Mathcad

CUPRINS

=== l ===

CUPRINS

I. INTRODUCERE

I.1. Prezentare generală a MathCad-ului

Produsul software sau sistemul de programare MathCad este un instrument destinat proiectării asistate de calculator. Programele de tip CAD (Computer Aided Design) sunt astăzi un instrument aproape comun pentru cele mai diverse cercetări aplicative de toate tipurile.

Produsul MathCad este un utilitar din categoria celor avansate EUREKA [Borland], MATLAB [MathWorks], MATHEMATICA [Wolfram Research], DERIVE [Soft Warehouse], dedicate soluționării problemelor matematice prevăzut cu procedee de calcul simbolic și cu metodele analizei numerice. Este realizat de cercetătorii de la M.I.T. și comercializat de Math Soft Inc., Cambridge Massachusetts. în cele ce urmează vom prezenta pe larg versiunea MathCad 6PLUS (Professional Edition) operând sub Windows 3.1 sau versiuni mai noi. Pe de altă parte vom prezenta și utilizarea MathCad-ului în rezolvarea problemelor de calcul numeric, simbolic, statistic, diferențial, matricial etc. Pachetul de programe MathCad oferă posibilitatea de a lucra simplu cu formule, numere, texte și grafice. Utilitarul permite scrierea directă la tastatura și pe ecran a expresiilor algebrice așa cum sunt acestea scrise uzual realizând calculul valoric sau simbolic ale acestora. în aceste expresii se pot folosi toate operațiile uzuale din aritmetică și funcțiile utilizate curent în analiza matematică. în timp ce expresiile se scriu la tastatură conform convențiilor MathCad (ce vor fi prezentate), pe ecran apar transcrise în formatul matematic uzual. Calculele în MathCad sunt la fel de simple ca scrierea expresiilor. Prin definirea variabilelor, calculele expresiilor se realizează automat și astfel se poate folosi MathCad-ul la rezolvarea problemelor concrete. El combină modul elegant de afișare a problemei cu puterea de calcul a calculatorului. Dar, toate formulele introduse în sesiunea de lucru cu MathCad devin componente ale documentului de lucru și vor putea fi salvate pentru utilizări ulterioare, adăugând după dorință comentarii și grafice, aranjând ecuațiile în pagină, completând descrierea operațiilor. în felul acesta se poate obține la imprimantă chiar textul unei lucrări de publicat. Dintre performanțele de calcul ale MathCad-ului trebuie menționate:

precizia de calcul până la 15 cifre zecimale în rezultat;

posibilitatea de a schimba unitățile de măsură și dimensiunile;

posibilitatea de a lucra cu numere și variabile complexe;

calcul de derivate, integrale, limite, produse, sume, serii și iterații atât numeric cât și simbolic;

recunoaște toate funcțiile trigonometrice, hiperbolice, exponențiale etc.;

printre funcțiile statistice acceptă: regresia liniară, funcția gamma, nenumărate funcții de distribuții etc.;

permite aproximarea cu curbe spline cubice, execută interpolări etc.;

acceptă transformări Fourie rapide și inversele lor atât numeric cât și simbolic;

permite definirea de către utilizator a funcțiilor și operatorilor;

poate fi utilizat în operații cu vectori, matrici și tensori având operațiile de înmulțire matriceală, inversare, transpunere, calculul determinantului, calcul de vectori și valori proprii și multe altele;

foarte important, este faptul că MathCad are un sistem Help bine pus la punct și accesibil prin meniu;

I.2. Prezentarea ecranului

Accesul în MathCad se realizează prin executarea următorilor pași:

se apasă un click pe butonul START din ecranul Windows;

se apelează apoi MathCad din submeniul PROGRAMS;

La intrarea în MathCad va apare:

Meniul principal:

Paleta matematică:

Bara cu unelte:

Bara pentru fonturi:

Linia de mesaj:

Suprafața de lucru;

I.3. Meniul Principal

Fiecare dintre meniurile ce alcătuiesc meniul principal, precum și submeniurile aferente pot fi apelate, în cadrul programului MathCad fie tastând combinația de taste ALT+ litera subliniată, fie apăsând un simplu click pe numele meniului respectiv. în continuare vom descrie pe larg rolul fiecărei comenzi din componența unui meniu.

I.3.1. Meniul File

Acest meniu este destinat lucrului cu fișiere și poate fi apelat fie de la tastatură prin apăsarea combinației de taste ALT+F, fie prin apăsarea unui click (butonului din dreapta mouseului) pe acesta. în urma acestei acțiuni va apare o fereastră cu diferite opțiuni a căror semnificație este prezentată în cele ce urmează:

New (se poate apela tastând F7) are drept scop deschiderea unei noi foi de calcul, fără a afecta în vreun fel foaia de calcul precedentă;

Open (se poate apela tastând F5) deschide documentele anterioare, apărând pe ecranul MathCad întreg conținutul documentului;

Save (se poate apela tastând F6) are rolul de a salva modificările făcute într-un document care a fost deja realizat;

Save As… salvează documentul curent, permițând atribuirea unui nume acestuia. Un document MathCad este salvat sub forma: nume_fișier.mcd;

Export Worksheet (worksheet = foaie de calcul) se utilizează pentru a salva documentul sub o astfel de formă încât să poată fi citit de programe care prelucrează texte în formatul standard RTF elaborat de Microsoft Corporation, având forma: nume_fișier.rtf (Rich Text Format);

Insert are rolul de a introduce conținutul unui alt document în sesiunea de lucru curentă;

Close (se poate apela apas^and Ctrl+F4) este utilizat pentru a închide sesiunea de lucru curentă;

Open URL… are rolul de a deschide un document MathCad care se găsește la o anumită adresă în rețeaua INTERNET;

Get From Notes… permite deschiderea unei baze de date ;

Save To Notes… salvează schimbările efectuate într-o bază de date;

Mail… se apelează atunci când dorim să trimitem sau să captăm conținutul unui document MathCad prin poșta electronică;

Save Configuration… permite salvarea configurației MathCad-ului în fișierul de configurare mcad.mcc în care sunt specificate: modul în care se execută o anumită operație (Automatic sau Manual), formatul numeric utilizat în calcul (va fi prezentat mai târziu), mărimile fizice a căror unități de măsură sunt fundamentale (masa, lungime, timp, etc.), valoarea pentru precizia de calcul numeric (TOL), modul de numerotare a indicilor (ORIGIN), tipurile de fonturi cu care sunt afișate variabilele, constantele, textul din cadrul documentului MathCad etc.

Execute Configuration File… este folosit pentru încărcarea unui alt fișier de configurație;

Associate Filename… se utilizează pentru a specifica programului MathCad extensia fișierelor de date folosite. Un fișier de date poate conține elementele unui vector (*.dat) sau a unei matrici (*.prn) sau chiar a unei imagini (*.bmp). Fișierul este asociat cu comenzile READ/WRITE, respectiv READPRN/WRITEPRN, utilizate pentru scrierea sau citirea valorilor dintr-un astfel de fișier;

Page Setup… ne permite setarea valorilor pentru pagină (foarte importante în cazul în care dorim să obținem la imprimantă conținutul unui document). Astfel, se setează dimensiunile paginii, adică valorile pentru: Left (distanța dintre marginea din stânga paginii și primul caracter tipărit), Right (distanța dintre marginea din stânga paginii și ultimul caracter tipărit care umple rândul), Top (distanța dintre marginea superioară a paginii și prima linie de caractere tipărită), Bottom (distanța dintre marginea inferioară a paginii și ultima linie de caractere tipărite). Aici prin caractere se înțelege o înșiruire de cifre sau litere ale oricărui tip de font. în plus se mai poate realiza și un antet care poate fi tipărit fie în partea superioară a paginii (Header), fie în partea inferioară (în subsolul paginii – Footers). Acest antet poate prezenta: numele fișierului curent, pagina curentă, data, ora, precum și orice alt text scris cu unul din fonturile disponibile);

Print Preview… ne afișează întregul conținut al paginii curente așa cum arată ea tipărită;

Print… (se poate apela tastând combinația de taste Ctrl+O) tipărește un anumit interval de pagini, pagina curentă sau tot documentul (toate paginile acestuia), în funcție de opțiunea utilizatorului, într-un exemplar sau mai multe. Tot de aici se poate modifica calitatea (rezoluția) imprimării, adică numărul de puncte dintr-un inch liniar;

Exit (se mai obține apăsând combinația de taste ALT+F4) realizează ieșirea din programul MathCad și revenirea în ecranul Windows;

În partea inferioară a meniului File sunt prezentate ultimele documente care au fost rulate în programul MathCad.

I.3.2. Meniul Edit

Este utilizat pentru editarea și formatarea documentului MathCad. Componentele acestui meniu pot fi obținute fie prin apăsarea combinației de taste ALT+E, fie pur și simplu prin apăsarea unui click pe acesta. Meniul prezintă următoarele comenzi:

Undo Last Edit (se poate obține și prin apăsare combinației de taste ALT+Bksp) are rolul de a anula ultima acțiune realizată în cadrul documentului MathCad;

Cut (se poate obține prin apăsare combinației de taste Ctrl+X) decupează regiunea marcată (cu un dreptunghi punctat) cu ajutorul mousului (pentru a fi, de exemplu inserată în altă parte a documentului sau chiar în cadrul unui alt document, cu ajutorul comenzii Paste). în urma acestei comenzi, regiunea decupată va fi memorata în Clipboard (zonă temporară de stocare în memorie sau zonă tampon);

Copy (se poate obține prin apăsarea combinației de taste Ctrl+C) copiază (în clipboard) regiunea din document marcată cu ajutorul mousului;

Clear șterge regiunea marcată cu mousul;

Paste (se poate obține prin apăsarea combinației de taste Ctrl+V) inserează regiunea ce a fost memorată în Clipboard (cu una din comenzile Cut sau Copy) în locul în care se găsește cursorul MathCad;

Paste Special… poate insera regiunea salvată din Clipboard, în format Text (RTF), MathCad, Picture sau Bitmap, de asemenea în locul în care se găsește cursorul;

