Metoda bisectiei [616673]

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n
Mathematica
Facultatea de S tiint e
Matematic a-Informatic a
Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin Sofonea
Sibiu
2017
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
1Metoda bisectiei
2Metoda Newton
3Metoda lui Romberg
4Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Metoda bisect iei
Presupunem ca avem de rezolvat ecuat ia f(x) = 0, cu funct ia
f continu a  si c a am g asit un interval ^ nchis [a,b] cu
proprietatea f(a)f(b)<0. Din teorema valorii intermediare,
obt inem existent a a cel put in o r ad acin a ^ n intervalul [a,b].
Presupunem c a avem o singur a r ad acin a ^ n acest interval, de
exemplu atunci c^ and f este strict monoton a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Aceast a metod a const a ^ n a considera mijlocul intervalului [a,b],  si
apoi ^ n a localiza r ad acina l ^ n unul din cele dou a subintervale
create, [ a;a+b
2] sau [a+b
2;b].
Renot am cu [ a;b] noul interval obt inut  si aplic am din nou
procedeul p^ an a c^ and lungimea intervalului [ a;b] este sucient de
mic a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Implementare ^ n Mathematica
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Metoda Newton
Fief: [a;b]!R si e x02[a;b]. Dezvolt am funct ia f ^ n
serie Taylor  si ret inem primii doi termeni. Obt inem
f(x)f(x0) + (xx0)f0(x0):
^Inlocuim ecuat ia f(x) = 0 cu
(1) f(x0) + (xx0)f0(x0) = 0
a c arei solut ie este
x1=x0f(x0)
f0(x0):
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Prin ^ nlocuirea lui x0cuxk, respectiv x1cuxk+1, se obt ine metoda
lui Newton sau metoda Newton-Raphson
(2) xk+1=xkf(xk)
f0(xk):
Ecuat ia f(x0) + ( xx0)f0(x0) = 0 aproximeaz a ecuat ia f(x) = 0
^ n vecin atatea punctului x0.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Pentru a verica dac a x1aproximeaz a solut ia acestei ecuat ii este
necesar a analiza existent ei  sirului xk.^In cazul ^ n care se face
ipoteza f0(x)6= 0 pe intervalul [ a;b] acest lucru nu mai este
necesar.
Dac a ^ n (2) se ^ nlocuie ste f0(xk) cu f0(x0) rezult a metoda lui
Newton simplicat a,
xk+1=xkf(xk)
f0(x0);
^ n care derivata se calculeaz a doar ^ n punctul x0.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Putem considera un proces de tip Newton ^ n care calculul derivatei
se face dup a un anumit num ar de pa si:
xk+1=xkf(xk)
f0(xp(k));
unde p(k) este un num ar ^ ntreg mai mic sau egal cu k. Dac a
consider am p(k)=0 obt inem metoda lui Newton simplicat a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Metoda lui Romberg
C aut am o formul a de aproximare pentrup
A, astfel ^ nc^ at s a
aib a ordinul trei de convergent a. Pentru aceasta plec am de la
urm atoarea ecuat ie
f(x) =xd(x2A) = 0 ;x>0;A>0:
S tim c a funct ia de iterat ie
'(x) =xf(x)
f0(x);
are ordinul mai mare sau egal cu doi.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Ne propunem s a-l g asim pe d astfel ^ nc^ at
xn+1='(xn)
s a aib a ordinul de convergent  a trei. Calcul am derivatele funct iei f
p^ an a la ordinul doi.
f(x) =x(2+d)Axd;
f0(x) = (2 + d)x1+ddAxd1;
f00(x) = (2 + d)(1 + d)xdd(d1)Axd1;
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Punem condit iile
'(p
A) =p
A; '0(p
A) = 0; '00(p
A) = 0;:::;
(3)'(x) =x(x2A)xd
xd1[(2 + d)x2dA]=xxx2A
(2 + d)x2dA:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Obt inem
'0= 1f0200
f02=ff00
f02; '0(p
A) = 0
'00=f00
f0+ff00
f020
:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Pun^ and condit ia '00(p
A) = 0;g asim
f00(p
A) = 0;
deci
(2 + d)(1 + d)d(d1) = 0;
de unde rezult a d=1
2:^Inlocuind valoarea lui d ^ n relat ia (3) obt inem
'(x) =xxx2A
3
2×2+1
2A;
deci g asim funct ia iterativ a
'(x) =xx2+ 3A
3×2+A;
cu ordinul trei de convergent  a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
S irul ( xn)n0, cu xn+1='(xn);x0=A+1
2constituie metoda lui
Romberg, pentru determinarea r ad acinii p atrate.
Deci, ^ n loc s a rezolv am cu metoda tangentei ecuat ia x2A= 0;
este mai avantajos s a aplic am metoda tangentei ecuat iei
echivalente1px(x2A) = 0;x>0:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Implementarea ^ n Mathematica
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Interpretarea geometric a a metodei Newton pentru calculul luip
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Interpretarea geometric a a metodei Romberg pentru calculul luip
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica

Metoda bisectiei
Metoda Newton
Metoda lui Romberg
Bibliograe
Daniel Florin Sofonea , Analiz a Numeric a  si Teoria
Aproxim arii, Editura universit at ii din Bucure sti, 2006
Vraciu George, Micu Sorin, Efrem Raluca, C alug aru Dan,
Analiz a numeric a-Metode numerice ^ n algebr a  si ^ n metoda
elementelor nite- Culegere de exercit ii  si probleme- volumul al
II-lea, Reprograa Universit at ii din Craiova, 1999
Alexandru Lupa s, Analiz a Numeric a, Editura ULBS, 1997
P. Blaga Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii, Cluj, 2010
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica