METODE MONTE CARLO Î N ESTIMAREA SENSIBILITĂȚILOR Conducăto r științific Student: Conf. dr. Romeo – Iosif NEGREA Trika Adrian Timișoara, 2018 2 C U P… [610343]

UNIVERSITATEA ”POLITEHNICA” DIN TIMIȘOARA
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

LUCRARE DE DISERTAȚIE

METODE MONTE CARLO Î N ESTIMAREA
SENSIBILITĂȚILOR

Conducăto r științific Student: [anonimizat] – Iosif NEGREA Trika Adrian

Timișoara, 2018

2
C U P R I N S

CAPITOLUL I ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 3
PROBLEMATICA METODEL OR MONTE CARLO. ………………………….. ………………………. 3
FUNDAMENTARE TEORETI CĂ ………………………….. ………………………….. ………………………. 3
CAPITOLUL II ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 4
MODELĂRI STOCHASTICE ÎN FINANȚE. ………………………….. ………………………….. ………. 4
NOȚIUNI ȘI TERMENI FINANCIARI ………………………….. ………………………….. ……………….. 4
2.1. Piața financiară ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 4
2.1.1. Valori mobiliare primare ………………………….. ………………………….. …………………….. 5
2.1.2. Valori mobilia re derivate ………………………….. ………………………….. ……………………. 5
2.2. Piața OBLIGAȚIUNILOR ………………………….. ………………………….. …………………….. 6
2.2.1. Tipuri de obligațiuni ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 6
2.2.2. Elemente de gestiune a riscului pe piață obligatară ………………………….. …………….. 8
CAPITOLUL III ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 9
METODE MONTE CARLO Î N INGINERIA FINANCI ARĂ. ………………………….. …………… 9
ESTIM AREA SENSIBILITĂȚILO R ………………………….. ………………………….. …………………… 9
3.1. Aproximări diferențe -finite ………………………….. ………………………….. ……………………… 10
3.1.1. Distorsionare și variație ………………………….. ………………………….. …………………….. 10
3.1.2. MSE optim (ero area mediei la pătrat) ………………………….. ………………………….. …. 14
3.2. Estimarea derivatelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 20
3.2.1. Metode și exemple ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 20
3.2.2. Condiții pentru ne -distorsionare ………………………….. ………………………….. …………. 27
3.2.3. Aproximări și alte metode ………………………….. ………………………….. …………………. 31
3.3. Metoda raportului probabilității ………………………….. ………………………….. ……………….. 37
3.3.1. Metodă și exemple ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 38
3.3.2. Proprietăți ale distorsionării si variației ………………………….. ………………………….. . 45
3.3.3. Gamma ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 49
3.3.4. Aproximări și alte metode ………………………….. ………………………….. …………………. 52
Capitolul IV ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 58
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 58
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 60

3

CAPITOLUL I

PROBLEMATICA METODEL OR MONTE CARLO.
FUNDAMENTARE TEORETI CĂ

În perioada de dezvoltare a energiei atomice de după cel de al doilea război mondia l s-
a ajuns la necesitatea rezolvării problemei de difuzie a neutronului sau a transportului
neutronului într -un mediu izotrop (mediu care are aceleași proprietăți în orice direcție).
Această problemă modelat ă ca un sistem de ecua ții diferențiale parțiale s-a dovedit foarte dificil
de rezolvat prin ecuații cu diferențe.
Exista însă un rezultat prin care se stabilea analogia dintre ecuațiile integro –
diferențiale și procesele stochastice. În acest context, John von Neumann și Stanislaw Ulam de
la Los Alamos National Laboratory(S.U.A.) au sugerat că s -ar putea obține o aproximație
utilizabilă a soluției căutate prin realizarea de experimente bazate pe numere aleatoare
efectuate pe calculatoare digitale. Ei au denumit această metodă Monte Carlo după cazinourile
de la Monte Carlo ale căror rulete pot fi considerate instrumente de generare a numerelor
aleatoare.
Aceast ă propunere a inversat modul de raționament de până atunci. În locul utilizării
ecuațiilor cu diferențe pentru a obține soluții ale problemelor pro babiliste, se generează
selecții prin experimente cu numere aleatoare pentru a se obține soluții ale unor ecuații
integro -diferențiale, care nu sunt în mod necesar de natură probabilistă. Punerea în practică a
metodei propuse de von Neumann și Ulam a fost posibilă și datorită progreselor obținute în acea
perioadă în domeniul calculatoarelor digitale.
Deși decepțional de simplă în concept, metoda Monte Carlo furnizează soluții
aproximative pentru o mare varietate de probleme matematice. În prezent, metoda d e simulare
Monte Carlo se aplică din ce în ce mai mult în domeniul afacerilor, pentru analiza
problemelor stochastice sau în condiții de risc, atunci când aceeași direcție de acțiune poate
avea mai multe consecințe, ale căror probabilități se pot estima. V ariabilele ale căror valori nu
sunt cunoscute cu certitudine, dar pot fi descrise prin distribuții de probabilitate se numesc
variabile stochastice sau probabiliste.

4
În simulare, pentru a imita variabilitatea unei astfel de variabile este necesară
genera rea valorilor posibile pe baza distribuției sale de probabilitate. Probabilitățile au un rol
important în modelarea situațiilor în care intervin mărimi stochastice. În simulare,
cunoștințele despre probabilități sunt necesare atât în faza de construire a m odelului de
simulare cât în faza de analiză a rezultatelor simulă rii.
La ora actuală metodele Monte Carlo se aplică cu succes în diferite domenii ale științei
și tehnologiei: în simularea sistemelor de transmitere a informației, simularea circuitelor, în
simularea proceselor de producție, a sistemelor de producere a energiei electrice, a modelelor
financiare și a celor de asigurări, a mișcării browniene, simularea transmiterii epidemiilor sau
efectelor radiațiilor asupra organismelor vii. Simularea Monte Carlo se folosește cu succes și
pentru studiul unor fenomene naturale: seisme, evoluția vremii, evaluarea zăcămintelor de
minereuri.
Metodele Monte Carlo se folosesc pe scară largă în statistică, atunci când se dezvoltă
noi tehnici de analiză a datelor. P entru a evalua metodologia propusă se estimează parametrii
prin metode Monte Carlo.

CAPITOLUL II
MODELĂRI STOCHASTICE ÎN FINANȚE
NOȚIUNI ȘI TERMENI FINANCIARI

2.1. Piața financiară

Piața financiară reprezintă o piaț ă speci alizată unde se întâlnesc și se reglează în mod
liber cererea și oferta de active financiare pe termen mediu și lung.
În funcție de momentul în care se realizează tranzacția, piața financiară se împarte în
două segmente:

1. Piața primară. Este piața pe care emisiun ile noi de val ori mobiliare sunt negociate
pentru prima dată. Concret, este vorba de procesul prin care intermediarii

5
financiari, care de regulă fac legătura între societatea emitentă și investitori, se
obligă să plaseze valori mobiliare noi emise în schimbul unui comision .
2. Piața secundară. Funcționarea efec tivă a pieței secundare se realizează prin
intermediul piețelor de negoc ieri sau organizate: este în pr incipal vorba de bursa de
valori și de piața extrabursieră.

Valorile mobiliare sunt titluri de proprietate sau crean ță care conferă titularului
anumite drepturi bine stabilite asupra unor entități ale societății emitente. Sunt înscrisuri
(documente de valoare) ce pot fi transformate oricând în bani pe piața de capital. În sens
restrâns, valorile mobiliare sunt acțiunile și obligațiunile emise de o sociatate comercială.

2.1.1. Valori mobiliare primare

Acțiunile sunt titluri ce atestă un drept de proprietate asupra unei părți a capitalului
social al societății emitente.
Obligațiunile reprezintă un titlu de creanță asup ra societății emitente.
Obligațiunile nu conferă aceleași drepturi ca și acțiunile, dar posesorul lor beneficiază
de o dobândă periodică fixă și, la expirarea perioadei de împrumut, de rambursarea sumei
plătite pentru cumpărarea obligațiunile.

2.1.2. Val ori mobiliare derivate

Valorile mobiliare derivate se tra nzacționează la bursele de valo ri sau la bursele de
mărfuri sau la burse specializate, reprezentând contracte futures, opțiuni și tranzacții la
termen. Tipuri de contracte bursiere sunt, după cum u rmează:
– contract spot (la termen);
– contract forward ;
– contract futures ;
– contract options .

6
2.2. Piața OBLIGAȚIUNILOR

Obligațiunea este un titlu financiar negociabil care asigură deținătorului său un drept
de creanță pe termen lung asupra emitentului titlului.
2.2.1. Tipuri de obligațiuni

Obligațiunile sunt grupate în funcție de două componente:
– natura obligațiunilor;
– modul de recompensare.
1. Gruparea titlurilor financiare obligate după natura obligațiunii

a) Obligațiunile clasice sau ordinare asigură acele ași drepturi de creanță pentru
aceeași valoare nominală. După forma de prezentare se împart în:

– obligațiuni nominative;
– obligațiuni la purtător;
– rente perpetue;
– obligațiuni amortizabile;
– obligațiuni asimilate tre zoreriei;
– obligațiuni indexate;

Caracterisicile esențiale ale unei obligațiuni clasice sunt:

– Valoarea nominală (V n)
– Venitul anual (V a) este: Va= V n+D, unde D = rata dobânzii
– Prețul de emisiune (P e)
– Prețul de rambursat (P r)

Obligațiunile pot fi rambursate la un preț superior sau la un preț egal sau la un preț
inferior.
Rata randamentului anual se calculează folosind formula de mai jos:
Rra =
aniNrPeVn aniNr Va
. *) (Pr) . * (  * 100

7
unde R ra = rata randamentului anual, iar Nr.ani = numărul anilor pentru care se lansează
împr umutul

b) Obligațiunile rambursabile în acțiuni , după forma de prezentare se împart în:
– obligațiuni convertibile;
– obligațiuni cu bonuri pentru subscripția în acțiuni;
– obligațiuni cu bonuri pentru subscripția în obligațiuni;
– bonuri de t ezaur;
– obligațiuni cu cupon zero;
– obligațiuni reînoibile ale tezaurului;
– obligațiuni asimilabile tezaurului.

2. Gruparea titlurilor financiare obligate după modul de recompensare

Din punct de vedere al tipului de recompensare titlurile fi nanciare obligatare se
grupează în trei categorii:
– obligațiuni cu rata dobânzii fixă;
– obligațiuni cu rata dobânzii variabilă și revizuibilă;
– obligațiuni indexate și participative.
Fluxurile financiare care apar ca urmare a emisiunii titlurilor obligatare s unt:
– fluxul prețului plătit;
– fluxul plății cuponului;
– fluxul rambursării.
Pentru a determina randamentul actualizat al unui titlu obligatar sunt necesare
următoarele informații:
a) prețul de cumpărare;
b) data cumpărării;
c) valoarea totală;
d) data plății cupoanele;
e) prețul de rambursare a titlului obligatar;
f) data rambursării.

8
Modalitățile de recompensare a economiilor plasate în titlurile obligatare cu rată
variabilă depind de patru factori, care constituier variabilele de caracterizare a acestor titluri.
Acestea su nt:
a) indicele de referință;
b) perioada de referință;
c) limita contractuală;
d) limitele recompensării.

2.2.2. Elemente de gestiune a riscului pe piață obligatară

Durata de viață lungă a împrumuturilor obligatare și evoluția generală a ratei dobânzii
la diferit e forme de plasament fac ca mijloacele de măsură și comparare (rata dobânzii
nominale și rata randamentului) să nu fie suficientă pentru analiza riscului.
Aprecierea riscului reprezentat de ra ta dobânzii, reprezintă analiza sensibilității,
variabilității și volatilității titlurilor obligatare.

1. Sensibilitatea (S) reflectă amploarea cu care cursul acestuia reacționează la
modificarea ratei dobânzii, care este direct proporțională cu durata sa de viață.
Sensibilitatea reprezintă variația cursului în funcț ie de rata randamentului și se
măsoară prin derivata logaritmică a cursului în raport cu rata randamentului actualizat.
Lipsa de precizie a acestei metode de analiză a făcut necesară recurgerea la o metodă
mai riguroasă, respectiv analiza duratei (de viață ) a unei obligațiuni.
Durata unei obligațiuni reprezintă durata medie de viață a unei obligațiuni, calculată
pentru a aprecia volatilitatea (fluctuația cursurilor sau a rentabilității) acesteia în raport cu
variația ratelor dobânzii pe piață.
Durata de via ță a unui împrumut obligatar reprezintă viața medie a fluxurilor
actualizate cu rata randamentului actualizat la data analizei.

2. Variabilitatea (v) reprezintă fluctuația cursurilor titlurilor față de randament. Se
mai numește și variația absolută a curs urilor.

