Matematici nanciare s ,i aplicat ,ii ale lor la [614667]

Matematici nanciare s ,i aplicat ,ii ale lor la
nivel preuniversitar
22 decembrie 2020

ii

Cuprins
I Didactic a teoretic a 1
1 Elemente de didactic a teoretic a 3
1.1 Scop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Grup t ,int a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Didactic a aplicat a 5
2 Elemente de calcul nanciar 7
2.1 Procente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Cres ,teri s ,i sc aderi cu p% . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Dob^ anzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Dob^ anda simpl a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Rata dob^ anzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Dob^ anda compus a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 TVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
iii

iv CUPRINS

Partea I
Didactic a teoretic a
1

Capitolul 1
Elemente de didactic a teoretic a
1.1 Scop
fdfd
1.2 Grup t ,int a
dsfdf
3

4 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE DIDACTIC A TEORETIC A

Partea II
Didactic a aplicat a
5

Capitolul 2
Elemente de calcul nanciar
^In acest capitol
2.1 Procente
Procentul se asociaz a ^ ntotdeauna cu valoarea de baz a 100.
Vom considera 100 de persoane.
Dac a spunem c a 80 "la sut a" de persoane sunt fericite, atunci 80 din cele
100 de persoane le reprezent am ca ind fericite.
7

8 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR
Matematic, acest lucru se scrie ca o fract ,ie ce are ^ ntotdeauna numitorul
100, adic a avem80
100.
Denit ,ia 2.1.1 Raportul procentual este un raport de formap
100,p > 0.
Acesta se noteaz a p% s ,i se cites ,tep la sut a .
Fract ,iap
100reprezint a p procente , iar1
100se numes ,teprocent .
^In continuare, prezent am cum se poate a
a p% dintr-un num ar sau cum
putem a
a num arul c^ and s ,timp%.
ˆA
area raportului procentual
Cunoas ,tem x,ys,i trebuie s a a
 am p%.
p
100
x=y)p% =y
x
100
Exemplu 2.1.2 Ana a cheltuit 50 de lei din cei 200 de lei pe care ^ i
avea. Ce procent (c^ at la sut a) din sum a a cheltuit?
Solut ,ie:Avemp
100=50
200)p
100=1
4)p= 25)p% = 25%
ˆA
area procentului dintr-un num ar dat
Pentru a a
a p% dintr-un num ar se pot utiliza dou a metode:
1. Regula de trei simpl a: "dac a xcorespunde lui 100, atunci c^ at este
ycare corespunde lui p?"
Datele problemei se vor aranja astfel:

2.1. PROCENTE 9
x:::::::::::::::::::::: 100
y::::::::::::::::::::::p
Atunci y=x
p
100.
2.^Inmult ,imp
100cu x s ,i obt ,inem y=p
100
x
Exemplu 2.1.3 Ana avea 150 de lei s ,i a cheltuit la magazin 90% din
sum a. Ce sum a a cheltuit Ana?
Solut ,ie:Rezolv am problema prin cele dou a procedee prezentate ante-
rior:
1. Aranj am datele problemei astfel:
150:::::::::::::::::::::: 100
y::::::::::::::::::::::::::: 90
Atunci y=150
90
100)y= 15
9)y= 135. Deci Ana a cheltuit
135 lei.
2. 90% din 150 lei =90
100
150 lei = 9
15 lei = 135 lei
ˆA
area num arului c^ and s ,tim un procent din el
Cunoas ,temp%; ys,i trebuie s a a
 am x.
p
100
x=y)x=y
100
p
Exemplu 2.1.4 Ana a cheltuit 20 % din suma pe care o avea, adic a
60 de lei. Ce sum a avea Ana?
Solut ,ie:Rezolv am problema prin cele dou a procedee prezentate ante-
rior:
1. Aranj am datele problemei astfel:
60:::::::::::::::::::::: 20
x:::::::::::::::::::::: 100
Atunci x=60
100
20)x= 3
100)x= 300. Deci Ana avea 300
lei.
2. 20% din x lei = 60 lei )20
100
x= 60 lei)x=60
100
20lei)
x= 3
100 lei)x= 300 lei

10 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR
2.1.1 Cres ,teri s ,i sc aderi cu p%
Consider am un num ar pozitiv dat pe care ^ l not am cu x.
^In urma unei m ariri (cres ,teri,scumpiri), dac a num arul xcres ,te cu p%,
atunci el devine m:
m=x+p
100
x=x
1 +p
100

=x100
100+p
100

=x
100+ p
100=x(100 + p) %
^In urma unei mics ,or ari (sc aderi,ieftiniri), dac a num arul xscade cu p%,
atunci el devine s:
s=xp
100
x=x
1p
100

