. Metode Matematice DE Prelucrare A Semnalelor

3. Prelucrarea semnalelor continue

Cea mai uzuală metodă de observare a unui semnal este examinarea evoluției sale în decursul timpului. Acest mod de reprezentare constituie un punct de vedere privilegiat privind localizarea evenimentelor particulare, sau calcularea caracteristicilor globale ale unui semnal, cum sunt valoarea sa medie, energia sau puterea.

Definiție Se numește energia unui semnal integrala pătratului modulului semnalului respectiv, adica

Definiție Se numește puterea unui semal următoarea mărime: .

Anumite semnale, cum sunt cele sinusoidale, nu au energie finită, dar pot fi caracterizate prin putere finită.

Putem evalua echivalența a două semnale prin produsul lor scalar, definit prin relația , care verifică evident inegalitatea lui Schwartz: .

Ansamblul semnalelor continue și de energie finită înzestrat cu acest produs scalar, poate fi considerat ca un spațiu al cărui bază ortonormată naturală o reprezintă familia versiunilor translatate ale impulsului lui Dirac, deoarece , și . Dar această familie nu constituie singurul mod de observare a unui semnal, ci pot fi folosite și alte funcții, dar care trebuie totuși sa respecte condiția de a fi generatori ai spațiului de semnale considerate. Coordonatele semnalelor în aceste baze furnizează tot atatea moduri de reprezentare posibile ale unui semnal, care permit evidențierea unor anumite caracteristici ale acestuia.

3.1 Transformata Fourier

Un mod de reprezentare a semnalelor, util într-un anumit sens, este cel furnizat de transformata sa Fourier. Aceasta se bazează pe familia exponențialelor complexe . Grație a două rezultate fundamentale, care constituie alte definiții formale posibile ale impulsului lui Dirac, și este posibilă demonstrarea faptului că această familie constituie o bază ortonormată a spațiului semnalelor de putere finită. Prima egalitate permite demonstrarea faptului că două elemente distincte ale acestei familii sunt ortogonale, iar cea de-a doua că transformata Fourier a unui semnal, constituită din produsul scalar al semnalului cu aceasta familie de funcții poate da valorile inițiale ale semnalului, grație unei formule de inversiune.

3.1.1 Transformata Fourier în

Seria Fourier pentru semnale (funcții) periodice ne furnizează o combinație liniară de sinusoide având aceeași perioadă fundamentală și în consecință aceste semnale au spectrul format din linii spectrale echidistante (evident, este posibil ca unele componente sa fie nule). Distanța dintre linii este dată de frecvența fundamentală, inversa perioadei fundamentale. Dacă perioada crește, atunci e evident că distanța dintre liniile spectrale scade, și astfel spectrul devine continuu pentru semnale aperiodice. Se introduce astfel, pentru semnale aperiodice, transformata Fourier.

Pentru orice notăm prin funcția

(semnalul pur de frecvență ). Evident, .

Definiție Fie o funcție integrabilă pe (deci funcția f aparține clasei ). Funcția ,

este bine definită pentru orice și se numește transformata Fourier a lui f.

Integrala din membrul drept este convergentă, deoarece

și .

Funcția se mai numește spectrul în frecvență al semnalului continual f, iar prin transformata Fourier, semnalelor in timp le corespund spectrele lor. În condiții suficient de largi, transformata Fourier este inversabilă, fapt care permite studiul semnalelor atât în domeniul timp, cât și în domeniul frecvență.

Proprietăți ale transformatei Fourier

Liniaritate, mărginire Dacă , atunci este o aplicație continuă pe și mărginită pe . Mai precis, , .

Lema lui Riemann Dacă , atunci

și

Corolar Aplicația , (numită și operatorul al lui Fourier) este liniară și continuă.

Propoziție Transformata Fourier este o funcție periodică de cu perioada : .

Demonstrație

Într-adevăr, ,

adică ceea ce trebuia demonstrat.

Propoziție Dacă , atunci aparțin lui și, în plus,

Demonstrație

Avem, conform teoremei lui Fubini,

Derivarea imaginii Dacă pentru , atunci și, în plus,

pentru orice .

Derivarea originalului Dacă și , atunci ,

și, mai general, .

Simetrie, întârziere Pentru o funcție , , notăm cu conjugata ei (deci ), cu simetrizata lui f (adică ) și cu întârziata (translatata) lui cu , deci . Cu aceste notații avem următoarele proprietăți:

a) , adică ; apoi

b) Dacă este pară (respectiv impară), atunci este la fel

c) Dacă este pară și are valori reale, atunci este la fel; dacă este impară cu valori reale, atunci este impară cu valori pur imaginare.

d) și

e) Dacă , atunci

Înmulțirea unui semnal cu funcția se mai numește modulație în timp. În mod similar, produsul se numește modulație în frecvență a lui . Așadar, relația d) ne arată că translația (întârzierea) în domeniul timp revine la modulație în frecvență și invers.

Teoremă 3.1.1 (prima teoremă de inversare (reconstrucție) ) Dacă și aparțin clasei și f este continuă, atunci

pentru orice .

Corolar În condițiile anterioare avem , adică .

Corolar Dacă și , atunci și are loc relația .

Demonstrație

Avem și , deci există un A>0 astfel încât dacă , atunci . Dar este continuă, și pentru , deci .

Corolar Dacă și nu este continuă, atunci .

Demonstrație

Presupunând prin absurd că , rezultă că are loc relația , de unde deducem că ar fi continuă pe .

Corolar În condițiile primei teoreme de inversare, rezultă , pentru orice număr .

Teoremă 3.1.2 (a doua teoremă de inversare) Presupunem că există un numări finit de puncte astfel încât să fie de clasă pe fiecare din intervalele și în plus . Atunci,

.

Teoremă 3.1.3 (teorema convoluției) Fie . Atunci funcția definită prin și transformata sa Fourier este

.

Demonstrație

Avem

.

Aplicând teorema lui Fubini și făcând schimbarea de variabilă obținem

,

adică tocmai ceea ce trebuia demonstrat.

Interpretare fizică Funcția este o rezoluție de frecvență a lui , în sensul că ea listează amplitudinile ale oscilațiilor armonice din care este compus semnalul . Funcția apare ca un filtru de frecvență (sau ca un rezonator). Convoluția lui f cu g distruge toate frecvențele din care nu apar în . Rezoluții de frecvență sau filtre apar peste tot în natură și laboratoare. Ochiul uman realizează o rezoluție de frecvență a luminii (reținând doar anumite componente), urechea face același lucru pentru sunete și un filtru trece-bandă lasă să treacă undele electromagnetice cu frecvențe dorite și le absoarbe pe celelalte. Dacă conține toate frecvențele și este variabil, atunci formula transformatei Fourier a convoluției arată că poate fi oricât de aproape de orice semnal prescris. Acesta este sensul teoremei lui Wiener:

Dacă și dacă , , atunci există o funcție de clasă nulă în afara unui interval compact astfel încât .

3.1.2 Transformarea Fourier in S

Teoremă 3.1.400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Are loc următoare incluziune:

Demonstrație

Fie o funcție , atunci , deci există un astfel încât pentru . Atunci

.

Teoremă 3.1.5 a) Dacă este rapid descrescătoare, atunci .

b) Dacă și , , atunci este rapid descrescătoare.

Demonstrație

Dacă este rapid descrescătoare, rezultă că există astfel încât implică , deci

,

deci , și rezultă că

Avem că pentru , deci .

Corolar Dacă , atunci .

Demonstrație

Fie . Atunci și conform teoremelor demonstrate anterior. În plus, , este rapid descrescătoare, deci integrabilă pe . Ca atare, este rapid descrescătoare. Apoi, și , este o transformată fourier deci tinde către zero pentru , deci .

Teoremă 3.1.6 Transformarea Fourier este liniară, bijectivă, continuă, cu inversa continuă. În plus, pentru oricare ,

.

Demonstrație

Dacă , atunci f este continuă. Apoi, , deci , de unde rezultă că avem

.

Considerăm operatorul similar operatorului Fourier

, .

Așadar, pentru orice , deci . Rezultă de aici că este surjectivă, și fiind injectivă conform corolarului primei teoreme de inversare, rezultă că este bijectivă. La fel va fi și și ca atare .

Teoremă 3.1.7 Are loc urămtoarea incluziune:

Demonstrație

Fie . Atunci există astfel încât pentru orice , . Așadar,

,

deci .

Se poate arăta că este subspațiu dens al lui . Reamintim că pentru oricare se definește produsul scalar .

Teoremă 3.1.8 (Plâncherel-Parseval) Dacă , atunci

și, în particular, .

Demonstrație

Notând , rezultă că . Dar cum , rezultă egalitatea din enunț. Cea de-a doua relație se obține considerând .

Corolar Aplicația , este o izometrie.

Demonstrație

Conform teoremei 3.1.6, această aplicație este liniară și bijectivă, și conform teoremei Plâncherel-Parseval ea conservă produsele scalare.

3.1.3 Transformarea Fourier în

Operatorul Fourier este bijectiv și bicontinuu, si el se poate prelungi la . Definirea transformatei Fourier pentru funcțiile din diferă de aceea pentru funcțiile din , pentru că nu orice funcție din este absolut integrabilă pe . Definiția se aplică, totuși, dacă și atunci rezultă că , de fapt . Această izometrie a lui în se poate extinde la o izometrie a lui în iar această extensie definește transformata Fourier (uneori numită transformata Plancherel) a oricărei funcții f în .

Așadar, fie o funcție , și fie un șir astfel încât în . Definim operatorul astfel: . În in se păstrează o parte din proprietățile anterioare. De importanță maximă este extinderea in acest spațiu a formulei lui Plâncherel, care spune că dacă , atunci și .Cea de-a doua relație se mai numește teorema Rayleigh a energiei. Semnalele din se mai numesc semnale cu energie finită, numărul real și pozitiv se numește energia semnalului, iar ultima relație ne arată că energia unui semnal din poate fi calculată având reprezentarea fie în domeniul timp , fie în domeniul frecvență a semnalului respectiv.

3.1.4 Transformarea Fourier a distribuțiilor

Faptul că nu toate funcțiile elementare au transformată Fourier reprezintă un dezavantaj pentru folosirea curentă a transformatei Fourier. De exemplu, funcția polinom, nefiind din , nu posedă transformată Fourier. Acest dezavantaj dispare însă dacă ne plasăm în cazul distribuțiilor, pentru orice distribuție putându-se defini o transformată Fourier, care la rândul ei este o distribuție.

Definiție Mulțimea tuturor funcționalelor liniare și continue definite pe se numește mulțimea distribuțiilor temperate și se notează cu . Orice element al lui se numește distribuție temperată. Dacă , se mai folosește notația .

Cel mai cunoscut exemplu de distribuție temperată este distribuția Dirac. Un alt exemplu de distribuții il constituie cele definite de funcțiile din . Dacă considerăm acele funcții absolut integrabile pentru care avem pentru , funcționala va puta fi definită prin . Menționăm și faptul că orice distribuție temperată admite derivate de orice ordin, care la rândul lor sunt distribuții temperate, derivata definindu-se prin .

Definiție Numim transformata Fourier a distribuției funcționala liniară și continuă , definită prin

.

Liniaritatea și continuitatea lui rezultă din faptul că f este distribuție, deci e liniară și continuă. Se poate arăta că toate proprietățile enunțate pentru transformata Fourier a funcțiilor din rămân valabile și pentru transformata Fourier în sensul distribuțiilor.

Definiție Numim transformata Fourier inversă a distribuției distribuția , definită prin egalitatea .

Transformarea Fourier finită

Transformările Fourier finite sunt des utilizate la determinarea soluțiilor problemelor neomogene. Aceste transformări finite, și anume transformările prin sinus și prin cosinus, se deduc imediat din teoria seriilor Fourier.

Vom considera o funcție continuă pe porțiuni într-un interval finit, de exemplu . Acest interval este introdus pentru ușurarea calculelor, iar schimbarea lui se poate realiza fără dificultate.

