Metode Iterative de Rezolvare a Ecuațiilor Algebrice și Trancendente

Introducere

Lucrarea are ca temă ″Metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente″.

Când ne imaginăm un sistem fizic sau orice alt sistem aleatoriu, pentru a-i studia proprietățile, ajungem de multe ori peste ecuații liniare/neliniare algebrice și transcendente.

Pentru a le găsi soluția putem folosi metode analitice pentru a le rezolva, în acest caz, vom obține un rezultat exact și precis. Cu toate acestea, dacă nu putem obține o soluție folosind metoda directă, putem folosi metode numerice, care sunt în mare parte iterative pentru a găsi o soluție aproximativă, dar corectă.

Lucrarea este structurata pe patru capitole după cum urmează:

Capitolul 1: Considerații referitoare la ecuații algebrice și transcendente;

Capitolul 2: Aspecte teoretice referitoare la principalele metode iteratice de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente;

Capitolul 3: Prezentarea rezolvării unor ecuații liniare/neliniare algebrice și trancendente prin diferite metode iterative;

Concluzii.

Capitolul I a acestei lucrări va acoperi prezentarea ecuațiilor algebrice și transcendente, dar și al noțiunii de rădacină a unei ecuații.

În capitolul al II-lea mi-am propus să prezint aspecte teoretice referitoare la metode numerice de a găsi rădăcina unei ecuații, respectiv metoda bisecției succesive și metoda falsei poziții, dar și alte metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendente.

Capitolul al III-lea conține rezolvări ale unor ecuații prin fiecare dintre cele cinci metode.

Lucrarea se finalizează cu principale concluzii care reies în urma elaborării studiului.

Capitolul 1: Considerații asupra ecuațiilor

algebrice și transcendente

Funcția: noțiune și clasificare

În matematică conceptul de funcție exprimă ideea intuitivă că o cantitate determină complet o altă cantitate.

O ecuație va fi o funcție în cazul în care pentru orice x în domeniul ecuației există exact o valoare a lui y. Mai mult formal, o funcție este definit un tip de relație care are doar o singură valoare de ieșire în raport cu orice valoare de intrare admisă. Argumentul și valoarea poate fi numere reale, dar ele pot fi, de asemenea, elemente de orice tip de seturi de date: domeniu, co -domeniul funcției și toate valorile alocate care sunt în intervalul funcției. Este important modul în care vom atribui valorile fiecărui element al domeniului.

Funcții care aparțin unor grupe de funcții numite " familii" care împărtășesc similitudini. Există multe familii de funcții; familiile exterioare includ cele interioare.

De exemplu, funcțiile transcendente le includ pe cele algebrice, familiile raționale, polinoame. Cu toate acestea, familiile interioare nu includ familiile exterioare(familia de funcții algebrice nu include funcții transcedente.

Fig. 1: Tipuri de funcții

Pot exista diferite clasificări ale funcțiilor în matematică .

Clasificarea funcțiilor pe baza proprietăților poate fi după cum urmează :

(1) Funcția Pară

(2) Funcția Impară

(3) Funcția monotonă

(4) Funcția surjectivă

(5) Funcția bijectivă

(6) Funcția injectivă

Funcțiile pot fi clasificate pe baza variabilelor utilizate :

(1) Funcția algebrică

(2) Funcția exponențială

(3) Funcția logaritmică

(4) Funcția Analitică

(5) Funcția Inversă

(6) Funcția monotonă

(7) Funcția polinomială

(8) Funcția liniară

(9) Funcția Pătratică

(10) Funcția eliptică

(11) Funcția de identitate

(12) Funcția Constantă

(13) Funcția periodică

(14) Funcția liniară etc.

În continuare voi detalia mai multe despre câteva dintre tipurile menționate mai sus de funcții, respectiv despre funcțiile algebrice și despre funcțiile trancedente.

1.2 Funcții algebrice

O funcție algebrică, cu o singură variabilă, să zicem x, este o expresie care implică operații aritmetice între anumite numere reale și puteri raționale ale lui x. Este reprezentată ca f(x) și sub denumirea de "funcție de x" . Atunci când mai mult de o variabilă alcătuiește o funcție algebrică, este apoi menționată ca o funcție de variabile multiple. În plus, în funcție de cât de mulți termeni alcătuiesc o funcție, aceasta este menționată ca un monom(termen unic), binom(doi termeni), polinomul(mai mult de doi termeni).

În matematică, o funcție algebrică este o funcție care poate fi definită ca fiind rădăcina unei ecuații polinomiale. Destul de des funcții algebrice pot fi exprimate folosind un număr finit de termeni, care implică numai operațiile algebrice de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, și ridicarea la o putere fracționată.

Definiția informală a unei funcții algebrice oferă o serie de indicii cu privire la proprietățile funcțiilor algebrice. Pentru a obține o înțelegere intuitivă, poate fi util să se considere funcțiile algebrice ca funcții care pot fi formate prin operațiile algebrice obișnuite: adunare, înmulțire, împărțire și ținând seama de un radical. Desigur, acest lucru este o schematizare; funcțiile algebrice nu trebuie sa fie exprimabile de radicali .

O funcție algebrică poate fi gândită ca o mașină. Orice număr real poate fi introdus în aparat în cazul în care acesta funcționează pe alt număr și apoi scuipă un alt număr. Este important de remarcat, totuși că numărul acestora va fi acceptat, atâta timp cât acesta nu este împărțit de 0 sau nu produce o rădăcină pătrată negativă.

Există mai multe tipuri diferite de functii algebrice: liniare, pătratice, cubi, polinoame, rațională și ecuații radicale .

Numărul care este introdus se numește intrare x. Numărul care este scuipat afară este numit de ieșire y. Funcția sau mașina poate face multe operații matematice în domeniu, atâta timp cât intervalul este o valoare pentru fiecare domeniu inserat, respectiv o singură valoare ca și intrare, o singură valoare de ieșire.

Exemple de funcții algebrice sunt după cum urmează:

f(x) = x² + 2x conține doi termeni și este, prin urmare, un binom într-o singură variabilă x;

f(x,y) = 2xy² + 6x²y + 8xy.

Voi arăta modalități de a identifica o funcție algebrică. Prima cale este printr-un tabel.

Un tabel poate fi folosit pentru a vedea dacă există un domeniu și o gamă. Uneori, funcția adaugă domeniu, cum ar fi x + 2. Uneori funcțiile se multiplică domeniului pentru a obține gama, cum ar fi 3x. Funcția poate, de asemenea, scădea sau împărți domeniul sau de a folosi o combinație de operații pentru a produce gama. Atâta timp cât regula "unul înăuntru / unul afară" este păstrată, funcția există.

În cazul în care mașina noastră(funcția) spune pentru a adăuga 2 în domeniu, putem crea un tabel pentru a afișa funcția:

Tabel 1: Funcția algebrică

După cum se poate vedea, pentru fiecare domeniu, avem o gamă. Aceste perechi de X și Y se numesc valori perechi ordonate pentru că noi le-am pus în ordinea (x,y) .

Tabelul nostru poate fi transformat în perechi ordonate pentru a arăta o funcție : (1,3),(4,6),(-2,0) și(-3,-1). O valoare x corespunde unei valori y.

O altă modalitate de a arăta o funcție algebrică este de printr-un grafic. Noi putem transfera perechile ordonate pe un sistem de coordonate carteziene . X-valorile sunt pe linia orizontală, în timp ce y-valorile sunt pe linia verticală. Locul în care valorile se întâlnesc este punctul din grafic. Odată ce am unit x și y-valorile , putem vedea o linie dreaptă astfel încât funcția x + 2, este considerată o funcție liniară și pot fi scrisă în notație funcțională ca f(x)= x + 2. f(x) este doar un alt mod de a scrie y. Aceasta se numește f -funcția.

Fig.2: Funcția algebrică liniară f(x) = x+2

În matematică, o ecuație polinomială, sau ecuație algebrică, este o ecuație de forma unde P este o funcție polinomială de orice ordin iar x este necunoscuta. Ecuațiile polinomiale cu coeficienți complecși au un număr de soluții complexe egal cu gradul polinomului P. Aceste soluții sunt chiar rădăcinile polinomului P atașat ecuației polinomiale.

