Matrici. Operat ii cu matrici [616985]

Cursul 1
Matrici. Operat ¸ii cu matrici
1.1 Operat ¸ii cu matrici
ˆIn problemele economice s ¸i financiare se manipuleaz ˘a mult ¸imi mari de date, care cel mai adesea
seˆınregistreaz ˘aˆın tabele. Datele dintr-un tabel definesc matrici. De aceea studiem operat ¸ii cu
matrici s ¸i metode de a extrage informat ¸ie din matrici, pe baza c ˘areia se fac predict ¸ii s ¸i se iau
decizii.
Exemplu de date c ˘arora le asociem o matrice :
Un retailer t ¸ine evident ¸a unit ˘atilor din produsele P1, P2, P3, vˆandute ˆın 4 s ˘apt˘amˆani consec-
utive, S1, S2, S3, S4,ˆıntr-un tabel de forma:
S1S1S1S4
P124 31 15 27
P221 19 18 33
P317 23 30 26
O matrice de elemente reale, cu mlinii s ¸i ncoloane este ”un tablou” ce are ˆınregistrat ˆın
liniai, coloana j, un num ˘ar real, notat aij:
A=
a11a12


a1n
a21a22


a2n
……


…
am1am2


amn
(1.1)
Mult ¸imea matricilor A, de elemente reale, de tip mnse noteaz ˘aMm,n(R).
Dac˘a num ˘arul de linii este egal cu num ˘arul de coloane, atunci matricea se numes ¸te ma-
trice p ˘atratic ˘a.
Mult ¸imea matricilor p ˘atratice de nlinii s ¸i ncoloane se noteaz ˘aMn(R).
Tabelului de date de mai sus i se asociaz ˘a matricea
A=
24 31 15 27
21 19 18 33
17 23 30 26

1

2 Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT, septembrie 2014
Elementul din linia 2coloana 3, a23= 18 , reprezint ˘a, de exemplu, num ˘arul de unit ˘at ¸i din
produsul P2vˆandut ˆın s˘apt˘amˆana a treia, S3.
Exemple generale de matrici :
[2 3 0
2 15]
,[
11 34 27]
,
51
12
13
,
1 4 3
74 5
0 8 11

Matricea nul ˘a. O matrice Ode tip mncare are toate elementele egale cu zero se numes ¸te
matricea nul ˘a.
O=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2 M 3,4(R)
O matrice p ˘atratic ˘a particular ˘a este matricea unitate :
In=
1 0


0
0 1


0
……


…
0 0


1

Matricea unitate are elementele de pe diagonala principal ˘a egale cu 1 s ¸i restul sunt egale cu
0.
Matricea linie, este o matrice de forma [x1x2. . . x n]2 M 1,n, iar o matrice coloan ˘a este o
matrice cu nlinii s ¸i o coloan ˘a:
x1
x2
…
xn

De exemplu, matricea p= [p1p2p3] = [25 50 100] este matricea taxelor de restant ˘a la
Algebr ˘a pentru prezentarea a III-a, ˆın anul II s ¸i respectiv anul III.
Num ˘arul de angajat ¸i ˆın departamentul tehnic al UPT ˆıl putem indica printr-o matrice coloan ˘a.

economis ¸ti 2
tehnicieni hardware 4
ingineri hardware 3
ingineri mecanici 1
ingineri electronis ¸ti 2

Adunarea matricilor . Dou ˘a matrici A= (aij),B= (bij)avˆand acelas ¸i num ˘ar de linii s ¸i
coloane se adun ˘a astfel: Suma C=A+Beste o matrice cu acelas ¸i num ˘ar de linii s ¸i coloane
caAs ¸iB, iar un element arbitrar al sumei este:
cij=aij+bij

Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT, septembrie 2014
3
Exemplul 1 .
4 3
9 6
2 10
+
5 11
14 9
7 15
=
9 14
23 15
9 25

Exemplul 2 . Dac ˘a un retailer vinde produse ˆın 2 magazine, atunci dac ˘a num ˘arul de unit ˘at ¸i de
produs v ˆandute ˆın 4 s ˘apt˘amˆaniˆın magazinul M1s ¸i respectiv M2este dat ˆın tabelele:
M1=S1S1S1S4
P124 31 15 27
P221 19 18 33
P317 23 30 26M2=S1S1S1S4
P120 18 19 29
P213 16 24 30
P315 20 31 35
atunci suma matricilor asociate, M1+M2indic ˘a num ˘arul total de unit ˘at ¸i de produs P1, P2, P3
vˆandut ˆın cele 4 s ˘apt˘amˆani:
M1+M2=
24 + 20 31 + 18 15 + 19 27 + 29
21 + 13 19 + 16 18 + 24 33 + 30
17 + 15 23 + 20 30 + 31 26 + 35
=
44 49 34 56
34 35 42 63
32 43 61 61

