Metode Activ Participative Utilizate In Studiul Inelelor Si Corpurilor In Liceu
INTRODUCERE
Lucrarea de față se dorește a fi un punct de plecare pentru organizarea unor lecții „altfel” cu scopul de a-i atrage pe elevi înspre studiul matematicii.
Titlul lucrării este:„Metode activ participative utilizate în studiul inelelor și corpurilor în liceu”.
De ce metode? Pentru că metodele reprezintă elementul esențial al startegiei didactice, latura executorie, de punere în acțiune a întregului mecanism ce caracterizează un curriculum dat.
De ce metode activ participative? Pentru că acestea:
Favorizează înțelegerea conceptelor și ideilor;
Valorifică experiența proprie a elevilor;
Dezvoltă competențe de comunicare și relaționare, de deliberare pe plan mintal;
Vizează formarea unor atitudini active;
Stimulează gândirea și creativitatea;
Îi determină pe elevi să caute și să găsească soluții pentru diferite probleme, să facă reflecții critice și judecăți de valoare, să compare și să analizeze situații date;
Sunt metode prin care elevii învață să lucreze productiv cu alții și să-și dezvolte abilități de comunicare și ajutor reciproc;
Îi scot pe elevi din ipostaza de obiect al formării și îi transformă în subiecți activi coparticipanți la propria formare.
De ce Inele și corpuri?
Această temă a oferit posibilitatea realizării experimentului pedagogic deoarece în anul școlar 2013-2014 mi-am desfășurat activitatea la 3 clase de a XII-a;
Inelele și corpurile reprezintă o importanță deosebită în mai multe ramuri ale matematcii;
Procesul de predare-învățare evaluare pentru această unitate de învățare presupune utilizarea unei game largi de metode active;
Cunoștiințele însușite în urma studierii acestui capitol stau la baza înțelegerii capitolului următor „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ”.
Lucrarea este alcătuită din Cuprins, Introducere, trei capitole și Bibliografie.
În primul capitol am prezentat:definiția inelului, exemple, subiele și ideale, inel factor, teoreme de izomorfism pentru inele, noțiunea de corp, proprietăți ale corpurilor, subcorpuri, extinderi de corpuri, corpuri prime, caracteristica unui corp.
Noțiunile expuse în primul capitol pot fi prezentate elevilor în cadrul unui opțional de extindere, sau studiate cu elevii participanți la olimpiade și concursuri.
În capitolul doi am prezentat sistemul metodelor de învățământ, o comparație între metodele tradiționale și metodele moderne de învățământ precum și necesitatea trecerii de la metodele tradiționale la cele moderne. Tot aici am construit exemple de activități de învățare ce se pot folosi de către profesori în predarea unității de învățare inele și corpuri utilizând metode activ-participative (fiecare metodă prezentată este însoțită de un exemplu de aplicare la clasă).
Capitolul 3 prezintă experimentul pedagogic realizat la o clasă de a XII-a, în urma căruia se demonstrează eficiența metodelor activ-participative (în special a metodei proiectelor ) în creșterea randamentului școlar al elevilor. Aici sunt descrise obiectivele cercetării, metodele utilizate în cerecetare, descrierea propriu zisă a cercetării precum și concluziile care se impun.
Reușita experimentului didactic mi-a întărit încrederea în aceste metode activ-participative și m-a convins că progresul realizat modificând vechile metode didactice este indiscutabil.
Mulțumesc pe această cale domnului Prof. Dr. Eugen Drăghici îndrumătorul acestei lucrări pentru tot sprijinul și suportul acordat.
CAPITOLUL 1
INELE ȘI CORPURI
DEFINIȚIA INELULUI. EXEMPLE.
Mulțimea a numerelor întregi înzestrată cu operațiile de adunare și de înmulțire a servit ca bază a aritmeticii dar și algebrei, în care prin preluarea diferitelor proprietăți ale acestei mulțimi, s-au construit structuri noi.
Noțiunea de inel s-a degajat inițial în cadrul teoriei numerelor, unde a apărut sub numele de inel de numere, prototipul fiind luat împreună cu operațiile de adunare și înmulțire a numerelor întregi. Ulterior, noțiunea de inel a avut numeroase aplicații în diferite domenii ale Algebrei (inele de polinoame, inele de matrice) în Analiză (inele de funcții), în Logică (inele booleene) etc.
1.1.1.Definiție. Se numește inel, o mulțime nevidă R, înzestrată cu două legi de compoziție notate aditiv și multiplicativ, astfel încât:
R are o structură de grup abelian în raport cu legea aditivă;
R are o structură de semigrup în raport cu legea multiplicativă;
Legea multiplicativă este distributivă în raport cu legea aditivă.
Observații:
1.Pentru a nu complica scrierea, atunci când este posibil se vor folosi notațiile „+” și „” pentru cele două legi de compoziție, prin analogie cu cele două operații din mulțimea numerelor întregi.
2.Convenim de asemenea să scriem în loc de .
3.Elementul neutru al operației aditive se va nota cu 0.
4.Simetricul elementului a se notează –a și se numește opusul lui a, iar în loc de a+(-b) se va nota a-b.
5.Condiția c) din definiție se scrie:
și pentru orice elemente a, b, c ale inelului R.
În teoria inelelor se consideră și alte sisteme de axiome pentru structura de inel diferite de cele de mai sus.
De exemplu, condiția de asociativitate a operației multiplicative este este eliminată iar un inel care satisface și această condiție este numit inel asociativ.
Altă variantă adaugă sistemului de axiome din definiția 1.1.1, un inel în care operația multiplicativă să aibă element unitate. Păstrând sistemul de axiome din definiția 1.1.1, un inel în care operația multiplicativă are element unitate va fi numit inel cu unitate sau inel unitar iar elementul său unitate, atunci când nu există pericolul unei confuzii, va fi notat cu 1.
Dacă legea de compoziție multiplicativă a inelului R este comutativă, atunci inelul R se numește inel comutativ.
Pe o mulțime R formată dintr-un singur element a se poate defini o singură structură de inel, punând . În acest caz și R se numește inel nul.Un inel care conține cel puțin două elemente se numește inel nul.
Dacă R este inel unitar atunci elementele lui R simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului R.Inversul sau simetricul lui a se notează .
Mulțimea unităților inelului R se notează cu U(R) și, așa cum este cunoscut din cazul monoizilor, U(R) are o structură de grup în raport cu operația multiplicativă. Acest grup va fi numit grupul multiplicativ al elementelor inversabile al inelului R. Elementul unitate 1 al inelului R este una din unitățile inelului R și are rol de element neutru în grupul U(R).
Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecințe care de obicei sunt numite reguli de calcul într-un inel.
1.1.2.Propoziție. Dacă R este un inel, atunci:
1) ;
2) și ;
3) și ;
4),,unde
În particular ;
5), unde ;
6) Dacă R este un inel comutativ, a și b sunt elemente din R și , atunci are loc formula binomului lui Newton:
Demonstrație. În relațiile 4), 5) și 6) se păstrează notațiile făcute în cadrul grupurilor pentru produse (sume) iterate și puteri(multipli).
Din relația 0+0=0 rezultă a(0+0)=a0 sau a0+a0=a0 și adunând în ambii membrii –(a0) se obține a0=0. Analog se demonstrează relația 0a=0.
Din relația b+(-b)=0 rezultă a(b+(-b))=a0 sau ab+a(-b)=0, de unde
a(-b)=-(ab). Analog se arată că (-a)b=-(ab).
Dacă în ultima relație înlocuim b cu –b și ținem seama de proprietatea
–(-x)=x, obținem (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab.
Relația 3) se oține prin calcul:
a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+a(-c)=ab+(-(ac))=ab-ac.
Relația 4) se demonstrează prin inducție după .
Pentru n=0 relația devine a0=0.
Presupunând egalitatea adevărată pentru un număr natural n,
Relația 5) se demonstrează prin inducție după m iar relația 6) se demonstrează prin inducție după n.
Dacă în inelul unitar R, 1=0 atunci R este inel nul. Într-adevăr, pentru orice element avem: .
Prin urmare, condiția 1=0 este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.
Dacă pentru inelul unitar R are loc relația , atunci R se numește corp. Dacă în plus, inelul R este comutativ, atunci spunem că R este corp comutativ.
Din Propoziția 1.1.2 rezultă că dacă în produsul ab unul dintre factori este 0 atunci produsul este 0. Este posibil și cazul în care produsul este 0 fără ca vreunul din factorii săi să fie 0. Acești factori se numesc divizori ai lui 0.
Mai precis:
1.1.3.Definiție. Elementul , se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui 0 dacă există astfel încât ab=0(ba=0).
Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la dreapta a lui 0 coincid.
Dacă nu este divizor la stânga(la dreapta) al lui zero și atunci din ab=ac(ba=ca) rezultă b=c. Într-adevăr, din ab=ac se obține a(b-c)=0, de unde b-c=0 sau b=c. Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.
1.1.4.Definiție. Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori al lui zero diferiți de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru.
Din observația precedentă rezultă că într-un domeniu de integritate, ambii membrii ai unei egalități pot fi simplificați prin același element nenul.
Exemple:
10. Mulțimea a numerelor întregi în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un inel integru. Unitățile acestui inel sunt 1 și -1.
20. Mulțimile în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire sunt corpuri comutative.
30. Mulțimea în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe este un domeniu de integritate. Unitățile acestui inel sunt: +1,-1,+i,-i.Inelul poartă numele de inelul întregilor lui Gauss.
40.Fie A și B două inele în care operațiile sunt notate cu „+” și . Produsul cartezian se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b) (c,d)=(ac,bd).
Verificarea axiomelor structurii de inel a lui nu prezintă nici o dificultate. Inelul obținut se numește produsul direct al inelelor A și B. Perechea (0,0) este elementul neutru la adunare al inelului .Dacă și, atunci elementele (a,0) și (0,b) sunt divizori ai lui zero în inelul . Într-adevăr:
Dacă A și B sunt inele unitare atunci este inel unitar și elementul său unitate este (1,1). În această pereche primul 1 reprezintă unitatea lui A iar al doilea 1 reprezintă unitatea(elementul unitate) a lui B.
De asemenea, dacă A și B sunt inele comutative, atunci și produsul direct este inel comutativ. Deoarece în există totdeauna divizori ai lui zero (pentru A și B inele nenule), rezultă că produsul direct a două inele integre nu este inel integru, în particular, produsul direct a două corpuri nu este un corp.Este interesant de văzut cum arată unitățile inelului .
1.1.5.Propoziție. Dacă A și B sunt două inele unitare atunci .
Demonstrație. Dacă și iar și sunt inversele acestor elemente în A, respectiv în B, atunci Analog,deci și
Dacă , atunci există pentru care
De aici rezultă și , adică și iar și .
50. Fie R un inel și M o mulțime oarecare nevidă.
Mulțimea RM a funcțiilor definite pe M și cu valori în inelul R se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind următoarele operații, pentru f și g RM:
Elementul neutru al acestui inel este funcția definită prin
Funcția definită prin este opusa lui f (în raport cu structura aditivă definită pe RM).
Dacă R este inel unitar, atunci și RM este inel unitar, având ca element unitate funcția definită prin
Dacă M conține cel puțin două elemente atunci în RM există divizori ai lui 0. Într-adevăr, fie fixat și funcțiile definite prin:
Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero deoarece, și
60. Fie R un inel comutativ unitar și mulțimea numerelor naturale. În afara structurii de inel definite la 50, mulțimea se poate înzestra cu o structură deosebit de importantă. Operația aditivă se păstrează cea definită la 50, iar ca operație multiplicativă se consideră următoarea:
Inelul care se obține se numește inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în inelul R.
70. Dacă R este un inel comutativ unitar și , atunci mulțimea a matricelor pătratice de ordin n și cu elemente din R are o structură de inel unitar(necomutativ pentru ) în raport cu adunarea și înmulțirea obișnuită a matricelor.
1.1.6.Definiție. Fie A și B două inele. O funcție se numește morfism de inele dacă pentru orice a și b din A au loc relațiile:
i)
ii) .
Dacă A este un inel atunci aplicația identică a lui A, notată cu 1A este un morfism de inele. Dacă și sunt morfisme de inele atunci este de asemenea un morfism de inele.
Din relația i) rezultă că f este în particular un morfism al grupului (A,+) în grupul (B,+) și vor fi verificate relațiile: f(0)=0, f(-a)=-f(a). În demonstrarea relației f(0)=0, la grupuri, s-a folosit faptul că un element oarecare are simetric în raport cu operația din grup. Nu același lucru se poate deduce și despre elementele unitate ale operațiilor multiplicative in cazul în care inelele A și B sunt unitare. De exemplu funcția definită prin este un morfism de inele dar .
Un morfism de inele unitare care satisface în plus condiția:
iii) f(1)=1 se numește morfism unitar de inele.
Dacă A și B sunt inele unitare și este un morfism de inele, funcție surjectivă, atunci f este morfism unitar.
Într-adevăr, dacă atunci există , astfel încât f(a)=b.
Din egalitățile rezultă Din unicitatea elementului unitate al inelului B rezultă f(1)=1.
1.1.7.Definiție. Fie A un inel comutativ unitar, B un inel unitar și un morfism unitar de inele. Se spune că B este o A – algebră de morfism structural dacă pentru orice și , are loc relația:
Exemple:
10. Corpul al numerelor complexe este o algebră în raport cu morfismul structural , definit prin
20. Fie R un inel comutativ unitar oarecare și inelul matricelor pătratice de ordin n cu cu elemente în R.
Definim prin unde Un este matricea unitate de ordin n, este un morfism unitar de inele. În plus, deoarece matricele de forma comută cu orice matrice pătrată de ordin n, este o R- algebră de morfism structural .
Dacă B și C sunt A-algebre de morfisme structurale respectiv , atunci prin morfism al A-algebrei B în A-algebra C es înțelege un morfism de inele astfel încât , adică un morfism care face următoarea diagramă comutativă:
Un morfism de A algebre este și un morfism unitar de inele. Se verifică ușor că prin compunerea a două morfisme A-algebre se obține tot un morfism de A-algebre.
1.1.8.Definiție. Dacă este un morfism de inele, atunci nucleul morfismului este, prin definiție, nucleul lui considerat ca morfism al grupurilor aditive .Deci,
1.1.9.Definiție Un morfism de inele se numește injectiv dacă funcția care îl definește este injectivă.
1.1.10.Definiție Un morfism de inele se numește surjectiv dacă funcția este surjectivă.
1.1.11.Definiție Morfismul de inele se numește izomorfism dacă există un morfism de inele astfel încât și .
Ca și în cazul grupurilor, un morfism inele este izomorfism dacă și numai dacă este bijectiv. Într-adevăr, un izomorfism este bijectiv. Reciproc, fie un morfism bijectiv de inele. Să demonstrăm că funcția inversă este de asemenea un morfism de inele. Fie și Egalitatea este echivalentă cu egalitatea sau care este evidentă.
Analog se demonstrează și egalitatea .
SUBINELE ȘI IDEALE
1.2.1.Definiție. Fie R un inel și o submulțime nevidă a sa. se numește subinel al lui R dacă operațiile din R induc pe o structură de inel.
Din definiție rezultă că în particular este un subgrup al grupului (R,+) și este o parte stabilă a lui R în raport cu operația multiplicativă.
Prin urmare condițiile:
1)
2)
sunt condiții necesare pentru ca să fie un subinel a lui R.
Aceste condiții sunt și suficiente:
Din condiția 1) rezultă că este subrup aditiv al grupului R iar din condiția 2) rezultă că are o structură de semigrup în raport cu operația multiplicativă din R. Distributivitatea operației multiplicative în raport cu operația aditivă pentru elementele lui rezultă din aceeași proprietate verificată pentru elementele lui R.
Exemple:
10.Pentru orice inel R mulțimile {0}și R sunt subinele ale lui R.
20.Inelul numerelor întregi este un subinel al inelului al întregilor lui Gauss.
30. Mulțimea a numerelor întregi pare este un subinel al inelului
40.Dacă A și B sunt două inele oarecare, atunci și sunt subinele ale produsului direct .
50.Mulțimea matricelor de forma: cu (inel comutativ) formează un subinel al lui , dar mulțimea matricelor de forma nu formează un subinel al lui , deoarece nu este verificată condiția 2).
1.2.2. Propoziție. Dacă este o familie de subinele ale inelului R, atunci este de asemenea un subinel al lui R.
Demonstrație. Să notăm =. deoarece . Dacă atunci fiind subinel, și . Deci și .
În general o reuniune de subinele nu este subinel. De exemplu și sunt subinele ale lui dar nu este subinel deoarece dar
1.2.3.Definiție.Fie R un inel și M o submulțime a sa. Există subinele ale inelului R care includ M, de exemplu R. Intersecția tuturor acestor subinele este de asemenea un subinel al lui R care include M. Acest subinel poartă numele de subinelul generat de M.
Din definiție rezultă că subinelul generat de mulțimea M este cel mai mic subinel(în raport cu incluziunea) al lui R care include mulțimea M.
Exemple:
10.Subinelul generat de este chiar .
20.Subinelul generat de R este R.
30.În inelul al numerelor întregi, subinelul generat de mulțimea este mulțimea numerelor pare.
Se observă că este subinel al lui Dacă este subinel al lui care conține pe 4 și pe 6, atunci conține și pe 6-4=2 și toți multiplii lui 2, adică .
1.2.4. Propoziție. Fie un morfism de inele. Atunci:
a) dacă este un subinel al lui R, atunci f() este subinel al lui R1.
În particular, Im f= f(R) este subinel al ui R1.
b) Dacă este un subinel al lui R1, atunci este un subinel al lui R1 care include mulțimea
c) Fie mulțimea subinelelor lui R care includ Kerf și mulțimea subinelelor lui R1. Dacă f este morfism surjectiv, atunci aplicația definită prin este o bijecție care păstrează incluziunea.
