Metode Didactice Interactive Folosite la Predarea Învătarea Tehnicilor de Rezolvare a Sistemelor de Ecuatii

Metode didactice interactive folosite la predarea-învățarea tehnicilor de rezolvare a sistemelor de ecuații.

Cuprins

CAP. I. Metode didactice interactive

2.1. Metoda didactica

2.2. Clasificarea metodelor de grup

2.3. Metode activ-participative

Invatarea prin cooperare

Metoda brainstorming

Metoda cubului

Cadranele

Chiorchinele

Stiu-Vreau sa stiu- Am invatat

Floarea de lotus

Copacul ideilor

Mozaicul

Diagrama Venn

Jocul didactic

2.4 Metode asistate

Consideratii generale (notiunea de sistem, tipuri de sisteme)

CAP. II. Sisteme de ecuatii în învățământul gimnazial

II.1. Prezentare. Metode de rezolvare (grafica, substitutiei, reducerii

II. 2. Sisteme neliniare (nefacut)

CAP. III. Sisteme de ecuatii în învățământul superior

III.1.Notiuni introductive

III.2. Metode de rezolvare a sistemelor

III.2.1 Metoda matriceala

III.2.2 Metoda Cramer

sistem 3×3

sistem nxn

sistem mxn

sistem omogen

III.2.2 Metoda eliminarii Gauss (nefacut).

CAP. I. Metode didactice interactive

CAPITOLUL I. Consideratii generale

In matematica o functie care verifica simultan conditiile:

se numeste functie liniara.

Aceste doua conditii sunt adesea combinate intr-o singura proprietate a functiilor liniare :

.

O ecuatie de forma

se numeste ecuatie liniara daca functia este liniara. In caz contrar ecuatia se numeste neliniara.

Notiunea de sistem de ecuatii se refera la rezolvarea unui set de ecuatii si gasirea unei solutii comune tuturor acestor ecuatii:

unde sunt necunoscutele iar sunt termeni liberi.

Sistemele pot fi clasificate dupa diverse criterii : tipul ecuatiilor , numarul de ecuatii si necunoscute, numarul solutiilor, etc.

Dupa tipul ecuatiilor care alcatuiesc sistemul putem avea :

sistem de ecuatii liniare – toate ecuatiile din sistem sunt liniare.

sistem de ecuatii neliniare–cel putin una din functiile nu este liniara.

Deoarece sistemele liniare de ecuatii sunt mai simple si au o forma generala, in continuare vom clasifica sistemele de ecuatii liniare dupa numarul de ecuatii si numarul necunoscutelor astfel:

– sistem liniar de doua ecuatii cu doua necunoscute

(S):

sau in general

– sistem de m ecuatii cu n necunoscute

(1)

Acest sistem mai poate fi scris si intr-o forma mai condensata

sau matriceal: (forma compacta)

(sub forma dezvoltata)

Coloana formata din se numeste coloana termenilor liberi. Sistemele de ecuatii pot fi clasificate si dupa vectorul b astfel:

sistem omogen – daca

sistem neomogen – daca

A rezolva un sistem de ecuatii inseamna a gasi un set de valori care verifica fiecare ecuatie. Acest set de valori se numeste solutie a sistemului de ecuatii.

Studiul solutiilor unui sistem de ecuatii liniare conduce la trei probleme:

existenta solutiilor – identificarea conditiilor in care un sistem admite solutii.

gasirea unei metode de obtinere a solutiilor.

determinarea tuturor solutiilor.

Un sistem liniar (1) este consistent daca are cel putin o solutie si inconsistent daca nu are nici o solutie. Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil. daca sistemul are solutii se spune ca este:

compatibil determinat – daca are o singura solutie;

compatibil nedeterminat – daca admite mai mult de o solutie.

Metodele numerice folosite la rezolvarea sistemelor dde ecuatii liniare sunt de doua tipuri:

metode exacte sau directe – care furnizeaza solutia exacta a sistemului. Aceste metodee aduc sistemul de ecuatii prin transformari de echivalenta, la un sistem particular (diagonal, triunghiular, etc.) care se poate rezolva cu mijloace elementare.

metode aproximative sau iterative – care construiesc un sir, convergent catre solutia exacta a sistemului.

