Metode de Rezolvare a Problemelor de Geometrie

Metode de rezolvare a problemelor de geometrie

Argument

Învățarea matematicii, necesită un stil de muncă adecvat, rezultatele depinzând nu numai de cantitatea de efort, ci și mai ales de calitatea lui. Este esențial să sporim randamentul atât prin lecții atractive dar mai ales prin munca personală a fiecărui elev.

În orice act matematic se împletește vechiul (cunoștinte, metode știute – studiate anterior) cu noul (adaptarea instrumentului cunoscut la condiții noi – inițiativa, creația). Procesul învățării este legat de procesul gândirii și al invenției, dar trebuie privit și separat, cu accent pe problema memorării, a însușirii conștiente, a formării unor instrumente eficace de lucru. De aici decurg unele concluzii de alegere a metodei de a prezenta elevului cunoștintele de matematică: să aibă în față totdeauna ceva nou, să-l provocăm să gîndească și să descopere, nu numai să înregistreze; să-l punem în fața unor probleme diverse, deosebite și nu direct a soluțiilor.

Metodă vine de la cuvântul grecesc methodos, care tradus înseamnă cu calea sau după drumul. În matematică, prin metodă se înțelege calea rațională ce trebuie folosită pentru demostrarea unei teoreme sau rezolvarea unei probleme. Cea mai întâlnită afirmație legată de matematică și în special de geometrie că este cea mai grea materie a elevilor din învățământul preuniversitar. Dar dacă privim cu mai multă atenție este totuși obiectul la care nu se tocește, la care se pleacă din clasa cu lecția învățată. Sarcina profesorului de matematică este aceea de a dezvolta gustul și aptitudinile elevului, pentru a descoperi soluții ingenioase.

In studierea matematicii la ciclul gimnazial, se acordă o atenție deosebită studiului geometriei, deoarece acesta contribuie într-o masură destul de mare la dezvoltarea însușirilor psihice ale elevilor și deasemenea caracteristic geometriei, este principiu că toate adevărurile ei pot fi descoperite prin propria gândire.

Un loc însemnat în însușirea cunoștințelor de geometrie, îl ocupă rezolvarea de probleme și din această cauză, este necesară cunoașterea unor metode de raționament geometric, deoarece ele înlesnesc pe de o parte înțelegerea demonstrațiilor, pe de altă parte constituie baza unor generalizări.

În ciclul gimnazial, predarea geometriei se face pornindu-se la studierea unor figuri geometrice concrete și apoi se elaborează propoziții abstracte, împletind astfel gândirea concretă cu cea abstractă. Caracteristic geometriei este principiu că toate adevărurile ei pot fi descoperite prin propria gândire. Problemele sunt variate și de aceea cunoașterea celor mai întâlnite metode de rezolvare,

îi poate feri pe cei ce le studiază, de încercări făcute la întâmplare

le poate dezvolta capacitatea de a generaliza, de a lega astfel între ele problemele ce pot fi rezolvate după o anumită schemă de raționament,

pot educa prin îmbinarea logicului cu intuiția, folosindu-se de figuri geometrice construite în funcție de datele cunoscute

pot îmbina raționamentul plauzibil cu cel riguros,

și nu în ultimul rând, îi înarmează cu deprinderi și cunoștințe folositoare în viața de zi cu zi.

Pentru ca rezolvarea de probleme de geometrie să fie reușită, elevul trebuie să parcurga următoarele etape

Citirea atentă a enunțului problemei și construirea corectă a figurii (de multe ori, o figură construită rău, conduce la erori de raționamente și la paradoxuri);

Însușirea enunțului problemei (trebuie să se știe cu exactitate ce se dă, ce se cere și nu în ultimul rând, teoremele și noțiunile strâns legate de problemă);

Cunoașterea unor procedee și metode de rezolvare;

Construirea de raționamente noi, pe baza axiomelor, definițiilor și a altor teoreme;

Stabilirea relațiilor între diferitele elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul simbolurilor din matematică;

Discutarea problemei (uneori solutia găsită nu încheie rezolvarea problemei ci sunt necesare particularizări);

Verificarea soluțiilor problemei ( dacă e cazul).

În geometrie întâlnim numeroase și variate probleme, însă oricâte încercări s-ar face, nu este posibil să se găsească un singur mers rațional după care toate problemele s-ar putea rezolva, ci un grup mare de probleme se rezolvă într-un fel, alt grup, în alt fel și se găsesc multe asemenea căi de rezolvare a problemelor, deoarece multe și variate sunt chestiunile teoretice pe baza cărora au fost formulate problemele ce aparțin diferitelor grupuri.

Este cunoscut că singurele metode generale care se folosesc în demonstrarea unui număr mare de probleme și de teoreme, sunt metoda sintezei și metoda analizei. Aceasta însă, nu înseamnă că nu există , sau nu putem căuta și folosi și alte metode particulare, care să ne conducă la găsirea soluției sub o formă mai ușoară sau frumoasă, în cazul unui anumit grup de probleme.

În consecință, aprofundarea metodelor de rezolvare ale problemelor de geometrie, are un rol esențial în formarea și dezvoltarea capacităților deductive ale elevilor din ciclul gimnazial. Prin rezolvarea de probleme, elevul se educă și se deprinde cu efortul gândirii concentrate (toate condițiile ce le-am admis și care vrem să le stabilim), dotând-ul în același timp cu scheme aplicabile în multe raționamente.