Demonstrație. a) dacă atunci există astfel încât și ; y1-y2=f(x1)-f(x2)=f(x1-x2) și y1y2=f(x1)f(x2)=f(x1,x2).
Deoarce este subinel al lui R , și deci y1-y2 și Prin urmare este subinel al lui R1.
b) Fie deci . Deoarce este subinel al lui R1, și , adică și .
Din b) rezultă în particular că este subinel al lui R.
c) Fie cu
Este suficient să se demonstreze egalitățile:
și .
Fie deoarece f este surjectiv.
Fie
Fie Rezultă:, deci există astfel încât f(x)=f(z) sau f(x-z)=0 și Atunci și incluziunea este demonstrată.
Observații:
1.Dacă B este o A-algebră de morfism structural injectiv atunci A este izomorf cu . Prin acest izomorfism elementele a ale inelului și imaginile lor se pot identifica. A devine subinel al inelului B sau inelul B este o extindere a inelului A.
2.Fie R un inel fără unitate. Se poate construi un inel R1 unitar care include ca subinel pe R astfel:
dacă este inelul numerelor întregi, atunci pe produsul cartezianse definesc operațiile:
Se verifică fără dificultate că aceste operații conferă lui o structură de inel unitar în care elementul unitate este (1,0). Fie funcția definită prin f este un morfism de inele.
Dacă atunci a=b, deci f este morfism injectiv și R este izomorf cu imaginea sa prin f, care este subinel al lui R1.
Acest izomorfism permite identificcarea elementelor de forma (0,a) ale lui R1 cu elementele . În acest mod se realizează scopul propus: inelul R este subinel al inelului unitar R1.
3.Fie un morfism de inele. În particular este un morfism al grupurilor aditive (R,+) și (R1,+). Prin nucleul morfismului de inele , se înțelege nucleul lui considerat ca morfism de grupuri. Deci este un subgrup al grupului (R,+). În plus dacă, atunci Deci și conform propoziției 1.2.4, este chiar subinel al inelului R. Se observă că pentru a obține este suficient ca numai unul din factorii să fie 0, adică numai unul din factorii a,b să aparțină lui
O submulțime a inelului R care pe lângă condiția de grup satisface și o astfel de condiție se numește ideal.
1.2.5. Definiție. Fie R un inel și I o submulțime a sa, nevidă. I se numește ideal stâng(sau ideal la stânga) al lui R dacă I satisface condițiile:
1)
3) și .
I se numește ideal drept (sau ideal la dreapta) al inelului R dacă pe lângă condiția 1) verifică și condiția:
4) și
I se numește ideal bilateral dacă satisface condițiile 1),3) și 4).
Dacă R este inel comutativ, atunci condițiile 3) și 4) coincid, deci, într-un astfel de inel, idealele stângi, idealele drepte și idealele bilaterale coincid și le vom spune mai simplu ideale.
Din condiția 3) sau din condiția 4) rezultă condiția 2 din 2.1, prin urmare, orice ideal stâng (drept, bilateral) al inelului R este și subinel al inelului R.
Exemple:
10. R și {0} sunt ideale bilaterale ale oricărui inel R. Aceste ideale se numesc ideale improprii.
20.Mulțimea a multiplilor numărului întreg n este un ideal (bilateral) al inelului
30.Mulțimea matricelor de forma: (inel comutativ) este un ideal stâng al inelului dar nu este un ideal drept. Analog, mulțimea matricelor de forma este un ideal drept al lui , fără a fi un ideal stâng.
40.Mulțimea matricelor de forma: este un subinel al lui fără a fi ideal stâng sau ideal drept, deoarce nu este indeplinită niciuna din condițiile 3) sau 4).
50.Dacă I este un ideal bilateral al inelului R, atunci mulțimea matricelor de forma: este un ideal bilateral al lui .
1.2.6. Propoziție. Dacă este o familie de ideale stângi(drepte, bilaterale) ale inelului R, atunci este de asemenea un ideal stâng(drept, bilateral) al lui R.
Demonstrația este asemănătoare cu celei de la propoziția 1.2.2.
Ca și în cazul subinelelor, o reuniune de ideale stângi (drepte sau bilaterale) nu este în general un ideal stâng (drept sau bilateral).
1.2.7.Definiție. Fie R un inel și M o submulțime a sa. Există ideale stângi (drepte sau bilaterale) care includ M, de exemplu R. Intersecția acestor ideale este conform propoziției 1.2.6. un ideal stâng(drept sau bilateral) al lui R.
Acest ideal poartă numele de ideal stâng (drept sau bilateral) generat de mulțimea M.
Din definiție rezultă că idealul ideal stâng(drept sau bilateral) generat de mulțimea M este cel mai mic ideal stâng(drept sau bilateral) al inelului R ( în raport cu incluziunea) care include mulțimea M.
1.2.8. Propoziție. Fie R un inel unitar și . Fie I idealul stâng (drept, bilateral) generat de mulțimea M. Atunci:
(1) respectiv,
(2) pentru idealul drept generat de M și
(3) pentru idealul bilateral generat de M.
Demonstrație. Se va face raționamentul numai pentru idealul stâng generat de M, celelalte cazuri fiind asemănătoare.
Se notează cu mulțimea din membrul drept al egalității (1).
Mulțimea este un ideal stâng al lui R, verificarea condițiilor 1) și 3) nereprezentând dificultăți.
Dacă se consideră sumele în care n=1 și x1=1, rezultă că , adică Fie J un ideal stâng al lui R, astfel încât Din condițiile 1) și 3) rezultă că adică Deci este cel mai mic dintre idealele stângi ale lui R care includ M, adică I=.
Exemplu:
Idealul stâng( drept sau bilateral) generat de {0}este {0}iar dacă R este un inel unitar, idealul stâng( drept sau bilateral) generat de {1}este R.
1.2.9.Definiție. Idealul stâng( drept sau bilateral) generat de mulțimea {a}, se numește ideal principal stâng( drept, bilateral) generat de a.
Observații:
Dacă R este inel unitar și , atunci idealul stâng(drept) generat de {a} este Ra(respectiv aR).
În cazul în care R este inel comutativ și unitar, Ra=aR este idealul principal(bilateral) generat de {a}.
1.2.10. Propoziție. Fie un morfism de inele.Atunci:
a) Dacă f este morfism surjectiv și I este ideal stâng( drept sau bilateral) al lui R, atunci este ideal stâng( drept sau bilateral) al lui R1;
b) Dacă J este ideal stâng( drept sau bilateral) al lui R1 atunci este ideal stâng( drept sau bilateral) al lui R. În particular: este ideal bilateral al lui R și Kerf este inclus în toate idealele de forma f-1(J).
c) Fie mulțimea tuturor idealelor bilaterale ale lui R care includ Kerf și mulțimea idealelor bilaterale ale lui R1.
Dacă f este surjectiv atunci aplicațiile:
și
definite prin F(I)=f(I) și G(J)=f-1(J) sunt inversa una celeilalte. În particular F și G sunt bijective.
Demonstrație:
a) Fie I un ideal stâng al inelului R.Ca și în cazul subinelelor se demonstrează că f(I) este un subgrup al lui (R1,+).
Fie și . Există , astfel încât b=f(a).
Deoarce f este un morfism surjectiv, există , astfel încât, y=f(x); deoarece I este ideal stâng al lui R. Deci f(I) este ideal stâng al lui R1.Analog se tratează și cazul idealelor drepte sau bilaterale.
b) Fie J un ideal stâng al lui R1.Ca și în cazul subinelelor se demonstrează că f-1(J), este un subgrup al lui (R,+).
Fie și , deci Atunci sau Deci f-1(J) este ideal stâng al lui R.
Analog se tratează cazul idealelor drepte sau bilaterale.
Se observă de asemenea că pentru orice ideal J al lui R1, din
c) Din cele demonstrate la a) și la b) rezultă că F și G sunt bine definite.Vor trebui demonstrate egalitățile:
și deoarece f este surjectivă.
Fie , deci există , astfel încât f(a)=f(h) sau f(a-h)=0 și
De unde adică
În general, reuniunea a două ideale nu este un ideal.
Idealul stâng (drept, bilateral) generat de reuniunea a două ideale stângi (drepte,bilaterale) ale inelului R se numește suma idealelor I1 și I2 și se notează I1+I2.
1.2.11. Propoziție. Fie I1 și I2 două ideale stângi(drepte,bilaterale) ale inelului R. Atunci:
(4)
Demonstrație: Fie I1 și I2 două ideale stângi ale inelului R și se notează cu I mulțimea din membrul drept al egalității (4).
Dacă atunci și , astfel încât x=a1+a2 și
y=b1+b2. Atunci Dacă atunci , deoarce și .S-a demonstrat că I este ideal stâng al lui R. Dacă atunci , deci .
Analog se arată că .
Fie acum J un ideal stâng al lui R care include . Dacă și atunci și .Deci .S-a demonstrat că I este cel mai mic ideal stâng al lui R care include , adică I este idealul generat de și are loc egalitatea (4).
Analog se demonstrează și pentru idealele drepte sau bilaterale.
Observații:
1.Operația de adunare a idealelor determină pe mulțimea idealelor stângi (drepte,bilaterale) o structură de monoid comutativ(dar nu de grup). Elementul neutru al acestei operații este idealul nul {0}.
2.Operația multiplicativă a inelului R induce de asemenea o operație multiplicativă pe mulțimea idealelor. Totuși, dacă I1 și I2 sunt două ideale stângi(drepte,bilaterale) în inelul R, mulțimea nu este în general un ideal stâng(drept,bilateral) în inelul R. Produsul idealelor I1 și I2, notat I1I2, se definește ca idealul stâng(drept,bilateral) generat de mulțimea M.
1.2.12. Propoziție. Dacă I1 și I2 sunt două ideale stângi(drepte,bilaterale) ale inelului unitar R, atunci:
(5)
Pentru demonstrație se arată că mulțimea din membrul drept a egalității (5) este cel mai mic ideal stâng(drept,bilateral) al inelului R care include mulțimea M.
Observație:
Mulțimea idealelor stângi(drepte,bilaterale) are de asemenea o structură de monoid în raport cu operația de înmulțire a idealelor. Elementul neutru al acestei operații este chiar inelul R. Se verifică fără dificultate că înmulțirea idealelor este distributivă față de adunarea idealelor, dar mulțimea idealelor stângi(drepte, bilaterale) ale inelului unitar R nu capătă o structură de inel deoarece operația aditivă nu determină o structură de grup.
INEL FACTOR
Noțiunea de ideal a fost definită pornind de la proprietățile pe care le au nucleele morfismelor de inele.În continuare se va constata că pentru orice ideal bilateral există un morfism de inele al cărui nucleu estte chiar idealul dat. În acest mod, noțiunea de ideal bilateral joacă în teoria inelelor același rol pe care îl joacă noțiunea de subgrup normal în teoria grupurilor.
Fie un inel și I un ideal bilateral al său. În particular I este subgrup(normal) al grupului abelian (R,+).Relația definită pe R în modul următor:
(1) este o relație de echivalență compatibilă cu operația aditivă pe R.
Această proprietate face posibilă extinderea operației „+” de la elementele lui R la clasele de echivalență în raport cu relația prin:
(2)
O clasă de echivalență în raport cu relația este de forma:.
În raport cu această operație mulțimea a claselor de echivalență are o structură de grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este: .
Se studiază în continuare comportarea relației în raport cu înmulțirea.
1.3.1. Lemă. Dacă I este un ideal bilateral al inelului atunci relația de echivalență definită prin (1) este compatibilă cu operația din inelul R.
Demonstrație. Fie și . Există astfel încât și .
Ultima relație rezultă din faptul că I este ideal bilateral și arată tocmai
Ca și în cazul grupurilor, mulțimea claselor de echivalență în raport cu idealul I se va nota R/I.
1.3.2.Teoremă. Mulțimea R/I are o structură de inel în raport cu operațiile definite astfel:
Demonstrație: Pentru a nu complica scrierea s-au folosit notațiile „+” și pentru operațiile cu clase de echivalență ca și pentru operațiile cu elementele din R. Se vor putea distinge operațiile din R de operațiile din R/I după natura elementelor cu care se lucrează.
Mulțimea R/I are o structură de grup abelian în raport cu „+”. Din lema 1.3.1. rezultă că operația multiplicativă cu clasele de echivalență este bine definită. Prin calcul se verifică asociativitatea:
și distributivitatea față de adunare:
1.3.3.Definiție. Inelul poartă numele de inel factor al inelului R în raport cu idealul său bilateral I.
Dacă R este inel unitar și 1 este elementul său unitate atunci este element unitate al inelului R/I. Într-adevăr, pentru orice se deduce:
și .
De asemenea, dacă R este inel comutativ, atunci printr-un calcul simplu se poate arăta că și R/I este inel comutativ.
Aplicația , definită prin: ,este un morfism surjectiv de inele. Întradevăr pentru orice se deduc:
În puls, orice element din R/I este de forma .
1.3.4.Definiție. Morfismul poartă numele de surjecție canonică a inelului R pe inelul său factor R/I. Nucleul acestui morfism este chiar idealul bilateral I:
Dacă R este inel unitar, atunci este morfism unitar deoarece
Exemplu: Inelul claselor de resturi modulo n.
1.4.TEOREME DE IZOMORFISM PENTRU INELE
În stabilirea unor proprietăți ale inelelor, un rol important revine următoarelor rezultate care poartă numele de teoreme de izomorfism pentru inele.
1.4.1.Teorema fundamentală de izomorfism. Dacă este un morfism de inele, atunci există un izomorfism canonic .
Demonstrație: Fie un element oarecare al inelului A/Kerf.
Dacă , atunci există astfel încât și.
Egalitatea , pentru arată că se poate defini
punând Se observă că aplicația este surjectivă. În plus, dacă , atunci și , adică este chiar o aplicație bijectivă. Pentru , oarecare se deduce:
Deci este morfism bijectiv de inele, prin urmare este un izomorfism.
Observație. Izomorfismul este singurul morfism de inele de la A/Kerf cu valori în Imf care face următoarea diagramă comutativă:
Adică , unde este surjecția canonică, iar este restricția lui f la Imf. Într-adevăr, pentru sau. Dacă este un morfism de inele care face diagrama comutativă, adică , atunci pentru orice :
Deci .
1.4.2.Teorema a doua de izomorfism. Fie R un inel, un subinel al lui R și I un ideal bilateral al lui R. Atunci este un subinel al lui R, I este un ideal bilateral al lui este un ideal bilateral al lui și există un izomorfism canonic:
Demonstrație. Dacă , atunci există și astfel încât și
deci este subinel al lui R.
Deoarece I este ideal bilateral în R, I este evident ideal bilateral al lui este subinel al lui R ca intersecție de subinele, deci este și subinel al lui .
Dacă și , atunci deoarece este subinel și deoarece I este ideal bilateral. Deci , adică este ideal bilateral al lui . Fie morfismul incluziune, , pentru orice și surjecția canonică Notăm feste un morfism surjectiv de inele și Conform teoremei fundamentale de izomorfism, există un izomorfism canonic:
.
Acest izomorfism este definit prin
Observație. Conform observației de mai sus izomorfismul este unicul morfism de inele care face comutativă următoarea diagramă:
1.4.3. Teorema a treia de izomorfism(a corespondenței). Fie R un inel, I un ideal bilateral al său și surjecția canonică. Se notează cu mulțimea subinelelor inelului R care includ pe I și cu mulțimea subinelelor inelului R/I. Aplicația definită prin este o bijecție. Dacă , atunci J este ideal bilateral în R dacă și numai dacă J/I este ideal bilateral în R/I. În plus, în acest caz există un izomorfism canonic:
Demonstrație. Deoarece este un morfism surjectiv de inele, prima afirmație rezultă din propoziția 1.2.4. A doua afirmație rezultă din propoziția 1.2.10. Pentru ultima parte a teoremei, se consideră surjecțiile canonice:
Morfismul este surjectiv. Pentru dacă și numai dacă sau Rezultă Kerf=J și conform teoremei fundamentale există un izomorfism canonic definit prin
Observație. Izomorfismul este unicul morfism de inele care face comutativă următoarea diagramă:
1.5.NOȚIUNEA DE CORP
1.5.1.Definiție. Un inel A unitar și care conține cel puțin două elemente se numește corp dacă orice element nenul din A este inversabil față de operația de înmulțire din A.
Observații:
1.În această definiție cerința ca inelul să fie unitar, adică inelul A să aibă element unitate față de operația de înmulțire, este necesară pentru a exista elemente inversabile iar cerința ca inelul să conțină cel puțin două elemente este echivalentă cu faptul că A este diferit de inelul nul sau .
2.Se se exclude, prin definiție, ca inelul nul, adică format dintr-un singur element, să fie corp. Acest fapt este o convenție în general acceptată.
3.Cea mai frecventă greșeală care se face, la definirea noțiunii de corp, este aceea că nu se specifică faptul că numai elementele nenule sunt inversabile.Căci în orice inel nenul, elementul nul nu este inversabil. Mai general: în orice inel nenul un divizor al lui zero nu este inversabil.
Într-adevăr, fie un divizor al lui 0 în inelul nenul A. Să presupunem că este un divizor al lui zero la dreapta, adică există astfel încât . Dacă ar fi inversabil în A, atunci ar exista astfel încât . Deducem , contradicție. De aici rezultă că un corp nu are divizori ai lui zero diferiți de zero.
4.Elementele nenule dintr-un corp formează grup față de operația de înmulțire, cum de altfel formează grup elementele inversabile din orice inel.
5.Un corp se numește comutativ dacă înmulțirea este operație comutativă.
1.5.2.Exemple de corpuri. Mulțimea numerelor raționale, mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor complexe cu operațiile obișnuite de adunare și de înmulțire formează corpuri. Pentru număr întreg prim inelul al claselor de resturi modulo este corp.
Toate exemplele de corpuri de mai sus sunt corpuri comutative.
