Metoda Binomiala In Evaluarea Unei Optiuni Financiaredocx

=== Metoda binomiala in evaluarea unei optiuni financiare ===

UNIVERSITATEA „BABEȘ-BOLYAI” – CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE DE LICENȚĂ

Coordonator ștințific:

Conferențiar Dr. Chiorean Ioana Student: Scurtu Valeria

Cluj-Napoca

2015

UNIVERSITATEA „BABEȘ-BOLYAI” – CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

Metoda binomială în evaluarea unei opțiuni financiare

Coordonator ștințific:

Conferențiar Dr. Chiorean Ioana Student: Scurtu Valeria

ABREVIERI

cf.= confer, compară;

v.= vezi;

p.= pagina;

pp.= paginile;

t.= tomul;

și urm.= și următoarele;

vol.= volumul;

ed.= ediția

ed. cit. = ediția citată;

loc. cit.= locul citat;

op. cit.= opera citată;

art. cit.= articolul citat;

ms.= manuscrisul;

mss.= manuscrisele;

passim= în mai multe locuri;

ș.a.= și alții; și altele;

et. al.= și alții; și altele;

s.v.= sub voce (pentru trimiteri la articole de dicționare, glosare etc., unde nu sunt folosite indicațiile de pagini);

CUPRINS

Abrevieri…………………………………………………………………………………………………………………………3

Cuprins……………………………………………………………………………………………………………………………4

Introducere………………………………………………………………………………………………………………………5

1.Opțiune financiară………………………………………………………………………………………………………….6

1.1.Elementele specifice unei opțiuni………………………………………………………………………………….6

1.2.Tipuri de opțiuni

1.2.1.Opțiuni CALL………………………………………………………………………………………………………….7

1.2.2.Opțiuni PUT…………………………………………………………………………………………………………….9

1.3.Factorii care influențează valoarea unei opțiuni financiare……………………………………………….10

1.4.Avantajele opțiunilor………………………………………………………………………………………………….11

2.Metoda binomială…………………………………………………………………………………………………………13

3.Modelul binomial…………………………………………………………………………………………………………20

3.1.Aplicații……………………………………………………………………………………………………………………26

Bibliografi……………………………………………………………………………………………………………………..35

INTRODUCERE

Pornind de la faptul că ,,metoda binomială” face parte din subcategoria metodelor combinaționale, (ea fiind cea mai veche metodă de calcul a fiabilității sistemelor, propusă prima dată de Giuseppe Calabrese în 1947. Metoda este aplicabilă sistemelor binare sau multivalente formate din elemente binare, independente și reparabile) și întrucât s-a vorbit și s-a scris foarte puțin pe marginea acestei teme, am ales ca lucrarea de față să se intituleze: ,,Metoda binomială în evaluarea unei opțiuni financiare”.

Pentru a înțelege mai bine ce înseamnă ,,Metoda binomială” trebuie mai întâi să vedem în ce context se folosește și la ce folosește, dar mai ales unde se aplică.

Lucrarea de față, am structurat-o în trei capitole, fiecare capitol având mai multe subcapitole.

Capitolul 1, intitulat ,,Opțiune financiară” se prezintă câteva lucruri importante cu privire la opțiunea financiară, elementele specifice unei opțiuni financiare, tipurile de opțiuni financiare, factorii care influențează valoarea unei opțiuni financiare, dar mai ales care sunt avantajele unei opțiuni financiare.

În capitolul 2, intitulat ,,Metoda binomială”, se trec în revistă câteva lucruri despre ceea ce înseamnă metodă binomială, cum se aplică această metodă și mai ales de ce avem nevoie pentru aplicarea acestei metode.

În capitolul 3, intitulat ,,Modelul binomial”, se prezintă modul și contextul în care a apărut, situațiile în care se foloseste modelul binomial, precum și variantele sale.

În finalul lucrării am prezentat o serie de aplicații practice ale metodei binomiale pentru a exemplifica cum si cand se aplică această metodă.

Prin lucrarea de față, am dorit să aprofundez cât mai mult cunoștințele mele în domeniul matematicii financiare. Pentu unii s-ar parea un lucru ,,banal”, însă să nu uităm că trăim într-o lume care se rotește în jurul ,,hartiilor cu multe zerouri”.

Opțiune financiară

O opțiune este un contract la termen condiționat care dă dreptul deținătorului de a cumpăra sau vinde un activ suport la un preț prestabilit, numit preț de exercitare și ȋn orice moment, ȋn perioada sau la expirarea valabilității contractului opțional.

