, și arată preferința pentru asimetrie pozitivă. Concavitatea implică pentru orice :

(23)

Dacă atunci Înlocuind în (23), obținem că este optim pentru adică:

(24) .

Astfel, condiția suficientă pentru ca portofoliul să fie eficient TSD este ca .

=== capitolul3 ===

CAPITOLUL 3. Titlurile derivate

În lumea finanțelor, una dintre cele mai spectaculoase dezvoltări din ultimii 20 de ani a avut-o piața derivativelor. În multe situații, atât speculatorii cât și hedgerii consideră mult mai atractivă o tranzacție cu un derivativ pe un anumit suport decât Cu activul suport în sine. Anumite derivative sunt tranzacționate la bursă, altele de către instituțiile financiare, fonduri mutuale, corporații pe piața over-the-counter, sau sunt adăugate la titluri de credit sau valori mobiliare.

Derivativele sunt folosite de trei tipuri de participanți pe piața financiară: speculatori, arbitrageuri si hedgeri. Speculatorii pariază pe anumite modificări ale cursului în viitor, derivativele oferindu-le un spectru mai larg de acțiune; arbitrageurii mizează pe diferența prețul aceluiași titlu pe două piețe, fără a-și asuma astfel nici un risc.

Un derivativ sau un titlu derivativ este un instrument financiar a cărui valoare depinde valoarea activelor suport. În ultimii ani, derivativele au devenit din ce în ce mai importante pentru lumea finanțelor, contractele futures și opțiunile fiind comercializate foarte puternic. Contractele forward, swap-ul și alte tipuri de opțiuni sunt de obicei folosite de către instituții financiare, diferite tipuri de fonduri si alte corporații pe așa numita piață over-the-counter.

De cele mai multe ori derivativele se bazează pe prețul altor active comercializate. De exemplu, o opțiune pe o acțiune, este un derivativ a cărui valoare depinde de valoarea acțiunii. Oricum, derivativele pot fi dependente de aproape orice tip de variabilă, pornind de la prețul unor animale până la cantitatea de zăpadă care cade într-o stațiune turistică.

3.1. Contractele forward

Contractul forward este un derivativ oarecum simplu. Acesta reprezintă o înțelegere de a cumpăra sau de a vinde un activ la un anumit moment viitor pentru un anumit preț. Acesta contrastează cu contractul spot, care este o înțelegere similară, de a vinde sau de cumpăra în ziua realizării contractului. Contractul forward este comercializat pe piața over-the-counter, de obicei între două instituții financiare sau între o instituție financiară și un client al său.

Una dintre părțile contractante ia o poziție long și este de acord să cumpere activul de bază la o dată precizată din viitor, la un preț fixat. Cealaltă parte se angajează pe o poziție short și este de acord să vândă activul la data și prețul stabilit. Prețul din contractul forward este cunoscut sub numele de preț de distribuție. La momentul în care contractul este semnat, prețul de distribuție este ales astfel încât valoarea contractului să fie nulă pentru ambele părți. Aceasta înseamnă că nu costă nimic nici poziția long nici cea short. Contractele forward sunt folosite de obicei pentru a acoperi riscul valutar.

Prețul forward pentru un anumit contract este reprezentat de prețul de distribuție care ar exista dacă acest contract ar fi semnat la momentul scadenței. E important să se facă diferența dintre prețul forward și prețul de distribuție. Cele două sunt egale în momentul în care contractul este semnat, dar este foarte posibil ca acestea să difere la momentul scadenței contractului. Prețul forward diferă de obicei de la o scadență la alta.

Pentru poziția long, câștigul din urma contractului forward pentru o unitate de activ este dată de diferența dintre prețul spot al activului la maturitatea contractului și prețul de distribuție, datorită faptului că deținătorul contractului este obligat să cumpere un activ la prețul de distribuție, dar a cărui valoare pe piață este de fapt prețul spot. În mod similar, câștigul părții aflate pe poziție short este dat de diferența dintre prețul de livrare și prețul spot. Aceste diferențe pot fi de asemenea negative. Deoarece nu costa nimic să participi la un contract forward, payoff-ul contractului este câștigul total realizat prin contractul forward.

– preț spot

– prețul de livrare

3.2. Contractele futures

Asemănător unui contract forward, un contract futures este o înțelegere între două părți de a cumpăra sau vinde un activ la un anumit moment din viitor pentru un anumit preț. Spre deosebire de contractul forward, contractele futures sunt comercializate pe piața normală. Pentru a face posibil schimbul, există anumite elemente standardizate. Având în vedere că cele două părți nu se cunosc întotdeauna, contractul conține elemente care asigură că acesta va fi onorat. Cea mai mare piață pe care se tranzacționează contracte futures este Chicago Board of Trades. Pe piețe ca aceasta contractele futures au la bază active financiare sau diverse tipuri de bunuri. Între cele financiare se includ acțiuni, indici bursieri, valute sau bonuri de tezaur.

Una dintre diferențele între cele două tipuri de contracte este aceea ca pentru contractul futures scadența nu este fixată. Contractul se referă la luna în care se va efectua livrarea, iar tranzacția precizează astfel doar perioada in care trebuie să se facă livrarea. Pentru bunuri, de obicei, perioada este întreaga lună. Deținătorul poziției short are dreptul de a alege un moment din cadrul perioadei precizate în contract în care să se facă livrarea. Părțile contractante stabilesc cantitatea de active care urmează a fi livrată și prețul la care se va face schimbul. În cazul bunurilor, se precizează calitatea activului, precum și destinația la care se va face livrarea. Prețul contractelor futures este determinat de numărul pozițiilor long și al celor short. Dacă primul este mai mare, atunci prețul crește, iar dacă este mai mic prețul futures scade.

3.2.1.Caracteristici ale contractelor futures

Atunci când se încheie un contract futures, trebuie să se menționeze în detaliu natura înțelegerii între cele două părți, mai ales activul suport, mărimea contractului, cum se stabilesc prețurile, unde se va face livrarea, momentul la care se va face aceasta și cum va fi determinat prețul la scadență. Uneori se precizează alternative pentru locul de livrare și pentru alte elemente din contract pentru care este admisă o alternativă. Partea care alege dintre aceste alternative este cumpărătorul.

În ceea ce privește activul suport, în cazul bunurilor, trebuie să se precizeze calitatea bunului care va fi livrat pentru a elimina neînțelegerile ulterioare. Activele financiare sunt, în general, clare și concrete, fără ambiguități.

Mărimea contractului reprezintă cantitatea din activul respectiv care face obiectului contractului futures. Dacă aceasta este prea mare, mulți agenți care vor să acopere riscuri relativ mici nu vor putea folosi acest instrument. Dacă mărimea este prea mică, tranzacția este neprofitabilă datorită faptului că implică costuri care trebuie acoperite, iar câștigul realizat de pe urma unor active reduse ca număr nu va fi suficient. Mărimea corectă a unui contract trebuie adaptată cumpărătorului și tipului de activ suport.

Pentru marea majoritate a contractelor futures, cumpărătorii să își închid poziția înainte de scadență. Aceasta înseamnă că cumpărătorul opțiunii va vinde o altă opțiune, deci se află pe o poziție opusă celei inițiale. Este important de observat această acțiune nu are importanță pentru vânzătorul primei opțiuni, ci implică cel mai des o a treia persoană, diferită deci de primii doi contractanți.