9
3. Volatilitatea (V) sau variația relativă a cursurilor în raport cu rata randamentului,
reprezintă fluctuația cursurilor sau a rentabilității negociate față de medie (+
valoarea l a capitalul investit)
CAPITOLUL III

METODE MONTE CARLO Î N INGINERIA F INANCIARĂ.
ESTIMAREA SENSIBILIT ĂȚILOR

Acest capitol dezvoltă metode de estimare a sensibilităților previziunilor, în speță a
derivativelor prețurilor derivativelor, numite „Greeks‖. Din di scuția prezentă , știm că într -un
scenariu ideal de activități com erciale neîntrerupte pe o piață completă, amortizarea unei
reclamații neprevăzute poate fi realizată (acoperită) prin comerțul activelor subiacente. Riscul
pe termen scurt într -o opțiune, de exemplu, este compensat de către strategia de acoperire –
delta ce constă în menținerea unităților delta a fiecărui activ subiacent, unde delta reprezintă
derivativul parțial a prețului opțiunii în funcție de prețul curent al activului subiacent.
Implementarea strategiei necesită cunoștințe referitoare la sensibilitățile acestor prețuri;
sensibilitățile raportate la alți parametri sunt sunt de asemenea foarte des utilizate pentru a
măsura și gestiona riscul. În timp ce prețurile în sine pot fi adesea observate pe piață,
sensibilitățile lor nu pot fi observate, în conseci nță un calcul exact al acestora este indiscutabil
mai important decât calculul prețurilor. Cu toate acestea, vom vedea că estimarea
sensibilităților aduce provocări atât teoretice cât și practice la simularea Monte Carlo.
Metodele pentru estimarea sensibil ităților discutate în acest capitol se împart în două
mari categorii:
– metode care implică simularea la două sau mai multe valori a parametrului de
diferențiere și
– metode care nu implică această procedură.
Prima categorie – aproximări diferență –finită – sunt cel puțin superficial de ușor de
înțeles și aplicat; însă, pentru că produc estimări influențabile, utilizarea lor necesită
distorsionări balansate și variație. Acest lucru este realizat prin utilizarea informațiilor despre
procesul stocastic si mulat pentru a înlocui diferențierea numerică cu calcul exact. Metoda

10
pathiwse diferențiază fiecare rezultat simulat în funcție de parametrul de interes; metoda
proporțiilor probabile diferențiază o densitate a probabilității și nu un rezultat.

3.1. Apro ximări diferențe -finite

Luați în considerare un model care depinde de un parametru θ variind într -un interval
de timp real. Presupunem că pentru fiecare valoare a lui θ avem un mecanism pentru
generarea aleatorii a unei variabile Y(θ), reprezentând rezul tatul modelului la parametrul θ.

Problema estimării derivative constă în găsirea unei modalități de a estima α` (θ), derivativul
lui α în funcție de θ.
În aplicația de opțiune a prețurilor, Y(θ) este plata cu discount a unei opțiuni, α (θ) este
prețul acesteia, iar θ poate fi oricare dintre numeroasele modele de parametrii sau parametrii
de piață care influențează prețul. Atunci când θ este prețul inițial al unui activ subiacent,
atunci α` (θ) este delta opțiunii (în funcție de acel activ). Cel de -al do ilea derivativ, α‖(θ) este
gama opțiunii. Atunci când θ este un parametru volatil, α` (θ) este adeseori numit „vega‖.
Pentru derivativele ratelor dobânzilor, sunt importante sensibilitățile prețurilor la structura
inițială (așa cum este reprezentată de ex. de către curba de randament sau cea de
previzionare).

3.1.1. Distorsionare și variație

O abordare previzibilă a estimării derivativelor se desfășoară după cum urmează.
Simulați subeșantioane independente Y 1(θ) ,…………… Y n(θ) ale modelului la parametrul
(θ) și n subeșantioane adiționale Y 1(θ + h),……… Y n(θ + h) la θ + h, pentru h > 0. Faceți
media fiecărui set de subeșantioane pentru a obține Y n(θ) și Y n(θ + h) și formulați estimatorul
diferenței previzionate.

Acest estimator are următoarea perspecti vă:

11

Nu am menționat tipul de relație, în cazul în care aceasta există, dintre rezultatele Y i(θ) și Y i(θ
+ h); acest lucru va avea importanță atunci când vom aduce in discuție variația, însă ( 7.1) este
doar proprietatea distribuirii marginale a rezulta telor la θ și θ + h.
Dacă α este dublu diferențiabil la θ, atunci

În acest caz, urmează ca de la ( 7.2) distorsionarea in estimatorul diferenței
previzionare este

Prin simularea la θ – h și θ + h, putem crea un estimator de diferență centrală

Acest estimator este adeseori mai costisitor decât estimatorul diferenței previzionate.
Dacă scopul final este estimarea α (θ) și α’ (θ), atunci vom simula la θ pentru a estima α (θ) ,
așadar estimatorul diferenței previzionate necesită simulare doar la u n singur punct adițional θ
+ h, în timp ce estimatorul diferenței centrale necesită simulare la două puncte adiționale. Însă
acest efort computațional duce la o îmbunătățire a ratei convergente a distorsionării. Dacă α
este cel puțin dublu diferențiabil în vecinătatea lui θ, atunci

așadar scăderea elimină termenul de gradul doi, lăsând

de ordin mai mic decât ( 3.3). Dacă α‖ este diferențiabil la θ, putem perfecționa ( 3.5) la

Distorsionare

Distorsionare

Distorsionare

12
Acuratețea superioară a unei aproximări a diferenței centrale compara te cu aproximarea
diferenței previzionate este ilustrată în fig. 3.1. Curba din figură proiectează formula Black –
Scholes peste prețul activului subiacent cu o volatilitate de 0.30, o rată a dobânzii de 5% , un
preț de exercitare al opțiunii de 100 și 0.04 ani (aproximativ două săptămâni) de valabilitate.
Figura compară linia tangențială la 95 cu o diferență previzionată calculată din prețurile la 95
și 100 și o diferență centrală folosind prețurile la 95 și 100. Panta liniei diferenței centrale este
mult m ai aproape de cea a liniei tangențiale.
În diferențierea numerică a funcțiilor evaluate prin intermediul algoritmilor
determiniști, rotunjirea erorilor rezultate din valori mici ale lui h limitează acuratețea
aproximărilor diferenței finite. (Vezi de exemplu discuția din secțiunea 7 .3). În aplicațiile
Monte Carlo, variabilitatea estimării valorilor funcției nu permite valori foarte mici ale lui h.
Așadar, deși este recomandat să luați în calcul posibile erori rotunjite, această procedură este
rar un obsta col pentru estimarea acurată a derivativelor în simulare.

Variație

Forma distorsionării estimatorilor pentru diferența centrală și cea previzionată ar
îndruma către valori chiar și mai mici ale lui h pentru a îmbunătăți acuratețea, cel puțin dacă
ignorăm limitele preciziei mașinii. Însă efectul lui h asupra distorsionării trebuie pus în
balanță cu efectul lui h asupra variației.
Variația estimatorului de diferențe previzionate ( 3.1) este

Preț Black –
Scholes

13

Pret activ subiacent
Fig. 3.1 Comparație î ntre aproximarea diferenței centrale (linie întreruptă) și aproximarea
diferenței previzionate (linie punctată) cu tangenta exactă la formula Black -Scholes

.

și o formulă corespondentă există în cazul estimatorului de diferență centrală ( 7.4). În amb ele
cazuri, factorul h-2 ne atenționează despre posibile consecințe dezastroase în cazul alegerii
unei valori h foarte mici. Ecuația ( 7.3) subliniază de asemenea faptul că dependența dintre
valorile simulate la diferite valori ale lui θ afectează varianța unui estimator de diferență
finită.
Presupunând, pentru simplificare, că perechile (Y (θ), Y (θ+h)) și (Y i (θ), Y i (θ+h)), i=
1,2,…., sunt independent și identic distribuite astfel încât

Variant a în ( 7.3) se modifică cu h determinată de dependența V ar [Y (θ+h – Y (θ)] pe h.
Trei cazuri importante sunt observabile în practică:

Cazul (i) se aplică dacă simulăm independent Y (θ) și Y (θ+h); în acest caz avem:

cu ipoteza că Var[Y (θ)] este continuu în θ. Cazul (ii) reprezintă consecința tipi că a simulării
Y (θ+h) și Y (θ) folosind numere generate aleatoriu; din cadrul aceleași secvențe U 1, U2…..a
Unif[0,1] variabile aleatorii. (În practică, această variantă este realizabilă prin inițializarea
simulărilor la θ și θ+h cu aceiași nucleu pentru g eneratorul de numere aleatorii.) Pentru cazul
(iii), avem nevoie nu doar ca Y (θ) și Y (θ+h) să folosească aceleași numere aleatorii ci și ca

Ca
z Caz
Caz

14
(aproape) pentru toate valorile numerelor aleatorii, rezultatul Y (.) să fie continuu în intrarea
θ. Vom discuta m ai mult pe marginea cazului (iii) în secțiunea 3.2.2.

3.1.2. MSE optim (eroarea mediei la pătrat)

Deoarece scăderea valorii lui h poate duce la creșterea varianței și la scăderea
distorsionării, minimizarea MSE necesită balansarea celor două considerați i. Creșterea
numărului de replici n scade variația fără nici un efect asupra distorsionării, în timp ce h
afectează atât distorsionarea cât și variația; scopul nostru este acela de a găsi relația optimă
dintre cele două. Acest echilibru este analizat de c ătre Glynn [153], Fox și Glynn [128] și
Zazanis [358] și în lucrările inițiale ale lui Forlov și Chentsov [130].
Considerați estimatorul de diferență previzionată cu simulare independentă la θ și θ+h.
Putem afirma ipoteza conform căreia Cazul (i) din ( 7.8) se poate aplica, iar pentru a sublinia,
putem denota acest estimator cu
. Ridicând la pătrat
distorsionarea în ( 7.3) și adăugarea ei la variația din ( 7.7) obținem

de unde observăm condițiile minime pentru convergență ca fiind h 0 și nh2
.
Pentru a sublinia o concluzie mai precisă, întărim cazurile (i) și (ii) din ( 7.8). Avem de luat în
considerare 4 estimatori: diferență previzionată și diferență centrală utilizând eșantioane
individuale sau numere aleatorii la valori diferite ale lui θ. Putem aplica un tratament unificat
al acestor cazuri considerând un estimator generic
pentru care

pentru
pozitive și pentru b non-zero. Estimatorii de diferență previzionată și centrală au
de obicei β = 1 și β = 2; η =2 accentuează Cazul (i) a l (7.8) iar η =1 accentuează Cazul (ii).
Considerați o secvență de estimatori
cu

pentru h*și γ pozitiv. Pe baza supozițiilor noastre asupra distorsionării și variației, obținem

15
până la termeni care sunt mai mari decât în hn. Valoarea lui γ care maximizează rata scăderii
MSE este
, de unde deducem că, cu o distorsionare mai mică (β mai mare),
putem utiliza o creștere mai mare a lui h. Dacă înlocuim această valoare a lui γ în (7.11) și
extragem rădăcina pătrată, observăm

iar aceasta este o măs ură rezonabilă a ratei de convergență a estimatorului.
Mergând mai departe cu această analiză, observăm că

minimizarea h* duce la o valoare optimă de

Rezultatele analizelor sunt cuprinse în Ta belul 3.1 pentru estimatorii de diferență previzionată
și centrală folosind eșantioane individuale sau numere aleatorii. Coloanele cu variația și
distorsionarea afișează doar valorile de bază și abreviază extensiile complete în ( 7.9). Tabelul
trebuie înțel es după cum urmează: dacă valorile de bază ale variației și distorsionării sunt cele
indicate în coloanele 2 și 3, atunci concluziile ultimelor 3 coloane sunt reale. Cernița ca b să
nu fie egal cu 0 în ( 7.9) se traduce în
și
pentru estimatorul de
previz ionare respectiv cel central. Rezultatele din tabel indică faptul că, cel puțin asimptotic,
domină asupra celorlalți trei estimatori deoarece afișează cea mai rapidă convergență.