Capitolul II.Sisteme de ecuatii în învățământul gimnazial

II.1. Prezentare.Metode de rezolvare

Def: Un sistem liniar de doua ecuatii cu doua necunoscute are forma:

(S):

unde se numesc coeficientii necunoscutelor , iar termenii liberi.

Doua sisteme de ecuatii se numesc echivalente daca au aceeasi multime de solutii.

La nivel de ciclu gimnazial sunt studiate sistemele de forma (S) sau care pot fi aduse la aceasta forma prin diverse transformari care determina obtinerea de sisteme echivalente cu sistemul dat.

Transformarile care se pot face asupra unui sistem sunt:

Adunarea unei ecuatii a sistemului la o alta ecuatie a sistemului

Inmultirea ecuatiilor sistemului prin factori nenuli

Schimbarea ordinii ecuatiilor intr-un sistem.

Pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii se poate folosi:

metoda grafica

metoda substitutiei

metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii).

Metoda grafica

Fiecare ecuatie a sistemului (S) este o ecuatie de gradul I cu doua necunoscute si reprezinta ecuatia unei drepte in sistemul cartezian xOy. Prin reprentarea grafica a celor doua ecuatii obtinem doua drepte iar solutia sistemul de ecuatii este punctul de intersectie al celor doua drepte. Deci geometric sistemul este compatibil determinat daca dreptele se intersecteaza intr-un punct, compatibil nedeterminat daca cele doua drepte se suprapun (coincid) sau avem un sistem incompatibil daca dreptele sunt paralele.

Pentru a reprezenta grafic dreapta data prin ecuatia sunt suficiente doua puncte distincte. Este suficient sa gasim intersectia dreptei cu axele sistemului ortogonal. Pentru aceasta vom inlocui pe rand cele doua necunoscute cu valoarea 0 si calculam cealalta necunoscuta. Obtinem astfel doua puncte pentru si pentru . Dreapta reprezentata de prima ecuatie a sistemului este dreapta AB.

In mod similar obtinem pentru a doua ecuatie a sistemului alte doua puncte C pentru si pentru . Dreapta reprezentata de a doua ecuatie a sistemului este dreapta CD.

Solutia sistemului (S) este punctul de intersectie al celor doua drepte.

Daca obtinem pentru una din ecuatii solutia (0,0) atunci pentru aflarea unui al doilea punct vom lua pentru x o alta valoare.

Exemplul 1. Reprezentati grafic sistemul

Determinam doua puncte pentru prima ecuatie :

– pentru obtinem deci avem punctul

– pentru obtinem deci avem punctul

Aceste doua puncte determina dreapta d.

Determinam doua puncte pentru a doua ecuatie :

– pentruobtinem deci avem punctul C

– pentru obtinem deci avem punctul D

Aceste doua puncte determina dreapta .

Prin reprezentarea in acelasi sisttem de coordonate al celor doua drepte obtinem figura de mai jos.

Observam ca dreptele se intersecteaza in punctul . Deci solutia sistemului este perechea (1,1) sau altfel spus

.

Metoda grafica nu este o buna metoda de rezolvare a unui sistem deoarece nu poate fi aplicata intotdeauna. In general intampinam doua mari dificultati:

punctul de intersectie al dreptelor (solutia sistemului) este foarte departe de originea axelor de coordonate. Situatia imposibila este in cazul extrem al unor drepte aproape paralele.

imposibilitatea de a stabili cu precizie mare coordonatele punctului de intersectie a dreptelor.

Datorita acestor dificultati , in practica metoda grafica este privita ca o metoda inexacta si se foloseste numai atunci cand nu se pretinde calculul exact al solutiei sistemului.

Metoda substitutiei

Asa dupa cum ii spune si numele aceasta metoda este caracterizata de o “inlocuire” (substitutie). Aplicarea acestei metode consta in urmatorii pasi:

alegem o necunoscuta dintr-una din cele doua ecuatii ale sistemului (de exemplu x)

“scoatem” aceasta necunoscuta x in functie de cealalta y

inlocuim necunoscuta aleasa in cealalta ecuatie a sistemului, obtinand astfel o ecuatie cu o singura necunoscuta ( y), pe care o rezolvam.

avand valoarea unei necunoscute , o obtinem si pe cealalta si deci solutia sistemului.

