Metode DE Analiză A Sistemelor Optice

Universitatea Politehnica timiȘoara

FACULTATEA DE MECANICĂ

METODE DE ANALIZĂ A

SISTEMELOR OPTICE

– REFERAT NR. 1 –

Conducător științific:

prof.dr.ing. Ioan NICOARĂ

Doctorand:

ing. Raneta BODEA

2004

1. Generalități

Analiza sistemelor optice este o etapă obligatorie, consecutivă sintezei sau alegerii componentelor sau subansamblurilor optice. Cu ajutorul analizei se determină caracteristicile de referință ale sistemului și parametrii de calitate a imaginii. În funcție de modelarea matematică a sistemului optic, metodele de analiză utilizează algoritmi specifici și furnizează elemente de caracterizare de natură foarte diversă. În tabelul 1.1 este prezentată, în formă sintetică, o clasificare a metodelor de analiză, a tipului de model matematic pe care se bazează algoritmul de calcul și parametrii caracteristici rezultați.

Tabelul 1.1

2. Trasarea razelor în domeniul paraxial

2.1. Domeniul paraxial

Domeniul paraxial conține punctele și razele din vecinătatea axei optice. Relațiile valabile în domeniul paraxial rezultă din ecuațiile de formare a imaginii în domeniul extraaxial, în care funcțiile trigonometrice se dezvoltă în serie MacLaurin și se păstrează termenii până la puterea întâi. Din acest motiv, studiul în paraxial face obiectul opticiide ordinul întâi. Legile formării imaginii în paraxial au fost deduse de C.F.Gauss. În acest context, domeniul paraxial se mai numește și domeniu gaussian sau domeniul lui Gauss.

În domeniul paraxial, formarea imaginilor are un caracter ideal. Proprietățile imaginilor date de sisteme optice ideale sunt stigmatismul (imaginea unui punct obiect oarecare este tot un punct), planeitatea (imaginea unui segment obiect perpendicular pe axa optică este un segment de dreaptă perpendicular pe axa optică) și ortoscopia (imaginea este asemenea cu obiectul).

Relațiile din paraxial se utilizează pentru definirea punctelor caracteristice ale componentelor și sistemelor optice (focare, puncte principale și antiprincipale etc.), în calcule primare de gabarit.

Reprezentarea schematică a dioptrilor în paraxial este redată în figura 2.1.

2.2. Invarianții Abbe și Helmholtz-Lagrange

Dezvoltarea în serie MacLaurin a funcției sinus conduce la aproximarea cunoscută:

,(f(x)=sinx; f(0)=0; f’(x)=cos(x); f’(0)=1). (2.1)

Legea refracției devine: . (2.2)

Fig.2.1. Reprezentarea caracteristicilor dioptrului în domeniul paraxial

Unghiul de incidență și cel de emergență primesc forma:

, (2.3)

respectiv

. (2.4)

Introducând expresiile 2.3 și 2.4 în legea refracției, se obține:

. (2.5)

Implicând înălțimea de incidență h, conform figurii 2.2, rezultă:

Fig.2.2. Relații între parametrii geometrici ai dioptrului în paraxial

,, (2.6)

, (2.7)

sau: . (2.8)

Constanta QS reprezintă invariantul paraxial obiectiv sau invariantul Abbe.

Invariantul se mai poate scrie sub forma:

. (2.9)

Relația 2.8 se exprimă frecvent și prin egalitatea:

. (2.10)

Pentru determinarea celui de-al doilea invarian paraxial se consideră un dioptru sferic, care formează imaginea y’ a unui obiect liniar y. Din figura 2.3 rezultă:

, . (2.11)

Înlocuind în legea refracției unghiurile de incidență și emergență, se obține invariantul Lagrange:

. (2.12)

Din figura 2.3 rezultă:. (2.13)

Fig.2.3. Deducerea invariantului Helmholtz- Lagrange

Înlocuind inversul distanțelor obiect și respectiv imagine din 2.12 în invariantul Lagrange se obține expresia invariantului Helmholtz:

. (2.14)

Invarianții Abbe, Lagrange și Helmholtz reprezintă mărimi constante într-un sistem optic pentru fiecare dioptru și sunt utilizați în definirea ecuațiilor de formare a imaginii și a relațiilor măririlor optice ale sistemelor centrate. Cu ajutorul acestor invarianți se deduc algoritmii de trasare paraxială a razelor prin sistemele optice.

2.3. Ecuațiile de formare a imaginii (trasarea paraxială a razelor)

Există doi algoritmi de trasare paraxială a razelor. Cel mai simplu, care conține explicit numai absacisele obiect și imagine, rezultă din Invariantul Abbe, exprimat sub forma (2.10).

Funcție de forma particulară a dioptrului, ecuația de formare a imaginii, are una dintre expresiile:

Suprafață sferică refractantă

, (2.15)

Suprafață sferică reflectantă

, (2.16)

Suprafață plană refractantă

, (2.17)

Suprafață plană reflectantă

. (2.18)

Într-un sistem optic centrat, trecerea de la un dioptru la următorul se face cu relația

, (2.19)

unde s+ simbolizează abscisa obiect a dioptrului următor, iar d – distanța dintre dioptri.

Pornind de la expresia (2.9.) a invariantului Abbe se poate dezvolta metoda de trasare paraxială a razelor “h+n”, care pune în evidență înălțimile de incidență și unghiurile dintre raza incidentă, respectiv emergentă și axa optică:

Suprafață sferică refractantă

, (2.20)

Suprafață sferică reflectantă

. (2.21)

Suprafață plană refractantă

, (2.22)

Suprafață plană reflectantă

. (2.23)

Într-un sistem centrat, trecerea la dioptrul următor de face cu ajutorul relațiilor

. (2.24)

2.4. Distanțele focale ale dioptrului și ale sistemelor centrate

Distanțele focale reprezintă principala caracteristică optică a dioptrilor și respectiv a sistemelor optice. Distanțele focale ale dioptrului se măsoară de la vârful dioptrului la punctele focale (focare).

Prin definiție, focarul imagine F’ al unui dioptru este punctul de pe axa optică, din spațiul imagine, al cărui punct obiect conjugat se află în spațiul obiect, la infinit.

Prin definiție, focarul obiect al unui dioptru este punctul de pe axa optică, din spațiul obiect, al cărui punct imagine conjugat se află în spațiul imagine, la infinit.

Se consideră cazul general al dioptrului sferic refractant. Pentru determinarea distanței focale imagine, în expresia 2.10 a invariantului obiectiv se impun condițiile din definiție (fig.2.4):

, (2.25)

. (2.26)

Pentru determinarea distanței focale obiect se fac particularizările:

. (fig.2.4) (2.27)

. (2.28)

Cazuri particulare se obțin prin introducerea unor condiții specifice în relațiile 2.26 și 2.28:

Fig.2.4. Construcția focarului imagine

Fig.2.5. Construcția focarului obiect

Dioptru plan refractant ():

. (2.29)

Suprafețele cu distanțe focale infinite se numesc afocale.

Dioptru sferic reflectant (n’= -n):

. (2.30)

Dioptru plan reflectant (n’=-n, ):

. (2.31)

Distanțele focale determină puterea optică a dioptrilor, a componentelor sau a sistemelor optice. Puterea optică se definește ca inversul distanței focale exprimate în metri. Se notează cu și se măsoară în dioptrii [dpt].

[dpt.] dacă f’=[m]. (2.32)

În cele mai multe aplicații se operează cu distanțe focale măsurate în milimetri. În acest caz, puterea optică se exprimă ca:

[dpt.] dacă f’=[mm] (2.33)

În cazul unui sistem centrat, format din k dioptri, distanța focală se definește prin relația:

. (2.34)

Pornind de la definiție, se fac următoarele transformări:

, (2.35)

unde h1, h2,…hk sunt înălțimile de incidență pe dioptri.

Din figura 2.6 rezultă:

. (2.36)

Exprimând înălțimea de incidență pe ultimul dioptru sub forma hk=sk’k’,rezultă:

. (2.37)

Distanța focală obiect, prin definiție, este:

, (2.38)

sau , (2.39)

Fig.2.6. Înălțimile de incidență pe doi dioptri consecutivi

. (2.39’)

Observații:

Pentru determinarea distanței focale imagine se face o drumuire paraxială directă cu , iar cu datele obținute se aplică relația 2.37.