3.2.2. Convergența prețului futures cu prețul spot

Pe măsură ce se apropie luna livrării, prețul futures converge cu prețul spot. Acesta se întâmplă pe o piață normală. În situația opusă, când prețul futures este o funcție descrescătoare față de prețul spot, avem de-a face cu o piață inversă. Pentru majoritatea activelor piața este mixtă.

Pentru a explica această tendință, să presupunem mai întâi că prețul spot este mai mare decât prețul futures. Aceasta va duce în mod evident la o creștere a investitorilor arbitragiști care vor face mai întâi un short pe un contract futures, vor cumpăra apoi activul, iar apoi se va face livrarea. Aceasta va duce, în mod evident, la un profit egal cu diferența dintre prețul spot și cel futures. Pe măsură ce investitorii exploatează această diferență de curs, prețul futures va scădea. Dacă prețul futures este mai mare decât prețul spot, companiile interesate în cumpărarea activului vor găsi atractivă intrarea într-un contract futures de pe o poziție long. Făcând acest lucru, prețul futures va tinde să crească.

3.2.3. Acoperirea riscului folosind contractele futures

O companie care știe că trebuie să vândă un activ la un anumit moment din viitor poate să se acopere luând o poziție short pe un futures. Acest tip de hedging poartă numele de short hedge. Dacă prețul activului va scădea, compania nu câștigă din vânzarea activului, dar câștigă din luarea poziției short din contractul futures. Dacă prețul activului crește, compania câștigă din vânzarea activului, dar pierde din contractul futures. În mod similar, o companie care știe că trebuie să cumpere un activ în viitor, va lua o poziție short într-un contract futures, realizând astfel un long hedge. Este importanta de subliniat că hedging-ul prin futures nu îmbunătățește, în mod necesar, situația financiară, putând chiar să o înrăutățească. Hedging-ul prin risc reduce însă riscul, dând mi multă siguranță pentru realizarea unui câștig. Există mai multe motive pentru care hedging-ul prin futures nu funcționează perfect în practică:

1. activul al cărui risc este acoperit nu este întotdeauna activul suport al contractului futures.

2. cel care se acoperă nu este întotdeauna sigur de data la care activul va fi vândut sau cumpărat.

3. este posibil ca contractul să fie încheiat (închiderea poziției) mult înainte luna livrării.

Aceste probleme dau naștere termenului de risc de basis (basis risk).

Basis-ul este o situație de hedging definită în felul următor:

Basis = prețul spot al activului al cărui risc este acoperit – prețul futures al contractului

Dacă activul care este acoperit este același cu cel din contractul futures, basis-ul este nul la expirarea contractului. Înainte de expirare, basis-ul poate fi pozitiv sau negativ.

Atunci când prețul spot crește mai mult decât prețul futures, basis-ul crește, făcându-se referință la acest fenomen prin termenul de „întărire a bazei”. Atunci când prețul futures crește mai mult decât prețul spot, avem de-a face cu o „slăbire a basis-ului”. Pentru a examina natura riscului de basis, vom folosi următoarele notații:

– prețul spot la momentul

– prețul spot la momentul

– prețul futures la momentul

– prețul futures la momentul

– basis la momentul

– basis la momentul

Presupunem că hedging-ul se realizează în momentul și se închide la momentul .

Din definiție: și

Să luăm exemplul unui investitor care știe că va trebui ă își vândă activul la momentul și ia o poziție short la momentul . Prețul activului va fi , iar profitul poziției short în contractul futures va fi de . Prețul efectiv care va fi obținut pentru activul suport este:

Riscul de hedging este nesiguranța asociată lui . Pentru o altă companie care știe că la momentul va trebui să cumpere un activ, prețul la care va cumpăra este . Pentru investițiile bazate pe valute, indici bursieri, aur, argint, riscul de basis tinde să se micșoreze. Riscul basis pentru o investiție vine în primul rând din incertitudine, pornind de la nivelul ratei activului fără risc și până la randamentul pe care îl poate aduce activul respectiv.

Activul pentru care se acoperă investitorul este deseori diferit de cel care face obiectul contractului futures, riscul basis crescând simțitor. Fie prețul activului suport al contractului futures la momentul . Prin hedging, compania se asigură că prețul pe care îl va plăti (sau pe care îl va primi) este dat de relația :

sau

Termenii și reprezintă cele două componente ale basis-ului. reprezintă basis-ul care ar exista dacă activul care este acoperit dacă activul acoperit ar fi același cu cel suport. este termenul ce definește basis-ul ce rezultă din diferența dintre cele două active.

3.2.3.1. Alegerea contractului

Un factor cheie care afectează riscul de basis este alegerea tipului de contract futures folosit pentru hedging. Această alegere prezintă două componente:

alegerea activului suport al contractului futures

alegerea lunii de livrare

Dacă activul acoperit este același cu activul suport, prima alegere este simplă. În alte circumstanțe, este necesară o analiză atentă pentru a determina care dintre contractele futures disponibile este cel mai bine corelat cu prețul activului de acoperit.

Alegerea lunii de livrare depinde de mai mulți factori. Se poate presupune că atunci când hedging-ul expiră într-o anumită lună, aceasta este cea aleasă pentru contractul futures, ca lună pentru livrare. În general, riscul de basis crește pe măsură ce crește diferența dintre momentul expirării hedging-ului și momentul livrării. O regulă de bază ar fi aceea de a alege o lună de livrare care este cât mai apropiată de expirarea hedging-ului, dar să o succeadă.

3.2.3.2. Raportul optim de hedging

Raportul de hedging este acea mărime a contractului futures necesară pentru acoperirea expunerii investitorului. Pentru a defini acest raport vom folosi notațiile:

– variația cursului spot pe durata hedging-ului

– variația prețului futures pe durata hedging-ului

– abaterea standard pentru

– abaterea standard pentru

– coeficientul de corelație dintre și

– raportul de hedging

Atunci când hedging-ul este long pe activ și short pe futures, variația valorii poziției de hedging pe parcursul existenței acestuia este:

– ,

iar pentru un long hedge este:

– .

În ambele cazuri, varianța valorii hedging-ului, este dată de:

,

astfel încât

adică

Egalând această relație cu 0, se observă că valoarea care minimizează varianța este:

Astfel, raportul optim de hedging depinde de corelația dintre și și de raportul dintre abaterile standard ale variațiilor cursurilor spot și futures.

3.3. Opțiuni

Opțiunile pe acțiuni au fost tranzacționate pentru prima dată în 1973, cunoscând de atunci până acum o dezvoltare spectaculoasă. Mari cantități de opțiuni sunt tranzacționate la bursele din toată lumea , dar și pe piețele over the counter de către bănci și alte instituții financiare. Activele suport includ acțiuni, indici bursieri, valute, instrumente de credit, bunuri și chiar contracte futures.

Există două tipuri de opțiuni. O opțiune call dă deținătorului dreptul de a cumpăra activul suport la un anumit preț și la o anumită dată, în timp ce o opțiune put dă dreptul de a vinde acest activ. Prețul din contract este cunoscut sub numele de preț de exercițiu, iar data se mai numește data expirării sau scadența opțiunii. Există mai multe tipuri de opțiuni care se disting în primul rând prin momentul la care se pot exercita. Printre acestea se numără opțiunile europene, americane, bermudane, de barieră, rusești, etc. O opțiune europeană poate fi exercitată doar la scadența menționată în contract, în timp ce cea americană se poate exercita oricând în perioada până la scadență.

