Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI [617414]

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
1

Teoriile stărilor de tensiune limită

1. Definiția stării de tensiune limită, conceptul de tensiune echivalentă
Starea de tensiune limită într-un punct se consideră pragul ce corespunde trecerii dintr-un
domeniu cu anumite proprietăți mecanice ale materialului, într-unul cu proprietăți calitativ diferite de
primul, a cărui evoluție ulterioară, sub încărcări crescătoare, constituie o stare periculoasă pentru
exploatarea elementului de construcție.
Pentru materialele ductile se poate considera drept stare de tensiune limită apariția
deformațiilor permanente (curgerea plastică), iar pentru materialele casante se poate considera drept
stare de tensiune limită ruperea.
Pentru o stare de tensiune dată, dacă toate componentele acesteia cresc proporțional, la un
moment dat se atinge starea de tensiune limită. Numărul care arată de câte ori au crescut
componentele stării de tensiune date, pentru a se atinge starea limită, reprezintă coeficientul de
siguranță al stării de tensiune dată față de apariția stării de tensiune limită.
Dacă două stări de tensiune au coeficienții de siguranță egali, ele vor avea și gradul de
periculozitate egal. Pentru un anumit material, se consideră două stări de tensiune având același
grad de periculozitate: o stare de tensiune complexă, caracterizată de tensiunile principale σ1, σ2, σ3,
și o stare de întindere simplă, caracterizată de tensiunea principală σech.

Tensiunea echivalentă σech este deci tensiunea normală principală care ar trebui produsă într-
o epruvetă supusă la întindere simplă, pentru a crea în epruvetă o stare de tensiune cu același grad
de periculozitate ca și starea de tensiune dată.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
2

Tensiunea echivalentă σech se utilizează deoarece starea de întindere simplă este bine
studiată experimental, starea limită a acesteia fiind atinsă când tensiunea principală a atins σc sau σr,
valoare care se va nota în continuare cu σo.

2. Teorii ale stărilor de teniune limită
Teoria I – Teoria tensiunilor normale maxime
Conform acestei teorii tensiunea normală maximă reprezintă factorul care face ca materialul să
atingă într-un punct starea de tensiune limita (curgerea sau ruperea). Astfel în cazul unei stări de
tensiune oarecare, starea de tensiune limită se va produce când tensiunea normală va atinge
mărimea limită σo determinată la întindere simplă sau compresiune simplă pe o epruvetă din
materialul dat.
Presupunând starea de tensiune în punctul M dată de σ1> σ2> σ3, tensiunea normală maximă
va fi σmax= σ1; în starea de tensiune echivalentă de întindere simplă, σmax= σech, astfel că se deduce
legătura de echivalență: σech= σ1.
Condiția de rezistență în punctul considerat va fi deci: σech= σ1< σo. Dacă σmin= σ3 < 0,
condiția de rezistență trebuie completată cu o condiție suplimentară: σech= |σ3|≤ |σoc|, în care σoc
reprezintă tensiunea limită la compresiune simplă.
Pentru starea de tensiune plană ( σ3= 0), condiția de rezistență se poate scrie sub forma:
𝜎௘௖௛=𝜎௫+𝜎௭
2+1
2∗ඥ(𝜎௫−𝜎௭)ଶ+4∗Ʈ ௫௭ଶ≤𝜎௢.
Deficiența teoriei tensiunilor normale maxime constă în primul rând în neluarea în considerare
a prezenței tensiunilor principale σ2 și σ3 la trecerea materialului în starea limită, deși acestea au
importanță.
Teoria tensiunilor principale maxime dă rezultate satisfăcătoare numai la solicitarea de
întindere în cazul materialelor casante.
Teoria II – Teoria deformațiilor liniare specifice maxime
În această teorie, enunțată de E. Mariotte în 1682, criteriul atingerii stării de tensiune limită
este considerat deformația liniară specifică εmax.
Pentru o stare spațială de tensiune caracterizată de deformațiile liniare specifice principale
ε1> ε 2> ε 3, și deci εmax= ε1, condiția de stare limită va fi: εmax= ε1 ≤ εo, unde εo este valoarea limită
a deformației liniare specifice obținută prin încercări la întindere simplă.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
3

