METODE DIDACTICE FOLOSITE LA PREDAREA ÎNVĂȚAREA [613410]

Ministerul Educației Naționale
Universitatea ,, Ovidius” Constanța
Departamentul pentru pregătirea personalului didactic

METODE DIDACTICE FOLOSITE LA PREDAREA – ÎNVĂȚAREA
TEHNICILOR DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR ȘI INECUAȚIILOR
IRAȚIONALE ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU ȘI LICEU

Coordonator științific, Candidat: [anonimizat]. univ. doctor DENIS IBADULA Prof. BICĂ (căs. DOBRIN) RALUCA
– IOANA
Școala gimnazială nr. 12 ,,B. P. Hașdeu” Constanța

Promoția 2019 – 2021

1
INTRODUCERE

Egalitățile, după numere, sunt una dintre primele cuceriri matematice ale științei. Acestea
sunt întâlnite în cele mai vechi scrieri matematice, cum ar fi textele cuneiforme babiloniene din
sec 3 î.e.n. sau în papirusu rile din Egipt din perioada Regatului Mijlociu (1800 î.e.n).
Până la introducerea semnului „=”, propus de englezul Robert Recorde (1510 – 1558) în
manualul de algebră „The Whetstone of Witte” („Piatra spiritului” – 1557), egalitățile erau scrise
cu ajutorul cuvintelor: F. Viète (1540 – 1603) folosea verbul „aequare”. Robert Recorde a motivate
alegerea semnului prin afirmația: „nimic nu este mai egal decât două drepte paralele”.
,,… Extragerea rădăcinii pătratice și cubice o găsim descrisă în ,,Matematica în nouă cărți ’’ (283
î.e.n.), apoi la Leonardo din Pisa (Fibonacci) în 1220 în ,,Practica geomatricae’’ .
Primul care a utilizat un simbol pentru radical a fost matematicianul Luca Paccioli (1487).
El reda radicalul prin R (radix – radice) și scria R2, R3, R4 sau RR.
Simbolul actual pentru radical a apărut în 1525 în lucrările lui Christoff Rudolff (1499 –
1545) unde era notat asemănător lui √; înfățișarea simbolurilor fiind modificată pentru fiecare
dintre rădăcini. De exemplu, rădăcina cubic ă se nota astfel: √√√.
René Descartes a folosit acest simbol ( ,,La Geométrie’’ , 1637) ad ăugând însă linia de
deasupra, iar indicele a fost plasat la începutul semnului radical de Michel Rolle ( ,,Traite
d’Algébre’’ , 1690).
În 1572 se întâlnesc notațiile R .q pentru rădăcina pătrată și R.c pentru rădăcina cubică;
astfel √71√10883 se scria R.c L71.p.R.q 1088.
Notația √, asemănătoare cu cea actuală, a fost introdusă în 1525 de un profesor german de
matematică. Decartes a completat semnul cu bara orizontală.Notaț iile √3, √4 au fost introduse
de Newton.
De multe ori se sugerează faptul că simbolul actual pentru radical ar fi o literă r modificată,
prima literă a cuvântului latin radix. Aceasta este și opinia lui Leonhard Euler în ,,Institutiones
calculi differentiali s’’ (1755). … ’’
(Rodica Cercel – ,,O scurtă istorie a simbolisticii matematice -operații și cifre ’’, Educația
Matematică, vol. 1. nr. 1 (2005))
Lucrarea de față, intitulată ,,Metode didactice folosite la preadarea -învățarea tehnicilor
de rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor iraționale în matematica de gimnaziu și liceu” este
structurată în două părți, segmentul metodic științific și seâgmentul metodic.
Segmentul științific este structurat în două capitole. Primul capitol, denumit „Rezolv ări de
ecuații” este dedicat generalităților asupra ecuațiilor cu o necunoscută, ecuațiilor echivalente ,

2
ecuațiilor de gradul întâi și de gradul al doilea. Al doliea capitol, „Ecuații și inecuații” prezintă
tehnici de rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor , însoțite de exemple.
Segmentul metodic, structurat în patru capitole, prezintă principiile didactice, metode de
învățământ, proiecte didactice și un curriculum la decizia școlii.

3
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 1
A. SEGMENT ȘTIINȚIFIC ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 4
I. REZOLVĂRI DE ECUAȚII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 4
1. Generalități asupra ecuațiilor cu o necunoscută ………………………….. ………………………….. ……… 4
2. Ecuații echivalente ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 6
3. Ecuații de forma 𝒂𝒙+𝒃=𝟎, 𝒂≠𝟎, 𝒂,𝒃 ∈ℝ ………………………….. ………………………….. …….. 11
4. Ecuații de forma 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎, 𝒂≠𝟎, 𝒂,𝒃,𝒄 ∈ℝ ………………………….. …………………….. 16
II. ECUAȚII ȘI INECUAȚII IRAȚIONALE ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 23
1. Tehnici de rezolvare a ecuațiilor iraționale ………………………….. ………………………….. ……………. 23
2. Tehnici de rezolvare a inecuțiilor iraționale ………………………….. ………………………….. …………… 35
B. SEGMENT METODIC ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 45
I. PRINCIPII DIDACTICE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 45
1. Principiul integrării teoriei cu practica ………………………….. ………………………….. ……………………… 47
2. Principiul respectării particularităților de vârstă ………………………….. ………………………….. ………… 49
3. Principiul sistematizării și continuității ………………………….. ………………………….. …………………….. 51
4. Principiul corelației dintre senzorial și rațional, dintre concret și abstract sau principiul intuiției 52
5. Principiul participării active și conștiente a elevului în activitatea de predare, învățare, evaluare 53
6. Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor ………………………….. ….. 54
II. METODE DE ÎNVĂȚĂ MÂNT ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 55
III. PROIECTE DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ ………………………….. ………………………….. ……………………….. 67
IV. CURRICULUM LA DECIZIA ȘCOLII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 95
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 102

4
A. SEGMENT ȘTIINȚIFIC

I. REZOLVĂRI DE ECUAȚII

1. Generalități asupra ecuațiilor cu o necunoscută

Definiție: Fie o mulțime 𝐸⊆ℝ. Predicatul unar: 𝑝(𝑥):,,𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥),𝑥∈𝐸′′ se numește
ecuație cu o necunoscută în mulțimea 𝑬, în care 𝑓,𝑔 sunt funcții definite pe mulțimea 𝐸.
Notăm: 𝑥 = necunoscuta ecuației, 𝑓(𝑥) = primul membru sau membrul stâng al ecuației, 𝑔(𝑥)
= al doilea membru sau membrul drept al ecuației, 𝐸 = mulțimea de definiție sau mulțimea valorilor
admisibile a ecuației.
Atribuind valori lui 𝑥 din mulțimea 𝐸, propoziția 𝑝(𝑥) va fi adevărată sau falsă.
Definiție: Numărul real 𝑥0∈𝐸, pentru care propoziția 𝑝(𝑥) este adevărată, se numește
rădăcină sau soluție a ecuației.
Putem spune că 𝑥0 verifică ecuația 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).
Dacă 𝑥0∈𝐸 și 𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0) este falsă, sau dacă 𝑥0∉𝐸 și 𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0) este
adevărată, atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației.
O ecuație poate avea una sau mai multe soluții sau să nu aibă nici o soluție. Notăm 𝑆,𝑆⊆
𝐸, mulțimea soluțiilor ecuației.
Ecuația care admite una sau mai multe soluții se numește ecuație consistentă, iar cea care
nu admite nici o soluție se numește ecuație imposibilă sau inconsistentă.
Mulțimea de definiție, 𝐸, poate fi dată explicit, 𝐸=ℝ sau 𝐸 este o submulțime a lui ℝ,
rezultată din condițiile de existență ale expresiilor din ecuație.
Exemplul nr. 1:
Să se arate că 5 este soluție a ecuației: √20𝑥+3=13,𝑥∈(0;+∞).
√20∙5+3=13⇔√100+3=13⇔10+3=13⇔13=13 𝐴𝑑𝑒𝑣ă𝑟𝑎𝑡
Definiție: Fie în 𝐸 ecuația 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥). Determinarea mulțimii tuturor rădăcinilor ei
(𝑆⊆𝐸) înseamnă a rezolva ecuația .
Putem scrie: 𝑆={𝑥0∈𝐸 / 𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)} sau 𝑆=∅ în cazurile în care: 𝐸=∅ sau 𝐸≠
∅ dar egalitatea 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) nu are loc pentru nici un 𝑥∈𝐸.
Exemplul nr. 2:
Să se rezolve ecuația : √𝑥−3=√2−𝑥

5
Soluțe:
Condițiile de existență: {𝑥−3≥0
2−𝑥≥0⇔{𝑥≥3
𝑥≤2⇔{𝑥∈[3;+∞)
𝑥∈(−∞;2]∩⇔𝑥∈∅⇒𝑆=∅
Fie în 𝐸 ecuația 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥). Notăm: 𝐷𝑓= domeniul de definiție al membrului stâng și
𝐷𝑔= domeniul de definiție al membrului drept. Soluțiile ecuației aparțin submulțimii 𝐷𝑓∩𝐷𝑔a lui
ℝ, adică 𝑆⊆𝐷𝑓∩𝐷𝑔. Mulțimea 𝐷𝑓∩𝐷𝑔 se numește mulțimea de definiție a ecuației.
Exemplul nr. 3:
Să se stabilească mulțimea de definiție a ecuației: √2𝑥−1=𝑥+3.
Soluțe:
{2𝑥−1≥0
𝑥+3≥0⇔{𝑥≥1
2
𝑥≥−3⇔{𝑥∈[1
2;+∞)
𝑥∈[−3;+∞)∩⇒𝑥∈[−3;+∞)⇒𝐷𝑓=[−3; +∞)
Observații:
✓ Semnul de egalitate exprim ă o egalitate condiționată, adică egalitatea este realizată doar
pentru valorile lui 𝑥 care sunt soluții ale ecuației.
✓ Se întâlnesc, frecvent, ecuații de forma 𝑓(𝑥)=𝑘,𝑘∈ℝ, 𝑘 fiind un număr dat, cel mai des
0.
✓ Mulțimea în care se consider ecuația trebuie, întotdeauna, precizată, excepț ie făcând doar
mulțimea ℝ.
✓ Necunoscuta unei ecuații se notează, în general, cu una dintre ultimele litere ale alfabetului
(𝑥,𝑦,𝑧).

6
2. Ecuații echivalente

Definiție: Fie o mulțime 𝐸⊆ℝ și două ecuații în 𝐸: 𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥) și 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥), cu 𝑆1
și respectiv 𝑆2, mulțimile de soluții. Spunem că a doua ecuație este o consecință a primei ecuații
dacă orice rădăcină a primei ecuații este rădăcină și pentru a doua ecuație.
Notăm: 𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)⇒𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥).
Exemplul nr. 1:
Fie ecuațiile: √𝑥=2 și 𝑥2=16.
Soluțe:
Condiția de existență pentru prima ecuație: 𝑥≥0⇒𝑥∈[0;+∞)
√𝑥=2⇒𝑥=4⇒𝑆1={4}
𝑥2=16⇒𝑥2−16=0⇒(𝑥−4)(𝑥+4)=0⇒𝑥=4 𝑠𝑎𝑢 𝑥=−4⇒𝑆2={4; −4}
Observăm că 𝑆1⊂𝑆2, deci a doua ecuație este o consecință a primei ecuații.
Propoziție: Fie implicația: 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇒𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥). Mulțimea de soluții a ecuației
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) este inclusă în mulțimea soluțiilor ecuației 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥), adică 𝑆1⊆𝑆2.
Elementele mulțimii 𝑆2 care nu sunt soluții ale primei ecuații se numesc soluții străine pentru
prima ecuație.
Demonstrație: Dacă 𝑥0 este o soluție arbitrară a ecuației 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), atunci 𝑥0∈𝑆1 și
𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0) este adevărată. Rezultă că [𝑓(𝑥0)]2=[𝑔(𝑥0)]2 este adevărată (din proprietățile
numerelor reale), ceea ce înseamnă că 𝑥0 este o soluție a ecuației 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥). Deci, 𝑆1⊆𝑆2.□
Reciproca acestei propoziții nu este , în general, adevărată, adică 𝑆2⊈𝑆1.
Dacă 𝑥0 este o soluție a ecuației 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥), atunci [𝑓(𝑥0)]2=[𝑔(𝑥0)]2
⇒[𝑓(𝑥0)−𝑔(𝑥0)][𝑓(𝑥0)+𝑔(𝑥0)]=0⇒𝑓(𝑥0)−𝑔(𝑥0)=0 𝑠𝑎𝑢 𝑓(𝑥0)+𝑔(𝑥0)=0⇒a
doua ecuație nu admite numai soluțiile primei ecuații ci și soluții ale ecuației 𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥).
Ca urmare, se poate concluziona faptul că: prin ridicarea la pătrat a ambilor termini ai unei
ecuații, se introduce alte soluții decât cele ale ecu ației date. Soluțiile ecuației 𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥) se
numesc soluții străine, iar pentru determinarea acestora, se face verificarea soluțiilor celei de -a
doua ecuații în prima ecuație.
Exemplul nr. 2:
Fie ecuația: √8𝑥2+16=3𝑥.
Soluțe:
Condiții de existență: 8𝑥2+16≥0 ∀𝑥∈ℝ și 3𝑥≥0, deci 𝑥≥0

7
√8𝑥2+16=3𝑥⇒(√8𝑥2+16)2
=(3𝑥)2⇒8𝑥2+16=9𝑥2⇒𝑥2=16⇒
𝑥2−16=0⇒(𝑥−4)(𝑥+4)=0⇒{𝑥=4
𝑥=−4
Verificăm valorile găsite în ecuația data:
𝑥=4⇒√8⋅16+16=3⋅4⇒12=12 𝑎𝑑𝑒𝑣ă𝑟𝑎𝑡
𝑥=−4⇒√8⋅16+16=3⋅(−4)⇒12=−12 𝑓𝑎𝑙𝑠
⇒𝑥=4 este soluție și 𝑥=−4 este soluție străină
Definiție: Ecuațiile în 𝐸: 𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥) și 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥) se numesc ecuații echivalente
dacă 𝑆1=𝑆2, notăm 𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)⇔𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥).
Două ecuații sunt echivalente, dacă orice rădăcină a primei ecuații este rădăcină a celei de –
a doua ec uații și reciproc, adică oricare din ele este o consecință a celeilalte.
Fie 𝑀 o submulțime nevidă a mulțimii 𝐸1∩𝐸2. Se poate defin i echivalența celor două
ecuații pe mulțimea 𝑀.
Definiție: Două ecuații se numesc echivalente pe mulțimea 𝑴 dacă orice rădăcină a
primei ecuații, care aparține lui 𝑀, este rădăcină și pentru a doua ecuație și reciproc.
Notăm: 𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)𝑀⇔𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥).
Proprietăți ale echivalenței ecuațiilor:
• Reflexivitatea: orice ecuație este echivalentă cu ea însăși.
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
• Simetria: dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci și cea de -a doua ecuație este
echivalentă cu prima ecuație
𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)⇔𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥)⇒ 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥)⇔𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)
• Tranzitivitatea: dacă o ecuație este echivalentă cu o a doua ecuație și cea de -a doua
ecuație este echivalentă cu o a treia ecuație, atunci prima și a treia ecuație sunt
echivalente.
𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)⇔𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥) ș𝒊 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥)⇔𝑓3(𝑥)=𝑔3(𝑥)⇒
𝑓1(𝑥)=𝑔1(𝑥)⇔𝑓3(𝑥)=𝑔3(𝑥)
Prorpietatea de tranzitivitate este utilizată, de obicei, ca metodă de rezolvare a ecuațiilor,
adică înlocuirea ecuației inițiale cu un șir de ecuații echivalente, din ce în ce mai simple, până
obținem o ecuație a cărei soluții se obține ușor.

Exemplul nr. 3:

8
Fie ecuațiile: 5𝑥−8=𝑥 și 𝑥+1=3.
Soluție:
5𝑥−8=𝑥⇒5𝑥−𝑥=8⇒4𝑥=8⇒𝑥=2⇒𝑆1={2}
𝑥+1=3⇒𝑥=2⇒𝑆2={2}
Observăm că 𝑆1=𝑆2, decic cele două ecuații sunt echivalente.
Transformările ecuațiilor pot fi transformări echivalente sau transformări neechivalente .
Dacă mulțimile soluțiilor celor două ecuații sunt egale, atunc i transformarea este echivalentă, iar
în caz contrar, mulțimile soluțiilor sunt diferite, transformarea este neechivalentă.
Transformările neechivalente se obțin, de exemplu, prin împărțirea ecuației printr -o
expresie în care apare necunoscuta sau se extr ag rădăcini.
Exemplul nr. 4:
Fie ecuațiile: 5
√𝑥−3=𝑥
𝑥−3 și 5(𝑥−3)=𝑥√𝑥−3.
Soluție:
În prima ecuație: 𝑥−3≠0⇒𝑥≠3, iar a doua ecuație are ca soluție 𝑥=−3. Deși a doua
ecuație se obține din prima ecuație, utilizân proprietatea fundamental a proporțiilor, cele două
ecuații nu sunt echivalente.
Pentru a fi siguri că soluțiile găsite sunt cele corecte, se recomandă să facem verificarea.
Aceasta se face în ecu ația inițială, nu în cele rezultate prin transformări. În cazul în care se fac
transformări neechivalente, verificarea este obligatorie.
Teorema 1: Obținerea unei ecuații echivalente cu cea inițială se face prin transformarea
unui membru sau a ambilor memb ri ai ecuației pri folosirea regulilor de calcul literal fără
modificarea domeniului de definiție (comutativitate, asociativitate, distributivitatea produsului
față de sumă sau diferență, utilizarea formulelor de calcul prescurtat, descompunere în factori) .
Exemplul nr. 5:
(𝑥+5)2+(𝑥−6)(𝑥+6)=2(𝑥+3)2+15⇔
𝑥2+10𝑥+25+𝑥2−36=2(𝑥2+6𝑥+9)+15⇔
2𝑥2+10𝑥−11=2𝑥2+12𝑥+33
Teorema 2: Fie în ℝ ecuațiile: 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) și 𝑓(𝑥)+ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥). Dacă
𝐷𝑓,𝐷𝑔⊆𝐷ℎ, atunci cele două ecuații sunt echivalente.
Prin adunarea ambilor membri ai unei ecuații ( 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)) cu o expresie algebrică ( ℎ(𝑥)),
se obține o ecuație echivalentă cu cea inițială dacă 𝐷𝑓,𝐷𝑔⊆𝐷ℎ.

