Metode Numerice de Rezolvare a Ecuatiilor Algebrice

LUCRARE DE LICENȚĂ

Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor algebrice

CUPRINS

INTRODUCERE

În această lucrare sunt prezentate ecuațiile algebrice cu coeficienți raționali, întregi, reali, complecși, ecuația de gradul I, ecuația de gradul II, ecuațiile binome, ecuații reductibile la ecuații binome, ecuații reciproce.

De asemenea, sunt prezentate modalitățile prin care acestea se pot rezolva, metode directe și totodată simple (ecuația de gradul I, II, binome, reductibile la binome și reciproce) precum și metode mai complexe pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor algebrice (metoda Lobacevsky, Bairstow, Bernoulli).

Orice ecuație care nu are forma se numește neliniară și se exprimă sintetic:

f(x) = 0

Daca funcția f(x) are forma unui polinom sau poate fi adusă la această formă, ecuația se numeste algebrică.

În  caz contrar, când f(x) are o formă oarecare, ecuația se numește transcendentă.

Exemple de funcții care generează ecuații algebrice:

Exemple de funcții care generează ecuații transcendente.

Pentru ecuațiile algebrice se pot obține formule generale ale soluțiilor și se pot stabili propoziții în legatură cu numărul lor. Metodele de rezolvare în cele mai multe cazuri constau dintr-un șir de transformări echivalente succesive prin care ecuația se aduce la o formă din care soluția poate fi citită.

Ecuațiile algebrice până la gradul 4 inclusiv, sunt rezolvabile prin radical (o expresie care este o suprapunere de rădăcini cu exponenți naturali).

Formulele pentru obținerea soluțiilor ecuațiilor de grad superior sunt complicate, ele aparținând unei categorii mai largi de numere.

Pe lângă rezolvarea numerică a ecuațiilor mai exista și metoda grafică. Această metodă se bazează pe corespondența biunivocă dintre soluții și punctele planului. Reprezentând aceste puncte într-un sistem de coordonate, se pot obține soluții aproximative ale ecuațiilor. Sistemul de coordonate care se folosește este cartezian rectangular. În aplicarea acestei metode, se recomandă ca graficele să fie trasate cu cât mai mare precizie (pe hârtie milimetrică, alegând puncte suplimentare pe grafice).

Apelând la cunoștințele de algebră și geometrie analitică a planului putem rezolva grafic ecuațiile liniare, pătratice sau cubice, iar cu ajutorul analizei matematice putem studia și alt gen de ecuații.

CAPITOLUL I.

POLINOAME CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP

I.1. MULȚIMEA POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP

Fie K unul din corpurile Q, R, C, Zp, p număr prim. Vom nota cu X un simbol pe care îl vom numi nedeterminată. Cu ajutorul acestui simbol vom defini o expresie formală pe care o vom numi polinom.

Definiție. Fie elemente din corpul K. Expresia formală se numește polinom (sub formă algebrică).

Elementele se numesc coeficienții polinomului.

Polinomul care are toți coeficienții egali cu 0k se numește polinomul nul.

Polinoamele pentru care ai=0 , adică polinoamele de forma se numesc polinoame constante.

Mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți în corpul K se notează K[X]. Așadar, dacă

Observații:

Polinoamele sunt expresii formale.

Convenim ca

Are loc relația pentru orice element este un polinom de forma .

Cum avem .

Polinoamele de forma se numesc monoame.

Un polinom în forma algebrică poate fi considerat ca o sumă formală de monoame, ceea ce justifică și denumirea de polinom. Adesea, vom scrie polinomul ca sumă de polinoame așezate în ordinea descrescătoare a gradelor, adică:

Exemple:

Definiție. Fie . Dacă f este diferit de polinomul nul, atunci forma algebrică a lui f este: .

În acest caz, spunem că gradul polinomului f este n și scriem grad .

Dacă f este polinomul nul, gradul său este

Observație. Polinoamele constante diferite de polinomul nul au gradul 0.

Forma algebrică a unui polinom de gradul n cu coeficienți în K este:

.

Dacă grad f = n, n , atunci coeficientul se numește coeficientul dominant al polinomului f. Coeficientul se numește termenul liber al polinomului f.

Exemple:

Fie polinomul

grad f=3,

coeficientul dominant=termenul liber=

Fie polinomul

grad g=0

I.2. RĂDĂCINILE POLINOAMELOR

Definiție. Fie K unul din corpurile Q, R, C, Zp, p număr prim. Elementul se numește rădăcină a polinomului

Rădăcinile polinomului f se determină rezolvând ecuația .

Este necesar să specificăm corpul în care se afla aceste rădăcini.

Dacă este o rădăcină a polinomului f, atunci este de asemenea o rădăcină a lui f. Aceasta rezultă din , .

Observație. Fie și g. Din putem afirma că , deci sunt rădăcini pentru f și respectiv pentru g dacă . Deci are sens să definim rădăcini complexe și pentru polinoamele cu coeficienți raționali sau reali.

Exemple:

Fie polinomul:

este singura rădăcină reală.

Se observă că f nu are rădăcini rationale pentru că

Fie polinomul:

[X],

Calculând găsim că toate aceste valori sunt nenule, deci f nu are rădăcini.

Teoremă. Fie polinomul . Atunci este o rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă

Observație. Fie și o rădăcină a lui f, atunci există g astfel încât f=(X – a) g.

Deci, problema aflării rădăcinilor lui f se reduce la aflarea rădăcinilor lui g.

Exemplu.

Fie polinomul

Acest polinom se divide cu X-1, iar câtul împărțirii este .

