Metode de Sincronizare Si Modulatie

1.1. Prezentare generală

De la începuturile comunicației pe unde radio, în special în domeniul comunicațiilor militare s-a urmărit realizarea unor sisteme de transmisiuni cât mai putin sensibile la orice tip de perturbații fie ele naturale sau artificiale.

Astfel, în anii 80 în SUA (atunci au apărut și primele lucrări în domeniu) s-a conceput o primă generație de sisteme de transmisiuni cu spectru împrăștiat (SSI). În cadrul acestor cercetări s – a dezvoltat tehnologia semnalelor cu spectru împrăștiat pentru comunicații digitale, folosite în scopuri militare, atât pentru a da rezistența împotriva interceptarilor inamice cât și pentru a ascunde semnalul transmițându-l la puteri mici, astfel făcându-l dificil pentru un ascultator neavizat să detecteze prezența sa în zgomot, sau să facă posibil pentru mai multe terminale să comunice pe același canal.

Pornind din acest punct multe alte țări și firme au finanțat numeroase programe de cercetare ceea ce a dus la generația de sisteme de comunicație cu spectru împrăștiat ce există pe piață și se dezvoltă astăzi.

Spre deosebire de SSI cercetarea în domeniul sistemelor de comunicații pe purtătoare haotică a luat amploare abia în ultimul deceniu.

Acest tip de sistem poate apărea ca o soluție la creșterea explozivă a pieței în domeniul comunicațiilor personale (mai ales în domeniul civil), al cărei scop este posibilitatea transmiterii semnalelor vocale sau a datelor între stații mobile. Pentru a asigura acest tip de servicii, sunt necesare legături radio pentru un număr mare de terminale în zone dens populate folosind același canal de comunicații. Utilizarea de catre mai multe sisteme de comunicație a aceluiași canal fizic a fost denumită acces multiplu.

1.2. Generalități cu privire la accesul multiplu

Astfel, dacă diverși utilizatori transmit semnale informaționale pe același canal fizic, atunci fiecare receptor corespondent trebuie să fie capabil să-și separe semnalul care îi este destinat din amestecul cu celelalte semnale informaționale și a perturbațiilor introduse de canal.

Separarea căilor este realizată prin intermediul semnalelor ortogonale. Două semnale xi(t) și xj(t) sunt ortogonale dacă:

(1.1)

unde prin Xi() și Xj() s-au notat transformatele Fourier ale semnalelor xi(t) și xj(t).

Astfel se observă că ortogonalitatea poate fi îndeplinită în mai multe feluri:

a) În domeniul timp, dacă semnalele xi(t) și xj(t) sunt diferite de zero doar în intervale de timp disjuncte, atunci integrala din domeniul timp din relația de mai sus se anulează. Această proprietate permite realizarea accesului multiplu cu diviziune în timp (Time Division Multiple Access – TDMA).

b) În domeniul frecvență, dacă spectrele Xi() și Xj(), corespunzătoare celor două semnale xi(t) și xj(t), nu se suprapun în domeniul frecvență, adică, spectrele sunt diferite de zero doar pe suporturi diferite de frecvență. Această proprietate permite realizarea accesului multiplu cu diviziune în frecvență (Frequency Division Multiple Access – FDMA).

c) Diviziunea în cod.

În acest caz, semnalele xi(t) și xj(t) se pot suprapune în timp și/sau în frecvență, însă, integralele lor de convoluție sunt nule. Adică, la recepție, utilizatorul avizat va compara prin corelație semnalul recepționat cu cheia sau codul folosit și de corespondent la emisie. În acest caz, integrala de convoluție are o valoare mult mai mare decât în cazul altor utilizatori (pentru care, în mod ideal corelația este nulă).

Utilizatorii sunt separați (la emisie și la recepție) prin asignarea lor (distinctă) la un set de coduri ortogonale, care sunt alese pentru a utiliza eficient resursele canalului. Acest mod de abordare este cunoscut ca tehnica accesului multiplu cu diviziune în cod (Code Division Multiple Access – CDMA).

O caracteristică a sistemelor ce utilizează tehnica CDMA este faptul că ocupă o bandă de frecvențe care este mult mai largă decât ar fi cea necesară pentru semnalele informaționale, acest lucru fiind compensat de accesul multiplu.

Datorită numărului mare de utilizatori, apare mai importantă problema limitarii interferențelor între terminale decât a zgomotelor naturale din canal. Cea mai bună strategie în acest caz, unde fiecare utilizator apare ca o interferență pentru orice alt utilizator, este de a transforma fiecare semnal transmis pe linie să arate ca un zgomot Gaussian.

Sunt două posibilități prin care un semnal poate fi transformat pentru a arăta ca un zgomot de bandă largă și anume: prin “împrăștierea” fiecărui simbol folosind o secvență pseudoaleatoare (principiul de bază al sistemelor SSI) pentru a mări lărgimea benzii semnalului transmis, sau prin a reprezenta fiecare simbol pritr-o formă de undă de “zgomot”.

Dar la aceste tipuri de sisteme apar limitări datorită caracterului periodic al secvențelor PN, de numărul limitat al secvențelor ortogonale, și de natura periodică a purtătoarei. O altă problemă o reprezintă faptul că ortogonalitatea secvențelor PN necesită sincronizarea tuturor secvențelor de împrăștiere ce se folosesc în aceeași bandă de frecvență, adică întregul sistem ar trebui sincronizat.

În practică însă așa ceva ar fi imposibil de realizat așa încât la demodulare se folosește o funcție de corelație ce face produsul între semnalul emis pentru un anume utilizator cu secvența PN proprie a receptorului destinație. Această operație este numită adunarea (spectrului), ținând cont că multiplicarea cu semanlul PN la receptor are ca efect opusul operației de împrăștiere de la emițător.

A doua metodă expusă mai sus, ca o alternativă la semnalele cu spectru împrăștiat apare posibilitatea transmiterii unor secvențe de tip zgomot, nu ca o sumă de funcții periodice de bază, dar ca o sumă de funcții haotice.

Sistemele dinamice deterministe sunt acele sisteme ale căror stări se schimbă în timp într-o formă deterministă. Ele pot fi descrise matematic prin ecuații diferențiale sau ecuații cu diferențe, depinzând dacă ele evolueză în timp continuu sau în timp discret.

Sistemele haotice au însă o evoluție ulterioară care depinde foarte mult de condițiile inițiale, o eventuală perturbație în sistem determinând o schimbare foarte mare a parametrilor sistemului.

O proprietate a semnalelor haotice este faptul ca funcția lor de autocorelație are un vârf în zero și apoi scade foarte rapid. Astfel, semnalele haotice având o structură deterministă face posibilă generarea semnalelor haotice de tip zgomot și utilizarea lor în comunicații, cel puțin teoretic.

Însă o problemă importantă o punea sincronizarea generatoarelor haotice, cel de la emițător și respectiv cel de la receptor. În lucrarea lui Pecora și Carroll problema sincronizării celor două sisteme haotice fiind rezolvată, au apărut propuneri de sisteme bazate pe haos folosind diferite tipuri de modulații și sincronizări.

1.3. Lucrări anterioare

Această lucrare își propune sa fie o continuare a proiectelor de stat elaborate de Doru Munteanu si Andrei Dorin care s-au ocupat de metode de sincronizare și modulație a sistemelor haotice folosite în principal pentru transmisia informației de tip digital. Scopul acestei lucrări este de a utiliza aceste principii pentru elaborarea si simularea unui sistem cu purtătoare haotică care să permită transmiterea informației la viteze mai mari si la un raport semnal zgomot mult mai mic decât în cazul sistemelor de transmisiuni haotice clasice.

De asemenea am studiat lucrări care se ocupau de: studiul sistemelor de comunicație cu spectru împrăștiat: [1], [2], [3], [6], studiul canalului de comunicații pentru sistemele de transmisiuni mobile: [4], [5], [6], [7], analiza metodelor de sincronizare si modulație a sistemelor haotice: [11], [13], [14], [15], [16], [21], analiza performanțelor generatoarelor haotice pentru utilizarea lor în sisteme de transmisiuni cu spectru împrăștiat: [19], [20], [21], [9], implementarea unor sisteme cu spectru împrăștiat cu secvențe haotice precum și metode de multiplexare în care semnalul de comandă este haotic: [17], [11], [18].

1.3. Conținutul și finalitatea proiectului

Lucrarea de față își propune să facă o analiză în general a tipurilor de sisteme de comunicații cu spectru împrăștiat atât clasice cât și cu purtătoare haotică precum și obținerea unor rezultate experimentale asupra performanțelor unor astfel de sisteme. Structura pe capitole și problemele tratate la fiecare în parte sunt descrise mai jos:

În capitolul 2 voi face o prezentare a sistemelor cu spectru împrăștiat clasice, ale tipurilor de modulații și de sincronizare folosite în cadrul acestor sisteme și a performanțelor acestora.

În capitolul 3 voi prezenta pe scurt teoria sistemelor dinamice, metode ce pot fi folosite pentru a îmbunătății perfomanțele generatoarelor haotice ce sunt folosite ca purtătoare în telecomunicații cu spectru împrăștiat, precum și prezentarea câtorva tipuri de sisteme ce se pot utiliza ca generatoare de purtătoare și parametrii acestora.

Capitolul 4 are ca scop prezentarea metodelor de sincronizare și modulație de bază ce se pot utiliza în cadrul sistemelor de comunicație haotice.

În capitolul 5 voi face tratarea teoretică a unui sistem de telecomunicații cu purtătoare haotică, o comparație între generatoarele de secvențele PN și generatoarele haotice, precum și prezentarea unei scheme de sistem cu purtătoare haotică și a performanțelor acestuia pentru transmia pe diferite tipuri de canale și în diferite condiții de SNR.

Capitolul 6 se va ocupa de tratarea și prezentarea algoritmului pentru simularea unui canal de comunicații pentru mai multe tipuri de canale, AWGN, în prezența fadingului, în prezența fadingului selectiv în frecvență.

Capitolul 7 va prezenta algoritmul programului de simulare realizat precum și explicarea interfeței grafice.

Finalitatea proiectului este punerea bazelor unui mediu de simulare a unor sisteme de comunicație cu spectru împrăștiat care să ofere rezultate pertinente cu privire la performanțele acestor sisteme. Astfel pornind de la acest mediu, împreună cu pachetele de programe realizate adițional, un utilizator va putea analiza tipurile de secvențe haotice ce pot fi utilizate, tipuri de canale pe care se face transmisia, forma semnalelor la detecție în funcție de SNR etc.

Pe larg aceste probleme vor fi prezentate în capitolele care tratează pe larg aceste teme.

2.1. Caracteristici generale ale SSI clasice

Sistemele cu spectru împrăștiat în general au fost dezvoltate pe baza a două principii, care diferă în principal prin modul de realizare al sincronizării și anume:

sisteme cu spectru împrăștiat cu transmiterea referinței (TR). Acest tip de sistem constă în emisia a două semnale în același timp: purtătoarea de bandă largă modulată cu semnalul informațional și purtătoarea nemodulată.

sisteme cu spectru împrăștiat cu stocarea referinței (SR). Acest tip de sistem își generează singur la recepție o replică locală a semnalului de referință folosit la extragerea informației din semnalul de bandă largă modulat.

Primele sisteme au fost de tipul TR dar datorită performanțelor mult mai mari ale sistemelor de tip SR acestea din urmă sau impus, SSI moderne fiind aproape în totalitate realizate cu principiul stocării referinței.

În general sistemele de counicație SSI sunt clasificate după metodele de modulație folosite. Astfel în literatură sunt prezentate mai multe tipuri de sisteme [1]:

spectru împrăștiat cu secvență directă (SD)

spectru împrăștiat cu salt în frecvență (SF)

spectru împrăștiat cu salt în timp (ST)

spectru împrăștiat cu modulație liniară de frecvență

spectru împrăștiat cu metode de modulație hibride

Schema bloc generală a unui sistem de comunicații cu spectru împrăștiat cu secvență informațională binară poate fi reprezentată în figura 2.1.

Parametrii sistemelor cu spectru împrăștiat sunt:

factorul de multiplicitate (F) – reprezintă numărul de formate de semnal ortogonale prin care se poate transmite un simbol informațional elementar (un bit).

câștigul de procesare (Gp) – este proporțional cu fac], [5], [6], [7], analiza metodelor de sincronizare si modulație a sistemelor haotice: [11], [13], [14], [15], [16], [21], analiza performanțelor generatoarelor haotice pentru utilizarea lor în sisteme de transmisiuni cu spectru împrăștiat: [19], [20], [21], [9], implementarea unor sisteme cu spectru împrăștiat cu secvențe haotice precum și metode de multiplexare în care semnalul de comandă este haotic: [17], [11], [18].

1.3. Conținutul și finalitatea proiectului

Lucrarea de față își propune să facă o analiză în general a tipurilor de sisteme de comunicații cu spectru împrăștiat atât clasice cât și cu purtătoare haotică precum și obținerea unor rezultate experimentale asupra performanțelor unor astfel de sisteme. Structura pe capitole și problemele tratate la fiecare în parte sunt descrise mai jos:

În capitolul 2 voi face o prezentare a sistemelor cu spectru împrăștiat clasice, ale tipurilor de modulații și de sincronizare folosite în cadrul acestor sisteme și a performanțelor acestora.

În capitolul 3 voi prezenta pe scurt teoria sistemelor dinamice, metode ce pot fi folosite pentru a îmbunătății perfomanțele generatoarelor haotice ce sunt folosite ca purtătoare în telecomunicații cu spectru împrăștiat, precum și prezentarea câtorva tipuri de sisteme ce se pot utiliza ca generatoare de purtătoare și parametrii acestora.

Capitolul 4 are ca scop prezentarea metodelor de sincronizare și modulație de bază ce se pot utiliza în cadrul sistemelor de comunicație haotice.

În capitolul 5 voi face tratarea teoretică a unui sistem de telecomunicații cu purtătoare haotică, o comparație între generatoarele de secvențele PN și generatoarele haotice, precum și prezentarea unei scheme de sistem cu purtătoare haotică și a performanțelor acestuia pentru transmia pe diferite tipuri de canale și în diferite condiții de SNR.

Capitolul 6 se va ocupa de tratarea și prezentarea algoritmului pentru simularea unui canal de comunicații pentru mai multe tipuri de canale, AWGN, în prezența fadingului, în prezența fadingului selectiv în frecvență.

Capitolul 7 va prezenta algoritmul programului de simulare realizat precum și explicarea interfeței grafice.

Finalitatea proiectului este punerea bazelor unui mediu de simulare a unor sisteme de comunicație cu spectru împrăștiat care să ofere rezultate pertinente cu privire la performanțele acestor sisteme. Astfel pornind de la acest mediu, împreună cu pachetele de programe realizate adițional, un utilizator va putea analiza tipurile de secvențe haotice ce pot fi utilizate, tipuri de canale pe care se face transmisia, forma semnalelor la detecție în funcție de SNR etc.

Pe larg aceste probleme vor fi prezentate în capitolele care tratează pe larg aceste teme.

2.1. Caracteristici generale ale SSI clasice

Sistemele cu spectru împrăștiat în general au fost dezvoltate pe baza a două principii, care diferă în principal prin modul de realizare al sincronizării și anume:

sisteme cu spectru împrăștiat cu transmiterea referinței (TR). Acest tip de sistem constă în emisia a două semnale în același timp: purtătoarea de bandă largă modulată cu semnalul informațional și purtătoarea nemodulată.

sisteme cu spectru împrăștiat cu stocarea referinței (SR). Acest tip de sistem își generează singur la recepție o replică locală a semnalului de referință folosit la extragerea informației din semnalul de bandă largă modulat.

Primele sisteme au fost de tipul TR dar datorită performanțelor mult mai mari ale sistemelor de tip SR acestea din urmă sau impus, SSI moderne fiind aproape în totalitate realizate cu principiul stocării referinței.

În general sistemele de counicație SSI sunt clasificate după metodele de modulație folosite. Astfel în literatură sunt prezentate mai multe tipuri de sisteme [1]:

spectru împrăștiat cu secvență directă (SD)

spectru împrăștiat cu salt în frecvență (SF)

spectru împrăștiat cu salt în timp (ST)

spectru împrăștiat cu modulație liniară de frecvență

spectru împrăștiat cu metode de modulație hibride

Schema bloc generală a unui sistem de comunicații cu spectru împrăștiat cu secvență informațională binară poate fi reprezentată în figura 2.1.

Parametrii sistemelor cu spectru împrăștiat sunt:

factorul de multiplicitate (F) – reprezintă numărul de formate de semnal ortogonale prin care se poate transmite un simbol informațional elementar (un bit).

câștigul de procesare (Gp) – este proporțional cu factorul de multiplicitate F, fiind factorul cu care trebuie înmulțit raportul de puteri semnal/interferență la intrarea receptorului pentru a obține același raport la ieșire [1]

(2.1)

marja de bruiaj (Mj) – este parametrul ce precizează condițiile în care mai poate lucra SSI în prezența bruiajului [1]

(2.2)

unde LS sunt pierderile inerente intrinseci ale SSI, iar (S/N)ies este raportul semnal/zgomot la ieșirea receptorului pentru o decizie corectă la detecție.

2.2. Tehnica de tip secvență directă (SD)

2.2.1. Prezentare generală

Această metodă de modulație este cea mai simplă și constă în modularea purtătoarei direct de secvența de cod pseudoaleator (PN). Schema bloc generală a unui emițător de tip secvență directă este reprezentată în figura 2.2. [3]

O secvență pseudoaleatoare pnt generată local, este folosită împreună cu un modulator M – PSK pentru a schimba faza purtătoarei de radio-frecvență pseudoaleator, la o viteză a codului Rc care este aleasă multiplu întreg al vitezei de transmisie a datelor Rs.

Metoda utilizează în special modulația de tip bifazic.

Schema bloc a completului emisie-recepție pentru un sistem de comunicație cu spectru împrăștiat SD ce folosește ca modulație de fază modulația bifazică este reprezentată în figura 2.3. [1].

Formele de undă pentru sistem sunt reprezentate în figura 2.4.

Pentru a realiza detecția purtătoarei trebuie obținută sincronizarea secvenței de cod de referință cu codul la emisie. De regulă, cum se utilizează modulația de tip BPSK, transpunerea mesajului pe semnalul util se efectuează prin însumarea modulo 2 a informației cu codul pseudoaleator [1].

2.2.2. Caracteristicile modulației bifazice utilizate

Câteva din caracteristicile modulației bifazice, ce determină utilizarea ei în majoritatea SSI-SD, sunt:

semnalul cu purtătoare suprimată, rezultat din modulația echilibrată, este greu de detectat fără metode foarte complexe, având în vedere raportul SNR redus datorită împrăștierii spectrului;

întrucât transmisia “nu are purtătoare”, puterea emisă se distribuie eficient în benzile laterale;

modulatorul echilibrat este din punct de vedere tehnologic mult mai ușor de realizat față de un sintetizor cu un salt de frecvență;

spectrul semnalului SD prezintă un lob principal cu o anvelopă constantă, deci puterea efectivă a emițătorului este folosită eficient în toată banda transmisă

Forma respectiv spectrul semnalului informațional și al semnalului transmis pot fi reprezentate ca în figura 2.5. [3].

2.2.3. Parametrii SSI-SD

Principalii parametrii ai SSI-SD sunt:

banda de radiofrecvență a SSI-SD. Performanțele acestor sisteme depind mult de banda de radiofrecvență transmisă, BRF, deoarece afectează câștigul de procesare Gp. Astfel cu cât BRF va fi mai mare, cu atât Gp va fi mai mare. Se consideră că banda transmisă BRF este în general banda lobului principal al spectrului:

(2.3)

câștigul de procesare al SSI-SD. Este dat de relația de definiție (2.1). De regulă se consideră Binf = Rinf unde Rinf este viteza de transmisie a datelor. Folosind această metodă de modulație, spectrul semnalului informațional este de forma și deci trebuie determinată în fiecare caz banda minimă necesară pentru transmiterea nedeformată a informației.

2.2.4. Corelația și demodularea la SSI-SD

Una din cele mai importante operații dintr-un receptor SSI este restrângerea spectrului (despreading), care se realizează prin corelație. Apoi se face demodularea purtătoarei folosite ca suport pentru informația utilă. Acest proces se realizează aproape identic la toate SSI și constă în corelația semnalului de spectru împrăștiat recepționat, cu semnalul de referință generat local.

Există două tipuri de corelatoare: corelator pe frecvența purtătoare si corelator de tip heterodină.

corelatorul pe frecvența purtătoare este simplu și constă dintr-un modulator dublu echilibrat. (figura 2.6.) [1]. Cele două coduri, de la emisie și de referință (recepție) sunt identice (la fază și la sincronism) și din corelația f(c) g(m) rezultă purtătoarea. După procesul de corelație este necesară o filtrare, maximizând astfel raportul semnal/perturbații. Un semnal de bruiaj (perturbator) de bandă îngustă poate ajunge în circuitele de după corelator, ceea ce duce la o sensibilitate mare a SSI-SD la bruiajul de bandă îngustă.

corelatorul tip “heterodină”. În acest caz, semnalul de la ieșirea corelatorului “heterodină” nu este centrat pe aceeași frecvență ca și cel de la intrarea sa, ci pe o frecvență intermediară (fIF). Astfel se evită pătrunderea în circuitele de postcoreație a unui semnal de bruiaj pe frecvența de intrare, iar circuitele ce urmează corelației se pot realiza la frecvențe ma joase. Schema unui astfel de corelator este prezentată în figura 2.7.