Tema lucrării, a fost aleasă în ideea de a cuprinde metodele generale de raționament ce pot fi folosite în studiul geometriei de gimnaziu și cum pot fi aplicate acestea în rezolvarea unor probleme sau la demonstrarea unor teoreme, în funcție de nivelul cunoștințelor și capacităților dobândite de elevi.

Lucrarea este structurată pe IV capitole:

Capitolul I (științific) va cuprinde prezentarea noțiunilor cu caracter teoretic a metodelor generale de rezolvare a problemelor de geometrie: metoda analizei, sintezei și apoi a metodelor reducerii la absurd și a inducției matematice.

Capitolul al II-lea (metodic) se doreste să fie o trecere în revistă a aplicării metodelor de rezolvare a unor probleme deosebite ce pot fi studiate în cadrul lecțiilor de matematică sau în orele de CDȘ referitoare la noțiuni de coliniaritate și concurență (probleme care în general nu se studiază la clasă, dar sunt interesante și pot dezvolta elevului dorința de a găsi la orice problemă cât mai multe metode de rezolvare): ca de exemplu aplicarea teoremelor lui Menelaus și Ceva cu reciprocele acestora, și rezolvarea teoremei lui Simpson, ca problemă, prin aplicarea mai multor metode de coliniaritate (cu postulatul lui Euclid, unicitatea perpendicularei și nu în ultimul rând prin reciproca th. lui Menelaus ).

Coliniaritatea și concurența par la prima vedere, proprietăți disparate. În realitate, acestea sunt într-o directă, determinându-se reciproc. Un argument simplu este acela că uneori, a arăta faprul că trei drepte sunt concurente prin aceea că punctul de intersecție a două dintre acestea, este coliniar cu alte două puncte distincte, aparținând celei de a treia.

Capitolul III este destinat cercetării . Va cuprinde o selectie de teste cu interpretările atașate, teste ce au fost sau vor fi date la clase de același nivel de studiu.

“Testele de evaluare“ conțin o serie de propuneri de teste ce urmăresc evaluarea gradului de asimilare de către elevi a cunoștințelor referitoare la metodele de rezolvare a problemelor de geometrie și sunt însoțite de o analiză a rezultatelor obținute, analiză ce va permite profesorului să ia deciziile optime în alegerea metodelor didactice necesare perfecționării activității de predare-învățare.

Acest capitol va cuprinde câteva aplicații ale metodei reducerii la absurd și metodei inducției matematice și aspectele metodice ale predării acestora la clasele VII-a (capitolul CERCUL).

Vor fi detaliate deasemenea, aspecte metodice ale predarii geometiei în gimnaziu și o prezentare a modului de îmbinare a metodelor clasice cu cele moderne de predare-învățare (metodele: Știu-vreau să știu-am învățat, Turul galeriei, Mozaicul) cu aplicabilitate în orele de matematică/ geometrie.

În final, lucrarea cuprinde și două proiecte de tehnologie didactică adaptate la clasele de lucru.

Premisa (Ipoteza lucrării) doresc să fie următoarea:

Dacă vom rezolva problemele de geometrie prin mai multe metode, atunci randamentul elevilor va crește

METODE GENERALE DE REZOLVARE

METODA SINTEZEI

Această metodă este utilă atât în rezolvarea unor probleme de calcul, cât și în tratarea problemelor de demonstrație.

a) Prin folosirea metodei sintezei în rezolvarea problemelorde calcul, problema dată se descompune în alte probleme mai ușoare, a căror rezolvare duce la găsirea soluțiilor cerute. În formularea acestor probleme ne vom folosi atât de datele problemei precum și de unele cunoștințe însușite anterior, din studiul geometriei.

Greutatea cea mai mare constă în a ști de la care cunoștințe învățate, putem pleca. În general, folosim acele cunoștințecare se leagă atât de datele problemei, cât și de mărimile necunoscute ale ei.

Concret, prin metoda sintezei, o problemă se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei,cu o legătură între ele și cu ajutorul lor, se formulează o problemă nouă, ce ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia marimi (ce devine o mărime cunoscută). Se iau apoi alte două date cunoscute (fie din enunțul problemei, fie calculate anterior) și cu ajutorul lor se formulează o altă problemă, care prin rezolvare, ne dă valoarea unei alte mărimi. În acest mod, se procedează până găsim tocmai valorile mărimilor ce se cer în problemă.

În cursul rezolvării, avem grijă ca mărimile nou calculate prin procedeul mai sus menționat, să fie la rândul lor,legate de mărimile necunoscute din problemă.

În problemele de calcul geometric, metoda sintezei se aplică astfel: se pleacă de la datele cunoscute ținând seama de condițiile impuse de de problemă precum și de unele formule, proprietăți ale figurilor relații între elementele unei figuri, studiate mai de mult, dar legate de probema propusă spre rezolvare, se stabilește o ecuație, în care mărimea de aflat este necunoscută. Se rezolvă ecuația, apoi se interpretează soluția găsită, pe figurile din problemă, pentru validarea lor.

b) Problemele de demonstrație, sunt probleme prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noiale figurilor date, sau în general, să se justifice dacă o afirmație formulată anterior, referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice, este adevărată sau nu.

Rezolvarea unor astfel de probleme, ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie acumulate pâna în acel moment dar și la dezvoltarea gândirii logice.

