Metode de lucru n Teoria Funct iilor [609418]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SECT  IA MATEMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
Absolvent: [anonimizat]  stiint ic :
Raul – Ioan C ata Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici
SIBIU
2017

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SECT  IA MATEMATIC A
"Metode de lucru" ^ n Teoria Funct iilor
Univalente
Absolvent: [anonimizat]  stiint ic :
Raul – Ioan C ata Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici
SIBIU
2017

Cuprins
Introducere 1
1 Funct ii univalente ^ n discul unitate.
Not iuni preliminare. 3
1.1 Denit ii. Funct ii univalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propriet at i ale funct iilor univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Clase speciale de funct ii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Metode variat ionale ^ n teoria funct iilor univalente 19
2.1 Rotat ia in U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Auto-aplicarea M obius a lui U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Aplicarea pre-slit ^ n U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Reprezentarea nal a a lui M obius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Variat ii relative la un punct exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Metoda variat ional a a lui Schier-Garabedian. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Exemple de funct ii olomorfe pe C. Metoda Schier – Garabedian. 35
3.1 Exemple de funct ii olomorfe pe C(funct ii ^ ntregi). . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Metoda Schier – Garabedian ^ n aplicat ii ale funct iilor olomorfe  si injective. 36
Bibliograe 42
1

Introducere
2

Capitolul 1
Funct ii univalente ^ n discul unitate.
Not iuni preliminare.
1.1 Denit ii. Funct ii univalente.
O funct ie olomorf a (meromorf a) pe un domeniu D, se zice univalent a ^ n acest
domeniu, dac a orice valoare a sa este luat a o singur a dat a ^ n D, altfel spus, dac a ea este
injectiv a ^ n D.
^In elaborarea acestui paragraf s-a folosit referint a cu num arul [5].
S a consider am G ca ind o mult ime din planul complex C.
Denit ia 1.1.1 O funct ie complex a f se nume ste olomorf a pe G dac a f este derivabil a ^ n
ecare punct z0, din mult imea deschis a G.
Notat ie : H(G) este mult imea funct iilor olomorfe pe G.
Denit ia 1.1.2 O funct ie complex a f se nume ste olomorf^ a pe o mult ime oarecare A C
dac a exist a o mult ime deschis a pe G care ^ l include pe A astfel ^ c^ at f 2H(G).
Denit ia 1.1.3 O funct ie complex a este olomorf a ^ n z02G, dac a exist a un disc U(z0;r)
astfel ^ c^ at f2H(Uz 0;r), unde f este derivabil a ^ n ecare punct z din U( z0;r). Dac a, ^ n
plus,f(z0) = 0 atunci,z0este un zero pentru f. O funct ie ^ ntreag a este tot o funct ie
olomorf a pe C.
3

Denit ia 1.1.4 O funct ieU:GC!Rse nume ste continuu diferent iabil a de ordinul
^ nt^ ai pe G dac a, admite derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai, continue pe G. Not am cu C0(G)
clasa funct iilor continuu diferent iabile de ordinul ^ nt ai pe G.
O funct ie complex a u+ivse nume ste continuu diferent iabil a pe G dac a u sivsunt de
clas aC1pe G.
Fie D un domeniu din planul complex C, ^ nzestrat cu o topologie uniform conver-
gent a pe mult imi compacte H(D), este un spat iu liniar topologic.
Fie ^ n continuare fKng, o familie de submult imi compacte ale lui D, astfel ^ nc at
KnKn+1 si1[
n=1Kn=D, iar pentru H(D) e mult imea :
Bn(g) =
f2H(D) :jfgj<1
npe Kn
:
FamiliafBn(g) :g2H(D);n= 1;2;:::gformeaz a o baz a a spat ului topologic H(D). Cum
ecareBn(g)este o mult ime convex a, H(D) este un spat iu local convex . Topologia este
metrizabil a cu metrica:
d(f;g) =1X
n=12nsup
Knjfgj
1 +jfgj:
Denit ia 1.1.5 O funct ie complex a pe D se nume ste univalent a pe D dac a f este olo-
morf a  si injectiv a.
Not am cuHu(D)mult imea funct iilor univalente pe D.
Exemplul 1 [13]
1.Funct iaf(z) =z
(1 +z2)este univalent a pe U=U(0; 1) , iar f(U)= Cn1
4;+1
.
2.Funct ia f(z) = log1z
1 +zeste univalent a pe U = U(0;1), iar f(U)=n
w2C:
2<Im w<
2o
.
Observat ia 1.1.1 Prin compunerea a dou a funct ii univalente se obt ine tot o funct ie
univalent a.
Se poate generaliza not iunea de funct ie univalent a astfel :
4

O funct ie univalent a de ordinul m, este o funct ie olomorf a, care ia orice valoare a
sa ^ n cel mult m puncte distincte  si pentru care exist a cel put in o valoare care a fost luat a
^ n exact m puncte distincte.
Exemplul 2 Funct iaz!z2este multivalent a de ordinul 2 sau bivalent a pe C.
Observat ia 1.1.2 Cum orice funct ie complex a se identic a cu o transformare punctual a
^ n planul complex, aspectul geometric ^ n studiul acestor funct ii are o important  a foarte
mare.
Se poate ar ata c a o funct ie olomorf a cu derivata nenul a se identic a cu o trans-
formare conform a de clas a C1, iar o funct ie univalent a se identic a cu o reprezentare
conform a a domeniului de denit ie pe domeniul imagine.
^In paragraful 1.2 vom studia submult imile lui H(D) din punctul de vedere al teoriei
convexe. Pentru a le putea studia ^ n paragraful urm ator, va trebui s a cunoa stem not iunile
de mai jos:
Denit ia 1.1.6 O submult ime A a spat iului liniar, vectorial CsauR, se nume ste con-
vex a dac a [x + (1-)y]2Aoricare ar  x,y2A  si orice2(0;1).
Denit ia 1.1.7 Un punct2A se nume ste extrem al lui A dac a 6=x+ (1)y,
pentru oricare ar  x,y 2A distincte  si orice 2(0;1).
Not am cuEAmult imea punctelor extreme ale lui A.
Denit ia 1.1.8 Numim frontiera aproape convex a a lui A, notat a cucoA , intersect ia
tuturor mult imiilor convexe care includ A.
1.2 Propriet at i ale funct iilor univalente
Acest paragraf cuprinde c ateva teoreme  si propozit ii, care cont in principalele pro-
priet at i ale funct iilor univalente, printre care  si un criteriu simplu de univalent  a, care are
numeroase aplicat ii. Pentru demonstrat ii :vezi [5](capitolul VI, paragraful 2).
5