Pentru ε1 și εo se poate scrie:
εଵ=1
𝐸∗[𝜎ଵ−𝜇∗(𝜎ଶ+𝜎ଷ)], ε ௢=1
𝐸∗𝜎௢,
admițând că legea lui Hooke rămâne valabilă până la limita de curgere, pentru materialele ductile,
sau până la limita de rupere, pentru materialele casante. Deoarece în starea de tensiune echivalentă
de întindere simplă deformația liniară specifică maximă are loc după direcția lui σech; notând-o cu
εech, această deformație este: ε௘௖௛=ଵ
ா∗𝜎௘௖௛.
Condițiile de stare limită pentru starea de tensiune spațială și pentru starea de tensiune
echivalentă vor avea deci forma:
εଵ=1
𝐸∗[𝜎ଵ−𝜇∗(𝜎ଶ+𝜎ଷ)]≤1
𝐸∗𝜎௢
ε௘௖௛=1
𝐸∗𝜎௘௖௛≤1
𝐸∗𝜎௢
din care rezultă condiția de rezistență exprimată în tensiuni
𝜎௘௖௛=𝜎ଵ−𝜇∗(𝜎ଶ+𝜎ଷ)≤𝜎௢.
Pentru cazul stării de tensiune plană ( σ3 = 0), condiția de rezistență devine:
𝜎௘௖௛=𝜎ଵ−𝜇∗𝜎ଶ≤𝜎௢,
sau, exprimând σ1, σ2 prin σx, σz, Ʈxz,
𝜎௘௖௛=1−𝜇
2∗(𝜎௫+𝜎௭)+1+𝜇
2∗ට(𝜎௫−𝜎௭)ଶ+4∗Ʈ ௫௭ଶ≤𝜎௢.
Relațiile sunt valabile pentru cazul când σech >0, fapt ce rezultă din considerarea atingerii stării
limită prin deformația liniară specifică de alungire (nu de scurtare); pentru corpurile reale ruperea
producandu-se la deformații de alungire prin desprinderea particulelor materiale.
Nici a doua teorie de rezistență nu poate cuprinde în mod satisfăcător procesul de trecere a
materialului în stare limită dând, în diferite cazuri, rezultate care nu corespund realității. Astfel, în
cazul solicitării la forfecare pură ( σ1 = – σ2 = Ʈ, σ3 =0) tensiunea echivalentă devine:
𝜎௘௖௛=𝜎ଵ−𝜇∗𝜎ଶ=(1+𝜇)∗ Ʈ,
Iar condiția de rezistență conduce la:
Ʈ௟௜௠=𝜎௢
(1+𝜇)
În cazul μ=0,3, Ʈlim =0,77*σo, în timp ce experiențele indică valoarea Ʈlim =0,5*σo.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
4

De asemenea, pentru cazul întinderii egale după două direcții ( σ1 = σ2 = σ, σ3 =0), condiția de
rezistență conduce la valoarea limită a tensiunii σ:
σ =𝜎௢
1−𝜇
sau, pentru μ=0,3 rezultă σ = 1,43*σ o, ceea ce experimental nu se confirmă.
În unele cazuri această teorie de rezistență poate fi aplicabilă materialelor casante (zidărie,
beton, etc.).
Teoria III – Teoria tensiunilor tangențiale maxime
Această teorie consideră drept criteriu de stare limită într-un punct tensiunea tangențială
maximă. Astfel, starea limită se va atinge într-un punct când tensiunea tangențială maximă va atinge
valoarea Ʈ0 obținută prin încercarea până la limită în solicitarea de întindere simplă.
Pentru starea de tensiune spațială caracterizată de σ1> σ2> σ3, condiția de rezistență va fi
dată de:
Ʈ௠௔௫=𝜎ଵ−𝜎ଶ
2≤ Ʈ଴,
iar în starea de tensiune echivalentă de întindere simplă,
Ʈ௘௖௛=𝜎௘௖௛
2≤ Ʈ଴.
Ținând seama că Ʈ଴=ఙ೚
ଶ, rezultă condiția de rezistență sub forma:
𝜎௘௖௛=𝜎ଵ−𝜎ଶ≤𝜎௢.
În general, pentru starea de tensiune caracterizată de σ1, σ2, σ3, condițiile de rezistență vor
avea forma:
−𝜎௢≤(𝜎ଵ−𝜎ଶ)≤𝜎௢; −𝜎௢≤(𝜎ଶ−𝜎ଷ)≤𝜎௢;
−𝜎௢≤(𝜎ଷ−𝜎ଵ)≤𝜎௢.
În cazul încovoierii barelor ( σx= σ, σz= 0, Ʈxz=Ʈ), deoarece σ1>0 și σ2<0, condiția de
rezistență va avea forma:
𝜎௘௖௛=ඥ𝜎ଶ+4∗Ʈଶ≤𝜎௢.
Ținând seama de proporționalitatea dintre tensiunea tangențială și lunecarea specifică
asociată acesteia, se poate spune că a treia teorie de rezistență este, în același timp, și o teorie a
lunecărilor specifice maxime.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
5