2.2.5. Performanțele sistemului în prezența interferenței

Pentru a simplifica influența interferenței, sistemul cu spectru împrăștiat este considerat un sistem de comunicație BPSK în banda de bază. Schema bolc este prezentată în figura 2.8. [3].

Semnalul recepționat rxb constă din semnalul transmis txb plus interferența aditivă (zgomot, alți uitlizatori, bruiaj, …)[3]:

(2.4)

Pentru a extrage semnalul informațional dt, semnalul recepționat rxb este înmultit cu secvența generată local pnr care este replica exactă a secvenței utilizată la emisie (pnr = pnt și sunt sincronizate). La ieșire astfel vom avea:

(2.5)

Semnalul de date este multiplicat de două ori de secvența pnr, pe când interferența este multiplicată o singură dată. Datorită caracteristicii secvenței PN:

pentru orice t (2.6)

La ieșirea multiplicatorului vom avea:

(2.7)

Semnalul de date dt este reprodus la ieșirea multiplicatorului, cu excepția interferenței reprezentată de termenul aditiv i pnt. Înmulțirea interferenței i de către secvența PN generată local, înseamnă că secvența PN va afecta interferența în același mod în care a afectat semnalul informațional la emisie. Zgomotul și interferența, fiind necorelate cu secvența PN, sunt mărite ca largime de bandă și respectiv va scade densitatea de putere.

La receptor, după ce se face multiplicarea cu secvența PN, semnalul informațional dt este de bandă îngustă (Rs) pe când interferența va fi reprezentată de un semnal de bandă largă. Aplicând semnalului dr un filtru în banda de bază pentru a selecta doar semnalul informațional recepționat, cea mai mare parte a interferenței este rejectată. Valoarea care spune de cate ori este redus efectul interferenței este caștigul de procesare (Gp) [3].

În cazul interferenței de bandă îngustă, zgomotul este multiplicat de secvența pnr la receptor, și respectiv puterea spectrală a zgomotului este redusă în raport cu semnalul informațional refăcut. Doar 1/Gp din puterea zgomotului inițială este lăsată în banda de bază corespunzătoare semnalului informațional (Rs) figura 2.9.

În cazul interferenței de bandă largă, semnalul de interferență nu este corelat cu secvența PN de la receptor astfel că multiplicarea semnalului recepționat cu secvența PN va duce la împrăștierea interferenței si aducerea semnalului informațional în banda de frecvențe inițială. (figura 2.10.)

Se observă astfel că pentru interferența de bandă largă energia semnalului de interferență trebuie sa fie mai mare decât în cazul interferenței de bandă îngustă pentru a produce același raport SNR dupa refacerea semnalului informațional în corelator la recepție. Iar interferența de bandă largă produsă de alți utilizatori (multi-acces) este rejectată prin folosirea codurilor PN ortogonale (capitolul 1).

2.3. Tehnica de tip salt de frecvență (SF)

2.3.1. Prezentare generală

Tehnica de tip salt de frecvență, pe langă cea cu secvență directă reprezintă una din cele mai folosite metode în sistemele cu spectru împrăștiat. La modulația de tip salt de frecvență, frecvența emițătorului și a receptorului corespondent sunt determinate să se modifice sincron, conform unei secvențe pseudoaleatoare, într-o bandă mult mai mare decât cea a semnalului informațional. La emisie, frecvența transmisă un timp foarte scurt (Tc) se schimbă cu o viteză numită “viteză de salt” și egală cu viteza codului pseudoaleator (Rc) [1]. Variația posibilă în timp a unui semnal cu salt de frecvență este reprezentată în figura 2.11.

Setul de frecvențe (f1, f2, … , fN) este generat de sintetizor conform secvenței pseudoaleatoare, asigurându-se caracterul impredictibil pentru un ascultător neavizat.

Structura generală a unui astfel de sistem este prezentată în figura 2.12., unde se face abstracție de blocurile de la ieșirile emițătorului și cele de la intrarea receptorului. [1]

Un parametru semnificativ în proiectarea SSI-SF este viteza salturilor (egală în principiu cu viteza codului pseudoaleator Rc). SSI-SF se pot clasifica în funcție de raportul dintre viteza salturilor și viteza informației Rinf astfel [1]:

SSI-SF cu salt lent, Rc < Rinf;

SSI-SF cu salt mediu, Rc Rinf;

SSI-SF cu salt rapid, Rc > Rinf.

O altă clasificare, după mărimea vitezei de salt, este următoarea:

cu salt lent – cele de ordinul a zeci/secundă;

cu salt mediu – sute/secundă;

cu salt rapid – mii/secundă.

Dacă salturile de frecvență se realizează în banda [0, Mf1] în multiplii întregi ai frecvenței f1, banda ocupată de semnalul complex cu salt de frecvență este Bs Mf1. Însă forma spectrului în această bandă depinde de tipul modulației mesajului și a viteza de salt de frecvență. Numărul k de salturi de frecvență depinde de relația dintre durata t1 a unui salt și durata unui bit de mesaj (tm = kt1). În consecință, banda mesajului va fi Bm = 1/tm = 1/(kt1). Uneori se folosesc sisteme hibride, salt lent – salt rapid, unde saltul lent asigură baleierea unei benzi mai largi.

Metoda intercalării biților informaționali permite reducerea efectelor bruiajului la stațiile cu salt lent. Intercalarea propriu-zisă constă în gruparea biților mesajului informațional în “cuvinte de m biți” și transmiterea fiecărui bit pe altă frecvență. Dacă Rc = Rinf/m, toți cei m biți ce se transmit simultan prin transmiterea unei frecvențe din cele N ale SSI-SF fac parte din cele m cuvinte diferite figura 2.13. [1].

2.3.2. Parametrii caracteristici ai SSI-SF

câștigul de procesare (Gp), se obține pe baza împăștierii interferenței nesincrone în urma corelației cu semnalul de referință locală de bandă largă și a filtrării [1]:

(2.8)

În figura 2.14. se prezintă se prezintă spectrul ideal al SSI-SF.

Spectrul semnalului SF real diferă de cel ideal al SSI-SF. Datorită manipulării cu viteza Rinf, fiecare din cele N frecvențe de salt are un spectru specific modulației FSK cu lărgimea de bandă 2Rinf. O condiție obligatorie pentru a se obține Gp acceptabil este ca nivelul transmis (anvelopa semnalului RF al SSI) să fie constant în întrega bandă BRF.

banda de radiofrecvență transmisă BRF. Banda de împăștiere e un parametru foarte important. O modalitate de a reduce acest parametru este să se suprapună canalele. (figura 2.15.). În cazul nesuprapunerii canalelor se obține BRF = 2NRinf [1].

Din punct de vedere al protectiei SSI-SF împotriva bruiajului, pentru a fi eficient acesta trebuie să fie de bandă cât mai largă (astfel bruiajul necesită puteri mari și sistemul de bruiaj poate fi detectat și distrus), de asemenea SSI-SF pot fi programate manual să evite anumite benzi de frecvență.

Astfel, tehnica de tip salt de frecvență nu oferă nici o protecție împotriva intereferenței în cazul în care acesta se afla pe frecvența curentă de salt, iar dacă semnalul de interferență urmărește frecvența de salt atunci sistemul de tip SSI-SF este total bruiat, această tehnică fiind o contra-contramasură electronică, cocepută pentru a combate efectele bruiajului prin evitare, reprezentând o strategie de evadare și nu de rezistență la bruiaj.

2.4. Tehnica de tip salt în timp (ST)

Tehnica de tip salt in timp este mai putin folosită. Reprezentarea semnalului pentru SSI-ST este dată în figura 2.16. [1].

În fiecare cadru se transmit K biți de mesaj, iar numărul intervalelor elementare de timp este M. Durata asociată unuia din cei k biți de mesaj va fi Tf/M, iar un cadru durează Tf = ktm . Atunci intervalul elementar va fi pentru modulația bifazică și pentru cea cuadrifazică. Banda semnalului va fi [1]:

pentru modulația bifazică:

(2.9)

pentru modulația cuadrifazică:

(2.10)

Câștigul de procesare este [1]:

pentru modulația bifazică:

(2.11)

pentru modulația cuadrifazică:

(2.12)

Nu voi insista prea mult asupra acestui tip de modulație, deoarece este rar utilizată ca o aplicație de sine stătătoare și mai mult ca o modulație auxiliară pentru SSI-SF și SSI-SD pentru a îmbunătății performanțele acestora.

2.5. Tehnici SSI hibride

Sistemele hibride folosesc o combinație a metodelor prezentate mai sus pentru a folosi proprietătile caracteristice mai multor tipuri de modulații. În mod uzual se foloseste o combinație a două tipuri de sisteme și anume secvență directă si salt de frecvență. Avantajul combinării celor două metode este de a mări performanțele sistemului care altfel nu pot fi obținute prin intermediul unei singure metode.

2.6. Generatoare de secvențe PN

O secvență de cod de tip PN se comportă ca un semnal de tip zgomot (dar determinist) folosit pentru împrăștierea energiei semnalului informațional. Alegerea unui cod bun este importantă, deoarece tipul și lungimea codului determină limitele pe care le poate atinge sistemul ca performanță.

2.6.1. Parametrii secvențelor PN.

Parametrii caracteristici secvențelor PN [3]:

balance property: în fiecare perioadă de repetiție a secvenței numărul de “1” logic trebuie să difere de numărul de “0” logic cel mult printr-un digit. Când modulăm o purtătoare cu o secvență de tip PN, echilibrul dintre “1” și “0” (componenta de CC) poate limita gradul de suprimare posibil al purtătoarei, deoarece suprimarea purtătoarei este dependentă de simetria semnalului modulator.

run-length distribution: O secvență de tip “run” este o secvență ce conține doar un singur tip de semnale binare. Printre tipurile de secvențe de “1” sau “0” consecutive este de preferat ca aproximativ jumătate să aiba lungimea 1, o pătrime să aibă lungimea 2, o optime să aibă lungimea 3 și asa mai departe.

funcția de autocorelație: originea numelui de PN (pseudo-noise) provine din faptul că semnalul digital are o funcție de autocorelație asemănătoare zgomotului adică sub formă de impuls în origine. Funcția de autocorelație este definită ca:

(2.13)

Secvența PN se proiectează astfel încât să aibă un singur maxim într-o perioadă dacă nu este sincronizată așa cum se arată in figura 2.17.

spectrul secvenței PN: datorită naturii periodice a secvenței PN, răspunsul în frecvență al acesteia fiind format din linii spectrale care se apropie din ce în ce mai mult odată cu creșterea lungimii secvenței Nc. Componenta continuă așa cum am vazut anterior este determinată de zero-one balance.

funcția de cross-corelație: aceasta descrie interferența între codurile pni și pnj:

(2.14)

Așa cum am prezentat în capitolul anterior, pentru a putea folosi sistemele cu spectru împrăștiat ca sisteme cu acces multiplu, trebuie ca funcția de cross-corelație între oricare două secvențe PN ce caracterizează fiecare o pereche emițător-receptor să fie zero, respectiv codurile să fie ortogonale. În practică, codurile nu sunt perfect ortogonale, astfel cross-corelația între codurile utilizatorilor va determina scăderea performanței, care limitează numărul maxim de utilizatori simultan.

2.6.2. Tipuri de coduri PN:

Coduri de tip m.

Pentru generarea codurilor PN, se poate folosi un registru de deplasare (SSRG – Simple Shift Register Generator) la care toate stările sunt “întoarse” la intrarea registrului prin intermediul unei funcții. SSRG este liniar dacă funcția de feedback poate fi exprimată ca o sumă modulo 2.

Funcția de feedback f(x1, x2, … ,xn) reprezintă suma modulo 2 a celulelor registrului, ci fiind coeficienții prin intermediul cărora se face selecția căror celule vor participa la evaluarea funcției. Un SSRG cu L celule produce secvențe care depind de lungimea registrului L, de coeficienții ci și de condițiile inițiale în care se află registrul. Când perioada (lungimea) secvenței este exact Nc = 2L – 1, atunci secvența PN este de tipul maximum-length sequence sau secvență de tip m.

Dacă un registru SSRG de lungime L are coeficienții 1 pentru celulele de ordin L, k, m și generează secvența …, ai, ai+1, ai+2, … atunci reverse SSRG are coeficienții 1 pentru celulele de ordin L, L-k, L-m și secvența …, ai+2, ai+1, ai, … .

În tabelul 2.1. se prezintă o serie de secvențe de tip m pentru diferite lungimi ale registrului de deplasare.

Astfel pentru fiecare set [L, k, … , p] din tabel, există un set imagine (reverse set) care generează o secvență identică inversată în timp.

Parametrii codurilor de tip m [3]:

balance: pentru o secvență de tip m întodeauna va fi un semnal binar de “1” în plus față de numărul semnalelor de “0”, într-o perioadă a secvenței. Cum într-o perioada sunt atinse toate stările cu excepția starii de “0” pentru toate celulele, atunci înseamnă că vom avea 2L-1 de “1” și 2l-1-1 de “0”.

run-length distribution: pentru fiecare perioadă a secvenței m, jumătate din secvențele consecutive de “1” sau “0” au lungimea 1, un sfert au lungimea 2, o optime au lungimea 3 etc.

Tabelul 2.1. Tipuri de secvențe m

funcția de autocorrelație: funcția de autocorelație a unei secvențe m este –1 pentru toate valorile ale diferenței de fază , exceptând pentru intervalul [-1,+1], în care corelația variază linear de la valoarea –1 la 2L-1 = Nc în punctul 0 (figura 2.21.)

funcția de cross-corelație: crosscorelația este o măsură a ortogonalității între două coduri. Din păcate, funcția de cross-corelație nu se comportă la fel de bine ca autocorelația. Când există un număr mare de utilizatori, ce folosesc coduri diferite, și trebuie să folosească o bandă comună de frecvențe , codurile alese trebuie să fie ortogonale pentru a evita interferența dintre diferiți utilizatori. Am calculat funcția de cross-corelație pentru codurile m: [5,3] [5,2], [5,3] [5,4,3,2], rezultatele obținute fiind afișate în figura 2.22.

securitatea: secvențele m sunt lineare, și astfel nu sunt utilizabile pentru a asigura securitatea sistemelor de transmisie. Codurile lineare sunt ușor descifrabile odată ce o scurtă secvență din cod este cunoscut (2L+1). [3].

Coduri de tip Barker.

Numărul de celule din registrul de deplasare determină de asemnea perioada secvenței generate Nc = 2L – 1. Codurile de tip Barker sunt coduri cu lungimi diferite și proprietăți de autocorelație similiare codurilor de tip m. Acest tip de coduri nu prezintă mare importanță pentru sistemele cu acces multiplu.

Codurile de tip Gold

Funcția de autocorelație pentru o secvență de tip m nu poate fi îmbunătățită, dar în cazul unui canal cu acces multiplu avem nevoie de coduri de acceași lungime dar cu bune proprietăți de cross-corelație.

Codurile de tip Gold sunt folositoare deoarece un mare număr de coduri (cu aceeași lungime dar cu proprietăți de autocorelație controlate) pot fi generate, având nevoie doar de o pereche de seturi de coeficienți.

Codurile Gold sunt coduri rezultate prin adunarea modulo 2 a două secvențe de lungime maximă cu aceeași lungime (coduri factor). Secvențele de cod sunt adunate bit cu bit, fiind sincronizate. Deoarece secvențele de tip m sunt de aceeași lungime, cele două coduri generatoare mențin aceeași relație de fază, și codul generat are aceeași lungime ca cele două coduri de bază, dar sunt nonmaximale (ceea ce înseamnă ca proprietățile de autocorelație sunt mai proaste decăt în cazul secvențelor de tip m). Fiecare schimbare de fază între cele două secvențe de tip m determină ca o nouă secvență să fie generată. [3].

Orice generator de cod Gold de lungime L poate genera 2L-1 secvențe (de lungime 2L-1) plus cele două secvențe de tip m de bază, rezultând un total de 2L+1 secvențe.

În plus față de avantajul de a genera un număr mare de coduri, codurile de tip Gold pot fi alese astfel încât pentru un set de coduri disponibile de la un anumit generator funcția de autocorelație și de cross-corelație între coduri să fie uniformă și limitată. Când secvențele de tip m sunt în special alese, numite și “secvențe preferate” (preferred m-sequences), atunci codurile Gold generate au funcția de cross-corelație ce poate lua doar trei valori așa cum se vede din tabelul 2.2. [3]

Tabelul 2.2. Valorile funcției de cross-corelație

Avem nevoie de caracteristici ale funcției de crosscorelație predictibile acolo unde un cod trebuie ales din alte coduri care există în spectru. Ca dezavantaj al unor coduri Gold generate este faptul că nu toate sunt “echilibrate” (balanced.) În tabelul 2.3. se prezintă câteva de perechi de coduri “preferate” pentru diferite lungimi ale registrilor de generare. [3]

Tabelul 2.3. Perechi de coduri preferate pentru coduri Gold

Luăm spre exemplu generatorul de coduri Gold format din perechea [5,4,3,2] [5,3]

Rezultatele obținute pentru funcția de autocorelație sunt prezentate în figura 2.21., iar pentru funcția de crosscorelație pentru mai multe secvențe sunt prezentate în figura 2.22.

Coduri de tip Hadamard-Walsh.

Codurile de tip Hadamard-Walsh sunt generate intr-un set de N = 2n coduri de lungime N = 2n. Algoritmul de generare este simplu [3]:

cu (2.15)

Liniile (respectiv coloanele) matricii HN reprezintă codurile Hadamard-Walsh.

Spre exemplu am generat urmatoarele matrici Hadamard-Walsh:

, , (2.16)

În fiecare caz prima linie (linia 0) a matricei este formată în totalitate din 1, iar oricare din celelalte linii are un număr egal de N/2 de “0” și “1”. Distanța (numărul de elemente diferite) între orice coloană este exact N/2. Spre exemplu, pentru H8, distanța între oricare două coloane este 4, astfel că distanța Hamming a codurilor Hadamard este 4.

O proprietate importantă a matricelor Hadamard este faptul că oricare două linii sunt ortogonale și astfel cross-corelația între oricare două coduri a aceleiași matrici este zero, când codurile sunt perfect sincronizate:

(2.17)

Problema este că doar în momentul în care sunt sincronizate, aceste coduri au proprietăți bune de ortogonalitate, iar datorită periodicității lor, au proprietăți slabe în ceea ce privește eficiența împrăștierii și de asemenea probleme cu sincronizarea bazată pe autocorelație.

2.7. Sincronizarea secvențelor PN

Pentru a funcționa, un sistem de comunicații SSI are nevoie ca secvența PN generată local (secvența folosită de receptor pentru a face corelația) să fie sincronizată cu secvența PN a generatorului de la emisie (secvența folosită de emițător pentru a împraștia semnalul) atât ca viteză a codului cât și ca poziție.

2.7.1. Surse care determină nesincronzarea generatoarelor PN

Putem considera ca în principiu există două tipuri de nesincronizare în cazul a două generatoare PN, respectiv cel de la emisie și cel de la recepție:

Nesincronizare în timp:

necunoașterea exactă a distanței dintre emițător și receptor (întârzâierea provocată de propagarea semnalului)

întârzâierile relative între generatoarele de tact de la emisie și recepție

diferența de fază între emițător și receptor (a purtătoarei și a secvenței)

Nesincronizare în frecvență:

viteza relativă între emițător și receptor care afectează frecvența purtătoarei (efectul Doppler). Voi prezenta pe larg influențele acestui efect asupra propagarii si asupra canalului în capitolul 6.

Procesul de sincronizare a secvenței generate local cu secvența recepționată este în mod uzual facută în două etape: prima etapă, numită faza de achiziție, constă în aducerea celor două secvențe în sincronism ele fiind la momentul punerii în funcțiune a sistemului în nesincronism. Odată ce s-a realizat sincronismul secvenței generate local, al doilea pas, numit faza de urmărire, ia controlul procesului de sincronizare și menține alinierea celor două secvențe printr-o buclă. Aceasta este esențial pentru a atinge cea mai mare putere de corelație și astfel cel mai mare câștig de procesare la receptor.

2.7.2. Faza de achiziție

Problema achiziției este de a căuta într-o regiune de timp și frecvență pentru a realiza sincronizarea între semnalul de spectru împrăștiat recepționat cu secvența PN generată local. Cum de obicei procesul de “adunare” a spectrului are loc înaintea sincronizării purtătoarei, și de aceea purtătoarea este necunoscută în acest punct, majoritatea schemelor de achiziție utilizează detecția necoerentă.

