METODE DE CALCUL ENERGETICE ȘI APROXIMATIVE ÎN REZISTENȚA MATERIALELOR 3.1. Generalități Scopul primordial al activităților inginerești este… [615715]
77 3.
METODE DE CALCUL ENERGETICE ȘI
APROXIMATIVE
ÎN REZISTENȚA MATERIALELOR
3.1. Generalități
Scopul primordial al activităților inginerești este realizarea de
mașini, aparate, instalații etc. În istoria ingineriei sunt consemnate
numeroase si tuații în care s -au creat mașini noi fără să existe o bază
teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este
motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt
elucidate toate aspectele teoretice și de calcul (fenomenele implicate
sunt foarte diferite și complexe: procese chimice de ardere,
transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea,
zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar
perfecționări care duc la reducerea consumului de combustibil sa u la
creșterea performanțelor motoarelor.
Pe măsură ce s -au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia,
mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii și relații de calcul
pentru unele probleme inginerești, din ce în ce mai complexe. Dar
inginerii au înț eles că unele fenomene și procese sunt atât de
complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar
elaborarea unor metode și relații de calcul exacte, uneori, este
imposibilă. Pentru a ieși din impas s -au impus în practică teorii,
metode și rela ții de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau
mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul
aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu
discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfășoa ră în
condițiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5…30 %
fiind acceptabile pentru activitățile curente.
Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus,
în ultimele decenii, la elaborarea și perfecționarea unor metode
78 numerice energetice și aproximative de calcul , care s -au impus în
toate domeniile inginerești prin realizări spectaculoase ca, de
exemplu, cucerirea spațiului cosmic. Acest proces de ansamblu se
regăsește și în rezistența materialelor. De fapt, calculele de rezistență
sunt în esență aproximative, dintr -o multitudine de considerente,
metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ.
În rezistența materialelor se folosesc, chiar de la nașterea ei ca știință,
metode energetice și aproximative d e calcul, dintre care, cele mai
importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că,
pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe
de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau
nu sunt formula te în termeni energetici). Aceste metode au
numeroase variante, ele constituind o „familie consistentă” și un
domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice – aproximative –
de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice
și se pre tează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare.
Observație: Este relativ dificil să se facă o distincție categorică între metode
analitice și numerice de calcul. Frecvent, cu relații analitice se elaborează programe
de calcul numeric, sau un al goritm numeric, când se folosește pentru un program
de calculator, trebuie să aibă o formă „analitică”, necesară procesului de
programare, ca programul să fie cât mai general și cât mai ușor de elaborat.
Metodă energetică de calcul se numește, generic, ce a care
presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau
formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice:
cinetică, potențială, de deformație, totală, complementară etc.
Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt sim ple,
generale și eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul.
Explicația constă în faptul că energia este, ca și materia, o „entitate”
fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din
natură fiind implicate aspecte energetice, g uvernate de legi generale
și relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind
procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocității
lucrului mecanic , a reciprocității deplasărilor și a reciprocității
forțelor .
Principiul metod elor variaționale de calcul constă în faptul că
soluția problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei
funcții oarecare
79 v = f (a 1, a2, a3, …, x, y, z), (3.1)
în care: v este funcția căutată (de exemplu, relația dintre deplasări sau
tensiuni și variabilele independente x, y, z);
– a1, a2, a3, … parametri arbitrari, care se aleg – se variază – astfel
încât funcția v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai “exact”
soluția exactă (necunoscută) a problemei.
Se v a prezenta numai problema variațională unidimensională,
aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de
x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică
explicațiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezen tate.
Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane și ale
plăcilor subțiri.
Există o multitudine de metode variaționale, diferențiate de
modul în care se aleg parametrii a 1, a2, a3, …, în funcție de specificul
problemei care se rezolvă.
Cea mai importantă, cea mai veche și cea mai utilizată metodă
variațională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a 1, a2,
a3, …, se determină din condiția ca “energia potențială totală” a
sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (est e o metodă
aproximativă) în ceea ce privește precizia rezultatului obținut.
Metoda implică stabilirea expresiei energiei potențiale totale a
sistemului, ceea ce nu este totde auna ușor. Celelalte metode
aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponde rat, metoda
abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda
diferențelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaționale
sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuațiilor diferențiale.
3.2. Teorema energiei potențiale tota le minime
Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul
deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiția necesară și
suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul
mecanic al forțelor exterioare, P i, (sarcinilor) pe deplasările virtuale
(mici), δs i, compatibile cu legăturile, să fie egal cu variația energiei
interne, δW, (de deformație), pentru aceleași deplasări.
Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o
funcție, U, a cărei variație, δU , pentru deplasările virtuale, δs i, este
egală și opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleași deplasări, al
80 forțelor exterioare, P i , care își păstrează valoarea constantă. Funcția
U se numește potențialul forțelor exterioare . Se poate scrie
.sP Uin
1ii
(3.2)
Se presupune că variația lucrului mecanic al forțelor exterioare
se transformă complet în energie de deformație a sistemului, adică
cele două valori sunt egale. Aceeași valoare o are și lucrul mecanic
efectuat de sistemul elastic după încetarea acțiunii sarcinilor. Un
astfel de proces de deformare se numește reversibil și pentru el
δW + δU = 0 sau δ (W + U) = 0. (3.3)
În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variația
energiei de deformație în urma încărcării și descărcării complete a
sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele
reversibile, valoarea energiei de deformație nu depinde de modul în
care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de v aloarea
lor finală.
În relația (3.3) suma energiei de deformație W și a lucrului
mecanic al sarcinilor U se numește energia potențială totală a
sistemului și se notează Π = W + U, iar condiția (3.3) devine
δ Π = 0. (3 .4)
Consecința relației (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic
reversibil aflat în echilibru, variația funcției Π în cazul unei
modificări foarte mici a poziției și / sau formei acestuia este egală cu
zero, înseamnă că funcția Π are una din valorile extreme. Dacă Π are
valoare maximă, poziția de echilibru este instabilă. Dacă Π are
valoare minimă, poziția de echilibru este stabilă, aceasta fiind
teorema energiei potențiale totale minime .
Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversib ile al
valorii minime a energiei potențiale totale , este foarte general și
permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenței
materialelor. Aceasta nu însemnă că soluțiile obținute cu metode
energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obișnuite. În
numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condițiile
de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă
variațională energetică. Totuși, pentru probleme mai complicate ale
mecanicii solidului deformabil (și ale re zistenței materialelor),
81 metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi
chiar de neînlocuit.
Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit
elaborarea unor algoritmi și metodologii aproximative, relativ simple
și generale, pentru numeroase categorii de probleme inginerești.
3.3. Metoda Ritz
În esență, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a
unei funcționale. Fie integrala definită
b
a.dx ) v",v',v,x( (3.5)
Se cere să se găseas că o funcție v = v(x) care să satisfacă
condițiile la limită, iar funcționala Φ să aibă o valoare extremă. În
acest scop se alege funcția necunoscută v(x) de forma (relația (3.1))
v = v (a 1, a2, a3, …, a n, x). (3.6)
Această funcție trebuie să satisfacă condițiile la limită date,
pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a 1, a2, a3, …, a n și să fie
cât mai apropiată de funcția reală v(x), deocamdată necunoscută, însă
anticipată, într -o oarecare măsură, pe baza informațiilor pr ivind
esența fizică a problemei.
Înlocuind valoarea funcției v(x) alese sub forma (3.6) și a
derivatelor sale în (3.5), se obține
b
an 3 2 1 ,dx ) x,a …, ,a ,a ,a( (3.7)
care, după integrarea în raport cu x, devine
Φ = Φ (a 1, a2, a3, …, a n). (3.8)
Valorile constantelor a 1, a2, a3, …, a n se aleg astfel ca funcția Φ să
aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca
.0a…..;0a;0a;0an 3 2 1
(3.10)
Se obțin astfel n ecuații, din care necunoscutele a 1, a2, a3, …, a n,
pot fi determinate. Funcția aleasă, v, (3.6), va da funcționalei Φ, cu o
oarecare aproximație, o valoare extremă. Gradul de aproximare este
determinat, în acest caz, de numărul de parametri a n aleși și de forma
aleasă pentru funcția v(x).
82 Exempl u.
Să se determine săgeata și tensiunea maximă pentru bara din
figura 3.1, încastrată la un capăt și liberă la celălalt, încărcată cu o
sarcină uniform distribuită.
Observație: Bara este raportată la
sistemul uzual de coordonate oxyz, cu
axa ox în lungul barei și cu axa oz în
jos. Ar trebui, conform uzanței, ca
deplasarea după direcția oz să fie notată
cu w. Dar pentru a nu se face confuzii
cu energia de deformație, notată cu W,
se va utiliza notația v pentru deplasarea
după oz.
Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,
energia potențială totală are expresia
.dxqv"vEI21 U W 2
y
(3.11)
Funcția v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o
valoare extremă. Se știe din capitolele anterioare că fun cția v este, de
fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Așa cum s -a precizat, aici se va
utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o
primă aproximație, funcția
v = a (1 – cos πx / 2ℓ). (3.12)
Pentru orice valoare a parametrului a, această funcție satisface
condițiile geometrice la limită și anume:pentru x = 0→v =0 și v’ = 0.
Înlocuind în (3.11) funcția (3.12) se obține
0 02 24
y dx2xcos1 qadx2xcosa2EI21
,
în care cele două integrale au valorile
0 02 2dx2xcos;2dx2xcos
.
Prin ur mare, expresia energiei potențiale totale este
21qa2 2aEI214
2
y
.
Funcția Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci
Figura 3.1
83
,021q2 2aEIa4
y
din care rezultă
.2132.EIqa4
y4
Ecuația axei barei deformate este
.2xcos1EIq2132v
y4
4
Valoarea săgeții maxime este:
– calculată prin integrarea ecuației obișnuite a axei barei
vmax = 0.125 qℓ4 /EI y;
– calculată prin metoda Ritz v max = 0.11937 qℓ4 /EIy.
Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a
metodei Ritz față de soluția „exactă”.
Observație: De fapt și soluția exactă are un anumit grad de aproximare,
deoarece ecuația diferențială v” = – Miy/EI y s-a obținut în ipoteza că v’2 este
neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4).
Este util să se compar e și valorile tensiunilor maxime:
– pentru soluția obișnuită ζ max = 0.5 qℓ2/Wy;
– pentru soluția Ritz
.W/q 29454.0 ,0x pentru,2xcos2aWEI
W"vEI
WM
y2
max2
yy
yy
yiy
Comparând cele două valori eroarea este de 41%.
Generalizând rezultatele obținute, se constată că metoda Ritz dă,
în general, o aproximare bună pentru funcție și una mai puțin bună
pentru derivatele ei (ζ este proporțional cu v”), deoarece, de regulă,
se caută ca funcția aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu și
derivatele ei. Dacă se fac noi aproximații, se pot obține so luții mai
precise, atât pentru funcție cât și pentru derivatele ei. De exemplu,
pentru exemplul considerat, se poate alege funcția v sub forma unei
serii, în care expresia (3.12) să fie primul termen.
84 3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecua țiilor
diferențiale. Metoda Galerkin
În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia
energiei potențiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se
rezolve aproximativ ecuația diferențială obținută prin metodele
obișnuite (frecven t, este vorba de ecuații de echilibru).
Se presupune că soluția problemei inginerești care trebuie
rezolvată este cea a ecuației diferențiale
L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)
care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să sati sfacă toate
condițiile la limită ale problemei (sau, cel puțin, cele mai importante
dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a 1, a2, a3, …, a n .
De regulă, pentru sistemele elastice, condițiile la limită sunt de
două tipuri:
– geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri și deplasări
liniare);
– de solicitare, care privesc forțele și momentele de la capetele
barelor sau de pe conturul plăcilor.
Observație: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea
tuturor condițiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condițiilor
geometrice. De exemplu, funcția (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate
condițiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare și anume, pentru x = ℓ,
Miy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiție – pentru x = ℓ, T Z = 0, adică v”’ = 0,
nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare
pentru exemplul considerat.
Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,
însă, îndeplinirea tuturor con dițiilor la limită, atât geometrice cât și
de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic
posibil.
Alegerea formei soluției (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul
soluției probabile, pe baza informațiilor privind problema care se
rezolvă. Funcția v trebuie să fie cât mai apropiată de soluția reală, sau
să permită o apropiere cât mai mare de soluția reală, adică să ducă la
o cât mai bună aproximare a soluției reale, necunoscute, pentru
variația corespunzătoare a parametrilor a 1, a2, a3, … „Arta” alegerii
unor asemenea funcții depinde de fantezia și experiența celui care
face calculele.
85 Forma cea mai simplă și cea mai utilizată pentru funcția v este
cea a unei serii
v = a 1 . θ1(x) + a 2 . θ2(x) + a 3 . θ3(x) + … (3.14 )
în care θ 1(x), θ 2(x), θ 3(x) ….. sunt funcții oarecare de x, denumite
funcții de pondere .
După ce a fost aleasă funcția v se determină valorile parametrilor
a1, a2, a3, … astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluția
ecuației (3.13).
Dacă se înlocuiește funcția (3.14) în ecuația (3.13), acesta nu va
fi egală cu zero, deoarece funcția v nu este soluția exactă a ecuației,
adică
L(x, a 1, a2, a3, …) = f(x) ≠ 0,
în care f(x) este funcția eroare , sau funcția reziduu , care va fi mai
mult sau m ai puțin diferită de zero, în măsura în care expresia v a
fost bine (sau mai puțin bine) aleasă. Dacă soluția v este exactă,
atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcția
f(x) este, într -o anumită măsură, un indice al abaterii s oluției
aproximative față de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie
variați parametrii a 1, a2, a3, … astfel ca funcția eroare să fie cât mai
apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe
metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat , cea
mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante,
se prezintă doar forma „de bază”.
Metoda Galerkin.
Soluția ecuației diferențiale (3.13) se alege de forma seriei
(3.14), care trebuie să satisfacă toate condiți ile la limită ale
problemei.
Etapele rezolvării problemei sunt:
– se înlocuiește soluția (3.14) în ecuația (3.13), care devine
L(x, a 1, a2, a3, …) = f(x); (3.15)
– se înmulțește funcția eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiec are
din funcțiile de pondere θ 1(x), θ 2(x), θ 3(x)… și se integrează
produsele respective pe întreg domeniul de variație al variabilei x;
– se egalează cu zero integralele obținute și rezultă, astfel, un
sistem de ecuații egal cu numărul necunoscutelor a 1, a2, a3, …
86
b
a1 ;0)x(.)x(f
b
a2 ;0)x(.)x(f
b
a3 ;0)x(.)x(f…… (3.16)
– se rezolvă sistemul de ecuații (3.16) și se obțin valorile
constantelor a 1, a2, a3, …;
– se înlocuiesc a 1, a2, a3, … în (3.14), obținându -se astfel soluți a
aproximativă a ecuației (3.13).
Concluzii și observații.
1. Condițiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic,
cerința ca funcția eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcțiile
θ1(x), θ 2(x), θ 3(x)…. Rezolvând problema abordată aproxi mativ, nu
este posibil ca funcția eroare să fie ortogonală în raport cu toate
funcțiile θ i(x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie
de zero funcția eroare nu numai pentru funcții ortogonale, ci și pentru
orice funcții θ i(x).
2. Se demonstr ează că metoda Galerkin este legată de metodele
energetice, fiind o variantă a acestora.
3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este
necesar să se scrie expresia energiei potențiale totale, dar funcția de
aproximare trebuie să satisfacă to ate condițiile la limită, adică nu
numai cele geometrice (ca la Ritz) ci și cele de solicitare. În acest
sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de
aproximare al derivatelor funcției.
4. Ca și metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puțin
precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind
consecința faptului că funcția se alege astfel încât ea să aproximeze
bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de
regulă, nu.
5. În general, metodele aproxim ative de rezolvare a problemelor
structurilor deformabile duc la soluții care determină mai precis
deplasările decât tensiunile. Această situație se datorează faptului că
deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării
globale a struc turii, pe când tensiunile sunt determinate de
configurațiile locale, geometrice și de solicitare. Deci, în principiu,
pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele și
metode de calcul locale .
87 Exemplu .
Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz și Galerkin și a
evidenția asemănările, deosebirile, avantajele și dezavantajele lor, să
se abordeze același exemplu, adică bara din figura 3.1 și prin metoda
Galerkin.
Pentru început se va considera aceeași funcție v ca și la metoda
Ritz, ad ică (3.12). Pentru scrierea condițiilor (3.16) trebuie avută în
vedere ecuația diferențială a axei deformate a barei, care este
EIy v” – q (ℓ -x)2 / 2 = 0. (3.17)
Condițiile (3.16) devin
,0dx2xcos1)x(q21
2xcos2aEI
022
y
din care rezultă v max = 0.05752 qℓ4 /EI y , adică mai puțin de jumătate
din valoarea exactă, care este v max = 0.125 qℓ4 /EIy.
Explicația pentru abaterea foarte mare a soluției obținute, față de
soluția exactă, este că funcția (3.12), aleasă pentru v, reprezintă bine
ecuația axei d eformate a barei dar mai puțin bine derivatele sale
(prima și mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La
rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri
numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcției), pe când
metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcția) cât și
ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcția v aleasă nu satisface
condiția de solicitare la limită v”’ (x=ℓ)= 0, deci condiția ca forța
tăietoare T z să fie nulă în capătul liber al b arei.
În concluzie, funcția v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos,
pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel
mai mare care intră în ecuația diferențială și apoi să se determine
funcția. De exemplu, dacă se alege
v” = a (1 – sin πx / 2ℓ), (3.18)
prin integrare se obține funcția
.B Ax2xsin2
2xav2 2
Din condițiile la limită: pentru x = 0 → v’ = 0 și v =0,
rezultă B = 0 și A = -2ℓ/π și
88
.x2
2xsin2
2xav2 2
(3.19)
Se înlocuiește expresia (3.19) în ecuația (3.17) și se scriu
condițiile (3.16). După efectuarea calculelor se obține:
16 24
61/61 648
601.EI2qa2 3 5 3
y2
;
vmax = 0.11598 qℓ4 /EIy ; ζ max = 0.4317 qℓ2/Wy.
Rezultatele obținute sunt de precizie satisfăcătoare. Pr ecizii și
mai mari se pot obține dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de
exemplu,
..,5,3,1n , nx / sin – (1 a "v pentru care volumul
calculelor crește foarte mult.
3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme
dinamice. Metoda Rayleigh
Se cons ideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la
încovoiere EI y, constantă și masa m pe unitatea de lungime.
În ecuația diferențială a axei
barei deformate, EI y∂4v/∂x4 = p(x), se
consideră că p(x) este chiar forța de
inerție a barei , conform principiului
lui d’Alambert și astfel se obține
ecuația diferențială a vibrațiilor libere
ale barei sub forma
EIy∂4v/∂x4 + m ∂2v/∂t2 = 0, (3.20)
căreia i se pot asocia, de exemplu, condițiile la limită:
pentru x = 0 și x = ℓ → v = 0; pentru x = ℓ/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)
Metoda Rayleigh și Rayleigh -Ritz.
Pentru a obține pulsația corespunzătoare modului fundamental de
vibrație al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu
cea a energiei potențiale de deformați e maximă. Pentru bara
considerată, energia de deformație, W, este
Figura 3.2
89
,dxx/v EI21W2
02 2
y
iar energia cinetică
.dxt/v)x(m21E2
0C
Presupunând că vibrația este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos
ωt, din condiția (Rayleigh) (W) max = (E C)max, rezultă e xpresia
pulsației sub forma
022
02 2
y2.dxV)x(m/dxx/V EI
(3.22)
Pentru a afla din (3.22) valoarea ω2 a pulsației trebuie să se
considere o anumită formă pentru funcția V(x), care să satisfacă
condițiile la limită (3.21) și nu obligatoriu și ecuația de mișcare
(3.20). O astfel de formă este V(x) = 1 – cos (2πx/ℓ), care, înlocuită
în (3.22), permite obținerea valorii aproximative a pulsației
fundamentale și anume ω 1 = 22.792 k , (
2
y /mEI k ), care
diferă cu 1.87% de valoarea exactă (22.37 29 k).
