Metode Numerice – [622230]
Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică , Calculatoare ș i Electronic ă
Metode Numerice –
Probleme pentru Examen,
Parțial, Lucr ări de evaluare
Mihaela Racil ă
https://mracila.com/
1. Sisteme liniare M. Racil ă
1
1. Rezolvarea numeric ă a sistemelor liniare
1.1 Formule necesare
Metoda Gauss pentru n = 4
Matricea extins ă este de forma: (𝐴|𝑏)=�𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 𝑎13𝑎14
𝑎23𝑎24
𝑎31𝑎32
𝑎41𝑎42 𝑎33𝑎34
𝑎43𝑎44�𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑏4�
Pas Pivot Formule Exemplificare
1 a11≠0
Se aplic ăformu lele (1.1.1) (vezi curs –
regula dreptunghiului) . Spre exemplu:
– pentru elementul a 32:
𝑎32(1)=𝑎32∙𝑎11−𝑎31∙𝑎12
𝑎11
– pentru elementul b 2:
𝑏2(1)=𝑏2∙𝑎11−𝑎21∙𝑏1
𝑎11
– pentru elementul a 43:
𝑎43(1)=𝑎43∙𝑎11−𝑎41∙𝑎13
𝑎11
Se ob ține matricea transformat ă:
(𝐴|𝑏)(1)=
⎝⎜⎛𝑎11𝑎12
0𝑎22(1) 𝑎13𝑎14
𝑎23(1)𝑎24(1)
0 𝑎32(1)
0 𝑎42(1) 𝑎33(1)𝑎34(1)
𝑎43(1)𝑎44(1)��𝑏1
𝑏2(1)
𝑏3(1)
𝑏4(1)⎠⎟⎞ 1) Prima linie se copiaz ă.
2) Pe p rima coloan ă, sub a 11, se
pun elemente nule.
3) Restul elementelor matricei se
calculeaz ă cu regula
dreptunghiului:
– pentru elementul a 32:
– pentru elementul b 2:
– pentru elementul a 43:
2 𝑎22(1)
≠0 Se lucreaz ă cu matricea transformat ă de
la pasul 1: (𝐴|𝑏)(1).
Se reaplic ă formulele (1.1.1). Spre
exemplu:
– pentru elementul 𝑎44(1): 1) Prima linie și prima coloan ăse
copiaz ă.
2) A doua linie se copiaz ă.
3) Pe a doua coloană , sub 𝑎22(1), se
pun elemente nule.
4) Restul elementelor matricei se
calculeaz ă cu regula
dreptunghiului:
– pentru elementul 𝑎44(1):
1. Sisteme liniare M. Racil ă
2
𝑎44(2)=𝑎44(1)∙𝑎22(1)−𝑎42(1)∙𝑎24(1)
𝑎22(1)
– pentru elementul 𝑏 3(1):
𝑏3(2)=𝑏3(1)∙𝑎22(1)−𝑎32(1)∙𝑏2(1)
𝑎22(1)
Se ob ține matricea transformat ă:
(𝐴|𝑏)(2)=
⎝⎜⎛𝑎11𝑎12
0𝑎22(1) 𝑎13𝑎14
𝑎23(1)𝑎24(1)
00
00 𝑎33(2)𝑎34(2)
𝑎43(2)𝑎44(2)��𝑏1
𝑏2(1)
𝑏3(2)
𝑏4(2)⎠⎟⎞
– pentru elementul 𝑏 3(1):
Obs: Dacă pivotul 𝑎22(1)=0,
atunci , dupa 1), se aplic ă o
pivotare par țială sau total ă, se
interschimb ă liniile (eventual ș i
coloanele), apoi se continuă de la
2).
3 𝑎33(2)
≠0 Se lucreaz ă cu matricea transformat ă de
la pasul 2: (𝐴|𝑏)(2).
Se aplică formulele (1.1.1). Spre
exemplu:
– pentru elementul 𝑎 44(2):
𝑎44(3)=𝑎44(2)∙𝑎33(2)−𝑎43(2)∙𝑎34(2)
𝑎33(2)
Se ob ține matricea transformat ă:
(𝐴|𝑏)(3)=
⎝⎜⎛𝑎11𝑎12
0𝑎22(1) 𝑎13𝑎14
𝑎23(1)𝑎24(1)
00
00 𝑎33(2)𝑎34(2)
0𝑎44(3)��𝑏1
𝑏2(1)
𝑏3(2)
𝑏4(3)⎠⎟⎞ 1) Prima linie și prima coloan ă se
copiaz ă.
2) A doua linie ș i a doua coloană se
copiaz ă.
3) A treia linie se copiaz ă.
4) Pe a treia coloan ă, sub 𝑎33(2), se
pun elemente nule.
5) Restul elementelor matricei se
calculeaz ă cu regula
dreptunghiului:
– pentru elementul 𝑎 44(2):
Obs: Dacă pivotul 𝑎33(2)=0,
atunci, dupa 1) ș i 2), se aplic ă o
pivotare par țială sau total ă, se
interschimb ă liniile (eventual ș i
coloanele), apoi se continuă de la
3).
4 Se rezolv ă sistemul liniar ob ținut sub
formă triunghiulară, echivalent cu cel inițial.
==+=++=+++
)3(
4 4)3(
44)2(
3 4)2(
34 3)2(
33)1(
2 4)1(
24 3)1(
23 2)1(
221 4 14 313 2 12 111
bxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa
)3(
44)3(
4
4abx=
)3(
44)3(
4
4abx=
)2(
334)2(
34)2(
3
3axa bx−=
)1(
223)1(
23 4)1(
24)1(
2
2axaxa bx−−=
112 12 313 4 14 1
1axaxaxabx−−−=
1. Sisteme liniare M. Racil ă
3
1,2,3,)1()1( )1(
=−
=−=− −∑
iaxa b
xi
iin
ijji
iji
i
i
Factorizarea LR (Dollittle)
Pasul 1 . Fie L =
1……………11
2 121
n nlll
și R =
nnnn
rr rr rr
…………
2 221 12 11
Explicitând egalitatea A = L · R, sub forma:
∑
==), min(
1ji
kkjik ij rl a , i,j = 1, 2, …, n
se ajunge la:
ij jar=1 , j = 1,2, 3, …, n→ prima linie din R
11 1 1 /rali i= , i = 2,3, …, n→ prima coloană din L
∑−
=−=1
1,k
hhjkh kj kj rl a r ) 2( njk≤≤≤
kkk
hhkih ik
ikrrl a
l∑−
=−
=1
1, ) 2( nik≤<≤
Pasul 2 : Se rezolvă sistemul:
1………… …11
2 121
n nl ll ·
=
n n bbb
yyy
… …21
21
prin substituție directă:
1 1by=
n kyl b yk
jj kj k k ,2 ,1
1= −=∑−
=
Pasul 3 : Se rezolvă sistemul:
1. Sisteme liniare M. Racil ă
4
=
⋅
n n nnnn
yyy
xxx
rr rr r r
… … …………
21
21
2 221 12 11
prin substituție inversă:
∑
+=−−= −==
n
kjkk j kj k knn n n
n nk rxr y xry x
11,…,2,1 ,/) (/
Metoda Seidel – Gauss:
Sirul de vectori)1(+kx , k = 0, 1, 2, … este dat prin relațiile:
− −=∑∑−
= +=+ +1
1 1)( )1( )1( 1i
jn
ijk
jijk
jij i
iik
i xa xa bax , i = 1n,2−
−=∑
=+n
jk
jjkxa b
ax
2)(
1 1
11)1(
11,
−=∑−
=+ +1
1)1( )1( 1n
jk
j nj n
nnk
n xa bax
nx R)0(∈ , oarecare
Metoda Jacobi:
Construcția șirului)1(+kx , k = 0,1,… se face astfel :
−=∑
≠=+n
ijjk
jij i
iik
ixa bax
1)( )1( 1, i = n,1; )0(x∈Rn oarecare
Exemplificarea formulelor pentru n = 4:
Fie matricea sistemului sub forma generală:
𝐴=�𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 𝑎13𝑎14
𝑎23𝑎24
𝑎31𝑎32
𝑎41𝑎42 𝑎33𝑎34
𝑎43𝑎44�
Formulele Seidel -Gauss , devin:
− −=∑∑−
= +=+ +1
14
1)( )1( )1( 1i
j ijk
jijk
jij i
iik
i xa xa bax , i=2, 3
1. Sisteme liniare M. Racil ă
5
−=∑
=+4
2)(
1 1
11)1(
11
jk
jjkxa b
ax ,
−=∑
=+ +3
1)1(
4 4
44)1(
41
jk
jjkxa bax
sau, explicit:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧𝑥1(𝑘+1)=1
𝑎11(𝑏1− 𝑎12𝑥2(𝑘)−𝑎13𝑥3(𝑘)−𝑎14𝑥4(𝑘))
𝑥2(𝑘+1)=1
𝑎22(𝑏2−𝑎21𝑥1(𝑘+1)−𝑎23𝑥3(𝑘)−𝑎24𝑥4(𝑘))
𝑥3(𝑘+1)=1
𝑎33(𝑏3−𝑎31𝑥1(𝑘+1)−𝑎32𝑥2(𝑘+1)−𝑎34𝑥4(𝑘))
𝑥4(𝑘+1)=1
𝑎44(𝑏4−𝑎41𝑥1(𝑘+1)−𝑎42𝑥2(𝑘+1)−𝑎43𝑥3(𝑘+1))k=0, 1, 2, ….
Se calculează cu aceste formule 𝑥(1),𝑥(2),……, plecând de la un vector 𝑥(0) dat, până când
diferența între două astfel de iterații este suficient de mică (eroarea 𝜀 dată).
Formulele Jacobi , devin:
−=∑
≠=+4
1)( )1( 1
ijjk
jij i
iik
ixa bax , i = 4,1
sau, explicit:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧𝑥1(𝑘+1)=1
𝑎11(𝑏1− 𝑎12𝑥2(𝑘)−𝑎13𝑥3(𝑘)−𝑎14𝑥4(𝑘))
𝑥2(𝑘+1)=1
𝑎22(𝑏2−𝑎21𝑥1(𝑘)−𝑎23𝑥3(𝑘)−𝑎24𝑥4(𝑘))
𝑥3(𝑘+1)=1
𝑎33(𝑏3−𝑎31𝑥1(𝑘)−𝑎32𝑥2(𝑘)−𝑎34𝑥4(𝑘))
𝑥4(𝑘+1)=1
𝑎44(𝑏4−𝑎41𝑥1(𝑘)−𝑎42𝑥2(𝑘)−𝑎43𝑥3(𝑘))k=0,1,2…
Metoda lui Chio (condensarea p ivotală)
Dacă D =
nn n nnn
a a aa a aa a a
……… … ………
2 12 22 211 12 11
, atunci :
D = 2
111
−na
nn nn
n n n nnnnn
a aa a
a aa a
a aa aa aa a
a aa a
a aa aa aa a
a aa a
a aa a
11 11
3 113 11
2 112 113 311 11
33 3113 11
32 3112 112 211 11
23 2113 11
22 2112 11
…… … … ………
1. Sisteme liniare M. Racil ă
6
Calculul inversei unei matrice cu m etoda lui Gauss
Fie A∈Rnxn , inversabilă. Dacă, pentru k=1,2,…, n, fixat, cu a kk0≠ aplicăm formulele:
≠== −===
kinkjn iaaaa ankjaaa
kkkj ik
ij ijkkkj
kj
; 2, ; ,1 ,·2, ,
cu ai,n+j =
≠=
ji 0ji 1 , i = n,1, j = n,1 asupra matricei extinse (A,I n), atunci obținem o matrice
echivalentă, matricea (In, A-1).
1.2 Probleme rezolvate :
1.2.1 S ă se rezolve sistemul urmă tor utiliz ând metoda de eliminare a lui Gauss:
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
Solu ție:
Pas Pivot Algoritm Exemplificare
1 a11=5
Matricea extins ă a sistemului este:
(𝐴|𝑏)=�𝟓 2 1
5−62
−4 2 1�12
−1
3�
1) Prima linie se copiaz ă.
2) Pe prima coloan ă, sub a 11, se pun elemente
nule.
3)Restul elementelor matricei se calculeaz ă cu
regula dreptunghiului , prin aplicarea f ormu lelor
(1.1.1):
1 8
111321
23)1(
23
111221
22)1(
22 =−= −=−=aaaa aaaaa a
59 518
111331
33)1(
33
111231
32)1(
32 =−= =−=aaaa aaaaa a
563 13
11311
3)1(
3
11211
2)1(
2 =−= −=−=aabb baabb b
1) (𝐴|𝑏)(1)=
�𝟓 2 1
�12
�
2) (𝐴|𝑏)(1)=
�𝟓 2 1
0
0�12
�
3) (𝐴|𝑏)(1)=
�𝟓 2 1
0−𝟖1
018
59
5�12
−13
63
5�
1. Sisteme liniare M. Racil ă
7
2 𝑎22(1)
=−8 Se lucreaz ă cu matricea transformat ă de la pasul
1: (𝐴|𝑏)(1).
(𝐴|𝑏)(1)=�𝟓 2 1
0−𝟖1
018
59
5�12
−13
63
5�
1) Prima linie ș i prima coloan ă se copiaz ă.
2) A doua linie se copiaz ă.
3) Pe a doua coloan ă, sub 𝑎22(1), se pun elemente
nule.
4) Restul elementelor matricei se calculeaz ă cu
regula dreptunghiului, prin re aplic area formulel or
(1.1.1):
42 49
)1(
22)1(
32)1(
2 )1(
3)2(
3 )1(
22)1(
23)1(
32 )1(
33)2(
33 =−= =−=aabb baaaa a
1) (𝐴|𝑏)(2)=
�5 2 1
0
0�12
�
2) (𝐴|𝑏)(2)=
�5 2 1
0−𝟖 1
0�12
−13�
3) (𝐴|𝑏)(2)=
�5 2 1
0−𝟖 1
0 0�12
−13�
4) (𝐴|𝑏)(2)=
�5 2 1
0−𝟖1
0 09
4�12
−13
27
4�
3 Se rezolv ă sistemul liniar ob ținut sub formă
triunghiulară, echivalent cu cel inițial.
==+=++
)2(
3 3)2(
33)1(
2 3)1(
23 2)1(
221 313 2 12 111
bxabxaxabxaxaxa
11313 2 12 1
1)1(
223)1(
23)1(
2
2)2(
33)2(
3
3
axaxabxaxa bxabx
−−=−==
=−=+−=++
427
49 13 8 12 2 5
33 23 2 1
xxxxx x
1 2 3
11313 2 12 1
1)1(
223)1(
23)1(
2
2)2(
33)2(
3
3
=−−==−===
axaxabxaxa bxabx
1.2.2 S ă se scrie factorizarea matricei următoare :
A = 1 1 3 -1
0 2 1 1
1 0 1 -2
0 0 -5 -7
1. Sisteme liniare M. Racil ă
8
Soluție :
linia 1 din R 1 1 3 -1
coloana 1 din L 0 2 1 1
1 0 1 -2
0 0 -5 -7
linia 2 din R 1 1 3 -1
coloana 2 din L 0 2 1 1
1 -0,5 1 -2
0 0 -5 -7
linia 3 din R 1 1 3 -1
coloana 3 din L 0 2 1 1
1 -0,5 -1,5 -0,5
0 0 3,33 -7
linia 4 din R 1 1 3 -1
coloana 4 din L 0 2 1 1
1 -0,5 -1,5 -0,5
0 0 3,33 -5,33
1.2.3
Un exemplu de calcul detaliat pentru metoda LR, pivot nul :
1. Sisteme liniare M. Racil ă
9
1.2.4
….. un alt exemplu cu pivot nul …..