Regions conține trei comenzi: prima, View Regions este utilizată pentru a pune în evidență conținutul documentului (regiunile din document care conțin texte, ecuații, grafice etc.). Prin urmare, regiunile sunt definite de conținutul documentului. A doua comandă, Select All are rolul de a selecta (a marca) întregul conținut al documentului, pentru a fi de exemplu copiat în alt loc, iar a treia comandă, Separate (poate fi apelată apăsând combinația de taste Ctrl+S) și este folosită în cazul în care sunt suprapuse total sau parțial două sau mai multe regiuni. Efectul acestei comenzi constă în separarea celor două regiuni suprapuse;

Align Regions conține două comenzi: prima Horizontal, aliniază orizontal regiunile selectate, iar a doua comanda Vertical aliniază pe verticală regiunile selectate din document;

Include… este utilizat pentru includerea în documentul curent a oricărui alt document MathCad. în urma apelării acestei comenzi, va apare în locul specificat de utilizator, o linie de document formată dintr-o icoană și calea (inclusiv numele fișierului) spre documentul care se dorește inclus;

Link… realizează legătura dintre două documente (foi de calcul) MathCad; Această opțiune conține două sub-comenzi: New pentru a crea o nouă legătură cu un alt document MathCad și Erase pentru a abandona la o anumită legătură;

Lock Regions conține trei comenzi: prima, Set Lock Area, permite delimitarea unei zone din cadrul documentului MathCad în care să poată fi inserate texete, ecuații, grafice etc. care să nu poată fi modificate în cadrul documentului decât de cel care a realizat documentul. Vom spune că aceasta regiune este blocată. A doua comandă, Lock Area… blochează zona respectivă și ca urmare a apelării acestei comenzi, MathCad-ul cere utilizatorului să introducă parola (pasword) care va duce la blocarea zonei și care va fi folosită în cadrul celei de-a treia comenzi Unlock Area… pentru deblocarea zonei respective. Dacă parola a fost introdusă în același mod în care a fost definită, utilizatorul va putea modifica conținutul acestei zone;

Ins/Del Blank Lines… inserează sau șterge un număr de linii (blank-uri) începând cu regiunea selectată.

Insert Pagebreak are rolul de a indica MathCad-ului locul în care dorim să începem o pagină nouă în cadrul documentului;

Right Margin constă din două comenzi: prima comandă, Set inserează un delimitator (o linie verticală care străbate documentul) pentru marginea din dreapta documentului. Această opțiune se utilizează atunci când dorim editarea unui document pe regiuni de lucru. A doua comandă, Clear șterge delimitatorul vertical, paginile documentului revenind la dimensiunile stabilite în File Page Setup… ;

Header/Footers… deschide o fereastră în care se poate seta antetul unei pagini MathCad, care poate fi tipărit fie în partea superioară a paginii (Header), fie în partea inferioară (în subsolul paginii – Footers). Acest antet poate prezenta: numele fișierului curent, pagina curentă, data, ora, precum și orice alt text. Realizarea unui antet se poate face și apelând: File Page Setup…, apoi selectând după nevoie Headers… sau Footers… ;

Find… (se poate apela și tastând direct combinația de taste Ctrl+F5) ajută la căutarea unui șir de caractere (care poate semnifica un număr, o variabilă, un cuvânt etc.) din cadrul documentului. Modul de căutare se poate face fie pornind din locul în care se găsește cursorul MathCad spre sfârșitul documentului, prin realizarea unui click pe butonul Next, fie spre începutul documentului prin apăsarea butonului Previous;

Replace… (se poate apela și tastând combinația Shift+F5) caută șirul de caractere introdus de la tastatură și îl înlocuiește cu cel dorit. înlocuirea unui șir de caractere cu un altul se poate face fie în tot documentul, prin apăsarea butonului Change All, fie confirmând înlocuirea de fiecare dată când este găsit șirul pe care vrem să îl înlocuim;

Go to Page… este utilizat atunci când dorim saltul de la pagina curentă la o altă pagină din cadrul documentului. La realizarea acestei comenzi, va apare o fereastră formată din două regiuni: regiunea de interogare, în care precizăm pagina din document la care vrem să ajungem și aceasta poate fi prima pagină (First Page) din document, pagina imediat următoare după pagina curentă (Last Page) sau orice altă pagină specificată prin numărul ei (Page number) și regiunea în care sunt prezentate numărul total de pagini care formează documentul (Number of Page(s): ), precum și numărul paginii curente (Current Page: );

I.3.3. Meniul Text

Este utilizat la crearea și formatarea modului de editare text din cadrul unui document MathCad. Componentele acestui meniu pot fi obținute fie prin apăsarea combinației de taste ALT+E, fie pur și simplu prin apăsarea unui click pe acesta.

Create Text Region (se mai poate apela tastând " ) definește regiunea de text. O astfel de regiune este activă atunci când este încadrată de laturile unui dreptunghi. O regiune din cadrul documentului este activă doar dacă cursorul MathCad este prezent în această regiune;

Create Text Paragraph (se poate obține tastând direct combinația de taste Ctrl+T) creează o regiune de tip paragraf. Această regiune este activă atunci când textul inclus în paragraf este delimitat de două linii orizontale ce străbat documentul;

Embded Math oferă posibilitatea de a insera în regiunea text ecuații, funcții sau alte simboluri ce nu pot fi realizate decât în format matematic;

Change Font… este inactiv până în cazul în care este selectat un șir de caractere din regiunea text. Această opțiune permite modificarea culorii, mărimii și formei fontului care caracterizează șirul selectat;

Change Format… are rolul de a schimba în cadrul paragrafului modul de aranjare al textului. în urma realizării acestei comenzi, va apare o fereastră în care se cere specificată fie distanța (în inch) de la marginea din stânga documentului și primul caracter (literă, cifră) scris din cadrul unei linii de text, fie specificarea directă a modului de aliniere al textului, care poate fi: aliniere la stânga (Left), aliniere la dreapta (Right) sau aliniere simetrică față de centrul documentului (Center);

Change Defaults este utilizat la schimbarea formatului predefinit de MathCad, pentru fonturi (culoare, mărime, formă) și paragraf (modul de aliniere al textului);

Check Spelling… realizează o verificare a ortografiei textului, comparând cuvintele scrise de utilizator cu cuvintele sau expresiile (în limba engleză) pe care MathCad le deține într-un dicționar realizat de firma producătore a softwarului;

I.3.4. Meniul Math

Acest meniu poate fi apelat fie prin apăsarea unui click pe numele acestuia, fie prin apăsarea combinației de taste ALT+M. Meniul pune la dispoziția utilizatorului diverse submeniuri utilizate în cadrul formatului matematic, pe care de asemenea le vom prezenta în cele ce urmează.

Matrices… (poate fi apelat și apăsând combinația de taste Ctrl+M) provoacă apariția unei ferestre cu întrebări privind numărul de linii și cel de coloane. Fereastra rămâne activă până când este închisă de utilizator;

Built-In Variables… permite selectarea dintr-o listă predefinită, a caracteristicii unei variabile. în urma realizării acestei comenzi, va apare o fereastră care include următoarele subcomenzi: TOL, care permite modificarea preciziei de calcul al unei variabile (implicit are valoarea 0,001), ORIGIN, care este utilizat în cazul în care variabila este un vector sau o matrice și care permite modificarea modului de numerotare a indicilor (implicit, ORIGIN are valoarea 0), PRNPRECISION permite modificarea numărului de numere semnificative al unei variabile de tip matrice, a cărei valori sunt scrise cu ajutorul funcției WRITEPRN într-un fișier *.prn, (implicit PRNPRECISION are valoarea 4), PRNCOLWIDTH permite modificarea lărgimii coloanelor create într-un fișier (ASCII) cu ajutorul funcției WRITEPRN (implicit PRNCOLWIDTH are valoarea 8). Valorile extreme pe care le pot lua toate aceste mărimi caracteristice unei variabile sunt specificate în dreapta fiecărei comenzi;

Units permite inserarea unei unități de măsură (cu comanda Insert Unit…) și selecția dintr-o listă predefinită a sistemului de unități de măsură (M.K.S., C.G.S. sau U.S.) (prin apelarea comenzii Change System of Units…, precum și renumirea dimensiunii unei mărimi fundamentale (masă, lungime, timp, sarcină electrică, temperatură) (alegând comanda Dimensional Format…);

Choose Function… permite selectarea unei funcții dintr-o gamă largă de funcții predefinite (funcții trigonometrice, funcții statistice, funcții utilizate în calcul integral și diferențial, etc.);

Randomize… permite specificarea valorii maxime a intervalului (0,n) în care se generează numere aleatoare cu ajutorul funcției RND. Este ușor de observat că n trebuie să fie mai mare sau egal cu 1;

Calculate (F9) se utilizează în modul Manual pentru efectuarea calculelor. în cazul în care documentul este format din mai multe pagini, cu această comandă se va realiza doar calculele din pagina curentă;

Calculate Worksheet are aceeași semnificație ca și comanda Calculate, diferența constând în faptul că în urma realizării acestei comenzi se vor efectua toate calculele din documentul curent;

Toggle Equation această comandă este activă în cazul în care este cel puțin o ecuație selectată. La aplicarea acestei comenzi, ecuația sau ecuațiile selectate vor fi ignorate în calcule;

Highlight Equation este activ doar în cazul în care una sau mai multe ecuații sunt selectate și are rolul de a evidenția ecuația sau ecuațiile selectate prin procedura de marcare video, cu o anumită culoare;

Automatic Mode această comandă poate fi selectată sau deselectată. în cazul în care comanda este deselectată, MathCad lucrează în modul manual, aceasta însemnând că toate calculele vor fi efectuate doar la apelarea comenzii Calculate sau Calculate Worksheet, iar în cazul în care este selectat, calculele vor fi efectuate automat;

Live Symbolics poate fi selectat sau deselectat. în cazul în care comanda este selectată se realizează toate calculele simbolice din document prevăzute cu semnul de egal simbolic ();

Optimize dacă este selectat, va acționa procesorul de calcul simbolic al MathCad-ului, care va putea fi utilizat în toate calculele din document. Astfel, înainte de a se evalua o expresie mai mult sau mai puțin complicată, aceasta este simplificată cu ajutorul procesorului simbolic și abia apoi se efectuează calculele propriu-zise;