Teorema 1.2.1 Dac af2Hu(d)atuncif06= 0 oricare ar  z2D.
Funct ia z!eznu este univalent a pe C, de si derivata sa nu se anuleaz a ^ n niciun
punct din C, prin urmare reciproca teoremei 1.2.1 nu este ^ n general adev arat a.
Propozit ia 1.2.1 Dac af2H(D) siz02D, atunci ^ n orice disc U(z0;r)D, exist a
cel put in dou a puncte distincte z1 siz2astfel ^ nc at f(z1)f(z2) =f(z0)(z1z2):
Observat ia 1.2.1 Aceast a propozit ie a lui D.Pompeiu este o reciproc a a teoremei de me-
die a lui Lagrange pentru funct ii complexe. ^In acest caz, teorema direct a nu este valabil a.
Reciproca ei este adev arat a.
Teorema de mai jos cont ine un criteriu simplu de convergent  a :
Teorema 1.2.2 Dac af2H(D), unde D este un domeniu simplu conex  si exist a o
funct ieg2Hu(D)astfel ^ nc^ at g(D) este un domeniu convex  si :
Ref(z)
g(z)>0
pentru orice z2D, atuncif2Hu(D).
Demonstrat ia.
Se alegeH=fog1olomorf a pe
= g0(d).^In baza ipotezei, demonstr am c a h este
injectiv a pe
, de unde f=Hog este univalent a pe D.
Din aceast a teorem a putem deduce:
Corolar 1.2.1 Dac a D este un domeniu conex  si f2H(D), astfel ^ nc^ at Re f0(z)>0,
oricare ar  z2U, atuncif2Hu(U).
Corolar 1.2.2 Dac a U=U(0;1)  si f2Hu(U)astfel ^ nc^ at Re[(1z2f0)]>0, oricare ar
z2U, atunci f2Hu(U).
Corolar 1.2.3 Dac a funct ia continu a ,  neconstant a : [0;2]!Neste cresc atoare pe
intervalul [0;] si descresc atoare pe [;2]cu U=U(0;1), denim :
6

f(z) =Z2
0eit+z
eit+z'(t)dt;z2U;
atuncif2Hu(U).
Teorema 1.2.3 (teorema lui Hurwitz)
Dac a  sirul (fn)de funct ii univalente pe domeniul D converge uniform pe compacte ^ n
D c atre orice funct ie f neconstant a, atunci f2Hu(D).
Demonstrat ia
Se presupune c a f nu este injectiv a  si astfel se ajunge la o contradict ie a injec-
tivit aii luifn.
^In continuare, se vor studia submult imiile lui H(D) din punctul de vedere al
teoriei convexe ( vezi [2], Appendix A). Mai jos sunt principalele teoreme :
Teorema 1.2.4 (teorema lui Krein-Milman)
Dac a A este o submult ime compact a dintr-un spat iu liniar topologic local convex,atunci:
coA=coEA:
Dac a, ^ n plus, coA este compact a, atunci :
EcoAA:
Se remarc a c a EA6=? si A este compact a.
Urm atorul rezultat se refer a la homeomorsme liniare :
Teorema 1.2.5 Fie X  si Y dou a spat ii liniar topologice  si un homeomorsm liniar L:
X!Y:Dac aAX, atunci :
coL(A) =L(coA) siEcoL(A) =L(EcoA):
7

Teorema 1.2.6 Dac a A este o submult ime compact a a spat iului topologic local convex X
 sis0este o funct ional a liniar a pe X, atunci :
max
ARe x0= max
EARe x0:
Dac a, ^ n plus, coA este compact a, atunci :
max
ARe x0= max
coARe x0= max
EcoARe x0:
Observat ia 1.2.2
1.) Teorema 1.2.5 pune ^ n evident  a faptul c a, pentru a rezolva problemele de extreme liniare
peste mult imi compacte, este sucient s a g asim doar punctele de extrem.
2.) Teorema va r am^ ane adev arat a ^ nlocuind Re x0cu orice alt a funct ie continu a convex a.
3.) Dac a ^ nlocuim x0cux0 siix0cuix0, atunci max
ARe x0va include urm atoarele
probleme :
max
ARe x; min
AIm x0;max
AIm0x0:
^In continuare, dac a, max
Ajx0j=jx0()j sixi=jx0()j
x0()x0, atunci :
max
ARe x0=jx0()j= max
Ajx0j;
astfel ^ nc^ at problema max
Ajx0jeste, de asemenea, inclus a.
Teorema 1.2.7 (teorema lui Choquet)
Presupunem c a A este o submult ime compact a  si convex a a spat iului real liniar X,
metrizabil  si local convex cu x2A. Atunci exist a o m asur a de probabilitate xpeEA,
astfel ^ nc^ at :
x=Z
EAydx(y):
8

Dac a A este un simplex [13](Appendix A), atunci xeste unic a.
Observat ia 1.2.3
1.) Din teorema lui Krein-Millman rezult a c a mult imiile compacte  si convexe pot  recon-
struite pornind de la punctele lor de extrem.
2.) Din teorema lui Choquet rezult a c a, aceast a construct ie poate  realizat a prin integrarea
punctelor de extrem, privitoare la m asurile de probabilit at i.
3.) Existent a lui x, ^ n vecin atatea lui EA, este o consecint  a a teoremei lui Krein-Millman,
^ n special compacticitatea familiilor (x). Unicitatea lui xeste mult mai complex a.
Cosider am urm atorul disc unitate U=fz:jzj<1g si denim mult imea convex a:
P=ff2H(U);Ref > 0; f(0) = 1g:
Se poate obt ine o corespondent  a ^ ntre P  si mult imea m asurilor Borel pe U, cunos-
cut a sub numele de reprezentarea Herglotz . Metoda const a ^ n determinarea punctelor
de extrem ale lui P ( pornind de la un articol al lui F.Holland [7])  si deducerea unei
corespondent e cu teorema lui Choquet.
Not am c^ ateva rezultate importante, ale c aror demonstrat ii le putem g asi ^ n referint a
cu num arul [13].
Teorema 1.2.8 (Principiul subordon arii)
Fie f2H(U0); F2Hu(U); f(0) =F(0) sif(U)F(U):Atunci :
i)f=fow, undew2H(U) sijw(z)j<jzj;
ii)f0(0)jF0(0)j, egalitate pentru w(z) =eiz;
iii)f(jzj<r)F(jzj<r),8r;0<r< 1.
9