Pentru determinarea distanței focale obiect se face o drumuire paraxială inversă cu , iar cu datele obținute se aplică relația 2.39’.

Între distanțele focale imagine și obiect există o relație similară cu cea valabilă la dioptru:. (2.40)

Distanța sk’ obținută din drumuirea directă cu distanța obiect infinită se numește distanță frontifocală imagine și se notează cu sF’.

Distanța s1 obținută din drumuirea inversă cu distanța imagine infinită se numește distanță frontifocală obiect și se notează cu .

Distanțele focale pot fi incluse în expresiile ecuațiilor de formare a imaginii pornind de la relația 2.10, care se înmulțește cu r/(n’-n):

. (2.41)

Rezultă:

, sau (2.42)

. (2.43)

Distanțele obiect și imagine se înlocuiesc după cum rezultă din figura 2.7.

. (2.44)

Se obține:. (2.45)

Fig.2.7. Relații între abscise exprimate față de origini diferite

Prin aducere la același numitor și reducere a termenilor asemenea se găsește ecuația lui Newton de formare a imaginii:

. (2.46)

Ecuația lui Newton este valabilă și în cazul sistemelor optice centrate.

2.5. Măririle dioptrului și sistemelor optice centrate

Mărirea transversală (sau liniară) este, prin definiție, raportul dintre lungimea segmentului imagine y’ și lungimea segmentului obiect y, aflate în plane conjugate (fig.2.8).

. (2.47)

Mărirea transversală se poate exprima în diverse moduri, care se deduc prin raționamente geometrice.

Din asemănarea triunghiurilor ABC și A’B’C, se poate scrie:

. (2.48)

Utilizând invariantul paraxial obiectiv grupat sub forma 3.35, se poate deduce expresia 3.36:

, (2.49)

. (2.50)

Din asemănarea triunghiurilor și , respectiv și rezultă:

. (2.51)

. (2.52)

Fig.2.8. Construcția grafică a imaginii printr-un dioptru curb

Pentru exprimarea măririi liniare pot fi, deci, utilizate următoarele relații:

. (2.53)

Mărirea liniară a unui sistem rezultă luând în considerare contribuția fiecărei suprafețe:

,sau (2.54)

. (2.55)

Mărirea unghiulară este, prin definiție, raportul unghiurilor dintre razele paraxiale conjugate care trec prin punctul imagine și respectiv obiect și axa optică.

. (2.56)

Din figura 2.3 rezultă:

. (2.57)

Din invariantul Helmholtz-Lagrange se poate deduce:

. (2.58)

Utilizând relațiile determinate pentru în asociere cu egalitatea:

, rezultă: (2.59)

. (2.60)

Mărirea unghiulară se poate exprima sub formele:

. (2.61)

Expresia măririi unghiulare a unui sistem optic prin considerarea contribuției fiecărei suprafețe, astfel:

. (2.62)

Mărirea longitudinală este, prin definiție, raportul dintre lungimea unui segment infinitezimal imagine de pe axa optică și lungimea segmentului axial infinitezimal obiect conjugat.

Se consideră două puncte infinit apropiate A și A1 (AA1=dz) și imaginile lor A’ și A1’ (A’A’1=dz’), date de dioptru.(fig.2.9).

Mărirea longitudinală este:

. (2.63)

Scriind ecuația lui Newton pentru punctele A1 și A’1, se obține:

. (2.64)

Fig.2.9. Construcția imaginii a două puncte axiale infinit apropiate

Neglijând infinitul mic de ordinul doi, rezultă:

. (2.65)

Se găsește o nouă expresie pentru :

. (2.66)

Utilizând ecuația de formare a imaginii raportată la focare și exprimând distanțele funcție de z și z’, se obține:

. (2.67)

Cu acestea, expresia măririi axiale devine:

. (2.68)

Pentru sisteme centrate, mărirea axială este:

. (2.69)

Relații între măriri

Utilizând invariantul Helmholtz și ultima expresie a măririi axiale rezultă:

, (2.70)

sau , (2.71)

. (2.72)

Relațiile între măriri demonstrate pentru dioptru sunt valabile și pentru sistemul compus din mai muli dioptri.

2.6. Puncte și plane cardinale

Dioptrica de ordinul I poate pune în evidență și punctele și planele cardinale ale sistemelor optice.

Punctele cardinale sunt perechi de puncte conjugate pe axa optică, pentru care măririle au valori unitare:

. (2.73)

Planele cardinale sunt plane conjugate, perpendiculare pe axa optică și care conțin punctele cardinale.

Puncte și plane principale. Sunt caracterizate prin mărire liniară egală cu +1, respectiv imaginea unui obiect aflat în planul principal obiect este egală ca înălțime cu acesta și ambele se află de aceeași parte a axei optice (y’=y). Se notează cu H, respectiv H’. Punând condiția =1, se obțin abscisele punctelor principale (fig.2.10).

Fig.2.10. Puncte și plane cardinale

,. (2.74)

Planele principale care conțin punctele principale H și H’ reprezintă una dintre originile care pot fi alese pentru măsurarea distanțelor. În acest caz abscisele se notează cu a, respectiv a’. Planele principale reprezintă unica origine de măsurare a distanțelor focale.

Punctele și planele principale nu se află în mod obligatoriu în interiorul componentelor optice; ele pot fi deplasate față de lentile (această proprietate este aplicată în cazul teleobiectivelor foto). De asemenea, ordinea planelor principale pe axa optică poate fi inversată în cazul sistemelor formate din șiruri de lentile.

Puncte și plane antiprincipale. Sunt caracterizate prin mărire liniară egală cu –1, respectiv imaginea unui obiect aflat în planul antiprincipal obiect este egală ca înălțime cu acesta, dar situată în partea opusă a axei optice (y’=-y). Se notează cu AH, respectiv AH’.

, . (2.75)

Punctele și planele antiprincipale sunt simetricele punctelor și planelor principale față de focare.

Puncte și plane nodale. Sunt caracterizate prin mărire unghiulară egală cu +1, respectiv raza incidentă în punctul nodal obiect este paralelă cu raza care emerge din sistem prin punctul nodal imagine (’=). Punctele nodale se notează cu N, respectiv N’.

, . (2.76)

Punctele nodale prezintă importanță deosebită în construcția grafică a imaginilor, una dintre razele particulare de trasare a imaginilor fiind cea incidentă în punctul nodal obiect și emergentă din punctul nodal imagine. Pentru sistemele considerate infinit subțiri, practic, cele două raze sunt coliniare și traversează sistemul fără deviație.

Puncte și plane antinodale. Sunt caracterizate prin mărire unghiulară egală cu -1, respectiv razele incidentă și emergentă fac cu axa optică același unghi, dar de semne contrare (’= -). Se notează cu AN, respectiv AN’.

, . (2.77)

În cazul particular al sistemelor optice situate în aer, distanțele focale sunt egale în modul, astfel încât punctele nodale se suprapun peste cele principale, iar cele antinodale peste cele antiprincipale. În figura 2.10 este reprezentat cazul general în care mediul obiect și mediul imagine au indici de refracție diferiți.

Abscisele punctelor, respectiv planelor principale pot fi determinate și în raport cu vârful primului, respectiv ultimului dioptru, după trasarea razelor prin sistem, cu ajutorul relațiilor:

, (2.78)

. (2.79)

3. Trasarea razelor în domeniul extraaxial

3.1. Metoda trigonometrică. Calculul direct

Un sistem optic este format dintr-un șir de dioptri curbi sau plani, refractanți sau reflectanți. Sistemul se numește centrat dacă centrele de curbură ale dioptrilor se află pe aceeași axă, denumită axa optică. În mod curent, trasarea razelor se face în planul yoz, denumit plan meridian.

În calculul direct se presupun cunoscute următoarele date: distanța (abscisa) obiect, , unghiul razei incidente cu axa optică, , mărimile legate de dioptru, n, n’,r.

Se tratează cazul general al dioptrului sferic refractant, urmând ca celelalte cazuri să rezulte prin particularizarea acestuia.

Se urmărește determinarea poziției imaginii, care este definită de: distanța (abscisa) imagine, și unghiul razei emergente cu axa optică, .