O caracteristică comună tuturor metodelor de achiziție este aceea că semnalul recepționat și secvența PN generată local sunt prima dată corelate cu un pas de timp (de cele mai multe ori Tc/2) pentru a produce o măsură a similarității celor două; această masură este apoi comparată cu un prag pentru a decide dacă cele două semnale sunt în sincronism. Dacă sunt, un algoritm de verificare este pornit, iar după această testare dacă secvențele sunt în sincronism, intră în funcțiune bucla de urmărire.

Avem mai multe metode prin care putem realiza sincronizarea în faza de achiziție:

filtru adptiv (paralel). Un filtru adaptiv calculează funcția de corelație la fiecare eșantion cu perioada Tsample. Aceasta dă cel mai scurt timp de achiziție dar o implementare numai de acest tip necesită un cost ridicat. Creșterea costului cu mărirea lungimii secvenței PN și factorul de supraeșantionare s determină ca această metodă să fie folosită doar pentru coduri scurte.

Corelator activ (serial). Un corelator activ necesită un proces de integrare pe o perioadă totală de NcTc a secvenței PN pentru a calcula un punct al funcției de autocorelație. Nu necesită un support hardware important, dar în schimb este mărit timpul de achiziție

Sincronizare serială (sliding correlator)

Corelatorul cu alunecare (sliding correlator) se bazează în principal pe un corelator activ. Ciclurile corelatorului pentru a realiza sincronizarea de obicei se fac în intervale de timp discrete cu perioada Tc/2 sau mai puțin. Corelația este efectuată pe o perioadă a secvenței PN: Ts = NcTc. După fiecare interval de integrare, ieșirea corelatorului este comparată cu un prag pentru a determina dacă secvența PN cunoscută este prezentă. Dacă pragul nu este depășit, secvența PN de la generatorul local este avansată cu Tc/2 secunde și procesul de corelație este repetat. Aceste operații sunt repetate până un semnal este detectat sau până căutarea a fost făcută pe un interval de incertitudine Tu. Pentru un pas ales de Tc/2 în cazul cel mai nefavorabil timpul de achizitie este (Tu = NcTc):

(2.18)

care devine foarte mare pentru coduri lungi. Schema bloc pentru un corelator cu alunecare este prezentată în figura 2.23. [3]

Sincronizarea de tip serial/paralel

Mai multe corelatoare active sunt puse în paralel cu secvențele PN aflate la o distanță în timp de Tc/2 (figura 2.24. [3]). După perioada de integrare NcTc, sunt comparate rezultatele de la ieșirile corelatoarelor, astfel încât dacă nici o ieșire nu depășește pragul secvența avansează cu 3Tc/2 secunde. Când pragul este depășit, este aleasă ieșirea corelatorului cu valoarea cea mai mare. Ïn acest caz, timpul de achiziție cel mai nefavorabil devine:

(2.19)

Astfel timpul de căutare este redus, dar cu costul creșterii complexității sistemului.

2.7.3. Faza de urmărire

Faza de urmărire înseamnă menținerea generatorului de cod PN local în sincronism cu semnalul recepționat. Este nevoie de acest proces pentru a maximiza câștigul de procesare. Astfel pentru o secvență PN cu o eroare de fază de Tc/2 câștigul de procesare este redus cu factorul 2. (figura 2.25.)

Delayed-Locked Loop (DLL)

Codul generat local pnr(t) al buclei de urmărire este la momentul inițial la o diferență de timp de codul recepționat pn(t), cu < Tc/2. In DLL, două secvențe PN pnr(t + Tc/2 + ) și pnr(t – Tc/2 + ) sunt întârzâiate una fața de alta cu o perioada Tc. Ieșirile Early și Late sunt evaluarea funcției de autocorelație la două momente de timp ce = Ra( – Tc/2) ci = Ra( + Tc/2).

Astfel când este pozitiv, semnalul de feedback Y(t) comandă generatorul de tact (NCO = Numerical Controlled Oscillator) să mărească frecvența, astfel determinând scăderea lui . Când în schimb este negativ, semnalul de feedback Y(t) comandă generatorul de tact controlat să scadă frecvența, forțând astfel scăderea lui .

3.1. Generalități despre sistemele dinamice

Un sistem dinamic determinist este complet caracterizat de starea sa inițială și dinamica sa. Un astfel de sistem poate avea un spațiu al stărilor continuu sau discret și o dinamică continuă sau discretă.

Un sistem dinamic este definit ca fiind un set de ecuații diferențiale de ordinul 1 :

, i = 1, …, n (3.1)

Sistemul este numit autonom dacă Fi = Fi(x), însemnând că funcțiile Fi nu se schimbă în timp. Sistemele de ecuații diferențiale de ordin mai mare pot fi reduse la sisteme de ordinul întâi prin intermediul unei schimbări de variabile.

Un sistem dinamic este în general definit pe o configurație a spațiului numită mainfold. Un mainfold seamănă local cu un spațiu Euclidian Rn , dar pot avea structuri globale diferite, asa cum sunt exemplificate de cilindru, torus etc.

Integrarea ecuațiilor (3.1) la xi(t) = Ii(x(0),t), i = 1, …, N (3.2)

conduce la curbe integrale sau traiectorii care delimitează o zonă din mainfold. Aceste seturi de curbe sunt denumite orbite. Zona delimitată astfel integrează câmpul de vectori determinat de (3.1).

Ecuațiile diferențiale lineare admit soluții analitice și au o bună comportare asimptotică pentru t , convergând către puncte fixe, sau oscilații periodice, formând orbite închise. Prin contrast, chiar cea mai simplă deviație de la liniaritate, incluzând forme pătratice, biliniare, sau pe segmente liniare, pot, în condiții adecvate, să rezulte în comportări haotice complexe ergodice, în care orbitele sistemului sunt atrase către un subset complex, multi-dimensional numit atractor. Sistemele ergodice se comportă asemănător sistemelor termodinamice, în ideea că pot fi modelate pe un ansamblu de valori statistice, deoarece orbitele ‘acoperă’ un (posibil dens) set de măsuri invariante în timp.

Un atractor este un subset din mainfold, către care un subset deschis de puncte, bazinul atractorului, tind la limită în timp. De exemplu în figura 3.1. b) pentru v = +1 sistemul are un atractor ce constă dintr-o orbită circulară închisă, cu bazinul de atracție pus în evidență de direcțiile de curgere. Existența unui atractor necesită ca volumul local să se contracte cu mărirea duratei de timp de observare a evoluției sistemului și este consistent în cazul sistemelor disipative.

În figura 3.1. a) este reprezentat atractorului sistemului Lorentz, care arată o dependență senzitivă în care traiectoriile vecine se separă exponianțial cu timpul. Traiectoriile vecine care pleacă din a sunt vizibil separate în b și diverg în două traiectorii distincte c1 și c2. În b) bifurcația Hopf formează un atractor cu orbită închisă periodică. Pentru v < 0 există doar un punct ca atractor, iar cum v devine pozitiv apare o orbită periodică și o sursă. Bazinele sunt indicate de săgeți. În partea c) se prezintă profilul geometric pentru rezolvarea numerică a unui sistem de ecuații folosind metoda îmbunătățită Euler (3.4) [8].

Cea mai importantă caracteristică a sistemelor haotice o reprezintă dependența de condițiile inițiale (Schuster 1986). De exmplu, două puncte care sunt alese în mod arbitrar foarte apropiate unul de celălalt se depărtează în mod exponențial cu evoluția timpului, ducând la amplificarea unor perturbații foarte mici în incertitudini globale. Astfel o perturbație mică, arbitrară a traiectoriei determină schimbări structurale a topologiei orbitelor. De asemenea se observă creșterea entropiei asociată cu pierderea informației asupra poziției sistemului în timp. Aceste rezultate previn aproximarea numerică pe timp lung a evoluției sistemului în timp.

Sistemele dependente de timp sunt capabile de schimbări majore a formei lor topologice numite bifurcații în momentul în care parametrii sistemului trec prin anumite valori. Bifurcațiile sunt de fapt niște schimbări majore în topologia atractorului pentru o variație continuă a parametrilor dependenți de timp. În figura 3.1. b) așa cum am arătat bifurcația Hopf rezultă în formarea unui atractor cu orbită închisă (oscilație) de la un atractor de tip punct (sink) la origine în momentul în care v trece prin 0. [8]

Deoarece ecuațiile diferențiale neliniare nu pot fi integrate direct, este de multe ori necesar să recurgem la tehnici de integrare numerică în care este construită o funcție de transfer directă care aproximează evoluția sistemului la intervale de timp discrete, folosind metode numerice cum sunt: metoda Euler îmbunătățită (3.4) sau Runge-Kutta:

(3.4)

În cazul unui sistem ce variază în timp, haosul se poate stabili în principal prin trei metode: o serie de bifurcații ale atractorului, ruperea neperiodică a periodicității sistemului, sau ruperea topologică a unei suprafețe, cum ar fi un torus, reprezentând câteva oscilații întrețesute.

3.2. Cerințe ce se impun secvențelor haotice pentru a fi utilizate în SSI

În acest paragraf următor voi face o prezentare a cerințelor care se impun secvențelor haotice, astfel și generatoarelor haotice în ceea ce privește posibilitatea utilizării lor ca purtătoare haotice pentru sisteme cu spectru împrăștiat.

Literatura de specialitate continuă să găzduiască studii comparative între semnalele de împrăștiere a spectrului folosite în sistemele SSI, “clasice” și secvențele haotice complexe, care le pot înlocui și pot asigura un acces muultiplu în tehnica cu diviziune în cod. În majoritatea lor, studiile arată posibilitatea tehnică și tehnologică a utilizării secvențelor haotice în locul secvențelor de tip Pseudo Zgomot (Pseudo Noise) și relative avantaje pentru asigurarea protecției comunicației în medii zgomotoase sau cu bruiaj.

Teoretic vorbind, o secvență haotică, aparținând unui semnal haotic, trebuie să îndeplinească cel puțin trei condiții de bază:

funcția sa de autocorelație să fie cât mai apropiată de un impuls delta δ[n]

funcția de corelație mutuală cu alte secvențe haotice utilizate trebuie să fie foarte mică (sau să descrească foarte rapid).

uniformitate, adică fiecare valoare generată să aibă aceeași probabilitate

Pentru a asigura o împrăștiere uniformă a informației, densitatea spectrală de putere a purtătoarei haotice trebuie să fie cât mai plată, adică similară zgomotului alb.

Pentru comunicațiile analogice, în cazul demodulației noncoerente, purtătoarele haotice trebuie să aibe o funcție de autocorelație cel puțin exponențial scăzătoare, iar în cazul demodulației coerente, generatoarele haotice trebuie să asigure o comportare asimptotică unică în raport cu semnalul informațional.

În plus modelele pentru un generator haotic trebuie să fie simple, ușor realizabile, și robuste la variațiile statistice ale tehnologiilor de realizare. În literatură au fost deja raportate numeroase soluții integrate pentru implementări analogice sau digitale ale generatoarelor haotice.

Cerințele enumerate mai sus constituie un deziderat greu de îndeplinit în condițiile în care semnalele haotice sunt totuși deterministe funcționând după o lege bine definită. Realizările în acest domeniu îndeplinesc mai mult sau mai puțin cerințele amintite.

Cea mai largă clasificare a generatoarelor haotice se poate face după tipul de semnalelor generate:

generatoare haotice în timp continuu

generatoare haotice în timp discret

Încă nu se poate spune că una dintre cele două clase este superioară celeilalte, fiecare dintre ele având avantaje și dezavantaje. Alegerea unui tip de generator este rezultatul unei analize concrete, în funcție de scopul propus.

Cum analiza pe care o vom face pentru fiecare tip de generator în parte va fi facută în Matlab și generatoarele haotice analogice vor fi integrate numeric, parametrii următori îi considerăm valabili și în cazul generatoarelor analogice.

Setul de secvențe de cod xi = {…, xi(-1), xi(0), xi(1),…} cu trebuie să fie ortogonal.

Estimarea funcției de corelație mutuală între două secvențe xi și yj este dat de realția:

(3.5)

Generatoarele de cod staționare au estimatul funcțiilor de croscorelație independent de ”m”.

Pentru xi ≡ xj relația de mai sus furnizează un estimat al funcției de autocorelație φx[τ].

Așa cum se arată în [3], calitatea unei secvențe haotice ce urmează a fi folosită în SSI care asigură CDMA, poate fi apreciată prin:

– Factorul de merit (Merit Factor):

(3.6)

care indică dominanța valorii maxime φxx[0] față de celelalte valori în spiritul unei erori pătratice;

– Raportul dintre valoarea principală și vârfuri laterale dominante (The main-to-side-peak ratio) definit prin:

(3.7)

De exemplu secvențele PN de tip “m” folosite în SSI clasice cu valori {-1, +1} au funcția de autocorelație și pentru τ ≠ 0. În acest caz, funcția lor de autocorelație este periodică, cu perioada N, astfel că factorul de merit MF = N2/(N – 1), iar raportul MSR = N.

În contiunare voi face o prezentare a unor tipuri de metode ce au fost propuse în bibliografie pentru a mări performanțele statistice și nu numai, ale secvențelor haotice ce pot fi utilizate în sisteme cu spectru împrăștiat.

3.3. Metode pentru prelucrarea secvențelor haotice

Aceste metode au fost propuse pentru mărirea spectrului și îmbunătățirea performanțelor de necorelație (ortogonalitate) a secvențelor haotice, în special în cazul generatoarelor analogice dar și a celor digitale.

3.3.1. Utilizarea unui cifru pentru lărgirea benzii secvenței generate

În [11] se propune utilizarea unui cifru pentru a mări banda de frecvențe pentru generatorul haotic de tip Chua, dar care poate fi folosit pentru orice alt tip de generator haotic, în special pentru generatoarele analogice deoarece în cazul celor digitale aceasta se poate face foarte ușor prin schimbarea frecvenței de generare a eșantioanelor.

Folosim astfel un semnal de intrare haotic obișnuit (banda sa este de ordinul KHz) și apoi utilizăm o funcție de împrăștiere pentru a-l aduce într-o bandă de ordinul MHz. Pot fi alese orice generatoare de semnale haotice deterministe care pot fi sincronizate.

În continuare aplicăm semnalului haotic p(t) un cifru de ordinul n pentru a-l împrăștia. Cifrul de ordinul n este dat de:

(3.8)

unde f este de forma:

(3.9)

iar h este ales astfel încât p(t) se află în intervalul (-h, h).

Forma acestei funcții este reprezentată în figura 3.2. [11]

Cum un sistem care să asigure o carecteristică ca cea din figura de mai sus nu poate fi implementat în practică, avem nevoie de o versiune continuă a acestei caracteristici. În acest caz f este dată de:

(3.10)

Caracteristica acestei funcții este reprezentată în figura 3.3.

3.3.2. Împrăștierea secvenței haotice folosind un set de coduri

O altă metodă propusă care se pretează mai ales generatoarelor digitale, constă în alegerea unui set de coduri se poate crea prin divizarea secvenței haotice x în subsecvențe de lungimi N de tipul:

C = {C[0], … , C[N-1]} = {x[k], … , x[k+N-1]} (3.11)

Generatorul haotic din figura 3.4. este caracterizat de ecuația cu diferențe finite de ordinul n:

unde x[k] [-1, 1]. (3.12)

În [9] se arată că dacă an Z și |an| > 1, secvențele generate de sistemul din figura 3.4. sunt haotice și au o distribuție uniformă n-dimensională pe mulțimea [-1,1]n Rn.

“Calitatea” secvențelor de cod haotice astfel generate depinde de tipul de generator haotic folosit. De exemplu, în [9] se arată că pentru numeroase generatoare haotice factorul de merit estimat este MF ≈ 1, iar MRS este proporțional cu .

Valorile pentru MF și MRS corespunzătoare secvențelor PN de tipul “m” sau Gold sunt mai bune, dar performanțele lor (relativ superioare) se degradează după procesele de modulație și în prezența zgomotelor canalului, lucru care nu se remarcă în cazul secvențelor haotice.

Robustețea secvențelor haotice și faptul că, cel puțin teoretic, numărul lor nu este limitat ca în cazul secvențelor de tip “m” sau Gold, le face foarte atractive în aplicațiile CDMA.

În [10] se propune o altă soluție interesantă pentru generarea secvențelor haotice de împrăștiere a biților informaționali în cadrul unui SSI. Punctul de plecare îl constituie observația că evoluția unui generator haotic depinde de soluția inițială (de stare) și (doar) de câțiva parametri care caracterizează legitatea sistemului dinamic folosit. De exemplu, pentru ecuația logistică:

xn+1 = r xn (1-xn) (3.13)

evoluția unui semnal haotic generat va depinde de soluția inițială x0 și de alegerea parametrului de bifurcație “r”. Modificarea acestor două valori va conduce la evoluții haotice necorelate caracterizate de C1(x01, r1) și C1(x02, r2).

Plecând de la această observație, în figura 3.5 a) se propune o metodă de generare a secvențelor de împrăștiere, iar în figura 3.5 b) este ilustrată împrăștierea biților informaționali.

În cele ce urmează voi face o prezentare a câtorva tipuri de generatoare folosite precum și a proprietăților acestora în ceea ce privește posibilitatea utilizării lor ca purtătoare haotice pentru sisteme cu spectru împrăștiat.

3.4. Tipuri de generatoare haotice

3.4.1. Circuitul Chua

Cel mai cunoscut circuit care este capabil de a genera un semnal haotic a primit numele celui care l-a construit, profesorul Leon O. Chua. Schema de principiu a circuitului este prezentată în figura 3.6.

Circuitul se compune din mai multe componente discrete și un element neliniar (NR). Așa cum se observă din figura 3.1, componentele discrete sunt:

capacitoarele C1 și C2;

bobina L (a cărei rezistență în curent continuu este R0);

rezistența R;

Elementul neliniar, numit astfel deoarece este un uniport a cărui caracteristică curent – tensiune este neliniară, este cunoscut sub numele de ‘dioda Chua’. Cel mai adesea, caracteristica se compune din segmente de dreaptă de diferite pante, dar implementarea circuitului se poate face și cu o neliniaritate cubică (polinom de ordinul al-III-lea).

Pe baza relațiilor lui Kirchhoff aplicate circuitului lui Chua se pot deduce ecuațiile ce caracterizează funcționarea acestuia:

(3.14)

unde g(vR) este funcția neliniară care caracterizează funcționarea elementului neliniar:

(3.15)

în care Ga și Gb sunt pantele segmentelor de dreaptă care compun caracteristica în planul curent – tensiune, iar E reprezintă tensiunea la care apare schimbarea de pantă (figura 3.7).

Forma generală a funcției de neliniaritate poate fi caracterizată de asemenea printr-o neliniaritate cubică dată de:

(3.16)

Trebuie menționat faptul că aceste valori nu sunt unice, circuitul funcționând în regim haotic și cu alte valori dar acestea trebuie alese cu grijă deoarece o mică modificare a unui parametru poate duce la intrarea în alt regim de funcționare.

În figura 3.8. este reprezentată variația în timp a secvențelor obținute cu ajutorul generatorului Chua.

Parametrii aleși pentru generatorul Chua sunt afișați în tabelul 3.1.

Tabelul 3.1. Valorile parametrilor sistemului Chua

Condițiile inițiale au fost alese: v1 = -0.2, v2 = -0.02, iL = 0.0001.

Spectrele celor trei semnale haotice se pot observa în figura 3.9., cel mai important dintre ele fiind primul (tensiunea de pe elementul neliniar) care va fi folosit pentru transmiterea informației în cadrul sistemelor de comunicație. După cum se observă acest spectru este distribuit pe o bandă de 6-7 [kHz] având anumite maxime în jurul frecvențelor de 0.4 și 6 [kHz], acesta nefiind un lucru de dorit. Aceste valori au fost determinate numeric ținându-se cont de faptul că banda semnalului este limitată la acea frecvență la care energia semnalului este egală cu 99% din energia totală.

Cu toate acestea rezultatele obținute în folosirea acestui sistem sunt spectaculoase, acesta având o oscilație haotică stabilă în timp, cu proprietăți statistice bune (legea de variație este impredictibilă și asemănătoare zgomotului). Atractorul circuitului Chua se poate observa în figura 3.10. în spațiu de ordinul 3.

Așa cum am prezentat și mai sus de obicei pentru sistemele de comunicații care se proiectează pe baza acestui circuit se folosește de obicei semnalul v1, așa că în continuare ne vom baza pe analiza acestui tip de semnal. Spectrul și autocorelația au fost reprezentate normat. Frecvența de eșantionare în acest caz a fost aleasă 0.5 MHz, iar numărul de eșantione selectat a fost 1024.

Parametrii obținuți în acest caz pentru secvența generată sunt:

MF = 0.0088

MSR = 1.0007

Se observă că această secvență are performanțe relativ scăzute în comparație cu secvențele de tip Gold sau m care sunt prezentate în capitolul 2.

Pentru a mări banda acestui semnal folosim cifrul descris în subcapitolul 3.3.1. cu următorii parametrii:

Nspread =10; % de câte ori se aplică cifrul secvenței

LimitSpread =2.5; % amplitudinea maximă a semnalului considerat

Delta = 0.01; % aproximarea care se face cu un circuit real

În figura 3.12. se prezintă semnalul, spectrul și autocorelația pentru componenta v1 ce a fost prelucrată cu ajutorul funcției neliniare.