=x100
100p
100

=x
100p
100=x(100p) %
Exemplu 2.1.5 Un televizor ce cost a 500 de lei se scumpes ,te cu 20 %. Care
este noul pret ,?
Solut ,ie:Prezent am rezolvarea problemei prin dou a metode:
1. Folosim formula prezentat a anterior pentru cres ,tere:
Fiexpret ,ul init ,ial al televizorului.
Noul pret ,, notat mva  m=x(100 + 20) %)m=x
120%)
m=x
120
100)m= 500
120
100)m= 5
120)m= 600. Deci dup a
scumpire televizorul va costa 600 de lei.
2. F ar a a folosi formula prezentat a anterior, calcul am ^ nt^ ai cu c^ at este
egal a marirea de pret ,: 20% din 500 lei =20
100
500 lei = 20
5 lei = 100
lei.
Noul pret ,va  500 lei + 100 lei = 600 lei.
Exemplu 2.1.6 O carte ce cost a 40 de lei se ieftines ,te cu 30 %. Care este
noul pret ,?
Solut ,ie:Rezolv am problema prin dou a metode:
1. Folosim formula prezentat a anterior pentru mics ,orare:
Fiexpret ,ul init ,ial al c art ,ii.
Noul pret ,, notat sva s=x(10030) %)s=x
70%)s=x
70
100
)s= 40
70
100)s= 4
7)s= 28. Deci dup a ieftinire cartea va
costa 28 de lei.
2. F ar a a folosi formula prezentat a anterior, calcul am ^ nt^ ai cu c^ at este
egal a scaderea de pret ,: 30% din 40 lei =30
100
40 lei = 3
4 lei = 12 lei.
Noul pret ,va  40 lei – 12 lei = 28 lei.

2.1. PROCENTE 11
2.1.2 Probleme rezolvate
Problema 1 Un caiet cost a 2,5 lei. C^ at va costa caietul dup a o scumpire
de 50%?
Solut ,ie:O posibil a metod a de rezolvare a acestei probleme este:
Calcul am mai ^ nt^ ai cu c^ at este egal a cres ,terea de pret ,.
50% din 2,5 lei =50
100
2;5 lei = 0 ;5
2;5 lei = 1,25 lei.
Noul pret ,va  2,5 lei + 1,25 lei = 3,75 lei.
Problema 2 ^Intr-un depozit sunt 3000 de tone de marf a. ^In prima s apt am^ an a
s-a v^ andut 20% din cantitatea de marf a, iar ^ n a doua s apt am^ an a s-a v^ andut
40% din rest. C^ ate tone de marf a s-au v^ andut ^ n ecare s apt am^ an a?
Solut ,ie:O posibil a metod a de rezolvare a acestei probleme este:
Calcul am mai ^ nt^ ai c^ at s-a v^ andut ^ n prima s apt am^ an a.
20% din 3000 tone =20
100
3000 tone = 20
30 tone = 600 tone.
Deci dup a prima s apt am^ an a s-au v^ andut 600 de tone. ^In depozit vor mai
r am^ ane 3000 tone – 600 tone = 2400 tone.
^In a doua s apt am^ an a s-a v^ andut 40% din rest, adic a
40% din 2400 tone =40
100
2400 tone = 40
24 tone = 960 tone.
Problema 3 ^Intr-un liceu sunt 1400 de elevi. Dintre aces ,tia 20% s-au^ nscris
la specializarea Pedagogie, 35% la Matematic a-Informatic a, 30% la S ,tiint ,e
ale Naturii s ,i restul la Filologie. C^ at ,i elevi s-au ^ nscris la Filologie?
Solut ,ie:O posibil a metod a de rezolvare a acestei probleme este:
20% + 35% + 30% = 85%
85% dintre elevi s-au ^ nscris la celelalte specializ ari s ,i 100% – 85% = 15%
s-au ^ nscris la Filologie.
Calcul am c^ at ,i elevi reprezint a acest procent de 15%:
15% din 1400 elevi =15
100
1400 elevi = 15
14 elevi = 210 elevi.
Problema 4 Dintr-o clas a de 25 de elevi, 15 elevi au obt ,inut Premiul I la
un concurs. C^ at la sut a dintre elevi a obt ,inut acest premiu?
Solut ,ie:O posibil a metod a de rezolvare a acestei probleme este:
25:::::::::::::::::::::: 100
15::::::::::::::::::::::::x
Atunci x=15
100
25)x= 15
4)x= 60)x% = 60%. Deci 60% dintre
elevii clasei au obt ,inut Premiul I la concurs.
Problema 5 O ferm a agricol a are 150 de hectare. S-a plantat orz pe 60 de
hectare. C^ ate procente reprezint a suprafat ,a pe care s-a plantat?
Solut ,ie:O posibil a metod a de rezolvare a acestei probleme este:

12 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR
150:::::::::::::::::::::: 100
60::::::::::::::::::::::::x
Atunci x=60
100
150)x= 40)x% = 40%. Deci s-a plantat orz pe 40%
din suprafat ,a fermei.
2.2 Dob^ anzi
2.2.1 Dob^ anda simpl a
Denit ,ia 2.2.1 Consider am Sisuma init ,ial a sau^ mprumutat a de la o banc a
s,iSfnsuma nal a restituit a dup a o perioad a de timp n. Diferent ,a dintre
suma nal a s ,i suma init ,ial a, adic a SfnSise numes ,tedob^ and a .
Dob^ anda este in
uent ,at a de m arimea capitalului folosit, perioada de timp
c^ at a fost folosit capitalul, procentul de majorare convenit la ^ nceputul peri-
oadei s ,i alt ,i factori.
2.2.2 Rata dob^ anzii
Denit ,ia 2.2.2 Consider am r%rata dob^ anzii .Dob^ anda simpl a , notat a Ds
reprezint a dob^ anda direct proport ,ional a cu suma init ,ial aSis,i cu durata
operat ,iunii.
Formula de calcul a dob^ anzii simple este Ds=Si
r
100
n, unde neste
num arul de ani.
Dac a dorim s a a
 am suma nal a Sfnfolosim formula Sfn=Si+Ds.
^Inlocuind Dsobt ,inem Sfn=Si+Si
r
100
n, adic a Sfn=Si
1 +r
100
n

.
Dac a anul este divizat ^ n pp art ,i egale s ,itpreprezint a un num ar de astfel
de p art ,i pentru care calcul am dob^ anda simpl a, atunci formula devine Ds=
Si
r
100
tp
p. Pentru p= 2 obt ,inem dob^ anda pe t2semestre, pentru p= 12
obt ,inem dob^ anda pe t12luni, iar pentru p= 360 obt ,inem dob^ anda pe t360
zile.
Exemplu 2.2.3 Un capital de 20000 de lei este plasat ^ n regim de dob^ and a
simpl a pe o perioad a de 4 ani cu rata dob^ anzii de 6%. Ce dob^ and a genereaz a
acest capital pe perioada plasamentului?
Solut ,ie:Aplic am formula de calcul a dob^ anzii simple s ,i avem
Ds= 20000
6
100
4)Ds= 200
24)Ds= 4800. Deci valoarea dob^ anzii
generate de acest capital este de 4800 de lei ^ n 4 ani.

2.2. DOB ^ANZI 13
2.2.3 Dob^ anda compus a
Denit ,ia 2.2.4 Consider am c a o sum a de bani este plasat a ^ n regim de
dob^ and a compus a , notat a Dc, dac a la sf^ ars ,itul primei perioade a plasamen-
tului, dob^ anda simpl a generat a de sum a este ad augat a la suma init ,ial a pentru
a produce la r^ andul ei dob^ and a ^ n perioada urm atoare.
^Intrebarea pe care ne-o punem este"^In ce sum a se transform a un capital
init ,ialSi, ^ n timp de nani, dac a s ,tim c a acesta genereaz a dob^ and a compus a
cu rata dob^ anzii r%?".
Solut ,ie:Suma init ,ial aSiproduce ^ n primul an o dob^ and a Ds=Si
r
100.
^In al doilea an suma generatoare de dob^ and a va : S1=Si+Si
r
100)
S1=Si
1 +r
100

. Not am R= 1 +r
100, deci S1=Si
R.
Dup a ^ nc a un an, suma S1se majoreaz a cu dob^ anda simpl a S1
r
100s,i
obt ,inem S2=S1+S1
r
100)S2=S1
R)S2=Si
R2.
Folosind acelas ,i rat ,ionament, dup a 3 ani avem suma S3=Si
R3, iar
dup a n ani obt ,inem Sn=Si
Rn.
Suma nal a Snreprezint a suma dintre capitalul init ,ialSis,i dob^ anda
compus a Dcgenerat a de ea. Deci Sn=Si+Dc)Dc=SnSi)
Dc=Si
RnSi)Dc=Si(Rn1).
As,adar, formula de calcul pentru dob^ anda compus a Dc, dup a n ani, ge-
nerat a de suma init ,ial aSiesteDc=Si(Rn1), unde R= 1 +r
100.
Observat ,ie 2.2.5 Sumele Si; S1; S2; :::; S n; :::formeaz a o progresie geome-
tric a cu rat ,iaR.
Exemplu 2.2.6 Un capital de 20000 de lei este plasat ^ n regim de dob^ and a
compus a pe o perioad a de 4 ani cu rata dob^ anzii de 10%. Ce dob^ and a
genereaz a acest capital pe perioada plasamentului?
Solut ,ie:Aplic am formula de calcul a dob^ anzii compuse s ,i avem
Dc= 20000
h
1 +10
100
41i
)Dc= 20000
h11
10
41i
)
Dc= 20000
114104
10000)Dc= 2 (114104))Dc= 9282.
Deci valoarea dob^ anzii generate de acest capital este de 9282 de lei ^ n 4
ani.
2.2.4 Probleme rezolvate
Problema 6 O persoan a zic a^ mprumut a suma de 20000 lei cu rata dob^ anzii
simple de 16%. Ce sum a trebuie restituit a dup a 120 de zile?
Solut ,ie:Pentru a facilita calculele, consider am c a anul are 360 de zile.