Suma unei matrici Acu matricea nul ˘a de acelas ¸i tip esye A+O=O+A=A.
[2 1 2
3 8 0]
+[0 0 0
0 0 0]
=[2 1 2
3 8 0]
Produsul dintre o matrice A= (aij)2 M m,ns ¸i un num ˘ar real αeste o matrice P= (pij)2
Mm,nale c ˘arei elemente pijse calculeaz ˘a astfel: pij=αaij,8i=1, m, j =1, n.ˆIn cuvinte,
seˆınmult ¸este fiecare element al matricii Acu num ˘arulα.
Exemplul 3 . O firm ˘a vinde 4 produse s ¸i ˆıncas ˘arile ˆın mii RON, din v ˆanzarea fiec ˘arui produs,
timp de un semestru, prin trei puncte de v ˆanzare V1, V2, V3sunt date ˆın tabelul:
P1P2P3P4
V135 43 18 27
V221 37 29 17
V323 30 14 40

4 Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT, septembrie 2014
S ¸tiind c ˘a profitul reprezint ˘a doar 20% din suma ˆıncasat ˘a din v ˆanz˘ari, s ˘a se calculeze profitul
total rezultat din v ˆanzarea celor 4 produse, ˆın semestrul monitorizat.
Asociem tabelului matricea
A=
35 43 18 27
21 37 29 17
23 30 14 40

s ¸i calcul ˘am20
100A=1
5Acare ne d ˘a profitul obt ¸inut din fiecare punct de v ˆanzare s ¸i fiecare
produs.
Matricea profitului este:
P=1
5A=
35/5 43 /5 18 /5 27 /5
21/5 37 /5 29 /5 17 /5
23/5 30 /5 14 /5 40 /5
,
iar profitul total este suma tuturor elementelor matricii P:
t= (35 + 43 + 18 + 27 + 21 + 37 + 29 + 17 + 23 + 30 + 14 + 40) /5 = 334 /5 = 66 .8mii lei
Produsul a dou ˘a matrici Pentru orice dou ˘a matrici A,Bcu particularitatea c ˘a num ˘arul de
coloane al primei matrici coincide cu num ˘arul de linii al celei de-a doua, adic ˘aAeste de tip
mp, iarBde tip pn, definim matricea produs , ca fiind matricea C=AB, demlinii linii
s ¸incoloane, alec ˘arei elemente cij, se determin ˘a astfel:
cij=ai1b1j+ai2b2j+


+aipbpj=p∑
k=1aikbkj, (1.2)
adic˘a:

c11. . . c 1j. . . c 1n
…. . ….. . ….
ci1. . . cij. . . c in
…. . ….. . ….
cm1. . . c mj. . . c mn
=
a11. . . a 1k. . . a 1p
…. . ….. . ….
ai1


aik


aip
…. . ….. . ….
am1. . . a mk. . . a mp

b11. . .b1j. . . b 1n
…. . ….. . ….
bk1. . .bkj. . . b kn
…. . ….. . ….
bp1. . .bpj. . . b pn

Remarc ˘am c ˘a pentru a calcula elementul din pozit ¸ia (i, j)a matricii produs, ˆınmult ¸im ele-
mentele corespunz ˘atoare din linia ia matricii Acu elementele coloanei ja matricii Bs ¸i adun ˘am
produsele.
Exemplul 4 . S˘a calcul ˘am produsul AB, unde A2 M 3,2(R), iarB2 M 2(R).
AB=
2 1
35
0 4
[1 3
5 2]
=
(2)
1 + 1(5) (2)
3 + 1
2
3
1(5)
(5) 3
3 + (5)
2
0
1 + 4
(5) 0
3 + 4
2
=
74
281
20 8


Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT, septembrie 2014
5
ˆIn cadrul cursului vom folosi foarte mult produsul dintre o matrice p ˘atratic ˘aAs ¸i o matrice
coloan ˘a: 
a11a12. . . a 1n
a21a22. . . a 2n
……. . ….
a1na2n. . . a 1n

x1
x2
…
xn
=
y1
y2
…
yn
,
unde dup ˘a efectuarea produsului din membrul st ˆang obt ¸inem:
y1=a11x1+a12x2+