Exemple de corpuri necomutative sunt mai dificil de dat. Cel mai important și simplu exemplu de corp necomutativ se poate construi pe prin analogie cu construcția lui pe . El se numește corpul cuaternionilor. Adunarea în se definește pe componente, adică atunci .
Se verifică imediat că împreună cu această operație este grup comutativ.
Se definește operația de înmulțire astfel:
Se verifică direct că această operație este asociativă, distributivă față de adunare și are element unitate pe .
Prin urmare, cu cele două operații algebrice de mai sus este inel unitar care se notează cu .
Fie funcția definită prin Se verifică imediat că este un morfism injectiv de inele.
De aceea se identifică cuși se notează
Atunci un element se poate scrie în mod unic sub forma .
Se verifică ușor relațiile:
Din aceste relații se deduce că este inel necomutativ. Pentru a arăta că este corp, trebuie demonstrat că orice element nenul din este inversabil față de operația de înmulțire.
Elementul nul din este .
FieAtunci și elementul este inversul lui în raport cu operația de înmulțire.
Așadar este corp și conține corpul numerelor reale. Elementele lui se numesc cuaternioni.
Se observă că conține și un corp izomorf cu corpul numerelor complexe. Întradevăr, aplicația definită prin este un morfism injectiv de corpuri. De fapt se poate construi corpul , plecând de la printr-o construcție analoagă celei de mai sus. Anume, se consideră pe care se introduce adunarea pe componente, folosind adunarea din , adică dacă și , atunci . Se definește operația de înmulțire astfel: unde s-a notat cu și cojugatul lui respectiv . Se verifică că împreună cu aceste două operații este corp și aplicația definită prin este un morfism injectiv de inele.
Identificând pe cu imaginea sa și notând orice element se poate scrie în mod unic astfel:
Dacă , atunci rezultă scrierea unică și dacă se notează se obține scrierea de mai sus a cuaternionilor.
Corpul numerelor complexe poate fi prezentat și ca o mulțime de matrici pătrate de ordinul 2 care împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuită a matricilor formează corp.
Întradevăr aplicația definită prin:
unde este inelul matricilor pătratice de ordinul 2 cu elemente din , este un morfism injectiv de inele, deci este izomorf cu subinelul al lui format din toate elementele de forma:
Prin urmare, corpul numerelor complexe poate fi definit ca fiind subinelul ,verificându-se că este corp și conține corpul numerelor reale, căci matricele de forma:
, sunt imaginea prin f al lui și este evident corp izomorf cu .
În mod analog corpul cuaternionilor este izomorf cu un subinel al inelului al matricelor pătratice de ordinul 4 cu elemente din și cu un subinel al inelului al matricelor pătrate de ordin 2 cu elemente din .
Întradevăr aplicația definită prin
este un morfism injectiv de inele și deci determină un izomorfism între și imaginea sa în .
Analog aplicația definită prin
este un morfism injectiv de inele și deci determină un izomorfism între corpul cuaternionilor și un subinel al lui .
În legătură cu existența corpurilor necomutative este importantă următoarea teoremă cunoscută sub numele de teorema lui Wedderburn:
1.5.3.Teoremă. Orice corp finit este comutativ.
1.6. CÂTEVA PROPRIETĂȚI ALE CORPURILOR
Deoarece orice corp este inel, toate proprietățile inelelor rămân valabile și pentru corpuri. Însă unele din proprietățile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor.
1.6.1. Propoziție.Într-un corp există doar două ideale, idealu nul și tot corpul, care sunt ideale bilaterale.
Demonstrație. Fie I un ideal la stânga al corpului K. Dacăatunci există în I un element nenul a . Fie b un element arbitrar din K, atunci egalitatea b=ba-1a arată că , deci conține toate elementele lui K, adică I=K.
În mod analog se arată că orice ideal drept coincide sau cu (0) sau cu K. Prin urmare, cu atât mai mult singurele ideale bilaterale în K sunt (0) și K, care, de altfel, sunt ideale bilaterale în orice inel din K.
1.6.2.Propoziție. Fie K un inel nenul care are numai două ideale (0) și K. Atunci K este corp.
Demonstrație.Pentru a demonstra că K este corp trebuie demonstrat că orice element nenul din K este inversabil. Fie . Deoarece idealele xK și Kx sunt nenule rezultă xK=K și Kx=K. Din aceste relații rezultă că există astfel încât și . Atunci se obține , deci și deci x este inversabil.
Observație:Din propozițiile precedente rezultă că în cadrul inelelor, corpurile pot fi definite și ca inele nenule care au doar două ideale.
Corpurile fiind inele, morfismele de inele se aplică și în cazul corpurilor. În cazul corpurilor există următoarea proprietate.
1.6.3.Propoziție.Fie K un corp, atunci orice morfism de la K la un inel A nenul este injectiv.
Demonstrație. În continuare, prin inel se înțelegeun inel unitar iar prin morfism de inele un morfism unitar, care duce elementul unitate al domeniului de definiție în elementul unitate al domeniului valorilor. Fie un morfism de inele. Se știe că u este injectiv dacă și numai dacă Ker u este idealul nul în K. Deoarece Ker u este ideal bilateral în K și K este corp deducem că Ker u=K sau Ker u=0, după cum se deduce din 1.6.1. Egalitatea Ker u=K nu poate avea loc deoarece ar rezulta f(1)=0, ceea ce contrazice faptul că f(1) este elementul unitate la înmulțire în A și acesta este diferit de zero întrucât inelul A este inel nenul.
1.6.4.Propoziție. Fie K un inel comutativ cu proprietatea că orice morfism de la K la un inel nenul este injectiv. Atunci K este corp.
Demonstrație.Este suficient să se arate că dacă K este corp, există un morfism de la K la un inel nenul care nu este injectiv. Dacă K nu este corp, din propoziția 1.6.2. rezultă că există în K un ideal I diferit de (0) și K. Deoarece K este inel comutativ, idealul I este bilateral, deci există inelul factor A=K/I. Atunci morfismul canonic nu este injectiv, căci
1.7.SUBCORPURI. EXTINDERI DE CORPURI
Ca și la grupuri și inele un rol important în studiul corpurilor îl au subcorpurile.
1.7.1.Definiție:Prin analogie cu subgrupurile și subinelele, un subcorp k al unui corp K este o submulțime a lui K care conține cel puțin două elemente și cu proprietatea că operațiile de adunare și de înmulțire din K induc pe k operații algebrice împreună cu care este corp. Aceasta înseamnă că k cu adunarea este subgrup în K, ceea ce este echivalent cu:
a)apoi ca din elementele din (se observă că deoarce k este subgrup pentru grupul aditiv al lui K, rezultă că )formează subgrup al grupului elementelor nenule din K, ceea ce revine la faptul că
b)
Observații.
1.Un subcorp al corpului K este o submulțime k care conține cel puțin două elemente și care verifică condițiile a) și b) de mai sus.
2.În condiția b) se poate omite condiția ca , căci pentru se obține totdeauna .
3.Din definiția subcorpului rezultă că orice subcorp conține elementul nul și elementul unitate al corpului.
1.7.2.Exemple de subcorpuri.
10.În corpul numerelor complexe , corpul numerelor reale și corpul numerelor raționale sunt subcorpuri.
20.Corpurile sunt subcorpuri în corpul cuaternionilor .
30.Corpul numerelor raționale este subcorp al lui .
40.Mulțimea numerelor complexe de forma notată prin este subcorp al lui .
50.Numerele reale de forma formează un subcorp al corpului numerelor reale .
Observație.
Dacă k este subcorp al corpului K și la rândul său, K este un subcorp al corpului L, atunci rezultă că k este subcorp al lui L. Prin urmare, subcorpurile posedă o proprietate de tranzitivitate.
1.7.3.Definiție. Dacă k este un subcorp al corpului K, atunci se spune că corpul K este o extindere a corpului k.
E firească întrebarea:de ce se mai introduce și noțiunea de extindere a unui corp când există deja noțiunea de subcorp? Acest fapt este necesar pentru simplificarea limbajului în cazul în care se studiază un corp și acele corpuri în care el este subcorp, deci extinderile acelui corp, spre deosebire de cazul în care se studiază subcorpurile unui corp dat.
1.7.4.Propoziție. O intersecție de subcorpuri ale unui corp este un subcorp.
Demonstrație.Fie K un corp și o mulțime oarecare de subcorpuri ale lui K. Atunci conține cel puțin elementele 0 și 1 din K.
Verificarea condițiilor a) și b) din 1.7.1 pentru k.
FieAtunci rezultă că Deci și dacă , deoarece este subcorp al lui K. De aici se deduce că și dacă .
Fie o extindere de corpuri și M o submulțime a lui K. Intersecția subcorpurilor lui K care conțin pe k și pe M se notează k(M) și este un subcorp al lui K, conform propoziției precedente.
1.7.5.Definiție. Corpul k(M) se numește subcorpul lui K generat de M peste k. O submulțime M a corpului K se numește sistem de generatori al lui K peste k dacă K=k(M). Corpul K se numește extindere de tip finit al lui k dacă există o submulțime finită M din K astfel încât K=k(M).
Exemple:
10.Corpurile șisunt extinderi de tip finit ale lui .
20.Corpul numerelor complexe este extindere de tip finit al lui deoarece .
1.8. CORPURI PRIME. CARACTERISTICA UNUI CORP.
Fie K un corp. Atunci K poate fi privit și ca subcorp în K.
1.8.1.Definiție.Un subcorp al lui K diferit de K se numește subcorp propriu al lui K.
1.8.2.Definiție.Se numește corp prim un corp care nu are subcorpuri proprii.
Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însuși.
1.8.3.Propoziție. Corpurile și , număr întreg prim, sunt corpuri prime.
Demonstrație. Fie K un subcorp al lui . Atunci , de unde rezultă că, pentru , căci de n-ori. Apoi se obține . Deci . Cum inversele elementelor din trebuie să fie și ele în K rezultă .
Fie număr întreg prim. Atunci are p elemente Orice subcorp K al lui conține pe și pe
Pentru orice avem de r-ori deci Prin urmare
Pentru a arăta că și sunt singurele corpuri prime se demonstrează următoarea propoziție:
1.8.4.Propoziție. Orice corp conține un subcorp izomorf cu unul și numai unul dintre corpurile sau , număr întreg prim.
Demonstrație. Fie K un corp. Atunci există un unic morfism de inele definit prin unde iar este elementul unitate din K. este subinel în K și este izomorf cu .Cum este inel integru, dacă , atunci există p>0, număr întreg prim astfel încât deci și deci K conține corpul . Dacă atunci este izomorf cu . Atunci u se extinde la un morfism de inele punând pentru după cum se verifică cu ușurință.
Pentru a arăta că în K există numai un singur subcorp izomorf cu un corp prim, se observă că dacă ar conține două astfel de subcorpuri dinstincte, intersecția lor ar fi un subcorp propriu a cel puțin unuia dintre subcorpuri, ceea ce ar contrazice faptul că subcorpurile sunt corpuri prime.
1.8.5.Propoziție. Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.
Demonstrație. Dacăeste un endomorfism al corpului prim K, atunci u este injectiv iar u(K) este subcorp al lui K, rezultă că u(K)=K, adică u este automorfism al lui K, fiind injectiv. Însă din faptul că rezultă că pentru orice r număr întreg dacă număr întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Dacă tot din faptul că u(1)=1 rezultă u(n)=n pentru orice apoi pentru rezultă adică u este și în acest caz identitatea.
Se poate arăta că proprietatea din propoziția precedentă caracterizează corpurile prime.
1.8.6. Definiție. Fie K un corp. Se spune că K are caracteristica zero dacă K conține pe și caracteristica p>0, p fiind un număr întreg prim, dacă K conține corpul .
Exemple:
10.Corpurile sunt de caracteristică 0.
20.Corpul are caracteristica p.
Observații:
1.Se deduce din definiție că dacă este o extindere de corpuri atunci corpurile k și K au aceiași caracteristică.
2.Uneori în loc de caracteristica unui corp se folosește exponentul caracteristic, care prin definiție este 1 dacă caracteristica corpului este 0 și p>0, dacă caracteristica corpului este p.
CAPITOLUL 2
METODE ACTIV PARTICIPATIVE UTILIZATE ÎN STUDIUL INELELOR ȘI CORPURILOR ÎN LICEU
2.1 SISTEMUL METODELOR DE ÎNVĂȚĂMÂNT
2.1. 1. Definire
Etimologia cuvântului metodă (gr. methodos, “metha” – spre, către și „odos” – “cale, drum”) sugerează semnificația metodelor didactice, în procesul de învățământ. Ele reprezintă așadar, calea de urmat, în vederea atingerii obiectivelor propuse; reprezintă drumul parcurs, în vederea aflării adevărurilor. Nu în ultimul rând, semnifică calea pe care o parcurge profesorul pentru a-i ajuta pe elevi să-și găsească propria cale de devenire.
Atenția acordată metodelor și procedeelor didactice facilitează respectarea normelor, principiilor didactice. Ele constituie, de asemenea, un element esențial al strategiei didactice, deoarece „reprezintă latura executorie a acesteia (atingerea finalităților)”. În sinteză, metoda este “o cale eficientă de organizare și conducere a învățării, un mod comun de a proceda ce reunește într-un tot familiar eforturile profesorului și ale elevilor săi” ( I. Cerghit, S. Cristea, O. Pânișoară, 2008, p.254).
În cadrul metodelor, se întâlnește o tehnică mai limitată de acțiune, numită procedeu. Acesta reprezintă o particularizare, un detaliu, o componentă a metodei respective. Între metodă și procedeu există o relație dinamică, în sensul că procedeele pot varia, își pot schimba locul fără să afecteze realizarea celor propuse, pe de o parte, și pe de alta, în sensul că metoda poate deveni un procedeu în cadrul unei alte metode, după cum, procedeul poate fi ridicat la rang de metodă (I. Cerghit, S. Cristea, O. Pânișoară, 2008, p.254).
2.1.2. Scurt istoric
La început ideea de metodă a venit dinspre paradigma carteziană, dinspre știință și era utilizată în scopul căutării adevărului în știință. Începând cu secolul al XVIII-lea ideea de metodă începe să fie utilizată și de instituțiile de învățământ legându-se de organizarea muncii în clasa de elevi, ordine și disciplină, de conducerea activităților educative. În secolul al XIX- lea, ideea de metodă pedagogică a fost legată de nașterea disciplinelor de învățământ, de adaptarea științelor la scopurile învățământului, de parcurgerea educativă a acestora, de reflecția asupra materiei de studiat și a clasei de elevi. Mai apoi, reflecția asupra conținuturilor abordate se va lega de reflecția asupra finalităților pe care metodele le permit a fi atinse; de aici înainte metoda absoarbe în sine și aceste obiective, este pusă în serviciul unor obiective de cunoaștere științifică. Și astfel, metodele științifice se convertesc în metode de învățământ (pedagogice) propriu-zise.
Metodele de învățământ pot fi înțelese, ca un mod general de a concepe și realiza organizarea de ansamblu a activității de instrucție și de educație din școală. Ele reprezintă, mai degrabă, o doctrină pedagogică. Însă această abordare nu este singura care se atribuie metodelor de învățământ. Metodele sunt expresia unor practici educaționale generalizate asupra cărora mulți gânditori și filozofi, oameni de știință și de cultură, pedagogi și psihologi, au reflectat la timpul lor cu multă atenție. Observând sensul înnoitor al educației unei societăți aflate în pragul prefacerilor au întreprins propriile lor experiențe, ceea ce a permis să se dea contururi mai precise unor noi orientări metodologice.
Întotdeauna evoluția metodelor a stat sub influența concepțiilor filozofice ale epocii din care făceau parte, cu privire la natura omului și la destinul omenesc; a fost determinată de forma de organizare socială și politică existentă la acel moment, de tradiții, de istorie dar și de resursele poporului/ națiunii. Deși au existat diferențe de ordin filosofic, ideologic, politic, național etc. și în domeniul metodelor de instruire și educație au existat și există multe caracteristici și aspecte comune, diferențe de ordin formal și tehnic, ceea ce a oferit și oferă multe posibilități de abordare relativ identică, favorabilă unui schimb de informații și vederi absolut utile unor transferuri de metodologii de la o epocă la alta, de la un popor la altul, bineînțeles cu adecvările de rigoare. Rădăcinile instruirii, ale educației, sunt legate de practici puțin evoluate, în esență empirice, dependente de imitație și memorie, de exercițiul natural și de joc, care au dominat o lungă perioadă a istoriei educației. Mai târziu, s-a ajuns la comunicarea orală sub formă de tradiție orală, de povețe și exemplificări și, mai apoi, de dialog. Începând cu secolul al V-lea î.Hr., metodele de instruire ce impuneau o strictă adeziune la tradițiile populare uzuale – observă J. Brubacher (apud Ioan Cerghit, 2006), un istoric al educației, înclină să cedeze locul unor procedee mai critice. Începe să se impună conversația socratică, inițiată de Socrate.
Odată cu trecerea timpului, în perioada Antichității, apariția alfabetului și a scrisului (pe papirus), reprezintă un pas înainte. Răspândirea treptată a limbajului scris a contribuit la structuralizarea școlară a educației, căci învățarea lecturii a necesitat prezența unor tineri renumiți în jurul unui magister. Citirea vreunui manual prețios de către magister, dictarea, era însoțită de repetarea cu voce tare și memorarea textelor de către cei care îl ascultau. Atât în Antichitate cât și în Evul Mediu “lectura” însemna citirea cu glas tare.
Apoi, paralel cu practicarea unui învățământ mecanic, bazat pe metode scolastice, dogmatice, autoritare, de învățare pe de rost a unor cunoștințe formale proprii școlii medievale, a început să se dezvolte un nou tip de învățământ-unul explicativ. Acesta, fără să nege importanța memorării și a apelului la memorie, își îndreaptă atenția și spre observație și reflecție, adică spre metodele raționale ale percepției și reflecției. Metoda demonstrației logice se adaugă metodelor de exersare și celei a lecturii textului scris însoțit de comentarii.