În figura 3.1 este reprezentat un dioptru sferic de rază r (cu centrul de curbură C) și care separă mediile optice cu indicii de refracție n și n’.

Raza incidentă R, în punctul I vizează punctul obiect și face cu axa optică unghiul . Raza refractată R’ trece prin punctul , conjugat lui și face cu axa optică unghiul .

Scriind teorema sinusurilor în triunghiul , se obține:

, (3.1)

Fig.3.1. Refracția pe un dioptru sferic

de unde rezultă:

. (3.2)

Unghiul de refracție se deduce din legea refracției:

. (3.3)

Scriind:, (3.4)

rezultă unghiul razei emergente cu axa optică:

. (3.5)

Aplicând teorema sinusurilor și în triunghiul , se obține:

. (3.6)

Relația 2.85 permite calculul abscisei imagine:

. (3.7)

Relațiile (3.2), (3.3), (3.5) și (3.7) reprezintă pașii care trebuie parcurși pentru stabilirea efectului de refracție al fiecarui dioptru. Trecerea la dioptrul următor, se face după relațiile care rezultă conform figurii 3.2.

. (3.8)

Fig.3.2. Trecerea de la un dioptru la dioptrul următor

Cazuri particulare

Dioptru sferic, distanță obiect infinită ().

În acest caz, raza incidentă în spațiul obiect este paralelă cu axa optică (fig.3.3) și ca urmare, .

Din figură rezultă:

. (3.9)

Ceilalți trei pași de calcul de la cazul general se păstrează.

Dioptru plan, distanță obiect finită ()

Prin trecere la limită în relația 2.81, se obține:

, (3.10)

sau: . (3.11)

Relația 2.84 devine: . (3.12)

Pentru o suprafață plană este evidentă relația:

. (3.13)

Fig.3.3. Refracția în cazul distanței obiect infinite

Abscisa imagine va fi:

. (3.14)

3.2. Metoda trigonometrică. calculul invers

În calculul invers se urmărește determinarea traseului razelor luminoase atunci când se cunoaște poziția imaginii și urmează să se găsească poziția obiectului.

Se consideră cazul general al dioptrului sferic refractant. Ca date de intrare se cunosc: distanța imagine, , unghiul dintre raza emergentă și axa optică, , datele caracteristice dioptrului: r, n și n’.

Scriind teorema sinusurilor în triunghiul (fig.3.1), se obține:

. (3.15)

Din legea refracției, rezultă:

. (3.16)

Din relațiile 3.1 și 3.4 se obțin și respectiv :

, (3.17)

. (3.18)

Relațiile 2.15-2.18 reprezintă cei patru pași necesari efectuării drumuirii inverse. Trecerea de la un dioptru la cel anterior rezultă din figura 2.4.

. (3.19)

Fig.3.4. Trecerea la dioptrul anterior în drumuirea inversă

Cazuri particulare

Distanța imagine infinită, raza finită (). În acest caz: .Din figura 3.5 se observă că:

. (3.20)

Fig.3.5. Refracția în cazul distanței imagine infinite

Ceilalți trei pași sunt valabili de la cazul general.

Distanța imagine finită, dioptru plan ().

Prin trecere la limită în relația 3.15, rezultă:

, (3.21)

sau: . (3.22)

Expresia 3.17 devine:. (3.23)

Distanța obiect se obține tot din relația 3.13:

. (3.24)

3.3. Trasarea oblică a razelor în plan tangențial și sagital (Ecuațiile Coddington)

Trasarea oblică a razelor în plan tangențial și sagital este echivalentă cu trasarea paraxială a razelor în cele două plane, având ca referință raza pupilară principală care pornește de la punctul obiect extraaxial și trece prin centrul pupilei de intrare a sistemului optic. Aceste drumuiri specifice necesită rezultatele trasării trigonometrice a razei obiective și a razei pupilare principale. Cu ajutorul acestora se aplică ecuațiile Coddington, care, de fapt determină lungimile reale ale razelor în spațiul obiect și imagine în cele două plane, tangențial și sagital, raportate la raza pupilară principală. Rezultatele drumuirii oblice sunt utilizate în scopul determinării curburilor astogmatice de câmp în cele două plane.

Presupunând realizate trasările trigonometrice ale razei obiective și pupilare principale se pot aplica Ecuațiile Coddington după cum urmează:

determinarea datelor intemediare necesare drumuirii oblice:

, (3.25)

, (3.26)

, (3.27)

determinarea lungimilor razelor tangențiale obiect și imagine în plan tangențial:

, (3.28)

t’, (3.29)

determinarea lungimilor razelor tangențiale obiect și imagine în plan sagital:

, (3.30)

s’. (3.31)

În relațiile (3.25)-(3.31) s-au utilizat următoarele notații:

– puterea dioptrului, c – curbura (1/r), z – abscisa punctului de incidență a razei pe dioptru (în rel. (3.26) pentru primul dioptru), – lungimea geometrică parcursă de rază între doi dioptri consecutivi între care distanța măsurată pe axa optică este d, t – lungimea razei incidente în plan tangențial, t’ – lungimea razei emergente în plan tangențial, s – lungimea razei incidente în plan sagital, s’ – lungimea razei emergente în plan sagital.

3.4. Trasarea vectorială a razelor

Trasarea vectorială a razelor permite modelarea matematică tridimensională a oricărei raze din conul luminos care pornește de la un punct obiect.

Principial, fasciculul incident pe pupila de intrare a unui sistem optic este discretizat printr-un număr mare de raze, ale căror puncte de incidență sunt uniform distribuite pe suprafața pupilei. Fiecărei raze îi corepunde o mică arie din suprafața pupilei, iluminarea acesteia fiind egal distribuită pe ariile elementare. Trasând razele prin sistemul optic și intersectând fasciculul emergent cu planul imagine se obține o figură plană alcătuită din puncte corepunzătoare razelor. Împrăștierea punctelor semnalează prezența aberațiilor sistemului analizat și este invers proporțională cu iluminarea zonei pe care o ocupă. Punctele echidistante de pe suprafața pupilei de intrare se vor găsi în planul imaginii cu o densitate de suprafață diferită și variabilă, care indică de fapt distribuția energiei în imaginea punctului.

Discretizarea pupilei de intrare se poate face după un caroiaj ortogonal (fig.3.6.a) sau polar (fig.3.6.b), în nodurile căruia sunt incidente razele obiective.

Fig.3.6. Discretizare ortogonală (a) și polară (b)

a pupilei de intrare

Se consideră un punct oarecare în spațiul obiect A(xA,yA,zA) de la care pornește o rază spre punctul P(xP,yP,zP) din planul pupilei de intrare, (fig.3.7).

Fig.3.7. Raza incidentă pornită din punctul obiect A, traversând

pupila de intrare prin punctul P

Pentru trasarea vectorială a razei se parcurg etapele indicate în tabelul 3.1.

Tabelul 3.1

Drumuirea vectorială este utilizată pentru obținerea diagramei spot, care reprezintă un criteriu în sine de evaluare a calității imaginii sau poate fi prelucrată pentru calculul geometric al funcției de transfer de modulație.

4. Metode de analiză bazate pe optica ondulatorie și Fourier

4.1. Funcția optică de transfer

4.1.1. Considerații generale

În sensul cel mai general, o funcție de transfer caracterizează acțiunea unui sistem oarecare asupra unor date de intrare pentru a obține anumite date de ieșire.

În particular, funcția optică de transfer descrie capacitatea unui sistem optic de a transfera distribuția spațială a luminii din planul obiect în planul imagine.

Conceptul de funcție optică de transfer a apărut prin analogie cu funcția de transfer a sistemelor electronice, pentru care exista suportul matematic teoretic de descriere a răspunsului sistemului la acțiunea unui semnal de intrare impuls sau de formă sinusoidală. Prin analogie, sistemul optic răspunde la un impuls dreptunghiular – care modelează un obiect luminos punctiform printr-o funcție de transfer numită funcția imagine a punctului sau PSF (point spread function) – sau la un semnal constituit de diverse frecvențe spațiale care pot fi asociate obiectelor luminoase extinse. În cazul acestora, sistemul optic se comportă ca un filtru spațial care permite transmiterea unor frecvențe anumite (detalii ale obiectului) în imagine, în timp ce restul frecvențelor vor fi tăiate de sistem.