1. Sisteme liniare M. Racil ă
10
1.2.5 Să se aproximeze (cu eroarea 2103−⋅=ε ) soluția sistemului liniar următor, utilizând
metoda iterativă a lui Jacobi:
=++=++=+−
13 5 33 2 5 28 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xxxx
Soluție:
Avem :
−
=
53125211 4
A ;
=
1338
b
Observăm că
+>+>+−>
31522 511 4
adică matricea A este diagonal strict dominantă pe linii și deci
metoda Jacobi converge către soluția exactă a sistemului.
Scriind formulele (1.3.7) pentru n = 3 , obținem :
1. Sisteme liniare M. Racil ă
11
( )
( )
( )
−−=−−=−+=
+++
)(
2)(
1)1(
3)(
3)(
1)1(
2)(
3)(
2)1(
1
3 13512 2351841
k k kk k kk k k
x x xx x xx x x
k=0,1,…
Alegând vectorul inițial x(0)=(0;0;0)t obținem iterațiile următoare:
x(1)=(2;0.6;2.6)t;x(2)=(1,50; -1,240;1,840)t;x(3)=(1,230; -1,130;2,8440)t;x(4)=(1,0050; –
1,02960;3,03560)t ; x(5)=(0,9837; -1,01624;3,01676)t
Evaluăm diferența:
ε<=− =−
≤≤021.0 max)4( )5(
3 1)4( )5(
i iix x x x
Atunci, aplicând criteriul de oprire, concluzionăm că soluția exactă poate fi aproximată de
x
(5), cu eroarea ε.
1.2.6 Aproximați soluția sistemului următor prin metoda Seidel- Gauss, cu eroarea 3103−⋅=ε
=−+=+−=++
3 46 30 2 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx xx
Soluție:
𝐴=�4 1 2
1−3 1
1 1−4�;
=
360
b
Cum matricea A este diagonal strict dominantă pe linii, metoda converge către soluția exactă a sistemului. Alegem ca vector inițial x
(0)=(0;0;0)t.
Utilizând relațiile (1.3.6) pentru n = 3 , obținem:
⎩⎪⎨⎪⎧𝑥1(𝑘+1)=1
4(0 − 𝑥2(𝑘)−2𝑥3(𝑘))
𝑥2(𝑘+1)=1
−3(6−𝑥1(𝑘+1)−𝑥3(𝑘))
𝑥3(𝑘+1)=1
−4(3−𝑥1(𝑘+1)−𝑥2(𝑘+1))k=0, 1, 2, ….
de unde :
x(1)=(0; – 2; -1,25)t, x(2)=(1,125; – 1,9583; – 0,9583)t,
1. Sisteme liniare M. Racil ă
12
x(3)=(0.9687; – 1,9965; – 1.0069)t, x(4)=(1,0025; – 2,0014; – 0,9997)t,
x(5)=(1,0002; – 1,9995; – 0,9998)t.
Evaluăm diferența: ε<=− 0023,0)4( )5(x x și concluzionăm că soluția exactă poate fi
aproximată de x(5), cu eroarea ε. Așadar, )5(xx≅ .
1.2.7 Găsiți, folosid metoda lui Chio,valoarea determinantului :
2 1012 1211 1121 113
−−
=D
Soluție :
D=231
211 3
1113
01132 11 3
1113
2113121 3
1213
1213
−−−−
=
7215 25511
91
−−=
=
7151
21115 551
2511
91
−−−= 12 330 3
91−− = 6
1.2.8 Utilizând metoda lui Gauss, determinați valoarea determinantului:
1 2 34 2 1 4 3 3 4 124 3 21
−−−−− −=D
Soluție :
1. Sisteme liniare M. Racil ă
13
=
−−−=
−−−−−−=
6 12 0012 6 0011 2 504 3 21
17 14 5 010 10 10 011 2 5 04 3 2 1
D
900)30()6(51
30 00012 6 0011 2504 321
=−⋅−⋅⋅=
−−=
1.2.9 Găsiți inversa matricei următoare, prin metoda lui Gauss:
=
231310121
A
Soluție :
≈
−−−− −
≈≈
−≈
=
11 1|2 0001 0|31002 1|5 01
101|110010|310001|121
100|231010|310001|121
),(3IA
⇒ =
−−−−
≈−),(
2/1 2/1 2/1|1002/32/1 2/3|0102/5 2/1 2/7|001
1
3AI
−−−−
=−
2/1 2/1 2/12/32/1 2/32/5 2/1 2/7
1A
1.2.10 Găsiți inversa matricei următoare, prin metoda iterativă:
−=
123112001
A
Soluție :
1. Sisteme liniare M. Racil ă
14
−==+=−=−==−==−=
=≠−
=
==⇒=
− − −−
−−−−
1201 ; 1 ; 2 ; 0 ; 11 ; 0 ; 12011 1
1
2
111 1
1 11
111 111
11 1
11
11 11
1 11 1 1
211
11 1
1 11 1
21
1 1
AyxA B Av yuA xuAv yx BAuAvvuAAA A
βββαββαα
()
1 1
32 2 2 22 22 2 1
3
2 22 2
3
1 2711 50 0 11 501 ; 27 ; 10 ; 1123112001
− −−
=
− −−=⇒
−= −=
=−=
=⇒
=
−=
A AB y xyx BAvu AA
ββ α
1.3 Probleme propuse :
1.3.1 Să se rezolve urmă toarele sisteme liniare cu metoda lui Gauss:
1)
=−−=−+=++
2 2 27 2 22 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx x x
2)
−=−=+−=++
1 22 21
2 13 2 13 2 1
x xxxxxxx
3)
=+−=+−=++
10 3x 411 3 22
3 2 13 2 13 2 1
xxx x xx xx
4)
−=+++−=+++=+++−=+++
5 2 3 42 2 2 2 31 3 2 24 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
xx x xx x x xx x xxxx x x
1. Sisteme liniare M. Racil ă
15
5)
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
6)
−=+−=++=++
8 3 4 90 7 6 58 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
7)
=+−−=++=−+
7 4 261 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx xx
8)
−=−+=+−=++
214 5 31 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
9)
=+−−=+=+
3 3 3 22 21 2
3 2 13 12 1
x x xxxxx
10)
=++=+−=++
12 49 3 26
3 2 13 2 13 2 1
xx xx xxxxx
11)
=+−−=++=++
0 26 3 27 4 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx x x
12)
=++=+=+++=+++
2 06 3 2 22 2 3 3
3 2 14 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxxx x xxx x x
13)
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
14)
=++=++=++
4 6 3 25 5 43 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
15)
=++=++=++
7 3 211 2 5 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xxx x
16)
=+−=++=++
1 3 4 90 7 6 57 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
1. Sisteme liniare M. Racil ă
16
17)
=−−=++=++
5 2 34 4 5 21 3 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
18)
=++=+−=−−
10 19 3 24 38 3
3 2 13 2 13 2 1
x x xxxxx xx
19)
=++−−=−+−=++−
5 5 21 21 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x xx xxxx xxxx x
20)
=−+++=+++−=−+++=++++
12 3 3 4 523 6 2 22 3 2 37
5 4 3 2 15 4 3 25 4 3 2 15 4 3 2 1
xx x x xx x x xx xxx xxxxxx
21)
=+=++=++=++
2 23 3 24 4 2 31
3 13 2 13 2 13 2 1
x xx xxx x xxxx
22)
−=++−=++=++
7 5 4 21 7 7 43 3 2 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
23)
=+−−=−+=−+
8 12 35 3 6 25 2 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xxx x
24)
=++−−=−+=+−
13 4 32 4 29 3 2
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xx xx
25)
−==−+−=++=−++
2 26 22 29 3
44 3 14 3 24 3 2 1
xx xxxxxxx xx
26)
=++−=++−=−−+−=++−
6 7 4 7 216 4 8 2 42 7 2 10 28 2 4 2 4
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x x xx x x xx x x xx x x x
27)
=+−−=−+=+−
5 2x 31 210 3
3 2 13 2 13 2 1
xxxxxxx x
1. Sisteme liniare M. Racil ă
17
28)
−=−−−=++=−+
13 3x 221 5 45 3 2
3 2 13 2 13 2 1
xxx xxxx x
29)
= +=+−=−+
5 2x-31 22
3 2 13 2 13 2 1
x xxxxxxx
30)
=++=++=++
7 3x 310 3 5 24 2
3 2 13 2 13 2 1
x xx x xxx x
31)
=++=++=++
12 4x 36 211 3 3
3 2 13 2 13 2 1
xxx xxx xx
32)
= +=+−=++
3 2x-36 3 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x xx xxxx x
33)
−=−−=−+−=++=−++
8 7 56 22 29 3
4 34 3 14 3 24 3 2 1
x xx xxxxxxx xx
34)
=++=++=−+
2 x 234
3 2 13 2 13 2 1
xxxxxxxx
35)
= −=−+=++
2 2x- 27 2 22 3 2
3 2 13 2 13 2 1
xxxx xx x x
36)
−=+−=++−=+−
2 3×4 4 26 2
3 23 2 12 1
xxx xx x
37)
= +=+−−=++−
3 4x-6 36 2 4
3 2 13 2 13 2 1
xxxx xx xx
38)
=−++−−=+−−=+−+=++
4 3 23 2 5 31 24 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 2 1
xx x xx x xxxxxxx xx
1. Sisteme liniare M. Racil ă
18
39)
=+++=+++−=+++−=+++
4 5 3 74 3 7 54 7 5 34 7 5 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
40)
=++=++=++
8 x2 4 24 23
3 2 13 2 13 2 1
x xx xxxxx
41)
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
42)
=++=+−=++
3 x2 5 28 411 4 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxxxx x x
43)
=−++−=+−+=+++−=++−
6 4 3 24 2 4 36 3 2 422 4 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
xx x xx xx xx x xxx x x x
44)
=+−=−+=−−
10 x2 210 2 42 2
3 2 13 2 13 2 1
x xx x xxxx
45)
−=−+=++−−=−+
1 x4 211 4 23 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxxx
46)
=++=++=++
5 x5 2 23 4 24 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxxx
47)
=+−−=++−=−+
12 x32 32 3
3 2 13 2 13 2 1
xxxx xxxx
48)
=+++=+++=+++=+++
4 3 2 43 2 4 32 4 3 21 4 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
1.3.2 Rezolva ți sistemul liniar următor, utilizând metoda lui Gauss, discutând în funcție de
valoarea parametrului 𝑎∈𝑹:
1. Sisteme liniare M. Racil ă
19
=+=+−=++
10 37 22 3 2
3 13 2 13 2 1
ax xx xxx x x
1.3.3 Găsiți valorile parametrului 𝑎∈𝑹, pentru care sistemul următor are un număr finit /
infinit de soluții:
=+−=−−= −
a ax axxx xxa xx
3 2 13 2 12 1
0 2
1.3.4 Să se rezolve următoarele sisteme liniare cu metoda factorizării LR:
a)
−=+−=++−=+−
2 3 4 4 26 2
3 23 2 12 1
x xxx xx x
b)
=−+=+−−=++−
3 46 36 2 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx xx
c)
=++=++=+
2 23 4 –
3 2 13 2 13 2 1
xxxxxxxxx
d)
=−++−−=+−−=+−+=++
4 3 23 2 5 31 24 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 2 1
xx x xx x xxxxxxx xx
e)
=+++=+++−=+++−=+++
4 5 3 74 3 7 54 7 5 34 7 5 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
f)
−=−−=−+−=++=−++
8 7 5 6 2 2 2 9 3
4 34 3 14 3 24 3 2 1
x xx x xxxxxx xx
g)
=++−=++−=−−+−=++−
6 7 4 7 216 4 8 2 42 7 2 10 28 2 4 2 4
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x x xx x x xx x x xx x x x
1. Sisteme liniare M. Racil ă
20
h)
−==−+−=++=−++
2 2 6 2 2 2 9 3
44 3 14 3 24 3 2 1
xx x xxxxxx xx
Rezolvați exercițiile de la 1.3.1 și cu metoda factorizării LR.
1.3.5 Fie sistemele liniare:
=+++=+++=+++=+++
4 3 2 43 2 4 32 4 3 21 4 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
=+++=+++=+++=+++
10 3 2 410 2 4 310 4 3 210 4 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
1) Rezolvați aceste sisteme prin metoda lui Gauss. 2) Factorizați matricea A (comună celor două sisteme ) și apoi rezolvați sistemele.
3) Calculați det A
4) Calculați A
-1
1.3.6 Să se rezolve următoarele sisteme liniare cu metoda factorizării LR:
a)
=−=−−= −
3 36 27- 3 3 18 13 23 7 – 5
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
b)
−=−=−−= −
3 36 27- 3 0 18 13 26 7 – 5
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
c)
=−=−−= −
6 36 27- 3 3 18 13 20 7 – 5
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
1.3.7 Se consideră sistemul liniar :
=+−=−+−= −
2 4 6 42 4
3 23 2 12 1
x xxx xxx
Să se scrie primele patru iterații obținute aplicând metoda lui Jacobi, respectiv Gauss -Seidel,
precizând și eroarea.Ce observați ?
1. Sisteme liniare M. Racil ă
21
1.3.8 Considerăm sistemul liniar :
=+−−=+−−=−−=− −
21 41
4121 41
4121
41
41 21
41 41
4 2 13 2 14 3 24 2 1
x x xxx xx x xx x x
Utilizând metoda lui Jacobi, respectiv Gauss –Seidel, aproximați soluția exactă a sistemului cu
cea de a treia iterație. Utilizați ca vector inițial x(0)=(0;0;0)t. Ce observați ?
1.3.9 Fie sistemul liniar :
=++=++=++
42 4 5,0 253 3 5,6 320 2 2 5
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
Aproximați soluția exactă a sistemului prin metoda Seidel -Gauss, cu eroarea 510−=ε ,
utilizând ca vector inițial tx )0;0;0()0(= și criteriul de oprire ε≤−+ )( )1( k kx x .
1.3.10 Se consideră sistemul liniar :
=++= +−=++
9 4 2 2 24 2 4
3 2 12 13 2 1
x x xx xxx x
Să se scrie primele patru iterații obținute aplicând metoda lui Jacobi, respectiv Gauss -Seidel,
precizân d și eroarea.
1.3.11 Fie sistemul liniar :
=++=+=++
6 6 2 0 4 212 6
3 2 12 13 2 1
x x xx xxxx
1) Aproximați soluția exactă a sistemului prin metoda Jacobi , cu 3 iterații, utilizând ca vector
inițial tx )2;2;2()0(=
2) Aproximați soluția exactă a sistemului prin metoda Seidel- Gauss , cu 3 iterații, utilizând ca
vector inițial tx )2;2;2()0(=
3) Rezolvați sistemul cu metoda lui Gauss .