Not amfF si citim f este subordonat a lui F.
Teorema 1.2.9 Dac af2F, atunci :
1jzj
1 +jzjjf(z)j1 +jzj
1jzj;
 sijfjjf0(0)j2:Egalitatea are loc dac a f(z) =1 +z
1z, oricare ar  cujj= 1:
Teorema 1.2.10 Consider am urm atoarea funct ie :
f(z) = 1 +1X
n=1cnzn2P;
atuncijcnj2;oricare ar  n2N.
Lema 1.2.1 Fie funct ia f de mai sus.Pentru n>0xat, denim :
u(z) =1
4i1X
k=0(cnck+ncnckn)zk;
undec0= 2 sick=c
k. Atuncif6=u2P:
Teorema 1.2.11
EP=1 +z
1zjj= 1
:
Aceste teoreme ne conduc la urm atorul rezultat :
Teorema 1.2.12 (Reprezentarea Herglotz)
Dac af2P, atunci exist a o m asur a Borel, unic a (nenegativ a), notat a cu z, astfel
^ nc^ at :
f(z) =Z
jj=11 +z
1zd ;Z
jj=1d= 1:
Teorema de mai jos este echivalent a :
10

Teorema 1.2.13 Dac a u este o funct ie armonic a din U, u>0 siu(0) = 1 , atunci exist a
, o m asur a Borel unic a (nenegativ a), astfel ^ nc^ at:
u(z) =Z
jj=1Re1 +z
1zd ;Z
jj=1d= 1:
Pentru a demonstra cele dou a teoreme de mai sus, vom aplica teorema lui Choquet.
1.3 Clase speciale de funct ii univalente
^In continuare, vom prezenta c^ ateva din principalele clase de funct ii univalente:
funct ii stelate, funct ii convexe, funct ii alfa-convexe, funt ii schlicht funct ii spiralate, funct ii
a c aror derivat a are partea real a pozitiv a, funct ii aproape convexe, funct ii tipic reale.
Ne ^ ndrept am atent ia c atre mult imea funct iilor analitice normalizate :
N=ff2H(D) :f(0) = 0; f(0) = 1g;
cu ajutorul c arora avem urm atoarele familii speciale de funct ii normalizate :
1. Funct ii stelate.
Denit ia 1.3.1 Fie funct ia f2Hcuf(0) = 0:Spunem c a funct ia f este stelat a ^ n U,
dac a funct ia f este univalent a ^ n U  si f(U) este un domeniu stelat ^ n raport cu originea.
Domeniul f(U) este un domeniu stelat, ^ n raport cu originea, dac a 8z2U, un segment
care une ste originea cu f(z)f(U):
S=ff2S:f(U) este stelat a referitor la origine g.
2. Funct ii convexe.
Denit ia 1.3.2 Funct iaf2Ueste o funct ie convex a, dac a funct ia f este univalent a ^ n
U  si f(U) este un domeniu convex.
11

K=ff2S:f(U) este convex ag.
3. Funct ii tipic reale.
Introduse ^ n anul 1932 de c atre W.Rogosinski, funct iile tipic reale nu sunt ^ n general
univalente, dar joac a un rol important ^ n teoria geometric a a funct iilor, datorit a leg aturii
lor cu funct iile univalente cu coecient i reali.
Denit ia 1.3.3 O funct ief2H(U)se nume ste tipic real a, dac a ia valori reale atunci
 si numai atunci c^ and z2R:
f(z)2R( )z2R; Im f (z) = 0( )Im z = 0:
sau
TR=ff2N: (Im z )(Im f (z))0g
6. Aproape convexe.
C=
f2N:Ref0
ei'0>0; pentru '2Kcu 2R
:
Referitor la aceste funct ii, facem urm atoarele observat ii ([13]):
(i.) Funct iile din familia Csunt univalente.
(ii.) Funct iile din K  si Sau propriet at i geometrice evidente  si va  nevoie s a trans-
form am denit iile geometrice ale lui K  si S^ n relat ii analitice.
(iii.) Dac af2TR, atuncif(z) =
f(z)  si f(U) este simetric a fat  a de axa real a. Evident,
SRTR, darTRcuprinde  si funct ii care nu sunt univalente ( exemplu : z+z3).
Transformarea lui K  si S^ n familii de funct ii univalente.
Teorema 1.3.1 Dac af2S, atunci urm atoarele propozit ii sunt echivalente:
12

i.)f2S;
ii.)Dr=f(jzj<r), este stelat a referitor la origine pentru 0<r< 1;
iii.)zf0
f2P.
Teorema 1.3.2 Dac af2S, atunci urm atoarele propozit ii sunt echivalente:
i.)f2K;
ii.)Dr=f(jzj<r);este convex a pentru 0<r< 1;
iii.)1 +zf00
f02P;
iv.)zf02S:
Pentru demonstrat iile teoremelor 1.3.1  si 1.3.2, vezi [13](teorema 2.4 respectiv teorema
2.5).
Aplic^ and teorema 1.3.1(iv.) lui C, avem urm atorul rezultat :
Corolar 1.3.1
C=
f2N:Rezf0
eig>0pentru g2Scu 2R
:
Corolar 1.3.2 KSC:
Prin urmare, condit iile de analicitate din teorema 1.3.1 (iii.)  si teorema 1.3.2 (iii.),
implic a condit ia de univalent  a, avem urm atorul rezultat :
Teorema 1.3.3 Fief2N:
i.) Dac azf0
f2P, atuncif2S;
ii.)Dac a1 +zf00
f02P, atuncif2K:
Corolar 1.3.3 (Stroh acker [14], Mars[10]). Dac a f2K, atunci :
Re=zf0
f>1
2; Re =f
z>1
2:
13

Denit ia 1.3.4 Funct ia f se nume ste stelat a de ordinul 2 dac a:
Re zf
f>:
Prin urmare, aplicat iile convexe sunt stelate de ordinul r1
2:
Important. A doua condit ie din corolarul 1.3.1, descrie frontiera aproape convex a a
lui K. Acestea  si celelalte rezultate importante datorate lui L.Brickman, T.H.MacGregor
 si D.R.Wilhelm[2].
Teorema 1.3.4 [2]
K  sicoK sunt compacte, unde :
coK =
f2N:Ref
g>1
2
=Zz
1nzd
;
undeeste o m asur a de probabilit at i, cu jj= 1 si :
EcoK=
f2N:Ref
g>1
2
Demonstrat ia.
O alt a reprezentare a lui L(P) se poate obt ine din reprezentarea Herglotz  si anume
f02L(P), dac a exist a o m asur a de probabilit at i, notat a cu , astfef ^ nc^ at :
f(z) =1
2zZ
jj=1
1 +1 +z
1z
d=Z
jj=1z
1zd:
Domeniul U va  astfel transformat prin aplicat ia convex az
1z, ^ ntr-un semi-
plan, a c arui frontier a se a
 a la distant a1
2fat  a de origine:
Referitor la funct iile stelate avem urm atoarele teoreme [13]:
Teorema 1.3.5 f2Sdac a exist a astfel ^ nc^ at :
14

f(z) =z exp
2Z
=1log(1z)d
;
cu m asuraunic a.
Corolar 1.3.4 Dac af2S, atunci :
lim
r!1arg f (rei);8:
Teorema 1.3.6 [2]
Mult imiileS sicoSsunt compacte:
coS=Z
jj=1z
(1z)2d;unde  este masura de probabilitate; jj= 1
 si
Eco S=z
(1z)2:jj= 1
:
Funct iile stelate de formaz
(1z)2se numesc funct ii Koebe .Ele transform a dome-
niul U ^ n urm atorul fel :
15