Ratele convergenței ale estimatorilor de diferență previzionară cu creșt ere optimă a hn.
Estimatorii folosesc diferențe fie previzionare (F) fie centrale (C) și eșantioane independente
(i) sau numere aleatorii (ii).
Glynn [153] demonstrează o teoremă a limitei centrale pentru fiecare dintre cazurile din
tabelul 3.1. aceste rez ultate au forma

16
cu hn ca în ( 7.10) și
. Limita este valabilă pentru oricare h*>0; valorile optime
pentru h* în tabelul 3.1 minimizează al doilea moment al limitării variabilei normale aleatorii.
Pentru estimatorul de difere nță previzionară cu eșantioane independente, parametrul
de variație
este dat de

cu ipoteza continuității Var[Y (θ)]. Pentru că estimatorul de diferență centrală are un numitor
de
Parametrii
și
nu permit o descriere simplă. Valorile
acestora de pind de distribuția comună a (Y (θ+h), Y (θ), Y (θ -h)), care depind parțial de
algoritmul special folosit pentru simulare – algoritmi diferiți pot reacționa diferit la schimbări
într-un parametru de intrare cu numere aleatorii fixe. În contrast, Var[Y (θ)] este determinat
de distribuția marginală a aceleiași variații. Variația estimatorilor de diferență finită apare la
valorile optime ale lui h*; deși este puțin probabil ca acestea să fie cunoscute în avans, ele pot
fi estimate din încercări preliminarii și eventual combinate cu estimări brute ale derivativelor
lui α la aproximativ h*.
Cazul (iii) de la ( 7.8) nu este evidențiat în Tabelul 3.1. atunci când se aplică, eroarea
mediei la pătrat are forma

și nu există nici un echilibru între distorsionare și variație. Ar trebui să alegem cea mai mică
valoare posibilă a lui hn și atât timp cât
este delimitat, RMSE este
. Acest fapt
domină toate ratele de convergență din Tabelul 3.1.
. Diferența dintre Cazurile (ii) și (iii) este ilustrată în fig. 3.2. Fig ura compară erorile
relative RMS ale estimatorilor delta de diferență previzionată pentru o opțiune de plată
standard (S(T) – K)+ și o opțiune digitală de plată 1{S(T) >K}, cu parametrii model K = S(0)
= 100, σ = 0.30, r = 0.05 și T = 0.25. estimatorii de diferență previzionată utilizează numere
aleatorii, iar în acest exemplu înseamnă utilizarea aceluiași tipar de la distribuția normală
pentru a genera S(T) atât din S(0) cât și din S(0) + h. Acest exemplu este îndeajuns de ușor
pentru a permite calculul ex act al RMSE. Pentru a ușura comparația, în figură împărțim
fiecare RMSE la valoarea reală a lui delta pentru a obține o eroare relativă. Figura ilustrează
efectul variației lui h cu numărul de subeșantioane n fixat la 5000.
Opțiunea standard de cumpărare se potrivește în Cazul (iii) din ( 7.8); acest lucru va
deveni evident din analiza prezentă în secțiunea 3.2.2. așa cum am preconizat, eroarea RMS

17
relativă a acesteia descrește odată cu scăderea h. Opțiunea digitală se potrivește Cazului (ii)
astfel încât e roarea sa relativă explodează în momentul în care h se apropie de valoarea 0. Din
figură putem observa faptul că eroarea relativă de la opțiunea digitală este minimizată la o
valoare surprinzător de mare de aproximativ 4; de asemenea observăm faptul că pre țul alegerii
uni h prea mare este mult mai mic decât în cazul alegerii unui h prea mic.

Fig. 3.2. Erorile relative RMS la estimările delta de diferențe previzionare pentru opțiunea
standard și cea digitală ca funcție a incrementului h, cu n = 5000.

Extrapolare

Pentru o utilizare ușoară a
, distorsionarea estimărilor de diferență
finită poate fi redusă cu ajutorul extrapolării, asemănător cu secțiunea 3 .2.4. Această metodă
se aplică tuturor estimărilor de diferență finită discutate mai sus; exem plificăm în cazul

, estimatorul de diferență centrală folosind numere aleatorii.
O expansiune Taylor a lui α(θ) arată că

puterile impare ale lui h sunt eliminate cu ajutorul simetriei estimatorului de diferență
centrală. La fel,
Dimensiunea incrementului Eroare relativă
RMS

18
Rezultă că distorsio narea estimatorului combinat

este O( h4). La fel, RMSE a acestui estimator este O( n-4/9) dacă h este ales ca O( n-1/9). Cea de –
a noua rădăcină a lui n variază puțin peste mărimile mostrei practice n, astfel încât estimatorul
atinge o rate de convergență d e aproape n-1/2 cu hn aproape constant.

Derivate secundare

Analiza prezentă în Tabelul 3.1 se extinde, cu modificări evidente, la estimatorii de diferență
finită a derivatelor secundare. Considerați un estimator de diferență centrală de forma

Aștept ările sunt următoarele

dacă α este diferențiabil de patru ori. Distorsionarea este în acest caz O( h2).
Dacă valorile la θ și θ ± h sunt simulate independent una față de cealaltă, numărătorul
în 3.2 are variația O(1) la h, astfel variația ratei este O( h-4). Prin utilizarea numerelor aleatorii
putem reduce adesea variația numărătorului la O( h), dar chiar și în acest caz variația
estimatorului este O( h-3). Cu hn optim ales, rezultă o rată de convergență O( n—2/3) pentru
RMSE. Acest lucru face precisă ideea conform căreia estimarea derivatelor secundare este
mult mai dificilă decât estimarea celor primare.
Pentru situații în care se pune în aplicare cazul (iii) din ( 7.8) – cel mai favorabil caz
pentru estimarea derivatelor – estimatoruldin ( 3.2) are adesea variația O( h-1). Datorită ne –
diferențierii metodelor de echilibru, nu există exemple interesante în care variația
numărătorului din ( 3.2) să fie mai mică decât O( h3) și există suficiente exemple în care este
O(h).

Parametrii multipli
Luăm în considerar e varianta în care θ este un vector de parametrii (θ 1,……. θ m) și
dorim să obținem o estimare a sensibilității lui α(θ) = E[Y(θ)] la fiecare dintre acești

19
parametrii. O abrodare directă selectează incrementul hipentru fiecare θ 1 și estimatori

folosind

sau estimatorul de diferență previzionară corespunzător. În plus față de problema selectării
unui hi, această variantă constituie o provocare computațională. Necesită estimarea lui α(θ) la
2m+1 valori ale lui θ folosind diferențe centrale și m+1 valori fo losind diferențele
previzionare. Această dificultate devine și mai serioasă pentru derivatele secundare. Estimarea
diferenței finite a tuturor derivatelor secundare
necesită simulare la valorile
parametruluiO( m2). Acest lucru poate fi oneros dacă m este mare. În cazul prețurilor
derivatelor dobânzilor,de exemplu, ar putea să ne intereseze sensibilitățile în raport cu toate
ratele inițiale previzionate sau prețurile obligațiunilor, caz în care m poate fi cu ușurință 20
sau chiar mai mult.
Tehnicile de la proiectarea experimentelor și metodologia răspunsuluide suprafață pot
fi utile în reducerea numărului valorilor de parametrii la cea care simulează. Pentru această
formulare, ∆ Y denotă schimbarea lui Yrezultată din incrementarea fiecărui θ i cu hi, i = 1,… .m.
Problema estimării sensibilităților poate fi privită ca una de potrivire a unui model de primă –
ordine de forma

Sau un model de ordin secund de forma

Fiecare β i aproximează derivatul parțial a lui α față de θ i, 2βiiaproximative
, și
fiecare β ij, j≠ i. în ambele cazuri,
reprezintă o eroare reziduală.
Date fiind observațiile lui Yla diferite valori ale lui θ, coeficienții β i, βijpot fi estimați
folosindde exemplu, minimum pătratic sau minimul pătratic cântărit. Metodologia răspunsului
de suprafa ță (asemenea exemplului Khuri și Cornell [210]) oferă ghidaj pentru alegerea
valorilor θ care se vor măsura (simula)Y.
În terminologia designului experimental, simularea la toate punctele 2m definite prin
adăugarea sau scăderea hi la fiecare θ i, reprezi ntă un design total factorial. Simularea la puncte
mai joase poate adăuga distorsionare estimatorilor unor coeficienți. Însă prin reducerea
numărului de puncte la care este necesară simularea, putem crește numărul replicilor la fiecare

20
punct și reduce vari ația. Un design cu mai puține puncte oferă astfel o echilibrare între
distorsionare și variație.
Majoritatea lucrărilor de specialitate pe tema metodologiei răspunsului de suprafață
presupun reziduuri independente de -a lungul observațiilor. În simulare, avem flexibilitatea să
introducem dependență între observații prin desemnarea ieșirii generatorului de numere
aleatorii. Schruben și Margolin [323] analizează designul experimentelor de simulare în care
aceleași numere aleatorii sunt utilizate la multiple valori ale parametrului. Ei recomandă o
combinație de numere aleatorii și eșantioane antitetice de -a lungul valorilor parametrului.

3.2. Estimarea derivatelor

Secțiunea și următoarea dezvoltă alternative la metodele de diferențe finite care estimează
derivatele direct, fără simularea la valori multiple ale parametrului. Realizează acest lucru
prin prelucrarea de informații adiționale referitoare la dinamica și dependența parametrului
unui proces simulat.

3.2.1. Metode și exemple

În discuțiile noastre r eferitoare la media pătrată a erorii din secțiunea 3.1, am notat scăderea
MSE în Cazul (iii) de la ( 7.8) cu incrementul parametrului h. acest lucru sugerează faptul că
trebuie să lăsăm h să scadă până la 0 și să estimăm derivatul lui
folosind

Acest es timator are așteptări de
. Este un estimator nedistorsionat a lui α/ (θ) dacă

adică, dacă interschimbarea diferențierii și așteptării este justificată.
Chiar și înainte de a discuta despre valabilitatea lui ( 7.16), trebuie să clarificăm ce înțelegem
prin ( 7.15). Până în acest punct, nu am fost expliciți referitor la ce dependență, dacă ea există,

21
are variabila aleatorie Y asupra parametrului θ. În discuțiile noastre despre estimatorii de
diferențe finite, simbolul Y(θ) indica u n rezultat a lui indica un rezultat a lui Y simulat la
valoarea parametrului θ, însă nu determină o relație funcțională între cele două. Am notat că
relația dintre Y(θ) și Y(θ+ h) ar putea depinde de posibilitatea ca cele două rezultate să fi fost
simulate folosind numere aleatorii.
Pentru ca ( 7.15) să fie precis, avem nevoie de o colecție de variabile aleatorii
definite intr -un spațiu de probabilitate singulară
. Cu alte cuvinte,
Y(θ) este un proces stocastic indexat de
. Considerați că
este un inter val.
Putem fixa
și considera maparea
o funcție aleatorie pe
. Astfel
putem interpreta
ca fiind derivatul unei funcții aleatorii în raport cu θ
și
menținut fix. În ( 7.15) presupunem implicit că derivatul există cu probabilitate 1, iar
când acest luc ru funcționează, numim Y’(θ) derivatul corect a lui Y la θ.
Ca variantă practică, considerăm adesea că fiecare
este o realizare a rezultatului
unui generator ideal de numere aleatorii. Fiecare
este astfel rezultatul unui algoritm de
simulare la parametr ul θ cu numerele aleatorii menținute fixe. Valoarea acestui derivat
depinde, in parte, de felul în care implementăm un algoritm de simulare.
O să vedem prin intermediul exemplelor că existența cu probabilitate 1 a derivatului
corect Y’(θ) la fiecare θ se certifică. Acest lucru nu înseamnă că maparea
este o
funcție diferențiabilă pe
cu probabilitatea 1. Diferența stă în ordinea cuantificării: setul
excepțional de probabilitate 0 unde ( 7.15) încetează să mai existe poate și adesea depinde de
θ. Uniunea ac estor seturi excepționale pentru θ care variază peste
poate avea probabilitate
pozitivă.
Există numeroase lucrări de specialitate referitoare la estimarea derivatelor corecte în
literatura de simulare a evenimentelor discret, unde se numește de obicei a naliza perturbației
infinitezimală. Acest domeniu de activitate pornește de la Ho și Cao [186] și Suri și Zazanis
[339]; cu cadru general este dezvoltat la Glasserman [138]. Broadie și Glasserman [64] aplică
metoda pentru opțiunea de preț iar noi folosim o serie de exemple de la ei în prezenta lucrare.
Chen și Fu [80] au dezvoltat aplicații pentru titluri de valoare susținute cu ipotecă.
Pentru a ilustra derivația și scopul estimatorilor de derivative corecte, considerăm
următoarele exemple.

