METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR [619101]

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

MIHALACHE CRISTIAN EMIL

METODE ARITMETIC E
DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR

2018

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 1
1. INTRODUCERE

Rezo lvarea problemelor de matematic ă este una din cele mai sigure
căi ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției ș i spiritului de
observație al elevilor. Această activitate pune la încercare în cel mai înalt grad
capacităț ile intele ctuale ale elevilor, le solicită ace stora toate disponibilităț ile
psihi ce, în special inteligenț a, motiv pen tru care, programa de matematică din
ciclul prim ar acordă rezolvării problemelor o importanță deosebită . Nu este
vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezo lvare, ci
despre a -i crea elevului situații noi de învățare, la care să răspundă cât mai
adecvat, în urma unui demers de explorare și investigaț ie.

Prin r ezolvarea de probleme, elevii își formează priceperi și deprinderi de
a analiza situația dată de prob lemă, de a intui ș i descoperi calea prin care se
obține ceea ce se cere în problemă . Rezolvarea problemelor c ontribuie astfel la
cultivarea și dezvoltarea capacităț ilor creatoare ale gâ ndirii, la sporirea
flexibilității ei, a capacităț ilor anticipativ -imag inative, la educarea perspica cității
și spiritului de inițiativă , la dezvoltarea încrederii în forț ele proprii.

Metodele aritmetice de rezolvare a problemelor se clasifică în două
categorii: metode aritmet ice fundamentale sau generale și metode aritmetice
specifice sau particulare.

Metodel e aritmetice generale se aplică într -o măsura mai mare sau mai
mică în rezolvarea tuturor problemelor.

Metodele aritmetice specifice sunt mai variate și diferă de la o categorie
de probleme la alta, adoptându -se specifi cului acestora. Cele mai importante s i
mai frecvente sunt următoarele: metoda figurativă sau grafic ă, metoda
comparaț iei, metoda falsei ipoteze sau metoda mersului invers . Asupra acestor
metode ne vom opri și noi în continua re arătând specificul fiecăreia și dâ nd
exemple semnificative pentru fiecare.

În rezolvarea problemelor nu este înto tdeauna eficientă aplicarea unei
singure metode, fiind necesară combinarea metodelor, în anumite etape ale
rezolvarii, predominând una dint re ele.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 2

Alteori orientarea se face dupa felul cum au fost rezolvate problemele
înrudite, procedând similar, adică aplicând metoda analogiei.
De asemenea, în afar ă de met odele men ționate mai sus, există și alte
metode specifice aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme,
cum sunt: problemele de împărțire în părți proporț ionale, problemel e cu
procente, problemele de mișcare, problemele nonstandard, etc.

2. METODA FIGURATIVĂ SAU METODA GRAFICĂ

Metoda artitmetică, care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a
relațiilor dintre ele utilizeaz ă elemente grafice sau desene și scheme se numește
metoda figurativă sau m etoda grafică .

În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de
elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvat e
naturii datelor problemei ș i specificului lor. Astfel, se pot întâlni:

-desene care reprez intă acțiunea problemei și părț ile ei componente pentru
clasele mici);
-figuri geometric e diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, dreptunghiul,
pătratul, cercul;
-figurarea schematică a relaț iilor matematice dintre datele problemei;

-diverse semne co nvenț ionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun
acord cu elevii;
-elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc.

Metoda figurativă ajută la formarea schemei problemei, la concentrarea
asupra tuturor condiț iilor problemei. În rezolv area unei pr obleme care face apel
la această metodă, sprijinul se face pe raț ionament, folosind întelesul concret al
operatiilor.