4) Rezolvați sistemul cu metoda factoriză rii LR .
1. Sisteme liniare M. Racil ă
22
1.3.12 Dați o condiție suficientă pentru parametrul 𝛼∈𝐑, astfel încât metodele Jacobi si
Seidel -Gauss să conveargă pentru rezolvarea unui sistem asociat matricei :
𝐴=�𝛼 01
0𝛼 0
10𝛼�
1.3.13 Dați o condiție suficientă pentru parametrul 𝛼∈𝐑, astfel încât metodele Jacobi si
Seidel -Gauss să conveargă pentru rezolvarea unui sistem asociat matricei :
𝐴=�𝛼 0𝛾
0𝛼𝛽
0𝛿𝛼�,𝛼,𝛽,𝛾,𝛿∈𝐑
1.3.14 Aplicați metodele Jacobi, Seidel -Gauss , apoi Gauss, pentru sistemele următoare :
�10𝑎 +𝑏=11
2𝑎+10𝑏 =12 și �2𝑎+10𝑏 =12
10𝑎 +𝑏=11
Pentru fiecare dintre metode și sisteme se vor preciza noțiunile teoretice utilizate, convergența, respectiv nonconvergența metodei, calculând primele 3 iterații pentru metodele
iterative și utilizând ca vector inițial
tx )0;0()0(= . Ce observați ?
1.3.15 Fie matricea:
𝐴=�4−1−1
−1 3−1
−1−1 4�
1) Metoda Jacobi este convergent ă pentru această matrice ?
2) Construiți matricele L și R ale factorizării LR pentru matricea A .
1.3.16 Fie sistemele liniare:
=++=++=++
10 4 3 310 3 4 310 3 3 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
și
=++=++=++
6 46 46 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xxxx
1) Amintiți o condiție suficientă de convergență pentru metodele Jacobi și Seidel -Gauss .
Amintiți o altă condiție suficientă de convergență pentru metoda Seidel- Gauss (dar nu și
pentru Jacobi). Sistemele de mai sus verifică aceste condiții ?
2) Scrieți metodele Jacobi și Seidel -Gauss pentru aceste două sisteme.
3) Pentru fiecare dintre metode și sisteme se vor preciza noțiunile teoretice utilizate,
convergența, respectiv nonconvergența metodei, calculând primele 3 iterații și utilizând ca
vector inițial
tx )0;0;0()0(= .
4) Pentru fiecare sistem s e vor compara rezultatele cu soluțiile exacte, obținute cu metoda lui
Gauss. Ce observați ?
1. Sisteme liniare M. Racil ă
23
1.3.17 Aproximați soluțiile exact e ale sistemelor de mai jos, prin metoda Seidel -Gauss /Gauss ,
cu erorile precizate pentru fiecare caz:
a)
−=−+=++−−=−+
1 4 211 4 23 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xxx xxxx
2103−⋅=ε
b)
=−+−−=+−=−+
6 66 33 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xxxx
2103−⋅=ε
c)
=+−−=++−=−+
12 32 32 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xxxx
210−=ε
d)
=+−−=−+−=−−
8 107 2 106 2 2 10
3 2 13 2 13 2 1
x xxx x xx x x
2103−⋅=ε
e)
=++−=++−=−+
4 33 33 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xxxx
210−=ε
f)
=++=++=++
5 5 2 23 4 24 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xxx xxxx
2103−⋅=ε
g)
=+−=−+−=−
6 10 27 2 109 10
3 23 2 12 1
x xx x xxx
2105−⋅=ε
2. Ecua ții și sisteme de ecua ții neliniare M. Racil ă
24
2. Ecua ții și sisteme de ecua ții neliniare
2.1 Formule necesare
Fie →],[:baf R și ecuația 0)(=xf . Căutăm soluțiile (rădăcinile) acestei ecuații (adică
𝑥∗∈[𝑎,𝑏] ce satisface 𝑓(𝑥∗)=0).
Metoda lui Newton
Dacă funcția f satisface în plus condiția f derivabilă, cu derivata nenulă pe un interval ce
conține o soluție a ecuației f(x) = 0 , se poate construi soluția aproximată a ecuației date,
iterativ, astfel :
alegem un punct x0 inițial în intervalul ce conține o soluție a ecuației date
presupunem xn-1 construit si determinăm pe xn ca fiind abscisa intersecției dintre
tangenta la graficul funcției f în punctul (xn-1,f(x n-1)) și axa Ox
𝑥𝑛=𝑥𝑛−1−𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓′(𝑥𝑛−1),n = 1, 2, ….
Metoda lui Newton pentru sisteme neliniare
)('xF =
∂∂
ji
xxf)(
[] )( )(')(1)( )( )1( n n n nxF xF x x−+−= (NS)
2.2 Probleme rezolvate :
2.2.1 Aproximațicu o eroare de510−rădăcina mai mare decât 1 a ecuației 4 ln 2=−x x prin
metoda lui Newton.
Soluție :
Pas Algoritm Exemplificare
Se caută a și b, astfel încât
0)()(<⋅bfaf 4 ln 2)( −−= x x xf
Tinând cont de graficul func ției xln, respectiv de cel al funcț iei 2x– 4,
2. Ecua ții și sisteme de ecua ții neliniare M. Racil ă
25
observ ăm că rădăcina 1>x se găsește în intervalul [2, 3].
2 Se demonstreaz ă că f’ nu se anuleaz ă pe
intervalul g ăsit [a,b]
x xf /12)('−=
Pe intervalul [2, 3] avem 0)('>xf
3 Se demonstreaz ă că f" păstreaz ă semn
constant pe [a,b]
2/1)('' x xf=
Pe intervalul [2, 3] avem 0)('' >xf
4 Se alege un 𝑥0∈[𝑎,𝑏] astfel încât
𝑓(𝑥0)∙𝑓"(𝑥0)>0
Alegem 3)0(=x pentru c ă 0)3('')3( >⋅f f
5 Se determin ă șirul aproxima țiilor (xn)n
cu relaț ia
𝑥𝑛=𝑥𝑛−1−𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓′(𝑥𝑛−1), n = 1, 2, …. Din (*) ob ținem succesiv :
45917,2)(')(
)0()0(
)0( )1(= −=xfxfx x
44755,2)(')(
)1()1(
)1( )2(=−=xfxfx x
44754,2)(')(
)2()2(
)2( )3(= −=xfxfx x
Evaluând 00001,0)2( )3(=−x x rezultă că )3(xx≅
2.2.2 Fie sistemul de ecuații neliniare :
=+−+=++−
0 8 100 8 10
2 12
212
2 12
1
x x xxxx x
Găsiți aproximarea soluției exacte a sistemului, cu eroarea2103−⋅=ε prin metoda lui Newton,
considerândtX )0;0()0(=
Soluție:
2. Ecua ții și sisteme de ecua ții neliniare M. Racil ă
26
+−+++−=
8 108 10)(
2 12
212
2 12
1
x x xxxx xXF
− +−=10 212 10 2)('
212
22 1
xx xx xXF
Din relația (NS ) rezultă:
=
−−−−
== −=−
88,08,0
88
1,0 01,00 1,0
00 ) ( )] ('[)0( 1 )0( )0( )1(XF XF X X
= −=−
9918,09918,0) ( )] ('[)1( 1 )1( )1( )2(XF XF X X
= −=−
0144.10144.1) ( )] ('[)2( 1 )2( )2( )3(XF XF X X
Calculând ε<=− 0226.0)2( )3(X X , rezultăcă)3(X X≅
2.3 Probleme propuse :
2.3.1 Să se rezolve ecuația x3– 4x – 8.95 = 0 în intervalul [2,3], cu o precizie de 10-2.
2.3.2 Să se rezolve ecuația x2– 2 = 0 în intervalul [1,3], luând x0 = 2. Calculați primele trei
iterații.
2.3.3 Considerăm ecuația: 𝑥(1+𝑒𝑥)=𝑒𝑥
1) Arătați că această ecuație are o rădăcină reală unică în [0,1] .
2) Aplicați metoda Newton pentru a aproxima soluția acestei ecuații .
2.3.4 Explicitați metoda lui Newton pentru aproximarea rădăcinii funcției f(x) = x3 – a, a>0.
2. Ecua ții și sisteme de ecua ții neliniare M. Racil ă
27
2.3.5 Fie 𝑓:𝑹 →𝑹, 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥2−4𝑥2
1) Arătați că această ecuație are o rădăcină reală unică în [0,1].
2) Aplicați metoda Newton pentru a aproxima soluția acestei ecuații.
2.3.6 Explicitați metoda lui Newton pentru aproximarea rădăcinii funcției f(x) = x3+4×2– 10.
2.3.7 Fie 𝑓:𝑹 →𝑹, 𝑓(𝑥)=𝑥4−1
3
1) Arătați că această ecuație are o rădăcină în ( 0,1).
2) Aplicați metoda Newton pentru aproxima rea acestei rădăcini .
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
28
3. Polinom caracteristic. Valori și vectori proprii
3.1 Formule necesare
Metoda minorilor diagonali
nn n n n
A σ λσλσλλ )1(… )(p2
21
1 −+−+−=− −
unde:
∑
==n
iiia
11σ (suma minorilor diagonali de ordinul 1 – coincide cu urma matricei A )
∑
≤<≤=
nji jj jiij ii
a aa a
12σ (suma minorilor diagonali de ordinul 2)
…………………….
) det(An=σ (singurul minor diagonal de ordinul n)
Observați e:
∑
===n
ii A
11 )(Trλσ
∏
===n
ii n A
1) det(λσ
Metoda Le Verrier
nn n n n
A σ λσλσλλ )1(… )(p2
21
1 −+−+−=− −
iar coeficienții săi vor fi determinați în felul următor:
1. Determinăm nk A sk
k ≤≤ = 1 ), Tr(
2. Calculăm coeficienții cu formulele următoare:
( )
≤≤ −++−==
+
− − nk ks s ss
kk
k k k 2 ,/ )1(…1
2 2 1 11 1
σσσσ
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
29
Metoda lui Krylov
nn n
A c c+++=−… )(p1
1λλλ
Algoritmul metodei Krylov:
1. Alegerea unui vector inițial )0(y, arbitrar, nenul
2. Calculul vectorilor n kyk,…,2,1 ,)(= , folosind relația n k Ay yk k,…,2,1 ,)1( )(= =−
3. Scrierea sistemului de rezolvat, astfel incât coloanele matricei acestui sistem
sunt, în ordinea următoare:
)0( )2( )1(,…, , y y yn n − −
4. Termenul liber al sistemului este :)(ny−
5. Rezolvarea acestui sistem, în sensul următor:
a. dacă el admite o soluție unică, atunci coeficienții n ici ,…,2,1,= obținuți
vor fi coeficienții polinomului caracteristic
dacă nu, alegem un alt vector inițial )0(y și reluăm algoritmul
Metoda lui Krylov permite și determinarea vectorilor proprii corespunzători, atunci
când valorile proprii nλλλ ,…,,2 1 sunt distincte.
Notăm:
n j q q qj nn
jn
jA
j ,…,2,1 , …) ()(p)(,12
11= +++=−=−− −λλλλλλ
)0(
,1)2(
1)1(… y q yq yj nn
jn
−− −++ +
va fi un vector propriu asociat valorii propriijλ.
Metoda lui Fadeev
+= −= =+= −= =+= −= =
− nn n n n n n nnn
Ic A B ATrnc AB AIc A B ATr c AB AIcA B ATr c A A
);(1 ;… … …);(21;);( ;
12 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1
Polinomul caracteristc al lui A este:
nn n
A c c+++=−… )(p1
1λλλ
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
30
3.2 Probleme rezolvate :
3.2.1 Să se găsească polinomul caracteristic al matricei 44R×∈A :
−=
11211 11011221013
A
folosind metoda minorilor diagonali .
Soluție :
Pas Algoritm Exemplificare
1 ∑
==4
11
iiiaσ
(suma minorilor diagonali de ordinul 1 –
coincide cu urma matricei A ) 7)(1== ATrσ
2
∑
≤<≤=
4 12
ji jj jiij ii
a aa a
σ (suma minorilor
diagonali de ordinul 2) 121212
1113
1003
111 1
1112
2213
2 =+++−++=σ
3
∑
≤<<≤=
4 13
kji
kk kj kijk jj jiik ij ii
a a aa a aa a a
σ (suma
minorilor diagonali de ordinul 3) 7
1111 10103
121122113
1121 11112
110122013
3 =−+ +−+ =σ
4 ) det(4 A=σ (singurul minor diagonal
de ordinul 4 ) 1 ) det(4 −== Aσ
5 Polinomul c aracteristic este:
4 32
23
14)(p σλσλσλσλλ +−+−=A 1 7 12 7 )(2 3 4−−+−= λλλλλAp
3.2.2 Utilizând metoda Le Verrier , determinați polinomul caracteristic al matricei următoare:
− =
1011 11032
A
Soluție :
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
31
Pas Algoritm Exemplificare
1 Determinăm 3 1 ), Tr( ≤≤ = k A sk
k 4)(1== ATrS
12)(2
2 == ATr S
28)(3
3 == ATr S
2 Calculăm coeficienții polinomului caracteristic cu
formulele următoare: ()
( )
+−=−==
3/2/
3 12 21 32 11 21 1
s s ss ss
σσσσσσ
()
( )
−=+−==−===
4 3/22/4
3 12 21 32 11 21 1
S S SS SS
σσσσσσ
3 Polinomul caracteristic este:
3 22
13)(p σλσλσλλ −+−=A 4 2 4 )(2 3++−= λλλλAp
3.2.3 Determinați, folosind metoda lui Krylov , polinomul caracteristic, valorile proprii și
vectorii proprii corespunzători, pentru matricea33R×∈A :
−−−
=
11 123201 2
A
și precizați, fără a evalua determinantul, dacă matricea dată este inversabilă.
Soluție:
Pas Algoritm Exemplificare
1 Alegem un vector inițial )0(y, arbitrar, nenul
ty )0;0;1()0(=
2 Calculăm vectorii n kyk,…,2,1 ,)(= , folosind
relația n k Ay yk k,…,2,1 ,)1( )(= =− n = 3
t t ty y y )19;26;20( ,)5;8;6( ,)1;2;2()3( )2( )1(−= −= −=
3 Scriem sistemul de rezolvat , astfel incât coloanele
matricei acestui sistem sunt, în ordinea următoare:
)0( )2( )1(,…, , y y yn n − −
Termenul liber al sistemului este :)(ny− Sistemul de rezolvat este:
−=+=−−−=++
19 526 2 820 2 6
2 12 13 2 1
ccc ccc c
Determinantul acestuia este nenul (este egal cu 2);
soluția este deci unică.
4 Rezolvăm acest sistem, apoi ecuația caracteristică . 6 ;11 ;63 2 1 −==−= c c c
6 11 6 )(2 3−+−= λλλλAp .
3 ;2 ;1 0)(3 2 1 ===⇒= λλλλAp .
