Metode Și Procedee Euristice În Rezolvarea Problemelor de Geometriedoc

=== Metode și procedee euristice în rezolvarea problemelor de geometrie ===

Metode și procedee euristice în rezolvarea problemelor de geometrie

Metoda euristică reprezintă o cale de rezolvare a unei probleme nonstandard, cu caracter general fiind alcătuită din mai multe procedee. Metodele și procedeele euristice sunt cele pe care elevii le învață în mod organizat sau pe cale empirică, astfel încât să le poată utiliza în rezolvarea de probleme cu caracter nonstandard.

Din punct de vedere psihologic, procedeele euristice sunt sisteme operaționale plastice, de tipul punerii de noi probleme, a investigației, a explorării și ipotezei, a contrazicerilor față de ceea ce se consideră a fi un adevăr.

Mai jos este prezentată o clasificare exemplificată a metodelor și procedeelor euristice:

1) Analogia – legătura comună între două sau mai multe situații. Metoda analogiei are în vedere asemănări exterioare ce există între siteme de elemente pe baza cărora se fac asociații, se emit ipoteze. Se utilizează mai ales în următoarele situații:

 Clarificarea analogiilor: două sisteme sunt analoage dacă ele concordă prin prisma unor relații bine definite ale părților corespunzătoare.

Exemplu: Fie sitemul S1 constituit din laturile unui triunghi echilateral și S2

constituit din fețele unui tetraedru regulat. Între elementele celor două sisteme există relații analoage bine definite, asemănatoare.

 Metodă de raționament

Dacă S1 are proprietățile a, b, c, d și S2 are proprietățile a, b, c, atunci este foarte

probabil ca S2 să aibă și proprietatea d.

Exemplu: Dacă triunghiurile ABC și CDE sunt dreptunghice și isoscele, acestea au proprietatea comuna de a avea unghiurile respective congruente. Dacă în plus se știe că ipotenuza FB este paralelă cu ED atunci se poate gasi o astfel de relație și între ipotenuza BD și EF (Figura 1).

Figura 1

Se observă că dacă între elementele sistemului S1 au loc anumite relații atunci și între elementele sistemului S2 au loc relații asemănătoare.

Tot aici amintim analogia prin modele, accentuând faptul ca mai ales la geometrie sunt foarte importante modelele figurative. Nu de puține ori elevul caută în rezolvarea unei probleme modelul unei teoreme, a unei definiții, mergând pe ideea că dacă între două sisteme există o corespondență biunivocă atunci spunem că ele sunt modele unul pentru celălalt. Analogia mai este folosită și în găsirea unor formule analoage, unor tehnici de calcul, unor modalități de rezolvare specifice.

Exemplu: Fiind dat paralelipipedul ABCDA’B’C’D’ (Figura 2) se observă o analogie între laturile acestuia și diagonala BD’. Astfel că:

AD2  DC2  DD '2  BD '2

Figura 2

În demersul înțelegerii, elevul trebuie să-și formeze și să-și dezvolte capacități de sesizare a analogiilor. Metoda este utilizată atât în însușirea de noi cunoștințe cât și în asimilarea de noi reguli dar mai ales în rezolvarea de probleme.

2) Generalizarea și particularizarea – sunt operații ale gândirii care are legături strânse cu analogia în rezolvarea de probleme. Generalizarea constă în trecerea de la noțiuni cu o sferă mai restrânsă și un conținut mai bogat la noțiuni cu o sferă mai largă și un conținut mai restrâns.

Exemplu: Rezolvarea unei probleme prin abordarea altei probleme mai generală dar mai ușor de soluționat cum ar fi construirea unei drepte care să împartă un pătrat în două părți echivalente. Se știe că pătratul are un centru de simetrie și asta ne conduce cu gândul la o problemă mai generală. Aceasta se referă la construirea unei drepte care să împartă o figură în două părți echivalente. Se observă că prin rezolvarea problemei mai generale se soluționează și problema particulară.

Aceste metode și procedee euristice trebuie să respecte anumite standarde precum:

 Trebuie introduse în procesul de învățare astfel încât să fie privite de elev ca fiind

un mijloc nu un scop al rezolvării problemelor.

 Elevii trebuie obișnuiți să-și adreseze întrebări pentru a-și reaminti regulile

anterioare, pentru a-și dezvolta imaginația creatoare în rezolvarea problemelor.

 Metoda și procedeul euristic trebuie să aibă în comun ideea de rezolvare ghidată de strategia euristică sub îndrumările verbale.

 Odată verificate și aplicate, procedeele euristice se transformă într-o succesiune de

operații necesare în rezolvarea unei probleme oarecare.

