Metoda Analizei Si Metoda Analitico Sintetica Utilizate In Rezolvarea Problemelor de Calcul din Geometria Tetraerdului

Analiza în rezolvarea unei probleme de calcul se aplică astfel: se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă.

Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Cu alte date se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare trebuie să fie în așa fel pusă, încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din prima problemă formulată.

Se poate întâmpla ca și în cea de-a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute; atunci se formulează o a treia problemă, a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a doua etc. Acest proces se repetă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

În practică rar se întâmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei sau numai prin cea a analizei. Ele au fost tratate separat numai pentru a le învăța. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme.

METODA ANALIZEI SI METODA ANALITICO-SINTETICĂ UTILIZATE ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CALCUL DIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI

METODA ANALIZEI

Analiza în rezolvarea unei probleme de calcul se aplică astfel: se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă.

Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Cu alte date se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare trebuie să fie în așa fel pusă, încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din prima problemă formulată.

Se poate întâmpla ca și în cea de-a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute; atunci se formulează o a treia problemă, a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a doua ș.a.m.d.

Acest proces se repetă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

În practică se mai folosește și o altă formă de aplicare a analizei.

Ea constă în următoarele:

Se pleacă tot de la întrebarea problemei. Să presupunem că ea cere să se găsească valoarea mărimii A. Atunci se caută mărimile cu ajutorul cărora putem calcula valoarea mărimii A, fie acele mărimi E și F. Dacă valorile acestor mărimi sunt date în problemă, atunci se fac calcule indicate, se găsește valoarea lui A și cu aceasta problema dată este rezolvată .Însă se poate întâmpla ca, la rândul lor, valorile mărimilor E și F să nu fie cunoscute. Atunci atenția noastră se îndreaptă spre calculul valorilor acestei mărimi. În felul acesta, problema propusă s-a redus la rezolvarea mai multor probleme mai puțin complicate, și anume la aceea de a găsi valorile mărimilor E și F. Fie M și N mărimile care ne ajută să găsim, de exemplu, valoarea mărimii E și P; Q; mărimile cu ajutorul cărora calculăm valoarea mărimii F. Acest procedeu continuă până când valorile mărimilor căutate se pot calcula cu ajutorul unor date cunoscute în problema propusă. Din acest moment, folosind calea inversă, din aproape în aproape, ajungem să găsim valoarea mărimii A și cu această problema dată este rezolvată.

Din cele arătate mai sus se vede că în forma a doua pentru aplicarea metodei analizei nu se mai formulează în mod special problemele intermediare, ci numai se menționează mărimile pe care le-ar cuprinde ele în cazul când s-ar formula.

Urmează un exemplu de problemă unde se va arăta cum se aplică metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul.

Problema 4.1.2

Să deducem formula volumului :

144V 2 = (-a2 -l2 +b2 +m2 +c2 +n2)a2l2 +(a2 +l2 -b2 -m2 +c2 + n2)b2m2 +(a2+l2+b2+m2-c2-n2)c2n2-(a2b2c2+a2m2n2+b2l2n2+ c2l2m2) , unde BC = a; AB = c; AC = b; DA = l; DB = m; DC = n.

(ce generalizează pe cea a ariei unui triunghi: S = echivalentă și cu: 16S2 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) –(a4 + b4 + c4)).

Rezolvare: Fie E = pr(ABC)D și notațiile: AE = x; BE = y; CE = z: Cum în orice patrulater ABCD avem:

e2f2(e2+f2-a2-b2-c2-d2)

+e2(a2-d2)(b2-c2)+f2(a2-b2)(d2-c2)+(a2-b2+c2-d2 )și cum (conform teoremei Pitagora): x2 = l2 – h2; y2 = m2 – h2; z2 = n2 -h2 (unde h = DE),

Figura 1

rezultă că: h2(2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 +2a2b2 -a4- b4 -c4) = k

h2 ∙16(SD)2 = k

(2=k

144 ∙V 2 = k unde k =(-a2 -l2 +b2 +m2 +c2 +n2)a2l2 +(a2 +l2 -b2 -m2 +c2 + n2)b2m2 +(a2+l2+b2+m2-c2-n2)c2n2-(a2b2c2+a2m2n2+b2l2n2+ c2l2m2) .

METODA ANALITICO-SINTETICĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CALCUL

În practică rar se întâmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei sau numai prin cea a analizei. Ele au fost tratate separat numai pentru a le învăța. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme.

În acest caz se pune întrebarea: Cum procedăm? – Răspuns: De obicei se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim, după care se recurge la analiză.

Dacă nu putem începe cu metoda sintezei, atunci apelăm la analiză până găsim două date care pot determina o mărime, iar pentru a afla necunoscuta, mai departe, calculele decurg în ordine sintetică.

Urmează exemple în care se aplică metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de calcul.

Problema 4.1.3 Să se demonstreze că suma distanțelor unui punct variabil, din interiorul unui tetraedru regulat, la fețele tetraedrului este constantă.

Rezolvare: Fie [ABCD] tetraedrul, O punctul variabil. Analizând concluzia cu distanțele, ne gândim să folosim volumele piramidelor obținute prin unirea punctului O cu vârfurile tetraedrului.

Fie h1; h2; h3; h4 înălțimile duse din O respectiv pe fețele ABC ;ACD ;BCD; ABD. Cum tetraedrul [ABCD]este regulat, notăm cu S aria fiecărei fețe și cu h înălțimea tetraedrului și obținem:

Sh = Sh1+Sh2+Sh3+Sh4│ : S h1+h2+h3+h4 = h = constant

Bibliografie:

[1] Dan Brânzei, Sebastian Anița, Constantin Cocea – "Planul și spațiul euclidian", Editura Academiei R.S.R. ,București, 1986.

[2] "Despre învățarea matematicii", EDP București,1962.

[3] Eugen Rusu – "Problematizare și probleme în matematicașcolară", EDP Bucure»sti,1978.

[4] (Coordonator Ioan Cerghit) – "Perfecționarea lecției în școala modernă", EDP București, 1983.

[5] Ileana Rus, Doina Varna – "Metodica predării matematicii",

EDP București,1983.

[6] Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff- "Probleme practice de geometrie", Editura Tehnică București, 1990.