Metode de lucru n Teoria Funct iilor [609415]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SECT  IA MATEMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
Absolvent: [anonimizat]  stiint ic :
Raul – Ioan C ata Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici
SIBIU
2017

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SECT  IA MATEMATIC A
"Metode de lucru" ^ n Teoria Funct iilor
Univalente
Absolvent: [anonimizat]  stiint ic :
Raul – Ioan C ata Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici
SIBIU
2017

Cuprins
1 Funct ii univalente ^ n discul unitate.
Not iuni preliminare. 2
1.1 Funct ii univalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriet at i ale funct iilor univalente . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bibliograe 9
1

Capitolul 1
Funct ii univalente ^ n discul
unitate.
Not iuni preliminare.
1.1 Funct ii univalente.
Pentru elaborarea acestui paragraf s-a folosit [5].
S a consider am G ca ind o mult ime din planul complex C.
Denit ia 1.1.1 O funct ie complex a f se nume ste olomorf a pe G dac a f este
derivabil a ^ n ecare punct z0, din mult imea deschis a G.
Notat ie : H(G) este mult imea funct iilor olomorfe pe G.
Denit ia 1.1.2 O funct ie complex a f se nume ste olomorf^ a pe o mult ime
oarecare ACdac a exist a o mult ime deschis a pe G care ^ l include pe A
astfel ^ c^ at f2H(G).
Denit ia 1.1.3 O funct ie complex a este olomorf a ^ n z02G, dac a exist a un
discU(z0;r)astfel ^ c^ at f2H(Uz 0;r), unde f este derivabil a ^ n ecare punct
z din U(z0;r). Dac a, ^ n plus, f(z0) = 0 atunci,z0este un zero pentru f. O
funct ie ^ ntreag a este tot o funct ie olomorf a pe C.
Denit ia 1.1.4 O funct ieU:GC!Rse nume ste continuu diferent iabil a
de ordinul ^ nt^ ai pe G dac a, admite derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai, continue
pe G. Not am cu C0(G)clasa funct iilor continuu diferent iabile de ordinul ^ nt ai
pe G.
2

O funct ie complex a u+ivse nume ste continuu diferent iabil a pe G dac a u si
vsunt de clas a C1pe G.
Fie D un domeniu din planul complex C, ^ nzestrat cu o topologie uni-
form convergent a pe mult imi compacte H(D), este un spat iu liniar topologic.
Fie ^ n continuare fKng, o familie de submult imi compacte ale lui D,
astfel ^ nc at KnKn+1 siS1
n=1Kn=D, iar pentru H(D) e mult imea :
Bn(g) =ff2H(D) :jfgj<1
npeKng:
FamiliafBn(g) :g2H(D);n= 1;2;:::gformeaz a o baz a a spat ului topologic
H(D). Cum ecare Bn(g)este o mult ime convex a, H(D) este un spat iu local
convex . Topologia este metrizabil a cu metrica:
d(f;g) =1X
n=12nsup
Knjfgj
1 +jfgj:
Denit ia 1.1.5 O funct ie complex a pe D se nume ste univalent a pe D dac a
f este olomorf a  si injectiv a.
Not am cuHu(D)mult imea funct iilor univalente pe D.
Exemplul 1 [13]
1.Funct iaf(z) =z
(1+z2)este univalent a pe U=U(0; 1) , iar f(U)= Cn[1
4;+1].
2.Funct ia f(z) = log1z
1+zeste univalent a pe U = U(0;1), iar f(U)= fw2C:

2<Im w<
2g.
Observat ia 1.1.1 Prin compunerea a dou a funct ii univalente se obt ine tot
o funct ie univalent a.
Se poate generaliza not iunea de funct ie univalent a astfel :
O funct ie univalent a de ordinul m, este o funct ie olomorf a, care ia orice
valoare a sa ^ n cel mult m puncte distincte  si pentru care exist a cel put in o
valoare care a fost luat a ^ n exact m puncte distincte.
Exemplul 2 Funct iaz!z2este multivalent a de ordinul 2 sau bivalent a pe
C.
Observat ia 1.1.2 Cum orice funct ie complex a se identic a cu o transfor-
mare punctual a ^ n planul complex, aspectul geometric ^ n studiul acestor funct ii
are o important  a foarte mare.
Se poate ar ata c a o funct ie olomorf a cu derivata nenul a se identic a cu
o transformare conform a de clas a C1, iar o funct ie univalent a se identic a
3