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
32
5
n jq q qj nn
jn
jA
j
,…,2,1 , …) ()(p)(,12
11
=+++=−=−− −λλλλλλ
Pentru 11=λ :
6 5) ()(p)(2
11 +−=−= λλλλλλAq
Pentru 22=λ :
3 4) ()(p)(2
22 +−=−= λλλλλλAq
Pentru 33=λ :
2 3) ()(p)(2
33 +−=−= λλλλλλAq
6 )0(
,1)2(
1)1(… y q yq yj nn
jn
−− −++ +
este un vector propriu asociat valorii propriijλ. ty y y )0;2;2( 6 5)0( )1( )2(=+− – vector propriu
asociat lui 11=λ
ty y y )1;0;1( 3 4)0( )1( )2(=+− – vector propriu
asociat lui 22=λ
ty y y )2;2;2( 2 3)0( )1( )2(−=+− – vector propriu
asociat lui 33=λ
Tinând cont că 6
3−=c , (sau că toate valorile proprii sunt diferite de zero ) rezultă că Aeste
inversabilă.
3.2.4 Determinați, folosind metoda lui Krylov , polinomul caracteristic, valorile proprii și
vectorii proprii corespunzători, pentru matricea 44R×∈A următoare:
− −− −− −− −
=
2 44 453 2266 5844 47
A
Soluție:
Pas Algoritm Exemplificare
1 Alegem un vector inițial )0(y, arbitrar, nenul
ty )1;0;0;0()0(=
2 Calculăm vectorii n kyk,…,2,1 ,)(= , folosind
relația n k Ay yk k,…,2,1 ,)1( )(= =− n = 4
tttt
yyyy
)364;573;140; 1088()68;119;258;196()16;21;44;32()2,5;6;4(
)4()3()2()1(
−−−=− =−−−=−=
3 Scriem sistemul de rezolvat , astfel incât coloanele
matricei acestui sistem sunt, în ordinea următoare:
Sistemul de rezolvat este:
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
33
)0( )2( )1(,…, , y y yn n − −
Termenul liber al sistemului este :)(ny−
=+−+−=+−=+−=+−
57 2 16 68573 5 21 1191400 6 44 2581088 4 32 196
4 3 2 13 2 13 2 13 2 1
cc c cc c cc c cc c c
Determinantul acestuia este nenul (este egal cu – 720);
soluția este deci unică .
4 Rezolvăm acest sistem, apoi ecuația caracteristică 30 ;31 ;5 ;74 3 2 1 −=−=== c c c c
30 31 5 7 )(2 3 4−−++= λλλλλAp .
2 ;1 ;3 ;5 0)(4 3 2 1 =−=−=−=⇒= λλλλλAp
.
5
n jq q qj nn
jn
jA
j
,…,2,1 , …) ()(p)(,12
11
=+++=−=−− −λλλλλλ
Pentru 51−=λ :
6 5 2) ()(p)(2 3
11 −−+=−= λλλλλλλAq
Pentru 32−=λ :
10 7 4) ()(p)(2 3
22 −−+=−= λλλλλλλAq
Pentru 13−=λ :
30 6) ()(p)(2 3
33 −−+=−= λλλλλλλAq
Pentru 24=λ :
15 23 9) ()(p)(2 3
44 +++=−= λλλλλλλAq
6 )0(
,1)2(
1)1(… y q yq yj nn
jn
−− −++ +
este un vector propriu asociat valorii propriijλ. ty y y y )32;52;140;112( 6 5 2)0( )1( )2( )3(− =−−+
– vector propriu asociat lui 51−=λ
ty y y y )0;0;40;40( 10 7 4)0( )1( )2( )3(=−−+ –
vector propriu asociat lui 32−=λ
ty y y y )0;12;12;0( 30 6)0( )1( )2( )3(−−=−−+ –
vector propriu asociat lui 13−=λ
ty y y y )45;45;0;0( 15 23 9)0( )1( )2( )3(=+++ –
vector propriu asociat lui 24=λ
3.2.5 Determinați, folosind metoda lui Fadeev , polinomul caracteristic și valorile proprii
pentru matricea 33R×∈A următoare:
−−
=
1 311 1131 2
A
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
34
Soluție :
−−
==
1 311 1131 2
1A A , 21−=c ,
−−−
=
3 3111 131 0
1B
−−
==
97 21 124 82
1 2AB A , 62−=c ,
−−− −
=
37 215 24 84
2B
−−−
==
4 0 004 00 04 2 3AB A , 43=c , 3 3O B=
Atunci 4 6 2 )(2 3+−−= λλλλAp
5858,02 24142,32 2 2 0)(
321
≈−=≈+=−=⇒=
λλλλAp
3.3 Probleme propuse:
3.3.1 Utilizând toate metodele cunoscute , determinați polinomul caracteristic pentru matricile
următoare, valorile proprii și vectorii proprii corespunzători ( acolo unde este posibil ):
=
433232112
A 7 15 9 )(2 3−+−= λλλλAp
−−−
=
42 263 321 1
B 2 32 )( λλλ−=Bp
−=
21341 2321
C
25 18 2 )(2 3−−−= λλλλCp
3. Valori și vectori proprii M. Racil ă
35
−−−
=
4 4 014 20 14
D
40 42 12 )(2 3+++= λλλλDP
−−−−
=
1 0213 01 4 0
E
14 5 4 )(2 3+++= λλλλEp
−−−−
=
20 0 071 03101 131 2 2
F
6 2 4 )(2 3 4+++−= λλλλλFp
−−=
1 00121007
G
14 5 8 )(2 3++−= λλλλGp
−−−−−
=
32 02 1 101 2
H
17 4 4 )(2 3+−−= λλλλHp
−−
=
02410 201 3
I 2 3 )(2 3+−=λλλIp
−−−
=
2/12/32/32/12/32/11 1 0
J
2 2 )(2 3+−−= λλλλJp
−−−
=
1 221 313 25
K
5 13 7 )(2 3−+−= λλλλKp
4. Interpolare M. Racil ă
36
4. Aproximarea func țiilor prin interpolare
4.1 Formule necesare
Fie I un interval, iar nxxx ,…,1 0 n+1 puncte din acest interval, în care cunoaștem
valorile funcției f, n if xfinot
i ,0 , )( == .
Polinom de interpolare Lagrange
∑∏
=
≠=
−−=n
kn
kjj j kj
k nxxxxf xP
0 0)(
Polinom de interpolare Newton
∑ ∏−
= =+− +=1
0 01 1 0 0 ) () ;….;;( )( )(n
kk
jj k n xx x xxf xf xN
unde:
1 0 ,)( )();(
11
1 −≤≤−−=
++
+ nix xxf xfxxf
i ii i
i i
01 1 0 2 1
1 0) ;…,;( ) ;…,;() ;…,;(xxx xxf x xxfx xxf
kk k
k−−=−
sau
∑
∏=
≠=−=m
jm
jiii jj
m
xxxfx xxf
0
01 0
) ()() ;…,;(
01 1 0 2 1
1 0) ;…,;( ) ;…,;() ;…,;(xxx xxf x xxfx xxf
nn n
n−−=−
4. Interpolare M. Racil ă
37
Interpolare prin funcții spline cubice
Fie [a,b] un interval din R ș i 𝑎=𝑥0<𝑥1<𝑥2<⋯…..<𝑥𝑛=𝑏 o diviziune a
intervalului [a,b]. Considerăm funcția 𝑓:[𝑎,𝑏]→𝑹pentru care presupunem cunoscute
valorile în nodurile 𝑥0,𝑥1,𝑥2,….,𝑥𝑛: 𝑓(𝑥𝑖)=𝑓𝑖,𝑖=0,1,2,…,𝑛
Tabel 1
𝑥𝑖 𝑎=𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3…………….. 𝑥𝑛=𝑏
𝑓𝑖 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑓3……………… 𝑓𝑛
I: 𝑆"(𝑎)=𝑆"(𝑏)=0
II: �𝑆′(𝑎)=𝑓′(𝑎)=𝑓0′=𝑑𝑎𝑡
𝑆′(𝑏)=𝑓′(𝑏)=𝑓𝑛′=𝑑𝑎𝑡
I:1) Se rezolvă sistemul ( n-1 ecuatii):
𝑢𝑖−1ℎ𝑖
6+𝑢𝑖ℎ𝑖+ℎ𝑖+1
3+𝑢𝑖+1ℎ𝑖+1
6=𝑓𝑖+1−𝑓𝑖
ℎ𝑖+1−𝑓𝑖−𝑓𝑖−1
ℎ𝑖,𝑖=1,2,…,𝑛−1
din care aflăm 𝑢1,𝑢2,…,𝑢𝑛−1 (știm pe 𝑥𝑖 𝑑𝑒𝑐𝑖 ș𝑖 𝑝𝑒 ℎ𝑖,i=1,2,..,n și cunoaștem valorile
𝑓𝑖,i=1,2,..,n)
2) Determinăm 𝑆
𝑖(𝑥),i=1,2,..,n cu formulele:
𝑆𝑖(𝑥)=𝑢𝑖(𝑥−𝑥𝑖−1)3+𝑢𝑖−1(𝑥𝑖−𝑥)3
6ℎ𝑖+�𝑓𝑖−𝑢𝑖ℎ𝑖2
6�𝑥−𝑥𝑖−1
ℎ𝑖+�𝑓𝑖−1−𝑢𝑖−1ℎ𝑖2
6�𝑥𝑖−𝑥
ℎ𝑖,𝑖=1,2,..,𝑛
în care cunoaștem 𝑥
𝑖,ℎ𝑖,fi,i=1,2,..,n și 𝑢1,𝑢2,…,𝑢𝑛−1 (𝑢0=𝑢𝑛=0) obținute la pasul 1).
3) Se construiește aproximantul spline cubic al funcției f cu funcțiile
𝑆𝑖,𝑖=1,2,..,𝑛 obținute la pasul 2).
II: 1) Se rezolvă sistemul ( n+1 ecuații):
⎩⎪⎨⎪⎧𝑢0ℎ1
3+𝑢1ℎ1
6=𝑓1−𝑓0
ℎ1−𝑓0′
𝑢𝑖−1ℎ𝑖
6+𝑢𝑖ℎ𝑖+ℎ𝑖+1
3+𝑢𝑖+1ℎ𝑖+1
6=𝑓𝑖+1−𝑓𝑖
ℎ𝑖+1−𝑓𝑖−𝑓𝑖−1
ℎ𝑖,𝑖=1,2,…,𝑛−1
𝑢𝑛−1ℎ𝑛
6+𝑢𝑛ℎ𝑛
3=𝑓𝑛′−𝑓𝑛−𝑓𝑛−1
ℎ𝑛
din care aflăm 𝑢
0,𝑢1,𝑢2,…,𝑢𝑛(știm pe 𝑥𝑖 𝑑𝑒𝑐𝑖 ș𝑖 𝑝𝑒 ℎ𝑖,i=1,2,..,n și cunoaștem valorile
𝑓𝑖,i=1,2,..,n)
2) Determinăm 𝑆𝑖(𝑥),i=1,2,..,n cu formulele:
𝑆𝑖(𝑥)=𝑢𝑖(𝑥−𝑥𝑖−1)3+𝑢𝑖−1(𝑥𝑖−𝑥)3
6ℎ𝑖+�𝑓𝑖−𝑢𝑖ℎ𝑖2
6�𝑥−𝑥𝑖−1
ℎ𝑖+�𝑓𝑖−1−𝑢𝑖−1ℎ𝑖2
6�𝑥𝑖−𝑥
ℎ𝑖,𝑖=1,2,..,𝑛
(4.3.4)
4. Interpolare M. Racil ă
38
în care cunoaștem 𝑥𝑖,ℎ𝑖,fi,i=1,2,..,n și 𝑢0,𝑢1,𝑢2,…,𝑢𝑛 obținute la pasul 1).
3) Se construiește aproximantul spline cubic al funcției f cu funcțiile
𝑆𝑖,𝑖=1,2,..,𝑛 obținute la pasul 2).
4.2 Probleme rezolvate :
4.2.1 Fie tabelul de date:
xi -1 0 1
fi ½ 1 2
Găsiți polinomul de interpolare Lagrange asociat tabelului de mai sus.
Soluție:
Pas Algoritm Exemplificare
1
∑∏
=
≠=
−−=n
kn
kjj j kj
k nxxxxf xL
0 0)(
2 220≤⇒= Ld n
)( )( )( )(22 11 00 2 xlf xlf xlf xL ++=
2 Se calculează polinoamele Lagrange
fundamentale :
∏
≠==−−=n
kjj j kj
kn kxxxxxl
0.,…,1,0 , )( 2 ) )( () )( ()(2
2 0 1 02 1
0x x
xxxxxxxxxl−=−−−−=
2
2 1 0 12 0
1 1) )( () )( ()( xxxxxxxxxxl −=−−−−=
2 ) )( () )( ()(2
1 2 0 21 0
2x x
x xx xxxxxxl+=−−−−=
3 Se determin ă polinomul de interpolare
Lagrange. 44 3)(2
2++=x xxL
4.2.2 Determinați polinomul de interpolare Newton asociat următorului tabel de date:
4. Interpolare M. Racil ă
39
xi -1 1 2
fi -3 0 4
Soluție:
Pas Algoritm Exemplificare
1 Construim tabelul diferențelor divizate:
Diferențele divizate de ordinul 1 :
1 0 ,)( )();(
11
1 −≤≤−−=
++
+ nix xxf xfxxf
i ii i
i i
Diferențele divizate de ordinul k :
01 1 0 2 1
1 0) ;…,;( ) ;…,;() ;…,;(xxx xxf x xxfx xxf
kk k
k−−=−
Diferența divizată de ordinul n :
01 1 0 2 1
1 0) ;…,;( ) ;…,;() ;…,;(xxx xxf x xxfx xxf
nn n
n−−=− xi ordin 0 ordin 1 ordin 2
-1
1
2 -3
0
4 3/2
4
– 5/6
–
–
2 Se scrie polinomul Newton cu formula:
∑ ∏−
= =+− +=1
0 01 1 0 0 ) () ;….;;( )( )(n
kk
jj k n xx x xxf xf xN 6149 5)1 )(1(65)1(233 )(
22
−+==−++++−=
x xx x x xN
4.2.3 Fie tabelul de date:
xi -1 0 1 2 2,5
fi 0,25 1 4 16 32
(i) Aproximați valoarea )5,1(f cu ajutorul unui polinom de interpolare Lagrange de
gradul 2;
(ii) Aproximați valoarea )5,0(f cu ajutorul unui polinom de interpolare Newton de
gradul 3.
Soluție:
(i) Tinând cont de faptul că polinomul de interpolare trebuie să aibă gradul 2, vom
alege 3 noduri. Putem considera :
4. Interpolare M. Racil ă
40
2 ,0 ,12 1 0 ==−= x x x sau 5,2 ,0 ,12 1 0 ==−= x x x sau 2 ,1 ,02 1 0 === x x x sau
5,2 ,1 ,02 1 0 === x x x sau 5,2 ,2 ,02 1 0 === x x x sau 2 ,1 ,12 1 0 ==−= x x x sau
5,2 ,1 ,12 1 0 ==−= x x x .
Fie nodurile : 2 ,1 ,02 1 0 === x x x .
Atunci 22 3)(2
0+−=x xxl , x x xl 2 )(2
1 +−= , 2)(2
2x xxl−= și deci polinomul de interpolare
Lagrange va fi 22 3 9)(2
2+−=x xxL de unde 875,8)5,1( )5,1(2=≅L f .
