Metoda Aproximatiilor Succesive Pentru Ecuatii Diferentiale

DISERTAȚIE

Metoda aproximațiilor succesive pentru ecuații diferențiale

I.Ecuații diferențiale ordinare

I.1 Formula de cuadratură a trapezului

Formula de cuadratură a trapezului este o formulă de tip interpolator obținută din integrarea formulei de interpolare polinomială Lagrange corespunzătoare polinomului de gradul întâi. Vom porni de la interpolarea liniară. Astfel, dacă dorim să aproximăm o funcție continuă printr-o funcție polinomială de gradul întâi care să o interpoleze , adică și , atunci vom avea sistemul liniar

unde și sunt date astfel încât .Soluția acestui sistem va fi:

și funcția polinomială se poate scrie sub forma

Formula de interpolare liniară este atunci

În cazul interpolării lui Lagrange , atunci când , are loc estimarea :

Integrând pe intervalul egalitatea

se obține

și dacă atunci

Egalitatea

Împreună cu estimarea erorii

reprezintă formula de cuadratură a trapezului . Conform acestei formule , integrala

se aproximează prin , ceea ce din punct de vedere geometric reprezintă aria trapezului dreptunghic de vârfuri Astfel aria se aproximează prin aria acestui trapez.

Întrucât pe intervalele de lungime mare estimarea este nefolositoare , la aproximarea integralelor definite prin formula de cuadratură a trapezului se consideră o diviziune echidistantă a intervalului

pentru care , și se aplică formula de cuadratură a trapezului pe fiecare subinterval . Se obține astfel :

Teorema 1.1.1 ( formula de cuadratură a trepezului) Dacă atunci

și

Demonstrație : Aplicând pe fiecare interval , formula de cuadratură a trapezului obținem

și

Atunci

unde o notăm cu , și

Interpretarea geometrică a formulei (2.2) este următoarea: graficul funcției este aproximat de linia poligonală ce unește prin segmente punctele , iar este aproximată de suma ariilor trapezelor dreptunghice de vârfuri , , , .

Recent , s-au obținut estimări ale erorii din formula de cuadratură a trapezului și pentru cazul în care funcția este mai puțin netedă . Astfel ,

unde .

I.2 Problema Cauchy de ordinul întâi

Fie și o funcție continuă satisfăcând o condiție Lipschitz în raport cu al doilea argument. Atunci , problema Cauchy :

(1.2)

Are în o soluție unică ce poată fi obținută prin metoda aproximațiilor succesive pornind de la orice element din (în particular , putem porni de la ) , unde , iar astfel încât

Condiția Lipschitz în al doilea argument este : astfel încât

(1.3)

Problema Cauchy (1.2) fiind echivalentă cu ecuația integrală Volterra ,

prin aplicarea principiul de punct fix al lui Banach ecuației integrale (1.4) se obține șirul aproximațiilor succesive :

La calculul integralelor din (1.5) vom folosi formula de cuadratură a trapezului obținută în (1.1) :

cu estimarea restului ,

unde este constanta Lipschitz a lui și este constanta Lipschitz a lui .

Fie o diviziune echidistantă a intervalului ,

Pe nodurile , șirul aproximațiilor succesive (1.5) este :

Definim funcțiile :

La calculul integralelor din (1.8) folosim formula de cuadratură (1.6) – (1.7) și vom obține :

Iar estimarea restului este :

unde este o margine superioară a constantelor Lipschitz ale funcțiilor , , iar este o margine superioară a constantelor Lipschitz ale funcțiilor , .

Relațiile (1.9) și (1.10) conduc la următorul algoritm :

și

Prin inducție după , , obținem :

,

Fie astfel încât

Dacă , deoarece

rezultă

unde

Teorema 1.2.1 Dacă și , în condițiile (1.3) și (1.14) atunci funcțiile , , sunt Lipschitz cu constanta , iar șirul dat prin (1.13) aproximează soluția problemei Cauchy (1.2) pe nodurile , , estimarea erorii fiind :

Demonstrație :

Prin inducție se obține succesiv :

Din principiul de punct fix a lui Banach rezultă estimarea :

unde

Se observă

Din relațiile (1.13) avem

În plus

și

Dacă atunci

Deoarece

din (1.16) și (1.19) rezultă inegalitatea (1.15).

