Metode computat ,ionale pentru rezolvarea [623115]

Metode computat ,ionale pentru rezolvarea
ecuat ,iilor s ,i a sistemelor de ecuat ,ii diferent ,iale
Matanie Noemi Miriam Anita
Rezumat
Acest referat se axeaz a pe introducerea ^ n ecuat ,iile diferent ,iale,
part,iale s ,i ordinare, s ,i dezvolt a metode de a le rezolva cu ajutorul
programului matematic Mathcad.
1 Introducere
2 Breviar teoretic
Studiul fenomenelor naturii i-a condus pe oamenii de s ,tiint , a la crearea unor
modele matematice care s a cuprind a ^ ntr-o formulare abstract a principa-
lele caracteristici ale acestora. Pentru fenomenele evolutive cel mai potri-
vit model s-a dovedit acela dat sub forma unei ecuat ,ii sau sistem de ecuat ,ii
diferent ,iale.
^In matematic a, o ecuat ,ie diferent ,ialt,este o ecuat ,ie pentru o funct ,ie
necunoscutt ,de una sau mai multe variabile; ea are forma unei relat ,ii ^ ntre
funct ,ia ^ ns as ,i i un num ar de derivate ale sale de diferite ordine. Ecuat ,iile
diferent ,iale au un rol important ^ n formularea cantitativ a a problemelor din
s,tiint , a s,i tehnic a.
Ecuat ,iile diferent ,iale au fost descoperite cu publicarea c art ,ii Methodus

uxionum et Serierum Innitarum n 1671 de c atre Isaac Newton s ,i Gottfried
Leibniz. ^In a-l doilea capitol a identicat trei tipuri de ecuat ,ii diferent ,iale.
dy
dx=f(x) (2.1)
dy
dx=f(x;y) (2.2)
1

x1dy
dx1+x2dy
dx2=y (2.3)
El rezolv a aceste exemple ^ mpreun a cu altele folosind serii innite s ,i
dezvolt a rezultatele obt ,inute. Jacob Bernoulli propune ecuat ,iile diferent ,iale
de tip Bernoulli ^ n 1695. Aceasta este o ecuat ,ie diferent ,ial a ordinar a cu
forma:y0+P(x)y=Q(x)ynpentru care Leibniz a g asit solut ,ii un an mai
t^ arziu prin simplicarea ecuat ,iei.^In mod istoric vibrat ,ia unei corzi a fost
studiat a de Jean le Rond dAlambert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli s ,i
Joseph-Louis Lagrange.
Ecuat ,ia Euler-Lagrange a fost dezvoltat a ^ n anii 1750 de c atre Euler s ,i
Lagrange ^ n conect ,iune cu studiile lor pe problema curbei tautocron a. O
tautocron a (curba evenimentelor de aceeas ,i durat a), denumit a s ,i curb a sau
traiectorie tautocron a, este n mecanic a, o curb a Ccu proprietatea c a un
punct material M, obligat s a se mis ,te f ar a frecare pe Csub act ,iunea unei
fort,e F, descrie orice arc de curb a OM0, socotit de la pozit ,ia init ,ial aM0
p^ an a la un punct Oal luiC, numit punct de tautocronism, ^ n acelas ,i in-
terval de timp, oricare ar  coordonatele init ,ial aM0, cu condit ,ia ca viteza
init,ial a a punctului material s a e nul a. Mis ,carea av^ and aceast a proprie-
tate se numes ,te mis ,care tautocron a. Mis ,c arile tautocrone pot avea loc n
c^ ampuri de fort ,eF(x;y;z ) stat ,ionare, adic a independente de timp, unde x,y
s,izsunt coordonatele carteziene ale punctului Mpe traiectorie. Un exem-
plu des ^ nt^ alnit este cel al tautocronelor n c^ amp gravitat ,ional uniform (cu
accelerat ,ia gravitat ,ionalt ,identic a ^ n orice punct al spat ,iului; aproximarea
mis,c arilor reale ^ ntr-o vecin atate restr^ ans a a unui punct de pe o suprafat , a
echipotent ,ial a din jurul unei mase care genereaz a c^ ampul gravitat ,ional), la
care curbele tautocrone sunt cicloide situate ^ n planuri verticale, av^ and con-
cavitatea ^ n sus; punctele de tautocronism sunt reprezentate de v^ arfurile
cicloidelor, unde tangenta la curb a este orizontal a.
Lagrange a rezolvat problema ^ n 1755 s ,i a trimis solut ,ia la Euler. Prin ur-
mare, am^ andoi au dezvoltat metoda lui Lagrange s ,i au aplicat-o ^ n mecanic a,
lucru ce a condus la formularea mecanicii lagrangiene.
Fourier a publicat lucrarea sa despre transmiterea c aldurii ^ n cartea Tho-
rie analytique de la chaleur. ^In aceast a carte a fost publicat a s ,i ecuat ,ia
c aldurii. Aceast a ecuat ,ie diferent ,ial a este acum predat a ^ n toate programele
pentru student ,ii matematicii sau a zicii.
Cum a fost ment ,ionat, ecuat ,iile diferent ,iale se pot ^ mp art ,ii ^ n mai multe
tipuri. ^In afara faptului c a ecare tip are propriet at ,iile sale, este important a
identicarea tipului deoarece prin aceasta se arat a cum trebuie abordat a pro-
2