O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele
Rayleigh -Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor
pulsații proprii ale vibrațiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop
se consideră o formă mai generală pentru funcția V(x), ca, de
exemplu
V(x) = C 1 f1(x) + C 2 f2(x) + …. + C n fn(x), (3.23)
în care C 1, C2,…., C n sunt constante și f 1, f2,…., f n funcții care satisfac
condițiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuiește funcția
(3.23) în ecuația pu lsației (3.22), se obține ω2 ca funcție de
constantele C 1, C 2,…., C n. Condiția ca valorile aproximative ale
pulsațiilor să aibă abateri cât mai mici față de cele exacte duce la
sistemul de ecuații
,0 C …..C Cn2
22
12
(3.24)
a cărui rezolvare pe rmite determinarea primelor n pulsații ale
vibrațiilor libere.
Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.2) se poate scrie
relația (3.23) sub forma
90 V(x) = C 1[1 – cos (2πx/ℓ)] + C 2[1 – cos (4πx/ℓ)], (3.25)
care se înlocuiește în (3.22). Scriind cond ițiile (3.24) se obține
următoarea problemă de valori proprii :
,CC
3223mCC
16001 EI 16
21 2
21
3y4
ale cărei soluții sunt
,k35.221
cu
575.01
CC
21 și
,k1241 cu
.4488.11
CC
21
3.6. Metode energetice pentru calculul d eplasărilor barelor și
structurilor din bare. Metoda Mohr -Maxwell
Energia potențială de deformație a unui sistem de bare poate fi
calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al
eforturilor. Această constatare a permis elaborarea uno r metode
energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor și
structurilor din bare.
Se consideră că este respectată ipoteza linearității fizice, cea a
linearității geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este
aplicabil – atât pentr u eforturi cât și pentru deplasări – și că procesul
de deformare al sistemului este reversibil, sau – altfel spus – starea
finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De
asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese
dinamice, vibrații, fenomene de propagare etc).
Teorema reciprocității lucrului mecanic (Betti).
Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forță P 1 în punctul A
și cu o forță P 2 în punctul B, ca în figura 3.3.a.
91 Când se aplică forța P 1 în punctul A, acesta produce deformarea
sistemului și deplasarea punctului A într -o poziție oarecare, în
cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δ A1, a
acestei deplasări pe direcția forței (fig. 3.3.b), deoarece lucru l
mecanic produs de aceasta este U 1=P1 δA1 /2 (factorul ½ se datorează
faptului că solicitarea este statică, adică forța P 1 se aplică lent,
crescător de la zero la P 1). În continuare, în prezența forței P 1, se
aplică forța P 2 în punctul B, care produce dep lasarea δ B2 (fig. 3.3.c) și
lucrul mecanic U 2=P2 δB2 /2, precum și deplasarea punctului de
aplicație al forței P 1 cu δA2, efectuând lucrul mecanic U 12=P1 δA2, la
calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forța P 1 parcurge
cu întreaga sa valoare d eplasarea δ A2.
Lucrul mecanic total al sarcinilor este
U’tot = U 1 + U 2 + U 12=P1 δA1 /2 + P 2 δB2 /2 + P 1 δA2. (3.26)
Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forței P 2 și apoi a lui
P1, se obține (fig. 3.3.d și e)
U”tot = U 2 + U 1 + U 21=P2 δB2 /2 + P 1 δA1 /2 + P 2 δB1. (3.27)
Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca
U’tot=U” tot → din care rezultă→U 12=U 21→ sau →P 1δA2=P2δB1. (3.28)
Uzual, formularea acestei teoreme se face într -o formă generală,
considerând că:
– forțele P 1 și sunt P 2 sunt două sis teme de sarcini, denumite,
sistem primar, respectiv secundar;
– forțele pot fi forțe generalizate (forțe și momente);
– deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare și
rotiri).
Teorema reciprocității lucrului mecanic se formulează astfel:
dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de
sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe
deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul
mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem p e deplasările
produse de primul sistem .
Observație: Teorema reciprocității lucrului mecanic poate fi
formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de
deformație, cele două entități fiind egale.
92 Teorema reciprocității deplasărilor (Maxwell).
Dacă în ultima din relațiile (3.28) se consideră P 1 = P 2 = P,
rezultă
δA2 = δ B1, (3.29)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocității deplasărilor, a cărei
formulare este (fig. 3.4): deplasarea
punctului A produsă de o forță
aplicată în punctul B este egală cu
deplasarea punctului B produsă de
aceeași forță aplicată în punctul A.
Se pot inversa rolurile deplasărilor și forțelor în teorema
reciprocității deplasărilor și se obține teorema reciprocității forțel or.
Teorema reciprocității forțelor.
Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relațiile (3.28) se
consideră δ A2=δB1= δ = 1, rezultă
P1 = P 2, (3.30)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocității forțelor, a cărei formulare
este (fig. 3.5): forța aplicată în punctul
A, care produce o deplasare δ = 1 în
punctul B este egală cu forța aplicată
în punctul B pentru a produce aceeași
deplasare δ = 1 în punctul A.
Observație: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru
simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea.
Teoremele reciprocității lucrului mecanic, deplasărilor și forțelor,
ca urmare a generalității lor, sunt foarte utile în rezistența
materialelor, deoarece duc la simplificăr i considerabile pentru
numeroase categorii de probleme.
Metoda Mohr -Maxwell.
Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr și ea poate fi
înțeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocității lucrului
mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării
care acționează asupra corpului, de exemplu, forțele F 1, F2, … F n din
Figura 3.4
Figura 3.5
93 figura 3.6.a. Al doilea sistem
de sarcini se consideră
numai o forță egală cu
unitatea, aplicată în punctul
și pe direcția deplasării care
trebuie calculată (punctul A
și deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acțiunea sistemului de sarcini dat.
Din relațiile (3.28) rezultă
1. δ = U 21 → δ = U 21 (3.31)
în care U 21 este lucrul mecanic (sau energia de deformație) al
sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina
unitate.
Se consideră o bară dreaptă, de
secțiune constantă, cu rigiditatea axială EA
și lungimea ℓ, solicitată cu forțele axiale F 1,
F2, F 3, ca în figura 3.7. Să se afle
deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se
neglijează efectul greutății barei).
Se calculează energia de deformație,
produsă de eforturile axiale. Pentru un
element de lungime dx al barei, în cazul
general, efortul este N, pentru prima stare
de încărcare ș i n, pentru cea de a doua stare
(în acest caz particular n = 1).
Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este
EAdxn)dx(
, iar lucrul mecanic
dxEANn)dx(.N dU21 .
Pentru întreaga bară
dxEANndU U12 12 , sau avân d în vedere
(3.31),
dxEANn . (3.32)
În cazul general, pe lungimea ℓ a barei eforturile N și n pot avea
valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a
relației (3.32) este
Figura 3.6
Figura 3.7
94
dxEANn. (3.33)
Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relații similare cu (3.33),
forma completă a formulei lui Mohr -Maxwell, pentru calculul
deplasărilor barelor (drepte și curbe) și structurilor di n bare, fiind
dsEIm MdsGImMdsGAtTk dsEANn
z,yz,yi z,yi
tt t z,yz,y
z,y
. (3.34)
Pentru utilizarea corectă a relației (3.34) sunt necesare
următoarele precizări:
– δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire);
– sarcina unitate se aplică în punctul și pe direcția depla sării care
se calculează și este o sarcină generalizată: forță sau moment egal cu
1;
– N, T y,z, M t, M iy,z sunt eforturile, într -o secțiune curentă, produse
de sarcinile care încarcă structura;
– n, t y,z, m t, m iy,z sunt eforturile, în aceeași secțiune curen tă,
produse de sarcina unitate;
– ky,z este un factor care ține seama că tensiunile tangențiale
datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secțiunile barelor
(pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 10/9);
– sumele se efectuează pentru diverse inte rvale în lungul unei
bare (dacă este cazul) și pentru toate barele structurii;
-termenii corespunzători solicitărilor de forfecare și încovoiere se
scriu separat pentru direcțiile y și z din planul secțiunii curente a
fiecărei bare (y și z trebuie să fie d irecțiile principale de inerție a
secțiunii);
-în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează
integralele din relația (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o
dreaptă s → x.
Calculele cu ajutorul relației (3.34) se pot efectua manu al pentru
cazuri simple și cu un program adecvat pe calculator pentru structuri
complexe. În această situație, deși metoda este analitică, rezolvarea
problemei este numerică. Această „simbioză” între esența analitică a
unei metode și utilizarea ei pentru r ezolvări numerice pe calculator
este frecvent întâlnită pentru calculele inginerești, fiind deosebit de
eficientă.
95 În practica inginerească forma generală a relației (3.34) are
numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de
exemplu:
– efecte le solicitărilor de forfecare și/sau axiale pot fi neglijabile
comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea
principală (sau alte variante similare);
– pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în
noduri, solicitare a este numai axială în toate barele și relația (3.34)
devine
EANn
. (3.35)
3.7. Structuri continue și structuri discrete. Conceptul de
discretizare
Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr -un element
constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de
exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete .
Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue , ca, de
exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoar ele, barajele,
fundațiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane și
curbe, subțiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundațiilor) etc,
combinate în diverse moduri spațiale și complexe.
Inginerii au constatat că pentru structurile discre te se pot elabora
metode și modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) și
eficiente. Pentru structurile continue situația era total diferită,
deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple,
pentru unele cazuri particul are, cu un volum de muncă considerabil.
