. Metode de Control Optimal In Economie
Introducere
Conceptul de optimizare joacă un rol central în analiza economică.
Obiectul acestei lucrări constă într-o prezentare detaliată a unor metode de analiză și optimizare intertemporală însoțite de fundamentele matematice care stau la baza acestora. Aplicabilitatea lor este verificată pe un model macroeconomic concret, modelul Phillips închis.
Interesul acestor metode este de a da răspuns la întrebări de tipul:
«Date fiind anumite obiective economice și ținându-se cont de cunoștințele noastre asupra stării mediului înconjurător, care sunt deciziile de politică ce convin?»
Într-un capitol preliminat am prezentat originile teoriei controlului optimal și am definit noțiunile de bază ale acesteia și problema standard de control optimal.
Capitolul 2 tratează teoria sistemelor în vederea aplicării sale la modelarea macoeconometrică. Are ca obiect studii unor proprietăți importante ale sistemelor dinamice, în particular pentru sisteme dinamice ce modelează procese economice. Se introduc patru noțiuni esențiale ce intervin în caracterizarea proprietăților sistemelor dinamice „controlabilitatea”, „observabilitatea”, „stabilitatea”, „stabilizabilitatea”, însoțite de câteva criterii pentru stabilirea lor.
Capitolul 3 este destinat studiului detaliat al unui model de reglare economică, modelul Phillps închis. După o prezentare sintetică a unor elemente fundamentale de politică macroeconomică, într-un paragraf următor, 3.2., se trece la studiul controlabilității , observabilității și stabilității sistemului dinamic Phllips, conform criteriilor definite în capitolul 2.
Modelul Phillips are ca scop stabilirea unei politice economice care să conducă la atingerea unor nivele dorite ale anumitor indicatori economici. În ultimul paragraf al capitolului, 3.3, sunt expuse două metode de optimizare dinamică proprii teoriei controlului optimal „standard” în vederea găsirii condițiilor pentru calculul unei politici economice optimale și anume metodele bazate pe „principiul maximului al lui Pontryagin” și „principiul de optimalitate al lui Bellman”. În finalul capitolului, aceste metode sunt aplicate la determinarea legii de control optimale în cazul modelului Philips.
În ultimul capitol al lucrării, Capitolul 4, au fost abordate câteva probleme, de optimizare care apar în cadrul sistemului de marketing, cum ar fi: maximizarea profitului și optimizarea alocării resurselor în marketing. În fiecare din cele două cazuri sunt descrise și exemplificate metodele abordabile de optimizare, într-o prezentă însă mai succintă.
1.NOȚIUNI PRELIMINARE PRIVIND TEORIA CONTROLULUI ÎN ECONOMIE
Obiectul acestui capitol este de a introduce noțiunile de bază ale teoriei controlului optimal; definirea unei probleme standard de control optimal și câteva comentarii privind implicarea teoriei controlului optimal în rezolvarea unor probleme economice.
Comentarii privind teoria controlului în economie
Elementele principale ale teoriei moderne a controlului sunt conceptele introduse de Kalman (1960): „contralibilitate” și „observabilitate”.
Metodele de control au fost utilizate în economie începând din 1940. În 1953, profesorul universitar Arnold Tustin este printre primii care remarcă o analogie între controlul unui proces mecanic și problemele cu care se confruntă puterile publice în a determina o politică macroeconomică. Utilizarea tehnicilor de control optimal pentru analiza politici economice se lovea în anii ’50 de limitele modelării macroeconometrice.
Primul pas a fost făcut o dată cu dezvoltarea metodelor econometrice și a tehnologiei informatice, fiind posibilă simularea. Teoria creșterii optimale este una din primele tentative de utilizare acestor tehnici. În anii ’70 analiza politicii economice începe să utilizeze modelarea sochastică multivariată și metodele de optimizare dinamică.
Chow (1987) distingea trei perioade în dezvoltarea teoriei controlului aplicată analizei politice economice. Într-o primă perioadă, înainte de anii ’70 apar principalele idei de analiză politică. O a doua perioadă, în anii ’70, marchează trecerea la o teorie formalizată numită „teoria modernă a controlului”. La sfârșitul anilor 70, începe a treia perioadă de dezvoltare larg stimulată prin noțiunea de „anticipații raționale.” Luarea în considerare a acestora a pus câteva întrebări printre care „problemele de contradicție dinamică” și anume:
considerarea unei ipoteze contradictorii:
«comportamentul agenților economici este independent de acțiunea politică»
paradoxul dinamic de „incoerență” temporală:
«dacă politica economică este pusă în aplicare în primul an și va fi urmărită în continuare, atunci se poate constata că ar fi optim să se conceapă o altă politică, mai bună»
1.2. Elemente de control optimal și analiză macroeconomică
Teoria controlului optimal s-a dezvoltat atât pe baza unor necesități impuse de economie, știință și tehnică, cât și intrinsec prin punerea și rezolvarea unor probleme de matematică ce izvorăsc din tendința obținerii unor rezultate riguroase. Economia reprezintă probabil cadrul cel mai potrivit de aplicare a controlului optimal. Majoritatea modelelor dinamice ale economiei se formulează în termenii problemelor de comandă optimală.
Problemele de control optimal modelează mișcarea unor sisteme care se pot deplasa dintr-o poziție printr-o infinitate de moduri. Alegerea unor anumite mișcări din mulțimea tuturor mișcărilor posibile, care să fie cea mai convenabilă în raport cu un anume țel propus dinainte, definește într-un mod foarte simplificat ceea ce se înțelege „control optimal”.
«Date fiind anumite obiective economice și sociale și ținând cont de cunoștințele noastre din starea mediului înconjurător, care sunt deciziile de politică economică, care convin?»
O problemă de control optimal obișnuită este cea în care se cere maximizarea (sau minimizarea) unei funcționale
1.2. J:AC (O,T; Rn) x CP (O,T ; Rr) x [O,T] R,
unde
AC (O,T; Rn) este spațiul Banach al funcțiilor Z:[O,T]Rn,
absolut continue;
CP (O,T ; Rr) = {x: [O,T] Rn continue pe porțiuni},
pe mulțimea perechilor (z(·), x(·)) de funcții care verifică condițiile finale
(1.2.1.) φ(Z(T)) ≤ 0, pentru i є {-r,…, -1}
φ(Z(T)) = 0, pentru i є {1,…, k}
și sistemul de ecuații diferențiale (“sistemul de evoluție”)
(1.2.2.) Ż(t) = f(z(t), x(t), t), t є [O,T]
cu condiția inițială
(1.2.3.) Z(0)=Z0 (Z0 є Rn fixat)
Definiții 1.2.1
Parametrul x(∙)є Rr se numește „parametru de control (comandă)”, iar z(∙)є Rn se numește „parametru de stare”.
Fiecare z(·)є AC(O,T;Rn)soluție a sistemului (1.2.2.) corespunzătoare unui parametru de control x( · ) dat se numește „soluție admisă”
O soluție a problemei de control optimal (care constă în fapt în minimizarea /maximizarea funcționalei J pe mulțimea perechilor admise) se numește „pereche optimală”.
Prin obținerea „condițiilor necesare de optim” se caută să se dea proprietăți cât mai precise ale perechii optimale. În esență, obținerea „condițiilor necesare de optim” se bazează pe faptul că soluția problemei de control optimal fiind optimală pe mulțimea perechilor admise, ea va fi optimală pe mulțimea perechilor admise relativ la orice vecinătate a perechii optimale.
Definiție 1.2.2. Fie V o vecinătate a perechii optimale. Diferența dintre un element oarecare din V și perechea optimală se numește „variație”.
Diversele tipuri de variații din teoria controlului optimal sunt strâns legate de definirea vecinătății.
L.S. Pontryagin a utilizat „variațiile de tip ac” în obținerea „principiului de maxim (minim)” pentru probleme de tip optimal.
În acest caz norma este aleasă astfel:
pentru variația traiectoriei optimale, Z(∙) – (∙) se ia norma din spațiul Banach
AC(O,T; Rnφ), și anume ║Z(∙)║=max║Y(t)║ tє[0,T]
pentru variația X(∙) – (∙) se ia norma din spațiul
L1(O,T; Rr) = {x: [O,T] Rr, ║X(t)║1=}.
Într-o problemă de control optimal, variația importantă este cea a variabilei de control [X(∙) – (∙)] deoarece variația traiectoriei optimale se obține prin restricția dată de sistemul de evoluție (1.2.2.)
Definiția 1.2.3. Fie J: AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T] R o funcțională continuu diferențiabilă Frêchet de ordin p (p1)
Se numește “variația de ordin K a funcționalei J”, 1 ≤ k ≤ p, în (z(∙), x(∙)), diferențiale de ordin K, dk J(z(t), x(t), t ).
Remarca 1.2.
Fie J:AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T]R
definită prin
unde
I:AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T]R
este o funcțională continuă cu derivate parțiale în raport cu (z(∙), x(∙), t).
Atunci avem:
unde є AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)
verifică sistemul (1.2.2.)
2.SISTEME DINAMICE
Acest capitol este structurat pe trei paragrafe și are ca obiect de studiul unor proprietăți importante ale sistemelor dinamice, în particular pentru sistemele dinamice ce modelează procese economice.
În primul paragraf sunt prezentate noțiunile de bază ale teoriei sistemelor dinamice și câteva proprietăți generale referitoare la soluțiile acestor sisteme (existență, unicitate).
În paragrafele 2.2. și 2.3. se introduc patru noțiuni esențiale ce intervin în caracterizarea proprietăților sistemelor dinamice: “controlabilitatea”, “observabilitatea”, “stabilitatea” și “stabilizabilitatea”, însoțite de câteva criterii pentru stabilirea lor.
2.1. Proprietăți generale
Studiul fenomenelor economice, umane sau fizice conduce teoreticienii la construirea metodelor ce sunt reprezentări simplificate ale realității. Limbajul matematic este esențial pentru elaborarea metodelor de acest tip.
Problema reprezentării matematice a sistemelor se reduce la căutarea unei forme matematice (de exemplu o ecuație)care să permită descrierea diferitelor variabile asociate sistemului. În teoria controlului se disting două tipuri de variabile: intrările (imput), notate cu x și ieșirile (output), notate cu y. Astfel, un sistem este un obiect abstract format din relații între variabilele x și variabilele y.
Teoria sistemelor utilizează reprezentarea prin “cutia neagră” sau diagrama funcțională a sistemului.
x y
Dacă “scurgerea timpului” nu este luată în considerare în scrierea sistemului, acesta se numește “static”, iar în caz contrar e vorba de “sistem dinamic”.
În cazul sistemului dinamic se disting două posibilități: “sistem continuu” (când sunt înregistrate în mod continuu; ca notație x(t) și y(t)) și “sistem discret” (ca notație xt și yt).
În general, relațiile input-output sunt definite printr-o ecuație diferențială (în cazul sistemelor continue) de forma:
sau o ecuație cu diferențe (în cazul sistemelor discrete):
yt+r=f(yt+r-1,…, yt; xt+s,…, xt, t),
unde x și y pot fi vectori.
Aceste ecuații permit reprezentarea evoluției (viteza, variația în unitatea de timp) a sistemului.
Sistemul dinamic este descris printr-o relație directă între intrările x și ieșirile y. Această relație este stabilită prin intermediul unei alte variabile z numită “starea sistemului”.
Valorile variabilelor de stare z la momentul t=0 constituie condiții inițiale necesare și suficiente pentru a studia evoluția unui sistem atunci când se cunoaște ecuația diferențială (e vorba de o problemă Cauchy).
Evoluția unei mulțimi de m variabile reale (notate vectorial cu y), presupunând că componentele vectorului y depind liniar de vectorul de stare z, admite o reprezentere în spațiul stărilor, foarte utilă studiului și sintezei sistemelor multidimensionale.
, t0,
unde sunt dimensiuni (k,l), (n,l), respectiv (m,l), iar
este matricea de stare (sau de evoluție)
este matricea de control
este matricea de observație
este matricea de legătură directă
Această modelare permite stabilirea rezultatelor fundamentale privind controlul sistemului considerat.
Sistemul dinamic poate fi definit și ca o aplicați liniară S a spațiului șirurilor k-dimensionale în spațiul șirurilor m-dimensionale.
Definiția 2.1.1.
Fie H un sistem și XH o submulțime. Se numește ”sistem dinamic” pe x, familia aplicații liniare astfel încât:
S(t)C(x,x), () t0,
S(0)=Id
S(t+s)= S(t) S(s), () t,s0,
() xX: S(tiția 1.2.3. Fie J: AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T] R o funcțională continuu diferențiabilă Frêchet de ordin p (p1)
Se numește “variația de ordin K a funcționalei J”, 1 ≤ k ≤ p, în (z(∙), x(∙)), diferențiale de ordin K, dk J(z(t), x(t), t ).
Remarca 1.2.
Fie J:AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T]R
definită prin
unde
I:AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)x[O,T]R
este o funcțională continuă cu derivate parțiale în raport cu (z(∙), x(∙), t).
Atunci avem:
unde є AC(O,T;Rn)x CP(O,T;Rr)
verifică sistemul (1.2.2.)
2.SISTEME DINAMICE
Acest capitol este structurat pe trei paragrafe și are ca obiect de studiul unor proprietăți importante ale sistemelor dinamice, în particular pentru sistemele dinamice ce modelează procese economice.