Trebuie subliniat faptul că o opțiune dă deținătorului ei dreptul de vinde sau a cumpăra un activ, dar nu îl obligă să facă acest lucru. Acest avantaj diferențiază opțiunile de contractele forward sau futures dar, spre deosebire de acestea, opțiunile implică un cost pentru obținerea lor.

Pentru exemplificare și pentru o mai bună înțelegere a mecanismului opțiunilor, să presupunem că un agent achiziționează opțiune call europeană având ca activ suport o acțiune al cărei preț de exercițiu este 100 USD. La momentul actual acțiunea valorează 98 USD, data expirării este peste două luni, iar prețul opțiunii este de 5 USD. Deoarece opțiunea este europeană, agentul nu poate să o exercite decât la scadență. Dacă prețul acțiunii la scadență va fi mai mic de 100 USD atunci nu este eficient pentru el să exercite opțiunea. În schimb, dacă prețul este de 115 USD, atunci agentul va exercita opțiunea, cumpărând acțiunea la prețul de 100 USD și vânzând-o ulterior pe piață pentru a obține un profit de 15 USD, și un profit net de 10 USD, luând în considerare prețul opțiunii. În cazul în care valoarea acțiunii la scadență este mai mare de 100 USD, dar mai mică decât 105 el va exercita opțiunea pentru a-și acoperi o parte din prețul opțiunii, diminuând astfel pierderea. Astfel, cumpărătorul unui call speră ca prețul să crească, în timp ce cumpărătorul unui put speră ca acest preț să scadă. Să presupunem că un agent achiziționează o opțiune put pe aceiași acțiune de mai sus și în aceleași condiții. Dacă la scadență prețul acțiunii este de 115 USD, el ar trebui să achiziționeze de pe piață o acțiune la acest preț și să o vândă la prețul de exercițiu de 100 USD, suferind astfel o pierdere de 20 USD. În acest caz el nu va exercita opțiunea, plătind doar prețul acesteia. În schimb, dacă pentru activul suport cursul scade, el va cumpăra acțiunea la un preț mai mic și o va vinde conform contractului la prețul de exercițiu realizând astfel profit.

3.3.1. Pozițiile unei opțiuni

Orice opțiune are două părți contractante. Una dintre ele este acel participant la tranzacție care se află pe poziție long (cumpărătorul opțiunii), iar cealaltă este a contractantului aflat pe poziție short (vânzătorul opțiunii). Profitul sau pierderea vânzătorului este inversul câștigului sau pierderii cumpărătorului.

3.3.2. Veniturile unei opțiuni

Patru poziții de bază sunt posibile pentru o opțiune:

un long pe o opțiune call

un long pe o opțiune put

un short pe o opțiune call

un short pe o opțiune put

Poziția unei opțiuni europene se caracterizează în general prin payoff-ul pe care îl poate primi cumpărătorul sau vânzătorul opțiunii. În acest calcul nu intră și costul inițial al opțiunii. Dacă notăm cu X prețul de exercițiu și cu ST prețul acțiunii la scadență atunci putem defini câștigul rezultat dintr-o poziție long pe un call european ca fiind max(ST – X, 0).

Acesta reflectă faptul că opțiunea va fi exercitată dacă ST > X. Bineînțeles cel aflat pe poziția short va avea un payoff egal cu – max(ST – X, 0) sau cu min( X– ST, 0).

Payoff-ul pentru deținătorul unei poziții long pe un put european va avea un profit egal cu max( X– ST, 0), iar cel aflat pe poziția short – max(ST – X, 0) sau min(ST – X, 0).

3.3.3. Proprietățile opțiunilor pe acțiuni

Factorii care influențează prețul opțiunii sunt:

prețul curent al acțiunii

prețul de exercițiu (strike price)

perioada până la expirarea contractului

volatilitatea cursului acțiunii

rata activului fără risc

dividendele așteptate pe perioada de viață a opțiunii

Prețul acțiunii și prețul de exercițiu

Dacă opțiunea este exercitată la un anumit moment din viitor, prima opțiunii call este egală cu valoarea cu care cursul acțiunii de la momentul respectiv depășește prețul de exercițiu. Opțiunile call devin cu atât mai valoroase cu cât cursul acțiunii crește, și mai puțin valoroase dacă acesta scade. Opțiunile put se comportă invers decât cele call.

Efectul modificării unei variabile asupra unei opțiuni cât timp celelalte rămân constante

Perioada până la scadență

Atât opțiunile americane call cât și cele put devin mai valoroase pe măsură ce această perioadă este mai mare. Pentru a demonstra acest lucru, să considerăm două opțiuni care se deosebesc doar prin perioada până la scadență. Deținătorul opțiunii cu o perioadă mai mare de viață are toate opțiunile de exercitare ale deținătorului opțiunii cu perioadă de viață mai scurtă și multe altele datorită diferenței dintre cele două perioade. Tocmai de aceea, valoarea opțiunii cu perioada până la maturitatea mai mare trebuie să fie mai ridicată.

Opțiunile europene nu devin neapărat mai valoroase dacă scadența este mai îndepărtată. Dacă luăm ca exemplu două opțiuni cu perioade diferite până la exercitare, dar care au un activ suport ce aduce dividende. Să presupunem că prima are maturitatea peste o lună, a doua peste două luni, iar acțiunea va aduce un dividend mare peste șase săptămâni. Acest dividend va duce la scăderea prețului acțiunii, făcând posibilă o valoare mai mare a opțiunii pe termen mai scurt.

Volatilitatea

Volatilitatea cursului, , este definită astfel încât este abaterea standard a venitului acțiunii pentru o perioadă scurtă de timp, . Acest volatilitate măsoară nesiguranța în ceea ce privește variația cursului. Pe măsură ce volatilitatea crește, posibilitatea acțiunii de a varia foarte puternic crește și ea. Pentru deținătorul acțiunii, aceste două tendințe se anulează reciproc, ceea ce nu are loc pentru deținătorul unei opțiuni pe acest activ. Deținătorul call-lui are de câștigat din creșterea prețului, dar se asigură împotriva scăderii cursului care ar duce doar la plata primei, deci la o pierdere limitată. În mod asemănător, deținătorul unei opțiuni put beneficiază de câștiguri in cazul în care cursul acțiunii scade, și trebuie să plătească cel mult prima dacă acesta crește. Astfel, în ambele cazuri, creșterea volatilității duce la creșterea prețului opțiunii.

Rata activului fără risc

Rata activului fără risc afectează prețul opțiunii într-un mod mai puțin evident. Pe măsură ce rata dobânzii crește într-o economie, creșterea așteptată a cursului acțiunii tinde să se mărească și ea. Pe de altă parte, valoarea actualizată a câștigurilor viitoare scade, actualizarea realizându-se la rata dobânzii, cu care valoarea reală este invers proporțională. Aceste două tendințe duc la scăderea prețului unei opțiuni. În cazul call-urilor, prețul opțiunii crește pe măsură ce rata dobânzii scade.

Trebuie subliniat că aceste concluzii pornesc de la ipoteza că celelalte variabile rămân constante. În practică, atunci când rata dobânzii crește, prețul acțiunilor scade.

Dividendele

Să presupunem că pe piață există mai mulți participanți, pentru care:

nu există costuri pentru tranzacțiile efectuate

toate profituri rezultate din tranzacție facultate obiectul acelorași

impozite

împrumutul sau acordarea de credite la rata activului fără risc sunt

posibile

O altă ipoteză este aceea că participanții pe piață sunt de acord să profite de oportunitățile de arbitraj. Aceasta înseamnă însă că, datorită modului în care evoluează piața, arbitrajul va dispărea foarte repede.