Opțiunile, ca active financiare, dau posibilitatea reversibilității investiției de capital. Adică, un investitor care cumpără opțiuni are posibilitatea ca pe durata de valabilitate a opțiunii sau chiar la scadență, fie să păstreze acest activ sau să renunțe la el dacă apare o oportunitate mai avantajoasă de investire. Practic, opțiunile dau posibilitatea unui arbitraj ȋntre deținerea activelor suport pe care ele le reprezintă și activele derivate reprezentate de respectivele opțiuni pentru speculații sau acoperirea riscului de piață. În felul acesta prin opțiuni procesul de investire devine mai flexibil.

Elementele specifice unei opțiunii

Opțiunile sunt contracte la termen condiționate (opționale) care dau cumpărătorului dreptul, dar nu și obligația, de al exercita. Cele mai utilizate sunt opțiunile pe acțiuni comune și cele pe obligațiuni. Practic, acțiunile nu sunt altceva decât o opțiune asupra activului unei companii care trebuie să fie mai mare decât datoriile totale și reprezintă un preț minim acceptabil al patrimoniului. Fiecare opțiune are în general ca obiect un activ standardizat din punctul de vedere al volumului sau valorii. Cumpărătorul folosește opțiunea (exercită) numai dacă este ȋn avantajul său. În acest sens, există câțiva termeni care trebuie ȋnțeleși pentru a realiza operațiunile cu opțiuni:

Exercitarea opțiunii este actul de cumpărare sau vânzare a activului suport prin contractul opțional încheiat la un preț prestabilit la care deținătorul poate vinde activul suport.

Data scadentă este durata maximă ȋn care se poate executa contractul opțional, după această dată, opțiunea nu mai este valabilă.

Opțiune europeană- poate fi exercitată numai la scadență.

Call reprezintă opțiunea de cumpărare, adică, aceasta dă dreptul deținătorului de a cumpăra un activ suport.

Put este opțiunea de vânzare ce dă dreptul opțional de vânzare a unui activ suport.

Activul suport poate fi un activ real (mărfuri), unul financiar (acțiuni sau obligațiuni) sau unul abstract (indice bursier, rata dobânzii) și reprezintă obiectul controlului opțional.

Prețul de exercitare (E) este prețul prestabilit ȋn momentul ȋncheierii contractului opțional, la care se poate face cumpărarea (CALL) sau vânzarea (PUT) a activului suport. În schimbul unei prime (preț) plătite, cumpărătorul unei opțiuni CALL sau PUT are dreptul, dar nu și obligația, să cumpere sau să vândă, ȋntr-un interval de timp prestabilit și la un preț de exercitare fixat dinainte, o anumită cantitate de active suport. Practic, este un contract opțional ale cărui elemente sunt stabilite când se ȋncheie contractul, indiferent dacă piața va evolua sau nu ȋn direcția așteptărilor inițiale.

Tipuri de opțiuni:

Opțiuni CALL.

Cel mai cunoscut tip de opțiune este opțiunea CALL. De exemplu, opțiunile CALL pe acțiuni Biofarm pot fi achiziționate de la Bursa de Valori. Biofarm nu emite (vinde) opțiuni call pe acțiunile sale comune. În schimb, investitorii individuali sunt cumpărători și vânzători de opțiuni CALL pe acțiuni comune Biofarm. O opțiune CALL pe acțiuni comune permite unui investitor să cumpere 100 acțiuni Biofarm (activul suport) ȋnaintea sau la data de 12 mai 2014 la un preț de exercitare de 200 RON. Aceasta este o opțiune valoroasă dacă există posibilitatea ca prețul activului suport să depășească 200 de RON la data sau ȋnainte de 12 mai 2014. Să presupunem că prețul pachetului de acțiuni a crescut la 240 RON la scadență. Cumpărătorul unei opțiuni CALL are dreptul să achiziționeze acțiunile vizate la prețul de exercitare de 200 RON. Valoarea acestui drept, generat de exercitarea CALL-ului, este de 40 RON (240-200 = 40 RON) la scadență. Dacă prețul este mai mic decât cel de exercitare, ȋn acest caz se spune că opțiunea call este lipsită de bani. Deținătorul nu va exercita opțiunea ȋn acest ultim caz. De exemplu, dacă prețul pachetului de acțiuni va scădea la 180 RON, niciun investitor rațional nu va exercita dreptul de cumpărare a activului suport, deoarce nu este obligat să facă acest lucru. Prin urmare, valoarea opțiunii CALL este zero. La scadență plățile pentru CALL pot fi următoarele:

În figura 1 se prezinta valoarea unei acțiuni CALL la data scadentă.