9
Dacă adunăm același număr real ambilor termini ai ecuației 𝑓(𝑥)=𝛼,𝛼∈ℝ, atunci se
obținem o ecuație echiva lentă cu cea dată.
Într-o ecuație, pentru a obține o ecuație echivalentă, putem să trecem un termen dintr -un
membru în celălalt schimbându -i semnul.
În ℝ avem: 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=0 sau
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥)⇔𝑓(𝑥)−ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥
Exemplul nr. 6:
2𝑥−10=𝑥+3 |+(−𝑥+10)
2𝑥−10+(−𝑥+10)=𝑥+3+(−𝑥+10)
2𝑥−10−𝑥−10=𝑥+3−𝑥+10
𝑥=13
𝑆={13}
Sau mai putem avea echivalențele:
2𝑥−10=𝑥+3⇔2𝑥−𝑥=3+10⇔𝑥=13⇒𝑆={13}
Teorema 3: Fie în ℝ ecuațiile: 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) și 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)ℎ(𝑥). Dacă 𝐷𝑓⋂𝐷𝑔⊆
𝐷ℎ și ℎ(𝑥)≠0 pentru orice 𝑥∈𝐷ℎ, atunci cele două ecuații sunt echivalente.
Prin înmulțirea ambilor membri ai unei ecuații ( 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)) cu o expresie algebrică ( ℎ(𝑥)), se
obține o ecuație echivalentă cu cea inițială dacă 𝐷𝑓⋂𝐷𝑔⊆𝐷ℎ și ℎ(𝑥)≠0 pentru orice 𝑥∈𝐷ℎ.
Dacă înmulțim ambii termini ai unei ecuații cu un număr real diferit de zero, obținem o ecuație
echivalentă cu cea inițială.
În ℝ, ecuațiile 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=0 și 𝑓(𝑥)=0 sunt echivalente pentru 𝑔(𝑥)≠0.
Prin împărțirea ambilor termini ai unei ecuații printr -o expresie algebrică în care apare
necunoscuta, se pot pirde soluții. Prin înmulțirea ambilor termini ai unei ecuații cu o expresie
algebrică in care apare necunoscuta, pot să apară soluții suplimentare.
Exemplul nr. 7:
3𝑥
2−5
7=2
7+𝑥
2 |⋅14
⇔14⋅(3𝑥
2−5
7)=14⋅(2
7+𝑥
2)
⇔21𝑥−10=4+7𝑥
⇔21𝑥−7𝑥=4+10
⇔14𝑥=14|:14
⇔𝑥=1⇒𝑆={1}

10
Teorema 4: Fie în ℝ ecuațiile: 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) și 𝑓2(𝑥)=𝑔2(𝑥). Cele două ecuații sunt
echivalente pe mulțimea 𝑀, 𝑀⊂ℝ, pentru care 𝑓(𝑥)≥0, 𝑔(𝑥)≥0, ∀𝑥∈𝑀.
Exemplul nr. 8:
Să se arate că ecuațiile √1+4𝑥=1+𝑥 și 𝑥2−2𝑥=0 sunt echivalente în [−1
4;+∞).
Soluție:
Condiții de existență: {1+4𝑥≥0
1+𝑥≥0⇒{𝑥≥−1
4
𝑥≥−1, deci 𝑥∈[−1
4;+∞)
√1+4𝑥=1+𝑥
(√1+4𝑥)2=(1+𝑥)2
1+4𝑥=1+2𝑥+𝑥2
1+2𝑥+𝑥2−1−4𝑥=0
𝑥2−2𝑥=0

11
3. Ecuații de forma 𝒂𝒙+𝒃=𝟎, 𝒂≠𝟎, 𝒂,𝒃 ∈ℝ

Definiție: Fie 𝑃(𝑥) un polinom. Ecuația 𝑃(𝑥)=0 se numește ecuație algebrică , iar gradul
polinomului se numește gradul ecuației .
Definiție: Ecuația în ℝ de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎,𝑏 ∈ℝ,𝑎≠0 se numește ecuație de gradul
I cu o necunoscută , unde 𝑥 = necunoscuta, 𝑎,𝑏 = coeficienți.
Această formă a ecuaței se numește forma canonică .
Un număr real 𝑥0=𝛼∈ℝ se numește rădăcină sau soluție a unei ecuații de gradul I dacă
𝑎𝛼+𝑏=0, adică 𝛼 verifică ecuația.
Rezolvarea ecuației de gradul I cu o necunoscută :
• Cazul I: 𝑎≠0,𝑏≠0
𝑎𝑥+𝑏=0⇔𝑎𝑥=−𝑏⇔𝑥=−𝑏
𝑎⇒𝑆={−𝑏
𝑎}
• Cazul II: 𝑎=0,𝑏≠0
0⋅𝑥+𝑏=0⇔0⋅𝑥=−𝑏⇔𝑥=−𝑏
0 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙 ⇒𝑆=∅
• Cazul III: 𝑎=0,𝑏=0
0⋅𝑥+0=0⇔0⋅𝑥=0⇒𝑆=ℝ
Exemplul nr. 1:
Să se re zolve ecuația: √3𝑥+1=𝑥−5.
Soluție :
√3𝑥+1=𝑥−5
√3𝑥−𝑥=−5−1
(√3−1)𝑥=−6
𝑥=−6
√3−1
𝑥=−6(√3+1)
3−2
𝑥=−3(√3+1)⇒𝑆={−3(√3+1)}
Exemplul nr. 2:
Să se re zolve ecuația: 5(2𝑥+3)−6(𝑥+2)=2𝑥+7.
Soluție:
5(2𝑥+3)−6(𝑥+2)=2𝑥+7
10𝑥+15−6𝑥−12=2𝑥+7

12
10𝑥−6𝑥−2𝑥=7+12−15
2𝑥=4
𝑥=2⇒𝑆={2}
Exemplul nr. 3:
Să se rezolve ecuația: 𝑥+3
2−𝑥+1
4+5
12=−𝑥
4−2𝑥+5
6
Soluție:
𝑥+3
2−𝑥+1
4+5
12=−𝑥
4−2𝑥+5
6
12∙(𝑥+3
2−𝑥+1
4+5
12)=12∙(−𝑥
4−2𝑥+5
6)
6𝑥+18−3𝑥−3+5=−3𝑥−4𝑥−10
6𝑥−3𝑥+3𝑥+4𝑥=−10−18+3−5
10𝑥=−30
𝑥=−3⇒𝑆={−3}
Ecuațiile care pot fi aduse la forma: 𝑓1(𝑥)𝑓2(𝑥)…𝑓𝑛(𝑥)=0 se numesc ecuații produs .
Mulțimea soluțiilor unei ecuații produs de forma 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=0 este egală cu reuniunea mulțimilor
de soluții ale ecuațiilor 𝑓(𝑥)=0 și 𝑔(𝑥)=0.
Exemplul nr. 4:
Să se rezolve ecuația: (3𝑥−4)(𝑥+2)=0.
Soluție:
(3𝑥−4)(𝑥+2)=0
{3𝑥−4=0⇔3𝑥=4⇔𝑥=4
3⇒𝑆1={4
3}
𝑥+2=0⇔𝑥=−2⇒𝑆2={−2}
⇒𝑆=𝑆1∪𝑆2⇒𝑆={4
3; −2}
Exemplul nr. 5:
Să se rezolve ecuația: 𝑥3−𝑥2−4𝑥+4=0
Soluție:
𝑥3−𝑥2−4𝑥+4=0
𝑥2(𝑥−1)−4(𝑥−1)=0
(𝑥−1)(𝑥2−4)=0
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥+2)=0

13
{𝑥−1=0⇔𝑥=1⇒𝑆1={1}
𝑥−2=0⇔𝑥=2⇒𝑆2={2}
𝑥+2=0⇔𝑥=−2⇒𝑆3={−2}
⇒𝑆=𝑆1∪𝑆2∪𝑆3⇒𝑆={−2;1;2}
Dacă într -o ecuație necunoscuta apare la numitorul uneia sau mai multor fracții, atunci
ecuația se numește ecuație fracționară .
În anumite cazuri, aceste ecuații fracționare se pot adduce la forma unei ecuații de gradul
I și are următoarele etape de rezol vare:
1) Determinăm domeniul de definiție a ecuației, aplicând condițiile de existență ale fracțiilor
2) Aducem fracțiile la același numitor, numitorul comun fiind c.m.m.m.c. al numitorilor
fracțiilor care apar în ecuație.
3) Rezolvăm ecuația astfel obținută
4) Verifi căm dacă soluțiile găsite aparțin domeniului de definiție; mulțimea soluțiilor este
egala cu mulțimea soluțiilor care aparțin domeniului de definiție.
Exemplul nr. 6:
Să se rezolve ecuația: 1
𝑥−5+6=6−𝑥
𝑥−5.
Soluție:
Condiția de existență: 𝑥−5≠0⇒𝑥≠5⇒𝑥∈ℝ∖{5}
1
𝑥−5+6=6−𝑥
𝑥−5
(𝑥−5)(1
𝑥−5+6)=(𝑥−5)(6−𝑥
𝑥−5)
1+6(𝑥−5)=6−𝑥
1+6𝑥−30=6−𝑥
6𝑥+𝑥=6+30−1
7𝑥=35
𝑥=5
Dar 𝑥≠5⇒𝑆=∅
Se numește parametru într-o ecuație cu necunoscuta 𝑥 o literă ce reprezintă un număr
real, presupus cunoscut, dar a cărui valoare numerică nu este precizată . Aceștia se notează cu
𝑎,𝑏,…,𝑚,𝑛,….
Ecuația care conține unul sau mai mulți parametrii se numește ecuație parametrică sau
ecuație cu parametri .
O ecuație parametrică de gradul I are forma:

14
𝑎(𝑚,𝑛)𝑥+𝑏(𝑚,𝑛)=0,𝑚,𝑛 ∈ℝ
A rezolva o ecuație parametrică însemnă să exprimăm necunoscuta în funcție de
parametri și elementele numerice avute. Soluțiile ecuației depend de valorile parametrilo r, fiind
obligați să facem discuția ecuației în funcție de aceștia.
Exemplul nr. 7:
Să se determine valoarea parametrului 𝑚∈ℝ, dacă 1 este soluție a ecuației
2(𝑥−2)=𝑚(𝑥−3)
Soluție:
Înlocuim pe 𝑥 cu 1 în ecuația data:
2(1−2)=𝑚(1−3)
2∙(−1)=𝑚∙(−2)
−2=−2𝑚
𝑚=1
Exemplul nr. 8:
a) Să se rezolve și să se discute în ℝ ecuația: 𝑚(1−𝑥)=𝑚−𝑥.
Soluție:
𝑚(1−𝑥)=𝑚−𝑥
𝑚−𝑚𝑥=𝑚−𝑥
𝑥−𝑚𝑥=𝑚−𝑚
(1−𝑚)𝑥=0
Dacă 𝑚=1⇒0∙𝑥=0⇒𝑆=ℝ
Dacă 𝑚≠0⇒𝑥=0⇒𝑆={0}
b) Să se rezolve și să se discute în ℝ ecuația: 3𝑥+2=𝑚(2−3𝑥)
Soluție:
3𝑥+2=𝑚(2−3𝑥)
3𝑥+2=2𝑚−3𝑚𝑥
3𝑥+3𝑚𝑥=2𝑚−2
3(1+𝑚)𝑥=2(𝑚−1)
𝑥=2(𝑚−1)
3(1+𝑚)
Dacă 𝑚=−1⇒3⋅0⋅𝑥=2⋅(−2)⇒0⋅𝑥=−4⇒𝑆=∅
Dacă 𝑚≠−1⇒𝑥=2(𝑚−1)
3(1+𝑚)⇒𝑆={2(𝑚−1)
3(1+𝑚),𝑚∈ℝ∖{−1}}

15
Ecuațiile de gradul I cu o necunoscută ne conduc la o rezolvare imediată a unor probleme
care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, urmărind următoarele etape:
1) Alegem necunoscuta
2) Punem problema sub forma unei ecuații
3) Rezolvăm ecuația
4) Verificăm și analizăm rezltatul
5) Scriem soluția problemei
Exemplul nr. 9:
Un kilogram de banane costă c ât două kilograme de portocale. Un restaurant a cumpărat
30 kg de portocale și 45 kg de banan e, plătind 360 lei. Cât costă un kg de banane?
Soluție:
𝑥= prețul unui kg de potocale ⇒2𝑥= prețul unui kg de banane
30𝑥+45∙2𝑥=360
30𝑥+90𝑥=360
120𝑥=360
𝑥=360
120
𝑥=3 𝑙𝑒𝑖 (prețul unui kg de portocale)
2𝑥=2∙3=6 𝑙𝑒𝑖 (prețul unui kg de banane)
𝑆={6 𝑙𝑒𝑖}

16
4. Ecuații de forma 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎, 𝒂≠𝟎, 𝒂,𝒃,𝒄 ∈ℝ

Definiție: Ecuația în ℝ de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0 se numește
ecuație de gradul al II -lea cu o necunoscută , unde 𝑥 = necunoscuta, 𝑎,𝑏,𝑐 = coeficienți.
Ecuația este formată din: 𝑎𝑥2 = termenul pătratic, 𝑏𝑥 = termenul liniar și 𝑐 = termenul
liber.
Rezolvarea ecuației de gradul al II -lea 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0:
Cazul I: 𝑎,𝑏,𝑐≠0
– Calculăm discriminantul Δ (delta): Δ=𝑏2−4𝑎𝑐
– De semnul discriminantului Δ depinde numărul soluțiilor reale ale ecuației:
1) Δ<0⇒𝑆=∅ (ecuația nu admite rădăcini reale)
Exemplul nr. 1:
𝑥2+2𝑥+3=0
𝑎=1;𝑏=2;𝑐=3
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4∙1∙3
∆=−8<0⇒𝑆=∅

2) ∆=0⇒𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎⇒𝑆={−𝑏
2𝑎} (ecuația admite o rădăcină reală dublă)
Exemplul nr. 2:
𝑥2−8𝑥+16=0
𝑎=1;𝑏=−8;𝑐=16
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−8)2−4∙1∙16
∆=64−64=0⇒
𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎⇒𝑥1=𝑥2=−−8
2∙1⇒𝑥1=𝑥2=4⇒
𝑆={4}
3) ∆>0⇒{𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒𝑆={−𝑏±√∆
2𝑎} (ecuația admite două rădăcini reale distincte)
Exemplul nr. 3:
𝑥2−5𝑥+6=0
𝑎=1;𝑏=−5;𝑐=6
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−5)2−4∙1∙6

17
∆=25−24=1⇒√∆=1
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=−(−5)−1
2∙1=4
2=2
𝑥2=−(−5)+1
2∙1=6
2=3⇒{𝑥1=2
𝑥2=3⇒
𝑆={2;3}

Dacă 𝑏=2𝑏′⇒∆′=𝑏′2−𝑎𝑐≥0⇒𝑥1,2=−𝑏′±√∆′
𝑎 (formula de rezolvare pe
,,jumate’’)
Exemplul nr. 4:
3𝑥2+4𝑥−7=0
𝑎=3;𝑏=4⇒𝑏′=2;𝑐=−7
∆′=𝑏′2−𝑎𝑐=22−3∙(−7)
∆′=25⇒√∆′=5
{ 𝑥1=−𝑏′−√∆′
𝑎
𝑥2=−𝑏′+√∆′
𝑎⇒{𝑥1=−4−5
3=−9
3=−3
𝑥2=−4+5
3=1
3⇒{𝑥1=−3
𝑥2=1
3⇒
𝑆={−3; 1
3}

Cazul II: 𝑎,𝑐≠0,𝑏=0
𝑎𝑥2+𝑐=0⇔𝑥2−(−𝑐
𝑎)=0,𝑐𝑢−𝑐
𝑎>0
⇔(𝑥−√−𝑐
𝑎)(𝑥+√−𝑐
𝑎)=0⇒
{ 𝑥1=√−𝑐
𝑎
𝑥2=−√−𝑐
𝑎⇒
𝑆={√−𝑐
𝑎; −√−𝑐
𝑎}
Exemplul nr. 5:
64𝑥2−81=0
(8𝑥−9)(8𝑥+9)=0
{8𝑥−9=0
8𝑥+9=0⇒{8𝑥=9
8𝑥=−9

18
⇒{𝑥1=8
9
𝑥2=−8
9⇒
𝑆={8
9; −8
9}
Cazul III: 𝑎,𝑏≠0,𝑐=0
𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0⇔𝑥(𝑎𝑥+𝑏)=0
⇔{𝑥=0
𝑎𝑥+𝑏=0⇔{𝑥=0
𝑥=−𝑏
𝑎⇒𝑆={0,−𝑏
𝑎}
Exemplul nr. 6:
6𝑥2−15𝑥=0
𝑥(6𝑥−15)=0
{𝑥=0
6𝑥−15=0⇒{𝑥=0
𝑥=15
6=5
2⇒
𝑆={0; 5
2}
Teorem a 1: Fie în ℝ ecuația de gradul al II -lea 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0.
Atunci au loc următoarele realeții, numite relațiile lui Viète :
{𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎
Demonstrație:
∆≥0⇒
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒
𝑥1+𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎+−𝑏+√∆
2𝑎=−2𝑏
2𝑎=−𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎∙−𝑏+√∆
2𝑎=𝑏2−∆
4𝑎2=4𝑎𝑐
4𝑎=𝑐
𝑎
Exemplul nr. 7:
Fie ecuația 𝑥2−2𝑥+1=0. Să se calculeze valorile următoarelor expresii: 𝑥12+𝑥22; 𝑥13+
𝑥23.

Soluție:

19
𝑥2−2𝑥+1=0
𝑎=1;𝑏=−2;𝑐=1
{𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎=−−2
1=2
𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎=1
1=1
𝑥12+𝑥22=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=22−2∙1=4−2=2
𝑥13+𝑥23=(𝑥1+𝑥2)3−3𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)=23−3∙1∙2=8−6=2
Exemplul nr. 8:
Să se determine 𝑚∈ℝ astfel încât rădăcinile reale ale ecuației 𝑥2−2𝑥+𝑚=0 să
verifice realția: 𝑥12𝑥22=𝑥1+𝑥2+2.
Soluție:
𝑥2−2𝑥+𝑚=0
𝑎=1;𝑏=−2;𝑐=𝑚
{𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎=−−2
1=2
𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎=𝑚
1=𝑚
𝑥12𝑥22=𝑥1+𝑥2+2⇔𝑚2=2+2
𝑚2−4=0⇔(𝑚−2)(𝑚+2)=0
{𝑚−2=0
𝑚+2=0⇔{𝑚=2
𝑚=−2⇒
𝑆={−2;2}
Teorem a 2: Dacă cunoaștem două numere reale 𝑥1,𝑥2 care au suma 𝑥1+𝑥2=𝑠 și
produsul 𝑥1𝑥2=𝑝, atunci ele sunt soluțiile ecuației: 𝑥2−𝑠𝑥+𝑝=0.
Demonstrație: arătăm ca fiecare dintre numerele reale 𝑥1,𝑥2 verifică ecuația 𝑥2−𝑠𝑥+
𝑝=0.□
Exemplul nr. 9:
Fie ecuația 𝑥2−2𝑥−4=0 cu rădăcinile reale 𝑥1,𝑥2. Determinați o ecuație de gradul al
doilea în 𝑦, cu rădăcinile 𝑦1,𝑦2 care îndeplinesc condiția 𝑦1=𝑥1−1,𝑦2=𝑥2−1.
Soluție:
𝑥2−2𝑥−4=0
𝑎=1;𝑏=−2;𝑐=−4
{𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎=−−2
1=2
𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎=−4
1=−4

20
{𝑦1+𝑦2=𝑥1−1+𝑥2−1=𝑥1+𝑥2−2=2−2=0
𝑦1𝑦2=(𝑥1−1)(𝑥2−1)=𝑥1𝑥2−𝑥1−𝑥2+1=𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1=−4−2+1=−7
⇒{𝑠=0
𝑝=−7⇒
𝑦2−𝑠𝑦+𝑝=0⇔𝑦2−0∙𝑦+(−7)=0
⇔𝑦2−7=0

Teorem a 3: Descompunerea în factori liniari a trinomului 𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐=0,𝑎≠
0,𝑏2−4𝑎𝑐≥0 se face după formula:
𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐=𝑎(𝑋−𝑥1)(𝑋−𝑥2),
unde 𝑥1,𝑥2 sunt rădăcinile ecuației 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0.
Demonstrație :
𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐=𝑎(𝑋2+𝑏
𝑎𝑋+𝑐
𝑎)=
=𝑎[𝑋2−(𝑥1+𝑥2)𝑋+𝑥1𝑥2]=𝑎[(𝑋2−𝑥1𝑋)−(𝑥2𝑋−𝑥1𝑥2)]=
=𝑎[𝑋(𝑋−𝑥1)−𝑥2(𝑋−𝑥1)]=𝑎(𝑋−𝑥1)(𝑋−𝑥2)□
Exemplul nr. 10:
Descompuneți în factori expresiile: 𝑥2−7𝑥+12 și 2𝑥2+3𝑥+1.
Soluție:
𝑥2−7𝑥+12=0
𝑎=1;𝑏=−7;𝑐=12
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−7)2−4∙1∙12
∆=49−48=1⇒√∆=1
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=−(−7)−1
2∙1=6
2=3
𝑥2=−(−7)+1
2∙1=8
2=4⇒{𝑥1=3
𝑥2=4⇒
𝑥2−7𝑥+12=1∙(𝑥−3)(𝑥−4)=(𝑥−3)(𝑥−4)
2𝑥2+3𝑥+1=0
𝑎=2;𝑏=3;𝑐=1
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=32−4∙2∙1
∆=9−8=1⇒√∆=1

21
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=−3−1
2∙2=−4
4=−1
𝑥2=−3+1
2∙2=−2
4=−1
2⇒{𝑥1=−1
𝑥2=−1
2⇒
2𝑥2+3𝑥+1=2∙(𝑥+1)(𝑥+1
2)=(𝑥+1)(2𝑥+1)

Fie în ℝ ecuația de gradul al II -lea 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0.
Calculăm: Δ=𝑏2−4𝑎𝑐, 𝑠=𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎 și 𝑝=𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎. În funcție de semnele acestora,
putem stabili semnele rădăcinilor unei ecuații de gradul al II -lea cu o singură necunoscută, după
cum urmează:
1) ∆<0⇒ ecuația nu admite soluții reale
2) ∆=0⇒𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎⇒ ecuația admite două soluții reale egale
3) ∆>0:
• 𝑝>0,𝑠>0⇒𝑥1,𝑥2>0
• 𝑝>0,𝑠<0⇒𝑥1,𝑥2<0
• 𝑝<0,𝑠>0⇒𝑥1>0,𝑥2<0,𝑥1>|𝑥2|
• 𝑝<0,𝑠<0⇒𝑥1>0,𝑥2<0,𝑥1<|𝑥2|
• 𝑝=0,𝑠>0⇒𝑥1=0,𝑥2>0
• 𝑝=0,𝑠<0⇒𝑥1=0,𝑥2<0
• 𝑝<0,𝑠=0⇒𝑥1>0,𝑥2<0,𝑥1=|𝑥2|
Exemplul nr. 10:
Determinați natura și semnul rădăcinilor ecuației: 𝑥2+𝑥−𝑚=0.
Soluție:
𝑥2+𝑥−𝑚=0
𝑎=1;𝑏=1;𝑐=−𝑚
{ ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=1+4𝑚
𝑠=𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎=−1
𝑝=𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎=−𝑚
𝑚 ∆ 𝑠 𝑝 Natura și semnul rădăcinilor
𝑚∈(−∞; −1
4) − − + 𝑥1,𝑥2∉ℝ

22
𝑚=−1
4 0 − + 𝑥1,𝑥2∈ℝ
𝑥1=𝑥2
𝑥1<0; 𝑥2<0
𝑚∈(−1
4;0) + − + 𝑥1,𝑥2∈ℝ
𝑥1≠𝑥2
𝑥1<0; 𝑥2<0
𝑚=0 + − 0 𝑥1,𝑥2∈ℝ
𝑥1≠𝑥2
𝑥1=0; 𝑥2<0
𝑚∈(0; +∞) + − − 𝑥1,𝑥2∈ℝ
𝑥1≠𝑥2
𝑥1>0; 𝑥2<0 ; |𝑥1|<|𝑥2|

Teorem a 4: Fie în ℝ ecuațiile: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0 și 𝑎′𝑥2+𝑏′𝑥+
𝑐′=0,𝑎′,𝑏′,𝑐′ ∈ℝ,𝑎′≠0. Cele două ecuații au rădăcini egale dacă coeficienții lor sunt direct
proporționali, adică: 𝑎
𝑎′=𝑏
𝑏′=𝑐
𝑐′.
Teorem a 5: Fie în ℝ ecuațiile: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ,𝑎≠0 și 𝑎′𝑥2+𝑏′𝑥+
𝑐′=0,𝑎′,𝑏′,𝑐′ ∈ℝ,𝑎′≠0. Cele două ecuații au o r ădăcină comună dacă: (𝑎𝑐′−𝑎′𝑐)2=
(𝑎𝑏′−𝑎′𝑏)(𝑏𝑐′−𝑏′𝑐).