Se observă astfel o îmbunătățire semnificativă a funcției de autocorelație, care are aspectul unui impuls în origine, după aia scăzând brusc. Se observă de asemenea și o lărgire importantă a spectrului semnalului generat astfel putând emite un semnal cu o bandă mult mai largă și relativ cu o densitate spectrală de putere constantă.

Parametrii pentru secvența astfel obținută sunt:

MF = 0.6045

MSR = 1.7873

Se observă astfel și o îmbunătățire și a parametrilor secvențelor generate.

Dar pentru utilizarea lor în comunicații cu spectru împrăștiat unde un important obiectiv este realizarea accesului multiplu trebuie să studiem de asemenea și proprietățile de crosscorelație pe care le prezintă fiecare generator în parte.

După cum se va vedea în capitolul 5, în care se va face prezentarea sistemului haotic, generarea secvențelor haotice necorelate se va realiza prin alegerea unor condiții inițiale diferite pentru fiecare tip generator, respectiv utilizator în parte. Realizarea unor secvențe diferite se poate realiza și prin alegerea unor parametrii diferiți, dar asta ar însemna să modificăm proprietățile dinamice ale generatorului, aceasta însemnând inclusiv valoarea exponenților Lyapunov și deci gradul de “haotism” al sistemului.

Pentru aceasta, pentru fiecare generator în parte am realizat 10 simulări ale unor seturi de secvențe haotice, am realizat funcția de autocorelație pentru fiecare secvență din set și am calculat valoarea minimă a maximului acestor funcții (respectiv la momentul de timp t = 0). Apoi calculăm funcțiile de cross-corelație între toate combinațiile de secvențe și calculăm valoarea absolută maximă a acestora. Setul cel mai bun este ales acela pentru care toate valorile maxime absolute ale funcțiilor de crosscorelație normate cu valoarea calculată pentru autocorelație sunt minime. Organigrama algoritmului este prezentată în figura 3.13.

Rezultatele obținute prin intermediul acestui algoritm în cazul generatorului Chua, considerând ca semnal transmis pe linie componenta v1, ce a fost prelucrată utilizând funcția de împrăștiere descrisă mai sus, sunt prezentate în tabelul 3.2. Figurile ce reprezintă rezultatul funcțiilor de autocorelație si crosscorelație, pentru cele zece seturi de secvețe generate sunt reprezentate în anexa A.1.

Tabelul 3.2. Rezultatele pentru obținerea celui mai bun set de condiții innițiale pentru sistemul Chua cu funcție de împrăștiere

Se observă după valoarea normată a funcțiilor de cross-corelație că setul de condiții inițiale cel mai bun, din punct de vedere al proprietăților de ortogonalitate pentru sistemul de comunicații este setul 8.

Astfel utilizând acest algoritm putem determina pentru un anumit număr de utilizatori care ar putea fi cel mai bun set de condiții inițiale asociate fiecărui utilizator în parte pentru ca proprietățile de cross-corelație între secvențele generate să fie minime.

Mai există și alte generatoare haotice în timp continuu dar care nu fac obiectul prezentei lucrări și care vor fi doar amintite:

– generatorul Lorentz

– generatorul Rösler

– circuite neliniare RC

– oscilatoare neliniare controlate în amplitudine

– oscilatoare LC/RC cu neliniarități

3.4.2. Generatorul de tip logistic

Asemănător circuitului Chua pentru generatoarele de semnale haotice analogice, mapa logistică este unul din cel mai cunoscut și studiat generator de semnale haotice discrete.

În principiu mapa logistică este definită de o caracteristică de tip hiperbolic de forma:

(3.17)

unde k este un parametru ce determină, împreună cu condiția inițială, comportamentul haotic.

Forma funcției f(x) pentru x[0,1] este dată în figura 3.14.

Studiile făcute asupra generatorului de tip logistic au demonstrat că pentru valori ale lui k aflate în intervalul [3.9 4] semnalele obținute sunt haotice. (analiza facută în special cu ajutorul exponentului Lyapunov). Cum în cazul nostru este interesant doar funcționarea acestui tip de generator pentru un comportament total haotic, alegem valoarea lui k = 4.

Pentru aplicații în comunicații cu spectru împrăștiat, secvențele cu medie zero sunt de interes principal astfel că mapa trebuie decalată cu –0.5 pe ambele axe de coordonate xn și xn+1 ale sistemului. De asemenea, extindem mapa pentru a avea gama , înlocuind x cu x/2 în ambii termeni ai ecuației. Astfel rezultă o mapă cu dinamică identică dar de medie nulă dată de [20]:

(3.18)

Atractorul sistemului obținut este prezentat în figura 3.15.

Forma semnalului, spectrul și funcția de autocorelație se prezintă în figura 3.16. Se observă în cazul generatorului de tip logistic de medie nulă, o distribuție relativ constantă a puterii în spectru și caracteristica funcției de autocorelație caracterizată de un impuls în origine, urmată de o cadere bruscă a valorilor acesteia.

Semnalul a fost generat pentru condiția inițială x(0) = 0.1 și un număr de 1024 de eșantioane.

Valorile pentru MF și MSR sunt date în tabelul de mai jos pentru diferite condiții inițiale:

Tabelul 3.3. MF și MSR pentru generatorul logistic

Se observă astfel că generatorul logistic de medie nulă prezintă performanțe mai bune decât generatorul Chua corespunzător chiar cu funcția de împrăștiere.

Rezultatele în ce privește proprietățile de cross-corelație obținute prin metoda algoritmului prezentat în figura 3.13, în cazul generatorului logisitc, sunt prezentate în tabelul 3.4. Prezentarea figurilor cu funcția de autocorelație și crosscorelație nu are sens în continuare, deoarece forma respectivelor funcții nu este importantă ci doar valorile maxime absolute obținute. Am reprezentat totuși aceste funcții în cazul generatorului Chua pentru a da o idee asupra formei acestor funcții, și pentru a verifica corectitudinea observațiilor.

Tabelul 3.4. Rezultatele pentru obținerea celui mai bun set de condiții inițiale pentru generatorul de tip logistic

Se observă după valoarea normată a funcțiilor de cross-corelație că setul de condiții inițiale cel mai bun, din punct de vedere al proprietăților de ortogonalitate pentru sistemul de comunicații este setul 4.

Acest set de condiții inițiale va fi utilizat pentru a realiza simularea performanțelor sistemului de comunicații cu spectru împrăștiat în cazul în care ca generator haotic se utilizează generatorul de tip logistic.

3.4.3. Generatorul de tip “tent”.

Generatorul de tip tent este de asemenea o mapă cunoscută în domeniul generării semnalelor haotice.

Funcția care caracterizează aceast generator este dată de următoarea ecuație:

(3.19)

unde k, asemănator ca la generatorul de tip logistic este un parametru ce determină, împreună cu condiția inițială, comportamentul haotic.

Forma funcției f(x) pentru x[0,1] este dată în figura 3.17.

Valorile pentru parametrul k unde sistemul generează semnale haotice a fost demonstrat că se află în apropierea unității. În cazul sistemului simulat am ales valoarea parametrului k = 0.99.

La fel ca în cazul generatorului de tip logistic, ne interesează secvențele cu medie zero astfel că mapa trebuie decalată cu –0.5 pe ambele axe de coordonate xn și xn+1 ale sistemului.

De asemenea, extindem mapa pentru a avea gama , înlocuind x cu x/2 în ambii termeni ai ecuației. Astfel rezultă o mapă cu dinamică identică dar de medie nulă dată de:

(3.20)

Forma generală a funcției tent de medie și deviație este [20]:

(3.21)

Atractorul sistemului obținut este prezentat în figura 3.18.

Forma semnalului, spectrul și funcția de autocorelație se prezintă în figura 3.19. Se observă în cazul generatorului de tip tent de medie nulă, o comportare asemănătoare cu generatorul de tip tent adică aceeași distribuție relativ constantă a puterii în spectru și caracteristica funcției de autocorelație caracterizată de un impuls în origine, urmată de o cadere bruscă a valorilor acesteia.

Semnalul a fost generat pentru condiția inițială x(0) = 0.1 și un număr de 1024 de eșantioane.

Valorile pentru MF și MSR sunt date în tabelul de mai jos pentru diferite condiții inițiale:

Tabelul 3.5. MF și MSR pentru generatorul tent

Rezultatele în ce privește proprietățile de crosscorelație obținute prin metoda algoritmului prezentat în figura 3.13, în cazul generatorului logisitc, sunt prezentate în tabelul 3.6. Aceste set a fost obținut pentru valoarea parametrului k = 0.99.

Se observă după valoarea normată a funcțiilor de cross-corelație că setul de condiții inițiale cel mai bun, din punct de vedere al proprietăților de ortogonalitate pentru sistemul de comunicații este setul 10.

Tabelul 3.6. Rezultatele pentru obținerea celui mai bun set de condiții inițiale pentru generatorul de tip tent

În plus, generatorul de tip tent de medie nulă, în prisma parametrilor MF și MSR cât și din prisma proprietăților de crosscorelație, prezintă caracteristici mai bune decât generatorul Chua dar puțin mai slabe decât generatorul de tip logistic. Desigur această afirmație poate părea falsă pentru că unul este un generator analogic și celelalte sunt numerice, dar în cazul sistemului proiectat, acest lucru se va putea vedea și din prisma performanțelor sistemului în cazul accesului multiplu cu doi sau trei utilizatori, în diferite condiții de zgomot și tip de canal.

3.4.5. Generatoare în timp discret de tip Markov

Pornind de la idea funcției de tip tent, se poate defini un întreg set de astfel de funcții liniare pe porțiuni, realizabile tehnologic, care să asigure generarea unei secvențe haotice. O astfel de clasă de funcții sunt funcțiile de tip Markov. Prezentarea teoretică a acestor funcții a fost extrasă din referatul facut de Bogdan Cristea asupra generatoarelor în timp discret.

Astfel, funcția f:II cu I=[a,b] se numește funcție afină de tip Markov dacă există o partiție finită Y={Ik},k=1,2…N în subintervale deschise care nu au elemente comune Ik=(ak-1,ak), cu a0=a și aN=b, astfel încât:

f( ) este definită pe Ik și punctele de partiție ale lui Ik, {ai};i=0,…N, au măsura zero;

dacă f(Ik)Ij, atunci f(Ik)Ij pentru fiecare k, j;

fk=fIk este o funcție afină pentru fiecare k.

Deoarece aplicațiile în telecomunicații ale generatoarelor haotice necesită secvențe cu funcții de autocorelație care scad rapid în timp (la limită tinzând catre o funcție de autocorelație de tip ), este important ca f( ) să prezinte o cât mai mare complexitate din punctul de vedere al mișcării haotice.

Se poate demonstra că, dacă funcția Markov f( ) este o funcție dublu simetrică, adică:

f( ) este uniform distribuită;

f( ) are simetrie pară: f(a+bx)=f(x), xI,

atunci secvențele generate cu f( ) au o corelație de tip .

În figura 3.20. a) și b) sunt prezentate două astfel de funcții de tip Markov cu o caracteristică de autocorelație a secvențelor obținute de tip .

Forma matematică a acestor funcții este prezentată în ecuațiile de mai jos:

(3.22)

respectiv:

(3.23)

Pentru taoate simulările s-au ales parametrii sistemului: D = 1 și respectiv B = 3. Pentru ambele secvențe am ales condiția inițială y(0) = 0.1.

Atractoarele pentru cele două funcții sunt afișate în figura 3.21. a respectiv b.

Semnalul, spectrul și funcția de autocorelație pentru generatorul din figura 3.20 a) sunt reprezentate în figura 3.22, iar pentru b) în figura 3.23.

Pentru ambele simulări a fost ales un număr de 1024 eșantione. Ne așteptăm la rezultate mai proaste pentru acest tip de sistem datorită prezenței componentei de curent continuu care va influența negativ performanțele de autocorelație ale semnalului generat.

Rezultatele obținute pentru MF și MSR în cazul celor două generatoare sunt prezentate în tabelele 3.7. respectiv 3.8. pentru diferite condiții inițiale.

Tabelul 3.7. MF și MSR pentru generatorul Markov 1

Tabelul 3.8. MF și MSR pentru generatorul Markov 2

Se observă că parametrii obținuți pentru MF și MSR sunt mai slabi decât în cazul generatoarelor de tip logistic sau tent, datorită prezenței componentei continue, determinate de alegerea condiției inițiale.

Rezultatele în ce privește proprietățile de crosscorelație obținute prin metoda algoritmului prezentat în figura 3.13, în cazul generatoarelor Markov 1 și 2, sunt prezentate în tabelul 3.9., respectiv tabelul 3.10.

Tabelul 3.9. Rezultatele pentru obținerea celui mai bun set de condiții inițiale pentru generatorul de tip Markov 1

Se observă după valoarea normată a funcțiilor de cross-corelație că setul de condiții inițiale cel mai bun, din punct de vedere al proprietăților de ortogonalitate pentru sistemul de comunicații este setul 8.

Tabelul 3.10. Rezultatele pentru obținerea celui mai bun set de condiții inițiale pentru generatorul de tip Markov 2

Se observă după valoarea normată a funcțiilor de cross-corelație că setul de condiții inițiale cel mai bun, din punct de vedere al proprietăților de ortogonalitate pentru sistemul de comunicații este setul 10.

Ca o concluzie generală asupra celui mai performant tip de generator care poate fi utilizat pentru sistemul de comunicații, pentru accesul multiplu, conform algoritmului utilizat acesta este generatorul de tip logistic de medie nulă, la foarte mică distanță aflându-se generatorul de tip tent de medie nulă. Oricum în capitolul 5 vom verifica și performanțele tuturor tipurilor de generatoare prezentate pentru un canal cu zgomot gaussian și în prezența fadingului.

4.1. Metode de sincronizare

4.1.1. Generalități

Sincronizarea pentru orice tip de sistem de comunicație și nu numai este unul din cele mai importante obiective care trebuie obținut pentru sistemul respectiv, de realizarea ei ținând în mod direct performanțele sistemului și chiar funcționarea respectivului sistem.

În sistemele de comunicații convenționale, sincronizarea se referă la semnale periodice, de exemplu la semnale purtătoare, piloți, sau cele de tact. Se spune că două semnale periodice sunt în sincronism (sau sincronizate) dacă perioadele lor sunt egale. Formele lor de undă pot să difere mult, dar frecvențele lor fundamentale trebuie sa fie indentice.

În cazul sistemelor haotice însă, această definiție pare inutilă, acest tip de semnale fiind caracterizate în primul rând de neperiodicitatea pe care o reprezintă și de sensibilitatea față de condițiile inițiale. În general vom pretinde că a sincroniza semnalul haotic y’(t) cu semnalul y(t) înseamnă că asimptotic (t ) y’(t) trebuie să imite comportamentul neregulat al lui y(t).

Cercetările făcute în domeniu sincronizării generatoarelor haotice au evidențiat faptul că deși sistemele bazate pe demodularea necoerentă sunt mai rezistente la zgomot sunt de preferat sistemele cu demodulare coerentă pentru că folosesc mai multe informații despre semnalul haotic (asigurând astfel o protecție mai bună la interceptare). De aceea s-a pus problema unor determinării unor metode de sincronizare pentru aceste sisteme.

Schema de principiu a unui sistem de comunicație pe purtătoare haotică este prezentată în figura

Într-un sistem real de comunicații, semnalul recepționat diferă de cel care a fost transmis, cel puțin din cauza zgomotului aditiv specific canalului de comunicație. Perturbarea semnalului emis poate fi mai severă în cazul în care canalul de comunicație este neliniar, variant în timp sau permite propagări multiple. În acest caz, obiectivul procesului de sincronizare este să refacă baza de funcții neliniare dintr-un semnal (puternic) perturbat, astfel încât să se maximizeze posibilitatea de a identifica corect simbolurile informaționale transmise.

Deoarece evoluția în timp a sistemelor dinamice depinde de starea inițială, nu ne putem aștepta ca y’(t) să fie identic cu y(t). Numai după un timp t este posibil ca influența stării inițiale să fie minimă. Aceasta justifică următoarea definiție:

Definiție: Sistemul receptor se sincronizează cu sistemul master dacă:

(4.1)

pentru t și pentru orice combinație între stările inițiale ale celor două sisteme.

Chiar dacă sistemele sunt identice și pornesc din aceeași stare inițială, după un timp evoluția în timp devine complet necorelată și definiția e departe de a fi satisfăcută atât timp cât sistemele nu interacționează. Interacțiunea poate fi însă în stare să forțeze sincronizarea celor două sisteme.

În general metodele de sincronizare s-au orientat în trei direcții:

prin descompunerea în subsisteme;

prin feedback;

prin sistemul invers.

4.1.2. Principiul metodei de sincronizare prin descompunere în subsiteme

Thomas L. Carroll și Louis M. Pecora ([12], [13]) au fost primii care au demonstrat posibilitatea sincronizării a două sisteme haotice. Raționamentul lor a fost, principial, următorul: să descompunem vectorul de stare al unui sistem dinamic u(t) în doi subvectori de stare x(t) și y(t), adică:

unde (4.2)

Rezultă descompunerea sistemului dinamic inițial ce era descris de:

(4.3)

poate fi considerată de următoarea formă:

(4.4)

Dacă considerăm un caz particular al acestui ansamblu de ecuații diferențiale, și anume:

(4.5)

rezultă descompunerea sistemului inițial în două subsisteme, care sunt interconectate doar prin intermediul semnalelor x1(t) și y1(t), așa cum este ilustrat în figura 4.2 a). Întreruperea legăturii y1(t) între subsistemele 1 și 2 conduce la situația reprezentată în figura 4.2. b).

Dacă injectăm starea y1(t) în subsistemul 2, este de așteptat ca la ieșirea subsistemului 1 să obținem o valoare aproximantă a stării y1(t). Această ipoteză este exploatată în realizarea sincronizării între două subsisteme descompuse identic, care vor fi interconectate prin semnalul de comandă y1(t) emis de primul sistem și care va obliga pe cel de-al doilea ca, în timp, să-și sincronizeze toate stările cu cele corespunzătoare primului sistem. (figura 4.3.)

Schema bloc generală a sincronizării a două sisteme prin metoda master – slave este prezentată în figura 4.4.

Sistemul condus este identic cu sistemul conducător cu excepția faptului că are o intrare de control y1(t). Semnalul de control y1(t) va forța sistemul condus ca la ieșire să dea un semnal care să copieze intrarea, adică:

(4.6)

Acum, considerăm cazul general și anume că sistemele “Master” și “Slave” din figura 4.4 sunt descrise de seturile de ecuații de ordin n:

(4.7)

astfel, în primul set de ecuații este explicitat semnalul de comandă y(t) ca fiind identic cu starea x1(t) a primului sistem, iar în cel de-al doilea set de ecuații semnalul va fi obținut din rezolvarea ecuației integrale.

Putem generaliza metoda de sincronizare prezentată mai sus ca în figura 4.5.

în care cele două sisteme Master și Slave sunt caracterizate de seturile de ecuații:

(4.8)

De data aceasta, semnalul de comandă y(t) este generat prin intermediul funcției neliniare g(.) de către toate stările x ale primului sistem prin ecuația y(t)=g(x) și corespunzător, la recepție, refacerea semnalului rezultă din ecuația .

Dacă se îndeplinesc condițiile:

(4.9)

atunci cele două sisteme din figura 4.5. vor avea identic aceeași evoluție, cu condiția să plece din aceleași condiții inițiale. Întrebarea este care vor fi evoluțiile lor, dacă sistemele vor porni din condiții inițiale diferite.

În funcție de forma concretă a ecuațiilor care descriu cele două sisteme dinamice și, în consecință, de evoluțiile particulare ale acestora în procesul de sincronizare tip Master – Slave, în literatura de specialitate sunt discutate mai multe modalități de a defini sincronizarea :

D1. Sistemul condus (slave) se va sincroniza exponențial cu sistemul master dacă:

pentru toate combinațiile de stări inițiale () ale sistemelor master si slave. Constanta se numește rata de sincronizare.

D2. Sistemul condus (slave) se sincronizează cu sistemul master dacă:

pentru aproape toate combinațiile de stări inițiale () ale sistemelor master si slave. În acest al doilea caz condiția impusă poate să nu asigure sincronizarea sau aceasta să se realizeze într-un timp foarte mare.

Nu voi insista mai mult asupra acestei metode de sincronizare deoarece voi mai trata acestă metodă de sincronizare în cadrul sistemului cu spectru împrăștiat simulat.

4.1.3. Sincronizarea prin REACȚIE LINIARĂ

În acest caz vom considera două sisteme (identice) în conexiunea Master-Slave ca în figura 4.6. Vom compara semnalele lor de ieșire și vom folosi diferența lor instantanee ca o eroare ce va controla sistemul Slave prin reacție liniară.

Ecuațiile celor două sisteme sunt prezentate mai jos:

(4.10)

Dacă sistemele Master și Slave pornesc exact din aceleași condiții inițiale atunci:

, , iar e(t) = 0.