Metoda figurativă este situată pe primul loc în ceea ca privește utilitatea
ei, datorită avantajelor pe care le prezintă . Ast fel:

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 3
-are caracter general, utilizându -se la orice categorii de probleme în care se
preteaza figurarea ș i pe diferite trepte ale scolariză rii;

-are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei fă cându -se pe
baza imaginilor vizuale, u neori intervenind acțiunea directă, mișcarea ș i
transpunerea acesteia pe plan mintal;

-prin dimen siunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează
variate modalități de stabilire a relaț iilor cantitative dintre diferitele valori ale
mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență .
Pașii urmați în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt :
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment , dreptunghi, cerc
etc.);

– fiecare relație din textul problemei se sc hematizează utilizând figurile alese,
obținând modelul grafic al problemei;

– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică
raționam entul de rezolvare;

– se fac calculele și se determină necunoscutele;
Problemele rezolvabil e prin metoda figurativă se pot împărți în două mari
caregorii

1. Cu date sau mărimi ”discrete ” – înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi
numărate una câte una sa u pot fi puse în corespondență după anumite criterii
transfigurate simbolic.

2. Cu date sau măr imi ”continui ” – în acest caz mărimile le con figurăm de obicei
prin segmente .
EXEMPLE
1. Daca se așează câte un elev într -o bancă rămân 14 elevi î n picioare.
Dacă așezăm căte 2 elevi într -o bancă rămân 3 bănci libere. Câți elevi
și câte bănci sunt?

Rezolv are:
Din analiza primei părți a enunțului desprindem că mulțimea elevilor și
mulțimea băncilor pot fi în așa fel “privite ” încât elementele lor să fie organizate

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 4

astfel : fiec ărui elev îi corespunde o bancă , situație în care 14 elevi rămân î n
picioare, de ci nu au loc. Figurăm această situație convenind să reprezentă m
banca printr -un dreptungh i și elevul printr -un cerc.

Analizând a doua parte a enunțului procedăm în felul următor: distribuim câte
unul dintre cei 14 elevi rămași în picioare în câte o bancă. Se observă că aceștia
vor ocupa 14 bă nci, deci se vor completa cu ei 14 bănci cu câte 2 elevi, dar
pentru că trebuie să rămână trei bănci libere înseamnă că din băncile cu un copil
s-au ridicat încă trei elevi care au completat ca și ceilalți colegi ai lor trei bă nci
cu 2 elevi. Recapitul ând , avem 14 bănci cu câ te 2 elevi completate de cei 14
elevi ce erau în picioare și încă trei bănci cu 2 elevi completate prin ridicarea
câte unui elev din 3 banci care trebuiau sa ramana libere.

Deci erau în clasă:
14 + 3 + 3 = 20 bănci și 20 + 14 = 34 elevi.

2. Suma a două numere este 35 iar diferența lor este cât a treia parte din
numă rul mai mic. Aflati cele două numere.

Rezolvare :
Punem în evidență “informația ” care ne spune că diferența numerelor este 1/3
din numărul mai mic, adică cel mic are 3 părți iar cel mare 4 părți.

b

a-b a

Din desen rezultă că 7 părți, fiecare egală cu a trei a parte din b, reprezinta 35 . O
parte reprezintă atunci 35 : 7 = 5. Atunci b = 3 ∙ 5 = 15 și a = 35 – 15 = 20.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 5

PROBLEME PROPUSE

1) Vârsta mamei este de 3 ori mai mare decât vârsta fiului. Știind că mama
și fiul au împreună 48 ani, să se afle vârsta fiecăruia.

2) Trei frați Alin, Costin și Eugen au împreună suma de 730 lei. Dacă
Eugen ar da lui Costin 80 lei, atunci cei doi ar avea sume egale. Știind că
Alin are o sumă de 4 ori mai mare decât a lui Costin, să se afle suma
fiecăruia.

3) Suma a 2 numere este 342, iar dife rența lor este de 4 ori mai mare
decât numărul mic. Să se afle numerele !

4) Vârsta mamei este de 35 ani, iar vârstele celor doi fii sunt de 12 și 9
ani. Peste câți an i vârsta mamei va fi egală cu suma vârstelor copiilor
?

5) Suma a cinci numere pare impare co nsecutive este 415. Să se
afle numerele !

6) Un tată împarte 1400 oi fiilor săi. După ce fiecare obține partea sa, ei
observă că, dacă în numărul de oi ale primul ui fiu scade 185, din numărul
de oi ale celui de -al doilea scade 60, iar din numărul de oi ale c elui de -al
treilea se scade 195, atunci în cele 3 turme de oi ale fiilor se află acelaș i
număr de oi. Să se afle câte oi a primit fiecare dintre cei 3 fii ai ci obanului.