Numerical Format… permite modificarea globală (GLOBAL) sau locală (LOCAL) a formatului numeric cu care sunt afișate rezultatele. Prin modificarea formatului numeric se înțeleg următoarele:

modificarea bazei de prezentare a numerelor, care poate fi zecimală (Decimal), hexazecimală (Hex) sau octală (Octal);

alegerea unității imaginare, care poate fi i sau j;

modificarea modului de afișare al rezultatelor (Displayed Precision);

modificarea pragului exponențial (Exponential Threshold). Adică, dacă în căsuța aferentă acestei opțiuni introducem de exemplu cifra 3, atunci numerele mai mari decât 103 se vor afișa în format flotant;

modificarea toleranței complexe (Complex Tolerance), adică a numărului maxim de cifre semnificative care mai sunt luate în calcul pentru partea imaginară a numerelor complexe;

modificarea zero-ului aritmeticii (Zero Tolerance). Adică, pentru rezultatele care depășesc ordinul de mărime 10-n, unde n este valoarea introdusă în căsuța aferentă opțiunii, vor fi considerate nule. Gama de numere zecimale cu care poate opera MathCad-u este (-10308,+10308), zero-ul acestei aritmetici este 10-n;

utilizarea afișării rezultatului cu zero-uri după ultima cifră semnificativă nenulă din rezultat. Numărul de zero-uri atașate cifrelor semnificative din rezultat vor fi astfel încât rezultatul afișat să se încadreze în precizia de afișare a rezultatului pe ecran (Displayed Precision);

afișarea pe ecran sub formă matricială sau sub formă de tabel a unei matrici (Display as Matrix);

Font Tag… este utilizat pentru modificarea proprietăților fonturilor (tip, mărime, culoare) cu care sunt afișate variabilele, constantele etc.;

Change to Greek Variable (se poate apela și apăsând Ctrl+G după litera tastată) are rolul de a transforma o literă introdusă de la tastatură în litera grecească corespunzătoare;

I.3.5. Meniul Graphics

Este utilizat pentru crearea și formatarea diverselor tipuri de grafice, putând fi reprezentate grafic: funcții, curbe plane, suprafețe în spațiu (prin familii de curbe figurate în proiecție axonometrică) etc. în plus, există și posibilitatea de a defini o imagine color sau alb/negru. Meniul se poate apela fie tastând combinația de taste ALT+G, fie apăsând un click pe acesta.

Create X-Y Plot (se mai poate obține tastând @) creează o suprafață de desen (un dreptunghi), în care se va trasa un grafic 2D (bidimensional) în coordonate carteziene. Pe latura inferioară și pe cea din stânga acestui dreptunghi se găsesc un număr de șase regiuni mici (dreptunghiuri pline) în care se introduc: variabila dependentă (în regiunea din mijlocul laturii din stânga), variabila independentă (în regiunea din mijlocul laturii inferioare a dreptunghiului), și după caz, valorile extreme pentru care dorim să evidențiem graficul;

Create Polar Plot (se poate apela tastând combinația de taste Ctrl+F7) creează o suprafață de desen (un cerc), în care se va trasa un grafic 2D în coordonate polare.

Variabila dependentă se va scrie în regiunea mică din stânga suprafeței de desen, iar variabila independentă în regiunea inferioară a suprafeței. Valorile extreme se introduc opțional;

Create Surface Plot (se poate apela tastând combinația de taste Ctrl+2) creează un dreptunghi în care se va trasa graficul unei suprafețe definită de o funcție de forma: Mi,j = (xi,yj), unde Mi,j reprezintă elementele unei matrici cu i linii și j coloane (i2 și j2). în partea inferioară a dreptunghiului se regăsește regiunea mică în care se introduce numele matricei (de exemplu, M);

Create Contour Plot (se poate apela tastând combinația de taste Ctrl+5) creează un dreptunghi în care se va trasa graficul unui contur definit de o suprafață prin funcția: Mi,j = (xi,yj), unde Mi,j reprezintă elementele unei matrici cu i linii și j coloane (i2 și j2);

Create 3D Scatter Plot creează un dreptunghi în care se vor reprezenta 3D, prin puncte setul de valori (xi,yj,Mi,j);

Create Vector Field Plot creează un câmp de vectori pe considerentul că fiecare element dintr-o matrice este un vector bidimensional reprezentat printr-un un număr complex. Partea reală a numărului complex este asociată cu proiecția pe axa Ox a vectorului, iar partea imaginară cu proiecția pe axa Oy al aceluiași vector;

Create 3D Bar Chart permite realizarea unui grafic sub formă de histograme. Regiunea în care se va trasa graficul are aceleași caracteristici ca în cazurile precedente;

Create Picture creează o regiune în care se poate insera o imagine. în partea inferioară a acestei regiuni, marcată de laturile unui un dreptunghi, se introduce numele și extensia fișierului care conține imaginea în forma: nume_fișier.ext;

X-Y Plot Format… permite modificarea caracteristicilor graficului selectat. Astfel, se pot modifica: tipul și culoarea liniei cu care este trasat un grafic (Traces), grilajul (Grid Lines), tipul scării axelor de coordonate (axe zecimale sau axe logaritmice) (Log Scale), modul general de prezentare al graficului (încadrat de un dreptunghi (Boxed), prezentarea axelor de coordonate (Crossed) sau doar graficul propriu-zis (None)), etichetarea graficului (atribuirea unui nume acestuia) (Title). Numele graficului poate fi afișat fie în partea superioară a graficului (Below), fie în partea inferioară (Above) sau poate să nu fie afișat pe ecran, în funcție de modul de selectare al comenzii Show Title. în plus mai pot fi etichetate și axele de coordonate;

Polar Plot Format… are rolul de a modifica caracteristicilor graficului selectat, permițând modificarea acelorași parametrii ca în cazul precedent, deosebirea constând în tipul sistemului de coordonate (Polar);

3D Plot Format… este utilizat pentru modificarea caracteristicilor graficului selectat, astfel graficul poate fi rotit (Rotation) cu un anumit număr de grade sau înclinat (Tilt), se poate încadra graficul într-o prismă dreptunghiulară (căreia i se pot modifica culorile muchiilor sau se poate umple cu o anumită culoare), în plus graficul poate fi prezentat fie într-o singură culoare, fie în nuanțe de culori (în funcție de apropiere sau îndepărtare) sau în nuanțe de gri, în final obținând un grafic cum nu se poate mai artistic, dar în același timp intuitiv și corect. Este evident că rămân și aici valabile opțiunile prezentate în comenzile anterioare, opțiuni care se regăsesc și în cadrul acestei comenzi;

Picture Format… permite realizarea încadrării imaginii (Show Border) create cu comanda Create Picture și readucerea acestei imagini la mărimea inițială (Use original size) (în cazul în care mărimea imaginii a fost modificată);

I.3.6. Meniul Symbolic

Acest meniu conține un număr mare de comenzi, ce vor fi prezentate și pe care MathCad le utilizează în calculul simbolic (de exemplu, în rezolvarea unei integrale nedefinite). MathCad posedă opțiunea de calcul simbolic folosind o bibliotecă Maple . încărcarea acestei opțiuni presupune o serie de resurse hard și funcționează suficient de rapid (aparent în regim conversațional) doar pe sisteme cu procesor cel puțin 386. Meniul poate fi apelat fie apăsând un click pe acesta, fie apăsând combinația de taste ALT+S.

Evaluate conține trei comenzi:

1. Evaluate Symbolially (sau Shift+F9) permite evaluarea simbolică a unei expresii;

2. Complex Evaluation se utilizează pentru evaluarea simbolică a expresiilor care au în componența lor numere complexe. în urma aplicării acestei comenzi, MathCad va încerca să aducă rezultatul la forma numărului complex (z=a+ib),

3. Floating Point Evaluation se utilizează la evaluarea simbolică a unor funcții predefinite, cu expresii raționale în care intervin constantele e și . Dacă în expresia ce se evaluează intervin numere ce includ punctul zecimal, atunci procesorul evaluează rezultatul numeric cu 20 de cifre zecimale;

Simplify realizează simplificarea expresiilor algebrice, utilizând identitățile uzuale din algebră și trigonometrie. Simplificarea operează doar asupra expresiilor sau sub-expresiilor selectate. Pentru simplificarea unei matrici, aceasta trebuie să fie mai întâi selectată, iar apoi să se aleagă comanda Simplify;

Expand Expression declanșează efectuarea calculelor înmulțind și ridicând la putere expresiile polinomiale ce apar. Această comandă se folosește pentru a obține expresii raționale cu numărătorul polinomial ca sumă de fracții, sau pentru a dezvolta ca polinoame de sin(x) și cos(x), expresiile de tipul sin(nx);

Factor Expression încearcă să descompună expresia selectată în produs. Comanda convertește un polinom în produs de polinoame de grad cel mult 2, un întreg în produsul numerelor prime ce îl compun, respectiv o sumă de expresii raționale într-o singură fracție. Factorizarea acționează doar asupra expresiei selectate, putându-se alege numai o sub-expresie, eventual.

