Metoda Predarii Problemelor de Concurenta Si Colinearitate

Introducere

În procesul instructiv-educativ ce se desfășoară la nivel preuniversitar un rol fundamental îl ocupă predarea matematicii. Lecțiile de matematică au un rol informativ, în sensul că înarmează elevii cu cunoștințe de bază din domeniul matematicii, necesare în problema cunoașterii și a posibilității abordării altor științe cum ar fi fizica, chimia etc. și un rol formativ în sensul că deprinde elevii cu modele de raționamente logice.

Învățământul are misiunea de a asigura însușirea de către tinerele generații a cunoștințelor științifice, tehnice și culturale, a deprinderilor necesare exercitării unor profesii utile societății.

Caracterul metodelor trebuie să imprime tineretului studios conștiința însușită cu convingere și interes că matematica este cu atât mai utilă societății cu cât este asimilată într-un cadru mai corespunzător, unde calitățile estetice ale raționamentelor se îmbină armonios cu eficiența lor.

Obiectivele generale ale predării matematicii în gimanaziu și liceu, cuprinse în programele școlare prevăd:

familiarizarea elevilor cu utilizarea și aplicarea în diferite contexte a unor tehnici și metode de operare în domeniul matematicii;

formarea unor deprinderi de rezolvare a problemelor utilizând strategii algoritmice, euristice sau euristico-algoritmice;

consolidarea și dezvoltarea raționamentului prin formarea deprinderii de a analiza o problemă dată și de a selecta teoria matematicii convenabilă în rezolvarea ei, sesizând restricțiile ce se impun sau posibilitățile de generalizare, de a problematiza o situație dată sau de a modela în limbaj matematic un fenomen întâlnit în studiul matematicii sau a celorlalte discipline de specialitate.

Matematica zilelor noastre evoluează dinamic sub raport cantitativ și, mai ales, calitativ. Cercetări și descoperiri contemporane redimensionează permanent domeniile ei și impun exigențe deosebite fundamentelor sale. Învățământul nu poate rămâne în afara acestor frământări; el are de rezolvat probleme noi referitoare la expunerea în școală a bazelor unor științe în continuă transformare.

În cadrul disciplinelor matematice care se predau în învățământul preuniversitar un rol deosebit îl are geometria. În ultimul deceniu, în țara noastră, geometria ca obiect de studiu în școală, a beneficiat de modificări spectaculoase. Este vorba de creșterea ponderii raționamentului deductiv, abstract, fapt cu implicații majore în formarea tinerei generații.

Geometria pornește de la studiul unor figuri concrete ce exprimă trăsături esențiale ale realității obiective și elaborează propoziții abstracte. Geometria împletește organic gândirea concretă cu cea abstractă, în consecință un rol primordial în formarea și dezvoltarea capacității deductive.

Asimilarea geometriei urmărește o spirală ce pornește de la intuirea vie a realității obiective; pe acestă spirală se pun în acord cu intuiția un număr crescând de propoziții din ce în ce mai abstracte; aceste propoziții devin temeliile pe care se construiesc edificiile teoriilor abstracte. Anumite porțiuni din spirala asimilării geometriei sunt parcurse în învățământul preșcolar, altele în clasele primare și mai multe în gimnaziu și liceu.

Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridică probleme de ordin psihologic și pedagogic deosebite.

Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în cursul unui proces psihic căruia își pune amprenta imaginația, creativitatea, puterea de generalizare și abstractizarea.

Un concept geometric poate avea un grad mai mare de generalitate, iar altul mai restrâns.

O caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că ele formează sisteme ierarhice și că nu sunt entitățile mintale izolate.

Operațiile cu conceptele geometrice se realizează întotdeauna pe plan mintal.

Figura geometrică apare pentru elev în două ipostaze:

ca refectare idealizată a unor proprietăți spațiale pure și

ca posibilitate de concretizare a unor concepte.

Deci figura geometrică apare atât în procesul de trecere de la concret la abstract, cât și în procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la ceea ce se numește concept figural. În cursul rezolvării problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operații mentale.

În predarea geometriei o atenție deosebită trebuie să se dea și simbolurilor, notațiilor, convențiilor de desen, de reprezentare, de redactare simbolică a unui raționament.

În însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, un loc însemnat îl ocupă și rezolvările de probleme.

G. Polya arăta că: “a rezolva o problemă înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o perfomanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al speciei umane, se poate spune că dintre îndelemnicirole omenești cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.”

Problemele de geometriei constituie antrenamentul necesar însușirii disciplinei în gândire, a spiritului de rigoare necesar astăzi pe o scară din ce în ce mai largă în viața de toate zilele.

Raționamentul geometric presupune analiza amănunțită a tuturor concluziilor ce derivă din anumite date, a cadrului de validitate a diferențelor rezultate. El nu permite nici o neglijență în gândire, nici o concluzie pripită, superficială, insuficient fundamentată logic.

Rezolvarea problemelor de geometrie îl ajută pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze: antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și a consecințelor, îl învață pe elev să distingă diversele aspecte ale unei situații, să degajeje esențialul de neesențial, formează capacitățile atenției, antreneazămemoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, îl ajută să-și formeze simț critic și constructiv, îi formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetării.

Sub aspect estetic, rezolvarea problemelor de geometrie trezește gustul față de frumusețile matematicii exprimate prin relații, formule, figuri, demonstrații.

În lucrarea de față se abordează aspecte ale metodicii predării în cadrul geometriei, a problemelor de concurență a cel puțin trei drepte și de coliniaritate a cel puțin trei puncte.

Problemele de concurență și coliniaritate ocupă un loc de seamă în dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor, deoerece pentru rezolvarea lor este necesar să se utilieze diferite cunoștințe dobândite anterior și să se deprindă noi proprietăți ale figurilor geometrice.

Problemele de coliniaritate și concurență prezintă în general adevăruri ușor de intuit dar demonstrarea riguroasă a lor necesită raționamente precise și o gamă variată a tehnicii specifice.

Lucrarea de față este compusă din cinci capitole.

În capitolul I “Definiții și notații” se prezintă noțiunile fundamentale ale geometriei, axiomele și teoremele care se folosesc în rezolvarea problemelor de concurență și coliniaritate. Capitolul II “Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor” cuprinde modul cum se aplică sineza și analiza în rezolvarea problemelor de calcul și a problemelor de demonstrție, precum și metoda reducerii la absurd și metoda aflării unor locuri geometrice. În capitolul III “Rezolvarea problemelor de concurență – puncte celebre” se prezintă concurența unor drepte în triunghi, teorema lui Ceva și reciproca ei, urmate de probleme în care se demonstrază concurența unor drepte în puncte celebre: punctul lui Lemoine, punctul lui Gergone, punctul lui Nagel.

În capitolul IV “Rezolvarea problemelor de coliniaritate – drepte celebre” se prezintă principalele metode ale geometriei sintetice pentru demonstrarea coliniarității mai multor puncte și câteva drepte celebre: dreapta lui Simpson, dreapta lui Euler, dreapta lui Gauss.

În capitolul V “Rezolvarea problemelor de concurență și coliniaritate cu ajutorul metodelor geometriei analitice” se prezintă avantajele acestor metode față de cele ale geometriei sintetice și condițiile ca trei drepte să fie concurente iar trei puncte să fie coliniare. Se demonstrează pe acestă cale concurența unor drepte în triunghi și se rezolvă problemele de acest tip din manualul de clasa a VI-a.

Cap. I – Definiții și Notații

În multe țări, printre care și țara noastră, s-a trecut la predarea axiomatică a geometriei. Prima prezentare axiomatică a geometriei a fost dată de Euclid (365 – 300 î.e.n) care a servit ca model pentru cărțile de geometrie până la sfârșitul secolului trecut. Axiomatica lui Euclid nu este perfectă; în axiome nu se vorbește despre proprietăți de ordonare și din acestă cauză se face în demonstrații uz de intuiție în mod tacit.

Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost dat de D.H. Hilbert în anul 1899. Ținând seama de dificultățile conceptuale legate de axiomatica lui Hilbert s-au propus și s-au pus în aplicare, în diferite țări, variate sisteme de axiome, mai accesibile pentru elevi. Dintre toate aceste sisteme, autorii manualelor de geometrie din țara noastră au adoptat varianta lui G.D. Birkhoff în varianta lui E. Moise, cu mici modificări, având în vedere următoarele criterii:

menținerea unui paralelism între nivelul abstract și cel concret al gândirii;

reflectarea și posibilitatea interpretării cunoștințelor cât mai direct în realitatea fizică;

asigurarea unui grad sporit de accesibilitate;

posibilitatea participării active a elevilor la lecții;

integrarea cunoștințelor de geometrie în ansamblul învățământului matematic;

valorificarea tradițiilor învățământului de geometrie din țara noastră.

Simplificarea realizată prin axiomatica lui Birkhoff constă în acceptarea distanței printre noțiunile fundamentale ale geometriei și atragerea în acest mod a numerelor reale în tratarea geometriei.

Redactarea manualelor de geometrie se bazează pe unele cunoștințe de logică matematică, mulțimi, funcții, numere reale pe care elevii le au din clasele gimnaziale sau le obțin la cursul de algebră din liceu.

1. Studiul axiomatic al geometriei

Cunoștințele de geometrie se obțin în două moduri: intuitiv și deductiv. Cunoștințele intuitive sunt extrase din observații și experiențe. Din anumite cunoștințe geometrice putem deduce cu ajutorul logicii alte cunoștințe, acestea din urmă sunt obținute pe cale deductivă, prin demonstrație, fără a se recurge la intuiție.

În tratarea modernă a geometriei se caută a se prezenta cât mai multe proprietăți pe cale deductivă. Bineînțeles, cunoștințele intuitive nu pot fi eliminate complet, căci geometria prin ele se ancorează de lumea reală, obiectivă. Pe de altă parte, noi trebuie să avem de la început o colecție de proprietăți geometrice, din care apoi să deducem altele. Acestă colecție se limitează la un minim de proprietăți, care se numesc axiome. Axiomele sunt admise fără demonstrație și reprezintă punctul de plecare la tratarea geometriei.

În axiome și în consecințele lor intervin noțiuni de logică și de teoria mulțimilor și noțiunea de număr real. Afară de acestea, în axiome apar câteva noțiuni specifice geometriei, numite noțiuni geometrice fundamentale. Aceste noțiuni extrase din lumea obiectivă nu primesc în geometrie o definiție directă, însuși sistemul de axiome constituind definiția lor. Celelalte noțiuni geometrice sunt introduse cu ajutorul noțiunilor fundamentale prin definiții directe.

Proprietățile geometrice demonstrate cu ajutorul axiomelor și definițiilor se numesc teoreme.

Așadar, la baza unui studiu modern al geometriei stau noțiunile fundamentale și axiomele care exprimă proprități ale acestor noțiuni. Există diverse posibilități de a alege din multitudinea de noțiuni și proprietăți geometrice noțiunile fundamentale și axiomele.

Noțiunile fundamentale considerate în geometria pentru clasa a VI-a sunt: punctul, dreapta, planul, distanța și măsura unghiurilor.

Axiomele geometriei în plan sunr. Celelalte noțiuni geometrice sunt introduse cu ajutorul noțiunilor fundamentale prin definiții directe.

Proprietățile geometrice demonstrate cu ajutorul axiomelor și definițiilor se numesc teoreme.

Așadar, la baza unui studiu modern al geometriei stau noțiunile fundamentale și axiomele care exprimă proprități ale acestor noțiuni. Există diverse posibilități de a alege din multitudinea de noțiuni și proprietăți geometrice noțiunile fundamentale și axiomele.

Noțiunile fundamentale considerate în geometria pentru clasa a VI-a sunt: punctul, dreapta, planul, distanța și măsura unghiurilor.

Axiomele geometriei în plan sunt grupate în axioma de incidență, axioma riglei, axioma de separare a planului, axiomele unghiului, axioma de congruență și axima paralelelor.

2. Axiomele de incidență ale geometriei în plan

Primul grup de axiome se enunță astfel:

I1) Planul este o mulțime de puncte, pe care o notăm cu P.

I2) Orice dreaptă este o submulțime a lui P.

I3) Orice dreaptă conține cel puțin două puncte. În plan există cel puțin trei puncte care nu sunt situate pe aceași dreaptă.

I4) Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Dacă A este un punct și d o dreaptă, relația Ad se citește astfel: punctul A aparține dreptei d, sau A este situat pe d, sau d conține pe A, sau d trece prin A, sau punctul A și dreapta d sunt incidente.

Punctele A, B, C sunt coliniare, dacă există o dreaptă d astfel ca: Ad, Bd, Cd.

Fie A și B două puncte diferite. Potrivit axiomei I.4 există o singură dreaptă d, astfel încât: Ad și Bd; această dreaptă d o vom nota AB.

Oricare ar fi punctele P, Q, R pe dreapta d avem:

PR = PQ + QR.

Demonstrație. Fie dreapta ce conține punctele P și Q. Conform axiomei riglei, există un sistem de coordonate pe d și avem:

|| PQ || = | XQ – XP | 0

|| PQ || = | XQ – XP | = | XP – XQ | = QP

|| PQ || = 0 | XQ – XP | = 0 XP = XQ P = Q

ultima echivalență rezultând din condiția 1 (sau altfel spus, din faptul că funcția
f : d R, f(M) = XM este injectivă).

În cazul Rd putem scrie:

|| PR || = | XR – XP | = | (XR – XQ ) | + | (XQ – XP ) | =

= | XR – XQ | + | XQ – XP | =

= || QR || + || PQ || = || PQ | + || QR ||.

3. Distanța și axioma riglei

Distanța este o noțiune fundamentală. Oricare ar fi punctele A, BP, există un număr real unic, notat cu || AB || sau d(A, B) care se numește distanța dintre A și B.

Pentru două puncte oarecare A și B, distanța || AB || este un număr real unic. Noțiunea fundamentală este de fapt o funcție: d: PP R, care satisface cunoscutele axiome ale distanței, și care se numește funcție distanță. Într-adevăr, știm că un element oarecare al produsului cartezian PP este o pereche de puncte (A, B) și deoarece acesteia îi corespunde numărul real || AB || determinat în mod unic, avem o funcție definită pe mulțimea PP cu valori în R.

Având în vedere reprezentarea numerelor reale pe o dreaptă putem defini o funcție bijectivă f între mulțimea punctelor unei drepte d și mulțimea numerelor reale R. Prin axioma următoare admitem existența și precizăm proprietățile acestei funcții f.

R.(axioma riglei) Fie d o dreaptă oarecare și A, Bd două puncte distincte. Fiecărui punct Md îi putem face să-i corespundă un număr real unic XM astfel încât să avem satidfăcute următoarele condiții:

Pentru fiecare număr real a există un singur punct Pd cu XP=a;

XA = 0, XB > 0;

Oricare ar fi punctele P, Qd, avem (1) || PQ || = | XQ – XP |

Prin acestă axiomă se mai precizează că funcția f:d IR, definită prin f(M) = XM este determinată în mod unic de condițiile 1), 2), 3).

Definiție. Funcția F : d R se numește sistem de coordonate pentru dreapta d (sau pe dreapta d), punctul A – originea sistemului, iar numărul XM abscisa sau coordonata punctului M (în sistemul de coordonate considerat).

(2) || PQ || 0;

(3) || PQ || = 0 P = Q;

(4) || PQ || = || QP ||.

Definiție. Fiind date punctele distincte A și B, semidreapta închisă [AB și semidreapta deschisă (AB se definesc astfel:

[AB={ M | MAB sau B(AM) },

(AB=[AB – { A }.

Dreapta AB este suportul semidreptelor [AB și (AB, iar punctul A originea lor.

Dacă BAC, semidreptele [BA și [BC se numesc opuse, la fel (BA și (BC.

Semidreptele pot fi precizate cu ajutorul absciselor.

Teoremă. Oricare ar fi sistemul de coordonate și dreapta AB, dacă XA<XB, atunci:

[AB = { MAB | XM XA }

(AB= { MAB | XM >XA }

iar dacă XA >XB atunci:

[AB = { MAB | XM XA }

(AB = {MAB | XM < XA}.

Corolar. Dacă CAB, atunci [AB = (AC.

Definiție. Un unghi este reuniunea a două semidrepte închise având aceeași origine.

Dacă cele două semidrepte sunt h = [AB și k = [AC, unghiul va fi notat cu hk sau BAC sau A (dacă nu este pericol de vreo confuzie). Punctul A se numește vârful unghiului iar semidreptele h, k se numesc laturile unghiului hk.

Dacă h = k, hk se numește unghi nul, iar dacă h și k sunt semidrepte opuse, atunci hk este un unghi alungit.

Un unghi care este nici nul nici alungit, se numește unghi propriu.

Definiție. Dacă punctele A, B, C nu sunt coliniare, mulțimea ABC=[AB] [BC] [AC] se numește triunghi.

Punctele A, B, C sunt vârfurile, segmentele [AB], [BC], [AC] sunt laturile, iar unghiurile ABC, BCA, CAB sunt unghiurile triunghiului. Dacă două (respectiv trei) laturi au lungimi egale, triunghiul se numește isoscel (respectiv echilateral).

4. Segmente, semidrepte și unghiuri

Definiție. Fie A și B două puncte diferite. Spunem că punctul M este între A și B (sau punctul M separă punctele A și B) dacă:

A, M, B sunt puncte coliniare diferite și

|| AM || + || MB || = || AB ||

Prin segment deschis (AB) înțelegem mulțimea punctelor între A și B, iar prin segment închis [AB], mulțimea (AB) {A, B}.

Așadar,

[AB] = { M(AB) | || AM || + || MB || = || AB || }

(AB)=[AB] – { A, B }

Notațiile (AB), [AB] pot fi folosite și în cazul în care A = B, dar atunci nu reprezintă segmente:

(AA) = , [AA] = { A }

Prin lungimea segmentelor [AB] se înțelege distanța || AB ||.

Segmentele pot fi caracterizate cu ajutorul absciselor.

Teoremă. Oricare ar fi sistemul de coordonate pe dreapta AB dacă XA < XB avem:

[AB] = { MAB | XA = XM = XB }

(AB) = { MAB | XA < XM < XB }

iar dacă XA > XB

[AB] = { MAB | XB = XM = XA }

(AB) = { MAB | XB < XM < XA}

Corolar. Punctul MAB este între A și B dacă și numai dacă XA < XM < XB sau XB < XM < XA.

Teoremă. Două drepte diferite au cel mult un punct comun.

Demonstrație. Să presupunem că teorema nu este adevărată. Atunci există două drepte d1 și d2 și două puncte P și Q, astfel ca d1 d2 și P Q, P,Qd2. Conform axiomei I.4 d1 = PQ, d2 = PQ deci d1 = d2. Așadar presupunerea făcută a condus la o contradicție. Deducem valabilitatea teoremei.

5. Axioma de separare a planului

Definiție. Fie d o dreaptă și A, B două puncte ale planului P, nesituate pe d. Dacă segmentul [AB] are un punct comun cu d spunem că dreapta d separă punctele A și B sau că A și B sunt de o parte și de alta a dreptei d. În caz contrar, se spune că A și B sunt de aceeași parte a lui d.

În fig. II.5 dreapta d separă punctele A și B, deasemenea punctele A și C, dar nu separă pe B și C.

