Metode si strategii de [613963]

Metode  si strategii de
predare-^ nv at are a ecuat iilor
algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul liceal
Dumitrache D. Viorica

Contents
1 Argument 3
2 Polinoame de o nedeterminata peste un corp K 4
2.1 S iruri de elemente din corpul K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Operat ii cu  siruri de elemente din corpul K . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Forma algebric a a polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Valoarea unui polinom. Funct ii polinomiale. . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Operat ii cu polinoame scrise sub form a algebric a . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Adunarea  si ^ nmult irea polinoamelor scrise sub form a algebric a . . 8
2.3 Teorema ^ mp art irii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Teorema ^ mp art irii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Impartirea prin X-a. Schema lui Horner . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Relatia de divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Descompunerea polinoamelor in factori ireductibili . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Radacini ale polinoamelor. Teorema lui Bezout . . . . . . . . . . 13
2.5.2 Radacini multiple ale unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.3 Polinoame ireductibile in R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Descompunerea polinoamelor in factori ireductibili . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Relatiile lui Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Ecuatii algebrice 18
3.1 Teorema fundamentala a algebrei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Teorema Abel -Runi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Ecuatii algebrice cu coecienti in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Ecuatii algebrice cu coecienti in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Ecuatii algebrice cu coecienti in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Ceva peste manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Rezolvarea unor ecuatii algebrice particulare cu coecienti reali 24
4.1 Ecuatii de grad cel mult 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Ecuatia de gradul I si II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Ecuatia de gradul III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Ecuatia de gradul IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.4 Ecuatii bipatrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1

4.2 Ecuatii binome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Ecuat ii reciproce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Alt tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Strategii didactice de predare invatare 31
6 Metode de predare invatare specice matematicii 32
6.1 Demonstratia matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 Metode pedagogice traditionale de predare invatare a matematicii in scoala 34
6.2.1 Expunerea sistematica a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2 Metoda conversatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.3 Metoda exercitiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.4 Metoda muncii cu manualul si cu alte auxiliare matematice . . . . 37
6.3 Metode pedagogice moderne de predare – invatare a matematicii in scoala 38
6.3.1 Problematizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.2 Invatarea prin descoperire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.3 Modelarea matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.4 Metoda invatarii pe grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.5 Algoritmizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.6 Instruirea programata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.7 Softuri educationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 metode activ-participative utilizate in lectiile de matematica . . . . . . . 41
6.4.1 Investigatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.2 Proiectul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Metode interactive de grup utilizate in lectia de matematica . . . . . . . 42
6.5.1 Metoda cubului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.5.2 Metoda R.A.I. (round associated ideas) . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5.3 Metoda JIGSAW(MOZAICUL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.5.4 Metoda PIRAMIDEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5.5 Metoda BRAINSTORMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Cercetarea pedagogica 55
7.1 Delimitare problemei de cercetat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Cuprins
2

1 Argument
In dezvoltarea istorica a matematicii, dupa numere, egalitatile constituie una din primele
cuceriri ale acestei stiinte. Ele apar la egipteni (asa cum atesta papirusul din Ahmos)
cu 2000 de ani I.H. Babilonienii desi nu foloseau simboluri algebrice, rezolvau totusi
problema algebric prin introducerea unei necunoscute ajutatoare.
Termenul de ecuatie – egalitatea a doua expresii, continand elemente de aceeasi natura,
dintre care unele sunt cunoscute, iar altele necunoscute, adevarata numai atunci cand
elementele necunoscute sunt inlocuite cu anumite elemente numite solutii – a fost folosit
initial de L. Fibonacci.
Ecuatia algebrica este ecuatia ce poate  adusa la forma f=0, unde f este un polinom
cu una sau mai multe nedeterminate, care sunt necunoscutele ecuatiei.
In secolul IX-lea, Muhammed al-Horezmi, in lucrarea sa "Carte scurta despre cal-
culul al-djabr si al-mukabla", a facut o clasicare a ecuatiilor si le-a rezolvat, folosind
cele doua operatii, al-djabr (trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru in
altul) si al-mukabala (reducerea termenilor asemenea), operatii fundamentale pe atunci
in rezolvarea ecuatiei de gradul I si gradul II. Pana in secolul XVI, problema rezolvarii
ecuatiilor algebrice apare ca ceva foarte complicat, rezolvarea lor ducand la alte numere
necunoscute. Choiar ecuatia de gradul I ducea la efectuarea unei impartiri considerata
ca o operatie foarte grea. Si mai anevoioasa a fost rezolvarea ecuatiei de gradul II, ce
necesita o extragere de radacina patrata.
Incepand cu secolul XVI-lea , a crescut interesul europenilor pentru gasirea unor
metode generale de rezolvare a ecuatiilor algebrice. Rezolvarea ecuatiilor algebrice de grad
mai mare sau egal cu 5 a fost mereu in atentia matematicienilor, dar abia la inceputul
secolului al XIX-lea a fost demonstrata de catre Abel si Runi imposibilitatea gasirii
unor formule de rezolvare pentru ecuatiile de grad mai mare sau egal cu 5 .
3

2 Polinoame de o nedeterminata peste un corp K
Notiunea de polinom este una dintre notiunile fundamentale ale algebrei. Originea acestei
notiuni se gaseste intr-o problema foarte veche de matematica si anume aceea de a elabora
un formalism general al calculelor algebrice care se efectueaza de obicei cu sume si produse
in care intervin un numar nit de numere. Aceasta problema constituie de altfel chiar
inceputul studiului algebrei in gimnaziu, cand se considera expresii de tipul x+y;x2y+2xy
in care se spune despre xsiyca sunt numere arbitrare (neprecizate). Dezvoltand regulile
de calcul cu asemenea expresii, algebra elementara are la baza anumite conventii care nu
pot  explicate decat denind riguros cadrul in care se efectueaza calculele si punanad in
evidenta legatura sa cu corpurile de numere sau cu alte corpuri sau inele abstracte.
Consideram un corp comutativ ( K;+;
), unde K reprezinta un din multimile Q,R,C
sauZp, p numar prim.
2.1 S iruri de elemente din corpul K
Denit ,ie 2.1.1.Se nume ste  sir de elemente din corpul K o funct ie f:N!K
Elementulan=f(n)2Kreprezint a termenul general al  sirului
Ordinea de scriere a numerelor naturale induce ordinea de scriere a termenilor  sirului
si anume:a0;a1;:::;an;::::
Pentru un  sir de elemente din corpul K se folose ste notat ia f= (ao;a1;:::;an;:::) sau
f=an.
Doua  siruri f= (ao;a1;:::;an;:::) sig= (b0;b1;:::bn;:::) sunt egale dac a a0=b0;a1=
b1;:::;an=bn;:::
Denit ,ie 2.1.2. Un  sirf= (ao;a1;:::;an;:::)se nume ste  sir nit dac a exist a un num ar
natural p, astfel ^ nc^ at am= 0, oricare ar  m>p .
A sadar, un  sir este nit dac a are un num ar nit de termeni nenului.
Exemplu:f1= (2;0;0;3;0;:::;0;:::).
2.1.1 Operat ii cu  siruri de elemente din corpul K
Notam cuKNmult imea  sirurilor de elemente din corpul K si cu K(N)multimea  sirurilor
nite de elemente din K. Se observ a ca are loc incluziunea K(N)KN.
Denit ,ie 2.1.3. Fief;g2KN;f= (a0;a1;:::an;:::);g= (bo;b1;b2;:::;bn)doua  siruri.
4

S irulh2KN;h= (a0+b0;a1+b1;:::;an+bn;:::)se nume ste suma  sirurilor f si g.
Se noteaz a cu f+g.
S irulh2KN;h= (c0;c1;:::;cn;:::)unde pentru oricare m2Navemcm=a0bm+
a1bm1+:::+amb0=Pm
k=0akbmkse nume ste produsul  sirurilor f si g . Se noteaz a
cuh=f
g
Exemplu : FieK=Csif= (1;2;1;2;1;0;0;:::);g= (1;2;3;5;0;0;:::;0) . Atunci
f+g= (2;4;4;7;1;0;0;:::;0)f
g= ()
Teorema 2.1.1.1. MultimeK(N)a  sirurilor nite este parte stabil a a mult imii KNin
raport cu operat iile de adunare si ^ nmult ire a  sirurilor.
Demonstrat ie. Fief;g2K(N);f= (a0;a1;a2;:::;am;0;0;:::);g= (b0;b1;:::;bn;0;0;:::)
astfel ^ nc^ at am;bn2K0.
a) Dac ap>max (m;n) atunci avem ap+bp= 0 si astfel:
f+g= (a0+b0;a1+b1;:::;ap1+bp1;0;0;:::)2K(N)
cp=Pm
k=0akbpk+Pp
k=m+1ak
bpk.^In ecare sum a factorii subliniat i sunt nuli,
deoareceam+1=a(m+ 2) =:::=ap= 0  sibpm=bpm1=:::=bp= 0
b) Fiep > m +nsif
g= (c0;c1;c2;c3;:::). Rezult a c a elementul cp= 0. A sadar
f
g= (c0;c1;:::;cp1;0;0;:::)2K(N).
Observat ie
Dac ap=m+nsiam;bn2K, atuncicm+n=am
bn2k. A sadar,m+neste rangul
cel mai mare pentru care elementul cpeste nenul.
Denit ,ie 2.1.4.Orice element al multimii K(N)pe care s-a denit adunarea si
^ nmult irea de  siruri se nume ste polinom cu coecient i in corpul K.
Dac af2K(N);f= (a0;a1;a2;:::;an;:::), undean2K, elementele a0;a1;:::;an
se numesc coecient ii polinomului f , iar n2Nse nume ste gradul polinomului f si
se noteaz an=grad(f).
Coecientul an2Kal polinomului f se nume ste coecient dominant. Dac a coe-
cientul dominant este egal cu 1, polinomul se nume ste polinom unitar sau moic.
Polinomulf= (0;0;0:::;0:::)cu tot i coecient ii nuli se nume ste polinom nul. Poli-
nomului nul i se atribuie gradul 1.
Teorema 2.1.1.2. Tripletul (K(N);+;
)formeaz a un inel comutativ f ar a divizori ai lui
zero (inel integru).
5

Demonstrat ie. Vericarea axiomelor inelului este evident a. Elementul neutru in raport
cu adunarea este polinomul nul e= (0;0;0:::;0;:::), iar fat a de ^ nmult ire este polinomul
f= (1;0;0;:::).
S a ar at am c a inelul este integru. Fie f;g2K(N) polinoame nenule, f= (a0;a1;:::;an;0;0:::),
g= (b0;b1;:::;bm;0;0:::),grad(f) =n;grad (g) =m.
Not amf
g= (c0;c1;c2:::) produsul polinoamelor f si g. Num arul cm+n=an
bm
este elementul nenul in corpul K, deci f
geste polinom nenul. A sadar inelul este inel
integru.
Observat ie:
Pentrup>m +navemcp= 0. Rezult a c a: grad f
g=m+n=grad(f) +grad(g)
2.1.2 Forma algebric a a polinoamelor
Polinoame constante
S a consider am mult imea KNa polinoamelor de forma f= (a;0;0;0:::0;:::);a2K.
Dac af= (a;0;0;:::);g= (b;0;0;:::);a;b2Katunci:f+g= (a+b;0;0;:::) iarf
g=
(ab;0;0;0:::).
Rezult a c a mult imea KN
1este parte stabila a mult imii KNin raport cu operat iile de
adunare si de ^ nmult ire a polinoamelor.
Mai mult, funct ia F:KN
1!K;F (f) =aundef= (a;0;0:::) este bijectiva si veric a
egalit at ileF(f+g) =F(f) +F(g) siF(f
g) =F(f)
F(g).
Aceste propriet at i ne permit sa identic am polinoamele de forma f= (a;0;0;:::) cu
elementula2K.^In acest mod mult imea K(N)
1se identic a cu mult imea K.
Polinoamele de forma f= (a;0;0;:::) le vom numi polinoame constante.
Dac ax2Ksif= (a0;a1;:::;an;0;0:::)2K(N), atunci:
x
f= (x;0;0;:::)
(a0;a1;a2;:::;an;0;0:::) = (xa0;xa 1;xa 2;:::;xan;0;0;:::) (1)
Relat ia (1) exprim a regula de ^ nmult ire a unui polinom cu un element din corpul K  si
anume:
Un polinom se ^ nmult e ste cu un element din K ^ nmult ind ecare coecient
al polinomului cu acest element .
Forma algebric a a unui monom
6

Denit ,ie 2.1.5. Un polinom f2K(N)se nume ste monom dac a are un singur coecient
nenul.
Un rol important in scrierea unui polinom ^ l are monomul X= (0;1;0;0;:::) care se
citeste "nedeteminata X".
Denim puterile nedeterminatei X in mod recurent:
X2=X
X;xn=xn1
X;n2:
Se obtine:X2= (0;0;1;0;0;:::)
X3= (0;0;0;0;1;0;0;:::)
……………………………..
Xn= (0;0;0;::::;0;1;0;0::::)
Se observ a c a X2;X3;:::;Xn;:::reprezint a monoame.
Pentru monomul fk= (0;0;0;;::0;1;0:::) =akXk. A sadarfk=akXk, relat ie care
reprezint a forma algebric a a monomului fk. Num arul k2Nreprezint a gradul monomu-
luifk. Dou a monoame se numesc asemenea dac a au acela si grad.
Forma algebric a a unui polinom
Fief2K(N);f= (a0;a1;:::;an;0;0;:::);an2Kun polinom de gradul n. Folosind
operatiile cu polinoame avem:
f= (a0;0;0;:::) + (0;a1;0;0;:::) + (0;0;a2;0;0;:::) +:::+ (0;0;0;:::;0;an;0;0:::) = (2)
=a0+a1X+a2X2+:::+anXn
A sadar,f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn, scriere care reprezint a forma algebric a
a polinoamelor de grad n in nedeterminata X. Rezult a c a polinomul f este o sum a de
monoame. Monomul " anXn" se nume ste monomul dominant al polinomului f. Scrierea
unui polinom sub form a algebric a este unic a, abstract ie fac^ and de ordinea de scrierea a
monoamelor.
Fief;g2K(N);f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;g=b0+b1X+b2X2+:::+bmXm
, grad(f)=n si grad(g)=m. Polinoamele f  si g sunt egale si scriem f=g, dac a au acela si
grad si coecient ii respectivi egali: m=n;a 0=b0;a1=b1;a2=b2:::;an=bn.^In partic-
ular, polinomul f este egal cu polinomul nul dac a tot i coecient ii s ai sunt nuli.
Pentru mult imea H(N)se va adopta notat ia K[X] pentru a pune in evident  a nedetermi-
nata X. In particular avem mult imile Q[X];R[X];C[X];Zp[X], adic a mult imile de poli-
noame ^ n nedeterminata X cu coecient i ^ n corpurile Q;R;C respectivZp.
7