Collect on Subexpression este folosită pentru a transforma o sumă de termeni într-o expresie polinomială în raport cu variabila aleasă. Pentru a o folosi trebuie, mai întâi precizat numele variabilei sau al funcției (împreună cu parametrii săi), apoi se alege comanda Collect on Subexpression și MathCad rescrie suma ca un polinom în raport cu variabila, respectiv funcția aleasă;

Polynomial Coefficients returnează un vector format din coeficienții unui polinom, primul element din vector fiind termenul liber. Pentru a apela la această funcție trebuie mai întâi selectată variabila de lucru;

Differentiate on Variable Procesorul simbolic permite calculul analitic al diferențialei unei expresii în raport cu variabila aleasă. Există două comenzi: Differentiate on Variable pentru a diferenția o expresie scrisă anterior, selectând variabila și apoi declanșând comanda; alta tastând semnul ?, care va crea pe ecran operatorul de derivare – identic cu cel de la derivarea numerică, trebuind introduse în zonele marcate expresia de derivat, respectiv variabila în raport cu care se derivează, declanșând apoi comanda Evaluate Symbolially (sau Shift+F9). Pentru a calcula derivate de ordin superior fie se repetă de ordinul dorit de ori operatorul de derivare, fie se introduce simbolul de derivare de ordin superior apăsând combinația de taste Ctrl+Shift+?, după care se alege din meniu comanda Evaluate Symbolially. Ca și la derivarea numerică, la derivarea simbolică în MathCad celelalte variabile din expresie (exceptând variabila în raport cu care se face derivarea) sunt interpretate ca și constante;

Integrate on Variable Pentru a calcula integrala nedefinită a unei expresii trebuie doar selectată variabila de integrare și apoi declanșată comanda Integrate on Variable. Pentru a calcula o integrală definită trebuie creat operatorul de integrare prin tastarea semnului &, apoi completând în zonele corespunzătoare expresia, respectiv variabila și limitele de integrare, după care se apelează din meniu Evaluate Symbolially. Dacă limitele de integrare sunt nume de variabile sau numere fără punct zecimal, atunci se încearcă găsirea expresiei simbolice sau numerice exacte – soluția integrării. Dacă în expresia de integrat este folosit punctul zecimal, atunci procesorul va realiza evaluarea numerică, implicit cu 20 de cifre, a integralei. Dacă procesorul simbolic nu reușește să determine soluția exactă a integralei nedefinite, respectiv valoarea exactă a integralei definite, atunci apare mesajul "No closed form found integral". în cazul integralei definite ne rămâne posibilitatea evaluării aproximative; Pentru aceasta ne plasăm pe operatorul de integrare și apăsăm tasta = declanșând rutina de calcul numeric (aproximativ) al integralei;

Solve for Variable permite evaluarea simbolică a unei ecuații sau inecuații în raport cu variabila specificată. Rădăcinile ecuației sau inecuației vor fi afișate într-un vector. Dacă în expresia de evaluat este folosit punctul zecimal, atunci procesorul va realiza evaluarea numerică, implicit cu 20 de cifre, a ecuației;

Substitute for Variable permite substituirea unei expresii pentru o variabilă. Pentru aceasta se copiază expresia de substituit în memoria tampon (clipboard), se tastează variabila căreia dorim să-i substituim expresia, iar apoi se alege Substitute for Variable. Substituirea expresiei pentru o variabilă este des utilizată în cazul în care se lucrează cu expresii mari;

Expand to Series… dezvoltă o expresie în serie de puteri, în raport cu variabila specificată;

Convert to Partial Fraction dezvoltă o expresie rațională într-o sumă de fracții care au ca numitor polinoame de gradul I sau II. Dacă această operație nu poate fi realizată, expresia va fi rescrisă în forma inițială;

Matrix Operations… conține trei funcții utilizate în operațiile cu matrici:

– Transpose Matrix realizează operația de transpunere a unei matrici (inversarea liniilor cu coloanele);

– Invert Matrix realizează operația de inversare a unei matrici pătratice (numărul de linii egal cu numărul de coloane);

– Determinant of Matrix calculează (simbolic) determinantul unei matrici pătratice;

Pentru aplicarea oricărei operații din cele trei, matricea căreia i se aplică operația trebuie să fie marcată (printr-un dreptunghi cu laturile albastre);

Transforms conține trei grupuri de comenzi:

– Fourier Transform evaluează transformata Fourier a unei funcții, returnând funcția transformată în variabilă ;

– Inverse Fourier Transform evaluează transformata Fourier inversă a unei funcții. Rezultatul fiind o funcție în variabilă t;

– Laplace Transform evaluează transformata Laplace a unei funcții, MathCad returnând o funcție în variabilă s;

– Inverse Laplace Transform evaluează transformata Laplace inversă a unei funcții, rezultatul fiind o funcție în variabilă t;

– Z Transform realizează transformarea z a unei funcții, rezultatul fiind o funcție în variabilă z;

– Inverse Z Transform evaluează transformarea z inversă a unei funcții, rezultând o funcție în variabilă n;

Derivation Format… permite alegerea formatului de prezentare a rezultatelor simbolice, MathCad prezentând patru opțiuni posibile: Show derivations comments care, dacă este selectat (check) prezintă un scurt comentariu privind calculul simbolic efectuat; vertically, inserting lines realizează prezentarea comentariului (în cazul în care opțiunea Show derivations comments selectată) și a rezultatului simbolic pe verticală, neafectând regiunile vecine, care sunt deja scrise în cadrul documentului, practic rezultatul simbolic și eventual comentariul aferent sunt inserate în document fără a afecta celelalte regiuni; vertically, without inserting lines realizează afișarea pe verticală a rezultatului simbolic a unei expresii și eventual al comentariului aferent, acestea putându-se suprapune peste regiunile apropiate expresiei în cauză; horizontally afișează în dreptul expresiei de evaluat, comentariul (după caz) și rezultatul evaluării;

Derive in Place dacă este selectat (check), înlocuiește expresia de evaluat cu rezultatul evaluării acestei expresii;

I.3.7. Meniul Window

Acest meniu conține comenzi speciale pentru lucrul cu ferestre, precum și pentru crearea unei animații în MathCad. Meniul poate fi apelat prin apăsarea combinației de taste ALT+W și se impune datorită modului de operare succesivă asupra mai multor documente (fișiere cu extensia mcd).

Cascade realizează aranjarea în cascadă (suprapunere vizibilă) a documentelor active pe ecran;

Tile Horizontal realizează așezarea documentelor active pe coloană;

Tile Vertical realizează așezarea documentelor alăturat (aliniate);

Arrange Icons

Zoom… permite modificarea mărimii cu care este prezentat un document;

Refresh (se poate apela tastând combinația de taste Ctrl+R) redesenează ecranul MathCad, adică repetă afișarea datelor pentru a nu se atenua;

Animation este utilizat pentru crearea și rularea animației în MathCad și conține două opțiuni:

– Create… permite crearea animației în MathCad. Orice animație este realizată prin modificarea valorilor variabilei FRAME. Aceste valori sunt specificate în dreptul opțiunilor From (de la), respectiv To (la), specificându-se în același timp și viteza de afișare a cadrurilor, în dreptul opțiunii Frames/Sec. După setarea acestor mărimi se marchează regiunea din cadrul documentului pe care dorim să o "animăm", iar apoi se apasă butonul Animate, pe ecran derulându-se animația propriu-zisă. Animația astfel creată poate fi salvată pentru vizualizări ulterioare. Pentru a se realiza salvarea animației se apasă butonul Save As… după care se introduce numele fișierului (acesta va avea extensia avi). în cazul în care se dorește părăsirea ferestrei Create Animation fără a se efectua salvarea animației create, se apasă butonul Cancel;

– Playback… este utilizat la vizualizarea unei animații MathCad;

Hide Palette dacă este selectat ( ) ascunde paleta matematică (adică nu o afișează pe ecran);

Hide Tool Bar dacă este selectat ( ) ascunde bara cu unelte;

Hide Font Bar ascunde bara cu fonturile disponibile în MathCad;

Change Colors permite setarea culorilor pentru fundal (Background Color…), text (Text Color…), expresii matematice (Equation Color…), pentru dreptunghiul plin care evidențiază o expresie (Equation Highlight Color…), precum și pentru comentariile și adnotările realizate în cărțile electronice MathCad (Annotation Color…);

În partea inferioară a acestui meniu se găsesc numele documentelor deschise în sesiunea de lucru curentă. Oricare din documentele prezentate pot fi activate prin apăsarea unui click pe numele documentului dorit;

I.3.8. Meniul Books

Lăudabil pentru MathCad este faptul că pe lângă meniurile enumerate, la care se mai adaugă și meniul Help, există acest meniu, care îl detașează de celelalte programe utilizate pentru calculul numeric și/sau simbolic (enumerate în introducerea acestei lucrări) prin faptul că pune la dispoziția utilizatorului două "cărți electronice" care conțin informații utile pentru orice utilizator, cum ar fi: formule matematice și fizice, tabele cu constante fizice și chiar probleme (din diverse domenii) rezolvate cu MathCad; și un manual interactiv care va fi prezentat în cadrul acestui paragraf alături de cele două cărți electronice mai sus amintite.

Acest meniu poate fi apelat fie apăsând un click pe acesta, fie apăsând combinația de taste ALT+B. La apelarea acestui meniu vor fi prezentate opțiunile din cadrul acestuia, pe care le voi prezenta succint:

Oppen Book… deschide unul din fișierele (cărțile electronice) MathCad cu extensia hbk (Deskref.hbk), Sampler.hbk, Tutorial.hbk, Qsheet.hbk);

History… prezintă acțiunile realizate cu ocazia "răsfoirii" cărții electronice;

Search Book… ajută la căutarea rapidă a unui cuvânt din cartea electronică curentă;

Annotate Book și Annotate Options permit realizarea unui comentariu (a unei completări) în cartea electronică curentă. Aceste comentarii pot fi salvate;

Desktop Reference este una din cele patru cărți electronice atașate programului MathCad. "Cartea" prezintă interactiv pe parcursul celor nouă capitole multe informații din domeniul fizicii și tehnicii (capitolele 1 și 4 – 9) și matematicii (capitolele 2 și 3);

Book Sampler are un caracter mai general, fiind alcătuit din opt capitole mari grupate pe domenii de interes, în care sunt rezolvate cu MathCad diverse probleme ce includ rezolvări de ecuații și sisteme de ecuații, calcul matriceal, calcul statistic, calcul integral și diferențial etc. cu aplicații în inginerie, fizică, astronomie, chimie etc.

Tutorial este practic un "manual" al utilizatorului, care prezintă modul de lucru în MathCad începând de la modul de prezentare al ecranului și terminând cu modul de editare și formatare al textului, al expresiilor matematice (ecuații, matrici etc.), al graficelor;

Cel de al patrulea manual (QuickSheets) va fi prezentat în cadrul paragrafului ce urmează. Cu totul apreciabil este faptul că toate formulele, explicațiile sau graficele din oricare din aceste patru cărți electronice pot fi inserate (introduse) în documentul utilizatorului pentru a le experimenta sau folosi.