În primul paragraf sunt prezentate noțiunile de bază ale teoriei sistemelor dinamice și câteva proprietăți generale referitoare la soluțiile acestor sisteme (existență, unicitate).
În paragrafele 2.2. și 2.3. se introduc patru noțiuni esențiale ce intervin în caracterizarea proprietăților sistemelor dinamice: “controlabilitatea”, “observabilitatea”, “stabilitatea” și “stabilizabilitatea”, însoțite de câteva criterii pentru stabilirea lor.
2.1. Proprietăți generale
Studiul fenomenelor economice, umane sau fizice conduce teoreticienii la construirea metodelor ce sunt reprezentări simplificate ale realității. Limbajul matematic este esențial pentru elaborarea metodelor de acest tip.
Problema reprezentării matematice a sistemelor se reduce la căutarea unei forme matematice (de exemplu o ecuație)care să permită descrierea diferitelor variabile asociate sistemului. În teoria controlului se disting două tipuri de variabile: intrările (imput), notate cu x și ieșirile (output), notate cu y. Astfel, un sistem este un obiect abstract format din relații între variabilele x și variabilele y.
Teoria sistemelor utilizează reprezentarea prin “cutia neagră” sau diagrama funcțională a sistemului.
x y
Dacă “scurgerea timpului” nu este luată în considerare în scrierea sistemului, acesta se numește “static”, iar în caz contrar e vorba de “sistem dinamic”.
În cazul sistemului dinamic se disting două posibilități: “sistem continuu” (când sunt înregistrate în mod continuu; ca notație x(t) și y(t)) și “sistem discret” (ca notație xt și yt).
În general, relațiile input-output sunt definite printr-o ecuație diferențială (în cazul sistemelor continue) de forma:
sau o ecuație cu diferențe (în cazul sistemelor discrete):
yt+r=f(yt+r-1,…, yt; xt+s,…, xt, t),
unde x și y pot fi vectori.
Aceste ecuații permit reprezentarea evoluției (viteza, variația în unitatea de timp) a sistemului.
Sistemul dinamic este descris printr-o relație directă între intrările x și ieșirile y. Această relație este stabilită prin intermediul unei alte variabile z numită “starea sistemului”.
Valorile variabilelor de stare z la momentul t=0 constituie condiții inițiale necesare și suficiente pentru a studia evoluția unui sistem atunci când se cunoaște ecuația diferențială (e vorba de o problemă Cauchy).
Evoluția unei mulțimi de m variabile reale (notate vectorial cu y), presupunând că componentele vectorului y depind liniar de vectorul de stare z, admite o reprezentere în spațiul stărilor, foarte utilă studiului și sintezei sistemelor multidimensionale.
, t0,
unde sunt dimensiuni (k,l), (n,l), respectiv (m,l), iar
este matricea de stare (sau de evoluție)
este matricea de control
este matricea de observație
este matricea de legătură directă
Această modelare permite stabilirea rezultatelor fundamentale privind controlul sistemului considerat.
Sistemul dinamic poate fi definit și ca o aplicați liniară S a spațiului șirurilor k-dimensionale în spațiul șirurilor m-dimensionale.
Definiția 2.1.1.
Fie H un sistem și XH o submulțime. Se numește ”sistem dinamic” pe x, familia aplicații liniare astfel încât:
S(t)C(x,x), () t0,
S(0)=Id
S(t+s)= S(t) S(s), () t,s0,
() xX: S(t)xC([0,),x)
S(t) este operatorul de stare (starea sistemului la momentul t). Dacă la un moment s starea sistemului este S(s), atunci la un moment (t+s), starea va fi S(t) S(s) =S(t+s).
Rezolvarea sistemului (S) conduce la noțiunea de “funcție de tranziție”, care descrie schimbarea stării între două momente t0 și t (t0<t) atunci când se aplică un semnal.
Această funcție va fi definită în cele ce urmează.
Fie ecuația vectorială omogenă a sistemului (S)
(2.1.1.) ,
căreia i se asociază, în mod natural, ecuațiile matriciale:
(2.1.2.)
Lema 2.1.
Dacă aplicația A: (n;R) este continuă pe intervalul J atunci problema Cauchy (2.1.2.) este echivalentă cu ecuația integrală
(2.1.3.)
Demonstrație:
Fie Z o soluție a problemei (2.1.2.), deci are următoarele proprietăți:
Z este determinată pe J
, () tєJ
Din proprietatea (i) rezultă că Z este continuă pe J, deci aplicația este continuă pe J.
Rezultă că există pentru orice tJ
Aplicând formula Leibniz-Newton în egalitatea (ii), se obține că Z(t) este soluție pentru ecuația integrală (2.1.3.).
Reciproc, fie Z o soluție a ecuației (2.1.3.), adică:
(j) Z este continuă pe J
(jj) , () tєJ
Avem continuă, deci aplicația este derivabilă pe J, deci Z este derivabilă pe J
Evident .
Prin dezvoltarea egalității (jj) se obține proprietatea (ii).
Problema Cauchy corespunzătoare ecuației matriciale omogene (2.1.2.) este echivalentă cu ecuația integrală de tip Volterra (2.1.3.).
Aceasta din urmă se rezolvă prin metoda lui Picard (șiruri de aproximații succesive).
(2.1.4.)
Se obține șirul (Zn(t))n0 numit șirul “aproximațiilor succesive”.
Teorema 2.1.1.
Șirul (Zn(t))n0 definit mai sus este uniform convergent pe J.
Demonstrație:
Fie tJ. Atunci :
Considerăm un interval compact fixat, [t0, t0+T]J.
Pe acest interval, aplicația este continuă, deci mărginită, adică:
()M>0 astfel încât <M, (), s[t0, t0+T], T>0.
Atunci:
(2.1.5.)
Admitem ca ipoteză de inducție că:
(2.1.6.)
Arăt acum că (Zn(t))n0 e și șir Cauchy
Atunci
(2.1.7.)
Mai sus s-a aplicat relația (2.1.6.) și inegalitatea tt0+T.
Se știe că seria este uniform convergentă pentru [A,B], adică () >0, () N(), () nN(): , deci pentru nN() (p1)
, () t[t0, t0+T], (2.1.8.)
adică șirul (Zn(t))n1 e Cauchy, () t[t0, t0+T],
deci există
, () t[t0, t0+T].
Trecând la limită în (2.1.8.) pentru p, obținem
, () t, () >0, (2.1.9.)
deci
, () t[t0, t0+T].
Teorema 2.1.2.
Z(t) definită în [teorema 2.1.1.] este soluție a problemei Cauchy (2.1.2.), pe J.
Demonstrație:
Trecând la limită în relația precedentă, obținem:
(2.1.10.) , () tJ, fixat.
, () t[t0, t0+T].
Mai sus s-a aplicat inegalitatea (2.1.9.)
Rezultă că
Prin înlocuire în (2.1.10.), rezultă că Z(t) este soluție pe J a ecuației integrale și conform [lemei 2.1.], este soluție a problemei Cauchy matriciale (2.1.2.)
Definiția 2.1.2.
Soluția problemei Cauchy (2.1.2.)se numește “funcția de tranzacție” și se notează cu
Teorema 2.1.3.
Funcția de tranziție are proprietățile:
Teorema 2.1.4.
Fie A:J continuă pe J.
Atunci problema Cauchy vectorială
(2.1.2`.)
admite o unică soluție (globală) pe J,
Demonstrație:
Notăm , () tJ (2.1.11.)
Evident derivabilă pe J în raport cu t, deci
, () tJ.
În plus,
Deci Z(t) dată prin (2.1.11.) este soluție pentru problema (2.1.2`.).
Pentru unicitate, fie y(t) o soluție pe J1J, t0J1.
Notăm
Atunci:
, () tJ1,
deci Z(t) e constantă, () tJ1, adică Z(t)=Z(t0) sau
, () tJ1,
deci y(t)=Z(t), () tJ1.
Teorema 2.1.5.
Dacă A:JRn(R) este o aplicație continuă și x:J n continuă pe porțiuni, t0Jfixat, atunci soluția ecuației de stare (1) este
, (1.1)
iar soluția sistemului (S) este:
() tt0 (1.2.)
Remarca 2.1.
Cunoscând forma generală a soluției sistemului (S) este posibil studiul reacției acestuia la aplicarea uni șoc, a așa-numitei “reacții sistemului la impulsuri”.
Dacă T(t0)=0, soluția sistemului se simplifică, devenind:
, () tt0.
unde
, ts.
Matricea se numește “reacția sistemului la impulsuri”.
Termenul hij al matricei reprezintă reacția (la momentul t) ieșirii i atunci când se aplică un semnal intrării j (la momentul >t0), în timp ce toate celelalte componente ale intrării sunt nule.
2.2. Controlabilitatea și observabilitatea sistemelor dinamice
Atunci când un sistem posedă proprietățile de “controlabilitate” și “observabilitate” există posibilitatea de a-i putea influența evoluția. De aceea, studiul acestora este fundamental.
2.1.1. Noțiunea de controlabilitate
Studiul controlabilității dinamice a unui sistem caută răspuns la întrebarea: “Poate fi controlată evoluția unui sistem?” și foarte adesea permite stabilirea unor condiții necesare și uneori chiar suficiente de existență a soluțiilor pentru cea mai mare parte a problemelor de control în macroeconomie.
Privind controlabilitatea, apar trei noțiuni: “controlabilitatea de stare”, “controlabilitatea completă a ieșirii” și “controlabilitatea ideală a ieșirii”.
Controlabilitatea de stare se referă la posibilitatea de a transfera un sistem dintr-o stare inițială într-o stare dorită, într-un interval de timp dorit.
Fie sistemul dinamic
(2.2.1.)
Definiția 2.2.1.1.
O stare Z este “controlabilă” la momentul t0 dacă există o comandă x(t) definită pe [t0, tf] capabilă să aducă starea inițială Z0 spre starea finală Z(tf) într-un timp definit tf-t00.
Definiția 2.2.1.2.
Sistemul (2.2.1.) se numește “controlabil” dacă fiecare stare Z(t) este controlabilă.
După cum s-a văzut în paragraful 2.1., soluția sistemului (2.2.1.) este
(2.2.1.1.)
Problema controlabilității complete se reduce la problema existenței unui vector de control x(t) astfel încât pentru o stare inițială dată Z0, ecuația (2.2.1.1.) să fie verificată pentru orice vector de stare Z(tf).
Teorema 2.2.1.1. (criteriul de controlabilitate Kalman)
Sistemul liniar n-dimensional este complet controlabil dacă și numai dacă rang [C]=n, unde .
Controlabilitatea ieșirii se referă la posibilitatea de a transfera (obiectivul) unui sistem de la o valoare inițială la o valoare dorită.
Definiția 2.2.1.3.
Un sistem dinamic se numește “complet controlabil vis-à-vis de ieșiri” la momentul t1 dacă există o variabilă de control x care să permită ducerea în timp finit a vectorului de ieșire de la o valoare inițială y(t1) dată la o valoare y(t2) aleasă.
Teorema 2.2.1.2.
Sistemul dinamic
(2.2.1`)
este controlabil vis-à-vis de ieșiri dacă și numai dacă rang [C]=m, unde .
Conceptele de controlabilitate introduse până acum garantează doar că sistemul poate atinge o poziție dată la un moment dat, dar nu dau nici o informație asupra comportamentului viitor al sistemului.
Controlabilitatea ideală a ieșirii se referă la posibilitatea ca evoluția sistemului să poată fi ghidată cu exactitate pe lungimea unei traiectorii predeterminate y*(t).
În evoluția sa, sistemul dinamic va atinge un punct care poate să nu fie un punct de echilibru sau e un punct de echilibru instabil.
În aceste condiții sistemul va avea tendința să se îndepărteze de traiectorie.
Definiția 2.2.1.4.
Sistemul dinamic (2.2.1`)este “ideal controlabil” pe intervalul [t0, tf] dacă există x(t) (t0ttf) continuă pe porțiuni, capabilă să ducă observația inițială y(t0) de-a lungul unei traiectorii predeterminate y*(t).
Conceptul de controlabilitate ideală este greu de impus în realitatea economică, căci sistemul trebuie să urmeze exact o traiectorie dată. O alternativă constă în minimizarea diferenței între traiectoria actuală și cea dorită, utilizând o “funcție-obiectiv”.
În continuare vom prezenta condițiile de controlabilitate ideală.
Fie eroarea de traiectorie, notată
(t)=y*(t)-y(t), t0ttf.
Fie sistemul
(2.2.1.2.)
Definiția 2.2.1.5. Transformata Laplace a unui vector Z(t)
Se definește prin:
,
unde s e o variabilă complexă apriori nedeterminată.
Transformata Laplace a sistemului (2.2.1.2) duce la
unde
este transformata Laplace pentru .
Sistemul (2.2.1.3.) se poate scrie:
Din definiția (2.2.1.4), sistemul (2.2.1.2) este ideal controlabil dacă și numai dacă deci E(s) =0, adică din (2.2.1.4) rezultă
Notăm
“funcția de transfer” a sistemului (2.2.1.2)
Presupunând , se obține din (2.2.1.5)
Definiția 2.2.1.6.
