Matrice Si Determinanti

Cuprins:

Introducere………………………………………………………………………………………………………………..2

Capitolul I : DETERMINANȚI……………………………………………………………………………………………………..3

§1.1 Definiția unui determinant de ordin . Proprietățile determinanților ……………….3 §1.2.Dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii. Regula lui Laplace……………………………………………………………………………………………………………9

§ 1.3 Formula Binet-Cauchy…………………………………………………………………………….15

Capitolul II: Matrici inversabile….…………………………………………………………….22

§2.1. Matrice inversabilă. Inversa unei matrici…..………………………..…..……..22

Capitolul III : Sisteme de ecuaṭii liniare.………………………………………………………27

§3.1. Regula lui Cramer………………………………………………………………27

§3.2. Sisteme de ecuații liniare cu coeficienți într-un corp comutativ.

Sisteme omogene………………………………………………………………………………..28

§3.3.Vectori și valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley–Hamilton……36

§3.4.Determinanṭi de ordin mic…………………………….…………………………40

§3.5.Metoda lui Gauss de rezolvare a unui sistem…………………………………….43

§3.6. Explorare Matematică …………………………………………………………..44

Capitolul IV: …………………………………..……………………………………………….46

§4.1 Aplicaṭii…………..………………………………………………………..……46

§4.2 Program C++…………………………………………………………….……….55

Biblioografie…………………………………………………………………………………..60

Introducere

Lucrarea de licenṭă este structurată pe patru capitole și abordează o temă legată de matrici și determinanṭi.

În primul capitol, am prezentat definiṭia unui determinant de ordin n și principalele proprietăti determinanṭilor .

Am prezentat mai multe reguli de cacul ale determinanṭilor( Regula lui Sarrus, Regula triunghiului, Dezvoltarea unui determinant dupa o linie/coloana, Regula lui Laplce).

În capitolul al II-lea am studiat matricele inversabile cu elemente într-un inel comutativ, iar in capitolul III , sistemele de ecuaṭii liniare cu coeficienṭi intr-un corp comutativ.

Prezint de asemenea Teorema Cayley-Halminton și aplicaṭiile sale.

În capitolul IV se gasesc o serie de aplicaṭii legate de tema abordată, selectate în cea mai mare parte din Gazeta Matematică și prezint programul C++.

Capitolul I : DETERMINANȚI

§1.1 Definiția unui determinant de ordin . Proprietățile determinanților.

În cadul acestui subcapitol vom nota ca fiind un inel comutativ și unitar.

› Definiția 1.11.

Dacă și atunci prin determinantul matricei M notat înțelegem elementul:

det(M)= 𝜖A

(unde reprezintă mulțimea permutărilor asupra mulțimii {1, 2, …, n}, iar pentru , sgn(σ) este signatura permutării σ).

Admitem astfel să notăm det(M)=

(sau in formă restrânsă ).

Atribuind la fiecare elementul , obținem funcția

numită funcția determinant.

Exemplu: Pentru n=2 ,avem M= , atunci :

det(M) =;

Pentru n=3, avem M=, atunci :

det(M) = .

Numim termen a lui produsul . Atunci, este suma a n! termeni dintre care apar în cu semnul (+), iar cu semnul (-).

Pentru adică ) ajungem să definim .

În continuare vom enunța principalele proprietăți ale determinanților.

› Propoziția 1.12.

Pentru orice (unde prin am notat transpusa matricei ).

Demonstraṭie : Fie și , notăm elementul lui cu .

Astfel :

=

=

=

= det(M) ( pentru că σ parcurge pe ,parcurge bigectiv pe , iar sgn()=sgn(σ)).

Observația 1.13.

În egalitatea demonstrată mai sus, demonstrăm că orice proprietate adevărată referitoare la liniile unui determinant, este adevărată și pentru coloanele determinantului.

Prezentăm astfel , principalele proprietăți ale determinanților ce se referă la liniile determinantului, dar care sunt adevărate și pentru coloane acestuia.

› Propoziția 1.14.

(i) Dacă toate elementele unei linii dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

(ii) Dacă într-o matrice schimbăm două linii între ele, matricea astfel obținută are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.

(iii) Dacă o matrice are două linii identice, atunci determinatul său este nul.

(iv) Dacă toate elementele unei linii a unei matrice conțin factor comun un element , atunci acel element poate fi scos în fața determinantului matricei.

(v) Dacă elementele a două linii ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul său este nul.

Demonstrați :

(i). Fie toate elementele de pe linia a matricei egale cu , astfel cum fiecare termen al determinantului conține ca factor și un element al liniei , observăm că

(ii). Daca este matricea ce se obține din matricea , în care schimbăm liniile și între ele, avem :

det(M)=

Fie transpoziția (ce duce pe în , pe în și restul elementelor din le pastrează pe loc) rezultă urmatoarea egaliate:

det(Mij) =

= (pentru că este parcurs de ,Sn este parcurs bijectiv de iar

(iii). Fie matricea care are identice liniile și astfel schimbând între ele aceste linii ne rezultă după ii) ca , de unde observăm ca (Știm din ipoteză că inelul A nu este de caracteristică 2).

(iv). Dacă iar matricea ce diferă de deoareca în locul liniei (are linia . Avem astfel :

=

=

(v). Se deduce imediat din (iv) și (iii). ∎

Avem ,de asemena și scriem elementele liniei se scriu sub următoarea formă :

Matricea care se obține din , o notăm cu (respectiv ) si înlocuim elementele de pe linia cu elementele (respectiv (), unde atunci rezultă următoarea propoziție:

› Propoziția 1.15.

Demonstrație:

Fie :

=

=+

 Corolar 1.16.

(i) Dacă o linie a unei matrice pătratice este o combinație liniară de celelalte linii, atunci determinantul matricei este nul.

(ii) Dacă la o linie a unei matrice pătratice adăugăm o combinație liniară de alte linii, determinantul matricei nu se schimbă.

Observația 1.17. Ne rezultă din proprietățile de mai sus principale prorietăṭi ale determinanților:

› Proprietatea 1: Determinntul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse, adică dacă atunci

› Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

› Proprietatea 3: Dacă într-o matrice schimbam două linii (sau coloane) între ele obṭinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinntului matriei iniṭiale.

› Proprietatea 4: Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul s4u este nul.

› Proprietatea 5: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulṭite cu un numar α obṭinem o matrice al cărei determinant este egal cu α îinmulṭit cu determinantul matricei iniṭiale.

› Proprietatea 6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporṭionale, atunci determinantul matricei este nul.

› Proprietatea 7: Fie o matrice pătratică de ordin . Presupune că elementele liniei i sunt de forma oricare ar fi Dacă , respectiv este matricea care se obṭine din înlocuind elementele de pe linia cu elementele , respectiv , , atunci

› Proprietatea 8: Dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice pătratice este o combinṭie liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este zero..

Observația 1.18 Există două reguli simple de calcul, în cazul determinanților de ordinul 3 cunoscute sub numele de regula lui Sarrus și regula triunghiului.

Asociind regula lui Sarrus procedăm astfel:

Fie M= , adăugând primele două linii la avem matricea de ordinul

M= .

Înmulțind elementele de pe diagonala principală a luiși cele ale ,,diagonalelor paralele” cu aceasta din obṭinem termenii cu (+) din dezvoltarea lui , iar cei cu (-) se obțin înmulțind elementele de pe diagonala secundară lui și cele ale ,,diagonalelor paralele” cu aceasta din .

Luăm următorul exemplu : Fie matricea

Aplicând regula lui Sarrus (adăugând primele două linii la M obținem matricea de ordinul (5, 3)) obtinem următoarea matrice :

M=, atunci :

det(M)=1·1·1+3·(-2) ·(-1)+2·2·1-2·1·(-1)-1·(-2) ·1-3·2·1=1+6+4+2+2-6=9

Folosim regula triunghiului astfel:

Fie M= .

Remarcăm că tripletele (, , ) și (, ,) alcatuiesc două ,,triunghiuri” ce au bazele ,,paralele” cu diagonala principală cu vârfurile în , respectiv , astfel încât termenii din dezvoltarea lui ce apar cu semnul plus pot fi calculați: se efectuează produsele celor două triplete ce formează două triunghiuri cu bazele paralele cu diagonala principală precum si produsul elementelor de pe diagonala principală.

Cele cu semnul negativ vor fi calculate astfel : cele două produse ale tripletelor

(,, ) și (, , ) ce formează două triunghiuri cu bazele ,,paralele” cu diagonala secundară cu vârfurile în , respectiv precum si produsul elementelor de pe diagonala secundară .

§1.2.Dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii. Regula lui Laplace.

Astfel vom prezenta un procedeu recursiv care efectuează calculul unui determinant de ordinul , iar apoi totul se reduce la calculul a determinanți de ordinul.

Luăm

› Definiția 1.20.

Numim minor complementar al elementului în elementul notat ce se obține calculând determinantul de ordinul obținut prin eliminarea din ) a liniei și coloanei. Elementul δij=(-1)i+jdij se numește complementul algebric al lui aij în det(M).