Dacă însă condițiile inițiale sunt diferite sincronizarea poate deveni o problemă, care se va rezolva distinct pentru fiecare structură de sistem Master și Slave.

4.1.4. Sincronizarea prin metoda sistemului invers

Această metodă de sincronizare este diferită de cele prezentate până acum. În cazul unei legături de comunicație, la emisie, sistemul haotic este excitat de un semnal informațional s(t) și va produce un semnal haotic y(t), transmis în linie, care devine semnal de control (sau de comandă) pentru sistemul de recepție. Acesta are drept obiectiv să furnizeze un estimat al semnalului informațional original s(t). Rezultă că, în realitate, ambele sisteme haotice sunt de tip nonautonom, fiind controlate de semnale diferite: la emisie de un semnal informațional s(t), iar la recepție de un semnal haotic, care este purtător al mesajului informațional.

Ideea de “sistem invers” rezultă tocmai din observația de mai sus, potrivit căreia sistemul de la emisie transformă semnalul informațional într-unul haotic, pe când sistemul de la recepție transformă invers, semnalul haotic într-un semnal informațional (estimat). Acest lucru este sugerat în figura 4.7.

Ecuațiile care descriu cele două sisteme sunt:

(4.11)

Spunem că sistemul 2 este un sistem invers în raport cu sistemul 1 dacă:

mulțimea semnalelor admisibile corespunde cu mulțimea semnalelor admisibile , iar mulțimea Ψ corespunde atât semnalului de ieșire pentru sistemul 1 și semnalului de intrare pentru sistemul 2;

și astfel încât t ≥ 0

și astfel încât t ≥ 0

Spunem de asemenea că sistemul invers 2 se sincronizează cu sistemul original dacă pentru și orice combinație (x0, ξ0) rezultă:

(4.12)

Dacă între condițiile inițiale a două sisteme haotice independente (identice structural) apare o diferență oricât de mică, ea va determina o evoluție necorelată a celor două sisteme.

În continuare considerăm un exemplu de realizare a unui sistem prin metoda sistemului invers. Schema de funcționare a sistemului este reprezentată în figura 4.8.

Să considerăm că primul uniport este excitat cu o sursă ideală de curent. Curentul i(t) aplicat uniportului unu va determina la poarta 1-1` a acestuia o tensiune v(t) ca răspuns. Aplicarea tensiunii v(t) la poarta 2-2` a celui de-al doilea uniport, va determina un curent , dacă cei doi uniporți se găseau în aceleași condiții inițiale.

Studiul asupra altor metode de sincronizare în caz particular asupra sincronizării sistemelor haotice prin metoda master – slave dar cu impulsuri de sincronizare va descrisă mai pe larg în prezentarea sistemului simulat.

4.2. Metode de modulație

4.2.1. Prezentare generală a metodelor de modulație

Posibilitatea comunicației bazate pe sisteme haotice nu derivă obligatoriu din sincronizarea a două sisteme haotice. De aceea trebuiesc puse la punct strategii clare de inserare a informației utile în semnalul haotic astfel încât la recepție să poată fi realizat în condiții cât mai bune procedeul invers de extragere a informației.

Tehnicile pentru extragerea semnalului informațional din semnalul cu purtătoare haotică pot fi împărțite în două categorii: cu demodulare necoerentă și coerentă. Demodularea necoerentă folosește numai proprietățile statistice ale semnalului haotic în timp ce demodularea coerentă se bazează pe sincronizarea sistemelor haotice realizată cu ajutorul fenomenelor neliniare dinamice, prin care a fost produs semnalul haotic. În prezent, cu toate că metodele necoerente sînt calitativ superioare în prezența zgomotului în canal, demodularea coerentă va fi mai eficientă deoarece folosește mai multe informații despre semnalul haotic.

Comunicațiile pe purtătoare haotică pot fi văzute ca o criptografiere analogică. Așa cum am spus deja în cadrul emițătorului se va încorpora sistemul master, în timp ce sistemul slave se va regăsi în receptor. Cheia criptografică va fi setul de parametri ai sistemului haotic. Deoarece circuitele analogice nu pot fi practic realizate identice, parametrii emițătorului și receptorului nu vor fi complet identici, de unde și concluzia ca fenomenul de sincronizare trebuie sa aibă o anumita robustețe la variații mici ale parametrilor. Acest lucru s-a dovedit realizabil practic.

Pe de alta parte, sincronizarea nu este de indicat să fie prea simplă, altfel un intrus putându-se și el sincroniza cu semnalul emis, fără cunoașterea precisa a cheii. Iată deci, o problema de compromis, care implică o analiză atentă și delicată.

În sistemele de comunicații digitale convenționale prin modulație simbolurile numerice sunt reprezentate ca o sumă ponderată de câteva funcții periodice de bază. De exemplu, utilizânduse funcțiile sinusoidale și cosinusoidale ca în modulația în cuadratură.

În cazul sistemelor de comunicații digitale haotice se utilizează pentru modulația semnalelor informaționale o bază de semnale haotice, care conduc la o mai bună protecție a semnalului modulat la propagări pe căi multiple sau fadying.

În continuare voi prezenta câteva metode de modulație, care pot utilizate pentru transmiterea informației digitale folosind o purtătoare haotică.

4.2.2. Modulația prin mascarea haotică

Principiul acestei metode este foarte simplu, și constă în adunarea semnalului informațional cu cel haotic. Această schemă de modulație este ilustrată în figura 4.9.

La emisie, modulația se realizează prin însumarea semnalului informațional s(t) cu o purtatoare haotică y(t) dată de un sistem haotic. La recepție, se realizează sicronizarea pe semnalul y(t) din amestecul y(t)+s(t) transmis în canal. Dacă sincronizarea se realizează semnalul ŷ(t) emis de sistemul haotic se scade din amestecul y(t)+s(t) rezultând mesajul estimat ŝ(t).

La o primă analiză, este de așteptat ca sincronizarea receptorului să se realizeze numai dacă semnalul informațional s(t) este mic în comparație cu semnalul haotic y(t), însă rezultatele experimentale nu au confirmat acest lucru. În plus semnalul informațional s(t) trebuie să aibă valori relativ mici pentru a rămâne inaccesibil unui receptor neautorizat. În consecință, deși este simplă,metoda este sensibilă la zgomotele canalului.

4.2.3. Modulația haotică directă

Această metodă rezultă implicit prin adoptarea sincronizării “sistemului invers”. Corespunzător acestui procedeu de sincronizare, să considerăm schema bloc din figura 4.10.

La emisie, informația poate fi “injectată” direct, în formă analogică, sau s(t) poate fi o purtătoare analogică modulată de un semnal informațional binar.

În acest fel, transmiterea semnalului informațional s(t) se poate face cu viteze mult mai mari decât în cazul modulației prin comutare haotică, unde de fiecare dată când semnalul informațional își schimbă starea, trebuia așteptat receptorul să se sincronizeze.

În cazul modulației directe, receptorul va urmări continuu stările emițătorului, astfel încât stările celor două subsiteme nu vor fi niciodată diferite.

4.2.4. Modulația haotică parametrică

La emisie, semnalul informațional analogic este injectat prin modularea unui parametru, conducând la modificarea semnalului haotic emis în canalul de comunicație. La recepție, mesajul informațional va fi reconstituit cu ajutorul unui filtru dinamic, care face parte dintr-un receptor, ce se constituie într-un sistem invers față de sistemul de emisie. Schema bloc a sistemului este reprezentată în figura 4.11.

De exemplu, să considerăm un oscilator de ordinul 3 descris de ecuațiile:

(4.13)

unde x,y,z sunt stările sistemului, iar λ este un parametru, ce poate fi considerat că variază în timp, într-un domeniu de valori care asigură comportarea haotică a sistemului caracterizat de ecuațiile de mai sus. Variația sa va fi modulată de mesajul informațional.

Subsistemul haotic de la recepție poate fi considerat ca descris de:

(4.14)

în care x constituie o stare de control cu emițătorul pe sincronizarea receptorului.

De observat că receptorul nu depinde de λ(t), care este parametrul de modulație în emițător. În principiu, prima ecuație din sistemul (1) poate servi pentru demodulare, căci:

(4.15)

dar această metodă este dezavantajoasă deoarece trebuie estimat din valoarea curentului x emis, iar funcția inversă f-1 poate conține singularități ce pot afecta estimarea parametrului λ.

O nouă metodă pentru demodularea parametrică a fost propusă în [16] și constă din proiectarea unui filtru neliniar prin intremediul căruia se face demodularea. Pentru a determina filtrul considerăm că funcția f() este liniară în :

f(x,y,z;λ) = f0(x,y,z) + λ fi(x,y,z) (4.16)

De multe ori forma funcției f( ) poate fi obținută chiar dacă f este neliniară presupunând variații mici ale parametrului . Cu această presupunere putem estima astfel:

(4.17)

Un estimat al parametrului λ la recepție este dat de:

(4.18)

unde (4.19)

valoarea lui va fi filtrată la recepție, astfel încât estimatul filtrat va fi:

(4.20)

unde , iar q este o contantă de timp a filtrului

În consecință:

(4.21)

4.2.5. Modulația prin Comutare Haotică – Chaos Shift Keying

În locul modulației obținută prin simpla adunare a semnalului informațional cu cel haotic, se poate aborda o strategie complet diferită, prin care semnalul haotic va purta mesajul informațional. Să analizăm procesul de modulație și demodulație al cărui principiu este descris în figura 4.12.

La emisie, semnalul informațional de tip binar va determina transmisia semnalului haotic y(t) sau y’(t) comutând vectorul parametru de la p la p’ a sistemului haotic. La recepție, cele două sisteme haotice caracterizate de parametrii p și p’ se vor sincroniza pe semnalul transmis y(t) sau y’(t). De ex. dacă s-a emis y(t) va rezulta semnalul de eroare e(t) → 0, iar e’(t) → 1. Estimarea semnalului binar s(t) se obține astfel din analiza semnalelor e(t) și e’(t).

Acest tip de modulație a fost denumit în literatura de specialitate modulație de tip CSK (Chaos Shift Keying), datorită modului în care se face transmisia biților informaționali folosind semnale aparținând unor atractori diferiți, ca simboluri corespunzătoare valorilor binare “1” și “0”.

În cele mai simple situații se comută, în ritmul selecției binare, doar un singur parametru al unui sistem dinamic care va evolua distinct către atractori diferiți pentru cele două valori ale parametrului. Acest caz este reprezentat în figura 4.13., pentru realizarea modulației utilizând ca generator haotic circuitul Chua.

În figura 4.13. este ilustrată principial modulația prin comutare haotică, în care parametrul rezistență al unui circuit Chua este comutat între valoarea r și infinit în ritmul mesajului binar (care are valorile ± 1 în acest caz).

Tensiunea V1 obținută fie pe rezistența negativă R obținută fie pe rezistența negativă RN, fie pe grupul format din RN și r este transmisă spre receptor. Aici ea poate fi aplicată unui subsistem format din elementele R, C2 și L identice cu cele din circuitul Chua al emițătorului. Pe grupul paralel L, C2 se obține o tensiune V2’ care se aplică celor două subcircuite cu două structuri posibile așa cum se prezintă pe figura 9. În aceste două cazuri se obțin tensiuni diferite pe grupurile paralele C1, RN și C1,RN,r notate cu V1’ și V1’’. Acestea se compară cu tensiunea emisă V1 decizăndu-se coincidența (dominant majoritară) doar într-un caz, în fapt realizându-se procesul de decizie a mesajului informațional binar.

În literatură s-a raportat și o altă formă simplă a modulației CSK, pe care autorii au denumit-o Chaotic on-off-Keying. În acest caz purtătoarea haotică este comutată “on” și “off” – corespunzător valorilor “1” și “0” ale secvenței informaționale, dar această metodă practic nu ofera nici o protecție împtriva interceptării.

4.2.6. Modulația de tip DCSK.

O altă variantă de modulație haotică, inspirată din modulația de tip CSK este “Differential Chaos Shift Keying” (DCSK), care în princpiu pentru transmisia bitilor informaționali se bazează pe următoarele două reguli:

simbolul +1 este reprezentat do o bucată (de formă) de undă haotică analogică transmisă succesiv de două ori;

simbolul –1 este reprezentat de o bucată de undă analogică, urmată de o copie inversată a aceleiași formă de undă.

În consecință în cazul modulației DCSK fiecare bit informațional ce trebuie transmis este reprezentat în linie de două eșantioane de funcții haotice. Primul eșantion (sau formă de undă) servește ca “referință”, iar al doilea este purtătorul de informație.

Astfel,

(4.22)

dacă este transmis simbolul “1” în intervalul și

(4.23)

dacă este transmis simbolul “0” în intervalul .

Cele două eșantioane de formă de undă haotică sunt corelate în receptor, obținându-se decizia printr-un simplu comparator de nivel.

Un avantaj major al tehnicii DCSK rezultă din faptul că referința și eșantionul purtător de informație traversează același canal, făcând astfel ca schema de modulație să fie insensibilă la distorsiunile canalului. DCSK poate astfel să “opereze” pe un canal variabil în timp dacă parametrii canalului rămân constanți pe durata bitului T, principalul incovenient al modulației DCSK fiind faptul că pentru fiecare bit se transmit două forme de undă, rezultând o înjumătățire a ratei de biți transmise, față de modulația CSK. Acest incovenient poate fi depășit dacă se adoptă tehnici de modulație multinivel.

4.2.7. Modulația de tip FM-DCSK

Puterea instantanee a unui semnal cu modulație de frecvență (MF) este constantă și nu depinde de indicele de modulație. În consecință, dacă semnalul haotic de bandă largă va fi modulat în frecvență, iar apoi va suporta o modulație de tip DCSK, corelatorul de la recepție nu va avea nici o varianță (pentru cazul absenței zgomotelor în canalul de comunicație). În figura de mai jos este prezentată o schemă de modulație și demodulație de tip FM-DCSK.

Oricum tipurile de modulație DCSK și FM-DCSK pot fi folosite numai pentru funcționarea sistemelor necoerente, care așa cum am spus în prezentare au performațe destul de scăzute în ceea ce priveste rezistența la intercepare și accesul multiplu de aceea nu prezintă interes în cadrul sistemelor de comunicație cu spectru împrăștiat.

4.2.8. Modulația haotică prin control predictiv

Aceasta metodă poate fi considerată o metodă de modulație indirectă. Spre deosebire de metoda modulației directe, în care se injecta în transmițătorul haotic chiar semnalul informațional, în acest caz se va injecta un semnal de control care are sarcina să aducă emițătorul pe o traiectorie care să corespundă semnalului informațional.

Să presupunem că emițătorul și receptorul unui sistem de comunicații haotice sunt sisteme dinamice identice, descrise de funcția iterativă neliniară :

y(k)=F(x(k)) (4.24)

Să împărțim spațiul stărilor corespunzător funcției F în două subspații, separate de o linie de demarcație, y = b, asigurând subspațiului S0 cu y b valoarea logică “0”, iar subspațiului S1, definit de y > b, valoarea logică “1”, așa cum este ilustrat în figura 10.

Din punctul inițial (x(0), y(0)), prin iterarea funcției neliniare F, se obțin succesiv punctele traiectoriei (x(k), y(k)), notate cu 1,2,3,… pe figura 10. Acestei traiectorii îi corespunde secvența binară b0,b1,b2, …, dacă y(k) > b.

Dacă alegem un alt punct inițial, prin iterarea funcției neliniare F, se obține o altă traiectorie și deci o altă secvență binară. În principiu, sunt posibil de obținut o infinitate de secvențe binare distincte, plecând din puncte inițiale diferite. Aceasta înseamnă că pentru o secevță binară dată ar fi necesar să găsim în spațiul stărilor doar punctul inițial corespunzător, comunicarea între emițătorul și receptorul sistemului dinamic realizându-se astfel :

se alege punctul inițial (x(0), y(0)) corespunzător secvenței binare ce poartă mesajul informațional util;

se generează traiectoria (x(k), y(k)) corespunzătoare secvenței binare utile;

se transmite semnalul x(k), care sincronizează printr-un procedeu oarecare receptorul și care extrage mesajul informațional din estimatorul semnalului ŷ(k);

Evident, această metodă nu este fezabilă, pentru simplul motiv că soluția inițială trebuie aleasă cu o precizie infinit de bună, din cauza dependenței senzitive a evoluției unui sistem dinamic în raport cu soluția inițială aleasă.

Putem determina mulțimea de soluții inițiale care să conducă ;la aceeași secvență binară dorită doar pentru primele “p” iterații succesive. În cazul exemplului nostru, această mulțime ar putea fi un dreptunghi în spațiul fazelor. În acest fel, la un moment dat k, vom verifica dacă soluția (x(k), y(k)) se află în dreptunghiul corect adică, dacă va conduce după “p” iterații la secvența binară dorită : bk, bk+1, …, bk+p-1. Dacă nu, soluția (x(k), y(k)) este corectată printr-o mică perturbare, care să nu ne afecteze procesul de sincronizare al receptorului.

Deoarece procesul de control ia în considerare “p” iterații ulterioare în timp, procedeul de numește cu control predictiv.

Această metodă poate fi utilizată și în cazul sistemelor dinamice în timp continuu. Acestea pot fi “transformate în sisteme dinamice în timp discret” prin alegerea unei hipersuprafețe în spațiul stărilor, care va fi traversată de traiectoriile câmpului vectorial în puncte discrete. Procedeul descris mai sus se va aplica acestor puncte discrete, motiv pentru care se mai numește metoda de control predictiv Poincaré.

Plecând din start 0 1 2 3 4 5 6 7

se obține secvența : 1 0 0 0 1 1 0

Plecând din start 0 1 2 3 4 5 6 7

se obține secvența : 0 0 0 1 0 0 0

………………………………………………………………………………….

În principiu sunt o infinitate de trasee și corespunzător lor, o infinitate de secvențe binare.

Dacă însă se impune o anumită secvență binară atunci se determină

0 1 0 0 1 0 0

care este punctul inițial care conduce la acest traseu

sau cum se poate corecta minimal o soluție inițială ca primele p valori să fie corecte.

O metodă folosită în acest caz este analizarea secvenței obținute cu ajutorul algoritmilor genetici, pentru determinarea condiției inițiale care conduce la o anumită secvența binară și maximizarea lungimii acestei secvențe.

Nu am insistat asupra acestor tipuri de metode de modulație deoarece nu prezintă interes din punct de vedere al accesului multiplu care presupune cunoașterea la recepție a secvenței haotice modulate la emisie în condițiile în care pe canal se află mai mulți utilizatori.

O prezentare mai largă asupra tipurilor de modulații și a metodelor de sincronizare ce pot fi utilizate se va face în capitolul următor unde vom prezenta unele scheme complete de sisteme de transmisiuni cu spectru împrăștiat folosind secvențe haotice.

5.1. Generalități cu privire la avantajele utilizării SSI cu secvențe haotice

Informația poate fi modulată în semnalul de spectru împraștiat folosind câteva metode de bază. Cea mai comună este de a aduna direct semnalul informațional la codul de împraștiere înainte de a fi folosit pentru modularea purtătoarei. În alte metode, semnalul informațional este fi folosit pentru a modula direct purtătoarea.

În sistemele cu spectru împrăștiat cu purtătoare haotică putem folosi aceeași schemă de modulație, în acest caz pentru a demodula semnalul informațional utilizăm două generatoare de semnal haotice identice, sincronizate, folosite pentru împrăștierea purtătoarei. În plus față de sistemele SSI clasice, în locul modulării unui semnal de radiofrecvență pur, un sistem SSI cu purtătoare haotică poate transmite o secvență pseudo-aleatoare de radiofrecvență direct.

În sistemele CDMA cea mai importantă problemă, legată de parametrii de funcționare, este ridicată de sistemul de sincronizare folosit. Astfel într-un sistem cu spectru împrăștiat clasic există 3 nivele de sincronizare:

sincronizarea intervalelor de corelație

sincronizarea generatoarelor de spectru împrăștiat

sincronizarea purtătoarei

Pentru a corela codurile PN la receptor, acesta trebuie să fie sincronizat cu emițătorul. La legatura între stația de bază și stația mobilă sincronizarea se realizeză prin transmiterea de către stația de bază a unui semnal pilot pentru a permite receptorului să se sincronizeze. Unele din sistemele CDMA rezolvă în același mod problema sincronizării stației de bază, dar stația mobilă transmițând un semnal de bandă mai largă. În cazul sistemului SSI cu purtătoare haotică putem folosi de asemenea ascest sistem simetric între stația de bază și stația mobilă.

În cazul în care utilizăm secvențe haotice singura problemă care este ridicată de sincronizarea sistemului se referă la sincronizarea celor două generatoare haotice, de la emisie și de la recepție. Pentru sincronizare putem astfel putem folosi o schemă de sincronizare continuă sau în impuls dar pentru a face acest sistem să funcționeze la o viteză de transmisie a datelor vom avea nevoie de un canal separat pentru a transmite informația de sincronizare. În același timp se poate arata că sistemul (CD)2MA propus nu are nevoie de sincronizarea intervalelor de corelație și sincronizarea purtătoarei.