Notațiile folosite pentru caracterizarea evoluției opțiunilor sunt:

– cursul curent

– cursul acțiunii la momentul T

– prețul de exercițiu al opțiunii

– momentul scadenței

– rata activului fără risc

– valoarea unei opțiuni call americane

– valoarea unei opțiuni put americane

– valoarea unei opțiuni call europene

– valoarea unei opțiuni put europene

Trebuie subliniat faptul că este rata nominală a dobânzii și nu cea reală, cu >0.

3.3.4. Limitele prețurilor opțiunilor

3.3.4.1. Limitele superioare

Un call european sau unul american acordă deținătorului său dreptul de a cumpăra o acțiune la un anumite preț. O regulă de bază este aceea că o prețul unei opțiuni nu poate fi mai mare decât valoarea acțiunii suport. Astfel opțiunea este limitată superior de valoarea acțiunii la momentul emiterii opțiunii:

și

Dacă aceste relații nu sunt respectate, un arbitrageur ar putea realiza câștiguri foarte ușor cumpărând o acțiune și vânzând un call pe această acțiune.

Un put european sau unul american dau dreptul de a vinde o acțiune la prețul de exercițiu. Oricât de mic ar fi deveni cursul acțiunii, opțiunea nu poate valora mai mult decât prețul de exercițiu.

și

Pentru opțiunile europene este cunoscut faptul că, la momentul , prețul opțiunii nu va valora mai mult decât . Rezultă astfel, că valoarea prezentă a opțiunii nu poate fi mai mare decât valoarea actualizată a prețului de exercițiu:

3.3.4.2.Limitele inferioare

Limita inferioară pentru prețul unui call european având ca activ suport o acțiune care nu aduce dividende este:

Pentru argumentarea acestei relații, putem exemplifica prin considerarea a două portofolii:

Portofoliul A: format dintr-o opțiune call europeană și o sumă în numerar egală cu

Portofoliul B: format dintr-o singură acțiune

În cazul portofoliului A, dacă suma în numerar este investită, aceasta va ajunge la momentul la valoarea prețului de exercițiu. Dacă , atunci call-ul va fi exercitat la momentul , iar valoarea portofoliului A va fi . În cazul în care , call-ul nu va fi folosit, iar valoarea portofoliului va fi. Astfel, la momentul , valoarea portofoliului A este:

max,

iar a portofoliului B, . Astfel, portofoliul A va avea oricând o valoare mai mare sau cel puțin egală cu cea a portofoliului B. Rezultă că această egalitate are loc și în prezent. Astfel:

sau .

Deoarece cel mai rău lucru care se poate întâmpla este ca opțiunea call să nu fie exercitată, valoarea ei este pozitivă ().

max

Limita inferioară pentru opțiuni put european pe o acțiune care nu aduce dividend este:

Fie portofoliile C și D, având următoarea structură:

Portofoliul C: o opțiune put europeană și o acțiune

Portofoliul D: o sumă în numerar egală cu

Dacă , atunci opțiunea din portofoliul C va fi exercitată, valoarea acestuia din urmă fiind . Dacă , atunci valoarea portofoliului este . Așadar, portofoliul Curs valorează la momentul :

max ()

Presupunând că numerarul este investit la rata activului fără risc, portofoliul D valorează la momentul . Deducem astfel că:

sau , iar limita superioară a opțiunii este:

max()

3.4. Alte tipuri de derivative

Opțiunile put și call simple de mai numesc „plain vanilla” sau derivative standard. Încă din anii 1980, băncile și alte instituții financiare au fost foarte inventive în formarea de noi titluri derivative pentru a satisface nevoile clienților. Uneori aceste derivative sunt vândute de către bănci clienților lor corporativi. În alte cazuri, acestea se adaugă acțiunilor sau obligațiunilor pentru a face aceste titluri mai atractive pentru investitori. Anumite derive nonstandard sunt doar portofolii de două sau mai multe opțiuni „plain vanilla”. Altele sunt mult mai complexe. Posibilitatea de a construi noi tipuri de derivative este aproape nelimitată. Aceste derivative non standard se mai numesc titluri exotice (sau exotics).

Alte tipuri de derivative sunt obligațiunea Standard Oil ( Standard Oil’s Bond Issue), titlul ICON, contracte forward flexibil (Range Forward Contracts).

În anul 1986 Standard Oil a emis anumite obligațiuni pentru care deținătorul nu primea nici un fel de dobândă. La maturitatea obligațiunii compania a promis să plătească 1000 USD plus o sumă adițională bazată pe prețul petrolului la acel moment. Suma adițională a fost egală cu prețul titlului (170USD) plus excesul datorat creșterii prețului petrolului peste valoarea de 15 USD pe baril. Suma maximă adițională plătită a fost de 2250 USD care a corespuns unui preț de 45 USD pe baril. Aceste obligațiuni au adus deținătorilor, cât și companiei profituri ridicate.

Al doilea exemplu este cel al ICON-urilor. Astfel, în 1985, Bankers Trust au emis obligațiuni pe indicele opțiunilor pe valută. Aceste erau obligațiuni pentru care suma primită la maturitate varia în funcție de cursul de schimb și pentru care se precizau două rate de schimb X și X, cu X> X. Dacă la maturitate cursul de schimb era mai mare decât X, atunci deținătorul obligațiunii primea valoarea nominală a obligațiunii; dacă era mai mic decât X, acesta nu primea nimic. În cazul în care cursul se situa între X și X, se primea doar o parte din valoarea nominală. Prima emisiune de acest gen a companiei Bankers Trust a fost pentru Banca pentru Credite pe Termen Lung a Japoniei. ICON-ul preciza că dacă cursul yen-dolar () era mai mare de decât 169 yeni pentru un dolar, deținătorul obligațiunii primește 1000 USD, iar dacă acesta era mai mic de 169 yeni pentru un dolar, suma primită era calculată după cum urmează:

Atunci când cursul de schimb era sub 84,5, deținătorul nu primea nimic.

Contractele forward flexibil sunt populare pe piețele de schimb valutar. Să presupunem că la data de 20 ianuarie 1998, o companie americană știe că peste trei luni va avea nevoie de lire sterline în condițiile din tabelul de mai jos. Compania ar putea să apeleze la un contract forward pentru trei luni pentru a cumpăra la cursul de 1,6196. o altă alternativă este contractul forward flexibil. Pe baza acestui contract se stabilește un interval de variație al cursului în jurul valorii de 1,6196. Presupunând că intervalul fixat este [1.6000, 1.6400], compania se asigură împotriva variației cursului. În cazul în care cursul va fi sub 1,6000, compania va putea se realizeze tranzacția la cursul de 1,6000; dacă acesta se află în intervalul stabilit, compania va tranzacționa la cursul spot, iar dacă acesta depășește 1,6400, va plăti chiar 1,6400.

Cursul Spot si Forward pentru lira sterlină la data de 20 ianuarie 1998

Tipuri de derivative mai complexe

Așa cum am mai precizat, inovațiile din aria derivativelor sunt nelimitate. Anumite opțiuni tranzacționate pe piața over the counter au prime care variază în funcție de valoarea medie a unei variabile pe parcursul unei perioade de timp. Altele au prețuri de exercițiu care se definesc ca funcții de timp. Unele opțiuni au implică acordarea unei alte opțiuni cumpărătorului dacă prima opțiune se exercită sau a unei prime care depinde de pătratul valorii unei rate a dobânzii, ș.a.m.d.