23
II. ECUAȚII ȘI INECUAȚII IRAȚIONALE

1. Tehnici de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Definiție: O ecuație în care necunoscuta figurează sub unul sau mai mulți radicali se numește
ecuație irațională .
Radicalii de ordin par care intră în structura unei ecuații sunt aritmetici. Aceștia sens sunt
definiți dacă expresiile de sub ei sunt nenegative. Radicalii din numere nenegative sunt numere
nenegative.
Radicalii de ordin impar sunt definiți pentru orice 𝑥 real pentru care expresia de sub ei are sens
iar semnul radicalului de ordin impar este și cu semnul numărului de sub radical.
A rezolva o ecuație irațională înseamnă a determina toate soluțiile. Etapele de rezolvare
a unei ecuații iraționale sunt:
1. Condiții de existență .
Dacă ecuația conține radicali de ordin par care au necunoscuta, atunci punem condiția ca
expresiile de sub radi cal să fie nenegative. În anumite cazuri, rezolvarea acestor condiții poate
stabili că ecuația nu are soluții. (𝑛∈ℕ∖{0})
a) √𝑓(𝑥)2𝑛 există dacă și numai dacă 𝑓(𝑥)≥0:
√𝑓(𝑥)2𝑛=0⇔𝑓(𝑥)=0
√𝑓(𝑥)2𝑛>0⇔𝑓(𝑥)>0
√𝑓(𝑥)2𝑛<0⇔𝑥∈∅
b) √𝑓(𝑥)2𝑛+1 există pentru orice valoare reală a lui 𝑓(𝑥) și ia o singură valoare
√𝑓(𝑥)2𝑛<0⇔𝑓(𝑥)<0
√𝑓(𝑥)2𝑛+1=0⇔𝑓(𝑥)=0
√𝑓(𝑥)2𝑛+1>0⇔𝑓(𝑥)>0
c) Funcțiile 𝑦=√𝑥2𝑛 și 𝑦=√𝑥2𝑛+1 sunt crescătoare pe 𝐷(𝑦), unde 𝐷(𝑦) sau 𝐷(𝑓), 𝑦=𝑓(𝑥),
sunt domeniile de definiție a funcției
2. Rezolvarea ecuației . Se utilizează două metode principale:
I. ridicăm ambii membri ai ecuației la puteri convenabile (date de ordinele radicalilor)
obținând în final o ecuație care nu conține necunoscuta sub radical , după ce am
izolat într-un membru un radical .

24
II. înmulțim cu o expresie conjugată sau efectuăm pentru ecuație substituții
convenabile.
3. Verificarea soluțiilor . Dacă ecuațiile obținute nu sunt echivalente se impune
verificarea acestora , ele trebuind să satisfacă atât condițiile de existență cât și să
verifice efectiv ecuația inițilă . Mulțimea soluțiilor ecuației obținute prin ridicare la
putere conține mulțimea soluțiilor ecuației date.
În cazul în care aplicăm prima me todă de rezolvare, trebuie să reținem:
a) dacă 𝑚 este impar, 𝑚∈ℕ∖{0}, atunci √𝑓(𝑥)𝑚=√𝑔(𝑥)𝑚⇔𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
b) dacă 𝑚 este par, 𝑚∈ℕ∖{0}, atunci 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔𝑓𝑚(𝑥)=𝑔𝑚(𝑥). În acest caz pot
să apară rădăcini stră ine.
Dacă folosim, în acest caz, formula (√𝑓(𝑥)𝑚)𝑚=𝑓(𝑥), 𝑚 par, domeniul de definiție al
ecuației inițiale se poate extinde, pentru că membrul stâng al ecuației există numai dacă 𝑓(𝑥)≥0,
iar membrul drept nu are nici o restricție. Din acest motiv, este nec esar să efectuăm verificarea
soluțiilor obținute.

Ecuațiile iraționale, cele mai des întâlnite, pot fi înlocuite echivalent cu un sistem de
ecuații și inecuații sau printr -o totalitate de ecuații și inecuații:

1) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏=𝒈(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)=𝒈𝟐𝒏(𝒙)
Exemplul nr. 1:
√2𝑥+1=5
Soluție:
CE: 2𝑥+1≥0⇔𝑥≥−1
2⇔𝑥∈[−1
2; +∞)
√2𝑥+1=5⇔(√2𝑥+1)2=52
2𝑥+1=25⇔2𝑥=24⇔𝑥=12∈[−1
2; +∞)
𝑆={12}
Exemplul nr. 2:
√𝑥+2−3=2𝑥
Soluție:
⇔√𝑥+2=2𝑥+3

25
CE: {𝑥+2≥0
2𝑥+3≥0⇔{𝑥≥−2
𝑥≥−3
2⇔{𝑥∈[−2;+∞)
𝑥∈[−3
2;+∞)∩⇒𝑥∈[−3
2;+∞)
√𝑥+2=2𝑥+3
(√𝑥+2)2=(2𝑥+3)2
𝑥+2=4𝑥2+12𝑥+9
4𝑥2+11𝑥+7=0
𝑎=4;𝑏=11;𝑐=7
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=112−4∙4∙7
∆=121−112=9⇒√∆=3
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=−11−3
2∙4=−14
8=−7
4
𝑥2=−11+3
2∙4=−8
8=−1⇒{𝑥1=−7
4∉[−3
2;+∞)
𝑥2=−1∈[−3
2;+∞)
𝑆={−1}

2) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏=√𝒈(𝒙)𝟐𝒏⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)
Exemplul nr. 3:
√𝑥+2=√2𝑥−5
Soluție:
CE: {𝑥+2≥0
2𝑥−5≥0⇔{𝑥≥−2
𝑥≥5
2⇔{𝑥∈[−2;+∞)
𝑥∈[5
2;+∞)∩⇒𝑥∈[5
2;+∞)
√𝑥+2=√2𝑥−5⇔𝑥+2=2𝑥−5
2𝑥−𝑥=2+5
𝑥=7∈[5
2;+∞)
𝑆={7}

3) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+𝟏=√𝒈(𝒙)𝟐𝒏+𝟏⇔𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)
Exemplul nr. 4:
√5𝑥−23=√3𝑥+83
Soluție:
5𝑥−2=3𝑥+8

26
5𝑥−3𝑥=8+2
2𝑥=10
𝑥=5
𝑆={5}

4) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
√𝒇(𝒙)𝟐𝒏+√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
Exemplul nr. 5:
√𝑥+1+√𝑥+6=5
Soluție:
CE: {𝑥+1≥0
𝑥+6≥0⇔{𝑥≥−1
𝑥≥−6⇔{𝑥∈[−1; +∞)
𝑥∈[−6; +∞)∩⇒𝑥∈[−1; +∞)
(√𝑥+1+√𝑥+6)2=52
𝑥+1+2√(𝑥+1)(𝑥+6)+𝑥+6=25
2√𝑥2+7𝑥+6=18−2𝑥
√𝑥2+7𝑥+6=9−𝑥
(√𝑥2+7𝑥+6)2
=(9−𝑥)2
𝑥2+7𝑥+6=81−18𝑥+𝑥2
25𝑥=75
𝑥=3∈[−1; +∞)
𝑆={3}
Exemplul nr. 6:
√8−𝑥−√9+5𝑥−√4−5𝑥+√5+𝑥=0
Soluție:
CE:
{ 8−𝑥≥0
9+5𝑥≥0
4−5𝑥≥0
5+𝑥≥0⇔
{ 𝑥≤8
𝑥≥−9
5
𝑥≤4
5
𝑥≥−5⇔
{ 𝑥∈(−∞;8]
𝑥∈[−9
5; +∞)
𝑥∈(−∞;4
5]
𝑥∈[−5; +∞)∩⇒𝑥∈[−9
5; 4
5]
√8−𝑥+√5+𝑥=√9+5𝑥+√4−5𝑥
(√8−𝑥+√5+𝑥)2=(√9+5𝑥+√4−5𝑥)2
8−𝑥+2√(8−𝑥)(5+𝑥)+5+𝑥=9+5𝑥+2√(9+5𝑥)(4−5𝑥)+4−5𝑥

27
2√40+3𝑥−𝑥2+13=2√36−25𝑥−25𝑥2+13
√40+3𝑥−𝑥2=√36−25𝑥−25𝑥2
40+3𝑥−𝑥2=36−25𝑥−25𝑥2
24𝑥2+28𝑥+4=0
6𝑥2+7𝑥+1=0
𝑎=6;𝑏=7;𝑐=1
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=72−4∙6∙1
∆=49−24=25⇒√∆=5
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=−7−5
2∙6=−12
12=−1
𝑥2=−7+5
2∙6=−2
12=−1
6⇒{𝑥1=−1∈[−9
5; 4
5]
𝑥2=−1
6∈[−9
5; 4
5]
𝑆={−1; −1
6}
Exemplul nr. 7:
√3𝑥2+5𝑥+8−√3𝑥2+5𝑥+1=1 (1)
Soluție:
CE: {3𝑥2+5𝑥+8≥0
3𝑥2+5𝑥+1≥0⇔{∆=−71<0
∆=13⇒𝑥1,2=−5±√13
6⇒𝑥∈(−∞; −5−√13
6]∪[−5+√13
6; +∞)
√3𝑥2+5𝑥+8−√3𝑥2+5𝑥+1=1 |⋅(√3𝑥2+5𝑥+8+√3𝑥2+5𝑥+1)
√3𝑥2+5𝑥+8+√3𝑥2+5𝑥+1=7 (2)
(1)+(2)⇒2√3𝑥2+5𝑥+8=8
√3𝑥2+5𝑥+8=4
(√3𝑥2+5𝑥+8)2
=42
3𝑥2+5𝑥+8=16
3𝑥2+5𝑥−8=0
𝑎=3;𝑏=5;𝑐=−8
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=52−4∙3∙(−8)
∆=25+96=121⇒√∆=11

28
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎
⇒{𝑥1=−5−11
2∙3=−16
6=−8
3
𝑥2=−5+11
2∙3=6
6=1
⇒
{ 𝑥1=−8
3∈(−∞; −5−√13
6]∪[−5+√13
6; +∞)
𝑥2=1∈(−∞; −5−√13
6]∪[−5+√13
6; +∞)

Ambele soluții verifică ecuația inițială, deci:
𝑆={−8
3;1}
Altă metodă:
Notăm 3𝑥2+5𝑥+1=𝑦,𝑦>0
√𝑦+7−√𝑦=1
(√𝑦+7−√𝑦)2=1
𝑦+7−2√𝑦(𝑦+7)+𝑦=1
2√𝑦2+7𝑦=2𝑦+6
√𝑦2+7𝑦=𝑦+3
(√𝑦2+7𝑦)2
=(𝑦+3)2
𝑦2+7𝑦=𝑦2+6𝑦+9
𝑦=9>0
3𝑥2+5𝑥+1=9⇔3𝑥2+5𝑥−8=0
𝑎=3;𝑏=5;𝑐=−8
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=52−4∙3∙(−8)
∆=25+96=121⇒√∆=11

29
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎
⇒{𝑥1=−5−11
2∙3=−16
6=−8
3
𝑥2=−5+11
2∙3=6
6=1
⇒
{ 𝑥1=−8
3∈(−∞; −5−√13
6]∪[−5+√13
6; +∞)
𝑥2=1∈(−∞; −5−√13
6]∪[−5+√13
6; +∞)
𝑆={−8
3;1}

5) 𝒇(𝒙)∙√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝟎⇔{𝒇(𝒙)=𝟎
𝒈(𝒙)>𝟎 𝒔𝒂𝒖 {𝒈(𝒙)=𝟎
𝒙∈𝑫(𝒇)

Exemplul nr. 7:
√(4−𝑥2)(𝑥2−49)⋅(𝑥+4)=0
Soluție:
CE: (4−𝑥2)(𝑥2−49)≥0⇔(𝑥2−4)(𝑥2−49)≤0
⇔(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−7)(𝑥+7)≤0
𝑥 −7 −2 2 7
𝑥−2 −−−−−−−−−−−−− 0 +++++++
𝑥+2 −−−−−−−− 0 ++++++++++++
𝑥−7 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 0 ++
𝑥+7 −− 0 ++++++++++++++++++
(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−7)(𝑥+7) +++0−−−−− 0++++ 0−−−− 0++
⇒𝑥∈[−7; −2]∪[2;7]
√(4−𝑥2)(𝑥2−49)⋅(𝑥+4)=0
{𝑥+4=0
(4−𝑥2)(𝑥2−49)=0
{𝑥+4=0
(2−𝑥)(2+𝑥)(𝑥−7)(𝑥+7)=0

30
{ 𝑥=−4∈[−7; −2]∪[2;7]
𝑥=2∈[−7; −2]∪[2;7]
𝑥=−2∈[−7; −2]∪[2;7]
𝑥=7∈[−7; −2]∪[2;7]
𝑥=−7∈[−7; −2]∪[2;7]
𝑆={−7; −4; −2;2;7}

6) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏∙√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
√𝒇(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
7) √−𝒇(𝒙)𝟐𝒏∙√−𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≤𝟎
𝒈(𝒙)≤𝟎
√𝒇(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
Exemplul nr. 8:
√𝑥⋅√𝑥+1=𝑥−1
Soluție:
CE: {𝑥≥0
𝑥+1≥0⇔{𝑥≥0
𝑥≥−1⇔{𝑥∈[0; +∞)
𝑥∈[−1; +∞)∩⇒𝑥∈[0; +∞)
√𝑥⋅√𝑥+1=𝑥−1
√𝑥∙(𝑥+1)=𝑥−1
(√𝑥∙(𝑥+1))2
=(𝑥−1)2
𝑥2+𝑥=𝑥2−2𝑥+1
3𝑥=1
𝑥=1
3∈[0; +∞)
𝑆={1
3}

8) √𝒇(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
√𝒇(𝒙)𝟐𝒏∙√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙) 𝒔𝒂𝒖 {𝒇(𝒙)≤𝟎
𝒈(𝒙)≤𝟎
√−𝒇(𝒙)𝟐𝒏∙√−𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)

Exemplul nr. 9:
√(2𝑥−5)(3𝑥+1)=0
Soluție:

31
CE: {2𝑥−5≥0
3𝑥+1≥0⇔{𝑥≥5
2
𝑥≥−1
3⇔{𝑥∈[5
2; +∞)
𝑥∈[−1
3; +∞)∩⇒𝑥∈[5
2; +∞)

√(2𝑥−5)(3𝑥+1)=0
√2𝑥−5∙√3𝑥+1=0
⇔{√2𝑥−5=0
√3𝑥+1=0⇔{2𝑥−5=0
3𝑥+1=0⇔{𝑥=5
2∈[5
2; +∞)
𝑥=−1
3∉[5
2; +∞)
𝑆={5
2}

9) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏
√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔
{ 𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)>𝟎
√𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
10) √−𝒇(𝒙)𝟐𝒏
√−𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔
{ 𝒇(𝒙)≤𝟎
𝒈(𝒙)<𝟎
√𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)

Exemplul nr. 10:
Soluție:
√2𝑥−3
√𝑥+1=1
CE: {2𝑥−3≥0
𝑥+1>0⇔{𝑥≥3
2
𝑥>−1⇔{𝑥∈[3
2; +∞)
𝑥∈(−1; +∞)∩⇒𝑥∈[3
2; +∞)
√2𝑥−3
√𝑥+1=1
√2𝑥−3
𝑥+1=1
(√2𝑥−3
𝑥+1)2
=1
2𝑥−3
𝑥+1=1

32
2𝑥−3=𝑥+1⇔𝑥=4∈[3
2; +∞)
𝑆={4}

11) √𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)>𝟎
√𝒇(𝒙)𝟐𝒏
√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙) 𝒔𝒂𝒖 {𝒇(𝒙)≤𝟎
𝒈(𝒙)<𝟎
√−𝒇(𝒙)𝟐𝒏
√−𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)

Exemplul nr. 11:
√𝑥2−4𝑥+4
𝑥2+2𝑥+1=2
Soluție:
CE: {𝑥2−4𝑥+4=(𝑥−2)2≥0,∀𝑥∈ℝ
𝑥2+2𝑥+1=(𝑥+1)2>0,∀𝑥∈ℝ∖{−1}⇒𝑥2−4𝑥+4
𝑥2+2𝑥+1≥0 ∀𝑥∈ℝ∖{−1}
√𝑥2−4𝑥+4
√𝑥2+2𝑥+1=2
√(𝑥−2)2
√(𝑥+1)2=2
|𝑥−2|
|𝑥+1|=2
2|𝑥+1|=|𝑥−2|
|𝑥+1|={−𝑥−1,𝑥<−1
𝑥+1, 𝑥>−1 și |𝑥−2|={−𝑥+2,𝑥<2
𝑥−2, 𝑥≥2
Cazul I: 𝑥<−1
2(−𝑥−1)=−𝑥+2⇔−2𝑥−2=−𝑥+2⇔𝑥=−4<−1⇒𝑆1={−4}
Cazul II: −1<𝑥<2
2(𝑥+1)=−𝑥+2⇔2𝑥+2=−𝑥+2⇔3𝑥=0⇔𝑥=0∈(−1;2)⇒𝑆2={0}
Cazul III: 𝑥≥2
2(𝑥+1)=𝑥−2⇔2𝑥+2=𝑥−2⇔𝑥=4>2⇒𝑆3={4}
𝑆=𝑆1∪𝑆2∪𝑆3={−4;0;4}
12) 𝒇(𝒙)∙√𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
√𝒇𝟐𝒏(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙) 𝒔𝒂𝒖 {𝒇(𝒙)<𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
−√𝒇𝟐𝒏(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟐𝒏=𝒉(𝒙)
Exemplul nr. 11:

33
(𝑥−1)√𝑥2−𝑥−6=6𝑥−6
Soluție:
CE: 𝑥2−𝑥−6≥0⇔𝑥∈(−∞; −2]∪[3; +∞)
(𝑥−1)√𝑥2−𝑥−6−6𝑥+6=0
(𝑥−1)√𝑥2−𝑥−6−6(𝑥−1)=0
(𝑥−1)(√𝑥2−𝑥−6−6)=0
{𝑥−1=0
√𝑥2−𝑥−6−6=0⇔{𝑥=1
√𝑥2−𝑥−6=6
√𝑥2−𝑥−6=6⇔𝑥2−𝑥−6=36⇔𝑥2−𝑥−42=0
𝑎=1;𝑏=−1;𝑐=−42
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−1)2−4∙1∙(−42)
∆=1+168=169⇒√∆=13
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒{𝑥1=1−13
2∙1=−12
2=−6
𝑥2=1+13
2∙1=14
2=7⇒{𝑥1=−6∈(−∞; −2]∪[3; +∞)
𝑥2=7∈(−∞; −2]∪[3; +∞)
𝑆={−6; 7}

13) √𝒇(𝒙)𝟑+√𝒈(𝒙)𝟑=𝒉(𝒙)⇔(√𝒇(𝒙)𝟑+√𝒈(𝒙)𝟑)𝟑=𝒉𝟑(𝒙)
⇔𝒇(𝒙)+𝒈(𝒙)+𝟑(√𝒇(𝒙)𝟑+√𝒈(𝒙)𝟑)√𝒇(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟑=𝒉𝟑(𝒙)
⇔𝒇(𝒙)+𝒈(𝒙)+𝟑𝒉(𝒙)√𝒇(𝒙)∙𝒈(𝒙)𝟑=𝒉𝟑(𝒙)
Ultima ecuație obținută nu este echivalentă cu cea inițială și de aceea soluțiile ei trebuie
verificate.
Exemplul nr. 12:
√2𝑥−13+√𝑥−13=1
Soluție:
(√2𝑥−13+√𝑥−13)3=13
2𝑥−1+𝑥−1+3(√2𝑥−13+√𝑥−13)√(2𝑥−1)(𝑥−1)3=1
3𝑥−2+3∙1∙√2𝑥2−3𝑥+13=1
3√2𝑥2−3𝑥+13=3−3𝑥
√2𝑥2−3𝑥+13=1−𝑥

34
(√2𝑥2−3𝑥+13)3
=(1−𝑥)3
2𝑥2−3𝑥+1=1−3𝑥+3𝑥2−𝑥3
𝑥3−𝑥2=0⇔𝑥2(𝑥−1)=0
{𝑥2=0
𝑥−1=0⇔{𝑥=0
𝑥=1
Realizând verificarea valorilor obținute în ecuația inițială, observăm că:
𝑆={1}
Exemplul nr. 1 3:
√7𝑥+13−√𝑥2−𝑥−83+√𝑥2−8𝑥−13=2.
Soluție:
Notăm 𝑎=√7𝑥+13,𝑏=−√𝑥2−𝑥−83,𝑐=√𝑥2−8𝑥−13.
Fie 𝑎+𝑏+𝑐=2 și
𝑎3+𝑏3+𝑐3=(7𝑥+1)−(𝑥2−𝑥−8)+(𝑥2−8𝑥−1)=8 ⇒
𝑎3+𝑏3+𝑐3=(𝑎+𝑏+𝑐)3, dar cum
(𝑎+𝑏+𝑐)3−(𝑎3+𝑏3+𝑐3)=3(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)⇒
𝑎+𝑏=0,𝑏+𝑐=0,𝑐+𝑎=0.
𝑎+𝑏=0⇔√7𝑥+1=3√𝑥2−𝑥−83⇔7𝑥+1=𝑥2−𝑥−8⇔
𝑥2−8𝑥−9=0⇔𝑥=−1 𝑠𝑎𝑢 𝑥=9.
𝑏+𝑐=0⇔√𝑥2−𝑥−8=3√𝑥2−8𝑥−13⇔𝑥2−𝑥−8=𝑥2−8𝑥−1⇔
7𝑥−7=0⇔𝑥=1.
𝑎+𝑐=0⇔√7𝑥+1=3−√𝑥2−8𝑥−13⇔7𝑥+1=−𝑥2+8𝑥+1⇔
𝑥2−𝑥=0⇔𝑥=0 𝑠𝑎𝑢 𝑥=1.
𝑆={0,9,±1}.

14) √𝒂−𝒇(𝒙)𝒏+√𝒃−𝒇(𝒙)𝒏=𝒈(𝒙)⇔{𝒖+𝒗=𝒈(𝒙)
𝒖𝒏+𝒗𝒏=𝒂+𝒃,𝒖𝒏𝒅𝒆 𝒖=√𝒂−𝒇(𝒙)𝒏 ș𝒊 𝒗=
√𝒃−𝒇(𝒙)𝒏

35
2. Tehnici de rezolvare a inecuțiilor iraționale

Definiție: O inecuație în care necunoscuta figurează sub unul sau mai mulți radicali se
numește inecuație irațională .
Rezolvarea unei inecuații iraționale presupune a -i determina toate soluțiile și acesta se
realizează prin parcurgerea celor trei etape: condițiile de existență, rezolvarea inecuației și
verificarea soluțiilor.
De asemenea, inecuațiile iraționale pot fi înlocuite cu un sisteme de inecuații echivalente. Cele
mai întâlnite t ipuri de inecuații sunt:

1) √𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)>𝟎
𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)<𝒈𝟐(𝒙)
Exemplul nr. 1:
√2𝑥−1<𝑥+2
Soluție:
CE: {𝑥+2>0
2𝑥−1≥0⇔{𝑥>−2
𝑥≥1
2⇔{𝑥∈(−2; +∞)
𝑥∈[1
2; +∞)∩⇒𝑥∈[1
2; +∞)
√2𝑥−1<𝑥+2
(√2𝑥−1)2<(𝑥+2)2
2𝑥−1<𝑥2+4𝑥+4
𝑥2+2𝑥+5>0
𝑎=1;𝑏=2;𝑐=5
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4∙1∙5
∆=4−20=−16<0⇒𝑥∈ℝ
𝑆=[1
2; +∞)

2) √𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)<𝟎
𝒇(𝒙)≥𝟎 𝒔𝒂𝒖 {𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)>𝒈𝟐(𝒙)
Exemplul nr. 2:
√𝑥2+𝑥−2≥2(𝑥+2)
Soluție:
CE: 𝑥2+𝑥−2≥0⇔(𝑥+2)(𝑥−1)≥0⇔𝑥∈(−∞; −2]∪[1; +∞)

36
Cazul I:
2(𝑥+2)<0⇔𝑥+2<0⇔𝑥<−2⇒𝑥∈(−∞; −2)

Cazul II:
{2(𝑥+2)≥0
𝑥2+𝑥−2≥4(𝑥+2)2⇔{𝑥+2≥0
3𝑥2+15𝑥+18≤0⇔{𝑥≥−2
𝑥2+5𝑥+6≤0
⇔{𝑥≥−2
(𝑥+2)(𝑥+3)≤0⇔{𝑥∈[−2; +∞)
𝑥∈[−3; −2]∩⇒𝑥=−2
𝑆=(−∞; −2)∪{−2}=(−∞; −2]

3) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏>√𝒈(𝒙)𝟐𝒏⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}
Exemplul nr. 3:
√𝑥+2>√8−𝑥2
Soluție:
8−𝑥2≥0⇔(2√2−𝑥)(2√2+𝑥)≥0⇔𝑥∈[−2√2;2√2]
𝑥+2>8−𝑥2⇔𝑥2+𝑥−6>0⇔(𝑥+3)(𝑥−2)>0⇔𝑥
∈(−∞; −3)∪(2; +∞)
∩⇒𝑆=(2; 2√2]

4) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏<√𝒈(𝒙)𝟐𝒏⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}
Exemplul nr. 4:
√𝑥2−3𝑥+2<√2𝑥−1
Soluție:
𝑥2−3𝑥+2≥0⇔(𝑥−1)(𝑥−2)≥0⇔𝑥∈(−∞; 1]∪[2; +∞)
𝑥2−3𝑥+2<2𝑥−1⇔𝑥2−5𝑥+3<0
𝑥2−5𝑥+3=0
𝑎=1;𝑏=−5;𝑐=3
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−5)2−4∙1∙3
∆=25−12=13⇒√∆=√13

37
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒
{ 𝑥1=5−√13
2
𝑥2=5+√13
2
⇒𝑥∈(5−√13
2; 5+√13
2)
∩⇒𝑆=(5−√13
2; 1]

5) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+𝟏<√𝒈(𝒙)𝟐𝒏+𝟏⇔𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}
6) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+𝟏>√𝒈(𝒙)𝟐𝒏+𝟏⇔𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}
Exemplul nr. 5:
√3
𝑥+1+7
𝑥+23
<√6
𝑥−13

Soluție:
CE: {𝑥+1≠0
𝑥+2≠0
𝑥−1≠0⇔{𝑥≠−1
𝑥≠−2
𝑥≠1⇒𝑥∈ℝ∖{−2; −1;1}
√3
𝑥+1+7
𝑥+23
<√6
𝑥−13

⇔3
𝑥+1+7
𝑥+2<6
𝑥−1
3
𝑥+1+7
𝑥+2−6
𝑥−1<0
3(𝑥+2)(𝑥−1)+7(𝑥+1)(𝑥−1)−6(𝑥+1)(𝑥+2)
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥−1)<0
3𝑥2+3𝑥−6+7𝑥2−7−6𝑥2−18𝑥−12
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥−1)<0
4𝑥2−15𝑥−25
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥−1)<0
(𝑥+5
4)(𝑥−5)
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥−1)<0

𝑥 −2 −5
4 −1 1 5

38
𝑥+5
4 −−−−−−−−0+++++++++++++++
𝑥−5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 0++
𝑥+1 −−−−−−−−−−−−−0+++++++++++
𝑥+2 −−−0+++++++++++++++++++++
𝑥−1 −−−−−−−−−−−−−−−−−0+++++++
(𝑥+5
4)(𝑥−5)
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥−1) −−−+⁄+++0−−−−+⁄+−⁄−−0++
⇒𝑥∈(−∞; −2)∪(−5
4; −1)∪(1;5)
∩⇒𝑆=(−∞; −2)∪(−5
4; −1)∪(1;5)

7) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+𝟏<𝒈(𝒙)⇔𝒇(𝒙)<𝒈𝟐𝒏+𝟏(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}
8) √𝒇(𝒙)𝟐𝒏+𝟏>𝒈(𝒙)⇔𝒇(𝒙)>𝒈𝟐𝒏+𝟏(𝒙),𝒏∈ℕ∖{𝟎}

Exemplul nr. 6:
√𝑥+23<𝑥−4
Soluție:
𝑥+2<(𝑥−4)3
𝑥+2<𝑥3−12𝑥2+48𝑥−64
𝑥3−12𝑥2+47𝑥−66>0
(𝑥−6)(𝑥2−6𝑥+11)>0
𝑥 6
𝑥−6 −−−−−−−−−− 0++++++++++++
𝑥2−6𝑥+11 +++++++++++++++++++++++
(𝑥−6)(𝑥2−6𝑥+11) −−−−−−−−−− 0++++++++++++
⇒𝑆=(6; +∞)

9) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)≤𝟎⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)≤𝟎𝒔𝒂𝒖{𝒈(𝒙)=𝟎
𝒇(𝒙)>𝟎
Exemplul nr. 7:
(𝑥+1)√𝑥+4≤0
Soluție:

39
Cazul I:
{𝑥+4≥0
𝑥+1≤0⇔{𝑥≥−4
𝑥≤−1∩⇒𝑥∈[−4; −1]
Cazul II:
𝑥+4=0⇔𝑥=−4
𝑥+1>0⇔𝑥>−1⇔𝑥∈(−1; +∞)
∩⇒𝑥∈∅
⇒𝑆=[−4; −1]

10) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)≥𝟎⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)≥𝟎𝒔𝒂𝒖{𝒈(𝒙)=𝟎
𝒇(𝒙)<𝟎
Exemplul nr. 8:
(𝑥+3)√6−𝑥
8−𝑥≥0
Soluție:
Cazul I:
6−𝑥
8−𝑥≥0
𝑥 6 8
6−𝑥 ++++++ 0−−−−−−−−−−−−−−−−−−
8−𝑥 ++++++++++++++++ 0−−−−−−−−
6−𝑥
8−𝑥 ++++++ 0−−−−−−−−−+⁄+++++++
⇒𝑥∈(−∞; 6]∪(8; +∞)
𝑥+3≥0⇔𝑥≥−3⇔𝑥∈[−3;+∞)
∩⇒𝑥∈[−3;6]∪(8; +∞)
Cazul II:
6−𝑥
8−𝑥=0⇔6−𝑥=0⇔𝑥=6
𝑥+3<0⇔𝑥<−3⇔𝑥∈(−∞; −3)
∩⇒𝑥∈∅
⇒𝑆=[−3;6]∪(8; +∞)

40
11) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)<𝟎⇔{𝒈(𝒙)>𝟎
𝒇(𝒙)<𝟎
Exemplul nr. 9:
√𝑥−2
𝑥−5<0
Soluție:
⇔1
𝑥−5√𝑥−2<0
𝑥−2>⇔𝑥>2⇔𝑥∈(2; +∞)
1
𝑥−5<0⇔𝑥−5<0⇔𝑥<5⇔𝑥∈(−∞;5)
∩⇒𝑆=(2;5)
12) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)>𝟎⇔{𝒈(𝒙)>𝟎
𝒇(𝒙)>𝟎
Exemplul nr. 10:
√𝑥2−1
𝑥+2>0
Soluție:
⇔1
𝑥+2√𝑥2−1>0
𝑥2−1>0⇔(𝑥−1)(𝑥+1)>0⇔𝑥∈(−∞; −1)∪(1; +∞)
1
𝑥+2>0⇔𝑥+2>0⇔𝑥>−2⇔𝑥∈(−2; +∞)
∩⇒𝑆=(−2; −1)∪(1; +∞)

13) √𝒇(𝒙)+√𝒈(𝒙)<𝒉(𝒙)⇔{𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
𝟐√𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)<𝒉𝟐(𝒙)−𝒇(𝒙)−𝒈(𝒙)
Exemplul nr. 1 1:
√2𝑥+1+√𝑥+1<1
Soluție:
CE: {2𝑥+1≥0
𝑥+1≥0⇔{𝑥≥−1
2
𝑥≥−1⇔{𝑥∈[−1
2; +∞)
𝑥∈[−1; +∞)∩⇒𝑥∈[−1
2; +∞)
√2𝑥+1+√𝑥+1<1
(√2𝑥+1+√𝑥+1)2<1

41
2𝑥+1+2√(2𝑥+1)(𝑥+1)+𝑥+1<1
2√2𝑥2+3𝑥+1<−3𝑥−1
4(2𝑥2+3𝑥+1)<9𝑥2+6𝑥+1
𝑥2−6𝑥−3>0
𝑥2−6𝑥−3=0
𝑎=1;𝑏=−6;𝑐=−3
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−6)2−4∙1∙(−3)
∆=36+12=48⇒√∆=4√3
{ 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎⇒
{ 𝑥1=6−4√3
2=3−2√3
𝑥2=6+4√3
2=3+2√3
⇒𝑥∈(−∞;3−2√3)∪(3+2√3; +∞)
∩⇒𝑆=[−1
2; 3−2√3)

14) √𝒇(𝒙)+√𝒈(𝒙)>𝒉(𝒙)⇔
{ 𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒉(𝒙)<𝟎 𝒔𝒂𝒖
{ 𝒇(𝒙)≥𝟎
𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒉(𝒙)≥𝟎
𝟐√𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)>𝒉𝟐(𝒙)−𝒇(𝒙)−𝒈(𝒙)
Exemplul nr. 12:
√2𝑥−1+√𝑥−8>2
Soluție:
CE: {2𝑥−1≥0
𝑥−8≥0⇔{𝑥≥1
2
𝑥≥8⇔{𝑥∈[1
2; +∞)
𝑥∈[8; +∞)∩⇒𝑥∈[8; +∞)
√2𝑥−1+√𝑥−8>2
(√2𝑥−1+√𝑥−8)2>22
2𝑥−1+2√(2𝑥−1)(𝑥−8)+𝑥−8>4
2√2𝑥2−17𝑥+8>13−3𝑥
4(2𝑥2−17𝑥+8)>169−78𝑥+9𝑥2
𝑥2+146𝑥+137<0
⇒𝑥∈(𝑥1; 𝑥2)
∩⇒𝑆=[8; +∞)

42

15) √𝒇(𝒙)−√𝒈(𝒙)>𝒉(𝒙)⇔√𝒇(𝒙)>𝒉(𝒙)+√𝒈(𝒙)≥𝟎
Exemplul nr. 13:
√𝑥−1+𝑥−3≥√2(𝑥−3)2+2𝑥−2
Soluție:
√𝑥−1+𝑥−3≥√2(𝑥−3)2+2(𝑥−1) (1)
CE: 𝑥−1≥0⇔𝑥≥1⇔𝑥∈1; +∞)
Utilizăm inegalitatea: 𝑎+𝑏≤√2(𝑎2+𝑏2)
Avem egalitate dacă 𝑎=𝑏
Dacă 𝑎=√𝑥−1 și 𝑏=𝑥−3, atunci
√𝑥−1+𝑥−3≤√2[(𝑥−3)2+2(𝑥−1)] (2)
Din (1) și (2) ⇒
√𝑥−1+𝑥−3=√2[(𝑥−3)2+2(𝑥−1)]
⇒√𝑥−1=𝑥−3
𝑥−1=𝑥2−6𝑥+9
𝑥2−7𝑥+10=0
(𝑥−2)(𝑥−5)=0⇔{𝑥−2=0
𝑥−5=0⇔{𝑥=2
𝑥=5
Verificând în ecuație valorile obținute,
⇒𝑆={5}

16) √𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)<𝒉(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)<𝟎
√𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙) 𝒔𝒂𝒖 {𝒈(𝒙)>𝟎
√𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙)
17) √𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)>𝒉(𝒙)⇔{𝒈(𝒙)<𝟎
√𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙) 𝒔𝒂𝒖 {𝒈(𝒙)>𝟎
√𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙)

Exemplul nr. 13:
√3−2𝑥
𝑥<1
Soluție:
CE: {3−2𝑥≥0⇔𝑥≤3
2
𝑥≠0⇒𝑥∈(−∞; 3
2]∖{0}

43
Cazul I:
𝑥<0⇒𝑥∈(−∞; 0)
√3−2𝑥>𝑥
3−2𝑥>𝑥2
𝑥2+2𝑥−3<0
(𝑥+3)(𝑥−1)<0⇒𝑥∈(−3;1)
∩⇒𝑆1=(−3;0)
Cazul II:
𝑥>0⇒𝑥∈(0; 3
2]
√3−2𝑥<𝑥
3−2𝑥<𝑥2
𝑥2+2𝑥−3>0
(𝑥+3)(𝑥−1)>0⇒𝑥∈(−∞;−3)∪(1; +∞)
∩⇒𝑆2=(1; 3
2]
𝑆=𝑆1∪𝑆2=(−3;0)∪(1; 3
2]

18) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)⋅√𝒉(𝒙)≤𝟎⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒉(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙)≤𝟎
19) 𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)⋅√𝒉(𝒙)≥𝟎⇔{𝒈(𝒙)≥𝟎
𝒉(𝒙)≥𝟎
𝒇(𝒙)⋅√𝒈(𝒙)⋅𝒉(𝒙)≥𝟎

Exemplul nr. 14:
(𝑥+2)∙√𝑥+5∙√𝑥+8≤0
Soluție:
CE: {𝑥+5≥0
𝑥+8≥0⇔{𝑥≥−5
𝑥≥−8⇒𝑥∈[−5; +∞)
(𝑥+2)∙√𝑥+5∙√𝑥+8≤0
⇔(𝑥+2)∙√(𝑥+5)(𝑥+8)≤0
Cazul I:

44
{𝑥+2≤0
(𝑥+5)(𝑥+8)≥0⇔{𝑥∈(−∞; −2]
𝑥∈(−∞; −8]∪[−5; +∞)∩⇒𝑥∈(−∞; −8]∪[−5; −2]
Cazul II:
{𝑥+2>0
(𝑥+5)(𝑥+8)=0⇔{𝑥>−2
𝑥∈{−8; −5}∩⇒𝑥∈∅
⇒𝑆=(−∞; −8]∪[−5; −2]

45
B. SEGMENT METODIC

I. PRINCIPII DIDACTICE

Principiile didactice sunt definite ca fiind „ norme sau teze generale care imprimă un sens
functional procesului de învățământ, asigurându -i astfel premisele necesare îndeplinirii în condiții
de eficiență a obiectivelor și sarcinilor pe care le urmărește î n desfășurarea sa ”.
Principiile exprimă relații fundamentale, generale, indispensabile, existente în cadrul
procesului de învățământ. V. Bunescu și M. Giurgea consider că „Principiile nu se identifică cu
legile, dar ele exprimă existența acestora, avâ nd rolul de a orienta și regla activitatea de organizare
și desfășurare a procesului de învățământ…”
Pedagogia românească evidențiază caracteristici și trăsături ale principiilor didactice și
identifică funcțiile pe care acestea le îndeplinesc.
În cotinua re vom prezenta caracterul general, sistemic, dinamic , procedural al principiilor
didactice:
a) Caracterul general vizează esența procesului de învățământ, toate disciplinele școlare,
indiferent de nivelul de școlarizare.
b) Caracterul sistemic rezultă di n conexiunea reciprocă a principiilor didactice, din
obligația respectării lor în ansamblu și în interdependență unele cu altele. Principiile didactice se
întrepătrund cu obiectivele, conținuturile, cu strategiile de predare – învățare – evaluare, cu
forme le de organizare a activității și trebuie considerate ca un tot unitar, întrucât încălcarea uneia
dintre ele implică anularea efectului pozitiv al celorlalte.
c) Caracterul dinamic al principiilor didactice are legătură cu evoluția societății, ca urmare
a dezvoltării obținute în domeniul pedagogic și psihologic precum și al redefinirii finalităților și
reorganizării conținuturilor educaționale, a ascensiunii modelelor de predare – învățare. Caracterul
„deschis” al principiilor didactice se concret izează în restructurarea sau multiplicarea lor, având
variații de la un autor la altul. De -a lungul timpului,principiile didactice s -au diferențiat în cerințe
noi, și -au schimbat modul de interpretare, apărând noi principii.
d) Caracterul normativ / proced ural. Normativitatea didactică îndeplinește o funcție
imperativă, indicând reguli care stimulează, orientează, reglează acțiunea, ghidând cum ar trebui
acționăm pentru a imprima eficiență pedagogică fiecărei acțiuni pe care o realizăm. Aceasta
înseamnă că normativitatea are o valoare procedural deoarece indrumă atât comportamentul
educatorului cât și pe cel al elevului, condiționând eficiența și nivelul performanțelor școlare.