Întrucât toate polinoamele de o variabilă sunt echivalente cu un polinom de forma următoare:

P(x)= anxn + an-1xn-1+….+a2x2+a2x2+a1x+a0,

aceasta poate fi considerată și forma generală a unei ecuații polinomiale:

P(x)=axn+….+a1x+a0=0

În această expresie, cea mai mare putere, care este prezentă în expresia se numește gradul funcției polinomiale.

După grad avem diferite tipuri de funcții polinomiale după cum urmează:

În cazul în care gradul este unul, atunci putem spune că funcția dată polinomială este liniară;

În cazul în care gradul doi este atunci putem spune că funcția dată polinomială este pătratică;

În cazul în care gradul este de trei, atunci putem spune că funcția polinomială este cubică.

Cazuri particulare:

Ecuația de gradul întâi

Ecuația de gradul întâi este un caz particular și cel mai simplu de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul întâi. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Soluția ecuației este unică, cu condiția ca a, coeficientul necunoscutei, să fie nenul, fiind dată de fracția:

Ecuația de gradul al doilea

Ecuația de gradul al doilea este un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al doilea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Ecuația are are 2 soluții complexe conjugate, dacă discriminantul (Δ = b2 – 4ac) este negativ, respectiv reale, dacă acesta este pozitiv sau nul, notate cu .

Ecuatia se rezolvă cu ajutorul formulei cuadratice,

Ecuația de gradul al treilea

Ecuația de gradul al treilea este, ca și celelalte cazuri de mai sus, un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al treilea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Natura rădăcinilor unei ecuații cubice

Fiecare ecuație cubică (sau de gradul trei) cu coeficienți reali are cel puțin o soluție reală nepereche și alte două care formează o pereche. Acestea pot fi ambele reale sau ambele complexe. Astfel, în funcție de valoarea discriminantului ecuației (Δ), care este un număr rezultat ca o combinație ai celor patru coeficienți ai ecuației, pot exista trei cazuri distincte.

Următoarele trei cazuri sunt cele mai importante de urmărit:

– Dacă Δ > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte;

– Pentru Δ < 0, ecuația are o rădăcină reală și o pereche de numere complex conjugate ca celelalte două soluții

– Atunci când Δ = 0, cel puțin două din cele trei rădăcini coincid. S-ar putea ca ecuația să aibe o dublă rădăcină reală și o a treia reală dar distinctă sau ca toate cele trei rădăcini reale să fie confundate.

Ecuația de gradul al patrulea

Ecuația de gradul al patrulea, sau bicuadratică, este, ca și celelalte cazuri de mai sus, un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al patrulea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

pentru orice coeficient a nenul, pentru că atunci polinomul/funcția/ecuația de grad patru nu ar exista.

1.3 Funcții transcedente

O funcție care nu este algebrică este o funcție transcendentă. Ele sunt, de asemenea, denumite funcții non-algebrice. De exemplu, funcțiile trigonometrice, funcțiile exponențială, inversul lor, logaritmul și combinații ale acestora etc.

Termenii de funcție-variabilă unică, funcția de mai multe variații, monom, binom și polinomiale înseamnă același lucru pentru funcțiile transcendente.

O funcție transcendentă este o functie analitică care nu satisface o ecuație polinomială, în contrast cu o funcție algebrică. Polinoamele necesita uneori coeficienți raționali.

Cu alte cuvinte, funcția " transcende" algebra în sensul că nu poate fi exprimată în termenii unei secvențe finite a operațiilor algebrice de adunare, înmulțire și extracție rădăcină.

Formal, o funcție analitică f(z) a unei variabile z reală sau complexă este transcendentă dacă este algebric independentă de acea variabilă. Acest lucru poate fi extins la variabilele mai multor funcții.

Următoarele funcții sunt transcendente:

Caz particular, pentru ƒ2 dacă am stabilit c egal cu e, baza logaritmului natural, atunci obținem că ex este o funcție transcendentă. În mod similar, în cazul în care am stabilit c egal cu e în ƒ5, atunci obținem că , adică logaritmul natural este o funcție transcendentă.

Cele mai cunoscute funcții transcendente sunt logaritmul, funcția exponențială(cu orice bază de non-trivială), funcțiile trigonometrice, funcțiile hiperbolice și inversele acestora. Mai puțin familiarizați sunt funcțiile speciale de analiză, cum ar fi funcțiile: gamma, eliptică, zeta care sunt toate transcendente. Funcțiile hipergeometrice și Bessel generalizate sunt transcendente, în general, dar algebrice pentru anumite valori speciale ale parametrilor.

O funcție care nu este transcendentală este algebrică. Exemple simple de funcții algebrice sunt funcțiile raționale și funcția de rădăcină pătrată, dar, în general, funcțiile algebrice nu pot fi definite ca fiind formule finite ale funcțiilor elementare.

Integrala nedefinită a multor functii algebrice este transcendentală. De exemplu, funcția logaritm a apărut din funcția reciprocă într-un efort de a găsi aria unui sector hiperbolică.

În cazul în care ƒ(z) este o funcție algebrică și α este un număr algebric, atunci ƒ(α, va fi, de asemenea, un număr algebric. Contrariul nu este adevărat. Există întregi funcții ƒ transcedente (z) astfel încât ƒ (α) este un număr algebric pentru orice α algebric în multe cazuri. Cu toate acestea , setul de numere algebrice α , unde ƒ(α) este algebric este destul de mic. De exemplu, dacă ƒ este funcțIe exponențială, ƒ(z)= ez, atunci singurul număr algebric α unde ƒ(α) este de asemenea algebrică este α= 0, unde ƒ(α)= 1. Pentru o funcție transcendentală această set de numere algebrice care dau rezultate algebrice se numește setul excepțional al funcției.

}

1.4 Rădăcina unei ecuații

Pentru o ecuație cu o singură variabilă, să zicem f(x) =0 definită pe intervalul [a,b], un punct x* care satisface ecuația f(x*) = 0, x* este cunoscut ca rădăcină a ecuației. În funcție de natura funcției f(x), ecuația f(x) = 0 poate avea una sau mai multe rădăcini. O ecuație liniară în x va avea o rădăcină, o ecuație pătratică va avea două rădăcini, o ecuație cubică va avea trei rădăcini și așa mai departe. Rădăcinile pot fi în continuare distincte sau repetate.

De exemplu ,

2x – 1 = 0este o ecuație algebrică liniară și are o rădăcină x =1/2;

x² – 1 = 0 este o ecuație pătratică și are două rădăcini distincte, respectiv x = -1 și x = +1;

(x – 1)² = 0 este , de asemenea, o ecuație pătratică cu rădăcini duble de x=1.

Cele trei ecuații de mai sus au fost ecuații algebrice. Un exemplu al unei ecuații transcendente pe de altă parte, ar fi 2sin(x) – 1 = 0, care are ca soluție

x = sin­¹(1/2) = π/6 + 2πn (unde n=0,1,2,…). De reținut că această ecuație are multe rădăcini care corespund diferitelor valori ale lui n .

Descoperirea rădăcinilor exacte ale ecuației algebrice sau transcendente(adică ecuațiile care nu sunt algebrice, de exemplu trigonometrice, logaritmice sau iraționale) este destul de frecvent o problemă dificilă care nu poate fi rezolvată analitic prin intermediul unor formule finale. Mai departe, uneori, în practică, ecuația conține factori pentru care valorile sunt date aproximativ; așadar să vorbim despre soluția exactă a ecuațiilor în astfel de cazuri nu are deloc nici un sens . Prin urmare, problemele definiției abordate de rădăcini ale ecuației și o estimare corespunzătoare a preciziei lor au o mare valoare și astăzi. Metodele abordate ale soluției ecuației pot fi împărțite în mod condiționat pe cele grafice și numerice. Vom lua în considerare doar metode numerice ale soluției.

Se consideră ecuația:

,(1)

unde f ( x ) – este o funcție continuă , definită în intervalul

În unele cazuri, existența și continuitatea primei și celei de-a doua dintre derivatele acestei funcții este necesară, F′ și F″, ca de fiecare data se va prevedea în mod special.

Orice valoare ξ la care : ,(2)

se numește o rădăcină a ecuației (1) sau zero a funcției F(x).

Să considerăm, că ecuația (1) are numai rădăcinile izolate, adică pentru fiecare rădăcină a ecuației (1), există o vecinătate care nu conține alte rădăcini ale acestei ecuații. Procesul de separare a rădăcinilor este în detaliu descris [1,2].