Se observ a c a exist a incluziunile Q[X]R[X]C[X].
2.1.3 Valoarea unui polinom. Funct ii polinomiale.
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;an2Kun polinom de gradul n.
Denit ,ie 2.1.6. Dacax2K, elementul f(x) =a0+a1x+a2+:::+anxn;an2Kse
numeste valoarea polinomului f in x.
Observatie Dacaf;g2K[X], atunci au loc egalitatile:
(f+g)(x) =f(x) +g(x)8x2K;
(fg)(x) =f(x)g(x)8x2K;
(f
g)(x) =f(x)
g(x);8xinK
Denit ,ie 2.1.7.Fief2K[X]un polinom nenul. Se numeste functie polinomiala
atasata polinomului f, functia f :K!K;f(x) =f(x);x2K
functiaf:K!Kse numeste functie polinomiala daca exista un polinom g2
K[X], astfel inca f=f
Observatie
Dacaf2K[X], atunci functia polinomiala f atasata lui f este unica. Reciproca
acestei armatii nu este adevarata. Exemplu Fien2Nsifn=Xn. Atuncif(0) = 0
2.2 Operat ii cu polinoame scrise sub form a algebric a
2.2.1 Adunarea  si ^ nmult irea polinoamelor scrise sub form a algebric a
Fiep2Nsif;g2K[X] monoame de polinoame de gradul p: f=apXp;g=bpXp.
Av^ and ^ n vedere modul de denire a adun arii polinoamelor obt inem:
f+g= (ap+bp)Xp; (3)
Mai general, dac a f;g2K[X] sunt polinoame de gradul n, respectiv m:
f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;
g=b0+b1X+b2X2+:::+bmXm;
8

polinomul suma se va scrie sub forma:
f+g= (a0+b0) + (a1+b1)X+ (a2+b2)X2+:::+ (ap+bp)Xp+::: (4)
cu convent ia ca ai= 0 pentru i>n sibj= 0 pentru j >m . Relat ia (4) ne arat a ca suma
a dou a polinoame se face adun^ and monoamele asemenea din cele dou a polinoame.
Fief;g2K[X];f=apXp;g=bqXqdou a monoame. Folosind denit ia ^ nmult irii
polinoamelor se obt ine :
f+g=apbqXp+q; (5)
deci produsul a dou a monoame de gradul p , respectiv gradul q este un monom de gradul
p+q.
Analog, daca f;g2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;g=b0+b1X+b2X2+
:::+bmXmsunt polinoame de gradul n, respectiv m, vom obt ine , cu convent ia c a ai= 0,
pentrui>n sibj= 0 pentru j >m :
f
g=a0b0+(a0b1+a1b0)X+(a0b2+a1b1+a2b0)X2+:::+(a0bm+n+a1bm+n1+:::+am+nb0)Xm+n
(6)
Produsulf
geste un polinom de gradul m+n. Relat ia (6), care d a forma algebric a a
polinomului produs f
g, poate  u sor obt inut a dac a avem ^ n vedere ^ nmult irea a dou a
sume, scriind:
f
g= (a0+a1X+a2X2+:::+anXn)(b0+b1X+b2X2+:::+bmXm)
 si efectu^ and calculele, av^ and i n vedere regulile de ^ nmult ire a dou a paranteze  si calculele
cu sume  si produse de monoame. De asemenea, se are ^ n vedere c a adunarea  si ^ nmult irea
polinoamelor sunt comutative.
Exemple
2.3 Teorema ^ mp art irii cu rest
2.3.1 Teorema ^ mp art irii cu rest
Fie (K;+;
) un corp comutativ si polinoamele f;g2K[X], g un polinom nenul.
Denit ,ie 2.3.1. : A ^ mpart i polinomul f la polinomul g in K[X] ^ nseamn a a determina
polinoamele q;r2K[X], astfel ^ nc^ at
1.f=gq+r
9

2.grad(r)<grad (g).
Polinomul f se numeste de^ mp art it , g se nume ste ^ mp art itor, iar polinoamele q si r se
numesc c^ atul, respectiv restul ^ mp art irii.
Av^ and^ n vedere egalitatea f=gq+r, se obt ine egalitatea grad(q) =grad(f)grad(g)
Teorema 2.3.1.1 (Teorema imp art irii cu rest ).Fief;g2K[X];g6= 0. Atunci
exist a si sunt unice polinoamele q;r2K[X]cu propriet at ile:
a)f=gq+r
b)grad(r)<grad (g)
Demonstrat ie. Unicitatea catului si a restului:
Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem ca exista polinoamele q1;q2;r1;r22
K[X], astfel incat q16=q2;r16=r2care verica relatiile f=gq1+r1;f=gq2+r2si
grad(r1)<grad (g);grad (r2)<grad (g):
Atunci rezulta ca f=gq1+r1=gq2+r2, relatie din care rezulta egalitatea g(q1q2) =
r2r1. Referitor la grade se obtine:
grad(g) +grad(q1q2) =grad(r2r1)<grad (g)
Contradictia rezultata conduce la egalitatea q1=q2, si apoir1=r2
Existenta
Fie n=grad(f), m=grad(g). Deosebim cazurile:
1. pentrun<m , avemf= 0g+fsi se iaq= 0r=f
2. pentrunmef=a0+a1X+a2X2+::::+anXn;g=bo+b1X+b2X2+:::+bmXm.
Consideram polinomul: g1=anb
m1Xnmg=anXn+an1bm1b
m1Xn1 +:::+
b0anb
m1Xnm. Rezulta ca polinomul f1=fgare gradul strict mai mic decat gradul
polinomului f.
Fief1=c0+c1X+c2X2+:::+cn1Xn
1;n1<n
Dacan1< m avemf1=fanbmXnmgsauf=anbM1Xnmg+f1si se ia
q=anb
m1Xnmsir=f1
Dacan16=mrepetam procedeul anterior de micsorare a gradului printr-o noua
scadere, luand: g2=cn1b
m1Xn
1mgsif2=f1g2evidentn2=grad(f2)<n 1<n.
Se repeta procedeul anterior pentru perechile de polinoame ( f2;g2) si se obtin suc-
cesiv relatiile:
10

f1=fg1f2=f1g2f3=fpgp+1::::::::::::::::::f p+1=fpgp+1:::::::::::::::::::::::::
fs=fs1gsAdunand relatiile anterioare, se obtine:
fs=fg1g2:::gs;grad (fs) =ns<m. Asadar,f=Pk= 1sgk+fs=gq+fs,
deoarece ecare polinom gkverica egalitatea gk=gXnkmcu2K. Luand
r=fsteorema este demonstratata.
Observat ie:
Teorema impartirii cu rest ofera un algoritm concret de determinare a catului si
arestului impartirii a doua polinoame.
2.3.2 Impartirea prin X-a. Schema lui Horner
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXnun polinom de gradul n si g=Xa2K[X]
Teorema 2.3.2.1. Restul impartiri ipolinomului nenul f2K[X], la polinomul g=
Xa2K[X]este egal cu valoarea f(a) a polinomului f in a.
Proof. Demonstratie Din teorema impartirii cu rest, se obtine: f= (Xa)q+r;grad (r)<
1 decir2K. Rezulta ca f(a) = 0q(a) +r, de under=f(a)
Teorema restului este ecienta pentru determinarea restului impartirii unui polinom
prin X-a, fara a efectua impartirile. exemplu….
Schema lui Horner
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXnun polinom de gradul nenul si
g=Xa2K[X]. Notamq=b0+b1X+b2X2+:::+bn1Xn1c^ atul ^ mp art irii polino-
mului f la g. Din teorema ^ mp art iri cu rest se obt ine:
f= (Xa)(b0+b1X+b2X2+:::bn1Xn1) +r=rab0+ (b0ab1)X+ (b1ab2)X2+
:::+ (bn1abn)Xn(1).
Identic^ and coecient ii celor doua polinoame in relat ia (1) se obt ine:
^In mod practic, pentru determinarea coecient ilor bn1;bn2:::;b 1;b0ai c^ atului si a
restului r se alcatuie ste urmatoarea schema:
Aceasta schema de lucru ^ n care opereaza numai cu elementul a2K si coecient ii
polinomului f se nume ste schema lui Horner.Schema lui Horner are la baza relat ia de
recurent  a:
bk=bk1a+ak1;k21;2;:::n1:
11

an=bn1 Aceste relatii permit deducerea ^ n mod recursiv a coecient ilor
an1=bn2abn1 c^ atuluibn1;bn2::::b 1;b0 si a restului r
an2=bn3abn2
:::::::::::::::::::::::::::::
a2=b1ab2
a1=b0ab1
a0=rab0
2.4 Relatia de divizibilitate
Fie inelul de polinoame K[X] si sa consideram doua elemente oarecare din el gsih. Am
observat ca produsul lor gheste tot un polinom din K[X] al carui grad este egal cu suma
gradelor celor doua polinoame. Daca notam acest polinom cu cu fvom obtine f=gh,
grad(f)=grad(g)+grad(h).
Aceasta ne sugereaza urmatoarea problema si anume de a raspunde la intrebarea daca,
dandu-se un polinom f in inelul K[X] exista sau nu doua polinoame in K[X] al caror
produs sa e polinomul f
Denit ,ie 2.4.1. Fie(K;+;:)un corp comutativ si polinoamele f;g2K[X]. Spunem ca
polinomul g divide polinomul f daca exista un polinom h2K[X]astfel incat f=gh.
Spunem ca g este un divizor al polinomului f sau ca polinomul f este un multiplu al
polinomului g. Deoarece grad(f)=grad(g)+grad(h), rezulta ca grad(g)<grad(f).
Daca grad(g)=0 sau grad(g)=grad(f) atunci spunem ca g este un divizor impropriu
al lui f , iar daca 0<grad(g)<grad(f), spunem ca g este un divizor propriu al lui f. Daca
polinomul g divide polinomul f vom scrie gjf(se citeste "g divide f") sau f:g (se citeste
"f este divizibil cu g").
Polinomul g se numeste divizor al polinomului f, iar polinomul f se numeste multiplu al
polinomului g. Observatie: Polinomul f2K[X] se divide cu polinomul g2K[X];g6= 0,
daca si numai daca restul impartirii lui f la g este un polinom nul.
Relatia de divizibilitate pe multimea de polinoame K[X] are proprietati asemanatoare
cu relatia de divizibilitate pe multimea Z a numerelor intregi.
P1. Relatia de divizibilitate pe multimea K[X] este re
exiva
fjf;8f2K[X]
P2. relatia de divizibilitate pe multimea K[X] este tranzitiva
dacaf;g;h2K[X];fjfsigjh, atuncifjh.
12

Intr-adevar, din ipoteza rezulta ca 9u;v2K[X], astfel incat g=fu si h=gv. Se obtine ca
h=gv= (fu)v=f(uv), decifjh.
P.3 Polinomul nul f= 02K[X], este divizibil cu oricare polinom g2K[X],
deoarece 0=0g. Se spune ca f= 0 este cel mai mare element in raport cu divizibilitatea
pe K[X].
P.4 Polinoamele constante f=a;a2Ksunt divizori pentru orice polinom
K[X]
P.5 Dacaf;g;h2K[X], astfel incat fjgsifjhatuncifjug+vh;8u;v2K[X]
Denit ,ie 2.4.2. Polinoamele f;g2K[X]se numesc asociate in divizibilitate si se
noteazaf g, dacafjgsigjf
Teorema 2.4.0.1. Polinoamele nenule f;g2K[X]sunt asociate in divizibilitate daca si
numai daca9a2Kf0gastfel incat f=ag
Demonstratie. Dacaf=agatuncigjfsi cumg=a1f, rezultafjg, decif g.
Reciproc, e f g. Atuncifjgsigjf, deci exista u;v2K[X], astfel incat f=ug
sig=vf. Se obtine da f=uvf si cum f este nenul, rezulta ca uv= 1. Asadar
u;v2Kf0gsi teorema este demonstrata.
2.5 Descompunerea polinoamelor in factori ireductibili
2.5.1 Radacini ale polinoamelor. Teorema lui Bezout
Consideram un polinom f2K[X]
Denit ,ie 2.5.1. Elementul2Kse mumeste radacina a polinomului f2K[X]daca
f() = 0
Prezentam o teorema care pune in evidenta o legatura intre radacinule unui polinom
f2K[X] si divizibilitatea polinoamelor pe multimea K[X].
Teorema 2.5.1.1 (Teorema lui Bezout) .Fief;g2K[X]si2K. Atunci:
1.este radacina a polinomului fdaca si numai daca fse divide cu polinomul (X
)2K[X];
2. dacafse divide cu polinomul nenul gsieste o radacina a lui g, rezulta ca
este o radacina a lui f.
13

Demonstratie. 1. FiesiX2K[X]. Din teorema impartirii cu rest rezulta ca
existahsir2K[X] astfel incat f=h(X) +r;r2K(1)
Din teorema restului rezulta ca r=f() si relatia (1) se scrie f= (X)h+f()
(2)
Din relatia (2) rezulta ca este radacina pentru f, atunci f() = 0 sif= (X)h,
deci se divide cu X. Reciproc , daca f se divide cu Xdin relatia (2) se
obtine caf() = 0.
2. Daca f se divide cu g, atunci exista h2K[X], astfel incat f=gh. Rezulta ca
f() =g()h() = 0, deci este radacina a polinomului f.
2.5.2 Radacini multiple ale unui polinom
Denit ,ie 2.5.2.Fief2K[X]un polinom nenul si m2N. Elementul 2Kse
numeste radacina multipla de ordinul m daca polinomul f se divide cu (X)m,
dar nu se divide cu (X)m+1.
Numarul m se numeste ordinul de multiplicitate al radacinii
Dacam= 1, radacinase numeste radacina simpla. Daca m= 2;3;:::radacina
se numeste radacina dubla, tripla,… .
Deci daca2Keste radacina multipla de ordinul m, polinomul f se poate scrie sub
formaf= (X)mg, undeg2K[X] sig()2K
2.5.3 Polinoame ireductibile in R[X]
Denit ,ie 2.5.3. Polinomul nenul f2K[X]se numeste ireductibil peste inelul K
daca exista polinoamele g;h2K[X]de grad cel putin 1, astfel incat f=gh.
Un polinom f2K[X]cu grad(f)>0, care nu e reductibil peste K, se numeste ire-
ductibil peste K.
Observatii
1. Orice polinom de gradul 1 din K[X] este polinom ireductibil peste K.
2. Daca un polinom f2K[X], de grad cel putin 2 este ireductibil peste K, atunci el
nu are radacini in K.Intr-adevar , daca f ar avea elementul inK radacina, atuynci
f se divide cu Xsi am putea scrie f= (X)g, deci f nu ar  ireductibil.
14