46
Majoritatea autorilor tratează diferențiat principiile și regulile didactice. Reg ulile didactice
reprezintă indicații concrete în aplicarea principiilor didactice, deasemenea au aplicabilitate
limitată în etapel procesului învățare și predare ale disciplinei școlare.
În opinia unor autori (N. Oprescu, 1984; C. Cucoș, 1996) principiile didactice îndeplinesc
următoarele funcții:
• orientează parcursul educativ către obiectivele stabilite de instructorilor educaționali;
• normează practica educativă prin datoria de a fi respectate reguli psihologice, pedagogice și
științifice;
• prescrie, în raport cu situația de învățare, diferite moduri de relaționare specifice;
• reglează demersul didactic atunci când rezultatele obținute se situează sub nivelul așteptărilor.
În celebra sa lucrare Didactica Magna, Comenius, realizează o prezentar e clară,
sistematică a principiilor didactice. O parte din principiile didactice au fost fundamentate teoretic
și psihopedagogic în zilele noastre, prin aporturile cercetărilor psihopedagogice și al practicii
educaționale.
Principiile didactice se pot clas ifica pe baza mai multor criterii (N. Oprescu):
A. Principii cu caracter general -vizează toate componentele procesului de învățământ:
• principiul integrării teoriei cu practica;
• principiul luării în considerare a particularităților de vârstă și individual e ale elevilor.
Întrucât vizează deopotrivă toate formele educației, componentele procesului de
învățământ și disciplinele școlare considerăm că respectarea profilului psihologic de
vârstă și individual are caracter general.
B. Principii care „se impun cu dominanța” sunt: principiul sistematizării și continuității
învățării și principiul accesibilității cunoștințelor
C. Principii care acționează asupra metodologiei didactice și a formelor de organizare a
activităților
• principiul însușirii conștiente și ac tive;
• principiul intuiției sau principiul corelației dintre senzorial și rațional, dintre concret și
abstract în procesul predării – învățării;
• principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor.

47
1. Principiul integrării teoriei cu practica
Acest principiu exprimă cerința ca ceea ce se însușește în procesul de învățământ să fie
valorificat în activitățile ulterioare pentru realizarea unei utilități sociale și profesionale adecvat.
Din perspectivă curriculară, re formarea învățământului românesc impune depășirea vechii
paradigme educaționale centrată pe achiziționarea unui volum considerabil de date, de către elev,
de informații ce conduc la un verbalism excesiv, de „enciclopedism” ineficient în planul integrării
profesionale, sociale. In viziunea lui I. Nicola, aplicarea practică are misiunea „de a finaliza
procesul concretizării … ea exprimând exteriorizarea sau trecerea de la forma condensată și internă
a operațiilor intelectuale, la forma desfășurată și exterioa ră”. Reprezentanții psihologiei cognitive
și acționale au efectuat studii care au evidențiat rolul acțiunii în formarea și consolidarea
structurilor operatorii, a conceptelor, în dezvoltarea motivației și a temeiniciei celor asimilate.
Există două direcții principale evidențiate de teoria și practica educațională, relativ diferite,
dar complementare, prin care se integrează teoria cu practica în procesul de învățământ:
• în rezolvarea unor sarcini teoretice ulterioare, precum aplicarea regulilor, definițiilor ,
formulelor, algoritmilor în rezolvarea problemelor pot fi utilizate informații și date
asimilate; valorificarea acestor date pentru înțelegerea unor concept noi, aplicarea unor
reguli în contexte noi prin conexiuni intra – și interdisciplinare;
• prelungire a procesului de însușire a unor cunoștințe, deprinderi cu realizarea unor
activități concrete, materiale, motrice precum: construirea unor aparate, instrumente,
rezolvarea unor probleme sociale, lucrările de laborator, activitatea în ateliere.
Astfel se re alizează articularea dintre a ști cu a ști să faci și a știi să fii . Activitatea practică
este îndrumată de teorie prin principiile generale pe care le cuprinde. În asimilarea cunoștințelor,
practica poate constitui punct de plecare, facilitând formularea unor întrebări și dezvoltarea unei
motivații potrivite pentru găsirea răspunsurilor, soluțiilor.
Punerea în practică a teoriei cunoaște particularizări în funcție de dimensiunile educației,
de conținutul și specificul fiecărui obiect de învățământ, tip de lecție și se realizează prin:
rezolvarea unor exerciții și probleme, prin efectuarea de experiențe, exemplificări, lucrări în
laborator, atelier sau investigații în cadrul cercurilor aplicative.
Perceperea directă a fenomenelor realității este arătată de activitățile practice, totodată
acestea dezvoltând fondul de reprezentări și coerența acestora ajutând procesul înțelegerii, al
generalizării și sistematizării cunoștințelor memorate și sporind puterea operatorie a informațiilor
teoretice ce înl esnește transferul învățării. Activitățile practice contribuie la formarea și
consolidarea deprinderilor, la formarea capacităților și competențelor acționale, la dezvoltarea

48
motivației pentru învățare și activitatea productivă, la dezvoltarea aptitudinilo r generale și
speciale, la structurarea atitudinilor și a trăsăturilor pozitive caracteriale.

49
2. Principiul respectării particularităților de vârstă
Acest principiu exprimă necesitatea ca îndeplinirea procesului de învățământ să se
realizeze în armonie cu posibilitățile reale ale elevilor, cu potențialul intelectual, fizic, nivelul
pregătirii anterioare al acestora și să stimuleze dezvoltarea lor ontogenetică.
Pentru realizarea educației în conformitate cu natura psihică a copilului s -au preocupat
autori din toate timpurile, dar formularea ei explicită într -un „principiu” o regăsim mai întâi la
Comenius și Rousseau, fiind apoi dezvoltată și precizată prin contribuțiile unor autori precum
Pestalozzi, Usinski, J. Dewey, Ed. Claparéde, M. Montessori.
Problem a accesibilității a fost înțeleasă și aplicată unilateral și simplist, vreme îndelungată,
fiind dominată, în opinia lui Paul Popescu Neveanu, de un „inductivism excesiv”. Astfel, prin
accesibilitate se înțelegea, în general, stabilirea unei concordanțe înt re particularitățile specifice
vârstei și sarcinile de învățare, iar aplicarea acestui principiu însemna că orice segment de învățare
are la bază trecerea de la particular la general, de la simplu la complex, de la inferior la superior.
S-a demonstrat că d ezvoltarea psihică presupune trecerea la structuri cognitive superioare
prin implicarea elevului în activitate pe baza exersării și învățării. Asimilarea de noi informații,
date sau cunoștințe ce va conduce la o nouă acomodare se face prin intermediul stru cturilor de
cunoaștere de care dispune subiectul. Accesibilitate nu înseamnă scutirea elevului de efort sau
absența dificultăților, ci oferirea de sarcini cu grad de dificultate ce poate fi depășit prin antrenarea
potențialului intelectual al elevului și c u îndrumarea, monitorizarea furnizorului de educație. Se
vor formula sarcini de învățare la nivelul de dificultate maximum accesibilă pentru elev la un
moment dat, în vederea proiectării și organizării învățării. Există un decalaj care ia naștere î ntre
nivelul de dificultate al sarcinii și nivelurile atinse real în dezvoltarea posibilităților de rezolvare
ale copilului. Copilul, stimulat fiind de către profesor și susținut energetic de propria motivație,
răspunde sarcinilor, le rezolvă, reduce acest decalaj și restabilește echilibrul prin dezvoltarea și
perfecționarea proceselor și capacităților sale psihice. F ormularea cerințelor care depășesc
posibilitățile maxime solicitând un efort intelectual mare sau a altora care se situează sub aceste
posibilități de termină efecte negative și stagnare în dezvoltarea psihică.
Particularităților de vârstă și individuale ale elevilor trebuie respectate deoarece vizează
toate componentele procesului de învățământ: finalitățile, standardele de performanță,
metodologiile de predare – învățare. Tratarea individuală se poate realiza prin intermediul mai
multor procedee dupa cum ne ralatează I. Nicola, 1996:
• acțiuni individualizate desfășurate pe fondul activităților frontale, cu întreaga clasă de elevi;
astfel, tratarea individuală este subordonată celei frontale, în sensul că, profesorul, în anumite

50
momente poate avea în atenție un număr mai mic de elevi, în timp ce ceilalți realizează sarcinile
formulate anterior de către acesta;
• acțiuni individualizate insufla te și dictate în cadrul procesului de învățământ, dar care se
realizează în afara lui;
• activități pe grupe de nivel;
• activități în clase speciale, pentru elevi cu aptitudini deosebite sau pentru elevi cu cerințe
educaționale speciale.

51
3. Principiul sist ematizării și continuității
Acest principiu exprimă conținuturile transmise prin procesul de învățare să aibă o
continuare logică a cunoștințelor însușite anterior, asigurând o înaintare progresivă în învățare.
Din punct de vede re psihologic, sistematizare a și continuitatea se bazează pe principiul
transferului și pe realizarea unor conexiuni interdisciplinare și intradisciplinare. Cerințele acestui
principiu vizează atât activitatea cadrului didactic cât și pe cea a elevilor.
Sistematizarea înseamnă că înt reg conținutul proiectat și transmis elevilor este organizat
într-un sistem și asigură condițiile necesare pentru integrarea acestuia în sistemul achizițiilor
anterioare ale elevilor.
Continuitatea reprezintă o consecință firească a condițiilor sistematiză rii evidențiind
articularea logică a conținuturilor asimilate în diferite momente de timp.
Documentele școlare sunt cele care asigură această cerință prin activitatea didactică
propriu -zisă. Identificăm în planul -cadru respectarea acestui principiu la niv elul ciclurilor de
învățare și înșiruirea disciplinelor de învățământ în cadrul ariilor curriculare. la nivelul programei,
sistematizarea și continuitatea sunt realizeazate prin organizarea concentric, liniară și în spirală a
conținuturilor instruirii, re flectând însăși logica de construire a disciplinei respective. La nivelul
manualului școlar, sistematizarea și continuitatea se realizează prin gruparea tematică a lecțiilor și
articularea lecțiilor.
Respectarea acestui principiu are efecte formative, prin formarea deprinderilor de activitate
sistematică, a perseverenței și precizie în gândire și acțiune și la formarea treptată a unui stil
eficient de învățare.

52
4. Principiul corelației dintre senzorial și rațional, dintre concret și abstract sau
principi ul intuiției
Legătura și „alternanța” dintre concret și abstract, dintre senzorial și rațional s -a realizat în
cercerările contemporane în procesul cunoașterii. În acest fel psihologia a acreditat teza conform
căreia cunoașterea umană se realizează atât p rin simțuri cât și prin gândire. Comenius afirma că:
„Începutul cunoașterii trebuie întotdeauna să plece de la simțuri pentru că nimic nu se găsește în
intelectul nostru care să nu fi fost mai întâi în simțuri”. S -a crezut multă vreme că singura cale de
cunoaștere a adevărului este calea inductivă, de la concret la abstract, supraestimându -se astfel
intuiția în detrimentul operației de abstractizare. Autorii V. Bunescu și M. Giurgea afirmă: „…
intuiția a devenit cu timpul un scop în sine, materialul didact ic invadând lecția, fără să fie
selecționat după criterii cognitive și posibilități de activizare a elevilor în vederea prelucrării,
integrării și interiorizării percepțiilor” .
În psihologie conceptul de intuiție are înțelesul de cunoaștere nemijlocită, d irectă a
fenomenelor și obiectelor, prin intermediul analizatorilor. Percepțiile stau la baza formării
reprezentărilor care pregătesc și ușurează generalizările din gândire.
În procesul învățării cognitive, elevul pornește de la un material faptic și prin intermediul
operațiilor de abstractizare desprinde însușirile esențiale și generaleale anumitor obiecte,
fenomene, relații, însușiri, concepte. Trecerea de la senzorial la logi se produce prin formarea
progresivă a unor operații și sisteme operaționale ca rezultat al acțiunilor practice, obiectuale și
verbale.
Principiul intuiției ajuta elevii să treacă de la cunoașterea concretului, la formarea gândirii
lor abstracte. Intuiția îndeplinește mai multe funcții didactice în opinia autorului I. Nicola:
• este iz vor de informații, sub forma reprezentărilor, în vederea prelucrării, elaborării
generalizărilor și formării capacităților de a opera cu aceste concepte;
• funcția de concretizare a intuiției, în sensul că „un concept odată elaborat pe calea
abstractizării s au pe cale pur logică, urmează să fie aplicat din nou obiectelor și
fenomenelor reale, cazurilor particulare”.

Cele două funcții ale intuiției se realizează în funcție de domeniul educațional vizat, de
natura disciplinei de studiu, de ciclul de învățământ.
Eficiența respectării acestui principiu crește dacă profesorul acționează în concordanță cu
o serie de cerințe, cu folosirea rațională a materialului didactic, selectarea materialului, dozarea
raportului dintre cuvânt și intuiție, analiză, sint eză, comparație, verbalizare, dirijarea atentă a
observației elevilor.

53
5. Principiul participării active și conștiente a elevului în activitatea de predare,
învățare, evaluare
Procesului educațional devine eficient atunci cînd elevul este considerat subie ct al
propriului proces de formare, proces bazat pe participarea sa conștientă și activă.
Participarea conștientă la actul învățării presupune înțelegerea clară, profundă a
conținuturilor de învățat, evitându -se memorarea mecanică. Participarea conștientă presupune
prezența intenției și a efortului voluntar, implicate din momentul perceperii obiectelor,
fenomenelor exterioare până la nivelul realizării operativității generale intelectuale și a
operativității specifice.
Procesul de activare a elevului formul ează cerința ca asimilarea informațiilor, formarea
capacităților, a atitudinilor, competențelor să se bazeze pe activitatea proprie a elevilor, pe
angajarea optimă a gândirii și a inteligenței.
Respectarea acestui principiu în practica școlară depinde de c alitățile cadrului didactic, ce
folosește metode, procedee activ -participative, creează situații de învățare bazate pe autonomia
intelectuală și acțională a elevilor, stimulează imaginația și potențialul creator, gândirea critică dar
și gândirea divergent .

54
6. Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor
Condițiile importante pentru realizarea obiectivelor educaționale actuale necesită
aprofundarea cunoștințelor asimilate, trăinicia lor în timp, rapiditatea și fidelitatea cu care acestea
sunt reactualizate, folosirea eficientă a capacităților, priceperilor, deprinderilor în activitățile de
învățare și în cele practice.
Mult timp s -a considerat că procesul asimilării se reduce la o simplă înmagazinare de
cunoștințe. Potrivit noilor teorii, temeinicia cunoștințelor și a deprinderilor se asigură atât prin
integrarea progresivă a noilor achiziții în sisteme cognitive flexibile capabile de restructurări, cât
și prin abilitarea elevilor de a achiziționa, consolida și reactualiza cunoștințele în situații variate.
Rezultatelor cercetărilor din domeniul psihologiei privind procesele și formele memoriei,
modalitățile de optimizare a acesteia și de dezvoltare a calităților sale în activitatea de învățare
presupune respectarea acestui p rincipiu. Astfel, memorarea logică este superioară memorării
mecanice .
Respectarea legilor memoriei privind particularitățile materialului studiat , locul ocupat
de acest material în structura activității elevului, de ambianța în care se realizează învățar ea, de
starea psihică a subiectului asigură t răinicia celor asimilate și reactualizarea lor fidelă.
Repetarea realizată în diverse forme constitue o condiție esențială a învățării. S -a
demonstrat că repetiția eșalonată, repetiția realizată independent și activ, bazată pe aprofundarea
înțelesului și pe încercarea de reproducere cu cuvintele proprii elevului sunt mult mai eficiente,
facilitând transferul cunoștințelor și prevenirea interferențelor.
Evaluarea continuă a rezultatelor școlare constituie moment e de recapitulare a
cunoștințelor, de realizare a unor conexiuni intra – și interdisciplinare cât și de feedback pentru
asigurarea condițiilor psihopedagogice.

Principiile didactice alcătuiesc un tot unitar și trebuie respectate în practica educațională,
tactul pedagogic și creativitatea educatorului fiind determinante în imprimarea unui caracter
funcțional întregului proces de învățământ.