Deci, o rădăcină a lui f este , iar celelate rădăcini se calculează rezolvând ecuația Găsim astfel .

Observații:

Orice ecuație de gradul întâi cu coeficienți complecși az+b=0 cu are rădăcină complexă

Orice ecuație de gradul doi cu coeficienți complecși , are două rădăcini complexe , unde cu am notat un număr complex care ridicat la pătrat dă rezultatul b2-4ac.

Rezolvarea ecuației de gradul trei cu coeficienți complecși a fost realizată în secolul al XVI-lea de către matematicienii Scipione Del Ferro și Nicola Tartaglia. În aceeași perioadă, matematicianul Ludovico Ferrari a descoperit formula de rezolvare a ecuației de gradul patru.

Matematicienii Jean d’Alembert (1717-1783) și Carl Friederich Gauss (1777-1855) au demonstart următorul rezultat cunoscut sub numele de teorema fundamentală a algebrei sau teorema d’Alembert – Gauss.

Teorema fundamentală a algebrei. Orice polinom neconstant cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă.

Observație. Teorema lui d’Alembert – Gauss asigură existența unei soluții, dar nu oferă o metodă de calcul al acesteia.

Teorema lui Bezout. Fie polinomul și . Atunci:

.

Folosind teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bezout se poate demonstra următoarea proprietate:

Proprietate. Fie f un polinom cu coeficienți complecși de grad n, Atunci f are exact n rădăcini complexe (nu neapărat distincte).

Dacă unde sunt rădăcinile polinomului f.

Consecințe.

Dacă un polinom de grad cel mult n cu coeficienți complecși admite n+1 rădăcini distincte, atunci el este polinomul nul.

Dacă două polinoame cu coeficienți complecși au funcțiile polinomiale asociate egale, atunci ele coincid.

Definiție. Fie K un corp comutativ, și Spunem că a este o rădăcină multiplă de ordinul p a lui f dacă și ∤f. Pentru p = 1 , rădăcina se numește simplă, pentru p=2 rădăcina se numește dublă, iar pentru p=3 rădăcina se numește triplă.

Dacă și sunt rădăcini distincte complexe ale lui f cu ordinele de multiplicitate și , atunci .

Exemplu.

Pentru polinomul avem rădăcină dublă .

Folosind schema lui Horner obținem , iar

Proprietate. Fie grad f = n și rădăcini ale lui f cu ordinele de multiplicitate cu . Atunci există astfel încât

Determinarea ordinului de multiplicitate al unei rădăcini pentru un polinom se poate realiza cu ajutorul derivatei formale a unui polinom.

Proprietate. Fie , un polinom oarecare. Elementul este rădăcină multiplă de ordinul p a lui f dacă și numai dacă

Exemplu. Fie

.

PROBLEME

Fie polinomul

Determinați și astfel încât să fie rădăcină dublă.

Pentru și determinați celelalte rădăcini ale lui f specificând ordinele de multiplicitate.

Soluție.

Cum

și

Din și

este rădăcină dublă.

Pentru avem

Deci sunt rădăcini simple.

Determinați și aflați rădăcinile polinomului știind că o rădăcină este

Soluție.

Pentru avem

Deci, x2= 5, x3=2

Să se determine m și n și apoi aflați rădăcinile polinomului știind că admite rădăcina .

Soluție.

Dacă

Dacă .

I.3. POLINOAME IREDUCTIBILE

Definiție. Fie K un corp comutativ și cu grad f > 0. Spunem că f este reductibil peste K dacă există de grad stric mai mic ca n astfel încât f=gh. În caz contrar, spunem că f este polinom ireductibil peste K.

Teoremă.

Orice polinom de gradul I din K[X] este ireductibil peste K.

Dacă polinomul cu gradf >1, este ireductibil peste K, atunci f nu admite rădăcini peste K.

Dacă un polinom de grad 2 sau 3 nu admite rădăcini în corpul K, atunci f este ireductibil peste K.

Observație.

Singurele polinoame ireductibile din C[X] sunt cele de gradul întâi.

Singurele polinoame ireductibile din R[X] sunt cele de gradul întâi și cele de gradul doi fără rădăcini reale.

Exemple.

Polinomul de gradul întâi este ireductibil atât în corpul Q cât și în corpurile R și C.

Polinomul este ireductibil peste Q. În caz contrar există astfel încât de unde . Contradicție.

Se observă că același polinom este reductibil peste R și peste C.

Polinomul este ireductibil peste C numai dacă .

Polinomul este ireductibil peste R dacă și numai dacă .

Teoremă. Fie un polinom de grad mai mare ca 0. Atunci polinomul f se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K. (Teorema fundamentala a aritmeticii extinsa la polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ).

Observație. Descompunerea unui polinom în produs de polinoame ireductibile nu este unică.

Exemplu: Pentru avem .

Proprietate. Descompunerea unui polinom în produs de polinoame ireductibile este unică făcând abstracție de ordinea factorilor și de asocierea în divizibilitate.

PROBLEME

Descompuneți în factori ireductibili peste R și C polinoamul: .

Soluție:

Deci,

Să se descompună în factori ireductibili peste Q polinomul .

Soluție:

Avem

Este clar că și sunt polinoame ireductibile peste Q și deci este o descompunere a lui f în factori ireductibili în Q[X].

Să se descompună în factori ireductibili peste Q și R polinomul știind că admite rădăcina .

Soluție:

Polinomul având coeficienți reali admite și rădăcina .

Deci polinomul f se divide prin polinomul .

Obținem, ()().