3. Daca polinomul f2K[X] are gradul 2 sau 3 si nu admite radacini in K , atunci el
este polinom ireductibil peste K. Intr-adevar, daca f ar  reductibil peste K, atunci
el s-ar scrie sub forma f=gh, unde g sau h ar avea gradul 1. Daca g=aX+b,
atuncig(ba1) = 0 si se contrazice ipoteza ca f nu are radacini in K.
Se observa ca descompunerea in factori ireductibili depinde de corpul K in care poli-
nomul are coecientii.
Cazul K=C Fief2C[X] un polinom nenul de grad n , n2N. Daca n>1, din
teorema fundamentala a algebrei rezulta ca f are cel putin o radacina 2C, iar din
teorema lui Bezout se obtine ca f se divide cu polinomul g+X2C[X], Asadar f nu
este ireductibil pentru n>1.
In concluzie, un polinom nenul f2C[X] este ireductibil peste C daca si numai daca
are gradul 1.
Cazul K=R Dacaf2R[X] este un polinom nenul, el este ireductibil numai in
urmatoarele doua cazuri:
f are gradul 1;
f are gradul 2 si nu are radacini reale
Obtinem ca orice polinom f2R[X] de grad n, n>2, este polinom reductibil peste R, deci
el se poate scrie ca produs de polinoame de grad cel putin 1.
Cazul K=Q si K=Zp, p prim In inelele de polinoame Q[X] siZp[X] exista poli-
noame ireductibile de orice gradn n2N. De exemplu f=Xn22Q[X] este
ireductibil peste Q.
2.6 Descompunerea polinoamelor in factori ireductibili
Problema descompunerii unui polinom in factori ireductibili este de o mare importanta
in matematica. Cu ajutorul descompunerii polinoamelor se pot determina cu usurinta
radacinile unui polinom.
Teorema 2.6.0.1. Fie K un corp comutativ si f2K[X]un polinom de grad n2N.
Au loc urmatoarele rezultate:
1. Polinomul f se descompune intr-un produs nit de polinoame ireductibile peste K.
2. Dacaf=f1f2::::fm=g1g2::::gksunt doua descompuneri in produs de polinoame
ireductibile ale lui f, atunci m=k si exista o permutare 2Smcu proprietatea ca
fig(i);i21;2;:::;m
15

Demonstratie. Folosim inductia matematica.
Daca n=1, atunci f este ireductibil peste K si armatia este adevarata.
Presupunem n>1 si ca armatia este adevarata pentru polinoamele de grad mai mic
decat n. Daca f este ireductibil peste K, atunci demonstratia este incheiata. In caz
contrar, exista g;h2K[X] astfel incat f=gh si grad(g)<n, grad(h)<n. Din ipoteza de
inductie, polinoamele g si h se scriu ca produs de polinoame ireductibile peste K.
Teorema 2.6.0.2. Fief2C[X];f=anXn+an1Xn1+:::a1X+a0un polinom de
gradn2N
1. daca1;2;:::;n2Csunt radacinile polinomului atunci f=an(X1)(X
2):::(Xn).
2. daca1;2;:::;n2Csunt radacinile distincte ale polinomului f, cu multiplicitatile
m1;M2;:::mk2Natunci :f=an(X1)m1(X2)m2:::(Xk)mk.
demonstratie. Daca12Ceste radacina a lui f, atunci f se divide cu X1, deci
existag2C[X] astfel incat f= (X1)g. Deoarece2este radacina a polinomului
f, se observa usor ca trebuie sa e radacina pentru g. Asadar g se divide cu X1.
Rezulta ca exista g12C[X] cu proprietatea ca g= (X2)g1, iarf= (X
1)(X2)g1. Se continua rationamentul pentru 3sig1;4sig2si se obtine in
nal descompunerea dorita.
Dacaf2R[X] , atunci f poate  privit si ca element al inelului C[X], deci el va avea
radacini complexe 1;2;:::; 32C
Fie1;2;:::;k2Rradacinile reale ale lui f. Atunci f se divide in R[X] cu polinomul
g= (X1)m1(X2)m2:::(Xk)mk, undem1;m2;:::mk2Nsunt multiplicitatile
radacinilor 1;2;:::;k. Rezulta ca f se scrie sub forma f=ghundeh2R[X] si h nu
are radacini reale, ci numai radacini zk=ak+bki2CR. Dar, se observa usor ca daca
h(zk) = 0, atunci si h(zk) = 0 si astfel polinomul h se divide cu hk= (Xzk)(Xz2
k)2
R[X]
In concluzie, polinomul f2R[X] va avea urmatoarele descompunei in polinoame
ireductibile:
f=an(X1)m1:::(X2)mk(X2+a1+b1)n1:::(X2+apX+bp)np
undem1;m2;:::;mk;n1;n2;:::;np2Nsi1;2;:::;k2Rsunt radacinile reale ale lui f,
iar polinoamele X2+asX+bs;s2f1;2;:::;pgnu au radacini reale.
16

2.7 Relatiile lui Viete
Fief2C[X];f=a0X2+a1X+a2un polinom de gradul al doilea. Daca z1;z22Csunt
radacinile polinomului f, atunci acesta are descompunerea in factori ireductibili:
f=a0(Xz1)(Xz2);
. Efectuand produsul in relatia obtinem ca:
f=a0X2a0(z1z2)X+a0z1z2;
Din identicarea celor doua exprimari ale polinomului f obtinem relatiile intre radacinile
si coecientii acestuia:
(
z1+z2=a2
a0
z1z2=a1
a0(7)
(relatiile lui Viete pentru un polinom de gradul 2)
Pentru un polinom de gradul trei , f2C[X];f=a0X3+a1X2+a2X+a3, avem
descompunerea in factori ireductibili f=a0(Xz1)(Xz2)(Xz3), undez1;z2;z32C
sunt radacinile polinomului.
Din egalitatea a0X3+a1X2+a2X+a0=a0(Xz1)(Xz2)(Xz3) se obtine ca
a0X3+a1X2+a2X+a3=a0X3a0(z1+z2+z3)X2+a0(z1z2+z1z3+z2z3)Xa0z1z2z3
Din identicarea coecientilor se obtine:
8
>><
>>:z1+z2+z3=a2
a0
z1z2+z1z3+z2z3=a1
a0
z1z2z3=a1
a0(8)
, numite relatiile lui Viete pentru polinomul de gradul 3.
Mai general, procedand in mod analog pentru un polinom f2C[X];f=a0Xn+
an1Xn1+:::+a1X+a0se obtin relatiile lui Viete:
(S)8
>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>:s1=z1+z2+:::zn=an
a0
s2=z1z2+z1z3+:::+z1zn+z2z3z2z3+:::+zn1zn=an1
a0
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
sk=z1z2:::zk+z1z3:::zk+1+:::+znk+1:::zn1zn= (1)kak
a0
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
sn=z1z2:::zn=a1
a0(9)
17

Dupa cum se observa, suma skeste suma tuturor produselor a k dintre radacinile
polinomului f. Rezulta ca suma skareCk
ntermeni.
Observatii
1. Pentru ecuatia algebrica f(x) = 0 solutiile z1;z2;:::;znsunt radacinile polinomului f
si, astfel, verica acelasi sistem de relatii ale lui Viete.
2. Relatiile lui Viete se pot scrie pentru un polinom f2K[X], de gradul n2N,
care are toate cele n radacini 1;2;:::nin corpul K. In caz contrar nu se pot
scrie relatiile lui Viete.Astfel polinomul f2Q[X];f=xn2;n> 1, nu are nici o
radacina in Q, deci nu putem scrie sistemul (S)de relatii ale lui Viete
2.8
3 Ecuatii algebrice
Fie (C;+;) un corp comutativ si f2C(X) un polinom de gradul n, n2N. O ecuat ie de
formaf(x) = 0 se numeste ecuatie algebrica de gradul n cu coecient i in C si necunoscuta
x. Dacaf=a0+a1X+a2X2+:::+anXn2C[X], ecua tia algebrica de gradul n are
forma
anxn+an1xn1+:::+a1x+a0= 0 (10)
Numerelea0;a1;:::;an2Cse numesc coecient ii ecuat iei, iar n se numeste gradul ecuat iei.
Elementulse nume ste solu|ctie a ecuat iei.
In legatur a cu ecuat iile algebrice sunt studiate cateva probleme importante.
Existenta solut iilor in corpul C
Numarul solut iilor ecuat iei in corpul C
Existent a unor formule generale de rezolvare a ecuat iilor algebrice de diferite grade
In urmatoarele sect iuni urmarim sa rezolvam cele trei probleme propuse.
3.1 Teorema fundamentala a algebrei
Teorema 3.1.0.1. O ecuat ie algebric a de grad cel putin 1 cu coecient i complecsi admite
cel putin o solut ie complex a.
Pentru a putea demonstra aceasta teorema vom demonstra mai intai urmatoarea
Lema.
18

Teorema 3.1.0.2. Lema Dac a x=xo2Ceste un numar care nu anuleaza functia ff,
atunci exista un numar h2Castfel ^ nc^ at sa avem jff(xo+h)j<jff(xo)j.
Lema
Proof. Fie dezvoltarea Taylor in x=xo
ff(xo+h) =ff(x0) +nX
k=1f(k)
fhk
k!
din care in virtutea ipotezei ff(xo)6= 0, avem
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +nX
h=1f(k)
f(x0)
ff(x0)hk
k!
Deoarece numarul x=x0ar putea s a anuleze unele din derivatele f(k)
f(nu le poate anula
pe toate , deoarece se vede ca f(n)
f(x) =a0n!6= 0), consider am k=qordinul cel mai mic
al derivatei care nu se anuleaza in x=x0. Rezult a c a putem scrie
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +nX
h=qf(k)
f(x0)
ff(x0)hk
k!
sau
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +bqhq+nX
k=q+1bkhk
not^ andbk=f(k)
f(x0)
k!ff(x0)
Vom putea deci sa scriem
jff(x0+h)
ff(x0)jj1 +bqHqj+jnX
k=q+1bkhkj
 si cumf(q)
f(x0)6= 0 rezult a c a bq6= 0  si prin urmare avem
jnX
k=q+1bkhkj=jbqhqnqX
k=1bq+k
bqhqj=jbqhqjjnqX
k=1bq+k
bqj
Asadar
jff(x0+h)
ff(x0)j1 +bqhqj+jbqhqjjnqX
k=1bq+k
bqkkj
19

.
Numerelebqsi h ind complexe, numarul bqhqva  tot complex deci de forma
bqhq=jbqhqj(cos+isin)
unde= arg(bqhq)q= argbq+qarghsi se vede c a dac a lu am =obt inembqhq=
jbqhqj.
Aceasta inseamna ca, dac a alegem numarul h2Castfel ca argumentl s au s a satisfac a
condit ia
argh=argbq
q
atunci numarul bqhqeste real negativ. Rezult a c a j1 +bqhqj=j1jbqhqjj.
S a mai observ am c a, potrivit proprietat ii 1, numarul
jnqX
k=1bq+k
bqhkj
poate  f acut oric^ at de mic dac a jhjeste sucient de mic; ^ n particular exist a numarul 1
astfel ca, dac ajhj<1atunci
nqX
k=1bq+k
bqhk;1
2
 si prin urmare
jff(x0+h)
ff(x0)j<j1jbqhqjj+1
2jbqhqj
.
Din multimea numerelor h2Ccare satisfac cerint ele impuse anterior, adic a
argh=argbq
q;jhj<1
le vom alege in continuare pe cele pentru care jbqhqj<1 adic a pe cele pentru care, ^ n
plus, este satisf acut a  si condit ia
jhj<1
qp
jbqj
ceea ce face ca
j1jbqhqjj+1
2jbqhqj= 1jbqhqj+1
2jbqhqj= 11
2jbqhqj<1
20

. In consecinta, dac a numarul h2Ceste astfel c a
argh=argbq
q;jhj<min1;1
qp
jbqj
avem
jff(x0+h)
ff(x0)j<1
tocmai armat ia din lem a.
Pentru demonstrarea teoremei vom folosi lema anterioara, precum si urmatorul rezul-
tat privitor la functiile de doua variabile (rezultat analog unei proprietati cunoscute a
functiilor reale de o variabila reala si continue): o functie denita si continua pe o mul-
time de puncte din plan inchiosa si marginita, isi atinge marginile pe aceasta.
Reluam functia polinomiala ff:D2C!Cunde D este domeniul plan marginit de un
cerc C cu centrul in origine si de raza arbitrara sucient de mare astfel incat sa avem
jff(x)j>janjpentru toate punctele x2C, lucru posibil datorita proprietatii 2); notam
x=u+iv;ak=k+ki
Atunci
ff(x) =nX
k=0akxnk=nX
k=0(k+ik)(u+iv)nk
ceea ce se poate scrie sub forma ff(x) =p(u;v) +iq(u;v) unde p si q sunt functii reale
de doua variabile reale, continue si prin urmare
jff(x)j=p
p2(u;v) +q2(u;v)
care , de asemenea este o functie de doua variabile reale, continua pe D.
Conform rezultatului ment ionat aceast a funct ie are un minim absolut in acest domeniu
pe care il atinge intr-un punct pe care il notam cu x1. Acest punct este interior lui D,
deoarece ind un punct de minim avem
jff(x1)jjff(0)j=janj
si prin modul cum am ales domeniul D, inegalitatea contrar a este valabil a numai pentru
punctele de pe cercul C.
Armam acum ca ff(x1) = 0. Intr-adevar, dac a presupinem ff(x1)6= 0 atunci con-
form lemei, exista h2Castfel incat x+h2Dsi
jff(x1+h)j<jff(x1)j
21

ceea ce contrazice faptul ca x1este punctul in care ffisi atinge minimul. Cun aceasta
teorema este demonstrata.
3.2 Teorema Abel -Runi
Teorema 3.2.0.1. Fieanxn+a(n1)x(n1) +:::+a1x+a0= 0;an6= 0 o ecuat ie
algebric a de grad n>6, cu coecient i in C. Atunci nu exista formula generala de rezolvare
a acestei ecuat ii in care sa apara numai coecient ii a1;a2:::an2C
Proof.
Fie
anXn+an1Xn1:::+a1X+a0= 0 (11)
o ecuatie algebrica de grad n>4, cu coecienti in C. Atunci nu exista o formula generala
de rezolvare a acestei ecuatii in care sa apara numai coecientii a0;a1;::::an
3.3 Ecuatii algebrice cu coecienti in Z
Fiea0xn+an1xn1+:::+an= 0(1), ecuat ie algebric a de gradul n, cu coecient ii
a0;a1;:::;an2Z. Pentru ecuatia (1) se pot determina solutiile in Z  si Q pe baza urma-
torului rezultat:
Teorema 3.3.0.1. Fiea0xn+an1xn1+:::+an= 0, ecuat ie algebric a de gradul n2N
cu coecienti in Z.
Daca2Zeste solut ie a ecuat iei, atunci dividean
daca=fracpg2Q;(p;q) = 1 este solut ie a ecuat iei, atunci p divide an, iar q
dividea0
Proof. a) daca2Zeste solut ie pentru ecuat ie, rezult a c a: a0n+a1n1+:::+an1+
an= 0 sau, altfel scris (a0n1+:::+an1) =an(2)
Din relatia (2) rezulta ca dividean
b) dac a=p
q2Qeste solut ie a ecuat iei, rezult a c a a0(p
q)n+a1(p
q)n1+:::+an1(p
q)+an=
0 , egalitate care se poate scrie sub formele: p(a0pn1+a1pn2q+:::+an1qn1) =anqn,
respectiv,q(a1pn1+anpn2q+:::+anqn) =a0pn:
deoarece (p;q) = 1, se obtine ca p divide an si q dividea0
Teorema ofer a o modalitate simpla de a determina solut iile inZ , respectiv=p
q2Q
ale unei ecuat ii algebrice cu coecient i numere ^ ntregi. Astfel:
22