Sistemul (2.2.1.2) este ideal controlabil dacă
Teorema 2.2.1.3 Sistemul (2.2.1.2) este ideal controlabil dacă și numai dacă rang, unde:
2.2.2 Noțiunea de observabilitate
În special în economie se poate dovedi costisitor, chiar imposibil, a se măsura starea completă a unui sistem. Totuși, cunoașterea unei anumite părți a stării permite uneori reconstituirea stării complete.Studiul observabilității unui sistem dinamic caută răspuns la întrebarea: “ Când o parte din totalul unui sistem este necunoscută, poate fi ea reconstruită plecând de la cunoașterea obiectivelor (ieșiririlor) ?”
Definiția 2.2.2 Un sistem dinamic se numește “observabil” dacă starea sistemului poate fi detefminată la momentul t prin observarea ieșirilor în viitor.
Fie sistemul
(2.2.2.)
Se presupun cunoscute matricele A(t), B(t), C(t), ieșirile , intrările .
Dacă starea inițială Zo este cunoscută, prin rezolvarea sistemului diferențial (2.2.2) se obține mulțimea stărilor. Dacă, însă, ecuațiile diferențiale modelează fenomene economice este posibil ca starea inițială Z0 să nu fie cunoscută.
Teorema 2.2.2 (criteriul de observabilitate Kalman)
Sistemul dinamic (2.2.2) este observabil dacă și numai dacă rang [O]=n, unde
( amintim că nnxn, B nnxk, C nmxk
Se presupune că sistemul (2.2.2) este invariant.
Demonstrație:
Derivând în raport cu t ecuația a doua din sistemul (2.2.2) se obține
De asemenea ,
.
.
.
Se obține sub formă matricială
sau
,
unde T este matricea triunghiulară inferior a lui Toeplitz.
Se poate presupune că X(0)=0, deci Y(t)=Oz(t).
Conform unei propoziții, condiția necesară și suficientă de observabilitate este ca operatorul O să fie injectiv, adică rang [O]=n.
Stabilitatea și stabilizabilitatea sistemelor dinamice
Noțiunile prezentate în paragraful 2.2 nu fac distincție între comportamentul stabil și comportamentul instabil al unui sistem. Proprietatea de stabilitate este importantă în cazul sistemelor care nu sunt complet controlabile sau observabile.
Noțiunea de “stabilitate „se referă la comportamentul sistemului în raport cu poziția sa de echilibru, iar stabilizabilitatea se referă la posibilitatea unui sistem instabil de a putea fi transformat într-un sistem stabil.
Un sistem este considerat “stabil” dacă el tinde să revină la starea sa de echilibru după o perturbație. Atunci când el tinde să se îndepărteze mai mult de starea de echilibru sistemul este “instabil”.
Fie sistemul de evoluție de tipul
,
unde , Ω- o mulțime deschisă
Definița 2.3.1. , se numește “punct de echilibru” (sau “staționar”, sau “punct fix”) , dacă f(Z*(t)=0.
În continuare vor fi prezentate definițiile matematice ale stabilității în sens Lyapunov, respectiv a instabilității, noțiuni ce admit numeroase formalizări.
Definiția 2.3.2. Fie Z* un punct de echilibru al sistemului (2.3). -Zn s.n. “stabil” dacă
avem,
unde z(t)este soluția unică a problemei Cauchy
se numește “instabil” dacă nu este stabil.
Definiția 2.3.3. Fie Z* un punct de echilibru pentru (2.3.)
Z* se numește “asimptotic – stabil” dacă:
Z* este stabil
Grafic, definițiile de mai sus se prezintă astfel:
Figura 2.3.1.Stabilitate Figura 2.3.2.Asimptomic-stabilitate
Va fi studiată în cele ce urmează stabilitatea sistemelor liniare.
Remarca2.3.1.
Fie sistemul liniar
cu soluțiile
Atunci și este soluție, adică
sau
Deci stadiul stabilității unei soluții oarecare se reduce la stadiul
stabilității nule, Z(t)=0. Deci, dacă soluția nulă este stabilă sau
asimptotic-stabilă, atunci orice altă soluție se va comporta la fel.
Teorema 2.3.1. Sistemul liniar invariant
(2.3.1.)
este asimptotic-stabil dacă și numai dacă valorile proprii {} ale
matricii A au Re{λI}<0 .
Demonstrație:
Vom studia asimptotic-stabilitatea soluției Z(t)=0.
Soluția sistemului (2.3.1.) este
care se poate reprezenta sub forma
,
unde sunt constante ce se deduc din condiția inițială Z(t0).
Atunci
d. și n.d.
deci
Re{}<0,.
Când sistemul este de dimensiuni mari determinarea valorilor proprii este greoaie.În acest caz există o serie de teste care evită valorile proprii.
În cazul sistemelor liniare staționare este valabil “criteriul Lyapunov”
Teorema 2.3.2. (Criteriul Lyapunov)
Fie de clasă C1 care definește
și Z* o soluție staționară a sistemului.
Fie cu deschisă și o aplicație
pozitiv definită.
(i) Dacă , atunci Y* este asimptotic-stabilă.
(ii) Dacă , atunci Z* este asimptotic-stabilă.
(iii) Dacă , atunci Z* este instabilă.
V se numește ”funcția Lyapunov”.
Când ecuația caracteristică a sistemului este cunoscută se poate folosi pentru studiul stabilității “criteriul Routh”.
Teorema 2.3.3. ( Criteriul Routh )
Fie ecuația caracteristică asociată sistemului
det ,
unde .
Dacă coeficienții ecuației caracteristice au același semn, atunci sistemul este asimptotic-stabil.
Scopul economistului este să găsească variabilele din control cele mai bune pentru ca, după o anumită perioadă de timp, traiectoria sistemului economic să se stabilizeze în jurul unei valori de echilibru dorite , adică să fie un punct asimptotic-stabil al sistemului.
Problema stabilizabilității unui sistem dinamic este, de fapt, problema elaborării unei legi de control stabilizante x(t).
Definiția 2.3.4. Sistemul liniar invariant
(2.3.2)
este “stabilizabil” dacă există o matrice constantă k cu
proprietatea ca sistemul (2.3.3.)
este asimptotic stabil.
Remarca 2.3.2.
O lege de control x(t) dependentă doar de timp se numește “lege de control în buclă deschisă”
x z
O lege de control x(t) dependentă atât de timp, cât și de starea sistemului Z(t) ( sau de ieșirile y(t) se numește “lege de control în buclă închisă”.
x z
x=x(z)
Fie o lege de control în buclă închisă liniară
x(t)= -Kz(t)
Prin înlocuire în (2.3.2) se obține
de unde definiția precedentă [definiția 2.3.2]
Teorema 2.3.4. ( Wonham)
Dacă sistemul (2.3.2.) este controlabil atunci se poate alege
o matrice k, astfel încât sistemul (2.3.3) să fie asimptotic-stabil.
Noțiunea de “detectabilitate” face referință la proprietatea de a putea construi un estimator al stării asimptotic-stabile exact pentru sistemul dinamic considerat mai jos:
(2.3.5.)
Definiția 2.3.5 Sistemul invariant (2.3.5) este “detectabil”
dacă există o matrice L, astfel încât sistemul
să fie asimptotic-stabil.
Teorema 2.3.5 ( Luenberger)
Dacă sistemul
Este observabil, atunci sistemul (2.3.5) este detectabil.
3.ANALIZĂ ECONOMICĂ ȘI TEORIA SISTEMELOR
Conținutul capitolului este structurat în trei secțiuni.
După o prezentare sintetică a unor elemente fundamentale de politică macroeconomică realizată în paragraful 3.1. în paragraful următor 3.2. este descris un model de reglare economică, model Phillips, inclusiv un studiu detaliat asupra controlabilității, observabilității și stabilității sistemului dinamic Phillips.
În paragraful 3.3. sunt prezentate două metode de optimizare dinamică având ca aplicație concretă modelul Phillips.
3.1. Elemente de politică economică
Macroeconomia studiază interacțiunile în ansamblul sistemului economic. Ea simplifică blocurile constructive ale economiei punând accentul pe modul în care ele se adaptează și se influențează între ele. Macroeconomia se interesează de marile agregate cum sunt: cererea totală de bunuri de menaj sau cheltuielile totale ale firmelor pentru echipamente și clădiri.
În viața cotidiană apar frecvent discuții privind problema șomajului, a ritmului de creștere economică. Guvernul dispune o serie de măsuri de politică economică prin care poate să influențeze rezultatele globale din economie.
De exemplu, impozitele angajează o serie de cheltuieli, reglează masa monetară, cursul valutar și fixează obiective pentru producția și prețurile din sectorul de stat.
Politica bugetară este constituită din deciziile statului în materie de cheltuieli și fiscalitate.
Figura 3.1. arată cum intră statul în circuitul economic al plăților.
Statul injectează cheltuieli în bunuri și servicii în circuit, dar încasează sume (venituri) prin impozite asupra cheltuielilor și impozitelor directe asupra veniturilor factorilor economici.
Fig. 3.1.Circuitul economic al plăților
O politică de stabilizare constă în acțiunile întreprinse de Guvern pentru a controla nivelul venitului global pentru a menține PIB la un nivel apropiat de nivelul corespunzător unei ocupări complete a locurilor de muncă, adică să reducă fluctuațiile din economie.
Statul poate să recurgă la o politică bugetară activă sau discreționară care să modifice nivelul cheltuielilor sau a ratelor de impozitare în scopul stabilizării producției globale.
Când se consideră că celelalte componente ale cererii globale sunt reduse, în mod anormal, Guvernul stimulează cererea reducând impozitele, crescând cheltuielile publice sau ambele în același timp. Invers, când se consideră că celelalte componente ale cererii globale sunt prea ridicate, Guvernul crește impozitele și reduce cheltuielile.
Există un termen pentru a pune diagnosticul problemei, pentru a schimba politica și a ajusta operarea până la un nou echilibru. Cum politica bugetară nu acționează imediat, statul trebuie să prevadă componentele cererii pentru a evalua multiplicatorul bugetar actualizt necesar.
Erorile în previzionarea cererii viitoare, în estimarea multiplicatorului antrenează erori în calculul modificării politicii bugetare care sunt necesare pentru a stabiliza perfect producția.
Studiul unei politici macroeconomice indică următoarele:
un model economic constituit dintr-un număr de ecuații și variabile;
comportamentul dinamic al acestui model;
comportamentul stochastic al modelului;
politici elaborate pe baza unor obiective de atins și instrumentele ce pot fi utilizate;
politici dinamice;
politici ce conțin decizii în condiții de risc și incertitudine.
Fundamentele unei analize matematice a unei politici economice au fost puse de J. Tinbergen (1952).
Studiul lui Tinbergen a plecat de la fixarea obiectivului (“fixed target”). Este elaborat un model static ce descrie mediul economic și legăturile între obiective și instrumentele de politică economică (input-output). Cel care ia decizia (Guvernul) alege arbitrar valoarea numerică a obiectivelor (de exemplu, inflație nulă, locuri de muncă ocupate).
Se rezolvă apoi sistemul matematic obținut, obținându-se valoarea corespunzătoare a sistemelor de politică economică.
Regula Tinbergen stabilește o condiție necesară și suficientă de existență a unei politici economice cu obiectiv fixat și anume: “numărul de instrumente linear independente să fie mai mare sau egal cu numărul de obiective liniar independente”.
Studiul lui Tinbergen a fost rapid criticat căci multe probleme rămâneau în suspensie fie pentru că decidentul se afla de multe ori în fața mai multor soluții, fie că soluția obținută era absurdă din punct de vadere politic sau administrativ, nerealistă.
Astfel a apărut o nouă idee de analiză prin considerarea așa-numitului “obiectiv flexibil” (“flexible-target”).
Prin integrarea obiectivelor într-o funcție ce exprimă un criteriu de performanță (“funcția-obiectiv”), ținta politicului este performanța sistemului economic, prin arbitrarea diferitelor obiective. Guvernul optimizează funcția-obiectiv și caracterizează preferințele statului sub constrângerea unui model linear static ce descrie sistemul economic considerat.
Exemple de obiective flexibile: șomaj minim, inflație minimă.
Politica economică adoptată, cea mai bună considerată, trebuie să fie fidelă următoarelor principii:
principiul coerenței, adică trebuie să existe o continuitate logică în acțiunile întreprinse; e valabil în cazul sistemelor controlabile;
principiul eficacității;
principiul optimalității, adică date fiind anumite obiective economice și sociale și ținând cont de mediul economic, deciziile de politică economică trebuie să fie “cele mai bune”.
La această problemă răspunde teoria controlului optimal.
3.2. Politica de stabilizare. Modelul Phillips
Se vor utiliza notații ce vor fi variabile pentru întreg capitolul.
Modelul ce va fi prezentat în acest paragraf și în următorul are ca scop stabilirea unei politici economice care să conducă la atingerea unor nivele dorite ale unor indicatori economici.
În cadrul acestui model parametrul de control este reprezentat de cheltuielile bugetare care trebuie astfel alese încât produsul național brut să ajungă la un anumit nivel dorit.
Plecând de la un model dinamic compus dintr-o variabilă-obiectiv și o variabilă de control, Phillips construiește o lege de control retroactivă determinată prin combinarea a trei termeni, primul proporțional cu produsul (venitul) național, al doilea cu înțelegerea sa, iar al treilea cu derivata sa (o astfel de lege se numește “reglator PID”).
3.2.1. Descrierea modelului Phillips
Se vor utiliza notațiile:
Y(t) – produsul național brut realizat efectiv la momentul t
C(t) –cererea globală (privată și publică) la momentul t
G(t) – cheltuielile bugetare (publice) la momentul t
G*(t) – cheltuielile publice teoretice la momentul t
Modelul Phillips este descris de trei relații reprezentând cererea și oferta din punctul de vedere global.