Începând cu secolul al XVI-lea, profesorii universitari pun în aplicare metoda prelegerii, în timp ce studenții își notau și practicau zilnic lectura și se ocupau cu voce tare de lucrările scrise. De aici înainte, studiul individual începe să se impună tot mai mult. Epoca Renașterii, readuce în școli metodele de memorare și reproducere (a perceptelor, a exemplelor), folosirea prelecturii (metodă de învățare prin lectură, profesorul citește fără întrerupere un fragment, apoi repetă și dezvăluie ideile principale). Începând cu secolul al XIX- lea, odată cu accentuarea instruirii în domeniul științelor naturii și a orientării spre un învățământ explicativ, apar metodele obiective sau intuitive, iar spre începutul secolului al XX-lea se introduc treptat și unele metode de aplicare a cunoștințelor. Capătă importanță exercițiile, ca și activitățile practice, axate pe intuiție, pe inteligența reproductivă.
J. Dewey și Ed. Kilpatrick (apud Ioan Cerghit, 2006) includ aceste activități în forme mai complexe, cum ar fi așa numitele proiecte. Iar disciplina învățării era asigurată, de obicei, prin constrângere, prin aplicarea unor metode severe, autoritariste, bazate pe folosirea pedepselor. “Educația nouă” și “ educația liberă” sunt fundamente ce aparțin sfârșitului de secol XIX și începutului celui de-al XX-lea, iar mai apoi cele de “școli active” și ale “școlii muncii”, au căutat să scoată în evidență valoarea și necesitatea “metodelor active” și funcționale, apte să mobilizeze activitatea copilului și să stimuleze inițiativa acestuia. Aceste metode se centrau doar pe copil și pe dezvoltarea sa, a dispozițiilor și posibilităților lui naturale, ele plecau de la interesele și tendințele spontane ale copilului spre activitate, luată drept exercițiu al propriei lui dezvoltări.
“Metodele noi” au dominat învățământul european în prima jumătate a secolului XX și au contribuit la apropierea școlii de practica vieții. Cu toate acestea, evoluția metodelor active a rămas relativ limitată, nu a răspuns speranțelor promotorilor lor (E. Claparide, M. Montessori, J. Dewey, G. Kerschensteiner, W. A. Lay, H. Gaudig, O. Decroly, Ed. Demolins, C. Freinet, Bouchet, iar la noi I. Găvănescul, G.G. Antonescu, I.C. Petrescu, I. Nisipeanu etc. – după Ioan Cerghit 2006) dat fiind “caracterul contestabil al teoriilor psihologice pe care s-au fondat cât și dificultățile de inserare a acestor proceduri în sistemele educative naționale, complexe, ori contraindicațiile existente între lumea închisă și liniștită a <<școlilor active>> și condițiile socio-profesionale ale vieții în care copilul trebuia să se integreze”. Însă aceste metode nu au condus la ideea unei formări armonioase a ființei umane în dezvoltare, căci se subestima necesitatea pregătirii teoretice în favoarea unui pragmatism.
Pedagogia contemporană a dus mai departe firul continuității istorice a practicii școlare, încercând să promoveze două tipuri de metode, și anume metodele active și metodele de acțiune practică, fundamentate pe ideea umanistă, pe ideea unității dintre teorie și practică, dintre cunoaștere și acțiune. Însă efectul metodelor tradiționale persistă și astăzi. Se consideră că și în prezent ele dispun de numeroase resurse proprii de revitalizare în perspectiva unui învățământ modern activ, euristic și intensiv, ceea ce le va menține viabile pentru multă vreme, probabil, de aici înainte. De aceea, paralel cu acest sistem al metodelor “clasice” sau “tradiționale”, este necesar să se reînnoiască și mai mult spiritul predării, să se modernizeze întregul sistem de metode și de mijloace de învățământ, făcând loc unor noi metode, mai eficiente, care aparțin și sunt dezvoltate de epoca în care ne aflăm (pp. 55- 57).
2.1.3. Funcțiile metodelor de instruire
Există, așa cum regăsim în literatura de specialitate, două categorii de funcții (vezi I. Cerghit, 1999):
a. Funcții generale;
b. Funcții specifice;
a. Funcțiile generale.
• Funcția cognitivă: vizează organizarea și dirijarea cunoașterii și a învățării;
• Funcția instrumentală (operațională): metoda are funcția de intermediar între obiective și rezultate, între elev și materia de studiat;
• Funcția normativă: arată cum să se predea, cum să se învețe, astfel încât să se atingă performanțele propuse;
• Funcția motivațională: metoda stimulează curiozitatea, interesul, creativitatea elevilor;
• Funcția formativă: constă atât în dezvoltarea proceselor psihice și motorii, cât și însușirea cunoștințelor și formarea deprinderilor.
b. Funcțiile particulare (specifice): sunt proprii fiecărei metode în parte.
2.1.4. Clasificarea metodelor
Așa cum afirmă pedagogii (vezi I. Cerghit, S. Cristea, O. Pânișoară, 2008), problema clasificării metodelor este una “deschisă dialogului și cercetării de specialitate” (p.255). Câteva din criteriile pe care autorii mai sus mentionați le iau în calcul atunci când realizează un tablou al metodelor, sunt următoarele (p. 255-256):
– criteriul istoric: acesta face distincția între metodele tradiținale și cele moderne;
– criteriul generalității: acesta face distincția între ceea ce se numește metode generale și metode speciale.
– criteriul organizării muncii: face distincția între metodele de muncă individuală și cele realizate în colectiv.
– criteriul funcției îndeplinite în mod fundamental de metodă: astfel există metode de transmitere și asimilare a cunoștințelor, de consolidare, de verificare, de aplicare.
– după modul de determinare a activității mentale: metode algoritmice, semialgoritmice, nealgoritmice.
Tabloul metodelor clasificate de pedagogii mai sus amintiți este următorul:
– Metode de comunicare orală
– Metode expozitive
Expunerea cu oponent
Prelegerea dezbatere (discuție)
– Metode interogative
– Metoda discuțiilor și dezbaterilor
– Metoda problematizării
– Metode de comunicare bazate pe limbajul intern. Reflecția personală
– Metode de comunicare scrisă. Tehnica lecturii
– Metode de explorare a realității
metode de explorare nemijlocită a realității
observația sistematică
experimentul
învățarea prin cercetarea documentelor
metode de explorare mijlocită a realității
metode demonstrative
metode de modelare
– Metode bazate pe acțiune
metode bazate pe acțiune reală
metoda exercițiului
metoda studiului de caz
proiectul sau tema de cercetare-acțiune
metoda lucrărilor practice
metode de simulare
metoda jocurilor
metoda dramatizării
învățarea pe simulatoare
– Metode de raționalizare a învățării și predării
metoda învățării cu fișele
metode algoritmice de instruire
instruire asistată de calculator.
2.2. TRECEREA DE LA METODELE CLASICE LA METODELE MODERNE
Învățământul de tip tradițional se focalizează pe aspectele cognitive ale elevului, urmărind pregătirea lui secvențială pe discipline școlare. Se ignoră astfel armonizarea laturii cognitive a persoanei cu cea afectivă, atitudinală și cu cea comportamentală. Într-un astfel de cadru informațional elevul este tratat ca un recipient și mai puțin ca o persoană individuală, cu reacții emoționale determinate de plurifactorialitatea personalității în formare. Școala riscă să devină un mediu artificial, rupt de presiunea vieții reale. Învățământul modern românesc trebuie să aibă ca scop nu doar absolvenții bine pregătiți ci formarea de persoane cu resurse adaptative la solicitările sociale și psihologice ale vieții.
Este necesară conceperea școlii ca o instituție socială cu funcțiuni multiple, aptă să răspundă eficient nevoilor psihologice și sociale ale elevului, să asigure cadrul optim pentru starea sa de bine, pentru diminuarea tulburărilor de adaptare specifice vârstei.
Ioan Cergit (2006) realizează o analiză comparativă între clasic și modern având în vedere caracteristicile și diferențele esențiale ale acestora:
2.3. METODE ACTIV PARTICIPATIVE UTILIZATE ÎN STUDIUL INELELOR ȘI CORPURILOR ÎN LICEU
Metodele activ-participative sunt proceduri care pornesc de la ideea că învățarea este o activitate personală, care nu poate fi înlocuită cu nimic, iar cel care învață este considerat managerul propriei învățări, al întregului proces de învățare. Aceasta devine o activitate unică și diferită de la o persoană la alta, fiind determinată de istoria personală a subiectului, de mediul din care provine dar și de relațiile sociale pe care acesta le dezvoltă.
Metodele activ-participative presupun activism, curiozitate intrinsecă, dorința de a observa, a explica, a explora, a descoperi. Sunt considerate activ-participative acele metode care mobilizează energiile elevului, care îl ajută să își concentreze atenția, să-i stârnească curiozitatea. Metodele activ-participative pun accent pe cunoașterea operațională, pe învățarea prin acțiune, aduc elevii în contact nemijlocit cu situațiile de viață reală. Aceste metode au caracter educativ, exemplu: lectura independentă, dialogul euristic, învățarea prin explorare și descoperire, discuțiile colective etc. Prin urmare, învățarea este o activitate personală, care aparține individului; este un act personal care implică elevul în totalitate. Aceste metode se centrează exclusiv pe elev și sunt decisive în formarea personalității acestuia.
Privind elevul ca subiect al învățării, metodele activ-participative consideră că efectele instructive și cele formative ale învățământului sunt proporționale cu nivelul de angajare și participare ale acestuia în activitatea de învățare; că în situația de învățare el se implică făcând apel la aptitudinile intelectuale, care au la bază diferite capacități de învățare; că fiecare dintre aceste capacități poate fi analizată din punct de vedere al proceselor mintale pe care le implică.
A dezvolta anumite capacități presupune a provoca anumite tipuri de procese intelectuale. Acestea constituie resurse diferite ale fiecărui elev de a se implica în mod personal în actul învățării. Sunt cazuri în care unii elevi apelează mai mult la memorie, la operații de memorare și de înțelegere; alții la gândire (capacitatea de a pune și de a rezolva probleme). În cazul în care apeleză mai mult la gândire, se dezvoltă fie operațiile de gândire convergentă care presupun căutarea și găsirea unui răspuns simplu și corect; fie operațiile de gândire divergentă prin care se ajunge la emiterea unor răspunsuri posibile, la o situație cu final deschis; ori la o gândire evaluatoare ce duce la anumite judecăți în baza unor criterii implicite sau explicite; deci, unii fac apel la aptitudinile creatoare ce ar presupune capacitatea de a elabora idei; iar alții la gândirea critică care are la bază capacitatea de analiză, de interpretare și de explorare.
Piaget (apud I. Cerhit, 2006) arată că scopul noilor metode este de a crea condițiile care să favorizeze dezvoltarea și implicarea acestor capacități, procese și operații. Atunci când situațiile de învățare sunt bine organizate, copiii se implică cu capacități diferite și au șansa să- și le dezvolte (p. 69).
Prin intermediul metodelor activ-participative profesorul trebuie să fie capabil să creeze situații în care elevii să fie obligați să utilizeze o gamă vastă de procese și operații mintale, astfelîncât aceștia să aibă posibilitatea de a folosi materialul predat pentru rezolvarea sarcinilor date.
Vorbim despre operații cum ar fi: observarea, identificarea, comparația, opunerea, clasificarea, categorizarea, organizarea, calcularea, analiza și sinteza, verificarea, explicarea cauzelor, sesizarea esențialului, corectarea, stabilirea de relații funcționale, abstractizarea și generalizarea, evaluarea, interpretarea, judecata critică, anticiparea, conturarea de imagini, formarea propriei opinii, extragerea de informații, comunicarea etc. În categoria metodelor activ- participative sunt incluse toate acele metode care provoacă o stare de învățare activă, o învățare care se bazează pe activitatea proprie. Sunt metodele care duc la formele active ale învățării, adică învățarea explorativă, învățare prin rezolvare de probleme, learning by doing (învățare prin acțiune), învățarea creativă; sunt metode care antrenează elevii în efectuarea unor activități de studiu independent, de muncă cu cartea, învățare prin cercetare, realizare de lucruri practice, exerciții de creație etc.
Învățarea activă angajează capacitățile productiv-creative, operațiile de gândire și imaginație, apelează la structurile mintale și la cele cognitive de care elevul dispune și de care se folosește în producerea noii învățări. Învățământul modern are la bază o metodologie axată pe acțiune. Din acest punct de vedere, metodele activ-participative se conduc după ideea constructivismului operatoriu al învățării (I. Cerghit, 2006). ”Implicarea într-un efort constructiv de gândire, de cunoaștere ori pragmatic este de natură de a scoate elevul din încorsetarea în care este ținut eventual de un învățământ axat pe o rețea de expresii verbale fixe, de genul enunțurilor, definițiilor, procedeelor invariabile, regulilor rigide etc. și de a-i rezerva un rol activ în interacțiunea cu materialul de studiat (conținutul- stimul)” (p. 70- 71).
Subiectul se implică activ și se angajează deplin în actul învățării, cu toate resursele posibile. În măsura în care metodele pe care ne bazăm reușesc să mobilizeze efortul psihic și fizic ce provine din interiorul celui care învață, interesele și dorințele de cunoaștere, inițiativă, motivația intrinsecă (reușita și depășirea dificultăților), atunci într-adevăr ele au dreptul să-și revendice apartenența la ceea ce fac, de obicei, purtând numele de metode activ-participative. În această categorie intră și metodele euristice și cele bazate pe acțiunea practică. “Activ” este elevul care gândește, care depune un efort de reflecție personală, interioară și abstractă, căruia i se oferă posibilitatea de a afla și singur cunoștințele înțelegându-le, stocându-le și aplicându-le în mod personal, care cercetează și redescoperă adevărurile și nu acela care reproduce mecanic materialul predat de cadrul didactic.
Predarea materiei trebuie privită ca o modalitate de stimulare și dezvoltare a capacităților intelectuale dar și a proceselor și operațiilor ce stau la baza acestor capacități. Pornind de la această premisă putem spune că logica internă a disciplinei nu dezvoltă de la sine logica gândirii de ansamblu a elevului.
Comparativ cu metodologia tradițională, pentru care elevul rămâne mai mult un reproducător al informațiilor prezentate de profesor, metodele activ-participative fac din acesta un participant activ în procesul învățării, pregătit să-și însușească cunoștințele prin efort propriu, prin angajarea gândirii și mobilizarea tuturor funcțiilor intelectuale în raport cu sarcina de învățare dată.
În lucrul cu metodele moderne, profesorul joacă un rol esențial. Acesta trebuie să-și pună în joc toate cunoștințele sale și întreaga lui pricepere, nu pentru a transmite pur și simplu cunoștințe care urmează a fi însușite mecanic, ci pentru a insufla elevilor săi dorința de a le dobândi, prin ei înșiși, printr-un studiu cât mai activ și mai intens. Rolul profesorului este de a organiza învățarea, de a susține efortul elevilor și de a nu lua asupra lui, integral sau parțial, această strădanie. Se subînțelege că metodele activ-participative sunt mai dificil de aplicat în practică și din acest motiv necesită o muncă mai atentă și diferențiată. Astfel promovarea lor necesită o schimbare de atitudine din partea profesorului, și prin ea, o transformare a conduitei, la proprii săi elevi. Așadar, metodele activ-participative prin caracterul lor diferențiat și formativ, ajută la dezvoltarea potențialului intelectual al elevului, la intensificarea proceselor mintale, la ridicarea calității învățării. Sunt metode care țin seamă de elev așa cum este el, cu resursele lui intelectuale, fizice dar și afectiv-motivaționale; cu capacitățile și procesele mintale care îi aparțin. Sunt metode care țin seama de faptul că elevul se dezvoltă și se formează în timp ce învață, dar și asimilează.
Metodele moderne sunt determinate de progresele înregistrate în știință, unele dintre acestea apropiindu-se de metodele de cercetare științifică punându-l pe elev în situația de a dobândi printr-un efort propriu experiențe de învățare, altele dezvoltându-i anumite abilități (de exemplu instruirea asistată de calculator).
În școala modernă, metodele au la bază caracterul lor activ, adică măsura în care sunt capabile să-l angajeze pe elev în activitate, să îi stimuleze motivația, dar și capacitățile cognitive și creatoare. Un criteriu de apreciere a eficienței metodelor îl reprezintă valențele formative ale acestora, impactul lor asupra dezvoltării personalității elevilor.
“Învățământul activ” se realizează cu ajutorul metodelor active, care impune diminuarea ponderii activităților ce limitează activizarea și extinderea utilizării metodelor moderne (active), care dezvoltă gândirea, capacitatea de investigație a elevilor, precum și participarea lor la însușirea cunoștințelor, la munca independentă, deprinderea de a aplica în practică cele însușite. Sunt considerate active acele metode care nu încătușează elevul într-o rețea de expresii fixe sau de reguli rigide, care rezervă o pondere crescândă elevului în interacțiunea lui cu obiectele învățării, care determină un maximum de activism al structurilor operațional-mintale în raport cu sarcinile de învățare în care acesta este angajat.
2.3.1 Discuția are semnificația unui schimb reciproc și organizat de informații și de idei, de impresii și de păreri, de critici și de propuneri în jurul unei teme sau chestiuni determinate în scopul examinării și clarificării în comun a unor noțiuni și idei, al consolidării și sistematizării datelor și conceptelor, al explorării unor analogii, similitudini și diferențe, al soluționării unor probleme care comportă alternative (Ioan Cerghit).
Utilizarea discuției prezintă numeroase avantaje: crearea unei atmosfere de deschidere, facilitarea intercomunicării și a acceptării punctelor de vedere diferite, conștientizarea complexității situațiilor în aparență simple, optimizarea relațiilor profesor-elevi și statornicirea unui climat democratic la nivelul clasei. Prin discuție se exersează abilitățile de ascultare activă și de respectare a regulilor de dialog.