cu o reprezentare conform a a domeniului de denit ie pe domeniul imagine.
^In paragraful 1.2 vom studia submult imile lui H(D) din punctul de
vedere al teoriei convexe. Pentru a le putea studia ^ n paragraful urm ator,
va trebui s a cunoa stem not iunile de mai jos:
Denit ia 1.1.6 O submult ime A a spat iului liniar, vectorial CsauR, se
nume ste convex a dac a [x + (1-)y]2Aoricare ar  x,y 2A  si orice
2(0;1).
Denit ia 1.1.7 Un punct2A se nume ste extrem al lui A dac a 6=
x+ (1)y, pentru oricare ar  x,y 2A distincte  si orice 2(0;1).
Not am cuEAmult imea punctelor extreme ale lui A.
Denit ia 1.1.8 Numim frontiera aproape convex a a lui A, notat a cu
coA , intersect ia tuturor mult imiilor convexe care includ A.
1.2 Propriet at i ale funct iilor univalente
Acest paragraf cuprinde c ateva teoreme  si propozit ii, care cont in prin-
cipalele propriet at i ale funct iilor univalente, printre care  si un criteriu sim-
plu de univalent  a, care are numeroase aplicat ii. Pentru demonstrat ii :vezi
[5](capitolul VI, paragraful 2).
Teorema 1.2.1 Dac af2Hu(d)atuncif06= 0 oricare ar  z2D.
Funct ia z!eznu este univalent a pe C, de si derivata sa nu se an-
uleaz a ^ n niciun punct din C, prin urmare reciproca teoremei 1.2.1 nu este
^ n general adev arat a.
Propozit ia 1.2.1 Dac af2H(D) siz02D, atunci ^ n orice disc U(z0;r)
D, exist a cel put in dou a puncte distincte z1 siz2astfel ^ nc at f(z1)f(z2) =
f(z0)(z1z2):
Observat ia 1.2.1 Aceast a propozit ie a lui D.Pompeiu este o reciproc a a teo-
remei de medie a lui Lagrange pentru funct ii complexe. ^In acest caz, teorema
direct a nu este valabil a. Reciproca ei este adev arat a.
Teorema de mai jos cont ine un criteriu simplu de convergent  a :
Teorema 1.2.2 Dac af2H(D), unde D este un domeniu simplu conex  si
exist a o funct ie g2Hu(D)astfel ^ nc^ at g(D) este un domeniu convex  si :
Ref(z)
g(z)>0
pentru orice z2D, atuncif2Hu(D).
4

Demonstrat ia.
Se alegeH=fog1olomorf a pe
= g0(d).^In baza ipotezei, demonstr a
c a h este injectiv a pe
, de unde f=Hog este univalent a pe D.
Din aceast a teorem a putem deduce:
Corolar 1.2.1 Dac a D este un domeniu conex  si f2H(D), astfel ^ nc^ at Re
f0(z)>0, oricare ar  z2U, atuncif2Hu(U).
Corolar 1.2.2 Dac a U=U(0;1)  si f2Hu(U)astfel ^ nc^ at Re[(1z2f0)]>0,
oricare ar  z2U, atunci f2Hu(U).
Corolar 1.2.3 Dac a funct ia continu a ,  neconstant a : [0;2]!Neste
cresc atoare pe intervalul [0;] si descresc atoare pe [;2]cu U=U(0;1), denim
:
f(z) =Z2
0eit+z
eit+z'(t)dt;z2U;
atuncif2Hu(U).
Teorema 1.2.3 (teorema lui Hurwitz)
Dac a  sirul (fn)de funct ii univalente pe domeniul D converge uniform pe
compacte ^ n D c atre orice funct ie f neconstant a, atunci f2Hu(D).
Demonstrat ia
Se presupune c a f nu este injectiv a  si astfel se ajunge la o contradict ie
a injectivit aii lui fn.
^In continuare, se vor studia submult imiile lui H(D) din punctul de
vedere al teoriei convexe ( vezi [2], Appendix A). Mai jos sunt principalele
teoreme :
Teorema 1.2.4 (teorema lui Krein-Milman)
Dac a A este o submult ime compact a dintr-un spat iu liniar topologic local
convex, atunci :
coA =coEA:
Dac a, ^ n plus,coA este compact a, atunci :
EcaAA:
Se remarc a c a EA6=? si A este compact a.
Urm atorul rezultat se refer a la homeomorsme liniare :
5

