Metode de Rezolvare a Problemelor de Aritmetica la Ciclul Primar

INTRODUCERE

Matematica este cimentul edificiului științelor aflate în continuă reconstrucție și reînnoire. Această știință este cu atât mai necesară, cu cât descoperiri relevante demonstrează legătura ei cu viața, neașteptatele combinări, ingenioasele soluții, armonia raționamentelor, trăinicia adevărurilor ce conving prin imensa cantitate de inteligență și fantezie umană investite în acest obiect atât de bătrân și-n același timp atât de tânăr. Într-o lume mobilă, continuu reînnoită, rolul matematicii este acela de a reconstrui, de a învăța pentru a folosii, pentru a aplica în practică, pentru a cerceta și a realiza legături cu viața.

Matematica a devenit un element de neînlocuit în cultura omului modern. De o extraordinară prospețime și actualitate sunt cuvintele lui Gheorghe Asachi: „deosebit de întrebuințarea ei cea de obște, cuprinde precum toate celelalte științe exacte, folosul de a deprinde cugetarea și pătrunderea la înțelegere și de a da plăcere pentru deslușirea ideilor”.

Dezvoltarea socio-economică și cultural-științifică a sporit sarcinile matematicii, care sunt din ce în ce mai complexe și mai delicate. Este suficient să menționăm în acest sens câteva din necesitățile legate de exemplu, de: reelaborarea fundamentelor mecanicii (vechile temelii puse de Newton fiind profund zdruncinate de cercetările lui Maxwell, Poincare și Einstein), calcularea distanțelor de lansare a sateliților și conducerea vehiculelor spațiale, apariția și înflorirea unor discipline de „frontieră” (cibernetică, biomatematică, econometria, teoria sistemelor), elaborarea principiilor și modelelor care stau la baza construirii și exploatării

mijloacelor modeme de calcul (calculatoare, procesoare), modelarea matematică a diverselor sisteme economice și sociale, etc. se constată azi o tendință evidentă de extindere a aplicațiilor matematicii, de la tehnică și experimente fizice, la management și cibernetică economică, de la inginerie mecanică la inginerie genetică și socială, de la științe ale naturii la cele despre om (sociologie, psihologie, pedagogie, istorie, lingvistică, științe juridice, ș.a.).

Implicarea profundă a matematicii în toate domeniile de activitate a omului zilelor

noastre este evidențiată odată mai mult de cuvintele matematicianului Miron Niculescu: „Tot ceea ce este gândire este matematică, sau este susceptibil de matematizare. Ritmul crescând al competiției în toate domeniile: tehnico-industrial, științific, economic, cultural, ne obligă să gândim repede și mai ales să gândim corect. Ce lucru va ajuta să gândim mai repede decât o facem și mai ales fără risc de eroare în decizii? Răspunsul este cunoscut de multă vreme . Este vorba de ansamblu de metode, de reguli de calcul ale gândirii, de concepte, de fapte, care se numește matematică.”

Valențele formative bogate ale matematicii sunt rezultatul faptului că, mai pregnant decât oricare altă disciplină școlară, ea are un caracter activ, căci utilizarea și transferul noțiunilor matematice se realizează nu prin simpla transmitere a acestora de la învățător către elevii săi, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperirea lor de către elevi.

Cu ajutorul matematicii li se imprimă elevilor capacitatea de a descoperi, de a organiza, interpreta „faptele” matematice, se realizează contactul direct cu realitatea prin desprinderea problematicilor din viața zilnică, viața societății, se demonstrează continua legare cu mediul ambiant a acestei științe a cifrelor și a demonstrațiilor riguroase.

De asemenea, matematica contribuie la formarea și dezvoltarea la elevi a unor însușiri, ca de exemplu: capacitatea de a munci organizat și ritmic, perspicacitatea, spiritul de investigație în găsirea unor soluții noi și mai eficiente, aducând astfel un necontestat aport în valorificarea efectivă și în condiții optime a potențialului uman.

Matematica este știința conceptelor cele mai abstracte, de o extremă generalitate.

Psihologii și pedagogii, printre care și I. Radu și N. Oprescu sunt de părere că formarea

noțiunilor noi trebuie să pornească de la modele concrete.

Parcurgând drumul de la concret la abstract, pătrunzând în esența noțiunilor aritmetice, efectuând calcule cu numere și rezolvând probleme, procesele psihice de cunoaștere ale elevului – cu precădere gândirea – sunt stimulate la o activitate susținută.

Gândirea matematică este cea mai în măsură să ofere capacități de abstractizare, cele mai valabile, logice legături între probleme, să sudeze mai impresionant trecutul, prezentul, viitorul.

Raționamentul matematic și gândirea creează elevului posibilitatea de înțelegere a celorlalte discipline, cât și de pătrundere a elementelor privitoare la natură, viață, societate.

Gândirea este cheia de boltă în învățare. De aceea fundamentarea logică a răspunsurilor elevilor, solicitarea operațiilor gândirii, formarea judecății și a raționamentelor, a deprinderilor și a spiritului creativ la elevi constituie condiții și, în același timp, rezultate ale învățăturii.

Acestea sunt doar câteva din argumentele care m-au determinat să aleg tema lucrării în acest domeniu.

Având ca puncte de sprijin literatura de specialitate studiată, voi prezenta pe parcursul acestei lucrări aspecte care susțin importanta introducerii metodelor de rezolvare a problemelor.

În încheiere doresc să mulțumesc domnului prof. univ. dr. Mircea Puta pentru sprijinul acordat în elaborarea acestei lucrări.

CAPITOLUL I

CONSIDERAȚII GENERALE

1. Scopul predării matematicii în ciclul primar

Matematica cerută de actualitate impune un învățământ în care materia să fie predată printr-o concepție nouă; problema nu este de a transmite o știință gata făcută, ci de a face pe elev să dobândească un mod de gândire, să analizeze, să selecteze, să relaționeze situațiile concrete, să sintetizeze pentru a obține soluția cerută, să-și formeze deprinderea de a lucra independent.

În clasele I-IV matematica este unul din obiectele de bază. Programa școlară pentru clasele primare precizează că scopul pe care îl urmărește predarea matematicii în aceste clase este de a înarma pe elevi cu cunoștințe temeinice în legătură cu noțiunile elementare de matematică, de a le forma deprinderea de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, precum și de a contribui la dezvoltarea judecății, a gândirii logice, a memoriei, a atenției, la formarea desprinderilor de ordine și punctualitate.

Din cele mai de sus rezultă în mod clar că scopul predării matematicii la clasele I-IV are trei laturi: educativă, practică, informativă.

Latura educativă

Din punct de vedere educativ scopul predării matematicii se referă la contribuția pe care aceasta o aduce în dezvoltarea facultăților cognitive ale elevilor, cu deosebire în dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, a atenției, precum și în fortificarea voinței, formarea unor deprinderi de muncă ordonată și conștiincioasă, precum și a spiritului de răspundere față de realizarea unor sarcini.

Însușirea de către elevi a sistemului de noțiuni și cunoștințe pe care le cuprinde matematica reclamă o gândire științifică inductivă și deductivă, capabilă să preia rolul conducător în desfășurarea proceselor de abstractizare și generalizare.

Matematica, lucrând în prima faza cu obiecte și noțiuni concrete, orientează treptat mintea elevilor spre înțelegerea noțiunilor, spre stabilirea a ceea ce este esențial în lucruri, contribuind în felul acesta la formarea începuturilor gândirii abstracte și dezvoltarea în continuare a acesteia.

Este incontestabilă apoi contribuția pe care o aduce matematica în formarea la elevi a unor deprinderi de muncă, de ordine, punctualitate, prin respectarea unor anumite indicații în legătură cu organizarea muncii independente, cât și prin utilizarea în efectuarea operațiilor a procedeelor raționale de calcul.

b) Latura practică a scopului predării matematicii constă în formarea capacității elevilor în sensul utilizării cunoștințelor de matematică în rezolvarea exercițiilor și problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a contribui creator la soluționarea laturilor matematice ale problemelor care se ivesc la tot pasul, de a reduce situațiile noi la cele vechi.

Întrebuințarea cunoștințelor privitoare la numerația scrisă și orală cu numere de orice mărime, formarea unei concepții unitare despre unitățile de măsură din sistemul metric și întrebuințarea curentă a acestor unități, înțelegerea textelor care cuprind date matematice sau unități de măsură a timpului etc. utilizarea pe scară largă a calculului oral și în scris constituie doar câteva din prilejurile care se referă la aplicarea practică a cunoștințelor de matematică.

Conștiința utilității cunoștințelor constituie cel mai valoros stimulent în asimilarea

temeinică a acestora. De aceea, încă pentru copilul din clasele mici trebuie să devină evident faptul că sistemul de cunoștințe teoretice prezintă valoare numai în măsura în care ele pot fi utilizate în rezolvarea multiplelor probleme pe care le ridică viața socială.

c) Latura informativă constă în dobândirea de către elevi a unor noțiuni și cunoștințe elementare de matematică, închegate într-un sistem unitar și armonios care să cuprindă noțiunile de unitate, de număr concret și abstract, precum și cunoștințele despre numerația orală și scrisă cu numere de orice mărime, despre cele patru operații matematice, cunoștințe despre unitățile de măsură din sistemul metric, despre unitățile monetare și cele pentru măsurarea practică.

Scopul esențial al învățării matematice nu se reduce la latura informativă, ci prin predarea acestei discipline se urmărește și se realizează mai ales, dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivitate, formarea priceperilor și deprinderilor de gândire logică, de definire clară și judicioasă a noțiunilor de adaptare creatoare la cunoștințele actuale și de perspectivă ale vieții sociale.

Activitatea matematică necesită deci o tensiune, o încordare, o mobilizare a tuturor componentelor psihicului uman, dar cu precădere a gândirii, a inteligenței. Efortul intelectual ce se desfășoară în activitatea matematică este, în esență, un continuu antrenament care are drept efecte dezvoltarea intelectuală reală a elevilor, în primul rând, dar și dezvoltarea generală a acestora.

Scopul predării matematicii la clasele primare urmărește și formarea deprinderilor de a rezolva probleme. Acest obiectiv trebuie să fie în atenția permanentă a învățătorului și să se realizeze în mod treptat, în timp, astfel încât să fie atins la sfârșitul clasei I de cât mai mulți elevi ai clasei, urmând ca, în c1asele II-IV să fie obligatoriu pentru toți elevii.

2. Importanța rezolvării problemelor și procesul gândirii

Copilul care învață matematica se află în fața unor probleme. Înțelegem aici prin termenul de „problemă” o activitate a gândirii, care presupune, pe lângă aplicarea unor cunoștințe învățate, știute, și o anumită inițiativă personală, o anumită perspicacitate, o îmbinare a cunoștințelor vechi într-o structură nouă, pe scurt un act de creație. Raportul între ceea ce fac pe baza celor învățate și ceea ce fac nou, ceea ce trebuie să descopăr acum, este valabil, depinde de natura problemei. Caracterul „problematic” este mai mult sau mai puțin accentuat, dar el rămâne prezent în fiecare din lecțiile din activitățile matematice. Acest caracter problematic este vădit în acțiunea de a rezolva probleme propriu-zise și acesta este un sector întins la nivel elementar.

Dezvoltarea priceperilor matematice este strâns legată de interesul cu care se muncește, astfel încât un mare pedagog (J.J. Rousseau) spunea: „dați copilului dorința de a învăța, restul urmează de la sine.”

Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă importanță atât de mare, încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de aritmetică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor.

De aceea rezolvarea problețate, știute, și o anumită inițiativă personală, o anumită perspicacitate, o îmbinare a cunoștințelor vechi într-o structură nouă, pe scurt un act de creație. Raportul între ceea ce fac pe baza celor învățate și ceea ce fac nou, ceea ce trebuie să descopăr acum, este valabil, depinde de natura problemei. Caracterul „problematic” este mai mult sau mai puțin accentuat, dar el rămâne prezent în fiecare din lecțiile din activitățile matematice. Acest caracter problematic este vădit în acțiunea de a rezolva probleme propriu-zise și acesta este un sector întins la nivel elementar.

Dezvoltarea priceperilor matematice este strâns legată de interesul cu care se muncește, astfel încât un mare pedagog (J.J. Rousseau) spunea: „dați copilului dorința de a învăța, restul urmează de la sine.”

Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă importanță atât de mare, încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de aritmetică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor.

De aceea rezolvarea problemelor presupune existența unui întreg complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor aritmetice, însușirea pe deplin a tehnicii acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relații dintre datele unei probleme. Prin urmare din punct de vedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobândite în legătură cu operațiile aritmetice și proprietățile lor, clarificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe.

Munca desfășurată pentru rezolvarea problemelor are și un important rol educativ, prin contribuția valoroasă pe care o aduce la dezvoltarea în general a facultăților mintale, cu deosebire a gândirii, antrenând în cea mai mare măsură operațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.

De asemenea, rezolvarea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente și corecte față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor prezintă o importanță deosebită și din punct de vedere practic, prin sesizarea și înțelegerea relațiilor dintre mărimi, prin soluționarea matematică a diferitelor aspecte ale proceselor de producție și ale împrejurărilor vieții sociale, deoarece viața de toate zilele ne pune în față noi și variate probleme pentru a căror rezolvare nu este suficientă cunoașterea exclusivă a tehnicii de calcul. În general, munca de rezolvare a problemelor dezvoltă gândirea, îmbogățește volumul de cunoștințe al elevilor și contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.

3. Scopul predării problemelor

Scopul predării problemelor este acela de a forma la elevi deprinderea de a rezolva probleme, una din deprinderile care au o largă aplicare în viață, în producție.

Înarmându-i cu deprinderea de a rezolva probleme de matematică, îi pregătim pe elevi să rezolve probleme practice pe care viața le va pune în fața lor. Fiind legate de realitate, problemele de matematică fac ca în cadrul lor calculul să prindă viață.

Rezolvând probleme de matematică, elevii își îmbogățesc cunoștințele, aflând din textul problemelor unele lucruri pe care nu le studiază la celelalte discipline.

Rezolvarea problemelor contribuie la dezvoltarea intelectuală a elevilor. Astfel, prin rezolvarea problemelor se dezvoltă atenția, memoria, imaginația și cu precădere gândirea logică, întrucât în rezolvarea problemelor gândirea este supusă la un efort susținut. Prin rezolvarea problemelor se educă perspicacitatea, dârzenia, perseverența, spiritul de ordine, exactitatea.

Toate aceste privesc mai întâi pe elevii din clasele mici, unde fiind vorba de punerea bazelor formării deprinderilor de muncă independentă și a formării trăsăturilor omului nou, efectul instructiv-educativ al rezolvării problemelor este mai vădit. Dar acest efect îl are rezolvarea problemelor și la elevii mai mari.

În perioada în care copilul învață să țină creionul în mână și face primii pași pe drumul cuceririi științei, când abia desenează literele și cifrele și când „silabisește” atât în învățarea cititului cât și a scrisului, se impune ca și în ceea ce privește rezolvarea problemelor să se pornească de la lucrurile elementare, să se pună bazele juste și bine direcționate ale formării acestei deprinderi. Apoi treptat, printr-o justă gradare a problemelor și a efortului la care este supus elevul în rezolvarea acestora să se urmărească formarea deprinderilor de a rezolva în mod tot mai independent problemele.

CAPITOLUL II

CONSIDERAȚII TEORETICE

1. Noțiunea de problemă și de rezolvare a problemelor

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive.

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru ca participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și

soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în cic1ul primar programa de matematică acordă problemelor o foarte mare atenție.

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite.

În sens psihologic, ,,o problemă” este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândirea în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin proces de gândire și calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații calitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute. (/ 13/ pag. 196)

În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită sau între mijloacele deja învățate. Când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune Rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice (aplicarea aceleiași metode de rezolvare în situații identice, cum este cazul la problemele tipice), cât mai ales în cea a rezolvării euristice.

În general între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau datele și corelații între ele și se cere pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.

Exercițiul oferă elevului datele (numerele cu care se operează și semnele operațiilor respective) sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscute) și întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscutei.

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei.

Deci, matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, însă, în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V-a și doar ceva perfect cunoscut pentru matematician.

Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții.

Rezolvarea unei probleme de matematică înseamnă elaborarea rațională a soluției construind un șir de judecăți logice prin raportarea valorilor numerice dată la una sau mai multe valori numerice necunoscute. (/28/ pag. 233)

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

2. Clasificarea problemelor

Având în vedere analiza criterială, clasificatoare, problemele de matematică în orice ciclu primar s-ar putea clasifica astfel:

a) după finalitate și după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate; această primă clasificare a propus-o și George Ploya, denumind prima categorie probleme „de aflat” și cea de-a doua, probleme „de demonstrat”. Această clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează de la Euclid, termenul de problemă „de aflat” corespunzând celui de problemă, iar cel de problemă „de demonstrat” corespunzând termenului de teoremă.

Scopul unei probleme „de aflat” este de a găsi necunoscuta problemei. Scopul unei probleme „de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserțiune este adevărată sau falsă. În ciclul primar predomină „problemele de aflat”.

b) după conținutul lor, problemele matematice pot fi geometrice, de mișcare, de aflare a densității unui amestec, sau aliaj; acest gen de probleme, Maria-Georgeta Jurca îl denumea „probleme practice”. „Problemele care conțin date luate din lumea înconjurătoare legate de procesul de producție, așa cum se desfășoară el în realitate în mine, uzine, și pe ogoare sau date scoase din cercetări științifice, în laboratoare, aplicații tehnice, din calcule financiare, din comerț, etc. se numesc probleme practice.”

c) după numărul operațiilor, vom identifica probleme simple și probleme compuse. Problemele simple sunt acelea, care de regulă, se rezolvă printr-o singură operație aritmetică și care se întâlnesc cu precădere, la clasa I. Problemele compuse sunt acele care în șirul de raționament și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple.

d) după gradul de generalitate al metodei folosite, în rezolvare, avem probleme generale(în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică) și probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, comparației, etc.

e) o categorie aparte de probleme, de multe ori neglijate în învățământul primar până la apariția noilor manuale alternative, dar cu multe valențe formative, sunt cele recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate, numite și nonstandard.

Am reținut din lucrarea „Cum rezolvăm probleme de aritmetică” și un alt criteriu, care mi s-a părut interesant prin faptul că include în probleme și exercițiile. Astfel, autoarea lucrării includea printre criteriile de clasificare și scopul imediat pe care îl urmăresc (aplicarea unei reguli sau teoreme, dezvoltarea judecății, formarea deprinderilor de calcul, etc.),potrivit căruia putem distinge:

1. Exercițiul. „Exercițiile sunt probleme ușoare formulate, de obicei cu date mici, care servesc pentru aplicarea unei reguli, a unei teoreme dezvoltate la ora de curs sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor.”

Este destul de greu să facem distincția între un exercițiu și o problemă, și o problemă a cărei soluție se ajunge foarte ușor poate fi considerată un simplu exercițiu. În general între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.

„De fapt, dacă ținem seama că rezolvarea unei probleme implică o dificultate, exercițiile n-ar trebui să fie încadrate printre probleme. În orice caz, abuzu1 de exerciții de același tip este contraindicat, deoarece nu contribuie la dezvoltarea gândirii elevului, iar după ce acesta și-a însușit procedeul sau regula, atenția în rezolvarea exercițiilor scade, creându-se pericolul apariției unei greșeli elementare.”

2. Probleme teoretice, înțelegând prin acest gen de probleme „probleme care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică, aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicii”.

3. Probleme practice, pe care le-am definit la punctul „b” la criterii de clasificare.

4. Probleme artificiale, care sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă, să folosească anumite reguli sau procedee de calcul. Autorul unei astfel de probleme se străduiește ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate. Autoarea ne indica o problemă care poate fi inclusă în această categorie: ,,O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui. După câte sărituri ogarul va ajunge vulpea, știind că el face 6 sărituri în timp ce vulpea face 7 sărituri, iar 3 sărituri ale ogarului fac cât 4 ale vulpii?”. Se consideră că această problemă este artificială întrucât ,,o persoană nu poate număra în același timp numărul săriturilor făcute de vulpe și ogar, iar pe de altă parte acestea nu au o mărime constantă”.

În fapt, aceasta problemă se rezolvă utilizând metoda aducerii la același termen de

comparație, în faza inițială, transformându-se apoi într-o problemă de mișcare.

5. Probleme recreative, „probleme care conțin chestiuni distractive, cu toate că în

rezolvarea lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic”.

O posibilă clasificare mai amplă a problemelor de aritmetică ar fi:

1. Probleme cu operațiile relativ evidente. În funcție de date și de relațiile dintre ele și dintre ele și necunoscute (sunt problemele cele mai des întâlnite în manualele de cls. I-IV), acestea sunt:

a) probleme simple

b) probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, principal două: metoda sintetică și metoda analitică.

2. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În această categorie intră și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

3. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație);

4. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze); –,

5. Probleme de amestec și aliaje cu două variante:

a) de categoria I;

b) de categoria a II-a.

6. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers)

7. Probleme de mișcare (bazate pe relația s = v . t), cu două variante:

a) în același sens

b) în sensuri contrare

8. Probleme cu mărimi proporționale, cu două variante:

a) împărțirea unui număr în părți direct proporționale;

b) împărțirea unui număr în părți invers proporționale;

9. Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate în categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific:

a) probleme cu conținut geometric

b) probleme cu conținut de fizică

c) probleme asupra acțiunii și muncii în comun

10. Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc,etc.). (/ 13/ pag. 209).

Cu toate variantele lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Prin rezolvarea unor probleme ce se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecății, deci același raționament, în mintea copiilor se conturează schema mintală de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se învață, se transfera și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult ușurată în cazul în care poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de problemă, deja cunoscută. Dar această subsumare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema (domeniu la care se referă mărimea și natura datelor, etc).

3. Caracteristici ale activității de rezolvare a problemelor de la clasele I-IV.

Etapele rezolvării problemelor.

Cerințele pe care epoca modernă le ridică în fața învățământului fac ca, în procesul studierii matematicii, accesul să cadă nu pe înmagazinarea unui bagaj cât mai mare de informații, ci pe priceperea de a mânui informații, de a rezolva probleme.

După Ernest R. Hildegard, educarea deprinderilor de rezolvare a problemelor este „cheia de boltă a învățării”.

Cunoștințele noastre în matematică, la fel ca în multe alte domenii, constau – după cum arăta matematicianul american George Polya – în informații și în know – how –„priceperea” de a utiliza informația. Acest know-how, tradus prin „a ști cum” înseamnă în matematică în primul rând „îndemnarea de a rezolva probleme – nu probleme de simplă rutină, ci probleme care cer un anumit grad de îndemnare, de gândire, de originalitate, de creativitate”.

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare de probleme se face succesiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiul și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește.

Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice (de adunare și scădere) se începe rezolvarea, pe cale orala și pe bază de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat, e1evii ajung să rezolve aceste probleme și în forma scrisă.

Activitatea de rezolvare a problemelor de către școlarii mici, începe de fapt cu cea de alcătuire de probleme. Acestea sunt ceea ce noi am convenit sa le numim „probleme ilustrate”, (mulțimi concrete de obiecte sau imagini), pe baza cărora se introduc primele operații aritmetice.

Să luăm ca exemplu una din imaginile din noul set de manuale alternative – manualul (pentru clasa I) elaborat de Aurel Maior și Elena Maior – imagini pe baza cărora se trece la capitolul „Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 10”, pag. 32.

Redăm imaginea:

Faza

intuitivă

Solicitați să spună ce văd în imagine („Noi vedem în imagine trei rațe care înoată pe un lac, lângă care mai vin încă două rațe”) și simplificând răspunsul formulat de elevi – învățătorul le sugerează sa formuleze răspunsul fără a mai utiliza cuvintele „noi vedem în imagine” – se obține, de fapt, enunțul unei probleme simple: „Pe un lac înoată trei rățuște. Pe acel lac mai vin încă două rățuște.”

Se convine cu elevii să se figureze elementele celor două mulțimi:

Faza semiabstractă

Se notează cardinalul fiecărei mulțimi și se continuă dialogul:

– Ce semn matematic putem folosi pentru a arăta că au fost trei rățuște și au mai venit încă două?

(+) Se marchează semnul.

– Câte rățuște sunt acum pe lac? (care este numărul de elemente care „s-a obținut prin reuniunea celor două mulțimi?). S-a formulat astfel întrebarea problemei și s-a dat și răspunsul, s-a găsit deci soluția căutată, care în aceste situații, este sugerată de imagine (deci nu necesită din partea elevului efort mintal).

– Putem exprima printr-o relație matematică (propoziție matematică) enunțurile formulate de noi? (transpunerea acțiunii concrete în relație matematică) (Da).

– Cum? (adunând numărul rățuștelor existente pe lac, cu numărul rățuștelor care au mai venit). Se obține relația:

3 + 2 = 5 Faza abstractă

Scrierea obținută reprezintă rezolvarea problemei, prezentată sub forma unui exercițiu care cuprinde o operație de adunare.

Fazele enunțate anterior reprezintă, de fapt, demersurile didactice întreprinse în vederea introducerii operațiilor cu numere naturale; aceste demersuri continuă, în cazul de față, cu introducerea unor termeni de vocabular matematic: „termeni”, „plus”, „egal”, „sumă (total)”, dar contribuie în același timp și punctul de plecare sau de „intrare” în „lumea problemelor”.

După ce elevii s-au familiarizat cu operațiile aritmetice, manualul îi permite învățătorului să mai înainteze încă un pas spre „tărâmul problemelor”.

Să luăm ca exemplu o altă imagine din același manual de clasa I. Imaginea prezintă un grup de copii în parcul de distracții (imagine foarte atractivă, ca de altfel toate imaginile din noile manuale).

În partea de jos a imaginii se află un set de întrebări, iar alături, caseta în care elevii trebuie să scrie răspunsul:

Câți băieți au venit în parc? băieți

Câte fete au venit în parc? fete

Câți copii au venit în parc? copii

Folosind procedeul numărării, elevii vor descoperi cu multă ușurință și plăcere răspunsurile corecte. (5 băieți, 5 fete, 10 copii).

Învățătorul poate „exploata” această situație pentru a putea compune și rezolva (pe cale orală) o problemă pe bază de imagini prezentate.

– Dacă știm ca în parc au venit 5 băieți și 5 fete, ce putem afla? (câți copii sunt acum în parc?)

– Putem găsi și în alt mod (decât prin numărare) numărul total al copiilor? (da).

– Cum? (prin operația de adunare).

5 + 5 = 10

Răspunsurile la primele două întrebări sunt de fapt o constatare a unui fapt de viață: „Într-un parc de distracții sunt 5 băieți. Mai vin 5 fetițe.”, putându-se constitui ca enunț al problemei.

Întrebarea a treia poate reprezenta întrebarea problemei și scrierea ,,5+5=10” reprezintă rezolvarea problemei, conținând și răspunsul.

O altă situație premergătoare rezolvării propriu-zise de probleme, poate fi următoarea:

În imagine sunt prezentate niște mașinuțe de două culori (imaginea este luată din „Caietul elevului” – auxiliar al manualului Matematică, cl.. I, autori Aurel Maior și Elena Maior, pag. 40).

Cerința este:

„Privește imaginea, numără, apoi completează! Formulează întrebări asemănătoare!”

Completarea pătrățelelor se face cu ajutorul întrebărilor:

Câte mașinuțe albastre sunt? mașinuțe albastre

Câte mașinuțe roșii sunt? mașinuțe roșii

Până aici, situația este aproape identică cu cea prezentată anterior, dar prin intervenția învățătorului, această situație poate fi transformată într-o secvență didactică în care elevilor li se cere să formuleze întrebarea unei probleme, al cărei enunț se obține găsind răspunsul (tot prin numărare) la întrebările formulate:

– Știind că sunt 4 mașinuțe albastre și 5 roșii, ce putem afla? (câte mașinuțe sunt în total?)