Descoperirea de rădăcini reale izolate se realizează în două etape :

     1) Determinarea valorii vecinătății apropiate a unei rădăcini- așa-numita vecinătate zero.

     2) precizarea vecinătății apropiate a rădăcinii ecuației prin iterații sau aproximări succesive până cănd se va obține o soluție cât mai precisă.

Ne oprim asupra celei de-a doua etapă ca etapă de constatare a vecinătății zero, problema rezolvată, de obicei, fie pe baza unorcaracteristici de proiectare fizică, sau prin reprezentarea grafică a ecuației.

În acest sens în următorul capitol voi analiza aspecte teoretice referitoare la principalele metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendente, respectiv metoda aproximațiilor succesive, metoda tangentelor sau metoda Newton-Raphson, metoda înjumătățirii, metoda coardei sau metoda falsei poziții, metoda Aitken, metoda Graeffe, metoda combinată, metoda Lagrange și metoda Bierge-Vieta.

Capitolul 2

Aspecte teoretice referitoare la metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendente

2.1 Metoda bipartiției

Fie ecuația

F(x)=0 (2.1.)

Unde f: [a, b] —> ℝ este continuă iar f(a)f(b) < 0.

Împărțim scgmentul [a, b] in două parți.

Distingem următoarele cazuri:

f=0 si atunci ξ = este rădăcina căutată și oprim procedeul;

f≠ 0 și în acest caz selectăm din cele două intervale și pe acela pentru care valorile funcției în capete au semne contrare. Acest interval il notăm și apoi continuăm procedeul.

Se obține, fie rădăcină exactă, fie un șir de intervale inchise cuprinse unele in altele

⊇ ⊇…⊇ ⊇ …

Astfel încât

f(an) f(bn) < 0 pentrn n = 1,2,… (2.2)

Prin urmare avem

bn -an- (b-a).

Capetele din stânga ale acestor intervale formează un șir crescător și mărginit superior de b, iar capetele din dreapta formează un șir descrescător și mărginit inferior de a. Din teorema ''cleștelui" urmează

= = ξ ( ξ fiind limita lor continuă) (2.3)

Arătăm că numărul ξ este rădăcina ecuației (2.1). Trecând la limita în (2.2) și ținând cont de continuitatea funcției f și de faptul că șirurile (an)n și (bn)n sunt convergente avem:

f(bn ) ≤0

sau

f() f )≤0

ținând cont de (2.3) rezultă

f2(𝜉)≤0 adică f(𝜉)= 0.

Observație 2.1.1 Metoda presupune că rădăcinile lui (1.1) au fost separate pe .

Observație 2.1.2 Dacă ∈ este o valoare aproximativă a lui 𝜉 la pasul n atunci avem

≤

Observație 2.1.3 Metoda este comodă pentru obținerea unei estimări inițiale a rădăcinii separate, pentru utilizarea ei în alte metode. și este programabilă pe calculator.

Observație 2.1.4 Procedeul converge lent.

Observație 2.1.5 In cazul în care rădăcinile nu au fost separate, luăm, după caz o valoare, foarte mică pentru, a1 (de exemplu —10n cu n ∈ ℕ*) si b1 = 0 sau a1 = 0 si b1 = 10" astfel incât să avem f(b1 )<0

Observație 2.1.6 In momentul opririi procedeului mai putem îmbunătăți precizia calculelor făcând media aritmetică a ultimelor două valori an și bn (n ∈ ℕ* ) adică

ξ =

2.2 Metoda Newton (tangentei)

Fie ξ o rădăcină a ecuației

F(x) =0

Unde f : → ℝ, f ∈ .

Vom aplica această metodă împrumutând următoarele condiții:

ξ este separată în [a,b];

f' si f" păstraeză același semn în [a,b].

Fie xn o valoare aproximativă a lui ξ. Avem

ξ = xn + hn (hn foarte mic).

Dezvoltând după formula lui Taylor cu doi termeni avem

0 = f (ξ) = f ( xn + hn ) ≈ f(xn) + hn + f ‘ ( xn ).

Urmează

hn ≈ – , precum n = 0, 1, 2, …

Deci, introducând expresia lui hn în expresia lui ξ, înlocuind pe ξ prin xn+1 avem

xn+1 = xn – , cu n = 0, 1, 2, …

2.2.1 Argument teoretic

Metoda tangentei se aplică la capătul segmentului [a. b] (a sau b) după cum valoarea funcției în acel capăt (punct) și valoarea derivatei a II-a în același punct au același semn (se vor vedea graficele de mai jos).

Să demonstrăam acest fapt pentru cazul (B), adică pentru f (a) < 0, f (b) > 0. f '(a) > 0 și f "(a) > 0.

Să demonstrăm prin inducție că xn > ξ și în consecință f(xn) > 0. Punem

𝜉= xn + (ξ- xn ).

Aplicând formula, lui Taylor avem

0 = f (𝜉)= f(xn)+ f‘(xn)(𝜉− xn)+ f "(cn)(𝜉− xn)2,

unde cn ⊂ (𝜉, xn).

Deoarece f "(x)>0 urmează că

f(xn)+ f‘(xn)(𝜉− xn)<0

sau

𝜉− xn < − ⇔ 𝜉< xn − xn+1.

Ținînd cont de semnele lui f(xn) si f‘(xn) rezultă că

xn+1 < xn ( n = 0,1,2,…)

adică aproximațiile succesive

, , … , ,…

formează un șir descrescător mărginit inferior de a, deci convergent.

Notăm

= .

Trecând la limită în egalitatea iterațiilor avem:

− ⇒ .

2.2.2 Interpretare geometrică

Notăm cu A0(x0.f(x0) punctul inițial în care aplicăm metoda lui Newton. După repetarea procedurii obtținem suceesiv punctele

A1(x1.f(x1)), A2(x2.f(x2)), … , An (xn.f(xn)).

Punctul imediat următor An+1 îl obținem astfel:

– scriem ecuația unei drepte ce trece prin An și de coeficient unghiular

y – f(xn) = f'(xn)){x – xn);

– intersectăm această dreaptă cu axa Ox și obținem pentru x = xn+1

xn+1= xn − , pentru n = 0, 1, 2, …

2.2.3 Evaluarea erorii metodei Newton

Teoremă 2.2.1 Fie f: [a,b] →ℝ, f ∈, iar ξ o rădăcină a ecuației f(x)=0. Dacă x este o valoare aproximativă a lui ξ, x∈(a,b), iar

m1 −

atunci avem

≤ .

Demonstrație.

Din teorema lui Lagrange avem:

f(xn) − = f'(c)(x –𝜉), c ∈ (𝜉, ) sau (x, 𝜉),

deci

f() = = f'(c)(x –𝜉)⇒ ⇒ = ≤ .

Teoremă 2.2.2 Dacă f satisface condițiile Teoremei 2.2.1, atunci eroarea celei de-a n-a aproximții va fi

≤ ( xn – xn-1)2, unde M2 = .

Demonstrație. Folosind formula lui Taylor cu trei termeni avem

f(xn) = f(xn-1+(xn− xn-1)) = f(xn-1)+ f’(xn-1) +(xn− xn-1))+(xn− xn-1)2,

unde n, xn-1).

Deoarece f(xn-1) + f’(xn-1) +(xn− xn-1)= 0 din formula lui Newton, avem

(xn− xn-1)2≤(xn− xn-1)2

Coloral 2.2.1 Din Teoremele 2.2.1 si 2.2.2 urmează

≤ (xn− xn-1)2

Teoremă 2.2.3 Fie f: [a,b] →ℝ, f ∈, iar ξ o rădăcină a ecuației f(x)=. Fie xn si xn+1 două aproximații ale lui

≤()2,

unde m1, M2 au semnificațiile din Teoremele (2.2.1) și (2.2.2).

2.3 Metoda secantei (coardei)

2.3.1 Prezentarea metodei

Metoda coardei se aplică în capătul în care nu se aplică metoda Newton (unde f și f" au același semn).

Scriem ecuația unei drepte ce trece prin punctul mobil (opus celui în care se aplică Newton), de exemplu cazul (B).