Este importantă și definirea sistemului optic limitat de difracție, prin care se înțelege un sistem optic care transformă o undă sferică provenită de la o sursă obiect punctiformă tot într-o undă sferică centrată într-un punct imagine. Sistemele optice reale prezintă într-o măsură mai mare sau mai mică întotdeauna aberații, ceea ce înseamnă că pot primi atributul de limitat la difracție doar cu oarecare aproximație și, eventual, pe zone limitate ale câmpului obiect. Considerând sistemul optic limitat la difracție, respectiv fără aberații, efectele difracționale devin importante numai în zonele dintre obiect-pupila de intrare și pupila de ieșire-imagine.

Analiza energetică a imaginii pune în evidență faptul că o importanță deosebită pentru caracteristicile acesteia o are și modul de iluminare a obiectului, care impune tratări matematice diferite ale problemelor. În principiu, omițând aspectul spectral, se pot identifica două moduri de iluminare a obiectelor: spațial incoerentă și spațial coerentă. Iluminarea spațial incoerentă caracterizează sursele extinse, la care oscilațiile provenite de la diversele puncte componente ale sursei au faze decalate aleator, statistic. Este cazul aparatelor de observare, de măsurare, a lunetelor, obiectivelor foto. Intensitatea luminoasă în planul imagine rezultă în fiecare punct prin însumarea intensităților provenite de la punctele sursei. Admițând acest principiu, sistemele optice iluminate incoerent sunt liniare în intensitate.

Iluminarea spațial coerentă (eventual o sursă laser) asigură în toate zonele obiectului oscilații luminoase cu diferențe de fază constante în timp. Este cazul sistemelor de procesare a datelor, holografiei, microscopului, proiectorului de profile etc. În cazul acestora se admite că în planul imagine se însumează amplitudinile oscilațiilor luminoase, sistemele fiind considerate liniare în amplitudine.

În principiu, în cazul sistemelor optice liniare – care la acțiunea unor stimuli simultani dă un răspuns egal cu suma răspunsurilor independente determinate de fiecare stimul – efectul componentelor optice și al diafragmenlor poate fi descris complet determinând imaginile surselor punctiforme care alcătuiesc câmpul obiect. Fiecărui punct i se asociază ca modelare matematică o funcție Dirac ( și (x,y)=0 pentru x,y0), care are semnificația unui semnal foarte puternic și foarte îngust.

Funcția de răspuns a sistemului optic la un semnal Dirac se numește funcție imagine a punctului (PSF – point spread function [mm-2]) și descrie distribuția normalizată a iluminării în imaginea punctului. SR ISO 9334 definește

, (4.1)

unde F(u,v) reprezintă distribuția iluminărilor în imaginea punctului, raportată la un sistem de referință (u,v) legat de un plan perpendicular pe axa optică.

Obiectului luminos extins i se asociază funcția obiect Io(u,v), care descrie distribuția intensității luminoase în planul obiect, considerat iluminat incoerent, iar imaginii i se asociază funcția imagine Ii(u,v), ca expresie a distribuției iluminării în planul imagine. Proprietatea de liniaritate a sistemului permite considerarea distribuției intensității luminoase în planul imagine ca sumă a efectelor fiecărui punct obiect. Răspunsul sistemului optic în cazul obiectelor extinse va depinde deci de funcția obiect și de răspunsul PSF. Din punct de vedere matematic funcția imagine este un produs de convoluție a funcției obiect și a PSF.

Transformata Fourier a funcției imagine a obiectului extins, iluminat incoerent, este egală cu produsul transformatelor Fourier ale PSF și funcției obiect.

Funcția optică de transfer (OTF – optical transfer function), este prin definiție, transformata Fourier a PSF și reprezintă răspunsul impulsional al sistemului optic. SR ISO 9334 definește:

, (4.2)

unde r și s sunt frecvențele spațiale asociate coordonatelor de poziție (u,v).

OTF este o funcție complexă adimensională al cărei modul este unitar pentru frecvența spațială nulă.

OTF(r,s) și PSF(u,v) sunt două funcții care formează o pereche Fourier, se pot deduce reciproc, una din cealaltă, leagă spațiul real (u,v) de spațiul Fourier (r,s) și au spectre reciproce.

Se observă că este necesară cunoașterea funcției PSF, care în cazul iluminării incoerente se bazează pe însumarea intensităților, ceea ce din punct de vedere matematic corespunde produsului răspunsurilor impulsionale în amplitudine (SR ISO 9334):

, (4.3)

unde ASF (amplitude point spread function [mm-2]) are semnificația distribuției relative a amplitudinii complexe în imaginea punctului, iar asteriscul indică mărimea complex conjugată.

Funcția complexă ASF se deduce din distribuția amplitudinii complexe a vectorului electric al oscilației asociate luminii, în planul pupilei de ieșire, distribuție numită funcție pupilară (adimensională). Aceasta în interiorul pupilei este de forma:

, (4.4)

iar în afara acesteia este nulă. A reprezintă amplitudinea monocromatică complexă a câmpului electric, OPD – aberația de undă, iar P are semnificația unei distribuții raportate la un sistem de referință (x’,y’) cu originea în centrul pupilei de ieșire.

ASF ([mm-2] este transformata Fourier a funcției pupilare P’(x’,y’):

, (4.5)

unde R este raza sferei de referință, centrate în punctul imagine ales.

Modulul funcției optice de transfer se numește funcție de transfer de modulație, MTF (modulation transfer function), funcție adimensională și, în cazul particular, dar frecvent, al mirei sinusoidale cu frecvență constantă are semnificația raportului dintre modulația imaginii și modulația obiectului. Modulația, cu semnificația optică de contrast se definește funcție de valorile minimă și maximă ale unei mărimi radiometrice (intensitate, iluminare, strălucire):

. (4.6)

Argumentul funcției optice de transfer se numește funcție de transfer de fază, PTF (phase transfer function) – funcție adimensională. PTF are valoarea nulă pentru frecvența spațială zero.

De interes este și distribuția iluminării în imaginea unei linii, LSF (line spread function [mm-1]), care are semnificatia distribuției normalizate a iluminării în imaginea unei surse liniare de radiație incoerentă. Din punct de vedere matematic LSF se exprimă ca produs de convoluție a răspunsului impulsional PSF și a unei drepte, aflate în regiunea izoplanatică (pentru aplicarea proprietăților de invarianță):

, (4.7)

unde (u’) este funcția Dirac pentru o linie paralelă cu axa v.

În cazul iluminării coerente, caracterizate prin liniaritate în amplitudine, suportul teoretic se simplifică având în vedere faptul că PSF coincide cu funcția pupilară.

4.1.2. Calculul funcției optice de transfer

În practică, aplicarea directă a relațiilor matematice definite mai sus este foarte dificilă sau imposibilă. Din acest motiv se introduc simplificări sau particularizări, care nu diminuează consistența și precizia rezultatelor, ci trebuie privite mai degrabă ca niște abordări secvențiale, pe subprobleme, a unei teme complexe, greu de rezolvat frontal.

În primul rând, analiza Fourier bidimensională și policromatică este arareori utilizată, dat fiind că rezultate suficient de curpinzătoare se pot obține prin analize unidimensionale repetate pentru diverse orientări ale axei de referință (axa optică, raza pupilară principală la diverse deschideri ale câmpului obiect) și pentru câteva lungimi de undă monocromatice (de obicei, cele trei de referință, de la extremitățile și mijlocul spectrului de interes).

Ca urmare, majoritatea softurilor dedicate analizei sistemelor optice vor pune la dispoziția utilizatorului, sub formă numerică și grafică, funcția de transfer de modulație și de fază funcție de o frecvență spațială relativă la o singură direcție, precizată de utilizator, eventual un set de curbe, care să caracterizeze planul tangențial și sagital, în raport cu axa de referință impusă.

Un alt motiv pentru care relațiile generale deduse din optica ondulatorie și Fourier nu pot fi direct aplicate este acela că descrierea obiectului printr-o funcție analitică privind distribuția energetică spectrală este imposibil de scris, cu excepția unor obiecte de formă foarte simplă. Acest lucru, însă, nu reprezintă un impediment și chiar ar constitui un efort inutil, având în vedere faptul că funcția optică de transfer este o caracteristică a sistemului optic, independentă de forma, culoarea și contrastul obiectului și pentru a determina componentele sale (modulația și diferența de fază) poate fi utilizat, de fapt, orice fel de obiect.