Fie d o dreaptă ce separă punctele A și B. Dacă d nu separă punctele B și C, atunci d separă punctele A și C (fig. II.5) – axioma de separare a planului.

Teoremă. Dacă o dreaptă d separă atât punctele A și B cât și punctele A și C, atunci d nu separă punctele B și C (fig. I.5).

Demonstrație. Admitem că punctele A, B, C nu sunt coliniare. Atunci există pe dreapta d punctele M, N, P astfel încât MAB, NAC, PBC (fig. I.6).

Cum punctele M, N, P sunt coliniare, unul din aceste puncte va fi situat între celelalte două. Pentru a face o alegere, să presupunem că M este între N și P. Așadar, dreapta AB separă N și P; pe de altă parte AB nu separă N și C, deci din axioma de separare a planului, deducem că AB separă punctele P și C, adică B (PC). Dar avem și P(BC), în contradicție cu B(PC).

Corolar. O dreaptă care intersectează un triunghi dar nu trece printr-un vârf al său, intersectează exact două laturi ale triunghiului.

Definiție. Fie A un punct nesituat pe dreapta d (fig. I.7). Considerăm toate punctele M de aceeași parte a lui d, ca și A. Mulțimea formată din aceste puncte și punctul A se noteză cu (dA și se numește semiplan deschis.

Spunem că dreapta d este frontiera lui și că semiplanul (dA este limitat de dreapta d. Avem:

(dA = { MP | [AM] d = }

Într-adevăr, pentru M A, relația [AM] d = înseamnă că A și M sunt de aceeași parte a lui d, iar pentru M = A relația [AM] d = este verificată, căci [AA] = { A }.

Teoremă (teorema de separare a planului). Fiind dată în planul P o dreaptă oarecare d, au loc următoarele proprietăți:

există exact două semiplane delimitate de dreapta d, pe care le notăm cu S și S;

P – d = S S = ;

Dacă P, QS sau P, QS, segmentul (PQ) nu taie dreapta d. Dacă PS și RS, segmentul (PR) și dreapta d au un punct comun (fig. II.8).

Semiplanele S și S se numesc opuse.

Definiție. Reuniunea unui semiplan cu frontiera sa se numește semiplan închis, simbolul [dA = |dA d se citește “semiplanul închis limitat de dreapta d și conținând punctul A”.

6. Mulțimi convexe

Definiție. Se numește mulțime convexă o mulțime M de puncte care are următoarea proprietate: dacă P și Q sunt două puncte distincte oarecare ale mulțimii M, atunci M conține toate punctele segmentului (PQ).

P, QM (PQ) M.

Teorema 1. Orice intersecție de mulțimi convexe este o mulțime convexă.

Demonstrație. Vom demonstra teorema pentru două mulțimi convexe M1 și M2. Trebuie să arătăm că M1 M2 este o mulțime convexă. Fie P, Q M1 M2. Atunci P, QM1 și P, QM2. Cum M1 și M2 sunt convexe rezultă că (PQ) M1 și (PQ) M2 deci (PQ) M1 M2.

Definiție. Interiorul unghiului propriu BAC este mulțimea de puncte IntBAC = (bC
(cB, unde bAB, cAC (fig. I.9)

IntBAC este o mulțime convexă fiind intersecția a două semiplane deschise, adică a două mulțimi convexe.

Definiție. Două unghiuri proprii cu același vârf și cu o latură comună se numesc adiacente, dacă interioarele lor nu au nici un punct comun. Unghiurile AOB și BOC se numesc unghiuri adiacente suplimentare, dacă (OA și (OC sunt semidrepte opuse (fig. I.10).

Teorema 2 (teorema transversalei). Dacă punctul D aparține interiorului unghiului

propriu BAC, atunci semidreapta (AD și segmentul (BC) au un punct comun:

(AD (BC) .

Demonstrație. Fie AB semidreapta opusă lui (AB (fig. I.11). Semidreapta (AD intersectează segmentul (BC sau segmentul (BC). Dar (AD nu poate intersecta segmentul (BC, deoarece aceste mulțimi sunt de o parte și de alta a dreptei AC.

Definiții. O linie poligonală este o mulțime de forma L = [P1P2] [P2P3] …
[PnPn+1]. Punctele P1, P2, …, Pn, Pn+1 se numesc vârfurile liniei, iar segmentele [P1P2], [P2P3], [PnPn+1] se numesc laturile ei.

Linia poligonală se numește închisă dacă P1 = Pn+1 și simplu închisă dacă în plus oricare două laturi nevecine nu au un punct comun și două laturi vecine au suporturi diferite. O linie poligonală simplu închisă se mai numește poligon.

Un poligon cu trei laturi este un triunghi. Un poligon cu patru laturi se numește patrulater, cu cinci laturi pentagon, cu șase laturi hexagon, etc.

Poligonul cu vârfurile P1, P2, …, Pn va fi notat cu P1P2…Pn.

Segmentele [PiPk]care nu sunt laturi, se numesc diagonale.

Poligonul P1P2…Pn se numește poligon convex, dacă pentru fiecare latură [PkPk+1] toate vârfurile diferite de Pk și Pk+1 se găsesc de aceeași parte a dreptei PkPk+1.

Interiorul unui poligon convex este intersecția semiplanelor deschise limitate de suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective.

Dacă notăm cu dk = PkPk+1, pentru k = 1, 2,…, n-1 și dn = P1Pn atunci

Int P1P2…Pn =| d1P1 | … | dnPn-1 |.

Reuniunea dintre un poligon conex și interiorul său se numește suprafață poligonală convexă și se notează cu [P1P2…Pn].

În cazul unui triunghi ABC, mulțimea [ABC] se numește suprafața triunghiulară.

7. Axiomele unghiului

Vom nota cu U mulțimea unghiurilor. Măsurând unghiurile cu raportorul, fiecărui unghi i se asociază un număr real. Astfel se obține o funcție definită pe U cu valori în intervalul [0; 180].

Ultima noțiune fundamentală este inspirată de procedeul de măsurare cu raportorul. Admitem astfel existența unei funcții m : U [0;180]

numită funcția măsură a unghiurilor (în grade), care satisface următoarele axiome:

U1) m(AOB) = 0 dacă și numai dacă AOB este unghi nul; m(AOB) = 180 dacă și numai dacă AOB este unghi alungit;

U2) (Axioma de construcție a unghiurilor). Fie [OA o semidreaptă și S un semiplan limitat de dreapta OA. Pentru orice număr real (0,180) există o semidreaptă unică (OB, inclusă în S, astfel încât m(AOB) = (fig. I.12)

U3) (Axioma adunării unghiurilor). Dacă AOB și BOC sunt unghiuri adiacente cu (OBIntAOC sau unghiuri adiacente suplementare, atunci m(AOB) + m(BOC) = m(AOC) (fig. I.13).

În particular suma măsurilor unghiurilor a două unghiuri adiacente suplemetare este egală cu 180o.

Dacă (0,180), mulțimea tuturor unghiurilor hk, pentru care m(hk) = , se notează cu o. Așadar m(AOB) = o dacă și numai dacă AOBo.

Definiție. Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este egală cu 180o. Atunci fiecare este un suplement al celuilalt.

Două unghiuri cu același vârf se numesc opuse la vârf dacă laturile lor sunt semidrepte opuse (fig. I.14).

Teorema 1. Dacă m(AOB) = m(AOB) și punctele B, B sunt de aceeași parte a dreptei OA, atunci (OB = (OB. (Demonstrația rezultă din U2).

Teorema 2. Două unghiuri opuse la vârf au măsuri egale.

Demonstrație. Fie AOB și COB două unghiuri opuse la vârf. Avem:

m(AOB) + m(BOD) = m(AOD) = 180o

m(COD) + m(BOD) = m(COB) = 180o deci:

m(AOB) = m(COD)

Teorema 3. Fie O(AA)| și B, B două puncte de o parte și de alta a dreptei AA. Dacă m(AOB) = m(AOB), atunci semidreptele (OB și (OB sunt opuse (fig. I.16)

Demonstrație. Fie (OC semidreapta opusă lui (OB. Conform teoremei 2:

om(AOC) = m(AOB)

dar

m(AOB) = m(AOB)

deci

m(AOC) = m(AOB).

Din teorema 1 obținem:

(OB = (OC,

așadar (OB, (OC sunt semidrepte opuse.

8. Proprietăți de congruență

Definiție. Spunem că segmentele (AB) și (AB) sunt congruente și scriem

(AB) (AB),

dacă || AB || = || AB ||.

Analog, unghiurile AOB și AOB se numesc congruente, și notăm

AOB AOB,

dacă m(AOB) = m(A0B).

Teorema 1. Au loc următoarele proprietăți:

(AB)| (AB) – reflexivitatea

(AB) (CD) (CD) (AB) – simetria

(AB) (CD), (CD) (CP) (AB) (CP) – tranzitivitatea

Relațiile (1), (2) și (3) au loc și pentru congruența unghiurilor.

Teorema 2 (teorema de construcție a unui segment). Fie (AB) un segment și (CD o semidreaptă. Există un singur punct P(CD astfel ca (AB) (CP) (fig. I.17)

Demonstrație. Alegem sistemul de coordonate pentru dreapta CD astfel ca
XO = 0 și Xd > 0.

Punctul P trebuie să satisfacă două condiții:

PCD, ceea ce înseamnă XP > 0,

|| CP || = || AB ||, adică | XP – 0 | = || AB ||

Așadar, XP = || AB || și astfel punctul P este determinat în mod unic.

Teorema 3 (teorema de adunare și scădere a segmentelor) Fie B(AC) și B(AC) (fig I.18). Atunci:

(AB) (AB), (BC) (BC) (AC) (AC)

(AC) (AC), (AB) (AB) (BC) (BC)

Demonstrație. Deoarece B este între A și C și B între A și C avem:

|| AC || = || AB || + || BC ||

|| AC || = || AB || + || BC ||

Din ipotezele implicației (4) rezultă:

|| AB || = || AB || și

|| BC || = || BC ||

Folosind egalitățile (6) obținem că:

|| AC || = || AC ||

Din ipotezele lui (5) deducem:

|| AC || = || AC ||

|| AB || = || AB ||

ceea ce împreună cu (6) ne dă:

|| BC || = || BC ||

Definiție. Spunem că segmentul (AB) este mai mare decât segmentul (CD) și scriem (AB) > (CD) dacă || AB || > || CD ||. În acest caz se mai spune că (CD) este mai mic decât (AB) și scriem (CD) < (AB).

Definiție. Spunem că punctul M este mijlocul segmentului (AB) dacă M(AB) și (AM) (MB).

Teorema 4. Orice segment (AB) are un singur mijloc M și M(AB).

Demonstrație. Fie XA = a și XB = b, a < b. Punctul M(AB) este mijlocul lui (AB) dacă și numai dacă || AM || = || MB ||, ceea ce este echivalent cu

| XM – XA | = | XB – XM |.

Deosebim cazurile:

XM < a

XM > b

A = XM = b

Cazul XM < a ne conduce la a – XM = b – XM și a = b, în contradicție cu a < b; la fel, nici cazul XM > b nu este posibil. Prin urmare numai cazul (3) poate rămâne în discuție. Dar atunci XM – a = b – XM, de unde

XM =

Așadar abscisa XM este determinată în mod unic și împreună cu ea și punctul M, mijlocul lui (AB). Cum:

,

rezultă că M(AB).

Din axioma U2 rezultă imediat:

Teorema 5 (teorema de construcție a unui unghi). Fie (OA o semidreaptă, S un semiplan limitat de dreapta OA și hk un unghi propriu oarecare. Atunci există o semidreaptă unică (OB inclusă în S, astfel ca AOB hk.

Teorema 6 (teorema de adunare și scadere a unghiurilor). Fie (OC IntAOB, (OCIntAOB (fig I.20). Atunci:

AOC AOC, COB COB AOB AOB.

AOB AOB, AOC AOC COB COB.

Demonstrație. Folosind axioma U3 putem scrie:

m(AOC) + m(COB) = m(AOB) și

m(AOC) + m(COB) = m(AOB)

Din ipotezele implicației (5) rezultă că:

m(AOC) = m(AOC) și m(COB) = m(COB)

ceea ce împreună cu (10) conduce la:

m(AOB) = m(COB)

deci:

AOB AOB

Analog, din ipotezele lui (9) și egalitățile (10) obținem:

m(COB) = m(COB),

de unde:

COB COB

Definiție. Spunem că unghiul hk este mai mare decât unghiul lm și scriem
hk > lm, dacă m(hk) >m(lm).

Teorema 7 (teorema semidreptei interioare unui unghi).

Dacă semidreapta (OB este interioară unghiului AOC ((OB Int AOC), atunci AOB<AOC;

Dacă punctele B și C sunt situate de aceeași parte a dreptei OA și AOB <AOC, atunci (OB IntAOC (fig I.21).

Demonstrație. a) Dacă (OB IntAOC, atunci folosind axioma adunării unghiurilor, avem:

m(AOB) + m(BOC) = m(AOC).

deci:

m(AOB) < m(AOC)

de unde

AOB <AOC

b) Avem unul din următoarele cazuri:

(OC IntAOB sau

(OB IntAOC sau

AOB AOC.

Ultimul caz nu este posibil. Nici primul caz nu este posibil, deoarece din (OC IntAOB rezultă în virtutea axiomei U3:

m(AOB) = m(AOC) + m(COB) > m(AOC).

Dar atunci, AOB > AOC, în contradicție cu ipoteza.

Definiție. Semidreapta (OC se numește bisectoarea unghiului propriu AOB dacă (OCIntAOB și AOCCOB

Teorema 8. Orice unghi propriu are o singură bisectoare.

Demonstrație. Fie AOB un unghi dat, m(AOB) = , 0o < < 180o și a = (OA). Să presupunem că (OC este bisectoare a unghiului AOB; atunci:

m(AOC) + m(COB) = m(AOB) = și

m(AOC) = m(COB), deci

m(AOC) =

Ținând seama și de faptul că (OC (aB, din axioma U2 deducem că semidreapta (OC este determinată în mod unic. Așadar, din ipoteza că AOB are o bisectoare, rezultă că aceasta este unică. Rămâne de arătat existența bisectoarei. Construim conform axiomei U2 semidreapta (OC, astfel ca m(AOC) = și B, C să fie de aceeași parte a dreptei OA. Din teorema 7.b) rezultă că (OC IntAOB și astfel m(AOC) + m(COB) = m(AOB); deci m(AOC) =. Prin urmare (OC este bisectoarea lui AOB.

Definiție. Se numește unghi drept orice unghi care este congruent cu un suplement al său. (fig II.23)

Din axioma U3 rezultă: un unghi este drept dacă și numai dacă măsura lui este de 90o. Un unghi congruent cu un unghi drept este un unghi drept.

Definiție. Spunem că semidreptele [OA și [OB sunt perpendiculare și scriem [OA [OB, dacă AOB este unghi drept.

În acest caz, vom spune că OA și OB sunt drepte perpendiculare sau ortogonale și vom scrie OA OB (și [OA] [OB]).

Un unghi propriu mai mic (mai mare) decât un unghi drept se numește ascuțit (obtuz).

Teorema 9. Fie dată o dreaptă d și Cd. Prin punctul C trece o singură dreaptă perpendiculară pe d (existența și unicitatea perpendicularei ridicată pe d într-un punct O al ei).

Demonstrație. Fie d o dreaptă și Od. Fie S un semiplan limitat de dreapta d. Pentru = 90o există o semidreaptă unică (OA inclusă în S, astfel încât m(AOB) = = 90o. Deci (OA d este unică.

9. Congruența triunghiurilor

Definiție. Fie ABC și ABC două triunghiuri. Dacă:

(AB) (AB), (AC) (AC), (BC) (BC)

A A, B B, C C

atunci spunem că există o congruență între triunghiurile ABC și ABC și notăm

ABC ABC

Definiție. Triunghiurile ABC și DEF se numesc congruente dacă există (cel puțin) o congruență între ele.

Axiome de congruență

L.U.L. Fie ABC și ABC două triunghiuri. Dacă:

(AB) (AB), (AC) (AC) și A A, atunci ABC ABC.

Teorema 1 (teorema de congruență U.L.U.). Dacă triunghiurile ABC și ABC au (AB) (AB), A A, B B,atunci ΔABC ΔABC (fig I.25).

Demonstrație. Determinăm conform teoremei de construcție a unui segment punctul P(AC astfel ca (AC) (AP). Folosind axioma L.U.L. rezultă că ΔABC ΔABP (6), deci B ABP.

Pe de altă parte B ABC (din ipoteză) și sunt de aceeași parte a lui AB, prin urmare [BC = [BP în virtutea axiomei U2. Rezultă că C = P și astfel relația (6) devine: ΔABC ΔABC.

Teorema 2 (teorema triunghiului isoscel). Dacă pentru un triunghi ABC avem (AB) (AC), atunci B C și reciproc (fig I.26)

Demonstrație. Aplicând axioma L.U.L. din (AB) (AC) rezultă că ΔABC ΔACB, deci B C.

Teorema U.L.U. ne arată că B C implică (AB) (AC).

Lemă. Dacă punctele C și C sunt de o parte și de alta a dreptei AB, (CA) (CA) și (CB) (CB) atunci ΔABC ΔABC.

Demonstrație. Din ipoteză rezultă că segmentul (CC) intersectează dreapta AB într-un punct O. Deosebim următoarele cazuri:

O aparține segmentului AB (fig I.27 a). Triunghiurile ACC și BCC sunt isoscele, deci conform teoremei (7) ACC ACC și BCC BCC. Cum (CC) IntACB, putem aplica teorema de adunare a unghiurilor, deci ACB ACB. Din axioma L.U.L. rezultă ΔABC ΔABC.

A(CB) (fig II.27.b) Relațiile (7) se deduc ca la punctul a). Din teorema 8 de la (6) obținem ACB ACB. Așadar și în acest caz ΔABC ΔABC.

B(OA). Demonstrația ca la punctul b.

O = A sau O = B. Lema rezultă imediat din teorema 2 și axioma L.U.L.

Teorema 3 (teorema de congruență L.L.L). Dacă triunghiurile ABC și ABC au:

(8) (AB) (AB), (AC) (AC), (BC) (BC) atunci ΔABC ΔABC.

Demonstrație. În semiplanul limitat de BC care nu conține punctul A ducem în conformitate cu teorema de construcție a unui unghi, semidreapta (BP, astfel ca CBPB, apoi determinăm pe (BP punctul P astfel încât (BP) (BA) (fig I.28)

Atunci ΔBPC ΔABC în virtutea axiomei L.U.L. Din (BP) (AB), (PC) (AC) și relațiile (8), rezultă (AB) (PB), (AC) (PC). Conform lemei avem ΔABC ΔPBC. Cum ΔPBC ΔABC, rezultă că ΔABC ΔABC.

10. Inegalități geometrice

Definiție. Un unghi se numește unghi exterior al unui triunghi dacă este adiacent cu unul din unghiurie trunghiului și suplementar cu el.

Teorema 1 (teorema unghiului exterior). Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interioare, neadiacente cu acel unghi (fig I.29)

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și unghiul exterior CAM. Se va arăta că m(CAM) > m(ACB).

D fiind mijlocul segmentului (AC) pe semidreapta opusă semidreptei (DB se consideră punctul B astfel încât (BD) (DE). Deoarece EIntCAM, din teorema semidreptei interioare unui unghi, rezultă că CAE < CAM; pe de altă parte DAE DCB (din axioma L.U.L.), deci m(ACB) = m(DAE) < m(CAM).