solut iile2Zse caut a printre divizorii termenului liber an
Solut iile=p
q2Q;(p;q) = 1, se caut a printre numerele rat ionale de formap
q,
unde p este un divizor al termenului liber an, iar q este un divizor al coecientului
dominanta0.
^In cazul ^ n care termenii a0;an2Zau mai mul ^ti divizori, apar pre multe fract iip
q2Qcare
trebuie ^ ncercate dac a sunt solut ii. Vom ar ata unele modalit at i practice de ^ ndep artare
a unora dintre aceste fract ii.
Fief2C[X], un polinom de gradul n2Ncu coecient ii ^ ntregi si =p
q2
Q;(p;q) = 1 o r ad acina a sa. rezulta c a polinomul f este divizibil cu Xp
q si
f= (Xp
q)C(X) sauf= (qXp)C1(X), undeC1este un polinom cu coecient i
in Z.Atunci vom obt ine : f(1) = (qp)C1(1)  sif(1) = (qp)C1(1) A sadar,
dac apqnu divide f(1) sau p+q nu divide f(-1), atuncip
q2Qnu este solut ie a
ecuat iei.
3.4 Ecuatii algebrice cu coecienti in Q
Fiea;b;c2Q, astfel ^ nc^ at b0;c> 0  sipc2RQ.
Numerele reale de forma u=a+bpcse numesc numere irat ionale p atratice.
Numarul irat ional u=abpcse nume ste conjugatul numarului u=a+bpc
Se observ a u sor c a oricare numar irat ional p atratic u=a+bpcse poate scrie sub
una din formele +psaupunde;2Q; > 0;p2RQ, av^ and ^ n vedere
introducerea sau scoaterea factorilor de sub radicali.
Folosind formula binomului lui Newton, rezulta c a daca u=a+bpceste numar
irational patratic, atunci un= (a+p
b)n=an+pbnundean;bn2Q sibn>0;pbn2
RQ. A sadaruneste un numar irat ional p atratic. De asemenea se observ a c a un=
anpbn= (un)
Teorema 3.4.0.1. Fief2Q[X];f=a0xn+an1xn1+:::+an, un polinom de grad n,
n2N siu=a+bp
bnum ar irat ional p atratic.Daca a u este r ad acina a polinomului f,
atunci:
u=ap
beste r ad acina a lui f
u siuau acelasi ordin de multiplicitate.
Proof. a) Avem succesiv: f(u) =a0+a1(ap
b)+:::+an(ap
b)n=a0+a1(1p1)+
a2(2p2)+:::+an(npn) =a0+a1(1+p1)+a2(2+p
2)+:::+an(n+pn) =
23

f(u) = 0 deciueste radacina a polinomului f.
b) Fiem;m 12Nordinele de multiplicitate ale radacinilor u si  u. Polinomul f se scrie :
f= (Xu)m(Xu)m1g;(1) undeg2Q[X]  sig(u)6= 0;g(u6= 0
S a presupunem ca m < m 1. Atunci , din relat ia (1) se obt ine: f= (X22aX+a2
b)m(XU)m1mg= (X22aX+a2b)mh(2).
Polinomulh= (Xu)m1mg2Q[X]  sih(u) = 0. Din punctul a) al teoremei se
obt ine c ah(u) = 0, deci ( uu)m1mg(u) = 0. Dar uu6= 0, deci este necesar ca
g(u) = 0, in contradict ie cu g(u)6= 0.
A sadar nu se poate ca m<m 1. Analog se arata c a nu are loc inegalitatea m1<m.
^In concluzie m=m1 si teorema este demonstrata.
3.5 Ecuatii algebrice cu coecienti in R
Teorema 3.5.0.1. Fief2[X];f=a0xn+an1xn1+:::+an, un polinom de grad n,
n2Ndac az=a+bi2C,a;b2R;b6= 0 este r ad acina a polinomului f, atunci:
z=abieste r ad acina a lui f
z sizau acelasi ordin de multiplicitate.
Proof.
Observat ii: Fie f2C[x], un polinom cu coecient i reali de gradul n2NN.
Polinomul f are un numar par de radacini z2CQ.
Dac a n este impar, atunci polinomul f are cel put in o radacina reala a. Mai mult,
numarul de r ada acini reale este impar.
3.6 Ceva peste manual
4 Rezolvarea unor ecuatii algebrice particulare cu
coecienti reali
4.1 Ecuatii de grad cel mult 4
4.1.1 Ecuatia de gradul I si II
Ecuatia de gradul I are forma generala ax+b= 0;a6= 0 Solut ia acestei ecuat ii este
x=b
a
24

Ecuat ia de gradul II are forma generala ax2+bx+c= 0;a6= 0a;b;c2RPentru arezolva
aceasta ecuati se calculeaza discriminantul =b24acsi in functie de se determin a
solut iile
Dac a
>0 ecuat ia are doua solut ii reale x1;2=bp


2a
Dac a
= 0 ecuat ia are doua solut ii egale x1=x2=b
2a;
Dac a
<0 ecuat ia are doua solutii complexe x1;2=bip

2a
4.1.2 Ecuatia de gradul III
Ecuatia de gradul 3 are forma generala:
a3x3+a2x2+a1x+a0= 0;a3;a2;a1;ao2R.
Dacaa36= 0 , se poate imparti prin a3, obtinand o ecuatie echivalenta de forma:
x3+ax2+bx+c= 0
Substituim pe x cu ya
3 si obt inem ecuat ia
y3+y(ba2
3) + (2a3
27ab
3+c) = 0
Deci este sucient sa rezolvam ecuat ia: y3+px+q= 0
Formulele lui Cardano
Aceast a metod a este datorat a lui Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia
(1499-1557)  si Gerolamo Cardano(1501-1578)
Caut am solui a ysub formay=u+v. Din egalitatea ( u+v)3=u3+v3+3uv(u+v) = 0
rezult a c a ( u+v)33uv(u+v)(u3+v3) = 0 adic a y33uvy(u3+v3) = 0. Atunci
avem: :(3uv=p
(u3+v3) =q)(uv=p
3
u3+v3=q)8
<
:u3v3=p3
27
u3+v3=q
u3siv3sunt radacinile ecuatiei z2+qzp3
27= 0 adic a
z1;2=q
2r
p3
27+q2
4
Fieu;v2Castfel incat u3=z1;v3=z2;uv=p
3, atunci solut iile c autate sunt:
x1=u+v;x 2="u+"2v;x 3="2u+"v
unde"6= 1 este o radacina de ordinul 3 a unitat ii.
25

4.1.3 Ecuatia de gradul IV
Consider am ecuat ia cu coecient i complecsi cu solutiile y1;y2;y3;y42C
y4+ay3+cy2+dy+e= 0
Substituim pe ycuxa
4; rezult a c a este sucient de studiat ecuat ia de forma
x4+px2+qx+r= 0
Metoda rezolventei lui Lagrange (1736-1813)
C autam solu tia sub forma x=u+v+w. Observ am c a ( u+v+w)2=u2+v2+w2+
2(uv+uw+vw), adic a(u+v+w)2(u2+v2+w2) = 2(uv+uw+vw). Ridic^ and la
puterea a doua obt inem ( u+v+w)22(u+v+w)2(u2+v2+w2) + (u2+v2+w2)2=
4(u2w2+v2W2+u2v2) + 8uvw(u+v+w). Rezult a c a
x42(u2+v2+w2)x28uvwx2(u2v2+u2w2+v2w2) +u4+v4+w4= 0
deci 8
>>><
>>>:u2+v2+w2=p
2
u2v2+u2w2+v2w2=p24r
16
u2v2w2=q2
64(12)
rezult a c a radacinile acesteia sunt solutiile ecuatiei de gradul 3
z3+p
2z2+ (p24r
16)zq2
64= 0:
Fiez1;z2;z3r ad acinile acesteia,  si e
u=pz1;v=pz2;w=pz3
astfel inc ^tuvw =q
8. Atunci
x1=u+v+w;x 2=uvw;x 3=uv+w
26

4.1.4 Ecuatii bipatrate
O ecuatie bipatrat a cu coecient i in C este o ecuat ie algebric a de forma az4+bz2+c=
0;a;b;c2C;a6= 0. Pentru rezolvare se parcurg urm atorii pa si:
se noteaz az2=y si se ob tine ecuat ia de gradul doi: ay2+by+c= 0 numit a ecuat ia
rezolventa a a ecuat iei bip atrate;
se rezolv a ecuat ia rezolvent a in multimea C obt in^ ndu-se solutiile y1;y22C;
se scriu  si se rezolv a ecuat iile z2=y1 siz2=y2, obt in^ andu-se solut iile z1;z2;z3;z4
ale ecuat iei bip atrate.
4.2 Ecuatii binome
O ecuat ie binom a cu coecient i ^ n mult imea C este o ecuat ie algebric a de forma
zna= 0;unden2N;a2C (13)
. Scriind ecuat ia binom a (7) sub forma zn=a, rezolvarea ei se reduce la determinarea
r ad acinilor de ordinul n2Nale numarului complex a.
Dacaa=r(cost+isint ) este scrierea sub forma trigonometric a a numarului a, atunci se
obt ine:
zk=npr(cost+ 2k
n+isint+ 2k
n);k20;1;2;:::;n1;(2)
(r ad acinile complexe ale lui z2C)
Exemplu:
4.3 Ecuat ii reciproce
Polinomulf2K[X];f=a0xn+an1xn1+:::+an, de graduln2Nse nume ste polinom
reciproc dac a ^ ntre coecient ii s ai exist a relat iile: ak=ank;k20;1;2;:::;n
Exemple: Polinoamele reciproce de gradul 1,2,3  si 4 au formele: f1=aX+a;f2=
aX2+bX+a;f3=aX3+bX2+bX+a, respectivf4=aX4+bX3+cX2+bX+a
Denit ,ie 4.3.1. :
Se numeste ecuatie algebrica reciproca de gradul n2No ecuatie de forma f(x) = 0 ,
undef2K[X]este un polinom reciproc de gradul n.
27

Forma particulara a polinoamelor (ecuat iilor) reciproce de gradul n conduce la cateva
observat ii generale:
Enuntam mai jos cateva proprietati generale pentru ecuatiile reciproce de gradul n:
Propozitie 4.1. Dac a ecuat ia reciproc a are r ad acin a , atunci ea are si r ad acin a1

Demonstrat ie. Dac aeste o r ad acin a , atunci rezult a c a:
ann+an1n1+:::+a22+a1+a0= 0 (14)
 si6= 0(= 0!a0= 0!an= 0 contradict ie). Deci se poate imp art i cu nsi obt inem:
an+an1(1
) +:::+a1(1
)n1+a0(1
)n= 0
darai=ani;0insi putem scrie:
an(1
) +an1(1
)n1+:::+a1(1
) +a0= 0
prin urmare1
r ad acin a.
Propozitie 4.2. Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina x=1.
Demonstrat ie. Fien= 2p+ 1. Not am f(x) =a2p+1x2p+1+a2px2p+:::+a2x2+a1x+a0
 si atunci:
f(1) =a2p+1(1)2p+1+:::+a2(1)2+a1(1) +a0=
=a2p+1+a2p:::+ap+1(1)p+1+ap(1)p+:::+a2a1+a0=
= (a0a2p+1)(a1a2p) +:::+ (1)p(apap+1)
darai=a2p+1i(0i2p+ 1). Rezult a c a f(1) = 0  si deci x=1 este r ad acin a
pentru ecuat ia reciproc a de grad impar
Propozitie 4.3. Orice ecuatie reciproc a de grad impar se reduce la rezolvarea ecuat iei
x+ 1 = 0 si a unei ecuat ii de grad par.
Demonstrat ie. Din P.2. rezult a c a x=1 este radacina a lui f. Conform teoremei lui
Bezout, avem ca f(x) = (x+ 1)g(x).
Fieg(x) =b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0. Avem:
a2p+1x2p+1+a2px2p+:::+a2x+a1x+a0= (x+ 1)(b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0)
28

Prin identicarea coecient ilor avem:
a2p+1=b2p;a2p=b2p+b2p1;a2p1=b2p1+b2p2;:::;a 2=b2+b1;a1=b1+b0;a0=b0:
Cumai=a2p+1i;(0i2p+ 1) rezult a c a b0=b2p.
Cumb2p+b2p1=b1+b0, rezult a c a b1=b2p1. Proced^ and la fel, din egalitat ile
anterioare rezult a c a bi=b2p1;0i2p.
Deci ecuat ia b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0= 0 este reciproc a.
Propozitie 4.4. Orice ecuat ie reciproc a de grad par, n=2p, se reduce la rezolvarea unei
ecuatii de grad p si a q ecuatii de grad II.
Demonstrat ie. Fie ecuat ia reciproc a a2px2p+:::+a2x2+a1x+a0= 0;a2p6= 0 Imp art im
ecuat ia prin xp;x6= 0. Rezult a c a:
a2p(xp+1
xp) +a2p1(xp1+1
xp1) +:::+ap+1(x+1
x) +ap= 0 (15)
yk=xk+C1
kxk2+C2
kxk4+C3
kxk6+:::+C3
k1
xk6+C2
k1
xk4+C1
k1
xk2+1
xk, adic a:
yk= (xk+1
xk) +C1
k(xk2+1
xk2) +C2
k(xk4+1
xk4) +::::
Pentruk= 1;2;:::;p se gase stexk+1
xk^ n funct ie de y;y2;:::;yp1;yp.^Inlocuind valorile
g asite in ecuat ia (8) va rezulta o ecuat ie ^ n necunoscuta y, de gradul p, care va avea p
r ad aciniy1;y2;:::;yp.
Pentru a obt ine r ad acinile ecuat iei reciproce, se rezolv a cele p ecuat ii de forma x+1
x=
yi;i21;2;:::;p adic a de forma x2yix+ 1 = 0;i21;2;:::;p
Denit ,ie 4.3.2. Se numesc ecuat ii reciproce si ecuat iile de forma :
anxn+an1xn1+:::+a0
avand urm atoarea proprietate ai=ani8i= 1;n.
Dac a n=2p, din ai=a2pirezult a c aap=ap, deciap= 0. Prin urmare orice
ecuat ie de tipul ment ionat are ca radacina pe x= 1. Atunci conform teoremei lui Bezout
putem scrie
anxn+an1xn1+:::+a2x2+a1x+a0= (x1)(bn1xn1+:::+b2x2+b1x+b0)
sau:
anxn+an1xn1+:::+a2x2+a1x+a0=bn1xn+ (bn2bn1xn1+:::+ (b0b1)x+b0)
29