Dacă f(a) < 0 avem:

Și pentru x=x1, urmează:

x1= a –

sau in general

xn+1=xn −, unde n = 0, 1, 2, …

Dacă f(a) > 0 avem:

⇒ x−b=(b−a)

Și pentru x=x1, urmează:

x1=x0 −

În general avem:

xn+1=xn −, unde n = 0, 1, 2, …

În primul caz șirul iterațiilor este crescător și mărginit de b adică

< < x2<… , <xn-1<… < ξ < b.

Avem:

= , a < < b.

Trecând la o limită avem

Cum y = f(x) admite o singură rădăcină în

2.3.2 Evaluarea erorii in metoda coardei (secantei).

Fie f: [a,b] →ℝ, f ∈, f" și f’ au semne constante iar este mărginit, adică

(∃)m1, M2>0 astfel încât 0 < m1≤≤ M1

Se consideră cazul extremității mobile b (vârf fix a). Avem

xn = x n-1− ) ⇒ f(xn-1) ) = ( f(xn-1) – f(a) ) (xn – xn-1)

− f(xn-1) =(xn – xn-1)

Aplicând Teorema lui Lagrange avem:

( ξ– xn-1) f’(ξn-1) = (xn – xn-1)f’(), unde ξn-1 ∈ ξ) si ∈ (a, . Deci

( ξ– xn-1) f’(ξn-1) = [(ξ– xn) + (xn – xn-1)] f’(ξn-1) = (ξ– xn) f’(ξn-1)+ (xn – xn-1) f’(ξn-1).

Deci egalitatea de mai sus devine

( ξ– xn-1) f’(ξn-1) = (xn – xn-1)[f’( )− f’(ξn-1)].

Adică

=.

Observație 2.3.1 Dacă avem M1 < 2m1 și < ξ, atunci < ξ.

2.4 Metoda combinată

Se aplică la un capăt metoda tangentei iar la celălalt metoda coardei. În metoda, coardei se utilizează în unul din capete, incepând cu iterația x1, valoarea iterației obținute în cadrul aceluiași pas prin mntoda tangentei.

Capetele initiale ale intervalului la care se aplică metodele de mai sus respectă condițiile din paragrafele 2.2 și 2.3 referitoare la metoda tangentei și a coardei (a se vedea figurile A-D).

Să luăm primul caz:

f’(x) > 0, f" (x) > 0 pentru a ≤ x ≤ b

= a = b

. .

. .

. .

= – ( =

0 < 𝜉 − <

Dacă < 𝜉 oprim procedeul .

În final mai facem o dată media aritmetică a rezultatelor obținute, adică

𝜉 ≈ (+

2.5 Metoda aproximațiilor succesive

Considerăm ecuația

(x) = 0 (2.4.)

unde ': T , iar T este un interval al axei reale.

Să înlocuim ecuația (2.4) printr-o ecuație echivalentă de forma

x = (x) (2.5.)

Definiție 2.5.1 Rădăcinile ecuației (2.5.) se numest puncte fixe ale lui .

Construim șirul de iterații

xn | 1 = (xn) pentru n= 0, 1, 2, …., (2.6)

unde x0 este o valoare aproximativă inițială a rădăcinii care se caută.

Teoremă 2.5.1. Dacă (a, b și îndeplinește următoarele condiții:

() oricare ar fi x [a, b] rezultă (x) [a, b]

( există [0,1) astfel încât oricare ar fi 1, 2 [a,b] este îndeplinită inegalitatea

| (1) – (2) |1 – 2| ,

Atunci avem:

Dacă x0 [a, b] șirul (xn)n generat de relația (2.6.) este convergent;

= n este unica rădăcină a ecuației (2.4) în [a,b].

Demonstrație. a) Pentru două iterații consecutive xn+1 și xn , ținând cont de relațiile () și (avem:

| xn+1 – xn | = |(xn) – (xn-1) | | xn – xn-1 | (2.7)

Inegalitatea (2.7) are loc pentru n = 1, 2, … și aplicând-o succesiv pentru aceste valori avem:

| xn+1 – xn | n |x1 – x0|, (n= 1, 2, …). (2.8)

Seria

x0 – xn – xn-1)

este absolut convergentă deoarece seria valorilor absolute ale termenilor săi este majorată de o serie geometrică de rație < 1, așa cum rezultă din relația (2.8).

Fie Sn | 1 suma parțială de ordin n + 1 a seriei de mai sus. Rezultă că

Sn+1 = xn

Deoarece seria este convergentă, rezultă că și șirul sumelor parțiale este convergent, adică

n+1 = n =

Din condiția ( rezultă continuitatea funcției pe [a,b]. Deci sunt justificate următoarele egalități:

X = n = (xn 1) = ( n 1) = (x),

adică verifică (2.5) și implicit pe (2.4).

Deoarece xn [a, b] și [a, b] este un interval închis, pentru n = 0, 1, 2, … rezultă că x [a, b].

Arătăm, prin reducere la absurd că ecuația (2.5.) are soluție unică.

Fie x1 x2 două soluții distincte ale ecuației (2.5). Din relația ( avem:

|x1 – x2| = |(x1) – (x2)| |x1 – x2|

|x1 – x2|(1-) 0.

Ultima inegalitate este imposibilă deoarece x1 – x2 0 iar 1- 0 din .

Observație 2.5.1. Putem înlocui condiția pentru funcția derivabilă, prin inegalitatea

|’(x)| 1 () x [a, b]

(acest fapt rezultă din teoria de medie a lui Lagrange).

Observație 2.5.2. Teorema 2.5.1. este adevărată și pentru ( – , + ).

Observație 2.5.3. Teorema 2.5.1. ne arată că șirul (xn)n dat de egalitatea (2.6) converge oricum am alege pe x0 [a, b], adică această metodă este autocorectoare.

Teoremă 2.5.2. Fie [a, b] având semnificația dată de relația (2.5.). Dacă satisface condițiile :

() este derivabilă în fiecare punct x [a, b]

() ecuația x – (x) are o rădăcină (), unde – a + iar – b –

( |’(x)| 1 pentru orice x ()

() x0 ()

atunci avem:

toate elementele șirului (xn)n aparțin intervalului (a,b)

șirul (xn)n este convergent și limn xn =

este unica soluție (2.5) în (a,b).

Demonstrație. a) Vom demonstra, prin inducție, că elementele șirului (xn)n aparțin intervalului (a,b).

Deoarece x0- [a, b], putem calcula x1 = (x0) și avem, utilizând teorema lui Lagrange.

| x1 – | = |(x0) – ()| = |x0 – | ’()| ( ,

Adică x1 ().

Presupunem că xn-1 () și că |xn-1 – | . Rezultă:

|xn – x| = |(xn-1) – (| = |xn-1 – x|| (n-1)| | xn-1 – x ,

Adică xn () pentru n = 1, 2,…

Observație 2.5.4. Dacă (x) 0, șirul aproximațiilor succesive este monoton crescător sau descrecător după cum x0 sau x0 .

Dacă (x) 0, atunci șirul este oscilant în jurul rădăcinii .

Teoremă 2.5.3 Evaluarea erorii șirului aproximațiilor succesive

Dacă ne uităm în ipotezele Teoremei 2.5.1, atunci avem

|n| |x1 – x0|.

Demonstrație. Fie p * și avem

|xn+p – xn| = | xn+p – xn+p-1 + xn+p-1 – xn+p-2 + … + xn+2 – xn|

| xn+p – xn+p-1| + | xn+p-1 – xn-p-2| + … + |xn+1 – xn| n+p-1|x1 – x0| + n+p-2 |x1 – x0| + …+ n|x1 – x0| = n |x1 – x0|(1++2) = n |x1 – x0| |x1 – x0|.

Trecând la limită pentru p, avem:

|n| |x1 – x0|.

Să dăm, în continuare, un criteriu care sî asigure existența unei rădăcini într-un interval dat.

Teoremă 2.5.4. Fie , 0 și : [x0 – , x0 + , o funcție derivabilă pe acest interval. Dacă satisface condiția ca |(x0)| m unde

m = `(x)| și m 0

atunci ecuația (x) = 0 are o singură rădăcină în intervalul |x0 – , x0 + |.

Altfel spus un proces iterativ converge în cazul în care la executarea unor iterații consecutive primim valori de rădăcini tot mai apropiate de valoarea exactă a unei rădăcini. Altfel, un proces iterativ este considerat divergent.

Copiem ecuația (1) sub forma:

(3)

Schimbăm

Fie x0 – vecinătatea zero, adică valoarea inițială a vecinătății cea mai apropiată a rădăcinii ecuației (3).