Pentru a arăta că m(CAM) > (ABC) se face un raționament analog, folosind însă compararea cu celălalt unghi exterior cu vârful în A.

Aplicație. Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul mai mare și reciproc.

Demonstrație. În triunghiul ABC cu (AC) > (AB) (fig I.30) se consideră D(AC) astfel încât (AB) (AD).

Atunci ABD este un triunghi isoscel și m(ABD) = m(ADB) > m(ACB), unghiul ADB fiind unghi exterior triunghiului BDC. Pentru că D(AC), (BDIntABC avem m(ABC) > m(ABD) > m(ACB).

Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.

Teorema 2. Suma lungimilor a două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de a treia laturi.

Demonstrație. Fie ABC un triunghi (fig I.31). Ne propunem să demonstrăm că:

|| AB || + || BC || > || AC ||.

Fie MAB, astfel încât B(AM) și (BC) (BM). Inegalitatea care trebuie demonstrată revine la

|| AB || + || BM || = || AM || > || AC ||.

Pentru a demonstra că || AM || > || AC || este suficient să se demonstreze că m(ACM) m(AMC). Prin construcție, triunghiul CBM este isoscel, deci AMC BCM. Deoarece BIntACB, m(BCM) = m(AMC), ceea ce demonstrează teorema.

11. Distanța de la un punct la o dreaptă

Teorema 1. Fiind dată dreapta d și un punct M, Md, există o singură dreaptă d astfel încât d d.

Demonstrație. (Existența) Se consideră A și B, Ad, Bd, A B (fig I.32). Dacă MA d sau MB d, existența perpendicularei din M pe d este demonstrată.

În caz contrar, fie semiplanul determinat de d care nu-l conține pe M, semidreapta (AP, astfel încât MAB PAB și C(AP, (AM) (AC). M și C fiind în semiplane opuse față de d, există punctul M dat de relația: d (MC) = { M }. Triunghiul AMM este congruent cu triunghiul AMC (din L.U.L.) deci AMC AMM și AMC, AMM suplementare. Rezultă că m(AMC) = m(AMM) = 90o, ceea ce demonstrează existența perpendicularei.

(Unicitatea). Se arată prin reducere la absurd. Dacă MA d, MB d, Ad, Bd, A B, atunci triunghiul MAB are două unghiuri drepte, ceea ce nu este posibil, pentru că este în contradicție cu teorema unghiului exterior (fig II.33).

Punctul de intersecție al perpendicularei pe d din M, cu d, se numește piciorul perpendicularei duse din punctul M pe dreapta d.

Definiție. Se numește distanță de la un punct la o dreaptă căreia nu-i aparține, cea mai mică distanță dintre acel punct și punctele dreptei. Se notează cu d(M,d) = = d(MM) = || MM || unde Md și MMd. Dacă Md, se definește d(M,d) = 0.

Definiție. Punctele A și A se numesc simetrice față dedreapta d, dacă A A, AA d și mijlocul segmentului [AA] se află pe d. În acest caz A se numește simetricul lui A față de d. Punctele A și A se numesc simetrice față de punctul O dacă O este mijlocul lui (AA) sau A = A = O.

Definiție. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment, dusă prin mijlocul segmentului.

Teorema 2. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului și reciproc.

Demonstrație. Se consideră segmentul (AB), O(AB), (OA) (OB) și M un punct de pe mediatoarea segmentului (AB). (fig I.34).

Dacă M = O afirmația este evidentă. Dacă M O, ΔAOM ΔBOM (L.U.L.) și rezultă că (AM) (BM), deci || AM || = ||BM||.

Reciproc, se consideră (AB) și M un punct astfel încât (MA) (MB). Dacă M(AB), fie O mijlocul segmentului (AB). ΔAOM ΔBOM (din L.L.L). Deci AOM BOM. Deoarece cele două unghiuri sunt suplementare, rezultă că MO este mediatoarea segmentului (AB).

Din cele două teoreme rezultă că mediatoarea unui segment este mulțimea punctelor care au proprietatea că sunt egal depărtate de capetele segmentului.

Pentru o mulțime de puncte care verifică o anumită proprietate P, se folosește și denumirea de “locul geometric al punctelor care au proprietatea P”. Astfel, mediatoarea unui segment este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului.

În general, pentru a demonstra că o mulțime M de puncte este locul geometric al punctelor care verifică proprietatea P, se va demonstra că orice element al mulțimii M verifică proprietatea P și că orice punct care verifică proprietatea P aparține mulțimii M.

Teorema 3. Bisectoarea unui unghi propriu este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal depărtate de laturile unghiului, reunit cu vârful unghiului.

Demonstrație. Se va arăta că orice punct de pe bisectoare are proprietatea enunțată. Fie hk un unghi și MS-{O} (fig I.35).

Se notează cu A și B picioarele perpendicularelor din M pe suporturile lui h și k. Ah, căci altfel triunghiul OAM ar avea un unghi obtuz și unul drept.

Analog Bk; ΔOAM ΔOBM. Rezultă că (MA) (MB), deci d(M, h) = d(M, k).

În continuare, vom arăta că orice punct M cu proprietatea d(M, h) = d(M, k) și MInthk, aparține bisectoarei unghiului hk.

Dacă A și B sunt picioarele perpendicularelor din M pe suporturile lui h și k, atunci Ah, Bk. Presupunând contrariul, de exemplu, Ah, rezultă că segmentul (AM) intersectează latura k.

Fie {C} = (AM) k. Deoarece || MC || > || MB || și || AM || > || CM ||, rezultă că || AM || > || MB ||, ceea ce contrazice ipoteza. La fel se arată că Bh. Din (MA) (MB) rezultă că ΔOAM ΔOBM, deci AOM BOM și de aici rezultă că (OM este bisectoarea unghiului hk.

12. Drepte concurente

Din axiomele de incidență a rezultat că două drepte distincte au cel mult un punct comun fără să se pună problema dacă există două drepte care să nu aibă nici un punct în comun. Răspunsul la această întrebare este afirmativ și este justificat de următoarea teoremă.

Teorema 1. Prin orice dreaptă d și orice punct M, Md, există o dreaptă h, astfel încât Mh și d h = .

Demonstrație. Fie dreapta d, Md și Md, se consideră dreapta h, Mh și h MM. Se va arăta că h și d nu sunt concurente, prin reducere la absurd. Se presupune că {P} = h d. Dacă M, M, P sunt necoliniare, atunci triunghiul MMP are două unghiuri drepte, ceea ce este absurd. Dacă M, M, P sunt coliniare, atunci h = d (pentru că h = MP și d = MP), deci Md, ceea ce contrazice ipoteza.

Definiție. O dreaptă se numește secantă (transversală) pentru două sau mai multe drepte, dacă intersectează fiecare din aceste drepte în puncte diferite.

Definiție. Două unghiuri se numesc alterne interne, dacă intersecția a două laturi este un segment, iar celelalte două laturi sunt situate în semiplane opuse față de dreapta ce conține segmentul.

Teorema 2. Dacă pentru două drepte distincte există o secantă care formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele nu sunt concurente.

Demonstrație. Fie d1 d2, secanta d, {A} = d1 d, {B} = d2 d, Cd1, Dd2, d separă C și D, CAB ABD (fig I.37). Se presupune prin absurd că d1 d2 = {P}.

Dacă A, B, P sunt necoliniare, triunghiul ABP are un unghi exterior congruent cu un unghi interior neadiacent cu el, ceea ce este absurd. Dacă A, B, P sut coliniare, atunci d1 = d2, ceea ce contrazice ipoteza.

13. Drepte paralele

Definiție. Două drepte d1 și d2, situate în planul , se numesc paralele dacă nu au nici un punct comun. Se notează d1 || d2. Deci d1 || d2 d1d2=.

Axioma paralelelor. Printr-un punct A exterior unei drepte d trece cel mult o dreaptă paralelă cu d.

Teorema 1. Printr-un punct A exterior dreptei d, trece o singură paralelă cu d.

Demonstrație. Existența paralelei este asigurată de teorema 1 paragraful 12, iar unicitatea de axioma paralelelor.

Teorema 2 (teorema paralelelor tăiate de o secantă). Două drepte paralele formează cu orice secantă perechi de unghiuri alterne interne congruente.

Demonstrație. Fie d1 || d2, secanta d, d d1 = {A}, d d2 = {B}, Cd1, Fd2, C și F de o parte și de alta a dreptei d (fig I.39). Se presupune că CABABF; atunci în semiplanul (dF există semidreapta unică (BM d2, astfel încât CAB ABM.

Rezultă că BM || d1, deci prin B trece d2 și BM, paralele cu d1 ceea ce este în contradicție cu axioma paralelelor.

Definiție. Patrulaterul cu laturile opuse paralele se numește paralelogram.

Teorema 3. Într-un paralelogram ABCD cu AB || CD, BC || AD sunt verificate următoarele proprietăți:

(AB)(CD), (BC)(AD)

DABDCB, ADCABC

{O}=(AC)(DB) atunci (OA)(OC), (OB)(OD)

Dacă {O}=(AC)(DB) atunci O este centrul de simetrie al paralelogramului ABCD.

Teorema 4. Dacă în patrulaterul ABCD este verificată una din proprietățile 1), 2), 3) sau 4), atunci patrulaterul este paralelogram.

Definiție. Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi. Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente se numește romb. Dreptunghiul cu două laturi alăturate congruente se numește pătrat.

Teorema 5. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180o.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și prin A ducem paralela la BC (fig I 41). Avem:

BAD ABC și CAE ACB.

m(A) + m(B) + m(C) =

m(A) + m(BAE) + m(CAE) =

= m(DAE) = 180o.

Definiție. Segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie a triunghiului.

Teorema 6. Linia mijlocie a unui triunghi determinată de mijloacele a două laturi este paralelă cu a treia și are ca lungime jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.

Demonstrație. Se consideră triunghiul ABC, M(AB) și N(AC) cu (MA) (MB) și (NA) (NC). Fie P astfel încât N(MP), (MN) (NP). Din teorema 3(3), rezultă că AMCD este paralelogram. Dacă PC || AB și (PC) (NP), B și P sunt de o parte și de alta a lui MC, deci MBCP este un patrulater care are laturile (PC) și (MB) paralele și congruente. Atunci rezultă că patrulaterul MBCP este paraleogram, deci MP || CB, (MP) (BC) și deoarece || MP || = 2|| MN ||, rezultă că || MN || = || BC ||.

Definiție. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și celelalte două neparalele se numește trapez. Laturile paralele ale trapezului se numesc baze. Dacă laturile neparalele sunt congruente, trapezul se numește isoscel.

Definiție. Segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie a trapezului.

Teorema 7. Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele trapezului și are lungimea egală cu semisuma lungimii celor două baze.

Demonstrație. Fie trapezul ABCD (AB || CD) și (MN) linia mijlocie, M(AD), N(BC) (fig I 43). Se notează cu E intersecția diagonalei (AC) cu (MN). E este mijlocul segmentului (AC).

|| MN || = || ME || + || EN || = .

Teorema 8 (teorema lui Thales). Fie triunghiul ABC și DE || BC, D(AB), E(AC), atunci (fig II 43)

Teorema 9 (teorema bisectoarei) În orice triunghi, o bisectoare interioară împarte latura pe care cade în segmente de lungimi direct proporționale cu lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului. Reciproca este adevărată.

14. Asemănarea triunghiurilor

Definiție. Fie triunghiurile ABC și ABC. Dacă:

,

AA, BB, CC,

se spune că există o asemănare între triunghiul ABC și triunghiul ABC și se scrie ΔABC ~ ΔABC.

Teorema 1 (teorema fundamentală a asemănarii). Fie triunghiul ABC și DE || BC, AD, D(AB), E(AC). Atunci ΔADE ~ ΔABC.

Teorema 2. Dacă AA și BB, atunci ΔABC ~ ΔABC.

Teorema 3. Dacă AA și , atunci ΔABC ~ ΔABC.

Teorema 4. Dacă , atunci ΔABC ~ ΔABC.

15. Relații metrice

Definiție. Fie o dreaptă d și un punct M, Md. Se numește proiecție ortogonală a punctului M pe dreapta d, piciorul perpendicularei duse din M pe d. Se notează cu M = prdM.

Proiecția unui segment (AB) pe o dreaptă d este segmentul (CD) unde C = prdA și
D = prdB.

Definiție. Numărul pozitiv a se numește medie proporțională (sau geometrică) a numerelor pozitive b și c, dacă a2=bc.

Teorema 1 (teorema catetei). Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic este medie geometrică între lungimea ipotenuzei și a proiecției catetei pe ipotenuză.

Teorema 2 (teorema înălțimii). Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii duse din vărful unghiului drept este medie geometrică între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Teorema 3 (teorema lui Pitagora). Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

16. Cercul

Definiție. Fie rR și r > 0, iar O un punct din plan. Se numește cerc de centru O și rază r, locul geometric al punctelor M din plan pentru care || OM || =r. Se notează C(O,r)={M | || OM || = r}.

Definiție. Fiind dat cercul C(O,r), mulțimea punctelor din plan pentru care || OP || < r,

se numește interiorul cercului. Se notează cu IntC(O,r) = {P | || OP || < r}.

Se definește și exteriorul cercului și anume: ExtC(O,r) = {Q | || OQ || >r }.

Teorema 1. Interiorul unui cerc este o mulțime convexă.

Definiție. Se numește disc de centru O și de rază r (r>0), mulțimea C(O,r)IntC(O,r).

Teorema 2. Fie cercul C(O,r), r > 0 și dreapta h.

Dacă d(O,h) < r, atunci dreapta h și cercul C(O, r) au exact două puncte comune. În acest caz dreapta h se numește secantă a cercului.

Dacă d(O, h) = r, atunci dreapta h și cercul C(O, r) au un singur punct comun. Dreapta h se numește tangenta cercului.

Dacă d(O, h) > r, atunci dreapta h și cercul C(O, r) nu au nici un punct comun. Dreapta h se numește exterioară cercului.

Definiție. Segmentul determinat de două puncte ale unui cerc se numește coardă. Dacă coarda conține centrul cercului, atunci ea se numește diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.

Definiție. Un unghi cu vârful în centrul cercului se numește unghi la centru pentr acel cerc.

Definiție. Fie A și B două puncte ale cercului C(O, r) care nu sunt diametral opuse. Se numește arc mic AB mulțimea formată din A și B și punctele cercului C(O, r) care aparțin interiorului unghiului AOB. A și B se numesc capetele arcului. Se numește arc mare AB mulțimea formată din punctele cercului C(O, r) care nu aparțin interiorului unghiului AOB, inclusiv punctele A și B. Punctele A și B se numesc capetele arcului.

Definiție. Dacă A și B sunt două puncte diametral opuse ale cercului C(O, r) și M un punct al cercului diferit de acestea, atunci arcul AMB este mulțimea punctelor cercului situate în semiplanul închis determinat de dreapta AB căreia îi aparține punctul M și se numește semicercul AMB.

Definiție. Fie A și B două puncte ale cercului C(O, r).

Dacă A și B sunt diametral opuse, măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru, adică m(AB) = m(AOB).

Dacă A și B sunt diametral opuse, măsura arcului mare este m(AB) = 360o-m(AOB).

Dacă A și B sunt diametral opuse, măsura semicercului AB este 180o, adică m(AB) = 180o.

Definiție. Două arce ale aceluiași cerc se numesc congruente dacă au aceeași măsură.

Definiție. Unghiul AMB se numește înscris în cercul C(O, r) dacă A, M, B sunt puncte ale cercului C(O, r).arcul AB căreiuia nu-i aparține punctul M se numește arc cuprins între laturile unghiului.

Teorema 3. Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

m(AMB)=m(AB).

Definiție. Un poligon se numește înscris într-un cerc dacă vârfurile poligonului aparțin cercului. În acest caz cercul se numește circumscris poligonului. Un poligon se numește circumscris unui cerc dacă laturile sale sunt tangente la cerc. În acest caz cercul se numește înscris în poligon.

Teorema 4. Dacă un patrulater este inscriptibil, atunci suma măsurilor a două unghiuri opuse este 180o și reciproc.

Definiție. Două cercuri se numesc tangente dacă au exact un punct comun și se numesc secante dacă au două puncte distincte comune.

Teorema 5. Prin orice punct exterior unui cerc trec două tangente la cerc. Dacă A și B sunt punctele comune cu cercul ale celor două tangente duse din punctul M, atunci avem relația: || MA || = || MB || (fig II 50).

Teorema 6. Fie cercul C(O, r) și MIntC(O, r); atunci pentru orice coardă AB care conține punctul M, produsul || AM || || MB || este constant (fig II 51).

Valoarea acestui produs înmulțită cu (-1) se notează cu (M) și se numește puterea punctului M, interior cercului, față de cerc.

Teorema 7. Fie cercul C(O, r) și MExt C(O, r). Atunci pentru orice secantă AB, AC(O, r) și BC(O, r) care conține punctul M, produsul || MA || || MB || este constant. Valoarea acestui produs, se notează cu (M) și se numește puterea punctului M, exterior cercului, față de cerc.

Definiție. Fie C(O1, r1) și C(O2, r2). Locul geometric al punctelor pentru care diferența pătratelor distanțelor la două puncte fixe este constantă se numește axa radicală a celor două cercuri.

Definiție. Lungimea unuii cerc este un număr real pozitiv mai mare decât perimetrul oricărui poligon convex înscris în cerc și mai mic decât perimetrul oricărui poligon convex circumscris cercului.

Teorema 8. Raportul dintre lungimea unui cerc și lungimea razei este aceeași pentru toate cercurile. Numărul care reprezintă raportul dintre lungimea unui cerc și lungimea diametrului său se notează cu . Acesta este un număr irațional și o aproximare a sa este =3,14. Lungimea unui cerc este 2r, iar lungimea unui arc AB este lAB=.

Cap. II – Metode Folosite în Geometrie Pentru
Rezolvarea Problemelor

În matematică prin metodă se înțelege calea rațională care trebuie urmată pentru a demonstra o teoremă sau a rezolva o problemă. Cunoașterea celor mai întâlnite metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie este necesară tuturor celor care studiază această știință, deoarece pe de o parte îi ferește de marcări făcute la întâmplare, pe de altă parte le dezvoltă capacitatea de a generaliza, fapt ce le oferă posibilitatea să lege între ele problemele ce se rezolvă după o animită schemă de raționament care se reține ușor și aplică fără greutate.

Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale și anume: generale și particulare.

Sinteza și analiza sunt singurele metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr mare de teoreme și probleme. Aceasta nu înseamnă că putem găsi și folosi și folosi metode particulare care să ne conducă la rezultate sub o formă mai ușoară și elegantă în cazul unui grup de probleme. Problemele de geometrie se împart în două grupe mari: probleme de calcul și probleme de demonstrație.

Prin probleme de calcul înțelegem acele probleme care cer găsirea unei valori numerice cunoscându-se anumite date. Când mărimile din problemă nu sunt exprimate prin numere ci prin litere, atunci rezultatul obținut se exprimă în mod general printr-o formulă.