Prin identicarea coecient ilor avem: ap=bn1;an1=bn2bn1;:::;a 2=b1b2;a1=
b0b1;a0=b0
Cuma0=anrezult a c ab0=bn1, cuma1=an1rezult a c ab1=bn2 si cum
a2=an2rezult a c ab2=bn3. Continu^ and astfel, obtinem c a bi1=bni8i= 1;n, ceea
ce ne arat a c a ecuat ia bn1xn1+:::+b2x2+b1x+b0= 0 este o ecuatie reciproc a.
Rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul 3
Ecuat ia reciproc a de gradul 3 cu coecient i in corpul C are forma : ax3+bx2+bx+a=
0. Ecuat ia se poate scrie succesiv: a(x3+ 1) +b(x+ 1) = 0 sau
(x+ 1)(ax2+ (ba)x+a) = 0 (16)
Forma de scriere (9) arat a ca ecuat ia are solut ia x1=1  si alte dou a solut ii date de
ecuat ia reciproc a de gradul 2: ax2+ (ba)x+a= 0
Rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul 4
Forma generala a ecuat iei reciproce de gradul 4 cu coecient i ^ ntregi este: az4+bz3+
cz2+bz+a= 0.
Se observa ca ecuatia nu admite solut ia x= 0. pentru rezolvare se parcurg urmatorii
pa si:
se ^ mparte prin z2 si se obt ine: az2+bz+c+b
a+a
z2.
se grupeaza termenii care au coecient ii egali: a(z2+1
z2+b(z+1
z) +c= 0.
se noteaza z+1
z=y si rezult a c a z2+1
z2=y22. Se obt ine ecuat ia de gradul 2
in y :a(y22) +by+c= 0 sauay2+by+c2a= 0 numit a ecuat ia rezolvent a a
ecuat iei reciproce de gradul 4.
se rezolv a ecuat ia rezolvent a obt in^ andu-se solut iile y1;y22C
se rezolv a ecuat iile z+1
z=y1 siz+1
z=y1care se aduc la forma z2y1z+ 1 = 0 si
z2y2z+ 1 = 0. Rezult a astfel solut iile z1;z2;z2;z42Cale ecuat iei reciproce.
A sadar rezolvarea ecuatiei de gradul 4 se reduce la rezolvarea a trei ecuatii de gradul 2.
Observat ii:
1. Dacaf2C[X], este un polinom reciproc de gradul n2N, n numar impar,
atunci rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul n se reduce la rezolvarea ecuatiei z+ 1 = 0
30

 si aunei ecuat ii reciproce de gradul n1
2. Dac af2C[X], este un polinom reciproc de gradul n;n= 2k, rezolvarea ecuat iei
reciproce ata sate se poate reduce la rezolvarea unei ecuat ii de gradul k cu necunoscuta
y=z+1
z si a k ecuat ii de gradul 2 date de ecuatiile z+1
z=yp;p21;2;:::;k .
3. In cazul unei ecuatii reciproce cu coecient i intr-un corp Kse procedeaz a in mod
analog
4.4 Alt tip
5 Strategii didactice de predare invatare
Strategia a fost denita ca un mod de combinare si organizare cronologica a ansmblurilor
de metode si mijloace alese pentru atingerea anumitor obiective.
Strategia didactica este un termen unicator, integrator care reuneste sarcinile de
invatare, reprezentand un sistem complex si coerent de mijloace , metode, materiale si
alte resurse educationale care vizeaza atingerea unor obiective. Ea este necesara in orice
act pedagogic, ocupand un loc central in cadrul activitatii didactice, deoarece proiectarea
si organizarea lectiei se realizeaza in functie de decizia strategica a profesorului. Ea
este conceputa ca un scenariu didactic complex, in care sunt implicati actorii predarii
invatarii, conditiile realizarii, obiectivele si metodele vizate. Astfel, strategia pregureaza
traseul metodic cel mai potrivit, cel mai logic si mai ecient pentru abordarea unei situatii
concrete de predare si invatare. In acest fel , prin proiectarea didactica se pot evita erorile,
riscurile si evenimentele nedorite din activitatea didactica.
In calitate de elemente factice, metodele sunt supuse strategiilor. Cu alte cuvinte,
strategia nu se confunda cu metoda sau cu metodologia didactica, deoarece acestea din
urma vizeaza o activitate de predare – invatare, in timp ce strategia vizeaza procesul de
instruire in ansamblu si nu o secventa a instruirii.
Principalele componente ale strategiei didactice sunt:
-sistemul formelor de organizare si desfasurare a activitatii educationale;
-sistemul mijloacelor de invatamant,respectiv a resurselor utilizate
-sistemul metodologic respectiv sistemul metodelor si procedeelor didactice.
-sistemul obiectivelor operationale. Caracteristicile strategiilor didactice sunt: im-
plicarea celui care invata in situatii specice de invatare, rationalizarea si adecvarea
continutului instruirii la particularitatile psihoindividuale, creearea unor premise pentru
manifestarea optima a interactiunilor dintre celelalte componente ale procesului de instru-
ire, combinarea contextuala, originala , unica uneori a elementelor procesului instructiv-
31

educativ.
Construirea unor strategii adecvate intereselor copiilor si nivelului de pregatire, reprez-
inta din acest punct de vedere o provocare continua si un efort permanent de creativitate
didactica din partea profesorului.
Dintre strategiile didactice mai importante mentionam:
-strategii inductive, al caror demers didactic este de la particular la general.
-strategii deductive, ce urmeaza calea rationamentului invers fata de cele inductive,
pornind de la general la particular, de la legi sau principii la concretizarea lor in exemple;
– strategii analogice, in cadrul carora predarea si invatarea se desfasoara cu ajutorul
modelelor;
– strategii transductive, cum sunt explicatiile prin metafore;
– strategii mixte: inductiv-deductive si deductiv-inductive;
– strategii algoritmice: explicativ-demonstrative, intuitive, expozitive, imitative, pro-
gramate si algoritmice propriu-zise;
– strategii euristice de elaborare a cunostintelor prin efort propriu de gandire, folosind
problematizarea, descoperirea, modelarea, formularea de ipoteze, dialogul euristic, exper-
imentul de investigare, asaltul de idei, avand ca efect stimularea creativitatii.
De cele mai multe ori specialistii din invatamant folosesc strategiile mixte, imbinand
armonios elementele de dirijare si independenta, cu accent pe predare – invatare semidiri-
jata.
Strategiile didactice sunt realizate cu ajutorul metodelor de predare si invatare, infor-
mative si activ-participative, de studiu individual, de vericare si evaluare.
6 Metode de predare invatare specice matematicii
6.1 Demonstratia matematica
Este o metoda de predare-invatare specica disciplinelor stiintice si apare ca o forma
a demonstratiei logice care consta intr-un sir de rationamente prin care se verica un
anumit adevar, exprimat prin propozitii.
Demonstratia matematica este metoda specica de justicare a teoremelor si consta
in a arata ca, daca ceea ce arma ipoteza are loc, atunci concluzia rezulta din ea in mod
logic.Demonstratia se bazeaza pe axiome sau pe teoreme demonstrate anterior.
Este important ca in activitatea de predare-invatare a teoremelor sa se tina seama de
urmatoarele aspecte
Sa se asigure insusirea faptului matematic exprimat prin teoreme;
32

sa se desprinda ipoteza de concluzie;
sa se transcrie in simboluri matematice ipoteza si concluzia (situatie des intalnita
si la rezolvarea problemelor de geometrie din generala);
efectuarea demonstratiei, utilizand formele de scriere specice cu atentionarea nece-
sara efectuarii eventuale a dublei implicatii pentru teoremele cu formularile: "con-
ditia necesara si sucienta…", sau "daca…si numai daca…"
Demonstratia matematica prin analiza si sinteza
Demonstartia in care se porneste de la propozitii generale spre propozitii particulare
se numeste demonstratie analitica. In acest tip de demonstratie se porneste de la ceea
ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adevarat. Propozitia ce trebuie dovedita ca
este adevarata se inlocuieste cu propozitii echivalente cu ea, pana cand se ajunge la o
propozitie cunoscuta, despr care se stie ca este adevarata.
Demonstratia in care se porneste de la propozitii particulare spre propozitii generale se
numeste demonstratie sintetica. In acest tip de demonstratie se porneste de la o propozitie
care este cunoscuta ca adevarata, din ea se deduc propozitii despre care de asemenea stim
ca sunt adevarate si ultima este ceea ce trebuuia demonstrat. rationamentele sunt legate
prin implicatii adevarate.
Exemplu de demonstratie sintetica:
Sa se demonstreze ca polinomul f=X3+X2+X+ 1 nu are toate radacinile reale.
Se presupune ca polinomul admite radacini reale si se calculeaza suma patratelor radacinilor
x2
1+x2
2+x2
3= 12 =1, deoarece suma patratelor radacinilor este numar negativ
obtinem ca polinomul nu are toate radacinile reale.
Demonstratia matematica prin reducere la absurd
Metoda reducerii la absurd eate o metoda traditionala, veche folosita inca din anti-
chitate in matematica , mai ales in geometrie.
La baza acestei metode sta una dintre legile fundamentale ale logicii clasice, care se
enunta stfel. Dintre doua propozitii contradictorii una este adevarata, cealalta falsa, iar
atreia posibilitate nu exista.
In practica, se procedeaza astfel: se presumune ca ceea ce trebuie demonstrat este
fals, adica se neaga concluzia teoremei date. Apoi folosind presupunerea facuta, se fac
o serie de deductii logice, care scot in evidenta faptul ca presupunerea facuta nu este
posibila si ramane ca adevar concluzia teoremei date. (Ardelean,L, Secelean.,2007,p78).
Exemplu
33

Demonstratia prin inductie matematica (Ardelean,L, Secelean.,2007,p78) In lo
gica, prin inductie se intelege o forma de rationament in care gandirea noastra pleaca
dinspre particular spre general, sau de la cunostinte cu un grad de generalitate mai mic
la cunostinte cu un grad de cunostinte mai mare. In geometrie primele adevaruri au
bost obtinute pe calea observatiei, deci calea inductiei. De exemplu, la inceput, pe baza
de experiente prin observatii si masuratori, vechii egipteni au stabilit raportul dintre
lungimea cercului si diametrul sau.
In procesul generalizarii prin rationamentul inductiv se intalnesc doua cazuri:
Se obtine o concluzie generala despre o anumita multime de obiecte de acelasi fel
pe baza cercetarii tuturor elementelor ei.
Al doilea caz de generalizare pe cale inductiva este acela in care concluzia despre o
clasa de obiecte se obtine pe baza studiului care nu cuprinde toate obiectele clasei
care se cerceteaza . Acest fel de rationament se numeste inductie completa.
Exemplu
6.2 Metode pedagogice traditionale de predare invatare a matem-
aticii in scoala
Diversicarea metodelor de predare-invatare, a modurilor si formelor de organizare a
lectiilor si a situatiilor de invatare, constituie cheia schimbarilor pe care le preconizeaza
noul curriculum. Asigurarea unor situatii de invatare multiple creeaza premise pentru ca
elevii sa poate valorica propriile abilitati de invatare.
Principalele metode didactice folosite de profesorii de matematica in predare-invatare
matematicii in scoala sunt:
expunerea sistematica a cunostintelor;
metoda conversatiei;
metoda exercitiului;
metoda muncii cu manualul di culegerile de probleme;
problematizarea si invatarea prin descoperire;
modelarea matematica;
metoda invatarii pe grupe;
34

invatarea prin cooperare;
algoritmizarea
instruirea programata;
metode de invatare avtive-participative: brainstorming, metoda mozaicului, inves-
tigatia, proiectul, experimentul, jocul de rol;
metode de dezvoltare a creativitatii specice matematicii.
Dintre metodele enumerate se disting metodele traditionale, expunerea, sistemati-
zarea cunostintelor, metoda conversatiei, metoda exercitiului, metoda muncii cu manu-
alul; cele numite metode moderne: problematizarea si invatarea prin descoperire, mod-
elarea, metoda invatarii pe grupeinvatarea prin coooperare, algoritmizarea, instruirea
programata; iar de actualitate metodele de invatare activ-participative si interactive.
Desigur ca, in cadrul diferitelor tipuri de lectii la matematica, se realizeaza o combinare
a metodelor traditionale cu cele moderne si se recomanda alternarea lor cu metodele
participative si interactive de invatare respectiv cu metodele de dezvoltare a creativitatii
elevilor.(Ardelean,L, Secelean.,2007,p69)
6.2.1 Expunerea sistematica a cunostintelor
Este metoda care se prezinta in mai multe variante: povestirea , prelegerea si explicatia.
Povestirea este mai putin folosita in matematica.
Povestirea consta in descrierea unor fapte, evenimente, intamplari sau personaje. La
matematica prin povestire se pot transmite date istorice legate de studiul unei discipline
noi (de exemplu despre intemeietorii algebrei moderne Galois. E, Abel, N, D'Alambert
la inceputul predarii polinoamelor)sau in prima lectie din cadrul unitatii de invatare.
Povestirea are un impact pozitiv asupra asimilarii ulterioare a cunostiintelor de catre
elevi deoarece "umanizeaza" disciplina atat de stiintica precum matematica.
Prelegerea consta i prezentarea de catre profesor a unui continut matematic in mod
neintrerupt. Se prezinta denitii, teorema, proprietati , demonstatii, algoritmi fara ca
elevul sa adreseze vreo intrebare. Se utilizeaza aceasta metoda la clasele terminale de
liceu, cand elevii au o putere mare de concentrare.Utilizarea ei abuziva la clase de elevi
medii indeparteaza elevul de cunosterea matematica, parandu-i inaccesibila.
Explicatia consta in transmiterea unor cunostinte intr-un timp relativ scurt de catre
profesor, in situatii cand elevul, pe baza cunostintelor anterior insusite, nu le poate de-
scoperi singur. Este o metoda foarte des intalnita in predarea matematicii. Profesorul ex-
35

pune logic si argumentat modul de gandire iar elevii il urmaresc cautand sa inteleaga. Este
necesara prezentarea de catre profesor a continutului la nivelul de intelegere a elevilor.
Modul de expunere sa e clar si cu anumite pauze. Profesorul trebuie sa controleze lim-
bajul non-verbal (mimica, gesturile) elevilor, sa puna intrebari pentru a observa daca este
urmarit de elevi.
Explicatia trebuie sa dezvolte la elevi imaginatia, sa e clara si convingatoare.
6.2.2 Metoda conversatiei
Aceasta metoda consta in dialogul dintre profesor si elev si se bazeaza pe intrebari si
raspunsuri. Profesorul are rolul unui partenet care adreseaza intrebari elevilor dar si
raspunde intrebarilor acestora. Stimuleaza gandirea elevilor in vederea insusirii de cunos-
tinte noi sau sistematizarea cunostintelor si deprinderilor dobandite anterior. Conversatia
ajuta la rationamentul matematic la elevi.
Exista mai multe clasicari ale conversatiei:
Dupa numarul de elevi carora li se adreseaza intrebarea conversatia este: indi-
viduala(intre profesor si elev); frontala (intrebarile se adreseaza intregii clase, iar
raspunsurile vin de la elevi diferiti).
Dupa momentul in lectie conversatia poate : introductiva(folosita in momentele
captarii atentiei si reactualizarii cunostintelor anterioare); folosita in scopul trans-
miterii de cunostinte noi (folosita in evenimentul de dirijare a invatarii); folosita
pentru xarea noilor cunostinte;folosita pentru recapitulare; folosita in procesul
evaluarii cunostintelor elevilor
Dupa timpul de rationament efectuat de elev cand da raspunsul se deosebesc conver-
satia : euristica (cand intrebarile se adreseaza gandirii si o dirijeaza spre efectuarea
de rationamente , judecati), catehetica (cand intrebarile se adreseaza memoriei iar
raspunsurile sunt reproduceri de denitii, formule, reguli)
Este important ca intrebarile formulate sa e precise, sa vizeze un singur raspuns si
sa nu contina raspunsul, sa contribuie la dezvoltarea gandirii. Se dezvolta limbajul si
puterea de comunicare a elevior in timpul conversatiei.
6.2.3 Metoda exercitiului
Exercitiul presupune efectuarea constienta si repetata a unor operatii sau actiuni mintale
in vederea formarii de priceperi si deprinderi, pentru dezvoltarea unor capacitati intelec-
tuale si acestea in scopul invatarii matematicii.
36