blema pentru a g asi o rezolvare. Cele mai evidente diferent ,ierii sunt: ecuat ,ii
diferent ,iale part ,iale sau ecuat ,ii diferent ,iale ordinare, lineare sau nelinieare s ,i
omogene sau neomogene. Aceast a list a de diferent ,iere este mult mai ampl a,
exist a mai multe propriet ai sau subclase de ecuat ,ii diferent ,iale care se pot do-
vedi a  importante de s ,tiut ^ n anumite contexte, dar care nu vor  dezvoltate
^ n acest referat.
Ecuat ,iile diferent ,iale ordinare sunt ecuat ,ii care cont ,in o variabil a indepen-
dent a s ,i derivatele ei. Termenul ordinar este folosit ^ n contrast cu termenul
part ,ial care se refer a la mai mult dec^ at o variabil a independent a. Odat a
cu aparit ,ia calculului diferent ,ial s ,i integral a ^ nceput s ,i studiul ecuat ,iilor
diferent ,iale, necesitatea lor ap ar^ and clar din modelele care au dus la con-
struirea conceptelor de baz a ale analizei matematice: tangenta la o curb a s ,i
viteza mis ,c arii unui corp. Teoria ecuat ,iilor diferent ,iale ordinare studiaz a pro-
cesele de evolut ,ie care sunt deterministe, nit-dimensionale s ,i diferent ,iabile.
Dac a evolut ,ia ulterioar a s ,i trecutul unui proces sunt determinate univoc
de starea sa prezent a, acest proces se numes ,te determinist. Mult ,imea tuturor
st arilor posibile ale procesului se numes ,te spat ,iul fazelor. Pentru un sistem
mecanic, de exemplu, spat ,iul fazelor este o mult ,ime ^ n care ecare element
este dat de ansamblul pozit ,iilor s ,i vitezelor tuturor punctelor sistemului. Or-
dinul unei ecuat ,ii diferent ,iale este dat de derivata de cel mai mare ordin a
funct ,iei necunoscute.
Tipuri de ecuat ,i diferent ,iale ordinare:
Ecuat ,ii diferent ,iale cu variabile separabile: y0=f(y)g(x)
Ecuat ,ii diferent ,iale liniare: y0=a(x)y
Ecuat ,ii diferent ,iale ane:y0=a(x)y+b(x)
Ecuat ,ii diferent ,iale omogene: y0=F(x=y)
Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Bernoulli: y0+a(x)y=b(x)yn
Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Riccati: y0=a(x) +b(x)y+c(x)y2
Ecuat ,ii diferent ,iale implicite: F(x;y;y0) = 0
Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Lagrange: a(y0)x+b(y0)y=c(y0)
Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Clairaut: yxy0=a(y0)
3