22
Exemplul 3.2.1. Black -Scholes delta . Derivativul pentru formula Black -Scholes referitor la
prețul inițial S(0) al activului subiacent poate fi explicit calculat și este dat de
în notația
(7.24). Calculul delta Black -Scholes nu necesită simulare, însă oferă un exemplu folositor
prin care se poate introduce metoda corectă.
Lăsați

cu

și luați θ ca fiind S(0), cu r, σ , T și K constante pozitive. Aplicând regula de derivare a
funcțiilor compuse pentru diferențiere obținem

Pentru primul din acești doi factori, obse rvăm că

Acest derivat nu mai există în cazul
. Însă deoarece
are probabilitate 0,
Y este aproape sigur diferențiabil fașă de S(T) și are derivat

Pentru cel de -al doilea factor din ( 3.18), observăm din ( 3.13) că S(T) este liniar în S(0)
cu
. Comb inând cei doi factori în ( 3.18), rezultă estimatorul
corect

care este ușor de calculat într -o simulare de S(T). Valoarea preconizată a acestui estimator
este într -adevăr delta Black -Scholes, așadar estimatorul este nedistorsionat.
O modificare minoră a acestei derivații produce estimatorul corect al Vega -uluiBlack –
Scholes. Înlocuiți ( 3.18) cu

23
Primul factor este neschimbat iar cel de -al doilea este ușor de calculat din ( 7.13). Combinând
cei doi factori obținem estimatorul corect

Valoarea preconizat ă a acestei formule este Vega Black -Scholes, așadar estimatorul este
nedistorsionat.
Folosind ( 7.13) putem elimina Z și scrie estimatorul Vega după cum urmează

Această formulare are calitatea de a nu depinde pe formula particulară în ( 7.13) pentru
simula rea S(T). Deși derivat folosind ( 7.13), acest estimator poate fi aplicat cu oricare alt
mecanism de eșantionare S(T) din repartiția logaritmică normală.
Acest exemplu ilustrează o perspectivă generală referitoare la capacitatea de
diferențiere prezentă l a începutul secțiunii. Luați în considerare rezultatul final cu discount Y
ca fiind funcție a lui S(0). Dacă fixăm oricare S(0) > 0, atunci Y este diferențiabil la S (0) cu
probabilitate 1, deoarece pentru fiecare S(0) formula
are probabilitate 1. Cu toat e
acestea, probabilitatea ca Y să fie o funcție diferențiabilă a lui (0) le la
este zero:
pentru fiecare valoare Z există S(0) unde Y nu este diferențiabil – cu alte cuvinte, S(T) = K
pentru valorile date a lui Z.

Exemplul 3.2.2. Delte dependente de tras eu. Similar exemplului precedent, presupuneți că
activul subiacent este modelat de mișcarea geometrică Browniană, însă acum lăsați rezultatul
să fie dependent de traseu. De exemplu, considerați opțiunea Asiatică

pentru o serie de date fixe
. Asemănător exemplului 3.2.1,

De asemenea,

Estimatorul corect al opțiunii delta este

24

Acest estimator este de fapt nedistorsionat; acest fapt rezultă dintr -un rezultat general în
secțiunea 3.2.2. Deoarece nu există formulă pentru prețul unei opțiuni Asiatice, ac est
estimator are valoare practică veritabilă. Deoarece
ar fi oricum simulat în procesul de
estimare a prețului opțiunii, acest estimator necesită un efort suplimentar neeligibil. Comparat
cu un estimator de diferență finită, acesta din urmă reduce variaț ia, elimină distorsionarea și
reduce la jumătate timpul de calcul.
Comentarii similare se aplică în cazul „revizualizări‖ împreună cu un rezultat cu
discount.

Estimatorul corect a lui delta simplifică la Y/S(0), care este de asemenea nedistorsiona t.
Folosind argumente similare, am putea deriva estimatorii corecți de delta si alte
derivate de opțiuni de barieră. Cu toate acestea, din motive discutate în secțiunea 3.2.2, acești
estimatori nu sunt nedistorsionați în general: o schimbare minoră la S( 0) poate rezulta într -o
schimbare majora a lui Y.

Exemplul 3.2.3. Vega dependent de traseu. Considerați sensibilitatea unei opțiuni Asiatice în
exemplul anterior la volatilitatea σ. Lăsați

cu Z 1…………,Z m independent N(0,1) variabile aleatorii. Parametru l σ afectează S(t i) explicit
prin relația sa funcțională însă și implicit prin dependența de S(t i-1) pe σ. Prin diferențierea
ambelor părți, obținem o recursivitate pentru derivate de -a lungul traseului:

Cu condiția inițială
, această recursivitate este rezolvată de

care poate fi scris de asemenea ca:

25
Estimatorul corect a l opțiunii Vega este

Acest exemplu ilustrează o tehnică generală pentru estimatorii corecți de derivație bazată pe
diferențierea ambelor părți ale unei formule recursive pentru evoluția unui activ subiacent.
Această idee este dezvoltată în secțiunea 3.2.3.

Exemplul 3.2.4. Opțiuni pe active multiple . Considerați că activele S 1……..,S d sunt modelate
de o mișcare multidimensională Browniană GBM (r,Ʃ) așa cum este definită în secțiu nea
3.2.3. Valorile acestora pot fi generate prin setarea

cu (X 1…,X d) rezultate din N(0,Ʃ). Rezultă că în prezenta construcție
, asemenea cazului cu o singura variație, și
.
O opțiune extinsă cu rezultat redus

are del ta cu privire la fiecare activ subiacent. O schimbare minoră la S i(T) afectează Y doar
dacă activul i a atins maximul și a depășit limita, așadar

Multiplicarea acestor formule cu
duce la estimatorul corect pentru delta i.

Am introdus aceste exemple d in perspectiva mișcării geometrice Browniene pentru simplitate,
însă formulele derivate în exemple se aplică mut mai general. Considerați un activ subiacent
S(t) descris de SDE

26
în care μ (t) și σ(t) pot fi stocastice dar nu au dependență față de S(0). Prețul activului la T
este

și avem în continuare . Într -adevăr, această formulă
pentru derivat este validă ori de câte ori S(t) este dat de S(0) exp (X(t)) pentru X care nu
depinde de S(0).

Exemplul 3.2.5. Rădăcina pătrată de difuzie . Ca un exemplu de proces care nu este liniar din
fază inițială, considerați rădăcina pătrată de difuzie.

Din secțiunea 3. 2.3 știm că X(t) are distribuția unei va riabile aleatorii unui chipătrat non –
central multiplu cu un parametru non -central proporțional cu X(0):

Vezi (3.68) – (3,70) pentru formule explicite pentru c 1, c2 și ν. Așa cum este explicat în
secțiunea 3. 2.4, dacă ν>1 putem simula X(t) folosind

cu Z ~ N(0,1) și
o variabilă normală chi pătrat aleatoriu cu ν -1 grade de libertate,
independent de Z. rezultă că:

Acest lucru generalizează o traiectorie simulată la datele t 1<t2<….. prin recursiunea

cu Z i+1 folosit pentru a genera X (t i+1) din X(t i). Coeficienții c 1,c2 depind de incrementul
temporal t i+1, -ti, ca și în (3.68) – (3.70). Aceste formule pot fi aplicate la modelul ratelor

27
dobânzii Cox -Ingersoll -Ross [91] și la modelul volatilității stocastice Heston [179] în (3.65) –
(3.65).

Exemplul 3.2.6. Opțiuni digitale și gamma . Considerați o opțiune digitală cu plată cu
discount

și pentru corectitudine S va fi modelat de mișcarea geometrică Browniană. Văzută ca o
funcție a lui S(T), plata cu discount Y este diferențiabilă cu excepție la S(T) = K, care implică
Y diferențiabil cu probabilitate 1. Însă deoarece Y este constant pe porțiuni la S(T), această
derivație este 0 oriunde există și la fel este valabil pentru Y privit ca o funcție a lui S(0).
Astfel,

Acesta este un exemplu în care derivatul c orect există cu probabilitate 1 însă este extrem de
neinformativ. Schimbarea la E[Y] cu o schimbare în S(0) este condusă de posibilitatea ca o
schimbare la S(0) va cauza S(T) să depășească K, însă această posibilitate este ratată de
derivatul corect. Deriv atul corect vede doar insensibilitatea locală a lui Y la S(0). Acest lucru
explică comportamentul calitativ diferit pentru h 0 pentru opțiunea standard și cea digitală în
fig. 3.2.
Pentru aceleași motive, metoda corectă este în general neaplicabilă la o pțiunile barieră.
Pe o traiectorie fixă, o schimbare suficient de mică la activul subiacent nu va crea sau elimina
o trecere de barieră, astfel efectul barierei este ratat de către derivatul corect.
Exemplul unei opțiuni digitale indică de asemenea faptul că metoda corectă, cel puțin
în forma simplistă, este în general inaplicabilă pentru estimarea derivatelor secundare. Dacă,
de exemplu, Y este prețul cu discount al unei opțiuni normale, atunci primul derivat (în S (T))
are exact forma unei plăți digitale – vezi ( 7.19). Metoda corectă întâmpină aceleași dificultăți
în estimarea gamei unei opțiuni standard la fel ca și în cazul delta al opțiunii digitale.

3.2.2. Condiții pentru ne -distorsionare

Exemplul 3.2.6 evidențiază o limitare a scopului metodei cor ecte: este in general neaplicabilă
la plățile discontinue. Posibilul eșec al interschimbării derivatelor și așteptărilor în ( 7.16) este

28
o problemă atât practică cât și teoretică. Din acest motiv ne întoarcem la o discuție referitoare
la condițiile care asi gură validitatea lui ( 7.16) și astfel ne -distorsionarea metodei corecte.
Continuăm să folosim θ pentru a denota un parametru generic și presupunem existența
unei funcții aleatorii
cu
interval al liniei reale. Așa cum am explicat la
începutul secțiunii 3.2.1, această funcție aleatorie reprezintă rezultatul unui algoritm al
simulării ca o funcție a lui θ cu numerele aleatorii ale simulării menținute fixe. Considerăm
setările în care derivatul Y’(θ) există cu probabilitatea 1 la fiecare
. După cum
exemp lele din secțiunea 3.2.1 ar trebui să evidențieze, acesta nu este sub nicio formă
restrictiv.
Dată fiind existența lui Y’(θ), întrebarea esențială este validitatea lui ( 7.16), care este o
chestiune de interschimbare a unei limite și a unei așteptări pentr u a asigura

O condiție necesară și suficientă pentru acest lucru este integrabilitatea uniformă (vezi Anexa
A) a coeficienților de diferență
. Obiectivul nostru este să oferim
condiții suficiente care sunt verificabile în practică.
Inspecția exemplelo r din Secțiunea 3.2.1 scoate la iveală un tipar al derivarea
estimatorilor: aplicăm regula de derivare a funcțiilor compuse pentru a exprima Y’(θ)ca un
produs de termeni, primul referindu -se la plata cu discount al traseului activului subiacent, cel
de-al doilea referitor la traseul parametrului. Deoarece este o modalitate naturală și
convenabilă de derivare a estimatorilor, formulăm condiții pentru a se potrivi acestei abordări,
urmând direcția Broadie și Glasserman [64].
Restricționăm atenția către plăț ile cu discount care depind de valoarea unui activ
subiacent sau active la un număr finit de date fixe. În loc să deosebim multiplele bunuri și
valori ale unui singur activ la date diferite, presupunem că plata cu discount este o funcție a
unui vector alea toriu
care este el însuși o funcție a parametrului θ.
Astfel,

pentru o funcție
dependentă de securitatea derivatului specific.
Avem nevoie
(A1) La fiecare
există cu probabilitatea 1, pentru i =1,….. m.