3) Analiza prin sinteză – mod prin care un detaliu care nu poate furniza o informație, este pus în lumină prin integrarea sa în ansamblu.

De exemplu, având figura 3, dacă vrem să demonstrăm că AE=EB, comparându-le izolat ne dăm seama ca nu obținem nimic. Însă, integrate în configurația dată ele apar ca laturi ale triunghiului EFG. Folosind proprietățile unghiurilor și a arcelor se poate demonsta ușor că cele două laturi sunt egale.

Această tranziție de la laturi la unghiuri, apoi la arce și din nou la laturi reprezintă o

flexibilitate funcțională absolut necesară rezolvării problemei.

Figura 3

4) Procedeul anterior – modalitate de combinare a metodei analizei și a sintezei păstrând caracteristicile celor două.

Pentru exemplificare se prezintă o problemă de geometrie având figura 3.

Prezentarea analitică începe cu reformularea concluziei(C), patrulaterul ABCD este pătrat(Q). Pentru a arăta că propoziția (Q) este adevărată, trebuie să arătăm că

ABC 

BCD 

CDA 

DAB (R).

Mergem mai departe cu abordarea sintetică pornind de la intrebrea (I) : ”Ce ne oferă datele problemei?”. Având în vedere condiția (R), suntem conduși spre soluția (S) :

m( AB)  m(BC)  m(CD)  m( AD) . Mai jos este prezentată schema demonstrației din

punct de vedere logic formal.

Metoda analitică o regăsim și sub numele de metoda reluării problemei de la sfârșit la început. Aceasta presupune cinci faze. În primul rând considerăm ca și punct de plecare ceea ce se cere în timp ce considerăm ceea ce căutăm ca fiind gata găsit (C). După aceea investigăm de la ce antecedent poate fi dedus rezultatul asteptat, căutând succesiv

antecedentul antecedentului. Antecedentul lui ABC 

BCD 

CDA 

DAB este

m( AB)  m(BC)  m(CD)  m( AD) . Se ajunge apoi la ceva cunoscut dinainte și astfel (S) rezultă din ipoteză(I). În ultima fază, rămâne să inversăm ordinea procesului și să plecăm de la punctul în care am ajuns mergând în sens contrar.

5) Căutarea unei probleme similare (înrudite) – este unul din procedeele la care se apelează în procesul rezolutiv. Această modalitate ușurează rezolvarea mai multor probleme care au aceeași idee de rezolvare mergând pe ideea că dacă găsim modalitatea de rezolvare a uneia vom putea să le rezolvăm și pe celelalte folosind aceeași structură de rezolvare. Pentru exemplificare, se prezintă două probleme înrudite după ideea de rezolvare.

a) Fie patrulaterul ABCD. Arătați că dacă

G1 și G2

sunt centrele de greutate ale

triunghiurilor ADB, respectiv ACB, atunci G1G2 || DC (figura 4).

b) Se consideră un triunghi ABC și se notează cu G centrul său de greutate. Fie

GD || AB(D  BC) și GE || AC(E  BC). Arătați că [BD]  [DE]  [EC] (figura 5).

Figura 4 Figura 5

La prima vedere putem spune că cele două probleme par înrudite după condițiile date în ipoteză. Însă se observă că cele două probleme au și aceeași idee de rezolvare, ambele folosind proprietatea centrului de greutate.

6) Descompunere și recombinare – despărțim diverse părți ale condiției, analizăm diferite aspecte, după care recombinăm părțile într-o formă asemănătoare sau mai puțin asemănătoare decât la început.

7) Revenirea la definiții – de cele mai multe ori apelăm la acest procedeu pentru a înlocui datele tehnice cu termeni mai obișnuiți, mai apropiați de elev. De exemplu în rezolvarea problemei a), alături de proprietățile centrului de greutate folosim teorema lui Thales.

Aceste metode și procedee vin în sprijinul elevului de a găsi ideea de rezolvare, de a se apropia tot mai mult de soluție. Ele au un rol important dar nu sunt suficiente. Într-un raționament riguros trebuie să facem o distinție clară între demonstrație și presupunere pentru că intuiția și logicul se pot anticipa unul pe celălalt dar nu se pot substitui. Înainte de a ne apuca serios de demonstrație trebuie să intuim ideea acesteia. Sunt situații în care trebuie să apelăm la raționamentul reducerii la absurd prin care să arătăm falsitatea unei afirmații ajungând la o concluzie absurdă.

Bibliografie:

Florin Cîrjan, Didactica Matematicii, Editura Corint, București 2008

Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff, Probleme practice de geometrie, București 1990.

Autor: Boer Elena Milena

Școala Gimnazială Vulcan, jud. Brașov, Profesor de matematică

03.11.2015