Matematici speciale și metode numerice [607367]

Matematici speciale și metode numerice

1

SERII FOURIER

Sensul vieții se înrudește
Cu convergența seriei.

Pornind de la discuția asupra coardei vibrante începută în anii 1750 între
Euler și d’Alambert, se ajunge la ideea lui D. Bernoulli de a reprezenta o curbă
definită pe intervalul [
2,0 ] printr -o serie de sinusuri și cosinusuri. Prin 1805
Fourier propune formulele pentru coeficienții acestei serii. Descoperirea lui
Fourier produce un efect extraordinar și de -a lungul secolului al XIX -lea, este
considerată ca una din cele mai importante teoreme ale analizei. Convergența
seriei Fourier nu a putut fi demonstrată decât prin 1829 de către Dirichlet,
utilizând funcția monotonă pe porțiuni introdusă în 1821 de către Cauchy.
Polinoamele lui Legendre sunt introduse de Legendre prin 1785 pentru
rezolvarea ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Prin lucrările lui D.
Hilbert (1906 -1911), este posibilă generalizarea teoriei dezvoltărilor
ortogonale.

1. Sisteme ortogonale și coeficienții corespunzători
1.1. Studiul sistemelor de funcții

(T):

sinnx ,…. cosnx , sin2x ,…, cos2x , sinx , ,xcos,21
(E):
Zkikxe
pe intervalul
].;[

Matematici speciale și metode numerice

2 Sistemul (T) îl vom numi sistem trigonometric, iar sistemul (E) sistem
exponențial.
Definiție. Dat sistemul de funcții
N,k }fF{k definit pe in tervalul
,
spunem că este sistem ortogonal dacă produsul scalar
0 f ,fn m pentru
,nm
deci
0 ffnm
 pentru
,nm dacă F este sistemul real, respectiv
0 ffnm

pentru
,nm în caz complex.
Lema 1:


  

0nm pentru 20nm pentrunm pentru0
nx dxcosmxcos



 

0nm pentru00nm pentrunm pentru0
nx dxcosmxcos


   

 nm 2nm,0dx e ,0 nx dxcosmxcos
-n)ix-(m

Consecință: Sistemele (T) și (E) sunt sisteme ortogonale pe
, .

1.2. În continuare facem referiri la (2) și (5) din paragraful precedent (utilizând
sistemele (T) și (E)).
Teorema 1. Dacă f are exprimarea (2) sau (5) pe un interval de lungime
2
al axei reale (de exemplu pe
, atunci:

 

  , kx dxsin)x(fk1b , kx dxcos)x(fk1ak k (1)
respectiv

Matematici speciale și metode numerice

3

dxe)x(f21cikx
k
 (2)
Demonstrație. Înmulțind “exprimarea” (2) respective (5) cu cosmx și
sinmx, respectiv
im xe și integrând de la
 la
 obținem conform lemei
formulele ( 1) și (2).
Remarcă: Exprimările (2) sau (5) pot avea loc înțelegând diferite tipuri
de convergență: punctuală, uniformă sau în diferite norme cu care dotăm
spațiile funcționale în care studiem seriile trigonometrice.
Vom spune că avem o exprimare uniform ă dacă avem o convergență
uniformă. În teorema anterioară este vorba de exprimare uniformă. În acest caz
“ sunt premise” toate operațiile care apar în demonstrație (cum ar fi integrarea
termen cu termen a unei serii uniform convergente).

1.3. Exprimări p e
].,0[ Sistemele (C) și (S) și coeficienții corespunzători
Lema 2. Pe intervalul
],0[ sistemele de funcții:
(C) 1, cosx, cos2x,…,cosnx,…
(S) sinx, sin2x, … , sinnx, …
sunt ortogonale.
Demonstrație:

00 nx dxcosmxcos


00 nx dxsinmxsin

pentru
nm .
Teorema 2. Dacă pe
],0[ :
(a) f are exprimarea uniformă
kxcosa2a
1kk0
 atunci


0k, kx dxcos)x(f2a

Matematici speciale și metode numerice

4 (b) dacă f are exprimarea
kxsinb
1kk
 atunci
. kx dxsin)x(f2b
0k

Observație: Teorema 2 poate fi completată cu următorul rezultat: f se
poate prelungi pe toată axa reală până la o funcție periodică de perioadă
,2
pară încât
kxcosa2a
)x(f
1kk0