Se observă pe grafic că o opțiune CALL nu va avea niciodată o valoare negativă. Practic, o opțiune CALL este un instrument cu responsabilitate limitată care ȋnseamnă că tot ceea ce poate pierde deținătorul este suma inițială plătită pentru achiziționarea sa. Achiziționarea unei opțiuni de cumpărare (CALL) se bazează pe estimarea creșterii cursului activului suport. Cumpărătorul va ȋnregistra un câștig (V) dacă, ȋn viitor, cursul activului suport (St) va depăși prețul de exercitare (E) plus prima plătită (C). Altfel, investitorul va ȋnregistra pierderi limitate la mărimea primei plătite inițial: V = St – (E + C).

Opțiuni PUT.

O opțiune PUT poate fi percepută ca opusa unei opțiuni CALL. Deținătorul unei opțiuni PUT are dreptul să vândă pachetul de acțiuni (activul suport) la un preț fixat. O opțiune PUT dă deținătorului dreptul de a vinde pachetul de acțiuni (activul suport) la un preț de exercitare prestabilit. Circumstanțele care determină valoarea opțiunii PUT sunt opuse celor pentru o opțiune CALL, deoarece o opțiune PUT dă deținătorului dreptul de a vinde activul suport. Să presupunem că prețul de exercitare al unei opțiuni PUT este de 150 RON și prețul activului suport la scadență este de 130 RON. Proprietarul acestei opțiuni PUT are dreptul de a vinde activul suport pentru o sumă mai mare decât valoarea curentă, ceea ce este ȋn mod clar profitabil pentru el. Adică, proprietarul opțiunii PUT poate cumpăra acțiuni din piață (activul suport este alcătuit din acțiuni) la prețul de 130 RON și imediat le vinde la un preț de exercitare de 150 RON, generând un profit de 20 RON (150-130=20 RON). Astfel, valoarea opțiunii PUT la scadență este de 20 RON. Logic, profitul poate fi mai mare dacă prețul acțiunilor ȋn piață este mai mic. Totuși, să considerăm că activul suport (pachetul de acțiuni) este tranzacționat la 160 RON – sau la orice valoare mai mare de 150 RON. Proprietarul unei opțiuni PUT nu va exercita dreptul pe care ȋl are, deoarece acesta ar ȋnregistra pierderi. Dacă opțiunea nu va fi exercitatăpână la data scadentă, atunci aceasta va expira.

În figura 2 este prezentată grafic valoarea unei opțiuni PUT la data scadentă.

Se observă ȋn graficele anterioare că o opțiune CALL este mai valoroasă atunci când prețul acțiunilor (activul suport) este mai mare decât prețul de exercitare. O opțiune PUT este valoroasă atunci când prețul activului suport este mai mic decât prețul de exercitare.

Factorii care influențează valoarea unei opțiuni financiare

Factorii care influențează valoarea unei opțiuni se pot grupa în două categorii. Prima categorie compusă din factorii proveniți din termenii contractuali (a, b, c) și a doua care ține de caracteristicile activului și ale pieței (d, e, f).

a) Prețul de exercitare (X) – opțiunile CALL devin mai valoroase cu cât prețul de exercițiu este mai mic, deoarece deținătorul va putea obține un câștig mai mare prin exercitarea opțiunii. Din același motiv, opțiunile PUT devin mai valoroase odată cu creșterea prețului de exercițiu.

b) Cursul activului suport – valoarea opțiunii CALL crește pe măsura creșterii cursului activului suport, în timp ce valoarea opțiunii PUTcrește odată cu scăderea cursului activului suport.

c) Timpul până la expirare (t)

d) Volatilitatea activului (σ) – măsoară probabilitatea de modificare a prețului activului suport, indiferent de sens, într-o perioadă dată de timp.Aceasta însă nu poate fi observată direct, dar poate fi estimată pe baza unor date istorice. Volatilitatea tipică pentru cursul unui activ este de 0,3 sau 30% pe an. Dacă volatilitatea crește, probabilitatea ca situația activului sa fie foarte bună sau foarte proastă crește de asemenea. Deținătorul unei opțiuni CALL obține profit dacă cursul activului crește, dar are un risc limitat în situația în care prețul acestuia scade. Similar, deținătorul unei opțiuni PUT obține profit dacă cursul activului suport scade si are un risc limitat în cazul unei evoluții contrare. Valoarea opțiunilor PUT si CALL crește deci odată cu creșterea volatilitătii.

e) Rata dobânzii fără risc (r) – afectează cursul opțiunilor într-un mod mai puțin evident. În ipoteza unui univers neutru la risc, creșterea acesteia determină majorarea ratei de creștere a cursului activului suport. Rezultă astfel ca evoluția cursului opțiunii PUT este inversă față de cea a retei dobânzii fără risc. Cursul opțiunii CALL evoluează însă proporțional cu rata dobânzii fără risc.

f) Dividendele (δ). – au ca efect reducerea cursului acțiunilor în perioada ex-dividend. Aceasta influențează negativ cursul opțiunii CALL, dar are o influență favorabilă asupra cursului opțiunii PUT. Valoarea opțiunii CALL este, deci, negativ corelată cu cea a dividendelor anticipate, în timp ce valoarea opțiunii PUT este pozitiv corelată cu aceasta.