I.3.9. Meniul Help

Acest meniu conține întreaga documentație de ajutor și instruire în lucrul cu MathCad. Meniul poate fi apelat fie prin apăsarea unui click pe acesta, fie prin apăsarea combinației de taste ALT+H. Comanda Help selectată va afișa fereastra de comenzi:

Index… (se poate apela tastând F1) furnizează o fereastră cu lista capitolelor MathCad descrise în documentație. Putem alege capitolul dorit prin selecția rândului respectiv din cuprins sau putem folosi butoanele ce apar în partea de sus a ferestrei Help: Contents, Search sau Back;

Keyboard… dă informațiile necesare pentru a putea lucra în MathCad folosind doar tastatura;

Using Help… cuprinde exact inițierea din Windows Help;

QuickSheets… prezintă într-un mod cu totul deosebit lucrul cu MathCad prin realizarea unor exemple ce scot în evidență marea majoritate a posibilităților de calcul ale acestui program;

Technical Support… oferă soluții la diversele dificultăți ce pot apărea din motive tehnice (la instalare, la tipărire etc.);

About Mathcad… afișează coperta de prezentare cu versiunea produsului și numele utilizatorului conform licenței de cumpărare și a declarațiilor de la instalarea pachetului;

Tastând Shift+F1 putem trece în modul de lucru interogativ, în sistemul Help context senzitiv. Cursorul uzual (un semn plus ceva mai mare decât cel din text – ca poziție rezultată prin click, respectiv săgeata ce indică deplasarea mouse-ului) este completat cu un mare semn de întrebare. Deplasarea mouse-ului provoacă deplasarea împreună a săgeții și a acestui semn de întrebare. în acest regim de lucru, comenzile nu se mai execută, ci sunt explicate într-o fereastră specială. în acest mod se poate identifica sensul diverselor comenzi. în particular, selecția unuia din semnele de pe coloana din dreapta a ecranului (simbolurile de lucru) produce apariția unei scurte descrieri a acestui simbol și a modului de tastare în cadrul documentului. Ieșirea din acest mod interogativ de lucru, revenirea la modul normal de construcție al documentului și de execuție a comenzilor se realizează cu tasta Esc, așa cum apare menționat pe rândul de jos al ecranului MathCad.

I.4. Paleta Matematică

Sub meniul principal se găsește paleta pentru operatorii matematici, ce pot fi ușor selectați cu ajutorul mouse-ului. Obținerea unui operator se poate face și de la tastatură urmărind îndrumările din Help Keyboard… în continuare vom prezenta pe scurt componentele paletei matematice:

Paleta aritmetică: conține operatori și simboluri aritmetice, cum ar fi: valoarea absolută (|x|), ridicarea la putere (xy), inversarea (x-1), operatorii sinus, cosinus, tangentă, logaritm zecimal, adunare, scădere, înmulțire, împărțire etc.;

Paleta de evaluare și paleta booleană: conține simboluri utilizate la evaluarea numerică sau simbolică a expresiilor, simboluri specifice relațiilor de echivalență și a relațiilor de ordine;

Paleta grafică: permite alegerea unui tip de grafic din cele șapte prezentate;

Paleta pentru vectori și matrici: conține elementele necesare pentru crearea de vectori și matrici, precum și principalii operatori ce acționează asupra vectorilor și matricilor, cum ar fi de exemplu adunarea, înmulțirea, calculul determinantului, transpusa etc.;

Paleta de calcul: este constituită din operatorii de derivare (de ordinul I sau de ordin superior), integrare (integrala definită și nedefinită), sumare, produs, limite;

Paleta de programare: conține comenzi specifice modului de programare algoritmică, cum ar fi Add Line (adaugă linie de program), If (dacă), For (pentru) etc.;

Paleta cu litere grecești: conține literele din alfabetul grecesc (, , , etc.);

Pentru a afla semnificația unui simbol din oricare din paletele prezentate, se așează săgeata mouse-ului pe simbolul dorit și se așteaptă 2 – 3 secunde, după care va apare o scurtă descriere a simbolului respectiv.

I.5. Bara cu unelte

în bara cu unelte se regăsesc multe din comenzile întâlnite în cadrul meniurilor principale, cum sunt: New, Open, Save, Print [1.3.1], Undo Last Edit, Cut, Copy, Paste, Align Horizontal, Align Vertical [1.3.2], Create Text Region, Create Text Paragraph, Check Spelling [1.3.3.], Automatic Mode, Live Symbolics, Calculate, Choose Function [1.3.4.], Zoom [1.3.7.], Insert Unit [1.3.4], Qick Sheets și Help [1.3.9] care au fost deja prezentate în cadrul paragrafelor aferente acestor meniuri.

I.6. Bara pentru fonturi

Bara pentru fonturi este așezata în general, sub paleta matematică și bara cu unelte, însă oricare dintre acestea poate fi mutată, cu ajutorul mouse-ului într-un alt loc din cadrul ecranului MathCad. în bara pentru fonturi se găsesc toate opțiunile necesare formatării unui font (o colecție completă de litere, cifre, semne de punctuație și caractere speciale). Prin formatarea unui font înțelegând stilul caracterului, grosimea, dimensiunea etc.

Bara pentru fonturi poate fi utilizată atât în formatul matematic cât mai ales în format text, obținându-se un document cât se poate de elegant.

I.7. Linia de mesaj

Linia de mesaj este așezată în partea inferioară a ecranului MathCad și este alcătuită din cinci regiuni, pe care le voi prezenta pe scurt începând din stânga ecranului. Prima regiune oferă diverse comentarii și informații cu privire la acțiunea curentă din cadrul documentului, a doua regiune specifică modul în care MathCad efectuează calculele (auto sau manual), următoarea regiune prezintă starea tastaturii; dacă tastatura este comutată pe scrierea cu litere mari (Caps Lock este activat) atunci în această regiune va fi afișat cuvântul CAP. A patra regiune specifică dacă este activat de la tastatură Num Lock (permițând folosirea tastelor din partea dreaptă a tastaturii); dacă acesta este activat în această regiune va apare scris cuvântul NUM, iar ultima regiune prezintă pagina curentă din cadrul documentului MathCad.

II. ARITMETICA

Ne propunem să arătăm, prin exemple modul de lucru al programului MathCad în domeniul calculelor aritmetice, prezentând unde este posibil și evaluarea simbolică a rezultatelor.

II.1. Operații aritmetice simple

Vom prezenta, în continuare operațiile elementare dintre două numere arbitrar alese: a și b. Pentru obținerea semnului de atribuire se poate folosi fie simbolul : = din paleta de evaluare, fie,, mai simplu, prin apăsrea semnului : de la tastatură

Suma:

Diferența:

Produsul:

Câtul:

Rădăcina pătrată:

Radical de ordinul n:

Ridicarea la putere:

II.2. Funcții trigonometrice fundamentale (argument în radiani)

Vom calcula valorile pentru funcțiile trigonometrice fundamentale pentru un argument dat în radiani, de exemplu:

II.3. Funcții trigonometrice fundamentale (argument în grade)

Vom calcula valorile pentru funcțiile trigonometrice fundamentale pentru un argument dat în grade, de exemplu:

Evident, în MathCad, sunt definite și arcele acestor funcții trigonometrice.

II.4. Logaritmul natural și logaritmul zecimal

Calculăm logaritmul natural și logaritmul zecimal dintr-un număr pozitiv, de exemplu:

Logaritmul natural:

Logaritmul zecimal:

Dacă r ia valorile: 0.1,0.2.. 100, adică:

atunci se poate realiza graficul următor, realizat în scara logaritmică pe axa ordonatelor. în plus s-au mai evidențiat și valorile logaritmului pentru valoarea x dată, în cele două baze.

II.5. Logaritmul într-o bază oarecare

Pentru calcularea logaritmului dintr-un număr real pozitiv într-o bază arbitrară se aplică relațiile matematice de transformare a logaritmului din baza e sau 10 pe care MathCad o cunoaște în baza dorită de utilizator. Astfel, dacă dorim calcularea logaritmului din numărul x := 12.78 în baza b := 2, atunci utilizând relațiile de transformare amintite, vom avea:

de unde rezultă pentru valorile noastre:

Dacă reprezentăm din nou grafic pe scara logaritmică, logaritmul în baza b pentru valorile lui r specificate în paragraful precedent, obținem graficul de mai jos.

Din nou, sunt puse pe grafic și cele două valori ale logaritmului din x în baza b, respectiv 10, evidențiate pe grafic, conform legendei din subsolul graficului, cu un pătrățel roșu pentru valoarea logaritmului în baza b și cu un romb albastru pentru valoarea logaritmului zecimal din x.

II.6.Descompunerea în factori primi

Pentru găsirea factorilor primi pentru un număr întreg dat, se utilizează modul de calcul simbolic. Astfel, pentru numărul întreg:

vom obține tastând comanda factor:

Comanda factor transformă expresia din stânga semnului de egal simbolic () într-un produs de factori primi, dacă expresia este un număr întreg, într-un produs de polinoame, dacă expresia este un polinom și într-o singură fracție, dacă avem o sumă de expresii rațioanle.

II.7. Operații elementare cu numere complexe

Cele mai simple operații, specifice numerelor complexe, sunt găsirea complex conjugatului și a normei unui număr complex. Așa cum este cunoscut, un număr complex este format dintr-o parte reală și o parte imaginară. Considerăm, de exemplu, că partea reală a unui număr complex este:

iar partea imaginară:

în acest caz, numărul complex va fi:

unde 1i reprezintă coeficientul imaginar. Pentru scrierea unității imaginare, se tastează 1i sau 1j.

Prin urmare, forma numărului complex c este:

Conjugatul acestui număr complex, este:

iar norma acestuia va fi:

simbolurile utilizate pentru complex conjugare și normă au fost preluate din paleta de vectori și matrici.

Se poate reprezenta ușor în planul complex, atât numărul complex, cât și conjugatul său:

II.8. Calcularea coeficienților binomiali

Pentru calcularea coeficienților binomiali se utilizează formula matematică:

De exemplu, pentru n := 237 și k := 130, vom avea:

de unde putem obține un rezultat aproximativ:

Dacă dorim un rezultat simbolic, atunci vom scrie:

din care obținem rezultatul simbolic așteptat:

II.9. Găsirea CMMDC a două numere întregi

Pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere întregi: a := 414 și b := 662 se poate utiliza un program MathCad recursiv, ca cel prezentat mai jos:

Pentru realizarea unui astfel de program, s-au utilizat opțiunile oferite de paleta de programare, unde if (dacă) este instrucțiunea de condiționare, iar mod(y,x) returnează restul împărțirii lui y la x.

Prin urmare, pentru valorile date obținem:

III. OPERAȚII CU VECTORI ȘI MATRICE

MathCad permite efectuarea tuturor operațiilor cu vectori și matrice definite în algebră. în paragrafele ce vor urma, voi în cerca prezentarea succintă a principalelor operații de acest fel.