Definiție Transformarea Fourier finită prin sinus asociată funcției , notată , este definită prin , , iar inversa acestei transformări rezultăin faptul că f este distribuție, deci e liniară și continuă. Se poate arăta că toate proprietățile enunțate pentru transformata Fourier a funcțiilor din rămân valabile și pentru transformata Fourier în sensul distribuțiilor.

Definiție Numim transformata Fourier inversă a distribuției distribuția , definită prin egalitatea .

Transformarea Fourier finită

Transformările Fourier finite sunt des utilizate la determinarea soluțiilor problemelor neomogene. Aceste transformări finite, și anume transformările prin sinus și prin cosinus, se deduc imediat din teoria seriilor Fourier.

Vom considera o funcție continuă pe porțiuni într-un interval finit, de exemplu . Acest interval este introdus pentru ușurarea calculelor, iar schimbarea lui se poate realiza fără dificultate.

Definiție Transformarea Fourier finită prin sinus asociată funcției , notată , este definită prin , , iar inversa acestei transformări rezultă imediat din teoria seriilor Fourier prin sinus, și anume

.

Definiție Transformarea Fourier finită prin cosinus asociată funcției , notată , este definită prin , , iar inversa acestei transformări este

.

3.2 Transformata Laplace

Transformata Laplace este un caz special de transformată Fourier. Ea este agreată în multe situații, fiind mai ușor de aplicat având în vedere dificultățile care apar la determinarea transformatei Fourier a unor clase de funcții.

Transformarea Fourier poate fi generalizată considerând variabila ca fiind caz particular al , interpretând u ca fiind o variabilă complexă. Rezultatul este următoarea pereche de transformate: și inverse ei: . Această pereche se numește transformata Laplace bilaterală, deoarece se poate obține prin includerea ambelor semiaxe pozitivă și negativă ale axei (timpului) în transformarea Laplace clasică. Transformarea complexă Fourier generalizată (Laplace bilaterală) nu este folsită în general pentru rezolvarea problemelor practice, dar importanța sa se reflectă în faptul ca este cea mai generală formă care reprezintă punctul în care conceptele de transformată Fourier și Laplace coincid. Stabilirea acestei conexiuni puncteaza ideea că aceste două transformate sunt similare, ele fiind derivate din aceeași formă generală, dar prin aplicarea unor constrângeri diferite.

Definiție O funcție se numește funcție original dacă satisface următoarele condiții:

a) dacă ;

b) este continuă cu excepția unui număr finit de puncte în care are discontinuități de speța întâi;

c) există numerele , atfel încât .

Constanta se numește indice de creștere. Condiția cere deci ca funcțiile să tindă la infinit mai încet decât o exponențială.

Putem să facem observația că daca o funcție satisface condițiile b) și c), atunci devine funcție original în sensul definiției de mai sus, unde

este funcția Heaviside.

Condiția a) din definiție este justificată de faptul că semnalele care intervin asupra unor procese fizice sunt nule până la un moment dat și se poate considera . Vom nota cu mulțimea funcțiilor original.

Observație Suma și produsul a două funcții original sunt funcții original.

Propoziție Fie funcția original , cu indicele de creștere și , . Atunci .

Demonstrație

Avem

, deci .

În aceste condiții putem calcula transformata sa Fourier:

,

unde am notat .

Definiție Se numește transformarea Laplace a funcției original , funcția de variabilă complexă definită prin relația

.

Vom folosi notația .

Fiind dată funcția de variabilă complexă , se pune întrebarea dacă există o funcție original a cărei transformată Laplace să fie funcția . Pentru aceasta există următoarele condiții suficiente de existență a originalului:

Avem următoarea teoremă de inversare:

Teoremă 3.2.1 (teorema de inversare) Dacă funcția satisface condițiile:

1) olomorfă în .

2) uniform in raport cu

3) ,

Atunci este o funcție imagine, având originalul dat de

.

Această relație de inversare este cunoscută sub numele de formula Mellin-Fourier.

Teoremă 3.2.2 Fie funcția original , cu indicele de creștere . Atunci transformata Laplace există și este funcție olomorfă în semiplanul .

Demonstrație

Într-adevăr,

, deoarece pentru . De aici rezultă existența transformatei Laplace. Din faptul că funcția este indefinit derivabilă în raport cu s, rezultă că este o funcție olomorfă în semiplanul .

Proprietăți ale transformatei Laplace

Liniaritatea Fie funcțiile original și și numerele și . Atunci

.

Proprietatea rezultă din liniaritatea integralei.

Asemănarea Fie o funcție original și un număr . Avem

.

Demonstrație

Folosim formula de definiție a transformatei Laplace. Observăm că este o funcție original și . Efectuând schimbarea de variabilă , obținem

.

Întârzierea Dacă este o funcție original și , atunci avem

.

Demonstrație

Funcția este o funcție original, care de fapt se scrie

.

Atunci avem

,

unde am facut schimbarea de variabilă .

Deplasarea Fie o funcție original cu indicele de creștere și un număr complex. Atunci

,

unde .

Demonstrație

.

Derivarea originalului Fie și funcții original, cu indicii de creștere , respectiv . Atunci, pentru avem

.

Demonstrație

Într-adevăr, efectuând integrarea prin părți, avem

,

deoarece și reprezintă limita la dreapta în origine.

În general, dacă funcția admite derivate până la ordinul n și toate aceste funcții sunt funcții original, atunci

,

relație care se demonstrează prin inducție.

Observație Dacă funcția are în punctele , , discontinuități de speța întâi, atunci formula de calcul a derivatei se modifică astfel

,

unde , deci saltul funcției în punctul .

Integrarea originalului Fie o funcție original cu indicele de creștere . Atunci

.

Demonstrație

Vom face notația , funcție care este derivabilă în toate punctele cu excepția originii, și avem . Funcția este o funcție original având același indice de creștere ca și (putem scrie

,

de unde rezultă că funcția este funcție original cu același indice de creștere ca și ). Deoarece , aplicând formula transformatei Laplace a derivării, obținem

,

de unde rezultă egalitatea din enunț.

Derivarea imaginii Dacă este o funcție original și este transformata sa Laplace, atunci avem

.

Demonstrație

Având în vedere inegalitatea , rezultă că integrala este uniform convergentă, așa încât se poate deriva sub semnul integralei în raport cu . Obținem

.

Observație Funcția fiind olomorfă în , este indefinit derivabilă. Atunci, folosind relația de derivare, se poate arăta prin inducție că

.

Integrarea imaginii Fie funcția original cu indicele de creștere și fie transformata sa Laplace. Dacă funcția este o funcție original, atunci pentru avem

.

Demonstrație

Vom nota . Deoarece funcția este olomorfă în , putem deriva sub integrală în raport cu . Obținem

.

Integrând de-a lungul unei drepte ce unește s și , dreaptă care nu e paralelă cu axa imaginară din planul complex , obținem

,

apoi

,

și folosind inegalitatea , deducem că , și deci .

Convoluție Dacă și sunt funcții original, atunci

,

unde este produsul de convoluție al funcțiilor și .

Demonstrație

Arătăm pentru început că produsul de convoluție al două funcții original există și este tot o funcție original. Având în vedere definiția produsului de convoluție, avem

,

dacă ținem cont că pentru , iar pentru , deci produsul de convoluție al două funcții original există.

Deoarece și sunt funcții original, avem , și , deci putem scrie

,

deci este funcție original. Aplicând transformata Laplace produsului de convoluție, obținem

.

Teoreme la limită

Dacă este o funcție original, atunci

Teorema valorii inițiale Dacă și sunt funcții original, atunci

Teorema valorii finale Dacă și sunt funcții original și există și este finită limita , atunci .

Demonstrație

Din inegalitatea , rezultă că prin trecere la limită avem , cu coondiția ca să tindă spre pe o direcție neparalelă cu axa imaginară din planul complex .

Din proprietatea de derivare a originalului, , trecând la limită și având, conform lui a), , obținem relația .

Folosind proprietatea de derivare a originalului, putem scrie , și ținând seama de faptul ca integrala este absolut și uniform convergentă, prin trecere la limită sub semnul integral, obținem

,

de unde rezultă egalitatea din enunț.

Transformarea Laplace a funcțiilor periodice

Definiție Fie o funcție original, periodică de perioadă . Atunci transformata Laplace a funcției este dată de formula

.

Demonstrație

Folosind definiția, putem scrie

.

Făcând schimbarea de variabilă , și ținând cont de periodicitatea funcției , adică , obținem

.

De aici,

.

Deoarece , rezultă că , de unde în final obținem relația din enunț.

Transformarea Laplace a distribuțiilor

În anumite considerații, transformata Laplace definită pe spațiul al funcțiilor original, trebuie extinsă la distribuții, această extindere fiind utilizată, de exemplu, în studiul ecuației undelor.

Definiție Fie spațiul distribuțiilor nule în intervalul astfel încât să existe cu proprietatea că aparține lui , oricare ar fi . Pentru orice distribuție se numește transformata Laplace a lui distribuția temperată definită prin

,

unde . Se mai notează .

Dacă este o distribuție regulată (asociată unei funcții din ), atunci g este de asemenea regulată și are loc relația

.

Și pentru transformata Laplace a distribuțiilor rămân valabile proprietătile de liniaritate, dilatare, întârziere, derivare ale transformatei Laplace pentru funcțiile din , și se poate arăta și că distribuția este o funcție olomorfă de , în semiplanul .

3.3 Transformata Mellin

Definiție Fie o funcție astfel încât dacă și dacă , cu și constante convenabile. Se numește transformata Mellin a lui funcția complexă

.

(Se verifică imediat că și că este olomorfă în banda ). Transformarea Mellin se poate extinde la anumite clase de distribuții. Această transformată este utilizată în procesarea imaginii la scară invariantă și la recunoașterea vocii.

Proprietăți ale transformatei Mellin

Dacă , atunci ,

Dacă , atunci ,

Dacă este original, atunci

Dacă pentru și pentru , atunci .

3.4 Transformata Hilbert

Fixăm o funcție din , pe care o numim nucleu.

Lemă Dacă transformata Fourier a lui este esențialmente mărginită, atunci pentru orice există

,

pentru orice și este definit un operator

, ,

mărginit în norma din .

Demonstrație

Conform ipotezei, și fie . Pentru transformata Fourier are loc relația de transformare a convoluției, deci , deoarece . Operatorul Fourier pastrează normele, de unde deducem că .

Deoarece este dens în , se extinde la un operator mărginit .

Lemă Presupunem că funcția satisface în plus relațiile următoare:

1) , pentru orice

pentru orice

2) , .

Atunci funcția definită prin

aparține lui și are transformata Fourier mărginită (adică semnalul are funcția spectrală mărginită).

Demonstrație

Evident, și satisface condițiile 1) și 2), eventual înmulțind A cu o constantă pozitivă c. Avem

,

unde și . Conform condiției 2) rezultă

,

deci conform condiției 1) avem

.

Pentru a evalua punem , deci . Avem

,

unde este mulțimea definită prin , și cum , ultima integrală este mărginită confomr ipotezei că . Prima integrală din membrul al doilea se majorează prin , și cum , rezultă, conform ipotezei 1) aplicată funcției , că această integrală este mărginită de . Deoarece , rezultă pentru orice .

Teoremă 3.4.1 Fixăm astfel încât transformata sa Fourier să fie esențialmente mărginită (de A) și să fie verificate condițiile 1) și 2) din lema anterioară. Pentru orice funcție și pentru orice notăm

.

Atunci există și este astfel definit un poerator mărginit , .

Demonstrație

Observăm că dacă este operatorul de -dilatare (definit prin ) și dacă este operatorul de convoluție cu nucleul , atunci este operatorul de convoluție cu funcția . Această ultimă funcție satisface de asemenea condițiile 1) și 2), cu aceleași constante. Notând , conform lemei 2, funcția

are transformata Fourier mărginită, , . Notăm

, .

Atunci și , deci transformata Fourier a lui este esențialmente mărginită.. Conform lemei 1, cum , este definit pentru orice câte un operator mărginit , care asociază oricărei funcții funcția

.

Având în vedere faptul că mulțimea D este densă în , putem presupune că și atunci

conform cu condția 2). Prima integrală este funcție din (convoluție a unei funcții din cu o funcție din D), iar cea de-a doua integrală are suport compact și converge uniform în raport cu pentru , deoarece fiind derivabilă, avem , cu . În concluzie, funcția converge în norma din pentru .