Într-o problemă de demonstrație la geometrie, se consideră o figură F, despre care se spune că posedă proprietățile α (pe care o notăm cu p și care se numește ipoteză), și se cere să demonstrăm că în acest caz mai posedă și proprietățile β (pe care o notăm cu q și se numește concluzie).Cu alte cuvinte, într-o problemăde demonstrație, se cere să arătăm că, dacă pentru o figura F este adevărată propoziția p (ipoteza), este adevărată și propoziția q (concluzia).

La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin metoda sintezei, se procedează astfel: se pornește de la propoziția p (ipoteza) și se caută o altă propoziție p1, pe care o implică propoziția p (care se poate deduce din propoziția p). Cu alte cuvinte, ținând seama că figura F are proprietățile α, căutăm să descoperim ce alte proprietăți γ mai are, iar propoziția care afirmă că figura F are proprietățile γ o notăm cu p1. Căutăm mai departe o propoziție p2, pe care s-o implice propozițiile p și p1, și tot așa până când propozițiile astfel găsite, implică propoziția q (concluzia).

Teorema 1.1 (Teorema lui Menelaus)

Fie un triunghi ABC și punctele coliniare A'∈BC, B∈CA,C'∈AB (p) .Atunci are loc egalitatea: (q)

Demonstrație:

În Fig. 1.1, fiind vorba de rapoarte și legăturile dintre ele, apare necesitatea de a se utiliza în acest caz, asemănarea triunghiurilor. Cum nu putem demontra direct din ipoteză, concluzia, vom apela la a demonstra o altă problemă ajutătoare, mai simplă, care are ca ipoteză, ipoteza teoremei:

Fie propoziția

, demonstrăm propoziția

În figura următoare, în care nu avem triunghiuri asemenea, trebuie să le construim. Ducem CD paralel cu AB, unde D∈A’C’.

Observăm că:

În acest moment, putem formula o altă problemă, care are ca ipoteză, concluzia problemei anterioare, iar concluzia e aceeași ca a teoremei:

Fie , demonstrăm

Dacă relațiile demonstrate în prima problemă, le înmulțim membru cu membru, obținem de unde rezultă, după simplificare . Înmulțim această egalitate cu raportul și obținem (concluzia teoremei).

METODA ANALIZEI

Ca și metoda sintezei, metoda analizei poate fi aplicată atât pentru rezolvarea problemelor de calcul cât și pentru rezolvarea problemelor de demonstrație.

a) Analiza în rezolvarea unei probleme de calcul se aplică astfel: se pleacă de la întrebarea problemei (concluzie) spre cunoscut (ipoteză).

Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul acesteia, să fie același ca al problemei propuse (ipoteza acestei probleme poate fi formată din date cunoscute sau necunoscute). Cu alte date, se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare trebuie formulată astfel încât prin rezolvarea acesteia să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din prima problemă formulată. Se poate ca și în cea de a doua problemă, unele date să fie necunoscute și în acest caz se formulează o a treia problemă, a cărei concluzie să fie ipoteza problemei a doua. Acest proces se repetă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment, operațiile se desfășoară cu ajutorul metodei sintezei.

În practică există și o altă formă de aplicare a metodei analizei:

Se pleacă de la concluzia problemei (presupunem că trebuie găsită valoarea mărimii A). Atunci se caută acele mărimi, cu ajutorul cărora putem calcula valoarea mărimii A (le notăm cu E și F). Dacă valorile lor mărimi sunt date în problemă, se efectuează calcule indicate și se găsește valoarea lui A, problema fiind astfel rezolvată. Se poate întâmpla ca la rândul lor, valorile E și F să nu fie cunoscute, deci și acestea trebuind calculate. În acest caz, problema propusă inițial spre rezolvare se reduce la rezolvarea unor probleme mai simple (găsirea valorilor mărimilor E și F). Notăm cu M și N mărimile care ne ajută în găsirea mărimii E, iar cu P și Q mărimile care ne ajută în găsirea mărimii F. Acest procedeu continuă până când valorile mărimilor căutate se pot efectua doar cu ajutorul unor date cunoscute în problema propusă inițial. În acel moment, folosind calea inversă, ajungem să găsim valoarea mărimii A, iar problema este rezolvată. În această modalitate de rezolvare, pentru aplicarea metodei analizei, nu se mai formulează probleme intermediare, ci doar se menționează mărimile pe care le-ar cuprinde, în cazul în care acestea s-ar formula.

b) La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin metoda analizei, se pornește de la concluzia b și se caută o propoziție c care s-o implice pe b. Căutam apoi o altă propoziție d din care s-o deducem pe c, apoi o propoziție e din care să o deducem pe d, și așa mai departe, până când reușim să gasim o propozoție a din care să putem deduce propoziția precedentă.

Practic se procedează astfel:

Se presupune că propoziția de demonstrat este adevărată. Se pune atunci următoarea întrebare: „De unde rezultă imediat concluzia teoremei?” Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei propoziții c, mai puțin necunoscută decât cea dată de teoremă. O întrebare asemănătoare se pune atunci pentru c. Răspunsul la această nouă intrebare duce la la formularea unei noi propoziții d, mai puțin necunoscută decât c. Acest proces se repetă până când se obține o propoziție cunoscută, stabilită anterior. In acel moment, raționamentul decurge mai departe prin metoda sintezei.

Din felul în care se aplică metoda analizei, se poate vedea că fiecare etapă este legată de propozițiile precedente, nu prin încercări (raționamentele sunt motivate).