29
Dacă ƒ este diferențiabil, atunci Y dobândeșt e diferențiabilitate de la X în condițiile
(A1). Așa cum am ilustrat în exemplele din secțiunea 3.2.1, plățile opțiune nu reușesc să fie
diferențiabile, însă punctele la care diferențiabilitatea eșuează pot fi adesea ignorate deoarece
au probabilitate 0. P entru a face acest lucru mai precis, am lăsat
să denote setul de
puncte la care ƒ este diferențiabil și necesită

(A2)
pentru toate
.
Acest lucru implică existența lui Y’(θ) cu probabilitate 1 și este dat de

Comparația exemplelor 3.2.1 și 3.2.6 indică faptul că și dacă punctele de non -diferențiabilitate
a lui ƒ apar cu probabilitatea 0, comportamentul lui ƒ la aceste puncte este important. Atât
pentru opțiunea digitală cât si pentru cea standard, diferențiabilitatea eșuează în cazul
probabilității z ero
; dar în timp ce plata standard este continuă la trecerea peste
prețul de exercitare a opțiunii a lui S(T), plata digitală nu este. Această distincție duce la un
estimator nedistorsionat în primul caz și nu in cel de -al doilea. De fapt, avem nevoie d e puțin
mai mult decât continuitate; o condiție acceptabilă este

(A3)Există o constantă kƒca cea pentru toate
,

adică, ƒ este Lipschitz

Opțiunea standard de cumpărare, opțiunea Asiatică, lookback, opțiunea ecart și cea cu limită
maximă din secțiunea 3.2.1 satisfac această condiție (la fel se comportă orice compoziție de
transformări liniare și funcțiile minime și maxime); plata digitală nu îndeplinește condițiile.
Setăm o condiție înrudită pe X(θ):

(A4) Există variabile aleatorii
pentru toate
,
și
.
Condițiile (A3) și (A4) implică împreună identitatea aproape sigura a lui Y ca Lipschitz la θ
deoarece caracteristica Lipschitz este păstrată prin compoziție. Astfel,

30

și pentru kYputem lua

Rezultă că
. Observând

putem aplica teorema convergenței dominate pentru a inter -schimba așteptările și limita h 0
și concluzionăm că
există și este egal cu
. Pe scurt, condițiile (A1) -(A4)
sunt suficiente pentru a asigura că derivatul corect este un estimator nedistors ionat.
Condiția (A4) este satisfăcută în toate exemplele secțiunii 3.2.1, dacă
este ales
corespunzător. Nu sunt necesare restricții atunci când dependența de parametru este liniară,
asemenea cazului mapării de la S(0) la S(T) pentru mișcarea geometrică Browniană. În cazul
mapării de la σ la S(T), (A4) se menține dacă considerăm
un interval mărginit; acest lucru
este inofensiv deoarece pentru scopul estimării unui derivat la σ putem lua un vecin arbitrar
mic a lui σ. În exemplul 3.2.5, pentru maparea de la X(0) la X(t) pentru a fi Lipschitz, trebuie
să restricționăm X(0) la un set de valori mărginite departe de zero.
Dacă, condițiile (A1) – (A4) se mențin și întărim (A4) pentru a necesita
,
apoi
și

de unde rezultă
, asemenea cazului (iii) din ( 3.8). În
schimb, dacă se menține cazul (iii), dacă Y’(θ) există cu probabilitate 1 și
este
diferențiabil, atunci:

Prin urmare,

rămâne limitat ca h 0 iar
este integrabil uniform. Astfel, scopul
metodei corecte este în esență identică cu cel a caz ului (iii) din ( 7.8).
Dintre condițiile (A1) – (A4), cea care impune o limitare practică este (A3). Așa cum
am notat anterior, plățile opțiunilor digitale și ale opțiunilor barieră nu sunt nici măcar

31
continue. Într -adevăr, discontinuitățile într -o plată reprezintă obstacolul principal în
aplicabilitatea metodei corecte. Un simplu calcul estimativ indică faptul că metoda corectă se
aplică atunci când plata este continuă în parametrul de interes. Deși nu este o variantă
garantată (a tipului furnizat de cond ițiile de mai sus), oferă ghidaj solid pentru majoritatea
problemelor practice.

3.2.3. Aproximări și alte metode

Această secțiune dezvoltă subiecte referitoare la sensibilitatea estimării folosind derivate
corecte. Prin intermediul a numeroase aproximă ri și extensii, putem îmbunătăți eficiența sau
extinde scopul metodei.

Procese generale de difuzie

Considerați un proces X descris de o ecuație stocastică diferențială.

cu condiție inițială fixă X (0). Presupuneți, pe moment, că acesta este un proces scalar, condus
de o mișcare scalară Browniană. Am putea simula procesul folosind o schemă Euler cu
mărimea h a pasului; folosind notația din Capitolul 6, notăm discretizarea ca

cu
denotând aproximarea discretizată la X( ih) și Z 1, Z2…….denotând variabil e aleatorii
N(0,1) independente.

Prin diferențierea ambelor părți a schemei Euler obținem recursivitatea:

cu a’ și b’denotând derivate ale funcțiilor coeficientului. Cu

denotând plata cu discount a unei opțiuni, derivatul corect al opțiunii delta es te

32

Un estimator similar poate fi derivat prin diferențierea ambelor părți ale unei discretizări de
ordine mare a lui X.
În condiții relativ minore ale funcțiilor coeficient a și b, soluția (continuă) X(t) la SDE
(3.2.3) este aproape cu siguranță difere nțiabil în X(0). În plus, derivatul său,
satisface

– derivat prin diferențierea schemei Euler pentru X – este de asemenea schema Euler pentru ∆.
Rezultate similare se aplică derivatelor lui X(t) cu privire la parametrii func țiilor coeficient a
și b.
Având în vedere aceste rezultate, nu există nici un obstacol teoretic real în dezvoltarea
estimatorilor corecți pentru difuzii generale; la ( 7.25), problemele se reduc la una singură
legată de discretizarea ecuațiilor stocastice diferențiale. Pot exista obstacole practice la
această abordare. Efortul suplimentar necesar pentru simularea ( 7.25) poate fi identic cu
efortul necesar pentru a simula o cale secundară a lui X de la un punct inițial diferit.
(Contrastați cu exemplele din secțiunea 3.2.1 pentru care
se reduce la S(T)/ S(0)
și este astfel disponibilă fără costuri suplimentare). De asemenea, în cazul unei difuzii d –
dimensionale X, trebuie să .înlocuim ( 7.25) cu un sistem de ecuații a d x d pentru

Simularea unui sistem de SDE pentru această matrice de derivate poate fi un procedeu de
lungă durată.
Aceste considerații motivează utilizarea aproximărilor în simularea derivatelor lui
X(t). O strategie ar fi utilizarea pașilor temporari mai mari în simularea derivatelor decât
pentru simularea lui X. există numeroase metode de implementare a acestei strategii;
discutăm doar despre una, iar pentru simplitate luăm în considerare doar cazul scalar.
Înghețând
și
la valorile lor temporale zero transformă ( 7.24) în

33

Acest lucru este mai rapid de simulat decât ( 7.24), în special dacă evaluarea lui a’ și b’
durează. Pentru a îmbunătății acuratețea aproximării, putem înnoi coeficienții după k pași. În
acest caz, vom folosi coeficienții
și
pentru i=1,… k, apoi folosim

pentru i=k+1,…2 k, și tot așa.
Dacă, pentru scopul diferențierii, ignorăm complet dependența lui a și b a lui X curent, am
obține
. Pentru S(t) = S(0)exp (X(t)), acesta este echivalent cu aproximarea
, despre ca re știm că este exact în diferite cazuri.

Modelul de piață LIBOR

Aproximări similare sunt derivate și testate în cadrul modelelor de piață LIBOR de către
Glasserman și Zhao [150]. Această aplicație are o valoare practică importantă și ilustrează
abord area. Folosim notările din secțiunea 3.7.
Considerați un sistem SDE de forma

cu L(t) denotând vectorul M al tuturor ratelor, W o mișcare d-dimensională Browniană și
fiecare σ n și
– funcție temporală primară deterministă. Obținem d inamica măsurii
întâmplătoare (7 .112) prin setarea

unde, asemenea secțiunii 3.7, η(t) denotă indexul următoarei date scadente ca pentru timpul t.
Lăsați

34

și notați
pentru o aproximare discretă a acestui proces. De la dinamica măsurării
întâmplătoare este evident că
excepție fiind cazul în care
. de asemenea,
.
Presupunem că simulăm ratele previzionate ale lui L n folosind o sc hemă logaritmică –
Euler ca în (7.21 ), cu pași temporali ficși h. prin diferențierea ambelor părți obținem

cu

Simularea tuturor derivatelor O(M2) folosind ( 7.26) ocupă mult timp, iar principala sursă de
dificultate vine de la variabilă.
Dacă înlocuim μ n (L(t),t) cu

facem variația sensibilă temporal însă deterministă. (dependența deterministă de t intră prin η
și prin funcțiile volatilit ății σ j.) Am folosit această aproximare în (7 .28) pentru a construi o
variată de control. Aici păstrăm variația adevărată μ n în dinamica lui L n însă diferențiem după
cum considerăm variația
; adică, de parcă ratele previzionate din interiorul funcției de
variație ar fi înghețate la valorile lor inițiale. Diferențiind aproximarea

rezultă

35
Derivatele lui μo,

Sunt funcții deterministe de timp și pot fi calculate o singură dată, stocate și aplicate la fiecare
replică. Prin u rmare, costul computațional pentru ( 7.28) este modest, în special atunci când îl
comparăm cu recursia derivatului exact ( 7.26), („exact‖ înseamnă aici exact pentru schema
Euler).
Glasserman și Zhao [150] notează rezultate numerice folosind aceste metode p entru a
estima delta. Au aflat că aproximarea ( 7.28) produce estimări relativ apropiate de recursia
exactă (pentru Euler) ( 7.26), cu anumite degradări la aproximarea datelor scadente mai lungi.
Ambele metode pot avea erori de discretizare însă distorsiunea discretizării este mică – mai
puțin de 0.2% din delta timp -continuu obținut prin diferențierea formulei Black (7.2 7) pentru
prețul temporal -continuu.

Liniarizare

Am notat în secțiunea 3.2.2 faptul că discontinuitățile în cazul unei plăți cu discount f ac în
general inaplicabilă metoda analizei instrumentelor financiare. În anumite cazuri, acest
obstacol poate fi depășit prin liniarizarea discontinuităților prin intermediul așteptărilor
condiționale. Ilustrăm această variantă cu două exemple.
Primul ex emplu este plata cu discount digitală
, care rezultă
de asemenea din derivatul unei opțiuni standard de plată; vezi exemplul 3.2.6. Dacă
și fixăm
, atunci

Diferențierea duce la

36
Și apoi, prin regula de derivare a funcțiil or compuse, estimatorul delta nedistorsionat

Acest calcul ilustrează faptul că prin condiționarea pe activul subiacent ϵ unități
temporale înainte de expirare, putem liniariza discontinuitatea în cazul plății digitale și apoi,
prin diferențiere, ajungem la un estimator derivat nedistorsionat. Bineînțeles, același argument
permite calculul exact al derivatului lui E[Y] în acest exemplu. Valoarea acestei derivații nu
constă atât de mult în furnizarea unei expresii exacte pentru mișcarea geometrică Brownian ă
cât în furnizarea unei aproximări pentru procese mai generale. Ecuația ( 7.29) poate fi, de
exemplu, aplicată unui model de volatilitate stocastic prin continuarea condiționării asupra
volatilității la T – ϵ și folosind această valoare în locul lui σ. Ace astă expresie trebuie apoi
multiplicată de o expresie exactă sau aproximativă pentru dS(T-ϵ)/dS(0). Dacă activul
subiacent este simulat folosind schema log -Euler cu pas temporal ϵ, atunci ( 7.29) nu introduce
erori peste cele inerente la metoda discretizări i.
Cel de -al doilea exemplu de liniarizare se aplică la opțiunile limitative. Introducem tot
prin metoda geometrică Browniană deși am intenționatsă fie o aproximare pentru procese mai
generale. Considerați o opțiune knock -out monitorizată discret cu plată cu discount

pentru date fixe
și limita
. caracteristica knock -out
face Ydiscontinuu pe traseul activului subiacent.
Pentru fiecare i= 0,1….., m-1, definiți durata de viață în unic -pas

Pornind de la S construiți un proces
cu aceiași valoare iniț ială ca s dar cu tranziții de stare
generate condiționat pe durată:
, următoarea stare
are distribuția lui
condițional pe
și
. Mai explicit,

unde

37

cu U 1,…..U m independent Unif[0,1] variabile aleatorii. Acest mecanism eșantionează Z i din
condi ționalul normal al distribuției pe
; vezi exemplul 2.2.5.
Folosind procesul condiționat, putem scrie

Expresiile de forma aceasta sunt derivate la Glasserman și Staum [146] prin observația că
schimbarea de la S la
poate fi formulată ca o schimbare de măsură iar produsul
probabilităților de durată este raportul vecinătății corespunzătoare pentru această
transformare. Deoarece procesul condiționat nu trece niciodată limita, putem omite
indicatorul din expresia din dreapta. Pr odusul probabilităților duratei liniarizează indicatorul.
Putem diferenția acum cu privire la S(0) în interiorul așteptării în partea dreaptă a lui
(3.30) pentru a obține un estimatoral deltei opțiunii limită. Deși direct în principiu, acest
procedeu este destul de implicat în practică. Prețul pe care îl plătim pentru schimbarea de la S
la
este pierderea liniarității în S(0). Fiecare Z i depinde de
și astfel contribuie un
termen atunci când diferențiem
. Valoarea practică a acestei abordări este astfel c u semne
de întrebare, însă servește la ilustrarea flexibilității pe care o avem în modificarea unei
probleme înainte de a diferenția.

3.3. Metoda raportului probabilității

Așa cum am explicat în mai multe locuri din secțiunea 3.2, scopul metodei de ana liză a
instrumentelor financiare este limitată în primul rând de cerințele continuității în cazul plății
cu discount ca o funcție a parametrului de diferențiere. Metoda raportului probabilității oferă
o abordare alternativă la estimarea derivatelor fără să fie necesară liniarizarea la plata cu
discount și astfel complementând metoda de analiză. Reușește acest lucru prin diferențierea
probabilităților și nu a plăților.