Denit ,ia 2.1. O ecuat ,ie diferent ,ial a de ordinul I este de forma
y(x) =f(x;y(x)) (2.4)
undey:I!Reste o funct ,ie derivabil a pe I,IRcu derivata y0:I!R,
iarfeste o funct ,ie denit a pe o mult ,ime de forma JK, undeJs,iKsunt
intervale de numere reale. Se numes ,te solut ,ie a ecuat ,iei diferent ,iale o funct ,ie
derivabil ay:I!R,IJastfel ^ c^ at pentru orice x2Is a avemy(x)2K
s,iy(x) =f(x;y(x)).
Dac a se cere g asirea unei solut ,iiycare ^ ntr-un punct x02Iia o valoare
dat ay0se spune c a solut ,iaysatisface condit ,ia init ,ial ay(x0) =y0.
Interpretarea geometric a
Rezolvarea ecuat ,iei diferent ,iale revine ^ n g asirea curbelor de ecuat ,iey=
y(x) pentru care panta tangentei^ n punctul M(x;y(x)) estetan=f(x;y(x)),
ind unghiul tangentei cu axa Ox. Curbeley=y(x) se numesc curbe inte-
grale.
Clase de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul I
1. Ecuat ,ii de formay=f(x), undefeste o funct ,ie continu a pe un interval
I. Aceast a ecuat ,ie se obt ,ine din ecuat ,ia diferent ,ial ay(x) =f(x;y(x)
consider^ and funct ,iaf(x;y) nu depinde de variabila y. Soult ,ia ecuat ,iei
y0=f(x);x2Ireprezint a mult ,imea primitivelor funct ,ieif:y(x) =Rx
x0f(t)dt+c, undec2mathbbR este o constant a arbitrar a x;x 02I
s,iRx
x0f(t)dteste o primitiv a a funct ,ieif.
2. Ecuat ,ii diferent ,iale separabile de ordinul I
O ecuat ,ie diferent ,ial a de ordinul I este cu variabile separabile dac a are
forma unde P:J!R;Q :K!Rsunt funct ,ii continue pe intervalele
J;KRs,iQ(y)6= 0;8y2K. Pentru rezolvarea ecuat ,iei se ^ mpart
ambii termeni ai ecuat ,iei cu factorul Q(y), presupus nenul s ,i se obt ,ine:
y0(x)
Q(y(x))=P(x) (2.5)
4

Fieg1o primitiv a pe intervalul Ka funct ,iei din primul membru al
ecuat ,iei s ,ig2o primitiv a pe intervalul Ja funct ,iei din membrul al
doilea al egalit at ,ii. Aceste funct ,ii av^ and derivatele egale, difer a printr-
o constant a, adic a:
g1(y(x)) =g2(y(x)) +c0;8c2J (2.6)
Constanta c0va  unic determinat a dac a funct ,iaysatisface condit ,ia
init,ial ay(x0) =y0.
Cazuri particulare ale ecuat ,iei diferent ,iale de ordinul I
3. Ecuat ,ia diferent ,ial a omogen a de ordinul I
Sunt ecuat ,ii diferent ,iale de forma:
y0=f(y
x); (2.7)
undefeste o funct ,ie continu a pe un interval I;O =2I.
Dac a not am u=y
xs,i consider am u=u(x) noua funct ,ie necunoscut a,
rezult ay(x) =xu(x) s,iy0=u+xu0.^In urma acestei schimb ari de
funct ,ie necunoscut a, ecuat ,ia devine o ecuat ,ie cu variabile separabile,
anume:
u+xu0=f(u) (2.8)
Cazulf(u) =use reduce la o ecuat ,ie cu variabile separabile s ,i se
rezolv a ca mai sus.
Putem deci presupune c a f(u)6=u. Separ^ an variabilele obt ,inem:
du
f(u)u=dx
u(2.9)
s,i mai departe
Zdu
f(u)u= lnkxk+ lnkCk;C2R(2.10)
5

Exemplu 1. S a se g aseasc a solut ,ia ecuat ,iei diferent ,iale
y0=y
x+ (y
x)2;x6= 0;
care ^ ndeplines ,te condit ,ia init ,ial ay(2) = 1 .
Not^ and cuu=y
x, ot ,inemu+xu0=u+u2. Presupunem, ^ n continuare
y6= 0. Ecuat ,ia diferent ,ial axu0=u2se scrie sub formadu
u2=dx
x.
Integr^ and, rezult a
1
u= lnjxj+ lnjCj;C2R:
s,i mai departex
y= lnjCjjxj;x6= 0. Din aceast a relat ,ie se obt ,ine
solut ,iile corespunz atoare diferitelor condit ,ii init ,iale. Impun^ and condit ,ia
y(2) = 1 , se obt ,inejCj=1
2e2care conduce lax
y=2ln 2+lnjxj;x6=
0. Deoarece ne intereseaz a cazul x2(0;1, rezult a c a solut ,ia care
^ ndeplines ,te condit ,ia init ,ial ay(2) = 1 estey=x
2+ln 2lnx;x2(0;2e2):
4. Ecuat ,ia diferent ,ial a liniar a de ordinul I
Ecuat ,ile diferent ,iale liniare neomogene, de ordinul ^ nt^ ai, sunt ecuat ,ii
de forma:
y0+P(x)y=Q(x);
undePs,iQsunt funct ,ii continue pe un interval I.
Ecuat ,ia liniar a omogen a asociat a este
y0+P(x)y= 0:
Observ am c a ecuat ,ia omogen a este o ecuat ,ie cu variabile separabile.
Separ^ and variabilele s ,i integr^ and, obt ,inem:
dy
y=P(x)dx;y6= 0;
lnjyj=Z
P(x)dx+ lnjCj;C2R
s,i mai departe
jyj=jCjeR
P(x)dx;C2R;
6