› Teorema 1.21. Dacă M=(aij)1≤i,j≤n∈Mn(A), atunci pentru orice 1≤i≤n avem egalitatea:

det(M)= ai1δi1+ai2δi2+…+ainδin.

Demonstrație:

Fie ,unde =ai1δi1+ai2δi2+…+ainδin, pentru 1≤i≤n.

Pentru a ajunge la egalitatea , vom demonstra că fiecare termen de forma aijδij al sumei este suma a ,unde termeni din dezvoltarea lui au același semn ca și cei din dezvoltarea lui

Dacă luăm două valori diferite ale indicelui vom avea termeni diferiți din dezvoltarea lui

În cele din urma , egalitatea se verifică astfel:

Suma are termeni identici și cu același semn ca și termenii ce ne dau dezvoltarea lui atunci rezultă că

Pentru inceput tratăm termenul .

Fie :

a11δ11==

(suma lor se efectuează după toate permutările asupra mulțimii ).

Observăm ușor ca termeni ce apar și în dezvoltarea lui sunt cei termeni ce apar în dezvoltarea lui .

Demonstrăm astfel, că aceștea apar cu același semn ca și în dezvoltarea lui .

Semnul termenului din extinderea lui este , pentru o permutare τ asupra mulțimii , atunci semnul termenului ce rezultă din produsul este egal cu

În mod evident deoarece semnul termenului în extinderea lui este egal cu unde :

=.

În cazul general al produsului aijδij tratăm astfel:

Se schimbă liniile și coloanele astfel încât elementul aij ia locul elementului și minorul dij să rămînă neschimbat. În acest mod, linia i și coloana j devin linia 1 și respectiv coloana 1; linia 1 ia locul liniei 2, linia 2 ia locul liniei 3, …, linia i-1 ia locul liniei i; coloana 1 ia locul coloanei 2, coloana 2 ia locul coloanei coloana 3,…, coloana j-1 ia locul coloanei j, astfel că dacă notăm prin determinantul obținut prin astfel de schimbări avem , iar =.

Avem un termen oarecare din dezvoltarea determinantului dij din egalitatea ,astfel reevaluând prima parte a demonstrației observăm că semnul termenului rezultat din produsul aijδij este identic cu cel dat de dezvoltarea determinantului d. În concluziel, demonstrația teoremei este finalizată.

∎

Corolar 1.22.

Dacă 1≤i≠j≤n, atunci aj1δi1+aj2δi2+…+ajnδin=0.

Demonstrație :

Din Teoremei 1.21. ne rezultă : (*) det(M)=ai1δi1+ai2δi2+…+ainδin.

Pentru ca δi1, δi2 ,…, δin nu are elementele ai1, ai2,…, ain, egalitatea (*) devine astfel o identitate în ai1, ai2,…, ain .

Atunci, aj1δi1+aj2δi2+…+ajnδin va forma un determinant ce are linia compusă din elementele aj1, aj2,…,ajn ,cu avem astfel două linii identice (linia j și linia i ce coincide cu linia j), astfel observăm că aj1δi1+aj2δi2+…+ajnδin=0 (potrivit Proprietății 5).

∎

Adunând cele demonstrate anterior, obṭinem următoarea teoremă importantă :

› Teorema 1.23.

Dacă M=(aij)1≤i,j≤n∈Mn(A), atunci pentru orice 1≤i, j≤n avem:

aj1δi1+aj2δi2+…+ajnδin= .

Conform Teorema 1.21. vom dezvolta un determinant după o linie.

De fapt vom prezenta o regulă de dezvoltare a unui determinant după mai multe linii , cunoscută sub numele de regulă a lui Laplace.

Definim mai întâi noțiunile de minor de ordin k (k≤n-1), minor complementar și complement algebric pentru un minor complementar de ordin k (care generalizează de fapt noțiunile definite mai înainte).

Fie matricea M∈Mn(A) (n≥2) și cu k linii i1, i2,…, ik și k coloane j1, j2,…, jk (k≤n-1) diferite.

Se fomează o matrice de ordinul k cu elementele rezultate din intersecția liniilor i1 , i2,…, ik și coloanelor j1 , j2,…, jk.

Determinant se va numi minor de ordin k pentru det(M) si îl vom nota astfel : .

Eliminând din matricea inițială liniile i1 , i2,…, ik și coloanele j1, j2,…, jk ne va rezulta o matrice pătratică de ordin al al carui determinant îl vom numi minorul complementar al lui și îl vom nota cu .

Efectuăm urmatoarea notaṭie :=.

Vom numi complementul algebric al lui , numărul :

=· .

Deasemenea, pentru k=1 se vor obține noțiunile prezentate în Definiția 1.21..

Exemplu: Avem matricea M= 𝜖M(

Selectăm liniile i1=2, i2=4 și coloanele j1=1, j2=2 (deci k=2).

Astfel ==0; == -5; =9 ; iar

= = – (-5)=5

Deci, putem forma minori de ordin k dacă fixăm k linii, cu elementele acestora.

Putem prezenta, în cele din urmă regula lui Laplace.

› Teorema 1.24. (Laplace).

Dacă M=(aij)1≤i,j≤n∈Mn(A) și fixăm liniile 1≤i1<i2<…<ik≤n (k≤n-1), atunci:

det(M)= (o sumă de termeni).

Demonstrație. În general, utilizăm aceeași idee pe care am folosit-o la demonstrația Teoremei 1.21. ,diferenṭa fiind o elaborare mai complexă.

Se observă ca este o sumă de termeni , iar este o suma de

termeni , pentru 1≤j1<j2<…<jk≤n. Notând suma din partea dreaptă a egalității din enunț cu S ,atunci aceasta va fii o sumă de termeni.

Demosntrând că cei termeni ce formează pe S sunt de fapt termeni diferiți din dezvoltarea lui (având același semn ca în ) atunci va avem loc egalitatea din enunț : .

Selectăm pentru început urmatorul caz: i1=j1=1, i2=j2=2, …, ik=jk=k.

Astfel încât =,

= 2(1+ 2 +… +k)=k(k+1) ,deci :

=== (Notăm mulțimea

permutărilor elementelor k+1, k+2, …, n cu ) atunci :

=

Efectuând urmatoarea notație: ε = 𝜖, vom avem egalitatea unde termenii sunt termenii lui det(M) și au același semn ca și în dezvoltarea lui det(M).

Demonstrăm în continuare , pentru un produs general de forma :

Realizând permutari succesive între liniile si coloanele putem aduce minorul

în colțul din stânga sus al determinantului det(M).

Pentru realizarea operaṭiilor trebuie sa efectuam permutări de linii și coloane:

=

-k.

Fie N matricea rezultată, atunci avem că det(N)=,

, iar .

Din rezultatele anteriore, în det(N) suma tuturor termenilor ale căror prime elemente intră în minorul este egală cu produsul următor :

.

Din toate cele demonstrate obținem că suma termenilor corespunzători ai lui det(M) este egală cu produsul:

, astfel demonstrația

teoremei este completă.

∎

Exemplu: Fie matricea M=𝜖.

Dezvoltându după liniile 1 și 2 cu ajutorul regulii lui Laplace. Avem :

==

++

++ + = (-1)+

 Corolar 1.25.

Dacă M, N∈Mn(A), atunci (adică aplicația det:Mn(A)→A este morfism de monoizi multiplicativi).

Demonstratie: Fie M=(aij)1≤i,j≤n, N=(bij)1≤i,j≤n și matricea P∈M2n(A), P=.

Calculăm determinantul în două moduri :

1.Folosind regulei lui Laplace îl dezvoltăm pe det(P) după primele linii și obținem

det(P)=det(M)=det(M).

2.Pentru fiecare 1≤j≤n în efectuăm operații: înmulțim coloana 1 cu b1j, pe a doua cu b2j, …, pe a -a cu bnj și rezultatul îl adunăm la coloana n+j, obținând astfel pentru următoarea formă: unde este matricea

Exprimând pe după ultimele n coloane obținem:

· · = · =·= rezultând astfel egalitatea: det(M·N)=det(M)·det(N).

∎

§ 1.3 Formula Binet-Cauchy.

Prezentăm în continuare o formulă de calcul a determinantului produsului a două matrice nu neapărat pătratice :

Formulă Binet-Cauchy

Avem m, n∈astefel încât m≤n. Pentru 1≤j1<j2<…<jm≤n, notăm cu Sm(j1, …,jm) mulțimea permutărilor mulțimii {j1, …, jm} (în particular Sm=Sm(1, 2, …, m)).

Fie M∈Mm,n(A) și N∈Mn,m(A).

Dacă M·N∈Mm(A) are sens să vorbim despre det(M·N).

Prezentăm în continuare pregătirile în vederea stabilirii unei formule de calcul pentru det(M·N).

Notăm cu M ., k1, …, km (respectiv N k1, …, km , . ) matricea de tip (m,m) având m coloane (respectiv m linii) egale în ordine cu coloanele (respectiv liniile) de indici k1, …, km ale matricei M (respectiv N), pentru orice k1, …, km∈{1, 2, .., n} (nu neapărat distincte).