7) Pe o masă se află de 6 ori mai multe prune decât mere. După ce se
manâncă 9 prune și 4 mere, pe masă ramân de 9 ori mai multe prune
decât mere. Câte fructe de fiecare fel sunt pe masă ?

8) La un magazin s -au adus 545 citrice (lămâi și portocale). După ce s -au
vândut 25 kg de lămâi si 60 kg de portocale, cantitatea de portocale
rămase în magazin este de 3 ori mai mare decât cantitatea de lămâi. Câte
kg de lămâi și câte kg de portocale au fost în magazin ?

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 6
9) Avem la dispoziție bile de 3 culori: roșii, albastre și verzi. Punându -le
la un loc bilele roșii și albastre, obținem 68 bile. Punând la un loc bilele
roșii și verzi, obținem 62 bile; punând la un loc bilele verzi și albastre,
obținem 80 bile. Câte bile de fiecare fel avem ?

10) Un tată cu vârsta de 4 6 ani are doi fii cu vârstele de 18 și 14 ani.
Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu suma vârstelor fiilor lui ?

3. METODA COMPARAȚIEI SAU METODA ADUCERII LA
ACELAȘI TERMEN DE COMPARAȚIE

Metoda comparației se folosește la problemele în care se dau mai multe mărimi
între care se pot stabili mai multe relații și se cere să aflăm valorile acestor
mărimi .

Etapele urmate în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt
următoarele :
– se compară re lațiile date între mărimi;

– se transformă relațiile (prin înmulțiri, adunări etc.) pentru a obține același
termen de comparație (aceleași mărimi pentru două sau mai multe necunoscute);

– prin reducere sau înlocuire se elimină una sau mai multe mărimile
necu noscute în așa fel încât să rămână o singură necunoscută;

– se determină necunoscuta rămasă;
– se determină celelalte necunoscute.

EXEMPL U

Un elev cumpără 7 pixuri și 3 stilouri plătind 141 lei. Un alt elev
cumpără 2 pixuri și 6 stilouri, de același fel, plătind 246 lei. Câți lei costă un
pix? Dar un stilou?

Rezolvare .
Scriem în mod convenabil datele din enunț.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 7
7 pixuri……………….3 stilouri…………141 lei
2 pixuri……………….6 stilouri…………246 lei

Înmulțim prima relație cu 2 pentru a avea același număr de stilouri. Noile relații
sunt
14 pixuri……………….6 stilouri…………..282 lei
2 pixuri………………..6 stilouri……………246 lei
În ambele cazuri avem același număr de stilouri de unde rezultă că diferența
282-246=36 lei provine din diferența numărului de pixuri cumpărate și anume
14-2=12 pixuri. Deci un pix a costat 36:12=3 l ei. Pentru a afla câ t a costat un
stilou înlocuim valoarea unui pix în una din cele două relații. Înlocuind în a doua
relație vom obține succesiv 2×3=6 lei, 246 -6=240 lei, 240:6=40 lei costă un
stilou.

PROBLEME PROPUSE

1. Dacă mama ar pune sucul de roșii în sticle de 900 ml, ar umple 18. De
câte sticle are nevoie pentru a pune sucul în sticle de 450ml.

2. Dacă 15 kg de zahăr costă 315 000 lei, aflați cât costă 27 kg de zahăr.

3. O trăsură parcurge parcurge un drum în 5 ore, mergând cu viteza de
12 km/oră.În cât timp va parcurge acelați drum un camion care
merge cu viteza de 40km/oră?

4. Din 15 kg de lămâi se obțin 9litri de suc. Din câte kg de lămâi se
pot obține 15 litri de suc?

5. Trei t ractoare ară o suprafață agricolă în 210 ore. În câte ore ară
aceeași suprafață 7 tractoare?

6. Într-o urnă sunt bile numerotate de la 1 la 20. Care este probabilitatea ca
la o extragere să obținem o bilă cu număr prim?

7. În 8 zile, o echipă de muncitori e xecută 720 piese. În cât timp
execută echipa 1890 piese de același tip?