(ii) Trebuie să alegem 4 noduri. Să considerăm nodurile 5,2 ,2 ,0 ,13 2 1 0 ===−= x x x x
Atunci tabelul diferențelor divizate este următorul:
xi ordin 0 ordin 1 ordin 2 ordin 3
-1
0
2
2,5 0,25
1
16
32 0,75
7,5
32
– 2,25
9,8
–
– 2,157
–
–
–
iar polinomul de interpolare Newton este: 1 314,1 093,0 157,2)(2 3
3 +− + = x x x xN
Deci 635875,0)5,0( )5,0(3= ≅N f
4.2.4 Găsiți spline -ul cubic S asociat nodurilor următoare:
xi -1 0 1 2
fi -21 1 1 -21
astfel încât 0)2('' )1('' ==− S S .
Soluție:
2 ,1 ,0 ,13 2 1 0 ===−= x x x x
4. Interpolare M. Racil ă
41
21 ,1 ,1 ,213 2 1 0 −===−= f f f f
3,1 ,1=−=−ixx hi i i deci 3,1 ,1==i hi
3,0 ),(''= = ixS uinot
i
0 0)2('' )1(''3 0==⇒==− u u S S
Pentru i=1,2 avem :
−−−=++−−−=++
) (61
32
61) (61
32
61
1 2 2 3 3 2 10 1 1 2 2 1 0
f f f f u u uff f f u u u
⇔
−=+−=+
132 4132 4
2 12 1
u uuu
Rezolvăm acest sistem liniar prin metoda lui Gauss, spre exemplu:
−=−=
⇒
−−≈
−−
15416151564
104|4/150132| 1 4
132|41132|14
21
uu
Expresia lui S este următoarea:
∈∈∈
=
],[ ),(],[ ),(],[ ),(
)(
3 2 22 1 21 0 1
xxxxSxxxxSxxxxS
xS
unde:
45945)1(827)1(782
6 6 6) ( ) ()(
3
112
1
0 0102
1
1 1
13
1 03
0 1
1
x x x
hxxhufhxxhufhxxu xxuxS
++++−=−
−++−
−+−+−=
45) 1(827 253)1 (782 208
6 6 6) ( ) ()(
3 3
222
2
1 1212
2
2 2
23
2 13
1 2
2
x x x x
hx xhufhxxhufhx xu xxuxS
−+++−−−=−
−++−
−+−+−=
4. Interpolare M. Racil ă
42
45)2 (253)1 (945)2 (208
6 6 6) ( ) ()(
3
332
3
2 2322
3
3 3
33
3 23
2 3
3
+−++−−+−−=−
−++−
−+−+−=
x x x
hx xhufhxxhufhx xu xxuxS
4.3 Probleme propuse:
4.3.1 Fie tabelul de date:
xi -1 0 1
fi ½ 1 2
Găsiți polinomul de interpolare Newton asociat tabelului de mai sus.
4.3.2 Determinați polinomul de interpolare Newton asociat următorului tabel de date:
xi -2 -4/3 0 4/3 2
fi 0 1 2 1 0
4.3.3 Determinați polinoamele de interpolare Lagrange și Newton asociate următoarelor
tabele de date:
xi -1 1 2
fi 2 1 1
xi -1 1 2
fi -2 4 10
xi 0 1/6 1/2 1
fi 0 1/2 1 0
xi 0 1 3 4
fi 1 3 2 6
4. Interpolare M. Racil ă
43
xi -1 1 2
fi -3 0 1
xi -1 0 4
fi 1 2
0
4.3.4 Se dă tabelul:
𝑥𝑖 −1 0 1 2
𝑓𝑖 5 1 1 11
Să se determine spline- ul cubic care aproximează funcția de mai sus în condițiile 𝑆"(−1)=
𝑆"(2)=0.
4.3.5 Se dă tabelul:
𝑥𝑖 −1 0 1 2
𝑓𝑖 -12 2 -6 -36
𝑓𝑖′ 19 – – -35
Să se determine spline -ul cubic care aproximează funcția de mai sus.
4.3.6 Determinați polino amel e de interpolare Lagrange și Newton asociat e următorului tabel
de date:
xi -1 0 1
fi 8 3 6
4.3.7 Fie 𝑓:𝑹→𝑹, 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥. Găsiți polinomul interpolant al lui f în punctele – 1, 0, 1.
4.3.8 Fie𝑓(𝑥)=sin𝑥și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋. Găsiți polinomul interpolant al
acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4.3.9 Fie 𝑓(𝑥)=sin𝑥și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋,𝑥3=3𝜋
2. Găsiți polinomul
interpolant al acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4.3.10 Determinați polinoamelede interpolare Lagrange și Newton asociate următorului tabel
de date:
xi 1 2 3 4 5
fi 0,9 1,5 3,5 4,2 4,9
4. Interpolare M. Racil ă
44
4.3.11 Fie tabelul de date :
xi 0 1 2 3
fi 2 1 2 3
Construiți polinomul care interpolează aceste puncteprin metoda directă, apoi utilizând
Lagrange și Newton.
4.3.12 Fie 𝑓(𝑥)=cos𝑥și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋. Găsiți polinomul interpolant al
acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4.3.13 Fie 𝑓(𝑥)=cos𝑥și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋,𝑥3=3𝜋
2. Găsiți polinomul
interpolant al acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4.3.14 Fie tabelul de date :
xi -1 0 1 2
fi 2 1 2 3
Construiți polinomul care interpolează aceste puncte prin metodele Lagrange și
Newton.
4.3.15 Aceeași problemă pentru tabelul de date următor :
xi -1 0 1
fi e 1 e
4.3.16 Fie tabelul următor :
xi -1 0 1
fi α β α
a. Construiți polinomul de interpolare P, folosind metoda direct ă, apoi Lagrange și
Newton.
b. Dacă α = β, cât este gradul lui P ?
c. Arătați că polinomul P este par. Poate avea P gradul 1 ?
4. Interpolare M. Racil ă
45
4.3.17 Fie 𝑓:𝑹→𝑹, 𝑓(𝑥)=1+𝑥3
a. Determinați polinomul P0 ce interpolează funcția f în punctul x 0 = 0 ;
b. Determinați polinomul P1 ce interpolează funcția f în punctulele x0 = 0, x 1 = 1;
c. Determinați polinomul P2 ce interpolează funcția f în punctulele x 0 = 0, x 1 = 1,
x2 = 2;
d. Determinați polinomul P3 ce interpolează funcția f în punctulele x 0 = 0, x 1 = 1,
x2 = 2, x3 = 3;
e. Pentru n > 3, determinați polinomul Pn ce interpolează funcția f în punctulele
x0 = 0, x 1 = 1,…, x n = n. Ce observați ?
4.3.18 Speranța de viață într -o țară a evoluat în timp conform tabelului următor:
An 1975 1980 1985 1990
Speranța 72,8 74,2 75,2 76,4
Utilizați interpolarea Lagrange pentru a estima speranța de viață î n 1977, 1983 și
1988. Comparați -o cu o interpolare folosind splineul cubic. Ce observați ?
5. Aproximarea numeric ă a integralelor M. Racil ă
46
5. Aproximarea numeric ă a integralelor
5.1 Formule necesare
Metoda trapezului
∫b
adxxf)(≈[ ])( )(2bf afab+−
n iihxxi ,0 ,0=+= cu bxa xn==,0 și nabh−=
∫b
adxxf)(≈[ ])( )(2…)(2)(21 1 0 n n xf xf xf xfh+ +++−
Metoda lui Simpson
+++−≈
∫)(24)(6 )( bfbaf afabdxxfb
a
n iihxxi ,0 ,0=+= bxa xn==,0 șinabh−=
∫b
adxxf)(≈
+
++ + =∑∑−
= =−)(24)( 2)(61
1 11
0 nn
in
ii i
i xfx xf xf xfh
Metoda lui Newton
Fie ],[4baCf∈ și diviziunea ,2 1 bxxa <<< astfel încât 2,1 ,3 =−+= iabiaxi .
Formula de integrare a lui Newton este dată prin:
[ ])( )(3)(3)(8)(2 1 bf xf xf afabdxxfb
a+++−≈∫
5. Aproximarea numeric ă a integralelor M. Racil ă
47
Fie o diviziune a intervalului ],[badată prin punctele echidistante n iihxxi ,0 ,0=+=
bxa xn==,0 șinabh−= . Impărțim fiecare interval ],[1 i ixx− în trei părți egale, prin
intermediul punctelor n ixxi i ,1,,'' '= .
+++ + ++ ≈ ∑∑ ∫−
=−
=1
11
1 32
33)( 2)( )(8)(n
in
ii i ib
ahxfhxf xf bf afhdxxf
Evaluarea numerică a integralelor duble pe un triunghi
( ))(9)( )( )(12),(3 2 1 Gf Vf Vf VfSdxdyyxf
K+++ =∫∫
unde G este centrul de greutate al triunghiului K.
5.2 Probleme rezolvate :
5.2.1 Calculați cu o eroare de 0,01 : ∫2
1 lndxxx , utilizând metoda trapezului.
Soluție:
x xf x xfxxxf /1)('' ,1 ln)(' ,ln )( = += =
01,0 ,1)('' sup
]2,1[== =
∈ε
xxf M .
Atunci 3112100=+
=n
31=h
și deci 2 ,3/5 ,3/4 ,13 2 1 0 ==== x x x x
() ( ) 6426,0 261ln3 2 1 02
1≈+++≈∫f ff f xdxx
5.2.2 Calculați valoarea integralei∫2
1lndxxxcu două zecimale exacte, utilizând metoda lui
Simpson.
5. Aproximarea numeric ă a integralelor M. Racil ă
48
Soluție:
5ln24 50)( ,ln)(xxxfxxxfIV +−= =
001,0 ,50)( sup
]2 ,1[== =
∈ε xf MIV
x Atunci 31288050000
4 =+
=n
Deci31=h și deci
6/112,2/32 ,6/72 ;2 ,3/5 ,3/4 ,13 2 2 1 1 0
3 2 1 0 =+=+=+====xx xx xxx x x x
Aplicând formula lui Simpson rezultă:
∫2
1lndxxx≈
+
++ +∑∑
=−
=)(
24)( 2)(
633
112
10 xfx xf xf xfh
ii i
ii
=
+
++
++
++++ )( )
2 2 2(4) (2)(
181
33 2 2 1 1 0
2 1 0 xfxxfxxfxxf ff xf
Așadar, 24018,0ln2
1≈∫dxxx
5.2.3 Calculați valoarea integralei∫+1
02) 1(24 xdxcu patru zecimale exacte, prin metoda lui
Newton.
Soluție:
524 2
2) 1(5 101)( ,) 1(241)(xx xxfxxfIV
++−=+=
00001,0 ,1)( sup
]1 ,0[== =
∈ε xf MIV
x. Atunci, 21
6480100000
4 =+
=n
In consecință, 21=h și deci
6/53/2 ,3/23/ ,3/13/2 ,6/13/ ;1 ,2/1 ,0
1 1 0 02 1 0
=+=+=+=+===
h x hx h x hxx x x
Cu ajutorul formulei lui Newton rezultă:
5. Aproximarea numeric ă a integralelor M. Racil ă
49
∫+1
02) 1(24 xdx= 2 ,32
33)( 2)( )(81
1 1=
+++ + ++∑∑−
= =nhxfhxf xf bf afhn
in
ii i i
032725,0) 1(241
02≈+∫xdx
5.2.4 Aproximați valoarea integralei∫∫−
Kdxdyy xy2unde Keste triunghiul ce are vârfurile
)1,1(),1,10(),0,0(3 2 1 V V V .
Soluție:
2),( y xy yxf −=
Cu prima formulă de aproximare, avem:
( )
426,5
21,5
21,
211,
211
2495,4 )( )( )(
3'
3'
2'
1
=
+
+
==++ ≈
f f fVf Vf VfSI
Cu cea de a doua formulă de aproximare:
( )
89,532,31193124,495 )(9)( )( )(123 2 1
=
+ ==+++ ≈
fGf Vf Vf VfSI
Valoarea exactă a integralei este 09181,6=I .
5.3 Probleme propuse:
5.3.1 Calculați cu o eroare de 0,01integrala următoare:
∫−1
02dxex
utilizând metoda trapezului.
5.3.2 Aproximați valorile integralelor următoare:
5. Aproximarea numeric ă a integralelor M. Racil ă
50
a) 001,0 11
03=+∫εxdx b) 00001,0 42
0=+∫εxdx c) 0001,0 11
0=+∫ε dxxx
prin metoda lui Simpson, cu precizia indicată.
5.3.3 Aproximați următoarea integrală dublă :∫∫+Ddxdy
xy xy
) 1(,
{ }]1;0[ ],3;1[|),( ∈∈ = y xyx D
5.3.4 Estimați ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥5
2
0 plecând de la datele următo are:
x 0 1/2 1 3/2 2 5/2
f(x) 3/2 2 2 1,6364 1,25 0,9565
utilizând metoda trapezelor.
5.3.5 Considerăm integrala 𝐼 =∫1
𝑥𝑑𝑥2
1.
a. Calculați valoarea exactă a lui I;
b. Evaluați numeric această integrală prin metoda trapezelor, cu 3 subintervale;
c. Ce număr de subintervale trebuie folosit, astfel încât să avem o eroare inferioară lui 10-4 ?
5.3.6 Considerăm integrala 𝐼 =∫ln𝑥𝑑𝑥2
1.
a. Evaluați numeric această integrală prin metoda trapezelor, cu 4 subintervale și comparați
rezultatul cu valoarea exactă;
b. Ce număr de subintervale trebuie ales , astfel încât să avem o eroare inferioară lui 10-2 ?
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
51
6. Aproximarea numeric ă a solu țiilor ecua țiilor
diferen țiale
6.1 Formule necesare
Metode de tip Euler
Fie problema Cauchy sub forma explicită:
==
0 0)(),( )('
y xyyxf xy (6.1.1)
Notând cuiyvaloarea aproximativă a soluției exacte )(xy a problemei (6 .1.1) în
punctul ix, algoritmul de calcul al metodei lui Euler este următorul:
1 ,…,2 ,1 ,0 ),(
11 − =
+=+==
++ n i
hfy yhx xyxff
i i ii ii i i
Metoda lui Euler modificată
Dacă i iyx, sunt valori calculate, atunci procesul iterativ este următorul:
1 ,…,2 ,1 ,0
,22),(
21 121
21
2121211
− =
+=
=+=+==+=
++++ ++++
n i
hfy yy xf ffhy yhx xyxffhx x
ii ii i ii iiiii i ii i
Exemplificare – schema de calcul : EULER ( pentru 3 noduri )
xi x0 x1 x2 x3
yi y0 y1 y2 y3
h f(xi,yi) f(x0,y0) f(x1,y1) f(x2,y2)
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
52
Datele de intr are sunt reprezentate în roșu, cele de ieșire în verde, iar datele obținute prin
calcule intermediare sunt reprezentate în albastru.