Cum k1, …, km∈{1, 2, …, n} cu ki≠kj pentru i≠j și fie j1, …, jm o reordonare a elementelor k1, …, km a.î. j1< j2< … <jm. Atunci (k1, …, km ) este o permutare din Sm(j1, …, jm) și există o unică permutare σ∈Sm astfel încât ki=jσ(i) (1≤i≤m).

Stabilim semnul permutării (k1,…,km) ca fiind ε(k1,…, km)=sgn(σ).

Conform notațiilor efectuate anterior obṭinem:

det ( N k1, …, km, . )=ε(k1, …, km)·det ( N j1, …, jm , . ) (și o relație asemănătoare corespunzătoare lui det ( M . , k1, …, km)).

Atunci obṭinem:

(2) det (M . , k1, …, km)=… , (și o egalitate analoagă pentru det (N j1, …, jm, . )).

Conform notațiilor de mai sus , avem :

› Teorema 1.31. (Binet-Cauchy).

Fie m, n∈ℕ* astfel încat m≤n. Atunci pentru oricare două matrice M𝜖Mm,n(A) și N∈Mn,m(A) are loc egalitatea:

Demonstrație: Fie atunci

()…()

= )

= det(N k1, …, km, . )

Pentru fixate arbitrar, grupăm termenii

.

Atunci vom avea :

det(N k1, …, km, . ) =

= …)

, rezultând astfel egalitatea enunṭată.

∎

 Observația 1.32.

Modificând inegalitatea m≤n din formula Binet-Cauchy cu m=n ,vom obținem că dacă M, N 𝜖Mn(A), atunci det(M·N)=det(M)·det(N) ( rezultat obṭinut și în Corolarul 1.14.).

› Alte aplicații ale formulei Binet- Cauchy.

Considerăm corpul ℂ al numerelor complexe în locul inelului A.

Dacă M∈Mm,n(ℂ) vom nota atunci cu matricea ce se obține din M înlocuind fiecare element al lui M prin conjugatul său.

Astfel =și vom nota M*== .

Fie M este o matrice pătratică (m=n) atunci din definiția lui det(M) ne rezultă imediat că det( )=și astfel det(M· )=det(M)·det()= det(M)= = | det(M)|2 0 (dacă det(M)=0 atunci vom avea egalitate). Similar deducem că și det(·M)≥0.

 Corolar 1.33.

Dacă m, n∈ℕ* și m≤n, atunci pentru orice matrice M∈Mm,n(ℂ), det(M·M*) este un număr real, iar det(M·M*)≥0 (egalitatea are loc dacă și numai dacă pentru orice

1≤j1<j2< … <jm≤n avem det (M ., j1, …, jm )=0).

Demonstrație. Folosind formula Binet-Cauchy pentru matricele M și

N= =M* avem :

det(M· =)

det ( ., j1, …, jm )≥0.

∎

Corolar 1.34.

Dacă m, n∈ℕ* și m≤n, atunci pentru orice matrice M∈Mm,n(ℝ) are loc inegalitatea: det(M·Mt)≥0.

Mai mult, egalitatea are loc dacă și numai dacă pentru orice 1≤j1< j2< … <jm≤n avem det (M ., j1, …, jm)=0.

 Corolar 1.35

Fie m, n∈ℕ* cu m>n. Atunci pentru orice două matrice M∈Mm,n(ℂ) și N∈Mn,m(ℂ) are loc egalitatea det(M·N)=0.

Demonstrație. Fie matricele , ∈Mn(ℂ) ce rezulta din M, respectiv N, prin adăugarea la sfîrșit a m-n>0 linii si coloane, ale căror elemente sunt toate nule.

Daca M·N= , deci : det(M·N)=det( , )=det( )·det()=0·0=0.

∎

Corolar 1.36. (Fischer)

Dacă M∈Mm,n(ℂ) este o matrice pentru care există N∈Mn,m(ℂ) cu det(M·N)≠0, atunci cu necessitate m≤n.

Corolar 1.37. (Identitatea lui Lagrange)

Fie n≥2 un număr natural. Atunci pentru orice ai , bi , xi , yi∈ℂ cu 1≤i≤n are loc identitatea:

În particular pentru și 1≤i≤n obținem forma clasică a identității lui Lagrange:

=.

Demonstraṭie : Folosim formula lui Binet-Cauchy pentru :

M= si N = .

∎

 Corolar 1.38. (Cauchy-Bouniakovski-Schwartz)

Dacă n≥2 este un număr natural, atunci pentru orice ai, bi∈ℂ cu 1≤i≤n avem inegalitatea:

cu egalitate dacă și numai dacă există

λ∈ℂ astfel încât ai=λ·bi pentru 1≤i≤n.

Demonstrația reiese din forma clasică a identității lui Lagrange.

∎

Corolar 1.39.

Fie m, n∈ℕ* cu 2≤m≤n. Atunci, pentru orice două matrice M∈Mm,n(ℂ), N∈Mn,m(ℂ) și orice λ∈ℂ are loc egalitatea: λn-m·det(M·N+ λ·Im)=det(N·M+λ·In).

Demonstrați: . Pentru început aratăm că are loc egalitatea din enunț pentru .

Fie astfel polinomul:

det(M·N+ +λ·In)= + ∈ℂ[λ]

Folosind formula Binet-Cauchy observăm că pentru orice 1≤k≤n avem:

ak=

=

=det (N , ). (☼)

Inversând ordinea de adunare în expresie (☼) se observă imediat că aceasta este simetrică în M și N ,de unde rezultă prin calcule similare cu cele de la det(N·M+λ·In) că are loc egalitatea:

det(M·N+λ·In)=det(N·M+λ·In).

Fie matricele pătratice și ∈Mn(ℂ) , pentru m<n care se obțin din M, respectiv N prin adăugarea la sfârșit a n-m linii, respectiv coloane, ale căror elemente sunt toate nule.

Din formula lui Laplace ne rezultă ca ·det(M·N+λ·Im)= det( · +λ·In) și potrivit cazului m=n avem că det( · +λ·In)=det( · +λ·In), de unde rezultă că :

λn-m·det(M·N+λ·Im)=det(N·M+λ·In ).

∎

 Corolar 1.40.

Fie m, n∈ℕ* cu 1≤m<n. Atunci pentru orice două matrice M∈Mm,n(ℂ) și N∈Mn-m,n(ℂ), matricea P= ∈Mn(ℂ) verifică inegalitatea:

|det(P)|2≤det(M·)·det(N·).

Egalitatea are loc dacă și numai dacă există λ∈ℂ astfel încât pentru orice

1≤j1<j2< … <jm≤n și 1≤jʹ1<jʹ2< … <jʹn-m≤n cu {j1, …, jm}∪{jʹ1, … ,jʹn-m} = {1, 2, …, n} avem:

· det (M ., j1, …, jm ) = λ·det (N ., jʹ1, …, jʹn-m ).

Demonstratie :

Din formula lui Laplace aplicată matricei P= ne rezultă :

|det(P)|= ·det(M ., j1,…,jm)·det(N ., jʹ1,…,jʹn-m )=

= , de unde obsevăm că :

det(P)| ,

care prin ridicare la puterea a doua în ambii membrii ne dă inegalitatea cerută.

Condiția de egalitate rezultă din Corolarul 1.22..

∎

 Corolar 1.41.

Fie m, n, m1, m2∈ℕ astfel încât 2≤m≤n, m1, m2≥1 și m1+m2=m. Dacă P∈Mm,n(ℂ) este partiționată sub forma P= cu M𝜖, (ℂ) și N, (ℂ), atunci:

det(P·)≤ det(M·)·det(N·).

Demonstrație:

Fie m=n, atunci afirmația din enunț este adevărată potrivit unuia din colorarul enunṭat anterior.

Fie det(P·)=0, astfel afirmația din enunț este adevărată conform adevărată potrivit unuia din colorarul enunṭat anterior.

În cele din urma ramane de studiat doar cazul în care m<n și det(P·)>0. Avem atunci un vector V∈M1,n(ℂ) astfel încât V·=1 și P·=0.

Observăm astfel că: det = det(P·.

Prin inducție observăm că exista o matrice X∈Mn-m,n(ℂ) a.î. X·=In-m și P·=0. Folosind Corolarul 1.40. pentru matricea pătratică = scrisă sub forma = cu =M si = ,observam că :

det(P·det( · )≤det ( · )·det( · ) =det(M·)·det(N·).

∎

Corolar 1.42.

Considerând maticea P∈Mm,n(ℂ) cu 2≤m≤n și partiționând-o sub forma P= cu Mi∈M1,n(ℂ) pentru 1≤i≤n avem:

det(P·P*)≤det(M1·M1*)·det(M2·M2*)·…·det(Mm·Mm*).

Observația 1.43.

Considerând P=(aij)1≤i,j≤n∈Mn(ℂ) din Corolarul 1.26. deducem că:

| det(P)| ,inegalitate ce poartă numele lui Hadamard.