Într-o problemă de calcul intervin câteva mărimi legate între ele prin relații. De obicei relațiile sunt exprimate prin propoziții gramaticale. Prin enunțul problemei se dau valorile unor mărimi numite datele cunoscute ale problemei, și se cer valorile altor măsuri, acestea numindu-se necunoscutele problemei.

Problemele de demonstrație sunt problemele prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unor relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date sau în general să se justifice dacă o afirmație formulată mai înainte referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu.

Rezolvarea problemelor de calcul au o importanță deosebită pentru studiul geometriei, deoarece pe de o parte ale contribuie la formarea priceperilor și deprinderilor pentru aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor, pe de altă parte formează încrederea rezolvitorului în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind în același timp pași spre o muncă de cercetare în acest domeniu.

1. Metoda sintezei

1.1 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul

Prin sinteză, o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei, între care există o legătură și cu ajutorul lor se formulează o problemă care ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi alte două cunoscute (fie date prin enunțul problemei, fie calculate anterior) și cu ajutorul lor se formulează o problemă, care rezolvată ne dă valoarea unei noi mărimi. Se procedează în acest mod până la găsirea valorilor mărimilor ce se cer în problemă.

În cazul rezolvării avem grujă ca din două date cunoscute să calculăm valorile acelor mărimi care la rândul lor să fie legate de mărimile cunoscute din problemă și să ne ajute, din aproape în aproape, la găsirea valorilor cerute.

1.2 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație

Într-o problemă de demonstrație la geometrie se consideră o figură F, despre care se spune că posedă proprietățile și se cere să se demonstreze că în acest caz mai posedă și proprietățile .

Propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile , pe care o notăm cu A, poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile și pe carele notăm cu B, poartă denumirea de concluzie. Cu alte cuvinte, într-o problemă de demonstrație se cere să arătăm că dacă pentru o figură F este adevărată proprietatea A (ipoteza), este adevărată și B (concluzia).

La rezolvarea unei probleme de demonstrație se procedează astfel: se pornește de la propoziția A și se caută o altă propoziție C, pe care o implică propoziția A. Cu alte cuvinte ținând seama că figura F are proprietățile , căutăm să descoperim și alte proprietăți , iar propoziția care afirmă că figura F are proprietățile , o notăm cu C. Căutăm mai departe o propoziție P, pe care s-o implice propoziția A și C și așa mai departe până când propozițiile astfel găsite implică propoziția B (concluzia).

Exemplu (teorema lui Menelaus). Fie ABC un triunghi și fie A, B, C trei puncte coliniare distincte astfel că ABC, BAC, CAB. Să se arate că:

(1)

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și A, B, C punctele unede o transversală intersectează laturile lui (fig III.1). Trebuie să arătăm că este adevărată relația (1).

Analizând figura, observăm că ipoteza nu ne dă suficiente date pentru apune în evidență relația cerută. Fiind vorba despre rapoarte și legăturile ce trebuiesc stabilite între ele constituie o indicație că trebuie să plecăm de la cunoștințe referitoare la asemănarea treiunghiurilor. Pe figură nu sunt triunghiuri asemenea, aceasta înseamnă că trebuie să le construim. Ducând din C paralela (CD) la latura (AB), observăm că s-au format mai multe triunghiuri asemenea.

Triunghiurile ACD și BAC fiind asemenea, potrivit teoremei fundamentale a asemănării, putem scrie:

(2)

Din asemănarea triunghiurilor CBD și CBA putem scrie:

(3)

Înmulțind egalitățile (1), (2) și (3) membru cu membru obținem:

Înmulțind egalitățile (4) cu raportul obținem:

Folosind tranzitivitatea relației de egalitate obținem relația (1) și teorema este demonstrată.

2. Metoda analizei

2.1 Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul

Analiza în rezolvarea unei probleme de calcul se aplică astfel: se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă. Datele problemei formulate pot i cunoscute, iar altele necunoscute. Cu alte cuvinte se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare trebuie să fie așa fel pusă încât prin rezolvarea ei să fie așa fel pusă încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din problema formulată.

Se poate întâmpla ca și în a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute; atunci se formulează o a treia problemă a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a II-a, și așa mai departe.

Acest proces se repetă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

Exemplu. Se dau două cercuri tangente exterioare, unul cu raza de 15 cm și celălalt cu raza de 5 cm. Se cere să se afle aria suprafeței cuprinsă între cele două cercuri și tangentele exteriare comune celor două cercuri, știind că ele formează un unghi de măsură 60o.

Rezolvare. Fie O și O1 centrele celor două cercuri tangente exterioare. AC și AC1 cele două tangente exterioare comune, duse din punctul A, unghiul CAC1 având măsura de 60o.

Se aplică metoda analizei. În rezolvarea acestei prbleme, plecăm de la ceea ce se cere și anume, găsirea ariei cuprinse între cele două cercuri și tangentele comune exteriare (fig II.3). Examinând figura, observăm că jumătatea ariei care se cere este egală cu aria trapezului OCBO1 din care se scade aria sectorului circular COE și a sectorului circular EO1B. Deci:

= 2[[OCBO1] – ([ [COE] + [EO1B])]

Din analiza acestei egalități observăm că nu putem calcula direct pe pentru că nu se cunoaște aria trapezului și ariile sectoarelor de cerc, deci atenția noastră trebuie să se îndrepte spre calculul acestor mărimi. Am redus problema dată la găsirea ariei trapezului și a sectoarelor de cerc.

Pentru calculul ariei trapezului OCBO1 sunt necesare lungimile bazelor și a înălțimii. Având lungimile bazelor || OC || = 15 și || O1B || = 5 , este necesar să calculăm înălțimea trapezului. Rezultă că aflarea ariei trapezului se reduce la aflarea înălțimii acestuia.

Ducând din O, o paralelă la tangenta comună BC, se formează triunghiul dreptunghic OFO, din care calculăm lungimea segmentului O1F, care este și înălțimea trapezului OCBO1. Avem:

|| O1F || 2 = || O1O || 2 – || OF || 2

|| O1F || 2 = 202 – 102 = 300

|| O1F || = =10

În concluzie, bazele și înălțimea trapezului fiind cunoscute putem calcula aria trapezului.

[OCBO1] = .

Calculăm aria sectorului circular COE, aplicând formula care ne dă aria și obținem:

[sect OCE] =

Din cele două mărimi care se repetă să calculăm aria sectorului; una este cunoscută
R = 15, însă nu cunoaștem pe n. Rezultă că problema care se referă la calculul ariei sectorului circular COE se reduce la calculul măsurii unghiului la centru COE.

Ținând seama că unghiul CAC1 are măsura de 60o, rezultă că m(CAO1) = 30o și deci m(CAO) = 60o, adică n = 60o. deci:

[sect OCE] = .

Pentru a calcula aria sectorului O1EB, procedăm în mod asemănător și se avem:

[sect O1EB] = .

Pentru a putea continua calculele sunt necesare r și n1. Pe r îl cunoaștem din enunțul problemei date fiind egală cu 5, însă nu cunoaștem pe n1; măsura unghiului BO1E. Deci problema calculului ariei sectorului O1EB se reduce la calculul măsurii unghiului BO1E.

Avem: COA BO1A ca unghiuri corespondente, deci m(BO1A) = 60o. Unghiul EO1B este suplementul unghiului BO1A, de unde m(EO1B) = 120o. Cu acest rezultat putem calcula aria sectorului circular EO1B.

[sect O1EB] =.

Înlocuind în egalitatea (1) mărimile necunoscute din membrul al doilea prin valorile lor aflate pe parcurs și făcând calculele indicate obținem aria cerută de problema dată:

=

2.2 Metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstrație

La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin analiză se pornește de la concluzia B și se caută o propoziție C care s-o implice pe B. Căutăm o altă propoziție D prin care s-o deducem pe C, apoi o propoziție E din care s-o deducem pe D și așa mai departe, până când reușim să găsim o propoziție A prin care să putem deduce propoziția precedentă.

Practic se procedează astfel:

se presupune că propoziția de demonstrat este adevărată;

se pune următoarea întrebare: de unde reiese imediat concluzia teoremei? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei propoziții mai puțin necunoscută decât cea dată de teoremă. Să numim această propoziție, de exemplu C.

O întrebare asemănătoare se pune și pentru propoziția C. De unde reiese imediat concluzia propoziției C. Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi prpoziții mai puțin necunoscută decât C. Să numim această propoziție, de exemplu D.

Acest procedeu se repetă până când se obține o propoziție cunoscută, stabilită mai înainte.

O dată ajuns la acest adevăr, raționamentul decurge mai departe după metoda sintezei.

După felul cum se aplică metoda analizei, se poate vedea clar că fiecare etapă nu se desfășoară prin încercări, ci este o legătură între propozițiile precedente, așadar raționamentele sunt motivate.

Exemplu. Produsul lungimilor a două laturi ale unui triunghi este egal cu produsul lungimilor diametrului cercului circumscris prin lungimea înălțimii corespunzătoare laturii a treia.

Demonstrație. Fie ABC triunghiul înscris în cercul C(O, r). (BD) înălțimea dusă din vârful B pe latura (AC) și (BE) diametrul dus prin vârful B. Trebuie să arătăm că:

|| AB || || BC || = || BE || || BD ||.

Presupunem că cele afirmate de teoremă în concluzie sunt adevărate. Să vedem ce consecințe decurg din acestea. Din relația:

|| AB || || BC || = || BE || || BD || (1)

rezultă imediat egalitatea de rapoarte:

(2)

Examinând proporția de la punctul precedent, observăm că segmentele care o formează sunt laturi ale triunghiurilor ABE și BDC. Pentru a avea proporția de mai sus ar fi suficient ca triunghiurile ABE și BDC să fie asemenea, adică:

ΔABE ~ ΔBCD (3)

Propoziția pe care o exprimă (3) este un adevăr pe care îl putem pune imediat în evidență, triunghurile menționate fiind triunghiuri dreptunghice având câte un unghi ascuțit congruent.

DCB AEB ambele având ca măsură jumătate din măsura aceluiași arc AMB.

Pentru a stabili relația din concluzie, se face un raționament pe cale inversă (4), (3), (2), (1) și teorema este demonstrată.

3 Metoda analitico-sintetică

3.1 Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de calcul.

În practică rar se întâmplă ca o problemă să se poată rezolva numai prin metoda sintezei sau numai prin metoda analizei. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme. În acest caz se pune întrebarea: cum procedăm? De obicei se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim, după care se recurge la analiză. Dacă nu putem începe cu metoda sintezei, atunci apelăm la metoda analizei până când găsim două date care pot determina o mărime, iar pentru a doua necunoscută mai departe, calculele decurg în ordine sintetică.

Exemplu. Laturile unui triunghi ABC sunt || AB || = c, || AC || = b, || BC || = a. O paralelă la latura || BC || a triunghiului intersectează laturile (AB) și (AC), respectiv în M și N. Se cere:

Să se afle lungimea segmentului (MN) în așa fel încât perimetrul triunghiului AMN să fie egal cu perimetrul trapezului BMNC;

Să se afle aria triunghiului AMN.

Rezolvare. 1) La început aplicăm metoda analizei. Plecăm de la ceea ce se cere. Presupunem că (MN) este segmntul paralel cu (BC), care determină triunghiul AMN și trapezul BMNC, ce au perimetrele egale.

Să vedem ce consecință se poate deduce din acestă presupunere:

|| AM || + || MN || + || AN || = || BM || + || BC || + || CN || + || MN ||. (1)

Observăm că lungimea segmentului (MN) este comună celor doi membri ai egalității (1), deci se poate deduce:

|| AM || + || AN || = || BM || + || BC || + || CN || (2)

Analizând egalitatea (2) se poate vedea că membrul al doilea, dacă s-ar mai adăuga cantitatea || AM || + || AN ||, atunci s-ar obține perimetrul triunghiului dat. Ca să nu se schimbe egalitatea (2) va trebui ca aceeași sumă să fie adunată și în membrul stâng, deci:

2(|| AM || + || AN ||) = || AB || + || BC || + || CA || (3)

de unde prin înlocuirea lungimilor laturilor triunghiului ABC, avem:

|| AM || + || AN || = (4)

Dacă ținem seama că a + b + c = 2p, atunci egalitatea (4) devine:

|| AM || + || AN || = p (5)

În urma presupunerii făcute am găsit un adevăr indiscutabil (care ne poate duce direct) dacă ținem seama că lungimea segmentului (MN) intră în componența celor două perimetre.

De aici mai departe aplicăm metoda sintezei. Plecăm de la ceea ce se cunoaște în problemă. (MN) fiind paralel cu (BC), înseamnă că triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, adică

ΔAMN ~ ΔABC (6)

Din asemănarea lor rezultă proporționalitatea laturilor:

(8)

Alegem proporția făcută de ultimele două rapoarte și avem:

(9)

Înlocuind în egalitatea (9) segmentele cunoscute obținem:

(10)

de unde

(11)

Pentru rezolvarea punctului (2) al problemei începem cu metoda analizei. Aplicăm formula cunoscută pentru aria triunghiului, obținem pentru cazul nostru:

(12)

În membrul al doilea observăm că || MN || este cunoscut, dar nu cunoaștem pe ||AF||. De aici se vede că am redus problema aflării ariei triunghiului AMN la aflarea lungimii segmentului (AF) care este înălțimea în acest triunghi. Mai departe rezolvarea se desfășoară pe calea sintezei. Cunoscând laturile triunghiului ABC, lungimea înălțimii AE este dată de formula:

(13)

Pentru simplificare notăm || AE || = h.

Din triunghiurile asemenea AMN și ABC găsim:

(14)

Din asemănarea triunghiurilor AMF și ABE:

(15)

Comparând șirurile de rapoarte egale de la (14) și (15) deducem că toate aceste rapoarte sunt egale. Din egalitatea:

calculăm

și apoi

3.2 Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație.

În paragraful 1.2 am văzut în ce constă metoda sintezei și cum se aplică ea în rezolvarea problemelor de demonstrație, apoi în paragraful 2.2 am urmărit același lucru pentru metoda analizei, cu scopul de a le înțelege mai bine.

În realitate, aceste două metode de raționament nu sunt separate între ele, existând o strânsă legatură, după cum am văzut și la rezolvarea problemelor de calcul.

Într-adevăr, atunci când rezolvă, o problemă prin sinteză, plecăm de la anumite date sau de la unele cunoștințe învățate mai înainte, însă avem mereu întrebarea problemei la care trebuie să răspundem.

Când rezolvăm o problemă prin analiză, plecăm de la întrebarea problemei, însă trebuie să ținem seama de ceea ce cunoaștem în problemă și de multe ori aceasta ne sugerează întrebarea pe care trebuie să o punem noii probleme, pe care o formulăm.

Practic se procedează astfel: folosind calea sintezei atât cât reușim, după care mai departe, folosim metoda de raționament a analizei.

În unele probleme sau teoreme putem începe demonstrarea lor prin metoda analizei până găsim elementele de care trebuie să ne folosim în demonstrație, după care se aplică calea sintezei.

Se pot ivi și cazuri când în demonstrația unei probleme suntem nevoiți să trecem de mai multe ori când la aplicarea sintezei, când la cea a analizei.

Exemplu. Să se demonstreze că două tangente duse la un cerc și coarda lor de contact formează două segmente congruente pe perpendiculara dusă dintr-un punct al coardei pe segmentul care unește centrul cercului cu acest punct.

Rezolvare. Fie cercul C(O, r) și CA, CB tangentele din C la cerc, A și B fiind punctele lor de tangență. Fie D un punct al segmentului AB. Perpendiculara pe dreapta OD în punctul D intersectează tangentele în E și F.

Se cere să se demonstreze că || ED || = || DF ||.

În demonstrația acestei probleme, la început se va folosi metoda analizei. Problema cere să punem în evidență că segmentele (ED) și (DF) sunt congruente. Unim pe O cu E și F și examinând figura observăm că pentru a arăta că segmentele (ED) și (DF) sunt congruente este necesar să dovedim că triunghiul OEF este isoscel.

Ca să dovedim că triunghiul OEF este isoscel, trebuie să arătăm că segmentele (OF) și (OE) sunt congruente, sau că unghiurile OED și OFD sunt congruente. Ținând seama de datele problemei, singura posibilitate este aceea de a dovedi că unghiurile OFD și OED sunt congruente.

În felul acesta am înlocuit problema de la punctul a) care cere să se demonstreze că un triunghi este isoscel cu o altă problemă prin care se cere să punem în evidență congruența a două unghiuri.

Mai departe, în demonstrație ne vom folosi de metoda sintezei. Unim C cu B, observăm că patrulaterul ODFB este inscriptibil pentru că:

m(OBF) + m(ODF) = 180o (1)

Patrulaterul ODFB fiind inscriptibil, deducem că:

OBD OFD sau OBA OFE (2)

Triunghiul OBA fiind isoscel, rezultă că:

OBA OAB (3)

Pe de altă parte patrulaterul ODAE este inscriptibil pentru că unghiurile OAE și ODE sunt congruente, ambele fiind drepte, adică:

OAE ODE (4)

Din faptul că patrulaterul ODAF este inscriptibil rezultă că:

OED OAD (5)

OEF OAB (6)

Comparând egalitățile (3), (4), (6) deducem că:

OEF OFE (7)

Din relația (7) rezultă că triunghiul OEF este isoscel. Cum înălțimea OD dusă în triunghiul OEF din vârful unghiului opus bazei este și mediană, rezultă că (DE)(DF) și problema este demonstrată.

4. Demonstrarea prin metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche folosită în geometrie încă din antichitate pentru demonstrarea unor probleme care au un caracter teoretic. La baza acestei metode stă legea terțiului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice, și care se enunță astfel:

“Din două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă este falsă, iar a treia posibilitate nu există”.

De aici se vede că legea terțiului exclus ne spune că două propoziții contradictorii, una este adevărată, dar nu ne precizează care dintre ele.

Când aplicăm legea terțiului exclus este suficient să arătăm care din propoziții este adevărată, cealaltă fiind deci falsă și reciproc.

În geometrie, întâlnim deseori probleme și teoreme la care nu dispunem de suficiente elemente pentru a putea pune în evidență, în mod direct, adevărul enunțat la fiecare în parte. În asemena cazuri se caută dovezi care să arate că propoziția contradictorie a unei teoreme este falsă. Dacă acest lucru este demonstrat, atunci pe baza legii terțiului exclus, urmează că propoziția dată este adevărată și cu aceasta problema este demonstrată.

Acest procedeu de demonstrație se numește metoda reducerii la absurd, și ea constă în a admite provizoriu ca adevărată propoziția contradictorie a teoremei, apoi în baza unei asemenea propuneri se deduc o serie de consecințe care conduc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic fie ipoteza problemei date, fie un adevăr stabilit anterior.

Practic această metodă se aplică astfel: se presupune că ceea ce trebuie demonstrat este fals (se neagă concluzia). Pe baza presupunerii făcute se fac o serie de deducții logice care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate.

Metoda reducerii la absurd se întrebuințează de multe ori în demonstrarea teoremelor reciproce.

Exemplu. Teorema reciprocă a bisectoarei. Fie triunghiul ABC și dBC. Dacă:

,

atunci (AD este bisectoarea unghiului BAC.