În cele ce urmează ca primă vecinătate vom accepta cea de-a doua vecinătate va fi până vom ajunge la n vecinătatea

(4)

Aici există o întrebare: când ajunge creșterea n mai aproape de adevărata soluție a ecuației (3) ?

Altfel spus dacă procesul iterativ (4) converge.

Condițiile de convergență ale unei metode de iterații (2) în cazul în care la toate valorile xn calculate din procesul de rezolvare (4):

1) , cee ce înseamnă că procesul iterativ este convergent;

2) , ceea ce înseamnă că procesul iterative este divergent.

Dacă în unele puncte xi derivatul pe modul este mai mic de 1, iar în alte puncte xi este mai mare decât 1, să spunem ceva despre convergența procesului iterativ este imposibil. Procesul poate fi atât convergent, cât și divergent.

În cazul în care un proces iterativ este divergent vecinătatea-zero se găsește greoi sau fără succes. Așa că, pe Fig.2.5.1 se arată, că alegerea vecinătății-zero influențează în mod esențial convergența unui proces iterativ. Ea este direct legată de condiția existenței unei vecinătăți-zero x0 în domeniul în care sunt îndeplinite condițiile de convergență a procesului iterativ.

Fig. 2.5.1: Dependența convergenței procesului iterative de existența unei vecinătăți-zero

Procedeul (4) este considerat finalizat dacă , unde reprezintă soluția cu acuratețe a ecuației.

2.6 Metoda Aitken

Deoarece (x) este indefinit derivabilă pe [a,b], dezvoltând în serie Taylor în jurul lui (soluție a lui x = (x)), avem

(x) = () + `(+ …

Neglijând toți termenii după al doilea termen și înlocuind x prin xk , (k ) avem

k) = () – ( xk – ) ()

Sau

xk+1 = + ( xk – ) ()

k = xk – k | 1 = x k | 1 –

Deci

k | 1 = k `(

Deci

x k | 1 – – (x k– ) `(

xk+2 – (x k+1– ) `(

sau

=

Sau

x2k+1 – 2×4 + 1δ + δ2 = xkxk+2 – δ(xk – xk+2) + δ2

Deci

xk+2 –

Această metodă permite ca pe baza a trei valori succesive ce aproximează pe să determinăm o valoare îmbunătățită.

2.7 Metoda lui Lagrange (fracții continue)

Să considerăm polinomul

– a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an ai i –

și din formula lui Taylor referitoare la dezvoltarea lui în avem

(x) = (+ (x – `( + ”( + … + (n) ()

Restul împărțirii polinomului la x – este (. Deci restul împărțirii lui

S1(x) – `( + ”( + ”( + … + (n) ()

x – este '(.

Continuând procedeul avem

S2(x) = `(”(+ … + (n) ()

Restul împărțirii lui S2(x) la x – este '( ș.a.m.d. Acest fapt ne sugerează o generalizare a schemei lui Horner în felul următor.

Fie

0 1 2 . . . . , n-1, n

coeficienții lui .

Deci ′′0 ′′1 ′′2……….. 'n-1 vor fi coeficienții lui ' (.

Continuând obținem 0′′1′′2′′………nn-2 unde

0′′= '01′′= 0′′ + '1 … ′′n-2 = nn-3 – 'n-2 ș.a.m.d.

Deci f'' ) va fi ′′n-2 ș.a.m.d.

Observație 2.7.1. Din punct de vedere calculatoriu putem utiliza metoda Lagrange pentru obținerea primelor cifre ale rădăcinii căutate și apoi aproximația găsită să o folosim drept valoare inițială în metoda Newton (tangentei).

Observație 2.7.2. Calculul rădăcinilor negative ale ecuației (x) = 0 se reduce la determinarea rădăcinilor pozitive ale ecuației (-x) = 0.

2.8 Metoda Lobacevski-Graeffe

Fie ecuația albegrică de gradul n

α0 xn + 1xn-1 + . . . + an-1x + an = 0, cu αi , i= și 0 0 ,

cu rădăcinile reale x1, x2………………………….xn care verifică inegalitățile

| x1| | x2| ….. xn|,

adică raportul a două rădăcni consecutive este un număr foarte mic.

Fie ele

x1,x2 = 1 x1, x3 = 2×2 ……., xn = n-1 xn-1

cu |k| < , pentru k = , fiind un număr pozitiv mic dat.

Deci avem

x1+ x2 – … + xn = –

x1x2 + x1x3 + x n-1 x n –

Rezultă

x1(1 + 1+ 12 + . . . + 1 . . . n-1) – x1 (1 + 1) –

x1x2( 1 + + . . . + ) = x1x2 (1+ 2) =

x1x2 …….. xn = (-1)n

Unde 1, 2, ……., n-1 sunt numere foarte mici pe care le putem neglija.

Deci

x1 , x2 , ……. , xn

eroarea depinzând de k adică de modul de împrăștiere al rădăcinilor.

2.9 Metoda Birge-Vieta

Metoda Birge Vieta se folosește pentru determinarea rădăcinilor reale ale ecuațiilor algebrice.

Considerăm ecuația

Pn (x) = 0 (2.19).

Unde

Pn = Xn + a1Xn 1 + … an-1X + an (2.20).

este un polinom cu coeficienți reali (a1, a2, … an ).

Aplicând metoda tangentei (Newton) obținem șirul de iterații

xi+1 = xi – , i = 0,1,2…. (2.21)

cu aproximația inițială x0.

Construim în continuare un algoritm pentru determinarea valorilor polinomului și derivatei lui în punctele xi. Din teorema împărțirii cu rest obținem :

Pn = (X – xi) (Xn-1 + b1Xn-2 + b2Xn-2 +…… + bn-2X + bn-1) + bn. (2.22.)

Observație 2.9.1. Dacă bn = 0 rezultă că xi este soluție a ecuației (2.19) și procesul iterativ se oprește.

Capitolul 3: Prezentarea rezolvării unor aplicații folosind metode iterative

3.1 Aplicații ale metodei înjumătățirii intervalului(bisecției)

3.1.1 Să se rezolve ecuația cubică " cu precizia relativă

=0.001 folosind metoda bisecției.

Soluție.

Aici . Aici, voi considera segmentul [0,3] pe extremitățile căreia funcția F(x) acceptă diferite semne :

F(0) = -10, F(3) = 20

Apoi, conform formulei reiese că:

de unde rezultă că astfel încât pentru realizarea unei soluțiii precise a acestei ecuații printr-o metodă de reducere la jumătate a segmentului [0,3] este necesar să efectuăm nu mai puțin de 12 iterații.

Obținem astfel următorul tabel:

Tabel 3.1.1 : Rezolvarea ecuaței cu =0.001 folosind metoda bisecției

La iterația 12 conform unei estimări bazată pe formula precizia soluției este atinsă:

prin urmare, pentru soluția acestei ecuații cu precizia dată de metoda înjumătățirii intervalului în segmentul [0,3] au fost necesare 12 iterații. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 1.999878.

3.1.2 Să se găsească rădăcina ecuației xeͯ = 1 despre care se știe că este între 0 și 1.

Soluție.

Fie f(x) = xeͯ -1.

Punând x = 0, f(0) = 0, e⁰ -1 = -1 ‹ 0.

x = 1, f(1) = 1, e⁰ -1 = 1,718 › 0.

Deoarece f(0) este negative și f(1) este pozitiv, rădăcina este cuprinsă între 0 și 1.

Așadar

și

Obținem astfel următorul tabel:

Tabel 4: Rezolvarea ecuației xeͯ = 1

Așadar, rădăcina ecuației este 0,5674.

3.2 Aplicații ale metodei tangentelor sau metodei Newton-Raphson

3.2.1 Să se rezolve ecuația cubică x3+x-10=0 unde ε = 0,001 cu metoda Newton-Raphson a tangentelor.

Soluție:

În acest caz F(x)=x3+x-10

Prin urmare F’(x)=3×2+1

Ca abordare zero, vom accepta x0 = 3 (valoarea exactă a unei rădăcini ξ = 2 ). Apoi, din formula (7) reiese că:

x1=3 -= 2.285714

x2=2.285714 -= 2.032173

Să verificăm , dacă ajunge la dat precizie relativă:

"=0.110924>ε=0.001

Să continuăm iterațiile:

Din nou vom verifica dacă ajunge la dat precizie relativă:

În urma iterației dă o valoare exactă șase semne zecimale a unei rădăcini:

Cu toate acestea, aici din nou, este necesar să se verifice, dacă se ajunge la dat precizie relativă:

Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 2.0000001. Astfel, procesul de calcul a convers pentru 4 iterații, și am primit o rădăcină necesară cu precizie relativă dată.