Se impune totuși o observație: uneori, problema la care se reduce rezolvarea problemei date, este mai generală decât ea. În acest caz, trebuie ca dintre soluțiile problemei a doua, să alegem doar pe acelea care convin problemei inițiale.

În cele ce urmează, amintim și alte metode rezolvare a problemelor de geometrie, folosite pentru o grupă mare de probleme, dar care folosesc parțial metodele mai sus amintite.

DEMONSTRAREA PRIN REDUCERE LA ABSURD

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche, folosită încă din antichitate, pentru demonstrarea unor teoreme sau probleme cu caracter teoretic.

La baza acestei metode stă legea terțului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice: Din două propoziții contradictorii, una este adevărată, cealaltă falsă,iar a treia posibilitate nu poate exista. Astfel, când la doua propoziții contradictorii alicăm legea terțului exclus, este suficient să stabilim că una din ele este falsă, pentru a deduce că cealaltă este adevărată.

În geometrie întâlnim adeseori teoreme și probleme la care nu dispunem de suficiente elemente pentru a putea pune în evidență, în mod direct, adevărul enunțat la fiecare parte. În asemenea cazuri, se caută dovezi care să arate că propoziția contradictorie a unei teoreme este falsă. Dacă acest lucru s-a arătat, atunci, pe baza terțului exclus, rezultă că propoziția dată este adevărată, și cu aceasta, problema este demonstrată. Acest procedeu se numește demonstrație indirectă.

Metoda reducerii la absurd constă în a admite în mod provizoriu ca adevărată, propoziția contradictorie a teoremei (problemei) date, apoi în baza unei asemenea presupuneri, se deduc o serie de consecințe, care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic fie ipoteza teoremei (problemei), fie un adevăr stabilit anterior.

Practic, această metodă se aplică astfel: se presupune ca ceea ce trebuie să demonstrăm nu este adevărat, cu alte cuvinte se neagă concluzia teoremei (problemei) date, apoi, pe baza presupunerii făcute, se fac o serie de deducțiilogice, care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta duce la concluzia că presupunerea făcută inițial nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia teoremei (problemei) date.

Menționăm că metoda reducerii la absurd, se întrebuințează de multe ori la a demonstra teoremele reciproce.

PROBLEME DE CONSTRUCȚII GEOMETRICE

Problemele de construcție sunt acele probleme de geometrie în care se cere să se construiască o anumită figură cu ajutorul unor elemente date, sau contruirea unei figuri în așa fel încât elementele ce o compun, să aibă anumite proprietăți, folosind numai rigla și compasul.

Această metodă a fost folosită incă din antichitate în școala lui Platon, când se punea problema să se rezolve problemele de geometrie folosind numai rigla și compasul, cu ajutorul unor procedee permise de tradiție și respingeau orice soluție care folosea alte instrumente sau alte linii în afară de drepte și cercuri.

Cu timpul, în matematica modernă, s-a constatat că nu orice construcție geometrică se poate face numai în acele condiții, demonstrându-se când este posibil să se folosească intr-o construcție matematică doar rigla și compasul și când nu este posibil acest lucru.

Într-adevăr, dacă o problemă este posibilă de a fi rezolvată cu rigla și compasul, atunci fiecare punct al figurii se poate obține ca intersecție a două drepte, a unei drepte cu un cerc sau a două cercuri. Punând o asemenea problemă în ecuație, se observă că de cele mai multe ori se reduce la a se rezolva o ecuație de gradul I.

Problemele de construcție, pot fi privite ca o aplicație practică a cunoștințelor de geometrie. Într-o problemă de construcție se ceresă construim o figură F, care să posede anumite proprietăți pe care le vom nota cu α (sau să îndeplinească acele condiții α). La problemele simple, putem executa construcția doar pe baza acestor condiții (α), dar la problemele mai complicate nu este posibilă construcția imediată. În acele cazuri, căutăm să descoperim pe lânga proprietățile α, și alte proprietăți ale figurii F, pe baza cărora vom putea efectua construcția figurii. Notăm cu β acele proprietăți. Cu alte cuvinte, am demonstrat astfel, propoziția: Dacă figura F are proprietățile α, atunci figura F are și proprietățile β.(1) În acest caz, pentru construcția figurii vom folosi proprietățile β și o parte din proprietățile α (să le notăm α1). Nouă însă ni s-a cerut să construim o figură cu proprietățile α. Deci este necesar să demonstrăm că figura construită, îndeplinește condițiile inițiale α. În acest caz, se cere demonstrată propoziția: Dacă figura F are proprietățile β și α1, atunci ea are și prprietățile α.(2). Condițiile inițiale α, pot însă prezenta diverse cazuri, cu soluții diferite și se impune deci să facem o analiză în care să prezentăm toate aceste cazuri și să arătăm cum se face construcția în fiecare caz in parte, precum și numărul soluțiilor problemei date în acele cazuri.

Din cele prezentate mai sus, se pot evidenția patru etape în rezolvarea unei probleme de construcție:

Aflarea soluției. În această etapă se presupune figura construită și se caută alte proprietăți pe baza cărora se poate efectua construcția (se demonstrează propoziția 1).

Construcția

Demonstrația. Se arată că figura construită la etapa anterioară, îndeplinește condițiile inițiale (se demonstrează propoziția 2).