Exemplu:
Tema: Corpuri.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștiințe
În etapa de dirijare a învățării, pentru reformularea definiției dată corpului profesorul cere elevilor să compare definiția inelului cu cea a corpului și să exploreze similitudinile și diferențele dintre cele două structuri algebrice. În urma discuției, de comun acord se reformulează definiția corpului astfel:
Definiție: Un inel K se numește corp dacă orice element nenul al lui K este inversabil.
2.3.2. Jocul de rol-se bazează pe ideea că se poate învăța nu numai din experiența directă, ci și din cea simultană. De multe ori încremenirea în propriul proiect ne împiedică să vedem posibile variații și alternative ale propriilor roluri. Din această perspectivă, prin jocul de rol elevii pot învăța unii de la alții despre persoanele și lumea din jur, într-o manieră plăcută și atrăgătoare.
Jocul de rol constă în plasarea elevilor în diferite roluri, cu scopul formării de atitudini, abilități, convingeri, comportamente, competențe.
Utilizarea acestei metode implică mai multe etape metodice:
1. stabilirea situației ce se va simula
2. analiza și proiectarea scenariului
3. stabilirea elevilor și instruirea acestora
4. desfășurarea scenariului
5. analiza și dezbaterea modului de desfășurare a jocului de rol
6.formularea unor concluzii
Simularea prin joc de rol duce la creșterea gradului de adaptabilitate și la ameliorarea relațiilor dintre persoane, dezvoltând în același timp gândirea critică, capacitatea de exprimare și cea empatică.
Elevii pot juca rol de profesor. Aceasta înseamnă că elevii vor prezenta colegilor de clasă un conținut teoretic sau un demers rezolutiv (de rezolvare de probleme). Astfel, pe lângă aprofundarea conținutului teoretic și o mai bună înțelegere și reținere a acestuia, ei vor învăța să-și organizeze timpul, să pregătească materialele necesare, să utilizeze un stil de expunere clar, conscis și adecvat nivelului clasei. Elevii sunt responsabilizați, căci rezultatul acțiunii va fi rodul muncii lor. Pentru a avea scucces în aplicarea metodei și pentru ca metoda să dezvolte motivația învățării, profesorul trebuie să îndrume elevii pe parcursul pregătirii lor pentru a ”performa” în fața colegilor, iar după ”reprezentație” să aprecieze pozitiv efortul acestora.
Exemplu:
Tema: Inele
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștiințe
Profesorul propune clasei ca această lecție să fie predată de 3 elevi. Elevii care se oferă voluntari vor avea de pregătit, sub îndrumarea profesorului lecția inele astfel că:
Primul elev va preda partea teoretică a lecției.
Al doilea elev va preda exemple de inele.
Al treilea elev va rezolva un exercițiu comentat.
Această activitate se va desfășura pe parcursul a 2 ore, în a doua jumătate a celei de-a doua ore se va analiza activitatea desfășurată, se vor face completări de către profesor (dacă acestea sunt necesare) și se vor formula unele concluzii.
2.3.3. Studiul de caz-este o metodă care se bazează pe cercetare și stimulează gândirea critică prin analiza, înțelegerea, diagnosticarea și rezolvarea unui caz. Pentru a întări ideea de participare activă și efectivă la soluționarea unei probleme, se recomandă ca situațiile folosite să fie unele reale
Cazurile de viață sunt cazuri de problemă concretă, luate drept exemple tipice reprezentative și semnificative pentru anumite stări de lucruri mai generale, sunt supuse unei analize atente, sub toate aspectele, până ce elevii vor ajunge la înțelegerea complexă a problemei date și la soluționarea ei prin adoptarea unor decizii optime. “Cazul” propriu-zis, singur, ales în mod intenționat dintr-un câmp de realități proprii unui sector al cunoașterii sau al acțiunii practice umane, condensează în sine esențialul și prin aceasta aruncă o lumină asupra a ceea ce este general valabil pentru lumea obiectelor, fenomenelor sau evenimentelor din care el a fost selecționat.
Alegerea cazului se face în funcție de anumite criterii – nu orice situație este un caz. Pentru ca o situație să devină un caz, trebuie să întrunească următoarele caracteristici:
să fie autentic
să presupună o intervenție urgentă, să fie o situație problemă care suscită interesul
să fie legat de preocupările grupului, pentru ca participanții la rezolvarea cazului să dețină informațiile necesare și să găsescă soluții de rezolvare
să fie complet prezentat – să conțină toate datele necesare pentru a fi soluționat
Etapele unui studiu de caz:
1. prezentarea cazului în fața elevilor/studenților
2. culegerea informațiilor în legătură cu cazul
3. discutarea, analiza și sistematizarea materialului pentru cazul ales (acțiune desfășurată sub îndrumarea profesorului)
4. dezbaterile asupra informațiilor culese și stabilirea variantelor de soluționare a cazului
5. alegerea soluției optime și argumentarea ei
Cazul poate fi studiat și soluționat individual, pe subgrupe, în colectiv.
În ceea ce privește prelucrarea didactico-metodică a exemplului de caz se va avea grijă:
Să fie bine focalizată pe obiective clare și pertinente
Să se valorifice la maximum potențialul pedagogic
Gradul de dificultate presupus de analiza cazului să corespundă nivelului real de pregătire al elevilor
Studiul de caz să devină un exercițiu de căutare, analiză, descoperire și de argumentație fundamentate științific.
Exemplu:
Tema: Inelul claselor de resturi modulo n
Tipul lecției: Lecție de fixare și sistematizare a cunoștiințelor.
Etape:
Profesorul prezintă elevilor Criptologia. Criptologia(cripto=ascuns) este la fel de veche ca și limbajul. Odată cu transmiterea de mesaje,oamenii au avut nevoia ca acestea ajunse în mâinile unor persoane indezirabile să nu fie decodificate și deci citite. Azi dezvoltarea tot mai rapidă a telecomunicațiilor, a comunicațiilor electronice, a tranzacțiilor bancare, a plăților cu cărți de credit etc. Au impus tot mai mult criptologia. Scopul criptologiei este de a transmite și proteja informațiile, asigurându-le confidențialitatea dintr-un mesaj. Criptografia este studiul tehnicillor utilizate pentru a codifica un text inteligibil. După codificarea textului printr-un anumit procedeu, se obține textul cifrat (sau codificat), care odata ajuns la destinatar, acesta pentru a-l aduce la forma textului inițial trebuie să-l decodifice făcând astfel operația inversă realizată de expeditor.
Cere continuare elevilor să găsească procedeul prin care a fost codificat mesajul: „WHDGRU”, și să îl decodifice .
Elevii, împărțiți în 6 grupe se informează utilizând diverse mijolace despre procedeele cunoscute de codificare a textelor și descoperă că mesajul a fost codificat cu „Cifrul lui Cezar”-În acest cifru, fiecare literă din textul inițial este înlocuită cu o literă care se află în alfabet la o distanță fixă de cea înlocuită. De exemplu pentru o „deplasare” de 4, litera A este înlocuită de litera E, litera B devine litera F etc.
În această etapă elevii din grupele 1,3,5 vor trimite câte o întrebare codificată elevilor din grupele 2,4,6, care după decodificare vor trimite răspunsul tot printr –un mesaj codificat.
Sub îndrumarea profesorului se face descrierea matematică a cifrului:
Asociem celor n litere ale alfabetului întregii: Notăm cu și considerăm funcția: unde k este cheia numărului de poziție de la alfabetul clar la alfabetul cifrat. Pe lângă literele de la alfabetul de la a la z se adaugă și blank-ul(spațiul liber). Deci:
Pentru k=5, textul clar „atac în zori” se transformă în text cifrat: FYFHENSEDTWN astfel:
Aplicația este bijectivă și inversa ei este funcția .Aplicația inversă se utilizează pentru a descifra textul cifrat.
În acest caz se generalizează rezultatele obținute: Se consideră funcția unde a,b sunt întregi fixați (funcția afină). Perechea ordonată (a,b) este cheia acestui cifru.
Dacă a=1, avem cifru translație, iar dacă b=0 se obține cifru multiplicativ.
Funcția f are inversa dacă când unde cu și
2.3.4. Cubul-Metoda este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect sau a unei situații din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor, posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe și integratoare.
Etapele metodei:
Realizați un cub pe ale cărui fețe notați: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.
Anunțați tema/subiectul pus în dicuție.
Împărțiți grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup urmând să examineze topica aleasă din perspectiva unei “fețe“a cubului, astfel:
a) Descrie: culorile, formele, mărimile
b) Compară: ce este asemănător și ce este diferit?
c) Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești?
d) Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune? etc.
e) Aplică: ce poți face cu el? Cum poate fi folosit?
f) Argumentează pro sau contra. Ia atitudine și listează o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Prin brainstorming, participanții identifică idei inovatoare pe care le includ într-un paragraf sau două referitoare la tema respectivă.
Forma finală a scrierii este împărtășită întregului grup.
Lucrarea în forma finală poate fi afișată pe tablă sau pe pereții clasei.
Tehnica cubului poate fi aplicată:
la diferite etape ale lecției
la diferite probe (în scris și oral)
folosind diverse forme de organizare (individuală, frontală, în perechi, în grupuri)
substituind sarcinile propuse de autori prin altele în funcție de situație
folosind (în caz de necesitate) doar unele din fețele cubului
utilizînd cuvintele-cheie în mod arbitrar sau într-o anumită ordine logică.
Exemplu:
Tema: Morfisme de inele și corpuri
Organizarea colectivului de elevi: 6 grupe de lucru
Fiecare grupă are ca sarcină să studieze morfismele de inele și corpuri din perspectiva cerinței înscrise pe una dintre fețele cubului:
Descrie: Sarcina solicită descrierea unor proprietăți ale morfismelor de inele și corpuri.
Compară: Prin ce se aseamănă? Prin ce se deosebesc?
Asociază:.Identificarea dintr-un număr de funcții date a celor care stabilesc un morfism/izomorfism de inele/corpuri
Analizează: Care din proprietățile morfismelor de inele și corpuri sunt asemănătoare? Sarcina solicită identificarea unor proprietăți caracteristice, proprietăți specifice etc.
Aplică: Cum poți utiliza aceste proprietăți? Sarcina solicită utilizarea proprietăților morfismelor de inele și corpuri în contexte practice.
Argumentează: Cum ai procedat? De ce poți afirma asta? Sarcina solicită realizarea unui demers de rezolvare a unei probleme și argumentare a soluției
2.3.5. Turul galeriei este o metodă de învățare prin cooperare care îi încurajează pe elevi să-și exprime propriile opinii. Produsele realizate de elevi sunt expuse ca într-o galerie, prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evaluate și discutate de către toți elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Pașii metodei:
elevii sunt împărțiți pe grupuri de câte 4-5 membri, în funcție de numărul elevilor din clasă
cadrul didactic prezintă elevilor tema și sarcina de lucru
fiecare grup va realiza un produs pe tema stabilită în prealabil
produsele sunt expuse pe pereții clasei
un elev desemnat de grup prezintă (dacă este cazul) în fața tuturor elevilor produsul realizat
analizarea tuturor lucrărilor
După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte. Turul Galeriei urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să respingă ideile celorlalți prin demonstrarea valabilității celor susținute. Prin utilizarea ei se stimulează creativitatea participanților, gândirea colectivă și individuală, se dezvoltă capacitățile sociale ale participanților, de intercomunicare și toleranță reciprocă, de respect pentru opinia celuilalt.
Avantaje:
atrage și stârnește interesul elevilor, realizându-se interacțiuni între elevi
promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente
stimulează efortul și productivitatea individului și este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare
există o dinamică intergrupală cu influențe favorabile în planul personalității, iar subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințele în moduri variate și complexe
dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor
se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității.
Exemplu: Recapitulare și sistematizare a capitolului inele și corpuri
Se împarte colectivul de elevi în 8 grupe de câte 4 elevi care vor primi sarcina de a realiza planșe cu teoria pentru următoarele teme:
Grupa 1 : Distributivitatea.
Grupa 2: Inele.
Grupa 3: Inel integru.
Grupa 4: Reguli de calcul în inel
Grupa 5:Morfisme și izomorfisme de inele
Grupa 6:Corpuri
Grupa 7 :Exemple remarcabile de corpuri
Grupa 8:Morfisme și izomorfisme de corpuri
Elevii vor lucra în echipă și vor redacta pe coli de flip-chart rezolvarea sarcinilor primite. După expirarea timpului de lucru, colile de flip-chart vor fi expuse/afișate într-un loc vizibil și ușor accesibil, ca într-o galerie de artă. Profesorul va cere tuturor elevilor ”să viziteze” galeria, să-și noteze punctele tari și punctele slabe identificate la fiecare produs vizionat.
Pentru a fixa cunoștințele, profesorul va facilita discuții pe marginea produselor realizate solicitând elevilor să sugereze modalități de îmbunătățire a produselor.
Activitatea necesită 2 ore.
2.3.6. Gândiți-lucrați în perechi-comunicați este o activitate de învățare prin colaborare, care constă în stimularea elevilor de a reflecta asupra unei teme date.
Etape:
Elevii formează perechi și timp de 4–5 minute fiecare elev, individual, rezolvă o sarcină ce i se dă (un exercitiu, o problemă sau răspunde la niște întrebări date de profesor).
Fiecare elev discută cu colegul din pereche și împreună convin asupra unui răspuns care să le încorporeze ideile.
Profesorul numește 2-3 perechi care să prezinte întregii clase rezolvarea sau concluziile la care au ajuns.
Exemplu:
Tema: Inel integru.
Tipul lecției: Lecție de fixare și sistematizare
În etapa de dirijare a învățării, profesorul propune spre rezolvare următoarea problemă:
Pe mulțimea a numerelor întregi definim legile de compoziție:
Să se arate că este inel comutativ fără divizori ai lui zero și să se determine elementele inversabile ale acestui inel.
Organizarea colectivului de elevi: Se împarte clasa în 10 perechi care vor demonstra câte una din proprietățile:(divizori ai lui zero), determinarea elementelor inversabile ale inelului. Grupele care au nevoie de elementul neutru îl vor primi de la început fără a fi divulgat întregii clase.
După 2-3 minute fiecare pereche își desemnează câte un reprezentant care vine la tablă și scrie proprietatea pe care a avut-o de demonstrat. Elevii fac aprecieri asupra demonstrațiilor colegilor iar profesorul trage concluziile.
2.3.7. Metoda harta personajelor presupune analiza relațiilor dintre anumite subiecte, noțiuni. Se notează în centru tema de studiat și în colțurile paginii noțiunile cu care sunt în relație. Acestea se unesc prin săgeți, pe care se scriu caracteristicile lor. În jurul cercurilor se pot nota formule, definiții. Se poate lucra frontal sau pe echipe.
Exemplu:
Tema: Inel,Inel integru.
Tipul lecției:Lecție de recapitulare și sistematizare
În etapa de reactualizare a cunoștiințelor anterior însușite,elevii sub îndrumarea profesorului pot realiza următoarea hartă a personajelor:
2.3.8. Problematizarea-reprezintă una dintre cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și activizator. Se face o distincție foarte clară între conceptul de problemă și conceptul de situație-problemă implicat în metoda problematizării. Primul vizează problema și rezolvarea acesteia din punctul de vedere al aplicării, verificării unor reguli învățate, al unor algoritmi ce pot fi utilizați în rezolvare.
O situație-problemă desemnează o situație contradictorie, conflictuală, care rezultă din trăirea simultană a două realități: experiența anterioară, cognitiv-emoțională și elementul de noutate, necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Acest conflict incită la căutare și descoperire, la intuirea unor soluții noi, a unor relații aparent inexistente între ceea ce este cunoscut și ceea ce este nou pentru subiect. O întrebare devine situație-problemă atunci când se declanșează curiozitatea, tendința de căutare, de depășire a obstacolelor.
Problematizarea trebuie înțeleasă ca fiind o modalitate instructivă prin care se recurge la cunoașterea realității, constituind forma pedagogică prin care stimulăm elevul să participe conștient și intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei probleme propuse și o nouă experiență care tinde să restructureze vechea sa experiență.
O problemă trebuie să dezvolte o atitudine creatoare. Creativitatea, ca găsire a unei soluții noi, originale, implică o situație problematizantă și se cultivă pe terenul conflictual al acesteia asigurând flexibilitatea gândirii. Lipsa de încurajare, de apreciere a efortului, pot curma o gândire creatoare.
O problemă sau o situație-problemă nu trebuie confundată cu conversația euristică, unde elevul este pus în situația de a da un răspuns, cu un efort relativ ușor, la o întrebare care-i direcționează procesele de cunoaștere. Scopul întrebării de tip euristic în problematizare este de a deschide calea pentru rezolvarea altor probleme mai simple, ca trepte în soluționarea problemei centrale.
În orice situație problematică, în general, se disting două elemente principale: primul – o scurtă informație care-l pune pe elev în temă și al doilea – întrebarea care provoacă dificultatea de rezolvare, antrenând capacitatea de reflexie.
Etape posibile în abordarea unei situații-problemă:
definirea punctului de plecare și a scopului urmărit
punerea problemei prin cunoașterea profundă a situației de plecare și selectarea informației
organizarea informației
transformarea informației pe calea raționamentului, inducției și deducției, a intuiției și analogiei, inclusiv a utilizării și a altor procedee para-logice, în vederea identificării soluțiilor posibile
luarea deciziilor – opțiunea pentru soluția optimă; verificarea soluției alese și a rezultatelor
Problematizarea are o deosebită valoare formativă: se consolidează structuri cognitivese stimulează spiritul de explorar și se formează un stil activ de muncă, se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii.
Exemplu:
Tema: Corpuri
Tipul:Lecție de recapitulare și sistematizare.
Etapa lecției:Dirijarea învățării
Activitatea profesorului:
propune spre rezolvare următoarea problemă:
Fie mulțimea Știind că corp comutativ și că funcția este un izomorfism de la corpul la corpul , rezolvați sistemul:
inițiază conversația recapitulativă prin care se reactualizează definițiile și formule de calcul a noțiunilor studiate (corpuri, izomorfisme de corpuri).