În mod tradițional, activele suport pentru derivative sunt acțiuni, indici bursieri, rate ale dobânzii, rate de schimb valutar sau prețuri ale unor bunuri, dar alte tipuri de active devin din ce în ce mai folosite. De exemplu, derivativele pe credite depind de valoarea creditelor unei companii sau a mai multora, derivativele pe baza stării vremii depind de valoarea medie a temperaturii dintr-un anumit loc. Mai există derivative pe asigurări sau pe curent electric, și pe multe alte tipuri de active din domenii diverse.

3.5. Pierderi mari aduse de folosirea derivativelor

În 1990, organizații ca Gibson Greetings, Procter&Gamble, Orange County sau Barings au suferit pierderi imense de pe urma folosirii derivativelor. Drept urmare, oamenii au devenit reticenți în ceea ce privește folosirea acestora, mai ales datorită publicității negative. Anumite societății nefinanciare și-au anunțat intenția de a nu mai folosi derivative decât într-o măsură foarte mică.

Istoria din spatele acestor pierderi se bazează pe faptul că derivativele se folosesc pentru acoperirea riscurilor, dar și în scop speculativ, deci pentru asumarea de riscuri. Pierderile au apărut în principal datorită acțiunilor speculative ale angajaților cu responsabilități în acest sens. Lecția învățată a fost aceea a controlului intern. Un management responsabil al unei companii trebuie să definească clar în ce scop pot fi folosite derivativele și limitele în care acești angajați pot apela la derivative. Totodată, trebuie instituite controale prin care să se verifice dacă politica firmei este respectată.

Bibliografie:

[1] Black, Fischer; Scholes, Myron

„The Pricing of Options and Corporate Liabilities”

Journal of political economy, vol.81 no3

[2] Chance, M. Don

„An Introduction to Futures and Options”

Ed.Dryden Press, Chicago, 1987

[3] Gibson, Rajna

„Option Valuation Analyzing and Pricing”

Geneva, 1995

[4] Hull, John

„Options,Futures, and Other Derivative Securities”

Editura Printice – Hall, Englewoodcliffs, New Jersey,2000

[5] Marlowe, J.

„Hedging Currency Risk with Options and Futures”,1999

[6] „Characteristic and risk of standardized options”

Chicago Board of Trade,1999

[7] www.derivatives.com

[8] www.wsj.com

[9] www.bis.org

[10] www.bmfms.ro

[11] www.cboe.com

=== capitolul4 ===

CAPITOLUL 4. Teoria dominanței stochastice (SD)

Teoria dominanței stochastice (SD; Hadar Russel, 1969, Hanoch și Levy, 1969, Rothschild și Stiglitz, 1970 și Whitmore, 1970) reprezintă un cadru sistematic pentru analiza comportamentului economic în condiții de risc. SD a cunoscut o importantă dezvoltare teoretică și aplicare empirică în ultimele decade, în cadrul unor arii economice, financiare sau statistice variate. Teoria este extrem de atractivă datorită orientării sale neparametrice. Criteriile SD nu cer o specificare completă a parametrilor legați de preferințele celor ce iau decizii, ci se bazează pe preferințe general valabile.

Pentru a aplica criteriile SD unor date empirice, au fost dezvoltați algoritmi care să facă diferența dintre funcțiile empirice de distribuție (EDF) ale alternativelor. Selecția și evaluarea portofoliilor sunt probleme importante care sunt restricționate de caracterul limitativ al acestei teorii. Unii autori susțin Teoria dominanței stochastice (SD) anumite metode prin care să se probeze eficiența portofoliului care respectă criteriile SD în raport cu alte portofolii.

4.1. Dominanța stochastică de ordinul 2

Să considerăm un spațiu investițional constituit din N active, cărora li se asociază rentabilitățile . Fie mulțimea indicilor ce reprezintă activele considerate. În plus, rentabilitățile sunt considerate variabile aleatoare independente, distribuite egal, definite prin funcția Investitorii pot să aleagă ponderea fiecărui activ; notăm vectorul ponderilor activelor în portofoliu. Pentru simplificare, pornim de la ipoteza că nu este permisă realizarea de short selling și că ponderile activelor aparțin mulțimii . Cu toate acestea, este posibil să generalizăm analiza, eliminând ipoteza interzicerii short selling-ului.

Se pune problema stabilirii dacă un anumit portofoliu, de exemplu este optim, dacă maximizează valoarea așteptată a funcției de utilitate a investitorului , unde este clasa funcțiilor de utilitate von Neuman-Morgenstern, iar pentru o submulțime nevidă, închisă și convexă a lui . Portofoliul este optim dacă și numai dacă:

(1)

În practică, nu sunt disponibile informații complete despre funcția de utilitate. Tocmai de aceea, SD se bazează pe presupuneri generale și nu pe aceste informații incomplete. Criteriile dominanței stochastice de ordinul 2 își concentrează atenția asupra clasei investitorilor adversivi la risc sau clasa funcțiilor de utilitate concave În plus, funcția de utilitate nu este continuu diferențiabilă. Oricum, funcția de utilitate este concavă și deci continuă și diferențiabilă pe orice interval.

Astfel, informația este limitată la o serie discretă de observații, notată cu , care poate fi tratată ca o serie de exemple alese aleator din domeniul funcției de distribuție. Notăm cu diferitele momente considerate. Folosind informațiile, se poate construi funcția de distribuție empirică:

(2)

Pentru ușurință, să presupunem că datele sunt ordonate în ordine crescătoare în funcție de rentabilitatea portofoliului evaluat, de exemplu , având deci o distribuție normală a rentabilității.

Folosind notațiile de mai jos, dominanța stochastica de ordinul 2 poate fi definită astfel:

Definiție 1: Portofoliul domină portofoliul prin dominanță stochastică de ordinul 2 dacă și numai dacă, pentru toate funcțiile de utilitate , are o utilitate sperată mai mare decât , adică

(3)

De observat că definiția dominanței stochastice de ordinul 2 folosește inegalități stricte pentru orice . Această observație este importantă din punct de vedere teoretic pentru că ar putea exista exemple ale celor două definiții care să pară generate de două clasificări diferite ale eficienței. De exemplu, folosind Definiția 1, pentru investitorii neutrali la risc, nu domină un portofoliu care are aceiași rentabilitate medie dar cu un risc mai mic. Oricum, dintr-o perspectiva empirică, perturbații mici ale datelor conferă o oarecare consistență metodei.

O generalizare a Definiției 1, care include diversificare poate fi formulată astfel:

Definiție 2: Portofoliul este ineficient SSD dacă și numai dacă există un portofoliu care îl domină. Reciproc, portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă portofoliul nu există nici un portofoliu care să îl domine.