Definiție Pentru orice funcție din , funcția , definit prin

se numește Transformata Hilbert a lui f.

Operatorul , se numește transformarea Hilbert în .

Proprietăți ale transformatei Hilbert

Operatorul Hilbert este un izomorfism liniar unitar (adică păstrează produsele scalare) și în plus, , adică, în particular,

și

Transformata Fourier a lui este egală cu

, .

Dacă , atunci , și dacă , atunci

,

unde este operatorul de dilatare.

Punctele 1 și 2 se demonstrează folosind definiția, iar verificarea punctului 3 este imediată: dacă și , atunci

,

și notând , rezultă

.

3.5 Transformata Hartley

Transformata Hartley a fost introdusă în știință de R.V.L Hartley în anul 1942 și readusă în actualitate de Ronald Bracewell în anul 1983. Bracewell a formulat varianta discretă și a elaborat prima subrutină de calcul rapid, pentru implementarea pe calculator. Această transformată este organic legată de transformata Fourier, fiind caracterizată de faptul că operează asupra funcțiilor semnal reale, ca utilizează numai numere reale, cea ce convine tehnicii de calcul și operatorului uman.

Transformata Hartley posedă unele avantaje față de transformata Fourier, necesitând un număr mai redus de operații pe calculator, tocmai datorită faptului că operează numai cu numere reale, fiind preferată în aplicațiile de filtrație numerică, în analiza zgomotelor și vibrațiilor, în acustică și în evaluarea indicatorilor regimului deformant din sistemele energetice. Totuși transformata Hartley nu poate fi aplicată în procesele de convoluție și de corelație din cauză că pentru acestea prezintă expresii foarte complicate în comparație cu cele corespondente ale transformatei Fourier. Astfel, transformata Hartley nu este utilizată în transferul liniar și în operațiile de identificare și optimizare a sistemelor automate.

Definiție Se numește transformata Hartley a funcției semnal următoarea funcție:

,

sau, dacă se notează (denumirea vine de la „cosine and sine”), atunci .

Observație Legătura dintre transformata Hertley și transformata Fourier reală este dată de relația:

Transformata inversă Hartley este dată de expresia

.

Se constată că cele două transformări Hartley, directă și invesă, au aceeași funcție de bază (același nucleu) sub semnul integrală: funcția .

Proprietățile funcției

Relațiile cu funcțiile trigonometrice și . Se arată imediat că sunt valabile următoarele expresii:

Funcția a unghiului dublu:

Dezvoltarea în serie Mac-Laurin:

Valoarea pentru unghiul

Folosind proprietatea anterioară deducem că

Derivata de ordinul I și integrala funcției

;

Formula lui Euler

Prin analogie cu relația , folosind formula de definiție a funcției și formulele lui Euler pentur funcțiile și , se obține

,

Putând exprima exponențiala în funcție de :

Cu aceste formule se pot deduce relații de legătură între transformarele Fourier si Hartley

Relația dintre transformata Fourier și transformata Hartley

Proprietățile de liniaritate, comprimare temporală, dilatare temporală, derivare și integrare a funcțiilor semnal sunt relativ ușor de determinat în domeniul Hartley, ele fiind în prinsipiu similare cu cele ale transformatei Fourier. Pentru cele două transformări, în baza relației lui Euler, rezultă

,

și respectiv

.

Transformata Hartley complexă

La prima vedere s-ar părea că nu este necesară o transformata Hartley complexă, ca urmare a faptului că transformata Hartley este aptă pentru prelucrarea datelor reale. Acest avantaj dispare dacă datele sunt complexe, când cele două transformări Fourier și Hartley devin echivalente sub aspect informațional. Abordarea transformatei Hartley în domeniul complex este utilizată cu precădere în aplicațiile bidimensionale. Partea reală a transformatei complexe Hartley va fi, prin definiție, transformata părții reale a funcției semnal complexe.

În expresia transformatei complexe Hartley intervine un nucleu complementar al funcției cas, definit prin diferența

Definiție Transformata Hartley a unei funcții complexe este

,

sau, folosind funcția cas, .

=== PrelucrareaDisc ===

4. Prelucrarea semnalelor digitale

Prelucrarea semnalelor digitale își are începutul în anii 1960-1970, când au apărut calculatoarele digitale. Acestea erau scumpe, iar prelucrarea semnalelor digitale se limita la doar cateva aplicații critice. Eforturile inițiale s-au făcut în patru domenii-cheie: radar și sonar, exploatările petroliere, explorarea spațiului și medicină. Revoluția calculatoarelor personale din anii 1980-1990 a determinat extinderea prelucrării semnalelor digitale la domenii variate. Înainte de a fi motivată de rațiuni militare sau nevoie guvernamentale, dezvoltarea prelucrării semnalelor digitale a avut mai degrabă motive economice, devenind o modalitate rapidă de a „face bani”, astfel prelucrarea semnalelor digitale ajungând să ofere omenirii telefoanele mobile, CD playerele sau mesageria vocală electronică. Făcând o analogie, extinderea prelucrării digitale poate fi asociată unei alte revoluții tehnologice, cea a electronicii.

Definiție Se numește mulțime de momente (sau mulțime-timp) orice mulțime total ordonată . De obicei se presupune că mulțimea de momente are un cel mai mic element, numit moment inițial.

Exemple ; , fiind un număr întreg fixat; ; ; , cu ordinea uzuală.

Definiție Se numește semnal discret orice funcție definită pe o mulțime de momente inclusă în , cu ordinea indusă.

Așadar, mulțimea este finită sau numărabilă. Orice semnal discret se poate identifica cu un șir de numere reale sau complexe , . În cele mai multea aplicații, și atunci este bine determinat prin cele eșantioane ale semnalului , sau și atunci este determinat prin șirul componentelor (eșantioanelor) sale , . În cele ce urmează vom considera și vom nota cu mulțimea tuturor semnalelor discrete ; este evident că este un spațiu vectorial peste relativ la operațiile uzuale de adunare și înmulțire cu scalari, pe componente.

Definiție Un semnal discret se numește periodic dacă există un număr întreg , numit perioadă, astfel încât .

Operații simple cu semnale discrete

Translația în timp (Time delay). Un semnal poate fi translatat în timp prin înlocuirea variabilei n cu n-k, . Dacă , atunci translația în timp are ca efect o întârziere a semnalului cu k unități. Dacă k<0, translația în timp implică un avans cu unități.

Reflexia (Folding) constă în înlocuirea în a indexului n cu .

Subeșantionarea (Down-sampling) constă în înlocuirea indexului n cu kn, . De fapt e o scalare în timp care este echivalentă cu schimbarea ratei de eșantionare, și de aceea este numită subeșantionare.

Conversia analog-digitală și digital-analogică

Majoritatea semnalelor prelucrabile digital (semnalul vocal, semnalele biologice, semnalul radar) sunt analogice. Este deci necesar ca acestea să fie în primul rând convertite în formă digitală. Acest lucru se întâmplă în mai multe etape.

În primul rând are loc eșantionarea, care constă în conversia unui semnal continuu în timp într-un semnal discret în timp, luând câte un eșantion din semnalul continuu la intervale de timp discrete. Astfel, dacă T este durata intervalului de eșantionare și dacă este intrarea blocului de eșantionare, la ieșirea lui vom avea . Eșantionarea poate fi uniformă când luăm eșantioane la fiecare T secunde, sau neuniformă când intervalul de eșantionare nu este constant. În general Înaintea eșantionării se introduce un filtru trece-jos care are două roluri: asigură că banda semnalului care urmează să fie eșantionat este în domeniul dorit și reduce influența zgomotului în semnalul eșantionat. Spectrul zgomotului auditiv, relativ constant contribuie direct proporțional cu banda. Prin urmare, filtrarea trece-jos va reduce influența zgomotului în semnalul eșantionat. Filtrele digitale pot îmbunătăți semnalele audio în multe moduri. De exemplu, filtrajul Wiener poate fi folosit pentru separarea frecvențelor în care este în principal sunet, de cele în care este în principal zgomot. Pe de altă parte, deconvoluția poate compensa o convoluție nedorită, ca de exemplu în restaurarea înregistrărilor vechi.

Urmează cuantizarea care face conversia semnalului discret în timp cu domeniu de valori continue în semnal discret în timp cu valori discrete. Cuantizarea este necesară deoarece sistemele digitale nu pot reprezenta decât numere sub formă binară. Valoarea fiecărui eșantion cuantizat se alege dintr-un set finit de valori. În final avem procesul de codare, în care fiecare valoare discretă se reprezintă printr-o secvență binară de k biți.

După procesarea semnalului discret în timp, el poate fi sau nu convertit în semnal analogic. De exemplu, dacă aplicația dorită constă în prelucrarea semnalului vocal, atunci se preferă în mod obișnuit conversia digital-analogică. În acest caz mai este nevoie de un filtru trece-jos, numit și postfiltru. Pentru semnalele radar, informația de ieșire poate rămâne și sub formă digitală.

4.1 Transformata Fourier Discretă

Fixăm o mulțime și un semnal discret , , unde sunt eșantioanele semnalului.

Definiție Se numește transformata Fourier discretă directă a lui semnalul peste aceeași mulțime de momente, definit prin

,

unde . Numărul complex se numește eșantionul spectrului lui pe frecvența .

Definiție Semnalul discret , unde

se numește transformarea Fourier discretă inversă a lui .

Transformările Fourier discrete definesc următoarele aplicații: , și , .

Definiție Numărul complex se numește nucleul transformatei Fourier discrete.

Caracterizarea matricială a transformatei Fourier Discrete Din relațiile de definiție a transformatei Fourier discrete rezultă că atât transformata Fourier discretă directă, cât și inversa ei sunt transformări liniare. Ținând cont de faptul că în acest caz secvența și transformata au un număr finit de elemente, acestea se pot scrie și sub formă de vectori de lungime finită. Astfel, considerăm matricea (numită matricea transformatei discrete Fourier); identificând un semnal cu vectorul coloană al eșantioanelor sale , rezultă că

,

adică are loc egalitatea de matrice , și similar .

Lemă Pentru orice avem

Demonstrație

Evident, , și este suficient să observăm că dacă , atunci

.

Lema rezultă aplicând această relație pentru .

Observație Funcțiile , , , în număr de N, se mai numesc exponențiale discrete (relativ la N) si lema precedentă exprimă o proprietate de ortogonalitate a exponențialelor discrete.

Teoremă 4.1.1 a) Aplicațiile sunt izomorfe liniare inverse unul altuia.

b) Orice semnal discret este bine determinat prin cunoașterea transformării sale Fourier discrete.

c) Fie , și . Presupunem că toate eșantioanele sunt numere reale și că este par. Atunci , pentru orice , , și, în particular, este real.

Demonstrație

Fixăm , și fie , . Avem de arătat că și că . Va rezulta atunci că , sunt aplicațiile identice ale spațiului și liniaritatea aplicațiilor și -1 fiind evidentă, aformația va fi demonstrată.

Fie deci , . Din definiția transformatei Fourier discrete avem și calculăm . Avem pentur orice ,

,

ultima relație decurgând din lema 1. Așadar, . Cealaltă relație se demonstrează analog.

Rezultă direct din a), pentru că dacă și , atunci .

Conform ipotezei, avem și avem de arătat că , ceea ce rezultă din faptul că . Pentru se obține că , deci este real.

Teoremă 4.1.2 Pentru orice , presupuse semnale discrete, , , au loc relațiile:

a) ;

;

.

b) ; ; .

Demonstrație

Componenta de ordinul a semnalului este

.

Deci, fiind arbitrar, , rezultă că , cu convenția uzuală de a înmulți semnalele pe componente.

Celelalte relații se demonstrează în mod similar, ultimele două relații din a) și b) putându-se deduce din cele precedente și din teorema anterioară.

Corolar Dacă sunt semnale discrete, atunci

și

Corolar (Parseval) Fie semnale discrete și , transformatele lor Fourier discrete. Atunci

și

Demonstrație

Fie , deci pentru . Dar pentur orice , deci conform definiției convoluției rezultă că . Pentru și apoi pentru se obțin relațiile din enunț.