încurajează elevii să pună cât mai multe întrebări și stimuleaza discuțiile și dezbaterile între elevi
motivează participarea elevilor prin solicitarea de a opera cu opinii, idei, formule, tehnici de calcul
Activitatea elevilor:
-dirijat, aplică funcția f pe fiecare egalitate din sistem
Folosind faptul că este un izomorfism de la corpul la corpul
Din corp
Din f izomorfism, sistemul devine:
Fie
În perechi, elevii rezolvă sistemul și obțin soluțiile: și .
Se deduce imediat faptul că soluțiile sistemului inițial sunt perechile de matrice , unde:
2.3.9. Învățarea prin descoperire-poate fi de tip descoperire dirijată și descoperire independentă. Prin această metodă se pun în evidență în primul rând căile prin care se ajunge la achiziționarea informațiilor, prilejuindu-se elevilor cunoașterea științei ca proces. Parcurgând drumul redescoperirii, elevul reface anumite etape ale cunoașterii științifice și își însușește astfel elemente ale metodologiei cercetării științifice.
Această metodă are o deosebită valoare formativă, dezvoltând atât capacitățile de cunoaștere ale elevilor (interesul, pasiunea), cât și importante trăsături ale personalității (tenacitate, spiritul de ordine, disciplina, originalitatea).
Modalitățile de învățare prin redescoperire corespund în general formelor de raționament pe care se întemeiază.
Astfel, se disting:
descoperirea pe cale inductivă
descoperirea pe cale deductivă
descoperirea prin analogie
Descoperirea pe cale inductivă este utilă în procesul de formare a schemelor operatorii. De exemplu, în rezolvarea exercițiilor simple de adunare sau scădere au loc trei acțiuni care solicită învățarea prin descoperire: descompunere, grupare și operare.
Calea deductivă a învățării prin descoperire este specifică activităților de învățare în care elevul este solicitat să identifice metode de lucru. Un exemplu concludent de învățare deductivă este procedeul adunării repetate la care apelează elevii pentru a efectua o înmulțire între numere care depășesc ca ordin de mărime concentrul în care s-a produs învățarea înmulțirii. Predarea înmulțirii și a împărțirii, după ce elevii și-au însușit adunarea și scăderea, este un alt exemplu de învățare deductivă prin descoperire. Elevii, cunoscând adunarea, vor rezolva exerciții de înmulțire pe baza adunării repetate și exerciții de împărțire pe baza scăderii repetate.
Descoperirea prin analogie constă în aplicarea unui procedeu cunoscut într-un alt caz asemănător. Un exemplu de învățare analogică prin descoperire îl constituie utilizarea algoritmilor de operare cu numere în situații diferite de cele în care s-a produs învățare (efectuarea de adunări cu trecere peste mai multe ordine, rezolvarea de probleme tipice).
Învățarea prin descoperire și învățarea prin problematizare sunt metode ce se pot îmbina în cadrul unei strategii de învățare dar nu au aceeași funcție formativă: în cadrul problematizării accentul cade pe crearea unor situații conflictuale care declanșează procesul de învățare, iar în învățarea prin descoperire accentul este pus pe procesul de căutare a soluției pornindu-se de la elemente deja cunoscute.
Exemplu:
Tema:Inele.Reguli de calcul în inel
Tipul lecției: Lecție de dobândire de noi cunoștiințe
Etapa lecției: Prezentarea noului conținut
Activitatea profesorului:
-imparte clasa în 6 grupe și propune spre rezolvare următoarea problemă
Fie A o mulțime nevidă iar și două operații care verifică axiomele:
10.este grup.
20.este monoid
30. este distributivă față de .
Să se arate că operația este comutativă.
Indicație: Utilizând axioma 30 calculează arbitrare în două moduri.
Activitatea elevilor:
Pornind de la indicația dată de către profesor, fiecare grupă calculează: în două moduri :
Reprezentantul unei grupă scrie pe tablă rezultatul obținut, apoi pentru stabilirea urmărorului pas în rezolvare are loc o discuți e frontală.
Elevii observă că din:
Știind că este grup
Apoi din . Aceste operații sunt efectuate pe rând,la tablă de reprezentanți ai fiecărei grupe.
Se analizează ipoteza și concluzia problemei, elevii observă că structura algebrică este inel și „descoperă” că în definiția inelului axioma „este grup abelian” se poate înlocui cu axioma mai slabă „este grup”.
2.3.10. METODA ȘTIU/ VREAU SĂ ȘTIU/AM ÎNVĂȚAT
Cercetările în domeniu au arătat că învățarea este optimizată atunci când se bazează pe cunoaștere și experiențele anterioare ale elevilor, care le permit acestora să lege ceea ce știu deja de noile informații care trebuie învățate (Roth 1990).
Prin metoda “Știu/vreau să știu/am învățat” se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anume temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.
Etapele metodei:
Cereți la început elevilor să formeze perechi și să facă o listă cu tot ce știu despre tema abordată.
În timp ce elevii realizează lista, profesorul construiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/Vreau să știu/Am învățat – S/VS/I, ca cel de mai jos:
Cereți perechilor să spună ce au scris și notați în coloana din stânga informațiile cu care tot grupul este de acord.
Folosind aceeași metodă, elevii vor elabora o listă de întrebări.
Elevii vor identifica întrebările pe care ei le au despre subiectul abordat, iar profesorul le va lista în a doua coloană a tabelului. Aceste întrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legatură cu tema abordată.
Elevii citesc textul.
Elevii citesc textul, individual, sau cu un coleg, ori profesorul îl citește elevilor.
După lectura textului, reveniți asupra întrebărilor formulate în prima coloană, constatați la care s-au găsit răspunsurile în text și treceți-le în coloana “Am învățat”.
Elevii vor face comparație între ceea ce ei deja cunoșteau despre tema abordată, tipul și conținutul întrebărilor pe care le-au formulat și ceea ce ei au învățat prin lecturarea textelor.
Elevii compară ceea ce cunoșteau înainte de lecturare (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului). De asemenea, ei vor discuta care din întrebările lor au găsit răspuns prin informațiile furnizate de text, și care dintre ele încă necesită un răspuns. Discutați cu elevii unde ar putea căuta respectivele informații. Unele dintre întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.
Informația cuprinsă în coloana a treia “Am învățat” poate fi organizată în diferite categorii.
Exemplu:
Tema: Inelul
Tipul lecției:Lecție de formare de priceperi si deprinderi.
Etapa lecției: Prezentarea noului conținut și dirijarea învățării
Activitatea profesorului:
-propune spre rezolvare sistemele de ecuații:
în în în
-cere elevilor să formeze perechi și întocmească o listă cu tot ce știu despre inelul și despre rezolvarea unui sistem de ecuații
-construiește pe tablă tabelul:
-completează prima coloană cu informațiile cu care tot grupul este deacord
-completează a doua coloană cu întrebările elevilor
-completează a treia coloană cu ceea ce au învățat elevii.
Activitatea elevilor:
-fiecare pereche notează ceea ce știe despre tema dată
-elaborează o listă de întrebări în legătură cu tema dată
-rezolvă sub îndrumarea profesorului sistemele
-trag concluziile care se impun și compară ceea ce știau înainte cu ceea ce au învățat
2.3.11. Mozaicul- este o metodă de învățare prin colaborare și are la bază împărțirea grupului mare de elevi/cursanți în mai multe grupe de lucru, coordonate de profesor/formator. Timpul de lucru poate fi de două ore pentru elevi, iar pentru adulți, în funcție de complexitatea temei, timpul poate fi de două-patru ore.
Etape:
Etapa I:
Se împarte clasa în grupe eterogene de patru elevi. După aceea, elevii numără până la patru, astfel încât fiecare membru al grupei să aibă un număr de la 1 la 4.
Fiecărui membru al grupei i se dă o fișă de învățare care cuprinde o unitate de cunoaștere (o parte a unui text/articol etc.). Textul are atâtea părți câte grupe se constituie, fiecare grupă primind o parte a textului.
Profesorul discută pe scurt titlul textului și subiectul pe care îl va trata. Explică apoi că pentru acea oră, sarcina elevilor este să înțeleagă textul. La sfârșitul orei, fiecare persoană va trebui să fi înțeles întregul articol. Acesta însă, va fi predat de colegii de grup, pe fragmente.
Profesorul atrage atenția că articolul este împărțit în patru părți. Toți elevii cu numărul 1 vor primi prima parte, cei cu numărul doi vor primi a doua parte și așa mai departe.
Etapa a II-a:
Toți elevii cu numărul 1 se adună într-un grup, toți cei cu numărul 2 în alt grup etc. Dacă este foarte numeroasă clasa, s-ar putea să fie nevoie să se facă, de exemplu, două grupe cu numărul 1. Cu o clasă foarte mare, se poate lăsa jumătate de clasă să lucreze la altceva, în timp ce cealaltă jumătate lucrează după metoda mozaicului.
Profesorul/formatorul explică faptul că grupurile formate din cei cu numerele 1, 2, 3 și 4 se vor numi de acum grupuri de experți. Sarcina lor este să învețe bine materialul prezentat în secțiunea din text care le revine. Ei trebuie s-o citească și s-o discute între ei pentru a o înțelege bine. Apoi trebuie să hotărască modul în care o pot preda, pentru că urmează să se întoarcă la grupul lor originar pentru a preda această parte celorlalți. Este important ca fiecare membru al grupului de experți să înțeleagă că el este responsabil de predarea acelei porțiuni a textului celorlalți membri ai grupului inițial. Strategiile de predare și materialele folosite rămân la latitudinea grupelor de experți. Vor avea nevoie de destul de mult timp pentru a parcurge fragmentul lor din text, pentru a discuta și elabora strategii de predare.
Etapa a III-a:
După ce grupele de experți și-au încheiat lucrul, fiecare individ se întoarce la grupul său inițial și predă celorlalți conținutul pregătit.
Se atrage atenția, din nou, că este foarte important ca fiecare individ din grup să stăpânească conținutul tuturor secțiunilor textului. E bine să se noteze orice întrebări sau nelămuriri în legătură cu oricare dintre fragmentele articolului și să se ceară clarificări expertului în acea secțiune. Dacă rămân în continuare nelămuriți, pot adresa întrebarea întregului grup de experți în acea secțiune. Dacă persistă dubiile, atunci problema va trebui cercetată în continuare. La final, profesorul reamintește tema și unitățile de învățare, apoi le cere elevilor/cursanților să prezinte oral, în ordinea inițială, fiecare parte a articolului, așa cum au asimilat-o în cadrul grupului de experți. Astfel, tema va fi trecută în revistă în unitatea ei logică. Pentru feed-backul activității, profesorul poate adresa întrebări etc., pentru a verifica gradul de înțelegere a noului conținut, capacitatea de analiză, de sinteză, și de argumentare a afirmațiilor făcute.
Ce face profesorul în timpul învățării prin colaborare?
Este foarte important ca profesorul să monitorizeze predarea, pentru a fi sigur că informația se transmite corect și că poate servi ca punct de plecare pentru diverse întrebări, stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.
Avantaje ale folosirii metodei:
Are caracter formativ.
Stimulează încrederea în sine a participanților.
Dezvoltă abilități de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului.
Dezvoltă gândirea logică, critică și independentă.
Dezvoltă răspunderea individuală și de grup.
Exemplu:
Tema: Exemple remarcabile de corpuri
Tipul lecției: Prezentare de noi cunoștiințe
Activitatea profesorului:
1.Împarte elevii în 6 grupe de câte 4 numite grupe de baștină, fiecare elev primește un număr de la 1 la 4.
2.Regrupează elevii în funcție de numărul primit inițial și formează grupele de experți astfel elevii cu numărul 1 vor forma Grupa 1 de experți și vor studia independent Corpul claselor de resturi modulo p, elevii cu numărul 2 vor forma Grupa 2 de experți și vor studia Corpul cuaternionilor, elevii cu numărul 3 vor forma Grupa 3de experți și vor studia Corpuri pătratice, elevii cu numărul 4 vor forma Grupa 4 de experți și vor studia Corpuri de matrice.
Activitatea elevilor:
Membrii fiecărui grup de experți studiază materialul prezentat apoi hotărăsc modul în care acesta poate fi predat gurpului de baștină, fiecare individ se întoarce la grupul său și predă celorlalți conținutul pregătit.
Sub dirijarea profesorului se sistematizează cele 4 teme prin discuție frontală cu grupele de baștină și cu întreaga clasă.
2.3.12. Investigația
Reprezintă o situație complicată care nu are o rezolvare simplă.
Deși sarcina poate fi scurtă, timpul de lucru este relativ lung.
Începe, se desfășoară și se termină în clasă.
Poate fi individuală sau în grup.
Obiective care se urmăresc:
înțelegerea și clarificare sarcinilor
găsirea procedeelor pentru găsirea de informații
colectarea și organizarea datelor sau informațiilor necesare
formularea și testarea unor ipoteze de lucru
schimbarea planului de lucru sau corelarea altor date dacă este necesar
scrierea unui scurt raport privind rezultatele investigației
Caracteristicile personale (ale elevilor) urmărite:
creativitatea și inițiativa
participarea în cadrul grupului
cooperare și preluarea conducerii/inițiativei în cadrul grupului
persistență
flexibilitate și gândire de deschidere către idei noi
dorințe de generalizare
Exemplu:
Tema:Corpuri
Tipul lecției:Lecție de fixare și sistematizare
Etapa lecției:dirijarea învățării
Activitatea profesorului:
Împarte clasa în grupe de 4 elevi și propune următoarea temă de investigație:
Fie un număr întreg care nu este pătrat perfect. Cercetați dacă mulțimea împreună cu operațiile de adunare și înmulțirea a matricelor formează o structură de corp.
Găsiți cel puțin alte două mulțimi de matrice care împreună cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor să formeze o structură de corp.
Activitatea elevilor:
Fiecare grupă verifcă axiomele corpului pentru cerința de la punctul a), apoi își folosesc creativitatea și flexibilitatea în gândire pentru a îndeplini sarcina de la punctul b.După expirarea timpului de lucru fiecare grupă va prezenta frontal mulțimile găsite la punctu b) și își va prezenta modul de lucru.
2.3.13.Metoda ciorchinelui-se poate utiliza mai ales în etapa de reactualizare a structurilor învățate anterior, sau în etapa de evocare, elevii fiind puși în situația de a stabili conexiuni între elementele studiate, de a se implica activ în procesul de gândire.
După rezolvarea sarcinii de lucru, elevii vor folosi noțiunile și legăturile create pentru a dezvolta idei concrete despre conceptul propus. Prin acest exercițiu se încurajează participarea întregii clase. Această tehnică de predare-învățare are menirea de a încuraja elevii sa gândească liber și de a stimula conexiunile de idei. Este o modalitate de a realiza asociații de idei sau de a oferi noi sensuri ideilor însușite anterior. Ciorchinele poate fi realizat individual sau ca activitate de grup.
Etape:
Elevii vor scrie un cuvânt sau o expresie nucleu, în centrul unei foi de hârtie
Elevii sunt invitați să scrie cât mai multe cuvinte sau expresii care le vin în minte despre subiectul selectat până la expirarea timpului
Cuvintele (ideile) vor fi legate prin linii de noțiunea centrală sau, dacă este cazul, de una din cele propuse de elevi
La finalul exercițiului se va comenta întreaga structură cu explicațiile de rigoare
Participarea întregii clase la realizarea “ciorchinelui” este lansată ca o provocare și determină o întrecere de a descoperi noi conexiuni legate de termenul propus.
Exemplu:
Tema: Corpuri
Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare
Etapa lecției: Asigurarea feedbackului
Activitatea profesorului:-organizează colectivul de elevi în perechi și distribuie fiecărei perechi câte o fișă de lucru în centrul căreia este scris cuvântul CORP.
Activitatea elevilor:-perechile vor nota toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care și le amintes în legătură cu tema corpuri în jurul acesteia, trăgându-se linii între aceste idei și cuvântul corp.Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, se trag linii între toate ideile care par a fi conectate.Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.Rezultatele perechilor se comunică profesorului care le notează la tablă într-un ciorchine fără a le comenta sau judeca.În etapa finală a lecției, ciorchinele poate fi reorganizat utilizându-se anumite concepte supraordonate găsite de elevi sau de către profesor.
CAPITOLUL 3
CERCETARE PRIVIND UTILIZAREA METODELOR ACTIV PARTICIPATIVE, ÎN SPECIAL A METODEI PROIECTELOR IN STUDIUL INELELOR ȘI CORPURILOR ÎN LICEU
3.1 PROIECTUL CERCETĂRII
3.1.1.Tema: „ Metoda proiectelor în studiul inelelor și corpurilor la clasa a XII-a”
3.1.2. Problema de cercetat:
Analiza utilizării metodelor activ-partcipative, în special a metodei proiectelor în studiul inelelor și corpurilor în liceu.
3.1.3. Obiectivele investigației
Pentru a investiga de o manieră limitată, dar coerentă și sistematică efectele privind influența metodei proiectelor în predarea-învățarea capitolului inele și corpuri precum și dezvoltarea comunicării elevilor, am propus câteva obiective generale și operaționale.
3.1.3.1. Obiective generale
Cunoașterea influenței metodei proiectelor asupra rezultatelor obținute de elevi
Identificarea influenței metodei proiectelor asupra dezvoltării cognitive și afective a elevilor.
3.1.3.2. Obiective operaționale
Determinarea influenței metodei proiectelor asupra rezultatelor elevilor;
Identificarea factorilor care influențează coeziunea grupelor de elevi;
3.1.4. Dimensiunea investigației
Dimensiunea investigației a fost efectuată la un număr de 32 de elevi din clasa a XII-a A de la Liceul Tehnologic Iernut.