1.4. Avantajele opțiunilor

Opțiunile oferă câteva avantaje incontestabile față de alte instrumente bursiere și extrabursiere;

Sunt flexibile: indiferent de evoluția prețurilor – creșterea prețurilor, scăderea prețurilor sau chiar prețuri stabile – opțiunile ajută la realizarea obiectivelor de tranzacționare și la un bun management al riscurilor;

Sunt multifuncționale chiar dacă un client nu și-a format o opinie privind evoluția pieței, el poate profita de modificarea volatilității pieței, de trecerea timpului până la scadență ori de schimbarea altor elemente specifice opțiunilor;

Pot fi obținute câștiguri nelimitate prin asumarea de riscuri limitate: pentru cumpărătorul unei opțiuni, expunerea sa va fi limitată la prețul platit pentru acea opțiune. În același timp, profitul potențial este virtual nelimitat;

Sunt standardizate: regulile specifice unei burse ofera un grad mare de siguranta care nu se regaseste pe nici un alt tip de piata. Prin standardizarea optiunilor se elimina riscul de neplata al contrapartii.

Metoda binomială

Metoda binomială face parte din subcategoria metodelor combinaționale iar acestea sunt metode bazate pe spațiul stărilor și pornesc de la faptul că fiecare stare a unui sistem cu spațiul stărilor discret este o combinație de stări a elementelor sale. Sistematizarea stărilor sistemului în funcție de stările elementelor sale se face exprimând structura sistemului sub formă de tabel de date.

Este cea mai veche metodă de calcul a fiabilității sistemelor, propusă prima dată de Giuseppe Calabrese în 1947. Metoda este aplicabilă sistemelor binare sau multivalente formate din elemente binare, independente și reparabile. Datele de intrare necesare sunt:

– disponibilitățile momentane ale elementelor, ;

– structura sistemului sub formă de tabel de adevăr.

A. Pentru sistemele binare, datele de ieșire sunt:

– disponibilitatea momentană a sistemului;

– media timpului total de funcționare într-un interval T dat,

– media timpului total de defectare într-un interval T dat.

Aplicarea metodei presupune parcurgerea următoarelor etape:

Datele de intrare

Întocmirea tabelului de adevăr

Calculul probabilităților stărilor sistemului

Calculul performanței sistemului în fiecare stare

Gruparea stărilor sistemului

Calculul probabilităților grupelor de stări

Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului În cele ce urmează se detaliază aceste etape.

Datele de intrare

Datele de intrare pentru elementele binare sunt disponibilitățile elementelor, cu i ∊ mes unde mes este mulțimea elementelor sistemului. În cazul sistemelor multivalente formate din elemente binare se introduce noțiunea de performanță a fiecărui element, notată cu Πi , în starea de funcționare a acestuia. Performanța este un parametru sau un vector de parametrii care caracterizează starea de succes (funcționare) a elementului respectiv. Performanța Πi poate fi un debit, o putere, productivitate sau orice altă mărime ca rezistența tehmică, inductanța, capacitatea, etc. Structura sistemului, relația lui cu elementele componente se exprimă sub formă de tabel de adevăr.

Tabelul de adevăr are:

-un număr de coloane egal cu numărul de elemente al sistemului plus o coloană corespunzătoare sistemului

– un număr de linii egal cu numărul stărilor sistemului după cum urmează:

– mulțimea stărilor cu toate elementele în funcțiune

– mulțimea stărilor cu un element defect

– mulțimea stărilor cu două elemente defecte

– mulțimea stărilor cu i elemente defect

– mulțimea stărilor cu n-1 elemente defecte

– mulțimea stărilor cu n elemente defecte

Numărul total de stări în care se poate afla sistemul este dat de relația:

Elementele tabelului de adevăr vor fi:

– pentru sistemul binar format din elemente binare un simbol pentru starea de succes care poate fi f = funcționare, s = succes sau 1 iar pentru cea de refuz d = defect, r = refuz sau 0;

– pentru sistemul multivalent format din elemente binare, tabelul va conține valori ale performanțelor elementelor respectiv sistemului.