Așa a apărut ideea ca o structură continuă să se „înlocuiască”, în
vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să
aproximeze cât mai bine structura „originară”. Esența ideii este că,
din pun ct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoașterea, de
exemplu, a deplasărilor și tensiunilor, în infinitatea de puncte a
structurii ci sunt suficiente informațiile dintr -un număr „finit” de
puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar
foarte mare), funcție de scopul calculului, tipul structurii,
configurația ei geometrică, tipul solicitării etc.
96 Procesul prin care se obține structura discretă, pornind de la
structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numește
discreti zare.
Discretizarea.
Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare
a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai
bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de
exemplu, al geometriei, al sarc inilor, al rezemărilor, al rigidităților, al
maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice și
mecanice ale materialelor etc.
În esență,
discretizarea
structurii date se
realizează cu o
rețea de linii
drepte sau curb e
sau (dacă este
cazul) cu o rețea
spațială de suprafețe plane și / sau curbe. Un exemplu se prezintă în
figura 3.8. Punctele de intersecție ale liniilor sau suprafețelor rețelei
de discretizare se numesc nodurile rețelei și în acestea se definesc
mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se
determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această
procedură studiul mulțimii infinite de puncte a structurii continue
date se aproximează prin studiul mulțimii finite de puncte (nodur i)
ale rețelei de discretizare a modelului de calcul.
În principiu, cu cât rețeaua de discretizare are un număr mai
mare de noduri, adică este mai „fină”, cu atât este mai bună
aproximarea structurii date și rezultatele obținute prin calcul vor fi
mai prec ise.
Metodele de calcul care folosesc discretizarea și anume metoda
diferențelor finite , metoda elementelor finite și metoda elementelor
de frontieră , nu conțin în ele însele principii, restricții sau „indicații”
cum să se facă discretizarea. Alegerea rețe lei de noduri a modelului
de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într -o formă
convenabilă, toate informațiile disponibile despre structura ce se
Figura 3.8
97 calculează, să aibă în vedere funcțiile pe care trebuie să le
îndepline ască aceasta, parti cularitățile ei și să corespundă cât mai
bine scopului calculului.
Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar , care
implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind „tributul” plătit
acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evid entă
importanța elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis,
sigur și eficient.
Nodul.
Punctele definite prin rețeaua de discretizare se numesc noduri . În
noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori
sunt rezu ltatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi
deplasările, caz în care metoda de calcul se numește model
deplasare , sau eforturile, când se numește model echilibru . Relativ
rar se folosește și modelul mixt . Pentru modelul deplasare se admite
că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare,
este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu rețeaua
nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum
șase componente ale deplasării, denumite deplasări no dale, în raport
cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei
componente u, v, w ale deplasării liniare și trei rotiri x, y, z.
Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod
al modelului structurii în proce sul de deformație li se asociază un
versor denumit grad de libertate geometrică – DOF (Degrees Of
Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=0, dacă pe direcția
respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută și valoarea
DOF=1, dacă deplasarea es te necunoscută. Se pot defini gradele de
libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul
total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal
cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt atașate
necunos cute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului
structurii.
Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate”
deoarece unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme și deci
deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impu se și nu mai
trebuie calculate.
98
3.8. Metoda diferențelor finite
Metoda diferențelor finite este o metodă generală de integrare a
ecuațiilor diferențiale și constă, în esență, în înlocuirea diferențialelor
(care sunt infinit mici) cu di ferențe mici (sau foarte mici), finite.
Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască
ecuația diferențială corespunzătoare problemei care se rezolvă.
Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale
calculului propriu -zis:
– aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)
ecuației (sau ecuațiilor) diferențiale respective într -un sistem de
ecuații cu diferențe finite;
– aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un
model discret, aproximativ, conve nabil pentru calcul. De exemplu,
suprafața mediană a unei plăci curbe subțiri se aproximează cu o
rețea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de
discretizare.
Se obține un sistem de ecuații algebrice liniare, în care
necunoscutele sunt, d e exemplu, deplasările în nodurile rețelei cu
diferențe finite.
Avantajele metodei diferențelor finite sunt:
– suportul matematic este bine definit și anume ecuația
diferențială sau sistemul de ecuații diferențiale;
– metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluției
numerice obținute.
Dezavantajele metodei diferențelor finite sunt:
– generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută
ecuația diferențială a problemei. Ori pentru numeroase probleme
inginerești nu a fost posibilă de terminarea ecuațiilor care guvernează,
de exemplu, comportarea structurilor spațiale complexe la diferite
solicitări;
– suplețea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit
diferențe finite de valori diferite;
– elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această
metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în
vedere tipul ecuației diferențiale. S -au elaborat programe care
99 folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru
rezolvarea sistemului de e cuații algebrice liniare;
– în practica inginerească nu se află în uz programe performante
care să se fi impus, bazate pe metoda diferențelor finite.
3.9. Metoda elementelor de frontieră
Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al
structurilor, care se bazează pe teoreme de staționaritate a energiei
potențiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată
pe teorema reciprocității lucrului mecanic (Betti). Această teoremă
este valabilă numai pentru structuri linear elastice (așa cum s -a
menționat la § 3.6) și constă în egalitatea lucrului mecanic produs de
un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic
produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de
primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare
legăturile structurii au fost eliminate (s -au înlocuit cu sarcini sau
deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici și că cele două sisteme
de încărcare au fiecare torsor nul (condiția de echilibru a structurii).
Deoarece leg ăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele
două stări de încărcare structura poate avea legături diferite.
Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se
cunoaște soluția fundamentală a problemei care se rezolvă, adi că
sunt cunoscute deplasările produse de o forță concentrată unitate
aplicată în origine, pentru un spațiu elastic de același tip cu
problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se
poate vorbi – prin extensie – și de problema fundamental ă,
„asociată” problemei date). Cu relațiile dintre deformații și deplasări
și apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformații și tensiuni, se
determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective.
Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme
cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spațiul elastic al
problemei fundamentale (solicitat cu o forță concentrată unitate în
origine) să se „decupeze” domeniul D, al corpului care se studiază.
Pe frontiera domeniului D acționează tensiuni , care pot fi privite ca
încărcare exterioară a corpului.
Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ,
pentru care se cunosc:
100 – pe o porțiune Γ 1 a frontierei se cunosc deplasările u i;
– pe o porțiune Γ 2 a frontierei se cunoaște încărcarea exterioară t i.
Teorema reciprocității lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:
– prima încărcare este încărcarea reală t i (necunoscută pe Γ 1),
care produce deplasările u i (necunoscute pe Γ 2);
– a doua încărcare este o forță concentrată unitate aplicată într-un
punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluția fundamentală,
în toate punctele, deplasările și tensiunile.
Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se
discretizează, adică se împarte în porțiuni, definite prin noduri. Într e
două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră , în
lungul cărora se consideră că deplasările și încărcarea exterioară au
variații cunoscute. În acest scop se folosesc funcții de interpolare .
Astfel se obțin elemente de frontieră de diverse t ipuri, pentru
aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în
spațiu (elemente de suprafață sau de volum).
Frecvent se folosesc aceleași funcții de interpolare [N i(k)] atât
pentru deplasările u i cât și pentru încărcarea t i, astfel încât, pentru
elementul de frontieră k, se scriu
ui = [N i(k)]{u(k)}, t i = [N i(k)]{t(k)},
în care {u(k)} și {t(k)} sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale
deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.
Metoda elementelor de frontieră duce la obținerea unui sis tem de
ecuații algebrice lineare de forma
[A] {u}=[B] {t}, (3.36)
în care: {u} și {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor
nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influență a deplasărilor;
[B] – matricea d e influență a încărcărilor.
Sistemul de ecuații (3.36) are o configurație oarecare, adică este
nesimetric și „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile
rețelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri
deplasările u i, iar în a ltele încărcarea t i.
Dacă ecuațiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate
scrie sub forma
nc
n c
cn
c n
ttBB
uuAA
,
101 în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c – cunoscut. Rezultă
sistemul
cc
c c
nn
n n
utAB
tuB A
,
prin rezolvarea căruia se det ermină deplasările și tensiunile în toate
nodurile frontierei.
Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D
al corpului, se aplică teorema reciprocității lucrului mecanic între
perechi de puncte, unul de pe frontieră și unul din inter iorul corpului.
Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului
D se face cu relațiile cunoscute ale teoriei elasticității.
Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
– comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are
o precizie mai bună, consecință a faptului că metoda folosește soluția
fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă;
– relativa simplitate a modelului de calcul și volumul redus de
informații necesare pentru elaborarea acestuia, deoare ce trebuie
discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spațiale, cu o
geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil);
– comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul
calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscu telor (de pe
frontieră) este, de regulă, mic;
– principiul metodei este rațional, deoarece după determinarea
necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările și / sau
tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică
se oferă nu mai informațiile strict necesare.
Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
– generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluția
fundamentală a problemei. Pentru structuri spațiale complexe (de
exemplu, structuri din plăci) probl ema fundamentală nu este
rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt
restricții privind aplicabilitatea teoremei reciprocității lucrului
mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică;
– în practica inginerească nu se află în uz curent programe
performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de
frontieră.
102 3.10. Metoda elementelor finite – MEF
În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes,
cea mai utilizată pentru calculul structurilor oric ât de complexe,
solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în
regim linear elastic, sau în diverse condiții nelineare. Generalitatea și
suplețea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp
a algoritmilor de calc ul, utilizarea calculatoarelor și existența a
numeroase programe performante explică extinderea și interesul
generalizat pentru MEF.
Formularea MEF se poate face în numeroase modalități, mai
abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau
preponde rent practic – inginerești. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (și
ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice și
matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înțelegerea
principiilor și subtilităților metodei în vederea unei folosiri corec te și
eficiente a procedurilor și programelor respective. În programele
MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare , pentru
care necunoscutele sunt deplasările nodale .
O cale simplă și intuitivă pentru a -i defini conceptele și a
formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei
deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8.
Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din
metod a deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt
implicând și procesul de discretizare.
Elementul finit .
Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată
(§ 3.7). Pe rețeaua de discretizare se definesc elementele finite ale
mode lului MEF. Un element finit este o componentă de mici
dimensiuni a structurii care se calculează, obținut printr -un proces de
„decupare” realizat prin discretizare așa cum, de exemplu, zidul
unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărăm izile utilizate
la construcția sa. De exemplu, un recipient executat din table
asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un
număr de elemente de placă patrulatere și triunghiulare – denumite
elemente finite , ca în figura 3.9. Elem entele finite se leagă între ele
prin nodurile rețelei de discretizare.
103 Procesul de elaborare a unui
model MEF are două etape distincte:
– prin discretizare structura se
„descompune” într -un număr
oarecare de elemente finite;
– elementele f inite se
„asamblează”, fiind „legate” în
nodurile rețelei de discretizare, pentru
a recompune structura dată, acesta
fiind modelul ei de calcul cu elemente finite.
Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau
structura idealizată, discretă ) să aproximeze cât mai exact structura
reală (continuă), cel puțin, din următoarele puncte de vedere: al
geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităților, al maselor, al
constantelor elastice, al caracteristicilor fizice și mecanice ale
materialelor și al tuturor funcțiilor și cerințelor pe care structura
trebuie să le îndeplinească .
Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare și definirea
elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate.
Deci nu se poate pre ciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor
procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite.
Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări
succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF.
Pentru a putea modela cât mai bine funcțiile pe care structura
dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri
fundamentale de elemente finite și anume: definite într -un punct, pe
o linie, pe o suprafață sau pe un volum, fiecare dintre aces tea având
numeroase variante.
Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare,
interacționând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul
structurii reale se înlocuiește cu studiul ansamblului de elemente
finite obținut prin discretizar e, care devine astfel o idealizare a
structurii originare și este un model de calcul al structurii date.
Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca
procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”,
ceea ce implică respectarea unor reguli și exigențe privind
discretizarea, elaborarea modelului de calcul și – printre altele –
Figura 3.9
104 utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile
elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie
finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care
dimensiunile acestora să tindă spre zero.
Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care
să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într -un
program MEF ș i utilizat pentru un model de calcul, elementul finit
trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit
din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc și stabilite, pentru
aceste condiții, relațiile “proprii” de calcul.
Privi t din punct de vedere informațional, un element finit este un
“dispozitiv” – sau un model – care trebuie să poată prelucra cât mai
precis un volum cât mai mare de informații, pentru un set de condiții
impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă
geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare
de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de
libertate geometrică, iar funcțiile de interpolare să fie cât mai
complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de pa rametri.
Desigur că mențiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât
crește “complexitatea” elementului finit cresc și dificultățile de
calcul, astfel încât pentru fiecare situație concretă în parte, când se
“concepe” un element finit de un anumit tip se caută o soluție de
compromis. O consecință nefastă a acestei situații este că programele
MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente
finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerințe, cât mai
diverse, ceea ce produce d ificultăți utilizatorului.
Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip
oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul
elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori ,
determinată de o funcție de interpolare. Consec ința acestui demers
este că, local , acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma
procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a
structurii prin legea de interpolare implementată în elementul
respectiv. În concluzie, comparati v cu alte metode aproximative de
calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze
globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un
105 anumit tip de funcție), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o
generalitate și supleț e remarcabile.
Figura 3.10
Funcțiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame,
deoarece sunt continue și mai simple, comparativ cu alte funcții.
Alegerea gradului polinomului și determinarea valorilor
coeficienților acestora trebuie să asigu re o cât mai bună aproximare a
soluției exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3.10 se
prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu și
doi – respectiv cu unu, doi și trei termeni – pot aproxima o stare de
deplasări oarecare.
Elementele care au aceleași tipuri de funcții (de obicei
polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu, pentru laturile sale), cât și pentru definirea deplasărilor în
interiorul său (funcția de interpolare), se numesc elemente
izopa rametrice și sunt cele mai eficiente și folosite elemente finite în
practica MEF.
Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care
cele mai importante sunt:
Tipul de analiză. Pe o rețea de discretizare se pot defini
elemente finite c are au “incluse” diverse proceduri matematice
destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,
neliniară, transfer de căldu ră, mecanica fluidelor, electromagnetism,
electro magnetism de înaltă frecvență etc.
Rolul funcțional. Elementele fini te utilizate pentru modelarea
unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine “rolul funcțional”
al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie
modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subțire trebuie
modelat prin eleme nte de tip placă, o fundație prin elemente de tip
cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct
106 (element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte
sau curbe, în plan sau în spațiu) de tip suprafață (elemente de plă ci
plane sau curbe, groase sau subțiri, în plan sau în spațiu, elemente
axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente
spațiale, – 3D – pentru structuri “solide”, compozite, cu număr
variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magneti ce etc).
Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante,
numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,
categoriile prezentate includ și elemente cu rol funcțional special, ca
de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin
matricea de rigiditate etc.
Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme
simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi,
patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele
caract eristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secțiunile
barelor sau grosimile plăcilor.
Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă
geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe
variante în ceea ce privește num ărul de noduri, deoarece în afara
nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri și pe laturi și (sau) în
interior. De asemenea se pot utiliza noduri și în interiorul
elementului, pentru rezultate. Se utilizează și elemente cu număr
variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul
poate avea între 8 și 48 de noduri.
Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile
elementelor au atașate, implicit, unele DOF din cele șase posibile,
deci se poate opera și cu numărul total de DOF p entru un element,
care este numărul nodurilor înmulțit cu numărul DOF pe nod.
Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are
“implementate” polinoame de interpolare de un anumit grad,
începând cu gradul întâi. Cu cât gradul pol inoamelor este mai ridicat
cu atât crește cantitatea de informații cu care elementul operează și
deci el este, în general, mai performant.
Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente
finite, materialul elementului finit poate fi omogen și izotrop sau cu o
anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice și
107 fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau
solicitare.
Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor
finite nu este exhaus tivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte
importante din practica MEF. În concluzie, se menționează că fiecare
tip de element finit este un ansamblu de condiții și ipoteze și el
trebuie privit ca un întreg și folosit ca atare, numai după ce s -a
studiat temeinic documentația care îl însoțește. De exemplu, din
parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la
solicitare, tipul stării de tensiuni, interacțiunea sa cu celelalte
elemente etc.
Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au
biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la
care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica
dezvoltării MEF, se menționează că în anul 1984 se identificaseră 88
de variante ale elementelor finite de placă.
Dete rminarea matricei de rigiditate a unui element finit.
Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit
sunt, în general, următoarele:
1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau “proiectat”, adică
să se stabilească, a priori, toți param etrii săi și anume: forma
geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de
tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile
materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit
triunghiular, cu trei noduri, cu 2D OF/nod, plan, de grosime constantă
t (placă subțire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei
stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop.
Figura 3.11
108 Elementul este raportat la un reper local oxy și este definit de
nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acționează forțele X și
Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de
elemente finite.
2. Relația care definește comportarea elastică a unui element
finit este de forma (similară cu (8.4), pentr u o bară dreaptă)
{R} = [k] {u}, (3.37)
în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul
eforturilor nodale (sau al forțelor nodale generalizate) și [k] –matricea
de rigiditate elementului finit.
3. Se definește vectorul
deplasărilor nodale :
kkjjii
vuvuvu
u
k nodulj noduli nodul
. 4. Se definește vectorul
eforturilor nodale :
kkjjii
YXYXYX
R
k nodulj noduli nodul
.
Observație: Vectorii {R} și {u} pentru un element finit sunt similari cu cei
corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu mențiunea că pentru
elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificație specială, ca pentru bare (la
bare {R} era vectorul eforturilor de la c apete).
Relația (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod
unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite
valori ale eforturilor {R} se pot obține o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor
nodale, diferiți prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de
deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuațiile
de echilibru ale elementului finit.
5. Se scriu ecuațiile de echilibru ale elementului fi nit:
– ecuația forțelor pe direcția ox: X i + X j + X k = 0;
– ecuația forțelor pe direcția oy: Y i + Y j + Y k = 0;
– ecuația momentelor în raport cu originea:
-Xi * yi + -Xj * y j + -Xk * yk + Y i * x i + Y j * x j + Y k * x k =0.
Observ ație: Rezultă că trei forțe nodale independente nu pot determina univoc
șase deplasări nodale. În consecință, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit
considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.
109 6. Expresiile depl asărilor , u și v, într -un punct oarecare din
interiorul elementului finit sunt:
u (x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y ; v (x, y) = α 4 + α 5 x + α 6 y , (3.38)
în care α i sunt parametri independenți, ceea ce este în acord cu
considerentele de la etapa 1și anume:
– polinoamele sunt de gradul întâi;
– deformațiile și tensiunile sunt constante în interiorul
elementului:
7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformațiile :
εx= ∂u/∂x= α 2; εy=∂v/∂y= α 6; γxy=∂u/∂y+∂v/∂x= α 3 + α 5. (3.39)
8. Se calculează , în interiorul elementului finit, tensiunile :
ζx = E (α 2 + υ α 6) / (1 – υ2) ; ζ y = E (α 6 + υ α 2) / (1 – υ2) ;
ηxy = E (α 3 + α 5) / [2*(1 + υ)]. (3.40)
9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului
{u}, adică
ui=α1+α2xi+α3 yi; u j=α1+α2xj+α3yj; u k=α1+α2xk+α3 yk ; (3.41’)
vi=α4+α5xi+α6 yi ; v j=α4+α5xj+α6yj; vk=α4+α5xk+α6 yk . (3.41’’)
10. Relațiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuații în care
necunoscutele sunt parametrii αi. În urma rezolvării sistemului
rezultă:
α1 = (a i ui + a j uj + a k uk) / Δ ; α 2 = (b i ui + b j uj + b k uk) / Δ ;
α3 = (c i ui + c j uj + c k uk) / Δ ; (3.42’)
α4 = (a i vi + a j vj + a k vk) / Δ ; α 5 = (b i vi + b j vj + b k vk) / Δ ;
α6 = (c i vi + c j vj + c k vk) / Δ, (3.42’’)
în care s -au notat:
ai = x j yk – xk yj; a j = x k yi – xi yk; a k = x i yj – xj yi;
bi = y j – yk; b j = y k – yi; b k = y i – yj; (3.42’’’)
ci = x k – xj; c j = x i – xk; c k = x j – xi,
și Δ este determinantul
k kj ji i
y x1y x1y x1
, a cărui valoare absolută este
dublul ariei triunghiului ijk.