38
3.3.1. Metodă și exemple

La fel ca în secțiunea 3.2.2, considerăm o plată cu discount Y exprimată ca funcție f a unui
vector aleatoriu X= (X 1,….X m). Componentele lui X pot fi diferite active subiacente sau
valori ale unui singur activ la momente multiple. În discuția noastră referitoare la metoda de
analiză a instrumentelor financiare am pre supus existența unei dependențe funcționale a lui X
(și apoi Y) de un parametru θ. La metoda raportului probabilității presupunem că X are o
densitate a probabilității g și θ este un parametru a acestei densități. Așadar notăm densitatea
cu gθ , iar pentru a sublinia faptul că o așteptare este calculată în funcție de gθ , vom nota uneori
Eθ.
În această formulare, plata cu discount preconizată este dată de

Pentru a deriva un estimator de derivate, presupunem că ordinea diferențierii și integrării
poate f i interschimbabilă pentru a obține

Dacă această situație funcționează, atunci multiplicare a și împărțirea integrandului θ duce la

unde am notat
pentru
. Rezultă din această ecuație că expresia

este un estimator nedistorsionat al derivatuluiE θ[Y]. Acesta este un estimator al metodei
raportului probabilității (LRM).
Există trei situații care necesită comentarii:
o La fel cu metoda analizei instrumentelor financiare, valabilitatea acestei metode se
bazează pe o interschimbare a diferențierii și integr ării. Cu toate acestea, în practică,
interschimbarea în ( 7.31) este relativ favorabilă în comparație cu ( 7.26), deoarece

39
densitățile probabilității sunt funcții tipice liniare ale parametrilor lor însă opțiunile
plăților nu sunt. Având în vedere că inters chimbarea ( 7.26) impune limite practice la
folosirea metodei de analiză, valabilitatea lui ( 7.31) este rar un obstacol pentru
utilizarea metodei raportului probabilității.
o Rămâne la alegerea noastră dacă privim θ ca pe un parametru a căii X sau a densită ții
sale. Presupunem, de exemplu, că X este o variabilă normală aleatorie cu distribuție
N(θ,1) și Y= f(X) pentru o funcție f. Densitatea lui x este
cu

densitate standard normală. Urmând pașii de mai sus, ajungem la estimatorul

pentru derivatul lui E θ[Y]. Însă putem de asemenea scrie
cu
și să aplicăm metoda analizei pentru a obține estimatorul.

Acest lucru ilustrează flexibilitatea pe care o avem în reprezentarea dependenței de un
parametru prin calea X sau a densității sale (sau ambele); aceast ă flexibilitate ar trebui
exploatată pentru dezvoltarea estimatorilor derivați.
o În literatura statistică, o expresie de forma
, adesea scrisă
, se
numește funcție punctaj . În estimatorul ( 7.32), funcția punctaj este evaluată la
rezultatul X. Numim vari abila aleatorie
ca punctaj. Acest termen este
prescurtarea pentru „logaritmul densității diferențiate evaluate la rezultatul simulat‖ și
pentru „expresia care multiplică plata cu discount în cadrul unui estimator al metodei
raportului probabilității‖.

Am demonstrat metoda raportului probabilității prin exemple. Această abordare a fost
dezvoltată inițial în literatura simulării evenimentelor discrete; referințe timpurii importante îi
includ pe Glynn [152], Reiman și Weiss [305]și Rubinstein [311]. Este un eori numită metoda
funcție punctaj, ca laRubinstein și Shapiro [313]. Broadie și Glasserman [64] și Glasserman și
Zhao [150] au dezvoltat aplicații în finanțe, iar în continuare vom include o serie de exemple
de la ei.

40
Exemplul 3.3.1. Delta Black -Scholes . Pentru a estima delta Black -Scholes folosind metoda
raportului probabilității, trebuie să vedem S(0) ca un parametru al densității lui S(T). Folosind
(7.33), descoperim că densitatea logaritmică a luiS(T) este

cu
densitate standard normală. Algebra de acum arată că

Obținem punctajul prin evaluarea acestei expresii laS(T) și un estimator nedistorsionat de
delta prin multiplicarea plății cu discount a opțiunii:

Dacă S(T) este generat din S(0) folosind o variabilă normală aleatorie standard Z ca în ( 7.27),
atunci
iar estimatorul se simplifică la:

Forma opțiunii plății în acest exemplu este irelevantă; orice altă funcție a lui S(T) ar
rezulta într -un estimator de aceiași formă. Delta unei poțiuni digitale de exemplu p oate fi
estimată folosind:

Aceasta este o trăsătură generală a metodei raportului probabilității care contrastează puternic
cu metoda analizei: forma estimatorului nu depinde de detaliile plății cu discount. Odată ce
este calculat același punctaj, poate fi multiplicat cu numeroase plăți cu discount diferite pentru
a estima delta aferentă.
Pentru estimarea Vega, funcția punctaj este

41

cu

Estimatorul derivatelor este produsul plății cu discount și a funcției evaluate la
.
După o serie de simplifică ri algebrice, punctajul poate fi exprimat ca:

cu Z ca în ( 7.27).

Exemplul 3.3.2. Delta -uri dependente de traiectorie . Considerați o opțiune Asiatică, ca în
exemplul 3.2.2. plata este o funcție
, așadar avem nevoie de densitatea
traiectoriei. Folosind proprietatea Markov a mișcării geometrice Browniene, putem
descompune densitatea așa:

unde fiecare
este tranziția densității de la momentul
la
momentul
,

Cu

Rezultă că S(0) este un parametru a primului factor
însă nu apare la ceilalți
factor i. Punctajul este astfel dat de

42

Poate fi notat și

cu Z 1 variabilă normală aleatorie folosită pentru a genera S(t 1) din S(0), la fel ca la ( 3.12).
Estimatorul cu metodaraportului probabilității al ∆ opțiunii Asiatice este ast fel

Din nou, forma specifică a plății cu discount este irelevantă; aceiași derivație se aplică la orice
funcție de pe traiectoria lui S peste intervalul
, incluzând o opțiune de limitare discret
monitorizată.
Observați că punctajul are media zero pen tru toate valorile non -zero ale lui S(0), σ și
t1, însă variația sa crește fără obligație ca
. Vom discuta acest fenomen în secțiunea
3.3.2.
Exemplul 3.3.3. Vega dependent de traiectorie . Dacă în exemplul anterior parametrul S(0) a
apărut doar în distribu ția lui S(t 1), parametrul σ influențează fiecare etapă a tranziției. La fel,
fiecare tranziție de -a lungul traiectoriei contribuie cu un termen la punctaj. Urmând pașii
similar celor din cele 2 exemple anterioare, descoperim că punctajul

este dat de

Acest lucru poate fi scris

43
folosind variabilele normale aleatorii Z j în (3.21).

Exemplul 3.3.4. Vectorii Gaussian și opțiuni pe active multiple . Problema estimării delta
LRM pentru o opțiune pe mișcarea geometrică Browniană cu mai multe variante poate fi
redusă la una dintre diferențieri ținând cont de un parametru a mediei unui vector normal
aleatoriu. Presupunem că
cu θ parametru scalar a mediei vectorului d –
dimensiune μ și Ʃ o matrice covarianță d x d de grad complet.
denotă densitatea
normală cu mai multe variante a lui X, ca în (7.3 1). Diferențierea relevă punctajul ca fiind

cu
vector al derivatelor componentelor lui μ referitor la parametrul θ. Dacă simulăm X
ca
cu
pentru o matrice A îndeplinind
, atunci punctajul se
simplifică la

Dacă θ este un parametru a lui Ʃ și nu a lui μ, punctajul este

unde „tr‖ denotă urma,
, și
matricea derivatelor elementelor lui Ʃ(θ).
Acum considerați o mișcare geometrică Browniană d -dimensională

cu W fiind mișcare Browniană standard d -dimens ională. A va fi matricea d x d cu rânduri
ți presupunând că A are grad complet. Considerați
. Atunci S i(T) are
distribuția lui
cu

Putem privi orice plată cu discount
ca pe o funcție a vectorului X. pentru a
calcula delta referitor la activul subia cent i, luăm S i(0) ca parametru a mediei vectorului μ.
Estimatorul de metodă a raportului probabilității care rezultă este

44

numărătorul punctajului dat de componenta i a vectorului
.

Exemplul 3.3.5. Difuzia rădăcină pătrată . Folosim notația exemplului 3.2.5. Știm din
secțiunea 3.3 .1 că
are o densitate necentrală x2 și că X(0) apare în cadrul
parametrului de non -centralitate. Pentru a estima sensibilitatea unei
în legătura
cu X(0), putem calcula o funcție punctaj prin diferențierea densității logarit m (disponibil de la
(7.37) ținând cont de parametrul de non -centralitate). Însă densitatea necentrală x2 este
greoaie și funcția punctaj chiar si mai greoaie, așadar nu reprezintă o soluție practică.
O alternativă folosește decompoziția ( 7.32). Orice func ție a lui X(t) poate fi
reprezentată ca o funcție a unei variabile normale aleatorii
și o variabilă
independentă x2 aleatorie. Valoarea preconizată a funcției este astfel o integrală în funcție de
densitatea bivariată a acestor două variabile aleatorii. D eoarece variabilele sunt independente,
densitatea lor comună este doar produsul densităților marginale normale șix2. Doar prima
dintre aceste densități depinde de X(0), iar X(0) intră prin medie. Funcția punctaj se reduce
astfel la

Evaluând acest aspec t la variabila normală aleatorie
(cu Y la fel ca la
(3.22)), obținem

Înmulțind cu
obținem un estimator LMR a derivației
. Pentru
derivatul unei funcții a unei traiectorii discrete X(t 1),…X(t m), înlocuiți Z cu Z 1 în punctaj,
cuZ 1variabila normală alea torie folosită la generarea X(t 1) de la X(0).

45
3.3.2. Proprietăți ale distorsionării si variației

Metoda raportului probabilității produce un estimator nedistorsionat a unei derivații când
(7.31) se menține; adică atunci când integrala (peste x) a limite i ca
a funcțiilor

este egală cu limita integralelor lor. Deoarece densitățile probabilităților au tendința să fie
funcții liniare ale parametrilor lor, această condiție este îndeplinită pe scară largă. Condiții
specifice pentru familiile exponențiale d e distribuții sunt date în ex. Barndorff – Nielsen [35],
iar acest caz este relevant pentru câteva exemple date de noi. Glynn și L‖Ecuyer [158] oferă
condiții generale. În practică, aplicabilitatea metodei raportului probabilității este adesea
limitată fie de (i) nevoia cunoașterii explicite a densității, fie (ii) o variație mare, decât de
eșuarea lui ( 7.31).

Continuitatea absolută

Așa cum a fost sugerat de ( 3.41), metodaraportului probabilității este bazată pe o limită a
importanței estimatorilor eșanti on (vezi secțiunea 4.6). Pentru h fix, integrala lui ( 3.41) este
egală cu 1/ h ori diferența
, prima așteptare bazându -se pe importanța
identității eșantionării

Valabilitatea acestei identități se bazează pe o presupunere implicită a continuității absolu te
(anexa B.4): avem nevoie de
la toate punctele x pentru care

Pentru un simplu exemplu în care continuitatea absolută eșuează, presupuneți că X
este distribuit uniform peste (0,θ). Densitatea sa este

diferențiabilă în θ la
. Punctajul
există cu p robabilitate 1 și este egal
cu -1/θ. Estimatorul LRM al derivației lui
care rezultă este

în timp ce valoarea corectă este

46

Estimatorul eșuează și la preconizarea direcției de schimbare. Acest eșec rezultă din faptul că
nu este absolut continuu față de
.
O limitare asemănătoare (și mai importantă în practică) se aplică distribuției normale
cu mai multe variante. Presupunem
și suntem interesați de sensibilitatea unei
așteptări
la schimbările θ, cu θ parametru a lui μ sau Ʃ. Dacă X este un vector de
lungime d iar matricea d x d Ʃ are gradul k<d, atunci X nu reușește să aibă densitatea pe

și metoda raportului probabilității nu este direct aplicabilă. Așa cum s -a discutat în Secțiunea
2.3.3, în cazul deficienței de grad putem exprima componentele d – k ale lui X ca transformări
liniare ale lui
, un vector care constă din celelalte componente k ale lui X. În plus,
ar avea
atunci densitatea în
. Acest lucru sugerează faptul că putem scrie
pentru anumite
funcții
și aplica apoi metoda raportului p robabilității.
Această transformare se poate să nu îndepărteze complet obstacolul pentru folosirea
metodei dacă introduce dependență explicită de θ în funcția
. Un exemplu simplu ilustrează
acest aspect. Presupunem că Z 1 și Z 2sunt variabile normale indep endente aleatorii și

Putem reduce orice funcție f a
la o funcție cu cele două componente inițiale
prin definirea

Perechea
are o probabilitate de densitate în
. Însă dacă oricare dintre μ i sau
aidepinde de θ atunci și
va depinde. Această dependen ță nu este prinsă de diferențierea
densității
; pentru a exista este necesară diferențierea
, combinarea metodeiraportului
probabilității cu metodele traiectorie. Acest lucru poate să nu fie aplicabil dacă f este
discontinuu. Inabilitatea metodei raportul ui probabilității să gestioneze acest exemplu rezultă
din nou din eșecul continuității absolute:
are o densitate pe un sub -spațiu
bidimensional de
, însă acest subspațiu se schimbă odată cu θ, așadar densitățile nu au un
suport comun.