4.2 Transformata Fourier-Walsh

Fie întregi și fie . Considerăm mulțimea . Orice element are o reprezentare adică de lungime exact , și anume

notată și . Pentru orice element există și este unic un element astfel încât . Dacă , atunci . Pentru orice se poate defini un element bine determinat în modul următor: se consideră scrieri adice de forma pentru și se definește , unde , . În acest mod este definită o aplicație surjectivă , .

Pentru orice element există și este unic un element astfel încât . Mulțimea T are evident structură de grup comutativ în raport cu operația de adunare definită anterior.

Orice semnal din se identifică cu un punct din , deci cu o matrice coloană . Fie frontiera discului unitate din planul complex, .

Definiție Se numește bază standard de semnale discrete orice șir finit de semnale din astfel încât:

matricea de tip , să fie simetrică și cu toate elementele luate din

pentru orice să avem (proprietatea de multiplicativitate)

pentru orice să avem (proprietatea de ortogonalitate)

Propoziție Fie un șir de semnale din verificând condițiile a) și b). B este bază standard în dacă și numai dacă suma elementelor fiecărei linii a matricei E cu excepția primeia este nulă.

Alături de semnalele sinusoidale, care au proprietți remarcabile de completitudine și ortogonalitate, în aplicarea tehnicilor digitale s-au impus și alte sisteme de funcții ortogonale păstrând proprietățile anterioare, dar adăugând disponibilități noi, cea mai cunoscută clasă fiind cea a funcțiilor Walsh.

Vom considera intervalul împărțit în parți egale, adică și, în mod corespunzător, asociem unui semnal discret funcția în scară egală cu pe fiecare interval , . Trebuie remarcat că produsul scalar coincide cu produsul scalar în , anume

.

Definiție Se numesc funcții Walsh (în baza q, cu eșantioane) cele semnale discrete , definite prin

, ,

unde

, iar

iar și sunt scrierile adice ale lui și .

Asocierea este uneori numită codificarea lui Gray.

Cazul cel mai important este , în care se regăsesc funcțiile Wlash clasice. În acest caz, formula definitorie revine la , deci = +1 sau -1 după cum este par sau impar. Așadar, funcțiile Wlash binare au numai două valori, +1 și -1, ceea ce constituie o calitate fundamentală, la care se adaugă proprietățile lor bune de calcul, care le transformă într-o alternativă importantă, pentru cazul discret, a semnalelor sinusoidale.

Șirul de funcții Walsh constituie o baza fundamentală de semnale în .

Definiție Fie un semnal oarecare. Acesta admite o reprezentare unică sub forma , cu constante reale sau complexe, numită reprezentarea Walsh a lui x.

Coeficienții se determină imediat din relațiile de ortogonalitate, anume

, .

În analogie cu cazul dezvoltării clasice Fourier în serie de semnale sinusoidale, șirul este tocmai transformata Fourier inversă a lui relativ la baza standard Walsh, numită pe scurt transformata Fourier-Walsh.

4.3 Transformata în z

Transformata este un instrument teoretic și practic utilizat în special în analiza sistemelor discrete liniare invariante în timp. Ea poate fi asimilată cu discretizarea transformării Laplace.

Fixăm (pas de eșantionare). Dacă este un semnal continual (analogic), atunci se poate asocia semnalul discret , , care se poate exprima ca o serie de impulsuri , și formal, transformata Laplace a semnalului este , adică dacă notăm . Aceste considerații sugerează definirea transofrmatei în , nu înainte însă de a defini seriile Laurent.

Serii Laurent

Definiție Se numește serie Laurent centrată în punctul orice serie de funcții de forma .

Definiție O serie Laurent se numește convergentă dacă seriile și sunt simultan convergente, și în acest caz suma seriei este

.

Teoremă 4.3.1 (a coroanei de convergență) Fie seria Laurent și fie și . Presupunem că . Atunci:

În coroana circulară , seria Laurent converge absolut și uniform pe compacte.

În mulțimea seria Laurent diverge.

Suma seriei Laurent este funcție olomorfă pe coroana .

Demonstrație

Seria de puteri are raza de convergență R, și converge absolut și uniform pe compacte în discul . Seria de puteri converge absolut și uniform pe compacte pe discul , deci în exteriorul discului (Am notat , și deci ). În concluzie seria Laurent, ca sumă a celor două serii de funcții converge absolut și uniform pe compacte în coroana circulară .

În seria Laurent este sumă a două serii, dintre care una este convergentă, iar cealaltă divergentă, în concluzie este divergentă.

Se știe că funcția este olomorfă pentur orice cu și funcția este olomorfă pentru orice cu . Funcția este olomorfă, deci compunerea este o funcție olomorfă pentru orice cu . Atunci este o funcție olomorfă pentru orice . Mai mult, rezultă că .

Teoremă 4.3.2 Fie o funcție olomorfă pe coroana , . Atunci există o unică seria Laurent a cărei coroană de convergență include coroana astfel încât în să avem .

Definiție Fie un semnal discret astfel încât seria formală Laurent de puteri să fie convergentă, deci există , astfel încât seria numerică să fie convergentă. Se numește transformata în z a lui (sau z-transformata sau transformata Laplace discretă bilaterală) funcția complexă definită prin .

Din teoria generală a funcțiilor complexe se știe că funcția este olomorfă într-o coroană circulară centrată în origine, deci transformata în există doar pentru acele valori pentru care seria este convergentă, motiv pentru care definirea unei transformate în z trebuie să conțină si menționarea regiunii sale de convergență.

Definiție Se numește regiunea de convergență a lui partea din planul complex pentru care este finită.

În cele ce urmează, vom considera transformările în z unilaterale, adică pentru semnale din (deci pentru ).

Teoremă 4.3.3 Asocierea este liniară și injectivă.

Demonstrație

Evident, , pentru orice și . Apoi dacă , atunci rezultă că pentru orice z din exteriorul unui cerc, și din unicitatea dezvoltării Laurent rezultă că toți coeficienții sunt nuli, deci .

Teoremă 4.3.4 Dacă , , atunci (teorema valorii inițiale) și dacă există , atunci (teorema valorii finale).

Demonstrație

Prima parte este evidenta. Pentru teorema valorii finale, cum șirul este presupus convergent, acesta este mărginit, deci seria converge pentru . Presupunem mai întâi că . Fixând arbitrar, putem alege astfel încât pentur orice . Atunci, pentru avem , și cum , rezultă că .

Dacă , atunci considerăm șirul . Evident, și , deci , și aplicând teorema anterioară, rezultă că

,

adică .

Teoremă 4.3.5 (teorema de inversare a z-transformării) Fie , și funcția olomorfă în domeniul . Pentru orice , fie frontiera discului parcursă poziti o singură dată. Atunci

, .

Demonstrație

Pronind de la definiția transformatei în z, , multiplicând ambii membri cu și integrând pe obținem

.

Schimbând în membrul drept ordinea de integrare și însumare obținem

.

Teorema de integrare a lui Cauchy ne furnizează rezultatul integralei din membrul drept și obținem relația de inversare din enunț, deoarece pe un contur din regiunea de convergență care înconjoară originea, avem

.

Expresia inversei transformatei în z este rar utilizată în practică. Pentru a obține expresia temporală a unei transformate în z este adeseori mai simpla utilizarea descmpunerii în serie Laurent sau Taylor a transformatei.

Teoremă 4.3.6 (teorema de convoluție) Dacă , atunci și, în plus, . Această relație are loc și în afara discului comun de convergență al seriilor de puteri asociale lui și .

Demonstrație

Conform regulii de înmulțire a seriilor absolut convergente avem

,

unde .

Observație (relația dintre transformata în z și transformata Fourier) Transformata în z a unei secvențe x(n) a fost definită prin , unde regiunea de convergență a lui x(z) este . Scriind z sub forma polară, , unde , în interiorul regiunii de convergență obținem . Această relație ne sugerează faptul că transformata în z poate fi interpretată ca și transformata Fourier a semnalului discret în timp . Mai mult chiar, dacă este convergentă pe cercul , atunci . Prin urmare, transformata Fourier a unei secvențe poate fi considerată ca și transformata în z evaluată pe cercul unitate.

Observație 1. Există secvențe pentru care transformata în z există, dar pentru care transformata Fourier nu există

2. Existența transformatei în z nu asigură neaparat existența transformatei Fourier.

Exemplu

este un semnal discret în timp, cauzal, care are transformată în z pentru , deci transformata sa Fourier nu există.

4.4 Transformata Hilbert discretă

Deseori, în aplicarea tehnicilor de analiză Fourier este utilă explicitarea relațiilor între părțile reale și imaginare (sau între modulele și fazele) transformatelor Fourier ale semnalelor. Acestea sunt numite de obicei relațiile de transformare Hilbert.

Pentru studiul cazului discret al transformatei Hilbert sunt necesare unele pregătiri. Astfel, pentru orice semnal discret vom nota , partea pară a lui , și , partea impară a lui .

Dacă , atunci semnalul este bine determinat dacă se cunosc . Mai precis,

, și similar

Fie , cu valori reale. Atunci are sens considerarea funcției continue și periodice de perioadă , , definită prin , deci va fi , .

Dacă este transformata în a lui , atunci , . Fie , deci . Atunci

și .

Deci, dacă se cunoaște , atunci se poate determina și apoi . Așadar, transformata în a lui poate fi complet recuperată dacă se cunoaște doar partea reală (sau imaginară) a ei pe discul unitate. O problemă similară este cea a determinării lui din cunoașterea modulului sau fazei ei pe cercul unitate. Pornind de la transformata Fourier a șirului , trecând la limită pentru , și ținând seama ca domeniul de convergență al seriei care definește cuprinde cercul unitate, ajungem la definiția transformatei Hilbert pentru o funcție perioadică de perioadă .

Analog, în cazul discret, considerăm ,

Un calcul imediat arată că transformata Fourier a acestui semnal este

.

Atunci, notând cu , obținem că .

Definiție Pentru orice semnal , se numește transformata Hilbert discretă a lui x semnalul discret definit prin

.

Definiție Se numește transformator Hilbert ideal semnalul periodic de perioadă definit in domeniul-frecvență prin

.

Considerăm semnalul discret în domeniul timp astfel încât , deci

.

Considerăm un semnal discret cu valori complexe, și transformata sa Fourier discretă, căruia îi impunem condiția de cauzalitate (adică pentru ) .

Definiție Se numește transformata Hilbert a semnalului discret x semnalul , deci , unde .

Proprietăți

1)

2) .

=== Aplicatii ===

5. Aplicații. Prelucrarea sunetului și a imaginii

Un proces aleator sau stochastic este modelul matematic al unui fenomen care evoluează în timp într-o manieră imprevizibilă din punctul de vedere al observatorului. Fenomenul poate fi un șir de măsurători de frecvențe sau temperaturi, un flux de date binare transmis de un calculator, un flux de date binare modulate transmis de un modem, media zilnică a indicelui Dow-Jones, o secvență de imagini de la o televiziune prin cablu. El poate fi imprevizibil din cauza unor efecte precum interferențele sau zgomotul dintr-o comunicație sau dintr-un mediu de stocare, sau poate fi un semnal deterministic din punctul de vedere al unui observator transmițător și aleator din punctul de vedere al receptorului.

Procesele aleatoare apar de obicei în aplicații în contextul unor medii sau sisteme care schimbă procesele pentru a produce alte procese. Operațiunea intenționată aplicată unui semnal produs de un proces, numit semnal de intrare, pentru a produce un nou semnal, un semnal de ieșire se numește procesarea semnalului.

Exemple Considerăm o undă variabilă în timp produsă de vorbirea umană într-un microfon sau un telefon. Semnalul poate fi modelat printr-un proces aleator. El poate fi modulat pentru transmisie, apoi eșantionat și codat pentru transmitere digitală. Bruiajele din legătura digitală pot produce erori în reconstrucția biților, iar biții pot fi folosiți pentru reconstrucția semnalului original cu un anumit grad de fidelitate. Toate aceste operații aplicate semnalului se consideră procesare a semnalului, deși această denumire este utilizată în principal pentru operațiile de genul modulării, eșantionării, codării.