Volumul elementului finit este V = |Δ| t /2, în care t este grosimea.
11. Funcțiile de interpolare se obț in prin înlocuirea valorilor
(3.42) în expresiile (3.38):
u (x, y) = N i(x, y) u i + N j(x, y) u j + N k(x, y) u k ; (3.43’)
v (x, y) = N i(x, y) v i + N j(x, y) v j + N k(x, y) v k , (3.43’’)
110 în care N(x, y) sunt funcțiile de interpolare:
Ni=(a i+bix+c iy)/Δ ; N j=(a j+bjx+c jy)/Δ; N k=(a k+bkx+c ky)/Δ. (3.44)
Cu relațiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui
punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcție de
deplasările nodale.
Este remarcabil faptul că în nodurile elementului fu ncțiile de
interpolare au valorile:
Ni (xi, yi) = 1; N i (xj, yj) = 0; N i (xk, yk) = 0;
Nj (xi, yi) = 0; N j (xj, yj) = 1; N j (xk, yk) = 0;
Nk (xi, yi) = 0; N k(xj, yj) = 0; N k (xk, yk) = 1.
12. Energia de deformație a elementului finit este
V2
xy y x2
y2
x dV])1(2 2 [E21W
,
sau W = |Δ| t
])1(2 2 [2
xy y x2
y2
x /E,
în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).
13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:
U = – Xi ui – Xj uj – Xk uk – Yi vi – Yj vj – Yk vk = – {u}T{R}.
14. Minimul ene rgiei potențiale totale Π = W + U se realizează
când sunt îndeplinite condițiile:
∂Π/∂u i=0;∂Π/∂u j=0;∂Π/∂u k=0;∂Π/∂v i=0;∂Π/∂v j=0;∂Π/∂v k=0. (3.45)
În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:
…….;) 1(Ec
v v 1E
v;) 1(Eb
u u 1E
u2i
i6
i2
2
ix
2i
i6
i2
2
ix
După efectuarea calculelor, con dițiile (3.45) pot fi scrise explicit
sub forma sistemului de ecuații
k11ui + k 12vi + k 13uj + k 14vj + k 15uk + k 16vk = X i
k21ui + k 22vi + k 23uj + k 24vj + k 25uk + k 26vk = Y i
k31ui + k 32vi + k 33uj + k 34vj + k 35uk + k 36vk = X j
k41ui + k 42vi + k 43uj + k 44vj + k45uk + k 46vk = Y j
k51ui + k 52vi + k 53uj + k 54vj + k 55uk + k 56vk = X k
k61ui + k 62vi + k 63uj + k 64vj + k 65uk + k 66vk = Y k
ai cărui coeficienți k ij (pentru i = 1, 2, …6 și j = 1, 2, …6) sunt chiar
elementele matricei de rigiditate, [k], din relația (3 .37), a
elementului.
111 15. Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul
considerat este:
Nodul → i j k
Direcția x← ↓ →y x← ↓ →y x← ↓ →y ↓ ↓
X
↨ ↔ i
y
x
↨ ↔ j
y
x
↨ ↔ k
y
în care s -au folosit notațiile:
2 112EtK ; β =(1 – υ)/2 și γ=(1+ υ) / 2.
Formularea matriceală a MEF.
Relațiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea
ce oferă metodei mai multă claritate, concizie și generalitate.
Astfel relațiile (3.40) se scriu
. B sau, *
010100100000000010
1
654321
xyyx
De asemenea relațiile (3.42) devin
{α} = [B 1] {u}, de unde {ε} = [B 1] [C]{u}, sau
{ε} = [B] {u}, (3.47)
în care s -a notat {ε} = [B 1] [C] și
.
bcbcbcc0 c0c00 b0 b0b
B
k k j j i ik j ik j i
Legea lui Hooke (3.40) capătă forma
(3.46)
112
xyyx
2
xyyx
2)1(000 10 1
1E, sau {ζ} = [D] {ε},
în care se poate înlocui relația (3.47) și rezultă
{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)
Expresia energiei de deformație a elementului finit considerat
capătă forma
,dV21W
VT
în care se înlocuiesc expresiile (3.47) și (3.48) și rezultă
u*dVBDB u21W
VT T
, (3.49)
deoarece
T T TBu)uB( .
Cu notația
dVBDB k
VT
, (3.50)
expresia energiei potențiale to tale este
Ru uku21 U W T T
, (3.51)
pentru care se pune condiția de minim ∂π/∂u = [k]{u} – {R} = 0,
din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a
elementului finit.
Scrise în fo rma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) și (3.51) sunt
generale, valabile pentru orice tip de element finit.
În relațiile de mai sus trebuie remarcat că:
– matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece
definește legătura dintre vectorul deformațiilor specifice {ε} și
vectorul deplasărilor nodale, {u};
– matricea [D] este matricea de elasticitate , a materialului, care
intervine în expresia legii lui Hooke.
În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din
expresia matr icei de rigiditate (3.50), situații în care valorile
respective se determină prin integrare numerică.
113 Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub
operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la
[k] = |Δ| t [B]T [D] [B] /2, (3.46’)
care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate
a elementului finit.
Celelalte aspecte ale MEF.
Următoarele concepte, definiții și semnificații ale mărimilor,
proceselor și noțiunilor din metoda deplasăril or pentru bare drepte
rămân valabile și în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în
acest capitol:
– nodul și gradele de libertate geometrică, DOF, asociate;
– matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar
metodologia de calcul și ceea ce re zultă din ea, adică relațiile de
calcul);
– transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de
la reperul local la cel global;
– procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor
în matricea de rigiditate a structurii;
– forma rea sistemului de ecuații al structurii;
– scrierea condițiilor în legături;
– etapele de rezolvare a unei probleme.
Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite.
Modelul de calcul și rezultatele obținute cu ajutorul său trebuie
supuse unor teste și verificări. Scopul acestora este de a “valida”
modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigențele
impuse și dacă rezultatele obținute cu ajutorul lui permit formularea
unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul
analiz ei cu elemente finite. Unele teste și verificări sunt calitative și
globale, altele cantitative și de detaliu.
Dacă testele și verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul
trebuie îmbunătățit și procesul de verificare -îmbunătățire -verificare
se cont inuă până când se obține un model satisfăcător, adică valid.
În figura 3.12 este prezentată schema generală a procesului de
verificare -îmbunătățire a modelului de calcul cu elemente finite.
114
Figura 3.12
O enumerare a celor mai importante și utilizat e metode și
procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite
este următoarea:
– verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea
sunt ulterioare calculului (după ce structura s -a executat. Se pot face
și verificări expe rimentale pe modele fizice reduse la scară;
– efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele și
compararea rezultatelor obținute. Modelele pot fi de același tip,
adică elaborate pe baza aceleiași metode de calcul (de exemplu,
MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de
calcul diferite;
– preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată și cea
mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a
corectitudinii definirii condițiilor de rezemare și a aplicări i sarcinilor.
Se poate spune că este totdeauna obligatorie.
Figura 3.13
115 Verificarea constă în citirea fișierului cu datele de intrare pentru
programul MEF, preprocesarea informațiilor conținute în acest fișier
și trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se
prezintă în figura 3.13, pentru modelul unei structuri industriale;
– verificări ale condițiilor de simetrie sau antisimetrie geometrică
și mecanică;
– verificări printr -un calcul simplu, aproximativ;
– verificarea greu tății;
– verificări globale și calitative ale modelului care să aibă în
vedere configurațiile stărilor de tensiuni și deplasări, semnele lor,
ordinul de mărime și chiar valorile rezultatelor obținute. Din practica
inginerească și din experiența altor anali ze se știe unde sunt zonele
cu tensiuni și deplasări mari, care este configurația structurii
deformate și între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor
obținute.
De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este
aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai
mult decât poate oferi metoda, rezultatele obținute fiind determinate
atât de performanțele modelului cât și de principiile, ipotezele și
procedurile matematice de calcul incluse în metoda și în programul
cu elemente fini te.
Surse de erori în metoda elementelor finite .
Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul.
La modelarea și rezolvarea unei probleme date se fac o serie de
aproximări, care au drept consecință faptul că soluția obținută cu
MEF are une le abateri față de soluția exactă, necunoscută. Aceste
abateri de aproximare se numesc în mod obișnuit erori ale MEF ,
ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de
greșeală – intenționată sau involuntară – și ea poate fi, de obice i,
corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil și pentru
MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de
obicei, cunoscute soluții alternative, obținute pe alte căi, cu care
acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative.
Existența acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este
principalul său dezavantaj și este tributul plătit pentru calitățile,
116 avantajele și performanțele sale. În continuare se va folosi pentru
aceste abateri termenul, obișnuit, de eroar e a MEF .
Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele și intervin
în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA).