Până la introducerea analizei contrastului și rezoluției imaginii prin optică Fourier, calitatea sistemelor optice, din acest punct de vedere, era determinată experimental, utilizând obiecte-test numite mire. Acestea conțineau figuri formate din zone luminoase și întunecate alternante, de diverse dimensiuni, respectiv cu frecvențe spațiale diferite. În figura 4.1 este prezentată mira USAF 1951, formată din grupuri de bare orizontale și verticale. Frecvența spațială a figurilor-test (trei bare orizontale și trei bare verticale luminoase) se poate calcula după regula:

, (4.8)

unde grup reprezintă cifra de dimensiuni mai mari (1, 0 ,-1, -2) asociată unui set de figuri asemenea, element este numărul de ordine alăturat unei figuri (1, 2…6). Se observă că raportul frecvențelor dintre două figuri consecutive ale aceluiași grup este .

Fig.4.1. Mira USAF 1951

Există diverse tipuri de mire, cu figuri care conțin alternanțe radiale de sectoare luminoase și întunecate sau variații ale luminozității după o anumită lege, de obicei sinusoidală.

Calculul funcției optice de transfer și respectiv a componentelor sale recurge la obiecte-test cu astfel de forme simple, pentru care distribuția iluminării în planul obiect poate fi descrisă analitic.

Se consideră cazul unei porțiuni a mirei USAF formate din linii verticale alternative, luminoase și întunecate (fig.4.2). Caracteristica unei astfel de figuri este frecvența spațială, măsurată în număr de perechi de linii (una luminoasă și una întunecată) pe unitatea de lungime, de obicei milimetrul. Dacă r este frecvența spațială, pasul figurii va fi inversul acesteia d=1/r și va reprezenta distanța dintre două linii consecutive de același fel (luminoase sau întunecate).

Din punctul de vedere al opticii Fourier, fiecare linie infinit subțire din porțiunea luminoasă a mirei are o imagine cu o distribuție a energiei, care in secțiune transversală, este reprezentată de LSF (fig.4.3.a). Prin suprapunerea LSF corespunzătoare tuturor liniilor infinit subțiri care alcătuiesc linia mirei, va rezulta distribuția energiei în imaginea acesteia, evident cu o rotunjire a colțurilor (fig.4.3.b, c). Acest efect de voalare este tot mai accentuat pe măsură ce frecvența spațială a mirei crește (fig.4.3.d), astfel încât la un moment dat contrastul imaginii scade sub posibilitatea receptorului (ochiul sau un detector fizic) de a-l precepe, ceea ce este echivalent cu a spune că sistemul optic nu mai rezolvă figura test de la o anumită frecvență spațială, care îi limitează caracteristica numită rezoluție.

Fiecare sistem optic asigură o anumită rezoluție sau o curbă de variație spectrală a rezoluției dacă sistemul lucrează în lumină policromatică. Valoarea rezoluției sau forma sa de variație nu se raportează la o valoare standard, sau în sensul cel mai general nu trebuie să fie cât mai mare (dacă se apreciază prin frecvență spațială), ci trebuie să corespundă sensibilității receptorului, care poate fi ochiul sau diverse receptoare fizice. Pentru fiecare categorie de aparate optice se poate stabili o curbă de rezoluție-scop, funcție de destinația aparatului și natura receptorului.

a. b.

Fig.4.2. Figură (miră) formată din linii alternante luminoase

și întunecate cu frecvența spațială r (a) și forma semnalului radiometric care modelează mira (b)

a. b. c.

d.

Fig.4.3. Formarea imaginii cu colțuri rotunjite a obiectului luminos dreptunghiular prin suprapunerea LSF a liniilor infinit subțiri din care poate fi considerat compus obiectul. Constrastul imaginii scade odată cu creșterea frecvenței spațiale și la un anumit nivel al acesteia nu mai este perceput de către receptor

Analiza rezoluției unui sistem optic are sens numai având în vedere aceste două elemente (de exemplu, utilizarea unui detector tip matrice de fotodiode, cu lățimea unui pixel de 6 microni corespunde unei frecvențe spațiale de 83 perechi de linii/mm, ceea ce înseamnă că sistemul optic de formare a imaginii preluate de receptor nu trebuie să aibă o rezoluție mai ridicată decât această valoare. Performanțele mai bune ale sistemului optic față de posibilitățile detectorului sunt inutile).

Informativ, tabelul 4.1 redă rezoluțiile curente ale unor sisteme optice specifice.

Tabelul 4.1

În figura 4.3 s-au figurat nivelurile de intensitate luminoasă Imax și Imin, cu ajutorul cărora se poate determina contrastul imaginii, respectiv modulația semnalului de răspuns a sistemului optic, conform relației (4.6). Dacă se calculează modulația M pentru diverse valori ale frecvenței spațiale r, se poate trasa o curbă M(r), care caracterizează sistemul optic analizat (fig.4.4). Considerând r=ro pragul de sensibilitate al receptorului, interesează porțiunea de curbă reprezentând modulația pe domeniul r=[0…ro]. Suprafața cuprinsă între axele de coordonate, curba de modulație și dreapta prag de sensibilitate a receptorului, este, la o anumită scară, proporțională cu contrastul și, în final, luminozitatea globală a imaginii. Rezultă că este importantă de urmărit și forma curbei de modulație (în figura 4.5 sunt prezentate modulațiile a două sisteme optice, care pentru aceeași limită de rezoluție ro au caracteristici energetice diferite – sistemul a este mai bun decât sistemul b). În cazul prezentat în figura 4.5 alegerea între sistemele optice analizate este clar favorabilă sistemului a. În majoritatea cazurilor, însă, curbele de modulație se intersectează în alt punct decât cel corespunzător pragului ro și proiectantul trebuie să aprecieze dacă performanțele sistemului reclamă în primul rând o rezoluție ridicată sau se poate admite scăderea nivelului acesteia în favoarea îmbunătățirii iluminării globale (fig.4.6).

Fig.4.4. Curba de variație a modulației cu frecvența și limita de rezoluție impusă sistemului ro. Suprafața de sub curbă este proporțională cu iluminarea imaginii

Toată discuția anterioară a avut la bază un obiect tip miră formată din bare liniare alternative luminoase și întunecate, corespunzătoare unui semnal de formă dreptunghiulară, ca modelare matematică (fig.4.2.b).

Fig.4.5. Curbe de modulația a două sisteme optice, care, pentru același prag ro au caracteristici de iluminare globală diferite (sistemul a este superior calitativ sistemului b)

Fig.4.6. Limita de rezoluție poate fi scăzută in favoarea creșterii iluminării

Distribuția iluminării în planul obiect poate fi însă și de alte forme și se preferă modelarea cu semnale sinusoidale sau cosinusoidale. Din punct de vedere matematic este o modelare convenabilă având în vedere faptul că răspunsul sistemului este un semnal de același tip.

Funcția optică de transfer de modulație, în cazul semnalului sinusoidal unidirecțional este egală cu raportul modulațiilor imagine și obiect:

(4.9)

și reprezintă o măsură aproape universală de caracterizare nu numai a sistemelor optice formate din lentile, ci și a filemlor, ochiului, a diverși receptori fizici.

În principiu, poate fi utilizată proprietatea de multiplicare a MTF a subansamblurilor care alcătuiesc un sistem mai complex, deși rezultatele pot, în general, să subestimeze caracterisicile ansamblului (pentru că, de exemplu, iluminarea este incoerentă numai pentru primul subansamblu sau lentilă și devine parțial coerentă pentru următoarele).

Se consideră un obiect format din benzi alternative luminoase și întunecate, a căror caracteristică radiometrică (intensitate, iluminare sau strălucire) variază cosinusoidal. Forma semnalului de intrare este redată în figura 4.7.a și se exprimă matematic prin funcția:

, (4.10)

unde notația b simbolizează generic o mărime radiometrică, u este variabila unidimensională în spațiu a semnalului, iar r reprezintă frecvența spațială a semnalului pe direcția variabilei u.