Ținând cont de Corolarul 1.42. deducem că în inegalitatea lui Hadamard avem egalitate dacă și numai dacă pentru oricare 1≤i, j≤n avem:

= .

Capitolul II: Matrici inversabile

§2.1. Matrice inversabila. Inversa unei matrici.

În cadul acestui subcapitol vom nota ca fiind un inel comutativ și unitar (cu 0≠1). Vom nota cu unitățile monoidului (A, ⋅) (adică )={ | există }), unde este grup, numit grupul unităților lui .

Se numește grupul general liniar de grad n al inelului grupul unităților inelului Mn(A) ce se notează cu GLn(A); în particular GL1(A)=U(A).

Prezentăm în continuare o caracterizare a unităților inelului Mn(A) cu ajutorul determinanților.

› Teorema 2.1.

Dacă A este un inel unitar și comutativ, atunci M∈Mn(A) este inversabilă

(adică M∈GLn(A)) dacă și numai dacă det(M)∈U(A)).

Demonstrație:

,,⇒”Fie M∈Mn(A) inversabilă, atunci rezultă că N∈Mn(A) a.î. M⋅N=In. Observăm astfel că

det(M)⋅det(N)=1, adică det(M)∈U(A).

,,⇐”. Facem următoarea presupunere:

Fie d=det(M)∈U(A). Notam prin matricea din Mn(A) ce rezultă din înlocuind fiecare element din prin complementul său algebric din și să arătăm că =.

Dacă avem =(ij*)1≤i, j≤n, atunci ij*=(-1)i+j dji=Γji .

Deasemenea, un element oarecare al matricei M⋅ va fi de forma:

cij=i1⋅+…+ in⋅ = i1⋅Γj1+…+ in⋅Γjn.

Știm că : . (vezi Teorema 1.12.). De aici observăm că M⋅M*=d⋅In și atunci : M⋅(d-1⋅M*)=In.

Analog deducem și că (M=In, de unde rezultă că =.

∎

Observația 2.2.

Matricea construită mai sus poartă numele de reciproca lui M.

Corolar 2.3.

Dacă K este un corp comutativ, atunci M∈Mn(K) este inversabilă dacă și numai dacă det(M)≠0.

Exemplu : Fie matricea M=

Pentru că d=det(M)=1∈U(ℤ) rezultă că M este inversabilă în M3(ℤ).

Calculul lui se face ca și în cazul demonstrației Teoremei 3.1..

Calculăm astfel :

=

=

Atunci:

=

Astfel este adevărat că :

M⋅M*= ==

M*⋅M===

Corolar 2.4.

Fie K un corp comutativ și M∈Mn(K). Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

M∈GLn(K),

det(M)≠0,

,

(iv)

Unde am notat transpusele coloanelor matricei M cu și liniile acesteia cusunt priviți ca vectori în Km = M1, m (K) ,iar

ca vectori în Kn= M1, n (K)).

(iv)

Atunci când numărul este mai mare metoda de calcul a lui mai sus , aceasta nu ne este utilă deoarece implica un număr mare de calcule.

Atunci când avem matrice cu coeficienți într-un corp comutativ K, lema substituției oferă o metodă mult mai ușoara de calcul a inversei acestora.

Pornind astfel de la tabelul

Folosind lemei substituției înlocuim pe : rezultându-ne următorul tabel ( acest lucru se întamplă datorită Corolarului 2.4., (iii)).

Matricea N=(bij)1≤i,j≤n ce apare în ultima coloană a ultimului tabel este inversa matricei M deoarece pentru orice 1≤i, j≤n avem: , care este echivalent cu egalitatea In=M⋅N.

Exemplu :Calculăm cu ajutorul lemei substituției inversa matricei :

Avem det(M)=3+2=5≠0, deci exista.

Observăm ca , atunci :

=.

Observația 2.5.

1. Vectorii bazei canonice e1, …, en din Kn nu pot fi întotdeauna înlocuiți cu(în această ordine).

În general e1, …, en se înlocuiesc cu unde σ∈Sn.

Astfel poate fi obținută prin diferite permutări de linii care restabilesc ordinea în bază .

2. Putem calcula pe cu ajutorul lemei substituției fără a ne asigura că det(M)≠0.

Fie det(M)=0, atunci la un anumit pas al iterației din lema substituției, nu toți vectorii

, 1≤i≤n pot înlocuii vectorii , 1≤i≤n, ceea ce îseamna blocarea algoritmului de calcul, de unde deducem că det(M)=0, adică nu există.

Capitolul III :Sisteme de ecuaṭii liniare.

§3.1. Regula lui Cramer

Considerăm acum sistemul de ecuații cu n necunoscute care are coeficienți în corpul comutativ K:

= .

Daca M=(aij)1≤i,j≤n∈Mn(K), b=(b1, …, bn)∈ .

Fie matricea ce se obține din M înlocuind coloana i prin coloana termenilor liberi , pentru 1≤i≤n

Atunci avem următorul rezultat:

› Teorema 3.11. (Cramer)

Dacă d=det(M)≠0, atunci sistemul [S] admite soluția unică x=(x1, …, xn) ,unde =⋅cu =det() pentru orice 1≤i≤n.

Demonstraṭie :

Avem sistemul [S] scris sub forma matriceală: M , unde =(, …, ) , iar

b=(, …, ).

Conform Corolarului 2.3, unde d=det(M)≠0, avem , astfel că .

La demonstrația Teoremei 2.1. am arătat că:

===Γji , .

Atunci :

Sau

=

=

=

∎

Observația 3.12.

Potrivit teoremei 3.11. putem spunem despre sistemul [S] că este Cramerian.

§3.2. Sisteme de ecuații liniare cu coeficienți într-un corp comutativ. Sisteme omogene.

În cadrul acestui subcapitol îl vom considera pe K un corp comutativ.

Prin sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute (m, n∈ℕ*) înțelegem un sistem de forma:

[S]= , unde aij, bj∈K, 1≤i≤m, 1≤j≤n.

A rezolva sistemul [S] revine la a găsi x=(x1, …, xn)∈Kn ce verifică [S]; unde x∈Kn se va numi soluție a lui [S].

Sistemul [S] se zice compatibil în K dacă are cel puțin o soluție și incompatibil în caz contrar.

Dacă [S] are un număr finit de soluții el se zice compatibil determinat iar în cazul în care are o infinitate de soluții se zice compatibil nedeterminat.

Dacă mai avem un alt sistem de ecuații liniare cu m linii și n necunoscute, vom spune că [S] și [Sʹ] sunt echivalente dacă au aceleași soluții; în acest caz vom scrie

Notând M 𝜖 Mm,n(K), b=(b1, …, bm)∈Km și x=(x1, …, xn)∈Kn, sistemul [S] admite scrierea matriceală M (unde )

A rezolva sistemul [S] revine la a da răspuns (în această ordine ) la următoarele probleme:

P1: Dacă [S] este compatibil sau nu;

P2: În caz de compatibilitate, cum se rezolvă [S].

Fie r=rang(M) conform definiṭiei de unde ne rezultă că avem că 0≤r≤min{m, n}. Există atunci un minor de ordin r al lui M nenul și toți minorii de ordinul r+1 sunt nuli (evident, dacă există minori de ordinul r+1).

Ținând cont de proprietățile determinanților putem presupune că minorul de ordinul r nenul (pe care îl vom numi minor principal) este:

|

Necunoscutele x1, …, xr se vor numi necunoscute principale .iar restul se vor numi necunoscute secundare. Ecuațiile se vor numi ecuații principale, iar restul secundare.

În cele ce urmează vom răspunde la P1 și P2 în funcție de valorile pe care le poate lua .

Cazul 1: r=m=n.

În acest caz d=det(M)≠0, sistemul [S] se zice Cramerian din cele stabilite în §2., (vezi Teorema 2.6.) deduce că sistemul [S] este compatibil determinat ,iar soluția este dată de x=(x1, …, xn) cu xi=d-1di, 1≤i≤n, unde di este determinantul matricei ce se obține din M înlocuind coloana i prin coloana a termenilor liberi, 1≤i≤n.

Cazul 2: r=m<n.

În acest caz toate ecuațiile sunt principale și avem doar necunoscute secundare

(și anume pe xr+1, xr+2, …, xn).

Răspunsul la P1 și P2 este dat de:

› Teorema 3.21.

Dacă r=m<n atunci:

P1: Sistemul [S] este compatibil n-r nedeterminat

P2: Pentru rezolvarea lui [S] procedăm astfel: trecem în membrul drept termenii ce conțin necunoscutele secundare, obținând astfel un sistem Cramerian în necunoscutele principale.

Alegând xs=αs∈K pentru r+1≤s≤n vom determina cu ajutorul formulelor lui Cramer pe x1, …, xr în funcție de αr+1, …, αn .