Demonstrație. Presupunem că (AD nu este bisectoarea unghiului BAC și fie DBC astfel încât (AD este bisectoarea unghiului BAC. Din teorema directă, rezultă:

(1)

Din ipoteză și din relația (1) rezultă că:

(2)

adică punctul D împarte segmentul (BC) în același raport ca punctul D, ceea ce reprezintă o contradicție, deoarece unicitatea punctului D care aparține unui segment și-l împarte într-un raport dat a fost demonstrată anterior. Deci D = D și (AD este bisectoarea unghiului BAC.

Observație. În folosirea metodei reducerii la absurd este obligatoriu să se menționeze în ce constă contradicția. Uneori cel care demonstrează se oprește la pasul “contradicție” fără să explice în ce constă aceasta și ce rezultă în urma contradicției.

Cap.III – Rezolvarea Problemelor de Concurență.
Puncte Celebre

Problemele de concurență sunt acele probleme în care trebuie să demonstrăm că trei sau mai multe drepte trec prin același punct. Cele mai cunoscute probleme de concurență sunt cele referitoare la concurența unor drepte importante în triunghi.

Exemplul 1. Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triungi sunt concurente. Punctul lor de intersecție este centrul cercului înscris în triunghi.

Demonstrație. Din teorema transversalei rezultă că bisectoarele unghiurilor A și B intersectează pe (BC) și (AC) în câte un punct D, respectiv E. Din aceeași teoremă rezultă că există punctul I, {I} = (AD) (BE).

Așadar, IIntACB (fig III.1). Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi, rezultă că:

d(I, AB) = d(I, AC)

iar

d(I, BC) = d(I, AB)

și deci

d(I, BC) = d(I, AC)

și pentru că IIntACB, rezultă că (CI este bisectoarea unghiului C. Deci cele trei bisectoare sunt concurente în punctul I. Punctul I se află la aceeași distanță de laturile triunghiului, deci el este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, raza acestui cerc este r = d(I, AB).

Exemplul 2. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al mediatoarelor este centrul cercului circumscris triunghiului.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, d1, d2 mediatoarele segmentelor (AB) și (BC). Este suficient să demonstrăm concurența a două mediatoare.

Presupunând că mediatoarele d1 și d2 nu sunt concurente rezultă că d1 || d2.

Pentru că d2 BC și d1 BC. Dar d1 BA. Așadar prin B trec două perpendiculare distincte pe dreapta d1 și anume: BA d1, BC d2 ceea ce nu este posibil. Prin urmare d1 și d2 sunt concurente.

Fie {O} = d1 d2. Din proprietatea punctelor mediatoarelor, rezultă că

|| OA || = || OB || și || OB || = || OC ||

deci

|| OA || = || OC ||

ceea ce înseamnă că O aparține mediatoarei segmentului (AC).

Deci mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul O de concurență al mediatoarelor se află la distanță egală de vârfurile triunghiului ABC, deci el este centrul cercului circumscris triunghiului.

Exemplul 3. Înălțimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție se numește ortocentrul triunghiului.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, A, B, C picioarele perpendicularelor din A, B, C respectiv BC, AC, AB și DEF triunghiul format de paralelele duse la laturile triunghiului ABC prin vârfurile acestuia.

Din construcție, ABCD și BCAF sunt paralelograme, deci (BC) (AF) (AD). Pentru că BC || DF și AA BC, rezultă că AA DF. Deci AA este mediatoarea segmentului (DF). În mod analog se arată că BB și CC sunt mediatoarele segmentelor (DE) și (EF). Prin urmare, înălțimile triunghiului ABC sunt mediatoarele triunghiului DEF și cum acestea sunt concurente, teorema este demonstrată.

Ortocentrul triunghiului este un punct important al triunghiului și el ajută la rezolvarea unor probleme.

Exemplul 4. Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al lor determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment a cărui lungime este din lungimea segmentului pe care îl determină cu vârful opus laturii.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, D și E mijloacele laturilor (BC) respectiv (AC). Deoarece în triunghiul BAD, BE IntABC, A(BA, D(BC, rezultă că (BE și (AD au un punct comun G. Deoarece (AD IntBAE, rezultă că

{G}=(AD) (BE).

Fie M și N mijloacele segmentelor (AC) respectiv (BG). În triunghiul ABG, (MN) este linie mijlocie, deci

MN || AB și || MN || = .

În triunghiul ABC, (DE) este linie mijlocie, deci

DE || AB și || DE || = .

Rezultă că || DE || = || MN ||. MNDE este deci paralelogram. Rezultă că

|| GD || = || MG || și || AM || = .

Deoarece G și G(AD) din teorema de construcție al unui segment rezultă că G = G. Deci medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi poartă denumirea de centru de greutate al triunghiului.

Exemplul 5. Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și trei drepte concurente AM, BM, CM care mai intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A, B, C. Să se demonstreze relația:

(1)

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și dreptele concurente AM, BM, CM care intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A, B, C.

Relația din concluzia teoremei ne conduce la ideea folosirii teoremei lui Menelaus.

În triunghiul BBC, pentru punctele coliniare C, M, C avem:

(2)

În triunghiul ABB, pentru punctele coliniare C, M, C avem:

(3)

Înmulțind relațiile (2) și (3) membru cu membru și făcând simplificările posibile, obținem relația (1) și teorema este demonstrată.

Exemplul 6. Reciproca teoremei lui Ceva. Fie A, B, C trei puncte situate pe laturile BC, AB, CA ale triunghiului ABC. Să se demonstreze că dacă:

(1)

atunci dreptele AA, BB, CC sunt concurente.

Demonstrație. Fie A, B, C trei puncte situate pe laturile triunghiului ABC, astfel încât să avem relația (1). Pentru a demonstra că AA, BB, CC sunt drepte concurente, folosim metoda reducerii la absurd.

Presupunem că dreapta AA nu trece prin punctul de intersecție al dreptelor BB, CC (A(BC), A A). Din teorema lui Ceva, rezultă că:

(2)

Din relația (1) și (2), obținem:

(3)

ceea ce este în contradicție cu unicitatea punctului care împarte un segment într-un raport dat.

Deoarece ABC și ABC rezultă că A = A și dreptele AA, BB, CC sunt concurente.

Observație. Reciproca teoremei lui Ceva constituie un mijloc de a demonstra că trei drepte sunt concurente.

Definiția 1. Dreapta care trece prin vârful unui triunghi și intersectează dreapta suport a laturii opuse se numește ceviană.

Definiția 2. Izogonala unei ceviene AA este simetrica ei față de bisectoarea unghiului A.

Teorema lui Steiner. Dacă dreptele AA și AA sunt izogonale, avem:

,

unde c = || AB || și c = || AC ||.

Exemplul 7. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt concurente.

Demonstrație. Fie AA, BB, CC trei ceviene concurente și AA, BB, CC izogonalele lor (fig III.7). Conform teoremei lui Steiner:

(1)

(2)

(3)

Înmulțind relațiile (1), (2), (3) membru cu membru și ținând seama de relația din concluzia teoremei lui Ceva, obținem:

(4)

Conform reciprocei teoremei lui Ceva, din relația (4) rezultă că izogonalele AA, BB, CC sunt concurente.

Caz particular. Izogonalele medianelor sunt concurente. Ele se numesc simediane. Punctul de concurență al simedianelor se numește punctul lui Lemoine, care este un alt punct al triunghiului.

Exemplul 8. Punctul lui Gergone. Se consideră triunghiul ABC, cercul tritangent și punctele D, E, F de contact ale acestui cerc cu dreptele AB, AC, BC. Să se demonstreze că dreptele AD, BE, CF sunt concurente.

Demonstrație. Vom considera pentru început expresia:

(1)

Dacă valoarea acestei expresii este 1, atunci cevienele AD, BE, CF sunt concurente, conform reciprocei teoremei lui Ceva. Având în vedere proprietatea tangentelor duse dintr-un punct la un cerc obținem:

|| AF || = || AE ||, || BF || = || BD ||, || CD || = || CE || (2)

Ținând seama de relațiile (2), valoarea expresiei (1) este 1 și deci AD, BE, CF sunt concurente.

Punctul de concurență al acestor drepte se numește punctul lui Gergone și se notează cu . Dacă el se află în afara triunghiului atunci el se notează cu 0 și se numește punct adjunct al lui Gergone.

Considerând toate cele trei cercuri exânscrise triunghiului, obținem trei puncte de concurență, toate fiind puncte adjuncte ale lui Gergone.

Exemplul 9. Punctul lui Negel. Dreptele care unesc vârfurile unui triunghi cu contactele cercurilor exânscrise pe laturile opuse corespunzătoare sunt concurente.

Demonstrație. Fie D1, E2, F3 contactele cercurilor exânscrise cu laturile BC, AC, AB ale triunghiului ABC (fig III.9).

Să arătăm că AD1, BE2, CF3 sunt concurente. În acest scop utilizăm reciproca teoremei lui Ceva. Știm că:

|| AE || = || AF || = p – a

|| BF || = || BD || = p – b

|| CD || = || CE || = p – c

unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC, iar p este semiperimetrul.

Analog se obține:

|| CE1 || = || CD1 || = p – b

|| BD1 || = || BF1 || = p – c

și deci:

|| BD || = || CD1 || și || CD || = || BD1 ||.

Înlocuind în expresia:

obținem:

.

Conform reciprocei teoremei lui Ceva, din ultima relație rezultă concurența dreptelor AD1, BE2, CF3.

Punctul N de concurență al acestor drepte se numește punctul lui Negel al triunghiului ABC. Punctele D1 și D sunt simetrice față de mijlocul laturii BC. Numim două astfel de puncte izotomice (isos = egal, tome = tăiere). Punctele izotomice împart latura în rapoarte inverse. Deci izotomicele picioarelor a trei ceviene concurente sunt picioare de ceviene concurente.

Avem astfel o transformare care asociază punctului de concurență al cevienelor într-un alt punct de concurență al altor ceviene. Cele două puncte se numesc reciproce. Punctele Gergone și Negel sunt reciproce unul altuia.

Exemplul 10. Fie un triunghi ABC, înălțimile AA1, BB1, CC1, mijloacele laturilor A, B, C și mijloacele înălțimilor A, B, C. Să se demonstreze că dreptele AA, BB, CC sunt concurente.

Demonstrație. Considerăm triunghiul ABC și punctele date în enunțul problemei. Avem:

A(BC), B(AC), C(AB).

Fie D(BC) astfel încât AD BC. Triunghiurile ADB și AAC sunt izotomice pe BC. Dar înălțimile triunghiului ABC sunt concurente (ele sunt mediatoarele triunghiului ABC) în centrul cercului circumscris triunghiului ABC; fie O acest punct. Deci AA, BB, CC vor trece prin izotomicul R al lui O în raport cu triunghiul ABC.

Exemplul 11. Într-un triunghi oarecare, două bisectoare exterioare și o bisectoare interioară sunt concurente.

Demonstrație. Fie ABC un triunghi oarecare și [BB, [CC, două bisectoare exterioare, iar [AA o bisectoare interioară. Vom demonstra concurența celor trei bisectoare folosind teorema bisectoarei și reciproca teoremei lui Ceva. Conform teoremei bisectoarei avem relațiile:

unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC.

Înmulțind membru cu membru cele trei relații de mai sus obținem:

,

de unde conform reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că bisectoarele [AA, [BB, [CC sunt concurente într-un punct I. I este centrul cercului tritangent exânscris.

Exemplul 12. Se dă triunghiul dreptunghic ABC; pe cateta AC se ridică în C perpendiculara CC și se ia || CC ||= || AC ||, iar pe cateta AB se ridică perpendiculara BB și se ia || BB || = || AB || și AA BC.

Să se arate că dreptele BC, CB, AA sunt concurente.

Demonstrație. Se notează cu

{D} = (BC) (AB) și

{E} = [CB] [AC].

În triunghiul dreptunghic ABC aplicând teorema catetei rezultă relațiile:

|| AB || 2 = || BA || 2 || BC ||

|| AC || 2 = || CA || 2 || BC ||.

Din aceste relații obținem:

(1)

Din asemănarea triunghiurilor BAE și BCC rezultă:

(2)

Din asemănarea triunghurilor DBB și ADC rezultă:

(3)

Multiplicând membru cu membru relațiile (1), (2) și (3) obținem:

(4)

Relația (4) ne arată că dreptele BC, CB, AA sunt concurente, conform reciprocei teoremei lui Ceva.

Exemplul 13. Bisectoarele tuturor unghiurilor înscrise în același arc de cerc sunt concurente.

Demonstrație. Fie AB un arc de cerc și unghiurile AM1B, AM2B, AM3B înscrise în același cerc. Trebuie să demonstrăm că bisectoarele acestor unghiuri sunt concurente. Ne folosim de

măsura unghiului înscris în cerc și de definiția bisectoarei.

Bisectoarele unghiului AM1B împart arcul AB în două arce congruente. Fie C mijlocul arcului AB; [M1C este bisectoarea unghiului AM1B. În mod asemănător, bisectoarele unghiurilor AM2B și AM3B împart arcul AB în două părți congruente, deci ele trc prin același punct care este mijlocul arcului AB.

Exemplul 14. Să se arate că există triunghiuri astfel încât, înălțimea dintr-un vârf, mediana celui de-al doilea și bisectoarea celui de-al treilea vârf sunt congruente.

Demonstrație. Fie d o dreaptă și A un punct care nu aparține dreptei d. Din punctul A coborâm perpendiculara pe dreapta d. Fie D piciorul acestei perpendiculare; Dd. Fie Bd, B D. Unim pe A cu B. Construim bisectoarea unghiului ABD.

Acesta întâlnește (AB) în I. Fie M mijlocul segmentului [AB]. Dreapta MI intersectează dreapta BD într-un punct C. Unim punctul C cu punctul A. Triunghiul ABC astfel bținut îndeplinește condițiile problemei date.

Înălțimea [AD], bisectoarea [BI și mediana [CM] sunt concurente în punctul I.

Exemplul 15. Trei cercuri cu centrele necoliniare sunt secante două câte două. Să se demonsteze că cele trei coarde comune sunt concurente.

Demonstrație. Fie C1(O1, r1), C2(O2, r2), C3(O3, r3) cele trei cercuri cu centrele O1, O2, O3 necoliniare și secantele AB, CD, EF. Pentru a demonstra că aceste secante sunt concurente, folosim metoda intersecției locurilor geometrice.

Locul geometric al punctelor ce au puteri egale față de arcuri secante este dreapta care trece prin punctele lor de intersecție, adică secanta comună.

Dreapta AB este locul geometric al punctelor care au puteri egale față de cercurile C1 și C2, iar dreapta CD este locul geometric al punctelor care au puteri egale față de cercurile C2 și C3. Fie:

{P} = [AB] [CD].

Punctul P are puteri egale față de cercurile C1, C2, C3 deci el se găsește și pe secanta EP. Rezultă că cele trei secante sunt concurente.

Exemplul 16. Într-un tetraedru oarecare, perpendicularele în centrele cercurilor circumscrise fețelor sale sunt concurente.

Demonstrație. Fie ABCD un tetraedru oarecare și O1, O2, O3, O4 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ΔABD, ΔABC, ΔACD, ΔBDC. Fie d1, d2, d3, d4 perpendicularele ridicate în punctele O1, O2, O3, O4 respectiv pe planele (BCD), (ABD), (ACD), (ACB).

Orice punct de pe dreapta d1, d2, d3, d4 se află la distanță egală de vârfurile triunghiului pe planul căruia aceste drepte sunt perpendiculare.

Dacă {O} = d1 d2, atunci avem:

|| OA || = || OB || = || OC || și

|| OB || = || OC || = || OD ||

Din aceste relații rezultă că:

|| OA || = || OB || = || OC || = || OD ||

și deci punctul O se află și pe dreptele d3, d4. Punctul O de intersecție al celor patru drepte este centrul sferei circumscrise tetraedrului.

Exemplul 17. Într-un tetraedru oarecare cele trei drepte care unesc mijloacele muchiilor opuse sunt concurente.

Demonstrație. Fie ABCD un tetraedru oarecare, iar E, F, G, H, L, M mijloacele, respectiv ale muchiilor (AB), (CD), (BC), (AC), (BD). Pentru a demonstra concurența dreptelor HF, EG, LM folosim metoda sintezei.

Unim punctele E cu F și se obține linia mijlocie (EF) a triunghiului ABD. De aici rezultă că
EF || BD (1)

În mod analog (HG) este linie mijlocie în triunghiul BCD și avem
HG || BD (2)

Din relațiile (1) și (2) deducem:
EF || HG (3)

În mod asemănător, considerând punctele F, G și E, H putem deduce:
FG || EH (4)

Ținând seama de rezultatele găsite la punctele c), d) putem deduce că patrulaterul EFGH este paralelogram, deoarece are laturile opuse paralele.

Observăm că în paralelogramul EFGH diagonalele (EG) și (HF) sunt chiar dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse din tetraedrul ABCD și cum într-un paralelogram diagonalele se intersectează în părți congruente, urmează că dreptele EC și FH trec prin punctul O de concurență a acestor diagonale.

Avem relațiile:

|| OH || = || OF || și || OE || = || OG || (5)

Considerând dreapta LM care unește mijloacele muchiilor (AC) și (BD), împreună cu dreapta HF obținem paralelogramul HMFL în care (HE) este o diagonală, iar cealaltă diagonală este segmentul de dreaptă (LM). Cum într-un paralelogram diagonalele se intersectează în părți congruente, urmează că dreapta LM trece prin punctul O, mijlocul diagonalei (HF). Deci dreptele EG, HF, LM sunt concurente în punctul O. Pe de altă parte, punctul O fiind punctul de intersecție al diagonalelor atât în paralelogramul HEFG, cât și în paralelogramul HLFN, care au diagonala HF comună, urmează că punctul O este mijlocul segmentelor || EG ||, || HF || și || LM ||.

Exemplul 18. Într-un tetraedru oarecare, cele patru segmente de dreaptă ce unesc fiecare vârf cu centrul de greutate al feței opuse sunt congruente.

Demonstrație. Fie tetraedrul ABCD. Ducem medianele (BE) și (DF) în triunghiul BCD. Ele se intersectează în punctul G, care este centrul de greutate al triunghiului BCD. În triunghiul ABC ducem medianele (AF) și (BM) care se intersecteză în punctul H.

În același fel se construiesc și centrele de greutate ale triunghiurilor ACD și ABD; fie R și T aceste puncte. Se cere să demonstrăm că segmentele (AC), (DH), (BR), (CT) sunt concurente. În demonstrația problemei plecăm de la faptul că două segmente oarecare din cele menționate în concluzie sunt concurente. De exemplu (AG) și (DH). Într-adevăr, planul determinat de dreptele FA și FD conține segmentul (AG) pentru că are cu acesta două puncte comune pe A și G.

Deasemenea, același plan conține și dreapta DH pentru că el conține punctele D și H, deci dreptele neparalele AG și DH găsindu-se în același plan sunt concurente în P.

Folosind concurența medianelor, putem deduce că HG || AD.

Într-adevăr:

|| FG || = || FD || și

|| FH || = || FA || sau

= și = (1)

Comparând egalitățile de mai sus obținem:

= (2)

Conform reciprocei teoremei lui Thales avem:

GH || AD (3)

Faptul că GH este paralelă cu AD ne dă posibilitatea să aplicăm teorema fundamentală a asemănării în triunghiul AFD:

(4)

de unde rezultă:

(5)

Paralelele GH și AD ne dau posibilitatea să punem în evidență faptul că triunghiurile GHP și APD sunt asemenea. Într-adevăr,

GHP HAD și HGP PAD

(ca unghiuri alterne interne), deci ne găsim în cazul doi de asemănare.