în cazul (a) și la o funcție imp ară în cazul (b) cu exprimarea corespunzătoare.
Într-adevăr, definind


 )0,[x dacă )x(f],0[x dacă )x(f)x(f~
p (3)
f],0/[f~
p
și
pf~ este pară.
Definind


 )0,[x dacă )x(f],0[x dacă )x(f)x(f~
i (4)

f],0/[f~
i
și
if~ este impară.
Prelungirea la toată axa se face prin periodicitate. În plus, funcțiile construite
prin (3) și (4) le vom nota tot cu f în loc de
pf și
if , fără a crea confuzii.

1.4. Un criteriu de convergență unifor mă
Teorema. Dacă seria


1kk kb a este convergentă, atunci

Matematici speciale și metode numerice

5

)kxsinb kxcosa(2a
k
1kk0 
este absolut și uniform convergentă pe R spre o
funcție continuă de perioadă
2 .
Demonstrație: Ținem cont de inegalitatea,
k k k kb a kxsinb kxcosa  

și teorema lui Weierstrass. Periodicitatea funcției sumă rezultă din
periodicitatea termenilor.

2. Serii trigonometrice Fourier
2.1. Seria corespunzătoare lui f de perioadă T

Definiție. Coeficienții
ka și
kb definiți în teorema 1 se numesc
coeficienții Fourier reali ai funcției f, iar seria corespunzătoare, seria
trigonometrică Fourier. Analog, coeficienții
kc se numesc coeficienții Fourier
complecși iar seria corespunzătoare, seria Fourier complexă a funcției f.
Dacă f este o funcție de perioadă
2 în formulele de definire ale lui
ka și
kb ,
respectiv
kc , putem înlocui intervalul de integrare
),( cu
)2 ,( ,

fiind număr real oarecare.
Faptul că atașăm funcției f seria sa trigonometrică Fourier îl vom nota

)kxsinb kxcosa(2a
)x(fk
1kk0 
 (5)
sau pe scurt
)b,a(~fk k în cazul real și sist emul (T), respectiv

ikx
kkec )x(f
 (6)
sau f(
kc ) în cazul complex cu sistemul (E).

Matematici speciale și metode numerice

6 Mai general, dacă f este de perioadă T atunci funcției f i se poate asocia seria
trigonometrică Fourier
)xksinbxkcosa(2a
)x(fk
1kk0 


unde

 T
kx dxkcos)x(fT2a


 T
kx dxksin)x(fT2b (7)
Prin urmare, în acest caz folosim sistemul trigonometric
,…xnsin,kncos,…,x sin,x cos,21:)T(  
care este ortogonal pe orice
interval de forma
],T,[ unde pulsația
.T/2 In mod analog, fol osind
sistemul exponențial
 Zk} e{:Exik
 putem atașa seria sa trigonometrică


kxik
kec )x(f

unde
dx e)x(fT1cTxik
k

Când vrem să punem în evidență funcția pentru care calculăm coeficienții
Fourier, notăm
).f(c),f(b),f(ak k k

2.2. Liniaritatea coeficienților ca funcționale. Exprimări particulare ale
coeficienților

În cele ce urmează vom prezenta câteva priorități ale coeficienților
Fourier.

Matematici speciale și metode numerice

7
Propoziția 1. Coeficienții
k kb,a și
kc sunt fu ncționale liniare, adică
)g(a)f(a )g f(ak k k
și analoagele
Demonstrație: se utilizează liniaritatea integralei definite. Proprietatea
următoare se referă la cazurile particulare când f este pară, respective impară.
Propoziția 2. (i) Dacă f este pară de perioadă T atunci

0)f(b ,x dxkcos)x(fT4)f(ak2/T
0k   (9)
(ii) Dacă f este impară de perioadă T atunci

x dxksin)x(fT4)f(b ,0)f(a2/T
0k k    (10)
Demonstrație: Luăm
2/T și din (7) deducem (9) și (10) ținând
cont că integrala definită pe un interval simet ric dintr -o funcție impară este nulă
și dintr -o funcție pară este de două ori integrala pe jumătatea pozitivă a
intervalului. Prezentăm alte proprietăți în paragraful seriilor Fourier în spații
Hilbert.