Pentru aplicațiile de comunicare a vorbirii umane la rate mici de biți, vorbirea este uneori convertită într-un modem constând dintr-un filtru liniar simplu și un proces de intrare. Ideea este aceea ca parametrii care descriu modelul să poată fi comunicați cu mai puțini biți decât semnalul original, dar receptorul să poată sintetiza vocea umană folosind modelul în așa fel încât să se apropie cât mai mult de semnalul original.

Semnale incluzând date transmise din spațiu sunt practic învaluite în zgomot adaugat pe parcusr sau din amplificatorii utilizați de receptor pentru a primi semnalul. Prin pregătirea corespunzătoare a semnalului înainte de transmisie, prin filtrare și prin aplicarea unor reguli de estimare corespunzătoare, se obțin imaini de calitatea superioară.

O problemă fundamentală o constituie compresia semnalelor. Aceasta se poate compara cu deshidratarea unui litru de suc de portocale până la câteva grame de pudră concentrată, iar gustul băuturii refăcute trebuie să fie similar sucului inițial, dar adesea se pierde ceva din el. Algoritmii de codare sunt cu atât mai eficienți cu cât minimizează degradarea unui semnal. Cei mai eficienți algoritmi actuali utilizați pentru prelucrari audio sau video sunt cei bazați pe baze ortogonale, care redau semnalului refăcut calitate suficient de bună. Codarea prin transformări ortogonale sunt eficiente în special pentru clasele de semnale pentru care nu se poate defini un modem de producție. Este cazul semnalelor audio și al imaginilor. Alegerea bazei și cuantificarea coeficienților trebuie să fie in același timp adaptate percepțiilor umane de așa manieră încât să producă erori cât mai puțin degradate perceptual.

Codajul vocii este important în particular pentru telefonie unde ar putea fi de calitate medie, dar totuși inteligibil. Un semnal de voce prin telefon este limitat într-o bandă de frecvență de 300-3400 Hz și este eșantionat la 8 KHz. Un „Pulse Code Modulation (PCM)” care cuantifică acest eșantion pe 8 biți produce un cod de 64 kb/s, carte poate fi redus considerabil prin suprimarea unor elemente redundante.

Semnalele audio includ vocea, dar și muzica, iar aceasta din urmă este mult mai dificil de modelat. Pe un CD, semnalul audio este limitat la mazimum 20 KHz. El este eșantionat la 44.1 KHz și fiecare eșantion codat pe 16 biți. Debitul codului PCM rezultat este deci de 706kb/s. Codările prin transformări ortogonale sunt printre cele mai performante pentru semnalele audio, deoarece nu necesită un anumit model. Calitatea unui CD este obținută prin codări care necesită 128 kb/s. Cu 64 kb/s, degradările sunt abia perceptibile. Diferența clară între compresia vorbirii și a muzicii se observă la stațiile radio FM și AM. Primele transmit pe o lărgime de bandă de 20 KHz, în timp ce stațiile radio AM sunt limitate la 3.2 KHz. Vocea se aude normal la aceste stații, dar muzica nu se aude satisfăcător.

Codajul EFM (eight-to-fourteen modulation) se folosește la imprimarea datelor pe CD și se referă la faptul de a scrie un byte (8 biți) de informație prin trecerea printr-o tabelă look-up care-i alocă 14 biți. La parcurgerea discului, cei 14 biți sunt trecuți prin inversa tabelei look-up inițiale, astfel refăcându-se cei 8 biți inițiali din cei 4 biți citiți. Ca o completare la acestă codare este, în urma aplicării operațiilor de corectare, codajul two-level Reed-Solomon, în urmă căruia rata de transfer se triplează, de exemplu de la 1.4 Mb/s pentru semnalele stereo audio ajunge la 4.3 Mb/s inscripționați pe disc.

O imagine color este compusă pe trei canale de intensitate în roșu, verde și albastru. Fiecare din aceste imagini are tipic 500 per 500 pixeli, care sunt codați pe 8 biți (256 de niveluri de gri). Un canal telefonic digital ISDN are un debit de 64 kb/s, deci va avea nevoie de 2 minute pentru a trimite o astfel de imagine. Imaginile, ca și semnalele sudio, conțin adesea structuri de torui diferite, dificil de modelat. In mod curent, algoritmii de compresie cei mai eficienți sunt bazați pe baze de cosinus locale sau de ondine. Cu mai puțin de 1 bit/pixel se produc reproduceri de imagini de calitate vizuală aproape perfectă. Cu 0.25 biți/pixel, imaginea rămâne de calitate bună și poate fi transmisă pe o linie telefonică digitală în 4 secunde.

Codajul MPEG Un CD memorează un sunet de înaltă calitate cu un eșantionaj la 44.1 kHz. Eșantioanele sunt cuantificate uniform pe 16 biți, ceea ce produce un PCM de 706kb/s. Un cod aplicat poate aduce erori numerice, dar acestea trebuie să rămână inaudibile pentru un ascultător obișnuit. Compresii bune se obțin adaptănd cuantificarea proprietății de mascare auditivă.

O eroare mică de cuantificare nu este auzită dacă ea este asimilată unui semnal de energie puternică îna ceeași bandă de frecvență. Acest efect de mascare se folosește în interiorul benzilor de frecvență „critice”, care au fost măsurate prin experimente psihologice auditive. Un semnal puternic a cărui transformată Fourier continuă într-o bandă de frecvență critică desrește sensibilitatea ascultătorului pentru alte componente aflate în aceeși bandă de frecvență. În intervalul de frecvență [0, 20KHz] sunt aproximativ 25 de benzi critice. Semnalul este descompus într-o bază de cosinuși locali construiți cu o fereastră care acoperă în general M=1024 eșantioane. Printr-o transformare Fourier rapidă, pentru fiecare componentă de M eșantioane se calculează energia în frecvență pe benzile critice. Această energie permite calcularea nivelului de mascare așa încât amplitudinea maximă a erorii de cuantificare să nu fie auzită în această bandă de frecvență. Se cuantifică astfel uniform fiecare produs scalat pentru cosinus local a cărui frecvență se găsește în interiorul benzii critice;. Acest algoritm introduce în fiecare bandă critică erori de cuantificare care sunt sub limita percepută uman.

Algoritmul MUSICAM (Masking-pattern Universal Subband Integrated Codind and Multiplexing) utilizat de standardul MPEG-1 este cel mai simplu dintre codările perceptuale. El descompune semnalul în 32 de benzi de frecvență de talii egale a căror lărgime este de 750 Hz. Această descompunere este asemănătoare uneia făcute în cosinus local. La fiecare 8*10-3 secunde cuantificarea este adaptată în fiecare bandă de frecvență pentru a ține cont de proprietățile mascării semnalului. Acest sistem comprimă semnale audio până la 128 kb/s fără să introducă erori perceptibile.

Codajul JPEG Standardul JPEG este utilizat pentru compresia imaginilor. El se bazează pe descompunerea imaginii într-o bază de cosinus local separabil, utilizând ferestre de M=8 per 8 pixeli. Aceasta însemnă că fiecare imagine este descompusă în pătrate de pixeli și fiecare dintre aceste pătrate este descompus într-o bază de cosinus. În fiecare fereastră, cei 64 de coeficienți ai descompunerii sunt cuantificați uniform. În zonele unde imaginea este regulată, cosinușii în frecvențe înalte generază coeficienți mici, care sunt anulați prin cuantificare. Pentru codarea efecientă a pozițiilor acestor coeficienți nuli se utilizează un cod prin șiruri.

Înregistrarea poziției coeficienților nuli corespund codajului unei surse binare egale cu 1 atunci când coeficienții sunt nenuli și cu 0 pentru coeficienții nuli. Se poate utiliza redundanța acestei surse de 0 și 1 prin codarea valorilor sub formă de șir. Un cod „run-length” înregistrează numerele Z de secvențe succesive de 0, și numărul secvențelor succesive de 0 și I al celor succesive de 1, parcurgând fiecare blod de 64 de coeficienți în zig-zag. Variabilele aleatoare Z și I sunt apoi înregistrate printr-un cod entropic. Acest tip de codaj binar este folosit la transmiterea faxurilor.

Ca și la semnalele audio, ar fi utilă si la cele video mascarea, dar e mult mai complicată aplicarea ei. Experiențele psihologice arată că un stimul a cărui transformată Fourier situată într-o bandă de frecvență îngustă produce un efect de mascare de 1 până la 1.5 octave (o octavă însemnal un factor 2 in frecvență). Această mascare depinde de frecvența și orientarea semnalului, dar și de alte aspecte precum intensitatea, culoarea sau textura. Această complexitate face mult mai dificilă utilizarea proprietății de mascare în semnalele video. Astfel, codările adaptează erorile la o sensibilitate medie în fiecare bandă de frecvență, fără a utiliza proprietățile de mascare. Oamenii sunt în general mai puțin sensibili la oscilații de frecvență înaltă decât la variații de frecvență joasă.

Pentru a minimiza degradarea vizuală în imaginile codate, JPEG efectuează o cuantificare cu intervale de cuantificare ale cărei valori sunt proporționale cu unele valori calculate prin experimente psihologice, totul revenind la a optimiza eroarea ponderată. Pentru biți/pixel, imaginile codate cu JPEG se văd aproape perfect. Algoritmul este folosit cel mai adesea cu . Pentru biți/pixel, imaginile refăcute pornind de la o compresie JPEG sunt de calitate medie. Performanțele algoritmului JPEG au fost îmbunătățite în ultimul timp prin folosirea unei alte baze ortonormate, numită baza de ondine.

=== BIBLIOGRAFI1 ===

Bibliografie

Anisiu, Valeriu – Topologie și teoria măsurii, litografiat UBB, Cluj-Napoca, 1995

Auger, Francois. – Introduction a la theorie du signal et de l’information, Edition Technip, Paris, 1999

Bilcu, R; Rusu, Corneliu – Prelucrarea numerică a semnalelor – îndrumător de laborator, Editura Roprint, 1998

Brânzănescu, Vasile; Stănășilă, Octavian – Matematici speciale, Editura All Educational, București, 1998

Claerbout, Jon – Fourier transforms and waves in four lectures, Stanford University, 1999

Debnath, Lokenath – Wavelet Transforms and Time-Frequency Signal Analysis, Birkhauser Boston, 2001

Dougherty, Edward; Kim, Seungchan; Chen, Yidong – Coefficient of determination in nonlinear signal processing, Signal processing, nr. 80, 2000 – www.elsevier.com

Dudgeon, Daniel; Mersereau, Russel – Multidimensional Digital Signal Processing, Prentice Hall, New Jersey, 1984

Gârlașu, Ștefan – Transformata Hartley, Editura Politehnică, Timișoara, 2003

Gray, Robert; Davisson, Lee – An Introduction to Statistical Signal Processing, Cambridge University Press, 2003 – http://ee.stanford.edu/~gray/sp.html

Jude, Lucian – Serii Fourier și transformări integrale, Editura Matrix Rom, București, 2001

Lupsa Radu-Lucian – Transformări spectrale ale imaginilor – referat de doctorat, 2003

Maas, Peter; Stark, Hans-Georg – Wavelets and Digital Image Processing.

Madisetti, Vijay; Williams, Douglas – Digital signal processing handbook, Chapman&Hall/CRCnetBASE, 1999

Mallat, Stephane. – Traitement du signal, Ecole Politechnique Palaiseau, Paris, 2000

Rabiner, Lawrence; Schafer, Ronald – Digital Processing of Speech Signals, Prentice Hall, New Jersey, 1978

Rudin, Walter – Analiză reală și complexă, Editura Theta, București, 1999

Rusu, Corneliu – Prelucrări digitale de semnale, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2000

Rusu, Corneliu – Prelucrarea numerică a semnalelor, Editura Risoprint, Cluj-Napoca, 2002

Stanomir, Dumitru; Stănășilă, Octavian. – Metode matematice în teoria semnalelor, Editura Tehnică, București, 1980

Stănășilă, Octavian – Analiza matematică a semnalelor și undinelor, Editura Matrix Rom, București, 1997

Stone, Michael – Methods of Mathematical Physics I, University of Illinois, 2002

www.mathworks.com – documentația MATLAB.

www.mathworld.wolfram.com

=== Preliminarii ===

1. Preliminarii

1.1 Măsura și integrabilitatea Lebesgue

Definiție Fie o mulțime. Familia de mulțimi se numește topologie dacă:

GT, T

GT, T, pentru G finită.

se numește spațiu topologic, iar elementele mulțimii T se numesc mulțimi deschise.