Teorema 1.2.2 Dacă și , atunci estimarea erorii este:

Demonstrație : Deoarece

din inegalitatea (1.10) , în mod analog cu demonstrația teoremei (1.2.1) , obținem :

a

ceea ce conduce la estimarea (1.20).

Considerăm și impunem următoarele condiții Lipschitz asupra derivatelor parțiale de ordinal întâi :

(1.22)

(1.23)

(1.24)

unde

Teorema 1.2.3 În condițiile (1.21) – (1.24) , dacă

și , atunci sunt Lipschitz cu constanta

iar estimarea eroriieste :

Demonstrație : Întâi , obținem :

Iar prin inducție obținem că pentru orice și avem :

Inegalitatea (1.10) , conduce într-un mod similar cu demonstrația teoremei (1.2.1) , la estimarea (1.25)

Dacă atunci ,

și astfel ,

unde

Teorema 1.2.4 ([2]) Dacă și atunci estimarea erorii este :

Demonstrația este analoagă celei din teorema (1.2.2).

Observație : Estimările din teoremele de mai sus sunt apriori. Pentru metoda numerică prezentată mai sus se poate obține și o estimare a posteriori. Astfel pentru teorema (1.2.4) avem:

și

Pe de altă parte ,

iar din teorema de punct fix a lui Banach rezultă estimarea a posteriori

Atunci ,

și de aici rezultă

Deci , pentru se obține estimarea a posteriori :

Prin urmare un criteriu de oprire a algoritmului și a procesului iterativ Picard este următorul :

Pentru dat , pentru a obține

se alege

și atunci

iar apoi se determină astfel încât :

Ceea ce asigură

Observație : Din inegalitățile (1.15) și (1.27) rezultă că

asigurând convergența metodei . Mai precis , în (1.15) ordinul de convergență este 1 (eroarea fiind ) , iar în (1.27) ordinul de convergență este 2 .Pentru oprirea algoritmului se folosește criteriul practic demonstrat mai sus.Acesta se poate enunța mai simplu astfel :

Fiind dat , să se determine primul număr natural astfel încât :

I.3 Problema bilocală de ordinul doi

Problema bilocală

este echivalentă cu ecuația integrală Fredholm

unde

Avem:

și

cu

Totodată

Presupunem că și există astfel încât

Constanta Lipschitz va fi :

Algoritmul corespunzător este :

Analog teoremei 1.2.1 se obține:

Teorema 1.3.1 În condițiile (1.30) , (1.31) , (1.32) , dacă și , atunci problema bilocală (1.28) are o unică soluție care este aproximată pe nodurile , ale intervalului , de către termenii șirului dați în (1.33) – (1.35).Estimarea apriori a erorii este :

.

Observație: Din inegalitatea precedentă deducem că șirul , converge către soluția problemei bilocale și deci este de asemenea un șir fundamental .Din acest motiv putem utiliza următorul criteriu practic de oprire al algoritmului : pentru dat și pentru stabilit anterior , să se determine primul număr natural astfel încât

I.4 Problema Cauchy de ordinul doi

Considerăm problema

Definim

Considerăm ipotezele :

f continuă

Există astfel încât

Există astfel încât

Teorema 1.4.1 (Teorema de existent și unicitate) În ipotezele problema Cauchy are o unică soluție astfel încât pentru șirul aproximațiilor successive dat prin : are loc :

uniform pentru

În plus , au loc estimările :

Demonstrație : Fie

A este contracție

astfel încât , adică

Atunci este unica soluție pentru și deci , este unica soluție pentru .

Observație : Deoarece ,iar este continuă , va exista astfel încât .Atunci .

Fie diviziunea

Algoritmul

Se obține în mod recurent

Se poate arăta că în condițiile , se obține unde este o constantă care conține

Criteriul de oprire: pentru dat și dat se determină primul număr natural n pentru care

II.Ecuații diferențiale cu argument modificat

II.1 Funcții spline cubice

Considerăm o funcție și diviziunea intervalului

Deasemenea , fie astfel încât și notăm

.

O funcție spline cubică pentru, este o funcție spline polinomială de gradul 3 de interpolare a funcției pe nodurile diviziunii Vom nota prin restricțiile funcției la subintervalele ale diviziunii .