Putem scrie:

(6)

Din relația (6) se deduce:

deci

și sau

(7)

sau:

și (8)

Ultimele două egalități ne dau posibilitatea să deducem că cele patru segmente de dreaptă (GA), (DH), (BR), (CT) sunt concurente.

Într-adevăr, segmentele (AG) și (DH) s-au intersectat în punctul P. Segmentul (BR) va trebui să intersecteze de exemplu segmentul (AC) la de vârful A, urmează că el va trebui să treacă prin punctul P. Același raționament îl putem folosi și pentru segmentul (CT) și segmentele (AC) și (DH) care sunt concurente în punctul P și acest punct se găsește pe fiecare din ele la de vârf și aparține de centrul de greutate al celei opuse vârfului.

Cap. IV – Rezolvarea Problemelor De Coliniaritate.
Drepte Celebre

Problemele de coliniaritate sunt acele probleme în care trebuie să demonstrăm că trei puncte sau mai multe se găsesc pe aceeași dreaptă.

Una din metodele folosite pentru a demonstra că punctele A, B, C în această ordine, sunt coliniare, constă în a arăta că semidreptele (BA și (BC formează un unghi alungit (sunt în prelungire).

Exemplul 1. Două cercuri se intersectează în punctele M și N. Fie M și M punctele diametral opuse lui M în cele două cercuri. Să se arate că punctele M, N, M sunt puncte coliniare.

Demonstrație. Fie C(O1, r1) și C(O2, r2) cele două cercuri secante. Pentru a demonstra coliniaritatea punctelor M, N, M (fig IV.1) calculăm măsura unghiului MNM. Observăm că cele două unghiuri adiacente MNM și MNM sunt înscrise în câte un semicerc, deci sunt unghiuri drepte. Într-adevăr, avem:

m(MNM) = m(MM) = 180 o = 90 o

m(MNM) = m(MM) = 180 o = 90 o.

Calculăm apoi măsura unghiului MNM conform teoremei de adunare a unghiurilor și obținem:

m(MNM) = m(MNM) + m(MNM)

= 90 o + 90 o = 180 o.

Deci unghiul MNM este unghi alungit, ceea ce demonstrează că punctele M, N, M sunt coliniare.

Exemplul 2. Se dă triunghiul dreptunghic ABC (A = 90 o) și înălțimea (AA1). Dacă A1 și A2 sunt simetricele punctului A1 în raport cu catetele (BA) și (AC), să se arate că punctele A1, A2 și A sunt coliniare.

Demonstrație. Fie triunghiul dreptunghic ABC și punctele A1, A, A2 (fig IV.2). Pentru a demonstra că aceste trei puncte sunt coliniare ne îndreptăm atenția asupra unghiurilor formate în jurul punctului A. Deoarece A1 este simetricul lui A1 în raport cu AB, rezultă că A1AB BAA1; în mod analog avem A2AC CAA1.

Cum

m(BAA1) + m(A1AC) = 90 o,

rezultă că avem și relația:

m(A1AB) + m(A2AC) = 90 o,

și deci suma unghiurilor formate în punctul A de aceeași parte a dreptei A1A2 este de 180 o. Rezultă că unghiul A1AA2 este unghi alungit și deci punctele A1, A, A2 sunt coliniare.

O altă metodă folosită pentru demonstrarea coliniarității a trei puncte A, B, C constă în a arăta că drepte BA și BC sunt paralele cu o dreaptă dată și conform axiomei paralelelor rezultă că dreptele BA și BC coincid, adică punctele A, B, C sunt coliniare.

Exemplul 3. Se prelungesc medianele (BB) și (CC) ale triunghiului ABC cu segmentele (BB1) (BB) și (CC1) (CC). Să demonstrăm că punctele C1, A, B1 sunt coliniare.

Demonstrație. Fie ABC un triunghi oarecare și (BB), (CC) două mediane astfel încât satisfac condițiile impuse de ipoteză. Trebuie să arătăm că punctele C1, A, B1 sunt coliniare (fig IV.3). Triunghiurile ABB1 și BCB sunt congruente (L.U.L.). Deducem că AB1 || BC pentru că formează cu secanta BB1 unghiuri alterne interne congruente.

Din congruența triunghiurilor ACC și BCC rezultă că dreptele C1A și BC sunt paralele pentru că formează cu secanta CC1 unghiuri alterne interne congruente. Prin punctul A conform axiomei paralelelor se poate duce o unică paralelă la dreapta BC. Deci dreptele AB1 și AC1 coincid. Prin urmare punctele B1, A, C1 sunt coliniare.

Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf.

Exemplul 4. Punctul comun diagonalelor unui paralelogram și mijloacele a două laturi opuse ale paralelogramului sunt coliniare.

Demonstrație. Fie ABCD un paralelogram și O punctul de intersecție al diagonalelor. Fie M și N, respectiv mijloacele laturilor opuse (AB) și (CD). Trebuie să arătăm că punctele M, O, N sunt puncte coliniare (fig IV.4).

Triunghiurile BOM și DON sunt congruente pentru că au câte două laturi respectiv congruente și unghiurile cuprise între ele congruente. Din congruența celor două triunghiuri rezultă:

m(MOB) m(NOD).

Folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf, rezultă că punctele M, O, N sunt coliniare.

O altă metodă folosită pentru a demonstra că trei puncte sunt coliniare, constă în a dovedi că dreapta determinată de două puncte trece sigur prin cel de-al treilea punct.

Exemplul 5. Pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC se ia un punct mobil M pe arcul mic BC. Bisectoarea unghiului BMC taie coarda (BC) în T. Să se demonstreze că punctele M, T, A sunt coliniare.

Demonstrație. Fie cercul C(O, r) și triunghiul echilateral ABC înscris în cerc. Construim bisectoarea [MT a unghiului BMC (fig IV.5). Trebuie să dovedim că punctele M, T, A sunt coliniare.

Observăm că arcele AB și AC sunt congruente, deci bisectoarea unghiului mobil BMC trece prin mijlocul fix al arcului mare BAC, adică prin punctul A.

Deci punctele M, T, A sunt coliniare.

Coliniaritatea mai multor puncte se poate demonstra folosind asemănarea triunghiurilor și proprietățile proporțiilor.

Exemplul 6. Să se arate că dreapta determinată de punctul de intersecție al laturilor neparalele ale unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale trece prin mijlocul bazelor trapezului.

Demonstrație. Fie trapezul ABCD, AB || CD și

{P} = (AD) (BC),

{O} = (AC) (BD).

Fie M și N mijloacele bazelor (AB) și (CD). Prin O ducem paralela la bazele trapezului care intersectează laturile neparalele în punctele E și F. Ddin asemănarea triunghiurilor EOD și ABD, respectiv FOC și ABC, rezultă că:

.

Din egalitatea primului și ultimului dintre rapoartele acestui șir, rezultă că

|| EO || = || OF ||.

Dreapta PO împarte segmentul (EF) în două segmente congruente. Se observă că avem:

de unde rezultă că dreapta PO trece prin mijlocul bazei (AB).

La fel:

,

de unde rezultă că dreapta PO trece prin mijlocul bazei (CD).

Deci punctele M, N, P, O sunt coliniare.

Exemplul 8. Dreapta lui Simpson. Proiecțiile ortogonale pe laturile unui triunghi ale unui punct de pe cercul circumscris triunghiului sunt puncte coliniare.

Demonstrație. Fie C(O, r) cercul circumscris triunghiului ABC și M un punct de pe cerc. Punctele D, E, F sunt picioarele perpendicularelor duse din M pe laturile triunghiului ABC.

Trebuie să demonstrăm că punctele D, F, E sunt coliniare. Ne folosim de metoda analizei:

Presupunem că punctele D, E, F sunt coliniare; să vedem ce consecințe decurg din această presupunere.

Dacă punctele D, E, F sunt coliniare, de aici se poate deduce că unghiurile AFD și EFC sunt congruente ca opuse la vârf, adică:
AFD EFC (1)

Pe de altă parte, patrulaterul ADMF fiind inscriptibil, deoarece unghiurile ADM și AFM sunt suplementare, urmează că:
ADM AFM (2)
De asemenea și patrulaterul MFEC este inscriptibil, de aici rezultând că:
EFC EMC (3)

Comparând relațiile (1), (2), (3) deducem că
AMD EMC (4)

Observăm că în triunghiul dreptunghic ADM, unghiul AMB este complementul unghiului BCM. Ținând seama de faptul că dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și complementele lor sunt congruente, urmează că:

MAD BCM (5)

Relația (5) ne spune că am dat peste un adevăr care se poate pune în evidență direct. Într-adevăr, unghiul MAD are ca suplement unghiul BAM. Pe de altă parte, din patrulaterul inscriptibil ABCM, unghiul BCM are ca suplement tot unghiul BAM, prin urmare:

MAD BCM.

Plecând de la relația (5) și făcând un raționament pe cale sintetică, putem pune în evidență că punctele D, F, E sunt coliniare.

Demonstrația decurge astfel:

MAD BCM (6)

pentru că au același suplement MAB

AMD EMC (7)

fiind complementele unghiurilor din relația (6)

AMD AFD (8)

din patrulaterul inscriptibil ADMF.

EMC EFC (9)

din patrulaterul inscriptibil MFEC.

AFD EFC (10)

din compararea relațiilor (7), (8), (9).

Potrivit teoremei care spune că dacă două semidrepte (FD și (FE formează cu aceeași dreaptă AC, de o parte și de alta a ei, unghiuri congruente, atunci aceste semidrepte sunt în prelungire. Urmează că punctele D, E, F sunt puncte coliniare. Dreapta lor este dreapta lui Simpson.

Exemplul 9. Dreapta lui Euler. Într-un triunghi, centrul cercului circumscris, ortocentrul și centrul de greutate sunt coliniare.

Demonstrație.

Simetricele ortocentrului unui triunghi față de laturi sunt situate pe cercul circumscris. Într-adevăr, fie H ortocentrul triunghiului ABC, A piciorul înălțimii și A simetricul lui H față de A. Din triunghiurile congruente BAH și BAA, ținând seama că
BH AC, rezultă că:
ABC HBC AAC,
deci A este situat pe cercul circumscris triunghiului.

Simetricele ortocentrului unui triunghi față de mijloacele laturilor sunt situate pe cercul circumscris. Ele sunt diametralele vârfurilor.

Într-adevăr, fie A1 mijlocul laturii (BC) și A2 simetricul lui H față de A1. Din paralelogramul BHCA2 format, rezultă că CA2, paralelă cu BH, BH perpendiculară pe latura (AC) și BA2 perpendiculară pe (AB), deci A2 este diametralul lui A.

Fie O centrul cercului circumscris triunghiului. Avem:

|| AH || = 2||OA1||.

Deci distanța de la vârf la ortocentru este dublul distanței de la centrul cercului la latura opusă.

Fie G intersecția dreptelor AA1 și OH. Din cauza paralelelor AH și OA și relația

|| AH || = 2||OA1||,

rezultă că

|| AG || = 2|| GA1||,

deci G este centrul de greutate al triunghiului.

Deci într-un triunghi centrul cercului circumscris, ortocentrul și centrul de greutate sunt puncte coliniare și

|| HO || =2||GO||.

Dreapta pe care sunt situate cele trei puncte se numește dreapta lui Euler.

Exemplul 10. Reciproca teoremei lui Menelaus. Dacă trei puncte A, B, C sunt situate respectiv pe dreptele suport ale laturilor triunghiului ABC și are loc relația:

(1)

atunci cele trei puncte sunt coliniare.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și C, B, A trei puncte situate respectiv pe dreptele AB, AC, BC (fig IV.10).

Știm că două puncte determină întotdeauna o dreaptă, însă trei puncte nu se află totdeauna pe aceeași dreaptă.

Despre cele trei puncte date în teoremă știm că ele determină pe cele trei drepte șase segmente care la rândul lor satisfac relația (1).

Pentru a pune în evidență faptul că cele trei puncte A, B, C sunt coliniare ne folosim de teorema lui Menelaus. Dreapta BC intersectează suportul laturii BC în punctul A și avem:

(2)

Comparând relațiile (1) și (2), după simplificare obținem:

(3)

Însă această egalitate nu poate avea loc decât numai în cazul în care punctul A se confundă cu punctul A, deoarece există un singur punct care împarte un segment într-un raport dat.

Deci punctul A aparține dreptei BC, cu alte cuvinte, punctele A, B, C sunt puncte coliniare.

Observație. Reciproca teoremei lui Menelaus constituie un mijloc pentru a demonstra că trei puncte sunt coliniare.

Exemplul 11. Dreapta lui Gauss. Mijloacele celor trei diagonale ale unui patrulater complet sunt coliniare.

Demonstrație. Fie ABCDEF patrulaterul complet și G, H, L mijloacele diagonalelor (AC), (BD), (EF). Se cere să se demonstreze că punctele G, H, L sunt coliniare.

Faptul că G, H, L sunt mijloacele unor segmente ne sugerează ideea să folosim cunoștințele referitoare la proprietatea liniei mijlocii într-un triunghi, iar concluzia teoremei ne poate conduce spre utilizarea teoremei lui Menelaus și a reciprocei sale.

Din ipoteză știm că punctul G este mijlocul segmentului (AC). Ducând prin G o paralelă la AF, aceasta va intersecta pe (CD) în M, mijlocul lui (CD), și pe (CF) în N, mijlocul lui (CF). De aici deducem că:

(1)

Ducând prin H, mijlocul lui (BD), o paralelă la latura (BF) din triunghiul BDF, acesta va intersecta pe (CD) în punctul M, mijlocul lui (CD), iar pe (DF) în punctul R, mijlocul segmentului (DF).

De aici deducem că:

(2)

Deoarece în triunghiul DEF punctul R este mijlocul laturii (DF) și punctul L este mijlocul laturii (EF), urmează că dreapta RL este paralelă cu DE și în același timp va intersecta segmentul (CF) în N, mijlocul segmentului (CF). De aici deducem:

(3)

Pe de altă parte, observăm că punctele G, H, L sunt pe prelungirile laturilor triunghiului MNR. Acest fapt conduce la concluzia că putem folosi reciproca teoremei lui Menelaus pentru a dovedi că punctele G, H, L sunt coliniare. În acest sens va trebui să demonstrăm că este adevărată relația:

(4)

Pentru aceasta trebuie să calculăm în funcție de valorile găsite mai sus rapoartele din expresia (4). Făcând operațiile indicate găsim:

(5)

Înmulțind membru cu membru relațiile (5) obținem

(6)

În felul acesta am redus problema de la a dovedi existența relației (4) la a arăta că membrul drept al relației (6) este egal cu 1. Aceasta se poate arăta ușor prelungind laturile triunghiului DCF până intersectează transversala AB care potrivit teoremei lui Menelaus ne dă:

(7)

Egalitatea (7), ținând seama de egalitatea (6) ne dă posibilitatea să deducem că relația:

(8)

este adevărată.

Deci potrivit reciprocei teoremei lui Menelaus, punctele G, H, L sunt coliniare.

Dreapta determinată de aceste trei puncte se numește dreapta Newton-Gauss a patrulaterului complet ABCDEF.

Exemplul 12. Hexagonul lui Pascal. Fie hexagonul ABCDEF înscris într-un cerc. Presupunem că există punctele M, N, P astfel încât:

{M} = (CD) (AF),

{N} = (DE) (AB),

{P} = (BC) (EF).

Atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

Demonstrație. Fie hexagonul ABCDEF înscris în cercul C(O, r). Aplicând teorema lui Menalaus în triunghiul GHL pentru punctele coliniare M, C, D obținem:

(1)

Aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul GHL pentru punctele coliniare P, A, B obținem:

(2)

Aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul GHE pentru punctele coliniare N, F, E obținem:

(3)

Înmulțind relațiile (1), (2) și (3) membru cu membru, obținem:

(4)

Din relația (4) produsul a șase rapoarte este egal cu 1, deoarece avem relațiile date de puterea punctelor G, H, L față de cercul în care este înscris hexagonul ABCDEF.

, pentru punctul G (5)

, pentru punctul H (6)

, pentru punctul L (7)

Ținând seama de relațiile (5), (6), (7) în relația (4), obținem după simplificare:

.

Deci conform reciprocei teoremei lui Menelaus, punctele M, N, P sunt coliniare.

Exemplul 13. Teorema lui Desarques (în plan). Dacă cele trei drepte care unesc vârfurile corespunzătoare ale două triunghiuri se intersectează în același punct, atunci punctele de intersecție ale laturilor opuse sunt coliniare.

Demonstrație. Fie ABC și ABC două triunghiuri astfel încât AA, BB, CC se intersectează în punctul O. Punctele M, N,

P sunt intersecțiile respectiv ale laturilor BC și BC, AC și AC, AB și AB.

Teorema cere să demonstrăm că punctele M, N, P sunt coliniare.

Presupunem că cele afirmate de teoremă în concluzie sunt adevărate,

adică punctele M, N, P aparțin aceleeași drepte.

De aici rezultă că dreapta PMN intersectează prelungirile laturilor triunghiului ABC sau ABC și potrivit teoremei lui Menelaus avem:

(1)

Însă adevărul exprimat de relația (1) trebuie pus direct în evidență. De aici se vede că forma de raționament a analizei ne-a arătat precis ce avem de făcut mai departe.

Pentru a stabili egalitatea (1) ne folosim de metoda sintezei. Triunghiul ABC și punctele coliniare B, A, P ne dau următoarea relație conform teoremei lui Menelaus:

(2)

Considerând triunghiul BOC și punctele coliniare B, C, M și aplicând aceeași teoremă obținem:

(3)

Triunghiul AOC și punctele coliniare A, C, N ne dau conform teoremei lui Menelaus:

(4)

Înmulțind membru cu membru egalitățile (2), (3), (4) și făcând simplificările posibile, obținem relația (1). De aici rezultă, potrivit reciprocei teoremei lui Menelaus că punctele M, N, P sunt coliniare.

Cap.V – Rezolvarea Problemelor de Concurență și Coliniaritate cu Ajutorul Metodelor Geometriei Analitice

Studiul problemelor de geometrie sinetică prezintă unele greutăți din cauza numărului restrâns de metode generale de care dispune această disciplină. De aceea s-au căutat mereu metode noi care să poată fi aplicate unui câmp cât mai larg de probleme. Din acestă căutare a luat naștere geometria analitică, ale cărei baze au fost puse de Descartes (1596 – 1650) în lucrarea “Apllication de l’Algebre a la theorie des curbes” (1637).

Prin geometria analitică Descartes a legat geometria de algebră.

Se consideră o corespondență bijectivă între mulțimea punctelor M ale unui plan p și mulțimea perechilor ordonate de două numere reale (x, y) raportate la un sistem de axe orientate Ox, Oy concurente. Pentru simplificare se consideră axele ortogonale, ajungându-se astfel la geometria analitică în plan. Numerele x și y se numesc coordonatele punctului Mp și se notează M(x, y). Mulțimea punctelor M(x, y) formează spațiul euclidian R 2 = {(x, y) | xR, yR}.