Exemplu : Rezolvati sistemul

.

Rezolvare:

Din prima ecuatie scoatem pe x in functie de y : .

Inlocuim pe x astfel exprimat in a doua ecuatie: .

Rezolvam aceasta ecuatie in y si obtinem .

Inlocuim valoarea lui y in expresia lui x de la primul pas al rezolvarii:

obtinem astfel valoarea lui x : . Deci solutia sistemului este .

Metoda substitutiei este avantajoasa atunci cand intr-una din ecuatiile sistemului o necunoscuta are coeficientul 1 sau -1; este de preferat ca aceasta necunoscuta sa fie scrisa in functie de cealalta. In caz contrar se ajunge la fractii care complica putin lucrurile.

Cu toate ca este o metoda usor de aplicat , trecerea de la o ecuatie la alta in sistemul de ecuatii poate crea o stare de confuzie pentru elevi mai ales daca se iau ecuatiile in care se lucreaza pe rand. Pentru a ocoli aceasta situatie multe cadre didactice prefera sa rezolve sistemul de ecuatii scriind sisteme echivalente.

Exemplu: Sa se rezolve sistemul:

.

Rezolvare: Deoarece in prima ecuatie necunoscuta x are coeficienul 1 o vom alege ca sa o explicitam. Vom lucra pe rand in fiecare ecuatie, cealalta pastrand-o neschimbata.

.

Chiar si pentru sistemele de ecuatii mai simple este nevoie sa scriem un numar destul de mare de sisteme echivalente, acest lucru datorita faptului ca se lucreaza doar in una dintre ecuatii cealalta pastrandu-se. Acesta este si unul din dezavantajele acestei metode.

Metoda reducerii

Aceasta metoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii se caracterizeaza prin reducerea unei necunoscute prin adunarea membru cu membru a unei ecuatii la cealalta, obtinandu-se astfel o ecuatie cu o singura necunoscuta care poate fi rezolvata.

Pentru aplicarea acestei metode parcurgem urmatoarele etape:

alegem o necunoscuta care dorim sa o reducem

stabilim cel mai mic multiplu comun al celor doi coeficienti ai necunoscutei alese.

inmultim fiecare ecuatie astfel incat coeficcientii necunoscutei alese sa devina numere egale (cel mai mic multiplu comun al coeficientilor) dar opuse (unul pozitiv iar celalalt negativ).

adunam cele doua ecuatii astfel obtinute membru cu membru.

rezolvam ecuatia obtinuta (se obtine astfel una din necuunoscutele sistemului)

inlocuind necunoscuta obtinuta in una din ecuatiile sistemului obtinem a doua necunoscuta si deci solutia finala a siatemului.

Exemplu: Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare: Deoarece coeficientii necunoscutei y sunt unul pozitiv si unul negativ alegem sa reducem necunoscuta y. Cel mai mic multiplu comun al coeficcientilor 3 si 5 este 15. Deci inmultim prima ecuatie cu 5 iar pe a doua cu 3.

.

Inlocuim pe x in prima ecuatie a sistemului dat.

deci solutia sistemului este x=1, y=2.

Acestea sunt metodele elementare care sunt folosite in ciclul gimnazial pentru rezolvarea unui sistem liniar de doua ecuatii cu doua necunoscute.

Toate celelalte sisteme de ecuatii intalnite sunt reduse prin diverse calcule, transformari sau substitutii la un sistem (S) clasic si rezolvat apoi prin metodele elementare prezentate mai sus.

Capitolul III. Sisteme de ecuatii în învățământul superior

III.1.Notiuni introductive

Consideram un sistem de m ecuatii cu n necunoscute:

unde sunt coeficientii necunoscutelor iar sunt termenii liberi.