Pentru funcțiile spline cubice se folosesc notațiile :

Deoarece sunt funcții polinomiale de gradul întâi , în baza notațiilor de mai sus se vor rezolva problemele bilocale

și se obține

Pentru determinarea coeficienților , din condiția rezultă cerințele

.Acestea conduc la un sistem liniar de ecuații cu necunoscute .

La acestea se adaugă încă două condiții , sau (în ipoteza că sunt cunoscute și ). Adăugând de exemplu , ultimele două condiții se obține sistemul :

din care se determină în mod unic Observăm că matricea acestui sistem este tridiagonală cu diagonala dominantă și de aceea este nesingulară. Funcția spline obținută se numește spline cubic complet .

Adăugând condițiile se obține din (2.2) sistemul

care conduce la funcție spline cubică naturală.

Urmând metoda din [6] vom arăta că funcția spline cubică (2.1) ce îndeplinește oricare din cele două condiții suplimentare de mai sus are proprietăți optimale remarcabile.

Teorema 2.1.1 (proprietatea de ortogonalitate [6]) : Dacă și este funcție spline cubică de interpolare a funcției pe nodurile diviziunii:

și sunt astfel încât atunci impunând condițiile la capetele intervalului sub forma se obține următoarea relație integrală numită identitatea lui Holladay):

Demonstrație: Se poate scrie

și integrând această egalitate pe intervalul , se obține

Calculând ultima integrală prin metoda integrării prin părți rezultă :

și ținând seama de faptul că pentru fiecare interval , funcția este constantă , ultima integrală devine

și atunci

Deoarece , se obține

Următoarele trei teoreme sunt consecințe ale acestei identități a lui Holladay.

Teorema 2.1.2 (de unicitate , [6] ) : Fie și diviziunea intervalului

Există o singură funcție spline cubică de interpolare a funcției pe nodurile diviziunii , verificând condițiile la extremitățile .

Demonstrație : Demonstrăm întâi unicitatea.Folosind metoda reducerii la absurd , vom presupune că există două funcții spline de interpolare a funcției pe nodurile diviziunii , cu și . Atunci este tot o funcție spline cubică , cu proprietățile adică interpolează funcția .În baza teoremei precedente , în varianta , avem :

și atunci Deci există numerele reale astfel încât

.Întrucât și , deducem că , adică

și deoarece

rezultă . Atunci , și . Existența se demonstrează construid o asemenea funcție spline. Observând că sistemele liniare (2.4) și (2.3) au matricea tridiagonală , diagonal dominantă , deducem că matricile celor două sisteme nesingulare. Deci , aceste două sisteme au fiecare câte o soluție unică și atunci atât funcția spline cubică naturală cît și cea completă sunt unic determinate prin formula (2.1).

Teorema 2.1.3 (proprietatea optimală a curburii minime , [6] ) : Fie și diviziunea intervalului

Dintre toate funcțiile care interpolează funcția pe nodurile diviziunii doar funcția spline cubică naturală cu minimizează funcționala:

pe mulțimea

Demonstrație : Dacă luăm arbitrar atunci din deducem că interpolează atât funcția cât și funcția , și în baza Teoremei 2.1.1 obținem

și atunci

Deci , , adică

Observație: Teorema de mai sus de numește proprietatea de curbură minimală deoarece în virtutea formulei curburii unei funcții , într-un punct,

în care considerăm panta neglijabilă , adică , ajungem la , și atunci măsura curburii globale poate fi funcțională

Teorema 2.1.4 (estimarea în a erorii , [6] ) : Notând , dacă și este funcție spline cubică de interpolare a funcției pe nodurile diviziunii

cu condiții la extremitățile naturale (adică , atunci estimarea erorii este:

respectiv ,

unde .

Demonstrație : Fie arbitrar. Deoarece deducem că funcția are rădăcini distincte , în intervalul și atunci în baza teoremei lui Rolle , în fiecare interval există astfel încât , adică . Întrucât , există astfel încât . Pe intervalul putem avea sau , în ambele situații demonstrația decurgând la fel. Presupunem că . Atunci :

și folosind inegalitatea lui Cauchy-Schwartz , se obține

Întrucât identitatea lui Holladay poate fi scrisă sub forma

deducem că și atunci . Astfel obținem ,

În final deducem ,

și atunci ,

Observație: Conform estimărilor din teorema precedentă rezultă

și

ceea ce înseamnă convergența uniformă a funcției către și a funcției către . În cazul unei diviziuni echidistante aceste estimări devin