Evaluarea performantei se realizeaza tot prin exercitii.
In rezolvarea exercitiilor se recomanda urmatoarele etape.
cunoasterea de catre elevi a enuntului exercitiului;
intelegerea exercitiului de catre elevi;
rezolvarea propriu-zisa a exercitiului;
vericarea rezultatului obtinut
Prin metoda exercitiului se urmareste , in primul rand, sa se dea modele de rezolvari
care ulterior sa-l determne pe elev sa rezolve atat exercitiile de tipurile prezentate cat si
descoperirea unor metode sau algoritmi.
Formele de organizare a activitatii pe metoda exercitiului sunt variate. Se poate
lucra independent sau frontal, exercitiile pot  diferentiate sau nu. Exemplu Putem
folosi aceasta metoda la determinarea catului si restului impartirii a doua polinoame,
sau foslosind schema lui Horner. La utilizarea relatiilor lui Viete pentru determinarea
radacinilor unei ecuatii polnomiale.
6.2.4 Metoda muncii cu manualul si cu alte auxiliare matematice
Metoda muncii cu manualul este o forma de munca independenta utilizata in scopul
studierii si asimilarii de noi cunostinte de matematica. In acelasi scop se folosesc culegeri
de probleme, teste de matematica, monograi. Manualul este principalul material bibli-
ograc al elevului si ar trebui sa constituie un ghid pentru pregatirea profesorului pentru
lectie. Pentru elev manualul scolar contine cantitatea de informatie necesara nivelului
sau de invatare obligatorie.
Invatarea din manual presupune un efort propriu din partea elevului in a dezlega o
problema, in a aborda subiecte complementare celor folosite de profesor in clasa. Folosirea
manualului ajuta la utilizarea limbajului matematic scris pe langa cel simbolic.Studiul
individual sta la baza perfectionarii, formeaza la elevi abilitati de comunicare scrisa in
specialitatea respectiva.Prin aceasta metoda se realizeaza unul dintre obiectivele funda-
mentale ale matematicii: de a-l invata cum sa invete (Ardelean,L; Secelean, N,2007,p.85)l
37

6.3 Metode pedagogice moderne de predare – invatare a matem-
aticii in scoala
6.3.1 Problematizarea
Situatiile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin activitatea sa sa
gasesca denitia unei notiuni, enuntul unei profozitii matematice, un algoritm de calcul
sau o noua metoda de demonstratie. In predarea problematizata profesorul, da posibili-
tatea elevului sa asimileze prin exercitii niste scheme fundamentale de abstractizare, de
conceptualizare, de rationament si interpretarea. Acestea sunt situatii problema.
Situatiile problema sunt de felul urmator:
dezacord(con
ict, contradictie) intre cunostintele anterioare ale elevului si conditiile
noi de rezolvare de probleme;
selectarea de cunostinte anterioare a acelora cu valoare operationala, adica elevul
este pus in fata unei contradictii intre modul de rezolvare posibil din punct de vedere
teoretic si imposibilitatea lui de aplicare practica;
incadrarea cunostintelor anterioare intr-un sistem, caonstientizarea ca acest sistem
nu este intotdeauna operational si de aici necesitatea completarii lui.
Exemplu
In predarea invatarea matematicii prin problematizare, profesorul are ca scop principal
sa-i faca pe elevi sa gandeasca. Mijlocul il reprezinta rezolvarea problemelor care cer un
anumit grad de creatie de catre elevi. Problemele trebuie sa indeplineasca urmatorele
conditii: sa aiba sens, sa tina seama de cunostintele anterioare ale elevului; sa e adresate
in momentul oportun din punctul de vedere al elevului, sa trezeasca interesul si sa solicite
efort din partea elevului.
Etapele de rezolvare a unei situatii-problema sunt: prezentarea situatiei problema de
catre profesor, denirea problemei de catre elev, formularea de ipoteze de catre elev care
pot  aplicate in vederea unei solutii, realizarea vericarii ipotezelor-pana cand se gaseste
una care conduce la solutia cautata.
Prin aplicarea in predare a problematizarii, rezultatul nal este intotdeauna de-
scoperirea solutiilor de catre elev a problemei propuse. (Ardelean L; Secelean,N2007,p.93).
6.3.2 Invatarea prin descoperire
Descoperirea ca mijloc de predare-invatare, constituie aspectul unor preocupari ale didac-
ticii moderne. Gasirea unor solutii in diferite probleme concrete presupune o activitate de
38

descoperire. Elevii pot descoperii o formula, o notiune, un principiu, o regula, o denitie
sau teorema. Elevii descoperea adevaruri deja cunoscute, deci de fapt descoperirea de
tip didactic este o redescoperire. invatarea prin descoperire se aseamana mult cu metoda
problematizari, diferenta este ca elevii trebuie sa descopere prin analiz solutii posibile la
situatia problema. Invatarea prin descoperire se poate realiza: independent, atunci cand
elevul desfasoara intreaga activitate iar profesorul doar urmareste desfasurarea acesteia
sau dirijat, atunci cand profesorul coordoneaza intreaga activitate.
Metoda descoperirii dirijate este folosita des in cadrul orelor de matematica vcand
dirijarea de catre profesor a activitatii elevului se realizeaza intr-o mica masura; elevii
prin efort personal, prin analiza, sinteza, inductie, generalizare, analogie sunt lasati sa
desco[pere o teorema, o demonstratie, un algoritm de calcul.
Exemplu . Sa se determine restul impartirii polinomului f=X3+ 2X26X+ 1 la
polinomulg=x2. Generalizati rezolvarea. Elevii a
andu-se in fata unei situatii- prob-
lema pot efectua impartirea sau pot folosi teorema impartirii cu rest pentru determinarea
restului impartirii. Profesorul insista sa se utilizeze teorema impartirii cu rest.
Se obtinef=g
q+r;grad (r)<grad (g) decif= (x2)q+rprin calcularea valorii
polinomului f in 2 se obtine f(2) =rdeci r=9. Prin generalizarea acestei probleme se
obtine exact demonstratia Teoremei restului.
6.3.3 Modelarea matematica
Modelarea matematica este o metoda pedagogica prin care gandirea elevului este con-
dusa la descoperirea adevarului cu ajutorul modelului, avand la baza rationamentul prin
analogie.
Modelele pot  clasicate in :
modele materiale care se folosesc sub forma de machete, dar pot  si ilustrate in
lm, tv, video sau softuri pentru computere;
modele ideale: grace, logice, matematice (Ardelean L, Secelean,N., 2007, p.118)
6.3.4 Metoda invatarii pe grupe.
Metoda invatarii pe grupe consta in faptul ca serie de sarcini de lucru sunt executate
de grupul de elevi si presupune o activitate comuna in cadrul grupului. Prin munca
in grup se urmareste pe langa educarea elevului in spiritul muncii sociale, dezvoltarea
responsabilitatilor individuale cu efect asupra grupului.
39

Se utilizeaza din ce in ce mai mult aceasta metoda aducand efecte benece asupra
formarii grupului de elevi,dezvoltarea cooperarii, negocierii, analizei.Criteriile de formare
sunt: omogenitatea, eterogenitatea, criteriul afectiv. Grupele omogene contin elevi de
acelasi nivel de pregatire, cele eterogene sunt formate din elevi de toete categoriile iar
cele alcatuite pe criteriul afectiv sunt bazate pe prietenii, vecinatatea in banca sau de
domiciliu, preocupari comune.
Numarul de elevi dintr-un grup variaza de la 2 la 10, randamentul maxim este oferit
de grupurile de 4-6 elevi.
Activitatea pe grupe presupune urmatoarele etape:
repartizarea materialului pe grupe;
munca independenta a grupului;
discutia in comun a rezultatelor
. Sarcinile de lucru pot sa difere in functie de tipul grupelor: la grupe omogene se
vor repartiza sarcini corespunzatoare nivelului de omogenitate; in celelalte cazuri se dau
sarcini echivalente tuturor grupelor cu sarcini suplimentare pentru polii grupului.
La sfarsitul activitatii solutiile se prezinta pe tabla, se poarta discutii privind corec-
titudinea variantelor de rezolvare. Rolul profesorului este de a incita la discutii in scopul
dezvoltarii de rationamente si de a trage concluziile in incheiere. (Ardelean, L.,Secelean,
N.,2007,p.112).
6.3.5 Algoritmizarea
Este o metoda folosita frecvent in cadrul orelor de matematica. Algoritmizarea presupune
existenta unor scheme logice care sa permita rezolvarea unor sarcini de lucru.
Algoritmizarea reprezinta o metoda didactica de invatamant care angajeaza un lant
de exercitii dirijate, la nivelul unei scheme de actiune didactica standardizata, care ur-
mareste indeplinirea unor sarcini de instruire in limitele demersuluio prescris de profesor
(Ardelean, L.,Secelean, N.,2007,p.132).
Exemplu
Transpunerea procedurii de rezolvare a ecuatiei de gradul al doilea intr-un algoritm a
carui schema logica este:
6.3.6 Instruirea programata
instruirea programata reprezinta o metoda de invatamant care organizeaza actiunea di-
dactica aplicand criteriile ciberneticii la nivelul activitatii de predare-invatare-evaluare ,
40

conceputa ca un sistem dinamic si complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente si
interrelatii (Ardelean, L.,Secelean, N.,2007,p.137)
6.3.7 Softuri educationale
Softurile educationale sunt de asemenea metode didactice folosite in procesul predarii
invatarii matematicii. Sunt programe interactive prin care exersarea se face nu numai
prin exercitii si probleme ci si prin jocuri educationale interactive. Contin module de
predare care ajuta elevul sa-si reaminteasca lectia predata in clasa. Contin teste pe
nivele de dicultate, respectiv sinteze la sfarsit de capitol. Aceste softuri educationale
sunt ideale pentru pregatirea evaluarii la sfarsitul unitatii de invatare; asociaza notiunile
teoretice cu elementele din viata reala; sunt atractive pentru elevi dobandind astfel intr-un
mod placut notiuni de matematica.
6.4 metode activ-participative utilizate in lectiile de matemat-
ica
bla bla
6.4.1 Investigatia
Investigatia ofera posibilitatea elevului de a aplica in mod creativ cunostintele insusite
in situatii noi si variate. Metoda presupune denirea unor sarcini de lucru cu instruc-
tiuni precise si intelegerea acesteia de catre elevi inainte de a trece la rezolvarea propriu
zisa. Prin aceasta metoda elevul demonstreaza si exerseaza totodata, o gama larga de
cunostinte si capacitati in contexte variate.
Investigatia ofera elevului posibilitatea de a se implica activ in procesul de invatare.
Stimuleaza initiativa elevilor pentru luarea deciziilor, ofera un nivel de intelegere mult
mai profund a evenimentelor si fenomenelor studiate, motiveaza elevii in realizarea ac-
tivitatilor propuse.
Prin realizarea unei investigatii pot  urmarite urmatoarele elemente esentiale:
intelegerea si claricarea sarcinii de lucru;
identicarea procedeelor pentru obtinerea informatiilor necesare;
colectarea si organizarea datelor sau informatiilor necesare;
formularea si testarea unor ipoteze de lucru;
41

schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, daca este
necesar;
colectarea altor date, daca este necesar;
motivarea optiunii pentru anumite metode fofosite in investigatie;
scrierea /prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigatiei
Demersul investigatiei poate  raportat la trei etape esentiale care trebuie parcurse:
denirea problemei
alegerea metodei/metodologiei adecvate;
identicarea solutiilor
Sarcinile de lucru adresate de catre profesor in realizarea unei investigatii pot varia ca
nivel de complexitate a cunostintelor si competentelor implicate (Ardelean, L.,Secelean,
N.,2007,p.140)
6.4.2 Proiectul
Metoda proiectului inseamna realizarea unui produs, ca urmare a colectarii si prelucrarii
de date referitoare la o tema xata anterior. Este activitatea cel mai pregnant centrata
pe elev. Este un produs al imaginatiei acestora, menit sa permita folosirea libera a
cunostintelor insusite, intr-un context nou si relevant. Este o activitate personalizata,
elevii putand decide nu numai asupra continutului, dar si asupra formei de prezentare.
Proiectul incepe in clasa, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinilor de lucru.In
afara orelor de curs, dar sub indrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de
lucru si xeaza termenele pentru diferite etape ale proiectului.
Dupa corelarea datelor si organizarea materialului, proiectul se incheie in clasa prin
prezentarea rezultatelor obtinute.
6.5 Metode interactive de grup utilizate in lectia de matematica
In ultima perioda, ca urmare a aplicarii reformei scolare s-a diminuat utilizarea metodelor
expozitive si a crescut ponderea celor moderne. Se pune accent pe promovarea metodelor
si tehnicilor de invatare care sa solutioneze adecvat situatiile noi de invatare, pe utilizarea
unor metode active( care sa stimuleze implicarea elevilor in activitatea de invatare ,
sa le dezvolte gandirea critica si capacitatea de adaptare la viata, sa ii antreneze in
42

activitati de investigare si cercetare directa a fenomenelor) si apelarea la metode pasive
numai cand este nevoie, pe accentuarea tendintei formativ-eductive, a metodei didactice,
pe extinderea metodelor care conduc la formarea capacitatilor de autoinstruire ce ofera
educatului autonomie in achizitionarea si prelucrarea informatiilor. Cerinte pentru ca
invatarea in clasa sa e interactiva:
elevii sa e implicati/angajati in sarcinile de invatare autentice si multidisciplinare
aprecierile sa se bazeze pe performante reale;
strategiile didactice sa aiba la baza interrelationarea reciproca;
grupurile de lucru sa e eterogene;
cadrul didactic sa e un facilitator al invatarii;
elevii sa invete cautand, desco[perind, explorand nu numai singuri ci si impreuna
feedback-ul sa e continuu, rapid si constructv (Oprea,C.L., 2009,p21)
Beneciile aduse de metodele interactive de grup sunt net superioare celor moderne ele
sunt centrate pe elev, comunicarea in cadrul lor este multidirectionala, accentul cade pe
dezvoltarea gandirii, pe formarea de aptitudini si deprinderi, incurajeaza participarea
elevilor, initiativa, creativitatea acestora. Prezentam mai jos cateva metode interactive
utilizate in lectia de matematica.Cadrul didactic este acela care are putere decizionala si
capacitatea de a alege ceea ce poate desfasura in propriul colectiv de elevi.
6.5.1 Metoda cubului
Este o metoda de explorare a unei situatii matematice din diferite perspective cognitive.
Cowan,G si Cowan, E, 1980 propun analiza unui concept sau a unei sintagme, proiectand-
o lpe sase fete ale unui cub. Fiecare fata ofera o alta perspectiva in abordarea conceptului,
punand in evidenta diferite operatii mentale.
Etapele pentru organizarea unor activitati utilizand metoda cubului sunt:
alegerea unitatii de invatare si activitatilor de invatare;
pregatirea materialului didactic: confectionarea unui cub pe ale carui fete s-au notat
sase dintre deprinderile care trebuie exersate: esctie, compara, analizeaza, asociaza,
aplica, argumenteaza.
43