+a1nxn
y2=a21x1+a22x2+


+a2nxn
……
yn=an1x1+an2x2+


+annxn
Produsul dintre matricea unitate Ins ¸i o matrice p ˘atratic ˘aA2 M n(R)esteAIn=
InA=A.
Analog:
In
x1
x2




xn
=
x1
x2




xn

Transpusa unei matrice FieAo matrice de tip mn,A= (aij),i=1, m,j=1, n. Transpusa
sa este o matrice de tip nm, notat ˘aAT, de elemente bij=aji,8i, j. Cu alte cuvinte, linia i
a matricii Aeste coloana iˆın transpus ˘a,i=1, m.
[2 3 1
25 0]T
=
2 2
35
1 0

Propriet ˘at ¸i ale operatorului de transpunere
1(AT)T=A.
2(AB)T=BTAT, oricare ar fi A,Bdou˘a matrici ce se pot ˆınmult ¸i.
Un caz particular al propriet ˘at ¸ii2pe care-l vom folosi adesea este urm ˘atorul:
Dac˘aAeste o matrice p ˘atratica de tip nns ¸ixeste o matrice coloana, atunci:

A
x1
x2




xn

T
=xTAT=[
x1x2


xn]
AT
De exemplu:


1 2 1
3 52
1 6 0

x1
x2
x3

T
=[
x1x2x3]
1 3 1
2 5 6
12 0


6 Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT, septembrie 2014
1.2 Determinantul unei matrici p ˘atratice
Determinantul unei matrici p ˘atratice, A2 M n(R), este un num ˘ar real ce se noteaz ˘a:
det(A) =a11a12


a1n
a21a22


a2n
……


…
an1an2


ann
Calculul determintului de ordin 2 (al unei matrici de 2 linii s ¸i 2 coloane):
a11a12
a21a22=a11a22a12a21
23
4 5= 2
5((3)
4) = 10 (12) = 10 + 12 = 22 .
Un determinant de ordin 3 se calculeaz ˘a folosind fie regula lui Sarrus , fieregula triunghi-
ului.
Pentru a calcula valoarea determinantului folosind regula lui Sarrus se copiaz ˘a linia 1 s ¸i apoi
linia 2 sub linia 3 a determinantului s ¸i se efectueaz ˘a calculele astfel:
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
a11a12a13
a21a22a23=a11a22a33+a21a32a13+
+a31a12a23a31a22a13a11a32a23a21a12a13
Ultimul membru al egalit ˘atii de mai sus exprim ˘a regula triunghiului. Termenii cu semnul +
ˆın fat ¸ ˘a se obt ¸in efectu ˆand produsele elementelor de aceeas ¸i culoare din:
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
iar termenii cu semnul – se obt ¸in efectu ˆand la fel produsele elementelor de aceeas ¸i culoare din:
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
O matrice p ˘atratic ˘aAal c˘arei determinant este zero se numes ¸te matrice singular ˘a. Dac ˘a
determinantul este diferit de zero, matricea se numes ¸te matrice nesingular ˘a.
Calculul determinant ¸ilor de ordin mai mare dec ˆat 3
Se bazeaz ˘a pe not ¸iunea de minor al unui element.

Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, septembrie 2014
7
Definit ¸ia 1.2.1 FieA2Rn×no matrice p ˘atratic ˘a,A= (aij),i, j=1, n. Fiec ˘arui element
akℓdin matrice i se asociaz ˘a un determinant de ordin n1notat Mkℓ, obt ¸inut prin eliminarea
liniei ks ¸i coloanei ℓdin det (A). Determinantul Mkℓse numes ¸te minorul elementului akl.
Exemplul 5 . Constituirea minorului M23ˆın determinantul
a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44) M23=a11a12a14
a31a32a34
a41a42a44
S ¸tiind s ˘a calcul ˘am un determinant de ordin 3, un determinant de ordin 4se calculeaz ˘a dez-
voltˆandu-l dup ˘a o linie i(sau o coloan ˘aj) astfel:
det(A) =ai1(1)i+1Mi1+ai2(1)i+2Mi2+ai3(1)i+3Mi3+ai4(1)i+4Mi4,
Exemplul 6 . S˘a dezvolt ˘am urm ˘atorul determinant dup ˘a elementele liniei 3:
1 2 3 0
2 1 4 5
06 12
3 7 9 1=
0(1)3+1M31|{z }
=06(1)3+2M32+ 1(1)3+3M332(1)3+4M34=
61 3 0
24 5
39 1+1 2 0
2 1 5
3 7 1+ 21 2 3
2 14
3 79
1.3 Propriet ˘at ¸i ale determinant ¸ilor
FieDdeterminantul unei matrici p ˘atratice de nlinii s ¸i n coloane. Not ˘am cu Li, Ljdou˘a linii
distincte ale determinantului.
Propriet ˘at ¸ile determinant ¸ilor

