Metoda construct ,iilor auxiliare n rezolvarea [614602]

Metoda construct ,iilor auxiliare ^ n rezolvarea
problemelor de geometrie plan a
(Capitole speciale de geometrie)
Emil Pastram a1
26 Ianuarie 2019
1Facultatea de S tiint e  si Mediu, Universitatea Dun area de Jos din Galat i

Cuprins
1 Metoda construct ,iei auxiliare 2
1.1 Prezentare general a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sfaturi utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Probleme reprezentative 5
2.1 Construct ,ia unui segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Construct ,ia unui unghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Evident ,ierea mijlocului unui segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Bibliograe 9

Capitolul 1
Metoda construct ,iei auxiliare
1.1 Prezentare general a
^In problemele de geometrie ^ n rezolvarea c arora este necesar a construct ,ie auxi-
liar a, dicultatea lor cres ,te, provocarea const^ and ^ n a decide ^ n ce mod trebuie com-
pletat a gura dat a, astfel ^ nc^ at acest lucru s a ne ajute, simplic^ and demonstrat ,ia s ,i
nu complic^ and-o.
Folosirea construct ,iei auxiliare indic a o ^ nt ,elegere profund a a geometriei. De-
senele sunt elementare pentru cercetare, completarea acestora dovedind dob^ andirea
unor abilit at ,i creative foarte importante ^ n rezolvarea problemelor de geometrie.
1.2 Sfaturi utile
^In continuare voi prezenta c^ ateva sfaturi utile ^ n rezolvarea problemelor de ge-
ometrie plan a ce necesit a construct ,ie auxiliar a:[1, 2]
Atunci c^ and nu g ases ,ti r aspunsul imediat, ^ ncearc a s a a
i ce pot ,i. Se poate
s a g ases ,ti ceva care s a te conduc a la concluzie. Mai mult, pot ,i a
a ceva mai
interesant dec^ at cerint ,a problemei.
S a rezolvi o problem a ^ n dou a moduri diferite este o cale foarte bun a s a verici
corectitudinea solut ,iei.
2

C^ ateodat a, utilizarea metodei reducerii la absurd este mult mai us ,oar a s ,i mai
ecient a dec^ at demonstrat ,ia direct a.
^In probleme mai complicate de geometrie marcheaz a laturile congruente s ,i
unghiurile congruente pe m asur a ce le descoperi, ^ ndeosebi pe cele care nu
sunt evidente.
C^ and nu ajungi la rezultat ^ ntreab a-te ce informat ,ie din ipotez a nu ai folosit.
^Incearc a s a rezolvi o problem a mai us ,oar a, ^ nrudit a cu problema dat a. Selec-
teaz a o parte a condit ,iilor din ipotez a, realizeaz a un desen doar cu aceste date
s,i poate obt ,ii ceva folositor.
Adesea este bine s a ^ ncerci c^ ateva exemple ^ nainte de a demonstra un rezultat
general. Aceste exemple pot  o bun a c al auz a ^ n a descoperi r aspunsul c autat.
Uneori, parcurg^ and ^ nt^ ai drumul ^ napoi de la concluzie spre ipotez a, vei putea
descoperi solut ,ia problemei.
Dac a nu vezi rezolvarea problemei imediat, nu abandona. Este util s a faci
c^ ateva observat ,ii, scrie al aturi demonstrat ,iile acestora s ,i poate vei reus ,i s a
combini aceste rezultate pentru a completa rezolvarea problemei.
^In problemele de geometrie, explorarea acestora cere s a realizezi un desen mare
s,i curat, respect^ and m asura unghiurilor, lungimile laturilor ind proport ,ionale
cu cele din enunt ,. C^ and g ases ,ti o nou a informat ,ie ar trebui s a refaci desenul
folosind noile date. Acest fapt te ajut a foarte mult ^ n rezolvarea problemei.
Unind puncte care init ,ial nu au fost unite poate  extrem de util. Asta nu
^ nseamn a s a unim toate punctele din desen. Caut a segmente care pot  de aju-
tor ^ n demonstrat ,ie, cele care unesc puncte importante sau cele care formeaz a
unghiuri, triunghiuri, patrulatere despre care pot ,i a
a ceva imediat.
Dac a ai dou a dintre liniile importante ^ n triunghi (de acelas ,i tip), ar trebui s a
foloses ,ti proprietatea punctului de intersect ,ie s ,i s a construes ,ti a treia linie de
tipul respectiv.
3