Mult imile TR siSR. Prezent am sumar c^ ateva rezultate importante ([13]).
Teorema 1.3.7 Urm atoarele propozit ii sunt echivalente :
i.)f2TR;
ii.)(1z2)f
z2P sif(n)(0)2R, oricare ar  n2.
iii.) Exis ao m asur a de probabilitate (unic a) pe [-1,1] astfel ^ nc^ at :
f(x) =Z1
1z
12xz+z2d:
teorema 1.3.8
Teorema 1.3.8 [2]
Mult imileTR siSRsunt compacte, TReste convex acoSR=TR si
ETR=z
12xz+z2:x2[1;1]
:
Funct iile din TRde formaz
12xz+z2transform a domeniul U astfel :
Teorema 1.3.9 (Brannan,Clunie  si Kirwan [1]). Fie
F=
f2H(U) :f1 +cz
1cz
;
pentru c xat,jcj1. Pentru1, eF=ff:f2Fg si
16

G=Z
jj=11 +cz
1z
d;unde  masura de probabilitate cu jj= 1
;
atunciF siGsunt compacte:
coF=G;EG=1 +cz
1z
:jj= 1
:
Teorema de mai sus este important a ^ n studiul familiilor speciale de funct ii.
Mult imea S . Vom nota un singur rezultat important :
Teorema 1.3.10 [2]Mult imile C  sicoC sunt compacte :
coC =Z
Tz1
2(+)z2
(1z)2d: este o masura de probabilitate peT
;
undeT=fjj= 1gXfjjg si :
EcoC=z1
2(+)z2
(1z)2:jj=jj= 1;6=
:
Ca o consecint  a imediat a a teoremelor 1.3.4, 1.3.6, 1.3.8  si 1.3.10 avem urm atoarea
aplicat ie :
Dac a :
17

f(z) =z+1X
n=2anzn
 si f este convex a (stelat a, aproape convex a), atunci :
jf(z)jjzj
1jzj;jf(n)(z)jn!
(1jzj)n+1;
oricare ar  z2U sin1.^In particularjenj1, pentru n = 1,2,3,… .
18

Capitolul 2
Metode variat ionale ^ n teoria
funct iilor univalente
Fie D un domeniu din C. Vom deni o familie de funct ii univalente pe domeniul D,
normalizate de dou a funct ionale liniare, continue.
Denit ia 2.1
Pentrul1,l22= si P,Q2C, denim :
===(D;l 1;l2;P;Q ) =ff2Hu(D) :l1(f) =P;l 2(f) =Qg:
De exemplu, pentru p,q 2D sil1(f) =f(p);l2(f) =f(g)cu p6=q6=P6=Q, familia
denit a mai sus devine :
===(D;p;q;P;Q ) =ff2Hu(D) :f(p) =P;f(q) =Qg;
format a din funct ii univalente pe D c arora li se atribuie valorile P  si Q ^ n dou a puncte.
Fie acum o aplicat ie o2H0(D). Se pune problema :
max
=ReL
19

.
Cum L este continu a  si =este compact a, max este atins ^ n =.
Se iau ^ n continuare funct iile :
f2=;g=f+"h+o(")2Hu(D);
unde">0. Pentru"!0 avem0(")
"!0 (uniform pe submult imi compacte din D).
Fie funct ia :
f=T(g) =
1
lo(g)
g
lo(g)
=f+"
h+lo(h)f
lo(h) +o(")
2=:
O nou a funct ional a asociat a lui L, f  si =:
Lf=L+L(f)l0L(l)
l02H0(D):
Observat ia 2.1
Dac af2H0(D)  siReL(f) = max
=ReL atunci obt inem :
Ren
"L[h+L0(h)f
lo(h)]o
+O(")0;
care ne conduce la condit ia :
Re["Lf(h)] +o(")0:
Dac a ^ n relat ia anterioar a, ^ mp art im prin "(">0)  si facem "!0 vom obt ine inegali-
tatea :
ReLf(h)0:
Exist a c^ ateva metode elementare de variat ie, pe care le prezent am ^ n continuare [13],
metode care constau ^ n determinarea unor condit ii pe care trebuie s a le ^ ndeplineasc a
aplicat iaLf.
20

2.1 Rotat ia in U.
Aceast a metod a ne ofer a o prim a condit ie  si anume :
ImLf(zf0) = 0:
Dac af2=(U;l 1;l2;P;Q ) atunci :
g(z) =f(eiz);
oricare ar  >0. Pentru!0 avem :
g=fizf0+o(2):
CumReL(f) =max
=ReL, atunci avem ^ n ambele cazuri
RefiLf(zf0)g0:
Din relat ia anterioar a rezult a imediat condit ia ment ionat a la ^ nceputul paragrafului.
2.2 Auto-aplicarea M obius a lui U.
Cu ajutorul acestei metode g asim o a doua condit ie:
Lf(f0) =Lf(z2f0);
care se obt ine astfel :
Dac af2Im(U;l1;l2;P;Q );0<r< 1  si2R;atunci :
g(z) =fz+rei
1 +reiz
2Hu(U):
21

Pentrur!0 vom avea :
0ReLf(eif0eiz2f0) =Ren
eih
Lf(f0)Lf(z2f0)io
;
oricare ar  2=. Din relat ia anterioar a rezult a imediat condit ia ment ionat a la
^ nceputul paragrafului.
2.3 Aplicarea pre-slit ^ n U.
Funct ia lui Koebe :
k(z) =z
(1 +z)2;jj= 1;
transform a domeniul U ^ ntr-un plan, care prezint a o t aietur a radial a de la k() =1
4
la innit, pentru 0 <"< 1, funct ia :
s"(z) =K1((1")k(z));
transform a U tot ^ n U, mai put in o t aietur a din .
La fel ca  si la metodele anterioare se obt ine o nou a condit ie astfel:
Dac af2=(U;l 1;l2;P;Q ); atunci :
g=fs"2Hu(U):
22