8 Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT,septembrie 2014
1.Dac˘a se schimb ˘a dou ˘a linii ˆıntre ele, atunci determinantul schimb ˘a semnul.
Simboliz ˘am prin Li$Ljschimbarea liniilor is ¸ijˆıntre ele.
Exemplul 7 . Fie determinantul
D=1 2 0
3 14
1 12= 2
Efectu ˆand schimbarea L2$L3obt ¸inem determinantul
D′=1 2 0
1 12
3 14=2 =D
2.Dac˘a seˆınmult ¸este o linie a unui determinant cu un num ˘ar, atunci valoarea determi-
nantului se ˆınmult ¸este cu num ˘arul respectiv.
De exemplu ˆın determinantul D, de mai sus, ˆınmult ¸im linia 2 cu 3 s ¸i rezultatul ˆıl rescriem
ˆın linia 2 a unui nou determinant D′′s ¸i obt ¸inem:
D′′=1 2 0
3
3 3
1 3
(4)
1 1 2=1 2 0
9 312
1 1 2= 3D= 6
3.Dac˘a seˆınmult ¸este o linie a determinantului cu un num ˘ar s ¸i se adun ˘a la o alt ˘a linie,
valoarea determinantului nu se schimb ˘a.
ˆIn determinantul Dde mai sus, ˆınmult ¸im linia 1 cu 3 s ¸i o adun ˘am la linia 2, rezultatul fiind
ˆınregistrat ˆın linia 2, 3L1+L2!L2, s ¸i avem:
D′′′=1 2 0
0 74
1 12=D= 2
4.Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul matricii:
det(AT) =det(A)
Datorita acestei propriet ˘at ¸i s ¸i pentru c ˘a liniile matricii ATsunt coloane ˆın matricea A, rezult ˘a
c˘a propriet ˘at ¸ile 1-3enunt ¸ate pentru linii ale determinantului sunt valabile s ¸i pentru coloane.

Cursul 1, Algebr ˘a–Geometrie, MPT,septembrie 2014
9
Propriet ˘at ¸i ale determinant ¸ilor sunt foarte utile ˆın calculul determinant ¸ilor de ordin mai mare
decat 3, pentru care nu avem o regula ca Sarrus sau regula triunghiului, ci se dezvolt ˘a determi-
nantul dup ˘a elementele unei linii sau coloane.
Exemplul 8 . Pentru a calcula determinantul
D=1 3 0 2
31 7 2
2 1 1 3
12 4 1
am putea dezvolta dup ˘a elementele coloanei 1 s ¸i atunci:
D= (1)1+11
M11+ (1)2+13M12+ (1)1+32M13+ (1)1+4
1M14
Deci practic am reduce calculul lui Dla calculul a 4 determinant ¸i de ordinul trei, M11, M12, M13, M14,
ceea ce ar presupune calcule multe. Pentru a evita calculul celor 4 determinat ¸i de ordinul 3,
aplic ˘am proprietatea 3 a determinant ¸ilor pentru a transforma elementele coloanei 1, de sub
a11= 1ˆın zerouri.
Observ ˘am c ˘a aplic ˆand succesiv operat ¸iile:
3L1+L2!L2,2L1+L3!L3,1L1+L4!L4
obt ¸inem aceeas ¸i valoare a determinantului s ¸i anume:
D=1 3 0 2
010 7 8
05 1 7
05 4 3= (1)1+110 7 8
5 1 7
5 4 3+(1)1+2
0
M12+(1)1+3
0
M13+(1)1+4
0
M14
Deci practic am redus calculul determinantului de ordin 4 la calculul unui singur determinant
de ordin 3.
Observat ¸ie: Operat ¸iile asupra liniilor unui determinant se pot alege s ¸i pentru a transforma
ˆın zerouri elementele altei coloane nu neap ˘arat coloana 1. De exemplu pentru determinantul D
cu care am lucrat era mai simplu dac ˘aˆın coloana 3 formam zerouri ˆın liniile 1,2 s ¸i 4, efectu ˆand
operat ¸iile:
7L3+L2!L2,4L3+L4!L4
s ¸i obt ¸ineam:
D=1 3 0 2
118 019
2 1 1 3
76 011= (1)3+31 3 2
11819
7611