Cum rădăcinile polinomului sunt complexe, rezultă că este ireductibil peste R și cu atât mai mult peste Q.

Se observă că este ireductibil peste Q. Așadar, ()() este descompunerea lui f în factori ireductibili peste Q.

Descomunerea lui f în factori ireductibili peste R și C este: respectiv .

CAPITOLUL II.

REZOLVAREA ECUAȚIILOR ALGEBRICE

Cele mai cunsocute ecuații sunt cele de gradul întâi și cele de gradul doi cu coeficienți complecși de forma: .

Considerând polinoamele , ecuațiile de mai sus se pot scrie sub forma. Aceste ecuații se numesc ecuații algebrice de gradul întâi, respectiv de gradul doi.

Definiție. Fie K un corp comutativ și de grad Numim ecuație algebrică de grad n (asociată polinomului f) cu coeficienți în K ecuația , adică:

Definiție. Elementul a se numește rădăcină (soluție) a ecuației algebrice de grad n cu coeficienți în K dacă . În acest caz spunem că a verifică ecuația algebrică.

Observații.

Elementul a este rădăcină a ecuașiei algebrice dacă și numai dacă .

Elementul a este rădăcină multiplă de ordin s pentru ecuația algebrică dacă și numai dacă

O ecuație algebrică de grad n, , cu coeficienți într-un corp comutativ are cel mult n rădăcini în acel corp.

O ecuație algebrică de grad n, , , cu coeficienți complecși are n rădăcini complexe, nu neapărat distincte.

Ecuațiile iraționale, exponențiale, logaritmice și cele trigonometrice nu sunt ecuații algebrice. Unele dintre ele pot fi însă reductibile la ecuații algebrice.

Exemplu:

Ecuația exponențială este reductibilă la ecuația algebrică prin substituția .

II.1. ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI RAȚIONALI, ÎNTREGI, REALI, COMPLEI, COMPLECȘI

ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI RAȚIONALI

Teoremă. Fie ecuația algebrică de grad n, cu coeficienți raționali: o rădăcină a sa, . Atunci:

Ecuația admite și rădăcina

Rădăcinile au același ordin de multiplicitate.

Exemplu:

Fie ecuația admite rădăcina , deoarece și atunci ecuația admite și rădăcina .

Împărțind polinomul la polinomul obținem câtul și restul zero.

Atunci și din ecuația deducem a treia rădăcină .

ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI ÎNTREGI

Teoremă. Fie ecuația algebrică , de grad n, cu coeficienți întregi. Dacă , este o rădăcină rațională a ecuației algebrice, atunci .

Consecință. Fie ecuația algebrică de grad n , cu coeficienți întregi. Dacă a este rădăcină întreagă a ecuației, atunci .

Rădăcinile întregi ale unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber.

Exemplu.

Ecuația algebrică: are coeficienți întregi.

Căutăm rădăcinile întregi printre divizorii termenului liber. Deci, dacă a este o rădăcină întreagă a ecuației, atunci Singura rădăcină întreagă este

ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI REALI

Teoremă. Fie ecuația algebrică de grad n, cu coeficienți reali având rădăcina . Atunci:

este o rădăcină a ecuației algebrice

și au același ordin de multiplicitate.

Dacă o ecuație algebrică cu coeficienți reali are o rădăcină complexă nereală, atunci ea are ca rădăcin și conjugata acesteia.

Observație. Dacă , este rădăcină a ecuației cu coeficienți reali , atunci , unde f este polinomul asociat ecuației algebrice.

Consecință. Orice ecuație algebrică cu coeficienți reali având gradul impar are cel puțin o rădăcină reală.

Exemplu:

Fie ecuația având coeficienți reali și gradul impar, are cel puțin o rădăcină reală. Observăm că este rădăcină.

Împărțind polinomul la găsim câtul .

Celelalte rădăcini sunt date de ecuația de gradul doi: .

ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI COMPLECȘI

Orice ecuație elgebrică de grad n, cu coeficienți complecși are n rădăcini complexe. În particular, orice ecuație algebrică cu coeficienți întregi, raționali sau reali este o ecuație algebrică cu coeficienți complecși, deci orice ecuație de grad n cu coeficienți întregi, raționali sau reali are n rădăcini complexe.

Observație. Dacă o ecuație algebrică, având coeficienți complecși, are o rădăcină complexă nereală, nu rezultă că ecuația admite ca rădăcină și conjugata acesteia.

Exemplu: Ecuația +2=0 are rădăcina și nu admite rădăcina .

PROBLEME

Rezolvați în C ecuația următoare, știind că are cel puțin o rădăcină întreagă:

Soluție:

Se observă că o rădăcină este

Împărțind polinomul la găsim câtul .

Acum avem o ecuație de gradul doi: .

Obținem în continuare .

Rezolvați în C ecuația știind că este rădăcină.

Soluție:

Dacă ecuația de mai sus admite rădăcina atunci admite și rădăcina

Împărțind polinomul la polinomul obținem câtul și restul zero.

Atunci

Din cea de-a doua paranteză obținem următoarele rădăcini ale ecuației algebrice:

Determinați știind că este rădăcină și apoi rezolvați ecuația .

Soluție:

Dacă ecuația admite soluția atunci admite și soluția .

Polinomul

Pentru polinomul calculăm și obținem:

Din sistemul:

obținem

În acest caz polinomul arată astfel: . La împărțirea la obținem câtul și restul zero.

Deci, a treia rădăcină a ecuației algebrice este: .

II.2. TIPURI DE ECUAȚII ALGEBRICE

ECUAȚIA DE GRADUL ÎNTÂI

Definiție. O ecuație de forma () cu a și b sunt numere reale se numește ecuație liniară cu o necunoscută sau ecuație de gradul I cu o necunoscută.