Se completează fiecare coloană în parte , până se determină toate valorile aproximative ale
soluției în punctele dorite, folosind formulele:
y1 = y 0 +h f(x 0,y0) ; y2 = y 1 + h f(x 1,y1) ; y3 = y 2 + h f(x 2,y2)
Astfel, pentru problema Cauchy �𝑦′=4𝑥−2𝑥2+𝑦
𝑦(0)=0 , tabelul valorilor aproximative
ale soluției, în nodurile x 1 = 0.1 ; x 2 = 0.2 ; x 3 = 0.3 utilizând metoda lui Euler, este
următorul :
xi x0 = 0 x1 = 0.1 x2= 0.2 x3= 0.3
yi y0= 0 y1 = 0 y2 = 0.038 y3 = 0.1138
h = 0.1 f(xi,yi) f(x0,y0) = 0 f(x1,y1) = 0.38 f(x2,y2) = 0.758
Exemplificare – schema de calcul : EULER MODIFICATA ( pentru 3 noduri )
xi // xi+1/2 x0 x1/2 x1 x3/2 x2 x5/2 x3
h yi // yi+1/2 y0 y1/2 y1 y3/2 y2 y5/2 y3
h/2 f(xi,yi) //
f(xi+1/2,yi+1/2) f(x0,y0) f(x1/2,y1/2) f(x1,y1) f(x3/2,y3/2) f(x2,y2) f(x5/2,y5/2)
Datele de intr are sunt reprezentate în roșu, cele de ieșire în verde, iar datele obținute prin
calcule intermediare sunt reprezentate în albastru.
Se completează fiecare coloană în parte , până se determină toate valorile aproximative ale
soluției în punctele dorite, folosind formulele:
x1/2 = x 0 + h/2
y1/2 = y 0 + h/2 f(x 0,y0)
y1 = y 0 +h f(x 1/2,y1/2)
x3/2 = x 1 + h/2
y3/2 = y 1 + h/2 f(x 1,y1)
y2 = y 1 +h f(x 3/2,y3/2)
x5/2 = x 2 + h/2
y5/2 = y 2 + h/2 f(x 2,y2)
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
53
y3 = y 2 +h f(x 5/2,y5/2)
Astfel, pentru problema Cauchy �𝑦′=4𝑥−2𝑥2+𝑦
𝑦(0)=0 , tabelul valorilor aproximative
ale soluției, în nodurile x 1 = 0.1 ; x 2 = 0.2 ; x 3 = 0.3 utilizând metoda lui Euler modificată,
este următorul :
xi // xi+1/2 x0 = 0 x1/2 = 0.05 x1 = 0.1 x3/2= 0.15 x2= 0.2 x5/2= 0.25 x3= 0.3
h
0.1 yi // yi+1/2 y0= 0 y1/2 = 0 y1 = 0.0195 y3/2 = 0.0394 y2 = 0.0789 y5/2 =
0.11687 y3 = 0.178
h/2
0.05 f(xi,yi) //
f(xi+1/2,yi+1/2) f(x0,y0) =
0 f(x1/2,y1/2)=
0.195 f(x1,y1) =
0.3995 f(x3/2,y3/2) =
0.5944 f(x2,y2) =
0.7594 f(x5/2,y5/2)=
0.99187
Observații : 1)Soluția exactă a problemei este : y(x) = 2 x2, deci y(0.1) = 0.02,
y(0.2) = 0.08, y(0.3) = 0.18
2) Se observă că soluția aproximată cu metoda Euler modificată este mai aproape de soluția
exactă a problemei Cauchy decât soluția aproximată cu metoda Euler clasică:
h = 0.1 xi x0 = 0 x1 = 0.1 x2= 0.2 x3= 0.3
Euler yi y0= 0 y1 = 0 y2 = 0.038 y3 = 0.1138
Euler modificat ă yi y0= 0 y1 = 0.0195 y2 = 0.0789 y3 = 0.178
Soluția exactă yi y0= 0 y1 = 0.02 y2 = 0.08 y3 = 0.18
Metode de tip Runge -Kutta
Fie problema Cauchy
a xbaxy xyyxf xy= ∈
==
0
0 0 ],,[ )(),( )('
Formulele Runge- Kutta de ordinul 2 sunt următoarele:
()
++==++=+
1 212 1
32,32 ),( 341)( ) (
k yh xfh kyxfhkk k xy hxy
numită și formula Euler -Heun .
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
54
O altă formulă este: ()
++==++=+
) , ( ),( 21)( ) (
1 212 1
kyhxfh kyxfhkkk xy hxy
numită formula trapezului .
O formulă Runge -Kutta de ordinul 3:
+−+=
++==+++=+
)2 , ( 2,2 ),( ) 4 (61)( ) (
2 1 31
213 2 1
k kyhxfh kkyhxfh kyxfhkkk k xy hxy
O altă formulă Runge -Kutta de ordinul 3 este următoarea:
++=
++==++=+
2 31
213 1
32,32 3,3 ),( )3 (41)( ) (
k yh xfh kkyhxfh kyxfhkk k xy hxy
Intre formulele Runge -Kutta de ordinul 4 amintim pe cele mai utilizate :
++=
++=
++==++++=+
) , ( 21,21 2,2 ),( ) 2 2 (61)( ) (
3 42 31
214 3 2 1
kyhxfh kk yh xfh kkyhxfh kyxfhkkk k k xy hxy
și
+−++=
+−+=
++==++++=+
) , ( 31,32 3,3 ),( ) 3 3 (81)( ) (
3 2 1 42 1 31
214 3 2 1
kkkyhxfh kkk yh xfh kkyhxfh kyxfhkkk k k xy hxy
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
55
Exemplificare – schema de calcul : RUNGE – KUTTA ORDIN II ( pentru 3 noduri )
xi x0 x1 x2 x3
h yi y0 y1 y2 y3
f(xi,yi) f(x0,y0) f(x1,y1) f(x2,y2)
k1 = h f(x i,yi) h f(x 0,y0) h f(x 1,y1) h f(x 2,y2)
xi + h x0 + h x1 + h x2 + h
yi + k 1 y0+ k 1 y1 + k 1 y2 + k 1
f(xi+h,y i+k1) f(x0+h,y 0+k1) f(x1+h,y 1+k1) f(x2+h,y 2+k1)
k2 = h f(x i+h,y i+k1) h f(x 0+h,y 0+k1) h f(x 1+h,y 1+k1) h f(x2+h,y 2+k1)
(k1 + k 2)/2
Datele de intr are sunt reprezentate în roșu, cele de ieșire în verde, iar datele obținute prin
calcule intermediare sunt reprezentate în albastru.
Se completează fiecare coloană în parte , până se determină toate valorile aproximative ale
soluției în punctele dorite, folosind formulele: ()
++==++=
) , ( ),( 21
1 0 0 20 0 12 1 0 1
kyhxfh kyxfhkkk y y
()
++==++=
) , ( ),( 21
1 1 1 21 1 12 1 1 2
kyhxfh kyxfhkkk y y
()
++==++=
) , ( ),( 21
1 2 2 22 2 12 1 2 3
kyhxfh kyxfhkkk y y
Astfel, pentru problema Cauchy �𝑦′=𝑥𝑦
𝑦(0)=1 , tabelul valorilor aproximative ale
soluției, în nodurile x 1 = 0.1 ; x 2 = 0.2 ; x 3 = 0.3 utilizând metoda Runge -Kutta de ordinul II,
este următorul :
xi x0 = 0 x1 = 0.1 x2= 0.2 x3= 0.3
h = 0.1 yi y0= 0 y1 = 1.005 y2 = 1.020176 y3 = 1.045986
f(xi,yi) f(x0,y0)
0 f(x1,y1)
0.1005 f(x2,y2)
0.204035
k1 = h f(x i,yi) h f(x 0,y0)
0 h f(x 1,y1)
0.01005 h f(x 2,y2)
0.020404
xi + h x0 + h
0.1 x1 + h
0.2 x2 + h
0.3
yi + k 1 y0+ k 1 y1 + k 1 y2 + k 1
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
56
1 1.01505 1.040579
f(xi+h,y i+k1) f(x0+h,y 0+k1)
0.1 f(x1+h,y 1+k1)
0.20301 f(x2+h,y 2+k1)
0.3121737
k2 = h f(x i+h,y i+k1) h f(x 0+h,y 0+k1)
0.01 h f(x 1+h,y 1+k1)
0.020301 h f(x 2+h,y 2+k1)
0.0312174
(k1 + k 2)/2 0.005 0.0151755 0.0258104
Observație : Soluția exactă a problemei este : 𝑦(𝑥)=𝑒𝑥2
2 , deci y(0.1) = 1.005013,
y(0.2) = 1.020201, y(0.3) = 1.046027
Rezolvarea numerică a sistemelor de ecuații diferențiale
și a ecuațiilor diferențiale de ordin superior
Fie sistemul de ecuații diferențiale de ordinul I:
==
))( ),…(,( )(….. ………. ………. ………. ……….))( ),…(,( )(
1'1 1'
1
xyxyxf xyxyxyxf xy
n n nn
(6.2.1)
Scopul este acela de a aproxima soluția ))( ),…,(),((2 1 xy xyxyn ce satisface condițiile
inițiale
n j y xyj j ,…,2,1 , )(0, 0 = = (6 .2.2)
Metodele numerice utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul I, pot fi
extinse pentru cazul unui sistem de tipul ( 6.2.1) – (6 .2.2).
Astfel, presupunând că dispunem de valorile in iy y, ,1,…, ale soluției problemei (6 .2.1)
– (6.2.2) la pasul i , metoda Runge -Kutta de ordinul 4 dă la pasul 1+i formulele următoare:
∆+=∆+=
++
in in ini i i
y y yy y y
, , 1,,1 ,1 1,1
………. ………. ……….
unde
n j k k k k yj j j j
ij ,…,2,1 ,61
31
31
61
4 3 2 1 , = +++=∆
și
)y….,y,x(hf ki,n i,1 i jj
1= , j = n,1;
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
57
+ ++=2ky,…,2ky,2hxhf kn
1
i,n1
1
i,1 i jj
2 , j = n,1;
+ ++=2ky,…,2ky,2hxhf kn
2
i,n1
2
i,1 i jj
3 , j = n,1;
( )n
3 i,n1
3 i,1 ijj
4 k y,…,k y,hxhf k + ++= , j = n,1;
Să considerăm acum ecuația diferențială de ordinul n scrisă sub forma explicită:
))( ),…,('),(,( )()1( )(x y xyxyxf xyn n −= (6.2.3)
cu condițiile:
===
−−
1 0)1(1 00 0
)(…….. ……….)(')(
nnt x yt xyt xy
(6 .2.4)
Introducem notațiile :
n 1,2,..,j ),( )()1(= =−x y xzj
j (6 .2.5)
Cu aceste notații, problema (6.2.3) – (6 .2.4) devine:
====
−
))( ),…,(,( )()( )(.. ………. ……….)( )()( )(
1''
13'
22'
1
xz xzxf xzxz x zxz xzxz xz
n nn n (6.2.6)
și cu condițiile:
===
−1 01 0 20 0 1
)(…….. ……….)()(
n n t xzt xzt xz
(6 .2.7)
Așadar, (6 .2.6) – (6.2.7) reprezintă un sistem având necuații diferențiale ordinare cu n
condiții inițiale. Acesta din urmă poate fi rezolvat aplicând tehnica prezentată mai sus.
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
58
Metoda diferențelor finite pentru probleme de tip Sturm -Liouville
Considerăm problema de tip Sturm -Liouville dată prin ecuația:
(P)
==∈ + + =
βα
)()(],[ ),()()()(')( )(''
byaybax xrxyxqxyxp xy
Metoda diferențelor finite constă în înlocuirea fiecărei derivate prin diferențe finite, păstrând
același ordin al erorii de consistență.
Fie ∆o diviziune de pas ha intervalului ],[ba, dată prin:
*
00
N , 0 , ∈
=≤≤+==
n
b xni ihxxa x
ni
Atunci sistemul: 1 221
−
+iiyhp
h-i iiyqhu
+22+1 221
+
−iiyhp
h=ir , 1 1−≤≤ ni
α=0y , β=ny
reprezintă un sistem liniar având 1−n necunoscute și 1−n ecuații, de forma byA=⋅ ,
)1()1(R−×−∈n nA , matrice tridiagonală ș i cu diagonala strict dominantă, iar 1-nR ,∈yb , unde:
+−
+
−
+−
+
−
+−
+
−
+−
=
−−−
−−
1 21
22
2 2 22
22
2 2 22
21
2 1 2
2
210 …0 0 0 021 2
21…0 0 0 0… … … …… … … …0 0 0 …0
21 2
210 0 0 …0 0
21 2
nnn
nn
q
h hp
hhp
hq
h hp
hhp
hq
h hp
hhp
hq
h
A
=
−−
1221
…
nn
yyyy
y ,
−−
+−
=−
−−
βα
hp
hrrrhp
hr
b
n
nn
21…21
1
2 1221
2 1
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
59
6.2 Probleme rezolvate :
6.2.1 Fie problema lui Cauchy:
=∈ −=
0)0(]1;0[ ,3/ 2/1'2
yx xy y
Găsiți valorile aproximative ale soluției exacte )(xy în punctele 2 1 ,3,0 ≤≤⋅= i i xi ,
utilizând metoda lui Euler.
Soluție:
3,0 ;6,0 ;3,0 ;02 1 0 == == h x x x
3/ 2/1),(;02
0 xy yxf y −= =
15,00 0 1 =+= hfyy
i 0 1 2
ix 0 0,3 0,6
iy
0 0,15 0,29925
if 0,5 0,497
5
h 0,3 0,3
6.2.2 Fie problema lui Cauchy:
=∈+=
1)0(]1;0[ , 1'2
yxy y
Aproximați valoarea )2,0(y printr -o metodă Runge -Kutta de ordinul 2, cu 2,0=h , respectiv
printr -o metodă Runge -Kutta de ordin 4, cu 1,0=h și 2,0=h .
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
60
Soluție:
2
0 0 1),( ;1 ;0 y yxf y x += ==
Runge -Kutta de ordinul 2:()
++==++=+
) , ( ),( 21)( ) (
1 212 1
kyhxfh kyxfhkkk xy hxy
Obținem:
i 0 1
ix 0 0,2
iy 1 1,496
1k 0,4
1kyi+ 1,4
2k 0,592
()2 121kk+
0,496
Runge -Kutta de ordinul 4:
++=
++=
++==++++=+
) , ( 21,21 2,2 ),( ) 2 2 (61)( ) (
3 42 31
214 3 2 1
kyhxfh kk yh xfh kkyhxfh kyxfhkkk k k xy hxy
Obținem:
h i
ix iy
0,1 1 0,1 1,22304891
2 0,2 1,50849616
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
61
0,2
1
0,2
1,50845613
6.2.3 Considerăm sistemul de ecuații diferențiale ordinare:
−=+−=
z yzzy y
100 '100'
cu condițiile inițiale:
==
0)0(1)0(
zy
Apoximați valorile soluției problemei de mai sus în punctele 3 1 ,1,0 ≤≤⋅= i i xi prin
metoda lui Euler.
Soluție:
z y zyxgzy zyxf y x 100 ),,( ; 100 ),,( ;0 z ;1 ;00 0 0 −= +−= ===
+=+=+=
+++
),,(),,(
111
i i i i ii i i i ii i
zyxhgz zzyxhfy yhx x
Obținem:
i 0 1 2 3
ix
0 0,1 0,2 0,3
iy
1 -9 81,01 -729,27
iz
0 0,1 -1,80 24,301
if
-100 900,1 -8102,80
ig 1 -19 261,01
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
62
h
0,1 0,1 0,1
6.2.4 Fie problema:
−==−−=
4,0)1('7,0)1(/' ''
yyyxy y
Utilizând metoda lui Euler, aproximați valorile )2,1(y și )4,1(y .