A rezolva un astfel de sistem inseamna a determina toate sistemele ordonate de numere care sa verifice fiecare ecuatie a sistemului. Se stie ca un sistem de ecuatii pentru care m=n=2 sau m=n=3 se poate rezolva folosind metodele elementare: metoda substitutiei sau metoda reducerii. Dar uneori trebuie sa rezolvam un sistem cu un numar mult mai mare de ecuatii si necunoscute, la rezolvarea carora metodele elementare sunt in general ineficiente. Din acest motiv este necesara o alta abordare a problemei sistemelor de ecuatii. In aceasta noua abordare un rol important il joaca notiunea de tablou sau matrice si notiunea de determinant.

Notiunea de matrice

Def. Un tabel in care datele sunt scrise pe linii si pe coloane se numeste tabel de tip matriceal.

Def. Fie doua numere naturale nenule si multimile multimile primelor m, respectiv n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o functie . Daca notam vom nota pe A sub forma:

adica printr—un tablou cu m linii si n coloane ce cuprind valorile functiei A. Datorita formei de scriere in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane. Numerele se mai numesc elementele matricei A. Se observa astfel ca matricea de tipul (m,n) aree elemente.

Cazuri particulare de matrici:

Daca n=1 , o matrice de tipul (m,1) se numeste matrice coloana si este de forma:

.

Daca m=1 , o matrice de tipul (1,n) se numeste matrice linie si este de forma:

.

Daca m=n, o matrice de tipul (n,n) se numeste matrice patratica de ordinul n si este de forma:. In acest tip de matrice sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala principala a matricei A, iar sistemmul ordonat de elemente se numeste diagonala secundara a matricei.

Vom nota cu multimea tuturor matricelor de tipul (m,n) avand elementele numere complexe. In cazul in care m=n vom nota multimea matricelor patratice cu elemente numere complexe.

Def. Fie o matrice de tipul (m,n). Se numeste transpusa matricei A, matricea notata , unde , si .

Observatii:

a). Daca matricea A este o matrice de tipul (m,n) atunci este o matrice de tipul (n,m) care se obtine din A luand liniile lui A drept coloane si coloanele lui A drept linii pentru

b). Daca A este o matrice patratica de ordinul n atunci este tot o matrice patratica de ordinul n iar diagonala principala a lui A este diagonala principala si pentru

Determinantii de ordinul 2

Fie sistemul de doua ecuatii liniare cu doua necunoscute

. (1)

Sa notam cu A matricea coeficientilor sistemului (1), adica

.

Matricea A este o matrice patratica de ordinul doi.

Rezovarea sistemului (1) se poate face folosind o metoda elementara. Aplicand metoda reducerii obtinem sistemul echivalent:

Daca atunci sistemul nu are solutii. Presupunem ca ; atunci solutia sistemului (1) este

. (2)

Observam ca numitorul din egalitatile (2) se exprima simplu: el este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principala a matricei A din care se scade produsuul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A.

Acest numar il vom nota in continuare det A si il vom numi determinantul matricei A, sau determinant de ordinul doi ( deoarece matricea A este de ordinul doi):

Avem deci egalitatea

.

Termenii se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Daca revenim la formulele care dau solutia sistemului (1) observam ca numaratorulul formulei care ne da valoarea lui este tot un determinant dee ordinul doi, si anume determminantul matricei

.

Aceasta matrice se obtine din matricea A inlocuind prima coloana a matricei A cu coloana formata din elementele si ( numita si coloana termenilor liberi). In mod analog numaratorul formulei care da valoarea lui este tot un determinant de ordinnul doi, si anume determinantul matricei:

.

Deci solutia sistemului (1) poate fi scrisa sub forma:

, . (3)

Aceste formule poarta denumirea de formulele lui Cramer pentru un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute.

Determinantii de ordinul trei

Sa consideram acum un sistem de trei ecuatii liniare cu trei necunoscute.

si notam cu A matricea coeficientilor acestui sistem:

.