Calculul probabilităților sistemului

Cunoscând probabilitățile de funcționare și de refuz pentru oricare element i, i∊(1, 2, …, nes) se poate calcula probabilitatea oricărei stări a sistemului folosind teorema produsului de probabilități:

Teorema:

Probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente independente este egală cu produsul probabilităților evenimentelor.

Aplicată la categoriile de stări menționate anterior, rezultă:

– probabilitatea stării cu toate elementele în funcțiune

– probabilitatea stării cu elementul i defect

– probabilitatea stării cu două elemente, i și k, defect

– probabilitatea stării cu d elemente defecte și f elemente, d + f = nes, în funcțiune

– probabilitatea stării cu toate elementele defecte

Aceste probabilități reprezintă termenii dezvoltării produsului binomial

de unde vine și denumirea de metodă binomială.

Pentru cazul particular în care elementele sistemului sunt identice, se pot scrie relațiile:

care reprezintă termenii dezvoltării binomului

Cu aceste relații putem calcula probabilitățile absolute ale stărilor sistemului în funcție de probabilitățile de funcționare (disponibilitățile) momentane ale elementelor componente.

Calculul performanței sistemului în fiecare stare

Se face în funcție de performanțele (valorile parametrilor funcționali) elementelor sistemului și ale sistemului.

Operația poate fi făcută, evident, numai de către cei care cunosc funcționarea tehnică a sistemului, principiile de bază ale acestuia, restricțiile privind funcționarea precum și relațiile dintre elemente și sistem, efectul funcționării și nefuncționării fiecărui element asupra sistemului.

De exemplu, în cazul sistemelor la care performanța se măsoară în debite sau puteri produse, transportate, transformate, respectiv în productivități, sunt valabile regulile:

– la sistemele serie:

Unde , i iar mess=mulțimea elementelor sistemului serie:

La sistemele paralele

unde nesp este numărul de elemente a sistemului paralel.

Reguli asemănătoare guvernează orice sistem existând legi de legătură între parametrii elementelor componente și cei ai sistemului, legi care materializează, de fapt, structura sistemului din punct de vedere al parametrului în cauză.

Gruparea stărilor sistemului

Există două posibilități:

– sistem binar, caz în care stările sale se grupează în două submulțimi:

– mulțimea stărilor de funcționare (succes) S;

– mulțimea stărilor de defect (refuz) R.

– sistem multivalent, caz în care stările se grupează în mai multe submulțimi, după criteriul nivelului de performanță a sistemului; din aceeași grupă vor face parte stările în care sistemul are același nivel de performanță.

Calculul probabilităților grupelor de stări

Stările sistemului fiind incompatibile, probabilitățile grupelor de stări se vor calcula cu teorema sumei de probabilități:

Probabilitatea producerii oricăruia din două sau mai multe evenimente incompatibile va fi egală cu suma probabilităților evenimentelor

Ca urmare, se poate calcula probabilitatea de succes a sistemului binar folosind relația:

iar probabilitatea de refuz a sistemului cu relația

În cazul sistemelor multivalente, mulțimea stărilor acestora poate fi împărțită în mai multe submulțimi , , …, , …, după criteriul de exemplu, al nivelului de performanță al sistemului în grupa respectivă de stări. Probabilitatea ca sistemul să se afle în una din grupurile de stări definite mai sus se calculează cu relația

;

unde mgss este mulțimea grupelor de stări a sistemului. Din relația anterioara rezultă probabilitatea ca sistemul să realizeze nivelul de performanță corespunzător submulțimii respective de stări, toate aceste probabilități luate împreună reprezentând funcția de distribuție a variabilei aleatoare discrete nivel de performanță a sistemului.

Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului

Pentru cazul sistemelor binare, în etapele anterioare s-au determinat probabilitatea de succes a sistemului ca și probabilitatea de refuz. Folosind aceste mărimi se pot determina alți indicatori de fiabilitate:

, media timpului total de funcționare a sistemului în perioada de referință T;

, media timpului total de defect a sistemului în perioada de referință T.

Pentru cazul sistemelor multivalente, se cunoaște din etapele precedente funcția de distribuție a variabilei aleatoare discrete , performanța sistemului.

Ca urmare, se pot calcula toți indicatorii de performabilitate ai sistemului considerat intrinsec sau ca sistem de deservire caz în care i se asociază o anumită cerere exprimată sub formă de constantă

Dintre indicatorii de performabilitate intrinseci sistemului, cel mai frecvent folosit este media performanței dată de relația:

unde ddps este domeniul de definiție a performanței sistemului care este mulțimea valorilor performanței rezultată la gruparea stărilor.