– Cum putem afla numărul total de mașinuțe exprimându-l printr-o relație matematică? (prin operația de adunare)

4 + 5 = 9

Soluția acestei probleme elevii o găsesc mai întâi tot prin numărare, fiind puși să

găsească și o relație matematică, practic ei sunt puși și să verifice o stare de fapt.

Propunem în continuare o altă imagine pe baza căreia se introduce adunarea cu trei termeni. Imaginea este preluată din același manual pag. 31.

Imaginea pusă în discuție redă trei grupe de pere, grupate astfel:

Fiind puși să verbalizeze ce văd în imagine, elevii trebuie să alcătuiască (conduși de învățător) o problemă a cărei rezolvare este dată de scrierea:

2 + 1 + 1 = 4

În enunțarea problemei se poate sugera (place tare mult copiilor) să se pornească de la o situație de viață: „Alin are 2 pere, frățiorul său 1 par, iar sora lor are 1 pară”.

– Ce trebuie să aflăm noi copii? (numărul total de pere, adică: „câte pere au cei 3 frați?”)

Pentru a putea completa spațiile punctate, elevii rezolvă practic o problemă.

În orele imediat următoare elevii iau contact pentru prima dată cu textul scris al unei probleme. Primele probleme apar scrise model, pe rețeaua de matematică, elevii trebuie să completeze doar rezolvarea și să noteze răspunsul.

Vor fi conduși astfel să observe cele două părți ale unei probleme – enunțul și întrebarea -precum și faptul că o problemă impune o „rezolvare” și trebuie să ajungem la un răspuns.

Propunem ca exemplu următoarea problemă (din manualul de cl. I, pag. 69) scrisă ca model:

Învățătorul nu se va mulțumi să permită elevilor să completeze doar rezolvarea și răspunsul, ci va aplica cu strictețe metodologia rezolvării problemelor respectând etapele rezolvării unei probleme, care, treptat vor fi conștientizate și la elevi; în această fază incipientă învățătorul doar conduce pașii elevului prin labirintul cunoașterii.

Problema va fi citită de către mai mulți elevi – se respectă prima etapă în rezolvarea problemelor:

A) Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Rezolvitorul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este necunoscuta problemei.

Sa revenim la problema de mai sus, se citește doar prima parte a problemei:

– Ce ați înțeles din aceste propoziții? (că Elena are 15 mere, iar Irina 13 mere). Se

constată că din prima parte (enunț) aflăm ceva, avem două valori cunoscute.

Se citește întrebarea problemei:

– Ce conține partea a doua a problemei? (o întrebare).

– Ce ați înțeles din această parte? (că noi trebuie să aflăm ceva).

Se cere apoi elevilor să reproducă conținutul și întrebarea problemei, fără a folosi

neapărat exprimarea din manual, deci cu cuvintele lor.

S-au făcut demersurile pentru cea de-a doua etapă în rezolvarea problemelor:

B) Înțelegerea enunțului problemei

Nu este posibil ca elevul să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei decât în măsura în care cunoaște termenii în care se pune problema. Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Acest minim de informații trebuie recepționat în mod optimal de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul.

Revenim la problema luată ca exemplu:

– Să stabilim acum „ce știm” și „ce nu știm” (ce este dat și ce trebuie să aflăm) în această problemă.

,,Știm” câte mere are Elena și câte mere are Irina. „Nu știm” câte mere au împreună cele două fete.

– Pentru a putea afla câte mere au împreună, ce trebuie să cunoaștem? (câte mere are Elena și câte mere are Irina).

– Cunoaștem aceste date? (da). Deci putem afla numărul total al merelor? (da). (Nu întâmpinăm nici un obstacol în găsirea soluției). Putem trece deci la scrierea rezolvării problemei? (da).

S-au făcut demersurile pentru cea de-a treia etapă în rezolvarea problemelor:

C) Analiza problemei și întocmirea planului logic

– Cum vom afla numărul total al merelor? (prin operația de adunare). De ce adunare? (pentru că este vorba de aceeași categorie de mere care aparțin la două persoane). Mai există și altă motivație? (da). Care? (ne ,,șoptește” expresia „împreună – în total”).

S-au făcut demersurile pentru etapa următoare în rezolvarea problemelor:

D) Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic

Deci vom completa la „rezolvarea” problemei:

15 + 13 = 28 (mere)

Răspuns: 28 mere

Conform succesiunii logice a etapelor de rezolvare a problemelor urmează:

E) Activității suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea unei probleme se face frontal sau prin activitate independentă, este posibil ca în șirul de raționamente, ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună.

Revenind la problema-model, discuțiile ar putea decurge astfel:

– Copii, noi am învățat să verificăm, să facem proba fiecărei operații; același lucru trebuie să-l facem și în domeniul problemelor. Să ne gândim cum putem verifica dacă răspunsul găsit de noi este bun.

– Prin ce operație am rezolvat problema? (de adunare)

– Cum putem verifica răspunsul găsit? (prin operația de adunare și prin operația de scădere).

– În cazul nostru cum am face probe?

a) Prin adunare: 13 + 15 = 28; ce reprezintă această scriere? Noi am adunat numărul merelor pe care le are Elena cu numărul merelor pe care le are Irina și am obținut 28; dacă adunăm numărul merelor pe care le are Irina (13) cu numărul merelor pe care le are Elena (15), cât obținem? (tot 28). Deci, după prima verificare s-a adeverit că am lucrat bine (corect).

b) Prin scădere: (din sumă scădem unul din termeni); în cazul nostru din numărul total al merelor scădem numărul merelor pe care le are Irina:

28 – 13 = 15 (mere) am obținut numărul merelor pe care le are Elena.

Acum scădem din numărul total al merelor pe cel al merelor pe care le are Elena:

28 -15 = 13 (mere) am obținut numărul merelor pe care le are Irina.

Verificările făcute ne conduc la concluzia că am lucrat bine.

La fel se va proceda în rezolvarea tuturor problemelor.

E drept că activitatea aceasta se desfășoară lent, greoi, am putea spune, nu din punct de vedere al dificultății în rezolvare, ci în sensul că necesită foarte mult timp; timp necesar pe de-o parte redactării problemelor și a rezolvării lor, și pe de alta parte, timp necesar pentru familiarizarea elevilor cu terminologia matematică adecvată, pentru formarea deprinderilor de a gândi logic; elevii trebuie să fie capabili să motiveze, din punct de vedere matematic, fiecare pas făcut în analiza și rezolvarea unei probleme.

Procedând astfel, fără să li se pretindă să denumească singuri, sau să reproducă etapele rezolvării unei probleme, în subconștientul lor s-au fixat deja și, treptat-treptat, elevii dobândesc deprinderea de a gândi și rezolva singuri probleme cu plăcere. S-a realizat astfel ceea ce numim „ o atitudine caracteristică învățării”.

Deși rezolvarea problemelor simple pare ușoară, învățătorul trebuie să aducă în atenția elevilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.

În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi.

Un moment de „salt” îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple, la

rezolvarea problemelor compuse.

Și în rezolvarea problemelor compuse, după noile manuale, se pornește de la imagini.

Luăm ca exemplu următoarea problemă compusă sugerată de imaginea:

„În cutie sunt 7 bile verzi și cu trei mai multe bile roșii.

a) Câte bile de culoare roșie sunt?

b) Câte bile sunt, în total, în cutie?”

Problema nu reprezintă nici un fel de dificultate, întrucât, la fel ca în faza orală, soluția (răspunsul), este sugerată – chiar foarte bine – de imagine. Ceea ce diferențiază cele două situații este faptul că în această etapă elevii trebuie să scrie rezolvarea (fără a enunța planul gândirii logice) și răspunsul.

Se trece la rezolvarea problemei, respectând întocmai etapele de rezolvare, insistându-se bineînțeles pe etapa a III-a și a IV-a, respectiv „analiza problemei și întocmirea planului logic” și „alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic”, pe scurt, se trece la „judecarea problemei”.

– Să citim prima întrebare a problemei! (Câte bile de culoare roșie sunt?)

– Ce știm despre numărul bilelor de culoare roșie? (Că sunt cu trei mai multe).

– Avem suficiente date pentru a afla numărul bilelor roșii? (da).

– Cum vom proceda? (Vom face operația de adunare).

– De ce adunare? (deoarece știm că sunt „cu trei mai multe”).

– Cum vom scrie deci prima rezolvare?

7 + 3 = 10 (bile roșii)

– Este gata rezolvarea problemei? (Nu, mai avem încă o întrebare).

– Care este următoarea întrebare? (Câte bile sunt, în total în cutie?).

– S-au schimbat datele problemei, după ce am răspuns la prima întrebare? (da).

– Cum am putea formula acum problema? (În cutie sunt 7 bile verzi și 10 bile roșii.)

– Deci, găsind răspunsul la prima întrebare, practic, noi am obținut o altă problemă cu datele, parțial, schimbate.

– Pentru a afla numărul total al bilelor, cum procedăm? (adunăm numărul bilelor verzi cu cel al bilelor roșii).Cunoaștem aceste valori? (da).

– Cum scriem rezolvarea celei de-a doua problemă? (pentru că avem, de fapt, o nouă problemă, obținută prin rezolvarea problemei inițiale).

7 + 10 = 17 (bile)

– Este gata acum problema? (da)

– Putem nota răspunsul? (da). Pentru că avem două întrebări, vom nota două răspunsuri:

Răspuns: 10 bile roșii; 17 bile

Se revine asupra problemei, făcându-se exerciții de diferențiere a unei probleme simple, de o problemă compusă (exercițiile se fac oral, sub dirijarea învățătorului, fără ca elevii să noteze pe caiete; învățătorul poate scrie pe tablă, pentru ca elevii să-și fixeze mai bine cunoștințele).

– Haideți să presupunem că problema ar avea o singură întrebare. Să citim problema, presupunând că ar avea formulată doar prima întrebare și s-o rezolvăm, sau să urmărim cum am gândit-o și rezolvat anterior (demersurile sunt identice cu cele enunțate anterior).

– Deci, dacă problema ar avea ca întrebare, doar întrebarea de la punctul „a”, pentru soluționarea ei este suficientă o singură operație. (Ne aflăm în fața unei probleme simple – învățătorul le poate da sau nu, noțiunea de problema simplă).

– Să citim acum problema dată, omițând prima întrebare, considerând că întrebarea de la punctul „b” este întrebarea problemei. Să vedem cum procedăm în acest caz pentru rezolvarea ei. Știm deci că în cutie sunt șapte bile verzi și cu trei mai multe bile roșii și trebuie să aflăm câte bile sunt în total, în cutie?

– Putem afla (avem suficiente date) câte bile sunt, în total, în cutie? (facem abstracție că anterior noi am aflat câte bile roșii sunt). (Nu). De ce? (nu cunoaștem numărul bilelor roșii).

– Deci pentru a putea afla numărul total al bilelor trebuie să cunoaștem atât numărul bilelor verzi, cât și al celor roșii. Numărul bilelor roșii nu-l cunoaștem, avem doar o relație. Folosind această relație, putem afla numărul bilelor roșii? (da).

– Cum? (prin operația de adunare).

7 + 3 = 10 (bile roșii)

– Acum putem afla numărul total al bilelor? (da). Cum? (tot prin operația de adunare).

7 + 10 = 17 (bile)

Răspuns: 17 bile.

– Câte operații au fost necesare pentru a găsi răspunsul la întrebarea problemei? (două). (Ne aflăm în fața unei probleme care se rezolvă cu ajutorul a două operații, deci o problemă compusă; de asemenea învățătorul hotărăște dacă dă sau nu elevilor noțiunea de „problemă compusă”).

– Dacă nivelul clasei permite se poate scrie și rezolvarea problemei compuse sub formă de exercițiu:

– Cum am spus că aflăm numărul total al bilelor? (adunăm numărul bilelor verzi cu numărul bilelor roșii). Folosind datele și relațiile din problemă, am putea scrie rezolvarea și astfel:

7 + (7 + 3) = 7 + 10 = 17 (bile)

Răspuns: 17 bile

Până la sfârșitul clasei I, elevii vor continua să rezolve probleme după modelul propus, fără a li se impune să scrie și planul de rezolvare; esențial este ca oral, acest plan să fie de fiecare dată bine discutat și bine întocmit și elevii să devină conștienți că o problemă, mai întâi „se gândește” și apoi „se rezolvă”.

După rezolvarea unei probleme, se recomandă pentru a scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme.

Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai ales corelează elementele a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței.

Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiza profundă a datelor, analiza care să le permită o serie de reformulări, care să-i apropie de soluție. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici cu cât știm că elevul întâmpină dificultăți în această direcție, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. Tendința elevului de a lega datele problemei în ordine succesivă pe care i-o oferă enunțul conduce la rezultate greșite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunț.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relații matematice. Renunțarea la elementele concrete și înlocuirea acestora cu expresii potrivite fac posibilă schematizarea problemei – deci pasul spre generalizare.

O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații de perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină după o logică riguroasă fragmentele.

O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situația nouă cere o restructurare profundă a experienței anterioare. Dat fiind faptul că posibilitățile școlarului mic de folosire a cunoștințelor și de raportare a relațiilor vechi la cele noi sunt încă insuficient dezvoltate, acțiunile principale ale învățătorului trebuie să fie orientate în această direcție. Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu prinde și nu pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu-și dă seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parțiale etc., activitățile pregătitoare și de rezolvare ale învățătorului trebuie să urmărească înțelegerea de către elevi a specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, deși par diferite, au în esență aceeași structură.

Este necesar ca problemele propuse spre rezolvare să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunțare clară, conform experienței de viața a elevului, nivelului său intelectual și mai ales gradului său de pregătire.

Îndrumarea elevului spre însușirea tehnicilor de rezolvare a problemelor de aritmetică, presupune din partea învățătorului multă răbdare, pricepere și mai ales o muncă sistematică și bine organizată.

E necesar ca învățătorul „să vegheze” permanent ca gândirea elevilor să fie dirijată astfel încât aceștia să depisteze în enunțul problemei acele aspecte esențiale care fac ca acesta să aparțină acelui grup de probleme care se rezolvă după anumite procedee cunoscute, dar în același timp, trebuie să fie preocupat și de dirijarea gândirii elevului spre generalizare.

Îmi permit să închei acest subcapitol cu un citat:

„A ști să rezolvi probleme este o îndemnare practică – o deprindere – cum este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin exercițiu și imitare. Deci, dacă vrem să învățăm înotul, trebuie să intrăm în apă, dacă vrem să învățăm să rezolvăm probleme, trebuie să rezolvăm cât mai multe probleme.”

CAPITOLUL III

METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A

PROBLEMELOR

Organizarea activității de rezolvare a problemelor se fundamentează pe cele cinci

principale etape și momente de efort mintal pe care le parcurg elevii, și anume:

– cunoașterea enunțului problemei;

– înțelegerea enunțului problemei;

– analiza și schematizarea problemei;

– rezolvarea propriu-zisă a problemei;

– verificarea rezolvării problemei și punerea rezolvării sub formă de exercițiu, în funcție de dificultățile pe care le ridică rezolvarea problemei, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară respectivă, de experiența elevilor în legătură cu rezolvarea problemelor și nu în ultimă instanță, de calitățile profesionale ale celui care îndrumă activitatea, anume învățătorul.

În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită sau între mijloacele deja învățate, când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor – problemă este nevoie de exploatarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice (aplicarea aceleiași metode de rezolvare în situații identice), cât mai ales în cea a rezolvării euristice (metodele cu ajutorul cărora se descoperă noi mijloace de rezolvare, se construiesc planuri și programe nestereotipice).

În cele ce urmează ne propunem să abordăm complexul proces al rezolvării problemelor nu în general, ci aplicat principalelor categorii de probleme ce se întâlnesc în clasele I – IV (cu unele excepții).

1. Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa întâi utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

Primele probleme pe care le rezolvă elevii din clasa I, din momentul când fac cele dintâi adunări și scăderi, sunt probleme cu o singură operație, pe care ei le rezolvă în mod concret, sub formă de acțiune practică.

„În curte erau trei copii. Au mai venit 2 copii să se joace. Câți copii sunt cu toții?” Se scot în fața clasei mai întâi 3 copii, apoi 2 copii și se rezolvă problema. Asemenea probleme – „acțiune” sau probleme „puse în scenă” antrenează pe copiii și le dau posibilitatea să se familiarizeze cu noțiunile de „problemă”, „condiția problemei” (în limbajul lor „ce cunoaștem în problemă”), „întrebarea problemei” – pe care învățătorul trebuie să le introducă și să le explice treptat pe măsură ce copiii rezolvă probleme simple.

De asemenea, rezolvarea problemelor – „acțiune”, ca și rezolvarea problemelor ilustrate cu material didactic, însoțite de explicația învățătorului dau elevilor posibilitatea să transpună cu ușurință situația concretă prezentată de textul problemei („au mai venit … copii”, „au zburat … păsărele”) în relații numerice, pe planul operațiilor aritmetice, adică să facă abstracție de faptul că este vorba de copii, păsărele, etc. și să rețină relația dintre valorile numerice, „să traducă” situația concretă în operația aritmetică adecvată. Este vorba aici de un efort al gândirii, de procesul de abstractizare și generalizare, care constituie punctul de plecare în educarea unei atitudini conștiente a elevilor în rezolvarea problemelor. Dacă elevul capătă din capul locului priceperea și mai apoi deprinderea de a analiza valorile numerice, datele problemei, de a înțelege semnificația lor și relația logică în care se găsesc unele față de altele și față de întrebarea problemei, prin acest efort al gândirii va putea „descoperi” operația aritmetică justă prin care se rezolvă problema. Când elevii indică la întâmplare operația aritmetică prin care se rezolvă problema, înseamnă că nu au gândit suficient. A-i lăsa „să încerce” rezolvarea problemei prin operații întâmplătoare înseamnă a forma o proastă deprindere, înseamnă a lăsa loc pentru sădirea neîncrederii în forțele proprii și a nesiguranței.

Exercițiul analizei temeinice, a problemei, a condiției și a întrebării ei, „ucenicia” cu privire la atitudinea conștientă în rezolvarea problemelor a efectuării acestei activități prin efortul gândirii, toate acestea trebuie făcute în primul rând prin rezolvarea problemelor simple.

Pentru a stimula gândirea elevilor la o participare activă în rezolvarea problemelor este necesar ca învățătorul să-i obișnuiască și cu o anumită disciplină în munca de rezolvare a problemelor. Astfel, ei trebuie mai întâi să ia cunoștință de problemă, apoi să analizeze „ce cunoaștem” și „ce nu cunoaștem în problemă”, să descopere calea de rezolvare a problemei, să o motiveze și în sfârșit să explice întregul mers al rezolvării problemei. Etapele metodice în predarea unei probleme simple (etape ce au fost prezentate în subcapitolul „Caracteristici ale activității de rezolvare a problemelor la clasele I – IV”) constituie pașii mărunți pe care-i face elevul atunci când rezolvă o problemă simplă sub îndrumarea și cu sprijinul învățătorului. Aceste etape nu trebuie interpretate în mod mecanic, ca o schemă metodică șablon. Există variate moduri de a îndruma elevii în rezolvarea problemelor simple. Indiferent ce procedee se folosesc, trebuie să se urmărească pe de-o parte antrenarea gândirii elevilor la o participare cât mai activă, iar pe de altă parte, mărirea treptată a gradului de independență a lor.

În prima perioadă, rezolvarea problemelor simple se face în scopul de a-i învăța pe elevi cum să rezolve primele probleme, de a le forma priceperi și apoi deprinderi în acest sens. De aceea, avem și lecții speciale de predare a problemelor simple. După ce elevii capătă elementele de bază ale deprinderii de a rezolva probleme, problemele simple servesc fie ca punct de plecare în aplicarea noțiunilor matematice, fie ca mijloc de fixare a acestora. Astfel, în încheierea fiecărui capitol de aritmetică, ba chiar în încheierea fiecărei lecții întâlnim probleme.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.

Tipul de probleme simple pe care elevii claselor I – IV sunt solicitați să le rezolve sunt următoarele:

a) Probleme simple bazate pe adunare

Exemple:

„Care este suma numerelor din fiecare pereche: 36 și 3; 72 și 4; 23 și 6; 59 și 0?”

(/ 4 / Ex. 6 a / 35)

(probleme de aflare a sumei a doi termeni)

„Află numerele cu 4 mai mari decât: 7, 8, 9.” (/4 / Ex. 50 / 24)

(probleme de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai mare decât un număr dat)

„Andreea a citit într-o zi 9 pagini, iar a doua zi cu 4 pagini mai mult. Câte pagini

a citit a doua zi?” (/ 4 / pr.11 / 25)

(probleme de genul „cu atâta mai mult”)

„Care este numărul necunoscut:

b – 14 = 79, c – 15 = 67, 51 = n – 36?”(/ 4 / Ex. 2 / 48 – selectiv)

(probleme de aflare a unui termen necunoscut)

b) Probleme simple bazate pe scădere

Exemple:

„Află diferența numerelor: 38 și 9, 36 și 8, 31 și 5, 34 și 7.” (/ 4/ Ex. 6 / 45)

(probleme de aflare a restului)

„Pentru pomul de Crăciun s-au cumpărat 73 globuri roșii, iar galbene cu 3 mai

puțin. Câte globuri galbene s-au cumpărat?” (/ 4 / pr. 7 / 33)

(probleme de genul „cu atât mai puțin” decât un număr dat)

„Suma a două numere este 19. Unul din numere este 3. Află celălalt număr. (/ 17

/ pr. 8 / 61)

(probleme de aflare a unui termen când se cunoaște suma și un termen al adunării)

„Diferența a două numere este 382. Dacă descăzutul este 934, cât este scăzătorul?” (/4 / Pr.6 / 77)

(probleme de aflare a unui termen al scăderii, când se cunoaște descăzutul și diferența)

„Un număr estre 52, iar altul cu 32 mai mic. Care este al doilea număr? Dar diferența lor?”

(probleme de aflare a unui număr care să aibă un număr mai mic de unități decât un număr dat; probleme de aflare a diferenței)

c) Probleme simple bazate pe înmulțire

Exemple:

„Scrie sub formă de înmulțire:

a) 9 + 9;

9 + 9 + 9

b) 9 + 9 + 9 + 9;

9 + 9 + 9 + 9 + 9” (/ 24 / Ex. 1 / 31)

(probleme de repetare de un număr de ori a unui număr dat)

„Află numerele de 7 ori mai mari decât: 3, 7, 4, 1, 5, 2, 6.” (/24 / Ex. 4 / 27)

(probleme de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat)

„Află numerele necunoscute:

: 2 = 9 : 6 = 8

: 5 = 8 : 1= 7” (/24 / pag. 53)

(probleme de aflare a unui termen al împărțirii)

d) Probleme simple bazate pe împărțiri

Exemple:

„Rita s-a gândit să împartă cele 20 de ghinde dând câte 5 la fiecare pui. Câți pui

vor primi ghinde?” (/ 24 / pag. 46)

(probleme de aflare a câtului utilizând procedeul prin „cuprindere”)

„Într-o cutie sunt 15 bomboane care se împart în mod egal la 5 copii. Câte bomboane primește fiecare copil?” (/ 24 / pro6 / 45)

(probleme de aflare a câtului utilizând procedeul „în părți”)

„Lina îngrijește 18 ghivece cu flori, iar Gelu de 3 ori mai puține. Câte ghivece cu

flori îngrijește Gelu?” (/ 24 / pr. 4 / 45)

(probleme de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat)

„De câte ori se cuprinde 9 în fiecare dintre numerele: 18, 36, 9, 45, 27? (/ 24 / pr. 7 / 51)

(probleme de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul)

„Află numărul necunoscut:

x 7 = 63 9 x 0 = 36

x 9 = 9 8 x 0 = 48” (/24 / ex. 2 / 71)

„Dana a desenat 12 flori. Jumătate sunt roșii, iar restul sunt galbene. Câte flori a

desenat cu roșu? Dar cu galben?” (/ 24 / pr. 8 / 45)

(probleme de aflare a unei părți dintr-un întreg)

e) Probleme simple bazate pe una din cele patru operații

Exemple.

„Care numere sunt:

– de 6 ori mai mici decât: 12, 34, 1842;

– de 7 ori mai mari decât: 1, 3, 5, 9?” (/ 3 / Ex. 25 / 69)

„Se dau numerele 8 și 24:

De câte ori se poate lua 8 din 24?

De câte ori este mai mare 24 decât 8?

De câte ori se cuprinde 8 în 24?

De câte ori este mai mic 8 decât 24?

Cu cât este mai mare 24 decât 8?

Cu cât este mai mic 8 decât 24?” (/ 3 / Ex. 26 / 69)

În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Dificultăți există, cele mai frecvente fiind cele de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuată ș.a. Pentru depășirea lor se recomandă:

– rezolvarea unui număr mare de probleme;

– analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

– abordarea unei mari varietăți de enunțuri;

prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze și apoi să le rezolve;

– prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;

– prezentarea unor „povestiri”, care în fapt nu sunt decât așa-zise probleme „latente”;

– completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

– rezolvarea unor probleme în care operația nu apare de la prima vedere;

-compunerea de probleme după enunțuri date, după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;

– alcătuirea de către elevi a unor probleme, în mod liber, fără a fi limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.

De fapt, prin aceste procedee se urmărește propriu-zis nu o învățare a problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor, care practic este infinită.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipative.

2. Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă, în esență rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, construirea raționamentului. De aceea, este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple (cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau mai multe operații).

Experiența căpătată de elevi în rezolvarea problemelor simple (cunoașterea elementelor și a tehnicii rezolvării problemelor simple, dezvoltarea gândirii, atenției ș.a.) constituie baza pe care putem să ne sprijinim atunci când trecem la rezolvarea problemelor compuse.

Rezolvarea problemelor compuse necesită un efort al gândirii mult mai mare decât rezolvarea problemelor simple, de aceea, când trec la rezolvarea primelor probleme compuse, elevii întâmpină o serie de greutăți. Astfel, în problema simplă se dau două valori numerice între care exista o anumită relație. Sarcina elevului este de a descoperi această relație, care de altfel este sesizată în textul problemei, de a descoperi operația aritmetică prin care se rezolvă problema.

Problema compusă este alcătuită din mai multe probleme simple care se succed într-o înlănțuire logică. Conținutul problemei compuse are nu numai două valori numerice, ci mai multe. Elevul trebuie să aleagă din toate valorile numerice perechi de valori între care să stabilească relația justă, logică. Aceasta este o operație dificilă, care cere un anumit efort al gândirii și o anumită experiență. De altfel, această alegere a valorilor numerice nu se face numai în scopul sistematizării lor, ci constituie desprinderea problemelor simple din cadrul problemei compuse. La problema simplă, elevul găsește în textul problemei tot ce-i trebuie: valorile numerice, întrebarea problemei. La problema compusă el nu găsește în textul problemei formularea integrală a problemelor simple din care este alcătuită problema compusă.

Problema compusă cuprinde mai multe valori numerice (date) – care nu se succed în ordinea relațiilor ce se stabilesc între ele – și o singură întrebare, întrebarea problemei compuse, care de altfel este întrebarea ultimei probleme simple componente. Întrebările celorlalte probleme simple din cadrul problemei compuse trebuie descoperite, formulate de către elevi.

Având în vedere tocmai structura mai complexă a problemei compuse, elementele noi față de problemele simple, precum și efortul pe care trebuie să-l facă gândirea elevului în rezolvarea acestor probleme, trecerea de la problemele simple la cele compuse este bine să se facă în mod gradat. Învățătorul îi poate ajuta pe elevi să rezolve mai întâi două probleme succesive din care apoi să alcătuiască o problemă compusă sau din problema compusă să desprindă problemele simple respective, să le formuleze și să le rezolve independent în felul acesta, elevii vor putea sesiza problemele simple din cadrul problemei compuse și vor putea formula întrebările problemelor simple pe care nu le găsesc în textul problemei compuse.

Pe parcursul micii școlarități elevii sunt solicitați să rezolve și alte tipuri de probleme care se încadrează tot în categoria problemelor compuse.