Demonstrație:

Fie urmatoarele notaṭii:

Mr=( ,Nr=( ,x’=(x1, …, xr)∈Kr și x”=(xr+1, …, xn)∈Kn-r, atunci sistemul [S] se scrie sub forma echivalentă:

Deoarece det()≠0, există și astfel este echivalent cu:

care este un sistem Cramerian în necunoscutele principale

x1, …, xr.

Dacă =αs ∈K cu r+1≤s≤n ne rezulta din calculul lui [Sʹʹ] ,folosind formulelor lui Cramer găsim pe x1, …, xr în funcție de αr+1, …, αn, iar soluția generală a lui [S] este dată de:

x1=x1(αr+1, …, αn),…, xr=xr(αr+1,…, αn), xr+1=αr+1,…, xn=αn , cu αr+1, …, αn din K, alese

arbitrar.

∎

Exemplu: Să considerăm în ℝ sistemul:

Avem atunci m=2, n=4, unde matricea M=, unde :

=3

Rezultă atunci că rang(M)=2=m < n=4, unde x și y sunt necunoscute principale, iar z și t secundare.

Observăm astfel că sistemuleste compatibil -nedeterminat. Pentru rezolvarea facem următoarele notații z= și astfel sistemul este echivalent cu sistemul Cramerian:

Conform formulelor lui Cramer rezultă imediat că :

astfel că soluția este dată de sistemul :, unde arbitrare.

Cazul 3: r < m. În cazul acesta sistemul [S] are și ecuații secundare. Pentru a răspunde la la P1 și P2 efectuăm următoarele notații și definiții specifice acestui caz.

Vom nota =(M, )∈Mm,n+1(K), matricea ce se obține din M adăugându-i acesteia coloana , a termenilor liberi. Matricea astfel obținută poartă numele de extinsa lui M.

Următorul rezultat răspunde la P1:

› Teorema 3.22. (Kronecker-Capelli)

Sistemul [S] este compatibil dacă și numai dacă rang(M)=rang().

Demonstrație : Îl scriem pe [S] sub urmatoarea forma matriceală:

[Sʹ]

(unde , sunt coloanele matricei M) și ,sunt vectori din .

Fie (α1 ,…,αn)∈Kn o soluție a lui [S] atunci ,

iar este o combinație liniară de , ,de unde rezulă că rang(M)=rang(M ).

Dacă rang(M)=rang(M ) ,demonstrăm reciproc că este o combinație liniară

, , adică există ∈K astfel încât și astfel x=( )∈Kn este o soluție a lui [S].

∎

Pentru fiecare r+1≤j≤m să notăm prin Nj matricea

Cei determinanți (r+1≤j≤m) poartă numele de determinanți caracteristici.

Astfel, Teorema 3.22. are următoarea formă echivalentă datorată lui Rouché:

M=, unde =det(Nj).

› Teorema 3.23. (Rouché)

Sistemul [S] este compatibil dacă și numai dacă toți cei determinanți caracteristici (r+1≤j≤m) sunt egali cu zero.

Pentru a răspunde la P2 avem nevoie de următorul rezultat:

› Propoziția 3.24.

Dacă sistemul [S] este compatibil, atunci [S] este echivalent cu sistemul [Sr] format doar din ecuațiile principale.

Demonstrație:

Arătam doar că în caz de compatibilitate a lui [S], dacă )∈Kn este o soluție a lui [ atunci pentru orice r+1≤j≤m avem .

Pornim astfel de la determinantul de ordin r+1:

=

( este determinantul caracteristic).

Avem rang(M)=r atunci observăm că:

Fie o soluție a lui ], atunci:

=

și din (❀) observăm că (❀❀).

Avem [S] sistem compatibil, atunci observăm că pentru orice r+1≤j≤m (ținand cont de Teoremei 3.3.) și astfel din (❀❀) rezultă că oricare ar fii r+1≤j≤m.

∎

Observația 3.25.

Din cele demosnstrate anterior, observam că atunci când rang(M)=r < m, calculăm cei m-r determinanți caracteristici Δj (r+1≤j≤m) ,pentru a răspunde la P1. Dacă unul dintre aceștia este diferit de zero, atunci sistemul [S] este incompatibil, iar dacă toți sunt nuli, atunci sistemul [S] este compatibil, n-r nedeterminat.

Pentru a răspunde la P2 (în caz de compatibilitate) reținem sistemul format din ecuațiile principale și procedăm ca în Cazul 2.

Exemplu:Stabiliṭi dacă următorul sistem este compatibil sau nu și în caz afirmativ să se rezolve în ℝ.

Fie matricea M = ,

Avem det(M)=0 și rang(M)=2 < 3 ,aflându-ne în Cazul 3.

Singurul determinant caracteristic este =0, astfel potrivit Teoremei lui Rouché sistemul [S] este compatibil 1- nedeterminat.

Primele două ecuații, ca și necunoscutele sunt principale.

Formăm sistem din ecuațiile principale:

Efectuând calcule conform Cazului 2 găsim soluția :.

Dacă în sistemul inițial [S], b1=b2=…=bm=0, vom spune despre [S] că este omogen.

› Propoziția 3.26.

Dacă sistemul [S] este omogen, atunci mulțimea soluțiilor sale VS este un subspațiu vectorial al lui , iar =n-r, unde r=rang(M).

Demonstraṭie : Dacă astfel încât A = cu

Avem A

Rezultă că ∈VS, deci VS este subspațiu vectorial al lui Kn.

Fie aplicația liniară :→ ce are ca matrice față de bazele canonice din pe M.

Dacă orice x∈Kn, observă că VS=Ker() și astfel ,vom avea că

dimKVS=)–r.

∎

 Observația 3.27.

Elementele unei baze a lui poartă numele de soluții de bază pentru sistemul omogen [S].

Pentru a determina astfel de soluții procedăm astfel:

1. Reținem doar sistemul omogen format din ecuațiile principale.

2. Trecem în membrul drept termenii ce conțin necunoscutele secundare și dăm pe rând cîte unei necunoscute secundare valoarea 1 iar la celelalte valoarea 0 obținând astfel n-r sisteme Crameriene în necunoscutele principale. Cele n-r soluții ale acestor sisteme Crameriene ne dau soluțiile de bază pentru sistemul omogen [S].

Exemplu: Determinați soluția de bază a următorului sistem omogen.

(alegem K=ℝ).

Ne rezultă matricea M =.

Observăm ca rang(M)=2, selectând ca minor principal pe . Sistemul [S] va fi echivalent cu:

Sau

Pentru , avem urmatoarele obținem sistemele Crameriene :

După efectuarea calculelor vom obtine soluțile :

Soluțiile de bază sistemului [S] fiind : și ,unde soluția generală a lui [S] va avea forma următoare:

 Observația 3.28.

Din cele demonstrate mai sus observăm că sistemul omogen [S] cu n necunoscute are:

(i) Soluție diferită de cea banală dacă și numai dacă rang(M)<n (astfel că dacă m=n atunci sistemul omogen [S] are soluții nebanale dacă și numai dacă det(M)=0)

(ii) Numai soluția banală dacă și numai dacă rang(M)=n (astfel că dacă m=n atunci sistemul omogen [S] are numai soluția banală dacă și numai dacă det(M)≠0).

Observația 3.29. Sistemele liniare se pot rezolva și cu ajutorul lemei substituției.

Vom exemplifică pe un caz particular de sistem cramerian .

Fie atunci sistemul : [S] .

Pentru că : observăm că sistemul [S] este Cramerian și deci coloanele formează o bază pentru ℝ2 și a rezolva pe [S] revine la a găsi coordonatele lui în această bază.

Observăm că soluția lui [S] este (2, 0), din tabelul Lemei Substituției :

§3.3.Vectori și valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley–Hamilton.

Fie un -spațiu vectorial de dimensiune n o bază a sa.

O aplicație liniară se mai numește și operator liniar.

Notam cu matricea atașată lui f relativă la perechea de baze

› Definiția 3.31.

Un scalar λ∈K se zice valoare proprie pentru operatorul f dacă există x∈V, x≠0 (ce se va numi vector propriu pentru f corespunzător lui λ) astfel încât f(x)=λx.

Luăm egalitatea din definiția de mai sus care este

echivalentă cu egalitatea == (unde știm că pentru

=, prin am notat astfel că existența vectorului propriu este echivalentă cu condiția ca sistemul omogenn=să admită soluție neobijnuită, de unde cu necesitate condiția ca :det ()=0

Să presupunem că și să considerăm polinomul =X + … + ∈K[X] care se va numi polinomul caracteristic al lui

Deoarece deducem că polinomul caracteristic Pf este un polinom de grad n cu coeficienți în K. În aparență rădăcinile lui depind de baza inițială B a lui V.

Dacă mai avem în V o altă bază atunci dacă notăm prin

matricea de trecere de la B la Bʹ, atunci N este inversabilă , iar dacă notăm prin matricea atașată lui f relativă la noua pereche de baze , atunci .

Atunci:

de unde concluzia că rădăcinile lui nu depind de alegerea bazei B.

› Lema 3.31.