Discuția. Se consideră toate cazurile pe care le pot prezenta condițiile inițiale α, și se arată cum se efectuează construcțiași câte soluții sunt în fiecare caz.

Dacă vom putea executa construcția doar pe baza cunoștințelor date în problemă, atunci rezolvarea se face trecând prin ultimele trei etape. Vom spune că metoda de rezolvare folosită este metoda sintezei. Dacă, pentru rezolvare vom avea de parcurs și prima etapă, atunci vom spune că rezolvarea s-a făcut prin metoda analizei.

PROBLEME DE LOCURI GEOMETRICE

Un număr foarte mare de probleme, atât din geometria plană cât și din geometria în spațiu, se referă la aflarea unui loc geometric (figura formată din mulțimea tuturor punctelor care au aceeași proprietate).

Unele probleme de loc geometric sunt enunțate astfel încât de dau acele locuri geometrice pe care trebuie să le demonstrăm. De exemplu: Să se arate că locul geometric al punctelor M din plan, care au puteri egale în raport cu două cercuri date O, O' este o perpendiculară MN pe linia centrelor.

În alte probleme de loc geometric, enunțurile sunt formulate în așa fel încât nu se indică figura ce reprezintă locul geometric. De exemplu: Care este locul geometric al punctelor din care vedem două cercuri date, sub același unghi?

În problemele de în care nu se arată propoziția de demonstrat, mai întâi, trebuie să se găsească proprietăți caracteristice tuturor punctelor locului, care să reducă problema dată la una cunoscută (să se intuiască locul geometric ).

Metoda de rezolvare a problemelor de aflare a locurilor geometrice, constă în a demonstra în același timp două propoziții (una directă și cealaltă reciproca primeia), pentru figura presupusă a fi locul geometric: orice punct al figurii (locului geometric) are proprietatea enunțată, și orice punct care are proprietatea enunțată, aparține figurii (locului geometric).

Dacă s-ar demonstra doar prima propoziție, atunci am ajunge la concluzia că că toate punctele figurii presupuse, fac parte din mulțimea punctelor care aparțin locului geometric pe care îl căutăm, dar nu știm sigur dacă mai sunt și alte puncte care să aparțină locului geomertic despre care se face vorbire. În schimb dacă am demonstra doar a doua propoziție, am ajunge la concluzia că toate punctele locului căutat aparțin figurii, dar nu am ști precis dacă pe figura presupusă nu se găsesc și puncte care să nu aibă proprietatea enunțată.

În unele cazuri, în locul propozițiilor mai sus amintite, ce trebue demonstrate, se demonstrează mai ușor, contrarele acestora: orice punct care nu posedă proprietatea enunțată, nu aparține figurii și orice pnct care nu aparține figurii, nu are proprietatea enunțată.

Observație. Se poate ca prin demonstrarea primei propoziții, numai o parte din punctele figurii presupuse a fi loc geometric, să îndeplinească acele condiții date în problemă, atunci numai acestea aparțin locului căutat (formează locul geometric).

Există în geometrie probleme de constucție, care se reduc la găsirea unui loc geometric, format dintr-un punct sau mai multe puncte.

Spunem că un punct (P) aflat pe o dreaptă (d1), îndeplinește o condiție. Toate punctele care îndeplinesc aceeași condiție, vor avea deci aceeași proprietate, însemnând că ele formează un loc geometric, în acest caz, dreapta d1. Dacă același punct P aparține și locului geometric ce formează o altă dreaptă notată cu d2, atunci putem spune că acesta se află la intersecția celor două locuri geometrice. Rezolvarea problemelor de construcții, folosind metoda locurilor geometrice, constă în a alege punctul ce trebuie determinat pentru a putea face cunstrucția cerută, apoi pe baza datelor din problemă, se aplică metoda de rezolvare a locurilor geometrice. Datorită faptului că punctul căutat se află la intersecția a două locuri geometrice, aceasta înseamnă că aceste locuri sunt știute anterior din studiul geometriei, sau trebuie aflate.

APLICAȚII ALE METODELOR DE REZOLVARE

PATRULATERE (clasa a VII-a)

Problema 1 (rezolvarea cu METODA SINTEZEI)

Se dă trapezul ABCD, cu bazele AD = a și, BC = b, AD>BC. Fie M ∈ (AB), astfel încât Prin M se duce paralela MN la AD, cu N ∈ (DC). Să se calculeze în funcție de a, b, m și n, lungimea segmentului [MN] și lungimea porțiunii din [MN], cuprinsă între diagonalele trapezului.

Rezolvare

Pentru început, observăm că problema are de fapt două cerințe

Să se calculeze în funcție de a, b, m și n, lungimea segmentului MN;

Să se calculeze în funcție de a, b, m și n, lungimea porțiunii din [MN], cuprinsă între diagonalele trapezului.

Ținând cont doar de datele cunoscute din problemă, se observă ușor ca nu putem calcula nici una dintre mărimi, fiind necesare cunoștințe dobândite anterior (cunoștințe legate de datele problemei). Citind cu atenție problema, reținem următoarele date: “raportul ”, “MN ∥ AD”și “diagonala trapezului”. Aceste noțiuni de sugerează ca noțiuni ajutătoare, asemănarea triunghiurilor.