Exemple:

„La diferența numerelor 89 și 63 adaugă suma numerelor 41 și 32. Ce rezultat obții?” (/4/ pr. 4 / 41)

„Din suma numerelor 32, 20 și 46 scade diferența numerelor 97 și 25. Ce număr obții?” (/ 4 / pr.7 / 39)

„Care este numărul cu 243 mai mic decât suma numerelor 257 și 231?” (/ 4 / pr. 2 / 71)

„Află suma a două numere știind că primul este 221, al doilea este cu 202 mai mare decât primul.” (/ 4 / pr. 4 / 71 )

„Scade din numărul 829 suma numerelor 124 și 329. Ce număr obții?” (/ 4 / pr. 7 / 77)

„Din cel mai mare număr de trei cifre scade diferența numerelor 436 și 147. Ce număr obții?” (/ 4 / pr. 4 / 83)

„La suma numerelor 17 și 19 adaugă produsul numerelor 6 și 7.” (/ 17 / pr. 7 / 88)

„Calculează diferența dintre produsul numerelor 8 și 9 și suma numerelor 57 și 15.” (/ 17 / pr. 3 / 92)

„Află numărul de 8 ori mai mic decât câtul numerelor 40 și 5.” (/ 24 / pr. 3 / 83)

„Află suma dintre produsul lui 5 cu 8 și triplul lui 9.” (/ 24 / pr. 5 c / 39)

„De câte ori se cuprinde 8 în suma numerelor 28 și 4? Dar diferența acestora?” (/ 24 / Ex. 9 / 83)

Rezolvarea acestui gen de probleme se rezumă, la început la rezolvarea a două sau mai multe exerciții cuprinzând o singură operație, și, ulterior, la scrierea rezolvării într-un singur exercițiu, utilizând și parantezele.

Exemplu: „Află suma dintre diferența numerelor 400 și 389 și produsul numerelor 23 și 16.” (/17 / pr. 3 / 37)

Rezolvare

I. 1. Aflăm diferența numerelor 400 și 389:

400 – 389 = 11

2. Aflăm produsul numerelor 23 și 16:

23 x 16 = 368 23 x

16

138

23

368

3. Aflăm suma dintre diferența și produsul numerelor date:

11 + 386 = 379

Răspuns: 379

II. Scriem rezolvarea într-un singur exercițiu:

(400 – 398) + (23 x 16) = 11 + 368 =

= 379

Răspuns: 379

Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă, cât și cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dinte ele constă, practic, în punctul de plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției ei, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele.

În practică, s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, s-a constatat, că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor, și, folosind-o îi ajută pe elevi să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formarii deprinderilor de a formula întrebări și pentru alte rezolvări de probleme.

Așa cum am arătat în subcapitolul „Caracteristici ale activității de rezolvare a, problemelor la clasele I – IV”, în clasa I, planul problemei se întocmește la început oral (elevii neavând suficiente cunoștințe și deprinderi de scriere), maniera care se continuă până la clasa a II-a, în unele situații. Forma în care poate fi scris planul este variată, dar cea mai eficientă este sub forma întrebărilor.

Să urmărim rezolvarea propusă drept model a unei probleme compuse din manualul de clasa a II-a (pag. 23).

„Pe o farfurie sunt 13 portocale, iar

banane cu 3 mai puțin.

Câte portocale și banane sunt în total?

1. Câte banane sunt pe farfurie?

13 – 3 = 10 (banane)

2. Câte portocale și banane sunt în total?

13 + 10 = 23 (portocale și banane)

23 – 10= 13 (portocale)

23 – 13 = 10 (banane)

Pe farfurie sunt, în total 23 portocale și banane.

În manual le este oferit elevilor modelul de rezolvare, dar lipsește ceea ce este mai

important: modul de gândire.

Să analizăm această problemă cu ajutorul celor două metode:

a) Metoda analitică: „A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în probleme simple din care e alcătuită și a rândui aceste probleme simple într-o succesiune logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.”

Analizând problema dată după metoda analitică, construim următorul raționament:

– Care este întrebarea problemei? (Câte portocale și banane sunt în total?)

– Pentru a afla numărul total de fructe, ce ar trebui să cunoaștem? (Numărul de portocale și numărul de banane).

– Cunoaștem aceste date? (Parțial: știm câte portocale sunt pe farfurie, dar nu știm câte banane sunt).

– Pentru a găsi răspunsul la întrebarea problemei, mai avem nevoie de o dată concretă (noi avem o relație). Putem afla numărul bananelor? (da, folosind relația dată „cu 3 mai puțin”).

– Cum aflăm acest număr? (prin operația de scădere).

– De ce scădere? (ne ,,șoptește” exprimarea „cu 3 mai puțin”).

– Având și numărul bananelor, vom putea afla numărul total al fructelor? (da).

– Cum vom proceda? (adunând numărul portocalelor cu numărul bananelor).

Se trece apoi la consemnarea planului de rezolvare:

1. Câte banane sunt pe farfurie?

13 – 3 = 10 (banane)

2. Câte portocale și banane sunt în total?

13 + 10 = 23 (portocale și banane)

Răspuns: 23 portocale și banane

Mai putem gândi și altfel problema? (se sugerează de către învățător și modul de gândire dat de metoda sintetică).

b) Metoda sintetică: „A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel, încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a așeza aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu această problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.”

Analizând problema propusă după această metodă, realizăm alt raționament, dar același plan de rezolvare:

– Dacă știm că pe o farfurie sunt 13 portocale, iar banane cu 3 mai puțin, putem afla câte banane sunt pe farfurie. Cum? Printr-o operație de scădere (răspunsul elevilor).

1. 13 – 3 = 10 (banane)

– Știind câte portocale și câte banane sunt pe farfurie, putem afla câte fructe sunt în total pe farfurie. Cum? Printr-o operație de adunare.

2. 13 + 10 = 23 (portocale și banane)

Trecând la consemnarea planului (sau făcând doar o comparație orală) se constată că planul de rezolvare este identic, ceea ce deosebește cele două moduri de rezolvare, fiind modul nostru de analiză și gândire a problemei.

Într-o formulare anterioară semnalam faptul că cele două metode, fie că se folosesc simultan, (se întrepătrund), fie că, la un moment dat, una devine predominantă.

În legătură cu cele două metode generale de examinare a problemei, revenim asupra faptului că procesul analitic nu apare și nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exc1usiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea problemei intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații, una devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză.

Din aceste considerente, cele două metode apar, adeseori sub o denumire unică: metoda analitico-sintetică.

Această legătură a fost evidențiată și în problema rezolvată anterior. Astfel, în fiecare din cazurile enunțate, planul de rezolvare stabilit în urma examinării problemei respective prin metoda analitică, este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiind aceleași. Doar în cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o formă mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.

Propun spre rezolvare o altă problemă, redând de data aceasta schematic, examinarea problemei prin cele două metode:

„La un magazin s-au adus 325 cămăși cu prețul de 37 625 lei bucata și 2 975 tricouri cu 14 650 lei bucata.

Cât valorează marfa adusă? (/ 16/ pr.5 / pag. 42)

Schema examinării problemei prin metoda analitică este următoarea:

Detaliile stabilite analitic se sintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema dată și indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor:

– Ca să putem afla cât valorează marfa adusă e necesar să cunoaștem care este valoarea cămășilor și a tricourilor; ca să putem avea aceste date e necesar să știu ce cantitate de cămăși și tricouri s-au adus și care este prețul de cost al unei cămăși și al unui tricou. Întrucât avem aceste date, putem trece la elaborarea planului și rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Cât valorează cămășile?

325 x 37 625 lei = 12 228 125 lei 37625 x

325

118125 +

72550

112875

12228125

2. Cât valorează tricourile?

2 975 x 14 650 lei = 43 583 750 lei 2975 x

14650

14875 +

17850

11900

2975

43583750

3. Cât valorează marfa adusă?

12 228 125 lei + 43 583 750 lei = 55 811 875 lei

Soluționarea ultimei probleme simple ne conduce la soluționarea problemei:

Răspuns: 55 811 875 lei

Schema soluționării problemei prin metoda sintetică se prezintă astfel:

Schema întocmită se „interpretează” potrivit analizei sintetice, astfel:

– Știind că s-au adus 325 cămăși cu prețul de 37 625 lei bucata, valoarea totală a cămășilor este:

325 x 37 625 lei = 12 228 125 lei

– Știind că s-au mai adus 2 975 tricouri a 14 650 lei bucata, valoarea totală a tricourilor este:

2 975 x 14 650 lei = 43 583 750 lei

– Știind cât costă cămășile și tricourile putem afla valoarea totală a mărfii adusă la magazin:

12 228 125 lei + 43 583 750 lei = 55 811 875 lei

Elaborând planul de rezolvare, se constată că este identic cu cel elaborat la examinarea prin metoda analitică.

Așa cum am arătat, în rezolvarea problemelor este mai eficient utilizarea metodei analitico-sintetice (pornind de la necunoscut spre cunoscut) decât a metodei sintetico-analitice (pornind de la cunoscut spre necunoscut), deoarece cea dintâi solicită într-un grad mai înalt gândirea elevilor, și, implicit le și dezvoltă gândirea logică.

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Și acesta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea sa, se formează simțul estetic al școlarilor, (prin eleganța, simplitatea, economicitatea și organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitatea elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare. Sarcina învățătorului este aceea că prin măiestria lui pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi să găsească și alte modalități de rezolvare.

Să luăm de exemplu următoarea problema: „În rezervația „Cerbul” erau 1 273 de mierle și 829 de privighetori. Au fost trimise 590 de mierle și 175 de privighetori pentru a înfrumuseța Grădina botanică.

Câte mierle și privighetori au rămas în rezervație?” (/ 24 / pr. 1 / 104)

Elevii sunt solicitați să rezolve problema în două moduri. Pentru a le ușura munca și pentru a le sugera gândirea, în acest caz este dată și scrierea rezolvării problemei printr-un singur exercițiu:

(1 273 + 829) – (590 + 175) = ?

sau

(1 273 – 590) + (829 – 175) = ?

Ne îndreptăm atenția asupra primei scrieri și ne adresăm elevilor:

– Cum gândim problema (pornind de la întrebare) pentru ca scrierea dată să reprezinte rezolvarea problemei? (pentru aceasta se analizează pe rând ce reprezintă fiecare valoare numerică și apoi ce reprezintă fiecare scriere din paranteze). Se ajunge astfel la următorul raționament:

„Pentru a afla câte mierle și privighetori au rămas în rezervație scădem din numărul total al mierlelor și privighetorilor numărul păsărilor trimise la Grădina botanică.”

Planul de rezolvare pentru acest mod de gândire este următorul:

Rezolvare

I. 1. Câte mierle și privighetori erau în rezervație?

1 273 + 829 = 2 102 (păsări) 1273 +

829

2102

2. Câte mierle și privighetori au fost trimise?

590 + 175= 765 (păsări) 590 +

175

765

3. Câte mierle și privighetori au rămas în rezervație?

2 120 – 765 = 1 337 (păsări)

Răspuns: 1 337 mierle și privighetori

Ne îndreptăm acum atenția asupra celei de-a doua scrieri și procedăm la fel: analizăm ce reprezintă fiecare valoare numerică și apoi ce reprezintă scrierile din fiecare paranteză.

– Cum gândim problema pentru ca scrierea dată să reprezinte rezolvarea problemei?

Se ajunge la un alt raționament.

„Pentru a afla câte mierle și privighetori au rămas în rezervație, adunăm numărul mierlelor rămase în rezervație cu numărul privighetorilor rămase în rezervație.”

În acest caz planul de rezolvare este următorul:

Rezolvare

II. 1. Câte mierle au rămas în rezervație?

1 273 – 590 = 683 (mierle) 1273 –

590

683

2. Câte privighetori au rămas în rezervație?

829 – 175 = 654 (privighetori) 829 –

175

654

3. Câte mierle și privighetori au rămas în rezervație?

683 + 654 = 1 337 (păsări) 683 +

654

1337

Răspuns: 1 337 mierle și privighetori

Elevii sunt conduși de către învățător să observe că deși am „gândit” problema în două moduri diferite (deși prin aceeași metodă) și avem două planuri de rezolvare diferite, am ajuns la același răspuns.

O altă categorie de probleme interesante, plăcute și utile pentru exersarea și dezvoltarea gândirii logice este cea a problemelor care admit mai multe soluții.

Exemple:

Am 15 baloane roșii și 12 albastre. Se sparg 10.

Câte baloane sparte pot fi roșii și câte pot fi albastre?” (/ 16 / 2 / 29)

Examinarea problemei prin metoda analitică (analitico-sintetică) – pe care o utilizez la clasă – se derulează astfel:

Pentru a putea afla câte baloane sparte sunt roșii și câte albastre, trebuie să știu câte baloane s-au spart în total.

Știind că în total s-au spart 10 baloane, putem găsi și răspunsurile (pentru găsirea tuturor soluțiilor, elevii trebuie să facă apel la exercițiile de compunere și descompunere a numerelor naturale; facem apel la acest exercițiu pentru a ordona răspunsurile posibile; elevii vor găsi însă soluțiile și fără această ordonare).

Acceptăm că s-ar putea ca baloanele sparte să fie toate de aceeași culoare, avem următoarele soluții:

pentru că 0 + 10 = 10

pentru că 1 + 9 = 10

pentru că 2 + 8 = 10

pentru că 3 + 7 = 10

pentru că 4 + 6 = 10

pentru că 5 + 5 = 10

pentru că 6 + 4 = 10

pentru că 7 + 3 = 10

pentru că 8 + 2 = 10

pentru că 9 + 1 = 10

pentru că 10 + 0 = 10

Problema admite deci: 11 soluții (problema care admite mai multe răspunsuri).

„Scrie pe caiet toate numerele naturale alcătuite din sute, zeci și unități, folosind o

singură dată cifrele 2, 0 și 7.” (/ 4 / Ex. 4 a / 52)

Raționamentul „construit” prin metoda analitică (raționament care este sugerat de

învățător) este următorul:

Pentru a obține toate numerele formate din sute, zeci și unități, ar trebui ca fiecare din cele trei cifre să reprezinte (să indice), de câte ori este posibil, numărul unităților din fiecare ordin. Dat fiind faptul că „0” este cifra nesemnificativă, el nu va putea reprezenta ordinul sutelor.

Soluțiile problemelor sunt:

Notă: Această problemă poate fi transformată în joc; elevii vor lua din trusa magnetică jetoanele cu cele trei cifre și vor descoperi prin joc toate posibilitățile de schimbare a locului cifrelor.

Problema admite deci 4 soluții.

În rezolvarea probleme1or de aritmetică, de o foarte mare importanță este înte1egerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formată capacitatea de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

Aceste capacități se formează prin muncă în cazul matematicii, prin rezolvarea de probleme; la început sub directa îndrumare a învățătorului, iar pe parcurs prin efort propriu.

3. Rezolvarea problemelor tip

Prin problema tipică înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretică rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare. În continuare, voi oferi prezentarea problemelor tipice precum și a metodei (procedeului) de rezolvare a ei.

3.1. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

„Metoda care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele

utilizează elemente grafice sau desene și scheme se numește metoda grafică.”

În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora, cu condiția ca ele să fie adecvat naturii datelor problemei și specificul lor.

Avantajele pe care le reprezintă această metodă o situează pe primul loc în ceea ce

privește utilitatea ei. Astfel:

– are caracter general, aplicându-se la orice categorie de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității;

– are caracter intuitiv, înțelegerea relației dintre datele problemei, făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal;

– prin dimensiunile elementelor figurative și prin propozițiile dintre ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență. Reușim astfel să formăm schema problemei, să ținem în atenție toate condițiile problemei și să ne concentrăm asupra lor.

Metoda figurativă poate fi introdusă de învățător încă din clasa I, pentru rezolvarea unor probleme simple, iar apoi pentru rezolvarea problemelor compuse.

Exemplu:

„Ana are 6 caise. Elena are cu 4 caise mai mult.

Câte caise are Elena?” (/ 12 / pag. 40)

Rezolvare

Reprezentăm printr-un segment numărul de caise pe care-l are Ana (el reprezintă valoric 6).

Expresia matematică „cu atât mai mult” conduce la următorul raționament: în prelungirea segmentului egal cu segmentul ce reprezintă numărul de caise al Anei, desenăm arbitrar, punctat, un alt segment care indică surplusul de caise (+ 4), adică numărul de caise al Elenei.

Graficul va arata astfel:

numărul de caise al Anei

4 numărul de caise al Elenei

Se observă cu multă ușurință că desenul ne sugerează rezolvarea, soluția problemei:

(6 + 4) = 10 (caise)

Răspuns: Elena are 10 caise

Un posibil plan de rezolvare al acestei probleme este:

Rezolvare (Etape de rezolvare)

1. Reprezentăm grafic numărul de caise al Anei și Elenei:

6 numărul de caise al Anei

4 numărul de caise al Elenei

2. Aflăm numărul de caise pe care le are Elena:

(6 + 4) = 10 (caise)

Răspuns: Elena are 10 caise

În mod asemănător se rezolvă și alte probleme. Se propun și probleme în care apare relația matematică „cu atât mai puțin”.

Exemplu:

„Carmen are 9 creioane. Nicu are cu 3 mai puțin.

Câte creioane are Nicu?” (/12/ p. 54)

Rezolvare

1. Reprezentam grafic numărul creioanelor pe care le are Carmen și Nicu:

9

numărul de creioane ale lui Carmen

3

numărul creioanelor lui Nicu

2. Câte creioane are Nicu?

9 – 3 = 6 (creioane)

Răspuns: Nicu are 6 creioane

Reprezentarea grafică a mărimilor nu face, practic, parte din rezolvarea problemei, ci reprezintă, de fapt, notarea datelor problemei, dar am procedat așa la început pentru ca elevii să se familiarizeze cu limbajul matematic adecvat.

În rezolvarea primelor probleme de acest gen se pot figura elementele (cum ar fi fost în cazurile ilustrate – caisele, creioanele), dar elevii fiind puși să figureze elementele, vor avea și tendința să coloreze, ceea ce înseamnă implicit o durată mai mare de timp; de aceea folosim, în deosebi, redarea mărimilor și a relațiilor dintre ele cu ajutorul segmentelor de dreaptă.

Metoda grafică poate fi folosită (parțial sau integral) și în rezolvarea unor probleme compuse.

Exemplu:

„La o serbare școlară participă 32 de băieți și cu 15 mai multe fete.

Câți elevi participă la serbare?” (/ 11/ 2 / 86 /)

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic numărul băieților și, în relația cu acesta, numărul fetelor:

32 numărul băieților

15 numărul fetelor

2. Câte fete participă la serbare?

32 + 15 = 47 (fete)

3. Câți elevi participă la serbare?

32 + 47 = 79 (elevi)

Răspuns: 79 elevi

Rezolvarea se poate face „pur intuitiv”, „citind” doar reprezentările grafice.

Esențial este în metoda grafică, să se reprezinte corect mărimile și relațiile dintre ele.

Pentru a rezolva un număr mai mare de probleme, învățătorul poate utiliza și acest

procedeu de „citire a rezolvării” din reprezentările grafice făcute.

În problema anterior enunțată „citirea” reprezentărilor grafice s-ar derula astfel:

1. Reprezentăm grafic mărimile și relațiile dintre ele:

32 numărul băieților

15 numărul fetelor

2. Reprezentăm grafic numărul elevilor (considerăm un segment de lungime egală cu lungimea celor două segmente):

32 32 15

numărul numărul

băieților fetelor

3. „Citim” reprezentarea grafică pentru a găsi soluția problemei.

Observăm că în segmentul prin care am reprezentat numărul total al elevilor apar două segmente de aceeași lungime (deci valoric, reprezintă același număr) și un segment punctat, care reprezintă valoric, numărul 15.

Deci valoric, mărimea segmentului este:

32 + (32 + 15) = 32 + 47 = 79

Numărul 79, reprezintă de fapt, numărul total al elevilor.

După cum s-a putut constata, prin citirea reprezentărilor grafice (corect întocmite) elevul „vede” rezolvarea și soluția problemei (ne referim la problemele simple și compuse la nivelul de clasa I și a II-a, cel mult). De aceea consider că este indicat ca învățătorul să nu se rezume la intuirea rezolvării și a răspunsului, ci să folosească reprezentarea grafică, ca suport, ca auxiliar, în rezolvarea problemelor, cerându-le acestora să scrie planul rezolvării (care decurge din examinarea problemei).

Pentru precizările metodice cu privire la rezolvarea problemelor se află și cea potrivit căreia, „în clasa I, planul se întocmește la început oral, maniera care se continuă în c1asa a II-a, în unele situații. Se recomanda ca la clasa a II-a, planul de rezolvare să se facă oral și în scris în egală măsură”.

Ori, reprezentarea grafică, consider eu că poate fi folosită cu succes pentru elaborarea orală a planului de rezolvare, facilitând astfel activitatea de redactare a planului de rezolvare.

Putem „forța” utilizarea reprezentărilor grafice și în rezolvarea unor probleme cu mai multe operații, tocmai pentru a-i deprinde pe elevi să utilizeze această metodă în toate situațiile posibile.

Să considerăm următoarea problemă:

„Ionel are 12 lei. Mihai are cu 4 lei mai mult, iar Mircea cu 10 lei mai puțin decât Mihai.

Câți lei au în total, cei trei copii?”

Dat fiind faptul că intervin trei mărimi în problemă, dintre care două sunt necunoscute, elevii ar putea întâmpina greutăți în reprezentarea grafică.

În plan mintal, fiind vorba de bani, elevii vor găsi cu ușurință rezolvarea și răspunsul (mai ales răspunsul – este cunoscută rapiditatea cu care foarte mulți copii ajung la soluția problemei, mai ales când acestea se referă la situații de viață concrete).

În acest caz li se poate permite elevilor să rezolve problema, în urma examinării analitico-sintetice și apoi să fie solicitați să facă și reprezentarea grafică; în această situație, reprezentarea grafică va servi drept mijloc de verificare.

Să urmărim rezolvarea:

1. Câți lei are Mihai?

12 lei + 4 lei = 16 lei

2. Câți lei are Mircea?

16 lei – 10lei = 6 lei

3. Câți lei au în total, cei trei copii?

12 lei + 16 lei + 6 lei = 34 lei

Răspuns: 34 lei

Odată întocmit planul de rezolvare, elevii vor reda cu mai multă ușurință reprezentarea grafică și rezolvarea problemei:

12

Ionel

+ 4

Mihai

– 10

Mircea

Privind graficul putem scrie rezolvarea problemei într-un singur exercițiu:

12 lei + (12 + 4 lei) + [(12 + 4) – 10] lei =

= 12 lei + 16 lei + (16 – 10) lei =

= 12 lei + 16 lei + 6 lei =

= 34 lei

Răspuns: 34 lei

În enunțarea problemelor enunțate la acest paragraf, metoda grafică facilitează înțelegerea și rezolvarea problemei, dar, așa cum am arătat, la soluția problemei se poate ajunge însă și fără a face apel la reprezentările grafice.

Există însă câteva tipuri de probleme în rezolvarea cărora utilizarea metodei grafice este indispensabilă.

Prima categorie de acest gen de probleme cu care elevii claselor primare intră în contact sunt cele de aflare a numerelor cunoscând suma și diferența lor.

Exemplu:

„O asociație agricolă a semănat 1 340 ha cu grâu și porumb. Porumb a semănat cu 450 ha mai puțin decât grâu. Câte ha a semănat cu porumb și câte cu grâu?” (/ 16 / pr. 1/ 129)

Să reprezentăm grafic mărimile ce intervin în problemă (numărul hectarelor semănate cu porumb și grâu) și a relației dintre ele:

ha cu porumb

1340 ha cu grâu și porumb

ha cu grâu și porumb 450

Învățătorul va dirija gândirea elevilor în vederea soluționării acestor situații matematice noi

În analiza datelor problemei elevii vor fi îndrumați să sesizeze că numărul hectarelor semănate cu grâu și porumb reprezintă, de fapt, o sumă (1 340), iar surplusul de hectare semănate cu grâu, este de fapt, o diferență (450).

Elevii vor fi întrebați:

– Am mai întâlnit astfel de probleme?(în manual, nu)

– Să vedem cum vom proceda în astfel de situații:

Elevii sunt dirijați să observe că dacă nu s-ar fi semănat cele 450 ha cu grâu, atunci numărul hectarelor semănate cu porumb ar fi egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu și problema s-ar rezolva cu foarte multă ușurință.

– Să încercăm deci să egalăm părțile! Cum putem face acest lucru?

Elevii sunt ajutați să descopere că există două posibilități de „egalare a părți1or”:

a) să considerăm că nu s-au semănat în plus cele 450 ha cu grâu, deci numărul hectarelor semănate cu porumb este egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu (ceea ce nu este adevărat);

b) să considerăm că s-au mai semănat în plus și 450 ha cu porumb; și în acest caz numărul hectarelor semănate cu porumb este egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu.

Să luăm pe rând cele două situații de „egalare” și să urmărim la ce soluție ne conduce rezolvarea problemei:

Rezolvare

a) 1. Considerăm că nu s-ar fi semănat în plus cele 450 ha cu grâu; atunci numărul de ha semănate cu grâu ar fi egal cu numărul de ha semănate cu porumb. Numărul total de ha semănate cu grâu și porumb nu ar mai fi însă 1340, ci:

1340 ha – 450 ha = 890 ha cu grâu și porumb

Sub îndrumarea învățătorului, elevii vor descoperi că de fapt, am scăzut diferența dată din sumă, obținând astfel un alt număr care reprezintă acum suma a două numere egale. În realitate cele două numere nu sunt egale, sunt doar considerate egale. Noi am considerat al doilea număr mai mic cu 450 unități, decât este el cu adevărat. În acest caz putem afla valoarea reală a

primului număr, care reprezintă numărul de ha semănate cu porumb (numărul mai mic de ha semănate).

2. Aflăm numărul de ha semănate cu porumb? (Câte ha a semănat cu porumb?)

890 ha : 2 = 445 ha (porumb)

Elevii vor fi îndrumați de asemenea să rețină că atunci când scădem diferența din sumă pentru a „egala” părțile, aflăm mai întâi valoarea numărului mai mic, respectiv a părții (cantității) mai mici.

Știind că asociația agricolă a semănat grâu cu 450 ha mai mult decât porumb, putem afla numărul ha semănate cu grâu.

3. Câte ha cu grâu a semănat?

445 ha + 450 ha =895 ha (grâu)

Am aflat numărul de ha semănate cu grâu și porumb, deci am găsit răspunsul:

Răspuns: 445 ha porumb

895 ha grâu

Verificare: 445 ha + 895 ha = 1340 ha (porumb și grâu)

895 ha – 445 ha = 450 ha

Se va rezolva problema utilizând al doilea mod de „egalare al părților”.

b) 1. Considerăm că numărul de ha cu porumb este cu 450 mai mare decât cel real (obținem două părți de mărimi egale, la fel de mari ca partea cea mai mare).

Atunci, numărul total al ha semănate cu grâu și porumb ar fi:

1340 ha + 450 ha = 1790 ha porumb și grâu

În urma discuțiilor purtate, elevii vor sesiza că adunând diferența celor două numere la suma lor, se obține un număr mai mare, care împărțit în părți egale, ne conduce la aflarea valorii reale a numărului celui mai mare, în cazul nostru numărul de ha semănate cu grâu. Prin urmare atunci când folosim acest procedeu de „egalare” aflăm întotdeauna mai întâi partea cea mai mare.

2. Aflăm numărul de ha semănate cu grâu: (Câte ha cu grâu a semănat?)

1790 ha : 2 = 895 ha (grâu)

3. Câte ha cu porumb a semănat?

895 ha – 450 ha = 445 ha (porumb)

Se observă că rezultatele obținute sunt aceleași, chiar dacă am procedat diferit în

„egalarea” părților, răspunsul este același:

Răspuns: 445 ha porumb

895 ha grâu

Verificare: 445 ha + 895 ha = 1340 ha (porumb și grâu)

895 ha – 445 ha = 450 ha

Să revenim pe rând asupra celor două moduri de rezolvare și să discutăm cu elevii

următorul aspect:

Dacă se află (prin egalarea parților) una din mărimi, cea de-a doua mărime poate fi aflată și scăzând din sumă, valoarea mărimii aflate.