8. Patru muncitori execută o lucrare în 6 zile. În câte zile execută
aceeași lucrare 3 muncitori?

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 8

9. Trei caiete costă 25500 lei. Cât vor costa 12 caiete de același fel?

10. În câte zile pot termina o lucrare 3 muncitori , știind că aceeași lucrare
11 muncitori o termină în 6 zile?

11. Un șofer parcurge în 8 luni 10 000 km, cu o viteză constantă. Câte
ore va parcurge șoferul într -un an, dacă merge cu aceeași viteză?

12. Din 16 kg d e apă de mare se obțin 400 g de sare. Ce cantitate de apă
de mare este necesară pentru a obține 750 g de sare?

13. Dacã 12 muncitori sapă 15 metri de sant pe zi, aflați câti metri vor
săpa 24 muncitori, în acelasi t imp.

14. Pentru a vopsi 1200 m2 de perete avem nevo ie de 4 bidoane de vopsea.
De câtă vopsea avem nevoie pentru 6000 m2 de perete?

15. Din 3 robinete cu același debit curg într -un interval de timp 750 litri
de apă. Din câte robinete curg în același interval de timp 1250 litri de
apă?

16. Cinci robinete pot umple un bazin în 6 ore. Câte robinete cu același
debit pot umple bazinul în 5 ore?

17. Dacă 30 de caiete costă 45 lei. Cât vor costa 8 caie te?

4. METODA FALSEI IPOTEZE SAU METODA PRESUPUNERII

Problemele care se pot rezo lva prin această metodă sunt foart e numeroase.
Prin aceasta metodă poate fi rezolvată orice problemă ale cărei date sunt mărimi
proporț ionale.

Metoda false i ipoteze este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei
probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi
situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotet ice. Numele metodei
se justifică prin faptul că ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplator cu
rezult atul problemei. Ea se util izează în toate cazurile în care, prin ipotezele care

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 9
se fac, se poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei ș i deci la
rezolvarea ei.

De regulă, se pleacă de la în trebarea problemei, în sensul că asupra mărimii
care se caută se face o p resupunere complet arbitra ră. Se reface apoi problema
pe baza presupunerii facute.

Deoarece mărimile sunt proporționale, rezultatele obț inute pe b aza
presupunerii se translatează în plus sau în minus, după cum presupunerea făcută
este mai mica, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refacând, aș adar,
problema, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real din problema. El
este fie mai mare, fie mai mic decât ac esta. În acest moment se compară
rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punc t de vedere al enunțului și se
observă de câte ori s -a greșit când s -a făcut presupunerea. Se obține, așadar, un
număr cu ajutorul că ruia se corecteaza presupunerea făcută, în sensul că se
micșorează sau se mareș te de acest numar de ori.

Metoda are ș i une le variante de aplicare, dar, în p rincipiu, ea ramâne cea
descrisă mai sus. Problemele care se rezolvă prin aceasta metodă se pot
clasifica în doua categorii, în funcție de

numă rul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea raționamentului ș i
determ inarea rezultatelor:

1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură
ipoteză ;

2) Probleme de categoria a II -a, pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau
mai multe ipoteze succesive.

EXEMPLE
.
1. Într-o curte sunt găini și purce i, în total 40 de capete ș i 100 de
picioare. Câte găini și câți purcei sunt.
Rezolvare :
Presupunem că avem în curte numai găini. Deci am avea 40 de capete și 80
de picioare. Diferența 100 -80=20 picioare provine din presupunerea noastră și

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 10
din diferența di ntre numărul de picioare al găinilor și al purceilor 4 -2=2 picioare.
Deci în curte trebuie să avem și 20:2=10 purcei restul de 30 fiind găini.
2. Într-un bloc sunt apartamente cu 2 camere și cu 4 camere. Știind că
blocul are 20 de apartamente care au în total 50 de camere, să se afle câte
apartamente sunt din fiecare fel .