E foarte interesant că această definiție poate fi reformulată in termenii unei problemei de minimax:

Teorema 1: Portofoliul este SSD ineficient dacă și numai dacă, pentru toate funcțiile de utilitate , rentabilitatea maximă așteptată este mai mare decât utilitatea așteptată a lui , adică

(4)

În mod similar, portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă este optim relativ la orice funcție de utilitate , adică:

4.2. Programare lineară pentru problema dominanței stochastice

Abordarea neparametrică a analizei “consumatorului” construiește funcții de utilitate definite pe mai multe intervale, potrivite pentru optimizarea comportamentului, în sensul dat de aceste funcții. Astfel, se pune întrebarea dacă se pot construi funcții de utilitate corespunzătoare. O asemenea funcție, notată poate fi construită dintr-o serie de linii suport caracterizate printr-o serie de linii suport caracterizate prin coeficienți de intersecție și coeficienți normali (ai pantelor) astfel încât

(6)

Teorema 2: Portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă este optimul unei funcții lineare de utilitate definită pe mai multe intervale . Această condiție poate fi verificată printr-un test SSD statistic:

(7)

Portofoliul este SSD eficient dacă și numai dacă

Testul statistic pune problema posibilității de realizare unei funcții strict crescătoare și concave de utilitate definită pe mai multe intervale care raționalizezaă portofoliul evaluat. Dacă acesta este eficient, atunci trebuie să existe acele drepte suport, și reciproc. Oricum, acest test statistic nu poate reprezenta o unitate de măsură reprezentativă a performanței portofoliilor. Pentru a selecta portofoliul optim dintr-o mulțime de portofolii, și pentru a măsura abaterea de la optim, sunt necesare mai multe informații despre preferințele investitorului, decât cele care sunt folosite pentru teoria dominanței stochastice.

Testul statistic implică o funcție obiectiv și anumite restricții, care pot fi rezolvate folosind programarea lineară, astfel:

(P)

Problema implică doar T variabile și N+T-1 restricții. Mai mult, modelul are întotdeuna o soluție la îndemână, pentru oricare ar fi , și satisface toate restricțiile. Această soluție îi reprezintă pe investitorii neutrali la risc care compară portofoliile doar în termeni de rentabilitate.

Pe lângă valoarea statistică a testului, modelul oferă informații despre forma funcției lineare optime de utilitate definită pe mai multe intervale. Valoarea optimă pentru fiecare variabilă , notată reprezintă panta dreptei suport a funcției de utilitate. Putem construi o funcție de utilitate completă astfel:

(8)

cu pentru

Dacă portofoliul evaluat este eficient, atunci funcția empirică de utilitate este un exemplu de funcție care raționalizează alegerea portofoliului. Totuși, trebuie subliniat că funcția emprică de utilitate nu este o estimare pentru funcția de utilitate a investitorului care deține portofoliul. Problema apare datorită posibilității apariției mai multor soluții optime pentru aceiași coeficienți normali. Mai mult, pentru fiecare mulțime de coeficienți normali, funcția emprică de utilitate nu este unică, putând alege orice O altă problemă apare datorită sensibilității funcției la erori. În timp ce este posibil să se realizeze un test statistic consistent și relevant (mai ales pentru serii mari de date), este mult mai complicat să construiești o întreagă funcție de utilitate; numărul coeficienților de utilitate crește odată cu mărimea seriei. Pe de altă parte, interpretarea funcției empirice de utilitate nu este clară dacă portofoliul evaluat este SSD ineficient. La prima vedere, o funcție poate fi interpretată ca fiind cea mai favorabilă funcție de utilitate, cum ar fi funcția care dă cea mai mare importanță portofoliului evaluat prin prisma pierderii minime de rentabilitate, în timp ce testul statistic ar putea fi interpretat ca o măsură a acestei pierderi. Această interpretare este în general greșită. Testul evaluează observațiile , pentru coeficienții normali asociați perioadei, adică . Paradoxal, funcția empirică de utilitate evaluează observația pentru coeficientul asociat intervalului, adică dacă este conținut în elementul s din . Pe scurt, scopul analizei verifică testul dacă portofoliul dat este eficient SSD.

Funcțiile empirice de distribuție a două portofolii diferite pot ajunge de ori la valoarea maximă. Pentru realizarea diversificării este abordat cazul general. Funcțiile lineare de utilitate definite pe mai multe intervale pot conține segmente de dreaptă diferite cu noduri, pentru cazul în care coeficienții de pantă sunt diferiți.

În cazul în care introducem în portofoliu activul fără risc, este necesară o reordonare a observațiilor. Astfel, dacă pentru orice , atunci se poate renunța la restricția , înlocuind-o cu restricțiile și pentru În plus, dacă atunci restricția este înlocuită cu . Următorul exemplu realizat pentru două perioade, se bazează pe un activ cu risc și pe activul fără risc, fiind edificator pentru teorema 2:

unde este rentabilitatea activului fără risc, iar . În acest caz, este cunoscut faptul ca activul cu risc, este SSD eficient dacă și numai dacă , iar activul este SSD eficient pentru orice . Teorema 2 stabilește faptul că este eficient dacă și numai dacă există și astfel încât și . și există dacă și numai dacă . În acest caz, cea mai favorabilă funcție de utilitate este . Comparația dintre rentabilitățile medii duce la alegerea lui ca optim. Pentru activul trebuie renunțat la restricția , înlocuind-o cu . Teorema 2 stabilește astfel, că este eficient dacă și numai dacă există astfel încât . Pentru orice acești coeficienți există, este întotdeauna eficient. De exemplu, este portofoliul optim pentru orice investitor care au ca funcție de utilitate , cu . Aceste rezultate corespund cu cele cunoscute pentru acest caz particular.

4.3. Formularea dualei

În studii recente, Bowden (2000) a introdus o nouă noțiune statistică denumit Ordonarea Diferențelor Medii (OMD). Folosind notațiile de mai sus, OMD este definit astfel:

(9)

OMD reprezintă o medie a diferenței între rentabilitatea portofoliului benchmark și cea a portofoliului evaluat . Conceptul de OMD a fost introdus de către Bowden pentru a măsura performanța portofoliului evaluat relativ la un portfoliu benchmark. Ceea ce merită menționat este faptul că, în cazul diversificării portofoliului , SSD poate fi definit și prin termenii acestei noțiuni statistice:

Teorema 3: Portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă pentru orice , este mai mare sau egală cu zero pentru orice , existând cel puțin o inegalitate strictă. Această condiție poate fi testată folosind testul statistic:

(10)

Așadar, portofoliul este eficient SSD dacă și numai dacă . Testul statistic este formularea duală a testului . Spre deosebire de testul statistic SSD, duala identifică și un portofoliu soluție. Astfel, valorile optime pentru variabilele duale , reprezintă prețurile umbră pentru constrângerile . Aceste constrângeri sunt valabile pentru activele ce alcătuiesc portofoliul care maximizează valoarea prin testul statistic, iar optimul generează ponderile acestora în portofoliu. Portofoliul optim este selectat folosind rangul portofoliului evaluat mai mult decât cel mai nefavorabil rang al portofoliului optim. Din acest motiv, portofoliul soluție poate fi ineficient. În plus, chiar dacă acesta este eficient, nu este necesar să domine SSD portofoliul evaluat pentru orice funcție de utilitate .

Formularea duală poate explica de ce părți mari din funcția de utilitate definită pe mai multe intervale au același suficient, adică pentru mai multe valori ale lui . Demonstrația teoremei 3 arată că reprezintă prețul umbră pentru restricția principală . Dualitatea implică faptul că dacă și numai dacă și dacă și numai dacă . OMD este o medie apropiată de 0, pentru că Astfel, dacă portofoliul evaluat este ineficient, adică atunci există puține valori ale lui pentru care și deci

4.4. Dominanța stochastică de ordinul 3

Dominanța stochastică de ordinul 2 se bazează pe noțiunile de nesațietate si aversiune la risc. Impunând un număr minim de ipoteze, criteriile pot genera o mulțime de valori eficiente mult prea mare.