47
Proprietățile va riației

Un eșec posibil a continuității absolute este de obicei acompaniat de o explozie în variație.
Aceasta rezultă din proprietățile punctajului strâns legat de variația acumulată în ratele de
probabilitate discutate în secțiunea 4.6.1 și în Anexa B.4.
În (7.42), putem depăși problema lipsei densității prin adăugarea
la X 3, cu Z 3
independent deZ 1 , Z2 . Acest lucru ar duce la un punctaj de forma celui din ( 3.38) cu

și astfel o infinitate de variante ca
.
Ceva similar se întâmplă cu punctajul ( 7.35) pentru o opțiune dependentă de
traiectorie sensibilă la valorile
la momentele
. Punctajul are valoare
preconizată 0 pentru toate t1>0, însă variația crește fără legătură pe măsură ce t1se apropie de
0.Și aceasta este o consecință a unei defalcări a continuității absolute. Scorul în ( 7.35) rezultă
din observarea unei valori S( t1) generată din S(0) ca și când ar fi fost generată din

. Pentru t1>0, toate valorile pozitive ale lui S( t1) sunt posibile pornind de atât de la S(0) cât și
de la S(0) + h; cele două distribuții ale S( t1) sunt reciproc absolut continue și astfel au o rată
de probabilitate bine definită. Însă privite ca măsurători ale probabilității pe traiectorii pornind
de la momentul 0 și nu de la t1, aceste măsuri definite de S(0) și
sunt reciproc
singulare: nicio traiectorie care pornește de la o valoare nu poate să pornească de la alta.
Astfel, continuitatea absolută eșuează ca
, și acest lucru se manifestă prin creșterea
variației punctajului.
În continuare luăm în considerare efect ul unui proces pe termen lung. Punctajul la
(7.37) pentru Vega unei funcții a unei traiectorii discrete
este suma din m
variabile independente aleatorii. Variația crește liniar în m dacă spațierile
sunt
constante, mai rapid dacă spațierile cresc. Acest lucru sugerează faptul că variația
estimatorului LRM care utilizează acest punctaj va crește odată cu numărul m de date.
Același lucru se întâmplă dacă fixăm o perioadă de timp T, împărțim intervalul
la pași
temporali m egali și lăsăm
. Reamintiți -vă (d iscuția teoremei lui Girsanov, anexa
B.4) că măsurătorile pe traiectorii pentru mișcarea Browniană cu diferiți parametrii de variație
sunt singulare, așadar această explozie în variație rezultă din nou datorită unei eșuări a
continuității absolute.

48
Figur a 3.3 ilustrează cum creșterea în variație estimează Vega pentru o opțiune
Asiatică. Parametrii model sunt
; opțiunea de
plată este bazată pe nivelul mediu a activului subiacent pe date spațiate egal m cu o spațiere de
1/52 (1 săptămână). Valoarea lui m variază de -a lungul accesului orizontal; axa verticală arată
variația (per replică) pe o scară mare, estimată dintr -un milion de replici. Figura arată faptul
că variația crește cu matât pentru estimatorul LRM cât și pentru cel cu traiectorie. Variația
estim atorului LRM începe sus (cu mai mult de un factor de 10 la m=2) și crește repede pe
măsură ce m crește.
Creșterea în variație afișată de punctajul Vega ( 7.37) este intrinsec la metodă:
reacționează doar la condiții tehnice modeste, punctajul este martinga la

Fig. 3.3 Variația estimatorilor Vega pentru o opțiune Asiatică cu medie săptămânală ca
funcție a numărului de săptămâni în medie.

și astfel un proces de variații crescătoare. Consider ați de exemplu o simulare (ca (7.38 ) bazată
pe recursiunea de for ma

conduse de vectori aleatorii independenți și identic distribuiți
. Presupunem θ ca
fiind parametru densității g θ a lui X i. Un estimator al ratei probabile a derivatei în ceea ce
privește θ a unor previziuni
folosește punctajul

Aceasta este o s umă independentă și aleatoriu distribuită și martingală pentru că

49

folosind faptul că g θ se integrează la 1 pentru toate θ. Alternativ, dacă
este densitatea
de tranziție a procesului
putem folosi punctajul

Aceasta nu mai este o sumăindependent ă și aleatoriu distribuită, ci un argument similar arată
că este tot o martingală și astfel variația crește cu m.
Deoarece punctajul are o medie zero, oferă o variată de control al candidatului. Ca și
control, îndepărtează unele dintre variațiile introdus e de punctaj, însă foarte rar modifică
dependența calitativă față de numărul m de pași.

3.3.3. Gamma

Am notat în exemplul 3.2.6 faptul că metoda traseului nu se extinde la estimarea derivatelor
secundare. Cu metoda raportului probabilității, derivatele s ecundare nu sunt mai dificil de
estimat decât cele primare. Considerăm că
denotă derivatele secundare ale lui
în θ.
Argumentul care conduce la ( 7.42) arată că

este un estimator nedistorsionat pentru
sub rezerva condițiilor care permit
două intersc himbări ale derivațiilor și predicțiilor. Aceste condiții limitează foarte rar
aplicabilitatea metodei. Cu toate acestea, așa cum punctajul
poate duce la
variație majoră în cazul estimării derivatelor principale, corespondentul său în ( 3.44) produce
adese a variații chiar mai mari la estimarea derivatelor secundare.
Ilustrăm metoda cu o serie de exemple.

Exemplul 3.3.6. Gamma Black -Scholes . Aplicăm ( 7.44) pentru a estima gamma – derivat
secundar cu privire la prețul activului S(0) – în setarea Black -scholes. Folosind notația din
Exemplul 3.3.1, descoperim că:

50

Înmulțind această expresie cu plata cu discount
, avem ca rezultat un
estimator nedistorsionat pentru gamma Black -Scholes. Dacă S(T) este generat din S(0)
folosind ( 7.37),
poate fi înlocuit c u variabila standard aleatorie normală Z.
La fel ca la estimațiile LRM a derivatelor primare, forma plății cu discount nu este
importantă; ( 3.45) poate fi aplicat cu alte funcții ale lui S(T). Asemănător exemplului 3.3.2,
această expresie se extinde și la opțiunile dependente de traiectorie. Pentru o funcție a lui
, înlocuim T cu t1în (3.45); vezi argumentul care duce la ( 3.35).

Exemplul 3.3.7. Derivate secundare pentru vectorii Gaussian . Dacă
, atunci
diferențierea u privire la μ produce

și

Nivele mai înalte de diferențiere produc puteri mai mari ale lui X și adesea variație mai mare.
Mai general, lăsăm X să fie un vector aleatoriu cu distribuție multidimensionată
normală
, cu θ parametru scalar și Ʃ de rang complet. Atunci,

unde
și
denotă derivate ale lui μ cu privire la θ.
O abordare alternativă pentru estimarea derivatelor secundare combină metoda
traiectoriei cu cea a raportului probabilității, folosind -o pe fiecare pentru un grad de
diferențiere. Ilustrăm aceasta idee prin aplic area sa la gamma Black -Scholes. Presupunem că
aplicăm metoda raportului probabilității prima dată și apoi cea a traiectoriei. Prin înmulțirea
plății cu discount cu punctajul obținem ( 3.34), pe care o diferențiem pentru a obține
estimatorul

51
folosind
. Dacă aplicăm întâi metoda diferențierii pe
traiectorie, obținem estimatorul delta ( 3.20). Această expresie are o dependență funcțională de
S(0) și o dependență distribuțională de S(0) prin densitatea lui S(T). Prin înmulțirea cu
punctajul rezultă cea de -a doua dependență însă pentru prima trebuie să luăm un alt derivat cu
traiectorie. Estimatorul
rezultat este:

Estimatorul prin metoda raportului probabilității gamma este

folosind ( 7.45).
Tabelul 3.2 compară variația per replică folosind aceste met ode cu parametrii
, trei nivele ale lui K și două scadențe T. Tabelul
compară de asemenea variațiile pentru metodaraportului probabilității și estimatorii pe
traiectorie ai delta; valorile exacte ale delta și gamma sunt incluse in tabel drept referință.
Fiecare estimare de variație este de asemenea bazată pe 1 milion de replici.
Rezultatele din tabel indică faptul că estimatorul pe traiectorie al delta are o variație
mai mică fașă de estimatorul cu metoda raportului probabilității, în special la valori mari ale
lui
. rezultatele indică de asemenea faptul că estimatorii gamma micști au variații
substanțial mai mici decât estimatorul cu metoda pură a raportului probabilității. Cei doi
estimatori combinați au variații similare, cu excepția valorilor mici ale lui K unde LR -PW
arată un avantaj distinct. Acest avantaj este evidențiat și în expresia ( 3.46).

52
Tabelul 3.2. Comparația variației pentru estimatorii delta Black -Scholes și gamma
folosind metodaraportului probabilității (LR) și cea a traiectoriei ( PW) și combinații ale
celor două.

Deși generalizarea bazată pe rezultate numerice este riscantă (în special cu rezultate
bazate pe un exemplu atât de simplu), preconizăm ca performanța superioară a estimatorilor
gamma micști comparați cu estimatorul cu metoda pură a raportului probabilității să fie mai
generală. Funcționează de exemplu, în aplicații mai complicate la modelul LIBOR de piață la
Glasserman și Zhao [150].
O altă strategie pentru estimarea derivatelor secundare aplică o aproximare a diferen ței
finite folosind două estimate ale derivatelor primare.Glasserman și Zhao [150] notează
exemple în care cel mai bun estimator de acest tip are o eroare a mediei rădăcinii pătrate mai
mică decât la un estimator PW -LR. O dificultate în această metodă,ca d e altfel la orice
utilizare a diferențelor infinite, este găsirea unei alegeri eficiente a parametrului increment h.

3.3.4. Aproximări și alte metode

Limitările principale la utilizarea metodeiraportului probabilității sunt (i) dependința metodei
de den sități explicite ale probabilității și (ii) variația mare produsă uneori de punctaj. Această
secțiune descrie aproximările și alte metode care pot în anumite cazuri depăși aceste limitări.

Procese de difuziune generală

O parte dintre exemplele cu care a m introdus metodaraportului probabilității în Secțiunea
3.3.1 se bazează pe simplitatea densităților probabilității asociată cu mișcarea geometrică
Browniană. La modelele mai complicate, foarte rar avem expresii explicite pentru densitățile
marginale sau d e tranziție, chiar și în cazurile în care acestea există. In același stil, în lucrul cu
mai multe modele complicate suntem adesea nevoiți să simulăm aproximările (folosind de
exemplu metodele discretizării din Cap. 6) și am putea dezvolta estimatori ai der ivatelor
pentru procese de aproximare chiar dacă nu putem pentru procesele originale.
Considerați de exemplu o difuziune generală de tipul celei din ( 7.23). O aproximare
Euler a procesului este un caz special al recursiunii generale în ( 7.43) unde variabi lele
aleatorii de conducere sunt distribuite normal. De fapt, întrucât rar cunoaștem legea tranziției

53
unei difuziuni generale (în special în cazul dimensiunilor multiple), aproximarea Euler are o
lege de tranziție Gaussiană și astfel se pretează utilizării la metodaraportului probabilității.
Dacă metoda este nedistorsionată pentru aproximarea Euler, nu introduce nicio eroare de
discretizare dincolo de cele deja prezente în schema Euler. (Tehnici similare însă mult mai
complicate pot și create folosind metod e de discretizare de nivel mai înalt; de exemplu în
schema de gradul doi (6.36), transferul stării staționare poate fi reprezentat ca o transformare
liniară a unei variabile non -centrală aleatorie chi -square).
Ilustrăm această idee prin intermediul model ului volatilității stocastice Heston [179],
folosind notația Exemplului 3.2.2. Considerăm o aproximare Euler

cu pas temporal h și variabile independente normale
Distribuția
condițională la pasul i +1 dat fiind starea la pasul i este normală,

Presupun eți o stare inițială fixă
și
.
Considerați estimarea delta, o derivată cu privire la S(0). Prin argumentul din
exemplul 3.3.2, este suficient să considerăm dependența lui
de S(0). Deoarece
S(0) nu este un parametru al distribuției lui
, este sufici ent să considerăm
. Observați
că S(0) apare atât în media cât și în variația lui
, astfel trebuie să combinăm contribuții de
la (7.38) și ( 7,40). După o serie de simplificări algebrice, punctajul devine

cu Z 1(1) variabila standard normală aleatorie fol osită pentru a genera
în schema Euler.
Considerați estimarea sensibilității parametrului σ. Deoarece σ este un parametru al
legii de tranziție Euler, fiecare tranziție contribuie cu un termen la punctaj. Pentru o tranziție
generică afară dintr -o stare
folosim ( 7.40) cu

Pentru tranziția i, (7.40) se simplifică ulterior la

54

Punctajul unei funcții
este atunci suma lui ( 7.48) pentru
..