În problema noastră concret:

Potrivit primului procedeu de egalare (primul mod de rezolvare) am aflat mai întâi

numărul de ha semănate cu porumb (partea mai mică) – 445 ha porumb.

Numărul de ha semănate cu grâu se poate afla în două moduri:

adunând diferența dintre cele două numere la numărul de ha semănate cu porumb:

445 ha + 450 ha = 895 ha

scăzând din numărul total de ha semănate cu porumb și grâu numărul de ha semănate cu porumb:

1340 ha – 445 = 895 ha

Potrivit celui de-al doilea mod de rezolvare, după ce am aflat numărul de ha semănate cu grâu (partea mai mare) – 895 ha – numărul de ha semănate cu porumb poate fi aflat în două moduri:

895 ha – 450 ha = 445 ha, sau

1340 ha – 895 ha = 445 ha.

Se poate utiliza în paralel cele două procedee de egalare în rezolvarea problemelor.

Să urmărim această „aplicație” în rezolvarea unei probleme din același manual de clasa a IV-a:

„Într-un borcan și o cană sunt, în total 6 litri de lapte. În borcan sunt cu 2 litri mai mult decât în cană.

Câți litri de lapte sunt în borcan și câți în cană?”

În această problemă datele pot fi redate printr-un desen.

2 litri

6 litri

Rezolvare

1. Egalăm părți1e:

a) b)

sau

6 l – 2 l = 4 l 6 l + 2 l = 8 l

2. Aflăm cantitatea de lapte din fiecare vas:

a) Aflăm cantitatea de lapte din cană : b) Aflam cantitatea de lapte din borcan:

4 l : 2 = 2 l 8 l : 2 = 4 l

Aflăm cantitatea de lapte din borcan: Aflăm cantitatea de lapte din cană:

2 l + 2 l = 4 l 4 l – 2 l = 2 l

sau sau

6 l – 2 l = 4 l 6 l – 4 l = 2 l

Răspuns: în borcan sunt 4 l Răspuns: în borcan sunt 4 l

în cană sunt 2 l în cană sunt 2 l

Verificare: 4 l + 2 l = 6l

4 l – 2 l = 2 l

Este indicat ca în rezolvarea primelor probleme de acest tip, învățătorul să pretindă elevilor să rezolve probleme propuse în ambele moduri; abia mai târziu, când elevii și-au însușit suficient de bine cele două procedee, să li se permită să rezolve problema într-un singur mod.

Exemplu:

„Doi frați au împreună 15 ani. Unul este mai mare decât celălalt cu 3 ani.

Câți ani are fiecare frate?” (/ 13 / pr. 1 / 220)

Din examinarea enunțului desprindem ușor că cele două date, 15 ani și 3 ani, reprezintă suma, respectiv diferența vârstelor celor doi frați. Avem, deci, o problemă tipică de aflare a două numere (vârsta celor doi frați), cunoscând suma și diferența lor.

Rezolvare

1. Reprezentăm cele două numere prin segmente:

I

3 15 ani

II

2. Aflăm vârsta fratelui mai mic:

(15 ani – 3 ani) : 2 = 12 ani : 2 = 6 ani

3. Aflăm vârsta fratelui mai mare:

15 ani – 6 ani = 9 ani

Verificare: 6 ani + 9 ani = 15 ani

9 ani – 6 ani = 3 ani

Răspuns: Cei doi frați au 6, respectiv, 9 ani.

Să luăm acum ca de exemplu probleme care se rezolvă prin metoda grafică, dar în care intervin trei mărimi (trei numere):

Suma a trei numere este 23. Al doilea număr este cu 3 mai mic decât primul și cu 1 mai mare decât al treilea. Află numerele.” (/ 16 / pr. 1 / 128)

Rezolvare

1. Reprezentăm prin segmente de dreaptă cele trei numere:

I

II 3 23

III 1

Rezolvăm problema prin cele două procedee:

a) Dacă toate numerele ar fi fost egale (cu al treilea – cel mai mic) suma ar fi fost mai mică cu: 3 + 1 + 1 = 5

1. În acest caz, suma a trei numere egale (cu al treilea) este:

23 – 5 = 18

2. Aflăm care este numărul al treilea:

18 : 3 = 6

3. Aflăm numărul al doilea:

6 + 1 = 7

4. Aflăm primul număr:

7 + 3 = 10

Verificare: 10 + 7 + 6 = 23 (suma celor trei numere)

Primul număr este mai mare decât al doilea cu: 10 – 7 = 3

Al treilea număr este mai mic decât al doilea cu: 7 – 6 = 1

Răspuns: I nr. 10

al II-lea nr. 7

al III-lea nr. 6

b) Dacă toate cele trei numere ar fi fost egale eu primul (cel mai mare), atunci suma ar fi fost mai mare cu:

3 + 3 + 1 = 7

1. Suma a trei numere egale cu primul (cel mai mare) este:

23 + 7 = 30

2. Aflăm primul număr:

30 : 3 = 10

3. Aflăm al doilea număr:

10 – 3 = 7

4. Aflăm al treilea număr:

7 – 1 = 6

Verificare: 10 + 7 + 6 = 23

Răspuns: I nr. 10

al II-lea nr. 7

al III-lea nr. 6

„Suma a trei numere este 130 048. Primul număr este 20 048, iar al doilea este cu 8 234 mai mic decât al treilea.

Care sunt numerele?” (/ 3 / 8 / 119)

Reprezentarea grafică este dată în manual:

primul număr 20 048

130 048 al doilea număr

8 234 130 048 – 20 048

al treilea număr

Reprezentarea grafică (ca și anunțul problemei de altfel) sugerează primul pas în rezolvarea problemei.

Rezolvare

1. Aflăm suma ultimelor două numere:

130 048 – 20 048 = 110 000

2. Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute: (Suma a două numere este 110 000; al doilea număr este cu 8 234 mai mic decât al treilea. Care sunt cele două numere?)

al doilea număr

110 000

8234

al treilea număr

3. Egalăm părțile

a) b)

100000–8234 100000+ 8234

8234 8 234

4. Aflăm cele două numere:

a) Aflăm al doilea număr: b) Aflăm al treilea număr:

(110000 – 8234) : 2 = (110000 + 8234) : 2 =

= 101766: 2 = = 118234 : 2 =

= 50883 = 59117

Aflăm al treilea număr: Aflăm al doilea număr:

50883 + 8234 = 59117 59117 – 8234 = 50883

sau sau

110000 – 50883 = 59117 110000 – 59117 = 50883

Răspuns: I nr. 20048 Răspuns: I nr. 20048

al II-lea nr. 50883 al II-lea nr. 50883

al III-lea nr. 59117 al III-lea nr. 59117

Chiar dacă în manual nu apar și probleme de acest gen, e momentul ca învățătorul să supună atenției elevilor și alte probleme în care intervin trei sau mai multe mărimi (numere) în care se dau doar relațiile dintre ele; alte probleme în care uneori datele problemei, adică suma și diferența, nu se dau explicit, ele apar ascunse în cadrul enunțului și rezolvitorul trebuie să găsească unde anume.

Învățătorul poate selecta astfel de probleme din culegerile de probleme.

Exemplu:

„Suma a trei numere consecutive este 33.

Să se afle numerele.” (/ 3 / 74 / 72)

După ce s-a revenit asupra noțiunii de „numere consecutive” (numere care în șirul

numerelor naturale se succed, urmează imediat unul după altul), se poate trece la explicarea și rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic cele trei numere:

primul număr

1

al doilea număr 33

1 1

al treilea număr

Se observă că ne aflăm, de fapt, în fața aceluiași tip de probleme, în care cunoaștem suma și diferența, cu deosebire că aici intervin trei numere și diferența este dată de proprietatea numerelor de a fi consecutive. Ca și în cazul problemelor precedente, pentru a putea afla numerele, trebuie să recurgem la „egalarea părților”. Se pot folosi și în acest caz două procedee: sau considerăm că toate cele trei numere sunt la fel de mari (valoric) ca primul (cel mai mic), sau le considerăm pe toate egale cu cel mai mare (cu al treilea). În general, se optează pentru prima variantă.

2. Egalăm părțile:

primul număr

1

al doilea număr 33 – 3

1 1

al treilea număr

3. Aflăm cele trei numere: (deoarece am scăzut diferența din sumă, vom afla mai întâi numărul cel mai mic)

(33 – 3) : 3 = 30: 3 =

= 10 (primul număr)

Dată fiind proprietatea lor de a fi consecutive, celelalte două numere, se deduc ușor: 10 + 1 = 11 (al doilea număr)

11 + 1 = 12 (al treilea număr)

Răspuns: I nr. 10

al II-lea nr. 11

al III-lea nr. 12

„Soțul și soția câștigă împreună 4640 lei lunar, primul contribuie la cheltuielile comune cu 1600 lei, iar soția cu 1040 lei, rămânând cu sume egale.

Ce retribuție are fiecare?” (/ 13 / pr.2 / 221)

Rezolvare

În această problemă suma retribuțiilor se stabilește ușor datorită cuvântului „împreună”, deci suma este 4640 lei. Diferența retribuțiilor nu se dă explicit în enunț ci ea trebuie calculată având în vedere contribuțiile fiecărui la cheltuielile comune și faptul că rămân cu sume egale. Dacă rămân cu sume egale în urma contribuțiilor la cheltuieli, înseamnă că diferența dintre contribuțiile lor reprezintă chiar diferența dintre retribuții. Deci, află diferența dinte retribuții.

1600 – 1040 = 560 (lei)

Acum problema s-a redus la o problema tipică de aflare a două numere când se cunosc suma (4640 lei) și diferența (560 lei). Noua problema este: „Soțul și soția câștigă împreună 4640 lei lunar. Soțul câștigă cu 560 lei mai mult decât soția. Ce retribuție are fiecare?”

1. Reprezentăm grafic cele două numere:

retribuția soției

4640 lei

retribuția soțului 560

2. Egalăm părțile:

retribuția soției

4640 – 560

retribuția soțului 560

3. Aflăm cele două numere:

(Care este retribuția soției?)

(4640 – 560) : 2 = 4080 : 2 = 2040 (lei)

Care este retribuția soțului?

2040 + 560 = 2600 (lei)

Răspuns: Cei doi au retribuțiile de 2600 lei și,

respectiv, de 2040 lei (soția).

Pe măsură ce rezolvă tot mai multe probleme prin metoda figurativă, elevii vor înțelege că pentru a rezolva cu ușurință această categorie de probleme, esențial este să facă reprezentarea grafică cât mai sugestiv posibil, să sesizeze corect relațiile dintre mărimi.

O a doua categorie de probleme – tip, frecvent întâlnite în practica școlară, este cea a problemelor în care se cunosc suma și raportul.

Ca și la categoria anterioară, se introduc mai întâi probleme de acest gen, în care intervin doar două mărimi și apoi probleme în care intervin mai multe mărimi.

Rezolvarea acestei categorii de probleme nu prezintă nici un fel de dificultăți, putând spune chiar, că se rezolvă cu mai mare ușurință decât cele în care se cunoaște suma și diferența.

Exemple:

„Să se afle două numere știind că suma lor este 60 și că unul este de 3 ori mai mare decât celălalt.” (/13 / pr. 1 /223)

Pentru a facilita înțelegerea și rezolvarea problemei se prezintă reprezentarea grafică:

primul număr

60

al doilea număr

Citirea și interpretarea graficului conduce la următoarea concluzie: ne aflăm în fața unei probleme în care cunoaștem suma (60) și de câte ori un număr este mai mare decât celalalt, sau invers.

Din sumă (60) primul număr reprezintă o singură parte, iar cel de-al doilea număr

reprezintă 3 părți, deci în total putem considera că avem patru părți de mărimi egale care

reprezintă întregul (în cazul nostru – 60).

Concluziile desprinse conduc la următoarea rezolvare:

Rezolvare

1. Care este primul număr?

60 : 4 = 15

2. Care este al doilea număr?

15 x 3 = 45

Răspuns: I nr. 11

al II-lea nr. 45

Verificare: 15 + 45 = 60

45 : 15 =3 (al doilea număr este de 3 ori mai mare decât primul număr)

„Doi prieteni au împreună 1890 timbre. Unul are de 4 ori mai puține decât celalalt.

Câte timbre are fiecare?” (/16/ pr.8 / 63)

Rezolvare

Reprezentăm prin segmente de dreaptă numărul de timbre pe care îl are fiecare frate și suma lor:

I

1860 timbre

II

Se observă că suma (1860 timbre) este de cinci ori mai mare decât primul număr.

2. Aflăm numărul timbrelor pe care le are primul prieten:

1860 : 5 = 373 (timbre)

3. Aflăm numărul de timbre pe care le are celălalt copil:

372 x 4 = 1488 (timbre)

Răspuns: I copil – 372 timbre

al II-lea copil – 1488 timbre

Verificare: Numărul total de timbre: 372 + 1488 = 1860 (timbre)

Câtul este: 1488 : 372 = 4

Pentru a verifica gradul de însușire și înțelegere a acestei tehnici, învățătorul poate

propune spre rezolvare probleme care să includă și acest tip de probleme.

Exemplu:

„La o librărie se aflau 1230 caiete de matematica și dictando. După ce s-au vândut 78 caiete de matematica și 42 de dictando, au rămas de 4 ori mai multe caiete de matematică decât dictando.

Câte caiete din fiecare fel au fost la început în librărie?”

Elevii vor înțelege că pentru a putea aplica tehnica însușită în rezolvarea acestei probleme e necesar să cunoaștem suma, care în cazul de față reprezintă numărul caietelor care au rămas nevândute.

Examinând analitic problema, pentru a afla acest număr trebuie să cunoaștem numărul caietelor de matematică vândute și numărul caietelor de dictando vândute și apoi să scădem aceste numere din numărul inițial al caietelor aduse.

Se trece apoi, la rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Aflăm numărul caietelor rămase nevândute:

1230 – (78 + 42) = 1230 – 120 = 1110 (caiete)

2. Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute.

(La o librărie au rămas nevândute 1110 caiete de matematica și dictando.

Cate caiete sunt de fiecare fel, dacă caiete de matematica sunt de 4 ori mai multe decât cele de dictando?)

Numărul caietelor rămase nevândute:

caiete de matematică

1 110 caiete

caiete de dictando

Se observă că suma (1 110) este compusă din 5 părți la fel de mari, din care o parte este reprezentata de numărul caietelor de dictando.

3. Aflăm câte caiete de dictando au rămas nevândute:

1110 : 5 = 222 (caiete dictando)

4. Aflăm câte caiete de matematică au rămas nevândute:

222 x 4 = 888 (caiete de matematică)

5. Aflăm câte caiete de dictando au fost la început în librărie:

222 + 42 = 264 (caiete de dictando)

6. Aflăm câte caiete de matematică au fost la început în librărie:

888 + 78 = 966 (caiet de matematică)

sau

1230 – 264 = 966 (caiete de matematică)

numărul numărul

total de caietelor

caiete dictando

Răspuns: 966 caiete matematică

264 caiete dictando

Verificare: 966 + 264 = 1230 (caiete)

Elevii vor fi dirijați să descopere că în această problemă a fost inclusă și o problemă – tip în care se cunosc suma și raportul, sau, altfel spus, că în rezolvarea acestei probleme compuse s-a ajuns la un moment dat la rezolvarea unei probleme tipice, fără a cărei rezolvare nu ar fi fost cu putință găsirea soluției.

Sunt propuse spre rezolvare apoi același gen de probleme, în care intervin însă, mai mult de două mărimi.

Exemple:

„Din școala noastră a plecat un grup de elevi la mare, iar de două ori mai mulți elevi au plecat la munte. În excursie au plecat de 3 ori mai mulți elevi decât la munte. În total au plecat 27 de elevi.

Câți elevi au plecat la mare? Dar la munte? Dar în excursie?” (/ 17 / pr.2 / 112)

Reprezentarea grafică a datelor problemei și a relației dintre ele este:

numărul elevilor plecați la mare

numărul elevilor plecați la munte 27 e1evi

numărul elevilor plecați în excursie

Citirea și interpretarea graficului face posibilă înțelegerea și rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Câți elevi au plecat la mare?

27 : 9 = 3 (elevi)- (deoarece numărul elevilor plecați la mare reprezintă o singură parte din cele 9 părți care formează întregul- suma).

2. Câți elevi au plecat la munte?

3 x 2 = 6 (elevi)

3. Câți elevi au plecat în excursie?

6 x 3 = 18 (elevi)

Răspuns: La mare au plecat 3 elevi

La munte au plecat 6 elevi

În excursie au plecat 18 elevi

Verificare: 3 + 6 + 18 = 27 elevi

6 : 3 = 2

18 : 6 = 3

„Trei elevi au împreună 22 500 lei. Primul are 2/3 din cât are al doilea, iar al doilea are ¾ din cât are al treilea. Elevii fac o excursie care costă în total 12000 lei, fiecare contribuind cu aceeași sumă. Cum trebuie împărțita celor trei elevi suma rămasă necheltuită?”

Reprezentarea grafică a datelor problemelor și a relației dintre ele este:

I

al II-lea

22 500 lei

al III-lea

Rezolvare

Cunoscând suma (22 500 lei) și numărul părților putem afla o parte care ne ajută să aflăm sumele pe care le-au avut inițial cei trei elevi:

22 500 : 9 = 2 500 (lei)

1. Care este suma pe care o are primul elev?

2 500 x 2 = 5 000 (lei)

2. Care este suma pe care o are al II-lea elev?

2 500 x 3 = 7 500 (lei)

3. Care este suma pe care o are al III-lea elev?

2 500 x 4 = 10 000 (lei)

– Am încheiat rezolvare?

– Nu, pentru că trebuie să aflăm suma rămasă necheltuită pentru fiecare.

Știind că la cei 12 000 lei plătiți pentru excursie fiecare a contribuit în mod egal, putem afla suma achitată de fiecare elev:

120 00 : 3 = 4 000 (lei)

Având această sumă putem să aflăm:

4. Care este suma rămasă necheltuită de primul elev?

5 000 – 4 000 = 1 000 (lei)

5. Care este suma rămasă necheltuită de al II-lea elev?

7 500 – 4 000 = 3 500 (elev)

6. Care este suma rămasă necheltuită de al III-lea elev?

10 000 – 4 000 = 6 000 (lei)

Răspuns: I elev 1 000lei

al II-lea elev 3 500 lei

al III-lea elev 6 000 lei

Verificare: 1 000 + 3 500 + 6 000 = 10 500 (lei) A

10 500 lei + 12 000 lei = 22 500 (lei) A

Elevii își dau seama că în problemele – tip în care se cunoaște suma și raportul, numărul mărimilor ce intervin în problemă nu constituie un inconvenient în ceea ce privește rezolvarea problemei.

O oarecare dificultate pot crea eventual problemele în care având mai multe mărimi, o mărime este prezentată în raport cu alta și în același timp în relație de „cu atât mai mic (mai puțin)” sau „cu atât mai mare (mai mult)” cu o altă mărime.

Exemplu:

„Pe trei rafturi ale unei biblioteci sunt așezate 546 cărți. Pe raftul al doilea sunt cu 50 cărți mai puține decât pe primul și de două ori mai puține decât pe al treilea raft.

Câte cărți se află pe fiecare raft?” (/ 16 / pr. 3 / 66)

Acest gen de probleme solicită într-un grad mai mare gândirea elevilor, decât cele stas (în care se dă suma și raportul), dar tocmai acest aspect le face mai interesante și poate chiar mai plăcute.

Elevii vor înțelege, de altfel, că reprezentând corect mărimile și relațiile dintre ele,

problema se rezolvă rapid și ușor.

Reprezentam grafic:

primul raft 50

al II-lea raft 546 cărți

al III-lea raft

Se vede clar că pentru a simplifica problema e necesar să „eliminăm” surplusul de 50, considerând că numărul cărților de pe primul raft este egal cu numărul cărților de pe al II-lea raft (egalare parțială a cărților). În acest caz suma cărților de pe cele trei rafturi nu mai este 546, ci 496 și este compusă din trei părți la fel de mari.

Făcând acest „artificiu”, rezolvarea decurge firesc în continuare:

Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute și a relației dintre ele:

primul raft

al II-lea raft 496 cărți

al III-lea raft

Putem afla acum, fără probleme, cât reprezintă o singură parte, care corespunde

numărului de cărți de pe raftul al II-lea:

496 : 4 = 124 (cărți)

Revenind la datele inițiale ale problemei, sau la graficul inițial, aflăm câte cărți sunt pe primul respectiv pe al treilea raft:

124 + 50 = 174 (cărți)

124 x 2 = 248 (cărți)

Răspuns: Pe primul raft sunt 174 cărți

Pe al II-lea raft sunt 124 cărți

Pe al III-lea raft sunt 248 cărți

Verificare: 174 + 124 + 248 = 546 (cărți)

174 – 124= 50 (cărți)

248 : 124= 2

În sfârșit, o a treia categorie de probleme – tip care se rezolvă prin metoda grafică sunt cele în care se cunoaște diferența și raportul mărimilor (numerelor) ce intervin în problemă.

În problemele de diferență și raport hotărâtoare este determinarea diferenței ca un întreg constituit dintr-un număr de părți echivalente, fiecare parte având aceeași valoare ca și numărul mai mic.

Problemele de acest gen necesită o mai mare implicare a gândirii și imaginației copilului, de aceea se introduc mai târziu.

Se începe bineînteles, cu probleme cu grad de dificultate minim, a căror rezolvare este sugerată de reprezentarea grafică.

Exemple:

Un număr este de 5 ori mai mare decât altul.

Care sunt numerele dacă diferența dintre ele este 32?” (/ 3 / pr. 79 / 73)

1. Reprezentăm grafic cele două numere și relația dintre ele:

I

II 32

Chiar dacă nu au mai fost confruntați cu astfel de probleme, elevii intuiesc că diferența dintre cele două numere (32) reprezintă patru părți de mărimi egale cu al II-lea număr știind cât reprezintă 4 părți, putem afla cât reprezintă o singură parte, parte care valoric este egală cu numărul mai mic.

2. Care este al doilea număr?

32 : 4 = 8

3. Care este primul număr?

8 x 5 = 40

Răspuns: I nr. 40

al II-lea nr. 8

Verificare: 40 > 8 de 40 : 8 = 5 ori

40 > 8 cu 40 – 8 = 32

„Diferența de preț dintre o carte și un caiet este 3570 lei. Cât costă fiecare, dacă cu prețul cărții se pot cumpăra 6 caiete?” (/ 16 / pr. 11 / 130)

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic cele două numere (costul cărții și al caietului) și relațiile dintre ele:

caietul 3570 lei

cartea

Citind graficul, elevii observă că diferența de preț dinte o carte și un caiet este de 3570 lei și reprezintă 5 părți de mărimi egale cu prețul caietului. Putem afla:

2. Cât costă caietul?

3570 : 5 = 714 (lei)

3. Cât costă cartea?

714 x 6 = 4284 (lei)

Răspuns: Caietul costă 714 lei

Cartea costă 4 284 lei

Verificare: 4284 lei – 714 lei = 3570 lei

4284 : 714 = 6

O problemă care se încadrează în aceeași categorie este și următoarea:

„Diferența a două numere este 100; dacă le împărțim obținem câtul 3 și restul 20. Care sunt numerele?” (/ 18 / pr. 21 / 169)

Faptul că în enunțarea problemei nu apare exprimat raportul într-o formă clară, lipsind exprimarea „de atâtea ori mai mare” sau „de atâtea ori mai mic”, ar putea deruta elevii creându-le impresia că au în față o problemă dificilă.

Analizând cu atenție datele problemei, vor descoperi însă că acest raport este exprimat sub o altă formulă: „Dacă le împărțim, obținem câtul 3 și restul 20.”

Elevii vor fi nevoiți să facă apel la cunoștințele referitoare la împărțire și la relațiile ce există între numere cu care operăm la împărțire. Își vor aminti astfel că într-o împărțire, câtul ne arată de câte ori deîmpărțitul este mai mare decât împărțitorul sau de câte ori împărțitorul este mai mi decât deîmpărțitul și, în același timp, de câte ori împărțitorul se cuprinde în deîmpărțit. Se face apel și la relația ce există între termenii unei împărțiri cu rest:

(D – r) : Î = C

Aceste discuții îi vor ajuta pe elevi să reprezinte grafic datele problemei:

deîmpărțitul 20

împărțitorul 100

Elevii vor observa că dacă scădem restul de 20 din deîmpărțit, diferența obținută reprezintă două părți de mărimi egale.

Aflăm cât reprezintă o parte:

(100 – 20) : 2 = 80 : 2 = 40, parte echivalentă cu valoarea împărțitorului.

Aflăm deîmpărțitul:

40 x 3 + 20 = 120 + 20 = 140

Răspuns: D = 140

Î = 40

Verificare: 140 : 40 = 3 rest 20 sau (140 – 20) : 40 = 3

120 140- 40 = 100

=20

O problemă gen – problemă în care cunoaștem diferența și raportul – stă și la baza

următoarei probleme:

„La o florărie sunt garoafe și trandafiri. Garoafe sunt de 3 ori mai puține decât trandafiri, iar aceștia sunt cu 8 mai mulți decât garoafele.

Câte flori sunt din fiecare fel și câte au rămas în total, dacă până la ora închiderii s-au vândut jumătate din ele?” (/ 2 / pr. 120 / 26)

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic numărul garoafelor și cel al trandafirilor și relația dintre ele:

numărul garoafelor

numărul trandafirilor

8

2. Câte garoafe sunt?

(numărul garoafelor este echivalent cu o parte din cele două părți de mărimi egale care alcătuiesc diferența):

8 : 2 = 4 (garoafe)

3. Câți trandafiri sunt?

4 x 3 = 12 (trandafiri)

În continuare problema se rezolvă urmând calea metodei analitico-sintetice:

4. Câte flori sunt la florărie?

12 + 4 = 16 (flori)

5. Câte flori au rămas nevândute?

16: 2 =8 (flori)

Răspuns: 4 garoafe

12 trandafiri

8 flori au rămas nevândute

În continuarea lucrării, aș vrea să aduc în atenție câteva probleme, care nu pot fi încadrate în nici una din categoriile de probleme amintite în acest subcapitol, dar care se încadrează ca metodă de rezolvare, tot în metoda grafică.

Este vorba de acele probleme cu date sau mărimi „discrete”, înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii. În acest caz mărimile le figurăm prin simboluri.

Aceste probleme care nu sunt deloc ușoare, pot fi rezolvate și cu elevii din ciclul primar.

Exemplu:

„Dacă se așază câte un elev într-o bancă, rămân 14 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă, rămân trei bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?” (/ 13 / pr. l / 210)

Referindu-se la un aspect din viața unui elev, problema îi antrenează pe elevi în găsirea soluției, oferindu-le posibilitatea să „probeze” posibilitatea de soluționare, concret, utilizând „elevi” și „bănci” din propria clasă.

Elevii pot fi lăsați să găsească răspunsul, prin „acțiune directă”, ce poate fi considerată un joc; această acțiune nu trebuie neapărat să „se producă” în timpul orei de matematică, pentru că ar putea necesita destul timp, li se poate acorda un răgaz elevilor.

După însușirea enunțului de către elevi, putem purta următorul dialog:

– Câte părți distincte are enunțul problemei?

– Două. (dacă îi așezăm într-un anume fel se întâmplă ceva, iar dacă îi așezăm altundeva se întâmpla altceva).

Deci, din analiza primei părți a enunțului desprindem că mulțimea elevilor și mulțimea băncilor pot fi în așa fel „privite” încât elementele lor să fie organizate astfel: fiecărui elev îi corespunde o bancă, situație în care 14 elevi rămân în picioare, deci nu au loc.

Să figurăm această situație, folosind drept modele (desene) ale mărimilor din enunț simboluri mult mai simplificate.

Bunăoară – figurăm banca cu B și elevul cu e. Așezăm câte un elev într-o bancă. Obținem grupe de forma:

e e e e

B B B ––––– B e e ––––- e

14 elevi

Deoarece nu cunoaștem câte bănci sunt, am figurat primele trei și ultima, arătând că „––” sugerează faptul că mai sunt asemenea bănci cu câte un elev.