Viteza de variație a venitului global la momentul t se traduce prin relația următoare:
(3.2.1.1.) ,
unde >0 este o constantă reprezentând viteza de adaptare a producției la o variație a cererii.
Considerând în modelul Phillips o economie închisă, cererea globală se definește prin:
(3.2.1.2.) ,
unde l>0, (1-l) reprezentând tendința marginală spre a cheltui (pentru consum sau investiții), iar 0 reprezintă șocul extern asupra cererii la momentul t0.
Ecuația (3.2.1.2.) arată că se poate concepe intervenția publică (prin G(t)) ca un mecanism de ajustare și corecție a dezechilibrelor între ofertă și cerere, presupunând că se dorește menținerea unui nivel de echilibru al producției.
Obiectivul politicii economice adoptate în acest caz este deci stabilizarea producției naționale manipulând cheltuielile publice.
Evident, cheltuielile publice teoretice ce definesc politica economică sunt temporal diferite de cheltuielile publice curente, căci este nevoie de un anumit interval de timp pentru ca cheltuielile curente să se adapteze la cele teoretice.
Această dinamică este definită prin relația următoare:
(3.2.1.3.) ,
unde 0 reprezintă viteza de adaptare a cheltuielilor publice curente la cele teoretice.
Sistemul format cu cele trei ecuații (3.2.1.2.)-(3.2.1.3.) reprezintă modelul lui Phillips închis.
Se înlocuiește:
în ecuația (3.2.1.3.), observându-se:
(3.2.1.4.)
Prin derivarea relației (3.2.1.2.), se obține:
(3.2.1.5.)
Din (3.2.1.4.)+(3.2.1.5.) avem:
(3.2.1.6.)
Din ecuația (3.2.1.1.) avem:
care, prin înlocuirea în (3.2.1.6.), duce la ecuația:
(3.2.1.) ,
ecuația (3.2.1.) sintetizând modelul Phillips închis.
3.2.2.Studiul proprietăților sistemului dinamic Phillips
Analiza proprietăților dinamice ale sistemului ale sistemului Phillips (3.2.1.) necesită reprezentarea acestuia în spațiul de stări.
Se consideră variabilele de stare
(3.2.2.1.)
Prin înlocuire în (3.2.1.) se obține ecuația de stare
(3.2.2.2.)
Ecuația care determină ieșirea în funcție de stare este:
Sistemul dinamic
se scrie sub forma matricială următoare:
(3.2.2.) ,
unde:
Analizăm că Z(t), x(t), y(t), respectiv A,B,C sunt cele definite în capitolul 2 al lucrării.
Cu sistemul dinamic scris sub forma (3.2.2.) se poate trece la studiul proprietăților de controlabilitate, observabilitate și stabilitate, conform criteriilor enunțate în capitolul precedent.
Conform “criteriului de controlabilitate Kalman”(a se vedea teorema 2.2.1.1., sistemul (3.2.2.) este complet controlabil dacă ,i numai dacă rang[B,AB]=2.
Deci rang[A,AB]=2, adică orice stare a sistemului (3.2.2.) este controlabilă.
Conform teoremei (2.2.1.2.), controlabilitatea ieșirilor se reduce la a verifica dacă:
rang[CB,CAB]=1
Evident [CB,CAB]=[0, ] este de rang 1.
Controlabilitatea ideală, dacă proprietatea de a putea alege traiectoria în viitor, se verifică în conformitate cu teorema (2.2.1.3.)
aceasta pentru că proprietatea de controlabilitate presupune intervenția statului.
Deci rang M2=3, adică se verifică teorema (2.2.1.3.)
În concluzie, sistemul dinamic (3.2.2.) posedă toate proprietățile de controlabilitate dinamică, deci starea sistemului (reprezentată de un vector compus din producția globală la momentul t și viteza sa la momentul t) este cunoscută.
Există însă și modelări mai complexe pentru care starea este adesea necunoscută. E nevoie atunci ca aceste stări să se poată reconstrui plecând de la cunoașterea obiectivelor (outputs), ceea ce depinde de observabilitatea sistemului.
Conform teoremei (2.2.2.)avem
o = , deci rang O=2
adică sistemul (3.2.2.) este observabil.
Stabilitatea sistemului va fi studiată în continuare.
Oportunitatea unei politici de stabilizare va fi judecată prin considerarea, în prealabil, a sistemului autonom (cazul particular în care nu e implicată intervenția statului prin acțiune bugetară, adică B=0).
(3.2.2.)
unde A=
Valorile proprii ale matricei A vor fi determinate.
determinant
Deoarece A admite o valoare proprie nulă, conform teoremei (2.3.1.), sistemul autonom (3.2.2.)nu este asimptotic-stabil, adică dacă un șoc îndepărtează traiectoria sistemului de la traiectoria sa de echilibru, el nu se va mai afla în această poziție în viitor. În acest caz, proprietatea de controlabilitate a sistemului permite abordarea unei politici de stabilizare din partea statului.
3.2.3.Legea retroactivă de stabilizare
Deoarece sistemul (3.2.2.) este controlabil, conform teoremei lui Wonham, rezultă că al este stabilizabil, adică poate fi elaborată o lege de control stabilizată x(t) astfel încât, după o anumită perioadă de timp, traiectoria sistemului economic să se stabilizeze în jurul unei traiectorii de echilibru.
S-a văzut în capitolul 2, paragraful (2.3.) că un sistem dinamic controlabil poate fi stabilizat prin buclaj de stare liniară, în particular sistemul lui Phillips (3.2.2.) închis poate fi stabilizat prin buclaj de stare liniară închisă.
x z
x=x(z)
Principiul retroacțiunii este definit prin
x(t)=-K∙z(t) ,
cu K=[K1 K2] , unde K1 și K2 sunt parametrii atașați variabilelor de stare Z1(t)=Z(t) , respectiv Z2(t)=Z(t).
Prin înlocuirea ecuației (3.2.3.1.) în (3.2.2) se obține sistemul în buclă închisă
(3.2.3.)
Ecuația caracteristică este:
det
sau
Dacă k1>0, k2>0, atunci coeficienții ecuației caracteristice au același semn (+), deci, conform regulii lui Routh teorema (2.3.3.), sistemul (3.2.3.) este asimptotic stabil.
Remarcă:
Pentru k1>-l și >sistemul este, de asemenea, asimptotic stabil, însă valorile negative ale parametrilor k1 și k2 nu au o semnificație economică logică. În plus, de exemplu k1=0 se interpretează ca o dorință de a anula cheltuielile publice.
Observație:
Proprietatea de stabilitate asimptotică a sistemului informează asupra comportamentului viitor al acestuia (convergență spre o stare regulară), ea nu spune însă nimic despre starea tranzitorie (comportamentul ce precede acest viitor).
Regimul tranzitoriu poate fi lent/rapid, oscilatoriu/amortizat. Stabilitatea cea mai bună este caracteristică unui regim tranzitoriu rapid și amortizat.
Valorile parametrului k cele mai eficiente aparțin intersecției zonei de amortizare maximă (când valorile proprii au Im λ=0) și zona de convergență maximă (valori proprii cu |λ| maxim).
În figura (3.2.3.) se prezintă traiectoriile sistemului în cazul când nu există o politică de stabilizare (sistem autonom) și în cazul în care se aplică o astfel de politică.
Figura 3.2.3. Traiectoriile sistemului
O politică de stabilizare bazată pe o lege de retroacțiune proporțională simplă (adică k2=0) duce la convergența sistemului, dar generează un fenomen oscilatoriu.
O politică mixtă (adică k1≠0 k2≠0) reduce acest dezechilibru tranzitoriu.
3.3. Elemente de politică economică optimală
Obiectivul acestui paragraf este de a expune metodele de optimizare dinamică proprii teoriei controlului optimal „standard” în vederea găsirii condițiilor pentru calculul unei politici economice optimale.
Aceasta presupune două elemente:
o funcție-obiectiv ce servește ca un criteriu de alegere a politicii optimale;
un model macroeconomic care descrie efectele instrumentelor de politică economică asupra argumentelor din funcția-obiectiv ce va fi optimizată (adică o reprezentare dinamică a sistemului economic).
Formal, problema găsirii politicii economice optimale se reduce la o problemă de control optimal de tipul:
(3.3.)
3.3.1. Metode de optimizare dinamică
Principiul maximului lui Pontryagin
Fie problema de control optimal
(3.3.1.1.)
(3.3.1.2.)
unde și f sunt funcționale de clasă C1 în raport cu z și x.
Pentru rezolvarea problemei (3.3.) se pornește de la ideea lui Lagrange (din “teorema multiplicatorilor”), de a asocia fiecărei constrângeri multiplicator și a se rezolva, în continuare, o problemă de extrem liber.
Fie multiplicatorul asociat constrângerii (3.3.1.2.), care poate fi scrisă, prin integrare pe [0,t] și sub forma
Criteriul (3.3.1.1) devine
adică (3.3.1.4)
Aplicând o integrare prin părți pentru se obține
(3.3.1.5)
Se notează cu perechea optimală.
este variația controlului; este starea corespunzătoare variației de control și este în relație cu aceasta prin restricția (3.3.1.2.).
Condiția de optimalitate a perechii este dată de variație nulă, adică .
Conform lui (3.3.1.5), valoarea optimală a funcționalei este atunci
(3.3.1.6)
Condiția de optimalitate
,
prin aplicarea (remarca 1.2.), devine
sau
(3.3.1.8)
Se alege astfel încât
Relația (3.3.1.8) devine, pentru cu proprietatea (3.3.1.9)
sau
(3.3.1.10)
Se definește “funcția lui Pontryagin” prin relația
Cu această funcție, condițiile necesare de optimalitate devin:
(3.3.1’)
Problemele de control optimal din economie însă, admit adesea forme mult mai complexe.
O problemă de control optimal într-o formă mai generală este următoarea:
(3.3.)
Remarca 3.3.1.1. O constrângere doar asupra stării nu este însă controlabilă, prin neapariția variabilei de control x(t), deci nu este ușor să se determine o variabilă de control x(t) care să permită realizarea acestei constrângeri. Această problemă poate fi rezolvată printr-o transformare a constrângerii pure de stare , astfel încât să poată fi controlată.
Se substituie deci o constrângere de stare cu o constrângere mixtă de tipul:
Dacă variabila de control x(t) nu apare nici în (3.3.1.12), se efectuează atâtea diferențiale cât este necesar (până apare x(t)), conform relației
,
( se numește ”constrângerea de ordin p”)
Remarca 3.3.1.2. În condițiile problemei (3.3'.1') (când apar constrângeri mixte), se definește "funcția lui Pontryagin" sub forma Lagrange
,
unde λ, μ sunt multiplicatori, λ0=λ(0), iar λ', μ' sunt dualele multiplicatorilor λ, μ.
Teorema 3.3.1.1. (condiții necesare de extrem)
Fie problema de control optimal (3.3'), cu
, , ,
, , ,
, de clasă C1 în raport cu argumentele.
Presupunem absolut continuă și
continuă pe porțiuni.
Definim funcțiile
Dacă (z*, x*) este o pereche optimală a problemei (3.3'),
atunci există un nr. , un vector absolut
continuu pe porțiuni și multiplicatorii μ, υ astfel încât:
(1) ,
unde
(2)
(3)
(4)
(5) ;
Remarca 3.3.1.3.
(i). În problemele de control optimal, funcția-obiectiv poate fi de
forma
Condițiile necesare de extrem sunt valabile și în acest caz.
(ii). În unele cazuri funcția-obiectiv este cu orizont infinit, adică
(iii). Condițiile necesare de extrem implică soluțiile posibile ale
problemei de control optimal.
Pentru a asigura optimalitatea soluției găsite trebuie respectate
așa-numitele "condiții suficiente de extrem".
Teorema 3.3.1.2. (condiții suficiente de extrem)
Dacă (z*,x*) este cu proprietățile enunțate în teorema
(3.3.1.1.) și în plus avem:
(i). L concavă în (z,x);
(ii). hp-1 concavă în z;
(iii). , atunci (z*,x*)
este soluția optimală a problemei de control.
Principiul de optimalitate al lui Bellman
Acest principiu se enunță, pe scurt astfel:
‹‹ O politică este optimală dacă ea este formată din subpolitici optimale››.
Acest principiu stă la baza metodei de programare dinamică, aplicate pentru optimizarea unei funcții-obiectiv separabilă în timp de-a lungul unei traiectorii, este deci o metodă de optimizare secvențială.
Formal, acest principiu se aplică problemelor de control optimal în modul următor:
La un moment oarecare , starea este luată ca o condiție inițială.
Definim funcționala
(1) ,
reprezentând valoarea funcției-obiectiv evaluată de-a lungul unei traiectorii optimale de condiție inițială z(t).
Funcția-obiectiv este aditivă, deci
(2)
Conform principiului de optimalitate,
(3)
Dezvoltând în serie Taylor de ordin 1 în punctul pe și integrând, se obține
(4) , deci
(5) ,
unde reprezintă suma termenilor de grad în și
Deci
(5')
Presupunând V de clasă C1, se poate scrie
(6)
Dar,
Folosind aproximarea Taylor în , se obține
,
,
apoi prin integrare, avem
(7)
Înlocuind (7) în (6), se obține
(8) ,
unde s-a notat
;
Înlocuind (8) în (5’), avem
sau
Împărțind cu și apoi trecând la limită, după , relația anterioară devine:
Relația (9) se numește “ecuația Hamilton-Iacobi-Bellman”. Metoda de programare dinamică sugerată de Bellman are următoarele etape:
E1) V(z,t) se presupune cunoscută.