Definiție Fie mulțime, . se numește algebră (de mulțimi) dacă:

1. Ø

2. A, B, AB

3. A, avem C(A)

Definiție Fie X mulțime, AP(X). A se numește σ-algebră dacă A este algebră și, în plus, An , nℕ, avem

Fie o mulțime, . Se numește σ-algebra generată de mulțimea

.

Fie un spațiu topologic. Atunci se numește σ-algebra mulțimilor boreliene.

Definiție Fie X mulțime, , σ-algebră. Atunci o aplicație μ: → [0,∞] se numește măsură dacă:

1.

2. An , nℕ disjuncte două câte două, avem μ()= (proprietatea de σ-aditivitate)

Exemplu Dacă A este un interval mărginit, atunci măsura μ(A) este tocmai lungimea lui A, măsura Lebesgue.

Definiție Fie X o mulțime oarecare, φ:P(X)→[0,∞] se numește măsură exterioară dacă:

1.

2. A, B P (X), AB, are loc φ(A)≤φ(B) (proprietatea de monotonie)

3. An P (X), nℕ (proprietatea de σ-subaditivitate)

Exemplu (construcția măsurii exterioare Lebesgue in n)

Fie Hm={[a1,b1] [a2,b2] … [am,bm], ak, bk}

Considerăm funcția v:Hm→, definită prin

v([a1,b1] [a2,b2] … [am,bm])=(b1-a1)(b2-a2)…(bn-an) (funcția volum)

Definim φ:P()→astfel:

φ – măsură exterioară – măsura exterioară Lebesgue. Măsura Lebesgue se obține prin restricționarea măsurii exterioare la algebra

.

Fie X mulțime, și A o σ-algebră. Atunci se numește spațiu măsurabil. Dacă μ:A→[0,∞] este măsură, atunci se numește spațiu cu măsură.

Definiție Fie un spațiu măsurabil, și o funcție f:X→. Funcția f se numește A-măsurabilă dacă .

Definiție Fie un spațiu măsurabil, o funcție f:X→. Funcția f este A-etajată dacă ia un număr finit de valori (f(X) este finită) și A

Exemplu Considerăm o funcție f: → , A-etajată. Atunci f(X)={a1, a2, … an}.

Definim funcția XA:X→

XA(x)=

Daca notăm cu Ak=f-1({ak}), atunci f= .

Teoremă (teorema de reprezentare a funcțiilor A-etajate) Fie un spațiu măsurabil, si o funcție f:X→. Atunci funcția f este A-etajată daca și numai dacă n, și a1, a2, … an, și A1, A2, … An A astfel încât

(f e combinație liniară de funcții caracteristice)

Definiție (integrala Lebesgue a funcțiilor etajate nenegative) Fie un spațiu cu măsură, și f:X→ o funcție A-etajată și nenegativă. Atunci n, și a1, a2, … an, și A1, A2, … An A astfel încât , și definim integrala

Funcția f se numește integrabilă dacă .

Definiție (integrala Lebesgue a funcțiilor măsurabile nenegative) Fie un spațiu cu măsură, și f:X→[0,∞] o funcție A-măsurabilă. Atunci

.

Funcția f se numește integrabilă dacă .

Definiție (integrala Lebesgue a funcțiilor măsurabile arbitrare) Fie un spațiu cu măsură, si o funcție f:X→ A-măsurabilă. Atunci

dacă . Funcția f este integrabilă dacă .

În fine, o funcție se numește integrabilă pe A dacă u și v sunt integrabile pe A și în acest caz,

.

Notăm .

Proprietăți ale integralei Lebesgue

În continuare vom considera un spațiu cu măsură, si A, BA.

Liniaritatea. Dacă f, g, și a, b sunt constante (reale sau complexe), atunci

și .

Monotonia. Dacă f, g:A→ sunt integrabile pe A și f≤g, atunci

În particular, dacă f este integrabilă pe A, atunci |f| este la fel și

Dacă f, g:X→, |f|≤g și g este integrabilă, atunci și f este integrabilă și

În particular, dacă |f| este integrabilă, atunci f este la fel.

Așadar, f este integrabilă Lebesgue dacă și numai dacă |f| este integrabilă Lebesgue.

Dacă AB și f:X→+ este integrabilă pe A și pe B, atunci

a) Fie f, g:X→, f și g=f aproape peste tot pe A. Atunci g și

b) Dacă f:X→+ este măsurabilă, μ(X)>0 și dacă atunci aproape peste tot.

Teorema convergenței monotone. Fie fn:X→+ un șir de funcții măsurabile astfel încât fn≤fn+1 pentru orice n≥0. Atunci este o funcție măsurabilă pozitivă pe X și

Dacă este un spațiu cu măsură, atunci este un spatiu vectorial normat relativ la norma

Teorema convergenței dominate. Fie un spațiu măsurabil și un șir punctual convergent a.p.t pe X. Dacă în plus există o funcție integrabilă astfel încât aproape peste tot, atunci și pentru orice ,

.

Teorema lui Fubini. Fie o funcție măsurabilă și o mulțime măsurabilă Lebesgue

a) Dacă pe , atunci

,

integralele putând fi infinite.

b) Dacă f este integrabilă pe , atunci funcția este integrabilă aproape peste tot în raport cu y, iar funcția este integrabilă aproape peste tot în raport cu x și are loc egalitatea de la a).

c) Funcția f este integrabilă pe dacă și numai dacă cel puțin una dintre integralele iterate sau este finită.

1.2 Spații

Definiție Fie un spațiu vectorial peste corpul K. se numește seminormă dacă

1.

2. ,

3. , avem

se numește normă dacă ea este seminormă și

4. ,

(E, ) se numește spațiu (semi)normat.

Dacă este (semi)normă, atunci , este (semi)metrică.

Un spațiu normat complet se numește spațiu Banach.

Fie un spațiu cu măsură. Considerăm următoarea mulțime: M=. Definim relația astfel: aproape peste tot. Atunci fie clasa de echivalență a lui M. Pentru p>0 definim mulțimea =. O funcție f se numește funcție p-integrabilă.

Notăm cu clasele de echivalentă ale lui în raport cu relația : , deci .

Teoremă Fie un spațiu cu măsură, și p>0. Atunci este un spațiu vectorial cu operațiile și , pentru orice f, g, .

Observație Dacă și , atunci nu depinde de alegerea reprezentantului, in consecință putem defini .

Teoremă Fie un spațiu cu măsură, și p≥1. Atunci , definită prin

, f

este o normă.

Teoremă (Riesz) Fie un spațiu cu măsură, p≥1. este spațiu Banach. Spațiul Banach este totodată și spațiu Hilbert, norma sa fiind derivată dintr-un produs scalar (definind , și apoi ).

1.3 Funcții olomorfe

Definiție Se numește funcție complexă orice funcție , unde (deci o funcție cu valori complexe, de variabilă complexă).

Definiție Fie o funcție complexă, unde este o mulțime deschisă. Funcția se numește olomorfă într-un punct (sau derivabilă în sau monogenă în ) dacă există și este finită limita

.

Această limită, dacă există, se notează cu și se numește derivata complexă a lui în .

Definiție Funcția complexă se numește olomorfă pe deschisul A dacă este olomorfă în orice punct .

Teoremă Fie o mulțime deschisă. Funcția , este olomorfă în dacă și numai dacă funcțiile sunt diferențiabile în și derivatele lor parțiale în punctul verifică condițiile Cauchy-Riemann

.

Definiție Fie două mulțimi deschise și o transformare punctuală. Funcția se numește transformare conformă a lui pe dacă au lor proprietățile:

1.

2. este bijectivălce puncfA dacexe, de variabil000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

3. păstrează unghiurile în orice punct din .

Definiție Numim drum în o funcție continuă.

Definiție Se numește deformație continuă a drumului în o funcție continuă care îndeplinește următoarele proprietăți:

și .

Definiție Dacă și sunt drumuri în de la la , apunem că este omotop în cu dacă există o deformație continuă de la la care, în plus, are proprietatea că

și pentru .

Definiție Domeniul se numește simplu conex dacă orice drum închis din este omotop cu zero în .

Teoremă (Cauchy) Fie un domeniu simplu conex și o funcție olomorfă pe . Dacă este o curbă închisă jordaniană, atunci .

1.4.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Semnale și sisteme

Definiție Fie T o mulțime înzestrată cu o relație de ordine totală ≤, numită mulțime de momente. Dacă M este o mulțime oarecare fixată, atunci prin semnal (unidimensional) definit pe mulțimea-timp T cu valori în M se înțelege orice aplicație , care asociază fiecărui moment t din T un element din M, bine determinat, numit eșantionul semnalului la momentul t. Această definiție este totuși restrictivă (de exemplu ea nu cuprinde impulsurile), totuși ea poate constitui o bază de discuție și arată că studiul semnalelor este strâns legat de studiul funcțiilor, de analiza reală și complexă, precum și de analiza funcțională pentru T și M având forme particulare.

Se poate deci indica o primă clasificare a semnalelor, după domeniul lor de definiție T, deci după modul de dependență de timp. În cazul când T, orice semnal definit pe T se numește semnal în timp discret (sau semnal discret sau digital), iar dacă T este un interval al axei reale, semnalul se numește continuu (sau continual, sau analogic). Un semnal eșantionat este un caz particular al semnalului discret, obținut prin efectuarea de măsuri la intervale de timp regulate ale unei mărimi analogice.

Este posibilă și o clasificare a semnalelor după valorile sau nivelurile acestora. Un semnal având un număr finit de valori se numește cuantizat (sau în scară). Orice semnal poate fi aproximat printr-un semnal cuantizat pe un numări finit de niveluri și această operație este esențială în reprezentarea (codificarea) numerică a semnalelor, care asigură posibilitatea de stocare, prelucrare și transmisie a informației.

O altă clasificare a semnalelor poate fi făcută după criteriul dependenței lor de alte evenimente. Se disting astfel semnale deterministice, ale căror valori sunt bine determinate, și semnale aleatoare (sau stochastice), ale căror valori pot fi măsurate doar cu o anumită probabilitate. Cea mai generală clasă a semnalelor deterministice este spațiul S’ al distribuțiilor temperate, care admite disponibilități fundamentale pentru dezvoltarea aparatului transformării Fourier.

Un semnal se numește cauzal dacă este identic nul pentru toate valorile negative. Un asemenea semnal vehiculeaza informația rezultată în urma unei acțiuni efectuate după momentul t=0. Un semnal se numește staționar daca nu este caracterizat de nici un moment anume. În particular, nu depinde de alegerea unei origini temporale.

Exemple de semnale continuale

Notăm prin treapta unitate a lui Heaviside, , definită prin

Evident,, . De asemenea, . Graficul arată astfel:

Orice funcție de forma , , cu constante reale (, ) se numește semnal sinusoidal cu perioada principală . Evident, , dar

Considerăm funcția de eșantionare (uneori numită funcție de fantă) (notația vine de la „sinus atenuat”), definită prin

.

Avem , dar . Graficul funcției arată astfel:

Exemple de semnale discrete

Cele mai des întâlnite semnale elementare discrete în timp sunt:

Impulsul unitate:

Spre deosebire de cazul impulsului Dirac studiat în cazul semnalelor continue, impulsul unitate discret este fizic realizabil.

Secvența unitate

Secvența rampă:

Graficul este redat în figura următoare:

Secvența exponențială: .

Definiție Un sistem este un ansamblu izolat de dispozitive orientate, care stabilesc o relație cauză-efect între semnalele de intrare (numite excitații) și semnalele de ieșire (numite răspunsuri). Aceste două tipuri de semnale se pot distinge relativ ușor, în măsura în care excitațiile sunt mărimi independente, în timp ce răspunsurile sunt în general dependente unele de altele.