Dacă pentru o valoare proprie λ∈K notăm prin Vλ mulțimea vectorilor proprii corespunzători lui λ, atunci Vλ este un subspațiu vectorial al lui V.

Demonstrație.

Dacă și . Atunci deci :

), de aici rezultă că , adică este un subspațiu vectorial al lui (ce se va numi subspațiu propriu al lui f corespunzător valorii proprii λ). ∎

 Observația 3.32.

Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie λ.

Într-adevăr, dacă mai avem , cum deducem că și cum cu necesitate adică .

Restrângând cele spuse mai sus, observăm că:

(i) valorile proprii ale lui f sunt rădăcinile polinomului caracteristic

(ii) vectorii proprii corespunzători unei valori proprii λ∈K sunt soluții ale sistemului omogen =.

› Teorema 3.33.

Vectorii proprii ai operatorului corespunzători la valori proprii distincte două câte două sunt linear independenți.

Demonstrație.

Aplicând inducṭia matematică după numărul al valorilor proprii distincte două câte două (m≤n).

Pentru teorema este evidentă.

Avem valorile proprii ale lui f distincte două cîte două, iar vectorii proprii corespunzători. Presupunem prin reducere la absurd că există nu toți nuli astfel încât:

(*) +…+ = 0

observăm atunci că:

De exemplu că .

Din (*) și (**) obținem imediat că:

.

Potrivit ipotezei de inducție rezultă că:

.

În particular și cumobservăm cu necessitate – contradicție.

∎

 Corolar 3.34.

Dacă operatorul liniar are n valori proprii distincte două cîte două, atunci vectorii proprii corespunzători formează o nouă bază ,

astfel că matricea lui relativă la baza va fi

Dacă luăm pentru câte un vector propri din și notăm prin N matricea pătratică de ordin n formată din coordonatele lui , atunci va rezulta că:

= .

Dupa toate acestea punem spune că am diagonalizat pe M.

 Observația 3.35.

Atribuind operatorului

matricea diagonal față de o bază

, …, vectori proprii, iar, …, valorile proprii corespunzătoare pentru f.

În cele din urmă dacă λ∈K este o valoare proprie oarecare a lui f și este vectorul propriu corespunzător, există , …, ∈K nu toate nule astfel încât:

Atunci f(x)=+…+ ⇔ λx= ()+…+ ()

, de unde λ· =·oricare ar fii 1≤i≤n.

Cum printre elementele , …, există cel puțin unul nenul (căci x≠0), deducem cu necesitate că există 1≤i≤n a.î. λ =λi.

› Teorema 3.17. (Cayley-Hamilton)

Fie A∈Mn(K) , iar Pf = +X + … + Xn∈K[X] polinomul caracteristic al lui A. Atunci + A + … + = unde este matricea pătratică nulă de ordin n din Mn(K) (altfel zis, Pf(A)=On).

Demonstrație:

Fie (λ)=det(A-λ·)≠0, atunci exista o infinitate de valori ale lui . Matricea este inversabilă, pentru valorile atribuite lui λ , iar

Potrivit calculelor efectuate pentru a detrmina (A-λ·) * observăm că

∈ Mn(K) astfel că (❀) devine :

()()=(λ)

Sau

(❀❀) A +(A –)λ+(A – ) + …+(A – )-+λ+…+ .

Se observă că relația (❀❀) este valabilă pentru o infinitate de valori ale lui λ, avem atunci egalitățile:

A =

A – =

A – =

………………………..

A– = In

–

Din aceste utime egalități deducem că:

+ A +A2+ … + An-1 + An =

= A +A(A – )+ A2 (AB2 –)+ … +An-1(ABn-1 – Bn-2)+An(-Bn-1)=

=A +A2 –A +A3 – A2 + … +AnBn-1 – An-1 Bn-2-An Bn-1=On.

∎

 Observația 3.37.

Scriind sub forma =A(+A …+ ), egalitatea :

+ A +A2+ … + An-1 + An =0n din Teorema Cayley–Hamilton, pentru =(λ (0))=det(A)≠0, vom obține =, o altă metodă de calcul a inversei unei matrice nesingulare din Mn(K) .

§3.4.Determinanṭi de ordin mic

Cu ajutorul sistemelor de două, respectiv trei ecuaṭii liniare ( cu două și trei necunoscute) vom definii determinanṭii de ordinul 2 și 3.

3.4.1 . Luăm un sistem de ecuaṭii liniare cu două necunoscute :

(*)

Matricea coeficienṭilor sistemului de mai sus o notăm cu și este următoarea:

Folosim metoda reducerii pentru rezolvarea sistemului nostru. Astfel avem că:

Prin reducere la absurd , vom presupune că : . Astfel soluṭia sistemul (*) este :

(**)

Remarcăm ca numitorul din egalităṭile de mai sus este diferenṭa dintre produsul elementelor de pe diagonala principala si cele de pe diagonala secundara a matricei A.

Rezultatul scăderii il numim determinantul matricei și il notăm cu : , mai mult decât atât il vom numi determinant de ordinul doi , pentru ca matricea noastră are ordinul egal cu doi.

De cele mai multe ori notăm astfel : .

Avem următoarul rezultat : , unde sunt termenii determinantului de ordin doi.

Din formulele sistemului (*) deducem ca numărorul soluṭiei este un determinant de ordin doi, ce are matricea . Aceasta ne rezultă din prin înlocuirea primei coloanei cu coloana bordată din .

Analog putem spune si despre ce va avea matricea :

Așadar din (**) obṭinem că:

(***)

Ultimile formule obṭinute (***) se numesc formulele lui Cramer.

3.4.2.Să considerăm un sistem de trei ecuṭii liniare cu trei necunoscute :

(

Vom nota cu matricea corespunatoare sistemului:

(ii)

Rezolvăm cu metoda reducerii sistemul (i):

Dupa înmulṭirea efectuată anterior, coeficienṭii necunoscutelor vor dispărea după ce vom aduna ecuaṭiile, rezultându-ne ecuaṭie doar in .

(iii)

Numim determinantul matricei sau determinantul de ordinul trei, deoarece matricea noastra este de ordinul 3 rezultatul obṭinut( adică coeficienṭii lui ) îl notăm cu :

.

Astfel avem că : =

(vi)

§3.5.Metoda lui Gauss de rezolvare a unui sistem.

Prezentăm în continuare o altă metoda de rezolvare a sistemelor de ecuaṭii liniare, numită metoda lui Gauss sau metoda eliminarii succesive.

Fie urmatorul sistem de ecuaṭii liniare și necunoscute.

Notăm cu matricea sistemului, iar cu matricea extinsă a lui (S).

De asemenea știm ca putem presupune fiecare coloană a matricei nenulă, pentru că astfel sistemul nostru s-ar înlocui cu un alt sistem ce are un număr mai mic de necunoscute.

Luăm un alt sistem cu ecuaṭii liniare și n necunoscute, unde extinsa sa.

Spunem ca sistemul rezultă din pintr-o transformare elementară de tipul I dacă din ecuaṭiile lui se obṭin cele ale lui , efectuând o permutare a două ecuaṭii ale lui , atâta timp cât celelalte ramân neschimbate.

Vom spunem ca sistemul rezultă din pintr-o transformare elementară de tipul I dacă toate ecuaṭiile lui sunt lui , efectuând o permutare a două ecuaṭii ale lui , atâta timp cât celelalte ramân neschimbate.

Dacă sistemul () rezultă din sitemul , dintr-un numar finit de transformări elementare de tipul (I) sau(II) , putem afirma ca cele doua siteme sunt echivalente și le vom nota astfel : ( , unde relaṭia este o releṭie de echivalenṭă pe mulṭimea sistemelor de ecuaṭii liniare cu necunoscute.

Afirmaṭia noastra ( are loc dacă și numai dacă ( ( matricele extinse asociate sunt echivalente pe linii.)

§3.6. Explorare Matematică:

Rezolvarea unor sisteme circulare cu ajutorul principiului punctului fix

Fie următorul sistem de ecuaṭii :

Numim sistem circular un sistem care nu se modifică atunci când calculam orice permutare circulara a necuscutelor ale acestuia.

Un exemplu cunoscut de sisteme circulare sunt sistemele simetrice cu două ecuaṭii și două necunoscute.

Problema sursă

Aflaṭi soluṭiile sistemului următor:

, unde .

Rezolvare:

Soluṭie 1: Știm că .

Dacă ne rezultă din a doua ecuaṭie că ,iar din cea de a treia ecuaṭie că .

Fie soluṭia sistemului nostru, atunci avem :

Caz 1)

sau

Caz 2).

Luam primul caz :

Evidenṭiind egalitatea , unde , obṭinem că . Din ecuatia avem că .

Deoarece sistemul este circular , analog aratăm că și și.

Prin adunarea ecuaṭiilor sistemului și impărṭind ecuatia obṭinută cu 2 ,ne rezultă următoarea ecuaṭie : (1)

Mai știm că: ;

;

.

Obṭinem din (1) că , așadar rezultă că :

și , atunci are loc egalitatea dacă și numai dacă . Avem ,astfel unica soluṭie pozitivă .