Pentru"!0 vom avea :
g=f"(zf0)1 +z
1z+o("2):
CumReL(f) =max
=ReL, atunci :
ReLf
zf01 +z
1z
0;
pentru oricare ar  ;cujj= 1:
CumLfeste continu a, dac a este o m asur a de probabilitate pe jj= 1, atunci :
ReLf
zf0Z
jj=11 +z
1zd
0:
T  in^ and cont de reprezentarea Herglotz ( din teorema 1.2.12) avemZ
jj=1d= 1, prin
urmare se obt ine o a treia condit ie :
ReLf(zf0p)0;
oricare ar  p2P.
Teorema de mai jos rezum a condit iile obt inute p^ an a acum :
Teorema 2.3.1 Fief2=(U;l 1;l2;P;Q )compact a,f2H0(U) siReL(f) =max
=ReL:
Dac a :
Lf=L+L(f)l0L(1)~l0
rezult a :
a)ImLf(zf0) = 0;
b)Lf(f0) =Lf(z2f0);
c)ReLf(zf0p)0;oricare ar  p2P.
Observat ia 2.3.1
23

i) Pentru p = 1 condit ia c) generalizat a a):  si anume Lf(zf0)este , ^ n plus, nenegativ a.
ii) Dac a ^ nlocuim L cu -L atunci problema devine :
ReL(f) =min
=ReL;
iar condit iile a)  si b) vor r am^ ane acelea si.
Vom avea :
Lf1
fw
=1
w
Lf2
fw
:
Pentruf2=(D;p;q;P;Q ) siL2H0(D), funct ionala Lfare forma :
Lf(g) =L(g) +g(p)L(fQ)g(q)L(fP)
QP;
unde am t inut cont de faptul c a :
l0(g) =g(p)g(q)
QP; l0(g) =Qg(p)Pg(q)
QP:
A sadar, vom avea :
Lf1
fw
=L(fq)(FQ)
(fw)(Pw)(Qw)
:
Aplicat ie asupra clasei S.
Aplicat ia stelat a Lfeste de forma :
Lf(g) =L(g)g(0)L(f)g(0)L(1);
iar pentru a putea rezolva problema max
=ReL, ^ n acest caz, condit iile teoremei 2.3.1
devin :
24

a)ImLf (zff) = 0;
b)Lf(f01)f00(0)L(f) =Lf(z2f0);
c)ReL(f)ReLf(zf0p), oricare ar  p2P:
Dac af(z)are forma polinomiala :
f(z) =1X
n=0anzn;
atunci :
L(f) =1X
n=0anzn:
Cele trei condit ii anterioare trebuie s a e ^ ndeplinite  si prin urmare, coecient ii unei
astfel de funct ii satisfac urm atoarele:
a)Im1X
n=2(n1)anbn= 0;
b)1X
n=2
[(n+ 1)an+12a2an]bn(n1)an1bn
= 0;
c)Re(1X
n=2"
(n1)an+cn1+n1X
m=2mamcnm#
bn)
0;
oricare ar  1 +1X
k=1ckzk2P:
Caz particular. Pentru problema :
max
SRe an;n2;
avem, din nou, cele trei condit ii echivalente :
a) Iman= 0;
b) (n+ 1)an+12a2an(n1)an1= 0;
c)Re(1X
n=2"
(n1)an+cn1+n1X
m=2mamcnm#
bn)
0;
25

oricare ar  1 +1X
k=1ckzk2P:
Aplicat ie. Se poate ar ata c a max
Sja2j= 2 ([13],Appendix B). De aici, se pot demon-
stra urm atoarele:
1.Funct iile lui Koebe .
k(z) =z
(1z)2;=jb2j
b2;
sunt solut iile pentru problemele de forma :
max
SRe a 2b2:
2.Funct iile lui Koebe.
k(z) =z
(1z)2;= 1;
sunt solut ii pentru problemele de forma :
Re
S(a2b2+a3b3);
numai dac a ( b2)2b32R:
3.Funct iile lui Koebe.
k(z) =z
(1z)2;= 1;
sunt solut ii pentru problemele de forma :
max
SRef0(z0);
26

numai dac a z02R:
4.Funct iile lui Koebe nu pot  solut ii pentru problemele de forma :
max
SRe(a2+a3);
Acest lucru este explicat de c atre A.C. Schaeer, care au descris valorile pe care le iau
(a2;b2) ^ nC2, c^ at timp f variaz a peste S.
Observat ia 2.3.2 Funct iile lui Koebe nu pot  solut ii pentru problemele:
max
SRe f (x0);
^ n cazul ^ n care z0=2R. De fapt, H.Grunsky [G10] a ar atat c a o funct ie Koebe poate
 solut ie pentru problema max
SRe f (x0);dac a1e
1 +ez01 si= 1.
2.4 Reprezentarea nal a a lui M obius.
Fief2=(D;l 1;l2;P;Q );w2Cnf(D), atunci :
g=1
1w2Hu(D); f=T(g) =1
l01
fw:
C^ at timpl0(1
fw)6= 0, avem :
1
fw~l01
fw
2=:
^In continuare, dac a L2H0(D)  siReL(f) =max
SReL, atunci condit ia ReL(f)
ReL(f) devine :
ReLf1
fwl01
fw
0;
undeLfare forma :
27

Lf=L+L(f)l0L(1)~l0:
Observat ia 2.4.1 Cu except ia cazului w!1 , aceast a metod a nu este una variat ional a,
^ n sensul obi snuit, dar cont ine multe informat ii utile.
^In continuare s a presupunem c a avem urm atoarele :
===(D;l 1;l2;P;Q );f2=;L2H0(D) siReL(f) =max
SReL:
Prezent am sumar c^ ateva informat ii utile pe care ni le ofer a acest a metod a ([13]).
Teorema 2.4.1 Dac a=este compact a atunci :
ReLf1
fwl01
fw
0;
oricare ar  w2Cnf(D), ca atarel01
fw6= 0:
Lema 2.4.1 Dac a=este compact a, f2=  si
este o submult ime nedegerat a din Cnf(D),
atunci:
i)l01
fw
6= 0;oricare ar  w2
sau l 01
fw
= 0pe
:
ii) Oricare ar  w2
;l 01
fw
6= 0 dac a imaginea unei m asuri reprezentative a
luil0nu separ a
de1.
iii) Oricare ar  w2
;l 01
fw
6= 0;dac a D este limitat a.
Lema 2.4.2 Dac a=este compact a, f2 =  siL2H0(D) si imaginea unor m asuri
reprezentative nu separ a submult imile lui
CnD;atunci :
i)Lf1
fw
6= 0^ n vecin atatea lui 1.
ii)Lf1
fw
6= 0 pe care orice submult ime nedegenerat a a lui Cnf(D).
28