Rezolvare :
Presupunem că toate apartamentele au două camere.
Atunci blocul ar avea 2 camere x 20 = 40 camere.
S-a obținut 50 – 40 = 10 camere mai puțin decât în problemă .
Această diferență s -a obținut deoarece sunt și apartamente cu 4 camere,
care au cu 4 – 2 = 2 camere mai mult.
– Numărul apartamentelor cu 4 camer e se determină a stfel, 10 : 2 = 5
apartamente
– Atunci 20 apartamente – 5 apartamente = 15 apartamente cu 2 camere.
Deci, blocul va avea 5 apartamente cu 4 camere și 15 apartamente cu 2
camere.

PROBLEME PROPUSE

1. La o fermă se cresc oi și găini , care au 650 de capete și 2260 picioare.
Câte oi și câte găini sunt în fermă?

2. Pentru cumpărarea unor covoare s – a achitat suma de 21 600 lei , în
bancnote de 100 lei și de 200 lei. Știind că s -au dat în total 148 bancnote, aflați
câte bancnote de 100 lei și câte b ancnote de 200 lei s -au folosit?

3. La o serbare școlară s-au vândut 425 bilete la prețul de 4 lei și respectiv de

6 lei biletul, încasându -se în total 2 100 lei. Câte bilete din fiecare
categorie au fost vândute?

4. Bunicul a recoltat 27 de lădițe cu mere, u nele de 6 kg, iar altele de 10 kg.
Aflați câte lădițe sunt de fiecare fel dacă s -au recoltat 222 kg de mere?

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 11
5. De la o librărie s -au cumpărat 18 caiete de 50 și respective 80 de file. Câte
caiete sunt de fiecare fel?

6. Alex crește porumbei și iepuri, în tota l 51 de capete și 132 de picioare .
Câți porumbei și câți iepuri are Alex?

7. Cinci automobile parcurg undrum cu vitezele de 80 km/h sa u 75 km/h.
După o oră cele cinci automobile au parcurs 395 km. Să se determine câte
automobile au mers cu viteza de 7 5km/h și câte cu viteza de 80 km/h.

5. METODA MERSULUI INVERS

Prin m etoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care
elementul necunoscut apare în faza de înc eput a ș irului d e calcule care se impun.
Această metodă de rezolva re a problemelor de aritmetică se numeș te a mersului
invers, deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acț iunii problemei, adică
de la sfârșit spre început, fiecărei operaț ii corespunzându -i inversa ei. Metoda
mersului invers se aplică atât în rez olvarea exercițiilor numerice care conțin
necunoscută, cât ș i în rezolvarea problemelor care se încadreaza în tipul
respectiv, adic ă în care datele depind une le de altele succesiv, iar enunț ul
respectivei probleme trebuie urmărit de la sfârsit spre început și în fiecare etapă
se face operația inversă celei apărute în problemă . Deci, nu numai mersul este
invers, ci și operaț iile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din
problema. Proba se face aplicând asupra numărului găsit operațiile indicate în
enunț ul problemei.

Exemplu .
Mă gândesc la un număr. Acest număr îl împart la 7, câtului obținut îi
adaug 4, suma o înmulțesc cu 8 iar din produs scad 12 și obțin 60. La ce număr
m-am gândit?

Rezolvare :
Pecăm de la rezultatul final, în cazul nostru 60, și efectuăm de la sfărșit
spre început operațiile inverse celor din enunț. Obținem 60+12=72, 72:8=9, 9 –
4=5, 5*7=35.Deci numărul inițial este 35.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 12
PROBLEME PROPUSE

1. O cantitate de mere a fost împărțită la 3 grădinițe de copii. Prima
grădiniță a primit ½ din întreaga cantitate minus 150 kg , a doua 3/5 din rest,
iar a treia 452 kg de mere.
Care a fost întreaga cantitate de mere ?

2. Dacă mărim sfertul unui număr de 3 ori, produsul îl micșorăm cu 20,
iar restul îl micșorăn de 7 ori, obținem numărul 10.
Aflați numărul inițial!

3. Un elev cheltuiește o sumă de bani după cum urmează: în prima zi
jumătate din sumă , a doua zi un sfert din rest, iar a treia zi o treime din noul
rest, iar a patra zi jumătate din di n noul rest.
Știind că elevului i -au mai rămas 125 de lei, să se determine ce sumă
a avut elevul.