și

și convergența se poate exprima prin

și

II.2 Problema Cauchy de ordinul întâi cu argument modificat

Considerăm problema de valori inițiale:

Această metodă are structură iterativă și folosește o procedură de interpolare în fiecare pas iterativ . Metodele numerice pentru probleme cu valori inițiale asociate la ecuații diferențiale cu argument modificat sunt bazate pe proceduri de tip Runge-Kutta , metoda colocației , metoda funcțiilor spline , metoda lui Euler , metode , metoda de descompunere Adomian , metoda iterațiilor variaționale . Ecuațiile diferențiale de ordinul întâi cu argument modificat sunt aplicate în biomatematică , economie , electrodinamică și în diverse domenii ale ingineriei și a biologiei.

Ideea de bază a metodei de interpolărilor succesive este folosirea unei proceduri de interpolare în fiecare pas al aproximării succesive interpolând calorile calculate în pasul anterior pe o diviziune uniformă.Procedura de interpolare este folosită numai în punctele în care argumentul este modificat.Convergența metodei este dovedită folosind condiția Lipschitz ceea ce extinde aplicabilitatea metodei și în absența condițiilor de netezime și de mărginire.

II.2.1 Proprietățile șirului aproximațiilor succesive

Considerăm următoarele condiții :

și cu

există astfel încât

Există astfel încât

și

Pentru că este continuă deducem că există astfel încât

unde

Aplicând tehnica punctului fix (bazată pe principiul lui Picard-Banach) asupra operatorului dat de

în condițiile , obținem convergența șirului aproximațiilor succesive :

către soluția unică , a problemei de valori inițiale (2.5).

Deci (t) este uniformă pe și se obțin următoarele estimări ale erorii :

și mai mult , deoarece deducem că . Pentru că

deducem că

Definim funcțiile .

Propoziția 2.2.1 În condițiile termenii șirului aproximațiilor succesive sunt mărginiți uniform și funcțiile sunt mărginite uniform și lipschitziene , cu constanta de tip Lipschitz , unde este dată de (2.9)

Demonstrație: Fie arbitrar. Avem:

și cu ajutorul inducției vom avea

Deci ,

și

Fie

Pentru oricare ar fi avem :

și

Mai mult , deoarece obținem:

și

II.2.2 Metoda numerică

C.Iancu a propus o metodă de interpolare spline cubică pentru valori date corespunzător nodurilor

Acest spline cubic poate fi generat cu condițiile inițiale , pentru că este obținut integrând problema de valori inițiale

unde , și

Expresia este

(2.10)

și condiția ne duce la

Înlocuind în , obținem

Propunem un algoritm care calculează valorile , pentru spline cubice cu condiții limitate natural în mod recurent și obținem estimarea erorii în interpolarea spline (2.12) funcțiile continue uniforme. Deoarece , cerința conduce la condiția obținând următorul sistem liniar:

care trebuie rezolvat pentru , . Asumând condițiile la limită naturale

, avem

Algoritmul (obținut aplicând metoda prezentată în [1] , paginile 14-15) în forma recurentă care ne dă soluția sistemului (2.13) este următorul:

Pentru început , fie

și

Recurent , calculează

și

În final cu recurența inversă obținem :

Lema 2.2.2 Fie și astfel încât . Dacă este o funcție continua și este de interpolare spline cubică generată de condiții inițiale , cu condițiile naturale la limită , astfel încât estimarea erorii este :

unde este modulul de continuitate uniformă.

Demonstrație: Sistemul (2.13) cu poate fi scris în forma diagonală dominantă

cu

Deoarece deducem că matricea este inversabilă ,

unde . Se poate vedea ușor că

și

. După care ,

pentru oricare . Pentru diviziuni uniforme rezultă și

Deci , în acest caz

Algoritmul Considerăm o diviziune uniformă de dată de nodurile

și secvența construită în următorul algoritm :

și

și prin inducție pentru

În , este o funcție spline cubică generatăde condițiile inițiale din (2.12) interpolând valorile Restricțiile ale funcției spline la intervalele sunt :

unde și valorile sunt calculate recursiv cu algoritmul prezentat în cu , ,

și .