În cazul al doilea , când vom obṭine o soluṭie unică negativă ,folosindu-ne de cazul anterior și notând cu În urma calculelor facute soluṭia rezultată va fi .

Astfel soluṭiile sistemului nostru sunt : si .

Soluṭia 2 :

Avem următorul caz : .

Utilizând prima ecuaṭie a sistemului și efectuând calcule , prin aducerea la același numitor, apoi trecând toṭi termenii în parte stângă obṭinem umatoarea ecuaṭie :

, unde atunci vom avea radacini reale deoarece .

Ecuaṭia favorabila este :.

La fel se procedează și pentru și , unde vom obṭine că :

și .

Prin adunarea membrilor ne rezultă că : , atunci

.

Așadar, partea a II-a este aceeași cu cea de la Soluṭia 1. .

Capitolul IV: Aplicaṭii

› Aplicaṭia 1.

Fie A2 𝜖 Mm,n(Z) o matrice cu m > n. Să se arate că există k 𝜖{1,2,…,m} si k linii distincte Li1; Li2; … ; Lik astfel ca suma Li1 +Li2 +…+Lik să aibă toate cele n componente numere pare.

Rezolvare:

Vom efectua trecerea de la numere întregi la clase de resturi modulo 2 ,înlocuind numerele pare cu si cele impare cu ca elemente ale corpului .

Problema cere sa aratam ca exista liniile ; ; … ; cu suma :

+

Liniile pot fii privite ca elemente ale spațiului vectorial care este spațiu vectorial de dimensiune n peste corpul . Deoarece m > n, liniile sunt liniar dependente, deci există scalarii:

astfel că:

Dacă în relația de mai sus nu scriem coefocienții si ramân doar

obținem: +

› Aplicaṭia 2.

Fie A2 𝜖 M2n(Z) o matrice cu proprietatea: (P) Pentru orice două linii Li, Lj cu i j, suma

Li +Lj conține n elemente numere pare si n elemente numere impare.

Să se arate că pentru orice două coloane Ci, Cj cu i j, suma Ci+Cj contine n elemente numere pare si n elemente numere impare.

Rezolvare:

Atribuim matricii A = [aij ], matricea B = [bij] ,unde bij = 1 dacă aij este număr par și

bij = −1 dacă aij este număr impar (bij = (−1)aij ).

Deducem că matricea A are proprietatea (P) produsul oricăror două linii si din matricea B contine n de 1 si n de −1,adică:

.

Pentru că , oricare ar fi i = , obținem că A are proprietatea (P)

B= 2nI2n. Evident avem si B= 2nI2n, relație care reevaluată dă aceleasi condiții asupra coloanelor matricei B și asupra coloanelor matricei A.

› Aplicaṭia 3.

Arătați că, dacă A ∈ M2013(R), atunci (A2 + I2013)n O2013 pentru orice n ∈ N. (Concursul interjudețean ,,Traian Lalescu" 2013)

Rezolvare: Presupunem prin reducere la absurd că există n∈N cu (A2 + I2013)m = O2013. Atunci

mA | (X2 + 1)n, deci mA = (X2 + 1)r și pA = (X2 +1)u. Aceasta ar implica grad(pA) = 2013 = 2u – fals – ceea ce arată căpresupunerea făcută este falsă.

› Aplicaṭia 4.

Fie A ∈ Mn(R),n ≥ 2, astfel încât A2013 + A2014 = On. Dacă B =A+In, demonstrați că

matricea In −AB este inversabilă. (Concursul interjudețean ,,Marian Țarină" 2013)

Rezolvare:

A2013(A+In) = On, deci mA | X2013(X +1), mA = Xs(X +1)t,t∈{0; 1}. Obținem că

pA = Xu(X + 1)v = (−1)n det(A − XIn), u + v = n.

Avem In − AB = In − A − A2 și det(In − A − A2) = (−1)n det(A2 + A − In) = (−1)n det(A − x1In) det(A − x2In);unde x1 ¸si x2 sunt soluțiile ecuației x2 +x−1 = 0, atunci x1 +x2 = −1 = x1x2.

Rezultă că , matricea In − AB este inversabilă.

› Aplicaṭia 5 .

Fie n și k două numere naturale astfel încât n ≥ 2 și 1 ≤ k ≤ n − 1. Arătați că dacă matricea A ∈ Mn(R) are exact k minori nuli de ordin n − 1, atunci det(A) 0. (Etapa națională, 2012)

Rezolvare :

Folosim metoda reducerii la absurd. Avem detA = 0 ,atunci rang(A) ≤ n − 1.

Fie rang(A) ≤ n − 2, atunci ar exista n2 minori de ordin n − 1 nuli, ceea ce este imposibil.Dacă rang(A) = n −1 avem atunci rang(A∗) = 1, deci toate coloanele matricei A∗ sunt proporționale.

Dacă A are k minori de ordin n − 1 nuli, atunci matricea A∗ are k elemente egale cu 0. Uitându-ne la un astfel de element nul, și utilizând proporționalitatea coloanelor, rezultă că matricea A∗ are o linie nulă,deci există cel puțin n elemente nule, contradicție.

› Aplicaṭia 6.

Fie A o matrice pătratică de ordin impar (cel puțin egal cu 3), cu elemente numere întregi impare. Să se arate că dacă A este inversabilă, atunci nu este posibil ca toți minorii elementelor unei linii să aibă modulele egale. (Etapa națională, 1997)

Rezolvare :

Luăm A∗ adjuncta matricei A. Folosind metoda reducerii la absurd , presupunem că toți minorii elementelor de pe linia i din matricea A au acelși modul Γ. Rezultă astfel că toate elementele de pe coloana i din matricea A∗ vor aparține mulțimii {±Γ}.

Cum det(A)In = AA∗, deducem 0 = Γ (am egalat elementele de pe linia k și coloana i din matricele det(A)In și AA∗, unde k i).

Dar este o sumă cu un număr impar de termeni impari, rezulta atunci că Γ = 0.

Egalând de această dată elementele de pe linia i și coloana i din aceleași matrice, rezultă că det(A) = Γ0 = Γ , deci det(A) = 0, contradicție.

› Aplicaṭia 7.

Să se arate că, dacă există matrice A ∈ Mn(Q) inversabile astfel că A−1 = A2 + A, atunci n este divizibil cu 3.

Rezolvare:

Din A−1 = A2+A rezultă, îınmulțind cu A, A3+A2−In = On, deci mA | (X3 + X2 − 1). Deoarece

X3 + X2 − 1 este ireductibil în Q[X], mA = X3 + X2 − 1. Putem spune că pA are aceiași factori ireductibili ca mA, deci pA = (X3 + X2 − 1)u, unde 3u = n, adică n este divizibil cu 3.

› Aplicaṭia 8.

Fie n un număr natural impar și A ∈ Mn(R).

Dacă , să se arate că det( + 2) ≥ 0 ≥ det( − . (Concursul interjudețean ,,Dan Barbilian" 2011)

Rezolvare:

Avem | , deci = , n impar, n ≥ 3, de unde rezultă :

= = X X

Relația cerută este de unde deducem

că:

› Aplicaṭia 9.

Fie A,B,C trei matrice pătratice de ordin n cu elemente reale astfel încât

și .

Să se arate că:

.(Traian Tămîian,Carei)

Rezolvare:

Ni se dă în exercitiu că:

de unde ne rezultă că , adică

Astfel avem că:

A+B+().

Obṭinem in final că :

)=0.

› Aplicaṭia 10.

Fie A o matrice patratică de ordinul trei cu elemente întregi.

Să se arate că 5 divide determinantul matricei . (Marian Cucoaneș, Mărășești)

Rezolvare:

Luăm ), unde vom avea că atunci

Pentru că .

Obṭinem că

› Aplicaṭia 11.

Fie doua matrici distincte din ), astfel încât

Este matricea inversabilă? (Moubinool Omarjee,Paris, Franṭa)

Rezolvare:

Luăm relaṭia . Fie inversabilă vom avea că și B este inversabilă.

Dacă | va rezulta că , ceea ce este FALS!

Astefel din toate acestea rezultă că este neincersavilă.

› Aplicaṭia 12.

Fie două matrice pătratice de ordin doi cu elemente complexe cu proprietatea că . Să se arate că , oricre ar fi . ( Marian Cucoaneș, Mărășești)

Rezolvare:

Avem că : .

Înmulṭim la dreapta , respectiv la stanga cu A și vom obṭine că :

, respectiv (1)

Știm că și , unde

Avem in caz particular că:

Și că , . Adunând cele două relaṭii va rezulta că , obṭinem astfel că .

Fie și presupunem

Înmulṭim la dreapta relaṭia cu , unde avem că ,

Atunci =, obṭinem astfel că

› Aplicaṭia 13.