Funcția imagine Ii(u) rezultă ca produs de convoluție a LSF() – fig.4.7.b – și a funcției obiect Io(u), care are semnificația unei sume a produselor funcțiilor în jurul unei valori date pe un domeniu al variabilei u care conține toate abscisele pentru care LSF are valoare nenulă în acel punct (fig.4.7.c).

Fig.4.7. Convoluția funcției obiect Io(u) –a.- cu LSF() – b.- pentru obținerea funcției imagine Ii(u) – d., care este defazată cu fată de Io(u);

Imaginea unei linii obiect de abscisă u0 rezultă prin suprapunerea efectelor produsului Io(uo) cu LSF() pe domeniul u în care funcțiile LSF ating sau conțin punctul u0

Din punct de vedere matematic această sumă a produselor se exprimă prin integrala:

. (4.11)

Introducând sub integrala (4.11) forma analitică a funcției obiect și împărțind cu pentru normalizare, se obține funcția imagine (fig.4.7.d):

, (4.12)

unde (4.13)

și , (4.14)

, (4.15)

, (4.16)

sau . (4.17)

Se observă că funcția imagine este tot o cosinusoidă. Diferența de fază se datorează asimetriei LSF.

Legătura dintre modulația imaginii, obiectului și funcția de transfer de modulație se poate rescrie sub forma:

. (4.18)

Funcția de transfer de modulație reprezintă partea reală a funcției optice de transfer și caracterizează contrastul, respectiv rezoluția sistemului optic analizat. Partea imaginară a funcției optice de transfer, numită funcție de transfer de fază – PTF – indică o deplasare a imaginii, concretizată prin distorsiune, de exemplu, dacă este liniară în frecvență. Neliniaritatea PTF poate avea și efecte vizibile în ceea ce privește distribuția energiei, în sensul că o defazare de 180o este echivalentă cu inversarea contrastului (față de figura obiect, figura imagine are poziția benzilor luminoase și întunecate inversată).

4.1.2.1. Calculul geometric al MTF

Calculul geometric al MTF are la bază diagrama spot obținută pentru un punct obiect cu ajutorul sistemului analizat, pentru o apertură dată și cu referire la un plan cu defocusare precizată. Se stabilește un interval u, a cărei mărime este indicat să fie cât mai mică în scopul creșterii preciziei rezultatelor. Domeniul variabilei u se definește astfel încât să cuprindă toate punctele diagramei.

Algoritmul de calcul cuprinde următoarele etape:

Se numără punctele N(u), cuprinse în fiecare interval u

Se determină funcția LSF(u). Pentru normalizare, valorile N(u) se împart cu Nmax(u). Forma grafică (sau/și analitică) a LSF(u) se obține prin interpolarea polinomială (de grad n4), utilizând șirul N(u) normalizat

Se calculează componentele MTFS(r) și MTFC(r), înlocuind integralele (4.14) și (4.15) cu sume finite. Rezultă MTF(r) – rel. (4.18)

Se determină diferența de fază cu relația (4.16) sau (4.17)

Ultimele două etape se reiau pentru diverse valori ale frecvenței spațiale r, astfel încât să rezulte variațiile MTF(r) și (r), care se prezintă, de obicei sub formă grafică.

Exemplul 1

Se consideră diagrama spot din figura 4.8. Pe direcția variabilei u diagrama se extinde pe un domeniu de 0.1 mm, care a fost discretizat în opt intervale u=0.0125 mm. Originea pentru variabila u s-a ales în centrul diagramei spot, care fiind simetrică, se află la jumătatea domeniului de definiție.

Fig.4.8. Diagrama spot discretizată pe intervale u, în care

se contorizează numărul de puncte incluse

În tabelul următor sunt prezentate datele numerice obținute prin aplicarea algoritmului de calcul al MTF, care, de regulă, utilizează un număr mult mai mare de intervale de extindere redusă și se aplică pentru un număr mare de frecvențe spațiale (separat în plan tangențial și separat în plan sagital). Spre exemplificare sunt redate numeric rezultatele obținute printr-un studiu unidimensional, pentru o frecvență spațială r=5.

Figura 4.9 redă poziția punctelor N(u) obținute prin normare într-un sistem de axe LSF(u)-u și forma LSF(u) rezultată prin interpolarea cu un polinom de gradul 4. Exemplul ales, cu formă simetrică a diagramei spot și număr redus de intervale de discretizare, a permis determinarea ușoară a unei formule analitice de interpolare. În majoritatea cazurilor reale, LSF(u) nu poate fi descrisă printr-o expresie analitică, decât, eventual, pe porțiuni.

Figurile 4.10 și 4.11 descriu variațiile cos(2ru) și sin(2ru), care compuse cu LSF(u) conduc la graficele prezentate în figurile 4.12 și 4.13.

Simetria diagramei spot determină valori algebric simetrice ale termenilor în sinus, respectiv la o sumă sumă nulă a acestora. În acest caz, MTF devine numeric egal cu componenta MTFC iar defazajul este zero.

Fig.4.9. N(u) cu valori normate și LSF(u)

Fig.4.10. Variația termenilor cos(2ru)

Fig.4.11. Variația termenilor sin(2ru)

Fig.4.12. Compunerea termenilor cosinus cu LSF(u)

Fig.4.13. Compunerea termenilor sinus cu LSF(u)

Algoritmul de calcul al MTF a fost reluat pentru frecvențe spațiale r=5…40, cu pasul r=5 perechi de linii/mm.

Calculul s-a extins pe domeniul frecvențelor spațiale până când valoarea MTF a devenit nulă. Perechile de valori MTF-r la care se asociază punctul inițial corepunzător frecvenței spațiale nule, pentru care MTF este normat la valoarea 1, sunt utilizate pentru trasarea grafică a variației MTF(r) – fig. 4.14.

Valorile negative ale MTF conduc, în cazul analizat, la cos= -1, respectiv diferență de fază =180o, ceea ce indică o inversare a contrastului la frecvențele respective.

Fig.4.14. Variația funcției de transfer de modulație, MTF, în raport

cu frecvența spațială, r

Pentru o miră de forma celei din figura 4.1 (bare luminoase și întunecate) corespunzătoare unui semnal de intrare dreptunghiular se poate utiliza MTF(r) determinat pentru un semnal sinusoidal. Semnalul dreptunghiular se descompune în serie Fourier și se analizează răspunsul sistemului la fiecare componentă. Legătura între funcția de transfer de modulație la semnal dreptunghiular S(r) și MTF(r) pentru semnal sinusoidal este de forma:

. (4.19)

Dacă se cunoaște S(r) se poate stabili și relația inversă:

. (4.20)

Pentru r=5, în exemplul analizat, MTF(5)= 0.764607, iar S(5)=0.8223.

4.1.2.2. Calculul difracțional al MTF

În cazul sistemelor limitate la difracție, calculul geometric devine inconsistent, având în vedere faptul că aberațiile se consideră complet corectate. În acest caz MTF(r) depinde numai de mărimea petei de difracție, determinată direct de apertura sistemului. MTF este de forma:

, (4.21)

unde diferența de fază se exprimă funcție de apertura numerică imagine și lungimea de undă:

. (4.22)

Din relația (4.21) rezultă că MTF(r) se anulează pentru =0. Impunând această condiție în expresia (4.22) rezultă limita de rezoluție sau frecvența de tăiere, r0:

, (4.23)

unde este măsurată în milimetri, iar f’/D’ este numărul de deschidere, raportat la pupila de ieșire.

Sistemele optice se comportă ca filtre trece-jos, care taie frecvențele de la o anumită valoare în sus.

Pentru sistemele afocale sau alte tipuri de sisteme care lucrează cu abscise infinite, frecvențele spațiale se pot exprimă și în cicluri sau perechi de linii pe radian. Frecvența de tăiere a acestor sisteme este de forma:

Observație

Toată discuția anterioară este valabilă pentru aperturi circulare ale sistemului optic. Într-o reprezentare geometrică, ecuația (4.21) descrie aria (normată) comună a două cercuri de rază R’=D’/2, având centrele deplasate cu o distanță egală cu 2rR’/r0 (fig.4.15). Pentru r=0, cercurile sunt suprapuse și MTF(0) are valoarea 1. Pe măsură ce r crește, cercurile se îndepărtează, aria comună, respectiv MTF(r) scad neliniar și ating valoarea zero pentru r=r0, când cercurile sunt tangente.