4. Mama are un număr de bomboane . Ea dă fiicei sale, Alina, un sfert
din numărul bomboanelor și încă 5 bomboane, iae fiului său, Sorin ,
jumătate din numărul bomboanelor și încă 5 bomboane.
Știind că i -au rămas 30 de bomboane , câte bomboane a avut mama.

5. Considerăm un număr pe care îl adunăm cu 1. Suma obținută o
înmulțim cu 2. Produsul astfel obținut îl înmulțim cu 3. Rezultă o nouă sumă
pe care o înmulținm c u 4. Știind că jumătatea acestui ultim produs este 10, se
cere numărul considerat la început.

6) [a x 2 + ( 111 – 202 : 2 ) ] x 2 = 160

PRINCIPII FOLOSITE ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE
MATEM ATICĂ

PRINCIPIUL LUI DIRICHLET

Există în matematică problem neelementare care pot fi rezolvate
elementar. Principiul lui Dirichlet numit și ,,principiul cutiei,, este o metod ă care
are la bază o experiență din copilărie , cu precizarea că denumirea de „cutie ”
desemnează „grupe de obiecte ” stabilite după anum ite criterii, iar „obiectele ”
desemnează lucruri, numere, figuri geometrice distanțate.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 13

Gustav Dirichlet fiind un copil foarte serios , ordonat și obișnuit să
respecte niș te reguli era foarte intrigat că cei 7 iepurași nu respectau nicio regulă
în alegerea cuștii în care se retrăgeau noaptea. Suparat a afirmat :

,,Oricum am așeza 7 iepuri ,în 3 cuști identice, cel puțin una va conține
mai mult de 2 iepuri ,,

De fapt el a enunțat unul din cele mai importante principii matematice
moderne.
„Dacă reprezentăm n+1 obiecte în n cutii, atunci cel puțin două
obiecte vor fi în aceeași cutie ”.
Justificare
Considerăm cazul cel mai nefavorabil așezând în fiecare cutie câte un
obiect.
Deci am folosit n cutii și n obiecte.
Obiectul cu numărul n+1 trebuie pus și el înt r-o cutie oarecare. Dar în
acea cutie există deja un obiect. Deci, în acea cutie vor fi două obiecte.
Forma genera lă a principiului lui Dirichlet este următoarea:
„Dacă așezăm kn+1 obiecte în n cutii, atunci cel puțin k+1 obiecte, k єN,
vor fi în aceeași cutie ”.

EXEMPLE

1. Este posibil sa punem 36 de bile , în 8 cutii , astfel încât în f iecare cutie
să fie cel puțin o bilă și să nu existe două cutii cu același număr de bile? Dar
9 în 4 cutii?
Rezolvare:
Cazul optim:
1+2+3+4+5+6+7+8=36
Punem în fiecare cuti e câte un număr crescător fată de anterioara
până ajungem la ultima, deci calculând este posibil.
Al II lea caz:
1+2+3+4=10, deci calculând este imposibil , deoarece sunt 9 bile deci în 2
cutii vor fi un număr identic de bile.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 14
2. Demonstrați că orica re ar fi 12 numere naturale distincte de 2
cifre, dintre acestea se pot alege două a căror diferență este un număr
format din două cifre identice.
Rezolvare:
Un număr format din două cifre identice este de forma aa .
n = aa ; n = 11 – a; 1  a  9 .
Din împărțirea unui număr la 11, restul va fi: 0, 1, 2, … 10 – deci 11 numere.
Din cele 12 numere rezultă că prin împărțirea la 11, vom avea două care vor
da același rest.
Fie aceste două numere,
xy și zt
xy = k1 · 11 + r
zt = k2 · 11 + r
xy – zt = 11(k 1 – k2)
Fie k 1 – k2 = k,
Deci există un număr k < 10. (câtul obținut prin împărțirea la 11 este mai
mic decât 10, altfel număru l ar avea mai mult de 2 cifre).
Deci xy – zt = 11 · k = kk

3. Într-o clasă 18 elevi vorbesc limba germană, 15 elevi vorbesc
limba franceză, iar 7 elevi vorbesc limba germană și limba franceză.
Câți elevi sunt în clasă?
Rezolvare:
18+15 -7=26
În clasă sunt 26 elevi.