III.1. Operații cu matrici pătratice

Operațiile asupra matricilor pătratice, cele mai des utilizate sunt transpunerea și inversarea, precum și găsirea determinantului, a valorilor proprii și a vectorilor proprii.

Pentru a înțelege modul de aplicare a acestor operații, să considerăm următoarele exemple:

Vom defini matricea pătratică (numărul liniilor este egal cu numărul coloanelor) a cărei elemente sunt numere reale:

și vom calcula inversa acestei matrici, astfel:

Matricea transpusă, va fi:

Determinantul matricei M este:

în plus, mai putem găsi cel mai mic și cel mai mare element din matrice:

Vectorul propriu, este:

iar valorile proprii ale matricei sunt:

III.2. Extragerea liniilor și coloanelor dintr-o matrice dată

Să considerăm o matrice, care nu este neapărat nevoie să fie pătratică:

Numărul de coloane al acestei matrici se obține cu comanda cols, iar numărul de linii cu comanda rows, astfel vom avea pentru matricea dată:

Să presupunem acum, că vrem să extragem din această matrice, linia 3 și coloana 4, dacă primul element din matrice este de tipul M00 (adică, ORIGIN 0). Astfel, utilizând opțiunile din paleta pentru vectori și matrici, obținem:

și

III.3. Tabelarea valorilor unei funcții

Pentru a ilustra modul elegant în care MathCad realizează un tabel cu valorile unei funcții, să considerăm următoarea funcție:

și intervalul de valori al lui x, specificat de prima valoare, ultima valoare și evident, numărul total de valori ale lui x.

Astfel, valorile pe care le ia variabila x, vor fi:

Aceste valori sunt: iar valorile funcției pe acest interval, vor fi:

MathCad nu prezintă în tabel decât maxim 50 de valori.

Pentru obținerea rezultatelor tabelate, în cazul lui r, s-a tastat variabila r urmată apoi de semnul =.

III.4. Crearea unei matrici a cărei elemente sunt valorile unei funcții

Pentru a crea o astfel de matrice, să luăm următorul exemplu:

Considerăm o funcție de două variabile:

Ca în cazul precedent, vom crea domeniul de valori pentru cele două variabile:

și

și:

Astfel că, elementele matricei vor fi:

Pentru a evidenția graficul 3D, se alege din paleta grafică Create 3D Scatter Plot.

IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR

Printre multele avantaje ale acestui program se include și capacitatea acestuia de rezolvare a ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare sau neliniare, MathCad oferind o serie de procedee de determinare a soluțiilor acestora.

IV.1. Găsirea soluțiilor unei ecuații pătratice

Pentru calcularea zerourilor unui polinom, să considerăm următorul exemplu:

Fie a, b și c coeficienții unei ecuații de gradul doi, astfel încât: ax2+bx+c=0, unde:

iar:

Comanda polyroots returnează un vector, care conține toate rădăcinile polinomului, a cărui coeficienți sunt definiți prin vectorul v.

Rădăcinile acestei ecuații vor fi:

Aceasta poate fi verificat ușor, prin înlocuirea acestor valori în ecuație, astfel:

în acest caz, se poate realiza și o reprezentare grafică, în planul real a funcției:

Astfel, vom nota cu mx, valoarea cea mai mare a părții reale a soluțiilor ecuației:

Pentru domeniul de valori al lui x:

Graficul va fi:

IV.2. Rezolvarea ecuațiilor cu o singură necunoscută

Pentru găsirea soluției unei ecuații date, să considerăm ca exemplu, următoarea ecuație:

Pentru rezolvarea numerică cât mai exactă, trebuie specificată o valoare a lui x pentru care funcția f(x) să fie aproximativ zero.

De exemplu,

Astfel,

Unde root returnează valoarea lui x pentru care f(x) = 0.

Pentru găsirea soluțiilor complexe, se alege ca valoare inițială pentru x un număr complex.

Pentru exemplul nostru, vom obține soluția:

Pentru reprezentarea grafică, vom alege pentru x următorul domeniu de valori:

Astfel, vom obține următorul grafic:

IV.3. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare

Să considerăm, pentru exemplificare următorul sistem de ecuații:

Acestui sistem îi putem asocia matricea formată din coeficienții sistemului:

și vectorul

Pentru ca sistemul de ecuații să aibă soluție unică este necesar ca determinantul matricii formată din coeficienții sistemului să fie diferit de zero, adică matricea M să fie nesingulară.

Pentru obținerea soluției se apelează la funcția MathCad lsolve care va afișa într-un vector coloană soluțiile sistemului de ecuații liniare. În exemplul nostru:

și soluțiile vor fi:

IV.4. Rezolvarea sistemului de ecuații neliniare

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuații sau inecuații neliniare, se introduc valorile inițiale pentru variabilele din sistem, iar apoi în blocul de rezolvare MathCad se scriu ecuațiile ce compun sistemul, ca în exemplul următor:

Blocul de rezolvare constă în câteva ecuații scrise între comenzile Given și Find sau Minerr. Într-un bloc de rezolvare, se utilizează semnul de egal simbolic, care se obține prin apăsarea combinației de taste ([Ctrl]=). Funcția Find(x,y,z,…) returnează un vector care conține soluțiile care satisfac la sistemul de ecuații sau inecuații din blocul de rezolvare. În cazul exemplului nostru, vom obține:

V. REALIZAREA GRAFICELOR

Selectând comanda Graphics avem posibilitatea de a defini regiuni grafice. În MathCad pot fi reprezentate grafic: funcții, curbe plane, suprafețe în spațiu (prin familii de curbe figurate în proiecție axonometrică). În plus, există o serie de opțiuni pe care le-am prezentat deja, care permite realizarea unui format plăcut pentru toate tipurile de grafice oferite de acest program.

V.1. Trasarea graficului unei funcții de o singură variabilă

Pentru realizarea unui grafic bidimensional, se selectează opțiunea Create X–Y Plot din meniul Graphics.

Să considerăm următorul exemplu, în care urmărim să trasăm graficul funcției:

în intervalul: [-r1,r1] și [-r2,r2], unde:

iar numărul de puncte pe fiecare interval este,

atunci,

și cele două grafice vor fi:

V.2. Trasarea graficului unei funcții de o singură variabilă și a derivatei de ordinul întâi

Vom considera, spre exemplu funcția:

Ca în cazul precedent, pentru realizarea graficelor funcției, respectiv derivatei de ordinul întâi în raport cu variabila x vom alege opțiunea Create X–Y Plot din meniul Graphics.

Și în acest caz trebuie specificat intervalul în care dorim să realizăm graficul:

precum și numărul de puncte reprezentate pe cele două grafice:

Astfel, x va lua valorile:

Cele două grafice vor avea următoarea formă:

Pentru realizarea graficului primei derivate a funcției f(x), s-a utilizat operatorul MathCad de derivare (Shift+?), astfel că în pătrățelul din stânga regiunii grafice se va scrie:

iar în pătrățelul din subsolul graficului se va scrie variabila x.

V.3. Reprezentarea grafică a punctelor specificate într-o matrice

Pentru a pune pe un grafic bidimensional perechile de coordonate (x,y), acestea trebuiesc specificate într-o matrice (n x 2), unde n reprezintă numărul de perechi (x,y).

Pentru realizarea unei matrici se poate folosi combinația de taste (Ctrl+M), în urma căreia va apare o fereastră în care se cere introducerea numărului de linii respectiv, de coloane ale matricei.

Vom alege în continuare ca exemplu, matricea:

unde, pe prima coloană sunt reprezentate valorile coordonatei x, iar pe a doua coloană valorile coordonatei y aferente.

În acest caz, valorile lui x, respectiv y, vor fi:

unde operatorul de extragere a unei coloane dintr-o matrice se obține prin apăsarea combinației de taste (Ctrl+6).

Numărul de perechi de coordonate (x,y), va fi:

unde funcția length(x) furnizează numărul de elemente al vectorului x.

unde indicele i ne permite localizarea unui element din vectorul x sau y, iar prin r este specificat intervalul de prezentare al graficului pe care sunt evidențiate perechile de puncte (x,y). Astfel, graficul, apelat cu combinația de taste (Shift+2) va avea urătoarea formă:

V.4. Trasarea curbelor parametrice

Dacă avem două funcții x și y care depind de același parametru t, atunci se poate pune ușor în evidență depndența y = y(x). Pentru a exemplifica acest lucru, să considerăm două funcții:

unde t ia valorile:

În acest caz, dependența y = y(x) va avea forma:

V.5. Trasarea curbelor funcțiilor de două variabile

MathCad pune la dispoziția utilizatorului mai multe tipuri de reprezentări grafice pentru funcțiile de două variabile; În continuare voi încerca să le prezint evident, sub forma unor exemple propriu-zise.

Pentru a realiza graficul unei curbe plane, să considerăm următorul exemplu:

Intervalul de valori pentru x, îl vom specifica prin limita inferioară a intervalului și limita superioară, astfel:

iar, numărul de diviziuni din acest interval îl vom lua:

Procedân la fel și pentru y vom scrie:

iar,

După definirea indicilor i și j, putem scrie și matricea M formată din valorile funcției f determinate de elementele xindi și yindj.

Utilizând opțiunea Create Contour Plot din meniul Graphics, vom putea realiza graficul pe care ni l-am propus.

V.6. Desenarea suprafeței de rotație

Pentru desenarea unei suprafețe de rotație, să considerăm ca axă de rotație axa Ox și să luăm ca exemplu funcția:

unde x ia valori din intervalul limitat de parametrii a și b:

Definind indicii i și j:

vom avea,

iar variabilele care sunt răspunzătoare de transformarea efectuată vor fi:

Funcția f(x) în intervalul specificat, va avea forma:

iar, suprafața de rotație va fi, în acest caz cea prezentată mai jos:

Pentru realizarea graficul suprafeței de rotație s-a utilizat opțiunea Create Surface Plot din meniul Graphics.