Fie matricea inversabila de ordin 3 cu elemente reale si polinomul Știind ca polinomul are o radacina complexa nereala, să se arate că rădăcinile sala au modulul egal cu 1. ( Marian Cucoaneș, Mărășești)

Rezolvare:

Avem := de unde obṭinem deci

Fie o radacina complexa nereala a lui . Pentru că are coeficienṭi reali și , și conform ultimei relaṭii a lui Viete avem că , așadar =1. Atunci =1

› Aplicaṭia 14.

Fie matrice pătratice de ordin n cu elemente reale astfel încât și . Să se arate că . ( Marian Cucoaneș, Mărășești)

Rezolvare:

Fie α= o răadacină complexă cubică a unităṭii.Atunci și

.

Calculând vom obṭine căatunci avem că:

.

Știm că sunt matrice pătratice cu elemente reale, astfel încât:

și .

Rezultă din că .

› Aplicaṭia 15.

Fie o mulțime cu n elemente.

(i) Câte operații algebrice se pot defini pe ?

(ii) Câte dintre acestea sunt comutative?

(iii) Câte dintre acestea admit element neutru?

(iv)Să se arate că numărul operațiilor algebrice ce se pot define pe M care sunt în același timp comutative și cu element neutru este .

Rezolvare:

(i)Știm că numărul funcțiilor ce au valori într-o mulṭime cu elemente ,definite pe o mulțime este egal cu, iar o operație algebrică pe M este o funcție definită pe

cu valori în , unde , iar

(ii). Fie poziții pe diagonala principală a tablei de compunere și deasupra ei sunt , astfel se completează întâmplător cu poziṭii atunci când operaṭia este comutativă pe ,iar apoi sub diagonala principală se așeză simetric elementele de deasupra diagonala principală

față de aceasta. Procedând ca la punctual (i) com avea

(iii). Operaṭia algebrică de pe M ce admite element neutru

Având ocupate elementele prima coloană șide pe prima linie cu elementele lui M.

Celelalte poziṭii de pot fi ocupate cu elementele lui M, astfel încât pe M vom avea operații algebrice ce admit element

neutru .

(iv). Conform subpunctelor (ii) și (iii) ne rezultă că numărul căutat este egal cu

cea ce indică numărul de operații algebrice de pe M ce admit drept element neutru un element fixat al lui M , luat de n ori și anume

› Aplicaṭia 16.

Pe considerăm operația algebrică :

Să se demonstreze că:

(i) Operația este asociativă ;

(ii) Dacă, atunci operația ” o ” are element neutru dacă și

numai dacă b | c.

Rezolvare:

(i). Aratăm că avem echivalențele:

Ne rezultă astfel că operația algebrică este asociativă dacă și numai dacă

(ii).Fie și presupunem că operația are element

neutru ,unde .

Avem astfel: ,

adică divide.

Reciproc, să presupunem că și că divide (adică

există astfel încât ).

Dacă operația are element neutru , atunci cu necesitate

Din ne rezultă că , așadar (1) este

aceiași cu obṭinând că elementul neutru este cu necesitate

› Aplicaṭia 17.

Fie. Să se demonstreze că

( [i],·) este monoid comutativ.

Să se determine U( [i], ·).

Știm că este monoid comutativ .

Rezolvare:

Fie atunci a,b ,unde

Vom arăta că

Avem astfe încât

de unde ne rezultă imediat că trebuie să fie egală cu una din perechile

sau deci

› Aplicaṭia 18.

Fie un număr natural, și

Să se demonstreze că este parte stabilă a lui (,+) n este o putere naturală a unui număr prim.

Rezolvare:

Implicaṭia la dreapta "".

Prin reducere la absurd presupunem că are în descompunerea sa cel puțin doi factori primi distincți . Avem , () astfel încât:

Pentru că: ne rezultă că , ÎM.

Știm că M este parte stabilă a lui , rezultă că ÎM, adică

ceea ce este absurd, de unde rezultă că este de formacu număr natural

iar prim.

Implicaṭia la stânga"".

Avem cu p prim natural, .

Și de unde se observă ușor că este parte stabilă a lui

› Aplicaṭia 19.

Pe mulțimea M =  definim operația algebrică :

Să se demonstreze că este monoid, iar apoi să se determine

Rezolvare:

Fie astfel încât

,

iar

Obṭinem că adică operația este asociativă.

Vom arăta că elementul neutru este elementul :

deci (M, o ) este monoid.

Avem așadar

astfel încât

Pentru , avem , atunci , iar pentru avem ,

atunci .

În final ne rezultă că:

U

› Aplicaṭia 20.

Fie două grupuri, un morfism de grupuri.

Să se demonstreze că următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) f este aplicație injectivă;

(ii) Ker(f) = {1}.

Rezolvare:

Luam implicaṭia (i) (ii).

Fie , atunci obṭinem:

Cea de a doua implicaṭie :

(ii) (i). Fie

deci, atunci este injectivă.

› Aplicaṭia 21.

Fie două grupuri un morfism de grupuri.

Să se demonstreze că următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) f este aplicație injectivă;

(ii) Dacă este un alt grup și sunt morfisme de grupuri astfel încât

, atunci .

Rezolvare:

Caz I: (i) (ii).

Fie

Caz II: (ii) (i).Folosind metoda reducerii la absurd, vom presupune că nu este injectivă, astfel : ( potrivit Aplicaṭiei 20.).

Fie , morfismul incluziune ,iar morfismul

nul.

Luând iar, adică și g h, ceea ce înseamnă că presupunerea este falsă.

Așadar , deci este injectivă.

§4.2 Program C++

Să se calculeze un determinant de ordin n<=4. Să se testeze dacă o matrice patratică de ordin n<=4, cu elemenre numere reale , este inversabilă sau nu .

#include<iostream>

#include<conio.h>

using namespace std;

int det (int j, int n, int a[4][4])

{

int b[3][3], l, p, t, q;

l=0; q=0;

for (t=1; t<=1; t++)

{

for (p=1; p<=1; p++)

if (p!=j)

{

b[l][q]=a[t][p];

q++;

}

q=0;

l=1;

}

return b[0][0]*b[1][1]*b[2][2]+b[1][0]*b[2][1]*b[0][2]+b[2][0]*b[0][1]*b[1][2]- b[0][2]*b[1][1]*b[2][0]-b[1][2]*b[2][1]*b[0][0]-b[2][2]*b[0][1]*b[1][0];

}

int main () {

int n, i, j, d[4][4], r, h, ord, mt[4][4], z;

cout<<"Daṭi ordinal determinantului";

cin>>n;

cout<<"Daṭi determinantul"<<endl;

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++)

cin>>d[i][j];

if(n==1)

cout<<"D= "<< d[0][0];

if(n==2)

cout<<"D= "<< d[0][0]*d[1][1]- d[0][1]*d[1][0];

if(n==3)

{

r=d[0][0]*d[1][1]*d[2][2]+d[1][0]*d[2][1]*d[0][2]+d[2][0]*d[0][1]*d[1][2]- d[0][2]*d[1][1]*d[2][0]-d[1][2]*d[2][1]*d[0][0]-d[2][2]*d[0][1]*d[1][0];

cout<<r;

if(n==4)

{

h=d[0][0]*det(0,4,d)-d[0][1]*det(1,4,d)+d[0][2]*det(2,4,d)-d[0][3]*det(3,4,d);

cout<<"D= "<<h;

}

cout<<'\n';

cout<<"Ordinul matricei= ";

cin>>ord;

cout<<"Introduceti matricea"<<endl;

for (i=0;i<ord;i++)

for (j=0;j<ord;j++)

cin>>mt[i][j];

if(n==1)

z=mt[0][0];

if(n==2)

z= mt [0][0]* mt[1][1]- mt[0][1]* mt[1][0];

if(n==3)

z= mt[0][0]* mt[1][1]* mt[2][2]+ mt[1][0]* mt[2][1]* mt[0][2]+ mt[2][0]* mt[0][1]* mt[1][2]- mt[0][2]* mt[1][1]* mt[2][0]- mt[1][2]* mt[2][1]* mt[0][0]- mt[2][2]* mt[0][1]* mt[1][0];

if(n==4)

h= mt [0][0]*det(0,4,mt)- mt[0][1]*det(1,4,mt)+ mt[0][2]*det(2,4,mt)- mt[0][3]*det(3,4,mt);

if(z!=0)

cout<<"Este inversabilă" ;

else cout<<"Nu este inversabilă" ;

_getch();

}

}

Bibliografie

Algebră liniară- Prof.univ.dr Dumitru Bușneag, Editura Universitaria, Craiova, Martie- 2001;

Lecții de algebra- Dumitru Bușneag și Dana Piciu. Editura Universitaria, Craiova, 2002;

Probleme de logică și teoria mulțimilor- Dumitru Bușneag, Dana Piciu și Florentina

Chirteș. Editura Universitaria, Craiova 2003;

 Aritmetică si algebră- C.Năstăsescu, C.Niṭă, C.vraciu, Editura didactică și pedagogic, R.A., București, 1993.

Explorare, investigare și descoperire în matematică- Vasile Berinde. Editura Efemeride, 2001;

Gazeta Matematică- 2009, 2010, 2012, 2013.