Cum nu ne convine așezarea unui singur elev într-o bancă deoarece rămân unii elevi fără loc, ne face legătura cu partea a doua a enunțului.

– Să așezam câte 2 elevi într-o bancă. Cum să facem acest lucru?

– Probabil că vor exista elevi care să propună ca ar fi mai bine să ne ocupăm de cei 14 elevi rămași în picioare și să-i „distribuim” câte unul în fiecare bancă.

Avem deci:

e e e e e e

B B B ––––– B B –– B

e e e e

14 B nu știm câte

Deoarece enunțul menționează că așezându-i câte doi într-o bancă rămân 3 bănci libere, înseamnă ca din aceste bănci s-au mai ridicat 3 elevi (inițial fiecare bancă avea câte un elev) care au completat ca și ceilalți colegi ai lor încă 3 bănci cu 2 elevi.

Adică avem situația:

e e e e e e e

B B B ––––– B B B B B B B

E e e e e e e

14 B 3 B 3 B

Să recapitulăm: avem 14 bănci cu câte 2 elevi completate de cei 14 elevi ce erau în picioare și încă 3 bănci cu 2 elevi completate astfel prin ridicarea din 3 bănci care trebuie să rămână libere și, în fine, rămân13 bănci libere.

Deci, în acea clasă erau:

14 + 3 + 3 = 20 (bănci)

Aflarea numărului de elevi, în continuare, nu mai constituie o greutate. Îi putem afla din prima parte a enunțului:

1 x 20 + 14 = 20 + 14 = 34 (elevi)

Răspuns: 20 bănci

34 elevi

Mă opresc puțin și asupra acelor probleme, pe care personal le găsesc „atractive” și „recreative”, dar nu numai atât; prin conținutul lor, te incită, te îndeamnă, îți stârnesc curiozitatea, încât le rezolvi nu neapărat pentru că ți-au fost propuse spre rezolvare, cât mai ales, pentru a-ți testa propriile capacități intelectuale.

La drept vorbind, aceste probleme, au ușoare afinități cu cele nonstandard, dar pentru că fac apel într-o măsură destul de mare la reprezentarea grafică, se pot include în această categorie.

Într-o curte aleargă găini și purcei. În total sunt 40 capete și 100 picioare. Câte găini și câți purcei erau?” (13 / pr. 3 / 214)

Rezolvare

Comentând enunțul, la prima vedere s-ar părea că acesta este incomplet deoarece nu se explică câte picioare are o găină și câte picioare are un purcel. Dar, în mod normal, aceste date se subînteleg (toată lumea știe că o găină are 2 picioare și un purcel are 4 picioare).

1. Figurăm cele 40 de vietăți prin niște ovale:

40 capete

Acum le vom desena picioarele. Dar unde așezăm 2 picioare și unde 4? Observăm că oricum 2 picioare are fiecare vietate și le desenăm. Figura apare astfel:

40 capete

Am folosit 40 x 2 = 80 (picioare) și ne-au rămas 100 – 80 = 20 (picioare).

Cum le așezăm? Evident câte 2 picioare la fiecare vietate care are deja 2 picioare.

Formăm astfel „purcei”:

10 purcei 30 găini

2. Câți purcei erau în curte?

20 : 2 = 10 (purcei)

3. Câte găini erau în curte?

40 – 10 = 30 (găini)

Răspuns: 10 purcei

30 găini

Verificare: 10 x 4 + 30 x 2 = 100 (picioare)

Un țăran crește porci, găini și oi, în total 44 de picioare. Știind că numărul porcilor este cu 4 mai mic decât numărul găinilor și de 3 ori mai mic decât numărul oilor, aflați câte animale sunt de fiecare fel.” (2 / 153 / 32)

Problema este interesantă, în primul rând, pentru faptul că este dat raportul și diferența dintre numărul capetelor și se cunoaște suma picioarelor. Tocmai acesta este „mobilul rezolvării problemei, astfel se realizează ceea ce Eugen Rusu numea „atracția pentru problematic”; rezolvarea acestui gen de probleme, nu numai că antrenează în modul cel mai înalt operațiile gândirii logice, dar are și multiple valențe formative.

E puțin probabil să existe elevi care să nu dorească să rezolve această problemă, chiar dacă au o înclinație deosebită spre acest obiect de studiu.

Se adeverește în acest context afirmația lui Eugen Rusu:

„A face matematică este o trăsătură profund umană, caracteristică, general umană. Nu e om să nu fi rezolvat o problema de perspicacitate, să nu fi resimțit atracția și satisfacția specifică acestei acțiuni – chiar dacă – e vorba de o problemă fără conținut matematic, apropiată prin structura ei de una matematică.”

Dar să revenim la problema enunțată.

Rezolvare

1. Să reprezentăm grafic numărul capetelor de animale:

numărul porcilor

4

numărul găinilor

numărul oilor

2. Scădem numărul de picioare ce corespund celor 4 găini din numărul total al

picioarelor:

44 – (4 x 2) = 44 – 8 = 36 (picioare)

Ne-au rămas deci un număr de 36 de picioare, pe care trebuie să le atribuim celor trei categorii de animale. Având în vedere că un porc și o oaie dețin un număr de două ori mai mare de picioare (câte 4 picioare, în timp ce o găină are doar 2) acestor două categorii (cele cu 4 picioare) trebuie să le repartizăm un număr adecvat de picioare, în funcție de numărul capetelor, care l-am reprezentat grafic în raport cu numărul porcilor. În aceste condiții, unitățile (segmentele) prin care am reprezentat grafic numărul capetelor, vor deveni de două ori mai mari (se vor dubla) atunci când vom reprezenta numărul picioarelor ce revin fiecăreia din cele două categorii de animale cu 4 picioare, întrucât și numărul picioarelor unui porc și a unei oi reprezintă dublul numărului picioarelor ce corespund unei găini.

3. Reprezentăm grafic modul de distribuire a celor 36 picioare (numărul părților ce revin fiecărei categorii):

porci

găini 36 picioare

oi

Conform graficului, 2 părți din cele 36 picioare se distribuie (aparțin) porcilor, o parte găinilor și 6 părți oilor. Putem astfel afla câte picioare se distribuie pe unitate (în cazul nostru cât reprezintă valoric, un segment).

4. Aflăm câte picioare corespund unui segment (se observă că în cele 36 picioare sunt cuprinse 9 părți egale):

36 : 9 = 4 (picioare), număr care coincide cu numărul de picioare ce s-ar

atribui găinilor, dacă numărul acestora ar fi egal cu cel al porcilor. Putem afla câte picioare corespund fiecărei categorii de animale:

5. Aflăm câte picioare se distribuie porcilor din gospodăria țăranului:

4 x 2 = 8 (picioare)

6. Aflăm câte picioare se distribuie oilor din gospodăria țăranului:

4 x 6 = 24 (picioare)

7. Aflăm numărul animalelor de fiecare fel:

a) Cele patru picioare ce revin găinilor (considerând că numărul lor este egal cu al

porcilor) se pot distribui la: 4 : 2 =2 (găini). Știm că numărul găinilor este cu 4 mai mare decât al porcilor. Adică:

(4 : 2) + 4 = 2 + 4 = 6 (găini)

b) Cele 8 picioare ce revin porcilor aparțin unui număr de:

8 : 4 = 2 (porci)

c) Cele 24 de picioare ce revin oilor aparțin unui număr de:

24 : 4 = 6 (oi)

Dar numărul porcilor și al oilor se poate afla și făcând apel la relațiile date în enunțul problemei. Dacă știm că numărul găinilor este 6 și al porcilor cu 4 mai mic, înseamnă că numărul porcilor este:

6 – 4 = 2 (porci)

Cum numărul porcilor este de 3 ori mai mic decât cel al oilor, ceea ce înseamnă că numărul oilor este de 3 ori mai mare, deci:

2 x 3 = 6 (oi)

Acest procedeu de calcul (mod de rezolvare) poate fi folosit în verificarea soluției problemei.

Răspuns: 2 porci

6 găini

6 oi

Verificare: (2 x 4) + (6 x 2) + (6 x 4) =

= 8 + 12 + 24 = 44 (picioare)

Așa cum se poate deduce din rezolvarea acestei probleme, acest fel de probleme nu depășește în nici o etapă puterea de înțelegere a școlarilor, dimpotrivă, le stimulează gândirea creatoare, căci ei vor trebui să-și construiască singuri ipoteze de rezolvare și vor fi antrenați să găsească prin calea cea mai ușoară posibilă, soluția sau „pașii” care conduc la rezolvarea unei probleme, la prima vedere, inaccesibilă.

Referitor la acest aspect, cercetătorul american George Polya, sublinia:

„A-ti deschide calea spre rezolvarea unei probleme aparent inaccesibile, elaborând și rezolvând în prealabil o problemă auxiliară adecvată este tipul cel mai caracteristic de acțiune conștientă, inteligentă.”

Pentru a-și spori încrederea în forțele proprii, li se poate propune elevilor să rezolve singuri alte probleme asemănătoare (schimbând parțial datele problemei).

Autorii problemei anterior enunțate oferă această posibilitate, formulând pentru fiecare problema o întrebare suplimentară de tipul „Dar dacă …..?”.

În cazul problemei propusă spre rezolvare, întrebarea suplimentară este:

„Dar dacă numărul picioarelor ar fi: 80; 98; 188; 278; 116; 134; 152; 332?”, elevii având posibilitatea să mai rezolve singuri de la una până la 8 probleme, alegând una din datele date spre întocmire.

Gama problemelor care se pot rezolva prin metoda figurativă (grafică) este foarte variată, așa că exemplele ar putea continua.

Dar mă voi opri aici cu acestea, voi trece la alt tip de probleme și anume:

3.2. Probleme de egalare a datelor

Problemele de acest tip se recunosc relativ ușor după modul cum este redactat enunțul care este alcătuit din două situații distincte.

După recunoașterea tipului este recomandată scrierea datelor în mod corespunzător, unele sub altele, conform celor două situații din enunț.

Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere.

Daca valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective.

Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Ne îndreptăm atenția asupra uneia dintre mărimi, încercând să egalam datele privitoare la ea în cele două șiruri. Acest lucru îl facem multiplicând datele de pe cele două șiruri, astfel să obținem aceleași date în cazul mărimii asupra căreia ne-am îndreptat atenția. De aici denumirea dată acestui tip de probleme – anume de egalare a datelor. Aceasta se face căutând cel mai mic multiplu comun al lor și amplificând convenabil cele două șiruri date.

Comparând, în continuare, datele de pe cele două șiruri, constatăm o neconcordanță între mărimi, provenită evident din faptul că nu avem aceleași date și în privința celeilalte mărimi.

Pe parcursul ciclului primar elevii vor fi deprinși să recunoască și să rezolve cele două categorii de probleme care se rezolvă prin metoda comparației:

~ probleme care se rezolvă prin eliminarea unei necunoscute prin scădere (reducere);

~ probleme care se rezolvă prin eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei în funcție de cealaltă mărime necunoscută.

a) Eliminarea unei necunoscute prin scădere (reducere)

Fie problema:

„De la o cofetărie un elev a cumpărat 4 prăjituri și 6 sucuri plătind 28 lei. Altădată, la aceleași prețuri, a cumpărat 4 prăjituri și 8 sucuri plătind 32 lei. Câți lei costă o prăjitură și câți lei costă un suc?"” (/ 13 / Pr. l / 225)

Notăm datele problemei pe două șiruri corespunzătoare celor două situații:

4 prăjituri ……………. 6 sucuri ……………..28 lei

4 prăjituri ……………. 8 sucuri ……………. 32 lei

– Observăm că și prima dată și a doua dată elevul a cumpărat un același număr de

prăjituri.

– De ce nu a plătit aceeași sumă de bani? (Pentru că nu a cumpărat un același număr de sucuri).

– De ce a doua oară a plătit mai mult? (A cumpărat cu 2 sticle de suc mai mult).

Sticlele de suc cumpărate în plus a doua oară a făcut să crească costul de la 28 lei la 32 lei.

Planul de rezolvare este:

1. Câte sticle cu suc a cumpărat mai mult a doua oară?

8 – 6 = 2 (sticle)

2. Cât costă două sticle de suc (cu cât a plătit mai mult a doua oară)?

32 – 28 = 4 (lei)

3. Cât costă o sticlă de suc?

4 : 2 = 2 (lei)

4. Cât costă 6 sucuri?

2 x 6 = 12 (lei)

5. Cât costă 4 prăjituri?

28 – 12 = 16 (lei)

6. Cât costă o prăjitură?

16 : 4 = 4 (lei)

Răspuns: o prăjitură costă 4 lei

un suc costă 2 lei

Verificare: 4 x 4 + 6 x 2 = 16 + 12 = 28 (lei)

Un alt exemplu este și problema propusă spre rezolvare în manualul de clasa a IV-a, pag. 139:

„Într-un depozit sunt 2 tone de grâu și 3 tone de porumb, în valoare de 8100000 lei. În alt depozit sunt 2 tone de grâu și 7 tone de porumb, în valoare de 14900000 lei. Cât costă o tonă de grâu și cât costă o tonă de porumb?” (/ 16 / 139)

Rezolvare

2 tone grâu ………… 3 tone porumb …………….. 8100000 lei

2 tone grâu ………… 7 tone porumb …………… 14900000 lei

Spunem că una din cele două mărimi „se reduce”, întrucât are aceeași valoare în ambele situații. Elevii vor fi dirijați „să sesizeze” că este vorba de aceeași cantitate de grâu în ambele depozite, deci putem „elimina” pentru început această mărime, și că diferența de bani provenea de la faptul că existau cantități diferite de porumb. Practic are loc o „scădere” a celor două relații (de unde și numele metodei).

După ce am așezat datele problemei, am comparat, de la dreapta la stânga: valorile totale, cantitățile de porumb din cele două depozite și cantitățile de grâu.

În cel de-al doilea caz valoarea cerealelor este mai mare cu:

14900000 – 8100000 = 6800000 (lei)

Cantitatea de porumb din al doilea siloz este mai mare cu:

7 – 3 = 4 (tone)

Surplusul de 6800000 lei se datorează faptului că în a doua situație avem 4 tone de porumb mai mult, ceea ce ne permite să aflăm cât costă o tonă de porumb:

6800000 : 4 = 1700000 (lei)

Cunoscând cât costă o tonă de porumb putem afla cât costă 3 tone de porumb:

1700000 x 3 = 5100000 (lei)

Dacă 3 tone de porumb costă 5100000 lei, rezultă că 2 tone de grâu costă:

8100000 – 5100000 = 3000000 (lei)

Dacă 2 tone de grâu costă 3000000 lei, atunci o tonă de grâu costă:

3000000 : 2 = 1500000 (lei)

Răspuns: 1500000 1 tonă grâu

1700000 1 tonă porumb

Se observă că în această metodă se face apel la reducere la unitate, cele două metode de rezolvare se aseamănă.

Verificare: (se înlocuiesc valorile aflate)

I. 2 x 1500000 + 3 x 1700000 = 3000000 + 5100000 = 8100000 (lei) A

II. 2 x 1500000 + 7 x 1700000 = 3000000 + 11900000 = 14900000 (lei) A

Să prezentăm mai schematic rezolvarea unei alte probleme:

„Pentru 5 creioane și 2 pixuri s-au plătit 3600 lei, iar pentru 5 creioane și 4 pixuri, 5200 lei. Cât costă un creion și cât costă un pix?” (/ 2 / 5 / 218)

Rezolvare

5 creioane ……….. 2 pixuri ………….. 3600 lei

5 creioane …………4 pixuri ………….. 5200 lei

Scăzând relația obținem:

0 creioane ……….. 2 pixuri ………….. 1600 lei

1 pix ………………1600: 2 = 800 lei

Scăzând valoarea celor două pixuri din prima sumă obținem:

3600 – 1600= 2000 (lei), ceea ce reprezintă costul a 5 creioane.

Costul unui creion este:

2000 : 5 = 400 (lei)

Răspuns: 1 creion costă 400 lei

1 pix costă 800 lei

Așezând datele astfel, elevii vor putea elabora fără dificultate planul logic de rezolvare:

Exemplu: 5 creioane ……………. 2 pixuri …………… 3600 lei

5 creioane …………….. 4 pixuri …………… 5200 lei

Rezolvare

1. Cât costă 2 pixuri?

5200 – 3600 = 1600 (lei)

2. Cât costă un pix?

1600 : 2 = 800 (lei)

3. Cât costă 5 creioane?

3600- 1600 =2000 (lei)

sau

5200 – (4 x 800) = 5200 – 3200 = 2000 (lei)

4. Cât costă un creion?

2000 : 5 = 400 (lei)

Răspuns: 1 creion costă 400 lei

1 pix costă 800 lei

După ce au rezolvat suficiente probleme de acest fel, se poate trece și la probleme în care

intervine necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Exemple:

„Pentru 5 kg de mere și 7 kg de pere s-au plătit 12200 lei, iar pentru 15 kg de mere și 3

kg de pere s-au plătit 18600 lei.

Cât costă 1 kg de mere și 1 kg de pere?” (/ 17 / 15 / 221)

Rezolvare

1. Așezăm datele problemei astfel:

5 kg mere …………….7 kg pere…………12200 lei

15 kg mere…………… 3 kg pere …………18600 lei

Se observă că nu avem nici o mărime care se reduce (se poate elimina). Pentru aceasta e

nevoie să aducem la același termen de comparație. Acest lucru se poate realiza utilizând operația

de înmulțire sau împărțire (se poate alege oricare din cele două mărimi).

Cel mai convenabil, în cazul nostru, este să eliminăm mărimea „mere”.

Cum putem obține acest lucru? (sau mărim de 3 ori cantitatea de mere din primul șir, sau micșorăm cea de-a treia cantitate de 3 ori).

Alegem prima posibilitate:

2. Aducem la același termen de comparație, înmulțind prima relație cu 3:

5 kg mere ………….. 7 kg pere …………12200 lei / x 3

15 kg mere…………. 3 kg pere …………18600 lei

Relațiile obținute astfel, sunt:

15 kg mere …………21 kg pere …………36600 lei

15 kg mere …………. 3 kg pere ………… 18600 lei

Și cu aceasta problema s-a redus la una asemănătoare cu cele prezentate anterior:

3. Cât costă 18 kg de pere?

36600 – 18600 = 18000 (lei)

4. Cât costă un kg de pere?

18000 : 18 = 1000 (lei)

5. Cât costă 7 kg de pere?

1000 x 7 = 7000 (lei)

6. Cât costă 5 kg de mere?

12200 – 7000 = 5200 (lei)

7. Cât costă un kg de mere?

5200 : 5 = 1040 (lei)

Răspuns: 1 kg mere costă 1040 lei

1 kg pere costă 1000 lei

Verificare: 5 x 1040 + 7 x 1000 = 5200 + 7000 = 12200 (lei) A

15 x 1040 + 3 x 1000 = 15600 + 3000 = 18600(lei) A

Putem elimina și mărimea „pere”.

Această a doua metodă, poate fi folosită și în scop verificator, dacă vrem. Este indicat ca

în rezolvarea primelor probleme în care intervine aducerea la același termen de comparație, elevii să „probeze” ambele procedee, chiar dacă nu rezolvăm integral în ambele moduri problema, deoarece, la un moment dat planul se repetă.

Pentru a elimina mărimea „pere:, înmulțim prima relație cu 3, iar pe a doua cu 7:

5 kg mere ………….. 7 kg pere ……………… 12200 lei / x 3

15 kg mere ………… 3 kg pere ……………… 18600 lei / x 7

Relațiile obținute astfel, sunt:

15 kg mere ……….21 kg pere ………..36600 lei

105 kg mere ………21 kg pere ………130200 lei

Problema se reduce astfel la unul din tipurile precedente.

„12 pahare și 10 farfurii au costat 106 lei, 15 pahare și 25 farfurii au costat 220 lei.

Cât costă un pahar și cât costa o farfurie?” (13 / 3 / 227)

Rezolvare

1. Așezăm datele problemei astfel:

12 pahare ………… 10 farfurii ………106 lei

15 pahare ………… 25 farfurii ………220 lei

2. Egalăm, de exemplu, numărul de farfurii. Acest lucru se poate face împărțind datele de

pe primul șir la 2, iar datele de pe al doilea șir la 5.

12pahare ………….10 farfurii ……… 106 lei / : 2

15pahare ………… 25 farfurii ……… 220 lei / : 5

Obținem:

6 pahare ……………5 farfurii …………53 lei

3 pahare ……………5 farfurii ………… 44 lei

3. Cu câte pahare a luat mai mult prima dată decât a doua oară?

6 – 3 = 3 (pahare)

4. Câți lei au costat 3 pahare?

53 – 44 = 9 (lei)

5. Câți lei costă un pahar?

9 : 3 = 3 (lei)

6. Câți lei costă 5 farfurii? (știm că 3 pahare și 5 farfurii au costat 44 lei, iar 3 pahare au

costat 9 lei)

44 – 9 = 35 (lei)

7. Câți lei costă o farfurie?

35 : 5 = 7 (lei)

Răspuns: un pahar costă 3 lei

o farfurie costă 7 lei

Verificare: 12 x 3 + 10 x 7 = 36 + 70 = 106 (lei) A

15 x 3 + 25 x 7 = 45 + 175 = 220 (lei) A

b) Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei.

Dacă într-o problemă figurează două necunoscute și se cunoaște o relație între ele, atunci problema poate fi redusă la una cu o singură necunoscută. Eventual, dificultatea constă în a observa cum se poate face această operație. Înlocuirea se poate face printr-un raționament, ajutat uneori de un desen sau reprezentare grafică adecvată, ceea ce înseamnă că, pentru rezolvarea acestui tip de probleme, putem recurge și la utilizarea metodei grafice.

Exemplu:

„Andreea a cumpărat 3 pixuri și două creioane, plătind în total 2200 lei. Un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion. Află cât costă un creion și cât costă un pix. (16 / 1 / 139)

Rezolvare

Știind că prețul unui pix este de 3 ori mai mare decât prețul unui creion, ne permite să raportăm întreaga cantitate de pixuri la creioane. Deci, 3 pixuri costă cât 3 x 3 = 9 (creioane).

1. Câte creioane putea să cumpere Andreea cu suma de 2200 lei?

9 + 2 = 11 (creioane)

echivalentul a 3 pixuri

Am eliminat, deci, o mărime, înlocuind-o cu alta, care, valoric, reprezintă aceeași sumă.

2. Cât costă un creion?

2200 : 11 = 200 (lei)

Se revine asupra datelor inițiale ale problemei și se continuă planul:

3. Cât costă un pix?

3 x 200 = 600 (lei)

Răspuns: 1 pix costă 600 lei

1 creion costă 200 lei

Verificare: 3 x 600 + 2 x 200 = 1800 + 400 = 2200 (lei)

600 : 200 = 3 (un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion)

Utilizând și reprezentarea grafică în rezolvarea problemei, am fi procedat astfel:

1. Reprezentam grafic mărimile și relația dintre ele:

3 pixuri

2200 lei

2 creioane

2. Înlocuind prima mărime, s-ar obține următoarea reprezentare:

9 creioane

2200 lei

2 creioane

Din această reprezentare decurge rezolvarea problemei și găsirea aceleași soluții:

3. Aflăm cât costă un creion:

2200 : 11= 200 (lei)

4. Aflăm cât costă un pix:

200 x 3 = 600 (lei)

Răspuns: un pix costă 600 lei

un creion costă 200 lei

Metoda figurativă poate servi ca „alt mod de rezolvare” și, în același timp „o altă modalitate de verificare”.

Problemele de eliminare a unei necunoscute prin înlocuirea ei prezintă multe asemănări cu problemele-tip în care se cunoaște suma și raportul, de aici și posibilitatea de a le rezolva prin metoda figurativă.

Utilizarea metodei figurative devine însă incomodă, atunci când mărimile ce intervin în problemă sunt exprimate prin numere mari.

Exemplu:

„S-au cumpărat 236 kg mere și 132 kg struguri cu 80000 lei; 1 kg de struguri a costat de 2 ori mai mult decât 1 kg de mere.

Cât a costat un kg de mere și unul de struguri?” (/ 7 / e / 36)

Rezolvare

Reprezentarea grafică ar fi incomodă în acest caz (deoarece ar trebui să reprezentăm 236 kg mere și 132 kg struguri).

Vom folosi deci, metoda comparației, eliminând o necunoscută prin înlocuirea ei.

236 kg mere ………… 132 kg struguri ………..80000 lei

236 kg mere ………….. 2 x 132 kg mere ……… 80000 lei

Astfel, avem:

236 kg mere…………… 264 kg mere ………… 80000 lei

1. Câte kg de mere se pot cumpăra în locul a 132 kg de struguri:

132 x 2 = 264 (kg mere)

2. Câte kg de mere se pot cumpăra de 80000 lei?

236 + 264 = 500 (kg)

3. Cât costă un kg de mere?

80000 : 500 = 160 (lei)

4. Cât costă un kg de struguri?

160 x 2 = 320 (lei)

Răspuns: 1 kg mere costă 160 lei

1 kg struguri costă 320 lei

Verificare: 236 x 160 + 132 x 320 = 37760 + 42240 = 80000 (lei)

320 : 160 = 2 (1 kg de struguri costă de 2 ori mai mult decât 1 kg de mere)

Întâlnim însă probleme în care „apelul” la metoda grafică este inerent.

Exemplu:

„Un costum de haine costă cât 4 perechi de pantofi, iar o pereche de pantofi, cât 5

ghiozdane.

Află prețul fiecăruia, știind că o pereche de pantofi și un ghiozdan costă 60000 lei.” (/ 17 / 21 / 223)

Rezolvare

Exprimând prețul de cost al unei perechi de pantofi în raport cu prețul de cost al unui ghiozdan, obținem următoarea reprezentare grafică:

5 ghiozdane (echivalentul unei perechi de pantofi)

60000 lei

1 ghiozdan

Încadrând această problemă în metoda comparației, am eliminat „pantofii”, înlocuind această necunoscută cu alta (ghiozdane), fapt ce face rezolvarea problemei:

1. Aflăm cât costă un ghiozdan:

60000 : 6 = 10000 (lei)

2. Aflăm cât costă o pereche de pantofi:

10000 x 5 = 50000 (lei)

3. Aflăm cât costă un costum de haine:

50000 x 4 = 200000 (lei)

Răspuns: 1 costum costă 200000 lei

1 pereche de pantofi costă 50000 lei

1 ghiozdan costă 10000 lei

Exemplele de probleme care se rezolvă prin metoda comparației ar putea continua.

În final mă voi opri la o problemă care ne sporește „atracția pentru problematic”:

„Un ogar urmărește o vulpe care are 12 sărituri înaintea lui.

Câte sărituri va face ogarul până să ajungă vulpea, dacă el face 7 sărituri, în timp ce vulpea face 8 și că, cu 5 sărituri ogarul parcurge aceeași distanță pe care o parcurge vulpea în 6 sărituri.” (/ 2 / 23 / 57)

Rezolvare

Ogarul Vulpea

7 sărituri în timpul a 8 sărituri

5 sărituri fac cât 6 sărituri

Aducem la același termen de comparație:

7 sărituri în timpul a 8 sărituri / x 5

5 sărituri fac cât 6 sărituri / x 7

Se obține relația:

35 sărituri în timpul a 40 de sărituri

35 sărituri fac cât 42 sărituri

Tragem concluzia:

În timp ce ogarul face 35 sărituri, vulpea face 40 sărituri, dar cu 35 sărituri ogarul parcurge o distanță egală cu distanța parcursă de vulpe în 42 sărituri, ceea ce înseamnă că, la fiecare 35 sărituri, ogarul face în plus o distanță egală cu distanța parcursă de vulpe în două sărituri.