Rezolvând problema de maxim (9), se obține variabila de control
optimă x*.
Pentru f diferențiabilă, condiția de ordinul 1 poate fi înlocuită cu
(10)
E2) Dată fiind soluția x* a condiției (10), se caută V(z,t), utilizând
ecuația (9), ceea ce revine la a integra ecuația cu derivate parțiale.
(11) Vt(z,t)+I(z,x*,t) +Vz(z,t)f(z,x*,t) =0
Această metodă este limitată de “costul” rezolvării ecuației (9),
care crește exponențial cu dimensiunea vectorului de stare z(t).
Problema de control optimal liniar-pătratică
Forma pătratică în politica economică a funcțiilor obiectiv constituie referință.
Fie problema liniar-pătratică
unde
(3.3.2.1.)
cu proprietățile:
F , P2 semipozitiv definite;
uniform pentru și
Pentru această problemă H și L se definesc prin aceeași relație
(3.3.2.2.)
Presupunând că (y*, x*) este o pereche optimală pentru problema (3.3.2), rezultă, că există λ cu proprietatea
(3.3.2.3.) ,
obținută ca soluție a problemei
(3.3.2.4)
Conform “principiului Pontryagin”, pentru ca (z*,x*) să fie soluție optimală este necesar și suficient ca
,
adică
(3.3.2.5)
Dacă , se obține și și
Dacă , se obține soluția optimală de formă
Se observă că depinde liniar de z(T).
Atunci se poate presupune că este în aceeași relație cu z(t), adică se verifică
unde S(t) și s(t) sunt o matrice și un vector ce trebuie determinați. Soluția optimală x a problemei (3.3.2) devine de forma
Se fac notațiile
(3.3.2.9)
Cu aceste notații soluția optimală se scrie
(3.3.2.10)
Soluția (3.3.2.10) este complet determinată dacă se cunoaște S(t) și s(t).
Găsirea matricii S se reduce la rezolvarea unei ecuații de tip Ricatti.
Definiția 3.3.2.Se numește "ecuația Ricatti", ecuația scalară
Se numește "ecuația matricială Ricatti", ecuația de tipul
,
iar S(t) se numește "matrice Ricatti".
Fie ecuația
,
care, prin derivare se scrie:
sau
dar,
sau
Prin înlocuire se obține (3.3.2.11):
O relație pentru se poate obține înlocuind din relația (3.3.2.7) în (3.3.2.4), avem astfel:
,
adică
(3.3.2.12)
Identificând aceste relații,(3.3.2.11) și (3.3.2.12), se obține o ecuație care trebuie să fie valabilă pentru orice y(t):
deci se ajunge la două ecuații diferențiale (una matricială și una vectorială):
sau
Teorema 3.3.2.1. Fie problema de control optimal liniar pătratică
(3.3.2.1)
unde P1 și F sunt matrici pozitive, simetrice și P2 o matrice
pozitiv-definită și simetrică.
Atunci legea de control
cu
,
constituie unica soluție optimală a problemei (3.3.2.1.)
Mai mult, S este unica soluție a ecuației matriciale Ricatti
(R)
iar s(t) este soluția ecuației vectoriale.
Următoarea teoremă stabilește un rezultat valabil în cazul problemei liniar pătratice cu orizont infinit.
Teorema 3.3.2.2. Fie problema (3.3.2.1.) din teorema
precedentă, unde ,, , nedepinzând de
timp.
Dacă sistemul
este stabilizabil și detectabil și dacă , atunci
următoarele afirmații sunt adevărate:
(i). , soluția ecuației Ricatti (R),,
converge spre o matrice constantă S, care este unica
soluție a ecuației algebrice Ricatti
(ii). Legea optimală
este invariantă în timp și asimptotic-stabilă.
(K și k sunt cele cunoscute din teorema precedentă)
Modelul Phillips
Așa cum s-a arătat în paragraful (3.2.), dinamica sistemului Phillips este descrisă prin ecuațiile
(3.3.3.1.)
,
unde coeficienții α, β, l se presupun cunoscuți.
Considerând drept variabilă de control funcția G*(t) și presupunând cunoscute valorile inițiale ale variabilelor de stare, se cere minimizarea abaterii pătratice globale a variabilelor de stare și de control pe intervalul de timp [0,∞).
Cu alte cuvinte, se consideră problema:
(3.3.3.) ,
cu restricția dată de ecuația de evoluție a producției globale,
(3.3.3.0)
Restricția (3.3.3.0) este obținută din ecuația (3.2.1.) scrisă pentru următoarele valori ale parametrilor α, β, l:
; ;
sau
; ;
Interpretarea economică a problemei (3.3.3.) este următoarea:
‹‹ funcția-obiectiv pătratică reflectă scopul planificatorului de a stabiliza producția globală manipulând cât mai puțin posibil cheltuielile publice ››.
În continuare vom analiza soluția optimală a problemei (3.3.3.) cu
restricția (3.3.3.0).
Cu notațiile utilizate în acest capitol, problema se rescrie:
(3.3.3.') ,
unde:
; ; ;
; ; ; .
Conform studiului anterior asupra modelului Phillips, sistemul este stabilizabil și detectabil, deci teorema (3.3.2.2.) este aplicabilă.
Legea optimală este de forma
,
cu ,
unde S este soluția ecuației Ricatti
.
Se obține:
Fie , unde a, b, c, d trebuie determinați.
Ecuația este echivalentă atunci cu sistemul
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)-(3) sau
S este o matrice pozitivă, deci soluția acceptabilă a sistemului (1)-(4) este dată de soluția sistemului
;
;
Se obține atunci
Legea de control optimală este atunci dată de:
(3.3.3.1.)
Când politica cheltuielilor publice este definită prin legea (3.3.3.1.) traiectoria producției Y(t) în raport cu valoarea de echilibru este exprimată în graficul următor:
Figura 3.3.3.1. Traiectoria producției Y(t)
Legenda:
_____ sistem autonom
––– k1=0,78 ; k2=0,78
Retroacțiunea optimală "derivativă" (exprimată prin k2) amortizează oscilațiile sistemului în jurul nivelului de echilibru.
Retroacțiunea optimală "proporțională" legată de k1 stabilizează sistemul spre poziția de echilibru zero.
Totuși perturbația inițială nu este complet eliminată. Acest neajuns se poate rezolva începând chiar cu formularea inițială a problemei, prin introducerea în funcția-obiectiv a unui termen ce reprezintă aria suprafeței cuprinse între traiectoria producției Y(t) și poziția de echilibru. Notând o variabilă de stare
problema devine
(3.3.3.2.)
unde:
; ;
;P2=1
Legea este de forma:
X(t)=-Kz(t)-K
unde
iar S este soluția ecuației Riccati
Rezolvând această ecuație S є , se obține K=BtS apoi, deci legea de control optimal este
(3.3.3.3.)
Graficul următor arată că această nouă lege permite stabilizarea completă a producției la starea de echilibru inițială
Figura 3.3.3.2. Stabilizarea producției
4. ANALIZA DE SISTEME DE MARKETING
Ca orice sistem al întreprinderii, marketing-ul consumă intrări și produce ieșiri. Sarcina conducerii este de a selecționa și combina intrările astfel încât întreprinderea să poată produce ieșiri cu o valoare mai mare decât costul total al intrărilor. Rezolvarea oricărei probleme de marketing implică evidențierea ieșirilor necesare, a intrărilor corespunzătoare și a sistemului de transformare a intrărilor în ieșirile dorite.
4.1. Componentele sistemului – prezentare generală
Proiectantul sistemului trebuie să rețină numai acele componente care sunt semnificative pentru rezolvarea problemei de marketing. Obiectivul specific prin care se va obține soluția dorită poate consta din menținerea unei stări prin înlăturarea perturbațiilor care afectează, de pildă, calitatea utilizării unui produs sau serviciu ce se poate referi la crearea unei noi stări, cum este cazul proiectării unui sistem nou.
Intrările în sistem reprezintă componenta vitală care ilustrează sistemul dorit a fi pus în funcțiune pentru soluționarea problemei. Natura intrărilor este foarte variată. Pentru activitățile de servicii postvânzare, de pildă, în domeniul aparatelor de radio în garanție, intrările pot consta din procurarea diagramei tipului respectiv de aparat pe baza căreia va putea fi făcută remedierea deficiențelor produsului. În acest caz problema privește un sistem proiectat pentru a menține o anumită condiție a produsului. Ca atare, principalele intrări vor fi cele informaționale sau de reacție inversă (informația de marketing) privind variabila esențială care trebuie menținută.
Dacă însă este vorba de o problemă creată de reacția nefavorabilă a pieței față de calitatea unui produs, atunci sistemul analizat va fi cel de producție, în care intrările constau din materii prime, forță de muncă și alte costuri, care sunt combinate apoi într-un produs final. Intrările pot fi măsurate prin costuri și în acest caz ieșirile vor fi exprimate prin veniturile întreprinderii sau prin alte rezultate ale marketingului.
Fig. 4.1. Sistemul costuri-rezultate de marketing
În întreprinderi transformările intrărilor iau cele mai variate forme. În întreprinderile de alimentație publică, de pildă, intrările constau din diferite produse cu calorii, grăsimi și principii alimentare; prin prelucrare sunt transformate în feluri de mâncare. Comenzile primite de la clienți dirijează prelucrarea materiilor prime și transformarea lor în livrări.
Promovarea vânzărilor transformă resursele bănești și materiale în comunicații cu piața. Orice domeniu de activitate de marketing (perfecționarea produsului, promovarea, distribuția etc.) prelucrează intrări pentru obținerea unor ieșiri.
Toate aceste subsisteme constituite din diferite domenii de acțiuni de marketing trebuie să fie subordonate scopului întregului sistem de marketing al întreprinderii.
Sistemul de marketing operează cu eficacitate pe piață numai dacă satisface nevoile consumatorilor prin combinații de acțiuni (mixurile de marketing) adecvate segmentelor, în prealabil identificate și studiate, ale pieței. Prezintă însă o mare importanță condițiile de economicitate pe baza cărora sistemul funcționează, transformă resurse în bunuri și servicii și operează pe piață; cu alte cuvinte, trebuie cunoscute costurile prin care se obține eficacitatea sistemului.
Sistemul de marketing are un caracter dual. El urmărește atât realizarea eficacității privind satisfacerea efectivă a consumatorilor, cât și realizarea eficienței prin acoperirea cheltuielilor și obținerea unui profit. Caracterul limitat al resurselor face din eficiență un criteriu valoric de bază al deciziilor de marketing. Bugetul de venituri și cheltuieli sau planul financiar sunt instrumente de transformare a problemelor de eficacitate în probleme de eficiență.
Eficiența este o mărime care se referă la ieșirile unui sistem în legătură cu intrările care sunt necesare pentru realizarea ieșirilor respective. Acest criteriu cere ca, de pildă, din două alternative cu același cost să fie aleasă aceea care conduce la cea mai mare realizare a obiectivelor și, respectiv, ca din două alternative ce obțin același grad de realizare a obiectivelor să fie aleasă aceea care prezintă cele mai mici costuri. Cel mai adesea, în marketing, eficiența vizează creșterea profitului întreprinderii. Aceasta implică, pe de o parte, maximizarea valorii vânzărilor, dacă cheltuielile sunt identice, iar, pe de altă parte, minimizarea cheltuielilor dacă nivelul valorii vânzărilor este același pentru toate alternativele examinate. În fapt, atât maximizarea veniturilor , cât și minimizarea costurilor trebuie luate în considerare simultan fiindcă ceea ce se optimizează este diferența dintre cele două valori.
Propriu-zis, procesul de analiză a eficienței include patru nivele:
măsurarea rezultatelor, adică a gradului în care sunt realizate obiectivele;
determinarea contribuției la aceste rezultate a elementelor care constituie performanța domeniului respectiv de marketing;
măsurarea eforturilor, a intrărilor necesare subordonate acestor elemente;
analizarea finală a eforturilor de marketing sub forma costurilor bănești.
Matematic, structură a nivelelor de analiză poate fi văzută ca un sistem de ecuații. Prima ecuație va exprima profitul sau alte rezultate obținute în funcție de performanța anumitor activități de marketing. Ecuațiile următoare vor exprima mărimile performanței în funcție de alte performanțe secundare sau ajutătoare sub forma rezultatelor de marketing, iar în final eforturile sunt o funcție a cheltuielilor. Problema eficienței este cea a maximizării tuturor acestor funcții în condițiile restricțiilor existente.
Performanțele activităților de marketing sunt limitate de influențele restricțiilor interne și externe. Restricțiile interne provin din caracterul limitat al resurselor umane, bănești și materiale. Alte restricții pot deriva din obiectivele și scopurile întreprinderii. Cele externe sunt determinate de mărimea pieței, nivelul tehnologiilor, o serie de reglementări juridice, economice, sociale etc. Forma cea mai simplă și mai generalizată a eficienței în marketing este profitul.