5.2. Analiza sistemelor SSI bazate pe secvențe haotice

În acest subcapitol vom face o prezentare teoretică generală asupra metodelor de analiză clasice ce pot fi utilizate pentru eleaborarea unor sisteme cu spectru împrăștiat cu secvențe haotice.

Tehnicile de bază de tip secvență directă și salt de frecvență pot fi utilizate pentru a coda și împrăștia secvențe analogice. Modulatorul constă în multiplicarea directă a purtătoarei haotice cu semnalul informațional, iar decodarea sa se face prin divizarea sau multiplicarea semnalului recepționat cu purtătoarea haotică (sincronă cu cea de la emisie) și apoi prin medierea rezultatului (sau prin efectuarea corelației între cele două semnale). Astfel, secvența de tip PN în sisteme DS și FH poate fi înlocuită de secvențe haotice, și am putea considera că efectiv sistemul clasic, bazat pe secvențe PN, este un caz particular al unui sistem bazat pe secvențe haotice la bază.

5.2.1. Modelarea unui sistem cu secvență directă cu purtătoare haotică

Considerăm un sistem dinamic discret în timp caracterizat de următoarea funcție neliniară:

x[n+1] = f(x[n]) (5.1)

unde x[n] = (x1[n], x2[n],…, xn[n]) reprezintă vectorul stărilor sistemului, iar f() = (f1, f2,…, fM) este ansamblul funcțiilor care transformă starea sistemului x[n], la momentul n, la starea următoare x[n+1].

Plecând de la o condiție inițială x[0], prin aplicarea repetată a funcției f se obține secvența haotică {x[n]}. O nouă secvență {y[n]} este obținută prin aplicarea unei funcții g() secvenței x[n], obținând astfel, y[n] = g(x[n]). Funcția g este cunoscută ca o funcție de codare, care joacă un rol important în procesul de decodare. [17]

Semnalul de spectru împrăștiat cu secvență directă se obține prin multiplicarea semnalului informațional de către o secvență haotică. Astfel, metoda de modulație constă în multiplicarea purtătoarei, y[n], de semnalul informațional, s[n] ; presupunem că |s[n]| ≤ 1. Semnalul transmis va fi dat de:

p[n] = y[n] s[n] = g(x[n]) s[n] (5.2)

În acest caz, la recepție, semnalul informațional se obține din relația:

, dacă y[n] ≠ 0. (5.3)

În cazul în care y[n] = 0, semnalul informațional nu poate fi recuperat. Oricum măsurarea setului {m| y[m] = 0} este de așteptat să fie zero.

5.2.2. Comportarea sistemului în cazul accesului multiplu

Considerăm cazul prezenței în sistemul de comunicație a mai multor utilizatori.

Modulatorul constă din multiplicarea purtătoarelor întârzâiate y[n-lj] (lj sunt numere întregi pozitive) de către semnalele informaționale sj[n]. Astfel la emisie, în urma modulației directe cu purtătoarea haotică, semnalul transmis pentru K ( 2) utilizatori este dat de:

(5.4)

În consecință, la recepție semnalele informaționale se obțin prin demodulare cu purtătoarele haotice y[n-lj], rezultând [17]:

(5.5)

unde s-a notat prin ek[n] eroarea definită de:

(5.6)

Dacă eroarea ek[n] este suficient de mică, atunci se poate considera că qk[n] ≈ sk[n]. Desigur această presupunere nu este în general adevărată. De exemplu, dacă y[n-lk] este suficient de mic în comparație cu y[n-lj], atunci termenul y[n-lj]/y[n-lk] ia valori suficient de mari, ceea ce va determina apariția unui impuls mare în secvența {qk[n]}. Pentru a elimina acest impuls se poate alege funcția de codare g() astfel încât :

, r – întreg (5.7)

Pentru un r suficient de mare, există un > 0 suficient de mic astfel încât:

pentru (5.8)

pentru (5.9)

Aceasta se întamplă, dacă x[n-lj]/x[n-lk] 1, atunci funcția de codare g divide termenii y[n-lj]/y[n-lk] în două grupuri: unul care este mai mare decât 1/, și altul care este mai mic decât . De aceea, dacă putem scoate termenii (y[n-lj]/y[n-lk])/sj[n] care sunt mai mari decât 1/ din ek, atunci |ek| K. Această operație se poate realiza utilizând un limitator de amplitudine. Astfel se înlocuiește :

qk[n] {qk[m] | |qk[m]| 1} (5.10)

cu :

qk[n – l] {qk[m] | |qk[m]| 1} (l > 0) (5.11)

sau reținând qk[n-1] de la momentul anterior (m este un număr întreg ce satisface relația m n), aceasta datorită următorului motiv :

dacă |qk[n]| = |sk[n] + ek[n]| 1 și |sk[n]| 1 (5.12)

atunci |ek[n]| 2 K (5.13)

Fie {ek’[n]} și {qk’[n]} secvențele modificate ale {ek[n]} respectiv {qk[n]}, și de aceea ek[n] este înlocuit de ek[n-l] sau ek[n-1] dacă |qk[n]| 1. [17]

Prin medierea secvenței modificate {qk’[n]} pe n, obținem:

(5.14)

unde pentru N constant se obține:

(5.15)

(5.16)

(5.17)

În plus, considerăm o cădere rapidă a valorilor pentru valori mari ale lui N și k, presupunând că y[n] și y[n-k] sunt necorelate pentru k destul de mare. Întradevăr funcția de autocorelație c(y) satisface :

pentru (5.18)

dacă valoarea medie pentru y[n] este aleasă zero.

Astfel, ne așteptăm ca pentru N și k suficient de mari, și de aceea semnalul informațional este recuperat prin:

(5.19)

Aici am presupus că sk are variații mici, adică:

, j = 1, 2, … , N-1 (5.20)

Astfel s-a demonstrat că sistemul propus poate demodula informația în cazul înlocuirii secvențelor PN cu cazul mai general al unor secvențe haotice.

5.2.3. Influența sincronizării celor două sisteme haotice asupra funcționării sistemului

Reconstituirea semnalului informațional necesită cunoașterea la recepție a copiei secvenței haotice de împrăștiere folosită la emisie. Să considerăm că semnalul haotic de la recepție este “deplasat” față de cel original y[n], astfel încât cu i ≠ 0. În aceste condiții, la recepție, semnalul informațional refăcut pentru utilizatorul cu indexul k va fi dat de relația [17]:

(5.21)

(5.22)

Conform relației de mai sus, semnalul informațional sk[n] este “împrăștiat din nou” de către y[n-lk]/y[n-lk+i] și, în consecință este pierdut, deoarece nu putem spera că y[n-lk] ≡ y[n-lk+i] pentru orice valoare a lui “n”.

Un rezultat similar se obține dacă secvența este afectată de zgomot sau apar erori de sicronizare:

(5.23)

unde w[n] indică prezența unui zgomot sau a unei erori. În acest caz, la recepție, semnalul reconstituit pentru utilizatorul k are forma:

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

pentru y[n-lk] ≠ 0.

Conform relației de mai sus, informația utilă sk[n] este pierdută când w[n-lk] devine mare în comparație cu y[n-lk]. În plus, dacă ținem cont de proprietatea semnalelor haotice de a fi sensitive la condițiile inițiale, rezultă că odată stricată sincronizarea, semnalul w[n] devine mare foarte repede. De aceea păstrarea sincronizării este elementul cheie în funcționare unui sistem cu spectru împrăștiat cu secvențe haotice.

5.2.4. Rejecția interferenței și zgomotului introdus de canal

Considerăm că în canal este prezent un alt utilizator. Astfel un semnal perturbator, I[n], este adăugat semnalului recepționat. Semnalul recepționat q[n] devine:

q[n] = p[n] + I[n] (5.28)

Divizând această ecuație cu y[n-lk] și limitare în amplitudine, obținem:

(5.29)

unde termenul este modificat de limitatorul în amplitudine obținând:

(5.30)

Cum y[n] și I[n] sunt necorelate, ne putem aștepta ca pentru valori ale lui N suficient de mari. În acest caz, se obține că:

(5.31)

În continuare presupunem că semnalul recepționat este bruiat de un zgomot Gaussian w[n]. Atunci secvența recepționată este dată de:

(5.32)

și semnalul recepționat este de forma:

(5.33)

unde {dk’} este secvența modificată a secvenței {dk}( = {w[n]y[m-lk]-1}) de limitatorul în amplitudine. Termenii dk’ și ek’ rămân ca zgomot. Astfel dacă se mărește nivelul zgomotului din canal, semnalele recepționate sunt corupte de zgomot. [17]

5.2.5. Interferența în cazul accesului multiplu

Dacă considerăm cazul în care există interferență multi-user în canal, adică K semnale împart același canal de comunicație, semnalul recepțioant de către un utilizator va fi:

(5.34)

unde și sunt secvența haotică, respectiv semnalul informațional al transmițătorul j. Procedura de mediere și limitarea în amplitudine pentru semnalul k = 1 generează:

(5.35)

unde {e’(1)} este secvența modificată a:

(5.36)

utilizând un limitator de amplitudine. Ne așteptăm ca , pentru N mare, deoarece cross-corelația semnalelor haotice satisface:

, pentru i j (5.37)

Astfel, semnalul recepționat este dat de:

(5.38)

Rezultă că semnalul informațional este recuperat.

5.2.6. Modelarea unui sistem cu salt de frecvență cu purtătoare haotică

Sistemul cu spectru împrăștiat cu salt de frecvență împarte banda avută la dispoziție în N canale și execută salturi între aceste canale conform unei secvențe pseudoaleatoare. Sistemul SF bazat pe haos execută salturi pentru orice frecvență în banda avută la dispoziție conform secvenței haotice {x[n]}.

Purtătoarele pentru saltul de frecvență sunt date de:

(5.39)

unde (5.40)

iar (j) și lj sunt constante, și g() este funcția de codare. Modularea constă din multiplicarea lui y(j)[n] de către semnalul informațional sj[n]: [17]

(5.41)

Demodularea semnalului se face prin multiplicarea lui p[n] de către y(k)[n]:

(5.42)

unde , (5.43)

și es[n] poate fi rejectat prin filtrerea trece jos a semnalului qk[n]. Astfel obținem:

(5.44)

unde

(5.45)

(5.46)

(5.47)

(5.48)

La fel ca în cazul sistemului de tip secvență directă, presupunem o valoare mică a , cum y(j)[n] și ykj)[n] sunt necorelate. Astfel obținem relația:

(5.49)

La fel ca în cazul sistemului clasic, sisteme SF bazate pe haos prezintă și ele următoarele proprietăți: rejecția interferenței, acces multiplu etc.

5.3. Comparație între secvențele haotice și codurile m și Gold în cazul sistemelor CDMA

5.3.1. Structura unui sistem DS-CDMA cu secvențe complexe de împrăștiere

Mediul asincron este în particular potrivit pentru a descrie legătura dintre stațiile mobile și stația de bază într-un sistem de tip celular, unde întârzâierea și faza undei recepționate trebuie considerate ca variind aleator de la un utilizator la altul.

Considerăm schema echivalentă a unui sistem DS-CDMA în banda de bază în care prutătoarea are pulsația 0, sunt presupuși U utilizatori iar tu și u indică întârzâierea și faza absolută a purtătoarei pentru semnalul u. Se folosește un modulator trece bandă în cuadratură pentru a trece banda de bază într-un sistem real de comunicație radio. [19]

Considerăm semnalul informaționl modulat în impuls al utiliatorului u, unde sunt simbolurile informaționale, gT este un impuls dreptunghiular de amplitudine 1 în intervalul [0, T] și 0 în rest, iar Vu este considerată amplitudinea semnalului. Acesta este împrăștiat de semnalul complex Qu(t), format din impulsuri dreptunghiulare gT/N, modulate de simbolurile codului de împrăștiere xiu ale alfabetului X care sunt repartizate în L simboluri complexe în mulțimea Z = {z1, z2, … , zL} C prin funcția Q : X Z. Fiecare utilizator adoptă un cod diferit de împrăștiere, asignat la pornirea sistemului.

Cum în sistemele de comunicații celulare reale performanța este în principal limitată de înterferența cocanal, este comun în studiul sistemelor de tip DS-CDMA să fie neglijat zgomotul alb aditiv din canal.

Pentru a evalua performanța sistemului se definește funcția parțială de cross corelație între două secvențe de împrăștiere xu = {xku} și xv = {xkv} [19]:

(5.50)

Presupunem că secvențele de împrăștiere sunt periodice cu perioada egală cu factorul de împrăștiere N. Se poate acum analiza componenta care interferează și a evalua puterea relativă folosind o aproximare Gauss care consideră valorile codurilor de împrăștierea ca variabile aleatoare.

Obținem:

(5.51)

unde , a fost considerat independent de v, și se consideră un mecanism de control al puterii care să egalizeze amplitudinile Vu = V astfel încât să se asigure performanțe egale pentru ambii utilizatori. Efectuăm operația de mediere asupra unui set de secvențe și obținem [19]:

(5.52)

Înlocuind (5.52) în (5.51) obținem:

(5.53)

unde R se definește ca:

(5.54)

și are semnificația de raportul interferență semnal așteptat pe utilizator ce produce interferență; cu cât se consideră că va scădea performanța sistemului la adăugarea unui nou utilizator.

Un sistem de comunicații poate fi considerat intuitiv că se comportă bine când costul în performanță la adăugarea unui utilizator este constant și scade proporțional orcâtă lărgime de bandă i-am aloca. De fapt, această comportare poate fi atinsă dacă presupunem că |Q|2 = const și folosind secvențe ideale de împrăștiere în care simbolurile cu medie zero sunt produse independent față de celelalte. O simplă înlocuire în (5.54) duce la R = 2/(3N), care corespunde conceptului de performanță bună discutat anterior.

Din aceste considerații vedem că alegerea rezonabilă a indicelui de performanță pentru un sistem DS-CDMA asincron este raportul dintre valoarea menționată mai sus R = 2/(3N) și valoarea lui R ce rezultă din adoptarea unui set particular de secvențe de împrăștiere.

(5.55)

Cum R este o măsură a interferenței, rezultă cu cât W este mai mare cu atât performanța sistemului este mai bună.

Se obține din (5.54) că alegerea unui anumit set de secvențe de împrăștiere este problema centrală în proiectarea unui sistem de comunicații de tip DS-CDMA. Printre multe secvențe propuse în literatură, cele mai studiate sunt secvențele de lungime maximă pe un câmp Galois, GF(Lm), unde L este un număr prim, și secvențele de tip Gold, care au fost prezentate în capitolul 2 al lucrării de față.

5.3.2. Generarea secvențelor cu funcții haotice iterative

În loc să folosim secvențe de tip m sau Gold, în acest paragraf folosim ca secvență de împrăștiere o funcție iterativă haotică M : X X cu X = [0, 1] cuantizată și cu o anumită perioadă de repetare. Mai formal se consideră xk-lN = xk pentru orice întreg l, xk+1 = M(xk) pentru k = 0, 1, … , N-1, și folosim Q(xk) pentru împrăștiere.

În mod intuitiv se acceptă că, pentru o funcție nedegenerativă Q, proprietățile statistice ale secvenței de împrăștiere depind de proprietățile statistice ale seriei generată de funcția haotică. Aceste caracteristici pot fi studiate folosind tehnici din teoria sistemelor neliniare.

Presupunem că punctul x0 X este ales aleator conform unei densități de probabilitate p0 : X R+. Atunci densitatea de probabilitate care modelează distribuția punctului aleator x1 este dată de p1 = PMp0 cu [19]:

(5.56)

care implicit definește un operator liniar de la spațiul Lebesgue de funcții integrabile (L1) la el însuși, care este în mod cunoscut ca operatorul Perron-Frobenius. Se poate ușor vedea că dacă Mk este iterația k a lui M atunci densitatea de probabilitate a lui xk este pk = PM p0.

Considerăm variația unei funcții f pe intervalul [0, 1]:

(5.57)

Astfel definim LBV = {f L1; var f < } care împreună cu norma este spațiul Banach care este dens în L1. De acum identificăm simbolul PM cu restricția operatorului Perron-Frobenius la LBV.

Din punct de vedere al sistemului dinamic, iterația lui PM caracterizează evoluția setului de traiectorii a sistemului în timp discret xk = M(xk-1) = MK(x0), ale cărui condiții inițiale sunt alese conform unei densități de probabilitate inițiale.

Rezultate fundamentale ale teoriei sistemelor dinamice susțin că, corelația dintre două traiectorii diferite dispare în timp, trebuind alese funcții cu corelații cât mai mici. Dar cum verificarea exactității este mai ușor decât verificarea proprietăților de corelație, și cum poate fi dovedit că exactitatea implică și ergodicitate, ne vom concentra asupra funcțiilor haotice exacte.

În particular, notăm cu (Y) valoarea Borel normalizată a oricărui set măsurabil Y X și spunem că funcția M este exactă dacă, pentru orice Y X astfel încât (Y) > 0, avem

(5.58)

S-a demonstrat că dacă M este exactă există o densitate de probabilitate unic invariantă astfel încât . Mai mult de atât se știe că:

(5.59)

pentru orice densitate de probabilitate inițială p LBV și pentru anume constante H și 0 < rmax < 1 depinzând de funcția M. Astfel dacă este adoptată o funcție exactă, după o perioadă tranzitivă inițială, punctele xk se vor distribui conform densității de probabilitate .

Bazat pe acest fapt se alege o funcție haotică comună. Considerăm L intervale consecutive X1, … , XL disjuncte care acoperă întreg X astfel încât x Xj implică Q*(x) = zj, zj fiind una din cele L rădăcini ale lui 1. Considerăm în continuare că (de exemplu funcții pentru care ) și notăm că orice punct inițial x0 corespunde unei serii temporale, astfel încât proprietățile lui considerând secvențele și se transpun asupra valorilor aleatoare alese inițial x0u și x0v care determină unic înșăși secvențele.

Cu aceste considerații poate fi obținut un rezultat general asupra performanțelor unui sistem de comunicații CDMA asincron. Astfel apare următoarea teoremă [19]:

Teorema 1. Există o constantă C 0 astfel încât considerând

(5.60)

(5.61)

cu C = C(Q, H, rmix, ||||, ||||), putem mărginii R astfel încât:

(5.62)

Cum K1 1 și K2 0 mărginirea nu poate garanta optimul de performanță (R 2/(3N)) pentru toate funcțiile, totuși există câteva funcții și funcții cuantizate Q cu performanțe care egalează performanța de referință.

5.3.3. Comparație între un generator haotic de tip Bernoulli și codurile clasice de împrăștiere

O mare clasă de funcții cu asemenea proprietăți sunt generatoarele haotice tip Bernoulli care sunt și unele din cele mai simple și și mai studiate funcții haotice.

Un generator Bernoulli este definit de n intervale astfel încât M(Xj) = X pentru orice j.

Forma funcției caracteristice generatorului Benoulli reprezentată pentru un generator definit pe trei intervale este reprezentată în figura 5.2. [19]

Astfel pentru o funcție Bernoulli de ordinul n avem:

(5.63)

poate fi verificat ca și că rmix = 1/n. Cu aceste valori se poate enunța următoarea teoremă [19]:

Teorema 2. Dacă atunci E = 0. Mai mult, dacă există un întreg l > 0 astfel încât n / l = L, atunci C = 0 în teorema 1.

Cu acest rezultat putem lua K1 = 1 și K2 = 0 în teorema 1 și obținem R 2/(3N), rezultă că generatorul Bernoulli de ordinul n nu se comportă mai prost decât sistemul de comunicații luat ca referință. Mai mult decât atât, se pot preciza câteva seturi de secvențe de împrăștiere cu performanțe mai bune.

În [19] au fost realizate simulări numerice pentru a verifica această teoremă, în care se calculează indicele de performanță după cum urmează:

(5.64)

care depinde de interferența medie măsurată pe utilizator.

Autorii au ales generarea a 10 seturi de secvențe haotice cu generatorul de tip Bernoulli, și care dintre ele are performanțele cele mai bune a fost ales ca set de test.

Rezultatele obținute au fost că secvențele haotice deși se comportă mai prost pentru valori mici ale lui U și N, pentru valori mari ale parametrilor le depășesc în performanțe pe secvențele de tip m. În cazul secvențelor Gold care se comportă mai bine în cazul unui număr mare de utilizatori, rămân totuși sub nivelul performanțelor obținute cu ajutorul secvențelor haotice.

5.4. Tehnici de multiplexare utilizând semnale haotice

Înainte de a face o prezentare a unor sisteme cu spectru împrăștiat ce permit accesul multiplu a mai multor utilizatori la același canal, voi studia posibilitatea transmiterii informației mai multor utilizatori pe canal folosind tehnici de multiplexare. În principiu există două tehnici de multiplexare de bază:

multiplexare cu diviziune în frecvență (FDM – frequency-division multiplexing)

multiplexare cu diviziune în timp (TDM – time-division multiplexing)

La aceste tehnici clasice de multiplexare în cazul utilizării unor secvențe haotice de comandă se poate adăuga tehnica:

multiplexare cu diviziune în amplitudine (ADM – amplitude-division multiplexing)

5.4.1. Multiplexare cu diviziune în frecvență folosind secvențe haotice

Principiul clasic al multiplexării cu diviziune în frecvență constă în faptul ca semnalul informațional de bandă limitată al fiecăriu utilizator în parte să moduleze o frecvență purtătoare dintr-o multime de frecvențe f1, f2, … , fN . Semnalele modulate pentru fiecare utilizator în parte sunt apoi însumate fomând semnalul în banda de bază xb(t). Semnalul în banda de bază poate fi apoi transmis direct sau poate fi folosit pentru a modula o frecvență purtătoare pentru tot multiplexul.