organizarea colectivului de elevi prin impartirea lui in 6 grupe, ecare dintre ele
examinand tema din perspectiva cerintei de pe una din fetele cubului:
Descrie : culorile, formele, marimile
Compara: Ce este asemanator? Ce este diferit?
Analizeaza: Spune din ce este alcatuit etc.
Asociaza: La ce te indeamna sa gandesti?
Aplica: Ce poti face cu acestea?La ce se poate folosi?
Argumenteaza: Pro sau contra enumera o serie de motive care vin in sprijinul
armatiei tale.
valoricarea sarcinilor de grup: sarcina nalizata este prezentata de reprezentantul
ecarui grup intregului colectiv de elevi.
asarea formei nale pe tabla sau peretii clasei (Neagu M.,Mocanu.M., 2007, p.48)
Aceasta metoda se aplica unei clase de elevi impartit in sase grupe. Fiecare grupa isi alege
un reprezentant(lider) care va da cu zarul-cubul (ecarei fete a cubului,cadrul didactic
ii asociaza o cerinta, care trebuie neaparat sa inceapa cuvintele:"descrie", "compara",
"analizeaza", "asociaza", "aplica", "argumenteaza" ), va descoperi sarcina grupei si se va
intoarce in grupul sau cu materialul necesar rezolvarii (se, materiale didactice, culori,
etc).
Este preferabil ca elevul sa urmeze ordinea indicata mai sus (in acest sens fetele
cubului ar putea  numerotate), dar nu este obligatoriu acest lucru. Se poate incepe cu
rezolvarea sarcinii indicate pe oricare fata a cubului.
Modul de utilizare a metodei poate stimula creativitatea si originalitatea organizarii
unei lectii de catre profesor ce-si propune sa atinga competente si sa formeze atitudini,
valori, sentimente. Aceasta metoda se poate aplica la clasa in toate lectiile de consalidare
a cunostintelor , priceperilor si de recapitulare, datorita adaptabilitatii sale si impactului
pozitiv asupra elevilor.
6.5.2 Metoda R.A.I. (round associated ideas)
Are la baza stimularea si dezvoltarea capacitatilor elevilor de a comunica, prin intrebari si
raspunsuri, ceea ce tocmai au invatat. Denumirea provine de la initialele RASPUNDE-
ARUNCA-INTEROGHEAZA si se desfasoara astfel: la sfarsitul unei activitatii,
cadrul didactic impreuna cu elevii, investigheaza rezultatele obtinute in urma invatarii,
44

printr-un joc de aruncare a unei mingi de la un copil la altul. Cel care arunca mingea
trebuie sa puna o intrebare din lectia invatata celui care o prinde. Cel care prinde mingea
raspunde la intrebare si apoi arunca mai departe altui coleg, punand o noua intrebare.
Evident cel care intreaba trebuie sa cunoasca si raspunsul la intrebarea adresata. Elevul
care nu cunoaste raspunsul iese din joc, iar raspunsul va veni din partea celui care a pus
intrebarea. Acesta are ocazia de a arunca inca o data mingea si, deci, de a mai pune
o intrebare. In cazul in care cel care interogheaza este descoperit ca nu stie raspunsul
la intrebare, este scos din joc, in favoarea celui caruia i-a adresat intrebare. Eliminarea
celor care nu au raspuns corect sau a celor care nu au dat raspuns, conduce treptat la
ramanerea in grup a celor mai bine pregatiti.
Metoda R.A.I. :
poate  folosita la sfarsitul lectiei, pe parcursul ei sau la inceputul ei (in scopul
descoperirii de catre cadrul didactic a eventualelor lacune in cunostintele copiilor si
a reactualizarii lor;
este o metoda de a realiza un feed-back rapid, intr-un mod placut, energizant sai
mai putin stresand decat metodele clasice de evaluare;
se desfasoara in scopuri constatativ – ameliorative si nu in vederea sanctionarii;
permite reactualizarea si xarea cunostintelor dintr-un domeniu, pe o tema data
imbina cooperarea cu competitia
exerseaza abilitatile de comunicare interpersonala, capacitatile de a formula intre-
bari si de a gasi cel mi potrivit raspuns;
incurajeaza chiar si pe cei mai timizi copii pentru ca sunt antrenati in acest joc cu
mingea, astfel ei comunica cu usurinta si participa cu placere la activitate.
. Exista un oarecare suspans care intretine interesul pentru metoda R.A.I. . Tensiunea
este data de faptul ca elevii nu stiu la ce intrebari sa se astepte din partea colegilor, dar
si din faptul ca nu stiu daca mingea le va  adresata sau nu. Aceasta metoda este un
exercitiu de promptitudine, atentia participantilor trebuie sa ramana permanent treaza
si distributiva. Metoda RAI poate  organizata cu toata clasa sau cu grupe mici, ecare
detinand o minge. Membrii grupurilor se autoelimina treptat, ramanand cel mai bun din
grup. Acesta intra in nala castigatorilor de la celelalte grupe, jocul desfasurandu-se pana
la ramanerea in cursa a celui mai bine pregatit. Intrebarile pe care le pun elevii colegilor
se pot redacta pe biletele, pe care acestia sa le extraga la inceputul activitatii. In acest
45

fel , se castiga timp, poate  cuprinsa o ariew mai larga de cunostinte, se evita repetitia.
Cadrul didactic supravegheaza desfasurarea jocului si in nal lamureste problemela la care
nu s-au gasit solutii. Metoda R.A.I. poate  folosita si pentru vericarea cunostintelor pe
care copii le-au dobandit independent. Accentul se pune pe ceea ce s-a invatat si pe ceea
ce se invata in continuare prin intermediul crearii de intrebari si de raspunsuri.Ar trebui
folosite la inceput intrebari cu grad de dicultate mic pentru a verica cunostintele de
baza dintr-o unitate de invatare , iar apoi intrebari cu grad de dicultate din ce in ce mai
mare.
Puncte tari
completeaza eventualele lacune in cunostintele elevilor;
are rol de xare si consolidare a cunostintelor predate.
Puncte slabe
elevii sunt tentati sa-i scoata din joc pe unii colegi sau sa se razbune pe altii,
adresandu-i intrebari prea dicile pentru ei;
elevii scosi din joc pot sa devina dezinteresati de joc si nu se mai creeaza feed-backul;
cunostintele vericate sunt in general teoretice si nu practice
Exemplu: Unitatea de invatare: Operatii cu polinoame-recapitulare si sistematizare-
clasa a XII-a
Sarcina didactica: Sa formuleze intrebari clare pe intelesul colegilor utilizand cunos-
tintele referitoare la operatiile cu polinoame.
Material didactic : Mingea
Regula jocului:
un elev arunca mingea altui elev, formuland o intrebare;
cel care prinde mingea raspunde la intrebare, apoi o arunca mai departe altui elev,
punand o noua intrebare;
elevul care nu stie iese afara din joc, la fel si cel care este descoperit ca nu stie
raspunsul la propria intrebare.
Exemple de intrebari
Ce operatii cu polinoame cunoastem?
Cum se aduna doua polinoame?
46

Cum se inmultesc doua polinoame?
Care sunt proprietatile adunarii/ inmultirii polinoamelor?
Enuntati teorema impartirii cu rest?
Enuntati teorema restului?
Cum determinati restul impartirii unui polinom f la un polinom g=X1?Recom-
pensa: Fiecare elev va  recompensat cu cate un ecuson pe care scrie "Expert in operatii
cu polinoame"
6.5.3 Metoda JIGSAW(MOZAICUL)
Jigsaw sau "metoda grupurilor interdependente (Neculau Adrian, Boncu St,1998,apud
Oprea C.L.,2007,p.7)" este o strategie bazata pe invatarea in echipa (team-learning).
Fiecare elev are o sarcina de studiu in care trebuie sa devina expert. El are in acelasi
timp si responsabilitatea transmiterii informatiilor asimilate, celorlalti colegi.
In cadrul acestei metode rolul cadrului didactic este mult diminuat, el intervine sem-
nicativ la inceputul lectie cand imparte elevii in grupurile de lucru si traseaza sarcinile
si la sfarsitul activitatii cand va prezenta concluziile activitatii.
Exista mai multe variante ale metodei mozaic, dar varianta standard a acestei metode
se realiozeaza in cinci etape. Etapele metodei mozaicului
1.Pregatirea materialului de studiu:
Profesorul stabileste tema de studiu si o imparte in 4- sau 5 subteme. Poate
stabile pentru ecare subtema, elementele principale pe care trebuie sa puna
accentul elevul, atunci cand studiaza materialul in mod independent. Acestea
pot  formulate e sub forma de intrebari, e armativ, e un text eliptic care
va putea  completat numai atunci cand elevul studiaza materialul.
realizeaza o sa expert in care trece cele 4 sau 5 subteme propuse si care va
oferita ecarui grup.
2.Organizarea colectivului in echipe de invatare de catre 4-5 elevi
Fiecare elev din echipa, primeste un numar de la 1 la 4-5 si are ca sarcina sa
studieze in mod independent, subtema corespunzatoare numarului sau.
El trebuie sa devina expert in problema data. De exemplu, elevii cu numarul
1 din toate echipele de invatare formate, vor aprofunda subtema cu nularul 1.
Cei cu numarul 2 vor studia tema cu numarul 2, si asa mai departe
47

Fiecare elev studiaza subtema lui, citeste textul corespunzator. Acest studiu
independent poate  facut in clasa sau poate constitui o tema de clasa, realizata
inaintea organizarii mozaicului.
3.Constituirea grupurilor de experti.
Dupa ce au parcurs faza de lucru independent, expertii cu acelasi numar se reunesc,
constituind grupurile de experti pentru a dezbate problema impreuna. Astfel , elevii
cu numarul 1, parasesc echipele de invatare initiale si se aduna la o masa pentru a
aprofunda subtema cu numarul 1. La fel procedeaza si ceilalti elevi cu numerele 2,
3, 4 sau 5. Daca grupul de experti are mai mult de 6 membrii, acestea se divizeaza
in doua grupuri mai mici.
Elevii prezinta un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au
loc discutii pe baza datelor si materialelor avute la dispozitie, se adauga elemente
noi si se stabileste modalitatea in care noile cunostinte vor  transmise si celorlalti
membrii din echipa initila. Fiecare elev este membru intr-un grup de experti si
face parte dintr-o echipa de invatare. Din punct de vedere al angajamentuilui zic,
mesele de lucru ale grupului de experti trebuie plasate in diferite locuri ale salii de
clasa, pentru a nu se deranja reciproc. Scopul comun al ecarui grup de experti
este sa se instruiasca cat mai bine, avand responsabilitatea propriei invatari si a
predarii si invatarii colegilor din echipa initiala.
4.Reintoarcerea in echipa initiala de invatare Expertii transmit cunostintele
asimilate , retinand la randul lor cunostintele pe care le transmit colegii lor, experti
in alte subteme. Modalitatea de transmitere trebuie sa e scurta, concisa, atractiva,
putand  insotita de suporturi audio-vizuale, diverse materiale. Specialistii intr-o
subtema pot demonstra o idee, citi un raport, fofosi computerul, pot ilustra ideile
cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotograilor. Membrii sunt stimulati sa discute,
sa puna intrebari si sa-si noteze, ecare realizand propriul plan de idei.
5.Evaluarea Grupele prezinta rezultatele intregii clase. In acest moment elevii sunt
gata sa demonstreze ce au invatat. Profesorul poate pune intrebari, poate cere un
raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare ecarui elev o sa de evaluare. Daca
se recurge la o evaluare orala, atunci ecarui elev i se va adresa o intrebare la care
trebuie sa raspunda fara ajutorul echipei.
Puncte tari
48

Strategia mozaicului este focalizata pe dezvoltarea capacitatilor de ascultare, vor-
bire, cooperare, re
ectare, gandire creativa si rezolvare de probleme. Astfel elevii
trebuie sa asculte activ comunicarile colegilor, sa e capabili sa expuna ceea ce
au invatat, sa coopereze in realizarea sarcinilor, sa gaseasca cea mai potrivita cale
pentru a-i invata si pe colegii lor ceea ce au studiat;
stimuleaza increderea in sine a elevilor;
dezvolta abilitatile de comunicare argumentativa si de relationare in cadrul grupului;
dezvolta raspunderea individuala si de grup;
optimizeaza invatarea prin predarea achizitiilor altcuiva (Oprea.C., 2003,p.9)
Puncte slabe:
Materialul propus pentru invatare poate  prea dicil/usor pentru anumiti elevi ceea
ce creeaza sentimente de superioritate/inferioritate la elevi. Poate dezvolta la elevi o
stare de anxietate legata de continutul invatat.
Exemplu1
Etape:
1. Stabilirea temei de studiu : Ecuatii algebrice cu coecienti reali- lectie de consolidare
la clasa a XII-a.
Alegerea subtemelor de studiu corespunzatoare celor 4 etape:
(a) Ecuatii algebrice cu coecienti in Z,
(b) Ecuatii algebrice cu coecienti in Q;
(c) Ecuatii algebrice cu coecienti in R;
(d) Ecuatii algebrice cu coecienti in Zn
2. Organizarea colectivului in echipe de invatare de catre 4 elevi.
Impartirea clasei in grupuri de 4 elevi, ecare dintre acestia primind cate o sa de
invatare numerotata de la 1 la 3. Fiecare elev din echipa primeste cate un numar de
la 1 la 4 si are ca sarcina sa studieze in mod independent subtema corespunzatoare
numarului sau pentru a deveni expert in probleme data. Astfel, elevii cu numarul
1 studiaza subtema a), elevii cu numarul 2 studiaza subtema b), elevii cu numarul
3 studiaza subtema c), iar elevii cu numarul 4 studiaza subtema d).
49

Se prezinta succint subiectul tratat. Se explica sarcinile de lucru si modul in care se
va desfasura activitatea proiectata pentru lectia urmatoare. Fiecare elev primeste
ca tema pentru acasa sa studieze tema de pe o sa de lucru si sa devina expert in
domeniu.
3. Constituirea grupurilor de experti.
Dupa parcurgerea fazei de lucru independent, expertii cu acelasi numar se reunesc,
constituind grupe de experti pentru rezolvarea sarcinii impreuna.
Are loc faza discutiilor in grupul de experti in care elevii prezinta ecare ceea ce stie
despre notiunea avuta spre studiu, au loc discutii, se rezolva sarcinile respective si
se stabileste modalitatea in care noile cunostinte vor  transmise celorlalti membri
din echipa initiala. Se pot folosi desene, simboluri matematica.
4. Reintoarcerea in echipa initiala.
Are loc faza raportului de echipa in care expertii transmit cunostintele asimilate,
retinanad la randul lor cunostintele pe care le-aau transmis colegii lor, experti in
alte subteme.
Membrii din echipele initiale de invatare discuta intre ei, pun intrebari pentru a-si
clarica anumite lucturi.
Daca sunt neclaritati, se adreseaza intrebari expertului. Daca neclaritatile persista
se pot adresa intrebari si celorlalti membri din grupul de experti pentru sectiunea
respectiva. In ecare grup sunt "predate" astfel cele patru secvente ale lectiei.
In acest fel ecare elev devine responsabil pentru propria invatare, cat si pentru
transmiterea corecta si completa a informatiilor.
5. Evaluarea
In cadrul acestei etape are loc faza demonstratiei in care rezultatele grupelor se
prezinta intregii clase. Se trece in revista materialul dat prin prezentarea cu toata
clasa, cu toti participantii. Se alege cate o problema pentru ecare subtema si se
rezolva.
Fisa expert 1
Subtema 1: Ecuatii algebrice cu coecienti intregi
Fisa expert 2
Subtema 2: Ecuatii algebrice cu coecienti rationali
Fisa expert 3
50