Se știe că punctul este cea mai simplă figură din planul p. O figură mai complicată din planul p, se definește printr-o relație care există între punctele sale. În R2, la relația menționată corespunde o relație între coordonatele punctului M(x, y), adică o relație de forma
f(x, y) = 0. În acest mod unei figuri geometrice Cp se asociază o ecuație f(x, y) = 0, numită ecuația lui C. Un punct arbitrar MC, dacă și numai dacă coordonatele lui M(x, y) constituie o soluție a ecuației
f(x, y) = 0. Această ecuație reflectă din punct de vedere analitic relația dintre punctele lui C, relație ce definește mulțimea C.

Geometria analitică (în plan) reprezintă de fapt o modalitate de studiu a geometriei sintetice prin metoda coordonatelor. Relațiile dintre punctele ce aparțin unor figuri geometrice din planul sintetic se reduc la relații algebrice între coordonatele (x, y) ale punctelor ce aparțin acestor figuri. Dificultățile ce se întâlnesc în geometria sintetică se transferă la dificultăți de calcul algebric, de multe ori mai ușor de realizat.

Introducerea geometrie analitice în matematică a constituit un salt remarcabil în dezvoltarea geometriei, a matematicii în general și a altor științe mai ales mecanica rațională.

Tratarea unei probleme de geometrie prin metoda analitică poate fi uneori împreunată prin mulțimea de calcule algebrice care trebuiesc efectuate, și de aceea este de preferat metoda sintetică. Există însă probleme complicate de geometrie ce nu pot fi tratate sintetic și pot fi tratate analitic. De exemplu problema determinării unui loc geometric (diferit de o dreaptă sau conică) este aproape imposibil de rezolvat sintetic, dar se rezolvă ușor analitic.

Un principiu în tratarea unei probleme de geometrie prin metoda analitică este acela de a alege convenabil axele de coordonate față de figura geometrică ce apare în problema în cauză. De exemplu dacă se dă un triunghi cu vârfurile Mi(xi, yi), i = 1, 2, 3 înseamnă că axele de coordonate au fost alese în mod arbitrar. Dacă asociez triunghiului un alt sistem de coordonate, se poate alege M1 în originea axelor și axa Ox de-a lungul laturii M1M2. Atunci același triunghi apare cu vârfurile M1(0, 0), M2(a, 0), M3(b, c), deci trei dintre cele șase coordonate egale cu zero. Principiul menționat se bazează pe teoria transformărilor geometrice. O rotație compusă cu o translație lasă o figură geometrică invariantă în sensul că se conservă distanțele și unghiurile.

1. Concurența a trei drepte în plan

Se știe că ecuația unei drepte (d) este de forma

Ax + By + C = 0,

unde A, B, CR și are o infinitate de soluții (x, y) care sunt coordonatele punctului curent al dreptei, M(x, y)d. În cazul B 0 ecuația se poate scrie sub forma:

y = mx + n,

cu:

,

numită panta sau coeficientul unghiular al dreptei și

,

numită ordonata la origine.

Fie două drepte d1 și d2 de ecuații:

(1)

Poziția relativă a acestor drepte se poate dicuta cu ajutorul sistemului liniar (1), de două ecuații cu două necunoscute. Determinantul sistemului este:

(2) Δ =

Dacă Δ 0, adică , sistemul (1) nu mai are soluție unică și poate avea o infinitate de soluții (sistem compatibil nedeterminat) sau nu are nici o soluție (sistem incompatibil).

Determinantul principal al sistemului (1) nu mai este Δ și se poate considera un element din Δ care este nenul, fie A1 0.

Determinantul caracteristic al sistemului (1) este:

Δc = .

Dacă:

Δc = 0 și Δ = 0

atunci avem:

și sistemul are o infinitate de soluții, deci cele două drepte au o infinitate de puncte comune, adică sunt confundate. În acest caz ecuațiile din (1) sunt echivalente, având coeficienții proporționali.

Dacă Δ = 0 și Δc = 0, adică:

sistemul nu are nici o soluție, deci dreptele nu au nici un punct comun, adică d1 și d2 sunt paralele.

Fie acum trei drepte în plan, d1 și d2 concurente și o a treia dreaptă d3 de ecuație:

d3 : A3x + B3y + C3 = 0.

Cu cele trei ecuații se formează sistemul liniar de trei ecuații cu două necunoscute:

(3)

Δ = 0,

M0(x0, y0) = d1 d2.

Dreptele d1, d2, d3 sunt concurente dacă și numai dacă M0 d3, deci
(x0, y0) trebuie să verifice și a treia ecuație. Deci sistemul (3) trebuie să fie compatibil, adică determinantul Δc să fie nul:

(4)

Deci (4) este condiția necesară și suficientă ca cele trei drepte să fie concurente.

Fie un număr n de drepte

di: Aix + Biy + Ci = 0, i = 1, 2, …, n

dintre care cel puțin două să fie concurente. Se poate presupune că acestea sunt d1 și d2 și fie M0(x0, y0) = d1 d2. Pentru a studia concurența uneia din celelalte cu d1 și d2 se pot forma i – 2 determinanți caracteristici ai unui sistem liniar de n ecuații cu două necunoscute și se constată dacă sunt nuli sau nu sunt nuli.

Din punct de vedere metodic se poate proceda mai simplu astfel: se înlocuiesc coordonatele punctului M0(x0, y0) = d1 d2 în ecuația de rang i 3. Dreapta di este concurentă cu d1 și d2 sau nu, după cum:

Aix0 + Biy0 + Ci = 0

respectiv:

Aix0 + Biy0 + Ci 0.

Exemplul 1. Medianele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație. Dacă am alege ca origine un vârf al triunghiului și una din laturile ce trce prin acest vârf al triunghiului ca axa Ox, trei dintre coordonatele vârfurilor ar fi nule și nu am mai avea trei coordonate nenule. Dejavantajul este însă că se rupe simetria ecuațiilor și suntem nevoiți să reluăm calculul de la început pentru fiecare mediană.

De aceea nu vom particulariza sistemul de axe și vom vedea că după ce am stabilit ecuația unei mediane, celelalte se deduc prin permutări circulare.

Fie deci, ață de un sistem de axe ortogonale:

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)

Vârfurile triunghiului ABC; mijlocul laturii (BC) este:

și medina (AA) este ecuația:

,

care scrisă dezvoltat este:

(2y1 – y2 – y3)x – (2×1 – x2 – x3)y + x1(y2 + y3) – y1(x2 + x3) = 0.

Ecuațiile celorlalte mediane se scriu permutând circular coordonatele vârfurilor triunghiului ABC adică pe x1, x2, x3 și y1, y2, y3.

Ele se scriu direct:

(BB): (2y2 – y3 – y1)x – (2×2 – x3 – x1)y + x2(y3 + y1) – y2(x3 + x1) = 0

(CC): (2y3 – y1 – y2)x – (2×3 – x1 – x2)y + x3(y1 + y2) – y3(x1 + x2) = 0

Dacă adunăm cele trei ecuații obținem în prima parte 0, deci una din ecuații este o combinație liniară a celorlalte două. Acesta arată că medianele sunt concurente.

Observație. Dacă s-ar scrie condiția de concurență sub forma de determinant și s-ar aduna toate liniile la prima linie s-ar obține pe prima linie toate elementele nule, deci determinantul este nul și condiția este verificată.

Coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt:

Exemplul 2. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație. Fie A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) vârfurile triunghiului ABC. Mijlocul laturii BC este și mediatoarea corespunzătoare laturii BC are ecuația:

(a) : (x2 – x3)x + (y2 – y3)y – .

Ecuațiile celorlalte mediatoare se obțin permutând circular coordonatele vârfurilor, adică pe x1, x2, x3 și y1, y2, y3.

Ele se scriu direct:

(b): (x3 – x1)x + (y3 – y1)y –

(c): (x1 – x2)x + (y1 – y2)y -.

Dacă adunăm cele trei ecuații, obținem în prima parte 0 deci una din ecuații este o combinație liniară a celorlalte două. Acest rezultat ne arată că mediatoarele sunt concurente.

Exemplul 3. Înălțimile unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație. Fie A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) vârfurile triunghiului ABC și AA, BB, CC înălțimile sale.

Ecuația dreptei BC este:

Ecuația înălțimii (AA) este:

hA:

Care se mai poate scrie:

(x2 – x3)x + (y2 – y3)y – (y2 – y3)y1 – (x2 – x3)x1 = 0.

Ecuațiile celorlalte două înălțimi se obțin permutând circular vârfurile triunghiului adică pe x1, x2, x3 și y1, y2, y3.

Ele se scriu direct:

hB: (x3 – x1)x + (y3 – y1)y – (y3 – y1)y2 – (x3 – x1)x2 = 0,

hC: (x1 – x2)x + (y1 – y2)y – (y1 – y2)y3 – (x1 – x2)x3 = 0.

Adunând membru cu membru cele trei ecuații obținem în prima parte 0, deci una din ecuații este o combinație liniară a celorlalte două ecuații. Deci înălțimile triunghiului sunt concurente.

2 Coliniaritatea a trei puncte în plan

Două puncte distincte M1, M2 dintr-un plan p determină în mod unic o dreaptă d, conform unei axiome a geometriei.

Analitic, dacă d are ecuația

Ax + By + C =0,

coordonatele punctelor M1(x1, y1), M2(x2, y2) considerate date, verifică ecuația dreptei și astfel determină coeficienții A, B, C. Atunci ecuația dreptei d determinată de punctele M1, M2 este:

(1)

Ecuația (1) se poate scrie sub forma echivalentă:

(2)

Fie M3(x3, y3) un punct din p, distinct de M1 și M2. Dacă M1, M2, M3 sunt coliniare atunci M3d și deci analitic, coordonatele lui M3 trebuie să verifice ecuația determinată de M1 și M2.

Rezultă că M1, M2, M3 sunt coliniare dacă și numai dacă:

(3)

Dacă Mi(xi, yi), i = 3, 4, …, n sunt n – 2 puncte atunci ele sunt coliniare cu punctele M1(x1, y1), M2(x2, y2) dacă și numai dacă coordonatele fiecărui punct Mi, i 3 verifică una din ecuațiile (3).

Din punct de vedere metodic se verifică prima din ecuațiile (3), calculele fiind mai ușor de efectuat.

Exemplul 1. Fie ABC un triunghi oarecare. Să se arate că ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului ABC sunt coliniare (dreapta lui Euler).

Demonstrație. Se iau drept axe de coordonate latura (AB) și înălțimea (CD).

Se notează cu a și b abscisele punctelor A, respectiv B, și cu c ordonata lui C.

Înălțimea (CD) are ecuația: x = 0.

Deoarece coeficientul unghiular al dreptei AC este , se găsește că ecuația înălțimii din B este:

ax – by – ab = 0.

Coordonatele ortocentrului H se obțin rezolvând sistemul:

.

După efectuarea calculelor obținem: H(0, ).

Coordonatele mijloacelor segmentelor (CN) și (AB) sunt respectiv:

și .

De aceea mediana din B are ecuația:

cx – (a – 2b)y – bc = 0,

iar mediana din C are ecuația:

2cx + (a + b)y – c(a + b) = 0.

Rezolvând sistemul format cu aceste ecuații obținem:

.

Acest rezultat se poate obține direct deoarece coordonatele punctului de intersecție al medianelor sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor triunghiului.

Mediatoarea segmentului (AB) are ecuația:

iar mediatoarea segmentului (CA) are ecuația:

.

Deci centrul cercului circumscris triunghiului are coordonatele:

Coordonatele punctelor H, G, O verifică condiția de coliniaritate:

.

Deci punctele H, G, O sunt coliniare.

Exemplul 2. Mijloacele bazelor unui trapez și punctil de intersecție al laturilor neparalele sunt trei puncte coliniare.

Demonstrație. Considerăm trapezul ABCD și luăm ca axe de coordonate dreapta suport a bazei mari și dreapta perpendiculară pe aceasta într-un vârf al trapezului.

Coordonatele vârfului trapezului sunt:

A(0, 0), B(b, 0), C(c, i), D(d, i).

Dacă (AB) este baza mare și (CD) baza mică, atunci coordonatele mijloacelor sunt:

și .

Pentru a calcula coordonatele punctului E, scriem ecuațiile dreptelor AC și BC și rezolvăm sistemul alcătuit cu aceste ecuații:

.

Obținem:

.

Punctele E, F, G sunt coliniare, dacă coordonatele lor verifică condiția de coliniaritate:

.

Într-adevăr, înmulțind prima linie cu (-1) și adunând la celelalte două linii obținem:

.

Deci punctele E, P, G sunt coliniare.

Exemplul 3. Se dă punctul M(3, 3) și triunghiul ABC determinat de intersecția dreptelor:

AB: x + 2y – 4 = 0 ,

BC: 3x + y – 2 = 0,

CA: x – 3y – 4 = 0.

Fie P, Q, R proiecțiile punctului M respectiv pe OA, OB, AB. Să se demonstreze că punctele P, Q, R sunt coliniare.

Demonstrație. Punctele P și Q au coordonatele: P(3, 0) și Q(0, 3).

Pentru a afla coordonatele punctului R scriem ecuația dreptei MR care este perpendiculară pe AB. Coeficientul unghiular al dreptei AB este, deci coeficientul unghiular al dreptei MR este , iar ecuația dreptei este:

MR: y –3 = 2(x – 3).

Rezolvând sistemul alcătuit din ecuațiile dreptelor AB și MR:

obținem coordonatele punctului R: R(2, 1).

Coordonatele punctelor P, Q, R verifică condiția de coliniaritate:

.

Deci punctele P, Q, R sunt coliniare.

Cap. VI – Considerații de Ordin Metodic

1. Proiectarea activității de instruire la matematică

Procesul de învățământ reprezintă un ansamblu de acțiuni exersate în mod conștient și sistematic de către educatori asupr educaților într-un cadru instituțional organizat, în vederea formării personalității acestora în conformitate cu cerințele idealului educațional.

În ultimii ani, învățământul în țara noastră a cunoscut o serie de prefaceri menite să îmbunătățească procesul de instruire și educare a tineretului școlar. Acțiunile de îmbunătățire ale acestui proces de modernizare a învățământului, urmează comanda socială a epocii în care trăim. Caracterizată prin accelerarea impetuasă a ritmului de dezvoltare economică și socială în ansamblu, prin apariția în știință și tehnică a unei cantități însemnate de date metodologice noi, prin implicarea învățământului și cercetării științifice în viața tehnico-productivă a țării, epoca actuală impune școlii o serie de sarcini noi, care urmăresc în ultimă instanță, creșterea eficienței activității de instruire și educație.

Printre sarcinile mai importante se înscriu și modernizarea metodelor de învățământ în sensul valorificării noului conținut al învățământului, punându-se accent mai mare pe munca independentă a elevilor, pe formele de pregătire diferențiată a acestora, pe activitățile desfășurate ăn laborator.

Principala cale de spororire a randamentului școlar este tehnologia didactică. Prin tehnologie didactică se înțelege ansamblul de forme, mijloace tehnice și relații, metode cu ajutorul cărora se vehiculeză conținuturi, în vederea atingerii obiectivelor.

Tehnologia didactică presupune proiectarea realizării și evaluarea activității didactice, operații care în final, trebuie să concure la îmbunătățirea acestei activități.

Prin proiectarea activității didactice se înțelege:

clarificarea și enunțarea obiectivelor urmărite printr-un anumit conținut;

stabilirea tehnologiei didactice constănd în fixarea metodelor și procedeelor adecvate acestui conținut, stabilirea materialului didactic și a mijloacelor capabile să sprijine înțelegerea acestuia, preconizarea modului de îmbinare a metodelor, procedeelor și mijloacelor de învățământ în lecții;

alegerea modalităților prin care se vor evalua rezultatele obținute. Alegerea strategiei didactice depinde de obiectivele urmărite de conținutul lecției, de vârsta și pregătirea elevilor și în mare măsură de cunoștințele, tactul pedagogic și experiența metodică a profesorului, noua calitate a învățământului fiind decisiv determinată de calitatae educatorului.

Metodele de învățământ prezintă căile prin care profesorul pune pe elevi în legătură cu un anumit sistem de cunoștințe și le stimulează activitatea pentru însușirea acestora.

Metodele de învățământ se împart ăn două grupe:

metode de dobândire a cunoștințelor și de formare a principiilor și deprinderilor de muncă intelectuală și practică;

metode de verificare și evaluare a cunoștințelor elevilor.

În procesul de predare- învățare a matematicii în școală se folosesc frecvent următoarele metode didactice: observația, conversația, demonstrația, problematizarea, învățarea prin descoperire, rezolvarea de exerciții și probleme, folosirea manualului și a literaturii suplimentare (culegeri de exerciții și probleme, seturi de exerciții și probleme propuse și rezolvate, reviste de matematică), activitatea în grup, învățământul programat și altele.

Metodele de învățământ folosite trebuie să stimuleze spiritul de observație și gândire logică a elevilor, să asigure o participare activă a elevilor în procesul instructiv-educativ, să contribuie la formarea deprinderilor de a se instrui prin muncă independentă.

În condițiile în care în activitatea instructiv-educativă accentul trebuie să cadă pe latura formativă a acesteia, conducerea problematizată a lecțiilor se impune ca o cerință categorică. Elevii trebuie să fie permanent stimulați prin întrebări, să primească sarcini mai complicate spre rezolvare, pentru a descoperi prin effort propriu laturile noi ale cunoștințelor, să fie puși în situația de a utiliza cunoștințele dobândite în rezolvarea unor exerciții și probleme cunoscute, în explicarea diferitelor discipline de învâțământ.

Sub acest aspect, problematizarea poate fi considerată ca o variantă a conversației euristice. În același timp ea constituie, poate, cea mai importantă modalitate de învățare prin descoperire, alcătuind punctil de plecare pentru toate celelalte forme ale acestui mod de instruire.

Învățarea prin escoperire preconizează participarea activă, directă a elevilor (sub îndrumarea profesorului) la stabilirea noțiunilor ce urmează a fi însușite. Baza acestui proces de învățare o formeză următoarele constatări:

participarea la descoperirea unui adevăr având ca urmare o mai deplină înțelegere a acestuia;

situațiile problematice, de incertitudine parțială și de coflicte trezesc în mod deosebit interesul elevilor;

numai în cadrul tehnologii didactice întemeiată pe activități creative și euristice se manifestă stările psihice favorabile învățării, pentru că asemenea activități sunt legate de emoții pozitive, de curiozitate, de sentimentul așteptării, de nedumerire, de îndoială, etc.

Valoarea deosebită a acestui mod de învățare constă în aceea că se bazează și stimulează totodată, capacitatea de cunoaștere a fiecărui individ; elevul ajunge la descoperirea unei noțiuni, a unui adevăr, prin activitate proprie, individuală, prin autodirijarea gândirii sale.

Realizarea unui învățământ modern, care să-și exercite funcția principală de instruire și educație a tinerei generații este indisolubil legată de existența în școală a unui sistem de mijloace de învățământ ca, componentă esențială pentru obținerea unei calități sporite a întregului proces instructiv-educativ.

În învățământul matematicii sunt folosite mijloace de învățământ realizate în acest scop: truse, modele, folii, diapozitive, filme didactice, emisiuni TV, planșe, culegeri de exerciții și probleme, reviste de matematică, etc. cât și altele preluate din alte domenii: aparate, instrumente de măsură, etc. Mijloacele de învățământ au evoluat de la materialul intuitiv confecționat pentru demonstrație, la mijloace moderne din zilele noastre pe măsura dezvoltării științei și tehnicii și în funcție de cerințele procesului de învățământ în diferite etape.