II.2.3 Convergența metodei

Pentru a defini stabilitatea numerică în raport cu valoarea inițială , condiția initial de modifică astfel Să presupunem că pentru , avem

Aplicând algoritmul prezentat anterior pentru valoarea initial , obținem secvența de aproximări successive

și valorile efectiv calculate sunt cu

.

Definiția 2.2.3 Spunem că metoda numerică prezentată mai sus și algoritmul său sunt numeric stabile în raport cu valoarea inițială dacă există , o secvență de funcții continue

cu proprietatea , și constantele care nu depind de , astfel încât

.

Teorema 2.2.4 În condițiile soluția , problemei de valori inițiale este aproximată pe nodurile prin secvența calculate în cu estimarea erorii:

și metoda numerică și algoritmul său prezentate în sunt stabile numeric în raport cu valoarea inițială.

Demonstrație : În primul rând din și avem

și prin urmare , vom căuta o limită superioară de . Definim funcțiile

data de

pentru toate valorile . Vedem că , pentru toate valorile , Deci , spline cubic interpolează pe la nodurile , și .Este ușor de văzut că :

și

Deci , folosind Lema deducem că

Din inducție pentru se obține:

unde și

Pe de altă parte ,

și în mod similar ca mai sus ,

În mod inductiv în funcție de condiția , obținem , și .

.

În consecință ,

Din și obținem

cu , și , , . Aici

Observația 2.2.5 Din estimarea rezultă convergența metodei și al algoritmului .În același timp , estimarea (2.7) oferă un criteriu practic de oprire a algoritmului . Acest lucru poate fi precizat după cum urmează : pentru dat și dat , primul număr natural ales este stabilit astfel încât

Ne oprim la acest pas , păstrând aproximările a soluției. O demonstrație pentru acest criteriu este următoarea :

Pentru toate valorile avem și

.

Deci,

Atunci

Pentru dat avem nevoie de

Deoarece

Putem alege cel mai mic număr natural pentru care prima inegalitate din are loc.După ce găsim cel mai mic număr natural (aceasta este ultima etapă iterative care trebuie parcursă) pentru care

pentru toate valorile . Cu acesta se obține , .

II.3 Problema bilocală de ordinul doi cu argument modificat

Considerăm problema bilocală de ordinul doi

cu următoarele condiții:

și 0, pentru toate valorile

există astfel încât

Există astfel încât

și

unde și . Fie Atunci , pentru orice . Deoarece este continuă , atunci există astfel încât

atunci și , pentru orice . Problema bilocală de ordinul doi este echivalentă cu ecuația integrală

unde este funcția lui Green

Ecuația integral de mai sus poate fi scrisă sub forma :

Pe , vom aplica tehnica de punct fix a lui Picard-Banach pentru operatorul dat de :

Și în condițiile vom obține convergența șirului aproximațiilor succesive

către soluția unică a problemei bilocale (2.27). Se obțin estimările a priori și aposteriori a erorii:

Se poate observa că termenii secvenței de aproximări succesive (2.29) sunt uniform delimitați. Folosind tehnica de punct fix și condițiile (ii) și (iii) obținem :

și

și

Pe baza condiției de continuitate deducem că pe un compact

există astfel încât

Prin urmare , pentru , avem

și

Cu scopul de a calcula termenii secvenței de aproximări succesive considerăm împărțirea uniformă a intervalului dat de nodurile și fie . Pe aceste noduri relațiile (2.29) devin

Definim funcțiile , date de Se obține :

Teorema 1 În condițiile , funcțiile și , sunt Lipschitziene, constanta Lipschitz În plus , funcțiile , , sunt Lipschitziene cu constanta

Demonstrație :

După calcule elementare se obține :

În consecință ,

și

Deci

și

Algoritmul

Aplicând regulile cuadraturii trapezului pentru integrala obținem :

Deoarece funcțiile , , sunt Lipschitziene cu aceeeași constanta , pentru estimarea restului din avem

Utilizând procedura de interpolare cubică a funcțiilor spline naturale , se obține următorul algoritm:

și

unde este spline cubic natural de interpolare care interpolează valorile și a restricțiilor la intervalele

Aici și valorile se obțin recurent astfel :

Pentru fie

Acum și pentru

Fie și pentru , se calculează . În final , și pentru :

Prin inducție , pentru vom obține :

unde , este interpolarea spline cubică naturală a valorilor

și avem restricțiile pentru intervalele

Valorile se obțin similar , în mod recurent ca și în cazul . Acest algoritm are un criteriu practic de oprire prezentat mai jos în Observația 5.