3.1.5. Ipotezele cercetării
-Dacă se abordează folosirea metodei proiectului – atunci se creează premizele dezvoltării capacităților de comunicare la elevi.
Din observații personale nesistematice, ulterior și din studierea unei bibliografii de specialitate în domeniul pedagogiei, s-au structurat treptat câteva ipoteze de lucru, cu caracter general sau operațional.
3.1.5.1. Ipoteze generale
Metoda proiectelor influențează hotărâtor rezultatele elevilor.
Consecințele utilizării metodei proiectelor la clasă sunt numeroase, elevii dezvoltând implicare, responsabilitate și integrare socială.
3.1.5.2 Ipoteze operaționale
-Dacă aș aplica metoda proiectelor, atunci aș reuși să obțin un nivel optim de pregătire și eficiență al tuturor participanților implicați.
– Dacă toate activitățile bazate pe proiecte determină o abordare problematizată a temei atunci va fi antrenată la maximum gândirea divergentă și va mări disponibilitatea elevilor de comunicare.
-Dacă se aplică metoda proiectelor, atunci activitatea elevilor este stimulată de profesor, ceea ce influențează pozitiv a rezultatele și atunci, elevii sunt mai activi în procesul de însușire al cunoștințelor.
3.2.DESCRIEREA CERCETĂRII
Cercetarea s-a desfășurat pe o perioada de 4 săptamani, în semestrul al II-lea din anul școlar 2013 -2014, cu parcurgerea urmatoarelor etape :
1.Din luna septembrie 2013 am început documentarea și informarea cu privire la metoda proiectelor și cu privire la instrumentele pe care urma sa le utilizez in cercetarea proprie.
2.La începutul lunii decembrie 2013 mi-am stabilit obiectivele, ipotezele cercetării și mi-am stabilit lotul de subiecți.
3.La inceputul lunii ianuarie 2014 am constituit gupele de lucru printr-o discuțe colectivă și am realizat o evaluare inițială.
4. În aceiași perioadă am gândit activitățile de învățare și conținuturile,am trasat sarcinile de lucru pentru fiecare grup și am realizat planificarea prezentărilor, precum și grilele de evaluare.
5.În perioada ianuarie-februarie 2014 am desfășurat studiul tematic și am realizat evaluările periodice.
6.La sfârșitul lunii februarie 2014 am încheiat studiul tematic printr-o evaluare finală, am centralizat, prelucrat și interpretat datele cercetării.
3.3.DESCRIEREA EȘANTIONULUI DE SUBIECȚI
Întrucât realizarea de cercetări pedagogice pe populații totale, integrale, nu este posibilă, este necesară selectarea unui număr limitat, relativ restrâns de subiecți, asupra cărora urmează să se realizeze investigațiile care vor da informații despre întreaga populație luată în studiu (S. Cristea, 2000).
Pentru ca rezultatele cercetărilor selective să fie semnificative statistic, este necesară o eșantionare structurală, care se referă la identitatea sau cel puțin corespondența de structură dintre eșantionul selectat și populația pe care el o reprezintă. Reprezentativitatea se referă atât la aspectul cantitativ, respectiv la mărimea eșantionului, cât și la aspectul calitativ, respectiv la structura eșantionului.
Pe baza condiției de reprezentativitate, generalizările efectuate pe eșantion sunt extinse asupra întregii populații școlare pe care o reprezintă eșantionul. Eșantionul reprezentativ este grupul extras din populația școlară cuprinsă în studiu (de exemplu: o școala, o clasă de elevi, un grup de elevi etc.), pe care o poate reprezenta (T.Rotariu, P. Ilut, 1999).
Pentru îndeplinirea obiectivelor și validarea ipotezelor am utilizat clasa a XII-a A de la Liceul Tehnologic Iernut. Colectivul clasei a XII-a A este format din 32 elevi: 6 băieți și 26 fete.
Din cei 32 de elevi care compun eșantionul experimental 16 provin din mediul rural (3 băieți și 13 fete) și 16(3 băieți și 13 fete) din mediul rural.
Din cei 32 de elevi ce compun eșantionul experimental:
– 9 elevi aveau 17 ani la data începerii cercetării
-23 aveau 18 ani la data începerii cercetării.
Rezultate în activitățile școlare:
4 elevi cu medii între 9,50 și 10
8 elevi cu medii între 9 și 9,49
8 elevii cu medii intre 8,50 și 8,99
4elevi cu medii între 8 și 8,49
3 elevi cu medii între 7,50 și 7,99
2 elevi cu medii între 7 și 7,49
2 elevi cu medii între 6 și 6,49
1 elev cu medii între 5 și 5,49
Metodologia cercetării pedagogice presupune cunoașterea și valorificarea unui ansamblu de tehnici, procedee și mijloace pentru investigarea știintifică a realității educaționale spune S.Cristea, (2000).
3.4. MERODE ȘI PROCEDEEE DE INVESTIGAȚIE UTILIZATE ÎN CERCETARE
3.4.1.Studierea documentelor școlare
Pentru a determina eficiența predării-învățării capitolului inele și corpuri utilizând metoda proiectelor, am realizat studierea documentelor școlare (fișa psihopedagogică, planuri și programe de învățământ, etc.)
3.4.2.Analiza produselor activității elevilor
Determinarea eficienței metodei proiectelor se poate realiza și prin analiza diferitelor produse ale activității lor (prezentări power point,planșe, lucrări scrise, caiete de teme, etc.)
3.4.3.Metoda observației
Metoda observației este utilizată pe scară largă pentru investigare și culegerea datelor experimentale, respectându-se unele cerințe: formularea unui scop precis al observării, alcătuirea unui plan de observare, înregistrarea fidelă a datelor, clasificarea, compararea, raportarea și interpretarea datelor.
Observația poate fi spontană, științifică, de explorare și de experimentare. Această metodă presupune urmărirea atentă și sistematică a unor procese și activități așa cum se desfășoară ele în mod obișnuit, în scopul de a le înregistra cât mai precis. Observația necesită o pregătire prealabilă în legatură cu ce anume trebuie observat. În acest sens este necesar să se întocmească un plan de observație cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, cadrul în care se desfășoară, instrumentele necesare pentru înregistrarea datelor.
Grila de observație este tocmai un asemenea instrument de înregistrare. Pe baza observațiilor se întocmește protocolul, documentul care apoi va sta la baza prelucrării datelor adunate. De remarcat este faptul că trebuie create condiții pentru a nu altera desfășurarea naturală a fenomenelor observate și să se repete aceleași observații și în condiții și împrejurări variate, de către același observator, sau de mai mulți care să-și confrunte datele obținute.
Pentru a efectua o observație cu adevărat naturală, nederanjantă pentru cei observați am utilizat tehnica observatorului vizibil, dar ignorat. „Observatorii care utilizează această tehnică fac eforturi minime pentru a rămâne invizibili pentru subiecți. Ei încercă mai degraba, să pară a fi elemente normale, neremarcabile și așteptate ale mediului natural” (Dafinoiu I., 2003).
Tehnica presupune integrarea firească în grup, printr-un comportament verbal și nonverbal adecvat, comportament obișnuit pentru cadrele didactice care lucrează cu metode activ-participative.
Dacă acest tip de observație se desfășoară „,ca la carte” comportamentul indivizilor observați nu este afectat de procesul observațional, spune I. Dafinoiu (2003), iar cercetătorul, prin poziția sa de cadru didactic la clasa din care fac parte subiecții cercetării, a reușit acest lucru.
3.4.4.Studiul documentelor de politica educatională/școlară.
Acest procedeu a fost utilizat în structurarea demersului didactic, în culegerea de date și informații necesare formulării obiectivelor și lansării ipotezelor cercetării.
3.4.5.Experimentul pedagogic
Experimentul pedagogic constă în măsurarea efectului produs ca urmare a introducerii unuia sau mai multor factori experimentali. Experimentul se desfășoară folosind mai multe tehnici: tehnica grupului pe care se experimentează, tehnica grupelor paralele (experimentală și de control, având aproximativ același nivel de cunoștințe) și tehnica rotației factorilor, când grupa de control devine grupa experimentală, iar aceasta grupă de control, spune Stan L., (1994).
În cercetarea pedagogică desfășurată am utilizat experimentul natural, cel care păstrează nealterată ambianța de activitate. În condițiile acestui tip de experiment, elevii nu cunosc intențiile și nu sesizează modificările introduse în organizarea procesului de învățământ, spre deosebire de experimentul de laborator, care se desfășoară în condiții neobișnuite.
3.4.5.1. Proiectul experimentului pedagogic
În acest experiment pedagogic mi-am propus să arăt eficiența utilizării metodei proiectelor în predarea unității de învățare ”Inele și corpuri„ la clasa a XII-a. La sfârșitul experimentului pedagogic se demonstreaza dacă este utilă sau nu aplicarea metodelor activ – participative, în special a metodei proiectelor.
3.4.5.2.Descrierea metodicii experimentului
Experimentul pedagogic pe care l-am efectuat are caracterul unui experiment de instruire în cadrul căruia s-a desfășurat o activitate formativă cu elevii. În experimentul pedagogic întreprins variabila independentă: învățarea realizată în situații de învățare axate pe aplicarea metodelor activ – participative interactive în special a metodei proiectelor poate influența (cauza) variabila dependentă eficiența învățării. Sistemul metodologic utilizat în cadrul acestui experiment pedagogic a fost în principal metoda de investigare, observația directă, sistematică, analiza testelor de evaluare.
3.4.5.3. Coordonatele experimentului
Experimentul pedagogic a fost realizat la Liceul Tehnologic Iernut și a avut loc în anul școlar 2013- 2014. Predând la clasele a XII-a în anul școlar amintit, am avut posibilitatea realizării acestui experiment pedagogic.
În cadrul cercetării am utilizat tehnica grupului (prezentată de Stan L. in 1994), tehnică pe care am considerat-o ca fiind cea mai potrivită pentru experimentul realizat. Am utilizat un singur lot de subiecți deoarece specialiștii spun că experimentul se poate realiza și cu o singură clasă.
În etapa constatativă am stabilit clasa experimentală, alegerea clasei a fost făcută în baza următoarelor considerente: clasă omogenă, nivel de pregătire mediu cu receptivitate la tot ce e nou. . Clasa experimentală a fost clasa XII-a A cu un efectiv de 32 de elevi.
Stabilirea nivelului inițial al clasei s-a făcut prin aplicarea unui test de evaluare, care prin conținutul său, a urmărit să evalueze competențele specifice și generale pe care le prezintă elevii. Itemii au fost selectați din unitatea de învățare Grupuri.
Esența experimentului constă în evidențierea unor relații cauzale, funcționale sau de dependență dintre variabilele independente și dependente în vederea imbunătățirii actului educativ. Modificările ce se introduc în desfășurarea fenomenului educativ constituie variabile independente, iar modificările ce s-au produs în urma intervențiilor voit introduse, constituie variabile dependente, acestea urmând să fie măsurate și explicate.
La clasa experimentală activitatea didactică desfășurată s-a caracterizat prin introducerea variabilei experimentale: asocierea sistematică a metodelor activ – participative interactive în procesul de instruire și învățare –metoda proiectelor.
Metoda proiectelor este o metodă activ-participativă, care încurajează plasarea elevului în situația de a explora și de a deveni independent.. Ea presupune lucrul în echipă, interacțiunea directă, dar și brainstorming-ul, care devin mijloace de bază ale procesului educativ. Prin metoda proiectului se lasă elevului mai multă libertate de exprimare și acțiune și se oferă ocazii reale de a lua decizii și de a-și asuma responsabilități. Toate acestea duc, implicit, la crearea unei motivații puternice și la o implicare deopotrivă efectivă și afectivă a elevilor. Simplul fapt că sunt consultați în alegerea temelor și se ține cont de părerea lor îi face pe elevi să aibă mai multă încredere în forțele proprii.
Metoda proiectului se opune instruirii de tip verbalist prin concentrarea elementelor instruirii active, prin acțiune practică, fiind transferată ca metodă de cercetare pe o anumită temă, îmbinând cunoștințele teoretice cu activitatea practică.
3.5.DESFĂȘURAREA CERCETĂRII
3.5.1.Evaluarea inițială
Pentru a stabili nivelul cunoștiințelor elevilor din eșantionul experimental, testul de evaluare sumativă din unitatea de învățare Grupuri a fost considerat ca test de control:
TEST INIȚIAL
SUBIECTUL I (5p)
Pe mulțimea se definește legea de compoziție: x y = xy – x – y + 2,x, y.
Se consideră: G = ( 1, +).
1) Să se arate, că: x y = (x – 1)(y – 1) + 1, x, y.
2) Să se arate, că G este parte stabilă, a lui , în raport cu legea: “” .
3) Să se demonstreze, că: (x y ) z = x (y z ), x, y, zG.
4) Să se arate, că există eG, astfel încât: x e = e x = x,xG.
5) Rezolvați ecuația: 3 x 3 = 9 , xG.
6) Utilizând metoda inducției matematice, demonstrați că: = (x – 1)n + 1, xG, nN* .
7) Să se calculeze: .
SUBIECTUL II (4p)
Fie G = . Să se arate, că:
a)Cuplul: ( G, .) este grup abelian.
b)( G, .) (, + ).
Notă: 1) Toate subiectele sunt obligatorii.
2) Se acordă 1p din oficiu.
3) Timp de lucru: 50 minute.
Barem de corectare:
3.5.2.Proiectul unității de învățare „ INELE ȘI CORPURI”
Competențe generale:
1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual, cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
4. Exprimarea si redactarea coerentă, în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
5. Analiza de situații-problemă, în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor
Competențe specifice:
1.Identificarea proprietăților operațiilor cu care este înzestrată o mulțime
2. Evidențierea asemănărilor și a deosebirilor dintre proprietățile unor operații definite
pe mulțimi diferite
3.1 Determinarea si verificarea proprietăților structurilor algebrice, inclusiv verificarea
faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism
4. Utilizarea proprietăților operațiilor în calcule specifice unei structuri algebrice
5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică
6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor inițiale si a rezultatelor, pe baza
a proprietăților operațiilor
Unitatea de învățare:Inele și corpuri
Clasa: a XII-a A
Nr. de ore alocat:9
3.5.3.Etapele proiectului
FAZA I
1.Alegerea temei: Inele și Corpuri
În cazul experimentului realizat alegerea temei a fost făcută de către profesor
2. Direcții de dezvoltare:
-discuții cu elevii
-harta proiectului:
3.Planificarea și proiectarea activității
-inventar de materiale: calculator,videoproiector, ecran de proiecție, culegeri de probleme, manuale, markere, creioane, planșe de carton;
-inventar de activități: prezentare power point, realizare planșă;
-resurse umane: elevii clasei a XII-a A;
FAZA II
1.Stabilirea de roluri și responsabilități
-formarea grupelor de lucru și stabilirea temelor:
Grupa 1-Distributivitatea
Grupa 2-Inel
Grupa 3-Inel integru
Grupa 4-Reguli de calcul în inel
Grupa 5-Morfisme și izomorfisme de inele
Grupa6-Corpuri
Grupa7-Exemple remarcabile de corpuri
Grupa8-Morfisme și izomorfisme de corpuri
2.Desfășurarea proiectului
-Grupele formate vor căuta informații din diferite surse în legătură cu tema pe care o au de pregătit și vor realiza o prezentare power point a temei precum și o planșă cu noțiunile teoretice cele mai importante prezentate schematic, într-o manieră atractivă.
FAZA III
1.Adăugarea de detalii
-grupele verifică prezentările realizate și adaugă elemente noi dacă e cazul.
2.Atribuirea unei funcționalități produsului finit
-Fiecare grupă va preda o lecție din unitatea de invățare inele și corpuri utilizând prezentarea power point și planșa realizată.
3.5.4.Evaluarea finală
Fiecare grupă are la dispoziție o grilă de evaluare ce va fi completată odată cu parcurgerea unității de învățare. În această grilă elevii vor completa rubrica de autoevaluare și rubrica destinată evaluării elev-elev. Rubrica evaluare profesor precum și rubrica nota test va fi completată de către profesor.
După parcurgerea unității de învățare profesorul va adminstra clasei următorul test de evaluare:
TEST FINAL
SUBIECTUL I. (3 p)
Se consideră inelul , cu și , .
a)Determinați elementele neutre ale celor 2 operații;
b)Arătați că este inel integru;
c)Arătați că este izomorf cu printr-o funcție de forma .
SUBIECTUL II.(3p)
Fie inelul :
a) Determinați elementele inversabile din ;
b) Dați exemplu de 2 divizori ai lui 0 din . Justificare.
c) Rezolvați ecuația: .
d) Rezolvați sistemul .
SUBIECTUL III.(3p)
Arătați că mulțimea K = formează un corp comutativ cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor.
Notă: 1) Toate subiectele sunt obligatorii.
2) Se acordă 1p din oficiu.
3) Timp de lucru: 50 minute
Barem de corectare:
Nota finală se obține din media aritmetică a mediilor obținute de fiecare elev la autoevaluare, evaluare elev-elev, nota profesorului și nota de la testul final. Utilizând mai multe metode de evaluare se urmărește realizare unei evaluări cât mai obiective.
Scopul administrării acestei evaluări a fost compararea rezultatelor obținute de elevi după studierea unității de învățare. Interpretarea diferențelor a fost în măsură să permită aprecierea gradului în care cunoștințele elevilor s-au îmbunătățit după aplicarea metodei proiectelor în predarea unității de învățare inele și corpuri.
3.6. CULEGEREA ȘI PRELUCRAREA INFORMAȚIEI, ELABORAREA CONCLUZIILOR
3.6.1. Analiza rezultatelor cercetării
Analizând rezultatele testelor și comportamentul subiecților în cadrul investigației, am reușit formularea mai multor concluzii privind influența metodei proiectelor asupra rezultatelor elevilor.
Utilizarea metodei proiectului îmbunătățește imaginea pe care o au elevii asupra actului predării și asupra școlii.