C^ and te-ai blocat ^ ntr-o demonstrat ,ie, noteaz a m asura unuia dintre unghiuri
cu o variabil a s ,i ^ ncearc a s a a
i alte m asuri de unghiuri ^ n funct ,ie de aceast a
variabil a. Formeaz a o ecuat ,ie pentru a a
a variabila.
^In multe probleme de geometrie exist a informat ,ii ascunse vederii. Prelungind
segmente care par s a se termine brusc (^ n special ^ n interiorul unui triunghi
sau patrulater) pot ,i obt ,ine rezultate deosebite.
Dreptele paralele sunt utile ^ n problemele care implic a unghiuri, deci, uneori,
vei ad auga noi drepte paralele ^ n desen.
Sp arg^ and un unghi, un segment, o suprafat , a ^ n mai multe p art ,i, de multe ori
pot ,i a
a informat ,ii folositoare demonstrat ,iei.
O construct ,ie auxiliar a foarte utilizat a este perpendiculara dintr-un punct pe
o dreapt a. Scopul s au este s a construes ,ti triunghiri dreptunghice sau dreptun-
ghiuri ale c aror propriet at ,i s a le exploatezi ^ n demonstrat ,ia ta. De asemenea,
pot ,i evident ,ia distant ,ele de la un punct al bisectoarei unui unghi la laturile
unghiului, folosind faptul c a acestea sunt egale.
Unghiurile cu m asurile de 300, 600, 450, chiar s ,i suplementele lor, sunt adesea
bune pentru a construi triunghiuri dreptunghice cunoscute. Pot ,i face acest
lucru duc^ and duc^ and perpendiculare sau prelungind segmente.
Dac a, ^ ntr-o problem a, se d a mijlocul unui segment, este util s a evident ,iezi
mijlocul unui alt segment care are cu segmentul dat un cap at comun, obt ,in^ and
astfel o linie mijlocie ^ ntr-un triunghi, linie ale c arei propriet at ,i le vei folosi ^ n
rezolvarea problemei.
Tot ^ n cazul de mai sus, pot ,i construi un segment al c arui mijloc coincide cu
mijlocul segmentului dat, obt ,in^ and astfel un paralelogram de proproiet at ,ile
c aruia vei benecia ^ n demersul t au pentru obt ,inerea rezultatului.
Dac a ai utilizat cu succes o anumit a tactic a pentru a obt ,ine noi informat ,ii, dar
nu ai rezolvat ^ nc a problema, ^ ncearc a s a utilizezi aceeas ,i tactic a ^ ntr-o alt a
situat ,ie. Pot ,i obt ,ine noi informat ,ii utile.
4

Capitolul 2
Probleme reprezentative
2.1 Construct ,ia unui segment
Enunt ,ul problemei:
^In p atratul ABCD de latur a 5 cm, se consider a punctele E2(BC),F2(CD),
astfel ^ nc^ at m\(EAF ) = 450. Dac a aria triunghiului MCEF este 3 cm2, calculat ,i aria
MAEF .
Desen:
Figura 2.1: Construct ,ia unui segment
Rezolvare:
FieT2BC, astfel ^ nc^ at B2(CT) s,i [BT][DF].
^InMADF s,iMABT :
5

[AD][AB]
^ADF^ABT
[TB][DF]9
>>=
>>;C:C:!MADFABT)8
<
:^BAT^DAF
[AT][AF]
m(^DAF ) +m(^EAB ) = 900m(^FAE ) = 900450= 450
^BAT^DAF)m(^DAF ) =m(^BAT )
)m(^DAF ) +m(^EAB ) =m(^BAT ) +m(^EAB ) =m(^EAT ) = 450
)m(^EAT ) =m(^EAF ) = 450
^InMAET s,iMAEF :
[AE][AE]
^FAE^EAT
[AT][AF]9
>>=
>>;L:U:L:!MAETMAEF
)AMAEF=AMAET=AMAEB+AMABT=AMAEB+AMADF
)AABCD =AMFCE+ 2
AMAEF
)AMAEF=
25cm23cm2

: 2 = 11 cm2
2.2 Construct ,ia unui unghi
Enunt ,ul problemei:
Determinat ,i m asurile unghirilor triunghiului ABC , ^ n care AC= 2
BCs,i
m(^C) = 2
m(^A)
Desen:
Figura 2.2: Construct ,ia unui unghi
Rezolvare:
6

Fie [CLbisectoarea unghiului [BCA ,L2AB
)[BAC[ACL[LCB
)MACL isoscel)[CL][LA]
FieMmijlocul lui [ AC].
)CM =MA =1
2AC=BC
)MACL isoscel)m(^CML ) = 900
^InMCML s,iMCBL :
[CL][CL]
^MCL^LCB
[BC][CM]9
>>=
>>;L:U:L:!MCMLMCBL
)m(^CBL ) =m(^CML ) = 900
)3
m(^CAB ) = 900)m(^CAB ) = 300
)m(^ACB ) = 600
2.3 Evident ,ierea mijlocului unui segment
Enunt ,ul problemei:
^InMABC ,m(^BAC )<900, mediana lui [ BM]; M2(AC), s ,i ^ n alt ,imea
[CN]; N2(AB), au aceeas ,i lungime. Dac afQg=BM\CN, ar atat ,i c aBQ=
2
QN.
Desen:
Figura 2.3: Evident ,ierea mijlocului unui segment
7

Rezolvare:
FiePmijlocul lui [ AN].
^InMANP : [PM] linie mijlocieT:liniei:mijlocii!8
<
:PM =1
2NC
PMjjNC
PMjjNC
CN?AB9
=
;)MP?AB)m(^BPM ) = 900
PM =1
2NC=1
2BM
^InMBMP :m(^BPM ) = 900; PM =1
2BMR:T:^300
! m(^PMB ) = 300
^InMBNQ :m(^BNQ ) = 900; m(^NBQ ) = 300T:^300
! BQ= 2
QN
8

Bibliograe
[1] I. CRET ,U,Metode de rezolvare a problemelor de geometrie , Editura Paralela
45, Pites ,ti, 2016.
[2] S. IONESCU, Construct ,iile auxiliare ^ n rezolvarea problemelor de geometrie
plan a , Editura Paralela 45, Pites ,ti, 2015.
9