3. Aplicații
1. Fie
,R R:f period ică de perioadă
2x)x(f ,2T  pentru
. x
Scrieți seria Fourier corespunzătoare.
Soluție . F fiind pară, conform formulelor (9) avem:
 
.0 b ,
k4)1( kcos
k4kx dxcosk1kxcoskx
k4kx dxsinxk4kx dxsinx2kxsinkx2kx dxcosx21T/2 x dxkcosxT4)Fa
k 2k
2000002
022/T
02
k
    



 
  


Matematici speciale și metode numerice

8
32dxx2)f(a2
02
0
Deci
2
1kk2
kkxcos1 43)x(f


2. Fie
x. f(x ) ,R],0[:f   Să se prelungească f până la o funcție
periodică, pară, de perioadă
2T și apoi să se dezvolte în serie Fourier
trigonometrică.
Soluție: Conform formulelor (3) putem prelungi f prin paritate la

 ]0,[x pentru)x(f],0[x pentru)x(f)x(f

și pe R prin periodicitate.

00xdx2a

1 1
k2kx dxcosx2ak
2 0k

și
.0 bk
Deci
1n ,
1n24a ,0 a2 1-2n n2
 și



1n2)1n2(x)1n2cos( 4
2)x(f

Șapte aplicații Fourier

1. Se dă funcția
R R:f prin
xcosx)x(f
a) Să se determine seria Fourier asociată acestei funcții pe intervalul
,0
.
b) Să se determine seria Fourier numai de cosinusuri asociată funcției
pe
,0 .

Matematici speciale și metode numerice

9
Soluție
Funcția f este continuă pe R, este integrabilă pe orice interval compact,
deci problema determinării seriei Fourier asociate ei pe un anumit interval are
sens.
a) Lungimea intervalului este
l2 . În acest caz formulele generale
care ne dau coeficienții sunt :
,4a ,
)1n4()1n4(4dx nx2cosxcosx2a0 2 22
0n


Nn ,
1-4n8ndx nx2sinxcosx2b
02 n 

Rezultă că seria Fourier asociată funcției f pe intervalul
,0 este:







1n2 2 22
nx2sin
1n4n2nx2cos
)1n4(1n442

b) Pentru determinarea coeficienților Fourier ai seriei numai de
cosinusuri asociată funcției f pe
,0 avem
l ,
0 bn și

 


   
2a ,m2n dacă
)1n(1n41m2n dacă 0dx]x)1ncos(x)1n [cos(x1dx nxcosxcosx2a
1 2 220 0n

deci seria cerută este :
nx2cos
1n41n4 4xcos22
1n222



2. Să se dezvolte în serie Fourier funcția
R R:f

Matematici speciale și metode numerice

10

Zk,k2x ,0 k2x ,2xsinln)x(f


Soluție
Funcția f este o funcți e periodică de perioadă de perioadă
2 și pară,
deci este suficient să studiem problema numai pe
,0 . Funcția este
nemărginită pe acest interval, deci va trebui să arătăm că este absolut
integrabilă în sens propriu pe
,0 . Dar f este integrabilă Riemann pe orice
interval
 ,0 ,x deoarece este continuă.
Apoi
,0
xx12xctg
lim
x12xsinln
lim )x(fx lim
0x0x
0x0x
0x0x  




deci în baza criteriului comparației rezultă că f este absolut integrabilă pe
,0
, deci putem determina coeficienții Fourier.
Funcția f verifică condițiile din criteriul lui Lipschitz, deci seria Fourier
asociată converge în
0x către
)x(f0 , unde
,,0 x0 arbitrar, deci f este
dezvol tabilă în seria Fourier pe
 :k2xRxR 
n1dx
2xsin2cosnxsin
n21
02xsinlnnnxsin2ndxcos2xsinln2a
00n