Pentru simplificarea analizei, se poate presupune că funcția de utilitate este continuu diferențiabilă, și vom folosi vectorul pentru valorile funcției utilității marginale în x, astfel încât . TSD se bazează pe clase de investitori caracterizați de nesațietate și aversiune la risc, care însă preferă distribuțiile asimetrice. Investitorii TSD pot fi reprezentați de clasa de funcții de utilitate von Neuman-Morgenstern, cu funcții de utilitate marginală strict pozitive, descrescătoare și convexe, sau . De observat că funcția de utilitate marginală nu este considerată continuu diferențiabilă, ea fiind totuși continuă și subdiferențiabilă.

Dominanța stochastică de ordinul trei poate fi definită astfel:

Definiția 3: Portofoliul este TSD eficient dacă și numai dacă, pentru toate funcțiile de utilitate , utilitatea maximă așteptată este mai mare decât utilitatea așteptată a lui , adică:

(11)

Reciproc, portofoliul este TSD eficient dacă și numai dacă este optim relativ la orice funcție de utilitate :

Tratarea dominanței stochastice de ordinul doi se bazează pe construirea unor funcții lineare de utilitate definită pe mai multe intervale, verificând dacă portofoliul evaluat este optim pentru aceste funcții. Trecerea la dominanța stochastică de ordinul 3 nu se poate face direct, deoarece utilitatea definită pe mai multe intervale arată neutralitatea la risc pe segmentele de dreaptă, și astfel aceste funcții de utilitate arată o preferință asimetrică doar dacă sunt formate dintr-o singură dreaptă. Trebuie astfel construită o funcție definită pe patru intervale de utilitate care „raționalizează” portofoliul evaluat . O astfel de funcție continuă se poate construi cu ajutorul coeficienților de intersecție , coeficienților pantelor și pe coeficienții de curbă astfel:

(13)

Impunând restricții corespunzătoare asupra lui se poate asigura monotonia, concavitatea, și preferința asimetrică ale lui

Teorema 4:

(14)

cu

(15)

Portofoliul este TSD eficient dacă și numai dacă

Testul statistic implică o funcție obiectiv și constrângeri sub forma ecuațiilor lineare. Problema implică variabile și restricții. Mai mult, o soluție foarte simplă este dată de oricare ar fi și (soluție in condițiile neutralității la risc).

Bibliografie:

[1] Bawa, V.S., J. N. Bodurtha Jr., M. R. Rao and H. L. Suri)

„On Determination of Stochastic Dominance Optimal Sets”

Journal of Finance

[2] Bowden, R. J.

„The Ordered Mean Difference as a Portfolio Performance Measure”

Journal of Empirical Finance, 2000

[3] Davidson, R. and J.-Y. Duclos

„Statistical Inference for Stochastic Dominance and for the Measurement of

Poverty and Inequality”

Econometrica, 2000

[4] Kuosmanen, T.

„Stochastic Dominance Efficiency Tests under Diversification”

Helsinki School of Economics Working Paper, 2001

[5] Post Thierry

„Testing for Stochastic Dominance with Diversification Possibilities”

Erim Report Series Research in Management, 2001

=== capitolul5 ===

CAPITOLUL 5. STUDIU DE CAZ – Selecția portofoliului optim pe piața decapital din România

Lucrarea de față prezintă un mod atipic de abordare a studiului de caz, diferit de modalitatea clasică de expunere dezvoltată prin natura specializării in cadrul Academiei de Studii Economice.

Astfel, studiul de caz se prezintă sub forma unui program conceput în Visual Basic. Acesta realizează o parte infimă din ceea ce un potențial investitor trebuie să cunoască sau să folosească pentru a reuși în luarea unei decizii optime de investiție pe piața de capital din România.

Secțiunea cea mai importantă din punct de vedere algoritmic și financiar este cea de optimizarea a portofoliului, un ghid în alegerea acțiunilor și ponderilor acestora într-un portofoliu, în condițiile mai mult sau mai puțin favorabile de pe piața decapital din România și bineînțeles, în condițiile date de contextul macroeconomic specific țării noastre.

Prin accesarea meniului „Portofoliu optim” se oferă posibilitatea selectării celui mai bun portofoliu, conform modelelor teoretice din domeniu. Urmărind modelul Markowitz, există posibilitatea alegerii unui portofoliu optim din punct de vedere al riscului și rentabilității, în funcție de aversiunea la risc a investitorului, și depotențialul de rentabilitate a celor mai importante 10 titluri tranzacționate la Bursade Valori București.

Pentru exemplificare, în continuare sunt prezentate grafice și date preluate din program care demonstrează principiul de bază al diversificării, cel al reducerii riscului prin mărirea numărului de acțiuni din portofoliu.

Având în vedere nivelul scăzut al rentabilității realizabile prin alocarea unor resurse prin investiția pe piața română de capital, am ales un nivel sperat al rentabilității de 1%.

Așa cum se știe, un pas important în selectarea portofoliului optim este

determinarea matricei varianță-covarianță. De exemplu, pentru opt din cele zece titluri manipulate, conform metodei clasice de determinare a acesteia, această matrice se prezintă astfel.

Algoritmul calculează, printre altele, ponderile necesare din titlurile selectate pentru atingerea unui nivel minim al riscului.

Astfel, dacă sunt alese două titluri (ATB și AZO), pentru o rentabilitate sperată de 0,95% riscul minim este de 42,854%. Evoluția paralelă a celor două titluri pentru perioada definită de ultimele 60 de zile este dată de graficul următor:

În cazul selectării a trei active (ATB, AZO, ARC), riscul se reduce considerabil, ajungând la 35.534%.

În continuare, se observă aceiași tendință de diminuare a riscului pe măsură

suplimentării cu noi active la construirea portofoliului.

4 acțiuni – Risc:35.408%

6 acțiuni – Risc=31.658%

8 acțiuni – Risc=28.418%

Scopul acestui program nu este de a analiza evoluția principalelor titluri cotate la Bursa de Valori București, ci doar de a o prezenta potențialilor utilizatori și de a genera informații suplimentare, cu caracter de premise pentru fundamentarea deciziei.

Pe de altă parte, rezultatele generate confirmă efectul principal al diversificării, și anume reducerea semnificativă riscului. Noțiunea de diversificare se dovedește a fi un concept simplu „cu cât mai mult cu atât mai bine”.

O altă concluzie ce poate fi trasă este că piața românească de capital nu

reprezintă totuși un mod suficient de atractiv pentru investiții, prin prisma

rentabilității reduse pe care o furnizează, în condițiile unor nivele ridicate ale

riscului. Exemplul de mai sus demonstrează într-adevăr efectul diversificării, și anume reducerea riscului, dar acesta are loc la un nivel foarte scăzut al

rentabilității de 0,95%.

Din păcate, evoluțiile indicatorilor macro-economici din ultimii ani nu au încurajat capitalul autohton și cel străin să se orienteze în mod constant către întreprinderile românești sub forma investițiilor de portofoliu. Acestea sunt și motivele pentru care piața bursieră a înregistrat performanțe relativ reduse din punct de vedere al volumului tranzacțiilor și tot din aceste motive, în această perioadă, majorările de capital prin ofertă publică derulate de companiile românești au fost relativ reduseca număr.