Identificarea și înțelegerea mecanismelor care guvernează aceste
erori face posibilă – uneori și într -o oarec are măsură – reducerea și
evaluarea acestora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale
MEF sunt următoarele (nu se menționează greșelile posibile ale
utilizatorului, provenite din neștiință, neatenție sau incompetență):
1. Erorile conceptuale sau d e principiu provin din neglijarea
satisfacerii ipotezelor și conceptelor care definesc diversele categorii
de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori
mari ale soluției obținute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau
mai multe dint re ipotezele care delimitează modelul de structură
liniar elastică , definită ca mediu continuu, omogen și izotrop, cu
liniaritate geometrică, elasticitate perfectă, liniaritate fizică și fără
tensiuni inițiale. De asemenea, se presupune că structura este î n
echilibru (static sau dinamic) și că este valabil principiul lui Saint
Venant, ipoteza secțiunii plane (pentru bare) și ipoteza normalei
rectilinii (pentru plăci și învelișuri). În aceste condiții, ecuațiile de
echilibru scrise pentru structura nedeforma tă rămân valabile și pentru
structura deformată, funcțiile eforturilor nu depind de deplasări,
dependența dintre sarcini și deplasări este liniară, ecuațiile
diferențiale sunt cu coeficienți constanți, este aplicabil principiul
suprapunerii efectelor etc.
2. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul
de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale
structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât
mai simplu și pentru a se putea realiza pe el rețeaua de discretizare.
3. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la:
valorile acestora, modul de variație (pe suprafață, pe volum, în
funcție de timp etc), direcția, poziția pe model a punctului de
aplicație etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de
beneficiar și modalitățile de evaluare ale regimurilor de încărcare și
anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale
etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză
cunoscută, (prin șoc) etc . Încărcarea poate fi staționară sau
117 nestaționară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În
procesul de deformare al structurii sarcinile își pot modifica direcțiile
sau punctele de aplicație.
4. Aproximarea condițiilor de rezemare se referă la faptul că
acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului și constau în
introducerea restricției ca deplasarea (componenta liniară sau cea de
rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcția
dorită. Deplasările nodale sunt defi nite pe direcțiile reperului global
al modelului, și – de obicei – și condițiile de rezemare. Dacă este
necesar, se poate defini un nou sistem de referință, pentru unele
reazeme (sau pentru toate), rotit față de sistemul global. În cazuri
deosebite, pentru modelarea condițiilor de rezemare se folosesc
elemente finite speciale, de tip bound și (sau) gap, care permit
definirea reazemelor pe orice direcție. Se pot defini reazeme
deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a
rigidității) și se p ot introduce forțe de frecare.
5. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, cea
mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în
principiile fundamentale ale metodei. În esență aproximarea aceasta
constă în faptul că pentru un su bspațiu al structurii reale, pentru care
deplasările (și tensiunile) au o lege de variație oarecare,
necunoscută , se utilizează un element finit care are implementată o
funcție de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit
utilizat. Tipuri le de elemente disponibile în “bibliotecile”
programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante
și să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerințe cât mai
diverse, acestuia revenindu -i sarcina de a le utiliza corect și ef icient,
incluzând și cerința ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În
acest sens utilizatorul trebuie să știe care sunt principalele cerințe și
proprietăți ale funcțiilor de aproximare (denumite și funcții de
interpolare) ale elementelor.
Pentr u MEF – modelul deplasare, funcțiile se referă la câmpul
deplasărilor. Aceste funcții trebuie să asigure energiei potențiale
totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării
de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă și satisfacerea
condițiilor la limită. În acest caz, rezultatele obținute prin FEA,
pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot
118 mai mare de noduri și de elemente, conduce la obținerea unor
rezultate tot mai precise, adică procesul est e convergent .
Pentru asigurarea convergenței FEA, funcțiile de aproximare
trebuie să satisfacă următoarele cerințe:
a – Continuitatea. Dacă funcțiile sunt polinoame, se asigură
cerința ca în interiorul elementului și pe conturul său câmpul
deplasărilor să nu aibă discontinuități, salturi, goluri sau variații
bruște;
b – Compatibilitatea sau conformitatea . Trebuie ca în procesul
de deformație elementele să rămână solidare în toate punctele
frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sa u
discontinuități și să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine.
Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau
suprafața comună să aibă aceleași: coordonate pentru noduri, grade
de libertate în noduri, tip de funcții de aproximar e pentru deplasări și
(uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica
FEA, apar frecvent situații în care trebuie “conectate” elemente care
nu sunt compatibile. Cel puțin în zonele din imediata apropiere a
acestor linii sau suprafeț e este de așteptat ca rezultatele obținute să
fie afectate de erori mai mari decât cele obișnuite.
c – Complinirea. Funcțiile de aproximare trebuie să conțină
termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translații
uniforme pe toate direcțiile și rotații fără distorsiuni unghiulare) și
stările de deformații constante ale elementului, adică să conțină
termeni constanți și termeni de gradul întâi.
Cele mai utilizate și eficiente tipuri de elemente finite sunt cele
izoparametrice , care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de
funcții) de același tip atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu laturile unui patrulater) cât și pentru aproximarea câmpului
deplasărilor;
d – Invarianța geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeași
stare de deformație (sau de tensiune, relația dintre ele fiind lineară,
prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de
coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată.
Această cerință are în vedere faptul că în timp c e sistemul global de
coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare
spațială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări,
119 sarcini, grade de libertate geometrică, condiții de rezemare), fiecare
element are propria sa p oziție și orientare spațială. Cerința este
satisfăcută dacă expresia funcției de aproximare, prin termenii pe
care îi conține, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale.
La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că
procesul de convergență poate fi atins pe două căi și anume:
α – utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame
de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul
să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate
geom etrică și o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de
vedere informatic acest tip de element este mai eficient deoarece
prelucrează o cantitate mai mare de informații. Din păcate,
bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mi c de
elemente de acest tip;
β – realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă
un număr cât mai mare de noduri și de elemente finite.
Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din
cele două căi, fiecare cale dovedi nd față de cealaltă o mai bună
aproximare a soluției pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară
pentru altele.
Pentru ca soluția obținută prin “rafinarea” discretizării să fie o
mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute
următoarele cer ințe:
– fiecare discretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea
nouă;
– fiecare punct al modelului trebuie să aparțină unui element
finit;
– funcțiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să
rămână aceleași când se trec e de la o
rețea de discretizare la alta.
6. Forma distorsionată a elementelor finite obținute prin
discretizare duce la creșterea erorilor de aproximare. Aceasta
înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât
mai apropiat de un triung hi echilateral, un element patrulater cât mai
aproape de un pătrat, un element hexaedric de volum de un cub etc.
Programele MEF conțin proceduri de verificare a formei elementelor
și transmit mesaje de atenționare pentru cele distorsionate, astfel
120 încât ut ilizatorul să poată interveni, prin modificarea rețelei de
discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare.
7. Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate ,
aplicate în nodurile rețelei de discretizare, poate duce la in terpretări
greșite ale rezultatelor FEA, deoarece fiecare tip de element
“răspunde” diferit sub acest aspect al modelării și se pot considera ca
valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria
elasticității, o forță concentrată aplicată într-un punct al semispațiului
elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală
pe direcția forței are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată
(problema Boussinesq). În MEF forța concentrată aplicată într -un
nod al rețelei de discretizare nu constituie o singularitate, dar valorile
tensiunilor și deplasărilor din nodul respectiv și din elementele
vecine au valori care depind de tipul elementului finit.
8. Aproximarea valorilor constantelor elastice și fizice ale
materialulu i se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există
informații suficient de precise și sigure despre structura pentru care
se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaște curba caracteristică
reală a materialului, sau variațiile constantelor elastice ale unui
laminat în raport cu direcția de laminare (mai ales pentru table),
valorile coeficienților de frecare în reazeme (pentru calculul forțelor
de frecare), valorile factorilor de amortizare și dependența acestora
funcție de frecvență, constantele de t ransmisie a căldurii prin
conductivitate, radiație sau convecție, variația constantelor funcție de
temperatura de lucru etc. În aceste condiții trebuie remarcat faptul că
adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui
model sofisticat, cu un mare număr de noduri și elemente, în speranța
obținerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse
în calcul sunt incerte, deoarece acestea pot altera semnificativ
rezultatele și deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazu ri
în care variații relativ mici (de câteva procente) ale valorilor
constantelor duc la variații relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de
procente).
9. Aproximarea maselor și a distribuției acestora apare pentru
problemele dinamice – vibrații libere ș i forțate, răspuns dinamic,
răspuns seismic etc. – și poate duce la erori imprevizibile, greu de
evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru
121 probleme de valori proprii poate deveni foarte mare și o cale pentru
reducerea acestuia este ca m odelul să aibă un număr limitat de grade
de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei
de masă și a celei de rigiditate.
10. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a
faptului că în calculator toate variabilele (alt ele decât cele întregi)
sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori
care se “cumulează” și se “propagă” și pot deveni importante când
volumul operațiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere
pot afecta în special prec izia soluției sistemului de ecuații al MEF
precum și celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecință, sunt
programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea
iterativă a sistemului de ecuații, prin aceasta putându -se “corecta”
soluția i nițială până când corecția devine mai mică decât un prag
prestabilit.
11. Calculul tensiunilor și ale altor mărimi “derivate” introduce
erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că,
pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt ne cunoscutele
“primare”, deci primele valori care se obțin în urma FEA, celelalte
fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operații
de calcul suplimentare și deci și erori suplimentare de aproximare.
Pentru fiecare tip de element tensiu nile se determină altfel, în
anumite puncte și pe anumite direcții, acestea fiind opțiuni ale post –
procesării, sau ale “retro -calculului”. Tensiunile în noduri, se
calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru
elementele care se conectează î n fiecare nod. Acest fapt trebuie avut
în vedere când se fac interpretări ale rezultatelor obținute prin FEA:
care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare, cele din noduri
sau cele din elemente.
Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema
erorilor de aproximare ale modelării și analizei cu elemente finite
este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibil controlul și
evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare
constă în calculul factorului de estimare a ero rii, procedură pe care
o au implementată programele actuale pentru analiza cu elemente
finite.
122 Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite
recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz
la caz, trebuie să se orienteze singur, pentru a obține o soluție
acceptabilă a modelării și analizei cu elemente finite. Cunoașterea
surselor de erori și înțelegerea mecanismelor lor de “acțiune” pot fi
ajutoare prețioase în demersurile pentru o modelare și analiză de
succes.