 







deci



1n0
nnx cos
2)x(f

Matematici speciale și metode numerice

11
Înlocuind aici
x obținem
,2lnn)1(a
1n1n
0

deci


1nnnx cos2ln )x(f

3. Să se dezvolte în serie numai de sinusuri pe int ervalul
,0 funcția
 ,R ,0:f
dată prin :
const.)(a e)x(fax

Soluție
0 a,0 an 0

,
)n a(e)1(1n2dx nxsine2b2 2an
0ax
n

deci pentru
:,0x



1n2 2an ax
n anxsinne)1(12e

4. Să se dezvolte în serie Fourier fun cția
,R4,4:f 

x sec)x(f

Soluție
Funcția f(x) verifică condițiile din criteriul lui Dirichlet -Jordan pe
;4,4

este o funcție pară.
2 1ln8dx x sec8a4
00

Matematici speciale și metode numerice

12

1n4
04
04
0n
a3n44)3n4sin(
1n44)1n4sin(
x16dxxcosx)1n(4cosx3n4cos21n4cos28dxxcosnx4cos 8nx dx4cosxsec8a
 








  
 
Scriind toate relațiile pentr u n = 1, 2, …, n și adunând -le obținem
),2 1ln(8
4)1k2sin(1k2)1( 16a1n2
0k1k
n



deci
nx4cos4)1k2sin(1k2)1(2)2 1ln(8)2 1ln(4xsec
1n1n2
0k1k







5. Fie
,R R:f
.2x
6xf(x ) 2 2


Să se dezvolte în serie Fourier pe intervalul
.,
Soluție
Funcția dată este continuă p e
3,0 și f(0) = f(3) = 1. Funcția este
monotonă pe [0, 1], [1, 2] și [2, 3], deci este cu variație mărginită pe aceste
intervale, deci și pe [0, 3] , deci este dezvoltabilă în serie Fourier uniform
convergentă pe acest interval.

2 dx)2x( dx)x2(2 dx)1x(32dx)x(f32a1
02
13
23
00
  

Matematici speciale și metode numerice

13


03nsinnsin4dx3n2cos)2x( x dx3n2cosx22 x dx3n2cos)1x(32x dx3n2cos)x(f32a
1
03
22
13
0n


  
221n3
0nn3nsin9
)1( x dx3n2sin)x(f32b



0 bn
dacă n = 3k,
.Zk
x3n2sin3nsin
n)1( 92)x(f
1n21n
2 



7. Să se dezvolte în serie Fourier pe intervalul
, funcțiile :
(aax ch g(x ) ax , sh)x(f   
întreg) și să se deducă sumele seriilor:



   1n22 22
1n22 21n2n an ,
n a1 ,
n1

Soluție
Funcțiile date îndeplinesc condițiile lui Dirichlet. Pentru f(x) avem
0 a0
,
0 an (f este funcție impară) și :


0ndx sinnx ax sh2b

Integrând de două ori prin părți, obținem :
 
,asinh
n an2)1(axsinhnxcosnax coshnxsina
)n a(2b
2 21n0 2 2 n

 



deci

Matematici speciale și metode numerice

14
 

x ,nxsin
n an1 axsinh2)x(2 2
1n1n
Pentru g(x)avem
0 bn și (g este o funcție pară):
,aasinhax dx cosh1a
00


,
n aasinha2)1( nx dxsinaxsinhna2nnxsinhax cosh2dx nx cosax cosh2a
2 20n00n






deci
 
 
x ,
nanxcos1asinha2
aasinh)x(g
1nn 2n

Utilizând for mula lui Parceval:

l
lldx)x(f1b a2a2
1n2
n2
n2
0

unde
R :fll,- și pătratul ei este o funcție integrabilă:
 
 
 02
2
1n22 22
ax dx cosh
a sinh2 )n a(n

și
 

x
02
2
1n2 22
2ax dx cosh
a sinh2 nan
a41

Calculând integralele din membrii doi, avem :
 


a2a2sinh
a sinha8 n an
2
1n22 22

Matematici speciale și metode numerice

15

 


a2 a2sinh
a sinha8 n aa
a41
2
1n22 22
2
Din (4) obținem :
 
)1 e(a21 e)1a2(
a41a
n a1
a23a2
2
1n22 2 



Aplicând de trei ori regula lui L ’Hopital, obținem :
 6a2a2sinh
a sinh8lim2
2 a





Ținând seama că seria din membrul întâi al egalității este absolut convergentă,
rezultă că putem trece la limită pentru
a sub semnul sumă, astfel că
deducem :
6 n12
1n2