V.7. Distribuirea spațială a punctelor definite de trei vectori

Pentru a realiza distibuția punctelor (Xi, Yi, Zi,) vom introduce numărul total de puncte pe care dorim să le reprezentăm, de exemplu:

atunci,

Acum, vom putea defini vectorii X, Y, Z, care în exemplul nostru îi vom lua de următoarea formă:

Pentru realizarea graficului care ne dă distribuirea punctelor (Xi, Yi, Zi,) se alege opțiunea Create 3D Scatter Plot din meniul Graphics. Graficul va avea următoarea formă:

V.8. Realizarea câmpului de gradient a unei funcții de două variabile

Pentru punerea în evidență a unui astfel de grafic, să considerăm ca exemplu următoarea funcție:

unde intervalul de valori, respectiv numărul de puncte pentru variabilele x și y sunt:

Funcția gradient (obținută în urma aplicării operatorului gradient asupra funcției f(x,y)) va fi:

Reprezentarea grafică a gradientului va fi determinată de elementele matricei:

sau

Pentru a realiza un astfel de grafic, se alege opțiunea Create vector field plot din meniul Graphics.

În plus, se mai poate evidenția ușor și suprafața descrisă de o astfel de funcție, prin alegerea

din meniul Graphics a opțiunii Create Surface Plot.

unde,

VI. PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ REZOLVATE CU MATHCAD

Pentru rezolvarea problemelor de analiză matematică ce implică metode de calcul al derivatelor, integralelor, a limitelor într-un punct etc., MathCad pune la dispoziția utilizatorului posibilitatea rezolvării acestor probleme atât numeric, cât și simbolic. În plus, MathCad oferă și o serie de metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale.

VI.1. Calcularea derivatei unei funcții într-un punct

Pentru evaluarea numerică a derivatei une funcții într-un punct, să considerăm ca exemplu, următoarea funcție:

la care vrem să-i determinăm valoarea derivatei de ordinul întâi în punctul:

Pentru obținerea simbolului de derivare se poate utiliza fie paleta de calcule, de unde se alege simbolul aferent derivatei de ordinul întâi, fie se tastează combinația (Shift+?).

În punctul specificat, pentru acest exemplu, se obține:

Pentru determinarea valorii derivatei de ordin superior a funcției în același punct, se alege din paleta de calcule prezentă pe ecranul de lucru, simbolul derivatei de ordin superior. În acest caz, vom avea:

unde n reprezintă ordinul derivatei.

Observații:

funcția de derivat poate fi reală sau complexă;

2. derivata se face în raport cu o singură variabilă;

3. în cazul în care în punctul fixat, funcția nu este derivabilă, pe ecran apare mesajul: not converging.

În cazul în care dorim obținerea unui rezultat simbolic, se va scrie:

unde evident, am folosit semnul de egal simbolic () din MathCad.

Determinarea în mod simbolic a derivatei de ordin superior, se face analog celei de ordinul întâi, doar că se alege din paleta de calcule simbolul operatorului de derivare multiplă.

VI.2. Integrala definită a unei funcții

Pentru evaluarea numerică a integralei definite a unei funcții de o singură variabilă, să considerăm spre exemplificare următoarea funcție:

pe care dorim să o integrăm pe intervalul [a,b], unde:

Pentru obținerea simbolului de integrală definită, se poate apela fie la paleta de calcule, fie se tastează combinația (Shift+6). Astfel, vom obține:

Evident, operatorul de integrare poate fi aplicat funcției f de câte ori este necesar.

Ca și în cazul derivatei, se poate determina pentru integrarea unei funcții forma simbolică a reultatului, atât în cazul integralei definite cât și în cazul integralei nedefinite. Pentru exemplificare, să considerăm funcția:

Pentru calcularea integralei nedefinite, se alege din paleta de calcule simbolul integralei nedefinite și utilizând semunl () vom obține rezultatul simbolic al integralei:

VI.3. Dezvoltarea unei funcții în serie de puteri

Pentru dezvoltarea unei funcții în serie de puteri, se utilizează cuvântul-cheie series care se pune înaintea specificării valorii în jurul căreia se face dezvoltarea. Să considerăm, spre exemplificare funcția:

Pentru specificarea valorii în jurul căreia are loc dezvoltarea se utilizează semnul de egal logic (=):

Prima cifră reprezintă valorea în jurul căreia are loc dezvoltarea în serie, iar a doua valoare este folosită pentru specificarea numărului de termeni ai dezvoltării.

Astfel, termenii seriei vor fi:

VI.4. Calculul limitei unei funcții într-un punct

MathCad permite găsirea limitei unei funcții într-un punct în mod simbolic, avân în plus posibilitatea de a calcula această limită la dreapta sau la stânga. Pentru a exemplifica aceste lucruri, să considerăm următoarea funcție:

la care vrem să-i determinăm limita, limita la stânga și limita la drepata în punctul:

Pentru a determina aceste limite se vor alege din paleta de calcule simbolurile aferente pentru cele trei tipuri de limite.

Limita bidirecțională a funcției în puntul p:

Limita la stânga:

Limita la dreapta:

VI.5. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale

În funcție de tipul de ecuații diferențiale ce se rezolvă, MathCad oferă o serie de posibilități de determinare numerică a soluțiilor acestor ecuații prin folosirea diferitelor proceduri. Astfel, pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare se poate utliza funcția rkfixed(y,x1, x2,n,D), unde:

y este un vector ce conține cele n valori inițiale ale problemei;

x1, x2 reprezintă intervalul în care se calculează soluțiile ecuației;

n specifică numărul de puncte din intervalul [x1, x2] în care se evaluează soluțiile ecuației diferențiale;

D este un vector de n elemente care conține derivatele de la ordinul 1 până la ordinul n a funcției necunoscute;

Pentru exemplificare, să considerăm ecuația:

Pentru găsirea soluției x(t), să considerăm că la valoarea:

Cu aceste valori vom putea construi vectorul X care să reflecte condițiile inițiale ale ecuației (problema Cauchy):

Vectorul care conține derivatele de ordinul întâi și doi a funcției x, va avea forma:

Aplicând funcția MathCad, rkfixed, care rezolvă pe cale numerică, prin metoda Runge-Kutta ecuațiile diferențiale de acest tip, vom avea:

Pentru a da o interpretare mai intuitivă asupra soluției ecuației, vom reprezenta grafic funcțiile x(t), respectiv x’(t).

Așa cum am mai spus, există o serie de funcții MathCad destinate găsirii soluțiilor ecuațiilor și sistemelor de ecuații diferențiale, printre care aș mai aminti doar: funcția Bulstoer, Stiffb, Stiffr, Rkadapt, bvalfit, sbval, etc. care, cu câteva excepții se utilizează analog exemplului prezentat.

VII. Analize de date în MathCad

VII.1. Interpolarea linară

Fiind dată o mulțime de puncte (xi, yi), prin interpolare liniară poate fi calculată valoarea aproximativă corespunzând unei abscise date z. Dacă x și y sunt două valori de aceeași dimensiune, x fiind mulțimea absciselor, ordonate crescător, se caută două valori xi, xi+1 care învadrează valoarea z.

Funcția de interpolare liniară este linterp(x,y,z), unde x,y sunt vectori, iar z este valoarea unei abscise. Rezultatul aplicării funcției linterp este valoarea ordonatei punctului de abscisă z, de pe dreapta ce trece prin punctele (xi, yi) și (xi+1, yi+1).

Să luăm ca exemplu cazul în care într-un fișier cu numele dataex de pe discul fix avem trecute pe două coloane valorile perechilor de puncte (xi, yi), astfel ca pe prima coloană să fie valorile punctelor de pe abscisă, iar pe a doua coloană, valorile de pe ordonată. Pentru a transporta aceste date în MathCad se utilizează comanda de citire din fișier READPRN.

Pentru așezarea în ordine crescătoare a valorilor de pe abscisă, vom utiliza funcția csort, care permite ordonarea elementelor dintr-un vector oarecare.

După realizarea acestei ordonări, vom putea extrage din fișier cei doi vectori care reprezintă valorile de pe abscisă, respectiv de pe ordonată utilizând simbolul aferent acestei operațiuni din paleta de vectori și matrici.

Aplicând funcția de interpolare liniară, vom obține:

Astfel, putem determina pentru fiecare valoare a abscisei, valoarea ordonatei determinată de funcția de interpolare fit(x). Pentru două valori difrite, acestea vor fi:

VII.2. Funcția de interpolare spline cubică

Fiind date punctele (xi, yi) prin interpolare spline cubică se construiește o funcție continuă, care pe subintervale este un polinom de gradul trei, care în puctele xi coincide cu yi, și are în aceste puncte derivate de ordinul unu și doi continue.

În MathCad interpolarea spline cubică se face în doi pași:

Mai întâi cu funcția cspline aplicată vectorilor x,y se calculează valorile derivatei s, în punctele date;

Apoi, se aplică funcția interp vectorului s, calculat în primul pas, precum și vectorilor x,y dați. Pentru o abscisă fixată z, interp furnizează valoarea corespunzătoare a funcției spline cubice;

Funcția spline cubică de interpolare este o curbă netedă ce trece prin punctele date inițial. Fiecare segment de curbă dintre două puncte vecine corespunde unui alt polinom de gradul trei. Vectorul s se calculează astfel încât funcția să fie continuă și cu derivate până la ordinul doi continue. Pentru a afla valoarea corespunzătoare lui z, se stabilește automat intervalul în care se află z și deci segmentul de curbă ce trebuie utilizat pentru aflarea valorii fit(z).

Pentru exemplificare, să considerăm același fișier de date pe care l-am folosit și în paragraful precedent.

După ordonarea valorilor de pe prima coloană, care sunt de fapt valorile abscisei și extragerea vectorilor X și Y:

vom putea determina valorile derivatei funcției spline cubice în punctele date:

Astfel, vom putea obține funcția de interpolare:

Pentru diferite valori a lui z vom avea:

unde funcția length(X) furnizează lungimea vecorului X, adică numărul de elemente din vector, iar funcțiile min(X), respectiv max(X) determină cel mai mic, respectiv cel mai mare element din vectorul X.

VII.3. Regresia liniară

În cazul dreptei de regresie, se caută o fucție de interpolare de tipul: F(x)=ax+b, unde coeficienții a și b se determină din condițiile de minim ale funcției. Pentru a exemplifica modul de realzare aunei regresii liniare voi considera același fișier de date pe care l-am utilizat și în paragrafele precedente

din care vom extrage vectorul X, respectiv Y.