În general, o ecuație de forma () unde a și b sunt numere reale, se rezolvă în două etape:

Scădem din ambii membri pe b și obținem:

Împărțim ambii membri cu a și obținem . Această ecuație are ca unică soluție numărul real și este echivalentă cu ecuația .

Observații:

Dacă a = 0 și b = 0, atunci ecuația devine , deci orice număr real este soluția ei: S=R

Dacă a = 0 și b0, atunci ecuația devine , ceea ce este imposibil deoarece produsul oricărui număr real cu 0 este tot 0;

În general, ecuațiile mai complexe pot fi aduse la o formă simplă folosind regulile care conduc la ecuații echivalente:

se pot trece termenii dintr-un membru în celălalt, schimbându-le semnul

se pot înmulți (împărți) ambii membri ai ecuației cu numere diferite de zero

Exemple:

Rezolvați în R:

2x=8 b) 3x-15=0

Soluție:

Rezolvati în R ecuațiile:

b)

Soluție:

B. ECUAȚIA DE GRADUL AL DOILEA

Definiție. Vom numi ecuație de gradul al doilea orice ecuație de forma . Soluțiile ecuației se numesc rădăcinile ecuației.

Rădăcinile ecuației algebrice de gradul doi se obțin cu ajutorul formulei:

Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II-lea parcurgem următoarele etape:

Pas 1: Identificăm coeficienții ()

Pas 2: Calculăm discriminantul ecuației după formula:

Pas 3: Natura soluțiilor ecuației depind de valoarea discriminantului, astfel:

Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale

Dacă Δ= 0 atunci ecuația are două soluții egale

Dacă Δ> 0 atunci ecuația are două soluții diferite

Exemple:

Aflați rădăcinile ecuației :

Soluție:

=

Pentru că , ecuația are două soluții diferite

=3; =1

2. Aflați rădăcinile ecuației

Soluție:

=

Pentru că Δ= 0, ecuația are două soluții egale , deci = =-3

3. Aflați rădăcinile ecuației 2

Soluție:

a =2, b = 5, c =4

=

Pentru că Δ< 0, ecuația nu are soluții reale.

ECUAȚII BINOME

Definiție. Fie și Numim ecuație binomă de grad n, ecuația algebrică de forma: .

Exemple:

Ecuația binomă are două rădăcini reale

Ecuația binomă are două rădăcini complexe .

Rădăcinile complexe cubice ale unității .

Observații.

Ecuația binomă se rezolvă cu ajutorul descompunerii: .

Ecuațiile binome și se pot rezolva folosind formula de rezolvare a ecuației de gradul doi sau cu ajutorul descompunerilor cunoscute respectiv

Pentru rezolvarea ecuației binome în C, se parcurg următoarele etape:

Numărul complex a se scrie sub formă trigonometrică,

Soluțiile complexe (în număr de n) se determină cu ajutorul formulei de extragere a radicalului de ordinul n dintr-un număr complex scris sub formă trigonometrică.

Obținem soluțiile:

Exemple:

Pentru rezolvarea ecuației binome în C scriem sub formă trigonometrică.

Avem și atunci soluțiile complexe ale ecuației binome sunt:

Aceste soluții se numesc rădăcinile de ordinul n ale unității.

Pentru rezolvarea în C a ecuațieie binome , vom scrie numărul astfel

Sub formă trigonometrică vom avea:

ECUAȚII REDUCTIBILE LA ECUAȚII BINOME

Ecuația bipătrată,

Definiție. Dacă numim ecuație bipătrată, ecuația algebrică:

Pentru rezolvarea unei ecuații bipătrate se parcurg următorii pași:

Se notează

Se obține ecuația de gradul doi cu rădăcinile

Se rezolva ecuatiile binome = si =

Exemplu:

Fie ecuația. Se observă că aceasta este bipătrată, deci notăm

Obținem ecuația de gradul doi cu soluțiile complexe și

Acum avem ecuațiile binome: și care au următoarele ecuații complexe:

respectiv

unde care sunt rădăcinile ecuației bipătrate.

Ecuația de forma

Pentru rezolvarea ecuației se procedează astfel:

Se notează

Se obține ecuația de gradul doi cu rădăcinile

Se rezolvă ecuațiile binome și

Exemplu:

Pentru rezolvarea în C a ecuației algebrice , notăm și obținem ecuația: cu soluțiile .

Ecuațiile au rădăcinile:

ECUAȚII RECIPROCE

Definiție.Ecuația algebrică de gradul cu coeficienți complecși de forma: se numește ecuație reciprocă dacă .

O ecuație este reciprocă dacă și numai dacă coeficienții termenilor extreme și ai celor egal depărtați de extreme sunt egali.

Observație. O ecuație reciprocă cu coeficienți complecși de gradul n care admite soluția admite și soluția .

Ecuații reciproce de grad par

Considerăm ecuația reciprocă de grad par cu coeficienți complecși .

Dacă ecuația este de gradul doi.

Dacă , atunci pentru rezolvare parcurgem următorii pași:

Împărțim ambii membri ai ecuației cu și obținem ecuația:

Grupăm termenii egal depărtați de extremi din membrul stâng și obținem:

Notăm , iar expresiile de forma se exprimă în funcție de t. Astfel, , etc.

În general, pentru exprimarea lui putem folosi în mod recursiv formula:

Deducem că se scrie ca o expresie algebrică de grad m de forma:

Ecuația reciprocă se reduce la o ecuație algebrică de grad p.