Subtema 3: Ecuatii algebrice cu coecienti reali
Fisa expert 4
Subtema 4: Ecuatii algebrice cu coecienti in Zn
6.5.4 Metoda PIRAMIDEI
Metoda piramidei sau metoda bulgarelui de zapada are la baza impletirea activitatii
individuale cu cea desfasurata in mod cooperativ, in cadrul grupurilor. Ea consta in
incorporarea activitatii ecarui membru al colectivului intr-un demers colectiv mai amplu,
menit sa duca la solutionarea unei sarcini sau a unei probleme.
Fazele de desfasurare a metodei piramidei:
1. Faza introductiva: profesorul expune datele problemei in cauza;
2. Faza lucrului individual: elevii lucreaza pe cont propriu la solutionarea problemei
timp de 5 minute. In aceasta etapa se noteaza intrebarile legate de subiectul tratat.
3. Faza lucrului in perechi: elevii formeaza grupe de doi elevi pentru a discuta rezul-
tatele individuale la care a ajuns ecare. Se solicita raspunsuri la intrebarile indi-
viduale din partea colegilor si , in acelasi timp, se noteaza daca apar altele noi.
4. Faza reuniunii in grupuri mari. De obicei se alcatuiesc doua mari grupe, aproximativ
egale ca numar de participanti, alcatuite din grupele mai mici existente anterior si
se discuta despre solutiile la care s-a ajuns. Totodata se raspunde la intrebarile
nesolutionate.
5. Faza raportarii solutiilor in colectiv. Intreaga clasa , reunita, analizeaza si con-
cluzioneaza asupra ideilor emise. Acestea pot  trecute pe tabla pentru a putea
 vizualizate de catre toti psrticipantii si pentru a  comparate. Sa lamuresc si
raspunsurile la intrebarile nerezolvate pana in aceasta faza, cu ajutorul conduca-
torului (profesorul).
6. Faza decizionala. Se alege solutia nala si se stabilesc concluziile asupra demer-
surilor realizate si asupra participarii elevilor la activitate.
Ca si celelalte metode care se bazeaza pe lucrul in perechi si in colectiv, metoda
piramidei are avantajele stimularii invatarii prin cooperare, al sporirii increderii in fortele
proprii prin testarea ideilor emise individual, mai intai in grupuri mici si apoi in colectiv.
Dezvolta capacitatea de a emite solutii inedite la problemele si sarcinile aparute, precum
si dezvoltarea spiritului de echipa si intrajutorare.
51

Dezavantajele inregistrate sunt de ordin evaluativ, deoarece se poate stabili mai greu
care si cat de insemnata a fost contributia ecarui participant (Oprea,C.L.,2003,p.31).
Aceasta metoda poate  utilizata in rezolvarea problemelor cu mai multe cai de re-
zolvare si a caror rezolvare presupune rezolvarea mai multor operatii.
Exemplu:
Etape:
1. Faza introductiva: Se prezinta problema. Sa se determine parametrii reali m,n stiind
ca polinomul f=X43X3+nX2+mX+nse divide cu polinomul g=X21
2. Faza lucrului individual. Elevii au lucrat pe cont propriu la solutionarea problemei
timp de 5 minute
3. Faza lucrului in perechi . Elevii au format grupe de doi elevi, constituite din colegii
de banca pentru a discuta rezultatele individuale la care a ajuns ecare
4. Faza reuniunii in grupuri mai mari. S-au format, progresiv, grupe de cate 4 , apoi
de cate 8 elevi si au discutat problema, au vericat solutiile gasite
5. Faza raportarii solutiilor in colectiv. Solutiile gasite s-au scris pe tabla si s-au
vericat colectiv.
6. Faza decizionala . Se pastreaza doar solutiile care reprezinta rezolvarea corecta a
problemei.
Varianta 1
Stiind ca f este divizibil cu g si g= (X1)(X+ 1) obtinem ca :(1)=f+ (X
1)=f+ (X)
(f(1) = 0
f(1) = 0))(m+ 2n= 2
m=4)(m+ 2n= 2
m= 4)(n=1
m= 4
Varianta 2
Se efectueaza impartirea efectiv intre cele doua polinoame
6.5.5 Metoda BRAINSTORMING
Metoda brainstorming este o metoda de stimulare a creativitatii ce consta in enuntarea
spomtana a cat mai multor idei pentru solutionarea unei probleme intr-o atmosfera lipsita
de critica.
Folosirea acestei metode impune participarea activa a elevilor, dezvolta capacitatea
de a formula intrebari, de a argumenta, de a cauta si gasi solutii, de a lua decizii, in
52

ceea ce priveste alegerea unor cai de lucru; se exerseaza atitudinea creativa si exprimarea
personalitatii.
Metoda se desfasoara in grupuri de 5-20 elevi. Durata optima de timp pentru elevi
este de 20 minute in functie de problema supusa dezbaterii si de numarul de elevi care
fac parte din grup.
Se impune respectarea unor cerinte/ reguli si ele vizeaza:
– selectarea problemei propuse in discutie (sa reprezinte interes de studiu si dezbatere
din partea copiilor;
-crearea unui mediu educational corespunzator stimularii creativitatii;
-admiterea de idei in lant, pornind de la o idee se pot rezolva altele prin combinatii ,
asociatii; -implicarea activa a tuturor participantilor;
-inregistrarea exacta a ideilor in ordinea prezentata;
-amanarea aprecierilor si a evaluarii ideilor emise.
Etapele metodei:
-alegerea temei si a sarcinii de lucru;
-solicitarea exprimarii intr-un mod cat mai scurt si corect a frazelor, fara cenzura,
a tuturor ideilor "Traznite" ori neobisnuite , fanteziste asa cum le vine in minte; intr-
un astfel de caz ne bazam pe "cantitatea genereaza calitatea"; se pot face asociatii in
legatura cu armatiile celorlalti, se pot prelua, completa sau transforma ideile de grup,
dar sub niciun motiv, nu se vor admite referiri critice, nimeni nu are voie sa faca observatii
negative;
– inregistrarea tuturor ideilor in scris sau video;
-anuntarea unei pauze pentru asezarea ideilor (de la 1-2 zile pentru a vorbi intre ei
ori in familie sa isi lamureasca opiniile personale);
-reluarea ideilor pentru a  grupate pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, imagini care
reprezinta posibile criterii;
-analizeaza, critica, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise ante-
rior, la nivelul clase;
-selectionarea ideilor originale sau a celor apropiate de solutii fezabile pentru problema
sau tema pusa in discutie;
-asarea ideilor rezultate in forme cat mai variate si originale: imagini, desene, cantece,
joc de rol, colaje, etc. (Brebene,S.,Gongea, E.,Ruiu,G.,Fulga,M.,2002) Exemplu
Etape:
1.Alegerea temei Rezolvarea unor ecuatii algebrice de grad superior cu coecienti in
C – Recapitulare – clasa a XII-a. Sarcina de lucru: Completeaza textul problemei
53

urmatoare cu cat mai multe cerinte adaugand sau nu valori pentru m si n:
Fie polinomul f=X4+mX3+nX2+mX+ 1 = 0;m;n2C.
2. Solicitarea exprimarii intr-un mod cat mai rapid a cerintelor compuse , fara cenzura
a ideilor, asa cum vin ele in minte. Nimeni nu are voie sa faca observatii negative.
3. Fiecare elev gandeste timp de 10 minute si scrie cerintele pe un biletel primit ante-
rior.
4. La expiratea celor 10 minute , toti elevii clasei vin si lipesc biletelele pe plansa pe
care era scris textul incomplet al problemei.
5. Analiza critica, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise ante-
rior, la nivelul clasei.
Exemple de cerinte compuse:
1)Calculati f(0);f(1);
2) Determinati m si n stiind ca polinomul se divide cu polinomul g=X21 3) Pentru
m=n=0 rezolva ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie binoma)
4) Pentru m=1,n=2 rezolvati ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie reciproca de gradul
4)
5) Pentru m=0 si n=2 rezolvati ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie bipatrata)
6) Pentru ce valori ale lui m si n ecuatia f(x) = 0 admite radacini intregi;
7) Vericati daca 1 este radacina a ecuatiei f(x) = 0.
54

7 Cercetarea pedagogica
7.1 Delimitare problemei de cercetat
Se observa ca in ultimul deceniu s-a pus accent pe metodele activ-participative de predare
invatare. Intrebarea care intervine cand aplicam o strategie noua este daca intradevar
metodele de predare invatare activ participative optimizeaza invatarea la elevii de liceu.
Pentru a  motivati sa invate, elevii trebuie implicati in desfasurarea lectiilor in clasa.
Elevii nu vor  motivati sa invete daca se a
a intr-o pozitie de asteptare pasiva (spectatori
) in clasa. Ar trebui sa e participanti activi in timpul invatarii.Problema cercetarii
consta in studiul ce isi propune sa urmareasca modicarile comportamentale cognitive
si psihomotorii ale elevilor in cazul utilizarii unor metode de predare activ participative
pentru maximizarea invatarii.
Stabilirea ipotezei de lucru si obiectivele cercetarii
Pentru stabilirea ipotezei de cercetare am urmarit sa raspund la urmatoarele intrebari:
– Ce ii determina pe elevi sa invete?
– Care sunt obiectivele lor de invatare?
– Cand metodele de predare oferite dau randament?
In realizarea procesului de cercetare am pornit de la urmatoarea ipoteza: " Utilizarea
metodelor moderne de predare/ invatare cresc randamentul si interesul elevului pentru
invatare? "
Obiectivele cercetarii
1. Identicarea stilurilor de ^ nv at are ale elevilor; 2. ^Indrumarea elevilor pentru a ^ nt elege
modul ^ n care ^ nvat  a  si oferirea de oportunitat i de ^ nvat are; 3. Introducerea de strategii
de predare care sa corespunda stilurilor individuale de invatare, astfel incat elevii sa-si
formeze un sistem de capacitati de munca scolara ca de exemplu:
capacitatea de a se concentra in perioada predarii;
scurtarea perioadei de acomodare cu o activitate noua;
insusirea deprinderii de studiu individual, deprinderea de a lucra in grup, de a
colabora la nivelul grupului si de a-si asuma raspunderii;
dezvoltarea exprimarii matematice in diverse situatii;
formarea deprinderii de a redacta singur sau cu ajutor o rezolvare de problema;
formarea deprinderii de a urmari argumentarea unui coleg, de a participa la com-
petent la discutie;
55

formarea deprinderii de autoevaluare a muncii si de control reciproc, de a aprecia
corect timpul necesar efectuarii unei lucrari.
Realizarea acestor obiective este conditionata de indeplinirea urmatoarelor conditii:
Trecerea activitatilor didactice din responsabilitatea profesorului pe seama elevilor,
pentru care lectia trebuie sa devina o activitate proprie, dar coordonata de profesor.
acordarea prioritatilor sarcinilor formative in raport cu cele informative, fara a
afecta volumul de notiuni si cunostinte transmise elevilor.
formarea intre profesor si elev a unor relatii de cooperare, bazate pe comunicarea
reala, pe incredere reciproca, pe participarea efectiva la descoperire, aplicarea cunos-
tintelor si rolul lor.
Organizarea cercetarii
Tipul cercetarii: aplicativ-ameliorativa;
Perioada de cercetare: anul scolar 2018-2019
Locul de desfasurare: Liceul Tehnologic Constructii de masini Mioveni
Disciplina de invatamant: Matematica
Am folosit in cercetare clasele a XII B, si a XII C.
Se stie ca nu se poate interveni in modicarea inteligentei elevilor, dar acestia pot
motivati sa invete si sa-si insuseasca minimul de cunostinte necesare dintr-un anumit
domeniu. Pentru aceasta se impune proiectarea unor lectii cu ajutorul carora sa se de-
plaseze accentul de la activitatea de predare/invatare la munca efectiva a elevilor, de
a invata elementele esentiale ale lectiei, sub indrumarea competenta a profesorului. Ca
orice cercetare complexa presupune fofosirea unui complex de metode de investigare.
Metode de cercetare folosite :
1. Metoda de baza a fost cea experimentala cu anumite particularitati. Fiind vorba de
un experiment integrat in procesul de invatamant, el a fost transformat treptat intr-o
activitate caracterizata prin naturalete si obisnuit. Cercetarea a avut caracterul unui
experiment de instruire care se va desfasura ca o activitate formativa cu elevii din liceu.
2. Metoda chestionarului vizand stabilirea stilurilor de invatare a elevilor, pentru a a
a
modul de interactiune la nivelul grupului de lucru.
3. Metoda observarii a fost utilizata pentru cunoasterea diferitelor aspecte ale activitatii
elevilor la lectii, pentru luarea unor decizii privind desfasurarea ulterioara a experimen-
tului, in functie de constatarile facute. Aceasta a vizat actiunea mecanismelor invatarii,
procesul dezvoltarii motivatiei, gradul de asimilare a unor modele, norme , valor, in con-
formitatate cu programele scolare.
56

4. Studiul documentelor scolare si a produselor activitatii elevilor s-a referit la cerc-
etarea cataloagelor, programei, manualului, la studierea frecventa a situatiei ecarui elev,
a portofoliului acestuia, a lucrarilor efectuate. Datele obtinute prin cercetarea docu-
mentelor scolare mi-au permis sa fac aprecieri asupra evolutiei elevilor, cercetarea nea-
junsurilor si emiterea de noi ipoteze de lucru.
5. Metoda testelor vizand evaluarea formativa si sumativa a progresului inregistrat de
catre elevvi
6. Metode de masurare a rezultatelor cercetarii, de prelucrare si interpretare a datelor
(numararea, intocmirea tabelelor de rezultate si consemnarea datelor in foile de obser-
vatie dupa administrarea probelor si inregistrarea performantelor, tabele analitice, tabele
sintetice, reprezentari grace))
Stabilirea esantioanelor de subiecti cuprinsi in cercetare
Asa cum am mentionat cercetarea se realizeaza cu clasele XIIb, si XII C. Clasa a XIIB
va  clasa de control iar clasa XIIC va indeplini functia de esantion experimental.
Caracterizarea subiectilor
Clasa a XIIB la inceputul anului scolar 2018-2019 este formata din 29 elevi (20 baieti si
9 fete) cu varste cuprinse inte 18-19 ani. Din punct de vedere al provenientei socioprofe-
sionale, majoritatea provin din familii de muncitori. Ca mediu de provenienta colectivul
este format din 20 elevi din mediul urban (Mioveni) iar 9 elevi din mediul rural. Clasa
a XIIE la inceputul anului scolar 2018-2019 este formata din 30 elevi (20 baieti, 10 fete)
. Elevii acestei clase fac parte in general din familii monoparentale, in general parintii
sunt someri sau liber profesionisti.Colectivul este format din 25 elevi din mediul rural si
restul din mediul urban. Pentru o mai buna cunoastere a colectivului de elevi , s-a avut
in vedere dimensiunea sociala si dimensiunea psihologica. Relatiile elevului cu grupul
social careia ii apartine (clasa din elevi) au o importanta deosebita asupra evolutiei per-
sonalitatii sale, cat si asupra randamentului invatarii.
Etapele cercetarii
57

References
[1] Burtea M.Burtea G., Matematica. Manual pentru clasa a XII . Ed. Carminis, Pitesti,
1994 2
[2] Panaitopol L.,Draghicescu I.C., Polinoame si ecuat ii algebrice . Ed. Albatros, 1980, 3
[3] Radu N., Inv atare  si g^ andire , Ed. S tiint ic a  si enciclopedic a,Bucure sti , 1976
58