Diagonala AC împarte trapezul ABCD în două triunghiuri. Notând AC∩MN = {E}, observăm că s-au format două perechi de de triunghiuri asemenea:

△AME∼△ABC și △CEN∼△CAD

dar și că MN = ME + EN (1)

Penru a calcula ME, formulăm următoarea problemă:

a) Pe latura (AB) a triunghiului ABC se ia punctul M astfel încât . Prin punctul M se duce dreapta ME ∥ BC. Știind că BC = b, să se calculeze ME.

Ducând prin M o paralelă la BC, potrivit teoremei fundamentale a asemănarii triunghiurilor, rezultă că △AME ∼ △ABC. Scriind proporționalitatea laturilor, avem:

.

Din primele două rapoarte egale, prin înlocuire, obținem:

, de unde (2)

Ținând cont de faptul că , potrivit teoremei lui Thales, în △ACD, formulăm o nouă problemă ce ajută la calcularea lui EN:

b) În △ACD, se ia pe (AC) un punct E, astfel încât . Prin punctul E se duce EN ∥ AD. Știind că AD = a, să se calculeze EN.

Deoarece EN ∥ AD, s-au format, conform teoremei fundamentale a asemănării, două triunghiuri △CEN ∼ △CAD. Scriind proporționalitatea laturilor, obținem:

De unde, din primele două rapoarte egale, prin înlocuire, avem:

, rezultând (3).

Cu rezultatele obținute la problemele a) și b) și ținând cont de relația (1), putem formula o a treia problemă:

c) Fie E∈(MN), cu și , calculați ME.

Deoarece E∈(MN), rezultă relația (1) MN = ME +EN. Folosind calculele algebrice cunoscute, rezultă că:

.(4)

Din relațiile (1) și (4) rezultă că: .

Ducând și cea de a doua diagonală a trapezului, notăm MN∩BD = {F}. Lungimea segmentul ce se cere calculat, este EF, calcul care se poate face din relația:

EF = EN – FN (5)

Aplicând teorema lui Thales în perechile de triunghiuri △AME∼△ABC și △CEN∼△CAD, obținem și , de unde rezultă că .

Se observă ușor, că pentru calcularea lui FN, cu schimbarea unor notații, se poate folosi problema a), de unde deducem că FN = ME (6).

Ținând seama de cele prezentate, pentru calcularea lungimii EF, formulăm următoarea problemă:

d) Fiind date punctele E, F ∈ (MN), astfel încât ME = FN(6) cu (3) și (2), să se calculeze EF.

Înlocuim în relația (5), relațiile (2) și (3), ținînd cont de relația (6) ;i de calculele algebrice cunoscute, obținem:

.

Problema 2 (rezolvarea cu METODA SINTEZEI)

Într-un dreptunghi ABCD se duc două paralele MNBD și PRBD la egală distanța de BD. Să se demonstreze că MNPR este paralelogram.

Demonstrăm că MNPR este paralelogram, folosind teoremele studiate, referitoare la proprietățile acestora.

Problema 3 (rezolvarea cu METODA ANALIZEI)

Calculați aria trapezului ABCD cu ABCD, AB = a, BC = b, CD = c și AD = d.

a) Obsevăm că aria ABCD nu se poate face doar cu datele cunoscute. În acest caz, vom folosi o construcție ajutătoare:

1) AC sau BD împarte ABCD în două triunghiuri. Datele sun insuficiente pentru rezolvarea acestui caz.

2) Fie CFAD. Cum ABCD =>AFCD paralelogram (1) și BCF.

Deci AABCD = AAFCD + ABCF

Am redus problema la aflarea ariilor unui trapez și a unui triunghi.

b) Fie DG AB, G AB, atunci .

Din (1) => AF = DC = c.

Problema se reduce iar, la aflarea înălțimii DG.

c) Din DG AB și CE AB => DG = CE (2) (distanța dintre două drepte paralele e aceeași). În BCF, BC = b, AF = c, iar din (1) => AD = CF = d.

Calculăm BE = AB – AF => BE = a – c.

Aplicăm formula de calcul pentru aflarea înalțimii:

, unde

Înlocuind, p obținem

Dacă notăm aria BCF cu , obținem . Din (2) => (3)

d) Din acest moment, aplicând metoda analizei, calculele devin:

AAFCD = , ABCF = S => AABCD =

Observație

La același rezultat ajungem calculând mai întâi înălțimea trapezului DG, apoi aplicând formula de calcul pentru aria trapezului:

, cum din (3) =>

AABCD =

Problema 4 (rezolvarea cu METODA ANALIZEI)

Să se demonstreze că bisectoarele interioare ale unui patrulater convex, formează un patrulater inscriptibil.

Fie ABCD patrulaterul dat, iar AE, DE, CG și BG respectiv bisectoarele unghiurilor cu vârfurile în A, D, C și respectiv B.