4.Într -o urnă sunt 12 bile roșii, 30 bile albastre și 65 de bile galbene.Fără
a ne uita în urnă:

a)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le e xtragem ,pentru a
fi siguri ,că am luat cel puțin o bilă albastră?
b)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a
fi siguri ,că am luat cel puțin o bilă roșie?
c)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le ex tragem ,pentru a
fi siguri ,că am luat cel puțin o bilă de fiecare culoare ?
d)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a
fi siguri ,că am luat cel puțin 3 bile de ace eași culoare?

Rezolvare:
a) 12 roșii +65 galbene+ 1 albastră= 78 bile total
b) 65 galbene + 30 albastre+ 1 roșie= 96 bile total
c) 65 galbene + 30 albastre+ 1 roșie= 96 bile total

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 15
d) 2 roșii +2 albastre +2 galbene+ 1(din oricare culoare)= 7 bile total

PROBLEM E PROPUSE

1. Într-o clasă cu 24 de elevi ,10 elevi joacă fotbal, 12 elevi joacă
baschet iar 8 elevi joacă volei. Se știe că 2 elevi joacă și fotbal și baschet, 3
elevi joacă și baschet și volei, iar 2 elevi joacă și fotbal și volei.
Arătați că există cel puț in un elev care joacă și fotbal și baschet și
volei.

2. Magicianul are în pălărie șoareci :16 gri, 6 negri, 8 albi. Care este cel
mai mic număr de șoareci pe care trebuie să -l scoată din pălărie , legat la
ochi, pentru a fi siguri ,că cel puțin un șoarece din fiecare culoare , a ieșit
din pălărie?

TIPURI DE RAȚIONAMENTE FOLOSITE ÎN REZOLVAREA
PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

REDUCEREA LA ABSURD

Metoda reducerii la absurd este una din metodele generale de
rezolv are a problemelor de matematică.

La baza metodei reducerii la absurd stă legea terțului exclus, care se
enunță astfel: dintre două propoziții contradictorii, una este adevărată, cealaltă
falsă iar a treia posibilitate nu există. Din enunț se vede că legea (principiul)
terțului exclus ne spune că din două propoziții contradictorii una este
adevărată, dar nu ne precizează care din cele două propoziții este adevărată și
care e falsă. De aceea, în practică, atunci când la două propoziții contradictorii
aplicăm legea terțului exclus este suficient să stabilim că una dintre ele este
falsă pentru a deduce că cealaltă este adevărată.

Demonstrațiile prin reducere la absurd se utilizează atunci când trebuie
să se arate că propoziția care e in contradicție cu cea pe care trebuie să o
demonstrăm este falsă.

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 16
Astfel, dacă vrem să demonstrăm (să stabilim) propoziția “dacă există A,
există și B ”, presupunem că ea este falsă și prin urmare, este adevărată
propoziția “dacă există A, B poate să nu existe ”, apoi demonstrăm că această
ultimă propoziție duce la o absurditate. Cum nu este posibil să admitem lipsa
lui B atunci când există A, rezultă că A condiționează existența lui B și deci,
propoziția ” dacă există A există și B „este adevărată.Altfel spus, reducerea la
absurd co nstă în a presupune concluzia falsă (neadevărată) și a deduce bazat
pe aceasta, pe ipoteză, pe axiome și teoreme cunoscute ca adevărate un fapt
care contrazice un rezultat cunoscut, o teoremă sau o axiomă.

Aceasta ne per mite să judecăm astfel: concluzia p roblemei date nu poate
fi falsă deoarece aceasta ar conduce la un rezultat absurd (contradictoriu),
deci concluzia este adevărată.

Din cele menționate mai sus, se vede că metoda reducerii la absurd nu se
reduce la propoziția că a demonstra o propoziție es te același lucru cu a
demonstra contrara reciprocei ei, deoarece pot apărea și situații in care nu se
contrazice ipoteza, ci o altă propoziție (un rezultat cunoscut, o teoremă sau o
axiomă).