55
II. METODE DE ÎNVĂȚĂMÂNT

G. Pólya a comparat profesorul cu un negustor care trebuie să își vândă marfa utilizând toate
mijloacele posibile : “ Țineți minte că întotdeauna clientul are dreptate zn principiu, iar câteodată
are dreptate și în practică. Tânărul care refuză să învețe matematica poate să aibă dreptate; este
posibil ca el să nu fie nici leneș nici nepriceput cid oar să -l intereseze mai mult altceva – există
atât de multe lucruri interesante în jurul nostrum. Este datoria dumnevoastră ca profesori, de
vânzători de cunoștințe, să -l convingeți pe elev că matematica este interesantă, că problem ape
care o discutați acum este interesantă, că această problemă la care lucreză merită efortul”.
Apariția noilor programe, centrate pe achizițiile elevilor, impune anumite schimbări în
didactica matematică. Diversificarea metodelor de predare – învățare , a modurilor și formelor
de organizare, a situațiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează noul
curriculum. Asigurarea unor situații de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să poată
valorifica propriile abilități de învățare.
Prin metodă didactică (în limba greacă odos – cale și metha – spre) se înțelege o acțiune
proiectată conform unui program care anticipează o suită de operații ce trebuie îndeplinite în
vederea atingerii unui rezultat bine determinat.
Pentru o predare – învățare activ – participativă , profesorul trebuie să -și aleagă o varietate
de metode. Desigur, profesorul trebuie să cunoască funcțiile și importanța metodelor; să știe că
metodele se clasifică după criteriul organizării muncii, în baza surselor de informații, conform
tipului de activitate de învățare, că eficiența lecției depinde și de legătura dintre obiectivul propus
și metoda aleasă. Este foarte important ca metoda aleasă să ducă la motivația interioară și să
promoveze relați i democratice.
Metodele de învățământ îndeplinesc funcții multiple, de natură cognitivă, operațională,
normativă, motivațională și formativ -educativă. Astfel:
funcția cognitivă – de organizare, de dirijare a învățării, a cunoașterii în scopul însușirii de
noi cunoștințe;
funcția operațională/instrumentală – de intermediar între elev și disciplina de învățământ
studiată, între obiectivele de îndeplinit și performanțe;
funcția normativă – de a arăta ,,cum să predea profesorul” și ,,cum să învețe elevul" astfel
încât să se obțină cele mai bune rezultate;
funcția motivațională – de stimulare a interesului cognitiv, de susținere a procesului de
învățare;

56

funcția formativ -educativă – de exersare, de antrenare și dezvoltare a proceselor psihice și
motorii ale elevilor concomitent cu însușirea cunoștințelor și formarea priceperilor și
deprinderilor.
Profesorul, prin intermediul metodelor de învățământ conduce procesul de predare -învățare, îl
corectează și îl veghează continuu. Opțiunea profesorului pent ru o anumită metodă de învățământ
constituie o decizie de mare complexitate. Alegerea unei metode se face ținând cont de conținutul
procesului instructiv, de particularitățile de vârstă și de cele individuale ale elevilor, de natura
mijloacelor de învățămâ nt, de experiența și competența didactică ale profesorului.
Sistemul metodelor de învățământ conține:

În școala modernă, dimensiunea de bază în funcție de care sunt considerate metodele de
învățământ/metodele de predare -învățare este caracterul lor activ, adică măsura în care sunt
capabile să declanșeze angajarea elevilor la propria formare, să le stimuleze elevilor motivația
învățării.
Metodele de învățământ se pot clasifica în diverse moduri, având la bază anumite criterii
de clasifi care. După unii pedagogi, metodele sunt împărțite în metode tradiționale/ vechi și metode
moderne/noi, în metode informative și metode formative, în metode pasive/ neparticipative și
metode active/ participative. A)Metode de predare -asimilare sau metode de instruire
Metode
tradiționaleMetode
moderneMetode de ultimă
generație
B)Metode de evaluare
Metode de verificare
-tradiționale -moderneMetode de apreciere
-apreciere verbală -apreciere prin notă

57
Clasificarea metodelor didactice este încă o problemă controversată, atât în legătură cu
stabilirea criteriilor clasificării, cât și în raport cu apartenența metodelor la anumite clase, și astfel
problematica taxonomiei rămâne încă deschisă.
După İ. Cerghit, cel mai reprezentativ criteriul pentru clasificarea metodelor de învățământ
este ,,principalul izvor al învățării”, care poate consta: 1) fie din ,,experiența de cunoaștere a
umanității”, 2) fie din ,, experiența individuală directă sau indirectă, perceptivă, dedusă din
contactul cu lumea obiec telor și fenomenelor”, 3) fie din experiența practică, individuală sau
colectivă. Astfel, pe baza celor trei surse ale criteriului, au fost delimitate patru tipuri de metode
de predare -învățare, iar în interiorul lor menționează un număr impresionant de metode.
Clasificarea metodelor didactice după diferite criterii:
A) după criteriul istoric
-metode tradiționale (clasice): expunerea didactică, conversația euristică, exercițiul
-metode moderne : studiul de caz, problematizarea, modelarea
-metode de ultimă ge nerațiesau ale ,,ultimului val” – metode interactive, de cooperare,
participative de grup: asaltul de idei ( brainstorming ), cubul, mozaicul, acvariul, ciorchinele,
metoda SİNELG, Știu/Vreau să știu/Am învățat, diagrama Venn, metoda piramidei, floare de
lotus, copacul cu erori, metoda pălăriilor gânditoare, etc.
B) după funcția didactică prioritară pe care o îndeplinesc:
-metode de predare -învățare propriu -zise:
a) metode de transmitere și dobândire a cunoștințelor: expunerea, problematizarea
b) metode de formare a p riceperilor și deprinderilor: exercițiul, experimentul, lucrări practice
-metode de evaluare
C) după modul de organizare a activității elevilor:
-metode frontale : expunerea, demonstrația
-metode de activitate individuală : lectura, lucrul cu manualul
-metode de activitate în grup : studiul de caz, jocurile de rol
-metode combinate : experimentul
D) după gradul de participare a elevului la propria instruire:
-metode expozitive: expunerea didactică
-metode active: conversația euristică, problematizarea, exercițiul, algoritmizarea
E) după mijlocul de vehiculare a conținuturilor de la sursă la elev:
-metode verbale : expunerea didactică, conversația, lucrul cu manualul, problematizarea
-metode intuitive : demonstrația, observația, modelarea
F) după tipul de strategie didactică în care sunt integrate

58
-metode algoritmice : exercițiul, demonstrația, algoritmizarea
-metode euristice : problematizarea
G) după sursa cunoașterii (criteriul ,,principalul izvor al învățării”) :

I. Metode de comunicare și dobândire a valorilor socio -culturale:
a) Metode expozitive:
✓ expunerea didactică – povestirea, descrierea, explicația, prelegerea
b) Metode interactive -interogative, conversative, dialogate
▪ conversația euristică, problematizarea, asaltul de idei ( brainstorming ), metoda mozaic,
metoda Philips 6 -6, metoda acvariului
II. Metode de explorare organizată a realității
a) Metode de explorare directă (nemijlocită):
 experimentul, observația, studiul de caz
b) Metode de explorare indirectă (mijlocită):
➢ demonstrația , modelarea
III. Metode bazate pe acțiune
a) Metode de acțiune efectivă:
❖ exerciții și probleme, lucrări practice
b) Metode de acțiune simulată:
♣ jocurile didactice, jocurile de rol
IV. Metode de raționalizare a conținuturilor și operațiilor de predare -învățare :
 algoritmizarea, instruirea programată, instruirea asistată de calculator, învățarea
electronică (e -learning).
Unele metode de învățământ vizează mai ales activitatea profesorului – expunerea didactică,
conversația euristică, algoritmizarea, iar alte metode vizează mai mult activitatea elevului –
exercițiul, descoperirea dirijată, problematizarea, experimentul de laborator. În cadrul fiecărei
metode, elevul se poate afla, în proporții variabile, în postura de receptor sau de in vestigator.
Conversația euristică (socratică ) este o formă de conversație bazată pe învățarea
conștientă, folosind dialogul ca proces de descoperire, de creație, de naștere a cunoștințelor.
Dezbaterea (discuția) valorifică procedeul întrebărilor orientate spre un schimb organizat
de informații semnificative pentru soluționarea unor probleme, dezvoltarea unor capacități de
stăpânire a materiei.

59
Brainstorming -ul (asaltul de idei) elaborează în cadrul unui anumit grup, în mod spontan
și în flux continuu, anum ite idei, modele, soluții noi, originale, necesare rezolvării unor probleme
sau teme.
Etapele brainstorming -ului:
a) anunțarea temei;
b) elaborarea soluțiilor;
c) încheierea ședinței de asalt;
d) evaluarea datelor și stabilirea concluziilor.
Regulile brain storming -ului:
1. Aprecierile critice sunt interzise.
2. Imaginația este absolut liberă. Fiecare poate spune prima idee venită în minte.
3. Se cere mai multă cantitate decât calitate .
4. Se încurajează ideile cele mai neobișnuite.
Sinectica este o modalit ate de creație în cadrul grupului, ca urmare a unor combinații și
analogii eterogene, uneori chiar fără o legătură evidentă între datele problemei de rezolvat.
Sinectica se aseamănă în anumite privințe cu brainstorming -ul în ceea ce privește desfășurarea
ședinței de creație, interpretarea și stabilirea concluziilor, dar se permite evaluarea critică în timpul
elaborării ideilor, soluțiilor, fără a limita inițiativa în creație.
Problematizarea urmărește realizarea obiectivelor propuse prin lansarea și rezolv area
unor situații – problemă. Elementele obligatorii ale situațiilor -problemă sunt: experiența trecută
(datele cunoscute) și noutatea (datele necunoscute). Tensiunea dintre aceste două elemente
imprimă gândirii elevului un sens explorator.
Etapele problem atizării:
1. Momentul inițial (crearea tipului de problematizare).
2.A) Momentul tensional (evidențierea contradicției dintre cunoscut și necunoscut). Se
cunosc trei tipuri de contradicții care pot conduce la crearea situațiilor de problemă:
– contradicții dintre cunoștințele științifice și cele obținute din viața de toate zilele ;
– contradicții dintre cunoștințele noi și cele obținute anterior.
– contradicțiile realității obiective.
2.B) Elaborarea variantelor de soluționare a contradicțiilor.
3. Momentul rezolutiv (alegerea soluției optime).
Modelarea reprezintă modalitatea de studiu al unor obiecte, fenomene, procese, etc. prin
intermediul unor copii materiale și ideale ale acestora, denumite modele, capabile să re producă
caracteristicile esențiale ale realității studiate sau să ofere informații despre aceasta.

60
Algoritmizarea este modalitatea de a studia un fenomen, obiect sau proces prin
intermediul unor prescripții, denumite algoritmi.
Studiul de caz (metoda cazu lui) este modalitatea de a analiza o situație care există sau
poate să apară într -o acțiune, într -un fenomen sau sistem, denumită caz, în vederea studierii lui,
asigurând luarea unei decizii optime în domeniul respectiv.
Jocul didactic – este metoda prin care informațiile, cunoștințele, deprinderile se însușesc
prin simulare într -un joc. În acest caz, jocul este folosit ca pretext pentru a face învățarea mai
antrenantă, mai plăcută și este utilizat mai mult în sfera învățământului preșcolar și primar, ma i
puțin în învățământul liceal. Jocul didactic interdisciplinar este o activitate în care se îmbină sarcini
didactice din domenii de cunoaștere diverse, într -o structură unitară, axată pe învățare.
Instruirea programată organizează acțiunea didactică, apl icând principiile ciberneticii la
nivelul activității de predare -învățare -evaluare.
Instruirea asistată pe calculator valorifică principiile de modelare și de analiză
cibernetică ale activității de instruire, în contextul noilor tehnologii informaționale. în ultima
vreme, pe piață au apărut unele resurse didactice programate, care pot fi folosite la diferite etape
ale lecțiilor .
Selectarea metodelor didactice în funcție de obiective

Obiective de conținut Tipuri de acțiuni/ verbe realizate
de elev Metode didactice adecvate
Învățarea conceptelor ✓ a defini,
✓ a distinge,
✓ a asimila,
✓ a recunoaște. ✓ lectura,
✓ observația,
✓ expunerea,
✓ instruirea programată.
Învățarea regulilor ✓ a sintetiza,
✓ a deduce,
✓ a formula,
✓ a modifica,
✓ a demonstra,
✓ a defini,
✓ a clasifica. ✓ convorbirea euristică,
dezbaterea,
✓ studiul de caz,
✓ exercițiul.
Formarea de
deprinderi ✓ a exersa,
✓ a executa, ✓ exercițiul,

61
✓ a efectua,
✓ a rezolva,
✓ a construi. ✓ experimentul de laborator,
exerciții aplicative,
✓ elaborarea de proiecte,
✓ lucrări practice.

Eficiența lecției va depinde nu numai de modul de interacțiune complexă a componentelor
ei, ci și de felul cum este integrată ea în procesul de învățământ, ca sistem de funcționalitate, pentru
că în lecție se obiectivează elementele acestuia (obiective, resurse, conținut, strategii și evaluarea
rezultatelor).
În esență, fiecare lecție trebuie orientată spre atingerea unor anumite finalități (scop și
obiective concrete), realizată printr -un anumit conținut, pus în valoare de profesor ș i elevi, folosind
strategii optime (combinații de metode, tehnici, mijloace de învățământ).

Metode și tehnici interactive de grup
În condițiile în care azi societatea se confruntă cu o explozie de informații din orice
domeniu de activitate, sistemul educ ațional are un rol extrem de dificil: acela de a forma
personalități care să știe să aleagă corect informația și să extragă esențialul din general.
Școala de astăzi trebuie să știe cum să motiveze pe elev să învețe și cum să faciliteze
procesul învățării, organizând și dezvoltând strategii de lucru interactive, punând accentul pe
utilitatea cunoștințelor și pe necesitatea însușirii lor pentru a se descurca în viață. Rolul
profesorului de astăzi este nu de a îndopa elevii cu diverse cunoștințe, ci de a le arăta ce au de făcut
cu acestea.
Astăzi școala promovează învățarea prin cooperare ca formă superioară de interacțiune
psihosocială, bazată pe sprijin reciproc, pe toleranță, pe efort susținut din partea tuturor, îndreptat
către același scop. Motivația este rezultatul acțiunii conjugate a tuturor membrilor ce urmăresc un
destin comun. Atenția este îndreptată asupra procesului de elaborare împreună, prin colaborare, a
demersurilor de realizare a sarcinii. Evaluarea urmărește acordarea ajutorului i mediat, având mai
mult o funcție corectivă, ameliorativă, ducând la reducerea stresului. Ea se realizează prin
raportarea la progresul individului și are în vedere atât participarea fiecărui membru la procesul
elaborării în comun cât și rezultatele echipei .
Activitățile propuse elevilor în scopul sporirii gradului de implicare activă și creativă în
școală, trebuie să asigure: stimularea gândirii productive, a gândirii critice, a gândirii divergente
și laterale, libertatea de exprimare a cunoștințelor, a g ândurilor, a faptelor. În acest sens apar ca
adecvate activitățile care cer spontaneitate și contribuie la dezvoltarea independenței în gândire și

62
acțiune. Utilizarea talentelor și a capacităților specifice fiecărui individ în parte, incitarea
interesului către nou și oferirea satisfacției găsirii soluției după depunerea unui efort de căutare,
dezvoltarea capacității de organizare prin întocmirea de portofolii asupra activității proprii, sunt
coordonate majore ale învățării prin cooperare.
Aceste metode interactive de grup se pot clasifica după funcția lor didactică în:

Metode de predare -învățare interactivă
▪ metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);
▪ metoda Jigsaw (Mozaicul);
▪ metoda învățării pe grupe mici – STAD (Student Teams Achievement Division);
▪ metoda turnirurilor între echipe – TGT (Teams/Games/Tournaments);
▪ metoda schimbării perechii (Share -Pair Circles);
▪ metoda piramidei (a bulgărelui de zăpadă).
Prin metoda predării/învățării reciproce elevii s unt puși în situația de a fi ei înșiși
profesori și de a explica colegilor rezolvarea unei probleme. Astfel copiii sunt împărțiți pe grupe
de câte patru, în care fiecare are un rol bine definit: unul este rezumător (cel care face un scurt
rezumat al textul ui citit), unul este întrebătorul grupului(cel care pune întrebări clarificatoare),
altul este clarificatorul (el trebuie să aibă o viziune de ansamblu și să încerce să răspundă
întrebărilor grupului), iar cel de -al patrulea copil este prezicătorul (cel ca re își va imagina, în
colaborare însă cu ceilalți care va fi cursul evenimentelor). Elevii aceleiași grupe vor colabora în
înțelegerea problemelor și rezolvarea sarcinilor de lucru, urmând ca frontal să se concluzioneze
soluțiile. Grupele pot avea probleme diferite pe aceeași temă, sau pot avea probleme diferite. Ei
pot lucra pe fișe diferite, urmând ca în completarea lor să existe o strânsă colaborare, sau pot lucra
pe o singură fișă, pe care fiecare să aibă o sarcină precisă. Avantajele acestei metode de lucru sunt
indiscutabile: stimulează și motivează, ajută elevii în învățarea metodelor și tehnicilor de lucru,
tehnici de muncă intelectuală pe care le poate folosi apoi și în mod independent, dezvoltă
capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operaț iile ei și capacitatea de ascultare activă,
stimulează capacitatea de concentrare asupra textului problemei.
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic ) sau “metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (teamlea rning). Fiecare elev are o
sarcină de studiu în care trebuie să devină expert . El are în același timp și responsabilitatea
transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi. Metoda presupune o pregătire temeinică a
materialului dat spre studiu elevil or. Educatorul propune o temă de studiu pe care o împarte în
patru sub -teme. Pentru fiecare temă în parte educatorul trebuie să dea un titlul, sau pentru fiecare

63
să pună o întrebare. Fiecare membru al grupei va primi ca obiect de studiu materiale necesare
fiecărei sub -teme, pentru care va alcătui și o schemă. La sfârșit elevii își comunică ce au învățat
despre sub -tema respectivă. Aranjarea în clasă a grupurilor trebuie însă să fie cât mai aerisită, astfel
încât grupurile să nu se deranjeze între ele. Obie ctul de studiu poate constitui și o temă pentru
acasă, urmând ca în momentul constituirii mozaicului fiecare “expert” să -și aducă propria
contribuție.
Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă are la bază împletirea activității
individuale cu cea de sfășurată în mod cooperativ, în cadrul grupurilor. Ea constă în încorporarea
activității fiecărui membru al colectivului într -un demers colectiv mai amplu, menit să ducă la
soluționarea unei sarcini sau a unei probleme date. Această metodă are mai multe fa ze: faza
introductivă – profesorul enunță problema, faza lucrului individual – fiecare elev lucrează
individual timp de 5 minute la soluționarea problemei, faza lucrului în perechi – elevii se consultă
cu colegul de bancă, sunt notate toate soluțiile apăru te, faza reuniunii în grupuri mai mari –
elevii de consultă asupra soluțiilor în grupuri alcătuite dintr -un număr egal de perechi, faza
raportării soluțiilor în colectiv și faza decizională . Ca și celelalte metode care se bazează pe
lucrul în perechi și în colectiv, metoda piramidei are avantajele stimulării învățării prin cooperare,
al sporirii încrederii în forțele proprii prin testarea ideilor emise individual, mai întâi în grupuri
mici și apoi în colectiv. Dezavantajele înregistrate sunt de ordin evaluativ, deoarece se poate stabili
mai greu care și cât de însemnată a fost contribuția fiecărui participant.

Metodele de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare
▪ harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive map, Conceptual map);
▪ fishbone maps (scheletul de pește);
▪ pânza de păianjăn (Spider map –Webs);
▪ tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
▪ metoda R.A.I.

Metodele de rezolvare de probleme prin stimularea creativității
Cele mai cunoscute și mai folosite metode sunt cele de rezolvare de probleme prin
stimularea creativității
▪ brainstorming;
▪ starbursting (Explozia stelară);
▪ metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);
▪ patru colțuri (Four corners);

64
Brainstorming -ul este o metodă interactivă de dezvoltare de idei noi ce rezultă din
discuțiile purtate între mai mulți participanți, în cadrul căreia fiecare vine cu o mulțime de sugestii.
Rezultatul acestor discuții se soldează cu alegerea celei mai bune soluții de rezolv are a situației
dezbătute. Calea de obținere a acestor soluții este aceea a stimulării creativității în cadrul grupului,
într-o atmosferă lipsită de critică, fără inhibiții, rezultat al amânării momentului evaluării. Specific
acestei metode este și faptul că ea cuprinde două momente: unul de producere a ideilor și apoi
momentul evaluării acestora.
Starbursting (eng.“star”=stea și ”burst”=a exploda), este o metodă nouă de dezvoltare a
creativității, similară brainstormingului . Scopul metodei este de a obțin e cât mai multe întrebări
și astfel cât mai multe conexiuni între concepte. Este o modalitate de stimulare a creativității
individuale și de grup. Organizată în grup, starbursting facilitează participarea întregului colectiv,
stimulează crearea de întrebă ri la întrebări, așa cum brainstormingul dezvoltă construcția de idei
pe idei. Modul de procedare este simplu. Se scrie problema a cărei soluție trebuie “descoperită”
pe o foaie, apoi se înșiră cât mai multe întrebări care au legătură cu ea. Un bun punct d e plecare îl
constituie cele de tipul „Ce?, Când?, Cum?, De ce?” – unele întrebări ducând la altele din ce în ce
mai complexe care necesită o concentrare tot mai mare.
Este foarte important să educă imaginația copiilor pentru că a fi un om imaginative
înseamnă să te poți adapta în situații diverse. O metodă didactică de educare a imaginației copilului
este “metoda pălăriilor gânditoare” . Aceasta este o tehnică interactivă, de stimulare a
creativității participanților care se baze ază pe interpretarea de roluri în funcție de pălăria aleasă.
Sunt 6 pălării gânditoare , fiecare având câte o culoare: alb, roșu, galben, verde, albastru și negru.
Membrii grupului își aleg pălăriile și vor interpreta astfel rolul precis, așa cum consideră mai bine.
Rolurile se pot inversa, participanții sunt liberi să spună ce gândesc, dar să fie în acord cu rolul pe
care îl joacă. Culoarea pălăriei este cea care definește rolul: pălăria albă este neutră, participanții
sunt învățați să gândească obiectiv, p ălăria roșie dă frâu liber sentimentelor, oferă o perspectivă
emoțională asupra evenimentelor. Pălăria neagră este perspective gândirii negativiste, pesimiste,
pălăria galbenă este simbolul gândirii pozitive și constructive, al optimismului. Cel ce stă sub
pălăria verde trebuie să fie creativ. Gândirea laterală este specifică acestui tip de pălărie. Cere un
efort de creație. Pălăria albastră este dirijorul orchestrei și cere ajutorul celorlalte pălării.
Gânditorul pălăriei albastre definește problema, condu ce întrebările, recorelează informațiile pe
parcursul activității, formulează ideile principale și concluziile la sfârșit. Monitorizează jocul și
are în vedere respectarea regulilor. Acest nou tip de metodă de predare – învațare este un joc în
sine. Copiii se împart în șase grupe – pentru șase pălării. Ei pot juca și câte șase într -o singură
grupă. Împărțirea elevilor depinde de materialul studiat. Pentru succesul acestei metode este

65
important însă ca materialul didactic să fie bogat, iar cele șase pălării să fie frumos colorate, să -i
atragă pe elevi. Marele avantaj al acestei metode este acela că dezvoltă competențele inteligenței
lingvistice, inteligenței logice și inteligenței interpersonale.