La demodulare, mai întâi semnalul de pe frecvența purtătoare este adus în banda de bază, apoi sub-purtătoarele sunt separate folosind un bloc de filtre trece bandă, și mesajele informaționale pentru fiecare utilizator în parte sunt detectate.

În cazul multiplexării folosind o purtătoare haotică, aceasta se aplică unui filtru trece sus sau trece bandă obținând subpurtătoarele haotice. Schema bloc a acestui sistem este reprezentată în figura 5.3. [18]

Cum subpurtătoarele sunt extrase din semnalul haotic generat la emisie, dacă presupunem că cele două generatoare sunt sincronizate, atunci prin procedeul invers subpurtătoarele identice pot fi obținute și la recepție, astfel informația putând fi recuperată. În schemă se folosesc filtre trece bandă pentru a obține semnalele modulate și pentru extragerea subpurtătoarelor haotice.

5.4.2. Multiplexare cu diviziune în timp folosind secvențe haotice

Tehnica de multiplexare cu diviziune în timp este o tehnică pentru transmiterea mai multor mesaje pe un singur canal, divizând domeniul de timp în intervale, fiecare interval pentru fiecare mesaj în parte.

Astfel, mai multe mesaje de bandă limitată sunt eșantionate secvențial le emițător prin intermediul unui comutator. Comutatorul face o rotație completă în Ts 1/2W (W – banda semanlului informațional), extrăgând câte un eșantion de la fiecare utilizator în parte. Dacă de exmplu sunt M intrări, diferența dintre două eșantioane consecutive transmise pe canal este Ts/M. La partea de recepție un comutator similar împarte eșantioanele către un bloc de filtre trece jos, care reconstruiesc mesajul informațional inițial.

În cazul multiplexării folosind o secvență haotică, semnalul de frecvență mare folosit pentru a roti comutatorul este extras aplicând semnalului haotic un filtru trece sus. Cum semnalul folosit este haotic, semnalul pentru eșantionare va fi de asemenea haotic. Chiar în acest caz cu o formă aproximativ aleatoare a semnalului de eșantionare, generatoarele haotice, respectiv cel de la emisie și cel de la recepție sunt sincronizate, iar cele două filtre folosite sunt echivalente atunci demodularea se poate realiza.

Schema bloc a unui astfel de multiplexor este reprezentată în figura 5.4. [18]

5.4.3. Multiplexare cu diviziune în “amplitudine” folosind secvențe haotice

Amplitudinea semnalului transmis este folosită pentru diviziune. Fie x(t) și D amplitudinea semnalului transmis și respectiv amplitudinea semnalului transmis. Împărțim D în intervalle distincte Dj. Ideea de bază a sistemului este ca de exemplu xj(t) Dj atunci se va injecta în modulator semnalul sj(t). Cum semnalul transmis este haotic, fiecare sj(t) va fi injectat în modulator aleator. Schema de principiu a sistemului este prezentată în figura 5.5. [18]

Nu voi mai insista asupra tehnicilor de multiplexare folosind secvențe haotice, doarece acestea nu prezintă obiectul proiectului, fiind amintite ca metode de transmitere a informației cu acces multiplu doar, dar neoferind nici un alt avantaj în comparație cu sistemele SSI.

5.5. Structuri de sisteme CDMA și (CD)2MA

5.5.1. Noțiunea de (CD)2MA

Notiunea de (CD)2MA a fost introdusă prima dată în [11] și este o prescurtare de la Chaotic Digital Code-Division Multiple Access, adică un sistem de telecomunicații digitale cu acces multiplu ce utilizează secvențe haotice. Problema care apare în cazul sistemelor (CD)2MA față de cele clasice constă în faptul că nu există în o teorie care să garanteze că purtătoarele haotice sunt ortogonale. Din simulările făcute în capitolul 3 și de altfel din numeroase surse bibliografice, s-a demonstrat că există generatoare de semnale haotice, a căror funcții de crosscorelație au valori mici în comparație cu maximul funcției de autocorelație, rezultă că putem utiliza tehnica accesului multiplu folosind generatoare haotice fiind restricție doar asupra numărului maxim de utilizatori pe același canal.

5.5.2. Schema unui sistem (CD)2MA

Pentru a se elabora o schemă (CD)2MA s-a plecat de la schema de principiu a sistemului CDMA standard. Așa cum s-a menționat în introducere, semnalul cu spectru împrăștiat poate fi obținut prin mai multe metode. Cea mai simplă este multiplicarea semnalului informațional cu un cod de împrăștiere, înaintea unei modulații în radiofrecvență. Astfel schema clasică a unui sistem cu spectru împrăștiat cu secvență directă este prezentată în figura 5.6. [11]

Astfel, semnalul informațional m(t) este multiplicat cu secvența de tip zgomot (Pseudo Noise) c(t), apoi modulează o purtătoare de radiofrecvență cos(t) și se obține semnalul codat x(t). La recepție, semnalul afectat de o perturbație de tip interferență I(t) datorată canalului și/sau bruiajului este demodulat din radio frecvență, filtrat, apoi demodulat în banda de bază, folosindu-se un cod c(t) sincron cu cel de la emisie, obținându-se mesajul informaținal la recepție r(t). c(t) este un semnal de împrăștiere cu o viteză codului mare, de ordinul a Mcps. (de exemplu pentru sistemul CDMA IS-95 rata secvenței de împrăștiere este 1.2288 Mcps).

Altă metodă care se poate utiliza este modularea purtătoarei direct cu mesajul informațional, considerând purtătoarea un semnal de spectru larg. În schema propusă în [11] chiar acest tip de sistem se folosește considerând ca semnal purtător chiar semnalul generat de sistemul haotic. figura 5.7.

Comparând sistemul (CD)2MA din figura 5.7. cu sistemul CDMA din figura 5.6., putem vedea că ambele scheme folosesc sincronizarea a două generatoare identice de secvențe de împrăștiere. În loc de a modula un semnal armonic pur (o purtătoare sinusoidală) ca în cazul sistemului CDMA, un sistem de tip (CD)2MA transmite o purtătoare pseudoaleatoare de RF direct. Pentru a asigura o securitate mărită sistemului (CD)2MA, putem de asemenea folosi două chei de secretizare, una la emisie și una la recepție.

Sistemele haotice atât la transmitere cât și la recepție sunt identice, iar când doi utilizatori sunt conectați la stația de bază, le sunt asignate aceleași condiții inițiale apoi este asigurată sincronizarea între ele asigurată prin folosind o schemă de sincronizare continuă sau în impuls.

Cum fiecare stație mobilă poate funcționa atât ca emițător cât și ca receptor, presupunem ca semnalele cheie sunt aceleași pe timpul comunicației și pot fi modificate pe timpul conversației, pentru a mări securitatea transmisiei de date.

5.5.3. Sincronizarea în impuls a sistemelor haotice.

Problema sincronizării atât în cazul sistemelor CDMA cât și al sistemelor (CD)2MA este destul de delicată.

În principiu se pot face două tipuri de sincronizare de bază și anume:

– sincronizare în mod continuu în care un sistem master trimite tot timpul pe linie semnale de sincronizare pentru a sincroniza sistemul slave

– sincronizare în impulsuri în care masterul trimite doar impulsuri de sincronizare la o anumită perioadă de timp și cu o anumită durată.

În cazul sincronizării în impulsuri ideea de bază este că odată realizată sincronizarea receptorul poate lucra autonom pentru o anumită durată de timp, lungimea acestei durate fiind puternic influențată de zgomotul caracteristic canalului și nepotrivirea de parametri dintre cele două sisteme haotice.

În continuare voi face o scurtă prezentare teoretică a sincronizării în impulsuri dintre două circuite Chua. Vom demonstra practic că este posibilă sincronizarea în impulsuri și pentru generatoarele digitale care vor fi folosit în sistem.

Ecuațiile sistemului Chua sunt prezentate în (5.1). Unul dintre oscilatoare este sistem master, iar celălalt este sistemul slave. Considerăm

(5.65)

unde f() este funcția neliniară caracteristică diodei Chua. În [11] se arată că se poate rescrie sistemul de ecuații diferențiale al sistemului conducator (‘master’) după cum urmează:

(5.66)

unde

(5.67)

(5.68)

Atunci sistemul condus (‘slave’) este dat de:

(5.69)

unde sunt variabilele de stare ale sistemului condus.

La intervale discrete de timp tI, i = 1,2, … , variabilele de stare ale sistemului conducător se transmit sistemului condus și variabilele de stare ale sistemul slave execută niște salturi la momentele de sincronizare. Astfel sistemul condus este descris de:

(5.70)

unde B este o matrice 3×3, iar eT = (e1 e2 e3) este eroarea de sincronizare dată de:

(5.71)

Dacă definim:

(5.72)

atunci eroarea sistemului este dată de:

(5.73)

Condițiile pentru stabilitatea asimptotică a sincronizării prin impulsuri pot fi găsite în [15].

Sincronizarea sistemului slave pentru generatorul Chua pentru mai multe valori ale intervalului de sincronizare este reprezentată în figura 5.8. Pentru toate tipurile de generatoare folosite în cadrul simulării și pentru diferite intervale la care se transmit impulsurile de sincronizare am prezentat spațiul fazelor în Anexa B.

Am facut reprezentarea semnalului de sincronizare pentru trei valori ale duratei la care se emite un impuls de sincronizare, astfel:

Tabelul 5.1. Perioada la care se face sincronizarea

Se observă astfel că dacă se mărește prea mult perioada la care se emit impulsurile de sincronizare sistemul slave nu va putea urmării evoluția sistemului master. Se poate îmbunătății pefrormanța sistemului în ce privește această durată dacă se asigură ca cele două sisteme master și slave să plece din aceleași condiții inițiale la intervale de timp diferite, pentru sistemul slave adăugâdu-se timpul de propagare pe linie si timpul de prelucrare pe care îl introduc cele două sisteme de emisie și recepție, ceea ce din punct de vedere practic este aproape irealizabil.

5.5.4. Metode de modulație și de demodulație utilizate

Într-un sistem standard CDMA uzual metodele de modulație utilizate sunt:

phase-shift keying (BPSK) pentru modularea datelor

quadrature phase-shift keying pentru modulația semnalului cu purtătoarea de radiofrecvență

Astfel semnalul transmis în linie pentru sistemul CDMA va arăta de forma:

(5.74)

La recepție semnalul x(t) la care se va adăuga semnalul I(t) (I(t) – reprezintă suma dintre zgomot și interferența introdusă de ceilalți utilizatori) va fi multiplicat de secvența PN, sincronizată cu cea la emisie și semnalul demodulat va fi de forma:

(5.75)

Astfel pentru a extrage semnalul, după corelator se introduce un filtru trece bandă cu banda de trecere centrată pe frecvența purtătoarei. Odată cu semnalul informațional astfel va fi selectat și semnalul de interferență care se află în banda de trecere a filtrului.

În cazul sistemului (CD)2MA care presupunem ca realizează transmisia în banda de bază semnalul emis în linie va fi de forma:

(5.76)

Astfel, pentru receptorul (CD)2MA vom avea:

(5.77)

Cum frecvența semnalului d(t) este mult mai mică decat frecvența semnalului de interferență c(t)I(t) rezultă că putem îmbunătății raportul semnal zgomot destul de mult utilizând un filtru trece jos imediat după corelator.

Schema de principiu bloc a sistemului ce a fost implementată este prezentată în figura 5.9.

Schema de principiu bloc a sistemului ce a fost implementată este prezentată în figura 5.9.

Spre exemplu reprezentăm forma semnalului informațional, forma semnalului modulat precum și semnalele realizate la demodulare și la detecție.

Astfel considerăm un semnal informațional generat aleator cu o viteză a informației Binf = 9.6 kbps, care modulează o purtătoare haotică generată de un sistem Chua cu parametrii dați în tabelul 5.2., cu o funcție de împrăștiere cu parametrii de mai jos:

Nspread =10; % de câte ori se aplică cifrul secvenței

LimitSpread =2.5; % amplitudinea maximă a semnalului considerat

Delta = 0.01; % aproximarea care se face cu un circuit real

Tabelul 3.1. Valorile parametrilor sistemului Chua

Considerăm cazul în care pe canal se află un singur utilizator pentru a prezenta metodele de modulație, de demodulare și de detectie.

Modularea este prezentată în figura 5.10.

Ca tip de modulare se folosește BPSK, însemnând de fapt schimbarea semnului purtătoarei utilizate.

La receptor, semnalul din canal este filtrat pentru a selecta doar afectată transmisiei, iar dupa aia semnalul obținut după filtrare este corelat cu secvența haotică obținută la receptor prin procesul de sincronizare. De asemenea secvența haotică obținută cu generatorul de la recepție este filtrată pentru a corespunde benzii alocate la fel ca în cazul modulației. Tipul canalului s-a considerat AWGN, iar raportul SNR = 0 dB. Reprezentarea acestor semnale este dată în figura 5.11.

Detecția semnalului digital se realizează utilizând un filtru trece jos și apoi un detector cu prag. În acest caz am considerat un filtru de tip Butterworth cu frecvența de tăiere 20 kHz (cele mai bune rezultate s-au obținut pentru frecvența de tăiere de două ori mai mare decât rata de transmitere a informației) și ordinul filtrului ales a fost 3. Am observat că această valoare pentru ordinul filtrului este suficientă pentru a obține un bun rezultat, utilizarea unui filtru de ordin mai mare influențând chiar negativ procesul de detecție datorită întârzâierii introduse.

Reprezentarea semnalului după corelator și a semnalului filtrat este dată în figura 5.12.

Detecția așa cum am precizat anterior o realizăm cu un detector cu prag. Cum semnalul haotic generat a fost ales de medie zero, și modulația realizată este de tip BPSK, normal pragul ales este 0. Dar acesta poate fi reglat în cazul implementării unor modulații de tip diferit.

Astfel, semnalul filtrat, nivelul de prag, semnalul detectat și alegerea momentelor de decizie sunt reprezentate în figura 5.13.

5.5.5. Evaluarea performanțelor sistemului (CD)2MA

Evaluarea performanțelor pentru orice sistem de telecomunicații care transmite informații digitale se face prin estimarea erorii de bit în anumite condiții de raport SNR. În simularea sistemului nostru am ales estimarea performanțelor pentru două tipuri de canale, și anume AWGN și LOS + AWGN.

Cerința impusă în tema proiectului a fost ca eroarea de bit să fie mai mică decât 10-3. În acest proiect am realizat simularea sistemului în cazul unui singur utilizator pe canal sau în cazul accesului multiplu cu mai multi utilizatori pe canal.

Datorită duratei prea mari a simulării majoritatea lor au fost facute pentru un semnal informațional cu lungimea de 50 biti, iar estimarea BER a fost facută în intervalul de variație a raportului SNR între –10: 0 dB.

Astfel în figurile 5.14. se prezintă variația BER în funcție de SNR pentru generatorul logistic cu parametrul k = 4, iar soluțiile inițiale alese pentru sisteme în cazul accesului multiplu date de tabelul 3.2. Variația raportului semnal/zgomot a fost aleasă în intervalul –10 – 0 dB, cun un număr de 10 măsurători la distanțe egale în funcție de SNR. Simulările au fost făcute pentru 50 de biți informaționali datorită duratei destul de mari necesară simulării. Banda canalului utilizat în toate simulările a fost aleasă de 1 MHz.

Se observă astfel o creștere a erorii de bit odată cu creșterea numărului de utilizatori pe canal ceea ce este normal datorită faptului că fiecare utilizator în parte reprezintă interferență pentru toți ceilalți.

Cum în parametrii de proiectare se cere o rată a erorilor de cel putin 10-3 vom face o simulare a performanțelor sistemului pentru 100 de biți informaționali în cazul canalelor de tip AWGN și LOS + fading, pentru un raport SNR variind în intervalul –5 5 dB împărțit în 20 de intervale, generatorul rămânând de tip logistic. Rezultatul este afișat în figura 5.15.

În anexa B vor fi reprezentate variațiile BER vs SNR pentru toate generatoarele studiate, și respectiv pentru cele două tipuri de canale implementate.

6.1. Introducere

În aproape toate sistemele de comunicație radio mobile, semnalele transmise ajung la receptor din diferite direcții pe mai multe căi. În afară de unda directă, toate celelalte căi de propagare suferă cel puțin o reflexie, transmisie sau difracție înainte de a ajunge la receptor. Într-un mediu în care sunt posibile mai multe direcții de propagare semnalul receptat este suma tuturor acestora. În aceste condiții împrăștierea și întârzâierea semnalului datorată propagării pe mai multe direcții limitează performanța sistemului.

Un canal prezintă interferență intersimbol datorită propagării pe căi multiple dacă rata de transmitere a simbolurilor este mai mare decât coerența de bandă a canalului (aceasta se definește ca inversul duratei maxime de întârzâiere a semnalului). Acest tip de canal este denumit selectiv în frecvență. În cazul fadingului selectiv în frecvență o parte din bandă este afectată de o atenuare mare ce apare într-o anumită zonă a răspunsului în frecvență al canalului și o cădere semnificativă a raportului semnal zgomot.

Efectele fadingului selectiv în frecvență pot fi controlate prin câteva mijloce printre care folosirea în cadrul sistemului de antene multiple, egalizoare adaptive și modeme multirate. Desigur folosirea tehnicii împrăștierii spectrului oferă o rezistență sporită în cazul canalelor afectate de acest tip de fading.

6.2. Modelul tip filtru FIR al canalului

Una din metodele folosite pentru a simula matematic această comportare constă în considerarea canalului sub forma unui șir de celule de întârzâiere care modelează dispersia semnalului într-un mediu în care propagarea se face pe căi multiple. Astfel putem spune că modelul canalului se poate aproxima cu un filtru FIR. Această structură a fost utilizată pentru a simula sistemele de comunicații mobile, indiferent de mediul radio (în interiorul clădirilor, urban, rural sau pentru comucații satelit), cu viteze diferite ale informației și diferite sisteme tehnologice (TDMA, CDMA, FDMA).

6.2.1. Prezentarea principalelor caracteristici ale filtrului FIR ales

Astfel un canal radio de bandă largă cu căi multiple poate fi în general caracterizat printr-un filtru FIR variant in timp, implementat ca o linie de întărzâiere cu K coeficienți complexi ce variază în timp hk(t), k = 0, 1, … , K – 1 așa cum se arată în figura 6.1.

Semnalele de intrare și de ieșire sunt x(t) și respectiv y(t). Pentru unele tipuri de modulație (de ex. BPSK), x(t) poate fi ales real, dar coeficienții hk(t) și deci și y(t) sunt în general complexi. Unitatea de întârzâiere a modelului este notată , care trebuie să fie un multiplu întreg al intervalului de eșantionare Te a sistemului simulat. (de multe ori = Te). Numărul de celule de întârzâiere K ar trebui ales astfel încât (K-1) să fie egal sau mai mare decât maximul anticipat al întârzâierii în canalul radio ce trebuie simulat.

Celulele de întârzâiere nu trebuie în mod necesar să fie uniform distribuite.

Conform principiului lui Nyquist, trebuie satisfăcută următoarea relație pentru a evita alierea spectrului în conversiile A/D și D/A:

(6.1)

unde B este lărgimea de bandă a semnalului x(t). În final rezultă că semnalul sau lărgimea de bandă pe care o folosește sistemul și maximul întârzâierii determină numărul de celule necesare pentru modelarea canalului.

Trebuie remarcat că hk(t) sunt complexi. Relația dintre un semnalul real s(t) și semnalul complex echivalent trece jos (anvelopa complexă) u(t) este:

(6.2)

unde fc este purtătoarea de radiofrecvență. Astfel dacă x(t) este semnalul de intrare, semnalul corespunzător de ieșire y(t) din canalul de bandă largă caracterizat de funcția răspuns la impuls h(,t) este obținut prin convoluție:

(6.3)

unde expresia din dreapta poate fi interpretată ca suma dintre replicile întârzâiate și variabile în timp ale semnalului x(t).

6.2.2. Modelarea coeficienților filtrului

În programele de simulare în timp continuu, coeficienții hk(t) nu sunt continui în timp, ci sunt secvențe de eșantioane complexe hk,i:

(6.4)

Cum variația caracterisiticii canalului în domeniu timp este cu câteva ordine de mărime mai mare decât variația întârzâierii (chiar în cazul transmisiilor terestre radio de mare viteză ), eșantioanele coeficienților hk,i trebuie să fie modificate infrecvent comparativ cu Te. Între două modificări succesive, la un interval T, coeficienții pot fi interpolați folosind un anumit algoritm de interpolare. Limita maximă a lui T este dată de maximul efectului Doppler presupus în canal. Ca toate celelate variabile de timp sau frecvență, T trebuie să fie specificat în funcție de Te în simularea modelului MATLAB.