Bibliografia

Ș. Alexe, M. Chirciu, S. Peligrad, S. Simion, Olimpiadele argeșene de matematică – gimnaziu 1986 – 1998, Ed. Paralela 45, Pitești, 1999

A. Bălăucă și colaboratori, Aritmetică clasa a V-a, Ed. Taida, Iași, 2009 (culegere auxiliară)

A. Bălăucă și colaboratori, Algebră Geometrie clasa a VI-a (VII,VIII), Ed. Taida, Iași, 2009 (culegeri auxiliare )

A. Bălăucă și colaboratori, Evaluarea Națională 2011 Matematică, Ed. Taida, Iași, 2011

D. Brânzei, E. Onofraș, S. Anița, Ghe. Isvoranu, Bazele raționamentului geometric, Ed. Academiei R.S.R., București, 1983

I. Cerghit, Perfecționarea lecției în școala modernă, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983

I. Cheșcă, G. Caba, Matematică- manual pentru clasa a VII-a, Ed. Teora, București, 2002

P. Chirtop, M. Roșu, V. Radu, G. Ross Matematică – manual pentru clasa a V-a, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 2003

Ghe. A. Chiței, Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1969

Colecția Gazeta Matematică,

Colecția Dialoguri Matematice Nemțene, Ed. Alfa, 2004/2005

D. Constantinescu, Olimpiada de matematică clasele V-VIII, Ed. Teora, București, 1998

I. C. Drăghicescu, Probleme de geometrie, Ed. Tehnică, București, 1987

E. Fischbein, Concept și imagine în formarea gîndirii matematice, Ed. Științifică, București, 1965

G. Gheba, Exerciții și problem de matematiă, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1973

M. Gîrțu, A. M. Patriciu, Complemente de Geometrie, Ed. Alma Mater, Bacău, 2014

A. Haimovici, L. Cohal, A. Corduneanu, L. Papuc, Elemente de geometrie a planului, E.D.P.- București, 1968

A. Hollinger, Probleme de geometrie, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1982

Ghe. Iurea și colaboratori, Matematică: Evaluarea Națională, Ed. Paralela 45, Pitești, 2013

M. Perianu și colaboratori, Matematică (clasele aVa – aVIIIa), Colecția Esențial, Ed. Grupul Editorial Art, București, 2014 (culegeri auxiliare )

M. Perianu și colaboratori, Matematică pentru Evaluarea Națională, Ed. Grupul Editorial Art, București, 2015

I. Petrică, C. Ștefan, Șt. Alexe, Probleme de matematică pentru Gimnaziu, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1985

D. Petriceanu și colaboratori, Evaluarea Națională 2014 Matematică, Ed. Corint, București, 2012

O. Popescu, V. Radu, Metodica predării geometriei în gimnaziu, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983

M. Primsner, S. Popa, Probleme de geometrie elementară, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1979

D. Radu, E. Radu, Matematică- manual clasa a VII-a, Ed. Teora, București, 2008

E. Rusu, Despre învățarea matematicii, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1962

E. Rusu, Problematizare și probleme în matematica școlară, Ed. Didactică și Pedagogică, București,1978

C. Savu și colaboratori, Matematică- manual clasa a VIII-a, Ed. Teora, București, 2008

D. Săvulescu și colaboratori, Matematică (clasele aVa – aVIIIa), Colecția Clubul Matematicienilor, Ed. Grupul Editorial Art, București, 2015 (culegeri auxiliare )

M. Singer, C. Voica, Învățarea matematicii- Ghidul profesorului, Ed. Sigma, București, 2002

M. Singer și colaboratori, Matematică – manual clasa a V-a, Ed. Sigma, București, 1999

M. Singer, C. Voica, C. Voica, Matematică- manual clasa a VIII-a, Ed. Sigma, București, 2000

G. Turcitu și colaboratori, Matematică – manual clasa a VI-a, Ed. Radical, București, 2008

T. Udrea, D. Nițescu, Matematică – manual clasa a VI-a, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 2008

Anexe

PROIECT DIDACTIC

Școala Gimnazială "Arhimandrit Chiriac Nicolau" Vânători Neamț

Structura Școala Gimnazială Lunca – Vânători Neamț

Profesor: LUNGU LILIANA

Data: 23.11.2013

Clasa: a VI – a

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: „Geometria, treaptă cu treaptă” (CDȘ)

Unitatea de învățare: Unghiuri

Lecția: Aplicații (cerc la matematică)

Tipul lecției: Sistematizare și consolidare

Competențe generale:

G1. Identificarea unor date și relțtii matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;

G2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

G3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete;

G4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;

G5. Analiza și prelucrarea caracteristicilor matematice ale unei situații – problemă;

G6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștintelor din diferite domenii;

Competențe specifice:

C1. Recunoașterea și descrierea unor figuri geometrice plane în configurații date

C2. Stabilirea coliniarității unor puncte și verificarea faptului că două unghiuri sunt adiacente, complementare sau suplementare

C3. Utilizarea proprietăților referitoare la drepte și unghiuri pentru calcularea unor lungimi de segmente și a măsurilor unor unghiuri

C4. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de drepte și unghiuri

C5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și de măsuri de unghiuri

C6. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri

Obiective operaționale:

*Cognitive (după parcurgerea acestui capitol trebuie să fiți capabili: )

OC1. Să recunoașteți unghiul propriu, unghiul nul, unghiul alungit;

OC2. Să recunoașteți elementele unui unghi: vârf, latură, interior;

OC3. Să utilizați corect raportorul pentru măsurarea unui unghi și construcția unui unghi de măsură dată;

OC4. Să efectuați calcule cu măsuri de unghiuri;

OC5. Să recunoașteti: unghiurile congruente, bisectoarea unui unghi, unghiurile

adiacente, complementare și suplementare, unghiurile opuse la vârf;

OC6. Să folosească proprietatea unghiurilor opuse la vârf și suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct pentru a calcula măsura unor unghiuri.

*Afective

OA1. Să participe cu plăcere la lecție;

OA2. Să participe la lecție prin mijloace nonverbale;

OA3. Să colaboreze cu profesorul și elevii de la tablă în realizarea unor sarcini.