La fel ca si in cazul sistemului anterior vom rezolva acest sistem de trei ecuatii folosind o metoda elementara si anume metoda reducerii. Inmultind prima ecuatie cu si a doua cu si le adunam, obtinem ecuatia:

Analog , inmultind prima ecuatie cu si a doua cu prin adunare obtinem ecuatia:

Cu aceste ecuatii obtinem sistemul:

care este un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute. Inmultind prima ecuatie cu si a doua cu iar apoi prin adunare obtinem:

Desfacand parantezele avem:

Numarul reprezentat de coeficientul lui il notam cu det A si il numim determinantul matricei A, sau determinantul de ordinul trei. Acest numar se mai noteaza si:

Deci avem egalitatea:

Se observa ca formula care da valoarea determinantului de ordinul 3 are sase termeni.

Pentru calcularea acestui determinant se pot folosi doua metode: regula lui Sarrus si regula triunghiului.

Ca o concluzie, se observa ca atunci cand rangul matricei A creste, determinantul are un numar din ce in ce mai mare de termeni si deci devine foarte dificil de exprimat si calculat. Si totusi, in practica intalnim des sisteme cu 4, 5 sau 6 ecuatii si tot atatea necunoscute.

Pentru calcularea det A pentru acestea se foloseste un procedeu prin care calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unui anumit numar de determinanti de ordinul n-1. Fie

un determinant de ordinul n. Determinantul de ordinul n-1 care se obtine suprimand linia i si coloana j din determinantul d se numeste minorul elementului si se noteaza .

Numarul

se numeste complementul algebric al elementului in determinantul d.

Cu aceste elemente definite putem folosi urmatoarele teoreme si consecinte pentru calcularea determinantului d.

Teorema 1. Fie determinantul de ordinul n, . Atunci pentru orice , are loc egalitatea:

Aceasta egalitate se mai numeste si dezvoltarea determinantului d dupa linia i.

Consecinta 1. Fie determinantul de ordinul n, . Pentru orice are loc egalitatea

Teorema 2. Fie determinantul de ordinul n, . Atunci pentru orice , are loc egalitatea:

Aceasta egalitate se mai numeste si dezvoltarea determinantului d dupa coloana j.

Consecinta 2. Fie determinantul de ordinul n, . Pentru orice are loc egalitatea

Rangul unei matrice

Consideram o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe

iar k un numar natural astfel incat sa avem .

Daca in matricea A alegem k linii : si k coloane: elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordinnul k:

Determinantul acestei matrice se numeste minorul de ordinul k al lui A. Din matricea A se pot obtine astfel minori de ordinul k.

In continuare ne dorim sa aflam ordinul cel mai mare al minorilor nenuli.

Consideram o matrice cu m linii si n coloane. Deoarece matricea A are si elemente nenule atunci exista minori nenuli de un anumit ordin . Dar multimea minorilor matricei A fiin o multime finita este evident ca exista un numar natural , astfel incat sa avem cel putin un minor de ordinul r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decat r , daca exista, sa fie nuli.

Definitie: Fie o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rang A=r, daca A are un minor nenul de ordinul r , iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r sunt nuli.

Teorema: Fie o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul r al lui A nenul, iar toti minorii de ordinul r+1 sunt nuli.

Matrice inversabila

O matrice patratica se numeste singulara (sau degenerata) daca determinantul sau este nul, si se numeste nesingulara ( sau nedegenerata) daca determimnantul sau este nenul.

Notam cu matricea unitatee de ordinul n :

Aceasta matrice comuta cu orice alta matrice A de acelasi ordin cu ea. Avem astfel:

Definitie: Fie A o matrice patratica de ordinul n. Se spune ca A este inversabila daca exista o matrice B patratica de ordinul n astfel incat:

Matricea B este inversa matricei A si invers.

Teorema1. Inversa unei matrice patratice , daca exista, este unica.

Teorema 2. Fie A o matrice patratica de ordin n cu coeficienti numere complexe. Atunci matricea A este inversabila daca si numai daca det A este nenul (adica matricea A este nesingulara).

Daca A este o matrice nesingulara, adica d=det A pentru a afla inversa matricei A procedam astfel:

daca calculam complementul algebric al fiecarui element .

obtinem astfel matricea

in care fiecare element apartinand liniei j si coloanei i este complementul algebric al elementului din matricea A. Aceasta matrice se numeste matricea adjuncta matricei A.