Metoda reducerii l a absurd se intrebuințează de multe ori in dem onstrarea
teoremelor reciproce, precum și in demonstrarea teoremelor de unicitate.
Reducerea la absurd se utilizează atât la rezolvarea problemelor ” de aflat ”,
adică a celor de calcul, cât și la rezolvarea problemelor ”de demonstrat ”.

EXEMPLE
1. Suma a zece numere naturale nenule este 54. Arătați că printre
ele se află cel puțin două numere egale.
Rezolvare:

Presupunem că ar exista zece numere naturale nenule distincte cu suma
54. Atunci, dacă le considerăm pe cele mai mici suma lor este:
S=1+2+3+4+5+6+7 +8+9+10=55
Cum suma celor mai mici zece numere naturale distincte este mai mare decât
suma dată, 54, rezultă că presupunerea făcută este falsă. Așadar, printre
numerele considerate există cel puțin două numere egale.

2. Să se arate că dacă suma a cinci nume re naturale nenule distincte
este 27, atunci printre ele se află cel puțin un număr prim .

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 17
Rezolvare:
Presupunem că printre cele cinci numere naturale distincte nu s -ar afla nici
un număr prim. Atunci, dacă le considerăm pe cele mai mici, suma lor este:
1+4+6+8+9=28
Dar, aceasta contrazice ipoteza, deci printre ele se află cel puțin un număr prim.

3. Să se arate că dacă suma a zece numere naturale nenule distincte
este 108, atunci printre ele se află cel puțin două numere impare.
Rezolvare:

Presupunem că to ate cele zece numere naturale nenule sunt pare. Atunci, dacă
le considerăm pe cele mai mici, suma lor este:
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110 ceea ce contrazice ipoteza
Deci, printre cele z ece numere considerate există cel puțin unul impar. Dar
dacă unul sing ur este impar atunci suma lor este impară și cum suma lor este
pară, rezultă că cel puțin doi termeni sunt impari.

BIBLIOGRAFIE

1. I. Neacșu , M . Gălățeanu, P.Predoi ,
„Didactica Matematicii în învățământul primar ”
Editura AIUS Craiova, 2001

2. C.Cărbunaru, M.Singer și alții
„Culegere de probleme de matematică cls, IV -VII”
Editura Sigma, București, 1990

3. Bușneag, D., Maftei, I.,
„Teme pentru cer curile și concursurile de matematică ale elevilor, ”
Editura Scrisul Românesc, Craiova,1983

4. Constantinescu, D., Dumitrescu., P., Smărăndoiu, Șt.,
„Probleme de matematică pentru c lasele III -IV” Editura
„Școala cu ceas ”, Rm. Vâlcea

5. Dan, C.T., Chiosa, S.T.,
“Didactica matematicii ”
Editura Universitaria, Craiova, 2008

6. Gardin, F.,Gardin, M.,
“Matematica în concursurile școlare ”
Editura Delta Cart Educațional, 2014

METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Prof. Cris tian Miha lache Page 18

7. Perianu, M., Roșu, I., Săvulescu, D.,
“Matematica pentru clasa a V -a 2013 ”
Editura Clu bul Matematicienilor

8. Vîrtopeanu, I.,Vîrtopeanu, O.,
“Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică elementară ”
Editura Sitech Craiova,1998

9.Ștefan Smărăndoiu
“ Magia perfo rmanțelor.Magia numerelor metode și tehnici de rezolvare “
Editura Scoala cu Cea s-Râmnicu –Vâlcea, 2010

10. www.viitoriolimpici.ro

11. www. didactic.ro

CUPRINS

Introducere……………………………………………………………………………………………..1
Metoda figurativă sau metoda grafică …………………………………………………….2
Metoda comparației …………… ………………………… …………………………. ……6
Metoda falsei ipoteze ……… ……………………………………………………………..8
Metoda mersului invers ………………………………………………………………………..11
Principii folosite în rezolvarea problemelor de matematică ……………………..12
Tipuri de raționamente folosite în rezolvarea problemelor de matematică
………………………. ………………………….. …………………………. …………………………. …15
Bibliogra fie ………………. ………………………… …………………………. ………. ..17