Metode de cercetare în grup
▪ tema / proiectul de cercetare in grup;
▪ experimentul pe echipe;
▪ portofoliul de grup.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre
mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate
evidente. Acest tip de interactivitate determină “identificarea subiectului cu situația de învățare în
care acesta este antrenat”, ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul propriei formări.
Interactivitatea presupune atât cooperarea, cât și compet iția, ambele implicând un anumit grad de
interacțiune.
CUBUL – Se anunță tema pusă în discuție apoi se împarte clasa în 6 grupuri. Se prezintă
elevilor un cub din carton cu fețele divers colorate. Pe fețele acestuia sunt notate cuvintele: descrie,
compa ră, asociază, analizează, aplică și argumentează . Se atribuie rolurile membrilor fiecărui
grup:
✓ “cititorul” – rostogolește cubul și anunță grupului cerința înscrisă pe fața de deasupra;
✓ ”ascultătorul activ” repetă sarcina, o reformulează pentru a fi înțelea să de fiecare membru,
adresează întrebări profesorului;
✓ ”interogatorul” solicită idei, legate de modul de rezolvare a sarcinii, de la membrii grupului;
✓ ”rezumătorul” va fi “raportorul” grupului, va trage concluziile, le va nota și le va comunica
întregii c lase.
Elevii vor lucra pe grupe (unii la tablă, alții pe caiete, alții pe foi) apoi „raportorul” grupului
va prezenta întregii clase modul în care grupul său a rezolvat cerința. În final, se aduc lămuriri,
completări de către profesorul “consultant”/”parti cipant”/ “observator”.
Avantaje : permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică și
sporește eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).
TURUL GALERIEI – Elevilor li se comunică sarcina de lucru apoi se formează grupurile.
Timp de câteva minute elevii lucrează în grup, pe o foaie de format mare (afiș) apoi prezintă în
fața clasei afișul, explicând semnificația celor scrise pe el și răspund întrebărilor puse de colegi.
Se expun afișele pe per eți, acolo unde dorește fiecare echipă iar lângă fiecare afiș se lipește câte o
foaie goală. Se cere grupurilor să facă un tur, cu oprire în fața fiecărui afiș și să noteze pe foaia

66
alba anexată, comentariile, sugestiile, întrebările lor. Fiecare grup va c iti comentariile făcute de
celelalte grupe și va răspunde la întrebările scrise de acestea pe foile albe.
Avantaje : elevii oferă/primesc feed -back referitor la munca lor, au șansa de a compara
produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod o rganizat si productiv.
Acestea sunt numai câteva dintre metodele interactive de lucru în echipă. Fiecare dintre ele
înregistrează avantaje și dezavantaje, important fiind însă momentul ales pentru desfășurarea lor.
Profesorul este acela care are puterea de cizională și capacitatea de a alege ceea ce știe că se poate
desfășura în propriul colectiv de elevi. În teoria și practica didactică contemporană, problematica
instruirii interactive cunoaște abordări științifice noi, complexe, interdisciplinare, susținut e de
argumente ce susțin participarea activă și reflexivă a elevilor în procesele învățării și evaluării.

67
III. PROIECTE DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

PROIECT DIDACTIC

DATA:
LICEUL:
CLASA: A X-a
PROFESOR: Dobrin Raluca – Ioana
DISCIPLINA: Matematică – Algebră
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Funcții și ecuații
TEMA LECȚIEI: Ecuații iraționale
TIPUL LECȚIEI: Lecție de dobândire de noi cunoștințe
STRATEGII DIDACTICE
• METODE: Conversația (euristică, examinatoare), explicația, exercițiul,
problematizarea, observația sistematizată, expunerea, explozia stelară

• MIJLOACE: Fișe de lucru, foi de flipchart

• FORME DE ORGANIZARE: Frontal, individual
COMPETENȚE SPECIFICE:
1. Clasificarea după diverse criterii a funcțiilor numerice , ecuațiilor, inecuaț iilor, sistemelor
studiate. Utilizarea proprietăților operațiilor în efectuarea calculelor cu numere real
2. Aplicarea metodelor grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de
ecuații.
3. Rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de două ecuații, sistemelor inecuații de
tipurile studiate.
4. Transpunerea unor situații reale și/sau modelate în limbajul ecuațiilor, inecuațiilor,
sistemelor de ecuații/inecuații, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.
5. Anal iza rezolvării unei ecuații, inecuații, sistem în contextul corectitudinii, simplității,
clarități și al semnificației rezultatelor.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve ecuații iraționale aplicând m etoda ridicării ambilor membri ai ecuației la
aceeași putere naturală ;
2. Să analizeze rezolvarea unei ecuații în contextul corectitudii, al simplității, al clarității și
al semnificației rezultatelor;
3. Să determine mulțimea soluției unei ecuații iraționale

68
SCENARIU DIDACTIC

Nr.
crt. Secvențele lecției Timp Conținutul lecției Metode Evaluare
1. Moment organizatoric 1 min – Se asigură condițiile optime desfășurării eficiente a lecției
– Se pregătesc foile și instrumentele
2. Verificarea temei 2 min – Se verifică frontal realizarea temei Conversația
Explicația Frontală
Individuală
3. Anunțarea temei lecției și
captarea atenției 1 min – Se anunță tema și obiectivele lecției: Ecuații iraționale Conversația
Explicația
4. Comunicarea noilor
cunoștințe 5 min – Profesorul împarte elevilor anexa 1:
Problemă:
Un fermier are două loturi separate de pământ de formă pătrată. Aria
unuia este cu 3200 𝑚2mai mică decât aria celuilalt. Să se afle aria
fiecărui lot, dacă se știe că pentru a le îngrădi complet fermierul a
folosit un gard de 320 𝑚 lungime.
– Profesorul propune ca elevii să noteze:
𝑥= 𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑙𝑜𝑡;
𝑥−3200=𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑡𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑖𝑙𝑒𝑎 ;
Conform condițiilor problemei se obține:
4√𝑥+4√𝑥−3200=320
𝐴𝑐𝑒𝑎𝑠𝑡ă 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑟𝑎ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙ă.
Ecuație ir ațională – ecuația în care necunoscuta apare sub radical
sau în baza puterii cu exponen t rațional.
Problematizarea
Conversația
Explicația
Expunerea Observarea
sistematică
frontală și
individuală

69
– Profesorul anunță: METODA RIDICĂRII AMBILOR
MEMBRI AI ECUAȚIEI LA ACEEAȘI PUTERE
NATURALĂ
– Propune mai multe exemple de ecuații iraționale spre rezolvare
(anexa nr.2)

Exercițiul nr. 1:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌=𝒈(𝒙)
√𝟐𝒙−𝟑=𝟓
Exercițiul nr. 2:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=𝒉(𝒙)
√𝟒−𝒙+√𝟓+𝒙=𝟑
Exercițiul nr. 3:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=√𝒉(𝒙)
√𝒙−𝟓+√𝒙+𝟑=√𝟐𝒙+𝟒

5. Obținerea performanței 30 min – Profesorul împarte elevilor fișa de lucru din anexa nr.3, în care
li se propune elevilor următoarele exerciții:

REZOLVAȚI URMĂTOARELE ECUAȚII IRAȚIONALE,
FOLOSIND METODA RIDICĂRII AMBILOR MEMBRI AI ECUAȚIEI
LA ACEEAȘI PUTERE NATURALĂ:
1)
9 1 6 2 =−+− x x Conversația
Explicația
Exercițiul Observarea
sistematică
frontală și
individuală

70
2)
7 34 52−=−++ x x
3)
xx=−23
4)
32=+x
5)
1 1−=+ x x
6)
x x−=+ 51

– Elevii scriu pe caiete exercițiul dat de profesor și -l vor rezolva cu
ajutorul acestuia, sunt atenți la explicațiile profesoruilui și pun
întrebări atunci când au neclarități.
– Un elev iese la tablă pentru a scrie rezolvările
6. Asigurarea
feedback -ului 10 min – Profesorul împarte elevilor anexa nr.4: explozia stelară
Explozia stelară:

Explozia
stelarăCare?
Câte?Când?Ce?
Cum?

Cum se numește metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale
studiată astăzi?
„Metoda ridicării ambilor membri ai ecuației la aceeași putere
natural.”
Ce numim ecuație irațională? Conversația
Explicația
Individuală
Frontală

71
„Ecuație irațională – ecuația în care necunoscuta apare sub radical
sau în baza puterii cu exponen t rațional.”
Care este primul pas la rezolvarea ecuațiilor iraționale?
„Aflarea DVA.”
Când putem scrie soluția ecuației iraționale?
„După ce verificăm dacă soluțiile obținute aparțin DVA.”
Câte tipuri de ecuații sunt la care se pot aplica metoda ridicării
ambilor membri ai ecuației la aceeași putere naturală ?
„3 tipuri .”
7. Încheierea activității 1 min – Profesorul î ndeamnă elevii să se aprecieze după cum urmează:

– Profesorul fixează tema pentru acasă a elevilor (fișa de lucru
din anexa nr. 5). Conversația

72
Anexa nr. 1

„Un fermier are două loturi separate de pământ de formă pătrată. Aria
unuia este cu 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝐦𝟐 mai mică decât aria celuilalt. Să se afle aria fiecărui lot,
dacă se știe că pentru a le îngrădi complet fermierul a folosit un gard de 𝟑𝟐𝟎 𝐦
lungime.”
Se notează:
𝑥= 𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑙𝑜𝑡;
𝑥−3200=𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑡𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑖𝑙𝑒𝑎 ;
Conform condițiilor problemei se obține:
4√𝑥+4√𝑥−3200=320
Această ecuație este irațională .

73
Anexa nr. 2

ECUAȚII IRAȚIONALE –
METODA RIDICĂRII AMBILOR MEMBRI AI ECUAȚIEI LA ACEEAȘI
PUTERE NATURALĂ

Exercițiul nr. 1:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌=𝒈(𝒙)
√𝟐𝒙−𝟑=𝟓
Exercițiul nr. 2:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=𝒉(𝒙)
√𝟒−𝒙+√𝟓+𝒙=𝟑
Exercițiul nr. 3:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=√𝒉(𝒙)
√𝒙−𝟓+√𝒙+𝟑=√𝟐𝒙+𝟒

74
Anexa nr. 2 – REZOLVARE

ECUAȚII IRAȚIONALE –
METODA RIDICĂRII AMBILOR MEMBRI AI ECUAȚIEI LA ACEEAȘI
PUTERE NATURALĂ

Exercițiul nr. 1:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌=𝒈(𝒙)
√𝟐𝒙−𝟑=𝟓
Soluție:
Condiția de existență:
2𝑥−3≥0⇔𝑥≥3
2⇔𝑥∈[3
2;+∞)
Rezolvarea ecuației:
√2𝑥−3=5⇔(√2𝑥−3)2=52⇔2𝑥−3=25⇔𝑥=14∈[3
2;+∞)
Soluția ecuației:
𝑆={14}

Exercițiul nr. 2:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=𝒉(𝒙)
√𝟒−𝒙+√𝟓+𝒙=𝟑
Soluție:
Condiția de existență:
{4−𝑥≥0
5+𝑥≥0⇔{𝑥≤4
𝑥≥−5⇒𝑥∈[−5;4]
Rezolvarea ecuației:
√4−𝑥+√5+𝑥=3⇔(√4−𝑥+√5+𝑥)2=32
⇔4−𝑥+2√(4−𝑥)(5+𝑥)+5+𝑥=9⇔√(4−𝑥)(5+𝑥)=0
⇔(4−𝑥)(5+𝑥)=0⇔{4−𝑥=0
5+𝑥=0⇔{𝑥=4∈[−5;4]
𝑥=−5∈[−5;4]
Soluția ecuației:
𝑆={−5;4}
Exercițiul nr. 3:
Ecuații de forma √𝒇(𝒙)𝒌±√𝒈(𝒙)=√𝒉(𝒙)
√𝒙−𝟓+√𝒙+𝟑=√𝟐𝒙+𝟒
Soluție:
Condiția de existență:

75
{𝑥−5≥0
𝑥+3≥0
2𝑥+4≥0⇔{𝑥≥5
𝑥≥−3
𝑥≥2⇒𝑥∈[5;+∞)
Rezolvarea ecuației:
√𝑥−5+√𝑥+3=√2𝑥+4⇔(√𝑥−5+√𝑥+3)2=(√2𝑥+4)2
⇔𝑥−5+2√(𝑥−5)(𝑥+3)+𝑥+3=2𝑥+4⇔√𝑥2−2𝑥−15=3
⇔(√𝑥2−2𝑥−15)2
=32⇔𝑥2−2𝑥−15=9
⇔𝑥2−2𝑥−24=0⇔(𝑥+4)(𝑥−6)=0⇔{𝑥+4=0
𝑥−6=0⇔{𝑥=−4∉[5;+∞)
𝑥=6∈[5;+∞)
Soluția ecuației:
𝑆={6}

76
Anexa nr. 3

REZOLVAȚI URMĂTOARELE ECUAȚII IRAȚIONALE, FOLOSIND
METODA RIDICĂRII AMBILOR MEMBRI AI ECUAȚIEI LA ACEEAȘI
PUTERE NATURALĂ:
7)
9 1 6 2 =−+− x x
8)
7 34 52−=−++ x x
9)
xx=−23
10)
32=+x
11)
1 1−=+ x x
12)
x x−=+ 51

77
Anexa nr. 4

Explozia
stelarăCare?
Câte?Când?Ce?
Cum?

❖ Cum se numește metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale studiată astăzi?

❖ Ce numim ecuație ira țională?

❖ Care este primul pas la rezolvarea ecuațiilor iraționale?

❖ Când putem scrie soluția ecuației iraționale?

❖ Câte tipuri de ecuații sunt la care se pot aplica metoda ridicării ambilor
membri ai ecuației la aceeași putere naturală ?

78

79
Anexa nr. 5

REZOLVAȚI URMĂTOARELE ECUAȚII IRAȚIONALE, FOLOSIND
METODA RIDICĂRII AMBILOR MEMBRI AI ECUAȚIEI LA ACEEAȘI
PUTERE NATURALĂ:

13)
3 10 5 =−+− x x
14)
174 7 2 +=+++ x x x
15)
23 7 =−−x
16)
2 1 2 72−=+−+ x x x
17)
3 2 14 3 1 +−+=−−+ x x x x
18)
223 42=+−x x

+ DIN CULEGEREA „PAS CU PAS PRIN MATEMATICĂ” , CLASA A X -a,
PAGINA 122 EX 3; 4

80
PROIECT DIDACTIC

DATA:
ȘCOALA:
CLASA: A VII -a
PROFESOR: Dobrin Raluca – Ioana
DISCIPLINA: Matematică – Algebră
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Ecuații și sisteme de ecuații
TEMA LECȚIEI: Ecuații de gradul I cu o necunoscută și ecuații reductibile la ecuații de gradul
I cu o necunoscută
TIPUL LECȚIEI: Lecție de recapitulare, sistematizare și sinteză a cunoștințelor
STRATEGII DIDACTICE
• METODE: Conversa ția, observația, exercițiul, expunerea, ciorchinele

• MIJLOACE: Fișe de lucru, foi de flipchart

• FORME DE ORGANIZARE: Frontal, individual
COMPETENȚE SPECIFICE:
1. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric prin simplificarea unor calcule
2. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor
ecuații
3. Aplicarea regulilor de calc ul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere
reale
4. Redactarea rezolvării ecuațiilor studiate în mulțimea numerelor reale

OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:
1. Să recunoască soluția unei ecuații
2. Să rezolve corect și complet ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏=0 și reductibile la această formă
3. Să rezolve ecuații deduse dintr -un context geometric
4. Să aplice corect formulele învățate

81
SCENARIU DIDACTIC

Nr.
crt. Secvențele lecției Timp Conținutul lecției Metode Evaluare
1. Moment organizatoric 1 min – Se asigură condițiile optime desfășurării eficiente a lecției
– Se pregătesc foile și instrumentele
2. Verificarea temei 2 min – Se verifică frontal realizarea temei Conversația
Explicația Frontală
Individuală
3. Anunțarea temei lecției și
captarea atenției 1 min Se anunță tema și obiectivele lecției: „ Ecuații de gradul I cu o
necunoscută și ecuații reductibile la ecuații de gradul I cu o necunoscută” Conversația
Explicația
4. Reactualizarea și fixarea
cunoștințelor 5 min – Profesorul împarte elevilor fișele de lucru cu ciorchinele din
anexă iar aceștia ies pe rând și completează boabele,
recapitulând astfel proprietățile relației de egalitate (anexa nr. 1)
– Profesorul întreabă:
„Ce este o ecuație de gradul I și care este forma canonică a
acesteia?”
Ecuația în ℝ de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎,𝑏 ∈ℝ,𝑎≠0 se numește
ecuație de gradul I cu o necunoscută , unde 𝑥 = necunoscuta, 𝑎,𝑏
= coeficienți.
„Ce înseamnă a rezolva o ecuație?” Ciorchinele
Conversația
Explicația
Expunerea Observarea
sistematică
frontală și
individuală

82
Se numeste soluție a ecuației 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎 ș𝑖 𝑏∈
𝑅,𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑥0∈𝑅 pentru care propozi ția 𝑎𝑥0+𝑏=0 este
adevarată.
A rezolva o ecuație înseamnă a detemina toate soluțiile sale.
Aceste soluții formează mu lțimea soluțiilor ecuației date și se
notează, de regulă, cu S.