Pentru deschideri de altă formă, în principiu, MTF poate fi reprezentat în același mod. Pentru deschiderea pătrată a pupilei de ieșire, de exemplu, aria comună pentru orice frecvență r din domeniul [0…r0) este de formă dreptunghiulară, iar variația ariei, respectiv a MTF(r) este liniară între limitele 1 și 0 (pentru r=r0).

MTF(r) determinat difracțional se reprezintă adimensional pe ambele axe ale sistemului de referință, care are abscisa r/r0 și ordonata MTF(r) – fig.4.16. Cu linie punctată s-a reprezentat MTF(r) pentru semnalul de intrare dreptunghiular, care indică totdeauna valori mai mari ale contrastului.

De remarcat este faptul că pentru sisteme optice cu aberații, chiar de valori foarte reduse, calculul geometric și difracțional al MTF conduc la curbe cu aluri diferite, cu interpretări adesori mai favorabile sistemului analizat geometric. Aceste rezultate sunt, desigur eronate, pentru că aberațiile, de fapt, determină întotdeauna scăderea MTF.

Fig.4.15. Semnificația fizică a MTF(r) calculat pentru sisteme optice

limitate la difracție

Fig.4.16. MTF(r) difracțional pentru semnal de intrare sinusoidal (linia continuă) și semnal dreptunghiular (linia întreruptă)

Defocusarea sistemului optic limitat la difracție are ca efect modificarea formei curbelor din figura 4.16, în sensul creșterii pantei, scăderii valorii frecvenței de tăiere și a contrastului proporțional cu creșterea OPD – fig.4.17.

Fig.4.17. Influența defocusării asupra MTF. Curbele B, C, D, E, F corespund unor defocusări =/(2n’sin2), =/(n’sin2), =3/(2n’sin2), =2/(n’sin2), =4/(n’sin2)

Calculul difracțional se poate aplica și sistemelor cu aberații dar curbele reprezentând MTF determinat difracțional și MTF determinat geometric vor fi diferite, în special pentru aberații de undă cu valori OPD<. Pentru aberații mai mari, alura curbelor devine asemănătoare, dar denotă, evident, o calitate slabă a sistemului.

Pentru iluminarea coerentă (cu un sistem de colimare, de exemplu), MTF este o dreaptă orizontală, situată la nivelul unității, pentru un domeniu de frecvențe spațiale cuprinse între 0 și frecvența de tăiere r0 (fig.4.18).

Frecvența de tăiere are doar jumătate din valoarea care ar caracteriza sistemul în iluminare incoerentă:

. (4.25)

Rezultă că iluminarea coerentă asigură contrast mai bun, iluminare globală mai mare a imaginii, dar rezoluție limită înjumătățită față de performanțele aceluiași sistem iluminat incoerent.

Fig.4.18. MTF în cazul iluminării coerente

Între MTF și raportul Strehl există o relație de forma:

, (4.26)

ceea ce corespunde, de fapt, raportului dintre aria de sub curba MTF a sistemului cu aberații și aria de sub curba MTF a aceluiași sistem perfect. Dacă sistemul real este caracterizat printr-o aberație de undă OPD, se pot utiliza relațiile aproximative de legătură :

, (4.27)

unde RMS OPD este exprimat în lungimi de undă.

4.2. Utilizarea softwareului dedicat analizei sistemelor optice

Sinteza și analiza sistemelor optice, în prezent, nu poate fi concepută altfel decât prin calcul automat. Volumul de calcul, precizia și optimizarea bazată pe iterații care implică parametri diverși și specifici fiecărei aplicații, a condus la dezvoltarea unor programe de mare complexitate, disponibile pe piața de profil. Se poate pune întrebarea dacă, având în vedere existența acestor programe, toată expunerea anterioară mai este justificată. Răspunsul este, cu certitudine, da, pentru că utilizarea unui software dedicat calculului optic nu poate fi utilizat decât de către un foarte bun cunoscător al legilor de formare a imaginii, a erorilor de factură geometrică și ondulatorie care afectează imaginile, a metodelor de sinteză și a parametrilor de evaluare a calității imaginii. Interpretarea rezultatelor furnizate de o analiză automată este corectă și, ca urmare, utilă, numai în condițiile în care operatorul este familiarizat cu algoritmii aplicați automat. Programul, în sine, răspunde doar necesității de a accelera foarte mult viteza de calcul și de a elimina erorile întâmplătoare pe care un operator uman le-ar introduce în calcul, cu o mare probabilitate, având în vedere volumul. Rezultă că utilizarea calculatorului nu este suficientă pentru a asigura succesul în proiectarea unui sistem optic performant, ci este necesară o intervenție permanentă a opticianului, care evaluează rezultatele și judecă oportunitatea schimbărilor în setul de date de intrare sau intermediare în conformitate cu cerințele impuse, pe care trebuie să le cuantifice corect pentru a fi preluate de sistemul de calcul.

Se prezintă, în continuare, un exemplu integrator, cu caracter ilustrativ, în care este prezentată analiza și optimizarea unui dublet acromat. S-a utilizat o variantă demo a softului OSLO LT.

Exemplul 2

În figura 4.19 este prezentată foaia cu datele de intrare ale dubletului acromat, pe care sunt înscrise razele, grosimile, sorturile de sticlă, apertura, distanța obiect, câmpul obiect și poziția pupilei de intrare. Odată cu foaia de date este generată automat reprezentarea grafică, la scară a dubletului și mersul razelor prin sistem.

Aberațiile geometrice și cromatice – aberația sferică longitudinală pentru radiațiile e, F’ și C’, curburile astigmatice în plan tangențial și sagital, distorsiunea procentuală, variația cromatică a focarului, curbele de interceptare a razelor în plan tangențial și sagital la deschiderea maximă, 0.7 din mărimea câmpului și pe axă – sunt reprezentate în următoarele două figuri, 4.20 și 4.21.

Fig.4.19. Foaia cu datele de intrare ale dubletului acromat de analizat, conținând razele dioptrilor, grosimile dintre aceștia, sorturile de stică utilizate, deschiderea fasciculului incident, semiunghiul de câmp și lungimea de undă de referință. Rezultă imediat distanța focală, Efl și frontifocala imagine (sau absisa imagine paraxială pentru obiect situat la distanță finită), pe ultima linie în coloana Thickness. Diafragma de deschidere, respectiv pupila de intrare este impusă în planul care conține vârful primului dioptru Se generează automat reprezentarea sistemului optic de analizat și trasarea razelor pupilară principală și marginale

Fig.4.20. Prezentarea sub formă grafică a variației curburilor astigmatice

în plan tangențial și sagital în raport cu apertura (stânga sus), a sferocromatismului în varianta aberație sferică longitudinală pentru lungimile de undă de referința, e, F’ și C’ funcție de apertură (sus mijloc), a variației cromatice a focarului (dreapta sus), a distorsiunii procentuale funcție de deschiderea câmpului (stânga mijloc) și a aberației cromatice laterale sau tangențiale extraaxiale funcție de apertură (stânga jos)

Fig.4.21. Curbele de interceptare a razelor în plan tangențial și sagital exprimând diferențe raportate la raza pupilară principală pentru mărimea maximă a câmpului obiect (sus, dreapta-plan tangențial, stânga-plan sagital), la 0.7 din mărimea câmpului obiect (mijloc) și pe axă (jos). Fiecare grafic conține trei curbe trasate pentru cele trei lungimi de undă de referință. Se observă conincidența aproape totală a curbelor, ceea ce demonstrează corectarea cromatismului pe întreg câmpul obiect. Extinderea axială egală a tuturor celor șase seturi de curbe arată că în sistem nu se manifestă vignetarea la nici o valoare a câmpului obiect

Analiza frontului de undă, respectiv a aberației de undă este prezentată în figurile 4.22 și 4.23. Se observă ce importanță deosebită pentru calitatea imaginii o are găsirea planului optim de punere la punct, respectiv stabilirea defocusării necesare pentru minimizarea aberațiilor cu implicații ondulatorii.

În figura 4.22 planul de referință conține focarul paraxial, în timp ce în figura 4.23, defocusarea cu 0.0236 conduce la o diminuare semnificativă a aberației de undă, a cărei valoare se apropie de cea stabilită prin criteriul Rayleigh.