Dintre indicatorii relaționali pot fi calculați:

probabilitatea ca performanța să depășească o anumită valoare impusă (cerută), reprezentată de o constantă :

probabilitatea ca valoarea performanței să se găsească într-un interval mărginit de o valoare maximă și una minimă :

Unde este funcția de repartiție a performanței.

Dacă performanța este o putere, un debit, etc. pot fi calculați și alți indicatori cum ar fi energia produsă sau nelivrată într-un interval de referință dat și media timpului în care nu este realizat un anumit nivel de cerere, etc.

3.Modelul binomial

Modelul binomial a fost mai întâi sugerat de Cox, Ross și Rubinestein (CRR) în 1979 și presupune că mișcările de preț ale stocului sunt compuse dintr-un număr mare de mișcări mici binomiale. Modelele de tip binom vin la îndemână mai ales atunci când titularul are de luat devreme deciziile exercițiu pentru a face înainte de scadență sau atunci când formulele exacte nu sunt disponibile.

Aceste probleme pot adapta probleme complexe de evaluare a opțiuniilor.

În primul rând, vom împărți timpul de valabilitate al opțiunii în subintervale de timp de lungime , unde . Să presupunem că este prețul de stoc de la început de o anumită perioadă de timp. Apoi, modelul binomial de mișcare al prețurilor presupune că, la sfârșitul fiecărei perioade de timp, fie în sus la noi cu probabilitatea , fie în jos cu probabilitatea , unde și sunt factori în sus și în jos cu .

Reamintim că prin principiul evaluare neutră la risc, randamentul așteptat de la toate opțiuniile tranzacționate este rata dobânzii fără risc. Putem valora fluxurile viitoare de numerar prin a actualiza valorile lor estimate la rata dobânzii fără risc. Parametri îndeplinesc condițiile de evaluare neutră la risc și distribuirea longnormală din prețul de vânzare și avem

(1)

Deoarece urmează o distribuție normală, varianta acesteia este dată de

(2)

unde . Aceasta poate fi exprimată ca

(3)

și aceasta poate fi simplificată pentru a se obține

(4)

Dacă presupunem că , atunci rezultă din (1) si (4) că

(5)

Probabilitatea obținută în (5) se numește probabilitate neutră la risc. Este probabilitatea de o mișcare ascendentă a prețului de stoc care asigură că toate pariurile sunt corecte, se asigură că nu există un arbitraj.

Așteptarea acțiunilor prețurilor poate fi scris ca

(6)

unde este prețul acțiunilor după o perioadă, și folosind valoarea în (5), se constată că, care în mod natural rezultă din ipoteza noastră a evaluării neutre la risc.

Varianta 2

Modelul de tarifare binomial urmărește evoluția variabilelor cheie care stau la baza opțiuinii în timp discret. Acest lucru se face prin intermediul unei grile binomiale, pentru un număr de pași între evaluarea și datele de expirare. Fiecare nod din rețea reprezintă un posibil preț al activului suport la un moment dat.

Evaluarea se face iterativ, începând de la fiecare dintre nodurile finale (cele care ar putea fi atinse la momentul expirării), și apoi se lucrează înapoi prin arbore față de primul nod ( dată de evaluare). Valoarea calculată în fiecare etapă este valoarea opțiunii la acel moment.

Valoarea opțiunii utilizând această metodă este, asa cum este descris, un proces în 3 etape:

Prețul generat de arbore

Calcualarea valorii opțiunii la fiecare nod final,

Calcuarea secvențială a valorii opțiunii la fiecare nod precedent.

Pasul 1. Creați arborele de preț binomial

Arborele de prețuri este produs de lucru înainte de data de evaluare la expirare.

La fiecare pas, se presupune că instrumentul de bază se va deplasa în sus sau în jos cu un factor specific pentru fiecare pas din arbore (în cazul în care, prin definitie . Deci, dacă este prețul curent, apoi în perioada următoare prețul va fi .

În sus si în jos, factori sunt calculați folosind volatilitatea de bază, , precum și durata de timp a unui pas, , măsurata în anii (folosind convenția numărul de zile al instrumentului de bază). Din condiția că variația jurnalului de preț este , avem:

.

Mai sus, este metoda originală Cox, Ross și Rubinstein (CRR), există alte tehnici pentru generarea laticei, cum ar fi „probabilități egale” de arbori. Arborele trinom este un model similar permițând mișcarea în sus, în jos sau pe cale stabilă.

Metoda CRR asigură că arborele este recombinat, de exemplu, în cazul în care activul suport se mișcă în sus și apoi în jos , prețul va fi același ca și în cazul în care sa mutat în jos și apoi în sus aici cele două căi fuzionează sau recombină. Această proprietate reduce numărul de noduri ale arborelui, și astfel, se accelerează calculul prețului opțiunii.