Se rezolvă ecuația algebrică de la pasul anterior, obținând soluțiile complexe

Se rezolvă în final ecuațiile de gradul doi

Exemple:

Ecuația este reciprocă de gradul patru.

Soluție:

Împărțind cu , obținem: . Facem substituția . Obținem ecuația care are rădăcinile .

Din ecuația obținem . Din ecuația obținem Deci , sunt rădăcinile ecuației date.

Ecuația este o ecuație reciprocă de gradul patru.

Soluție:

Împărțim ecuația prin , și obținem:

Notăm , iar de aici prin ridicare la pătrat . Ecuația devine cu soluțiile .

Revenim la substituție și avem ecuațiile , cu soluțiile și respectiv .

Deci, ecuația dată are soluțiile: .

Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuația să aibă rădăcină dublă și să se rezolve ecuația dată.

Soluție:

Dacă este rădăcină dublă a polinomului atunci acesta se divide prin și deci restul împărțirii celor două polinoame este polinomul nul.

Efectuând împărțirea avem egalitatea

Restul fiind polinomul nul, adică dă

Celelalte rădăcini ale ecuației sunt soluții (câtul egal cu zero) ale ecuației adică .

Să se rezolve ecuația reciprocă

Soluție:

Ecuații recirpoce de grad impar.

Teoremă. Orice ecuație reciprocă de grad impar are soluția .

Demonstrație. Fie ecuația reciprocă de grad

cu coeficienți complecși.grupând termenii egali depărtați de extremi, obținem ecuația sub forma:

Înlocuind cu obținem: și deci este soluție.

Observație. Avem deci, , unde f este funcție polinomială de grad 2p cu coeficienți extremi și egal depărtați de extremi egali. Așadar, rezolvarea unei ecuații reciproce de grad impar 2p+1 se reduce la rezolvarea unei ecuații reciproce de grad par, egal cu 2p.

Exemple.

Aflați soluțiile ecuației

Soluție:

Ecuația este reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuației și a unei ecuații reciproce de grad patru, ai cărei coeficienți se determină din schema lui Horner cerând că să fie rădăcină a ecuației date.

Coeficienții ecuației de gradul patru găsiți duc la ecuația . Prin împărțire la găsim .

Punem , iar de aici . Deci, cu soluțiile .

Ecuațiile au soluțiile și respective .

Ecuația dată are soluțiile: .

Sa se rezolve ecuatia:

x7 +2×6 -5×5 -13×4 -13×3 -5×2 +2x +1 = 0

Soluție:

Este ecuație reciprocă de grad impar, rezultă că x1 = -1, (x + 1) | F(x)

Utilizând schema lui Horner avem:

(x – 1) ( x6 + x5 – 6×4 – 7×3 – 6×2 + x +1 )= 0

Observăm, ca nu este soluție, deci impunem condiția Împărțim la x3 și avem: , deci ()+(

Substituim , atunci și .

Se utilizează formula pentru cubul sumei, atunci ultima ecuație devine:

y3 – 3y + y2 – 2 – 6y – 7 = 0

y3 + y2 -9y – 9 = 0

y2 ( y + 1) – 9 ( y +1 ) = 0

( y + 1 ) (y2 – 9 ) = 0 deci y1 = -1, y2 = – 3, y3 = 3

Revenim la substituție, rezolvăm ecuațiile obținute și aflăm rădăcinile ecuației :

,

CAPITOLUL III.

METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR ALGEBRICE

III.1. METODA LUI LOBACEVSKI

Se consideră ecuația algebrică:

(1)

ale cărei rădăcini le numerotăm în ordinea descrescătoare a valorilor absolute:

La baza metodei lui Lobacevski pentru aproximarea rădăcinilor ecuației (1) stau câteva observații asupra relațiilor lui Viete:

(2)

…

Prima dintre aceste relații se poate scrie sub forma:

Dacă rădăcina este mult mai mare în valoarea absolută decât celelalte rădăcini, adică rapoartele , i, pot fi neglijate, atunci putem face aproximarea:

Considerând că și celelalte rădăcini satisfac condiția “ mult mai mare în valoare absolută decât ”, i>1, din relațiile lui Viete deducem succesiv:

…

de unde:

; (3)

adică sunt aproximații ale rădăcinilor ecuațiilor de gradul întâi:

…

În general, dacă rădăcinile ecuației (1) se separă în p grupe, astfel încât valorile absolute ale rădăcinilor unei grupe sunt mult mai mari decât valorile absolute ale rădăcinilor din grupa următoare, atunci rădăcinile sunt aproximații ale rădăcinilor a p ecuații de grad inferior (fiecare grupă corespunde unei ecuații).

Din:

rezultă:

Se notează cu polinomul obținut din prin înlocuirea lui cu x:

Rădăcinile polinomului sunt , iar coeficienții săi se calculează astfel:

(4)

()

Repetând procedeul, vom construi un șir de polinoame

în care coeficienții lui se exprimă în funcție de coeficienții lui după relații de forma (4). Rădăcinile polinomului sunt:

Tratăm în continuare câteva cazuri posibile relativ la distribuția valorilor absolute ale rădăcinilor.

Cazul 1.

Ecuația (1) are rădăcini reale, diferite în valoare absolută:

Notăm cu m=2k. După un număr suficient de pași, este mult mai mare decât , și deci, se pot face aproximări de forma (3):

(5)

Valorile absolute ale rădăcinilor se obțin prin extragere radicalilor de ordinul m. Semnele se stabilesc prin înlocuire aîn ecuația inițială.

Să presupunem că după k etape se pot face, în limite admise, aproximările (5). Atunci, la etapa următoare se pot face aproximările:

(6)

Comparând (5) cu (6), și tinând seama de prima relație din (4), rezultă:

(7)

Deci, coeficienții polinomului sunt în valoare absolută aproximativi egali cu pătratele coeficienților polinomului . Îndeplinirea acestei reguli o vom lua ca reper pentru atingerea preciziei dorite. Vom vedea că o astfel de regulă este posibilă numai în acest caz.

Cazul 2.

Ecuația are rădăcini reale, dar există două rădăcini care au aceeași valoare absolută, adică:

Pentru k suficient de mare, din relațiile lui Viete, se pot face aproximările:

(8)

Din aceste relații se determină valorile de aproximare pentru rădăcinile .

La pasul următor se pot face aproximări asemănătoare. Deoarece rădăcinile polinomului sunt egale cu pătratele rădăcinilor polinomului la acest pas vom avea:

(9)

Deoarece , din (8) și (9) rezultă:

Iterațiile pot fi oprite când sunt îndeplinite aceste relații.

Cazul 3.

Ecuația are doua rădăcini complexe, conjugate, , iar celelalte sunt reale, distincte în valoare absolută, adică:

Folosind procedeul de mai sus se construiește polinomul:

ale cărui rădăcini au proprietatea , (semnul însemnând mult mai mare). Conform celor arătate la început, soluțiile vor fi date de ecuațiile:

(10)

…

Rădăcinile reale se obțin din ecuațiile de gradul întâi:

(11)

Semnul din fața radicalului se determină prin înlocuirea în ecuația dată.

Din ecuația de gradul doi, avem:

Dar:

Din cele două relații se determină modulul rădăcinilor complexe:

Folosind relația:

rezultă:

(12)

În mod analog se tratează cazul cu a doua sau mai multe perechi de rădăcini complexe.

Prezența rădăcinilor complexe este indicată de comportarea coeficientului (în cazul unei perechi de rădăcini complexe) care nu mai respectă regula: “pentru k suficient de mare este în valoare absolută aproximativ egal cu pătratul coeficientului corespunzător din pasul anterior”. Această regulă este respectată de toți ceilalți coeficienți. Dacă sunt și alți coeficienți care nu respectă această regulă sau aceea descrisă în cazul 2, atunci avem mai multe perechi de rădăcini complexe.

Aplicația 1.

Fie ecuația .

Folosim formulele (4) pentru a construi polinoamele . Coeficienții acestor polinoame sunt dați în următorul tabel, calculul efectuându-se cu patru cifre semnificative:

Se observă că Suntem în primul caz.

Avem:

P()= 2,0001 P()= 0,0001

P()= 0,00004 P()= 1,9999

P()=0,000009 P(0,3473)= 2,000009

Deci, valorile aproximative ale rădăcinilor sunt:

-1,8794, 1,5321, 0,3473

Aplicația 2.

Fie ecuația:

Rezultatele obținute pentru calculul coeficienților polinoamelor sunt:

Calculele au fost efectuat cu maxim patru cifre semnificative.

Pentru avem:

Suntem în cazul aal treilea. Ecuația are adouă rădăcini reale și două complexe .

În continuare, avem:

Înlocuind fiecare voaloare în ecuație, reținem pentru rădăcinile reale aproximațiile:

Rădăcinile complexe se determină astfel:

Apoi: .

Rezultă:

III.2. METODA BAIRSTOW

Metoda lui Bairstow permite determinarea unui divizor de ordinul al doilea pentru polinomul:

(13)

printr-un procedeu de aproximații succesive.

Fie un trinom oarecare.

Avem:

Notăm:

Cu aceste notații numerele se calculează cu formulele:

(14 )

Evident R=R(p,q), S=S(p,q). Determinăm numerele p și q astfel încât:

R(p,q)=0

(15 )

S(p,q)=0

Acest sistem se rezolvă cu metoda lui Newton. Dacă sunt aproximațiile inițiale atunci:

(16)

pentru .

Notăm:

Din (16) rezultă:

(17)

unde prin , am notat valorile funcțiilor Q în ().

Fie Din (14) rezultă:

Deci:

(18)

Fie . Din (14) rezultă:

adică:

(19)

Din (18) și (19) rezultă:

Vom avea:

În final se obțin pentru următoarele expresii:

(20)

(21)

(22)

Algoritmul este următorul:

Se aleg aproximațiile inițiale ;

Pentru se calculează

cu formulele (14)

cu formulele (18)

cu formulele (20), (21) respectiv (22)

cu formulele (17)

Calculele se opresc atunci când verifică (suficient de bine) ecuațiile sistemului (15), adică:

max{|R|, |S|}<, unde

Un alt test de oprire poate fi:

|<

adică

Ultimele valori calculate reprezintă aproximații ale coeficienților trinomului , iar soluțiile acestui trinom sunt două soluții reale sau complexe ale ecuației Algoritmul se reia pentru .

Pentru aceasta se fac transferurile .

Teorema 4. Dacă și r este o rădăcină reală a polinomului , atunci:

Aplicația 1.

Fie ecuația:

Luăm ca aproximații inițiale și oprim iterațiile atunci când:

max{|R|, |S|}<10-3

Obținem descompunerea:

Rădăcinile ecuației sunt:

Aplicația 2.