Cum știm că vulpea avea „un avans” de 12 sărituri, acesta va trebui să recupereze această distanță pentru a ajunge vulpea, făcând:

12 : 2 = 6 (de 6 ori câte 35 sărituri)

Deci:

35 x 6 = 210 (sărituri)

Răspuns: ogarul va ajunge vulpea după 210 sărituri

3.3. Probleme de presupunere

Problemele din această categorie sunt foarte numeroase. Afirmăm chiar că orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale poate fi rezolvată prin metoda falsei ipoteze. În ce constau ele? De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, în sensul că asupra mărimii ce o căutăm facem o presupunere complet arbitrară. Refacem problema pe baza presupunerii făcute, se constată o nepotrivire cu enunțul, ajungem la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compară rezultatul pe baza presupunerii cu cel real din punct de vedere al câtului și observăm de câte ori am greșit când am făcut presupunerea. Obținem, așadar un număr cu ajutorul căruia „corectăm” presupunerea făcută, în sensul că o micșorăm sau o mărim de acel număr de ori.

Metoda are și unele variante de aplicare, clar, în principiu, ea rămâne cea descrisă mai sus. Această metodă se poate utiliza și în soluționarea problemelor care se rezolvă în mod obișnuit prin metoda comparației, metoda grafică, etc.

Să urmărim cum decurge rezolvarea unei astfel de probleme:

„Pe un vapor s-au vândut 124 de bilete pentru clasele I și a II-a: biletul de clasa I costă 56 lei, iar cel de clasa a II-a 36 lei, încasându-se în total suma de 4944 lei. Câte bilete de fiecare clasă s-au vândut?” (/ 13 / 2 / 230)

Rezolvare

Presupunem că toate cele 124 de bilete ar fi de clasa I. Evident că această ipoteză este falsă, deoarece în numărul total de bilete (124) intrau și cele de clasa I și cele de clasa a II-a.

1. Aflăm cât costă cele 124 de bilete de clasa I:

124 x 56 = 6944 (lei) F

În realitate biletele au costat 4944 lei.

2. Aflăm cu câți lei am obținut mai mult pe baza presupunerii făcute:

6944 – 4944 = 2000 (lei)

– De unde aceasta diferență? (Această diferență provine din faptul că au existat și bilete de clasa a II-a și pentru fiecare bilet de clasa a II-a am socotit cu 56 – 36 = 20 (lei) mai mult presupunându-l de clasa I).

3. Cu câți lei am socotit mai scump un bilet de clasa a II-a?

56 – 36 = 20 (lei)

– Pentru câte asemenea bilete de clasa a II-a am socotit în plus câte 20 lei? (Pentru atâtea bilete, de câte ori 20 lei se cuprinde în diferența totală de 2000 lei).

4. Aflăm câte bilete de clasa a II-a s-au vândut:

2000 : 20 = 100 (bilete de clasa a II-a)

5. Aflăm câte bilete de clasa I s-au vândut:

124 – 100 = 24 (bilete de clasa I)

Răspuns: 24 bilete de clasa I

100 bilete de clasa a II-a

Verificare:

24 x 56 + 100 x 36 = 1344 + 3600 = 4944 (lei)

100 + 24 = 124 (bilete de clasa I și clasa a II-a)

Alt exemplu:

„Într-o ogradă sunt 45 de păsări și vite, care au în total 94 de picioare.

Câte păsări și câte vite sunt în ogradă?” (/ 17 / 2 / 218)

Rezolvare

1. Considerăm că în ogradă ar fi numai păsări. Ar trebui atunci să avem un număr de:

45 x 2 = 90 (picioare), ceea ce nu concordă cu realitatea

2. Avem o diferență de:

94 – 90 = 4 (picioare), datorată faptului că în ogradă sunt și animale cu 4 picioare, deci cu 2 picioare în plus față de păsări.

3. Aflăm câte vite sunt în ogradă?

4 : 2 = 2 (vite)

4. Aflăm câte păsări sunt în ogradă?

45 – 2 = 43 (păsări)

Răspuns: 43 păsări

2 vite

Verificare: 43 x 2 + 2 x 4 = 86 + 8 = 94 (picioare)

43 + 2 = 45 (păsări și vite)

Să considerăm alt exemplu:

„Un tren este format din vagoane cu 2, 3 și 4 osii. Numărul vagoanelor cu 4 osii față de numărul celor cu 2 osii este în raport de 3 : 1. Numărul total al vagoanelor este 31, iar numărul total de osii este 105.

Să de determine numărul de vagoane de fiecare gen în parte.” (13 / 4 / 231).

Rezolvare

Să presupunem că toate cele 31 de vagoane ar avea fiecare câte 3 osii.

1. Aflăm câte osii au vagoanele pe baza presupunerii:

31 x 3 = 93 (osii)

2. Cu câte osii am obținut mai puțin decât în realitate?

105 – 93 = 12 (osii)

– De unde provin aceste 12 osii în minus?

Deoarece în problemele obișnuite de acest tip apăreau 2 mărimi ce trebuiau comparate, în această problemă suntem nedumeriți deocamdată, deoarece avem vagoane de 3 tipuri. Trebuie să comparăm vagoanele cu 3 osii cu grupe de vagoane cu 2 osii și 4 osii. La fiecare vagon cu 2 osii corespund 3 vagoane cu 3 osii (raport 3 : 1), deci ele formează un grup de patru vagoane. Să comparăm acest grup de patru vagoane cu un grup de 4 vagoane cu trei osii. Primul grup de patru vagoane are:

1 x 2 + 3 x 4 = 14 (osii)

Un grup de 4 vagoane cu câte 3 osii are: 4 x 3 = 12 (osii)

Deci când am presupus că toate vagoanele ar avea 3 osii, am obținut cu 12 osii mai puțin decât în realitate. De ce? Deoarece la un grup de 4 vagoane, format dintr-un vagon cu 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii fiecare, grup care are 14 osii, am socotit că ar fi un grup de 4 vagoane cu câte 3 osii fiecare, grup ce are 12 osii. Deci cu 14 – 12 = 2 osii mai puțin.

La câte asemenea grupuri (un vagon 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii fiecare) am socotit cu 2 osii mai puțin?

La 12 : 2 = 6 grupuri

Dar un asemenea grup conține doar un vagon cu 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii.

Deci cele 6 grupuri vor avea 6 vagoane cu câte 2 osii și 6 x 3 = 18 vagoane cu câte 4 osii fiecare.

Înseamnă că numărul vagoanelor cu 3 osii va fi:

31 – (6 + 18) = 7 (vagoane cu câte3 osii)

Răspuns: 6 vagoane cu câte 2 osii

7 vagoane cu câte 3 osii

18 vagoane cu câte 4 osii

Verificare: 6 + 7 + 18 = 31 (vagoane)

6 x 2 + 7 x 3 + 18 x 4 = 12+ 21 + 72 = 105 (osii)

De obicei, în practica școlară la clasele I – IV întâlnim probleme în care elaborarea unei singure ipoteze este suficientă pentru rezolvarea problemei, ca în problemele ilustrate. Dacă nivelul clasei permite, în clasa a IV-a, se pot propune spre rezolvare și probleme în care elaborarea unei singure ipoteze nu conduce la soluționarea problemei.

Exemplu:

„Peste doi ani vârsta mamei va fi de 3 ori mai mare decât a fiului. Acum 2 ani vârsta fiului era de 5 ori mai mare decât a surorii sale. Peste 8 ani vârsta mamei va fi de 4 ori mai mare decât vârsta fiicei.

Care este vârsta fiecăruia?” (/ 18 / 1 / 47)

În general, am rezolvat astfel de probleme utilizând metoda figurativă. Să urmărim cum se poate ajunge la soluționarea problemei prin metoda ipotezelor:

Rezolvare

Presupunem că în urmă cu doi ani, vârsta fiicei era de 1 an. Ne putem folosi de o înregistrare a datelor ipotetice în tabel, pentru a urmări mai bine diferențele survenite și pentru a ușura procesul de gândire.

Urmărim raționamentul și completăm pe rând datele în tabel.

Presupunând că în urmă cu doi ani fiica avea 1 an și corelând cu datele problemei – acum doi ani vârsta fiului era de 5 ori mai mare decât a surorii sale – rezultă, în baza ipotezei emise, că fiul avea în urmă cu doi ani 5 ani (completăm în tabel).

Peste alți 2 ani (din momentul prezent – deci la o diferență de 4 ani) fratele, său va avea: 5 + 4 = 9 (ani). Din enunțul problemei știm că peste 2 ani (rubrica pe care o completăm acum) vârsta mamei va fi de 3 ori mai mare decât a fiului. Cunoscând presupusa vârsta a fiului, 9 ani, înseamnă că putem afla ce vârstă va avea mama peste 2 ani:

9 x 3 =27 (ani), ceea ce înseamnă că în rubrica „în urmă cu 2 ani” (deci în urmă cu 4 ani de fapt) vârsta mamei este de:

27 – 4 = 23 (ani)

Pentru a completa datele din coloana a treia ne raportăm fie la prima coloană – și atunci mărim vârstele cu: 2 + 8 = 10 (ani) – fie la coloana a doua și atunci mărim vârstele cu 8 – 2 = 6 (ani).

Rezultatele obținute sunt aceleași.

Din datele problemei reiese că peste 8 ani mama ar trebui să aibă o vârstă de 4 ori mai mare decât fiica, adică:

11 x 4 = 44 (ani)

Avem o diferență de:

44 – 33 = 11 (ani)

Întrucât pornind de la această diferență ar fi foarte anevoios să intervenim asupra datelor pentru a soluționa problema, se pot elabora oral ipoteze: fiica ar putea avea mai puțin de 1 an, în urmă cu doi ani, atunci mărim vârsta fiicei și facem aprecieri orale; observăm că e suficient să mai adăugăm un an la vârsta fiicei și obținem date satisfăcătoare. Calculul e simplu:

2 + 4 + 6 = 12 (ani)

12 x 4 = 48 (ani)

2. Completând un tabel asemănător pentru a înregistra datele obținute în urma elaborării celei de-a doua ipoteze.

Raționamentul este același, de aceea, îmi permit să nu-l mai enunț.

Înregistrarea se poate face într-un singur tabel, utilizând creioane colorate (la tablă cretă colorată).

3. În urma completării datelor în tabel putem afla vârsta fiecărei persoane:

fiica: 12- 8 = 4 (ani)

fiul: 20 – 8 = 12 (ani)

mama: 48 – 8 = 40 (ani)

Răspuns: fiica are 4 ani

fiul are 12 ani

mama are 40 ani

3.4. Probleme de rest în rest

În anumite probleme relațiile dintre mărimi sunt date într-o ordine succesivă și elementul necunoscut apare la începutul șirului de relații date în enunț. Dacă s-ar aplica ordinea dată a calculelor, atunci raționamentul devine greoi, sau chiar imposibil, datorită ordinii operațiilor și prezența elementului necunoscut. De aceea se parcurge „un drum invers” în efectuarea operațiilor, iar metoda care se folosește se numește metoda mersului invers.

„A rezolva un exercițiu sau o problemă prin metoda „mersului invers” înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Se numește „a mersului invers” deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei.”

Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv.

Exercițiile ce se pot obține din rezolvarea unora din aceste probleme sunt denumite de către elevi „exerciții cu x”. Ele nu sunt altceva decât ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care se rezolvă prin raționament aritmetic și nu pe bază de calcul algebric. Tratându-le aritmetic ele pot fi ușor rezolvate de elevii claselor I – IV și sunt bune prilejuri de consolidare a celor patru operații aritmetice, precum și a relațiilor dintre rezultatele operațiilor și numerele cu care se operează.

Problemele gen rest din rest au un enunț care le evidențiază denumirea și care în general se formulează astfel:

Cineva are de parcurs un drum. În prima zi parcurge o anumită fracție din el. A doua zi o parte (o fracție) din rest. A treia zi o parte din noul rest și așa mai departe, în a n-a zi parcurge ultimii „a” kilometri. Care este lungimea drumului?

Rezolvarea unei asemenea probleme începe cu ultima etapă de mers, cei „a” kilometri, observând ce fracție reprezintă ei din ultimul rest. Găsim astfel ultimul rest. Mergând în continuare în sens invers enunțului, observăm cât reprezintă acest ultim rest din restul precedent. Găsim penultimul rest. Continuând în același mod, calculăm pe R2 (al doilea rest), apoi pe Rl (primul rest) și, în fine, întregul drum.

Să pornim de la un exercițiu simplu:

„Mă gândesc la un număr a, pe care-l adun cu 5. Rezultatul îl înmulțesc cu 8. Am obținut 64. La ce număr m-am gândit?” (/ 16 / A / 61)

Când introducem acest tip de exerciții, ne jucăm cu copiii: le spunem să se gândească la un număr (fără să ni-l comunice), indicându-le apoi una sau mai multe operații, prin care să opereze asupra numărului, comunicând învățătorului rezultatul final, pornind de la care, învățătorul „va ghici” numărul la care s-a gândit elevul.

Dorința elevilor de „a ghici” și ei, îi va stimula în familiarizarea cu metoda mersului invers.

Să revenim la exemplul dat și să urmărim raționamentul:

– ce număr înmulțit cu 8 ne dă 64? (8);

– ce număr este cu 5 mai mic decât 8? (8 – 5 = 3).

Se constată că s-a gândit exercițiul pornind de la rezultat, ajungând în final să descoperim numărul inițial.

Pentru rezolvare, se folosesc 2 metode:

Metoda I – scriu datele problemei sub forma unui exercițiu:

(a + 5) x 8 = 64

Din egalitățile de mai sus trebuie să aflu numărul la care m-am gândit.

– Aflu mai întâi pe a + 5 (ca fiind factor 1)

a + 5 = 64 : 8, adică a + 5 = 8

– Aflu apoi pe a (ca fiind termen 1)

a = 8 – 5

a = 3

Numărul 3 este numărul la care m-am gândit.

Verificare: (3 + 5) x 8 = 8 x 8 = 64

Metoda II – corespunzător enunțului problemei alcătuiesc o schemă de calcul:

+ 5 x 8

Urmărind drumul invers (deci și operațiile inverse), putem alcătui o nouă schemă de calcul care ne conduce la soluționarea problemei.

+ 5 x 8

– 5 : 8

Cum am gândit?

? x 8 = 64, deci ? = 64 : 8 = 8

a + 5 = 8

a = 8 – 5

a = 3

„a” este numărul la care m-am gândit.

Răspuns: 3

Un alt exemplu:

„Cu ce număr natural trebuie să-l înlocuiești pe x, astfel încât să existe relația:

(x : 5 + 6) x 3 + 4 = 25?” (/ 16 / B / 62)

Rezolvare

Metoda I

(x : 5 + 6) x 3 + 4 = 25

(x : 5 + 6) x 3 = 25 – 4

(x : 5 + 6) x 3 = 21

x: 5 + 6 = 21 : 3

x : 5 + 6 = 7

x : 5 = 7 – 6

x: 5 = 1

x =1 x 5

x = 5

Verificare: (5 : 5 + 6) x 3 + 4 = (1 + 6) x 3 + 4 =

= 7 x 3 + 4 =

= 21 + 4 =

= 25

Metoda II

Corespunzător exercițiului alcătuiesc schema grafică:

: 5 + 6 x 3 + 4

Completez schema de mai sus astfel:

: 5 + 6 x 3 + 4

x 5 – 6 : 3 – 4

Răspuns: x = 5

Alte tipuri de exerciții sunt foarte antrenante, rezolvarea lor permițând elevilor să rezolve cu ușurință și probleme prin metoda mersului invers.

Exemple:

„Ionel a rezolvat de trei ori mai multe probleme decât Roxana. Dacă Ionel ar fi rezolvat cu 2 probleme mai mult, atunci ar fi fost 17 probleme. Câte probleme a rezolvat Roxana?” (/ 17 / 9 / 226)

Rezolvare

Metoda I

Deoarece Ionel nu a rezolvat cele 2 probleme, înseamnă că a rezolvat doar 15 probleme. Numărul problemelor rezolvate de Ionel (15) este de trei ori mai mare decât numărul problemelor rezolvate de Roxana. Deci Roxana a rezolvat:

15 : 3 = 5 (probleme)

Răspuns: 5 probleme

Verificare: 3 x 5 + 2 = 17

Metoda II:

Reprezentăm grafic datele problemei și relațiile dintre ele:

nr. de probleme rezolvate de Roxana

nr. de probleme rezolvate de Ionel

2

nr. de probleme rezolvate de Ionel cu 2 mai mult

Deci, Ionel a rezolvat:

17 – 2 = 15 (probleme)

Roxana a rezolvat de 3 ori mai puține:

15 : 3 = 5 (probleme)

Răspuns: 5 probleme

Metoda III – alcătuim și completăm schema:

x 3 + 2

: 3 – 2

Răspuns: 5 probleme

„Ionel are cu 150 lei mai mult decât Vasile, iar Nicușor are de două ori mai mult decât Vasile; Cornel cu 400 lei mai puțin decât Nicușor, adică 300 lei.

Câți lei are Ionel?” (/ 17 / 3 / 49)

Aplicând metoda mersului invers, problema nu ridică nici un fel de dificultate.

Rezolvare

1. Câți lei are Nicușor?

300 + 400 = 700 (lei)

2. Câți lei are Vasile?

700 : 2 = 350 (lei)

3. Câți lei are Ionel?

350 + 150 = 500 (lei)

Răspuns: 500 lei

„Participând la o excursie de 4 zile, Sorin își propune să cheltuiască suma de bani primită de la părinții săi astfel: în prima zi va cheltui jumătate din întreaga sumă, a doua zi ¼ din suma rămasă, a treia zi jumătate din suma rămasă după a doua zi. În ultima zi cheltuiește restul, adică 3000 lei.

Ce sumă a primit Sorin de la părinți?” (/ 16 / 1 / 137)

Întocmesc schema urmând mersul firesc al enunțului:

Suma primită

½

În prima zi Sorin cheltuiește

¼

În a doua zi Sorin cheltuiește

½

Sorin cheltuiește a treia zi

3000

Pentru a patra zi i-au rămas

În rezolvarea problemei pornesc de la suma cheltuită în ultima zi:

Rezolvare

1. Ce sumă îi rămâne după a doua zi?

2 x 3000 = 6000 (lei)

2. Ce sumă a cheltuit a doua zi?

6000 : 3 = 2000 (lei)

3. Ce sumă îi rămâne după prima zi?

4 x 2000 = 8000 (lei)

4. Ce sumă a primit Sorin de la părinți?

2 x 8000 = 16000 (lei)

sau

8000 + 8000 = 16000 (lei)

Răspuns: 16000 lei

Verificare:

Cheltuit Rămas

Ziua I: ½ din 16000 = 8000 (lei) După prima zi:16000 – 8000 = 8000 (lei)

Ziua a II-a: ¼ din 8000 = 2000(lei) După a II-a zi au rămas: 8000 – 2000 = 6000 (lei)

Ziua a III-a: 1/3 din 6000 = 3000(lei) Au rămas după a III-a zi: 6000 – 3000 = 3000 (lei)

Ziua a IV-a: 3000 lei

Alt exemplu:

„Un călător are de făcut un drum. În prima zi merge 3/10 din el, a doua zi 2/7 din rest, a treia zi 3/5 din rest și a patra zi ultimii 20 km.

Care este lungimea drumului?” (/13 / 1 / 233)

De un real folos ne este, în rezolvarea acestei probleme, reprezentarea grafică.

Figurăm printr-un segment lungimea drumului și „scoatem” din el distanța parcursă în cele trei zile, în a patra zi am figurat ce a mai rămas de parcurs, adică ultimii 20 de km.

3/10

I zi

R1

2/7

a II-a zi

R2

3/5

a III-a zi

a IV-a zi

20 km

Pe graficul astfel realizat „aplicăm” raționamentul:

– Unde trebuie să ajungem? (la segmentul inițial – lungimea drumului).

– Ce știm sau ce vedem pe grafic? (că ultimii 20 km reprezintă 2/5 din R2).

– Deci îl putem afla pe R2?(Da)

– Cunoscând pe R2 și observând că el reprezintă 5/7 din R1, ce putem afla? (pe R1).

– Cunoscând pe R1 și observând că el reprezintă 7/10 din lungimea drumului, ce putem afla? (lungimea drumului și am terminat deoarece am răspuns la întrebarea problemei).

Să lucrăm efectiv acum:

1.A câta parte din R2 reprezintă cei 20 km? (distanța în a patra zi).

5/5 – 3/5 = 2/5

2. Aflăm al doilea rest:

20 : 2/5 = 20 x 5/2 = 50 (kilometri)

3. Aflăm a câta parte din R1 reprezintă R2:

7/7 – 2/7 = 5/7

4. Aflăm pe R1:

50 : 5/7 = 50 x 7/5 = 70 (km)

5. Aflăm a câta parte din lungimea drumului reprezintă R1:

10/10 – 3/10 = 7/10

6. Aflăm lungimea drumului:

70 : 7/10 = 70 x 10/7 = 100 (km)

Răspuns: drumul parcurs este de 100 km

Verificare: Se poate face și pe baza unei noi reprezentări grafice (că cea inițială) care să evidențieze valoric distanțele parcurse și rămase de fiecare dată.

Exemplificăm cu încă o problemă (frumoasă) din această categorie:

„Doi elevi l-au întrebat pe învățătorul lor câți ani are.” Acesta le-a răspuns:

„Dacă voi mai trăi încă un sfert din cât am trăit și încă 5 ani, atunci voi avea 50 de ani.”

„Ce vârstă are învățătorul?”

Folosind reprezentarea grafică și în acest caz, prezenta problemă se apropie foarte mult de sfera problemelor tipice în care se cunoaște suma și diferența sau suma și raportul și se rezolvă cu multă ușurință.

O încadrăm în categoria problemelor care se rezolvă prin metoda mersului invers,

întrucât succesiunea operațiilor logice ale gândirii și implicit a raționamentului matematic se înscriu în acest „mers”.

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic datele problemei:

vârsta învățătorului

50 ani

diferența până la 50 ani

Reprezentarea de mai sus permite oricărui rezolvitor să găsească (să vadă) cu multă ușurință soluția problemei.

2. Cât reprezintă un sfert din vârsta învățătorului?

(50- 5) : 5 = 45 : 5 = 9 (ani)

3. Ce vârstă are învățătorul?

9 x 4 = 36 (ani)

Răspuns: 36 ani

Verificare:

36 + [(36 : 4) + 5] =

= 36 + (9 + 5) =

= 36+ 14 =

= 50 (ani)

3.5. Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate

Prin metoda reducerii la unitate se rezolvă unele probleme în care datele depind unele de altele succesiv. Ca și în metoda comparației, se recurge la așezarea datelor pe două șiruri care ușurează procesul de gândire în examinarea problemei.

Această metodă prezintă avantajul că este foarte accesibilă elevilor și poate fi utilizată într-o gamă variată de procedee.

Ea se poate sintetiza prin regula: pentru a ști valoarea mai multor unități, trebuie să determinăm valoarea unei singure părți (unități) și invers.

Foarte important în această metodă este stabilirea felului de dependență dintre mărimi (direct sau invers proporțional).

Astfel:

1) „Două mărimi care depind una de alta se numesc direct proporționale dacă îndeplinesc condițiile:

a) Dacă una crește și cealaltă crește;

b) Dacă una crește de n ori (n Є N*) atunci cealaltă crește de același număr de ori.”

2) „Două mărimi care depind una de alta se numesc invers proporționale dacă îndeplinesc condițiile:

a) Dacă una crește, cealaltă descrește;

b) Dacă una crește de n ori (n Є N*) atunci cealaltă descrește de n ori.”

În ambele situații, fie că sunt mărimi direct proporționate, fie că sunt mărimi invers proporționale, enunțul cuprinde trei elemente cunoscute și unul necunoscut, două câte două de același fel. Cu ajutorul celor trei mărimi cunoscute se află cea de-a patra mărime.

De fapt, în utilizarea acestei metode se aplică o regulă – de trei simplă sau compusă – și se utilizează un procedeu – o metodă – reducerea la unitate sau a proporțiilor.

Metoda reducerii la unitate este aplicabilă problemelor din clasa a IV-a, deoarece ea urmărește un raționament mai apropiat de înțelegerea concretă a elevilor.

Metoda proporțiilor cere însa cunoștințe matematice pe care elevii le parcurg abia la gimnaziu.

Regula de trei simplă, este astfel denumită deoarece în fiecare problemă care se rezolvă prin această regulă, sunt date trei numere și caută al patrulea, proporțional cu numerele date.

Să luăm ca exemplu o problemă care se rezolvă folosind regula de trei simplă, prin metoda reducerii la unitate, metoda folosită în ciclul primar.

„O cantitate de 250 kg cartofi a fost ambalată în 10 lăzi. Dar 375 kg cartofi în câte lăzi se vor ambala?” (/ 13 / 1 / 244)

Rezolvare

Așezăm datele problemei pe două șiruri, în mod corespunzător:

250 kg ……………… 10 lăzi

375 kg ………………..x lăzi

Raționamentul este foarte simplu în probleme de acest gen care se pot introduce din clasa a III-a, după ce elevii au învățat împărțirea.

În cazul nostru, raționamentul este următorul:

– Dacă 250 kg se ambalează în 10 lăzi, atunci pentru a ambala 1 kg, de câte lăzi avem nevoie? De mai multe, sau mai puține? (Evident mai puține).

– De câte ori mai puține? (De 250 ori mai puține). De 250 ori mai puține, deoarece cele două mărimi sunt direct proporționale, și dacă una din ele (cantitatea de cartofi) s-a micșorat de 250 de ori, atunci și cealaltă, (numărul de lăzi) se va micșora tot de 250 de ori.

– Deci, pentru ambalarea unui kg de cartofi vor fi necesare 10/250 lăzi. Se cheamă că am redus la unitate (în cazul nostru 1 kg) mărimea reprezentată prin cantitatea de cartofi. Acum introducem datele de pe al doilea șir (rând). Pe noi ne interesează câte lăzi sunt necesare pentru ambalarea a 375 kg de cartofi.

– Dacă pentru 1 kg mere ne trebuie 10/ 250 lăzi, pentru 375 kg cartofi ne trebuie mai multe sau mai puține lăzi (mai multe – mărimi direct proporționale).

– Cât de multe? (de 375 ori mai multe lăzi).

– Cum aflăm această cantitate (prin înmulțire).

– Deci pentru 375 kg de cartofi ne trebuie 10/ 250 x 375 = 15 (lăzi)

Raționamentul de mai sus se scrie astfel:

250 kg …………… 10 lăzi

1 kg ………………..10/ 250 (lăzi)

375 kg ………………10/ 250 x 375 = 15 (lăzi)

Aceasta este etapa reducerii la unitate.

Răspuns: 10 lăzi

Un alt exemplu:

„Executăm lucrări de întreținere într-o livada. 7 lucrători agricoli sapă într-o zi 357 de pomi. Știind că mai sunt de săpat 816 pomi și au mai rămas doar 4 lucrători, să se afle în cât timp se va termina lucrarea. (Lucrătorii au aceeași productivitate).” (/ 16/ B / 125)

Rezolvare

Mărimile cunoscute sunt: numărul lucrătorilor agricoli și numărul de pomi.

Mărimea care se cere este timpul în care vor termina lucrarea.

Pentru a înțelege mai bine problema așez datele astfel:

7 lucrători …………… 357 pomi …………… o zi

4 lucrători …………… 816 pomi …………… ? zile

Dacă 7 lucrători sapă într-o zi 357 pomi, atunci

11ucrător sapă într-o zi 357 : 7 = 51 (pomi).

4 lucrători sapă într-o zi 51 x 4 = 204 (pomi).

Pentru cei 816 de pomi le trebuie:

816 : 204 = 4 (zile)

Răspuns: 4 zile

Analog (prin reducere la unitate) se rezolvă și următoarele probleme:

a) „Cinci camioane transportă într-o zi 250 tone de porumb.

Câte tone de porumb pot transporta într-o zi 8 camioane de aceeași capacitate?”

(I 16 / 1 / 126)

b) „Trei agricultori culeg într-o zi 624 kg mere.