Un sistem se numește liniar dacă verifică principiul superpoziției:

, .

Un sistem se numește atemporal (sau staționar) dacă răspunsul său la o excitație decalată este versiunea decalată a răspunsului corespunzător .

În multe situații interesează doar o relație de intrare/ieșire a sistemului, structura sa internă fiind necunoscută sau ignorată. Astfel cel mai des sunt întâlnite următoarele tipuri de sisteme: sistemul identitate – în care iesirea este identică cu intrarea, întârzierea/avansul cu un eșantion, sistemul mediator – care face media dintre prezent, trecut și viitor, sistemul acumulator – care însumează toate valorile trecute, până în prezent. Din aceste exemple observăm că sunt sisteme care depind doar de valorile aplicate în acel moment, altele depind și de cele anterioare.

1.5 Elemente de teoria distribuțiilor. Impulsul

Definiție Un impuls aplicat la momentul este un semnal foarte intens, semnificativ pe un interval scurt de timp , .

Se definește .

Evident, . Considerând limita , obținem formal (care nu este funcție).

O întrebare care a chinuit mult pe matematicieni, după ce fizicianul englez Dirac a utilizat în mod curent a fost ce sens să dea acestui obiect. În 1946, matematicianul francez Laurent Schwartz a dat răspunsul în cadrul teoriei distribuțiilor.

Considerăm o funcție Vom nota cu și cu , deci supp f este complementara celui mai mare deschis pe care f se anulează.

Definiție Funcția este cu suport mărginit(sau cu suport compact) dacă mulțimea închisă supp f este în plus mărginită.

Vom considera în continuare câteva clase de funcții continue pe care, le vom asimila ulterior semnalelor continuale. Pentru fiecare din aceste clase, notate W, pentru o funcție , avem că dacă și numai dacă u și v aparțin lui W ().

Ck – mulțimea funcțiilor derivabile, cu derivatele continue până la ordinul k inclusiv, în fiecare punct din(, fixat).

– submulțimea lui Ck formată din funcțiile cu suport mărginit.

– mulțimea funcțiilor integrabile Lebesgue pe.

– mulțimea funcțiilor care sunt măsurabile și integrabile Lebesgue pe orice interval compact din (funcțiile din se mai numesc local integrabile sau, cu un termen mai ambiguu, uzuale)

– mulțimea funcțiilor infinit derivabile

– mulțimea funcțiilor infinit derivabile cu suport mărginit.

Mulțimea tuturor funcțiilor formează un spațiu vectorial complex V, relativ la operațiile , Clasele de funcții definite anterior sunt subspații vectoriale ale lui V.

În continuare, înzestrăm unele dintre aceste clase cu structuri de spațiu vectorial topologic, astfel:

D – spațiul vectorial , în care un șir de funcții {fn}n≥0 din D se consideră convergent către 0 în D dacă este verificată condiția: există un interval mărginit Iastfel încât toate funcțiile fn, n≥0 să fie nule în afara lui I și pentru orice întreg fixat k≥0, șirul derivatelor să fie uniform convergent către 0 în I. Se notează pentru .

E – Spațiul vectorial C∞, în care un șir de funcții {fn}n≥0 din E se consideră convergent către 0 în E dacă este verificată condiția: pentru orice întreg fixat k≥0, șirul derivatelor este uniform convergent către 0 pe orice interval mărginit fixat. Se notează pentru .

S – spațiul funcțiilor rapid descrescătoare la 0 (Schwarz).

Definiție O funcție se numește rapid descrescătoare la 0 dacă și dacă pentru orice polinom P și pentru orice număr n, funcția este mărginită. Așadar, o funcție descrește la 0 pentru , împreună cu toate derivatele, mai repede decât orice putere a lui .

Definiție Definim structura de convergență pe S în felul următor: un șir {fn}n≥0 de funcții din S se numește convergent către 0 în S dacă pentru orice numere întregi h, k≥0, șirul de funcții converge uniform către 0 pe .

Au loc incluziunile:

Notăm cu W oricare din spațiile de funcții D, S, E și Dk(=). Notăm cu W’ mulțimea tuturor funcționalelor liniare pe W, care sunt secvențial continue. Deci, un element din W’ va fi o funcție care este liniară (adică pentru orice a, b și pentru orice u, v) și, în plus, pentru orice șir , rezultă că .

Mulțimea W’ se mai numește spațiul dual al lui W și are la rândul ei o structură naturală de spațiu vectorial complex, definind pentru orice f, gW’ și a funcționalele și din W’ astfel: , pentru orice uW. Două elemente f și g din W’ se consideră egale dacă pentru orice uW are loc: .

Definiție Un șir {fn}n≥0 de elemente din W’ se numește convergent slab către 0 în W’ dacă pentru orice uW avem pentru . Se notează .

În acest fel am definit patru spații de funcții asociate celor de mai sus, D’, S’, E’ și .

Definiții Funcționalele din D’ se numesc distribuții (sau funcții generalizate).

Funcționalele din S’ se numesc distribuții temperate.

Funcționalele din E’ se numesc distribuții cu suport mărginit.

Funcționalele din se numesc distribuții de ordin finit, cel mult k.

Deci, o distribuție f D’ este o aplicație d: D→ care este -liniară și are proprietatea că dacă , rezultă că , pentru . De cele mai multe ori, se folosește notația în loc de f(), si este un număr (real sau complex) numit valoarea distribuției f pentru funcția-test .

Proprietate (completitudinea spațiului D’) Dacă este un șir de distribuții din D’, având proprietatea că există , pentru orice D, atunci aplicația , este o distribuție (adică este liniară și continuă prin șiruri).

Importante in teoria semnalelor sunt distribuțiile cu suport pozitiv, ele fiind asociate semnalelor care devin semnificative doar de la un punct t0, fiind nule pentru t<t0, si constituie majoritatea semnalelor concrete.

O categorie importantă de distribuții o constituie distribuțiile cu suport mărginit, adică distribuțiile f D’ pentru care există un interval mărginit [a,b], a≤b, în afara căruia f se anulează. Ele se asociaza semnalelor nule în afara unui interval mărginit. Printre distribuțiile cu suport mărginit se evidențiază cele cu suport punctual, adică pentru care există un punct astfel încât .

Dacă fixăm o funcție și definim aplicația , punând pentru orice , . Evident, este o funcțională liniară; în plus, ea este continuă prin șiruri: dacă , atunci există, conform definiției, un interval în afara căruia toate funcțiile sunt nule, iar uniform pe , deci

,

deci . Așadar, este o distribuție, numită distribuția regulată asociată lui f sau, echivalent, funcția f privită ca distribuție.

Deci, orice funcție elementară poate fi privită ca distribuție. De exemplu, distribuția exponențială, , , sau distribuția sinus, definită prin , .

Una dintre cele mai folosite distribuții in teoria semnalelor (exemplu clasic de distribuție care nu este regulată) o constituie distribuția Dirac(impulsul Dirac), „funcția lui Dirac” fiind de fapt punctul de plecare al intregii teorii a distribuțiilor. Ea se definește în modul următor:

deci reprezintă o formă liniară și continuă prin șiruri, cu suportul redus la punctul t=0, și care asociază unei funcții continue valoarea acesteia in punctul 0: . Distribuția poate fi interpretată și ca o funcțională liniară continuă pe spațiul al funcțiilor continue cu suport mărginit; astfel de funcționale se mai numesc măsuri Radon (sau distribuții de ordin 0).

Se poate defini și distribuția Dirac translatată, care, printr-o schimbare de variabilă în distribuția Dirac permite atungerea tuturor valorilor funcției . Se definește prin

.

Acesta este obiectul matematic care modelează impulsul unitar pur, fără durată, aplicat la momentul a.

Pentru un b>0, se definește pieptenul lui Dirac(sau tren de delte de perioadă b) următoarea distribuție periodică .

1.6 Convoluție și corelație

Operația de convoluție joacă un rol important în multe probleme de matematică teoretică și aplicată. Două dintre proprietățile cele mai importante ale convoluției ar fi faptul că prin convoluție se pot regulariza clase întregi de funcții – în sensul că dacă o funcție are un anumit grad de netezime și un anumit grad de neregularitate, atunci convoluția lui f cu g are unele proprietăți apropiate de cele ale lui g -, și operația de convoluție permite reprezentarea unui sistem fizic liniar, continuu și invariant în timp.

Operația de corelație este asemănătoare operației de convoluție. În primul rând sunt necesare două semnale pentru ambele operații, în al doilea rând există un singur semn între formulele lor de definiție. Dar ca și semnificație, cele două operații diferă mult. Astfel, corelația măsoară gradul de asemănare dintre două semnale și de aceea este des utilizată în aplicații precum radarul, sonarul, comunicațiile digitale, geologie.

Definiție Fie două funcții (semnale) din . Dacă pentru aproape toți funcția , este integrabilă pe și dacă integrala

definește o funcție , această funcție se numește convoluția funcțiilor (semnalelor continuale) și și se notează .

Proprietăți ale convoluției

Convoluția funcțiilor din este comutativă, asociativă și distributivă în raport cu adunarea, dar nu are element neutru în .

Dacă atunci există . În plus, și

Dacă , atunci funcția există și este mărginită pe .

Dacă și atunci există aproape peste tot, și

Dacă și cu mărginite, atunci și . În plus, este mărginită pe .

Exemplu Fie semnalul dreptunghiular egal cu 1 pe și nul în rest. Atunci ,

Deci este un semnal triunghiular. Se observă că și . Totodată, se observă că deși și nu sunt continue, totuși este o funcție continuă.

ul dreptunghiular egal cu 1 pe riodicitate de perioad00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Semnificația geometrică a convoluției

Fixăm . Atunci integrandul poate fi scris sub forma

unde s-a notat . Fixând , arbitrar ales, rezultă că pentru calculul valorii trebuie parcurse următoarele etape:

se obține

se decalează cu în sens pozitiv și se obține

se efectuează produsul

se integrează pe în raport cu și se obține .

În principiu, integrala din definiția convoluției fiind o integrală cu parametru , pentru fiecare valoare trebuie efectuată câte o integrală în raport cu pe .

Un exemplu grafic al convoluției a două semnale dreptunghiulare și (cele din exemplul de mai sus), este redat in următoarea figură:

Definiție Fie și două semnale discrete, prelungite prin periodicitate de perioadă . Se numește convoluție a lui și semnalul discret , unde .

Definiție Fie și două semnale discrete, prelungite prin periodicitate de perioadă . Se numește corelație a lui și semnalul discret , unde . Semnalul se numește autocorelația lui x.

Există rațiuni care impun extinderea operației de convoluție la spațiul distribuțiilor Pentru aceasta vom defini produsul direct al două distribuții astfel: dacă sunt distribuții din , se definește produsul direct ca fiind distribuția de două variabile dată de

.

De exemplu, este distribuția .

Pentru orice se notează . Se notează

pentru ,

ori de câte ori este un șir de funcții astfel încât , , și, în plus, pentru orice compact există un număr depinzând de și .

Definiție Se spune că există convoluția a două distribuții dacă pentru orice există

și limita nu depinde de alegerea șirului .

=== Serii Fourier ===

2. Serii Fourier. Prelucrarea semnalelor periodice

Funcțiile periodice constituie una din clasele de funcții care datorită proprietăților lor intervin frecvent în diferite probleme teoretice și practice. Fenomene ca mișcarea de revoluție a planetelor, propagarea undelor acustice, radiațiile electromagnetice, variațiile temperaturii sunt descrise de funcții periodice. Un mijloc de reprezentare și de studiu al acestor funcții îl constituie dezvoltarea în serie Fourier, dezvoltare care este în multe cazuri mai convenabilă decât dezvoltarea în serie Taylor. Aceasta datorită faptului că dezvoltarea în serie Taylor cere ca funcția să fie infinit derivabilă, lucru care nu este necasar în cazul dezvoltării în serie Fourier. O altă calitate a seriilor Fourier este și aceea că termenii săi au proprietarea de ortogonalitate.