După cum se știe, apariția deformațiilor permanente la metale are loc ca urmare a lunecărilor
ce se produc în structura materialului, astfel încât criteriul tensiunii tangențiale maxime poate fi privit
ca un criteriu de plasticitate (criteriu de curgere plastică), în timp ce, primele două teorii pot constitui
teorii de rupere.
A treia teorie de rezistență nu poate ține seama de tensiunile limită diferite la întindere și
compresiune ale materialului, neputând fi aplicată decât la materiale pentru care σot = |σot | (de
exemplu oțeluri). De asemenea, această teorie nu ține seama în cazul solicitării spațiale de influența
tensiunii principale σ2. În cazul compresiunii egale pe trei direcții ( σ1 = σ2 = σ3 = – σ), rezultă σech =0,
adică starea limită nu poate fi atinsă; criteriul tensiunii tangențiale este astfel incapabil în aceste
cazuri.
Teoria IV – Teoria energiei potențiale specifice de deformație
Propusă de E. Beltrami în 1885, această teorie are la bază conceptul că energia potențială de
deformație specifică este aceeași în momentul atingerii stării limită pentru orice tip de stare de
tensiune în punct. Altfel spus starea de tensiune limită este atinsă dacă, în punctul considerat,
cantitatea de energie potențială de deformație specifică acumulată de material atinge valoarea
energiei potențiale de deformație specifică limită pentru cazul întinderii simple.
Expresia energiei de deformație specifică pentru cazul stării de tensiune complexe este dată
astfel:
𝑊௦=1
2∗𝐸[𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ+𝜎ଷଶ−2∗μ∗ (𝜎ଵ∗𝜎ଶ+𝜎ଶ∗𝜎ଷ+𝜎ଷ∗𝜎ଵ)],
iar pentru cazul stării de tensiune limită la întindere simplă de relația:
𝑊௦ ௘௖௛=1
2∗𝐸𝜎௘௖௛ଶ,
astfel încât, condiția de rezistență se scrie sub forma:
𝜎௘௖=ට𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ+𝜎ଷଶ−2∗μ∗ (𝜎ଵ∗𝜎ଶ+𝜎ଶ∗𝜎ଷ+𝜎ଷ∗𝜎ଵ)≤𝜎௢.
În cazul stării de tensiune plană, cu σ3=0, relația devine:
𝜎௘௖௛=ට𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ−2∗μ∗ 𝜎ଵ∗𝜎ଶ≤𝜎௢.
Criteriul limită al energiei potențiale de deformație totale nu este aplicat în general în practică.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
6