Fie ecuația:

Luăm ca aproximații inițiale și oprim iterațiile atunci când:

max{|R|, |S|}<10-3

Obținem descompunerea:

Rădăcinile ecuației sunt:

III.3. METODA LUI BERNOULLI

Fie ecuația:

(23)

și numere reale fixate

Atunci:

(24)

Este o ecuație cu diferențe finite a cărei ecuație caracteristică este ecuația (23). Aceasta are rădăcini distincte iar soluția generală a ecuației cu diferențe finite (24) este:

(25)

Teorema 5. Dacă rădăcinile , ale ecuației (17), sunt distincte, , atunci:

Observații:

Metoda lui Bernoulli este o metodă iterativă pentru aproximarea rădăcinii reale maximă în valoare absolută. Pentru date, se calculează în continuare din (24) și simultan rapoartele:

Dacă șirul este oscilant, divergent, atunci rădăcina maximă în valoare absolută este complexă.

Înlocuind în ecuația inițială x=1/z, vom putea aproxima și cea mai mică rădăcină în valoare absolută a ecuației (23), dacă aceasta este reală și diferită în valoare absoltă de celelalte.

Putem alege În acest caz:

Notând , aceste numere pot fi calculate în funcție de coeficienții ecuației (23) cu formulele lui Newton:

(26)

unde

Dacă se cunoaște aproximația , a rădăcinii maxime în valoare absolută, atunci se poate lua:

obținând-se o accelerare a convergenței șirului

Aplicație.

Fie ecuația P(x)=0, P(x)=x5+5×4-5

În acest caz procesul iterativ (24) este:

Pentru se obțin rezultatele din tabelul următor:

P()=0,00015

Deci rădăcina reală, maximă în valoare absolută, este aproximativ egală cu .

CAPITOLUL IV.

REZOLVAREA ECUAȚIILOR ALGEBRICE ÎN INFORMATICĂ

IV. I. Rezolvarea ecuațiilor algebrice în MAPLE

MAPLE este un mediu de programare pentru calcule numerice și simbolice. Calculul simbolic este calculul cu variabile și constante care respectă regulile algebrice, ale analizei și ale altor ramuri ale matematicii.

MAPLE-ul permite manipularea formulelor care utilizează simboluri, necunoscute și fracții formale, în comparație cu limbajele de programare tradiționale care utilizează doar date numerice, caractere și șiruri de caractere. Se încadrează în aceeași clasă de produse software ca și Mathematica, MathCAD, MATLAB și TKSolver.

Iată în continuare câteva funcții/comenzi utile în manipularea polinoamelor și a ecuațiilor:

1.coeff – extrage coeficienții dintr-un polinom, utilizatorul specificând de fiecare data gradul celui care dorește să îi fie afișat

> p:=-2*x^2+3*x-5;

>

>

>

2.coeffs – extrange toți coeficienții dintr-un polinom

> p:=-2*x^2+3*x-5;

>

3.degree – returnează gradul cel mai mare al unui polinom

>

>

4.ldegree- returnează gradul cel mai mic al unui polinom

>

>

5.subs- înlocuiește o variabilă într-o expresie

>

>

6.expand- extinde o expresie prin aplicarea distributivității produsului față de adunare

>

>

7.factor – se aplică pentru descompunerea în factori ireductibili a polinoamelor de mai multe variabile.

>

>

>

>

8.simplify – aplică regulile de simplificare într-o expresie aducându-le la o formă mai simplă.

>

>

9.rem – returnează restul împărțirii a două polinoame

>

>

10.quo- returnează câtul împărțirii a două polinoame

>

11.divide – verifică dacă două polinoame sunt divizibile. Returnează răspunsul TRUE în caz afirmativ și FALSE în caz negativ.

>

>

12.roots – returnează rădăcinile exacte ale unui polinom specificând ordinul de multiplicitate

>

>

>

13.irreduc – verifică dacă un polinom este sau nu ireductibil

>

>

14.fsolve – determină soluțiile zecimale ale unei sau mai multor ecuații

>

>

IV.II. Rezolvarea ecuațiilor algebrice în C++

C++ este un limbaj de programare general, compilat. Este un limbaj multi-paradigmă, cu verificarea statică a tipului variabilelor ce suportă programare procedurală, abstractizare a datelor, programare orientată pe obiecte. În anii 1990, C++ a devenit unul din cele mai populare limbaje de programare comerciale, rămânând astfel până azi

Rezolvarea ecuației de gradul I:

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

float a,b;

cout<<"a=";cin>>a;

cout<<"b=";cin>>b;

if (a==0)

if (b==0)

cout<<"x poate avea orice valoare reala";

else

cout<<"Ecuatia nu se poate rezolva";

else

cout<<"x="<<-b/a;

return 0;

}

Rezolvarea ecuației de gradul II:

#include <iostream>

#include<math.h>

using namespace std;

int main()

{

int a,b,c;

float x1,x2,delta,preal,pimag;

cout<<"Dati valoarea lui a = "; cin>>a;

cout<<"Dati valoarea lui b = ";cin>>b;

cout<<"Dati valoarea lui c = ";cin>>c;

if(a==0)

cout<<"Ecuatia este de gradul I"<<"\n";

else

{

delta=b*b-4*a*c;

if(delta >= 0)

{

cout<<"Radacini reale: "; x1=(-b+sqrt(delta))/(2*a); x2=(-b-sqrt(delta))/(2*a);

cout<<"x1 = "<<x1<<" x2 = "<<x2;

}

else

{

cout<<"Radacini complexe :";

delta=-delta;preal=-b/(2*a);pimag=sqrt(delta)/(2*a);

cout<<"x1 = "<<preal<<" + i*"<<pimag<<"\n";

cout<<"x2 = "<<preal<<" – i*"<<pimag;

}

}

}

Operații de citire, inmulțire, împărțire și afișare asupra polinoamelor.