Optimizarea profitului va fi studiată în paragraful următor, cu ajutorul analizei economice cantitative sub forma tehnicilor de bază ale căutării gradientului, care reprezintă o aplicare a calcului diferențial. Conceptele calculului diferențial se extind direct asupra metodelor mai complexe de optimizare, cum sunt programările liniare. Calculul diferențial oferă reguli de decizie pentru selecționarea celor mai economice soluții privind proiectarea unui sistem, inclusiv a unui sistem conceput pentru rezolvarea unei probleme de marketing.
Valorile cele mai des utilizate pentru optimizarea deciziilor sunt cantitățile produse, în legătură cu funcțiile cererii, calitatea produselor și serviciilor pe baza cunoașterii cererii de calitate, costurile, veniturile și profitul, precum și anumite performanțe legate de timp, așa cum fenomenele de învățare care determină economii pe scară mare, ca și fluxurile de numerar actualizate. Alegerea unora sau altora dintre aceste valori pentru selecționare, respingerea sau ierarhizarea alternativelor decizionale va depinde atât de disponibilitatea și costul informațiilor necesare pentru calculul acestor valori – cheie, cât și de natura factorilor de marketing care pot fi manevrați într-un model adecvat.
Analiza variabilelor și alternativelor care permit maximizarea eficienței performanțelor selecționate constituie baza deciziilor de alocare a resurselor.
4.2. Maximizarea profitului
Întreprinderile urmăresc maximizarea profitului, iar deciziile lor implică ideea unei informații complete privind piața și bunurile existente. În aceste condiții poate fi dezvoltată o funcție de maximizare a eficienței, supusă restricțiilor prețurilor existente pe piață, disponibilitățile resurselor, tehnicilor de producție disponibile și altor factori specifici problemei în cauză.
În fapt maximizarea rezultatelor prin combinarea adecvată a resurselor limitate este o idee intrinsecă noțiunii de „eficiență”; mai precis eficiența include optimizarea combinării resurselor, precum și adecvarea modului de utilizare a resurselor la scopul urmărit de realizare a unor obiective. Întrucât atât valorile intrărilor, cât și cele ale ieșirilor, în fiecare caz, proiectantul sistemului de marketing poate influența numai alocarea resurselor prin alegerile sale privind procesul de transformare.
O expresie matematică adecvată pentru reprezentarea procesului celei mai eficiente transformări este dată de cunoscuta „funcție de protecție” care leagă un număr de intrări cu rezultatele obținute. Conceptul „funcție de producție” este însă foarte general, încât poate fi direct aplicată în marketing.
Fie că este stabilită printr-o formulă, printr-un proiect detaliat sau prin , metode complexe de simulare, funcția de producție are întotdeauna aceeași semnificație: ea reprezintă limita la care pot fi obținute rezultatele pe baza unei tehnologii disponibile (inclusiv pe baza operațiilor de marketing) și a unor resurse date. În marketing are aceeași generalitate. Ea poate fi considerată drept funcția de transformare care descrie mărimea maximă a rezultatelor care pot fi obținute pe baza unui ansamblu de resurse.
Întregul proces de transformare poate fi reprezentat matematic astfel:
pentru cantitățile rezultate, în expresie fizică, relația de bază:
(4.2.1.) Q=f(Res1, Res2,…, Resn)
unde:
Resi= resurse utilizate (1 ≤ i ≤ n)
Q = cantitatea de rezultate
pentru valorile resurselor și rezultatelor
(4.2.2.) B=h(Q) – g(Res),
unde: g(Res)= valoarea resurselor,
h(Q) = valoarea rezultatelor,
B = valoarea netă a transformării resurselor Res în rezultatele Q
Analiza fundamentală a sistemului și problema de proiectare poate fi reprezentată sub forma maximizării expresiei h(Q) – g(Res). Pentru rezolvarea problemelor de optimizare cu restricții este utilizată „tehnica de căutare a gradientului” care se aplică prin calculul diferențial.
Definiția 4.2. Se numește „gradient” rata de creștere sau descreștere a mărimii unei variabile sau a curbei care reprezintă variabila respectivă.
„Metoda căutării gradientului” constituie un proces de optimizare care caută în mod iterativ soluția optimală în direcția celei mai mari perfecționări. Criteriul de optimalitate este relația matematică între funcția transformării intrărilor în rezultate și costul resurselor la punctul optim.
Principalul concept al calculului diferențial este încorporat în expresia care semnifică rata de schimbare a lui y față de x atunci când variabilele y și x sunt legate prin relația: y=f(x).
Calculul diferențial servește de asemenea la determinarea punctelor de minim și de maxim ale unei funcții. Pe această bază specialistul în marketing poate determina cantitatea dintr-un produs care va maximiza profitul sau nivelul de stocuri care va minimiza costurile, etc. Deciziile de maximizare nu pot opera direct asupra performanței profitului, ci ele privesc factorii determinanți și relația dintre aceștia și profit.
Expresia formală care descrie această relație este B = f(V,C) sau în formulă explicită
(4.2.3.) B=V-C
Atât venitul V cât și costul C depind la rândul lor de q, numărul de unități produse și vândute, adică V(q) și C(q).
Numărul de unități produse și vândute depinde de p, prețul de vânzare al unei unități, deci q=f(p). Tot de preț depinde de venitul care este rezultatul înmulțirii:
(4.2.4.) V=∙q
În teoria econometrică profitul este maximizat prin creșterea producției vândute până la nivelul la care costul unei unități adiționale produse și vândute (C) este egal cu venitul adițional (V) generat de o unitate adițională produsă și vândută. Această condiție se realizează atunci când
(4.2.5.) =
În ecuația profitului (4.2.3.) termenul cel mai complex este costul deoarece comportamentul cheltuielilor este diferit la diferitele nivele ale mărimii producției vândute.
4.2.1.Venitul în funcție de cantități și prețuri
Pe baza funcției venitului V= f(q) se obține mărimea venitului care derivă din vânzarea unei unități adiționale de produse sau derivata la un punct oarecare al acestei funcții.
Derivata este rata de schimbare a funcției venitului sau panta curbei venitului reprezentată prin tangenta la curbă la fiecare nivel al cantităților.
•Presupunând o modificare a producției de la q1 la q2, ea va determina o modificare a venitului de la V1 la V2.
Rata de schimbare a venitului ca urmare a schimbării cantităților este
(4.2.1.1.)
Fig 4.2.1. Funcția venitului
În fig. 4.2.1. se observă că aceeași modificare a cantității produse și vândute, adică o creștere cu 200 de unități, duce la diferite modificări ale venitului, dV, potrivit cu nivelele diferite ale mărimi producției vândute la care se adaugă creșterea.
Dacă funcția venitului ar fi însă liniară, Vm ar rămâne constant indiferent de nivelele de mărime ale cantităților.
Conform relației (4.2.4.), funcția venitului arată mărimea totală a veniturilor ce vor fi obținute la o anumită combinație de preț și cantitate. Cantitatea este, la rândul ei, o funcție inversă de preț.
Dacă, de pildă, o serie statistică de prețuri și de cantități vândute arată o relație liniară
q = 1 600 – 400p
atunci: p = 4 –
Introducând această expresie în ecuația (4.2.4.), rezultă
Aplicarea calculului diferențial al ecuației venitului duce la
care arată raportul existent între modificare a venitului și modificarea cantității la un anumit nivel de cantități q.
Dacă, de pildă, întreprinderea dorește să știe cum se modifică venitul atunci când producția sporește cu o unitate, presupunând q=500 unități, derivata
va arăta că dV=1,5 u.m., adică venitul va crește cu 1,5 u.m.
Dacă din punct de vedere al costurilor poate produce o unitate suplimentară cu mai puțin de 1,5 u.m. atunci este avantajos pentru ea să-și sporească producția de la q=500 la q=501 unități.
4.2.2. Funcțiile costurilor
În marketing costurile sunt analizate în special din punct de vedere al sensibilității lor față de modificarea numărului de unități de produse vândute.
Componentele costului C clasificate după sensibilitatea față de cantitățile q, adică în funcție de rata de schimbare a costului, se prezintă astfel:
C=costul total; dC/dq>0
Cf=costul fix total; dCf/dq>0
Cv=costul variabil total; dCv/dq>0
=costul mediu; d /dq>0
f=costul fix mediu; df /dq>0
v=costul variabil mediu; dv /dq>0
(4.2.2.)
Între costurile medii și costurile unei unități adiționale există o strânsă interacțiune. Creșterea costului mediu are loc dacă mărimea costurilor unei unități adiționale depășește costul pe unitatea de produs, Cm>C. Pentru ca să rămână neschimbat costul mediu, el trebuie să fie egal cu , iar ca să scadă trebuie ca <.
Ca atare, producția este eficientă atunci când costul unei unități adiționale este mai mic decât costul mediu.
Grafic, relațiile dintre componentele sistemului costului total C sunt arătate în fig. 4.2.2.
Fig. 4.2.2. Componenetele sitemului total de costuri C
Fiind date O și un punct E pe curba costului cumulat C, costul mediu corespunzător acelui punct este panta dreptei OE:
Aceeași relație este aplicabilă punctelor D și A și oricărui alt punct al unei curbe cumulate.
Pentru orice punct E pe o curbă, Cm este egal cu panta curbei în punctul E:
Caracterul constant al costului total este convențional căci pe termen lung toate costurile sunt variabile.
Componentele costului sunt legate între ele prin:
unde i = costul componentei în cauză
Pe baza analizei sarcinilor de producție și de eforturi de marketing implicate în producerea și vânzarea diferitelor produse, în întreprinderile respective por fi calculate funcțiile costurilor, determinându-se costurile adiționale care vor apărea dacă se vor produce și se vor vinde cantități mai mari în viitor. O funcție de cost C=45 000 are derivata ceea ce înseamnă că nu se vor modifica costurile în urma modificării cantităților. Ca atare, Cv = 0, Cf ≠ o, de exemplu, cazul serviciilor – spectacolele de cinematograf la care costurile nu variază în funcție de numărul spectatorilor.
O funcție de cost de forma C=0,10q
are derivata , ceea ce arată că nu există costuri fixe ci numai costuri variabile. Rata de schimbare a costurilor este constantă.
O funcție de cost de forma:
C=45 000 + 1,8 q + 0,002 q2
are derivata
= 1,8 + 0,004q
Rezultă că după cheltuiala inițială de 45 000 u.m., costul variabil al producției va fi determinat de rata de schimbare a costului în funcție de schimbarea cantităților q.
Exemplu:
În acest exemplu se vede că producerea și vânzarea de unități adiționale duce la un cost unitar foarte apropiat de 1,8 u.m. până la nivelul de 24 unități adiționale, după care costul unitar crește. Acest caracter crescând al costului fabricării produsului respectiv arată că procesul de prelucrare implicat devine mai puțin eficient pe măsură ce producția crește (cazul autoutilării pe scară mare, de pildă).
Fie o funcție a costului împreună a două produse, de tipul
C=16 000+0,02q+20 000+8Q+0,001Q2-0,002qQ
Unde q= cantitatea primului produs
Q=cantitatea celui de-al doilea produs.
În acest caz avem
Ultimul termen al funcției costului este negativ (-0,002qQ), ceea ce arată că fabricarea și vânzarea celor două produse împreună reduce costurile, respectiv aceste două produse sunt complementar fabricate. Această reducere a costurilor provine din sporirea eficienței muncii sau din folosirea în comun a acelorași mașini, materii prime etc. (cazul producerii de autoturisme și de jeepuri, al legumelor conservate și semiindustrializate etc.).
4.2.3. Identificarea mărimilor optime – cantități, prețuri și profit
Profitul este diferența dintre venitul total V și costul total C și ca atare el va atinge nivelul maxim atunci când această diferență absolută va fi maximă.
Fig. 4.2.3.1. Venitul și costul în funcție de q
În fig. 4.2.3.1. cea mai mare distanță dintre funcția venitului și cea a costului apare în dreptul cantității q2. Ca atare, profitul este maxim la q2. Pantele celor două curbe indicate de tangentele V’ și C’ sunt paralele. Prin definiție, ele sunt derivatele celor două funcții. Rezultă deci că aceste derivate trebuie să fie egale în acel punct q2:
Astfel spus, profilul este maxim atunci când venitul derivat dintr-o creștere cu o unitate adițională a producției vândute este egal cu costul cauzat de producerea și vânzarea acestei cantități adiționale de produse.
La nivelul de cantități q1, panta lui V este mai mare decât panta lui C astfel încât derivatele nu pot fi egale și profilul nu este maximizat.
Pantele și ca atare derivatele funcțiilor nu sunt egale nici în punctele din dreapta nivelului q2. Întreprinderea trebuie să sporească numărul unităților vândute până când venitul obținut dintr-o unitate adițională de produse este egal cu costul producerii și vânzării acelei unități adiționale. Deci adevăratul criteriu de performanță a unei întreprinderi este de a selecționa acel număr de unități care maximizează diferența (V-C).
Selecționarea volumului fizic al cantităților care trebuie produse și vândute, deci a nivelului eforturilor de producție și de marketing și a prețului care va maximiza profitul, reprezintă problema fundamentală a optimizării acestor indicatori.
Premisele optimizării sunt următoarele:
funcția costului include toate costurile de producție și de marketing legate de producerea și vânzarea unei cantități de produse;
funcția venitului total depinde de preț și de cantitatea vândută, fiind necesară în general scăderea prețului pentru creșterea cantității vândute;
date fiind funcția cererii și funcția costului total, poate fi selecționat nivelul de producție care va maximiza profitul.