Această proprietate permite, de asemenea, ca valoaraea activului suport la fiecare nod să fie calculată direct prin formulă, ți nu necesitaă ca arborele să fie construit în primul rând. Valoarea nodului va fi:

Sn=S0×uNu-Nd

unde este numărul de noduri în sus și este numarul de noduri în jos.

Pasul 2. Găsește valoarea opțiunii la fiecare nod final

La fiecare nod final al arborelui- adică la expirarea opțiunii- valoarea opțiunii este pur și simplu intrinsecă ei, sau de a exercita, valoarea.

, pentru o opțiune Call.

pentru o opțiune Put.

unde este prețul de exercitare și este prețul spot al activului suport

la perioada

Pasul 3. Găsește valoarea opțiunii de la nodurile anterioare

Odată ce pasul de mai sus este complet, valoarea opțiunii este apoi găsita pentru fiecare nod începând de la penultimul și lucrând înapoi până la primul nod al arborelui ( data evaluarii ), unde calculul rezultat este valoarea opțiunii.

În ansamblu: „valoarea binomială” se găsește la fiecare nod, folosind inpoteza neutralității riscului, dacă exercitarea este permisă la nod, apoi modelul are cea mai mare valoare binomială și de exercitare la nod.

Etapele sunt urmatoarele:

În ipoteza neutralității riscului, prețul de astăzi a unui instrument derivat este egal cu valoarea estimată a câștigului sau viitor actualizat cu rata fără risc.
Prin urmare, valoarea estimată este calculată folosind valoriile opțiunii din 2 noduri ulterioare (opțiunea în sus și opțiunea în jos), ponderate cu respectiva probabilității lor „probabilitate” , la o miscare în sus a activul suport, și „probabilitate” la o miscare în jos. Valoarea estimată este apoi redusă la , rata liberă de risc corespunzătoare duratei de viață a opțiunii.

Următoarea formulă pentru a calcula valoarea estimată se aplică la fiecare nod:

sau

unde

este valoarea opțiunii pentru a nodului la timpul,

este ales astfel încât distribuția binomoială aferentă stimulează mișcarea browniană geometrică a stocului care stă la bază, cu parametrii și , este randamentul dividentului a activului suport corespunzător pentru durata de valabilitate a opțiunii. Rezultă că într-un preț neutru la risc viitorul în lume ar trebui să aibă o rată de creștere estimată de zero și, prin urmare putem considera pentru viitor.

Acest rezultat este „ Valoarea Binomială”. Acesta reprezintă prețul adevărat al instrumentului derivat de la un anumit moment în timp ( de exemplu, la fiecare nod ), având în vedere evoluția prețului activului suport la acel moment. Aceasta este valoarea de opțiune dacă ar fi fost să aibă loc, spre deosebire de exercitare la acel moment.

În fiuncție de stilul de opțiune, se evaluează posibilitatea de exercitare la fiecare nod: dacă 1 este îndeplinit, opțiunea poate fi exercitată, și 2, valoarea de exercitare depășește valoarea binomială, apoi 3, valoarea la nod este valoarea de exercitare.

3.1Aplicații

Cursul curent al unei acțiuni este , volatilitatea este , rata dobânzi fără risc pe piață este . Se emit opțiuni CALL si PUT de tip european, cu scadența peste 6 luni și care au un preț de exercitare Determinați valoarea curentă a opțiunilor CALL și PUT emise.

Rezolvare:

Valoarea opțiunii PUT cu aceleași caracteristici ca și opțiunea CALL o determinăm utilizând teorema de paritate PUT-CALL.

Determinați valoarea unei opțiuni de tip european care dă dreptul la cumpărarea peste 9 luni a unui dolar canadian la prețul de 0,75 USD. Cursul spot este de 1CAD = 0,75USD iar volatilitatea cursului de schimb CAD/USD este 4% pe an. Ratele de dobândă în procente pe an în Canada si SUA sunt 9% respectiv 7%.

Rezolvare:

Spotul opțiunii este CAD și de aceea

Prețul opțiunii PUT corespunzătoare o putem determina de paritatea PUT-CALL

Un investitor dispune de o suma de bani A cu care poate cumpăra exact 100 de acțiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma este depusă la bancă cu dobândă continuă, după 9 luni ea devine B. Cu suma A investitorul poate cumpăra exact 1000 de opțiuni CALL cu scadența peste 9 luni, având prețul de exercitare și având ca suport această acțiune. Să se calculeze volatilitatea a acțiunii.

Rezolvare:

(

.

Fie o acțiune suport care are cursul spot la momentul curent , și pentru care se emit opțiuni cu prețul de exercitare Rata dobânzi fără risc este .