Avantajele, dezavantajele și limitele metodei elementelor
finite.
În prezent metoda elementelor finite este aproape generalizată în
proiectarea inginerească asistată și are aplicabilitate masivă în
cercetarea mecanică, transmisia căldurii, electrici tate, hidraulică,
biomecanică etc.
Avantajele MEF . Propagarea “masivă”, într -un interval de timp
relativ scurt, a MEF se explică în primul rând prin avantajele sale,
dintre care cele mai importante sunt:
1. Generalitatea . MEF este o metodă numerică a proximativă de
calcul care se poate utiliza pentru rezolvarea problemelor de
mecanica structurilor deformabile, mecanica fluidelor, transmisia
căldurii, electromagnetism, electrostatică, biomecanică etc.
Solicitările pot fi statice, dinamice, periodice, st aționare,
nestaționare, tranzitorii etc. Problemele pot fi liniare, neliniare (cu
diverse tipuri de nelinearități), dependente de timp, probleme de
stabilitate, de vibrații, de interacțiune etc. În prezent utilizarea MEF
este limitată doar de lipsa de im aginație și de ingeniozitate a
potențialilor beneficiari.
2. Suplețea. Pentru abordarea unei anumite probleme concrete cu
MEF, nu există nici un fel de restricții care să decurgă din metodă,
adică elaborarea modelului de calcul al problemei date se poate f ace
cu o libertate deplină, în care esențiale sunt fantezia, ingeniozitatea și
experiența utilizatorului. Suplețea MEF asigură elaborarea cu foarte
mare ușurință a modelului de calcul și permite automatizarea acestui
proces într -o foarte mare măsură.
După ce s -a realizat modelul și s -au făcut diverse calcule cu el,
într-un număr de variante privind solicitările, condițiile de rezemare,
opțiunile de analiză etc, se pot obține variante noi, îmbunătățite, ale
123 modelului inițial, astfel încât să fie satisfăcu te cât mai deplin
diversele exigențe ale utilizatorului.
3. Simplitatea conceptelor de bază . Pentru utilizarea MEF nu
este necesar ca utilizatorul să aibă cunoștințe speciale de
matematică sau informatică, ci este suficient ca el să aibă cunoștin țe
inginerești de bază. Se pot înțelege și asimila, cu un efort minim,
conceptele de bază ale MEF și anume: nod, element finit, rețea de
discretizare, structură, model de calcul.
4. Utilizarea calculatoarelor . Din chiar principiile de bază ale
MEF, rezultă necesitatea efectuării unui volum foarte mare (uneori
chiar uriaș) de calcule numerice, ceea ce impune implementarea
metodei pe calculator. Dezvoltarea MEF și a programelor care
folosesc metoda s -au realizat în strânsă concordanță cu creșterea
performanț elor sistemelor de calcul.
5. Existența programelor de calcul cu MEF. În prezent se
comercializează și sunt accesibile numeroase programe de calcul cu
MEF, deosebit de performante. Aceste programe permit analiza
oricărei structuri mecanice, cu o complexita te practic nelimitată în
ceea ce privește forma geometrică, dimensiunile, solicitările,
variantele de analiză etc. Se poate afirma că, în prezent, se poate
calcula orice structură mecanică cu MEF.
6. Facilități de pre și postprocesare. MEF permite ca relat iv
simplu să se realizeze o mare diversitate de proceduri eficiente de
preprocesare a modelului de calcul în vederea reducerii volumului de
muncă, în special a discretizării automate și a verificării acestuia.
Rezultatele obținute în urma procesării modelu lui – care au de obicei
un volum uriaș – pot fi prezentate sub formă de tabele, listinguri,
desene, diagrame, animații, alb -negru sau color etc, astfel încât
informațiile oferite beneficiarului să fie cât mai accesibile, sugestive,
atractive, complete, pre cise etc.
7. Stabilitatea algoritmilor de calcul. Eforturile a numeroși
cercetători (matematicieni și ingineri) s -au concretizat prin
elaborarea unor algoritmi și proceduri eficiente și sigure, informatice
și matematice de calcul, destinate MEF și FEA, car e s-au verificat, s –
au impus și au fost unanim acceptate. În aceste condiții, MEF și
programele corespunzătoare elaborate oferă stabilitate și siguranță
utilizatorilor. Variante noi ale programelor includ fie extinderi ale
124 bibliotecilor de elemente finite sau ale opțiunilor de calcul
implementate, fie noi facilități de pre și postprocesare.
Dezavantajele MEF . Prin extinderea până aproape de
generalizare a MEF și FEA, precum și prin numărul uriaș de
utilizatori entuziaști ai acestora, nu înseamnă că MEF a a juns
panaceu universal în calculele efectuate în inginerie și în cercetare.
Metoda are dezavantaje și limite. Cele mai importante dezavantaje
ale MEF sunt:
1. Metoda este aproximativă. Analiza cu MEF nu se face pentru
structura reală ci pentru un model (de calcul) al acesteia și rezultatele
obținute reprezintă o aproximare a stărilor de deplasări, tensiuni,
temperaturi etc din structura reală care se analizează. Dezavantajul
MEF constă în aceea că nu se poate estima – în marea majoritate a
situațiilor reale – cu un nivel de încredere cuantificabil, cât de bine
aproximează FEA soluția exactă (necunoscută) a problemei care se
analizează. Altfel spus, este foarte dificil – uneori chiar imposibil – să
se estimeze care sunt abaterile valorilor mărimilor (deplasăr i,
tensiuni, eforturi, frecvențe etc.) calculate cu MEF față de cele reale,
necunoscute.
2. Modelul de calcul este, într -o mare măsură, subiectiv și
arbitrar. Utilizatorul are libertate deplină în elaborarea modelului,
MEF neavând restricții în acest sens. Suplețea metodei duce la
suspiciuni în legătură cu corectitudinea modelului și a eficienței
analizei realizate cu el. În aceste condiții hotărâtoare sunt curajul,
ingeniozitatea și experiența utilizatorului în domeniul MEF și FEA,
atribute subiective și g reu de evaluat cantitativ. Elaborarea unui
model de calcul performant devine astfel o artă. Din acest motiv,
diverse institute de proiectare sau firme, au emis norme și reguli de
elaborare a modelelor pentru unele categorii de structuri, unele dintre
acest ea fiind validate în practică.
3. Elaborarea modelului de calcul este laborioasă. Pentru
realizarea modelului cu elemente finite al unei structuri este necesar
din partea utilizatorului un efort considerabil și o foarte bună
cunoaștere a modului de preproc esare al programului cu elemente
finite sau a interfeței CAD – MEF.
4. Programele MEF sunt complexe și scumpe. În dorința de a
satisface cât mai bine exigențele utilizatorilor și de a face față
125 concurenței, firmele care elaborează programe performante pent ru
analize cu elemente finite au realizat produse de o foarte mare
complexitate. Pentru utilizarea corectă și eficientă a acestora li se cer
utilizatorilor eforturi deosebite, pentru lungi perioade de timp.
Prețurile programelor sunt relativ mari, uneori c hiar prohibitive.
Limitele MEF și FEA . Cele mai importante limite ale metodei
și analizelor cu elemente finite sunt următoarele:
1. Precizia rezultatelor. În principiu MEF este convergentă și
soluția unei probleme se poate apropia oricât de mult de soluția
exactă (necunoscută), dar nu o poate atinge (decât rareori și numai
pentru structuri foarte simple) și nici nu se pot preciza abaterile
dintre cele două soluții. Altfel spus, precizia soluției FEA este
limitată.
2. Ineficiența MEF pentru unele tipuri de a nalize . Pentru analiza
unor probleme locale, ca de exemplu, pentru unele tipuri de
concentratori, posibilitățile MEF sunt limitate în ceea ce privește
performanțele de eficiență și precizie ale rezultatelor obținute prin
FEA.
3. Limitările programului MEF. Oricât de general și de
performant ar fi un program, el are implementate doar anumite tipuri
de elemente finite și de proceduri pentru analize, preprocesări și
postprocesări, ceea ce limitează performanțele și posibilitățile de
utilizare ale acestuia.
4. Resursele sistemului de calcul. În prezent performanțele
calculatoarelor au atins nivele extrem de ridicate și practic nu se
ivesc, în general, dificultăți în a realiza FEA pentru modele oricât de
complexe. Atingerea limitelor resurselor sistemului de calc ul se
poate produce în cazuri particulare, pentru analize neliniare,
dinamice, procese iterative, etc pentru numere foarte mari ale
nodurilor și elementelor modelului, dacă parametrii calculatorului au
valori relativ modeste.
3.11. Concluzii
Simplul fap t că se utilizează în paralel mai multe metode de
calcul demonstrează că nici una dintre acestea nu poate acoperi
marea diversitate a cerințelor calculului ingineresc al structurilor. De
asemenea, nu există o metodă de calcul care să aibă avantaje majore,
126 pe multiple planuri, care să le pună într -o inferioritate categorică pe
celelalte; fiecare din metodele utilizate, are avantaje, delimitări și
dezavantaje, care le asigură eficiența pentru o anumită categorie,
limitată, de probleme.
Probabil că în viitor programele de calcul vor avea implementate
proceduri și module elaborate pe baza unor metode diferite, astfel
încât să se valorifice la maximum avantajele fiecărei metode,
selectarea uneia sau a alteia dintre metode făcând -o programul.
În prezent metoda el ementelor finite este cea mai utilizată și
eficientă, în general.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistența materialelor pentru ingineria mecanică , Editura BREN,
București, 2006 .
2. Sorohan , Șt., Constantines cu, I. N., Practica modelării și
analizei cu elemente finite , București, Editura Politehnica Press,
2003.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: METODE DE CALCUL ENERGETICE ȘI APROXIMATIVE ÎN REZISTENȚA MATERIALELOR 3.1. Generalități Scopul primordial al activităților inginerești este… [615715] (ID: 615715)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.