Lema 2.4.3
'(w) =1X
n=1Anwn;
analitic a ^ n vecin atatea lui 1;fjg, o familie dens a din [0;2]. Dac aRe ' (wjk)0,
astfel ^ nc^ at :
lim
k!1wjk=1;lim
n!1wjk
jwjkj=ei;
oricare ar  j, atunci '= 0.
Denit ia 2.4.1 Un num ar real se nume ste direct ie de limitare a unei mult imi A,
la1, dac a exist a wn2A, astfel ^ nc^ at:
lim
n!1wn=1;lim
n!1wn
jwnj=ei:
^In not iunea de mai sus, se poate observa c a, orice mult ime nelimitat a are cel put in o
direct ie de limitare la 1.
Teorema 2.4.2 Dac a=este compact a, f2=  siL2H0(D) si imaginea unor m asuri
reprezentative nu separ a submult imile lui
CnD, atunciCnf(D)nu poate avea o mult ime
dens a de direct ii de limitare la 1.
Demonstrat ia. [13]
Funct ial01
1w
are un zero de ordinul doi la 1 siLf1
1w
are un zero de
ordinul cel put in trei, la 1. Prin urmare, funct ia :
'(w) =Lf1
fwl01
fw
;
este analitic a ^ n vecin atatea lui 1 si dispare la1.
Dac a presupunem c a Cnf(D) are o mulc time dens a de direct ii de limitare la 1,
29

conform teoremei 2.4.1. avem Re ' (wjk)0, oricare ar fwjkgdin lema 2.4.3. De aici
rezult a c a, '= 0 ^ n vecin atatea lui 1, de unde avem Lf1
fw
= 0 ^ ntr-o vecin atate
a lui1, ceea ce contrazice lema 2.4.2(i).
Observat ia 2.4.2 Ca un exercit iu util se pot formula  si alte versiuni ale lemei 2.4.3.(spre
exemplu cufjg, dense ^ n intervalul [;++"], sau cuj=++"
j;cuj= 1;2;:::;
pentru2R si">0), de asemenea se pot deduce versiuni analoage cu ajutorul teoremei
2.4.2.
2.5 Variat ii relative la un punct exterior.
Aceast a metod a const a ^ n realizarea unei variat ii care se utilizeaz a pentru cazul ^ n
careCnf(D) include o mult ime nevid a ([13]).
Lema 2.5.1 Fie~D=fw:jww0j>0g si2R.
Funct iaw+2e2i
ww0este univalent a ^ n ~D si transform a ~D^ ntr-o mult ime de segmente de
lungime 4de pant a, centrate ^ n1.
Fie, din nou, f2=(D;l 1;l2;P;Q ) si presupunem c a Cnf(D)cont ine o mult ime
deschis a pe care o not am cu O. Din lema 2.5.1, dac a w02Oavem :
g=f+2e2i
ww02Hu(D);
pentru8>0, sucient de mici  si 82R:
Dac aReL(f) =max
SReL, la fel ca  si ^ n celelalte cazuri avem :
Re
e2iLf1
fw
0;82R:
^In consecint  a, Lf1
1w
= 0:
30

Teorema 2.5.1 Dac a=este compact a, f2=;L2H0(D);ReL (f) =max
SReL  siCn
f(D)cont ine o mult ime deschis a O, atunci :
Lf1
fw
= 0;
^ n mult imea O.
Teorema 2.5.2 Dac a=este compact a, f2 =; L2H0(D);ReL (f) =max
SReL  si
Cnf(D), cont ine o mult ime deschis a O  si imaginea lui (K) prin m asuri reprezentative
nu separ a componentele lui
CnD, atunciCnf(D)nu include nici o mult ime nevid a.
Demonstrat ia. [13]
Se presupune prin reducere la absurd c a, Cnf(D) include o mult ime nevid a O. Din
teorema 2.5.1 rezult a c a Lf1
1w
= 0 ^ n mult imea O, iar din ipoteza acestei teoreme
deducem c a Lf1
1w
= 0 ^ nCnf(K);ceea ce contrazice lema 2.4.2.
Observat ia 2.5.1 Metodele variat ionale prezentate ^ n acest capitol se aplic a la fel  si ^ n
cazul unor probleme neliniare.
2.6 Metoda variat ional a a lui Schier-Garabedian.
Metodele anterioare ofer a restrict ii implicite pentru funct iile extreme, dar nu sunt su-
cient de puternice astfel ^ nc^ at s a ofere solut ii pentru problemele substant iale. O metod a
mult mai util a este Metoda variat ional a a lui Schier , pe care o vom prezenta ^ n contin-
uare ([13], Appendix C).
Pentru aceasta, e
continuu limitat a  si D ^ n jwj>1 cu'(1) =1 si'0(1)>0,
cuz!1 vom avea :
'(z) =z
+o(1);> 0:
^In concluzie, exist a o transformare conform a a lui D ^ n jwj>1, de forma :
31

(z) =z+o(1);> 0:
Denit ia 2.6.1 Num arul=(
)se nume ste diametru transnit a lui
.
O mult ime continuu limitat a are urm atoarele propriet at i:
Lema 2.6.1 Dac a
1;
2, sunt continuu limitate  si
1
2, atunci(
1)(
2):
Lema 2.6.2 Dac a
este continuu limitat a cu diametrul D  si diametrul transnit ,
atunci1
4d1
2d:
Teorema 2.6.1 (de variat ie a lui Schier [11])
Fie
continuu limitat a  si w02
. Oricare ar   > 0sucient de mici, exist a
2R;1
4 siA12C;jA1j1astfel ^ nc^ at oricare ar  2Rexist aF2Hu(CnY)
av^ and forma :
F(w) =w+1X
n=1Bnn+1(ww0)n;8jww0j>;
undeB1=e2iA1 sijBnj4n+1;n2:
Demonstrat ia. [13]
Exist aw12
; w 16=w0, apoi 0<  <jw1w0j si
0o submult ime a lui \
fjww0jg;w02
0. Evident, \fjww0jgeste nevid a (
este conex a). Se
consider a un diametru d, un diametru transnit, din
0astfel ^ nc^ at:
1
41
4d1
2d:
Fie acum :
'(w) =1
w+0+1w1+:::;
32