Modelul de piață LIBOR

Aplicarea metodei raportului probabilității la modelul volatilității stocastice Heston se
bazează pe covariația matricei în ( 7.47) având rang major. Însă in cadrul unei scheme Euler în
care dimensiunea vectorului stării depășește dimensiunea mișcării Browniene, matricea de
covarianță a legii de tranziție este singulară. Așa cum am explicat în s ecțiunea 3.3.2, acest
lucru previne o aplicare directă a metodei raportului probabilității. În cazul modelelor de piață
LIBOR, numărul cursurilor la termen în vectorul stării nu depășește dimensiunea mișcării
conducătoare Browniene (numărul factorilor), ge nerând astfel o complicație atât practică cât
si teoretică.
O modalitate de abordare a acestui subiect subliniază faptul că și dacă legea tranziției
cu un singur pas este singulară, legea tranziției cu pas -k poate avea o densitate pentru k> 1.
Însă o pri mă încercare de a folosi această observație ridică altă problemă: într -o schemă Euler
pentru cursurile la termen
, ca în (7.1 0),legea tranziției cu un singur
pas este normală însălegea tranziției cu pas -k nu este, pentru k> 1, datorită dependenței
variab ilei termenului de nivelul actual al cursurilor. Pentru a depăți această
problemă,Glasserman și Zhao [150] fac aproximări în ( 7.27) sub care variabila devine o
funcție a cursului inițial și nu a cursurilor la termen. Folosind această aproximare și un pas
temporal h fix, evoluția pasului k pentru fiecare logaritm
are forma

unde șirul de vectori
a fost concatenat într -un singur vector de lungime kd, vectorii
coloană Z 1 au fost stocați într -un vector coloană de aceiași lungime iar d este numărul de
factori. Pentru un
suficient de mare, matricea

55

poate avea grad M chiar dacă numărul de factori d este mai mic decât numărul de rate M.
Apariția acestei situații depinde de cum se schimbă volatilitățile
cu i. Dacă se
întâmplă, atunci matricea covariantă
a legii de tranziție pas – k
(aproximativă) este inversabilă și poate putem folosi formulele din Ex. 3.3.4 pentru un vector
Gaussian arbitrar.
De exemplu, pentru a aplica această idee pentru estimarea sensibilității referitoare la
,
setăm:

și
Estimatorul LRM (aproximativ) pentru sensibilitatea unei plăti cu
discount arbitrară
este

cu
și
. Glasserman și Zhao [150] testează această
metodă pe plăți cu discontinuități (caplet digital și knock -out) și concluzionează că sistemul
realizează estimăr i de diferență finită.
Compară metodele bazate pe eroarea mediei rădăcinii pătrate obținute intr -un timp fix de
calcul.

Estimări mixte

Diferențierea estimării traiectoriei ți LRM pot fi pentru a profita de beneficiile ambelor
variante. Am ilustrat o v arianta de combinație discutând despre estimarea gamei in Secțiunea

56
3.3.3.Acolo am folosit fiecare metodă pentru fiecare grad de diferențiere. O modalitate
alternativă de combinație folosește metoda raportului probabilității lângă o discontinuitate și
diferențierea traiectoriei în celelalte părți.
Ilustrăm această idee cu un exemplu Fournié et al [124]. Payoff -ul unei opțiuni digitale
la K poate fi notată ca:

cu

Funcția
face o aproximare pe porțiune liniară a payoff -ului funcției pas a opțiunii d igitale
iar hϵ corectează aproximarea. Putem aplica diferențierea traiectoriei la
și
metodaraportului probabilității la
pentru a obține estimatorul delta combinat

presupunând că S(t) este o mișcare geometrică Browniană și folosind notația din Exemplu l
3.3.1.
Figura 3.4 schițează variația acestui estimator ca funcție a lui
 cu parametrii
și
. Cazul ϵ = 0 corespunde folosirii
doar a metodei probabilității. Un
 > 0 crește varianța, din cauza lui ϵ în num itorul
estimatorului, însă valori mai mari a lui ϵ poate reduce considerabil variația. Valoarea maximă
apare la valori surprinzător de mari ale lui
.

Fig. 3.4. Variația estimatorului mixt ca funcție a unui parametru
de liniariza re


57
Sensibilitatea instrumentelor de calibrare

Avellaneda și Gamba [28] consideră problema estimării sensibilităților valorilor derivative în
legătur ă cu prețurile valorilor folosite pentru calibrarea modelului, care pot sau nu reprezenta
active subiacente în sensul uzual.
Aceste sensibilități sunt relevante dacă valorile folosite pentru a calibra modelul la prețul
pieței sunt de asemenea valorile fol osite pentru hedging.
Formularea lui Avellaneda și Gamba [28] este bazată pe Monte Carol cântărit (ca in
secțiunea 4.5.2), însă idei similare se aplică in cazuri mai simple de control a variației.
DenotămcuY plata cu discount a unei derivații valorice și cu Xplata cu discount a unui
instrument hedging. Presupunem că estimăm prețul valorii derivate folosind un estimator de
forma

cu β interpretat ca pantă a liniei de regresie. Constanta c este prețul pieței observat in
instrumentul hedging, care poate sau nu fi egal cu
. Diferența
reprezintăeroarea
model ; dacă acesta este non -zero, atunci ( 3.49) servește la corectarea modelului erorii și nu la
reducerea variației. Coeficientul β este sensibilitatea prețului corectat la prețul pieței al
instrumentului hed ging și astfel admite o interpretare ca raport hedge. Acest coeficient poate
fi estimat prin aplicarea, de exemplu, a regresiei pătratică normală minimă la valori simulate
(X,Y).
O legătură cu regresia poate fi de asemenea văzută în aplicarea metodei pro babilității
cu distribuție normală. Presupunem
și Y care depinde de θ prin X (de exemplu Y
poate fi o funcție a lui X). La .fel ca în ( 3.38), punctajul pentru estimarea sensibilității la θ
este
iar estimatorul metodei probabilității are previziunea

Aceasta este exact panta intr -o regresie a lui Y față de X. Din această perspectivă, folosirea
regresiei pentru a estima o sensibilitate poate fi interpretată ca folosind un estimator
aproximativ LRM bazat pe distribuția normală.

58
Capitolul IV
Concluzii

Evidența numerică extensivă acumulată in multiplele modele și aplicații indică faptul
că, metoda traiectoriei, atunci când este aplicată, oferă cele mai viabile estimări ale
sensibilității. Comparată cu metodele diferențelor finite, estimatorii de traiect orie necesită un
timp mai scurt de calcul și estimează direct derivate și nu diferențe. Comparată cu
metodaraportului probabilității, estimatorii traiectoriei au variații similare – de obicei mult
mai mici.
Aplicarea metodei traiectoriei necesită intersch imbarea ordinii de diferențiere si integrare.
Condițiile suficiente pentru această interschimbare, adaptate la aplicațiile opțiunii de preț,
sunt oferite de condițiile
in Secțiunea 3.2.2. O regulă simplă spune că metoda
traiectoriei produce un estimat n edistorsionat a derivatului unei opțiuni de preț dacă discount –
ul payoff -ul opțiunii este aproape sigur continuu în parametrul diferențierii. Payoff -ul cu
discount este o cantitate stocastică, astfel încât această regulă de bază necesită continuitate pe
măsură ce variază parametrul cu toate elementele aleatorii care nu depind de parametrul fix.
(Nu trebuie confundat cu continuitatea plății cu discount previzionată, care se menține
aproape întotdeauna). Această regulă exclude opțiunile digitale și cele de ba rieră, de exemplu.
Aproximările diferenței finite sunt ușor de implementat si par să necesite o examinare
mai precară a dependenței de un model pe parametrii săi. Însă atunci când metoda traiectoriei
este inaplicabilă, aproximările diferențelor finite au erori ale mediei pătratice mari: lipsa
continuității care poate exclude folosirea metodei traiectoriei, produce o variație mare în
estimatorul diferenței finite care folosește in increment parametru mic; un increment mare
duce la distorsionări mari. Dimen siunea unui increment parametru efectiv – unul care
minimizează eroarea mediei pătratice – este forte sensibil la continuitatea traiectoriei a
prețului discount -at. Problema continuității nu poate astfel fi evitată prin folosirea
estimatorului diferenței f inite.
In schimb, metoda probabilității nu necesită nici o netezire în cazul plății cu discount
deoarece este bazat pe diferențierea densităților probabilității. Acest lucru face ca LRM să fie
potențial atractiv în contextul în care intră metoda traiecto riei. Aplicarea LRM este însă
limitată de două caracteristici: necesită cunoștințe specifice despre densităților probabilității
relevante, iar estimatorii săi au variație mare.

59
Estimatorul LRM al variației devine problematic atunci când parametrul difer ențierii
influențează mai multe elemente aleatorii folosite pentru simularea traiectoriei. De exemplu,
considerați simularea unei traiectorii discrete
cu mișcare geometrică
Browniană, și contrastează cu estimarea delta și Vega. Doar distribuția lui S(t 1)depinde direct
de S(0); dat fiind S(t 1), și S(t j)sunt independente de S(0). Însă fiecare tranziție depinde de
volatilitatea parametrului σ. Astfel, punctajul folosit pentru a estima delta are doar un singur
termen, în timp ce punctajul folosit la estimare a Vega are atâți termeni câte tranziții. Adunând
un număr mare de termeni în punctaj produce un estimator LRM cu variație mare.
Numeroși autori (inclusiv Benhamou [44], Cvitanic et al. [94], Fournié et al. [124], si Gobet și
Munos [161]) au propus extensi i ale metodei traiectoriei folosind idei de la calcului Malliavin.
Aceste tehnici se reduc la LRM atunci când densitățile relevante sunt disponibile; altfel,
acestea înlocuiesc punctajul cu o integrală Skorohod , care este apoi computată numeric în
simulare . Această integrală poate fi privită ca o aleatorizare a punctajului, acesta din urmă
fiind proviziunea condiționată a integralei. Alte identități sunt de acest gen sunt derivate
laGobet și Munos [161], unele ducând la reducerea variației. Cu excepția cazu rilor speciale,
evaluarea integralei Skorohod este solicitant din punct de vedere computațional. Estimatorii
care necesită acest lucru, trebuie așadar comparați cu alternative mai simple de aplicare a
LRM la o aproximare Euler, pentru care legile (Gaussia n) de tranziție sunt disponibile.
Estimarea derivatelor secundare este fundamental mai dificil decât estimarea celor
principale, indiferent de metoda folosită. Metoda traiectoriei este general inaplicabilă pentru
derivatele secundare ale opțiunii prețuril or: o buclă prezentă într -o opțiune de preț devine o
discontinuitate in derivativa payoff -ului. Combinațiile metodei traiectoriei cu cea a
probabilității produce în general estimatori de gamma mai buni decât LRM. Cele două metode
pot fi combinate pentru a estima derivate principale, cu o metodă servind ca variată de control
pentru cealaltă.

60
BIBLIOGRAFIE

 Romeo Negrea , „Modelari stocastice aplicate in finante ”, Editura Politehnica
Timisoara, ( 2007 )
 Ermakov , S. M., „Metoda Monte Carlo și probleme înrudite ”. Editura Tehnică,
București, (1976 )
 ―Mică enciclopedie matematică ‖, Editura Tehnică, București (1980)
 Carmen Corduneanu, Laura Raisa Miloș, Claudiu Boțoc „Piețe de capital ”, Editura
„Alexandru Ioan Cuza ‖, Iasi, (2014 )
 „ Piete de capital . Institutii si instrumente financiare tra nzactionate ‖, Editura
Universitara, ( 2012 )
 Radu Musetescu, „Economia /si guvernanta acordurilor de cooperare intre firme ‖,
Editura Pro Universitaria ,( 2009 )
 P. E. Protter, ‖ Stochastic integration and differential equations ‖, second edition,
Springer (2004).
 https://updoc.tips/download/free -pdf-ebook -modelare -financiara -suport -curs-
pdf#
 http://mathworld.wolfram.com/MonteCarloMethod.html
 Mihai N. Pascu , „Procese Stochastice ” Notit e de curs , 1 Octombrie 20 14