Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI [617415]

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
1
Cercul lui Mohr

Cercul lui Mohr este o construcție geometrică care prezintă dependența dintre tensiunile
tangențiale și cele normale atât în stare plană cât și în stare spațială de tensiune.
1. Ecuațiile care stau la baza cercului lui Mohr
În fiecare punct al corpului supus deformării se pot duce trei suprafețe perpendiculare între ele,
unde eforturile unitare tangențiale sunt nule, din care cauză asupra lor acționează numai eforturi
unitare normale. Aceste suprafețe se numesc suprafețe principale, eforturile care acționează pe
aceste suprafețe se numesc eforturi unitare normale principale (σ 1, σ2, σ3) și direcțiile lor se numesc
direcții principale.

În aceste condiții eforturile unitare care acționează pe o suprafață înclinată față de axele
principale pot fi exprimate astfel:
S1 = σ1*cosα 1
S2 = σ2*cosα 2
S3 = σ3*cosα 3
S2 = σ12 * cos2 α1 + σ22 * cos2 α2 + σ32 * cos2 α3
σn = σ1 * cos2 α1 + σ2 * cos2 α2 + σ3 * cos2 α3
Ʈ௡=ඥ𝑆ଶ−σ௡ଶ
Unde: α1, α2, α3 sunt unghiurile pe care le face normala la suprafața înclinată, cu axele principale.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
2

Dar:
cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 = 1
Rezulta ca:
cos2 α3 = 1 – ( cos2 α1 + cos2 α2 )
Deci:
σ௡ଶ+Ʈ௡ଶ = σ12 * cos2 α1 + σ22 * cos2 α2 + σ32 – σ32 * ( cos2 α1 + cos2 α2 )
sau
σ௡ଶ+Ʈ௡ଶ – σ32 = ( σ12 – σ32 ) * cos2 α1 + ( σ22 – σ32 ) * cos2 α2 (1.1)
iar
σn – σ3 = ( σ1 – σ3 ) * cos2 α1 + ( σ2 – σ3 ) * cos2 α2 (1.2)
Dacă se înmulțește ecuția (1.2) cu ( – ( σ2 + σ3 )) și se adună membru cu membru cu ecuația (1.1),
după simplificări se va obține:
Ʈ2 + (σ – σ 2)*(σ – σ 3) = (σ 1 – σ2)*(σ1 – σ3) * cos2 α1 (1.3)
și indentic
Ʈ2 + (σ – σ 3)*(σ – σ 1) = (σ 2 – σ3)*(σ2 – σ1) * cos2 α2 (1.3.1)
Ʈ2 + (σ – σ 1)*(σ – σ 2) = (σ 3 – σ1)*(σ3 – σ2) * cos2 α3 (1.3.2)
Considerând cazul particular când cos α = 0 (α =𝜋/2), relația (1.3) devine:
Ʈ2 + (σ – σ 2)*(σ – σ 3) = 0 (1.4)
sau sub o alta forma:
Ʈଶ+(σ−஢మା஢య
ଶ)ଶ= (஢మି஢య
ଶ)ଶ (1.5)
și identic
Ʈଶ+(σ−஢యା஢భ
ଶ)ଶ= (஢యି஢భ
ଶ)ଶ (1.5.1)
Ʈଶ+(σ−஢భା஢మ
ଶ)ଶ= (஢భି஢మ
ଶ)ଶ (1.5.2)
Pentru o stare de tensiune cunoscută (se cunosc σz, σx, și Ʈzx diferit de zero ) ecuația (1.5.2)
devine:
Ʈଶ+(σ−஢೥ା஢ೣ
ଶ)ଶ= (஢೥ି஢ೣ
ଶ)ଶ+Ʈ௭௫ଶ (1.6)

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
3

De remarcat că σz, σx, și Ʈzx sunt constante, σ și Ʈ reprezintă variabilele. Rezultă că
஢೥ା஢ೣ
ଶ este o constanta C, iar ஢೥ି஢ೣ
ଶଶ௭௫ଶ este o alta constanta, R. Folosind
aceste notații, ecuația (1.6) devine:
Ʈଶ+(σ−𝐶)ଶ=𝑅ଶ (1.7)
2. Modul în care se construiește cercul lui Mohr
Într-un sistem de coordonate σOƮ ecuația (1.7) reprezintă un cerc cu raza:
𝑅=ට(஢೥ି஢ೣ
ଶ)ଶ+Ʈ௭௫ଶ , al cărui centru este deplasat la dreapta, față de origine, pe axa σ cu
distanța OC care are mărimea constantei 𝐶=஢೥ା஢ೣ
ଶ .
Figura de mai jos reprezintă cercul lui Mohr pentru o stare plană de tensiune. Centrul C
reprezintă media tensiunilor normale, iar raza R este ipotenuza triunghiului dreptunghic CDM. Prin
punctele E,F,G sunt redate tensiunile extreme σ1, σ3, Ʈmax.

Punctele M de pe cerc redau proprietățile stării plane de tensiune. Spre exemplu, se poate
observa că tensiunea tangentială maximă este egală cu raza cercului, deci cu semidiferența
tensiunilor principale și corespunde unui unghi de α=45o față de direcțiile principale de solicitare.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
4

Cazuri particulare:
 Starea liniară de tensiune, când σz=0, Ʈzx=0. Se întâlnește la barele drepte solicitate la
întindere sau compresiune uniaxială și în cazul încovoierii pure:

Reprezentarea s-a realizat pentru σx > 0;
pentru σx < 0 (cercul se afla în partea stângă).

 Starea de forfecare pură, când σx =σz =0. Se întâlnește la barele solicitate la forfecare pură
sau torsiune:

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
5

 Starea de tensiune cu Ʈzx=0, σx >σz >0. În acest caz tensiunile σx și σz sunt dirijate în lungul
direcțiilor principale de solicitare. Această stare se produce, în mod aproximativ, în peretele
unui cazan solicitat de o presiune interioară:

În mod asemănător ca în starea plană de tensiune, tensiunile în starea spațială se reprezintă
în sistemul de referință σOƮ prin trei cercuri ale lui Mohr (construite in ipoteza ca: σ1 > σ2 > σ3) în
planele normale pe cele trei axe principale.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
6

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
7

3. Construiți Cercul lui Mohr și determinați pe baza lui tensiunile principale si tensiunea
tangentiala maxima, împreună cu orientarea acestora pentru Sx = 10(n+5), Sy = 10(n-5),
Sxy = 10n.

=> n=9

Rezolvare Mathlab: pe drive.

Rezultate:

σ1 = 192.9563

σ2 =-12.9563

Ʈmax = 102.9563

Orientarea: α =30.4727o

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
8

4. Bibliografie:

 https://ipm.utcluj.ro/Files/Curs_1_MDPR.pdf
 https://www.scrigroup.com/tehnologie/tehnica-mecanica/Cercul-lui-Mohr55919.php
 https://ch.mathworks.com/matlabcentral/answers/