*Psiho – motrice

OP1. Să aibă o poziție corectă la tablă și în bancă;

OP2. Să utilizeze corect instrumentele de lucru.

Metode și procedee:

conversația, lucrul în echipă, demonstrația, mozaicul, explicația, exercițiul, observația

Mijloace de învățământ:

manual clasa a VI – a, trusa geometrică, cretă albă, colorată,

caiete de notițe, fișe de lucru, markere, coli A3.

Forme de organizare: activități pe grupe, frontale și / sau individuale;

Desfășurarea lecției

REBUS

A

B

Originea comună a laturilor unui unghi.

Unghi care nu este nici alungit nici nul.

Unghi cu măsura între 00 și 900.

Unitate de măsură pentru unghiuri.

Unghi cu măsura de 900.

Laturile unghiului ca figuri geometrice.

Unghi cu măsura între 900 și 1800.

Gradul are 60…

Unghiuri în jurul unui…, cu suma măsurilor de 3600.

Unghiuri care au aceeași măsură.

A – B Calificativ pentru un raspuns corect două cuvinte).

PUZZLE

Găsiți în următorul puzzle cuvintele (citirea cuvintelor poate fi făcută în orice direcție):

SECUNDA, UNGHI, RAPORTOR,

LATURA, INTERIOR, NUL,

EXTERIOR.

CAREU

Grupați o literă cu un număr, pentru a obține o propoziție adevărată.

Răspuns B-3, A-5, D-7, C-1, H-6, G-4, F-2, E-8.

Fișa de lucru nr. 1

Limbile ceasului din Fig. 1, formează un unghi. Precizați ce fel de unghi este și câte grade are acel unghi.

Fig. 1 Fig. 2

În fig.2 este roata unui mijloc de transport. Știind ca spițele alăturate formează unghiuri congruente,precizați

ce fel de unghiuri formează toate spițele

câte grade au unghiurile dintre spitele alăturate?

La geografie ați vorbit despre ROZA VÂNTURILOR (Fig.3) câte grade sunt între NE și SE?

Fig. 3 Fig.4

În Fig.4, dacă unghiul AIC este de 200, câte grade are unghiul AIB,dar unghiul AIN?

Un evantai este construit din bucăți ale căror laturi determină câte un unghi, toate fiind unghiuri congruente. știind că sunt 10 astfel de bucăți și că suma acestor unghiuri este de 2800, aflați măsura unui astfel de unghi.

Urmăriți Fig.6 și completați propozițiile:

Semidreapta [OD este bisectoarea unghiului…………….

Semidreapta [OC este bisectoarea unghiului ……………

Fig. 5 Fig. 6

La o masă de biliard (Fig. 5) joacă Mircea și Ion. Câte grade au unghiurile sub care se deplasează bilele jucătorilor, dacă este de două ori mai mare decât , iar IC este bisectoarea ?

Ionuț taie o lamămâie și obține o secțiune ca în Fig. 7. Câte grade are au feliile de lamăie?

Fig. 7

Câte grade formează unghiul dintre ECUATOR și un meridian al GLOBULUI PĂMÂNTESC?

Fișa nr 2 (Temă pentru acasă)

Desenați două unghiuri care au același suplement.

Am, văzut că, dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente. Dar dacă două unghiuri sunt congruente, atunci ele sunt opuse la vârf? (NU)

Unul dintre unghiurile ce se obține la intersecția a două străzi, are măsura cu 400 mai mică decât a altuia. Calculați măsurile tuturor unghiurilor formate de cele două străzi. (400, 1400, 400 și 1400)

Avem date măsurile următoare de unghiuri: 1050, 1700, 650, 350, 700, 1600, 550, 600. Aranjați – le în două grupe de câte patru , astfel încât suma măsurilor din fiecare grupă să fie egală cu măsura unghiurilor în jurul unui punct. (1050, 350, 1600, 600 și 1700, 650, 700, 550)

Limbile unui ceas arată ora 4 fix. Precizați ce fel de unghi este și câte grade are acel unghi. (unghi obtuz, 360:12=300=> 300 )

La geografie ați vorbit despre “ROZA VÂNTURILOR” câte grade sunt între N și SV?

Calculați apoi, unghiurile dintre: a) N și NNE, b) între NNE și ENE,

c) între ENE și SSE d) între WSW și E

Efectuați: a) 6401738 + 1505348= b) 12301418 – 2603225 =

c) 56018203 =

În trusa de geometrie, aveți două echere. Câte grade va avea un unghi format prin alăturarea celor două echere, astfel încât echerele alăturate, să aibă un vârf și o latură comună?

REBUS 2 (Temă pentru acasă)

A

B

Figură geometrică alcătuită din două semidrepte cu aceeași origine.

Instrument geometric.

Instrument care ajută la măsurarea unghiurilor.

Unghiuri care au împreună măsura de 900.

Unghiuri care au vârful comun, o latură comună și celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune.

Semidreaptă situată în interiorul unui unghi, care-l împarte în două unghiuri congruente.

Element al unui unghi.

Unghiul cu măsura de 1800.

Submultiplu al gradului.

A – B Parte a matematicii în care se studiază aceste noțiuni.

Geometria este arta de a raționa corect pe figuri incorecte.

definiție de Henri Poincare

Geometria este cea mai bună și mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate judecății și rațiunii.

definiție clasică de Denis Diderot