5. Obținerea performanței 30 min – Profesorul împarte elevilor fișa de lucru din anexă (anexa nr. 2),
în care li se propune elevilor următoarele exerciții:
1. Verificați dacă 𝑥=3 este soluție a ecuației: 2𝑥−5=2−𝑥 .
Soluție:
2∙3−5=2−3⇔−1=−1⇒𝑥=3 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑒
2. Determinați numarul real 𝑎, știind că 2 este soluție a ecuație
2𝑥 ( 𝑎 + 3 ) – 3𝑎𝑥 = 18
Soluție:
2∙2(𝑎+3)−3𝑎∙2=18⇔4𝑎+12−6𝑎=18⇔−2𝑎
=6⇔𝑎=−3
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) 2(𝑥+3)−3(𝑥−1)=3𝑥−2(2+𝑥)
Soluție: Conversația
Explicația
Exercițiul Observarea
sistematică
frontală și
individuală

83
2(𝑥+3)−3(𝑥−1)=3𝑥−2(2+𝑥)
⇔2𝑥+6−3𝑥+3=3𝑥−4−2𝑥
⇔−2𝑥=−13⇔𝑥=13
2⇒𝑆={13
2}
b) 𝑥+1
5−𝑥+3
4=3𝑥
10−𝑥+1
4
Soluție:
𝑥+1
5−𝑥+3
4=3𝑥
10−𝑥+1
4⇔4(𝑥+1)−5(𝑥+3)
=6𝑥−5(𝑥+1)
⇔4𝑥+4−5𝑥−15=6𝑥−5𝑥−5⇔2𝑥=−6
⇔𝑥=−3⇒𝑆={−3}
c) 2𝑥(√2+√3)−√2(2𝑥+3)=√3(𝑥+√2)

Soluție:
2𝑥(√2+√3)−√2(2𝑥+3)=√3(𝑥+√2)
⇔2𝑥√2+2𝑥√3−2𝑥√2−3√2=𝑥√3+√6⇔𝑥√3
=3√2+√6
⇔𝑥=√6+√2⇒𝑆={√6+√2}
d) √2𝑥+3
3−𝑥
√2+3𝑥
√18=9−√2𝑥
6

84
,Soluție:
√2𝑥+3
3−𝑥
√2+3𝑥
√18=9−√2𝑥
6
⇔√2𝑥+3
3−𝑥
√2+𝑥
√2=9−√2𝑥
6⇔2√2𝑥+6=9−√2𝑥
⇔3√2𝑥=3⇔𝑥=√2
2⇒𝑆={√2
2}
e) √𝑥+2=3

Soluție:
Observăm că necunoscuta este sub radical. Aducându -ne
aminte că numerele de sub radical sunt întotdeauna mai mari sau
egale cu 0, punem condiția:
𝑥+2≥0⇔𝑥≥−2
Deci, soluția obținută trebuie să fie mai mare sau egală
cu −2.
Pentru a elimina radicalul, ridicăm ambii termeni la
puterea a doua:
√𝑥+2=3⇔𝑥+2=9⇔𝑥=7≥−2⇒𝑆={7}
f) √2𝑥−1=√5−𝑥

85
Soluție:
Aplicând, din nou, proprietățile radicalului, obținem:
{2𝑥−1≥0
5−𝑥≥0⇔{𝑥≥1
2
𝑥≤5⇔1
2≤𝑥≤5
√2𝑥−1=√5−𝑥⇔2𝑥−1=5−𝑥⇔3𝑥=6⇔𝑥=2
1
2≤2≤5⇒𝑆={2}
Oservație! Ecuațiile în care necunoscuta apare sub radical se
numesc ecuații iraționale.
– Elevii scriu pe caiete exercițiul dat de profesor și -l vor rezolva cu
ajutorul acestuia, sunt atenți la explicațiile profesoruilui și pun
întrebări atunci când au neclarități.
– Un elev iese la tablă pentru a scrie rezolvările
6. Obținerea performanței și
asigurarea
feedback -ului 10 min – Profesorul împarte elevilor o fișă de evaluare (anexa nr. 3)

1. −2𝑥+3=−7 𝑥=5
2. Dacă 𝑥=−1este soluția ecuației
2𝑚𝑥+3=−5, aflați 𝑚. 𝑚=4
3.
327 2=−+xx 𝑥=13
4 Conversația
Explicația
Exercițiul Individuală
Evaluare
scrisă

86
4. √3𝑥+7=5 𝑥=6
5. √5𝑥−10=√8−𝑥 𝑥=3

– După terminarea sarcinilor, profesorul verifică rezultatele elevilor.
7. Încheierea activității 1 min – Profesorul face aprecieri asupra cunoștințelor elevilor și fixează
tema pentru acasă a elevilor (anexa nr. 4 ) Conversația

87
Anexa nr 1

PROPRIETĂȚILE RELAȚIE DE
EGALITATE
𝑎=𝑏⬚⇔𝑏=𝑎
𝑎=𝑏
𝑏=𝑐}⬚⇒𝑎=𝑐
a=b
𝑎=𝑎
𝑎+𝑛=𝑏+𝑛
𝑎−𝑛=𝑏−𝑛
𝑎:𝑛=𝑏:𝑛
𝑎∙𝑛=𝑏∙𝑛

88
Anexa nr 1
PROPRIETĂȚILE RELAȚIE DE
EGALITATE

89
Anexa nr. 2

1. Verificați dacă 𝑥=3 este soluție a ecuației: 2𝑥−5=2−𝑥 .
2. Determinați numarul real 𝑎, știind că 2 este soluție a ecuație 2𝑥 ( 𝑎 + 3 ) – 3𝑎𝑥 = 18
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) 2(𝑥+3)−3(𝑥−1)=3𝑥−2(2+𝑥)
b) 𝑥+1
5−𝑥+3
4=3𝑥
10−𝑥+1
4
c) 2𝑥(√2+√3)−√2(2𝑥+3)=√3(𝑥+√2)
d) √2𝑥+3
3−𝑥
√2+3𝑥
√18=9−√2𝑥
6
e) √𝑥+2=3
f) √2𝑥−1=√5−𝑥

90
Anexa nr. 2

4. Verificați dacă 𝑥=3 este soluție a ecuației: 2𝑥−5=2−𝑥 .
Soluție:
2∙3−5=2−3⇔−1=−1⇒𝑥=3 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑒
5. Determinați numarul real 𝑎, știind că 2 este soluție a ecuație 2𝑥 ( 𝑎 + 3 ) – 3𝑎𝑥 = 18
Soluție:
2∙2(𝑎+3)−3𝑎∙2=18⇔4𝑎+12−6𝑎=18⇔−2𝑎=6⇔𝑎=−3
6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
g) 2(𝑥+3)−3(𝑥−1)=3𝑥−2(2+𝑥)
Soluție:
2(𝑥+3)−3(𝑥−1)=3𝑥−2(2+𝑥)
⇔2𝑥+6−3𝑥+3=3𝑥−4−2𝑥
⇔−2𝑥=−13⇔𝑥=13
2⇒𝑆={13
2}

h) 𝑥+1
5−𝑥+3
4=3𝑥
10−𝑥+1
4
Soluție:
𝑥+1
5−𝑥+3
4=3𝑥
10−𝑥+1
4⇔4(𝑥+1)−5(𝑥+3)=6𝑥−5(𝑥+1)
⇔4𝑥+4−5𝑥−15=6𝑥−5𝑥−5⇔2𝑥=−6
⇔𝑥=−3⇒𝑆={−3}

i) 2𝑥(√2+√3)−√2(2𝑥+3)=√3(𝑥+√2)
Soluție:
2𝑥(√2+√3)−√2(2𝑥+3)=√3(𝑥+√2)
⇔2𝑥√2+2𝑥√3−2𝑥√2−3√2=𝑥√3+√6⇔𝑥√3=3√2+√6
⇔𝑥=√6+√2⇒𝑆={√6+√2}

91

j) √2𝑥+3
3−𝑥
√2+3𝑥
√18=9−√2𝑥
6
Soluție:
√2𝑥+3
3−𝑥
√2+3𝑥
√18=9−√2𝑥
6
⇔√2𝑥+3
3−𝑥
√2+𝑥
√2=9−√2𝑥
6⇔2√2𝑥+6=9−√2𝑥
⇔3√2𝑥=3⇔𝑥=√2
2⇒𝑆={√2
2}
k) √𝑥+2=3
Soluție:
Observăm că necunoscuta este sub radical. Aducându -ne aminte că numerele de
sub radical sunt întotdeauna mai mari sau egale cu 0, punem condiția:
𝑥+2≥0⇔𝑥≥−2
Deci, soluția obținută trebuie să fie mai mare sau egală cu −2.
Pentru a elimina radicalul, ridic ăm ambii termeni la puterea a doua:
√𝑥+2=3⇔𝑥+2=9⇔𝑥=7≥−2⇒𝑆={7}

l) √2𝑥−1=√5−𝑥
Soluție:
Aplicând, din nou, proprietățile radicalului, obținem:
{2𝑥−1≥0
5−𝑥≥0⇔{𝑥≥1
2
𝑥≤5⇔1
2≤𝑥≤5
√2𝑥−1=√5−𝑥⇔2𝑥−1=5−𝑥⇔3𝑥=6⇔𝑥=2
1
2≤2≤5⇒𝑆={2}

92
Anexa nr. 3
Nume și prenume elev ________________________________________________
Clasa a VII -a

1. −2𝑥+3=−7 𝑥=
2. Dacă 𝑥=−1este soluția ecuației
2𝑚𝑥+3=−5, aflați 𝑚. 𝑚=
3.
327 2=−+xx 𝑥=
4. √3𝑥+7=5 𝑥=
5. √5𝑥−10=√8−𝑥 𝑥=

93
Anexa nr. 3

6. −2𝑥+3=−7 𝑥=5
7. Dacă 𝑥=−1este soluția ecuației
2𝑚𝑥+3=−5, aflați 𝑚. 𝑚=4
8.
327 2=−+xx 𝑥=13
4
9. √3𝑥+7=5 𝑥=6
10. √5𝑥−10=√8−𝑥 𝑥=3

94
Anexa nr. 4

1. Aflați soluțiile reale ale următoarelor ecuații
a) 2𝑥+7=3𝑥−2 e) 2𝑥−5+8𝑥=10𝑥+8
b) 7𝑥+3−3𝑥=4𝑥+3 f) 5−3𝑥=8𝑥+2
c) 2+6(4𝑥−2)=9−5(2𝑥+3) g) 5+3(10𝑥+5)=4−3(8𝑥−2)
d) 25−4(2𝑥−3)=16+(5𝑥−4)∙2 h) 3(𝑥+2)−2(1−𝑥)=4𝑥+5

2.Rezolvați în R ecuațiile :
a )
41
103
43
51 +−=+−+ xx x x
b)
125
43 4
22 3
33 2−+=−+− x x x

95
IV. CURRICULUM LA DECIZIA ȘCOLII

„Să descoperim ecuațiile și inecuațiile iraționale ”

UNITATEA ṢCOLARĂː Școala gimnazială Nr.12 ,,B. P. Hașdeu” Constanṭa

DENUMIREA : ,, Să descoperim ecuațiile și inecuațiile iraționale”

TIPUL OPȚIONALULUI ː Opțional la nivelul disciplinei

ARII CURRICULAREː Matematică și Științe
CLASA : A VIII – a

NR. ORE : 1 oră / săptămână

PROFESORI PROPUNĂTORI ː
Dobrin Raluca – specializarea: matematică, grad. II
AN ṢCOLAR ː 2020 / 2021

96

ARGUMENT

Schimbările structurale introduse de reforma din învățământ încearcă o individualizare a
procesului de învățământ în raport cu nevoile și cu aspirațiile elevului, precum și cu cerințele sociale
și nevoile comunității.
Prezența cursurilor opționale (care vin să completeze cultura comună la care au acces toți
elevii) permite elevilor să -și descopere parcursul individual de învățare și nevoile proprii în raport
cu aspirațiile lor. Aceasta va conduce la creșterea randamentului școlar pe baza sporirii motivației
și interesului personal , astfel încât nivelul de pregătire al elevilor să se apropie de cerințele societății.
Temele luate în discuție sunt de un real interes pentru elevii clasei a VIII -a și le va spori
vizibil eficiența în rezolvarea de probleme datorită unei aprobări superioa re celei oferite de
rezultatele teoretice cuprinse în programa școlară, atât în momentul investigării problemelor cât și
pe parcursul rezolvării acestora. Acestea sunt prezentate adecvat nivelului gimnazial, într -o formă
cât mai accesibilă.
Cursul opțional este destinat elevilor de clasa a VIII -a, pe parcursul unei ore de instruire în
fiecare săptămână, adică 35 de ore pe an, cu o organizare flexibilă a timpului de învățare.
Prin temele propuse dorim să îi convingem pe elevi că științele exacte nu sunt ,,ar ide ‘’ și că
știința are frumusețea ei, dar aceasta trebuie descoperită, iar cunoașterea și studiul matematicii și
poate fi o activitate plăcută și utilă.
Se va urmări tratarea unitară a cunoștințelor și deprinderilor dobândite în studiul
matematicii, org anizarea acestora, pentru a le putea prezenta la nivel optim atunci când vor fi
solicitați. De asemenea, aces opțional își propune să deschidă cât mai multor elevi dorința de
cunoaștere dincolo de limitele manualului, îndrumându -i spre studiu individual su plimentar,
încurajându -i să abordeze probleme din ce în ce mai dificile.
Se va adapta învățarea matematicii la nevoile și posibilitățile intelectuale ale fiecărui elev,
alegând conținuturi esențiale, tehnici și strategii de învățare eficiente. Se va urmări formarea
capacităților de rezolvare a problemelor de orice tip.

97
COMPETEN ṬE GENERALE

1. Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii
2. Dezvolatrea capacității de exploatare / investigare și rezolvare de probleme
3. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
4. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii

VALORI ȘI ATITUDINI

Competențele generale și specifice care sunt forma te în gimnaziu prin procesul educațional
centrat pe matematică și geografie au la bază și promovează următoarele valori și atitudini:
• Dezvoltarea unei gândirii deschise și creative, dezvoltarea inițiativei, independenței în
gândire și în acțiune în abordarea unor sarcini variate;
• Curiozitatea pentru explorarea matematicii;
• Dezvoltarea spiritului de observație;
• Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în rezolvarea unor
aplicații practice.

98
COMPETENȚE SPECIFICE ȘI ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

1. Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

Competențe specifice Exemple de activități de învățare
1.1.Utilizarea corectă și coerentă a termenilor
matematici;

1.2. Aplicarea formulelor de calcul prescurtat
în diverse exerciții;

1.3. Identificarea celei mai eficiente metode
de rezolvare a unei ecuații sau inecuații;

1.4. Utilizarea formei canonice a ecuațiilor de
gradul I și II; ✓ identificarea unor termeni matematici

✓ exerciții cu formule de calcul prescurtat
✓ rezolvarea de ecuații în care apar formule
de calcul prescurtat

✓ rezolvarea ecuațiilor de gradul I, gradul II
și iraționale
✓ rezolvarea inecuațiilor de gradul I și
iraționale

✓ aducerea expresiilor la forma canonică a
ecuațiilor de gradul I sau II

2. Dezvolatrea capacității de exploatare / investigare și rezolvare de
probleme

Competențe specifice Exemple de activități de învățare
2.1. găsirea mai multor metode de rezolvare a
ecuațiilor și inecuțiilor

2.2. dobândirea, prin exercițiu, a experienței în
rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor;

2.3. investigarea valorii de adevăr a unei
afirmații;

2.4. utilizarea elementelor de logică
matematică în rezolvarea ecuațiilor și
inecuațiilor

✓ Identificarea și aplicarea unor metode de
rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor

✓ Recunoașterea unor situații concrete și
înțelegerea corectă a datelor

✓ Veficarea soluțiilor unei ecuații
✓ Exerciții pentru verificarea validității unei
afirmații generale în cazuri particulare

✓ Efectuarea exercițiilor utilizând corect
operatorii logici în context matematice

99
3. Exprimarea în limbajul specific matematic a informațiilor, concluziilor
și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

Competențe specifice Exemple de activități de învățare
3.1. descoperirea implicațiilor între
problemele cu ecuații și inecuații

3.2. Înțelegerea problematicii ample a
ecuațiilor și inecuațiilor și identificarea
posibilităților de extindere a acestora

3.3. Prezentarea metodelor de rezolvare a
ecuațiilor și inecuațiilor

3.4. Identificarea informațiilor dintr -un enunț
prezentat în diverse forme

✓ Compunerea unor exerciții prin analogia
unor ecuații sau inecuații

✓ Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor
iraționale
✓ Exerciții de identificare a termenului
necunoscut dintr -o problemă

✓ Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor,
respectând șablonul de rezolvare
✓ Argumentarea demersului făcut în
rezolvarea unei probleme

✓ Transpunerea în limbaj matematic din
limbaj cotidian
✓ Notarea datelor unei probleme

4. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea
matematicii

Competențe specifice Exemple de activități de învățare
4.1. Manifestarea interesului pentru
rezolvarea unor probleme practice

4.2.Manifestarea perseverenței în rezolvarea
exercițiilor, în căutarea de noi căi de rezolvare

4.3. Prezentarea coerentă a soluțiilor, utilizând
limbajul matematic

4.4. Aplicarea cunoștințelor și a abilităților
dobândite în contexte noi/situații reale de viață

4.5. Interpretarea matematică a fenomenelor
întâlnite ✓ Exerciții de compunere de ecuații și
inecuații
✓ Rezolvarea unor probleme practice

✓ Utilizarea unor metode variate de
rezolvare a ecuațiilor sau inecuațiilor

✓ Rezolvarea unor exerciții cu grad variat
de dificultate

✓ Elaborarea de planuri simple de învățare
în realizarea unor sarcini de lucru

✓ Explicarea unor fenome întâlnite din viața
cotidiană

100
CONȚINUTURILE ÎNVĂȚĂRII
I. Noțiuni introductive
1. Prezentare și introducere în opțional
II. Ecuații de gradul I cu o necunoscută în mulțimea numerelor reale
1. Ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎≠0,𝑎,𝑏∈ℝ
2. Ecuații reductibile la ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎≠0,𝑎,𝑏∈ℝ
III. Ecuația de gradul al II -lea
1. Ecuații de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ
2. Cazuri particulare a ecuației de gradul al II -lea
3. Descompunerea în factori liniari a trinomului 𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐,𝑎≠0
IV. Inecuații de gradul I
1. Inecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏<0,𝑎≠0,𝑎,𝑏∈ℝ
2. Scrierea sub formă de interval a unei inecuații
V. Radicalul
1. O mică istorie a radicalului
2. Rădăcina pătrată și rădăcina cubică (condiții de existență și extregerea radicalului)
VI. Ecuații iraționale
1. Definirea și etapele de rezolvare ale unei ecuații iraționale
2. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)
3. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)𝟑=𝒈(𝒙)
4. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)=√𝒈(𝒙)
5. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)𝟑=√𝒈(𝒙)𝟑
6. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)+√𝒈(𝒙)=𝒉(𝒙)
VII. Inecuații iraționale
1. Definirea și etapele de rezolvare ale unei inecuații iraționale
2. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)<𝒈(𝒙)
3. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)>𝒈(𝒙)
4. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)𝟑<√𝒈(𝒙)𝟑
5. Ecuații iraționale de forma √𝒇(𝒙)𝟑>√𝒈(𝒙)𝟑
VIII. Probleme „frumoase”
1. Probleme cu caracter aplicativ
2. Probleme date la olimpiade și concursuri școlare

101
RESURSE MATERIALE

✓ Auxiliare de matematică;
✓ Fișe de lucru individuale și pe echipe;

EVALUARE

✓ Teste docimologice;
✓ Proiecte individuale/ de grup
✓ Lucrul cu fișe de lucru

BIBLIOGRAFIE

 Sorin Peligrad, Dan Zaharia, Maria Zaharia – Mate 2000+ Consolidare cls a
VII-a, Ed.Paralela 45, 2019
 Dan Zaharia, Maria Zaharia – Mate 2000+ Consolidare cls a VIII -a,
Ed.Paralela 45, 2019
 Rodica Cercel – ,,O scurtă istorie a simbolisticii matematice -operații și cifre’’ ,
Educația Matematică, vol. 1. nr. 1 (2005)
 Prof. Gheorghe Andrei – ,,Radicali – Numere și expresii raționale și iraționale,
ecuații și inecuații, sisteme, partea întreagă, inegalități’’, Ex Ponto, Constanța
2005
 www.wikipedia.org
 http://www.math.md/school/rubrica/irat/irate.html
 www.didactic.ro

102
BIBLIOGRAFIE

 Rodica Cercel – „O scurtă istorie a simbolisticii matematice -operații și cifre ”, Educația
Matematică, vol. 1. nr. 1 (2005)
 Gheorghe Andrei – „,Radicali – Numere și expresii raționale și iraționale, ecuații și
inecuații, sisteme, partea întreagă, inegalități ”, Ex Ponto, Constanța 2005
 Mircea Ganga –„ Matem atică – Manual pentru clasa a IX -a profil M1, M2 ”, Editura
Mathpress, 2001
 Ioan Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin – ,,Algebră – ecuații și inecuații ’’
 „Gazeta matematică seria B”
 Sorin Peligrad, Dan Zaharia, Maria Zaharia – „Mate 2000+ Consolidare cls a VII -a”,
Ed.Paralela 45, 2019
 Dan Zaharia ; Maria Zaharia – „Mate 2000+ Consolidare cls a VIII -a”, Ed.Paralela
45, 2019
 Ardelean Liviu, Secelean Nicolae , – „Didactica Matematicii ” – Editura Universității
„Lucian Blaga”, Sibiu, 2007
 Cerghit Ioan , – „Metode de învățare ” – E.D.P. , București, 1997
 Cristea Sorin , – „Dicționar de termeni pedagogici ” – E.D.P., R.A., București, 1998
 Cucoș Constantin ,Pedagogie , Editura Polirom, Iași, 1996
 Cucoș, Constantin – „Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade
didactice ”- Editura Polirom,Iași, 2006
 Panțuru,Stan , – „Elemente de teoria și metodologia instruirii ” – Editura Univ.
Transilvania, Brașov, 2002
 www.wikipedia.org
 http://www.math.md/school/rubrica/irat/irate.html
 www.didactic.ro