   /* Un polinom are forma P(x)=p[0]+p[1]*x+ p[2]*x^2 +…p[n]* x^n  */

   #include <conio.h>

   #include <stdio.h>

   # define GRADMAX 20

   void produs(int n,float a[], int m,float b[],

                   int *p,float c[])

   {

       int i,j;

     *p=n+m;

      for(i=0;i<=n+m;i++) c[i]=0.0;

      for(i=0;i<=n;i++)

       for(j=0;j<=m;j++)

             c[i+j]+=a[i]*b[j];

   }

   void impartire(int n, float a[],int m,float b[],

     int *grad_cat,float cat[], int *grad_rest, float rest[])

   {

      int i,j,k;

      if (n<m) {

                         *grad_cat=0;cat[0]=0.0;

                         *grad_rest=m;rest=cat;

                      }

    else {

               *grad_cat=n-m;*grad_rest=m-1;

               for(i=n-m,j=n;i>=0;i–,j–)

                 {

                     cat[i]=a[j]/b[m];

                     for (k=m;k>=0;k–)

                        a[i+k]=a[i+k]-cat[i]*b[k];

                     a[j]=0;

                  };

                for(i=0;i<=m-1;i++)

                  rest[i]=a[i];

              }

   }

   void citire_polinom(int *n,float a[])

   {

      int i;

      printf("\nIntroduceti gradul polinomului  ");

      scanf("%d",n);

      for(i=0;i<=*n;i++)

        {

             printf("\na[%d]=",i);

             scanf("%f",&a[i]);

        };

      printf("\n");

   }

   float val_polinom(float x,int n,float a[])

   {

     int i;

     float v;

     v=0.0;

     for(i=n;i>=0;i–)    v=v*x+a[i];   return v;

   }

   void afis_polinom(int n,float a[],char c)

   {

     int i;

     printf("\n%c[x]=%g",c,a[0]);

     for(i=1;i<=n;i++)

       printf("+%g*x^%d",a[i],i);

     printf("\n");

   }

   void main()

   {

      int n,m,grad_r,grad_cat,grad_rest;

     float x, v,p[GRADMAX+1],q[GRADMAX+1],r[GRADMAX+1],

                   cat[GRADMAX+1],rest[GRADMAX+1];

     clrscr;

     citire_polinom(&n,p);afis_polinom(n,p,'P');

     citire_polinom(&m,q);afis_polinom(m,q,'Q');

     printf("\nIntroduceti x=");scanf("%f",&x);

     v=val_polinom(x,n,p);

     printf("Val.Polinomului p pentru x=%f este %f",x, v);

     getch();

     produs(n,p,m,q,&grad_r,r);

     printf("\nR[x]=P[x]*Q[x]\n");

     afis_polinom(grad_r,r,'R');

     getch();

     impartire(n,p,m,q,&grad_cat,cat,&grad_rest,rest);

     printf("\nREZULTATUL IMPARTIRII P[x]/Q[x]=>catul C[x] și\

                      restul R[x]\n");

     afis_polinom(grad_cat,cat,'C');

     afis_polinom(grad_rest,rest,'R');

     getch();

     printf("\nATENTIE! Polinomul p este modificat\n");

     afis_polinom(n,p,'P');

     getch();

   }

BIBLIOGRAFIE

Ganga M., Manual pentru Clasa a XII-a – Elemente de Algebra, Editura: MathPress

Ion D. Ion, A.P. Ghioca, N.I. Nediță, Manual de matematică, Algebră, clasa a XII-a, Editura Didactică și Pedagogică, 1989

Niculescu L., Drăcea D., Pătrașcu I., Seclăman D., Tuțescu L., Matematică – Manual pentru clasa a XII-a – M2, Editura Cardinal, 2007

Năstăsescu C., Niță C., Soare N., Manual pentru clasa a X-a, Editura: Didactica si Pedagogica, 2000

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/STUDIUL-ECUATIILOR-ALGEBRICE-C93722.php

http://www.experior.ro/Docs/Aplicatii_ale_ecuatiilor_algebrice_de_grad_superior/12

http://www.experior.ro/Docs/Polinoame_ireductibile,_descompunerea_in_factori_ireductibili/5

http://manualul.info/Algebra_XII_89/Algebra_XII_89.pdf

http://mihaiincercari.3x.ro/School/pc/Laboratoare%20pc/LabPC4.htm

http://ro.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B

BIBLIOGRAFIE

Ganga M., Manual pentru Clasa a XII-a – Elemente de Algebra, Editura: MathPress

Ion D. Ion, A.P. Ghioca, N.I. Nediță, Manual de matematică, Algebră, clasa a XII-a, Editura Didactică și Pedagogică, 1989

Niculescu L., Drăcea D., Pătrașcu I., Seclăman D., Tuțescu L., Matematică – Manual pentru clasa a XII-a – M2, Editura Cardinal, 2007

Năstăsescu C., Niță C., Soare N., Manual pentru clasa a X-a, Editura: Didactica si Pedagogica, 2000

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/STUDIUL-ECUATIILOR-ALGEBRICE-C93722.php

http://www.experior.ro/Docs/Aplicatii_ale_ecuatiilor_algebrice_de_grad_superior/12

http://www.experior.ro/Docs/Polinoame_ireductibile,_descompunerea_in_factori_ireductibili/5

http://manualul.info/Algebra_XII_89/Algebra_XII_89.pdf

http://mihaiincercari.3x.ro/School/pc/Laboratoare%20pc/LabPC4.htm

http://ro.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B