Câte kg de mere vor culege într-o zi 7 agricultori?” (/ 16 / 2 / 126)

Examinând toate cele două probleme propuse și elaborând planul logic de rezolvare, oral, se constată că mărimile ce intervin în probleme sunt direct proporționale (traductibil în limbajul micilor școlari: dacă o mărime crește (se micșorează) de un număr de ori și cealaltă crește (se micșorează) de același număr de ori) și că în rezolvarea fiecăreia în parte trebuie să facem apel la „reducerea la unitate”.

Iată și rezolvările la care se ajunge (schema rezolvărilor):

a) 5 camioane ……………250 t de porumb …………o zi

1 camion ………………250 t : 5 = 50 t

8 camioane ……………. 50 t x 8 = 400 t (porumb)

Răspuns: 400 t de porumb

b) 3 agricultori …………. 624 kg mere

1 agricultor ……………624 : 3 = 208 (kg mere)

7 agricultori ………….. 208 x 7 = 1456 (kg mere)

Răspuns: 1456 kg mere

Să ne oprim asupra unei probleme în care mărimile date sunt invers proporționale:

„Un număr de 26 lucrători sapă un șanț în 17 zile.

În câte zile vor săpa același șanț 34 lucrători?” (/ 13 / 2 / 245)

Analizând problema se constată că mărimile care intervin nu se află în același raport ca și cele întâlnite în problemele anterioare.

Dacă 26 lucrători sapă un șanț în 17 zile, unui singur lucrător (aplicăm metoda reducerii la unitate) i-ar trebui un număr de zile de 26 ori mai mare, adică:

26 x 17 = 442 (zile) (o mărime s-a micșorat de un număr de ori – nr. lucrătorilor- și cealaltă s-a mărit de același număr de ori – nr. zilelor).

Mergând mai departe, observăm același lucru:

Dacă unui lucrător i-ar trebuie 442 zile să sape șanțul, ca lucrarea să fie gata într-un număr mai mic de zile (s-a micșorat o mărime) e nevoie de mai mulți sau mai puțini lucrători? (de mai mulți).

– De câți lucrători ar fi nevoie? (de atâția lucrători de câte ori 34 se cuprinde în 442).

Deci:

26 lucrători …………….17 zile

1 lucrător ……………… 26 x 17 = 442 (zile)

34 lucrători ……………. (26 x 17) / 34 =13 (zile)

Răspuns: 13 zile

Alte exemple – probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate, în care

mărimile sunt invers proporționale:

„Școala noastră poate să fie zugrăvită de 4 zugravi în 9 zile.

Câți zugravi trebuie să lucreze pentru a termina lucrul în 6 zile?” (/17 / 24 / 223)

Rezolvare

Se observă că dacă mărimea „numărul de zugravi” se micșorează de a ori, atunci mărimea „număr de zile” crește de a ori. Spunem că cele două mărimi sunt invers proporționale.

9 zile ………….. 4 zugravi

9 x 4 = 36 zile ……………1 zugrav

6 zile ………….. 36 : 6 = 6 (zugravi)

Răspuns: 6 zugravi

„Pentru golire, o cisternă în care se găsesc 8000 litri de benzină este prevăzută cu 5 robinete identice. Dacă se deschid 2 robinete, cisterna se golește în 40 minute.

In câte minute se va goli cisterna dacă se deschid toate cele 5 robinete?” (/ 16 / c / 126)

Rezolvare

Prin 2 robinete curg ………… 8000 l în ………….. 40 minute

Printr-un robinet curg ………..8000 l în ………….. 40 x 2 = 80 (minute)

Prin 5 robinete curg ………….8000 l în ………….. 80 : 5 = 16 (minute)

Răspuns: 16 minute

4. Rezolvarea problemelor cu conținut geometric

Predarea și învățarea cunoștințelor de geometrie în clasele primare au drept scop principal dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copii necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei, deci o bază reală și sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spațiale ale materiei.

Prin natura și caracterul lor, cunoștințele de geometrie impun un tip de învățare inițială dominant intuitivă. Aceasta nu înseamnă însă că elevii vor rămâne numai la nivelul unor imagini vizuale, ci, treptat, trebuie să fie conduși să realizeze operații de abstractizare necesare înțelegerii proprietăților și relațiilor existente și specifice figurilor studiate.

Geometria are pentru copiii din învățământul primar și un pronunțat caracter educativ, prin aportul ei la dezvoltarea facultăților mintale și prin evidentele valențe formative.

Ea are o contribuție valoroasă la formarea spiritului de observație, la rafinarea operațiilor de analiză și sinteză, vizând legăturile dintre proprietățile figurilor, orientate progresiv spre redescoperirea relațiilor intime în structura figurilor, precum și la formarea conduitei rezolutive, vizând construcția unor noi căi de rezolvare a problemelor sau de verificare a adevărurilor matematice (geometrice).

Primele probleme cu conținut geometric apar în manualul de clasa a III-a, prin rezolvarea acestora realizându-se consolidarea noțiunilor de lungime, lățime, înălțime. Rezolvarea acestor probleme pune bazele formării deprinderilor de a afla lungimea sau lățimea, în general dimensiunile figurilor învățate (pătrat, dreptunghi, triunghi) precum și perimetrul lot fără precizarea noțiunii și determinarea formulei. (Învățătorul dă aceste noțiuni și formule elevilor, pentru a se familiariza cu termenii de vocabular matematic).

Având în vedere stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirma că succesul în dobândirea cunoștințelor de geometrie depinde în mod semnificativ de învățător, de felul cum acesta reușește să conducă procesul predării-învățării și evaluării, de felul cum sunt orientați elevii să poată conștientiza, descoperi și aplica prin transfer aceste cunoștințe, priceperi și deprinderi.

Problemele cu conținut geometric au o contribuție importantă la dezvoltarea gândirii logico-matematice a elevilor din clasele mici.

Exemple:

„Perimetrul unui triunghi este de 18 cm și are toate laturile egale.

Care este lungimea unei laturi?” (/ 16 / 5 / 94)

Se trece la examinarea problemei și elaborarea orală a planului logic de rezolvare:

– Pentru că datele problemei se referă la o figură geometrică, ce vom face mai întâi? (vom desena un triunghi).

B

A C

– Ce știm din enunțul problemei? (Că acest triunghi are laturile egale și perimetrul este de 18 cm).

– Cunoscând aceste date, putem găsi soluția problemei? (Da).

– Cum gândim? (Știm că dacă perimetrul este de 18 cm și cum perimetrul este suma celor trei laturi ale triunghiului (laturi egale), atunci o latură are o lungime de trei ori mai mică).

– Prin ce operație vom afla lungimea unei laturi? (Prin operația de împărțire).

Putem spune că și rezolvarea problemelor cu conținut geometric este precedată de

examinarea analitico-sintetică.

Rezolvare

1. Care este lungimea unei laturi a triunghiului?

P∆ = AB + AC + BC = 3 x AB

P∆ = 18 cm

18 cm : 3 = 6 cm

Răspuns: 6 cm

Verificare: 6 cm + 6 cm + 6 cm = 18 cm

„Bunicul meu are un teren care are forma unui dreptunghi. Lungimea terenului este de 32 m, iar lățimea este de 2/8 din lungime. Vrem să-l împrejmuim: Află lungimea gardului.” (/ 16 / 4 / 96)

Pentru a facilita înțelegerea și rezolvarea problemei ne folosim de desen – desenăm terenul care are forma unui dreptunghi și notăm dimensiunile cunoscute. Cu o linie punctată reprezentăm gardul ce înconjoară curtea.

D 32 m C

2/8

din

32 m 2/8 din 32 m (8m)

(8m)

32 m

Elevii vor realiza că pentru a afla lungimea gardului ce înconjoară terenul trebuie să cunoască dimensiunile terenului: lungimea și lățimea.

Examinând problema, constatăm că nu cunoaștem mărimea concretă decât a unei dimensiuni – lungimea, pe cealaltă trebuie să o aflăm.

Rezolvare

1. Aflăm lățimea terenului:

2/8 din 32 m =(32 : 8) x 2 = 4 x 2 = 8 (m) – se completează pe figură

2. Aflăm lungimea gardului ce înconjoară terenul:

32 m + 8 m + 32 m + 8 m = 80 m

Răspuns: 80 m

În această problemă elevii au fost solicitați practic să afle perimetrul dreptunghiului (prin perimetru înțelegând suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri).

Observația elevilor poate fi dirijată spre sesizarea relațiilor ce există între laturile unui dreptunghi: sunt egale două câte două.

Dacă nivelul clasei permite se pot prezenta și celelalte moduri de a mai calcula lungimea gardului ce înconjoară terenul:

(32 x 2) + (8 x 2) = 64 + 16 = 80 (m)

sau

(32 + 8) x 2 = 40 x 2 = 80 (m) – modalități care reprezintă tot atâtea modalități de aflarea a perimetrului dreptunghiului:

P = (L x 2) + (l x 2)

sau

P = (L x l) x 2

Introducerea elevilor în cunoașterea elementelor de geometrie se face treptat, cu reluări, aprofundări și extinderi. Acest lucru atrage după sine și modificarea conținutului problemelor de acest fel, gradul de dificultate ridicat de acestea.

Exemplu:

„Perimetrul unui triunghi este de 90 cm. Lungimile laturilor sunt exprimate prin trei numere consecutive.

Află lungimea celor trei laturi ale triunghiului.” (/ 16 / 2 / 107)

În urma examinării problemei, elevii vor constata că rezolvarea ei se încadrează în sfera problemelor tipice, în care se cunoaște suma și diferența, deci prin metoda figurativă.

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic lungimea laturilor triunghiului:

A l1

l2 1 90 cm

l3 1 1

B C

2. Aflăm laturile triunghiului:

l1 = (90 – 3) : 3 =

= 87 : 3 =

= 29 (cm)

l2 = 29 + 1= 30 (cm)

l3 =30 + 1 =31 (cm)

Răspuns: 29 cm, 30 cm, 31 cm

Verificare: 29 cm + 30 cm + 31 cm = 90 cm

„Perimetrul unui pătrat este de 36 dm. Să se afle perimetrul unui dreptunghi care are lungimea de 5 ori mai mare decât latura pătratului, iar lățimea de 3 ori mai mică decât latura pătratului.” (/ 17 / 4 / 149)

Examinând conținutul problemei, elevii cu ajutorul învățătorului vor ajunge la concluzia că pentru a putea afla perimetrul dreptunghiului e necesar să cunoască dimensiunile laturilor (lungimea și lățimea) a căror mărime este corelată cu laturile pătratului.

În urma examinării problemei, rezolvarea nu ridică probleme.

Rezolvare

1. Aflăm latura pătratului:

1 = P : 4 = 36 dm : 4 = 9 dm

2. Aflăm lungimea dreptunghiului:

L = 1 x 5 = 9 dm x 5 = 45 dm

3. Aflăm lățimea dreptunghiului:

l = l : 3 = 9 dm : 3 = 3 dm

4. Aflăm perimetrul dreptunghiului (după una din formulele învățate):

P = (L + 1) x 2 = (45 + 3) x 2 = 48 x 2 = 96 (dm)

Răspuns: P = 96 (dm)

Așa cum s-a putut constata, un prim „salt” se înregistrează în sfera tipului (categoriilor) de probleme cu conținut geometric pe care elevii sunt solicitați să le rezolve: se poate de la rezolvarea problemelor simple, în care facem apel și la desen, la rezolvarea problemelor compuse, în rezolvarea cărora, utilizarea desenului este facultativă, sporește gradul de abstractizare.

„Saltul” cel mai important se produce, în fapt, în planul proceselor psihice.

Să urmărim în continuare rezolvarea unei probleme cu conținut geometric, nivel de clasa a IV-a când se introduce și noțiunea de „arie”.

„Un dreptunghi are lungimea de 6 cm și aria de 24 cm2.

Calculează perimetrul dreptunghiului.” (/ 16 / 2 / 107)

Pentru a afla perimetrul dreptunghiului, e necesar să cunoaștem dimensiunile dreptunghiului: lungimea – care este cunoscută – și lățimea; pentru a afla lățimea, facem apel la formula de aflare a ariei dreptunghiului: A = L x l.

În baza acestui raționament se elaborează următorul plan de rezolvare:

Rezolvare

1. Aflăm lățimea dreptunghiului:

A =L x l l =A : L

L = 24 cm2 : 6 cm = 4 cm

2. Aflăm perimetrul dreptunghiului:

P = (L + l) x 2 =

= (6 cm + 4 cm) x 2 = 10 cm x 2 = 20 cm

Răspuns: 20 cm

Alte exemple:

„Aria unui dreptunghi este de 400000 m2. Lățimea dreptunghiului este de 100 m.

Află latura unui pătrat care are același perimetru cu perimetrul dreptunghiului.” (/ 17 / 13 / 215)

Rezolvare

1. Aflăm lungimea dreptunghiului:

A = L x l L = A : l

L = 400000 m2: 100 m = 4000 m

2. Aflăm perimetrul dreptunghiului (al pătratului):

P = (L + l) x 2 =

= (4000 m + 100 m) x 2 =

= 4100 m x 2 = 8200 m

3. Aflăm latura pătratului:

l = P : 4 = 8200 m : 4 = 2050 m

Răspuns: 2050 m

„Lățimea unui teren sub forma dreptunghiulară este cât jumătate din lungime; tar

perimetrul este 366 m.

Care este suprafața terenului?” (/ 17 / 11 / 215)

Rezolvare

1. Aflăm semiperimetrul dreptunghiului:

Sp = P : 2 = 366m : 2 = 183 m

2. Aflăm dimensiunile dreptunghiului:

L

l 183 m

l = 183m : 3 = 61 m

L = 61m x 2 = 122 m

3. Aflăm aria dreptunghiului:

A = L x l = 122m x 61 m = 7442 m2

Răspuns: 7442 m2

În rezolvarea problemelor cu conținut geometric elevii fac apel la toate cunoștințele de geometrie însușite, precum și la priceperile și deprinderile din domeniul metodologiei rezolvării problemelor.

5. Rezolvarea problemelor de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una din mărimile: distanța, viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Distanta (d) – este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc) exprimată în unități de lungime (metri, multiplii sau submultiplii lui);

Viteza (v) – este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime, pe unități de timp (exemplu: m / s; km / h); .

Timpul (t) – este un număr de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spațiu.

În general, în problemele de mișcare se va vorbi de mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale mobilul parcurge distanța după relația:

d = v x t

Din această relație se poate deduce:

v = d : t și t = d : v.

Putem diferenția, la ciclul primar, trei tipuri de probleme de mișcare:

a) probleme simple de mișcare, ce conduc direct la rezolvări simple de aflare a spațiului, vitezei sau timpului;

b) probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse;

c) probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în același sens.

Să ne oprim puțin asupra fiecăreia din aceste categorii de probleme.

a) Probleme ce conduc direct la rezolvări simple de aflare a spațiului, vitezei sau

timpului.

Exemple:

„Andrei parcurge dus – întors, un drum cu lungimea de 420 m și altul cu 19 m mai

scurt.

Câți metri a parcurs Andrei?”

Rezolvare

În urma examinării problemei se ajunge la următoarea rezolvare:

420 + (420 – 19) = 420 + 411 = 831 (m)

Răspuns: 831 m

„Un biciclist s-a deplasat cu o viteză medie de 18 km pe oră timp de 6 ore.

Ce distanță a parcurs?”

Rezolvare

Dacă într-o oră biciclistul parcurge 18 km, în 6 ore va parcurge o distanță de 6 ori mai mare, deci:

18 x 6 = 108 (km)

Răspuns: 108 km

„Un avion de pasageri a străbătut în 7 ore 2100 km.

Cu ce viteză medie, exprimată în kilometri pe oră, s-a deplasat avionul?”

Raționamentul este simplu: dacă în 7 ore avionul străbate 2100 km, într-o singură oră va străbate o distanță de 7 ori mai mică, deci:

2100 : 7 = 300 (km/h)

Răspuns: 300 km/h

„Un elev merge cu o viteză de 68 m pe minut.

În cât timp va parcurge distanța de 340 m de acasă până la școala?”

Examinarea problemei conduce la următorul raționament: dacă elevul parcurge 68 m într-un minut, pentru a parcurge distanța de 340 m, va avea nevoie de atâtea minute de câte ori distanța de 68 m se cuprinde în distanța de 340 m, deci de:

340 : 68 = 5 (minute)

Răspuns: 5 minute

b) Probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse

Exemple:

„Din orașul A a plecat la ora 11 dimineața un biciclist îndreptându-se spre orașul

B. El parcurge 16 km/h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din orașul B spre orașul A cu o viteză de 12 km/h.

Când și unde se vor întâlni ei, dacă distanța între A și B este de 328 km?”

(/ 13 / 1 / 253)

Rezolvare

Cunoaștem vitezele celor două mobile (în cazul nostru, vitezele bicicliștilor) si trebuie să stabilim la ce distanță se află unul de celalalt în momentul când începem să considerăm mișcarea unuia către celalalt.

Facem următorul grafic:

328 km

48 km 280 km

A B

C

16 km/h 16 km/h 12 km/h

1. Ce distanță a parcurs biciclistul din A în 3 ore, adică până în momentul plecării celui din B (distanța AC)?

16 x 3 = 48 (km)

2. La ce distanță se află cei doi bicicliști, unul de celălalt în momentul plecării celui din B (distanța CB)?

328 – 48 = 280 (km)

3. Cu cât se apropie cele două mobile într-o oră?

v1 + v2 = 16 + 12= 28 (km/h)

4. După cât timp se întâlnesc?

T = D / (v1 + v2) = 280 / 28 = 10 (ore)

Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau la:

10 + 3 = 13 (ore) după plecarea celui din A.

5. Când se întâlnesc (la ce oră)?

11 + 13 = 24 (h)

6. Unde se întâlnesc (la ce distanță de orașul A)?

16 x 13 = 208 (km)

Răspuns: La 208 km de orașul A

„Distanța dintre orașele București și Pitești este de 105 km. Doi bicicliști pornesc unul spre celălalt în același moment. Cel care pornește din București spre Pitești are viteza de deplasare de 10 km/h, iar celălalt care pornește din Pitești spre București are viteza de 11 km/h.

a) După cât timp se întâlnesc cei doi bicicliști?

b) La ce distanță de București are loc întâlnirea?”

Rezolvare

Mai întâi mă folosesc de un desen:

105 km

B P

10 km/h 11 km/h

Inițial distanța dintre cei doi bicicliști a fost de 105 km.

După o oră primul biciclist a parcurs 10 km, al doilea 11 km, deci distanța s-a micșorat cu 21 km.

1. După cât timp se întâlnesc cei doi bicicliști?

105 : 21 = 5 (ore)

2. Aflăm cât a parcurs biciclistul care pleacă din București în timp de 5 ore:

d = v x t = 10 x 5 = 50 (km)

Întâlnirea are loc la 50 km de București.

Răspuns: 5 ore; 50 km de București

c) Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens (urmărire)

„Din Cluj pornește la ora 8 spre Constanța un autocamion cu viteza de 45 km/h.

Constatându-se că șoferul a uitat actele de însoțire a mărfii transportate, pleacă la ora 10

în urmărirea sa un automobil cu viteza de 60 km/h.

a) La ce oră automobilistul ajunge camionul?

b) La ce distanță de Cluj are loc întâlnirea celor două automobile?”

(/ 16 / pr. 1/ 132)

Rezolvare

Din enunț reiese că problema este de mișcare, și anume de urmărire. Automobilistul urmărește autocamionul. Trebuie însă să stabilim în ce moment începe urmărirea și la ce distanță de Cluj se află autocamionul în momentul plecării automobilului.

1. Cât timp merge autocamionul până la plecarea automobilului?

10 – 8 = 2 (ore)

2. Ce distanță parcurge autocamionul până în momentul plecării automobilului?

2 ore x 45 km/h = 90 km

Grafic din acest moment, lucrurile se prezintă astfel:

60 km/h 45km/h

Cluj Constanța

90

3. Cu cât se apropie automobilul de autocamion în fiecare oră?

60 – 45 = 15 (km)

4. După câte ore se întâlnesc?

t = 90 : 15 = 6 (ore)

Plecând la ora 10, înseamnă că întâlnirea are loc la ora 16.

5. La ce distanță de orașul Cluj se face întâlnirea?

D = v x t = 60 x 6 = 360 (km)

Răspuns: a) Autocamionul este ajuns de automobil la ora 16

b) Întâlnirea are loc la 360 km

„Un tren mergând cu aceeași viteză , parcurge în 7 ore distanța de la stația A la stația B, de 238 km. După două ore de la plecarea trenului din A pleacă după el un alt tren. Cu ce viteză merge trenul al doilea, știind că îl ajunge pe primul într-o stație intermediară care se află la o distanță de 136 km de stația A?”

(/ 13 / pr. 2 / 250)

Rezolvare

Din examinarea enunțului desprindem ideea că este vorba despre o problema de mișcare în același sens (de urmărire). Observăm că din prima parte a enunțului putem determina viteza primului tren, cunoscând distanța pe care o parcurge într-un anumit interval de timp. Să gândim mai departe pentru a ne forma o imagine globală asupra rezolvării. Deoarece al doilea tren începe – urmărirea după două ore de la plecarea primului tren, am putea afla:

a) ce distanță a parcurs primul tren în două ore, sau –

b) la ce distanță se află primul tren de al doilea, când acesta din urmă pleacă, sau

c) care este decalajul dintre cele două trenuri în momentul când pleacă.

Deci:

1.Cu ce viteză merge primul tren?

238 : 7 = 34 (km/h)

2. La ce distanță se află primul tren în momentul plecării celui de-al doilea tren? (cât parcurge primul tren în 2 ore)

34 x 2 = 68 (km)

3. În cât timp parcurge al doilea tren distanța de 136 km până la punctul de întâlnire?

t = 136 : v2

4. În cât timp al doilea tren recuperează decalajul de 68 km?

t = 68: (V2 – 34)

Cele două timpuri sunt egale, deci avem:

136 / v2 = 68 / (v2 – 34) ; 2 / v2 = 1 / (v2 – 34)

2v2 – 68 = v2

v2 = 68 (km/h)

Răspuns: 68 km/h

„Un călăreț pleacă din orașul A îndreptându-se către orașul B cu viteza de 12 km/h. După 3 ore pleacă din A, în aceeași direcție un biciclist având viteze de 18km/h.

În cât timp îl va ajunge biciclistul pe călăreț?

La ce distanță de orașul A?” (/ 3 / 2 / 122)

Rezolvare

1. La ce distanță de orașul A se află călărețul în momentul plecării biciclistului?

12 x 3 = 36 (km)

2. Cu câți km se micșorează distanța între ei în fiecare oră?

18 – 12 = 6 (km)

3. Câte ore îi sunt necesare biciclistului pentru a recupera distanța de 36 km?

36 : 6 = 6 (ore)

4. La ce distanță de orașul A se întâlnesc?

18 x 6 = 108 (km)

Răspuns: în 6 ore

la km 108

Verificare:

Distanța parcursă de biciclist în 6 ore trebuie să fie aceeași cu cea străbătută de călăreț în 9 ore, deci:

18 x 6 = 12 x 9

108 (km) = 108 (km) A

6. Rezolvarea problemelor nonstandard

O categorie aparte de probleme care nu se supune exigentelor vreunui criteriu de

clasificare discutat până acum și care nu permite aplicarea unei metode (învățate) este cunoscută sub numele de probleme nonstandard.

Această categorie include probleme în fața cărora, după citirea enunțului, rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu reușește să le introducă în „canoanele” metodei de rezolvare bine știute. În această situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvitorul devenind, în situația în care reușește rezolvarea, un creator.

Conduita este creativă deoarece nici o problemă nu seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvitorul fiind obligat să găsească o anume cale de rezolvare proprie fiecărei probleme.

Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează cultivarea creativității elevilor din clasele I – IV (îndrăzneala, istețimea, spirit novator, iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformistul aplicării metodei); rezolvarea de probleme din această categorie favorizează crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă, cu consecințe favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, al apariției unor

satisfacții noi care întăresc pozitiv motivația școlară în sfere mai largi de activitate. În același timp, rezolvarea acestui tip de probleme contribuie la educarea unor trăsături evolutive pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voință de a învinge, dorința de autodepășire controlată didactic, etc).

Acest tip de probleme „probează” în cel mai înalt grad inteligența, logică și perspicacitatea elevilor, fapt pentru care, în manuale și culegeri le găsim astfel de probleme grupate sub generice sau titluri ca: „Probleme mai dificile, dar frumoase”, „Probleme distractive”, „Probleme de perspicacitate”, „Probleme recreative”, „Probleme diverse”, „Probleme pentru copii isteți și … atenți”, etc.

Exemple:

„Pe o masă sunt 6 pahare: 3 pline și 3 goale. Încercați să aranjați paharele într-o ordine alternativă, adică unul plin și unul gol, dar cu condiția să nu mișcăm decât un pahar.”

Rezolvare

Pentru a-i ajuta pe elevi în rezolvare vom reprezenta grafic problema astfel:

– Ce condiție trebuie să respectăm? (Va trebui să le așezăm în ordine alternativă și nu avem voie să mișcăm decât un pahar).

– Cum putem rezolva cerința? (Mutăm cel de-al cincilea pahar între primul și al treilea, iar pe al doilea în locul lui).

– În cazul acesta câte pahare mișcăm? (Mișcăm două pahare și ca urmare soluția propusă nu este corectă).

– Dar știind că paharele sunt umplute cu apă, care este un lichid și care curge ce am putea face? (Am putea goli apa din pahar).

Putem goli apa din al doilea pahar în cel de-al cincilea pahar și problema este rezolvată.

„Am două vase de 3 litri unul și de 7 litri al doilea. Noi avem nevoie de 4 litri de apă.

Cum măsurăm exact cei 4 litri de apă?”

– Ca să putem măsura apa, ce vom face cu ea? (o vom turna în vase)

– Care din cele două vase ar trebui umplut primul? (Vasul cel mare, din el vom turna apoi în vasul mic până îl vom umple).

Dacă umplem vasul mic care are 3 l, vor rămâne în vasul mare exact 4 l, cât doream noi să măsurăm.

„O gospodină venea de la piață ducând în coșuri 3 rațe, 2 iepuri și 4 găini. Puteți preciza câte picioare veneau de la piață?”

– Ce cunoaștem în problemă? (știm că gospodina aducea de la piață 3 rațe, 4 găini și 2

iepuri).

-Cum le aducea? (în coșuri)

– Deci, câte picioare veneau de la piață? (Veneau doar două, cele ale gospodinei).

Răspuns: două picioare

„Nelu are un frate și trei surori. Câți frați și câte surori are Ionela, sora lui?”

băiat

Nelu (băiat) fată (Ionela)

fată

fată

Încercăm să schimbăm locurile celor doi: Ionela în locul lui Nelu și invers.

băiat

Ionela (fată) băiat (Nelu)

fată

fată

Deci, se observă că Ionela are 2 frați și două surori.

Răspuns: Ionela are 2 frați

și două surori

„Într-o cameră sunt două mame, două fiice, o bunică și o nepoată. Câte persoane sunt în acea cameră?”

Continuând un raționament logic adecvat, conchidem că în cameră sunt 3 persoane:

bunica, care este una din mame,

cea de-a doua mamă este fiica bunicii și mama nepoatei bunicii,

nepoata este fiica celei de-a doua persoane (mame).

Răspuns: 3 persoane

Din manualul de clasa a II-a , de la „Zece probleme pentru copii isteți și … atenți”

supunem atenției următoarele probleme:

„Într-o cameră goală intră câteva pisici și se așează în colțurile camerei. Câte pisici au intrat în acea cameră, dacă fiecare pisică vede câte 3 pisici?”

(/ 4 / 3 / 107)

În acest caz gândirea logică ne conduce rapid la soluția problemei: în cameră sunt 4 pisici; o posibilă verificare fiind dată de faptul că o cameră are 4 colțuri și fiecare pisică nu se vede pe sine, ci pe celelalte din cele 3 colțuri.

Răspuns: 4 pisici

„Niște purceluși au pornit în șir, la vale.

Unu-n frunte, doi în spate,

Între ei unu-i desparte.

Unu-n coada șirului

Și doi înaintea lui.