Exemplu: Presupun, de pildă, că specialiștii în marketing ai unei întreprinderi au estimat funcția cererii pentru un nou produs sub forma ecuației:
q = 80 000 – 2 000 p
se obține deci p = 40 –
Această ultimă expresie este introdusă în ecuația venitului
Astfel
Rata de schimbare a venitului în funcție de modificarea cantităților este dată de:
Cu ajutorul sectoarelor de producție și de contabilitate, specialiștii în marketing au calculat ecuația producerii și vânzării cantităților de produse fabricate, sub forma unei funcții a costurilor
C = 160 000 + 4q
unde Cf = 160 000 u.m.
Cv/1= 4 u.m.
Rata de schimbare a costului este Cm==4
Condiția maximizării profitului este egalitatea Cm=Vm Sau 4=40-,
ceea ce permite determinarea cantității optime qoptim,
qoptim=36 000 unități.
Determinarea cantității optime permite stabilirea prețului optim, a venitului total, a costului total și a profitului maxim.
Rezultă astfel:
Pentru vânzarea producției optime 36 000 unități, întreprinderea va trebui să vândă produse la prețul de 22 u.m. pe o unitate sau aproape de acest preț unitar. Acest preț este optim pentru că el produce cel mai mare venit pentru cantitatea optimă produsă.
Beneficiul întreprinderii de 488 000 u.m. este cel mai mare posibil în condițiile date. Determinarea cantității optime de produse permite stabilirea cheltuielilor și a veniturilor generate de un anumit produs. Repartizarea acestui buget între compartimentul de producție și cel de marketing este posibilă prin descompunerea cifrelor costului care a fost luat în considerație de către serviciul de contabilitate la calcularea funcției costului.
În cazul neliniarității funcției profitului, B = f(q), derivata aceste funcții la punctul la care profitul este maxim.
Fig. 4.2.3.2. Curba profitului.
În fig. 4.2.3.2. se vede că la q6 panta funcției profitului nu este nici pozitivă nici negativă, adică egală cu zero. Potrivit calculului diferențial derivata funcției profitului este 0 la punctul profitului maxim.
Pe baza expresiei
poate fi determinată în producția optimă și profitul maxim atunci când prețul este cunoscut și este stabilită funcția costului unui anumit produs.
Exemplu: Presupunem că pentru un anumit produs prețul existent pe piață este de 900 u.m.Funcția costului este:
C=3000+12q2
Prin înlocuirea lui V=p∙q poate fi construită o funcție a profitului:
B = p∙q – C = 900∙q – (3000+12q2),
adică
B = -300+900q-12q2
Se calculează
și se pune condiția de profit maxim, obținându-se ecuația:
900 – 24q = 0
deci q = 37,5
respectiv B = 13875
Calculele arată deci o producție optimă de 37,5 unități și un profit maxim de 13875 u.m.
Funcția profitului care permite maximizarea valorii variabilelor decizionale analizate anterior poate fi explicitată pentru a fi luate în considerare în mod distinct costurile de marketing, care influențează prin programele marketing nu numai vânzările ci și toate celelalte costuri legate de produsul respectiv. Relația dintre vânzări și profit, pe de o parte, și programele de marketing și costurile întreprinderii, poate fi determinată printr-o ecuație care se obține pornind de la ecuațiile :
(4.2.3.1.) B= V – C
(4.2.3.2.) V= p∙q
(4.2.3.3.) C= (Cv)∙(q)+ Cm ,
unde: B, C, V, p, q au semnificațiile deja cunoscute;
Cv= costurile variabile pe unitatea de produs (fără costurile da marketing);
Cf= costurile fixe (fără costurile de marketing);
Cm= costurile de marketing.
Ecuația profitului se exprimă astfel:
(4.3.2.4.) B= (p)∙(q) – [(cv)∙(q) + Cf + Cm]
sau
B= q(p-cv) – Cf – Cm .
În ecuația profitului se poate introduce ecuația cererii totale pentru produsul respectiv și astfel pot fi analizate efectele costurilor diferitelor programe de marketing asupra profitului.
Cu ajutorul calculului poate fi identificat acest program de marketing care maximizează profitul. De asemenea, poate fi elaborat un model de programare liniară pentru minimizarea costului producerii cantităților specifice de produse oferite. Dacă nu pot fi folosite matematicile analitice pentru determinarea programului optim se poate recurge la tehnica simulării.
A. Cheltuielile cu promovarea
Obiectivul promovării constă în obținerea unui nivel ridicat de vânzări. Prin desfășurarea acțiunilor de promovare întreprinderea, în cazul exportării produsului, urmărește să obțină un preț mai ridicat de la cumpărător.
Nivelul optim al promovării poate fi stabilit prin sporirea cheltuielilor pentru acesta acțiuni până la punctul în care rata de schimbare a valorii vânzărilor devine egală cu rata de schimbare a costului promovării.
Pentru ilustrarea modelului care descrie rezultatele promovării, în condițiile în care vânzările potențiale sunt afectate numai de perioada în care se desfășoară promovarea (nu se ține seama de efectele cumulative în timp ale promovării), voi relua exemplul de la pagina 72. În exemplul dat, qoptim=36 000 unități a fost determinat de egalitatea Cm=Vm.
Alte date au fost:
q= 80 000-2000p
p= 40-; p.optim=22u.m.
C= 160 000+4q
Să presupunem că este introdusă posibilitatea promovării pe o piață străină. Promovarea cu succes a unui produs face posibilă obținerea unui preț mai ridicat pentru o anumită cantitate vândută.
Noul preț poate fi obținut datorită promovării, de pildă, prin intensificarea contactelor personale ale vânzătorilor cu clienții, prin participările la târguri, trimiterea de materiale publicitare, pliante, cataloage etc. Este însă necesar un model descriptiv al relațiilor dintre cheltuielile cu promovarea și creșterea prețului care este posibilă în condițiile promovării.
Fie – noul preț
p – vechiul preț
x – cheltuielile cu promovarea
Se presupune că o cercetare de piață a arătat că efectul promovării poate fi estimat prin modelul:
Se substituie
p=40 – , deci
Venitul total este
Costul total, inclusiv cheltuielile cu promovarea, este dat de relația :
Aceste expresii pot fi folosite pentru explorarea efectului diferitelor nivele de cheltuieli cu promovarea.
Să presupunem, de pildă, că se alocă 7000u.m. în valută țării în care se face promovarea cantităților exportate.
Se obține:
,
adică
Cum p=22, rezultă că noul preț, în urma adăugării cheltuielilor cu promovarea este de
Pot fi elaborate tabelele de calcul pentru costurile totale și veniturile totale în condițiile diferitelor nivele de cantități. Astfel este determinat prețul optim.
Cantitatea optimă poate fi determinată pornind cu ecuația profitului
Deci
Se rezolvă ecuația dată de egalarea cu zero a derivatei parțiale de ordinul 1 în raport cu q:
,
cu soluția q=395000
Astfel, cantitatea optimă care poate fi vândută în condițiile cheltuielilor de promovare de 7000 u.m. este de 39 500 de unități de produs.
În locul prelucrării unui singur exemplu, x=7000 u.m., cu ajutorul calculatorului pot fi efectele pe care le au asupra profitului întreprinderii diferitele nivele admise de cantități și cheltuieli cu promovarea.
B. Influența costurilor de distribuție
Costurile de distribuție prezintă un aspect care, mai ales în cazul exporturilor, complică problemele de decizie privind relațiile dintre preț și cantitățile vândute. Costurile de distribuție constituie un element care se situează între prețul plătit de către cumpărător și valoarea pe care întreprinderea o primește.
În condițiile în care cumpărătorii se află la diferite distanțe și ca atare apar diferite costuri de distribuție, există mai multe posibilități pentru întreprindere:
poate stabili același preț pentru toți cumpărătorii, suportând singură costurile de distribuție;
poate trece asupra cumpărătorilor sarcina de a suporta aceste costuri;
poate adopta o poziție intermediară
Luăm ca exemplu o întreprindere care vinde produsele ei în două piețe străine diferite. În prima piață ea nu suportă costurile de distribuție, dar în cea de-a doua piață ea preia asupra sa aceste costuri 10 u.m. pe unitatea de produs. Se presupune că relația dintre preț și cantitățile vândute este același pentru ambele piețe, prețul fiind definit drept costul total al cumpărătorului:
,
iar costul total al produselor pentru producător este:
C=36q+40 000
Venitul total se calculează și se obține cu relația:
V=
iar venitul adițional este atunci dat prin
Vm=120-
Rata de schimbare a costului, Cm, pentru piața în care întreprinderea nu suportă costurile de distribuție este de:
iar pentru piața a doua această rată devine:
Astfel, în piața fără costuri de distribuție avem:
Vm=Cm1,
adică: q1=12 600 (unități de produs),
iar în piața cu costurile de distribuție suportate de întreprindere, cantitatea vândută din ecuația
adică q2=11 100
Utilizând formula p=120,
prețul în piață fără costuri de distribuție va fi pfc=78 u.m., iar în cea de-a doua pcc=83 u.m.
Din aceste exemple simplificat rezultă că întreprinderea câștigă mai puțin dacă suportă singură costurile de distribuție, (p2=83-10=73 u.m.) în comparație cu situația în care nu suportă aceste cheltuieli (p1=78). Rezultatele de acest fel vor fi obținute mereu, de câte ori modelele relațiilor între preț și calitățile vândute vor fi aceleași în diferite piețe.
4.3.Optimizarea alocării resurselor în marketing
Potrivit teoriei generale a sistemelor o întreprindere nu consideră că a atins nivelul maxim de eficiență în marketing deoarece orice sistem este continuu preocupat de perfecționarea performanțelor sale.
Subsistemul informațional necesar pentru rezolvarea problemelor de alocare a eforturilor în marketing ale întreprinderii trebuie să permită elaborarea continuă și regulată a estimării cererii atât în ceea ce privește previziunea ei cât și ca măsurare a cererii curente.
4.3.1. Măsurarea eficienței alocării resurselor în marketing
Soluționarea problemei de alocare a cheltuielilor de marketing, respectiv de creștere sau micșorare a eforturilor de marketing într-un anumit segment al unei piețe externe și pentru un anumit produs poate fi bazată pe evaluarea realizărilor din trecut și a aspirațiilor pentru viitor. Criteriile pentru alocarea eforturilor de marketing se pot referi la cerere, competiție, vânzări, costuri și profit.
Criteriul cererii:
În vederea folosirii cererii drept bază pentru repartizarea eforturilor de marketing pe diferite segmente de cumpărător poate fi utilizat indicele definit prin:
ic=1nu este necesară sporirea cheltuielilor de marketing căci eforturile sunt alocate într-o proporție egală cu însemnătatea segmentului de piață;
ic<1este necesară descreșterea cheltuielilor de marketing căci eforturile de marketing au fost supradimensionate;
ic>1este necesară sporirea cheltuielilor de marketing.
Criteriul vânzărilor:
Vânzările pot fi folosite ca un criteriu numai după ce întreprinderea a identificat acele piețe care reprezintă o cerere care o poate satisface și numai după ce a verificat acel lucru prin vânzările realizate de piața respectivă
Este valabilă aceeași regulă ca și la „criteriul cererii” în cazurile:
iv=1, iv<1, iv>1.
C) Criteriul profitului:
Profitul poate constitui un criteriu numai după ce se confirmă că estimările privind cererea, vânzările și costurile reflectă realitățile pieței.
După obținerea unor informații precise poate fi folosit indicele:
Acest indice va orienta alocarea cheltuielilor de marketing ale întreprinderii pentru acele segmente ale pieței care contribuie mai mult la profitul întreprinderii. Toate aceste criterii sunt legate între ele și trebuie folosite împreună.
Evidențierea veniturilor și profitului determinate de eforturile de marketing constituie o premisă a analizei de sistem privind eficiența acțiunilor întreprinderii asupra pieței.
În acest scop este necesară gruparea acestor eforturi după criteriul a două funcțiuni: 1o). crearea ofertei și stimularea cererii;
2o). satisfacerea cereri.
Răspunsul pieței la eforturile de marketing într-o anumită perioadă de timp prezintă forme teoretice de tipul arătat în fig. 4.3.1.
Fig. 4.3.1. Modificarea veniturilor și a profitului în funcție de modificarea cheltuielilor de marketing
Dacă în perioada 1 întreprinderea va avea un volum de cheltuieli pentru stimularea cererii (Sc) notat Sc1 atunci va rezulta un nivel de venituri datorită marketingului de V1 și un nivel de contribuții la profitul generat de eforturile Sc1 de C1.
Din figura 4.3.1. reiese că dacă întreprinderea ar fi cheltuit Sc2 în loc de Sc1 veniturile generate de marketing ar fi fost diferite, însă profitul rezultat ar fi fost tot C1.
Deci întreprinderea nu cunoaște mărimea cu care va crește veniturile din vânzări în urma unei creșteri date a eforturilor de marketing și nici nu știe dacă o creștere a eforturilor va duce la o sporire sau o micșorare a profitului. Singura cale pentru întreprindere de a afla mai mult despre reacțiile vânzărilor și profitului la modificarea eforturilor de marketing este de a studia efectele variației cheltuielilor de marketing alocate.
Dacă cererea este bine estimată atunci poate fi determinat locul întreprinderii în fig. 4.3.1.