care transform a Cn
0^ njsj>1. Se ia1=A 1, se arat a c a1
'12,  sijA1j1.
Egalitatea are loc dac a '1(s) =s01s1,iar ^ n acest caz
0este un segment de
dreapt a.
Se demonstreaz a ^ n continuare c a funct ia :
F=
'+e2i
'0
;
aplic a
0^ ntr-un segment similar, iar pentru jww0j>funct ia are forma :
F(w) =w+1X
n=1Bnn+1(ww0)n;
undeB12=B 1+2e2i=2(e2iA1). Cum coecient ii funct iei :
G(!) =1
F(w0+!) =!+w0
+1X
n=1Bn
n+1
wn;
satisfac relat iaBn
n+11pn1;rezult a c aBn
n+14n+1.
Ca o consecint  a imediat a, avem :
Teorema 2.6.2 (lema fundamental a a lui Schier [11].)
Fies(w)analitic a  si diferit a de zero pe o mult ime continuu limitat a. Dac a w02
 si
c este un num ar complex, astfel ^ nc^ at Refcs(w0)0g,  si exist a o familie fFvgde func tii
dinHu(Cn
)de forma :
Fv(w) =w+1X
n=1Bnvn+1
v(ww0)n;
culim
v!1v= 0;lim
v!1B1v=c;atunci
este un arc analitic a c arui reprezentare
parametric a w!w(t)satisface condit ia :
33

s(w)dw
dt2
= 1:
Observat ia 2.6.1 Ecuat ia diferent ial a de mai sus este deseori utilizat a sub forma:
s(w)(dw)2>0;
caz ^ n care se spune c a
se a
 a pe direct ia unei diferent iale de cuadratur a
s(w)(dw)2.
34

Capitolul 3
Exemple de funct ii olomorfe pe C.
Metoda Schier – Garabedian.
3.1 Exemple de funct ii olomorfe pe C(funct ii^ ntregi).
Pentru elaborarea acestei sect iuni s-a folosit referint a cu num arul [5].
^In acest paragraf introducem c^ ateva dintre funct iile elementare care sunt olo-
morfe pe ^ ntreg planul complex: funct ia polinomial a, exponent ial a, funct iile trigonomet-
rice (sin  si cos)  si funct iile trigonometrice hiperbolice(sh  si ch). Pentru a verica c a aceste
funct ii sunt olomorfe pe Cse va utiliza propozit ia 2.47(vezi propozit ia 2.47 din referint a
[5].)
1. Funct ia polinomial a este o funct ie p:C!C, denit a prin p(z) =c0+c1z+
c2z2+:::+cnzn, undecj2C;j20;n. Dac acn6= 0, atunci polinomul p este de grad
0. Constanta 0, considerat a ca funct ie polinomial a, din motive formale, ea este privit a ca
polinom de grad1.
Aplic^ and observat ia (vezi observat ia 2.42.2 din [5]) produsului z.z…z, rezult a c a
(zn)0=nzn1. O funct ie polinomial a ind o sum a de funct ii derivabile pe C, ea va
apart ine clasei H(C).
2.ez=ex(cos y +i sin y );(ez)(n)=ez;pentrun2N;e0= 1;ez1+z2=ez1z2:
Lu^ andx= 0  si ^ nlocuind y cu x, se obt ine formula lui Euler.
35

Denit ia 3.1.1 Funct iile trigonometrice cosinus  si sinus de variabil a complex a z se de-
nesc prin relat iile :
cos z =1
2(eiz+eiz);sin z =1
2i(eizeiz);
obt inute din :
cos x =1
2(eix+eix);sin x =1
2i(eixeix);
^ nlocuind x cu z.
Se veric a u sor c a aceste funct ii sunt ^ ntregi, iar (cos z )0=sin z; (sin z )0=cos z:
Denit ia 3.1.2 Funct iile trigonometrice hiperbolice sh  si ch se denesc prin relat iile
ch z =1
2(ez+ez); sh z =1
2(ezez), obt inute prin ^ nlocuirea lui x cu z ^ n denit ia
funct iilor trigonometrice hiperbolice reale, apart in^ and clasei H(C), de perioad a 2i.
Observat ia 3.1.1 Funct ia exponent ial a nu are zerouri ^ n C, cuez6= 0, pentru orice
z2C(vezi formula 2.56 din [5]). Polinoamele au un num ar nit de zerouri ^ n C.
Funct iile trigonometrice (sin, cos)  si cele trigonometrice hiperbolice (sh,ch), au o innitate
num arabil a de zerouri.
3.2 Metoda Schier – Garabedian^ n aplicat ii ale funct iilor
olomorfe  si injective.
^In cele ce urmeaz a prezent am consecint ele metodei variat ionale a lui Schier asupra
problemelor liniare  si c^ ateva teoreme ale c aror demonstrat ii se reg asesc ^ n referint a [13].
Ipotezele din capitolul anterior r am^ an acelea si, adic a familia ===(D;l 1;l2;P;Q ) com-
pact a, cuL2H0(D), astfel ^ nc^ at familia fl1;l2geste tot compact a, problema :
ReL(f) =max
=ReL;
36

cu funct ia :
Lf=L+L(f)l0L(1)l0;
 si o funct ie nedegenerat a a lui Cnf(D), notat a cu
.
Teorema 3.2.1 Pentru ipotezele de mai sus, dac a Lf=1
fw
6= 0, atunci
este
format a din arce analitice  si m arginite care satisfac :
Lf1
fw
(dw)2>0:
Zerourile funct iei Lf1
fw
pot  singurele puncte de neanalicitate sau de diviziune
ale lui
. A sadar, dac a Lf1
fwnu tinde la zero pe
, atunci
este un ar analitic
singular care satisface condit ia teoremei, reprezentat a de o ecuat ie funct ional a diferent ial a,
depinz^ and de funct ia extrem a f.
Teorema 3.2.2 (Teorema lui
4, Hengartner  si Schober[6]).
Dac a imaginile unor m asuri reprezentative pentru l0 siLfnu separ a componentele lui
CnD, atunci ecare submult ime nedegenerat a
, a luiCnf(D)este un arc de analic-
itate singular a c arui tangent a formeaz a un unghi de cel mult
4, cu c^ ampul vectorial
grad(
ReZs
l01
fw
dw)
. Dac aLf1
fw
are un zero w02
, atunci
este o
dreapt a :
8
>><
>>:w0+tr
l0
1
fw0:t2(1;1)9
>>=
>>;:
Astfel,
satisfaceLf1
fw
>0 si cel mult o submult ime a lui Cnf(D)care este
nelimitat a.
Putem aplica pe aceast a teorem a diferite familii =, cum ar  :
1.=(D;z 0).^In acest caz, l01
fw
=1
w2, traiectoriile c^ ampului vectorial grad
ReZ1
wdw
sunt raze care pornesc din origine.
37