Numărul de elemente dintr-un vector îl putem determina utilizând funcția rows, care ne furnizează de fapt numărul de linii din vector. În paragrafele precedente am folosit pentru determinarea numărului de elemente al unui vector funcția length.

Prin urmare, numărul de puncte va fi:

Înainte de a calcula coeficienții dreptei de regresie, voi prezenta câteva funcții MathCad foarte uzuale în analiza numerică.

a. Media aritmetică:

b. Elementul mijlociu dintr-un vector:

c. Deviația standard:

d. Varianța:

Varianța ne arată dispersia componentelor unui vector în jurul valorii medii.

e. Pentru regresia liniară vom avea:

Ordinata la origine:

Panta dreptei de regresie:

f. Coeficientul de corelație:

Coeficientul de corelație a doi vectori stabilește dacă există o dependență liniară între cei doi vectori. În cazul în care dependența liniară există, valoarea absolută a coeficientului de corelație al vectorilor este 1.

VII.4. Regresia polinomială

Relizarea unei regresii polinomiale, se obține analog modului de obținere a unei regresii liniare, aceasta din urmă reflectându-se ca un caz particular de polinom.

Pentru exemplificare, vom citi datele așezate pe două coloane într-un fișier ASCII:

din care vom extrage valorile aferente vectorilor X și Y.

Să considerăm că dorim să interpolăm punctele din planul (X,Y) cu un polinom de gradul doi:

Numărul de perechi (x,y) va fi:

Cu funcția regress vom genera în cele ce urmează un vector, pentru care utilzând funcția interp vom obține polinomul de gradul doi care interpolează cel mai bine punctele (x,y).

Pentru intervalul de valori:

se obține polinomul de interpolare de ordinul doi de forma:

VII.5. Fitarea cu ajutorul combinațiilor liniare de funcții

O metodă des înâlnită în analizarea datelor dintr-un experimet, de exemplu, constă în a interpola valorile experimentale cu anumite funcții analitice definite de utilizator. Modul de lucru în acest caz este analog celor prezentate deja în cadrul altor tipuri de interpolări. Spre exemplificare, vom lua același fișier de date folosit la exemplificarea regresiei polinomiale.

Funcțiile cu care dorim să realizăm interpolarea se vor introduce într-un vector, astfel:

Punctele experimentale, vor fi interpolate, prin urmare cu o funcție formată din combinația liniară a celor trei funcții care compun vectorul F(x), și care are forma:

unde coeficienții a,b,c vor fi determinați de funcția MathCad linfit.

Prin urmare,

VII.6. Funcții predefinite pentru statistică

În MathCad sunt prevăzute o serie largă de funcții utilizate în aplicțiile de statistică și teoria probabilităților pe care le voi prezenta sumar pe câteva dintre acestea (cele mai importante) în cele ce urmează.

Funcția generatoare a unui șir de numere pseudoaleatoare se apelează cu: rnd(x).

Numerele genearte vor fi între 0 și x. Ori de câte ori se reia calculul, șirul de numere aleatoare va fi altul.

Funcția normală cumulativă cnorm(x) calculează valorile funcției Laplace, care are forma:

Funcția eroare erf(x) sau funcția lui Euler are forma:

Funcția Gamma(x) se definește:

Așa cum am spus, aici am prezntat doar câteva din funcțiile MathCad predefinite pentru calculul statistic, însă lista acestor funcții continuă și deoarece, acest program are un sistem Help, precum și un număr foarte mare de exemple și aplicații foarte bine puse la punct, eu am să mă opresc cuprezentarea acestora aici.

VIII. ELEMENTE DE PROGRAMARE

Pe lângă funcțiile discutate deja, MathCad pune la dispoziția utilizatorului o serie de instrucțiuni care fac posibilă programarea în cadrul acestui utilitar. Toate elementele de programare sunt grupate în Paleta de Programare, situată de obicei, în partea superioară a suprafeței de lucru. În continuare, voi prezenta, prin exemplificare instrucțiunile utile pentru realizarea unui program.

VIII.1. Avantajele folosirii programării în MathCad

Unul, din multele avantaje ale utilizării elementelor de programare, îl constituie faptul că se pot redefini temporar anumite variabile din foaia de calcul. Spre exemplu, dacă variabila x este definită în cadrul foii de calcul curente printr-o anumită constantă (sau printr-un parametru), atunci la evaluarea oricărei expresii din foaia de calcul în care va apare variabila x, aceasta va fi înlocuită cu constanta pe care am atribuit-o. De multe ori dorim, însă, testarea expresiei matematice și pentru altă valoare a variabilei x. Acest lucru este posibil dacă definim variabila x, respectiv expresia în care apare, în cadrul unei structuri de program.

Să considerăm în continuare următorul exemplu, în care am definit varibaila x, respectiv expresia pe care dorim să o evaluăm sub forma:

Prin urmare, în toată foaia de calcul, în care mai apre expresii ce îl conțin pe x, acesta va lua valoarea 25. Dacă dorim testarea expresiei de mai sus și pentru altă valoare a lui x, vom alege din paleta de programare opțiunea Add Line care creează o bară verticală și două

regiuni în care se scriu elementele de program.

în cadrul acestui program, x, ia valoarea 12

La ieșirea din structura de program, variabila x va recăpăta valoarea definită inițial, iar valoarea expresiei va fi din nou aceeași.

Un alt avntaj al utilizării în cadrul unui document MathCad a elementelor de programare, îl constituie claritatea prezentării, care este bine venită în cazul folosirii unor expresii matematice complexe, cum ar fi cea din exemplul ce următor:

Care, poate fi scris:

Foarte des întâlnite sunt funcțiile cu mai multe brațe, care pot fi scrise în MathCad utilizând de asemenea, elementele de programare. Astfel,

unde funcția condițională if (dacă) aleasă din cadrul paletei de programare returnează o anumită valoare determinată de evaluarea logică a condiției impuse. Astfel, dacă x < 0, Abs(x) va lua valoarea –x, iar în caz contrar (otherwise), va lua valoarea x.

Un alt element de programare, îl constituie instrucțiunea de cilclare For (pentru), care poate fi utilizată în diferite cazuri. În exemplul ce urmează, vom construi matricea unitate n n, folosind instrucțiunea For. Această instrucțiune se aplică de obicei, atunci când se cunoaște exact numărul de cicluri ce trebuie efectuate.

O observație importantă trebuie făcută aici, și anume faptul că într-o linie de program se pot găsi mai multe astfel de linii, după nevoile utilizatorului. Simbolul este atașat instrucțiunii For.

Un exemplu asemănător, care folosește de asemenea instrucțiunea For îl constituie găsirea factorialului unui număr natural:

În plus, se mai poate utiliza ciclul While (până când) care se termină atunci când condiția impusă în structura de program este violată. Pentru a prezenta modul de folosire al acestei instrucțiuni voi exemplifica prin prezentarea unui algoritm de găsire a rădăcinii pătrate a unui număr real pozitiv.

În cazul utilizării oricăreia dintre instrucțiunile prezentate, acestea trebuie alese din paleta de programare prezentă pe ecran, și nu se recomandă tastarea efectivă a acestora.

Un alt avantaj al folosirii programării în MathCad îl constituie posibilitatea definirii funcțiilor recursive, în acest sens am apelat la exemplul determinării factorialului unui număr natural.

Un alt exemplu de utilizare a programării în MathCad îl constituie cel prezentat în paragraful II.9.

IX. ANIMAȚIA

Pentru utilizarea animației în MathCad, se recomandă revizuirea modului de realizare a unei astfel de animații, prezenat în cadrul subparagrafului I.3.7. (Meniul Window).

Trasarea tangentei unei funcții în diferite puncte.

Să considerăm funcția:

la care urmărim trasarea graficului acesteia, precum și a tangentei pentru diferite valori a ale abscisei.

Ecuația analitică a tangentei este dată de:

În continuare, vom defini parametrul a sub formă de variabilă FRAME, astfel:

Pentru prezentarea graficului funcției f(x), vom da pentru x valorile:

iar, pentru realizarea animației propriu-zise, se alege din meniul Window, opțiunea Animations Create…, care va deschide o fereastră ce va permite selectarea atât a numărului de cadre ce va fi afișat căt și a vitezei de afișare a acestor cadre, adică a numărul de cadre ce se succed pe ecran într-o secundă, iar apoi se selectează, cu ajutorul mous-ului, regiunea în care urmează să aibă loc animația.

În acest caz, graficul este prezentat în intervalul considerat, iar dreapta tangentă, este afișată pentru cazul:

Pentru mai multe exemple, recomand apelarea la prezentările din Help Quick Sheets…

ANEXA 1. Principalele simboluri în MathCad

ANEXA 2. Principalele variabile predefinite

Următoarele variabile sunt considerate predefinite în sensul că la pornirea MathCad sunt inițializate, câteva dintre ele putând fi modificate de utilizator.

Sufixe acceptate la numere

ANEXA .3 Principalele mesaje de eroare

Prezentăm în continuare prinipalele mesaje de eroare furnizate de MathCad, în ordine alfabetică, cu explicarea succintă a situațiilor în care aceste mesaje pot apare.

array size mismatch

Apare la încercarea de a excuta operații cu vectori sau matrici a căror dimensiuni nu se potrivesc. Spre exemplu, operațiile de produs scalar, funcțiile linterp și corr pretind vectori de aceeași lungime. La fel, adunarea matricilor se poate face doar atunci când matricile au aceleași dimensiuni, iar la înmulțirea matricilor numărul de coloane al primei matrici trebuie să coincidă cu numărul de linii al celei de a doua. În toate cazurile contrare se onține mesajul de eraoare de mai sus.

cannot be defined

La utilizarea unor expresii ilegale în partea stângă a operatorului de definiție sau atribuire (:=). Sunt acceptate următoarele situații:

– un nume de variabilă simplă (x);

– o variabilă indexată (xi), o variabilă indexată superior – marcând o coloană a unei matrici (x<i>);

– un vector sau o matrice scriși explicit prin [Ctrl]+M;

– un nume de funcție cu argumentele specificate (f(x,y)).

Orice alte expresii sunt ilegale și vor conduce la apariția erorii. Pentru alte expresii, când se dorește calculul, trebuie folosit semnul = și nu :.

cannot take subscript

La folosirea indicelui pentru altceva decât vector sau matrice.