3.2.2 Să se găsească rădăcina ecuației folosind metoda Newton-Raphson.

Soluție.

Se dă:

și f′=6

.

Luăm .

Atunci:

și

și

.

Dar .

Așadar repetăm procesul, iar rezultatele le trecem în următorul tabel.

Tabel 3.2.2 Rezolvarea ecuației prin metoda tangentei

3.3 Aplicații ale metodei coardelor(secantei)

3.3.1 Să se rezolve ecuația cubică folosind metoda coardelor.

Soluție.

Să cautam solutia pe segmentul [0,4](să reamintim că valoarea exactă a rădăcinii = 2

Să acceptăm ca la abordarea zero = 0. Apoi, din formula reiese că:

La acest pas se ajunge la dat precizia relativă :

=

și, prin urmare procesul de constatare a unei rădăcină pot fi considerat finalizat. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 1.9986328. Aici se găsește rădăcina necesară pentru 12 iterații cu precizia relativă dată.

3.3.2 Să se găsească rădăcina ecuației prin cinci iterații folosind metoda secantei începând cu x0 = -1 și x1 = 0.

Soluție.

Prima iterație : x0x = -1, x1 = 0, f(x0) = -0.63212 și f(x1) = 1. Apoi:

A doua iterație: x1 = 0, x2 = -.6127, f(x1) = 1 și f(x2) = -.07081. Apoi:

A treia iterație: x2 = -.6127, x3 = -.57218, f(x2) = -.07081 și f(x3) = -.00789. Apoi:

A patra iterație: x3 = -.57218, x4 = -.5671, f(x3) = -.00789 și f(x4) = 6.7843*10-5. Apoi:

A cincea iterație: x4 = -.5671, x5 = -.56714, f(x4) = 6.7843*10-5 și

f(x5) = 5.1565*10-6.

Apoi:

În concluzie, după cinci iterații rădăcina ecuației converge la

– 0,56714.

3.4 Aplicații ale metodei combinată

3.4.1 Calculați cu o precizie de 0.001 rădăcina ecuației f(x) = x3 – 2×2 + 3x −1 = 0

folosind metoda combinată.

Soluție.

Avem

'(x) – 3×2 – 4x + 3, ”(x) – 6x – 4.

Deci '(x) > 0, () x și

”(x) < 0 pentru x < 0 pentru x . ”(x)>0 pentru x .

Iar (0,66666) = 0.40740 > 0.

Prin urmare ecuația are o singură rădăcină reală și aceasta se află în intervalul (

Cum (0) = -1 reținem intervalul [0, (0,66666).

Alegem

x0 = 0, x0 = 0, 66666.

Urmează

x1 = 0 – 0,33333

x1 0,66666 – (0 – 0, 66666) 0, 47368

x1 – 1 0,14035 > 0,001

2 = 0,33333 – 012592

x2 0, 4738 – (0,33333 – 0,47308)

x2 2 0, 00595 > 0, 001

3 = 0, 42952 – 0, 43015

x3 0, 43187 – (0,12592 – 0,43187)

x3 – 3 0,00001 < 0, 001

Deci soluția aproximativă calculată cu o precizie mai bună de 0, 001 este

0, 43015

3.5 Aplicații ale metodei aproximațiilor succesive

3.5.1 Să se rezolve ecuația cubică x3+x-10 = 0 cu prezizia relativă

ɛ = 0,001 folosind metoda iterației.

Soluție.

Copiem ecuația dată în formă de ecuația:

,

unde . Apoi, din formula (4) vom primi:

.

Condiția de convergență în acest caz arată astfel 3×2<1 acesta este dar în acest interval nu există rădăcini ale ecuației x3+x-10=0.. Mai mult decât atât , pentru funcția f(x)=10-x3. într-o vecinătate a rădăcinii ξ= 2 are loc inegalitatea care este condiția de convergență nu este efectuată și pentru a căuta soluția ecuației sub formă de xn+1=10- aceasta nu este semnificativ întrucât procesul numeric va fi divergent. Prin urmare este necesar să se scrie în jos ecuația dată într-un alt mod:

x= , ulterior f(x)= ,și f’(x)=-(10-x)-2/3, Să acceptăm din nou la zero abordare x0= 3 . Apoi vom primi :

x1=,

x2=,

x3=, x4=,

La acest pas se ajunge la următoarea precizie relativă:

==0.0003265<ε=0.001

prin urmare procesul de constatare al unei rădăcini al ecuației poate fi considerată încheiată. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 2.000050. Astfel, aici din nou, rădăcina necesară este găsită pentru 4 iterații cu precizie relativă dată.

3.5.2 Încercăm să rezolvăm ecuația x3 + 4 x2 – 1 = 0 cu ajutorul metodei iterației sau aproximațiilor successive.

Soluție.

Putem rescrie ecuația ca fiind x = x + (x3 + 4 x2 – 1).

xo = 0.5 este prima aproximare a rădăcinii ecuației.

Dar f(x) ar fi aici egal cu x + x3 + 4 x2 – 1, iar condiția |f'(x)| < k < 1 nu este satisfăcută.

Așadar transformăm ecuația în x = x + r.(x3 + 4 x2 – 1).

Acum putem alege valoarea lui r fără să schimbăm rădăcina, ceea ce înseamnă că f(x) = x + r.(x3 + 4 x2 – 1).

Din teoremă noi știm că convergența este foarte rapid dacă f'(x) are o valoare apropiată de 0 în mediul apropiat de rădăcină.

f'(x) = 1 + r.(3×2 + 8t)

Cum rădăcina este apropiată de 0.5 alegem r astfel:

f'(0.5) = 1 + r.(3 (0.5)2 + 8.(0.5) = 0

r = – 0.21052631579 , dare se alege r = – 0.21.

Acum f'(x) este aproape 0 în mediul de lângă rădăcină.

Aplicăm iterația x = x – 0.21(x3 + 4 x2 – 1) începând cu x=0.5.

Obținem astfel următoarele valori x1,x2,…

x = 0.47375

x = 0.472892306269531

x₃ = 0.472837688600127

x₄ = 0.472834153854809

x₅ = 0.472833924859327

x₆= 0.472833910023068

x₇ = 0.472833909061846

x₈ = 0.47283390899957

x₉ = 0.472833908995535

Rădăcina ecuației este 0.472833908995535.

3.6 Aplicații ale metodei Aitken

3.6.1 Să se găsească rădăcina ecuației prin metoda Aiken.

Se cunosc aproximările succesive ca fiind , " , .

Soluție.

Tabel 3.6.1 Rezolvarea ecuației prin metoda Aitken

________________________________________________________________________

= 0,6000

-565

= 0,5435

721

= 0,5582 147

Se ia i= 1 prin metoda a lui Aitken și găsim rădăcina ca fiind:

= 0,5582 – = 0,55

3.6.2 Să se găsească rădăcina ecuației 2x = cosx +3 folosind metoda Aitken.

Se ia x= 1,5.

Soluție.

Rearanjăm ecuația:

2x = cosx +3 x = (cosx + 3)

Tabel 3.6.1 Rezolvarea ecuației x = (cosx + 3) prin metoda Aitken

________________________________________________________________________

= 0,1,5

3,5

= 1,535

-52

= 1,518 -17

= 1,518 + 0,006 = 1,524

3.7 Aplicații ale metodei Lagrange

3.7.1 Să se găsească maximul și minimul funcțieisupusă constrângerii

Soluție.

Este clar că soluțiile se găsesc pe un disc cu o rază de și că există valori minime și maxime ale funcției.

Deci

3 = 2λy

x²+y² = 136

Nu putem avea λ = 0 deoarece nu ar satiface primele două ecuații. Știm așadar că λ și putem rezolva primele două ecuații pentru x și y.

Așadar și y = .

Implicând constrângerile înseamnă:

Putem găsi:

Acum, că știm λ, putem găsi potențialele puncte extreme pentru maximum și minimum.