2.=(D;p;q;P;Q ).Pentru acest caz, l01
fw
=1
(wP)(wQ) si prin urmare
direct ia c^ ampului vectorial^ n ecare punct este aceea si, cu argumentul luip
(wP)(wQ).
Astfel, traiectoriile lui grad
ReZ1
wdw
sunt hiperbole, av^ and ca focare pe P  si Q.
Observat ia 3.2.1 O generalizare a teoremei 3.2.2 se poate obt ine pentru cazul D6=C,
care este simplu conex a, iar fl1;l2geste o familie liniar independent a din L, astfel toate
propriet at ile lui
sunt vericate de c atre Cnf(D):
Denit ia 3.2.1 Funct ia f se nume ste punct de sprijin pentru familia=H(D), dac a
f2=  si exist aL2H0(D), neconstant a pe=, astfel ^ nc^ at ReL(f) =max
=ReL.
Observat ia 3.2.2 Dac aD6=Ceste simplu conex  si f este un punct de sprijin pentru
familia de compacte ===(D;l 1;l2;P;Q ), atunciCnf(D)satisface teorema 3.2.2.
Corolar 3.2.1 Dac aF2=(D;z 0)sauF2=(D;p;q;P;Q )cuL2H0(D)nu are forma
L(g) =g(z0)+g0(z0)sauL(g) =g(p)+g(q) si imaginile unor m asuri reprezentative
pentru L nu separ a componentele lui CnD, atunci ecare submult ime nedegenerat a

pentruCnf(D), devine un arc de analicitate singular a c arui tangent a formeaz a un
unghi de cel mult
4, cu direct ia radial a.
Dac aLff2
fw
are un zero w02
, atunci
este o raz a care pleac a din origine
prinw0. Astfel,
satisfaceLff2
fwdw
w2
>0 si cel mult o submult ime a lui
Cnf(D)este nelimitat a.
Revenind la familia ===(D;l 1;l2;P;Q ) care este compact a  si la ecuat ia diferent ial a
din teorema 3.1.1 :
Lf1
fw
(dw)2>0:
Dac aD=Uputem parametriza @f(U) prinw=f(ei). Atuncidw
dA=i&f0(&);&=ei,
astfel ecuat ia diferent ial a devine :
Lf
&2[f0(&)]2
f(&)f(z)
>0cuj&j= 1:
38

Urm atoarea teorem a va extinde relat ia de mai sus pentru j&j<1:
Teorema 3.2.3 Funct ia f satisface ecuat ia diferent ial a, funct ional a :
Lf[f0(&)]2
f(&)f(z)+zf0(z)
z&
=Lfz2f0(z)
1&z
;
pentruj&j1, undeLf=L+L(f)l0L(1)~l0:
Observat ia 3.2.3 Egalitatea din teorema 3.2.3 are loc ^ n vecin atatea lui j&j1. Acest
fapt nu ^ nseamn a c a f0(&)exist a ^ n ecare punct &= 1, expresia av^ and o continuitate
analitic a ^ nj&j= 1:
Teorema 3.2.3 a fost demonstrat a pentru prima oar a ^ n problemele cu coecient i
de clas a S, de c atre M. Schier([11],[12]), unde ^ n referint a [12] a introdus o variat ie
a funct iei lui Green sub o variat ie intern a a domeniului, aplicabil a domeniilor multiplu
conexe.
Amintim  si despre variat ia Hadamard, variat ie la limita funct iei lui Green pe un
domeniu multiplu conex(vezi [13]). O consecint  a a acestei variat ii este variat ia Julia[8], o
variat ie la limit a a funct iilor univalente din discul unitate.
Aplicat ie asupra clasei S.
Primul rezultat pe care ^ l putem ment iona este chiar o consecint  a a corolarului
3.2.1  si a teoremei 3.2.3.
Corolar 3.2.2 Dac af2=;L2H0(U)nu are forma L(g) =g(0) +g0(0) si :
ReL(f) =max
SReL;
atunci f este o funct ie Koebe :
f(z) =z
(1z)2;jj= 1;
sauCnf(D)este un arc de analicitate singular care satisface ecuat ia diferent ial a :
39

Lff2
fwdw
w2
>0:
Astfel, pentruj&j1vom avea :
Lf &f0(&)
f(&)f(z)2f(z)2
f(z)f(&)&zf0(z)
z&!
=LfLfz2f0(z)
1&z
:
Corolar 3.2.3 Dac af2Seste un extrem pentru problema :
max
SRe1X
n=0anbn;
unde lim
n!1jbnj1
n<1 sibn6= 0, pentrun2, atunci f este o funct ie Koebe, Cnf(U)
este un arc de analicitate singular care satisface urm atoarea ecuat ie diferent ial a :
1X
n=21X
k=2a(k)
nbn
wk+1(dw)2<0;
cuf(z)k=1X
n=ka(k)
nzn:
^In concluzie, pentru j&j1:
[&f0(&)]21X
n=21X
k=2a(k)
nbn
[f(&)]k+1=1X
n=2(n1)anbn+1X
n=2n1X
k=1k(akbn&kn+akbn&nk):
40

Bibliograe
[1] Brannan, D.A.Clunie,J.G.,Kirwan, W.E., On the coecient problems for functions of
bounded boundary rotation , Ann.Acad.Sci.Fenn. AI 523,1973.
[2] Brickman, L., MacGregor,T. H., Wilken, D.R., Convex hulls of some classical families
of univalent functions , Trans. Amer. Math. Soc. 156,1971.
[3] Charzynski, Z., Schier, M., A geometrie proof of the Bieberbach conjecture for the
fourth coecient , Scripa Math. 25,1960.
[4] Garabedian,P.R., Schier,M., A coecient inequality for schlicht functions , Ann. of
Math. 61,1955.
[5] Hamburg, P., Mocanu, P., Negoescu, N., Analiz a Matematic a(Funct ii complexe) ,
Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[6] Hengartner, W., Schober, G., Compact families of univalent functions and their sup-
port points , Mich. Math. J. 21, 1974.
[7] Holland, F., The extreme points of a class of functions with positive real part , Math.
Ann. 202,1973.
[8] Julia, G., Sur une equation aux d erivees functionelles li eeala repr esentation con-
forme , Ann Ecole Norm. Sup. 39, 1922.
[9] L owner, K., Untersuchungen  uber schilichte konforme Abbildungen des Einheit-
skreises I , Math. Ann. 89, 1923.
[10] Marx, A., Untersuchungen  uber schlichte Abbildungen , Math. Ann. 107, 1932/1933.
41

[11] Schier, M., A method of variation within the family of simple functions , Proc. Lon-
don Math. Soc. 44, 1938.
[12] Schier, M., Variation of the Green function and theory of the p-valued functions ,
Amer.J.Math. 65, 1948.
[13] Schober, G., Univalent Functions-Selected Topics, Lecture Notes in Mathematics ,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
[14] Stroh aker, E., Beitrage zur Theorie Der schlichten Functionen , Math.Z.37,1933.
[15] Warschawschi, S.E., On Haddmard
s variational formula for Green
s function ,
J.Math.Mech.9,1960.
42