Soluție : ⇒== ' ,2 1 y zyz
−==−−==
4,0)1(7,0)1(/
211 2'
22'
1
zzzxz zzz
i 0 1 2
ix 1 1,2 1,4
iz,1 0,7 0,62 0,53
iz,2 -0,4 -0,46
ihz,1 -0,08 -0,092
ihz,2 -0,06 -0,048
6.2.5 Fie problema:
−==∈++=
2 )1(1)0(]1,0[, 4 43 ' "
yyxey y yx
Aproximați valorile soluției acestei probleme în punctele , hixi⋅= 3 1≤≤i , 4/1=h , prin
metoda diferențelor finite.
Soluție:
−====
−+
−−+
++ −
213,1 ,2142 21
403
1 2 2 1 2
yyi e yh hyhyh hix
i i i
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
63
Utilizând metoda lui Gauss, pentru 4/1=h rezultă:
−===
5910,01754,06468,0
321
yyy
6.3 Probleme propuse:
6.3.1 Aproximați valorile soluției exacte a problemei Cauchy:
−=∈++−=
2 )0(]1;0[ ,1 2 '3 2 2
yx xyx xyy
în punctele 75,0 , 5,02 1 = = x x prin metoda lui Euler modificată.
6.3.2 Aproximați valorile soluției exacte a problemei Cauchy
=∈ =−
1,0)0(]1;0[ , ') (10
yx eyyx
în punctele 3 1 ,1,0 ≤≤⋅= i i xi printr -o metodă Runge -Kutta de ordinul doi.
6.3.3 Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
325.12
2
yxy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 7.11=x , 9.12=x ,
1.23=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.2
6.3.4 Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
6.3.5 Se consideră problema Cauchy:
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
64
()
=−=′
002
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
6.3.6 Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
6.3.7 Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
2311
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.11=x , 2.12=x ,
3.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.1
6.3.8 Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
2012
yx y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.1
6.3.9 Se consideră problema Cauchy:
()
=−+=′
218
22
yxyxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 2.11=x , 4.12=x ,
6.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.2
6.3.10 Se consideră problema Cauchy:
6. Ecua ții diferen țiale M. Racil ă
65
()
=−−=′
5.0141
22
yx xyy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.11=x , 22=x ,
folosind o metodă Euler cu pasul h =0.5
6.3.11 Se consideră problema Cauchy:
()
=++−=′
2112
yx x y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
66
7. Modele de subiecte pentru examen
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul urm ător:
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
2. Folosind metoda Krylov, s ă se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunz ători pentru matricea:
−− −−
=
52 02 6202 7
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpoleaz ă datele urm ătoare:
ix 0 1 2 3
if 1 2 5 10
4. Se consider ă problema Cauchy:
()
=−−=′
325.12
2
yxy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 7.11=x , 9.12=x ,
1.23=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h = 0.2
Model 1
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
67
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−− −−
=
52 02 6202 7
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 2 5 10
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
325.12
2
yxy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 7.11=x , 9.12=x ,
1.23=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.2
Model 2
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
68
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=+−=++=++
8 3 4 90 7 6 58 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−
=
03 16 9 16 5 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 1 1.5 2 2.5
if 0 1 2 -1.5
4. Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
Model 3
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
69
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−−=++=−+
7 4 261 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx xx
2. Să se rezolve ecuația x3– 4x – 8.95 = 0 în intervalul [2,3], cu o precizie de 10-2
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 3 5
if 4 6 -2 -6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
Model 4
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
70
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
−=+−=++=++
8 3 4 90 7 6 58 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Să se rezolve ecuația x
2– 2 = 0 în intervalul [1,3], luând x0 = 2. Calculați primele trei
iterații.
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 1.5 2 2.5
if 0 1 2 -1.5
4. Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
Model 5
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
71
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
=+−−=++=−+
7 4 261 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx xx
2. Explicitați metoda lui Newton pentru aproximarea rădăcinii funcției f(x) = x3 – a, a>0.
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 3 5
if 4 6 -2 -6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
Model 6
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
72
1. Fie sistemul liniar :
=++=++=++
42 4 5,0 253 3 5,6 320 2 2 5
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
Aproximați soluția exactă a sistemului prin metoda Seidel -Gauss, cu eroarea510−=ε ,
utilizând ca vector inițialtx )0;0;0()0(= și criteriul de oprire ε≤−+ )( )1( k kx x .
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
210111012
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 5
if 3 -1 8
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
2311
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.11=x , 2.12=x ,
3.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.1
Model 7
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
73
1. Se consideră sistemul liniar :
=++= +−=++
9 4 2 2 24 2 4
3 2 12 13 2 1
x x xx xxx x
Să se scrie primele patru iterații obținute aplicând metoda lui Jacobi, precizând și eroarea.
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
210111012
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 5
if 3 -1 8
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
2311
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.11=x , 2.12=x ,
3.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.1
Model 8
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
74
1. Se consideră sistemul liniar :
=++= +−=++
9 4 2 2 24 2 4
3 2 12 13 2 1
x x xx xxx x
Să se scrie primele patru iterații obținute aplicând metoda Seidel -Gauss, precizând și eroarea.
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 00320111
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 5 17
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
2012
yx y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.1
Model 9
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
75
1. Dați o condiție suficientă pentru parametrul 𝛼∈𝐑, astfel încât metodele Jacobi si Seidel –
Gauss să conveargă pentru rezolvarea unui sistem asociat matricei :
𝐴=�𝛼 0𝛾
0𝛼𝛽
0𝛿𝛼�,𝛼,𝛽,𝛾,𝛿∈𝐑
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 00320111
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează date le următoare:
ix 0 2 4
if 1 5 17
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
2012
yx y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.1
Model 10
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
76
1. Dați o condiție suficientă pentru parametrul 𝛼∈𝐑, astfel încât metodele Jacobi si Seidel –
Gauss să conveargă pentru rezolvarea unui sistem asociat matricei :
𝐴=�𝛼 01
0𝛼 0
10𝛼�
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−−−
=
4 5 36 7 36 3 1
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpole ază datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 4 5 7
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++=′
1013 2
yx xyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x , 5.13=x
folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
Model 1 1
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
77
1. Aplicați metodele Jacobi, Seidel -Gauss, apoi Gauss, pentru sistemele următoare :
�10𝑎 +𝑏=11
2𝑎+10𝑏 =12 și �2𝑎+10𝑏 =12
10𝑎 +𝑏=11
Pentru fiecare dintre metode și sisteme se vor preciza noțiunile teoretice utilizate, convergența, respectiv nonconvergența metodei, calculând primele 3 iterații pentru metodele
iterative și utilizând ca vector inițial
tx )0;0()0(= . Ce observați ?
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−−−
=
4 5 36 7 36 3 1
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 4 5 7
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++=′
1013 2
yx xyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x , 5.13=x
folosind o metodă Euler cu pasul h =0.5
Model 1 2
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
78
1. Fie sistemele liniare:
=++=++=++
10 4 3 310 3 4 310 3 3 4
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
și
=++=++=++
6 46 46 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xxxx
1) Amintiți o condiție suficientă de convergență pentru metodele Jacobi și Seidel -Gauss.
Amintiți o altă condiție suficientă de convergență pentru metoda Seidel -Gauss (dar nu și
pentru Jacobi). Sistemele de mai sus verifică aceste condiții ?
2) Scrieți metodele Jacobi și Seidel -Gauss pentru aceste două sisteme.
3) Pentru fiecare dintre metode și sisteme se vor preciza noțiunile teoretice utilizate,
convergența, respectiv nonconvergența metodei, calculând primele 3 iterații și utilizând ca
vector inițial tx )0;0;0()0(= .
4) Pentru fiecare sistem se vor compara rezultatele cu soluțiile exacte, obținute cu metoda lui
Gauss. Ce observați ?
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători (daca este posibil) pentru matricea:
−−−
=
49 637 525 4
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix -3 -2 0 1
if 91 23 1 -1
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−+=′
218
22
yxyxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 2.11=x , 4.12=x ,
6.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.2
Model 1 3
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
79
Model 14
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++=+−=++
12 49 3 26
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Explicitați metoda lui Newton pentru aproximarea rădăcinii funcției f(x) = x
3 +4×2– 10
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix -3 -2 0 1
if 91 23 1 -1
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−+=′
218
22
yxyxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 2.11=x , 4.12=x ,
6.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.2
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
80
Model 15
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=++=++
7 3 211 2 5 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători (daca este posibil) pentru matricea:
−−−=
2 1 44 3 42 1 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0 1
if -12 -5 -4 -3
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
5.0141
22
yx xyy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.11=x , 22=x ,
folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
81
Model 16
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
=++=++=++
7 3 211 2 5 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Fie 𝑓:𝑹 →𝑹, 𝑓(𝑥)=𝑥4−1
3
1) Arătați că această ecuație are o rădăcină în ( 0,1).
2) Aplicați metoda Newton pentru aproximarea acestei rădăcini.
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0 1
if -12 -5 -4 -3
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
5.0141
22
yx xyy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.11=x , 22=x ,
folosind o metodă Euler cu pasul h =0.5
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
82
Model 17
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=++=++
7 3 310 3 5 24 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Fie matricea
=
433232112
A . Găsiți polinomul caracteristic, precum și inversa acestei
matrice, utilizând metoda lui Fadeev.
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 4 5
if 2 5 10 17 26
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
1012
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x ,
5.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
83
Model 18
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++=++=++
7 3 310 3 5 24 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
−−−=
10 7 412 9 46 4 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 4 5
if 2 5 10 17 26
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
1012
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x ,
5.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.5
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
84
Model 19
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=−+=+−=++
3 2 36 3 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători (daca este posibil) pentru matricea:
−−−−−
=
02 22 2 33 5 6
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 5
if 2 3 0 6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++−=′
2112
yx x y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
85
Model 20
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR – Doolittle sistemul următor:
=−+=+−=++
3 2 36 3 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Fie matrice a
−=
21341 2321
A . Determinați polinomul caracteristic al acestei matrice,
folosind metoda Danilevski.
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 5
if 2 3 0 6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++−=′
2112
yx x y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
86
Model 21
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=+=+++=+++
206 3 2 22 2 3 3
3 2 14 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxx x x xx x x x
2. Determinați polinomul caracteristic și valorile proprii ale matricei
−−−
=
4 4 014 20 14
A ,
folosind metoda Danilveski..
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 2 4 6
if 3 11 27
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
00yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
87
Model 22
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul următor:
=++=+=+++=+++
206 3 2 22 2 3 3
3 2 14 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxx x x xx x x x
2. Folosind metoda minorilor diagonali, să se determine polinomul caracteristic și valorile proprii pentru matricea:
𝐴=�2−2
1−1 −13
0 1
−3 0
0 0 17
02�
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 2 4 6
if 3 11 27
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
00yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
88
Model 23
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
2. Determinați polinomul caracteristic și valorile proprii, folosind metoda Danilevski, pentru
matricea următoare:
−−−−
=
20 0 071 03101 131 2 2
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 9 65
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yx yy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.1
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
89
Model 24
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul următor:
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
2. Folosind metoda minorilor diagonali, să se determine polinomul caracteristic pentru
matricea:
𝐴=�54
45 1 1
1 1
1 1
1 1 42
24�
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 9 65
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yx yy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.1
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
90
Model 25
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−=++=++
1 3 4 90 7 6 57 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii și vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1101 11051
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix -1 1 2
if 2 1 1
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
105
yy xy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
91
Model 26
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul următor:
=+−=++=++
1 3 4 90 7 6 57 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda minorilor diagonali, să se determine polinomul caracteristic și valorile proprii pentru matricea:
−=
1101 11051
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix -1 1 2
if 2 1 1
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
105
yy xy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
92
Model 27
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−−=−+=+−
5 2 31 210 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic și valorile proprii pentru matricea:
−− =
32 02 420 23
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2
if 1 4 15
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
211
yxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
93
Model 28
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul următor:
=+−−=−+=+−
5 2 31 210 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda minorilor diagonali, să se determine polinomul caracteristic și valorile proprii pentru matricea:
−− =
32 02 420 23
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2
if 1 4 15
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
211
yxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
94
Model 29
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=−+=+−=++
214 5 31 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic , valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
410142114
A
3. Fie 𝑓(𝑥)=sin𝑥 și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋. Găsiți polinomul interpolant al
acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4. Calculați cu o eroare de 0,01 integrala următoare:
∫−1
02dxex
utilizând metoda trapezului.
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
95
Model 30
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
−=−+=+−=++
214 5 31 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
410142114
A
3. Fie 𝑓:𝑹→𝑹, 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥. Găsiți polinomul interpolant al lui f în punctele – 1, 0, 1.
4. Aproximați valoarea integralei următoare:
001,0 11
03=+∫εxdx
prin metoda lui Simpson, cu precizia indicată.
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
96
Model 31
1. Fie sistemul liniar :
=++=+=++
6 6 2 0 4 212 6
3 2 12 13 2 1
x x xx xxxx
Aproximați soluția exactă a sistemului prin metoda Jacobi , cu 3 iterații, utilizând ca vector
inițial
tx )2;2;2()0(=
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 10010112
A
3. Fie 𝑓(𝑥)=cos𝑥 și punctele 𝑥0=0,𝑥1=𝜋
2,𝑥2=𝜋. Găsiți polinomul interpolant al
acestei funcții, prin metoda directă, apoi utilizând Lagrange și Newton.
4. Aproximați valoarea integralei următoare:
00001,0 42
0=+∫εxdx
prin metoda lui Simpson, cu precizia indicată.
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
97
Model 32
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=++=++
4 6 3 25 5 43 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−
=
15 02 1101 1
A
3. Fie tabelul de date :
xi 0 1 2 3
fi 2 1 2 3
Construiți polinomul care interpolează aceste puncte prin metoda directă, apoi utilizând
polinoamele Lagrange și Newton.
4. Aproximați valoarea integralei următoare:
0001,0 11
0=+∫ε dxxx
prin metoda lui Simpson, cu precizia indicată.
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
98
Model 33
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR- Doolittle sistemul următor:
=+−−=+=+
3 3 3 22 21 2
3 2 13 12 1
x x xxxxx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
=
113131311
A
3. Fie tabelul următor :
xi -1 0 1
fi α β α
a. Construiți polinomul de interpolare P, folosind metoda direct ă, apoi polinoamele
Lagrange și Newton.
b. Dacă α = β, cât este gradul lui P ?
c. Arătați că polinomul P este par. Poate avea P gradul 1 ?