care este echivalent a cu
y=CeR
P(x)dx;C2R:
Des,i aceast a solut ,ie s-a obt ,inut ^ n ipoteza y6= 0, care presupune C6=
0, observ am c a ecuat ,ia admite s ,i solut ,iay= 0 care s-a pierdut la
^ mp art ,irea cuy. As ,adar
y=CeR
P(x)dx;C2R
reprezint a solut ,ia general a a ecuat ,iei omogene.
Pentru a obt ,ine solut ,ia general a a ecuat ,iei neomogene folsim metoda
variat ,iei constantei lui Lagrange s ,i anume c aut am solut ,ia ecuat ,iei neo-
mogene de forma:
y='(x)eR
P(x)dx
unde'este o funct ,ie de clas aC(1) pe intervalul I. Pentru determinarea
funct ,iei'punem condit ,ia ca s a e solut ,ie pentru ecuat ,ie s,i obt ,inem:
'0(x)eR
P(x)dx'(x)eR
P(x)dx+P(x)'(x)eR
P(x)dx=Q(x):
Efectu^ and calculele, rezult a
'0(x) =Q(x)eR
P(x)dx
s,i mai departe
'(x) =Z
Q(x)eR
P(x)dxdx+C:
^Inlocuindy,obt,inem solut ,ia general a a ecuat ,iei neomogene s ,i anume:
y=eR
P(x)dx(C+Z
Q(x)eR
P(x)dxdx) (2.11)
5. Ecuat ,ia diferent ,ial a de tip Bernoulli
Sunt ecuat ,ii diferent ,iale de forma:
y0+P(x)y=Q(x)y;2Rnf0;1g: (2.12)
7

Presupunem c a Ps,iQsunt funct ,ii continue pe un interval I.^Imp art ,ind
cuy, pentruy6= 0, obt ,inem:
yy0+P(x)y1=Q(x): (2.13)
Dac a facem schimbarea de funct ,iey1=zeste noua funct ,ie necunos-
cut a, rezult a (1)yy0=z0s,i mai departe
z0
1+P(x)z=Q(x):
Ecuat ,ia devine o ecuat ,ie diferent ,ial a de ordinul ^ nt^ ai s ,i se rezolv a ca
atare.
6. Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Riccati
Sunt ecuat ,ii diferent ,iale de forma:
y0=P(x)y2+Q(x)y+R(x) (2.14)
undeP;Q s,iRsunt funct ,ii continue pe un interval I.
^In general, o ecuat ,ie de acest tip nu se poate integra prin cuadra-
turi. Astfel ^ nc^ at din 1841, J. Liouville a demonstrat c a exist a ecuat ,ii
diferent ,iae de tip Riccati care nu sunt integrabile prin cuadraturi, adic a
solut ,iile lor nu pot  exprimate ca primitive ale unor funct ,ii continue.
De exemplu, ecuat ,ia RiRiccati este foarte simpl a:
y0=x2+y2; (2.15)
nu este inegrabil a prin cuadraturi.
Cel mai simplu s ,i mai cunoscut caz de inegrabilitate a ecuat ,iei Riccati
este acela c^ and se cunoas ,te o solut ,ie particular a a acestei ecuat ,i. Dac a
se cunoas ,te o solut ,ie particula a a ecuat ,iei, anume yp:YI!R,
atunci efectu^ and schimbarea de funct ,iey=yp+1
z, ecuat ,ia diferent ,ial a
se reduce la o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai.
^Intr-adev ar, deriv^ and s ,i ^ nlocuind ^ n prima ecuat ,ie, obt ,inem:
y0z0
z2=P(x)(y2
p+ 2yp
z+1
z2) +Q(x)(yp+1
z) +R(x): (2.16)
8

T,in^ and seama c a ypveric a ecuat ,ia, deci
y0=P(x)y2
2+Q(x)yp+R(x; (2.17)
rezult a
z0+ [2ypP(x) +Q(x)]z=P(x):
Se observ a c a ecuat ,ia a devenit o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul
^ nt^ ai.
3 Aplicat ,ii
4 Algoritmi de rezolvare
5 Rezolvarea computat ,ional a
6 Concluzii
9