Câți purcei sunt în șir?” (/ 4 / 2 / 107)

Vom încerca reprezentarea grafică a problemei.

– Cu ce vom începe? (Schițăm primul purceluș).

– Ce urmează apoi? (Urmează ceilalți doi care sunt din expresiile: „unu-n frunte”, „doi în spate”).

– Mai schițăm un purceluș amintit în expresia: „unu-n coada șirului”. (Nu, pentru că în continuare, ne spune problema, are doi înaintea lui).

Prin urmare el va fi ultimul din cei deja desenați.

Deci, au pornit la vale 3 purceluși.

Răspuns: 3 purceluși

„Cristi, Dan și Alex au participat doar ei trei la un concurs de alergări.

Cristi a spus colegilor:

– La acest concurs eu am ocupat locul 3, iar Dan penultimul loc.

Pe ce loc s-a clasat Alex?” (/ 4 / 4 / 107)

Și în acest caz gândirea logică ne conduce rapid la soluția problemei: Alex s-a clasat pe primul loc, deoarece la concursul de alergări au participat doar cei trei copii; ultimul loc (trei) l-a ocupat Cristi, penultimul loc (doi) l-a ocupat Dan.

Răspuns: Alex s-a clasat pe primul loc

Supunem atenției o problemă dintr-un manual de c1asa a III-a, întâlnită la capitolul „Probleme mai dificile, dar frumoase”.

„Într-o urnă sunt 10 bile numerotate de la 1 până la 10.

Ioana, Silvia, Maria, Ana și Elena au scos pe rând câte două bile având suma numerelor de pe bile respectiv: 4, 7, 11, 16, 17.

Află ce numere erau extrase de fiecare fetiță.”

Învățătorul va atenționa elevii că fiecare număr poate fi extras o singură dată.

Ținând cont de această indicație, elevii vor găsi soluția problemei, apelând la descompunerea unui număr într-o sumă de doi termeni.

4 7 11 16 17

1 3 2 5 7 4 10 6 8 9

Schema de descompunere conduce la soluția problemei:

Răspuns: Ioana a extras bilele cu nr. 1 și 3;

Silvia a extras bilele cu nr. 2 și 5;

Maria a extras bilele cu nr. 7 și 4;

Ana a extras bilele cu nr. 10 și 6;

Elena a extras bilele cu nr. 8 și 9;

Verificarea se poate face urmărind dacă șirul numerelor de la 1 la 10 este complet (toate numerele apar o singură dată).

Alte exemple urmărite în manualul de clasa a III-a la capitolul „Probleme de perspicacitate”:

„Completează pătratul magic astfel încât efectuând suma numerelor de pe fiecare rând și fiecare coloană să fie 14.” (problemă adaptată – / 16 / 55 / 153)

– De unde vom începe completarea tabelului? (Vom începe cu prima linie, avem deja completate două căsuțe și găsim cu ușurință numărul ce lipsește, adică 0).

– Odată completată prima linie, cum vom continua? (Vom completa ultima linie, găsim numărul 3).

Se va continua astfel și cu coloanele, tabelul va arăta astfel:

„Diana a făcut prietenei sale, Cristina, promisiunea că îi poate ghici ce sumă posedă după ultimele modificări ale acesteia, cu toate că nu cunoaște valoarea inițială. Curioasă, Cristina își verifică avuția numărând în taină banii, apoi zise:

– Putem începe!

– Socotește câți lei vei avea, dacă mama îți dă încă pe atâția, plus 10 lei pe care ți-i ofer eu, dacă cheltuiești jumătate din totalul rezultat, iar mama îți retrage suma dată – și, fără să aștepte răspunsul, Diana continuă:

– Trebuie să-ți fi rămas 5 lei!

Recunoscând, Cristina se întreabă: cum se poate ghici atât de exact?”

(/ 16 / 2 / 153)

Din enunțul problemei, Diana a găsit cu ușurință răspunsul – după ce Cristina a cheltuit jumătate din totalul rezultat și mama își retrage suma dată (jumătate din suma rămasa și jumătate din suma pe care o avea inițial Cristina) nu-i mai rămâne decât 5 lei – jumătate din suma dată de Diana (10 lei).

Exemple:

„Un pescar amator – isteț la matematică – se înapoia odată de la pescuit.

Văzându-l cam posomorât, fetita sa Mirela, i-a ieșit nerăbdătoare în cale și l-a întrebat:

– De ce ești supărat, tată?

– De ce să nu fiu, răspunse el, când nu știu câți pești am prins de astă dată: 6 fără cap, 9 fără coadă și 8 pe jumătate!

Câți pești a prins acest șugubăț pescar?” (/ 17 / 5 / 247)

Răspuns: Nici un pește, (eliminând din grafica cifrei 6 „capul”, din a cifrei 9 „coada” și din a cifrei 8 „o jumătate” se obține grafica cifrei 0).

„Pe o pășune pasc oi albe și negre. Suprafețele pe care pasc sunt egale. Oile negre pasc mai multă iarbă. De ce?” (/3 / 17 / 132)

Explicația logică – oile negre pasc mai multă iarbă deoarece sunt în număr mai mare constituie și răspunsul problemei.

Răspuns: Oi negre sunt mai multe.

„Mircea a venit la prietenul său Nicu.

– De ce n-ai venit ieri pe la noi? îl întreabă Nicu?

– Ieri, bunica mea și-a sărbătorit ziua de naștere.

– N-am știut, spune Nicu. Dar câți ani are bunica ta?

– Bunica mea zice că în viața ei nu i s-a întâmplat vreodată să nu-și serbeze ziua de naștere. Ieri, și-a sărbătorit această zi pentru a cincisprezecea oară. Iată, socotește și tu

câți ani are bunica!

Încercați să răspundeți la această întrebare și gândiți-vă la ce dată și în ce lună a avut loc convorbirea între cei doi prieteni.”

– Cum explicați faptul că deși și-a sărbătorit ziua în fiecare an, bunica nu și-a sărbătorit ziua decât de cincisprezece ori? (Bunica este născută pe 29 februarie).

– Deci, câți ani are bunica?

15 x 4 = 60 (ani)

– Când are loc convorbirea între cei doi prieteni? (Dacă are loc la o zi după ce și-a

sărbătorit ziua de naștere, convorbirea ar putea avea loc numai în data de 1 martie).

Răspuns: 60 ani; 1 martie

De un interes sporit se bucură în rândul elevilor problemele versificate:

„În trei coșuri mama are

Ouă aduse din cuibare.

Primul are 10 ouă,

Iar al doilea cinci ori nouă;

În al treilea jumătate

Cât în coșurile toate.

Ei copile, știi tu oare

Câte ouă mama are?” (/ 26 / 150 / 108)

Utilizând tehnica „mersului invers” deducem că numărul de ouă din primele două coșuri, reprezintă de fapt, jumătate din numărul total de ouă, adică:

10 + (9 x 5) = 10 + 45 =

= 55 (ouă), ceea ce înseamnă că în cele trei coșuri se află:

55 x 2 = 110 (ouă)

Răspuns: 110 ouă

„Pe un câmp, bietul Păcală

Și cu vărul său Tândală

Păzesc șaptezeci de vite

De căldură toropite.

Deodată unul zice:

– Să le numărăm, amice!

Și se-apucă-n gând, apoi,

Să se numere-amândoi.

– Nouăzeci sunt, mai Tândală!

– Ba nu, doar optzeci, Păcală!

Câte vaci, vite și boi,

Are turma celor doi,

Dacă știm că au numărat

Din păcate, eronat:

Primul, o dată-n plus, boii,

Al doilea, la fel, vițeii?” (/ 26 / 162 / 109)

Logica conduce la următorul raționament:

– numărul boilor este reprezentat de diferența dintre numărul total de capete găsite de Păcală la numărătoare și numărul real de capete, adică:

90 – 70 = 20 (capete boi)

– numărul vițeilor este reprezentat de diferența apărută între numărul găsit de Tândală la numărătoare și numărul 70, adică:

80 – 70 = 10 (capete viței)

-diferența de:

70 – (20 + 10) = 70 – 30 =

= 40 (capete), reprezintă numărul vacilor.

Răspuns: 40 vaci

20 boi

10 viței

Problemele din această categorie sunt foarte diversificate, atât din punct de vedere al conținutului (modul de prezentare), cât și a modului de soluționare, de gândire, pe care îl implică rezolvarea lor.

Închei șirul exemplelor cu următoarele probleme:

„Doi băieți se găsesc la o distanță de 10 m unul de altul, privind în sensuri opuse: unul către est, altul către vest. Ei se hotărăsc să facă ocolul pământului, pornind fiecare, în același timp, în direcția în care sunt îndreptați.

Ce distanță au de parcurs până la întâlnirea lor, admițând că tinerii se aflau pe paralela terestra 45?” (/ 17 / 4 / 246)

O simplă gândire logică conduce la răspuns:

Fiecare din cei doi trebuie să parcurgă o distanță egală cu jumătate din distanța care-i desparte, adică 5 m, deoarece ei se aflau, practic, față în față; deci în total au de parcurs 10 m până la întâlnirea lor.

Răspuns: 10 m

„Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul din ei îl întreabă pe celalalt câți copii are. Cel întrebat răspunde: trei. Ce vârstă au? Ghicește.

Deoarece amândoi erau buni de glume, între ei se înfiripă următorul dialog:

– Nu pot. Dă-mi câteva informații.

– Produsul vârstei este 36.

– Nu-mi ajunge această informație.

– Suma vârstelor este cât numărul acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm.

– Tot nu pot să răspund. Mai dă-mi o informație.

– Da, cel mai mic are ochii albaștri.

După această informație el reușește să răspundă. Cum a procedat, știind că vârstele copiilor au fost exprimate în numere întregi.” ( 13 / pr. 1 /258)

Rezolvare

Citind și recitind dialogul, oprindu-ne asupra celor trei informații primite, gândim că aici e o glumă, mai ales datorită celei de a treia informații. Oare culoarea ochilor celui mai mic are darul să fie cheia dezlegării problemei?

Primele două informații conțin date numerice: unul dat, 36 (ani), celălalt ascuns (suma vârstelor este egală cu numărul casei, necunoscut nouă).

Deci:

a) Produsul vârstelor este 36! A alcătuit toate tripletele de numere naturale cu aceasta proprietate:

1) 1 x 1 x 36

2) 1 x 2 x 18

3) l x 3 x 12

4) 1 x 4 x 9

5) 1 x 6 x 6

6) 2 x 2 x 9

7) 2 x 3 x 6

8) 3 x 3 x 4

Este clar că nu poate decide asupra vreuneia din cele 8 variante, motiv pentru care a cerut o noua informație.

b) Suma vârstelor este cât numărul acestei case.

1) 1 + 1+ 36 38

2) 1 + 2 + 18 21

3) 1 + 3 + 12 16

4) 1 + 4 + 9 14

5) 1 + 6 + 6 13

6) 2 + 2 + 9 13

7) 2 + 3 + 6 11

8) 3 + 3 + 4 10

Pentru fiecare din variantele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8 a obținut sume distincte. Deci, dacă se aflau în dreptul casei cu numărul 38, el spunea că cei trei copii au vârstele 1, 1, 36, alegând varianta 1, dacă se aflau în dreptul casei cu numărul 21, alegea varianta 2 ș. a. m. d.

A mai cerut o informație suplimentară?

Deoarece ei se aflau în fața casei cu numărul 13, caz în care erau două variante de

triplete (5 și 6).

c) Primește a treia informație: cel mai mic are ochii albaștri!

Din această informație trebuie să fie selectată nu culoarea ochilor care, evident n-ar conduce la nici un rezultat, ci prima parte a ei, anume „cel mai mic copil”.

Prin urmare, din variantele 1, 6, 6 și 2, 2, 9 o va alege pe prima, pentru că aici există un cel mai mic și o va abandona pe cealaltă, în care există doi copii gemeni deci nu există „unul cel mai mic”.

Răspuns: 1 an; 6 ani; 6 ani.

Închei acest capitol cu o remarcă a distinsului profesor Eugen Rusu, vizavi de problemele de perspicacitate și gândire logică:

„Un om gândește logic, chiar dacă nu a învățat logica … Dar își perfecționează desigur gândirea logică dacă învață explicit logica.

Tot astfel, cineva poate învăța sau face matematică, chiar dacă nu poate răspunde – mai ales printr-o singură propoziție, în chip de definire – la întrebarea ce este matematica.”

„A face matematică este o trăsătură profund umană, caracteristică general umană. Nu e om să nu fi rezolvat o problemă de perspicacitate, să nu fi resimțit atracția și satisfacția specifică acestei acțiuni – chiar dacă e vorba de o problemă fără conținut matematic, apropiată prin structura ei de una matematică.”

CAPITOLUL IV

ASPECTE METODICE

Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar

După parcurgerea orelor aferente capitolului „Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100 cu trecere peste ordin”, la clasa a II-a am aplicat un test sumativ.

În orele pregătitoare pentru testul sumativ, am acordat atenție sporită eliminării lacunelor existente în pregătirea elevilor, repetând cu ei (oral) adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100, terminologia specifică adunării și scăderii, alternând activitatea frontală cu cea individuală și pe grupe, diversificând gama de exerciții și probleme, adecvând metodologia didactică la posibilitatea lor, la fondul de cunoștințe și deprinderi, creând cadrul specific participării efective la activitatea fiecărui elev.

În același timp am urmărit crearea suportului afectiv necesar participării afective și eficiente la lecții prin stimulări, aprecieri pozitive în caz de reușită, jocuri, concursuri între grupe cu sarcini de lucru adecvate reușitei individuale.

Conform programei școlare, am stabilit următoarele obiective operaționale:

O1 – să rezolve corect operații de adunare și scădere având la dispoziție exerciții date;

O2- să cunoască terminologia (termen, sumă, diferență);

O3 – să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor matematice: a) cu n mai mare; b) cu n mai mic – regăsite în cele două probleme simple;

O4 – să se afle numărul necunoscut;

O5 – să rezolve o problemă cu două operații după un algoritm cunoscut;

O6 – să formuleze cel puțin două variante de întrebări pentru o problemă dată.

Construcția și aplicarea itemilor evaluării:

1. Calculează:

10 + 5 = 18- 8 = 72 – 54 =

7 + 10= 19-10 = 36 + 28 =

29 + 47 = 85- 39 = 95 – 46 =

2. Află:

a) suma numerelor 47 și 36;

b) diferența numerelor 64 și 47.

3. Dan are 19 baloane, iar sora lui cu 7 mai multe. Câte baloane are sora lui?

4. Mama are 32 de ani, iar Gina cu 25 mai puțin. Câți ani are Gina?

5. Care este numărul necunoscut?

56 – a = 37 b – 15 = 67

c + 25 = 72 86 = 45 + d

6. Într-o livadă sunt 75 de meri și peri cu 58 mai puțini.

Câți pomi sunt în livadă?

7. Formulează întrebarea și rezolva problema: Un colecționar are 82 monede de argint, iar de aramă cu 9 mai mult.

În urma corectării și analizării atente a acestui test am constatat că toate obiectivele au fost realizate peste 75 %, înregistrându-se un procent mediu 83,33 %.

Pentru conformitate, se va urmări tabelul următor:

Prin aceste rezultate elevii au dovedit că și-au completat unele din lacunele constatate la testele anterioare.

OX – obiective operaționale

OY – procentajul

Rezultatele obținute de elevi:

14 e1evi – F.B.

10 elevi – B.

3 e1evi – S.

1 elev – I.

CURBA DOCIMOLOGICĂ LA ACEST TEST

ARATĂ ASTFEL:

CALIFICATIVE

Toate aceste rezultate validează demersurile pedagogice și formele de organizare a învățării utilizate pe parcursul cercetării întreprinse.

TESTE

Test de evaluare

Înmulțirea și împărțirea

Calculați cu ajutorul tabelului alăturat :

2 x 6 = ___ 8 x 5 = ___ 8 x 7 = ___ 24 : 4 = ___ 18 : 3 = ___ 54 : 9 = ___

4 x 5 = ___ 6 x 9 = ___ 9 x 5 = ___ 32 : 8 = ___ 36 : 6 = ___ 49 : 7 = ___

0 x 9 = ___ 6 x 8 = ___ 10 x 4 = ___ 14 : 7 = ___ 45 : 5 = ___ 64 : 8 = ___

1 x 7 = ___ 4 x 4 = ___ 6 x 8 = ___ 30 : 5 = ___ 56 : 8 = ___ 36 : 9 = ___

3 x 3 = ___ 5 x 7 = ___ 7 x 7 = ___ 18 : 2 = ___ 63 : 7 = ___ 72 : 8 = ___

Notă : 3 calcule corecte colorează o steluță !

Completați tabelele următoare :

Notă : 2 calcule corecte colorează o steluță !

Notă : fiecare coloană completată corect colorează o steluță

Rezolvați problema :

Ionel are 54 de mere roșii și de 6 ori mai puține mere galbene.

Câte mere are Ionel în total ?

Câte …………………… are Ionel ? _____________________________

Câte ……………………………. ? _____________________________ R : ________

Rezolvați sub formă de exercițiu___________________________________________

Notă : pasul 1 1 steluță

pasul 2 2 steluțe

rezolvarea prin exercițiu 2 steluțe

Rezolvați problema :

Din cei 120 de lei Mircea cumpără 7 mingi cu 9 lei bucata. Câți lei îi mai rămân ?

Câți lei…………………………………. ? ____________________________

Câți lei…………………………………. ? ____________________________ R : ________

Rezolvați sub formă de exercițiu _____________________________________________

Notă : pasul 1 1 steluță

pasul 2 2 steluțe

rezolvarea prin exercițiu 2 steluțe

Descriptori de evaluare :

Insuficient : mai puțin de 10 steluțe

Suficient : între 11 steluțe și 20 de steluțe

Bine : între 20 și 30 de steluțe

Foarte bine : între 31 și 40 de steluțe

Pentru elevii cu performanțe deosebite se propune ca bonus exercițiul următor :

(64 : 8 + 4×9 ) – ( 128 – 8×7) = ________________________________________ =

= _________________________________________ =

= _________________________ =

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

1. Scrie și denumește fracțiile: o doime; patru șeptimi; cinci cincimi; trei noimi; nouă șesimi; două patrimi.

2. Folosind numerele 2, 5, 10, 41 ajută-l pe să scrie :

Șase fracții echiunitare:

Șase fracții subunitare :

Șase fracții supraunitare:

3. Din șirul de fracții încercuiește cu verde fracțiile supraunitare:

6 10 47 52 3 9 82 54 4 10 24 68 87 12 14 5

9 11 24 25 2 6 83 45 14 8 22 69 97 112 10 9.

4. Compară fracțiile:

2 1 2 2 14 16 41 41 52 54 78 47 12 32

5 5 7 9 45 45 17 19 78 78 130 130 55 55

5. Ordonați crescător, apoi descrescător, fracțiile:

a) 7 , 4, 1, 5 , 2, 9, 6

9 9 9 9 9 9 9

b) 7, 7 , 7 , 7, 7 , 7, 7

2 4 5 9 11 41 10

6. Calculați:

2 din 18 ; 4 din 25; 7 din 81; 5 din 320; 3 din 492; 6 din 375.

3 5 9 8 4 25

7. Într-o clasă sunt 27 de elevi. Două treimi din numărul lor sunt fetițe. Câți băieți sunt?

Rezolvare

Descriptori de performanță:

FOARTE BINE

D1. Scrie și denumește corect toate fracțiile date;

D2. Cunoaște limbajul matematic și folosește corect numerele în scrierea fracțiilor echiunitare, subunitare și supraunitare;

D3. Identifică toate fracțiile supraunitare;

D4. Folosește corect semnul de relație la toate exercițiile de comparare a fracțiilor;

D5. Ordonează crescător și descrescător toate fracțiile;

D6. Știe să calculeze valoarea unei fracții dintr-un număr dat și găsește toate răspunsurile corecte la acest punct al testului;

D7. Rezolvă corect problema.

BINE

D1. Scrie și denumește corect patru din cele șase fracții date;

D2. Cunoaște limbajul matematic și descoperă câte patru exemple de fracții echiunitare, subunitare și supraunitare;

D3. Identifică majoritatea fracțiile supraunitare;

D4. Folosește corect semnul de relație la patru din cele 7 exerciții de comparare a fracțiilor;

D5. Ordonează, cu mici ezitări, crescător și descrescător fracțiile date;

D6. Știe să afle o fracție dintr-un număr;

D7. Rezolvă o parte din problemă.

INSUFICIENT

D1. Scrie și denumește două din cele șase fracții date;

D2. Identifică două fracții supraunitare;

D3. Cunoaște limbajul matematic, dar nu aplică semnul corespunzător în compararea fracțiilor;

NUMELE…………………………..

TEST DE EVALUARE FINALĂ

MATEMATICA CLS. A III A

Calculează:

427+ 184= 9 x 7=

7356-5218= 56 : 8=

5245+1468= 22x 3=

495- 188= 95 : 5=

2. Calculează respectand ordinea efectuarii operatiilor:

a) 8 x (2 + 7) = b) (36 – 27) : 9 = c) 238-2x(65+35)=

(16 + 20) : 4 = ( 10 – 7) x 4 = 700:(27+73)+3=

3. Într-o clasă a III-a a unei școli sunt 17 băieți și 19 fete. În ora de educație

fizică au fost așezați în șiruri de câte patru elevi.

Câte șiruri se vor forma cu toți elevii clasei?

Scrie rezolvarea intr-un singur exercitiu.

4. Află diferența numerelor a și b, știind că:

a = 36 + 700 : 10 + 63 x 2

b = 500 : 100 + 400 : 2 – 16 x 10

Adauga la diferenta sfertul numarului 24.

5. Un țăran a adus la piață 4 lădițe cu câte 18kg cu căpșuni. Dimineața a

vândut 52kg de căpșuni,iar restul după-amiază.

Câte kilograme de capsuni a vândut țăranul după-amiaza?

6. Un teren în formă de dreptunghi are lățimea de 58 m, iar lungimea de 2 ori mai mare.

Afla lungimea gardului care imprejmuieste acest teren.

7. Compune o problemă care sa se rezolve după următorul exercițiu:

(8 x 3 + 5 x 6)+ 95:5 =

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

PROIECTE DE LECȚIE

P R O I E C T D I D A C T I C

Clasa: a II-a

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Unitatea de invatare: Adunarea si scaderea numerelor naturale in concentrul 0-1000

Subiectul: Exerciții și probleme

Tipul lecției: consolidarea priceperilor și deprinderilor

Scopul lecției:

Consolidarea deprinderilor de calcul matematic

Consolidarea deprinderii de a aplica operațiile aritmetice învățate în rezolvarea corectă a problemelor.

Dezvoltarea operațiilor gândirii.

Obiective operaționale:

O1 – să efectueze operații de adunare si scadere cu numere naturale de la 0 la 1000, fara trecere peste ordin;

O2 – să utilizeze corect terminologia specifică adunării si scaderii;

O3 – să verbalizeze modalitățile de calcul utilizate în rezolvarea exercițiilor și problemelor;

O4 – să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații;

O5 – să compună oral probleme după exerciții date;

O6 – să aplice deprinderea de a lucra în echipă și individual.

Metode si procedee:conversatia,explicatia,exercitiul,munca independenta,problematizarea,jocul didactic

Mijloace didactice:jetoane colorate,fise de munca independenta

Tipuri de activitate: frontala,individuala,in perechi

Resurse informaționale:

– Programa scolara clasele I si a II-a,Bucuresti,2005

volumul „Proiecte didactice”-coordonatori:Maria Crauciuc,Mihai Crauciuc

Matematica prin joc – Elena Simionica,Florica Caraiman

Mate 2000+4/5 – culegere de exercitii si probleme pentru clasa a II-a

P R O I E C T D I D A C T I C

Clasa: a II-a

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Subiectul: Exerciții și probleme (Adunarea numerelor naturale de la 0 la 1000 cu trecere peste ordinul unităților și al zecilor)

Tipul lecției: consolidarea priceperilor și deprinderilor

Scopul lecției:

Consolidarea deprinderii de a aplica operațiile aritmetice învățate în rezolvarea corectă a problemelor.

Dezvoltarea operațiilor gândirii.

Obiective operaționale:

O1 – să efectueze operații de adunare cu numere naturale de la 0 la 1000, cu trecere peste ordin;

O2 – să utilizeze corect terminologia specifică adunării;

O3 – să verbalizeze modalitățile de calcul utilizate în rezolvarea exercițiilor și problemelor;

O4 – să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații;

O5 – să compună oral probleme după imagini sau exerciții date;

O6 – să aplice deprinderea de a lucra în echipă și individual.

Resurse informaționale:

– „Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar”, Ed. Steaua Proceon, București, 1997.

– volumul „Proiecte didactice”, nr.1-2, Suceava

BIBLIOGRAFIE

1. Aron Ioan – Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV, E.D.P., București, 1972.

2. Beretean Maria, Beretean Vasile – Matematica – Probleme care se rezolvă prin metoda

figurativă, cls. I – IV, Ed. Ariana, Baia Mare, 1993.

3. Călugărița Anghelina – Exerciții și probleme de matematică pentru cls I – IV,

Ed. Universal Pan, București, 1996.

4. Dumitru Alexandrina, Dumitru Viorel-George -Matematica -Manual pentru clasa aII-a,

Ed. Corint, București,2004.

5. Dăncilă Eduard, Dăncilă Ioan – Matematica distractivă pentru ciclul primar,

Ed. Sigma, București, 2003.

6. Herescu Gheorghe, Alexandriana Dumitru, Aron Ioan – Matematica pentru învățători,

E.D.P., București, 1996.

7. Jurca Maria Georgeta – Cum rezolvăm probleme de aritmetică, Sibiu, 1994

8. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru – Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45,

Pitești, 1999.

l 9. Manolescu Marin și alții – Proiectarea și evaluarea didactică în învățământul primar,

Ed. Steaua Procion, București, 1997.

10. Matei N.C. – Probleme de psihopedagogie școlară, București, 1974.

11. Maior Aurel, Maior Elena – Matematică – Manual pentru clasa I, Ed. Aramis,

București, 2005.

12. Maior Aurel, Maior Elena – Matematică – Caietul elevului, clasa I, partea a II-a,

Ed. Aramis, București,2005.

13. Neacșu Ioan și alții – Metodica predării matematicii la clasele I – IV, E.D.P.,

București, 1988.

14. Oprescu N. – Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, E.D.P.,

București, 1974.

15. Păduraru Veronica, Ana Platon- Matematica pentru perfecționarea învățătorilor,

Ed. Spiru Haret, Iași.

16. Petrică Ion, Grindeanu Nicolae, Cojocaru Ion – Matematică- Manual pentru clasa

a IV-a, Ed. Petrion, București, 2003.

17. Petrică Ion – Matematică – Probleme pentru clasele I – IV, Ed. Petrion, București,

1996.

18. Petrică Ion, Vasile Ștefănescu – Probleme de aritmetică pentru clasele I – IV,

Ed. Petrion, București, 1994.

19. Polya George – Descoperirea în matematică, Ed. Științifică, București, 1971.

20. Rusu Eugen, Oprescu E. – Metodica predării matematicii, E.D.P., București, 1965.

21. Rusu Eugen – Despre învățarea matematicii, E.D.P., București, 1962.

22. Rusu Eugen- Psihologia activității matematice, Ed. Științifică, București,1969.

23. Rusu Eugen – Problematizare și probleme în matematica școlară, E.D.P., București,

1978.

24. Singer Mihaela – Matematică – Manual pentru clasa a III-a, Ed. Sigma, 2005.

25. Ștefănescu Vasile și alții – Matematica în ciclul prima – Contribuții metodice, E.D.P.,

București, 1980.

26. Vicol Ghe., Harabor Viorica Elena – Matematica pentru ciclul primar – Culegere de

exerciții și probleme, Ed. Scorpion 7, București, 1995.

27. *** Caiete de pedagogie modernă – Elevii trebuie învățați cum să învețe, E.D.P.,

București, 1973.

28. Asaftei P. și alții – Ghid de pregătire a examenului de definitivat – matematică,

Ed. Caba, 2004.

29. www.didactic.ro – învățământ primar