Dacă vânzările și cota potențială de piață sunt aproape egale, conducerea va ști că întreprinderea operează în vecinătatea punctului T. În acest caz e indicată micșorarea cheltuielilor de marketing.
Dacă întreprinderea este localizată în punctul S, ea trebuie să-și mărească eforturile de marketing.
Urmărind schimbările intervenite în vânzări, profit și cheltuielile de marketing în diferite perioade de timp, se va cunoaște mai bine reacția pieței la eforturile de marketing. De pildă, dacă în perioada 2 întreprinderea își sporește eforturile de la Sc1 la Sc2 atunci veniturile vor crește, profitul datorită marketingului va crește.
Eficiența cheltuielilor de marketing se măsoară prin derivata schimbării veniturilor de marketing în funcție de schimbarea eforturilor.
(4.3.1.1.) ,
respectiv pentru profit:
(4.3.1.2.) .
Pe baza curbelor din fig. 4.3.2.1. poate fi calculat un coeficient de elasticitate a veniturilor de marketing în funcție de eforturile de marketing.
(4.3.1.3.) ,
respectiv un coeficient de elasticitate a contribuției marketingului la profit:
(4.3.1.4.) ,
Tabelul 4.3.1.
Soluții posibile indicate de elasticitatea veniturilor și profit
4.3.2. Metode de optimizare a alocării resurselor în marketing
Un anumit nivel de rezultate poate fi obținut prin mai multe combinații diferite de resurse. Fiecare dintre aceste combinații va realiza un nivel de eficiență. Alegerea soluției finale va depinde de avantajele comparative ale utilizării resurselor și de costul comparativ al acestora și nu de eficiența intrinsecă a unei alternative.
Cel mai simplu mod de optimizare a alocării resurselor este oferit de metoda comparării costurilor cu avantajele, în cazul a două resurse. Relațiile cost – avantaje por fi analizate prin curba de indiferență a producției egale și prin curba de indiferență a costurilor egale. Curbele de indiferență ale avantajelor egale descriu nivelele constante, de producții vândute egale. În cadrul fiecărei curbe nivelul rezultatelor este același, indiferent de structura eforturilor care le generează.
Pentru a se ajunge la o decizie privind alegerea unei combinații de resurse este necesar un model al costurilor, model în care curbele de indiferență ale cheltuielilor se prezintă ca niște linii care exprimă fiecare un nivel constant de costuri totale ale resurselor, numite și „izocosturi” deoarece în orice punct de pe o astfel de dreaptă cheltuielile rămân mereu aceleași indiferent de modul lor de repartizare pe cele două resurse. În fapt, aceste linii ale izocosturilor reprezintă nivele de bugete de cheltuieli.
Punctele de pe linia unui astfel de buget reprezintă toate combinațiile posibile de resurse pe care le permite nivelul respectiv al cheltuielilor totale.
Analiza cost – avantaj conduce la determinarea combinației celei mai ieftine de resurse prin care poate fi obținut fiecare nivel de avantaje, găsind punctele de tangență între curba avantajelor egale și linia izocosturilor.
Cel mai mare nivel de avantaje generate de un nivel dat de cheltuieli este indicat de punctul de tangență al liniei de izocosturi cu cea mai înaltă curbă de avantaje pe care o poate atinge.
Pe parcursul acestui paragraf vor fi prezentate și abordări matematice ale problemei de optimizare a alocării resurselor în marketing, acestea în detalii.
4.3.2.1. Ilustrarea alocării resurselor între activitățile promoționale
Un exemplu tipic de optimizare a alocării resurselor de marketing este aceea care se referă la două activități promoționale.
Presupunem o centrală industrială românească, care are o reprezentare comercială în S.U.A. și care vrea să vândă o anumită cantitate de mașini–unelte în această țară. Ea poate să se folosească atât de trimiterea prin poștă a prospectelor la câteva mii de firme, cât și de trimiterea unor vânzări la aceste firme care să ofere direct produsul.
Pe măsură ce întreprinderea va spori promovarea prin poștă, ea va avea nevoie de mai puțini vânzători care să meargă pe teren și invers. Relația dintre aceste două activități promoționale este descrisă cu ajutorul curbelor de indiferență din fig. 4.3.2.1.
Fig. 4.3.2.1. Curbele de indiferență și liniile de izocosturi pentru două activități promoționale
Curbele de indiferență I reprezintă avantajele egale sau nivelele de satisfacții egale, în cazul de față nivele de vânzări constante, adică I1=200 buc. , I2= 1000 buc. , I3= 2000 buc.
Aceste nivele constante sunt produse de diferitele combinații de eforturi de solicitare directă de către vânzător a cumpărătorului și de eforturi de publicitate prin poștă.
Liniile C ale izocosturilor arată bugetul pentru diferite combinații ale eforturilor de vânzare directă și de eforturi de promovare prin poștă, care pot fi efectuate împreună, în cadrul unui anumit cost, de pildă: C1= 10 000u.m. C2=5000u.m. C3=1000u.m.
Unirea punctelor t de tangență între liniile izocosturilor și curbele de indiferență duce la trasarea unei linii care descrie combinația optimă a celor două categorii de eforturi promoționale producătoare de vânzări, de asemenea, acestă linie descrie costurile cu care se pot obține nivelele de vânzări respective.
Problema de optimizare are și o abordare economică.
Să presupunem că șeful reprezentanței în străinătate are sarcina de a vinde 8 000 de mașini – unelte într-un an și că el trebuie să aleagă un mix proporțional care să minimizeze costurile de vânzare pe piața respectivă. Resursele sale promoționale sunt: expedierea prin poștă a materialului publicitar și folosirea vânzătorilor. Se admite că în medie costul unei scrisori este de 2 u.m. și că retribuția unui vânzător, inclusiv de diurna de deplasare, este de 120 u.m. pe zi.
Relația dintre nivelul vânzării și nivelele activității promoționale este formalizată prin expresia:
(4.3.2.1.1.) V=Vpp+120Evp-E2vp,
unde: V= vânzări;
Epp= promovarea prin poștă (numărul de scrisori)
Evp=personale cu clienții (om-zile vânzători)
Pentru determinarea combinației optime a celor două resurse trebuie aflate pantele curbelor de indiferență și pantele liniilor de izocosturi în condiția de optimalitate.
Din fig 4.3.2.1. se vede că în punctele de tangență liniile izocosturilor și curbele de indiferență dunt paralele și ca atare pantele lor sunt egale. Calculând derivata funcției de marketing privind relația dintre nivelele vânzării și nivelele eforturilor promoționale ca și derivata funcției costurilor și determinând egalitatea lor se poate stabili mixul optim pe eforturi promoționale Epp și Evp, precum și costul acestui mix optim.
Funcția de marketing este:
V=Epp+120Evp-E2vp,
Care, prin substituire devine
(4.3.2.1.2.) 8000= Epp+120Evp-E2vp,
De aici se obține panta funcției:
Funcția costului este
C = 2Epp+ 120Evp,
ca atare, panta funcției costului este
Egalând cele două derivate (condiția de optimalitate), rezultă:
Evp=30 (om-zile)
Prin înlocuire în relația (4.3.2.1.2.), se obține:
Epp=5300 (scrisori),
ca atare mixul optim de eforturi promoționale este de 5300 scrisori și 30 de om-zile pentru eforturile de vânzare directă.
Costul C e calculat astfel
C=2Epp+120Evp
și înlocuind:
C=2∙5300+120∙30=14200 (u.m.).
Costul mixului optim este deci 14201.
4.3.2.2. Optimizarea prin programarea matematică
Adeseori decidentul în marketing este confruntat cu o serie de restricții care îi limitează flexibilitatea și îi îngustează alegerea acțiunii. De pildă, alternativele de marketing care implică prețuri în afara unui interval admis vor fi respinse.
Programarea matematică exprimă obiectivul de realizat sub forma unei funcții matematice a cărei valoare trebuie optimizată. Restricțiile sunt introduse sub formă de ecuație sau inegalități. În marketing deciziile de alocare a resurselor pe baza programării liniare sunt aplicate la numeroase probleme ca: determinarea mixului optim a gamei produsului, alocarea bugetului de cheltuieli între publicitate și eforturile de vânzare prin contacte personale cu clienții, alocarea cheltuielilor pentru reclamă între diferiții suporți publicitari, repartizarea vânzărilor, repartizarea depozitelor pe teritoriu, probleme de transport etc.
Un exemplu simplu și tipic de problemă care poate fi rezolvată cu ajutorul programării liniare este construirea unui mix al produselor, fiind date limitele capacității de fabricație și profitul calculat pe fiecare produs.
Presupunem cazul unei întreprinderi care produce mobilă și care urmează să determine mixul adecvat pentru două tipuri de fotolii: marca „Lux” și marca „Confort”.
Profitul adus de marca „Lux” este de 800 u.m. pe o bucată, iar cel adus de marca „Confort” este de 1000u.m. pe o bucată. Fiecare fotoliu trece prin secția „dulgherie” și apoi prin secția „finisare”. Timpul disponibil de fabricație este, în total, într-o perioadă de timp dată, de 480 ore la dulgherie și de 400 ore la finisare, repartizate astfel
Date aceste condiții inițiale, se pune problema determinării numărului optim de unități din fiecare produs în vederea maximizării profitului. Se presupune că există o cerere puternică pe piață de fotolii.
Notăm : x-numărul unităților de fotolii „Lux”
y- numărul unităților de fotolii „Confort”
Problema este structurată astfel:
Funcția – obiectiv: 800x+1000y = profitul maxim (4.3.2.2.1)
Restricții: 8x+20y ≤ 480 (ore la dulgherie)
24 x +10y ≤ 480 (ore la finisare)
Fig. 4.3.2.2. Analiza grafică a problemei
Suprafața hașurată se numește „suprafața soluțiilor posibile” și definește numărul total de fotolii „Lux” și „Confort” care pot fi produse în perioada dată de timp, respectiv cel mult 16 fotolii ”Lux” sau 24 fotolii „Confort”.
În programarea liniară orice soluție de maximizare trebuie să apară la un colț al suprafeței soluțiilor posibile.
În exemplul luat există patru soluții:
x=0; y=0 sau x=0; y=24 sau
x=16,67, y=0 sau x=8, y=20
Pentru fiecare caz în parte se calculează profitul maxim conform relației (4.3.2.2.1.)
x=0; y=0 Pmax=0
x=0; y=24 Pmax=2400 u.m.
x=16,76; y=0 Pmax=13336 u.m.
x=8; y=20 Pmax=26400 u.m.
Profitul este maximizat atunci când vor fi produse 8 fotolii „Lux” și 20 de fotolii „Confort”.
Orice problemă bidimensională de acest fel este ușor de rezolvat și nu necesită o rutină complicată de calcul. Problema apare când trebuie analizate mai multe restricții; în aceste cazuri poate da rezultate „metoda Simplex”.
Pentru rezolvarea unor probleme în care deciziile trebuie luate în mod secvențial, întrucât obiectivul este optimizarea tuturor profiturilor generate în mai multe perioade de timp consecutive, este folosită programarea dinamică.
Potrivit principiului optimalității al lui R. Bellman, oricare ar fi starea inițială, restul deciziilor trebuie să constituie o politică optimală față de starea rezultând din prima decizie. Pe baza acestui principiu a fost dezvoltată „metoda inducției inverse”. Considerăm cazul unei întreprinderi de fungicide și pesticide, care programează itinerariul unui delegat însărcinat cu vizitarea unor asociații agricole în vederea vânzării acestor produse. Delegatul trebuie să se deplaseze din punctul L în punctul T, însă există mai multe drumuri posibile, arătate în fig. 4.3.2.2.1., împreună cu distanțele în km.
Fig. 4.3.2.2.1. Rețeaua de drumuri
Folosind „metoda inducției inverse”, ,diagrama care urmează, reprezentată în fig. 4.3.2.2.2., este trasată pornind de la T către L. În această figură numărul menționat la fiecare intersecție reprezintă distanța dintre intersecția respectivă și punctul terminal T. Dacă la o intersecție sunt trecute mai multe numere, acestea arată distanțele kilometrice ale drumurilor alternative către T.
Fig. 4.3.2.2.2. Utilizarea metodei inducției inverse
Calea cea mai scurtă de la L către T este LKMPQST, totalul kilometrilor fiind de 54.
În fapt o problemă de programare dinamică nu este așa de bine definită, ca una de programare liniară. Tot ceea ce este bine structurat într-o problemă de programare dinamică este:
o situație în care deciziile trebuie luate pe o bază de continuitate;
un obiectiv constând din maximizarea profitului total;
evidențierea relațiilor de recurență.
Complexitatea relațiilor de recurență hotărăște într-o mare măsură dacă problema este ușor, greu sau imposibil de rezolvat.
BIBLIOGRAFIE
[1] Robert Marti Optimisation intemporelle, Ed. Economica, 1997
[2] Aaron Strauss An introduction of Optimal Control Theory, Springer-Verlag, 1968
[3] Abraham-Frois, G Microéconomie, Paris, 1989
[4] M.C. Demetrescu Analiza de sisteme în marketing, București, 1982
[5] Șt. Cruceanu Elemente de control optimal și aplicații în economie, București, 1978
[6] C. Vârsan Teoria generală a problemelor de extremum cu aplicații la sistemele de control optimal, București, 1974.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: . Metode de Control Optimal In Economie (ID: 132518)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.