Dacă λ = – x = -10 și y = 6

λ = x = 10 și y = – 6 .

Ceea ce înseamnă că valorile extreme ale funcției sunt:

f(-10,6) = -68 minimul la (-10,6),

f(10,-6) = 68 maximul la (10,-6).

3.7.2. Să se rezolve ecuația folosind metoda Lagrange.

Soluție.

Avem

Deci

Calculăm f₁(x₁) = f(2 + ) = 0

Calculăm coeficienții lui f₁ după schema lui Horner generalizată pentru .

Deci

sau f₁(x₁) se mai poate scrie f₁(x₁) = –

adică f₁(x₁) =

Deci f(1)(10) =

și f(1)(11)= 1331- 1210 – 66 – 1

Deci x₁= .

sau

.

Deci x₂ = 1 + .

Deci

Deci

cu f₃(1) = -71 și f₃(2) = 293

Facem transformarea x₃ = 1 + și avem calcule asemănătoare:

f₄(x₄) = 71 – 123 -187 -54 = 0

f₄(2) = -352 și f₄(3) = 195

Deci x₄ = 1 +

și avem f₅(x₅) = 352

cu f₅(1) = -195 și f₅(2) = 1147.

Punem x₅ = 1 + și obținem:

f₆(x₆) = 195 – 407

f₆(3)= -1399 și f₆(4) = 2084.

Deci x₆ = 1 + și avem: -f₇(x₇) = 1399

-f₇(1) = -2084 și f₇(2) = 541.

Urmează x₇ = 1 + :

– f₈(x₈) =

– f₈(1) = -541 și f₈(2) = 14883

x₈ = 1 +

– f₉(x₉) =

– f₉(12) =-26840, f₉(13) = 68181

și x₉ = 12 + .

Redusele lui x vor fi: R₀=; R₁ = R₂ = R₃ = R₄=

R₅ = R₆ = R₇ = R₈ = , R₉ = .

Aproximând pe x prin redusa R₉ eroarea absolută dată de teorema lui Dirichlet va fi:

, adică x calculat cu 9 zecimale va fi: x = 2,094551486…

3.8 Aplicații ale metodei Lobacevski – Graeffe

3.8.1 Să se găsească rădăcinile pentru x3 -7×2 +14x – 8 = 0

Soluție:

a[]                1          -7               14                  -8 

b[]                1          21               84                  64 

rădăcini =    4.583             2               0.873

b[]                1         273              4368            4096 

rădăcini =     4.065             2               0.984

b[]                1         65793          1.68E7         1.68E7 

rădăcini =      4.002             2               0.9995

Valorile absolute ale rădăcinii sunt 4, 2, 1. 

Deoarece f(1) = 0, f(2) = 0 și f(4) = 0, semnele rădăcinilor pentru 1, 2 și  4 sunt toate pozitive

3.8.2 Să se găsească rădăcina pentru x3 – 6×2  + 11x  – 6 = 0

Soluție:

a[]     1.0     -6.0     11.0     -6.0 

b[]     1.0     14.0     49.0     36.0 

rădăcină =   3.74     1.87     0.857

b[]     1.0     98.0     1393.0     1296.0 

rădăcină =   3.146     1.942     0.982

b[]     1.0     6818.0     1686433.0     1679616.0 

rădăcină =    3.014     1.99     0.999

b[]     1.0     4.31E7     2.82E12     2.82E12 

rădăcină =   3.0002     1.999     0.9999

b[]     1.0     1.853E15     7.958E24     7.958E24 

rădăcină =  3.00     1.999     0.9999

Așadar valorile absolute ale rădăcinii sunt 3.00, 1.999 și 0.9999. 

Cum f(3.00) = 0, f(1.999) = 0 și f(0.9999) = 0, semnele rădăcinilor 3.00, 1.999 și 0.9999 sunt toate pozitive.

3.9 Aplicații ale metodei Bierge-Vieta

3.9.1 . Să se găsească rădăcina pentru x4 – 3×3 + 3×2 – 3x + 2 = 0

Soluție:

În această problemă coeficienții sunt a0 = 2, a1 = -3, a2 = +3, a3 = -3, a4 = +1

Se consideră aproximația inițială a lui p ca fiind p0 = 0.5

 a0 = 2.0              a1= -3.0             a2 = 3.0       a3 = -3.0       a4 = 1.0
 b0 = 1.0              b1 = -2.5           b2 = 1.75     b3 = -2.125    b4 = 0.9375
 c0 = 1.0               c1 = -2.0           c2 = 0.75     c3 = -1.75 

p1 = p0 – (b4 / c3) = 1.0357143

 a0 = 2.0            a1 = -3.0            a2 = 3.0            a3 = -3.0            a4 = 1.0
 b0 = 1.0            b1 = -1.964       b2 = 0.965        b3 = -1.999        b4 = -0.0714
 c0 = 1.0            c1 = -0.928       c2 = 0.0038       c3 = -1.996

p2 = 0.9999518

 a0= 2.0              a1 = -3.0            a2 = 3.0           a3 = -3.0           a4 = 1.0
 b0 = 1.0             b1 = -2.00          b2 = 1.00        b3 = -2.0           b4 = 9.64E-5
 c0 = 1.0             c1 = -1.00           c2 = 2.38E-7   c3 = -1.999

p3 = 1.0
 

3.9.2 Să se găsească rădăcina pentru x4  – x – 10 = 0

Soluție:

În această problemă coeficienții sunt a0 = 2, a1 = -3, a2 = +3, a3 = -3, a4 = +1

Se consideră aproximarea inițiala a lui p ca fiind p0 = 1.5

 a0 = -10.0     a1 = -1.0      a2 = 0.0     a3 = 0.0        a4 = 1.0
 b0 = 1.0        b1 = 1.5       b2 = 2.25   b3 = 2.375    b4 = -6.4375
 c0 = 1.0        c1 = 3.0        c2 = 6.75   c3 = 12.5

p1 = 2.0149999

 a0 = -10.0        a1 = -1.0      a2 = 0.0     a3 = 0.0     a4 = 1.0
 b0 = 1.0           b1 = 2.01     b2 = 4.06   b3 = 7.18   b4 = 4.47
 c0 = 1.0           c1 = 4.029   c2 = 12.18  c3 = 31.72

p2 = 1.87409

 a0 = -10.0           a1 = -1.0           a2 = 0.0               a3 = 0.0            a4 = 1.0
 b0 = 1.0              b1 = 1.87          b2 = 3.51             b3 = 5.58          b4 = 0.46
  c0 = 1.0             c1 = 3.74          c2 = 10.54            c3 = 25.32 

p3 = 1.8558675

 a0 = -10.0     a1 = -1.0         a2 = 0.0            a3 = 0.0       a4 = 1.0
 b0 = 1.0        b1 = 1.85        b2 = 3.44          b3 = 5.39     b4 = 0.0069
 c0 = 1.0        c1 = 3.71         c2 = 10.33        c3 = 24.56 

p4 = 1.8555846

 a0 = -10.0         a1 = -1.0            a2 = 0.0              a3 = 0.0         a4 = 1.0
 b0 = 1.0            b1 = 1.855          b2 = 3.44           b3 = 5.38       b4 = 2.8E-6
 c0 = 1.0            c1 = 3.71            c2 = 10.329        c3 = 24.556

p5 = 1.8555845  

Concluzii

O funcție algebrică este o expresie care implică operații aritmetice între anumite numere reale și puteri raționale ale lui x . În timp ce o funcție transcendentală este pur și simplu o funcție non algebrică . De exemplu, funcțiile trigonometrice, funcțiile exponențiale etc.

Există două moduri de a rezolva o ecuație. Metoda analitică , care este cunoscută și ca metodă directă și metodele numerice.

Metode numerice, care sunt în mare parte iterative sunt folosite pentru a găsi o soluție aproximativă, dar precisă pentru ecuații algebrice și trascendente liniare si neliniare. Acestea sunt clasificate ca închise și metode deschise.

Metoda bisecție și aproximațiilor succesivesunt metode închise, iar metoda Newton – Raphson și metoda secantă sunt metode deschise .

Metoda bisecției converge întotdeauna liniar și împărțire în două la rădăcina ecuației f(x) = 0 , cu condiția ca funcția f(x) să fie continuă în intervalul dat [ a, b ​​].