Fig.4.22. Analiza frontului de undă pe axă (dreapta), la 0.7 din mărimea câmpului obiect (mijloc) și la câmpul obiect maxim (stânga), având ca referință planul focarului paraxial. Se observă valorile inadmisibil de mari ale aberației de undă. Rezultă că introducerea unei defocusări este necesară, ca primă posibilitate de modificare a performanțelor sistemului, fără a acționa asupra caracteristicilor sale geometrice

Fig.4.23. Defocusarea cu o valoare de 0.0236 corespunde celui mai bun focar, cu o substanțială scădere a aberației de undă, sistemul

încadrându-se în intervalul de toleranțe OPD =/4…/2

În figura 4.24 este redată diagrama spot pentru cele trei lungimi de undă de referință și pentru deschiderile 0, 0.7 1 ale câmpului obiect. Se observă o creștere accentuată a aberațiilor geometrice cu unghiul de câmp.

Fig.4.24. Diagrama spot sugerează defocusarea optimă la aproximativ jumătatea intervalului 0…0.05. Modulul de optimizare al programului indică o valoare =0.0236 pentru cel mai bun focar

Figurile 4.25 și 4.26 redau PSF al sistemului limitat la difracție și al sistemului real, afectat de aberații.

Fig.4.25. PSF determinat difracțional conduce la valori care supraevluează sistemul, care în realitate este afectat de aberații

Fig.4.26.Valoarea reală a PSF, pentru sistemul cu aberații și cel mai bun plan de punere la punct a imaginii, este de 0.69

Fig.4.27. PSF pentru cele trei deschideri de referință ale câmpului obiect (stânga) și energia normată conținută în cercuri (dreapta jos, respectiv pătrate (dreapta sus) de rază, respectiv latură încrise pe abscisă, cu centrul în focarul ideal. Se observă că distribuția energetică în planul imagine depinde foarte mult de poziția punctului obiect în câmpul obiect. Depărtarea punctului obiect de axă conduce la imagini în care pata de difuzie are dimensiuni tot mai mari și iluminări tot mai slabe. Se observă, de asemenea, că energia înscrisă în cercuri concentrice atinge valorile maxime la raze mult mai mici decât latura pătratelor, ceea ce sugerează că forma imaginii punctului este, de fapt, circulară

Figura 4.27 prezintă PSF pentru cele trei deschideri de referință în analiză și introduce două noi modalități grafice de evaluarea a distribuției energetice în pata de difuzie. Curbele sunt trasate prin puncte ale căror coordonate sunt raza unui cerc centrat în focarul paraxial și cantitatea de energie normată conținută în cercul respectiv. Același studiu se face luând în considerare pătrate în loc de cercuri. Cantitatea de energie conținută de figurile cu o anumită rază, respectiv latură, reprezintă o măsură a concentrării (sau împrăștierii) luminii în pata de difuzie.

Fig.4.28. Distribuția energetică apreciată prin cantitatea conținută în cercuri concentrice de diferite raze diferă pentru poziția planului de punere la punct în focarul paraxial, prin calcul difracțional, (sus) și planul stabilit prin defocusare, prin calcul geometric, (jos)

Difracțional –ca sistem limitat la difracție – (fig.4.28 sus) și geometric – la defocusarea optimă – (fig.4.28 jos), distribuția energetică totuși diferă.

Această observație este susținută și de figura 4.29.

Fig.4.29. Distribuția energetică apreciată prin cantitatea conținută în pătrate concentrice de diferite laturi diferă pentru poziția planului de punere la punct în focarul paraxial, prin calcul difracțional, (sus) și pentru planul stabilit prin defocusare, prin calcul geometric, (jos)

Fig.4.30. LSF determinat pentru sistemul considerat ca limitat la difracție (sus) diferă într-o oarecare măsură, dar nu esențial pentru sistemul real, defocusat corect (jos)

Figura 4.30 compară LSF pentru sistemul ideal și cel real. Curbele prezintă o asemănare satisfăcătoare.

Figura 4.31 redă sintetic funcția optică de transfer, prin componentele sale MTF și PTF, funcție de frecvența spațială.

Fig.4.31. MTF și PTF funcție de frecvența spațială. Frecvența de tăiere se află în jurul valorii de 350 perechi de linii/mm.(Teoretic aceasta are valoarea 363 perechi linii/mm). MTF este suficient de aproape de cel ideal, pentru a aprecia sistemul ca având o calitate bună. Coincidența perfectă dintre curbele corespunzătoare planului tangențial și sagital se datorează faptului că analiza este realizată pentru un punct axial. PTF – linia orizontală – indică, de asemenea un comportament bun, defazarea fiind constantă și nulă

Extinderea analizei pe întreg câmpul obiect conduce la modificări semnificative ale curbelor MTF, care arată că frecvențele de tăiere reale sunt inferioare celei de calcul, până la un nivel pe care utilizatorul consideră că se poate accepta un echilibru rezoluție-contrast satisfăcător. De asemenea, la deschideri mari ale câmpului curbele MTF pentru planul tangențial și sagital devin distincte dar au aluri relativ asemănătoare, așa cum rezultă din figura 4.32.

Fig.4.32. MTF în plan tangențial și sagital pentru trei deschideri ale câmpului obiect curba de referință a sistemului limitat la difracție

Defocusarea optimă se poate obține și prin analiza curbelor MTF funcție de poziția focarului, cu luarea în considerare a tuturor parametrilor importanți – planul sagital și tangențial, deschiderea câmpului obiect și o valoarea a frecvenței spațiale considerate ca limită de rezoluție practică (fig. 4.33).

În figurile următoare este prezentat un alt parametru de apreciere a distribuției energetice, KED (knife edge distribution). Importanța sa este deosebită, având în vedere că determinarea sa practică este simplă și reprezintă primul pas al metodei experimentale de măsurare a MTF. Obținerea KED presupune utilizarea unui obturator, care inițial acoperă total pupila de intrare a sistemului, astfel încât un detector plasat în planul imagine ideal să indice o valoare nulă pentru o mărime energetică pe care o măsoară. Obturatorul, care are o margine liniară ascuțită (knife edge=muchie de cuțit) se deplasează treptat paralel cu una dintre axele x sau y, iar detectorul înregistrează o cantitate de energie tot mai mare până la descoperirea completă a pupilei de intrare. Curba obținută reprezintă KED. Utilitatea practică a acestei curbe constă în faptul că prima sa derivată reprezintă LSF a sistemului pentru planul analizat. Cunoscând LSF se poate aplica algoritmul descris în exemplul anterior pentru determinarea MTF și , fără a avea nevoie de diagrama spot. Plasând detectorul la diverse abscise în vecinătatea focarului paraxial se obține dependența MTF funcție de focar, de unde se poate deduce defocusarea optimă.

Fig.4.33. Analiza MTF funcție de defocusare poate indica poziția optimă a planului imagine

Figura 4.34 reprezintă curba KED pentru sistemul ideal, limitat la difracție, pentru care se remarcă totala coincidență a punctelor corespunzătoare planelor tangențial și sagital.

Reprezentarea următoare (fig.4.35) a KED și LSF în același grafic sugerează legătura dintre acestea. LSF rezultă prin derivarea KED.

Pentru sistemul real, dar defocusat corespunzător, alura curbelor suferă o mică schimbare, așa cum rezultă din figurile 4.36 și 4.37.

De remarcat este faptul că s-au considerat numai puncte axiale în trasarea curbelor KED și LSF. Pentru deschiderea maximă a câmpului alurile se schimbă semnificativ, mai ales în ceea ce privește planul de analiză – tangențial sau sagital.

În figura 4.38 se poate urmări o astfel de reprezentare pentru sistemul real, defocusat corespunzător, la deschiderea maximă a câmpului.

Fig.4.34. Curba KED pentru sistemul considerat limitat la difracție

Fig.4.35. Curba KED și LSF pentru sistemul considerat limitat la difracție

Fig.4.36. KED pentru sistemul optic real

Fig.4.37. KED și LSF pentru sistemul optic real

Fig.4.38. KED și LSF pentru sistemul real, focusat pentru cea mai bună imagine, la câmpul obiect cu deschidere maximă

Bibliografie

Cuprins