14 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR
Dob^ anda simpl a va  Ds=Si
r
100
tp
p)Ds= 20000
16
100
120
360)
Ds= 1066 ;66 (lei).
Problema 7 Un capital este plasat ^ n regim de dob^ and a simpl a pe o pe-
rioad a de 6 luni, cu rata dob^ anzii de 10%, obt ,in^ andu-se un capital nal de
25000 de lei. A
at ,i capitalul init ,ial.
Solut ,ie:
Folosim formula Sfn=Si+Dsdin care deducem c a Si=SfnDs.
^Inlocuind Ds=Si
r
100
tp
pavem Si=SfnSi
r
100
tp
p.
Obt ,inem Si= 25000Si
10
100
6
12, adic a Si= 23809 ;52 (lei).
Problema 8 O sum a plasat a ^ n regim de dob^ and a compus a cres ,te cu 44%.
C^ at este rata dob^ anzii pentru ca ea s a creasc a cu acest procent ^ n 2 ani?
Solut ,ie:Not am cu Sisuma init ,ial a s ,i cuS2suma nal a.
S2=Si+Si
44
100)S2=36
Si
25.
Pe de alt a parte, s ,tim c a S2=Si
R2=Si
1 +r
100
2.
Din cele dou a egalit at ,i obt ,inem36
Si
25=Si
1 +r
100
2. Simplic^ and Si,
avem36
25=
1 +r
100
2)6
5
2=
1 +r
100
2)6
5= 1 +r
100)6
51 =r
100)
1
5=r
100)r=100
5)r= 20)r% = 20%.
As,adar, rata dob^ anzii este de 20%.
Problema 9 O sum a de 30000 de lei este plasat a ^ n regim de dob^ and a com-
pus a pe o durat a de 2 ani cu rata dob^ anzii de 10% ^ n primul an s ,i 14% ^ n al
doilea an. C^ at este suma nal a?
Solut ,ie:Dup a primul an, suma este S1=Si
R1=Si
1 +r1
100

)
S1=Si
1 +10
100

)S1=Si
110
100.
Dup a al doilea an, suma nal a este S2=S1
R2=Si
110
100
114
100)
S2= 30000
110
100
114
100)S2= 3
110
114)S2= 37620.
As,adar, suma nal a este de 37620 de lei.
Problema 10 O sum a de 50000 de lei este plasat a ^ n regim de dob^ and a
compus a cu rata dob^ anzii de 20%. Suma nal a este de 86400 de lei. Pe ce
perioad a a fost plasat a suma?
Solut ,ie:Sn=Si
Rn)86400 = 50000

1 +20
100
n)
86400 = 50000
120
100
n)86400
50000=120
100
n)8640
5000=12
10
n)1728
1000=12
10
n)12
10
3=12
10
n)n= 3.
As,adar, suma a fost plasat a pe o perioad a de 3 ani.
2.3 TVA
Denit ,ia 2.3.1 Taxa pe valoare ad augat a este un impozit indirect

Bibliograe
[1] M.Perianu, S ,.Sm ar andoiu, C.St anic a, Matematic a , Clasa a VI-a, Semes-
trul I, Editura Art Educat ,ional, Bucures ,ti, 2018
[2] L.Panaitopol, M.B alun a, Matematic a , Manual pentru clasa a X-a, M1,
Editura Gil, S alaj, 2001
[3] M.Burtea, G.Burtea, Matematic a , Clasa a X-a, M2, Editura Campion,
2013
[4] G.Kohr, P.Mocanu, Capitole Speciale de Analiz a Complex a , Presa Univer-
sitar a Clujean a, Cluj-Napoca, 2005
[5] Z.Nehari, Conformal Mapping , McGraw-Hill, New York, 1952
[6] E.Popa, Introducere ^ n Teoria Funct ,iilor de o Variabil a Complex a.
Exercit ,ii s ,i Probleme , Editura Univ.Alexandru Ioan Cuza, Ias ,i, 2001
[7] W.Rudin, Real and Complex Analysis III , McGraw-Hill, 1987
15