Daca calculam produsele si si folosim formula de dezvoltare a unui determinant dupa elementele uneia dintre linii (sau coloane), precum si faptul ca suma produselor dintre elementele unei linii (sau coloane) a unui determinant si complementii algebrici ai elementelor corespunzatoare ale altei linii (sau coloane) este nula, obtinem

unde d este determinantul matricei A. Impartind cu d relatia de mai sus obtinem

Asadar si matricea A este inversabila iar inversa ei este matricea notata

Deci inversa unei matrice nesingulare A se obtine impartind matricea adjuncta la d=det A.

III.2. Metode de rezolvare a sistemelor

III.2.1 Metoda matriceala

Vom readuce in discutie rezolvarea unui sistem liniar de 3 ecuatii cu 3 necunoscute si ne propunem rezolvarea acestui sistem sub forma unei ecuatii matriceale. Avem deci sistemul de forma:

si notam cu A matricea coeficientilor acestui sistem:

, cu X coloana necunoscutelor iar cu B coloana termenilor liberi:

Obtinem atunci ecuatia matriceala . Daca determinantul sistemului d=det A este nenul atunci inseamna ca matricea A este nesingulara si exista inversa sa Inmultim la stanga ambii membrii ai ecuatiei matriceale cu pentru a obtine matricea necunoscutelor. Obtinem astfel:

dar cum este matricea unitate de ordinul trei obtinem

care este de fapt solutia ecuatiei matriceale a sistemului.

Concluzii:

Pentru a rezolva un sistem de ecuatii prin aceasta metoda este nevoie ca matricea sistemului sa fie patratica si nesingulara (determinant diferit de 0).

Exemplu: Sa se rezolve sistemul:

Sistemul se scrie sub forma matriceala unde:

Calculam determinantul sistemului:

deci matricea A este inversabila.

Atunci solutia ecuatiei matriceale este:

Calculam elementele matricei adjuncte:

Deci

elementele fiind asezate pe pozitia ji , fiind transpusa matricei formate din elementele .

Avem astfel:

Solutia sistemului se obtine prin inmultirea matricelor si B.

Deci solutia sistemului este

III.2.2 Metoda Cramer

Vom considera un sistem liniar de 3 ecuatii cu trei necunoscute:

care se scrie sub forma matriceala , unde

Am vazut in paragraful anterior ca solutia acestei ecuatii este

ceea ce se poate scrie si sub forma:

Din aceste egalitati obtinem

ceea ce se poate scrie mai restrans

Dar reprezinta dezvoltarea dupa elementele coloanei j a determinantului care se obtine din determinantul d=det A inlocuind in el coloana j cu coloana termenilor liberi. Daca notam acest determinant avem

Deci solutia sistemului este

Aceste formule sunt cunoscute sub numele de formulele lui Cramer.

Vom generaliza aceste formule pentru sisteme de ecuatii liniare de n ecuatii cu n necunoscute care au determinantul sistemului nenul.

Fie sistemul

unde si , sunt numere complexe.

Facem aceleasi notatii ca si pentru sistemul cu trei ecuatii:

si obtinem sistemul sub forma unei ecuatii matriceale AX=B.

Fie d=det A determminantul sistemului si determinantul care se obtine din d prin inlocuirea coloanei j cu coloana termenilor liberi, coloana B, astfel:

. . .

Teorema: (Regula lui Cramer). Folosind notatiile de mai sus, daca d=det A este nenul atunci sistemul de n ecuatii are o solutie unica:

In concluzie, un sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute, al carui determinant este nenul, este compatibil determinat, iar solutia sa este data de formulele lui Cramer.

Exemplu: Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare

Determinantul sistemului este

Cum linia a 3 are un element 0 putem face descompunerea determinantului dupa elementele liniei trei astfel

Fiecare determinant de ordinul 3 se poate calcula separat folosind regula lui Sarrus sau regula triunghiului. Obtinem deci sistemul este compatibil determinat iar solutia sa este data de formulele lui Cramer. Calculam determinantii matricelor obtinute prin inlocuirea fiecarei coloane din matricea sistemului cu coloana termenilor liberi.

Astfel solutia unica a sistemului nostru este:

III.2.2 Metoda eliminarii Gauss