Îmbunătățirea economiei românești și a perspectivelor de dezvoltare a acesteia semnalate în ultima perioadă ar putea marca pentru piața bursieră un al doilea început, cu condiția ca demersurile întreprinse de Bursa de Valori București să fie sprijinite. Direcțiile spre care Bursa de Valori București intenționează să-și canalizeze demersurile în continuare au la bază atât gradul de maturitate la care a ajuns piața de capital din România, cât și analiza modului în care s-au dezvoltat piețele de capital din țările europene care au trecut la rândul lor printr-un proces de tranziție spre economia de piață. Deși sistemul tehnic, sistemul de intermediari și practici de piață pe care Bursa de Valori București le-a dezvoltat în cei aproape cinci ani de funcționare se situează la un nivel comparabil cu cele de pe piețele de capital din Ungaria, Cehia, Polonia, totuși performanțele legate de lichiditatea pieței și de volumul zilnic al tranzacțiilor s-au situat sub cel al piețelor bursiere din aceste țări. În acest sens, o analiză a valorii de tranzacționare arată clar trendul descendent pe care România s-a înscris încă din anul 1999 și pe care l-a continuat în anul 2000. Astfel, față de Ungaria cu o valoare de tranzacționare de 13.454 mii dolari în anul 1999 sau Cehia cu 3.934 mii dolari, România a avut doar o valoare de tranzacționare de numai 101 mii dolari. Trendul descendent a continuat însă la Bursa de Valori București și în anul 2000, instituția parcurgând în acest moment o perioadă cu adevărat critică.

Atractivitatea unei piețe bursiere este dată, în principal, de calitatea valorilor mobiliare care fac obiectul tranzacționării pe respectiva piață, acest lucru constituind și premisele pentru ca numărul investitorilor și valoarea investițiilor atrase să crească. O simplă enumerare a acelor mai tranzacționate titluri pe piețele bursiere din țările menționate anterior arată clar că interesul investitorilor se îndreaptă spre companiile care au o poziție dominantă în sectorul lor de activitate, foste companii aflate sub controlul statului și pentru care strategia de privatizare a prevăzut substituirea controlului direct al statului, ca acționar majoritar sau acționar unic al acestor companii, cu controlul publicului, prin listarea acțiunilor lor pe piața bursieră.

Se remarcă, fără excepție, prezența între cele mai tranzacționate titluri a acțiunilor emise de către bănci, la care se adaugă operatorii naționali de telefonie sau din domeniul energetic. Ori în România, societăți de tipul celor prezentate în tabelul de mai sus, cum ar fi PETROM, ROMTELECOM, BANCPOST, BRD, BCR nici nu sunt încă listate pe piața bursieră. Soluția listării ar aduce avantaje evidente pentru piața de capital românească, beneficiară a sporului de lichiditate indus de tranzacționarea acestor titluri. În același timp s-ar asigura un spor de transparență în ce privește administrarea acestor societăți, care vor fi obligate să se supună exigențelor de informare a publicului cerute de listarea la Bursă.

O altă direcție de acțiune pentru dezvoltarea și întărirea pieței de capital este înscrierea la Cota Bursei de Valori București, după privatizarea lor, a marilor companii – în prezent regii autonome, societăți naționale din domenii cheie ale economiei românești, bănci etc. – care oriunde în lume reprezintă o pondere importantă în cifra de afaceri a pieței. În mod categoric, îmbunătățirea calității valorilor mobiliare care fac obiectul tranzacționării va determina creșterea numărului investitorilor și valorii investițiilor atrase pe piață, într-un cuvânt a lichidității bursei. Prin utilizarea celorlalte meniuri se pot vizualiza evoluții individuale ale titlurilor și evoluții ale structurii pieței de la înființarea acesteia și până astăzi.

Exemplu:

Evoluția acțiunilor AZO pentru anul 1997

Evoluția acțiunilor AZO pentru anul 2000

Pentru fundamentarea deciziei investitorului, firmele listate oferă date cu character informațional general sau financiar menite să schițeze o imagine de ansamblu asupra profilului și performanțelor acestora. Rolul acestor informații are caracter subiectiv, în funcție de raționamentul și capacitatea de interpretare a investitorului.

Un exemplu de astfel de informații este prezentat mai jos:

Cum bursa este un ''barometru al economiei de piață'', evoluția cursurilor exprimă totodată climatul general de afaceri, așa cum acesta rezultă din influența conjugată a factorilor economici și a evenimentelor social-politice, a ansamblului general, tendința istorică a unei piețe bursiere este de creștere. Acest trend este o reflectare în planul activității bursiere – al economiei simbolice – a unui proces care s-a desfășurat în viața economică reală – creșterea economică. De altfel, într-o serie de studii empirice s-a pus în evidență corelația care există între evoluția cursului acțiunilor în bursă și indicatorii creșterii economice. Pe de altă parte însă, în anumite perioade, se constata o independență între evoluția bursei și dinamica economiei reale. Pe lângă factorii economici fundamentali, care exprimă dinamica economică reală, mișcarea bursei este influențată și de factori de natură specifică, proprii economiei simbolice. O altă caracteristică a evoluției bursei este gradul ridicat de fluctuație a cursului, fie că este vorba de fluctuații pe perioade mari de timp, pe intervale medii sau pe perioade scurte. Sursa acestei variabilități a

economiei de piață – cât și în factorii specifici de o mare diversitate.

În concluzie, formarea cursurilor și evoluția bursei sunt o expresie a modului in care o complexitate de factori de natură economică, financiară, politică, etc.influențează cerea si oferta de titluri financiare. Bursa reprezintă un barometru al economiei tocmai pentru că ea reacționează cu sensibilitate la toate evenimentele, schimbările, evaluările care au loc în lumea de afaceri, în viața social-politică.

Accepțiuni generale

În cadrul cursurilor de eficiență, studenții sunt învățați cum să minimizeze pierderea de capital printr-o largă diversificare a portofoliului. Este cunoscută sintagma “nu pune toate ouăle în același coș”. Raționamentul convențional este proiectat în expresia “cu cât mai mult, cu atât mai bine”.

Oricum, în scopul realizării diversificării trebuie să se evite ceea ce Warren Buffet numește “di-worse-ification”. Studiile universitare au demonstrat că diversificarea își atinge scopul prin deținerea a 15-20 de active diferite, fapt demonstrat si prin graficul de mai jos. Dincolo de acest nivel, beneficiul suplimentar adus de o diversificare superioară este minor.

Variația volatilității funcție de numărul de acțiuni din portofoliu

De-a lungul timpului, cursul acțiunilor este în concordanță cu evoluția firmelor emitente. Plecând de la această premisă, specialiștii consideră că este eficientă diversificarea portofoliilor printr-un număr de 20-30 de active care sunt printre cele mai eficiente la nivel național și chiar internațional. Trebuie căutate acele companii ale căror modele economice comportamentale duc la câștiguri ce progresează cu o rată relativ constantă și care sunt mai puțin afectate de climatul economic, beneficiind de o structură flexibilă a costurilor la oscilațiile pieței. Astfel de companii dețin un management eficient în alocarea capitalului în scopul creșterii continue. Precedentele arată că deținerea unor active mai puțin stabile, doar de dragul diversificării, duce la o creștere a expunerii, contrar obiectivului primar, de reducere a riscului.

De fapt, diversificarea este denumirea generică pentru conflictul universal dintre cantitate si calitate.