Frecvența Doppler a căii de propagare, , este o funcție liniară față de viteza V a stației mobile, de lungimea de undă și de unghiul dintre direcția de mișcare și calea de propagare.

(6.5)

Conform criteriului lui Nyquist, intervalul dintre modificări T trebuie să fie mai mic decât inversul total al împrăștierii Doppler:

(6.6)

unde max este maximul posibil al frecvenței Doppler, egal cu V/:

(6.7)

Când sunt mai multe căi de propagare care contribuie la fadingul celulei de întârzâiere, apar mai multe frecvențe Doppler. Cum aceste perturbații nu pot fi observate direct, trebuie să ne referim la funcția de împrăștiere Doppler sk(), care este obținută prin transformarea Fourier a lui hk(t).

(6.8)

În simularea software, fadingul dependent de timp a celului de întârzâiere k (sau respectiv al eșantioanelor hk,i) poate fi generat în câteva moduri. În acest model este utilizată o metodă neortodoxă. Un număr de Mk fazori sunt generați, unde fiecare fazor (reprezentând o cale de propagare) se rotește în planul complex la o frecvență Doppler m ce a fost aleasă printr-o distribuție din intervalul –V/ … V/. Fadingul celulei ca o funcție de timp este pur și simplu suma complexă a acestor fazori

(6.9)

unde variabilele aleatoare Akm și km sunt amplitudinea fazorului și respectiv faza acestuia. Fazele inițiale sunt esențiale pentru a evita alinierea completă a fazorilor care se rotesc la momentul inițial t = 0, și care pot fi alese în mod aleator din distribuția uniformă (0 … 2).

Alegerea distribuției pentru Akm, nu este totuși o problemă foarte simplă. Amplitudinile Mk a celulei de întârzâiere k pot fi alese egale, care prin aproximare rezultă o anvelopă de tip Rayleigh caracteristică canalului. Pe de altă parte, o caracteristică de tip Rician, în cazul în care există vedere directă coeficientul pentru celula k = 0 se obține alegând Ak0 mult mai mare decât restul fazorilor Akm, m 0. Acest model este versatil ținând cont că si alte distribuții corespunzătoare celulelor pot fi generate, dacă este nevoie.

Puterea medie pentru celula k este egală cu suma pătratică a amplitudini fazorilor:

(6.10)

unde într-un canal radio de bandă largă tipic, poate fi presupus că puterea medie scade exponențial cu mărirea numarului de celule de întârzâiere.

Spectrul Doppler a celulei de ordin k consistă din puterea localizată la frecvențele Doppler asociate celor Mk fazori.

(6.11)

De multe ori însă spectrul Doppler este considerat de forma:

(6.12)

pentru -max < < max și zero în rest. Acest rezultat se bazează pe presupunerea că semnalele întârzâiate, reflectate sau dispersate ajung la receptorul mobil din toate direcțiile cu aceeași probabilitate. Teoretic, efectele Doppler celor Mk căi de propagare ar trebui alese aleator, dar pentru simplificare sunt alese printr-o distribuție uniformă din intervalul (-V/ … V/) fără a provoca modificări semnificative a rezultatelor.

În final, amplitudinile celor Mk fazori ai celulei k sunt obținuți din (6.9) odată ce puterile medii și amplitudinile distribuțiilor sunt specificate. În cazul în care considerăm amplitudinile egale obținem:

(6.13)

3.3. O altă metodă de modelare a canalului

Scopul final al acestei analize este determinarea răspunsului în frecvență al canalului în orice moment de timp. Am demonstrat că răspunsul canalului poate fi modelat sub forma următoare:

(6.14)

unde în acest caz , k – indicele căii, Pk amplitudinea respectivei căi, k este caracteristica fadingului de tip Rayleigh, Rician sau alte distribuții folosite, k decalajul de fază asociat și k întârzâierea căii respective. Acești parametrii sunt funcții aleatoare de timp datorită caracteristicilor canalelor radio. Desigur, pot fi considerate ca parametrii aleatori invarianți în timp dacă ne raportăm la viteza de transmitere a informației.

Unele din distribuțiile folosite pentru modelarea canalului sunt Rayleigh, Rician, Nakagami și lognormală. Dacă semnalul recepționat este de medie zero datorită fadingului provocat de împrăștierea aleatoare a obiectelor în mediu, canalul este modelat ca un canal ce prezintă fading de tip Rayleigh. Dacă canalul prezintă de asemenea și vedere directă atunci canalul poate fi modelat și ca având fading Rician.

Astfel un canal ce prezintă fading selectiv constă din K căi discrete în care prima cale este componenta directă (neafectată de fading) și câteva componente neselective cu întârzâieri aproximativ egale cu întârzâierea duratei simbolului Ts. Astfel fadingul pentru prima cale este modelat ca un fading Rician. Fiecare dintre căile rămase constă din câteva componente de fading cu întârzâieri diferențiale mici. Cele K-1 căi sunt modelate ca un fading de tip Rayleigh. Numărul maxim de căi care depinde de întârzâierea maximă poate fi aproximată ca

. (6.15)

Tipurile de canale care au fost considerate sunt aceleași ca în cazul sistemului de comunicații G3:

canal de comunicație în interiorul unei cladiri

canal de comunicație din interiorul unei cladiri spre exterior

canal de comunicație exterior considerat pentru un vehicol în mișcare

Fiecare tip de canal corespunde unui diferit tip de mediu așa cum însuși numele o sugerează, iar profilele lor “multicale” cu întarzâierile relative și amplitudini sunt date în tabele 6.1. a), b), c). [6]

Tabelul 6.1. a) Canal de comunicație în interiorul unei cladiri

Tabelul 6.1. b) Canal de comunicație din interiorul unei cladiri spre exterior

Tabelul 6.1. c) Canal de comunicație exterior considerat pentru

un vehicol în mișcare

În cazul canalului de comunicație exterior, pentru viteza de deplasare a stației mobile se consideră 120 km/h, iar pentru celelalte două canale se consideră o viteză de deplasare normală a unei persoane de 5 km/h.

De exemplu pentru o frecvență purtătoare de 2 GHz se obține pentru o stație mobila ce se deplasează cu 120 km/h o frecvență Doppler maximă de 223 Hz, iar pentru o stație mobilă ce se deplasează cu o viteză de 5 km/h corespunde o frecvență Doppler maximă de aproximativ 10 Hz. Aceste frecvențe sunt foarte mici în comparație cu largimea de bandă a semnalului transmis și reprezintă un mediu cu “slow fading”.

Reprezentarea componentelor recepționate la emisie precum și răspunsul în frecvență al celor trei tipuri de canale sunt reprezentate în figura 6.4.

O metodă larg acceptată pentru a simula fadingul într-un canal de comunicații de tip Rayleigh, este metoda numită ca modelul Clarke [4]. Conform acestui model, după filtrare adaptivă și o eșantionare cerespunzătoare, reprezentarea discretă a semnalului recepționat la momentul de timp t este:

, t = 0,1,2,… (6.16)

unde xt este semanlul transmis, {nt} este un zgomot complex Gaussian cu varianța , iar {at} reprezintă procesul corelat de fading din canal. Acest model presupune absența vizibilității directe (no LOS) (cazul de fading cel mai greu) și un mediu în care împrăștierea semnalului este puternică.

În aceste condiții, coeficientul corespunzător canalului la momentul de timp t este , unde {Xt} și {Yt} sunt procese Gauss-iene cu medie zero, mutual necorelate, fiecare cu proprietăți de corelație determinate de frecvența Doppler fD [4]:

(6.17)

unde J0() este funcția Bessel de ordin 0, de rangul întâi, iar 2 = 0.5 pentru normalizarea puterii. Această autocorelație dă formula lui Jakes pentru densitatea spectrală de putere normalizată [4]:

(6.18)

Astfel dacă {Xt} și {Yt} sunt de medie zero (cel mai rău caz – lipsa vizibilității directe), atunci distribuțiile pentru |at| și ta sunt de tip Rayleigh și respectiv uniform, de aici termenul de “fading de tip Rayleigh”. Funcția de densitate de probabilitate este , pentru [-,), în timp ce densitatea de putere pentru amplitudine este , pentru r 0.

3.4. Implementarea unui fading de tip Rayleigh

Implementarea unui program care să simuleze un fading de tip Rayleigh urmărind acest principiu se poate face cu algoritmul descris în figura 6.4. [5]:

Generarea unei anvelope pentru fadingul de tip Rayleigh pornește de de la simplul fapt că anvelopa unui proces gaussian complex are o distribuție de tip Rayleigh. Filtrul este necesar pentru a introduce nivelul necesar al corelației între eșantioanele procesului gaussian care produc distribuția Rayleigh. În cazul comunicațiilor mobile fadingul de tip Rayleigh trebuie generat pentru o viteza particulară a stației mobile.

Astfel dacă Ig(n) și Qg(n) reprezintă componenta în fază și respectiv în cuadratură ale procesului gaussian complex (după trecerea prin filtru), atunci anvelopa pentru fadingul de tip Rayleigh poate fi generată ca [5]:

(6.19)

Filtru folosit este în general specificat în termeni al funcției sale de autocorelație sau densitate spectrală de putere. Când este specificată densitatea spectrală de putere, eșantioanele “colorate” ale zgomotului gaussian pot fi generate prin trecerea zgomotului alb gaussian printr-un filtru a carui funcție de transfer poate fi obținută rezolvând:

(6.20)

În cazul în care avem nevoie de o anumită putere medie P a fadingului, atunci fiind {k} eșantioanele generate pentru fading, putem calcula amplitudinile eșantionelor cu următoarea transformare [5]:

(6.21)

Dacă este considerat cazul prezenței fadingului, raportul semnal zgomot pentru un bit se recalculează folosind următoarea formulă:

(6.22)

În continuare în figurile 6.6. se prezintă raspunsul în timp al canalului (efectiv variația amplitudinii senalului în canal, în cazul când presupunem ca nivelul acestuia este constant), pentru viteza stației mobile de 5 km/h (a) respectiv 120 km/h (b).

7.1. Prezentarea pachetului de programe

Programele scrise pentru simularea sistemului pot fi împărțite pe mai multe clase în funcție de specificul fiecaruia.

Astfel avem următoarele categorii de programe:

– implementarea funcțiilor generatoarelor haotice:

Chua.m – implementarea generatorului de tip Chua

logi.m – implementarea generatorului de tip logistic

Mar1.m – implementarea generatorului de tip Markov 1

Mar2.m – implementarea generatorului de tip Markov 2

tent.m – implementarea generatorului de tip tent

– funcții folosite numai în prelucrarea semnalelor:

filtruLP.m – implementarea unui filtru trece jos general

Rayfading.m – funcție care are ca scop implementarea fadingului de tip Rayleigh

pInfGen.m – generarea semnalului informațional aleator

pSpreading.m – implementeză funcția de împrăștiere pentru generatorul Chua

– funcții de inițializare a sistemului:

Inițializare.m – initializarea tuturor variabilelor globale

pMainMenu.m – inițializarea generală a interfeței grafice

– funcții de setare a unor parametrii globali necesari simulării

pSimulationGlobal.m – setarea parametrilor globali ai sistemului (valabili pentru toți utilizatorii)

pSimulationParam.m – setarea parametrilor corespunzători fiecărui utilizator în parte

– funcții ce conțin atât interfața grafică cât și partea de prelucrare a semnalelor de intrare:

pChannel.m – simularea zgomotului pe canal

pChaoticReceiver.m – generarea semnalului haotic la receptor

pDemodulator.m – realizează corelația între senmnalul recepționat din canal și semnalul haotic generat la recepție

pGenChaotic.m – generează semnalul haotic în emițător

pInfReceived.m – realizează detecția semnalului informațional la recepție

pInfSignal.m – realizează generarea semnalului informațional ce trebuie transmis

pModul.m – realizează modularea semnalului informațional cu purtătoarea haotică

pSimulationRun.m – funcția care lansează în execuție simularea performanțelor sistemului

pSync.m – realizează generarea semnalelor de sincronizare

– funcții ajutătoare pentru buna funcționarea a interfeței grafice:

pChaoticGenType.m – realizează selecția tipului de generator

pCurentSystem.m – realizează selecția utilizatorului curent

pInformationType.m – realizează selecția tipului informației generate

pSimulationType.m – realizează selecția tipului simulării

pSpreadFuncType.m – realizează activarea sau nu a funcție de împrăștiere

7.2. Prezentarea algoritmului de funcționare

Algoritmul pe care îl urmează setul de programe se suprapune aproape perfect peste schema de sistem de comunicații (CD)2MA, prezentată în capitolul 5, astfel obținem următoarea figură:

Astfel semnalul informațional generat în pInfSignal.m, cu posibilitatea de a fi codat utilizând un coder de linie, este modulat BPSK în modulatorul pModul.m cu secvența haotică generată pentru fiecare utilizator în parte de blocul pGenChaotic.m. Atât în blocul de generarea a secvenței haotice cât și în modulator am introdus un filtru trece jos care să limiteze banda semnalului transmis la lărgimea de bandă asociată canalului de comunicații. Semanele asociate astfel mai multor utilizatori sunt apoi amestecate în pChannel.m și în funcție de tipul de canal selectat ajung la receptor cu un anumit raport SNR.

La recepție semnalul din canal este corelat în pDemodulator.m cu replica haotică obținută la recepție în pChaoticReceiver.m. În pInfReceived.m este detectat semnalul digital folosind un filtru trece jos și un detector de prag. În cazul în care pentru codarea mesajului informațional s-a utilizat un coder de linie, semnalul este decodat și se urmăresc erorile apărute.

7.3. Prezentarea interfeței grafice a simulatorului

8. Concluzii și observații

Scopul acestui proiect a fost realizarea unui pachet de programe pentru simularea unui sistem de comunicații cu spectru împrăștiat folosind secvențe haotice.

Ideea principală a fost ca pornind de la un sistem de comunicații cu spectru împrăștiat clasic să ajungem la o schemă de sistem de comunicații cu purtătoare haotică, efectiv doar înlocuind generatoarele PN și tipurile de sincronizări specifice acestora cu generatoare haotice. Adică sistemul simulat trebuie să fie considerat ca o alternativă a sistemelor clasice cu spectru împrăștiat, el trebuind să respecte aceleași condiții și să obțină cel putin aceleași performanțe ca un sistem clasic. Cel mai important scop urmărit a fost realizarea accesului multiplu cu sistemul propus și studierea performanțelor acestuia în cazul multiuser.

Rolul acestui sistem în cadrul STAR ar putea fi oricare, începând de la nivelul tactic al câmpului de luptă, până la nivelul strategic, desigur pentru fiecare aplicație în parte necesitând utilizarea unor metode de generare a secvențelor haotice mai puțin complicate sau mai complicate, utilizarea unor scheme de sincronizare a generatoarelor mai rezistente la interceptare, utilizarea unor metode de criptografie în plus pentru semnalul informațional digital etc.

Un mare avantaj în ceea ce privește simplitatea construcției sistemului îl reprezintă faptul că spre deosebire de un sistem de comunicație cu spectru împrăștiat clasic care are 3 nivele de sincronizare:

sincronizarea intervalelor de corelație

sincronizarea generatoarelor de spectru împrăștiat

sincronizarea purtătoarei

, sistemul propus în proiect nu are nevoie decât de o singură sincronizare și anume sincronizarea generatorului haotic de la recepție.

Desigur partea proastă este că noi nu putem face această sincronizare implicit, detectând semnalul de sincronizare din semnalul de spectru împrăștiat transmis pe linie și că trebuie asigurat un canal separat pentru a o transmite.

Noi în acest proiect am transmis informația de sincronizare în clar, adică la un moment de timp bine stabilit emițătorul asociat unui utilizator se conecta la canalul separat special destinat sincronizării și trimitea un eșantion care îi permitea receptorului să se sincronizeze. O idee mult mai performantă dar desigur mul mai greu de implementat în cadrul simulatorului ar putea fi ca transmisia semnalului de sincronizare să se facă digital, și prin intermediul aceluiași sistem.

Astfel la inițializarea sistemului de comunicație transmisia să se facă printr-o metodă clasică (SSI clasic puțin performant ca viteză de transmitere, dar cu o rată a erorilor foarte bună) până la stabilirea sincronismului între cele două generatoare haotice, iar apoi informația de sincronizare să se transmită chiar prin intermediul sistemului de comunicații cu purtătoare haotică (asemănător cadrului PCM).

Asta ar însemna ca eșantioanele de sincronizare să fie convertite digital și apoi transmise pe canal asemănător unor biți informaționali. Desigur trebuie ținut cont ca transmisia acum a biților de sincronizare să se facă înintea desinconizarii generatoarelor haotice, deoarece în cazul pierderii acesteia va trebui să se reia din nou etapa inițială de sincronizare a celor generatoare.

Dar această problemă va rămâne pentru o dezvoltare ulterioară a sistemului, eu în acest proiect nereușind să o implementez.

Spre comparație cu alte sisteme de comunicație cu purtătoare haotică studiate, sistemul simulat are clar performanțe mai bune în ceea ce privește funcționarea cu un raport SNR mic, precum și accesul multiplu, cele mai multe scheme utilizând modulația cu o secvență haotică în principal ca o metodă de secretizare. Comparabil cu acest sistem din punct de vedere al funcționării cu un raport SNR mic sunt schemele de tip DCSK, respectiv FM-DCSK, dar în cazul acestor scheme intercepția de către un utilizator neavizat este foarte ușoară, așa cum am prezentat în capitolul 4, receptorul fiind un simplu corelator, iar de acces multiplu nici nu putem discuta în cazul acestor tipuri de modulații.

Astfel cercătările pentru realizarea unui astfel de sistem ar trebui continuate mai ales pe direcția realizării unei sincronizari mai robuste, și găsirea unor tipuri de generatoare cu proprietăți de corelație cât mai bune, în special asupra celor digitale care prezintă o mult mai mare flexibilate și ușurință în implementare.

Bibliografie

[1] Constantin Mincu, Victor Greu, Costel Rotariu – Salt de frecvență și contrasalt de frecvență – Editura Militară, București, 1998

[2] John G. Proakis – Digital Communication – McGaw-Hill Book Co, 2nd edition, 1989

[3] J. Meel – Spread Spectrum: introduction – Sirius Communications – Rotselaar – Belgium 1999

[4] Christos Komninakis – Joint Channel Estimation and Decoding for Wireless Channels – University of California – 2000

[5] Vijaya Chandran Ramasami – EECS 865 SIMULATION PROJECT

[6] Fakhrul Alam – Simulation of Third Generation CDMA Systems – Virginia Polytechnic Institute – 1999

[7] Erdal Torun, H. Orkun Zorba – Performance Analysis of Direct Sequence Spread Spectrum and Non-Spread Spectrum Techniques in Frequency Selective Fading Channels

[8] Chris C. King – Fractal and Chaotic Dynamics in Nervous Systems – Mathematics Department, University of Auckland – 1991 Progress in Neurobiology 36 279-308

[9] Andreas Abel, Andreas Bauer, Kristina Kelber, Wolfgang Schwarz – Chaotic Codes for CDMA Applications

[10] Ghobad Heidari-Bateni and Clare D. McGillem – A Chaotic Direct-Sequence Spread-Spectrum Communication System

[11] Tao Yang, Leon O. Chua – Chaotic Digital Code-Division Multiple Access (CDMA) Communication Systems – IJBC, Vol. 7, No. 12 (1997) 2789-2805

[12] Pecora, L.M., Carroll, T.L., Johnson, G.A., Mar, D.J., Heagy – J.F, Fundamentals of Synchronization in chaotic systems, concepts and applications

[13] Carroll, T. L., Pecora,L.M. – Synchronizing Chaotic Circuits – IEEE, vol.38., nr. 4, april 1991

[14] Bohme, F., Scwarz, W., Synchronization Using an Inverse Approach

[15] Tao Yang Johan, A. K. Suykens, Leon O. Chua – Impulsive Control of Nonautonomus Chaotic Systems using Practical Stabilization – IJBC, vol. 8, vo. 7 (1998) 1557-1564

[16] Ned J. Corron – A New Approach to Communication Using Chaotic Signals – IEEE, vol. 44, no. 5, may 1997

[17] Makoto Itoh – Spread Spectrum Communication via Chaos – IJBC, vol. 9, no. 1, (1999) 155-213

[18] Makoto Itoh, Leon O. Chua – Multiplexing Techniques via Chaotic Signals – ECCTD’97, Budapest, September 1997

[19] Riccardo Rovatti, Gianluca Setti, Gianluca Mazzini – Chaos-Based Spreading Compared to M-Sequences and Gold Spreading in Asynchronous CDMA Communication Systems – ECCTD’97, Budapest, September 1997

[20] Veljko Milanovic, Mona E. Zaghoul – Chaotic Siganls and Spreading Sequences for Communications

[21] Serbanescu Al., “Systemes et signaux face au chaos” cap. 5 in Electronique, Physique et signal pour les telecommunication, Ed. Tehnică, București, 1997