Convergența metodei

Teorema 2 În condițiile , dacă , atunci soluția unică a problemei bilocale , este aproximată pe nodurile prin secvența , date în și estimarea apriorii a erorii este :

unde este definit mai jos în (2.42).

Demonstrație : Deoarece

rămâne de estimat .

Deoarece , deducem că interpolează valorile , dar nu sunt în funcție de . Prin urmare vom defini pentru orice o funcție auxiliară cu restricțiile la subintervalele , astfel:

Observăm că , adică interpolează valorile , și este continuă . Deci , interpolează funcțiile pentru și este uniform continuă pe un compact .

Recurent , prin inducție , se obține

și

Acestea ne conduc la necesitatea de a estima pentru și .În acest scop avem pentru și

Atunci,

Prin inducție , pentru obținem :

. În conformitate cu condiția , inegalitatea va fi obținută.

Observația 3 Din estimarea erorii , deoarece , observăm că pe de-o parte , rezultă că , . Acesta este algoritmul propus de convergență . Pe de altă parte diferențele dintre condițiile pentru existența și unicitatea soluției și condițiile din Teorema 2 sunt : condiția de contracție se înlocuiește cu condiția de convergență și condiția Lipschitz este inclusă. Observăm că în scopul obținerii Teoremei 2 , nu sunt necesare condițiile de mărginire.

Observația 4 În condițiile Teoremei 2 vom obține aproximarea soluției.Aceasta se obține prin interpolarea valorilor calculate prin aceeași procedură ca în Prin urmare aproximarea soluției este dată de restricțiile pentru intervalele

:

Mai mult , aproximarea derivatei a doua pe nodurile poate fi calculată din:

Corolar: Estimarea erorilor în și sunt :

Demonstrația se bazează pe inegalitățile

și

Observația 5 Acum putem vedea că estimările a posteriori (2.31)și apriorii(2.41) a erorilor pot oferi un criteriu practic de oprire a algoritmului .Acest lucru poate fi precizat după cum urmează. Pentru un dat și (ales anterior) se determină primul număr natural pentru care

și ne oprim la acest , păstrând aproximările ale soluției. O demonstrație a acestui criteriu este următoarea:

Pentru , avem

și

Atunci

.

Așadar

Pentru dat . avem nevoie de

și

În funcție de valoarea lui , și deoarece , putem alege cel mai mic număr natural n , pentru care inegalitatea (2.47) se păstrează. După ce ne-am găsit cel mai mic număr natural (acesta fiind ultimul pas iterative care trebuie făcut ) pentru care

Cu acesta obținem

III.Implementarea algoritmilor

III.1 Algoritmul cuadraturii clasice a trapezului

Date de intrare :

: capetele intervalului

: numărul de subintervale al diviziunii

: expresia funcției de sub integrală

Date de ieșire: – valoarea aproximativă a acestei integrale.

Pașii algoritmului:

Se citesc datele : a , b , n

Se creează procedura de introducere a funcției

Se construiesc nodurile diviziunii:

Pentru calculează

Calculul sumei integrale:

Pentru calculează

Calculul aproximației integralei:

Afișarea rezultatului:

Tipătește .

STOP

Exemplu : Fie

Pentru , să se calculeze valoarea aproximativă a integralei în cazurile în care .

Tabelul 3.1 Rezultatul integralei cu ajutorul cuadraturii trapezului

III.2 Algoritmul problemei Cauchy de ordinul întâi

Date de intrare :

expresia funcției

Date de ieșire:

– ultima iterație

aproximațiile soluției pe noduri obținute la ultima iterație

Pașii algoritmului :

Se citesc datele și se definește funcția

Calculează

Pentru calculează

Pentru calculează

Calculează

Pentru calculează

Pornind cu (întreg) , cât timp

calculează

Pentru calculează

Pentru , pentru care

Tipărește mesajul : “ultima iterație este ”

Pentru

Tipărește

STOP.