Să se evalueze opțiuni PUT și CALL Europene cu și fără divident folosind modelul binomial pe 5 perioade știind că durata unei perioade este de 3 luni. În cazurile în care acțiunea suport plătește dividende, presupunem că acestea sunt plătite în perioada 4 și reprezintă 10% din valoarea cursului din acel moment.

Verificați relația de paritate PUT-CALL în cazul opțiunilor ex-dividend.

Explicați de ce prețurile opțiunilor

Rezolvare:

Prețul de exercitare (Strike price ): E=50

Factorul de actualizare (Discount factor per step) :

Factorul de fructificare (Growth factor per step ):

Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step ) :

Probabilitatea neutră la risc (Probability of up move) :

Factorul de creștere ( Up step size ) :

Factorul de scădere ( Down step size )

Metoda Europeană Binomială CALL

La fiecare nod:

Valuarea superioară=care stă la baza prețurilor activelor

Valoarea mai mică=prețul opțiunii

Valorile în roșu sunt un rezultat al exercitării timpurie

Prețul de exercitare=50

Factorul de actualizare=0.9753

Perioada de timp dintre două noduri, t=0.2500 ani; 91.25 zile

Factorul de fructificare a=1.0253

Probabilitatea neutră la risc p=0.6014

Factorul de creștere u=1.1052

Factorul de scădere d=0.9048

Timpul nodului:

0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pe ultima coloană payoff-ul opțiuni (marcat în chenar cu roșu) se obține calculând

. De exemplu pentru 5 creșteri consecutive ale cursului valoarea opțiuni CALL la scadență va fi .

Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicăm expresia dedusă pe baza metodei evaluării neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada ( după 4 creșteri consecutive de curs) este:

Continuând raționamentul obținem valoarea opțiunii la momentul inițial .

Metoda Europeană Binomială Put

La fiecare nod:

Valuarea superioară=care stă la baza prețurilor activelor

Valoarea mai mică=prețul opțiunii

Valorile în roșu sunt un rezultat al exercitării timpurie

Prețul de exercitare=50

Factorul de actualizare=0.9753

Perioada de timp dintre două noduri, t=0.2500 ani; 91.25 zile

Factorul de fructificare a=1.0253

Probabilitatea neutră la risc p=0.6014

Factorul de creștere u=1.1052

Factorul de scădere d=0.9048

Timpul nodului:

0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pentru opțiunea PUT se raționează similar dar pornind de la payoff-ul unei opțiuni PUT:

. De exemplu valoarea PUT-ului dupa 4 scăderi consecutive de curs va fi:

Continuând raționamentul obținem valoarea opțiunii PUT la momentul inițial:

.

Teorema de paritate CALL-PUT valabilă pentru opțiuni Europene :

Să se calculeze folosind modelul binomial, valoarea unei opțiuni PUT pe baza următoarelor date:

; ; ; ;;

Rezolvare:

rang= 39 e preferabil să calculăm prima CALL.

Iar prima opțiunii PUT se determină aplicând teorema de paritate PUT-CALL

Bibliografie

Resurse web

Wikipedia

http://cfcem.ee.tuiasi.ro/pdf/capitolul_3_studenti.pdf

http://andrei.clubcisco.ro/cursuri/f/f-sym/5master/mti-mf/curs_10.pdf

http://www.math.uaic.ro/

https://www.calcxml.com/do/inv06

http://www.investopedia.com/articles/financial-theory/binomial-trees-black-scholes-model.asp

Cărți

Bulow, J., J. Roberts: The Simple Economics of optimal Auctions. În: Journal of Political Economy, vol. 97, 1989, pp 1060-1090.

Dewynne, J.N., A.-E., Whalley, P. Wilmott: Mathematical Models and Partial Differential Equations in Finance, Quantitative Methods. În: Super Computers and AI in Finance, S. Zenios, 1995.

Finan. Econom. 3, pp. 145-166, 1976

Stoll, H.R. (1969), The relationship between put and call option prices, Journal of Finance, Vol. 24: 801-824.

Tudor, C., B. Iftimie, M. Tudor: Elemente de teoria proceselor stocastice cu aplicatii în finante, Tipografia ASE Bucuresti, Bucuresti, 1998.

Wilmott, P. Derivative. Inginerie financiara, Editura Economica, Bucuresti, 2002.

Reviste

Barbu Marius-Ionuț, ,,Opțiuni reale în analiza bugetului de capital‘‘, în revista Oeconomica In Its Journal Revista Oeconomica 04/2006.

Cox, J.C.; Ross. S.A. – The valuation of options for alternative stochastic processes, J.