Teoria V – Teoria energiei potențiale de deformație a variației formei
Ca urmare a deformării corpului sub încărcările exterioare, un element de volum al acestuia își
modifică, în general, atât volumul cât și forma. Deformația de volum, așa cum arată experiențele,
rămâne elastică și la intensități mari ale încărcărilor exterioare, în timp ce deformațiile plastice, legate
de modificarea formei, apar chiar pentru tensiuni de intensitate redusă. Acest fapt a condus pe Huber
(1904) să considere drept criteriu de stare limită de rezistență energia potențială de deformație care
corespunde variației formei.
Condiția de rezistență se va exprima astfel prin relația:
𝑊௙≤𝑊௙௢,
unde Wf reprezintă energia potențială de deformație a variației formei pentru un volum unitar, iat Wfo
este valoarea limită a aceleași energii, obținută prin experiențe la solicitarea de întindere simplă.
𝑊௙=1+μ
3∗𝐸∗(𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ+𝜎ଷଶ−𝜎ଵ𝜎ଶ−𝜎ଶ𝜎ଷ−𝜎ଷ𝜎ଵ),
iar pentru cazul limită al întinderii simple și al solicitării echivalente ( σ1 = σech, σ2 = σ3 =0):
𝑊௙௢=1+μ
3∗𝐸∗𝜎௢ଶ, 𝑊௙ ௘௖௛=1+μ
3∗𝐸∗𝜎௘௖௛ଶ.
Se obține astfel, condiția de rezistență:
𝜎௘௖௛=ට𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ+𝜎ଷଶ−𝜎ଵ𝜎ଶ−𝜎ଶ𝜎ଷ−𝜎ଷ𝜎ଵ≤𝜎௢,
sau
𝜎௘௖௛=1
√2∗ඥ(𝜎ଵ−𝜎ଶ)ଶ+(𝜎ଶ−𝜎ଷ)ଶ+(𝜎ଷ−𝜎ଵ)ଶ≤𝜎௢.
În cazul stării de tensiune plană, cu σ3=0, relația devine:
𝜎௘௖௛=ට𝜎ଵଶ+𝜎ଶଶ−𝜎ଵ𝜎ଶ≤𝜎௢.
În cazul încovoierii cu lunecare ( σx= σ, σz= 0, Ʈxz= Ʈzx =Ʈ), relația are forma:
𝜎௘௖௛=ඥ𝜎ଶ+3∗Ʈଶ,
iar în cazul forfecării pure ( σ1 = – σ2 = Ʈ),
𝜎௘௖௛=√3∗Ʈ.

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
7

Criteriul nu este infirmat de starea de compresiune uniformă pe toate direcțiile ( σ1 = σ2 = σ3 = – σ),
dar este inaplicabil pentru cazul întinderii pe toate direcțiile.
Teoria stării limită a energiei potențiale de deformație pentru variația formei are în vedere
numai materiale cu aceeași tensiune limită σo la întindere și compresiune simplă.
În cazul materialelor ductile, această teorie dă condiția pentru apariția curgerii într-un punct,
motiv pentru care criteriul energiei potențiale de deformație pentru modificarea formei reprezintă un
criteriu de plasticitate (condiție de curgere) ca și criteriul tensiunii tangențiale maxime. Coincidența
rezultatelor teoretice obținute cu datele experimentale face ca acest criteriu de rezistență să fie larg
aplicat în cazul materialelor cu proprietăți plastice.

Concluzie:
Alegerea criteriului de stare limită trebuie făcută corespunzător naturii materialului,
caracterului stării de tensiune și condițiilor de mediu în care se găsește elementul de construcție
considerat. Dacă, de exmplu, producerea deformațiilor plastice este dificilă (materiale casante,
temperatură joasă a mediului, tensiuni principale de același ordin de mărime), atunci va trebui să fie
aplicată teoria I sau a II-a (teorii de smulgere), deoarece este de așteptat o rupere casantă (prin
smulgere). Dacă este de prevăzut apariția și dezvoltarea deformațiilor plastice, atunci va trebui aplicat
criteriul tensiunilor tangențiale maxime (teoria a III-a), sau criteriul energiei de deformație pentru
variația formei (teoria a V-a) (teorii de lunecare).

Mecanica avansata a materialelor HOTCA IOAN ANDREI
8

3. Bibliografie:

 http://www.mec.upt.ro/rezi/Probleme_speciale_de_RM/Cap2%20Teorii%20de%20rezisten%C
8%9B%C4%83.pdf

 Bia, Ille, Soare: RM și TE