Exemplu 1 Fie problema Cauchy de ordinul întâi

Având soluția unică Aplicăm algoritmul prezentat mai înainte cu și și obținem și rezultatul este în tabelul 3.2 , unde este eroarea .Erorile sunt : pentru ;

pentru ;

Tabelul 3.2 Estimarea erorii pentru problema Cauchy de ordinul întâi

Exemplu 2 Fie problema Cauchy de ordinul întâi

Având soluția unică .Aplicăm algoritmul prezentat mai înainte cu și și obținem și rezultatul este în tabelul 3.3 , unde este eroarea .Erorile sunt : pentru ;

pentru ;

Tabelul 3.3 Estimarea erorii pentru problema Cauchy de ordinul întâi .,ex2

Exemplu 3 Fie problema Cauchy de ordinul întâi

Având soluția unică .Aplicăm algoritmul prezentat mai înainte cu și și obținem și rezultatul este în tabelul 3.3 , unde este eroarea .Erorile sunt : pentru ;

pentru ;

Tabelul 3.3 Estimarea erorii pentru problema Cauchy de ordinul întâi

III.3 Algoritmul problemei bilocale de ordinul doi

Date de intrare:

expresia funcției

Date de ieșire:

– ultima iterație

aproximațiile soluției pe noduri obținute la ultima iterație

Pașii algoritmului :

Se introduc datele și se definește funcția

Pentru calculează

Pentru calculează

Pentru calculează

5. Pentru , cât timp

Calculează

Pentru

6. Tipărește , și pentru tipărește ;

STOP

Exemplu 1 a=0 b=1 alfa=1 beta=1/e

Exemplu 2 a=0 b=0.5 alfa=1 beta=1/

III.4 Algoritmul problemei Cauchy de ordinul întâi cu argument modificat

Date de intrare :

a , b , , (double)

n (int)

Date de ieșire:

– ultima iterație

aproximațiile soluției pe noduri obținute la ultima iterație

Pașii algoritmului :

Citirea datelor și se definesc funcțiile și

Pentru calculează

Prima iterație

Pentru calculează

A doua iterație

Pentru calculează

Iterația generală

Începând cu , calculează

)

unde , are pentru expresia

în care valorile se calculează astfel : a

Pentru

Pentru

Pentru calculează

Pentru calculează

Folosind recurența inapoi , se calculează :

Pentru calculează

Criteriu de oprire

Începând cu

Dacă , atunci STOP

Altfel

Tipărește m

Pentru , tipărește

STOP

Exemplu

Soluția exacta

Soluția exacta

Bibliografie

[1] J.H.Ahlberg , E.N.Nilson , J.L.Walsh , The theory of splines and their applications , Academic Press , New York , London , 1967.

[2] A.M.Bica , Survey on the numerical methods for ODS’s using the sequence of succesive approximations , RSMIA Research Report Collection, vol.8 , no.1 , article 7 , 1-16 , 2005.

[3] A.M.Bica , Aplicații actuale ale metodei aproximațiilor succesive , Ed.Univ.Oradea , 2008

[4] A.M.Bica , Solving delay differential equations by succesive interpolations Carpathian J.Math. 29 , no.2 , 133-140 , 2013.

[5] Gh.Coman , G.Pavel , I.Rus , I.A.Rus , Intoducere în teoria ecuațiilor operatoriale , Editura Dacia , Cluj-Napoca , 1976.

[6] C.Iacob (coord.) , Matematici clasice și moderne , vol.4 , Editura Tehnică , București , 1983.

Bibliografie

[1] J.H.Ahlberg , E.N.Nilson , J.L.Walsh , The theory of splines and their applications , Academic Press , New York , London , 1967.

[2] A.M.Bica , Survey on the numerical methods for ODS’s using the sequence of succesive approximations , RSMIA Research Report Collection, vol.8 , no.1 , article 7 , 1-16 , 2005.

[3] A.M.Bica , Aplicații actuale ale metodei aproximațiilor succesive , Ed.Univ.Oradea , 2008

[4] A.M.Bica , Solving delay differential equations by succesive interpolations Carpathian J.Math. 29 , no.2 , 133-140 , 2013.

[5] Gh.Coman , G.Pavel , I.Rus , I.A.Rus , Intoducere în teoria ecuațiilor operatoriale , Editura Dacia , Cluj-Napoca , 1976.

[6] C.Iacob (coord.) , Matematici clasice și moderne , vol.4 , Editura Tehnică , București , 1983.