Cel mai mare dezavantaj al metodei este că procesul de împărtire este foarte lent.

Metoda poziție false este similară cu metoda bisecției, dar converge mai rapid decât aceasta.

În comparație cu metoda de împărțire în două, metoda converge mai repede.

În raport cu metodele iterative deschise, aceste două metode(metoda bisecției și metoda falsei poziții) sunt foarte lente .

O comparație a metodei și metoda de împărțire în două Newton – Raphson. Metoda Newton – Raphson este adesea mult mai rapidă decât metoda de împărțire în două.

Metoda Newton – Raphson poate fi de încredere în cazul în care algoritmul întâlnește un punct x , unde f '( x ) = 0 , se blochează; în cazul în care se confruntă cu puncte în care derivatul este foarte aproape de 0, aceasta va deveni nesigură .Metoda bisecței va lucra întotdeauna, odată ce s-au găsit puncte de pornire a și b în cazul în care funcția ia semne opuse.

Metoda de bisecței, este metoda cea mai primitivă pentru a găsi rădăcinile reale ale funcției f(x) = 0 , unde f este o funcție continuă. Această metodă se bazează pe următoarea teoremă: în cazul în care funcția f(x) = 0 este continuu între f ( l) și f ( u ) și au semne opuse și mai miiă decât zero , atunci există cel puțin o rădăcină. Converge întotdeauna; această metodă este foarte utilă pentru rezolvările bazate pe calculator. După ce se efectuează iterații interval devine redus la jumătate. Eroarea poate fi controlată.

Convergența este garantată. În schimb, există unele capcane. Metoda este foarte lentă deoarece converge liniar. Metoda face mai multe încercări de a găsi soluția aproximativă.

Metoda Newton Raphson este cea mai populară metodă pentru a găsi rădăcinile de ecuații neliniare. Funcția poate fi aproximată prin linia tangentă. Acesta începe cu o presupunere inițială că aceasta este aproape de rădăcină. Diferența de bază dintre Newton și alte metode este că este necesară o presupunere inițială. Metoda Newton este eficientă în cazul în care aproximarea este aproape de rădăcină . Pe de altă parte, metoda Newton

funcționează lent dacă procesul este divergent sau soluția aproximativă nu este aproape de rădăcină. Un avantaj al metodei Newton este factul că aceasta converge rapid. Cel mai bun lucru pentru Newton Metoda Raphson este că consumă mai puțin timp și mai puține iterații pentru a găsi rădăcina decât metoda falsei poziții și metoda bisecției. Prezintă dezavantajul unor calcule mai complicate. Acesta se aseamana cu metoda bisecței; în acest fel, utilizatorul poate anticipa cu ușurință exact cât de multe iteratii sunt necesare pentru a ajunge la rădăcină. Este mai rapidă în comparație cu metoda falsei poziții și metoda bisecției în cazul în care converge .

Metoda secantei nu are nevoie de derivata unei funcții precum metoda Newton-Raphson. Avem nevoie de două valori inițiale pentru ca metoda să funcționeze. În cazul celor două valori nu este necesar să aibă semne diferite ca în cazul metodei bisecției. Un nou punct este obținut în cazul în care linia dreaptă traversează axa x. Acest nou punct înlocuiește punctul vechi utilizat în calcul. Acest proces poate fi continuat pentru a obține o rădăcină aproximativă.

În cazul metodei secantei este nevoie de două presupuneri. Acesta este motivul pentru care converge mai rapid în comparație cu

Metoda secantei poate eșua dacă funcția este plată. Unul dintre dezavantajele metodei secant este că panta linie secantei poate deveni foarte mică, ceea ce poate face ca acesta să se deplaseze departe de punctele aproximative.

Metoda falsei poziții combină caracteristicile metodei bisecție și metodei secantei. Două aproximări inițiale sunt necesare pentru a începe această metodă, astfel încât în funcție de aceste două valori inițiale funcția este mai mică decât zero. Înseamnă că funcțiile trebuie să fie de semne opuse. Noua valoare este găsită ca intersecția dintre coarda care unește funcțiile de aproximare inițială și axa x.

Motivul din spatele descoperirea acestei metode falsei poziții a fost că metoda de împărțire în două converge lent. Așa că metoda falsei poziții este mai eficientă decât metoda bisecției.

Metoda Lagrange este utilizată pentru a găsi valorile maxime și minime ale unei funcții în concordanță cu niște constrângeri. Un avantaj este că metoda nu are nevoie de valori egal distanțate în x. Cu toate acestea, este de preferat, de obicei, pentru a căuta cea mai apropiată valoare în tabel să se utilizeze cea mai mică interpolare în concordanță cu forma funcțională a datelor. Polinoamele de ordin superior, care se potrivesc cu mai multe intrări din tabel simultan, pot introduce fluctuații rapide nedorite între valorile tabelate. Dacă sunt utilizate pentru extrapolare cu un polinom de ordin superior, această metodă poate da erori grave. Metoda Lagrange eșuează când se încearcă găsirea unei rădăcini complexe.

Metoda Bierge-Vieta este folosită pentru a calcula rădăcinile reale ale unui polinom. Este o variantă îmbunătățită a metodei Newton-Raphson.

Metoda Lobacevski-Graeffe este folosită pentru găsirea tuturor rădăcinilor, atât reale, cât și complexe ale unei rădăcini, nu este utilă în calcularea unei singure valori aproximative, dar are avantajele ei precum acela de a separa rădăcinile care sunt foarte apropiate.

Metoda Aitken în analiza numerică este o metodă de accelerare utilizată pentru accelerarea ratei de convergență a unei secvențe, iar metoda combinată îmbină metoda secantei cu cea a coardelor.

Bibliografie:

curs L.Deaconu, Paul Radovici-Mărculescu, Analiză numerică. Volumul 1

Demidovich B.P. and Maron I.A., Principles of Numerical Mathematics. – Moscow: Publishing House Nauka, 1970

Gary K. Rockswold -College algebra with modeling and visualization, Ed. Pearson, 2003

http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/student.folders/frietag.mark/homepage/roots/roots.html

http://math.stackexchange.com/questions/142399/interval-bisection-to-find-a-root-of-fx

http://mpec.sc.mahidol.ac.th/numer/STEP10.HTM

http://ourcivil.blogspot.ro/2014/09/lecture-3-problems-and-solutions-of.html

http://w3.gazi.edu.tr/~balbasi/mws_gen_nle_txt_secant.pdf

http://www.a-levelmathstutor.com/iteration.php

http://www.mathnotes.org/index.php?pid=11#?pid=11

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Chords

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Examples

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Halving

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Iterations

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Tangents

http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon07/limcon07.html

https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/10RootFinding/secant/examples.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_function

https://en.wikiversity.org/wiki/Numerical_Analysis/The_Secant_Method

https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bie_polinomial%C4%83

https://www.siam.org/books/textbooks/fr16_book.pdf

Ioan Pop, Gh. Neagu- Algebră liniară și geometrie analitică în plan și în spațiu, Ed. PLUMB BACĂU, 1996

L. Panaitopol, I. C. Drăghicescu – Polinoame și ecuații algebrice, Ed. Albatros, 1980

M.R. Buneci – Metode numerice-aspecte teoretice și practice, Ed. Academică Brâncuși Târgu-Jiu, 2009

McCracken D.D. and Dorn W.S., Numerical Methods and FORTRAN Programming with application in engineering and science. – Moscow: Publishing House Mir, 1977

O. Sacter – Elemente de teoria ecuatiilor algebrice si transcendente, Ed.Tehnică, 1962

Octavian Cira M- Metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice, Ed. Academiei Române, 2008

S. C. Andronescu- Algebra, Editura Universitatii din Pitesti, 2004

ANEXA 1

Fig.1 : Reprezentarea grafică a ecuației algebrice de gradul 2

Curbele de gradul doi sunt hiperbole, concave sau convexe. Dacă hiperbola intersectează abscisa, ecuația de gradul doi corespunzătoare polinomului de grad doi are două soluții reale, dacă nu o intersectează cele două soluții sunt complex conjugate.

ANEXA 2

Fig. 2. : Reprezentarea grafică a ecuației de gradul patru

Graficul unei funcții polinomiale de grad patru are trei puncte critice. Intersecțiile cu abscisa, dacă există, reprezintă numărul și valorile rădăcinilor reale ale ecuației bicuadratice.