Discutând cu elevii am constatat că toți cei chestionați au participat cu interes la activitățile în care li se cere să lucreze pe grupe, apoi să prezinte produsele și să-i evalueze și pe colegii lor, deducându-se de aici că postarea elevului în centrul actului didactic reprezintă deja o necesitate. În urma activităților, în care tehnicile interactive sunt des utilizate, elevii au dobândit încredere în ei și în cel de la catedră, s-au obișnuit să dezbată ceea ce îi deranjează sau nu le este clar, au învățat să comunice și au înțeles că între ei și profesor chiar există un dialog. Văd acum în cel de la catedră un îndrumător, un consilier, un confident și un sprijin în orice problemă.
Integrarea metodei proiectelor în predare îmbunătățește coeziunea clasei de elevi.
În urma aplicării metodei proiectelor, relațiile dintre elevi sunt vizibil îmbunătățite, aceștia continuând să discute pe marginea subiectelor abordate sau a produselor realizate de ei chiar și în cadrul altor activități. Se observă că și elevii mai puțin implicați, mai puțin sociabili ajung să participe la aceste discuții. Elevilor li se dezvoltă respectul pentru opiniile celuilalt, simțul responsabilității, al implicării și se observă că problemele de integrare socială se ameliorează.Toți elevii (100%) au observat o schimbare în bine a atmosferei din clasă în urma orelor în care se utilizează metodele activ-participative.
Utilizarea metodei proiectelor îmbunătățește frecvența elevilor la școală.
Utilizând metoda observației, am constatat că activitațile dinamice, interesante determină elevii să vină cu drag la școală. Am fost surprins plăcut să constat că activitațile pe bază de proiect s-au bucurat de prezență foarte bună (concluzie desprinsă din răspunsurile lor, dar și din rezultatele obținute).
3.6.2. Interpretarea rezultatelor
La testul inițial, elevii clasei a XII-a A au obținut următoarele rezultate:
În urma evaluării finale notele obținute de elevii clasei a XII-a A au fost următoarele:
Din graficele de mai sus se observă rezultate diferite între rezultatele obținute la testul inițial respectiv la evaluarea finală:
Comparând rezultatele obținute de cele două evaluări, scoatem în evidență faptul că grupa experimentală a obținut rezultate mai bune la evaluarea finală, ceea ce confirmă ipoteza că utilizarea metodei proiectelor îmbunătățește rezultatele elevilor la matematică.
3.6.3.Concluzii
În efortul de depășire a învățământul linear, rolul profesorului este astăzi acela de a proiecta experiențe de învățare motivante, colaborative, valoroase pentru elev și, în acest context, de a-i deveni acestuia tutore, prin activități de supraveghere, îndrumare și facilitare. Metoda proiectelor oferă, mai mult decât oricare dintre metodele activ-participative, oportunități de formare diferențiată a elevului.
În instruirea bazată pe proiecte, se pornește de la domeniile de cunoaștere, recomandate de curriculum, în raport de care le sugerez copiilor teme de proiect, care să fie aproape de nevoile lor, de caracteristicile proceselor lor cognitive și psiho-emoționale, de materialele și mijloacele didactice, de care dispun sau pe care le pot obține, implicând și familia.
Învățarea bazată pe proiecte implică o schimbare a rolurilor asumate la clasă de profesor, elevi și membrii comunității.
Metodele active sunt niște modalități de acțiune care au la bază o filosofie educațională, încadrându-se într-un model paradigmatic, inspirat de teoriile socioculturale existențiale. Funcția generală a acestei paradigme, cea în care își au originea metodele active, este aceea de organizare educativă centrată pe subiect. Aceasta este o idee prin care educația devansează oarecum sistemul social global, încă insuficient centrat pe persoană, inspirând o critică a manierei în care societatea industrială tratează persoana.
Funcția cognitivă a acestei paradigme este la rândul ei impregnată de ideea de subiectivitate și calitate a ființei, vizând înlocuirea cunoașterii-achiziție, a cunoașterii posesiune cu cunoașterea-acțiune, cu cunoașterea de tipul a ști să faci și a învăța să fii.
Funcția culturală va fi și ea impregnată firește de dimensiunile enunțate anterior, valorizând creativitatea subiectivă, expresia sinelui, comunicarea, bucuria deschiderii la experiență.
Metodele active ca formulă de educație centrată pe persoană au la bază câteva principii:
Profesorii și elevii, iar în alte cazuri și părinții sau membri ai comunității își împart responsabilitatea învățării.
Climatul activității trebuie să fie unul care să facilitaze formarea ființei.
Elementul cel mai important este să învățăm cum să învățăm ceea ce ne interesează.
Disciplina necesară activității trebuie să devină autodisciplină.
Evaluarea semnificației învățării trebuie să devină autoevaluare.
Profesorul trebuie receptat ca un furnizor de resurse ale învățării.
Metodele active antrenează o comunicare ale cărei elemente sunt:
Emițătorul, mediatorul: cel care gestionează posibilitățile mediului educațional, facilitează activitatea, intervine în situații dificile, cooperează cu subiectul în activitate.
Destinatarul, subiectul, agentul activ al învățării: cel care posedă în el toate resursele necesare unei experiențe de învățare, capacitate de decizie, inițiativă, autonomie, de angajare activă în propria formare; este liber, creator, încrezător în propriile capacități, învață ceea ce-l interesează, învață prin autodisciplină; participă la alegerea activităților, a materialelor de învățat, a colaboratorilor.
Conținutul comunicării: comportamente exploratorii, experiențe active derulate în viața interioară a subiectului, experiențe care determină progresul, dezvoltarea totală a ființei.
Mediul comunicării: mediul incitant, necoercitiv, imprimând o intensă dinamică interacțiunii subiectului cu anumite obiecte. Centrarea mediului pe subiect, pe resursele sale interne.
Intenția: favorizarea evoluției, a progresului interior al subiectului, recunoașterea calității sale de agent activ și prim al dezvoltării sale.
Direcția comunicării: de la cel care se educă la profesorul conceput ca mediator, ca facilitator; cooperare, subordonarea mediatorului față de nevoile celui care se educă.
Cei care se declară adepți ai metodelor active acordă o mare importanță potențialului generator al acestora. Practicând metode active elevul execută sarcini de lucru și ajunge să dețină, în același timp, controlul asupra activităților proprii de învățare. Elevul este agent activ, trăind experiențe care se petrec în întregime în viața lui interioară. Dinamismul său și resursele pe care le activează îi vor da sentimentul de autenticitate: poate da curs propriei inițiative, e capabil de autonomie și de a decide, de a se angaja activ în propria lui formare. Metodele active sunt, din această perspectivă, singurele autentice și eficiente, evidențiind personalitatea fiecăruia.
Centrarea pe subiect nu diminuează rolul profesorului, al organizării educative în ansamblu, dar îi modifică orientarea înspre planificarea, pregătirea activității. Mediul are o importanță deosebită, materialele pe care le folosește fiind accesibile și variate, alegerea lor fiind condiționată de asemenea de nevoile și interesele subiectului. Prin aceste calități, mediul facilitează dezvoltarea și învățarea.
În timp ce în educația tradițională se avea în vedere obiectul și raționalitatea instrumentală, metodele active insistă pe subiectivitate.
Aceste metode pot fructifica potențialul unor elevi care au alt profil de învățare decât cel logico-matematic. În acest mod, elevii cu dificultăți de învățare pot fructifica propriile abilități, specifice alte domenii și își pot dovedi utilitatea.
Se poate spune că ceea ce este comun tuturor acestor metode, în esență euristice, bazate pe descoperire, este faptul că acestea transformă elevii din simpli receptori ai științei “gata făcute” sau simpli “consumatori de cunoștințe” în “producători” ai propriilor cunoștințe. Aceste metode au meritul că dezvoltă capacități cognitive superioare precum: gândirea divergentă și convergentă, imaginația constructivă, capacitatea de explorare, de emitere de ipoteze și verificare de ipoteze, capacitatea de descoperire, capac
Toate metodele educative au în anumite condiții o influență pozitivă și un anumit grad de activism; totuși, dacă atribuim actului pedagogic semnificația de siguranță și de evoluție, aceasta se realizează în manieră non-directivă, în sensul de a răspunde întrebărilor, problemelor, îndoielilor, asigurând astfel evoluția elevului care achiziționează cunoaștere, competențe practice și progresează.
Calitatea unei tehnologii este dată de flexibilitatea și deschiderea ei față de situațiile și exigențele noi și complexe ale învățământului contemporan. O metodă nu este bună sau rea în sine, ci depinde foarte mult de competențele cadrului didactic de a o aplica în funcție de nivelul de înțelegere al elevilor și de a o adapta la o anumită realitate care o poate face mai mult sau mai puțin eficientă. Pe lângă adecvarea externă ca indicator al pertinenței metodei, se adaugă congruența secvențelor care o compun, dar și alternanța între metode sau între un procedeu și o metodă.
Tendințele în metodologia didactică sunt ( C. Cucoș, 2006):
“ punerea în practică a noilor metode și procedee de instruire care să soluționeze adecvat
situațiile de învățare (folosirea metodelor de tip brainstorming);
folosirea pe scară mai largă a unor metode activ-participative, prin activizarea structurilor cognitive și operatorii ale elevilor și prin apelarea la metode pasive numai când este nevoie; fructificarea dimensiunii și aspectelor “calitative” ale metodei;
extinderea folosirii unor metode care solicită componentele raționale ale activității didactice, respectiv aspectul comunicațional pe axa profesor- elevi sau pe direcția elevi- elevi; întărirea dreptului elevului de a învăța prin participare;
accentuarea tendinței formativ- educative a metodei didactice; extinderea metodelor de căutare și de identificare a cunoștințelor, și nu de transmitere a lor pe cont propriu; cultivarea metodelor de autoeducație permanentă; promovarea unor metode care îi ajută efectiv pe elevi în sensul dorit; adecvarea metodelor la realitatea existentă (p. 288- 289).
”În istoria învățământului nu se cunoaște nicio metodă care să fi rămas aceeași. De-a lungul timpului, fiecare metodă a suferit mai mult sau mai puțin transformări, atât sub aspectul formei cât și sub cel al conținutului, adaptându-se noilor orientări ale sistemelor de instruire. Prin caracterul ei dinamic, metodologia didactică a fost permanent deschisă cercetărilor, experimentelor, inovației și creației. În toate timpurile, învățământul a fost preocupat de elaborarea unor modalități mai bune de transmitere și asimilare a valorilor culturii, a experiențelor umane celor mai înaintate. Transformările progresive prin care a trecut învățământul au impus o evoluție ascendentă. Au existat unele metode care nu au făcut față schimbării și au fost abandonate, și altele mai elaborate, care au fost supuse înnoirii, concomitent s- au constituit și tehnici noi de instruire. Pretutindeni se consideră că “… destinul unei reforme (școlare) și rezultatele ei efective nu sunt în funcție doar de felurile care o animă și nici doar de caracterul adecvat al noilor structuri administrative și școlare puse în serviciul acestor feluri.
Încă o dată și într-o măsură preponderentă- sublinia Jean Piaget (1972)- succesele depind de metodele pedagogice și chiar și cea mai bună planificare este neviabilă dacă ea nu comportă o înnoire metodologică concomitentă cu cea tehnologică (apud Ioan Cerghit, 2006). Schimbările educaționale progresive, dar izolate, apărute în sistemul de educație școlară nu fac altceva decât să cauzeze o dezechilibrare generală (p. 54). Prin urmare, întregul proces instructiv-educativ școlar rămâne deschis aplicării unor metode mai eficiente de instruire.
Faptul că înnoirea metodologiei este un proces continuu, nu înseamnă că ea cunoaște doar o singură și unică orientare și anume orientarea unidirecțională. Dimpotrivă, ea are la bază o dezvoltare plurifuncțională cu suficiente deschideri spre aspectele cantitative și calitative ale activității didactice.
În această privință Ioan Cerghit (2006) susține că există două orientări fundamentale și anume:
– una cantitativă care se referă la tendința de multiplicare și diversificare a metodelor,
– a doua calitativă care se referă la înnoirea și modernizarea metodelor, dar și la gradul de deschidere al acestora (p. 58).
Orientarea de ordin cantitativ înclină mai degrabă spre uniformizarea învățării și predării, spre extinderea în mod mecanic a aplicării unora și acelorași metode. Trebuie subliniat faptul că există o mare diversitate de moduri în care copiii și tinerii învață în școală dar și în afara școlii.
Din acest punct de vedere nicio situație de învățare nu seamănă cu alta deoarece învățarea este un act personal, care aparține fiecărui individ în parte. Orice copil, adolescent sau tânăr este unic în felul său, prin urmare fiecare activitate/ acțiune de învățare este unică și diferă de la elev la elev. Nicio metodă nu este singurul și unicul mod eficient în care s-ar putea proceda într-o situație de învățare. Niciunei metode nu i se poate acorda valoare absolută, ea nu poate fi la fel de eficace pentru toți elevii. Dacă o metodă este considerată bună pentru unii elevii nu este în mod necesar bună și pentru alții. Fiecare metodă reprezintă doar o posibilitate între alte posibilități de predare/ învățare; fiecare metodă reprezintă o nouă încercare pentru a găsi o cale eficientă de învățare.
Aplicarea diversificată a metodelor ușurează trecerea cu rapiditate de la o activitate la alta, de la un nivel cognitiv la altul. Varietatea oferă individului șanse multiple, punându-l în situația de a-și atinge performanța maximă la care poate ajunge. Diversitatea previne și înlătură monotonia și plictiseala, oboseala și riscurile unei scăderi a randamentului în activitatea de pregătire teoretică și practică, face învățarea individuală mai atractivă, impune o mai mare răspundere atât din partea profesorului cât și din partea elevilor. Varietatea metodelor ajută și la diversificarea relațiilor profesor – elevi, elevi – elevi, elevi – echipă, elevi – colectiv și multiplică rolurile pe care ei și le pot asuma în procesul de învățământ.
Diversitatea metodelor și procedeelor practicate nu ajută doar elevul, ci îmbogățește în mod considerabil și experiența didactică a profesorului; îi oferă o gamă mai largă de alternative și posibile alegeri; posibilitatea de a lua decizia cea mai adecvată; adoptarea soluției optime pentru o situație sau alta de învățare. Evoluțiile cu rezonanțe calitative se referă la concepții metodologice de ansamblu sau la moduri generale de abordare a procedurilor didactice (acest punct de vedere este tratat în cadrul metodelor activ-participative).
BIBLIOGRAFIE
Ardelean L., Secelean N. – “Didactica matematicii – noțiuni generale; comunicarea didactică specifică matematicii”, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007
Brânzei D., Brânzei Rodica: Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000
Banea H – “Metodica predării matematicii” Ed. Paralela 45, Pitești, 1998
Cerghit, I., Cristea, S., Pânișoară, O., Metodologia procesului de învățământ. În, Pregătirea psihopedagoigică. Manual pentru definitivat și gradul II didactic, Editura Polirom, Iași, 2008
Cerghit, I., Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași, 2008.
Cerghit, I., Sisteme de instruire alternative și contemporane. Stucturi, stiluri și strategii, Editura Aramis, București, 2007
Cristea S.: Fundamentele pedagogiei, Editura Polirom, Iași, 2010
Cucoș C.: Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 2009
Dragomir Mariana: Managementul activității didactice, Editura Eurodidact, Cluj-Napoca, 2003
Drăgan I., Nicola I., , „Cercetarea psihopedagogică”, Editura Tipomur, Târgu-Mureș, 1995
Neacșu Ioan, Instruire și învățare, Editura Didactica _i Pedagogică, București, 1999.
Pânișoară O.: Comunicarea eficientă. Metode de interacțiune eficientă, Editura Polirom, Iași, 2003
Polya G.: Descoperirea în matematică, EDP, București, 1971
Purdea G. I., Andrica D., Duca Dorel I., Pop I., „Matematica de bază”, Editura Studium, Cluj Napoca, 2004
Petty, G., Profesorul azi. Metode moderne de predare, Atelier Didactic, București, 2007.
Stoica A.: Evaluarea progresului școlar. De la teorie la practică, Editura Humanitas Educațional, București, 2003
BIBLIOGRAFIE
Ardelean L., Secelean N. – “Didactica matematicii – noțiuni generale; comunicarea didactică specifică matematicii”, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007
Brânzei D., Brânzei Rodica: Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000
Banea H – “Metodica predării matematicii” Ed. Paralela 45, Pitești, 1998
Cerghit, I., Cristea, S., Pânișoară, O., Metodologia procesului de învățământ. În, Pregătirea psihopedagoigică. Manual pentru definitivat și gradul II didactic, Editura Polirom, Iași, 2008
Cerghit, I., Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași, 2008.
Cerghit, I., Sisteme de instruire alternative și contemporane. Stucturi, stiluri și strategii, Editura Aramis, București, 2007
Cristea S.: Fundamentele pedagogiei, Editura Polirom, Iași, 2010
Cucoș C.: Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 2009
Dragomir Mariana: Managementul activității didactice, Editura Eurodidact, Cluj-Napoca, 2003
Drăgan I., Nicola I., , „Cercetarea psihopedagogică”, Editura Tipomur, Târgu-Mureș, 1995
Neacșu Ioan, Instruire și învățare, Editura Didactica _i Pedagogică, București, 1999.
Pânișoară O.: Comunicarea eficientă. Metode de interacțiune eficientă, Editura Polirom, Iași, 2003
Polya G.: Descoperirea în matematică, EDP, București, 1971
Purdea G. I., Andrica D., Duca Dorel I., Pop I., „Matematica de bază”, Editura Studium, Cluj Napoca, 2004
Petty, G., Profesorul azi. Metode moderne de predare, Atelier Didactic, București, 2007.
Stoica A.: Evaluarea progresului școlar. De la teorie la practică, Editura Humanitas Educațional, București, 2003
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metode Activ Participative Utilizate In Studiul Inelelor Si Corpurilor In Liceu (ID: 159846)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.