Definiție Un sistem de elemente din L2 se numește ortogonal dacă nI are loc , și m, nI, cu are loc .

Exemple Considerăm spațiul .

1. , – sistem ortogonal exponențial complex.

2. 1, ,,,… – sistem ortogonal trigonometric.

Definiție Dacă fL2 este o funcție fixată, atunci se numesc coeficienții Fourier ai funcției f în raport cu sistemul ortogonal (unde ).

Seria formală se numește serie Fourier.

Definiție Un sistem ortogonal se numește ortonormat dacă , (și în acest caz, coeficienții Fourier vor fi , fL2).

Observație Dacă este un sistem ortogonal, atunci este ortonormat.

Teorema 2.1 (Bessel) Fie un sistem ortonormat în L2, f o funcție din L2, ck coeficienții seriei Fourier. Următoarele afirmații sunt adevărate:

1. și avem (proprietatea de minim a coeficienților Fourier)

2. are loc

3. (inegalitatea lui Bessel)

Demonstrație

1.

=–+

==

= ()

În () considerăm și rezultă ,astfel am demonstrat și relația de la punctul 2.

Conform () avem: , și cum ≥0, inegalitatea din enunț este demonstrată.

3. Conform punctului 2., , avem că . Considerând , rezultă că .

Teorema 2.2 (Riesz – Fischer) Fie H un spațiu Hilbert și fie o mulțime de numere complexe astfel încât seria să conveargă. Fie un sistem ortonormat infinit in spațiul H. Atunci seria converge către un element f din H și avem .

Demonstrație

Notăm . Atunci pentru avem

.

Deoarece converge, ultima sumă din egalitatea precedentă poate fi căcută oricât de mică prin alegerea lui n suficient de mare. Astfel, fn este un șir Cauchy, deci convergent, și în consecință, există un astfel încât . Mai mult, putem scrie .

Definiție Un sistem ortogonal se numește total dacă astfel încât , implică .

Teorema 2.3 (convergența seriilor Fourier în L2) Fie un sistem ortonormat. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

1. este total

2. , iar cn sunt coeficienții Fourier ai lui f, atunci (convergența în L2)

3. cu coeficienții Fourier cn, are loc (egalitatea (relația de inchidere) Parseval)

Demonstrație

Fie . Vom demonstra că este fundamental. Fie m, n,,

.

Cum această sumă este restul unei serii convergente, ea tinde la 0 pentru , de unde rezultă că este fundamental, deci convergent astfel încât .

Fie oarecare, fixat. Atunci , deoarece funcția este continuă. Dar , , de unde rezultă că , , deci , .

Conform teoremei lui Bessel,

, ,

deci dacă , rezultă că .

Fie astfel încât . Din sistemul este total.

Observație Sistemele trigonometric și exponențial sunt totale.

Teorema 2.4 (formula lui Poisson) Suma termenilor pentru valori ale lui n cuprinse între –N și N constituie o funcție reala pară de perioadă , egală cu:

.

Demonstrație

Avem:

.

Fie spațiul Hilbert . Șirul este un șir ortogonal, deoarece avem

, și

. Normând acest șir prin împărțirea fiecărui element la norma sa, se obține șirul ortonormat

Dacă notăm funcțiile acestui șir cu atunci pentru o funcție avem coeficienții Fourier dați de , , , iar seria Fourier corespunzătoare lui f este scrisă sub forma

.

Teorema 2.5 (referitoare la convergența punctuală a seriilor Fourier) Fie o funcție f de clasă C1 în (-∞,∞), periodică de perioadă 2π. Atunci seria Fourier atasată funcției f converge punctual către f.

Demonstrație

Seria Fourier atașată funcției f este , cu coeficienții și . Vom considera suma parțială a acestei serii, . Vrem să demonstrăm că converge punctual la când . Înlocuind pentru început formulele care dau coeficienții Fourier, și apoi rearanjând termenii, obținem expresia

,

și folosind formula cosinusului unei diferențe de unghiuri, se poate scrie suma parțială sub următoarea formă:

,

unde . Funcția KN se numește nucleul lui Dirichlet, este funcție pară, are perioada 2π și proprietatea că .

Folosind exprimarea cosinusului cu ajutorul exponențialei, putem scrie

,

și folosind formula lui Poisson, deducem că

.

Notând și utilizând paritatea lui KN, avem că

(am translatat intervalul de integrare, care ar fi trebuit sa fie deoarece ambele funcții KN și f sunt periodice de perioadă 2π). Astfel, avem

,

unde g este definită prin . Arătam că această integrală tinde la 0 cand .

Considerăm funcțiile Acestea formează un și ortogonal pe intervalul . Vom folosi inegalitatea lui Bessel,

.

Calculând norma lui , obținem că . Dacă arătăm că este finită, atunci seria din stânga inegalității lui Bessel este convergentă și termenul general tinde la 0. Vom avea deci că , de unde rezultă că integrala din relația tinde la zero. Rămâne deci să arătăm că . Cum numărătorul este continuu, singura dificultate ar putea apărea în punctul , unde se anulează numitorul. Dar în acest punct

deoarece f este diferențiabilă. De aceea, este continuă peste tot, deci norma sa este finită.

Teorema 2.6 (referitoare la convergența punctuală a seriilor Fourier) Fie o funcție f continuă pe porțiuni în , periodică de perioadă 2π. Presupunem că și derivata ei este continuă pe porțiuni în . Atunci seria Fourier atașată funcției f converge punctual către .

Demonstrație

Conform ipotezei, f și sunt continue cu excepția unui număr finit de puncte în care avem discontinuități de speța întâi. Asemănător demonstrației anterioare, putem scrie

,

unde KN este nucleul lui Dirichlet, iar funcțiile g sunt definite astfel:

.

Șirul de funcții , este ortogonal pe intervalul , ca și pe intervalul . Folosind inegalitatea lui Bessel, ca și în demonstrația anterioară deducem că ambele integrale tind la zero pentru dacă demonstrăm că și sunt finite. Dar singurul motiv posibil pentru divergența acestor integrale ar putea apărea la anularea numitorului, adică în punctul . Pentru putem scrie

dacă este un punct unde derivata la dreapta există. Dacă ea nu există, atunci conform unei teoreme de medie, pentru un aflat între și are loc . Deoarece derivata este mărginită, rezultă că și este mărginită și pentru valori ale lui mici și pozitive. Astfel, este mărginită și este finită, și analog se demonstrează și pentru .

Teorema 2.7 (referitoare la convergența uniformă a seriilor Fourier) Dacă f și sunt funcții continue de perioadă 2π, atunci seria Fourier atașată lui f converge uniform către f.

Demonstrație

Fie și coeficienții Fourier ai lui f și și coeficienții Fourier ai lui . Integrând prin părți expresiile coeficienților Fourier, obținem

,

așa că , pentru . Analog, . Pe de altă parte, aplicând inegalitatea Bessel pentru derivata avem

.

De aceea, folosind inegalitatea lui Buniakovski-Cauchy-Schwarz, putem scrie

.

Rezultă de aici că seria Fourier este absolut convergentă. Dar cum din teorema 2.1.5 știm că suma seriei Fourier este , notând cu suma parțială

,

putem scrie

.

Ultima sumă, fiind restul unei serii convergente, tinde la zero când N tinde spre infinit, și de aici rezultă că seria Fourier converge la atât absolut, cât și uniform.

Observație (Fenomenul Gibbs) Se observă că suma parțială a unei serii Fourier nu poate aproxima uniform funcția pe nici un interval care conține un punct de discontinuitate al lui f. Comportamentul diferenței lui față de pe un astfel de interval se numește fenomenul Gibbs.

Considerând de exemplu seria Fourier a funcției

care poate fi scrisă sub forma

.

Trasând graficul sumei parțiale , se observă că în vecinătatea punctelor de discontinuitate și suma parțială diferă de funcția destul de semnificativ:

Graficul funcției f Graficul sumei parțiale a seriei Fourier

Serii Fourier de distribuții

În analiza clasică, derivarea termen cu termen a seriilor este o operație care trebuie efectuată cu prudență. În particular, convergența seriilor Fourier poate deveni mai lentă sau să dispară, prin derivare termen cu termen. În cadrul distribuțional, astfel de dificultăți nu apar, acest fapt justificând utilizarea distribuțiilor în aplicarea metodelor dezvoltărilor în serie în teoria ecuațiilor diferențiale. .

Definiție O serie de distribuții este convergentă în D’ cu suma dacă șirul , al sumelor ei parțiale converge slab (în D’) către .

Teoremă 2.8 Fie o serie de funcții din , uniform convergentă pe orice interval mărginit din , cu suma . Atunci și privită în , relația

poate fi derivată termen cu termen de oricâte ori.

Demonstrație

Așadar, pe orice interval de forma , , sumele parțiale converg uniform, pentru , către . Atunci și, în plus, deoarece pentru , șirul converge uniform către , rezultă

.

Cu alte cuvinte, , deci avem relația în . Deoarece pentru orice întreg , din rezultă , iar sunt tocmai sumele parțiale ale seriei de distribuții , rezultă în final că

.

Corolar Fie întreg și un șir de numere complexe, astfel încât , pentru orice . Atunci seria trigonometrică este convergentă în .

Demonstrație

Vom volosi faptul că o serie este convergentă dacă și numai dacă seriile și sunt convergente.

Considerăm seria de funcții din . Această serie este uniform convergentă pe orice interval mărginit din , conform criteriului lui Weierstrass și ipotezei asupra șirului . Deci sunt îndeplinite ipotezele teoremei anterioare și seria poate fi derivată distribuțional termen cu termen de oricâte ori și derivând-o de ori, obținem seria , care converge în.

Forme particulare ale seriei Fourier

Seria Fourier a funcțiilor pare și impare

Fie o funcție pară definită pe intervalul . Deoarece este o funcție pară și este o funcție impară, funcția este pară, iar este impară. Găsim astfel coeficienții Fourier ai lui : , și , De aici, seria Fourier a unei funcții poate fi scrisă sub forma unei serii de consinusuri, .

Analog, dacă o funcție este impară, atunci funcția este impară, iar este pară. Drept consecință, coeficienții Fourier ai lui sunt, în acest caz, , și , De aceea, seria Fourier a unei funcții impare poate fi scrisă sub forma unei serii de sinusuri, .

Forma complexă a seriei Fourier

Dacă punem problema reprezentării unei funcții printr-o serie în formă complexă, putem pleca de la dezvoltarea în serie Fourier,

.

Folosind definiția funcțiilor și cu ajutorul exponențialei complexe, , putem scrie

,

unde ,

Astfel obținem dezvoltarea în serie Fourier pentru în forma complexă, adică

, , unde

Reprezentarea in serie Fourier a semnalelor periodice continue

Condițiile în care un semnal continuu in timp, periodic de perioadă T poate fi dezvoltat in serie Fourier sunt cunoscute sub numele de condițiile lui Dirichlet, si constă în următoarele: semnalul trebuie să aibă un numări finit de puncte de discontinuitate, un număr finit de puncte de extrem și să satisfacă următorul criteriu de convergență absolută: . O semnificație fizică mai clară este ca semnalul sa fie de energie finită pe o perioadă, adică . Dacă aceste condiții sunt îndeplinite,atunci dezvoltarea sa în serie Fourier complexă este dată de , unde , iar sunt coeficienții Fourier dați de relația .

Conform teoremelor enunțate, seria din partea dreapta a egalității converge spre . În punctele de discontinuitate de speța I, seria din dreapta inegalității converge spre media limitelor laterale.

Deși dezvoltarea în serie Fourier s-a definit pentru semnalele periodice complexe, și teoria Fourier poate fi generalizată la cazul semnalelor complexe, totuși teoria si consecințele ei sunt mult mai ușor de exprimat pentru semnale cu valori reale, iar în acest caz se folosește mai mult exprimarea in formă trigonometrică,

,

unde , iar și sunt coeficienții Fourier definiți mai sus.

Un semnal arbitrar cu valori reale poate fi exprimat ca sumă de componente pare si de componente impare, , unde și , si , iar . După cum am arătat mai sus, pentru seria Fourier trigonometrică, reprezintă termenii cosinus din seria infinită, iar reprezintă termenii sinus.