4. Aproximați următoarea integrală dublă :
∫∫+Ddxdy
xy xy
) 1(, { }]1,0[ ],3,1[|),( ∈∈ = y xyx D
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
99
Model 34
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=+−=++
12 49 3 26
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si
vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
=
102021003
A
3. Fie 𝑓:𝑹→𝑹, 𝑓(𝑥)=1+𝑥3
a. Determinați polinomul P0 ce interpolează funcția f în punctul x 0 = 0 ;
b. Determinați polinomul P1 ce interpolează funcția f în punctulele x 0 = 0, x 1 = 1 ;
c. Determinați polinomul P2 ce interpolează funcția f în punctulele x 0 = 0, x 1 = 1,
x2 = 2 ;
d. Determinați polinomul P3 ce interpolează funcția f în punctulele x 0 = 0, x 1 = 1,
x2 = 2, x3 = 3 ;
e. Pentru n > 3, determinați polinomul Pn ce interpolează funcția f în punct ele
x0 = 0, x 1 = 1,…, x n = n.
4. Estimați ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥5
2
0 plecând de la datele următoare:
x 0 1/2 1 3/2 2 5/2
f(x) 3/2 2 2 1,6364 1,25 0,9565
utilizând metoda trapezelor.
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
100
Model 35
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−−=+=+
3 3 3 22 21 2
3 2 13 12 1
x x xxxxx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii și vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−=
21 11 211 1 2
A
3. Se dă tabelul:
𝑥𝑖 −1 0 1 2
𝑓𝑖 5 1 1 11
Să se determine spline- ul cubic care aproximează funcția de mai sus în condițiile 𝑆
"(−1)=
𝑆"(2)=0.
4. Considerăm integrala 𝐼=∫1
𝑥𝑑𝑥2
1.
a. Calculați valoarea exactă a lui I;
b. Evaluați numeric această integrală prin metoda trapezelor, cu 3 subintervale;
c. Ce număr de subintervale trebuie folosit, astfel încât să avem o eroare inferioară
lui 10-4 ?
7. Modele s ubiecte examen M. Racil ă
101
Model 36
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR- Doolittle sistemul următor:
=++=++=++
4 6 3 25 5 43 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic pentru matricea:
−−−−
=
123 13 6 21 2 4
A
3. Speranța de viață într -o țară a evoluat în timp conform tabelului următor:
An 1975 1980 1985 1990
Speranța 72,8 74,2 75,2 76,4
Utilizați interpolarea Lagrange pentru a estima speranța de viață în 1977, 1983 și 1988. Comparați -o cu o interpolare folosind splineul cubic. Ce observați ?
4. Considerăm integrala 𝐼=∫ln𝑥𝑑𝑥
2
1.
a. Evaluați numeric această integrală prin metoda trapezelor, cu 4 subintervale și
comparați rezultatul cu valoarea exactă;
b. Ce număr de subintervale trebuie ales, astfel încât să avem o eroare inferioară lui
10-2 ?
M. Racil ă
102
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 1
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul urm ător:
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
2. Folosind metoda Krylov, s ă se determine p olinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunz ători pentru matricea:
−− −−
=
52 02 6202 7
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpoleaz ă datele urm ătoare:
ix 0 1 2 3
if 1 2 5 10
4. Se consider ă problema Cauchy:
()
=−−=′
325.12
2
yxy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 7.11=x , 9.12=x ,
1.23=x folosind o metodă Runge -Kutta de or dinul 2 cu pasul h = 0.2
M. Racil ă
103
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 2
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++−−=+−=++
3 2 41 2 6 512 2 5
3 2 13 2 13 2 1
xx xx x xxx x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−− −−
=
52 02 6202 7
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 2 5 10
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
325.12
2
yxy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 7.11=x , 9.12=x ,
1.23=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.2
M. Racil ă
104
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 3
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=+−=++=++
8 3 4 90 7 6 58 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−
=
03 16 9 16 5 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează da tele următoare:
ix 1 1.5 2 2.5
if 0 1 2 -1.5
4. Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
M. Racil ă
105
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 4
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se re zolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−−=++=−+
7 4 261 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx xx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
=
410142114
A
3. Să se determine poli nomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 3 5
if 4 6 -2 -6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punc tele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
M. Racil ă
106
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 5
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
−=+−=++=++
8 3 4 90 7 6 58 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru m atricea:
−−−−
=
03 16 9 16 5 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 1.5 2 2.5
if 0 1 2 -1.5
4. Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
M. Racil ă
107
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVE RSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 6
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
=+−−=++=−+
7 4 261 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx xx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
410142114
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 3 5
if 4 6 -2 -6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.01=x , 5.02=x ,
75.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.25
M. Racil ă
108
FACULTATEA DE AUTOMAT ICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 7
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=−+=+−=++
214 5 31 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristi c, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
210111012
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 5
if 3 -1 8
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
2311
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.11=x , 2.12=x ,
3.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.1
M. Racil ă
109
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 8
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
−=−+=+−=++
214 5 31 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
=
210111012
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 5
if 3 -1 8
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
2311
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.11=x , 2.12=x ,
3.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.1
M. Racil ă
110
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 9
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+−−=+=+
3 3 3 22 21 2
3 2 13 12 1
x x xxxxx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 00320111
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 5 17
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
2012
yx y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.1
M. Racil ă
111
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 10
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR – Doolittle sistemul următor:
=+−−=+=+
3 3 3 22 21 2
3 2 13 12 1
x x xxxxx
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 00320111
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 5 17
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
2012
yx y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 1.01=x , 2.02=x ,
3.03=x folosind o metodă Euler cu pasul h =0.1
M. Racil ă
112
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 11
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu me toda lui Gauss sistemul următor:
=++=++=++
4 6 3 25 5 43 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−−−
=
4 5 36 7 36 3 1
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 4 5 7
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++=′
1013 2
yx xyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x , 5.13=x
folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
M. Racil ă
113
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 12
Timp d e lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR – Doolittle sistemul următor:
=++=++=++
4 6 3 25 5 43 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−−−−
=
4 5 36 7 36 3 1
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 0 1 2 3
if 1 4 5 7
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++=′
1013 2
yx xyy
Să se determine sol uția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x , 5.13=x
folosind o metodă Euler cu pasul h =0.5
M. Racil ă
114
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 13
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul urm ător:
=++=+−=++
12 49 3 26
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, s ă se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunz ători (daca este posibil) pentru matricea:
−−−
=
49 637 525 4
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpoleaz ă datele urm ătoare:
ix -3 -2 0 1
if 91 23 1 -1
4. Se consider ă problema Cauchy:
()
=−+=′
218
22
yxyxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 2.11=x , 4.12=x ,
6.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h = 0.2
M. Racil ă
115
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 14
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++=+−=++
12 49 3 26
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−=
1 10010112
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix -3 -2 0 1
if 91 23 1 -1
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−+=′
218
22
yxyxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 2.11=x , 4.12=x ,
6.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.2
M. Racil ă
116
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 15
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss s istemul următor:
=++=++=++
7 3 211 2 5 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători (daca este posibil) pentru matricea:
−−−=
2 1 44 3 42 1 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0 1
if -12 -5 -4 -3
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
5.0141
22
yx xyy y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în puncte le 5.11=x , 22=x ,
folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
M. Racil ă
117
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 16
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR -Doolittle sistemul următor:
=++=++=++
7 3 211 2 5 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
−−−
=
15 021101 1
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0 1
if -12 -5 -4 -3
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−−=′
5.0141
22
yx xyy y
Să se determine soluția apr oximativă a acestei probleme în punctele 5.11=x , 22=x ,
folosind o metodă Euler cu pasul h =0.5
M. Racil ă
118
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 17
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=++=++=++
7 3 310 3 5 24 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători pentru matricea:
=
113131311
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 4 5
if 2 5 10 17 26
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
1012
yxyy
Să se determine soluția apro ximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x ,
5.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.5
M. Racil ă
119
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATE A DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 18
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR sistemul următor:
=++=++=++
7 3 310 3 5 24 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii propri i corespunzători pentru matricea:
−−−=
10 7 412 9 46 4 3
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 4 5
if 2 5 10 17 26
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
1012
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 5.01=x , 12=x ,
5.13=x folosind metoda Euler cu pasul h =0.5
M. Racil ă
120
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATO ARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 19
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii proprii corespunzători ( daca este posibil) pentru matricea:
−−−−−
=
02 22 2 33 5 6
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 5
if 2 3 0 6
4. Se consideră p roblema Cauchy:
()
=++−=′
2112
yx x y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o metodă Runge -Kutta de ordinul 2 cu pasul h =0.25
=−+=+−=++
3 2 36 3 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxxx x
M. Racil ă
121
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 20
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factorizării LR – Doolittle sistemul următor:
=−+=+−=++
3 2 36 3 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
2. Folosind metoda K rylov, să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii si vectorii
proprii corespunzători pentru matricea:
=
102021003
A
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 5
if 2 3 0 6
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=++−=′
2112
yx x y
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme în punctele 25.11=x , 5.12=x ,
75.13=x folosind o met odă Euler cu pasul h =0.25
M. Racil ă
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 21
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0
if -12 -5 -4
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători pentru matricea:
−−−−−
=
4 1 221 29 3 7
A 4. Aproximați valoarea integralei ∫1
𝑥2+1𝑑𝑥1
0, folosind
metoda lui Simpson pe 2 subintervale.
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 22
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix -2 -1 0 1
if -12 -5 -4 -3
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea:
𝐴=�33
22 2 1
31
1 0
11 01
10� 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yx yy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.01=x , 5.02=x , 75.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.25
M. Racil ă
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 23
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor:
=+++=+++−=+++−=+++
4 5 3 74 3 7 54 7 5 34 7 5 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix -2 -1 1
if -12 5 -3
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători (dacă este posibil ) pentru matricea:
−=
422111311
A 4. Estimați ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥3/2
1/2, plecând de la datele următoare:
ix 1/2 1 3/2
if 2 2 1,63
utilizând metoda trapezului .
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 24
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=+++=+++−=+++−=+++
4 5 3 74 3 7 54 7 5 34 7 5 3
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xxx xx xxx x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix -2 -1 1 3
if -12 5 -3 23
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea:
𝐴=�12
10 −2 3
−14
0 1
0−1 0−3
1 3� 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
1012
yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 2.01=x , 4.02=x , 6.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.2
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 25
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
−=+−=++−=+−
2 3 4 4 26 2
3 23 2 12 1
x xxx xx x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix 0 1 3
if 1 -1 73
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători (dacă este posibil ) pentru matricea:
−−
=
55 31 012 30
A 4. Estimați ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥2
0, plecând de la datele următoare:
ix 0 1/2 1 3/2 2
if 3/2 2 2 1,63 1,25
utilizând metoda trapezului .
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 26
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
−=+−=++−=+−
2 3 4 4 26 2
3 23 2 12 1
x xxx xx x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix -2 0 1 3
if 23 1 -1 73
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea:
( -2 0 1 2 ) 1 1 2 3
0 -2 -3 1
1 -1 1 2
4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
00yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 2.01=x , 4.02=x , 6.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.2
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 27
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
=++=+=+++=+++
206 3 2 22 2 3 3
3 2 14 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix 2 4 6
if 3 11 27
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători pentru matricea:
−−−=
21 11 211 1 2
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
00yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.01=x , 5.02=x , 75.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.25
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 28
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=++=+=+++=+++
206 3 2 22 2 3 3
3 2 14 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix 2 4 6
if 3 11 27
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul caracteristic și valorile proprii pentru
matricea:
𝐴=�2−2
1−1 −13
0 1
−3 0
0 0 17
02� 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
00yxyy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.01=x , 5.02=x , 75.03=x folosind o
metod ă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 29
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 9 65
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic pentru matricea:
−−−−
=
123 13 6 21 2 4
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yx yy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 1.01=x , 2.02=x , 3.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.1
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 30
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
−=+−−=++−−−=−−+=−−+
6 15 5 314 9 52 10 7 6 23 4 2 3
4 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x xx x xxx x x xx x x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix 0 2 4
if 1 9 65
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea:
𝐴=�54
45 1 1
11
1 1
11 42
24� 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
002
yx yy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 1.01=x , 2.02=x , 3.03=x folosind o
metod ă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.1
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 31
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
=+−=++=++
1 3 4 90 7 6 57 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x 3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix -1 1 2
if 2 1 1
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători pentru matricea:
−=
1101 11051
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
105
yy xy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.01=x , 5.02=x , 75.03=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.25
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 32
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=+−=++=++
1 3 4 90 7 6 57 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x 3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix -1 1 2
if 2 1 1
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul caracteristic și valorile proprii pentru
matricea:
−=
1101 11051
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=−=′
105
yy xy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.01=x , 5.02=x , 75.03=x folosind o
metod ă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 33
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
=−+=+−−=++−
3 46 36 2 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx xx
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix -3 -2 0
if 91 23 1
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători (dacă este posibil) pentru matricea:
−=
11 0240212
A 4. Aproximați valoarea integralei ∫1
𝑥2+4𝑑𝑥2
0, folosind
metoda lui Simpson pe 2 subintervale.
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 34
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=−+=+−−=++−
3 46 36 2 4
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx xx
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix -3 -2 0 1
if 91 23 1 -1
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea:
𝐴=�11
02 3−1
1 1
1 0
00 1−2
0 2� 4. Se consideră problema Cauchy:
()
==′
214
yyxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 1.11=x , 3.12=x , 5.13=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.2
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 35
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
=+−−=−+=+−
5 2 31 210 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x 3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix 0 1 2
if 1 4 15
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic și valorile proprii pentru matricea:
−− =
32 02 420 23
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
211
yxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.11=x , 5.12=x , 75.13=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.25
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 36
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=+−−=−+=+−
5 2 31 210 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx xxx x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix 0 1 2
if 1 4 15
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic și valorile proprii pentru
matricea:
−− =
32 02 420 23
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
211
yxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 25.11=x , 5.12=x , 75.13=x folosind o
metod ă Runge -Kutta de ordinul II cu pasul h =0.25
M. Racila
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 37
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda lui Gauss sistemul următor :
=−−=−+=++
2 2 27 2 22 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Lagrange ce
interpolează datele următoare:
ix 2 3 4
if 3 -1 0
2. Folosind metoda Krylov, să se determine polinomul
caracteristic, valorile proprii ș i vectorii proprii
corespunzători pentru matricea:
−−−−
=
1 010 111 1 1
A 4. Se consideră problema Cauchy:
()
=+=′
211
yxy
Să se determine soluția aproximativă a acestei probleme
în punctele 1.11=x , 2.12=x , 3.13=x folosind o
metod ă Euler cu pasul h =0.1
FACULTATEA DE AUTOMATICA, CALCULATOARE SI ELECTRONICA
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
EXAMEN
SUBIECT NR. 38
Timp de lucru : 2 ore
1. Să se rezolve cu metoda factoriz ării LR sistemul
următor:
=−−=−+=++
2 2 27 2 22 3 2
3 2 13 2 13 2 1
x xxxx xx x x
3. Să se determine polinomul de interpolare Newton ce
interpolează datele următoare:
ix 1 2 3 4
if 1 3 -1 0
2. Folosind metoda minorilor diagonali , să se determine
polinomul c aracteristic pentru matricea următoare:
𝐴=�00
10 0−1
0 2
0 1
00 0−3
1 4� 4. Aproximați valoarea integralei ∫1
𝑥2+1𝑑𝑥1
0, folosind
metoda trapezului pe 4 subintervale.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metode Numerice – [622230] (ID: 622230)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.