Având în vedere scopul principal urmărit în învățarea matematicii și anume formarea priceperilor și deprinderilor de rezolvare a exercițiilor și problemelor, principala preocupare a profesorului de matematică în domeniul realizării mijloacelor de învățământ rămâne algerea celor mai potrivite exerciții și probleme din anuale, din culegeri și reviste de matematică, alcătuirea de teste și seturi de exerciții și probleme propuse și rezolvate model, care să fie folosite de elevi.

Un sprijin real poate obține profesorul de matematică în vederea sporirii dotării laboratorului de matematică la care participă elevi care au preocupări deosebite pentru studiul matematicii.

Aspectele procesului de învățământ legate de verificarea și aprecierea cunpștințelor sunt încadrate în docimologie – știință pedagogică care are ca obiect studierea sistematică a examenelor, în special a sistemelor de notare, a comportării examinatorilor și examinaților. Docimologia nu trebuie concepută însă numai ca știință a examinării; ea trebuie să ofere totodată posibilitatea de a cunoaște interesul real al elevului pentru obiect, suportul motivațional al rezultatelor obținute, factorii care au contribuit la obținerea rezultatelor, posibilitatea de apreciere a resurselor unui elev, de urmărire a evoluției acestuia.

Se observă astfel tendința de trecere de la o apreciere mai mult cantitativă a cunoștințelor elevilor, la aprecierea calitativă a unui ansamblu de aspecte, urmărite prin însăși obiectivele învățământului. O evaluare corectă poate fi făcută numai în condițiile unor obiective bine precizate, din care să se desprindă exact ceea ce trebuie să facă un elev pentru a dovedi realizarea lor.

Sub acest aspect deosebim mai multe categorii de obiective:

finalitățile sau scopurile generale ale educației, sintetice, globale, fixate prin decizii;

obiective intermediare, specifice, raportate la învățământ, ca principal factor de realizare a scopurilor generale ale educației. Se include aici obiectivele specifice învățământului într-o etapă dată, obiectivele specifice fiecărei trepte de învățământ și obiectivele specifice diferitelor discipline și teme;

obiective educativ-operaționale, prin operaționalizare înțelegându-se enunțul procedurilor care permit a măsura, a produce sau a recunoaște printre altele, un anumit comportament.

Operaționalizarea obiectivelor se face pentru a realiza mai ușor și totodată pentru a evidenția progresul elevilor la sfârșitul unei etape de instruire și constă în specificarea performanțelor și comportamentelor la care trebuie să ajumgă elevii la sfârșitul etapei respective. Pentru formularea obiectivelor operaționale se folosesc verbe de acțiune, acțiunile raportându-se la elevi.

Concomitent cu precizarea comportamentelor specifice, operaționalizarea trebuie să precizeze condițiile în care urmeză să se manifeste acestea și performanțele minime acceptate.

Performanțele minime se stabilesc specificându-se numărul de răspunsuri corecte – cunoștințe teoretice și aplicative – pe care trebuie să le dea elevul pentru a considera că posedă cunoștințele elementare cu privire la tema respectivă.

În mod obișnuit, pentru stabilirea gradului de atingere a unor obiective se recurge la diferite metode sau procedee cum sunt: observarea curentă a elevilor, verificarea acestora prin întrebări, prin lucrări scrise de diferite tipuri, prin teste etc., care permit măsurarea și aprecierea activității.

Deși prezintă și unele inconveniente, avantajele atribuite testelor în raport cu metodele obișnuite de apereciere a cunoștințelor elevilor, le impun ca procedee de mare valoare pentru evaluarea randamentului școlar. Valoarea lor derivă dintr-o serie de caracteristici ale acestora, printre care:

eliminarea hazardului și subiectivității din notare, prin stabilirea unui punctaj de notare, prin condițiile egale pe care le creează în privința conținutului de rezolvare;

oferirea posibilităților de urmărire sistematică a evoluției unei clase, a unui grup de elevi sau a unui anumit elev, în perioade determinate de timp, cu privire la nivelul de cunoștințe, la formarea priceperilor, la dezvoltarea aptitudinilor etc.

După scopul urmărit, principalele categorii de teste olosite în învățământ sunt: testele de inteligență, testele de aptitudini și testele de performanță.

Dintre acestea, testele de performanță sunt acelea care măsoară gradul d realizare a obiectivelor imedite și a celor îndepărtate ale învățământului și conțin volumul informațiilor necesare pentru evaluarea activității elevului și implicit a profesorului.

Alcătuirea testelor reclamă o tehnică specială, un volum mare de muncă și respectarea unor condiții ca:

utilizarea întregii materii supuse verificării;

stabilirea obiectivelor de realizat;

reducerea materiei la teme elementare (stabilirea obiectivelor operaționale) și formularea unui număr corespunzător de cerințe;

prezentarea cerințelor într-un mod adecvat elevilor;

stabilirea întrebărilor la care trebuie să se răspundă obligatoriu pentru a se obține nota de trecere (performanța minimă acceptată);

folosirea unor întrebăro de tipuri diferite sau în contexte diferite, pentru a dezvălui capacitatea elevului de a transfera cunoștințele sau de a le organiza;

revizuirea conținutului întrebărilor de către specialiști în materie (standardizarea și validarea testelor);

După momentul în care se aplică testele pot fi: inițiale, de progres (formative) și finale.

Testele inițale se folosesc pentru a informa profesorul asupra cunoștințelor de care dispun elevii în vederea parcurgerii unei noi etape instructiv-educative. Rezultatele nesatisfăcătoare obținute la aceste teste impun organizarea unor activități de completare a lipsurilor observate.

Testele de progres informează profesorul cu privire la posibilitățile elevilor de atinge obiectivele urmărite și dificultățile pe care le întâmpină în atingerea acestora. Testele de progres pot fi integrate în orice moment al unei lecții și pot fi folosite pe parcursul întregului an școlar.

Testele finale se utilizează la încheierea unei teme, capitol sau an de studiu, în scopul de a evidenția măsura realizării obiectivelor particulare ale unei teme, a obiectivelor specifice unui capitol sau an de studiu. Evaluarea care se realizează cu ajutorul acestor teste dă seama de rezultatele muncii elevului, de mijloacele prin care s-au atins, de calitatea muncii profesorului, permițând îmbunătățirea acestora.

Testele se elaborează pe baza obiectivelor particulare ale temei considerate și stabilind pentru fiecare obiectiv o sarcină de lucru, un item, pe care elevul trebuie să o rezolve.

Un item se poate prezenta sub form aunei întrebări, a unui exercițiu sau problemă, deci o sarcină care corespunde unui obiectiv precis formulat. După modul lor de alcătuire, itemurile au fost clasificate în itemuri închise și itemuri deschise.

Itemurile deschise cuprin întrebări:

– cu răspuns corect – greșit.

Exemplul 1. Care răspuns este adevărat: 52 = 10 sau 52 = 25?

Exemplul 2. Trapezul este un paralelogram. Corect – greșit?

Exemplul 3. – întrebări de selecție: 36 este : 18 : 6 : 12?

– de combinare (asociația)

Exemplul 4. Uniți prin săgeți numerele

Itemurile închise evidențiază, în special cunoștințele și depriderile căpătate de elevi pe o anumită perioadă.

Itemurile deschise extind aprecierea și asupra posibilităților elevilor de argumentare logică. Datorită acestui fapt, aprecierea rezultatelor se face mai greu. Temurile deschise se formulează prin:

propoziții lacunare

Exemplul 6. Completați desenul alăturat pentru a reprezenta un tetraedru.

Marea varietate a obiectivelor urmărite în școală cât și cerința unei evaluări cât mai reale, conduc la necesitatea diversificării probelor de evaluare.

Această diversificare se referă atât la ceea ce se apreciază: cunoștințe teoretice sau deprinderi de muncă practică intectuală, cât și la modul de elaborare a testelor (folosirea unor itemuri vizând cât mai multe categorii de obiective, formulate în moduri diferite) și alcătuirea mai multor variante de teste pentru a se evita comunicarea între elevi.

Lecția este considerată forma de bază a desfășurării procesului instructiv-educativ, forma științifică de organizare a acestui proces în școală.

Înțeleasă în stilul clasic de organizare (verificare, predare, fixare) lecția a constituit subiectul multor critici.

Acestea se referă mai ales la rolul preponderent al profesorului și la rolul subordonat al elevului în timpul predării, la capacitatea relativ scăzută de stimulare a inventivității și creativității elevilor în procesul de instruire, la ignorarea aptitudinilor și particularităților individuale al elevilor, la folosirea, nu întotdeauna rațională, a timpului.

Pentru a se adapta noilor cerințe, lecția clasică a fost și va fi în continuare obiectul unor modificări, a unor îmbunătățiri metodice, care să contribuie la înlăturarea neajunsurilor mai sus amintite și să adauge la avantajele recunoscute ale acesteia (cadrul organizat de muncă și de însușire a cunoștințelor, emulație reciprocă între elevi, transmitere economică și sitematică a cunoștințelor), o serie de atribute noi, absolut necesare pentru acoperirea sarcinilor unui învățământ modern. Este vorba mai ales, de schimbarea punctului de vedere în legătură cu:

raportul profesor-elev în cadrul lecției: acesta trebuie să se modifice în sensul transformării elevului în factor activ al instruirii și educării sale, și în sensul schimbării atribuțiilor profesorului care, la rândul său, trebuie să se transforme din factor dominant al procesului de instruire, într-un îndrumător al activității elevului. Relațiile care se stabilesc la clasă între profesori și elevi trebuie să fie relații de muncă și colaborare. Profesorului îi revine sarcina complexă de a întregi metodele de predare clasice cu o serie de modalități de lucru, care să sporească independența, inițiativa și contribuția elevilor în însușirea și explicarea cunoștințelor, de a crea condițiile de muncă, de a îndruma activitatea elevilor și de a colabora cu aceștia pentru atingerea obiectivelor dorite.

Diferențierea procesului didactic prin crearea unor condiții de lucru adaptate la posibilitățile elevilor. Diferențierea se poate realiza la diferite nivele. Astfel, se pot folosi întrebări diferențiale, fișe de lucru sau materiale programate pentru fiecare elev în parte, având același conținut sau conținut diferit; se poate recurge la activitatea pe grupe de elevi cu posibilități egale sau cu posibilități diferite, etc. Tratarea diferențială a elevilor este o cerință pregnantă a învâțământului actual. Ea trebuie să vizeze mai ales elevii foarte dotați (nu numai pe cei slabi la învățătură), să sublinieze aptitudinile și posibilitățile elevilor de a-și apropia un anumit conținut.

Forma de organizare a lecțiilor:

Abaterile de la forma clasică de organizare a lecțiilor este o urmare firească a noilor procedee de lucru și a noilor mijloace de activizare a elevilor folosite de profesor la lecție.

Schema tradițională a lecției, axată pe asimilare în vederea reproducerii celor învățate, nu mai este respectată întotdeauna și întrutotul: se apelează la acel variante care antrenează capacitățile de investigare, de anticipare, de soluționare teoretică sau practică a unor probleme de către elevi. Verificarea este de multe ori inclusă în însuși activitatea elevului, pe tot parcursul desfășurării lecției; temele și indicațiile de lucru se dau uneori pe fișe, alteori se scriu pe tablă sau se comunică oral.

Oricare ar fi tipul de lecție și varianta la care se recurge, organizarea acesteia reclamă respectarea unor cerințe și anume:

stabilirea exactă a scopului instructiv și educațional urmărit (pe baza cunoașterii conținutului temei de predare, al nivelului de dezvoltare intelectuală a elevilor și a direcțiilor în care trebuie formată și dezvoltată personalitatea acestora;)

alegerea materialului (vrchi și nou) care poate contribui în cea mai mare măsură în realizarea scupului propus;

stabilirea planului după care se va desfășura lecția, în așa fel încât să se asigure o succesiune judicioasă a materiei, o verificare maximă a timpului și un randament maxim de la fiecare elev; să se ajungă la stabilirea unor relații active profesori-elevi, elevi-documentație, elevi-elevi;

alegerea unor metode și procedee de lucru capabile să transforme munca elevilor într-o acțiune de cucerire a cunoștințelor sub diriguirea profesorului, într-o activitate directă a acestora, care să răspundă cerințelor sociale de integrare a învățământului cu cercetarea și producția.

Impunând obligativitatea adoptării strategiilor de lucru la caracteristicile temei, la particularitățile colectivului de elevi, la condițiile locale și la alți parametri, lecția a fost și rămâne un act de creație al profesorului; acest act trebuie să asocieze atrcția cu eficacitatea, datele solide și precise cu întrebările care vor motiva lecțiile următoare, cunăștințele noi cu formarea spiritului.

O lecție bună provoacă activitatea elevului și introduce o colaborare, un dialog între profesor și elevi.

Procesul de învățare a matematicii, ca și a oricărei alte discipline din planul de învățământ, cuprinde următoarele etape:

proiectarea activității de instruire;

desfășurarea instruirii;

activitatea de învățare de către elevi;

evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii.

Obiectivul de bază al predării geometriei în gimnaziu și liceu este formarea la elevi a conceptelor (abstracte) geometrice, deprinderea de către aceștia a metodelor specifice geometriei, a raționamentului inductiv și deductiv, a capacității de a supune unor operații logice conceptele geometrice însușite.

Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții vom formula obiectivele predării ei prin derivare de la obiectivele generale ale predării geometriei. Pe lângă aceste obiective, care arată în ce măsură tema respectivă contribuie la realizarea obiectivelor predării geometriei este necesar să ne formulăm și obiective oeraționale,prin care să precizăm ce anume capacități intelectuale și deprinderi practice trebuie să posede elevii la sfârșitul unei secvențe de instruire.

Proiectarea lecțiilor de geometrie trebuie astfel concepută, încât fiecare activitate concretă să conducă spre realizarea unor obiective operaționale clar formulate.

Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate este necesar ca să se prevadă realizarea conexiunii inverse, atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale instruirii.

2. Proiectarea activității de instruire desfășurate în cercul de matematică

Rolul activității în cercurile de elevi este de a extinde și a aprofunda unele teme din programa școlară. Unele probleme din manual, pot conduce la generalizări inacceptabile întregii mase de elevi, la particularizări interesante.

Densitatea de probleme conținute de manualele școlare, de culegerile de probleme și revistele de matematică, poate fi organizată, în cadrul acestei activități, pe anumite idei generatoare, pe metode unitare de rezolvare. Problemele de concurență și coliniaritate constituie un exemplu potrivit pentru rezolvarea lor în cadrul cercului de matematică.

Din punct de vedere organizatoric, înscrierea elevilor la cerc se face pe baza aptitudinilor, a opțiunilor, a intereselor lor, evitând supraâncărcarea prin participarea la mai multe cercuri pe obiecte.

În cadrul fiecărei ședințe a cercului de matematică se pune accent pe antrenarea tuturor membrilor în pregătirea și susținerea temelor propuse. Având în vedere pregătirea elevilor se folosește cu precădere metoda descoperirii dirijate, îmbinarea activității de grup cu activitatea frontală, activități care asigură condițiile unei bune conexiuni inverse, oferă cadrul unei învățări active, stimuleză interesul elevilor în pregătire, le formează abilități pentru rezolvarea de probleme, elimină pașii neesențiali și încercările ineficiente.

Activitatea la clasă și cea din cercul de matematică sunt într-o strânsă interdependență. La clasă se pun bazele activității în cercuri, se formează conceptele fundamentale, cercurile contribuind la creșterea capacității elevilor de a efectua operații logice, concepte, de a le utiliza în situații noi.

Activitatea în cercuri contribuie la formarea personalității elevilor și a inițiativei lor. Faptul că o încercare de rezolvare a unei probleme (eronată chiar) nu este cotată cu note, îi determină să abordeze mai degajați exercițiile și problemele propuse. Ei își elaborează și susțin unele soluții și lucrări personale, își consolidează astfel deprinderile de activitate independentă. Tematica cercurilor se stabilește de profesor cu consultarea elevilor, se fixează sarcinile individuale ale mebrilor cercului. Temele stabilite trebuie să contribuie la dezvoltarea spiritului de observație, a ingeniozității, a capacității de a efectua diferite tipuri de raționamente utilizate în studiul matematicii, la reținerea unor rezultate, la intuirea lor pe baza unor raționamente nedeterminate.

Încă din primele ședințe se indică elevilor bibliografia ce va fi utilizată la fiecare temă și se difuzează din timp seturi de probleme pentru anumite teme, selecționate de profesor. Ședințele cercului sunt bilunare sau cel puțin lunare și în general nu durează un timp înainte stabilit (nu trebuie să depășească 2,5 ore la clasele mari, iar la cele mici mai puțin). Unele teme sunt prezentate de elevi, iar altele de profesor, după ce toți au studiat tema respectivă. Ele nu se prezintă sub forma de referate cu conținut științific asupra temei respective urmat de aplicații practice. De asemenea, se pot prezenta note matematice asupra unor probleme sau teoreme, soluții la problemele propuse în Gazeta Matematică sau din alte surse. Se face confruntarea unei soluții, alegerea și comentarea celor mai frumoase.

Pentru stimularea muncii independente, a spiritului de inventivitate se pune în discuție o problemă nouă și se lasă timp de gândire pentru rezolvare cel mult o jumătate de oră. Un interes deosebit capătă temele de istorie a matematicii și problemele distractive.

Bibliografie

Brânzei D. și colectiv Bazele raționamentului geometric, București, E.D.P. 1983

Hadamard J. Lecții de geometrie elementară, București, Ed. Tehnică, 1962

Holingher A. Probleme de geometrie, București, EDP 1982

Ianuș S. și colectiv Probleme de geometrie și trigonometrie, București, EDP 1983

Mihăilescu N. Complemente de geometrie sintetică și lecții, București, EDP 1971

Mihăilescu N. și colectiv Culegere de probleme de geometrie sintetică și proiectivă, București, EDP 1971

Mihăilescu N., Neumann M. Fundamentele geometriei, București, EDP 1971

Năstăsescu C., Niță C. Matematica. Algebra – manual pentru clasa a IX-a, București, EDP 1982

Niclolescu Liviu,Vladimir Boskoff Probleme practice de geometrie

Noveanu B. și colectiv Modele de instruire formativă la disciplinele fundamentale de învățământ, București, EDP 1983

Polya G. Descoperirea în matematică, București, Ed. Științifică. 871

Popescu C., Radu V. Metodica predării geometriei în gimnaziu, București, EDP 1983

Rus I., Varna D. Metodica predării matematicii, București, EDP 1983

Rusu E. Metodica predării geometriei în școala generală, București, EDP 1968

Teleman K. și colectiv Geometrie – manual cl. a IX-a, București, EDP. 978

Teleman K. și colectiv Geometrie – manual cl. a X-a, București, EDP. 978

Teodorescu I. Geometrie analitică și elemente de algebră liniară, București, EDP 1972

Țițeica Gh. Probleme de geometrie, București, Ed. Tehnică, 1981

Udriște C., Tomulescu V. Geometrie analitică – manual cl. XI-a, București, EDP. 1983

*** Manualele de geometrie pentru gimnaziu

*** Manualele de geometrie pentru liceu