Teorema 1.2.5 Fie X  si Y dou a spat ii liniar topologice  si un homeomorsm
liniarL:X!Y:Dac aAX, atunci :
coL(A) =L(coA) siEcoL(A) =L(E
coA):
Teorema 1.2.6 Dac a A este o submult ime compact a a spat iului topologic
local convex X  si s0este o funct ional a liniar a pe X, atunci :
max
ARe x0= max
EARe x0:
Dac a, ^ n plus, coA este compact a, atunci :
max
ARe x0= max
coARe x0= max
EcoARe x0:
Observat ia 1.2.2
1.) Teorema 1.2.5 pune ^ n evident  a faptul c a, pentru a rezolva problemele de
extreme liniare peste mult imi compacte, este sucient s a g asim doar punctele
de extrem.
2.) Teorema va r am^ ane adev arat a ^ nlocuind Re x0cu orice alt a funct ie con-
tinu a convex a.
3.) Dac a ^ nlocuim x0cux0 siix0cuix0, atunci maxARe x0va include
urm atoarele probleme :
max
ARe x; min
AIm x0;max
AIm0x0:
^In continuare, dac a, maxAjx0j=jx0()j sixi=jx0()j
x0()x0, atunci :
max
ARe x0=jx0()j= max
Ajx0j;
astfel ^ nc^ at problema maxAjx0jeste, de asemenea, inclus a.
Teorema 1.2.7 (teorema lui Choquet)
Presupunem c a A este o submult ime compact a  si convex a a spat iului real
liniar X, metrizabil  si local convex cu x2A. Atunci exist a o m asur a de
probabilitate xpeEA, astfel ^ nc^ at :
x=Z
EAydx(y):
Dac a A este un simplex [13](Appendix A), atunci xeste unic a.
6

Observat ia 1.2.3
1.) Din teorema lui Krein-Millman rezult a c a mult imiile compacte  si convexe
pot  reconstruite pornind de la punctele lor de extrem.
2.) Din teorema lui Choquet rezult a c a, aceast a construct ie poate  realizat a
prin integrarea punctelor de extrem, privitoare la m asurile de probabilit at i.
3.) Existent a lui x, ^ n vecin atatea lui EA, este o consecint  a a teoremei lui
Krein-Millman, ^ n special compacticitatea familiilor (x). Unicitatea lui x
este mult mai complex a.
Cosider am urm atorul disc unitate U=fz:jzj<1g si denim mult imea
convex a:
P=ff2H(U);Ref > 0; f(0) = 1g:
7

Bibliograe
[1] Brannan, D.A.Clunie,J.G.,Kirwan, W.E., On the coecient problems
for functions of bounded boundary rotation , Ann.Acad.Sci.Fenn. AI
523,1973.
[2] Brickman, L., MacGregor,T. H., Wilken, D.R., Convex hulls of some
classical families of univalent functions , Trans. Amer. Math. Soc.
156,1971.
[3] Charzynski, Z., Schier, M., A geometrie proof of the Bieberbach con-
jecture for the fourth coecient , Scripa Math. 25,1960.
[4] Garabedian,P.R., Schier,M., A coecient inequality for schlicht func-
tions , Ann. of Math. 61,1955.
[5] Hamburg, P., Mocanu, P., Negoescu, N., Analiz a Matematic a(Funct ii
complexe) , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[6] Hengartner, W., Schober, G., Compact families of univalent functions
and their support points , Mich. Math. J. 21, 1974.
[7] Holland, F., The extreme points of a class of functions with positive real
part, Math. Ann. 202,1973.
[8] Julia, G., Sur une equation aux d erivees functionelles li eeala
representation conforme , Ann Ecole Norm. Sup. 39, 1922.
[9] L owner, K., Untersuchungen  uber schilichte konforme Abbildungen des
Einheitskreises I , Math. Ann. 89, 1923.
[10] Marx, A., Untersuchungen  uber schlichte Abbildungen , Math. Ann. 107,
1932/1933.
[11] Schier, M., A method of variation within the family of simple functions ,
Proc. London Math. Soc. 44, 1938.
8

[12] Schier, M., Variation of the Green function and theory of the p-valued
functions , Amer.J.Math. 65, 1948.
[13] Schober, G., Univalent Functions-Selected Topics, Lecture Notes in
Mathematics , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
[14] Stroh aker, E., Beitrage zur Theorie Der schlichten Functionen ,
Math.Z.37,1933.
[15] Warschawschi, S.E., On Haddmard
s variational formula for Green
s
function , J.Math.Mech.9,1960.
9